LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...
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6 DISPENSA N. 5<br />
Sia T una qualunque teoria che estende MA MA. Mostriamo che valgono le seguenti implicazioni, che danno<br />
una riduzione (nel senso della Proposizione 2.1) della coppia di insiemi costituita dall’insieme dei teoremi di<br />
T e dall’insieme degli enunciati insoddisfacibili alla coppia di insiemi S0 e S1.<br />
(1) Se Pi(i) = 0 allora MA ∧ U(i, i, 0) è dimostrabile in T .<br />
(2) Se Pi(i) = 1 allora MA ∧ U(i, i, 0) è insoddisfacibile.<br />
La prima implicazione è una conseguenza diretta del Teorema di Rappresentazione e della scelta di<br />
U(x, x, 0). La seconda implicazione segue così. Banalmente<br />
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 0)<br />
Per il Teorema di Rappresentazione abbiamo che MA ⊢ U(i, i, 1), e a fortiori abbiamo che<br />
Dunque<br />
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 1).<br />
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ U(i, i, 0) ∧ U(i, i, 1).<br />
Ma per il Teorema di Rappresentazione e l’univocità di U abbiamo che<br />
Dunque<br />
D’altra parte<br />
MA ⊢ U(i, i, 0) ∧ U(i, i, 1) → 0 = 1.<br />
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ 0 = 1.<br />
MA ⊢ ¬(0 = 1),<br />
perché 0 = 1. Dunque<br />
MA ∧ U(i, i, 0) ⊢ 0 = 1 ∧ ¬(0 = 1),<br />
Dunque MA ∧ U(i, i, 0) è insoddisfacibile, per il Teorema di Completezza. Si osservi che si ha anche MA ⊢<br />
¬U(i, i, 0) in questo caso, per Teorema di Deduzione e logica proposizionale).<br />
Abbiamo appena dimostrato il nostro Teorema Principale.<br />
Teorema 6.1 (Teorema Principale). Sia T una teoria che estende MA MA. Allora i teoremi di T e gli<br />
enunciati insoddisfacibili sono ricorsivamente inseparabili.<br />
Dimostrazione. L’associazione i ↦→ MA ∧ U(i, i, 0) è una mappa effettiva che riduce la coppia inseparabile<br />
(S0, S1) alla coppia (Teoremi di T , Enunciati Insoddisfacibili). Dunque anche quest’ultima coppia è<br />
inseparabile. <br />
7. Alcuni corollari di rilievo<br />
Se T è incoerente, allora il Teorema Principale è ovviamente vero ma banale, perché tutti gli enunciati<br />
insoddisfacibili sono anche teoremi di T in questo caso. Se T è coerente, allora non può dimostrare un<br />
enunciato insoddisfacibile. Infatti, per ogni enunciato E valido, T ⊢ E (per il Teorema di Completezza,<br />
indipendentemente da cosa è T !). Supponiamo che T ⊢ G per qualche G insoddisfacibile. Allora ¬G è valido<br />
e dunque T ⊢ ¬G e T è incoerente. Riassumendo, se T è coerente, allora i teoremi di T sono disgiunti dagli<br />
enunciati insoddisfacibili.<br />
Corollario 7.1 (Indecidibilità dell’Aritmetica Formale). Se T ⊇ MA è coerente, allora l’insieme dei teoremi<br />
di T è indecidibile.<br />
Dimostrazione. Se T è coerente, allora nessun enunciato insoddisfacibile è dimostrabile in T . Dal Teorema<br />
Principale si ha allora che l’insieme dei teoremi di T e il suo complemento sono ricorsivamente inseparabili. <br />
Corollario 7.2. Se T ⊇ MA è coerente, allora i teoremi di T e gli enunciati refutabili in T sono ricorsivamente<br />
inseparabili.