Esercizio - Dipartimento di Fisica
Esercizio - Dipartimento di Fisica
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Università <strong>di</strong> Pisa<br />
Corso <strong>di</strong> laurea in <strong>Fisica</strong><br />
Alessandro Strumia<br />
Esercitazioni <strong>di</strong> Elettromagnetismo<br />
www.pi.infn.it/˜astrumia/fisica2.html www.df.unipi.it/˜astrumia/fisica2.html<br />
In<strong>di</strong>ce<br />
I Elettrostatica 4<br />
1 Campi e potenziali elettrici 5<br />
Es 1 Gravità vs elettromagnetismo . . . . 5<br />
Es 2 Rompere una bacchetta . . . . . . . . 5<br />
Es 3 Reazione chimica . . . . . . . . . . . 5<br />
Es 4 Sistemi stabili? . . . . . . . . . . . . 6<br />
Es 5 Sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
Es 6 Campo elettrico <strong>di</strong> un filo . . . . . . 8<br />
Es 7 Campo elettrico <strong>di</strong> un piano . . . . . 8<br />
Es 8 Campo elettrico <strong>di</strong> una sfera . . . . . 9<br />
Es 9 Energia <strong>di</strong> un guscio sferico . . . . . . 9<br />
Es 10 Modelli dell’atomo . . . . . . . . . . . 10<br />
Es 11 Energia <strong>di</strong> una sfera . . . . . . . . . . 11<br />
Es 12 Raggio classico dell’elettrone . . . . . 12<br />
Es 13 Masse dei nuclei . . . . . . . . . . . . 12<br />
Es 14 Differenza <strong>di</strong> massa protone-neutrone 13<br />
Es 15 Nucleo che si spezza . . . . . . . . . . 13<br />
Es 16 Energia <strong>di</strong> due cariche . . . . . . . . 13<br />
Es 17 Forza su cariche superficiali . . . . . 14<br />
Es 18 Scattering debole . . . . . . . . . . . 14<br />
Es 19 Scattering Rutherford . . . . . . . . . 14<br />
Es 20 Esplosione Coulombiana . . . . . . . 16<br />
Es 21 Sfera polarizzata . . . . . . . . . . . . 16<br />
Es 22 Cilindro polarizzato . . . . . . . . . . 17<br />
Es 23 Formule <strong>di</strong> base sui <strong>di</strong>poli . . . . . . 17<br />
Es 24 Forno a microonde . . . . . . . . . . 18<br />
Es 25 Paradosso sui <strong>di</strong>poli I . . . . . . . . . 18<br />
Es 26 Paradosso sui <strong>di</strong>poli II . . . . . . . . 18<br />
Es 27 Paradosso sui <strong>di</strong>poli III . . . . . . . . 19<br />
Es 28 Paradosso sui <strong>di</strong>poli IV . . . . . . . . 19<br />
Es 29 Allineamento <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli elettrici . . . . 19<br />
Es 30 Coor<strong>di</strong>nate polari . . . . . . . . . . . 20<br />
Ultimo aggiornamento: 2 luglio 2007<br />
1<br />
Es 31 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
Es 32 Potenziale <strong>di</strong> Yukawa . . . . . . . . . 21<br />
Es 33 Atomo <strong>di</strong> idrogeno quantistico . . . . 21<br />
2 Conduttori 23<br />
Es 34 Piano conduttore . . . . . . . . . . . 23<br />
Es 35 Lastra conduttrice . . . . . . . . . . . 23<br />
Es 36 Metodo delle immagini . . . . . . . . 24<br />
Es 37 Piano carico fra 2 piani conduttori . . 24<br />
Es 38 Carica fra 2 piani conduttori . . . . . 25<br />
Es 39 1 lastre conduttrice carica . . . . . . 25<br />
Es 40 2 lastre conduttrici cariche . . . . . . 25<br />
Es 41 Capacitatore cilindrico . . . . . . . . 25<br />
Es 42 Contatore Geyger . . . . . . . . . . . 26<br />
Es 43 Capacitatore <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni variabili . 26<br />
Es 44 Conduttore in capacitatore . . . . . . 27<br />
Es 45 Sfera conduttrice a terra . . . . . . . 27<br />
Es 46 Sfera conduttrice isolata . . . . . . . 28<br />
Es 47 Sfera conduttrice in E costante . . . 28<br />
Es 48 Tetraedro conduttore . . . . . . . . . 29<br />
Es 49 Condensatore sferico . . . . . . . . . 29<br />
Es 50 Condensatori in serie . . . . . . . . . 30<br />
Es 51 Effetto delle punte . . . . . . . . . . . 30<br />
Es 52 Sfera conduttrice bucata . . . . . . . 30<br />
Es 53 Carica dentro sfera . . . . . . . . . . 30<br />
Es 54 Dumbo . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3 Dielettrici 32<br />
Es 55 Transistor veloce . . . . . . . . . . . 32<br />
Es 56 2 <strong>di</strong>elettrici in condensatore piano . . 32<br />
Es 57 N <strong>di</strong>elettrici in condensatore piano . 33<br />
Es 58 Condensatore in acqua . . . . . . . . 33<br />
Es 59 Carica davanti a semipiano <strong>di</strong>elettrico 34<br />
Es 60 Dielettrico in condensatore . . . . . . 34<br />
Es 61 Forza <strong>di</strong> conduttore su <strong>di</strong>elettrico . . 35<br />
Es 62 Dielettrico in campo esterno . . . . . 35<br />
Es 63 Buco in <strong>di</strong>elettrico . . . . . . . . . . . 36<br />
Es 64 Sfera <strong>di</strong>elettrica in <strong>di</strong>elettrico . . . . . 36<br />
Es 65 Uva in microonde . . . . . . . . . . . 37<br />
Es 66 Attrazione fra <strong>di</strong>elettrici . . . . . . . 37
2 In<strong>di</strong>ce<br />
4 Correnti 38<br />
Es 67 Capacitatore piano imperfetto . . . . 38<br />
Es 68 Scarica <strong>di</strong> sfera carica . . . . . . . . . 38<br />
Es 69 Resistenza fra sfere concentriche . . . 38<br />
Es 70 Sonda marina . . . . . . . . . . . . . 39<br />
Es 71 Fulmine . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
Es 72 Semipiano <strong>di</strong>elettrico imperfetto . . . 39<br />
Es 73 Diodo termoionico . . . . . . . . . . . 40<br />
Es 74 Piatto <strong>di</strong>elettrico . . . . . . . . . . . 40<br />
Es 75 Sfera <strong>di</strong>elettrica . . . . . . . . . . . . 41<br />
5 Circuiti 42<br />
Es 76 Resistenze in parallelo . . . . . . . . 42<br />
Es 77 Resistenze su cubo . . . . . . . . . . 42<br />
Es 78 Pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
Es 79 Ponte <strong>di</strong> Wheatstone . . . . . . . . . 43<br />
Es 80 Impedenze . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
Es 81 Potenza <strong>di</strong>ssipata . . . . . . . . . . . 44<br />
Es 82 Filtro che taglia frequenze alte . . . . 44<br />
Es 83 Filtro che taglia frequenze basse . . . 44<br />
Es 84 Pendolo accoppiato . . . . . . . . . . 44<br />
Es 85 Attenuatore . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
Es 86 Catena LC . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
II Magnetostatica 47<br />
6 Campi magnetici 48<br />
Es 87 Forza fra 2 cariche . . . . . . . . . . . 48<br />
Es 88 Disco <strong>di</strong> Rowland . . . . . . . . . . . 48<br />
Es 89 Filo rettilineo . . . . . . . . . . . . . 49<br />
Es 90 Cavo coassiale . . . . . . . . . . . . . 49<br />
Es 91 Spira circolare . . . . . . . . . . . . . 49<br />
Es 92 Due spire circolari . . . . . . . . . . . 49<br />
Es 93 Filo a U . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
Es 94 Piano a U . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
Es 95 Solenoide rettilineo infinito . . . . . . 50<br />
Es 96 Solenoide rettilineo finito . . . . . . . 50<br />
Es 97 Solenoide toroidale . . . . . . . . . . 50<br />
Es 98 Sfera ruotante . . . . . . . . . . . . . 51<br />
7 Moto in campo magnetico esterno 52<br />
Es 99 Trottola magnetica . . . . . . . . . . 52<br />
Es 100 Cilindro su piano inclinato . . . . . . 52<br />
Es 101 Ago magnetico . . . . . . . . . . . . . 53<br />
Es 102 Carica in quadrupolo magnetico . . . 53<br />
Es 103 Carica in quadrupoli magnetici . . . . 53<br />
Es 104 Ottica geometrica matriciale . . . . . 54<br />
Es 105 Carica in B costante . . . . . . . . . 55<br />
Es 106 Campo magnetico galattico . . . . . . 56<br />
Es 107 Paradosso . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
Es 108 Ciclotrone a raggio costante . . . . . 57<br />
Es 109 Spettrometro . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
Es 110 Carica in B ed E costanti . . . . . . 57<br />
Es 111 Fotomoltiplicatore in B, E . . . . . . 58<br />
Es 112 Accelerazione <strong>di</strong> raggi cosmici? . . . . 59<br />
Es 113 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
Es 114 Carica in B con <strong>di</strong>rezione non uniforme 61<br />
Es 115 Carica in B con modulo non uniforme 62<br />
Es 116 Carica in B(t) uniforme . . . . . . . . 62<br />
Es 117 Atomo in B(t) uniforme . . . . . . . 63<br />
Es 118 Carica in B non uniforme . . . . . . . 63<br />
Es 119 Intrappolamento magnetico . . . . . . 64<br />
8 Induzione magnetica 65<br />
Es 120 Circuito allungato . . . . . . . . . . . 65<br />
Es 121 Circuito in moto . . . . . . . . . . . . 65<br />
Es 122 Centrale elettrica . . . . . . . . . . . 66<br />
Es 123 L’eccezione . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
Es 124 Circuito ruotante . . . . . . . . . . . 67<br />
Es 125 Generatore in orbita . . . . . . . . . 67<br />
Es 126 Cilindro ruotante . . . . . . . . . . . 67<br />
Es 127 Trasformatore . . . . . . . . . . . . . 67<br />
Es 128 Trasformatore con due spire . . . . . 68<br />
Es 129 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
Es 130 Trapano . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
9 Forze magnetiche fra circuiti 71<br />
Es 131 Due circuiti lunghi . . . . . . . . . . 71<br />
Es 132 Rotazione <strong>di</strong> due spire circolari . . . 71<br />
Es 133 Una spira ed un <strong>di</strong>polo . . . . . . . . 72<br />
Es 134 Monopolo magnetico . . . . . . . . . 73<br />
Es 135 Traslazione <strong>di</strong> due spire circolari . . . 74<br />
Es 136 Molla magnetica . . . . . . . . . . . . 76<br />
Es 137 Forza dall’energia . . . . . . . . . . . 76<br />
Es 138 Attrazione o repulsione? . . . . . . . 77<br />
10 Campi magnetici nella materia 78<br />
Es 139 Cilindro magnetizzato . . . . . . . . . 78<br />
Es 140 Materiali ferromagnetici . . . . . . . 78<br />
Es 141 Ferromagneti più calamite . . . . . . 79<br />
Es 142 Due bacchette . . . . . . . . . . . . . 80<br />
Es 143 Tre bacchette . . . . . . . . . . . . . 80<br />
Es 144 Trasformatore ideale . . . . . . . . . 80<br />
Es 145 Fascio <strong>di</strong> protoni . . . . . . . . . . . . 80<br />
Es 146 Correnti parassite . . . . . . . . . . . 81<br />
Es 147 Correnti parassite . . . . . . . . . . . 81<br />
III Elettro<strong>di</strong>namica 83<br />
11 Corrente <strong>di</strong> spostamento 84<br />
Es 148 Scarica <strong>di</strong> un filo . . . . . . . . . . . . 84<br />
Es 149 Piano con carica ondulata . . . . . . 84<br />
Es 150 Sfera ra<strong>di</strong>oattiva . . . . . . . . . . . . 85<br />
Es 151 Carica in moto . . . . . . . . . . . . . 85<br />
Es 152 Scarica <strong>di</strong> un condensatore . . . . . . 86<br />
Es 153 Condensatore in alternata . . . . . . 87<br />
Es 154 Cavità risuonante . . . . . . . . . . . 88<br />
Es 155 Effetto pelle . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
Es 156 Filo conduttore interrotto . . . . . . 89<br />
Es 157 Due cilindri cavi . . . . . . . . . . . . 90
In<strong>di</strong>ce 3<br />
12 Onde e oscillazioni 92<br />
Es 158 Sorgenti <strong>di</strong> onde . . . . . . . . . . . . 92<br />
Es 159 Ricevitore <strong>di</strong> onde . . . . . . . . . . . 92<br />
Es 160 Antenna lineare vs circolare . . . . . 93<br />
Es 161 Sommergibile . . . . . . . . . . . . . 93<br />
Es 162 Luce solare . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
Es 163 Efficienza energetica . . . . . . . . . . 95<br />
Es 164 Luce delle stelle . . . . . . . . . . . . 96<br />
Es 165 Vettore <strong>di</strong> Poynting . . . . . . . . . . 96<br />
Es 166 Rilfessione <strong>di</strong> onde in una corda . . . 97<br />
Es 167 Riflessione . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
Es 168 Rifrazione ⊥ . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
Es 169 Rifirazione . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
Es 170 Forza su superficie . . . . . . . . . . . 100<br />
Es 171 Riflessione da un metallo . . . . . . . 100<br />
Es 172 Onde a<strong>di</strong>abatiche . . . . . . . . . . . 102<br />
Es 173 Telefono vs ra<strong>di</strong>o . . . . . . . . . . . 102<br />
Es 174 Miraggi . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
Es 175 Guida d’onda . . . . . . . . . . . . . 103<br />
Es 176 Cavità risuonante . . . . . . . . . . . 104<br />
Es 177 Pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione . . . . . . . . 105<br />
Es 178 Velocità <strong>di</strong> gruppo . . . . . . . . . . . 105<br />
Es 179 Pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
Es 180 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . 106<br />
13 Diffrazione 109<br />
Es 181 Diffrazione <strong>di</strong> Young . . . . . . . . . 109<br />
Es 182 Interferenza alla Young . . . . . . . . 109<br />
Es 183 Diffrazione <strong>di</strong> Fraunhofer . . . . . . . 110<br />
Es 184 Griglia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione . . . . . . . . . 110<br />
Es 185 CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
Es 186 Interferometro <strong>di</strong> Michelson . . . . . 111<br />
Es 187 Esperimento <strong>di</strong> Michelson-Morley . . 112<br />
Es 188 Grande fratello . . . . . . . . . . . . 112<br />
Es 189 Minima <strong>di</strong>stanza visibile . . . . . . . 113<br />
14 Irraggiamento 114<br />
Es 190 Atomo <strong>di</strong> idrogeno . . . . . . . . . . . 114<br />
Es 191 Deca<strong>di</strong>mento del positronio . . . . . . 115<br />
Es 192 Scattering protone/nucleo . . . . . . 115<br />
Es 193 Scattering protone/protone . . . . . . 116<br />
Es 194 Onde gravitazionali . . . . . . . . . . 116<br />
Es 195 Scattering elettrone/fotone . . . . . . 117<br />
Es 196 Ra<strong>di</strong>azione cosmica . . . . . . . . . . 118<br />
Es 197 Nube . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
Es 198 Un condensatore . . . . . . . . . . . . 119<br />
Es 199 Un’antenna . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
Es 200 Due antenne . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
Es 201 Interferenza fra due sorgenti . . . . . 120<br />
Es 202 Dipolo magnetico . . . . . . . . . . . 121<br />
15 Relatività 122<br />
Es 203 Contrazione <strong>di</strong> Lorentz . . . . . . . . 122<br />
Es 204 Che cosa è l’elettromagnetismo . . . 122<br />
Es 205 Forza fra 2 cariche bis . . . . . . . . . 123<br />
Es 206 Verifica conservazione impulso . . . . 123<br />
Es 207 Carica in E e B ortogonali bis . . . . 124<br />
Es 208 Filo in moto . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
Es 209 Forza prodotta da filo in moto . . . . 125<br />
Es 210 Onda vista da sistema in moto . . . . 125<br />
Es 211 Riflessione da specchio in moto . . . 125<br />
Es 212 Aberrazione relativistica . . . . . . . 126<br />
Es 213 π 0 → 2γ . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
Es 214 GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
Es 215 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . 127<br />
Es 216 Esperienza d Fizeau . . . . . . . . . . 127<br />
Es 217 Iraggiamento da elettroni relativistici 128<br />
Es 218 ν della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> sincrotrone . . . 128
Parte I<br />
Elettrostatica
Capitolo 1<br />
Campi e potenziali elettrici<br />
Forza <strong>di</strong> Coulomb: F = kˆrq1q2/r 2 dove k = 8.9875 10 9 N m 2 /C 2 , riscritto in termini della ‘costante <strong>di</strong>elettrica<br />
del vuoto’ ɛ0 come k = 1/4πɛ0 con ɛ0 = 8.8542 10 −12 C 2 / N m 2 . Altre unità usate altrove sono k = 1, k = 1/4π.<br />
È utile introdurre il campo elettrico E, ed il potenziale elettrico ϕ. La forza <strong>di</strong> Coulomb F ∝ r p ha importanti<br />
proprietà speciali vere solo per p = −2, che rendono possibile reinterpretarla come ‘teorema <strong>di</strong> Gauss’ Φ(E) =<br />
Qin/ɛ0 e poi come ∇ · E = ρ/ɛ0<br />
∇ × E = 0<br />
↔<br />
∇ 2 ϕ = −ρ/ɛ0<br />
E = −∇ϕ<br />
(Analogamente a come ¨x = a è equivalente ma più utile <strong>di</strong> x = 1<br />
2at2 ). Energia elettromagnetica e sua densità<br />
U = qiqj<br />
=<br />
4πɛ0rij<br />
i>j<br />
1 qiqj<br />
=<br />
2 4πɛ0rij<br />
i=j<br />
1<br />
<br />
<br />
ρ(x1)ρ(x2) 1<br />
dV1dV2<br />
= dV ρϕ =<br />
2 4πɛ0|x1 − x2| 2<br />
ɛ0<br />
<br />
dV E<br />
2<br />
2<br />
Un Coulomb sono 6.24 10 18 elettroni. Una unità <strong>di</strong> misura molto usata è l’elettron-volt eV = J(qe/C) =<br />
J/6.24 10 18 , che è l’energia che un singolo elettrone acquista passando per una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale <strong>di</strong> un<br />
Volt.<br />
<strong>Esercizio</strong> 1: Gravità vs elettromagnetismo<br />
Un atomo <strong>di</strong> idrogeno è composto da un elettrone e da un protone (con massa me = 0.911 10 −30 kg e mp ≈<br />
1836me) a <strong>di</strong>stanza circa ˚A = 10 −8 cm. Calcolare la forza elettrica e gravitazionale.<br />
bSoluzione: La forza elettrica ha un valore quasi macroscopico FC ≈ ke 2 /˚A 2 ≈ 10 −8 N. La forza gravitazionale<br />
(GN = 6.67 10 −11 N m/ kg 2 ) è invece trascurabile:<br />
FN<br />
FC<br />
= GNmemp<br />
ke 2<br />
= 4.4 10 −40<br />
Sebbene esistano motivi plasusibili non si sa da dove un rapporto così grosso esca fuori.<br />
Le particelle si combinano formando materia neutra in modo da cancellare, in me<strong>di</strong>a, l’enorme forza elettrica.<br />
L’energia <strong>di</strong> legame vale<br />
E = me<br />
2 v2 e − k e2 e<br />
− = −k<br />
r 2<br />
2<br />
= −13.6 eV<br />
r<br />
per r = 0.53 ˚A. L’elettrone ha velocità v = c/137.036 e quin<strong>di</strong> è non relativistico.<br />
<strong>Esercizio</strong> 2: Rompere una bacchetta<br />
Una bacchetta ha sezione <strong>di</strong> 1 cm 2 . Che forza bisogna avere per romperla?<br />
bSoluzione: Se la materia è costituita da atomi <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione a0 ∼ ˚A legati dalla forza <strong>di</strong> Coulomb, uno<br />
deve rompere n = ( cm/A) 2 = 10 16 legami e quin<strong>di</strong> serve una forza nFC ∼ 10 8 N. Tenendo conto che non<br />
<strong>di</strong>stinguiamo idrogendo da gesso da acciaio, la stima non è male; combinando quantità come a0, e, n, che sono<br />
fuori scala rispetto all’esperienza or<strong>di</strong>naria, avrebbe potuto venire una cosa sbagliata <strong>di</strong> decide <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong><br />
grandezza. Si potrebbe essere più precisi: il legame vero è più debole; non occorre ionizzare gli atomi.<br />
5
6 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
<strong>Esercizio</strong> 3: Reazione chimica<br />
Stimare l’energia liberata in una reazione chimica o in un cambiamento <strong>di</strong> stato, assumendo che essa abbia<br />
origine elettromagnetica.<br />
bSoluzione: Un cm 3 <strong>di</strong> materia contiene circa N = ( cm/A) 3 = 10 24 atomi, ciascuno dei quali possiede, come<br />
visto sopra, una energia <strong>di</strong> legame <strong>di</strong> circa<br />
1 eV = e ×<br />
metro · Newton<br />
Coulomb<br />
= 1.60 10 −19 Joule<br />
Una tipica pila ha voltaggio <strong>di</strong> circa 1 Volt, appunto perchè questa è la tipica <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale in un<br />
atomo. Ricombinare un cm 3 <strong>di</strong> materia fornisce o richidede una energia U ∼ N · eV ∼ 10 5 Joule ∼ 100 kcal<br />
(si ricor<strong>di</strong> cal = 4.2 J). Il risultato è ragionevolmente simile a quello <strong>di</strong> tipiche reazioni chimiche e fisiche, at<br />
esempio<br />
1 cm 3 <strong>di</strong> cioccolato ∼ 1 gianduiotto ∼ 0.1 kcal<br />
2 H2(gas) + O2(gas) ↔ H2O(gas) + 115 kcal<br />
mole<br />
H2O(solido) ↔ H2O(liquido) + 0.08 kcal<br />
grammo , H2O(gas) ↔ H2O(liquido) + 0.54 kcal<br />
grammo<br />
La stima è una sovrastima, in quanto solo gli elettroni esterni vengono ritoccati in una reazione chimica o fisica.<br />
(<strong>Esercizio</strong> ad<strong>di</strong>zionale: quanti cubetti <strong>di</strong> ghiaccio bisogna mangiare per ogni gianduiotto?)<br />
<strong>Esercizio</strong> 4: Sistemi stabili?<br />
Assemblare un sistema <strong>di</strong> cariche elettriche in equilibrio stabile.<br />
bSoluzione: Presentiamo tre tentativi fallimentari: la cosa interessante è capire perchè non funzionano.<br />
2) Usando solo due cariche non è possibile assemblare un sistema stabile.<br />
3) Proviamo con tre cariche: due cariche q lungo l’asse x<br />
P1 = ℓ(−1, 0, 0), P2 = ℓ(1, 0, 0)<br />
ed una q ′ in mezzo a P3 = (0, 0, 0) dove E = 0. Scegliendo q ′ = −q/4 si ha E = 0 anche sulle cariche q.<br />
Quin<strong>di</strong> abbiamo realizzato un sistema in equilibrio, e rimane da vedere se si tratta <strong>di</strong> equilibrio stabile o<br />
instabile. È facile vedere che q′ è in equilibrio instabile: il campo elettrico per X = (x, y, z) ≈ 0 è<br />
E(x, y, z) = q<br />
4πɛ0<br />
2<br />
i=1<br />
X − P i q<br />
<br />
|X − P 3<br />
i| 4πɛ0L3 (−4x, 2y, 2z) + O(x, y, z)2 .<br />
Come intuitivamente atteso l’equilibrio è instabile lungo x e stabile lungo y e z. Il calcolo <strong>di</strong> Ey ed Ez è<br />
imme<strong>di</strong>ato; conoscendo il teorema <strong>di</strong> Gauss anche Ex segue imme<strong>di</strong>atamente: il flusso <strong>di</strong> E calcolato su<br />
<strong>di</strong> un cubetto attorno a 0 vale zero grazie a −4 + 2 + 2 = 0.<br />
Attorno alla carica 2 si ha<br />
E(x, y, z) <br />
q − ℓ<br />
(x , −y , −z<br />
4πɛ0L3 4 8 8 )<br />
chè è stabile lungo z ed y ma instabile lungo x. Nuovamente il flusso <strong>di</strong> E calcolato su <strong>di</strong> un cubetto<br />
= 0.<br />
attorno a P2 vale zero: 1<br />
4<br />
− 1<br />
8<br />
− 1<br />
8
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 7<br />
4) Con quattro cariche: tre q ai vertici <strong>di</strong> un triangolo equilatero <strong>di</strong> lato ℓ:<br />
P1 = ℓ(0, 1<br />
√ , 0), P2 = ℓ(<br />
3 1 1<br />
,<br />
2 2 √ 3 , 0), P3 = ℓ( 1 1<br />
,<br />
2 2 √ , 0),<br />
3<br />
Ciascuna risente una forza F = 2·(kq 2 /ℓ 2 )( √ 3/2) <strong>di</strong>retta verso l’esterno. In mezzo al triangolo (a <strong>di</strong>stanza<br />
d = ℓ/ √ 3 dalle altre) il campo elettrico vale zero, quin<strong>di</strong> provo ad aggiungere una carica q ′ = −q/ √ 3 in<br />
modo che le altre cariche risentano forza zero. L’equilibrio e’instabile. Ad esempio il campo elettrico per<br />
X = (x, y, z) ≈ 0 è<br />
E = q <br />
4πɛ0 i<br />
X − P i q<br />
<br />
|X − P 3/2<br />
i| 4πɛ0<br />
9 √ 3<br />
L<br />
(−x , −y , z) + O(x, y, z)2<br />
3 2 2<br />
che è instabile nel piano (x, y) e stabile lungo la <strong>di</strong>rezione z. In pratica uno può calcolare le componenti<br />
meno laboriose Ez ed Ey, ed ottenere Ex sapendo che il flusso vale zero: infatti si ha −1/2 − 1/2 + 1 = 0.<br />
Il campo elettrico attorno alla carica 1 è<br />
E <br />
q<br />
4πɛ0L<br />
7<br />
(−5 x, 3 2 2<br />
y<br />
(y − P1 ), −z)<br />
che è stabile lungo z e lungo x ma non lungo y. Di nuovo il flusso su <strong>di</strong> un cubetto attorno alla carica 1<br />
vale zero.<br />
5) Proviamo a vedere se è possibile stabilizzare una carica, assumendo che altre cariche siano magicamente<br />
stabilizzate. Ad esempio, mettiamo una carica q al centro <strong>di</strong> un cubo <strong>di</strong> lato L ai cui vertici ci sono cariche<br />
q. La speranza è che ad ogni spostamento dal centro la forza repulsiva delle altre cariche la rispinga verso<br />
il centro. Questo è vero per spostamenti in <strong>di</strong>rezione delle cariche, ma per spostamenti ad esempio verso<br />
una faccia l’equilibrio risulta invece essere instabile:<br />
V (x, y = 0, z = 0) = q2<br />
<br />
4<br />
<br />
4πɛ0 L2 /2 + (x + L/2) 2 +<br />
<br />
4<br />
, Fx = −<br />
L2 /2 + (x − L/2) 2<br />
∂V<br />
∂x<br />
x→0<br />
<br />
896q 2 x 3<br />
81 √ 3L 5 πɛ0<br />
( È più facile plottare V numericamente che calcolare la sua derivata quarta: tutte le derivate precedenti<br />
fanno zero).<br />
È importante notare che per altri potenziali V ∝ 1/r p con p = 1 sarebbe possibile costruire sistemi stabili.<br />
Nel caso speciale <strong>di</strong> V ∝ 1/r il problema non ha soluzione, in quanto il fenomeno che abbiamo verificato è del<br />
tutto generale: il flusso del campo elettrico generato dalle cariche esterne ad una superficie è zero (teorema <strong>di</strong><br />
Gauss). Lo si può verificare in generale espandendo il campo generato da una singola carica q — il campo <strong>di</strong><br />
tante cariche è la sovrapposizione dei campi delle singole cariche, ciascuna delle quali dà flusso zero. Mettendo<br />
la carica q in (0, 0, 0), nella regione attorno a X = (r, 0, 0) + (x, y, z) si ha<br />
E = q<br />
4πɛ0<br />
X<br />
<br />
|X| p/2<br />
q<br />
4πɛ0r<br />
(1 + (1 − p)x<br />
p−1 r<br />
y z<br />
, ,<br />
r r ) + O(x2 , y 2 , z 2 )<br />
che ha flusso zero solo per p = 2. Quin<strong>di</strong> il campo elettrico non può essere solo entrante o solo uscente, come<br />
sarebbe necessario per avere una forza attrattiva in qualunque <strong>di</strong>rezione.<br />
Questo fallimento ha una conseguenze fisica importante: l’elettromagnetismo da solo non può spiegare la<br />
stabilità della materia. L’energia elettromagnetica è in accordo con l’energia <strong>di</strong> legame degli atomi (un esempio<br />
è l’esercizio sotto) se uno mette il valore misurato <strong>di</strong> a; ma pre<strong>di</strong>ce anche che la materia dovrebbe collassare<br />
verso a → 0.<br />
<strong>Esercizio</strong> 5: Sale<br />
Un cristallo <strong>di</strong> cloruro <strong>di</strong> so<strong>di</strong>o può essere visto come un reticolato cubico avente ioni Na + nel centro <strong>di</strong> ogni<br />
lato e <strong>di</strong> ogni cubo, e ioni Cl − su ogni spigolo e nel centro <strong>di</strong> ogni faccia. Ogni ione è approssimativamente<br />
sferico e quin<strong>di</strong> può essere approssimato come puntiforme. Ogni cubo ha lato a. Si provi a calcolare l’energia<br />
elettrostatica.
8 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
bSoluzione: Con un po’<strong>di</strong> pazienza uno vede che ogni ione ha la stessa energia: nessuno ha una posizione<br />
privilegiata. Infatti il segno della carica in un punto (x, y, z) è dato dalla parità <strong>di</strong> x + y + z in unità del passo<br />
reticolare. Quin<strong>di</strong> possiamo calcolare l’energia totale come N per l’energia <strong>di</strong> un singolo ione, ad esempio quello<br />
positivo messo al centro del cubo:<br />
U = N<br />
2<br />
1<br />
4πɛ0<br />
(+e)qi<br />
i<br />
ri<br />
= N<br />
2<br />
1<br />
4πɛ0<br />
−2.13/a<br />
<br />
− 6e2 12e2<br />
+ √ −<br />
a 2a 8e2<br />
<br />
√ + · · ·<br />
3a<br />
= −1.748 Ne2<br />
4πɛ0a<br />
dove il primo pezzo è dato dai 6 ioni Cl − a <strong>di</strong>stanza a (nel centro <strong>di</strong> ogni faccia); il secondo dai 12 Na + a<br />
<strong>di</strong>stanza √ 2a (nel centro <strong>di</strong> ogni lato); il terzo dagli 8 Cl − a <strong>di</strong>stanza √ 3a (sugli spigoli); e gli altri termini (che<br />
<strong>di</strong>ventano progressivamente più picccoli) possono essere dati in pasto ad un computer:<br />
m<br />
m<br />
m<br />
x=−m y=−m z=−m<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
−1.51 per m = 2 cubi<br />
If[EvenQ[x + y + z],1,-1] −1.61 per m = 4 cubi<br />
=<br />
x2 + y2 + z2 ⎪⎩<br />
−1.69 per m = 10 cubi<br />
−1.72 per m = 20 cubi<br />
Notare che viene U ∝ N (due grammi hanno il doppio <strong>di</strong> energia <strong>di</strong> un grammo) perchè abbiamo assunto<br />
carica totale zero, altrimenti U ∝ N 2 . Inoltre viene (come atteso per motivi <strong>di</strong>mensionali), U ∝ 1/a: il<br />
potenziale classico non è stabile.<br />
<strong>Esercizio</strong> 6: Campo elettrico <strong>di</strong> un filo<br />
Si calcoli il campo e potenziale <strong>di</strong> un filo rettilineo infinito con densità lineare <strong>di</strong> carica λ.<br />
bSoluzione: A <strong>di</strong>stanza r dal filo<br />
Er =<br />
+∞<br />
−∞<br />
dz<br />
kλr<br />
(r2 + z2 =<br />
) 3/2<br />
kλz<br />
r √ r 2 + z 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
= 2kλ<br />
r , Eθ = 0<br />
Il potenziale elettrico ϕ consente <strong>di</strong> calcolare facilmente E = −∇ϕ <strong>di</strong> un filo <strong>di</strong> lunghezza finita 2ℓ<br />
ϕ(z, r) =<br />
dove Q = λ2ℓ.<br />
+ℓ−z<br />
−ℓ−z<br />
dz ′ kλ<br />
√ = kλ ln<br />
r2 + z′2 z ′ + z ′2 + r2 <br />
<br />
Ez = −∂zϕ =<br />
+ℓ−z<br />
−ℓ−z<br />
<br />
<br />
kQ<br />
√ 1 + 0<br />
r2 + z2 ℓ ℓ2 r<br />
−<br />
d 6<br />
2 − 2z2 (r2 + z2 ) 2 + O(ℓ4 <br />
)<br />
kλ<br />
<br />
r2 + (z − ℓ) 2 −<br />
kλ<br />
<br />
r2 + (z + ℓ) 2 , Er = −∂rϕ = ...<br />
Espandendo in serie <strong>di</strong> Taylor per ℓ ≪ r, z, il primo termine corrisponde alla carica totale. Il termine successivo<br />
è ‘<strong>di</strong> quadrupolo’ (il <strong>di</strong>polo vale zero).<br />
Per ℓ = ∞ viene ϕ = ∞. Avendo cariche all’infinito non è possibile mettere ϕ(∞) = 0. L’infinito è tutto<br />
nella costante ad<strong>di</strong>ttiva arbitraria in ϕ: fissando ϕ(r0) = 0 viene<br />
ϕ(r) = kλ<br />
+∞<br />
−∞<br />
<br />
dz<br />
1<br />
√ r 2 + z 2 −<br />
1<br />
<br />
r2 0 + z2 <br />
= −2kλ ln r<br />
= −2kλ ln r + costante<br />
r0<br />
Se il mondo avesse 2 <strong>di</strong>mensioni invece <strong>di</strong> 3, questi sarebbero il campo ed il potenziale <strong>di</strong> Coulomb. Verificherebbero<br />
ancora ∇ 2 ϕ = 0. Siccome ϕ cresce per r → ∞, in 2 <strong>di</strong>mensioni non esisterebbero cariche<br />
libere.<br />
<strong>Esercizio</strong> 7: Campo elettrico <strong>di</strong> un piano<br />
Calcolare il campo elettrico <strong>di</strong> un piano infinito <strong>di</strong> raggio R con densità superficiale <strong>di</strong> carica σ<br />
bSoluzione:
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 9<br />
1) Calcolo <strong>di</strong>retto. Per motivi <strong>di</strong> simmetria E ha solo la componente Er ortogonale al piano. Passiamo<br />
attraverso il campo generato da un <strong>di</strong>sco circolare <strong>di</strong> raggio R.<br />
Er(r) = 1<br />
4πɛ0<br />
R<br />
0<br />
2πρ dρ<br />
σr<br />
(r 2 + ρ 2 )<br />
<br />
σ r<br />
<br />
<br />
= − <br />
3/2 2ɛ0 r2 + ρ2 <br />
ρ=R<br />
Per r ≪ R in termini della carica totale Q = πR2σ viene<br />
Er Q<br />
4πɛ0r2 <br />
1 − 3R2<br />
4r2 + O(R4 <br />
)<br />
ρ=0<br />
= σ<br />
(1 −<br />
2ɛ0<br />
r R→∞<br />
√ ) =<br />
r2 + R2 σ<br />
2ɛ0<br />
che sarebbe ottenibile a botto se avessimo stu<strong>di</strong>ato la teoria generale dell’espansione in multipoli: monopolo<br />
(E Qˆr/r 3 , of course) più <strong>di</strong>polo (E = 0 in questo caso) più quadrupolo, etc.<br />
Per R ≫ r si ottiene il piano cairico: Er(r) = σ/2ɛ0.<br />
2) Teorema <strong>di</strong> Gauss: flusso = carica interna/ɛ0. Prendendo un cilindretto schiacciato che attraversa una<br />
qualunque superficie con densità <strong>di</strong> carica variabile σ<br />
Φ = S(E 1 ⊥ − E 2 ⊥) = σ/ɛ0<br />
in qualunque punto<br />
Nel caso del piano, aggiungendo considerazioni <strong>di</strong> simmetria, si riottiene il risultato precedente.<br />
3) Il potenziale lungo l’asse <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sco uniformemente carico <strong>di</strong> raggio R vale<br />
Per R ≫ r<br />
ϕ(r, 0) = σ<br />
2ɛ0<br />
ϕ(r) = σ<br />
2ɛ0<br />
( R2 + r2 − √ r2 ) Q R2<br />
(1 −<br />
4πɛ0r 4r2 + O(R4 ))<br />
∞<br />
0<br />
ρ<br />
<br />
ρ2 + r2 −<br />
ρ<br />
<br />
ρ2 + r2 0<br />
<strong>Esercizio</strong> 8: Campo elettrico <strong>di</strong> una sfera<br />
= σ<br />
σ(r0 − r)<br />
2ɛ0<br />
Calcolare il campo elettrico generato da una densità superficiale <strong>di</strong> carica σ = Q/4πR 2 <strong>di</strong>stribuita su <strong>di</strong> un<br />
guscio sferico <strong>di</strong> raggio R.<br />
bSoluzione: Il teorema <strong>di</strong> Gauss darebbe imme<strong>di</strong>atamente il risultato, ma qui lo vogliamo ottenere tramite<br />
un calcolo a testa bassa. Mettiamo la sfera nell’origine e calcoliamo E in (r, 0, 0). Per motivi <strong>di</strong> simmetria E<br />
ha solo la componente ra<strong>di</strong>ale:<br />
Er = Ex = σ<br />
π<br />
r − R cos θ<br />
R dθ 2πR sin θ<br />
4πɛ0<br />
<br />
0<br />
[(r − R cos θ)<br />
dS<br />
2 + R2 sin 2 <br />
0 r < R<br />
=<br />
θ] 3/2 Q/4πɛ0r2 r > R<br />
Si <strong>di</strong>ce che Newton abbia ritardato <strong>di</strong> 20 anni la pubblicazione dei Principia per riuscire a fare questo calcolo<br />
(cioè per <strong>di</strong>mostrare che la forza <strong>di</strong> gravità della terra è uguale a quella che ci sarebbe se tutta la massa fosse<br />
concentrata nel centro): pare un po’esagerato.<br />
<strong>Esercizio</strong> 9: Energia <strong>di</strong> un guscio sferico<br />
Si calcoli il lavoro necessario per comprimere un palloncino sferico contenente una carica Q uniformemente<br />
<strong>di</strong>stribuita da un raggio r1 ad r2.<br />
bSoluzione: A raggio r generico il campo elettrico è ra<strong>di</strong>ale<br />
<br />
Q/4πɛ0r<br />
Er(r) =<br />
2 fuori<br />
0 dentro<br />
sgn r
10 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
Le cariche vorrebbero espandersi: in generale una densità <strong>di</strong> superficie risente una forza σEme<strong>di</strong>o dove Eme<strong>di</strong>o =<br />
(E1 + E2)/2. In questo caso il campo interno è zero e σ = Q/4πr 2 . Per comprimere da r1 ad r2 occorre<br />
esercitare un lavoro<br />
L =<br />
r2<br />
r1<br />
πr 2 · σ(r) Er(r)<br />
2<br />
dr = Q2<br />
r2<br />
8πɛ0 r1<br />
dr Q2<br />
= (<br />
r2 8πɛ0<br />
1<br />
−<br />
r1<br />
1<br />
)<br />
r2<br />
Sostituendo σ = ɛ0Er e S dr = dV ottengo anche L = Sσ Er<br />
2 dr = ɛ0 E2 r<br />
2 dV . In generale il campo elettrico<br />
contiene una densità <strong>di</strong> energia u = ɛ0E2 /2. Le <strong>di</strong>mensioni sono giuste. In questo caso la verifica è semplice<br />
perchè mano a mano che si contrae varia solo il campo nella zona <strong>di</strong> contrazione<br />
<br />
∆U = u dV = ɛ0<br />
r2<br />
r1<br />
2 E2 Q2<br />
4πr = (<br />
2 8πɛ0<br />
1<br />
−<br />
r1<br />
1<br />
)<br />
r2<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Come ulteriore verifica calcoliamo anche l’energia totale per ri = R<br />
U = 1<br />
<br />
2<br />
ρϕ dV ? = ɛ0<br />
<br />
2<br />
E 2 dV<br />
Inserendo nella prima espressione ϕ = Q/(4πɛ0R) e Sσ = Q, si ottiene subito<br />
U = 1 Q2<br />
Sσϕ =<br />
2 8πɛ0R<br />
Inserendo nella seconda E = Q/(4πr 2 ɛ0) viene lo stesso risultato:<br />
U = ɛ0<br />
2<br />
∞<br />
4πr<br />
R<br />
2 E 2 dr = Q2<br />
8πɛ0<br />
∞<br />
<strong>Esercizio</strong> 10: Modelli dell’atomo<br />
R<br />
dr Q2<br />
=<br />
r2 8πɛ0R .<br />
Nel modello <strong>di</strong> Thomson per l’atomo <strong>di</strong> idrogeno, la carica positiva e è <strong>di</strong>stribuita uniformemente in una sfera<br />
<strong>di</strong> raggio a0. L’elettrone <strong>di</strong> carica −e è considerato puntiforme e si muove all’interno della sfera.<br />
a) Calcolare il campo elettrico ed il potenziale generati dalla carica positiva e la posizione d’equilibrio per<br />
l’elettrone (assunto in uno stato <strong>di</strong> momento angolare nullo).<br />
b) Determinare l’energia <strong>di</strong> ionizzazione UI (ovvero l’energia necessaria ad estrarre l’elettrone dall’atomo).<br />
Trovare il valore <strong>di</strong> a0 consistente col valore sperimentale UI = 2.18 × 10 −18 Joule.<br />
c) Determinare il periodo <strong>di</strong> oscillazione dell’elettrone intorno alla posizione d’equilibrio e confrontarlo col<br />
valore sperimentale T = 3.04 × 10 −16 sec −1 .<br />
d) Si calcoli il momento <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo elettrico p indotto nell’atomo da un campo esterno E0, la polarizzabilità<br />
α dell’atomo e la costante <strong>di</strong>elettrica ɛ dell’idrogeno allo stato solido (cioè nello stato in cui tutti gli atomi<br />
sono a<strong>di</strong>acenti fra loro a formare un reticolo).<br />
bSoluzione: L’energia <strong>di</strong> ionizzazione si può anche riscrivere come 13.6 eV dove eV = e × mN/C = 1.60 10 −19<br />
Joule.<br />
a) Il campo è ra<strong>di</strong>ale e si ha equilibrio stabile in r = 0:<br />
Er(r) =<br />
b) UI = −eϕ(0) = 3e 2 /8πɛ0a0<br />
<br />
e r<br />
4πɛ0 a3 0<br />
e 1<br />
4πɛ0 r2 r < a0<br />
r > a0<br />
ϕ(r) =<br />
<br />
− e<br />
4πɛ0a0<br />
+ e 1<br />
4πɛ0 r<br />
r 2<br />
2a 2 0<br />
− 3<br />
<br />
2<br />
r < a0<br />
r > a0
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 11<br />
c) Dall’equazione del moto<br />
¨r = − e<br />
me 4πɛ0 a3 0<br />
si ha ω2 = e2 /4πɛ0mea3 0 e quin<strong>di</strong> T = 2π/ω = 7.9 10−16 s.<br />
e<br />
r<br />
= −ω 2 r<br />
d) La nuova posizione d’equilibrio req è data da E(req) = E0 da cui req = 4πɛ0a 3 0E0/e; p = −ereq = αE0<br />
dove α = 4πɛ0a 3 0; la densità <strong>di</strong> atomi è n = 1/(2a0) 3 ; quin<strong>di</strong> ɛ = 1 + nα/ɛ0 = 1 + π/2.<br />
Nel modello <strong>di</strong> Rutheford l’energia <strong>di</strong> ionizzazione vale<br />
e la frequenza <strong>di</strong> rotazione<br />
2 mev<br />
UI = −<br />
2 − ϕ(a0) = (− 1<br />
2<br />
ω 2 = v2<br />
a2 =<br />
0<br />
F/me<br />
=<br />
a0<br />
e<br />
+ 1)<br />
2<br />
4πɛ0a0<br />
e 2<br />
4πɛ0mea 3 0<br />
Modello ω 2 Energia <strong>di</strong> ionizzazione<br />
Rutherford e 2 /4πɛ0mea 3 0 e 2 /8πɛ0a0 = 8.5 eV<br />
Thomson e 2 /4πɛ0mea 3 0 3e 2 /8πɛ0a0 = 26 eV<br />
Per fissare l’ω 2 osservato serve a0 = 8.4 10 −11 m in entrambi i casi; dopo<strong>di</strong>chè entrambi i modelli non azzeccano<br />
UI (la frequenza è data dalla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> energia tra i livelli quantistici).<br />
<strong>Esercizio</strong> 11: Energia <strong>di</strong> una sfera<br />
Calcolare l’energia potenziale <strong>di</strong> una sfera <strong>di</strong> raggio R contenente una carica Q <strong>di</strong>stribuita uniformemente.<br />
bSoluzione: Otteniamo il risultato seguendo <strong>di</strong>versi proce<strong>di</strong>menti.<br />
1) Integrando la densità <strong>di</strong> energia<br />
U = ɛ0<br />
<br />
E<br />
2<br />
2 dV = ɛ0<br />
R<br />
2<br />
0<br />
4πr 2 ( Qr<br />
4πɛ0R 3 )2 +<br />
∞<br />
R<br />
4πr 2 ( Q<br />
<br />
)2 =<br />
4πɛ0r2 1<br />
<br />
2 Q Q2<br />
+<br />
4πɛ0 10R 2R<br />
2) Calcolo che ottiene il risultato giusto pur essendo doppiamente sbagliato. Densità <strong>di</strong> carica: ρ = Q/V =<br />
3Q/4πR 3 . Carica dentro una sferetta <strong>di</strong> raggio r < R: qin(r) = Q(r/R) 3 , quin<strong>di</strong> ϕ = qin(r)/4πɛ0r<br />
(sod<strong>di</strong>sfa ϕ(∞) = 0 e continutità ad r = R)<br />
<br />
U = ρϕ dV =<br />
R<br />
0<br />
4πr 2 ρ dr<br />
<br />
dq<br />
qin(r)<br />
4πɛ0R<br />
<br />
ϕ<br />
= 1<br />
4πɛ0<br />
2 ′ ) Calcolo giusto. Il potenziale dentro la sfera vale ϕ(r) = Erdr = cte − 1<br />
2qin(r)/(4πɛ0r). Imponendo<br />
continuità ad r = R<br />
<br />
2 2 Q(3R − r )/8πɛ0R<br />
ϕ(r) =<br />
2 per r < R<br />
Q/4πɛ0r per r > R<br />
Integrando<br />
U = 1<br />
<br />
2<br />
ρϕ dV = 1<br />
4πɛ0<br />
I plot delle funzioni Ee e ϕ giuste sono:<br />
E<br />
r<br />
R<br />
0<br />
3Q 2 r 2 (3R 2 − r 2 )<br />
4R 6<br />
ϕ<br />
3 Q<br />
5<br />
2<br />
R<br />
= 3 Q<br />
5<br />
2<br />
4πɛ0R<br />
r
12 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
3) Il calcolo sbagliato al punto 2) non dà il risultato giusto per caso. Partendo dai principi primi, costruisco<br />
la sfera aggiungendo mano a mano carica dq facendo crescere il suo raggio r da 0 a R a densità costante<br />
ρ. La ϕ usata in 2) non è il potenziale della sfera finale, ma l’energia necessaria per portare cariche da ∞<br />
a r nel modo appena descritto.<br />
quin<strong>di</strong><br />
dU = 1<br />
4ɛ0<br />
q(r)dq<br />
r<br />
dU = 4πρ2<br />
r<br />
3ɛ0<br />
4 <br />
dr U =<br />
q(r) = ρ 4πr3 r<br />
Q(<br />
3 R )3<br />
dU = 4πρ2 R 5<br />
15ɛ0<br />
dq = ρ 4πr 2 dr<br />
= 1 3Q<br />
4πɛ0<br />
2<br />
5R<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Le stesse cose valgono per la gravità. L’energia potenziale gravitazionale del sole vale U⊙ ∼ GM 2 /R ∼ 10 41 J<br />
(G = 6.6 10 −11 N m 2 /kg 2 , M⊙ = 2 10 30 kg, R⊙ = 7 10 8 m), ed i fisici pensavano che questa fosse la sorgente <strong>di</strong><br />
energia del sole. Siccome l’energia emessa dal sole ha potenza K⊙ = 1366 J m −2 s −1 alla <strong>di</strong>stanza r = 1.5 10 11 m<br />
a cui si trova la terra, i fisici pensavano che il sole fosse più giovane <strong>di</strong> T⊙ = U⊙/(K⊙4πr 2 ) ≈ 30 Myr. I biologi<br />
ed i geologi (come Darwin) sostenevano invece che almeno 300 Myr erano necessari per l’erosione e l’evoluzione<br />
delle specie. Infinie, teologi (come Lightfoot) sostenevano che la terra era stata creata il 23 ottobre −4004,<br />
alle nove del mattino. I fisici successivamente scoprirono che il sole ha una altra sorgente <strong>di</strong> energia: l’energia<br />
nucleare. Oggi sappiamo che l’età dell’universo è circa 13.7 Gyr.<br />
<strong>Esercizio</strong> 12: Raggio classico dell’elettrone<br />
Approssimando l’elettrone come una sferetta <strong>di</strong> raggio R, calcolare il valore <strong>di</strong> R tale che U = mec 2 .<br />
bSoluzione: Approssimare le particelle come puntiformi è un limite singolare. Ad esempio: (1) Quando si<br />
calcola la forza su <strong>di</strong> un elettrone non si include nel campo elettrico quello infinito generato dall’elettrone stesso.<br />
(2) L’energia elettromagnetica U <strong>di</strong>verge per R → 0.<br />
Nel secolo scorso ci sono stati tentativi <strong>di</strong> migliorare questa situazione proponendo teorie dell’elettrone in<br />
cui l’elettrone veniva approssimato con una palletta <strong>di</strong> raggio R finito. L’energia elettromagnetica U allora è<br />
finita: U = cq 2 e/4πɛ0R dove c <strong>di</strong>pende da quale <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> carica viene assunta. c = 3/5 per una densità<br />
ρ uniforme; c = 1/2 per una densità superficiale σ uniforme. Assumiamo c = 1.<br />
L’energia elettromagnetica contribuisce alla massa dell’elettrone, secondo m = U/c 2 . Assumendo che tutta<br />
la massa sia <strong>di</strong> origine elettromagnetica si determina<br />
R = re = q2 e<br />
meɛ0c 2 = 2.82 10−15 m<br />
chiamato ‘raggio classico dell’elettrone’, sebbene non abbia niente a che vedere con le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> un elettrone<br />
(solo una piccola parte dell’energia dell’elettrone è <strong>di</strong> origine elettromagnetica). Numericamente, re è simile alla<br />
<strong>di</strong>mensione <strong>di</strong> un protone: si tratta <strong>di</strong> un accidente fuorviante.<br />
Una aspettazione qualitativa più corretta è U < mec 2 (altrimenti U eccederebbe la massa dell’elettrone):<br />
questa implica R > re. Oggi si sa quello che succede: a scale R ∼ 1000re iniziano a farsi sentire gli effetti del<br />
positrone, una particella identica all’elettrone ma con carica positiva. Ripetendo il calcolo <strong>di</strong> U in teorie <strong>di</strong><br />
campo quantistiche relativistiche si trova che il contributo elettromagnetico alla massa dell’elettrone esiste ma<br />
è piccolo, circa 1/100 della massa totale.<br />
<strong>Esercizio</strong> 13: Masse dei nuclei<br />
Si può approssimare un nucleo come una sfera a densità costante, contenente Z = A/2 protoni e circa A/2<br />
neutroni con raggio R = A 1/3 rN con rN = 1.2 10 −15 m. Calcolare l’energia elettromagnetica e <strong>di</strong>scutere la<br />
stabilità dei nuclei.<br />
bSoluzione: La massa <strong>di</strong> un nucleo con Z protoni ed A nucleoni (cioè protoni più neutroni) è circa data da<br />
mnucleo = Zmp + (A − Z)mn + U 3<br />
, U =<br />
c2 5<br />
(Ze) 2<br />
+ ElegameA.<br />
4πɛ0R
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 13<br />
dove U contiene l’energia elettromagnetica e quella dovuta alle interazioni forti. Quest’ultimo effetto si può<br />
approssimare come una funzione circa lineare in A in quanto le interazioni forti sono a corto raggio, cioè si<br />
esercitano soltanto fra i nucleoni che stanno uno accanto all’altro. La costante <strong>di</strong> proprzionalità è detta ‘energia<br />
<strong>di</strong> legame forte’. Per essere più precisi bisognerebbe tenere in conto che i nuclei sul bordo della sfera sono<br />
meno legati, e lo si potrebbe fare aggiungendo un termine <strong>di</strong> ‘tensione superficiale’, che trascuriamo in quanto<br />
è importante solo per nuclei piccoli.<br />
Si osserva che esistono nuclei stabili fino a Z ∼ 100: imponendo dU/dZ|Z∼100 = 0 si trova l’energia <strong>di</strong> legame<br />
per nucleone:<br />
2/3 100 e<br />
Elegame = −<br />
4<br />
2<br />
≈ −10 MeV<br />
4πɛ0rN<br />
A gran<strong>di</strong> Z la repulsione Coulombiana <strong>di</strong>venta l’effetto principale ed impe<strong>di</strong>sce <strong>di</strong> formare nuclei grossi. Minimizzando<br />
U/Z si trova che il nucleo che ha la maggior energia <strong>di</strong> legame per nucleone ha Z ∼ 20, ed infatti in<br />
natura è il ferro (Z = 26).<br />
<strong>Esercizio</strong> 14: Differenza <strong>di</strong> massa protone-neutrone<br />
Stimare la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> massa protone-neutrone approssimandoli come 3 quarks fermi ai vertici <strong>di</strong> un triangolo<br />
equilatero come p = uud e n = udd (qu = 2e/3, qd = −e/3).<br />
bSoluzione: L’energia elettrostatica vale<br />
Ep = (q 2 u + 2quqd) e2<br />
4πɛ0r = 0, En = (q 2 d + 2quqd) e2 e2<br />
= −<br />
4πɛ0r 4πɛ0<br />
Convertendo energia in massa tramite E = mc 2 l’elettromagnetismo tende a rendere il protone (carico) più<br />
pesante del neutrone (neutro): mp − mn ∼ e 3 /12πɛ0r = MeV · 0.5 10 −15 m/r. L’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza è giusto<br />
(mn − mp = 1.3 MeV, rN = 1.2 10 −15 m) ma il segno è sbagliato. Se fosse mp > mn non esisterebbero atomi.<br />
Tenere conto che i quark ruotano con v ∼ c (e quin<strong>di</strong> c’e’anche una energia magnetica) non cambia il segno. Il<br />
neutrone n ddu pesa più del protone p uud perchè i quark d hanno massa maggiore dei quark u:<br />
mn − mp<br />
<br />
1.3 MeV<br />
= md − mu<br />
<br />
3 MeV<br />
+ O(e 2 /4πɛ0r)<br />
<br />
−1.7 MeV<br />
Il fatto che il neutrone sia poco più pesante del protone è essenziale per avere una chimica complessa. Il neutrone<br />
libero decade: se fosse mp < mn il protone (e quin<strong>di</strong> l’atomo <strong>di</strong> idrogeno) decadrebbe. Se mn − mp fosse un<br />
poco più grande supererebbe l’energia <strong>di</strong> legame e non esisterebbero nuclei. 1<br />
<strong>Esercizio</strong> 15: Nucleo che si spezza<br />
Si può approssimare un nucleo come una sfera a densità costante. Un nucleo si spezza in due nuclei <strong>di</strong> carica<br />
Q ′ = Q/2 e raggio R ′ = R/2 1/3 . Di quanto cambia l’energia elettromagentica?<br />
bSoluzione: Ricordando che U = 3Q2 /5R/4πɛ0, l’energia elettromagnetica liberata da un nucleo che si spezza<br />
è<br />
∆Eem = Eem − 2E ′ em = 3 Q<br />
5<br />
2 −2/3<br />
1 − 2<br />
4πɛ0R<br />
= 0.22 Q2<br />
4πɛ0R<br />
Per Q = 100e e R = rNN 1/3 ∼ 10 −14 m viene ∆U ∼ 250 MeV: l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza è giusto. L’effetto<br />
elettromagnetico è proporzionale a Z 2 , ed a grande Z <strong>di</strong>venta più importante dell’effetto dovuto alla <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> massa protone/neutrone ed alla loro energia <strong>di</strong> legame, proprozionale a Z.<br />
Un kg <strong>di</strong> uranio contiene circa 4 moli: quin<strong>di</strong> fissionandolo si libera un’energia 4NA · 250 MeV = NA GeV ≈<br />
10 14 J ≈ 20kton ≈ (kg/1000)c 2 (dove kton = 4.2 10 12 J è un unità <strong>di</strong> energia usata per bombe e corrisponde<br />
all’energia rilasciata nell’esplosione <strong>di</strong> 1000 tonnellate <strong>di</strong> TNT).<br />
1 L’energia <strong>di</strong> legame nucleare è in<strong>di</strong>rettamente dovuta alle masse dei quark che controllano la massa dei π (che sono le forze <strong>di</strong><br />
van der Waals nucleari) ed è <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne mu + md.<br />
1<br />
3r
14 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
Per due cariche q1 e q2 ad x = ±1.<br />
<strong>Esercizio</strong> 16: Energia <strong>di</strong> due cariche<br />
bSoluzione: Usando il potenziale si ottiene subito U = q1q2/4πɛ0d. Integrando E2 i calcoli sono troppo <strong>di</strong>fficili,<br />
ma interessanti perchè occorre rinormalizzare<br />
U = 1<br />
<br />
(E1 + E2)<br />
8πk<br />
2 − E 2 1 − E 2 2 = 1<br />
<br />
E1 · E2 =<br />
4πk<br />
q1q2<br />
<br />
4πk<br />
L’integrale in r⊥ dà 4π/x 2 se x 2 > 1 e 0 altrimenti. L’integrale in x è banale<br />
U = k q1q2<br />
d<br />
r 2 − 1<br />
(r 2 − 2x + 1) 3/2 (r 2 + 2x + 1) 3/2<br />
La cosa qualitativa importante è che due cariche opposte hanno E = 0 nel mezzo: quin<strong>di</strong> si attraggono in quanto<br />
avvicinandosi minimizzano U. La stessa cosa accade per due fili: siccome il campo B è rotazionale invece che<br />
ra<strong>di</strong>ale si ha B = 0 nel mezzo con correnti uguali, che quin<strong>di</strong> si attraggono.<br />
<strong>Esercizio</strong> 17: Forza su cariche superficiali<br />
Dimostrare che una generica densità <strong>di</strong> carica superficiale σ induce una variazione E⊥1 − E⊥2 = σ/ɛ0 e subisce<br />
una forza F = σ(E1 + E2)/2<br />
bSoluzione: Applicando il teorema <strong>di</strong> Gauss ad un cilindretto schiacciato infinitesimo che attraversa perpen<strong>di</strong>colarmente<br />
la superficie si ottiene la variazione <strong>di</strong> E⊥. E è continuo.<br />
Per calcolare la forza occorre vedere spessore zero come limite <strong>di</strong> uno spessore finito. Chiamando z l’asse ⊥<br />
alla superficie si ha dEz/dz = ρ/ɛ0 (relazione che segue dalla <strong>di</strong>mostrazione precedente, ed è un caso particolare<br />
<strong>di</strong> ∇ · E = ρ/ɛ0). Intergrando in dz si riottiene Ez2 − Ez1 = σ/ɛ0 con σ = ρdz. La densità <strong>di</strong> forza vale<br />
pz = dFz<br />
dS =<br />
<br />
Ez ρ dz = ɛ0<br />
<br />
Ez<br />
dEz E<br />
dz = ɛ0<br />
dz 2 z2 − E2 z1<br />
= σ<br />
2<br />
Ez2 + Ez1<br />
= σE<br />
2<br />
ext<br />
z<br />
La me<strong>di</strong>a geometrica viene per un motivo fisico semplice: la forza deve essere generata solo dal campo elettrico<br />
‘esterno’, non da quello generato dalla σ stessa.<br />
<strong>Esercizio</strong> 18: Scattering debole<br />
Una carica q urta su <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> cariche totali Q. Calcolare il piccolo angolo <strong>di</strong> deflessione θ assumendo<br />
simmetria cilindrica (o che sia possibile osservare soltanto uno scattering me<strong>di</strong>o, come capita in esperimenti che<br />
utilizzano un fascio <strong>di</strong> molte particelle) e che q e ciascuna delle cariche in Q vengano perturbate poco dall’urto.<br />
bSoluzione:<br />
θ(b) = ∆p⊥<br />
p <br />
=<br />
F⊥dv/x<br />
mv<br />
= 1<br />
mv2 <br />
q<br />
2πb<br />
E⊥ dS =<br />
qQ(r < b)<br />
4πɛ0bK<br />
≪ 1 K ≡ m<br />
2 v2<br />
Quin<strong>di</strong> misurando θ(b) si fa una tomografia della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> cariche. Ad esempio, se Q è puntiforme si ha<br />
Q(r < b) = Q e quin<strong>di</strong> θ ∝ 1/b: in tal caso la cosa più spettacolare è che esistono urti a grande angolo: come<br />
calcolato nell’esercizio successivo Rutherford si beccò delle particelle α in faccia.<br />
<strong>Esercizio</strong> 19: Scattering Rutherford<br />
Una particella α (<strong>di</strong> massa me ≪ m ≪ mN, carica +2e, ed energia E = 4 MeV) viene fatta collidere su atomi<br />
contenti nuclei <strong>di</strong> carica Ze e massa mN. Calcolare l’angolo <strong>di</strong> deflessione in funzione del parametro d’impatto<br />
b ≪ A e la sezione d’urto.
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 15<br />
bSoluzione: Siccome m ≫ me ed E ≫ (energia <strong>di</strong> ionizzazione) gli Z elettroni hanno effetto trascurabile, se<br />
la particella α entra nella zona b ≪ A dove gli elettroni non schermano il nucleo. Conta solo il nucleo, che<br />
approssimativamente rimane fermo. Facciamo il conto in 3 mo<strong>di</strong>.<br />
1. Adattando le note formule per le orbite dei pianeti. Tenendo conto che in questo caso la forza F = α/r 2<br />
(α = 2kZe 2 ) è repulsiva<br />
ℓ<br />
r = −<br />
1 + e cos θ , e2 = 1 + 2EL2<br />
α2m = 1 + m2v4b2 α2 Si ha r > 0 per cos θ < −1/e e cioè in un range ∆θ dato da cos ∆θ/2 = 1/e. L’angolo <strong>di</strong> deflessione è<br />
definito come θd = π − ∆θ e vale quin<strong>di</strong><br />
sin θd<br />
2<br />
= cos ∆θ<br />
2<br />
= 1<br />
e<br />
o anche tan θd<br />
2 =<br />
Il parametro d’impatto che produce una data deflessione è<br />
b = kZe2<br />
E<br />
tan−1 θd<br />
2<br />
dove<br />
kZe 2<br />
E = 10−13 m Z<br />
70<br />
1<br />
√ =<br />
e2 − 1 α<br />
.<br />
bmv2 MeV<br />
E .<br />
2. Procedendo in modo <strong>di</strong>retto, senza usare tecniche sofisticate. Usando coor<strong>di</strong>nate polari (r, θ) e mettendo<br />
l’asse x lungo la linea <strong>di</strong> simmetria, l’equazione del moto è<br />
m ˙vx = α α<br />
cos θ = m<br />
r2 L ˙ θ cos θ<br />
dove L = mr 2 ˙ θ è il momento angolare rispetto al nucleo, che è una costante del moto, uguale a L = mv0b.<br />
Siccome F ∝ 1/r 2 , è sparita la <strong>di</strong>pendenza da r. Diventa banale integrare ottenendo vx = (α/L) sin θ e<br />
quin<strong>di</strong> v = vx/ cos θ = (α/L) tan θ. Ad r = ∞ tan θ0 = mv 2 0b/α. L’angolo <strong>di</strong> deflessione è θd = π − 2θ0.<br />
3. Approssimazione perturbativa.<br />
Quin<strong>di</strong><br />
dp⊥<br />
dx<br />
dt dp⊥ 1<br />
= F⊥ =<br />
dx dt v0<br />
1 α<br />
v0 r2 b<br />
r =<br />
θd = ∆p⊥<br />
p <br />
= αb<br />
mv2 +∞<br />
0 −∞<br />
α/v0<br />
(x 2 + b 2 ) 3/2<br />
dx<br />
(x2 + b2 2α<br />
=<br />
) 3/2 bmv2 0<br />
che è corretta per θd ≪ 1. La primitiva è ∝ 1/ 1 + b 2 /x 2 . Usando il teorema <strong>di</strong> Gauss verrebbe<br />
2πb E⊥ = 4π dove E⊥ = b/(x 2 + b 2 ) 3/2 .<br />
Il parametro d’impatto in un singolo urto non è misurabile sperimentalmente. È invece nota la <strong>di</strong>stribuzione<br />
<strong>di</strong> probabilità dei parametri d’impatto in un numero n ≫ 1 <strong>di</strong> urti. Secondo la meccanica quantistica questa<br />
cosa è vera non solo in pratica, ma anche in linea <strong>di</strong> principio. Il ‘punto d’incontro’ convenzionale fra teoria ed<br />
esperimento è la sezione d’urto per collisioni su <strong>di</strong> un singolo nucleo.<br />
σ =<br />
numero <strong>di</strong> particelle deflesse<br />
flusso <strong>di</strong> particelle incidenti<br />
σ caratterizza gli effetti misurabili prodotti da un nucleo; spetta allo sperimentale tenere conto che i nuclei sono<br />
tanti (e che ci possono essere scattering multipli). σ la <strong>di</strong>mensione <strong>di</strong> un’area, e <strong>di</strong>ce quanto è grosso un nucleo,
16 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
quando viene visto tramite interazioni elettromagnetiche. Ad esempio, la sezione d’urto totale per eventi con<br />
angolo <strong>di</strong> deflessione maggiore <strong>di</strong> un qualunque valore θ è<br />
σ(θd > θ) = πb 2 2 kZe<br />
(θ) = π<br />
E<br />
2<br />
1<br />
tan 2 θ/2<br />
E.g. σ(θd > π/2) <strong>di</strong>ce quante particelle rimbalzano all’in<strong>di</strong>etro. La probabilità che una particella rimbalzi<br />
in<strong>di</strong>etro, quando viene inviata perpen<strong>di</strong>colarmente su <strong>di</strong> un piano <strong>di</strong> atomi a <strong>di</strong>stanza d ∼ ˚A fra <strong>di</strong> loro, è<br />
σ/d 2 ∼ 10 −6 . Se viene mandata su <strong>di</strong> una targhetta lunga ℓ composta da atomi con densità n, è σnℓ < 1.<br />
La sezione d’urto totale è σ(θd > 0) = ∞: a <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> altre forze, l’elettromagnetismo è una interazione<br />
a lungo raggio 2 , che deflette tutte le particelle (anche quelle con b → ∞). In realtà quando b > ∼ ˚A gli elettroni<br />
schermano il campo elettrico del nucleo, e poi ci sono altri nuclei.<br />
Di solito si preferisce descrivere lo scattering usando la sezione d’urto <strong>di</strong>fferenziale<br />
dσ =<br />
numero <strong>di</strong> particelle deflesse in dΩ<br />
flusso <strong>di</strong> particelle incidenti<br />
= dσ dϕ<br />
d cos θ =<br />
d cos θ 2π<br />
<br />
<br />
<br />
b db <br />
<br />
sin<br />
θ dθ <br />
2 1 kZe<br />
=<br />
4 E<br />
2<br />
1<br />
sin 4 θ/2<br />
Avendo scritto l’angolo solido in coor<strong>di</strong>nate polari dΩ = dϕ d cos θ e tenendo conto che lo scattering non <strong>di</strong>pende<br />
dall’angolo polare ϕ<br />
<strong>Esercizio</strong> 20: Esplosione Coulombiana<br />
Una nuvola sferica <strong>di</strong> raggio R e carica totale Q è costituita da N particelle <strong>di</strong> carica q = Q/N e massa m,<br />
inizialmente (t = 0) <strong>di</strong>stribuite con densità uniforme.<br />
a) Calcolare l’energia potenziale <strong>di</strong> una carica posta a <strong>di</strong>stanza r dal centro della nuvola.<br />
Per effetto della repulsione coulombiana la nuvola inizia ad espandersi ra<strong>di</strong>almente, mantenendo la simmetria<br />
sferica. Nel corso del moto ra<strong>di</strong>ale le particelle non si scavalcano (cioè se inizialmente due strati <strong>di</strong> particelle si<br />
trovano alle <strong>di</strong>stanze r1(0) e r2(0) > r1(0) dal centro, ad ogni istante successivo r2(t) > r1(t).)<br />
b) Sia r = r(t) la posizione al tempo t delle particelle che a t = 0 sono a <strong>di</strong>stanza r0 = r(0) < R dal centro.<br />
Mostrare che l’equazione del moto per r = r(t) è<br />
m d2r qQ<br />
=<br />
dt2 4πɛ0r2 <br />
r0<br />
3<br />
R<br />
c) Si <strong>di</strong>ca a che <strong>di</strong>stanza dal centro si trovano inizialmente le particelle che acquistano la massima energia<br />
cinetica durante l’espansione, e si <strong>di</strong>a il valore <strong>di</strong> tale energia massima.<br />
d) Si mostri che per ogni strato <strong>di</strong> particelle si muove secondo la legge oraria r(t) = r0λ(t) dove λ(t) non<br />
<strong>di</strong>pende da r0 e che <strong>di</strong> conseguenza la densità <strong>di</strong> carica rimane uniforme durante l’espansione della nuvola.<br />
bSoluzione:<br />
a)<br />
V (r) =<br />
Q<br />
4πɛ0<br />
Q 1<br />
4πɛ0 r<br />
r2 (− 2R3 + 3<br />
2R ) per r < R<br />
per r > R<br />
b) Poichè le particelle non si scavalcano, la carica contenuta entro una sfera <strong>di</strong> raggio r(t) rimane costante.<br />
c) L’energia potenziale corrispondente all’equazione del moto (*) è Ur0 = (Q/4πɛ0)(r0/R) 3 /r. L’energia<br />
cinetica massima viene acquistata a <strong>di</strong>stanza infinita ed è uguale a Ur0, che è massima per r0 = R.<br />
d) Inserendo l’ansatz nell’equazione del moto (*) si trova d 2 λ/dt 2 = qQ/4πɛ0λ 2 R 2 nella quale r0 non compare<br />
più. Quin<strong>di</strong> la nuvola si <strong>di</strong>lata in modo omogeneo.<br />
2 Una particella massiva genererebbe una forza ‘<strong>di</strong> Yukawa’ F ∝ αe −r/r0/r 2 (dove m ∝ 1/r0). Essa darebbe, in approssimazione<br />
perturbativa θd ∼ θ Coulomb<br />
d e −b/r0 e quin<strong>di</strong> σ(θ > 0) ∝ r 2 0 .<br />
(∗)
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 17<br />
Figura 1.1: Linee <strong>di</strong> campo (linee continue) e superfici equipotenziali (linee tratteggiate) generate da una ‘sfera<br />
polarizzata’.<br />
<strong>Esercizio</strong> 21: Sfera polarizzata<br />
Calcolare il campo elettrico generato da una sfera <strong>di</strong> raggio R con carica superficiale σ(θ) = σ cos θ.<br />
bSoluzione: Conviene usare il principio <strong>di</strong> sovrapposizione e vederla come la la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> carica generata<br />
da tanti piccoli <strong>di</strong>poli allineati. Separando le cariche positive da quelle negative, lo si può anche vedere come<br />
sovrapposizione <strong>di</strong> due sfere con densità uniformi ρ e −ρ con i centri a <strong>di</strong>stanza d tale che dρ = σ. La<br />
corrispondenza <strong>di</strong>venta esatta per d → 0 (e quin<strong>di</strong> ρ → ∞).<br />
Come calcolato precedentemente una singola sfera genera al suo interno un campo elettrico E = rρ/3ɛ0.<br />
Quin<strong>di</strong> due sfere <strong>di</strong> carica ±ρ sovrapposte a <strong>di</strong>stanza d generano al loro interno E = −ρd/3ɛ0 = −P /3ɛ0 dove<br />
P ≡ ρd viene chiamata ‘densità <strong>di</strong> polarizzazione’.<br />
All’esterno della sfera si ha il campo <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo p = Qd = V P , dove V è il volume della sfera.<br />
Il potenziale in tutto lo spazio, in coor<strong>di</strong>nate sferiche è<br />
ϕ(r, θ) =<br />
p cos θ/4πɛ0r 2 per r > R<br />
Er cos θ per r < R<br />
= σ cos θ<br />
3ɛ0<br />
La seconda espressione permette <strong>di</strong> verificare che ϕ è continuo a r = R.<br />
<strong>Esercizio</strong> 22: Cilindro polarizzato<br />
R 3 /r 2 per r > R<br />
r per r < R<br />
Calcolare il campo elettrico generato da una cilindro polarizzato trasversalmente con carica superficiale σ(θ) =<br />
σ cos θ.<br />
bSoluzione: Si procede in modo analogo alla sfera, sovrapponendo due cilindri con densità uniformi ρ e −ρ.<br />
<strong>Esercizio</strong> 23: Formule <strong>di</strong> base sui <strong>di</strong>poli<br />
Due cariche q1 = +q e q2 = −q a <strong>di</strong>stanza d = r1 − r2 (d è <strong>di</strong>retto verso la carica positiva, e ri esce dalla carica<br />
i) formano un <strong>di</strong>polo p = qd. Ricavare le formule <strong>di</strong> base<br />
bSoluzione:
18 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
• Campo elettrico generato da un <strong>di</strong>polo. Espandendo r1 = r − d/2 e r1 = r + d/2 al primo or<strong>di</strong>ne<br />
in d<br />
q<br />
ϕ = (<br />
4πɛ0<br />
1<br />
−<br />
r1<br />
1<br />
) =<br />
r2<br />
q r<br />
4πɛ0<br />
2 2 − r2 1 q 2d · r 1<br />
= <br />
r1r2(r1 + r2) 4πɛ0 r1r2(r1 + r2) 4πɛ0<br />
E = −∇ϕ = 1<br />
<br />
3(p · r)r<br />
4πɛ0 r5 − p<br />
r3 <br />
= 1<br />
<br />
2(p · r)r<br />
4πɛ0 r5 + r × (r × p)<br />
r5 <br />
In coor<strong>di</strong>nate polari ϕ = p cos θ/4πɛ0r 2 e quin<strong>di</strong><br />
Er = − ∂ϕ<br />
∂r<br />
2kp cos θ<br />
=<br />
r3 , Eθ = − 1 ∂ϕ<br />
r ∂θ<br />
<strong>di</strong>verso da zero per ogni θ. A grande <strong>di</strong>stanza E ∝ 1/r 3 .<br />
• Forza sentita da un <strong>di</strong>polo in un campo elettrico esterno:<br />
p · r 1<br />
= − p · ∇<br />
r3 4πɛ0<br />
1<br />
r =<br />
kp sin θ<br />
=<br />
r3 , Eϕ = 0 E = kp<br />
r3 <br />
1 + 3 cos2 θ<br />
F = q(d · ∇)E = (p · ∇) = −∇U dove U = −p · E = −pE cos θ<br />
L’energia è minima quando p si allinea ad E.<br />
Il momento delle forze vale M = p × E, M = −∂θU = qdE sin θ.<br />
Negli esercizi con titolo ‘paradosso’ <strong>di</strong>scutiamo alcune sottigliezze nell’uso <strong>di</strong> queste formule.<br />
<strong>Esercizio</strong> 24: Forno a microonde<br />
Una molecola d’acqua ha <strong>di</strong>polo p = 6.2 10 −30 C · m = 3.9 10 −16 e · m. Quale campo elettrico è necessario per<br />
allineare tutte le molecole d’acqua a temperatura ambiente, kT ≈ eV/40 = 4 10 −21 J?<br />
bSoluzione: Utilizzando a scelta eV o Joule viene che serve U = −p · E > ∼ kT cioè E > ∼ 6 10 13 V/m, cioè per<br />
campi elettrici utilizzati in pratica, E ∼ kV/m l’agitazione termica vince e le molecole si allineano molto poco.<br />
Un forno a microonde utilizza un campo elettrico oscillante: le molecole d’acqua provano a ruotare per<br />
allinearsi ad E, ed andando a sbattere su altre molecole il loro moto <strong>di</strong>venta energia termica. Infatti un<br />
microonde non riscalda scodelle <strong>di</strong> plastica (se fatte in materiali con piccolo o zero <strong>di</strong>polo) e non è buono per<br />
scongelare (nel ghiaccio le molecole non sono libere <strong>di</strong> ruotare; una piccola zona scongelata inizia a scaldarsi<br />
molto lasciando zone vicine ghiacciate).<br />
<strong>Esercizio</strong> 25: Paradosso sui <strong>di</strong>poli I<br />
Un <strong>di</strong>polo p, obbligato ad orientarsi lungo l’asse z è libero <strong>di</strong> muoversi lungo l’asse x in un campo elettrico<br />
esterno Ez = αx. Calcolare la forza sul <strong>di</strong>polo.<br />
bSoluzione: Secondo le formule precedenti U = −pαx, quin<strong>di</strong> F = −∇U = pαx.<br />
Tuttavia è ovvio che la forza totale su due cariche ±q poste una sopra l’altra lungo l’asse z è zero.<br />
La formula non si applica perchè il campo elettrico proposto non è irrotazionale, come si vede da un circuitino<br />
o da ∇ × E = −αˆy. 3<br />
<strong>Esercizio</strong> 26: Paradosso sui <strong>di</strong>poli II<br />
Calcolare l’energia <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo prodotto da un campo elettrico esterno<br />
bSoluzione: Se p = αE il lavoro necessario per portare il <strong>di</strong>polo da zero a p vale<br />
<br />
L =<br />
<br />
F · ds =<br />
p · E ?<br />
E · dp = = −∆Utot<br />
2<br />
3 Volendo complicare le cose si può rifare lo stesso esercizio con un campo elettrico Eθ = 1/r, che ha rotore zero in tutti i punti<br />
eccetto 0
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 19<br />
L’energia <strong>di</strong> interazione fra il <strong>di</strong>polo ed il campo elettrico esterno vale U = −p · E. Affinchè Utot = U + U ′ sia<br />
giusta ci deve essere un’altra energia potenziale U ′ = + 1<br />
2p · E, dovuta al fatto che l’esistenza stessa del <strong>di</strong>polo<br />
è dovuta alla forza esterna.<br />
Come verifica del risultato generale consideriamo il sistema particolare più semplice possibile: due cariche<br />
±q a <strong>di</strong>stanza x tenute assieme da una forza elastica. Il valore della costante k dovrebbe essere irrilevante. Il<br />
<strong>di</strong>polo vale p = qx = qE/k. L’energia <strong>di</strong> legame vale<br />
U ′ = k<br />
2 x2 = pE<br />
2<br />
Questo sistema è realizzato fisicamentente dall’atomo <strong>di</strong> Thomson, nel quale avevamo visto che α = 4πɛ0a 3 0.<br />
L’energia U ′ <strong>di</strong> interazione fra elettrone e protone è <strong>di</strong> tipo ‘elastico’ e vale<br />
U ′ (r) − U ′ (0) = −e[ϕ(r) − ϕ(0)] = e2<br />
2α r2 = pE<br />
2<br />
(verifico che ϕ è giusto usando il laplaciano in coor<strong>di</strong>nate polari: ∇ 2 ϕ = −3e/α = −ρ/ɛ0).<br />
<strong>Esercizio</strong> 27: Paradosso sui <strong>di</strong>poli III<br />
Calcolare la forza fra due <strong>di</strong>poli p e p ′ a <strong>di</strong>stanza x, orientati parallalelamente alla loro separazione. Come<br />
cambia la risposta se p ′ è indotto da p come p ′ = αx?<br />
bSoluzione: Abbiamo due formule generali che danno la forza fra <strong>di</strong>poli. Ve<strong>di</strong>amo come applicarle.<br />
1. La formula generale è F = (p · ∇)E = p∂xE dove<br />
E = 1<br />
′ 3(p · r)r<br />
4πɛ0 r5 − p′<br />
r3 <br />
= 1 p<br />
2πɛ0<br />
′<br />
ˆx r = (x, y, z)<br />
x3 è il campo elettrico generato da p ′ . Quin<strong>di</strong> la forza è ‘ra<strong>di</strong>ale’ e vale Fx = −3pp ′ /2πɛ0x 4 .<br />
È ovvio che la risposta non cambia se p ′ è indotto.<br />
2. Una formula meno generale ma più semplice è F = −∇U con<br />
U = −p · E = − 1<br />
Nel caso <strong>di</strong> p ′ costante si riottiene il risultato precedente. Nel caso <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo indotto, p ′ = αx, viene<br />
un risultato che <strong>di</strong>fferisce <strong>di</strong> un fattore 2/3: per utilizzare correttamente questa formula meno generale<br />
occorre prima calcolare il ∇ come se p ′ fosse costante e poi inserire il valore del <strong>di</strong>polo indotto p ′ (x).<br />
2πɛ0<br />
pp ′<br />
x 3<br />
<strong>Esercizio</strong> 28: Paradosso sui <strong>di</strong>poli IV<br />
Due <strong>di</strong>poli sono orientati rispettivamente lungo gli assi z ed x. Verificare che le forze sono uguali ed opposte<br />
(ma non ra<strong>di</strong>ali). Verificare che i momenti non lo sono.<br />
bSoluzione: Il momento totale è zero se calcolato rispetto ad un polo fisso. Una situazione analoga più banale:<br />
un <strong>di</strong>polo nel campo elettrico <strong>di</strong> una carica. Il <strong>di</strong>polo sente un momento delle forze (che tende ad allinearlo con<br />
il campo elettrico), ma anche una forza.<br />
<strong>Esercizio</strong> 29: Allineamento <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli elettrici<br />
Come si <strong>di</strong>spongono due <strong>di</strong>poli a <strong>di</strong>stanza r fissata, liberi <strong>di</strong> ruotare su loro stessi?
20 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
bSoluzione: L’energia fra due <strong>di</strong>poli p i = qi<strong>di</strong> a <strong>di</strong>stanza r fissata (senza vincoli non esistono configurazioni<br />
<strong>di</strong> equilibrio stabile)<br />
U = k<br />
R 3 [p 1 · p 2 − 3(p 1 · ˆr)(p 2 · ˆr)] ∝ cos(θ1 − θ2) − 3 cos θ1 cos θ2<br />
che è minima a θ1 = θ2 = 0 (più configurazioni simmetriche), cioè per <strong>di</strong>poli stesi nella stessa <strong>di</strong>rezione. Tenerli<br />
verticali e contrapposti richiede energia maggiore.<br />
Un <strong>di</strong>polo può essere la molecola H2O (l’O attira gli elettroni più <strong>di</strong> H), oppure l’atomo <strong>di</strong> idrogeno in un<br />
campo esterno.<br />
<strong>Esercizio</strong> 30: Coor<strong>di</strong>nate polari<br />
Calcolare gra<strong>di</strong>ente, <strong>di</strong>vergenza, rotore e ∇ 2 in coor<strong>di</strong>nate cilindriche e polari ed in un generico sistema <strong>di</strong><br />
coor<strong>di</strong>nate ortogonali.<br />
bSoluzione: Il ∇ è sia un operatore <strong>di</strong>fferenziale che un vettore. Questo significa e.g. che ∇ · (fE) = f(∇ ·<br />
E) + E · (∇f) e che ∇ × ∇f = 0, (∇f) × (∇g) = 0, ∇ · (∇ × E) = 0. In linea <strong>di</strong> principio per passare a<br />
coor<strong>di</strong>nate polari si procede come per altri vettori, rispettando le proprietà dell’operatore derivata. In pratica si<br />
fa molto prima usando i teoremi in cui compaiono gra<strong>di</strong>enti, rotori e <strong>di</strong>vergenze: i teoremi del gra<strong>di</strong>ente (linee),<br />
Stokes (superifci), Gauss (volumi) sono casi particolari <strong>di</strong> integrali <strong>di</strong> forme asimmetriche a n in<strong>di</strong>ci<br />
<br />
<br />
e cioè (in 3 <strong>di</strong>mensioni):<br />
<br />
<br />
∇f · dx = f = ∆f<br />
L<br />
∂L=P<br />
∂ ∧ A<br />
X<br />
(n) ∧ dx (n+1) =<br />
<br />
S<br />
<br />
(∇ × E) · n dS =<br />
A<br />
∂X<br />
(n) ∧ dx (n)<br />
∂S=L<br />
E · dx<br />
Gra<strong>di</strong>ente In un generico sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate ortogonali xi si ha<br />
df = f(x + dx) − f(x) = ∂f<br />
dxi ≡ dx · ∇f<br />
∂xi<br />
i<br />
<br />
<br />
(∇ · E)dV =<br />
V<br />
∂V =S<br />
E · n dS<br />
Siccome dx = giidxi ˆxi allora ∇ = g −1<br />
ii ˆxi∂i. E.g. in coor<strong>di</strong>nate polari grr = 1, gθθ = r e gϕϕ = r sin θ in quanto<br />
dx = dr ˆr + r dθ ˆ θ + r sin θdϕ ˆϕ e ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2<br />
∇ = ˆx ∂ ∂ ∂ ∂<br />
+ ˆy + ˆz = ˆr<br />
∂x ∂y ∂z ∂r + ˆ θ 1<br />
r<br />
∂<br />
∂θ<br />
1 ∂<br />
+ ˆϕ<br />
r sin θ ∂ϕ<br />
Divergenza Per calcolare la <strong>di</strong>vergenza <strong>di</strong> un generico vettore E usiamo il teorema <strong>di</strong> Gauss<br />
<br />
<br />
(∇ · E)dV = E · dS<br />
applicato ad un volumetto elementare <strong>di</strong> lati dxi. La <strong>di</strong>fferenza dei flussi sui lati lungo x1 vale<br />
Quin<strong>di</strong><br />
(E1g22g33)+dx2 dx3 − (E1g22g33)−dx2 dx3 = dx1dx2dx3<br />
∇ · E =<br />
1<br />
g11g22g33<br />
∂<br />
∂x1<br />
dV<br />
(E1g22g33) =<br />
g11g22g33<br />
<br />
∂<br />
(E1g22g33) +<br />
∂x1<br />
∂<br />
(E2g11g33) +<br />
∂x2<br />
∂<br />
<br />
(E3g11g22)<br />
∂x3<br />
In coor<strong>di</strong>nate polari la <strong>di</strong>vergenza <strong>di</strong> un vettore con solo componente ra<strong>di</strong>ale vale<br />
∇ · E =<br />
1<br />
r 2 sin θ<br />
∂<br />
∂r Err 2 sin θ = 1<br />
r2 ∂<br />
∂r r2 Er<br />
∂<br />
∂x1<br />
(E1g22g33)
Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici 21<br />
Riotteniamola procedendo in un altro modo, senza usare il teorema <strong>di</strong> Gauss: Applicato ad un vettore ra<strong>di</strong>ale<br />
E = ˆrEr vale<br />
∇ · E = ∂Er<br />
∂r + Er( ˆ θ ∂ˆr ˆϕ<br />
· +<br />
r ∂θ r sin θ<br />
Su <strong>di</strong> una funzione V che <strong>di</strong>pende solo da r<br />
∇ 2 V = (∇ · ∇)V = 1<br />
r 2<br />
∂ˆr ∂Er<br />
· ) =<br />
∂ϕ ∂r + (1 + 1)Er = 1<br />
r2 ∂ ∂<br />
r2<br />
∂r ∂r<br />
V = 1<br />
r<br />
In d <strong>di</strong>mensioni (d = 3 coor<strong>di</strong>nate polari, d = 2 coor<strong>di</strong>nate cilindriche, etc)<br />
∇ · E = 1<br />
rd−1 ∂<br />
∂r rd−1Er ∇ 2 V = ∂2 V<br />
∂r<br />
∂ 2<br />
rV<br />
∂r2 d − 1<br />
+ 2 r<br />
∂V<br />
∂r<br />
∂<br />
∂r r2 Er<br />
Rotore Utilizzando in modo analogo il teorema <strong>di</strong> Stokes si ottiene un’espressione esplicita per il rotore. Il<br />
∇2 è banale<br />
∇ × E =<br />
1<br />
⎛<br />
det ⎝ g11 ˆx1<br />
∂1<br />
g22 ˆx2<br />
∂2<br />
⎞<br />
g33 ˆx3<br />
∂3 ⎠ , ∇ 2 V =<br />
1<br />
<br />
<br />
g22g33<br />
∂1 ∂1V + · · ·<br />
g11g22g33<br />
Ad esempio in coor<strong>di</strong>nate polari<br />
∇ 2 V =<br />
1<br />
r 2 sin θ<br />
<br />
∂r(r 2 sin θ ∂rV ) + ∂θ(<br />
g11E1 g22E2 g33E3<br />
r sin θ<br />
r<br />
r<br />
∂θV ) + ∂ϕ<br />
r sin θ ∂ϕV<br />
<br />
g11g22g33<br />
= ∂2 r (rV )<br />
r<br />
g11<br />
+ ∂θ(sin θ∂θV )<br />
r 2 sin θ<br />
ed in coor<strong>di</strong>nate cilindriche<br />
∇ 2 V = 1<br />
<br />
∂r(r∂rV ) + ∂θ(<br />
r<br />
1<br />
r ∂θV<br />
<br />
) + ∂z(r∂zV ) = ∂r(r∂rV )<br />
+<br />
r<br />
∂2 θV r2 + ∂2 zV<br />
Calcolare ∇ 2 r p in d <strong>di</strong>mensioni spaziali.<br />
<strong>Esercizio</strong> 31: Laplaciano<br />
+ ∂2 ϕV<br />
r 2 sin 2 θ<br />
bSoluzione: In 1 <strong>di</strong>mensione r 2 = x 2 . In 2 <strong>di</strong>mensioni r 2 = x 2 + y 2 . In 3 <strong>di</strong>mensioni r 2 = x 2 + y 2 + z 2 . In<br />
generale<br />
∂xr p = px r p−2 , ∂ 2 xr p = p r p−2 + p(p − 2)x 2 r p−4 , ∇ 2 r p = p[d + p − 2]r p−2<br />
Il caso d = 3 corrisponde a coor<strong>di</strong>nate polari; il caso d = 2 a coor<strong>di</strong>nate cilindriche.<br />
Il potenziale generato da una carica in d <strong>di</strong>mensioni è la soluzione singolare a r = 0 <strong>di</strong> ∇ 2 ϕ = 0, e cioè per<br />
ϕ ∝ r 2−d . Quin<strong>di</strong><br />
d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d = 5<br />
ϕ ∝ r ϕ ∝ ln r ϕ ∝ r −1 ϕ ∝ r −2 ϕ ∝ r −3<br />
E ∝ r 0 E ∝ r −1 E ∝ r −2 E ∝ r −3 E ∝ r −4<br />
(il campo generato da una carica puntiforme in d = 1 e d = 2 corrispondono rispettivamente al campo <strong>di</strong> un<br />
filo e <strong>di</strong> un piano in d = 3).<br />
La cosa fondamentale non è ϕ ∼ 1/r ma la conservazione del flusso, e cioè E ∝ 1/S o ∇ 2 ϕ = 0.<br />
Solo d = 3 dà fisica interessante. Per d < 3 non esistono cariche libere (ϕ cresce con r), per d > 3 l’energia<br />
cinetica <strong>di</strong> rotazione (potenziale effettivo V = L 2 /2mr 2 ) non basta ad impe<strong>di</strong>re che si spiaccichino ad r = 0.<br />
Risolvere ∇ 2 ϕ − λ 2 ϕ = ρ = 0<br />
bSoluzione: La soluzione a simmetria sferica ϕ(r) è<br />
<strong>Esercizio</strong> 32: Potenziale <strong>di</strong> Yukawa<br />
1<br />
r (rϕ)′′ = λ 2 ϕ : rϕ = e −λr<br />
Per r ≪ λ è come l’elettromagnetismo, per r ≫ λ la forza va a zero esponenzialmente. Lo Z ha λ ∼ 10 −16 cm.<br />
La gravità potrebbe avere λ ∼ 10 10 anni luce.
22 Capitolo 1. Campi e potenziali elettrici<br />
Risolvere l’equazione <strong>di</strong> Schroe<strong>di</strong>nger<br />
<strong>Esercizio</strong> 33: Atomo <strong>di</strong> idrogeno quantistico<br />
bSoluzione: Secondo Schroe<strong>di</strong>nger uno deve: scrivere l’energia H, rimpiazzare p → −i¯h∇, risolvere Hψ = Eψ,<br />
e |ψ| 2 è la probabilità. Per un elettrone in un atomo <strong>di</strong> idrogeno<br />
avendo usato e 2 = q 2 e/4πɛ0. Quin<strong>di</strong>, usando u = rψ<br />
H = p2<br />
2m − q2 e ¯h2<br />
→ −<br />
4πɛ0r 2m ∇2 − e2<br />
r<br />
− ¯h2<br />
2m (rψ)′′ = (E + e2<br />
r )(rψ)<br />
risolto da ψ ∝ e −r/a0 ed E = −e 2 /2a0 dove a0 ≡ ¯h 2 /me 2 . Quin<strong>di</strong> secondo la meccanica quantistica la carica<br />
dell’elettrone si <strong>di</strong>stribuisce come ρ(r) = −e e −2r/a0 /πa 3 0.
Capitolo 2<br />
Conduttori<br />
Le cariche elettriche dentro un conduttore sono libere <strong>di</strong> re<strong>di</strong>stribuirsi; e finchè E = 0 continuano a spostarsi.<br />
Quin<strong>di</strong> si riaggiustano (<strong>di</strong>ssipando energia termicamente) fino a raggiungere la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio stabile:<br />
E = 0 dentro il conduttore ed E = 0 lungo la sua superficie (cioè ϕ = costante nel conduttore). Quin<strong>di</strong> il<br />
campo elettrico subito fuori da un conduttore vale E⊥ = σ/ɛ0. La pressione sentita da un conduttore è σE⊥/2.<br />
Per un condensatore Q = CV e U = QV/2.<br />
<strong>Esercizio</strong> 34: Piano conduttore<br />
Stu<strong>di</strong>are una carica q puntiforme posta a <strong>di</strong>stanza d da un piano conduttore infinito posto a potenziale zero.<br />
bSoluzione: Scelgo le coor<strong>di</strong>nate in modo che il piano è a x = 0 e la carica a (x, y, z) = (d, 0, 0). Usando il<br />
metodo delle immagini si trova il potenziale<br />
⎧ <br />
⎨ q 1<br />
ϕ(x, y, z) = 4πɛ0 |x − d|<br />
⎩<br />
−<br />
<br />
1<br />
per x > 0<br />
|x + d|<br />
0 per x < 0<br />
La densità superficiale <strong>di</strong> carica indotta sul piano è<br />
∂ϕ<br />
σ(y, z) = ɛ0E⊥ = −ɛ0<br />
∂x<br />
= −1 + 1<br />
4π<br />
dq<br />
(y 2 + z 2 + d 2 ) 3/2<br />
e la carica totale è σ dy dz = −q, come si può verificare o facendo esplicitamente l’integrale, o applicando il<br />
teorema <strong>di</strong> Gauss ad una superficie chiusa ottenuta ‘chiudendo’ il piano a r = −∞ (l’unico contributo al flusso<br />
è sul piano a r ∼ d).<br />
La carica q sente una forza attrattiva Fx = −kq2 /(2d) 2 . Il piano sente una forza opposta, come si può<br />
verificare integrando dF/dS = σE⊥/2 (non <strong>di</strong>menticando il fattore 2: E⊥/2 è la me<strong>di</strong>a del campo elettrico<br />
‘subito fuori’ e ‘subito dentro’ il conduttore)<br />
<br />
F =<br />
σ E⊥<br />
2<br />
dx dy = kq2<br />
(2d) 2<br />
Per portare la carica da x = d ad x = ∞ (o più in generale, ad un punto x = d ′ ) occorre compiere un lavoro<br />
L = ∞<br />
d F dx = kq2 /4d, uguale a metà della variazione dell’energia potenziale fra carica e carica-immagine<br />
V (∞) − V (d) = kq2 /2d, in quanto non serve lavoro per spostare la carica immagine.<br />
Se il piano conduttore non è posto a ϕ = 0 ma è isolato non cambia niente. Infatti, se è finito ma grosso<br />
(<strong>di</strong>mensioni D ≫ d) ed ha carica totale zero, la carica q induce una carica −q nella zona ‘vicina’, e quin<strong>di</strong> una<br />
carica +q concentrata ai bor<strong>di</strong> lontani (che non si vede se D → ∞).<br />
<strong>Esercizio</strong> 35: Lastra conduttrice<br />
Si calcoli il campo elettrico in presenza <strong>di</strong> una carica q situata a <strong>di</strong>stanza d da una lastra conduttrice piana <strong>di</strong><br />
spessore finito s.<br />
23
24 Capitolo 2. Conduttori<br />
Figura 2.1: Tentativi <strong>di</strong> usare il metodo delle immagini.<br />
bSoluzione: È imme<strong>di</strong>ato verificare che<br />
⎧<br />
⎨ come prima dal lato dove c’è q, i.e. x > 0<br />
ϕ(x, y, z) = 0<br />
⎩<br />
0<br />
dentro il conduttore, i.e. −s < x < 0<br />
dal lato opposto, i.e. x < −s<br />
è una soluzione, e quin<strong>di</strong> è la soluzione. Se d > s la carica immagine −q viene fuori dalla lastra, ma questo è<br />
irrilevante in quanto ϕ è scritto in termini <strong>di</strong> −q solo sul lato dove c’è q. Dal lato opposto dove non c’e’ la carica<br />
E = 0. Se il conduttore dal lato opposto non fosse piano ma avesse una forma artistica, rimarrebbe sempre<br />
E = 0.<br />
Questo fenomeno è più generale: un conduttore scherma da altre cariche lo spazio che circonda. Se un<br />
conduttore contiene un buco vuoto, allora dentro E = 0. Infatti la ovvia unica soluzione dell’equazione <strong>di</strong><br />
Poisson con con<strong>di</strong>zioni al bordo ϕ(bordo) = ϕ0 è ϕ(buco) = ϕ0. Questo accade perche’ F ∝ 1/r n con n = 2, e<br />
consente <strong>di</strong> verificare sperimentalmente quanto n è veramente vicino a 2.<br />
Per schermare un campo elettrico (stazionario) non serve racchiudere tutto con un conduttore: una griglia<br />
conduttrice a maglie piccole basta a fare un buon lavoro (per lo stesso motivo <strong>di</strong>scusso in un esercizio analogo<br />
a pag. 84).<br />
Trovare e stu<strong>di</strong>are altri casi simili.<br />
<strong>Esercizio</strong> 36: Metodo delle immagini<br />
bSoluzione: Usando la linearità è imme<strong>di</strong>ato stu<strong>di</strong>ate altri casi: se ci sono due cariche q1 e q2 basta sommare<br />
le soluzioni. Se c’e’ un <strong>di</strong>polo, si aggiunge un <strong>di</strong>polo immagine. Se si vuole stu<strong>di</strong>are un filo carico sospeso sopra<br />
il terreno, si considera un filo immagine sottoterra.<br />
Con una carica posta vicino a semipiani che si intersecano ad un dato angolo, il metodo funziona solo per<br />
angoli speciali. Usualmente riflettendo si trova che servirebbe mettere cariche nella zona vuota (vedere fig. 2.1)<br />
per cui si ottiene una soluzione per 2 o più cariche messe in posti speciali<br />
Il metodo funziona per angolo <strong>di</strong> 90 ◦ , e servono 3 cariche immagini (fig. 2.1a).<br />
È interessante stu<strong>di</strong>are in<br />
che modo il lavoro necessario a spostare la carica è legato all’energia potenziale fra q e cariche immagini. Per<br />
semplicitè mettiamo la carica lungo l’asse <strong>di</strong> simmetria a <strong>di</strong>stanza d dai piani: risente una forza attrattiva <strong>di</strong>retta<br />
lungo l’asse con modulo<br />
F = kq 2<br />
<br />
2 −1 1<br />
√2 +<br />
(2d) 2<br />
(2 √ 2d) 2<br />
∞<br />
, L = √ F ds =<br />
2d<br />
(−4 + √ 2)kq2 8d<br />
Il lavoro è uguale all’energia potenziale della sola carica ‘vera’, e quin<strong>di</strong> ad 1/4 dell’energia potenziale <strong>di</strong> tutte<br />
le cariche (‘vera’ ed ‘immagini’)<br />
V (1) = k q1qi<br />
=<br />
2 r1i<br />
i=1<br />
kq2<br />
<br />
−2 1<br />
+<br />
2 2d 2 √ <br />
= L, V (1) + V (2) + V (3) + V (q) =<br />
2d<br />
k qiqj<br />
2 rij<br />
i=j<br />
= 4V.
Capitolo 2. Conduttori 25<br />
<strong>Esercizio</strong> 37: Piano carico fra 2 piani conduttori<br />
Due piani conduttori paralleli a <strong>di</strong>stanza ℓ sono tenuti allo stesso potenziale. Una carica q, <strong>di</strong>stribuita uniformemente<br />
lungo un piano, viene messa a <strong>di</strong>stanze δ e δ ′ = ℓ − δ dai piani. Calcolare le cariche totali indotte q e<br />
q ′ .<br />
bSoluzione: Ovviamente q +q ′ = −q. I campi elettrici sono costanti. Siccome i due conduttori sono allo stesso<br />
potenziale, Eδ = E ′ (s − δ). Le cariche indotte sono legate ai campi da E = σ/ɛ0 e quin<strong>di</strong><br />
Quin<strong>di</strong> q = −q(1 − δ/ℓ) e q ′ = −qδ/ℓ.<br />
q σ E ℓ − δ<br />
= = =<br />
q ′ σ ′ E ′ δ<br />
<strong>Esercizio</strong> 38: Carica fra 2 piani conduttori<br />
Due piani conduttori paralleli a <strong>di</strong>stanza ℓ sono tenuti allo stesso potenziale. Una carica puntiforme q viene<br />
messa a <strong>di</strong>stanze δ e δ ′ = ℓ − δ dai piani. Calcolare le cariche totali indotte q e q ′ .<br />
bSoluzione: Si potrebbe usare una serie infinita <strong>di</strong> cariche immagini ±q situate a x = 2nℓ ± δ, ma il conto<br />
sarebbe troppo <strong>di</strong>fficile.<br />
(la carica indotta non <strong>di</strong>pende dalla <strong>di</strong>stanza, ma = ). Visto che il problema chiede solo la carica totale<br />
indotta, convene usare un altro trucco. Immaginiamo che q invece <strong>di</strong> essere puntiforme sia <strong>di</strong>stribuita lungo un<br />
piano parallelo ai due conduttori, come nell’esercizio precedente. La carica totale indotta resta la stessa. Con<br />
lo stesso trucco si potrebbe anche calcolare la forza sentita dalla carica.<br />
<strong>Esercizio</strong> 39: 1 lastre conduttrice carica<br />
Una lastra <strong>di</strong> superficie S ha carica totale q. Calcolare i campi elettrici indotti.<br />
bSoluzione: <strong>Fisica</strong>mente uno si aspetta che la carica q si <strong>di</strong>vida equamente fra le due superfici, generando un<br />
campo elettrico esterno E = (q/2)/Sɛ0 ortogonale alla lastra ed uguale sui due lati.<br />
Questo accade non perchè alle cariche piace <strong>di</strong>sporsi simmetrimecamente, ma perchè questa è la configurazione<br />
<strong>di</strong> minima energia, come <strong>di</strong>scusso nel meno semplice problema successivo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 40: 2 lastre conduttrici cariche<br />
Due lastre <strong>di</strong> superficie S hanno cariche totali q e q ′ . Calcolare i campi elettrici indotti.<br />
bSoluzione: Il problema consiste nel trovare come le cariche si ripartiscono fra le superfici destra e sinistra<br />
delle lastre. In generale le cariche sulle 4 superfici (da sinistra a destra) possono essere<br />
dove Q è incognito. I campi elettrici sono<br />
Esinistra =<br />
q − Q, Q − Q q ′ + Q<br />
q − Q<br />
ɛ0S , Emezzo = q<br />
ɛ0S , Edestra = q′ + Q<br />
ɛ0S<br />
L’energia totale è proporzionale all’integrale <strong>di</strong> E 2 , dominato dal grande spazio a sinistra ed a destra. Quin<strong>di</strong><br />
le cariche minimizzano E 2 sinistra + E2 destra . Questo accade nella configurazione simmetrica, Q = (q − q′ )/2:<br />
Esinistra = Edestra =<br />
q + q′<br />
2ɛ0S , Emezzo<br />
q − q′<br />
=<br />
2ɛ0S
26 Capitolo 2. Conduttori<br />
<strong>Esercizio</strong> 41: Capacitatore cilindrico<br />
Un cavo coassiale è fatto <strong>di</strong> un filo conduttore interno <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro d circondato da un guscio metallico <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro<br />
D. Calcolare la capacità. Sapendo che l’aria può sostenere Emax = 3MV/ m (rigi<strong>di</strong>tà dell’aria) trovare quale<br />
valore <strong>di</strong> d/D consente <strong>di</strong> avere la massima <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale, e quale d/D consente <strong>di</strong> immagazzinare la<br />
massima energia.<br />
bSoluzione: Usando il teorema <strong>di</strong> Gauss possiamo imme<strong>di</strong>atamente calcolare il campo elettrico nello spazio<br />
vuoto fra le due armature: 2πr · Er = λ/ɛ0 da cui<br />
Er = 2kλ<br />
r<br />
= −∂ϕ<br />
∂r<br />
: ϕ = −2kλσ ln r.<br />
Quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale vale V = ∆ϕ = 2kλ ln(D/d) e la capacità per unità <strong>di</strong> lunghezza vale<br />
2πɛ0/ln D/d. Imponendo che il massimo campo elettrico E(r = d/2) = 4kλ/d sia uguale a Emax si trova che la<br />
massima <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale vale<br />
d D<br />
V = Emax ln<br />
2 d<br />
Per esempio V = 3.45 kV se d = 1mm e D = 1cm. Fissato D, V è massimizzato scegliendo d = D/e.<br />
L’energia immagazzinata in una lunghezza L vale<br />
ricalcolabile anche come<br />
2 CV<br />
U =<br />
<br />
ɛ0E<br />
U =<br />
2<br />
2<br />
2 = Lπɛ0E 2 max( d<br />
2 )2 ln D<br />
d<br />
dV = ɛ0<br />
2 L2π(d<br />
2 )2E 2 D/2<br />
max<br />
d/2<br />
Fissato D, l’energia immagazzinata è massimizzata scegliendo d = D/ √ e.<br />
<strong>Esercizio</strong> 42: Contatore Geyger<br />
Un contatore Geyger è costituito da un capacitatore cilindrico caricato ad alto potenziale e contenente un gas<br />
non conduttore rarefatto (ad esempio argon). In questo modo, quando una particella passa e ionizza un elettrone<br />
del gas, l’elettrone prima <strong>di</strong> andare a sbattere su <strong>di</strong> un altra molecola del gas ha acquistato energia sufficiente<br />
a ionizzarla, producendo una cascata. Stimare quale campo E e densità del gas sono necessari.<br />
bSoluzione: Una tipica energia <strong>di</strong> ionizzazione è circa 1 eV (13.6 eV per l’idrogeno). Quin<strong>di</strong> serve Ed > ∼ eV<br />
dove d è il cammino libero me<strong>di</strong>o. Ad esempio, per V ∼ 10 kV/m vicino al filo centrale (che può avere raggio<br />
d ∼ 25 µm) si ha E ∼ V/d ∼ 10 8 V/m e quin<strong>di</strong> serve d ∼ 10 −8 m. Un gas a STP ha circa 10 25 molecole/m 3 ,<br />
quin<strong>di</strong> serve una pressione <strong>di</strong> circa 0.1 atm, perchè inizi a funzionare nella zona vicino al filo centrale. Questo<br />
deve essere messo a potenziale positivo, affinchè gli elettroni vengano spinti sul bordo esterno.<br />
r dr<br />
.<br />
r2 <strong>Esercizio</strong> 43: Capacitatore <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni variabili<br />
Si raddoppia la <strong>di</strong>stanza fra i piatti <strong>di</strong> un capacitatore <strong>di</strong> capacità C. Quanto lavoro meccanico occorre fare se<br />
(a) le cariche sui piatti sono tenute costanti? (b) una batteria mantiene costante la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V ?<br />
bSoluzione: Ricordo che Q = CV . Per due piatti conduttori <strong>di</strong> area A a piccola <strong>di</strong>stanza d<br />
Raddoppiare d <strong>di</strong>mezza C. All’inizio l’energia vale<br />
V = Ed = σd/ɛ0 = Q · d/Aɛ0 cioè C = ɛ0A/d<br />
2 ɛ0E Aɛ0 V<br />
U = Ad =<br />
2 d<br />
2 2 CV Q2<br />
= =<br />
2 2 2C .
Capitolo 2. Conduttori 27<br />
(a) Alla fine U ′ = Q 2 /2C ′ = 2U quin<strong>di</strong> L = U − U ′ = −U. Infatti il campo elettrico rimane uguale,<br />
ma occupa un volume doppio. I due piatti si attraggono, quin<strong>di</strong> occorre una forza F = L /(−d) per<br />
allontanarli.<br />
In generale, quando uno mo<strong>di</strong>fica un capacitatore variando la capacità <strong>di</strong> dC tenendo la carica Q costante<br />
F ds = dL = −dU = − Q2 1<br />
d<br />
2 C<br />
2<br />
Q2 V<br />
= dC =<br />
2C2 2 dC<br />
(b) Alla fine U ′ = C ′ V 2 /2 = U/2 quin<strong>di</strong> Ltotale = U − U ′ = U/2 > 0. Questo sembra suggerire che i due<br />
piatti si respingano, mentre invece uno si aspetta che si attraggano esattamente come nel caso precedente<br />
(in quanto contengono cariche <strong>di</strong> segno opposto). Il punto è che Ltotale è il lavoro totale, somma <strong>di</strong><br />
due contributi: un contributo meccanico (legato alla forza necessaria per spostare le armature), ed un<br />
lavoro ricevuto dalla batteria mano a mano che le cariche sulle armature <strong>di</strong>minuiscono. La carica finale<br />
vale Q ′ = C ′ V = Q/2. Una carica ∆Q = −Q/2 viene spinta dentro la batteria, che riceve un lavoro<br />
Lbatteria = −QV/2 = U. Lmeccanico = Ltotale − Lbatteria = −U/2 < 0.<br />
In generale la batteria riceve un carica −dQ e quin<strong>di</strong> un lavoro Lbatteria = −V dQ = −V 2 dC. L’energia<br />
nel capacitatore varia <strong>di</strong> V 2 dC/2. Quin<strong>di</strong> il lavoro meccanico vale<br />
come nel caso (a).<br />
F ds = dLmeccanico = dLtotale − dLbatteria =<br />
V 2<br />
2 dC<br />
Quin<strong>di</strong> in generale la forza è legata alla variazione della capacità C da F = (V 2 /2)(dC/ds), e tende ad aumentare<br />
la capacità. In questo esercizio abbiamo solo ottenuto un risultato atteso in modo complicato. Il prossimo è più<br />
interessante.<br />
Ad esempio se inserisco una barra conduttrice in un condensatore...<br />
<strong>Esercizio</strong> 44: Conduttore in capacitatore<br />
Un conduttore <strong>di</strong> spessore d viene parzialmente inserito in un capacitatore quadrato <strong>di</strong> spessore D e lunghezza<br />
L ≫ D mantenuto ad una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V . Calcolare la forza sentita dal conduttore mobile.<br />
bSoluzione: Il sistema è <strong>di</strong>segnato in fig. 3.1a. Possiamo vederlo come una capacità C0 = ɛ0L(L − x)/D in<br />
parallelo con una capacità C1 = ɛ0Lx/(D − d) (costituita da 2 capacità in serie). Inserire un conduttore è un<br />
po’come ridurre la <strong>di</strong>stanza fra i piatti: per questo la capacità aumenta. Il valore preciso è<br />
Come visto in precedenza la forza vale<br />
C = C0 + C1 =<br />
F =<br />
V 2<br />
2<br />
dC<br />
dx<br />
ɛ0L 2<br />
D<br />
= V 2<br />
2<br />
<br />
1 +<br />
xd<br />
L(D − d)<br />
dLɛ0<br />
D(D − d) .<br />
<strong>Fisica</strong>mente la zona dove agisce la forza è la punta del conduttore: sebbene in quella zona non sappiamo fare i<br />
calcoli, sappiamo calcolare la forza totale. Determiniamo ora il segno dell’effetto. Non mi pare possibile capirlo<br />
in modo intuitivo, ma solo affidandosi al formalismo. Nel caso banale dell’esercizio precedente la forza tende ad<br />
attrarre i piatti, cioè ad aumentare la capacità. Quin<strong>di</strong> in questo esercizio il conduttore viene attratto dentro il<br />
condensatore, perchè questo aumenta la capacità.<br />
<strong>Esercizio</strong> 45: Sfera conduttrice a terra<br />
Una carica q è situata a <strong>di</strong>stanza R dal centro <strong>di</strong> una sfera conduttrice a potenziale zero <strong>di</strong> raggio r.<br />
bSoluzione: Serve una carica immagine q ′ = −q r/R messa come in figura fig. 2.2, situata a <strong>di</strong>stanza r 2 /R dal<br />
centro della sfera.
28 Capitolo 2. Conduttori<br />
Figura 2.2: Fig. 2.2a,b,c: linee <strong>di</strong> campo in presenza <strong>di</strong> una carica q a <strong>di</strong>stanze varie da una sfera conduttrice<br />
a terra. Fig. 2.2d: linee <strong>di</strong> campo per una sfera conduttrice isolata in campo elettrico esterno.<br />
Un giorno qualcuno notò che il potenziale generato da due cariche ϕ = kq1/r1 + kq2/r2 vale zero su <strong>di</strong> una<br />
sfera. Infatti ϕ = 0 a r1/r2 = q1/q2 i.e. r 2 1q 2 2 + r 2 2q 2 1 = 0 che è l’equazione della sfera. La sfera è ‘il luogo dei<br />
punti per i quali le <strong>di</strong>stanze fra 2 punti sono in rapporto fisso’.<br />
Torniamo al problema, che proviamo a risolvere usando un sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate con origine nel centro della<br />
sfera ed aggiungendo una carica immagine q2 = q ′ a <strong>di</strong>stanza r2 dal centro. Per fissare il tutto basta imporre<br />
ϕ = 0 nei 2 punti del conduttore lungo l’asse:<br />
q1 q2<br />
+ = 0,<br />
R − r r − r2<br />
q1 q2<br />
+ = 0<br />
R + r r + r2<br />
sono risolte da r2 = r 2 /R e q2 = −q1r/R. La sfera conduttrice ha carica totale q ′ . Se avesse carica <strong>di</strong>versa (e.g.<br />
zero) o potenziale <strong>di</strong>verso, basterebbe aggiungere una ulteriore carica immagine q ′′ nel centro.<br />
Usando coor<strong>di</strong>nate polari ρ, θ il potenziale vale<br />
ϕ(ρ, θ) = kq( 1<br />
r1<br />
La densità <strong>di</strong> carica superficiale vale<br />
− r<br />
<br />
1<br />
1<br />
) = kq −<br />
R r2 ρ2 + R2 − 2Rρ cos θ r<br />
<br />
1<br />
<br />
R ρ2 + (r2 /R) 2 − 2(r2 /R)ρ cos θ<br />
σ(θ) = ɛ0Er(ρ = r, θ) = −ɛ0<br />
<br />
∂ϕ <br />
<br />
∂ρ<br />
ρ=r<br />
=<br />
q(R 2 − r 2 )<br />
4πr(R 2 + r 2 − 2rR cos θ) 3/2<br />
La carica totale indotta sulla sfera è q ′ , che è <strong>di</strong>versa da q. La forza attrattiva fra la sfera e la carica q vale<br />
F = k q1q2<br />
r 2 12<br />
= −kq 2<br />
rR<br />
(R 2 − r 2 ) 2<br />
e decresce come 1/R 3 per R ≫ r. Il lavoro necessario a spostare la carica q rispetto alla sfera da <strong>di</strong>stanza R a<br />
<strong>di</strong>stanza R ′ vale L = qq ′ /8πɛ0(1/R ′ − 1/R).<br />
Come l’esercizio precedente, ma la sfera è isolata<br />
<strong>Esercizio</strong> 46: Sfera conduttrice isolata<br />
bSoluzione: Occorre aggiungere una ulteriore carica immagine q ′′ = −q ′ in modo che la ‘carica immagine<br />
totale’ sia zero. Per fare in modo che la sfera rimanga a potenziale costante occorre mettere −q ′ nel centro della<br />
sfera. Per R ≫ r la forza fra sfera e carica q decresce come 1/R4 . Il lavoro necessario a spostare la carica q<br />
rispetto alla sfera è uguale a L = − 1[∆Vqq<br />
′ + ∆Vqq ′′] cioè senza includere la variazione <strong>di</strong> energia potenziale<br />
Vq ′ q ′′ fra le due cariche immagini.<br />
2
Capitolo 2. Conduttori 29<br />
Figura 2.3: (a) Condensatori in serie. (b) Condensatori in serie.<br />
<strong>Esercizio</strong> 47: Sfera conduttrice in E costante<br />
Una sfera conduttrice isolata <strong>di</strong> raggio r viene messa in un campo elettrico E0 esterno costante.<br />
bSoluzione: Si può trovare la soluzione in <strong>di</strong>versi mo<strong>di</strong>, sviluppando ulterioremente esercizi precedenti.<br />
• Partendo dal problema precedente, posso generare un campo elettrico costante usando una carica q a<br />
<strong>di</strong>stanza R dalla sfera nel limite q, R → ∞ tenendo costante E0 = q/4πɛ0R 2 . In questo limite la carica<br />
immagine q ′ = −qr0/R <strong>di</strong>verge e si avvicina al centro della sfera, dove si trova la seconda carica immagine<br />
q ′′ = −q ′ , ma le due cariche immagine generano un <strong>di</strong>polo finito p = −q ′ d = 4πɛ0E0r 3 . Riassumendo:<br />
fuori dalla sfera<br />
E = E0 + (campo generato da un <strong>di</strong>polo p nel centro della sfera).<br />
Verifichiamo che il potenziale ϕ(ρ, θ) è costante sulla superficie della sfera a ρ = r<br />
<br />
p<br />
ϕ(ρ, θ) = − E0ρ cos θ = (<br />
4πɛ0ρ2 r3<br />
ρ2 − ρ)E0 cos θ<br />
La densità superficiale <strong>di</strong> carica vale<br />
σ(θ) = −ɛ0<br />
<br />
∂ϕ <br />
<br />
∂ρ<br />
ρ=r<br />
= 3ɛ0E0 cos θ<br />
• Abbiamo quin<strong>di</strong> ritrovato la situazione stu<strong>di</strong>ata a pagina 16: una sfera con carica superficiale σ(θ) =<br />
σ0 cos θ. Avevamo trovato che genera al suo interno un campo elettrico costante E = σ0/3ɛ0, che per<br />
σ0 = 3ɛ0E0 è esattamente opposto al campo esterno E0. In questo modo dentro la sfera si ha E = 0.<br />
Avevamo anche trovato che all’esterno genera il campo <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo p = V σ0, che per σ0 = 3ɛ0E0 vale<br />
p = 4πɛ0E0r 3 in accordo con il risultato precedente.<br />
Le linee <strong>di</strong> campo sono <strong>di</strong>segnate in figura 3.1d.<br />
<strong>Esercizio</strong> 48: Tetraedro conduttore<br />
4 triangoli equilateri conduttori, mantenuti a potenziali ϕ1,2,3,4 vengono <strong>di</strong>sposti in modo da formare la superficie<br />
<strong>di</strong> un tetraedro. Quale è il potenziale nel centro?<br />
bSoluzione: In generale deve essere una combinazione lineare dei 4 contributi. Infatti se so risolvere il caso<br />
con solo 1 acceso (ϕ1 = 0 e ϕ2,3,4 = 0), e poi so risolvere il caso con solo il 2 acceso, sommando le due soluzioni<br />
ho risolto anche il caso con 1 e 2 accesi. Quin<strong>di</strong> ϕ = <br />
i ciϕi.<br />
Poi, per motivi <strong>di</strong> simmetria, la risposta deve essere simmetrica in 1, 2, 3, 4. Quin<strong>di</strong> ϕ = c ϕi.<br />
Per finire c = 1/4 (cioè ϕ = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4)/4) in quanto nel caso ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = ϕ4 il potenziale deve<br />
avere il valore comune costante, siccome le 4 facce formano un tetraedro chiuso.<br />
<strong>Esercizio</strong> 49: Condensatore sferico<br />
Un condensatore è costituito da una sfere concentriche <strong>di</strong> raggi r1 ed r2. Calcolare la capacità e <strong>di</strong>scutere il<br />
limite r2 → ∞.
30 Capitolo 2. Conduttori<br />
bSoluzione:<br />
C = Q<br />
∆V =<br />
r −1<br />
1<br />
4πɛ0<br />
− r−1<br />
2<br />
Se r2 ≫ r1 il valore <strong>di</strong> r2 conta poco e si può pensare un’unica sfera come un condensatore <strong>di</strong> capacità C = 4πɛ0r1<br />
avente l’altro ‘’piatto’ ad infinito.<br />
<strong>Esercizio</strong> 50: Condensatori in serie<br />
Due condensatori <strong>di</strong> capacità C1 e C2 con cariche Q1 e Q2 vengono connessi come in fig. 2.3a. Come si<br />
re<strong>di</strong>stribuiscono le cariche?<br />
bSoluzione: La corrente flusice lungo la resistenza, <strong>di</strong>ssipando energia, fino a che i due condensatori hanno<br />
equali <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziali. Imponendo<br />
V = Q′ 1<br />
C1<br />
si trova Q ′ i = Ci(Q1 + Q2)/(C1 + C2).<br />
= Q′ 2<br />
C2<br />
e Q1 + Q2 = Q ′ 1 + Q ′ 2<br />
<strong>Esercizio</strong> 51: Effetto delle punte<br />
Due sfere conduttrici cariche <strong>di</strong> raggi r ed R lontane sono connesse da un filo. Mostrare che il campo elettrico<br />
attorno alla sfera piccola è più grosso che attorno alla sfera grossa.<br />
bSoluzione: Le cariche in un conduttore carico si respingono, e quin<strong>di</strong> cercano <strong>di</strong> andare il più possibile lontane<br />
le une dalle altre, generando una forte concentrazione <strong>di</strong> cariche sulle punte. La sfera piccola schematizza una<br />
punta e consente <strong>di</strong> fare un calcolo esplicito.<br />
Le cariche q e Q sulle due sfere si determinano imponendo che i potenziali sulle superfici delle due sfere siano<br />
uguali:<br />
Q q<br />
=<br />
R r<br />
Questo corrisponde a quanto visto nell’esercizio precedente: Qi ∝ Ci ∝ ri. Quin<strong>di</strong> il campo elettrico è grosso<br />
attorno alla sfera piccola<br />
E(r)<br />
E(R)<br />
q/r2 R<br />
= =<br />
Q/R2 r .<br />
Il massimo campo elettrico che l’aria asciutta può sopportare è è qualche MV/m (con campi elettrici più forti<br />
rendono l’aria conduttrice dando luogo a scariche). Mettendo delle punte su <strong>di</strong> un parafulmine ci si assicura<br />
che una nuvola carica eletricamente si scarichi su <strong>di</strong> esse.<br />
<strong>Esercizio</strong> 52: Sfera conduttrice bucata<br />
Una sfera conduttrice scarica contiene, al suo interno ma non al suo centro, un buco con dentro una carica q.<br />
Calcolare il campo elettrico generato.<br />
bSoluzione: Nonostante l’assenza <strong>di</strong> simmetria sferica, il campo elettrico esterno è uguale a quello generato<br />
da una carica q al centro del conduttore. Infatti, l’unica soluzione dell’equazione <strong>di</strong> Poisson costante sulla sfera<br />
è ∝ 1/r. Non esiste una soluzione semplice per il campo elettrico nel buco.<br />
<strong>Esercizio</strong> 53: Carica dentro sfera<br />
(Dal compito del 16/1/2004). Una carica puntiforme q è posta all’interno <strong>di</strong> un guscio conduttore sferico <strong>di</strong><br />
raggio interno R e raggio esterno R ′ , a <strong>di</strong>stanza d dal centro. Il guscio conduttore è posto a terra. Calcolare
Capitolo 2. Conduttori 31<br />
a) Il potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio.<br />
b) La forza sulla carica q.<br />
c) Mostrare che la carica totale indotta sulla sfera è pari a −q.<br />
d) Come cambia la risposta a) se il guscio conduttore è isolato?<br />
bSoluzione:<br />
a) È noto che due cariche q e q′ = −qR/d a <strong>di</strong>stanze dd ′ = R 2 dal centro <strong>di</strong> una sfera producono potenziale<br />
zero sulla sfera. Questo è il sistema <strong>di</strong> cariche immagini che ci serve per calcolare E nella zona interna. Il<br />
fatto che il conduttore abbia spessore finito non complica il problema. Dentro il conduttore e nella zona<br />
esterna E = 0.<br />
b) La forza è attrattiva e vale F = qq ′ /4πɛ0(d − d ′ ) 2 .<br />
c) Siccome fuori E = 0, la carica totale (q + carica indotta) è zero.<br />
d) La carica totale ora è q. Sulla superficie interna si <strong>di</strong>spone una carica totale −q <strong>di</strong>stribuita in modo da<br />
schermare, a r > R l’effetto della carica puntiforme. Sulla superfcie esterna si <strong>di</strong>spone uniformemente una<br />
carica totale q, generando un campo ra<strong>di</strong>ale E = q/4πɛ0r 2 . Dentro E rimane come prima.<br />
<strong>Esercizio</strong> 54: Dumbo<br />
Cosa fate se all’orale vi viene proposto: infila un <strong>di</strong>to dentro un buco <strong>di</strong> una presa e <strong>di</strong>amo 30, infilane due e<br />
<strong>di</strong>amo anche la lode?<br />
bSoluzione: Suggerimento 1: gli uccelli si posano tranquillamente su <strong>di</strong> un filo dell’alta tensione. Suggerimento<br />
2: è realistico un cartone animato in cui un elefante volante si posa sui fili dell’alta tensione?
Capitolo 3<br />
Dielettrici<br />
La densità <strong>di</strong> polarizzazione indotta da un campo elettrico esterno P = ɛ0χE induce una densità <strong>di</strong> cariche <strong>di</strong><br />
polarizzazione ∇ · P = ρpol (e sui bor<strong>di</strong> una densità superficiale σpol = ∆P⊥). Separando la carica totale in<br />
ρtot = ρfree + ρpol e definendo D = P + ɛ0E ≡ ɛE = κP /(κ − 1) il campo D sod<strong>di</strong>sfa a ∇ · D = ρfree. Se<br />
χ è costante un <strong>di</strong>elettrico è descritto dalle stesse equazioni del vuoto con ɛ0 → ɛ = κɛ0 dove κ = 1 + χ. Se<br />
χ varia bruscamente le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo su bor<strong>di</strong> senza cariche libere sono: ∆E = 0 e ∆D⊥ = 0 (cioè<br />
ɛ1E⊥1 = ɛ2E⊥2).<br />
<strong>Esercizio</strong> 55: Transistor veloce<br />
Calcolare la capacità <strong>di</strong> uno strato <strong>di</strong> spessore d ed area S ≫ d 2 riempito <strong>di</strong> <strong>di</strong>elettrico.<br />
bSoluzione: Basta sostituire ɛ0 → ɛ: C = ɛS/d. Quin<strong>di</strong> la capacità aumenta se k = ɛ/ɛ0 ≫ 1.<br />
[Da www.intel.com/technology/silicon/high-k.htm]. Un transistor<br />
è un interruttore che si apre (NMOS) o si chiude (PMOS) quando<br />
il voltaggio sul ‘gate’ supera un certo valore critico. Il componente<br />
cruciale della porta è uno strato <strong>di</strong> SiO2. Per rendere il transistor<br />
veloce ed economico, l’attuale (2006) tecnologia dei computer utilizza<br />
uno strato così sottile (1.2 nm) che, anche quando dovrebbe<br />
isolare, parte della corrente scappa, causando problemi <strong>di</strong> surriscaldamento.<br />
Per risolvere questo problema sono stati sviluppati<br />
materiali equivalenti ma con più alta costante <strong>di</strong>elettrica, anche<br />
k ∼ 100, che quin<strong>di</strong> hanno capacità maggiore e, come spugne,<br />
sanno trattenere la carica durante l’intervallo <strong>di</strong> tempo in cui il<br />
circuito è chiuso. Appena il circuito si apre la carica accumulata<br />
parte, permettendo transistor veloci anche con uno spessore<br />
abbastanza grande da evitare per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> corrente.<br />
<strong>Esercizio</strong> 56: 2 <strong>di</strong>elettrici in condensatore piano<br />
Calcolare la capacità <strong>di</strong> un condesatore piano ottenuto mettendo due <strong>di</strong>versi <strong>di</strong>elettrici fra due piatti conduttori<br />
come mostrato in figura.<br />
bSoluzione:<br />
σ<br />
ε 1<br />
ε 2<br />
32<br />
ε 1<br />
ε 2<br />
σ 1<br />
σ 2
Capitolo 3. Dielettrici 33<br />
1) Chiamo ℓ lo spessore totale, <strong>di</strong>viso in ℓ1 ed ℓ2. Nel primo caso conviene usare il campo D perchè è costante:<br />
D = σ = ɛ1E1 = ɛ2E2<br />
Quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V e la capacità C = Q/V valgono<br />
V = E1ℓ1 + E2ℓ2 = Q<br />
S (ℓ1<br />
ɛ1<br />
+ ℓ2<br />
) cioè<br />
ɛ2<br />
1<br />
C<br />
1<br />
= +<br />
C1<br />
1<br />
C2<br />
Questa geometria corrisponde ad avere due condensatori in serie.<br />
dove Ci = ɛiS<br />
.<br />
2) Nel secondo caso conviene usare il campo elettrico perchè uguale nelle due zone, visto che ∆E = 0 lungo<br />
il bordo e che la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale è la stessa nelle due zone. Quin<strong>di</strong> la densità <strong>di</strong> carica totale<br />
è la stessa nelle due zone; ma ci interessa la capacità che è definita in termini della carica libera come<br />
C = Qfree/V . Chiamiamo σ1 e σ2 al <strong>di</strong>versa densità <strong>di</strong> carica libera nelle due zone. Siccome hanno<br />
uguale area la densità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> carica me<strong>di</strong>a è σ = (σ1 + σ2)/2. Esse determinano il campo elettrico come<br />
Ei = σi/ɛi. Imponendo E1 = E2 si ottiene<br />
σi = σ<br />
ɛi<br />
ɛ1 + ɛ2<br />
e quin<strong>di</strong> V = Eiℓ = Q/S<br />
ɛ1 + ɛ2<br />
Questa geometria corrisponde ad avere due condensatori in parallelo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 57: N <strong>di</strong>elettrici in condensatore piano<br />
ℓi<br />
C = (ɛ1 + ɛ2) S<br />
ℓ = C1 + C2.<br />
Ripetere l’esercizio precedente mettendo N <strong>di</strong>elettrici <strong>di</strong> egual spessore ℓ/N e costanti <strong>di</strong>elettriche ɛi = ɛ1 +<br />
(ɛ2 − ɛ1)i/N. Ottenere il risultato nel limite N → ∞.<br />
bSoluzione:<br />
1) Quando sono in serie<br />
dove ɛ(ℓ) = ɛ1 + (ɛ2 − ɛ1)z/ℓ.<br />
1<br />
C =<br />
N<br />
1<br />
Ci<br />
i=1<br />
2) Quando sono in parallelo, scrivendo S = L 2<br />
dove ɛ(x) = ɛ1 + (ɛ2 − ɛ1)x/L.<br />
=<br />
N N<br />
C = Ci =<br />
i=1<br />
i=1<br />
N<br />
i=1<br />
∆z<br />
ɛiS →<br />
ℓ<br />
dz<br />
0 ɛ(z)S<br />
ɛiL ∆x<br />
ℓ<br />
→<br />
L<br />
0<br />
ɛ(x)dx L<br />
ℓ<br />
<strong>Esercizio</strong> 58: Condensatore in acqua<br />
ℓ ln(ɛ1/ɛ2)<br />
=<br />
S ɛ1 − ɛ2<br />
= S ɛ1 + ɛ2<br />
ℓ 2<br />
Un condensatore cilindrico <strong>di</strong> lunghezza L e <strong>di</strong>ametri esterno ed interno D e d, mantenuto ad una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
potenziale V , viene immerso verticalmente in una bacinella d’acqua, <strong>di</strong> densità ρ. Calcolare <strong>di</strong> quanto si innalza<br />
il livello dell’acqua dentro il condensatore rispetto al livello esterno.<br />
bSoluzione: Abbiamo visto che inserendo un <strong>di</strong>elettrico fra le armature <strong>di</strong> un condensatore se ne aumenta la<br />
capacità, e che quin<strong>di</strong> le forze elettriche Fel = dUel/dz tendono a far salire l’acqua dentro il condensatore. Al<br />
contrario la forza gravitazionale Fgrav tende a farla scendere. L’acqua salirà fino ad un livello z tale che queste<br />
due forze si bilanciano. Calcoliamole.<br />
• Se l’acqua entra nel condensatore <strong>di</strong> un tratto z la capacità vale C(z) = 2π(zɛ + (L − z)ɛ0)/ ln(D/d) =<br />
C(0) + 2πɛ0zχ/ ln(D/d). avendo definito ɛ = (1 + χ)ɛ0. La forza elettrica non <strong>di</strong>pende da z:<br />
2 V dC<br />
Fel = +<br />
2 dz = πV 2ɛ0χ ln D/d .
34 Capitolo 3. Dielettrici<br />
D<br />
• La forza gravitazionale cresce con z:<br />
Imponendo Fgrav + Fel = 0 si trova<br />
L<br />
d<br />
x<br />
Figura 3.1: Esercizi su forze.<br />
Fgrav = −m(z)g = −π D2 − d2 zρ · g<br />
4<br />
z =<br />
4V 2 ɛ0χ<br />
(D 2 − d 2 )gρ ln(D/d)<br />
cioè misurando z si può ricavare χ. Numericamente viene z ∼ mm per D ∼ mm e V ∼ kV.<br />
<strong>Esercizio</strong> 59: Carica davanti a semipiano <strong>di</strong>elettrico<br />
Lo spazio è riempito da due semipiani <strong>di</strong>elettrici aventi a sinistra costante <strong>di</strong>elettrica ɛ2, ed a destra ɛ1. Una<br />
carica si trova a destra. Trovare i campi elettrici.<br />
bSoluzione: Provo: in 1 il campo <strong>di</strong> vuoto generato da q e da una q ′ immagine. In 2 il campo <strong>di</strong> vuoto <strong>di</strong> una<br />
q ′′ al posto <strong>di</strong> q.<br />
E=1 = (q + q′ ) cos θ<br />
r2 , E=2 = q′′ cos θ<br />
r2 , E⊥1 = (−q + q′ ) sin θ<br />
r2 , E⊥2 = − q′′ sin θ<br />
r2 Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo sono<br />
q ′′ = q + q ′ , ɛ1(q − q ′ ) = ɛ2q ′′<br />
Per ɛ2 → ∞ si ritrova il conduttore. La carica q vale qvera/κ1.<br />
Se invece ɛ1 ≫ ɛ2 E⊥1 è piccolo, come intrappolare una carica.<br />
P<br />
: q ′ = q ɛ1 − ɛ2<br />
, q<br />
ɛ1 + ɛ2<br />
′′ = q 2ɛ1<br />
ɛ1 + ɛ2
Capitolo 3. Dielettrici 35<br />
<strong>Esercizio</strong> 60: Dielettrico in condensatore<br />
Un <strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong> costante <strong>di</strong>elettrica relativa κ e spessore d viene parzialmente inserito in un condensatore<br />
quadrato <strong>di</strong> spessore D e lunghezza L ≫ D mantenuto ad una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V . Calcolare la forza<br />
sentita dal <strong>di</strong>elettrico.<br />
bSoluzione: Il sistema è <strong>di</strong>segnato in fig. 3.1a. Possiamo vederlo come una capacità C0 = ɛ0L(L − x)/D in<br />
parallelo con una capacità C1, costituita da 2 capacità in serie: C ′ 1 = ɛ0Lx/(D − d) e C ′′<br />
1 = κɛ0Lx/d. Quin<strong>di</strong><br />
la capacità totale vale<br />
C = C0 + C1 = C0 +<br />
Come visto in precedenza la forza vale<br />
F =<br />
1/C ′ 1<br />
V 2<br />
2<br />
dC<br />
dx<br />
1<br />
+ 1/C′′ 1<br />
= V 2<br />
2<br />
= ɛ0L(L − x)<br />
D<br />
dLɛ0(κ − 1)<br />
D(d − dκ + Dκ)<br />
Lɛ0κ<br />
+ x<br />
d − dκ + Dκ<br />
Il <strong>di</strong>elettrico viene attratto dentro il condensatore. Per κ → ∞ si ritrova il ‘conduttore in condensatore’ stu<strong>di</strong>ato<br />
a pagina 27, Abbiamo potuto trascurare gli effetti ai bor<strong>di</strong> e sulla punta del <strong>di</strong>elettrico mobile sebbene sia lì che<br />
si esercita la forza.<br />
<strong>Esercizio</strong> 61: Forza <strong>di</strong> conduttore su <strong>di</strong>elettrico<br />
Un <strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong> base quadrata a ed altezza h ≫ a ha una polarizzazione uniforme P come in figura 3.1b. Viene<br />
appoggiato su <strong>di</strong> un piano conduttore. Calcolare la forza risentita.<br />
bSoluzione: La polarizzazione genera una densità <strong>di</strong> carica uniforme +σ sulla cima, e −σ sulla base. (Per<br />
determinare il segno basta ricordare ρpol = −∇ · P = −∂zPz). Lo si può risolvere usando un <strong>di</strong>elettrico<br />
immagine. Ma la forza dominante è quella generata dalle cariche −σ nella base che inducono una carica +σ sul<br />
conduttore, ed un campo elettrico E = σ/ɛ0 e quin<strong>di</strong> una forza attrattiva F = Eσa2 /2 = P 2a2 /2ɛ0. Stimiamo<br />
il contributo delle cariche sul tetto approssimandole come una carica puntiforme q = σa2 . Introducendo una<br />
carica immagine −q essa risente una forza q2 /h24πɛ0. Quin<strong>di</strong> la forza totale vale<br />
F ≈ P 2a2 <br />
1 +<br />
2ɛ0<br />
a2<br />
2πh2 <br />
Il contributo delle cariche in cima è trascurabile.<br />
<strong>Esercizio</strong> 62: Dielettrico in campo esterno<br />
Un <strong>di</strong>elettrico con costante <strong>di</strong>elettrica κ è immerso in un campo elettrico esterno Eext. Calcolare il campo<br />
elettrico all’interno del <strong>di</strong>elettrico assumendo che esso abbia forma a) lunga e sottile; b) corta e larga; c) sferica.<br />
bSoluzione:<br />
a) Se il <strong>di</strong>elettrico è lungo e sottile, la con<strong>di</strong>zione al bordo dominante è ∆E = 0, e quin<strong>di</strong> Ein = Eext.<br />
b) Se il <strong>di</strong>elettrico è corto e largo, la con<strong>di</strong>zione al bordo dominante è ∆D⊥ = 0: dentro il <strong>di</strong>elettrico il campo<br />
elettrico vale Ein = Din/κ = Dout/κ = Eout/κ.<br />
c) Se il <strong>di</strong>elettrico è sferico, verrà una cosa interme<strong>di</strong>a ma il conto è più compicato. Le equazioni da risolvere<br />
sono, dentro il <strong>di</strong>elettrico:<br />
Etot = Eext + Epol, P = ɛ0χEtot (3.1)<br />
cioè la polarizzazione è proporzionale al campo elettrico totale, che comprende un contributo generato<br />
dalla polarizzazione.
36 Capitolo 3. Dielettrici<br />
Figura 3.2: Linee <strong>di</strong> campo (continue) ed equipotenziali (tratteggiate) per una sfera <strong>di</strong>elettrica in un campo<br />
elettrico esterno costante. Le tre figure correspondono a costanti <strong>di</strong>elettriche κ = {1, 3, 30}.<br />
Assumiamo che χ ≡ κ − 1 ≪ 1: in tal caso la polarizzazione è piccola Eext e Etot saranno quasi uguali, e<br />
quin<strong>di</strong> in prima approssimazione la polarizzazione vale P ɛ0χEext, ed è quin<strong>di</strong> costante. Come <strong>di</strong>scusso<br />
a pagina 16) un P costante genera una densità <strong>di</strong> cariche superficiali σ = P cos θ e quin<strong>di</strong>, all’interno della<br />
sfera, un campo elettrico Epol = −P /3ɛ0 uniforme. Il campo elettrico totale vale<br />
Etot = Eext + Epol (1 − χ<br />
3 )Eext<br />
c) ′ In generale Eext e Etot <strong>di</strong>fferiscono in modo significativo. Proviamo a vedere se una polarizzazione<br />
P uniforme risolve il problema impostato in eq. (3.1). La polarizzazione genera un campo elettrico<br />
Epol = −P /3ɛ0 = −χEext/3 uniforme: quin<strong>di</strong>, dentro la sfera si produce un campo uniforme<br />
Etot = Eext + Epol = Eext − χ<br />
3 Etot : Etot = Eext 3Eext<br />
=<br />
1 + χ/3 2 + κ<br />
minore del campo esterno. Per χ ≪ 1 si ritrova l’approssimazione del punto precedente. Per χ ≫ 1 il<br />
<strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong>venta come un conduttore.<br />
Il campo elettrico totale esterno alla sfera è quello esterno più quello <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo: il risultato è <strong>di</strong>segnato in<br />
figura 3.2.<br />
<strong>Esercizio</strong> 63: Buco in <strong>di</strong>elettrico<br />
Un <strong>di</strong>elettrico con costante <strong>di</strong>elettrica κout è immerso in un campo elettrico esterno Eext. Il <strong>di</strong>elettrico contiene<br />
un buco <strong>di</strong> forma a) lunga; b) corta; c) sferica. Calcolare il campo elettrico dentro il buco.<br />
bSoluzione:<br />
a) Ein = Eext.<br />
b) Ein = Din = Dout = κoutEout.<br />
c) Consideriamo il problema generale <strong>di</strong> un oggetto <strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong> costante ɛin immerso in un <strong>di</strong>elettrico<br />
esterno <strong>di</strong> costante ɛout. Le con<strong>di</strong>zioni al bordo che devono essere sod<strong>di</strong>sfatte sulla superficie della sfera<br />
sono<br />
ɛoutE ⊥ out = ɛinE ⊥ in, E = out = E = in<br />
Cioè conta solo il rapporto κ = ɛin/ɛout. Le soluzioni ottenute ai punti a) e b) <strong>di</strong> questo esercizio e <strong>di</strong><br />
quello precedente sod<strong>di</strong>sfano a questa proprietà generale.<br />
Per trovare la soluzione basta quin<strong>di</strong> sostituire κ → 1/κout nella soluzione c) ′ dell’esercizio precedente.<br />
La stessa soluzione è riottenuta tramite un calcolo esplicito nell’esercizio successivo.
Capitolo 3. Dielettrici 37<br />
<strong>Esercizio</strong> 64: Sfera <strong>di</strong>elettrica in <strong>di</strong>elettrico<br />
Un <strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong> costante <strong>di</strong>elettrica ɛout contiene un buco sferico <strong>di</strong> raggio r e costante <strong>di</strong>elettrica ɛin. Si stu<strong>di</strong><br />
il sistema in presenza <strong>di</strong> un campo elettrico esterno Eext.<br />
bSoluzione: Proviamo a trovare una soluzione assumendo che il campo interno sia Etot = Ein costante, e che<br />
il campo esterno sia Etot = Eout = Eext+ campo generato da un <strong>di</strong>polo P . Ci sono 2 incognite: Etot e P . Le<br />
con<strong>di</strong>zioni al bordo che devono essere sod<strong>di</strong>sfatte sulla superficie della sfera sono<br />
Esplicitamente<br />
da cui<br />
ɛoutE r out = ɛinE r in, E θ out = E θ in<br />
ɛout(Eext − 2 kP<br />
r 3 ) cos θ = ɛinEin cos θ, (Eext + kP<br />
r 3 ) sin θ = Ein sin θ<br />
3Eext<br />
Ein =<br />
,<br />
2 + ɛin/ɛout<br />
kP<br />
r<br />
ɛout − ɛin<br />
= Eext<br />
3<br />
2ɛout + ɛin<br />
<strong>Esercizio</strong> 65: Uva in microonde<br />
Perchè mettendo due acini d’uva vicini in un forno a microonde possono venire piccoli fulmini?<br />
bSoluzione: La fig. ??c più o meno descrive il campo elettrico <strong>di</strong> un acino d’uva dentro un forno a microonde:<br />
essendo l’acqua un <strong>di</strong>elettrico con κ ∼ 80 ≫ 1 è quasi un conduttore. Quin<strong>di</strong> il campo elettrico dentro è molto<br />
ridotto. Mettendo due acini d’uva a <strong>di</strong>stanza d molto minore del loro raggio r, il piccolo spessore d deve contenere<br />
quasi tutta la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale: E ∼ Emicroonde · r/d ≫ Emicroonde. Può capitare che E ∼ 3000 V/mm<br />
raggiunga il massimo campo elettrico sopportato dall’aria, prima che si scarichi tramite ionizzazione.<br />
Mettendo un chicco quasi tagliato a metà, si può risucire a formare un plasma ionizzato nella zona <strong>di</strong><br />
congiunzione (foto e avvertimenti in stew<strong>di</strong>o.org/plasma). Il fenomeno è presumibilmente innalzato dal fatto<br />
che lunghezza d’onda del microonde (λ = 12.5 cm), ridotta a λ = 1.4 cm in acqua, è comparabile alla <strong>di</strong>mensione<br />
<strong>di</strong> un chicco d’uva.<br />
Perchè un pettine attrae pezzettini <strong>di</strong> carta?<br />
<strong>Esercizio</strong> 66: Attrazione fra <strong>di</strong>elettrici<br />
bSoluzione: Storicamente fu una delle prime manifestazioni dell’elettricità (èlectron non è inglese ma greco,<br />
e vuol <strong>di</strong>re ambra. Anche un pettine <strong>di</strong> plastica va benissimo). Il fatto che la carta attratta rimanga poi<br />
appiccicata in<strong>di</strong>ca che c’entrano i <strong>di</strong>elettrici. Se fossero invece cariche libere si neutralizzerebbero appena si<br />
toccano.<br />
Un <strong>di</strong>elettrico in un campo uniforme non sente nessuna forza. Questo è ovvio per geometrie semplici (e.g.<br />
cubo o cilindro orientato lungo il campo), è stato verficato in precedenza nel caso <strong>di</strong> una sfera, ed in generale è<br />
dovuto al fatto che il <strong>di</strong>elettrico si polarizza lungo il campo. Un <strong>di</strong>polo in campo elettrico costante non sente<br />
forze.<br />
Un <strong>di</strong>elettrico in un campo elettrico non uniforme viene attratto verso campi grossi: lo abbiamo visto nel<br />
caso particolare del condensatore piano, dove erano gli effetti ai bor<strong>di</strong> a generare la forza attrattiva ∝ E 2 . La<br />
seconda potenza non è specifica <strong>di</strong> questa geometria semplice, ed è dovuta al fatto che F = σpolE è che la carica<br />
<strong>di</strong> polarizzazione è a sua volta ∝ E.<br />
In generale il <strong>di</strong>elettrico viene attratto verso campi grossi da una forza che è complicato calcolare in dettaglio.<br />
Ma gli argomenti precedenti consentono <strong>di</strong> <strong>di</strong>re che in generale la forza è del tipo F ∝ ∇E 2 .<br />
Un pettine sfrutta l’effetto delle punte per generare un campo elettrico abbastanza grosso ed abbastanza<br />
<strong>di</strong>pendente dalla posizione in modo da generare una forza abbastanza grande da attrarre pezzetti <strong>di</strong> carta.
Capitolo 4<br />
Correnti<br />
E = ρj dove ρ è la resistività e σ = 1/ρ viene chiamata conducibilità. Per effetto Joule viene <strong>di</strong>ssipata una<br />
potenza W = j · E = ρj2 . È utile introdurre la corrente totale I e definire la resistenza R in modo che V = IR.<br />
Compiti rilevanti: Compitino del 19 <strong>di</strong>cembre 2003 es. 1. Compitino del 17 gennaio 2003, es. 3.<br />
<strong>Esercizio</strong> 67: Capacitatore piano imperfetto<br />
Calcolare il tempo <strong>di</strong> scarica <strong>di</strong> un condensatore piano (area A, <strong>di</strong>stanza tra i piatti d) contenente un materiale<br />
<strong>di</strong> conducibilità σ e costante <strong>di</strong>elettrica ɛ.<br />
bSoluzione: Attenzione: σ qui non in<strong>di</strong>ca la densità superficiale <strong>di</strong> cariche. Si può ragionare in due mo<strong>di</strong>:<br />
1. Usando le equazioni fondamentali. Il campo elettrico E = Q/Aɛ genera una corrente J = σE e quin<strong>di</strong><br />
˙Q = −AJ = − σ<br />
Q risolta da Q(t) = Q(0)e−t/τ<br />
ɛ<br />
dove τ = ɛ<br />
σ .<br />
2. Usando le formule valide per circuiti. La capacità vale C = ɛA/d, la resistenza R = d/Aσ. Quin<strong>di</strong><br />
τ = RC = ɛ/σ.<br />
Notare che τ non <strong>di</strong>pende da A e d, cioè da quanto è grosso il condensatore. Questo rende più semplice il<br />
funzionamento delle cellule: il tempo <strong>di</strong> scarica non varia quando la membrana <strong>di</strong>venta più spessa o grossa.<br />
<strong>Esercizio</strong> 68: Scarica <strong>di</strong> sfera carica<br />
Calcolare il tempo <strong>di</strong> scarica <strong>di</strong> una sfera <strong>di</strong> raggio a in un <strong>di</strong>elettrico <strong>di</strong> conducibilità σ e costante <strong>di</strong>elettrica ɛ.<br />
bSoluzione: Esce una corrente ra<strong>di</strong>ale. Siccome ha <strong>di</strong>vergenza zero le cariche flusicono verso <strong>di</strong>stanza infinita<br />
senza accumularsi. Facendo il calcolo <strong>di</strong>rettamente ottengo:<br />
dQ<br />
dt<br />
= −<br />
flusso <strong>di</strong> J<br />
<br />
4πr 2 flusso <strong>di</strong> E<br />
<br />
Jr = − 4πr 2 Er σ = − σ<br />
ɛ Q<br />
e quin<strong>di</strong> Q(t) = Q(0)e −t/τ con τ = ɛ/σ. Per t → ∞ il materiale si è comportato come un conduttore, per<br />
t ≪ τ = ɛ/σ come un <strong>di</strong>elettrico.<br />
Posso riscrivere la corrente i = ˙ Q come i = V/R dove V = Q/4πɛa è la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale e R = 1/4πaσ.<br />
Avevamo visto che una sfera ha una capacità C = 4πɛa. Quin<strong>di</strong> possiamo schematizzare il sistema come un<br />
circuito (chiuso all’infinito) con costante tempo τ = RC = ɛ/σ.<br />
<strong>Esercizio</strong> 69: Resistenza fra sfere concentriche<br />
Calcolare la resistenza fra due sfere concentriche <strong>di</strong> raggi a e b in un materiale <strong>di</strong> resistività ρ.<br />
38
Capitolo 4. Correnti 39<br />
bSoluzione: Posso calcolarla in<strong>di</strong>rettamente interpretando il sistema come una serie infinita <strong>di</strong> resistenze:<br />
come visto nell’esercizio precedente la resistenza <strong>di</strong> un guscio <strong>di</strong> spessore dr vale dR = ρ dr/4πr2 . Sommando<br />
le resistenza <strong>di</strong> tutti i gusci in serie viene<br />
<br />
R =<br />
dR = ρ 1 1<br />
( −<br />
4π a b )<br />
Se a ≪ b conta solo il primo termine: l’integrale è dominato dalla zona vicino alla sfera piccola.<br />
<strong>Esercizio</strong> 70: Sonda marina<br />
Due sfere <strong>di</strong> raggi a vengono calate in mare a <strong>di</strong>stanza d e connesse da un filo conduttore. Calcolare la resistenza<br />
del circuito.<br />
bSoluzione: Domina la zona vicino alle sfere (o attorno alla sfera piccola, se avessero <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong>verse):<br />
quin<strong>di</strong> l’elettrostatica consente e.g. <strong>di</strong> misurare localmente la salinità del mare. Se passa un branco <strong>di</strong> pesci fra<br />
le sfere non me ne accorgo. Per pescare servirà l’elettro<strong>di</strong>namica.<br />
Si può schematizzare il sistema come due resistenze R = ρ/4πa in serie. Per a = 25 cm e ρ = 25 ohm cm<br />
viene 2R = 0.27 ohm.<br />
<strong>Esercizio</strong> 71: Fulmine<br />
Un fulmine porta una corrente I = 100 kA che si <strong>di</strong>sperte semi-sfericamente sul terreno, che ha resistività<br />
ρ = 100 Ω · m. A <strong>di</strong>stanza r = 50 m si trovano un uomo (<strong>di</strong>stanza tra i pie<strong>di</strong> dU = 0.5 m ed una mucca (<strong>di</strong>stanza<br />
tra le zampe anteriori e quelle posteriori uguale a dM = 1.5 m. Supponendo che sia uomo che mucca abbiano<br />
resistenza R = 4 kΩ, calcolare la corrente che li attraversa ed il suo effetto biologico.<br />
bSoluzione:<br />
Nasce una corrente ra<strong>di</strong>ale Jr = I/2πr2 e quin<strong>di</strong> un campo elettrico ra<strong>di</strong>ale Er = ρJr. Quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> potenziale tra due punti a <strong>di</strong>stanza d vale V = ∆ϕ = −ρI/2πr| r+d<br />
r −E · d = −ρId/2πr2 . Numericamente<br />
si ha V = 63 V · (d/m) alla <strong>di</strong>stanza r in<strong>di</strong>cata. Quin<strong>di</strong> per l’uomo IU = V/R = 0.008 Ampere e per la mucca<br />
IM = 3IU . Questa corrente fa contrarre i muscoli; tipicamente la mucca stramazza e l’uomo se la cava; a<br />
<strong>di</strong>fferenza della mucca l’uomo potrebbe non farsi quasi nulla se tenesse i pie<strong>di</strong> uniti.<br />
<strong>Esercizio</strong> 72: Semipiano <strong>di</strong>elettrico imperfetto<br />
Un <strong>di</strong>polo oscillante p = p 0e iωt viene posto nel vuoto a <strong>di</strong>stanza d da un semispazio x < 0 <strong>di</strong> costante <strong>di</strong>elettrica<br />
ɛ e conducibilità σ.<br />
bSoluzione: In analogia all’esercizio a pagina 34, provo una soluzioni con ‘<strong>di</strong>poli immagini’<br />
<br />
′ (p a x = d)+(p a x = −d) per x > 0, zona 2<br />
E =<br />
(p ′′ a x = d) per x < 0, zona 1<br />
Questo sod<strong>di</strong>sfa le equazioni<br />
∇ · D = ρfree ∇ × E = 0 ∇ · J = − ˙ρfree J = σE D = ɛE<br />
per x < 0 e x > 0, dove l’unica carica è il <strong>di</strong>polo p. Sul bordo (chiamdo w la densità <strong>di</strong> carica)<br />
cioè<br />
E 1 = E2 , E2 ⊥ − κE 1 ⊥ = w/ɛ0 ˙w = −σE 1 ⊥ : ˙ E 2 ⊥ − κ ˙ E 1 ⊥ = −σ1E 1 ⊥/ɛ0<br />
p − p ′ = p ′′<br />
Eliminando p ′′ trovo una equazione per p ′<br />
( ˙p + ˙p ′ − κ ˙p ′′ ) = − σ<br />
˙p ′ = σ/ɛ0<br />
1 + κ (p − p′ ) − 1 − κ<br />
1 + κ ˙p<br />
ɛ0<br />
p ′′
40 Capitolo 4. Correnti<br />
Assumendo p ′ = p ′ 0e iωt (dopo un transiente) trovo<br />
Un <strong>di</strong>polo ruotante è descritto da p ∝ (1, i, 0).<br />
p ′ = p 1 − iωɛ0(1 − κ)/σ<br />
1 + iωɛ0(1 + κ)/σ<br />
<strong>Esercizio</strong> 73: Diodo termoionico<br />
Gli elettroni escono dal catodo con velocità nulla a V0 = 0. Calcolare come la corrente <strong>di</strong>pende dalla <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> potenziale V .<br />
bSoluzione: Gli elettroni acquistano velocità m<br />
2 v2 = eV (x) e generano una densità <strong>di</strong> corrente J = ρv. Se J è<br />
piccola e non mo<strong>di</strong>fica V , abbiamo finito. A basso V la corrente è limitata dalla densità <strong>di</strong> carica degli elettroni.<br />
L’intasamento massimo si ha quando gli elettroni schermano completamente il campo elettrico esterno dando<br />
E = 0 al catodo (se E < 0 nulla esce e gli elettroni fuori vengono spazzati via). Utilizzando l’equazione <strong>di</strong><br />
Poisson −ρ/ɛ0 = V ′′ si ottiene<br />
J = ρv = −V ′′ <br />
2e<br />
ɛ0<br />
m V<br />
In con<strong>di</strong>zioni stazionarie J è costante in x. Ottengo una equazione <strong>di</strong>fferenziale per V :<br />
V ′′ = j<br />
√ V<br />
:<br />
d<br />
dx<br />
′2 V<br />
2 − 2j√ <br />
V = 0<br />
(j = −J m/2e/ɛ0). La costante <strong>di</strong> integrazione vale zero in quanto V ′ = −Ecatodo =. Integrando ancora<br />
V ′ = 2 jV 1/4<br />
ed, inserendo il valore <strong>di</strong> j,<br />
:<br />
V<br />
0<br />
dV V −1/4 =<br />
x<br />
V 3/2 = 3d2 <br />
J m<br />
2ɛ0 2e<br />
0<br />
2 j dx :<br />
4<br />
3 V 3/4 = 2 jd<br />
cioè J ∝ V 3/2 : non segue la legge <strong>di</strong> Ohm.<br />
Calcoli simili permettono <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are giunzioni fra semiconduttori, usati per costruire <strong>di</strong>o<strong>di</strong> più moderni.<br />
<strong>Esercizio</strong> 74: Piatto <strong>di</strong>elettrico<br />
Un piatto <strong>di</strong> <strong>di</strong>elettrico con costante <strong>di</strong>elettrica ɛ e resistività ρ viene messo in un campo elettrico esterno Eext,<br />
che viene improvvisamente rimosso. Stu<strong>di</strong>are cosa succede. Stessa domanda per un campo elettrico esterno<br />
Eext = E0e iωt lentamente variabile.<br />
bSoluzione:<br />
• Dopo un po’<strong>di</strong> tempo si forma una densità <strong>di</strong> carica σ = ɛ0Eext sul bordo destro e −σ su quello sinistro.<br />
Subito dopo che il campo Eext è stato rimosso rimane la σ che genera un campo E = −Eext all’interno<br />
del conduttore e quin<strong>di</strong> una corrente j = E/ρ che inizia a riequilibrare le cariche. Siccome ∇ · E = 0<br />
non si generano cariche <strong>di</strong> volume. Da ˙ρ = −∇ · j, tenendo che j = 0 fuori dal conduttore segue che<br />
˙σ = +j = −σ/ɛ0ρ da cui σ(t) = σ(0)e −t/τ con τ = ɛρ. In questo primo problema il segno giusto è fissato<br />
da ovvie considerazioni fisiche.<br />
• Come prima ρ = 0 dentro il conduttore, e si accumulano cariche ±σ ai due bor<strong>di</strong>, lasciando un campo<br />
elettrico interno Ein. Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo sono<br />
In con<strong>di</strong>zioni stazionarie la soluzione è<br />
σ = σ0e iωt<br />
ɛ0Eext = ɛEin + σ ˙σ = j = Ein/ρ : σ + τ ˙σ = ɛ0Eext<br />
con σ0 = ɛ0E0<br />
1 + iωτ<br />
e quin<strong>di</strong> Ein = ɛ0E0<br />
ɛ<br />
1<br />
1 + 1/iωτ
Capitolo 4. Correnti 41<br />
Se ω = 0 Ein = 0 (conduttore perfetto). Se ωτ ≫ 1 Ein = E0/κ (<strong>di</strong>elettrico perfetto). Per valori interme<strong>di</strong><br />
si ha un campo con modulo interme<strong>di</strong>o che oscilla con ritardo <strong>di</strong> fase ϕ = arctan ωτ. Il tutto corrisponde<br />
a mo<strong>di</strong>ficare il conto statico usando una costante <strong>di</strong>elettrica complessa κ → ˆκ = κ + 1/iωρɛ0.<br />
<strong>Esercizio</strong> 75: Sfera <strong>di</strong>elettrica<br />
Un sfera <strong>di</strong> raggio r composta da un materiale con costante <strong>di</strong>elettrica ɛ e resistività ρ viene messa in un campo<br />
elettrico esterno Eext = ÊextRe (1, i, 0)e iωt lentamente ruotante.<br />
a) Mostrare che la carica libera sta solo sul bordo.<br />
b) Scrivere le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo.<br />
c) Verificare che la sfera acquista una polarizzazione P (t) uniforme ruotante con ritardo <strong>di</strong> fase.<br />
d) Trovare il momento delle forze M, ed il valore <strong>di</strong> ω per il quale M è massimo.<br />
bSoluzione:<br />
a) Dentro il <strong>di</strong>elettrico J ∝ D. Prendendo la <strong>di</strong>vergenza segue ˙ρ ∝ ρ: se all’inizio ρ = 0 la carica fluisce<br />
senza accumularsi.<br />
b) In generale (con fuori il vuoto)<br />
E=in = E=out, E⊥out = κE⊥in + σ/ɛ0 ˙σ = E⊥in/ρ<br />
Assumendo un campo Ein costante ed un campo Eout = Eext+ (campo generato da un <strong>di</strong>polo P )<br />
(Ein − Eext − kP<br />
a3 ) sin θ = 0 (κEin − Eext + 2 kP σ<br />
) cos θ =<br />
r3 ɛ0<br />
˙σ = Ein<br />
ρ<br />
c) Assumendo con<strong>di</strong>zioni stazionarie P = ˆ P (1, i, 0)e iωt , derivando la prima equazione e sostituendo ˙σ la<br />
riscrivo in forma analoga all’equazione statica<br />
(ˆκ Êin − Êext − 2 ˆ P<br />
1<br />
) cos θ = 0 ˆκ ≡ κ +<br />
r3 iωρɛ0<br />
Quin<strong>di</strong> la soluzione è analoga a quella ottenuta nel caso statico<br />
k ˆ P<br />
r<br />
3 = Êext<br />
avendo messo per semplicità κ = 1. [Il segno non viene]<br />
1 − ˆκ −1<br />
= Êext<br />
2 + ˆκ 3 + iωτ<br />
d) M = Re P ×Re E massima per ωτ = ±1 (a meno della riduzione nel modulo <strong>di</strong> P ) (nel sistema Terra-Luna<br />
le maree avvengono con ritardo <strong>di</strong> fase provocando un trasferimento <strong>di</strong> momento angolare).<br />
Questo può descrivere l’azione <strong>di</strong> un forno a microonde su molecole senza <strong>di</strong>poli permanenti.<br />
cos θ
Capitolo 5<br />
Circuiti<br />
Risolvere le equazioni <strong>di</strong> Maxwell è complicato. È facile ottenere soluzioni approssimate che descrivono alcune<br />
situazioni <strong>di</strong> interesse pratico (‘circuiti’).<br />
<strong>Esercizio</strong> 76: Resistenze in parallelo<br />
Verificare che la corrente si ripartisce minimizzando la <strong>di</strong>ssipazione per effetto Joule.<br />
bSoluzione: L’enegia <strong>di</strong>ssipata vale W = R1I 2 1 + R2I 2 2 . Chiamando I la corrente totale sia ha I2 = I − I1.<br />
Quin<strong>di</strong><br />
dW<br />
= 2R1I1 + 2R2(I1 − I) = 0 quin<strong>di</strong> R1I1 = I R1R2<br />
= RI dI1<br />
R1 + R2<br />
Che sia un minimo e non un massimo, lo si può vedere nel caso R2 ≪ R1: tutta la corrente flusice nella resistenza<br />
piccola minimizzando l’effetto Joule.<br />
<strong>Esercizio</strong> 77: Resistenze su cubo<br />
Calcolare la resistenza totale del circuito in fig. 5.1a, assumento che le singole resitenze abbiano un valore<br />
comune R.<br />
bSoluzione: È un esempio <strong>di</strong> circuito non decomponibile come combinazioni <strong>di</strong> serie e paralleli. Lo si potrebbe<br />
risolvere scrivendo le equazioni <strong>di</strong> Kirchoff, però si fa prima a dare la risposta ad occhio sfruttando la simmetria<br />
del problema. Per motivi <strong>di</strong> simmetria le correnti si <strong>di</strong>vidono come in figura. Quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale<br />
fra i due capi vale V = IR( 1 1 1 5<br />
3 + 6 + 3 ) = I · 6R. Se invece uno collegasse due spigoli opposti sulla stessa faccia del cubo, non passerebbe corrente nelle due<br />
linee verticali degli altri due spigoli opposti...<br />
<strong>Esercizio</strong> 78: Pile<br />
Si acquista un pacchetto <strong>di</strong> 4 pile ricaricabili da V =<br />
1.5 V. Si assuma che ciascuna pila riesca a mantenere,<br />
durante la scarica, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale costante<br />
V tranne una trascurabile fase finale <strong>di</strong> rapida<br />
<strong>di</strong>minuzione. Su ciascuna pila è scritto ‘2800 mAh’.<br />
a) Che significa?<br />
b) Quanti Joule <strong>di</strong> energia contiene una pila carica?<br />
Le quattro pile vengono montate in serie per tenere<br />
accesa una torcia, e si scaricano dopo 1 ora.<br />
c) Calcolare la potenza W impiegata dalla torcia.<br />
42
Capitolo 5. Circuiti 43<br />
I/6<br />
I/3<br />
I/3<br />
I/3<br />
Figura 5.1: (a) Circuito a cubo. (b) Ponte <strong>di</strong> Wheatstone.<br />
R1<br />
R2<br />
A R C<br />
d) Da un punto <strong>di</strong> vista circuitale una lampa<strong>di</strong>na è come una resistenza R. Calcolare il valore <strong>di</strong> R per la<br />
lampa<strong>di</strong>na della torcia.<br />
e) Se le 4 pile fossero invece montate in parallelo, come cambierebbe l’intensità luminosa emessa dalla torcia<br />
e la sua durata?<br />
bSoluzione:<br />
a) Q = 2800 mAh = 10000 Couomb è la carica che ciascuna pila riesce a far passare prima <strong>di</strong> scaricarsi.<br />
b) L’energia <strong>di</strong> una pila è E = QV = 1.5 kJ. Quattro pile hanno E = 4QV = 60 kJ.<br />
c) Quin<strong>di</strong> W = E/h = 16.8 Watt.<br />
d) Una lampa<strong>di</strong>na è come una resistenza. Da W = (4V ) 2 /R si ottiene R = (4V ) 2 /W = 2.1 Ω.<br />
e) Riducendo la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale da 6 V a 1.5 V, la potenza (e quin<strong>di</strong> la luce emessa) scende <strong>di</strong> un<br />
fattore 16, e la durata aumenta <strong>di</strong> un fattore 16.<br />
Risolvere il circuito in fig. 5.1b.<br />
<strong>Esercizio</strong> 79: Ponte <strong>di</strong> Wheatstone<br />
bSoluzione: È un esempio <strong>di</strong> circuito non decomponibile: cioè non si può evitare <strong>di</strong> applicare le leggi <strong>di</strong><br />
Kirchoff vedendolo come combinazioni <strong>di</strong> serie e paralleli. In pratica lo si usa con: R3,4 resistenze fisse note,<br />
R2 resistenza ignota da misurare, R1 resistenza variabile nota, da scegliere in modo tale che la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
potenziale VBD = 0, cioè che non passi corrente attraverso R.<br />
Iniziamo dal caso R = ∞: VBD = 0 (cioè il circuito è ‘bilanciato’) se R2R4 = R1R3. In generale<br />
<br />
R1<br />
VDB = V<br />
−<br />
R1 + R2<br />
R4<br />
R3 + R4<br />
R4<br />
<br />
R1R3 − R2R4<br />
= V<br />
(R1 + R2)(R3 + R4)<br />
In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> bilanciamento R2/R1 = R3/R4 = r. Per stu<strong>di</strong>are la sensitività dello strumento (e quin<strong>di</strong><br />
calcolare l’incertezza sperimentale su R2) consideriamo una variazione delle resistenze Ri → Ri + δRi: essa<br />
produce<br />
VDB = 0 +<br />
r<br />
(1 + r) 2<br />
<br />
δR1<br />
−<br />
R1<br />
δR2<br />
+<br />
R2<br />
δR3<br />
−<br />
R3<br />
δR4<br />
<br />
V.<br />
R4<br />
Passiamo al caso <strong>di</strong> R finito. In pratica R compare perchè un qualunque strumento che misura VDB lo fa<br />
introducendo una resistenza R < ∞ fra i capi B e D. Risolviamo quin<strong>di</strong> il circuito completo utilizzando il<br />
metodo delle maglie: ci sono 7 incognite: VA, VB, VC, VD e le tre correnti <strong>di</strong> maglia I1 (a sinistra, circolante in<br />
<strong>di</strong>rezione A → B), I2 (a destra in <strong>di</strong>rezione C → B) ed I0 (sotto, in <strong>di</strong>rezione A → D → C). Siccome contano<br />
B<br />
D<br />
R3
44 Capitolo 5. Circuiti<br />
solo le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale si può scegliere VA = 0, riducendo il numero <strong>di</strong> incognite a 6. Ci sono poi 6<br />
equazioni, una per ogni tratto <strong>di</strong> circuito:<br />
Dopo calcoli noiosi si ottiene<br />
VB − VA = R1I1, VB − VC = R2I1, VC − VA = 0<br />
VD − VA = R4(I0 − I1) VD − VC = −R3(I0 + I2) VD − VB = R(I1 + I2).<br />
VDB =<br />
(R1R3 − R2R4)V<br />
(R1 + R2)(R3 + R4) + (R1R2R3 + R1R2R4 + R1R3R4 + R2R3R4)/R .<br />
Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> che per calcolare il valore centrale <strong>di</strong> R2 non serve tenere conto <strong>di</strong> R, che invece mo<strong>di</strong>fica la<br />
sensibilità dello strumento.<br />
<strong>Esercizio</strong> 80: Impedenze<br />
Mostrare che per una corrente oscillante I = I0e iωt vale ZR = R ZC = 1<br />
iωC<br />
ZL = iωL.<br />
bSoluzione: Le cadute <strong>di</strong> potenziale ai capi <strong>di</strong> resistenza, condensatore, induttanza valgono<br />
RI<br />
Q<br />
C<br />
= I<br />
iωC<br />
L ˙<br />
I = iωLI<br />
<strong>Esercizio</strong> 81: Potenza <strong>di</strong>ssipata<br />
Calcolare la potenza <strong>di</strong>ssipata su <strong>di</strong> una generica impedenza Z.<br />
bSoluzione: La potenza <strong>di</strong>ssipata vale W = V I dove V = ZI. Il prodotto non è una operazione lineare:<br />
Re(z1z2) = Re(z1)Re(z2). Bisogna tornare ai numeri reali: scrivendo Z = R + iY<br />
cioè solo la parte resistiva <strong>di</strong>ssipa energia.<br />
Costruirlo.<br />
〈W 〉 = 〈(I0R cos ωt − I0Y sin ωt) · (I0 cos ωt)〉 = R<br />
2 I2 0 =<br />
<strong>Esercizio</strong> 82: Filtro che taglia frequenze alte<br />
Z cos φ<br />
I<br />
2<br />
2 0<br />
bSoluzione: Ad esempio metto RC in serie e leggo il voltaggio ai capi <strong>di</strong> C: a grosso ω la sua impedenza<br />
Z = 1/iωC decresce e la maggior parte della caduta <strong>di</strong> potenziale avviene su R.<br />
VC<br />
Vin<br />
=<br />
1<br />
1 + iωRC<br />
<br />
<br />
r = <br />
<br />
VC<br />
Vin<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
=<br />
1<br />
1 + (ωRC) 2<br />
Per R = 200 kΩ si ha una riduzione <strong>di</strong> 3 dB a ν = 1 Hz (r = 10 −0.3 = 0.512 ≈ 1/2) se C = 0.8 µF, che a ν = 50<br />
Hz corrisponde a r = 0.4 10 −3 i.e. 34 dB.<br />
Costruirlo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 83: Filtro che taglia frequenze basse<br />
bSoluzione: Metto RC in serie e leggo il voltaggio ai capi <strong>di</strong> R, oppure metto RL e leggo ai capi <strong>di</strong> L.
Capitolo 5. Circuiti 45<br />
R1 R1 R1 R1 R1<br />
R2 R2 R2 R2 R2<br />
Figura 5.2: Fig. 5.2a: circuito attenuatore. Fig. 5.2b: resistenza equivalente.<br />
R1<br />
<strong>Esercizio</strong> 84: Pendolo accoppiato<br />
R2 R = R<br />
Mostrare che due pendoli connessi da una molla k sod<strong>di</strong>sfano alle stesse equazioni <strong>di</strong> due maglie LC con in<br />
comune una capacità C ′ .<br />
bSoluzione: Usando le correnti <strong>di</strong> maglia I1 e I2 le equazioni sono<br />
V1 = L ¨ Q1 + Q1<br />
C + Q1 − Q2<br />
C ′<br />
Usando le impedenze e risolvendo si trova<br />
I2 =<br />
0 = L ¨ Q2 + Q2<br />
C + Q2 − Q1<br />
C ′<br />
iωV1C 2<br />
(CLω2 − 1)(CC ′ Lω2 − 2C − C ′ V1 ω<br />
= iω<br />
) 2L<br />
2 2 − ω2 1<br />
(ω2 − ω2 1 )(ω2 − ω2 2 )<br />
Avendo definito ω 2 1 = 1/LC e ω 2 2 = 1/LC + 2/LC ′ . Alla me<strong>di</strong>a delle frequenze I1 = 0.<br />
Le equazioni del moto del pendolo sono<br />
m¨x1 + mg x1<br />
ℓ + k(x1 − x2) = F m¨x2 + mg x2<br />
ℓ + k(x2 − x1) = 0<br />
che hanno la stessa forma con 1/LC ↔ g/ℓ, 1/LC ′ = k/m.<br />
Per trovare i mo<strong>di</strong> normali provo una soluzione xi = ˆxie iωt<br />
Il determinante vale zero per<br />
1. ω 2 = ω 2 1 = g/ℓ, x1 = x2<br />
2. ω 2 = ω 2 2 = g/ℓ + 2k/m, x1 = −x2<br />
Mettendo F (t) = ˆ F e iωt viene<br />
x2 =<br />
F<br />
k − (k − mω2 + gm/ℓ) 2 F<br />
=<br />
/k<br />
<br />
2 −ω + g/ℓ + k/m −k/m<br />
−k/m −ω2 <br />
x1<br />
+ g/ℓ + k/m<br />
2m<br />
che corrispondono alle soluzioni per i mo<strong>di</strong> normali<br />
x1 + x2 = − F<br />
m<br />
ω2 2 − ω2 1<br />
(ω2 − ω2 1 )(ω2 − ω2 2 )<br />
1<br />
ω 2 − ω 2 1<br />
x2<br />
x1<br />
=<br />
x1 − x2 = − F<br />
m<br />
x2<br />
I2<br />
I1<br />
<br />
= 0<br />
=<br />
kℓ<br />
=<br />
kℓ + mg − mℓω2 1<br />
ω 2 − ω 2 2<br />
C<br />
C + C ′ − CC ′ Lω 2<br />
ω 2 1 − ω 2 2<br />
2ω 2 − ω 2 1 − ω2 2<br />
Nel caso del circuito, il modo normale I1 = I2 (niente corrente su C ′ ) vede un’impedenza iωL + 1/iωC che vale<br />
zero per ω = ω1; il modo I1 = −I2 vede un’impedenza 1<br />
2 (iωL + 1/iωC) + (1/iωC′ ) che vale zero per ω = ω2.<br />
<strong>Esercizio</strong> 85: Attenuatore<br />
Si determini la resistenza totale R del circuito infinito in fig. 5.2 ed i potenziali nei vari punti
46 Capitolo 5. Circuiti<br />
bSoluzione: Siccome ∞ = ∞ + 1 per trovare la resistenza R equivalente al circuito si impone che R sia eguale<br />
ad un passo della catena seguito da R:<br />
1<br />
R = R1 +<br />
1/R2 + 1/R<br />
: R = R1 + R2 1 + 4R1R2<br />
2<br />
Per trovare il potenziale dopo il primo passo, rimpiazziamo tutte le resistenze successive con la resistenza<br />
equivalente R, ottenendo un circuito con 3 resistenze R1, R2 ed R, <strong>di</strong> resistenza totale R: circola una corrente<br />
totale I = V/R<br />
La <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V ′ ai capi <strong>di</strong> R vale<br />
V ′ = V R2<br />
R + R2<br />
Nei passi successivi la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale decresce in modo geometrico: V (n) = V/(1+R/R2) n . Ad esempio,<br />
per <strong>di</strong>mezzare la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale ad ogni passo serve R = R2, cioè R2 = 2R1.<br />
In pratica non si può costruire una catena con un numero infinito <strong>di</strong> passi: per terminare il circuito dopo<br />
un numero finito <strong>di</strong> passi senza scompensarlo, basta terminarlo con una resistenza R.<br />
Come nella fig. 5.2, con R1 → Z1 = iωL e Z2 = 1/iωC.<br />
<strong>Esercizio</strong> 86: Catena LC<br />
bSoluzione: Pre semplificare la formula (5.1) <strong>di</strong>vido ogni L in 1<br />
2<br />
1 L + 2L e metto L/2 a sinistra:<br />
Zeff = Z − Z1<br />
2 = (Z1/2) 2 <br />
(L/C) − (ωL/2) 2 se ω < ω0<br />
+ Z1Z2 =<br />
i (ωL/2) 2 − (L/C) se ω > ω0<br />
dove ω0 = 2/ √ LC. La cosa sorprendente è che a basse frequenze un circuito con solo L e C si comporti come<br />
una resistenza; il motivo fisico è che l’energia sembra scomparire in quanto viene trasmessa attraverso la catena.<br />
Abbiamo già visto che il potenziale varia lungo la catena come<br />
⎧ <br />
(L/C) − (ωL/2) 2 − i(ωL/2)<br />
Vn = α n V0 α = Z2<br />
=<br />
Z + Z2<br />
Z − Z1<br />
=<br />
Z<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
(L/C) − (ωL/2) 2 + i(ωL/2) = e iδ<br />
se ω < ω0<br />
(ωL/2) 2 − (L/C) − (ωL/2)<br />
(ωL/2) 2 − (L/C) + (ωL/2) < 1 se ω > ω0<br />
A bassa frequenza tutto funziona se si termina la catena finita con R = L/C. (Se si scambia L ↔ C è come<br />
cambiare ω → 1/ω: la catena risultante taglia le frequenze basse invece <strong>di</strong> quelle alte).<br />
Se le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> potenziale e <strong>di</strong> corrente fra due elementi vicini sono piccole, valgono<br />
cioè<br />
dV<br />
dx<br />
L dI<br />
=<br />
∆x dt<br />
∆V = L ˙<br />
I ∆I = ∆ ˙ Q = C ∆ ˙ V<br />
dI C dV<br />
=<br />
dx ∆x dt<br />
:<br />
d 2 V<br />
dx<br />
L C<br />
= 2 ∆x ∆x<br />
<br />
v 2<br />
La rete LC fornisce una descrizione approssimata <strong>di</strong> una linea <strong>di</strong> trasmissione. Ad esempio per un cavo coassiale<br />
L = ∆x µ0<br />
ℓ C = ∆x2πɛ0<br />
2π ℓ<br />
v =<br />
1<br />
√ ɛ0µ0<br />
d 2 V<br />
dt 2<br />
= c (ℓ ≡ ln R2<br />
).<br />
Per ∆x → 0 ω0 → ∞: una linea ideale trasmette tutto, ed il cavo equivale ad una resistenza<br />
R = lim Z =<br />
∆x→0<br />
µ0<br />
ɛ0<br />
ℓ<br />
= 60 Ω · ℓ.<br />
2π<br />
R1<br />
(5.1)
Parte II<br />
Magnetostatica
Capitolo 6<br />
Campi magnetici<br />
Le equazioni <strong>di</strong> base sono F = q(E + v × B) e le equazioni <strong>di</strong> Maxwell (µ0 = 4πkm, km = 10 −7 Tesla m/A)<br />
∇ × B = µ0j ∇ · B = 0<br />
che implicano ∇ · j = 0. In forma integrale<br />
<br />
B · ds = µ0Φ(j) = µ0i Φ(B) = 0<br />
Campo magnetico generato<br />
B = µ0<br />
<br />
r µ0<br />
qv × =<br />
4π r3 4π<br />
i ds × r<br />
r 3<br />
Forza prodotta da un campo magnetico: F = qv × B = j × B = i ds × B. Un circuito chiuso in un campo<br />
magnetico costante percorso da una corrente costante i sente F = 0 e momento M = m × B dove m = iSn<br />
L’energia potenziale vale U = −m · B = −iΦ(B). Se il campo magnetico non è costante F ∇(m · B).<br />
Unità <strong>di</strong> misura. Il campo magnetico viene misurato in Tesla = N/Am (Gauss = 10 −4 Tesla). Il campo<br />
magnetico terrestre sulla superficie vale circa 0.1 Gauss. Il massimo campo producibile è circa 10 Tesla. Il flusso<br />
<strong>di</strong> B viene misurato in Weber = Tesla· m 2 = Volt · sec.<br />
<strong>Esercizio</strong> 87: Forza fra 2 cariche<br />
Due elettroni si muovono parallelamente lungo traiettorie rettilinee a <strong>di</strong>stanza a con velocità costante v ≪ c.<br />
Calcolare la forza elettromagnetica<br />
bSoluzione: La forza è <strong>di</strong>retta lungo la congiungente. La forza elettrica respinge e quella magnetica attira<br />
F = e2<br />
4πɛ0<br />
− ev · µ0 e2<br />
ev = (1 −<br />
4π 4πɛ0<br />
v2<br />
c2 ) c2 = 1<br />
ɛ0µ0<br />
Il risultato sopra è sbagliato. Esistono altri effetti relativistici <strong>di</strong> O(v 2 /c 2 ). Nel sistema in cui le cariche sono<br />
in quiete F0 = e 2 /4πɛ0 e quin<strong>di</strong> la relatività <strong>di</strong>ce che Fv = F0/γ, invece che Fv = F0/γ 2 Infatti i campi E e B<br />
generati da cariche in moto vanno moltiplicati per γ.<br />
Una carica può avere velocità me<strong>di</strong>a ∼ cm/s ∼ 10 −10 c e quin<strong>di</strong> il suo campo magnetico è una correzione <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne 10 −20 . Questa soppressione può venire compensata se ci sono NA ∼ 6 10 23 cariche che si muovono nello<br />
stesso verso (formando una corrente), messe assieme ad altrettante cariche <strong>di</strong> segno opposto (in modo che i loro<br />
campi elettrici si cancellano). Siccome la materia è fatta in questo modo, ha senso stu<strong>di</strong>are la magnetostatica.<br />
<strong>Esercizio</strong> 88: Disco <strong>di</strong> Rowland<br />
Un <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> raggio r = 20 cm con carica σ = 10 −6 C/ m 2 fa 200 giri al secondo. Stimare il campo magnetico<br />
generato<br />
48
Capitolo 6. Campi magnetici 49<br />
bSoluzione: Quin<strong>di</strong> la corrente vale I ∼ 200 Q/ sec ∼ 10 −5 A e, ad una <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 1 cm, genera un campo<br />
magnetico<br />
B ∼ kmI<br />
cm ∼ 10−10 T<br />
(km = µ0/4π = 10 −7 ) 10 5 volte minore del campo magnetico terrestre (circa costante attorno al <strong>di</strong>sco). Il<br />
grosso campo elettrico E ∼ σ/ɛ0 ∼ 10 5 V/m (ɛ0 ∼ 10 −11 C/Vm) genera una forza repulsiva <strong>di</strong> circa 1 N e veniva<br />
schermato con un conduttore. Sui condensatori si può accumulare Q ∼ C ma...??<br />
<strong>Esercizio</strong> 89: Filo rettilineo<br />
Calcolare il campo magnetico generato da un filo rettilineo <strong>di</strong> raggio a percorso da una densità <strong>di</strong> corrente<br />
costante j.<br />
bSoluzione: B ha solo una componente ra<strong>di</strong>ale. Fuori dal filo (r > a) la ‘legge <strong>di</strong> Ampere’ fornisce 2πr Br = µ0i<br />
dove i = j πa 2 . Dentro il filo (r < a) i = jπr 2 e quin<strong>di</strong> Br = µ0jr/2 = µ0ir/2πa 2 .<br />
<strong>Esercizio</strong> 90: Cavo coassiale<br />
Calcolare il campo magnetico generato da un filo rettilineo <strong>di</strong> raggio a percorso da una densità <strong>di</strong> corrente<br />
costante j, circondato da un cilindro <strong>di</strong> raggi b e b ′ > b lungo cui scorre uniformemente una corrente totale<br />
opposta.<br />
bSoluzione: Per r < b è come nell’esercizio precedente. Per r > b ′ si ha B = 0. Per b < r < b ′ si ha<br />
Br = µ0j<br />
2πr πa2<br />
<br />
1 − r2 − b2 b ′2 − b2 <br />
<strong>Esercizio</strong> 91: Spira circolare<br />
Calcolare il campo magnetico generato da una spira circolare <strong>di</strong> raggio a nel piano xy percorso da una corrente<br />
i.<br />
bSoluzione: Lungo l’asse è facile integrare: B ha solo una componente lungo z<br />
Bz = µ0<br />
4π<br />
i<br />
µ0<br />
2πa cos θ =<br />
r2 2<br />
ia µ0<br />
cos θ =<br />
r2 2<br />
ia 2<br />
(a 2 + x 2 ) 3/2<br />
ds ed r sono ortogonali, e ds × r forma un angolo θ con l’asse z. Nel centro θ = 0 e B = µ0i/2a.<br />
Quin<strong>di</strong> l’induttanza della spira vale circa L ∼ µ0a. È complicato fare un calcolo preciso, che <strong>di</strong>pende dallo<br />
spessore del filo, in quanto la maggior parte dell’energia magnetica è concentrata ai bor<strong>di</strong> della spria, dove B è<br />
massimo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 92: Due spire circolari<br />
Calcolare il campo magnetico generato da due spire circolari parallele <strong>di</strong> raggio a a <strong>di</strong>stanza d nel piano xy<br />
percorse da una corrente Ni.<br />
bSoluzione:<br />
2 µ0Nia<br />
<br />
Bz = (a<br />
2<br />
2 + x 2 ) −3/2 + (a 2 + (d − x) 2 ) −3/2<br />
Il campo magnetico è molto uniforme fra le due spire quando d = a (spire <strong>di</strong> Helmholtz): infatti per tale valore<br />
si ha d2Bz/dx2 = 0 a x = d/2 e Bz(x = d/2) = (4/5) 3/2 µ0Ni/a.<br />
Assumiamo che il campo magnetico sia zero fuori e costante dentro. Un elettrone entra camminando lungo<br />
l’asse. Dentro percorre un arco <strong>di</strong> circonferenza con raggio <strong>di</strong> curvatura r = mv/eB e quin<strong>di</strong> viene deflesso <strong>di</strong><br />
sin θ = a/r.<br />
Se deve essere θ = 45◦ per v = 2eV/m con V = 25 kV e i = 2 A servono n = (1.4/µ0i) mV/e ≈ 200<br />
avvolgimenti per spira.
50 Capitolo 6. Campi magnetici<br />
<strong>Esercizio</strong> 93: Filo a U<br />
Calcolare il campo magnetico nel centro del semicerchio generato da un filo percorso da una corrente i che forma<br />
una U <strong>di</strong> raggio a.<br />
bSoluzione: Raddoppiando i due mezzi fili ed il semicerchio, Bz è la metà del Bz prodotto da 2 fili rettilinei<br />
infiniti e da un cerchio:<br />
Bz = 2 µ0i 1 µ0i<br />
+<br />
2 2πa 2 2a<br />
Notare che la configurazione <strong>di</strong> fili riflessa produce lo stesso B, in quanto esso è uno vettore assiale, non un<br />
vettore.<br />
Come prima, con il filo rimpiazzato da un piano.<br />
<strong>Esercizio</strong> 94: Piano a U<br />
bSoluzione: Nel centro equivale alla metà <strong>di</strong> due piani e <strong>di</strong> un solenoide. La cosa interessante è che il campo<br />
magnetico è costante nella regione interna.<br />
<strong>Esercizio</strong> 95: Solenoide rettilineo infinito<br />
Calcolare il campo magnetico generato dentro un solenoide rettilineo infinito.<br />
bSoluzione: Fuori vale zero, dentro è costante orientato come il solenoide. La legge <strong>di</strong> Ampere fornisce<br />
B = µ0ni dove n è il numero <strong>di</strong> spire per unità <strong>di</strong> lunghezza.<br />
Il flusso concatenato ad un solenoide abbastanza lungo da poter trascurare effetti ai bor<strong>di</strong> vale Φ = BNS =<br />
LI (dove N = nℓ è il numero <strong>di</strong> spire e S la loro area) con L = µ0SN 2 /ℓ. Quin<strong>di</strong> l’energia necessaria per<br />
accendere una corrente i vale U = LI2 /2 (<strong>di</strong>mostrazione: V = − ˙ Φ = L ˙ I. Quin<strong>di</strong> la potenza vale W = −V I =<br />
LI ˙ I = d( 1<br />
2LI2 )/dt). La si può calcolare anche come l’integrale della densità <strong>di</strong> energia u = B2 /2µ0 sul volume:<br />
U = (µ0nI) 2Sℓ/2µ0. <strong>Esercizio</strong> 96: Solenoide rettilineo finito<br />
Dire qualcosa sul campo magnetico generato dentro un solenoide rettilineo semi-infinito.<br />
bSoluzione: Usando la forza bruta, integro il campo <strong>di</strong> una spira, mettendo n spire per unità <strong>di</strong> lunghezza da<br />
−ℓ a 0:<br />
0<br />
′ µ0 ia<br />
Bz(x) = n dx<br />
−ℓ 2<br />
2<br />
(a2 + (x − x ′ ) 2 <br />
<br />
µ0ni ℓ + x<br />
x<br />
= −√<br />
) 3/2 2 a2 + (ℓ + x) 2 a2 + x2 <br />
1 per ℓ → ∞<br />
Il principio <strong>di</strong> sovrapposizione consente <strong>di</strong> <strong>di</strong>re che: 1) Sul bordo B vale la metà che in un punto interno, come<br />
vedo immaginando <strong>di</strong> completare aggiungendo l’altra metà del solenoide. In generale Bz(x)+Bz(−x) = B ∞ z . 2)<br />
La linea <strong>di</strong> campo <strong>di</strong> B che sfiora il bordo esce perpen<strong>di</strong>colare al solenoide, perchè’ quando completo la somma<br />
deve fare zero; le componenti orizzontali si sottraggono ma le eventuali componenti verticali si sommerebbero<br />
(B è uno pseudovettore) e quin<strong>di</strong> devono valere zero. Chiaro con un <strong>di</strong>segno. 3) La linea <strong>di</strong> campo che sfiora il<br />
bordo, dentro il solenoide sta ad una <strong>di</strong>stanza limite a/ √ 2 dal centro (il raggio che contiene metà del flusso),<br />
con relazioni analoghe per le linee interne.
Capitolo 6. Campi magnetici 51<br />
<strong>Esercizio</strong> 97: Solenoide toroidale<br />
Calcolare il campo magnetico generato dentro un solenoide toroidale.<br />
bSoluzione: B è circolare in quanto spire <strong>di</strong>sposte simmetricamente rispetto al punto dove viene calcolato B<br />
danno contributi che si cancellano alle componenti non ra<strong>di</strong>ali. Quin<strong>di</strong>, per la legge <strong>di</strong> Ampere, fuori B = 0 e<br />
dentro 2πrBr = µ0Ni dove N è il numero totale <strong>di</strong> spire.<br />
<strong>Esercizio</strong> 98: Sfera ruotante<br />
Sulla superficie <strong>di</strong> una sfera omogenea <strong>di</strong> massa M e raggio R è <strong>di</strong>stribuita uniformemente una carica Q. La<br />
sfera ruota con velocità angolare ω. Calcolare il momento magnetico. Scrivere l’equazione del moto in presenza<br />
<strong>di</strong> un campo magnetico uniforme B.<br />
bSoluzione: Un anello fra θ e θ + dθ ha raggio r = R sin θ superficie dQ = Q dS/S con dS = 2πr · R dθ e<br />
ruota con velocità v = ωr. Quin<strong>di</strong> trasporta una corrente<br />
Il momento magnetico vale<br />
o anche<br />
<br />
µ =<br />
<strong>di</strong> =<br />
dQ v<br />
2πr<br />
πr 2 <strong>di</strong> = QωR2<br />
4<br />
= Qω<br />
4π<br />
π<br />
0<br />
sin θ dθ<br />
sin 3 θ dθ = QR2<br />
3 ω<br />
µ = g Q<br />
L<br />
2M<br />
dove<br />
5<br />
g =<br />
3<br />
e L = 2MR2<br />
5 ω<br />
è il momento angolare. Una sfera uniformemente carica avrebbe g = 1. Elettrone e muone hanno ge =<br />
2.002319304374.. e gµ = 2.0023318406...
Capitolo 7<br />
Moto in campo magnetico esterno<br />
La formula <strong>di</strong> base è F = q(E + v × B).<br />
<strong>Esercizio</strong> 99: Trottola magnetica<br />
Trovare un modo <strong>di</strong> sospendere un <strong>di</strong>polo magnetico in aria.<br />
bSoluzione: La forza <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo in un campo magnetico esterno è data da un’equazione analoga al caso <strong>di</strong><br />
un <strong>di</strong>polo elettrico: U = −µ · B e F = −∇U, M = µ × B.<br />
Discussione preliminare. Avevamo visto che F = −∇(−p·E) non funzionava per un <strong>di</strong>polo elettrico orientato<br />
lungo z in un Ez ∝ x (perchè tale E ha rotore <strong>di</strong>verso da zero, e quin<strong>di</strong> non può esistere in elettrostatica):<br />
pensando il <strong>di</strong>polo come 2 cariche è facile vedere che la forza deve essere zero. Nel caso magnetico (dove B può<br />
avere rotore <strong>di</strong>verso da zero) la formula funziona: la forza è prodotta dal fatto che il lato della spira dove Bz è<br />
più grosso sente una forza maggiore.<br />
Applicata invece ad un <strong>di</strong>polo orientato lungo B, e con un Bz(z), la formula <strong>di</strong>ce che il <strong>di</strong>polo è attratto<br />
verso zone dove B è maggiore. Pensando al <strong>di</strong>polo come ad una spira, è imme<strong>di</strong>ato vedere che non c’è nessuna<br />
forza. La formula sballa perchè non esiste un campo magnetico con solo Bz(z): per avere ∇ · B = 0 serve anche<br />
un Br(r, z). A livello grafico, il campo magnetico deve ‘incurvarsi’ verso l’esterno. È la componente Br che<br />
genera la forza, anche se non appare in U.<br />
Un’applicazione è la trottola magnetica. Se si mette un <strong>di</strong>polo sopra il campo magnetico generato da una<br />
spira, questo si allinea con la spira e ne viene attratto. Quin<strong>di</strong> non rimane sospeso.<br />
Se invece l’ oggetto con <strong>di</strong>polo magnetico µ (e.g. la sfera dell’esercizio precedente) viene anche fatto girare,<br />
il possedere un momento angolare L ∝ µ gli impe<strong>di</strong>sce <strong>di</strong> allinearsi a B. Esiste un momento delle forze che<br />
produce la seguente equazione del moto:<br />
dL<br />
dt<br />
Q<br />
= µ × B = g L × B<br />
2M<br />
che <strong>di</strong>ce che L precede attorno al campo magnetico con frequenza <strong>di</strong> precessione ωp = g QB/2M, mantenendo in<br />
me<strong>di</strong>a temporale la sua orientazione iniziale. Quin<strong>di</strong> se all’inizio µ viene messo anti-parallelo a B il magnetismo<br />
genera una forza repulsiva che può tenere sospeso l’oggetto. Alla lunga l’attrito rallenta la rotazione, e l’oggetto<br />
si allinea e casca. È grazie all’attrito che una bussola si allinea al campo magnetico terrestre.<br />
<strong>Esercizio</strong> 100: Cilindro su piano inclinato<br />
Un cilindro <strong>di</strong> raggio r e lunghezza ℓ, appoggiato orizzontalmente su <strong>di</strong> un piano inclinato (<strong>di</strong> angolo α), è<br />
percorso da una corrente i uniforme lungo la sua lunghezza. È presente un campo magnetico verticale. Per<br />
quale valore <strong>di</strong> i il cilindro rimane fermo se a) l’attrito tra piano e cilindro è trascurabile b) l’attrito è tale che<br />
il cilindro può rotolare senza strisciare.<br />
bSoluzione: Il campo magnetico produce una forza orizzontale, <strong>di</strong>retta verso il piano inclinato. La corrente in<br />
un angolo dθ produce dF = ℓB <strong>di</strong> = ℓBi dθ/2π.<br />
52
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 53<br />
a) La componente della forza magnetica totale lungo il piano inclinato vale F = ℓBi cos α. La componente<br />
della forza gravitazionale lungo il piano inclinato vale F = mg cos α. Sono uguali se i = mg tan α/ℓB.<br />
b) Il momento rispetto all’asse <strong>di</strong> appoggio deve essere zero. La gravità produce M = mgr sin α. Il campo<br />
magnetico produce<br />
<br />
2π<br />
M = ∆y · dF = r(cos α + sin θ)ℓBi dθ<br />
= iℓBr cos α<br />
2π<br />
Quin<strong>di</strong> serve la stessa i <strong>di</strong> prima (le due forze sono uniformi).<br />
0<br />
<strong>Esercizio</strong> 101: Ago magnetico<br />
Una ago <strong>di</strong> momento magnetico µ è situato sopra la congiungente due fili paralleli orizzontali a <strong>di</strong>stanza d.<br />
I due fili sono percorsi da correnti i e −i. La <strong>di</strong>stanza fra ago e ciascun filo è r. L’ago può ruotare in un<br />
piano ortogonali ai fili, con momento <strong>di</strong> inerzia I. Calcolare la posizione <strong>di</strong> equilibrio ed il periodo delle piccole<br />
oscillazioni.<br />
bSoluzione: Il campo magnetico è verticale<br />
Bz = 2 µ0i h<br />
2πr d/2<br />
Il momento delle forze vale M = µ × B e l’equazione del moto è I ¨ θ = µB sin θ (la posizione <strong>di</strong> equilibrio è<br />
θ = 0 o θ = π/2 a seconda del segno <strong>di</strong> B, il <strong>di</strong>polo vuole allinearsi con B) da cui T = 2π I/µ|B|.<br />
<strong>Esercizio</strong> 102: Carica in quadrupolo magnetico<br />
Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una carica q con velocità v quasi parallela all’asse z in un campo magnetico B = ∇(bxy).<br />
bSoluzione: Innanzitutto ve<strong>di</strong>amo come è possibile generare questo campo magnetico.<br />
Avendolo scritto come gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> un ‘potenziale magnetico’ Vm<br />
il campo magnetico sod<strong>di</strong>sfa automaticamente alla IV equazione <strong>di</strong><br />
Maxwell nel vuoto, ∇ × B = 0. Siccome ∇ 2 Vm = 0 sod<strong>di</strong>sfa anche<br />
a ∇ · B = 0. Sperimentalmente è ottenibile nel seguente modo.<br />
Il ferro ha µ ∼ 1000 e quin<strong>di</strong> le linee <strong>di</strong> B escono praticamente<br />
perpen<strong>di</strong>colari al materiale. Quin<strong>di</strong> lo si costruisce tagliando il<br />
ferro in modo che la zona da cui esce B segua la forma delle linee<br />
equipotenziali della funzione Vm ∝ xy.<br />
Il campo magnetico vale<br />
Bx = by By = bx, Bz = 0<br />
L’equazione del moto <strong>di</strong> una carica q è<br />
m¨x = −qvbx, m¨y = +qvby<br />
Assumendo che la particella si muova circa lungo l’asse z e venga deflessa poco possiamo approssimare d/dt =<br />
v d/dz ottenendo<br />
la cui soluzione è<br />
d 2 x<br />
dz 2 = −k2 x,<br />
d2y dz2 = +k2y dove k 2 = qb<br />
mv<br />
x(z) = x0 cos kz + x ′ 1<br />
0<br />
k sin kz, y(z) = y0 cosh kz + y ′ 0 sinh kz.<br />
k<br />
Quin<strong>di</strong> un fascio <strong>di</strong> particelle viene focalizzato lungo l’asse x e defocalizzato lungo l’asse y. Più precisamente,<br />
assumendo che ℓ sia la lunghezza della zona dove B = 0 un fascio avente x ′ 0 = 0 passa per x(z) = 0 a<br />
z − ℓ = cot(kℓ)/k: cioè il campo magnetico si comporta come una lente <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza focale f = 1/k sin kℓ. (La<br />
<strong>di</strong>fferenza fra cot e 1/ sin è questione <strong>di</strong> definizione dovuta allo spessore finito della lente: il piano principale sta<br />
a <strong>di</strong>stanza −(1 − cos kℓ)/k sin kℓ dall’uscita del quadrupolo).<br />
1
54 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
<strong>Esercizio</strong> 103: Carica in quadrupoli magnetici<br />
Stu<strong>di</strong>are cosa succede quando un fascio <strong>di</strong> particelle attraversa due quadrupoli magnetici, ruotati <strong>di</strong> 90 ◦ l’uno<br />
rispetto all’altro.<br />
bSoluzione: Abbiamo visto che un quadrupolo magnetico focalizza un fascio lungo una <strong>di</strong>rezione ma defocalizza<br />
lungo l’altra. Il segno <strong>di</strong>verso è sgra<strong>di</strong>to ma inevitabile, perchè dovuto a come deve essere fatto un campo<br />
magnetico nel vuoto. In molti esperimenti è invece necessario focalizzare un fascio lungo entrambi gli assi, in<br />
modo da concentrarlo. Infatti, incrociando due fasci, il numero <strong>di</strong> urti fra particelle aumenta se i fasci sono<br />
stretti, analogamente a come il numero <strong>di</strong> incidenti aumenta quando una strada <strong>di</strong>venta più stretta.<br />
Scopo <strong>di</strong> questo ‘esercizio’ [Christofilos, 1950; Courant et al., 1952] è mostrare che mettendo due quadrupoli<br />
magnetici ruotati <strong>di</strong> 90◦ uno dopo l’altro si riesce a focalizzare in entrambe le <strong>di</strong>rezioni.<br />
Conviene riscrivere l’effetto <strong>di</strong> un singolo quadrupolo usando la formulazione matriciale dell’ottica geometrica.<br />
In tale formulazione si stu<strong>di</strong>a l’evoluzione con z <strong>di</strong> (x, x ′ ) e <strong>di</strong> (y, y ′ ). Cioè x è la <strong>di</strong>stanza dall’asse ottico,<br />
ed x ′ è l’inclinazione rispetto all’asse ottico <strong>di</strong> un raggio. Nel caso dell’ottica si stu<strong>di</strong>ando raggi <strong>di</strong> luce, qui fasci<br />
<strong>di</strong> particelle. Attraversando un magnete quadrupolare <strong>di</strong> lunghezza ℓ si ha<br />
<br />
x(ℓ)<br />
x ′ <br />
(ℓ)<br />
dove le matrici <strong>di</strong> trasferimento sono<br />
<br />
cos kℓ sin(kℓ)/k<br />
Mx =<br />
<br />
−k sin kℓ cos kℓ<br />
= Mx<br />
<br />
x(0)<br />
x ′ <br />
y(ℓ)<br />
(0) y ′ <br />
(ℓ)<br />
<br />
1 ℓ<br />
−k2 <br />
, My =<br />
ℓ 1<br />
= My<br />
<br />
y(0)<br />
y ′ <br />
(0)<br />
<br />
cosh kℓ sinh(kℓ)/k<br />
<br />
k sinh kℓ cosh kℓ<br />
<br />
1 ℓ<br />
k2 <br />
ℓ 1<br />
La formulazione matriciale dell’ottica è conveniente perchè per stu<strong>di</strong>are l’effetto combinato <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong>versi<br />
basta moltiplicare le loro matrici. Quin<strong>di</strong> attraversando due quadrupoli ruotati <strong>di</strong> 90 ◦ a <strong>di</strong>stanza d fra loro si<br />
ha, assumendo per semplicità ℓ ≪ d, 1/k (lente sottile), le matrici <strong>di</strong> propagazione per raggi inclinati lungo x e<br />
lungo y sono, rispettivamente date dai prodotti Mx · M(d) · My e My · M(d) · Mx, che valgono<br />
<br />
1 ℓ ∼ 0<br />
±k2 <br />
·<br />
ℓ 1<br />
<br />
1 d<br />
·<br />
0 1<br />
Si ha focalizzazione in quanto l’elemento 21 è negativo.<br />
Senza assumere d ≫ ℓ si troverebbe<br />
<br />
1 ℓ ∼ 0<br />
±k2 <br />
<br />
ℓ 1<br />
1 d<br />
−dℓ 2 k 4 1<br />
(Mx · M(d) · My)21 −k 4 ℓ 2 (3d + 2ℓ)/3 (My · M(d) · Mx)21 −k 4 ℓ 2 (ℓ − 3d)/3<br />
cioè che serve d > ℓ/3, e che la lente è astigmatica (fx = fy).<br />
Ve<strong>di</strong>amo a livello quantitativo. Il massimo campo magnetico che si riesce a fare vale B ∼ Iµ/L ∼ 10 Tesla<br />
in quanto L ∼ 1 m, µ ∼ 1000µ0 ∼ 10 −3 Tesla · m/A e I ∼ 10 4 A. Per evitare enormi <strong>di</strong>ssipazioni <strong>di</strong> energia per<br />
effetto Joule si usano materiali superconduttori, che però funzionano solo a T < ∼ 5 K: serve molta energia per<br />
tenerli fred<strong>di</strong>. All’interno dei magneti si producono forze F ∼ ILB ∼ 10 5 N, quin<strong>di</strong> bisogna progettarli stando<br />
attenti alla stabilità meccanica, cioè che non facciano crac.<br />
Quin<strong>di</strong> 1/k = p/eb ∼ 10 m assumendo un ‘quadrupole field gra<strong>di</strong>ent’ b ∼ 250 Tesla/m e per p/e ∼<br />
10 TeV/ce = 10 13 eV/ce = 3 10 4 SI − units, che è circa l’energia delle particelle a LHC. La lunghezza focale vale<br />
f = 1/(dℓ 2 k 4 ), cioè decine <strong>di</strong> metri: una cosa ragionevole.<br />
<strong>Esercizio</strong> 104: Ottica geometrica matriciale<br />
Viene riassunto l’utilizzo delle matrici come formalismo conveniente per problemi <strong>di</strong> ottica geometrica.<br />
bSoluzione: L’ottica geometrica stu<strong>di</strong>a come si propagano raggi <strong>di</strong> luce. Un raggio che si propaga lungo ‘l’asse<br />
ottico’ z nel piano xz è descritto da due quantità: la posizione x(z) e l’inclinazione x ′ (z).<br />
Attraversando una <strong>di</strong>stanza ℓ vuota si ha ovviamente<br />
<br />
x(ℓ)<br />
x ′ <br />
x(0)<br />
= M(ℓ)<br />
(ℓ)<br />
x ′ <br />
(0)<br />
M(ℓ) =<br />
<br />
1 ℓ<br />
0 1
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 55<br />
a b<br />
x<br />
1 2 3 4<br />
Figura 7.1: Lente convergente.<br />
Attraversando una lente sottile <strong>di</strong> focale f cambia solo l’inclinazione del raggio. Esso varia <strong>di</strong> una quantità<br />
costante, chiamata ‘<strong>di</strong>stanza focale inversa’ 1/f:<br />
<br />
x<br />
x ′<br />
<br />
<br />
x<br />
= Mlente<br />
x ′<br />
<br />
<br />
1 0<br />
M =<br />
−1/f 1<br />
dopo<br />
prima<br />
Per il resto serve solo sapere come moltiplicare matrici: se X4 = M34X3 e X3 = M23X2 e X2 = M12X1,<br />
allora X4 = M34M23M12 cioè le matrici vengono moltiplicate ‘in or<strong>di</strong>ne inverso’: la prima (M34) è quella che<br />
corrisponde all’ultimo passo.Consideriamo ad esempio il sistema standard in fig. 7.1. La matrice <strong>di</strong> propagazione<br />
da 1 a 4 è<br />
M14 = M(b) · Mlente · M(a) =<br />
<br />
1 b<br />
·<br />
0 1<br />
<br />
1 0<br />
·<br />
−1/f 0<br />
<br />
1 a 1 − b/f a + b − ab/f<br />
=<br />
0 1 −1/f 1 − a/f<br />
I raggi <strong>di</strong>segnati convergono in un punto unico se l’elemento 12 della matrice totale vale zero, cioè se 1/a+1/b =<br />
1/f. Quando questa relazione è sod<strong>di</strong>sfatta si ha xC = (1 − b/f)xA: quin<strong>di</strong> 1 − b/f è il fattore <strong>di</strong> ingran<strong>di</strong>mento<br />
della lente. Se esso è negativo, l’immagine viene rovesciata.<br />
Quin<strong>di</strong> l’ottica matriciale consente <strong>di</strong> riprodurre i risultati noti per una lente. L’ottica matriciale è utile<br />
perchè consente <strong>di</strong> ottenere risultati non noti per sistemi arbitrari <strong>di</strong> lenti: basta moltiplicare le matrici delle<br />
singole componenti.<br />
<strong>Esercizio</strong> 105: Carica in B costante<br />
Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> carica q in un campo B costante<br />
bSoluzione: Risolvendo l’equazione del moto<br />
m ˙v = qv × B → ˙v = v × ωB ωB = qB<br />
m<br />
si trova che v ha una componente costante v parallela a B, ed una componente v⊥ ortogonale a B che ruota<br />
con frequenza ωB. Quin<strong>di</strong> fa una spirale. Chiamando a il raggio dell’orbita, si ha v⊥ = aωB i.e.<br />
p⊥ = aqB = c eV a q B<br />
m/s c m e Tesla<br />
= 300 MeV<br />
c<br />
a q B<br />
m e Tesla<br />
Avendo scritto questa equazione in termini dell’impulso p (invece che della velocità v), essa rimane valida<br />
anche per particelle relativistiche, per le quali p = mvγ = E/v; nel limite ultra-relativistico si ha p E/c,<br />
cioè l’impulso <strong>di</strong>venta proporzionale all’energia della particella. In fisica delle particelle si usano unità naturali<br />
(c = 1) ed impulso, massa ed energia sono tutte misurate in eV o multipli (keV, MeV, GeV, TeV,. . . ).<br />
Questa equazione <strong>di</strong>ce la massima energia che un acceleratore circolare può raggiungere: tenendo conto che<br />
il massimo campo magnetico che si riesce a fare è circa B ≈ 10Tesla, e che per motivi economici il massimo<br />
raggio <strong>di</strong> un collider è a ≈ 5km, si ottiene E ≈ p⊥ ≈ 15TeV. Il collider <strong>di</strong> protoni LHC raggiungerà per la<br />
z
56 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
Magnetic field in Gauss<br />
10 15<br />
10 10<br />
10 5<br />
1<br />
10 -5<br />
10 -10<br />
Neutron<br />
stars<br />
White<br />
dwarfs<br />
man Solar<br />
spots<br />
10 3 GeV<br />
Particle accelerators<br />
10 11 GeV<br />
1 10 5 10 10<br />
GRB<br />
Size in km<br />
Supernova<br />
shocks<br />
10 19 GeV<br />
AGN<br />
jets<br />
Galaxy<br />
clusters<br />
10 15 10 20<br />
Figura 7.2: Massima energia raggiungibile da acceleratori <strong>di</strong> particelle in funzione della loro <strong>di</strong>mensione e del<br />
loro campo magnetico.<br />
prima volta questa energia nel 2008. (Collider in cui vengono fatti girare elettroni, invece che protoni, sono più<br />
fortemente limitati dall’irraggiamento, come <strong>di</strong>scusso a pagina 128.)<br />
La figura 7.2 mostra la massima energia a cui vari oggetti (se fossero 100% efficienti) potrebbero accelerare<br />
particelle. Sono stati osservati raggi cosmici fino a circa 10 11 GeV (probabilmente sono protoni, o forse nuclei)<br />
e gli unici can<strong>di</strong>dati plausibili sono Gamma Ray Bursts oppure Active Galactic Nuclei. (Galaxy clusters sono<br />
lenti ed avrebbero bisogno <strong>di</strong> più tempo; nelle stelle <strong>di</strong> neutroni le particelle irraggiano troppo).<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Un televisore ha <strong>di</strong>mensioni a ∼ 0.1m ed usa elettroni accelerati per una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale <strong>di</strong> 1000<br />
V, che quin<strong>di</strong> acquistano energia cinetica K ∼ keV e impulso p = √ 2mK = 0.03 MeV/c. Il campo magnetico<br />
usato per defletterli sul punto giusto dello schermo vale quin<strong>di</strong><br />
B = 1 Tesla e<br />
q<br />
m<br />
a<br />
p<br />
300 MeV/c ≈ 10−3 Tesla<br />
p è stato scelto abbastanza alto in modo che B sia abbastanza maggiore del campo magnetico terrestre (B ∼<br />
0.5 10 −4 Tesla), che altrimenti <strong>di</strong>storcerebbe le immagini.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Nei problemi successivi stu<strong>di</strong>eremo moti in campi magnetici più generali, che tendono a dare moti complicati:<br />
le particelle spiraleggiano attorno a qualche traiettoria me<strong>di</strong>a. La cosa interessante da calcolare è la traiettoria<br />
me<strong>di</strong>a, cioè la ‘velocità <strong>di</strong> drift’. Da questo punto <strong>di</strong> vista il moto in un campo magnetico costante è quin<strong>di</strong><br />
semplicemente un moto a velocità costante lungo le linee del campo, a meno <strong>di</strong> girellamenti.<br />
<strong>Esercizio</strong> 106: Campo magnetico galattico<br />
Stimare quando è grande il campo magnetico galattico, assumendo che l’energia cinetica in particelle sia<br />
comparabile all’energia in campo magnetico. Che energia deve avere un protone affinchè arrivi deflesso <strong>di</strong><br />
poco?<br />
bSoluzione: La galassia contiene, in me<strong>di</strong>a, un atomo <strong>di</strong> idrogeno per cm 3 con velocità v ∼ km/sec. Quin<strong>di</strong>,<br />
assumendo<br />
ρ mv2<br />
2<br />
∼ B2<br />
2µ0<br />
si ottiene B ∼ 10 −10 Tesla = 10 −6 G. Essendo debole le particelle cariche compiono circonferenze con raggio<br />
r = p/eB grosso, che ha comunque effetti importanti perchè anche la galassia ha una grossa <strong>di</strong>mensione d ∼
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 57<br />
Mpc = 3 · 10 19 km: un protone <strong>di</strong> impulso p viene deflesso <strong>di</strong> un angolo<br />
θ ≈ d deB d<br />
= <br />
r p 1 Mpc<br />
B<br />
10−9 G<br />
3 10 19 eV<br />
E<br />
Quin<strong>di</strong> si può (o meglio potrà) fare astronomia solo con i pochissimi protoni che arrivano con energia Ep > ∼ 1020 eV.<br />
Quelli con energia minore spiraleggiano nella galassia e la loro <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> arrivo non dà nessuna informazione<br />
sulla sorgente che li ha generati.<br />
Ha interesse sapere quanto camminano raggi cosmici <strong>di</strong> velocità v in un tempo T (ad esempio un Myr). A<br />
gran<strong>di</strong> energie tali che B può essere trascutao si ha D = vT . A basse energie si ha un random walk con un<br />
passo <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione R = p/qB ogni ∆t ∼ v/R.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Notare che per motivi completamente <strong>di</strong>versi, anche l’astronomia con neutroni, come l’astronomia con protoni,<br />
è possibile solo a energie En > ∼ 1020 eV. Infatti il neutrone decade dopo una <strong>di</strong>stanza r = cτnγ (la vita<br />
me<strong>di</strong>a a riposo vale τn = 886 sec), maggiore alla <strong>di</strong>mensione d della galassia se γ > ∼ 10 11 e cioè a grosse energie<br />
E = mnγc 2 .<br />
<strong>Esercizio</strong> 107: Paradosso<br />
Il seguente conto mostra che un gas <strong>di</strong> elettroni liberi è molto paramagnetico: “elettroni in un campo magnetico<br />
B iniziano a girare lungo circonferenze <strong>di</strong> raggio r = mev⊥/eB e quin<strong>di</strong> acquistano un <strong>di</strong>polo magnetico µ =<br />
evr = mev 2 /B e quin<strong>di</strong> producono M = Neµ i.e. χm = (Nemev 2 )/(µB 2 ).” Capire come mai è completamente<br />
cannato.<br />
bSoluzione: È chiaro che il risultato non ha senso: l’effetto non <strong>di</strong>pende dalla carica dell’elettrone (mentre se<br />
la carica fosse zero non ci dovrebbe essere nessun effetto) e <strong>di</strong>venta infinito quando B → 0 (mentre senza campo<br />
magnetico esterno non ci dovrebbe essere nessun effetto).<br />
È meno chiaro capire dove il ragionamento sballa. Il motivo è che abbiamo trascurato gli effetti al bordo;<br />
<strong>di</strong> solito lo si fa senza preoccuparsi troppo, ma in questo caso per B → 0 o e → 0 il raggio delle orbite <strong>di</strong>venta<br />
grosso, e quin<strong>di</strong> gli effetti al bordo <strong>di</strong>ventano cruciali.<br />
Fare il conto giusto è un po’complicato: uno deve prendere un volume finito e verificare che le orbite<br />
completamente esterne non contano nulla, le orbite completamente interne generano l’effetto <strong>di</strong>scusso sopra, le<br />
orbite che intersecano il bordo cancellano l’effetto. Questo non dovrebbe essere sorpendente, visto che ad ogni<br />
punto la me<strong>di</strong>a delle velocità v degli elettroni che arrivano è zero.<br />
Il libro <strong>di</strong> Peierls “Surprises in Theoretical Physics” mostra una spiegazione geometrica, mostra come evitare<br />
<strong>di</strong> calcolare effetti che si cancellano, e l’estensione al caso quantistico.<br />
<strong>Esercizio</strong> 108: Ciclotrone a raggio costante<br />
Provare a costruire un ciclotrone che acceleri particelle facendole muovere su <strong>di</strong> un cerchio <strong>di</strong> raggio costante r.<br />
bSoluzione: Sarà necessario un campo magetico non uniforme B(r, t). Infatti si vuole che l’impulso della<br />
particella segua p(t) = erB(r, t) con r costante. Ma l’equazione del moto è<br />
˙p = F = eE = e ˙ ΦB<br />
2πr<br />
Deve quin<strong>di</strong> essere ˙ ΦB = 2 × πr 2 ˙ B. Se il campo magnetico fosse uniforme si avrebbe invece ˙ ΦB = πr 2 ˙ B ed<br />
il moto della particella non avverrebbe a raggio costante (e.g. nel caso a<strong>di</strong>abatico <strong>di</strong>scusso in seguito si ha<br />
r(t) ∝ 1/ B(t)). Serve quin<strong>di</strong> che B(r) sia più grande nella zona centrale.<br />
<strong>Esercizio</strong> 109: Spettrometro<br />
Mostrare come un campo magnetico costante permette <strong>di</strong> selezionare particelle con dato q/m se uno ha un<br />
fascio monoenergetico.<br />
bSoluzione:
58 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
Figura 7.3: Fig. 7.3a: esempio <strong>di</strong> moto in E, B costanti <strong>di</strong> due particelle con carica opposta. Fig. 7.3b:<br />
fotomoltiplicatore in campo magnetico.<br />
<strong>Esercizio</strong> 110: Carica in B ed E costanti<br />
Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> carica q in campi E e B costanti.<br />
bSoluzione: In generale possiamo assumere B = (0, 0, Bz) e E = (0, Ey, Ez). L’equazione del moto (nel limite<br />
non relativistico), scritta in componenti è<br />
La soluzione è<br />
vx = vrot cos(ωBt) + Ey<br />
m ˙vx = qvyBz m ˙vy = q(Ey − vxBz) m ˙vz = qEz<br />
Bz<br />
E<br />
L<br />
vy = −vrot sin(ωBt) vz = q<br />
m Ezt (ωB = qBz<br />
) (7.1)<br />
m<br />
Il moto lungo z (in generale, lungo B) non si mescola con gli altri ed è ovvio. Lungo x, y la carica oltre a<br />
ruotare fa un drift costante lungo x (in generale lungo E × B). La rotazione <strong>di</strong>pende da q, ma il drift no.<br />
(Sub-esercizio: <strong>di</strong>scutere il limite q → 0). Il moto globale è illustrato in fig. 7.3a per cariche con segno opposto.<br />
Se particelle cariche entrano in una zona dove i campi elettromagnetici sono costanti ed hanno solo componenti<br />
Ey e Bz, quelle con vx = Ey/Bz viaggiano imperturbate. Sfruttando questo fenomeno si può ottenere un fascio<br />
monoenergetico (ad esempio utilizzabile nello spettrometro dell’esercizio precedente).<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Per ottenere in modo facile ed istruttivo la soluzione (7.1) conviene passare ad un nuovo sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
S ′ dove E e B sono paralleli, avendo solo una componente lungo z, tramite una trasformazione Galileiana<br />
vx = v ′ x + Ey/Bz (in generale con un boost B × E/B 2 ). In tale sistema S ′ la particella gira attorno al campo<br />
magnetico costante.<br />
Teoricamente questo equivale a <strong>di</strong>re che sotto una trasformazione galileiana v = v ′ + β i campi elettromagnetici<br />
trasformano come<br />
E ′ = E + β × B + · · · , B ′ = B + · · · (E · B = E ′ · B ′ )<br />
come segue imme<strong>di</strong>atamente inserendo v = v ′ +β in F = q(E+v×B) e riscrivendola come F ′ = q(E ′ +v ′ ×B ′ ).<br />
Queste trasformazioni sono corrette solo all’or<strong>di</strong>ne più basso in β. Ad or<strong>di</strong>ni superiori il risultato non sarebbe<br />
consistente perchè le equazioni <strong>di</strong> Maxwell sono Lorentz-invarianti mentre quella <strong>di</strong> Newton è Galileo-invariante.<br />
Einstein mo<strong>di</strong>ficò F = ma in modo da renderla relativisticamente invariante, permettendo <strong>di</strong> <strong>di</strong>scutere i termini<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne più alto in β, qui in<strong>di</strong>cati con · · · Se non è verificata la con<strong>di</strong>zione E/B ≪ c questi termini mancanti<br />
<strong>di</strong>ventano importanti. Se E/B > c vedremo che si può invece passare ad un sistema dove B = 0. <strong>Fisica</strong>mente,<br />
questo corrisponde ad avere un campo elettrico così forte che B non ce la più ad incurvare l’orbita.<br />
B<br />
γ<br />
d<br />
x<br />
z<br />
y
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 59<br />
<strong>Esercizio</strong> 111: Fotomoltiplicatore in B, E<br />
Stu<strong>di</strong>are <strong>di</strong> quanto viene ridotta l’efficienza <strong>di</strong> un fotomoltiplicatore con E = kV/cm se viene posto in un campo<br />
magnetico B = Tesla a 45 gra<strong>di</strong> (figura 7.3).<br />
bSoluzione: Un fotomoltiplicatore è un aggeggio simile ad un televisore che accelera elettroni (generati da<br />
ionizzazioni γ, . . . ) facendoli sbattere su <strong>di</strong> uno schermo in modo da renderli rilevabili. Nei rivelatori <strong>di</strong><br />
particelle a volte si mettono campi magnetici, che incurvano le traiettorie <strong>di</strong> particelle ed anti-particelle in<br />
<strong>di</strong>rezioni opposte e con raggi che <strong>di</strong>pendono dalla loro massa, in modo da poterle <strong>di</strong>stinguere.<br />
Il campo elettrico <strong>di</strong> un fotomoltiplicatore è orientato in modo da accelerare gli elettroni verso lo schermo.<br />
Ma se c’è un campo magnetico gli elettroni non vanno nella <strong>di</strong>rezione desiderata. Capire dove vanno è<br />
un’applicazione dell’esercizio precedente. All’inizio gli elettroni hanno velocità zero, quin<strong>di</strong> nella (7.1) mettiamo<br />
vrot = −Ey/Bz. Una particella che parte da (x, y, z) = (0, 0, 0) segue il percorso<br />
x = Ey<br />
(tωB − sin tωB), y =<br />
BzωB<br />
Ey<br />
(1 − cos tωB), z =<br />
BzωB<br />
eEz<br />
t<br />
2me<br />
2<br />
Numericamente la frequenza ωB ed il raggio <strong>di</strong> spiraleggiamento a valgono<br />
ωB = eB<br />
= 1.7 10<br />
me<br />
11 Hz, vrot = Ey<br />
Bz<br />
cioè a è miscoscopico. Quin<strong>di</strong> in pratica gli elettroni<br />
(A) ruotano su circonferenze <strong>di</strong> raggio trascurabile;<br />
4 m vrot<br />
= 7 10 , a = = 4 µm<br />
s<br />
(B) driftano lungo x con velocità vrot ∼ 2 10 −4 c: è un effetto trascurabile.<br />
(C) accelerano raggiungendo v ∼ 0.1c lungo B e non più lungo E. Questo è l’effetto importante.<br />
A causa <strong>di</strong> (C) una frazione d/L degli elettroni (cioè quelli che vengono ionizzati nella zona in cima a destra del<br />
fotomoltiplicatore in fig. 7.3) vanno a sbattere sulle pareti laterali invece <strong>di</strong> venir rilevati sullo schermo. Ridurre<br />
il campo magnetico o aumentare quello elettrico non migliora la situazione, fino a quando a ≪ d.<br />
<strong>Esercizio</strong> 112: Accelerazione <strong>di</strong> raggi cosmici?<br />
[Dal compito del 19/1/2006]. Un ‘raggio cosmico’ (cioè una particella <strong>di</strong> massa m e carica q) entra con velocità<br />
v non relativistica in una ‘nuvola magnetica’, schematizzata come una regione <strong>di</strong> spazio in cui è presente un<br />
campo magnetico B. Si trascuri l’irraggiamento.<br />
a) Calcolare ∆E = Eout − Ein.<br />
La nuvola contenente il campo magnetico B sia ora in moto con velocità V molto minore <strong>di</strong> v.<br />
b) Calcolare ∆E assumendo la particella che attraversi una regione in cui B è costante (e quin<strong>di</strong> compia un<br />
arco <strong>di</strong> circonferenza rispetto al sistema <strong>di</strong> riferimento S ′ nel quale la nuvola è in quiete, ve<strong>di</strong> figura <strong>di</strong><br />
sinistra). Suggerimento: si stu<strong>di</strong> la <strong>di</strong>namica nel sistema S ′ .<br />
c) Si <strong>di</strong>ca per quali valori <strong>di</strong> B l’irraggiamento è trascurabile. Si <strong>di</strong>a il valore numerico nel caso <strong>di</strong> un elettrone<br />
con V/v ∼ 10 −10 (q ∼ 10 −19 Coulomb, m ∼ 10 −30 kg, ɛ0 ∼ 10 −11 Coulomb 2 /m 2 · Newton).<br />
v<br />
B<br />
V<br />
v<br />
ωB<br />
V<br />
θout<br />
B
60 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
d) Calcolare nuovamente ∆E in funzione dell’angolo <strong>di</strong> uscita θ ′ out (come misurato nel sistema S ′ ) assumendo<br />
che il moto sia come nella figura <strong>di</strong> destra: v antiparallelo a V . Si calcoli il valore me<strong>di</strong>o 〈∆E/E〉<br />
assumendo che il moto dentro la nuvola abbia completamente randomizzato θ ′ out.<br />
bSoluzione:<br />
a) 0: l’unica forza è <strong>di</strong> tipo magnetico, per cui Eout = Ein.<br />
b) Una volta capito che si tratta soltanto <strong>di</strong> un urto elastico (come quello <strong>di</strong> una pallina su <strong>di</strong> una racchetta<br />
da tennis), è banale rispondere:<br />
∆E = m<br />
2 (v − 2V )2 − m<br />
2 v2 −2mv · V<br />
Una pallina in un sistema contenente racchette in moto casuale viene, dopo tanti urti, in me<strong>di</strong>a accelerata,<br />
in quanto è più probabile andare a sbattere su <strong>di</strong> una racchetta in moto verso la pallina (v · V < 0) che<br />
non in <strong>di</strong>rezione opposta. Similmente con tante nuvole magnetiche in moto casuale. Questa è la base del<br />
meccanismo <strong>di</strong> Fermi.<br />
b ′ ) Lo stesso conto lo si può fare notando che, quando la nuvola magnetica è in moto, è presente un campo<br />
elettrico E −V ×B (che sarebbe orizzontale nella figura). Come visto precedentemente questo produce<br />
un moto contro-intuitivo, ma la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> energia può essere calcolata in modo semplice:<br />
<br />
<br />
∆E = F · ds = F<br />
dy = q|E|∆y = q · (−V B)(2 mv<br />
cos θ)<br />
qB<br />
dove ∆y = 2R cos θ è la <strong>di</strong>stanza fra il punto <strong>di</strong> ingresso e quello <strong>di</strong> uscita, R = mv/qB è il raggio<br />
dell’orbita circolare, e θ è l’angolo fra v e V . Inserendo i valori espliciti si ottiene nuovamente lo stesso<br />
risultato.<br />
c) La carica percorre per un tempo T ∼ R/v un arco <strong>di</strong> circonferenza <strong>di</strong> raggio R = mv/qB durante cui<br />
irraggia<br />
Eirraggiata = W · T ∼ Bq3 v 2<br />
ɛ0c 3 m<br />
Si ha Eirraggiata ≪ ∆E per B ≪ c 3 ɛ0m 2 (V/v)/q 3 ∼ 10 10 Tesla(V/v) ∼ Tesla.<br />
d) Nel caso del problema θin = 0. In generale, procedendo<br />
come al punto b) si ha<br />
quin<strong>di</strong><br />
E ′ in = γEin(1 − V cos θin/c), E ′ out = E ′ in,<br />
Eout = γE ′ in(1 + β cos θ ′ out)<br />
Eout = γ 2 Ein(1 − V cos θin/c)(1 + V cos θ ′ out)<br />
In me<strong>di</strong>a 〈cos θ ′ out〉 = 0 e quin<strong>di</strong> 〈∆E〉θin=0 = −mV c.<br />
RIFARE SENZA USARE TRASF DI LORENTZ<br />
Nota. Nella realtà anche θin segue una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità,<br />
p(θin) ∝ v−V cos θin (e.g. p(0)/p(π) = (v−V )/(v+V ))<br />
per cui 〈cos θin〉 = −V/3c: <strong>di</strong>verso da zero perchè è più probabile<br />
andare a sbattere su <strong>di</strong> una nuvola che si avvicina,<br />
che su <strong>di</strong> una che si allontana. Quin<strong>di</strong> 〈∆E/E〉 = 4V 2 /3c 2 :<br />
in me<strong>di</strong>a i raggi cosmici in moto casuale vengono accelerati<br />
da nuvole magnetiche in moto casuale. Questo meccanismo <strong>di</strong><br />
accelerazione dei raggi cosmici venne proposto da Fermi. Probabilmente<br />
il meccanismo vero è una versione più complicata<br />
<strong>di</strong> questo.<br />
La pagina <strong>di</strong> quaderno a lato mostra la soluzione che Fermi<br />
<strong>di</strong>ede alla domanda b) <strong>di</strong> questo esercizio.
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 61<br />
<strong>Esercizio</strong> 113: Ciclotrone<br />
Mostrare che una particella libera <strong>di</strong> muoversi in un campo magnetico Bz ed in un campo elettrico oscillante<br />
Re Exe −iωt = Ex cos ωt viene accelerata lungo x.<br />
bSoluzione: Se E = 0 la carica gira nel piano xy: riottengo questa cosa nota usando un primo trucco<br />
matematico. Quando c’è roba che gira è utile introdurre z ≡ x + iy (attenzione: questo z non ha niente a che<br />
fare con l’asse z) in quanto girare nel piano xy con frequenza ω e raggio r viene descritto in modo più compatto<br />
come z = re −iωt . 1 In termini <strong>di</strong> z le equazioni del moto <strong>di</strong>ventano<br />
m¨x = q ˙yBz m¨y = −q ˙xBz : m¨z = −iq ˙zBz<br />
e quin<strong>di</strong> ˙z(t) = ˙z(0)e −iωBt con ωB = qBz/m. Aggiungendo il campo elettrico l’equazione del moto <strong>di</strong>venta<br />
m¨z = −iq ˙zBz + qExe −iωt<br />
: ˙z = iExq/m<br />
e<br />
ω − ωB<br />
−iωt<br />
dove abbiamo usato un secondo trucco matematico: abbiamo assunto z(t) ∝ e −iωt il che, come noto, trascura<br />
il transiente e fornisce solo l’orbita limite.<br />
Per ω = 0 si ritrova il drift a velocità costante vy = Ex/Bz precedentemente <strong>di</strong>scusso: grazie alla i esso è<br />
<strong>di</strong>retto lungo y.<br />
Per ω = 0 la carica q gira, acquistando una grossa velocità se ω = ωB. Intuitivamente la particella gira nel<br />
campo magnetico, ed ad ogni mezzo giro il campo elettrico viene riorientato in modo da essere sempre lungo il<br />
moto della particella, che quin<strong>di</strong> viene accelerata lungo una spirale. Come al solito questa tecnica trascura il<br />
transiente. Si può verificare che i raggi limiti ottenuti dalle seguenti similazioni numeriche sono in accordo con<br />
il valore atteso:<br />
ω / ωB = 0.8 ω / ωB = 0.9 ω / ωB = 1 ω / ωB = 1.1 ω / ωB = 1.2<br />
Quin<strong>di</strong> il ciclotrone è un modo <strong>di</strong> accelerare particelle in uno spazio ridotto. Aggiungendo un termine <strong>di</strong> attrito<br />
(che può essere causato da vari effetti fisici e.g. l’irraggiamento) il denominatore <strong>di</strong>venta ω − ωB + iγ, risonante<br />
ma finito per ω = ωB.<br />
La frequenza <strong>di</strong> rotazione ωB non <strong>di</strong>pende dall’energia della particella; questa semplificazione non è più<br />
vero quando la particella acquista un’energia relativistica: in tale caso <strong>di</strong>venta necessario variare ω in modo<br />
appropriato per ogni bunch.<br />
Uno potrebbe pensare che sia più complicato ma anche più conveniente mettere un campo elettrico che gira<br />
con la particella, in modo che E sia sempre <strong>di</strong>retto lungo v. In termini <strong>di</strong> numeri complessi un E ruotante nel<br />
piano xy si scrive come E = Ee −iωt (1, ±i, 0)/ √ 2. Il segno ± specifica la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> rotazione. L’equazione<br />
del moto <strong>di</strong>venta<br />
1 ± 1<br />
m¨z = −iq ˙zBz + q √ Ee<br />
2 −iωt .<br />
Cioè se metto senso <strong>di</strong> rotazione sbagliato non accelero nulla, e se lo metto giusto non guadagno quasi nulla.<br />
Infatti il campo elettrico oscillante può essere decomposto come sovrapposizione lineare <strong>di</strong> due campi che<br />
ruotano in <strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong>verse: (1, 0, 0) = (1, i, 0)/ √ 2 + (1, −i, 0)/ √ 2: uno è in risonanza e l’altro non ha effetto.<br />
1 Questo trucco viene usato in calcoli più complicati (meccanica quantistica,. . . ), per cui è utile vederlo all’opera in questo<br />
problema più semplice, dove non dà una grande semplificazione. Quin<strong>di</strong> se confonde le idee, conviene rifare i conti ritornando ad x<br />
ed y.
62 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
<strong>Esercizio</strong> 114: Carica in B con <strong>di</strong>rezione non uniforme<br />
Moto in un B la cui <strong>di</strong>rezione varia lentamente: stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> carica q in un campo<br />
magnetico con Bθ costante.<br />
bSoluzione: Le equazioni del moto in coor<strong>di</strong>nate cilindriche (ρ, θ, z), dove B ha una componente Bθ costante,<br />
sono<br />
aρ = ¨ρ − ρ ˙ θ 2 = −ωB ˙z, aθ = ρ ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ = 0, ¨z = ωB ˙ρ<br />
dove ωB ≡ qBθ/m. In prima approssimazione procede lungo le linee del campo facendo una spirale <strong>di</strong> raggio<br />
a. Quin<strong>di</strong> ρ = R e ˙ θ = v ||/R. Scriviamo la soluzione al primo or<strong>di</strong>ne perturbativo in a/R: la 1a equazione del<br />
moto fornisce ˙z = v 2 || /ωBR. Avendo assunto R ≫ a la velocità <strong>di</strong> drift è piccola: ˙z/v || ∼ a/R.<br />
Lo si può capire in modo intuitivo notando che per far curvare la traiettoria me<strong>di</strong>a lungo le linee del campo<br />
serve una forza <strong>di</strong>retta lungo ˆρ. Abbiamo visto all’esercizio precedente che il moto in B ed E ortogonali è un<br />
drift lungo B × E. In questo caso ˆρ × ˆ θ = ˆz.<br />
<strong>Esercizio</strong> 115: Carica in B con modulo non uniforme<br />
Moto in un B il cui modulo varia lentamente in <strong>di</strong>rezione ortogonale a B. Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong><br />
carica q in un campo magnetico B = (0, 0, Bz(x)).<br />
bSoluzione: Per semplicità assumiamo due valori costanti B1 < B2 = B1 + ∆B nei due semispazi x > 0 e<br />
x < 0 La particella si muove lungo semicirconferenze <strong>di</strong> raggi ri = mv/qBi con frequenza ω = qB/m (dove<br />
B ∼ (B1 + B2)/2). Ad ogni giro si sposta <strong>di</strong> ∆y = 2(r2 − r1) e quin<strong>di</strong> drifta con velocità<br />
v drift<br />
y<br />
≈ ω<br />
2π 2(r2 − r1) ≈ v⊥ B2 − B1<br />
=<br />
π B<br />
v⊥<br />
π<br />
r B2 − B1<br />
≈<br />
B r<br />
mv2 ⊥<br />
qB ∇B<br />
In generale la <strong>di</strong>rezione del drift è B × ∇B 2 ; il verso <strong>di</strong>pende da q ma la velocità <strong>di</strong> drift no.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
In generale ∇ × B = 0 implica che nè il modulo nè la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> B sono costanti, per cui si ha l’effetto<br />
combinato dei due drift <strong>di</strong>scussi in questo esercizio e nel precedente. Nel caso del campo magnetico <strong>di</strong> un filo,<br />
Bθ ∝ 1/ρ entrambi gli effetti producono un drift lungo z, con velocità<br />
vdrift = v2 || + v2 ⊥ /2<br />
ˆρ ×<br />
ωBρ<br />
ˆ B<br />
dove il versore ˆz è stato scritto in modo complicato in modo che la formula sia valida in generale per il moto<br />
con a ≪ ρ in un B 2-<strong>di</strong>mensionale (i.e. nel problema concreto B non <strong>di</strong>pende da z).<br />
<strong>Esercizio</strong> 116: Carica in B(t) uniforme<br />
Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> carica q libera <strong>di</strong> ruotare nel piano xy in un campo magnetico Bz(t) che<br />
viene lentamente variato da B0 a B1.<br />
bSoluzione: Assumiamo che B vari <strong>di</strong> poco in un giro: quin<strong>di</strong> le orbite sono approssimabili come circonferenze.<br />
Il loro raggio a è determinato da mv 2 /a = qvB. All’inizio la carica ha velocità v0 e quin<strong>di</strong> gira con raggio<br />
a0 = mv0/qB0. Alla fine avrà velocità v1 (da calcolare) e quin<strong>di</strong> girerà con raggio a1 = mv1/qB1.<br />
La forza magnetica non accelera le particelle, ma un campo magnetico Bz(t) induce un campo elettrico<br />
Eθ(t). Dall’equazione ∇ × E = − ˙ B segue 2πrEθ = ˙ Φ = πr 2 ˙ B. Denotando con v il modulo della velocità, la<br />
particella viene accelerata secondo<br />
m ˙v qEθ = qa(t)<br />
2<br />
˙Bz = m v ˙Bz<br />
2<br />
Bz<br />
cioè<br />
d v<br />
dt<br />
2<br />
0. (7.2)<br />
Quin<strong>di</strong> v 2 /Bz (o equivalentemente il flusso Φ ∝ Bza 2 , o equivalentemente il <strong>di</strong>polo magnetico µ = qav/2)<br />
sono invarianti a<strong>di</strong>abatici. La parola ‘a<strong>di</strong>abatico’ ed il ricordano che il tutto è vero solo nel limite <strong>di</strong> campo<br />
lentamente variabile.<br />
Bz
Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno 63<br />
Facciamo un esempio numerico: aumentiamo un campo magnetico da 0 a B = 1 Tesla in ∆t = 1 ms.<br />
Assumiamo che alla fine r = 1 m. Quin<strong>di</strong> alla fine p = eBr = 300 MeV. Verifichiamo se il moto della<br />
particella è a<strong>di</strong>abatico: l’energia ceduta in un giro vale e E · ds = e · 2πrEθ = e ˙ Φ = π keV, che è molto<br />
minore dell’energia. Equivalentemente, il numero <strong>di</strong> giri è molto grosso: Ngiri = ms/2πr ≈ 5 10 4 . Quin<strong>di</strong><br />
l’approssimazione a<strong>di</strong>abatica è buona, e <strong>di</strong>ce che r(t) ∝ B −1/2 (t).<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Riotteniamo lo stesso risultato in modo alternativo, approssimando la carica ruotante come un <strong>di</strong>polo magnetico.<br />
Questa approssimazione è possibile solo se la carica ruota veloce, cioè stiamo anche qui facendo<br />
l’approssimazione a<strong>di</strong>abatica. Una carica produce una corrente i = qω/2π e quin<strong>di</strong> un momento magnetico<br />
µ = πa 2 i = q<br />
2 a2 ω = q<br />
2m L dove L = mav = ma2 ω<br />
è il momento angolare.<br />
La forza su <strong>di</strong> un <strong>di</strong>polo magnetico <strong>di</strong>pende solo dal campo magnetico, secondo<br />
˙L = µ × B = e<br />
L × B.<br />
2m<br />
Una particella libera in un campo magnetico ruota sempre attorno ad esso, quin<strong>di</strong> L e B sono sempre paralleli,<br />
quin<strong>di</strong> L rimane costante in accordo con i nostri risultati precedenti.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Nel limite opposto, in cui µ non <strong>di</strong>pende da B, l’equazione del moto <strong>di</strong>ce che L gira attorno a B con<br />
frequenza ωL = eB/2m. In un linguaggio meno sofisticato, questo accade perchè il campo magnetico fa girare<br />
più veloce la carica, con frequenza ω + ωL (o più lenta: il segno sarà tale che la variazione <strong>di</strong> moto genera un<br />
campo magnetico che si oppone alla variazione del B esterno). Stu<strong>di</strong>amo un caso particolare importante per la<br />
teoria del magnetismo nella materia.<br />
<strong>Esercizio</strong> 117: Atomo in B(t) uniforme<br />
Stu<strong>di</strong>are come reagisce un atomo <strong>di</strong> idrogeno quando viene acceso lentamente un piccolo campo magnetico<br />
esterno.<br />
bSoluzione: Il problema è analogo a quello precedente, con la <strong>di</strong>fferenza che l’elettrone gira risentendo anche<br />
della forza <strong>di</strong> Coulomb, non solo del campo magnetico esterno. Possiamo quin<strong>di</strong> utilizzare ancora l’eq. (7.2),<br />
tenendo conto che ora il legame fra a(t) e v(t) è dato da mv 2 /a = −evB +e 2 /4πɛ0a 2 . Per semplicità, assumiamo<br />
che il campo magnetico <strong>di</strong>a una piccola correzione a v e quin<strong>di</strong> al raggio dell’orbita a, che in prima approssimazione<br />
rimane costante, al valore fissato dalla meccanica quantistica. Questa è l’unica <strong>di</strong>fferenza rispetto al caso<br />
precedente. Quin<strong>di</strong><br />
m ˙v = ea<br />
2 ˙ B → ω(t) ≡ v(t)<br />
= ω(0) + ωL(t)<br />
a<br />
dove ωL = eB/2m è detta frequenza <strong>di</strong> Larmour, che stiamo assumendo essere una correzione piccola, ωL ≪ ω.<br />
E.g. per B = Tesla viene ωL = 0.9 1011Hz, mentre gli atomi hanno frequenze tipiche ω ∼ 1016Hz. Quin<strong>di</strong><br />
ωL ≪ ω: l’approssimazione che stiamo usando è buona.<br />
<strong>Esercizio</strong> 118: Carica in B non uniforme<br />
Calcolare in approssimazione a<strong>di</strong>abatica la velocità <strong>di</strong> drift parallela al campo magnetico.<br />
bSoluzione: Nei vari casi precedentemente stu<strong>di</strong>ati abbiamo trovato ‘nuovi’ effetti: drifts ortogonali al campo<br />
magnetico. Ora stu<strong>di</strong>amo in dettaglio il ‘vecchio’ moto lungo le linee del campo magnetico, che in molti casi<br />
rimane il moto principale. Se il campo magnetico è uniforme, la carica procede con v || costante. Vogliamo<br />
vedere come procede in generale. Il risultato è:<br />
v 2 = v 2 || + v2 ⊥ = costante e v 2 ⊥/B = invariante a<strong>di</strong>abatico
64 Capitolo 7. Moto in campo magnetico esterno<br />
dove la prima costante del moto è l’energia (ovvio!). L’esistenza <strong>di</strong> un invariante a<strong>di</strong>abatico la si può capire<br />
intuitivamente dai problemi precedenti, dove la stessa espressione era invariante a<strong>di</strong>abatico. Nel caso precedente<br />
B <strong>di</strong>pendeva dal tempo (producendo un E), mentre ora <strong>di</strong>pende dallo spazio: ma dal punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong> una<br />
particella che cammina è come se B <strong>di</strong>pendesse dal tempo.<br />
Avendo capito intuitivamente perchè v 2 ⊥<br />
/B è invariante a<strong>di</strong>abatico, vogliamo <strong>di</strong>mostrarlo in modo rigoroso.<br />
Mettendo l’asse z lungo la linea <strong>di</strong> B si ha che una variazione <strong>di</strong> Bz(z) è accompagnata da un Bρ = −ρB ′ z(z)/2,<br />
in quanto questo è necessario per avere ∇ · B = 0. Per verificarlo basta usare la <strong>di</strong>vergenza in coor<strong>di</strong>nate<br />
cilinidriche, o imporre che il flusso <strong>di</strong> B su <strong>di</strong> un appropriato cilindretto sia zero.<br />
La componente Bρ contribuisce all’equazione del moto della carica q lungo z:<br />
¨z = − qvθBρ<br />
m − v2 ⊥ B<br />
2Bz<br />
′ z<br />
avendo usato vθ v⊥ e ρ mv⊥0/qBz0 in approssimazione a<strong>di</strong>abatica. Verifichiamo che v 2 ⊥ /Bz è costante:<br />
d<br />
dt<br />
v2 ⊥ = −<br />
Bz<br />
˙ Bz<br />
B2 v<br />
z<br />
2 ⊥ + 1 d<br />
Bz dt (v2 − v 2 ) = −B′ z<br />
˙zv<br />
Bz<br />
2 2 ˙z¨z<br />
⊥ − = −2<br />
Bz<br />
˙z<br />
(¨z +<br />
Bz<br />
v2 ⊥ B<br />
2<br />
′ z<br />
Bz<br />
in quanto l’ultima espressione coincide con l’equazione del moto.<br />
<strong>Esercizio</strong> 119: Intrappolamento magnetico<br />
Due spire circolari, <strong>di</strong> raggio a = 0.1 m e situate a z = ±d/2 (con d = 0.5 m) perpen<strong>di</strong>colarmente all’asse z,<br />
sono percorse da N = 1000 spire con corrente i = 1 A. Stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> a) un elettrone b) un gas <strong>di</strong> elettroni<br />
situati lungo l’asse z.<br />
bSoluzione: Lungo l’asse z il campo magnetico vale:<br />
2 µ0Nia<br />
Bz(z) =<br />
2<br />
<br />
(a 2 + (z − d/2) 2 ) −3/2 + (a 2 + (z + d/2) 2 ) −3/2<br />
.<br />
Il campo magnetico è minimo a z = 0 dove vale Bmin = Bz(0) = 0.64 10−3 Tesla. Il calcolo del punto dove il<br />
campo magnetico è massimo è analiticamente complicato ma numericamente imme<strong>di</strong>ato: in pratica B è massimo<br />
in prossimità dei centri delle spire, a z ≈ ±0.25 m dove vale Bmax = 6.3 10−3 Tesla.<br />
/2 compie<br />
) = 0<br />
Ve<strong>di</strong>amo in quali con<strong>di</strong>zioni l’approssimazione a<strong>di</strong>abatica è valida. Un elettrone con E⊥ = mev 2 ⊥<br />
circonferenze <strong>di</strong> raggio<br />
ρ = mv⊥<br />
eB =<br />
√ 2meE⊥<br />
eB<br />
= MeV/c<br />
<br />
E⊥<br />
eB MeV = 106 <br />
V E⊥<br />
Bc MeV = 3.3 m10−3 <br />
Tesla E⊥<br />
B MeV<br />
L’approssimazione a<strong>di</strong>abatica vale se ρ ≪ a, d quin<strong>di</strong> per E ≪ keV.<br />
Assumiamo che l’elettrone parta dall’origine con <strong>di</strong>rezione iniziale<br />
tan α = v⊥/v .<br />
Se α = 0 l’elettrone viaggia a velocità costante. Se α è abbastanza grosso<br />
rimane intrappolato ed oscilla avanti ed in<strong>di</strong>etro girellando lungo la linea <strong>di</strong><br />
campo (ve<strong>di</strong> figura).<br />
L’ampiezza delle oscillazioni si calcola, in generale, combinando la conserva-<br />
zione dell’energia v 2 con quella dell’invariante a<strong>di</strong>abatico v 2 ⊥<br />
/B. Al punto <strong>di</strong><br />
oscillazione massima si ha v = 0 il che corrisponde a v 2 = v 2 ⊥ Bmax/Bmin,<br />
dove Bmax è il massimo valore del campo magnetico che l’elettrone riesce a<br />
raggiungere. Si trova quin<strong>di</strong> sin 2 α = Bmin/Bmax. Nel nostro caso si hanno<br />
oscillazioni per sin 2 α > 0.1 cioè α > 18 ◦ .<br />
Se uno vuole intrappolare tanti elettroni, quelli con α < 18 ◦ scappano subito. Quelli con α > 18 ◦ rimangono,<br />
ma le collisioni fra <strong>di</strong> loro tendono a rendere la <strong>di</strong>stribuzione angolare isotropa (e la <strong>di</strong>stribuzione in energia<br />
Maxwelliana), generando altri elettroni con α < 18 ◦ che quin<strong>di</strong> mano a mano scappano. Per questo motivo<br />
questo tipo <strong>di</strong> ‘bottiglia magnetica’, inizialmente considerata come possibile tecnologia per fusione nucleare, è<br />
stata abbandonata.
Capitolo 8<br />
Induzione magnetica<br />
Le equazioni fondamentali sono ∇ × E = − ˙ B e F = q v × B. La prima implica che la f.e.m. ai capi <strong>di</strong> un<br />
circuito fermo in un campo B <strong>di</strong>pendente dal tempo vale E = − ˙ ΦB. La seconda <strong>di</strong>ce che la f.e.m. ai capi <strong>di</strong><br />
un circuito in modo in un campo magnetico B non uniforme vale E = − ˙ ΦB (come verificato nell’esercizio sulla<br />
centrale elettrica). Quin<strong>di</strong> le due equazioni fondamentali sono legate dal principio <strong>di</strong> relatività.<br />
<strong>Esercizio</strong> 120: Circuito allungato<br />
Un circuito rettangolare <strong>di</strong> reststenza R e lati ℓ fisso ed x variabile è immerso in un campo magnetico B<br />
ortogonale. La lunghezza x viene variata x = vt. Calcolare a) la corrente indotta, b) la forza esterna F ; c) la<br />
potenza W necessaria; d) la potenza <strong>di</strong>ssipata nella resistenza.<br />
bSoluzione:<br />
a) Φ = BLvt e quin<strong>di</strong> I = E/R = BLv/R.<br />
b) Fext = BIL = B 2 L 2 v/R in <strong>di</strong>rezione opposta al moto.<br />
c) Wext = F v.<br />
d) W = I 2 R = Wext. Tutto il lavoro fatto viene <strong>di</strong>ssipato tramite R.<br />
<strong>Esercizio</strong> 121: Circuito in moto<br />
Una spira rigida conduttrice <strong>di</strong> forma quadrata, con i lati <strong>di</strong> lunghezza ℓ paralleli all’asse x ed all’asse y, si<br />
muove nel piano xy <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> riferimento cartesiano ortogonale xyz con velocità iniziale v0 parallela<br />
all’asse x, nel suo verso positivo. All’istante t = 0 interseca la regione x ≥ 0 in cui risiede un campo magnetico<br />
B, uniforme e costante, <strong>di</strong>retto lungo l’asse z nel suo verso positivo.<br />
a) Calcolare, in funzione della velocità v, la corrente I circolante nella spira mentre penetra nella regione<br />
sede del campo magnetico;<br />
b) Calcolare la forza F agente sulla spira.<br />
c) Calcolare la minima velocità iniziale v min<br />
0<br />
del campo magnetico.<br />
d) Assumendo v0 > v min<br />
0<br />
e) Assumendo v0 < v min<br />
0<br />
bSoluzione:<br />
necessaria perché la spira penetri totalmente nella regione sede<br />
calcolare la carica totale circolata nella spira.<br />
calcolare la carica totale circolata nella spira.<br />
65
66 Capitolo 8. Induzione magnetica<br />
a) Nella spira si genera, per induzione, una f.e.m. E = − ˙ ΦB = −B ˙ S = −Bℓ ˙x = −Bℓv. Quin<strong>di</strong> I = E<br />
R =<br />
− Bℓv<br />
R . La forza sulla spira (mente penetra la regione x > 0, ma non è ancora entrata totalmente) è <strong>di</strong>retta<br />
lungo l’asse x ed è generata dall’interazione della corrente sul lato entrato totalmente e il campo magnetico<br />
(i contributi sui lati paralleli al moto si compensano e quello esterno non interagisce con alcun campo).<br />
b) Si ha F = BℓI = −B 2 ℓ 2 v/R (il segno − in<strong>di</strong>ca che è frenante, coerentemente con la legge <strong>di</strong> Lenz).<br />
c) L’equazione del moto per la spira, mentre penetra nella regione del campo magnetico, è m ˙v = −B2ℓ2v/R, ovvero ˙v + v/τ = 0 con τ = mR/B2ℓ2 . Quin<strong>di</strong> la velocità della spira varia nel tempo secondo v(t) =<br />
v0e−t/τ . La lunghezza del tratto <strong>di</strong> spira x(t) entrato nella regione del campo magnetico all’istante t<br />
(maggiore <strong>di</strong> zero) è quin<strong>di</strong> x(t) = t<br />
0 v(t)dt = v0τ(1 − e−t/τ ). Perché tutta la spira penetri (anche in un<br />
tempo infinito) deve perciò essere v0τ ≥ ℓ, da cui vmin 0 = ℓ/τ = B2ℓ3 /mR.<br />
d) La carica circolata si ottiene da<br />
<br />
Q = Idt =<br />
Se v0 > v min<br />
0<br />
<br />
E 1<br />
dt = −<br />
R R dΦB = − ∆ΦB<br />
R .<br />
la variazione <strong>di</strong> <strong>di</strong> flusso è Bℓ 2 e quin<strong>di</strong> Q = BI 2 /R.<br />
e) Se v0 < ¯v0 la spira non penetra totalmente nella regione del campo magnetico, ma solo <strong>di</strong> un tratto v0τ,<br />
e quin<strong>di</strong> (procedendo come nel caso precedente) Q = −Bℓv0τ/R = −mv0/Bℓ.<br />
La carica Q può anche essere <strong>di</strong>rettamente ottenuta dall’equazione del moto: ∆p = −mv0 = F dt =<br />
BℓIdt = Bℓ Idt = BℓQ.<br />
Come si produce la ‘corrente’?<br />
<strong>Esercizio</strong> 122: Centrale elettrica<br />
bSoluzione: Per trasformare energia meccanica in energia elettrica si può: a) far ruotare una spira in un campo<br />
magnetico costante (generato e.g. da un magnete); oppure b) far ruotare un campo magnetico attorno ad una<br />
spira ferma. In entrambi i casi vale E = − ˙ Φ, che segue dalle due <strong>di</strong>verse equazioni <strong>di</strong> base.<br />
a) Nel caso in cui la spira è ferma ed il campo magnetico ‘si muove’, E = − ˙ Φ segue <strong>di</strong>rettamente dalla seconda<br />
equazione <strong>di</strong> Maxwell, integrandola lungo la superficie della spira ed utilizzando il teorema <strong>di</strong> Ampere:<br />
<br />
<br />
E = E · ds = ∇ · E = − ˙B = − ˙ ΦB<br />
b) Nel caso in cui il campo magnetico è fermo e la spira si muove,<br />
E = − ˙ Φ segue dalla forza <strong>di</strong> Lorentz. Per vederlo consideriamo<br />
un caso concreto: un campo magnetico Bz (uniforme e<br />
parallelo all’asse z), ed una spira rettangolare <strong>di</strong> lati ∆x e<br />
∆y che facciamo ruotare attorno all’asse x: La forza magnetica<br />
ha una componente lungo il circuito solo sui lati esterni,<br />
Fx = q(v × B)x = qvyBz. Calcoliamo vy = ˙y <strong>di</strong>fferenziando<br />
y = 1<br />
2 ∆y cos θ(t). La forza Fx equivale ad un campo elettrico<br />
effettivo Ex = Fx/q, che non <strong>di</strong>pende da q. Il suo integrale<br />
<strong>di</strong> linea vale<br />
E =<br />
F<br />
q<br />
2 d<br />
· ds =<br />
2 dt ∆y · ∆x sin θ = − ˙ ΦB<br />
S<br />
In pratica la corrente viene prodotta tramite il metodo b): una spira viene fatta girare nel campo magnetico<br />
generato da un ferromagnete. È importante notare che l’energia elettrica non appare dal nulla, ed anzi è uguale<br />
all’energia meccanica spesa per far girare la spira (at esempio da una cascata, in una centrale idroelettrica).<br />
Infatti la fem fa muovere le cariche, che così acquistano anche una velocità vx: questo produce una ulteriore<br />
forza che si oppone al moto. Per fare la verifica quantitativa assumiamo che il sistema abbia una resistenza R<br />
S<br />
Bz<br />
θ<br />
x<br />
y
Capitolo 8. Induzione magnetica 67<br />
(che in pratica corrisponde ad un utente che utilizza la corrente elettrica): si genera allora una corrente I = E/R.<br />
La potenza elettrica vale W = E 2 /R = IE. Sui due lati <strong>di</strong> lunghezza ∆x della spira agiscono forze orizzontali<br />
Fy = ±IBz ∆x, e quin<strong>di</strong> per far girare la spira occorre compiere un lavoro meccanico Wext = 2|Fyvy|, che<br />
risulta esattamente uguale a W = IE. L’energia si conserva.<br />
<strong>Esercizio</strong> 123: L’eccezione<br />
Le due equazioni fondamentali sono sempre sostituibili da E = − ˙ Φ, o esiste l’eccezione che conferma la regola?<br />
bSoluzione: Si possono inventare esempi in cui E = − ˙ Φ fallisce ed occorre ripartire dalle equazioni <strong>di</strong> base. In<br />
questi esempi la forma del circuito lungo il quale si calcola il flusso non è ben definita:<br />
• Ondulatore (vedere Feynman).<br />
• Macchina unipolare: una sfera magnetizzata verticalmente contiene un B ∝ M viene fatta ruotare. Fra<br />
polo e contratto strisciante su equatore si crea una fem E ∝ drωrB, calcolabile anche come variazione<br />
del flusso <strong>di</strong> un circuito ruotante<br />
<strong>Esercizio</strong> 124: Circuito ruotante<br />
Un motorino fa ruotare una sbarretta conduttrice <strong>di</strong> lunghezza L attorno ad<br />
una estremità, con velocità angolare ω costante, facendo una circonferenza<br />
nel piano ortogonale ad un campo magnetico B costante. Ai due estremi<br />
della sbarretta è collegato un circuito che contiene una fem costante V ed una<br />
resistenza R.<br />
a) Calcolare la corrente I che passa nel circuito.<br />
b) Per quale valore <strong>di</strong> ω è possibile levare il motorino e la sbarretta continua<br />
a girare?<br />
bSoluzione:<br />
a) L’equazione del circuito è E = V + RI dove E = −B ˙ S dove ˙ S = L 2 ω/2 è la variazione <strong>di</strong> area.<br />
b) Per il valore <strong>di</strong> ω tale che E = V : in questo modo I = 0 e quin<strong>di</strong> la forza <strong>di</strong> Lorentz vale zero.<br />
<strong>Esercizio</strong> 125: Generatore in orbita<br />
Il campo magnetico terrestre all’equatore vale B0 = 0.5 G. Un satellite ruota con v = 7 km/ s su un orbita <strong>di</strong><br />
raggio R = 8000 km. Dal satellite pende un filo lungo L = 200 m. Calcolare la ddp ai suoi capi.<br />
bSoluzione: vB = Lv(R0/R) 3 ≈ 35 V, dove R0 è il raggio della terra. Facendo oscillare la lunghezza del filo<br />
si genera una corrente alternata. Il problema e’che facendo un circuito chiuso la fem si annulla. Per evitarlo si<br />
e’provato a chiudere il circuito sparando ioni.<br />
<strong>Esercizio</strong> 126: Cilindro ruotante<br />
Un cilindro conduttore viene fatto ruotare a velocità angolare ω parallela ad un campo magnetico costante B.<br />
Un contatto strisciante <strong>di</strong> resistenza R connette il bordo con il centro. Quanta corrente vi passa?<br />
bSoluzione:
68 Capitolo 8. Induzione magnetica<br />
Discutere i trasformatori.<br />
<strong>Esercizio</strong> 127: Trasformatore<br />
bSoluzione: Per trasmettere una data potenza W = V I da una centrale elettrica al luogo <strong>di</strong> consumo conviene<br />
utilizzare un grosso V ed una piccola I, in modo da ridurre la potenza RI2 <strong>di</strong>ssipata per effetto Joule lungo la<br />
linea <strong>di</strong> trasmissione. Ad esempio per trasmettere 10 kW a 100 V serve I = 100 A; se invece la trasmetto a 10<br />
kV basta I = 1 A, riducendo <strong>di</strong> un fattore 104 la potenza <strong>di</strong>ssipata nel filo.<br />
Per motivi <strong>di</strong> sicurezza l’energia elettrica va però venduta a basso voltaggio.<br />
È quin<strong>di</strong> essenziale che un<br />
trasformatore sappia convertire il voltaggio senza per<strong>di</strong>te. Un trasformatore si basa sull’induzione magnetica,<br />
che richiede correnti variabili. Per questo motivo le correnti alternate sono più usate <strong>di</strong> quelle continue.<br />
Le equazioni <strong>di</strong> base <strong>di</strong> un trasformatore sono<br />
V1 − ˙ Φ1 = V1 − L1 ˙<br />
I1 − M ˙<br />
I2 = R1I1<br />
− ˙ Φ2 = −L2 ˙<br />
I2 − M ˙<br />
I1 = R2I2<br />
e la quantità interessante da calcolare è il fattore <strong>di</strong> conversione V2/V1 = R2I2/V1.<br />
Nel limite ideale R1 = 0 ed R2 → ∞ viene I2 → 0 e quin<strong>di</strong> V2/V1 = M/L1 = N2/N1. Se I2 = 0 il secondo<br />
circuito reagisce sul primo. Per calcolare come assumo una fem alternata ˆ V1 = V1eiωt ed uso il metodo delle<br />
impedenze<br />
V1 = (R1 + iωL1)I1 + iωMI2 (R2 + iωL2)I2 + iωMI1 = 0<br />
da cui<br />
V2<br />
V1<br />
=<br />
−iωMR2<br />
(R1 + iωL1)(R2 + iωL2) + ω 2 M 2<br />
W2<br />
W1<br />
R2<br />
=<br />
R2 + IωL2<br />
M 2 ω 2<br />
(R1 + iωL1)(R2 + iωL2) + ω 2 M 2<br />
[i moduli quadri andrebbero presi con cura] La potenza trasmessa vale 1 se R1,2 → 0 e se il termine ω 2 (M 2 −<br />
L1L2) al denominatore vale zero. Questo corrisponde ad avere un trasformatore che non <strong>di</strong>sperde flusso. Il<br />
massimo valore possibile <strong>di</strong> M è M = √ L1L2.<br />
Assumendo accoppiamento perfetto e che R1 sia trascurabile<br />
V2<br />
V1<br />
<br />
L2<br />
= − = −<br />
L1<br />
N2<br />
N1<br />
È chiaramente importante avere ωL ≫ R, altrimenti W2/W1 ∼ L2/R2. Nel vuoto si ha L ∼ Nµ0d dove d è la<br />
<strong>di</strong>mensione del trasformatore ed N è il numero <strong>di</strong> spire. Per ω ∼ 100 Hz e d ∼ m viene ωL ∼ N 10 −7 Ω. Il ferro<br />
migliora la situazione <strong>di</strong> un fattore µ/µ0 ∼ 10 4 .<br />
<strong>Esercizio</strong> 128: Trasformatore con due spire<br />
Non si usa il ferro. Due spire concentriche, <strong>di</strong> raggi A ed a.<br />
bSoluzione: L ∼ µ0a, MAa µ0a 2 /2πA. MaA = MAa in modo non ovvio.<br />
<strong>Esercizio</strong> 129: Induzione<br />
Due circuiti hanno autoinduttanze L1 ed L2 e M. Stu<strong>di</strong>are cosa succede quando si connettono i fili in vario<br />
modo.<br />
bSoluzione: In generale<br />
E1 = −L1 ˙<br />
I1 − M ˙<br />
I2<br />
E2 = −L2 ˙<br />
I2 − M ˙<br />
I1<br />
con M > 0, avendo scelto stesse <strong>di</strong>rezioni per I ed E. (E = − ˙ Φ, posso fare lo stesso esercizio con Φ).<br />
• Se li attacco in serie dritti E = E1 + E2 e I = I1 = I2. Quin<strong>di</strong> ottengo un unico circuito con induttanza<br />
L = L1 + L2 + 2M.
Capitolo 8. Induzione magnetica 69<br />
• Se li attacco in serie a rovescio E = E1 − E2 e I = I1 = −I2. Quin<strong>di</strong> ottengo un unico circuito con<br />
induttanza L = L1 + L2 − 2M. Deve essere L > 0 e quin<strong>di</strong> M < (L1 + L2)/2.<br />
• Se li attacco in parallelo dritti E = E1 = E2 e quin<strong>di</strong><br />
I1 = −E L2 − M<br />
L1L2 − M 2 , I2 = −E L1 − M<br />
L1L2 − M 2 , I1 + I2 = I = −EL L = L1 + L2 − 2M<br />
L1L2 − M 2<br />
da cui M < √ L1L2, che è una con<strong>di</strong>zione più stringente. Notare che è possibile avere |M| ≫ √ L1L2,<br />
quando M < 0.<br />
• Se li attacco in parallelo a rovescio viene L = (L1 + L2 + 2M)/(L1L2 − M 2 ).<br />
• Se M = 0 le induttanze si combinano come le resistenze.<br />
Inventare un trapano<br />
<strong>Esercizio</strong> 130: Trapano<br />
bSoluzione: Iniziamo da un esercizio ideale: supponiamo <strong>di</strong> avere un campo magnetico con simmetria cilindrica<br />
Br = B0(r0/r). Verifica ∇ · B = 0 per r = r0.<br />
Una spira <strong>di</strong> lunghezza ℓ, nella quale viene fatta passare una corrente continua i, è libera <strong>di</strong> ruotare ra<strong>di</strong>almente.<br />
La forza <strong>di</strong> Lorentz sul lato superiore vale F+ = ℓiB(r+) e tende a far girare la spira; tuttavia sul<br />
lato inferiore si esercita una forza F− = −(r+/r−)F+ tale che il momento totale è zero. Se a uno piace complicarsi<br />
la vita e pensare in termini <strong>di</strong> ‘flusso tagliato’ questo accade perchè il flusso tagliato dal filo superiore<br />
(Φ = B(r+)ℓr+∆θ) è uguale ed opposto a quello tagliato da filo inferiore.<br />
Quin<strong>di</strong>, per ottenere un trapano funzionante, si elimina il filo inferiore rimpiazzandolo con il contatto mobile<br />
<strong>di</strong>segnato in figura<br />
F<br />
Stu<strong>di</strong>amo adesso come si fa ad ottenere il campo magnetico assunto. Non <strong>di</strong>sponendo <strong>di</strong> un filo <strong>di</strong> monopoli<br />
magnetici lo si può costruire con un magnete non su tutta la circonferenza ma solo su <strong>di</strong> una parte. Questo è<br />
ottenibile usando un magnete permanente. Nella parte <strong>di</strong> sotto il campo magnetico ‘tira dritto’ e produce un<br />
momento che tende a frenare la spira. Per evitare questo si può invertire il segno della corrente i quando fa il<br />
mezzo giro nella parte inferiore, utilizzando quin<strong>di</strong> una corrente alternata <strong>di</strong> frequenza uguale alla frequenza <strong>di</strong><br />
rotazione. Questa non è una buona soluzione, in quanto una presa <strong>di</strong> corrente da invece una corrente alternata<br />
<strong>di</strong> frequenza fissa, 60 Hz. Conviene quin<strong>di</strong> avvolgere un solenoide attorno ai magneti in modo da fargli creare un<br />
campo magnetico nella <strong>di</strong>rezione giusta quando ci passa la spira, in modo che venga sempre accelerata. Siccome<br />
far percorrere ad un magnete il suo ciclo <strong>di</strong> isteresi costa energia (a seconda <strong>di</strong> quanto è largo il ciclo <strong>di</strong> isteresi),<br />
si mettono due o più spire con correnti circolanti in senso opposto in modo da usare il campo magnetico quando<br />
punta in entrambe le <strong>di</strong>rezioni.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
La rotazione del filo produce una vθ e quin<strong>di</strong> una forza <strong>di</strong> Lorentz lungo il filo, e quin<strong>di</strong> una fem indotta<br />
E = −qr+Bωℓ che ad alta frequenza riduce la fem iniziale frenando la rotazione della spira Poi la spira produce<br />
a sua volta un campo magnetico: si ha anche un effetto <strong>di</strong> auto-induzione<br />
E = −qBr+ℓω = Ri + L <strong>di</strong>/dt I ˙ω = Br+ℓi<br />
F
70 Capitolo 8. Induzione magnetica<br />
da cui, senza fem esterna,<br />
dando oscillazioni smorzate.<br />
L d2ω dω<br />
+ R<br />
dt2 dt<br />
2 (Br+ℓ)<br />
+ q ω = 0<br />
I
Capitolo 9<br />
Forze magnetiche fra circuiti<br />
Hanno importanza soprattutto come esercizi in compiti.<br />
<strong>Esercizio</strong> 131: Due circuiti lunghi<br />
Si considerino i due circuiti rigi<strong>di</strong> in figura, con L ≫ d. a) De-<br />
terminare il coefficiente <strong>di</strong> mutua induzione. Due generatori <strong>di</strong><br />
corrente mantengono le correnti I1 ed I2 costanti. Le resistenze<br />
elettriche sono trascurabili. b) Determinare le forze esterne<br />
necessarie a mantenere i circuiti fermi come in figura. c) Lasciando<br />
libero uno dei circuiti <strong>di</strong> muovesi, determinare la sua energia<br />
cinetica a <strong>di</strong>stanza infinita.<br />
bSoluzione:<br />
a) Dominano le forze fra i fili lunghi. Chiamandoli 1,2,3,4 (dall’altro in basso)<br />
F = F14 + (F13 + F24) + F23 = µ0L<br />
<br />
I1I2 1 2<br />
− + 1 =<br />
2π d 3 2 µ0L I1I2<br />
2π 3d<br />
La forza è repulsiva.<br />
b) M < 0 in quanto i due circuiti sono ‘esterni’: uno prende il flusso dell’altro nella regione in cui B ‘torna<br />
in<strong>di</strong>etro’. Lungo il piano che contiene i due circuiti, a <strong>di</strong>stanza x dal filo 2<br />
B = µ0I1<br />
<br />
−<br />
2π<br />
1<br />
<br />
1<br />
+ , Φ(B) = L<br />
x x + d<br />
2d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
B dx = MI1<br />
M = − µ0L<br />
2π<br />
c) Sfruttiamo la conservazione dell’energia: UI + L = UF + K. K è l’energia cinetica che si vuole calcolare.<br />
UF ed UI sono le energie magnetiche, in generale date da U = LijIiIj. Alla fine L12 = M = 0 mentre<br />
all’inizio M ha il valore calcolato al punto b). L è il lavoro fatto dai generatori per mantenere costanti<br />
le correnti<br />
L =<br />
2<br />
<br />
IiEi dt =<br />
i=1<br />
2<br />
<br />
i=1<br />
Ii<br />
dΦi<br />
dt =<br />
dt<br />
I 1<br />
I 2<br />
ln 4<br />
3<br />
2<br />
Ii[ΦiF − ΦiI] = I1[0 − MI2] + I2[0 − MI1] = −2MI1I2<br />
i=1<br />
Quin<strong>di</strong> K = (UF −UI)+L = (1−2)MI1I2 = −MI1I2 > 0, in accordo con il fatto che la forza è repulsiva.<br />
c ′ ) Si può anche procedere in modo meno intelligente intergando la forza ricalcolata a <strong>di</strong>stanza r > d generica:<br />
F = F14 + (F13 + F24) + F23 = µ0L<br />
2π I1I2<br />
<br />
<br />
1 2 1<br />
− + =<br />
2d + r d + r r<br />
µ0L<br />
2π I1I2<br />
2d2 r(d + r)(2d + r)<br />
A grande <strong>di</strong>stanza r ≫ d deve ridursi alla forza fra due <strong>di</strong>poli magnetici µi = LdIi. Integrando K =<br />
F dr si ritrova il risultato precedente<br />
∞<br />
d<br />
71
72 Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti<br />
<strong>Esercizio</strong> 132: Rotazione <strong>di</strong> due spire circolari<br />
[Dal compito del 19/9/03] Due spire conduttrici circolari coplanari <strong>di</strong>poste nel piano xy hanno raggi <strong>di</strong>versi in<br />
modo trascurabile, sezione del filo trascurabile, resistenza R e coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione L. La spira interna<br />
è libera <strong>di</strong> ruotare attorno all’asse x e inizialmente percorsa da una corrente i0, mentre la spira esterna è fissa<br />
e collegata ad un generatore ideale <strong>di</strong> corrente che eroga la corrente I. Le correnti scorrono nello stesso verso.<br />
All’istante t = 0 ed in un tempo trascurabile rispetto al tempo caratteristico del sistema, la spira interna viene<br />
ruotata <strong>di</strong> 90 ◦ e fermata.<br />
a) Si calcoli la relazione tra il coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione L delle spire e quello <strong>di</strong> mutua induzione M sia<br />
al tempo t < 0 (quando le spire sono coplanari) sia a t > 0 (dopo aver effettuato la rotazione).<br />
b) Supponendo trascurabile la caduta ohmica nella spira interna durante la rotazione, si calcoli la corrente<br />
che circola in essa all’istante dell’arresto.<br />
c) Si calcoli il lavoro fornito dal generatore <strong>di</strong> corrente durante la rotazione.<br />
d) Sapendo che l’energia <strong>di</strong>ssipata nella spira interna per effetto Joule durante il tempo transitorio <strong>di</strong> scarica<br />
successivo alla rotazione della spira è LJ, si determini L.<br />
e) Si calcoli il lavoro meccanico Lmecc speso per far ruotare la spira.<br />
bSoluzione:<br />
a) All’inizio M0 = L. Dopo la rotazione, M = M1 = 0, come si può vedere da considerazioni <strong>di</strong> simmetria.<br />
b) Durante la rotazione la f.e.m. ai capi della spira interna è: E = −dΦ/dt = Ri. Siccome la rotazione<br />
avviene molto velocemente possiamo trascurare Ri, e quin<strong>di</strong> Φ = MI + Li rimane costante. Quin<strong>di</strong><br />
Li1 = Li0 + M0I cioè i1 = i0 + I.<br />
c) La conservazione dell’energia consente <strong>di</strong> calcolare il lavoro totale Lgen + Lmecc = U1 − U0, ma non le<br />
singole componenti.<br />
Il lavoro compiuto dal generatore <strong>di</strong> corrente si ottiene facilmente integrando la potenza <strong>di</strong>ssipata sia a<br />
causa della presenza della resistenza, sia dovuta alla forza elettromotrice indotta:<br />
Lgen =<br />
∆t<br />
0<br />
RI 2 − EI dt = RI 2 ∆t + I∆Φ = RI 2 ∆t + I∆(Mi)<br />
Per ∆t → 0 la <strong>di</strong>ssipazione ohmica <strong>di</strong>venta trascurabile. Essendo ∆(Mi) = −M0i0 = −Li0, risulta che<br />
Lgen = −Li0I. Verifica del segno: il sistema da solo tenderebbe ad aumentare I per opporsi alla variazione<br />
<strong>di</strong> Φ, che decresce. Siccome invece I viene mantenuta costante, il generatore riceve energia.<br />
d) Durante il transiente successivo alla rotazione l’energia immagazzinata nell’induttanza si <strong>di</strong>ssipa per effetto<br />
Joule, quin<strong>di</strong><br />
LJ = L<br />
2 i2 1 = L<br />
2 (i0 + I) 2 .<br />
e) Trascurando la <strong>di</strong>ssipazione Joule durante la veloce rotazione, dalla conservazione dell’energia segue che<br />
Lmecc = U1 − U0 − Lgen = L<br />
2 (i21 + I 2 ) − L<br />
2 (i20 + I 2 ) − M0Ii0 + LIi0 = L<br />
2<br />
I(I + 2i0)<br />
Calcolare il lavoro meccanico come integrale Lmecc = M dθ del momento delle forze sarebbe più<br />
complicato, ma consente <strong>di</strong> vedere subito che vale zero per I = 0.
Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti 73<br />
<strong>Esercizio</strong> 133: Una spira ed un <strong>di</strong>polo<br />
[Dal compito del 6/2/04] Un <strong>di</strong>polo magnetico con momento magnetico<br />
µ è posto al centro <strong>di</strong> una spira circolare <strong>di</strong> raggio a. Il sistema <strong>di</strong> assi<br />
cartesiani è fissato in modo che l’origine sia nel centro della spira e gli assi<br />
x e y nel suo piano. Il <strong>di</strong>polo viene fatto ruotare con velocità angolare<br />
costante ω nel piano x, z (ve<strong>di</strong> fig. 1)<br />
a) Si determini la corrente che scorre nella spira sapendo che essa<br />
ha una resistenza elettrica R (si trascuri il suo coefficiente <strong>di</strong><br />
autoinduzione).<br />
b) Si determini il momento meccanico esterno necessario a mantenere<br />
il <strong>di</strong>polo in rotazione.<br />
c) Si mostri che la potenza meccanica me<strong>di</strong>a fornita è eguale alla<br />
potenza <strong>di</strong>ssipata per effetto Joule.<br />
La spira sia connessa a un generatore <strong>di</strong> corrente costante I.<br />
x<br />
θ=ω(τ)<br />
d) Se il <strong>di</strong>polo ha massa m e si può muovere lungo z, si determini l’orientamento relativo della corrente nella<br />
spira e del <strong>di</strong>polo perche’ la forza lungo z sia <strong>di</strong> richiamo attorno al punto z = 0 e la frequenza delle sue<br />
piccole oscillazioni.<br />
bSoluzione:<br />
a) Il <strong>di</strong>polo magnetico è equivalente ad una spiretta <strong>di</strong> superficie s percorsa da corrente i tale che µ = si. La<br />
corrente nella spira grossa <strong>di</strong>pende dalla variazione del flusso <strong>di</strong> mutua induzione della spiretta sulla spira.<br />
È complicato calcolarlo, mentre è facile calcolare il coefficiente <strong>di</strong> mutua induzione M(θ) dalla spira sulla<br />
spiretta. Per via <strong>di</strong> un teorema generale i due coefficienti sono uguali. Ricordando che il campo magnetico<br />
nel centro della spira vale Bz = µ0I/2a abbiamo<br />
M(θ) = Φs(θ)<br />
I<br />
= µ0s<br />
2a<br />
cos θ.<br />
dove 0 ≤ θ ≤ π. Quin<strong>di</strong> il flusso indotto dalla spiretta (<strong>di</strong>polo) sulla spira è<br />
ΦS(θ) = i · M(θ) = µ0s · cos θ<br />
i =<br />
2a<br />
µ0µ<br />
cos ωt<br />
2a<br />
e non <strong>di</strong>pende dalla superficie s arbitraria della spiretta. La corrente I è data da<br />
I = E(t)<br />
R<br />
1 ∂ΦS(t) 1 µ0µω<br />
= − = sin ωt<br />
R ∂t R 2a<br />
b) Il momento meccanico esterno M deve essere opposto al momento delle forze dovuto all’interazione tra<br />
<strong>di</strong>polo e campo della spira, M = −µ × B, che ha solo componente<br />
My = µxBz = µBz sin ωt = µ2 µ 2 0ω<br />
4Ra 2 sin2 ωt<br />
c) La potenza W sviluppata dal momento delle forze esterne è<br />
eguale alla <strong>di</strong>ssipazione Joule WJ = E 2 /R.<br />
W = Myω = µ2 µ 2 0ω 2<br />
4Ra 2 sin 2 ωt<br />
d) Affinchè la forza sia <strong>di</strong> richiamo il potenziale U(z) = −µ · B deve essere minimo a z = 0, quin<strong>di</strong> µ e B<br />
devono essere concor<strong>di</strong>. La forza è:<br />
Fz = m¨z = µ ∂Bz<br />
∂z<br />
= µ ∂<br />
∂z<br />
µ0Ia 2<br />
2(a 2 + z 2 )<br />
= −3<br />
3/2 2<br />
da cui la frequenza delle piccole oscillazioni, ω = 3µ0I/2ma 3 .<br />
µ0Ia 2 z<br />
(a2 + z2 −3<br />
) 5/2 2<br />
Fig.1<br />
z<br />
µ0Iz<br />
a 3<br />
a<br />
y
74 Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti<br />
<strong>Esercizio</strong> 134: Monopolo magnetico<br />
Stu<strong>di</strong>are come reagisce una spira circolare <strong>di</strong> raggio a quando lungo il suo asse passa, a velocità v costante a)<br />
un <strong>di</strong>polo b) un monopolo magnetico.<br />
bSoluzione: Entrambi inducono un flusso indotto e quin<strong>di</strong> una fem E = − ˙ Φ. Se la spira ha auto-induttanza<br />
L trascurabile e resistenza R, misuro una corrente I = − ˙ Φ/R. Se invece la spira ha R trascurabile ed autoinduttanza<br />
L ho E = L ˙ I e quin<strong>di</strong> misuro una corrente I = I0 − Φ(t)/L. In generale succedono cose più<br />
complicate. Nel seguito stu<strong>di</strong>o questi due casi particolari.<br />
a) Dipolo magnetico. Usiamo lo stesso trucco usato alla domanda a) dell’esercizio precedente. Il coefficiente<br />
<strong>di</strong> mutua induzione della spirona sulla spiretta (<strong>di</strong>polo) è<br />
M =<br />
µ0a2 2(a2 + z2 ) 3/2 s cos θ, ΦD<br />
µ0a<br />
= iM =<br />
2<br />
2(a2 + z2 µ cos θ<br />
) 3/2<br />
dove θ è l’angolo che fa il <strong>di</strong>polo rispetto alla spira e z = vt.<br />
b) Monopolo magnetico. Un monopolo magnetico qM produrrebbe un campo magnetico a simmetria<br />
sferica, Br = qM /r 2 (la definizione della normalizzazione <strong>di</strong> qM è arbitraria). Non occorre fare l’integrale<br />
per calcolare il flusso raccolto dalla spira, che è semplicemente dato da qM per l’angolo solido sotteso dalla<br />
spira, 2π[1 − cos θsotteso]. Quin<strong>di</strong><br />
ΦM = 2πqM<br />
La figura mostra l’andamento temporale <strong>di</strong> Φ e ˙ Φ nei due casi.<br />
flusso<br />
tempo<br />
<br />
<br />
z<br />
1 − √ .<br />
z2 + a2 fem<br />
tempo<br />
Misurando una <strong>di</strong> queste quantità si ricava la velocità dell’oggetto che passa, e si <strong>di</strong>stingue se è un <strong>di</strong>polo<br />
(linea continua blu) o un monopolo (linea tratteggiata rossa) Il monopolo magnetico produrrebbe un segnale<br />
caratteristico, che nessuno ha mai visto.<br />
Notare che i due risultati sono legati da dΦM /dz = ΦD/d: infatti due monopoli magnetici qM a <strong>di</strong>stanza<br />
d = µµ0 cos θ/4πqM piccola formano un <strong>di</strong>polo magnetico µ. 1<br />
<strong>Esercizio</strong> 135: Traslazione <strong>di</strong> due spire circolari<br />
[Dal compito del 25/9/02] Una spira circolare conduttrice giace vincolata su <strong>di</strong> un piano parallelo a <strong>di</strong>stanza z<br />
1Teorici ritengono che i monopoli debbano esistere, abbiano carica qM ∼ ¯h/2qE e forse massa M ∼ 1016mp, ma che dopo<br />
l’inflazione ne siano rimasti troppo pochi per essere osservati. Un elettrone sull’anello aquista impulso<br />
<br />
∆Φ 2qEqM<br />
pr = qEErdt =∼ qE ∼<br />
2πa a<br />
Imponendo la quantizzazione del momento angolare L = apr = ¯h si trova qEqM = ¯h/2. Torna ma non sono sicuro sia corretto,<br />
bisogna capire il significato <strong>di</strong> ∆Φ = 0. Probabilmente per rendere consistenti le eq. <strong>di</strong> Maxwell mo<strong>di</strong>ficate bisogna aggiungere una<br />
JM
Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti 75<br />
dal piano <strong>di</strong> una seconda spira. La resistenza, il coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione e quello <strong>di</strong> mutua induzione della<br />
spira superiore siano R, L2, M. Il coefficiente <strong>di</strong> autoinduzione della spira inferiore sia L1. Si invii nella spira<br />
inferiore una corrente<br />
<br />
It/τ per t < τ<br />
i1(t) =<br />
I per t > τ<br />
Si determini<br />
a) La corrente i2(t) nella spira superiore;<br />
b) L’energia totale <strong>di</strong>ssipata nella resistanza R<br />
c) La carica Q che attraversa R<br />
Nell’ipotesi che la spira superiore <strong>di</strong> massa m sia libera <strong>di</strong> muoversi verticalmente lungo il suo asse parallelo al<br />
campo gravitazionale g, che R = 0 e che τ sia abbstanza piccolo in modo che M resti costante per 0 < t < τ si<br />
determini, ripetendo l’immissione della corrente i1<br />
d) la quota massima raggiunta dalla spira superiore, sapendo che in questa posizione il suo coefficiente <strong>di</strong><br />
mutua induzione è M ′ .<br />
bSoluzione:<br />
a) Per t < τ i2 è data dall’equazione<br />
risolta da<br />
<strong>di</strong>2 <strong>di</strong>1<br />
L2 + M<br />
dt dt + Ri2 = 0, i2(0) = 0<br />
i2(t) = MI<br />
Rτ (e−t/τ2 − 1)<br />
dove τ2 = L2/R. Per t > τ si ha <strong>di</strong>1/dt = 0 e quin<strong>di</strong><br />
i2(t) = i2(τ)e −(t−τ)/τ2 . La figura mostra il risultato per<br />
<strong>di</strong>versi valori <strong>di</strong> τ/τ2.<br />
b) L’energia <strong>di</strong>ssipata vale<br />
W =<br />
∞<br />
0<br />
dt R i 2 2(t) = I2 M 2<br />
0<br />
-IM/L2<br />
Rτ 2 [τ − τ2 + e −τ/τ2 τ2]<br />
Per τ2 ≪ τ si ha i2(τ) −IM/Rτ e W Rτ(MI/Rτ) 2 → 0 dominata da 0 < t < τ.<br />
Per τ2 ≫ τ si ha i2(τ) −IM/Rτ2 = −IM/L2 e W L2i 2 2(τ)/2 dominata da τ < t < ∼ τ2.<br />
c) La carica totale che attraversa la resistenza è calcolabile come<br />
Q =<br />
∞<br />
0<br />
dt i2 = −IM/R.<br />
Τ2Τ<br />
Τ2 =Τ<br />
Τ2 =<br />
0 Τ 2Τ 3Τ<br />
Il risultato è semplice e lo si può alternativamente ottenere senza nessun calcolo usando i2 = −E/R =<br />
− ˙ Φ/R e quin<strong>di</strong> Q = (Φi − Φf )/R = −MI/R. Per fare l’ultimo passaggio occorre notare che sia all’inizio<br />
che alla fine si ha i2 = 0 e quin<strong>di</strong> il flusso è semplicemente dato da Φ(t) = M(t)i1(t) (cioè Φi = 0 e<br />
Φf = MI).<br />
d) Per R = 0 si ha E = 0 = ˙ Φ quin<strong>di</strong> Φ = Mi1 + Li2 è costante. Siccome all’inizio Φ = 0 e siccome i1<br />
raggiunge subito il valore costante i1(t > τ) = I, alla massima quota si ha i2 = −M ′ I/L2. Imponiamo<br />
adesso la conservazione dell’energia, tenendo conto che un generatore genera la corrente i1. L’energia<br />
magnetica vale<br />
Umag = L1<br />
2 i2 1 + L2<br />
2 i2 2 + M(t)i1i2 = L1<br />
L’energia fornita dal generatore vale<br />
<br />
Lgen = i1E1 dt = I<br />
2 I2 − M 2 (t)<br />
2L2<br />
I 2 , ∆Umag = 1<br />
2 (M 2 − M ′2 ) I2<br />
d<br />
dt (Mi2 + L1i1) = (M 2 − M ′2 ) I2<br />
L2<br />
L2
76 Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti<br />
L’energia gravitazionale vale ∆Ugrav = mg ∆z. Imponendo ∆Umag + ∆Ugrav = Lgen si ottiene<br />
∆z = M 2 − M ′2<br />
2<br />
I2 .<br />
mgL2<br />
Come al solito il generatore contribuisce −2 volte la variazione <strong>di</strong> Umag.<br />
<strong>Esercizio</strong> 136: Molla magnetica<br />
[Dal compito <strong>di</strong> settembre 2004]. Una molla <strong>di</strong> lunghezza a riposo d, lunghezza<br />
iniziale ℓ = d/2, costante elastica k è costitituita da costituita da N ≫ 1 spire<br />
conduttrici <strong>di</strong> sezione circolare S ≪ d 2 (in modo da poter essere approssimata<br />
come un solenoide fitto e lungo) e resistenza trascurabile percorse da una<br />
corrente iniziale I0.<br />
a) Determinare come varia la corrente I se ℓ viene variato.<br />
b) Determinare il valore <strong>di</strong> I0 tale che ℓ = d/2 sia posizione <strong>di</strong> equilibrio.<br />
La corrente viene mantenuta costante al valore I0 da un generatore esterno,<br />
e la molla viene lentamente allungata fino a raggiungere la lunghezza <strong>di</strong><br />
riposo d.<br />
c) Calcolare il lavoro delle forze esterne.<br />
d) Calcolare la variazione <strong>di</strong> energia magnetica ed il lavoro compiuto dal<br />
generatore.<br />
bSoluzione:<br />
a) La corrente varia in modo da mantenere costante il flusso del campo magnetico Φ = LI con L = µ0SN 2 /ℓ.<br />
Quin<strong>di</strong> I = I0L0/L = I0(2ℓ/d).<br />
b) L’energia magnetica vale U = LI 2 /2 = Φ 2 0/2L = Fmagℓ dove Fmag = 2µ0I 2 0 SN 2 /d 2 e produce quin<strong>di</strong> una<br />
forza magnetica costante ed attrattiva Fmag. (Come noto la forza magnetica tende ad attirare fili percorsi<br />
da correnti nello stesso verso. Il calcolo esplicito partendo dalla forza <strong>di</strong> Lorentz è complicato in quanto<br />
la forza totale Fmag <strong>di</strong>pende da effetti ai bor<strong>di</strong>). Eguagliandola alla forza repulsiva elastica Fel = k(d/2)<br />
si trova I0 = d 3/2 k 1/2 /2NS 1/2 µ 1/2<br />
0 .<br />
c) La forza magnetica Fmag = µ0I 2 0 N 2 S/2ℓ 2 e la forza elastica sono state calcolate al punto b). Quin<strong>di</strong><br />
occorre fornire un lavoro Lmecc = −k/2(d/2) 2 + µ0I 2 0 N 2 S/2d. Inserendo il valore <strong>di</strong> I0 calcolato al punto<br />
b) si ottiene Lmecc = 0. La cancellazione non è dovuta a nessun motivo <strong>di</strong> principio.<br />
d) L’energia magnetica <strong>di</strong>pende da ℓ come Umag = LI 2 0 /2 ∝ 1/ℓ. Quin<strong>di</strong> ∆Umag = (I 2 0 /2)∆L = −µ0I 2 0 N 2 S/2d.<br />
Il bilancio energetico Lgen + Lmecc = ∆Umolla + ∆Umag consente <strong>di</strong> ricavare Lgen. Alternativamente, il<br />
calcolo <strong>di</strong>retto fornisce<br />
Dimostrare che F = − 1<br />
2 I2 dL/dx.<br />
<br />
Lgen =<br />
V I dt = I0∆Φ = I 2 0 ∆L = − µ0I 2 0 N 2 S<br />
d<br />
<strong>Esercizio</strong> 137: Forza dall’energia<br />
bSoluzione: Ricor<strong>di</strong>amo che nel caso analogo <strong>di</strong> forze fra conduttori ricavare la forza dall’energia elettrostatica<br />
era banale, eccetto che per il segno:<br />
2 CV<br />
Q = CV, U =<br />
2<br />
= Q2<br />
2C<br />
, F = +V 2<br />
2<br />
∇C, e.g. per un condensatore piano C = ɛ0<br />
S<br />
d
Capitolo 9. Forze magnetiche fra circuiti 77<br />
Il punto era che utilizzando F = −∇U dà forze con segno <strong>di</strong>verso a seconda <strong>di</strong> quale delle due formule per<br />
l’energia viene utilizzata: la scelta giusta era la seconda in quanto nel caso semplice (in assenza <strong>di</strong> batterie che<br />
fanno lavoro complicando il bilancio energetico) Q è costante mentre V varia quando uno cambia la geometria.<br />
Il modo pratico <strong>di</strong> fissare il segno era variare la <strong>di</strong>stanza d fra i piatti <strong>di</strong> un condensatore piano: siccome cariche<br />
opposte si attraggono e cariche uguali si respingono, è ovvio che i due piatti si attraggono. O anche che la forza<br />
cerca <strong>di</strong> aumentare S.<br />
Nel caso magnetico si hanno formule analoghe<br />
Φ = LI, U = LI2<br />
2<br />
Φ2<br />
2 S<br />
= , mbF = +I2 ∇L, e.g. L = µ0N<br />
2L 2 d<br />
Come prima, nel caso semplice <strong>di</strong> nessun generatore la corrente varia in modo da mantenere Φ costante, quin<strong>di</strong><br />
si utilizza la seconda espressione per U. Da capo, è banale verificare il segno in un caso semplice: un solenoide<br />
ideale: siccome correnti concor<strong>di</strong> si attirano e correnti in verso opposto si respingono, si deve avere una forza<br />
che tende ad avvicinare ed allargare le spire, in accordo con L ∝ S/d.<br />
Applicazione pratica <strong>di</strong> questa formula sono esercizi tipo: un sbarra <strong>di</strong> ferromagnete con µ = 10 3 µ0 viene<br />
inserita parzialmente in un solenoide. Mostrare che viene attratto dentro.<br />
<strong>Esercizio</strong> 138: Attrazione o repulsione?<br />
Perchè due cariche uguali si respingono, mentre due fili con correnti uguali si attraggono?<br />
bSoluzione: Non esiste un modo semplice <strong>di</strong> vederlo sapendo solamente che u = ɛ0E 2 /2 + B 2 /2µ0. Invece <strong>di</strong><br />
cariche e fili consideriamo piani che rendono la geometria più semplice.<br />
• La pressione elettrostatica su <strong>di</strong> un piano con densità <strong>di</strong> carica superficiale σ = ɛ0(E2⊥ − E1⊥) vale<br />
±p = σ E1⊥ + E2⊥<br />
2<br />
= ∆( ɛ0<br />
2 E2 ⊥) = ∆uE<br />
uE = ɛ0<br />
2 E2<br />
avendo usato il fatto che E è continuo. Per determinare il segno pensiamo a due piani xy paralleli con<br />
densità <strong>di</strong> cariche ±σ: essi si attraggono, tendendo a minimizzare l’energia uE.<br />
• La pressione magnetostatica su <strong>di</strong> un piano con densità <strong>di</strong> corrente superficiale Υ = (B=2 − B=1)/µ0 vale<br />
±p = Υ B1= + B2=<br />
2<br />
= ∆( B2 =<br />
) = ∆uM<br />
2µ0<br />
uM = B2<br />
avendo usato il fatto che B⊥ è continuo. Per determinare il segno pensiamo a due piani xy paralleli con<br />
densità <strong>di</strong> corrente ±Υx: essi danno luogo ad un campo magnetico By nella zona interna, ma si respingono.<br />
Quin<strong>di</strong> il segno è opposto nei due casi. La pressione è data non da ∆u dove u = uE + uM ma da ∆L dove<br />
L = uE −uM . La notazione L in<strong>di</strong>ca che questa sarà la Lagrangiana Lorentz-invariante dell’elettromagnetismo:<br />
è noto che L = K − V mentre H = K + V . La ragione fisica del ribaltamento del segno nel caso magnetico è<br />
che mantenere correnti costanti costa energia, mentre le cariche rimangono automaticamente costanti.<br />
2µ0
Capitolo 10<br />
Campi magnetici nella materia<br />
La densità <strong>di</strong> corrente totale J viene <strong>di</strong>visa in corrente libera J L (usualmente chiamata J, con abuso <strong>di</strong><br />
notazione) e corrente <strong>di</strong> magnetizzazione J M = ∇ × M. Per motivi storici si scrive definisce un vettore H<br />
come B = µ0(H + M) in modo che le equazioni <strong>di</strong> Maxwell magnetiche <strong>di</strong>ventano<br />
∇ · B = 0, ∇ × H = J + J S<br />
Quin<strong>di</strong> le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo sul bordo fra due materiali sono: B⊥ continuo (sempre) e H continuo (quando<br />
non ci sono correnti).<br />
In molti materiali la magnetizzazione è approssimativamente legata ad H da M = χmH e quin<strong>di</strong> B = µH<br />
con µ ≡ µ0(1+χm). La precessione <strong>di</strong> Larmour dà il <strong>di</strong>amagnetismo, χ < 0. L’allineamento dei <strong>di</strong>poli elementari<br />
dà il paramagnetismo, χ > 0. Materiali ferromagnetici hanno µ ∼ 10 3÷5 µ0.<br />
<strong>Esercizio</strong> 139: Cilindro magnetizzato<br />
Una cilindro <strong>di</strong> raggio r ha una magnetizzazione uniforme M lungo l’asse. Calcolare B. Se ne taglia una fetta<br />
trasversale <strong>di</strong> spessore δ ≪ r. Calcolare B nel centro del buco.<br />
bSoluzione: L’esercizio corrisponde ad un caso praticamente rilevante chiamato ‘calamita’: materiali ferromagnetici<br />
possono avere una magnetizzazione che in buona approssimazione è costante in<strong>di</strong>pendentemente dalle<br />
con<strong>di</strong>zioni esterne. Iniziamo a risolvere il problema ignorando il buco, e lo facciamo in due mo<strong>di</strong>: uno <strong>di</strong>retto<br />
ma lento, ed uno in<strong>di</strong>retto ma veloce.<br />
1. La magnetizzazione M descrive una corrente J M = ∇ × M: dentro e fuori il cilindro M<br />
è costante e quin<strong>di</strong> J M = 0; si ha una densità <strong>di</strong> corrente superficiale Υθ = M sul bordo<br />
del cilindro. Per calcolarla utilizziamo il teorema <strong>di</strong> Stokes: Φ(J S) = M · ds applicato<br />
ad un circuitino sottile parallelo al materiale, posizionato come in figura.<br />
Per trovare B si risolve ∇ × B = µ0J M usando lo stesso circuitino, trovando B = µ0M.<br />
2. Questo risultato semplice suggerisce che problemi del genere si possono risolvere in modo<br />
più matematico, ma anche più veloce: utilizzando H l’equazione da risolvere è ∇×H = 0<br />
(niente correnti libere): si ottiene H = 0 e quin<strong>di</strong> B = µ0M.<br />
Dobbiamo ora aggiungere il buco, e <strong>di</strong>venta conveniente ragionare come al punto 1. Infatti nel<br />
buco Υ = 0, e quin<strong>di</strong> è possibile vedere il cilindro bucato come la sovrapposizione lineare <strong>di</strong><br />
un cilindro pieno più una spiretta percorsa da corrente i = −Mδ, eguale ed opposta a Υ. Il<br />
campo magnetico è quello trovato al punto precedente più quello generato dalla spiretta, che<br />
nel suo centro genera Bspira = µ0i/2r. Quin<strong>di</strong> B = µ0M(1 − δ/2r).<br />
Notare che sapere che B⊥ è continuo lungo il taglio, non risolve il problema, in quanto tagliare<br />
il materiale mo<strong>di</strong>fica anche il campo all’interno del materiale, non solo nel buco.<br />
78<br />
<br />
M
Capitolo 10. Campi magnetici nella materia 79<br />
<strong>Esercizio</strong> 140: Materiali ferromagnetici<br />
N spire con corrente I sono avvolte attorno a materiali ferromagnetici (i.e. µ ≫ µ0) secondo le 3 geometrie<br />
<strong>di</strong>segnate in figura. La lunghezza <strong>di</strong> ciascun lato è L. Trovare B nel piccolo traferro.<br />
bSoluzione: Il ‘ferro’ ha µ = µrµ0 con µr ∼ 103 ÷ 105 (alcune leghe hanno µr più alto, altre hanno cicli <strong>di</strong><br />
isteresi stretti e <strong>di</strong>ssipano meno energia). Per risolvere problemi su materiali ferromagnetici occore sfruttare il<br />
fatto che, in ottima approssimazione, questi intrappolano le linee del campo magnetico, tenendo costante il flusso<br />
<strong>di</strong> B. All’uscita dalle imboccature il campo magnetico è circa ortogonale al materiale, in quanto Hin = Hout<br />
e<br />
quin<strong>di</strong> Bout = Bin<br />
/µr ∼ 0.<br />
a) Senza buco il campo H = B/µ è dato da 4LH = NI, cioè B = µNI/4L. Nel vuoto si avrebbe B ∼<br />
µ0NI/L: aggiungere il ferro ha lo stesso effetto <strong>di</strong> ridurre la <strong>di</strong>mensione: L → Lr = L/µr.<br />
Aggiungendo un buco (o ‘traferro’) per un tratto d ≪ L le equazioni <strong>di</strong>ventano (4L−d)B/µ+dB/µ0 = NI.<br />
Notare che anche un piccolo buco d ≪ L può ridurre B in modo significativo: e.g. un d ∼ 4L/µr ∼ L/10000<br />
lo <strong>di</strong>mezza circa. Il motivo è che la lunghezza ‘effettiva’ del circuito varia da L/µr a circa d + L/µr: il<br />
tratto nel vuoto non è soppresso da 1/µr<br />
b) Nel restringimento il flusso <strong>di</strong> B rimane costante. Se la superficie <strong>di</strong>venta 4 volte più piccola, B <strong>di</strong>venta<br />
4 volte più intenso.<br />
Il sistema è analogo ad un tubo che non perde acqua (nell’analogo magnetico la pecentuale <strong>di</strong> flusso che<br />
scappa è trascurabile, circa 1/µr ∼ 0.001): siccome la portata è costante, la corrente dell’acqua <strong>di</strong>venta<br />
più forte quando il tubo si restringe.<br />
c) Si può risolvere o applicando il formalismo delle ‘riluttanze’ o ragionando un poco. Nella regione con le<br />
spire è come il caso a). Nelle altre regioni bisogna capire come si <strong>di</strong>vide il flusso del campo magnetico<br />
alle biforcazioni. La con<strong>di</strong>zione è che la circuitazione <strong>di</strong> H lungo la ‘parte destra’ del circuito valga zero.<br />
Quin<strong>di</strong> B non puó e.g. passare tutto nella sbarra interme<strong>di</strong>a, ma deve <strong>di</strong>vidersi: nel limite nel quale il<br />
traferro ha spessore trascurabile (cioè d ≪ L/µr) 3/4 del flusso va nella sbarra interme<strong>di</strong>a, ed 1/4 fa il<br />
giro lungo. Quin<strong>di</strong> il campo magnetico nell’traferro è 4 volte più debole che nel caso a).<br />
Tenendo in conto del traferro, si ragiona definendo i campi magnetici BL e BR che griano nelle ‘maglie’<br />
sinistra e destra. Le loro circuitazioni sono<br />
4LBL/µ − LBR/µ = NI, e 4LBR/µ − LBL/µ + dBR = 0.<br />
Quin<strong>di</strong> il risultato esatto è BR = NIµ/(15L + 4dµr): notare 15 e non 16.<br />
Facciamo un esempio numerico. La correnta ‘<strong>di</strong> casa’ ha V = 200 V e la potenza massima erogata è W = V I ∼<br />
3 kW. Quin<strong>di</strong> la massima corrente ottenibile vale I ∼ 10 A. Questa consente <strong>di</strong> generare un campo magnetico<br />
B ∼ µNI/L: con µ ∼ 1000µ0, µ0 = 4π 10 −7 Tesla m/A, L ∼ m si ha B ∼ Tesla per N = 1000.<br />
In fisica delle particelle i campi magnetici vengono usati per deflettere particelle con carica q, impulso p su<br />
cerchi <strong>di</strong> raggio R secondo p = qBR = (0.3 GeV)(B/Tesla)(R/m). Un televisore accelera elettroni ad energia<br />
K ∼ keV, e quin<strong>di</strong> impulso p = √ 2meK ∼ 30 keV. Per funzionare ha bisogno <strong>di</strong> un B ∼ p/eR ∼ Gauss.
80 Capitolo 10. Campi magnetici nella materia<br />
<strong>Esercizio</strong> 141: Ferromagneti più calamite<br />
Rispondere nuovamente alla domanda a) dell’esercizio precedente nel caso che il traferro venga riempito con un<br />
materiale con magnetizzazione fissata M.<br />
bSoluzione: Il campo magnetico è continuo, dentro il materiale magnetizzato si ha H = B/µ0 − M e (4L −<br />
d)B/µ + d(B/µ0 − M) = NI. Quin<strong>di</strong> B è generato da due sorgenti: B = µ(NI + Md)/[(4L + dB(µ/µ0 − 1)].<br />
<strong>Esercizio</strong> 142: Due bacchette<br />
Avendo due bacchette <strong>di</strong> ferro (e niente altro), e sapendo che una e’magnetizzata lungo la sua lunghezza, e<br />
l’altra no, come si può scoprire quale delle due è magnetizzata?<br />
bSoluzione: Chiedere all’Ill.mo Prof. Clau<strong>di</strong>o.Scrucca@cern.ch.<br />
<strong>Esercizio</strong> 143: Tre bacchette<br />
Avendo tre bacchette una <strong>di</strong> ferro magnetizzato, una <strong>di</strong> ferro non magnetizzato, ed una <strong>di</strong> un materiale non<br />
ferromagnetico, come si fa a <strong>di</strong>stinguerle senza usare nessuno strumento?<br />
bSoluzione: La procedura è descritta in my.execpc.com/ ∼ rhoadley/magflux.htm.<br />
However, the end or pole of a magnet will easily stick to any part of an iron rod.<br />
<strong>Esercizio</strong> 144: Trasformatore ideale<br />
Due circuiti 1 e 2 in cui scorrono correnti I1 ed I2 vengono accoppiati avvolgendoli N1 ed N2 volte su <strong>di</strong> un<br />
ferromagnete <strong>di</strong> lunghezza ℓ e sezione S. Calcolare i coefficienti <strong>di</strong> induzione e mutua induzione.<br />
bSoluzione: I circuiti sono descritti dalle equazioni Ei = − ˙ Φi dove E1 = V1 + R1I1 + · · · <strong>di</strong>pende da come è<br />
fatto il circuito e Φ1 = L1I1 + MI2. Il campo magnetico vale B = µ(N1I1 + N2I2)/ℓ. Quin<strong>di</strong> L1 = SN 2 1 /ℓ,<br />
M = SN1N2/ℓ e L2 = SN 2 2 /ℓ. Siccome non c’è <strong>di</strong>spersione <strong>di</strong> flusso viene quin<strong>di</strong> realizzato un trasformatore<br />
ideale con M 2 = L1L2.<br />
Il fatto che sia possibile trasformare in modo ‘perfetto’ correnti alternate, ha portato all’attuale sistema, che<br />
utilizza una corrente alternata trasportata ad alto V e basso I (in modo da ridurre la <strong>di</strong>spersione RI 2 a fissa<br />
potenza W = V I), poi trasformata a basso V = 220 V per motivi <strong>di</strong> sicurezza.<br />
In un esperimento si ha un fascio <strong>di</strong> protoni (mp =<br />
1.6·10 −27 kg) <strong>di</strong> velocità v = 1000 km/s. Un magnete<br />
<strong>di</strong>polare <strong>di</strong> lunghezza ℓ = 1m lungo la <strong>di</strong>rezione del<br />
fascio viene usato per deflettere i protoni <strong>di</strong> un angolo<br />
<strong>di</strong> θ = 10 ◦ nel piano orizzontale. Il magnete ha le<br />
caratteristiche rappresentate in figura ed è <strong>di</strong> materiale<br />
ferromagnetico <strong>di</strong> µr = 2500. I protoni passano<br />
nel traferro, <strong>di</strong> altezza δ = 1cm. Sopra e sotto il<br />
traferro sono poste due lastrine uguali, della stessa<br />
sezione del magnete, ognuna <strong>di</strong> altezza δ = 1cm e<br />
magnetizzazione M, <strong>di</strong>retta verso l’alto. Inoltre è<br />
presente un avvolgimento <strong>di</strong> N = 100 spire, che però<br />
non è inizialmente percorso da corrente. Si calcoli:<br />
<strong>Esercizio</strong> 145: Fascio <strong>di</strong> protoni
Capitolo 10. Campi magnetici nella materia 81<br />
a) Il campo B che dev’essere presente nel traferro per ottenere la deviazione voluta. (Essendo l’angolo piccolo,<br />
approssimare ad ℓ la lunghezza dell’arco <strong>di</strong> circonferenza percorsa dai protoni all’interno del traferro).<br />
b) Il valore <strong>di</strong> M che per il problema assegnato permette <strong>di</strong> ottenere tale deflessione.<br />
c) Si vuole ora usare l’avvolgimento come “correttore” per operare piccoli cambiamenti nella deflessione dei<br />
protoni. Se vogliamo una sensibilità del 2% sull’angolo <strong>di</strong> deflessione, con che precisione dobbiamo regolare<br />
la corrente che passa nell’avvolgimento?<br />
bSoluzione:<br />
a) Il raggio <strong>di</strong> curvatura R dovrà essere R ≈ ℓ/θ = 5.75 m; serve quin<strong>di</strong> B = mpv/qR = 1.7 × 10 −3 Tesla.<br />
b) Si ha H · ds = NI e cioè: 4ℓ Hmagnete + 2δ Hlastrine + δ Htraferro = NI. Experimendo H in termini <strong>di</strong> B<br />
4ℓB<br />
µ0µr<br />
e tenendo conto che inizialmente I = 0 si trova<br />
M = B<br />
+ 2δ( B<br />
µ0<br />
µ0<br />
3<br />
2 +<br />
− M) + Bδ<br />
= NI<br />
0.08<br />
<br />
2ℓ<br />
δµr<br />
<br />
µ0<br />
= 2200 A<br />
m .<br />
c) Siccome abbiamo angoli piccoli, l’angolo <strong>di</strong> deflessione è proporzionale al campo magnetico, che va quin<strong>di</strong><br />
controllato con una sensibilità del 2%. La sorgente <strong>di</strong> B è proporzionale a NI + 2δM: la sensibilità su I<br />
deve essere δI ≈ 2% · 2δM/N = 10 mA.<br />
<strong>Esercizio</strong> 146: Correnti parassite<br />
[dal compito del 19/9/2003] Un lungo solenoide cilindrico è costituito da N spire per unità <strong>di</strong> lunghezza avvolte<br />
su un nucleo <strong>di</strong> ferro <strong>di</strong> raggio R e lunghezza L ≫ R. Il ferro ha permeabilità magnetica µ e conducibilità<br />
elettrica σ. Nelle spire si fa passare la corrente alternata I = I0 cos ωt.<br />
a) Calcolare il campo magnetico all’interno del solenoide.<br />
b) Calcolare il campo elettrico indotto all’interno del solenoide.<br />
c) Si spieghi perchè il nucleo <strong>di</strong> ferro si riscalda e si calcoli la potenza <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> lunghezza.<br />
bSoluzione:<br />
a) B = µH = µNI<br />
b) Siccome ∇ × E = − ˙ B viene Eθ = 1<br />
2 rµnI0ω sin ωt<br />
c) E induce una corrente J = σE e quin<strong>di</strong> una potenza <strong>di</strong>ssipata JE per unità <strong>di</strong> volume.<br />
In generale un campo magnetico B(t) induce un campo elettrico E(t) e quin<strong>di</strong> delle correnti J = σE che<br />
<strong>di</strong>ssipano energia e sono quin<strong>di</strong> dette ‘correnti parassite’. A frequenze alte bisogna tenere conto che B non è<br />
più uniforme: questo viene fatto nel prossimo esercizio, nel quale si sceglie la geometria più semplice possibile<br />
ma si deriva un risultato generale.
82 Capitolo 10. Campi magnetici nella materia<br />
<strong>Esercizio</strong> 147: Correnti parassite<br />
Un blocco <strong>di</strong> metallo ha permeabilità magnetica µ e conducibilità<br />
σ. Viene applicato un campo magnetico oscillante <strong>di</strong> frequenza ω.<br />
All’esterno del blocco B è parallelo alla superficie: By = B0 cos ωt.<br />
Determinare la lunghezza <strong>di</strong> penetrazione del campo nel ferro e la<br />
potenza <strong>di</strong>ssipata dalla corrente indotta. (Si assuma che il blocco<br />
occupi il semipiano x > 0 e si trascuri la corrente <strong>di</strong> spostamento).<br />
bSoluzione: Il campo magnetico By(x, t) = µHy(x, t) genera un campo elettrico Ez(x, t) come dettato dalle<br />
equazioni <strong>di</strong> Maxwell<br />
∂xHy = (∇ × H)z = Jz = σEz, ∂xEz = −(∇ × E)y = ˙ By = µ ˙ Hy<br />
Eliminando Ez, si trova che Hy sod<strong>di</strong>sfa all’‘equazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione’<br />
∂Hy ∂Hy<br />
= µσ<br />
∂x2 ∂t<br />
Assumendo Hy ≡ h(x)e −iωt si riduce a h ′′ = −iωµσh, risolta, nel semipiano x > 0 dove µ è costante, da<br />
h(x) = h(0)e ±kx con k 2 = −i2/δ 2 dove δ = 2/ωµσ viene chiamato ‘lunghezza <strong>di</strong> pelle’ (la definizione<br />
<strong>di</strong>fferisce <strong>di</strong> un fattore 2 da quella usata in un altro esercizio). Quin<strong>di</strong> k = (i − 1) ωµσ/2. Eliminando la<br />
soluzione che <strong>di</strong>verge per x → ∞, si ottiene che il campo penetra per una lunghezza dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> δ:<br />
Hy(x) = ReHy(0)e (i−1)x/δ e −iωt = Hy(0)e −x/δ cos(x/δ − ωt)<br />
La continuità <strong>di</strong> Hy al bordo x = 0 dà la con<strong>di</strong>zione al contorno Hy(0) = H0 = B0/µ0. Il campo elettrico vale<br />
Ez = ∂xHy<br />
σ<br />
= −H0<br />
σδ e−x/δ<br />
<br />
<br />
cos(x/δ − ωt) − sin(x/δ − ωt)<br />
ed è piccolo a ‘basse’ frequenze: Ez/cHy ∼ 1/σδc ≪ 1. Esso genera correnti parassite J = σE. La potenza<br />
me<strong>di</strong>a <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> volume è<br />
dW<br />
dV = 〈JzEz〉t = σ〈E 2 z〉t = µω<br />
2 H2 0 e −2x/δ<br />
Integrando su x > 0 si trova la potenza <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> superficie:<br />
dW<br />
dS =<br />
∞<br />
dP µωδ B<br />
dx =<br />
0 dV µ0<br />
2 0<br />
µ0<br />
Se δ è piccolo, viene <strong>di</strong>ssipata poca potenza.<br />
Ez<br />
By<br />
x
Parte III<br />
Elettro<strong>di</strong>namica
Capitolo 11<br />
Corrente <strong>di</strong> spostamento<br />
La conservazione della carica ˙ρ = −∇ · j aggiunge l’ultimo termine alle equazioni <strong>di</strong> Maxwell<br />
∇ · E = ρ/ɛ0 ∇ × E = − ˙ B ∇ · B = 0 ∇ × B = µ0j + µ0ɛ0 ˙ E<br />
Il nuovo termine j s ≡ ɛ0 ˙ E viene chiamato ‘corrente <strong>di</strong> spostamento’. Una conseguenza è la presenza <strong>di</strong> onde<br />
elettromagnetiche che viaggiano alla velocità della luce c = 1/ √ ɛ0µ0, e.g.<br />
Ez = sin(y − ct), Bx = cos(y − ct), tutto il resto = 0<br />
<strong>Esercizio</strong> 148: Scarica <strong>di</strong> un filo<br />
Un filo rettilineo va da z = 0 a z = ℓ <strong>di</strong> area S ha una densità uniforme <strong>di</strong> carica uniforme ρ(t) = ρ0e −t/τ che<br />
si scarica al capo z = ℓ. Calcolare il campo magnetico.<br />
bSoluzione: Iniziamo a calcolare la corrente j. L’equazione <strong>di</strong> continuità ∂jz/∂z = − ˙ρ equivale a ∂i/∂z = − ˙ λ<br />
(dove λ = ρS) e quin<strong>di</strong> i(t, z) = −z ˙ λ. È come svuotare un canale d’acqua aprendo una chiusa: la corrente è<br />
forte vicino alla chiusa e debole al capo opposto.<br />
Siccome i <strong>di</strong>pende da z, se fosse ∇ × B = µ0j la corrente concatenata <strong>di</strong>penderebbe da quale superficie<br />
uno sceglie nell’applicare il teorema <strong>di</strong> Stokes. La corrente <strong>di</strong> spostamento mette tutto a posto. La prima<br />
equazione <strong>di</strong> Maxwell <strong>di</strong>ce che la carica genera un campo elettrico secondo ∂Ez/∂z = ρ/ɛ0, ad esempio risolta<br />
da Ez = zρ/ɛ0, assumendo che il campo elettrico vale zero a z = 0. La corrente <strong>di</strong> spostamento quin<strong>di</strong> vale<br />
i s z = Sɛ0 ˙<br />
Ez = +z ˙ λ. Non nasce nessun campo magnetico.<br />
<strong>Esercizio</strong> 149: Piano con carica ondulata<br />
a) Trovare il potenziale generato da un piano con densità <strong>di</strong> carica σ(x) = σ0 cos kx. b) Le cariche sono lasciate<br />
libere <strong>di</strong> muoversi sul piano con conducibilità σ. Calcolare la loro evoluzione, la corrente, ed il campo magnetico<br />
generato.<br />
bSoluzione: a) Invece <strong>di</strong> integrare provo a risolvere ∇ 2 ϕ = −ρ/ɛ0. Tento la soluzione<br />
ϕ(x, z) = F (z) cos kx, ∇ 2 ϕ = [F ′′ − k 2 F ] cos kx<br />
e quin<strong>di</strong> F (z) = c+e kz + c−e −kz . La soluzione con le con<strong>di</strong>zioni al contorno ϕ(∞) = 0 e ∆E⊥ = −∆φ ′ = σ/ɛ0 è<br />
ϕ = σ0<br />
e<br />
2kɛ0<br />
−k|z| cos kx<br />
Per k → 0 (piano uniformemente carico) si riduce a ϕ (costante <strong>di</strong>vergente) − σ0|z|/2ɛ0, in accordo con<br />
l’esercizio a pag. 9.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
84
Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento 85<br />
Questo esercizio è più importante <strong>di</strong> quanto sembra, in quanto una qualunque <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> cariche<br />
può essere decomposta come somma <strong>di</strong> coseni con <strong>di</strong>versi k (trasformata <strong>di</strong> Fourier). Usando il principio <strong>di</strong><br />
sovrapposizione, abbiamo una soluzione per il problema generico.<br />
Ad esempio una griglia <strong>di</strong> fili a <strong>di</strong>stanza a avrà un trasformata <strong>di</strong> Fourier <strong>di</strong>versa da zero per k ∼ 1/a. Ad<br />
una <strong>di</strong>stanza |z| ≫ a i termini esponenziali <strong>di</strong>ventano piccoli, e si ottiene il campo elettrico uniforme generato<br />
dal ‘modo k = 0’, cioè dalla carica totale della griglia. Quin<strong>di</strong> è facile generare un campo elettrico uniforme.<br />
L’illuminazione è descritta dalle stesse equazioni dell’elettrostatica. Quin<strong>di</strong> una griglia <strong>di</strong> tubi al neon<br />
produce una illuminazione costante.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
b) Il campo elettrico Ex = −∂xϕ = σ0 sin kx/2ɛ0 genera una corrente Jx = σEx che re<strong>di</strong>stribuisce le cariche.<br />
La soluzione è σ(t) = σ0e −t/τ cos kx, come si vede da<br />
˙ρ = −∇ · J = −σ∇ · E = − σ<br />
ɛ0<br />
ρ : τ = ɛ0<br />
σ<br />
Quin<strong>di</strong> anche il campo elettrico decade esponenzialmente. Non viene generato nessun campo magnetico in<br />
quanto la corrente <strong>di</strong> spostamento compensa la corrente<br />
J + ɛ0 ˙ E<br />
E = σE − ɛ0<br />
τ<br />
Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> che questo accade in generale quando cariche sbilanciate sono libere <strong>di</strong> re<strong>di</strong>stribuirsi secondo<br />
J = σE. Il prossimo esercizio mostra che questa cancellazione è più generale.<br />
= 0<br />
<strong>Esercizio</strong> 150: Sfera ra<strong>di</strong>oattiva<br />
Una sfera uniforme isolata <strong>di</strong> raggio a emette isotropicamente positroni da deca<strong>di</strong>mento β: n → pe¯ν con velocità<br />
v0. Il tempo <strong>di</strong> deca<strong>di</strong>mento della ra<strong>di</strong>oattività è τ. Genera un campo magnetico?<br />
bSoluzione: Il numero <strong>di</strong> neutroni liberi <strong>di</strong> decadere <strong>di</strong>minuisce come N = N0e −t/τ e quin<strong>di</strong> la sfera acquista<br />
una carica Q(t) = e[N0 − N] > 0.<br />
Iniziamo assumendo v costante e τ ≫ r/v, cioè un deca<strong>di</strong>mento così lento da essere approssimabile ad un<br />
processo costante. Gli elettroni generano una corrente Jr(r) = (−e)(− ˙ N)/4πr 2 , che non <strong>di</strong>pende da v. Il campo<br />
magnetico è zero in quanto la corrente <strong>di</strong> spostamento cancella Jr: Jsr = ɛ0 ˙ Er = −e ˙ N/4πr 2 .<br />
Per capire se questa cancellazione è un accidente del caso semplificato che abbiamo considerato, o se è invece<br />
dovuta a qualche motivo più profondo, consideriamo casi progressivamente meno semplici.<br />
Se il deca<strong>di</strong>mento è veloce, τ ∼ r/v0, in generale Jr(r, t) = e ˙ N(t − r/v)/4πr 2 : il numero <strong>di</strong> elettroni che<br />
attraversano una superficie a <strong>di</strong>stanza r al tempo t <strong>di</strong>pende da quanti ne erano stati emessi al tempo t − r/v0.<br />
La cancellazione fra J e Js rimane perfetta in quanto Er(r) è determinato dalla carica totale dentro una sfera<br />
<strong>di</strong> raggio r (che contiene la sfera ra<strong>di</strong>oattiva ed una nuvola <strong>di</strong> elettroni), eguale a e[N0 − N(t − r/v)]. Si ha<br />
ancora J + Js = 0.<br />
Il calcolo <strong>di</strong>venta ancora più complicato se si tiene in conto che v non è costante, in quanto la forza <strong>di</strong><br />
Coulomb rallenta i positroni. Il calcolo è complicato, e potrebbe essere fatto con una tecnica analoga a quella<br />
utilizzara per stu<strong>di</strong>ate il <strong>di</strong>odo termoionico. È facile vedere che J e Js si cancellano ancora, in quanto entrambe<br />
proporzionali a ˙ N calcolato a qualche istante ritardato. Il ritardo non è più r/v ma è dato da qualche formula<br />
complicata che non è necessario calcolare.<br />
Sebbene venga qualche i(r) = 4πr 2 Jr(r) complicata si ha sempre B = 0: è quin<strong>di</strong> naturale domandarsi quale<br />
sia il motivo generale. Una corrente a simmetria sferica non può generare un campo magnetico, che dovrebbe<br />
avere solo una componente Br(r), ma questa dà rotore zero. Prendendo la <strong>di</strong>vergenza della IV equazione <strong>di</strong><br />
Maxwell si ottiene ∇ · (J + J s) = 0: la corrente <strong>di</strong> spostamento deve quin<strong>di</strong> cancellare ∇ · J, e l’unico modo<br />
che ha <strong>di</strong> farlo è cancellare Jr.<br />
<strong>Esercizio</strong> 151: Carica in moto<br />
Una carica q si muove lungo l’asse z con velocità v ≪ c costante. a) Calcolare il campo magnetico che essa genera.
86 Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento<br />
b) Spiegare in che modo tante cariche q che formano una corrente i continua producono approssimativamente<br />
un campo magnetico che non <strong>di</strong>pende dal tempo.<br />
bSoluzione: Senza includere la corrente <strong>di</strong> spostamento si ha j = 0 solo in coincidenza della carica, ed il<br />
problema non ha senso. Includendo j s, essa è l’unica sorgente <strong>di</strong> B in tutto lo spazio vuoto. Qui risolviamo il<br />
problema con un calcolo esplicito approssimato valido per v ≪ c. Partiamo dal campo elettrico E a simmetria<br />
sferica prodotto da una carica ferma, e calcoliamo il B indotto da ˙ E. Noi ci fermiamo qui (ottenendo un<br />
risultato valido al primo or<strong>di</strong>ne in v/c), ma a sua volta ˙ B induce un E che induce un B... tale che alla fine<br />
E non è più a simmetria sferica. Un modo alternativo <strong>di</strong> ottenere a botto il risultato finale consiste nel notare<br />
che le equazioni <strong>di</strong> Maxwell complete sono relativisticamente invarianti, calcolare i campi nel sistema rispetto<br />
al quale la carica è ferma, ed applicare le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz dei campi. Il risultato completo contiene<br />
extra fattori γ = (1 − v 2 /c 2 ) −1/2 1 nella nostra approssimazione.<br />
a) Il campo magnetico ha solo componente Bθ(z − vt, r). È sufficiente calcolarlo a z = 0 per t ed r generici.<br />
Integriamo la IV equazione <strong>di</strong> Maxwell, ∇×B = µ0ɛ0 ˙ E lungo la superficie <strong>di</strong> un anello <strong>di</strong> raggio r giacente<br />
a z = 0. Si ottiene <br />
B · ds = µ0ɛ0 ˙ Φ(E) i.e. Bθ(r) = µ0is<br />
2πr<br />
dove is è la corrente <strong>di</strong> spostamento che attraversa l’anello. Per calcolare is = Φ(j s) = ɛ0 ˙ Φ(E) conviene<br />
scegliere come superficie immaginaria la corona circolare della sfera che ha centro nella carica, e che vede<br />
la circonferenza <strong>di</strong> raggio r con <strong>di</strong>mensione angolare θ:<br />
Quin<strong>di</strong><br />
is = d<br />
dt ɛ0E · 2π[1 − cos θ(t)] = d<br />
dt<br />
v<br />
θ<br />
B<br />
q<br />
q d<br />
[1 − cos θ(t)] =<br />
2 2 dt<br />
vt<br />
√ a 2 + v 2 t 2 =<br />
qva 2<br />
2(a 2 + t 2 v 2 ) 3/2<br />
Quin<strong>di</strong> Bθ(z, r, t) = µ0qvr/4π(r 2 + (z − vt) 2 ) 3/2 . Per z = 0 è massimo a t = 0, cioè mentre q sta passando.<br />
b) Una successione <strong>di</strong> cariche con densità lineare λ costante produce in me<strong>di</strong>a una corrente continua i = λv.<br />
Infatti il campo magnetico generato vale<br />
Bθ =<br />
+∞<br />
−∞<br />
λ dz µ0vr<br />
4π[r2 + (z − vt) 2 µ0i<br />
=<br />
] 3/2 2πr<br />
che è la ben nota formula per il campo magnetico generato da una corrente i.<br />
<strong>Esercizio</strong> 152: Scarica <strong>di</strong> un condensatore<br />
Un condensatore <strong>di</strong> area S = πa 2 e <strong>di</strong>stanza fra i piatti d ≪ a si scarica con costante tempo τ. Calcolare il<br />
campo magnetico e la sua energia.<br />
bSoluzione: La carica vale q(t) = q0e −t/τ i.e. i = ˙q = −q/τ. Il campo elettrico vale ɛ0E = σ generando una<br />
densità <strong>di</strong> ‘corrente <strong>di</strong> spostamento’ uniforme js = ˙σ = −q/Sτ. Notare che la corrente i entra in un piatto ed<br />
esce dall’altro; la corrente totale <strong>di</strong> spostamento vale is = i. Quin<strong>di</strong> j s genera un campo magnetico ruotante<br />
Bθ = πr2 µ0js<br />
2πr<br />
= µ0ri<br />
2S<br />
r < a
Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento 87<br />
(A grande <strong>di</strong>stanza r ≫ a il campo magnetico generato dalla corrente (che non si interrompe) i + is è circa<br />
ra<strong>di</strong>ale Bθ = µ0i/2πr). L’energia nel campo magnetico (usando i = −Sɛ0/τ)<br />
<br />
UB =<br />
dV B2<br />
=<br />
2µ0<br />
<strong>di</strong>2 µ0<br />
16π<br />
2 ɛ0E<br />
UE = V<br />
2<br />
UB<br />
UE<br />
= a2 ɛ0µ0<br />
8τ 2<br />
1 a<br />
= (<br />
8 cτ )2<br />
è trascurabile a meno che a ∼ cτ, in generale a meno che E vari significativamente nel tempo che la luce impiega<br />
ad attraversare l’apparato.<br />
<strong>Esercizio</strong> 153: Condensatore in alternata<br />
Stu<strong>di</strong>are una capacità (costituita da due piatti circolari conduttori, come al solito messi a piccola <strong>di</strong>stanza d in<br />
modo da poter trascurare gli effetti ai bor<strong>di</strong>) alla quale viene applicata una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale oscillante a<br />
frequenza ω. Si trascuri l’irraggiamento.<br />
bSoluzione: Il campo elettrico oscillante Ez = E0 e iωt genera un campo magnetico lungo θ, Bθ = B0e iωt :<br />
∇ × B = ˙ E<br />
c2 : B0 = iωE0<br />
c2 πr2 iωE0r<br />
=<br />
2πr 2c2 che a sua volta genera una correzione al campo elettrico E0 → E0 + E1<br />
∇ × E = − ˙ B :<br />
r<br />
E1 = iω<br />
0<br />
dr ′ B0(r ′ ω<br />
) = −E0<br />
2r2 4c2 avendo definito E0 come il campo a r = 0. A sua volta E1 genera un campo magnetico B0 → B0 + B1 1<br />
che genera un campo elettrico<br />
che genera<br />
Quin<strong>di</strong><br />
B1 = iω<br />
c2 r<br />
1<br />
r 0<br />
r<br />
E2 = iω<br />
0<br />
dr ′ r ′ E1 = −iω3r3 E0<br />
16c4 dr ′ B1(r ′ ) = ω4 r 4<br />
E0<br />
64c4 B2 = iω5r5 64 · 6 E0 E3 = −ω6r6 64 · 62 E0<br />
c6 Ez = (E0 + E1 + E2 + E3 + · · ·)e iωt = E0e iωt<br />
∞<br />
n=0<br />
(−1) n<br />
(n!) 2<br />
2n ωr<br />
≡ E0e<br />
2c<br />
iωt J0<br />
ωr <br />
c<br />
La fig. 11.1a mostra J0(x) confrontata con la sua espansione in serie ad or<strong>di</strong>ne 0,2,4,6,8: J0(x) = 1 − x 2 /4 +<br />
x 4 /64 − x 6 /2304 + · · ·. J0(x) = 0 a x = ωr/c 2.4: J0(2.4) 1 − 1.44 + 0.52 − 0.08 = 0.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Riotteniamo la stessa cosa usando le eq. <strong>di</strong> Maxwell in forma <strong>di</strong>fferenziale. Assumendo Ez = Ee iωt e<br />
Bθ = Be iωt dove E e B <strong>di</strong>pendono da e nelle equazioni <strong>di</strong> Maxwell in coor<strong>di</strong>nate cilindriche si trova<br />
− ∂E<br />
∂r<br />
= −iωB<br />
1 ∂ iω<br />
(rB) = E<br />
r ∂r c2 e quin<strong>di</strong>, sostituendo nella seconda il B preso dalla prima, ed usando come variabile x = ωr/c<br />
r ∂ ∂E<br />
(r<br />
∂r ∂r ) = −r2 ω2 c2 E : x(xE′ ) ′ = −x 2 E : E ′′ + E′<br />
= −E<br />
x<br />
1 Quando il gioco si fa duro conviene usare il rotore in coor<strong>di</strong>nate cilindriche<br />
(∇ × ˆzEz(r))θ = − ∂Ez<br />
∂r , (∇ × ˆ θBθ(r))z = 1<br />
r<br />
∂(rBθ)<br />
.<br />
∂r
88 Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento<br />
J0(x)<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
− 0.2<br />
− 0.4<br />
0 2 4 6 8<br />
x<br />
|J0(i 1/2 x)|<br />
2<br />
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3<br />
x<br />
Figura 11.1: J0(x) e |J0( √ ix)| (linee nere) confrontate con la loro espansione in serie attorno a x = 0 (linee<br />
tratteggiate, che corrispondono ad includere mano a mano or<strong>di</strong>ni successivi).<br />
Se non ci fosse il secondo termine si avrebbe E ′′ = −E ′ , la cui soluzione è una funzione speciale chiamata<br />
“cos(x)” che si trova su tutti i computer (o tavole). Con il secondo termine, che è <strong>di</strong> tipo attrito, la soluzione è<br />
chiamata “J0(x)” che si trova su molti computer (o tavole) ed assomiglia un cos(x) che si smorza.<br />
Si può fare la stessa cosa più in generale. Prendo il rot della II equazione <strong>di</strong> Maxwell<br />
da cui<br />
−∇ 2 E + ∇(∇ · E) ← ∇ × (∇ × E) = − ∂<br />
∂t ∇ × B = −µ0 ˙ J − Ë<br />
c 2<br />
(∇ 2 − 1<br />
c 2<br />
∂ 2<br />
∂t 2 )E = µ0 ˙ J + 1<br />
ɛ0<br />
∇ρ (11.1)<br />
Nel vuoto, assumendo che E abbia solo una componente Ez(r) che oscilla a frequenza ω, riscrivendo in coor<strong>di</strong>nate<br />
cilindriche<br />
(∇ 2 − 1<br />
c2 ∂2 1 ∂ ∂Ez ω2<br />
)E = 0 i.e. r +<br />
∂t2 r ∂r ∂r c2 Ez = 0<br />
è risolta da Ez ∝ J0(ωr/c). La funzione <strong>di</strong> Bessell J0 compare perchè siamo in simmetria cilin<strong>di</strong>rica.<br />
<strong>Esercizio</strong> 154: Cavità risuonante<br />
bSoluzione: (Se racchiudo il condensatore formando una lattina aggiungendo la parete laterale dove E = 0<br />
il campo elettrico interno risolve le equazioni <strong>di</strong> Maxwell. Cioè la cavità risuona alle frequenze ω = 2.405r/c,<br />
5.52r/c... Ci sono altri mo<strong>di</strong> con E orizzontale, come si vedrebbe più facilmente per una lattina cubica. Vedremo<br />
che si trasmettono campi che <strong>di</strong>pendono anche da z).<br />
<strong>Esercizio</strong> 155: Effetto pelle<br />
Ad un filo <strong>di</strong> resistività ρ e raggio a viene applicata una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale oscillante a frequenza ω,<br />
ottenendo una corrente alternata ed un campo elettrico parallelo al filo E(t) = E0e iωt . Mostrare che la corrente<br />
si sposta sul bordo, e che questo tende ad aumentare la resistenza effettiva.<br />
bSoluzione: Oltre alla corrente J = σE c’è la corrente <strong>di</strong> spostamento Js = ɛ0 ˙ E = iωɛ0E. A bassa frequenza<br />
la corrente normale è più importante della corrente <strong>di</strong> spostamento (Js/J ∼ ωτ con τ = ɛ0/σ) che quin<strong>di</strong><br />
trascuriamo. Possiamo calcolare come si re<strong>di</strong>stribuisce la corrente calcolando come si re<strong>di</strong>stribuisce il campo<br />
elettrico, in quanto J = σE. Assumendo che l’effetto sia piccolo, proce<strong>di</strong>amo perturbativamente.<br />
La J iniziale uniforme genera un campo magnetico Bθ(r) = 1<br />
2 µ0re iωt Jz, che per induzione genera una<br />
correzione al campo elettrico E1 parallelo ed opposto a quello iniziale. Utilizzando coor<strong>di</strong>nate cilindriche<br />
∇ × E = − ˙ B : − dEz<br />
dr = − ˙ Bθ = −i ωσµ0r<br />
2 Ez0 = −i r<br />
δ2 Ez0 dove<br />
<br />
2<br />
δ ≡<br />
ωσµ0
Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento 89<br />
viene chiamata skin depth. Il campo elettrico, scritto in termini del suo valore Eext = Ez(r = a), è<br />
Ez(r) = Eext<br />
1 + ir2 /2δ2 1 + ia2 .<br />
/2δ2 L’approssimazione perturbativa E1 ≪ E0 vale se δ ≫ a. Nel rame σ/ɛ0 ∼ 10 18 sec −1 . Per a ∼ mm si ha δ ≫ a<br />
fino a ω ≪ 10 5 Hz.<br />
È interessante calcolare l’impedenza per unità <strong>di</strong> lunghezza, definita come Z = Eext/I, dove I è la corrente<br />
totale:<br />
I =<br />
a<br />
0<br />
Jz 2πr dr = πa 2 σEext<br />
1 + ia2 /4δ2 1 + ia2 .<br />
/2δ2 Per ω → 0 si ha δ → ∞ e si ritrova Z → R0 = 1/σπa 2 . In generale Z = R + iωL ha una parte complessa (che<br />
corrisponde all’impedenza dovuta a Bθ) ed una parte reale maggiore <strong>di</strong> R0:<br />
Z = R0<br />
1 + ia2 /2δ2 1 + ia2 1 + (a/2δ)<br />
= R0<br />
/4δ2 2 /2 + i(a/2δ) 2<br />
1 + (a/2δ) 4<br />
<strong>Fisica</strong>mente, questo è dovuto al fatto che la corrente si concentra verso l’esterno aumentando l’‘intasamento’ e<br />
quin<strong>di</strong> la resistenza. Quin<strong>di</strong> conviene lavorare a frequenze abbastanze basse che δ ≫ a. Per quando riguarda la<br />
parte immaginaria <strong>di</strong> Z, notare che (come deve essere) ha lo stesso segno dell’impedenza <strong>di</strong> una induttanza, e<br />
non quello <strong>di</strong> una capacità.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
Se E1 ≪ E0 l’esercizio finisce qui. A gran<strong>di</strong> ω questo potrebbe non essere vero; in tal caso o si continua<br />
lo sviluppo perturbativo E0, E1, E2, . . ., oppure si risolvono le equazioni <strong>di</strong> Maxwell in forma <strong>di</strong>fferenziale.<br />
Nell’equazione d’onda ricavata all’esercizio precedente metto J = σE, trascuro ρ ed il termine Ë dovuto alla<br />
corrente <strong>di</strong> spostamento, assumo Ez eiωt , e riscrivo per un Ez(r) in coor<strong>di</strong>nate cilindriche:<br />
1<br />
r<br />
∂<br />
∂r<br />
∂Ez<br />
(r ) = µ0Jz ˙ = iωσµ0Ez : E<br />
∂r ′′<br />
z + E′ z<br />
r<br />
2i<br />
=<br />
δ2 Ez<br />
√<br />
r 2i<br />
: Ez(r) ∝ J0<br />
δ<br />
Abbiamo nuovamente ottenuto un’equazione <strong>di</strong>fferenziale ‘alla Bessel’ ma questa volta il coefficiente numerico<br />
è immaginario. Infatti anche la correzione al primo or<strong>di</strong>ne ad Ez era immaginaria. La funzione completa è<br />
mostrata in fig. 11.1b ed è qualitativamente simile al risultato al primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Consideriamo il limite δ ≪ a, opposto a quello stu<strong>di</strong>ato con il metodo approssimato. Per δ ≪ a si può<br />
trascurare il termine E ′ z/r nell’equazione <strong>di</strong>fferenziale, per cui la soluzione approssimata <strong>di</strong>venta un’esponenziale:<br />
Ez(r) Eexte −r(1+i)/δ . <strong>Fisica</strong>mente, significa che la corrente è grossa solo ai bor<strong>di</strong> del filo, e penetra per uno<br />
spessore δ.<br />
Come vedremo in seguito esistono le onde. A frequenze abbastanza gran<strong>di</strong>, ω > ∼ 10 9 Hz, hanno lunghezza<br />
d’onda ‘umana’ ed è possibile utilizzarle per trasportare energia dentro cavità metalliche (‘guide d’onda’). Il<br />
fatto che i campi penetrino dentro il metallo solo per un piccolo spessore δ e che quin<strong>di</strong> le correnti ‘parassite’<br />
J = σE dentro al metallo siano trascurabili <strong>di</strong>venta un vantaggio. In questo modo si riesce a trasportare gran<strong>di</strong><br />
potenze con poca <strong>di</strong>ssipazione <strong>di</strong> energia per effetto Joule. Tecnologicamente risulta più semplice trasportare la<br />
corrente a basse frequenze in cavi <strong>di</strong> rame che ad alte frequenze in tubi <strong>di</strong> rami.<br />
<strong>Esercizio</strong> 156: Filo conduttore interrotto<br />
[Dal compito del 4/4/2003] Un filo conduttore rettilineo e cilindrico, <strong>di</strong> resistività ρ, raggio a e lunghezza ℓ ≫ a,<br />
viene connesso ad un generatore, in modo che nel filo passa la corrente I = I0 cos ωt.<br />
a) Si calcoli il campo magnetico in tutto lo spazio (assumendo un filo <strong>di</strong> lunghezza infinita) e il campo<br />
elettrico per r < a nell’assunzione <strong>di</strong> corrente lentamente variabile. Si <strong>di</strong>scuta a posteriori la con<strong>di</strong>zione<br />
necessaria a questa approssimazione.<br />
Si taglia via un tratto h ≪ a del filo e si regola <strong>di</strong> nuovo il generatore in modo che passi la stessa corrente <strong>di</strong><br />
prima.<br />
.
90 Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento<br />
b) Si risponda <strong>di</strong> nuovo alla domanda a); come cambiano i campi prima e dopo l’interruzione del filo?<br />
c) L’interruzione del filo si può schematizzare come l’inserimento in serie <strong>di</strong> una impedenza Z. Si stimi e<br />
<strong>di</strong>scuta il valore <strong>di</strong> Z in funzione <strong>di</strong> ω.<br />
bSoluzione:<br />
a) Per ω → 0 si ha un campo elettrico uniforme E0 = ρI/πa 2 . La corrente genera un campo magnetico<br />
Bθ = µ0rI/2πa 2 per r < a. Come già visto in esercizi precedenti, vi sono correzioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne relativo<br />
ωρɛ0, che <strong>di</strong>ventano significative ad alte frequenze.<br />
b) Prendendo la <strong>di</strong>vergenza della IV equazione <strong>di</strong> Maxwell ∇ × B = µ0(J + ɛ0 ˙ E) si impara che la somma<br />
delle correnti elettrica e <strong>di</strong> spostamento si conserva, anche alla superficie <strong>di</strong> <strong>di</strong>scontinuità. Quin<strong>di</strong> il<br />
campo magnetico non cambia rispetto al punto a). La conservazione della corrente ‘totale’ consente <strong>di</strong><br />
determinare il campo elettrico Ev nella regione <strong>di</strong> vuoto: da ɛ0 ˙ Ev = J +ɛ0 ˙ E0 segue Ev = E0[1+i/(ωρɛ0)].<br />
Infatti, si può schematizzare il sistema come un condensatore inserito fra due resistenze: sulle superfici si<br />
deposita una densità <strong>di</strong> carica σ tale che ˙σ = j, per cui Ev = E0 + σ/ɛ0.<br />
c) La parte vuota si comporta come un condensatore <strong>di</strong> capacità C = ɛ0πa 2 /h. Al crescere della frequenza<br />
questo “condensatore” ha una induttanza parassita L µ0h/8π. Per trovare L si può calcolare l’energia<br />
magnetica contenuta nel condensatore<br />
<br />
UM =<br />
dV B2 θ =<br />
2µ0<br />
Quin<strong>di</strong>, l’impedenza associata è Z = iωL + 1/iωC.<br />
a<br />
dr 2πr<br />
0<br />
(µ0rI/2πa 2 ) 2<br />
2µ0<br />
= µ0hI 2<br />
16π<br />
≡ LI2<br />
2<br />
L’induttanza <strong>di</strong>venta rilevante solo ad alte frequenze, quando la nostra approssimazione <strong>di</strong> corrente lentamente<br />
variabile cessa <strong>di</strong> valere. Ad esempio Z = 0 per ω = 1/ √ LC = 2 √ 2c/a: per valori <strong>di</strong> ω così alti, I varia in<br />
modo significativo nel tempo che la luce impiega ad attraversare il filo. A frequenze così alte ci sono effetti<br />
ad<strong>di</strong>zionali: il filo irraggia; la corrente non è più uniforme a causa dell’effetto pelle. Infatti, ωρɛ0 ≪ 1 implica<br />
δ = 2 cɛ0ρ/ω ≪ c/ω, che per Z = 0 è comparabile al raggio a del filo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 157: Due cilindri cavi<br />
[Da un compito del 1987] Due cilindri cavi coassiali <strong>di</strong> raggi a < b sono percorsi da correnti uguali I(t) = I0 sin ωt<br />
in verso opposto, <strong>di</strong>stribuite uniformemente sulle superfici. a) Trascurando la corrente <strong>di</strong> spostamento calcolare<br />
B. b) Mostrare che E può avere una sola componente non nulla. c) Calcolare E assumendo che valga zero sul<br />
cilindro esterno. d) Calcolare la corrente <strong>di</strong> spostamento Is. e) Discutere come deve essere calcolato B nei tre<br />
casi Is ≪ I0, Is < I0 e Is ≈ I0. f) Caso numerico: a = 1 mm, b = 1 cm, I0 = 2 A, ω = 1000 Hz.<br />
bSoluzione:<br />
a) B = 0 per r < a ed per r > b. Nella zona interme<strong>di</strong>a 2πrBθ = µ0I.<br />
b) Per simmetria cilin<strong>di</strong>ca E può <strong>di</strong>pendere solo da r. Siccome non c’è carica Er = 0. Siccome Bz = 0 si ha<br />
2πrEθ = 0. Quin<strong>di</strong> l’unica componente è Ez(r), generata da ∇ × E = − ˙ B.<br />
c) Riscrivendo in componenti la II equazione <strong>di</strong> Maxwell si ottiene −∂Ez/∂r = −∂Bθ/∂t = −µ0ωI0 cos(ωt)/2πr<br />
per a < r < b. La soluzione con Ez(b) = 0 è<br />
Ez(r) = 1<br />
2π ·<br />
⎧<br />
⎨ 0 r > b<br />
µ0I0ω cos(ωt) ln(r/b) a < r < b<br />
⎩<br />
µ0I0ω cos(ωt) ln(a/b) r < a<br />
d) La corrente <strong>di</strong> spostamento j s ≡ ɛ0 ˙ E vale<br />
Is = ɛ0<br />
b<br />
0<br />
˙Ez2πr dr = b2 − a 2<br />
4<br />
ω2 I<br />
c2
Capitolo 11. Corrente <strong>di</strong> spostamento 91<br />
e) Se Is ≪ I0 il conto perturbativo fatto finora è accurato. Se Is < I0 si può iterare B → E → B →<br />
E → B → . . . aggiungendo i termini perturbativi successivi. Se Is ≈ I0 occorre risolvere le equazioni <strong>di</strong><br />
Maxwell. Da un punto <strong>di</strong> vista matematico questo è analogo a calcolare 1/(1 − ɛ) epandendolo attorno ad<br />
ɛ = 0. Se ɛ ≪ 1 bastano pochi termini della serie <strong>di</strong> Taylor 1 + ɛ + ɛ 2 + · · ·. Se ɛ < ∼ 1 ne servono tanti. Se<br />
ɛ ≥ 1 la serie perturbativa non funziona.<br />
f) Siccome bω/c ≪ 1 siamo nel caso Is ≪ I0.
Capitolo 12<br />
Onde e oscillazioni<br />
Un’onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente nel vuoto è descritta da<br />
E = E0 sin(k · r − ωt), B = B0 sin(k · r − ωt), c = E ω<br />
=<br />
B k<br />
con E0, B0, k ortogonali. Frequenza: ν = ω/2π. Periodo: T = 1/ν. Lunghezza d’onda; λ = 2π/k = c/ν.<br />
Densità e il flusso <strong>di</strong> energia:<br />
u = ɛ0<br />
2 (E2 + c 2 B 2 ) S = ɛ0c 2 E × B<br />
Valori me<strong>di</strong>:<br />
〈u〉 = 1<br />
2 ɛ0E 2 0, 〈S〉 = c<br />
2 ɛ0E 2 0 = c〈u〉<br />
In un mezzo con in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione n = c/v sostituire c → v, ɛ0 → ɛ, µ0 → µ.<br />
<strong>Esercizio</strong> 158: Sorgenti <strong>di</strong> onde<br />
Quattro sorgenti identiche <strong>di</strong>sposte come in figura emettono onde <strong>di</strong><br />
lunghezza d’onda λ. Due ricevitori sono situati a <strong>di</strong>stanza r ≫ λ come<br />
in figura. Calcolare il rapporto fra le potenze ricevute dai ricevitori.<br />
Cosa cambia se B viene spenta? Se D viene spenta?<br />
bSoluzione:<br />
Si ha IE ∝ |EA + EB + EC + ED| 2 :<br />
I1 ∝ |e ik(r−λ/2) + e ikr + e ik(r+λ/2) + e ik√ r 2 +λ 2 /4 | 2 ∝ | − 1 + 1 − 1 + 1| 2<br />
I2 ∝ |e ik√ r 2 +λ 2 /4 + e ikr + e ik √ r 2 +λ 2 /4 + e ik(r+λ/2) | 2 ∝ |1 + 1 + 1 − 1| 2<br />
R1<br />
D<br />
λ/2<br />
A λ/2 B λ/2 C<br />
avendo usato kλ = 2π, e ±ikλ/2 = −1, e r 2 + λ 2 /4 r, Quin<strong>di</strong> I1/I2 = 0/4. Se B viene spenta I1/I2 = 1/1.<br />
Se D viene spenta I1/I2 = 1/9. Quin<strong>di</strong> il ricevitore 1 non sa <strong>di</strong>re se viene spenta B o D, mentre il ricevitore D<br />
può <strong>di</strong>rlo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 159: Ricevitore <strong>di</strong> onde<br />
Calcolare la f.e.m. attraverso un cicuito quadrato <strong>di</strong> lato ℓ = λ/2 <strong>di</strong>sposto nell’asse xy, quando viene attraversato<br />
da un’onda elettromagnetica che si propaga lungo x <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ ed ampiezza E0 polarizzata lungo<br />
y. Come <strong>di</strong>pende il risultato da ℓ?<br />
bSoluzione: Ci sono 2 mo<strong>di</strong>. La circuitazione del campo elettrico vale<br />
<br />
E = E · ds = ℓ[E(x = ℓ) − Ey(x = 0)] = λ<br />
2 E0<br />
<br />
<br />
sin(k(0 + λ/2) − ωt) − sin(k0 − ωt)<br />
92<br />
R2<br />
= E0λ sin ωt
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 93<br />
Il flusso del campo magnetico vale<br />
<br />
Φ =<br />
dSBz = λ<br />
2<br />
λ/2<br />
0<br />
dxB0 sin(kx − ωt) =<br />
B0λ 2<br />
2π<br />
cos ωt<br />
quin<strong>di</strong> E = − ˙ Φ viene uguale a prima, come si verifica usando ω = 2πc/λ e E0 = cB0.<br />
I due E devono venire uguali, in quanto un’onda piana è soluzione della II equazione <strong>di</strong> Maxwell ∇×E = − ˙ B.<br />
Per ℓ generico si ha<br />
E = −E0 sin πℓ<br />
λ cos(πℓ<br />
λ − ωt), 〈E 2 〉t = E2 0λ2 2 πℓ<br />
sin<br />
2 λ<br />
Come funzione <strong>di</strong> ℓ, vale zero per ℓ = 0, cresce mano a mano che uno ingran<strong>di</strong>sce l’antenna, e raggiunge un<br />
massimo per ℓ = λ/2, e vale <strong>di</strong> nuovo zero per ℓ = λ: quin<strong>di</strong> bisogna costruire le antenne grosse, ma farle più<br />
gran<strong>di</strong> dell’onda che si vuole rivelare è inutile o dannoso.<br />
<strong>Esercizio</strong> 160: Antenna lineare vs circolare<br />
(Dal compito del 11/7/2005). In qualche vecchio modello <strong>di</strong> televisore può ancora capitare <strong>di</strong> osservare due tipi<br />
<strong>di</strong> antenne. Una lineare, una circolare.<br />
a) Quali sono i vantaggi <strong>di</strong> ciascuna delle due? Commentare brevemente.<br />
b) Qual’è la risposta dei due tipi <strong>di</strong> antenne ad un’onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente che<br />
si propaga nel vuoto? Il rapporto dei segnali visti dalle due antenne <strong>di</strong>pende dalla frequenza?<br />
c) Supponiamo che l’antenna lineare sia lunga 50 cm e quella circolare abbia <strong>di</strong>ametro 20 cm. Se il rapporto<br />
dei segnali visti <strong>di</strong>pende dalla frequenza, a quale frequenza tale rapporto vale 1?<br />
d) In che <strong>di</strong>rezione dovrebbe essere orientata ciascuna delle due antenne per ottimizzare la ricezione?<br />
e) Avete mai visto ra<strong>di</strong>o con antenne circolari?<br />
bSoluzione:<br />
a,b) La <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale ai capi <strong>di</strong> un’antenna lineare <strong>di</strong> lunghezza ℓ e <strong>di</strong> una circolare <strong>di</strong> raggio r vale:<br />
∆Vlineare = Eℓ, ∆Vcircolare = d<br />
dt πr2 B = ωπr 2 B<br />
Pertanto ad alte frequenze l’antenna circolare vede un segnale maggiore.<br />
c) il rapporto:<br />
∆Vcircolare<br />
∆Vlineare<br />
= ωπr2 B<br />
ℓE<br />
= ωπr2<br />
ℓc<br />
vale 1 per ω = ℓc/πr 2 ≈ 4.8 × 10 9 rad s −1 corrispondente ad una frequenza <strong>di</strong> circa 760 MHz. Nel calcolo<br />
abbiamo per semplicità assunto λ molto maggiore della <strong>di</strong>mensione dell’antenna: a questa frequenza<br />
λ = ν/c = 2.5 m, per cui l’assunzione è quasi realistica.<br />
d) Di sicuro non bisogna mettere l’antenna lineare parallela alla <strong>di</strong>rezione dell’onda nè quella circolare perpen<strong>di</strong>colare.<br />
Per massimizzare la ricezione, l’antenna lineare sarà orientata lungo la <strong>di</strong>rezione del campo<br />
elettrico, mentre il piano dell’antenna circolare sarà orientato perpen<strong>di</strong>colarmente al campo magnetico.<br />
In Italia i segnali sono trasmessi con campo elettrico polarizzato orizzontalmente, mentre in Inghilterra<br />
viene polarizzato verticalmente: per questo le antenne sui tetti inglesi hanno una forma un po’<strong>di</strong>verse da<br />
quelle italiane.<br />
e) No. Dal momento che i segnali ra<strong>di</strong>o hanno frequenze molto minori <strong>di</strong> 760 MHz, un’antenna lineare risulta<br />
molto più efficiente.
94 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
<strong>Esercizio</strong> 161: Sommergibile<br />
Un sommergibile naviga in superficie. Si approssimi l’antenna come una spira triangolare <strong>di</strong> altezza h = 3 m<br />
e base d = 30 m compresa tra la torretta, il ponte e la poppa (vedere figura). Il sommergibile riceve segnali<br />
approssimabili ad un’onda piana polarizzata linearmente <strong>di</strong> frequenza 1 kHz e <strong>di</strong> flusso <strong>di</strong> energia I0 = 1.5 ·<br />
10 −5 W/m 2 . La <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> B è ortogonale al piano dell’antenna. Il rapporto in ampiezza segnale/rumore in<br />
tali con<strong>di</strong>zioni è S/N = 100. Si calcoli:<br />
a) La lunghezza d’onda λ dell’onda incidente, e E, B.<br />
b) Il valore efficace della f.e.m. generata da essa nella spira.<br />
c) Ora il sommergibile si immerge in mare (ɛr(1 kHz) = 72, µr = 1, σ = 4 Ω/ m); qual’è la velocità <strong>di</strong><br />
propagazione e la lunghezza d’onda del segnale che riceve?<br />
d) Se il minimo rapporto segnale/rumore accettabile è S/N = 5, qual’è la massima profon<strong>di</strong>tà alla quale può<br />
andare se vuole continuare a ricevere comunicazioni? (Si assuma che il rumore rimanga costante).<br />
e) Discutere la <strong>di</strong>pendenza del punto d) dalla frequenza del segnale. Sarebbe più conveniente usare un segnale<br />
satellitare a 11 GHz?<br />
bSoluzione:<br />
a) λ = 3 · 10 5 m. Inoltre I0 = E 2 /2cµ0, da cui E0 = 0.1 V/m, B0 = E0/c = 3.3 · 10 −10 T;<br />
b) La f.e.m. è:<br />
E = − d<br />
dt<br />
E0<br />
c<br />
<br />
sin(2πx/λ − 2πνt) dx dy<br />
ed, essendo λ molto maggiore delle <strong>di</strong>mensioni della regione d’integrazione, l’integrando è circa costante.<br />
Pertanto:<br />
E = hd<br />
2<br />
E0<br />
c 2πν cos(2πνt), Eeff ≡ 〈E 2 〉 = hd<br />
2 √ 2<br />
E0<br />
c 2πν<br />
c) In acqua v = c/ √ ɛrµr = 3.5 · 10 7 m/s e quin<strong>di</strong> λ = 3.5 · 10 4 m.<br />
d) La lunghezza <strong>di</strong> attenuazione è δ = 2/ωµσ = 7.96 m. La massima profon<strong>di</strong>tà alla quale il sottomarino può<br />
scendere corrisponde al rapporto AS/AN = 5, cioé l’ampiezza del segnale può essere ridotta <strong>di</strong> un fattore 20<br />
rispetto a quella iniziale. Siccome A ∝ e −z/δ si ottiene z = δ ln 20 → z = 23.88 m.<br />
e) Ad alta frequenza l’attenuazione risulta maggiore, data la <strong>di</strong>pendenza con la √ ω, pertanto in immersione il<br />
sommergibile deve comunicare usando la bassa frequenza.<br />
A basse frequenze δ ∝ ω −1/2 (un forno a microonde ha ν ∼ 2.4 GHz i.e. λ ≈ 0.12 m); a frequenze maggiori<br />
l’assorbimento <strong>di</strong>pende da come è fatta la molecola dell’acqua, che <strong>di</strong>venta magicamente trasparente nel visibile,<br />
fig. 12.1.<br />
<strong>Esercizio</strong> 162: Luce solare<br />
Calcolare i valori numerici del vettore <strong>di</strong> Poynting, i campi elettrici e magnetici, densità <strong>di</strong> energia, pressione<br />
della luce solare, sapendo che essa fornisce un’energia K⊙ = 1366 J m −2 s −1 .<br />
bSoluzione: (Usando E = mc 2 , questo significa che il sole perde circa 4 milioni <strong>di</strong> tonnellate al secondo). La<br />
me<strong>di</strong>a del vettore <strong>di</strong> Poynting è uguale alla costante solare: 〈S〉 = K⊙. Quin<strong>di</strong> pressione p, densità <strong>di</strong> energia<br />
u, densità <strong>di</strong> impulso g valgono<br />
〈p〉 = c〈g〉 = 〈u〉 = 〈S〉<br />
c<br />
= 4.5 10−6 J<br />
m<br />
3 = 4.5 10−6 N<br />
.<br />
m2
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 95<br />
Absorption length of water in m<br />
10 2<br />
10 0<br />
10 -2<br />
10 -4<br />
10 -6<br />
10 2<br />
10 -8<br />
sea water<br />
10 4<br />
10 6 10 8<br />
10 10 10 12 10 14 10 16 10 18 10 20<br />
Frequency in Hz<br />
Figura 12.1: Lunghezza <strong>di</strong> attenuazione della luce nell’acqua in funzione della frequenza.<br />
Il campo elettrico vale E0 = 1000V/m (usando ɛ0 = 8.85 10 −12 C 2 /N m 2 e N · m = V · C). Il campo magnetico<br />
vale B0 = E0/c = 3.36 10 −6 Tesla.<br />
Il sole emetta luce ‘gialla’ <strong>di</strong> frequenza ν ≈ 0.5 10 15 Hz e quin<strong>di</strong> ha λ = c/ν ≈ 0.6µm. La luce è composta da<br />
‘fotoni’, ciascuno dei quali ha energia hν ∼ 10 −19 J (la costante <strong>di</strong> Planck vale h = 6.62 10 −34 J/ s): quin<strong>di</strong> la<br />
luce del sole ne contiene circa 10 22 / m 2 s. Dalla relazione hν ∼ kBT si ricava la temperatura del sole. Nota la<br />
temperatura TS = 5800 K ed il raggio RS = 7 10 8 m del sole, la potenza emessa può venir calcolata teoricamente,<br />
sapendo che un corpo nero a temperatura T irraggia per unità <strong>di</strong> superficie una potenza<br />
dW<br />
dS<br />
= ɛσT 4<br />
dove σ = π2k4 B<br />
60¯h 3 W<br />
= 5.670 10−8<br />
c2 m2 K 4<br />
è detta ‘costante <strong>di</strong> Stefan-Boltzmann’. Quin<strong>di</strong> il sole irraggia una potenza WS = SS · σT 4 S = 4πR2 S σT 4 S =<br />
4 10 26 W. La terra è a <strong>di</strong>stanza d ≈ 1.5 10 11 m dal sole e riceve frazione Ω/4π = πR 2 /4πd 2 = 6.8 10 −5 = 1/14500<br />
della potenza totale. La potenza per unità <strong>di</strong> superficie vale K⊙ = (RS/d) 2 σT 4 S = 1366W/m2 .<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
È interessante proseguire calcolando la temperature dei pianeti, anche se questo non è solo un esercizio <strong>di</strong><br />
elettromagnetismo. Anche la terra è approssimabile come un corpo nero a temperatura TE, calcolabile sapendo<br />
che in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio irraggia tutta l’energia che riceve dal sole: tenendo conto che la terra è una sfera<br />
πr 2 K⊙ = 4πr 2 σT 4 E da cui TE = TS(Ω/4π) 1/4 = RS/2dTS ≈ 280 K, che è una buona approssimazione. È<br />
buona perché per via <strong>di</strong> un teorema generale, emissività e riflettività sono uguali e quin<strong>di</strong> si cancellano. Non è<br />
perfetta per via dell’effetto serra: le zone interne dell’atmosfera sono più calde. La luna ha la stessa temperatura<br />
me<strong>di</strong>a TS della terra, ma non ha atmosfera: quando il sole è a picco raggiunge Tday = √ 2TE ≈ 400 K, <strong>di</strong> notte<br />
scende fino a T ≪ Tday.<br />
Marte è <strong>di</strong>sta dal sole il 50% in più della terra, e quin<strong>di</strong> la sua temperatura è circa 25% più bassa, TM ≈ 230K.<br />
Ma a mezzogiorno raggiunge √ 2TM ≈ 320 K e l’acqua si può scongelare.<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
È interessante calcolare l’energia ottenibile da pannelli solari. Come detto sopra il sole a picco produce<br />
K⊙ = 1.366kW/m 2 : tenendo conto che pannelli solari hanno efficienza ɛ ≈ 0.1, la potenza prodotta vale<br />
W = ɛK⊙ = 1kW/8m 2 . L’energia totale prodotta in un anno vale E = K⊙ɛ · yr/2/3 = 200kWh/m 2 , dove 1/2<br />
tiene conto che <strong>di</strong> notte non c’e’il sole, ed 1/3 dell’inclinazione del sole 〈cos 2 θ〉 < 1 e delle nuvole. Siccome<br />
un kW h costa circa 0.15Euro, il risparmio prodotto è <strong>di</strong> circa 30Euro/yr·m 2 (se l’energia viene utilizzata). Il<br />
costo <strong>di</strong> installazione è <strong>di</strong> circa 1000Euro/m 2 , ed i pannelli solari durano circa 20 anni, nei quali producono<br />
circa 500 Euro <strong>di</strong> energia/m 2 . Quin<strong>di</strong> non sono economicamente convenienti. Per ora lo <strong>di</strong>ventano solo grazie<br />
all’assistenzialismo: Pro<strong>di</strong> paga 0.49 Euro per ogni kW fotovolatico.
96 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
Intensity du/dλ in arbitrary units<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
T = 6000 K<br />
T = 4000 K<br />
0 500 1000 1500 2000<br />
Wavelength λ in nm<br />
Figura 12.2: Spettro in energia du/dλ della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> corpo nero a T = 6000 K (sole) e T = 4000 K<br />
(lampa<strong>di</strong>na ad incandescenza). La banda colorata in<strong>di</strong>ca la regione percepita come luce visibile. La seconda<br />
figura (presa da J.K. Bowmaker, H.J.A. Dartnall, J. Physiol. 298 (1980) 501) mostra quanto i tre tipi <strong>di</strong> coni<br />
ed i bastoncelli nell’occhio umano reagiscono a <strong>di</strong>verse frequenze: la senzazione <strong>di</strong> colore percepita <strong>di</strong>pende da<br />
quanto viene attivato ciascun tipo <strong>di</strong> cono.<br />
<strong>Esercizio</strong> 163: Efficienza energetica<br />
Una normale lampa<strong>di</strong>na da 25 Watt emette 210 lumen: calcolare la sua efficienza energetica.<br />
bSoluzione: Una commissione è stata pagata per definire il lumen (lm) come<br />
lm = y(λ)<br />
· W<br />
683.<br />
dove il fattore <strong>di</strong> conversione y(λ) <strong>di</strong>pende dalla lunghezza d’onda, in modo da corrispondere a quello che sa<br />
fare l’occhio umano: y è una campana che <strong>di</strong> giorno ha massimo y(λ = 555 nm) = 1 e larghezza <strong>di</strong> circa 50 nm,<br />
mentre <strong>di</strong> notte il massimo si sposta a λ = 500 nm (perchè coni e bastoncelli funzionano in modo un po’<strong>di</strong>verso).<br />
Tutto ciò vuole <strong>di</strong>re che efficienza del 100% corrisponde ad emettere 683 lumen per ogni Watt <strong>di</strong> potenza<br />
impiegata. La normale lampa<strong>di</strong>na ha quin<strong>di</strong> efficienza <strong>di</strong> circa 1.2%. Parte <strong>di</strong> questa inefficienza è dovuta al<br />
fatto che la candela irraggia più o meno come uno spettro <strong>di</strong> corpo nero a T ≈ 4000 K, per cui solo il 10%<br />
della ra<strong>di</strong>azione emessa cade nel visibile (precisamente definito secondo la funzione y). Questo è illustrato<br />
in figura 12.2, dove si vede anche che una lampa<strong>di</strong>na ad incandescenza produce, rispetto al sole, meno luce<br />
nell’ultravioletto (che è biologicamente dannoso) e quin<strong>di</strong> più nel giallo.<br />
Un normale candela a combusione ha temperatura ancora minore ed efficienza ancora più bassa, circa 0.05%.<br />
Lampade ad alta efficienza energetica raggiungono il (10 ÷ 30)%, ed hanno uno spettro costituito da varie<br />
righe scelte in modo da cadere soprattutto nel visibile. La luce è prodotta dal de-eccitamento <strong>di</strong> atomi, che<br />
vengono eccitati due volte ogni ciclo <strong>di</strong> corrente alternata, cioè 120 Hz: abbastanza veloce da non produrre un<br />
noioso brillio.<br />
<strong>Esercizio</strong> 164: Luce delle stelle<br />
Assumendo che le stelle siano oggetti simili al sole stimare la loro <strong>di</strong>stanza.<br />
bSoluzione: Questa stima fu fatto per la prima volta da Bruno Giordano, trovando un valore cosí assurdamente<br />
grande da non poter essere testato me<strong>di</strong>ante misure <strong>di</strong> parallasse con le tecnologie dell’epoca (si dovetter<br />
attendere il 1838). Per maggior sicurezza (e per altri motivi) gli fu dato fuoco nel 1600. Una stella più o meno è<br />
luminosa come una lampa<strong>di</strong>na da 10 W a <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 1km; cioè circa 10 9 volte meno luminosa del sole. Quin<strong>di</strong><br />
una stella <strong>di</strong>sta da noi circa 30000 volte più del sole, cioè circa 1 anno luce.
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 97<br />
<strong>Esercizio</strong> 165: Vettore <strong>di</strong> Poynting<br />
Verificare che il vettore <strong>di</strong> Poynting descrive veramente la variazione <strong>di</strong> energia in varie geometrie.<br />
bSoluzione:<br />
1. Una capacità cilindrica (lato a, spessore h) a frequenze non troppo alte ha campo elettrico Ez(t) e la<br />
corrente <strong>di</strong> spostamento genera un campo magnetico lungo θ dato da Bθ = πr 2 ˙ Ez/c 2 /2πr = r ˙ Ez/2c 2 .<br />
L’energia contenuta in un raggio r vale<br />
Il vettore <strong>di</strong> Poynting vale<br />
U (πr 2 h) ɛ0<br />
2 E2<br />
Sr = −ɛ0c 2 EzBθ = r<br />
2 ɛ0Ez ˙ Ez<br />
˙ U = πr 2 hɛ0Ez ˙ Ez<br />
<br />
Sr = −2πr hSr = − ˙ U<br />
in accordo con ˙u + ∇ · S = 0, che possiamo anche verificare usando ∇ · S = (1/r)d(rSr)/dr.<br />
2. Un filo resistivo <strong>di</strong> lunghezza h ha un campo elettrico costante Ez = V/h. La corrente j = σE <strong>di</strong>ssipa<br />
una potenza ˙ U = h · πr 2 jE e genera un campo magnetico Bθ = µ0j πr 2 /2πr. Quin<strong>di</strong> il flusso del vettore<br />
<strong>di</strong> Poynting Sr = −rjE/2 vale Sr = −h πr 2 jE = − ˙ U.<br />
3. Un cavo coassiale porta corrente continua a tensione V su <strong>di</strong> una resistenza R, che congiunge le due<br />
armature. Quin<strong>di</strong> ci passa una corrente i = V/R, che <strong>di</strong>ssipa una potenza W = iV . Al suo interno<br />
contiene un campo elettrico ed un campo magnetico dati da<br />
V<br />
Er =<br />
r ln r2/r1<br />
Il flusso del vettore <strong>di</strong> Poynting vale<br />
<br />
Bθ = µ0i<br />
2πr<br />
Sz =<br />
r2<br />
r1<br />
Sz = ɛ0c 2 iV<br />
ErBθ =<br />
2πr2 ln r2/r1<br />
Sr 2πr dr = iV = W<br />
4. Un solenoide rettilineo infinito contiene un campo magnetico Bz = µ0nI e quin<strong>di</strong> un campo elettrico<br />
Er = − ˙ Bzr/2. Il vettore <strong>di</strong> Poynting vale Sr = −Bz ˙ Bzr/2µ0. U = πr 2 B 2 z/2µ0, ˙ U = πr 2 Bz ˙ Bz/µ0,<br />
Sr = 2πr Sr = − ˙ U.<br />
5. Paradosso <strong>di</strong> Feynman. Un <strong>di</strong>sco libero <strong>di</strong> ruotare lungo l’asse z contiene una carica q ed un solenoide<br />
percorso da una corrente continua che genera un campo magnetico Bz. Si interrompe la corrente: la<br />
variazione <strong>di</strong> Bz genera un Er che mette in rotazione il sistema. Che ne è della conservazione del momento<br />
angolare?<br />
6. Un elettrone in un atomo <strong>di</strong> idrogeno ruota a <strong>di</strong>stanza a dal protone con velocità determinata da<br />
mev 2 /a = q 2 e/4πa 2 ɛ0 cioè<br />
v2 q<br />
=<br />
c2 2 e<br />
4πɛ0mec2 1<br />
a2 ≡ r2 e<br />
a<br />
1<br />
= 2 137. 2 per a = 0.53˚A.<br />
La lunghezza re è detta “raggio classico dell’elettrone” (ma non è il raggio dell’elettrone), in quanto è il<br />
raggio che avrebbe un elettrone se la sua massa fosse dovuta all’elettromagnetismo:<br />
U ∼ q2 e<br />
= mec<br />
4πɛ0re<br />
2<br />
per re =<br />
q 2 e<br />
4πɛ0mec 2 = 2.82 10−13 cm<br />
(per abbreviare spesso si usa e2 ≡ q2 e/4πɛ0 invece <strong>di</strong> qe). L’elettrone, ruotando attorno al protone, genera<br />
anche un campo magnetico campo magnetico <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>polare, B ∼ µ0µ/r3 dove il <strong>di</strong>polo magnetico vale<br />
µ = πa2i = πa2 (qeω/2π) = (qe/2m)L (L = ma2ω). Quin<strong>di</strong> Sθ ∼ ErBz/µ0. La densità <strong>di</strong> momento vale<br />
g = S/c2 . Il momento angolare elettromagnetico vale<br />
Lem ∼<br />
<br />
dV r × g ∼ a 4 g(a) ∼ q2 e<br />
mc2 L<br />
ɛ0 a<br />
∼ re<br />
a<br />
ed è quin<strong>di</strong> una frazione trascurabile del momento angolare meccanico.<br />
v2 L<br />
L ∼ L ∼<br />
c2 1372
98 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
<strong>Esercizio</strong> 166: Rilfessione <strong>di</strong> onde in una corda<br />
Si connettono due corde con <strong>di</strong>verse densità lineari µ e µ ′ = n 2 µ. Stu<strong>di</strong>are cosa succede quando un onda<br />
trasversale arriva al punto <strong>di</strong> congiunzione.<br />
bSoluzione: Metto la corda lungo l’asse x. Un’onda produce una <strong>di</strong>storsione y(x, t) rispetto al valore <strong>di</strong><br />
equilibrio y = 0. La legge del moto per y(x, t) è<br />
ma = F : µ ∂2 y<br />
∂t 2 = τ ∂2 y<br />
∂x 2<br />
(compare y ′′ perchè la tensione non richiama una corda dritta, con y ′ costante). La tensione τ è la stessa<br />
dovunque. La velocità v = τ/µ(x) = ω/k cambia imrovvisamente sul punto <strong>di</strong> congiunzione, che mettiamo a<br />
x = 0. Siccome v ′ = v/n, nell’analogo elettromagnetico n sarà l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione.<br />
y<br />
z<br />
Non serve stu<strong>di</strong>are un pacchetto d’onda. Cerco la soluzione <strong>di</strong> onda piana: oltre all’onda incidente y = a e i(kx−ωt)<br />
aggiungo una componente Riflessa ed una T rasmessa<br />
<br />
i(kx−ωt) i(−kx−ωt) e + R e per x < 0<br />
y = a<br />
T ei(k′ x−ωt) per x > 0<br />
È intuitivamente ovvio che al punto <strong>di</strong> congiunzione fra le due corde y e y ′ sono continui. Matematicamente<br />
segue dal fatto che l’equazione d’onda contiene due derivate rispetto a x (e quin<strong>di</strong> rimarrà vero in casi meno<br />
intuitivi, come nelle equazioni <strong>di</strong> Maxwell o Schroe<strong>di</strong>nger). Imponendo la continuità si trova<br />
1 + R = T k(1 − R) = k ′ T → T = 2k 2<br />
=<br />
k + k ′ 1 + n<br />
x<br />
R =<br />
k − k′ 1 − n<br />
=<br />
k + k ′ 1 + n<br />
Si ha T > 1 se n < 1: questo è sensato, e dovuto al fatto che nel passare da una corda ‘grossa’ and una corda<br />
‘piccola’ l’ampiezza dell’onda si amplifica.<br />
Non si può invece amplificare l’energia trasportata dall’onda. La potenza me<strong>di</strong>a dell’onda incidente (che<br />
corrisponde al vettore <strong>di</strong> Poyinting nell’analogo e.m.) vale WI = vu = 1<br />
2 vµ(aω)2 : infatti 1<br />
4 µ(aω)2 è la densità<br />
<strong>di</strong> energia cinetica me<strong>di</strong>a, che è in me<strong>di</strong>a eguale all’energia potenziale. La potenza riflessa vale WR = WIR 2 e<br />
quin<strong>di</strong> quella trasmessa deve valere WT = WI − WR. 1 Infatti, facendo il calcolo esplicito sfruttando il fatto che<br />
W ∝ v · µ · a 2 ∝ (1/n) · n 2 · a 2 si ottiene<br />
WT<br />
WI<br />
= T 2 n =<br />
Come giusto viene WT /WI ≤ 1, massimo per n = 1.<br />
4n<br />
< 1<br />
(1 + n) 2<br />
<strong>Esercizio</strong> 167: Riflessione<br />
Considerando riflessione a 90, 0 e 45 gra<strong>di</strong>, capire intuitivamente come cambia la polarizzazione, ed in particolare<br />
che un’onda con polarizzazione circolare destra <strong>di</strong>venta sinistra.<br />
bSoluzione:<br />
1 Nella zona dove ci sono due onde, la potenza me<strong>di</strong>a è la somma delle potenze me<strong>di</strong>a delle due onde: W = WI − WR,<br />
senza nessun termine <strong>di</strong> interferenza. <strong>Fisica</strong>mente, questo è chiaro in quanto usare onde piane è un modo utile per descrivere<br />
un problema nel quale si invia un pacchetto d’onde, che viene parzialmente trasmesso e riflesso. Per vederlo matematicamente<br />
con onde piane, occorre notare che il termine <strong>di</strong> interferenza fa zero, se me<strong>di</strong>ato sullo spazio e sul tempo, usando formule tipo<br />
2 sin(kx − ωt) sin(−kx − ωt) = cos(2kx) − cos(2ωt).
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 99<br />
90) Per riflessione perpen<strong>di</strong>colare sul piano xy: x + iy → −x − iy, cioè l’onda continua a girare nello stesso<br />
senso; ma la polarizzazione si inverte perchè si inverte la <strong>di</strong>rezione dell’onda. Questo è analogo ad una<br />
palla che ruota e si muove lungo l’asse z: nel rimbalzo il momento angolare si conserva.<br />
0) Per riflessione quasi orizzontale sul piano xy: a) la <strong>di</strong>rezione del moto x rimane la stessa; b) la polarizzazione<br />
z <strong>di</strong>venta −z; c) la polarizzazione y rimane y. Quin<strong>di</strong> il senso della polarizzazione circolare si<br />
inverte. Per capire c): per piccolo angolo lascia E= = 0. Si puo’immaginare <strong>di</strong> prendere il caso 90) e <strong>di</strong><br />
aumentare in modo continuo i raggi [fare figura].<br />
45) E.g. onda in <strong>di</strong>rezione x si riflette su piano a 45 cambiando la <strong>di</strong>rezione in y. Polarizzazione z <strong>di</strong>venta −z<br />
e polarizzazione y <strong>di</strong>venta −x<br />
Verifica matematica generica: da fare.<br />
Applicazione: il GPS sballa quando riceve un’onda senza sapere che e’stata riflessa e.g. da un muro o parete<br />
verticale. (In pratica questo è un problema quando uno sta fermo, e.g. in un bosco). Le onde emesse hanno<br />
polarizzazione destra: questo permette <strong>di</strong> eliminare quelle riflesse un numero <strong>di</strong>spari <strong>di</strong> volte.<br />
<strong>Esercizio</strong> 168: Rifrazione ⊥<br />
Due <strong>di</strong>elettrici sono separati dal piano x = 0. Un’onda elettromagnetica incide lungo k = (kx, ky, 0) con E<br />
polarizzato lungo z, cioè perpen<strong>di</strong>colarmente al piano <strong>di</strong> riflessione. Calcolare le <strong>di</strong>rezioni ed intensità delle onde<br />
riflesse e rifratte.<br />
bSoluzione: In un <strong>di</strong>elettrico i campi e.m. si propagano in modo simile al vuoto, con l’unica <strong>di</strong>fferenza che<br />
c → v = c/n dove n è detto ‘in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione’<br />
c 2 = 1<br />
ɛ0µ0<br />
→ 1<br />
ɛµ0<br />
≡ c2<br />
,<br />
n2 E c ω<br />
= c → =<br />
B n k<br />
Le con<strong>di</strong>zioni al bordo fra due <strong>di</strong>elettrici sono B1 = B2 e E = 1 = E = 2 , ɛ1E⊥ 1 = ɛ2E⊥ 2 . È facile vedere che ci<br />
deve essere un’onda riflessa: se non ci fosse in caso <strong>di</strong> incidenza normale, l’onda incidente e quella trasmessa<br />
dovrebbero avere gli stessi E e B, il che è incompatibile con B = E/c (nel vuoto) e B = nE/c (nel <strong>di</strong>elettrico).<br />
Assumo che il piano <strong>di</strong> separazione sia il piano yz a x = 0, e che l’onda si propaghi nel piano xy con il campo<br />
elettrico polarizzato lungo z. Per prima cosa, le con<strong>di</strong>zioni al bordo, dovendo essere vere per ogni t, implicano<br />
che l’onda incidente, l’onda riflessa (nel mezzo 1) e quella trasmessa (nel mezzo 2) hanno la stessa frequenza.<br />
Dovendo poi essere vere per ogni y, si ha che tutte le onde hanno lo stesso ky: ky ≡ ki y = kR y = kT y . Siccome i<br />
moduli dei vettori k sono dati da kI = n1ω/c si ha kI/kT = n1/n2 e quin<strong>di</strong> si impara che l’onda trasmessa si<br />
inclina secondo la legge <strong>di</strong> Snell:<br />
sin θT = ky<br />
kT<br />
sin θI = ky<br />
kI<br />
: n2 sin θT = n1 sin θI<br />
Per quanto riguarda le ampiezze dell’onda le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> raccordo sono<br />
EI + ER = ET<br />
kxEI − kxER = k T x ET<br />
e quin<strong>di</strong> ER = REI e ET = T EI con<br />
R = kx − k T x<br />
kx + k T x<br />
(da Ez o da Bx)<br />
(da E ′I<br />
y + E ′R<br />
y = E ′T<br />
y o da B I y + B R y = B T y usando B = k × E/ω)<br />
= n1 cos θI − n2 cos θT<br />
n1 cos θI + n2 cos θT<br />
= − sin(θI − θT )<br />
2kx<br />
, T =<br />
sin(θI + θT ) kx + kT x<br />
= 1 + R<br />
che è identica a quanto ottenuto nell’esercizio precedente su onde due corde con un capo in comune. Il rapporto<br />
fra potenza riflessa ed incidente vale R2 . Se n2 < n1 si può avere T > 1; tuttavia come nell’esercizio precedente<br />
si ha WT = WI − WR < WI. Mettiamo n1 = 1 e n2 = n. Infatti la potenza trasmessa vale WT = vu dove u è<br />
la densità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> energia. In un <strong>di</strong>elettrico essa vale<br />
<br />
ɛ<br />
u =<br />
2 E2 + B2<br />
<br />
ɛ<br />
=<br />
2µ0 2 [E2 + B 2 v 2 <br />
] = ɛ<br />
2 E2
100 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
Tenendo conto che v ∝ 1/n e che u ∝ ɛE 2 ∝ n 2 E 2 T<br />
WT<br />
WI<br />
= T 2 n =<br />
L’energia si conserva: (WI − WR) cos θI − WT cos θT = 0.<br />
si ha (analogamente al precedente caso della corda)<br />
4n<br />
< 1.<br />
(1 + n) 2<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
<strong>Esercizio</strong> 169: Rifirazione <br />
Ripetere il conto <strong>di</strong> prima nel caso in cui E è polarizzato parallelamente al piano <strong>di</strong> riflessione.<br />
bSoluzione: Il conto è analogo (ma geometricamente più pesante). Diamo solo il risultato:<br />
R = tan(θI − θT )<br />
tan(θI + θT ) .<br />
Notare che R = 0 se θI + θT = 90 ◦ cioè se il raggio riflesso e quello rifratto sono ortogonali (usando la legge<br />
<strong>di</strong> Snell, questo capita per tan θI = n2/n1, detto angolo <strong>di</strong> Brewster). It tal caso la luce ha solo la componente<br />
perpen<strong>di</strong>colare al piano <strong>di</strong> riflessione, cioè è polarizzata linearmente. Lo si può osservare guardando la luce del<br />
sole che si riflette nel mare con un polarimetro. Lo si può capire tenendo conto che la luce riflessa è generata a<br />
livello microscopico dall’irraggiamento, che (come <strong>di</strong>scusso in seguito) è zero lungo la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> oscillazione<br />
dei <strong>di</strong>poli, determinata da ET .<br />
Nel caso <strong>di</strong> incidenza normale (cioè cos θI,R,T = 0) sia R⊥ che R= si riducono a R = (n2 − n1)/(n2 + n1).<br />
<strong>Esercizio</strong> 170: Forza su superficie<br />
Un’onda si propaga nel vuoto incidendo perpen<strong>di</strong>colarmente su <strong>di</strong> una superficie. Si ha un’onda trasmessa ed<br />
una riflessa <strong>di</strong> potenze WT e WI note. Calcolare la pressione sentita dalla superficie.<br />
bSoluzione: La pressione sulla superficie vale p = (WI + WR − WT )/c. Se l’energia nell’onda si conserva si ha<br />
WI = WR + WT e la pressione si riduce a p = 2WR/c.<br />
Consideriamo alcuni casi:<br />
2) Superficie riflettente e.g. uno specchio. L’energia dell’onda si conserva e si ha WT = 0 (nessuna onda<br />
trasmessa) e quin<strong>di</strong> WR = WI. Quin<strong>di</strong> p = 2WI/c.<br />
1) Superficie assorbente. L’energia nell’onda non si conserva: si ha WR = WT = 0. La pressione vale<br />
p = WI/c.<br />
0) Superficie trasmettente. Non si ha onda riflessa e WT = WI. La pressione vale p = 0.<br />
Consideriamo pulviscolo presente nel sistema solare, approsismandolo come particelle sferiche assorbenti <strong>di</strong><br />
raggio a e densità ρ. Sono soggette a due forze: l’attrazione gravitazionale e la forza repulsiva dovuta alla<br />
pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione. Entrambe scalano come 1/r2 , per cui per vedere chi è più forte fissiamo r = 1.5 1011 m,<br />
la <strong>di</strong>stanza fra il sole e la terra. L’accelerazione gravitazionale dovuta al sole vale aG = GN M/r2 = 0.0059 m/s 2 .<br />
L’accelerazione dovuta alla pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione vale aW = πa2W⊙/mc = 3<br />
4W⊙/ρac, ed è maggiore <strong>di</strong> aG se<br />
a < 6 10−6 m per ρ = 103 kg/m 3 , la densità dell’acqua.<br />
<strong>Esercizio</strong> 171: Riflessione da un metallo<br />
Un’onda piana <strong>di</strong> frequenza ω con polarizzazione lineare parallela alla superficie incide sulla superficie <strong>di</strong> un<br />
metallo <strong>di</strong> conducibilità σ.<br />
a) Determinare la forma dell’equazione delle onde elettromagnetiche nel metallo.
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 101<br />
b) Stu<strong>di</strong>are la penetrazione dell’onda nel metallo.<br />
c) Calcolare la riflettività del metallo (rapporto tra intensità riflessa ed incidente)<br />
d) Trovare il flusso <strong>di</strong> energia verso l’interno del metallo e confrontarlo con la potenza <strong>di</strong>ssipata per effetto<br />
Joule.<br />
bSoluzione:<br />
a) Mettendo J = σE e ρ = 0 nella (11.1) si ottiene<br />
(∇ 2 − 1<br />
c2 ∂2 ∂E<br />
)E = µ0σ<br />
∂t2 ∂t<br />
Per onde monocromatiche E(x, t) = ˜ E(x)e −iωt l’equazione si riduce a<br />
(∇ 2 + ω2<br />
c 2 ) ˜ E = −iωµ0σ ˜ E<br />
Con meto<strong>di</strong> simili si trova che il campo magnetico sod<strong>di</strong>sfa alla stessa equazione, ottenuta rimpiazzando<br />
E → B, che ha solo componente By.<br />
b) Supponiamo che il conduttore si estenda per x > 0 e che E sia polarizzato lungo z. Quin<strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfa<br />
l’equazione (per x > 0)<br />
( ∂2 ω2<br />
+<br />
∂x2 c2 ) ˜ Ez = −iωµ0σ ˜ Ez<br />
La soluzione è quin<strong>di</strong> Ez = ei(qx−ωt) Ez(0) dove q sod<strong>di</strong>fsa la relazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione<br />
<br />
2 q1 − q2 2 = ω2 /c2 q 2 = ω2<br />
c 2 + iωµ0σ i.e.<br />
2q1q2 = ωµ0σ<br />
dove q = q1 + iq2. q2 descrive lo smorzamento dell’onda, provocato dalle correnti parassite. La soluzione<br />
esplicita per q non è illuminante, anzi fa piuttosto schifo. Numericamente il rame ha ω0 ≡ µ0σc 2 = σ/ɛ0 =<br />
6.6 10 18 Hz, nel range <strong>di</strong> frequenza dei raggi X, circa tre or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza maggiore delle frequenza della<br />
luce visibile. Stu<strong>di</strong>amo due casi limite.<br />
– Ad alte frequenze ω ≫ ω0 q1 ha circa il valore <strong>di</strong> vuoto, q1 ω/c e l’effetto della conducibilità è<br />
descritto da un piccolo q2 µ0σc. Quin<strong>di</strong><br />
Ez(x, t) = Ez(0)e ikx−iωt e −µ0σcx<br />
dove k = ω/c = 2π/λ.<br />
Cioè l’onda si propaga in maniera simile a quanto fa nel vuoto, ma smorzandosi su una <strong>di</strong>stanza<br />
tipica 1/q2 ≫ λ. Per il rame 1/q2 = 1/µ0σc ∼ 0.4 10 −10 m.<br />
– A basse frequenze ω ≪ ω0 si ha q1 q2 ωµ0σ/2 ≡ 1/δ e ritroviamo il caso dell’esercizio <strong>di</strong><br />
pagina 81: l’onda si smorza in qualche lunghezza d’onda. Questo è tipicamente il caso <strong>di</strong> metalli alle<br />
frequenza della luce visibile, che non penetra nel metallo e viene quin<strong>di</strong> riflessa (a meno <strong>di</strong> un piccolo<br />
assorbimento).<br />
c) Per x < 0 i campi sod<strong>di</strong>sfano l’equazione d’onda nel vuoto, con soluzione generale<br />
Ez(x < 0, t) = EIe ikx−iωt + ERe −ikx−iωt .<br />
EI ha il significato fisico <strong>di</strong> onda incidente, mentre EI quello <strong>di</strong> onda riflessa. Bisogna calcolare ER/EI.<br />
– Ad alte frequenze tutta l’onda entra (ER 0) e <strong>di</strong>ssipa la sua energia per effetto Joule.<br />
– A basse frequenze il campo dentro il metallo è<br />
Ez(x > 0, t) = ET e −iωt−ix/δ e −x/δ<br />
Siccome E risolve un’equazione <strong>di</strong> secondo grado in x, per raccordare le soluzioni occorre che Ez e<br />
∂Ez/∂x siano continue a x = 0, cioè<br />
EI + ER = ET , ik(EI − ER) = iqET <br />
i − 1<br />
δ ET
102 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
da cui<br />
ER<br />
EI<br />
= kδ − 1 − i<br />
kδ + 1 + i ,<br />
ET<br />
EI<br />
=<br />
2kδ<br />
1 + kδ + i<br />
Poichè l’intensità delle onde sono proporzionali ai moduli quadri dei campi, la riflettività R è il<br />
modulo quadro dell’ultima espressione:<br />
R =<br />
1 + (kδ − 1)2<br />
1 + (kδ + 1) 2 = ω + ω0 − √ 2ωω0<br />
ω + ω0 + √ < 1<br />
2ωω0<br />
Nella figura questa espressione approssimativamente valida per ω ≪ ω0 (linea tratteggiata) è confrontata<br />
con il risultato completo (linea continua):<br />
R<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 1 10 10 2 10 3 10 4<br />
Per kδ ≪ 1 si ha R 1, cioè tutta l’energia viene riflessa. Infatti se la lunghezza <strong>di</strong> penetrazione δ è<br />
trascurabile l’onda non può <strong>di</strong>ssipare energia per effetto Joule, e deve quin<strong>di</strong> tornare in<strong>di</strong>etro.<br />
d) A basse frequenze abbiamo ottenuto WR/WI = R2 . Quin<strong>di</strong> la potenza trasmessa dovrebbe valere WT =<br />
T WI con<br />
4kδ<br />
T = 1 − R =<br />
1 + (kδ + 1) 2<br />
e questa potenza dovrebbe venir <strong>di</strong>ssipata dalle correnti parassite nell’interno del metallo. Verifichiamolo.<br />
Dentro il metallo<br />
Ez(x > 0) = EI · 2kδe −x/δ Re eix/δ−iωt<br />
1 + kδ + i =<br />
<br />
<br />
2kδEI<br />
e−x/δ (1 + kδ) cos(x/δ − ωt) + sin(x/δ − ωt)<br />
1 + (kδ + 1) 2<br />
La potenza me<strong>di</strong>a W<strong>di</strong>ss <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> superficie è<br />
W<strong>di</strong>ss =<br />
∞<br />
0<br />
dx σ〈E 2 z t 〉 = 2σ(kδ)2 E 2 I<br />
1 + (kδ + 1) 2<br />
ω/ω0<br />
∞<br />
0<br />
dx e −2x/δ = σδ(kδ)2 E 2 i<br />
1 + (kδ + 1) 2<br />
avendo usato 〈(A cos +B sin) 2 〉t = (A 2 + B 2 )/2. Usando σkδ 2 = σ(ω/c)(2/µ0σω) = 2/(µ0c) = 2ɛ0c<br />
otteniamo il risultato atteso<br />
W<strong>di</strong>ss =<br />
4kδ<br />
1 + (kδ + 1) 2<br />
ɛ0cE2 I<br />
2<br />
<strong>Esercizio</strong> 172: Onde a<strong>di</strong>abatiche<br />
= T WI.<br />
Una corda uniforme <strong>di</strong> massa m e lunghezza ℓ è appesa nel campo <strong>di</strong> gravità g. Come si propagano le onde?<br />
bSoluzione: La tensione ad un punto z è τ = mgz/ℓ, quin<strong>di</strong> la velocità delle onde è v(z) = τ/λ = √ gz. Se<br />
λ ≪ ℓ le onde si propagano a<strong>di</strong>abaticamente, cioè con v = v(z), e quin<strong>di</strong><br />
t(ℓ → z) =<br />
ℓ<br />
z<br />
dz<br />
√ gz = 2[ ℓ/g − z/g]<br />
Un corpo che cade impiega un tempo t ′ (ℓ → z) = 2(ℓ − z)/g.
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 103<br />
<strong>Esercizio</strong> 173: Telefono vs ra<strong>di</strong>o<br />
Come mai in alcune galleria sono installati ripetitori che consentono <strong>di</strong> telefonare dentro il tunnel, ma mai<br />
nessun ripetitore che permetta <strong>di</strong> sentire la ra<strong>di</strong>o?<br />
bSoluzione: Un telefonino funziona a frequenze attorno a 1000 MHz, e quin<strong>di</strong> a lunghezze d’onda λ ≈ 0.3 m.<br />
La ra<strong>di</strong>o funziona a frequenze attorno a 100 MHz, che corrispondono ad una lunghezza d’onda <strong>di</strong> circa 3 metri.<br />
I conti successivi dovrebbero mostrare che un tunnel non è abbastanza grande per farci entrare bene un’onda<br />
così grande. (In fisica teorica un meccanismo simile consente <strong>di</strong> rendere teorie con piccole <strong>di</strong>mensioni extra<br />
compatibili con i dati sperimentali).<br />
<strong>Esercizio</strong> 174: Miraggi<br />
Calcolare la traiettoria <strong>di</strong> un raggio <strong>di</strong> luce che si propaga in un mezzo con in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione variabile.<br />
bSoluzione: Il risultato è determinato da v(x, y, z), cioè la velocità che la luce ha in ogni punto. Passare<br />
dalle equazioni <strong>di</strong> Maxwell esatte al limite approssimato <strong>di</strong> ottica geometrica non è ovvio. Senza fare conti, si<br />
può intuire che la traiettoria seguita da A a B è quella che minimizza (o in generale estremizza) T , il tempo<br />
necessario ad andare da A a B. Infatti questo significa che onde che si <strong>di</strong>ffondono in traiettorie vicine hanno la<br />
stessa fase, e quin<strong>di</strong> le loro ampiezze si sommano coerentemente. (Lo stesso ragionamento spiega in che modo<br />
una traiettoria classica segue dalla meccanica quantistica, cioè come si va dal path-integral <strong>di</strong> exp(i L) alle<br />
equazioni del moto classiche). Come esempio semplice, si può verificare che per due semipiani con velocità v1 e<br />
v2 si riottiene la legge della rifrazione. (Esempio <strong>di</strong> Feynman con sabbia e mare).<br />
In generale (per semplicità considero solo 2 <strong>di</strong>mensioni x e y) si ha<br />
<br />
T = dt =<br />
ds<br />
v =<br />
<br />
dλ<br />
(<br />
v<br />
dx<br />
dλ )2 + ( dy<br />
dλ )2 <br />
=<br />
dove λ è un parametro arbitrario: alla fine uno preferirebbe usare λ = t, ma nei calcoli interme<strong>di</strong> tenere λ<br />
arbitrario evita <strong>di</strong> dover imporre ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2 = v 2 (x, y, z) come vincolo ad<strong>di</strong>zionale nel calcolare l’equazione<br />
del moto che segue dal principio variazionale<br />
δT<br />
δx =<br />
<br />
dt( δL<br />
δx<br />
∂ δL<br />
− )<br />
∂x δx ′<br />
L dt<br />
Dopo vari conti non ovvi che spero <strong>di</strong> aver fatto giusti, si ottengono le equazioni del moto:<br />
x ′′ = − x′2 + y ′2<br />
v<br />
∂v<br />
∂v<br />
, cioè, scegliendo ora λ = t, ¨x = v<br />
∂x ∂x<br />
1 ∂v<br />
=<br />
2<br />
2<br />
∂x<br />
e simili per y e z. Notare che a posteriori queste equazioni sembrano ovvie: sod<strong>di</strong>sfano la auto-consistenza<br />
˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2 = v 2 (x, y, z). Formalmente, sono uguali alle equazioni <strong>di</strong> Newton per il moto in un potenziale<br />
V = −v 2 <strong>di</strong> una particella con massa m = 2. Che ci sia una ‘costante dell’energia’ segue dal teorema <strong>di</strong> Noether:<br />
il sistema è invariante per traslazioni temporali.<br />
Esempi:<br />
• Per v = cte si ottengono i raggi dritti.<br />
• Con una v(z) maggiore vicino subito sopra la strada si spiegano i miraggi: la luce preferisce scendere<br />
dove v è maggiore. Si trova ˙x = ˙y = cte. Nel caso matematicamente semplice v 2 ∝ z si trova un moto<br />
parabolico analogo a quello gravitazionale (ma a testa in giù).<br />
• Un sistema cilindrico con µr = (1 − a/r) 2 ed ɛz = (b/(b − a)) 2 fra a < r < b fornisce il miraggio<br />
dell’invisibilità: qualunque cosa sia messa a r < a <strong>di</strong>venta invisibile. [da fare]
104 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
<strong>Esercizio</strong> 175: Guida d’onda<br />
Guida d’onda rettangolare <strong>di</strong>sposta lungo z e <strong>di</strong> lati a lungo y e b lungo x<br />
bSoluzione: Come un cavo coassiale senza filo centrale, in modo da evitare elettroni che irraggiano. Usare<br />
un tubo grosso vuoto conviene quando si devono trasportare grosse potenze. Le con<strong>di</strong>zioni al bordo su <strong>di</strong> un<br />
conduttore perfetto sono E = 0 e B⊥ = 0. Provo la soluzione<br />
Ey = E0 sin kxx e i(kzz−ωt)<br />
kx = nπ<br />
a<br />
Sod<strong>di</strong>sfa a ∇ · E = ∂yEy = 0. Metto n = 1. Per ottenere un’onda trasversa rispettando B⊥ = 0 aggiungo<br />
Bx = B0 sin kxx e i(kzz−ωt)<br />
Tuttavia ha <strong>di</strong>vergenza <strong>di</strong>versa da zero: è possibile mostrare in generale che le onde in una cavità singola non<br />
sono trasverse (le componenti trasverse sod<strong>di</strong>sfano a ∇2V = 0: in un cavo coassiale V può essere <strong>di</strong>verso sui<br />
due bor<strong>di</strong>, con un bordo solo l’unica soluzione è V = cte). Occorre quin<strong>di</strong> aggiungere un campo longitu<strong>di</strong>nale.<br />
Mettiamo un Bz<br />
Bz = i kx<br />
B0 cos kxx e i(kzz−ωt)<br />
kz<br />
I fattori relativi fra Bz e Bx sono tali che ∇·B = ∂zBz +∂xBx = (ikz −ikz)Bz = 0, in particolare B è costante<br />
sul bordo, dove E = 0. Le equazioni ∇ × E = − ˙ B, componenti x e z implicano kzE0 = −ωB0. Quin<strong>di</strong> le linee<br />
<strong>di</strong> B circolano attorno al massimo <strong>di</strong> ˙ Ey.<br />
Per finire, per via della relazione fra E0 e B0, l’equazione (∇ × B)y = ˙ Ey/c 2 implica<br />
k 2 x + k 2 z = ω 2 /c 2<br />
i.e. kz = ± (ω/c) 2 − (π/a) 2 = ±(ω/c) 1 − (ωc/ω) 2<br />
che può essere imme<strong>di</strong>atamente derivato dall’equazione d’onda per Ey.<br />
Sotto la frequenza critica ωc = πc/a kz <strong>di</strong>venta immaginario, il che significa che l’onda si attenua come<br />
e −|kz|z . Questo viene chiamato modo TE in quanto Ez = 0. Esistono altre onde ‘TM’ con Ez =<br />
E0 sin(nπx/a) sin(mπy/b) con n, m ≥ 1 che quin<strong>di</strong> ha una frequenze <strong>di</strong> cut-off maggiore: <strong>di</strong> solito si lavora<br />
in modo che solo TE10 possa propagarsi. Quin<strong>di</strong> necessariamente λ ∼ cm i.e. microonde.<br />
Le velocità <strong>di</strong> fase e <strong>di</strong> gruppo sono<br />
vf = ω<br />
kz<br />
=<br />
c<br />
<br />
1 − (ωc/ω) 2 > c vg = dω<br />
La densità <strong>di</strong> energia si muove con velocità vg. Infatti<br />
〈u〉x,y,t = 1<br />
2<br />
<br />
ɛ0 E<br />
2<br />
2 0 1<br />
+<br />
2 2µ0<br />
(1 + k2 x<br />
k2 )<br />
z<br />
B2 0<br />
2<br />
<br />
dkz<br />
= ɛ0<br />
8<br />
= c 1 − (ωc/ω) 2 < c<br />
<br />
1 + k2 z + k2 x<br />
ω2 /c2 <br />
E 2 0 = ɛ0<br />
4 E2 0<br />
La componente x del vettore <strong>di</strong> Poynting, Sx, è <strong>di</strong>versa da zero, ma Sx ∝ a<br />
0 dx sin kxx cos kxx = 0. Lungo z<br />
La lunghezza d’onda nella guida vale<br />
〈Sz〉x,y,t = 1 1<br />
2 2 ɛ0c 2 E0B0 = ɛ0<br />
λg = 2π λ0<br />
= <br />
1 − (λ0/2a) 2<br />
kz<br />
4 E2 2 kz<br />
0 × c<br />
ω<br />
= u · vg<br />
λ0 = 2πc<br />
ω<br />
Accoppiatore uni<strong>di</strong>rezionale: due buchi separati <strong>di</strong> λ/4, che <strong>di</strong>venta λ/2 (fuori fase) o 0 (in fase) a seconda<br />
della <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione.<br />
Un modo per capire fisicamente l’esistenza della frequenza <strong>di</strong> taglio è mettere un filo nel centro della guida;<br />
per avere E = 0 sui bor<strong>di</strong> si aggiungono infinite immagini. Avevamo visto che se nel filo c’e’una carica costante<br />
il campo muore esponenzialmente. Se invece la carica oscilla i campi si possono sommare costruttivamente per<br />
via del ritardo <strong>di</strong> fase; in <strong>di</strong>rezioni θ tali che la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza fra due fili a sin θ è uguale a (n − 1/2)λ0.<br />
Prendo n = 1. Sommando ±θ la lunghezza d’onda nella guida vale λg = λ0/ cos θ che equivale alla formula <strong>di</strong><br />
prima. Si ha λg > λ0. Questo è quello che si ottiene anche ragionando in termini <strong>di</strong> raggi <strong>di</strong> luce che rimbalzano<br />
con angolo θ riflettendosi fra i bor<strong>di</strong> nella guida, se si tiene conto che ad ogni riflessione i campi si invertono.<br />
La velocità <strong>di</strong> gruppo è ridotta in modo corrispondente.
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 105<br />
Stimare il Q<br />
bSoluzione:<br />
<strong>Esercizio</strong> 176: Cavità risuonante<br />
Energia immagazzinata<br />
Q ≡ ω0<br />
Potenza <strong>di</strong>ssipata<br />
cioè u(t) ∝ e −ω0t/Q e E(t) ∝ e iω0t−ω )t/2Q e quin<strong>di</strong> lo spettro <strong>di</strong> energia è<br />
|E(ω) 2 | ∝<br />
1<br />
(ω − ω0) 2 + (ω0/2Q) 2<br />
La stima è Q ∼ V/Sδ ∼ 1000 dove δ = 2ɛ0c 2 /σω è la lunghezza <strong>di</strong> pelle.<br />
<strong>Esercizio</strong> 177: Pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione<br />
Una sfera <strong>di</strong> raggio R si trova a <strong>di</strong>stanza r dal sole. a) Si calcoli la forza sulla particella dovuta alla ra<strong>di</strong>azione<br />
solare, assumendo che questa venga tutta assorbita. La sferetta abbia densità ρ = 1g/ cm 3 e sia soggetta anche<br />
alla attrazione solare. b) Si determini il raggio R0 per cui tutte le sferette con raggio inferiore sono espulse dal<br />
sistema solare.<br />
bSoluzione: La pressione <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione è <strong>di</strong>retta lungo la <strong>di</strong>rezione dell’onda<br />
<br />
prad = u Frad = praddS⊥ = πR 2 u.<br />
cioè conta solo la <strong>di</strong>mensione dell’ombra, e non la forma dell’oggetto. Se invece <strong>di</strong> essere perfettamente assorbente<br />
fosse perfettamente riflettente la componente ra<strong>di</strong>ale della forza <strong>di</strong>venterebbe 1 ÷ 2 maggiore a seconda della<br />
sua forma. Avevamo visto che 〈u〉 = (d 2 /r 2 )4.5 10 −6 N/ m 2 , dove d è la <strong>di</strong>stanza della terra dal sole.<br />
Alla stessa <strong>di</strong>stanza la forza <strong>di</strong> gravità produce un’accelerazione a = GM/d 2 = 0.006m/s 2 e quin<strong>di</strong> una forza<br />
Fgrav = ma = 4<br />
3 ρR3 a. Si ha Fgrav < Frad per ρR < 3〈u〉/4a = 0.57 10 −3 kg/ m 2 . Quin<strong>di</strong>, per ρ = 1000kg/ m 3 ,<br />
si ha R0 = 5.7 10 −7 m.<br />
Illustrare in un caso semplice la velocità <strong>di</strong> gruppo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 178: Velocità <strong>di</strong> gruppo<br />
bSoluzione: Consideriamo la sovrapposizione <strong>di</strong> due onde con eguali moduli <strong>di</strong> E<br />
<br />
k1 − k2<br />
E = A[sin(k1z − ω1t) + sin(k2z − ω2t)] = 2A cos z −<br />
2<br />
ω1<br />
<br />
− ω2 k1 + k2<br />
t sin z −<br />
2<br />
2<br />
ω1<br />
<br />
+ ω2<br />
t<br />
2<br />
L’inviluppo delle due onde produce un’onda lunga che si muove con velocità vg = ∆ω/∆k dω/dk. Definendo<br />
vf = ω/k ≡ c/n(k) si ha vg = c/(n + ωdn/dω).<br />
Il seguente programma Mathematica produce una animazione che permette <strong>di</strong> visualizzare la cosa:<br />
y[x_,t_]:=Cos[0.05(x-t)]Sin[x-3t];dx=0.2;Table[Show[Graphics[Table[{Hue[(x-t)/(20Pi)],<br />
Line[{{x,y[x,t]},{x+dx,y[x+dx,t]}}]},{x,0,200,dx}]],AspectRatio->0.2], {t,0,20Pi,0.4}];<br />
<strong>Esercizio</strong> 179: Pulsar<br />
Una pulsar emette brevi impulsi a ra<strong>di</strong>o frequenze. Sapendo che ν1 = 400 MHz arriva ∆t = 1 s dopo ν2 = 1000<br />
MHz, e che n 2 = 1 − Neq 2 e/ɛ0meω 2 con Ne ≈ 3 10 4 / m 3 calcolare la <strong>di</strong>stanza della pulsar.
106 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
bSoluzione: Fra la pulsar e la terra la presenza <strong>di</strong> elettroni liberi rende il mezzo <strong>di</strong>spersivo. Riassumo la<br />
derivazione della frequenza <strong>di</strong> plasma. Un’elettrone libero si muove secondo me ¨x = qeE generando un <strong>di</strong>polo<br />
p = qex = αE con α = −q 2 e/meω 2 . La densità <strong>di</strong> polarizzazione del mezzo è quin<strong>di</strong> P = Nep, per cui<br />
n 2 ≡ ɛ<br />
ɛ0<br />
= 1 + P<br />
ɛ0E<br />
2 Nee<br />
= 1 − = 1 − (ωp<br />
ɛ0mω2 ω )2<br />
dove ωp =<br />
<br />
Neq 2 e<br />
ɛ0me<br />
= 10 4 Hz<br />
è detta ‘frequenza <strong>di</strong> plasma’ in quanto è anche la frequenza delle oscillazioni meccaniche del plasma.<br />
Mostriamo adesso che frequenze basse viaggiano più lente, arrivando con un ritardo ∆t = D/vg1 − D/vg2<br />
(dove vg è la velocità <strong>di</strong> gruppo — la velocità <strong>di</strong> fase ha il comportamento opposto). Ricordando che n ≡ c/vf =<br />
ck/ω i.e. k = nω/c<br />
1<br />
vg<br />
= dk<br />
dω<br />
1 d(nω)<br />
=<br />
c dω<br />
= 1<br />
c<br />
dn 1<br />
(n + ω ) <br />
dω<br />
c (1 + ω2 p<br />
)<br />
2ω2 avendo approssimato n 1 − ω 2 p/2ω 2 in quanto n − 1 ∼ 10 −11 . Quin<strong>di</strong>, ricordando ω = 2πν<br />
Parametri <strong>di</strong> Stokes.<br />
2c ∆t<br />
D =<br />
ω2 p/ω2 1 − ω2 p/ω2 ≈ 5000 ly<br />
2<br />
<strong>Esercizio</strong> 180: Polarizzazione<br />
bSoluzione: Motivazioni: L’interesse consiste in 1) dare una descrizione precisa della polarizzazione. Questo si<br />
potrebbe fare anche “a mano”, ma analogamente alle Hamiltoniane, i parametri <strong>di</strong> Stokes permettono <strong>di</strong> vedere<br />
un formalismo simile a quello della meccanica quantistica in un caso dove il significato fisico è più intuitivo.<br />
L’analogia con la meccanica quantistica nasce perchèe tanti fotoni identici si sovrappongono dando un’onda<br />
e.m. che riflette le proprietà del fotone. 3) applicazioni alla CMB (e a generici problemi <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione <strong>di</strong> luce da<br />
sorgenti incoerenti).<br />
Un’onda piana monocromatica che si propaga lungo l’asse z è descritta da<br />
B = k<br />
ω × E, E = Re E0e −i(ωt−kz) = E0Re ee −i(ωt−kz)<br />
Omettendo la componente <strong>di</strong> e lungo z, che vale zero, alcuni casi sono<br />
<br />
1<br />
ex =<br />
0 <br />
0<br />
ey =<br />
1<br />
pol. lineare x e+ = 1<br />
√ 2<br />
pol. lineare y e− = 1<br />
√ 2<br />
<br />
1<br />
i <br />
1<br />
−i<br />
pol. circolare L o anti-oraria o elicità +<br />
pol. circolare R o oraria o elicità −<br />
dove il nome ‘elicità ±’, usato in fisica delle particelle, in<strong>di</strong>ca che l’onda porta un momento angolare parallelo<br />
(anti-parallelo) a k. Il caso generale può essere scritto in termini <strong>di</strong> 2 parametri θ e δ come<br />
e =<br />
<br />
cos θ<br />
sin θeiδ <br />
E(z = 0) = E0<br />
<br />
cos θ cos ωt<br />
sin θ cos(ωt − δ)<br />
<br />
Come mostrato in figura, il vettore E descrive ellissi contenute nel rettangolo <strong>di</strong> lati cos θ e sin θ. Per δ = 0<br />
l’ellisse si riduce alla <strong>di</strong>agonale del rettangolo, inclinata <strong>di</strong> θ. Per δ ≪ 1 l’ellisse inizia ad apririsi. Per δ = π/2<br />
si ha un’ellisse orizzontale: quin<strong>di</strong> l’asse dell’ellisse è in generale inclinato <strong>di</strong> un qualche angolo α che <strong>di</strong>pende<br />
da δ. Per δ = π l’ellisse si riduce alla <strong>di</strong>agonale opposta del rettangolo. Avrebbe interesse calcolare α e gli assi
Capitolo 12. Onde e oscillazioni 107<br />
dell’ellisse, che sono quantità misurabili con un polarimetro, ma il calcolo <strong>di</strong>retto può essere noioso.<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75<br />
Notare che abbiamo usato la base ex, ey. Le onde circolari forniscono un’altra base frequentemente usata:<br />
E0 = Exex + Eyey = E+e+ + E−e−, E± = Ex ± iEy<br />
√ 2<br />
Questa equazione esprime un fatto non ovvio: la stessa onda può essere vista come sovrapposizione <strong>di</strong> polarizzazioni<br />
lineari, o <strong>di</strong> polarizzazioni circolari.<br />
In questa nuova base possiamo introdurre due altri parametri<br />
<br />
E+<br />
cos β<br />
= E0<br />
sin βeiα <br />
E−<br />
Si può verificare che l’orientazione dell’ellisse è equale ad α (che quin<strong>di</strong> è il parametro che era interessante<br />
calcolare) e che il rapporto tra gli assi dell’ellisse è tan(β + π/4).<br />
Notare che non è possibile fare un’onda non polarizzata. E.g. sovrapponendo polarizzazioni ex ed ey si<br />
ottiene un onda completamente polarizzata a 45 ◦ ; sovrapponendo polarizzazioni e+ ed e− si ottiene un’onda<br />
completamente polarizzata lungo x. Le equazioni <strong>di</strong> Maxwell pre<strong>di</strong>cono che un’onda piana monocromatica è<br />
polarizzata.<br />
Tuttavia le onde che ve<strong>di</strong>amo ogni giorno sono tipicamente non polarizzate. Questo è possibile perchè<br />
queste onde non sono monocromatiche. L’intensità totale <strong>di</strong> due onde E1 <strong>di</strong> frequenza ω1 e E2 <strong>di</strong> frequenza E2<br />
sovrapposte è<br />
|Etot| 2 = |E1 + E2| 2 = |E1| 2 + |E2| 2 + 2Re E ∗ 1 · E2 cos[(ω2 − ω1)t] (12.1)<br />
Siccome ω ∼ 1016Hz, me<strong>di</strong>ando su un periodo <strong>di</strong> tempo umano t ∼ sec l’ultimo termine si me<strong>di</strong>a a zero con<br />
grande precisione.<br />
È utile descrivere la polarizzazione tramite un formalismo che tenga conto <strong>di</strong> questa proprietà. Per una data<br />
onda E descritta da una polarizzazione e definiamo<br />
<br />
∗ exex e<br />
ρ =<br />
∗ <br />
yex<br />
=<br />
e ∗ xey<br />
e ∗ yey<br />
cos 2 θ sin θ cos θe iδ<br />
sin θ cos θe −iδ sin 2 θ<br />
dove abbiamo dato il suo valore esplicito in termini dei parametri (θ, δ) utilizzati nella base della polarizzazione<br />
lineare. E.g. onde polarizzate lungo x e con polarizzazione circolare + sono rispettivamente descritte da<br />
<br />
1 0<br />
ρ = , ρ =<br />
0 0<br />
1<br />
<br />
1 i<br />
2 −i 0<br />
Notare che in tutti i casi la matrice ρ che descrive un’onda completamente polarizzata (o uno stato puro in<br />
meccanica quantistica) è un proiettore, cioè ρ 2 = ρ. La componente ρ11 può essere misurata facendo passare<br />
l’onda per un polarimetro orientato lungo x e misurando la sua intensità. Analogamente per la componente<br />
ρ22. Re ρ12 può essere misurato tramite un polarimetro inclinato (e.g. a 45 ◦ ). Im ρ12 descrive la fase relativa<br />
fra le polarizzazioni x ed y, e può essere misurato facendo passare l’onda per un <strong>di</strong>elettrico anisotropo (e.g. una<br />
lamina ‘a quarto d’onda’), che introduce uno sfasamento relativo fra le componenti x ed y. Quin<strong>di</strong> una matrice<br />
ρ 2 = ρ con Tr ρ = 1 dà una descrizione completa e non ridondante <strong>di</strong> un’onda completamente polarizzata,<br />
equivalente alla descrizione più semplice data dal vettore e.
108 Capitolo 12. Onde e oscillazioni<br />
L’utilità <strong>di</strong> utilizzare ρ consiste nel fatto che essa consente facilmente <strong>di</strong> combinare onde con fasi relative<br />
incoerenti: l’eq. (12.1) equivale a<br />
Itotρtot = I1ρ1 + I2ρ2<br />
Itot = I1 + I2<br />
Ad esempio la sovrapposizione incoerente <strong>di</strong> due onde <strong>di</strong> eguale intensità I1 = I2 polarizzate lungo x e lungo y<br />
fornisce<br />
ρtot = 1<br />
<br />
1<br />
2 0<br />
<br />
0<br />
1<br />
che descrive un’onda non polarizzata. Da un punto <strong>di</strong> vista matematico, questo lo si vede dal fatto che la matrice<br />
identità è invariante sotto rotazioni, cioè non ha nessuna <strong>di</strong>rezione privilegiata.<br />
Quin<strong>di</strong> una matrice ρ con Tr ρ = 1 fornisce una descrizione <strong>di</strong> un’onda generica. In meccanica quantistica ρ<br />
viene chiamata matrice densità. In elettromagnetismo la notazione usata è<br />
Iρ = 1<br />
2<br />
I + Q U + iV<br />
U − iV I − Q<br />
dove I, Q, U, V sono detti parametri <strong>di</strong> Stokes. I ha il significato fisico <strong>di</strong> intensità totale, Q <strong>di</strong> intensità in<br />
polarizzazione lungo x; U <strong>di</strong> intensità polarizzata linearmente a 45 ◦ , V <strong>di</strong> intensità in polarizzazione circolare.<br />
Questo lo si vede calcolando i parametri <strong>di</strong> Stokes nel caso specifico <strong>di</strong> un’onda completamente polarizzata:<br />
[CHECK FATTORI 2]<br />
I = E 2 x + E 2 y = E 2 + + E 2 −<br />
Q = E 2 x − E 2 y = 2E+E− cos α<br />
U = 2ExEy cos δ = 2E+E− sin α<br />
V = 2ExEy sin δ = E 2 + − E 2 −<br />
Calcolo della CMB... Q = (Ix − Iy)/(Ix + Iy) porta inormazioni sulle anisotropie in <strong>di</strong>rezione.
Capitolo 13<br />
Diffrazione<br />
<strong>Esercizio</strong> 181: Diffrazione <strong>di</strong> Young<br />
Due buchi <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione trascurabile, situati a <strong>di</strong>stanza d, sono illuminati da luce <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ (figura<br />
fig. 13.1a)<br />
1. Calcolare il pattern <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione visto su <strong>di</strong> uno schermo a <strong>di</strong>stanza D grande.<br />
2. Calcolare λ assumendo che D = 1 m, d = 10 −3 m e che la decima banda luminosa sia a <strong>di</strong>stanza y10 =<br />
10 −2 m dal centro.<br />
3. Uno dei due buchi viene coperto da un materiale trasparente <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione n e spessore s = 10 −4 m,<br />
e le frange <strong>di</strong> interferenza si spostano <strong>di</strong> ∆y = 10 −2 m. Calcolare n.<br />
bSoluzione: La <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase fra due raggi con angolo θ vale δ = kd sin θ, dove d sin θ è la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
cammino ottico. Quin<strong>di</strong> l’ampiezza dell’onda è<br />
E ∝ 1 + e iδ , I ∝ |E| 2 2 δ kd sin θ 2 πdy<br />
∝ cos = cos2 = cos<br />
2 2 λD<br />
avendo usato k = 2π/λ ed y Dθ for θ ≪ 1. Siccome cos 2 (πn) = 1 i massimi si hanno a yn = nλD/d.<br />
Inserendo i valori numerici si trova λ = (d/D)(y10/10) = 10 −7 m = 1000 nm, circa nel visibile.<br />
Inserendo il materiale, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase <strong>di</strong>venta δ kdθ + 2πs(n − 1)/λ e quin<strong>di</strong><br />
I ∝ cos 2<br />
<br />
π dy<br />
+ s(n − 1)<br />
λ D<br />
Quin<strong>di</strong> le frange si spostano <strong>di</strong> ∆y = Ds(n − 1)/d. Inserendo i valori numerici si trova n = 1 + ∆y · d/sD = 1.1.<br />
<strong>Esercizio</strong> 182: Interferenza alla Young<br />
(dal compito del 20/6/2003) Una nave percorre una rotta parallela alla costa alla <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> circa 100 km da<br />
questa e alla velocità <strong>di</strong> 18 no<strong>di</strong>. Un marinaio a bordo della nave sta ascoltando un programma musicale, sulla<br />
frequenza <strong>di</strong> 1200 kHz, trasmesso da una stazione situata sulla costa, in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla rotta.<br />
L’altezza del segnale varia regolarmente col tempo apparendo e scomparendo e l’intervallo tra il massimo ed<br />
il minimo è 2 minuti. Nei momenti <strong>di</strong> massima intensità, il segnale ricevuto dall’antenna è stimato a circa 12<br />
mV/m, pari a circa 8 volte il livello <strong>di</strong> rumore. Si fa l’ipotesi che una seconda stazione costiera vicina alla prima<br />
abbia iniziato a trasmettere per errore in fase e sulla stessa frequenza. Inquadrando i fenomeni nell’ambito<br />
dell’esperimento <strong>di</strong> Young stimare, fornendo i risultati numerici: a) La <strong>di</strong>stanza d tra le due stazioni; b) La<br />
potenza emessa da ciascuna delle due stazioni.<br />
Note: 0. Si trascuri ogni effetto dovuto alla sfericità della Terra. 1. Un nodo è pari ad un miglio nautico<br />
(circa 1.8 km) all’ora. 2. Si consideri solo la cosiddetta “portante” come un’onda monocromatica. 3. Si intende<br />
che il segnale “scompare” quando è inferiore al livello <strong>di</strong> rumore. 4. Si ipotizza, salvo verifica, che la <strong>di</strong>stanza<br />
tra le stazioni sia molto minore della <strong>di</strong>stanza tra queste e la nave.<br />
bSoluzione:<br />
109
110 Capitolo 13. Diffrazione<br />
θ<br />
d D<br />
y<br />
θ<br />
d D<br />
y<br />
θ<br />
d D<br />
Figura 13.1: Diffrazione alla Young, Fraunhofer, e su <strong>di</strong> una griglia.<br />
a) La lunghezza d’onda del segnale ricevuto è λ = c/ν = 250 m mentre la <strong>di</strong>stanza tra due massimi (o minimi)<br />
del segnale è a = 2v∆t = 2160 m.<br />
Le onde emesse da due sorgenti a <strong>di</strong>stanza d ricevute ad angolo θ sono in fase se nλ = d sin θ = da/D. Quin<strong>di</strong><br />
la <strong>di</strong>stanza tra due massimi consecutivi vale a = λD/d (‘formula <strong>di</strong> Young’) da cui d = λD/a = 11.6 km.<br />
b) Facciamo un esempio. Due onde <strong>di</strong> intensità W1 = 9 e W1 = 4 interferiscono dando Wmax = | √ W1+ √ W2| 2 =<br />
25 e Wmin = | √ W1 − √ W2| 2 = 1. La me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 25 e 1 è Wmean = 13 = W1 + W2.<br />
Sia E0 il valore del campo elettrico corrispondente alla soglia del rumore; se E1 e E2 sono le ampiezze dei<br />
campi elettrici emessi dalle due stazioni, le con<strong>di</strong>zioni sui massimi e minimi <strong>di</strong> intensità sono<br />
con k ∈ [0, 1]. Risolvendo il sistema si ottiene:<br />
E1 + E2 = 8E0, E1 − E2 = kE0<br />
E1 = (8 + k)E0/2, E2 = (8 − k)E0/2<br />
L’intensità me<strong>di</strong>a dell’onda ricevuta può essere messa in relazione con la potenza della stazione emittente e<br />
con il campo elettrico all’antenna.<br />
Ne segue che la potenza delle due stazioni vale<br />
I = W 1<br />
=<br />
4πD2 2 cɛ0E 2 , W = (2πcɛ0) D 2 E 2 = (1/60)D 2 E 2<br />
Sostituendo i valori numerici, al variare <strong>di</strong> k, si ha:<br />
Il valore esatto <strong>di</strong>pende da k, che non è noto.<br />
W1 = (8 + k) 2 D 2 E 2 0/240, W2 = (8 − k) 2 D 2 E 2 0/240<br />
6 kW < W1 < 7.6 kW, 6 kW > W2 > 4.6 kW<br />
<strong>Esercizio</strong> 183: Diffrazione <strong>di</strong> Fraunhofer<br />
Un’onda piana <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ incide su <strong>di</strong> un buco rettangolare <strong>di</strong> spessore d. Calcolare l’intensità<br />
misurata su <strong>di</strong> uno schermo <strong>di</strong>etro il buco. La geometria è mostrata in figura fig. 13.1b.<br />
bSoluzione:<br />
E ∝<br />
d/2<br />
dy e<br />
−d/2<br />
iky sin θ = 2<br />
sin(kd sin θ/2)<br />
, I ∝ |E|<br />
k sin θ<br />
2<br />
Per un buco circolare, vengono funzioni <strong>di</strong> Bessel. Questa formula descrive e.g. la ra<strong>di</strong>azione emessa da una<br />
ra<strong>di</strong>o antenna parabolica.<br />
y
Capitolo 13. Diffrazione 111<br />
<strong>Esercizio</strong> 184: Griglia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione<br />
Un’onda piana <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ incide su <strong>di</strong> una griglia <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione, costituita da N buchini <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione<br />
trascurabile allineati per una lunghezza totale d.<br />
bSoluzione:<br />
E ∝ 1<br />
N−1 <br />
N<br />
n=0<br />
e Ikd(n/N) sin θ = 1<br />
N<br />
cN − 1<br />
sin θ<br />
, c = eikd/N<br />
c − 1<br />
I ∝ |E| 2 ∝ 1<br />
N 2<br />
sin 2 (kd sin θ/2)<br />
sin 2 (kd sin θ/2N)<br />
Che significa questa formula? Il numeratore descrive linee <strong>di</strong> spessore λ/d separate da λ/d. Il denominatore <strong>di</strong>ce<br />
che <strong>di</strong> queste linee solo una ogni N ha intensità grande: si hanno quin<strong>di</strong> linee intense <strong>di</strong> spessore λ/d separate<br />
da Nλ/d. Due lunghezze d’onda vengono risolte se ∆λ/λ > 1/mN dove m = {1, 2, 3, . . .} è la riga <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione<br />
che guardo. Quin<strong>di</strong> per vedere le righe del so<strong>di</strong>o <strong>di</strong>scusse nell’esercizio seguente serve mN > ∼ 1000.<br />
Per N → ∞ rimane solo la linea centrale: la somma <strong>di</strong>venta un integrale e si ritrova la formula <strong>di</strong> Fraunhofer.<br />
<strong>Esercizio</strong> 185: CD<br />
Mandare la luce laser <strong>di</strong> un pointer usato per seminari (λ = 0.680 µm) a riflettersi su <strong>di</strong> un CD. Capire dal<br />
risultato come funziona un CD.<br />
bSoluzione: Un CD contiene tracce <strong>di</strong> passo d. Mandando la luce perpen<strong>di</strong>colarmente alle tracce si osservano<br />
riflessioni multiple separate da circa 25 ◦ . Quin<strong>di</strong> d sin θ = λ, da cui d ≈ 1.6 µm, comparabile alla lunghezza<br />
d’onda della luce visibile. Le singole macchie sono <strong>di</strong>stanti N ∼ 10 2÷3 volte la <strong>di</strong>mensione <strong>di</strong> una singola<br />
macchia; che più o meno corrisponde al numero <strong>di</strong> tracce illuminate (la <strong>di</strong>mensione del fascio è circa 1 mm).<br />
Mandando la luce parallelamente alle tracce si osserva una struttura più complicata <strong>di</strong> macchie un po’ più<br />
vicine (da verificare cosa cambia se il CD è già scritto o no) che corrispondono alle ‘buche’ usate per scrivere<br />
nelle singole tracce.<br />
Nell’area <strong>di</strong> un CD (S = πr 2 con r ≈ 5 cm) ci sono quin<strong>di</strong> N = S/d 2 ∼ 3 10 9 buche, che più o meno<br />
corrisponde alla capacità <strong>di</strong> un CD: 700 Mbyte = 5.6 10 9 bit.<br />
<strong>Esercizio</strong> 186: Interferometro <strong>di</strong> Michelson<br />
Un’onda contenente due lunghezze d’onda λ1,2 <strong>di</strong> intensità I1,2 viene fatta passara attraverso un interferometro<br />
<strong>di</strong> Michleson. Discutere cosa si vede ed in che modo si può ricostruire λ1,2 e I1,2.<br />
bSoluzione: In un interferometro <strong>di</strong> Michelson un’onda viene <strong>di</strong>visa in due parti eguali che seguono percorsi<br />
con <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> cammino ottico d prima <strong>di</strong> venir recombinate, ottenendo, per un’onda monocromatica<br />
E = Ein(1 + e iδ ), I = Iin<br />
1 + cos δ<br />
, δ = kd.<br />
2<br />
In funzione <strong>di</strong> d (che può essere variato), I oscilla fra 0 ed Iin.<br />
Nel caso considerato in questo problema si hanno due lunghezze d’onda <strong>di</strong>verse: l’interferenza fra le due<br />
componenti si me<strong>di</strong>a a zero nel tempo in quanto hanno due frequenze <strong>di</strong>verse, quin<strong>di</strong> l’intensità totale è la<br />
somma delle due intensità<br />
1 + cos k1d 1 + cos k2d<br />
I = I1<br />
+ I2<br />
2<br />
2<br />
In funzione <strong>di</strong> d descrive battimenti <strong>di</strong> frequenza ‘veloce’ (k1 +k2)/2 e frequenza ‘lenta’ (k1 −k2)/2. Ad esempio,<br />
il so<strong>di</strong>o ha due linee “D” con intensità I1/I2 = 1/2, (λ1 + λ2)/2 = 589.3 nm, λ1 − λ2 = 0.59 nm. Come mostrato
112 Capitolo 13. Diffrazione<br />
in figura<br />
Intensità<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Differenza in cammino ottico in mm<br />
questo produce oscillazioni con periodo ∆d = λ (troppo veloci per essere facilemente misurate; ma la lunghezza<br />
d’onda è misurabile in altri mo<strong>di</strong>) e battimenti con periodo macroscopico ∆d = λ 2 /∆λ ≈ 0.59 mm. L’ampiezza<br />
delle oscillazioni grosse non varia fra 0 ed 1 ma fra I1 − I2 e I1 + I2, cioè <strong>di</strong> un fattore 3 nel caso usato come<br />
esempio: questo consente <strong>di</strong> misurare I1/I2.<br />
Discutere l’esperimento <strong>di</strong> Michelson-Morley.<br />
<strong>Esercizio</strong> 187: Esperimento <strong>di</strong> Michelson-Morley<br />
bSoluzione: 100 e passa anni fa i fisici erano stati sviati dall’analogia fra le onde sonore e quelle elettromagnetiche:<br />
sulla luna non c’e’atmosfera che trasmette suoni, e quin<strong>di</strong> si pensava che esistesse un mezzo chiamato<br />
‘etere luminifero’ che trasmettesse onde elettromagnetiche. Questo etere avrebbe dovuto essere un po’strano:<br />
duro da comprimere (perche le onde e.m. hanno velocità c ben più grande <strong>di</strong> quella del suono), ma abbastanza<br />
leggero e penetrabile da non rallentare il moto dei pianeti.<br />
Pensando che c fosse la velocità della luce rispetto all’etere, e siccome è ragionevole supporre che la terra si<br />
muova rispetto all’etere con v ∼ 30 km/s (a meno <strong>di</strong> essere geocentristi), Michelson-Morley provarono a rivelare<br />
il vento <strong>di</strong> etere. Il tempo necessario a fare il viaggio in <strong>di</strong>rezione parallela e perpen<strong>di</strong>colare al vento <strong>di</strong> etere è<br />
t= = d d<br />
+<br />
c + v c − v , t⊥ =<br />
2d<br />
√<br />
c2 − v2 , t= − t⊥ ∼ v2<br />
c2 d<br />
c ∼ 0.3 10−16 s<br />
dove d ∼ m. Questo tempo è comparabile al periodo della luce visibile, sicchè ci si attendeva uno spostamento<br />
<strong>di</strong> qualche frangia, mano a mano che l’esperimento viene ruotato, o la terra gira attorno a se’stessa, o attorno<br />
al sole. Avendo trovato uno spostamento <strong>di</strong> meno <strong>di</strong> 0.02 frange, Michelson Morley dedussero che v è tre<br />
volte minore della velocità orbitale della terra. Supponendo che l’etere potesse essere trascinato dalla terra,<br />
l’esperimento fu ripetuto in alta montagna, senza trovare ancora nessun effetto. Oggi i laser hanno consentono<br />
<strong>di</strong> non vedere spostamenti <strong>di</strong> 10 −13 frange, implicando v < ∼ µm/s.<br />
Il risultato fu allora spiegato tramite la contrazione <strong>di</strong> Lorentz: se la materia è tenuta assieme in qualche<br />
modo complicato da forze elettromagnetiche, la sua <strong>di</strong>mensione <strong>di</strong>pende dalla velocità relativa all’etere in modo<br />
da non dare nessun effetto. Nella reinterpretazione relativistica sia il risultato nullo <strong>di</strong> Michelson-Morley che la<br />
contrazione <strong>di</strong> Lorentz <strong>di</strong>ventano ovvi.<br />
<strong>Esercizio</strong> 188: Grande fratello<br />
Stimare che <strong>di</strong>mensione ∆x deve avere un oggetto per essere visibile da un telescopio spione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro d ∼ m<br />
in orbita geostazionaria.<br />
bSoluzione: Il raggio dell’orbita geostazionaria è r = GM⊕/ω⊕ ≈ 42 10 3 km. Quin<strong>di</strong> D r.<br />
Nella trattazione usuale, un telescopio circolare si comporta come un buco circolare: per via della <strong>di</strong>ffrazione<br />
un punto produce una macchia, la cui intensità è descritta da funzioni <strong>di</strong> Airy, che risulta avere <strong>di</strong>mensione<br />
angolare θ ∼ λ/∆x. Due punti vengono visti come <strong>di</strong>stinti solo se producono macchie separate. Qui ricaviamo<br />
da capo la stessa formula in modo approssimato con considerazioni fisiche e calcoli semplici.<br />
Un telescopio o un occhio (d ∼ 3mm) riesce a <strong>di</strong>stinguere un oggetto <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni ∆x posto a <strong>di</strong>stanza D<br />
se la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> cammino ottico L fra i raggi <strong>di</strong> luce che riceve è maggiore <strong>di</strong> circa una lunghezza d’onda.
Capitolo 13. Diffrazione 113<br />
Quin<strong>di</strong> L(x) = D2 D≫x≫d<br />
+ (d − x) 2 D − dx/L. Imponendo ∆L = −∆x · d/D ><br />
∼ λ si trova ∆x <<br />
∼ Lλ/d. La<br />
luce visibile ha λ = (400 ÷ 700) nm, quin<strong>di</strong> ∆x ≈ 10 m. Telescopi più vicini o più grossi possono fare <strong>di</strong> meglio:<br />
e.g. un satillite israeliano guarderà sull’Iran da 600 km <strong>di</strong> altezza con risoluzione <strong>di</strong> 0.7 m. Quin<strong>di</strong> non può<br />
leggere un numero <strong>di</strong> targa.<br />
Altre domande <strong>di</strong> tipo simile:<br />
• Fino a che <strong>di</strong>stanza i fari <strong>di</strong> un automobile sono visti separati? I fari <strong>di</strong>stano d ≈ 1m, un occhio ha<br />
d ≈ 3 mm, quin<strong>di</strong> D < ∼ ∆x · d/λ ∼ 5 km.<br />
• Stimare da che altezza un aquila riesce a vedere un coniglio. d ≈ 0.2 m, quin<strong>di</strong> D < ∼ km.<br />
• In che modo la fisica fondamentale decide quanto gran<strong>di</strong> devono essere gli occhi? Il sole emette luce con<br />
λ ∼ 10 −6 m, ed un buon occhio deve avere <strong>di</strong>mensione qualche or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza maggiore.<br />
• Come vede un pipistrello usando onde sonore? Un occhio umano ha risoluzione angolare ∆θ ≡ ∆x/D ∼<br />
λ/d ∼ 0.6 · 10 −3 che corrisponde a qualche Mpixel.<br />
Un pipistrello urla a frequenze <strong>di</strong> circa 50 kHz (per fortuna non u<strong>di</strong>bili dall’orecchio umano) a cui corrisponde<br />
λ = v/ν ≈ 6 mm dove v ≈ 300 m/s è la velocità del suono. Usando d ≈ 6 cm si ha ∆θ ∼ λ/d ∼ 0.1,<br />
che corrisponde a qualche centinaio <strong>di</strong> pixel: fa un po’pena.<br />
<strong>Esercizio</strong> 189: Minima <strong>di</strong>stanza visibile<br />
Come si fa a vedere un batterio più piccolo della lunghezza d’onda visibile?<br />
bSoluzione: Nell’esercizio precedente abbiamo stu<strong>di</strong>ato la <strong>di</strong>mensione minima <strong>di</strong> un oggetto visibile da lontano.<br />
Andando il più vicino possibile, rimane comunque impossibile vedere oggetti più piccoli della lunghezza d’onda<br />
utilizzata. La lunghezza d’onda corrispondente alle frequenze della luce ‘visibile’ è λ ≈ 0.5 µm.<br />
Per vedere oggetti più piccoli si possono utilizzare frequenze maggiori (ultravioletto, etc.) Oppure mettere<br />
l’oggetto da vedere in acqua o in altro mezzo con in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione n > 1: la luce rallenta v = c/n e quin<strong>di</strong>, a<br />
frequenza fissata, <strong>di</strong>minuisce il passo λ = λvuoto/n, permettendo <strong>di</strong> vedere oggetti più piccoli.
Capitolo 14<br />
Irraggiamento<br />
Formula <strong>di</strong> base: una carica q in moto non relativistico irraggia<br />
E = qe<br />
4πɛ0c2 1<br />
r n × (n × arit), cB = n × E<br />
dW<br />
dΩ<br />
4πc3 a2 sin 2 θ W = 2 e<br />
3<br />
2<br />
a2<br />
c3 = e2<br />
dove θ è l’angolo fra a e la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> osservazione n, e e 2 ≡ q 2 e/4πɛ0. In me<strong>di</strong>a temporale corrisponde ad una<br />
forza −2e 2 ˙¨x/3c 3 .<br />
Un sistema complicato può spesso venir approssimato come un <strong>di</strong>polo elettrico p(t), che irraggia una potenza<br />
W = 2¨p 2 /3c 3 4πɛ0. In pratica uno procede nel modo seguente:<br />
1. Sistema semplice (i.e. una o poche particelle) con p = 0: qualunque formula va bene.<br />
2. Sistema complicato (i.e. tante particelle) con p = 0 usare la formula approssimata per un <strong>di</strong>polo.<br />
3. Sistema semplice con p = 0: usare la formula <strong>di</strong> base e pensare.<br />
4. Sistema complicato con p = 0: non ci occuperemo <strong>di</strong> questi casi, per i quali esistono approssimazioni più<br />
accurate (quadrupolo elettrico, <strong>di</strong>polo magnetico).<br />
Calcolare quanto dovrebbe irraggiare.<br />
<strong>Esercizio</strong> 190: Atomo <strong>di</strong> idrogeno<br />
bSoluzione: Un elettrone in un atomo ruota con accelerazione a = ω 2 rA, quin<strong>di</strong> in un giro irraggia<br />
∆E = W · 2πrA<br />
v<br />
= 4π<br />
3<br />
e 2<br />
rA<br />
( v<br />
c )3 ∼ Eatomoα 3<br />
dove α = v/c ∼ 1/137. e fa 10 17 giri al secondo. Questa formula stima bene la vita me<strong>di</strong>a dei livelli eccitati, ma<br />
lo stato base ha vita me<strong>di</strong>a infinita.<br />
Modello classico per la stabilità dell’atomo <strong>di</strong> idrogeno: se invece <strong>di</strong> immaginare l’elettrone come una carica<br />
puntiforme lo si pensasse come 2 cariche messe ai punti opposti della traiettoria, la potenza irraggiata sarebbe<br />
zero, in approssimazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo. Con n carice e/n verrebbe ridotta <strong>di</strong> un fattore n. Nel limite n → ∞<br />
l’elettrone viene spalmato lungo la sua traiettoria e non irraggia più, anche se i singoli pezzi lo farebbero, per<br />
via <strong>di</strong> interferenza <strong>di</strong>struttiva.<br />
Siccome ∆E ≪ Eatomo se cadesse, spiraleggerebbe lentamente su orbite circolari: a ciascun istante<br />
e2 r2 = meω 2 2 mev e2 e2<br />
r : U = − = −<br />
2 r 2r<br />
Quin<strong>di</strong><br />
e2 2r2 ˙r = ˙ U = −W = 2e2 e2<br />
( )2<br />
3c3 mer2 cioè<br />
d(r3 )<br />
dt = 4r2 ec : r 3 (t) = r 3 0 − 4r 2 ect re ≡ e2<br />
mec2 = 2.8 10−13 cm.<br />
Questo effetto e’stato osservato nel caso analogo della gravità, <strong>di</strong>scusso in seguito: due masse in rapida<br />
rotazione una attorno all’altra irraggiano onde gravitazionali.<br />
114
Capitolo 14. Irraggiamento 115<br />
Polarizzazione Una carica in moto circolare corrisponde ad un <strong>di</strong>polo elettrico rotante p ∝ (1, i, 0)e iω . I<br />
campi <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo elettrico in zona <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione (r ≫ cω) sono dati da<br />
B = 1 ¨p rit × n<br />
4πɛ0 rc3 ; E = cB × n<br />
Quin<strong>di</strong> B ∝ (x + iy) × n: se si osserva lungo l’asse z, essendo (x + iy) × z = i(x + iy) la polarizzazione è<br />
circolare. Se invece n = x la polarizzazione è lineare. Infatti guardando dall’altro si vede una carica che gira,<br />
guardando <strong>di</strong> taglio una carica che oscilla.<br />
<strong>Esercizio</strong> 191: Deca<strong>di</strong>mento del positronio<br />
(riadattato da un compito). Un atomo <strong>di</strong> positronio è formato da un<br />
elettrone e da un positrone in orbita circolare a <strong>di</strong>stanza r0 (attenzione:<br />
questo è il <strong>di</strong>ametro e non il raggio). Il positrone ha massa me uguale e<br />
carica e opposta all’elettrone. Calcolare<br />
a) la pulsazione ω<br />
b) la polarizzazione della ra<strong>di</strong>azione iraggiata lungo x e lungo z.<br />
c) l’energia iraggiata in un giro e confrontarla con l’energia dell’atomo<br />
d) Assumendo che l’atomo spiraleggi lentamente, calcolare il tempo τ<br />
necessario per raggiungere r(t) = 0. Confrontandolo con il valore<br />
sperimentale τ = 6.2 10 −11 s determinare λ.<br />
bSoluzione:<br />
a) meω 2 r/2 = e 2 /4πɛ0r 2 quin<strong>di</strong> ω 2 è 2 volte maggiore che nell’idrogeno.<br />
b) circolare lungo z e lineare lungo x. Il motivo <strong>di</strong> base è che un osservatore da z vede due cariche girare,<br />
mentre da x le vede oscillare lungo una retta.<br />
c) Il <strong>di</strong>polo p = er gira con pulsazione ω. Quin<strong>di</strong> Wirr = ω 4 p 2 /6πɛ0c 3 . L’energia dell’atomo vale<br />
Si ha WirrT/E ∼ α 3 dove α ∼ v/c ∼ 1/137.<br />
d) L’atomo spiraleggia con r(t) dato da<br />
cioè<br />
e 2<br />
8πɛ0r 2 ˙r = ˙ E = −W = e2<br />
6πɛ0c<br />
E = 2 me r<br />
(ω<br />
2 2 )2 − e2 e2<br />
= −<br />
4πɛ0r 8πɛ0r<br />
3 (<br />
e 2<br />
)2<br />
2πɛ0mer 2<br />
˙r = 16 r<br />
3<br />
2 e<br />
r2 c re<br />
e<br />
≡<br />
2<br />
4πɛ0mec2 = 2.8 10−13 cm<br />
d(r 3 )<br />
dt = 16r2 ec : r 3 (t) = r 3 0 − 16r 2 ect = 0 per t = r3 0<br />
16r 2 ec .<br />
Confrontando con il valore sperimentale me<strong>di</strong>o (per motivi quantistici il tempo <strong>di</strong> deca<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>a<br />
fluttua attorno ad un valore me<strong>di</strong>o) si trova r0 = (16r 2 ecτ) 1/3 = 1.3 10 −10 m, cioè circa un Angstrom. Il<br />
risultato classico è quasi corretto in quanto i dettagli del botto finale fra e − ed e + non contano: la maggior<br />
parte del tempo viene spesa nella <strong>di</strong>scesa, inizialmente lenta.<br />
<strong>Esercizio</strong> 192: Scattering protone/nucleo<br />
Un protone con velocità iniziale v ≪ c urta frontalmente un nucleo <strong>di</strong> carica Z. Calcolare la polarizzazione della<br />
ra<strong>di</strong>azione emessa, e l’energia totale irraggiata, assumendo e verificando che sia una piccola frazione dell’energia<br />
cinetica.<br />
r<br />
z<br />
x
116 Capitolo 14. Irraggiamento<br />
bSoluzione: Secondo la formula generale E è polarizzato linearmente nel piano (n, a) ed ortogonale ad n, e<br />
B ‘gira’ attorno ad a. L’accelerazione è a = F/mp = Zq 2 e/4πɛ0r 2 . Quin<strong>di</strong>, applicando la formula generale<br />
dW<br />
dΩ = q2 ea2 L’energia irraggiata vale<br />
<br />
Eirr =<br />
16π2ɛ0c2 sin2 θ, W = 2<br />
3<br />
∞<br />
W dt = 2<br />
rmin<br />
e2 4πɛ0c3 a2 = A<br />
r4 W 8 mpv<br />
dr =<br />
v(r) 45<br />
5 0<br />
c3Z A =<br />
Eirr<br />
K0<br />
q 6 eZ 2<br />
96m 2 p(cπɛ0) 3<br />
∼ ( v0<br />
c )3<br />
dove K0 ≡ mv 2 0/2 è l’energia cinetica iniziale. Alla fine viene Z al denominatore in quanto se Z ≫ 1 il protone<br />
rimane lontano dal nucleo.<br />
L’integrale sopra richiede un passaggio non banale, che ora descriviamo. Usando la conservazione approssi-<br />
mata dell’energia si ha<br />
L’integrale vale<br />
v(r) =<br />
∞<br />
B/v 2 0<br />
<br />
v 2 0<br />
2Zq2<br />
−<br />
4πɛ0mpr =<br />
<br />
v2 B<br />
0 −<br />
r , rmin = B<br />
v2 .<br />
0<br />
dr<br />
r4v2 0 − B/r = v5 0<br />
B3 ∞<br />
1<br />
dx<br />
x4 16 v<br />
=<br />
1 − 1/x 15<br />
5 0<br />
B3 avendo usato la variabile <strong>di</strong> integrazione a<strong>di</strong>mensionale x = r/rmin. Il fattore numerico 16/15 è calcolabile<br />
usando y = 1 − 1/x come variabile <strong>di</strong> integrazione. La cosa importante è che, a parte il fattore numerico 16/15,<br />
il risultato segue in modo semplice dal fatto che l’integrale è dominato da r > ∼ rmin, e quin<strong>di</strong> Eirr ∼ W rmin/v0 ∼<br />
A/r 3 min v0 ∼ Av 5 0/B 3 .<br />
<strong>Esercizio</strong> 193: Scattering protone/protone<br />
Si può stimare l’energia irraggiata mettendo Z = 1 nella risposta dell’esercizio precedente?<br />
bSoluzione: Nell’esercizio precedente il nucleo era molto più pesante del protone e quin<strong>di</strong> rimaneva circa fermo.<br />
A prima vista avere due particelle <strong>di</strong> massa uguale cambia solo qualche fattore <strong>di</strong> O(1) in quanto irraggiano<br />
entrambe. Sbagliato. C’è una <strong>di</strong>fferenza qualitativa importante. Il ‘<strong>di</strong>polo elettrico totale’ dei due protoni è<br />
proporzionale al loro impulso<br />
p = er1 + er2 = e<br />
P<br />
e quin<strong>di</strong> è costante. In approssimazione ‘<strong>di</strong> <strong>di</strong>polo’ non c’è irraggiamento.<br />
Per calcolare l’energia irraggiata bisogna andare oltre l’approssimazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo. Entrambi i protoni<br />
accelerano, ma c’è un’interferenza <strong>di</strong>struttiva fra i loro contributi. Siccome sono messi in posizioni <strong>di</strong>verse hanno<br />
<strong>di</strong>versi tempi ritardati e la cancellazione non è totale. Chiamando δ la <strong>di</strong>stanza ed ignorando dettagli geometrici<br />
si ha ¨p(t + δ/c) − ¨p(t) ˙¨pδ/c, cioè compare una ulteriore derivata ed una ulteriore c al denominatore. Tenendo<br />
conto con precisione anche dei dettagli geometrici la quantità che consente <strong>di</strong> approssimare l’irraggiamento è il<br />
quadrupolo Qij = q[3xixj − r 2 δij]:<br />
W = 1<br />
<br />
2<br />
4πɛ0 3<br />
per cui alla fine Eirr/K0 ∼ (v0/c) 5 invece che (v0/c) 3 .<br />
Stimare la potenza irraggiata in onde gravitazionali<br />
¨p 2<br />
+<br />
c3 mp<br />
˙¨Q 2<br />
+ · · ·<br />
60c5 <strong>Esercizio</strong> 194: Onde gravitazionali<br />
bSoluzione: Gli esercizi precedenti invitano ad una <strong>di</strong>gressione sull’irraggiamento <strong>di</strong> onde gravitazionali, dove<br />
si ha un fenomeno analogo all’irraggiamento con 1/ɛ0 → G e q → m:<br />
Wirr(e.m.) ∼ q2 a 2<br />
ɛ0c3 <br />
¨P 2<br />
→ Wirr(gravitazionale) ∼ G +<br />
c3 <br />
˙¨Q 2<br />
+ · · ·<br />
c5
Capitolo 14. Irraggiamento 117<br />
Nel caso gravitazionale l’irraggiamento da <strong>di</strong>polo è sempre zero in quanto il momento è costante. (In linguaggio<br />
profondo ma per ora incomprensibile il gravitone ha spin 2, mentre il fotone ha spin 1). L’irraggiamento da<br />
quadrupolo può essere stimato come<br />
Wirr ∼<br />
W 2<br />
int<br />
W0<br />
dove W0 = c5<br />
G = 3.62 1052 Watt<br />
e quin<strong>di</strong> Wint ≡ ˙¨ Q ha le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> potenza ed il significato fisico <strong>di</strong> potenza interna (non sferica) del<br />
sistema. Per due corpi tenuti che ruotano l’uno attorno all’altro con velocità v per via della gravità, per motivi<br />
<strong>di</strong>mensionali si ha Wint ∼ v 5 /G, e quin<strong>di</strong> Wirr ∼ W0(v/c) 10 . Ad esempio due corpi <strong>di</strong> masse M in orbita a<br />
<strong>di</strong>stanza R l’uno dall’altro sentono una forza F ∼ GM 2 /R 2 ed hanno velocità data da Mv 2 /R ∼ F : quin<strong>di</strong>,<br />
eliminando M ∼ v 2 R/G si ottiene Wint ∼ F v ∼ v 5 /G = W0(v/c) 5 < W0 in quanto v < c (quando si raggiunge<br />
v ∼ c il sistema collassa in un buco nero). La costante universale W0 ha quin<strong>di</strong> il significato fisico <strong>di</strong> massima<br />
potenza possibile.<br />
Nel caso del sistema Terra/Sole, bisogna tenere conto che hanno masse <strong>di</strong>verse: ɛ = MT /MS ∼ 10 −6 .<br />
Questo produce Wint = ɛW0(v/c) 5 . Essendo v/c ≈ 10 −4 la potenza irraggiata in onde gravitazionali è Wirr ∼<br />
ɛ 2 (v/c) 10 W0 ∼ Watt: meno <strong>di</strong> una lampa<strong>di</strong>na. A <strong>di</strong>fferenza dell’analogo elettromagnetico nell’atomo <strong>di</strong> idrogeno<br />
non è un fenomeno preoccupante. Per irraggiare gravitazionalmente la sua energia MT v 2 ∼ 10 33 J la terra<br />
impiega 10 30 s, un tempo 10 13 volte maggiore dell’età dell’universo.<br />
<strong>Esercizio</strong> 195: Scattering elettrone/fotone<br />
Calcolare la sezione d’urto (<strong>di</strong> ‘Thompson’) e stimare quando l’universo è <strong>di</strong>ventato trasparente.<br />
bSoluzione: Un’onda elettromagnetica dà accelerazione a = qeE/m ad un elettrone libero, che quin<strong>di</strong> irraggia<br />
con potenza W . Un modo standard per <strong>di</strong>re quanta parte dell’energia incidente S viene irraggiata è dare un’area<br />
σ che <strong>di</strong>ce quando è ‘grande’ l’elettrone rispetto a questa interazione: la luce che finisce dentro questa area σ<br />
viene presa dall’elettrone e ri-irraggiata. In fisica delle particelle, σ viene chiamata ‘sezione d’urto’ del processo<br />
eγ → eγ. Vale<br />
σ ≡ W<br />
S = 4πɛ0c(2/3)(e2 /mc2 ) 2 〈E2 〉<br />
ɛ0c2 =<br />
〈EB〉<br />
8π<br />
3 r2 e = 0.665 10 −28 m 2<br />
dove re = e 2 /mc 2 = q 2 e/4πɛ0mec62 = 2.82 10 −13 cm è il raggio classico dell’elettrone. Questa formula vale solo<br />
se si può trascurare il rinculo dell’elettrone, cioè per fotoni <strong>di</strong> energie Eγ < ∼ mec 2 , quin<strong>di</strong> fino a raggi γ. I protoni<br />
hanno massa molto maggiore degli elettroni, e quin<strong>di</strong> il loro irraggiamento è trascurabile.<br />
Applicazione all’universo primor<strong>di</strong>ale. Oggi la densità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> elettroni è n 0 e = 0.25/m 3 : uno ogni 4 metri<br />
cubi. Quin<strong>di</strong> il cammino libero me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un fotone è quin<strong>di</strong> 1/n 0 eσ = 6 10 28 m ed il tempo <strong>di</strong> interazione me<strong>di</strong>o è<br />
1/n 0 eσc = 2 10 20 sec = 6 10 12 yr. Siccome l’età dell’universo è oggi T0 = 10 10 yr, la luce si propaga praticamente<br />
libera. L’universo è oggi trasparente.<br />
In passato l’universo aveva ‘raggio’ più piccolo: R < R0, e quin<strong>di</strong> la densità <strong>di</strong> elettroni era più alta <strong>di</strong> un<br />
fattore (R0/R) 3 , e l’universo si espandeva più velocemente: H ≡ ˙ R/R = 8πGρ/3 con ρ ∝ 1/R 3 . 1 Quin<strong>di</strong>,<br />
confrontando il rate <strong>di</strong> collisioni con il rate <strong>di</strong> espansione si trova necσ/H ∝ (R0/R) 3/2 : l’universo non era<br />
trasparente alla luce quando aveva un ‘raggio’ R circa 50 volte più piccolo <strong>di</strong> oggi. Un calcolo preciso tiene<br />
1 Calcoliamo la rate H(t) <strong>di</strong> espansione dell’universo in funzione della densit rho(t) <strong>di</strong> energia. Stu<strong>di</strong>amo come una densità<br />
omogenea ρ(t) <strong>di</strong> materia non-relativistica si evolve secondo la gravità. Una particella a <strong>di</strong>stanza R da noi sente l’accelerazione <strong>di</strong><br />
Newton<br />
¨R = − GM(R)<br />
R2 4πGρ(t)<br />
= − R (14.1)<br />
3<br />
dove M(R) la massa totale all’interno <strong>di</strong> una sfera del raggio R e G la costante <strong>di</strong> Newton. Moltiplicando entrambi i lati <strong>di</strong> eq.<br />
eqddotR per ˙ R ed integrando, tenendo conto che ρ(t) ∝ 1/R3 (t) si ottiene l’usuale costante del moto: l’energia totale, qui chiamata<br />
k<br />
<br />
d 1<br />
˙R<br />
dt 2<br />
2 − 4π<br />
3 GρR2<br />
<br />
= 0 so that H 2 ≡ ˙ R2 8πG k<br />
= ρ − . (14.2)<br />
R2 3 R2 Il caso speciale k = 0 è ottenuto quando la densità ρ è uguale alla ‘densità critica’ ρ = ρcr ≡ 3H2 /8πG. k = 0 è speciale perchè<br />
significa zero ‘energia totale’ (l’energia potenziale gravitazionale negativa compensa l’energia positiva della materia): un universo<br />
con densità critica che si espande <strong>di</strong>ventando grande gratis avrebbe potuto venir teoricamente anticipato fin dal 1687. Oggi i<br />
pregui<strong>di</strong>zi su <strong>di</strong> un universo statico sono stati abbandonati, e teorie più avanzate confermano la <strong>di</strong>scussione sopra dandole basi<br />
solide: in relatività generale l’eq. (14.2) vale per qualunque forma <strong>di</strong> energia (particelle relativistiche, costante cosmologica,...) e la<br />
costante k ha il significato fisico <strong>di</strong> ‘curvatura dell’universo’. Un meccanismo chiamato inflazione genera un universo quasi omogeneo<br />
con k trascurabile.
118 Capitolo 14. Irraggiamento<br />
conto che solo parte degli elettroni sono elettroni liberi (gli altri formano atomi <strong>di</strong> idrogeno, elio,. . . ) e <strong>di</strong>ce<br />
che la la luce si è <strong>di</strong>saccoppiata della materia quando l’universo era 1000 volte più piccolo, ed aveva un età <strong>di</strong><br />
300000 anni. Per cui osservando la ra<strong>di</strong>azione cosmica <strong>di</strong> fondo oggi, ve<strong>di</strong>amo una foto <strong>di</strong> quando l’universo<br />
aveva 300000 anni. Quello che si vedono sono piccole fluttuazioni primor<strong>di</strong>ali (δT/T ∼ 10 −5 , probabilmente<br />
prodotte da fluttuazioni quantistiche amplificiati dall’inflazione), che amplificandosi per via della gravità sono<br />
<strong>di</strong>ventate le galassie etc che esistono oggi.<br />
<strong>Esercizio</strong> 196: Ra<strong>di</strong>azione cosmica<br />
Misure della ra<strong>di</strong>azione cosmica <strong>di</strong> fondo (CMB) hanno mostrato che essa<br />
ha <strong>di</strong>verse intensità in <strong>di</strong>versi punti del cielo (ve<strong>di</strong> figura superiore). La<br />
CMB che osserviamo è stata irraggiata da elettroni e protoni liberi, finchè<br />
si sono legati a formare atomi <strong>di</strong> idrogeno neutro rendendo trasparente<br />
l’universo. Nell’esercizio si affronta un caso semplificato, che consente <strong>di</strong><br />
capire se, come conseguenza <strong>di</strong> questi fatti, la CMB è polarizzata.<br />
a) Come mai si può trascurare la CMB <strong>di</strong>ffusa dai protoni?<br />
b) Un’onda elettromagnetica non polarizzata si propaga lungo l’asse<br />
n incidendo su <strong>di</strong> un elettrone libero situato nell’origine. Si descriva<br />
come è polarizzata la ra<strong>di</strong>azione irraggiata misurata da un<br />
osservatore situato lungo l’asse z nei tre casi: n = ˆx, ˆy, ˆz.<br />
Si calcoli il grado <strong>di</strong> polarizzazione (misurata da un osservatore situato<br />
lungo l’asse z) della ra<strong>di</strong>azione irraggiata da un elettrone e investito da:<br />
c) Ra<strong>di</strong>azione isotropa e non polarizzata.<br />
d) Onde elettromagnetiche provenienti dalle <strong>di</strong>rezioni ±ˆx con intensità<br />
Ix e dalle <strong>di</strong>rezioni ±ˆy con intensità Iy (ve<strong>di</strong> figura<br />
inferiore).<br />
bSoluzione:<br />
a) La potenza irraggiata è proporzionale ad a 2 = (F/m) 2 ; protoni ed elettroni sentono la stessa forza F = qE,<br />
ma i protoni hanno massa mp ≫ me.<br />
c) Se n = ˆx l’osservatore riceve luce polarizzata lungo ˆy: l’osservatore ‘vede’ l’elettrone oscillare lungo l’asse<br />
y, e questo, secondo le formule che descrivono l’irraggiamento, produce ra<strong>di</strong>azione polarizzata lungo y.<br />
Similmente se n = ˆy l’osservatore riceve luce polarizzata lungo ˆx. Se n = ˆz non si ha irraggiamento lungo<br />
ˆz.<br />
c) Non esistendo nessuna <strong>di</strong>rezione privilegiata, non si ha polarizzazione.<br />
d) Le onde <strong>di</strong> intensità Ix producono lungo z una ra<strong>di</strong>azione irraggiata <strong>di</strong> intensità Iz(Ix) ∝ Ix e polarizzazione<br />
lungo y. Similmente le onde <strong>di</strong> intensità Iy producono lungo z una ra<strong>di</strong>azione irraggiata <strong>di</strong> intensità<br />
Iz(Iy) ∝ Iy e polarizzazione lungo x. Se Ix = Iy la polarizzazione totale si me<strong>di</strong>a a zero, come nel caso<br />
isotropo (e non dà una polarizzazione me<strong>di</strong>a a 45 gra<strong>di</strong>!). Quin<strong>di</strong> il grado <strong>di</strong> polarizzazione è |Ix −Iy|/(Ix +<br />
Iy): massimo nei casi limite Iy ≪ Ix o Ix ≪ Iy.<br />
<strong>Esercizio</strong> 197: Nube<br />
Un’onda piana <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ incide su <strong>di</strong> una nube contenente elettroni con densità ne. Per semplicità<br />
si assuma che la densità sia costante entro un cubo <strong>di</strong> lato L e valga zero fuori, che l’onda incida lungo l’asse x,<br />
perpen<strong>di</strong>colare ad una faccia del cubo, che la nube sia così poco densa da poter trascurare le interazioni fra gli<br />
elettroni, e che la frequenza <strong>di</strong> plasma della nube sia trascurabile, ωp ≪ ω.<br />
a) Calcolare in che modo la potenza irraggiata <strong>di</strong>pende da L. Per quale valore <strong>di</strong> L la nube è trasparente?<br />
I x<br />
e<br />
I y<br />
I y<br />
I x<br />
z<br />
y<br />
x
Capitolo 14. Irraggiamento 119<br />
b) In quale <strong>di</strong>rezione si osserva luce irraggiata polarizzata linearmente, qualunque sia la polarizzazione della<br />
luce incidente?<br />
Si assuma ora che la coerenza fra la luce irraggiata dai singoli elettroni sia me<strong>di</strong>ata a zero dalle interazioni fra<br />
gli elettroni.<br />
c) Calcolare nuovamente la potenza irraggiata in funzione <strong>di</strong> L, assumendo che L sia abbastanza piccolo da<br />
poter trascurare la riduzione <strong>di</strong> intensità dell’onda incidente.<br />
d) Calcolare la lunghezza <strong>di</strong> penetrazione della luce nella nube.<br />
Si assuma ora invece che ω ≪ ωp, in modo che gli effetti collettivi <strong>di</strong>ventino rilevanti.<br />
e) Rispondere nuovamente alla domanda d).<br />
bSoluzione:<br />
a) Ogni elettrone si muove secondo me¨r = eE e quin<strong>di</strong> ha un <strong>di</strong>polo ¨p = e2E/me. Il <strong>di</strong>polo totale P della<br />
nube vale<br />
<br />
¨P = dV ne¨p = L 2 e<br />
ne<br />
2 L<br />
e<br />
E0 sin(kr − ωt) = Ne<br />
2 2<br />
E0<br />
kL sin(kL ) sin(kL − ωt)<br />
2 2<br />
me<br />
0<br />
dove Ne = L 3 ne è il numero totale <strong>di</strong> elettroni. la potenza irraggiata me<strong>di</strong>a vale Wirr = 2〈 ¨ P 2 〉/3c 3 4πɛ0: vale<br />
zero quando kL/2 = π cioè L = λ, ed è propozionale a L 2 per λ ≫ L.<br />
b) Un osservatore che guarda la nube ortogonalmente alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza della luce ‘vede’ elettroni che<br />
oscillano lungo una linea, e quin<strong>di</strong> riceve luce polarizzata. La cosa è verificabile in pratica utilizzando un<br />
polarimetro.<br />
c) Bisogna ora sommare incoerentemente i contributi dei singoli elettroni:<br />
dove S = L 2 è lo spessore trasverso della nube.<br />
me<br />
Wirr = NeWun elettrone = e4 E 2 0SLne<br />
12πɛ0m 2 ec 3<br />
d) La nube <strong>di</strong>venta opaca quando Wirr ∼ Winc, cioè quando tutta la potenza incidente Winc/L 2 = 〈u〉c = ɛ0E 2 0/2<br />
viene re-irraggiata. Più precisamente si ha dWinc/dx = −dWirr/dx = −Winc/L∗, cioè l’intensità della luce<br />
incidente <strong>di</strong>minuisce esponenzialmente mano a mano che attraversa la nube: WI(x) = W 0 I e−x/L∗ . L∗<br />
può anche essere calcolato come L∗ = 1/neσ utilizzando il concetto <strong>di</strong> sezione d’urto, e ricordando che<br />
σ = σ(eγ → eγ) = 8πr 2 e/3 = 0.665 10 −28 m 2 dove re = e 2 /mec 2 è il ‘raggio classico dell’elettrone’.<br />
e) Ricor<strong>di</strong>amo le formule standard n 2 = 1 − (ωp/ω) 2 con ω 2 p = Neq 2 /ɛ0me. Usando k = nω/c si ha, per<br />
ω ≪ ωp, e ikx = e −x/L′<br />
∗ con L ′ ∗ = c/ωp. A basse frequenze l’effetto collettivo dà L ′ ∗ ∼ 1/ √ Nere, ed è<br />
quin<strong>di</strong> dominante rispetto all’effetto non-collettivo che dà L∗ ∼ 1/Ner 2 e. L’effetto collettivo non comporta<br />
trasferimenti <strong>di</strong> energia: una nube non assorbe la luce del sole riscaldandosi ma la riflette.<br />
<strong>Esercizio</strong> 198: Un condensatore<br />
Calcolare l’energia irraggiata da un condensatore con <strong>di</strong>stanza fra i piatti ℓ connesso ad un generatore <strong>di</strong> corrente<br />
Ie iωt .<br />
bSoluzione: Il condensatore schematizza una antenna, evitando dettagli geometrici. Per calcolare l’irraggiamento<br />
lo si approssima come un <strong>di</strong>polo p = ℓq, ˙p = ℓI, ¨p = iωℓI e quin<strong>di</strong><br />
〈W 〉 = 〈¨p2 〉<br />
6πɛ0c 3 = I2 0<br />
2 Rrad<br />
Rrad = (kℓ)2<br />
6πɛ0c ≈ (kℓ)2 20 ohm<br />
avendo usato ω/c = k. L’antenna <strong>di</strong>ssipa energia: come suggerito dalla notazione Rrad dal punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong> chi<br />
la paga (tipicamente un generatore <strong>di</strong> corrente) l’antenna si comporta quin<strong>di</strong> come una resistenza.<br />
La combinazione a<strong>di</strong>mensionale kℓ è circa il numero <strong>di</strong> lunghezze d’onda contenute in ℓ. L’approssimazione<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>polo è valida se ℓ ≪ λ, dove ℓ è la <strong>di</strong>mensione dell’antenna e λ la lunghezza dell’onda irraggiata. Segnali<br />
TV hanno λ ∼ (10 ÷ 100) m.
120 Capitolo 14. Irraggiamento<br />
<strong>Esercizio</strong> 199: Un’antenna<br />
Calcolare l’energia irraggiata da un tubo verticale <strong>di</strong>sposto lungo l’asse z da −ℓ/2 a ℓ/2 lungo cui oscilla una<br />
corrente I(z, t) = I0e iωt (1 − 2|z|/ℓ).<br />
bSoluzione: Il tubo vuole schematizzare un’antenna: per calcolare l’energia irraggiata lo si approssima con<br />
un <strong>di</strong>polo elettrico. Applichiamo la formula <strong>di</strong> Larmor approssimando il sistema come un <strong>di</strong>polo p(t) =<br />
ℓ/2<br />
λ(z)z dz dove λ(z) è la <strong>di</strong>stribuzione lineare <strong>di</strong> carica, che va calcolata. La conservazione della corrente<br />
−ℓ/2<br />
fornisce<br />
˙λ = − ∂I<br />
∂z<br />
iωt<br />
= θ(z)2I0e , θ(z) =<br />
ℓ<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
0 z < −ℓ/2<br />
−1 −ℓ/2 < z < 0<br />
1 0 < z < ℓ/2<br />
0 z > ℓ/2<br />
e λ = ˙ λ/iω. Quin<strong>di</strong> p = I0ℓe iωt /2iω. Per una generica corrente I(z) che vale zero al bordo si ottiene ˙p =<br />
z dz ˙ λ = − dz z dI/dz = dz I, avendo integrato per parti.<br />
<strong>Esercizio</strong> 200: Due antenne<br />
Due antenne piccole rispetto a λ situate a <strong>di</strong>stanza λ/2 irraggiano con <strong>di</strong>poli p uguali eccetto una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
fase <strong>di</strong> (a) ∆ = 0; (b) ∆ = π/2; (c) ∆ = π. Calcolare dW/dΩ ed il momento irraggiato<br />
bSoluzione: Il campo elettrico irraggiato è la somma dei campi elettrici irraggiati dai singoli <strong>di</strong>poli, e, prendendo<br />
solo la componente <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione dei campi (cioè quella che va a zero come E ∝ 1/r e non più veloce)<br />
l’unico punto in cui bisogna tenere conto della <strong>di</strong>fferente geometria fra le due sorgenti (una è poco più vicina<br />
dell’altra, sono viste secondo angoli lievemente <strong>di</strong>versi, etc.) è la loro <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase δ:<br />
Quin<strong>di</strong><br />
E = E1 + E2 = E1(1 + e iδ ) δ = ∆ + 2π<br />
λ<br />
dW<br />
dΩ<br />
λ<br />
sin θ<br />
2<br />
dW1<br />
=<br />
dΩ × |1 + eiδ | 2 = 1 2¨p<br />
4πɛ0<br />
2<br />
3c3 sin2 2 δ<br />
θ × 4 cos<br />
2<br />
Il grafico standard consente <strong>di</strong> visualizzare la potenza emessa in funzione della <strong>di</strong>rezione:<br />
Una antenna Θ = 0 Θ =Π/2 Θ =Π<br />
Nel caso ∆ = 0 (<strong>di</strong>poli in fase) si ottiene un quadrifoglio perchè si ha interferenza <strong>di</strong>struttiva lungo l’orizzontale.<br />
Nel caso ∆ = π la controfase tende a compensare la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza, e quin<strong>di</strong> l’emissione è qualitativamente<br />
simile a quella <strong>di</strong> un solo <strong>di</strong>polo. Nel caso ∆ = π/2 l’emissione non è simmetrica: viene emesso anche un momento<br />
Fz = dpz<br />
dt<br />
1 dU<br />
=<br />
c dt a<br />
Anche ignorando il fattore numerico a<strong>di</strong>mensionale a ∼ 1, si può facilmente stimare che si tratta <strong>di</strong> un effetto<br />
piccolo: se W ∼ 10 5 W la forza vale Fz ∼ W/c ∼ 10 −4 N.
Capitolo 14. Irraggiamento 121<br />
<strong>Esercizio</strong> 201: Interferenza fra due sorgenti<br />
Un’onda piana <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ incide lungo un<br />
asse sul quale sono posti a <strong>di</strong>stanza d ≤ λ fra loro due<br />
<strong>di</strong>ffusori puntiformi identici il cui momento <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo è<br />
p = αE essendo E il campo elettrico applicato. L’onda<br />
è polarizzata linearmente nel piano perpen<strong>di</strong>colare al<br />
piano della figura. Si consideri l’interferenza tra le onde<br />
emesse dei due <strong>di</strong>ffusori (trascurando l’interferenza con<br />
l’onda incidente) nel piano della figura.<br />
1a) Si <strong>di</strong>ca per quali valori <strong>di</strong> d non si ha ra<strong>di</strong>azione<br />
emessa all’in<strong>di</strong>etro (cioé per θ = π)<br />
1b) Calcolare la <strong>di</strong>stribuzione angolare della potenza<br />
irraggiata a <strong>di</strong>stanze r ≫ d in funzione dell’angolo<br />
azimutale θ.<br />
bSoluzione: I due <strong>di</strong>ffusori 1 e 2 irraggiano con una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase δ, quin<strong>di</strong><br />
dW1+2<br />
dΩ<br />
dW1<br />
=<br />
dΩ |1 + eiδ | 2 = dW1 δ<br />
· 4 cos2<br />
dΩ 2<br />
δ = 2π<br />
d(1 − cos θ)<br />
λ<br />
dove dW1/dΩ è la potenza irraggiata dal <strong>di</strong>ffusore 1 in assenza del 2. All’in<strong>di</strong>etro si ha interferenza <strong>di</strong>struttiva<br />
δ = π per d = λ/4.<br />
Pulsar ruotante<br />
<strong>Esercizio</strong> 202: Dipolo magnetico<br />
bSoluzione: Una pulsar ruota facendo girare anche il suo <strong>di</strong>polo magnetico µ. Quin<strong>di</strong> irraggia W = 2¨µ 2 /3c 3 =<br />
2ω 4 µ 2 /3c 3 riducendo l’energia cinetica rotazionale U = Iω 2 /2 (I ≈ 2<br />
5 MR2 ). Se ˙ω è misurato si ricava<br />
µ 2 = 3 MR<br />
5<br />
2 ˙ωc 3<br />
ω3 per M ∼ M⊙, R ∼ 10 km, T ∼ 10 s, ˙<br />
T ∼ 10 −10 .<br />
B ∼ 2µ<br />
R 3 ∼ 1015 Gauss
Capitolo 15<br />
Relatività<br />
Introducendo A µ = (ϕ, A) le equazioni E = − ˙ A/c − ∇ϕ e B = ∇ × A <strong>di</strong>ventano<br />
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ ⎛<br />
0<br />
⎞<br />
⎜ Ex<br />
= ⎝<br />
Ey<br />
0<br />
cBz 0<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ez −cBy cBx 0<br />
Le equazioni <strong>di</strong> Maxwell sono<br />
∂µF µν = 4π ν<br />
J<br />
c<br />
J ν = (cρ, J)<br />
Le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz dei campi sono, in unità c = 1:<br />
F µ′ ν ′<br />
= Λ µ′<br />
µ Λ ν′<br />
ν F µν<br />
⎛<br />
γ −βγ 0<br />
⎞<br />
0<br />
⎜ −βγ<br />
Λ(βx) = ⎝<br />
0<br />
γ<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0 ⎟<br />
⎠<br />
0<br />
i.e.<br />
0 0 0 1<br />
E ′ x = Ex<br />
B ′ x = Bx<br />
E ′ y = γ(Ey − βBz) B ′ y = γ(By + βEz)<br />
E ′ z = γ(Ez + βBy) B ′ z = γ(Bz − βEy)<br />
L = − 1<br />
4 F µν Fµν = (E 2 − c 2 B 2 )/2 e ɛµναβF µν F αβ ∝ E · B sono invarianti <strong>di</strong> Lorentz. Per un’onda valgono zero.<br />
(Sporco trucco: F ≡ E + iB fa rotazioni con angolo complesso, quin<strong>di</strong> F 2 è invariante).<br />
Non useremo le seguenti formule. Quadri-corrente <strong>di</strong> una carica puntiforme q in moto Xµ(τ) arbitrario:<br />
<br />
Jµ = q dτ Vµ δ(xµ − Xµ(τ)).<br />
<br />
1<br />
Per moto rettilineo uniforme a velocità v si riduce all’ovvio Jµ = q δ(x − vt)δ(y)δ(z), come può verificare<br />
v<br />
trasformando J ′ <br />
1<br />
µ = q δ(x<br />
0<br />
′ )δ(y ′ )δ(z ′ ).<br />
Il vettore <strong>di</strong> Poynting fa parte del tensore simmetrico ‘energia impulso’ Tµν che trasforma come<br />
T ′ 00 = γ 2 (T00 − 2T0xβ + Txxβ 2 ), T ′ xx = γ 2 (Txx − 2T0xβ + T00β 2 ), T ′ 0x = γ 2 [T0x(1 + β 2 ) − β(T00 + Txx)]<br />
e lo stesso per y → z.<br />
T ′ 0y = γ(T0y − Txyβ), T ′ xy = γ(Txy − T0yβ), T ′ yy = Tyy<br />
<strong>Esercizio</strong> 203: Contrazione <strong>di</strong> Lorentz<br />
Verso il 1900 si <strong>di</strong>scuteva il seguente problema: assumendo che la materia sia tenuta assieme da forze elettromagnetiche,<br />
e sapendo come queste si trasfromano in <strong>di</strong>versi sistemi <strong>di</strong> riferimento determinare in che modo la<br />
materia si ingrossa o rimpicciolisce se vista da un sistema in moto.<br />
bSoluzione: Una volta capito, il problema <strong>di</strong>venta banale. Siccome l’elettromagnetismo ed il resto della fisica<br />
trasformano in modo ben definito sotto trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz, la <strong>di</strong>stanza fra due punti <strong>di</strong> un oggetto forma<br />
un quadrivettore Xµ, che si trasforma come un quadrivettore in<strong>di</strong>pendentemente dalle forze complicate Fµν<br />
che lo tengono assieme. E.g. è ovvio che sotto rotazioni la <strong>di</strong>stanza è un invariante: il resto non è molto più<br />
profondo.<br />
122
Capitolo 15. Relatività 123<br />
<strong>Esercizio</strong> 204: Che cosa è l’elettromagnetismo<br />
Mostrare che l’elettromagnetismo è l’unica teoria relativistica <strong>di</strong> un campo vettore.<br />
bSoluzione: In meccanica classica (ma specialmente in meccanica quantistica) un modo conveniente <strong>di</strong> descrivere<br />
una teoria consiste nello scriverne la Lagrangiana L (per quanto riguarda la presente <strong>di</strong>scussione una<br />
Lagrangiana è sostanzialmente l’energia cinetica). Se ad esempio la teoria ha una qualche simmetria può non<br />
essere ovvio vederla dalle equazioni del moto. che la Lagrangiana. Ci interessa il caso in cui la simmetria è<br />
l’invarianza <strong>di</strong> Lorentz: quin<strong>di</strong> la Lagrangiana deve essere uno scalare.<br />
Nel caso una teoria relativistica <strong>di</strong> un campo scalare φ la naturale Lagrangiana è L = ±(∂µφ) 2 , con il segno<br />
fissato ad essere + in modo che l’energia cinetica sia positiva, L = + ˙ φ 2 + · · ·.<br />
Per un vettore Aµ apparentemente si ha L = ±(∂µAν) 2 , ma questa teoria non ha senso: infatti per qualunque<br />
segno o la componente A0 o le componenti A1,2,3 hanno energia cinetica con segno sbagliato. L’unica teoria<br />
sensata è data da L = −(∂µAν − ∂νAµ) 2 . Questa forma speciale corrisponde ad una nuova simmetria ‘<strong>di</strong> gauge’<br />
Aµ → Aµ + ∂µφ, necessaria (specialmente a livello quantistico) per giustificare la speciale forma sensata. La<br />
simmetria <strong>di</strong> gauge vincola altri termini ad<strong>di</strong>zionali:<br />
• Il fotone deve avere massa zero. Infatti il termine Lorentz-invariante m 2 A 2 µ/2 (m ha <strong>di</strong>mensioni lunghezza −1 )<br />
viene proibito. Questo sarebbe un termine <strong>di</strong> massa per il fotone. Infatti in sua presenza il quadri-vettore<br />
d’onda che compare in e iK·X sod<strong>di</strong>sferebbe a K 2 = m 2 , e quin<strong>di</strong> ω/c > m. Quantisticamente il quadriimpulso<br />
è Pµ = ¯hKµ, per cui ¯hm è una massa. Nel limite statico (ω = 0) si avrebbe k = im, cioè la forza<br />
<strong>di</strong> Coulomb sarebbe ∝ e −rm /r 2 .<br />
• L’accoppiamento alla materia JµA µ rispetta questa simmetria se ∂µJµ = 0: la carica elettrica deve essere<br />
conservata.<br />
Quando viene sviluppata anche una teoria della materia Jµ <strong>di</strong>venta ¯ ΨγµΨ e l’invarianza <strong>di</strong> gauge <strong>di</strong>venta una<br />
simmetria locale <strong>di</strong> Ψ: U(1) nel caso dell’elettromagnetismo, SU(2) per le interazioni elettro-deboli, SU(3) per<br />
quelle forti, e Poincarè per la gravità.<br />
<strong>Esercizio</strong> 205: Forza fra 2 cariche bis<br />
Due elettroni si muovono parallelamente lungo traiettorie rettilinee a <strong>di</strong>stanza a con velocità costante v ≪ c.<br />
Calcolare la forza elettromagnetica<br />
bSoluzione: Modo 1: Nel sistema in cui le cariche sono in quiete F0 = e 2 /4πɛ0 e quin<strong>di</strong> la relatività <strong>di</strong>ce che<br />
Fv = F0/γ<br />
Modo 2: Nel sistema <strong>di</strong> quiete esiste solo E. Trasformando i campi trovo che nel sistema in cui le cariche si<br />
muovono E ′ y = γEy e B ′ z = −γβEy: la forza <strong>di</strong> Lorentz è<br />
Fv = γ( e2<br />
4πɛ0<br />
− ev · µ0 e2<br />
ev) = γ(1 −<br />
4π 4πɛ0<br />
v2 F0<br />
) =<br />
c2 γ<br />
Per calcolare il segno basta ricordare che fili con correnti uguali si attirano.<br />
Negli acceleratori <strong>di</strong> particelle si riesce ad accelerare fasci <strong>di</strong> particelle cariche, perchè a v ∼ c la forza<br />
repulsiva <strong>di</strong> Coulomb è compensata da quella magnetica.<br />
<strong>Esercizio</strong> 206: Verifica conservazione impulso<br />
Una carica q viaggia lungo l’asse x con energia E e ‘grande’ parametro d’impatto b verso una carica Q, ferma<br />
nell’origine e <strong>di</strong> massa cosí grande che rimane a riposo. Calcolare il piccolo angolo <strong>di</strong> deflessione e verificare che<br />
l’impulso acquistato da q è uguale ed opposto a quello acquistato da Q.<br />
bSoluzione: La formula dp/dt = F = q(E + v × B) è vera anche relativisticamente, dove p = mγv è l’impulso<br />
relativistico.
124 Capitolo 15. Relatività<br />
Iniziamo a calcolare l’impulso acquistato dalla carica in moto q. Per ‘grande’ b la carica q viene deflessa <strong>di</strong><br />
poco e si ha θ(b) ∆p q<br />
/p ≪ 1 con<br />
⊥<br />
∆p q<br />
⊥ =<br />
+∞<br />
dt qE<br />
−∞<br />
Q<br />
+∞<br />
qQ<br />
b dt<br />
⊥ (x = vt, y = b, 0, t) =<br />
4πɛ0 −∞ [(vt) 2 + b2 qQ<br />
=<br />
] 3/2 2πɛ0vb<br />
Il calcolo è stato già effettuato a pagina 14, mostrando che uno può fare l’integrale col il teorema <strong>di</strong> Gauss.<br />
Calcoliamo ora l’impulso acquistato da Q: si procede in modo analogo, utilizzando il campo elettrico generato<br />
dalla carica q in moto relativistico. Lo calcoliamo usando il risultato ben noto nel sistema S ′ dove la carica q è<br />
ferma nell’origine ed applicando le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz sui campi<br />
e sulle coor<strong>di</strong>nate:<br />
si trova che l’impulso aquistato da Q vale<br />
Ey(x, y, z, t) = γEy ′(x′ , y ′ , z ′ , t ′ q<br />
) = γ ·<br />
4πɛ0<br />
∆p Q<br />
⊥ =<br />
+∞<br />
−∞<br />
x ′ = γ(x − vt), y ′ = y<br />
dt Q E q<br />
qQ<br />
⊥ (0, 0, 0, t) =<br />
4πɛ0<br />
+∞<br />
−∞<br />
y ′<br />
[x ′2 + (y ′ − b) 2 ] 3/2<br />
γb dt<br />
[(γvt) 2 + b 2 ] 3/2<br />
che grazie ai due γ (uno dalle trasformazioni del campo, uno dalle trasformazioni delle coor<strong>di</strong>nate) è uguale ad<br />
opposto all’impulso acquistato da q.<br />
<strong>Esercizio</strong> 207: Carica in E e B ortogonali bis<br />
Estendere l’esercizio <strong>di</strong> pagina 58 al caso <strong>di</strong> moto relativistico.<br />
bSoluzione: Avevamo visto che una carica in E e B ortogonali spiraleggia driftando a velocità costante,<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla carica e dalla massa. Questo <strong>di</strong>venta ovvio riassorbendo il drift tramite una trasformazione<br />
<strong>di</strong> Lorentz con velocità E/B. Nel nuovo sistema E ′ = 0 e B ′ = B 2 − E 2 /c 2 (se cB > E) come segue<br />
imme<strong>di</strong>atamente dal fatto che E · B = 0 ed E 2 − c 2 B 2 sono invarianti <strong>di</strong> Lorentz. Se E > cB = 3 10 8 V/m ·<br />
(B/Tesla) si può andare in un sistema dove B ′ = 0 ed E ′ = √ E 2 − c 2 B 2 tramite un boost <strong>di</strong> velocità c 2 B/E.<br />
<strong>Fisica</strong>mente questo è dovuto al fatto che se il campo elettrico è troppo grosso, E > B, il campo magnetico non<br />
riesce ad incurvare la traiettoria.<br />
<strong>Esercizio</strong> 208: Filo in moto<br />
Un filo rettilineo infinito <strong>di</strong>sposto lungo l’asse x ha sezione A e contiene n elettroni per unità <strong>di</strong> lunghezza in<br />
moto con velocità v, e n protoni fermi. Il filo viene messo in modo con velocità β lungo l’asse x. Calcolare i<br />
campi E e B.<br />
bSoluzione: Nel sistema S dove il filo è fermo il vettore quadricorrente J = (ρ, j) vale J = (0, i/A) dove<br />
i = nev. Questo produce E = 0 e B = ˆ θµ0i/2πr.<br />
1. Un primo modo <strong>di</strong> calcolare i campi nel sistema S rispetto al quale il filo è fermo, e poi passare al sistema<br />
S ′ rispetto al quale il filo si muove con velocità β. Occorre tradurre le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz dei campi<br />
in coor<strong>di</strong>nate cilindriche: per evitare <strong>di</strong> fare calcoli a testa bassa (e magari <strong>di</strong> sbagliarli) è bene tenere in<br />
conto che il sistema ha simmetria cilindrica e che E 2 − B 2 e E · B sono invarianti. Il risultato è<br />
E ′ r = −γβBθ, B ′ θ = γBθ (15.1)<br />
Domanda: chi genera il campo elettrico, visto che la carica totale è zero?<br />
2. Un secondo modo consiste nel trasformare il quadrivettore J, ottenendo<br />
ρ ′ = −γβjx, j ′ x = γjx (15.2)<br />
da cui è imme<strong>di</strong>ato riottenere la (15.1): j ′ x e quin<strong>di</strong> B ′ θ <strong>di</strong>venta γ volte più grosso, e la densità <strong>di</strong> carica<br />
lineare λ ′ = Aρ ′ = −γβnev genera il campo elettrico E ′ r = λ ′ /2πɛ0r calcolato a pagina 8. Il campo<br />
elettrico è generato da una densità <strong>di</strong> carica non zero: il risultato segue dalle formule in modo rapido, ma<br />
sembra strano che sia ρ = 0 nel sistema S, e ρ ′ = 0 nel sistema S ′ .
Capitolo 15. Relatività 125<br />
3. Otteniamo lo stesso risultato in un terzo modo, piuttosto rognoso dal punto <strong>di</strong> vista dei calcoli, ma che<br />
consente <strong>di</strong> capire da dove salta fuori la carica: trasformiamo non quantità ‘astratte’ come Fµν e Jµ, ma<br />
le singole particelle. Nel sistema S ′ i protoni hanno carica +e, velocità β e densità n ′ + = γ(β)n, perchè la<br />
lunghezza si contrae. Nel sistema S ′ gli elettroni hanno carica −e, velocità v ′ = (β + v)/(1 + βv) (formula<br />
<strong>di</strong> ad<strong>di</strong>zione delle velocità) e densità n ′ − = nγ(v ′ )/γ(v). Per calcolare n ′ − conviene considerare il sistema<br />
S ′′ rispetto al quale gli elettroni sono fermi e n ′′ − = n/γ(v), con γ(v) = (1 − v 2 ) −1/2 . Quin<strong>di</strong> la densità <strong>di</strong><br />
carica del filo nel sistema S ′ vale<br />
λ ′ γ(v<br />
= λ+γ(β) + λ−<br />
′ )<br />
= −neγ(β)vβγ(β)<br />
γ(v)<br />
(utilizzando λ+ = −λ− = ne e γ(v ′ ) = γ(v)γ(β)(1 + vβ)) in accordo con la (15.2) e quin<strong>di</strong> con la (15.1).<br />
Questo esercizio illustra che tutto è consistente, e che utilizzare le leggi <strong>di</strong> trasformazione dei campi è molto più<br />
rapido.<br />
<strong>Esercizio</strong> 209: Forza prodotta da filo in moto<br />
Una particella <strong>di</strong> carica q è in quiete a <strong>di</strong>stanza r dal filo dell’esercizio precedente. Calcolare la forza che agisce<br />
sulla carica.<br />
bSoluzione:<br />
1. F ′ r = qE ′ r dove E ′ r è stato calcolato in vari mo<strong>di</strong> all’esercizio precedente.<br />
2. Alternativamente si può calcolare la forza nel sistema S dove il filo è fermo e la carica in modo con velocità<br />
−β lungo l’asse x. La forza <strong>di</strong> Lorentz è <strong>di</strong>retta lungo r e vale Fr = −qβBθ. Trasformando la forza al<br />
sistema S ′ si ottiene F ′ r = γFr in accordo con il risultato precedente.<br />
<strong>Esercizio</strong> 210: Onda vista da sistema in moto<br />
Un’onda elettromagnetica piana <strong>di</strong> frequenza ω si muove nel vuoto con quadrivettore d’onda K = (ω, ck) =<br />
ω(1, nx, ny, 0) e polarizzazione B = (0, 0, Bz) e quin<strong>di</strong> E = cB × n = cB(−ny, nx, 0). Come <strong>di</strong>venta questa<br />
onda, vista da un sistema in moto lungo l’asse x con velocità β?<br />
bSoluzione: Lo scopo <strong>di</strong> questo esercizio è imparare a trattare questo passaggio standard utilizzando il minimo<br />
<strong>di</strong> calcoli possibili. Siccome K è un quadri-vettore<br />
K ′ = ω(γ(1 − nxβ), γ(nx − β), ny, 0) i.e. ω ′ = γ(ω − nxβ)<br />
Il campo magnetico <strong>di</strong>venta<br />
B ′ = (0, 0, B ′ z) = γBz(1 − βny)(0, 0, 1)<br />
ny ′<br />
nx ′<br />
= 1 1<br />
γ (nx/ny) − β<br />
Per finire il campo elettrico deve <strong>di</strong>ventare E ′ = cB ′ (−n ′ y, n ′ x, 0), in quanto per un onda nel vuoto vale sempre<br />
E ′ = cB ′ × n ′ .<br />
<strong>Esercizio</strong> 211: Riflessione da specchio in moto<br />
Un’onda elettromagnetica <strong>di</strong> frequenza ω si muove in <strong>di</strong>rezione n = (nx, ny, 0) con il campo elettrico polarizzato<br />
lungo l’asse z. Uno specchio è situato a x = 0 nel piano yz.<br />
1) Calcolare <strong>di</strong>rezione e campi elettromagnetici dell’onda riflessa.<br />
Lo specchio viene ora messo in moto con velocità costante β lungo l’asse x.<br />
2) Calcolare la <strong>di</strong>rezione dell’onda riflessa.
126 Capitolo 15. Relatività<br />
3) Calcolare il campo elettrico dell’onda riflessa.<br />
bSoluzione:<br />
1. Al bordo con una superficie riflettente E = B⊥ = 0. L’onda riflessa ha k⊥, E e B⊥ invertiti, quin<strong>di</strong><br />
BR<br />
ER<br />
BI<br />
EI<br />
(per essere precisi, il segno del <strong>di</strong>segno è giusto se EI punta in giù).<br />
θ<br />
k R x = −kx,<br />
k R y = ky,<br />
E R z = −Ez<br />
B y r = By<br />
2. Chiamiamo S ′ il sistema rispetto al quale lo specchio è fermo: in questo sistema il quadrivettore d’onda<br />
dell’onda incidente è<br />
ω ′ = γω(1 − nxβ), k ′ x = γkx(1 − nxβ), k ′ y = ky.<br />
La riflessione inverte k ′ x. Tornando al sistema originario, il quadrivettore dell’onda Riflessa è<br />
ωR = 1 − 2nxβ + β 2<br />
1 − β 2 ω, k R x = − nx(1 + β 2 ) − 2β<br />
1 − β 2 ω, k R y = nyω.<br />
Si può verificare che K R ha modulo zero, oppure si poteva utilizzare questa informazione per evitare <strong>di</strong><br />
calcolare una componente. L’onda riflessa forma un angolo<br />
tan θ R ≡ kR y<br />
k R x<br />
= − tan θ<br />
1 − β 2<br />
cos θ(1 + β 2 ) − 2β<br />
Nel caso semplificato nx = 1 e ny = 0 (incidenza normale) si ha K ′ R = ω′ (1, 1, 0, 0) con ω ′ = ω(1 − β)/(1 +<br />
β).<br />
3. Per semplicità mettiamo θ = 0. Il campo elettrico in S ′ vale E ′ z = γ(Ez +βcBy) = γEz(1−β), E ′R<br />
z = −E ′ z<br />
e quin<strong>di</strong> ER z = γ(E ′R<br />
z − βcB ′R<br />
y ) = −Ezγ 2 (1 − β) 2 = −Ez(1 − β)/(1 + β). Il campo magnetico è legato al<br />
campo elettrico da cB ′ R = nR × ER. L’intensità dell’onda varia, per via dell’‘urto’ con lo specchio.<br />
<strong>Esercizio</strong> 212: Aberrazione relativistica<br />
Siccome i fotoni emessi da <strong>di</strong>etro fanno un viaggio più lungo un cubo che viaggia a velocità β viene visto<br />
ruotato <strong>di</strong> un angolo α → 90 per β → 1 (e con velocità apparente > c). L’effetto geometrico banale e quello <strong>di</strong><br />
contrazione si sommano a dare questo. NON viene visto contratto (Einstein trascurava l’effetto banale). Una<br />
sfera rimane una sfera.<br />
bSoluzione: Si tiene conto <strong>di</strong> questo effetto quando si osservano i getti emessi da un nucleo galattico attivo...<br />
<strong>Esercizio</strong> 213: π 0 → 2γ<br />
Dedurre la partità del π 0 dalla misura della polarizzazione della luce emessa nel suo deca<strong>di</strong>mento.<br />
bSoluzione: Un π 0 fermo decade in due onde elettromagnetiche (‘fotoni’ γ); per la conservazione dell’impulso<br />
le due onde hanno eguali intensità se il π 0 è a riposo. Possono però avere <strong>di</strong>versa polarizzazione: chiamiamo θ<br />
l’angolo fra i campi elettrici E1 e E2 delle due onde. Ha interesse calcolare in funzione <strong>di</strong> θ quanto valgono gli<br />
invarianti <strong>di</strong> Lorentz: scalare e pseudo-scalare:<br />
dove E = E1 + E2 e B = B1 + B2.<br />
E 2 − c 2 B 2 ∝ FµνF µν , E · B ∝ ɛµνρσF µν F ρσ
Capitolo 15. Relatività 127<br />
1 Se θ = 0 (fig. a sinistra) si ha E1 = E2; tenendo conto che i due γ hanno k opposti i campi magnetici<br />
sono anti-paralleli: B1 = −B2. Quin<strong>di</strong> E 2 − B 2 = 0 e E · B = 0.<br />
B2<br />
E2<br />
π0<br />
E1<br />
B1<br />
2 Se θ = π/2 (fig. a destra) i campi sono ortogonali: E1 ⊥ E2 e B1 ⊥ B2. Questo produce E 2 − c 2 B 2 = 0<br />
e E · B = 0.<br />
3 Per θ generico si ha Ê1 = (1, 0), ˆ B1 = (0, 1), Ê2 = (cos θ, sin θ), ˆ B2 = (sin θ, − cos θ). Questo produce sia<br />
E · B ∝ sin θ che E 2 − B 2 ∝ cos θ.<br />
Sperimentalmente misurando le polarizzazioni dei due fotoni emessi in deca<strong>di</strong>menti π 0 → γγ si trova che<br />
esse sono ortogonali (cioè θ = π/2 come nel caso 2) e che quin<strong>di</strong> il deca<strong>di</strong>mento del π 0 genera un campo<br />
elettromagnetico che ha <strong>di</strong>verso da zero l’invariante pseudo-scalare E · B. Andando avanti si concluderebbe che<br />
il π 0 è accoppiato all’elettromagnetismo tramite l’ interazione Lagrangiana π 0 ɛµναβF µν F αβ , che conserva la<br />
parità (cioè un esperimento dà lo stesso risultato dello stesso esperimento costruito in modo speculare) in modo<br />
non ovvio se il π 0 è un campo pseudoscalare: π0(x, t) → −π0(−x, t). Altre interazioni fondamentali violano la<br />
parità.<br />
<strong>Esercizio</strong> 214: GPS<br />
Mostrare che per far funzionare un sistema GPS è essenziale tenere in conto effetti relativistici.<br />
bSoluzione: Il sistema funziona con vari satelliti che orbitano ogni 12 ore a 20000 km da terra. Ciascun satellite<br />
porta un orologio atomico. Un ricevitore a terra determina la sua posizioni entro un errore <strong>di</strong> 10 m = c · 33ns<br />
triangolando i satelliti che gli passano sopra.<br />
Siccome i satellitini girano con velocità v = 14000 km/h in un giorno accumulano un ritardo, dovuto alla<br />
<strong>di</strong>latazione dei tempo, <strong>di</strong> circa ∆ = day · (γ − 1) day(v/c) 2 /2 ≈ 7000 ns ≫ 33ns. Inoltre, siccome sono situtati<br />
in alto effetti <strong>di</strong> relatività generale li anticipano <strong>di</strong> circa 45000 ns al giorno. Quin<strong>di</strong> per far funzionare il sistema<br />
è essenziale tenere in conto questi effetti.<br />
B2<br />
<strong>Esercizio</strong> 215: Effetto Compton<br />
Mandando raggi X su elettroni fermi nel 1923 Compton trovò λ ′ (θ) = λ+0.024˚A(1−cos θ). Si mostri che questa<br />
è la relazione cinematica per γe → γe considerando il fotone come una particella <strong>di</strong> energia E = hν = hc/λ.<br />
bSoluzione: Scrivo Pγ + Pe = P ′ γ + P ′ e con<br />
Pγ = (E/c, E/c, 0, 0), Pe = (mec, 0, 0, 0), P ′ γ = (E ′ , E ′ cos θE ′ sin θ)/c<br />
(mostrare che il numero incognite = equazioni +1, come dovrebbe essere). Siccome P ′ e non mi interessa ricavo<br />
<strong>di</strong>rettamente il risultato riscrivendo la conservazione del quandri-impulso come P ′ e = (Pγ −P ′ γ +Pe) e prendendo<br />
il modulo quadro:<br />
m 2 e = m 2 e + 0 + 0 + 2me(E − E ′ ) + 2EE ′ (cos θ − 1)<br />
cioè<br />
1 1 1 − cos θ<br />
= +<br />
E ′ E mec2 , λ ′ = λ − λCompton(1 − cos θ)<br />
dove l’ultima equazione è stata ricavata usando l’equazione quantistica (compatibile con la relatività!) λCompton =<br />
h/mec2 = 2.4 10−12 m. E = hν significa che non posso affievolire la luce sotto un certo limite.<br />
Insieme all’effetto fotoelettrico questo processo mostrò in modo <strong>di</strong>retto che la luce ha anche natura particellare,<br />
cosa per la prima volta proposta in modo troppo conservatore da Planck in un tentativo <strong>di</strong> spiegare lo<br />
spettro <strong>di</strong> corpo nero.<br />
E2<br />
π0<br />
E1<br />
B1
128 Capitolo 15. Relatività<br />
<strong>Esercizio</strong> 216: Esperienza d Fizeau<br />
bSoluzione: Usando la formula <strong>di</strong> ad<strong>di</strong>zione delle velocità si ottiene<br />
e quin<strong>di</strong><br />
v ′ =<br />
v + c/n c<br />
<br />
1 + v/nc n<br />
+ (1 − 1<br />
n<br />
)v + O(v2 )<br />
2 c2 t = (Ln/c)(1 + v/nc)/(1 + vn/c) ≈ T0[1 − (v/c)(n − 1/n)], ∆ϕ = 2πν ∆t = (2πL/λ)(v/c)(n 2 − 1)<br />
Questa formula fu inizialmente ottenuta dall’ipotesi che l’etere venga trascinato dal moto dell’acqua, ma solo<br />
parzialmente per via del fattore 1 − 1/n 2 (teoricamente legato a ρetere/ρacqua). Successivamente si e’ammesso<br />
che questa cosa non ha senso, in quando n <strong>di</strong>pende dalla frequenza.<br />
<strong>Esercizio</strong> 217: Iraggiamento da elettroni relativistici<br />
Quale è la massima energia raggiungibile da un acceleratore <strong>di</strong> elettroni?<br />
bSoluzione: Ricordo che e 2 ≡ q 2 /4πɛ0. Siccome W = dE/dt = dE ′ /dt ′ è uno scalare <strong>di</strong> Lorentz, la<br />
generalizzazione relativistica è<br />
W = − 2<br />
3<br />
e 2<br />
m 2 c 3<br />
dPµ<br />
dτ<br />
dPµ<br />
dτ<br />
2<br />
=<br />
3<br />
e 2<br />
m 2 c 3<br />
2 dp<br />
−<br />
dτ<br />
1<br />
c2 2 dE<br />
dτ<br />
dove dτ = dt/γ e P = (E/c, p) = mγ(c, v). Specializziamo questa formula generale alle due tecnologie possibili<br />
<strong>di</strong> acceleratori <strong>di</strong> particelle: lineare e circolare.<br />
In un acceleratore lineare, usando dE = v dp (che segue da 0 = d(E 2 /c 2 − p 2 ) = 2(E dE/c 2 − p dp)) la<br />
formula può essere riscritta in modo uguale a quella non relativistica<br />
W = 2<br />
3<br />
e 2<br />
m 2 c 3<br />
2 dp<br />
dt<br />
= 2<br />
3<br />
e 2<br />
m 2 c 3<br />
2 dE<br />
dx<br />
W<br />
dE/dt<br />
2<br />
=<br />
3<br />
e 2<br />
m 2 c 3<br />
1 dE<br />
v dx<br />
dE/dx<br />
≈<br />
mc2 ≪ 1<br />
/re<br />
dove re ≡ e 2 /mec 2 = 2.82 10 −15 m è chiamato ‘raggio classico dell’elettrone’. In un acceleratore si riescono<br />
a produrre campi elettrici tanto intensi da accelerare un elettrone da fermo a relatvistico in 10 cm: cioè si<br />
raggiunge dE/dx = mec 2 /ℓ con ℓ ∼ 10cm. Quin<strong>di</strong> la frazione <strong>di</strong> energia persa per irraggiamento è re/ℓ ∼ 10 −13 :<br />
completamente trascurabile. Il problema è che per accelerare elettroni fino ad energie mai raggiunte prima<br />
(E ∼ 10 6 mec 2 ) serve una lunghezza 10 6 ℓ ∼ 100km, il che costa 10 10 e.<br />
In un acceleratore circolare domina il termine |dp/dτ| = γ · ω · p = γ · (v/R) · mγv = mγ 2 a, con a = v 2 /R.<br />
Quin<strong>di</strong> W è dato dalla formula non relativistica moltiplicata per γ 4 e<br />
dE<br />
dx<br />
= W<br />
v<br />
= 2e2<br />
3R 2 γ4 β 3<br />
Quin<strong>di</strong> il massimo γ raggiungibile accelerando elettroni in un acceleratore circolare <strong>di</strong> raggio R e con gra<strong>di</strong>ente<br />
dE/dx vale<br />
γmax ≈ 4<br />
<br />
dE/dx|max<br />
e2 /R2 =<br />
<br />
<br />
R<br />
R<br />
√ ∼ 6 105<br />
reℓ 5 km<br />
avendo usato e 2 /R 2 = mec 2 re/R 2 . LEP con R <strong>di</strong> qualche km ha raggiunto 2 10 5 con una corrente <strong>di</strong> qualche mA.<br />
La parte dell’acceleratore che costa più energia è il raffreddamento dei magneti superconduttori che producono<br />
campi magnetici <strong>di</strong> ∼ 1 Tesla, necessari per far girare gli elettroni. Notare che il γmax non <strong>di</strong>pende dalla massa<br />
della particella: per raggiungere energie elevate conviene usare particelle pesanti: Emax ∼ mc 2 γmax. Nel 2007<br />
nell’ex anello <strong>di</strong> LEP, LHC accelererà protoni fino a γmax ∼ 10 4 (come <strong>di</strong>scusso a pagina 56).<br />
Doman<strong>di</strong>na: per fare un collider circolare protone-protone basta un campo magnetico per far girare i protoni<br />
in senso orario ed in senso anti-orario o servono due sistemi separati? (Risposta: due).
Capitolo 15. Relatività 129<br />
Stimare la frequenza della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> sincrotone.<br />
<strong>Esercizio</strong> 218: ν della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> sincrotrone<br />
bSoluzione: Il fatto che gli elettroni ultra-relativistici irraggino rende più <strong>di</strong>fficile costruire un acceleratore,<br />
ma rende più facile trovare i sol<strong>di</strong> per costruirlo: la luce <strong>di</strong> sincrotone viene usata per stu<strong>di</strong>are materiali, in<br />
campo me<strong>di</strong>co, etc. (La luce <strong>di</strong> sincrotrone emessa da oggetti astrofisici consente <strong>di</strong> fare astronomia).<br />
Per ogni dato moto, calcolare lo spettro in frequenza è un problema lungo ma fattibile. Qui ci limitiamo a<br />
stimiare la frequenza tipica. Per un moto generico definiamo il solito ‘raggio osculatore’ R.<br />
Innanzitutto, facendo una trasformazione <strong>di</strong> Lorentz a partire dalla circa isotropa <strong>di</strong>stribuzione angolare non<br />
relativistica (dW/dΩ ∝ sin 2 θ), si trova che la luce <strong>di</strong> sincrotrone è concentrata in avanti in un cono <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione<br />
θ ≈ 1/γ. Quin<strong>di</strong> un osservatore riceve un breve impulso <strong>di</strong> luce emesso nell’intervallo <strong>di</strong> tempo ∆te = R/γv in<br />
cui la particella si muove verso l’osservatore con velocità v ≈ c. La durata temporale <strong>di</strong> questo impulso è però<br />
molto minore, in quanto anche la luce si muove verso l’osservatore: ∆tγ = (1/v − 1/c)R/γ R/2cγ 3 . Quin<strong>di</strong><br />
la frequenza tipica della luce <strong>di</strong> sincrotone è ω ∼ 1/∆tγ ∼ γ 3 ω0, dove ω0 = c/R è la frequenza <strong>di</strong> rotazione<br />
dell’elettrone. Ricordando R = p/eB = m(γ/600)(Tesla/B) si ottiene ω ∼ 10 11 Hz·γ 2 (B/Tesla). Tenendo conto<br />
che il massimo B fattibile è <strong>di</strong> qualche Tesla, per ottenere raggi X (ω ∼ 10 19 Hz) o γ (ω ∼ 10 21 Hz) servono<br />
quin<strong>di</strong> acceleratori <strong>di</strong> elettroni che raggiungono γ ∼ 10 4÷5 .