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Facoltà di Ingegneria 110 e considerando che la probabilità dell’unione di più eventi può essere maggiorata con la somma delle probabilità dei singoli eventi, eq.(1.50), Pe = 1 M M P r ∈ i=1 M j=1 (j=i) Ii,j|s i ≤ 1 M M M i=1 j=1 (j=i) P (r ∈ Ii,j|s i) (6.55) Il calcolo di P (r ∈ Ii,j/s i) è molto semplice una volta nota la distanza euclidea, De(i,j), tra i due segnale s i e s j. Infatti si ottiene P (r ∈ Ii,j/s i) = Q L’espressione dell’Union Bound è quindi UB = 1 M M M i=1 j=1 (j=i) Q D 2 e(i,j) 2N0 D 2 e(i,j) 2N0 (6.56) . (6.57) L’eq.(6.57) può essere approssimata anche con la seguente espressione UB ∼ = 2α M Q D2 e,min (6.58) 2N0 dove De,min è la distanza euclidea minima tra tutte le possibile coppie di segnali e α è il numero di coppie di segnali a distanza euclidea minima. 6.7 Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni digitali La trasmissione di segnali numerici (dati o segnali campionati) richiede lo sviluppo di tecniche di modulazioni diverse rispetto a quelle utilizzate per segnali analogici. Anche in questo caso il segnale informativo modula una portante generalmente di tipo sinusoidale analoga a quella utilizzata nelle modulazioni analogiche. Tuttavia, esistono numerose differenze tra modulazioni analogiche e digitali, per cui è necessario trattare separatamente i due tipi di tecniche. I principali parametri che caratterizzano una modulazione digitale sono la probabilità di errore, il tipo di demodulatore richiesto e la banda occupata. Questi parametri possono variare in modo significativo a secondo del tipo di
Facoltà di Ingegneria 111 modulazione utilizzata. Il simbolo informativo trasmesso nell’i-esimo intervallo può assumere un valore tra gli M simboli dell’alfabeto A. Naturalmente se M = 2 si ha una trasmissione binaria, che rappresenta il caso più frequente. I sistemi non binari consentono in generale di ottenere maggiori velocità di trasmissione (bit rate) Rb/s = ⌈log2(M)⌉ (6.59) Tsimb (Tsimb durata del simbolo), ma tipicamente presentano probabilità di errore più elevate rispetto ai sistemi binari. In particolare la probabilità di errore può essere espressa in funzione del rapporto energia per bit/densità spettrale di potenza media di rumore, Eb ). L’espressione esatta della N0 , cioè Pe = f( Eb N0 funzione della Pe dipende dal tipo di modulazione utilizzata. Il termine Eb N0 può essere calcolato nel sistema di trasmissione numerico di figura 6.7 nel seguente modo Eb N0 = PtxGtxGrx Lfs N0Rb/s = PtxGtxGrx LfsN0Rb/s (6.60) dove N0 = k · Tsistema (Tsistema relativa ai quadripoli dopo l’antenna ricevente (se presenti)) ed in scala logaritmica Eb = Ptx (dB)+Gtx (dB)+Grx (dB)−Lfs (dB)−10·log10(N0)−10·log10(Rb/s). N0 dB Figura 6.7: Trasmissione e ricezione in un sistema digitale 6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK) (6.61) Come nel caso dei segnali analogici, le modulazioni che consideriamo consistono nella variazione dell’ampiezza o della fase o della frequenza della portante in funzione del segnale informativo. Data quindi una portante sinusoidale, la modulazione OOK consiste nel far variare l’ampiezza della portante in funzione del segnale informativo. Indicando con Tsimb la durata del simbolo, il
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