Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

• Media d’insieme
mx(t) = E[x(t)] =
e per segnali aleatori composti
my(t) = E[y(t) = g(x(t))] =
+∞
−∞
+∞
−∞
Facoltà di Ingegneria 15
x · fx(t)(x)dx (1.71)
g(x)fx(t)(x)dx (1.72)
Esempio
Si consideri il seguente segnale aleatorio y(t) = A cos(2πf0t + θ) di cui
si conosce le densità di probabilità della variabile aleatoria θ
fθ(θ) =
1
2π
0 ≤ θ ≤ 2π
0 altrimenti
Si vuole calcolare la media d’insieme. Applicando la definizione si
ottiene
my(t) = E[y(t)] =
2π
• Funzione di Autocorrelazione
0
A cos(2πf0t+θ)· 1 A
2π
dθ = sen(2πf0t+θ)| 0 = 0
2π 2π
(1.73)
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = E[x(t1) · x(t2)] =
= +∞
−∞
e per segnali aleatori composti
+∞
−∞ x1x2 · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2
Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[y(t1) · y(t2)]
= +∞
−∞
+∞
−∞ g(x1)g(x2) · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2
Si elencano alcune proprietà della funzione di autocorrelazione:
– La funzione di autocorrelazione è una funzione pari
(1.74)
(1.75)
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx,x(τ = t2 − t1) = Rx,x(−τ); (1.76)
– Il massimo della funzione di autocorrelazione è in τ = 0
|Rx,x(τ)| ≤ Rx,x(0); (1.77)
– Se si verifica che ∃ T0 tale che Rx,x(T0) = Rx,x(0) allora ∀ k vale
che Rx,x(T0) = Rx,x(0).