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Lo stesso risultato si ottiene considerando Pe/s2 e così 2E 2Eb Pe = Q = Q N0 N0 Facoltà di Ingegneria 116 (6.74) dato che Eb = E. L’andamento della probabilità di errore è mostrato in figura 6.11 (curva a) in funzione di Eb N0 . Figura 6.11: Probabilità di errore di alcune modulazioni binarie 6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore La modulazione QPSK utilizza 4 fasi diverse per trasmettere 4 possibili valori per ogni intervallo di simbolo, Tsimb, e quindi è una modulazione PSK con M = 4. I quattro segnali risultano sfasati di π l’uno rispetto all’altro. Nella 2 figura 6.12(a) viene rappresentato un esempio di segnale modulato QPSK nel caso in cui la sequenza informativa sia {0, 2, 1, 0, 3, 1}; sono visibili le discontinuità di fase presenti all’inizio dell’intervallo di simbolo. I segnali trasmessi possono essere rappresentati con due funzioni ortonormali, per cui possiedono una componente in fase e una componente in quadratura. La rappresentazione vettoriale per i quattro segnali corrispondenti ai simboli
Facoltà di Ingegneria 117 dell’alfabeto A sono mostrati nella figura 6.12(b). Questi segnali soddisfano le seguenti condizioni: s1(t) = −s3(t) s2(t) = −s4(t) (6.75) e quindi sono segnali bi-ortogonali. La loro rappresentazione vettoriale coincide con quella mostrata nella figura 6.12(b). La distanza euclidea normalizzata tra due segnali si(t) e sj(t) dipende da i e j. In particolare, si ha d 2 1,2 = d 2 1,4 = 1, mentre d 2 1,3 = 2. Le distanze tra gli altri segnali sono analoghe alle precedenti. Lo schema per la demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(c) e risulta formato da quattro rami paralleli, in ciascuno dei quali si valuta la correlazione tra il segnale ricevuto ed uno dei possibili segnali trasmessi. Uno schema alternativo per la demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(d), in cui si hanno due rami paralleli. Il primo ramo consente di valutare la componente in fase, mentre sul secondo ramo la componente in quadratura. Il circuito di decisione ha lo scopo di individuare il simbolo trasmesso. La probabilità di errore della modulazione QPSK è uguale a Pe = 1 − 1 − Q E N0 2 (6.76) dove E rappresenta l’energia per simbolo. Per confrontare il risultato ottenuto con la BPSK, conviene esprimere E in funzione di Eb. Poichè l’alfabeto è composto da 4 simboli, la trasmissione di un simbolo nella modulazione QPSK è equivalente alla trasmissione di due simboli binari, per cui Eb = E 2 , quindi Pe = 1 − 1 − Q 2Eb N0 2 ∼ = 2 · 2Eb N0 (6.77) La probabilità di errore di una modulazione QPSK in funzione di Eb è mo- N0 strata nella figura 6.13; per completezza nella figura viene riportata anche la probabilità di errore di una modulazione BPSK. Si può notare che per un fissato valore di Eb , una modulazione QPSK presenta una probabilità di N0 errore Pe leggermente superiore a quella della BPSK (Pe QP SK = 2·Pe BP SK).
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