Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Facoltà di Ingegneria 97
dove si,m rappresenta la componente di si(t) proiettata sulla funzione ψm(t),
cioè:
si,m =< si(t), ψm(t) >=
T
0
si(t) · ψm(t)dt. (6.6)
Come conseguenza dello sviluppo in serie di Fourier generalizzato, un segnale
si(t) può essere rappresentato in modo univoco mediante le componenti
si,m e quindi ad esso si può considerare associato un vettore s i con infinite
componenti definito come
Valutiamo la quantità < si(t), sj(t) >:
< si(t), sj(t) >=
s i = (si,1, si,2, si,3, si,4, ...) (6.7)
T
0
si(t) · sj(t)dt =
+∞
si,msj,m
m=1
(6.8)
per cui essa è equivalente al prodotto scalare tra i vettori s i e s j e viene perciò
anche indicata con il nome di prodotto scalare tra i due segnali si(t) e sj(t).
6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-
Schmidt
Il procedimento di Gram-Schmidt consente di costruire un insieme di funzioni
ortonormali partendo da un insieme qualsiasi di funzioni si(t) e quindi sarà
utilizzato nel seguito per costruire una base di funzioni ortonormali adatta
per descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere i simboli dell’alfabeto
A.
Si considerino M segnali {si(t)} M i=1 definiti sull’intervallo [0, T ] e nulli al di
fuori di tale intervallo. Si vuole determinare un insieme di N funzioni ortonormali
definite sull’intervallo [0, T ], tali che un qualunque segnale si(t)
possa essere espresso come combinazione lineare di tali funzioni. La cardinalità
di tali funzioni ortonormali sarà inferiore o uguale alla cardinalità dei
possibili segnali trasmessi, N ≤ M.
Il procedimento di Gram-Schmidt opera nel seguente modo:
• Si pone v1(t) = s1(t) e successivamente si determina la prima funzione
ortonormale:
ψ1(t) = v1(t)
Ev1
(6.9)
dove Ev1 è determinata secondo l’eq.(6.1);