Periodico di matematiche - Mathesis

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94 Periodico di matematiche 3/2011 94 Periodico di matematiche 3/2011 h πh dh gh gh − (dh) 2 0 1.00000 0.00 0.00 0.00 1 0.92253 8.34 286.80 217.28 2 0.84076 15.08 557.31 329.82 3 0.75445 20.15 782.90 376.99 4 0.66334 23.44 940.25 390.93 5 0.56718 24.85 1012.04 394.28 6 0.46566 24.30 987.70 397.42 7 0.35851 21.65 864.17 395.47 8 0.24541 16.80 646.84 364.56 9 0.12602 9.63 350.42 257.73 10 0.00000 0.00 0.00 0.00 Tab. 2 vincita ha valore medio 10 ⎛ 6 10 19 19 19 19 − 18 18 ⎜ − ⎜ 18 18 · (−6) + 10 ⎜1 − 19 ⎝ 10 19 − 1 − 1 18 18 6 ⎞ ⎟ · 4 −0.65667 ⎠ Lo stesso valore che si otterebbe moltiplicando la durata attesa del gioco E [Dh] per il guadagno medio per turno di gioco, pari a 19 18 37 (−1) + 37 · 1. A riprova di ciò ⎛ ⎞ 6 19 19 + 1 ⎜ − 1 18 ⎜ 18 ⎟ ⎜6 − 10 19 ⎝ 10 ⎟ − 1 19 ⎠ 18 − 1 18 · 19 18 (−1) + · 1 −0.65667 37 37 Il conto proposto fa intravedere la possibilità di determinare immediatamente e correttamente per il caso di gioco non equo la formula per E [Dh] nota che sia πh = sc − sh sc (senza usare l’armamentario delle equazioni alle differenze finite) come − 1 ✐ ✐
✐ ✐ luiGi vannuCCi 95 Luigi Vannucci 95 soluzione dell’equazione nella incognita E [Dh] −h · sc − sh sc + (c − h) 1 − − 1 sc − sh sc = E [Dh] −1 · − 1 1 s + 1 · s + 1 s + 1 Segue anche che quanto più dura mediamente per Primo il gioco a lui sfavorevole, quanto più mediamente perde! 3 La durata media condizionata alla rovina di Primo 3.1 Gioco equo Vorrei ora analizzare un’altra questione connessa alla variabile aleatoria Dh nel caso del gioco equo, che non mi risulta sia stata considerata finora in letteratura (potrei sbagliare), ma che mi pare non priva di un qualche interesse. Limitandosi a considerare le durate del gioco in cui Primo, che detiene all’inizio il capitale h, rovina è intuitivo prevedere che le durate condizionate a questa eventualità (la rovina di Primo) devono avere un valore atteso minore di h(c − h) se h < c − h, maggiore di h(c − h) se h > c − h e uguale a h(c − h) se h = c − h. Non nuocerebbe conoscere l’esatta entità di questi scarti dal valore medio h(c − h), anche per dare una misura alla naturale previsione che quanto più sono sbilanciati i capitali iniziali posseduti dai due giocatori quanto più devono differire la durata attesa del gioco di rovina condizionata alla rovina di Primo e quella condizionata alla rovina di Secondo. Se con EP si simboleggia l’evento “Rovina di Primo” e con ES si simboleggia l’evento “Rovina di Secondo”, allora dh, finora considerato, esprimerebbe il valore atteso della variabile condizionata all’evento (che ha probabilità 1) EP +ES. In simboli dh := E [Dh | EP + ES] Ora si vuole invece determinare il valore atteso della durata del gioco di rovina condizionato alla rovina di uno prefissato dei due giocatori e, senza perdita di generalità, faremo riferimento a Primo, quello che detiene il capitale h all’inizio del gioco. Indicando con δh := E [Dh | EP], l’equazione alle differenze soddisfatta dalla successione dei valori δh è δh = 1 + Ph (E+1 | EP) · δh+1 + Ph (E−1 | EP) · δh−1 per h = 1,2,...,c − 1, con la condizione al bordo δ0 = 0. Qui con Ph (E+1 | EP) si intende la probabilità che Primo, quando si trova a detenere il capitale h, vinca al lancio successivo, si noti il +1 come indice dell’evento, condizionata alla sua rovina (e alla non rovina di Secondo). Analoga è l’interpretazione di Ph (E−1 | EP).
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Rivista quadrimestrale - Poste Ital
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Numero 3 Set-Dic 2011 Volume 3 Seri
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