Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 12
Esempio (Variabile aleatoria uniforme)
Una variabile aleatoria uniforme ha la seguente funzione densità di
probabilità
fx(x) =
1
(b−a)
a < x < b
0 altrimenti
(1.57)
come mostrato in figura 1.3(a), e la seguente funzione distribuzione
⎧
⎨
Fx(x) =
⎩
0
(x−a)
(b−a)
1
x < a
a < x < b
x > b
(1.58)
Esempio (Variabile aleatoria gaussiana)
Una variabile aleatoria gaussiana ha la seguente funzione densità di
probabilità
fx(x) =
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 (1.59)
come mostrato in figura 1.3(b), e la seguente funzione distribuzione
Fx(x) =
x
−∞
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 dx. (1.60)
I termini m e σ determinano la posizione e l’allargamento dell’andamento
a campana della funzione. Per caratterizzare una variabile aleatoria
gaussiana spesso si indica N(m, σ), cioè si specificano i due termini m
e σ.
L’espressione della FX(x) può essere scritta anche nella forma:
dove
Fx(x) = 1 −
+∞
x
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 dx = 1 − Q
Q(x) =
+∞
x
x − m
σ
(1.61)
1 t2
− √ e 2 dt. (1.62)
2π
Nel caso in cui si abbiano funzioni di variabili aleatorie y = g(x), la densità
di probabilità di y può essere determinata dalla densità di probabilità di x
mediante la seguente equazione:
fy(y) = fx(xi)
|g ′
(1.63)
(x)|
i
x=xi
dove gli zeri di xi = g −1 (yi) si ottengono invertendo la relazione y = g(x).