Logica modale e mondi possibili - Swif

Linee di Ricerca 

Massimo Mugnai 

LOGICA MODALE E MONDI POSSIBILI 

Versione 1.0 - 2006 

Linee 

di 

Ricerca 

SWIF - Sito Web Italiano per la Filosofia 

Rivista elettronica di filosofia - Registrazione n. ISSN 1126-4780

Linee di Ricerca – SWIF 

Coordinamento Editoriale: Gian Maria Greco 

Supervisione Tecnica: Fabrizio Martina 

Supervisione: Luciano Floridi 

Redazione: Eva Franchino, Federica Scali. 

AUTORE 

Massimo Mugnai [ m.mugnai@sns.it]. Professore ordinario di Storia della Logica alla Scuola Normale dal 2002, 

si è laureato in Filosofia all’Università di Firenze. E’ stato borsista DAAD presso il Leibniz Archiv di Hannover e 

ricercatore presso il “Lessico intellettuale europeo per i secoli XVII e XVIII” del CNR (Roma). E’ stato inoltre 

borsista della Fondazione Alexander von Humboldt (ha lavorato presso la Leibniz-Forschungsstelle di Münster, 

contribuendo anche all’edizione critica delle opere di Leibniz) ed ha lavorato in un gruppo di ricerca sulle controversie 

filosofiche presso l’Institute for Advanced Studies di Gerusalemme, di cui è fellow. E’ membro della Leibniz 

Gesellschaft di Hannover, dell’editorial Board di “History and Philosophy of Logic”, del Comitato scientifico di 

“Studia Leibnitiana”, del Comitato scientifico della “Rivista di storia della filosofia” e del comitato scientifico della 

“Leibniz Review”. Ha insegnato nelle università di Bari e di Firenze. I suoi interessi di ricerca riguardano la filosofia 

di Leibniz, la storia della logica, logica e metafisica. Tra le sue pubblicazioni più significative si ricordano: Leibniz’s 

Theory of Relations, Stuttgart, Steiner Verlag, 1993; Introduzione alla filosofia di Leibniz, Milano, Einaudi, 2001; 

Traduzione e cura (con E. Pasini) degli Scritti filosofici di G. W. Leibniz presso la Casa editrice UTET (3 volumi), 

Torino, 2000. 

LdR è un e-book, inteso come numero speciale della rivista SWIF. È edito da Luciano Floridi con il coordinamento editoriale 

di Gian Maria Greco e la supervisione tecnica di Fabrizio Martina. 

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in cui ciascun testo è un capitolo autonomo. In esso l'autore o l'autrice, presupponendo solo un minimo di conoscenze di base, 

fornisce una visione panoramica e critica dei temi principali, dei problemi più importanti, delle teorie più significative e degli 

autori più influenti, nell'ambito di una specifica area di ricerca della filosofia contemporanea attualmente in discussione e di 

notevole importanza. Il fine è quello di fornire al pubblico italiano un'idea generale su quali sono gli argomenti di ricerca di maggior 

interesse nei vari settori della filosofia contemporanea oggi, con uno stile non-storico, accessibile ad un pubblico di filosofi non 

esperti nello specifico settore ma interessati ad essere aggiornati. 

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AUTORE, Titolo, in L. Floridi (a cura di), Linee di Ricerca, SWIF, 2006, ISSN 1126-4780, p. X, www.swif.it/biblioteca/lr.

PREMESSA 

SWIF – LINEE DI RICERCA 

LOGICA MODALE E MONDI POSSIBILI 

MASSIMO MUGNAI 

Versione 1.0 

Durante l’antichità e il medioevo e poi ancora fino all’Ottocento, la logica è sempre 

stata considerata, nella cultura occidentale, una disciplina riconducibile all’ambito 

della filosofia. Nella seconda metà dell’Ottocento, le opere di George Boole (1815- 

1864) (The Mathematical Analysis of Logic [1847]) e di Gottlob Frege (1848-1825) 

(Begriffsschrift [Ideografia: 1879]), avviano un processo di profonda trasformazione 

della logica in una prospettiva che, in pieno Seicento, era stata prefigurata da 

Leibniz. Con le opere di Boole e Frege, la logica non solo prende a svilupparsi 

ricorrendo a un linguaggio e a strumenti desunti dalla matematica, ma 

progressivamente, a partire dai primi anni del Novecento, si propone essa stessa 

strumento per l’indagine matematica. La “matematizzazione” della logica induce a 

guardare ai rapporti tra logica e filosofia con rinnovato ottimismo: l’indagine 

filosofica può finalmente dotarsi di uno strumento rigoroso, dal quale è auspicabile 

attendersi la soluzione di antichi problemi. In anni più recenti, lo straordinario 

sviluppo della logica matematica e il conseguente, alto grado di specializzazione che 

ne ha investito tutti gli aspetti, hanno reso più complesso il rapporto tra logica e 

filosofia. Molte delle originarie speranze hanno subito un ridimensionamento: 

nondimeno, una buona conoscenza di base della logica continua a esser considerata, 

M. Mugnai, Logica e Mondi possibili, in L. Floridi (a cura di), Linee di Ricerca, SWIF, 2003-6, pp. 673-711. 

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L. Floridi (a cura di), Linee di Ricerca, SWIF, 2003-6 

dalla maggior parte dei filosofi contemporanei, un requisito essenziale per svolgere 

seriamente l’attività filosofica. Conoscere la logica permette di dar forma rigorosa 

alle argomentazioni, consente di evitare fallacie e, in generale, mette a disposizione 

un potente strumento di analisi concettuale. La logica, tuttavia, non ha nei confronti 

della filosofia un rapporto, per così dire, puramente propedeutico. Un ampio settore 

della logica, caratterizzato ormai col nome di logica filosofica, si applica 

all’indagine di tematiche filosofiche più o meno tradizionali. Tra queste figurano: la 

ricerca concernente i vari significati dei concetti di necessità e possibilità; il 

tentativo di caratterizzare logiche della conoscenza; la ricerca di leggi generali 

capaci di dar conto del nostro discorso riguardo al realizzarsi di mutamenti o di 

alternative; la costruzione di una logica che tratti con concetti “imprecisi”; 

l’indagine volta a individuare logiche temporali, ecc. È bene tener presente, tuttavia, 

che il carattere “filosofico” della logica filosofica non consiste nell’uso di strumenti 

diversi da quelli della logica matematica “non filosofica”. 

Un forte legame con la tradizione logica, a partire almeno da Aristotele, ce 

l’hanno le cosiddette logiche modali, delle quali verranno illustrati in quel che segue 

la genesi e alcuni caratteri fondamentali. 

1. LOGICA MODALE: SIGNIFICATO DELL'ESPRESSIONE. ANTECEDENTI STORICI 

Con buona approssimazione, possiamo caratterizzare la logica modale come quella 

branca della logica che studia il comportamento di enunciati nei quali sono coinvolte 

le espressioni: possibile, impossibile, necessario, contingente e altre ad esse affini. 

La qualificazione espressa dal termine “modale” deriva dalla tradizione della logica 

scolastica, secondo la quale le espressioni appena richiamate designavano “modi 

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Massimo Mugnai – Logica e Mondi possibili 

d'essere” o di “presentarsi” degli enunciati ai quali si riferiscono (oppure, come 

vedremo, modi d'essere delle proprietà che venivano attribuite a un soggetto). I 

logici scolastici riconoscevano che le modalità degli enunciati sono molteplici. 

“Sapere”, per esempio, riferito a un enunciato (“sapere che p” – dove “p” è un 

enunciato qualsiasi) era pensato anch'esso come un “modo d'essere” o una proprietà 

dell'enunciato in questione (“esser saputo”, in tal caso). Un chiaro riconoscimento 

della pluralità dei modi delle proposizioni si trova nella Summa logicae di Ockham: 

Modale è quella proposizione nella quale viene posto il 

modo [...] E bisogna sapere che, sebbene tutti i filosofi 

siano pressoché concordi sul fatto che soltanto quattro 

modi - vale a dire ‘necessario’, ‘impossibile’, 

‘contingente’ e ‘possibile’ - rendono modale una 

proposizione [...] - parlando in senso più generale, si 

può dire che i modi che rendono modali le proposizioni 

sono più di questi quattro. 

[...][I]nfatti, come una proposizione è necessaria, 

un’altra impossibile, un'altra possibile, un’altra ancora 

contingente, così una proposizione è vera, un’altra 

falsa, un’altra conosciuta, un’altra ignota, un’altra 

proferita, un’altra scritta, un’altra ancora concepita, 

un’altra creduta, un’altra opinata, un’altra dubitata, e 

così via. Perciò, come viene detta modale la 

proposizione nella quale è posto il modo ‘possibile’ o 

‘necessario’ oppure ‘contingente’ o ‘impossibile’, 

oppure un avverbio corrispondente a uno di questi 

modi, è altrettanto ragionevole che si possa dire 

modale una proposizione nella quale vien posto 

qualcuno dei modi predetti 1 . 

In questo brano l'ammissione dell'esistenza di molteplici modalità si accompagna 

all'implicito riconoscimento del carattere esemplare delle quattro modalità costituite 

da possibile, necessario, contingente e impossibile. In maniera analoga, nell'ambito 


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della logica contemporanea, sebbene venga riconosciuta l'esistenza di differenti 

tipologie di modalità, quelle definite da possibilità e necessità mantengono sulle 

altre una sorta di posizione preminente: sono considerate, in certo senso, le modalità 

per antonomasia. 

Attualmente, tra i vari tipi di modalità si usano distinguere: modalità 

assertorie (le modalità di enunciati che si limitano a descrivere o asserire un mero 

stato di cose); modalità aletiche (si tratta di quelle modalità che specificano il modo 

di esser vero di un enunciato, vale a dire se è necessariamente, possibilmente o 

contingentemente vero); modalità deontiche (relative a ciò che è obbligatorio, 

vietato o permesso); modalità epistemiche (come sapere); modalità doxastiche 

(come credere). Si parla anche di modalità temporali, in relazione allo sviluppo di 

logiche che trattano di enunciati la cui verità è legata al tempo; e di logiche 

dinamiche, legate all’esecuzione di programmi in ambito informatico. La 

preminenza delle modalità aletiche si spiega col fatto che la cosiddetta semantica a 

mondi possibili ha consentito - a partire all'incirca dagli anni cinquanta - una 

trattazione di queste modalità che si applica con successo anche al caso di altri tipi di 

modalità. 

Sebbene la logica modale abbia avuto ampio sviluppo in epoca medievale e, 

soprattutto, tardo-medievale, un interesse verso di essa è documentato già nelle 

opere logiche di Aristotele. Negli Analitici primi vengono introdotte come segue le 

inferenze sillogistiche con premesse che includono modalità: 

1 Guillelmi de Ockham, Opera philosophica et theologica. Opera philosophica I, Summa logicae, 

New York, St. Bonaventure, 1974, pp. 242-43. 


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Poiché sono differenti tra loro l’appartenere, 

l’appartenere di necessità e altro ancora l’esser 

possibile appartenere (molte cose infatti appartengono, 

non però di necessità, mentre altre né appartengono di 

necessità…né appartengono affatto, ma è possibile che 

appartengano), è chiaro che diverso sarà il sillogismo 

in ciascuno di questi casi ... [An Pr. I, 8, 29b 29] 

Negli stessi Analitici primi, Aristotele dedica ampio spazio all'analisi dei sillogismi 

modali, elaborando una complessa teoria che, sotto molti aspetti, costituirà uno dei 

punti di riferimento per le speculazioni modali in epoca scolastica e oltre. 

Nel capitolo IX del De interpretatione Aristotele affronta questioni relative 

alla contingenza o necessità di certi enunciati; e le analisi contenute in questo 

capitolo alimenteranno discussioni e controversie che saranno alla base delle dispute 

scolastiche sui futuri contingenti. 

In termini piuttosto schematici, la problematica dei futuri contingenti può 

esser presentata nel modo seguente. Dato che, secondo la teologia cristiana, Dio è 

onnisciente, prevede gli eventi futuri del mondo da lui stesso creato: Dio sa, per 

esempio, che Adamo mangerà il frutto proibito. Sotto tale ipotesi, però, com'è 

possibile affermare che il fatto di mangiare il frutto da parte di Adamo è contingente, 

se condizione per considerare contingente un evento è che, pur verificandosi, 

avrebbe potuto non verificarsi? Detto altrimenti: come si concilia la prescienza di 

Dio, il quale vede che Adamo agirà in un certo modo, con l'affermazione che Adamo 

potrebbe agire nel modo contrario? Non è difficile rendersi conto che, sul piano 

teologico, si ha a che fare con una problematica delicata, che investe non soltanto 

questioni relative alla concezione delle modalità, ma anche questioni riguardanti la 

libertà dell’agire. Le discussioni scolastiche su questo argomento, e su altri di natura 


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analoga, determinarono approfondite analisi delle modalità che, unendosi alle 

trattazioni della logica modale contenute nei manuali o nelle “dispense” destinate 

all'insegnamento della logica, dettero corpo a un dottrina assai raffinata e complessa 

- tanto da giustificare il detto “De modalibus non gustabit asinus (Un asino non 

potrà accostarsi allo studio delle modalità)”. 

Il lungo brano che segue - tratto da un opuscolo attribuito a Tommaso 

d'Aquino - può esser considerato esemplare per la capacità di esprimere alcune 

acquisizioni centrali della logica modale medievale. 

Poiché la proposizione modale è chiamata così dal 

modo, per sapere cosa sia una proposizione modale 

bisogna sapere innanzitutto cosa sia il modo. Ora, il 

modo è una determinazione che accompagna una cosa, 

e lo si ha quando un nome aggettivo viene aggiunto a 

un sostantivo, così da determinarlo, come quando si 

dice: “uomo è bianco”; oppure come quando viene 

aggiunto un avverbio che determina il verbo, come 

quando si dice: “uomo corre bene”. Bisogna anche 

sapere che il modo è triplice: ora infatti determina il 

soggetto della proposizione, come in “uomo bianco 

corre”; ora determina il predicato, come in: “Socrate è 

uomo bianco”, oppure “Socrate corre velocemente”; 

ora determina la composizione stessa del predicato col 

soggetto, come quando si dice: “che Socrate corra è 

impossibile", ed è da questo solo modo che la 

proposizione è detta modale. Le altre proposizioni, 

invero, che non sono modali, sono dette de inesse. I 

modi che determinano la composizione sono sei, vale a 

dire: vero, falso, necessario, impossibile, possibile, 

contingente. Tuttavia il vero e il falso non aggiungono 

niente ai significati delle proposizioni de inesse. Infatti 

viene significato lo stesso quando si dice: “Socrate non 

corre” e “Socrate corre è falso”; oppure: “Socrate 

corre” e “Socrate corre è vero”. Ciò però non accade 

con gli altri quattro modi, poiché non viene significato 

lo stesso, quando si dice “Socrate corre” e “Socrate 

corre è possibile”. Pertanto, lasciati da parte il vero e il 

falso, consideriamo gli altri quattro [modi]. 


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Dal momento che il predicato determina il soggetto 

e non viceversa, affinché una proposizione sia modale 

è necessario che i quattro modi predetti vengano 

predicati e che il verbo che implica la composizione sia 

posto in luogo di soggetto: la qual cosa si verifica se al 

posto del verbo indicativo della proposizione si pone 

l'infinito e al posto del nominativo l'accusativo, e si 

chiama il tutto dictum della proposizione. Così il 

dictum di questa proposizione: “Socrates currit 

[Socrate corre]” è “Socratem currere [che Socrate 

corre]”. 

[...] Delle modali, alcune sono de dicto, altre de re. 

La modale de dicto è quella nella quale tutto il dictum 

funge da soggetto e il modo viene predicato, come in 

“Socratem currere est possibile [che Socrate corra è 

possibile]”. La modale de re è quella nella quale il 

modo si interpone al dictum, come in “Socrate è 

possibile che corra”. [...] Bisogna anche sapere che una 

proposizione modale è detta affermativa o negativa, a 

seconda dell'affermazione o negazione del modo e non 

del dictum. Per cui, questa: “Socratem non currere est 

possibile [che Socrate non corra è possibile]” è 

affermativa. Mentre questa: “Socratem currere non est 

possibile [che Socrate corra non è possibile]” è 

negativa. Bisogna anche notare il fatto che il 

necessario ha somiglianza col segno universale 

affermativo [“Tutti”, “Ogni”], poiché ciò che è 

necessario è sempre; l'impossibile ha somiglianza col 

segno universale negativo [“Nessuno”], poiché ciò che 

è impossibile non è mai. Il contingente, invero, e il 

possibile hanno somiglianza col segno particolare 

[“Qualche”], poiché ciò che è contingente e possibile, 

talvolta è e talvolta non è [...] [Pseudo-Tommaso, De 

propositionibus modalibus [Sulle proposizioni modali], 

sec. XIII circa] 2 . 

In questo brano è messa in luce in primo luogo la differenza tra enunciati 

assertori, o de inesse, ed enunciati modali; quindi viene introdotta la distinzione, 

canonica in epoca medievale, tra modalità de dicto e modalità de re. Secondo tale 

distinzione, un enunciato modale è de dicto se il modo che lo qualifica si riferisce al 


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dictum intero - vale a dire se “agisce” su tutto l'enunciato al quale viene riferito; è 

invece de re se specifica il modo nel quale il predicato inerisce al (o si predica del) 

soggetto. Così “Necessariamente (Socrate è saggio)” è de dicto, in quanto afferma 

che l'enunciato “Socrate è saggio” è necessario o necessariamente vero; mentre 

“Socrate è necessariamente saggio”, oppure “Socrate è saggio necessariamente” 

sono de re, in quanto asseriscono che una “cosa” (res in latino: Socrate nel nostro 

esempio) ha una certa proprietà necessariamente (asseriscono, cioè, che l'esser 

saggio è una qualità necessaria di Socrate). Com'è evidente, il modo in cui è 

presentata la distinzione scolastica de dicto/de re presuppone che la struttura 

fondamentale di ogni enunciato sia nella forma “soggetto-copula-predicato"; e la 

discussione se il modo debba riferirsi alla copula o al predicato continuerà a lungo in 

ambito scolastico e tardo-scolastico, fino a tutto il secolo XVII, in particolare tra i 

logici di cultura tedesca. La distinzione de dicto/de re si è mantenuta nella logica 

modale contemporanea con lo stesso significato, sebbene venga applicata in maniera 

diversa a causa del fatto che la struttura di base dell’enunciato non è più concepita 

nei termini di soggetto, copula e predicato 3 . 

2 Thomae Aquinatis, Reportationes, in Sancti Thomae Aquinatis Opera Omnia, (Indicis Thomistici 

Supplementum), frommann-ho1zboog, Stuttgart, 1980, pp. 579-80. 

3 Da Frege in poi, l’analisi logica dell’enunciato, ai fini della costruzione di un efficace linguaggio 

artificiale, viene svolta sulla base della distinzione tra funzione e argomento, non più nei termini di 

soggetto, copula e predicato. Con un’inversione della concezione tradizionale, la copula viene, per 

così dire, assorbita entro il predicato. Mentre nella tradizione i verbi venivano “scomposti” in copula 

e participio (“Socrate corre” diventava: “Socrate è corrente”), con l’analisi fregeana è come se 

ciascun predicato fosse ricondotto a un verbo. Così, nel linguaggio logico artificiale post-fregeano, 

l’enunciato “Socrate è saggio” diventa: “P(s)” – con “P” = esser saggio e “s” = Socrate 

(analogamente a f(x), con “f” designante una funzione e “x” un suo argomento). La scomparsa della 

copula rende difficile un’immediata trascrizione della distinzione scolastica de dicto - de re 

all’interno degli attuali linguaggi formalizzati. In termini contemporanei, un criterio grossolano ma 

efficace per stabilire se un enunciato modale è de dicto è quello di vedere se l’operatore modale 

precede i quantificatori; è de re, invece, se tra di esso e la formula cui si riferisce non è interposto 

alcun quantificatore. Rispetto alla tradizione scolastica, a essere rilevante non è più il rapporto tra 

espressione modale da un lato, e soggetto, copula e predicato dall’altro. Così, formule come “ (Pa)”, 

∀x (Px), ∀x◊(Qx) sono de re; mentre formule come ∀x(Px), ◊∀x ∃y(Qxy) sono de dicto. 


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Un'altra importante precisazione che compare nel brano che stiamo 

considerando concerne i rapporti tra negazione ed espressioni modali: l'autore 

osserva che, per “p” enunciato qualsiasi, la negazione di “possibile p” è “non 

possibile p” e non “possibile non-p”. Lo stesso vale, ovviamente, per le altre 

modalità. Infine, si ha una precisazione che appare assai significativa, soprattutto se 

la si considera tenendo presenti gli sviluppi a noi più vicini della logica modale: 

l'autore coglie una somiglianza [similitudo] tra il necessario e il “segno” di quantità 

universale “Tutti” (“Ogni”), da un lato, e il possibile e il segno di quantità 

particolare “Alcuni” (“Qualche”), dall'altro. La somiglianza si fonda sul fatto che se 

un enunciato è necessario, allora è vero in tutte le circostanze; mentre se è possibile, 

allora è vero in qualche circostanza. Per l'esattezza, nel brano che stiamo 

esaminando, si dice che “il necessario è sempre”, mentre l'impossibile non è “mai” e 

il possibile (col contingente) “talvolta è e talvolta non è”: il necessario sembra 

concernere in questo caso tutti i tempi (tutti gli istanti temporali), l'impossibile 

nessun tempo (nessun istante); il possibile e il contingente qualche tempo (qualche 

istante o periodo di tempo), senza che venga fatto esplicito riferimento al concetto di 

“circostanza”. Ciò non toglie che sia comunque notevole l'intuizione dell’esistenza 

di un nesso che lega tra loro i quantificatori “Tutti” (“Ogni”) e “Alcuni” (“Qualche”) 

con le espressioni modali, rispettivamente, necessario e possibile. 

Con la fine del medioevo e la reazione degli umanisti contro i logici 

“barbari” della scolastica, l'interesse per la logica modale, nei secoli XV e XVI si 

affievolisce. Sebbene la manualistica logica continui a conoscere un certo sviluppo, 

lo studio delle modalità decade nettamente, rispetto agli standard raggiunti nei secoli 

precedenti. Nel secolo XVII si assiste a un certo fervore di studi intorno alla logica 


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modale, soprattutto in Germania e nei paesi nei quali si è affermata la Riforma 

protestante. La cultura di osservanza cattolica - principalmente in Spagna e 

Portogallo - continua a produrre una manualistica logica di buon livello, nella quale 

sovente sono affrontate questioni di logica modale. Nel secolo XVIII, con 

l'impoverirsi della trattatistica logica, si assiste a un pressoché definitivo 

accantonamento della logica modale. Tra le varie cause che contribuiscono a questo 

risultato figurano anche gli espliciti inviti, rivolti dai gesuiti agli insegnanti, a non 

soffermarsi sulle modalità per evitare di turbare le coscienze con i problemi 

riguardanti la predestinazione e la prescienza divina. 

La rinascita della logica e il sorgere della forma matematica di logica, a 

partire dalla seconda metà del secolo XIX, con le opere di G. Boole [1847] e G. 

Frege [1879] non furono accompagnate da una ripresa di interesse per la logica 

modale. Sebbene il logico e matematico Bernard Bolzano (1781-1848) tratti 

esplicitamente questioni di logica modale nella sua monumentale Dottrina della 

scienza, è soltanto con i contributi di Hugh McColl (1837-1909) che le modalità 

ricompaiono in un ambito centrale della logica. McColl, pur muovendosi nell'ambito 

della tradizione dell'algebra della logica, solleva il problema dell'interpretazione del 

condizionale “se ..., allora ...". Per illustrare questo punto e, soprattutto, per 

preparare adeguatamente dal punto di vista storico l'effettiva ripresa della logica 

modale nel Novecento, sarà opportuno fare una breve parentesi, tornando alle origini 

della speculazione logica occidentale. 


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2. CONDIZIONALE FILONIANO E CONDIZIONALE STRETTO 

Nell'antichità, accanto alla scuola logica fondata da Aristotele si era affermato 

l'insegnamento della cosiddetta scuola “megarico-stoica”. Mentre la logica 

aristotelica si fondava prevalentemente sull'analisi dell'inferenza sillogistica e 

poneva perciò al centro dei propri interessi il rapporto tra termini (oggi diremmo: 

“classi” o insiemi di oggetti), gli stoici erano interessati soprattutto ai nessi reciproci 

tra enunciati o proposizioni. In maniera un po' sommaria, ma sostanzialmente fedele, 

si può rappresentare il ragionamento sillogistico come un'inferenza che, date tre 

classi di oggetti A, B e C, sulla base della conoscenza dei rapporti che intercorrono, 

rispettivamente, tra A e C da un lato e tra B e C dall’altro, cerca di determinare la 

natura dei rapporti che sussistono tra A e B. Questo schema generale risulta evidente 

nel sillogismo di prima figura: “Tutti gli uomini sono mortali; Tutti i Greci sono 

uomini; dunque, Tutti i Greci sono mortali” (si ponga “uomini” = “C”, “Greci” = 

“A”, “mortali” = “B”). 

I megarico-stoici, invece, in quanto hanno maggiore interesse per l'analisi dei 

rapporti tra enunciati, rivolgono la propria attenzione al comportamento delle 

espressioni linguistiche che legano tra loro, o connettono, gli enunciati stessi. In 

conseguenza di ciò, definiranno le regole che governano gli usi logici di espressioni 

come (i corrispondenti in greco delle espressioni italiane) “e”, “o”, “se ..., allora ...”, 

ecc. Un tipico esempio di argomento (non sillogistico nel senso aristotelico) studiato 

dagli stoici è: “Se è giorno, c'è luce; è giorno; dunque c'è luce”, che corrisponde allo 

schema (per “p” e “q” enunciati qualsiasi): “Se p, allora q; p; dunque q”. Ora, è 

proprio relativamente all'interpretazione del "comportamento" logico del connettivo 


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“se..., allora ...” che, nell'ambito della scuola megarico-stoica, si ebbero divergenze 

che si fissarono in tre posizioni distinte. Filone di Megara, secondo quanto riporta 

Sesto Empirico, aveva proposto le seguenti condizioni di verità per il condizionale: 

Filone diceva che la connessione [il condizionale] è 

vera quando non accade che cominci col vero e finisca 

col falso. Secondo lui ci sono perciò tre modi per 

ottenere una connessione vera e uno solo per ottenerne 

una falsa. E' vera infatti se comincia col vero e finisce 

col vero, come per esempio: “se è giorno, c'è luce”; se 

comincia col falso e finisce col falso, come, per 

esempio: “se la terra vola, la terra ha le ali”; 

analogamente per quella che comincia col falso e 

finisce col vero, come, per esempio, “se la terra vola, 

la terra esiste”. E' falsa soltanto quando, cominciando 

col vero, finisce col falso, come ad esempio: “se è 

giorno, allora è notte”. 4 

Alle posizioni di Filone si contrapposero quelle di Diodoro Crono e di Crisippo. 

Anche se la critica testuale non ha ancora raggiunto sufficiente chiarezza su questo 

punto, sembra che Diodoro legasse la verità del condizionale al tempo: 

probabilmente riteneva vero un condizionale della forma “Se p, allora q” se, per ogni 

istante temporale t, non si dava il caso che p fosse vero a t e q falso a t. Secondo 

Crisippo, invece, un condizionale è falso se sussiste un rapporto di incompatibilità 

tra antecedente e conseguente. È ancora Sesto a illustrare la concezione di Crisippo: 

È vera una connessione nella quale l'opposto del 

conseguente è incompatibile con l'antecedente, come 

ad esempio: “se è giorno, c'è luce”. Essa è vera perché 

“non c'è luce”, opposto del conseguente, è 

incompatibile con “è giorno”. 5 

4 Il testo è tratto da I. M. Bochenski, La logica formale, vol. I, Dai presocratici a Leibniz, Einaudi, 

1972, p. 159 

5 Ivi, p. 161. 


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Secondo l'impostazione filoniana, un condizionale della forma "se p, allora q” (per p 

e q enunciati qualsiasi) risulta falso soltanto se l'antecedente (“p”, nel nostro 

esempio) è vero e il conseguente (“q”) falso. Perché un condizionale sia vero ci si 

limita a richiedere che non si verifichi questa situazione. Diodoro e Crisippo, invece, 

chiedono che siano soddisfatte condizioni ulteriori: Diodoro in rapporto al tempo e 

Crisippo riguardo alla compatibilità tra antecedente e conseguente. Quasi certamente 

a sollevare l'ostilità nei confronti del condizionale filoniano era il fatto che per la sua 

verità non si richiede altro rapporto tra antecedente e conseguente, se non quello 

determinato dai valori di verità. Così, secondo Filone, un condizionale del tipo “se è 

notte, allora 2 + 2 = 4” risulterebbe vero anche se fosse giorno, dal momento che ha 

il conseguente vero. 

Con ogni probabilità, Crisippo aveva cercato di dare condizioni di verità per 

il condizionale che rispecchiassero più da vicino quelle dell'uso “comune”, che 

presuppone quasi sempre un nesso di tipo semantico tra antecedente e conseguente. 

L'incompatibilità tra antecedente e opposto del conseguente della quale parla 

Crisippo va intesa nel senso che un condizionale è falso se è impossibile che 

l'antecedente sia vero e il conseguente falso. 

Con la fine dell'antichità e l'affermarsi di uno stile eclettico in filosofia, 

tendente a mescolare tra loro le varie posizioni filosofiche, diventa sempre meno 

chiaro il confine tra logica di impianto aristotelico e logica di ispirazione megarico- 

stoica. Già i manuali di logica del primo o del secondo secolo dopo Cristo 

presentano una dottrina ibrida: il più delle volte innestano elementi stoici su una 

base prevalentemente sillogistico-aristotelica. Nel passaggio dall'antichità al 


687


medioevo, si perde così il senso della distinzione tra i differenti tipi di condizionale: 

addirittura, il condizionale viene pressoché identificato col cosiddetto sillogismo 

ipotetico - il sillogismo aristotelico espresso in forma condizionale. Sarà Boezio 

(470 - 525 d. C.), proprio col De syllogismis hypotheticis, a tramandare nella cultura 

logica scolastica una quantità considerevole di concetti e spunti tratti dall'ormai 

estinta tradizione megarico-stoica. 

Durante il medioevo, la logica conosce una progressiva fioritura, che la 

porterà a sviluppi straordinari, per certi versi affini a quelli che avrà nel secolo XIX. 

Sembra però che i logici medievali debbano riscoprire da soli gran parte della 

dottrina logica elaborata nell'antichità, della quale si era perduta quasi 

completamente ogni traccia. Nonostante si applichino allo studio dei connettivi 

logici (chiamati sincategoremi [syncathegoremata]), non giungono tuttavia a 

recuperare con chiarezza e, soprattutto, consapevolezza, il significato della 

distinzione tra i vari tipi di condizionale. Il condizionale di tipo “crisippeo” sembra 

prevalere negli usi e nelle teorizzazioni dei principali autori scolastici. Difficile è 

trovare istanze di condizionale filoniano. Questa difficoltà è aggravata dal fatto che, 

in esposizioni informali - prive cioè del riferimento a un apparato simbolico rigoroso 

- il linguaggio ordinario si presta ad ambiguità. Così, quando un autore medievale 

scrive che un condizionale è vero quando “è impossibile che l'antecedente sia vero e 

il conseguente falso”, è difficile stabilire se la locuzione “è impossibile” debba 

intendersi come un semplice “se non si dà (di fatto) il caso che...”, oppure se sia 

veramente l'espressione di una modalità. 

Le stesse difficoltà di determinare in maniera non equivoca la natura del 

condizionale si incontrano presso la maggioranza dei logici che operano nel periodo 


688


che va, all'incirca, dalla fine del medioevo alla seconda metà del secolo XIX. In 

molti autori il condizionale viene usato senza che ne venga specificato in modo 

chiaro il significato e, in ogni caso, senza che si abbia la percezione chiara delle 

differenti interpretazioni messe a fuoco dagli stoici. Sotto questo riguardo, perciò, è 

del tutto eccezionale la consapevolezza storica di Charles Sanders Peirce (1839- 

1914), il quale afferma: 

Filone sosteneva che la proposizione "se lampeggia, 

allora tuonerà” è vera se non lampeggia o se tuonerà, 

mentre è falsa se lampeggia e non tuona. Diodoro non 

era d'accordo: o gli storici dell'antichità non hanno 

compreso Diodoro o lui stesso si spiegava male. In 

realtà, nessuno è stato in grado di formulare 

chiaramente la sua concezione, nonostante siano stati 

in molti a provarci. La maggior parte dei logici 

migliori sono stati seguaci di Filone, mentre i più 

scadenti hanno seguito Diodoro. Per quel che mi 

concerne, io sono un seguace di Filone, anche se penso 

che non sia mai stata resa giustizia a Diodoro. 

[…] è completamente irrilevante quel che 

accade nel linguaggio ordinario. L'idea medesima di 

logica formale comporta che siano costruite certe 

forme canoniche di espressione, i cui significati 

vengono governati da regole inesorabili [...] Tali forme 

canoniche devono esser definite senza alcun riguardo 

all'uso […] 6 . 

Pur essendo consapevole del fatto che nell'antichità venivano attribuiti differenti 

significati al condizionale, Peirce dichiara di non riuscire a comprendere il 

condizionale diodoreo, e si schiera a favore, nell'ambito della “logica formale”, del 

condizionale filoniano. Interessanti sono le motivazioni di questa scelta: lo studio 

6 

C. S. Peirce, Reasoning and the Logic of Things, Harvard University Press, Harvard, 1992, pp. 125 - 

26. 


689


scientifico della logica non deve uniformarsi agli usi del linguaggio ordinario. Peirce 

ritiene che il condizionale filoniano sia, per certi versi, quello che meglio si adatta 

alle esigenze dell'algebra della logica come era stata pensata da Boole. 

Tuttavia, si deve proprio a un logico appartenente al filone algebrico la 

riscoperta e la valorizzazione, alla fine dell'Ottocento, di un condizionale non 

filoniano (analogo a quello di Crisippo). Nel 1880, Hugh McColl (1837-1909) 

presenta sulla rivista “Mind” un calcolo logico, nel quale definisce un condizionale 

facendo riferimento a nozioni modali; e nel Symbolic Logic del 1903 introduce un 

condizionale “p ⇒ q” che: 

1) non può esser definito mediante il semplice ricorso ai soli valori di verità; e 

2) equivale, da un punto di vista logico, a “è impossibile (p e non-q)”. 

È con Clarence Irving Lewis (1883-1964) che si ha l'effettiva ripresa della 

logica modale ai primi del Novecento. In un celebre articolo comparso su “Mind” 

nel 1912, Lewis contesta la centralità del condizionale filoniano, o “materiale” 

(com'era - ed è ancora oggi - chiamato), e propone di elaborare un calcolo logico che 

si fonda sull'implicazione stretta. Lewis chiama “implicazione stretta” il 

condizionale che risulta vero quando è impossibile che l'antecedente sia vero e il 

conseguente falso: sotto questo riguardo, il condizionale filoniano, o materiale, non 

stabilisce un nesso stretto tra antecedente e conseguente, dal momento che, per la 

sua verità si richiede semplicemente che di fatto non si dia il caso che l'antecedente 

sia vero e il conseguente falso. Naturalmente, “impossibile” o “non possibile” sono 

espressioni modali; e dire di qualcosa che non è possibile (è impossibile) che non si 

verifichi, equivale a sostenere che si verifica necessariamente: il condizionale stretto 


690


equivale dunque ad asserire la necessità del condizionale - cioè che il condizionale 

in questione è necessariamente vero. 

Lewis non si limita a sostenere la superiorità del condizionale stretto rispetto 

a quello materiale, ma - in opere successive al saggio menzionato - costruisce anche 

una serie di calcoli modali, alcuni dei quali rimarranno in seguito "canonici". Nel 

capitolo VI del volume intitolato Symbolic Logic (1932), scritto in collaborazione 

con Cooper H. Langford, Lewis assume come primitivo l’operatore di possibilità e 

sviluppa due sistemi assiomatici che chiama, rispettivamente, “S1” e “S2”; in 

appendice al volume accenna quindi ad altri sistemi: S3, S4, S5. I nomi di questi 

sistemi rimarranno inalterati fino ad oggi nella letteratura sulla logica modale. I 

calcoli di Lewis privilegiano una concezione non-filoniana del condizionale e 

vengono concepiti dal loro autore in alternativa ai calcoli dei sistemi formali non 

modali come quello dei Principia Mathematica di Whitehead e Russell (1910-13, in 

3 volumi). 

Nel 1918, il logico polacco Jan Lukasiewicz, in un saggio che diverrà 

celebre, in quanto getta le basi per la costruzione di logiche a infiniti valori, propone 

di uscire dalle strettoie del determinismo (che ritiene affligga la logica di origine 

aristotelica), introducendo, oltre ai due valori vero (= 1) e falso (= 0), anche un terzo 

valore di verità (= 1/2). Lukasiewicz caratterizza come "possibile" tale valore di 

verità, ma poi, nel sistema logico corrispondente (che esprime appunto la possibilità 

mediante 1/2), considera valida l'inferenza da “possibile p e possibile q” a “possibile 

(p e q)”: un passaggio questo difficilmente accettabile secondo le più comuni 

accezioni di possibile (da “è possibile che Socrate sia in piedi e è possibile che 


691


Socrate sia seduto” non è legittimo inferire “è possibile che Socrate sia in piedi e che 

Socrate sia seduto” – cioè che Socrate sia seduto e in piedi simultaneamente). 

Nel 1930 un importante contributo allo sviluppo della logica modale in una 

prospettiva vicina a quella di Lewis viene dato dal lavoro di Oskar Becker (1889- 

1964), seguito poi da altri saggi dello stesso autore nel 1951 e nel 1952. 

In un breve saggio pubblicato nel 1933: Eine Interpretation des 

intuitionistischen Aussagenkalküls [Una interpretazione del calcolo enunciativo 

intuizionistico], Kurt Gödel mostra come i sistemi di logica modale scoperti da 

Lewis possano essere generati estendendo con opportuni assiomi modali una base 

del calcolo enunciativo standard (come quello presente nei Principia di Russell e 

Whitehead). 

Nel 1951 Georg H. von Wright pubblica An Essay on Modal Logic (ed. 

North Holland, Amsterdam) e un lavoro dedicato alla logica deontica (Deontic 

Logic, in "Mind", 60, pp. 1-15), nei quali la logica modale è concepita come base 

per indagare una pluralità di modi o atteggiamenti conoscitivi, quali il credere, il 

conoscere, ma anche l'essere obbligato, l'assumere come norma, ecc. 

I calcoli di Lewis, e poi gli altri che ad essi seguirono, ponevano però il 

problema di trovare una semantica che fosse in grado di render conto delle differenti 

concezioni modali che stavano alla loro base. In ciascun sistema modale, poste certe 

formule iniziali (assiomi) venivano dedotte mediante regole una serie di 

conseguenze o teoremi caratteristici di quel sistema: a fronte di tale sviluppo 

sintattico, quel che mancava era un correlato semantico adeguato, un'interpretazione 

plausibile dei teoremi ottenuti e delle differenze tra i vari sistemi. 


692

3. MONDI POSSIBILI 


La storia che porta all'elaborazione di una semantica per la logica modale è 

abbastanza recente: risale all'incirca alla fine degli anni Cinquanta. Una delle idee 

fondamentali sulle quali tale semantica si basa si spinge tuttavia ancora più indietro 

nel tempo, almeno fino a Leibniz. Si tratta dell'idea di mondo possibile. Vediamo di 

richiamarne per sommi capi l'evoluzione. 

Che quello che chiamiamo “mondo attuale”, vale a dire il complesso insieme 

di oggetti e situazioni nel quale ci troviamo a vivere, avrebbe potuto essere diverso, 

è un'ovvia riflessione che già i filosofi antichi avevano fatto. Tuttavia è soltanto con 

l'affermarsi dell'idea di un Dio creatore che si fa strada la concezione di una pluralità 

di “mondi possibili” tra i quali Dio sceglie quello da chiamare all'esistenza. I Padri 

della Chiesa, prima ancora dei pensatori medievali, paragonano Dio a un saggio 

architetto che, per creare il mondo, esamina una serie di modelli ideali dei possibili 

candidati tra i quali far cadere la propria scelta. I mondi che non verranno creati 

saranno possibili non attuati. I filosofi medievali affronteranno una serie di sottili 

questioni riguardo ai mondi possibili: quale sia la loro natura ontologica - se cioè 

esistano (in un qualche senso di “esistere”) nella mente divina; fino a che punto 

ammettano leggi di natura completamente diverse da quelle che regolano il nostro 

mondo, ecc. Naturalmente, l'idea di “mondo possibile” che è implicita in questa 

tradizione presuppone che i mondi non attuati dei quali si parla siano, più o meno, 

variazioni del “macroscopico ammasso di oggetti” che ci circonda e del quale 

facciamo parte. Per tutto il periodo post-medievale e fino alla seconda metà del 

Seicento, il riferimento ai “mondi possibili” continua a trovare la propria sede 

naturale nelle discussioni di teologia. Durante il secolo XVII un rinnovato interesse 


693


per questo tema si registra nella cultura teologico-filosofica spagnola; è con Leibniz 

tuttavia, che viene affrontato in una luce nuova. 

Leibniz ritiene che, se si vuol preservare la libertà divina in relazione alla 

scelta di creare il mondo attuale, è indispensabile riconoscere che Dio ha scelto sulla 

base non di un solo modello, ma di una molteplicità - addirittura un numero infinito 

- di modelli di mondo. Ciascun modello di mondo, specificato nei minimi dettagli, è 

un “mondo possibile”. L'insieme dei mondi possibili dà luogo a quello che Leibniz 

chiama il paese dei possibili, vale a dire a uno spazio logico “situato” nella mente di 

Dio. L'aspetto innovativo della concezione leibniziana consiste nel collegare 

esplicitamente la valutazione degli enunciati modali alla metafisica dei mondi 

possibili. 

Secondo una consolidata tradizione, risalirebbe a Leibniz la definizione di 

enunciato necessariamente vero come quell'enunciato che è vero in tutti i mondi 

possibili. È stato osservato, tuttavia, che in nessuno scritto leibniziano si troverebbe 

tale definizione esattamente negli stessi termini. Questa osservazione è corretta, 

perlomeno se consideriamo i testi leibniziani finora editi. Bisogna riconoscere però, 

da un lato, che l'accettazione di siffatta definizione segue direttamente dalle 

assunzioni teorico-dottrinali del pensiero di Leibniz; dall'altro, che almeno in un 

testo Leibniz asserisce che la classe delle verità eterne (necessarie) coincide con la 

classe degli enunciati che rimarrebbero veri anche se Dio avesse creato il mondo in 

maniera diversa. Il che sembra soltanto un modo alternativo di dire che le verità 

necessarie sono enunciati veri di ogni mondo possibile. Resta da sottolineare che 

Leibniz non riesce a fare un uso coerente delle proprie intuizioni riguardo alle 

modalità. Se può esser considerato il padre della moderna semantica a mondi 


694


possibili, lo è fondamentalmente per avere avuto l'idea di esprimere le modalità 

usando la quantificazione su un dominio di mondi possibili. 

Quest'idea viene ripresa nel 1947 da Rudolf Carnap (1891-1970) in Meaning 

and Necessity 7 . In questo stesso periodo tale idea viene arricchita dall'introduzione 

di una “relazione di accessibilità” tra mondi che - già prefigurata in alcuni lavori di 

Alfred Tarski (1902-1983) (composti in collaborazione, rispettivamente, con J. C. 

Mc Kinsey e B. Jonsson) - viene sviluppata da Arthur N. Prior (1914-1969) in 

rapporto alle logiche temporali e articolata infine, con diversi gradi di chiarezza, da 

Stig Kanger, Jaakko Hintikka e Saul Kripke. E’ ormai consuetudine attribuire 

proprio al filosofo e logico americano S. Kripke il merito di aver dato compimento 

alla “semantica a mondi possibili” (o, appunto, “semantica kripkeana”) con 

l’elaborazione esplicita della nozione di “relazione di accessibilità” tra mondi. 

4. CALCOLO DEGLI ENUNCIATI E CALCOLO DEI PREDICATI. SINTASSI E SEMANTICA. 

Di solito si distinguono due momenti nella costruzione di un sistema formale: un 

momento sintattico e un momento semantico. 

Il momento sintattico si incentra essenzialmente nella specificazione di un 

apparato simbolico e di regole per manipolare i simboli, senza porre il problema 

della loro interpretazione. L’approccio assiomatico allo studio di un certo tipo di 

sistema logico presuppone, in primo luogo, che venga individuato un alfabeto sul 

7 In realtà Carnap parla di "descrizioni di stato" (state-descriptions) e afferma che «the statedescriptions 

represent Leibniz' possible worlds or Wittgenstein's possible state of affairs» (R. Carnap, 

Meaning and Necessity. A Study in Semantics and Modal Logic, University of Chicago Press, 

Chicago and London, 1947, p. 9. Per la definizione di state-description, cfr. ibidem). La connessione 

tra mondi possibili e descrizioni di stato è resa esplicita nei termini seguenti (p. 10 della stessa 

edizione): «Since our state-descriptions represent the possible worlds, this means that a sentence is 

logically true if it holds in all state-descriptions». 


695


quale si costruisce un linguaggio, fornendo opportune regole di formazione delle 

espressioni. Tali regole dicono quali successioni di simboli debbano essere accettate 

come espressioni ben formate e quali no. Vengono quindi specificati: 

a) un insieme di formule del linguaggio che sono dette assiomi (talvolta date nella 

forma di schemi di assiomi 8 ); 

b) un insieme di regole che consentono di operare trasformazioni sugli assiomi e 

sulle espressioni ben formate ottenute dagli assiomi. 

Gli assiomi stessi e le espressioni ben formate che si ottengono dagli assiomi per 

applicazione delle regole, sono detti teoremi. Nella considerazione sintattica, la 

nozione di “esser teorema” nel senso di “derivare dagli assiomi in base alle regole di 

inferenza” svolge un ruolo predominante. 

Il momento semantico, invece, coinvolge il significato dei simboli descrittivi 

(e quindi delle espressioni) del sistema formale e la nozione di verità: dato il 

linguaggio del sistema, si conferisce un significato alle espressioni ammesse, per cui 

diventa sensato stabilire se quel che viene affermato da siffatte espressioni è vero o 

no. 

Oltre alla distinzione appena richiamata tra sintassi e semantica, un’altra 

distinzione che si usa fare è quella tra calcolo enunciativo e calcolo dei predicati. 

Nel calcolo enunciativo viene affrontato lo studio dei rapporti di connessione 

logica tra enunciati qualsiasi: vengono specificate regole per la costruzione di 

enunciati complessi a partire da enunciati semplici, e le lettere enunciative che 

denotano gli enunciati semplici, o “atomici”, designano tali enunciati senza che sia 

8 Uno schema di assiomi è un’espressione che rappresenta un numero infinito di assiomi; per 

esempio, la formula α→(β→α) è uno schema di cui p→(q→q), (p & q)→((r → s) → (p & q)) sono 

istanze particolari. 


696


possibile ricostruire le differenze anche strutturali che, per esempio, sussistono tra 

enunciati come “piove”, “Tutti gli uomini sono mortali”, “Socrate è un filosofo”, 

ecc. 

Il calcolo dei predicati, invece, si interessa, per così dire, della “grana fine” 

degli enunciati. Mentre infatti nel calcolo enunciativo un’asserzione del tipo: “Se 

tutti gli uomini sono mortali e tutti i Greci sono uomini, allora tutti i Greci sono 

mortali” viene semplicemente ricondotta alla forma: “((p & q) → r)”, nel calcolo 

predicativo si cerca di rendere il carattere specifico delle singole asserzioni 

componenti e di dar conto della loro diversità, mettendo a punto un trattamento 

rigoroso della quantificazione. Di conseguenza, sia il linguaggio sia la 

strumentazione logica del calcolo predicativo risulteranno più ricchi e complessi di 

quelli del calcolo degli enunciati. 

Momento sintattico e momento semantico fanno parte tanto del calcolo 

enunciativo quanto del calcolo predicativo. 

Nel caso del calcolo enunciativo il momento semantico consiste nello 

specificare il significato dei simboli che denotano i vari enunciati e, a questo 

riguardo, si assume che l’unica informazione rilevante concerna il loro esser veri o 

falsi. Naturalmente “2 + 2 = 4” e “Tutti gli uomini sono mammiferi” sono due 

enunciati con differente “contenuto semantico”; abbiamo visto però che il calcolo 

enunciativo non si spinge in profondità nell’analisi, e quindi nella differenziazione, 

degli enunciati. Quel che conta è il loro valore di verità. Così si assume, in certo 

senso, che allo stesso modo in cui Socrate è il significato del nome “Socrate”, il vero 

sia il significato di “2 + 2 = 4” e di “Tutti gli uomini sono mortali”. Si ha a che fare, 

in tale circostanza, con una semantica “povera”, ridotta ai minimi termini. 


697


Nel caso del calcolo predicativo, il momento semantico prevede una 

procedura più complessa. Poiché, come si è detto, in esso si cerca di specificare 

com’è fatto ogni singolo enunciato, si ha un apparato simbolico più ricco di quello 

del calcolo enunciativo: si hanno simboli per designare individui, simboli per 

predicati, per funtori e per esprimere la generalità (“Per ogni…”; “Esiste…”). 

L’attribuzione di un significato ai simboli descrittivi del linguaggio comporta che 

ciascun simbolo descrittivo venga interpretato su un insieme non vuoto di “oggetti”, 

che costituiscono le “cose” intorno alle quali verte il discorso. 

Sebbene il calcolo enunciativo abbia minor potere espressivo rispetto al 

calcolo dei predicati, questo “difetto” è compensato dal fatto che ad esso è 

applicabile un metodo effettivo per determinare se una qualsiasi formula è una 

formula valida o no (un teorema o no). Una maniera per attuare tale metodo è quella 

di far ricorso all’uso delle cosiddette “tavole di verità”. 

5. POSSIBILE, NECESSARIO E I CONNETTIVI VERO-FUNZIONALI 

Le tavole di verità forniscono un metodo per definire il significato dei connettivi 

logici (di espressioni cioè come “non”, “e”, “o”, “se…allora…”, ecc.). Le tavole di 

verità, infatti, descrivendo il comportamento dei connettivi, ci informano riguardo a 

come debbano essere intesi. Poiché in questo modo il significato dei connettivi è 

determinato dall’uso logico che di essi viene fatto, si è soliti parlare di “significato 

come uso”. Si consideri, per esempio, il connettivo “non”; se usiamo il simbolo “¬” 

per rappresentarlo, e indichiamo con “p” un enunciato qualsiasi, possiamo 

descriverne il comportamento mediante la seguente tavola: 


698


p ¬ p 

0 1 

1 0 

La tavola mostra che, se un dato enunciato p è vero, qualora gli venga preposta la 

particella “non” diventa falso e che, viceversa, “non-p” diventa vero se p è falso. La 

verità o falsità dell’enunciato composto “¬ p” dipende dalla verità o falsità 

dell’enunciato componente p. Il non è un connettivo unario, in quanto si applica a 

un solo enunciato alla volta, ma lo stesso metodo può essere applicato agli altri 

connettivi binari corrispondenti a e, o, se…allora…ecc. La tavola di verità della e 

(resa col simbolo “&”), per esempio, è la seguente: 

p q p & q 

1 1 1 

1 0 0 

0 1 0 

0 0 0 

Anche in questo caso, la verità dell’enunciato complesso dipende dalla verità o 

falsità degli enunciati componenti. Lo stesso meccanismo si può applicare ai restanti 

connettivi. Vediamo ancora quella del condizionale filoniano o materiale (“se…, 

allora…” lo rappresentiamo col segno “→”; per cui lo schema di enunciato 

condizionale “se p, allora q”, lo rappresenteremo con “p → q”): 


699


p q p → q 

1 1 1 

1 0 0 

0 1 1 

0 0 1 

Quando si valuta un condizionale non vogliamo che nel passaggio dall’antecedente 

al conseguente si abbia una “diminuzione” nel valore di verità; perciò accettiamo i 

casi in cui si passa dal vero al vero o dal falso al vero o dal falso al falso, mentre 

rifiutiamo quello che ci fa inferire il falso dal vero. 

I connettivi il cui comportamento può essere determinato in questo modo, 

vale a dire semplicemente tenendo conto delle condizioni di verità degli enunciati ai 

quali si applicano, vengon detti “verofunzionali”. Non verofunzionali sono invece 

gli operatori modali come necessario, possibile, impossibile, ecc.: per determinarne 

il comportamento, cioè, non è sufficiente considerare le condizioni di verità degli 

enunciati ai quali si applicano. Poniamo infatti che, al solito, “p” designi un 

enunciato qualsiasi, e che “◊” e “ ” significhino, rispettivamente, “possibile” e 

“necessario”; affrontiamo quindi il problema di come costruire una tavola di verità 

per “possibile p” e “necessario p”: 


700


p ◊ p 

1 1 

0 ? 

p p 

1 ? 

0 0 

Se “p” è vero, allora è certamente possibile (è possibile che sia vero: si rammenti il 

detto degli scolastici «ab esse ad posse valet consequentia (è valido il passaggio 

dall’essere al possibile)»). Se invece “p” è falso, cosa inferire riguardo al suo essere 

possibilmente vero? Dal fatto che è falso che vi sia oggi un unico vaccino efficace 

contro ogni forma di tumore non segue che tale vaccino sia impossibile. Se quindi 

“p” è falso, da ciò non possiamo concludere che anche “◊ p” lo sia. Possiamo 

concludere allora che “◊ p” è vero? Anche in questo caso l’informazione circa la 

falsità di “p” non ci è di aiuto: se un enunciato “p” risulta falso del nostro mondo, 

non è detto che, sotto certe condizioni, non sia possibile che sia vero; ma non è 

neppur detto che non sia impossibile (nell’esempio precedente, l’esistenza di un 

vaccino per ogni tipo di tumore potrebbe essere impossibile). Un discorso analogo 

ma, per così dire, inverso rispetto a quanto accade col possibile, accade col 

necessario. Se “p” è falso, certamente non può essere un enunciato necessario, dal 


701


momento che un enunciato necessariamente vero è vero in ogni circostanza; ma se 

“p” è vero, non è detto lo sia necessariamente (dal fatto che adesso il mio gatto 

muove la coda non è legittimo inferire che l’enunciato “il mio gatto muove la coda” 

sia necessariamente vero). Certamente, se sappiamo per certo che un determinato 

enunciato è necessario, allora sappiamo anche che è vero, ma il viceversa non vale. 

Le tavole di verità dunque non bastano, da sole, a valutare gli enunciati 

modali: occorre ricorrere a un metodo più complesso. Con buona approssimazione 

possiamo pensare siffatto metodo come ottenuto sfruttando tre elementi: 

1) l’analogia tra operatori modali (necessario e possibile) e quantificatori (“per ogni 

x” e “esiste almeno un x”); 

2) il riferimento a un insieme di “oggetti” detti mondi possibili; 

3) la relazione di accessibilità tra mondi. 

Abbiamo visto sopra che già i logici scolastici si erano accorti dell’esistenza di 

un’affinità tra operatori modali e quelli che all’epoca erano chiamati “segni di 

quantità” (in italiano: “Tutti/Ogni”, “Alcuni/Qualche”). Lo Pseudo-Tommaso, come 

si ricorderà, aveva assimilato il possibile al “vero in qualche istante” e il necessario 

al “vero in ogni istante”. Leibniz, in seguito, farà il passo di considerare il necessario 

come il “vero in ogni mondo possibile”. In un certo senso possiamo pensare al 

ricorso ai mondi possibili come a una strategia che consente di ricondurre il 

trattamento di concetti sfuggenti come quelli di necessario e possibile, all’ambito 

più familiare della logica quantificata. Così, “è possibile p” e “è necessario p” 

vengono interpretati, rispettivamente, come: “esiste un mondo w tale che a tale 

mondo p è vero” e “per ogni mondo w, a tale mondo p è vero”. La relazione di 

accessibilità ci permette infine di determinare le condizioni sotto le quali da un dato 


702


mondo si possono avere informazioni riguardo a quel che si verifica in un altro. Il 

fatto rilevante è che, mediante la relazione di accessibilità, si è in grado di 

specificare opportuni assetti tra mondi che forniscono differenti modelli per i vari 

sistemi modali. 

Per avere un’idea di cosa si intenda con tale relazione, si pensi, per esempio, 

che ciascuno di noi può immaginare un individuo del tutto identico a se stesso che 

vive in una situazione (in un mondo) differente da quella nella quale egli attualmente 

si trova. È plausibile ritenere che questo alter ego non abbia alcuna consapevolezza 

della situazione nella quale si trova colui che fa l’atto di immaginare. Si tratta di un 

caso in cui la relazione di accessibilità da un mondo all’altro è asimmetrica: noi 

concepiamo il mondo col nostro alter ego, ma il nostro alter ego non ha idea del 

mondo nel quale noi ci troviamo. Oppure si pensi a un’innovazione tecnologica che 

non può realizzarsi nel nostro mondo, in quanto mancano in esso certe risorse 

materiali (poniamo una struttura atomica della materia completamente diversa dalla 

nostra). Dal nostro mondo w1, nel quale quell’innovazione non è realizzabile, 

possiamo pensare a un mondo w2 con struttura della materia differente dal nostro: da 

quel mondo sarebbe senz’altro concepibile una situazione – un mondo w3 - nel quale 

l’innovazione viene realizzata. Così, dal nostro mondo w1 abbiamo accesso al 

mondo w3, nel quale viene realizzata l’innovazione, “passando” attraverso il mondo 

w2: abbiamo a che fare, in tal caso, con una relazione di accessibilità transitiva. 

Al fine di dare un correlato intuitivo alla relazione di accessibilità, si è soliti 

chiamare in causa l’atto di vedere: un mondo ha accesso a un altro se dal primo si 

“vede” quel che si verifica nel secondo. Quindi se, per esempio, da un mondo wi si 

“vede” quel che accade in un mondo wk e se da wk si vede wi, tra i due mondi 


703


sussiste una relazione di accessibilità simmetrica. Sia la nozione di “esser 

concepibile” sia quella di “vedere” sono nozioni ausiliarie, da impiegare per dare 

un’idea di come funziona la relazione binaria (che vale cioè tra due mondi) di 

accessibilità. Il punto importante è che tale relazione gode di proprietà quali, per 

esempio, quelle appena menzionate della simmetria e della transitività, che possono 

essere specificate in modo matematicamente rigoroso. 

Riassumendo, gli strumenti di cui disponiamo, da un punto di vista 

strettamente logico, per analizzare gli enunciati modali sono i seguenti: 

a) un opportuno linguaggio formale L, nel quale siano stati definiti in modo 

rigoroso: un alfabeto di riferimento; cos’è una formula ben formata; quali sono i 

connettivi logici impiegati; quali sono le regole ammesse per passare da una o 

più formule a un’altra, ecc.; 

b) un insieme non vuoto W i cui membri vengono chiamati mondi possibili; 

c) una relazione binaria R su W (detta di accessibilità); 

d) una funzione v, chiamata valutazione su , che associa a ciascuna coppia 

costituita da una formula enunciativa pi di L e da un elemento wi di W, un 

elemento nell’insieme {0, 1} (0 e 1 è naturale pensarli come equivalenti, 

rispettivamente, al falso e al vero). Detto altrimenti: la funzione v determina se 

una data formula enunciativa pi di L è vera o falsa sul mondo wi. 

6. MODELLI E TELAI. ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI 

La tripla ordinata costituisce il modello M; la coppia può esser 

chiamata “telaio” – termine italiano corrispondente all’espressione inglese frame; di 

M si dice che “è basato” sul telaio . 


704


Gli strumenti sommariamente richiamati permettono di definire, per qualsiasi 

formula enunciativa pi di L, la relazione di vero rispetto al mondo wi nel modello M. 

Questa relazione viene utilizzata a sua volta per determinare in modo naturale cosa 

significa che una formula enunciativa pi è necessariamente vera: pi risulta 

necessariamente vera rispetto a un mondo wi in un modello M basato sul telaio 

se e soltanto se pi è vera in ogni mondo wk che appartiene a M e tale che sta 

con wi nella relazione R. 

Senza entrare in ulteriori dettagli tecnici, che sarebbe inopportuno affrontare 

in questa sede, converrà mettere in rilievo alcuni aspetti filosoficamente rilevanti 

della trattazione fin qui svolta. In primo luogo emerge l’idea di una sorta di 

relativizzazione del concetto di necessario (e quindi di possibile: fin dall’antichità è 

noto infatti che necessario e possibile sono inter-definibili (“necessario p” equivale 

a “non possibile non-p”; “possibile p” equivale a “non necessario non-p”)). Sebbene 

l’intuizione fondamentale rimanga quella di considerare necessariamente vero un 

enunciato che è vero in tutti i mondi possibili, il concetto di “vero in tutti i mondi 

possibili” viene limitato dalla relazione di accessibilità: un dato enunciato p è 

necessario se è vero in tutti i mondi possibili accessibili a un dato mondo (il mondo 

dal quale p risulta appunto necessariamente vero). 

Per dare un’idea di come funzioni il meccanismo della necessità condizionata 

dalla relazione di accessibilità, vediamo alcuni esempi. A tale scopo adotteremo un 

modo di argomentazione “semi-formale”, ricorrendo ai simboli introdotti sopra: “ ” 

per necessario e “◊” per possibile. In primo luogo bisogna tener presente che, se si 

vuol preservare un senso alla logica modale, tra i teoremi dei vari sistemi modali 

non deve figurare il seguente enunciato: 


705


(*) p → p, ossia: “se p è vero, allora p è necessariamente vero”. 

L’accettazione di questo principio porterebbe infatti a equiparare vero e 

necessariamente vero, dando luogo a quello che viene chiamato “collasso delle 

modalità”. Bisogna stare attenti perciò a non confondere (*) con il seguente 

enunciato che invece è un teorema caratteristico del sistema modale solitamente 

contraddistinto con la lettera T: 

(1) p → p: se p è necessario, allora p è vero. 

(1) è un teorema – e quindi risulta valido, vale a dire sempre vero – in ogni modello 

M basato su un telaio in cui R è una relazione riflessiva – tale cioè che per 

qualsiasi mondo wi appartenente a M vale: wiR wi . Una maniera per rendersi conto 

di ciò è la seguente. (1) ha la forma di un condizionale; ora, un condizionale è vero 

se vale uno dei due casi: 

a) l’antecedente è falso oppure 

b) il conseguente è vero. 

Supponiamo che “ p” sia falso a un qualunque mondo wi nel modello M: dal 

momento che ciò verifica il caso (a), è ovvio che (1) risulterà vero a wi. Supponiamo 

invece che “ p” sia vero al mondo wi nel modello M: per definizione di enunciato 

necessario, ciò significa che “p” è vero in tutti i mondi accessibili a wi ; ma poiché R 

è una relazione riflessiva (wi è accessibile a se stesso), ciò implica che p è vero a wi , 


706


dunque (1) è vero a wi. In ogni caso segue perciò che (1) è sempre vero in un 

qualunque mondo wi del modello. 

Possiamo aumentare le proprietà della relazione di accessibilità e 

considerare, oltre alla proprietà riflessiva, anche la proprietà transitiva: dati tre 

mondi wi, wk, wj, se wi R wk e wkRwj , allora wiRwj. In questa situazione, un enunciato 

che risulta valido è 

(2) p → p: se un enunciato p è necessario, allora è necessario che sia 

necessario. 

Supponiamo di avere, al solito, un modello M basato su un telaio in cui R è 

riflessiva e transitiva. Facciamo l’ipotesi che (2) sia falso: in tal caso (per la tavola di 

verità del condizionale), l’antecedente “ p” deve esser vero e il conseguente “ p” 

falso. Poniamo che “ p” sia vero a un mondo qualsiasi wi e che “ p” sia falso a 

wi: da questa supposizione segue che in W deve esistere un mondo wk, che si 

relaziona a wi secondo R, in cui “ p” è falso. Se però “ p” è falso a wk, ciò 

significa che deve esistere un mondo wj accessibile a wk nel quale “p” è falso (per la 

definizione di enunciato necessario: poiché un enunciato necessario è vero in tutti i 

mondi accessibili a un dato mondo, se è falso che un enunciato è necessario, tale 

enunciato deve essere falso a un mondo accessibile a quel mondo). Dunque “ p” è 

vero a wi, mentre “p” è falso a wj: la relazione di accessibilità tra wi, wk e wj è però 

transitiva e ciò significa che wj è accessibile da wi, il che a sua volta significa che si 

ottiene una contraddizione (perché sia vero a wi che p è necessario, bisogna che p sia 


707


vero in tutti i mondi accessibili da wi; ma wj è uno di tali mondi e in esso p è falso: 

ciò contraddice l’assunzione che “ p” sia vero a wi). Siccome la transitività è un 

requisito necessario perché sia vero (2), è evidente che in modelli basati su telai in 

cui la transitività non vale viene anche meno (2). Il sistema logico modale di cui (2) 

è l’assioma caratteristico è solitamente chiamato “S4”. 

Oltre alle proprietà riflessiva e transitiva, dotiamo adesso la relazione di 

accessibilità anche della simmetria: otteniamo un modello M fondato su un telaio 

, in cui R si comporta così: 

a) per qualunque wi appartenente a W, vale wiRwi; 

b) per wi e wk qualsiasi, appartenenti a W, se wiRwk allora wkRwi; 

c) per wi ,wk e wj qualsiasi, appartenenti a W, se wiRwk e wkRwj allora wiRwj. 

Nel modello basato su questo telaio, risulta valido il principio: 

(3) ◊ p → ◊ p. 

Non è difficile argomentare a favore della validità di (3) lungo le linee dei 

ragionamenti che si sono svolti finora per i princìpi (1) e (2). Affinché “◊ p” risulti 

vero a un dato mondo wi bisogna che p sia vero a un mondo wk accessibile a wi; e 

siccome wk vede se stesso (proprietà riflessiva di R), anche a wk è vero “◊p”; inoltre, 

wi medesimo vede che “◊p” è vero a wi. (sempre per la riflessività). D’altra parte, un 

qualunque altro mondo wj correlato a wk vede che “p” è vero a wk (per la simmetria): 

dunque “◊p” è vero anche a wj. Per la proprietà transitiva di cui gode R, però, wi 

vede quel che accade a wj e qui “◊p” è vero. Dunque, poiché in tutti i mondi 


708


accessibili da wi “◊p” è vero, vale (per definizione di enunciato necessario) che a wi 

“ ◊ p”. Si noti che a wj “p” potrebbe essere falso: in tal caso, per la riflessività, ciò 

porterebbe ad affermare che a wj è vero sia “◊p” sia “◊¬p”. Questa situazione 

sarebbe tuttavia del tutto compatibile con la conclusione per cui vale “ ◊p”: come si 

è osservato sopra, non bisogna confondere “◊¬p” con “¬◊p”. A essere in conflitto 

con “ ◊p” è “¬◊p”, non “◊¬p”. Di solito (3) viene indicato come caratteristico del 

sistema logico modale S5. 

Quelli menzionati finora sono soltanto alcuni tra i sistemi modali più noti e 

studiati nell’ambito della logica modale enunciativa. Naturalmente è possibile 

sviluppare anche la dimensione predicativa della logica modale, introducendo nel 

linguaggio di riferimento variabili individuali (x, y, z…) e quantificatori (i simboli 

“∃” (“esiste”) e “∀” (“per ogni”)). La moderna teoria della quantificazione richiede 

tuttavia che venga fissato un dominio di oggetti su cui variano, appunto, le variabili. 

Per dare un significato a espressioni del tipo “esiste un x tale che gode della 

proprietà P” oppure “tutti gli y hanno la proprietà Q”, è opportuno sapere qual è 

l’insieme di oggetti x o di oggetti y di cui si sta parlando. Nel caso di una semantica 

a mondi possibili sembra naturale che il passaggio alla teoria della quantificazione 

(alla logica predicativa) avvenga associando a ciascun mondo un certo dominio di 

oggetti. Tale associazione, tuttavia, solleva problemi filosofici non indifferenti. Si 

può pensare, per esempio, che i nostri ragionamenti sul possibile coinvolgano 

comunque gli individui appartenenti al nostro mondo – che in altri mondi avranno 

proprietà differenti da quelle di cui godono nel nostro – senza però tirare in ballo 

individui possibili, in aggiunta, per così dire, a quelli del nostro mondo. Oppure si 


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può assumere che esistano individui possibili, che costituiscono di volta in volta il 

dominio di oggetti che caratterizza un determinato mondo. Non tutti però sono 

disposti ad accettare un siffatto dominio di individui possibili. Un problema che 

infatti si pone immediatamente, se si accetta un’ontologia di individui possibili, è 

come identificarli, e quindi distinguerli gli uni dagli altri. 

La logica modale quantificata dà luogo a numerosi problemi filosofici, che 

coinvolgono questioni di ontologia (cos’è propriamente un individuo e come lo si 

identifica; cosa significa che un medesimo individuo è in due mondi diversi; come 

“è fatto” un mondo possibile, ecc.) e di “metafisica” nel senso della tradizione 

analitica anglo-sassone. Si tratta per lo più di problemi che, all’interno di un 

apparato tecnico completamente nuovo rispetto a quello della tradizione (che si 

basava essenzialmente sulla logica aristotelico-scolastica) si ricollegano ad 

argomenti classici della filosofia occidentale. 

[ 


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Logica modale e mondi possibili - Swif

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