Dispense del corso - Dipartimento Ingegneria dell'Informazione ...

Università degli Studi di Siena
Facoltà di Ingegneria
Dispense
del Corso di
Comunicazioni Elettriche
Prof. Giuliano Benelli
Ing. Filippo Nencini

Indice
1 Richiami sui Segnali Deterministici ed Aleatori 1
1.1 Requisiti trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Formule di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita . . . . 5
1.3.2 Proprietà della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . 5
1.3.3 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Teoria della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Segnali Aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi . . . . . . . . . . . 18
1.4.5 Rumore AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB . . . . . . . . . . . 19
2 Prestazioni di un collegamento 21
3 Rumore Introdotto dai Dispositivi Elettronici 22
3.1 Rumore Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi due
porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte . . . . . . . 25
3.1.3 Rete Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.4 Rete Passiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.5 Formule di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.6 Temperatura di Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.7 Rumore nei Ripetitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i

Facoltà di Ingegneria ii
3.2 Rumore Shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Rumore Flicker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Modulazioni di Ampiezza 33
4.1 Modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.1 Caratteristiche del segnale AM . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.2 Spettro del segnale AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Potenza del segnale modulato AM . . . . . . . . . . . . 36
4.1.4 Modulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.5 Demodulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM . . . . 40
4.2 Modulazione DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Caratteristiche del segnale DSB . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 Spettro del segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Potenza di un segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.4 Modulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.5 Demodulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione DSB . 47
4.3 Modulazione SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.1 Caratteristiche del segnale SSB . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.2 Modulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3 Demodulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione SSB . 54
4.4 Modulazione vestigiale VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Caratteristiche del segnale VSB . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Modulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3 Demodulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Circuiti per il recupero della portante . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Modulazioni Angolari 62
5.1 Modulazione di fase e di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Spettro di un segnale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante
sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale modulante
multitono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda di
Carson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Modulatori di frequenza e di fase . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley) . . . . 71
5.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong) . 72

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5.4 Demodulatori FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza bilanciato
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing . . . 78
5.4.3 Demodulatore FM con PLL . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione FM . . . . . . . 82
5.6 Effetto Soglia nella modulazione FM . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione FM . . . . . . . . . . 87
5.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione PM . . . . . . . 90
5.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per trasmissione FM radio
broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore FM stereo . . . 92
6 Modulazioni Digitali 95
6.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . 97
6.3 Trasmissione su canali vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza . . . . . . . . . . 103
6.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . . 105
6.6 Limite superiore della probabilità di errore (Union Bound) . . 109
6.7 Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni digitali . . . . 110
6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK) . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e probabilità
di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK) . . . . . . . . . . . . . 114
6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore . . . . . . . 114
6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore . . . . . . . 116
6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK) . . . . . . . . . . 119
6.10.1 Caratteristiche della modulazione FSK . . . . . . . . . 119
6.10.2 Modulazione BFSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e probabilità
di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying (DPSK) . . . . . 124
6.11.1 Probabilità di errore di un segnale DPSK . . . . . . . . 126

Capitolo 1
Richiami sui Segnali
Deterministici ed Aleatori
In questo capitolo sono descritte alcune relazioni fondamentali di trigonometria,
la rappresentazione di segnali periodici in serie di Fourier, la trasformata
di Fourier e la caratterizzazione di segnali aleatori. Tali argomenti saranno
trattati menzionando soltanto gli aspetti che serviranno per la trattazione
delle modulazioni analogiche e digitali. Maggiori approfondimenti e relative
dimostrazioni saranno affrontati in altri corsi di studio.
1.1 Requisiti trigonometrici
1.1.1 Numeri Complessi
Si definisce un numero complesso
z = a + j · b = |z|e j z
(1.1)
dove a e b rappresentano rispettivamente la parte reale ed immaginaria di
z mentre |z| e z il modulo e la fase di z. Nel piano complesso il numero
complesso z può essere rappresentato come un vettore mostrato in figura 1.1.
Il complesso coniugato di un numero complesso è così definito
z ∗ = a − j · b = |z|e −j z
(1.2)
inoltre la parte reale e la parte immaginaria possono essere ottenute da
modulo e fase e viceversa
a = |z|cos( z)
(1.3)
b = |z|sen( z)
1

Facoltà di Ingegneria 2
Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x − y
1.1.2 Formule di Eulero
Valgono le seguenti equazioni
e
1.1.3 Fasori
√
|z| = a2 + b2 z = arctan
b
(1.4)
a
e ±jφ = cosφ ± j · senφ (1.5)
cosφ = ejφ +e −jφ
2
senφ = ejφ −e −jφ
2j
(1.6)
Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2πf0t + φ) si indica il fasore del
segnale x(t)
z = Ae jφ . (1.7)
Il segnale x(t) può essere recuperato dal suo fasore mediante la seguente
relazione
x(t) = Re{z · e j2πf0t }. (1.8)
1.2 Serie di Fourier
Un segnale periodico x(t) di periodo T = 1 , come mostrato in figura 1.2,
f0
può essere rappresentato mediante una serie di Fourier
x(t) =
+∞
n=−∞
n
j2π
Xne T t
(1.9)

Facoltà di Ingegneria 3
in cui Xn sono i coefficienti trasformati della serie di Fourier, ottenuti dal
segnale x(t) dalla seguente relazione
Xn = 1
T
T
2
− T
2
n
−j2π
x(t)e T t dt. (1.10)
Figura 1.2: Segnale periodico x(t)
Dalle due precedenti equazioni si osserva che:
• è possibile calcolare Xn da x(t) e viceversa;
n
j2π • il segnale x(t) è esprimibile mediante una base di funzioni e T t . La
proiezione di x(t) su ogni versore della base è Xn;
• le componenti Xn sono generalmente a valori complessi;
• la componente X0 = 1
T
T
2
− T
2
x(t)dt corrisponde al valor medio di x(t);
• i valori Xn corrispondono alle proiezioni del segnale x(t) su una base
= nf0.
con versori a frequenze multiple della fondamentale fn = n
T
1.2.1 Proprietà della serie di Fourier
Sono elencate in questo paragrafo le principali proprietà della serie di Fourier:
• Condizione Hermitiana.
Dato un segnale reale, x(t) = x ∗ (t), è verificata la condizione Xn =
X ∗ −n. Questo comporta che la parte reale ed il modulo della sequenza
dei coefficienti trasformati sono sequenze pari, mentre la parte immaginaria
e la fase sono sequenze dispari
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Re{Xn} = Re{X−n}
Im{Xn} = −Im{X−n}
|Xn| = |X−n|
Xn = − X−n
(1.11)

Facoltà di Ingegneria 4
In più se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora Xn
è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari,
x(t) = −x(−t), allora Xn è immaginario e dispari.
Esempio. Calcolo dei coefficienti trasformati di un’onda rettangolare
Dato il segnale x(t) = +∞
−∞ A rectτ(t − nT ) con τ < T e rectτ(t) = 1
se |t| ≤ τ e 0 altrove, si vuole calcolare Xn. Applicando la definizione
Xn = 1
T
T
2
+∞
−∞ A rectτ(t
n
−j2π − nT )e T tdt =
− T
2
= 1
τ
2
T − τ
n
−j2π Ae T
2
tdt =
= A
πn · ej2π n T τ 2 −e j2π n T τ 2
=
2j
= A τn sen(π ) =
πn T
) .
= A τ
T
sinc( τn
T
(1.12)
• Teorema di Parseval per segnali periodici
La potenza di un segnale periodico può essere calcolata sia nel dominio
del tempo che nel dominio della frequenza
Px = 1
T
T
2
− T
2
|x(t)| 2 dt =
1.3 Trasformata di Fourier
+∞
n=−∞
|Xn| 2
(1.13)
Per segnali ad energia finita si definisce la trasformata di Fourier di un segnale
a tempo continuo
X(f) =
+∞
−∞
e la rispettiva antitrasformata di Fourier
x(t) =
+∞
−∞
Esempio
La trasformata di Fourier di un rect, x(t) = A rectτ(t), è
X(f) = +∞
= τ
2
− τ
2
x(t)e −j2πft dt (1.14)
X(f)e j2πft dt. (1.15)
−∞ A rectτ(t)e −j2πft dt =
Ae −j2πft dt =
= A
πf · ej2πf τ 2 −e j2πf τ 2
=
2j
= Aτ sen(πτf) =
πfτ
= Aτsinc(τf) .
(1.16)

Facoltà di Ingegneria 5
1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita
L’energia di un segnale puè essere calcolata sia nel dominio del tempo che
nel dominio della frequenza
εx =
+∞
−∞
|x(t)| 2 dt =
+∞
−∞
|X(f)| 2 df (1.17)
dove |X(f)| 2 è la densità spettrale di energia del segnale x(t).
1.3.2 Proprietà della Trasformata di Fourier
In questo paragrafo sono elencate le principali proprietà della trasformata di
Fourier:
• Condizione Hermitiana.
Dato un segnale reale, x(t) = x ∗ (t), è verificata la condizione X(f) =
X ∗ (−f). Questo comporta che la parte reale ed il modulo della trasformata
di Fourier sono funzioni pari, mentre la parte immaginaria e
la fase sono funzioni dispari
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Re{X(f)} = Re{X(−f)}
Im{X(f)} = −Im{X(−f)}
|X(f)| = |X(−f)|
X(f) = − X(−f)
(1.18)
In più se il segnale nel tempo è reale e pari, x(t) = x(−t), allora X(f)
è reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo è reale e dispari,
x(t) = −x(−t), allora X(f) è immaginario e dispari.
• Dualità
Trasformata ed antitrasformta differiscono soltanto per un segno:
F T
x(t) −→ X(f) t=f F T
=⇒ X(t) −→ x(−f) (1.19)
nel dominio del tempo, mentre nel dominio della frequenza
IF T
X(f) −→ x(t) t=f IF T
=⇒ x(f) −→ X(−t). (1.20)
Esempio. Calcolo dell’Energia.
Si vuole calcolare l’energia del segnale x(t) = Aτsinc(τt). Per la prima
proprietà della dualità è noto che x(t) = A rectτ(t) ha come trasformata
di Fourier X(f) = Aτsinc(τf) da cui X(t) = Aτsinc(τt) ha come

Facoltà di Ingegneria 6
trasformata x(−f) = A rectτ(−f) = A rectτ(f) essendo il rect una
funzione pari.
Sfruttando il teorema di parseval si ottiene che
εx =
+∞
−∞
|X(f)| 2 df =
+ τ
2
− τ
2
A 2 df = A 2 τ (1.21)
• Linearità
La trasformata della somma di due o più segnali è uguale alla somma
di ogni singola trasformata
F T {a · x1(t) + b · x2(t)} = a · X1(f) + b · X2(f) (1.22)
• Valore medio e valore iniziale
Il valor medio del segnale x(t) è uguale al valore della trasformata in
f = 0
mx =
+∞
−∞
x(t)dt = X(f = 0) (1.23)
il valore del segnale in t = 0 corrisponde alla media nel dominio della
frequenza
• Traslazione nel tempo
• Traslazione in frequenza
x(t = 0) =
F T
+∞
−∞
X(f)df (1.24)
z(t) = x(t − T ) −→ Z(f) = X(f)e −j2πfT
IF T
Z(f) = X(f − f0) −→ z(t) = x(t)e j2πf0t
(1.25)
(1.26)
Esempio
Si vuole calcolare l’antitrasformata di Fourier per il seguente segnale
X(f − f0) + X(f + f0). Applicando la proprietà della traslazione in
frequenza si ottiene:
X(f − f0) + X(f + f0)
• Cambiamento di scala
IF T
−→ x(t)e j2πf0t −j2πf0t
+ x(t)e = 2x(t)cos(2πf0t)
(1.27)
F T {x(at)} = 1
|a| X
f
|a|
(1.28)

• Trasformate di:
– delta di dirac.
Introducendo la definizione di delta di dirac
∞ t = 0
δ(t) =
0 altrimenti
Facoltà di Ingegneria 7
(1.29)
e +∞
δ(t)dt = 1 (1.30)
−∞
la trasformata di Fourier della delta è uguale ad una costante
– costante.
Per la proprietà duale
F T {Aδ(t)} = A (1.31)
F T {A} = Aδ(f). (1.32)
Esempio
Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di x(t) = A cos(2πf0t+
φ):
x(t) = A
e
2
j(2πf0t+φ)
−j(2πf0t+φ) F T A
+e −→ X(f) =
2 (ejφδ(f−f0)+e −jφ δ(f+f0))
(1.33)
• Risposta impulsiva e convoluzione
In un sistema lineare tempo-invariante (LTI) che caratterizza un sistema
fisico come ad esempio un mezzo trasmissivo (cavo elettrico, fibra
ottica, ecc...) può essere calcolata la risposta impulsiva
h(t) = y(t)|x(t)=δ(t)
(1.34)
l’uscita per un generico segnale in ingresso è data dal prodotto di
convoluzione tra la risposta impulsiva ed il segnale in ingresso
y(t) = h(t) ⊗ x(t) =
+∞
−∞
• Moltiplicazione in frequenza e nel tempo
h(t − τ)x(τ)dτ (1.35)

– Moltiplicazione in frequenza
F T
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x1(t) ⊗ x2(t) −→ X1(f) · X2(f) (1.36)
Esempio
Si vuole calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo:
|f|
1 − |f| ≤ T
x(t) = trianT (t) =
T
(1.37)
0 altrove
La funzione triangolo può essere espressa come un prodotto di con-
voluzione tra due funzioni rect della stessa durata T
2 , trianT (t) =
1
T rectT (t) ⊗ rectT (t). Applicando la proprietà del prodotto in
frequenza si ottiene
X(f) = 1
T T sinc(T f) · T sinc(T f) = T sinc2 (T f) (1.38)
– Moltiplicazione nel tempo
IF T
X1(f) ⊗ X2(f) −→ x1(t) · x2(t) (1.39)
Esempio
Sono noti i segnali x1(t) = A rectT (t) e x2(t) = cos(2πf0t), si vuole
calcolare la trasformata di Fourier del segnale z(t) = x1(t) · x2(t).
Sfruttando la proprietà della moltiplicazione nel tempo si ottiene
Z(f) = X1(f) ⊗ X2(f) =
= T sinc(T f) ⊗ 1
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =
= T
2 sinc(T (f − f0) + T
2 sinc(T (f + f0)) .
• Derivazione ed integrazione nel tempo
– Derivata
d x(t)
dt
(1.40)
F T
−→ j2πf X(f) (1.41)
Esempio
Si vuole verificare la proprietà della derivata per x(t) = cos(2πf0t).
La derivata del segnale è uguale a −2πf0 sen(2πf0t), nel dominio
spettrale invece la trasformata della derivata del coseno vale
j2πf · 1
2 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) =
= j2πf0 · 1
2 (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =
= −2πf0 · 1
2j (δ(f − f0) − δ(f + f0)) =

Facoltà di Ingegneria 9
Il risultato ottenuto antitrasformando l’ultima espressione è uguale
alla funzione coseno derivata nel tempo.
– Integrale
t
−∞
1.3.3 Teorema di Poisson
x(τ)dτ
F T
−→ X(f)
j2πf
(1.42)
Un segnale periodico x(t) con periodo T ha la seguente trasformata di Fourier
X(f) = 1
T
+∞
n=−∞
n
G δ f −
T
n
T
(1.43)
dove G(f) è la trasformata di Fourier del segnale g(t) corrispondente al segnale
x(t) su un solo periodo T .
Il risultato dell’eq.(1.43) si ottiene dal teorema di Poisson di cui non viene
svolta la dimostrazione. Tale teorema afferma che la trasformata di un serie
infinita di delta è ancora nel dominio trasformata una serie infinita di delta
ΠT (t) =
+∞
−∞
F T
δ(t − nT ) ←→ 1
T
1.4 Processi casuali
1.4.1 Teoria della probabilità
· Π 1 (f) =
T
1
T ·
+∞
δ
−∞
f − n
T
(1.44)
Il concetto di probabilità è legato al concetto di esperimento casuale in cui
il valore di uscita non può essere definito con certezza ed in cui eventi elementari
sono ritenuti equiprobabili. La probabilità di un evento, secondo la
definizione classica, è il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero
di casi possibili, purchè questi ultimi siano ugualmente possibili:
PA = nA
ntot
. (1.45)
Alcuni esperimenti casuali legati al concetto di probabilità sono ad esempio il
lancio di una moneta per testa o croce, il lancio di un dado a sei facce oppure
la scelta di una carta da un mazzo di carte. In ognuno dei tre esperimenti
elencati non è possibile stabilire quale sarà l’esito esatto dell’esperimento.
Lo spazio Ω delle possibili uscite Ω = N i=1 ωi può essere a valori discreti
quando il numero delle possibili uscite è finito, mentre è a valori continui

Facoltà di Ingegneria 10
quando il numero di uscite è infinito.
Con E inoltre viene indicato un evento di un sottoinsieme di Ω, in modo da
poter definire la probabilità di quell’evento, P (E).
Consideriamo adesso le proprietà principali della probabilità:
• La probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 ed 1
• La probabilità di un evento nullo è 0
0 ≤ P (E) ≤ 1; (1.46)
P (E = null) = 0; (1.47)
• La probabilità di un evento che contiene tutte le possibili uscite è uguale
ad 1
P (E = Ω) = 1; (1.48)
• La probabilità di un evento complementare è uguale ad 1 meno la
probabilità dell’evento stesso
P (E) = 1 − P (E); (1.49)
• La probabilità dell’unione di due eventi è uguale alla somma delle
probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’intersezione
• Se E1 ⊂ E2 allora
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) − P (E1 ∩ E2); (1.50)
P (E1) ≤ P (E2) (1.51)
• La Probabilità condizionata di due eventi E1 e E2 con rispettive
probabilità P (E1) e P (E2) è definita come
P (E1|E2) =
P (E1∩E2)
P (E2)
P (E2) = 0
0 altrimenti
(1.52)
se i due eventi sono statisticamente indipendenti allora P (E1|E2) =
P (E1) e P (E1 ∩ E2) = P (E1) · P (E2);
• Teorema della Probabilità Totale
Dato un insieme N di eventi {Ei} N i=1 con N i=1 Ei = Ω e Ei ∩ Ej = null
∀ i, j con i = j, la probabilità di un evento generico A è calcolata come
somma pesata delle probabilità condizionate agli eventi Ei:
N
P (A) = P (A|Ei) · P (Ei) (1.53)
i=1

Facoltà di Ingegneria 11
• Teorema di Bayes
Dati due eventi A e B il Teorema di Bayes consente di scambiare i
termini sulle probabilità condizionate
P (B|A) =
1.4.2 Variabili aleatorie
P (A|B) · P (B)
P (A)
(1.54)
Una variabile aleatoria x è il risultato numerico di un esperimento quando
questo non è deterministico. Ad esempio il risultato del lancio di un dado
a sei facce può essere matematicamente modellizzato come una variabile casuale
che può assumere uno dei sei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Più formalmente dato Ω, la variabile aleatoria x è una funzione misurabile
dallo spazio Ω allo spazio Euclideo.
Ad ogni variabile aleatoria X è associata la sua funzione distribuzione cumulativa,
Fx(x), che assegna ad ogni sottoinsieme, dell’insieme dei possibili
valori di x, la rispettiva probabilità:
Fx(x) = P (x ≤ x). (1.55)
Sono elencate di seguito alcune proprietà della Fx(x):
• 0 ≤ Fx(x) ≤ 1;
• Fx(x) non è una funzione decrescente;
• lim
n→−∞ Fx(x) = 0 e lim
n→+∞ Fx(x) = 1;
• P (a ≤ x ≤ b) = Fx(b) − Fx(a).
Si definisce inoltre la funzione densità di probabilità:
fx(x) =
d Fx(x)
dx
Alcune proprietà della funzione densità di probabilità:
• fx(x) ≥ 0 ∀ x;
• +∞
−∞ fX(x)dx = 1;
• b
a fx(x)dx = P (a ≤ x ≤ b);
• Fx(x) = x
−∞ fx(x)dx.
(1.56)

Facoltà di Ingegneria 12
Esempio (Variabile aleatoria uniforme)
Una variabile aleatoria uniforme ha la seguente funzione densità di
probabilità
fx(x) =
1
(b−a)
a < x < b
0 altrimenti
(1.57)
come mostrato in figura 1.3(a), e la seguente funzione distribuzione
⎧
⎨
Fx(x) =
⎩
0
(x−a)
(b−a)
1
x < a
a < x < b
x > b
(1.58)
Esempio (Variabile aleatoria gaussiana)
Una variabile aleatoria gaussiana ha la seguente funzione densità di
probabilità
fx(x) =
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 (1.59)
come mostrato in figura 1.3(b), e la seguente funzione distribuzione
Fx(x) =
x
−∞
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 dx. (1.60)
I termini m e σ determinano la posizione e l’allargamento dell’andamento
a campana della funzione. Per caratterizzare una variabile aleatoria
gaussiana spesso si indica N(m, σ), cioè si specificano i due termini m
e σ.
L’espressione della FX(x) può essere scritta anche nella forma:
dove
Fx(x) = 1 −
+∞
x
1 (x−m)2
√ e− 2σ
2πσ2 2 dx = 1 − Q
Q(x) =
+∞
x
x − m
σ
(1.61)
1 t2
− √ e 2 dt. (1.62)
2π
Nel caso in cui si abbiano funzioni di variabili aleatorie y = g(x), la densità
di probabilità di y può essere determinata dalla densità di probabilità di x
mediante la seguente equazione:
fy(y) = fx(xi)
|g ′
(1.63)
(x)|
i
x=xi
dove gli zeri di xi = g −1 (yi) si ottengono invertendo la relazione y = g(x).

Facoltà di Ingegneria 13
Figura 1.3: Variabile aleatoria con: a) densità di probabilità uniforme; b) densità di
probabilità gaussiana
Esempio
Si consideri la seguente variabile aleatoria composta y = a x + b, la
densità di probabilità di X è N(0, 1), si vuole determinare la densità di
probabilità di Y.
Noto che |g ′ (xi)| = |a| e che xi = y−b
quindi fy(y) = N(b, a).
a , si ottiene fy(y) = fx
y−b
a
Sono elencate adesso le principali statistiche che possono essere calcolate su
una variabile aleatoria:
• Media d’insieme
mx = E[x] =
+∞
−∞
|a|
x · fx(x)dx (1.64)
e

dove il termine E[·] è indicato come il valore aspettato.
Se la variabile aleatoria è una funzione composta allora
my = E[y = g(x)] =
+∞
−∞
• Valore Quadratico Medio (V.Q.M.)
V.Q.M. = E[x 2 ] =
e nel caso di funzione composta
• Varianza
V.Q.M. = E[y 2 ] =
e nel caso di funzione composta
1.4.3 Segnali Aleatori
+∞
−∞
+∞
−∞
σ 2 x = E[(x − mx) 2 ] = V.Q.M(x) − m 2 x
Facoltà di Ingegneria 14
g(x) · fx(x)dx; (1.65)
x 2 · fx(x)dx (1.66)
g 2 (x) · fx(x)dx; (1.67)
(1.68)
σ 2 y = E[(y − my) 2 ] = V.Q.M(y) − m 2 y. (1.69)
Un segnale aleatorio, indicato con il termine x(t), può avere le due seguenti
definizioni:
1. una collezione infinita di segnali deterministici ottenuti fissando, per
ogni realizzazione, il termine aleatorio;
2. una serie infinita ed ordinata nel tempo di variabili aleatorie.
Per caratterizzare completamente un segnale aleatorio è necessario fornire
la densità di probabilità congiunta su ogni possibile combinazione di istanti
temporali:
(t1, t2, ..., tn) ←→ fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) (1.70)
valido ∀ t1, ..., tn.
Un segnale aleatorio è descritto dalle sue statistiche di ordine M quando
l’eq.(1.70) vale ∀ n ≤ M. Nei sistemi di telecomunicazioni si richiede tipicamente
M = 2, in modo da conoscere fx(x) e fx(t1),x(t2)(x1, x2).
Sono riportate adesso le principali misure statistiche di un segnale aleatorio:

• Media d’insieme
mx(t) = E[x(t)] =
e per segnali aleatori composti
my(t) = E[y(t) = g(x(t))] =
+∞
−∞
+∞
−∞
Facoltà di Ingegneria 15
x · fx(t)(x)dx (1.71)
g(x)fx(t)(x)dx (1.72)
Esempio
Si consideri il seguente segnale aleatorio y(t) = A cos(2πf0t + θ) di cui
si conosce le densità di probabilità della variabile aleatoria θ
fθ(θ) =
1
2π
0 ≤ θ ≤ 2π
0 altrimenti
Si vuole calcolare la media d’insieme. Applicando la definizione si
ottiene
my(t) = E[y(t)] =
2π
• Funzione di Autocorrelazione
0
A cos(2πf0t+θ)· 1 A
2π
dθ = sen(2πf0t+θ)| 0 = 0
2π 2π
(1.73)
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = E[x(t1) · x(t2)] =
= +∞
−∞
e per segnali aleatori composti
+∞
−∞ x1x2 · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2
Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[y(t1) · y(t2)]
= +∞
−∞
+∞
−∞ g(x1)g(x2) · fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2
Si elencano alcune proprietà della funzione di autocorrelazione:
– La funzione di autocorrelazione è una funzione pari
(1.74)
(1.75)
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx,x(τ = t2 − t1) = Rx,x(−τ); (1.76)
– Il massimo della funzione di autocorrelazione è in τ = 0
|Rx,x(τ)| ≤ Rx,x(0); (1.77)
– Se si verifica che ∃ T0 tale che Rx,x(T0) = Rx,x(0) allora ∀ k vale
che Rx,x(T0) = Rx,x(0).

Facoltà di Ingegneria 16
Esempio
Si vuole calcolare la funzione di autocorrelazione dell’esercizio precedente:
Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[A cos(2πf0t1 + θ) · A cos(2πf0t2 + θ)] =
= A2
2 E[cos(2πf0(t2 − t1)) + cos(2πf0(t1 + t2) + 2θ)] =
= A2
2 cos(2πf0(t2 − t1)) = A2
2 cos(2πf0τ).
• Valore Quadratico medio (V.Q.M.)
(1.78)
V.Q.M. = E[x 2 (t)] = Rx,x(t1, t1). (1.79)
Il V.Q.M di un segnale aleatorio corrisponde alla potenza media del
processo.
• Varianza
σ 2 x(t) = E[(x(t) − mx(t)) 2 ] = E[x(t) 2 ] − m 2 x(t); (1.80)
• Funzione di Crosscorrelazione
• Funzione di Covarianza
Rx,y(t1, t2) = E[x(t1)y(t2)]; (1.81)
Cx,x(t1, t2) = E[(x(t1) − mx(t1)) · (x(t2) − mx(t2))]; (1.82)
• Funzione di Crosscovarianza
Cx,y(t1, t2) = E[(x(t1) − mx(t1)) · (y(t2) − my(t2))]. (1.83)
Sono elencate adesso le principali proprietà dei segnali aleatori:
• Stazionarietà di un processo.
Un processo si dice stazionario in senso stretto quando si verifica che la
densità di probabilità congiunta su n istanti temporali dipende soltanto
dalla posizione relativa degli istanti temporali e non dai valori stessi
fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) =
= fx(t1+∆),x(t2+∆),...,x(tn+∆)(x1, x2, ..., xn)
(1.84)
valido ∀ t1, t2, ..., tn. Un processo si dice stazionario in senso lato
quando si verificano le due condizioni:

1. la media d’insieme non dipende dal tempo
mx(t) = mx
Facoltà di Ingegneria 17
(1.85)
2. la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla distanza
relativa tra t2 e t1 e non dai valori stessi
Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx(t1),x(t2)(t2 − t1 = τ) (1.86)
• Densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio
Per un segnale aleatorio la Trasformata di Fourier non può essere calcolata.
Per avere quindi una rappresentazione spettrale si valuta la densità
spettrale di potenza media ottenuta dalla trasformata di Fourier
della funzione di autocorrelazione:
Px,x(f) =
+∞
−∞
Rx,x(τ)e −j2πfτ dτ. (1.87)
E’ definita anche l’antitrasformata di Fourier della densità spettrale di
potenza media
Rx,x(τ) =
+∞
−∞
Px,x(f)e j2πfτ df. (1.88)
Per la densità spettrale di potenza media è sempre verificato che:
– Px,x(f) ≥ 0 ∀ f;
– Px,x(f) = Px,x(−f);
– Px = Rx,x(τ = 0) = +∞
−∞ Px,x(f)df corrispondente alla potenza
media del processo.
Esempio
La densità spettrale di potenza media di un segnale aleatorio la cui
funzione di autocorrelazione è Rx,x(τ) = A2
2 cos(2πf0τ) vale
Px,x(f) = A2
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0))
• Segnali aleatori in ingresso a sistemi lineari tempo-invarianti
Un segnale aleatorio x(t) stazionario in senso lato in ingresso ad un
sistema LTI caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) genera in uscita
al sistema un segnale, y(t), anch’esso stazionario in senso lato in cui la
media, la funzione di crosscorrelazione e la funzione di autocorrelazione
valgono:

– Media
– Crosscorrelazione
+∞
my = mx ·
−∞
Facoltà di Ingegneria 18
h(t)dt = mx · H(f = 0) (1.89)
F T
Rx,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · H ∗ (f) (1.90)
– Autocorrelazione
F T
Ry,y(τ) = Rx,x(τ) ⊗ h(−τ) ⊗ h(τ) → Px,y(f) = Px,x(f) · |H(f)| 2
(1.91)
Esempio
Un segnale aleatorio la cui funzione di autocorrelazione è y(t) = A cos(2πf0t+
θ) viene posto in ingresso ad un sistema derivatore. Si vuole calcolare
la funzione di autocorrelazione del segnale aleatorio all’uscita del sistema.
La trasformata di Fourier di un sistema derivatore è H(f) = j2πf,
sfruttando l’eq.(1.91) si ottiene
Px,x(f) = |H(f)| 2 · Px,x(f) =
= 4π 2 f 2 · A2
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0)) = 4π 2 f 2 0 · A2
4 (δ(f − f0) + δ(f + f0))
da cui antitrasformando
Ry,y(τ) = 2π 2 f 2 0 A 2 cos(2πf0τ)
1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi
Un segnale aleatorio si definisce gaussiano e bianco quando la densità di
probabilità congiunta per ogni ordine n è gaussiana e quando la densità
spettrale di potenza media è costante ∀ f, Px,x(f) = C.
Il rumore termico, trattato nel capitolo 3, è un esempio di segnale aleatorio
gaussiano e bianco.
1.4.5 Rumore AWGN
Il rumore AWGN, n(t), è un segnale aleatorio che soddisfa le seguenti condizioni:
• rumore stazionario in senso lato;
• segnale aleatorio additivo sul segnale utile;

• segnale aleatorio gaussiano e bianco;
• segnale aleatorio con media d’insieme nulla.
Facoltà di Ingegneria 19
La costante della densità spettrale di potenza media viene indicata con il
termine N0
2 se viene fatto riferimento alla densità bilatera, altrimenti N0 se
viene fatto riferimento alla densità monolatera.
1.4.6 Banda equivalente e Banda a −3dB
• Banda equivalente
La definizione di Banda equivalente per un sistema LTI con risposta
impulsiva h(t) è la seguente:
Beq =
+∞
|H(f)| 0
2df max|H(f)| 2 . (1.92)
Il significato di banda equivalente è quello di avere un sistema LTI equivalente
in cui Heq(f) ha un andamento passa-basso ideale con banda
(−Beq, Beq) ed ampiezza max|H(f)| 2 ed in cui, se in ingresso è posto
un segnale aleatorio bianco, la potenza media dei due sistemi (reale ed
equivalente) è uguale:
Py = N0
2
+∞
−∞
|H(f)| 2 df ↔ N0
2 · max|H(f)|2 · 2Beq
(1.93)
• Banda a −3dB
E’ definita come la frequenza del filtro H(f) di un sistema LTI che
verifica la condizione:
|H(f−3dB)| 2 = 1
2
(1.94)
Esempio
Sia h(n) la risposta impulsiva di un sistema LTI la cui risposta in frequenza
è
1
H(f) =
1 + j f . (1.95)
fc
Si richiede di calcolare la banda equivalente e la banda a −3dB.
Per quanto riguarda la banda equivalente:
|H(f)| 2 =
1 +
1
2 f
fc

con
e
+∞
0
1 +
1
f
fc
max|H(f)| 2 = 1 in f = 0
Facoltà di Ingegneria 20
+∞
1
2 df = fc ·
f
v= fc 0 1 + v2 dv = fc · atan(v)| +∞
0 = fc · π
2 .
La banda equivalente è quindi uguale a Beq = π
2 fc.
Per quanto riguarda invece la banda a −3dB si ottiene
1 +
1
f
fc
2 = 1
2
da cui B−3dB = fc. Da cui si osserva che in questo esempio la Beq > B−3dB

Capitolo 2
Prestazioni di un collegamento
Si faccia riferimento alle slides “Prestazioni di un collegamento” consultabili
alla “Home Page” del corso.
21

Capitolo 3
Rumore Introdotto dai
Dispositivi Elettronici
In questo capitolo sono descritte le principali fonti del processo di rumore
presenti nei sistemi di telecomunicazione, e di come ne venga tenuto in
considerazione in fase progettuale. Vedremo che il rumore è modellato matematicamente
come un segnale aleatorio, da cui è possibile calcolare la potenza
media, utile nel calcolo del rapporto segnale-rumore caratterizzante il sistema
di trasmissione. Principalmente tratteremo il rumore termico in quanto
in ogni collegamento tra modulatore e demodulatore avremo sempre a che
fare con questa forma di rumore.
3.1 Rumore Termico
Ogni elemento conduttore è caratterizzato da perdite resistive, che circuitalmente
indichiamo con R. Un resistore che si trova ad una temperatura
superiore allo zero Kelvin (0 ◦ K) produce ai suoi capi una tensione rumorosa
misurabile a circuito aperto. Tale tensione rumorosa è dovuta all’agitazione
termica degli elettroni che si muovono in modo caotico all’interno della
resistenza. La resistenza rumorosa, Rn, è possibile rappresentarla equivalentemente
come un resistore non rumoroso in serie ad un generatore di tensione,
figura 3.1. Il generatore produce un segnale aleatorio di tensione, v(t), la cui
densità spettrale di potenza media è
Pv,v(f) = 2Rh|f|
e h|f|
kT − 1
(3.1)
dove h è la costante di Plank, uguale a 6.63 · 10 −34 , T è la temperatura del
resistore espressa in gradi Kelvin e k è la costante di Boltzmann, uguale a
22

Facoltà di Ingegneria 23
1.38 · 10 −23 .
La trasformazione che consente di esprimere una temperatura da gradi centigradi
a gradi kelvin è la seguente
T◦ k = T◦ C + 273. (3.2)
Inoltre la temperatura T = 17 ◦ C corrispondente a T = 290K è indicata come
temperatura ambiente T0.
Se si considera a temperatura ambiente la condizione h|f|
kT0
Figura 3.1: Resistenza rumorosa e rappresentazione equivalente

Facoltà di Ingegneria 24
Se la densità spettrale di potenza media del rumore termico è calcolata sulla
banda del segnale utile modulante (cioè il segnale informativo che deve essere
trasmesso), si ottiene
Pc =
dove il termine kT
2
bilatera).
B
−B Pv,v(f)df
4R
= 2RkT · (2B)
4R
viene indicato con N0
2
= kT
2
· (2B) = kT B (3.5)
(densità spettrale di potenza media
Figura 3.2: Trasferimento di potenza della resistenza rumorosa ad un carico Zc
3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi
due porte
Si consideri una rete due porte mostrata in figura 3.3 in cui sono note le
tensioni e le correnti in ingresso ed in uscita, Vi, Vu, Ii e Iu. Per tale dispositivo
può essere definito il guadagno in tensione, in corrente o in potenza del
dispositivo:
GV = Vu
Vi
GI = Iu
Ii
GP = Pu
(3.6)
Pi
Nella trattazione successiva faremo sempre riferimento al guadagno in potenza,
GP = G.
Per definire la temperatura equivalente consideriamo quindi di avere un

Figura 3.3: Dispositivo due porte
Facoltà di Ingegneria 25
dispositivo due porte al cui ingresso è posta una resistenza rumorosa e che le
impedenze viste dalla porta di ingresso e di uscita siano poste in condizione
di massimo trasferimento di potenza, figura 3.4(a). Per tale dispositivo la
potenza media in uscita è uguale a
Pu = G · Pi + Pd = GkTiB + Pd
(3.7)
dove Pd è la potenza media di rumore, di cui non ne conosciamo la natura,
introdotta dal dispositivo.
La temperatura equivalente rappresenta l’incremento di temperatura che deve
essere fornita al resistore di ingresso in modo tale da ottenere la stessa
potenza media di rumore in uscita al dispositivo supposto non rumoroso,
3.4(b),:
Il termine
Pu = Gk(Ti + Teq)B = GkTiB + GkTeqB = GkTiB + Pd. (3.8)
Tu = G · (Ti + Teq) (3.9)
prende il nome di temperatura di uscita del dispositivo due porte.
3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte
La figura di rumore serve per avere una misura di rumorosità del dispositivo
due porte. E’ definita come il rapporto tra la potenza media di rumore
all’uscita del dispositivo due porte e la potenza media di rumore all’uscita
del dispositivo supponendo che la rete due porte non introduca rumore:
F = Pu
G · Pi
(3.10)
Esprimendo con Si ed Su le potenze medie in ingresso ed uscita al dispositivo
del segnale utile, l’eq.(3.10) può essere scritta anche come
F = Si
Si
· Pu
G · Pi
= Pu
·
G · Si
Si
Pi
= SNRi
. (3.11)
SNRu

Facoltà di Ingegneria 26
Figura 3.4: Temperatura equivalente: a) dispositivo rumoroso; b) rappresentazione
equivalente con dispositivo due porte non rumoroso ed incremento della temperatura di
ingresso di Teq
L’eq.(3.10) è sempre maggiore o uguale ad 1 visto che la potenza media di
rumore in uscita potrà essere uguale al limite alla potenza media di rumore
in ingresso amplificata in potenza.
3.1.3 Rete Attiva
Il guadagno in potenza può essere maggiore di 1, in quel caso si parla di rete
attiva o di amplificatore figura 3.5(a), mentre quando è minore di 1 si ha una
rete passiva (attenuatore) figura 3.5(b). Una rete attiva è costituita circuitalmente
da resistenze, condensatori e induttanze mentre una rete passiva da
sole resistenze. Svolgendo l’eq.(3.10) relativa alla figura di rumore si ottiene:
F = Gk(Ti + Teq)B
GkTiB
= 1 + Teq
. (3.12)
Poichè in tale espressione la figura di rumore, che rappresenta una misura
di rumorosità del solo dispostivo, dipende anche dalla temperatura della resistenza
in ingresso, si fissa la Ti alla temperatura ambiente, ottenendo così
l’espressione della figura di rumore e della temperatura equivalente per una
rete attiva:
F = 1 + Teq
(3.13)
T0
Ti
Teq = T0 · (F − 1). (3.14)
Se si vuole calcolare il SNRu noto il SNRi e la figura di rumore è necessario
utilizzare la seguente equazione
SNRu = SNRi
1 + Teq
Ti
= SNRi
1 + Teq
T0
· T0
Ti
=
1 + T0
Ti
SNRi
· (F − 1)
(3.15)

Facoltà di Ingegneria 27
Figura 3.5: Rappresentazione a blocchi di: a) un amplificatore; b) un attenuatore
3.1.4 Rete Passiva
In una rete passiva il guadagno è minore di 1 e quindi esprimibile anche come
G = 1
A
(3.16)
dove A è indicata con il termine di attenuazione.
Supponiamo ora tutti i componenti alla stessa temperatura e quindi Ti = Tu,
si ottiene
Tu = G · (Ti + Teq) = Ti
(3.17)
e quindi le espressioni della temperatura equivalente e della figura di rumore
di una rete passiva valgono
Teq = Ti ·
F = 1 + Teq
3.1.5 Formule di Friis
1 − G
= Ti · (A − 1) (3.18)
G
Ti
= 1 + A − 1 = A (3.19)
Se più dispositivi due porte sono posti in cascata, figura 3.6, è noto che il
guadagno in potenza complessivo è dato da
G =
N
Gi. (3.20)
i=1
Si vuole determinare anche la temperatura equivalente e la figura di rumore
complessiva di tutte rle reti due porte.

Facoltà di Ingegneria 28
Consideriamo per il momento di avere soltanto due dispositivi e di estendere
successivamente i risultati ottenuti ad N dispostivi. Con due dispositivi,
figura 3.6, vale ⎧ ⎨
da cui
⎩
Tu1 = G1 · (Ti + Teq1)
Tu2 = G2 · (Tu1 + Teq2)
Tu2 = G1G2 · (Ti + Teq)
Figura 3.6: Due dispositivi due porte in cascata
(3.21)
Tu2 = G2(G1(Ti+Teq1)+Teq2) = G1G2Ti+G1G2Teq1+G2Teq2 = G1G2(Ti+Teq)
(3.22)
e quindi
con la figura di rumore complessiva
Teq = Teq1 + Teq2
G1
(3.23)
F = F1 + F2 − 1
. (3.24)
Dalle due equazioni determinate si osserva che se il dispositivo a monte è
una rete passiva, G = 1/A < 1, il secondo termine della somma può crescere
proporzionalmente in funzione di A. Per limitarne gli effetti viene posto a
monte di un attenuatore, se possibile, un amplificatore a basso rumore (LNA)
in modo da ridurre la rumorosità complessiva del sistema.
Estendendo i risultati ad N dispositivi, figura 3.7 , si ottengono le formule
di Friis
Teq = Teq1 +
F = F1 +
N
i=2
N
i=2
Teqi
i−1
j=1 Gj
Fi − 1
i−1
j=1 Gj
G1
= Teq1 + Teq2
G1
= F1 + F2 − 1
G1
+ Teq3
+ ... (3.25)
G1G2
+ F3 − 1
G1G2
+ .... (3.26)

Figura 3.7: N dispositivi due porte in cascata
3.1.6 Temperatura di Sistema
Facoltà di Ingegneria 29
In un sistema con N dispositivi due porte la temperatura di sistema è definita
all’ingresso del primo dispositivo come
Tsist1 = Ti + Teq
mentre all’ingresso del secondo dispositivo
all’ingresso del terzo dispositivo
Tsist2 = G1 · Tsist1
Tsist3 = G2 · Tsist2 = G2G1 · Tsist1
(3.27)
(3.28)
(3.29)
e così via...
La temperatura di sistema è utile nel calcolo del rapporto segnale rumore in
uscita a tutti i dispositivi in quanto
SNRu = SNRi|Ti=Tsist 1
(3.30)
cioè utilizzando la temperatura di sistema il SNR si mantiene costante ed
uguale a quello di uscita.
3.1.7 Rumore nei Ripetitori
Analizziamo il problema con riferimento ad un collegamento radio, anche se la
trattazione può essere estesa ad altre tecniche trasmissive. Supponiamo che il
collegamento da effettuare tra la stazione trasmittente e la stazione ricevente
sia molto lungo, tanto da impedirne la realizzazione mediante un’unica tratta,
o a causa dell’eccessiva attenuazione disponibile, oppure per la mancanza di
condizioni di visibilità. In questo caso è necessario suddividere il collegamento
in più tratte (consideriamo M tratte). Tra ogni coppia di tratte si trova un
ripetitore,che può essere non rigenerativo oppure rigenerativo.

Facoltà di Ingegneria 30
• Ripetitori non rigenerativi
Nel caso di ripetitori non rigenerativi il segnale tra una tratta ed un’altra
viene semplicemente amplificato. Di solito l’amplificatore ha un
guadagno tale da compensare le perdite dell’attenuatore, Gamp = Aatt.
Nel caso in cui si utilizzi per la trasmissione una modulazione analogica,
il SNR complessivo è il seguente
SNR =
1
N 1
i=1 SNRi
(3.31)
dove SNRi è il rapporto segnale-rumore ottenuto su ogni singola tratta.
Per le modulazioni digitali invece il rapporto energia per bit su densità
spettrale di potenza media monolatera è
Eb
N0
=
1
N
i=1
1
E b
N 0 |i
(3.32)
• Ripetitori rigenerativi
Nei ripetitori rigenerativi il segnale non soltanto viene amplificato,
ma anche demodulato. In particolare vengono eseguite le seguenti
operazioni:
1. Il segnale è amplificato con un amplificatore a basso rumore;
2. Successivamente è demodulato;
3. Elaborato e rimodulato ad una frequenza f2 diversa dalla frequenza
di arrivo f1 per non generare interferenza;
4. Amplificato con un amplificatore ad elevato guadagno in potenza.
Nel caso di modulazioni digitali la probabilità di errore può essere
approssimata con la seguente espressione
dove Pei
Pe ∼ =
N
i=1
Pei
sono le probabilità di errore calcolate su singola tratta.
3.2 Rumore Shot
(3.33)
Il rumore shot è causato da dispositivi elettronici o fotoelettronici quali diodi
o fotodiodi; l’effetto che si ottiene da un punto di vista circuitale è che la

Facoltà di Ingegneria 31
corrente non ha un andamento deterministico ma è soggetta anche ad una
componente aleatoria
iN(t) = I0 + i(t) (3.34)
Tale rumore si presenta quando la corrente che fluisce in un determinato
dispositivo è costituita da portatori discreti, che vengono emessi in istanti
casuali e si muovono liberamente per un certo tratto prima di essere raccolti.
La condizione, in sostanza, è che ciascun elettrone, sotto l’azione di un
campo elettrico, attraversi lo spazio compreso fra gli elettrodi conservando
la sua individualità, senza cioè che avvengano collisioni o ricombinazioni con
altri portatori di carica. Il caso tipico che illustra questo comportamento è
quello di un diodo a vuoto: gli elettroni vengono emessi dall’anodo per effetto
termoionico in istanti casuali, si muovono nello spazio fra gli elettrodi con un
moto di deriva uniformemente accelerato e poi vengono raccolti al catodo.
Questo meccanismo shot viene definito di tipo macroscopico, poichè è possibile
separare nettamente l’emissione dei portatori ed il moto libero. Anche il
rumore che ha origine nella zona di giunzione in un diodo a semiconduttore
è dello stesso tipo.
La densità spettrale di potenza media di tale corrente rumorosa detta granulare
è
Pi,i(f) = qI0
(3.35)
dove q è la carica di Coloumb, q = 1.59 10 19 .
La potenza media di rumore è quindi Pi = qI0 · 2B
3.3 Rumore Flicker
E’ un rumore presente nei semiconduttori e in alcuni tipi di resistori. A
differenza del rumore termico e del rumore shot che sono rumori bianchi, il
rumore flicker presenta la seguente densità spettrale di potenza media
Pi,i(f) = aI2 0
|f| γ
(3.36)
Esso compare in modo significativo a frequenze molto basse (al di sotto della
decina di hertz) e la sua densità spettrale cresce al diminuire della frequenza.
Il rumore flicker è legato a fenomeni provvisti di un certo grado di memoria.
Infatti, l’andamento dello spettro, che cresce andando verso le basse
frequenze, ci dice che due misure successive di una grandezza affetta da rumore
flicker sono fra loro correlate. In sostanza, anche se in modo piuttosto
approssimativo, possiamo dire che la frequenza dei disturbi di questo tipo è
inversamente proporzionale alla loro intensità. Questo fatto, d’altra parte,

Facoltà di Ingegneria 32
non è certo sorprendente se si suppone che il sistema sia dotato di una certa
memoria, infatti, un disturbo più intenso lascia una traccia più duratura.
Il rumore flicker, inoltre, è estremamente dannoso per le misure di precisione.
Infatti, se non esistesse il rumore flicker, sarebbe possibile ottenere misure
accurate a proprio piacimento semplicemente allungando il tempo di osservazione.
Vale la pena ricordare che questo rumore compare in una serie di fenomeni
estremamente disparati: non solo le fluttuazioni di resistenza nei materiali
semiconduttori, ma anche il battito cardiaco, il flusso delle correnti oceaniche,
le oscillazioni dell’asse terrestre, il flusso della sabbia che scende in una
clessidra, ecc...

Capitolo 4
Modulazioni di Ampiezza
L’operazione di modulazione viene generalmente effettuata sul segnale informativo
prima di trasmetterlo nel canale di comunicazione e ha lo scopo di
trasformare il segnale stesso in una forma più adatta per la sua trasmissione
a distanza.
La modulazione consiste nel far variare le caratteristiche di un segnale sinusoidale,
detto portante, in funzione del segnale informativo s(t), detto segnale
modulante. Le modulazioni si distinguono in modulazioni analogiche e modulazioni
digitali; le prime sono utilizzate per trasmettere segnali analogici,
mentre le seconde segnali digitali. In questo capitolo e nel prossimo saranno
descritte le principali tecniche di modulazione per i segnali analogici, mentre
nel capitolo 6 saranno descritte le modulazioni digitali.
Indichiamo con s(t) il segnale informativo da trasmettere; s(t) prende il nome
di segnale modulante. Consideriamo quindi un segnale sinusoidale v(t) con
ampiezza V0, frequenza f0 e fase Φ0, cioè:
c(t) = V0cos(2πf0t + Φ0) (4.1)
Il segnale c(t) rappresenta la portante ed il processo di modulazione consiste
nel far variare l’ampiezza V0, la frequenza f0 e la fase della portante in funzione
del segnale modulante s(t).
In questo capitolo sono descritti diversi tipi di modulazione di ampiezza,
in cui cioè l’ampiezza del segnale trasmesso varia in modo proporzionale al
segnale modulante, mentre la frequenza e la fase rimangono costanti. Per
semplicità consideriamo successivamente Φ0 = 0. Nel capitolo 5 saranno invece
descritte le modulazioni di frequenza e di fase, in cui la frequenza o la
fase del segnale trasmesso variano proporzionalmente al segnale modulante,
mentre l’ampiezza rimane costante.
33

4.1 Modulazione AM
4.1.1 Caratteristiche del segnale AM
Facoltà di Ingegneria 34
Una tecnica di modulazione di ampiezza molto utilizzata nelle applicazioni
pratiche è quella indicata con il termine AM (Amplitude Modulation). Dato
il segnale modulante s(t), il segnale modulato AM può essere espresso nella
seguente forma:
y(t) = V0[1 + k · s(t)]cos(2πf0t) (4.2)
dove k è una costante tale che
|k · s(t)| ≤ 1 (4.3)
Con m viene indicato l’indice di modulazione AM ed è così definito
m = k · max|s(t)|. (4.4)
Nel caso in cui m ≤ 1, il termine V0[1 + k · s(t)] è sempre positivo. Si definisce
inviluppo superiore del segnale y(t) la curva che unisce i valori assunti
dal segnale y(t) in corrispondenza degli istanti in cui c(t) = V0, mentre si
definisce inviluppo inferiore la curva che unisce i valori del segnale y(t) in
corrispondenza agli istanti in cui c(t) = −V0. Nel caso in cui m ≤ 1 l’inviluppo
superiore è sempre positivo, mentre l’inviluppo inferiore risulta sempre
negativo o uguale a 0. Il motivo per cui m deve essere minore o uguale a 1
risulta chiaro anche dei segnali rappresentati nella figura 4.1. La portante
(4.1) è mostrata nella figura 4.1(a) ed il segnale modulante s(t), supposto
di tipo sinusoidale, è mostrato nella figura 4.1(b). Nella figura 4.1(c) viene
rappresentato il segnale modulato y(t) nel caso in cui m = 0.7, mentre il caso
m = 1 è rappresentato in figura 4.1(d). Come si può osservare da queste
figure l’inviluppo superiore ed inferiore del segnale modulato sono proporzionali
al segnale modulante, per cui s(t) può essere correttamente recuperato
dall’inviluppo. Questa proprietà sarà particolarmente utile per effettuare la
demodulazione di y(t) e quindi per il recupero del segnale modulante. Nella
figura 4.1(e) è mostrato il caso in cui m = 1.3. L’inviluppo superiore e quello
superiore interferiscono l’uno con l’altro ed in questo caso non è più possibile
recuperare il segnale modulante dall’inviluppo (condizione valida per tutti i
valori di m > 1). Nel caso in cui m = 1 si dice che il segnale è modulato al
100% mentre quando m > 1 si ha sovramodulazione.
4.1.2 Spettro del segnale AM
Lo spettro di un segnale modulato AM può essere facilmente calcolato in
funzione di quello del segnale modulante s(t). Supponiamo che s(t) abbia

Facoltà di Ingegneria 35
Figura 4.1: Modulazione AM: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale AM con
m = 0.7; d) segnale AM con m = 1; e) segnale m = 1.3

Facoltà di Ingegneria 36
uno spettro S(f) tra (−B, B), come è schematicamente mostrato in figura
4.2(a). Essendo s(t) un segnale reale, si ha:
s(t) = 2
B
0
|S(f)|cos(2πf0t − Θ(f))df (4.5)
dove S(f) e Θ(f) rappresentano rispettivamente lo spettro di ampiezza e di
fase di S(f). Il segnale modulato AM, y(t), può essere scritto nella forma:
y(t) = V0cos(2πf0t)+k·V0
B
0
|S(f)| cos(2π(f+f0)t−Θ(f))+cos(2π(f−f0)t−Θ(f)) df.
(4.6)
Lo spettro del segnale AM è quindi costituito (analizzando le sole frequenze
positive) da una delta di dirac a frequenza f0 con un valore pari a V0 e da 2
due bande laterali, superiore ed inferiore, come mostrato schematicamente in
figura 4.2(b). La banda di tramissione necessaria a trasmettere un segnale
AM è quindi 2B, essendo B la massima frequenza del segnale s(t).
Figura 4.2: Spettro del segnale AM: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del
segnale AM
4.1.3 Potenza del segnale modulato AM
La potenza media, Ptx, necessaria per trasmettere un segnale modulato AM
dipende dal segnale modulante. Applicando la definizione di potenza di un

segnale, si ha:
Ptx =
Facoltà di Ingegneria 37
2 V
0
1 + k
2
2 · s2
(t) + 2k · s(t) . (4.7)
purchè f0 >> 2B.
In molte applicazioni il valor medio s(t), cioè s(t), è uguale a 0, per cui:
Ptx = 1 + k 2
· Pm
(4.8)
V 2
0
2
dove Pm = s 2 (t) rappresenta la potenza del segnale modulante s(t). Essendo
m ≤ 1, il termine k 2 · Pm risulta minore o uguale ad 1, per cui la potenza
spesa per trasmettere la portante risulta maggiore di quella utilizzata per
trasmettere le due bande laterali, che rappresentano il segnale informativo
utile per l’utente.
Esempio
Se il segnale modulante è sinusoidale s(t) = Vmcos(2πfmt) allora la potenza
del segnale trasmesso in AM è uguale a
essendo Pm = V 2 m
2 .
Ptx =
4.1.4 Modulatori AM
V 2
0
2 + k2V 2 mV 2
0
4
(4.9)
Lo schema di principio di un modulatore AM è mostrato nella figura 4.3(a) e
prende il nome di modulatore quadratico, cioè un dispositivo in cui il segnale
di uscita v2(t) può essere rappresentato in funzione di quello di ingresso v1(t)
nella seguente forma:
v2(t) = a1v1(t) + a2v 2 1(t) (4.10)
dove a1 e a2 sono due costanti: la caratteristica del dispositivo quadratico è
mostrata nella figura 4.3(b). Nel nostro caso si ha:
v1(t) = V0cos(2πf0t) + s(t). (4.11)
Il segnale all’uscita del dispositivo quadratico può essere scritto nella forma:
v2(t) = a1s(t)+a2s 2 2 a2V
0
(t)+ +
2
a2V 2
0
2 cos(4πf0t)+a1V0
1+ 2a2
·s(t) cos(2πf0t)
a1
(4.12)
Se B è la massima frequenza contenuta in s(t), s2 (t) occupa una banda tra
(−2B, 2B), per cui il segnale all’uscita del filtro passa-banda centrato su f0
risulta:
y(t) = a1V0 1 + 2a1
· s(t) cos(2πf0t) (4.13)
a2
da cui si ottiene l’espressione del segnale modulato in AM posto k = 2a2
a1 .

Facoltà di Ingegneria 38
Figura 4.3: Modulatore AM: a) schema a blocchi del modulatore; b) caratteristica del
dispositivo non lineare
4.1.5 Demodulatori AM
L’operazione di demodulazione viene generalmente effettuata al ricevitore
per recuperare dal segnale ricevuto il segnale informativo s(t). La modulazione
AM presenta il vantaggio di richiedere circuiti di demodulazione molto
semplici. Esistono due tipi di demodulatori:
• Con recupero della portante (f0)
Lo schema di demodulazione è riportato in figura 4.4. Com è si osserva
per demodulare correttamente il segnale è necessario conoscere
esattamente la frequenza e la fase della portante c(t). Una volta nota
il segnale ricevuto è moltiplicato per cos(2πf0t) così da ottenere:
v(t) = cos(2πf0t) · y(t) = V0
2 (1 + k · s(t))(1 + cos(4πf0t)) (4.14)
Il segnale v(t) è successivamente filtrato passa-basso e dal segnale filtrato
è sottratto il termine V0 in modo da ottenere il segnale modulante:
2
u(t) = (v(t) hlp(t)) − V0
2
V0
V0
= (1 + k · s(t)) −
2 2
V0
= k · s(t) (4.15)
2
• Senza recupero della portante (f0)
Il circuito più utilizzato per demodulare un segnale AM è quello mostrato
nella figura 4.5(a), che prende il nome di rivelatore di inviluppo.
Tale circuito è formato da un diodo, che viene polarizzato in modo da
lasciar passare soltanto le semionde positive (oppure quelle negative)

Figura 4.4: Demodulatore AM con recupero della portante
Facoltà di Ingegneria 39
del segnale modulato. La capacità del condensatore, C, si carica seguendo
l’andamento delle semionde positive; quando l’ampiezza della
semionda diminuisce, il condensatore tende a scaricarsi sulla resistenza
R, per cui anche la tensione ai capi di C tende a diminuire. Tuttavia,
scegliendo opportunamente il valore della costante di tempo RC,
si può fare in modo che la capacità si scarichi lentamente. Quando la
successiva semionda del segnale torna a crescere, la tensione ai capi del
condensatore è diminuita di poco. In questo modo la tensione ai capi
del condensatore segue approssimativamente l’andamento dell’inviluppo
del segnale modulato. Alcuni esempi sono mostrati nella figura 4.5.
Il segnale ricostruito mediante il rivelatore di inviluppo è distorto rispetto
al segnale s(t). La distorsione dipende dalla scelta della costante
di tempo RC. Se RC è troppo grande, il demodulatore non riesce a
riprodurre in modo corretto rapide variazioni presenti nel segnale modulante;
al contrario se è troppo piccolo, il condensatore si scarica rapidamente
durante i periodi di semionda negativi ed il segnale riprodotto
presenta forti distorsioni. In generale occorre scegliere RC in modo tale
che:
1

Facoltà di Ingegneria 40
Figura 4.5: Demodulatore AM: a) demodulatore AM di inviluppo; b), c) e d) esempi di
segnali modulati per diversi valori di RC
Per il segnale modulato AM, il rivelatore di inviluppo quindi recupera, se
ben progettato, il segnale
R(t) = |V0(1 + k · s(t))|. (4.19)
4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM
L’operazione di demodulazione influenza il rapporto segnale/rumore, SNR,
il quale caratterizza la qualità del segnale ricevuto e quindi del sistema di comunicazione.
Il calcolo di SNR è spesso difficile da effettuare in modo esatto:
per questo motivo sarà considerato un rumore AWGN visto che rappresenta
il tipo di rumore più semplice da analizzare. Infatti, come noto, i valori di
rumore in istanti temporali diversi risultano essere incorrelati.
Consideriamo il segnale modulato AM secondo l’eq.(4.2). Il segnale ricevuto
può essere così scritto:
r(t) = y(t) + n(t) (4.20)
dove n(t) rappresenta il rumore introdotto dal sistema di comunicazione che
supporremo AWGN con densità spettrale di potenza media bilatera uguale

Facoltà di Ingegneria 41
a N0 . Il rumore all’ingresso del demodulatore risulta essere limitato in ban-
2
da dopo aver attraversato numerosi stadi di amplificazione e conversione di
frequenza. Nel seguito si suppone che la banda occupata dal segnale ricevuto
r(t) sia coincidente con quella del segnale modulato. Lo schema del
ricevitore può quindi essere considerato quello mostrato nella figura 4.6(a).
Il filtro passa-banda, supposto ideale, serve per limitare lo spettro del se
gnale ricevuto e quindi anche del rumore nella banda
,
f0 − Btx
2 , f0 + Btx
2
dove Btx rappresenta la banda del ricevitore, figura 4.6(b). Utilizzando la
Figura 4.6: Circuito di demodulazione AM considerato per il calcolo del rapporto
segnale-rumore: a) schema del ricevitore; b) funzione caratteristica del filtro passa-banda
rappresentazione a banda stretta del rumore, è possibile scrivere:
r(t) = V0(1 + k · s(t)) + a(t) cos(2πf0t) − b(t)sen(2πf0t) (4.21)
dove a(t) e b(t) sono le componenti in fase e quadratura del rumore (due segnali
aleatori scorrelati, a media nulla, con densità di probabilità gaussiana
e densità spettrale di potenza media uguale ad N0 nella banda (−B, B).
Per valutare l’effetto dell’operazione di demodulazione sulla qualità del segnale,
conviene confrontare il SNR all’uscita del demodulatore con quello
all’ingresso del demodulatore. Tale rapporto prende il nome di fattore di
merito:
Fm = SNRu
SNRi
(4.22)
e misura quanto il rapporto SNR all’uscita del demodulatore migliora o peggiora
rispetto al SNR all’ingresso del demodulatore.

Facoltà di Ingegneria 42
Il calcolo della potenza del segnale nell’eq.(4.21) non è semplice a causa dei
termini misti in cui compare sia il segnale che il rumore. Per questo motivo
il SNR viene determinato considerando le seguenti ipotesi:
1. la potenza del segnale utile è calcolata in assenza di rumore, cioè n(t) =
0;
2. la potenza del rumore è calcolata in assenza di segnale utile, cioè y(t) =
0;
3. La potenza media del rumore all’ingresso del demodulatore è calcolata
nella banda del segnale modulante (−B, B) in modo tale da ottenere
una misura indipendente dalla banda di trasmissione.
In queste ipotesi la potenza del segnale utile, per la modulazione AM, all’ingresso
del demodulatore risulta, come determinato già nell’eq.(4.8)
Si =
2 V
0
1 + k
2
2
· Pm
(4.23)
La potenza media del rumore all’ingresso del demodulatore AM risulta uguale
a
B
B
Ni = Pn,n(f)df =
N0
2 df = N0B (4.24)
−B
Il SNR all’ingresso del demodulatore AM risulta così uguale a
SNRi =
V 2
0 1 + k2
· Pm
2N0B
−B
(4.25)
Un demodulatore AM ideale recupera il segnale k·s(t). In presenza di rumore,
il segnale all’uscita di un demodulatore AM ideale risulta uguale a:
r ′
(t) = V0k · s(t) + a(t). (4.26)
In assenza di rumore il segnale r ′
(t) ha una potenza uguale a
Su = V 2
0 k 2 s 2 (t) (4.27)
mentre per la potenza media di rumore, annullando il segnale utile, si ottiene
Nu =
B
−B
Pa,a(f)df =
B
−B
N0df = 2N0B (4.28)

Facoltà di Ingegneria 43
considerando la densità spettrale di potenza media della componente
in fase
f
(e quadratura) uguale a Pa,a(f) = Pb,b(f) = N0rect . 2B
Il SNR all’uscita del demodulatore è così uguale a
SNRu =
V 2
0 k 2 s 2 (t)
2N0B
. (4.29)
Combinando le eq.(4.25) e (4.29), la Fm del demodulatore AM risulta uguale
a
Fm = SNRu
SNRi
= k2 s 2 (t)
1 + k 2 s 2 (t) = k2 Pm
1 + k 2 Pm
(4.30)
per cui Fm < 1 e quindi il SNRu è sempre minore all’SNRi. Si può concludere
quindi affermando che il processo di demodulazione AM degrada la
qualità del segnale ricevuto.
Esempio
Si consideri il segnale modulante sinusoidale. Dato m = k · Vm e la potenza
Pm = V 2 m
2
, si ottiene
Fm = m2
. (4.31)
2 + m2 Considerando che 0 ≤ m ≤ 1, il massimo valore di Fm per un segnale sinusoidale
in una modulazione AM si verifica quando m = 1 e risulta uguale a
Fm = 1
3 .
4.2 Modulazione DSB
4.2.1 Caratteristiche del segnale DSB
Come abbiamo visto in precedenza, nella modulazione AM classica una notevole
parte della potenza generata dal trasmettitore viene utilizzata per
trasmettere la portante a frequenza f0. Tuttavia, tale portante non contiene
nessuna informazione relativa al segnale modulante, per cui si può evitare di
trasmetterla. In queto caso si ottiene una modulazione di ampiezza a doppia
banda laterale con la portante soppressa, indicata generalmente con la sigla
DSB (Double Side Band).
Dato il segnale modulante, il segnale modulato DSB è:
y(t) = V0s(t)cos(2πf0t) (4.32)
Nella figura 4.7(a) viene mostrata la portante e nella figura 4.7(b) un segnale
modulante di tipo sinusoidale. Il segnale modulato DSB corrispondente è

Facoltà di Ingegneria 44
mostrato nella figura 4.7(c). Come si può notare l’inviluppo superiore del
segnale non è più distinto da quello inferiore, per cui non sarà possibile
recuperare correttamente il segnale dell’inviluppo del segnale modulato, al
contrario di quanto non accade nella modulazione AM classica.
Figura 4.7: Segnale DSB: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale modulato
4.2.2 Spettro del segnale DSB
Lo spettro Y (f) del segnale DSB può essere calcolato facilmente utilizzando
alcune proprietà della trasformata di Fourier. Dall’eq.(4.32) si ottiene:
Y (f) = V0
2 [S(f − f0) + S(f + f0)] (4.33)
dove S(f) è lo spettro del segnale modulante. Come esempio, lo spettro
S(f) del segnale modulante è mostrato nella figura 4.8(a), mentre lo spettro

Facoltà di Ingegneria 45
Y (f) del segnale DSB corrispondente è rappresentato nella figura 4.8(b). Lo
spettro Y (f) di un segnale DSB differisce da quello di un segnale AM per la
mancanza delle due delta di dirac centrate a frequenza f0 e −f0. La banda
di trasmissione di un segnale DSB è uguale alla banda di trasmissione di un
segnale AM, cioè Btx = 2B.
Figura 4.8: Spettro di un segnale DSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del
segnale DSB
4.2.3 Potenza di un segnale DSB
La potenza di un segnale DSB può essere calcolata facilmente dall’eq.(4.32)
e risulta uguale a :
Ptx =
V 2
0 s 2 (t)
2
= V 2
0 Pm
2
(4.34)
Tutta la potenza Ptx viene utilizzata per trasmettere le due bande laterali.
Esempio
Dato un segnale modulante sinusoidale, il segnale DSB risulta:
y(t) = V0Vmcos(2πfmt)cos(2πf0t) = V0Vm
V0Vm
cos(2π(f0−fm)t)+
2 2 cos(2π(f0+fm)t).
(4.35)
La potenza richiesta a trasmettere questo segnale è:
Ptx =
2 V
V0 2 m
2
2
= V 2
0 V 2 m
4
. (4.36)

4.2.4 Modulatore DSB
Facoltà di Ingegneria 46
La modulazione DSB è ottenuta effettuando semplicemente il prodotto tra il
segnale modulante s(t) e la portante. Lo schema del modulatore prodotto è
mostrato nella figura 4.9.
Figura 4.9: Modulatori DSB: a) modulatore prodotto; b) modulatore bilanciato
4.2.5 Demodulatore DSB
Il segnale DSB non può essere demodulato mediante circuiti a rivelazione
di inviluppo, come nel caso del segnale AM. In questo caso è necessario
rigenerare al ricevitore la portante utilizzata dal trasmettitore, ricostruendo
in modo esatto sia la fase, sia la frequenza (demodulazione coerente).
Lo schema generale di un demodulatore DSB è mostrato nella figura 4.10.
Il segnale ricevuto viene moltiplicato per la portante ricostruita al ricevitore
e filtrato mediante un filtro passa-basso. Nel caso in cui la frequenza e la
fase del segnale generato in ricezione dall’oscillatore locale sia uguale a quella
generata dal trasmettitore, il segnale z(t) dopo il moltiplicatore risulta:
z(t) = V0
2 s(t)[1 + cos(4πf0t)] (4.37)
per cui il segnale z ′
(t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso è
z ′
(t) = V0
s(t) (4.38)
2
che risulta proporzionale al segnale modulante s(t). Il precedente demodulatore
funziona correttamente nel caso in cui il ricevitore ricostruisce perfettamente
la fase e la frequenza della portante. Nel caso in cui questa condizione

Figura 4.10: Demodulatore DSB
Facoltà di Ingegneria 47
non sia verificata, il segnale recuperato z ′
(t) risulta distorto. Supponiamo ad
esempio che la portante ricostruita c ′ (t) ricostruita al ricevitore sia
c ′ (t) = cos(2π(f0 + ∆f)t + θ) (4.39)
dove ∆f e θ rappresentano rispettivamente la differenza di frequenza e di
fase tra la portante generata al trasmettitore e quella al ricevitore. In questo
caso si ottiene
z(t) = V0
s(t)cos(2π∆ft + θ) (4.40)
2
per cui il segnale modulante non è recuperato correttamente. Ad esempio
se 2π∆ft + θ = π
2
il segnale all’uscita del demodulatore risulterà nullo indi-
pendentemente dal segnale trasmesso. Per eliminare questi inconvenienti si
possono utilizzare opportuni circuiti per il recupero della portante.
4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione
DSB
Nel caso di una modulazione DSB, il segnale ricevuto in presenza di rumore
può essere scritto nella forma:
r(t) = V0s(t)cos(2πf0t) + n(t). (4.41)
Rappresentando il rumore nella sua forma a banda stretta si ottiene:
r(t) = V0s(t) + a(t) cos(2πf0t) − b(t)sen(2πf0t). (4.42)

La potenza Si del segnale all’ingresso del demodulatore risulta:
Si =
V 2
0 s 2 (t)
2
= V 2
0
2 Pm
Facoltà di Ingegneria 48
(4.43)
La potenza di rumore Ni è ancora determinata dall’eq(4.24), per cui il SNRi
è uguale a
2 V0 s
SNRi = 2 2 (t) V0 Pm
= . (4.44)
2N0B 2N0B
La demodulazione viene effettuata mediante il circuito della figura 4.10. Il
segnale ricevuto è moltiplicato per la portante rigenerata al ricevitore e filtrato
mediante un filtro passa-basso. Il segnale all’uscita del demodulatore
z ′
(t) risulta:
z ′
(t) = V0s(t) a(t)
+ . (4.45)
2 2
Per cui la potenza del segnale in assenza di rumore è
Su =
V 2
0 s 2 (t)
4
mentre la potenza media di rumore è
da cui il SNRu è uguale a
Nu =
B
SNRu =
−B
= V 2
0 Pm
4
(4.46)
N0 1
df =
4 2 N0B (4.47)
V 2
0 Pm
4
1
2
2 V0 Pm
= . (4.48)
N0B 2N0B
Si osserva che SNRu = SNRi quindi per la modulazione DSB la figura di
merito vale
Fm = 1 (4.49)
cioè l’operazione di demodulazione non cambia il SNR.
4.3 Modulazione SSB
4.3.1 Caratteristiche del segnale SSB
Nella modulazione AM come in quella DSB sono trasmesse ambedue le bande
laterali. Queste tecniche richiedono una banda di trasmissione doppia
rispetto a quella del segnale modulante.

Facoltà di Ingegneria 49
La modulazione a singola banda laterale, indicata brevemente con la sigla
SSB (Single Side Band), richiede per la trasmissione del segnale s(t) una
banda B, cioè uguale a quella del segnale modulante s(t) stesso e rappresenta,
da questo punto di vista la modulazione ottima. Un segnale SSB può
Figura 4.11: Spettro di un segnale SSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del
segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale superiore; c) spettro del
segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale inferiore
essere rappresentato nella forma:
y(t) = V0s(t)cos(2πf0t) ± V0s(t)sen(2πf0t) (4.50)
dove s(t) rappresenta la trasformata di Hilbert di s(t). Scegliendo il segno −
si ottiene la sola banda superiore, mentre con il segno + viene selezionata la
banda inferiore. Nel calcolo dello spettro del segnale SSB con soppressione

della banda inferiore, si può facilmente dimostrare che:
Facoltà di Ingegneria 50
Y (f) = V0
2 S(f +f0)[1+segn(f +f0)]+ V0
2 S(f −f0)[1+segn(f −f0)] (4.51)
ponendo F{s(t)} = −jsegn(f) · S(f). Per cui si ha
⎧
⎨ V0S(f + f0) per f < −f0
Y (f) =
0
⎩
V0S(f − f0)
per
per
−f0 < f < f0
f > f0
(4.52)
Dato un segnale modulato con lo spettro uguale a quello mostrato nella figura
4.11(a), lo spettro del segnale y(t) è rappresentato nella figura 4.11(b) nel
caso in cui si sopprime la banda inferiore, nel caso invece della soppressione
della banda superiore si ottiene lo spettro della figura 4.11(c).
Esempio
Nel caso di un segnale modulante sinusoidale, l’espressione del segnale SSB
con banda laterale inferiore soppressa è
y(t) = V0Vmcos(2πfmt)cos(2πf0t)−V0Vmsin(2πfmt)sen(2πf0t) = V0Vm
2 cos(2π(f0+fm)t)
(4.53)
4.3.2 Modulatori SSB
Un segnale SSB può essere generato utilizzando due diversi schemi che sono
basati sulla descrizione in frequenza o nel tempo dei segnali SSB. Questi schemi
sono indicati con il nome di discriminatori di frequenza e discriminatori
di fase. In questo paragrafo saranno descritte brevemente le caratteristiche
principali di tali modulatori.
• Il modo più ovvio da un punto di vista concettuale di generare un segnale
SSB è quello ottenuto partendo da un segnale DSB in cui viene
eliminata una banda laterale, inferiore o superiore, mediante un’operazione
di filtraggio passa-banda. In questo caso lo schema del demodulatore
SSB è quello mostrato in figura 4.12. In linea di principio questo
schema di modulazione SSB è molto semplice. Tuttavia, la realizzazione
del filtro passa-banda, richiesto per eliminare una delle due bande
laterali, può porre notevoli problemi da un punto di vista pratico. Il
filtro passa-banda deve avere una banda di transizione minore o uguale
a 2fm, cioè uguale al doppio della minima frequenza contenuta nel segnale
modulante 4.13(b). Questo modulatore richiede perciò in molti

Facoltà di Ingegneria 51
Figura 4.12: Modulatore SSB ottenuto da un modulatore DSB
casi l’utilizzo di filtri notevolmente selettivi, che possono essere difficili
o costosi da realizzare. Per facilitare l’oprazione di filtraggio passabanda
nel caso in cui fm sia piccola, si preferisce spesso effettuare la
modulazione SSB mediante due o più operazioni successive di modulazione,
come mostrato schematicamente nella figura 4.13(a). In questo
caso il segnale s(t), il cui spettro è mostrato nella figura 4.13(b), subisce
una prima operazione di modulazione DSB a frequenza intermedia
f1 0. Le
due bande laterali sono separate da una banda di transizione uguale
a 2(f1 + fm) e quindi sufficientemente grande da poter utilizzare filtri
reali per eliminare una delle due bande laterali. Lo spettro del segnale
SSB, supponendo di utilizzare la banda laterale superiore in ambedue
le operazioni di conversione di frequenza, è mostrato nella figura 4.13(e)
per f > 0.
• Un altro possibile schema di un modulatore SSB può essere ottenuto
considerando l’espressione dell’eq.(4.50) e viene mostrato in figura
4.14. Tale modulatore, detto modulatore di Hartley, consente di ottenere
direttamente il segnale SSB senza richiedere nessuna operazione
di filtraggio passa-banda. Esso risulta composto da due modulatori
prodotto, che operano in parallelo su s(t) e sulla trasformata di Hilbert

Facoltà di Ingegneria 52
Figura 4.13: Modulatore SSB mediante due operazioni di modulazione DSB: a) schema
del demodulatore; b) spettro del segnale modulante; c) spettro del segnale modulato
dopo la prima operazione di modulazione; d) spettro del segnale DSB dopo la seconda
operazione di modulazione; spettro del segnale SSB; e) spettro del segnale SSB sulle sole
frequenze positive
di s(t), s(t). Il precedente circuito può essere utilizzato per qualunque
segnale s(t) e quindi anche segnali con componente continua o vicina
alla continua, che invece non possono essere modulati SSB mediante lo
schema precedente a causa dell’operazione di filtraggio passa-banda.
Da un punto di vista pratico l’elemento più critico nel modulatore di

Facoltà di Ingegneria 53
Hartley è rappresentato dal blocco che determina s(t). Effettuare la
trasformata di Hilbert significa sfasare di π tutte le frequenze positive
2
di s(t) e contemporaneamente non introdurre distorsioni di ampiezza.
Poichè lo spettro di s(t) è spesso ampio, può non essere semplice
realizzare un dispositivo che soddisfi queste condizioni.
4.3.3 Demodulatori SSB
Figura 4.14: Modulatore di Hartley
La demodulazione di un segnale SSB può essere effettuata mediante il circuito
di figura 4.10, già utilizzato per la demodulazione di segnali DSB. Il
segnale z(t) dopo l’operazione di moltiplicazione con la portante rigenerata
al ricevitore può essere scritto
z(t) = V0 V0
s(t) +
2 2 [s(t)cos(4πf0t) + s(t)sen(4πf0t)] (4.54)
per cui il segnale z ′
(t) dopo l’operazione di filtraggio passa-basso risulta
z ′
(t) = V0
s(t). (4.55)
2
Il segnale z ′
(t) è quindi proporzionale al segnale modulante s(t).
Come nel caso della demodulazione DSB, occorre che la portante ricostruita
al ricevitore abbia la stessa fase e frequenza di quella del trasmettitore per
evitare l’introduzione di distorsioni. Supponiamo ad esempio che il ricevitore
ricostruisca la portante v ′
(t) data nell’eq.(4.39). In questo caso si ha:
z(t) = V0
[s(t)cos(2π∆ft + θ) + s(t)sen(2π∆f + θ)] (4.56)
4

Facoltà di Ingegneria 54
per cui il segnale di uscita è una combinazione del segnale informativo s(t)
e della sua trasformata di Hilbert s(t). Per ovviare a questo inconveniente
si utilizza generalmente un circuito per il recupero della portante, che sarà
descritto successivamente.
4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione
SSB
Un segnale modulato SSB, y(t), può essere scritto nella forma dell’eq.(4.50).
La trasformata di Hilbert s(t) del segnale s(t) ha una densità spettrale di
potenza uguale a quella di s(t), come si dimostra utilizzando la definizione
di densità spettrale di potenza Pbs,bs(f) = | − j · segn(f)| 2 Ps,s(f) = Ps,s(f).
Inoltre i segnali s(t) e s(t) sono scorrelati.
Consideriamo il caso del segnale SSB con soppressione della banda inferiore.
La potenza del segnale all’ingresso del demodulatore SSB, in assenza di
rumore risulta
Si =
V 2
0
2 s2 (t) +
V 2
0
2 s2 (t) =
V 2
0
2 s2 (t) +
V 2
0
2 s2 (t) = V 2
0 s 2 (t) = V 2
0 Pm. (4.57)
La potenza del rumore all’ingresso è ancora esprimibile mediante l’eq.(4.24).
Il SNRi risulta così
2 V0 s
SNRi = 2 (t)
. (4.58)
N0B
Valutiamo adesso il SNRu. La banda del segnale modulato SSB è uguale
a B, per cui la banda risulta centrata sulla frequenza f0 + B , avendo sup-
2
posto di trasmettere la banda laterale superiore; il rumore n(t) nella sua
rappresentazione a banda stretta può essere così scritto
n(t) = a(t)cos 2π f0 + B
t − b(t)sin 2π f0 +
2
B
t (4.59)
2
La demodulazione del segnale viene effettuata mediante il demodulatore prodotto
di figura 4.10. Il segnale z ′ (t) dopo il moltiplicatore per cos(2πf0t) e il
filtraggio passa-basso risulta:
z ′ (t) = V0
2
s(t) + a(t)
2
b(t)
cos(πBt) + sen(πBt). (4.60)
2
La componente s(t) viene eliminata dal demodulatore; tuttavia si può notare
una differenza rispetto ai demodulatori AM e DSB: ambedue le componenti
del rumore, quella in fase e quella in quadratura, influenzano il segnale demodulato,
contrariamente ai casi precedenti in cui soltanto la componente in

Facoltà di Ingegneria 55
fase a(t) contribuiva al segnale di uscita.
In assenza del rumore, la potenza del segnale demodulato risulta
Su =
V 2
0 s 2 (t)
4
. (4.61)
Valutiamo la potenza del rumore in assenza del segnale. Posto:
x(t) = a(t)cos(πBt) (4.62)
la densità spettrale di potenza media Px,x(f) risulta uguale a
Px,x(f) = 1
4
Pa,a f − B
2
+ Pa,a f + B
2
da cui si ottiene, come rappresentato in figura ??(c),
N0
Px,x(f) = 4
0
per −B ≤ f ≤ B
altrimenti
La potenza media di rumore di x(t) è uguale a Px = N0
4
la potenza media del rumore all’uscita del demodulatore
da cui SNRu
Nu = 1
4 Px + 1
4 Px = 1
2 Px = N0B
4
SNRu =
V 2
0 s2 (t)
4
N0B
4
= V 2
2B = N0B
2
(4.63)
(4.64)
e quindi
(4.65)
0 s 2 (t)
N0B = SNRi (4.66)
La figura di merito, Fm, è uguale a 1 come nella modulazione DSB.
4.4 Modulazione vestigiale VSB
4.4.1 Caratteristiche del segnale VSB
La modulazione SSB richiede una banda di trasmissione uguale a quella del
segnale informativo. Tuttavia, come abbiamo visto in precedenza, la sua
realizzazione può risultare alquanto critica. Il modulatore SSB richiede ad
esempio l’uso di filtri passa-banda notevolmente selettivi o di trasformatori
di Hilbert. Per ovviare a questi inconvenienti senza aumentare in modo significativo
la banda di trasmissione si può utilizzare la modulazione con banda
laterale residua, VSB (Vestigial Side Band).

Facoltà di Ingegneria 56
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante s(t) abbia uno spettro di frequenze
diverso da 0 nella regione (−B, B), come mostrato in figura 4.15(a).
Nella modulazione VSB una banda laterale (superiore o inferiore) viene trasmessa
completamente mentre l’altra viene trasmessa soltanto in piccola parte.
Nella figura 4.15(b) viene mostrato lo spettro di un segnale VSB. La
larghezza della banda di trasmissione, Btx, in questo caso risulta
Btx = B + fv
(4.67)
dove fv rappresenta la larghezza della banda residua, che generalmente viene
scelta molto minore di B.
Figura 4.15: Spettro di un segnale VSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro del
segnale VSB
4.4.2 Modulatore VSB
Un segnale VSB può essere ottenuto da un segnale DSB mediante un’opportuna
operazione di filtraggio passa-banda. Lo schema di un modulatore VSB

Facoltà di Ingegneria 57
è quindi quello mostrato nella figura 4.16. Indicando con H(f) la funzione
Figura 4.16: Schema di un modulatore VSB
di trasferimento del filtro passa-banda, lo spettro Y (f) del segnale all’uscita
del modulatore è
Y (f) = V0
2 [S(f − f0) + S(f + f0)]H(f). (4.68)
La funzione di trasferimento H(f) deve essere scelta in modo opportuno per
poter recuperare in ricezione il segnale s(t) senza distorsione. Le caratteristiche
di tale filtro sono illustrate nel successivo paragrafo.
4.4.3 Demodulatore VSB
Lo schema generale di un demodulatore VSB è mostrato nella figura 4.17.
Supponendo di effettuare una demodulazione coerente, il segnale all’uscita
del modulatore prodotto risulta uguale a
e il suo spettro è
v(t) = y(t)cos(2πf0t) (4.69)
V (f) = 1
2 [Y (f + f0) + Y (f − f0)]. (4.70)
Sostituendo nell’equazione precedente il risultato dell’eq.(4.68), si ottiene:
V (f) = V0
4 {S(f)[H(f−f0)+H(f+f0)]+S(f−2f0)H(f−f0)+S(f+2f0)H(f+f0)}.
Dopo il filtro passa-basso lo spettro V ′
(f) è uguale a
(4.71)
V ′
(f) = V0
4 {S(f)[H(f − f0) + H(f + f0)]}. (4.72)

Figura 4.17: Schema di un demodulatore VSB
Facoltà di Ingegneria 58
Per avere una riproduzione esatta del segnale s(t) occorre che V ′
(f) sia uguale
a S(f) a parte una costante moltiplicativa e quindi deve risultare
H(f − f0) + H(f + f0) = 2H(f0) = c per − B ≤ f ≤ B (4.73)
dove c è una costante. Un esempio di filtro passa-banda che soddisfa la precedente
condizione è mostrato nella figura 4.18. La funzione di trasferimento
di tale filtro ha una simmetria dispari intorno a f0.
Figura 4.18: Caratteristica H(f) di un filtro passa-banda utilizzato per la modulazione
VSB
4.5 Circuiti per il recupero della portante
Come è stato visto in precedenza per la demodulazione dei segnali DSB o
SSB è necessario ricostruire al ricevitore la portante e quindi conoscere la sua
fase e la sua frequenza con esattezza. Queste informazioni sono generalmente
estratte dallo stesso segnale modulato ricevuto mediante un opportuno circuito,
detto circuito per il recupero della portante. In questo paragrafo sono
descritti i due schemi più utilizzati per questo scopo.
• Ricevitore di Costas
Lo schema generale di un ricevitore di Costas viene mostrato nella figura
4.19. Il segnale ricevuto y(t) viene inviato a due canali, che operano

Facoltà di Ingegneria 59
in parallelo. Il primo canale, detto canale in fase, moltiplica y(t) per
un segnale sinusoidale generato da un opportuno oscillatore locale del
tipo V0cos(2πf0t + θ), che risulta sfasato di un angolo θ rispetto alla
portante generata al trasmettitore. Ovviamente θ rappresenta sia una
differenza di fase, sia una differenza di frequenza tra le portanti generate
al trasmettitore e al ricevitore. Nell’altro ramo, detto canale in
quadratura, il segnale y(t) viene moltiplicato per V0sen(2πf0t + θ). I
segnali dopo la moltiplicazione e dopo il filtraggio passa-basso sono:
z1(t) = V0
2 s(t)cos(θ)
z2(t) = V0
. (4.74)
s(t)sen(θ) 2
Il segnale v(t) dopo il moltiplicatore risulta:
v(t) =
V 2
0
4 s2 (t)sen(2θ). (4.75)
Il filtro di loop è un filtro passa-basso con frequenza di taglio molto
vicina a 0, per cui il segnale di uscita contiene soltanto la componente
continua e frequenze molto vicine allo 0. Pertanto il termine s 2 (t) può
ritenersi costante dopo il filtro e quindi il valore dell’uscita dipende
sostanzialmente soltanto dal valore della fase θ. Il segnale all’uscita del
filtro di loop viene inviato all’ingresso di un oscillatore che genera una
frequenza determinata dall’ampiezza del segnale al suo ingresso. Tale
oscillatore, indicato con la sigla VCO (Voltage Controlled Oscillator),
genera la portante da moltiplicare per il segnale ricevuto, sia sul canale
in fase che su quello in quadratura.
Figura 4.19: Ricevitore di Costas per il recupero della portante

Facoltà di Ingegneria 60
• Ricevitore Quadratico
Un altro schema che può essere utilizzato per recuperare la portante
del segnale ricevuto è quello che prende il nome di ricevitore a loop
quadratico, mostrato nella figura 4.20. Il segnale ricevuto y(t) viene
Figura 4.20: Ricevitore a loop quadratico per il recupero della portante
prima di tutto inviato ad un dispositivo quadratico e successivamente
ad un filtro passa-banda centrato sulla frequenza 2f0 con una banda
passante molto stretta in modo da far passare soltanto la frequenza
2f0 e quelle vicine. Il segnale z(t) all’uscita dell’elemento quadratico
risulta:
z(t) =
V 2
0
2 s2 (t)[1 + cos(4πf0t)]. (4.76)
Se indichiamo con ∆f la banda del filtro, il segnale s 2 (t) può ritenersi
costante in tale banda, per cui
2f0+ ∆f
2
2f0− ∆f
2
s 2 (t)dt ∼ = E∆f (4.77)
dove E rappresenta l’energia del segnale modulante s(t). Il segnale
all’uscita del filtro è quindi
z ′
(t) ∼ =
V 2
0
2 E∆f · cos(4πf0t). (4.78)
Il segnale z ′
(t) ha una frequenza doppia rispetto a quella della portante,
a causa dell’operazione di elevazione a quadrato. Questo segnale

Facoltà di Ingegneria 61
viene inviato all’ingresso di un circuito PLL (Phase Locked Loop), che
è formato da un moltiplicatore, un filtro passa-basso ed un VCO. Il segnale
z ′
(t) viene moltiplicato per un segnale a frequenza 2f0 generata
localmente dal VCO, cioè per un segnale
Il segnale dopo il filtro passa-basso risulta
w(t) = sen(4πf0t). (4.79)
e(t) ∼ =
2 V0 ∆f · sen(θ). (4.80)
4
Questo segnale pilota il VCO, genera w(t) e viene inviato al moltiplicatore
del PLL ed a un blocco che divide la frequenza per 2. La
frequenza recuperata in questo modo è quella utilizzata per effettuare
la demodulazione coerente del segnale ricevuto.

Capitolo 5
Modulazioni Angolari
5.1 Modulazione di fase e di frequenza
La modulazione angolare consiste nel far variare la fase o la frequenza della
portante proporzionalmente al segnale modulante s(t). In questo caso l’ampiezza
della portante viene mantenuta costante. Le modulazioni angolari
presentano caratteristiche molto interessanti, soprattutto perchè consentono
di ottenere migliori prestazioni in presenza di rumore rispetto alle modulazioni
di ampiezza viste nel capitolo precedente.
Consideriamo il segnale y(t)
y(t) = V0cos(θi(t)) (5.1)
dove θi(t) è la fase istantanea. Si definisce pulsazione istantanea, ωi(t), la
grandezza
ωi(t) = dθi(t)
(5.2)
dt
e la frequenza istantanea, fi(t),
fi(t) = 1
2π
dθi(t)
· . (5.3)
dt
Le modulazioni angolari possono essere divise in due classi:
• Modulazione di Fase (PM)
Nella modulazione PM la fase istantanea θi(t) viene fatta variare proporzionalmente
al segnale modulante s(t), per cui
θi(t) = 2πf0t + k · s(t) (5.4)
62

Facoltà di Ingegneria 63
dove k rappresenta l’indice di sensitività in fase. Il segnale modulato
può quindi essere scritto nella forma
y(t) = V0cos(2πf0t + k · s(t)). (5.5)
Un esempio di segnale modulato in fase, ottenuto modulando la portante,
è mostrato nella figura 5.1(a) con il segnale modulante sinusoidale
mostrato nella figura 5.1(b), è mostrato nella figura 5.1(c).
La massima deviazione di fase, ∆θmax, è il max|k · s(t)| = k · max|s(t)|
e prende anche il nome di indice di modulazione di fase.
• Modulazione di Frequenza (FM)
Nella modulazione FM la frequenza della portante viene fatta variare
proporzionalmente al segnale modulante, per cui
fi(t) = f0 + kf · s(t) (5.6)
essendo kf l’indice di sensitività in frequenza. In questo caso la fase
istantanea risulta
θi(t) = 2π
per cui
t
0
fi(t)dt = 2πf0t + 2πkf
t
y(t) = V0cos 2πf0t + 2πkf
0
s(t)dt = 2πf0t + α(t) (5.7)
t
0
s(t)dt . (5.8)
Il segnale modulato FM nel caso in cui la portante ed il segnale modulante
siano quelli nelle figure 5.1(a) e 5.1(b) rispettivamente, è mostrato
in figura 5.1(d). La massima deviazione di fase è uguale al massimo
valore di α(t). Si definisce massima deviazione di frequenza, ∆fmax, il
massimo valore della derivata α(t). L’indice di modulazione della FM
è definito come
m = ∆fmax
. (5.9)
B
Esempio
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante è sinusoidale, cioè
s(t) = Vmcos(2πfmt). In questo caso il segnale trasmesso in PM è
y(t) = V0cos(2πf0t + k · Vmcos(2πfmt)). (5.10)
La massima deviazione di fase è quindi uguale a k · Vm e rappresenta
l’indice di modulazione di fase.
Il segnale modulato in FM risulta
y(t) = V0cos 2πf0t + kfVm
sen(2πfmt) . (5.11)
fm

Facoltà di Ingegneria 64
Figura 5.1: Esempi di segnali modulati in fase ed in frequenza: a) portante; b) segnale
modulante; c) segnale modulato in fase; d) segnale modulato in frequenza
La massima deviazione di frequenza è
∆fmax = kfVm
per cui l’indice di modulazione in frequenza risulta:
(5.12)
m = ∆fmax
. (5.13)
fm
Le modulazioni PM e FM sono strettamente legate tra di loro. Infatti, dalle
precedenti relazioni, un segnale modulato FM può essere ottenuto da un modulatore
di fase aggiungendo al suo ingresso un integratore, come mostrato

Facoltà di Ingegneria 65
nella figura 5.2(a). Analogamente un segnale modulato in fase può essere
generato da un modulatore di frequenza inserendo al suo ingresso un derivatore,
come mostrato in figura 5.2(b). Per questo motivo le due modulazioni
presentano aspetti molto simili e quindi saranno analizzate insieme. Nel seguito
si parlerà della modulazione FM, che risulta maggiormente utilizzata
nelle applicazioni pratiche. Tuttavia, le proprietà della modulazione, salvo
non sia detto esplicitamente in modo contrario, possono considerarsi estese
al caso della modulazione PM.
Figura 5.2: Modulatori di fase e di frequenza: a) uso di un modulatore PM come
modulatore FM; b) uso di un modulatore FM come modulatore PM
5.2 Spettro di un segnale FM
Lo spettro di un segnale modulato in fase o in frequenza ha un’estensione
infinita e risulta generalmente molto complesso da calcolare anche nel caso in
cui s(t) sia un semplice segnale. In questo paragrafo consideriamo in primo
luogo alcuni esempi di segnali molto semplici e valutiamo l’estensione dello
spettro del segnale FM (o PM) in funzione delle caratteristiche della modulazione.
Successivamente viene fornita un’espressione empirica per calcolare
in modo approssimato la banda di trasmissione di segnali FM o PM per un
qualsiasi segnale modulante.
5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale
modulante sinusoidale
Consideriamo il caso più semplice in cui il segnale modulante sia sinusoidale,
s(t) = Vmcos(2πfmt). Il segnale modulato FM può quindi essere scritto nella
forma
y(t) = V0cos(2πf0t + m · sen(2πfmt)). (5.14)

Facoltà di Ingegneria 66
A seconda del valore dell’indice di modulazione lo spettro può assumere forme
molto diverse. Vediamo i due casi:
• Spettro di un segnale a banda stretta (m 1)
La modulazione di frequenza viene generalmente utilizzata con alti valori
dell’indice di modulazione, quindi le considerazioni precedenti hanno
un interesse limitato. Il calcolo dello spettro di un segnale FM
per un qualsiasi valore di m risulta molto più complesso. Per questo
consideriamo
y(t) = Re V0e j·[2πf0t+m·sen(2πfmt)]
. (5.19)
Posto
y ′
(t) = V0e j·[m·sen(2πfmt)]
(5.20)
si può facilmente osservare che y ′
(t), detto inviluppo complesso di y(t),
è un segnale periodico di periodo T = 1 , per cui può essere sviluppato
fm
in serie di Fourier, cioè
y ′
(t) =
+∞
n=−∞
Y ′
2πnt
j T ne (5.21)

Facoltà di Ingegneria 67
Figura 5.3: Segnale FM a banda stretta nel caso di segnale modulante sinusoidale: a)
spettro del segnale FM; b) rappresentazione vettoriale del segnale FM
dove
Y ′
1
n = V0fm
2fm
− 1
2fm
e j·[m·sen(2πfmt)−n2πfmt] dt. (5.22)
Il precedente integrale non può essere calcolato in forma chiusa. Si
definisce funzione di Bessel di prima specie e di ordine n la funzione
Jn(m) = 1
2π
Posto x = 2πfmt si ottiene:
per cui
y ′
(t) = V0
pi
−π
e j·[m·sen(x)−nx] dx. (5.23)
Y ′
n = V0Jn(m) (5.24)
+∞
n=−∞
Jn(m)e jn2πfmt . (5.25)

Facoltà di Ingegneria 68
Il segnale modulato FM può quindi essere scritto per qualsiasi valore
di m
y(t) = V0
+∞
n=−∞
Jn(m)cos[2π(f0 + n · fm)t]. (5.26)
Lo spettro di un segnale FM viene quindi a dipendere dalle funzioni di
Bessel; tali funzioni godono delle seguenti proprietà
Jn(m) = (−1) nJ−n(m) +∞
n=−∞ J 2 (5.27)
n(m) = 1
Nella figura 5.4 sono mostrate alcune funzioni di Bessel al variare di
m. Lo spettro del segnale FM a larga banda nel caso di un segnale
Figura 5.4: Funzioni di Bessel di prima specie
modulante sinusoidale è composto da infinite delta di dirac a frequenza
f0 + n · fm con n intero ed ampiezza V0Jn(m)
. Lo spettro dipende
2
in modo significativo dall’indice di modulazione. Nelle figure 5.5(a),
5.5(b), 5.5(c) e 5.5(d) sono mostrati gli spettri di ampiezza del segnale
FM per m = 0.25, m = 1, m = 2 e m = 5 rispettivamente, supponendo
V0 = Vm = 1. Come si può notare nel caso di indice di modulazione
piccolo (m = 0.25) sono presenti soltanto tre delta significative: una
delta a frequenza f0 e due delta a frequenza f0 −fm e f0 +fm; lo spettro
è simile a quello di un segnale AM. Nel caso m = 1 si hanno oltre alla
portante quattro delta con ampiezza non trascurabile rispetto a quella
della portante, per cui lo spettro del segnale FM è praticamente raddoppiato
rispetto al caso AM. All’aumentare di m lo spettro aumenta

Facoltà di Ingegneria 69
in modo significativo. Per certi valori dell’indice di modulazione si ha
J0(m) = 0, per cui lo spettro non presenta nessuna componente alla
frequenza della portante.
La potenza necessaria per trasmettere il segnale modulato FM risulta:
Ptx =
V 2
0
2 ·
+∞
n=−∞
J 2 n(m) =
V 2
0
2
(5.28)
Figura 5.5: Spettri di segnali FM nel caso di segnale modulante sinusoidale: a) m = 0.25;
b) m = 1; c) m = 2; d) m = 5

Facoltà di Ingegneria 70
5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale
modulante multitono
Consideriamo il caso in cui il segnale modulante sia formato dalla somma di
N sinusoidi, cioè:
N
s(t) = Vicos(2πfit). (5.29)
Il segnale FM risulta
essendo
i=1
y(t) = V0cos 2πf0t +
N
i=1
mi = kfVi
fi
mi · cos(2πfit)
(5.30)
(5.31)
l’indice di modulazione relativo all’i-esimo segnale sinusoidale contenuto in
s(t). Utilizzando le precedenti considerazioni si ottiene
+∞
n1=−∞
y(t) = V0
+∞
n2=−∞ . . . +∞
nN =−∞ Jn1(m1)Jn2(m2) . . . JnN (mN)·
·cos 2π(f0 + n1f1 + n2f2 + . . . + nNfN)t
(5.32)
Per cui lo spettro contiene tutte le possibili combinazioni tra le frequenze
f1, f2, ..., fN.
5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda
di Carson)
La banda di trasmissione di un segnale FM è teoricamente infinita. Tuttavia
le ampiezze delle delta tendono generalmente a 0 quando si è sufficientemente
lontani dalla portante. Queste frequenze sono perciò insignificanti e possono
essere trascurate. La larghezza di banda, Btx, necessaria per trasmettere un
segnale FM è tuttavia difficile da definire in modo univoco.
Nelle applicazioni pratiche si utilizza generalmente le seguente formula empirica
ricavata da Carson corrispondente alla banda minima necessaria a
trasmettere almeno il 98% della potenza di y(t)
Btx = BCarson = 2(∆fmax + fm) = 2(m + 1)fm
(5.33)
dove fm rappresenta la massima frequenza contenuta nel segnale modulante.
Esempio

Facoltà di Ingegneria 71
Nelle radio commerciali operanti nella banda FM le norme internazionali
impongono che ∆fmax = 75kHz e fm = 15kHz, per cui m = 5. Con questi
valori si ottiene una banda di trasmissione per ciascuna stazione uguale a
Btx = 180kHz.
5.3 Modulatori di frequenza e di fase
La modulazione di frequenza può essere effettuata con due metodi diversi:
1. Modulatore Diretto;
2. Modulatore Indiretto.
Nel metodo diretto la frequenza della portante viene fatta variare direttamente
dal circuito in funzione del segnale modulante. Nel metodo indiretto
il segnale modulante viene prima inviato a un modulatore FM o PM a banda
stretta e successivamente viene trasformato in modo da ottenere indici di
modulazione elevati.
5.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley)
I modulatori FM diretti sono costituiti sostanzialmente da un oscillatore
controllato in voltaggio, in cui la frequenza generata varia proporzionalmente
al segnale modulante. Il Modulatore di Hartley, figura 5.6(a), è composto da
un condensatore con capacità fissa C ′ , da un’induttanza L e da un diodo
varicap, in polarizzazione inversa, la cui capacità C ′′ varia con la tensione
applicata al suo ingresso.
Il valore definito dalla capacità C di figura 5.6(c) si ottiene dal parallelo dei
due condensatori di figura 5.6(b) ed è uguale a
C = C ′ + C ′′ = C ′ + k0s(t). (5.34)
Il circuito di figura 5.6(c) è un circuito risonante LC del secondo ordine la
cui frequenza istantanea vale
fi(t) =
1
2π √ LC =
1
2π L(C ′ + k0s(t)) =
1
2π √ ·
LC ′
1
1 + k0
C ′ s(t)
(5.35)
se | k0
C ′ s(t)|

posto kf = − k0f0
2C ′ si ottiene l’espressione del segnale trasmesso
su(t) = s0cos(2π
fi(t)dt) = s0cos(2πf0t + 2πkf
Facoltà di Ingegneria 72
s(t)dt) (5.37)
Figura 5.6: a) Modulatore di Hartley; b) rappresentazione equivalente con capacità C ′′
funzione del segnale informativo; c) rappresentazione equivalente con un’unica capacità C
5.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong)
Un circuito molto utilizzato nelle applicazioni pratiche è rappresentato dal
Modulatore di Armstrong, mostrato schematicamente nella figura 5.7(a). Questo
modulatore, che effettua una modulazione di fase, può operare correttamente
soltanto per bassi valori dell’indice di modulazione. Tuttavia, attraverso
opportuni accorgimenti, si può togliere questa restrizione. Il circuito
di figura 5.7(a) utilizza un modulatore prodotto ed il segnale y(t) all’uscita
del sommatore risulta:
y(t) = V0cos(2πf0t) + V0k · s(t)sen(2πf0t). (5.38)
La rappresentazione grafica del segnale y(t) è mostrata nella figura 5.7(b). Il
segnale y(t) può essere espresso nella forma
y(t) = R(t)cos(2πf0t − Ψ(t)). (5.39)
dove
R(t) = V0 1 + k2 · s2 (t)
Ψ(t) = atan(k · s(t))
(5.40)

Facoltà di Ingegneria 73
Il segnale y(t) risulta perciò modulato sia in ampiezza sia in fase. Nel caso
in cui |k · s(t)|

Facoltà di Ingegneria 74
Il moltiplicatore di frequenza è un dispositivo che moltiplica la frequenza
del suo ingresso per n. Se il segnale y(t) all’ingresso del moltiplicatore è un
segnale FM o PM, cioè:
la sua frequenza istantanea risulta
y(t) = V0cos(2πf0t + Ψ(t)) (5.42)
fi(t) = f0 + 1 dΨ(t)
2π dt
(5.43)
Il segnale y ′ (t) all’uscita del moltiplicatore di frequenza ha una frequenza
f1 = nf0, per cui
y ′ (t) = V0cos(2πnf0t + nΨ(t)). (5.44)
La massima deviazione di frequenza del segnale e l’indice di modulazione
risultano moltiplicati per n. Attraverso un’opportuna scelta di n, è possibile
ottenere un qualunque valore dell’indice di modulazione.
5.4 Demodulatori FM
Ci sono vari metodi per demodulare un segnale FM e vengono generalmente
raggruppati in due categorie:
• Diretti
Si ottengono andando a recuperare la frequenza istantanea del segnale
trasmesso FM. Nel seguito sono considerati due diversi demodulatori:
– Discriminatore di frequenza bilanciato;
– Rivelatore di zero-crossing.
• Indiretti
Il segnale modulante viene recuperato mediante l’utilizzo di retroazioni
all’interno del circuito utilizzato. Nel seguito sarà descritto il
demodulatore PLL del 1 ◦ e del 2 ◦ ordine.
5.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza
bilanciato
Si consideri un sistema LTI al cui ingresso si trova il segnale modulato FM,
yF M(t). Tale sistema ha la seguente funzione di trasferimento
⎧
⎪⎨ j2πa f − f0 +
H1(f) =
⎪⎩
Btx
f0 − 2
Btx
2 ≤ f ≤ f0 + Btx
2
j2πa f + f0 − Btx
−f0 − 2
Btx
2 ≤ f ≤ −f0 + Btx (5.45)
2
0 altrimenti

Facoltà di Ingegneria 75
con a costante e Btx la banda di Carson, come mostrato in figura 5.8. Per
Figura 5.8: Funzione di trasferimento del filtro H1(f)
determinare l’uscita del sistema consideriamo gli inviluppi complessi del segnale
di ingresso e della risposta impulsiva. Per quanto riguarda il filtro,
l’inviluppo complesso, H1(f), è determinato dal pre-inviluppo complesso
e quindi
H1(f) = 2H1(f) ∀f > 0 (5.46)
H1(f) = H1(f + f0) (5.47)
H1(f) =
2 · jπa f + Btx
2 |f| ≤ Btx
0
2
altrimenti
(5.48)
come mostrato in figura 5.9. Per il segnale FM, essendo un segnale sinusoidale,
l’inviluppo complesso, yF M(t), è determinato come
yF M(t) = V0e j[2πf0t+2πkf
yF M(t) = V0e j2πkf
R t
0 s(τ)dτ]
R t
0 s(τ)dτ
(5.49)
(5.50)
purchè il segnale modulante sia un segnale a banda stretta.
Il segnale trasmesso FM può quindi essere determinato dall’inviluppo complesso
con la seguente equazione
yF M(t) = Re yF M(t)e j2πf0t
. (5.51)

Figura 5.9: Funzione di trasferimento del filtro H1(f)
Facoltà di Ingegneria 76
L’uscita del sistema, z(t), può quindi determinata dal suo inviluppo complesso,
z(t). La trasformata di fourier dell’inviluppo complesso dell’uscita
è
Z(f) = 1
2 H1(f) YF M(f) = j2πaf YF M(f) + jπaBtx YF M(f) (5.52)
la sua antitrasformata
z(t) = a · d eyF M (t)
dt + jπaBtxyF M(t) =
= aj2πV0kfs(t)e j2πkf
R T
0 s(t)dt + ajπBtxV0ej2πkf R T
0 s(t)dt
=
= jaπBtxV0 1 + 2kf
· s(t) e Btx j2πkf
R T
0 s(t)dt
e quindi l’uscita del sistema LTI
z(t) = −aπBtxV0
1 + 2kf
Btx
(5.53)
T
· s(t) sen 2πf0t + 2πkf s(t)dt . (5.54)
0
Valutiamo il modulo del seguente termine:
2kf
· s(t)
Btx
=
2kf
|s(t)| ≤
2(m + 1)fm
kfmax|s(t)| 1
·
fm (m + 1)
= m
m + 1 (5.55)
possiamo affermare quindi che per ogni segnale modulante e per ogni m il
modulo del termine dell’eq.(5.55) è sempre minore o uguale ad 1. L’eq.(5.54)
ci mostra come a partire dall’informazione del segnale modulante contenuta
nelle variazioni di frequenza del segnale FM si sia ottenuto un’espressione in
cui tale informazione è contenuta anche nelle variazioni di ampiezza. Per recuperare
completamente il segnale s(t) può quindi essere utilizzato in cascata

Facoltà di Ingegneria 77
al sistema LTI un rivelatore di inviluppo che produrrà in uscita il seguente
segnale
v1(t) = aπBtxV0 1 + 2kf
Btx
· s(t) . (5.56)
Per eliminare il termine in continua dell’eq.(5.56) si utilizza una struttura
bilanciata del demodulatore, come mostrato in figura 5.10. Il filtro H2(f) ha
Figura 5.10: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM bilanciato
il seguente inviluppo complesso
H2(f) =
j2πa − f + Btx
2 |f| ≤ Btx
0
2
altrimenti
(5.57)
vedi figura 5.11 ed il corrispondente inviluppo complesso, H2(f), figura 5.12.
Il segnale v2(t) ha quindi la seguente espressione,
Figura 5.11: Funzione di trasferimento del filtro H2(f)
v2(t) = aπBtxV0
1 − 2kf
Btx
· s(t)
(5.58)

Facoltà di Ingegneria 78
da cui si ottiene il segnale v(t) proporzionale al segnale modulante s(t)
2kf
v(t) = v1(t) − v2(t) = 2aπBtxV0 · s(t). (5.59)
Btx
Il circuito di Foster-Sealy rappresenta un’implementazione pratica del di-
Figura 5.12: Funzione di trasferimento del filtro H2(f)
scriminatore di frequenza bilanciato, figura 5.13. Tale circuito è formato da
due circuiti risonanti, accordati sulla frequenza f0 della portante e da due
rivelatori di inviluppo. Il funzionamento di questo discriminatore dipende
dalla differenza di fase tra le tensioni ai capi dei due circuiti rivelatori di inviluppo:
questa differenza di fase varia con la frequenza del segnale ricevuto.
Alla frequenza f0 le tensioni presenti ai capi dei due rivelatori di inviluppo
hanno la stessa ampiezza e quindi il segnale di uscita, rappresentato dalla
differenza delle tensioni ai capi dei due circuiti, è uguale a 0; al contrario si
avrà una tensione di uscita non nulla. Le variazioni di frequenza del segnale
di ingresso sono convertite in tale circuito in variazioni di ampiezza e la curva
di trasferimento è lineare attorno a f0, figura 5.14.
5.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing
La frequenza istantanea di un segnale modulato FM risulta uguale a
fi(t) = f0 + kfs(t) (5.60)
da cui si osserva che il segnale modulante può essere ricostruito a meno di
una costante uguale alla portante f0.
Poichè il segnale trasmesso con una modulazione FM risulta sinusoidale, supponiamo
di poter approssimare la frequenza istantanea del segnale con la
seguente espressione
fi(t) ∼ = 1
(5.61)
2∆t

Figura 5.13: Circuito di Foster-Sealy
Figura 5.14: Funzione di trasferimento del discriminatore
Facoltà di Ingegneria 79
dove ∆t è l’intervallo presente tra due nulli della sinusoide.
Il demodulatore funziona ricostruendo il segnale modulante s(t) su intervalli
T in cui tale valore è scelto opportunamente in modo che:
• T

considerare costante;
• T >> 1
f0
portante.
Facoltà di Ingegneria 80
in modo che nel periodo T sono contenuti molti cicli della
Per sempllicità poniamo T = n0 · ∆t da cui si ottiene
fi(t) ∼ = 1
2∆t
n0
= . (5.62)
2T
Il circuito demodulatore deve quindi contare il numero di attraversi negli zeri
del segnale modulato, figura 5.15. Una volta che il segnale modulato è stato
Figura 5.15: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM con rivelatore di
zero-crossing
limitato in ampiezza entra nel blocco indicato con il termine generatore di
impulsi il quale produce in uscita un impulso ogni volta che il segnale ingresso
ha un attraversamento sullo 0. Infine l’integratore somma nell’intervallo T il
numero di impulsi in modo da ottenere alla fine del periodo n0.
5.4.3 Demodulatore FM con PLL
Il funzionamento del demodulatore a PLL si basa su una retroazione come
mostrato in figura 5.16. Se indichiamo con v(t) il segnale in ingresso al
Voltage Controller Oscillator (VCO), in uscita si ottiene
r(t) = −VBsen 2πf0t + 2πkv
t
0
v(t)dt
(5.63)

con
Facoltà di Ingegneria 81
Figura 5.16: Rappresentazione a blocchi del demodulatore FM con PLL
φ2(t) = 2πkv
t
mentre φ1(t) è la fase del segnale yF M(t) con
φ1(t) = 2πkf
0
t
0
v(t)dt (5.64)
m(t)dt (5.65)
del segnale modulato in ingresso al demodulatore.
Il filtro di anello è un filtro passa-basso a banda stretta con risposta impulsiva
H(f).
La fase errore viene così indicata φe(t) = φ1(t) − φ2(t) ed il segnale e(t) in
ingresso al filtro d’anello
e(t) = V0VB
2 sen(φ1(t) − φ2(t)) − V0VB
2 sen(2π(2f0)t + φ1(t) + φ2(t)) (5.66)
da cui
v(t) = V0VB
2 h(t) ⊗ sen(φe(t)) (5.67)
essendo la componente del segnale errore in alta frequenza filtrata dal filtro
passa-basso.
Si vuole esprimere adesso la fase errore in funzione del segnale modulante
m(t) e successivamente il segnale demodulato v(t) in funzione di m(t). Per
questo motivo la derivata della fase errore vale
dφe(t)
dt
= dφ1(t)
dt −2πkv
+∞
−∞
h(t−τ)·e(τ)dτ = dφ1(t)
dt −2πk0
+∞
−∞
h(t−τ)·sen(φe(τ))dτ
(5.68)
posto k0 = kvV0VB . Con l’ipotesi φe(t) −→ 0 si sviluppa con Taylor fino al
2
primo ordine l’espressione di sen(φe(t)) ∼ = φe(t). L’eq.(5.68) è un’equazione
integro-differenziale e dato che non è semplice da risolvere direttamente nel
tempo si calcola la soluzione nel dominio della frequenza
j2πfΦ1(f) = j2πfΦe(f) + 2πk0 · Φe(f)H(f) (5.69)

da cui si ottiene
Φe(f) =
1
1 + k0 H(f)
jf
Φ1(f) =
Facoltà di Ingegneria 82
1
1 + L(f) Φ1(f) (5.70)
posto L(f) = k0 H(f)
jf la funzione di trasferimento ad anello aperto.
Sostituendo l’eq.(5.70) nell’eq.(5.67) trasformata in frequenza, si ottiene
V (f) = k0
H(f) · Φe(t) = jf
L(f) · Φe(f) = jf
kv
kv
kv
· L(f)
1 + L(f) Φ1(f). (5.71)
Se sulla banda del segnale modulante |L(f)| >> 1 allora Φe −→ 0 e V (f) −→
jf
kv Φ1(f). Antitrasformando l’ultima espressione si ottiene
v(t) = 1
2πkv
dφ1(t)
dt
= kf
kv
· m(t) (5.72)
e quindi il segnale risulta demodulato correttamente.
La progettazione del filtro ad anello semplice, L(f), determina quindi la
corretta demodulazione del segnale. Tipicamente L(f) è scelta in modo da
P (f)
essere espresso come L(f) = dove P (f) e Q(f) sono due polinomi. Il
Q(f)
grado del polinomio di Q(f) determina il grado del demodulatore PLL. Si
indica così una PLL del primo ordine se il polinomio Q(f) = b0 + b1f, PLL
del secondo ordine se Q(f) = b0 + b1f + b2f 2 , ecc.... Mediante opportuni
calcoli che in queste dispense non sono considerati è possibile dimostrare che
per demodulare correttamente il segnale non è sufficiente un circuito PLL del
primo ordine, ma è necessario utilizzare almeno un PLL del secondo ordine.
5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione
FM
Lo schema di principio del demodulatore FM che consideriamo per valutare
il SNR è mostrato nella figura 5.17. Il filtro passa-banda, centrato su f0,
serve a limitare la banda del rumore e ha una banda passante uguale a Btx.
Il limitatore di ampiezza viene introdotto per rendere costante l’ampiezza
del segnale da demodulare, mentre il discriminatore produce un segnale in
uscita proporzionale alla deviazione di frequenza del segnale al suo ingresso.
Il filtro passa-basso ha una banda B uguale a quella del segnale modulante.
Il segnale ricevuto r(t) può essere scritto:
r(t) = V0cos(2πf0t + θ(t)) + n(t) (5.73)

con
Figura 5.17: Schema di principio del demodulatore FM
θ(t) = 2πkf
t
All’ingresso del demodulatore la potenza Si del segnale è
mentre la potenza del rumore è
Il SNRi è quindi
Ni =
B
Si =
−B
SNRi =
0
V 2
0
2
Facoltà di Ingegneria 83
s(t)dt. (5.74)
(5.75)
N0
2 df = N0B. (5.76)
2 V0 . (5.77)
2N0B
Il rumore può essere espresso mediante la forma a banda stretta per cui
r(t) = [V0cos(θ(t))+a(t)]cos(2πf0t)−[V0sen(θ(t))+b(t)]sen(2πf0t). (5.78)
Il segnale ricevuto r(t) può essere rappresentato mediante il suo inviluppo
R(t) e la fase Ψ(t), cioè
r(t) = R(t)cos(2πf0t + Ψ(t)) (5.79)
essendo
R(t) = (V0cos(θ(t)) + a(t)) 2 + (V0sen(θ(t)) + b(t)) 2
V0sen(θ(t))+b(t)
Ψ(t) = atan
V0cos(θ(t))+a(t)
(5.80)
Il discriminatore di frequenza produce un segnale in uscita, v(t), proporzionale
alla derivata della fase Ψ(t), cioè
v(t) = c Ψ(t)
dt
(5.81)

Facoltà di Ingegneria 84
essendo c una costante di proporzionalità.
Calcoliamo prima di tutto la potenza Su del segnale utile all’uscita del
discriminatore in assenza di rumore. In questo caso si ottiene
e quindi
Ψ(t) = θ(t) = 2πkf
t
0
s(t)dt (5.82)
v(t) = c2πkfs(t) (5.83)
La potenza media del segnale utile in uscita al demodulatore è
Su = c 2 4π 2 k 2 fs 2 (t) (5.84)
Nel caso in cui si consideri presente soltanto il rumore, si ottiene
Ψ(t) = b(t)
V0 + a(t)
(5.85)
Per ottenere il calcolo della potenza media di rumore supponiamo di trattare
situazioni con alti SNR, in modo tale che sia valida la condizione V0 >>
a(t), b(t). Si ottiene così
Ψ(t) ∼ = b(t)
. (5.86)
Come abbiamo detto in precedenza, il discriminatore effettua la derivata della
fase Ψ(t), per cui il derivatore può essere schematizzato come un sistema
lineare con funzione di trasferimento H(f) uguale a
V0
H(f) = j2πf · c. (5.87)
La densità spettrale di potenza media del segnale di rumore all’uscita del
discriminatore risulta
Pv,v(f) = 4π2c2f 2
f
N0rect . (5.88)
Btx
V 2
0
Tale densità spettrale è mostrata in figura 5.18. Il filtro passa-basso a valle del
discriminatore di frequenza ha una banda (−B, B), per cui l’espressione della
densità spettrale di potenza media dopo l’operazione di filtraggio diventa
Pu,u(f) = 4π2 c 2 f 2
da cui la potenza media di rumore
Nu =
B
−B
V 2
0
f
N0rect
2B
Pu,u(f)df = 8π2 c 2 N0B 3
3V 2
0
(5.89)
(5.90)

Figura 5.18: Schema di principio del demodulatore FM
Facoltà di Ingegneria 85
La potenza di rumore è direttamente proporzionale a B 3 e inversamente
proporzionale a V 2
0 e quindi alla potenza della portante. In una modulazione
FM l’aumento della potenza della portante riduce la potenza del rumore.
Questo risultato non trova analogie nelle modulazioni di ampiezza e risulta
legato alla struttura del rivelatore FM. Il SNRu vale quindi
SNRu =
3V 2
0 k 2 f s2 (t)
2N0B 3
La figura di merito, Fm, nella modulazione FM risulta così
Fm =
3V 2
0 k2 f s2 (t)
2N0B3 V 2
0
2N0B
(5.91)
= 3k2 f s2 (t)
B 2 . (5.92)
Esempio
Dato un segnale modulante sinusoidale, s(t) = Vmcos(2πfmt), l’indice di
modulazione FM risulta essere, m = kf Vm
, e la potenza media del segnale
modulante Pm = s 2 (t) = V 2 m
2
fm
. La figura di merito del demodulatore FM vale
Fm = 3k2 f s2 (t)
B 2
= 3k2 fV 2 m 3
=
2B2 2 m2
(5.93)

Facoltà di Ingegneria 86
Mentre nel caso della modulazione AM si ottiene al massimo Fm = 1/3,
la figura di merito nella modulazione FM può essere anche maggiore di 1 e
comunque risulta migliore di quella di un segnale modulato AM.
5.6 Effetto Soglia nella modulazione FM
L’eq.(5.91) risulta valida soltanto nei casi con alto SNR. Quando la potenza
del rumore all’ingresso del demodulatore diviene comparabile con la potenza
del segnale utile, non sono più valide le approssimazioni per il calcolo di
SNRu. In particolare, quando SNR diviene piccolo, a(t) e b(t) non risultano
trascurabili rispetto a V0.
Per una descrizione qualitativa definiamo in primo luogo il rapporto C
NIF tra
la potenza della portante e la potenza effettiva del rumore all’ingresso del
demodulatore (a Frequenza Intermedia) sulla banda di trasmissione, Btx. Si
ha
C
NIF
= V 2
0
2N0Btx
(5.94)
Analisi teoriche e misure sperimentali hanno mostrato che generalmente la
formula del SNRu in funzione di SNRi ricavate precedentemente sono valide
se il rapporto C è maggiore di 10dB. Per valori superiori a 10dB,
NIF
SNRu aumenta linearmente con C , mentre per valori inferiori diminuisce
NIF
rapidamente con C
C
. Il rapporto NIF NIF è collegato con SNRi all’ingresso del
rivelatore FM dalla relazione
C
NIF
= Si
·
Ni
B
Btx
(5.95)
dove B rappresenta la banda del segnale modulante. Indicando con ρ la
soglia sopra la quale il ricevitore funziona correttamente, si ottiene
Si
Ni
≥ ρ · Btx
B
Utilizzando la formula di Carson per la banda di trasmissione si ottiene
Si
Ni
(5.96)
≥ 2ρ(m + 1) (5.97)
Nel caso in cui ρ = 10dB, il ricevitore opera sopra la soglia se
Si
Ni dB
≥ 13 + 10log10(m + 1) (5.98)

Facoltà di Ingegneria 87
Quando il ricevitore opera sopra la soglia il SNRu aumenta linearmente con
C
NIF , mentre per valori inferiori alla soglia SNRu decresce rapidamente con
C
NIF . Alcuni esempi della variazione di SNRu in funzione di C
NIF
valori di m sono mostrati nella figura 5.19.
Figura 5.19: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza
per diversi
5.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione
FM
Come abbiamo visto in precedenza, la densità spettrale di potenza media
all’uscita del demodulatore FM, Pu,u(f), dell’eq.(5.89) cresce con il quadrato
della frequenza. A causa di questo fatto, durante la demodulazione le frequenze
più elevate contenute nel segnale modulante sono affette da un rumore

Facoltà di Ingegneria 88
con una densità spettrale di potenza media maggiore rispetto a quello che
altera le componenti a bassa frequenza. Le componenti in frequenza più alte
presenti nel segnale utile demodulato sono perciò maggiormente degradate
dal rumore. Questo inconveniente, tipico delle modulazione FM, può essere
eliminato modificando in modo opportuno lo spettro del segnale modulante
prima che questo venga trasmesso. Questa operazione, che prende il nome di
pre-enfasi, consiste nell’esaltare la potenza delle componenti di frequenza più
alte contenute nel segnale modulante. Al ricevitore viene ripristinato, dopo
l’operazione di demodulazione, lo spettro del segnale modulante mediante
l’operazione inversa, detta de-enfasi. Lo schema di principio di un sistema
FM è mostrato nella figura 5.20. I circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi han-
Figura 5.20: Rapporto segnale-rumore nella modulazione di frequenza
no le seguenti funzioni di trasferimento Hp(f) e Hd(f). Tali circuiti devono
essere tali che, in assenza di rumore, il segnale utile dopo l’operazione di
de-enfasi risulti uguale a s(t) e quindi
Hp(f) · Hd(f) = c (5.99)
con c costante per −B ≤ f ≤ B.
La funzione Hp(f) viene generalmente scelta imponendo che la potenza media
del segnale dopo il circuito di pre-enfasi risulti uguale a quella del segnale
modulante s(t), per cui la Btx del segnale FM risulti la stessa sia in presenza
che in assenza di pre-enfasi. La funzione di trasferimento del circuito di preenfasi
deve variare così in modo proporzionale a f 2 , come la densità spettrale
di Pu,u(f). Una funzione che soddisfa la seguente condizione è
Hp(f) = j2πf (5.100)
cioè un derivatore. In questo caso, facendo precedere al circuito di modulazione
FM un derivatore, si ottiene una modulazione PM. Tuttavia la scelta
della modulazione PM nella sua versione classica pone numerosi problemi
da un punto di vista realizzativo; perciò si preferisce utilizzare una tecnica
che può considerarsi un’opportuna combinazione delle due modulazioni. Un
dispositivo adatto per realizzare l’operazione di pre-enfasi e di de-enfasi ha
quindi una funzione di trasferimento uguale ad una costante per basse frequenze
e si comporta come un derivatore per le alte frequenze. Un esempio

Facoltà di Ingegneria 89
Figura 5.21: Funzioni caratteristiche dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) funzione
caratteristica del circuito di pre-enfasi; b) funzione caratteristica del circuito di de-enfasi
tipico della caratteristica Hp(f) è mostrato nella figura 5.21(a) in cui |Hp(f)|
è costante fino ad una certa frequenza f1 ed aumenta linearmente tra f1 e la
massima frequenza B del segnale modulante. La frequenza f1 viene generalmente
scelta come la frequenza per cui la densità spettrale di s(t) è inferiore
a 3dB rispetto al massimo valore (f = 0). Il corrispondente circuito di deenfasi
deve avere la funzione di trasferimento Hd(f) mostrata nella figura
5.21(b).
L’introduzione dei circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi influenza il SNRu. Per
determinare in modo qualitativo l’effetto, calcoliamo la potenza media Nu(d)
del rumore in presenza del circuito di de-enfasi. Si ottiene quindi
Nu(d) =
B
−B
|Hd(f)| 2 Pu,u(f)df = 4π2 c 2 N0
V 2
0
B
f
−B
2 |Hd(f)| 2 df. (5.101)
Nel caso ideale, le operazioni di pre-enfasi e di de-enfasi per l’eq.(5.99) non
alterano la potenza del segnale modulante. Il SNR vien quindi migliorato
da un fattore di miglioramento del SNR
γ = SNRu(d)
SNRu
=
S u(d)
N u(d)
Su
Nu
=
Su
N u(d)
Su
Nu
= Nu
Nu(d)
=
B
−B f 2 df
4π2c2N0 V 2
0
4π2c2N0 V 2
B
0 −B f 2 |Hd(f)| 2df =
Esempio
Un esempio di circuito utilizzato per effettuare la pre-enfasi è mostrato nella
figura 5.22(a); la sua funzione di trasferimento è
Hp(f) = R2(1 + j2πfCR1)
. (5.103)
R1 + R2 + j2πfCR1R2
Nel caso in cui R2

Facoltà di Ingegneria 90
dove fc = 1
2πCR1 .
Il circuito corrispondente di de-enfasi è mostrato nella figura 5.22(b); la sua
funzione di trasferimento risulta
per cui si ottiene
ed il γ dell’eq.(5.102) vale
γ =
B
−B
2
3 B3
1+
f 2
2 df
f
=
fc
Hd(f) =
Hp(f) · Hd(f) ∼ = R2
1
1 + j f
(5.105)
fc
2
3 B3
R1
f 2 c (v − atan(v)) B/fc
−B/fc
= k (5.106)
= 1
3 ·
B
B 3
fc
fc − atan . B
fc
(5.107)
Figura 5.22: Esempi di circuiti di pre-enfasi e di de-enfasi: a) circuito di pre-enfasi; b)
circuito di de-enfasi
5.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione
PM
Il calcolo del SNR per la modulazione PM è analogo al procedimento utilizzato
per la modulazione FM. Il segnale in ingresso al demodulatore può
essere scritto secondo l’eq.(5.78). Il ricevitore produce un segnale proporzionale
a Ψ(t), cioè z(t) = c · Ψ(t) con c una costante di proporzionalità. In

Facoltà di Ingegneria 91
assenza di rumore, si ha che z(t) = cks(t) e quindi la potenza del segnale
utile all’uscita del demodulatore è
Su = c 2 k 2 s 2 (t). (5.108)
Consideriamo adesso il caso in cui sia assente il segnale e si abbiano alti
SNR, per cui all’uscita del demodulatore si ottiene
Ψ(t) ∼ = c b(t)
. (5.109)
La densità spettrale di potenza media all’uscita del demodulatore è così
espressa
Pu,u(f) = c2N0 V 2
f
rect
(5.110)
0 2B
e la potenza media di rumore ottenuta in uscita è
Nu =
+∞
−∞
V0
Pu,udf = c2N0 V 2 2B. (5.111)
0
Il SNRu vale quindi
2 V0 k
SNRu = 2s2 (t)
. (5.112)
2N0B
e, dato che SNRi è uguale a SNRi della modulazione FM, si ottiene la
seguente figura di merito
Fm =
V 2
0 k2s2 (t)
2N0B
V 2
0
2N0B
= k 2 s 2 (t). (5.113)
Esempio
Nel caso in cui il segnale modulante sia sinusoidale, il SNRu dell’eq.(5.113)
risulta
2 V0 k
SNRu = 2V 2 m
. (5.114)
4N0B
Posto l’indice di modulazione delle modulazione PM, m = kVm, si ottiene
Fm = k2 V 2 m
2
m2
= . (5.115)
2
Confrontando con il risultato ottenuto nella modulazione FM (Fm = 3
2 m2 ),
a parità di SNRi e di m (e quindi di banda occupata), la modulazione FM
presenta un SNRu tre volte superiore rispetto alla modulazione PM. Per
questo motivo la modulazione FM è più utilizzata nelle applicazioni pratiche.

Facoltà di Ingegneria 92
5.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per
trasmissione FM radio broadcasting
In un sistema di trasmissione FM radio broadcasting più stazioni radio modulate
singolarmente in FM sono trasmesse con portanti distinte in modo da non
generare interferenza. La banda complessiva di tutte le stazioni radio è tra
88MHz e 108MHz. Le portanti di ogni segnale modulato FM sono separate
di 200kHz, la ∆fmax = 75kHz e la banda utile di ogni segnale modulante (se-
gnali audio per trasmissioni radio) è 15kHz. Si ottiene quindi che ogni segna-
= 5
le modulato FM ha un indice di modulazione uguale a m = ∆fmax
fmax
= 75k
15k
e la banda di trasmissione è Bc = 2(m + 1)fmax = 180kHz.
Considerando che le portanti sono spaziate di 200kHz e che ogni banda di
trasmissione vale 180kHz, non viene generata interferenza dato che tra ogni
trasmissione è presente un margine di banda pari a 20kHz.
Nel sistema trasmissione/ricezione sono utilizzati i circuiti di pre-enfasi e di
de-enfasi in modo tale da incrementare le prestazioni del demodulatore in
termini di SNR.
Lo schema del demodulatore è mostrato in figura 5.23. Si osserva che è
costituito principalmente da:
• Un circuito a super-eterodina;
• Un demodulatore FM a discriminatore di frequenza;
• Un circuito di de-enfasi ed un amplificatore audio.
Il circuito a super-eterodina consente di selezionare tra tutte le stazioni radio
quella desiderata e portarla, variando la frequenza fx dell’oscillatore locale,
a frequenza intermedia la cui frequenza fI è uguale a 10.7MHz, vedi figura
5.24. Il filtro corrispondente all’amplificatore a frequenza intermedia elimina
tutte le altre stazioni radio.
5.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore
FM stereo
Un sistema di trasmissione stereo consente di trasmettere due segnali generati
da due sorgenti distinte senza che si generi interferenza tra i due segnali
ed in modo che la compatibilità con i sistemi di trasmissione ad un solo segnale
siano garantiti. Nel caso di segnali audio le bande dei due segnali sono
rispettivamente (−15kHz, 15kHz) e fanno riferimento tipicamente al canale

Figura 5.23: Ricevitore FM radio broadcasting
Facoltà di Ingegneria 93
Figura 5.24: Funzione di trasferimento del filtro a frequenza intermedia
destro (dx) ed al canale sinistro (sx). Lo schema del modulatore e del demodulatore
sono riportati nelle figure 5.25 e 5.27.
Nel modulatore FM i due segnali sono combinati insieme in modo da generare
due nuovi segnali corrispondenti alla somma ed alla differenza, successivamente
si utilizzano i circuiti di pre-enfasi ed infine il segnale w(t) che viene
inviato all’ingresso del modulatore FM classico è ottenuto come
w(t) = (mr(t) + ml(t))|pre + (mr(t) − ml(t))|precos(2π38k t) + cos(2π19k t)
(5.116)
Lo spettro del segnale w(t) è mostrato in figura 5.26.
Per recuperare i due segnali, dopo la demodulazione FM classica, sul ramo

Facoltà di Ingegneria 94
superiore si filtra tra (−15kHz, 15kHz) e successivamente si utilizza un filtro
di de-enfasi, sul ramo inferiore invece si filtra tra (−53kHz, −23kHz) e
(23kHz, 53kHz), successivamente si demodula DSB il segnale con frequenza
della portante recuperata dal filtro a banda stretta a 19kHz ed infine
si utilizza il circuito di de-enfasi. I due segnali sono di nuovo combinati in
modo da ottenere mr(t) e ml(t). Nel caso di segnali monofonici invece di segnali
stereofonici la compatibilità viene garantita in quanto viene recuperato
soltanto la somma delle due sorgenti audio.
Figura 5.25: Schema di modulatore FM stereo
Figura 5.26: Spettro di ampiezza, W (f), del segnale FM stereo
Figura 5.27: Schema di demodulatore FM stereo

Capitolo 6
Modulazioni Digitali
Il principale problema nel progetto di un sistema di comunicazione è quello
di individuare strutture ottime dei segnali e dei ricevitori, che minimizzano
la probabilità di errore al ricevitore in presenza di rumore e di distorsioni nel
canale di comunicazione.
La struttura generale di un sistema di comunicazione numerico è mostrata
nella figura 6.1. La sorgente genera simboli appartenenti a un alfabeto discreto
A di dimensione M, avente cioè M simboli diversi, che saranno indicati
con 0, 1, ..., M − 1. Ad esempio, nel caso binario si ha M = 2 e quindi i
simboli sono 0 e 1, mentre nel caso M = 4 i simboli sono 0, 1, 2, 3. Nel seguito
con ai sarà indicato il simbolo i-esimo generato dalla sorgente. I simboli
ai possono rappresentare i dati generati da una sorgente discreta oppure i
simboli corrispondenti ai campioni di un segnale analogico discretizzato. I
Figura 6.1: Schema generale di un sistema di comunicazione digitale
simboli ai vengono inviati a un modulatore digitale, che ha lo scopo di convertirli
in forme d’onda continue nel tempo adatte alla loro trasmissione su
95

Facoltà di Ingegneria 96
un canale di comunicazione. La scelta della forma d’onda si(t) utilizzata per
la trasmissione del simbolo ai è un problema molto importante, perchè può
influenzare diversi parametri, quali la banda, la complessità del sistema di
comunicazione e la probabilità di errore.
Supporremo, come per le modulazioni analogiche, che il rumore introdotto
dal canale sia AW GN.
6.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali
Consideriamo un segnale si(t) definito sull’intervallo [0, T ], essendo T il tempo
richiesto per trasmettere un simbolo. Il segnale si(t) viene utilizzato
per trasmettere nel canale di comunicazione il simbolo ai. L’energia Ei del
segnale si(t) è definita come
Ei = si(t) 2 T
=
0
s 2 i (t)dt. (6.1)
Nel seguito saranno considerati segnali ad energia finita, cioè tali che Ei < ∞.
Due funzioni ψm(t) e ψn(t) definite sull’intervallo [0, T ] si dicono ortogonali
se T
ψm(t)ψn(t)dt = 0 (6.2)
Un insieme di funzioni {ψm} +∞
m=1 si dice ortonormale se
< ψm(t), ψn(t) >=
0
T
0
ψm(t) · ψn(t)dt = δm,n
(6.3)
dove δm,n, rappresenta la delta di Kronecher, cioè
1
δm,n =
0
se
se
m = n
.
m = n
(6.4)
Un insieme di funzioni ortonormali è quindi costituito da segnali ortogonali
tra loro e con energia unitaria.
Un qualunque segnale si(t) può essere espresso in modo univoco mediante
un insieme di funzioni ortonormali. In particolare si può sviluppare si(t) in
serie di Fourier generalizzata mediante le funzioni ψm(t), cioè:
si(t) =
+∞
m=1
si,mψm(t) (6.5)

Facoltà di Ingegneria 97
dove si,m rappresenta la componente di si(t) proiettata sulla funzione ψm(t),
cioè:
si,m =< si(t), ψm(t) >=
T
0
si(t) · ψm(t)dt. (6.6)
Come conseguenza dello sviluppo in serie di Fourier generalizzato, un segnale
si(t) può essere rappresentato in modo univoco mediante le componenti
si,m e quindi ad esso si può considerare associato un vettore s i con infinite
componenti definito come
Valutiamo la quantità < si(t), sj(t) >:
< si(t), sj(t) >=
s i = (si,1, si,2, si,3, si,4, ...) (6.7)
T
0
si(t) · sj(t)dt =
+∞
si,msj,m
m=1
(6.8)
per cui essa è equivalente al prodotto scalare tra i vettori s i e s j e viene perciò
anche indicata con il nome di prodotto scalare tra i due segnali si(t) e sj(t).
6.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-
Schmidt
Il procedimento di Gram-Schmidt consente di costruire un insieme di funzioni
ortonormali partendo da un insieme qualsiasi di funzioni si(t) e quindi sarà
utilizzato nel seguito per costruire una base di funzioni ortonormali adatta
per descrivere le forme d’onda utilizzate per trasmettere i simboli dell’alfabeto
A.
Si considerino M segnali {si(t)} M i=1 definiti sull’intervallo [0, T ] e nulli al di
fuori di tale intervallo. Si vuole determinare un insieme di N funzioni ortonormali
definite sull’intervallo [0, T ], tali che un qualunque segnale si(t)
possa essere espresso come combinazione lineare di tali funzioni. La cardinalità
di tali funzioni ortonormali sarà inferiore o uguale alla cardinalità dei
possibili segnali trasmessi, N ≤ M.
Il procedimento di Gram-Schmidt opera nel seguente modo:
• Si pone v1(t) = s1(t) e successivamente si determina la prima funzione
ortonormale:
ψ1(t) = v1(t)
Ev1
(6.9)
dove Ev1 è determinata secondo l’eq.(6.1);

Facoltà di Ingegneria 98
• Si calcola la seconda funzione ortonormale, ψ2(t), definendo la funzione
v2(t) nel seguente modo
v2(t) = s2(t)− < s2(t), ψ1(t) > ψ1(t) (6.10)
cioè si sottrae a s2(t) la sua componente lungo la funzione ψ1(t). La
funzione ψ2(t) è così ottenuta
ψ2(t) = v2(t)
Ev2
(6.11)
• Si continuano a calcolare i segnali vi(t) per ogni segnale si(t) della
costellazione degli M segnali
vi(t) = si(t) −
i−1
j=1
< si(t), ψj(t) > ψj(t) (6.12)
e successivamente si determinano le restanti funzioni ortonormali
ψi(t) = vi(t)
Evi
(6.13)
Può accadere che per una o più funzioni si verifichi la condizione vi(t) =
0. In questo caso il segnale si(t) viene descritto dalle funzioni della base
precedentemente costruite e quindi non è necessario utilizzare la funzione
ψi(t). In questo caso si ottiene che N < M.
Esempio. Segnali Antipodali
Due segnali s1(t) e s2(t) si dicono antipodali se s1(t) = −s2(t). In questo
caso per descrivere i due segnali è sufficiente una sola funzione ψ1(t), per cui
M = 2 e N = 1. Nel caso in cui i due segnali abbiano la stessa energia E, si
ottiene la seguente rappresentazione grafica, figura 6.2. La rappresentazione
dei due segnali è quindi s1(t) = √ Eψ1(t) (s1 = √ E) e s2(t) = − √ Eψ1(t)
(s2 = − √ E)
Esempio. Segnali Ortogonali
Gli M segnali s1(t), s2(t), ..., sM(t) sono detti ortogonali se < si(t), sj(t) >=
0 ∀ i j con i = j. In questo caso occorre utilizzare N = M funzioni ortonormali
per descrivere i segnali. La funzione ψi(t) per 1 ≤ i ≤ M ` definita
come
ψi(t) = si(t)
. (6.14)
Esi
Se tutti gli M segnali si(t) hanno la stessa energia E, il vettore corrispondente
a si(t) risulta
si(t) = (0, 0, ..., 0, si,i = √ E, 0, ..., 0). (6.15)

Facoltà di Ingegneria 99
Figura 6.2: Segnali antipodali: a) rappresentazione vettoriale; b) esempio di segnali
antipodali
Figura 6.3: Esempio di funzioni ortogonali e corrispondente rappresentazione vettoriale.
si veda figura 6.3.
Esempio. Segnali Biortogonali
Si considerino quattro segnali che soddisfano le seguenti condizioni:
s1(t) = −s3(t)
s2(t) = −s4(t)
(6.16)

Facoltà di Ingegneria 100
Questi segnali, detti segnali biortogonali, possono essere descritti mediante
una base di due funzioni ortonormali ψ1(t) e ψ2(t) definite nel seguente modo
ψi(t) = si(t)
Esi
(6.17)
per i = 1 e i = 2. Nel caso in cui i quattro segnali abbiano la stessa energia
E, possono essere rappresentati nello spazio bidimensionale come
si veda figura 6.4.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
s 1 = ( √ E, 0)
s 2 = (0, √ E)
s 3 = (− √ E, 0)
s 4 = (0, − √ E)
6.3 Trasmissione su canali vettoriali
(6.18)
Si consideri il caso in cui M segnali diversi sono trasmessi. Questi segnali
possono essere descritti mediante N funzioni ortonormali con N ≤ M. Ad
ogni segnale si(t) può essere associato un vettore s i = (si,1, si,2, ..., si,N) dove
si,m rappresenta la proiezione del segnale sulla funzione ortonormale ψm(t).
Si supponga inoltre che il canale di trasmissione introduca un rumore AWGN
così che il segnale ricevuto, trasmesso il simbolo ai,:
r(t) = si(t) + n(t) (6.19)
dove n(t) è il rumore. I due segnali r(t) e n(t) possono essere rappresentati
mediante una serie generalizzata di Fourier utilizzando un insieme di funzione
ortonormali, che indichiamo con φm(t). In questo caso sono necessarie infinite
funzioni ortonormali per descrivere i due segnali r(t) e n(t). Definendo
rm = T
r(t) · φm(t)dt
0
nm = T
(6.20)
n(t) · φm(t)dt
0
r(t) e n(t) possono essere descritti mediante i due vettori r = (r1, r2, r3...) e
n = (n1, n2, n3...), rispettivamente.
Le funzioni φm(t) possono essere qualsiasi, tuttavia una scelta ovvia è quella
di considerare φm(t) = ψm(t) per 1 ≤ i ≤ N e ψm(t) per m > N un insieme
qualsiasi di funzioni ortonormali. In queste ipotesi si può scrivere
rm = si,m + nm per 1 ≤ m ≤ N
(6.21)
rm = nm per m > N

Facoltà di Ingegneria 101
Figura 6.4: Segnali biortogonali: a) rappresentazione vettoriale dei segnali biortogonali;
b) esempio di segnali biortogonali
Nell’ipotesi di canale AWGN, le varie componenti di rumore nm sono scorrelate
tra di loro, per cui dall’osservazione della componente nm non si nessuna
informazione sulle altre componenti. Pertanto, le componenti rm = nm per
m > N non forniscono informazioni sulle prime N componenti e quindi sulla

Facoltà di Ingegneria 102
scelta del segnale trasmesso. In questo caso si dice che le prime N componenti
costituiscono una statistica sufficiente per la scelta del segnale. Naturalmente,
questa ipotesi non risulta più valida quando cambia il tipo di rumore
introdotto dal canale di comunicazione. Definiamo i seguenti due vettori r e
n:
r = (r1, r2, r3, ..., rN)
(6.22)
n = (n1, n2, n3, ..., nN)
l’eq.(6.19) può essere scritta in forma vettoriale
r = s i + n (6.23)
sulle prime N componenti. Di conseguenza si può supporre di trasmettere
segnali vettoriali e quindi che il ricevitore operi su vettori. Questa rappresentazione
è molto utile sia per valutare le prestazioni dei segnali in presenza
di rumore, sia per individuare la struttura ottima del ricevitore.
Consideriamo adesso le statistiche delle componenti ni del rumore nel caso
in cui il canale di comunicazione introduca un rumore AWGN a media nulla
e varianza N0
2 . La componente ni, ottenuta dall’eq.(6.22), è una variabile
aleatoria di tipo gaussiano e risulta perciò completamente definita una volta
noto il suo valor medio e la sua varianza.
Il valor medio di ni risulta uguale a
mni = E[ni]
= E
T
T
n(t) · ψi(t)dt = E[n(t)] · ψi(t)dt = 0 (6.24)
0
essendo E[n(t)] = 0 per ipotesi. La varianza di ni è
0
σ 2 ni = E[n2 i ] − m 2 ni = E[n2 i ] (6.25)
per cui
σ 2
ni = E
T
T
0
n(t1) · ψi(t1)dt1
0
n(t2) · ψi(t2)dt2 (6.26)
Scambiando l’operazione di integrazione con l’operatore di media, si ottiene
σ 2 ni =
T T
0
0
E[n(t1) · n(t2)]ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2. (6.27)
La funzione di autocorrelazione del rumore AWGN risulta uguale a Rn,n(t1, t2) =
E[n(t1) · n(t2)] = N0
2 δ(t1 − t2), quindi l’eq.(6.27) può essere scritta come
σ 2 ni
= N0
2
T T
0
0
δ(t1 − t2)ψi(t1)ψi(t2)dt1dt2 = N0
2
T
0
ψ 2 i (t1)dt1 = N0
2
(6.28)
essendo le funzioni ortonormali, ψi(t), ad energia unitaria. Le componenti ni
mantengono la stessa media e varianza di n(t).

Facoltà di Ingegneria 103
6.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza
Il ricevitore deve decidere quale simbolo è stato trasmesso osservando il segnale
ricevuto r(t) o il corrispondente vettore r. Supponiamo che il simbolo
trasmesso sia ai e che il canale sia di tipo AWGN. Il ricevitore ottimo è quello
che minimizza la probabilità di errore. Pertanto si vuole determinare il
criterio da seguire per decidere sul simbolo ricevuto in modo da minimizzare
la probabilità di errore. Per questo definiamo
P (s i|r) = P (ai|r) (6.29)
la probabilità che sia stato trasmesso il simbolo ai condizionata al fatto che
sia stato ricevuto il segnale r.
Il ricevitore effettua una decisione non corretta se sceglie il simbolo aj con
j = i come simbolo trasmesso. Indicando con Pe|r la probabilità di errore
condizionata ad aver ricevuto r, si ha
Pe|r = 1 − Pc|r
(6.30)
dove Pc|r rappresenta la probabilità di corretta ricezione supponendo di aver
ricevuto r. La probabilità di errore risulta quindi uguale a
Pe = Pe|rp(r)dr (6.31)
r
dove p(r) rappresenta la densità di probabilità di r e l’integrale si intende
esteso a tutto lo spazio a N dimensioni di r.
Poichè p(r) risulta non negativa, la probabilità di errore Pe è minimizzata
se per ogni valore di r il ricevitore sceglie il simbolo aj per cui P (aj|r) è
massima. La regola ottima di decisione sceglie il simbolo aj per cui
P (aj|r) = max
1≤k≤M P (ak|r). (6.32)
Se esistono uno o più simboli aj, che hanno lo stesso valore massimo P (aj|r),
si può scegliere in modo arbitrario uno qualsiasi di questi simboli.
Per poter applicare la regola di decisione ottima, occorre conoscere P (aj|r)
per tutti i simboli aj e i segnali r. Spesso risulta più semplice valutare la
densità di probabilità p(r|aj). Utilizzando la formula di Bayes, eq.(1.54), la
regola ottima di decisione dell’eq.(6.32) risulta uguale a
p(r|aj) · P (aj)
p(r)
p(r|ak) · P (ak)
= max
1≤k≤M p(r)
(6.33)

Facoltà di Ingegneria 104
dove P (aj) rappresenta la probabilità a priori del simbolo aj. Essendo r e n
indipendenti tra di loro, dall’eq.(1.63), si ha
p(r|aj) = p(r|s j) = pn(r − s j) = pn(n) (6.34)
dove pn(n) rappresenta la densità di probabilità di n. Pertanto la regola di
decisione ottima risulta
pn(r − s j)P (aj) = max
1≤k≤M pn(r − s k) · P (ak) (6.35)
Un ricevitore che utilizza la precedente regola di decisione minimizza la probabilità
di errore e prende il nome di ricevitore a massima verosimiglianza.
Consideriamo il caso in cui n(t) è AWGN a media nulla e varianza N0 . In que-
2
sto caso, dato che le componenti sono scorrelate tra di loro e gaussiane, quindi
indipendenti, la densità di probabilità congiunta di tutte le componenti è
espressa dal prodotto della densità di probabilità di ogni componente:
N
1
pn(n) = pn(r−sj) = pn(rk−sj,k) =
2π
k=1
N0
N
2
e
2
−
PNk=1 (rk−sj,k ) 2
2 N
0 1
2 =
πN0
(6.36)
Tenendo presente che ln(x) è una funzione monotona crescente di x si può
considerare il logaritmo naturale di ambedue i membri nell’eq.(6.34) e cambiando
di segno si ottiene
r − sj2
− N0 · ln[P (aj)] = min
1≤k≤M {r − sk 2 − N0 · ln[P (ak)]}. (6.37)
Definendo
Cj = r · s j =
T
0
r(t) · sjdt (6.38)
tenendo presente che Esi = si(t) 2 e sviluppando i termini quadratici dell’eq.(6.37)
la regola di decisione ottima può essere alternativamente scritta
come
r · s j − Esj
2
N0
+
2 · ln[P (aj)] = max
1≤k≤M {r · sk − Esk
2
+ N0
2 · ln[P (ak)]}. (6.39)
Le due regole (eq.(6.37) e eq.(6.39)) rappresentano due metodi equivalenti
per effettuare la decisione ottima e quindi possono essere utilizzate per la
realizzazione del ricevitore ottimo.
Si definisce distanza euclidea tra due segnali r e sj la grandezza
De =
r − sj
=
T
[r(t) − sj(t)] 2dt. (6.40)
0
N
2
e −r−s j 2
N 0 .

Facoltà di Ingegneria 105
Nei casi di segnali con la stessa energia, di definisce la distanza euclidea
normalizzata
de = De
√2E . (6.41)
La struttura ottima del ricevitore è quella mostrata nella figura 6.5(a) nel
caso in cui si utilizza la regola di decisione dell’eq.(6.37). Tale ricevitore
viene detto ricevitore a distanza minima. Analogamente, poichè l’eq.(6.38)
corrisponde al prodotto di correlazione tra i segnali r(t) e sj(t), il ricevitore
dell’eq.(6.39) prende il nome di ricevitore a massima correlazione, come
mostrato in figura 6.5(b). Le due strutture sono equivalenti da un punto di
vista delle prestazioni.
Nel caso in cui i segnali abbiano la stessa energia e la stessa probabilità a
priori, la regola di decisione dell’eq.(6.37) diventa
r − sj2
= min
1≤k≤M {r − sk 2 } (6.42)
come mostrato in figura 6.6(a), mentre per l’eq.(6.39) diventa
come mostrato in figura 6.6(b).
r · s j = max
1≤k≤M {r · s k} (6.43)
6.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP)
In molti casi può risultare conveniente visualizzare i diversi segnali e le regioni
di decisione utilizzate per la scelta dei diversi simboli. Per questo motivo
introduciamo alcune definizioni, che sono particolarmente utili per il calcolo
della probabilità di errore e per la realizzazione di strutture ottime di ricezione.
Il criterio MAP permette di determinare nello spazio vettoriale ottenuto con
il procedimento di Gram-Schmidt, paragrafo 6.2, le regioni di decisione. Si
definisce regione di decisione relativa al simbolo i-esimo (1 ≤ i ≤ M), indicata
con Ii, l’insieme di tutti i vettori r che sono demodulati nel simbolo
ai in modo tale da massimizzare la probabilità di corretta ricezione, come
nell’eq.(6.32):
Ii = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) = max
1≤k≤M P (ak|r) ∀ j = 1, ..., M} =
= {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≥ p(r|s j)P (s j) ∀ j = 1, ..., M}
(6.44)

Facoltà di Ingegneria 106
Figura 6.5: Ricevitore Ottimo: a) ricevitore a distanza minima; b) ricevitore a
correlazione
La regione di decisione Ii può essere alternativamente calcolata come l’intersezione
di più regioni di decisione calcolate tra coppie di segnali secondo la
relazione
M
Ii =
(6.45)
j=1 (j=i)
Ii,j

Facoltà di Ingegneria 107
Figura 6.6: Ricevitore ottimi per segnali iso-energetici ed equiprobabili: a) ricevitore a
distanza minima; b) ricevitore a correlazione
con
Ii,j = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≥ p(r|s j)P (s j)}. (6.46)

Facoltà di Ingegneria 108
Supponendo il rumore AWGN e sfruttando i risultati delle eq.(6.35) e (6.36),
si ottiene
{p(r/s i)P (s i) ≥ p(r/s j)P (s j)} =
1
πN0
N
2
e − r−s i 2
N 0 P (s i) ≥
1
πN0
N
2
e −r−s j 2
N 0 P (s j)
=
=
= {− r − si 2 + N0 · ln[P (ai)] ≥ −
r − sj2
+ N0 · ln[P (aj)]} =
= {−Esi + 2r · si + N0 · ln[P (ai)] ≥ −Esj + 2r · sj + N0
· ln[P (aj)]} =
= r · (si − sj) ≥ N0
P (aj) Esi −Esj · ln +
2 P (ai)
2
e quindi
Ii,j =
r ∈ S : r · (s i − s j) ≥ N0
2
· ln
P (aj)
P (ai)
+
Esi
− Esj
2
(6.47)
. (6.48)
Osservazione: Proprietà geometriche delle regioni di decisione
Le regioni di decisione sono molto utili nell’analisi di un sistema di segnali,
sia per caratterizzare le proprietà di essi, sia nel definire la struttura del
ricevitore ottimo. In vari casi non sono facilmente definibili ed utilizzabili;
tuttavia, esse godono di alcune proprietà che consentono di semplificare la
loro struttura
• Proprietà 1
L’insieme delle probabilità condizionate, p(r ∈ Ii/aj), dipende esclusivamente
dall’insieme dei vettori si(t) e dalle probabilità a priori P (aj),
ma non dalla scelta delle funzioni ortonormali, ψj(t).
• Proprietà 2
Dato un arbitrario insieme di segnali, l’insieme delle probabilità condizionate
è uguale a quello di un qualunque altro insieme di segnali
ottenuto dal precedente mediante un moto rigido. In altre parole, una
trasformazione che lasci inalterate le posizione relative dei segnali non
modifica la probabilità di errore. Pertanto traslazioni rigide o rotazioni
rigide non influenzano la probabilità di errore.

Facoltà di Ingegneria 109
6.6 Limite superiore della probabilità di errore
(Union Bound)
In molti casi il calcolo esatto della probabilità di errore può risultare impossibile
o molto complesso da effettuare. In questi casi si preferisce spesso fornire
limiti inferiori e superiori sulla probabilità di errore. In questo paragrafo descriviamo
un limite superiore sulla probabilità di errore, detto Union Bound,
che risulta generalmente semplice da calcolare e che perciò viene spesso utilizzato
nelle applicazioni pratiche. Questo limite risulta stretto (cioè fornisce
un’indicazione della probabilità di errore vicina a quella reale) soltanto per
alti rapporti segnale rumore, mentre per bassi rapporti segnale rumore il limite
è spesso inutilizzabile.
Indichiamo con Ii la regione complementare della regione di decisione Ii
relativa al simbolo ai
Ii = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≤ p(r|s j)P (s j) ∀ j = 1, ..., M} (6.49)
con Ii = S − Ii. Tale regione può essere espressa anche come
dove
Ii =
M
j=1 (j=i)
Ii,j
(6.50)
Ii,j = {r ∈ S : p(r|s i)P (s i) ≤ p(r|s j)P (s j)}. (6.51)
Dal teorema della probabilità totale (eq.(1.53)), la probabilità di errore può
essere espressa come
M
Pe = Pe|s P (s i i) (6.52)
supponendo i simboli emessi dalla sorgente in modo equiprobabile
da cui
Pe = 1
M
M
i=1
Pe|s i = 1
M
i=1
P (s i) = 1
M
M
i=1
∀ i = 1, ..., M (6.53)
P (r ∈ Ii/s i) = 1
M
M
P r ∈
i=1
M
j=1 (j=i)
Ii,j|s i
(6.54)

Facoltà di Ingegneria 110
e considerando che la probabilità dell’unione di più eventi può essere maggiorata
con la somma delle probabilità dei singoli eventi, eq.(1.50),
Pe = 1
M
M
P r ∈
i=1
M
j=1 (j=i)
Ii,j|s i
≤ 1
M
M
M
i=1 j=1 (j=i)
P (r ∈ Ii,j|s i) (6.55)
Il calcolo di P (r ∈ Ii,j/s i) è molto semplice una volta nota la distanza
euclidea, De(i,j), tra i due segnale s i e s j. Infatti si ottiene
P (r ∈ Ii,j/s i) = Q
L’espressione dell’Union Bound è quindi
UB = 1
M
M
M
i=1 j=1 (j=i)
Q
D 2 e(i,j)
2N0
D 2 e(i,j)
2N0
(6.56)
. (6.57)
L’eq.(6.57) può essere approssimata anche con la seguente espressione
UB ∼ = 2α
M Q
D2
e,min
(6.58)
2N0
dove De,min è la distanza euclidea minima tra tutte le possibile coppie di
segnali e α è il numero di coppie di segnali a distanza euclidea minima.
6.7 Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni
digitali
La trasmissione di segnali numerici (dati o segnali campionati) richiede lo
sviluppo di tecniche di modulazioni diverse rispetto a quelle utilizzate per
segnali analogici. Anche in questo caso il segnale informativo modula una
portante generalmente di tipo sinusoidale analoga a quella utilizzata nelle
modulazioni analogiche. Tuttavia, esistono numerose differenze tra modulazioni
analogiche e digitali, per cui è necessario trattare separatamente i due
tipi di tecniche.
I principali parametri che caratterizzano una modulazione digitale sono la
probabilità di errore, il tipo di demodulatore richiesto e la banda occupata.
Questi parametri possono variare in modo significativo a secondo del tipo di

Facoltà di Ingegneria 111
modulazione utilizzata.
Il simbolo informativo trasmesso nell’i-esimo intervallo può assumere un valore
tra gli M simboli dell’alfabeto A. Naturalmente se M = 2 si ha una
trasmissione binaria, che rappresenta il caso più frequente. I sistemi non binari
consentono in generale di ottenere maggiori velocità di trasmissione (bit
rate)
Rb/s = ⌈log2(M)⌉
(6.59)
Tsimb
(Tsimb durata del simbolo), ma tipicamente presentano probabilità di errore
più elevate rispetto ai sistemi binari. In particolare la probabilità di errore
può essere espressa in funzione del rapporto energia per bit/densità spettrale
di potenza media di rumore, Eb
). L’espressione esatta della
N0 , cioè Pe = f( Eb
N0
funzione della Pe dipende dal tipo di modulazione utilizzata. Il termine Eb
N0
può essere calcolato nel sistema di trasmissione numerico di figura 6.7 nel
seguente modo
Eb
N0
=
PtxGtxGrx
Lfs
N0Rb/s
= PtxGtxGrx
LfsN0Rb/s
(6.60)
dove N0 = k · Tsistema (Tsistema relativa ai quadripoli dopo l’antenna ricevente
(se presenti)) ed in scala logaritmica
Eb
= Ptx (dB)+Gtx (dB)+Grx (dB)−Lfs (dB)−10·log10(N0)−10·log10(Rb/s).
N0
dB
Figura 6.7: Trasmissione e ricezione in un sistema digitale
6.8 Modulazione On-Off Keying (OOK)
(6.61)
Come nel caso dei segnali analogici, le modulazioni che consideriamo consistono
nella variazione dell’ampiezza o della fase o della frequenza della portante
in funzione del segnale informativo. Data quindi una portante sinusoidale, la
modulazione OOK consiste nel far variare l’ampiezza della portante in funzione
del segnale informativo. Indicando con Tsimb la durata del simbolo, il

Facoltà di Ingegneria 112
segnale s1(t) corrisponde al simbolo 0, mentre il segnale s2(t) corrisponde al
simbolo 1:
s1(t) =
0 [0, Tsimb]
2E
s2(t) = Tsimb cos(2πf0t) [0, Tsimb]
(6.62)
Un esempio di segnale OOK è mostrato nella figura 6.8, in cui si suppone
di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Se ai = 0 non viene trasmesso alcun
segnale, mentre per ai = 1 viene trasmessa una sinusoide a frequenza
f0 per una durata Tsimb. Un segnale OOK può essere demodulato sia con
Figura 6.8: Segnale Modulato OOK
una tecnica coerente (cioè con il recupero della portante), sia mediante una
tecnica incoerente (senza recupero della portante). Valuteremo soltanto il
primo caso.
6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e
probabilità di errore
I due segnali corrispondenti s1(t) e s2(t) possono essere descritti mediante
una sola funzione ortonormale ψ1(t) definita come
2
ψ1(t) = cos(2πf0t) [0, Tsimb]. (6.63)
Tsimb
La rappresentazione vettoriale di questi segnali è mostrata nella figura 6.9(a).
La distanza euclidea normalizzata tra i due segnali è uguale ad 1. La demodu-

Facoltà di Ingegneria 113
lazione coerente di un segnale OOK può essere effettuata mediante il circuito
mostrato nella figura 6.9(b). Il segnale ricevuto r(t) viene moltiplicato per il
segnale ψ1(t). Se indichiamo z il segnale all’uscita del filtro passa-basso, in
assenza di rumore si ottiene
z =
0 se ai = 0
√ E se ai = 1
(6.64)
posto f0 = 1
Tsimb .
Come stabilito nel criterio MAP, nel caso di segnali equiprobabili (P (a1) =
P (a2) = 0.5) il ricevitore sceglie il simbolo 1 se z > √ E , mentre nel caso
2
opposto sceglie il simbolo 0. Supponiamo che il simbolo da trasmettere sia
Figura 6.9: Modulazione OOK: a) rappresentazione vettoriale dei segnali; b)
demodulatore OOK
1 e quindi venga trasmesso il segnale s2(t). Nel caso di canale AWGN, il
segnale ricevuto è uguale a r(t) = s2(t) + n(t). Il ricevitore effettua una
decisione errata se z < √ E , per cui la probabilità di errore condizionata alla
2
trasmissione del bit 1 risulta
√E √
E
Pe|s2 = P + n < = P n < − √
E =
= √
E
− 2
−∞
= Q
E
q 1
2π N0 2
2N0
e
2
2
n2
−
2· N q
E −
0
2N0 1 v2
2 dn = √ −
−∞ e 2 dv =
2π
posto nel cambio di variabile dell’integrale v =
(6.65)
e considerando che
√N0/2
n
E
l’integrale della gaussiana da [−∞, − ] è uguale all’integrale della guas-
2N0
E
siana da [ , +∞] poichè la funzione è pari. Dato che i simboli sono
2N0
equiprobabili e che Pe|s1 = Pe|s2, per il teorema della probabilità totale vale
che Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1.
L’energia media per bit Eb nel caso della modulazione OOK risulta uguale a
Eb = Es1 + Es2
2
= 0 + E
2
= E
2
(6.66)

Facoltà di Ingegneria 114
per cui l’espressione della probabilità di errore in funzione del rapporto Eb
N0
può essere scritta come
Eb
Pe = Q
N0
(6.67)
6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK)
Una tecnica di modulazione digitale molto utilizzata nelle applicazioni pratiche
è la modulazione di fase, in cui la fase della portante assume valori diversi
a seconda del simbolo da trasmettere. Questa modulazione viene spesso indicata
con la sigla PSK e nel caso in cui l’alfabeto di sorgente sia costituito
da M simboli si usa spesso la notazione M-PSK. Quando M = 2 si ottiene
la modulazione BPSK e per M = 4 la modulazione QPSK. Tali modulazioni
presentano spesso buone prestazioni per la trasmissione dati.
In una modulazione M-PSK si hanno M differenti fasi, ciascuna delle quali
viene associata ad un diverso simbolo. Il segnale si(t) corrispondente al
simbolo ai = (i − 1) per 1 ≤ i ≤ M, può essere scritto
si(t) =
2E
cos
Tsimb
2πf0t +
(i − 1)π
M
[0, Tsimb] (6.68)
il segnale si(t) può essere scritto anche come
2E
(i − 1)π
2E
(i − 1)π
si(t) = cos cos 2πf0t − sen sen 2πf0t
Tsimb M
Tsimb M
(6.69)
I segnali M-PSK con M > 2 possono essere descritti mediante le due funzioni
[0, Tsimb]
ortonormali ⎧
⎨
2
ψ1(t) = Tsimb
⎩
cos(2πf0t)
2
ψ2(t) = Tsimb
[0, Tsimb]
sen(2πf0t) [0, Tsimb]
. (6.70)
La demodulazione di un segnale PSK può essere effettuata soltanto in modo
coerente, cioè ricostruendo la fase e la frequenza della portante.
6.9.1 Modulazione BPSK e probabilità di errore
Nel caso in cui M = 2, i somboli informativi possono assumere soltanto due
valori, 0 e 1. I segnali modulati risultano perciò
⎧
⎨
2E
s1(t) = Tsimb
⎩
cos(2πf0t) [0, Tsimb]
2E
s2(t) = Tsimb cos(2πf0t
2E
+ π) = − Tsimb cos(2πf0t)
(6.71)
[0, Tsimb]

Facoltà di Ingegneria 115
Un esempio di segnale modulato è mostrato in figura 6.10(a), in cui si suppone
di trasmettere la sequenza 0, 1, 0, 1, 1. Come si può osservare tutte le volte
che il simbolo informativo cambia, la fase del segnale modulato presenta una
variazione di π. In questi istanti il segnale modulato ha forti discontinuità,
per cui la banda necessaria alla trasmissione di un segnale BPSK risulta
elevata.
Essendo s1(t) = −s2(t), i due segnali sono antipodali e possono essere scritti
Figura 6.10: Modulazione BPSK: a) segnale modulato BPSK; b) rappresentazione
vettoriale di un segnale BPSK
mediante un’unica funzione ortonormale
2
ψ1(t) = cos(2πf0t) (6.72)
Tsimb
La rappresentazione grafica dei due segnali nello spazio S è mostrata nella
figura 6.10(b). I due segnali hanno la stessa energia E, per cui la distanza
euclidea normalizzata tra i due segnali risulta d 2 1,2 = 2.
La probabilità di errore per i due segnali risulta Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2
considerando i due segnali equiprobabili. Come stabilito dal criterio MAP,
l’errore in ricezione è commesso se il segnale è minore di 0 se è stato trasmesso
s1(t) mentre maggiore di 0 se è stato trasmesso s2(t). Si ottiene quindi
Pe|s1 = P ( √ E + n < 0) = P (n < − √ E) =
= − √ E
q 1
−∞
2E
= Q
N0
2π N0 2
e
n2
−
2· N q
2E −
0
N0 2 dn = −∞
√1 v2
− e 2 dv =
2π
(6.73)

Lo stesso risultato si ottiene considerando Pe/s2 e così
2E 2Eb
Pe = Q = Q
N0
N0
Facoltà di Ingegneria 116
(6.74)
dato che Eb = E. L’andamento della probabilità di errore è mostrato in
figura 6.11 (curva a) in funzione di Eb
N0 .
Figura 6.11: Probabilità di errore di alcune modulazioni binarie
6.9.2 Modulazione QPSK e probabilità di errore
La modulazione QPSK utilizza 4 fasi diverse per trasmettere 4 possibili valori
per ogni intervallo di simbolo, Tsimb, e quindi è una modulazione PSK con
M = 4. I quattro segnali risultano sfasati di π l’uno rispetto all’altro. Nella
2
figura 6.12(a) viene rappresentato un esempio di segnale modulato QPSK
nel caso in cui la sequenza informativa sia {0, 2, 1, 0, 3, 1}; sono visibili le
discontinuità di fase presenti all’inizio dell’intervallo di simbolo. I segnali
trasmessi possono essere rappresentati con due funzioni ortonormali, per cui
possiedono una componente in fase e una componente in quadratura. La
rappresentazione vettoriale per i quattro segnali corrispondenti ai simboli

Facoltà di Ingegneria 117
dell’alfabeto A sono mostrati nella figura 6.12(b). Questi segnali soddisfano
le seguenti condizioni:
s1(t) = −s3(t)
s2(t) = −s4(t)
(6.75)
e quindi sono segnali bi-ortogonali. La loro rappresentazione vettoriale coincide
con quella mostrata nella figura 6.12(b).
La distanza euclidea normalizzata tra due segnali si(t) e sj(t) dipende da i
e j. In particolare, si ha d 2 1,2 = d 2 1,4 = 1, mentre d 2 1,3 = 2. Le distanze tra gli
altri segnali sono analoghe alle precedenti. Lo schema per la demodulazione
di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(c) e risulta formato da quattro
rami paralleli, in ciascuno dei quali si valuta la correlazione tra il segnale
ricevuto ed uno dei possibili segnali trasmessi. Uno schema alternativo per la
demodulazione di un segnale QPSK è mostrato nella figura 6.12(d), in cui si
hanno due rami paralleli. Il primo ramo consente di valutare la componente
in fase, mentre sul secondo ramo la componente in quadratura. Il circuito di
decisione ha lo scopo di individuare il simbolo trasmesso.
La probabilità di errore della modulazione QPSK è uguale a
Pe = 1 −
1 − Q
E
N0
2
(6.76)
dove E rappresenta l’energia per simbolo. Per confrontare il risultato ottenuto
con la BPSK, conviene esprimere E in funzione di Eb. Poichè l’alfabeto
è composto da 4 simboli, la trasmissione di un simbolo nella modulazione
QPSK è equivalente alla trasmissione di due simboli binari, per cui Eb = E
2 ,
quindi
Pe = 1 −
1 − Q
2Eb
N0
2
∼ = 2 ·
2Eb
N0
(6.77)
La probabilità di errore di una modulazione QPSK in funzione di Eb è mo-
N0
strata nella figura 6.13; per completezza nella figura viene riportata anche
la probabilità di errore di una modulazione BPSK. Si può notare che per
un fissato valore di Eb , una modulazione QPSK presenta una probabilità di
N0
errore Pe leggermente superiore a quella della BPSK (Pe QP SK = 2·Pe BP SK).

Facoltà di Ingegneria 118
Figura 6.12: Modulazione QPSK: a) esempio di segnale modulato QPSK; b)
rappresentazione vettoriale dei segnali; c) demodulatore QPSK con quattro rami
paralleli; d) demodulatore QPSK con due rami paralleli

Facoltà di Ingegneria 119
Figura 6.13: Probabilità di errore di una modulazione QPSK
6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK)
6.10.1 Caratteristiche della modulazione FSK
Come nel caso analogico si può utilizzare una modulazione di frequenza per
trasmettere segnali digitali. La modulazione FSK utilizza M frequenze diverse
per trasmettere gli M simboli dell’alfabeto A, per cui il segnale modulato
può essere scritto
2E
si(t) = cos(2πfit) [0, Tsimb] (6.78)
Tsimb
dove fi per 1 ≤ i ≤ M rappresenta la frequenza utilizzata per trasmettere
l’i-esimo simbolo. La scelta delle frequenze fi è molto importante, in quanto
influenza sia la banda di trasmissione, sia la probabilità di errore.

6.10.2 Modulazione BFSK
Nel caso binario (M = 2) i due segnali s1(t) e s2(t) risultano
⎧
⎨
⎩
s1(t) =
s2(t) =
2E
2E
Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb]
Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb]
Facoltà di Ingegneria 120
(6.79)
Generalmente si sceglie f1 = f0−∆f e f2 = f0+∆f, dove f0 prende il nome di
frequenza della portante. Un esempio di segnale modulato FSK è mostrato
nella figura 6.14, supponendo di trasmettere la sequenza {0, 1, 0, 1, 1} (nel
disegno si è supposto f2 = 4f1 per evidenziare la differenza tra il segnale
corrispondente al simbolo 0 e quello corrispondente al simbolo 1). Valutiamo
Figura 6.14: Esempio di segnale modulato FSK
adesso le caratteristiche di un segnale BFSK al variare di ∆f. Per questo si
definisce coefficiente di autocorrelazione, ρ, tra i due segnali s1(t) e s2(t) il
parametro
ρ = 1
E
Tsimb
0
s1(t) · s2(t)dt. (6.80)
La correlazione è legata alla distanza euclidea normalizzata tra i due segnali
dalla seguente relazione
d 2 1,2 = 1 − ρ. (6.81)

Per un segnale BFSK si ha
Es1 =
Tsimb
0
s 2 1(t)dt = 2E
Tsimb
Tsimb
posto 4πf1Tsimb = k1π vale Es1 = E e
Es2 =
Tsimb
0
s 2 2(t)dt = 2E
Tsimb
0
Tsimb
0
cos 2 (2πf1t)dt = 2E
Facoltà di Ingegneria 121
Tsimb
cos 2 (2πf2t)dt = 2E
posto 4πf2Tsimb = k2π vale Es2 = E; mentre ρ
ρ = 2
=
Tsimb
2
Tsimb
Essendo f0 = f1+f2
2
Tsimb
Tsimb
cos(2πf1t) · cos(2πf2t)dt =
0
Tsimb
sen(4π(f2−f1)t)
4π(f2−f1)
sen(4π(f2+f1)t)
+ 4π(f2+f1)
e 2πf0Tsimb = kπ, si ottiene
Si definisce indice di modulazione h
per cui
ρ = sen(2π(f2 − f1)Tsimb)
2π(f2 − f1)Tsimb
h = (f2 − f1)Tsimb
0
t
2 +sen(4πf1t)
Tsimb
4πf1
0
(6.82)
t
2 +sen(4πf2t)
Tsimb
4πf2
0
(6.83)
(6.84)
(6.85)
(6.86)
ρ = sen(2πh)
. (6.87)
2πh
La correlazione ρ è mostrata nella figura 6.15 in funzione dell’indice di mo-
dulazione h. La correlazione assume il valore minimo uguale a − 2
3π per
h = 0.715. Si può notare che ρ = 0 per h = 0.5 e h = 1, per h ≤ 1. Per
questi due valori di h i due segnali s1(t) e s2(t) sono ortogonali tra di loro.
Definendo ψ1(t) e ψ2(t) le due seguenti funzioni ortonormali
⎧
⎨
⎩
ψ1(t) =
ψ2(t) =
2
2
Tsimb cos(2πf2t) [0, Tsimb]
Tsimb cos(2πf1t) [0, Tsimb]
(6.88)
Per h = 0.5 e h = 1 si ha che la distanza euclidea normalizzata è uguale
a 1. Le modulazioni FSK con h = 0.5 e h = 1 hanno la stessa probabilità
di errore; tuttavia il caso h = 0.5 è di particolare interesse perchè la banda
di trasmissione risulta minore rispetto al caso h = 1. Quando h = 0.5 la
modulazione viene indicata con la sigla FFSK (Fast FSK) e la distanza tra
le due frequenze è uguale a f2 − f1 = 1 , mentre nel caso h = 1 si ha
2Tsimb
f2 − f1 = 1
Tsimb .

Facoltà di Ingegneria 122
Figura 6.15: Correlazione tra i segnali FSK in funzione dell’indice di modulazione
6.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e
probabilità di errore
Il valore di h influenza la banda di trasmissione, poichè all’aumentare di h
le due frequenze h1 e h2 sono maggiormente distanti, allo stesso tempo h
influenza la probabilità di errore. Valutiamo quindi la proabilità di errore
nel caso di canale AWGN. Lo schema del ricevitore ottimo è quello mostrato
nella figura 6.16 considerando i segnali equiprobabili. Supponiamo di aver
trasmesso il segnale s1(t) e di aver ricevuto r(t) = s1(t) + n(t), dove n(t)
rappresenta il rumore gaussiano introdotto dal canale di comunicazione, che
per le ipotesi fatte risulta a valor medio nullo e densità spettrale di potenza
media pari a N0/2. Indichiamo con u1 e u2 le variabili aleatorie all’uscita del
primo e del secondo ramo dopo i due integratori, si ha:
u1 = Tsimb
0
u2 = Tsimb
0
Per cui D = u1 − u2 risulta
s2 1(t)dt + Tsimb
s1(t)n(t)dt
0
s1(t) · s2(t)dt + Tsimb
s2(t)n(t)dt
0
(6.89)
D = E(1 − ρ) + N (6.90)

dove N è la variabile aleatoria
N =
a media nulla
mN = E[N] = E
Tsimb
e varianza σ 2 N
0
uguale a
Tsimb
0
Facoltà di Ingegneria 123
n(t) · [s1(t) − s2(t)]dt (6.91)
Tsimb
n(t)[s1(t)−s2(t)]dt = E[n(t)]·[s1(t)−s2(t)]dt = 0
0
(6.92)
σ2 N = E[N2 ] =
Tsimb
= Tsimb
E[n(t1)n(t2)][s1(t1) − s2(t1)][s1(t2) − s2(t2)]dt1dt2 =
0 0
= Tsimb N0
0 2 [s1(t1) − s2(t1)] 2dt1 =
= N0 · 2E(1 − ρ) =
2
= N0E(1 − ρ)
(6.93)
Poichè n(t) è un segnale aleatorio con densità di proabbilità gaussiana, a
media nulla e varianza N0 , la variabile aleatoria D ha una densità di proba-
2
bilità, pD(D), gaussiana con media E(1 − ρ) e varianza σ2 N . L’errore viene
commesso quando u1 < u2, cioè D < 0, per cui la probabilità di errore Pe/s1
risulta
Pe/s1 = P (D < 0) =
0
−∞
q
E(1−ρ)
1
[D−E(1−ρ)]2
− N
− 0
2E(1−ρ)N e 0 dD =
2πE(1 − ρ)N0
−∞
con il seguente cambio di variabili v = D−E(1−ρ) √ .
E(1−ρ)N0
1 v2
− √ e 2 dv
2π
(6.94)
Si ottiene quindi
Pe = 0.5 · Pe|s1 + 0.5 · Pe|s2 = Pe|s1 = Q
Eb(1 − ρ)
. (6.95)
considerando che Eb = E. La minima probabilità di errore si ottiene per
segnali antipodali (BPSK) con ρ = −1, mentre nel caso di FSK la minima
probabilità di errore si ottiene quando h = 0.715 con ρ = −0.212. Le precedenti
considerazioni si riferiscono allo schema di demodulazione mostrato
nella figura 6.16, che rappresenta uno schema di demodulazione coerente. La
probabilità di errore di un segnale FSK ortogonale (ρ = 0) vale
Pe = Q
Eb
N0
N0
(6.96)

Facoltà di Ingegneria 124
Figura 6.16: Schema ottimo per la demodulazione coerente di un segnale FSK binario
ed è riportata nella figura 6.11(curva d). Si può osservare che la modulazione
FSK ortogonale ha sempre prestazioni inferiori rispetto a quelle di una
modulazione BPSK; in particolare per ottenere la stessa probabilità di errore
una modulazione FSK ortogonale richiede un valore di Eb superiore di 3dB
N0
rispetto alla modulazione BPSK. Nella figura 6.17 è mostrata la probabilità
di errore di un sistema FSK per diversi valori della correlazione ρ. La minima
probabilità di errore si ottiene per h = 0.715; tuttavia la riduzione della
probabilità di errore rispetto al caso h = 0.5 è compensato dal fatto che per
h = 0.5 lo spettro del segnale modulato risulta più compatto.
6.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying
(DPSK)
La modulazione PSK richiede il recupero della fase e della frequenza della
portante, poichè l’informazione è contenuta nel valore assoluto della fase della
portante. Tuttavia, in diversi sistemi di comunicazione, il recupero della
portante con la richiesta precisione può risultare difficile a causa di disturbi o
delle caratteristiche del canale di comunicazione. In questo caso le prestazioni
di una modulazione PSK possono degradare facilmente a valori intollerabili e
può risultare conveniente o necessario utilizzare modulazioni che non richiedono
il recupero della portante. Un esempio di questo tipo di modulazione è
rappresentato dalla DPSK. In un segnale DPSK l’informazione da trasmettere
è contenuta nelle variazioni di fase da un intervallo al successivo, per cui
non risulta necessario ricostruire il valore assoluto della fase della portante.

Facoltà di Ingegneria 125
Figura 6.17: Probabilità di errore di un segnale FSK demodulato in modo coerente in
per diversi valori dell’indice di modulazione h
funzione di Eb
N0
Il segnale modulato DPSK può essere scritto nella forma
2E
si(t) = cos(2πf0t + ϕi)
Tsimb
[0, Tsimb] (6.97)
dove ϕi rappresenta la fase utilizzata per trasmettere il simbolo ci nell’i-esimo
intervallo. Anche in questo caso, come nella modulazione BPSK, il simbolo
0 è sempre associato alla fase 0 ed il simbolo 1 alla fase π, nella modulazione
DPSK però il valore della fase ϕi dipende dal valore ci e da ϕi−1 secondo la
seguente regola
ϕi = ϕi−1 se ci = 0
(6.98)
ϕi = ϕi−1 + π se ci = 1
In questo modo il simbolo 0 corrisponde ad una fase costante da un intervallo
a quello successivo, mentre il simbolo 1 corrisponde ad una variazione di π.
Un esempio della codifica delle fase ϕi in un segnale DPSK è mostrato nella
figura 6.18(a), in cui sono riportate la sequenza informativa e la corrispondente
sequenza di fasi ad essa associata. Lo schema di demodulazione di un
segnale DPSK è mostrato nella figura 6.18(b). Il segnale ricevuto r(t) viene
moltiplicato per una versione ritardata di Tsimb dello stesso segnale. Dopo
l’integrazione ed il filtraggio passa-basso si ha
z = E · cos(ϕi − ϕi−1) (6.99)

Facoltà di Ingegneria 126
Figura 6.18: Modulazione DPSK: a) sequenza di simboli e corrispondenti fasi del segnale
modulato; b) demodulatore DPSK
per cui in assenza di rumore risulta
z = E se ci = 0
z = −E se ci = 1
(6.100)
La decisione sul simbolo trasmesso viene perciò effettuata mediante una soglia
centrata sullo 0.
La demodulazione di un segnale DPSK non richiede la ricostruzione della
portante e quindi il circuito di demodulazione risulta semplificato. Tuttavia,
le prestazioni di una modulazione DPSK sono inferiori rispetto a quelle di
un segnale BPSK con recupero della portante. Prima di determinare la probabilità
di errore di un segnale DPSK, evidenziamo un inconveniente della
demodulazione differenziale. Consideriamo il caso in cui la sequenza trasmessa
sia quella mostrata nella figura 6.18(a) e supponiamo che le differenze di
fase ricevute siano {0, π, π, 0, π, 0, π, 0} per cui si è verificato un errore sulla
sesta fase; il demodulatore sceglie come sequenza trasmessa la seguente
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1}; dal confronto con la sequenza trasmessa, si osserva che
la sequenza demodulata contiene due errori, mentre il canale ha introdotto
soltanto un errore. Questa propagazione dell’errore è tipica della demodulazione
differenziale ed è dovuta al processo di memoria introdotto durante
l’operazione di scelta delle fasi rappresentato dall’eq .(6.98).
6.11.1 Probabilità di errore di un segnale DPSK
Valutiamo adesso la probabilità di errore di un segnale DPSK nel caso di
canale AWGN. Senza perdita di generalità si può supporre che l’(i−1)-esimo

Facoltà di Ingegneria 127
e l’i-esimo simbolo trasmesso sia uguale a 0, per cui ϕi−1 = ϕi. Inoltre
se ni−1(t) e ni(t) rappresentano il rumore introdotto nell’(i − 1)-esimo e
nell’i-esimo intervallo, si:
ni(t) = aicos(2πf0t) − bisen(2πf0t)
ni−1(t) = ai−1cos(2πf0t) − bi−1sen(2πf0t)
(6.101)
Posto
Ac =
2E
Tsimb
e xj = Ac + aj
y j = bj
(6.102)
(6.103)
con j = i − 1 o j = i, il segnale z all’uscita del filtro passa basso di figura
6.18(b) è
z = 1
2 (xi · xi−1 + y i · y i−1) (6.104)
Il demodulatore commette un errore se z < 0, avendo supposto di trasmettere
il simbolo c1 = 0. Si può facilmente osservare che
xi·xi−1+yi·yi−1 = 1
(xi+xi−1)
4
2 +(yi+yi−1) 2
−
Posto u1 = xi + xi−1 ; u2 = xi − xi−1
v1 = y i + y i−1 ; v2 = y i − y i−1
(xi−xi−1) 2 +(y i−y i−1) 2
(6.105)
(6.106)
le variabili u1, u2, v1 e v2 sono gaussiane con varianza 2σ2 , inoltre u1 ha valor
medio uguale a 2Ac, mentre le altre tre variabili aleatorie hanno un valor
medio uguale a 0. La covarianza delle quattro variabili aleatorie è uguale a 0
dato che tali variabili sono statisticamente indipendenti. Possiamo indicare
con i termini aleatori R1 e R2 le seguenti espressioni
R1 = u2 1 + v2 1
R2 = u2 2 + v2 (6.107)
2
La variabile aleatoria R1 ha una densità di probabilità di Rice, mentre R2
ha una densità di probabilità di Rayleigh. La probabilità di errore quindi è
Pe = P (z < 0) =
= P ( R2 1−R2 =
=
2 < 0) 4
P (R1 < R2)
=
=
+∞ +∞
pR1(R1)
0
R1 pR2(R2)dR2
dR1
(6.108)

Facoltà di Ingegneria 128
avendo considerato che R1 e R2 sono maggiori o uguali a 0 per definizione.
Poichè
e
con +∞
si ha
Pe =
pR1(R1) = R1
2σ 2 e− A2 c
σ 2 I0
R1
+∞
0
Pe = 1
2 e− A2c σ2 +∞
0
Ac · R1
σ 2
(6.109)
pR2(R2) = R1
2σ 2 e− R2 2
4σ 2 (6.110)
R1
2σ 2 e− R2 2
4σ 2 dR2 = e − R2 1
4σ 2 (6.111)
R1
2σ 2 e− R2 1 +4A2 c
4σ 2 I0
Ac · R1
σ 2
dR1. (6.112)
Effettuando il cambiamento di variabile t = √ 2R1
t
2 √ t2
e− 4σ
2σ2 2
I0
Ac · t
√
2σ2 dt (6.113)
e posto A1 = 2Ac
√2 , si ha
Pe = 1
2 e− A2c σ2 e A2 1
4σ2 +∞
t
0 2σ2 e− t2 +A 2 1
4σ2
Ac · t
I0
2σ2
dt. (6.114)
Il termine dentro l’integrale rappresenta una distribuzione di Rice e quindi,
integrando su tutti i valori di t, risulta uguale ad 1, per cui
Pe = 1
2 e− A2 c
2σ 2 . (6.115)
Essendo σ2 la varianza e quindi la potenza media di rumore all’uscita del
filtro passa-basso con banda (−B, B), si ottiene che σ2 = N0
2 · 2B = N0B. La
probabilità di errore può quindi essere scritta come
Pe = 1
2 e− A2 c
2N 0 B . (6.116)
Come si può osservare da questa relazione, la probabilità di errore dipende
dalla banda B del filtro ed al diminuire di B diminuisce anche la probabilità
di errore. Il valore minimo della banda ncessario a non avere interferenza
inter-simbolica è B = 1 , per cui
Tsimb
Pe = 1 E
N e− 0 (6.117)
2

ed essendo E = Eb si ha
Pe = 1
Facoltà di Ingegneria 129
2 e− Eb N0 . (6.118)
La probabilità di errore della modulazione DPSK è mostrata nella figura
6.11(curva b). Come si può notare la modulazione DPSK presenta una
probabilità maggiore rispetto alla modulazione BPSK demodulata in modo
coerente; tuttavia si avvicina ad essa per alti rapporti di Eb
N0 .