Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

– Moltiplicazione in frequenza
F T
Facoltà di Ingegneria 8
x1(t) ⊗ x2(t) −→ X1(f) · X2(f) (1.36)
Esempio
Si vuole calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo:
|f|
1 − |f| ≤ T
x(t) = trianT (t) =
T
(1.37)
0 altrove
La funzione triangolo può essere espressa come un prodotto di con-
voluzione tra due funzioni rect della stessa durata T
2 , trianT (t) =
1
T rectT (t) ⊗ rectT (t). Applicando la proprietà del prodotto in
frequenza si ottiene
X(f) = 1
T T sinc(T f) · T sinc(T f) = T sinc2 (T f) (1.38)
– Moltiplicazione nel tempo
IF T
X1(f) ⊗ X2(f) −→ x1(t) · x2(t) (1.39)
Esempio
Sono noti i segnali x1(t) = A rectT (t) e x2(t) = cos(2πf0t), si vuole
calcolare la trasformata di Fourier del segnale z(t) = x1(t) · x2(t).
Sfruttando la proprietà della moltiplicazione nel tempo si ottiene
Z(f) = X1(f) ⊗ X2(f) =
= T sinc(T f) ⊗ 1
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =
= T
2 sinc(T (f − f0) + T
2 sinc(T (f + f0)) .
• Derivazione ed integrazione nel tempo
– Derivata
d x(t)
dt
(1.40)
F T
−→ j2πf X(f) (1.41)
Esempio
Si vuole verificare la proprietà della derivata per x(t) = cos(2πf0t).
La derivata del segnale è uguale a −2πf0 sen(2πf0t), nel dominio
spettrale invece la trasformata della derivata del coseno vale
j2πf · 1
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =
= j2πf0 · 1
2 (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =
= −2πf0 · 1
2j (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =