LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...

2 DISPENSA N. 5
parole, se T è coerente, completa, e T eor(T ) è enumerabile, allora T eor(T ) non può coincidere con T h(N).
Lo stesso vale per ogni teoria T con T eor(T ) enumerabile e tale che, per ogni E, se T ⊢ E, allora N |= E
(una tale teoria si dice corretta). Infatti, se una tale teoria fosse completa, avremmo che T eor(T ) = T h(N).
Dal quadro appena descritto resta aperta la possibilità che esistano teorie T coerenti, complete, con
T eor(T ) enumerabile, che catturino una parte significativa di T h(N), per esempio, tutte le verità espimibili
con formule una certa complessità quantificazionale. I risultati di Gödel mostrano che questo non è possibile:
ogni teoria T coerente e con T eor(T ) enumerabili, e tale da contenere un minimo di aritmetica, è incompleta.
3. Insiemi algoritmicamente inseparabili
Due insiemi A, B sono algoritmicamente inseparabili se non esiste un algoritmo capace di discrimare tra
A e B. In altre parole, se non esiste una funzione calcolabile f tale che per ogni a ∈ A, f(a) = 1 e per
ogni b ∈ B, f(b) = 0. In altre parole non esiste un insieme C ricorsivo tale che A ⊆ C e B ⊆ N \ C. Nelle
applicazioni del concetto saremo interessati ai casi in cui A ∩ B = ∅ (il caso contrario è banale).
L’utilità degli insiemi inseparabili nelle dimostrazioni di indecidibilità ha due ragioni.
La prima è che se B è il complemento di A (B = N\A) e A, B sono inseparabili, allora A è algoritmicamente
indecidibile: non esiste una funzione f tale che per ogni x ∈ A, f(x) = 1 e per ogni x /∈ A, f(x) = 0.
La seconda ragione è che si può definire una buona nozione di riduzione tra problemi. La proprietà di essere
algoritmicamente inseparabili si traferisce infatti da una coppia di insiemi all’altra attraverso trasformazioni
effettive. Siano C e D immagini effettive di A e B, i.e., insiemi tali che C ∩ D = ∅, ed esiste una funzione
calcolabile f tale che f(A) ⊆ C e f(B) ⊆ D. Allora se A e B sono algoritmicamente inseparabili, lo sono
anche C e D. Per la precisione, vale la proposizione seguente.
Proposizione 3.1. Sia A, B inseparabili. Siano C, D disgiunti. Sia f un algoritmo tale che f(A) ⊆ C e
f(B) ⊆ D. Allora C, D sono inseparabili.
Dimostrazione. Esercizio!
Faremo uso di una particolare coppia di insiemi inseparabili. Supponiamo di avere fissato un modello di
calcolo per le funzioni calcolabili (un sistema di programmazione accettabile) (Pi)i∈N. Assumiamo che ogni
funzione calcolabile ha almeno un programma Pi che la calcola e che la funzione calcolata dal programma
Pi è calcolabile per ogni i. Denotiamo con Pi(n) il risultato (possibilmente indefinito) dell’applicazione della
procedura i-esima all’input n. Assumiamo che l’applicazione i, x ↦→ Pi(x) sia calcolabile (come accade in
tutti i modelli di calcolo usuali).
Definiamo due insiemi come segue.
S0 = {i : Pi(i) = 0}, S1 = {i : Pi(i) = 1}.
Tutti i risultati di indecidibilità logica saranno ottenuti per riduzione a questa coppia. Dimostreremo più
avanti che S0, S1 sono effettivamente inseparabili.
Dimostriamo qualcosa di più forte. Denotiamo con dom(Pi) l’insieme degli argomenti su cui il programma
Pi termina (è definito). Ricordiamo che un insieme S è ricorsivamente enumerabile se e solo se è il dominio
di una funzione calcolabile, i.e., se e solo se esiste i tale che S = dom(Pi).
Proposizione 3.2. Esiste un algoritmo α tale che, per ogni a, b ∈ N, se valgono i seguenti punti allora
α(a, b) è definito e non è né nel dominio di Pa né nel dominio di Pb
(1) dom(Pa) ∩ dom(Pb) = ∅.
(2) S0 ⊆ dom(Pa).
(3) S1 ⊆ dom(Pb).
Dimostrazione. Dati due indici a, b, la seguente procedura ψ è effettiva (algoritmica): dato y, enumeriamo
simultaneamente dom(Pa) e dom(Pb). Se y appare prima in dom(Pa), restituiamo 1, se y appare prima in
dom(Pb), restituiamo 0. Se y non appare né in dom(Pa) né in dom(Pb), la procedura non termina. Un
programma per ψ si può ottenere algoritmicamente dai programmi Pa e Pb, in altre parole: un indice per
ψ si ottiene algoritmicamente dagli indici a, b in modo uniforme. Dunque esiste una funzione f cacolabile
totale tale che P f(a,b) è proprio ψ.