Periodico di matematiche - Mathesis

78 Periodico di matematiche 3/2011
78 Periodico di matematiche 3/2011
• “Se AB fosse fatto di un filo elastico, e lo si tendesse fino a farlo diventare lungo
quanto CD, sarebbe facile notare che ora la lunghezza è la stessa, ma al segmento
AB io non ho aggiunto niente che già non avesse. Allora perché pensare che in CD
ci sono più punti che in AB?”
• “Volendo seguire la definizione di segmento ovvero di insieme finito di punti,
graficamente direi che il segmento CD contiene più punti del segmento AB.”
• “Ho sempre immaginato che se i numeri potessero essere contati, l’ultimo sarebbe
un numero pari; poiché penso che lo zero è pari, sembra quasi ovvio che i numeri
pari sono più di quelli dispari. Ma è solo una supposizione e non una certezza!”
• “I numeri pari, quelli dispari e quelli naturali sono tutti infiniti, e per questo non
sono paragonabili.”
• “I numeri naturali sono infiniti. L’insieme N è discreto ma non numerabile.”
• “I numeri naturali sono ovviamente infiniti; infatti a qualunque numero naturale n
infinitamente grande pensiamo esiste anche un altro numero naturale più grande
(n+1).”
• “Poiché sia i pari che i dispari sono infiniti, allora i due insiemi sono equipotenti.
Poiché i pari e i naturali sono infiniti, non si può dire se un insieme è maggiore
dell’altro, perché non esiste un infinito maggiore di infinito.”
• “L’infinito attuale è una necessità logica del pensiero astratto e degli assiomi della
matematica. Va preso salvo prova contraria. L’infinito potenziale è costruibile dal
nostro pensiero. Pensare alla fine e poi superarla. . .
4 Riflessioni finali
Si confermano, così, gran parte delle convinzioni rilevate dalle sperimentazioni
fatte dalla Sbaragli con gli insegnanti della scuola primaria e secondaria. Tuttavia,
occorre osservare che in alcuni vi è una certa consapevolezza dello stadio “avanzato”
della teoria. É interessante notare che dalle risposte fornite si evince che spesso in una
stessa persona si mescolano idee intuitive o parziali sull’infinito a idee che ormai sono
patrimonio acquisito della matematica. Ad esempio, si sa che gli insiemi dei pari, dei
dispari e dei naturali sono equipotenti, ma si giustifica l’infinità di N pensando alla
possibilità di trovare un numero sempre più grande.
Manca spesso la consapevolezza del ruolo che le relazioni di equivalenza hanno
nel processo di matematizzazione. Ad esempio, si confonde l’uguaglianza con l’equipotenza.
Spesso l’ostacolo della dipendenza dal modello finito ritorna anche quando
si intravede la possibilità del non appiattimento degli insiemi infiniti.
Per approfondire gli ostacoli didattici (oltre che epistemologici) alla comprensione
dell’infinito si rinvia (tra le diverse centinaia di lavori che esistono nel panorama
internazionale su questo tema) ai due importanti lavori (ARRIGO, D’AMORE, 1999) e
(ARRIGO, D’AMORE, 2002).
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