Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 104
dove P (aj) rappresenta la probabilità a priori del simbolo aj. Essendo r e n
indipendenti tra di loro, dall’eq.(1.63), si ha
p(r|aj) = p(r|s j) = pn(r − s j) = pn(n) (6.34)
dove pn(n) rappresenta la densità di probabilità di n. Pertanto la regola di
decisione ottima risulta
pn(r − s j)P (aj) = max
1≤k≤M pn(r − s k) · P (ak) (6.35)
Un ricevitore che utilizza la precedente regola di decisione minimizza la probabilità
di errore e prende il nome di ricevitore a massima verosimiglianza.
Consideriamo il caso in cui n(t) è AWGN a media nulla e varianza N0 . In que-
2
sto caso, dato che le componenti sono scorrelate tra di loro e gaussiane, quindi
indipendenti, la densità di probabilità congiunta di tutte le componenti è
espressa dal prodotto della densità di probabilità di ogni componente:
N
1
pn(n) = pn(r−sj) = pn(rk−sj,k) =
2π
k=1
N0
N
2
e
2
−
PNk=1 (rk−sj,k ) 2
2 N
0 1
2 =
πN0
(6.36)
Tenendo presente che ln(x) è una funzione monotona crescente di x si può
considerare il logaritmo naturale di ambedue i membri nell’eq.(6.34) e cambiando
di segno si ottiene
r − sj2
− N0 · ln[P (aj)] = min
1≤k≤M {r − sk 2 − N0 · ln[P (ak)]}. (6.37)
Definendo
Cj = r · s j =
T
0
r(t) · sjdt (6.38)
tenendo presente che Esi = si(t) 2 e sviluppando i termini quadratici dell’eq.(6.37)
la regola di decisione ottima può essere alternativamente scritta
come
r · s j − Esj
2
N0
+
2 · ln[P (aj)] = max
1≤k≤M {r · sk − Esk
2
+ N0
2 · ln[P (ak)]}. (6.39)
Le due regole (eq.(6.37) e eq.(6.39)) rappresentano due metodi equivalenti
per effettuare la decisione ottima e quindi possono essere utilizzate per la
realizzazione del ricevitore ottimo.
Si definisce distanza euclidea tra due segnali r e sj la grandezza
De =
r − sj
=
T
[r(t) − sj(t)] 2dt. (6.40)
0
N
2
e −r−s j 2
N 0 .