Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 127
e l’i-esimo simbolo trasmesso sia uguale a 0, per cui ϕi−1 = ϕi. Inoltre
se ni−1(t) e ni(t) rappresentano il rumore introdotto nell’(i − 1)-esimo e
nell’i-esimo intervallo, si:
ni(t) = aicos(2πf0t) − bisen(2πf0t)
ni−1(t) = ai−1cos(2πf0t) − bi−1sen(2πf0t)
(6.101)
Posto
Ac =
2E
Tsimb
e xj = Ac + aj
y j = bj
(6.102)
(6.103)
con j = i − 1 o j = i, il segnale z all’uscita del filtro passa basso di figura
6.18(b) è
z = 1
2 (xi · xi−1 + y i · y i−1) (6.104)
Il demodulatore commette un errore se z < 0, avendo supposto di trasmettere
il simbolo c1 = 0. Si può facilmente osservare che
xi·xi−1+yi·yi−1 = 1
(xi+xi−1)
4
2 +(yi+yi−1) 2
−
Posto u1 = xi + xi−1 ; u2 = xi − xi−1
v1 = y i + y i−1 ; v2 = y i − y i−1
(xi−xi−1) 2 +(y i−y i−1) 2
(6.105)
(6.106)
le variabili u1, u2, v1 e v2 sono gaussiane con varianza 2σ2 , inoltre u1 ha valor
medio uguale a 2Ac, mentre le altre tre variabili aleatorie hanno un valor
medio uguale a 0. La covarianza delle quattro variabili aleatorie è uguale a 0
dato che tali variabili sono statisticamente indipendenti. Possiamo indicare
con i termini aleatori R1 e R2 le seguenti espressioni
R1 = u2 1 + v2 1
R2 = u2 2 + v2 (6.107)
2
La variabile aleatoria R1 ha una densità di probabilità di Rice, mentre R2
ha una densità di probabilità di Rayleigh. La probabilità di errore quindi è
Pe = P (z < 0) =
= P ( R2 1−R2 =
=
2 < 0) 4
P (R1 < R2)
=
=
+∞ +∞
pR1(R1)
0
R1 pR2(R2)dR2
dR1
(6.108)