Periodico di matematiche - Mathesis
Periodico di matematiche - Mathesis
Periodico di matematiche - Mathesis
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
✐<br />
✐<br />
luiGi vannuCCi<br />
97<br />
Luigi Vannucci 97<br />
per h = 0,1,...,c − 1 e quin<strong>di</strong> alla<br />
δh =<br />
h(2c − h)<br />
3<br />
per h = 0,1,2,...,c − 1. Un risultato sorprendentemente semplice che, nell’emblematico<br />
esempio con c = 1000, ci dà<br />
δ1 =<br />
1 · (2 · 1000 − 1)<br />
3<br />
= 1999<br />
3<br />
quale durata me<strong>di</strong>a del gioco quando rovina Primo, che ha il capitale iniziale 1 e,<br />
all’altro estremo<br />
δ999 =<br />
999 · (2 · 1000 − 999)<br />
3<br />
= 333333<br />
quale durata me<strong>di</strong>a del gioco quando rovina Secondo (considerare Secondo equivale a<br />
pensare a Primo con capitale h = 999).<br />
Ovviamente il risultato trovato “quadra” per h = 0,1,2,...,c nel senso che (in<strong>di</strong>pendentemente<br />
da come si “valuti” δc)<br />
essendo<br />
πh · δh + (1 − πh) · δc−h = dh<br />
c − h<br />
c<br />
· h(2c − h)<br />
+<br />
3<br />
h (c − h)(c + h)<br />
· = h(c − h)<br />
c 3<br />
e consente <strong>di</strong> rispondere a quelle curiose osservazioni fatte all’inizio <strong>di</strong> questo paragrafo.<br />
Riporto in Tab. 3 un’esemplificazione numerica dei risultati ottenuti con c = 10, al<br />
variare <strong>di</strong> h.<br />
3.2 Gioco non equo<br />
Con la simbologia introdotta, nel caso <strong>di</strong> gioco non equo risulta per h = 1,2,...,<br />
c − 1<br />
s<br />
Ph (E+1 | EP) =<br />
c − sh+1 (s + 1)(sc − sh )<br />
s<br />
Ph (E−1 | EP) = 1 − Ph (E+1 | EP) =<br />
c+1 − sh (s + 1)(sc − sh )<br />
Considerando ancora con δh := E [Dh, p | EP], dove si è voluto segnalare con p la<br />
probabilità <strong>di</strong> vincere <strong>di</strong> Primo a ogni lancio <strong>di</strong> moneta, l’equazione alle <strong>di</strong>fferenze<br />
sod<strong>di</strong>sfatta dalla successione dei valori δh è<br />
δh = 1 +<br />
sc − sh+1 (s + 1)(sc − sh ) · δh+1<br />
s<br />
+<br />
c+1 − sh (s + 1)(sc − sh · δh−1<br />
)