LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 11/12) 1 ...
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10 DISPENSA N. 5<br />
Dunque T è incoerente.<br />
Corollario 8.5. Se T è coerente e tutte le funzioni calcolabili sono rappresentabili in T allora i teoremi di<br />
T non sono esprimibili in T . In particolare non sono un insieme calcolabile.<br />
Diciamo che una teoria T è inedicibile se l’insieme dei suoi teoremi non è calcolabile.<br />
Corollario 8.6. Se MA è coerente allora ogni estensione coerente di MA è indecidibile.<br />
Dimostrazione. Se T è un estensione coerente di MA MA, allora ogni funzione calcolabile è rappresentabile in<br />
T . <br />
Teorema 8.7 (Teorema di Tarski). L’insieme delle verità aritmetiche non è definibile in N da una formula<br />
del primo ordine.<br />
Dimostrazione. Consideriamo l’estensione T di MA ottenuta aggiungendo tutti gli enunciati veri nel modello<br />
N standard. Supponiamo T coerente (N |= T ). Allora l’insieme dei teoremi di T non è esprimibile in T . Ma<br />
l’insieme dei teoremi di T è l’insieme delle verità in N. Inoltre, una relazione è esprimibile in T se e soltanto<br />
se è l’interpretazione di una formula in N. Dunque le verità aritmetiche non sono definibili da una formula<br />
aritmetica. <br />
Dal punto di vista algoritmico, il Teorema di Tarski implica che la verità in N ha un alto grado di<br />
insolubilità algoritmica.