Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...
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Facoltà di Ingegneria 100 Questi segnali, detti segnali biortogonali, possono essere descritti mediante una base di due funzioni ortonormali ψ1(t) e ψ2(t) definite nel seguente modo ψi(t) = si(t) Esi (6.17) per i = 1 e i = 2. Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come si veda figura 6.4. ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ s 1 = ( √ E, 0) s 2 = (0, √ E) s 3 = (− √ E, 0) s 4 = (0, − √ E) 6.3 Trasmissione su canali vettoriali (6.18) Si consideri il caso in cui M segnali diversi sono trasmessi. Questi segnali possono essere descritti mediante N funzioni ortonormali con N ≤ M. Ad ogni segnale si(t) può essere associato un vettore s i = (si,1, si,2, ..., si,N) dove si,m rappresenta la proiezione del segnale sulla funzione ortonormale ψm(t). Si supponga inoltre che il canale di trasmissione introduca un rumore AWGN così che il segnale ricevuto, trasmesso il simbolo ai,: r(t) = si(t) + n(t) (6.19) dove n(t) è il rumore. I due segnali r(t) e n(t) possono essere rappresentati mediante una serie generalizzata di Fourier utilizzando un insieme di funzione ortonormali, che indichiamo con φm(t). In questo caso sono necessarie infinite funzioni ortonormali per descrivere i due segnali r(t) e n(t). Definendo rm = T r(t) · φm(t)dt 0 nm = T (6.20) n(t) · φm(t)dt 0 r(t) e n(t) possono essere descritti mediante i due vettori r = (r1, r2, r3...) e n = (n1, n2, n3...), rispettivamente. Le funzioni φm(t) possono essere qualsiasi, tuttavia una scelta ovvia è quella di considerare φm(t) = ψm(t) per 1 ≤ i ≤ N e ψm(t) per m > N un insieme qualsiasi di funzioni ortonormali. In queste ipotesi si può scrivere rm = si,m + nm per 1 ≤ m ≤ N (6.21) rm = nm per m > N
Facoltà di Ingegneria 101 Figura 6.4: Segnali biortogonali: a) rappresentazione vettoriale dei segnali biortogonali; b) esempio di segnali biortogonali Nell’ipotesi di canale AWGN, le varie componenti di rumore nm sono scorrelate tra di loro, per cui dall’osservazione della componente nm non si nessuna informazione sulle altre componenti. Pertanto, le componenti rm = nm per m > N non forniscono informazioni sulle prime N componenti e quindi sulla
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Figura 6.4: Segnali biortogonali: a) rappresentazione vettoriale dei segnali biortogonali;<br />
b) esempio di segnali biortogonali<br />
Nell’ipotesi di canale AWGN, le varie componenti di rumore nm sono scorrelate<br />
tra di loro, per cui dall’osservazione <strong>del</strong>la componente nm non si nessuna<br />
informazione sulle altre componenti. Pertanto, le componenti rm = nm per<br />
m > N non forniscono informazioni sulle prime N componenti e quindi sulla
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