Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 102
scelta del segnale trasmesso. In questo caso si dice che le prime N componenti
costituiscono una statistica sufficiente per la scelta del segnale. Naturalmente,
questa ipotesi non risulta più valida quando cambia il tipo di rumore
introdotto dal canale di comunicazione. Definiamo i seguenti due vettori r e
n:
r = (r1, r2, r3, ..., rN)
(6.22)
n = (n1, n2, n3, ..., nN)
l’eq.(6.19) può essere scritta in forma vettoriale
r = s i + n (6.23)
sulle prime N componenti. Di conseguenza si può supporre di trasmettere
segnali vettoriali e quindi che il ricevitore operi su vettori. Questa rappresentazione
è molto utile sia per valutare le prestazioni dei segnali in presenza
di rumore, sia per individuare la struttura ottima del ricevitore.
Consideriamo adesso le statistiche delle componenti ni del rumore nel caso
in cui il canale di comunicazione introduca un rumore AWGN a media nulla
e varianza N0
2 . La componente ni, ottenuta dall’eq.(6.22), è una variabile
aleatoria di tipo gaussiano e risulta perciò completamente definita una volta
noto il suo valor medio e la sua varianza.
Il valor medio di ni risulta uguale a
mni = E[ni]
= E
T
T
n(t) · ψi(t)dt = E[n(t)] · ψi(t)dt = 0 (6.24)
0
essendo E[n(t)] = 0 per ipotesi. La varianza di ni è
0
σ 2 ni = E[n2 i ] − m 2 ni = E[n2 i ] (6.25)
per cui
σ 2
ni = E
T
T
0
n(t1) · ψi(t1)dt1
0
n(t2) · ψi(t2)dt2 (6.26)
Scambiando l’operazione di integrazione con l’operatore di media, si ottiene
σ 2 ni =
T T
0
0
E[n(t1) · n(t2)]ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2. (6.27)
La funzione di autocorrelazione del rumore AWGN risulta uguale a Rn,n(t1, t2) =
E[n(t1) · n(t2)] = N0
2 δ(t1 − t2), quindi l’eq.(6.27) può essere scritta come
σ 2 ni
= N0
2
T T
0
0
δ(t1 − t2)ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2 = N0
2
T
0
ψ 2 i (t1)dt1 = N0
2
(6.28)
essendo le funzioni ortonormali, ψi(t), ad energia unitaria. Le componenti ni
mantengono la stessa media e varianza di n(t).