Periodico di matematiche - Mathesis

74 Periodico di matematiche 3/2011
74 Periodico di matematiche 3/2011
Altri importanti risultati ottenuti da Cantor furono i seguenti (il lettore interessato
alle dimostrazioni può consultare (FRANCIOSI, DE GIOVANNI, 1995)):
• L’unione di una famiglia finita o numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
• L’insieme dei numeri algebrici è numerabile.
• L’insieme dei numeri reali ha cardinalità (detta potenza del continuo) maggiore
del numerabile.
• L’insieme dei numeri trascendenti ha la potenza del continuo (1874) .
• Se S è un insieme infinito, allora la potenza cartesiana S n è equipotente a S.
(Questo risultato mise in evidenza la differenza fra cardinalità e dimensione. Cantor
ne rimase così sorpreso che comunicandolo a Dedekind in una lettera del 29 giugno
1877 pronunciò queste parole “Lo vedo ma non lo credo!” )
• Se S è un insieme, allora l’insieme P(S) delle parti di S ha cardinalità maggiore
di quella di S (1891). Esiste così una successione strettamente crescente di
cardinali infiniti.
La rapida panoramica attraverso la storia dell’infinito (matematico) ci ha mostrato
le numerose difficoltà che si dovettero superare perché gli aspetti più profondi di
questo concetto venissero colti e, soprattutto, accettati nell’ambito della matematica.
Si pensino agli attacchi che lo stesso Cantor subì, in modo particolare da parte di L.
Kroneker. D’altra parte, personalità di grandissimo rilievo, come Hilbert, accettarono
con entusiasmo le scoperte di Cantor (“Nessuno ci scacci dal paradiso di Cantor”).
Tra i molti contributi che G. Peano diede alla Matematica, riuscì a fondare l’aritmetica
su un nucleo costituito da poche proposizioni (i famosi cinque assiomi di Peano)
e da tre nozioni primitive (zero, numero e successore). In particolare, attraverso il
Principio di Induzione, mise in evidenza il legame tra l’infinità potenziale e l’infinità
attuale dell’insieme dei numeri naturali. Ricordiamo le due definizioni seguenti:
• Un insieme ordinato si dice naturalmente ordinato se ogni sua parte non vuota ha
minimo, e se è superiormente limitata, ha massimo.
• Una terna (S,a, f ) costituita da un insieme non vuoto S, da un elemento a di S e da
un’applicazione f : S → S si dice terna di Peano se:
(P1) f è iniettiva;
(P2) a ∈ S\ f (S);
(P3) (Principio di Induzione) Se X è una parte di S tale che a ∈ X e f (X) ⊆ X,
allora X = S.
Nella teoria assiomatica degli insiemi si assume l’esistenza di un insieme infinito
(assioma di Cantor). Il seguente risultato, per la cui dimostrazione si rimanda
a (FRANCIOSI, DE GIOVANNI, 1995), evidenzia alcune affermazioni equivalenti
all’assioma di Cantor.
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