Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 4
In più se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora Xn
è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari,
x(t) = −x(−t), allora Xn è immaginario e dispari.
Esempio. Calcolo dei coefficienti trasformati di un’onda rettangolare
Dato il segnale x(t) = +∞
−∞ A rectτ(t − nT ) con τ < T e rectτ(t) = 1
se |t| ≤ τ e 0 altrove, si vuole calcolare Xn. Applicando la definizione
Xn = 1
T
T
2
+∞
−∞ A rectτ(t
n
−j2π − nT )e T tdt =
− T
2
= 1
τ
2
T − τ
n
−j2π Ae T
2
tdt =
= A
πn · ej2π n T τ 2 −e j2π n T τ 2
=
2j
= A τn sen(π ) =
πn T
) .
= A τ
T
sinc( τn
T
(1.12)
• Teorema di Parseval per segnali periodici
La potenza di un segnale periodico può essere calcolata sia nel dominio
del tempo che nel dominio della frequenza
Px = 1
T
T
2
− T
2
|x(t)| 2 dt =
1.3 Trasformata di Fourier
+∞
n=−∞
|Xn| 2
(1.13)
Per segnali ad energia finita si definisce la trasformata di Fourier di un segnale
a tempo continuo
X(f) =
+∞
−∞
e la rispettiva antitrasformata di Fourier
x(t) =
+∞
−∞
Esempio
La trasformata di Fourier di un rect, x(t) = A rectτ(t), è
X(f) = +∞
= τ
2
− τ
2
x(t)e −j2πft dt (1.14)
X(f)e j2πft dt. (1.15)
−∞ A rectτ(t)e −j2πft dt =
Ae −j2πft dt =
= A
πf · ej2πf τ 2 −e j2πf τ 2
=
2j
= Aτ sen(πτf) =
πfτ
= Aτsinc(τf) .
(1.16)