LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...

6 DISPENSA N. 5
Sia T una qualunque teoria che estende MA MA. Mostriamo che valgono le seguenti implicazioni, che danno
una riduzione (nel senso della Proposizione 2.1) della coppia di insiemi costituita dall’insieme dei teoremi di
T e dall’insieme degli enunciati insoddisfacibili alla coppia di insiemi S0 e S1.
(1) Se Pi(i) = 0 allora MA ∧ U(i, i, 0) è dimostrabile in T .
(2) Se Pi(i) = 1 allora MA ∧ U(i, i, 0) è insoddisfacibile.
La prima implicazione è una conseguenza diretta del Teorema di Rappresentazione e della scelta di
U(x, x, 0). La seconda implicazione segue così. Banalmente
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 0)
Per il Teorema di Rappresentazione abbiamo che MA ⊢ U(i, i, 1), e a fortiori abbiamo che
Dunque
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 1).
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 0) ∧ U(i, i, 1).
Ma per il Teorema di Rappresentazione e l’univocità di U abbiamo che
Dunque
D’altra parte
MA ⊢ U(i, i, 0) ∧ U(i, i, 1) → 0 = 1.
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ 0 = 1.
MA ⊢ ¬(0 = 1),
perché 0 = 1. Dunque
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ 0 = 1 ∧ ¬(0 = 1),
Dunque MA ∧ U(i, i, 0) è insoddisfacibile, per il Teorema di Completezza. Si osservi che si ha anche MA ⊢
¬U(i, i, 0) in questo caso, per Teorema di Deduzione e logica proposizionale).
Abbiamo appena dimostrato il nostro Teorema Principale.
Teorema 6.1 (Teorema Principale). Sia T una teoria che estende MA MA. Allora i teoremi di T e gli
enunciati insoddisfacibili sono ricorsivamente inseparabili.
Dimostrazione. L’associazione i ↦→ MA ∧ U(i, i, 0) è una mappa effettiva che riduce la coppia inseparabile
(S0, S1) alla coppia (Teoremi di T , Enunciati Insoddisfacibili). Dunque anche quest’ultima coppia è
inseparabile.
7. Alcuni corollari di rilievo
Se T è incoerente, allora il Teorema Principale è ovviamente vero ma banale, perché tutti gli enunciati
insoddisfacibili sono anche teoremi di T in questo caso. Se T è coerente, allora non può dimostrare un
enunciato insoddisfacibile. Infatti, per ogni enunciato E valido, T ⊢ E (per il Teorema di Completezza,
indipendentemente da cosa è T !). Supponiamo che T ⊢ G per qualche G insoddisfacibile. Allora ¬G è valido
e dunque T ⊢ ¬G e T è incoerente. Riassumendo, se T è coerente, allora i teoremi di T sono disgiunti dagli
enunciati insoddisfacibili.
Corollario 7.1 (Indecidibilità dell’Aritmetica Formale). Se T ⊇ MA è coerente, allora l’insieme dei teoremi
di T è indecidibile.
Dimostrazione. Se T è coerente, allora nessun enunciato insoddisfacibile è dimostrabile in T . Dal Teorema
Principale si ha allora che l’insieme dei teoremi di T e il suo complemento sono ricorsivamente inseparabili.
Corollario 7.2. Se T ⊇ MA è coerente, allora i teoremi di T e gli enunciati refutabili in T sono ricorsivamente
inseparabili.