ELETTROSTATICA Notazioni vettoriali ed ... - Cm-physmath.net

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 16
Unità 2
ELETTROSTATICA
Notazioni vettoriali ed espansione in serie di multipoli
Introduzione
Hai già studiato gran parte dei concetti fisici presenti in questa Unità, ad esempio, i concetti di
carica e di distribuzione di carica di volume, ρ , la legge di Coulomb, il campo elettrostatico, E ,
il potenziale elettrostatico, Φ , la legge di Gauss-Maxwell e il dipolo elettrico, p .
Sai anche eseguire calcoli semplici utilizzando tutti questi concetti dal tuo corso di Fisica
(Generale) 2. In questa Unità, tali concetti sono rivisti da un punto di vista matematico più
sofisticato di quanto tu non abbia fatto in precedenza. Ad esempio, l’Analisi Vettoriale viene
impiegata più estensivamente. Inoltre, vengono scritte espressioni per la legge di Coulomb, per il
campo elettrostatico E e per il potenziale elettrostatico Φ rispetto a un sistema di coordinate
arbitrario piuttosto che relativo alla posizione dove la forza o il campo o il potenziale elettrostatici
siano calcolati.
Inoltre, in questa Unità, viene generalizzato l’argomento del dipolo elettrico attraverso il concetto
di espansione in serie di multipoli o, più brevemente, di espansione di multipolo.
Con un’espansione di multipolo, il campo e il potenziale elettrostatici di una distribuzione di carica
arbitraria sono approssimabili a un grado qualsiasi di accuratezza. Ciò richiede l’introduzione dei
concetti di momento di monopolo, momento di dipolo, momento di quadrupolo, etc., di una
distribuzione di carica. I momenti di una distribuzione di carica sono molto importanti nelle
valutazioni quantitative fini.
Obiettivi
Essere in grado di eseguire quanto segue senza libri o appunti, salvo indicazione esplicita diversa:
1. definire o spiegare, con una o due frasi e usando equazioni esplicative, se necessario,
ciascuno dei termini e concetti seguenti, discussi in RMC:
Densità di carica di volume, ρ ( r ) : v. Eq. (2-3);
Momento di monopolo elettrico, Q
(i.e., la carica elettrica totale):
v. il primo integrale
nell’espansione (2-48);
Densità di carica superficiale, σ ( r ) : v. Eq. (2-4);
Momento di dipolo elettrico, p( r ) : v. Eq. (2-50);
Momento di quadrupolo elettrico, ij Q : v. Eq. (2-52);
2. scrivere a memoria le espressioni formali della legge di Coulomb della forza esercitata su
una carica-test da una distribuzione arbitraria di carica, Eq. (2-7), e del campo e del
potenziale elettrostatici di una distribuzione arbitraria di carica, Eq. (2-8) e (2-15);
3. scrivere all’istante la relazione tra il campo elettrostatico e il suo potenziale, i.e.,
E( r) = −∇∇∇∇
Φ ( r)
;

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 17
4. scrivere a memoria la legge di Gauss-Maxwell in forma integrale, Eq. (2-25), e in forma
differenziale, Eq. (2-28), ricavando tali forme l’una dall’altra mediante il Teorema della
divergenza, Eq. (1-37);
5. nel caso del dipolo elettrico semplice, ricavare la forma approssimata (al 1.o ordine vs. la
separazione l del dipolo) del campo elettrostatico, Eq. (2-36), e del potenziale elettrostatico,
Eq. (2-39), a partire dalle loro forme esatte rispettive;
6. calcolare i momenti di monopolo, di dipolo e di quadrupolo per una distribuzione di carica
assegnata. Calcolare, per una distribuzione di carica data, forme approssimate del potenziale
elettrostatico a grande distanza dalla distribuzione di cariche-sorgente.
Procedimenti
1. Leggi il Capitolo 2 in RMC;
2. Scrivi i termini e le equazioni necessarie per gli Obiettivi 1, 2 e 3.
3. Scrivi i dettagli della determinazione della forma differenziale della legge di Gauss-Maxwell,
come essa è presentata alle p. 35-38, dall’Eq. (2-25) all’Eq. (2-28).
Tale determinazione può essere invertita, incominciando con la forma differenziale della
legge di Gauss-Maxwell e ricavandone la forma integrale equivalente.
4. Scrivi la determinazione della forma approssimata del campo elettrostatico di un dipolo
elettrico semplice, Eq. (2-36), al 1.o ordine della separazione l del dipolo, a partire dalla
forma esatta del campo elettrostatico, Eq. (2-32). Seguendo i suggerimenti a p. 39, è utile
ricordare l’M-espansione binomiale, valida per x < 1 ∧ α ∈ RRRR ,
α α ( α − 1)
2
( 1 + x) = 1 + αx
+ x + … .
2!
Così, quando | l | | r − r ′ | ≪ 1 ∧ α ≡ − 3 2,
risulta,
−3 2 −3
2
2
⎡ 2( r − r′ ) ⋅ ⋅ l l ⎤ ⎡ 2( r − r′ ) ⋅ ⋅ l ⎤ 3(
r − r′ ) ⋅
⋅ l
⎢1 − + ≈ − ≈ +
2 2
| − ′ | | − ′ |
⎥ ⎢
1 2
| − ′ | ⎥
1
2
⎣ r r r r ⎦ ⎣ r r ⎦ | r − r′
|
al 1.o ordine in l . Inoltre,
p : = lim ql
.
l → 0
q → +∞
Questi risultati sono usati nei calcoli. Scrivi i passaggi del calcolo della forma approssimata
del potenziale elettrostatico, Eq. (2-39), al 1.o ordine nella separazione l del dipolo, a partire
dalla forma esatta del campo elettrostatico.
5. Scrivi l’espressione della forma approssimata del potenziale elettrostatico, Eq. (2-48), di una
distribuzione arbitraria di carica a partire dalla forma esatta del potenziale, Eq. (2-45).
Questa espressione richiede qualche commento. La carica è localizzata nel volume V con
densità ρ ( r ′ ) , come mostrato in RMC, p. 41, Fig. 2-10.
Supponi che d sia una lunghezza caratteristica dell’estensione spaziale del volume V e,
preso r come punto di osservazione (o punto-campo) tale che r′ r d r ≪ 1 , con

′ ≡ | r′ | ∧ r ≡ | r | , esegui l’espansione di
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 18
2
⎡ r ⎤
−1 2 2 −1 2 ⎛ 2r
⋅ r′
′ ⎞
| r − r′ | ≡ ( r − 2r ⋅ r′
+ r′ ) ≡ r ⎢1 − ⎜ − 2 2 ⎟⎥
⎣ ⎝ r r ⎠⎦
2
in potenze dir ′ r . I termini dell’espansione che coinvolgono potenze superiori di ( r′ r)
sono trascurati nelle Eq. (2-46) e (2-47) in RMC.
Pertanto, il risultato finale approssimato per il potenziale può essere espresso come
3 3
1 ⎛Q p ⋅ r 1 x ix j ⎞
Φ ( r)
≈ ⎜ + + ∑ ∑ Q ij ⎟ , (1)
3 5
4πε 0 ⎝ r r 2 i = 1 j = 1 r ⎠
dove si riconoscono i primi tre momenti elettrostatici:
∫ ∫ r è il momento di monopolo, i.e., la carica totale in V (uno scalare),
Q ≡ dQ′ = ρ ( ′ ) dv′
V V
p ≡ ∫ r′ ρ ( r ′ ) dv′
è il momento di dipolo (un vettore),
V
2
∫ ( 3 δ ) ρ ( )
Q ≡ Q = x′ x′ − r′ r ′ dv′
è la ij -componente (uno scalare) del momento di
ij ji i j ij
V
quadrupolo. Formalmente, si può considerare Q ij come l’elemento ij -esimo di una matrice
quadrata simmetrica 3 × 3 , Q, che rappresenta il tensore di quadrupolo elettrico. Con i
simboli x′ ≡ x′
1 , x′ ≡ y′
2 , x′ ≡ z′
3 e tenuto conto della presenza dell’elemento generico δ ij
della matrice identità I 3 , i.e., il tensore di Kronecker di dimensione 3, si scrive, e.g.,
2 2 2 2 2 2 2
∫ ⎡3 ( ) ⎤ ∫ ( 2
)
Q = x′ − δ x′ + x′ + x′ ρ ( ′ ) dv′ ≡ x′ − x′ −x
′ ρ ( ′ ) dv′
11 ⎣ 1 11 1 2 3 ⎦
r 1 2 3 r ,
V V
∫ ∫
2
Q ≡ Q = ( 3x′
x′ − δ r′ ) ρ ( r′ ) dv′ ≡ 3 x′ x′ ρ ( r ′ ) dv′
, etc. .
12 21 1 2 12
V V
Inoltre, ricordando che la traccia, tr , di una matrice quadrata è la somma dei suoi elementi
diagonali, è facile verificare un risultato importante relativo alle caratteristiche di simmetria
intrinseche al modello dell’Elettrostatica classica, i.e., che il tensore di quadrupolo è a traccia
nulla,
∑
i =
3
1
1 2
tr Q ≡ Qii
= 0 .
Infatti, per una distribuzione generalmente continua di volume di cariche elettriche, risulta
= x′ − r′ ⌠
′ dv′ ≡
⎛
x′ − r′ ⎞
′ dv′
=
⌡ ⎝ ⎠
3 3
⌠ ⎛ 2 2 ⎞
2 2
= ⎮ ⎜3∑ x′ i − r′ ∑ δ ii ⎟ ρ ( r ′ ) dv′ = ∫ ( 3r′ − 3r′
) ρ ( r ′ ) dv′
= 0 .
⌡V ⎝ i = 1 i = 1 ⎠
V
3 3 3 3
2 2 2 2
∑ Qii ∑ ∫ ( 3 i δ ii ) ρ ( r ) ⎮ ⎜3∑ i ∑ δ ii ⎟ ρ ( r )
i = 1 i = 1 V V i = 1 i = 1
Distribuzioni generalmente continue sia di superficie che di linea e distribuzioni discrete di
cariche elettriche portano, rispettivamente, alle uguaglianze nulle analoghe
3 3
∑ ∑ ∫
ii i ii
i = 1 i = 1 S
2 2 2 2
( 3x′ δ r′ ) σ ( ′ ) da′ … ∫ ( 3r ′ 3r′
)
Q = − r = = − σ ( r ′ ) da′
= 0 ,
S
−1
2

3 3
∑ ∑ ∫
ii i ii
i = 1 i = 1 L
2 2 2 2
( 3x′ δ r′ ) λ ( ′ ) ds′ … ∫ ( 3r′ 3r
′ )
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 19
Q = − r = = − λ ( r ′ ) ds′
= 0,
3 3 n
n
2 2 2 2
∑ Qii
= ∑ ∑ ( 3x′ i, k − δ iir′ k ) q k = … = ( 3r ′ k − 3r′
k )
i = 1 i = 1 k = 1
∑
k = 1
L
q
k
= 0 ,
avendo indicato con λ ( r ′ ) la distribuzione di carica lungo la linea L mentre k è l’indice
corrente sulle n cariche discrete.
Gli sviluppi in serie dei campi Φ ( r ) e E( r ) ( ≡ −∇∇∇∇ Φ ( r)
) sono detti espansioni di multipolo.
Ovviamente, le approssimazioni di entrambi migliorano quanto maggiore è il numero dei
termini consecutivi delle espansioni inclusi.
Il termine successivo a quello di quadrupolo è il momento di ottupolo, importante in Fisica
Nucleare e in Fisica dei Solidi. Più raramente, il momento di esadecupolo (i.e., di 16-polo) si
incontra nella teoria della Struttura Nucleare.
Il momento di monopolo corrisponde, semplicemente, alla carica totale presente in V .
6. Risolvi, a testo chiuso e senza consultarne preventivamente le soluzioni fornite, i problemi
seguenti in RMC:
Problemi 2-5, 2-21, 2-22, 2-26.
Quando avrai risolto i problemi del
Procedimento 6 in modo soddisfacente,
sarai idoneo per affrontare i Test A e B
dell’Unità di studio 2. Anche di questi,
non dovrai consultare preventivamente le
soluzioni fornite.

Soluzione 2-5
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 20
Soluzioni dei problemi assegnati
(Procedimento 6)
(a) Con riferimento all’integrale di superficie nell’Eq. (2-8) in RMC, si costruiscono i termini
r ≡ zˆz
(z 0 , posizione, non distanza), r′ ≡ ρ′ ˆ ρρρρ = ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ′
) ,
r − r′ = zˆz − ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ′
) ,
3
| r − r′ |
2 2 2 3 2 2 2 3 2
≡ [ z + ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ
′ ) ] = ( ρ′
+ z ) ,
dQ′ ≡ σdS = σ ρ′ dρ′ dϕ′
.
Pertanto, considerando z invariante vs. l’integrazione, si calcola
2π
1 ⌠ r − r′
σ ⌠ ⌠ zˆz
− ρ′ ( xˆ
cosϕ
′ + ˆy sinϕ′ )
E(
z) = ⎮ dQ′ = dϕ′ ρ′ dρ′
3
⎮
4π ε ⌡S
| − ′
0 r r | 4π
ε
⎮ 2 2 3 2
0 ⌡ ⌡
( ρ′ + z )
0
2π
σz ⌠ ρ′ dρ′
ˆ dϕ′
⌠
≡ z
π ε
⎮ ⎮
,
2 2 3 2
4 ⌡ ⌡0
( ρ′
+ z )
0 0
R
R R
0
R
poiché i termini integrandi goniometrici danno
contributo nullo alla ϕ′ -integrazione,
2 2
σz 1 ⌠ d( ρ′ + z ) σz ( −2) σ z
ˆ ˆ
⎡ ⎤
= z ⎮
= z = −
ˆ
ε ( ρ′ + z ) ε ( ρ′ + z ) ε ⎢
1
2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2
( R + z ) ⎥
z .
2 0 2 ⌡0
4 0 2
ρ = 0 0 ⎣ ⎦
Si noti come, per R → + ∞ , si ottenga il risultato elementare ben noto della lamina carica
infinitamente estesa.
(b) Analogamente, la preparazione dell’integrale di volume nell’Eq. (2-8) in RMC, riferito a una
geometria cilindrica, richiede le specificazioni seguenti:
assegnata l’origine nel centro del cilindro, la coordinata di distanza assiale per le sorgenti è
indicata con ξ′ per evitare confusione con la densità di carica di volume ρ ,
r ≡ 0 , r′ ≡ ξ′ ( xˆ cosϕ′ + ˆy sinϕ′ ) + z′
ˆz
,
r − r′ = − [ ξ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy sinϕ′ ) + z′
ˆz
] ,
3 2 2 2 3 2 2 2 3 2
| r − r′ | ≡ [ ξ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ′ ) + z′ ] = ( ξ ′ + z′
) ,
3
dQ′ ≡ ρ( z) d r = ( ρ + βz ′ ) ξ′ dξ ′ dϕ′ dz′
.
Pertanto, si calcola
0
q ⌠ − r′ q − ξ′ ( ˆ cosϕ′ + ˆ sinϕ′
) − z′
ˆ
( ) dQ′ ⌠ x y z
F 0 = ⎮ = ( ρ + βz′ ) ξ′ dξ′ dϕ′ dz′
3 ⎮
2 2 3 2
0
4π ε ⌡V | ′ | π ε ⌡V
( ξ′
+ z′
0 r 4 0
)
L 2 R
2π
⌠
q
⌠ 2
2
⌠ ⎡ ξ′ ( ρ βz ′ ) cosϕ
′
0 +
ξ ′ ( ρ βz′ ) sinϕ′
0 +
= − ⎮ dz′ ⎮ ξ′ dξ′ ⎮ dϕ′
⎢ xˆ
+ ˆy
+
2 2 3 2
2 2 3 2
4π
ε ( ξ ′ + z′
0 ⎮ ⎮ ⎮ ⎢⎣
)
( ξ′
+ z′
⌡
)
⌡ ⌡0
0
−L
2
ρ ξ′
z′
0
+ ˆz
( ξ′
+ z′
)
2 2 3 2
2
βξ ′ z′
⎤
+ ˆz
⎥ .
2 2 3 2
( ξ′
+ z′
) ⎥⎦

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 21
Il primo e il secondo addendo integrando danno contributo nullo nella ϕ′ -integrazione; il terzo,
invece, dà contributo nullo nella z′ -integrazione, essendo una funzione dispari vs. l’intervallo
simmetrico [ − L 2, L 2 ] .
Pertanto, dopo l’integrazione elementare vs. ϕ′ del quarto termine integrando, si scrive
L 2
R
βq ⌠ 2 ξ′ dξ′
( ) ˆ z′ dz′
⌠
F 0 = − z
ε
⎮ ⎮
,
2 2 3 2
2 ⌡ ⌡0
( ξ′
+ z′
)
0 −L
2
un’espressione completamente assiale, com’è da attendersi. In ogni caso, il verso di F ( 0)
dipende
dal segno del prodotto fenomenologico β q .
L’integrazione vs. ξ′ dà
così che
R
R R
2 2
⌠ ξ′ dξ ′ 1 ⌠ d( ξ′
+ z′
) 1 1 1
⎮ ≡ = − = −
( ξ′ z′ ⎮
⌡0 + ) 2 ⌡ ( ξ′ + z′ ) ( ξ ′ + z′ ) | z′ | ( z′ 0 + R )
ξ ′= 0
2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2
L 2
βq
⌠ 2
( ) ˆ
⎡ 1 1 ⎤
F 0 = − z ⎮ z′ dz′
ε ⎢
− 2 2 1 2
−L
| z′ | ( z′ + R ) ⎥
(2)
2 0 ⌡ 2 ⎣ ⎦
L 2
2
βq
⌠ ⎡ z′
⎤
≡ − ˆz
z′ dz′
ε
⎮ ⎢ −
( z′ + R )
⎥ ,
2 2 1 2
0 ⌡0
⎣ ⎦
poiché la funzione integranda, nella forma (2), è
pari sull’intervallo simmetrico [ − L 2, L 2 ] ,
L 2
βq
⎧ 2 2
⎪L ⎡z′ R
⎫
2 2 1 2 2 2 1 2 ⎤ ⎪
≡ − ˆz ⎨ − ( z′ + R ) − ln[
z′ + ( z′ + R ) ] ⎬
ε
⎢
⎣
⎥
0 ⎪⎩ 8 2 2
⎦ 0 ⎪⎭
βq
⎡ 2 2
1 2
L LR ⎛ L ⎞
− L ⎤
2 1
≡ − ⎢ − ⎜1 + ⎟ + R sinh ⎥ ˆz
. (3)
2
2ε ⎣ 4 2 ⎝ 4R ⎠
2R
⎦
0
Dal risultato finale (3), si deducono le due geometrie estreme seguenti:
se L ≫ 2R
(~ filo sottile), allora, si ha che
2
βqR
ln ( L R)
F ( 0)
≈ −
ˆz
;
2ε
2
βqL
se L ≪ 2R
(~ disco), vale, invece, l’approssimazione F( 0)
≈ − ˆz
.
8ε
Soluzione 2-21
(a) Dalla definizione di momento di dipolo elettrico, p : = ql
, con | l | ≪ | r − r ′ | , si ha
F = − q E ( r) + q E ( r + l ) . (4)
ext ext
L’espansione vettoriale in serie di Taylor, arrestata al 1.o ordine nel limite | l | → 0 , fornisce
l’approssimazione
E ( r + l) ≈ E ( r) + ( l ⋅ ∇∇∇∇ ) E ( r)
.
ext ext ext
0
0
,

Quindi, si scrive
ext ( ) q ≈ − F E r ext q
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 22
( ) + E r + q( l ⋅ ⋅∇∇ ∇∇ ) E ext ( r) ≡ ( ql
⋅ ⋅∇∇ ∇∇ ) E ext ( r) ≡ ( p ⋅ ⋅∇∇
∇∇
) E ext ( r)
.
(b) Tenuto conto dei bracci diversi delle forze che compongono F nell’Eq. (4) e trascurando i
termini di ordine superiore al 1.o, si ha, per la coppia torcente di dipolo elettrico,
ττττ = − qr × E ( r) + q(
r + l) × E ( r + l)
ext ext
≈ − qr × E ( r) + q(
r + l) × [ E ( r) + ( l ⋅ ∇∇∇∇ ) E ( r)]
q = − ×
ext ext ext
ext ( ) r E r ext q + ×
≈ r × [( p ⋅ ∇∇∇∇ ) E ( r)] + p × E ( r)
.
Soluzione 2-22
( ) r E r + qr × ( l ⋅ ⋅∇∇ ∇∇ ) E ext ( r) + ql × E ext ( r) + ql
× [( l ⋅
⋅∇
∇∇
∇ ) E ext ( r)]
ext ext
Le cariche elettriche saranno distinte dall’indice discreto k secondo la disposizione crescente
sull’asse X 3 ( ≡ Z ) delle coordinate rispettive: { q k}
≡ { q 1, q 2, q 3} ≡ { q, −2
q, q}
.
Si osserva che
il momento di monopolo del sistema delle cariche è
∫
Q ≡ ρ ( r ′ ) dv′ ↦ q k = 0 ;
V
3
∑
k = 1
il momento di dipolo del sistema delle cariche è ( xˆ ≡ ˆz
)
3
= o(
l )
∫ ∫
3
∑ k k
3 0 3 0
V V
k = 1
p = r′ ρ ( r′ ) dv′ ≡ r′ dQ′ ↦ r′ q = + q( − l xˆ ) + ( − 2q)
+ q( l x ˆ ) = ;
il momento di quadrupolo del sistema delle cariche può essere costruito come segue:
Q
2 2 2 2 2
∫ ( δ ) ρ ( r ) ∫ ( )
= 3x′ − r′ ′ dv′ ≡ 2x′ − x′ −x
′ dQ′
↦
11 1 11 1 2 3
V V
( ′ 3 )
x′ , k
2
↦ ∑
k =
2 1
2
− x′ 2,
k
3
1
2 2 2 2 2
− x , k q k = − ( − l) q + ( − 0 ) ( − 2q) − l q = − 2 l q ;
2 2 2 2 2
∫ ( δ ) ρ ( ) ∫ ( )
Q = 3x′ − r′ r ′ dv′ ≡ 2x′ − x′ −x
′ dQ′
↦
22 2 22 2 1 3
V V
( ′ 3 )
x′ , k
2
↦ ∑
k =
2 2
2
− x′ 1,
k
3
1
2 2 2 2 2
− x , k q k = − ( − l) q + ( − 0 ) ( − 2q) − l q = − 2 l q ;
2 2 2 2 2
∫ ( δ ) ρ ( ) ∫ ( )
Q = 3x′ − r′ r ′ dv′ ≡ 2x′ − x′ −x
′ dQ′
↦
33 3 33 3 1 2
V V
( ) k ( ) ( )
↦ ∑
k =
2 2
2x′
, k − x′
3 1,
k
2
− x′ 2,
k
3
1
∫ ∫
2 2 2 2
q = 2 − l q + 2⋅ 0 ⋅ − 2q + 2l q = 4 l q ;
2
Q ≡ = x′ x′ 12 Q 21 ( 3 1 2 − δ 12 r′ ) ρ ( r′ ) dv′ ≡ 3 x′ x′ dQ′ x′ , kx′ 1 2 ↦ 3 1 2,
k q k = 0
V V
∑
k =
3
1

perché , k , k
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 23
x′ ≡ x′
1 2 = 0 , ∀ k . Questo basta per concludere che risulta, analogamente,
Q13 ≡ Q 31 ≡ Q 23 ≡ Q 32 = 0 .
La simmetria assiale della disposizione delle cariche si manifesta attraverso gli elementi del
tensore di quadrupolo elettrico, che risulta anche diagonale,
2
⎛ −2l q 0 0 ⎞ ⎛ −1
0 0 ⎞
⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ ⎟
Q ≡ ⎜ 0 −2l q 0 ⎟ ≡ 2l q
⎜
0 −1
0
⎟
.
⎜ 2
l q ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 4 ⎠ ⎝ 0 0 2 ⎠
La forma approssimata del potenziale elettrostatico in un punto ‘sufficientemente’ lontano dalla
distribuzione delle cariche, appare dominata dal termine quadrupolare, risultando nulli i termini di
monopolo e di dipolo. Quindi,
1 1 x x 1 x Q + x Q + x Q
Φ ( r)
≈ ≡
4π ε 2 4π ε 2
3 3
2 2 2
i j
1 11 2 22 3 33
∑ ∑ Q 5 ij
5
0 i = 1 j = 1 r 0 r
2 2 2 2 2 2 2
q l ( −x 1 − x 2 + 2x 3 ) q l ( 3x
3 −r
)
= ≡
.
5 5
4π ε r 4π
ε r
0 0
Riconoscendo che x ≡ r cosθ
, si può proseguire nelle trasformazioni algebriche scrivendo
3
2 2
ql 3( cosθ
) − 1
Φ ( r ) ≈
,
3
4π
ε r
0
che è il risultato in rappresentazione sferica ottenuto per lo stesso problema in AF2, p. 479-480,
EXAMPLE 14.13.
Soluzione 2-26
La sorgente statica puntiforme p è assegnata nell’origine del sistema di riferimento ( r ′ ≡ 0 ).
Il campo elettrico prodotto dal dipolo puntiforme è dato, in r ( r ≫ l ) , da
⎛ ∂ ∂ ∂
( ) Φ ( ) ˆ ˆ ˆ
⎞ ⎛ 1 p ⋅ r ⎞
E r ≡ − ∇∇∇∇ r = − ⎜ x + y + z
∂x ∂y ∂z
⎟ ⎜ 3
π ε r
⎟
⎝ ⎠ ⎝ 4 0 ⎠
1 ⎛ ∂ ∂ ∂ p xx pyy p zz
ˆ ˆ ˆ
⎞ + +
= −
π ε
⎜ x + y + z
x y z
⎟
.
2 2 2 3 2
4 0 ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ( x + y + z )
È sufficiente calcolare una sola delle derivate parziali, determinando le altre due per simmetria
cartesiana, i.e., con una permutazione ciclica delle coordinate.
Pertanto,
2 2 2
∂ ⎡p xx + pyy + p zz ⎤ p x ( x + y + z ) − 3(
p xx + pyy + p zz)
x
⎢ =
2 2 2 3 2 ⎥
2 2 2 5 2
∂ x ⎣ ( x + y + z ) ⎦
( x + y + z )
=
2
pxr − 3(
p ⋅ r)
x
5
r
≡ −4π
ε 0 Ex
( r)
,

2 2 2
∂ ⎡p xx + pyy + p zz ⎤ py ( x + y + z ) − 3(
pxx + pyy + p zz)
y
⎢ =
2 2 2 3 2 ⎥
2 2 2 5 2
∂ y ⎣ ( x + y + z ) ⎦
( x + y + z )
=
2
pyr − 3(
p ⋅ r)
y
5
r
≡ −4π
ε 0 Ey
( r)
,
∂ ⎡p xx + pyy + pzz ⎤
⎢ =
2 2 2 3 2 ⎥
∂ z ⎣ ( x + y + z ) ⎦
2 2 2
pz ( x + y + z ) − 3(
pxx + pyy + p zz)
z
2 2 2 5 2
( x + y + z )
=
2
pzr − 3(
p ⋅ r)
z
5
r
≡ −4π
ε 0 Ez
( r)
.
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 24
La sovrapposizione delle componenti vettoriali conduce al risultato generale richiesto,
2
3(
p ⋅ r) r − r p
E( r)
=
. 5
4π
ε r
La scelta di orientazione equiversa di p con ˆz , i.e., con p ≡ pˆz ∧ p > 0 , indica chiaramente che
la soluzione del problema, rappresentata in coordinate sferiche, possiede simmetria azimutale, i.e.,
è indipendente dalla coordinata angolare ϕ . Allora, detto θ l’angolo polare corrispondente al
punto-campo r e ricordando che ˆz ≡ rˆ cosθ − ˆ θθθθ sinθ
, si scrive
2
3( pr cosθ ) r rˆ − r pˆz p[
3rˆ
cosθ − ( rˆ
cosθ − ˆ θθθθ sinθ
)]
E( r)
≡ =
5 3
4π ε r 4π
ε r
0 0
p
= ( 2cosθ
rˆ + sinθ
ˆ θθθθ ) .
3
4π
ε r
0
Tale forma sferica di E( r ) è quella ottenuta, con un procedimento alternativo, in AF2, p. 472.
0

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 25
ELETTROMAGNETISMO - Unità 2
Test A
1. Scrivi le espressioni formali complete del campo elettrostatico e del potenziale ad esso
associato, definendo tutte le grandezze fisiche che compaiono in entrambe le espressioni.
■
2. Usando un’equazione esplicativa dove appropriato, definisci o illustra i termini seguenti in
modo sintetico:
momento di dipolo elettrico, p .
momento di quadrupolo elettrico, Q .
3. Tenendo presente la configurazione geometrica del dipolo elettrico (e.g., v. RMC, p. 38, Fig.
2-9), determina un’espressione approssimata del potenziale elettrostatico generato dal dipolo
in un punto-campo r ‘sufficientemente’ distante da esso (i.e., con r ≫ l ).
■
4. Determina i momenti di monopolo, di dipolo e di quadrupolo elettrici generati dalle
distribuzioni ordinate di cariche seguenti:
{ q } = ≡ { q, −q, q, −q}
, essendo le cariche posizionate, rispettivamente, nei punti
( l; l; 0 ) , ( −l; l;
0 ) , ( −l; −l; 0 ) , ( l; −l; 0 ) ;
4.1 k k 1, 2, 3, 4
{ q } = 1 2 3 4 5 ≡ { −q, −q, −q, −q,
4 q}
, essendo le cariche posizionate, rispettivamente,
nei punti ( 0; l;
0 ) , ( 0; 0 ; l)
, ( 0; −l;
0 ) , ( 0; 0 ; −l
) , ( 0; 0; 0 ) .
4.2 k k , , , ,
Quindi, per entrambi i casi, scrivi un’espressione, approssimata all’ordine quadrupolare, del
potenziale elettrostatico generato dalla distribuzione delle cariche e misurato in un puntocampo
‘sufficientemente’ distante da esse.
■■■
■

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 26
ELETTROMAGNETISMO - Unità 2
Test B
1. Usando un’equazione esplicativa dove appropriato, definisci o illustra i termini seguenti in
modo sintetico:
densità lineare di carica,
densità superficiale di carica,
densità di volume di carica.
2. Ricava la forma differenziale della legge di Gauss-Maxwell per l’Elettrostatica da quella
integrale, definendo tutte le grandezze fisiche che compaiono in entrambe le forme.
■
3. Un foro circolare di raggio R è stato ricavato in una lamina piana infinitamente estesa. Su
questa, è distribuita una carica elettrica di densità σ = κ ρ , dove κ è una costante mentre
la coordinata radiale ρ è riferita al centro del foro.
Lungo l’asse del foro, Z , tra le posizioni z 0 e z 0 + h è teso un filo elettricamente carico,
portatore di una densità lineare uniforme di carica λ .
Calcola un’espressione della forza elettrica totale esercitata sul filo dalla carica distribuita
sulla lamina.
■
4. Determina i momenti di monopolo, di dipolo e di quadrupolo elettrostatici generati dalle
distribuzioni ordinate di cariche seguenti:
{ q } = 1 2 3 4 5 ≡ { −q, q, 2 q, q, −q}
, essendo le cariche posizionate, rispettivamente, nei
punti ( −2l ; 0; 0 ) , ( −l; 0; 0 ) , ( 0; 0; 0 ) , ( l; 0; 0 ) , ( 2l; 0; 0 ) ;
4.1 k k , , , ,
+
4.2 nella molecola di ammoniaca, NH 3 , in regime stazionario, i tre ioni H ≡ e sono
vincolati ai vertici di un triangolo equilatero, e.g., nel piano X 1 × X 2 , mentre lo ione
3−
N ≡ − 3 e , passando per il centro di massa degli ioni H + ( ≡ l’origine del sistema di
riferimento), oscilla lungo l’asse X 3 tra due posizioni simmetriche estreme generando
configurazioni tetraedriche di cariche.
Sia { ek } k = 1, 2, 3, 4 ≡ { e, e, e, − 3 e}
la distribuzione degli ioni vincolati, ordinatamente, ai
siti ( −l 2; −l
3 6; 0 ) , ( l 2; −l
3 6; 0 ) , ( 0; l 3 3; 0 ) , ( 0; 0 ; s)
, essendo s ≡ s ( t)
=
= lκ sinωt
e κ è una costante sperimentale opportuna.
Per ciascuno dei casi 3.1 e 3.2, scrivi un’espressione, approssimata all’ordine quadrupolare,
del potenziale elettrostatico generato dalla distribuzione delle cariche e misurato in un
punto-campo ‘sufficientemente’ distante da esse.
■■■
■

Soluzione A-1
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 27
ELETTROMAGNETISMO - Unità 2
Test A - Soluzioni
Il campo elettrostatico, nella sua forma più generale (cfr/c Eq. (2-8) in RMC), è dato da
1 r − rk 1 ⌠ r − r′
E( r) = ∑ + ⎮ ρ(
r′
) dv′
+
3 3
4π ε | r − r | 4π
ε ⌡ | r − r′
|
0 k k
0 V
1 ⌠ r − r′ 1 − ′
σ ( ′ ) da′ ⌠ r r
+ ⎮ r + ⎮ λ(
r′
) ds′
.
3 3
4π ε ⌡ | r − r′ | 4π
ε ⌡ | r − r′
|
0 S 0 L
Rispetto all’Eq. (2-8), è stato aggiunto un integrale di linea relativo a distribuzioni generalmente
continue di cariche, con densità λ ( r ′ ) , disposte in fili.
Analogamente, nell’Eq. (2-15) al potenziale elettrostatico, può essere aggiunto l’integrale di linea
1 ⌠ λ(
r′
)
⎮ ds′
.
4π
ε ⌡ | r − r′
|
La carica elettrica infinitesima di linea è, evidentemente,
0
L
dQ′ = λ(
r ′ ) ds′
,
−1
essendo [ λ]
= [carica] ⋅[lunghezza]
.
Nota che le dimensioni fisiche di una densità dipendono dallo spazio della distribuzione. Infatti,
[ ρ]
= [carica] ⋅[lunghezza]
−3
−2
e [ σ ] = [carica] ⋅[lunghezza]
.
Pertanto, non essendo omogenee, ρ , σ e λ non possono essere sommate o sottratte tra loro!
Nelle varie equazioni, le coordinate con apice ( r ′ , dv′ , ds′ , etc.) indicano le posizioni o le regioni
occupate dalle cariche-sorgente. Le coordinate senza apice ( r , z , x 2 , etc.) si riferiscono al punto
di osservazione, o punto-campo, dove il campo viene rivelato e misurato dall’osservatore.
Soluzione A-2
Vedi RMC, Eq. (2-35) e (2-52), et passim. Vedi anche i dettagli sviluppati e discussi inizialmente
in questa Unità di studio.
Soluzione A-3
Vedi RMC, Eq. (2-38) e (2-39).
Soluzione A-4
4.1 Per il sistema delle cariche-sorgente specificato,

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 28
∑
k =
4
1
il momento di monopolo è , semplicemente, Q ≡ q k = 0 ;
il momento di dipolo risulta
∑
k =
4
1
p = r′ q = ( l xˆ + l xˆ + 0xˆ ) q + ( − l xˆ + l xˆ + 0xˆ )( − q) + ( −l xˆ − l xˆ + 0x
ˆ ) q +
k k
1 2 3 1 2 3 1 2 3
+ ( l xˆ − l xˆ + 0x
ˆ )( − q)
= 0 ;
1 2 3
il momento di quadrupolo si determina calcolando gli elementi del tensore Q :
11 = ∑
k =
2 2 2
2x′
, k − x′ , k − x′
1 2 3,
k
4
1
2 2 2 2 2 2
Q ( ) q = ( 2l − l ) q + [ 2( −l ) − l ]( − q) + [ 2 ( −l ) − ( − l) ] q +
22 = ∑
k =
2 2 2
2x′
, k − x′ , k − x′
2 1 3,
k
4
1
k
2 2
+ [ 2l − ( −l ) ]( − q)
= 0 ;
2 2 2 2 2 2
Q ( ) q = ( 2l − l ) q + [ 2l − ( −l ) ]( − q) + [ 2 ( −l ) − l ] q +
k
2 2
+ [ 2( −l ) − l ]( − q)
= 0 ;
2
Q 33 = ∑ ( 2x′
3,
k
k =
′ k ′ k ) k
4
1
2
1
2
2
2 2 2 2 2 2
∑
k =
k k k
4
12 21
1
1 2
− x , − x , q = ( −l − l ) q + [ − ( −l ) − l ]( − q) + [ − ( −l ) − ( − l) ] q +
2 2
+ [ −l − ( −l ) ]( − q)
= 0 ;
2
Q ≡ Q = 3 x′ , x′ , q = 3[ llq + ( −l ) l( − q) + ( −l )( − l) q + l( − l) q] = 12l
q ;
x′ , k x′
13 ≡ 31 = 3∑
1 3,
k
k =
4
1
Q Q
Q x′ , k x′
23 ≡ Q 32 = 3∑
2 3,
k q k
k =
4
1
q
k
⎫
⎪ =
⎬
⎪
⎪
⎭
0 , perché , k
x′ 3 = 0 ∀ k .
Pertanto, il tensore di quadrupolo elettrostatico è rappresentabile come la matrice simmetrica
2
⎛ 0 12l q 0 ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞
⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ ⎟
Q = ⎜ 12l q 0 0 ⎟ ≡ 12l q
⎜
1 0 0
⎟
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠
A ‘grande’ distanza dalla distribuzione delle cariche elettriche (i.e., r ≫ l ), il potenziale da esse
generato è dominato dal termine quadrupolare, essendo nulli i contributi di monopolo e di dipolo.
Quindi, vale l’approssimazione
2
1 x 1x 2Q12 + x 2x 1Q 21 3l
q x 1x 2
Φ ( r)
≈ ≡
4π ε 2r
π ε ( x + x + x )
con l’ultima espressione scritta in coordinate sferiche.
5 2 2 2 5 2
0 0 1 2 3
4.2 Procedendo in modo analogo al caso precedente, si trovano
2 2
3l q ( sinθ ) sin2ϕ
≡
,
3
2π
ε r
0

∑
k =
5
1
il momento di monopolo, Q ≡ q k = 0 ;
il momento di dipolo,
∑
k =
5
1
p = r′ q = ( 0xˆ + l xˆ + 0xˆ ) ( − q) + ( 0xˆ + 0xˆ
+ l x ˆ )( − q)
+
k k
1 2 3 1 2 3
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 29
+ ( 0xˆ − l xˆ + 0xˆ )( − q) + ( 0xˆ + 0xˆ
−l x ˆ )( − q)
+ ;
1 2 3 1 2 3
+ ( 0xˆ + 0xˆ + 0x ˆ )( 4q)
= 0 ;
1 2 3
il momento di quadrupolo, mediante la costruzione esplicita delle sue 9 componenti scalari,
2
Q 11 = ∑ ( 2x′
1,
k
k =
′ k ′ k ) k
5
1
2
2
2
3
2 2
0
2
0
2
− x , − x , q = ( −l − ) ( − q) + ( − − l ) ( − q)
+
2 2 2 2 2 2 2
+ [ − ( −l ) − 0 ]( − q) + [ − 0 − ( −l ) ]( − q) + ( − 0 − 0 ) ( 4q) = 4 l q ;
2 2
Q = x′ , k − x′
22 ∑ ( 2 2 1,
k
k =
′ k ) k
5
1
2
3
2
2
2
0
2
2 0
2
− x , q = ( l − ) ( − q) + [ ⋅ − l ]( − q)
+
2 2 2 2 2 2 2
+ [ 2( −l ) − 0 ]( − q) + [ 2⋅ 0 − ( −l ) ]( − q) + ( 2⋅ 0 − 0 ) ( 4q) = −2
l q ;
2 2
Q = x′ , k − x′
33 ∑ ( 2 3 1,
k
k =
′ k ) k
5
1
2
2
2
2 0
2 2
2
2
0
− x , q = ( ⋅ − l )( − q) + ( l − ) ( − q)
+
2 2 2 2 2 2 2
+ [ 2⋅ 0 − ( −l ) ]( − q) + [ 2( −l ) − 0 ]( − q) + ( 2⋅ 0 − 0 ) ( 4q) = −2
l q ;
Q12 ≡ Q 21 = 3∑
x′ 1,
k x′ , kq k = ≡ = x′
, k
k =
5
2 13 31 3∑
1
1
k =
5
1
Q x′ , kx′ 23 ≡ Q 32 = 3∑
2 3,
k q k
k =
5
1
=
Q Q x′ 3,
kq k =
0 , perché , k , k
x′ x′ 2 3 = 0 ∀ k .
0 , perché , k
x′ 1 = 0 ∀ k ;
Anche qui, il tensore di quadrupolo elettrostatico è rappresentabile come matrice diagonale,
2
⎛ 4l q 0 0 ⎞ ⎛ 2 0 0 ⎞
⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ ⎟
Q = ⎜ 0 −2l q 0 ⎟ ≡ 2l q
⎜
0 −1
0
⎟
.
⎜ 2
− l q ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ 0 0 2 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠
A ‘grande’ distanza dalla distribuzione delle cariche elettriche (i.e., r ≫ l ), il potenziale da esse
generato è dominato dal termine quadrupolare, essendo nulli sia il contributo di monopolo che
quello di dipolo. Quindi, vale l’approssimazione
2
1 x Q + x Q + x Q ql 2x
− x − x
Φ ( r)
≈ =
5 5
4π ε 2r 4π
ε r
espressa anche in coordinate sferiche.
2 2 2 2 2 2
1 11 2 22 3 33 1 2 3
0 0
2 2 2
2 2
ql x 1 − r ql ( cosθ cosϕ
) − 1
= ≡
,
5 3
4π ε r 4π
ε r
0 0
■■■

Soluzione B-1
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 30
ELETTROMAGNETISMO - Unità 2
Test B - Soluzioni
Analogamente alle Eq. (2-4), per σ ( r ′ ) , e (2-3), per ρ ( r ′ ) , la densità lineare di carica elettrica può
essere definita come
∆q(
r′ ) dq(
r′
)
λ(
r′
) : = lim ≡ ,
∆s →0
∆s(
r′ ) ds(
r′
)
essendo s ≡ s ( r ′ ) la coordinata naturale lungo la linea-sorgente L ≡ L r ′ .
Soluzione B-2
La legge di Gauss-Maxwell per l’Elettrostatica si scrive (nel sistema MKSA di unità di misura)
Q 1
E ⋅ nˆ da = ≡ ρ(
r)
dv ,
ε ε
∫ ∫
S 0 0 V
dove ρ( r ) è la densità volumetrica della carica totale Q , V è un volume di interesse fisico in cui
−12
2
Q è contenuta, S ≡ ∂ V è la superficie di frontiera di V e ε 0 ≈ 8. 854 × 10 C/(N ⋅ m ) è la
permittività del (-lo spazio) vuoto.
Per il Teorema della divergenza, si ha l’uguaglianza
∫ ∫
E ⋅ ⋅ nˆ da = ∇∇∇∇ ⋅
⋅ Edv
,
S V
dalla quale, la legge di Gauss-Maxwell può essere riscritta nella forma completamente di volume
∫ [ ∇∇∇∇ ⋅ E( r) − ρ( r)
ε 0] dv = 0 .
V
Poiché quest’ultima equazione deve valere ∀ V finito (ammissibile), segue che la funzione
integranda deve essere identicamente nulla, i.e., che vale la forma differenziale della legge di
Gauss-Maxwell,
Soluzione B-3
∇∇∇∇ ⋅ E( r) = ρ( r)
ε 0 .
Con riferimento all’integrale di superficie nell’Eq. (2-8) in RMC, si costruiscono i termini
r ≡ zˆz
(z 0 , posizione, non distanza), r′ ≡ ρ′ ˆ ρρρρ = ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ′
) ,
r − r′ = zˆz − ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ′
) ,
3
| r − r′ |
2 2 2 3 2 2 2 3 2
≡ [ z + ρ′ ( xˆ cosϕ ′ + ˆy
sinϕ
′ ) ] = ( ρ′
+ z ) ,
dQ′ ≡ σdS = κd ρ′ dϕ′
.

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 31
Pertanto, mantenendo z invariante vs. l’integrazione, si calcola il campo elettrostatico E ( z)
:
1 ⌠ r − r′
κ ⌠ ⌠ ρ′ ( xˆ
cosϕ
′ + ˆy sinϕ′ ) − zˆz
E(
z) = ⎮ dQ′ = − dϕ′ dρ′
3
⎮
4π ε ⌡S
| − ′
0 r r | 4π
ε
⎮ 2 2 3 2
0 ⌡ ⌡
( ρ′
+ z )
R
2π
+∞
κz ⌠ ρ′ dρ′
ˆ dϕ′
⌠
≡ z
π ε
⎮ ⎮
,
2 2 3 2
4 ⌡ ⌡R
( ρ′
+ z )
0 0
R
+∞
2π
0
+∞
poiché i termini integrandi goniometrici danno
contributo nullo alla ϕ′ -integrazione,
κz ˆ
⌠ d ρ′
= z ⎮
, dopo una ϕ′ -integrazione ovvia.
2 2 3 2
2ε
⌡ ( ρ′
+ z )
0
Com’è da attendersi dalla simmetria del problema, il campo elettrostatico è totalmente assiale.
____________________
In generale, integrando per-parti, si calcola, con n ≥ 3.
⌠ du
In : = ⎮ 2 2 n 2
⌡ ( u + z )
u
= 2 2 n 2
( u + z )
2
+ nIn − nz I n + 2 , da cui si scrive, in modo iterativo,
u
In + 2 = 2 2 2 n 2
nz ( u + z )
n − 1
+ I 2 n
nz
e, infine, con la traslazione indiciale n ↦ n − 2 ,
____________________
Pertanto, quando n ≡ 3 , risulta
u n − 3
I = + I .
n 2 2 2 ( n − 2) 2 2 n − 2
( n − 2) z ( u + z ) ( n − 2)
z
+∞
κ ρ′ κ 1 R
( z)
ˆ ˆ
⎡ ⎤
E = z = z −
ε z ( ρ z ) ε z ⎢
1
2 2 1 2 2 2 1 2
′ + ( z + R ) ⎥
.
2 0 2 0 ⎣ ⎦
ρ′=
R
Ora, la forza esercitata da E ( z)
su una quantità infinitesima di carica lineare è data da
d F ( z) = ( dQ) E( z) ≡ ( λdz)
E ( z)
.
Quindi, la forza elettrica totale richiesta corrisponde all’integrale, generalizzato se z ( z + h)
≤
z + h
0 0 0,
0
κ λ ⌠ 1 R
( z) ˆ
⎡ ⎤
F = z dz
ε
⎮ −
z ⎢
1 2 2 1 2
( z + R ) ⎥
che, con la sostituzione z : = 1 w di variabile di
2 0 ⌡z
⎣ ⎦
0
integrazione nel secondo addendo integrando, porta al risultato:
κ λ
2 2 1 2
F ( z) = ˆz ln[
R + ( z + R ) ]
2ε
0
z 0 + h
z 0
2 2 1 2
κ λ R + [( z 0 + h) + R ] κ λ R R
ˆ ln ˆ
⎡ −1 −1
⎤
= z ≡ z sinh − sinh + ln + h z
ε R + ( z + R ) ε ⎢
1
2 2 1 2
0
| z + h | | z |
⎥
.
2 0 0 2 0 ⎣ 0 0
⎦
La rappresentazione di F ( z)
in termini di funzioni sinh −1 vale solo se z 0( z 0 + h)
≠ 0 .

Soluzione B-4
Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 32
4.1 Per la distribuzione statica delle cariche-sorgente assegnata, si ha che
∑
k =
5
1
il momento di monopolo è Q ≡ q k = 2 q ;
il momento di dipolo risulta
5
p = ∑ r′ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ
kq k = − 2l x1 −q − l x1q + 0 2q + l x1q + 2l
x 1(
− q)
= 0 ;
k = 1
un calcolo diretto dà i valori dei 9 elementi del tensore Q di quadrupolo elettrostatico:
2 2 2
( ) q k 2( 2l ) ( q) 2( l) q 2 0 ( 2 q)
Q 11 = ∑
k =
2 2
2x′
, k − x′
1 2,
k
2
− x′ 3,
k
5
1
Q 22 = ∑
k =
2
2x′
2,
k
2 2
− x′ , k − x′
1 3,
k
5
1
= − − − + − + ⋅ +
2 2 2
+ 2l q + 2( 2l ) ( − q) = −12
l q ;
( ) k ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Q 33 = ∑
k =
2
2x′
3,
k
2 2
− x′ , k − x′
1 2,
k
5
1
2 2 2 2 2 2
q = − −2l −q − −l q − 0 2q − l q − 2l − q = 6 ql ;
( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x′ , k x′
12 ≡ 21 = 3∑
1 2,
k
k =
5
1
Q Q q k =
x′ , k x′
13 ≡ 31 = 3∑
1 3,
k
k =
5
1
Q Q q k =
23 ≡ 32 = 3∑
x′ 2,
k
k =
x′ 3 k
5
1
Q Q , k q
2 2 2 2 2 2
q = − − 2l −q − −l q − 0 2q − l q − 2l − q = 6 ql ;
=
0 , perché , k
x′ 2 = 0 ∀ k ;
0 , perché , k
x′ 3 = 0 ∀ k ;
0 , perché , k , k
x′ x′ 2 ≡ 3 = 0 ∀ k .
Dunque, per il sistema delle cariche, il tensore di quadrupolo elettrostatico risulta diagonale,
2
⎛ −12l q 0 0 ⎞ ⎛ −2
0 0 ⎞
⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ ⎟
Q = ⎜ 0 6l q 0 ⎟ ≡ 6l q
⎜
0 1 0
⎟
.
⎜ 2
l q ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 6 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠
A ‘grande’ distanza dalle cariche, esso resta la prima correzione non-nulla del termine dominante
di monopolo, la cosiddetta carica netta del sistema (excess charge), mancando qualsiasi effetto
intermedio di dipolo.
Pertanto, quando sia r ≫ l , il potenziale generato dalla distribuzione data delle cariche-sorgente
può essere approssimato alla forma ‘fine’, in coordinate cartesiane o sferiche,
2 2 2 2 2 2 2
1 ⎛ 2q x x x ⎞ q ⎡ l ( x x x ) ⎤
1Q 11 + 2Q 22 + 3Q 33 2 3 − 2 1 + 2 + 3
Φ ( r)
≈ ⎜ + ⎟ = ⎢ +
5 5 ⎥
4π ε ⎝ r 2r ⎠ 4π ε ⎣r 2r
⎦
0 0
2 2 2
q ⎡ l ( r x ) ⎤
2 2
2 3 − 3 1 q ⎧2 3l [ 1 − 3(
sinθ cosϕ
) ] ⎫
= ⎢ + ⎥ ≡ ⎨ +
⎬ .
5 3
4π ε ⎣r r ⎦ 4π
ε ⎩r r ⎭
0 0

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 33
4.2 Chiaramente, il momento di monopolo della molecola di NH 3 è nullo, Q ≡ ek
= 0 ;
il momento di dipolo, invece, varia periodicamente in ampiezza tra i valori −3 leκ e 3 leκ .
Infatti, si ha
∑
k =
4
1
p = r′ ke k = ⎡ −(
l 2)ˆ
x 1 − ( l 3 6) x ˆ ⎤
2 e + ⎡ ( l 2) x ˆ 1 − ( l 3 6) x ˆ ⎤
2 e + ( l 3 6) x ˆ 2e
+
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ 3leκ sinωt xˆ = 3leκ
sinωt
xˆ ≡ p ( t)
.
3 3
Comunque, il valore medio di p sul periodo T di oscillazione dello ione N − 3 è 0 poiché
sinω t = 0 (moto in regime stazionario);
T
al solito, il momento di quadrupolo della molecola di NH 3 deve essere costruito elemento
per elemento tensoriale:
Q
Q
Q
( )
∑
k =
4
11
1
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 2x′ , k − x′ , k − x′ , k e ⎡ k = ⎣( −l ) 2 − ( −l ) 12 − 0 ⎤⎦ e + ⎡⎣ l 2 − ( −l ) 12 − 0 ⎤⎦
e +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( l ) e ( s )( e) l e[ κ ( sinωt)
]
+ 2⋅ 0 − 3 − 0 + 2⋅ 0 − 0 − − 3 = 1 2 + 3 ;
( )
∑
k =
4
22
1
2 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 2x′ , k − x′ , k − x′ , k e ⎡ k = ⎣( −l ) 6 − ( −l ) 4 − 0 ⎤⎦ e + ⎡⎣ l 6 − ( −l ) 4 − 0 ⎤⎦
e +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( l ) e ( s )( e) l e[ κ ( sinωt)
]
+ 2 3 − 0 − 0 + 2⋅ 0 − 0 − − 3 = 1 2 + 3 ;
( )
∑
k =
4
33
1
3 1 2
2 2 2 2 2 2
= 2x′ , k − x′ , k − x′ , k e ⎡ k = ⎣2⋅ 0 − ( −l ) 4 − ( − l) 12⎤⎦
e +
∑
k =
4
1
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ ⎡⎣ 2⋅ 0 − l 4 − ( − l) 12⎤⎦ e + 2⋅ 0 − 0 − l 3 e + 2⋅s − 0 − 0 ( − 3 e)
2 2 2 2 2 2
= − l e[ 1 + 6κ ( sinωt) ] ≡ − 2l e[ 1 2 + 3 κ ( sinωt)
] ;
∑
k =
′ , k ′ , k k
4
12 21
1
1 2
( )
2
2
Q ≡ Q = 3 x x e = 3 3 l e 12 − 3 l e 12 − 0 − 0 = 0;
∑
k =
4
13 31
1
1 3
Q ≡ Q = 3 x′ , kx′ , ke k = 3( 0 + 0 + 0 + 0) = 0 ;
∑
k =
4
23 32
1
2 3
Q ≡ Q = 3 x′ , kx′ , kek = 3( 0 + 0 + 0 + 0) = 0 .
Il tensore di quadrupolo segue prontamente in forma diagonale,
2 2 2
⎛ l e[ 1 2 + 3κ ( sinωt)
]
0 0
⎞
⎜ 2 2 2
⎟
Q = ⎜ 0 l e[ 1 2 + 3κ ( sinωt)
]
0
⎟
⎜ 2 2 2
− l e[ + κ ( sinωt)
] ⎟
⎝ 0 0 2 1 2 3
⎠
⎛ 1 0 0 ⎞
2 2 2 ⎜ ⎟
≡ l e[ 1 2 + 3κ ( sinωt)
]
⎜
0 1 0
⎟
.
⎜ − ⎟
⎝ 0 0 2 ⎠
Pertanto, il potenziale elettrostatico prodotto da una molecola stazionaria di NH 3 e misurato a

Guida allo studio autonomo in ELETTROMAGNETISMO – U 2 34
‘grande’ distanza da essa è descritto, a ogni tempo t , dalla forma generale approssimata
3 3
1 ⎛ p ⋅ r 1 x ix j ⎞
Φ ( r)
≈ ⎜ + ∑ ∑ Q ij ⎟ =
3 5
4π ε 0 ⎝ r 2 i = 1 j = 1 r ⎠
2 2 2
1 ⎧3leκ x sinωt
x x x ⎫
3 1 + 2 − 2
2 2 2
3
= ⎨ + l e[ 1 2 + 3κ
( sinωt
) ]
⎬
3 5
4π ε ⎩ r 2r
⎭
0
2 2
le ⎧3κ x sinωt
r x ⎫
3 − 3
2 2
3
= ⎨ + l [ 1 + 6κ
( sinωt)
] ⎬
3 5
4π ε ⎩ r 4r
⎭
0
2
le ⎧ 2 2 3( cosθ
) − 1⎫
≡ ⎨3κ cosθ sinωt − l [ 1 + 6κ
( sinωt)
]
⎬ .
2
4π ε r ⎩ 4r
⎭
0
Questa manifesta gli effetti sia di dipolo (dovuto agli scostamenti dello ione N − 3
dal piano degli
ioni H + ) sia di quadrupolo. Inoltre, è prevedibile che il valore medio di Φ ( r ) sul periodo T di
oscillazione dello ione N − 3 dipenda solo dalla parte costante del termine quadrupolare, risultando
2 2 2
2 2
l e r − 3x 3 l e 3( cosθ
) − 1
Φ ( r ) ≈ ≡ −
.
T
5 3
16π ε r 16π
ε r
0 0
■■■