Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 103
6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza
Il ricevitore deve decidere quale simbolo è stato trasmesso osservando il segnale
ricevuto r(t) o il corrispondente vettore r. Supponiamo che il simbolo
trasmesso sia ai e che il canale sia di tipo AWGN. Il ricevitore ottimo è quello
che minimizza la probabilità di errore. Pertanto si vuole determinare il
criterio da seguire per decidere sul simbolo ricevuto in modo da minimizzare
la probabilità di errore. Per questo definiamo
P (s i|r) = P (ai|r) (6.29)
la probabilità che sia stato trasmesso il simbolo ai condizionata al fatto che
sia stato ricevuto il segnale r.
Il ricevitore effettua una decisione non corretta se sceglie il simbolo aj con
j = i come simbolo trasmesso. Indicando con Pe|r la probabilità di errore
condizionata ad aver ricevuto r, si ha
Pe|r = 1 − Pc|r
(6.30)
dove Pc|r rappresenta la probabilità di corretta ricezione supponendo di aver
ricevuto r. La probabilità di errore risulta quindi uguale a
Pe = Pe|rp(r)dr (6.31)
r
dove p(r) rappresenta la densità di probabilità di r e l’integrale si intende
esteso a tutto lo spazio a N dimensioni di r.
Poichè p(r) risulta non negativa, la probabilità di errore Pe è minimizzata
se per ogni valore di r il ricevitore sceglie il simbolo aj per cui P (aj|r) è
massima. La regola ottima di decisione sceglie il simbolo aj per cui
P (aj|r) = max
1≤k≤M P (ak|r). (6.32)
Se esistono uno o più simboli aj, che hanno lo stesso valore massimo P (aj|r),
si può scegliere in modo arbitrario uno qualsiasi di questi simboli.
Per poter applicare la regola di decisione ottima, occorre conoscere P (aj|r)
per tutti i simboli aj e i segnali r. Spesso risulta più semplice valutare la
densità di probabilità p(r|aj). Utilizzando la formula di Bayes, eq.(1.54), la
regola ottima di decisione dell’eq.(6.32) risulta uguale a
p(r|aj) · P (aj)
p(r)
p(r|ak) · P (ak)
= max
1≤k≤M p(r)
(6.33)