Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 11
• Teorema di Bayes
Dati due eventi A e B il Teorema di Bayes consente di scambiare i
termini sulle probabilità condizionate
P (B|A) =
1.4.2 Variabili aleatorie
P (A|B) · P (B)
P (A)
(1.54)
Una variabile aleatoria x è il risultato numerico di un esperimento quando
questo non è deterministico. Ad esempio il risultato del lancio di un dado
a sei facce può essere matematicamente modellizzato come una variabile casuale
che può assumere uno dei sei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Più formalmente dato Ω, la variabile aleatoria x è una funzione misurabile
dallo spazio Ω allo spazio Euclideo.
Ad ogni variabile aleatoria X è associata la sua funzione distribuzione cumulativa,
Fx(x), che assegna ad ogni sottoinsieme, dell’insieme dei possibili
valori di x, la rispettiva probabilità:
Fx(x) = P (x ≤ x). (1.55)
Sono elencate di seguito alcune proprietà della Fx(x):
• 0 ≤ Fx(x) ≤ 1;
• Fx(x) non è una funzione decrescente;
• lim
n→−∞ Fx(x) = 0 e lim
n→+∞ Fx(x) = 1;
• P (a ≤ x ≤ b) = Fx(b) − Fx(a).
Si definisce inoltre la funzione densità di probabilità:
fx(x) =
d Fx(x)
dx
Alcune proprietà della funzione densità di probabilità:
• fx(x) ≥ 0 ∀ x;
• +∞
−∞ fX(x)dx = 1;
• b
a fx(x)dx = P (a ≤ x ≤ b);
• Fx(x) = x
−∞ fx(x)dx.
(1.56)