Periodico di matematiche - Mathesis

106 Periodico di matematiche 3/2011
106 Periodico di matematiche 3/2011
Conclusioni
Sono state trovate le coordinate di due punti che consentono, in un sistema di assi
cartesiani, di disegnare un pentagono regolare attraverso un semplice procedimento
geometrico e con l’uso di riga e squadra senza ricorrere a metodi, ben noti da tempo,
che richiedono anche l’uso del compasso.
È nuova la idea che porta alla genesi dei valori che esprimono tali coordinate: in
particolare le coordinate espresse sull’asse Y derivano, per quanto attiene il pentagono
inscritto in una circonferenza di raggio unitario, alla metà dei valori assunti dalle
frequenze di risonanza di due circuiti L,C accoppiati direttamente. Gli angoli di 54°
e 18°, tipici del pentagono regolare, consentono poi, tramite l’uso del coseno, di
determinare le ascisse corrispondenti alle due ordinate espresse dalla funzione seno.
Si fa inoltre notare il fatto che le ordinate relative ai dieci punti dei due tipi di
pentagoni, possono essere direttamente determinate dalla [1] imponendo ad i i valori
pari a: 0; 1; −1; 2; −2; 3 ma che solamente i punti A e B (per altro sufficienti per
disegnare i due pentagoni) corrispondono a risonanze delle reti (L, C) del secondo
ordine.
Infine per sottolineare l’affinità esistente tra il pentagono e la parte aurea del
segmento si incoraggia il lettore ad utilizzare la [1] per diversi valori crescenti di n per
reti(L, C) accoppiate sempre più lunghe; egli troverebbe che, partendo dalla rete a due
celle, oggetto di questo studio, proprio ogni 5 celle, quindi in corrispondenza a valori
di n pari a : 7, 12, 17, 23, 27, ecc. celle, cioè fra le corrispondenti 7, 12, 17, 23, 27,
ecc. soluzioni risonanti, la relazione [1] ripropone mirabilmente i valori delle due
frequenze di risonanza che hanno consentito di costruire le due forme del pentagono
inscritto in una circonferenza. La parte aurea del segmento e la sua inversa continuano
a stupire nel campo della geometria!
Ringraziamenti: un particolare ringraziamento viene dato alla Sig. Mazzotta Michela
studentessa di Ingegneria presso la Università di Tor Vergata che sta studiando, con
grande accuratezza, il comportamento di reti a scala di elevata complessità.
✉A. D’AMICO, C. FALCONI
Università degli studi di Roma Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Ingegneria Elettronica
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