LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...

4 DISPENSA N. 5
induttiva MA ⊢ m×n = p. Allora MA ⊢ (m×n)+m = p+m. Per (Ax 8) segue MA ⊢ m×(n+1) = p+m. Dal
punto (2) già dimostrato segue MA ⊢ p + m = q (N.B. il termine chiuso p + m non coincide sintatticamente
con il termine chiuso q).
5. Rappresentabilità
Vogliamo mostrare che MA è abbastanza forte da rispecchiare il comportamento delle funzioni calcolabili.
Abbiamo bisogno della nozione seguente, che è l’analogo della definibilità in N per la teoria formale MA MA.
Definizione 5.1 (Rappresentabilità di una funzione in una teoria). Una funzione ϕ : N k → N è
rappresentabile in una teoria T se esiste una formula Fϕ(x1, . . . , xk, z) nel linguaggio di T tale che
e per ogni n1, . . . , nk, m in N
T ⊢ (∀x1) . . . (∀xk)(∀y)(∀z)[Fϕ(x1, . . . , xk, y) ∧ Fϕ(x1, . . . , xk, z) → y = z],
Se ϕ(n1, . . . , nk) = m allora T ⊢ Fϕ(n1, . . . , nk, m).
(se l’ultima implicazione si inverte parliamo di rappresentabilità forte).
Dimostriamo il teorema seguente. Essenzialmente la dimostrazione consiste nel verificare che quanto
abbiamo fatto per dimostrare il Teorema di Caratterizzazione può essere svolto in MA MA.
Teorema 5.2 (Teorema di Rappresentazione). Le funzioni computabili sono rappresentabili in MA MA.
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema in tre passi:
• Le funzioni di base sono rappresentabili.
• Le funzioni rappresentabili sono chiuse sotto sostituzione.
• Le funzioni rappresentabili sono chiuse sotto minimo.
Claim 5.3 (Rappresentabilità Funzioni di Base). Le funzioni di base sono rappresentabili in MA MA.
Dimostrazione. L’addizione è rappresentata dalla formula x+y = z, la moltiplicazione dalla formula x×y = z,
le proiezioni dalle formule xi = z, l’uguaglianza dalla formula (x = y ∧ z = 1) ∨ (x = y ∧ z = 0).
Claim 5.4 (Chiusura per Composizione). Le funzioni rappresentabili in MA sono chiuse per composizione.
Dimostrazione. Sia Gi(x, yi) il rappresentante di θi, i ∈ [1, m], sia H(y1, . . . , ym, z) il rappresentante di ψ.
Allora
∃y1 . . . ∃ym(G1(x, y1) ∧ · · · ∧ Gm(x, ym) ∧ H(y1, . . . , ym, z))
rappresenta ϕ(x) = ψ(θ1(x), . . . , θm(x)).
Se ϕ( k) = p allora esistono q1, . . . , qm ∈ N tali che θi( k) = qi e ψ(q1, . . . , qm) = p. Dunque MA ⊢ Gi( k, qi)
e MA ⊢ H(q1, . . . , qm, p) per ipotesi su Gi e H.
Claim 5.5 (Chiusura per Minimo). Le funzioni rappresentabili in MA sono chiuse per minimo.
Dimostrazione. Sia G(x, z, y) un rappresentante di ψ. Allora
∀w(w ≤ z → ∃y(G(x, w, y) ∧ (y = 0 ↔ w = z))
rappresenta ϕ(x) = min z(ψ(x, z) = 0).
Dimostriamo prima l’univocità di F (x, z). Osserviamo che MA ⊢ F (x, z) → G(x, z, 0) e che dalla
definizione di F segue
MA ⊢ (w < z ∧ F (x, z)) → ¬G(x, w, 0).
Dunque
MA ⊢ (w < z ∧ F (x, z)) → ¬F (x, w).