Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

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– Media – Crosscorrelazione +∞ my = mx · −∞ Facoltà di Ingegneria 18 h(t)dt = mx · H(f = 0) (1.89) F T Rx,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · H ∗ (f) (1.90) – Autocorrelazione F T Ry,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) ⊗ h(τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · |H(f)| 2 (1.91) Esempio Un segnale aleatorio la cui funzione di autocorrelazione è y(t) = A cos(2πf0t+ θ) viene posto in ingresso ad un sistema derivatore. Si vuole calcolare la funzione di autocorrelazione del segnale aleatorio all’uscita del sistema. La trasformata di Fourier di un sistema derivatore è H(f) = j2πf, sfruttando l’eq.(1.91) si ottiene Px,x(f) = |H(f)| 2 · Px,x(f) = = 4π 2 f 2 · A2 4 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) = 4π 2 f 2 0 · A2 4 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) da cui antitrasformando Ry,y(τ) = 2π 2 f 2 0 A 2 cos(2πf0τ) 1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi Un segnale aleatorio si definisce gaussiano e bianco quando la densità di probabilità congiunta per ogni ordine n è gaussiana e quando la densità spettrale di potenza media è costante ∀ f, Px,x(f) = C. Il rumore termico, trattato nel capitolo 3, è un esempio di segnale aleatorio gaussiano e bianco. 1.4.5 Rumore AWGN Il rumore AWGN, n(t), è un segnale aleatorio che soddisfa le seguenti condizioni: • rumore stazionario in senso lato; • segnale aleatorio additivo sul segnale utile;
• segnale aleatorio gaussiano e bianco; • segnale aleatorio con media d’insieme nulla. Facoltà di Ingegneria 19 La costante della densità spettrale di potenza media viene indicata con il termine N0 2 se viene fatto riferimento alla densità bilatera, altrimenti N0 se viene fatto riferimento alla densità monolatera. 1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB • Banda equivalente La definizione di Banda equivalente per un sistema LTI con risposta impulsiva h(t) è la seguente: Beq = +∞ |H(f)| 0 2df max|H(f)| 2 . (1.92) Il significato di banda equivalente è quello di avere un sistema LTI equivalente in cui Heq(f) ha un andamento passa-basso ideale con banda (−Beq, Beq) ed ampiezza max|H(f)| 2 ed in cui, se in ingresso è posto un segnale aleatorio bianco, la potenza media dei due sistemi (reale ed equivalente) è uguale: Py = N0 2 +∞ −∞ |H(f)| 2 df ↔ N0 2 · max|H(f)|2 · 2Beq (1.93) • Banda a −3dB E’ definita come la frequenza del filtro H(f) di un sistema LTI che verifica la condizione: |H(f−3dB)| 2 = 1 2 (1.94) Esempio Sia h(n) la risposta impulsiva di un sistema LTI la cui risposta in frequenza è 1 H(f) = 1 + j f . (1.95) fc Si richiede di calcolare la banda equivalente e la banda a −3dB. Per quanto riguarda la banda equivalente: |H(f)| 2 = 1 + 1 2 f fc
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