Cap5.4 Turbocompressori - Corsi di Laurea a Distanza - Politecnico ...
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<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
5.4 I TURBOCOMPRESSORI (<strong>di</strong> gas)<br />
5.4.1. INTRODUZIONE<br />
I turbocompressori sono macchine termiche operatrici, per le quali il lavoro<br />
interno è dato dalla seguente espressione:<br />
L = u c − u c ,<br />
i<br />
2 u2<br />
1 u1<br />
dove i pe<strong>di</strong>ci 1 e 2, al solito, in<strong>di</strong>cano le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> ingresso e <strong>di</strong> uscita dalla<br />
palettatura mobile.<br />
Un singolo sta<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un turbocompressore è ni genere costituito da una girante<br />
seguita da un condotto fisso (<strong>di</strong>ffusore), nel quale si converte in pressione<br />
l’energia cinetica che i gas ancora possiedono in uscita dalla girante. Nei<br />
compressori assiali il <strong>di</strong>ffusore è sempre palettato, mentre nei compressori<br />
centrifughi (ra<strong>di</strong>ali) può anche non esserlo.<br />
I compressori sono macchine operatrici nelle quali il lavoro compiuto<br />
dall'esterno sull'albero viene trasferito al fluido come lavoro <strong>di</strong> compressione. Le<br />
espressioni generali del lavoro <strong>di</strong> compressione possono essere determinate<br />
per mezzo del I° Principio della Termo<strong>di</strong>namica applicato al sistema<br />
termo<strong>di</strong>namico rappresentato dal fluido che attraversa globalmente la<br />
macchina. In<strong>di</strong>cando con (1c) la sezione in corrispondenza della bocca <strong>di</strong><br />
aspirazione del compressore e con (2c) la sezione in corrispondenza della<br />
bocca <strong>di</strong> mandata, si ottiene:<br />
Q<br />
L<br />
i<br />
e<br />
+ L = Δi<br />
+ ΔE<br />
+ ΔE<br />
=<br />
2c<br />
∫<br />
1c<br />
i<br />
vdp + L<br />
w<br />
c<br />
+ ΔE<br />
c<br />
g<br />
[I°<br />
+ ΔE<br />
g<br />
Pr. in forma Euleriana (sist. aperto, moto stazionario)]<br />
[I°<br />
Pr. in forma mista]<br />
Poiché ci si occuperà <strong>di</strong> compressori <strong>di</strong> gas, il termine Δi potrà essere calcolato<br />
come cpΔT, assumendo che il fluido <strong>di</strong> lavoro sia un gas perfetto, ed il termine<br />
ΔEg potrà essere trascurato; generalmente anche il termine ΔEc può essere<br />
trascurato rispetto agli altri termini, se non <strong>di</strong>versamente in<strong>di</strong>cato (è bene<br />
precisare che all’interno della macchina, invece, le variazioni <strong>di</strong> energia cinetica<br />
che il fluido subisce sono tutt’altro che trascurabili). Nelle macchine con basso<br />
2c<br />
valore <strong>di</strong> Δi o del termine ∫ vdp , che tendono allora a <strong>di</strong>ventare dei ventilatori, il<br />
1c<br />
termine cinetico è il più rilevante, poiché lo scopo è proprio quello <strong>di</strong> accelerare<br />
il fluido.<br />
Nei turbocompressori, infine, come per le turbomacchine in generale, per l'alta<br />
velocità con cui il fluido si muove all’interno della macchina, sono rilevanti le<br />
per<strong>di</strong>te per resistenze passive Lw, mentre è solitamente trascurabile il calore<br />
scambiato con le pareti (Qe).<br />
In definitiva:<br />
L = c<br />
L<br />
i<br />
i<br />
p<br />
2c<br />
1c<br />
( T −T<br />
)<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 99<br />
2c<br />
= ∫ vdp + L<br />
1c<br />
w<br />
.<br />
.
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Rimane da definire il tipo <strong>di</strong> trasformazione che il fluido subisce nella macchina,<br />
per poter così calcolare il termine (T2c-T1c) o, analogamente, per risolvere<br />
l’integrale nella seconda delle equazioni precedenti. Normalmente si assume<br />
che la trasformazione sia <strong>di</strong> tipo politropico con esponente m. In questo modo le<br />
evoluzioni del fluido possono essere utilmente rappresentate sui <strong>di</strong>agrammi p-v<br />
e T-S (figure 5.4.1 e 5.4.2):<br />
Figura 5.4.1: Compressione sul piano p –V.<br />
Figura 5.4.2: Compressione sul piano T – S<br />
Se si ipotizza che le con<strong>di</strong>zioni del fluido nell’ambiente <strong>di</strong> aspirazione (1c) siano<br />
praticamente le stesse <strong>di</strong> quelle all’ingresso della girante (1), si ha:<br />
Q<br />
L<br />
i<br />
e<br />
+ L = c<br />
=<br />
i<br />
p<br />
( T −T<br />
)<br />
2c<br />
1<br />
⎡<br />
k p<br />
RT<br />
⎢⎛<br />
= ⎜ 1<br />
k −1<br />
⎢⎜<br />
p<br />
⎢⎝<br />
⎣<br />
m−1<br />
2c<br />
∫vdp<br />
+ Lw<br />
1<br />
m p c<br />
p v<br />
⎢⎛<br />
⎞ 2<br />
=<br />
m ⎢ ⎜<br />
p ⎟<br />
1 1<br />
−1<br />
1<br />
m<br />
2c<br />
se, poi, sia Qe che Lw sono nulli, allora = 0<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 100<br />
∫<br />
1<br />
⎡<br />
⎢⎝<br />
⎣<br />
⎠<br />
2c<br />
1c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
m−1<br />
m<br />
⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥<br />
+ L<br />
⎥⎦<br />
= k) ed entrambe le espressioni si riducono alla seguente:<br />
w<br />
;<br />
TdS (l’evoluzione è isentropica, m<br />
⎡ k −1<br />
⎤<br />
⎛ k−1<br />
k ⎢⎛<br />
p ⎞ k ⎥<br />
⎞<br />
2c<br />
k<br />
L = =<br />
= ⎜ − ⎟<br />
⎢ ⎜<br />
⎟ −1<br />
k<br />
i Li,<br />
is RT1<br />
−<br />
⎥<br />
RT1<br />
β 1 ,<br />
k 1<br />
− ⎜ ⎟<br />
⎢⎝<br />
p1<br />
⎠ k 1<br />
⎥ ⎝ ⎠<br />
⎣<br />
⎦<br />
avendo chiamato β il rapporto <strong>di</strong> compressione p2c / p1c = p2c /p1.<br />
Si definisce ren<strong>di</strong>mento a<strong>di</strong>abatico o isentropico la quantità:
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
k−1<br />
k−1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ k ⎟ ⎜ k<br />
c<br />
⎟<br />
pT1⎜<br />
β − 1<br />
⎟ ⎜<br />
β − 1<br />
L<br />
⎟<br />
i,<br />
is<br />
η<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
c = =<br />
.<br />
m−1<br />
m−1<br />
Li<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
c T ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟<br />
p 1⎜<br />
β − 1<br />
⎟ ⎜<br />
β − 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Il lavoro effettivo <strong>di</strong> compressione Li può dunque essere così espresso:<br />
1<br />
Li<br />
= Li,<br />
η<br />
c<br />
is<br />
1 k ⎡<br />
= RT1⎢β<br />
ηc<br />
k − 1 ⎣<br />
⎤<br />
− 1⎥<br />
.<br />
⎦<br />
Si definisce ren<strong>di</strong>mento idraulico del compressore la quantità<br />
L − L<br />
i w<br />
η yc = ,<br />
Li<br />
che, nel caso <strong>di</strong> compressione a<strong>di</strong>abatica (Qe=0) e con variazione <strong>di</strong> energia<br />
cinetica trascurabile (ΔEc=0), <strong>di</strong>venta<br />
m<br />
η m 1<br />
yc = −<br />
.<br />
k<br />
k − 1<br />
Il lavoro Li può pertanto essere espresso anche dalla seguente relazione:<br />
⎛ k −1<br />
1<br />
⋅ ⎞<br />
k ⎜ k ηyc<br />
⎟<br />
Li<br />
= RT1<br />
⎜<br />
β −1<br />
k −1<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ ⎠<br />
Per i turbocompressori si definice inoltre un grado <strong>di</strong> reazione nel modo<br />
seguente:<br />
Δi<br />
girante<br />
χ = .<br />
Poiché la compressione si può solitamente considerare a<strong>di</strong>abatica, dal primo<br />
principio, se “1” è la sezione in ingresso alla girante e “2” quella all’uscita, si<br />
ottiene<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 101<br />
L<br />
c2<br />
− c1<br />
Li<br />
−<br />
χ = 2 ,<br />
L<br />
per cui si può scrivere<br />
2 2<br />
c2<br />
c1<br />
1<br />
2Li<br />
−<br />
χ = − .<br />
Per lo stu<strong>di</strong>o delle prestazioni dei turbocompressori si fa spesso riferimento ai<br />
seguenti coefficienti a<strong>di</strong>mensionali:<br />
i<br />
2<br />
i<br />
2<br />
k−1<br />
k
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<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Coefficiente <strong>di</strong> pressione<br />
Coefficiente <strong>di</strong> portata<br />
oppure<br />
Coefficiente <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta<br />
Coefficiente termometrico<br />
Li 2<br />
2<br />
ψ = ;<br />
u<br />
2<br />
w r 2<br />
ϕ = (compressori ra<strong>di</strong>ali)<br />
u<br />
2<br />
wa 2<br />
ϕ = (compressori assiali);<br />
u<br />
2<br />
Lw<br />
ζ = ; 2<br />
u2<br />
2<br />
cPT1 τ 1 = .<br />
2<br />
u2<br />
2<br />
Essi sono tra loro legati dalla seguente relazione, nel caso in cui Qe=0 e ΔEc=0:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Inoltre<br />
L<br />
i<br />
= ( Δi<br />
)<br />
sta<strong>di</strong>o<br />
m−1<br />
m<br />
yc<br />
= c T ( β − 1)<br />
⇒ ψ = τ ( β −1)<br />
,<br />
P<br />
1<br />
L − L<br />
i<br />
w<br />
⎛ ψ ⎞<br />
⎜ + 1<br />
τ ⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
m<br />
m−1<br />
= β .<br />
m<br />
= RT1(<br />
β<br />
m −1<br />
m−1<br />
i<br />
−1);<br />
k −1<br />
1<br />
⋅<br />
k η<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 102<br />
m−1<br />
m<br />
m k −1<br />
ψ − ζ = ⋅ ⋅τ<br />
1(<br />
β<br />
m −1<br />
k<br />
m −1)<br />
= ηyτ<br />
1(<br />
β<br />
ηy<br />
Li<br />
=<br />
− Lw<br />
L<br />
ψ − ζ<br />
= .<br />
ψ<br />
1<br />
k −1<br />
1<br />
⋅<br />
k ηyc<br />
−1)<br />
= η ψ ;<br />
Considerazioni sull’entità del lavoro <strong>di</strong> compressione<br />
Il lavoro <strong>di</strong> compressione risulta minimo quando la compressione avviene<br />
secondo un’evoluzione isoterma (si veda a tale proposito quanto esposto nel<br />
Capitolo 2 ed, in particolare, si svolga l’esercizio 11 proposto alla fine <strong>di</strong> tale<br />
Capitolo). Questa osservazione porta alla conclusione che una compressione<br />
refrigerata è vantaggiosa ai fini del ren<strong>di</strong>mento. Nella pratica, ove necessario, si<br />
attua una compressione interrefrigerata, in più sta<strong>di</strong>: al termine <strong>di</strong> ogni sta<strong>di</strong>o <strong>di</strong><br />
compressione, il fluido è raffreddato, ad esempio, fino alla temperatura <strong>di</strong> inizio<br />
compressione (si parla in questo caso <strong>di</strong> interrefrigerazione uniforme). E’<br />
possibile <strong>di</strong>mostrare che si ottiene il massimo ren<strong>di</strong>mento quando i rapporti <strong>di</strong><br />
compressione che caratterizzano i vari sta<strong>di</strong> sono uguali tra loro. Ovviamente,<br />
una simile pratica ha l’inconveniente <strong>di</strong> dover pre<strong>di</strong>sporre un sistema <strong>di</strong><br />
interrefrigerazione.<br />
y
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
5.4.2 TURBOCOMPRESSORI CENTRIFUGHI MONOSTADIO (ra<strong>di</strong>ali)<br />
I turbocompressori centrifughi sono in genere macchine monosta<strong>di</strong>o, destinate<br />
a rapporti <strong>di</strong> compressione modesti (βMAX ≈ 4), con ren<strong>di</strong>menti non molto elevati<br />
(ηyc,MAX ≈ 0.85), e velocità periferiche massime (in uscita dalla girante) che<br />
<strong>di</strong>pendono dal tipo <strong>di</strong> materiale utilizzato e dall’applicazione: si passa da circa<br />
200 m/s quando le pale della girante sono realizzate in alluminio a 450 m/s nel<br />
caso in cui venga impiegato il titanio (velocità interme<strong>di</strong>e sono raggiungibili nel<br />
caso <strong>di</strong> pale <strong>di</strong> acciaio o in superleghe). Le portate smaltite da tali macchine<br />
sono anch’esse <strong>di</strong> entità modesta (fino a 50 m 3 /s, in volume).<br />
La girante dei turbocompressori centrifughi è costituita da un <strong>di</strong>sco (solidale al<br />
mozzo) che porta a sbalzo le palette. Raramente un secondo <strong>di</strong>sco delimita<br />
frontalemente i canali tra le palette: si parla allora <strong>di</strong> giranti chiuse. All’interno<br />
delle palettature della girante il gas riceve lavoro incrementando sia la sua<br />
entalpia (e la sua pressione) sia la sua energia cinetica.<br />
In uscita dalla girante è presente un <strong>di</strong>ffusore, all’interno del quale l’energia<br />
cinetica posseduta dal gas accelerato dalla girante è convertita in entalpia (e<br />
dunque si ha un ulteriore aumento <strong>di</strong> pressione). Il <strong>di</strong>ffusore può essere<br />
realizzato con palette opportunamente profilate o privo <strong>di</strong> palettatura (figure<br />
5.4.3 e 5.4.4). In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> progetto l’eventuale <strong>di</strong>ffusore palettato consente<br />
<strong>di</strong> recuperare l’energia cinetica del gas con efficacia maggiore rispetto al<br />
<strong>di</strong>ffusore non palettato. Nel caso in cui al compressore sia spesso richiesto <strong>di</strong><br />
funzionare in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong>verse da quelle <strong>di</strong> progetto, la palettatura del <strong>di</strong>ffusore<br />
porterebbe a notevoli per<strong>di</strong>te, ed è preferibile in questo caso utilizzare un<br />
<strong>di</strong>ffusore non palettato.<br />
A valle del <strong>di</strong>ffusore la chiocciola o coclea raccoglie il fluido e lo invia alla bocca<br />
<strong>di</strong> mandata.<br />
Figura 5.4.3: Turbocompressore centrifugo con<br />
<strong>di</strong>ffusore palettato.<br />
Figura 5.4.4: Turbocompressore centrifugo<br />
con <strong>di</strong>ffusore non palettato.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 103
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Figura 5.4.5. Tipi <strong>di</strong> palettature.<br />
La girante può essere caratterizzata da palette curvate in avanti, ra<strong>di</strong>ali, o<br />
curvate all’in<strong>di</strong>etro rispetto al varso <strong>di</strong> rotazione (figura 5.4.5). La prima<br />
soluzione – pale in avanti (β2 < 90°) – non viene solitamente utilizzata poiché,<br />
come si vedrà in seguito, può portare ad avere eccessive per<strong>di</strong>te nel <strong>di</strong>ffusore;<br />
la seconda – pale ra<strong>di</strong>ali (β2 = 90°) – è piuttosto frequente, per la maggior<br />
semplicità <strong>di</strong> costruzione; la terza – pale all’in<strong>di</strong>etro (β2 > 90°) – è impiegata<br />
quando interessano ampi campi <strong>di</strong> funzionamento.<br />
Se la girante, come avviene comunemente, non è preceduta da un<br />
pre<strong>di</strong>stributore, si ha cu1=0, ed il lavoro massico <strong>di</strong> compressione vale pertanto<br />
(figura 5.4.6):<br />
Li = u2cu<br />
2 = u2(<br />
u2<br />
+ w r 2ctg(<br />
β2<br />
))<br />
.<br />
ψ = 2( 1 + ϕ ⋅ ctg(<br />
β ))<br />
Figura 5.4.6: Triangoli <strong>di</strong> velocità <strong>di</strong> un<br />
turbocompressore centrifugo.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 104<br />
2<br />
Figura 5.4.7: Andamento <strong>di</strong> ψ in funzione <strong>di</strong> ϕ<br />
al variare <strong>di</strong> β2.<br />
Si è scelto <strong>di</strong> esprimere il lavoro in funzione dell’angolo β2 perché tale angolo è<br />
un parametro costruttivo, e dunque non varia al variare delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
esercizio.
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<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Ipotizzando, come spesso accade, che c1 sia molto più piccolo <strong>di</strong> c2, il grado <strong>di</strong><br />
reazione vale<br />
c c c + ϕ u 1 c ϕ<br />
χ −<br />
2L<br />
2u<br />
c 2u<br />
c 2 u 2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
2<br />
= 1 − 2 = 1 − 2 = 1 − u2<br />
2 = 1 − u2<br />
2 .<br />
i<br />
2<br />
u 2<br />
Poichè<br />
cu2<br />
u2c<br />
u2<br />
ψ<br />
= = ,<br />
2<br />
u2<br />
u2<br />
2<br />
si ottengono in definitiva le seguenti espressioni per il grado <strong>di</strong> reazione:<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 105<br />
2<br />
u2<br />
2<br />
ψ ϕ<br />
χ = 1 − − ,<br />
4 ψ<br />
1 ϕ<br />
ϕ<br />
χ = − cot gβ2<br />
−<br />
.<br />
2 2 2<br />
2<br />
( 1+<br />
ϕ cot gβ<br />
)<br />
Il grado <strong>di</strong> reazione presenta pertanto l’andamento rappresentato in figura 5.4.8<br />
in funzione della portata:<br />
Figura 5.4.8: Andamento <strong>di</strong> χ in funzione <strong>di</strong> ϕ al variare <strong>di</strong> β2.<br />
Il grado <strong>di</strong> reazione esprime la frazione del salto entalpico complessivo<br />
elaborato nella girante: un valore elevato <strong>di</strong> χ comporta che il salto entalpico è<br />
realizzato dalla macchina prevalentemente nella girante. Conviene allora che il<br />
grado <strong>di</strong> reazione sia il più alto possibile: nel <strong>di</strong>ffusore viene rallentata la<br />
corrente convertendo l’energia cinetica in entalpia, ma tale conversione può<br />
risultare poco efficiente o perché il <strong>di</strong>ffusore non è palettato, oppure perché il<br />
compressore lavora in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong>verse da quelle <strong>di</strong> progetto. Occorre<br />
pertanto che nella girante si incrementi il più possibile l’entalpia e poco l’energia<br />
cinetica: minore sarà c2, minore sarà il recupero che dovrà realizzarsi nel<br />
<strong>di</strong>ffusore.<br />
Da quanto esposto, ed osservando la figura 5.4.8, si deduce allora come la<br />
scelta più opportuna sia quella <strong>di</strong> realizzare pale caratterizzate da β2 ≥ 90°,<br />
poiché è la scelta che consente <strong>di</strong> ottenere i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> reazione più alti.<br />
2<br />
2<br />
u<br />
c<br />
u2
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A parità wr e <strong>di</strong> u , cioè a parità <strong>di</strong> ϕ, il grado <strong>di</strong> reazione è tanto maggiore<br />
2 2<br />
quanto maggiore è β : al crescere <strong>di</strong> β <strong>di</strong>minuisce c (figura 5.4.9) e <strong>di</strong><br />
2 2 2<br />
conseguenza l’esigenza <strong>di</strong> un <strong>di</strong>ffusore. Sono pertanto molto usati i compressori<br />
π<br />
con pale ra<strong>di</strong>ali ( β 2 = ), caratterizzate da una maggiore semplicità costruttiva,<br />
2<br />
π<br />
o rivolte all’in<strong>di</strong>etro ( β 2 > ).<br />
2<br />
Figura 5.4.9: Confronto tra le velocità c2 per varie geometrie delle pale della girante, a<br />
parità <strong>di</strong> wr2 e u2.<br />
Il lavoro <strong>di</strong>ssipato per attrito<br />
fluido<strong>di</strong>namico, Lw, può essere<br />
rappresentato concettualmente da due<br />
termini: il termine Lw1, dovuto alle<br />
per<strong>di</strong>te <strong>di</strong>stribuite nei condotti (Lw1∝ϕ 2 ),<br />
ed il termine Lw2, imputabile alle per<strong>di</strong>te<br />
concentrate all’imbocco delle<br />
palettature della girante e del <strong>di</strong>ffusore.<br />
Quest’ultimo termine è minimo allorché<br />
la <strong>di</strong>rezione della velocità risulta<br />
tangente alla <strong>di</strong>rezione del bordo <strong>di</strong><br />
attacco delle palettature.<br />
In figura 5.4.10 sono rappresentati, in<br />
forma <strong>di</strong>mensionale, i due termini <strong>di</strong><br />
per<strong>di</strong>ta appena descritti:<br />
ζ<br />
ζ<br />
1<br />
2<br />
=<br />
Lw<br />
1<br />
=<br />
Lw<br />
2<br />
u<br />
2<br />
2<br />
u<br />
/ 2<br />
.<br />
2<br />
2<br />
/ 2<br />
Figura 5.4.10: Per<strong>di</strong>te fluido<strong>di</strong>namiche in<br />
funzione <strong>di</strong> ϕ.<br />
Si osserva che per ϕ→0, ζ2→1. Infatti il<br />
triangolo in uscita dalla girante, tende a<br />
dare c2→u2 (ossia Li→u2 2 =c2 2 e ψ→2). La velocità c2, inoltre, per la sua<br />
<strong>di</strong>rezione fuori progetto, risulta completamente perduta (ai fini <strong>di</strong> un recupero <strong>di</strong><br />
pressione): si può pertanto assumere Lw2→ c2 2 /2=u2 2 /2 ⇒ ζ2→1.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 106
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Caratteristica Manometrica<br />
La caratteristica manometrica <strong>di</strong> un turbocompressore rappresenta l’andamento<br />
del rapporto <strong>di</strong> compressione β in funzione della portata, per una fissata velocità<br />
<strong>di</strong> rotazione della macchina.<br />
Considerando per semplicità l'ipotesi <strong>di</strong> fluido incomprimibile (densità costante),<br />
si ha:<br />
2c<br />
( p − p ) = v p ( −1)<br />
Li − Lw<br />
= ∫ vdp = v1<br />
2c<br />
1 1 1 β .<br />
Passando ai parametri a<strong>di</strong>mensionali, si ottiene:<br />
da cui<br />
1<br />
RT ⎡ RT ⎤<br />
1 ψ − ζ =<br />
−<br />
2<br />
⎢ ⎥ β<br />
u2<br />
⎢⎣<br />
nd2<br />
⎥⎦<br />
2<br />
1<br />
( β −1)<br />
∝ ( 1)<br />
⎡ nd ⎤<br />
1 ⎢ ⎥ .<br />
⎢⎣<br />
RT1<br />
⎥⎦<br />
2<br />
( β − ) ∝ ( ψ − ζ )<br />
L’andamento <strong>di</strong> β in funzione <strong>di</strong> ϕ, assumendo il valore 1 come origine dell’asse<br />
delle or<strong>di</strong>nate, è pertanto qualitativamente identico a quello del termine (ψ - ζ),<br />
assumendo come parametro la grandezza nd 2 / RT1<br />
, che prende il nome <strong>di</strong><br />
numero <strong>di</strong> giri corretto (figura 5.4.11); β=1 quando ψ - ζ = 0, per qualsiasi valore<br />
del numero <strong>di</strong> giri corretto. Si osservi che il numero <strong>di</strong> giri corretto è<br />
proporzionale all’inverso della ra<strong>di</strong>ce quadrata del coefficiente termometrico.<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
(β2=90°)<br />
Figura 5.4.11: Caratteristica manometrica in funzione <strong>di</strong> ϕ.<br />
La rappresentazione della caratteristica con riferimento a ϕ risulta poco<br />
comoda: si preferisce solitamente <strong>di</strong>agrammare il rapporto <strong>di</strong> compressione in<br />
funzione della portata.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 107<br />
2<br />
2<br />
,
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
L’equazione della portata in volume in funzione delle grandezze geometriche e<br />
fluido<strong>di</strong>namiche all’uscita della girante può essere espressa dalla relazione<br />
seguente:<br />
l 2 2<br />
m& v 2 = ξπ l 2d<br />
2w<br />
2r<br />
= ξπ d2ϕu<br />
2 .<br />
d<br />
Per compressori geometricamente simili (aventi cioè la stessa forma delle pale<br />
e tutte le <strong>di</strong>mensioni omologhe in rapporto <strong>di</strong> scala costante), il termine l2/d2 è<br />
costante. Considerando inoltre ancora valida l’ipotesi <strong>di</strong> fluido incomprimibile<br />
(v2/v1=1) risulta:<br />
m&<br />
v1<br />
v 2 m&<br />
RT m&<br />
RT<br />
1<br />
1 RT1<br />
ϕ ∝ = ∝<br />
.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
d2<br />
u v 2 1 p1<br />
d<br />
nd<br />
2u<br />
2 d2<br />
p1<br />
2<br />
Pertanto<br />
m&<br />
d<br />
2<br />
2<br />
RT<br />
p<br />
1<br />
1<br />
∝<br />
La caratteristica manometrica del turbocompressore, rappresentata inizialmente<br />
in funzione <strong>di</strong> ϕ, può quin<strong>di</strong> essere rappresentata in funzione della portata<br />
m& RT1<br />
corretta , sempre per un valore costante del numero <strong>di</strong> giri corretto<br />
2<br />
p d<br />
nd<br />
2<br />
RT<br />
1<br />
1<br />
2<br />
(figura 5.4.12).<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 108<br />
nd<br />
2<br />
RT<br />
1<br />
2<br />
⋅ϕ<br />
Figura 5.4.12: Caratteristica manometrica.<br />
Le curve non convergono più, per β=1, ad uno stesso punto (stesso ϕ), poiché<br />
uno stesso valore <strong>di</strong> ϕ, al variare <strong>di</strong><br />
nd 2<br />
RT<br />
m& RT1<br />
, dà luogo a <strong>di</strong>versi valori <strong>di</strong> .<br />
2<br />
p d<br />
Le caratteristiche appena ricavate si riferiscono ad una famiglia <strong>di</strong> compressori<br />
geometricamente simili. Se si fissa il valore del <strong>di</strong>ametro d2 ed il tipo <strong>di</strong> gas<br />
(costante R), si possono rappresentare le caratteristiche manometriche in<br />
1<br />
.<br />
1<br />
2
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
funzione della portata corretta<br />
m&<br />
p<br />
T<br />
1<br />
1<br />
, avendo come parametro il numero <strong>di</strong> giri<br />
n<br />
corretto . Più spesso, poi, si riferiscono T1 e p1 alle con<strong>di</strong>zioni standard<br />
T1<br />
(p0,T0), in modo da esprimere nuovamente la caratteristica manometrica in<br />
funzione <strong>di</strong> grandezze con le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> una portata e <strong>di</strong> un numero <strong>di</strong> giri:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
T<br />
m& 1 ⎟<br />
⎜<br />
T0<br />
β = β ⎟ ,<br />
⎜ p1<br />
⎟<br />
⎜ p ⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
I ragionamenti fin qui condotti sono stati svolti assumendo incomprimibilità del<br />
fluido <strong>di</strong> lavoro. Tale ipotesi, apparentemente assai restrittiva, può essere<br />
ragionevole se il rapporto <strong>di</strong> compressione non è elevato (come avviene nel<br />
caso dei turbocompressori centrifughi).<br />
Si è assunta l’ipotesi <strong>di</strong> incomprimibilità per ottenere delle semplificazioni nei<br />
passaggi che hanno condotto all’in<strong>di</strong>viduazione della caratteristica<br />
manometrica. L’introduzione della comprimibilità del fluido non mo<strong>di</strong>fica la<br />
logica del proce<strong>di</strong>mento seguito, e porta ad in<strong>di</strong>viduare (è possibile verificarlo)<br />
curve caratteristiche del tutto analoghe dal punto <strong>di</strong> vista degli andamenti.<br />
Gli andamenti effettivi delle curve caratteristiche, ricavati sperimentalmente,<br />
possono inoltre <strong>di</strong>scostarsi dagli andamenti semplificati qui ricavati a causa<br />
delle ipotesi assunte sull’uni<strong>di</strong>mensionalità del flusso e sulla <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ζ da<br />
ϕ. Altro aspetto importante che qui si è trascurato è l’influenza del numero <strong>di</strong><br />
Mach e del numero <strong>di</strong> Reynolds della corrente.<br />
I costruttori <strong>di</strong> turbocompressori solitamente forniscono curve caratteristiche<br />
(monometriche) del tipo rappresentato in figura 5.4.13. E’ possibile notare<br />
<strong>di</strong>verse curve al variare del numero <strong>di</strong> giri corretto, ed una curva limite che<br />
definisce il campo <strong>di</strong> funzionamento stabile del compressore (limite del<br />
pompaggio, <strong>di</strong> cui si parlerà nelle pagine seguenti). Si in<strong>di</strong>vidua inoltre una<br />
rappresentazione a <strong>di</strong>agramma collinare delle curve iso-ren<strong>di</strong>mento (ognuna<br />
caratterizzata da un preciso valore del ren<strong>di</strong>mento della macchina, espresso in<br />
percentuale).<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 109<br />
T<br />
n<br />
1<br />
T<br />
0<br />
.
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<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> instabilità<br />
Curve<br />
iso-ren<strong>di</strong>mento<br />
Figura 5.4.13: Caratteristica manometrica <strong>di</strong> un turbocompressore per la<br />
sovralimentazione <strong>di</strong> un motore alternativo a combustione interna.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 110
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Similitu<strong>di</strong>ne Geometrica e Fluido<strong>di</strong>namica<br />
Due compressori si <strong>di</strong>cono geometricamente simili se hanno <strong>di</strong>mensioni in scala<br />
ed angoli costruttivi uguali.<br />
Due compressori si <strong>di</strong>cono funzionanti in similitu<strong>di</strong>ne fluido<strong>di</strong>namica se sono<br />
geometricamente simili e presentano triangoli delle velocità simili in punti<br />
corrispondenti della macchina.<br />
Similitu<strong>di</strong>ne può sussistere anche tra due con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento della<br />
stessa macchina.<br />
In realtà, per una similitu<strong>di</strong>ne fluido<strong>di</strong>namica rigorosa, bisognerebbe imporre,<br />
oltre alla con<strong>di</strong>zione sui triangoli <strong>di</strong> velocità, anche l’uguaglianza dei numeri<br />
a<strong>di</strong>mensionali che caratterizzano il moto (Re, Pr, Ma). E’ però <strong>di</strong>fficile realizzare<br />
tale tipo <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne e ci si limita generalmente alla similitu<strong>di</strong>ne dei triangoli<br />
delle velocità.<br />
Per due compressori geometricamente simili e funzionanti in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
similitu<strong>di</strong>ne fluido<strong>di</strong>namica (triangoli <strong>di</strong> velocità simili, e quin<strong>di</strong> con ϕ, ψ, ζ, ηy<br />
costanti), si ha:<br />
poiché (ψ-ζ)= costante.<br />
Inoltre<br />
poiché ϕ=costante.<br />
Si ha pertanto:<br />
⎡ nd ⎤<br />
2<br />
β ∝ ⎢ ⎥ ,<br />
⎢⎣<br />
RT1<br />
⎥⎦<br />
( −1)<br />
m&<br />
d<br />
2<br />
2<br />
RT<br />
p<br />
1<br />
1<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 111<br />
∝<br />
nd<br />
2<br />
RT<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
( 1)<br />
⎜<br />
m& RT<br />
β − ∝ ⎟ ,<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ d2<br />
p1<br />
⎠<br />
che rappresenta una parabola nel piano della caratteristica manometrica (figura<br />
5.4.14).<br />
Figura 5.4.14: Linea a ϕ costante.<br />
1<br />
2<br />
,<br />
2
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Per macchine geometricamente simili, punti ad eguale ϕ (similitu<strong>di</strong>ne<br />
fluido<strong>di</strong>namica) hanno lo stesso ηy: anche le linee a ren<strong>di</strong>mento idraulico<br />
costante sono delle parabole nel piano della caratteristica manometrica.<br />
Con<strong>di</strong>zioni ad eguale ηy, invece, sono compatibili (per ampio campo <strong>di</strong> ϕ) con<br />
due valori <strong>di</strong>versi <strong>di</strong> ϕ (figura 5.4.15), e ciò consente <strong>di</strong> trovare coppie <strong>di</strong> punti<br />
nd 2<br />
ad egual ren<strong>di</strong>mento ηy che, pur avendo lo stesso , hanno <strong>di</strong>verso ϕ e<br />
RT<br />
m& RT<br />
quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>verso 2<br />
p d<br />
Figura 5.4.15: Andamento del ren<strong>di</strong>mento<br />
in funzione <strong>di</strong> ϕ.<br />
1<br />
2<br />
1<br />
.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 112<br />
1<br />
Figura 5.4.16: Parabole a caratterizzate dallo stesso<br />
ren<strong>di</strong>mento, ma da valori <strong>di</strong>versi <strong>di</strong> ϕ.<br />
Quello appena evidenziato è un metodo per riportare le curve iso-ren<strong>di</strong>mento<br />
sul piano della caratteristica manometrica del turbocompressore.<br />
Anziché riportare curve ad ηy costante, i costruttori spesso riportano curve a ηc<br />
costante, essendo quest’ultimo legato al ren<strong>di</strong>mento idraulico dalla nota<br />
relazione:<br />
k −1<br />
β k − 1<br />
η =<br />
.<br />
c<br />
β<br />
k −1<br />
1<br />
⋅<br />
k ηy<br />
Nella realtà le curve iso-ren<strong>di</strong>mento tendono a chiudersi su loro stesse<br />
(<strong>di</strong>agramma collinare, come in figura 5.4.13).<br />
− 1
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
5.4.3. TURCOCOMPRESSORI CENTRIFUGHI PLURISTADIO<br />
Il lavoro <strong>di</strong> compressione può in generale<br />
essere assunto proporzionale al quadrato<br />
della velocità periferica in uscita dalla<br />
girante. La limitazione (vincolo strutturale)<br />
cui quest’ultima è sottoposta non consente in<br />
un solo sta<strong>di</strong>o la realizzazione <strong>di</strong> β molto<br />
elevati. Per ottenere rapporti <strong>di</strong><br />
compressione superiori si ricorre alla<br />
soluzione dei compressori multista<strong>di</strong>o, in<br />
serie, con o senza refrigerazione interme<strong>di</strong>a<br />
(figura 5.4.17).<br />
Nel caso in cui con la refrigerazione<br />
interme<strong>di</strong>a sia possibile riottenere la stessa<br />
temperatura iniziale all’ingresso <strong>di</strong> ogni<br />
' ''<br />
'''<br />
sta<strong>di</strong>o ( T 1 = T1<br />
= T1<br />
..... ), il lavoro <strong>di</strong><br />
compressione sarà dato dalla seguente<br />
espressione:<br />
⎡ N ⎛ k −1<br />
1 k<br />
⎞⎤<br />
Li = RT ⎢ ⎜ k − ⎟ ∑ ⎥<br />
1 β<br />
− ⎢ ⎜ i 1 ,<br />
η<br />
⎟<br />
c k 1 i = 1 ⎥<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
con N sta<strong>di</strong> <strong>di</strong> compressione e<br />
N<br />
β totale β i = .<br />
p<br />
= ∏<br />
i = 1<br />
p N<br />
1<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare che il valore minimo <strong>di</strong> Li si ottiene nel caso in cui i βi sono<br />
uguali tra loro.<br />
5.4.4 TURBOCOMPRESSORI ASSIALI<br />
Figura 5.4.17: Compressore centrifugo a<br />
due sta<strong>di</strong>.<br />
Sono macchine sempre realizzate plurista<strong>di</strong>o, poiché il β del singolo sta<strong>di</strong>o è<br />
basso, dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1,2÷1,3, data la modesta curvatura accettabile per i profili.<br />
Un β totale <strong>di</strong> 12, valore tipico, richiede pertanto 10 sta<strong>di</strong> in serie.<br />
Sono i compressori maggiormente <strong>di</strong>ffusi in campo aeronautico, sono infatti<br />
macchine destinate ad elaborare gran<strong>di</strong> portate, fino a valori dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 10 2<br />
kg/s, e che presentano elevati ren<strong>di</strong>menti idraulici (ηy≈0.9).<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 113
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
In un turbocompressore assiale le sezioni<br />
<strong>di</strong> passaggio del fluido hanno area via via<br />
decrescenti, per la <strong>di</strong>minuzione del volume<br />
massico (figura 5.4.18). Volendo infatti<br />
mantenere circa costante la componente<br />
assiale <strong>di</strong> velocità, ca, aumentando la<br />
massa volumica in seguito alla<br />
compressione subita è necessario ridurre<br />
le sezioni <strong>di</strong> passaggio (essendo la portata<br />
che transita nei vari sta<strong>di</strong> la stessa).<br />
La macchina è spesso a <strong>di</strong>ametro esterno<br />
costante, con le pale calettate su <strong>di</strong>schi<br />
tenuti assieme da tiranti assiali e<br />
svergolate anche per l/d molto piccoli, in<br />
modo da ottenere gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> reazione<br />
opportunamente variabili (normalmente<br />
crescenti) dalla ra<strong>di</strong>ce all’estremità della<br />
paletta (per ottenere un ren<strong>di</strong>mento<br />
elevato).<br />
Ipotizzando che le palette (al <strong>di</strong>ametro<br />
me<strong>di</strong>o) abbiano i profili schematizzati in<br />
figura 5.4.18 e che i triangoli <strong>di</strong> velocità<br />
siano simmetrici, il grado <strong>di</strong> reazione varrà<br />
0.5:<br />
2<br />
w1<br />
− w2<br />
R = 2 =0.5.<br />
2 2 2 2<br />
c2<br />
− c1<br />
w1<br />
− w2<br />
+<br />
2 2<br />
2<br />
Alla ra<strong>di</strong>ce ed all’estremità delle pale,<br />
generalmente, il grado <strong>di</strong> reazione tende rispettivamente a 0 e 1, valori cui<br />
corrispondono i triangoli delle velocità rappresentati nelle figure 5.4.19 e 5.4.20:<br />
Figura 5.4.19: Triangoli <strong>di</strong> velocità con grado <strong>di</strong><br />
reazione R = 0.<br />
Il lavoro interno del singolo sta<strong>di</strong>o vale<br />
Figura 5.4.18: Sezione <strong>di</strong> turbocompressore<br />
assiale e triangoli <strong>di</strong> velocità.<br />
Figura 5.4.20: Triangoli <strong>di</strong> velocità con grado <strong>di</strong><br />
reazione R = 1.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 114
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
( c − c ) = u(<br />
u + c ctgβ<br />
− c ctgα<br />
)<br />
Li u u2<br />
u1<br />
a 2 a<br />
= .<br />
Introducendo i coefficienti <strong>di</strong>mensionali si ottiene<br />
dove ϕ = ca/u.<br />
Essendo comunque β α<br />
2 1<br />
[ 1+<br />
ϕ(<br />
ctgβ − ) ]<br />
ψ = 2 ctgα<br />
,<br />
> , sarà β2 ctgα1<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 115<br />
2<br />
1<br />
ctg < , e quin<strong>di</strong>, rispetto a quanto visto<br />
nel compressore centrifugo, ψ decrescerà comunque (e rapidamente)<br />
all’aumentare <strong>di</strong> ϕ: ciò dà luogo ad una caratteristica manometrica più ripida<br />
rispetto al caso del compressore centrifugo (figura 5.4.21).<br />
La limitazione alla curvatura delle palette della girante (e quin<strong>di</strong> alla deflessione<br />
della corrente per evitare <strong>di</strong>stacchi <strong>di</strong> vena), inoltre, riduce il lavoro elaborabile e<br />
quin<strong>di</strong> il β del singolo sta<strong>di</strong>o. Per questo motivo il compressore assiale è<br />
tipicamente una macchina plurista<strong>di</strong>o.<br />
Il basso valore <strong>di</strong> β (e quin<strong>di</strong> il<br />
basso valore della velocità del<br />
suono in uscita dalla girante) e<br />
l’alto valore <strong>di</strong> ϕ (alte portate)<br />
tendono a dar luogo nella<br />
macchina ad alti numeri <strong>di</strong> Mach<br />
ϕu2<br />
( M ∝ ), e quin<strong>di</strong> ad alte<br />
KRT<br />
per<strong>di</strong>te fluido<strong>di</strong>namiche.<br />
La forte pendenza negativa della<br />
curva ψ(ϕ) (e dunque del lavoro <strong>di</strong><br />
compressione in funzione della<br />
portata), inoltre, fa si che,<br />
contrariamente a quanto avviene<br />
in un compressore centrifugo,<br />
l’aumento della portata (a n cost.) porti, in genere, a minori potenze assorbite<br />
(figura 5.4.21).<br />
La ripi<strong>di</strong>tà della caratteristica manometrica dei turbocompressori assiali<br />
comporta anche <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> regolazione poiché, a <strong>di</strong>fferenza che per il<br />
turbocompressore centrifugo, piccole variazioni <strong>di</strong> portata determinano gran<strong>di</strong><br />
variazioni <strong>di</strong> β, con rapi<strong>di</strong> avvicinamenti alla curva limite del pompaggio (figura<br />
5.4.22 e 5.4.23).<br />
1<br />
Figura 5.4.21: Confronto fra un turbocompressore<br />
assiale ed uno centrifugo.
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
Figura 5.4.22: ζ e ψ in funzione <strong>di</strong> ϕ per un<br />
turbocompressore assiale.<br />
Figura 5.4.23: Mappa manometrica <strong>di</strong> un<br />
turbocompressore assiale.<br />
Problemi <strong>di</strong> avviamento<br />
I turbocompressori assiali sono macchine multista<strong>di</strong>o destinate ad ottenere un<br />
βTOT elevato. In fase <strong>di</strong> avviamento la macchina raggiunge molto rapidamente il<br />
numero <strong>di</strong> giri n <strong>di</strong> regime, mentre in mandata non si sono ancora raggiunte<br />
pressioni e densità <strong>di</strong> regime (p*, ρ*). Tale situazione può portare ad<br />
inconvenienti in fase <strong>di</strong> avviamento.<br />
• Comportamento degli ultimi sta<strong>di</strong><br />
Mentre nei primi sta<strong>di</strong> transita già la portata <strong>di</strong> regime, negli ultimi sta<strong>di</strong> la ρ2 è<br />
minore della ρ2*. Perchè anche essi possano smaltire la portata <strong>di</strong> regime, si<br />
avranno componenti assiali <strong>di</strong> velocità maggiori rispetto alle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
progetto.<br />
Per quanto riguarda i triangoli <strong>di</strong> velocità, assuemdo comunque u il valore <strong>di</strong><br />
progetto, la maggiore componente assiale <strong>di</strong> velocità comporta la situazione<br />
rappresentata in figura 5.4.24.<br />
Figura 5.4.14: Triangoli <strong>di</strong> velocità degli ultimi sta<strong>di</strong> <strong>di</strong> un turbocompressore assiale –<br />
(a) Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> progetto; (b) Fase <strong>di</strong> avviamento.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 116
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
È da notare che la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> c1 è costante perché è fissata dal profilo del<br />
<strong>di</strong>ffusore dello sta<strong>di</strong>o precedente; anche la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> w2 è costante, perché<br />
fissata dalle palette della girante.<br />
Gli ultimi sta<strong>di</strong> compiono quin<strong>di</strong>, in fase <strong>di</strong> avviamento, meno lavoro del<br />
previsto, e quin<strong>di</strong> non è possibile raggiungere rapidamente il β <strong>di</strong> progetto<br />
(inoltre il lavoro è impiegato per comprimere il fluido anziché per incrementare<br />
la sua energia cinetica).<br />
• Comportamento dei primi sta<strong>di</strong><br />
In fase <strong>di</strong> avviamento i primi sta<strong>di</strong> smaltiscono una portata minore rispetto a<br />
quella <strong>di</strong> progetto, e sono caratterizzati da minori componenti assiali <strong>di</strong> velocità.<br />
I triangoli delle velocità in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> progetto e in quella <strong>di</strong> avviamento sono<br />
riportati in figura 5.4.25.<br />
Figura 5.4.25: Triangoli <strong>di</strong> velocità dei primi sta<strong>di</strong> <strong>di</strong> un turbocompressore assiale –<br />
(a) Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> progetto; (b) Fase <strong>di</strong> avviamento.<br />
Essendo la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> c1 e il modulo <strong>di</strong> u uguali a quelli <strong>di</strong> progetto, la w1 è<br />
molto più inclinata. Si ha così un notevole incremento del lavoro richiesto, ed<br />
inoltre l’alta incidenza sulla palettatura della girante può portare a problemi <strong>di</strong><br />
stallo.<br />
Per risolvere i problemi appena descritti, si può prevedere in sede <strong>di</strong> progetto<br />
che i primi sta<strong>di</strong> lavorino con ϕ elevati durante la fase <strong>di</strong> avviamento, in modo<br />
da non risentire della <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> portata, e gli ultimi sta<strong>di</strong> con ϕ bassi (ad<br />
esempio ricorrendo a macchine bi-albero).<br />
Inoltre è possibile spillare parte della portata, in modo da ridurre la portata che<br />
arriva agli ultimi sta<strong>di</strong>.<br />
E’ possibile anche realizzare uno statore con calettamento variabile per<br />
<strong>di</strong>minuire β1 ed evitare lo stallo.<br />
Si potrebbe infine anteporre alla macchina un compressore ausiliario od un<br />
ventilatore che invii aria in pressione ai primi sta<strong>di</strong>.<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 117
<strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> Torino<br />
<strong>Laurea</strong> a <strong>Distanza</strong> in Ingegneria Meccanica – Corso <strong>di</strong> Macchine<br />
5.4.5 SCELTA DEL TIPO DI COMPRESSORE<br />
Per ogni famiglia <strong>di</strong> compressori simili esiste un valore ϕ * ottimo ∝ [(m • v1)/(nd2 3 )]<br />
per il quale ηy=ηy,max, e a cui corrisponde un (ψ-ζ) * ottimale ∝ Li,is/(n 2 d2 2 );<br />
eliminando il <strong>di</strong>ametro d2, si ritrova<br />
( ψ<br />
1<br />
* 1/<br />
2 ⎢ 3 ⎥<br />
⎣ nd 2 ⎦ n m&<br />
v1<br />
=<br />
=<br />
3 / 4<br />
3 / 4 3 / 4<br />
− ς ) ⎡L<br />
⎤ L<br />
is<br />
is<br />
⎢ 2 2<br />
n d ⎥<br />
2<br />
ϕ<br />
⎡m&<br />
v<br />
⎣ ⎦<br />
Il parametro λ * è utile per stabilire il tipo <strong>di</strong> compressore da scegliere una volta<br />
fissate le prestazioni richieste (figura 5.4.26).<br />
Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 5. TURBOMACCHINE - pag. 118<br />
⎤<br />
1/<br />
2<br />
*<br />
= λ .<br />
Figura 5.4.26: Confronto tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> compressori in funzione del<br />
parametro λ* (in<strong>di</strong>cativo delle prestazioni).<br />
5.4.6 PUNTO DI FUNZIONAMENTO<br />
Figura 5.4.27: Punto <strong>di</strong> intersezione tra la caratteristica interna e quella esterna.<br />
Per in<strong>di</strong>viduare l’effettiva con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento è necessario accoppiare<br />
alla caratteristica del compressore (caratteristica interna) quella relativa al
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circuito (caratteristica esterna) in cui esso è inserito. Il punto <strong>di</strong> funzionamento è<br />
quello in cui il salto <strong>di</strong> pressione e la portata forniti dal compressore sono<br />
esattamente quelli richiesti dal circuito ed è quin<strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduato dall’intersezione<br />
delle due caratteristiche.L’utilizzatore elabora solitamente una portata crescente<br />
al crescere del salto <strong>di</strong> pressione.<br />
5.4.7. FENOMENI DI INSTABILITÀ<br />
Stabilità <strong>di</strong> funzionamento<br />
Si è visto come il compressore funzioni in corrispondenza del punto della sua<br />
caratteristica in cui fornisce la portata corrispondente a quella richiesta dal<br />
sistema esterno. La corrispondenza è stabilita dalla natura del circuito in cui è<br />
inserito il compressore, e lo stato <strong>di</strong> funzionamento è in<strong>di</strong>viduato<br />
dall’intersezione delle due caratteristiche (esterna ed interna).<br />
Il corretto funzionamento <strong>di</strong> un turbocompressore è però anche legato al fatto<br />
che il punto <strong>di</strong> funzionamento sia o meno su un ramo stabile della caratteristica<br />
manometrica.<br />
Un sistema è in equilibrio stabile se è in grado <strong>di</strong> reagire a piccole perturbazioni<br />
tornando nel punto <strong>di</strong> equilibrio iniziale.<br />
Si consideri ad esempio il punto <strong>di</strong> funzionamento P in figura 5.4.28.<br />
D E<br />
B C<br />
Figura 5.4.28: Variazione del punto <strong>di</strong><br />
funzionamento <strong>di</strong> un turbocompressore<br />
(funzionamento stabile).<br />
Ipotizzando che una causa perturbatrice faccia <strong>di</strong>minuire la pressione<br />
nell’ambiente <strong>di</strong> mandata del compressore, questo si porterebbe a funzionare<br />
nel punto C, mentre il punto caratteristico delle con<strong>di</strong>zioni del sistema esterno<br />
<strong>di</strong>venterebbe B. In queste nuove con<strong>di</strong>zioni la portata richiesta dall’impianto<br />
risulterebbe minore <strong>di</strong> quella elaborata dal compressore, per cui l’accumulo <strong>di</strong><br />
massa alla mandata tenderebbe a far aumentare la pressione <strong>di</strong> mandata fino a<br />
riportare il punto <strong>di</strong> funzionamento in P.<br />
Un aumento accidentale della pressione <strong>di</strong> mandata, invece, porterebbe il<br />
compressore a fornire una portata (D) minore <strong>di</strong> quella richiesta dal sistema (E):<br />
la pressione tenderebbe pertanto a <strong>di</strong>minuire, riportando <strong>di</strong> nuovo il punto <strong>di</strong><br />
funzionamento in P.<br />
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Considerando una caratteristica esterna molto piatta, al limite orizzontale (figura<br />
5.4.29), tipica <strong>di</strong> una grande capacità, si <strong>di</strong>mostra, con considerazioni analoghe<br />
a quelle appena svolte precedentemente, come i punti <strong>di</strong> funzionamento a<br />
sinistra del massimo della caratteristica del compressore siano punti <strong>di</strong><br />
equilibrio instabile.<br />
Figura 5.4.29: Accoppiamento tra il<br />
turbocompressore ed un circuito con grande<br />
capacità (caratteristica esterna orizzontale).<br />
Se infatti si considera il punto <strong>di</strong> funzionamento A, il comportamento del sistema<br />
è tale da esaltare ogni causa <strong>di</strong> perturbazione. Se ne deduce come un primo<br />
criterio per stabilire la stabilità o meno <strong>di</strong> un punto <strong>di</strong> funzionamento può essere<br />
basato sul confronto delle derivate delle due caratteristiche (esterna ed interna)<br />
calcolate rispetto alla portata (pendenza delle curve): se la pendenza della<br />
caratteristica esterna è maggiore <strong>di</strong> quella della caratteristica esterna, il punto <strong>di</strong><br />
funzionamento è stabile (e viceversa). Se la caratteristica esterna, come spesso<br />
avviene, è orizzontale, allora quanto appena descritto è equivalente al<br />
considerare instabili i punti a sinistra del massimo della caratteristica del<br />
turbocompressore. La linea che unisce tutti i massimi delle caratteristiche<br />
manometriche tracciate ai <strong>di</strong>versi numeri <strong>di</strong> giri è detta linea <strong>di</strong> pompaggio<br />
(surge line): tale linea separa i punti <strong>di</strong> funzionamento stabile (ramo<br />
<strong>di</strong>scendente), da quelli <strong>di</strong> funzionamento instabile (ramo ascendente).<br />
Pompaggio<br />
È un fenomeno <strong>di</strong> instabilità globale, cioè dell’intero sistema compressorecircuito<br />
esterno: in certe con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento una perturbazione<br />
accidentale, anziché essere smorzata, viene amplificata dal sistema.<br />
Questo fenomeno si presenta sia per i compressori centrifughi sia per quelli<br />
assiali e, essendo caratteristico delle basse portate, pone un limite inferiore al<br />
campo <strong>di</strong> utilizzo <strong>di</strong> queste turbomacchine.<br />
Il pompaggio o surge è un fenomeno per cui la corrente fluida, spinta nella<br />
tubazione <strong>di</strong> mandata, può perio<strong>di</strong>camente invertire il suo movimento, rifluendo<br />
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momentaneamente verso l’aspirazione. La frequenza <strong>di</strong> queste oscillazioni, che<br />
danno forte rumorosità, è abitualmente bassa, cioè dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche Hertz.<br />
Si consideri l’impianto rappresentato nella figura 5.4.30:<br />
Figura 5.4.30: Schema <strong>di</strong> un circuito esterno con capacità.<br />
La capacità presente nel circuito può essere ad esempio rappresentare il<br />
combustore in un impianto <strong>di</strong> turbina a gas aeronautica o semplicemente le<br />
tubazioni a monte dell’utilizzatore.<br />
Se la capacità è sufficientemente grande, la pressione al suo interno (ps) non<br />
varia al variare della portata, almeno in un primo tempo: la caratteristica del<br />
circuito esterna <strong>di</strong>venta, nei transitori, una retta parallela all’asse delle ascisse.<br />
La portata elaborata varia cioè, nei transitori, senza che la pressione nella<br />
capacità ne risenta sensibilmente, e, secondo il concetto <strong>di</strong> stabilità introdotto in<br />
precedenza, i punti a sinistra del massimo (sul ramo ascendente) della<br />
caratteristica del compressore sono da considerarsi instabili.<br />
A regime, tuttavia, la caratteristica del circuito esterno può avere una pendenza<br />
non nulla (figura 5.4.31).<br />
Si ipotizzi che a regime il compressore funzioni nel punto A <strong>di</strong> figura 5.4.31,<br />
che, secondo la precedente definizione <strong>di</strong> stabilità dovrebbe risultare stabile<br />
(pendenza della caratteristica esterna maggiore <strong>di</strong> quella della caratteristica<br />
interna).<br />
Figura 5.4.31: Punto <strong>di</strong> funzionamento a regime.<br />
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A partire dal punto A, si consideri una <strong>di</strong>minuzione accidentale <strong>di</strong> pressione p2 e<br />
quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> β.<br />
Figura 5.4.32: Ciclo <strong>di</strong> pompaggio.<br />
Il compressore si porta a funzionare nel punto A’ (figura 5.4.32), inviando una<br />
portata minore <strong>di</strong> quella che fluisce dalla valvola (A”): la capacità compensa con<br />
la sua riserva la minor portata fornita dal compressore assicurando la portata<br />
richiesta dall’utilizzatore in questa situazione <strong>di</strong> funzionamento.<br />
La pressione all’interno della capacità tende pertanto, dopo un certo transitorio,<br />
a <strong>di</strong>minuire a causa del <strong>di</strong>vario fra la portata elaborata dal compressore e quella<br />
che transita attraverso la valvola. Il punto <strong>di</strong> funzionamento del compressore si<br />
sposta allora da A’ verso C, percorrendo la sua caratteristica verso il basso e<br />
<strong>di</strong>minuendo la portata inviata fino ad annullarla (<strong>di</strong>venta ad<strong>di</strong>rittura negativa).<br />
La capacità infatti da un certo punto in poi, oltre a continuare ad inviare portata<br />
verso la valvola sopperendo alla mancanza del compressore, invia portata<br />
anche verso il compressore (flusso negativo).<br />
La portata attraverso la valvola si è a questo punto ridotta a quella<br />
corrispondente al punto E. Poiché la portata continua ad essere in uscita dalla<br />
capacità, la pressione all’interno <strong>di</strong> quest’ultima tende a ridursi ulteriormente,<br />
per cui il compressore si porta a funzionare nel punto D (l’unico punto possibile<br />
sulla caratteristica del compressore quando il rapporto <strong>di</strong> compressione, a<br />
seguito della <strong>di</strong>minuzione della pressione <strong>di</strong> mandata, tende a <strong>di</strong>venire minore<br />
<strong>di</strong> βC).<br />
Essendo ora la portata fornita dal compressore notevolmente maggiore <strong>di</strong><br />
quella corrispondente al punto E, la capacità si riempie velocemente, ed il punto<br />
<strong>di</strong> funzionamento risale la caratteristica interna portandosi da D a G, mentre il<br />
punto caratteristico del circuito esterno passa da E ad F.<br />
Poiché ora la portata in G, fornita dal compressore, è maggiore <strong>di</strong> quella<br />
smaltita dalla valvola (F), la pressione tenderebbe alla mandata ancora ad<br />
aumentare (la portata in eccesso si accumula nella capacità facendone<br />
aumentare la pressione). Il compressore si porta allora a funzionare nel punto<br />
H, l’unico punto possibile sulla caratteristica del compressore per un β che<br />
tende a <strong>di</strong>venire maggiore <strong>di</strong> βG. In tale punto la portata è negativa, e la<br />
capacità si svuota alimentando valvola ed inviando contemporaneamente fluido<br />
nel compressore. La capacità ricomincia a svuotarsi e la pressione al suo<br />
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interno si abbassa: il punto <strong>di</strong> funzionamento del compressore si sposta da H a<br />
C, mentre quello esterno passa da F ad E. A questo punto il ciclo si ripete.<br />
Il ciclo HCDG appena descritto è detto ciclo <strong>di</strong> pompaggio.<br />
Si capisce facilmente che la frequenza con cui il ciclo si ripete è tanto maggiore<br />
quanto minore è il volume della capacità, e cioè quanto minore è il tempo che<br />
essa impiega, svuotandosi, a passare dalla pressione pG alla pC; si nota, inoltre,<br />
che nel pompaggio la portata si inverte con una certa frequenza, mentre la<br />
pressione oscilla fra i valori estremi pG e pC.<br />
Stallo<br />
È un fenomeno <strong>di</strong> instabilità locale: riguarda cioè solo la macchina (alcune zone<br />
<strong>di</strong> essa) e non coinvolge l’insieme compressore-circuito. Interessa infatti solo le<br />
palette della girante del compressore, ed assume generalmente la forma <strong>di</strong> uno<br />
stallo rotante.<br />
Al <strong>di</strong>minuire della portata in ingresso alla girante, l’incidenza sulle palette può<br />
<strong>di</strong>venire critica, portando allo stallo (cioè ad un <strong>di</strong>stacco della vena fluida, figura<br />
5.4.33). Lo stallo la sezione <strong>di</strong> passaggio del canale interpalare. Tale fenomeno<br />
tende ad innescarsi alle basse portate: a parità <strong>di</strong> velocità <strong>di</strong> rotazione n, cioè <strong>di</strong><br />
velocità tangenziale u, una portata più bassa (una componente assiale ca più<br />
piccola) comporta una w1 caratterizzata da una maggiore incidenza sulla pala<br />
(figura 5.4.34).<br />
Figura 5.4.33: Distacco della vena fluida sulle<br />
palette della girante.<br />
Figura 5.4.34: Velocità alle <strong>di</strong>verse incidenze.<br />
A causa delle imperfezioni <strong>di</strong> montaggio e realizzazione delle palette, lo stallo<br />
non si verifica su tutte le pale, ma si innesca in un punto per propagarsi poi<br />
verso altre pale. Il <strong>di</strong>stacco della vena fluida, infatti, riduce la sezione del canale<br />
interpalare, e la portata che non riesce a passare si ripartisce (figura 5.4.35) tra<br />
il canale interpalare che precede (tale flusso riduce l’incidenza della w1 ed<br />
allontana il pericolo <strong>di</strong> stallo) e quello successivo ( tale flusso aumenta l’angolo<br />
<strong>di</strong> incidenza e quin<strong>di</strong> il pericolo <strong>di</strong> stallo). Lo stallo pertanto si propaga in verso<br />
opposto alla velocità angolare della girante.<br />
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u<br />
Figura 5.4.35. Propagazione dello stallo.<br />
La sezione in cui si ha lo stallo si sposta quin<strong>di</strong> progressivamente, ruotando, in<br />
<strong>di</strong>rezione opposta a quella <strong>di</strong> rotazione, ma con velocità inferiore: il moto<br />
assoluto è concorde con quello del rotore (figure 5.4.36 e 5.4.37).<br />
Essendo le palette svirgolate, non è detto che la cella <strong>di</strong> stallo interessi tutto il<br />
canale interpalare.<br />
Il fenomeno dello stallo è maggiormente sensibile nei turbocompressori assiali,<br />
in quanto il campo centrifugo della macchina ra<strong>di</strong>ale rende meno facile il<br />
<strong>di</strong>stacco della vena fluida dalla pala.<br />
Figura 5.4.36: Moto relativo della zona <strong>di</strong><br />
stallo (rispetto alla girante).<br />
Figura 5.4.37: Moto assoluto della zona <strong>di</strong> stallo.<br />
A <strong>di</strong>fferenza del pompaggio, che comporta variazioni <strong>di</strong> portata notevoli,<br />
l’insorgere dello stallo comporta variazioni <strong>di</strong> portata ridottissime.<br />
Questo fenomeno, però, è molto dannoso dal punto <strong>di</strong> vista strutturale, in<br />
quanto comporta una sollecitazione perio<strong>di</strong>ca delle palette, e può portare a<br />
rottura a fatica.<br />
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5.4.8 ESERCIZI<br />
1. Un turbocompressore centrifugo a pale ra<strong>di</strong>ali aspira 1 kg/s <strong>di</strong> argon (k=1,67;<br />
R=207 J/kg) da un ambiente con con<strong>di</strong>zioni pari a 1,5 ata e 10 °C, mandando<br />
in un ambiente a 4 ata. A 20000 rpm il compressore assorbe 125 CV<br />
(ηm=0,97), funzionando con ϕ=0,25. Calcolare l’esponente m della<br />
politropica <strong>di</strong> compressione e la pressione e la temperatura in uscita alla<br />
girante. A parità <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> aspirazione, e con lo stesso ϕ, la velocità<br />
angolare è ridotta a 15000 rpm: calcolare il nuovo rapporto <strong>di</strong> compressione<br />
e la nuova potenza assorbita. Verificare che nelle nuove con<strong>di</strong>zioni siano<br />
variate sia la portata corretta sia la velocità <strong>di</strong> rotazione corretta.<br />
[m=1,94;p2=2.52 ata;T2=364 K] [p2 * =2.04 ata; T2 * =329 K; β * =1.84; P*=47 CV]<br />
2. Un turbocompressore centrifugo aspira argon da un ambiente a 2 ata e 5 °C.<br />
Esso presenta in uscita alla girante:<br />
d2=30 cm, ξl2/d2=0.10, β2=110,<br />
e funziona con questi dati:<br />
ϕ=0.20, ζ =0.40, n=20000 rpm.<br />
Ammettendo politropica la linea <strong>di</strong> compressione, determinare il rapporto <strong>di</strong><br />
compressione e la potenza assorbita (ηm=0,97). Desiderando ottenere lo<br />
stesso rapporto <strong>di</strong> compressione ed aspirando ancora argon, ma ad 1 ata e<br />
40 °C, valutare il nuovo valore <strong>di</strong> n e la nuova potenza assorbita a parità <strong>di</strong> ϕ.<br />
[ψ=1.85; β=2.62; βg=1.74; m& =8.2 kg/s; P=748 kW] [n’=21222 rpm; P’=397<br />
kW]<br />
3. Due turbocompressori centrifughi geometricamente simili e funzionanti in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne aspirano aria ( k=1,4; R=0.069 kcal/kgK) a 1 ata e<br />
20 °C. Il primo, ruotando a 25000 rpm, comprime 2 kg/s assorbendo 300 CV<br />
con ηy 0.85. Il secondo presenta lo stesso rapporto <strong>di</strong> compressione<br />
ruotando a 30000 rpm. Determinare il rapporto <strong>di</strong> compressione e la potenza<br />
assorbita del secondo compressore. Valutare l’entità del controrecupero. Si<br />
ammette ηm=1.<br />
[d’/d=0.833; β=2.56; m& ’=1.39 kg/s; P’i=208 CV; CR=2284 J/kg]<br />
4. Un turbocompressore centrifugo a due sta<strong>di</strong>, con interrefrigeratore, ha i due<br />
sta<strong>di</strong> costituiti da macchine geometricamente simili e funzionanti con lo<br />
stesso ϕ. I due sta<strong>di</strong> sono calettati sullo stesso albero. Il primo comprime 1,5<br />
kg/s <strong>di</strong> aria aspirata a 1 ata e 15 °C, ha ηy =0.85 ed una temperatura <strong>di</strong><br />
mandata <strong>di</strong> 300 K. Il secondo sta<strong>di</strong>o ha una temperatura <strong>di</strong> ingresso pari a 20<br />
°C (uscita interrefrigeratore); il ren<strong>di</strong>mento meccanico ηm del sistema, inoltre,<br />
è unitario.<br />
Trascurando le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> pressione nell’interrefrigeratore, e trattando il gas<br />
come incompressibile, calcolare la potenza assorbita dai due sta<strong>di</strong> (cp=0.24<br />
kcal/kg; R=287 J/kg K).<br />
[d2/d1=0.892; β1=1.339; β=1.434; Pi=114 CV]<br />
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