Serie storiche

Serie storiche
Danilo Cavapozzi
danilo.cavapozzi@unipd.it
In tutte le scorse esercitazioni abbiamo utilizzato dati cross-section
che riguardavano campioni rappresentativi di persone o imprese 1 .
• Non era possibile in nessun modo creare un ordinamento
temporale tra le diverse osservazioni;
• Se cambiavamo l’ordine delle osservazioni nel dataset, i
risultati rimanevano identici.
In questa esercitazione prenderemo in considerazione le serie
storiche.
• Le serie storiche permettono di studiare l’evoluzione
temporale di un fenomeno, ad esempio, la disoccupazione, il
PIL, il prezzo di un titolo azionario;
• L’ordinamento delle osservazioni è fondamentale.
I dati a cui facciamo riferimento mostrano le serie giornaliere di
prezzi di titoli quotati presso la Borsa Valori di Milano e
dell’indice Mibtel, che ha lo scopo di riassumere l’andamento del
mercato azionario.
• I dati fanno riferimento a tutto il biennio 2006-2007 (dal 2
gennaio 2006 al 31 dicembre 2007);
1 Questi appunti sono le tracce delle esercitazioni con il software gretl (http://gretl.sourceforge.net/gretl_italiano.html)
realizzate per il corso di Econometria della Facoltà di Economia dell’Università di Brescia, A.A. 2011-2012. Alla
pagina web http://www.decon.unipd.it/personale/curri/cavapozzi/eco_11.html trovate il materiale relativo alle
esercitazioni di questo corso. (versione del 05/12/2011)
1

• L’unità di tempo di riferimento è il giorno. Si considerano
solo i giorni in cui i mercati azionari sono aperti
(generalmente 5 giorni a settimana).
Consideriamo la serie storica relativa al titolo espresso e
calcoliamone il grafico.
• Clicchiamo con il tasto destro e selezioniamo Grafico serie
storica.
Il grafico mostra chiaramente che la serie storica del titolo ha un
trend decrescente.
• Questo è incompatibile con l’ipotesi di stazionarietà alla base
dei modelli che utilizzeremo. Per risolvere questo problema,
calcoliamo le differenze prime della serie espresso;
• Andiamo su Aggiungi e selezioniamo Differenze delle
variabili selezionate. Apparirà una nuova variabile chiamata
d_espresso;
o La differenza prima del titolo espresso al tempo t è
definita come espressot-espressot-1.
• Per pura comodità, generiamo nello stesso modo la differenza
prima della serie storica dell’indice mibtel (la utilizzeremo
più avanti), che verrà salvata nella variabile d_mibtel.
2

La serie differenziata oscilla intorno ad un valore
approssimativamente costante lungo tutto il periodo di riferimento.
Questo supporta l’ipotesi di stazionarietà. Nel resto della nostra
analisi ci concentreremo su questa serie storica.
• Il grafico di una serie storica può essere utile a livello
intuitivo per capire se l’ipotesi di stazionarietà vale o meno,
ma NON è un test formale dell’assunzione di stazionarietà.
Il nostro obiettivo è costruire un modello che ci permetta di
prevedere l’andamento futuro della serie storica d_espresso sulla
base del suo passato.
• Prevedere le differenze prime del titolo espresso permette di
derivare i valori futuri del titolo stesso.
• Supponiamo di osservare i prezzi del titolo espresso fino al
tempo t. Se voglio stimare il prezzo del titolo al tempo t+1,
stimare la differenza tra espressot+1 ed espressot permette di
ottenere una stima di espressot+1 perché espressot è noto.
∆espressot=espressot-espressot-1
∆espressot+1=espressot+1-espressot
espressot+1=espressot+∆espressot+1
3

Calcoliamo l’autocorrelazione gloabale e l’autocorrelazione
parziale di d_espresso selezionando questa variabile, cliccando
con il tasto destro e scegliendo l’opzione Correlogramma.
Funzione di autocorrelazione per d_ESPRESSO
LAG ACF PACF Q-stat. [p-value]
1 -0,0560 -0,0560 1,6401 [0,200]
2 0,1251 *** 0,1223 *** 9,8353 [0,007]
3 0,0003 0,0136 9,8354 [0,020]
4 0,0598 0,0461 11,7185 [0,020]
5 -0,0529 -0,0503 13,1962 [0,022]
6 -0,0540 -0,0736 * 14,7347 [0,022]
7 -0,0458 -0,0423 15,8469 [0,027]
8 0,0143 0,0242 15,9558 [0,043]
9 -0,0510 -0,0320 17,3359 [0,044]
10 -0,0300 -0,0342 17,8163 [0,058]
11 -0,0912 ** -0,0900 ** 22,2514 [0,022]
12 0,0292 0,0183 22,7063 [0,030]
13 -0,0416 -0,0163 23,6309 [0,035]
14 -0,0904 ** -0,1002 ** 28,0166 [0,014]
15 0,0043 0,0016 28,0267 [0,021]
16 0,0150 0,0200 28,1474 [0,030]
17 0,0223 0,0192 28,4148 [0,040]
18 -0,0529 -0,0552 29,9281 [0,038]
19 0,0044 -0,0205 29,9387 [0,053]
20 0,0113 -0,0022 30,0084 [0,070]
21 -0,0166 -0,0239 30,1583 [0,089]
22 0,0281 0,0310 30,5889 [0,105]
23 -0,0243 -0,0238 30,9108 [0,125]
24 0,0075 -0,0227 30,9414 [0,155]
25 0,0446 0,0342 32,0328 [0,157]
26 0,0197 0,0327 32,2472 [0,185]
27 0,0073 -0,0022 32,2767 [0,222]
Guardiamo al ritardo di ordine 3 (LAG=3),
La funzione di autocorrelazione globale
(ACF) è pari a 0.0003. Facendo riferimento
al grafico sotto per ACF, questo valore è
riassunto dal "rettangolo rosso" in
corrispondenza del terzo ritardo. Il
"rettangolo rosso" rimane all'interno delle
"bande blu" che delimitano l’intervallo
±1.96/sqrt(T). L'autocorrelazione globale al
terzo ritardo non è quindi statisticamente
diversa da 0 al livello di significatività del
5%. In altre parole, l’autocorrelazione
globale tra un valore della serie (ad esempio
t) ed il suo ritardo di terzo ordine (t-3) non è
significativa.
La funzione di autocorrelazione parziale
(PACF) è pari a 0.0136. Se guardiamo al
grafico sotto per PACF, vediamo che anche
in questo caso il "rettangolo rosso" rimane
all'interno delle "bande blu", indicando che
l'autocorrelazione paraizle al terzo ritardo
non è statisticamente diversa da 0 al livello
di significatività del 5%. Questo risultato ci
dice che, al netto dei ritardi di primo e
secondo ordine, la correlazione tra un
valore della serie (ad esempio t) ed il suo
ritardo di terzo ordine (t-3) non è
significativo.
Q-stat è la statistica di Ljung-Box che
saggia (in questo caso) l’ipotesi nulla che
tutte le autocorrelazioni globali fino al
ritardo 3 siano nulle. L’ipotesi alternativa è
che almeno una di queste autocorrelazioni
globali sia diversa da 0. Questa statistica si
distribuisce (in questo caso) come una chiquadro
con 3 gradi di libertà. Il p-value pari
a 0.020 ci porta a rifiutare l’ipotesi nulla al
5%.
Ai ritardi di ordine 2, 11 e 15 abbiamo
autocorrelazioni globali e parziali
statisticamente significative perché le
“barre rosse”, che indicano i valori delle
autocorrelazioni, escono dalle bande blu,
che delimitano l’intervallo ±1.96/sqrt(T).
4

Stimiamo un modello autoregressivo che ha il valore corrente
della serie storica d_espresso come variabile dipendente ed i suoi
ritardi tra le esplicative.
• Per decidere quanti ritardi utilizzare, prenderemo in
considerazione principalmente i criteri AIC e BIC e R-quadro
corretto, che combinano il numero dei ritardi nel modello con
il numero di osservazioni su cui questo viene stimato;
• L’utilizzo di questi criteri porta ad un compromesso tra la
parsimonia del modello ed il miglioramento dell’adattamento
ai dati che deriva dall’introduzione di un numero sempre
maggiore di regressori.
Assumiamo che il massimo numero di ritardi che vogliamo
includere nel modello sia pari a 4 (scelta puramente arbitraria). Per
decidere quanti ritardi utilizzare, stimiamo sullo stesso campione
una serie di modelli autoregressivi di quarto, terzo, secondo e
primo ordine.
• Restringiamo il campione facendo iniziare la serie storica
coinvolta nella stima 5 periodi di tempo dopo;
• Se non facessi questa operazione, stimerei i modelli su un
numero di osservazioni che diminuisce all’aumentare dei
ritardi inseriti. Ad esempio, il quarto ritardo della differenza
prima sarà pari alla differenza espressot-4-espressot-5. Questa
variabile è definita solo per le osservazioni che hanno almeno
5 osservazioni precedenti;
• Andiamo su Campione/Imposta intervallo e dichiariamo che
l’inizio del periodo di riferimento deve avvenire 5 periodi più
avanti (il 2006/01/09);
• Vedremo che in fondo alla finestra di gretl verrà mostrato che
il campione attuale è ristretto.
Stimiamo un modello autoregressivo di ordine 4 per la serie
storica d_espresso. Andiamo su Modello/OLS e dichiariamo che la
variabile dipendente è d_espresso. Per inserire i ritardi clicchiamo
5

su Ritardi e dichiariamo che vogliamo inserire tutti i ritardi di
d_espresso dal primo al quarto.
• Bisogna assicurarsi che la matrice di varianze e covarianze
dello stimatore sia stimata con il metodo HAC, che tiene
conto dell’autocorrelazione del termine di errore nel modello.
• A meno di non assumere che i 4 ritardi siano sufficienti per
spiegare interamente la determinazione del valore di
d_espresso, è opportuno ammettere che l’errore del modello
di regressione sia autocorrelato.
AR(4)
Modello 12: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
----------------------------------------------------------------
const -0,00248696 0,00155298 -1,601 0,1099
d_ESPRESSO_1 -0,0527765 0,0434477 -1,215 0,2250
d_ESPRESSO_2 0,124819 0,0431152 2,895 0,0040 ***
d_ESPRESSO_3 0,0154085 0,0427663 0,3603 0,7188
d_ESPRESSO_4 0,0452496 0,0372630 1,214 0,2252
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
Somma quadr. residui 0,677226 E.S. della regressione 0,036405
R-quadro 0,022545 R-quadro corretto 0,014894
F(4, 511) 2,741177 P-value(F) 0,028066
Log-verosimiglianza 979,8789 Criterio di Akaike -1949,758
Criterio di Schwarz -1928,527 Hannan-Quinn -1941,438
rho 0,002254 Valore h di Durbin 0,306579
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
Ora vediamo come varia l’adattamento ai dati togliendo un ritardo
alla volta e stimando così modelli autoregressivi di ordine
inferiore.
AR(3)
Modello 13: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
----------------------------------------------------------------
const -0,00260149 0,00156446 -1,663 0,0970 *
d_ESPRESSO_1 -0,0521179 0,0433356 -1,203 0,2297
d_ESPRESSO_2 0,130452 0,0442643 2,947 0,0034 ***
d_ESPRESSO_3 0,0130882 0,0433268 0,3021 0,7627
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
6

Somma quadr. residui 0,678640 E.S. della regressione 0,036407
R-quadro 0,020505 R-quadro corretto 0,014766
F(3, 512) 3,102859 P-value(F) 0,026337
Log-verosimiglianza 979,3409 Criterio di Akaike -1950,682
Criterio di Schwarz -1933,697 Hannan-Quinn -1944,026
rho -0,000743 Valore h di Durbin -0,093047
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
AR(2)
Modello 14: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
----------------------------------------------------------------
const -0,00263443 0,00158346 -1,664 0,0968 *
d_ESPRESSO_1 -0,0504727 0,0441905 -1,142 0,2539
d_ESPRESSO_2 0,129834 0,0441840 2,938 0,0034 ***
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
Somma quadr. residui 0,678758 E.S. della regressione 0,036375
R-quadro 0,020334 R-quadro corretto 0,016515
F(2, 513) 4,534551 P-value(F) 0,011165
Log-verosimiglianza 979,2959 Criterio di Akaike -1952,592
Criterio di Schwarz -1939,854 Hannan-Quinn -1947,600
rho -0,001787 Durbin-Watson 2,000236
AR(1)
Modello 16: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
----------------------------------------------------------------
const -0,00303673 0,00176032 -1,725 0,0851 *
d_ESPRESSO_1 -0,0586608 0,0503737 -1,165 0,2448
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
Somma quadr. residui 0,690463 E.S. della regressione 0,036651
R-quadro 0,003440 R-quadro corretto 0,001501
F(1, 514) 1,356090 P-value(F) 0,244757
Log-verosimiglianza 974,8846 Criterio di Akaike -1945,769
Criterio di Schwarz -1937,277 Hannan-Quinn -1942,441
rho 0,008143 Durbin-Watson 1,980360
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
Il modello autoregressivo di secondo ordine minimizza i criteri
AIC, BIC e massimizza il criterio R-quadro corretto 2 . Questo
modello realizza il miglior compromesso tra adattamento ai dati e
parsimonia della specificazione 3 .
2 Non sempre si arriva ad una situazione in cui una specificazione minimizza AIC e BIC e massimizza R-quadro
corretto. Ad esempio, se si fosse dovuto scegliere tra i soli modelli AR(3) e AR(4), si poteva optare per AR(3) alla luce
del fatto che questa specificazione minimizzava i criteri AIC e BIC ed il ritardo di ordine 4 non era significativo.
3 Se avessimo per esempio guardato ad R-quadro, che non premia la parsimonia del modello, avremmo dovuto scegliere
il modello autoregressivo di quarto ordine.
7

Supponiamo ora che voglia utilizzare il modello AR(2) stimato
per prevedere l’andamento della serie storica d_espresso nei 5
periodi di tempo successivi alla fine della finestra temporale per
cui osservo la serie storica.
• Andiamo su Analisi/Previsione e dichiariamo che vogliamo
inserire 5 nuove osservazioni.
• Selezioniamo la modalità previsione automatica e
dichiariamo che vogliamo disegnare l’intervallo di
confidenza attraverso le Linee di confidenza.
o Ricordate che l’intervallo di confidenza si basa
sull’assunzione di normalità dell’errore (che poi
verificheremo). Se questa assunzione non è supportata,
l’intervallo di confidenza non è valido.
Il grafico mostra in rosso i valori osservati, in blu quelli predetti
ed in verde gli estremi degli intervalli di confidenza al 95% delle
previsioni.
• Il confronto tra valori osservati e predetti per il periodo su cui
abbiamo stimato la serie storica è una misura
dell’adattamento del modello ai dati;
• Entrambe le serie storiche oscillano intorno
(approssimativamente) allo 0 grazie all’inclusione della
costante nella specificazione. Tuttavia, i picchi positivi e
8

negativi dei valori osservati non sono replicati dai valori
predetti, come potevamo aspettarci visto il basso R-quadro
ottenuto.
Andiamo ora a verificare se l’errore del modello si distribuisce
effettivamente secondo una normale.
• Salvo i residui del modello nella variabile resid.
• Il grafico dei residui mostra che la loro distribuzione
campionaria è concentrata intorno allo 0. Tuttavia, il test di
normalità riportato (di Doornik-Hansen, che combina gli
indici di asimmetria e curtosi) porta a rifiutare l’ipotesi nulla
che i residui si distribuiscono secondo una normale;
• Questo risultato mostra che gli intervalli di confidenza della
previsione che abbiamo visto prima non sono corretti perché
si basavano sull’assunzione di normalità degli errori del
modello, di cui i residui sono stime;
• L’inferenza sui parametri del modello può invece essere
sviluppata utilizzando tutti i risultati asintotici visti nel corso.
Il correlogramma dei residui mostra autocorrelazioni globali e
parziali significative ai ritardi 6 e 14.
• Questo risultato ci porta a pensare che gli errori del modello
siano autocorrelati e supporta la scelta di utilizzare lo
9

stimatore HAC per la matrice di varianze e covarianze dello
stimatore dei parametri sulle esplicative del modello.
Ora andiamo a verificare formalmente se la serie storica
d_espresso possa essere ritenuta stazionaria o meno. L’ipotesi di
stazionarietà è alla base dei modelli autoregressivi che abbiamo
utilizzato.
Una prima fonte di non stazionarietà può derivare dalla presenza
di radici unitarie. Effettuiamo il test Augmented Dickey-Fuller.
• Questo test consiste nel regredire la differenza prima della
serie (nel nostro caso la differenza prima di d_espresso) su
costante, valore ritardato della serie storica (nel nostro caso il
ritardo di d_espresso) ed una serie di ritardi delle differenze
prima della serie (nel nostro caso i ritardi delle differenze
prime di d_espresso);
o In alternativa, si può aggiungere a questo set di
esplicative anche un trend temporale.
• La statistica test da considerare è la statistica t sul parametro
del valore ritardato della serie. In questo caso però la
statistica t non ha distribuzione normale ed i valori critici
devono essere calcolati ad hoc;
• Selezioniamo la variabile d_espresso, andiamo su
Variabile/Test per radice unitaria/Test Dickey-Fuller
10

aumentato. Effettuiamo il test alternativamente sia con la sola
costante che con costante e trend.
• L’ipotesi nulla di questo test è che la serie storica d_espresso
abbia radici unitarie. L’ipotesi alternativa è l’assenza di radici
unitarie.
Augmented Dickey-Fuller test for d_ESPRESSO
inclusi 13 ritardi di (1-L)d_ESPRESSO (max was 18)
Ampiezza campionaria 506
Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1
Test con costante
Modello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,000
differenze ritardate: F(13, 491) = 1,935 [0,0245]
Valore stimato di (a - 1): -1,25476
Statistica test: tau_c(1) = -7,52925
p-value asintotico 1,136e-011
Con costante e trend
Modello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: -0,000
differenze ritardate: F(13, 490) = 1,945 [0,0235]
Valore stimato di (a - 1): -1,27472
Statistica test: tau_ct(1) = -7,61222
p-value asintotico 3,495e-011
Il p-value ci porta a rifiutare l’ipotesi nulla di presenza di radici
unitarie in entrambi i casi.
• Questi risultati sono in linea con il grafico della serie storica
d_espresso visto prima, dove non erano visibili trend.
Proviamo a rifare lo stesso test, ma guardando direttamente alla
variabile espresso.
• Vogliamo condurre un test formale per verificare la presenza
di radici unitarie in questa serie storica;
• Sulla base del grafico della serie ci aspettavamo la presenza
di un trend negativo.
Augmented Dickey-Fuller test for ESPRESSO
inclusi 14 ritardi di (1-L)ESPRESSO (max was 18)
Ampiezza campionaria 506
11

Ipotesi nulla di radice unitaria: a = 1
Test con costante
Modello: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: -0,000
differenze ritardate: F(14, 490) = 2,072 [0,0121]
Valore stimato di (a - 1): 0,00246612
Statistica test: tau_c(1) = 0,456229
p-value asintotico 0,9852
Con costante e trend
Modello: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
Coefficiente di autocorrelazione del prim'ordine per e: 0,001
differenze ritardate: F(14, 489) = 1,951 [0,0198]
Valore stimato di (a - 1): -0,0153155
Statistica test: tau_ct(1) = -1,29083
p-value asintotico 0,8899
In questo caso invece accetto l’ipotesi nulla di presenza di radici
unitarie. Se avessi stimato i modelli autoregressivi direttamente
sui livelli di espresso, avrei ottenuto risultati non validi in quanto
questi modelli ipotizzano la stazionarietà della serie.
Un ulteriore motivo che può compromettere la stazionarietà della
serie è la presenza di break strutturali dovuti per esempio a crisi
finanziarie o cambi nelle politiche di gestione dell’azienda.
• Questi cambiamenti possono modificare da un certo
momento in avanti la costante o i coefficienti sui ritardi del
modello autoregressivo stimato, rendendoli non invarianti nel
tempo.
Ipotizziamo di volere verificare la presenza di un break strutturale
con punto di rottura (break point) 1 gennaio 2007. Vogliamo
vedere se ci sono differenze nei parametri relativi nel nostro
modello tra il periodo antecedente al 1 gennaio 2007 e quello
successivo.
• Andiamo su Test/Chow BREAK strutturale ed inseriamo la
data del punto di rottura.
12

Il test prevede la stima di un ulteriore modello che alle variabili
esplicative già incluse aggiunge
• una dummy che vale 1 per tutte le osservazioni successive al
1 gennaio 2007 (compreso) e 0 per quelle precedenti;
• le interazioni tra questa variabile dummy ed i ritardi di
d_espresso.
L’ipotesi nulla del test di stabilità strutturale pone congiuntamente
pari a 0 tutti i parametri delle nuove esplicative aggiunte. Se i
parametri relativi alle nuove variabili inserite non sono
statisticamente significativi, allora non c’è break strutturale ed il
nostro modello iniziale è appropriato per studiare l’andamento
della serie storica in entrambi i periodi.
• In altre parole, secondo l’ipotesi nulla costante e parametri
sui ritardi non variano tra il periodo precedente all’1 gennaio
2007 e quello successivo.
• L’ipotesi alternativa invece assume che almeno uno di questi
parametri sia diverso da 0. Se è così, i dati supportano
l’ipotesi che l’1 gennaio 2007 si sia verificato un break
strutturale che ha cambiato la costante o almeno uno dei
parametri sui ritardi.
La statistica test si distribuisce asintoticamente secondo una chiquadro
con gradi di libertà pari al numero di variabili aggiunte nel
modello (nel nostro caso 3).
Regressione aumentata per il test Chow
OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
---------------------------------------------------------------
const -0,00181416 0,00214406 -0,8461 0,3979
d_ESPRESSO_1 -0,0342325 0,0636705 -0,5377 0,5911
d_ESPRESSO_2 0,0577450 0,0562140 1,027 0,3048
splitdum -0,00154595 0,00314311 -0,4919 0,6230
sd_d_ESPRESSO_1 -0,0291007 0,0869532 -0,3347 0,7380
sd_d_ESPRESSO_2 0,130498 0,0852982 1,530 0,1267
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
13

Somma quadr. residui 0,675162 E.S. della regressione 0,036385
R-quadro 0,025523 R-quadro corretto 0,015970
F(5, 510) 2,315247 P-value(F) 0,042645
Log-verosimiglianza 980,6662 Criterio di Akaike -1949,332
Criterio di Schwarz -1923,856 Hannan-Quinn -1939,349
rho 0,002454 Durbin-Watson 1,991644
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
Test Chow per break strutturale all'osservazione 2007/01/01
Chi-quadro(3) = 2,55447 con p-value 0,4655
Il p-value relativo alla distribuzione chi-quadro porta ad accettare
l’ipotesi nulla che non ci sia un break strutturale avvenuto l’1
gennaio.
• Questo non esclude che non si possano essere verificati altri
punti di rottura in altri istanti di tempo.
Ora vogliamo valutare se l’andamento del mercato finanziario
possa essere una informazione rilevante per predire l’andamento
della serie storica d_espresso.
L’andamento del mercato finanziario può essere riassunto dalla
serie storica dell’indice Mibtel, che raccoglie un vasto numero di
titoli sufficientemente diversificati;
• L’indice Mibtel può essere interpretato come un portafoglio
di mercato;
• Inserire la serie storica mibtel tra le esplicative del modello
ne aumenta la capacità predittiva?
La serie storica di mibtel non pare essere in linea con l’assunzione
di stazionarietà.
14

Inserisco nel modello le differenze prime di questa serie, che sono
state salvate precedentemente in d_mibtel. In aggiunta, inserisco
nel modello anche tutti i ritardi fino al secondo ordine delle
differenze prime.
Modello 5: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: d_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
--------------------------------------------------------------
const -0,00317269 0,00139184 -2,279 0,0231 **
d_MIBTEL 7,38282e-05 5,99204e-06 12,32 1,02e-030 ***
d_MIBTEL_1 1,43554e-05 5,92576e-06 2,423 0,0158 **
d_MIBTEL_2 1,88210e-06 5,89925e-06 0,3190 0,7498
d_ESPRESSO_1 -0,0758190 0,0474423 -1,598 0,1106
d_ESPRESSO_2 0,0992680 0,0376798 2,635 0,0087 ***
Media var. dipendente -0,002859 SQM var. dipendente 0,036679
Somma quadr. residui 0,499736 E.S. della regressione 0,031303
R-quadro 0,278720 R-quadro corretto 0,271648
F(5, 510) 40,70387 P-value(F) 3,09e-35
Log-verosimiglianza 1058,291 Criterio di Akaike -2104,583
Criterio di Schwarz -2079,106 Hannan-Quinn -2094,599
rho -0,002187 Durbin-Watson 2,001839
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
Per verificare se nel complesso l’informazione riguardante il
portafoglio di mercato contribuisce ad aumentare la capacità
predittiva del modello devo condurre il test di causalità di
Granger.
Questo test consiste nel verificare la significatività congiunta delle
differenze prime di mibtel e di tutti i loro ritardi.
15

• L’ipotesi nulla è che i parametri relativi a d_MIBTEL,
d_MIBTEL_1 e d_MIBTEL_2 siano congiuntamente pari a 0.
L’ipotesi alternativa è che almeno uno di questi parametri
non sia pari a 0.
La statistica test ha come sempre una distribuzione chi-quadro con
gradi di libertà pari al numero di variabili di cui stiamo testando la
significatività congiunta.
• Se questo test viene effettuato con il comando Test/Omit,
bisogna selezionare l’opzione Test di Wald perché vogliamo
sfruttare la stima della matrice di varianze e covarianze
ottenuta con lo stimatore HAC.
Ipotesi nulla: i parametri della regressione valgono zero per le
variabili
d_MIBTEL, d_MIBTEL_1, d_MIBTEL_2
Statistica test asintotica:
Chi-quadro di Wald(3) = 159,726, con p-value = 2,1002e-034
L’ipotesi nulla è rifiutata. In particolare, possiamo vedere che
questo risultato è guidato principalmente dalla significatività dei
parametri relativi a d_MIBTEL e d_MIBTEL_1.
• L’informazione relativa alle differenze prime dell’indice
Mibtel ed ai loro ritardi aumenta significativamente la
capacità predittiva del modello.
• Le variabili che abbiamo aggiunto sono significativamente
correlate con il valore corrente di d_espresso, anche se ci
condizioniamo ai suoi ritardi di ordine 1 e 2.
• Questo risultato è statisticamente valido ma nulla ci dice
circa la relazione tra rendimenti del titolo espresso e
rendimenti del mercato.
Il modello teorico che permette di capire come i rendimenti di un
titolo rischioso variano con quelli del mercato si chiama Capital
Asset Pricing Model (CAPM).
16

Definiamo i rendimenti giornalieri rt di un titolo a partire dal suo
prezzo giornaliero pt utilizzando la formula
Δ ln(
⎛
⎜
⎝
p
⎞
⎟
⎠
t
t
t t−1
t t−1
p t ) = ln( pt
) − ln( pt
−1)
= ln
⎜
=
=
≅ =
p ⎟
ln
⎜
−1
+ 1
t p ⎟
ln
⎜
+ 1
t
p ⎟
−1
−1
t−1
pt
−1
Il CAPM definisce la seguente equazione fondamentale
⎛
⎜
⎝
( r r ) ( r r )
p
− = α + β − + η
i F M F i
t i i t t
• r F è il rendimento giornaliero dei titoli non rischiosi, che può
essere ragionevolmente posto pari a 0;
• αi misura la differenza nel rendimento medio del titolo i al
tempo t rispetto al rendimento del mercato;
o Un valore positivo (negativo) di αi indica un eccesso
(difetto) di rendimento medio del titolo rispetto al
rendimento del mercato.
• βi misura la sensibilità del titolo i rispetto ai movimenti del
mercato.
o Un βi inferiore a 1 indica che il titolo i è difensivo (cioè
attenua i movimenti del mercato);
o Un βi superiore a 1 indica che il titolo i è aggressivo
(cioè amplifica i movimenti del mercato);
o Un βi pari a 1 indica invece una variabilità dei
rendimenti in linea con quella del mercato.
Per stimare l’equazione del CAPM per il titolo espresso dobbiamo
prima di tutto definire i rendimenti di questo titolo e quelli del
portafoglio di mercato, che come prima descriviamo attraverso la
serie mibtel.
• Selezioniamo espresso ed andiamo su Aggiungi/Differenze
logaritmiche delle variabili selezionate. Facciamo lo stesso
con mibtel.
⎞
⎟
⎠
⎛ p
⎜
⎝
− p
⎞
⎟
⎠
p
− p
r
t
17

• Le due nuove variabili si chiameranno rispettivamente
ld_espresso e ld_mibtel.
Stimiamo l’equazione del CAPM selezionando Modello/OLS
specificando un modello avente come variabile dipendente
ld_espresso e come variabili esplicative la costante e ld_mibtel.
Modello 2: OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: ld_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
---------------------------------------------------------------
const -0,000849581 0,000363464 -2,337 0,0198 **
ld_MIBTEL 0,576885 0,0464181 12,43 3,43e-031 ***
Media var. dipendente -0,000763 SQM var. dipendente 0,009451
Somma quadr. residui 0,033947 E.S. della regressione 0,008127
R-quadro 0,262012 R-quadro corretto 0,260576
F(1, 514) 154,4557 P-value(F) 3,43e-31
Log-verosimiglianza 1752,123 Criterio di Akaike -3500,246
Criterio di Schwarz -3491,754 Hannan-Quinn -3496,918
rho -0,085180 Durbin-Watson 2,165052
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
La stima della costante è una stima del parametro α del CAPM.
• Verifico il sistema di ipotesi H0: α=0, H1: α

• In particolare, il rendimento medio del titolo espresso è
inferiore a quello di mercato di 0.08(=100*(0.000849581))
punti percentuali.
La stima del parametro relativo a ld_mibtel è una stima del
coefficiente βld_mibtel dell'equazione fondamentale del CAPM.
• La stima puntuale di βld_mibtel è inferiore a 1;
• Verifico il sistema di ipotesi H0: βld_mibtel=1, H1: βld_mibtel

Per verificare questa ipotesi devo effettuare nuovamente un test di
stabilità strutturale.
• L’ipotesi nulla prevede che costante e parametro relativo a
ld_mibtel non varino tra il periodo antecedente al 30 marzo
2007 ed il periodo successivo;
• L’ipotesi alternativa prevede invece che almeno uno dei due
parametri vari.
Analogamente a prima, vengono inserite nel modello
• una dummy che vale 1 per tutte le osservazioni successive al
30 marzo 2007 (compreso) e 0 per quelle precdenti;
• l’interazione tra questa variabile dummy e ld_mibtel.
• Se queste due variabili sono congiuntamente non
significative, l’ipotesi nulla è accettata.
Nel nostro caso la statistica test si distribuisce asintoticamente
secondo una chi-quadro con due gradi di libertà.
Regressione aumentata per il test Chow
OLS, usando le osservazioni 2006/01/09-2007/12/31 (T = 516)
Variabile dipendente: ld_ESPRESSO
Errori standard HAC, larghezza di banda 6 (Kernel di Bartlett)
coefficiente errore std. rapporto t p-value
--------------------------------------------------------------
const -0,000732545 0,000397308 -1,844 0,0658 *
ld_MIBTEL 0,608675 0,0620387 9,811 6,16e-021 ***
splitdum -0,000350749 0,000808660 -0,4337 0,6647
sd_ld_MIBTEL -0,0719411 0,0915287 -0,7860 0,4322
Media var. dipendente -0,000763 SQM var. dipendente 0,009451
Somma quadr. residui 0,033886 E.S. della regressione 0,008135
R-quadro 0,263344 R-quadro corretto 0,259028
F(3, 512) 53,54939 P-value(F) 4,06e-30
Log-verosimiglianza 1752,589 Criterio di Akaike -3497,178
Criterio di Schwarz -3480,194 Hannan-Quinn -3490,523
rho -0,084555 Durbin-Watson 2,163364
Note: SQM = scarto quadratico medio; E.S. = errore standard
Test Chow per break strutturale all'osservazione 2007/03/30
Chi-quadro(2) = 0,949279 con p-value 0,6221
Il p-value mi porta ad accettare l’ipotesi nulla di stabilità
strutturale.
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