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6.10.2 Modulazione BFSK Nel caso binario (M = 2) i due segnali s1(t) e s2(t) risultano ⎧ ⎨ ⎩ s1(t) = s2(t) = 2E 2E Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb] Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb] Facoltà di Ingegneria 120 (6.79) Generalmente si sceglie f1 = f0−∆f e f2 = f0+∆f, dove f0 prende il nome di frequenza della portante. Un esempio di segnale modulato FSK è mostrato nella figura 6.14, supponendo di trasmettere la sequenza {0, 1, 0, 1, 1} (nel disegno si è supposto f2 = 4f1 per evidenziare la differenza tra il segnale corrispondente al simbolo 0 e quello corrispondente al simbolo 1). Valutiamo Figura 6.14: Esempio di segnale modulato FSK adesso le caratteristiche di un segnale BFSK al variare di ∆f. Per questo si definisce coefficiente di autocorrelazione, ρ, tra i due segnali s1(t) e s2(t) il parametro ρ = 1 E Tsimb 0 s1(t) · s2(t)dt. (6.80) La correlazione è legata alla distanza euclidea normalizzata tra i due segnali dalla seguente relazione d 2 1,2 = 1 − ρ. (6.81)
Per un segnale BFSK si ha Es1 = Tsimb 0 s 2 1(t)dt = 2E Tsimb Tsimb posto 4πf1Tsimb = k1π vale Es1 = E e Es2 = Tsimb 0 s 2 2(t)dt = 2E Tsimb 0 Tsimb 0 cos 2 (2πf1t)dt = 2E Facoltà di Ingegneria 121 Tsimb cos 2 (2πf2t)dt = 2E posto 4πf2Tsimb = k2π vale Es2 = E; mentre ρ ρ = 2 = Tsimb 2 Tsimb Essendo f0 = f1+f2 2 Tsimb Tsimb cos(2πf1t) · cos(2πf2t)dt = 0 Tsimb sen(4π(f2−f1)t) 4π(f2−f1) sen(4π(f2+f1)t) + 4π(f2+f1) e 2πf0Tsimb = kπ, si ottiene Si definisce indice di modulazione h per cui ρ = sen(2π(f2 − f1)Tsimb) 2π(f2 − f1)Tsimb h = (f2 − f1)Tsimb 0 t 2 +sen(4πf1t) Tsimb 4πf1 0 (6.82) t 2 +sen(4πf2t) Tsimb 4πf2 0 (6.83) (6.84) (6.85) (6.86) ρ = sen(2πh) . (6.87) 2πh La correlazione ρ è mostrata nella figura 6.15 in funzione dell’indice di modulazione h. La correlazione assume il valore minimo uguale a − 2 3π per h = 0.715. Si può notare che ρ = 0 per h = 0.5 e h = 1, per h ≤ 1. Per questi due valori di h i due segnali s1(t) e s2(t) sono ortogonali tra di loro. Definendo ψ1(t) e ψ2(t) le due seguenti funzioni ortonormali ⎧ ⎨ ⎩ ψ1(t) = ψ2(t) = 2 2 Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb] Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb] (6.88) Per h = 0.5 e h = 1 si ha che la distanza euclidea normalizzata è uguale a 1. Le modulazioni FSK con h = 0.5 e h = 1 hanno la stessa probabilità di errore; tuttavia il caso h = 0.5 è di particolare interesse perchè la banda di trasmissione risulta minore rispetto al caso h = 1. Quando h = 0.5 la modulazione viene indicata con la sigla FFSK (Fast FSK) e la distanza tra le due frequenze è uguale a f2 − f1 = 1 , mentre nel caso h = 1 si ha 2Tsimb f2 − f1 = 1 Tsimb .
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