Periodico di matematiche - Mathesis

✐
✐
Dalla teoria delle reti accoppiate alla costruzione,
senza compasso, del pentagono regolare
A. D’Amico, C. Falconi
103
Sunto: In questo lavoro viene indicato un metodo per disegnare con riga e squadra un pentagono
regolare. È sorprendente notare che le ordinate dei vertici dei due punti di partenza (A e B), che
consentono la costruzione di questa figura, legate alla parte aurea (Φ = 0,618...) del segmento ed alla
sua inversa (1/Φ = 1.618...), hanno a che vedere con le frequenze di risonanza di particolari rete a
scala, direttamente accoppiate, formate da induttori e condensatori uguali.
Introduzione
Nell’ambito dei circuiti elettronici molto importanti sono le reti risonanti rappresentate
dall’accoppiamento diretto dei circuiti elementari a singola cella, come quella
rappresentata in fig. 1 dove sono presenti un induttore longitudinale, di induttanza
L ed un condensatore di capacità C. Nella fig. 2 sono mostrate due celle identiche
direttamente accoppiate mentre nella fig. 3 sono mostrate n-celle. Con Vi e Vu si
indicano rispettivamente la sollecitazione in ingresso e la risposta in uscita sotto forma
di livelli di tensione.
Il circuito di fig. 1 ha la proprietà di oscillare elettronicamente alla unica frequenza
permessa f = 1/2π √ LC, con ovvio significato dei simboli.
Nel caso di n-celle accoppiate esiste una relazione, di cui si omette la derivazione,
di seguito scritta, che fornisce tutte le n frequenze di risonanza, normalizzate a quella
della singola cella.
2i − 1 π
fi = 2sin
(1)
2n + 1 2
dove n rappresenta il numero delle celle ed i va da 1 ad n.
Per esempio, nel caso di cinque celle accoppiate, cioè di n = 5 si hanno, dalla [1],
per i che va da 1 ad 5, le 5 frequenze di risonanza di seguito calcolate:
2i − 1
fi = 2sin
22 π
= 2sin (2i − 1) 180°
= 2sin[(2i − 1)8.18°...],
22
103