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Facoltà di Ingegneria 114 per cui l’espressione della probabilità di errore in funzione del rapporto Eb N0 può essere scritta come Eb Pe = Q N0 (6.67) 6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK) Una tecnica di modulazione digitale molto utilizzata nelle applicazioni pratiche è la modulazione di fase, in cui la fase della portante assume valori diversi a seconda del simbolo da trasmettere. Questa modulazione viene spesso indicata con la sigla PSK e nel caso in cui l’alfabeto di sorgente sia costituito da M simboli si usa spesso la notazione M-PSK. Quando M = 2 si ottiene la modulazione BPSK e per M = 4 la modulazione QPSK. Tali modulazioni presentano spesso buone prestazioni per la trasmissione dati. In una modulazione M-PSK si hanno M differenti fasi, ciascuna delle quali viene associata ad un diverso simbolo. Il segnale si(t) corrispondente al simbolo ai = (i − 1) per 1 ≤ i ≤ M, può essere scritto si(t) = 2E cos Tsimb 2πf0t + (i − 1)π M [0, Tsimb] (6.68) il segnale si(t) può essere scritto anche come 2E (i − 1)π 2E (i − 1)π si(t) = cos cos 2πf0t − sen sen 2πf0t Tsimb M Tsimb M (6.69) I segnali M-PSK con M > 2 possono essere descritti mediante le due funzioni [0, Tsimb] ortonormali ⎧ ⎨ 2 ψ1(t) = Tsimb ⎩ cos(2πf0t) 2 ψ2(t) = Tsimb [0, Tsimb] sen(2πf0t) [0, Tsimb] . (6.70) La demodulazione di un segnale PSK può essere effettuata soltanto in modo coerente, cioè ricostruendo la fase e la frequenza della portante. 6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore Nel caso in cui M = 2, i somboli informativi possono assumere soltanto due valori, 0 e 1. I segnali modulati risultano perciò ⎧ ⎨ 2E s1(t) = Tsimb ⎩ cos(2πf0t) [0, Tsimb] 2E s2(t) = Tsimb cos(2πf0t 2E + π) = − Tsimb cos(2πf0t) (6.71) [0, Tsimb]
Facoltà di Ingegneria 115 Un esempio di segnale modulato è mostrato in figura 6.10(a), in cui si suppone di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Come si può osservare tutte le volte che il simbolo informativo cambia, la fase del segnale modulato presenta una variazione di π. In questi istanti il segnale modulato ha forti discontinuità, per cui la banda necessaria alla trasmissione di un segnale BPSK risulta elevata. Essendo s1(t) = −s2(t), i due segnali sono antipodali e possono essere scritti Figura 6.10: Modulazione BPSK: a) segnale modulato BPSK; b) rappresentazione vettoriale di un segnale BPSK mediante un’unica funzione ortonormale 2 ψ1(t) = cos(2πf0t) (6.72) Tsimb La rappresentazione grafica dei due segnali nello spazio S è mostrata nella figura 6.10(b). I due segnali hanno la stessa energia E, per cui la distanza euclidea normalizzata tra i due segnali risulta d 2 1,2 = 2. La probabilità di errore per i due segnali risulta Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 considerando i due segnali equiprobabili. Come stabilito dal criterio MAP, l’errore in ricezione è commesso se il segnale è minore di 0 se è stato trasmesso s1(t) mentre maggiore di 0 se è stato trasmesso s2(t). Si ottiene quindi Pe|s1 = P ( √ E + n < 0) = P (n < − √ E) = = − √ E q 1 −∞ 2E = Q N0 2π N0 2 e n2 − 2· N q 2E − 0 N0 2 dn = −∞ √1 v2 − e 2 dv = 2π (6.73)
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