Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

1. la media d’insieme non dipende dal tempo
mx(t) = mx
Facoltà di Ingegneria 17
(1.85)
2. la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla distanza
relativa tra t2 e t1 e non dai valori stessi
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx(t1),x(t2)(t2 − t1 = τ) (1.86)
• Densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio
Per un segnale aleatorio la Trasformata di Fourier non può essere calcolata.
Per avere quindi una rappresentazione spettrale si valuta la densità
spettrale di potenza media ottenuta dalla trasformata di Fourier
della funzione di autocorrelazione:
Px,x(f) =
+∞
−∞
Rx,x(τ)e −j2πfτ dτ. (1.87)
E’ definita anche l’antitrasformata di Fourier della densità spettrale di
potenza media
Rx,x(τ) =
+∞
−∞
Px,x(f)e j2πfτ df. (1.88)
Per la densità spettrale di potenza media è sempre verificato che:
– Px,x(f) ≥ 0 ∀ f;
– Px,x(f) = Px,x(−f);
– Px = Rx,x(τ = 0) = +∞
−∞ Px,x(f)df corrispondente alla potenza
media del processo.
Esempio
La densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio la cui
funzione di autocorrelazione è Rx,x(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) vale
Px,x(f) = A2
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0))
• Segnali aleatori in ingresso a sistemi lineari tempo-invarianti
Un segnale aleatorio x(t) stazionario in senso lato in ingresso ad un
sistema LTI caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) genera in uscita
al sistema un segnale, y(t), anch’esso stazionario in senso lato in cui la
media, la funzione di crosscorrelazione e la funzione di autocorrelazione
valgono: