Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 108
Supponendo il rumore AWGN e sfruttando i risultati delle eq.(6.35) e (6.36),
si ottiene
{p(r/s i)P (s i) ≥ p(r/s j)P (s j)} =
1
πN0
N
2
e − r−s i 2
N 0 P (s i) ≥
1
πN0
N
2
e −r−s j 2
N 0 P (s j)
=
=
= {− r − si 2 + N0 · ln[P (ai)] ≥ −
r − sj2
+ N0 · ln[P (aj)]} =
= {−Esi + 2r · si + N0 · ln[P (ai)] ≥ −Esj + 2r · sj + N0
· ln[P (aj)]} =
= r · (si − sj) ≥ N0
P (aj) Esi −Esj · ln +
2 P (ai)
2
e quindi
Ii,j =
r ∈ S : r · (s i − s j) ≥ N0
2
· ln
P (aj)
P (ai)
+
Esi
− Esj
2
(6.47)
. (6.48)
Osservazione: Proprietà geometriche delle regioni di decisione
Le regioni di decisione sono molto utili nell’analisi di un sistema di segnali,
sia per caratterizzare le proprietà di essi, sia nel definire la struttura del
ricevitore ottimo. In vari casi non sono facilmente definibili ed utilizzabili;
tuttavia, esse godono di alcune proprietà che consentono di semplificare la
loro struttura
• Proprietà 1
L’insieme delle probabilità condizionate, p(r ∈ Ii/aj), dipende esclusivamente
dall’insieme dei vettori si(t) e dalle probabilità a priori P (aj),
ma non dalla scelta delle funzioni ortonormali, ψj(t).
• Proprietà 2
Dato un arbitrario insieme di segnali, l’insieme delle probabilità condizionate
è uguale a quello di un qualunque altro insieme di segnali
ottenuto dal precedente mediante un moto rigido. In altre parole, una
trasformazione che lasci inalterate le posizione relative dei segnali non
modifica la probabilità di errore. Pertanto traslazioni rigide o rotazioni
rigide non influenzano la probabilità di errore.