Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...
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Facoltà di Ingegneria 2 Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x − y 1.1.2 Formule di Eulero Valgono le seguenti equazioni e 1.1.3 Fasori √ |z| = a2 + b2 z = arctan b (1.4) a e ±jφ = cosφ ± j · senφ (1.5) cosφ = ejφ +e −jφ 2 senφ = ejφ −e −jφ 2j (1.6) Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2πf0t + φ) si indica il fasore del segnale x(t) z = Ae jφ . (1.7) Il segnale x(t) può essere recuperato dal suo fasore mediante la seguente relazione x(t) = Re{z · e j2πf0t }. (1.8) 1.2 Serie di Fourier Un segnale periodico x(t) di periodo T = 1 , come mostrato in figura 1.2, f0 può essere rappresentato mediante una serie di Fourier x(t) = +∞ n=−∞ n j2π Xne T t (1.9)
Facoltà di Ingegneria 3 in cui Xn sono i coefficienti trasformati della serie di Fourier, ottenuti dal segnale x(t) dalla seguente relazione Xn = 1 T T 2 − T 2 n −j2π x(t)e T t dt. (1.10) Figura 1.2: Segnale periodico x(t) Dalle due precedenti equazioni si osserva che: • è possibile calcolare Xn da x(t) e viceversa; n j2π • il segnale x(t) è esprimibile mediante una base di funzioni e T t . La proiezione di x(t) su ogni versore della base è Xn; • le componenti Xn sono generalmente a valori complessi; • la componente X0 = 1 T T 2 − T 2 x(t)dt corrisponde al valor medio di x(t); • i valori Xn corrispondono alle proiezioni del segnale x(t) su una base = nf0. con versori a frequenze multiple della fondamentale fn = n T 1.2.1 Proprietà della serie di Fourier Sono elencate in questo paragrafo le principali proprietà della serie di Fourier: • Condizione Hermitiana. Dato un segnale reale, x(t) = x ∗ (t), è verificata la condizione Xn = X ∗ −n. Questo comporta che la parte reale ed il modulo della sequenza dei coefficienti trasformati sono sequenze pari, mentre la parte immaginaria e la fase sono sequenze dispari ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Re{Xn} = Re{X−n} Im{Xn} = −Im{X−n} |Xn| = |X−n| Xn = − X−n (1.11)
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Facoltà di <strong>Ingegneria</strong> 2<br />
Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x − y<br />
1.1.2 Formule di Eulero<br />
Valgono le seguenti equazioni<br />
e <br />
1.1.3 Fasori<br />
√<br />
|z| = a2 + b2 z = arctan <br />
b<br />
(1.4)<br />
a<br />
e ±jφ = cosφ ± j · senφ (1.5)<br />
cosφ = ejφ +e −jφ<br />
2<br />
senφ = ejφ −e −jφ<br />
2j<br />
(1.6)<br />
Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2πf0t + φ) si indica il fasore <strong>del</strong><br />
segnale x(t)<br />
z = Ae jφ . (1.7)<br />
Il segnale x(t) può essere recuperato dal suo fasore mediante la seguente<br />
relazione<br />
x(t) = Re{z · e j2πf0t }. (1.8)<br />
1.2 Serie di Fourier<br />
Un segnale periodico x(t) di periodo T = 1 , come mostrato in figura 1.2,<br />
f0<br />
può essere rappresentato mediante una serie di Fourier<br />
x(t) =<br />
+∞<br />
n=−∞<br />
n<br />
j2π<br />
Xne T t<br />
(1.9)
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