LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...

10 DISPENSA N. 5
Dunque T è incoerente.
Corollario 8.5. Se T è coerente e tutte le funzioni calcolabili sono rappresentabili in T allora i teoremi di
T non sono esprimibili in T . In particolare non sono un insieme calcolabile.
Diciamo che una teoria T è inedicibile se l’insieme dei suoi teoremi non è calcolabile.
Corollario 8.6. Se MA è coerente allora ogni estensione coerente di MA è indecidibile.
Dimostrazione. Se T è un estensione coerente di MA MA, allora ogni funzione calcolabile è rappresentabile in
T .
Teorema 8.7 (Teorema di Tarski). L’insieme delle verità aritmetiche non è definibile in N da una formula
del primo ordine.
Dimostrazione. Consideriamo l’estensione T di MA ottenuta aggiungendo tutti gli enunciati veri nel modello
N standard. Supponiamo T coerente (N |= T ). Allora l’insieme dei teoremi di T non è esprimibile in T . Ma
l’insieme dei teoremi di T è l’insieme delle verità in N. Inoltre, una relazione è esprimibile in T se e soltanto
se è l’interpretazione di una formula in N. Dunque le verità aritmetiche non sono definibili da una formula
aritmetica.
Dal punto di vista algoritmico, il Teorema di Tarski implica che la verità in N ha un alto grado di
insolubilità algoritmica.