Indice

Indice
Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1 Introduzione alla dinamica 1
1.1 La Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Il Sole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 L’energia solare: reazioni nucleari nel Sole . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 La struttura del Sole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Struttura dell’Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Variazione stagionali e latitudinali della T . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 La ionosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Composizione dell’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 L’ozono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Ulteriori notizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Dimensioni fisiche ed unità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Le forze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Gravitazione e gravitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.2 Le forze viscose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.3 Gradiente di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 La teoria di Milankovitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.2 Pendenza sull’orizzontale di superfici ad S costante. . . . . . . . 26
1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Gravitá e satelliti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8.2 Alta e media atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.3 Calcolo di gradienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Le equazioni del moto 41
2.1 Differenziazione seguendo il moto - Derivata totale, locale, convettiva . 41
2.2 Equazioni del moto sulla terra in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 La piattaforma rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Il sistema rotante meteorologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 Esplicitazione delle forze fondamentali . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Trasformazione in assi rotanti: notazione vettoriale . . . . . . . . . . . 47
2.4 Atmosfera come continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
i

ii INDICE
2.5 Analisi di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Considerazioni di scala sulle equazioni del moto . . . . . . . . . 49
2.6 Conservazione della massa ed equazione di continuità . . . . . . . . . . 50
2.7 Il set completo delle equazioni che governano l’atmosfera . . . . . . . . 51
2.8 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.1 Equazioni del moto in un sistema rotante sferico . . . . . . . . . 53
2.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Applicazioni elementari 69
3.1 Moto d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Vento geostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Effetto dell’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Vento di gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Discussione della soluzione con radice col segno + . . . . . . . . 76
3.3.2 Discussione della soluzione con radice col segno - . . . . . . . . 76
3.3.3 Restrizioni imposte dal vento di gradiente ai gradienti barici . . 77
3.4 Vento ciclostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Confronto tra valori geostrofici e di gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Rappresentazione del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.1 Superfici isobariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2 Superfici isoentropiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.1 Altre coordinate verticali: trattazione generale . . . . . . . . . . 85
3.7.2 Coordinate naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8.1 Moto di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8.2 Pendolo di Foucalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8.3 Vento geostrofico, ciclostrofico, gradiente . . . . . . . . . . . . . 92
4 Cinematica del flusso dei fluidi 101
4.1 Linearizzazione del campo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Modi di descrivere i flussi di fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 La funzione corrente o stream function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Legame tra divergenza orizzontale ed equazione di continuitá . . . . . . 108
4.5 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.1 Divergenza e vorticitá in coordinate naturali . . . . . . . . . . . 109
4.5.2 La relazione di Blaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.1 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.2 Vorticitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.3 Traiettorie e linee di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

INDICE iii
5 Altri equilibri 129
5.1 Il vento termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.1 Equazioni del vento termico su superfici isobariche . . . . . . . . 133
5.2 I meccanismi di variazione della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 La teoria di Bjerknes - Holmboe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4 Il vento isallobarico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Il vento ageostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.1 Vento ageostrofico in campi di pressione uniformi . . . . . . . . 144
5.5.2 Vento ageostrofico in presenza di campi di pressione variabili . . 146
5.6 Avvezione termica e tendenza della temperatura . . . . . . . . . . . . . 150
5.7 Struttura verticale dei sistemi di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.7.1 Variazione con l’altezza dell’asse verticale . . . . . . . . . . . . . 151
5.7.2 Struttura verticale dell’intensitá di un sistema di pressione . . . 152
5.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8.1 Vento termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8.2 Legame velocitá verticale-tendenza della pressione . . . . . . . . 159
5.8.3 Vento ageostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6 Il boundary layer 165
6.1 Viscositá e turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 Stress di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 Eq. del moto per il flusso medio in un fluido turbolento . . . . . . . . . 166
6.3 La teoria di mixing-length (lunghezza di mescolamento) . . . . . . . . . 168
6.4 Strato limite superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5 Strato di Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7 I fronti 179
7.1 Superfici di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Fronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2.1 Fronti in un campo di vento geostrofico . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3 La tropopausa e zone frontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3.1 Struttura del fronte polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4 Classificazione dei fronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.5 Modelli di fronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.1 Fronti caldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.2 Fronte freddo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5.3 Fronti occlusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.6 Individuazione dei fronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.6.1 Studio delle cartine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.6.2 Studio delle immagini Meteosat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

iv INDICE
8 Circolazione e vorticità 201
8.1 Teorema della circolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2 Interpretazione fisica del teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3 Applicazioni del teorema della circolazione . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.1 La brezza di mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.2 La pendenza delle superfici frontali . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.3.3 Convergenza, divergenza ed effetti di latitudine . . . . . . . . . 210
8.4 Teorema della vorticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4.1 Conservazione della vorticitá assoluta . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 Vorticitá potenziale isoentropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4.3 Un teorema di divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5 Rivisitazione del teorema della circolazione . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5.1 Connessione tra circolazione assoluta e circolazione relativa . . . 220
8.5.2 Il teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.6 Teorema della vorticitá in forma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.7 Teorema della vorticitá in coordinate isobariche . . . . . . . . . . . . . 223
8.7.1 Analisi di scala dell’equazione della vorticitá . . . . . . . . . . . 227
8.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.8.1 Circolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.8.2 Vorticitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.8.3 Conservazione momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9 Onde in atmosfera 249
9.1 La teoria delle onde lunghe nelle correnti occidentali . . . . . . . . . . . 249
9.2 Velocitá di fase e di gruppo di un’onda di Rossby . . . . . . . . . . . . 252
9.3 Complemento II: onde sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4 Complemento III: onde di gravitá o di galleggiamento . . . . . . . . . . 255
9.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
A Costanti fisiche notevoli 263
A.1 Costanti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A.2 Costanti fisiche di acqua e ghiaccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.3 Costanti fisiche di aria secca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.4 Costanti fisiche del vapor d’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
B Equazioni vettoriali utili 265
C Proprietá delle coordinate curvilinee 267

Introduzione
La fisica dell’atmosfera nei suoi diversi aspetti di meteorologia dinamica, fisica delle
nubi e delle precipitazioni, diffusione e rimozione degli inquinanti, bilanci di radiazione,
fisica della stratosfera e dell’alta atmosfera, etc., . . . , é divenuta centrale nella conoscenza
dello stato presente del pianeta Terra e della sua evoluzione futura (cambiamenti climatici).
Nello stesso tempo é alla base di numerose applicazioni utili per il corretto esplicarsi
di numerose attivitá umane: agricoltura, turismo, trasporti stradali, marittimi,
ferroviari ed aerei, costruzioni, protezione civile, riduzione di rischi di alluvioni.
Non v’é dubbio che l’approccio fisico matematico rigoroso é l’unico valido, nella
sequela dell’intuizione di Galileo che il libro della Natura va letto con il linguaggio delle
Matematiche. Va tuttavia anche crescendo il numero di coloro per i quali una certa
conoscenza del sistema atmosfera é la premessa di professionalitá piú ampie e generiche
(scienza dell’ambiente, ingegneria ambientale, gestione del territorio, etc,. . . ). Per gli
studenti e gli studiosi dell’una e dell’altra categoria si presenta una difficoltá nella
quasi completa mancanza di testi organici introduttivi alla fisica dell’atmosfera ed alla
meteorologia. Nella letteratura scientifica anglosassone si trovano numerosi eccellenti
testi universitari per lo piú dedicati ai singoli aspetti (meteorologia dinamica, fisica delle
nubi, etc). Pertanto lo studente si vede costretto a lavorare su un numero cospicuo
di testi in inglese ciascuno con notazione ed approccio diversi, ed a procedere ad una
faticosa personale sintesi.
Il presente testo di Meteorologia nelle due parti (Meteorologia dinamica e Microfisica)
si propone di portare in modo esauriente ed organico lo studente ad una padronanza
completa di tutti gli aspetti introduttivi alla fisica dell’atmosfera. Originato dai corsi
di lezioni che con diverso nome (Fisica dell’Atmosfera, Fisica terrestre, Geofisica)
sono state tenute dal prof. Franco Prodi presso l’Universitá di Modena dal 1970 e
di Ferrara dal 1987 il testo é stato rielaborato insieme al Dr. Alessandro Battaglia
integrandolo con numerosi esercizi, complementi e appendici. Nella versione che viene
ora presentata come testo universitario esso si propone sia alla ristretta cerchia degli
studenti della classe di Fisica che a quella piú ampia degli studenti di Scienze Ambientali
e di Ingegneria del Territorio e dell’Ambiente. Questi ultimi potranno senza
problemi trascurare le trattazioni piú complesse e gli argomenti piú specialistici. La
recente riforma universitaria prevede lauree brevi (triennali) e lauree specialistiche. Il
libro arriva quindi in un momento particolarmente opportuno. Esso é dedicato ai corsi
di laurea di Meteorologia ed Ambiente (Universitá di Ferrara), Fisica dell’Atmosfera
e Meteorologia (Universitá di Bologna e di Roma-Tor Vergata) nonché a tutti i corsi
triennali che necessitino di conoscenza dell’atmosfera.
Inoltre i diversi capitoli si presentano anche come introduttivi a corsi avanzati
di lauree specialistiche (radiazione, clima, radarmeteorologia, fisica delle nubi e
delle precipitazioni, meteorologia da satellite, nowcasting, fluidodinamica, geofisica,
agrometeorologia, micrometeorologia, . . . ).
Gli autori, che sono impegnati nella docenza del Corso di Meteorologia ed Ambiente
che hanno recentemente costituito presso l’Universitá di Ferrara (la relativa laurea

specialistica vedrá la luce fra poco) proseguiranno nell’opera di continuo adeguamento
del testo all’evoluzione delle esigenze didattiche. Oltre che dall’input diretto dei propri
studenti saranno lieti di trarre vantaggio da commenti e proposte di correzioni che
dovessero pervenire, anche in rete, da parte di studenti di altre sedi.
Prof. Franco Prodi Dr. Alessandro Battaglia

Capitolo 1
Introduzione alla meteorologia
dinamica
1.1 La Terra
Il pianeta Terra ha una massa di 5.9 · 10 27 g ed una forma quasi sferica 1 che prende il
nome di geoide. Il raggio della sfera di ugual volume del geoide vale RT = 6371.21 km
mentre il raggio terrestre varia da un minimo corrispondente al raggio polare (6356.91 km)
ad un massimo corrispondente al raggio equatoriale (6378.39 km).
La Terra compie un moto di rotazione (antioraria) attorno al suo asse ed un moto
di rivoluzione (antioraria) attorno al Sole su un’orbita ellittica alla velocità media
v = 29.8 km/s. La distanza dal Sole é massima all’afelio (il 4 luglio) e pari a 152·10 6 km
e minima al perielio, il 3 gennaio, e pari a 147 · 10 6 km. Il piano sul quale avviene tale
moto si dice piano dell’Ecclittica e risulta inclinato di circa 23◦27 ′ rispetto al piano equatoriale
terrestre. É proprio l’inclinazione dell’asse terrestre a determinare le stagioni. Il
periodo di rotazione terrestre rispetto alle stelle fisse é pari a gsid = 23h 56 m 4.091s e
viene detto periodo o giorno siderale; per effetto del moto di rivoluzione attorno al Sole
tale periodo differisce dal periodo o giorno solare, definito come l’intervallo di tempo
tra due culminazioni del Sole su un meridiano. In realtá a causa del moto apparente del
1 In realtá tale sfera é leggermente schiacciata ai Poli. Inoltre sulla sua superficie vi sono montagne
che raggiungono al massimo gli 8 km, inferiori quindi allo 0.2% del raggio terrestre. Pertanto la
Terra si può considerare un superficie liscia. Ciononostante é noto come le montagne abbiano un peso
rilevante per i fenomeni atmosferici.
1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Sole tale Giorno Solare varia da 23 h 59m 39s a 24h 00m 30s per cui si parla di Giorno
Solare Medio di 24h. Il moto di rivoluzione attorno al Sole viene effettuato in 365.25
giorni solari o equivalentemente 366.25 giorni siderali. Un parametro fondamentale per
la meteorologia é costituito dalla velocità angolare della Terra:
ΩT = 2π
gsid
= 2π
·
gsol
366.25
rad
= 7.292 · 10−5
365.25 s
corrispondente ad una velocità tangenziale all’equatore pari a 1674 km
h
(= 0.466 km
s ).
Si noti che ΩT è maggiore in agosto e minore in marzo (variazione relativa) a causa
della circolazione generale dell’atmosfera.
Per il nostro pianeta la principale fonte di energia esterna è costituita dalla radiazione
proveniente dal Sole. Altre fonti energetiche sono costituite dalla Luna (che
riflettendo la luce solare contribuisce con un apporto pari a 0.0005% dell’energia solare),
i lampi, i raggi cosmici, le meteoriti e la radiazione delle stelle lontane.
1.2 Il Sole
La radiazione solare è la sorgente predominante di quasi tutti i processi che avvengono
sul pianeta Terra: la circolazione dell’atmosfera, i processi vitali, i movimenti oceanici
(a parte le maree), l’energia idroelettrica e la stessa esistenza di combustibili fossili.
Riassumiamo allora brevemente alcune caratteristiche fondamentali di questa stella a
noi cosí vicina.
1.2.1 L’energia solare: reazioni nucleari nel Sole
Ogni giorno sulla Terra arrivano 3.7 · 10 21 calorie (2 cal./(cm 2 min) = 1.4 kW/m 2 )
che é il valore della costante solare ovvero dell’intensitá I0 della radiazione solare alla
distanza dal Sole alla quale si trova la Terra (r = 150 milioni di km) . Ció significa che
la potenza irraggiata dal Sole si ottiene moltiplicando questa intensitá di radiazione I0
per la superficie della sfera di raggio r S = 4π r 2 = 2.7 × 10 23 m 2 :
Wtot = I0 S = 3.78 · 10 23 kW.
La sorgente di tutta questa energia è la trasformazione di 4 nuclei di idrogeno in
elio con la liberazione dell’1% della massa in energia. La catena di reazioni che avviene
é (vedi fig. 1.1):
1 H + 1 H −→ 2 H + e + + νe (1.1)
2 H + 1 H −→ 3 He + γ (1.2)
3 He + 3 He −→ 4 He + 2 1 H (1.3)
ove la prima reazione porta alla formazione di un nucleo di deuterio con la trasformazione
di un protone in un neutrone. Come effetto si ha la produzione di un positrone

1.2. IL SOLE 3
1
H
1
H
2
H
1
H
positrone
14 miliardi di anni
6s
raggio
2 H
gamma
neutrino
3
He
3
He
1 milione di anni
3
He
Figura 1.1: Reazioni che portano alla formazione di He.
che va subito ad annichilirsi con un e − producendo raggi gamma (che vengono poi assorbiti
e riemessi nel Sole) e di un neutrino che avendo sezioni d’urto molto piccole
riesce ad uscire dal nucleo solare. Il passo successivo é la formazione di elio (con un
solo neutrone) a partire dal deuterio e dall’idrogeno, ed infine alla produzione di elio in
forma normale (2n + 2p). Queste reazioni, si possono verificare solo in zone (il nucleo
entro 150.000 km dal centro) ad altissima temperature (T ≥ 15 × 10 6 K), ove le velocitá
dei protoni sono cosí alte v ≥ 1000 km/s che riescono a sopraffare le forze elettriche
che tendono a fare stare distanti i protoni. La costante di tempo della prima reazione
é molto lunga (circa 14 miliardi di anni) e questo spiega perché gran parte dei protoni
del Sole debba ancora essere coinvolta in reazioni di fusione (il Sole ha 4.5 · 10 9 anni).
Dopo la formazione del deuterio invece le altre reazioni sono relativamente piú veloci.
L’energia prodotta da tali reazioni puó essere calcolata tenendo in considerazione il
difetto di massa: siccome gli atomi di H hanno massa atomica 1.007825 u.m.a mentre
l’He ha massa atomica 4.00268 u.m.a segue che 0.02862 u.m.a (pari allo 0.71% della
massa di H iniziale) vengono convertiti in energia; esemplificando, usando la ben nota
relazione di Einstein, da 1 kg di H si otterrano 0.0071 kg di energia equivalenti a
6.4 × 10 14 J. Per produrre la luminositá del Sole, pari a 4 × 10 26 J é necessario che
6 × 10 11 kg di H si convertano in He al secondo, convertendo 4 × 10 9 kg di materia in
energia ogni secondo. Supposto che solo il 10% della massa solare (pari a 2 × 10 30 kg)
sia costituita da H convertibile poi in He si ricava che il deposito di energia sul Sole é
di 10 44 J. Con il consumo energetico attuale (10 34 J/anno) si prospettano 10 10 anni
di vita per il Sole. Quello descritto va sotto il nome di ciclo protone-protone. In altre
stelle piú calde si ha invece il ciclo Carbonio-Azoto-Ossigeno.
1.2.2 La struttura del Sole
Il Sole é essenzialmente un gas che si trova in una condizione di equilibrio (sia idrostatico
che termico), per il quale cioé temperatura, pressione e densitá sono mantenute a valori
4 He
1
H
1
H

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Figura 1.2: Struttura interna del Sole.
costanti: la forza gravitazionale, che tenderebbe a far collassare il Sole, viene bilanciata
dalla pressione del gas. La stabilitá viene raggiunta grazie a temperature del nucleo
centrale dove viene generata energia per fusione ad una T ≈ 15 × 10 6 K con densitá
≈ 150 kg/cm 3 . Il nucleo si estende per circa 1/4 del raggio solare, conglobando circa
1/3 della massa totale.
Il calore prodotto all’interno del sole va in superficie per radiazione e convezione (la
conduzione puó venire trascurata) e viene irraggiato nello spazio esterno. Mentre la
convezione é efficiente solo in alcune zone, il trasporto per radiazione é di gran lunga
quello principale: il problema é che non é molto efficace in quanto i gas all’interno del
Sole sono molto opachi di modo che i fotoni vengono ben presto assorbiti (il cammino
medio é dell’ordine di 0.01 m) e riassorbiti isotropicamente. Cosí mentre un neutrino
impiega mediamente 2 s per uscire dal Sole, un fotone compiendo un percorso a zig zag
impiega 1 milione di anni.
Nel guscio esterno del Sole si distinguono infine:
fotosfera è la superficie con gas molto caldi a diversi stati di ionizzazione; ha regioni
più fredde (macchie solari) e più calde (facule). Sopra la fotosfera c’è un gas
più freddo che assorbe parte dell’energia e dà le linee di Fraunhofer;
cromosfera oltre la fotosfera.
corona oltre la cromosfera, con prominenze e flares.
È composta di idrogeno ed elio a bassa pressione;
Il sole irraggia per la maggior parte dello spettro come un corpo nero. Piccoli
spostamenti si hanno nelle linee di Fraunhofer e su ampie zone dell’ultravioletto. Us-

1.3. STRUTTURA DELL’ATMOSFERA 5
100
✻
✚ ✚✚✚✚
TERMOSFERA
80 ❄✛
❍❍ MESOPAUSA
✻ ❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
MESOSFERA
❍
60
❍
❡
❡
❡
h(km)
❄
STRATOPAUSA ✲
✻
40
STRATOSFERA
20
✧✧✧✧✧✧✧
✁✁✁✁
✁
❄
TROPOPAUSA ✲
✻
TROPOSFERA
200 240
❄
280
Temperatura (K) 0 0C Figura 1.3: Andamento della temperatura al variare dell’altezza in atmosfera.
ando l’energia totale prodotta dal Sole e la legge di Stefan Boltzmann si calcola una
temperatura equivalente di corpo nero pari a TSB = 5750K. Mediante la legge di Wien
(λEmax = 4740˚A) si ha invece TW ien = 6108K. La differenza (che non dovrebbe essere
presente se lo spettro fosse esattamente di corpo nero) è dovuta ad assorbimenti negli
strati esterni che non alterano la posizione di λEmax = 4740˚A ma che diminuiscono il
flusso di energia e quindi la TSB . L’approssimazione di corpo nero è comunque valida
a molti propositi.
1.3 Struttura dell’Atmosfera
L’involucro di gas che segue la Terra nel suo moto di rivoluzione attorno al Sole alla
velocitá di circa 30 km/s e che costituisce l’atmosfera si estende per circa 20000 km
in altezza, gradatamente confondendosi con il mezzo interplanetario (si arriva sino a
circa 10 RT ≈ 65.000 km). Il confine non é ben definito e il libero cammino medio delle
molecole raggiunge valori molto elevati (esosfera).

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Il criterio piú seguito e piú significativo per descrivere le caratteristiche e la struttura
dell’atmosfera é quello di seguire l’andamento della temperatura con la quota, mostrato
in figura 1.3: i confini di ciascuno strato di atmosfera sono definiti appunto dal cambio
di segno del gradiente termico dT/dz. I meccanismi di evaporazione, condensazione,
trasporto convettivo, conduzione, assorbimento della radiazione vengono cosí a definire
diverse regioni.
Lo strato piú basso di atmosfera é la troposfera ove la temperatura decresce con la
quota di circa 6.5 0 C per km. Al suo confine superiore vi é la tropopausa dove il dT/dz
passa bruscamente a 0.
La tropopausa, posta a 11 km di altitudine nel modello dell’atmosfera tipo, ha
invece altezze diverse a seconda della latitudine, della stagione e dell’attivitá climatica
e presenta inoltre grandi fratture (salti di altitudine) mediamente verso i 30 e i 60
gradi di latitudine. La sua altezza oscilla: é intorno ai 6 ÷ 8 km sulle calotte polari
(tropopausa polare, con una T media prossima ai −62 ◦ C), intorno ai 10 ÷ 12 km alle
latitudini dai 60 ai 30 gradi (tropopausa intermedia o subtropicale, con una T media
prossima ai −56.5 ◦ C) e infine intorno ai 16÷18 km sulla zona intertropicale (tropopausa
equatoriale, con una T media prossima ai −74 ◦ C).
Sopra la tropopausa la temperatura generalmente aumenta con la quota fino a
50 ÷ 55 km, meno rapidamente nella porzione inferiore e piú rapidamente in quella
superiore.
Stratosfera: questo strato di atmosfera stratificata, che si estende al di sopra della
tropopausa fino ad una altezza di circa 40 ÷ 50 km, ha composizione pressoché analoga
allo strato precedente, ma l’acqua é ridotta e la pressione é minima poiché la massa
atmosferica é quasi tutta concentrata nella troposfera. Verso i 40 ÷ 50 km si verifica
una produzione di molecole di ozono, dovuta all’azione dei raggi ultravioletti di provenienza
solare, che spezzano le molecole di ossigeno e gli atomi si uniscono alle molecole
rimaste. A questa fascia di massima concentrazione di ozono e di grande assorbimento
dell’ultravioletto si é dato il nome di ozonosfera. Salvo la presenza, verso i 20 km,
di sottili nubi di ghiaccio non vi sono ostacoli e la vista spazia senza limiti. Verso i
50km la stratosfera termina con una serie di livelli stratificati a diversa densitá e stabili
(stratopausa).
Sopra la stratopausa la temperatura diminuisce con l’altezza e raggiunge valori
molto bassi a 80 ÷ 85 km. Questa regione, di temperatura decrescente con l’altezza é
la Mesosfera, e la sua sommitá Mesopausa (ivi si raggiungono temperature di -90 0 C).
Nella mesosfera i gas atmosferici sono ormai estremamente rarefatti, con prevalenza di
quelli piú leggeri. La pressione scende a valori bassissimi, difficili addirittura da rilevare.
Nella parte piú bassa esiste ancora ozono, ma in seguito la rarefazione dell’aria interessa
tutto lo strato. Spesso a queste altezze si osservano improvvise luminositá dovute al
passaggio di meteoriti; la mesosfera infatti fa parte della zona nella quale le meteoriti
vengono in contatto con l’atmosfera terrestre dando origine ai fenomeni luminosi detti
meteore.
Quindi la temperatura aumenta di nuovo con l’altezza e questa é la Termosfera.
Qui, per effetto del forte assorbimento della radiazione ultravioletta, specie da molecole

1.3. STRUTTURA DELL’ATMOSFERA 7
Figura 1.4: Temperature (K) medie stagionali per l’emisfero N a circa 100 km dalla
superficie per l’estate e l’inverno.
di O, la temperatura sale rapidamente da 500 K a 2000 K.
1.3.1 Variazione stagionali e latitudinali della T
Nella troposfera le temperature sono superiori presso l’equatore e decrescono ai poli:
le variazioni stagionali sono piccole alle basse latitudini ed aumentano alle grandi
latitudini.
Nella stratosfera le temperature sono superiori in estate che in inverno, le variazioni
stagionali aumentano con la latitudine e con l’altezza. C’é una inversione nel gradiente
di temperatura meridionale da estate ad inverno con temperature crescenti in estate e
decrescenti in inverno verso le latitudini superiori (vedi fig. 1.4). Le variazioni stagionali
sulla mesosfera sono piú piccole.
Benché variazioni stagionali nella temperatura della termosfera non siano accertate,
ci si attende che le temperature siano superiori in estate che in inverno.
1.3.2 La ionosfera
É lo strato situato sopra 80 km di quota, frutto dell’interazione tra radiazione solare
(UV e raggi X principalmente) e atmosfera terrestre: le molecole dei gas atmosferici
vengono ionizzate o dissociate, ma lo strato é elettricamente neutro, perché le cariche
di segno opposto si equivalgono. Le proprietá della ionosfera sono variabili; nella

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Figura 1.5: I diversi strati della ionosfera.
regione sopra i poli, ad esempio, si addensa un maggior flusso di particelle provenienti
dal Sole, che produce una ionizzazione supplementare. La ricombinazione genera quei
fenomeni di luminositá noti come aurore polari. Fra 90 e 300 km di altitudine si
ha il fenomeno della luminescenza con emissione di raggi gialli, verdi, rossi. Queste
emissioni luminose sono determinate principalmente dall’azione dei raggi ultravioletti
che ionizzano gli atomi e dissociano le molecole e dalle successive ricombinazioni, e dalle
collisioni di queste particelle con gli elettroni. A differenza delle aurore polari causate
da particelle che entrano nell’atmosfera lungo le linee di forza del campo magnetico e
sono ben localizzate, la luminescenza é un processo diffuso in tutta l’alta atmosfera. La
ionizzazione e la concorrente deionizzazione determinano la densitá di elettroni (vedi
fig. 1.6). La ionizzazione é forte negli strati E ed F , meno forte in D. Lo strato E
contiene molto probabilmente ossigeno ionizzato, lo strato F azoto ionizzato.
Figura 1.6: Concentrazione degli elettroni liberi in ionosfera.
Al di sopra di 200 km l’ossigeno atomico diventa il piú diffuso costituente dell’atmosfera.
Mano a mano che si allontana dalla ionosfera la densitá molecolare tende

1.3. STRUTTURA DELL’ATMOSFERA 9
Figura 1.7: Radio propagazione di onde lunghe per effetto della ionosfera.
sempre piú a diminuire. Nonostante l’estrema rarefazione della massa atmosferica,
la ionosfera avvolge la Terra come una autentica cappa protettiva e ad essa si deve
la sopravvivenza degli organismi viventi. Ad una altezza di circa 500 km si trova il
cosiddetto livello critico, oltre il quale le particelle gassose dall’atmosfera se hanno una
velocitá sufficientemente elevata possono abbandonare la Terra.
Effetto della ionosfera sulla propagazione delle onde radio
Un’importante capacitá degli strati fortemente elettrizzati é quella di non farsi penetrare
dalle onde radio inviate da terra, per cui esse come un raggio luminoso riflesso
da uno specchio, ritornano indietro e possono essere captate da apparecchi riceventi
(ecco perché fu possibile a Marconi comunicare con l’America!). Il termine “riflesso”
puó essere piú appropriatamente sostituito dal termine “rifratto” perché in realtá le
onde vengono rifratte (e come effetto finale riflesse a terra): quando un fascio passa
attraverso la ionosfera ad un angolo obliquo velocitá e direzione dell’onda cambiano
come risultato combinato del cambiamento nell’indice di rifrazione e della curvatura
terrestre. Il cammino effettivo che un fascio rifratto che torna a terra é una curva (vedi
fig. 1.7), ed il fascio non raggiunge mai il punto di riflessione virtuale (in realtá il tempo
impiegato a percorrere il cammino curvo reale e quello rettilineo virtuale sono uguali).
Un esame della ionosfera rispetto alla propagazione delle onde radio porta ad una suddivisione
in tre strati distinti (vedi fig. 1.5) chiamati, dall’alto verso il basso, D, E e F
di massima densitá elettronica. Essi individuano altezze critiche per la propagazione.
Lo strato D (il piú basso) esiste solo durante il giorno raggiungendo un massimo al
mezzodí e assorbe le medie e basse onde radio. L’assenza di tale strato spiega l’aumento
del range delle comunicazioni AM durante la notte. Lo strato E puó essere diviso in
2 parti: lo strato E normale, presente durante il giorno (che riflette le frequenze sotto
i 5 MHz e assorbe quelle superiori a 5 MHz) e gli strati E, che possono comparire
in qualsiasi periodo del giorno e possono riflettere frequenze da 30 sino a 3000 MHz.
Lo strato F infine é composto dagli strati F1 (presente con la luce solare e capace di

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Tabella 1.1: Composizione dell’omosfera cioé dello strato al di sotto approssimativamente
dei primi 100 km di altezza. Il 12 C viene assunto avere peso molecolare
12 g/mol.
Costituente Peso molecolare g/mol % in volume
Azoto N2 28.0134 78.084
Ossigeno O2 31.9988 20.948
Argon Ar 39.948 0.934
Neon Ne 20.283 0.001818
Elio He 4.0026 0.000525
Cripton Kr 83.89 0.000914
Xenon Xe 131.36 0.0000087
Idrogeno H 2.01594 0.00005
Metano CH4 16.043 0.0002
Ospiti variabili
Anidride carbonica CO2 44.009951 ∼ 0.0314
Ozono O3 41.3082 0 ÷ 7 × 10 −6
Anidride solforosa SO2 64.0628 0 ÷ 2 × 10 −4
Ammoniaca NH4 17.0628 tracce
V apor acqueo H2O 18.0588 molto variabile ≈ 0.1% ÷ 4%
riflettere segnali sino a 10 MHz) e F2, altamente influenzato dalle macchie solari che
riflette frequenze sino a 50 MHz. L’altezza di F2 é inversamente proporzionale alla
sua latitudine (all’Equatore é circa doppio che in zone polari). Durante la notte gli
strati F1 e F2 si uniscono e mantengono un certo grado di ionizzazione che riflette sino
a 20 MHz.
1.4 Composizione dell’atmosfera
Il 90% della massa dell’atmosfera, cioé dell’involucro gassoso che avvolge la Terra, si
trova nel primo strato spesso 15 ÷ 16 km, cioé meno di 3/1000 del raggio terrestre
(RT 6370 km).
Eccetto che per le variazioni dovute al vapor acqueo, la composizione relativa dell’atmosfera
é costante sino a 90 km sopra il livello del mare. In generale si distingue
nell’atmosfera una omosfera, regione nella quale i moti turbolenti delle masse d’aria
determinano il mescolamento dei gas atmosferici e una eterosfera, regione nella quale
i gas tendono a stratificarsi secondo il loro peso molecolare o atomico.
Nella omosfera l’aria é composta da un miscuglio di diversi gas: azoto 78%, ossigeno
20% e CO2, gas rari, NO2, NO e vapore d’acqua per il restante 2% (vedi tab. 1.1). Si
noti che la composizione dell’omosfera é notevolmente mutata dalle origini del pianeta

1.4. COMPOSIZIONE DELL’ATMOSFERA 11
Tabella 1.2: Dati sommari dell’atmosfera per diverse quote.
Quota Densitá Costituzione Temperatura N ◦ part./m 3
⎧
⎨
∼ 78% N2
∼ 21% O2
suolo ∼ 1 kg/m3 ⎩
∼ 1% Ar
15◦C ∼ 2.6 · 1025 100 km ∼ 5 · 10−7 kg/m3 ≈ idem −63◦C ∼ 1.0 · 1019 500 km ∼ 1.5 · 10−12 kg/m3 ⎧
⎨ ∼ 92.9% O
∼ 5.6%
⎩
∼ 1.5%
N2
He
1000◦C ∼ 5.0 · 1013 65000 km ∼ 2 · 10−26 kg/m3 ≈ 100.0% H ionizzato 1000◦C ∼ 10
ai nostri giorni. In particolare circa 5 miliardi di anni fa l’atmosfera era priva di ossigeno
(costituita per il 50% da H2, il 40% da elio ed il restante 10% da ammoniaca, metano
e vapor d’acqua) di modo che lasciava giungere l’ultravioletto fino al suolo. La vita
nascente era quindi possibile solo sotto l’acqua. La produzione di ossigeno da parte
delle alghe verdi-azzurre ed il diffondersi progressivo di esso nell’atmosfera portó alla
produzione di ozono che bloccó le radiazioni UV nell’alta stratosfera rendendo possibile
il passaggio della vita in terraferma.
Il vapore d’acqua é uno dei costituenti minori dell’atmosfera e benché sempre
presente, la sua concentrazione varia grandemente nello spazio e nel tempo. Le sue
proprietá verranno discusse piú approfonditamente in seguito.
Salendo nella eterosfera (sopra gli 80 km) la costituzione dell’atmosfera cambia
notevolmente come mostrato in tab. 1.2: andando verso l’alto diventano man mano
prevalenti i gas piú leggeri. In ordine: l’azoto molecolare N2, l’ossigeno atomico O,
l’elio He e l’idrogeno H (vedi fig. 1.8).
1.4.1 L’ozono
L’ozono, pur presente in quantitá ridottissime (poche parti per milione e dell’ordine di
una parte ogni 100000 in ozonosfera) é un costituente molto importante della nostra
atmosfera. Esso infatti, tramite l’assorbimento della radiazione ultravioletta, converte
la radiazione solare e quella delle altre stelle in radiazione termica determinando le
proprietá radiative della stratosfera: dove c’é meno ozono la stratosfera é piú fredda e
vi é una stretta correlazione tra colonna totale di ozono e temperatura a 100 e 70 mb. Si

12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Figura 1.8: Densitá numerica totale e di ogni singola specie per una atmosfera media.
forma in stratosfera e in mesosfera attraverso dei processi fotochimici 2 con assorbimento
di radiazione ultravioletta (difendendo quindi le sostanze organiche e gli esseri viventi).
Il problema del cosí detto buco dell’ozono é evidenziato in fig. 1.9.
Il massimo di concentrazione dell’ozono é attorno ai 17 ÷ 25 km (vedi fig. 1.10).
Si noti che siccome il tempo di vita media delle molecole di ozono al di sotto
dei 30 km é lungo, l’ozono 3 viene redistribuito attraverso i moti atmosferici. Infatti
2 Le principali reazioni interessate sono:
O2 + hν (λ ≤ 246 nm) −→ O + O (J2) (1.4)
O + O + M −→ O2 + M (k1) (1.5)
O + O2 + M −→ O3 + M (k2) (1.6)
O + O3 −→ 2 O2 (k3) (1.7)
O3 + hν (λ ≤ 1140 nm) −→ O2 + O (J3). (1.8)
ove J2 e J3 sono velocitá di dissociazione per molecole per secondo mentre i coefficienti ki sono definiti
in modo che moltiplicandoli per le densitá delle specie coinvolte si ottiene la velocitá della reazione.
In realtá vi sono poi altre trasformazioni che coinvolgono costituenti quali NO, Cl, NO2, H, OH,
H2O che portano alla formazione e distruzione di O e O3. Per esempio i famosissimi cloroflorocarburi
sono responsabili della catena:
Cl + O3 −→ ClO + O2
ClO + O −→ Cl + O2.
3 Per la colonna integrata di ozono si usa molto spesso l’unitá Dobson DU (dal Prof. Dobson che
per primo inventó uno spettrometro per misurare l’ozono) con 1 DU = 0.01 mm = 10 −3 cm.

1.4. COMPOSIZIONE DELL’ATMOSFERA 13
Figura 1.9: Andamento della quantitá di ozono totale nelle fasce polari dell’emisfero
boreale e australe negli ultimi 30 anni.
guardando alla figura 1.10 si vede come si verifichi un massimo di concentrazione nelle
regioni polari e non in quelle tropicali a dispetto del fatto che la radiazione solare sia
massima in queste ultime. La ragione é che aria entra nella stratosfera attraverso moti
verticali ai tropici, viene arricchita di ozono e viene quindi portata ai poli e di qui
verso il basso. L’ozono arriva quindi nella bassa stratosfera polare dove rimane a lungo
grazie alla sua lunga vita media. In troposfera e a livello del mare invece l’ozono puó
essere portato per diffusione turbolenta.
1.4.2 Ulteriori notizie
• Le molecole di O2 a 150 0 C si muovono a 430 m/s, ed il numero di collisioni per
millimetro cubo é 4 · 10 22 per secondo. Solo alcune molecole isolate possono abbandonare
il campo di gravitá. Pertanto la terra perde una quantitá trascurabile
della propria atmosfera.
• La terra trascina con sé la propria atmosfera. I venti si originano solamente
con una differenza fra moto dell’atmosfera e moto della superficie terrestre. Un
“ritardo” sistematico dell’atmosfera rispetto alla superficie si nota solo a grandi
altezze.
• Non si puó indicare un confine esatto per l’atmosfera. Anche lo spazio esterno non

14 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Figura 1.10: Sinistra: distribuzione in altezza dell’ozono a 45 ◦ di latitudine come osservata
(linea tratteggiata) e come calcolata tenendo solo conto della teoria fotochimica
classica. Destra: altezza verticale della colonna di ozono (a STP in unitá di 10 −5 m)
in funzione della stagione e della latitudine.
Tabella 1.3: Variazione esatta della pressione con l’altezza in una atmosfera tipo.
z [km] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
p [mb] 1013.2 265 55.3 11.9 2.9 0.797 0.225 0.0521 0.01 0.0016 3 × 10 −4
é un vuoto assoluto. Teoricamente il confine dell’atmosfera é l’altezza alla quale le
particelle-molecole partecipano della rotazione terrestre e la gravitá prevale sulla
forza centrifuga, che tende a sottrarre le molecole al campo gravitazionale. Tale
altezza é di 28000 km ai poli e di 42000 km all’equatore; é quindi uno sferoide
ancora piú oblato della terra solida (si veda fig.1.19).
• Atmosfera standard: La U.S. Standard Atmosphere é un modello generalizzato
della struttura verticale dell’atmosfera terrestre che fornisce i profili di T , p
(mostrata in Tab.1.3), e ρ in condizioni medie alle medie latitudini. Per gran
parte degli studi meteorologici la regione di interesse é quella della bassa atmosfera
che contiene gran parte della massa totale (a 30 km di altezza ad esempio la
densitá é solo l’1.5 % della densitá al livello del mare). In fig. 1.11 viene mostrato
il tipico andamento della pressione nella troposfera.

1.4. COMPOSIZIONE DELL’ATMOSFERA 15
altezza (km)
25
20
15
10
5
0
0 100 200 300 400 500
pressione (mb)
600 700 800 900 1000
Figura 1.11: Andamento della pressione con l’altezza per una atmosfera di marzo a 10 ◦
di latitudine N.
Pertanto diamo qui di seguito dei fit sui profili di T , p, e ρ che fittano molto bene
i dati sperimentali:
– per quel che concerne la variazione della temperatura con l’altezza, nei primi
32 km valgono le seguenti leggi:
⎧
⎨ T0 − 0.0065z 0 ≤ z ≤ 11 km
T (z) = T (11) 11km ≤ z ≤ 20 km
(1.9)
⎩
T (11) + (z − 20) 20km ≤ z ≤ 32 km
ove T0 e T (11) sono le temperature al livello del mare e a 11 km. Rimarchiamo
ancora che si ha un gradiente termico di 0.65 ◦ C/100m fino a 11
km;
– per la variazione della pressione si ha un profilo ben fittabile con un esponenziale
della forma con z ≤ 10 km:
z
− Hp p(z) = p0 e p0 = 1013.25 mb Hp = 7.7 km (1.10)
– analogamente per la variazione della densitá:
z
− Hρ ρ = 1.225 e kg m −3
Un fit migliore sino a 30 km é invece:
z
−
H ρ = 1.225 e ′
z
ρ 1 + 0.3 sin
H ′ ρ
kg m −3
Hρ = 9.5 km. (1.11)
H ′ ρ
= 7.3 km. (1.12)

16 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Approssimativamente si puó dire che per la troposfera e la stratosfera inferiore
si ha approssimativamente un dimezzamento della pressione per ogni
5.5 km mentre considerando l’intera omosfera si ha approssimativamente
una riduzione ad un decimo ogni 15.5 km di salita.
– Atmosfera standard
Per gli Stati Uniti é a 40 0 N. Le caratteristiche sono: T = 15 0 C, p =
1013 mb, aria secca, g = 980 cm/s 2 , γ = 6.5 ◦ C/km. Si pone poi un inizio
di stratosfera a una T = −55 0 C, da 10.769 km a 32 km.
1.5 Dimensioni fisiche ed unità
Le leggi che governano i moti sono espresse in termini di quantità fisiche (variabili di
campo e coordinate) che dipendono da quattro grandezze dimensionalmente indipendenti:
lunghezza, tempo, massa e temperatura. Le dimensioni delle variabili di campo
possono essere espresse in termini di multipli e di rapporti delle quattro grandezze fondamentali:
é necessario quindi definire un gruppo di unità fondamentali. In dinamica
viene usato il sistema internazionale S.I.:
• lunghezza [m]: metro
• tempo [s]: secondo
• massa [kg]: chilogrammo
• temperatura [K]: grado kelvin
Le unitá derivate di uso più comune in meteorologia sono:
• frequenza (Hz): Hertz [s −1 ]
• forza (N): Newton [kg · m · s −1 ]
• pressione (P a): Pascal [N · m −2 ]
• potenza (W ): Watt [J · s −1 ]
Per tenere i valori numerici entro limiti convenienti si usano multipli e sottomultipli
decimali di unità S.I.. I consueti prefissi sono: Mega (10 6 ), Kilo (10 3 ), Hecto (10 2 ),
Deka (10), Deci (10 −1 ), Centi (10 −2 ), Milli (10 −3 ), Micro (10 −6 ). I prefissi possono
aggiungersi alle unità fondamentali (tranne il kg). Eccezioni da tenere in considerazione
sono:
− minuti, ore e giorni per il tempo (per convenienza dei valori numerici);

1.6. LE FORZE FONDAMENTALI 17
− in dinamica il kP a è preferito come unità S.I. per la pressione. Tuttavia molti
usano il millibar (mb) che corrisponde a 100P a (0.1kP a) e a 103dine/cm 2 :
101.325kP a = 1013.25mb (pressione standard);
− per la temperatura si usano i gradi Celsius, in relazione alla scala termodinamica
Tc = T − T0 dove T0 = 273.15 K è il punto di ghiacciamento dell’acqua.
1.6 Le forze fondamentali
1.6.1 Gravitazione e gravitá
Una particella di massa m che si trovi nell’atmosfera terrestre é soggetta ad una forza
di attrazione gravitazionale data dalla ben nota legge di gravitazione universale:
F = G MT m
r 3 r;
che, nel caso particolare in cui ci si trovi sulla superficie terrestre fornisce il valore
dell’accelerazione gravitazionale sulla superficie:
g ∗ 0
= −GMT
R 2 T
r
r .
La gravitazione varia con la quota z seguendo la legge:
g ∗ = G MT
= G
(RT + z) 2
Sviluppando in serie:
e quindi:
f(z) =
MT
R2 T + z2 + 2RT z
RT
= G
R 2 T
MT
1 + z2
R 2 T
1
1 + z
2 = f (0) + f ′ (0) z + . . .
f ′ (0) = d
1 +
dz
z
RT
f(z) 1 − 2z
g ∗ ∼ = g ∗ 0
RT
1 − 2z
RT
−2
= −
∼ = g ∗ 0
RT
+ 2z
RT
2
1 + z
3 = − 2
RT
1 − 3.14 · 10 −7 z
= g ∗ 1
0
1 + z
RT
RT
2
(1.13)
ovvero g∗ diminuisce linearmente con l’altezza. A 400 km, g∗ è il 20% di g∗ 0 ed il primo
termine trascurato nello sviluppo in serie di Taylor contribuisce per meno dell’ 1%.

18 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
Figura 1.12: Gravitá e gravitazione.
Ora una misura del peso (con un dinamometro ad es.) di una particella di massa m
a riposo sulla superficie terrestre fornisce un valore che é generalmente inferiore a quello
che si otterrebbe tenendo conto della sola forza gravitazionale m g ∗ ; questo perché la
particella, osservata in un sistema rotante solidale con la Terra, é soggetta anche ad
una forza centrifuga mΩ 2 T R dove ΩT é la velocitá di rotazione terrestre e R è il vettore
posizione dall’asse di rotazione. All’altezza z, RT +z é la distanza dal centro della terra,
di modo che, alla latitudine φ, | R| = (RT + z) cos φ ed infine | Fc| = mΩ 2 T (RT + z) cos φ.
É allora conveniente combinare i due effetti ed introdurre il vettore gravità g definito
come somma vettoriale della accelerazione gravitazionale g ∗ e della accelerazione
centrifuga:
g = g ∗ + Ω 2 T R. (1.14)
Eccetto che ai poli e all’equatore la gravitá non é diretta verso il centro della Terra.
Come si vede in fig. 1.12 se la Terra fosse perfettamente sferica la gravitá avrebbe una
componente parallela alla superficie diretta verso l’equatore. La Terra si é “aggiustata”
in maniera da compensare tale effetto assumendo una forma approssimativamente sferoidale
con un ingrossamento equatoriale (il raggio equatoriale é di circa 21 km maggiore
di quello polare). Il vettore gravità è perpendicolare alla superficie di tale sferoide
oblato detto geoide.
Essendo l’angolo fra g e g ∗ molto piccolo (valore massimo 0.1 ◦ a 45 ◦ di latitudine)
l’accelerazione di gravitá sará approssimativamente orientata ancora come la verticale
con una intensitá che si otterrá sottraendo a g ∗ la componente lungo g ∗ della forza
centrifuga. Abbiamo quindi:
g = g ∗ − Ω 2 T (RT + z) cos 2 φ ⇒ g = g ∗
1 − Ω2T (RT + z) cos2
φ
g∗
che include le variazioni con la quota z e con la latitudine φ. Ripetiamo che il geoide
ha la sua superficie perpendicolare al vettore gravità e non alla gravitazione. Al livello
del mare e 45 ◦ di latitudine abbiamo g = 980.616cm/s 2 . Alle altre latitudini si puó

1.6. LE FORZE FONDAMENTALI 19
calcolare con una formula approssimata della forma:
g = 980.616(1 − 0.002637 cos 2φ + 0.0000059 cos 2 2φ).
In alcuni fenomeni può essere necessario tener conto dell’errore da luogo a luogo a
causa del materiale della crosta. In pratica, in meteorologia dinamica, considereremo
la terra oblata con asse z lungo il vettore gravità (che considereremo per molti casi
980.616cm/s 2 ) ed in tutti gli altri aspetti trascureremo la non sfericità della terra.
N.B.: g varia meno dell’1% fino a 30 km quindi per studi troposferici la considereremo
costante. Definiamo geopotenziale la funzione:
Φ ≡
z
• è una funzione univoca del punto
• non dipende dal percorso gdz = 0
0
gdz (1.15)
• permette il calcolo dell’energia necessaria per far orbitare un satellite (vedi esercizi).)
Quando la gravità e la forza centrifuga si equilibrano abbiamo la superficie geostazionaria
(dove orbitano i satelliti) ( ∼ = 42000 km dal centro della terra).
1.6.2 Le forze viscose
Consideriamo uno strato di fluido incomprimibile confinato tra due fogli orizzontali a
distanza l (vedi fig. 1.13). Il foglio piú basso é fisso, quello superiore si muove nella
direzione x a velocitá u0. Le particelle di fluido a contatto col foglio si devono muovere
con il foglio (u(l) = u0) mentre quelle sul fondo saranno ferme (u(0) = 0). La forza
Figura 1.13: Esempio di forza viscosa su un foglio.

20 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
tangenziale da esercitare sul foglio per tenerlo in moto uniforme è proporzionale all’area
del foglio A, alla velocità u0 ed all’inverso della distanza che lo separa dal fondo l:
A u0
F = µ
l
ove µ é la viscosità dinamica misurata in kg/(m s) nel sistema MKS. Per l’acqua
a 20 ◦ C ad esempio µ = 10 −3 kg/(m s) mentre per l’aria secca a 0 ◦ C µ = 1.7 ×
10 −5 kg/(m s).
Per il principio di azione e reazione questa forza sará anche la forza che il foglio superiore
esercita sul fluido immediatamente circostante: in condizioni di moto uniforme
ogni strato orizzontale di fluido deve esercitare la stessa forza sul fluido sottostante;
quindi, per il limite dello strato tendente a zero, la forza viscosa per unità d’area o
stress di taglio è:
τzx = µ ∂u
∂z
(1.16)
dove l’indice zx sta ad indicare il trasporto lungo z di quantità di moto in direzione x.
In generale si potrá definire un tensore degli stress (la prima componente dello sforzo τ
determina la direzione che é perpendicolare alla faccia sulla quale si esercita lo sforzo,
la seconda la direzione del moto che determina lo sforzo) con 9 componenti. Si puó
dimostrare che tale tensore é simmetrico (per cui ad esempio τyx = τxy) di modo che
solo 6 stress sono indipendenti.
Dal punto di vista molecolare c’è un trasporto netto verso il basso di componente x
di quantitá di moto associata al moto casuale delle molecole; siccome tale componente
aumenta verso l’alto allora le molecole che passano verso il basso attraverso un piano
orizzontale possiedono piú quantitá di moto che non quelle che stanno passando verso
l’alto attraverso il medesimo piano. Il trasporto verso il basso di quantità di moto per
unità d’area ed unità di tempo è proprio lo stress di taglio.
Se il moto del fluido é uniforme non vi é alcuna forza viscosa netta che agisce
sull’elemento di fluido. Nel caso si abbia un campo di velocitá (u, v, w) invece,

1.6. LE FORZE FONDAMENTALI 21
in generale, la forza netta viscosa sull’elemento di volume di massa dm centrato in
(x, y, z) nella direzione x è:
τzx + ∂τzx
∂z
dz
· dydx − τzx −
2
∂τzx
dz
· dydx τzx = τxz
∂z 2
dx dy dz 1
ed essendo = abbiamo che la forza viscosa per unitá di massa dovuta allo
dm ρ
shear della componente di quantitá di moto lungo x vale
1 ∂τzx 1 ∂
= µ
ρ ∂z ρ ∂z
∂u
=
∂z
µ ∂
ρ
2u ∂z2 mentre sommando anche i possibili shear lungo y e lungo z diventa uguale a µ
ρ ∇2 u da
cui segue che la forza viscosa per unitá di massa nelle diverse direzioni diventa:
F viscosa
x
m
= µ
2 ∂ u
ρ ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 F
(1.17)
viscosa
y
m
= µ
2 ∂ v
ρ ∂x2 + ∂2v ∂y2 + ∂2v ∂z2 F
(1.18)
viscosa
z
m
= µ
2 ∂ w
ρ ∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂z2
(1.19)
F viscosa
m
= µ
ρ ∇2 V (1.20)
dove µ
ρ
= ν è la viscosità cinematica.
Per l’atmosfera sotto i 100 km ν è così piccola che la viscosità molecolare è trascurabile,
non lo è nei primi centimetri presso la superficie. Al di sopra di questo strato la
quantità di moto è trasferita per turbolenza (vortici): per descrivere tali forze si userá
un’espressione simile alla (1.20) con il coefficiente di viscositá sostituito da quello di
viscositá turbolenta (vedi cap. 6).
1.6.3 Gradiente di pressione
La terza importante forza presente in ogni sistema fluido è la pressione. Consideriamo
un cubo dx, dy, dz di massa dm: A causa dei movimenti molecolari un impulso viene
impartito alla parete 1; la forza agente sulla faccia 1 è pdydz mentre quella sulla faccia
2 è:
− p + ∂p
∂x dx
dydz
dove il termine (∂p/∂x)dx considera la variazione di pressione lungo la distanza dx
che separa le due facce. Il segno meno indica che questa seconda forza agisce in senso

22 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
opposto alla prima. La forza dovuta alla pressione è quindi:
Fx = pdydz − p + ∂p
∂x dx
dydz = − ∂p
∂x dxdydz
ed essendo dxdydz = dm
ρ abbiamo:
Fx
m
Fy
m
Fz
m
1 = − ρ
1
= − ρ
1
= −
∂p
∂x
∂p
∂y
∂p
ρ ∂z
⎫
⎪⎬
⎪⎭ ⇒ F
m
= −1 ∇p (1.21)
ρ
Un tipico campo di pressione al suolo viene rappresentato in fig. 1.14. Si osservi che
i valori di p piú bassi attesi al suolo sono nel range 960÷970 mb, quelli piú alti possono
arrivare a 1050 mb. Questo fornisce la possibilitá di codificare le pressioni al suolo
dando solo 3 cifre che rappresentano le ultime due cifre intere e quella decimale della
p espressa in mb. Cosí se nel numero in alto a destra di una stazione meteo compare
il numero 112 significa che la pressione misurata é di 1011.2 mb, se é 972 sará invece
pari a 997.2 mb.
1.7 Complementi
1.7.1 La teoria di Milankovitch
A causa dei cambiamenti dell’orbita della Terra attorno al Sole l’intensitá della radiazione
incidente sulla Terra e la sua distribuzione variano nel tempo. Ci sono:
1. cambi nell’eccentricitá e dell’orbita (tipicamente tra 0.015 e 0.045) con periodo
di 97000 anni;
2. cambi nell’obliquitá ɛ dell’asse (tipicamente tra 22 ◦ e 24 ◦ ) con periodo di 40000
anni;
3. precessione degli equinozi, ovvero nella longitudine del perielio ω con periodo di
21000 anni.
Variazioni climatiche possono essere associate a queste variazioni dell’orbita.

1.7. COMPLEMENTI 23
Figura 1.14: Cartina del giorno 4/9/1998 ore 00 UT (=universal time) con le isobare
al suolo .
• Valutare la variazione percentuale di radiazione solare incidente sulla Terra ai
solstizi, dovuta alle variazioni della distanza dal Sole. L’orbita terrestre é ellittica
avente il Sole come uno dei suoi fuochi. Detto A = 1.52 × 10 11 m il semiasse
massimo e scrivendo la caratterizzazione dell’ellisse (la somma delle distanze dai
due fuochi costante = 2A) se si indica con θ l’anomalia vera (cioé l’angolo formato
dal semiasse maggiore e dal vettore posizione che va dal Sole alla Terra, misurato
in verso antiorario dal perielio) si trova che:
r (θ) = A (1 − e2 )
1 + e cos θ ≈
A
1 + e cos θ
(1.22)
ove si é usato il fatto che e ≪ 1. Ora, θequinozi = π − ω(+π) da cui θsolstizi =
3/2π − ω(+π) e quindi la (1.22) diventa:
r (θsolstizi) ≈ A (1 − e2 )
1 ± e sin ω
(1.23)
siccome la radiazione solare sará inversamente proporzionale al quadrato della

24 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
distanza dal sole ( e assumendo come distanza media A) si avrá:
∆ Isolstizi
≈
2
(1 ± e sin ω) − 1 ≈ |2 e sin ω| (1.24)
Īsolstizi
e come si evince dalla fig. 1.15 negli ultimi 250000 anni tale variazione percentuale
ha raggiunto una variazione massima del 14% 200 mila anni fa.
Si noti che attualmente l’ellitticitá dell’orbita determina un aumento della radiazione
solare incidente sulla Terra passando dall’afelio (4 luglio) al perielio
(3 gennaio) dell’ordine del 6% [corrispondentemente ad una diminuzione della
distanza Terra-Sole di circa 5 milioni di km (diminuzione relativa 3%)]. Nelle
situazioni piú estreme le variazioni di radiazione solare incidente possono toccare
il 20 ÷ 30%.
Figura 1.15: Variazioni degli elementi dell’orbita terrestre negli ultimi 250000 anni.
Variazione dell’eccentricitá e (linea tratteggiata), dell’obliquitá ɛ (linea continua) e la
deviazione del termine di precessione ∆(e sin ω) dal valore assunto nell’anno 1950 (linea
punto-tratteggiata). Si notino i diversi periodi caratteristici di oscillazione delle diverse
grandezze.
• Determinare l’angolo di zenith del sole υ per una data ora del giorno e valutare la
radiazione incidente su una superficie orizzontale al TOA (=top of atmosphere)
ad una latitudine φ = 50 ◦ al solstizio d’estate e d’inverno.
In un sistema di riferimento (non rotante) centrato sulla Terra col piano equatoriale
coincidente col piano x − y la verticale locale é individuata da: (ˆx, ˆy, ˆz) =
(cos φ cos h, cos φ sin h, sin φ), h = ΩT t essendo l’angolo orario (nullo al mezzodí,
nel qual caso la verticale locale sta nel piano x − z) mentre la direzione dei
raggi solari (cos δ, 0, sin δ) dipenderá dalla declinazione del sole δ. Ma allora
l’angolo di zenith del sole υ é proprio l’angolo compreso tra questi due versori
ovvero, prendendone il prodotto scalare:
cos υ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos h (1.25)

1.7. COMPLEMENTI 25
da cui si ricava che la durata del giorno si determinerá imponendo che cos υ ≥ 0
e quindi:
Lday =
2 arccos (− tan φ tan δ)
ΩT
(1.26)
Si noti che all’equatore (φ = 0) oppure negli equinozi (δ = 0) il giorno é di
12 ore mentre ai solstizi si ha δsolstizi = ±23◦ 27 ′ da cui alla latitudine data
solst. inv.
solst. est.
Lday = 7.8 ore mentre Lday = 16.2 ore. Al TOA la radiazione incidente
in una giornata sará:
Lday/2
Eday = Csol cos υdt =
−Lday/2
Lday
Csol [sin φ sin δ + cos φ cos δ cos(ΩT t)] dt
= Csol [Lday sin φ sin δ + 2 cos φ cos δ sin(ΩT Lday/2)/ΩT ] (1.27)
ove Csol = 1.4 kW/m 2 é la costante solare. Si trova che al solstizio di inverno
l’energia incidente su una superficie unitaria é pari a Csol × 1.7ore, al solstizio
estivo Csol × 8.44ore. Per effetto della variazione dell’obliquitá ɛ (mai superiore
ad 1 ◦ dal valor medio) dell’asse é chiaro che varierá il δsolstizi e con esso l’energia
ricevuta. Se l’obliquitá cresce le stagioni avranno differenze piú marcate con
inverni piú freddi ed estati piú calde, viceversa se il tilting dell’asse decresce (in
tal caso sono possibili glaciazioni). Si noti infine che la radiazione diurna solare
media al T OA si puó parametrizzare come:
〈F s 〉(φ, t) = 342 × max {0, 1.0 − 0.796 sin φ cos [2π(t − 0.75)] +
{0.147 cos [4π(t − 0.75)] − 0.477} 3 sin2
φ − 1
(1.28)
2
ove il tempo t é misurato in anni a partire dall’equinozio di primavera. Le isolinee
di 〈F s 〉 sono disegnate in fig.1.16. Chiara la simmetria emisfero N e S,
l’andamento stagionale e latitudinale. Si noti che la radiazione che arriva alla superficie
del mare é considerevolmente minore di quella che arriva al T OA ( i valori
massimi medi sono dell’ordine di 300 W/m 2 ) perché modulata dall’assorbimento
atmosferico che peraltro dipende dall’angolo di elevazione del sole.
• Determinare la differenza tra lunghezza del mezzo anno estivo ed invernale.
Siccome la Terra spazza aree uguali in tempi uguali (la costante di proporzionalitá
é k = Triv
πA2 con Triv = 1 anno) basterá calcolare l’area spazzolata nel periodo
estivo, usando l’approssimazione (1.22):
Aestate =
θ=ω
θ=π−ω
r(θ)
r=0
r dr dθ ≈ A2
2
ω
π−ω
mentre Ainverno ≈ A2
2 (π − 4 e sin ω) e quindi:
(1 − 2 e cos θ) dθ = A2
2
4 e sin ω
Testate − Tinverno = k (Aestate − Ainverno) = Triv
π
(π + 4 e sin ω)
(1.29)

26 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
latitudine (φ)
80
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
100
500
400
300
300
200
100
400
500
−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
tempo
Figura 1.16: Radiazione solare media ricevuta al T OA in W/m 2 . Il tempo é misurato
in frazioni di anno: -0.25 corrisponde al solstizio d’inverno, 0 all’equinozio di primavera,
0.25 al solstizio d’estate e 0.5 all’equinozio d’autunno.
1.7.2 Pendenza sull’orizzontale di superfici ad S costante.
La pendenza sull’orizzontale di una superficie ad S (ad esempio p, T ,. . . ) costante in
un punto Q viene quantificata dall’angolo tra il piano tangente alla superficie nel punto
Q e il piano orizzontale. Tale piano tangente viene completamente individuato da un
vettore ad esso normale; nel caso particolare di superfici che sono superfici di livello di
una certa variabile S, il gradiente di S = S(x, y, z) nel punto Q é un vettore che ha
queste proprietá. Ma allora se consideriamo la sezione verticale che contiene il vettore
gradiente (come in fig. 1.17 per la variabile pressione) la pendenza della superficie segue
da semplici considerazioni trigonometriche come:
| tan α| =
∇orS
(1.30)
e, siccome in generale i valori dei gradienti orizzontali sono ordini di grandezza piú
piccoli di quelli verticali i valori di | tan α| saranno molto piccoli. Si noti che nella
(1.30) sono state considerate solo grandezze in modulo perché ci siamo disinteressati
dell’orientamento delle superfici. Se peró pensiamo le due superfici orientate con dei
∂S
∂z
200
300
200
100
400
500

1.8. ESERCIZI 27
∂p
∂z
p
✑ ✲
❙
∇orp
❙❙❙❙❙✇
∇p
✑✑✑✑✑✑✑✑ α
α
❄
p + δp
Figura 1.17: Gradiente di pressione: angolo di inclinazione della superficie isobarica.
versori ad esse normali verso le z e le S crescenti (ovvero dai versori (0, 0, 1), ∇S/| ∇S|)
l’angolo α sará proprio l’angolo tra tali versori e il suo coseno risulterá dal prodotto
scalare dei due versori ovvero:
∂S ∂S , ∂x ∂y
∂S , ∂z
cos α = (0, 0, 1) ·
|∇orS| 2 + =
∂S 2
|∇orS| ∂z
2 + ∂S
∂z
∂S
∂z
2
(1.31)
e quindi α é compreso tra 0 e π/2 se la variabile S cresce con l’altezza, viceversa é
compresa tra π/2 e π se la variabile S decresce con l’altezza. Nel seguito le variabili S
che consideremo avranno quasi sempre ∂S < 0 (quindi le pendenze dovrebbero ricadere
∂z
nel secondo intervallo e dare valori prossimi a π). Ciononostante, con abuso di notazione
non ci cureremo delle orientazioni delle curve, e sceglieremo invece come pendenza valori
di α sempre in 0 ÷ π/2.
1.8 Esercizi
Sia dato un cilindro di fluido di altezza H rotante con velocitá angolare ω(z) =
z 2.
ωH Determinare le forze viscose.
H
Usando un sistema di coordinate cilindriche si trova immediatamente che v =
(ω(z) r cos φ, ω(z) r sin φ, 0) ed usando coordinate cilindriche (vedi l’espressione
C.5) si vede subito che l’unico contributo alla (1.20) viene dalla derivata seconda in z.
Si ricava cosí che
F
2ωH r cos φ
= ν
m H2 , 2ωH r sin φ
H2
, 0 .

28 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
g∗
Fc
✲
✁
✁
α
✁g
✁
✠ ✁☛
φ
Figura 1.18: Angolo tra il vettore forza gravitazionale e il vettore gravitá alla superficie
della Terra.
1.8.1 Gravitá e satelliti
• Trascurando la variazione con la latitudine del raggio della Terra, calcolare l’angolo
tra il vettore forza gravitazionale e il vettore gravitá alla superficie della
Terra in funzione della latitudine.
Il vettore forza gravitazionale é diretto radialmente verso il centro della Terra.
Aiutandosi con la figura 1.18:
g = g ∗ + acentrifuga = (g ∗ − Ω 2 RT cos 2 φ)ˆr + Ω 2 RT cos φ sin φˆr⊥
g ∗ ˆr + Ω 2 RT cos φ sin φˆr⊥
con ˆr versore radiale entrante. Ma allora:
tan α = Ω2 RT cos φ sin φ
g∗ ;
tale funzione é massima a φ = 45 ◦ e fornisce un valore di: 0.007 rad. Si noti che
la correzione parallela al vettore forza gravitazionale dovuta alla forza centrifuga
vale:
Ω 2 RT cos 2 φ = 0.034 cos 2 φ m/s 2
e quindi é al massimo di 0.034 m/s 2 (all’equatore).
• Tenendo conto della variazione della gravitá con l’altezza, mostrare che l’altitudine
Z espressa in metri di geopotenziale gpm, trascurando la forza centrifuga, é
connessa all’altitudine geometrica, in buona approssimazione, da:
Z = z − az 2 .
Determinare a e risolvere per i gpm a 1, 10 e 50 km. Determinare poi a quale
altezza g ⋆ (z) = g⋆ 0
k .

1.8. ESERCIZI 29
unitá raggi terrestri
15
10
5
0
5
10
40
Curve di livello del geopotenziale in MJ/kg
52
48.5
52
57
−0.108
15
15 10 5 0
unitá raggi terrestri
5 10 15
57
40
48.5
48.5
Figura 1.19: Curve di livello del geopotenziale.
Il geopotenziale é la somma del potenziale associato alla gravitazione universale
e di quello associato alla forza centrifuga, cioé:
Φ =
B
− g
A
⋆ (r) + Ω 2 z
R(r) · dr =
0
Φ = −
⎡
⎣ g⋆ 0RT
1 + z
RT
⎤
z
⎦
0
g ⋆ 0
1 + z
RT
1
−
2 Ω2R 2
(RT +z) cos φ
0
2 dz −
= g⋆ 0z
1 + z
RT
R
0
40
Ω 2 R dR
− 1
2 Ω2 (RT + z) 2 cos 2 φ
ove si é preso potenziale nullo al polo Nord e Sud sulla superficie della Terra.
ovvero potenziale gravitazionale nullo sulla superficie della Terra e potenziale
centrifugo nullo sull’asse di rotazione. Si noti che il vettore gravitá g sará dato
dal gradiente del geopotenziale cambiato di segno: in fig. 1.19 tale vettore
punterá perpendicolarmente alle linee equipotenziali verso le zone di geopotenziale
decrescente. I punti di equilibrio si trovano studiando massimi e minimi del
geopotenziale; se ne ricava che l’unico punto di equilibrio (instabile) si ha con
φ = 0 all’altezza geostazionaria, ovvero gli unici oggetti (non sottoposti ad altre
forze) che posti in un punto rimarranno in quel punto (visti da un osservatore
terrestre) sono i satelliti geostazionari.
Un’analisi di scala, in troposfera, permette di trascurare il termine derivante
dalla forza centrifuga: possiamo cioé considerare solo i termini contenenti la

30 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
forza gravitazionale g ⋆ . Sappiamo che
g ⋆ (z) = g ⋆ 0
ma allora il geopotenziale:
Z[gpm] =
z
0
1
1 + z
2 g
RT
⋆ 0
g(z) dz
g0
=
z
0
1 − 2z
1 − 2z
RT
RT
; (1.32)
dz = z − z2
quindi a = 1/RT = 1.57 × 10 −7 m −1 . Cosí ad esempio gpm(1 km) = .9998 km,
gpm(10km) = 9.9843km e gpm(50km) = 49.608km. In atmosfera quindi a meno
dello 0.1% geopotenziale e altitudine geometrica coincidono.
Dall’eq. 1.32 si ricava subito che:
g ⋆ (z) = g ⋆ 0
1
1 + z
RT
2 = g⋆ 0
k
z
RT
⇓
RT
= √ k − 1 ⇒ z = ( √ k − 1)RT
cosí ad esempio se z = RT la gravitazione diminuisce di un fattore 4. Calcolare
quanto vale la gravitá (=0 per definizione) e l’accelerazione di gravitazione
universale ( 1/40g∗ 0) su un satellite geostazionario. É possibile avere satelliti
geostazionari orbitanti non sopra all’equatore?
• Calcolare la velocitá di fuga dalla Terra, dalla Luna, da Marte, da Venere e da
Giove.
La velocitá di fuga vF , dalla superficie del pianeta, si trova immediatamente
imponendo che l’energia cinetica sia uguale al lavoro fatto per portare la particella
sino all’∞ contro la forza di gravitazione cioé:
cioé:
1
2 m v2 F = G m MP ianeta
RP ianeta
= m gP ianeta RP ianeta
vF = 2 gP ianeta RP ianeta
Usando i valori di Tab. 2.2 si trova:
⎧
11.2 km/s
⎪⎨ 3.4 km/s
Terra
Luna
vF = 10.3 km/s
⎪⎩
5.0 km/s
86.0 km/s
Venere
Marte
Giove
(1.33)
(1.34)

1.8. ESERCIZI 31
energia per unitá di massa (MJ/kg)
65
60
55
50
45
40
35
10 2
30
orbita satelliti NOAA
10 3
orbita geosincrona
10 4
altezza dell’orbita (km)
Figura 1.20: Energia per unitá di massa richiesta per piazzare in orbita un satellite in
funzione dell’altezza dell’orbita.
• Si calcoli l’energia per unitá di massa richiesta per piazzare in orbita un satellite
come funzione dell’altezza.
Il bilancio nel sistema di riferimento inerziale é presto fatto. L’energia iniziale é
quella che spetta ad un oggetto fermo sulla superficie della Terra alla latitudine
φ:
E in = T in + U in 1
pot =
2 Ω2 R 2 T cos2 φ − g ∗ 0 RT (1.35)
mentre quella posseduta dal satellite ad altezza h é:
E fin = T fin + U fin
pot = 1
2 v2 − g ∗ 0
10 5
R 2 T
RT + h = −g∗ 0
2
10 6
R 2 T
RT + h
(1.36)
ove si é tenuto conto che siccome il satellite é in orbita vale l’equilibrio tra
accelerazione centripeta e forza di gravitazione:
v 2
RT + h
= G MT
(RT + h) 2 = g∗ 0
R 2 T
(RT + h) 2
(1.37)
risultato che ha come immediata conseguenza il teorema del viriale: per un sistema
gravitazionale legato l’energia cinetica é T = − Upot
di modo che E =
2
T + Upot = Upot
< 0. 2
Ma allora l’energia per unitá di massa richiesta per piazzare in orbita un satellite
sará data dalla differenza tra la (1.36) e la (1.35). Il risultato é mostrato in

32 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
fig. 1.20 per φ = 0 (non a caso tutte le basi di lancio sono in zona equatoriale, il
risparmio rispetto ad una base polare é di ≈ 110 kJ/kg). Chiaramente si deve
pensare che molta energia viene spesa anche per alzare il razzo che ha a bordo
il satellite. Si noti che viceversa per un oggetto che rientra nell’atmosfera (quale
recentemente la stazione orbitante MIR) é un facile problema di termodinamica
calcolare l’innalzamento termico dovuto alla conversione per attrito di gran parte
dell’energia iniziale in calore (assumendo che 30 MJ/kg vadano tutti in calore
(si trascura quindi il calore dissipato per conduzione), una stima grossolana fatta
usando il calore specifico dell’acqua [che é uno fra i piú alti] porterebbe ad un
innalzamento termico di circa 8000 K). Il salto termico é cosí alto che gran
parte della massa di partenza si sbriciola ed evapora. Ugual cosa succede per
corpi estranei quali pezzi di asteroidi e comete di piccole dimensioni: si pensi al
fenomeno delle stelle cadenti.
• Si calcoli il periodo di rivoluzione di un satellite polare NOAA che orbita attorno
alla Terra ad una altezza di 850 km.
Prendendo come raggio della Terra 6400 km il raggio dell’orbita del satellite
diventa di 7250 km. Una delle leggi di Keplero (facilmente ricavabile dalla legge
che dá velocitá angolare) fornisce un legame tra periodo di rivoluzione e raggio
dell’orbita come:
T 2 = 4π2
r
G MT
3
ed inserendo le costanti opportune si trova T = 102 min.
(1.38)
• Un satellite di massa m = 100 kg, sezione A = 1 m 2 si trova in orbita circolare a
h = 600 km d’altezza. Supponendo che il coefficiente di drag sia cD = 2 stimare
per condizioni atmosferiche standard il cambio del periodo orbitale per periodo.
Per la componente tangenziale della velocitá del satellite vale la legge di Newton
nella forma:
m dv
dt = Fdrag = − 1
2 ρ A cD v 2
(1.39)
che integrata con cD = 2 porge:
1
v(t) −
1 ρ A
=
v(t = 0) m
da cui passando alle velocitá angolari ed al periodo di rotazione:
∆ T
T
t (1.40)
= ρ A
m 2π(RT + h) (1.41)
A 600 km di altezza (siamo in eterosfera) il componente fondamentale dell’at-
mosfera é l’Helio con densitá dell’ordine di ∼ 1012 particelle/m3 , corrispondenti
ad una densitá di ≈ 10−12 kg/m3 ∆ T
che inserita nella (1.41) dá T = 5 × 10−7 .

1.8. ESERCIZI 33
Si noti che l’osservare in dettaglio le orbite dei satelliti é un metodo per avere
informazioni sulla densitá della termosfera. Il drag diventa molto importante per
satelliti che orbitano sotto i 150 km.
• Determinare quale deve essere l’inclinazione di un satellite posizionato in orbita
ad eccentricitá nulla e semiasse di 7228 km affinché sia elio-sincrono.
Bisogna far si che il tasso di variazione dell’ascensione retta del nodo ascendente
vari di 2π per anno, ovvero di 1.991064 × 10 −7 rad/s. (Risp.98.8 ◦ , ovvero un’orbita
retrograda a 81.5 ◦ ). In generale l’inclinazione dei satelliti elio-sincroni é
debolmente dipendente dall’altezza del satellite: sono tutti satelliti quasi-polari
(di fatto non passano esattamente sui Poli).
1.8.2 Alta e media atmosfera
• Assumendo che sopra ai 120 km vi sia una atmosfera isoterma determinare a
quale altezza l’elio diventa il costituente atmosferico principale.
A partire da una altezza di circa 170 km é l’ossigeno molecolare O la specie
piú diffusa (nella bassa atmosfera questo ruolo é svolto dall’azoto N2). Quindi
dovremo confrontare le concentrazioni di He con quelle di O. Nel caso di una
atmosfera isoterma, per le pressioni parziali di una specie di gas i si ha che
dp(i) = −gρ(i) dz = −g p(i)P M(i)/(R ⋆ T )dz (P M(i) é il peso molecolare della
specie atomica), che integrata porge:
ln p(i)
p0(i)
= − z
H(i)
H(i) = R⋆ T
g P M(i)
(1.42)
Si noti che si ha: H(O)800 K = 42.5 km, H(O)1000 K = 54 km, H(O)1200 K =
64 km mentre H(He) = 8 H(O). Dalla (1.42) segue anche che:
n(i) z − z0
= exp −
n0(i) H(i)
ma allora
n(He)
n(O)
n0(He)
=
n0(O) exp
1 1
−(z − z0) −
H(He) H(O)
da cui imponendo che le due concentrazioni diventino uguali si trova:
∆z = ln
n0(O)
n0(He)
H(O) · H(He)
= ln
H(He) − H(O)
n0(O)
n0(He)
8
7
(1.43)
(1.44)
H(O) (1.45)
e prendendo come condizioni iniziali a 120 km n0(O) = 10 17 m −3 e n0(O) =
10 14 m −3 si ricava infine che ∆z = 335, 426, 505 km rispettivamente per
T = 800, 1000, 1200 K e quindi che l’Helio diventa il costituente piú abbondante
dell’atmosfera a z = 455, 546, 625 km. Come si vede tale altezza varia

34 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
abbastanza consistentemente con la T , ovvero con l’attivitá solare (tipicamente
sopra i 200 km la T dell’esosfera passa da valori sotto i 600 K a valori sopra i
1800 K tra notte e giorno con variazioni anche del 30% durante il giorno). Per
condizioni atmosferiche medie tale altezza é di 500 km.
• Unitá Dobson
La presenza di ozono si misura in DU (valori tipici tra 250 DU, vicino all’equatore
a 400 DU a alte latitudini), ovvero l’altezza della colonna di ozono se portato a
T e p standard, espressa in decine di micron, millesima parte di cm.
Il profilo verticale del rapporto di mescolamento dell’ozono é ben espresso dalla
formula:
r(ψ) = rp
4 aψ
(1 + aψ 2 ) 2 ψ = p/psurf rp = 10 −5 kg/kg a = 1600
Ci interessa cominciare a calcolare il contenuto di ozono integrato sull’intera
colonna:
IO3P =
∞
IO3P = 2rp psurf
g
0
ρO3dz =
∞
r(ψ) ρdry dz =
0
1
2aψ
0 (1 + aψ2 dψ
) 2
e introducendo il parametro adimensionale ψ si trova:
IO3P = 2rp psurf
g
psurf
0
r(ψ) dp/g
− ψ 1
+ √ arctg(
1 + aψ2 a √ 1 aψ) ≈ 0.0386
0
2rp psurf
g
ed infine IO3P = 8 × 10 −3 kg/m 2 . Ora La densitá dell’ozono a S.T.P. é di
2.14kg/m 3 e quindi la colonna equivalente in condizioni standard ha una altezza
di hO3 = 3.7 mm o equivalentemente di 370 DU.
• Tasso di produzione dell’ozono
Determinare la concentrazione di equilibrio dell’ozono supponendo che l’equilibrio
tra le concentrazioni di O e di O3 venga raggiunto e supponendo che il contributo
della (1.5) sia trascurabile.
Usando le (1.4-1.6-1.7-1.8) il bilancio tra produzione e distruzione delle varie
forme di ossigeno porge:
·
n 1 = 2 J2 n2 + J3 n3 − k2 n1 n2 nM − k3 n1 n3 (1.46)
·
n 2 = −J2 n2 + J3 n3 − k2 n1 n2 nM + 2 k3 n1 n3 (1.47)
·
n 3 = −J3 n3 + k2 n1 n2 nM − k3 n1 n3 (1.48)

1.8. ESERCIZI 35
da cui in condizioni di equilibrio segue che · n 1= · n 2= · n 3= 0 o equivalentemente:
·n2
+ ·
n3 = 0 ⇒ J2 n2 = k3 n1 n3 (1.49)
·n2
− ·
n3 = 0 ⇒ J3 n3 = −k3 n1 n3 + k2 n1 n2 nM (1.50)
Tipicamente la reazione di formazione di O2 (1.7) é piú lenta della (1.8) di modo
che la (1.50) dá infine J3 n3 = k2 n1 n2 nM, che, combinata con la (1.49) porge:
n3 = n2
1/2 J2 k2 nM
J3 k3
(1.51)
che fornisce la concentrazione di ozono di equilibrio nota la concentrazione di O2.
Le velocitá di dissociazione J2 e J3 crescono con l’altezza perché man mano che si
sale tanto piú intensa sará la radiazione ultravioletta mentre k2 = 10 −33 cm 6 /s,
k3 = 10 −15 cm 3 /s.
Ad esempio ad una altezza di 30 km (p ≈ 80 P a, T ≈ 270 K) tenendo conto
che l’80% delle moli non é di O2, nM = 1.6 × 10 22 part./m 3 (mentre n2 =
0.4 × 10 22 part./m 3 ), J2 ≈ 10 −10 s −1 , J3 ≈ 10 −3 s −1 si trova n3 = 4 n2 × 10 −5 =
1.6 × 10 17 part./m 3 e n1 = 0.25 × 10 16 part./m 3 .
• Fuga dell’idrogeno
La velocitá di fuga per un oggetto che si trovi sulla superficie della Terra é Vfuga √
=
2gR = 11.2km/s. Tale velocitá é piú che doppia della velocitá molecolare media
dell’atomo di H ad una T = 1000 K. Infatti vm =
3kBT
mH 2
ove mH2 = 2 uma =
3.32 10 −27 kg che porge un valore di vm = 1.9 km/s, 3.5 km/s per l’H2 a
T = 300 K e T = 1000 K mentre un valore di vm = 2.7 km/s, 4.9 km/s per l’H
a T = 300 K e T = 1000 K. In troposfera tutte le molecole presenti allo stato
attuale hanno pertanto la caratteristica che vm/Vfuga ≪ 1, il che non garantisce
che nessuna molecola troposferica riesca a sfuggire all’attrazione terrestre (infatti
ci sono sempre molecole nella coda ad alte v della distribuzione maxwelliana delle
velocitá) ma che il processo sia estremamente lento. Nell’esosfera (da qui il nome)
invece le molecole piú veloci riusciranno a scappare dall’atmosfera, in virtú del
fatto che le densitá diventano sempre piú piccole e non ci sono piú urti molecolari.
Ipotizzando una struttura isoterma la densitá di particelle n(z) varierá secondo la
(1.43) con una scala di altezza H definita dalla (1.42). Ipotizzando che le molecole
abbiano diametro d, se abbiamo n(z) molecole all’altezza z dirette verso l’alto di
queste solo una frazione:
e − R ∞
zc πd2 n(z) dz = e −πd 2 H n0 e − zc−z 0
H = e −πd 2 H n(zc)
(1.52)
riuscirá a scappare dall’atmosfera. Si definisce altezza critica quella altezza alla
quale una frazione 1/e delle molecole riesce a scappare cioé:
e −πd2 H n(zc) = e −1 ⇒ n(zc) = 1
πd 2 H
(1.53)

36 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
condizione che é equivalente a dire che all’altezza zc il libero cammino medio
1
n(zc)πd 2 eguaglia l’altezza H. Usando dei valori tipici per T ≈ 1000 K si trova
una scala H ≈ 50 km ed essendo d ≈ 2 × 10 −10 m si ricava un valore di n(zc) ≈
10 14 m −3 che guardando alla fig. 1.8 corrisponde ad una altezza zc tra 400 e
500 km ove il costituente principale é l’ossigeno atomico.
• Si consideri un’atmosfera con simmetria sferica ove la densitá e quindi l’indice di
rifrazione varia con la distanza r dal centro della sfera. Dimostrare che per un
raggio che passa attraverso l’atmosfera la quantitá n d é costante, d essendo la
distanza dal centro della sfera della tangente al cammino nel punto ove l’indice
di rifrazione vale n. Determinare quindi la minima posizione reale del punto piú
basso di un raggio che passa attraverso l’atmosfera e esce avendo d = 10 km
oppure d = 20 km.
Si puó applicare la legge di Snell nella forma:
n(r) sin(θ(r)) = n(r0) sin(θ(r0)) (1.54)
che, applicata ad un materiale con indice di rifrazione variabile (e non alla solita
superficie di discontinuitá) spiega come l’effetto finale in termini di scostamento
dalla verticale di uno strato in cui l’indice di rifrazione passa da un valore
n(r0) ad un valore n(r) é equivalente a quello di una superficie di discontinuitá
con due materiali diversi aventi tale indice di rifrazione. Siccome si ha anche
RT sin(θ(r)) = d(r) segue subito l’enunciato del teorema.
Ora l’indice di rifrazione dell’aria si puó scrivere come n(r)−1 = [n(0) − 1] p
p0 ove
p0 = 101.3 kP a e, a T = 273 K in buona approssimazione per tutte le lunghezze
d’onda visibili e del vicino infrarosso si ha n(0) = 1+290×10 −6 . Ma allora su un
satellite che sta effettuando un limb sounding un raggio che gli sembra provenire
da una altezza hfalsa in realtá proviene da una altezza hvera di modo che:
hfalsa n(r = ∞) = hfalsa = hveran(hvera) hveran(hfalsa)
hfalsa − hvera
n(hfalsa) − 1
hfalsa
n(hfalsa) ≈ RT (n(hfalsa) − 1) (1.55)
in questo caso usando il fatto che a 10 km la p ≈ 30 kP a e a 20 km p ≈ 5 kP a
si trova un ∆h(10 km) = 6400 · 87 · 10 −6 = 0.6 km mentre ∆h(20 km) =
6400 · 14.5 · 10 −6 = 0.1 km. Cosí se apparentemente si sta osservando l’atmosfera
al pelo ad una altezza di 10 km in effetti per effetto della rifrazione si stanno
vedendo punti che sono sino a 9.4 km di altezza.
• Per effettuare misure in remoto di costituenti minori della media atmosfera (tipo
ozono) si osserva la radiazione emessa (o assorbita dalla radiazione solare incidente)
dall’“atmosferic limb”. Il vantaggio di questa tecnica é che viene osservato
un lungo cammino atmosferico, di modo che si possono rivelare costituenti
presenti in poche parti per miliardo.

1.8. ESERCIZI 37
Confrontare la grandezza ρdx per il cammino verticale al di sopra di un’altezza
H0 e quello attraverso il limb.
Attraverso il limb si ha:
ρ(x) dx =
limb
∞
RT +H0
r ρ(r)
dr
r2 − (RT + H0) 2
da confrontare con ∞
ρ(r) dr. Se si assume che lo spessore che contribuisce
RT +H0
sia un ∆H ove la densitá é costante rapportando si trova:
ρ(x) dx
limb 2∆H (RT + H0)¯ρ 2 (RT + H0)
=
=
ρ(x) dx ∆H ¯ρ
∆H
vertic
che prendendo un valore tipico ∆H = 3 km (cioé il segnale, a causa della decrescita
esponenziale della densitá si origina da uno strato di pochi km al di sopra
dell’altezza tangente: le funzioni peso sono di fatto molto piccate e forniscono
quindi un’ottima risoluzione verticale) dá un valore per il cammino nel limb circa
65 volte piú grande. Questa caratteristica risulta molto utile perché permette di
rilevare anche gas a bassa concentrazione. Si noti inoltre che la superficie non
influenza questa tecnica. La tecnica é peró sensibile alla presenza di aerosol e
quindi non puó normalmente essere utilizzata per sondare altezze al di sotto della
tropopausa.
• Si consideri l’atmosfera a riposo rispetto alla Terra. Qual é il rapporto tra il
suo momento angolare e quello della parte solida della Terra (si assuma una
densitá media di 5500 kg/m 3 )? Assumendo una velocitá zonale costante qual é
la variazione nella velocitá zonale richiesta per produrre la variazione stagionale
di 2 parti in 10 8 della velocitá di rotazione?
Il momento angolare della parte solida sará (IT = 2/5 MT R 2 T )
Lsol = IT ΩT = 8
15 ρsol π R 5 T ΩT
mentre quello della parte d’aria (attribuendo a tutta l’atmosfera velocitá RT ΩT
e distanza dall’asse RT ) Laria = 4 π R4 psurf
T g ΩT (si sfrutta il fatto che psurf
é la g
massa d’aria per unitá di superficie) da cui il rapporto diventa:
Laria
Lsol
= 15 psurf
2 gρsol RT
= 2 × 10 −6 .
Un conto piú dettagliato darebbe una componente di momento angolare parallela
all’asse di rotazione data da:
L z aria =
R 2 T cos2
φ ΩT dm = R 2 T cos2 psurf
φ ΩT
g R2 8
T cos φ dφ dλ =
3 π R4 psurf
T
g ΩT
Ma allora se vogliamo una variazione relativa di 20 parti su un miliardo sulla
velocitá angolare terrestre, per effetto di un cambiamento stagionale di natura

38 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
atmosferica, dovrá esserci una variazione relativa del momento angolare Laria
dell’1% (infatti siccome il momento di inerzia non varia δΩT
ΩT
δLaria = Laria
), cioé
una variazione dei venti zonali dell’ordine di 1
100 ΩT RT = 4.6 m/s.
1.8.3 Calcolo di gradienti
+ δLsol
Lsol
1. Trovare l’angolo di inclinazione di una superficie isoterma rispetto all’orizzontale,
se il gradiente termico verticale é quello adiabatico e quello orizzontale é di
1.2 ◦ /100 km.
Applicando la (1.30) si trova immediatamente che:
da cui α = 0.068 ◦ = 4 ′ .
tan α =
∇orT
∂T
∂z
1.2 × 10−5
= = 0.0012 (1.56)
9.8 × 10−3 2. Trovare l’angolo di inclinazione di una superficie isobarica sull’orizzontale se il
gradiente verticale di pressione é −0.1mb/m e il gradiente orizzontale di pressione
é 1.5 mb/100 km?
Puó essere di aiuto la figura 1.21, ove si ricorda che il gradiente ∇p é sempre
perpendicolare alle superfici isobariche e punta verso le p crescenti: proiettando
tale vettore sul piano orizzontale si individua una direzione che sará la direzione
lungo la quale calcoleremo tutti i gradienti orizzontali.
Ma allora, usando la (1.30), si ha:
tan α =
e quindi α = 0.0086 rad = 31 ′′ .
Si noti che, usando ∂p
∂z
isobariche come:
∇orp
∂p
∂z
= 1.5 × 10−4
= −ρ g si puó riscrivere la pendenza delle superfici
tan α =
∇orp
ρ g
(1.57)
cioé la pendenza della superficie isobarica é proporzionale al gradiente orizzontale
di pressione con un fattore di proporzionalitá che dipende dall’altezza; alternativamente,
direttamente dall’interpretazione geometrica (tan α =
δz
) tale
δn p
pendenza si ottiene dividendo per g il gradiente di geopotenziale a pressione
costante.

1.8. ESERCIZI 39
❩
❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩
B
❩
❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ 997.6
995
45
A
0
❩
❩❩❩❩❩❩ 993.9
Figura 1.21: Superficie isobariche.
3. Il punto A alla pressione di 993.9 mb ed il punto B alla pressione di 997.6 mb sono
posti sullo stesso meridiano. L’isobara 995 mb é diretta da NW a SE. Trovare il
gradiente orizzontale di pressione se AB=370 km.
Come illustrato in fig. 1.21 si vede subito che le due isobare a 993.9 e 9997.6 mb
= 1.41 mb/100 km.
distano 370
√ 2 km e quindi | ∇ p| = (997.6−993.9)√ 2
370
4. Sulla superficie isobarica 700 mb, il segmento AB=480 km forma un angolo di
30 0 con l’isoipsa 2960 mgp (ricordiamo che i mgp sono l’unitá di misura del
geopotenziale mgp= metri di geopotenziale). Trovare il gradiente di geopotenziale
se HA = 2940 mgp e HB = 2980 mgp.
Analogamente al problema precedente si capisce subito che le due isoipse passanti
= 240 km e quindi
per A e per B distano 480
2
| ∇ H| =
(2980 − 2940)
240
= 16.7 mgp/100 km.

40 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA

Capitolo 2
Le equazioni del moto
I moti atmosferici sono governati da 3 principi fisici fondamentali: la conservazione della
massa, la conservazione dell’energia e la legge di Newton sulla variazione della quantitá
di moto. Questi tre principi andranno applicati ad un generico volume infinitesimo di
fluido atmosferico per studiarne l’evoluzione. Scopo del capitolo é quello di scrivere
un sistema di equazioni che consenta, almeno in linea teorica, la determinazione del
moto del volumetto di fluido. Le equazioni del moto che andremo a scrivere avranno la
particolaritá di essere riferite ad un sistema di riferimento rotante (quindi non inerziale)
e sferico (quindi non cartesiano).
2.1 Differenziazione seguendo il moto - Derivata
totale, locale, convettiva
Le particelle di fluido variano le loro proprietá, seguendo il moto, per diversi processi
fisici. Per seguire tali variazioni possiamo scegliere due diversi volumetti di fluido:
• in visione euleriana il volume di controllo consiste di un parallelepipedo di lati
δx, δy, δz con posizione fissa relativamente ad un sistema di coordinate;
• in visione lagrangiana il volume di controllo consiste sempre della stessa massa
infinitesima di particelle di fluido che vengono seguite nel loro movimento.
Tutte le leggi che andremo a scrivere esprimeranno tassi di variazione per grandezze
fisiche seguendo il moto di particolari pacchetti d’aria, quindi in approccio lagrangiano.
In meteorologia peró é interessante conoscere i tassi di variazione delle grandezze fisiche
da un punto di vista euleriano (perché ad esempio ci interessa sapere come varia il
campo di temperatura nella localitá di residenza). Pertanto dobbiamo capire come si
passa in termini matematici da una visione all’altra.
Prendiamo una generica funzione scalare Q, funzione della posizione e del tempo:
Q(x, y, z, t). Le piccole variazioni del primo ordine sono date da:
δQ = ∂Q
∂t
δt + ∂Q
∂x
δx + ∂Q
∂y
41
∂Q
δy + δz (2.1)
∂z

42 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
La variazione di Q seguendo la particella si ottiene ponendo δx = uδt, δy = vδt,
δz = wδt. Sostituisco e raccolgo:
∂Q
∂Q ∂Q
δQ = + u∂Q + v + w δt
∂t ∂x ∂y ∂z
⇒ dQ
=
dt
deriv.
totale
∂Q
+ u
∂t
deriv.
locale
∂Q ∂Q ∂Q
+ v + w (2.2)
∂x ∂y ∂z
deriv. convettiva
Parleremo equivalentemente di derivata totale come di derivata lagrangiana e di derivata
locale come di derivata euleriana (vedi cap. 4).
Esempio: la pressione superficiale decresce di 3 mb/180 km verso est. Una nave che
va verso est a 10 km/h misura un calo di pressione di 1 mb/3 h. Qual è la variazione
su un’isola che la nave sta superando?
∂p
∂t
= dp
dt
− u ∂p
∂x
= −1
3 −
10 km
−
h
3
= −
180
1mb
6h
Il tasso di calo di pressione sull’isola è solo metà di quella misurata sulla nave in
movimento.
Se la derivata di una variabile è zero, allora quella variabile è una quantità conservativa
seguendo il moto. Le variabili che si conservano seguendo il moto sono ovviamente
di importanza fondamentale in meteorologia dinamica.
2.2 Equazioni del moto sulla terra in rotazione
Il punto di partenza delle nostre considerazioni sarà la seconda legge di Newton. Si
sa che essa è applicabile ai soli sistemi inerziali. Un tipico controesempio é costituito
dal sistema di riferimento di un ascensore in caduta libera. Un corpo lasciato libero in
tale sistema di riferimento non appare soggetto ad alcuna accelerazione a = 0 anche se
sappiamo che il corpo è soggetto alla forza di gravità. In questo sistema di coordinate
viene meno la validità della legge di Newton. Se l’ascensore si muovesse di moto
uniforme la legge sarebbe invece verificata: ciò che è intrinsecamente diverso nei due
casi è la presenza di una accelerazione nel sistema di riferimento. Un osservatore
solidale con la Terra e non con l’ascensore in caduta potrebbe determinare che il grave
cade effettivamente con accelerazione g. Ci sono quindi sistemi inerziali (nei quali cioè
vale la legge d’inerzia) e non inerziali.
Il sistema geofisico tipico è la rete di paralleli e meridiani nell’orizzontale e l’altezza
sul livello del mare sulla verticale. Il sistema ruota, essendo solidale con la Terra che
ruota, e ci attendiamo che l’accelerazione (in questo caso centripeta) del sistema porti
ad una variazione della legge di Newton. C’è da chiedersi come mai Newton riuscì ad
individuare la legge pur trovandosi come tutti noi su di un sistema “non inerziale”. La
risposta è in una di quelle “fortunose coincidenze” che spesso caratterizzano momenti
cruciali dello sviluppo delle teorie fisiche. L’effetto dell’accelerazione centripeta è
trascurabile per gli esperimenti di laboratorio e per ogni moto a piccola scala, mentre
per i moti a grande scala che caratterizzano la circolazione dell’atmosfera gli effetti si
fanno sensibili.

2.2. EQUAZIONI DEL MOTO SULLA TERRA IN ROTAZIONE 43
2.2.1 La piattaforma rotante
Comiciamo con il considerare un tipico sistema rotante per capire quali forze fittizie
compaiano. Si consideri un sistema cartesiano accentato (χ ′ , η ′ , ζ ′ ) fisso che chiameremo
assoluto ed un secondo sistema non accentato (χ, η, ζ) rotante attorno all’asse
ζ ≡ ζ ′ con velocità angolare ω che chiameremo relativo. Nel sistema fisso inerziale vale
la legge di Newton:
Fχ ′
¨χ ′ = ¨η
m
′ = ¨ζ
m
′ = (2.3)
m
Il problema consiste nel capire che forma assume questa stessa legge trasferendoci
in un sistema rotante. La posizione di un punto P del sistema fisso può essere posta
in relazione a quella nel sistema rotante dalle seguenti:
⎧
⎨
(2.4)
⎩
Fη ′
χ ′ = χ cos ωt − η sin ωt
η ′ = η cos ωt + χ sin ωt
ζ ′ = ζ
Analogamente le forze misurate nel sistema fisso possono essere riferite alle stesse
forze misurate nel sistema rotante da:
⎧
⎨
⎩
Fχ ′ = Fχ cos ωt − Fη sin ωt
Fη ′ = Fη cos ωt + Fχ sin ωt
Fζ ′ = Fζ
Fζ ′
(2.5)
Differenziamo due volte rispetto al tempo le (2.4) e le sostituiamo nelle (2.3).
Sostituendo anche le (2.5) nelle (2.3) si ha infine:
⎧
⎨
⎩
(¨χ − 2 ˙ηω − χω 2 ) cos ωt − (¨η + 2 ˙χω − ηω 2 ) sin ωt = Fχ
m
(¨χ − 2 ˙ηω − χω 2 ) sin ωt + (¨η + 2 ˙χω − ηω 2 ) cos ωt = Fχ
¨ζ = Fζ
m
m
cos ωt − Fη
m
sin ωt + Fη
m
sin ωt
cos ωt
(2.6)

44 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
Eliminando ogni riferimento a sin ωt e cos ωt tra la prima e la seconda (moltiplicando
la prima per cos ωt, la seconda per sin ωt e sommandole oppure moltiplicando la prima
per sin ωt e la seconda per cos ωt e sottraendole) si ottengono le equazioni:
⎧
⎨
⎩
che possono essere riassunte come:
¨χ − Fχ
m = χω2 + 2 ˙ηω
¨η − Fη
m = ηω2 − 2 ˙χω
¨ζ − Fζ
m
= 0
arel = Frel
m + ω2 R − 2ω ∧ Vrel
(2.7)
(2.8)
che rappresenta come la seconda legge di Newton viene trasformata in un sistema di
coordinate rotanti. Si noti che nella direzione parallela all’asse di rotazione la legge di
Newton rimane valida (terza delle (2.7)). Chiaramente con ω = 0 si ritrova la legge di
Newton stessa. Analizziamo i termini che compaiono a secondo membro nelle (2.7):
• i primi termini sono accelerazioni (centrifughe) che puntano radialmente verso
l’esterno di intensità combinata ω 2 χ 2 + η 2 (radice della somma del quadrato
dei due termini centrifughi) che si può anche scrivere ω 2 R ove R è il vettore
distanza dall’asse di rotazione: si tratta di una accelerazione centrifuga, familiare
in quanto già introdotta discutendo la gravitazione e la gravità.
• i secondi termini rappresentano accelerazioni (devianti) dovute all’effetto combinato
della rotazione del sistema e del moto della particella relativamente al
sistema rotante. Sono le accelerazioni di Coriolis ed hanno le seguenti proprietà:
– influenzano solo componenti del moto che giacciono sul piano perpendicolare
all’asse di rotazione;
– sono dirette normalmente alla proiezione sul piano equatoriale della velocità
della particella misurata nel sistema rotante. L’intensità è di 2ω ˙χ 2 + ˙η 2 =
2ωV (somma del quadrato dei due termini devianti) se V è la componente
della velocità che giace sul piano equatoriale;
– non possono mai variare la velocità della particella ma solo la direzione del
suo moto. Per questo vengono definite accelerazioni deflettenti.
Concludendo, le accelerazioni centrifuga e di Coriolis rappresentano accelerazioni fittizie
che compaiono nella legge di Newton a causa della non inerzialità del sistema di
riferimento. Nel sistema rotante terrestre continueremo ad usare la dinamica Newtoniana
con l’accortezza di introdurre queste due forze fittizie che non esistono nei sistemi
inerziali.

2.2. EQUAZIONI DEL MOTO SULLA TERRA IN ROTAZIONE 45
2.2.2 Il sistema rotante meteorologico
Sulla Terra si preferisce usare un sistema di coordinate tangenti alla superficie terrestre
ad una latitudine φ, con l’asse x verso est, y verso nord e z verso l’alto. Si capisce
subito che i termini nel membro di sinistra delle (2.7) si trasformano in:
¨x − Fx
m
¨y − Fy
m
¨z − Fz
m
(2.9)
Si tratta infatti di sistemi cartesiani equivalenti e noi possiamo pensare all’accelerazione
come ad un vettore tridimensionale di componenti ¨χ, ¨η, ¨ ζ che trasferendoci ad
un sistema piano tangente divengono ¨x, ¨y, ¨z. Le medesime considerazioni valgono per
le forze per unità di massa.
Cerchiamo ora di capire come si trasformano i termini nel membro di destra delle
(2.7); qui sorge una complicazione a causa del fatto che la velocitá angolare di rotazione
terrestre nel sistema meteorologico é ω = (0, ΩT cos φ, ΩT sin φ). Sfruttiamo allora
quanto abbiamo capito su forza centrifuga e forza di Coriolis. Considerando RT la
distanza dal centro della Terra, la forza centrifuga risulta essere: Fc = mΩ 2 T RT cos φ
ed avrá sia una componente verso l’alto (lungo z) che verso l’equatore (lungo y). Per
quel che concerne la forza di Coriolis invece sappiamo che dipenderá dalla proiezione
della velocitá relativa sul piano equatoriale e giacerá su questo piano. In particolare:
• se la particella si muove verso EST con velocità u, l’accelerazione di Coriolis sarà
2ΩT u, poiché già u è parallela al piano equatoriale ed è diretta verso l’esterno [il
verso si ottiene dalla regola della mano destra usando la (2.8)]. Le componenti
saranno quindi 2ΩT u sin φ lungo y e −2ΩT u cos φ lungo z;
• se la particella si muove verso NORD con velocità v, la componente della velocità
sul piano equatoriale è v sin φ. L’accelerazione dovuta a questo moto sarà nella
direzione est pari a 2ΩT v sin φ;
• se la particella si muove verso l’ALTO con velocità w avrà componente sul piano
equatoriale w cos φ e componente di Coriolis −2ΩT w cos φ lungo x.
Se ora sommiamo tutte le componenti, la seconda legge di Newton per un sistema
rotante si può scrivere:
⎧
⎨
⎩
¨x = 2ΩT (v sin φ − w cos φ) + Fx
m
¨y = −2ΩT u sin φ − Ω 2 T RT cos φ sin φ + Fy
m
¨z = 2ΩT u cos φ + Ω 2 T RT cos 2 φ + Fz
m
(2.10)
Riassumendo in una tabella le componenti delle accelerazioni centrifuga e di Coriolis
alla latitudine φ, si ha:

46 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
Direzione CENTRIFUGA CORIOLIS
moto verso EST moto verso NORD moto verso l’ALTO
EST (x + ) 0 0 2ΩT v sin φ −2ΩT w cos φ
NORD (y + ) −Ω 2 T RT cos φ sin φ −2ΩT u sin φ 0 0
ALTO (z + ) Ω 2 T RT cos 2 φ 2ΩT u cos φ 0 0
2.2.3 Esplicitazione delle forze fondamentali
Utilizzando la discussione del paragrafo 1.6.1 i termini corrispondenti alla forza centrifuga
possono venire riassorbiti scrivendo esplicitamente la forza gravitazionale: la
risultante delle due é la gravitá che dará contributo solo nella direzione verticale z,
coincidente con la normale allo sferoide oblato (z g). Le equazioni (2.10) divengono:
⎧
⎨
⎩
¨x = 2ΩT (v sin φ − w cos φ) + Fx
m
¨y = −2ΩT u sin φ + Fy
m
¨z = 2ΩT u cos φ − g + Fz
m
(2.11)
La Fz rappresenta tutte le forze esterne nel nuovo asse z, tranne la gravità: nessun
effetto centrifugo appare esplicitamente (in quanto inglobato nel termine g). Per
un corpo in quiete (visto dalla Terra) (u = v = w = 0) e soggetto alla sola forza
gravitazionale tali equazioni si riducono a:
⎧
⎨
⎩
¨x = 0
¨y = 0
¨z = Ω 2 T RT cos 2 φ − g ∗ = g per definizione
(2.12)
Se ora includiamo esplicitamente anche le componenti della forza di gradiente di pressione
le (2.10) diventano:
⎧
⎪⎨ ¨x = 2ΩT (v sin φ − w cos φ) −
⎪⎩
1 ∂p Fx + ρ ∂x m
¨y = −2ΩT u sin φ − 1 ∂p Fy
+ ρ ∂y m
¨z = 2ΩT u cos φ − g − 1
(2.13)
∂p Fz + ρ ∂z m
ove le Fx, Fy, Fz rappresentano ora solo le forze addizionali escludendo la forza di
gradiente di pressione e la gravitá.
Non linearitá delle equazioni del moto
Le eq. del moto (2.13) cosí trovate sono delle equazioni differenziali alle derivate parziali
non lineari. La non linearitá viene dal fatto che tutte le derivate delle velocitá finora
espresse sono derivate totali perché in tutto quanto fatto abbiamo lavorato in visione lagrangiana
seguendo la particella. Ma allora ciascuna derivata totale di velocitá contiene
dei termini avvettivi che sono non lineari; ad esempio per la componente v:
dv
dt
= ∂v
∂t
∂v ∂v
+ u + v
∂x ∂y
∂v
+ w . (2.14)
∂z

2.3. TRASFORMAZIONE IN ASSI ROTANTI: NOTAZIONE VETTORIALE 47
É proprio la presenza di questi termini non lineari che complica notevolmente la
dinamica meteorologica rendendola al tempo stesso un argomento cosí interessante.
Si noti che finora abbiamo trascurato completamente l’effetto della curvatura terrestre
(per una discussione in merito si vedano i complementi).
2.3 Trasformazione in assi rotanti: notazione vettoriale
Vogliamo ora determinare nuovamente le (2.10), questa volta utilizzando una notazione
molto sintetica e compatta. Nei sistemi rotanti le direzioni degli assi cambiano nel tempo,
per cui la variazione di un vettore è uguale alla variazione relativa al sistema rotante
più la variazione dovuta alla rotazione degli assi. Utilizzando la legge di derivazione
di un vettore rotante, si ricava il legame tra derivata totale di un generico vettore A
calcolata in un sistema assoluto e quella totale calcolata in un sistema relativo rotante
rispetto al primo con velocitá angolare ω:
d
dt
ass
A =
d
dt
che applicata al vettore posizione r porge:
rel
A + ω ∧ A (2.15)
d
d
r = r + ω ∧ r cioè Vass
=
dt ass dt rel
Vrel + ω ∧ r (2.16)
Operando ora su Vass:
d
d
Vass =
dt ass dt
d
=
dt
d
=
dt
rel
rel
rel
Vrel + ω ∧ r + ω ∧ Vrel + ω ∧ r
Vrel + ω ∧ Vrel + ω ∧ Vrel + ω ∧ (ω ∧ r)
Vrel + 2ω ∧ Vrel − ω 2 R
e quindi, in definitiva, si ritrova il risultato della (2.8) ovvero:
acc. ass = acc. rel. − acc. Coriolis + acc. centripeta
acc. Coriolis = −2ω ∧ Vrel
acc. centripeta = −ω 2 R = −acc. centrifuga
riportando a primo membro le accelerazioni ricavate a secondo membro, si potrá dire
che nel sistema rotante varrá ancora la legge di Newton purché si aggiunga al contributo
delle forze inerziali il contributo di due forze apparenti: la forza centrifuga (mω 2 R) e
quella di Coriolis (−m2ω ∧ Vrel).

48 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
2.4 Atmosfera come continuo
La dinamica atmosferica è lo studio dei moti dell’atmosfera che sono associati al tempo
e al clima. Per tutti questi moti la natura “molecolare discreta” dell’atmosfera
può essere ignorata e guardata invece come un fluido “continuo”. Le varie quantità
fisiche che caratterizzano l’atmosfera (pressione, densità, temperatura e velocità) hanno
valori unici in ogni punto del continuo atmosferico. Inoltre, le variabili di campo
e le loro derivate sono assunte essere funzioni continue dello spazio e del tempo. Le
leggi fondamentali della meccanica dei fluidi e la termodinamica che governano i moti
dell’atmosfera possono essere espresse in termini di equazioni alle derivate parziali che
coinvolgono le variabili di campo. Il set generale di equazioni alle derivate parziali che
governano il moto dell’atmosfera è estremamente complesso e non esistono soluzioni
generali. Per arrivare alla comprensione del ruolo fisico dei moti atmosferici nel determinare
il tempo osservato è necessario sviluppare modelli basati su semplificazioni
aritmetiche delle equazioni fondamentali. Per queste semplificazioni è necessario fare
una analisi delle scale del moto osservate.
2.5 Analisi di scala
L’analisi di scala è una tecnica conveniente per stimare la grandezza dei vari termini
delle equazioni principali per un tipo particolare di moto. Nell’analisi di scala si
specificano tipicamente:
• le grandezze delle variabili di campo
• l’ampiezza delle fluttuazioni di queste variabili
• le lunghezze caratteristiche ed i tempi nei quali le fluttuazioni si manifestano
Questi valori si usano per confrontare i vari termini nelle equazioni di governo.
Per esempio, in un ciclone sinottico delle medie latitudini la pressione superficiale può
fluttuare di 2kP a (20mb) su una distanza orizzontale di 2000 km, ovvero:
∂p
∂L ∼ =
1 kP a
10 3 km
10 mb
=
103
. (2.17)
km
Il gradiente orizzontale di pressione può variare di diversi ordini di grandezza per i
sistemi di interesse meteorologico quali i tornado, le linee di groppo, gli hurricanes,. . . .
Tali sistemi hanno scale di lunghezza le piú diverse (tipicamente nell’intervallo 10 −7 ÷
10 7 m come mostrato in Tab. 2.1). La stessa cosa dicasi per gli altri termini che entrano
nelle eq. del moto. Di fatto la natura dei termini dominanti nelle equazioni di governo
è crucialmente dipendente dalla scala orizzontale dei moti: moti con scale orizzontali di
pochi chilometri avranno vite più corte (tempi brevi) così che i termini che contengono
la rotazione della Terra sono trascurabili mentre per le scale più grandi diventano
essenziali. La scala orizzontale, per la sua mportanza, viene usata per classificare i
sistemi di moto.

2.5. ANALISI DI SCALA 49
Tabella 2.1: Lunghezze di scala tipiche in meteorologia.
Tipo di moto scala del moto
cammino libero medio delle molecole 10 −7 m
piccolissimi vortici turbolenti 10 −2 ÷ 10 −1 m
piccoli vortici 10 −1 ÷ 1 m
dust devils 1 ÷ 10 m
raffiche gust 10 ÷ 10 2 m
tornadoes 10 2 m
cumulonembi 10 3 m
fronti, linee di groppo 10 4 ÷ 10 5 m
cicloni sinottici 10 6 m
onde planetarie 10 7 m
2.5.1 Considerazioni di scala sulle equazioni del moto
L’eliminazione di termini sulla base di considerazioni di scala non solo ha il vantaggio
di semplificare la matematica, ma, con l’eliminazione di piccoli termini, permette a
volte di filtrare un tipo di moto non desiderato. Le equazioni complete del moto (2.13)
descrivono tutti i tipi e scale dei moti atmosferici. Anche le onde sonore sono soluzioni
di queste equazioni, tuttavia esse hanno scarsa importanza in meteorologia. Siccome
siamo interessati allo studio dell’evoluzione dei sistemi barici su scale sinottiche nelle
nostre aree diamo qui di seguito le scale caratteristiche dei sistemi sinottici alle medie
latitudini:
velocità orizzontali u ≈ 10m/s;
velocità verticali w ≈ 1cm/s;
lunghezze ≈ λ
L ≈ 10
2π
6m; profondità D ≈ 10 4 m;
scala di fluttuazione della pressione (unità di geopotenziale) ∆p
ρ ≈ 103 m 2 /s 2 ;
scala dei tempi L/V ∼ 10 5 s ∼ 1 day;
parametro di Coriolis f0 = 2ΩT sin φ ∼ = 10 −4 s −1 .
Fluttuazioni di pressione orizzontali ∆p sono normalizzate a ρ per produrre una
stima valida a tutte le altezze in troposfera (si puó ovviare a tale inconveniente usando
le fluttuazioni di geopotenziale sulle superficie isobariche). Introducendo le scale
caratteristiche dei moti sinottici nelle eq. del moto (2.13), si trova che le accelerazioni

50 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
orizzontali hanno ordine di grandezza 10 −4 m/s 2 , i termini di accelerazione di Coriolis
contenenti velocitá orizzontali 10 −3 m/s 2 , quelli contenenti velocitá verticali 10 −6 m/s 2 ,
le forze di pressione per unitá di massa 10 −3 m/s 2 , quelle viscose 10 −16 m/s 2 . Da queste
considerazioni risulta chiaro come, per moti sinottici alle medie latitudini, le forze viscose
possano venire trascurate nell’atmosfera libera; analoga cosa dicasi per il termine
−2ΩT w cos φ della componente E − O dell’accelerazione di Coriolis.
Per quel che concerne la componente verticale invece, per le scale caratteristiche dei
moti sinottici, si trova che l’accelerazione verticale ha ordine di grandezza 10 −7 m/s 2 ,
il termine di accelerazione di Coriolis 10 −3 m/s 2 , le forze di pressione per unitá di
massa e l’accelerazione di gravitá 10 m/s 2 ; in buona approssimazione il campo di
pressione é in equilibrio idrostatico, ovvero la pressione in ciascun punto eguaglia il
peso di una colonna d’aria di sezione unitaria al di sopra del punto. Pertanto su scale
sinottiche le accelerazioni verticali sono trascurabili e w non è direttamente ricavabile
dall’equazione del moto verticale; vedremo come tale grandezza si possa dedurre dal
campo orizzontale.
2.6 Conservazione della massa ed equazione di continuità
Vogliamo ora descrivere il principio di conservazione della massa: matematicamente esso
é descritto dall’equazione di continuità. Troveremo una equazione di compatibilitá
tra il campo di densitá del fluido ρ e il campo di velocitá V. Per determinarla utilizziamo
un approccio lagrangiano considerando la variazione di volume di un elemento
di volume infinitesimo del fluido δ V , “marcato” (riconoscibile in ogni momento). La
massa del volumetto δM = ρδ V = ρδxδyδz sarà conservata seguendo il moto.
Figura 2.1: Variazione di un volumetto di fluido di massa δM per effetto della variazione
della componente lungo x del campo di velocitá.
Guardando alla fig.2.1 e ragionando per tutte e tre le componenti della velocitá la

2.7. IL SET COMPLETO DELLE EQUAZIONI CHE GOVERNANO L’ATMOSFERA51
variazione del volume δV in un intervallo δt é data da:
u + ∂u
∂x δx
δyδz − uδyδz + v +
lungo x
∂v
∂y δy
δxδz − vδxδz + w +
lungo y
∂w
∂z δz
δxδy − wδxδy
lungo z
Ma per la conservazione della massa:
d δM
dt
∂u ∂v ∂w
= + +
∂x ∂y ∂z
div δV
V
= d
(δV )
dt
(2.18)
d
d
dρ
= (ρδV ) = 0 → ρ (δV ) + δ V
dt dt dt = 0 → ρ div V δV + δV dρ
dt
dρ
dt + ρ div V = 0
1 a forma
Equazione di continuità
∂ρ
+ div ρ
∂t
V = 0
2a forma
= 0 (2.19)
(2.20)
ove per ricavare la 2a forma si é usata la definizione di derivata totale e la (B.6). Si
noti che nel caso di fluidi incompressibili ( dρ
= 0) l’equazione di continuitá diventa
dt
div V = 0, ovvero il campo di velocitá é solenoidale. Si noti che la prima forma puó
essere riscritta come d(lnρ)/dt = −div V che mostra come la densitá si mantenga
costante lungo la traiettoria per campi solenoidali mentre aumenti (diminuisca) lungo
le traiettorie in presenza di campi divergenti (convergenti).
La stessa equazione poteva essere dedotta usando un approccio euleriano; in tal caso
bisognava considerare un volumetto fisso di controllo ed esprimere il flusso di massa
netto per unitá di volume all’interno del volumetto (in termini del campo di densitá
e del campo di velocitá del fluido). Per definizione tale grandezza deve uguagliare la
variazione locale della densitá.
2.7 Il set completo delle equazioni che governano
l’atmosfera
Siamo in grado di aggiungere alle equazioni del moto altre equazioni per descrivere il
comportamento dell’atmosfera:
∂ρ
∂t
∂ρ ∂ρ ∂ρ
+ u + v + w
∂x ∂y ∂z
⎧
⎪⎨
du
dt = 2ΩT (v sin φ − w cos φ) − 1 ∂p
ρ ∂x
dv
dt = −2ΩT u sin φ − 1 ∂p Fy
+ ρ ∂y m
dt = 2ΩT u cos φ − 1 ∂p Fz − g + ρ ∂z m
⎪⎩ dw
∂u ∂v ∂w
= −ρ + +
∂x ∂y ∂z
+ Fx
m
(2.21)
equazione di continuità (2.22)

52 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
Abbiamo quattro equazioni in cinque incognite (u, v, w, ρ, p); occorre perciò una
quinta relazione per poter risolvere il sistema. L’aria é un gas pressocché ideale di
modo che possiamo pensare di aggiungere l’eq. di stato p = ρRT . Cosí facendo
introduciamo una nuova incognita, T .
Per un fluido in moto continua a valere la prima legge della termodinamica: il
riscaldamento per unitá di massa dq (dovuto alla radiazione, alla conduzione e al rilascio
di calore latente) nel volumetto lagrangiano di controllo deve uguagliare la variazione
di energia interna del fluido (cv dT con cv = 717 J/(kg K) per l’aria secca) piú il lavoro
per unitá di massa compiuto dal fluido (p dα) ovvero:
cv dT + p dα = dq (2.23)
che utilizzando l’equazione di stato p α = RT nella sua forma differenziata:
d(p α) = d(RT ) ⇒ p dα = R dT − α dp (2.24)
e la relazione di Mayer (cp = cv + R con cp = 1004 J/(kg K) per l’aria secca) si puó
riscrivere nella forma:
dq = cp dT − α dp (2.25)
Il termine a primo membro nella (2.25) contiene gran parte della fisica sostanziale rilevante
per i processi atmosferici (calori dei cambiamenti di fase, riscaldamento diabatico
del Sole,. . . ). Qui ci accontentiamo di studiare quando il moto è adiabatico (cioé non
vi é scambio di calore con l’esterno) dq = 0 di modo che dividendo per T la (2.25) si
trova:
cpd (lnT ) − Rd (lnp) = 0 (2.26)
ovvero p ≡ p(T ) o equivalentemente, usando l’equazione di stato, possiamo dire che,
per ogni porzione di fluido, la densitá ρ cambia solo con la pressione:
d (lnp) − γd (lnρ) = 0 γ = cp
. (2.27)
Se prendiamo in considerazione relazioni fra due sole variabili di stato si ottiene un’equazione
detta piezotropica.
Atmosfera barotropica: una atmosfera si dice barotropica quando la densitá
dipende solo dalla pressione, cioé ρ ≡ ρ(p), cosí che le superfici isobariche sono anche
superfici isosteriche (cioé a densitá costante). Si noti che se il gas é ideale, le isobare
sono anche isoterme in una atmosfera barotropica. Vedremo come la barotropicitá
ponga delle limitazioni molto stringenti ai tipi di moto possibili in un fluido rotante
(in particolare il vento geostrofico é indipendente dall’altezza). Di fatto, normalmente
l’atmosfera é baroclina, ovvero la densitá dipende sia dalla temperatura che dalla
pressione, cioé ρ ≡ ρ(p, T ).
È bene distinguere fra barotropicità e piezotropicità: entrambe pongono in relazione
due variabili di stato, ma la prima le pone in relazione da punto a punto in un dato istante
(in maniera euleriana), mentre la seconda le riferisce in modo lagrangiano ad una
cv

2.8. COMPLEMENTI 53
particella individuale in tempi successivi. Per semplificare consideriamo un’atmosfera
isoterma in un dato istante, ma le cui particelle individuali si muovano adiabaticamente.
Poiché l’atmosfera è isoterma p = kρ, ma la relazione piezotropica è quella adiabatica
p = kρ γ con γ = cp/cv. Se si hanno moti verticali, l’aria che si muove adiabaticamente
cambia temperatura e l’atmosfera non è più isoterma: pertanto la relazione di
barotropicità cade mentre quella di piezotropicità continua a valere. Un fluido inizialmente
barotropico rimane tale solo se le equazioni di barotropia e piezotropia sono
identiche: in tal caso si dice autobarotropico.
Le cinque equazioni scritte hanno carattere prognostico poiché coinvolgono le derivate
rispetto al tempo delle variabili indipendenti. Teoricamente è possibile inserire come
condizioni iniziali quelle dell’atmosfera in un dato istante e risolvere le equazioni per
tempi successivi. Si può dire, in realtà, che questo sia lo scopo principale della meteorologia
teorica. Tuttavia le relazioni sono composte da equazioni alle derivate parziali
non lineari e non sono risolubili in termini di funzioni elementari. Si ricorre a metodi
numerici ed all’impiego di grossi calcolatori. Nel prossimo capitolo ci accontenteremo
di risolvere diagnosticamente le prime 3 equazioni supponendo che i campi di densitá
e di pressione siano dati. Successivamente tratteremo anche l’aspetto prognostico.
2.8 Complementi
2.8.1 Equazioni del moto in un sistema rotante sferico
Si considerino i versori î, ˆ j, ˆ k diretti verso E, N e verso l’alto sulla superficie della
Terra considerata sferica con raggio a. Il sistema di coordinate K cosí definito oltre a
non essere inerziale (il che comporta in esso la presenza di accelerazioni non inerziali
di Coriolis e centrifuga) non é cartesiano poiché le direzioni dei versori î, ˆ j, ˆ k non sono
costanti, ma sono funzione della posizione sulla Terra (si sottintende che x, y e u, v
siano le distanze e le velocitá lungo la superficie curva della terra, anziché tangenti
alla superficie); dette infatti φ e λ latitudine e longitudine i tre versori sono dati dalle
(2.37-2.38-2.39).
Questa dipendenza dei vettori unitari dalla posizione va tenuta in considerazione
quando si espande il vettore accelerazione su questa base cioé se indichiamo con:
si ha:
UK ≡ îu + ˆ jv + ˆ kw (2.28)
d UK
= îdu
dt dt + ˆj dv
dt + ˆ k dw
+ udî
dt dt + v dˆj dt + w dˆ k
. (2.29)
dt
Se vogliamo determinare le accelerazioni nel sistema meteorologico dobbiamo calcolare
allora le derivate vettoriali dei tre versori.
; si ha:
Cominciamo con dî
dt
d î
dt
∂î ∂î ∂î ∂î
= + u + v + w
∂t ∂x ∂y ∂z
= u ∂î
∂x
(2.30)

54 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
δλ
acosφ
i+δi
δi
δλ
δx
i
i
Ω
φ
δi
φ
jsinφ
−kcosφ
Figura 2.2: (a) Dipendenza longitudinale del versore î. (b) Decomposizione di δî in
componenti verso N e verticale.
φ
acosφ
δλ
(a)
a/tanφ
j
δj
δx
Figura 2.3: (a) Dipendenza longitudinale del versore ˆ j. (b) Dipendenza latitudinale
del versore ˆ j.
essendo che
î é funzione solo di x. Dalla fig. 2.2 si deduce: |δî| = δλ = δx
a cos φ
δ
î
δx
=
Ω
δφ
φ
1
a cos φ .
a
δj
(b)
aδφ
j
e quindi:
Inoltre il vettore ∂î
∂x é diretto verso l’asse di rotazione, quindi ha direzione ˆR = ˆ j sin φ−
ˆk cos φ come si vede in fig. 2.2. Quindi si ha infine:
dî ∂î
= u
dt ∂x =
u
ˆj sin φ − kˆ cos φ . (2.31)
a cos φ

2.8. COMPLEMENTI 55
Passiamo ora a dˆj ; si ha:
dt
d ˆ j
dt = u ∂ˆ j
∂x + v ∂ˆ j
∂y
(2.32)
essendo che ˆj é funzione solo di x ed y, cioé muta la sua orientazione solo con movimenti
E − O e N − S. Aiutandosi con la fig. 2.3 si vede che per uno spostamento δx si ha
|δˆj| = e quindi, essendo δˆj rivolto verso il basso:
δx tan φ
a
δˆj φ
= −tan
δx a î
mentre per uno spostamento δy si ha δˆ
j
= δφ = δy
e quindi:
δˆj δy = − ˆ k
a
e quindi, sostituendo nella (2.32) si trova infine:
Infine per dˆ k
dt
si ha:
d ˆ j
dt
= −utan φ
a
dˆ k
dt = u∂ˆ k
∂x + v ∂ˆ k
∂y
a
î − v
a ˆ k. (2.33)
(2.34)
essendo che ˆ k é funzione solo di x ed y. Si vede che per uno spostamento δx si ha che
δˆ
k
= δx e quindi:
a
δ
ˆ
k
1
=
δx a
mentre per uno spostamento δy si ha δˆ
k
= δφ = δy
e quindi:
δ
ˆ
k
δy
= 1
a .
Quindi, sostituendo nella (2.34) si trova infine:
d ˆ k
dt
= u
a
a
î + v
a ˆ j. (2.35)

56 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
Tabella 2.2: Parametri caratterizzanti alcuni pianeti e satelliti del sistema solare. Con
“giorno” e “anno” si intende il periodo di rivoluzione attorno al proprio asse e al Sole.
Pianeta Dist. Sole (km) Raggio (km) gravitazione giorno anno
T erra 149 × 10 6 6370 g 1 giorno 1 anno
Luna 149 × 10 6 1740 0.17 g 1 giorno 1 anno
V enere 1 108 × 10 6 6070 0.9 g 117 giorni 225 giorni
Marte 228 × 10 6 3400 0.38 g 24 h 37 min 687 giorni
Giove 778 × 10 6 142800 2.64 g 9 h 55 min 4332.6 giorni
Includendo i termini di curvatura le eq. del moto per un sistema rotante diventano
pertanto:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
du
u w u v tan φ
= 2Ω v sin φ − 2Ω w cos φ − + dt a a
dv
v w
= −2Ω u sin φ − dt a − u2 tan φ 1 ∂p
− + fy
a ρ ∂y
1 ∂p
− − g + 2Ω u cos φ + fz
ρ ∂z
dw
dt = u2 +v2 a
1
−
∂p
ρ ∂x
+ fx
(2.36)
che descrivono le accelerazioni di una generica particella in un sistema rotante sferico
di raggio a e rotante alla velocitá Ω. Pertanto tali equazioni descriveranno il moto
di qualsiasi oggetto come visto da un osservatore sulla Terra, ma anche su qualsiasi
altro sistema rotante sferico (ad esempio qualsiasi altro corpo celeste o planetario). Si
noti che i termini di curvatura aggiuntivi rispetto a prima continuano a non modificare
l’energia cinetica della particella in assenza di forze di gravitá e di altre forze esterne.
É interessante fare infine una analisi di scala per vedere il diverso contributo che
ciascun termine ha, ad esempio sul pianeta Terra oppure su altri pianeti. Si veda
Tab. 2.2 per i diversi valori di a, Ω e gradienti di pressione. Anche sulla Terra peró
i diversi termini pesano in modo diverso a seconda del tipo di moto; cosí ad esempio
mentre i termini di curvatura sono trascurabili per moti su scale sinottiche (i termini
di accelerazione che contengono combinazioni quadratiche di velocitá orizzontali hanno
ordine di grandezza 10 −5 m/s 2 ) non lo sono per il moto del missile, come verificheremo
in alcuni esercizi.
2.9 Esercizi
1. Ricavare l’eq. di continuitá usando un approccio euleriano.
2. Ricavare la relazione (2.15) [si utilizzi il fatto che A = Ax î + Ay ˆ j + Az ˆ k =
A ′ x î′ + A ′ y ˆ j ′ + A ′ z ˆ k ′ e la derivata di un versore rotante].
3. Ricavare le componenti del termine di Coriolis −2 ΩT × vr nel sistema meteorologico.

2.9. ESERCIZI 57
Introduciamo un sistema di riferimento rotante ˆ X, ˆ Y, ˆ Z che chiameremo sistema
equatoriale della Terra con l’asse ˆX che punta al meridiano a longitudine O o
e l’asse ˆZ verso il polo Nord. Se introduciamo delle coordinate sferiche con
l’angolo polare sostituito dalla latitudine φ e l’angolo azimutale λ coincidente con
la longitudine si ha che i versori del sistema meteorologico si possono esprimere
in tale sistema equatoriale terrestre come:
ˆx = î = (− sin λ, cos λ, 0) (2.37)
ˆy = ˆ j = (− cos λ sin φ, − sin λ sin φ, cosφ) (2.38)
ˆz = ˆ k = ˆr = (cos λ cos φ, sin λ cos φ, sinφ) (2.39)
Ma allora ΩT = (0, 0, ΩT ) ˆX, ˆY, ˆZ = (0, ΩT cos φ, ΩT sin φ)meteo mentre vmeteo =
(u, v, w). Prendendo il prodotto vettoriale si trova:
(aCor.)
meteo = −2 ΩT × v
meteo
che é quanto si voleva.
⎛
= −2 ⎝
ˆx ˆy ˆz
0 ΩT cos φ ΩT sin φ
u v w
= 2ΩT (v sin φ − w cos φ, − u sin φ, u cos φ)meteo (2.40)
É interessante notare come la prima componente dell’accelerazione di Coriolis si
possa spiegare come conseguenza della conservazione del momento angolare nel
sistema di riferimento assoluto. Supponiamo di avere una particella inizialmente
a riposo rispetto alla Terra e supponiamo di dare un impulso a tale particella
o verso l’alto o lungo la direzione N − S di modo che il momento dell’impulso
non abbia componente lungo l’asse ˆ Z. Del resto sia un movimento verso l’alto
che un movimento verso S tendono a portare la particella piú distante dall’asse
e quindi ad aumentarne la componente lungo Z del momento angolare. Siccome,
nel sistema assoluto, si deve conservare il momento angolare vi sará corrispondentemente
una diminuzione della componente lungo E − O della velocitá. In
formule:
ovvero
(LZ) prima = (LZ) dopo
mΩ R 2 asse = m
Ω +
δu = −2Ω δRasse = −2Ω
δu
Rasse + δRasse
(Rasse + δRasse) 2
δz cos φ moto alto-basso
−RT δφ sin φ moto N-S
ma allora dividendo per δt e ricordando che v = RT dφ
si ritrovano le due
dt
componenti della componente E − O dell’accelerazione di Coriolis.
⎞
⎠

58 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
4. Ricavare la relazione vettoriale:
Ω × Ω × r = −Ω 2 Rasse
(2.41)
ove Rasse é il vettore perpendicolare all’asse di rotazione di ampiezza pari alla
distanza dall’asse di rotazione.
Nel sistema equatoriale terrestre si calcola prima il termine in parentesi tonda:
v =
Ω × r
terra
⎛
= (RT + h) ⎝
ˆX ˆY ˆZ
0 0 Ω
cos λ cos φ sin λ cos φ sin φ
⎞
⎠ = Ω Rasse ˆx
che, come deve essere, rappresenta infatti la velocitá di rotazione di un punto che
ruota con velocitá angolare Ω ad una distanza Rasse = (RT + h) cos φ dall’asse
di rotazione. É anche chiaro che Ω × r = Ω × Rasse. Prendendo nuovamente il
prodotto vettore con Ω si trova infine:
Ω × Ω × r = Ω 2 Rasse (0, 0, 1) × (− sin λ, cos λ, 0)
= Ω 2 Rasse (− cos λ, − sin λ, 0) = −Ω 2 Rasse (2.42)
Si noti che se anziché considerare il sistema rotante terrestre ci poniamo nel
sistema rotante non inerziale della particella allora l’unica forza apparente cui
sará sottoposta la particella la forza centrifuga; con tale forza si deve spiegare la
comparsa delle componenti lungo N −S e alto-basso della forza di Coriolis. Infatti
se una particella, posta ad una distanza Rasse dall’asse di rotazione, viene messa
in moto con velocitá u nella direzione E − O allora l’accelerazione centrifuga che
agisce su questa particella diventa:
Ω + u
Rasse
2
Rasse = Ω 2 Rasse + 2Ω u Rasse
Rasse
+ u2 Rasse
R2 ; (2.43)
asse
il secondo termine della (2.43), decomposto opportunamente, fornisce le componenti
N − S e alto-basso della forza di Coriolis (2.40). Il terzo termine invece é
trascurabile se u ≪ ΩRasse (sulla Terra all’Equatore ΩT Rasse = 465 m/s).
5. Potenziali dipendenti dalla velocitá
Forze posizionali derivano da potenziali e si ha in notazione lagrangiana: Qh =
∂ V − ∂ qh (ad esempio il potenziale centrifugo é dato da Vcentr = −1/2 m ω2 d2 (q) con
d distanza del punto materiale dall’asse di rotazione) mentre le eqs. di Lagrange:
d ∂ T ∂ T
− = Qh
dt ∂ ˙qh ∂ qh

2.9. ESERCIZI 59
hanno la forma
d ∂ L ∂ L
− = 0 L = T − V (2.44)
dt ∂ ˙qh ∂ qh
É chiaro che ci si puó ricondurre alla (2.44) anche con forze dipendenti dalla
velocitá, se esiste una funzione potenziale V (q, ˙q, t) tale che sia soddisfatta:
Nel caso della forza di Coriolis:
Qh = d ∂ V ∂ V
− .
dt ∂ ˙qh ∂ qh
FCor = 2m ˙q × ω
si puó verificare che il corrispondente potenziale é dato da:
VCor = −m ˙q × ω · q = −m ˙q · ω × q.
Altro esempio noto é quello costituito dal potenziale associato alla forza e.m. di
Lorentz.
Si noti che nel caso di potenziali dipendenti esplicitamente dalla velocitá il teorema
di conservazione dell’energia meccanica (valido per lagrangiane che non
dipendano esplicitamente dal tempo [di modo che dL ∂ L ∂ L
= dt h (¨qh + ˙qh ∂ ˙qh ∂ qh )]
e energie cinetiche che dipendano quadraticamente dalle ˙q ovvero per sistemi
newtoniani [di modo che 2T = ∂ T
h ˙qh ] ) diventa:
∂ ˙qh
d
T + V −
dt
∂ V
˙qh = 0 (2.45)
∂ ˙qh
h
e quindi nel caso dei potenziali associati ai moti rotatori:
essendo che VCor −
h
d
dt (T + Vforze fondamentali + Vcentr) = 0 (2.46)
˙qh ∂ VCor
∂ ˙qh = 0 vista la sua linearitá nelle ˙qh e quindi l’unico
termine nella sommatoria entro parentesi tonda nella (2.45) viene cancellato.
Questo risultato era atteso visto che la forza di Coriolis non compie lavoro.
Per determinare le condizioni di equilibrio di una particella in un sistema non
inerziale é necessario annullare la risultante delle forze attive e di quelle apparenti.
Nel caso in cui tutte le forze siano conservative, o se non conservative
non compiano lavoro (quali quella di Coriolis), é possibile ricercare la posizione di
equilibrio attraverso la determinazione della stazionarietá dell’energia potenziale,
somma dell’energia potenziale associata alle forze conservative e del potenziale

60 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
centrifugo. Come esempio si consideri un pendolo semplice nell’ipotesi che la circonferenza
che realizza il vincolo ruoti con velocitá angolare uniforme attorno alla
direzione verticale. Confrontando i risultati ottenuti con quelli relativi al pendolo
semplice in un sistema inerziale, si vede come la non inerzialitá puó dar luogo ad
una nuova posizione di equilibrio quando la forza peso é meno intensa della forza
centrifuga. In questo caso, questa posizione di equilibrio é l’unica stabile.
6. In un sistema inerziale (X, Y ) una particella si muove di moto rettilineo uniforme
lungo X con velocitá costante v0. Qual é il moto visto da un sistema rotante
(X , Y), centrato nella stessa origine di (X, Y ) e che ruota con velocitá angolare
Ω?
Nel sistema inerziale il moto é dato da:
X(t) = v0 t
Y (t) = 0
e operando una rotazione si trova subito che nel sistema rotante:
X (t) = v0 t cos(Ω t)
Y(t) = −v0 t sin(Ω t)
che é un moto a spirale con distanza dall’origine pari a r = v0 t.
Come si scrive la lagrangiana della particella per unitá di massa nei due sistemi di
riferimento? Nel sistema inerziale la lagrangiana della particella é semplicemente
. Se si tiene conto del fatto che:
data dalla sua energia cinetica L(X, Y ) = 1
2 v2 0
quadrando segue che:
v = vr + Ω × r (2.47)
1
2 v2 = 1
2 v2 1
r +
2 ( Ω ×r) 2 + vr · ( Ω ×r) = 1
2 v2 1
r +
2 Ω2d 2 asse rot + vr · ( Ω ×r). (2.48)
Il termine a secondo membro della (2.48) rappresenta la lagrangiana nel sistema
non inerziale L(X , Y). Infatti: il primo termine di sinistra é l’energia cinetica
vista dal sistema non inerziale 1
2v2 1
r = 2v2 1
0 + 2v2 0 (Ωt)2 = 1
2v2 1
0 + 2Ω2d2 asse rot , il
secondo ed il terzo (= −Ω2d2 asse rot ) rispettivamente il potenziale centrifugo ed il
potenziale di Coriolis cambiati di segno. Pertanto la lagrangiana nel sistema di
riferimento inerziale coincide con quella del sistema di riferimento non inerziale,
ovvero le due lagrangiane si corrispondono per valore
T ( X) − V ( X) = L( X) = L( X ) = T ( X ) − V( X ) − Vcentr( X ) − VCor( X ). (2.49)
Questo a riscontro del fatto che le equazioni del moto della particella devono
essere le stesse. Questo si generalizza al teorema di invarianza delle lagrangiane.

2.9. ESERCIZI 61
Dalla (2.49) segue poi che l’energia meccanica come vista da un sistema inerziale
si scriverá in un sistema non inerziale come:
E inerziale
mecc = T ( X) + V ( X) = T ( X ) + V( X ) − Vcentr( X ) − VCor( X ). (2.50)
Questa espressione risulta utile se si vogliono fare dei bilanci energetici quali
quelli per la messa in orbita di satelliti direttamente dal sistema di riferimento
non inerziale. La quantitá conservata nel sistema di riferimento non inerziale
espressa nella (2.46) é una quantitá diversa dall’energia meccanica del sistema di
riferimento inerziale.
Nell’esempio precedente, l’energia totale nel sistema di riferimento inerziale é 1
2 v2 0 ;
per il sistema di riferimento non inerziale per quanto visto nella (2.46) ció che
si conserva é T + Vcentr = 1 1 − che coincide con l’energia nel
2v2 r 2 (Ω v0 t) 2 = 1
2v2 0
sistema di riferimento inerziale. Questo é un caso del tutto particolare in quanto
in questo caso VCor = −2Vcentr.
7. Un missile viene lanciato verso Est a 43 0 N di latitudine; se il missile viaggia per
L=1000 km con velocitá u0 = 1000 ms −1 quanto viene deviato nel suo cammino
verso sud?
La forza di Coriolis tenderá a deviare il corpo verso Sud; in particolare sará:
dv
dt
= −2 Ω u sin φ.
Assumendo che la deflessione sia piccola in modo da considerare u = u0 = cost
integrando si trova:
dy
dt = v = −2 Ω u0 t sin φ
che integrata nuovamente dá lo spostamento totale verso Sud:
δy =
t0
0
v dt = −2 Ω u0
t0
0
t sin φ dt = −Ω u0 t 2 Ω L2
0 sin φ = − sin φ;
u0
ma t0 = L/u0 = 103s, 2 Ω sin φ = 10−4s−1 f L2
e quindi δy = − 2u0
= −50 km.
8. Due palle del diametro di 4 cm, distanti d = 100 m su un piano orizzontale privo
di attrito a 43 0 di latitudine N vengono lanciate l’una contro l’altra alla stessa
velocitá. A quale velocitá devono viaggiare per mancarsi?
La deflessione di una singola pallina dovrá essere superiore a 2 cm cioé con calcoli
analoghi all’esercizio precedente osservando che la distanza percorsa dalle due
palline sará L = d/2:
|δs| = Ω sin φ L2
≥ 2cm ⇒ u ≤ 6.22 m/s.
u0

62 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
z(m)
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Deviazione dei gravi
0
0 1 2 3 4
x(m)
5 6 7 8
z(m)
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Deviazione dei gravi
0
0 2 4 6
x(m)
8 10 12
Figura 2.4: (Sinistra) Caduta di un grave da un’altezza di 5 km come vista da un
osservatore che si trova nel sistema rotante. (Destra) Caduta di un grave da una
altezza di 5 km come vista da un osservatore che si trova in un sistema assoluto che
si muove con velocitá lineare costante lungo E pari a ΩRT ; la linea continua é il
movimento effettivamente visto (tiene cioé conto della variazione di direzione della
forza di grvitazione), la linea tratteggiata rappresenta l’approssimazione parabolica.
9. Esperienza di Guglielmini.
Calcolare lo spostamento di un corpo fatto cadere da una altezza h all’equatore
trascurando la resistenza dell’aria.
Risolviamo dapprima il problema nel sistema rotante. Da una analisi di scala
possiamo approssimare il moto considerando la velocitá con la sola componente
verticale w = −gt; sará presente allora una forza di Coriolis pari a
du
dt = −2 Ω w cos φ|φ=0 = 2 Ω g t
che, essendo u(0) = 0, integrata due volte dá:
δx = 1/3 Ω g t 3 .
Poiché il tempo di caduta da una altezza h é tcaduta = (2h/g) 0.5 si ha che:
δx = 1/3 Ω g (2h/g) 1.5 .
Cosí ad esempio con h = 5 km si trova uno spostamento verso est di 7.8 m. Il
moto visto dall’osservatore nel sistema rotante é tracciato in Fig. 2.4 (sinistra).
Risolviamo ora lo stesso problema ponendosi in un sistema di riferimento assoluto.
Il grave lasciato cadere da un punto A ad una altezza h é, rispetto alla Terra, un
pianeta con velocitá iniziale u = Ω(RT + h) cos φ tangente al parallelo passante

2.9. ESERCIZI 63
per A. La traiettoria di questo grave sará quindi una ellisse giacente sul piano che
passa per A, per il centro della Terra e contenente il vettore vA (é il piano tangente
al cono OAG). Come si vede in fig. 2.5 (destra), detto C il punto di incontro con il
h
A
C
A
B
G
O
B’ C
A’
Figura 2.5: (Sinistra) Caduta di un grave da una altezza h ad una latitudine φ come
vista da un osservatore inerziale: il moto del grave é di tipo ellittico. (Destra) Caduta
di un grave da una altezza h all’equatore come vista da un osservatore inerziale.
suolo, si ha una deviazione verso oriente ed anche una deviazione molto lieve verso
l’equatore (cioé verso S nell’emisfero N, verso N nell’emisfero S). Consideriamo
ora il caso particolare di caduta all’equatore (l’ellisse sará contenuta nel piano
equatoriale). Il corpo possiede una velocitá iniziale uA = Ωr = Ω(RT + h), si
sposterá verso x di moto non perfettamente uniforme: infatti man mano che il
corpo si sposta verso x la forza gravitazionale, sempre diretta verso il centro della
Terra O va assumendo componente non nulla lungo quest’asse di valore:
F grav
x = −m x
e quindi indurrá una accelerazione:
cioé, integrando:
r g −muA t
g ≈ −mΩ g t
r
d2x ≈ −Ω g t
dt2 x(t) = Ω(RT + h)t − 1
6 Ω g t3 = Ω(RT + h)t − 1
Ω h t.
3
Si noti che allo stesso risultato si arrivava integrando l’eq. del moto lungo x che
é di tipo armonico e porge come soluzione con le date condizioni iniziali:
x(t) = Ω(RT
+ h) g
sin t
g
RT
RT
A
B
B’
C
A’

64 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
e sviluppando il seno sino al termine cubico.
Nello stesso tempo la verticale AB (vedi fig. 2.5 (sinistra)) é divenuta A ′ B ′ , cioé
il piede B della verticale ha percorso l’arco BB ′ circa uguale a Ω RT t. Quindi la
caduta verso oriente é pari a:
B ′ C = BC − BB ′ = δx = Ω(RT + h)t − 1
= 2
3
2
Ω h t = Ω h
3
Alla latitudine φ si troverebbe una deviazione:
δx = 2
2h
Ω h cos φ
3 g .
6 Ω g t3 − Ω RT t = Ω h t − 1
Ω g t3
6
2h
g .
Si noti invece che approssimando il moto del grave come parabolico, cioé trascurando
il fatto che man mano che il proiettile si sposta verso E la forza gravitazionale
acquista componente lungo questa direzione, il risultato sarebbe stato
banalmente:
δx = Ω(RT + h)t − Ω RT t = Ω h t
cioé si sarebbe commesso un errore di 1
3
traiettorie si puó ben apprezzare in Fig. 2.4 (destra).
Ω h t = 1
6 Ω g t3 . La differenza tra le due
10. Si calcoli la deviazione verso E e quella verso S per un grave lasciato cadere dalla
Torre degli Asinelli di Bologna.
11. Cosa succede se si lancia in aria un oggetto con velocitá iniziale w0 e lo si lascia
ricadere.
Il corpo subirá una deviazione verso ovest. Si ha infatti:
du
dt = −2 Ω w cos φ = −2 Ω (w0 − gt) cos φ.
che, integrata con la condizione iniziale u(0) = 0 dá:
dx
dt = −2 Ω (w0 t − 1
2 g t2 ) cos φ
che integrata nuovamente dá lo spostamento totale verso Est:
δx =
t= 2w 0
g
0
u dt = −2 Ω
1
2 w0 t 2 − 1
g t3 cos φ | 2w
t= 0
6 g
= −Ω 4
3
w3 0
cos φ
g2 cioé una deviazione verso ovest (tale deviazione si realizza mezza nel moto di
salita e mezza nel moto di discesa).

2.9. ESERCIZI 65
Si noti che qualsiasi altro movimento sarebbe incompatibile con la conservazione
del momento angolare visto che quando il corpo tocca nuovamente terra possiede
solo velocitá verso il basso pari alla velocitá iniziale verso l’alto. La componente
della velocitá lungo E − O rimane sempre positiva verso ovest, tocca un massimo
quando il corpo arriva nel punto piú alto (vmax = −Ω w2 0
g
12. Variazione del peso dovuta alla forza di Coriolis/centrifuga.
) e poi torna a zero.
Un uomo di 100 kg sale su un treno che si muove verso ovest a 20 m/s lungo
l’equatore (φ = 0). Calcolare la variazione del suo peso apparente.
Prima di salire sul treno il peso é (cos 2 φ = 1):
W = mg = m(g ∗ − Ω 2 RT ) = 100 kg.
Quando é sul treno invece il suo peso apparente diventa:
W ′ = m(g ∗ − (Ω RT + vtreno) 2
dove, con la solita notazione, vtreno é positiva verso Est, negativa verso Ovest. Si
ha pertanto:
δW = W ′ − W = m(−2Ωvtreno − v 2 treno/RT ).
Si noti che abbiamo trovato due termini correttivi al peso che corrispondono,
se visti dal sistema di riferimento meteorologico, proprio a quello di Coriolis e
a quello centrifugo, se visti invece da un sistema di riferimento rotante come la
Terra ma a velocitá angolare Ω ′ = Ω − v2 treno appaiono tutti e due come un unico
RT
termine centrifugo. Nel caso specifico sostituendo per vtreno = −20 m/s si trova
una variazione δW = 0.029 kg = 29 g.
13. Una locomotiva di massa 2×10 5 kg viaggia a 50 ms −1 lungo una linea orizzontale
a 43 0 N (quindi viaggia lungo un parallelo). Qual é la forza laterale esercitata
sulle rotaie?
Se viaggia verso est V = (50, 0, 0) ms −1 e
Fc = m(0, −2 Ω u sin φ, 2 Ω u cos φ) = (0, −10 3 , 10 3 ) N;
RT
se viceversa viaggia verso ovest V = (−50, 0, 0)m/s e
Fc = m(0, −2 Ω u sin φ, 2 Ω u cos φ) = (0, +10 3 , −10 3 ) N.
In ambedue i casi è presente una forza normale che nel primo caso spinge verso
l’alto, nel secondo verso il basso.
)

66 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO
v
sistema
meteorologico
y z
a
y
traiettoria
particella
Figura 2.6: Moto rettilineo di una particella come visto dal sistema curvilineo usato in
meteorologia.
14. Confrontare le grandezze del termine di curvatura u 2 tan φ/RT con RT raggio
della Terra e la forza di Coriolis per un missile balistico sparato verso E con una
velocitá di 1000 m/s a 45 0 di latitudine. Se il missile viaggia per 1000 km di
quanto viene deviato dal suo cammino verso E causa questi due termini? Si puó
trascurare il termine di curvatura in questo caso?
A questa latitudine l’equazione della componente v della velocitá si scrive:
dv
dt = −√ 2 Ω u − u2
RT
w
z
= −(.103 + .157)m/s 2
e come si vede l’accelerazione dovuta al termine di curvatura é piú grande dello
stesso termine di Coriolis. Siccome il tempo impiegato a percorrere 1000 km é
pari a T = 1000 s si ricava immediatamente che la deviazione verso S é pari a:
δy = 1 dv
2 dt T 2 = −.5 × .26 × 10 6 = 130 km.
15. Far vedere che un corpo, sottoposto alla forza di Coriolis non cambia la propria
energia cinetica.
16. Descrivere il moto di una particella che si muove non sottoposta a forza alcuna
(siano cioé assenti i gradienti di pressione e la gravitá) con velocitá iniziale lungo
un meridiano (cioé v(t = 0) = (0, C, 0)) in un pianeta in cui si possano trascurare
i termini contenenti Ω.
C

2.9. ESERCIZI 67
Le eqs.(2.36) diventano:
⎧
⎨
⎩
du
dt
dv
dt
= − u w
a
+ u v tan φ
a
v w = − a − u2 tan φ
a
dw
dt = u2 +v2 a
(2.51)
ed essendo u(t = 0) = 0 sará sempre u(t) = 0. Ma allora le eqs.(2.51) diventano:
dv
dt
dw
dt
= − v w
a
= v2
a
Osservando che v 2 + w 2 = C 2 la seconda delle eqs.(2.52) diventa:
e quindi, essendo w(0) = 0
dw
dt = C2 − w2 a
ln
C + w
C
− w
= 2C t
a
dw
⇒
C2 dt
=
− w2 a
2Ct
e a − 1
⇒ w(t) = C
e 2Ct
a + 1 .
(2.52)
(2.53)
Di fatto il moto della particella in un sistema di stelle fisse é a velocitá costante
sia in modulo che in direzione; nel sistema meteorologico curvilineo la velocitá
rimarrá costante in modulo ma non in direzione. Parte della componente lungo
y verrá persa a favore della componente lungo z (vedi Fig. 2.6) e asintoticamente
rimarrá solo componente lungo z (w → C con t → ∞.)
17. Un terrestre di 75 kg si reca su Giove. Quanto fornisce una misura dinanometrica
del suo peso all’equatore e al Polo. Si utilizzino i dati di Tab. 2.2.
18. Un aereo percorre un moto parabolico. Se al culmine della parabola il raggio di
curvatura é di 10 km quale deve essere la velocitá dell’aereo per potervi svolgere
esperimenti di microgravitá?

68 CAPITOLO 2. LE EQUAZIONI DEL MOTO

Capitolo 3
Applicazioni elementari delle
equazioni fondamentali
Un sistema fisico soggetto ad un certo numero di forze frequentemente tende ad una
situazione di equilibrio delle forze stesse. Inoltre, una volta raggiunto l’equilibrio, ad
una alterazione di una delle forze in gioco corrisponderà una variazione del sistema
che tenderà ad assorbirla e a ripristinare l’equilibrio. Questo concetto (principio di Le
Chatelier) ha una estesa applicazione in geofisica: si possono studiare le varie condizioni
di equilibrio e queste costituiranno stati verso i quali il sistema tende. Inoltre, le
condizioni di equilibrio di forze sono risolubili assai più semplicemente dei casi transienti
di non equilibrio. Questo metodo deve essere tuttavia vagliato caso per caso poiché
non tutti i sistemi presentano questa tendenza stabile all’equilibrio e si deve sempre
ricercare un accordo fra i risultati teorici e le corrispondenti osservazioni sperimentali.
3.1 Moto d’inerzia
Cominciamo col supporre assenti tutte le forze tranne quelle di Coriolis. Consideriamo
un moto orizzontale (come quasi tutti i moti in meteorologia) ovvero un moto per cui
le velocità orizzontali superano le verticali di due o più ordini di grandezza. Se anche
le forze d’attrito si annullano la particella è solo soggetta ad un moto d’inerzia. Le eq.
del moto (2.21) diventano:
¨x = 2ΩT v sin φ = du
dt
¨y = −2ΩT u sin φ = dv
dt
= dy
dt
· f
= − dx
dt
· f
(3.1)
essendo ˙x = u, ˙y = v, f = 2ΩT sin φ il fattore di Coriolis. La forza di Coriolis è
normale alla velocità e quindi può cambiarne solo la direzione e non il modulo (c =
69

70 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
√ u 2 + v 2 che è quindi costante). Integrando si trova infine:
u = fy + A
v = −fx + B
c 2 =u 2 +v 2
−−−−−→ c 2 = (fy + A) 2 + (B − fx) 2
2
c
= y +
f
A
2 2 B
+ − x
f f
che é l’equazione di una circonferenza di raggio r = c/f e centro di coordinate (− A
f
(3.2)
, B
f )
denominato cerchio d’inerzia. La sola forza agente è quella di Coriolis che agisce normalmente
al moto, cioè verso il centro. Guardando all’eq.3.1, notando che f é positiva
nell’emisfero Nord e negativa in quello Sud, si evince che la forza di Coriolis é deflettente
verso destra e verso sinistra rispettivamente nei due emisferi. Di conseguenza, il
verso di percorrenza del cerchio di inerzia é orario nell’emisfero nord ed antiorario in
quello sud. Il periodo per percorrere il cerchio è:
T = 2πr
c
= 2πc/f
c
= 2π
f =
π
ΩT sin φ
(3.3)
Si noti che il periodo T è indipendente dalla velocità e dipende solo dalla latitudine.
Il periodo è detto mezzo giorno pendolare. Il giorno pendolare è il tempo che il
pendolo di Foucault impiega a compiere un intero giro (giorno siderale, 2π/ΩT , diviso
per sin φ). L’effetto della forza di Coriolis varia con la latitudine e con esso il raggio
di curvatura (é inversamente proporzionale a sin φ): alle basse latitudini il raggio di
curvatura è più grande che alle alte e quindi la traiettoria é più stretta verso i poli
che non alle basse latitudini (questo é noto come effetto β). Cosí la traiettoria è solo
all’istante un cerchio; in realtà il cammino non sarà chiuso ma si muoverà globalmente
verso ovest descrivendo cammini quasi circolari. Questo effetto è più esaltato alle basse
latitudini e ivi le traiettorie differiscono maggiormente dal cerchio. Queste considerazioni
mostrano il ruolo che gioca la rotazione terrestre ed il periodo naturale connesso
a questi moti (mezzo giorno pendolare). Un esempio di questo moto è stato osservato
nel mare Baltico, in condizioni di acqua verticalmente stratificata, con moto senza at-
trito.
È stata osservata una corrente a 14 metri di profondità ruotante continuamente
sulla destra con un periodo di 14 ore. Il periodo d’inerzia alla latitudine corrispondente
è di 14h 30 ′ . L’esistenza di moti di questo tipo è del tutto rara per un duplice motivo:
− il periodo è abbastanza lungo perché gli effetti dell’attrito rendano irriconoscibile la
traiettoria e dissipino l’energia collegata ad essi;
− quando accelerazioni locali del fluido eccitano un periodo d’inerzia, l’energia del suo
moto è dispersa rapidamente nel fluido circostante.
3.2 Vento geostrofico
Una prima importante semplificazione della tendenza all’equilibrio si ha nel caso della
particella d’aria su di una terra rotante soggetta sia alle forze di gradiente che a quella

3.2. VENTO GEOSTROFICO 71
Figura 3.1: Tendenza al raggiungimento dell’equilibrio geostrofico di un pacchetto
d’aria, inizialmente a riposo.
di Coriolis. Supponiamo che la velocità iniziale della particella sia nulla e che il moto
sia orizzontale (vedi fig. 3.1). Nell’istante iniziale l’accelerazione di Coriolis è nulla
perché la velocità della particella è zero, ma si avrà una accelerazione della stessa verso
le basse pressioni. Non appena la particella acquista velocità, la forza di Coriolis si
manifesta deviando verso destra (nel nostro emisfero, verso sinistra nell’altro emisfero)
la direzione della velocità che non sarà più perpendicolare alle isobare. Aumentando la
velocità questo effetto aumenta: il risultato finale sarà un moto parallelo alle isobare,
con equilibrio fra forze di Coriolis e di gradiente (il risultato finale é effettivamente
questo ma il come ci si arrivi implica la presenza di altre forze; si veda la discussione
al paragrafo 5.5, per il momento supponiamo che sia cosí). Si tratta del cosiddetto
paradosso geodinamico, cosí chiamato per il fatto di presentare un moto in presenza di
una forza costante non già uniformemente accelerato ed in direzione della forza, ma con
velocità costante e perpendicolare alla forza stessa. Per discutere analiticamente questo
caso partiamo, come premesso, dalla condizione finale di equilibrio. L’accelerazione
finale sarà nulla, il moto orizzontale e le sole forze presenti saranno quelle di gradiente di
pressione, di gravità e della rotazione terrestre. Le equazioni del moto (2.21) divengono
(con ¨x = 0, ¨y = 0, ¨z = 0):
1 ∂p
fv = ρ ∂x
equazioni del vento geostrofico
fu = − 1 ∂p
(3.4)
ρ ∂y
g = − 1 ∂p
ρ ∂z + 2ΩT u cos φ (3.5)
Trascurando il piccolo termine di Coriolis (2ΩT u cos φ), l’ultima equazione rappresenta
la nota equazione della statica che evidenzia l’equilibrio fra la gravità e la forza verticale
di gradiente per unità di massa. Le prime due equazioni nella (3.4), dette equazioni del
vento geostrofico, esprimono l’equilibrio tra forze di Coriolis orizzontali e forze di gradiente
di pressione. L’utilità pratica risulta immediatamente dalla possibilità di delineare
il campo orizzontale dei venti analizzando il solo campo delle pressioni. La direzione
e l’intensità del vento sono date dall’orientamento delle isobare e dalla spaziatura laterale
delle stesse: nel nostro emisfero le basse pressioni si trovano alla sinistra. Questa
configurazione è stata una delle prime ad essere identificata sperimentalmente nell’at-

72 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
mosfera (legge di Buys Ballot). È da osservare che alle basse latitudini (piccolo φ) è
più difficile che si riesca a stabilire questo equilibrio, e l’approssimazione geostrofica
cade in difetto. Le prime due equazioni possono essere racchiuse in una prendendo
come direzioni s tangente al flusso ed n normale ad esso, con n crescente alla sinistra
della direzione del moto (sistema intrinseco). Per una discussione dettagliata si veda
il paragrafo (3.7.2). Un semplice calcolo mostra invece come le (3.4) possano essere
compattate in forma vettoriale come:
f Vgeo = ˆ k × 1
ρ ∇p. (3.6)
Dovendo essere nulla l’accelerazione del vento in condizioni geostrofiche e poiché le forze
di pressione devono equilibrare quelle di Coriolis, il valore del gradiente di pressione
deve essere costante lungo le isobare. Così se il vento è rigorosamente geostrofico,
le isobare devono essere rette parallele. Per molti casi è tuttavia legittimo parlare di
approssimazione geostrofica anche in caso di configurazioni di gradienti di pressione
non uniformi e di isobare curve poiché i venti reali sono bene rappresentati da quelli
geostrofici.
Figura 3.2: Flusso che interseca le isobare a causa di un cambiamento del gradiente
barico.
Consideriamo ora un caso di transizione da una regione di elevato gradiente ad
una di gradiente inferiore come mostrato in fig. 3.2. Una data particella possederà
una elevata quantità di moto iniziale che tende a mantenere (per inerzia) anche nella
regione di isobare più spaziate. In tal caso la forza di Coriolis avrà la prevalenza su
quella di gradiente deviando il moto verso le alte pressioni. Si parla allora di vento di
supergradiente a sottolineare il fatto che la velocitá del vento é superiore a quella che
competerebbe al vento geostrofico per quel gradiente di pressione (e quindi la forza di
Coriolis domina su quella di gradiente). Nel caso opposto (zona con isobare più ravvicinate),
la particella tende invece ad avere una velocità minore di quella che gli compete
di modo che la forza di gradiente prevarrà su quella di Coriolis deviando il moto verso
le basse pressioni (vento di subgradiente). Questi sono casi di perturbazione dell’equilibrio
ed è interessante notare come il sistema reagisce (attraversando le isobare) in

3.2. VENTO GEOSTROFICO 73
modo da attenuare gli effetti della forza perturbante. Infatti nel caso di supergradiente,
ad esempio, il vento rimuove aria dalle zone di bassa pressione portandola verso le zone
di alta tendendo così ad aumentare il gradiente e quindi a ripristinare l’equilibrio.
3.2.1 Effetto dell’attrito
Complichiamo ora il caso geostrofico introducendo l’attrito sulla superficie terrestre.
Supponendo che l’attrito agisca in direzione opposta al moto, si ha l’equilibrio delle tre
forze come mostrato in fig. 3.3.
Figura 3.3: Bilancio tra forze di Coriolis, di gradiente e di pressione.
La forza di gradiente di pressione sarà equilibrata dalla somma vettoriale della
forza di Coriolis e quella d’attrito. Questo implica una deviazione di un angolo α,
rispetto alle isobare, verso le basse pressioni. Quantitativamente possiamo esprimere
questo risultato supponendo che l’attrito sia anche proporzionale alla velocità. Allora
i termini di forze generiche esterne nelle (2.13) si possono scrivere come:
Fx
m
= −ku e Fy
m
= −kv (3.7)
con k costante positiva. Semplifichiamo ulteriormente supponendo il moto orizzontale,
con accelerazione zero, e con le isobare orientate est-ovest. Le equazioni del moto (2.13)
diventano allora:
0 = fv − ku
0 = −fu − kv − 1 ∂p
(3.8)
e risolvendo:
fv
u = k
2 v
1
0 = −f − kv − k ρ
∂p
∂y
= −v
f 2 +k 2
k
− 1
ρ ∂y
∂p
ρ ∂y
⇒
u = − f
f 2 +k2 1 ∂p
ρ ∂y
v = − k
f 2 +k2 1 ∂p
ρ ∂y
(3.9)
Quando k = 0 (nessun attrito) le equazioni si riducono a v = 0 e all’equazione del
vento geostrofico est-ovest. Con k = 0 il flusso est-ovest è ridotto al di sotto del valore

74 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
geostrofico (|f/(k 2 + f 2 )| ≤ |1/f|) e sovrappone un flusso nord-sud verso le basse
pressioni. La velocità totale è:
c = √ u 2 + v 2 =
1 1 ∂p
k2 + f 2 ρ ∂y
(3.10)
inferiore a quella che competerebbe ad un moto puramente geostrofico. L’angolo tra le
isobare ed il vento è:
tan α = v k
=
u f
(3.11)
e si annulla se si annulla k. Si noti che l’ipotesi di una forza di attrito proporzionale
alla velocità è ragionevole solo in prossimità della superficie terrestre. Tuttavia l’ipotesi
permette di studiare il problema fisicamente e le osservazioni sono in buon accordo con
le conclusioni, almeno nelle zone extratropicali.
3.3 Vento di gradiente
Ritorniamo ora alla situazione ideale di scorrimento senza attrito e consideriamo l’effetto
della curvatura del flusso. I risultati che seguiranno verranno poi modificati
dall’interazione con la superficie (attrito) qualitativamente nello stesso modo in cui
viene modificato il vento geostrofico e cioè la velocitá sará ridotta (rispetto al valore
in assenza di attrito) e si manifesterá una componente della velocitá, attraverso le
isobare, verso le basse pressioni. Consideriamo lo stato stazionario (ció significa che
∂u
∂t
= ∂v
∂t
= 0) in presenza di forze di Coriolis e di gradiente. Supponiamo per semplicitá
che le isobare sulla superficie equipotenziale siano circolari ed il moto sia curvo come
visto dal solito sistema di riferimento meteorologico. Rigorosamente parlando, in caso
di moto curvilineo, devono essere presenti delle accelerazioni centripete per cui deve
agire una forza e quindi non si ha equilibrio. Possiamo tuttavia continuare a parlare
di condizione di equilibrio di forze pensando di descrivere il moto sul sistema di riferimento
rotante con il vento. In tale visuale ci dovrá essere un bilanciamento vettoriale
tra la forza netta risultante dovuta a Coriolis, gradiente di pressione e quant’altro (che
è orientata verso il centro) e forza centrifuga (che è semplicemente opposta alla forza
centripeta). Le equazioni orizzontali del moto possono essere riscritte come:
¨x = fv − 1
¨y = −fu − 1
du
¨x = dt
¨y = dv
dt
∂p
ρ ∂x
∂p
ρ ∂y
∂u ∂u
= u + v ∂x ∂y
∂v ∂v
= u + v ∂x ∂y
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒
u ∂u
∂x
u ∂v
∂x
+ v ∂u
∂y
+ v ∂v
∂y
1 = fv − ρ
1 = −fu −
∂p
∂x
∂p
ρ ∂y
(3.12)
Introducendo le coordinate polari (che meglio si prestano alla trattazione del problema)
si ha x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, e per le trasformazioni inverse r = x 2 + y 2 e ϑ =

3.3. VENTO DI GRADIENTE 75
arctan (y/x) da cui segue che gli jacobiani della trasformazione e della trasformazione
inversa sono:
∂x ∂x
∂r ∂r
∂r ∂ϑ cos ϑ −r sin ϑ
∂x ∂y cos ϑ sin ϑ
=
=
. (3.13)
sin ϑ r cos ϑ
∂y
∂r
∂y
∂ϑ
∂ϑ
∂x
∂ϑ
∂y
− sin ϑ
r
Vogliamo ora riscrivere l’eq.(3.12) in coordinate polari. Cominciamo con il vedere come
trasformano le componenti della velocitá; differenziando rispetto al tempo (ricordando
che sia r che ϑ possono variare per una particella in moto) abbiamo:
u = dx
dt
v = dy
dt
= dx
dx dϑ + dϑ dt = vr cos ϑ − vϑ sin ϑ
dr
dr dt
dy dr dy dϑ
= + dr dt dϑ dt = vr sin ϑ + vϑ cos ϑ
cos ϑ
r
(3.14)
dove vr ( ˙r) è la velocitá radiale e vϑ (r ˙ ϑ) è la velocitá tangenziale perpendicolare al
raggio. Ma ora dobbiamo sostituire tutte le derivate rispetto a x e y con derivate
rispetto a r e ϑ. Sia F una funzione arbitraria di x e y o r e ϑ. Poiché x è una funzione
sia di r che di ϑ, si ha:
∂F
∂x
∂F
∂y
∂r ∂F = ∂x ∂r
∂r ∂F = ∂y ∂r
∂ϑ ∂F + ∂x ∂ϑ
∂ϑ ∂F + ∂y ∂ϑ
= cos ϑ ∂F
∂r
= sin ϑ ∂F
∂r
sin ϑ ∂F − r ∂ϑ
cos ϑ ∂F + r ∂ϑ
(3.15)
Combinando la (3.14) e la (3.15) si trova che la derivata orizzontale convettiva della
variabile F è:
u ∂F
∂F
+ v = vr cos ϑ
∂x ∂y ∂F
+ sin ϑ∂F + vϑ − sin ϑ
∂x ∂y
∂F
∂F vϑ ∂F
+ cos ϑ∂F = vr +
∂x ∂y ∂r r ∂ϑ
Applicando quanto sopra a u e v anziché ad F nella (3.12), si trovano due equazioni:
moltiplicando la prima per cos ϑ e la seconda per sin ϑ e la prima per − sin ϑ e la
seconda per cos ϑ e sommandole si trovano rispettivamente:
vr ∂vr
∂r
vr ∂vϑ
∂r
+ vϑ
r
+ vϑ
r
∂vr
∂ϑ − v2 ϑ
r = fvϑ − 1 ∂p
ρ ∂r
∂vϑ
∂ϑ + v ϑ vr
r = −fvr − 1
ρr
∂p
∂ϑ
(3.16)
che rappresentano le equazioni del moto stazionario orizzontale in coordinate polari.
Ci soffermeremo ora al caso particolare di isobare concentriche circolari (⇒ ∂p
= 0) ∂ϑ
con i loro centri in r = 0. Imponiamo inoltre che la distribuzione delle velocitá abbia
simmetria circolare, ovvero che ∂vr ∂vϑ = = 0. Sotto queste condizioni di simmetria
∂ϑ ∂ϑ
è chiaro che un modo di soddisfare la seconda delle equazioni è di prendere vr = 01 .
1 Se tale condizione non é soddisfatta la seconda delle (3.16) diviene:
f + ∂vϑ
∂r
ovvero, come vedremo, la componente verticale della vorticitá assoluta é nulla; ma questo é un caso
speciale.
+ vϑ
r
= 0

76 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
Quindi la prima equazione puó scriversi, chiamando c = vϑ (si noti che valori positivi
di c indicano moti antiorari, viceversa per valori negativi):
c 2
r
1 ∂p
+ fc −
ρ ∂r
= 0 (3.17)
che governa il moto circolare, parallelo alle isobare, con equilibrio tra forza centrifuga,
di Coriolis e di gradiente per unitá di massa. Un vento determinato in queste
condizioni è detto vento di gradiente. L’equazione poteva essere scritta immediatamente
scrivendo l’equilibrio di queste tre forze. Poichè la forza di gradiente di pressione
puó essere diretta all’esterno e all’interno e poiché l’equazione quadratica ha due radici
per c, ci sono quattro casi matematicamente possibili. Le soluzioni sono:
f r
c1, 2 = −
2 ±
f 2 r 2
4
+ r
ρ
∂p
. (3.18)
∂r
Discutiamo ora i due casi che si presentano, ragionando per l’emisfero boreale (f > 0).
3.3.1 Discussione della soluzione con radice col segno +
B
P
c
Ce
Co
Figura 3.4: Flusso ciclonico attorno ad una bassa ed anticiclonico attorno ad una alta.
P = forza di gradiente di pressione, Co = forza di Coriolis, Ce = forza centrifuga.
→ 0 abbiamo c → 0 come ci si attendeva in regime geostrofico;
con ∂p
∂r > 0 (bassa pressione) la radice quadrata supera fr
⇒ c > 0 e si ha la normale
2
circolazione ciclonica;
con ∂p
∂r < 0 (alta pressione) la radice è minore di fr
⇒ c < 0 e si ha la normale
2
circolazione anticiclonica.
per ∂p
∂r
3.3.2 Discussione della soluzione con radice col segno -
per ∂p
→ 0 abbiamo c → −fr che corrisponde ad un moto anticiclonico sul circolo di
∂r
inerzia in assenza di gradienti di pressione;
A
Co
c
Ce
P

3.3. VENTO DI GRADIENTE 77
B
Co
P
c
Ce
Figura 3.5: Flusso ciclonico anomalo attorno ad una bassa ed anticiclonico anomalo
attorno ad una alta.
con ∂p
∂r
con ∂p
∂r
> 0 (bassa) → c < 0 e si ha un moto anticiclonico;
< 0 (alta) → c < 0 e si ha un moto anticiclonico.
In questi ultimi due casi il vento è molto forte poiché gli addendi hanno lo stesso segno;
si parla allora di circolazioni anomale. Un moto descritto dalla radice negativa è stato
definito anomalo in quanto non è normalmente osservato; alcuni casi sono stati tuttavia
osservati. La ragione di tale raritá sta nelle alte velocitá richieste e quindi nell’elevata
energia cinetica per questo tipo di moto.
Si noti come il moto antiorario attorno ad un’alta pressione é impossibile a verificarsi
in quanto in tale situazione non si puó raggiungere alcun equilibrio di forze (vedi
fig. 3.6).
A
Figura 3.6: Flusso ciclonico impossibile attorno ad una alta.
3.3.3 Restrizioni imposte dal vento di gradiente ai gradienti
barici
Ritorniamo ora a studiare il caso piú comune nell’emisfero N (nell’emisfero S invece
sará quello col segno −) costituito dalla soluzione con la radice positiva:
c = − fr
2 +
f 2r2 r ∂p
+ (3.19)
4 ρ ∂r
c
Ce
P
A
Co
Co
P
c
Ce

78 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
• Nel caso ∂p
> 0 (bassa) la radice non sará mai immaginaria quindi ogni valore di
∂r
gradiente di pressione è valido.
• Nel caso ∂p
< 0 (alta) è invece possibile che la radice diventi immaginaria quindi
∂r
questo caso, non avendo significato fisico, deve essere escluso. Imponendo la condizione
che c sia reale si ottiene ∂p
f
≤ ρ ∂r
2r , cioè in un’alta il valore di gradiente
4
di pressione non puó superare un certo valore determinato dalla latitudine e dalla
distanza dal centro. Questa è la spiegazione del fatto osservato che presso il centro
di un’alta il gradiente della pressione è piccolo ed i venti sono deboli; infatti
per soddisfare la condizione appena espressa se diminuisce r deve diminuire anche
il gradiente.
Figura 3.7: Traiettorie d’aria (linea sottile) attraverso un promontorio di un’alta
pressione fortemente incurvata ove il bilancio di gradiente non puó essere mantenuto.
In una bassa non c’è tale restrizione quindi il gradiente di pressione ed i venti possono
essere, e spesso sono, forti nel centro della depressione. Questa restrizione per
un’alta puó essere invertita stabilendo che per un dato gradiente di pressione il raggio
di curvatura del flusso non deve scendere al di sotto di un valore minimo stabilito
dalla precedente disuguaglianza. Bjerknes ha spiegato su questa base l’evoluzione che
segue il costituirsi di un promontorio di isobare fortemente ricurve in quota. Se le
isobare nell’anticiclone hanno un raggio di curvatura inferiore a quello permesso dalla
ineguaglianza, una particella d’aria non puó muoversi parallelamente alle isobare
(non potrá trovarsi infatti in una situazione di equilibrio di vento di gradiente), ma
deve dipartirsi dal flusso di gradiente ed attraversare le isobare verso le basse pressioni
(perché il raggio di curvatura della traiettoria sará piú grande di quello dell’isobara). Il
lavoro fatto dalle forze di gradiente in questa fase accelera le particelle aumentandone
la velocitá; come effetto aumenta anche la forza di Coriolis che, nel nostro emisfero,
tende a deviare il pacchetto d’aria verso destra. Quest’azione, alla fine, aumenta la
curvatura anticiclonica (ovvero il raggio di curvatura decresce) e puó fare attraversare
di nuovo le isobare alla particella verso le alte pressioni, decelerando cosí la particella.
Il risultato netto è lo stabilirsi di uno scorrimento ciclonico pronunciato a sud della
zona di alta pronunciata. Tali cicloni superiori si formano frequentemente in inverno.

3.4. VENTO CICLOSTROFICO 79
La successione di eventi che porta alla loro comparsa inizia con la deviazione dall’equilibrio
di gradiente quando le isobare di un’alta hanno un raggio così piccolo che è
dinamicamente impossibile al flusso di conformarsi alla forte curvatura.
3.4 Vento ciclostrofico
In sistemi a piccola scala, il raggio di rotazione puó essere dell’ordine delle decine di
metri, mentre nei sistemi sinottici è dell’ordine delle centinaia di chilometri. Per questo
motivo il termine centrifugo diviene molto importante nei sistemi a piccola scala. Il
termine centrifugo c 2 /r (si noti che questo termine non ha nulla a che fare con il
termine centrifugo dovuto alla rotazione terrestre: é un termine centrifugo dovuto alla
curvatura dei cammini che va inserito da osservatori posti sul sistema naturale come
definito in 3.7.2) varia col quadrato della velocitá, mentre il termine di Coriolis varia
linearmente; quest’ultimo puó essere pertanto trascurato in questi sistemi. Quindi il
bilancio delle forze è solo tra gradiente di pressione ed effetti centrifughi:
c 2
r
1 ∂p
=
ρ ∂r
(3.20)
Il flusso potrá sussistere solo intorno ad un centro di bassa e, poiché la forza di Coriolis
è trascurabile, il verso di rotazione puó essere sia ciclonico che anticiclonico. Questo
tipo di moto è detto ciclostrofico ed è piú frequente alle basse latitudini dove f è
piccolo. Gli uragani obbediscono a questa legge presso il loro centro. Altri esempi sono
le trombe d’aria e d’acqua ed i tornado.
3.5 Confronto tra valori geostrofici e di gradiente
Confrontiamo le velocitá dei venti geostrofico e di gradiente per vedere se è possibile
approssimare il vento di gradiente (difficile da calcolare) con il geostrofico. Ricordando
che:
velocità del vento geostrofico: vgeo = 1 ∂p
ρf
∂r ⇒ f vgeo = 1
ρ
∂p
∂r
(3.21)
(in tale formula si noti che, come viene dalla regola delle basse alla sinistra, vgeo > 0
attorno ad una bassa pressione, viceversa attorno ad una alta) il vento di gradiente si
potrá riscrivere come:
c = − fr
2 ±
f 2r2 r ∂p
+
4 ρ ∂r
= −fr
2 ±
f 2r2 + r f vgeo
4
c 2 + f 2r2 4 + c f r = f 2r2 + r f vgeo
4

80 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
e semplificando:
vgeo = c + c2
fr
c > 0 (flusso attorno ad una bassa) ⇒ vgeo > c
c < 0 (flusso attorno ad una alta) ⇒ |vgeo| < |c|
(3.22)
pertanto per circolazioni attorno a basse pressioni l’approssimazione geostrofica sovrastima
quella di gradiente, per circolazioni attorno ad alte pressioni l’approssimazione
geostrofica sottostima quella di gradiente.
Fisicamente, questi risultati si possono spiegare dal bilancio delle forze:
• in un ciclone forza di Coriolis e centrifuga operano insieme: una velocitá piú
debole (rispetto al caso in cui operi la sola forza di Coriolis) è sufficiente ad
equilibrare un gradiente.
• in un anticiclone la forza di Coriolis da sola deve equilibrare centrifuga e gradiente,
così per lo stesso gradiente di pressione occorre una velocitá superiore mentre nel
caso geostrofico Coriolis equilibra solo la forza di gradiente.
In pratica, l’approssimazione geostrofica è molto buona. L’incertezza dovuta a tale
approssimazione va ad aggiungersi ad altre incertezze che incorrono quando si vogliono
fare stime di venti: errori nei sondaggi con palloni pilota, indeterminazione sulla
struttura dei campi di p, allontanamento dell’atmosfera dalle condizioni di equilibrio.
3.6 Rappresentazione del gradiente di pressione su
superfici diverse da quella orizzontale
Per varie ragioni si desidera spesso rappresentare la circolazione atmosferica su superfici
particolari che non sono curve di livello (a quota costante). Al fine di applicare
le approssimazioni geostrofiche o di gradiente su queste superfici, dobbiamo derivare
un’espressione per il gradiente orizzontale di pressione determinato punto per punto
lungo una superficie arbitrariamente definita pendente sull’orizzontale. Indichiamo il
gradiente di pressione lungo una superficie di livello con i termini ∂p
dove l’indice
∂x z
z significa “a z costante”. Similmente il gradiente di pressione lungo una superficie
caratterizzata da un valore costante di qualche proprietà q sarà indicato da termini
come ∂p
. Noi vogliamo porre in relazione queste due quantità tra di loro. Anzitutto
∂x q
ci si aspetta che in qualche modo entri nella relazione la pendenza della superficie q.
Consideriamo una sezione (z, x) come in fig. 3.8.
Con le notazioni di fig. 3.8 vale la seguente identità:
∆p
=
∆x
p3 − p1
∆x = p3 − p1 + p2 − p2
=
∆x
p2 − p1
∆x − p2 − p3 ∆z
(3.23)
∆z ∆x
z
che per incrementi in distanza infinitesimi diventa:
∂p
∂x
∂p
=
∂x
∂p ∂z
−
∂z ∂x
z
q
q
(3.24)

3.6. RAPPRESENTAZIONE DEL GRADIENTE 81
Figura 3.8: Sezione di una superficie a q = cost nel piano (x, z).
dividendo ambo i membri per la densità e sostituendo a destra l’equazione della statica
∆p = −ρg∆z, si ha:
1 ∂p
ρ ∂x z
= 1
∂p ∂z
+ g
ρ ∂x q ∂x q
(3.25)
Un’analoga equazione si può scrivere per il piano (y, z) sostituendo x con y. Queste
equazioni pongono in relazione la forza di gradiente orizzontale per unità di massa con la
forza di gradiente di pressione lungo la superficie q, la cui pendenza è inclusa nell’ultimo
termine. Sostituendo le equazioni in quelle del vento geostrofico e di gradiente si ha la
forma appropriata di queste equazioni sulla superficie a q = costante.
A titolo di esempio vogliamo scrivere le equazione del vento geostrofico usando come
coordinata verticale la pressione e la temperatura potenziale, vogliamo cioé vedere come
si trasforma l’eq. del vento geostrofico (3.6) dal sistema (x, y, z, t) al sistema (x, y, p, t)
e a quello (x, y, θ, t). Si tratta in definitiva di usare la (3.25) per esprimere il gradiente
di pressione in termini di derivate su superfici a pressione e a temperatura potenziale
costante.
3.6.1 Superfici isobariche
Consideriamo ora il caso di superfici isobariche nel qual caso q = p e ⇒
quindi ho
1
ρ
∂p
= g
∂x z
∂z
∂x p
generalizzando allora al gradiente orizzontale si trova:
∂p
= 0
∂x p
(3.26)
1
ρ ∇zp = ∇pΦ. (3.27)
Si noti come tale uguaglianza coinvolga due vettori giacenti sul piano orizzontale (x−y)
del sistema meteorologico. Così su una superficie isobarica la variabile da tracciare è

82 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
l’altezza z della superficie, o meglio il suo geopotenziale Φ = gz. Il gradiente orizzontale
di questa quantità misurata su una superficie isobarica è proporzionale al gradiente
orizzontale della pressione misurato lungo una superficie equipotenziale. La relazione
(3.27) dice anche che le strutture delle curve isobariche sulle superfici a z costante
sono in tutto e per tutto identiche alle strutture del geopotenziale sulle superfici a p
costante. Cosí, ad esempio, se in un punto ad una certa altezza é localizzato il centro
di una bassa pressione, corrispondemente sulla isobara passante per quel punto vi sará
anche un minimo del geopotenziale.
Se ho forte pendenza delle isobare corrispondentemente avró anche un forte vento.
Così le equazioni del vento geostrofico su una superficie isobarica diventano:
⎧
1 ∂p
fv =
⎨ vgeo =
ρ ∂x ⇒
⎩
g
∂z
f ∂x p
∂z
oppure in forma vettoriale:
fu = − 1 ∂p
ρ ∂y
f Vgeo = ˆ k× ∇pΦ ⇒
ugeo = − g
f
⎧
⎨
⎩
ugeo = − 1
vgeo = 1
f
∂y
p
∂Φ
f ∂y
∂Φ
∂x p
p
(3.28)
(3.29)
che ha il vantaggio di non avere al suo interno la dipendenza dalla densitá (questo é
uno dei vantaggi pratici che si hanno usando le carte isobariche invece che le carte di
livello: su queste ultime infatti ogni strumento per misurare i venti geostrofici deve
considerare la variazione della densitá con la quota).
Ricordando l’interpretazione geometrica del gradiente di geopotenziale data nella
eq. (1.57) oppure guardando direttamente alla (3.28) si ricava che:
| Vgeo| = g
f
2 ∂z
+
∂x p
2 ∂z
=
∂y p
g
f
tan α (3.30)
cioé il valore del vento geostrofico é direttamente proporzionale alla pendenza della
superficie isobarica.
Alternativamente, come fatto in fig. 3.10 ci si puó mettere sulle superficie a p
costante (isobare) e tracciare le isoipse: il vento di gradiente é proporzionale al gradiente
cosí calcolato, scorre parallelo alle isoipse lasciando a destra le altezze piú grandi.
Pertanto un fissato gradiente di geopotenziale dá lo stesso vento geostrofico ad ogni
altezza mentre un dato gradiente di pressione orizzontale in generale dará valori di
vento geostrofico diversi a seconda della densitá. In fig. 3.9 viene mostrata una cartina
di geopotenziale a 300 hP a con i vettori di vento; a tale pressione le quote variano tra
9.1 e 9.8 km.
3.6.2 Superfici isoentropiche
Fra le coordinate verticali utilizzabili vi é anche l’entropia S o alternativamente la
temperatura potenziale θ (essendo S = cp ln θ): in tal caso si parla di sistema di

3.6. RAPPRESENTAZIONE DEL GRADIENTE 83
Figura 3.9: Cartina di geopotenziale in decametri a 300 hP a del giorno 4/9/1998 ore
00 UT.
coordinate isentropico (tale sistema é particolarmente utile per tracciare i cammini
delle particelle d’aria che avvengono a θ costante in quanto, in flussi adiabatici, si
ha entropia costante). Lo studio termodinamico dettagliato é affrontato nel secondo
volume. Qui utilizzeremo solamente l’eq. di Poisson per le adiabatiche secche che si
ricava immediatamente integrando la (2.26):
ln T2
T1
= R
ln
cp
p2
p1
⇒ T
T0
p
=
R
cp formula di Poisson (3.31)
dove T0 è la temperatura potenziale (θ) e p0 è una pressione di riferimento di 1000 mb.
Si noti che l’ipotesi iniziale di sistema adiabatico è quasi sempre verificata. Differenziando
logaritmicamente la (3.31) su una superficie isoentropica, otteniamo:
1
T
p0
∂T
=
∂x θ
R
cp p
∂p
; (3.32)
∂x θ

84 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
B
H
H+ΔH
H+2ΔH
H+3ΔH
Figura 3.10: Vento geostrofico e isoipse su una isobara.
sostituendo nella (3.25) (q = θ = costante) si trova:
1 ∂p
ρ ∂x
= 1
∂p
ρ ∂x
∂z
+ g
∂x
che inserita nella (3.32) porge:
∂p
∂x
= cp
p ∂T
R T ∂x
⇒ 1
∂p
ρ ∂x
θ
θ
z
z
θ
= cp
p ∂T
+ g
R T ρ ∂x θ
θ
∂z
=
∂x θ
∂
∂x (cp T + g z) θ
e la stessa equazione si può scrivere lungo la direzione y. Generalizzando quindi al
gradiente:
1
ρ ∇zp = ∇θΨ Ψ ≡ cpT + Φ.
Ma allora possiamo riscrivere le equazioni dell’equilibrio geostrofico come:
o in forma vettoriale:
v = 1
f
∂
∂x (cp T + g z) θ
u = − 1 ∂
f ∂y (cp T + g z) θ
f Vgeo = ˆ k × ∇θΨ.
(3.33)

3.7. COMPLEMENTI 85
z
✻
pC
✻
s=cost
✦ ✲
✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦
δz
δx
x
pB
pA
❄
Figura 3.11: Passaggio ad una generica coordinata verticale S.
ove si é introdotta la Montgomery stream function (cp T + g z); in breve su una
superficie isoentropica (cioé a θ = costante) il vento geostrofico si disegna usando le
linee ove la Montgomery stream function é costante cosí come sulle superfici isobariche
si usano le linee di geopotenziale o sulle isopise le linee isobariche.
3.7 Complementi
3.7.1 Altre coordinate verticali: trattazione generale
In generale qualsiasi funzione monotona della pressione o dell’altezza S puó essere
utilizzata come coordinata verticale indipendente. Vogliamo ora generalizzare la trattazione
del paragrafo (3.6) ragioniamo in termini del tutto generali con una grandezza
S, aiutandosi con la figura 3.14 ove si sono disegnate le superfici a S costante.
Chiaramente, lavorando con le derivate sul piano x − z, per una generica grandezza
scalare Ψ sará:
∂Ψ
∂x
∂Ψ
∂x
ed infine si ha la formula:
∂Ψ
S
S
∆ ΨAC = ∆ ΨAB + ∆ ΨBC
∂Ψ
∂Ψ
∆ xAB = ∆ xAB + ∆ zBC
∂x z
∂z
∂Ψ
∂Ψ ∂z
∆ xAB = ∆ xAB +
∂x
∂z ∂x
∂x
S
=
z
∂Ψ
+
∂x z
che riscritta in termini di gradienti diviene:
∂Ψ
∂z
∇SΨ = ∇Ψ + ∇Sz ∂Ψ
∂z
∂z
∂x S
S
∆ xAB
(3.34)
(3.35)
che vale per generiche grandezze scalari S e Ψ. ∇Ψ é l’usuale gradiente orizzontale per
una variabile scalare, ∇SΨ é il gradiente orizzontale di Ψ determinato sulla proiezione

86 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
orizzontale della superficide S = cost ed infine ∇Sz é il gradiente orizzontale dell’altezza
z sempre sulla superficie a S = cost.
Con S = p e Ψ = p si ritrova la (3.27). Lavorando invece con la temperatura come
coordinata verticale (S = T ) si trova:
e quindi:
1
ρ
∂p
∂x z
∂p
∂x
Pertanto, passando ai gradienti:
z
=
∂p
∂x
= 1
∂p ∂Φ
+
ρ ∂x T ∂x T
= RdT
∂p ∂Φ
+
p ∂x ∂x
3.7.2 Coordinate naturali
T
T
− ∂p
∂z
T
∂z
∂x T
∂ ln p
= Rd T
∂x
f Vgeo = ˆ k × ∇T (Rd T ln p + Φ).
T
+
∂Φ
.
∂x T
Molto spesso torna utile anziché utilizzare il sistema di riferimento meteorologico utilizzare
un sistema di riferimento naturale di coordinate (s, n, z) opportunamente ruotato
rispetto al sistema meteorologico definito dai versori:
• ˆt tangenziale, orientato parallelamente alla direzione del moto;
• ˆn normale alla direzione del moto sul piano orizzontale, orientato positivamente
alla sinistra della direzione di moto;
• ˆ k = ˆt × ˆn diretto verticalmente verso l’alto.
Si noti che si é assunto implicitamente che solo il moto sul piano orizzontale sia non
trascurabile di modo che i versoriˆt e ˆn si trovano sul piano orizzontale. In questo
sistema allora la velocitá orizzontale si potrá scrivere come V = V ˆt essendo V = ds/dt
la velocitá orizzontale (che per definizione quindi é sempre positiva). Importante notare
che sistema naturale e sistema meteorologico misurano uguali velocitá del vento (pari a
V ). Questo é rilevante ricordando che la forza di Coriolis é riferita alla velocitá relativa
di oggetti come misurata dal sistema di riferimento meteorologico.
L’accelerazione allora si calcolerá come:
d V
dt = ˆt dV
dt
+ V dˆt
dt
(3.36)
La velocitá di cambiamento di ˆt seguendo il moto si calcola ricordando la derivata di
un versore rotante e sará quindi pari a ϖ׈t essendo ϖ = V ˆk. Si noti che Rt é il raggio
Rt

3.7. COMPLEMENTI 87
della curvatura seguita dalla particella ed é positivo se la particella ha moto antiorario
(di modo che ϖ sia diretto verso l’alto), negativo altrimenti. Con la notazione assunta
per ˆn si ha proprio: ϖ × ˆt = V ˆn. Ma allora riprendendo la (3.36) si trova infine:
Rt
d V
dt = ˆt dV
dt
+ ˆnV 2
Rt
(3.37)
ovvero l’accelerazione seguendo il moto é data dal contributo dovuto alla variazione
del modulo della velocitá (accelerazione tangenziale) ed a quello dovuto alla sua accelerazione
centripeta per effetto della traiettoria curvilinea.
Si noti che in questo nuovo sistema di coordinate le componenti sul piano orizzontale
(ˆt, ˆn) del termine di accelerazione di Coriolis diventano 2 :
a oriz
Cor = (−2 Ω × V) oriz = −f V ˆn (3.38)
di modo che le componenti orizzontali delle equazioni del moto (2.8) nel sistema di
coordinate naturali (3.37) diventano:
dV
dt
V 2
Rt
∂p
= −1
ρ ∂s
= −f V − 1 ∂p
ρ ∂n
(3.39)
(3.40)
che esprimono il bilancio delle forze parallelamente e normalmente alla direzione del
flusso.
In questo sistema di riferimento le equazioni dei principali venti diventano:
• vento di inerzia (nessuna forza di pressione):
V 2
+ f V = 0,
Rt
• vento geostrofico (nessuna accelerazione):
f Vgeo = − 1 ∂p
ρ ∂n ,
dV
dt
dV
dt
= 0; (3.41)
= 0. (3.42)
Il significato del segno meno (siccome con questa notazione V deve essere positivo)
é che ˆn punta verso le p piú basse (di modo che ∂p
< 0) ovvero il vento geostrofico
∂n
lascia alla sua sinistra le basse pressioni nell’emisfero N (le alte nell’emisfero S,
ove f < 0) ;
2 Nel sistema di coordinate naturali il vettore Ω si scrive come (?, ?, ΩT sin φ) ove con i ? si
intendono dei valori incogniti.

88 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
• vento ciclostrofico:
V 2
ciclo
Rt
= − 1 ∂p
; (3.43)
ρ ∂n
Il significato del segno meno é che il vento ciclostrofico asseconda circolazione sia
orarie (Rt < 0) che antiorarie (Rt > 0) solo attorno alle basse;
• vento di gradiente:
V 2
grad
R + fVgrad = − 1 ∂p
ρ ∂n ⇒ Vgrad
f R
= −
2 ±
2 2
1/2
f R R ∂p
− . (3.44)
4 ρ ∂n
Si noti che nel paragrafo 3.3 si adotta un’altra notazione: anziché ˆn si usa ˆr orientato
in modo che i raggi di curvatura indicati con r (lettera minuscola) siano sempre positivi;
conseguentemente i valori delle velocitá, indicati con c sono positivi se le traiettorie sono
percorse in verso antiorario, negative altrimenti. Quell’approccio ha il vantaggio che il
segno ∂p
∂p
> 0 nei centri di bassa pressione e < 0 nelle alte, indipendentemente dalla
∂r ∂r
curvatura. L’eq. per il vento di gradiente corrispondente é fornita nell’eq. 3.18. Nel
seguito useremo ambedue le notazioni (usando le corrispondenti notazioni minuscole o
maiuscole per i raggi di curvatura). Lo studente non si spaventi ma si abitui ad usare
ambedue le notazioni, comunemente usate in letteratura.
Figura 3.12: Bilancio delle forze nell’emisfero Nord per i 4 tipi possibili di vento di
gradiente: (a) bassa regolare; (b) alta regolare; (c) bassa anomala; (d) alta anomala.
L’analisi del vento di gradiente (vedi Tab. 3.1 e fig. 3.12) mostra come (escludendo
il caso anomalo) moti attorno alle basse saranno caratterizzati da valori di fR > 0
mentre moti attorno alle alte saranno caratterizzati da valori di fR < 0; ció significa
che nel nostro emisfero (f > 0) attorno alle basse si svilupperanno moti in verso
antiorario mentre attorno alle alte moti in verso orario. Nel nostro emisfero esiste
un caso di circolazione attorno alle basse che é anomalo: si ha circolazione oraria

3.7. COMPLEMENTI 89
Tabella 3.1: Classificazione delle radici dell’eq. (3.44) per il vento di gradiente per i
due emisferi.
∂p
∂n > 0
∂p
∂n
∂p
∂n
∂p
∂n
Emisfero Nord (f > 0)
R > 0 antiorario R < 0 orario
due soluzioni negative: radice +: bassa anomala
non permesse radice -: non permessa
radice +: bassa regolare 2 soluzioni pos.: flusso anticiclonico
< 0 =flusso ciclonico regolare (V < −fR/2), radice -
radice -: non permessa e anomalo (V > −fR/2), radice +
Emisfero Sud (f < 0)
R > 0 antiorario R < 0 orario
due soluzioni pos.: flusso anticiclonico radice +: bassa regolare
> 0 regolare (V < −fR/2) =flusso ciclonico
e anomalo (V > −fR/2) radice -: non permessa
radice +: bassa anomala
< 0 =flusso ciclonico
radice -: non permessa
(R < 0) con ∂p
due soluzioni negative:
non permesse
> 0. Si noti che sistemi quali tornado, uragani e tempeste tropicali ci
∂n
appaiono sempre ruotare in verso antiorario: questo perché in tali sistemi per effetto
del gradiente barico, prima che si arrivi all’equilibrio esiste una convergenza: la forza
di Coriolis deviando verso destra instaura la circolazione antioraria. Vortici a scale piú
piccole invece, quali “dust devils” o i gorghi dei lavandini non ruotano in alcun senso
preferenziale. La ragione é che la forza di Coriolis é efficace per velocitá piú grandi di
quelle in gioco in questi sistemi e per sistemi che durino piú a lungo (almeno qualche
ora). La rotazione nei lavandini é determinata o da eventuali asimmetria nella forma
del lavandino o dai vortici che si formano quando si riempie il lavandino stesso: la
vorticitá di tali vortici é un vero e proprio gigante rispetto a f. A titolo di esempio,
supponendo che vi sia un vortice di raggio pari a 0.1 mm anche con una velocitá
tangenziale molto bassa tipo 1 µm/s produce ancora una vorticitá pari a 2 10−2 s−1 ,
un ordine di grandezza piú grande di f!
Osservazione: il termine ciclonico sta solo a significare che la rotazione del fluido
é dovuta alla rotazione della Terra ed in particolare che il fluido ruota nella stessa
direzione della Terra sottostante, ovvero:
• flusso ciclonico: forza centrifuga e di Coriolis hanno lo stesso verso (R f > 0);
• flusso anticiclonico: forza centrifuga e di Coriolis hanno verso opposto (R f < 0).

90 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
3.8 Esercizi
3.8.1 Moto di inerzia
Una particella é libera di muoversi su un piano orizzontale alla latitudine φ. Trovare
le equazioni che governano il cammino della particella se essa ha una velocitá iniziale
u = u0 diretta verso E a t = 0. Trovare la posizione della particella in funzione del
tempo. Come cambia il risultato se é presente una forza di attrito viscoso porporzionale
alla velocitá?
Le equazioni del moto sono:
du
dt
dv
dt
= fv
= −fu
quindi sia u che v soddisfano l’equazione di un oscillatore armonico con frequenza
f = 2 Ω sin φ. Integrando le due equazioni con le condizioni iniziali (u(0) = u0,
v(0) = 0) si trova:
u(t) = u0 cos(ft)
v(t) = −u0 sin(ft).
Integrando e ponendo (x(0), y(0)) = (0, 0) si trova infine:
u0 x(t) = f sin(ft)
y(t) = u0 (cos(ft) − 1)
f
che rappresenta il circolo di inerzia con centro (0,- u0
f ) e raggio di curvatura Rcurv = u0
f
rappresentato in fig. 3.13 (sinistra).
Tale circolo viene percorso ad una velocitá angolare ω = f con un periodo pari
π 1 giorno
a T = = , detto mezzogiorno pendolare. Introducendo una forza di
Ω sin Φ 2 sin Φ
attrito viscoso la velocitá non sará piú conservata ma andrá man mano riducendosi.
Le equazioni del moto si possono scrivere in termini si s = u+iv come . s +(k +if)s = 0
che, con le stesse condizioni iniziali di prima, ha come soluzione:
u(t) = u0 e−kt cos(ft)
v(t) = −u0 e −kt sin(ft)
La traiettoria allora non riuscirá piú a richiudersi su un cerchio ma andrá man mano
spiraleggiando come illustrato in fig. 3.13 (destra). In quale punto arriverá la particella?
(Sugg.: si determini la legge oraria integrando e si faccia tendere t → ∞; Risp.:
(x∞, y∞) = u0
k 2 +f 2 (k, −f)).
Alla luce del risultato precedente é possibile calcolare l’esatta deviazione verso S
del missile per effetto della forza di Coriolis. Per tale missile Rcurv = 103
10 −4 = 10 7 m =
10 4 km. Aiutandosi con la fig. 3.13 si ha infatti:
θ Rcurv = L ⇒ θ = 103
= 1/10 rad
104

3.8. ESERCIZI 91
Δy
θ
u0
y(m)
−1
−2
−3
−4
−5
−6
x 104
0
Moto con attrito viscoso
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x 10 4
−7
x(m)
Figura 3.13: (Sinistra) Circolo di inerzia per un corpo con velocitá iniziale v = (u0, 0, 0).
(Destra) Traiettoria percorsa da una particella con velocitá iniziale u0 = 5 m/s ad una
latitudine di 45 ◦ N in presenza di una forza di attrito proporzionale a v con coefficiente
di proporzionalitá pari a k = 0.3 × 10 −4 s −1 .
quindi
∆ y = − [Rcurv(1 − cos θ)] = 10 4 × .004996 = 49.96 km,
cioé l’approssimazione data in precedenza era molto buona.
Infatti u(t = 10 3 s) = u0 cos(10 −1 ) = 0.995 × u0. In realtá il missile viene deviato
di una quantitá piú che doppia: per i missili, ma non per movimenti di venti su scala
sinottica, la curvatura della Terra non puó venire trascurata.
A che distanza rimarrebbe confinato il moto di un uccello che si muova a 3 m/s,
quello di un vento a 10 m/s o quello della corrente del Golfo se l’unica forza agente
fosse quella di Coriolis? (Risp.: 30 km, 100 km, 10 km) Si noti che molto spesso al
moto di inerzia si va a sommare un moto traslazionale. Il movimento risultante ha
tipicamente l’aspetto di una cicloide (ordinaria, estesa o contratta). Il periodo delle
oscillazioni risultanti é il solito mezzo giorno pendolare. É quello che si osserva ad
esempio per il moto di boe nel periodo immediatamente successivo al passaggio di una
tempesta con forti venti. Infatti dopo tale situazione, gli strati superiori dell’oceano
continuano a muoversi nella direzione del vento, anche se questo é cessato. Su questo
moto andranno a sovrapporsi le oscillazioni inerziali, che ora diverranno ben visibili.
3.8.2 Pendolo di Foucalt
Si scrivano e si risolvano le equazioni del moto per un pendolo semplice di massa m
sulla superficie terrestre alla latitudine φ. Si indichi con l la distanza del pendolo dal
punto di sospensione.

92 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
Se si considerano piccole oscillazioni le equazioni del moto sul piano orizzontale
(trascuriamo i termini in w) diventano 3 :
⎧
⎨
⎩
d2x dt2 = −g x
l
d2y dt2 = −g y
l
dy
+ 2ΩT sin φ dt
dx − 2ΩT sin φ dt
che, riscritte nella variabile s = x + iy, diventano:
d2s ds
+ if
dt2 dt + ω2s = 0 ω 2 = g/l
che trascurando i termini in f rispetto a quelli in ω (che é giustificato dal fatto che il
periodo delle piccole oscillazioni del pendolo é molto piú piccolo del periodo di rotazione
del piano di oscillazione del pendolo) ha come soluzione:
s(t) = Ae i(ω−f/2)t + Be −i(ω+f/2)t
Se supponiamo che inizialmente il pendolo sia lasciato da fermo sul piano x − z ad x0
si ha:
2ω + f
x(t) =
4ω x0
2ω − f
cos {(ω − f/2)t} +
4ω x0 cos {(ω + f/2)t}
2ω + f
y(t) =
4ω x0
2ω − f
sin {(ω − f/2)t} −
4ω x0 sin {(ω + f/2)t}
che, usando le formule di addizione, sempre usando f ≪ ω diventano:
f
x(t) x0 cos (ω t) cos
2 t
f
y(t) x0 cos (ω t) sin
2 t
.
Come si vede al moto armonico con frequenza caratteristica del pendolo va ad aggiungersi
una rotazione del piano di oscillazione del pendolo con frequenza f/2 e quindi
periodo T = 2π/(f/2) = 4π/f = 1giorno/ sin φ che é per l’appunto il giorno pendolare.
3.8.3 Vento geostrofico, ciclostrofico, gradiente
1. Calcolare la velocitá del vento geostrofico in funzione della distanza fra le isobare
(tracciate a 5 mb di intervallo) su una mappa in scala 1 : 10 7 per φ = 60 ◦ e
ρ = 1.27kg/m 3 .
Il vento geostrofico é dato dall’espressione (3.42) quindi in modulo:
vgeo = 1
∂p
1
f ρ ∂r
=
∆p
f ρ ∆r
3 Basta prendere le (2.13) e aggiungere la tensione del filo, che é connessa al peso del corpo. . .
(3.45)

3.8. ESERCIZI 93
che introducendo i valori dati ∆p = 5 mb = 500 P a diventa:
vgeo =
1
5 · 100[kg/(s
√
3 7.3 × 10−5 [s−1 ] 1.27[kg/m3 ]
2m)] 105 ∆r(cm)[m]
= 31.14
∆r[cm] [m/s].
Cosí se ∆r = 1 cm allora vg = 31.14 m/s se invece ∆r = 4 cm allora vg =
7.8m/s. Ricordiamo che l’approssimazione geostrofica costituisce una espressione
diagnostica che correla il campo di pressione e la velocitá del vento orizzontale
in sistemi di scala sinottica, cioé su scale di lunghezza orizzontali di ∼ 1000 km,
verticali ∼ 10 km e temporali di ∼ 1 giorno. Quindi non predice nulla sulla
evoluzione temporale, non é cioé prognostica.
2. Sulla superficie isobarica a 1000 mb il geopotenziale decresce di 30 gpm (metri
di geopotenziale) tra due punti che si trovano a 47.5 ◦ e 42.5 ◦ di latitudine dello
stesso meridiano. Quanto vale il gradiente di geopotenziale nel punto intermedio?
Qual é la pendenza della superficie isobarica sull’orizzontale? Qual é la direzione
e la velocitá del vento geostrofico a seconda che ci si trovi nell’uno o nell’altro
emisfero supponendo che le isoipse corrano parallele ai paralleli?
La distanza tra i due punti in questione é d = RT ∆φ = 6400 km × 0.087 rad =
558 km e quindi il gradiente di geopotenziale avrá intensitá:
| ∇pΦ| = ∆Φ
d = 30 × 9.8 m2 /s2 558 km
= 5.28 · 10 −4 m/s 2
mentre vettorialmente tale gradiente punterá verso N. Ma allora sará:
fvgeo = k × ∇pΦ = (−5.28, 0, 0) · 10 −4 m/s 2
quindi nel nostro emisfero (f = +10 −4 s −1 ) il vento geostrofico punta verso ovest
e vale 5.28 m/s. Nell’emisfero S cambia il segno di f ma cambia anche il segno di
∇pΦ che questa volta punta verso S e quindi il vento geostrofico non cambia né
direzione né intensitá né verso (é sempre orientale). La pendenza della superficie
isobarica é banalmente
tan α = | ∇p Z| = | ∇p Φ|
g
= 5.4 × 10 −5 .
3. Un aeroplano che attraversa l’oceano ad una latitudine di 45 ◦ N ha sia un altimetro
a pressione che un altimetro radar, che ne misura l’altezza assoluta al di
sopra del mare. Inizialmente vola contro un vento la cui velocitá é pari a 100
m/s e in seguito mantiene l’altezza riferendosi all’altimetro a pressione: questo
dispositivo misura una pressione di 500 hP a corrispondente ad una altezza di
6000 m. All’inizio della prima ora l’altimetro radar legge invece una altezza di
5700 m mentre alla fine dá una altezza di 5950 m. Che distanza ha percorso
approssimativamente l’aereo e in quale direzione rispetto al suo heading?

94 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
✑ ✑✑✸
500 km
✑
✑
✑✰
✑
40 mgp
✧ ✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧✧
p = 700 mb
Figura 3.14: Pendenza della superficie isobarica a 700 mb.
Il moto dell’aereo avviene su una superficie a p costante. Con buona approssimazione
il vento di 100 m/s é di natura geostrofica e quindi applicando l’eq.
del vento geostrofico in coordinate isobariche (3.29) passando ai moduli delle
grandezze vettoriali si trova:
f | Vg| = | ∇pΦ| ⇒ | ∇pZ| = f | Vg|
g = 10−4 × 102 9.8
inserendo i valori del problema si trova che la pendenza della superficie isobarica
é pari a tan α = 1/980. Ma allora lo spazio percorso dall’aereo sará:
s = ∆z
sin α
980 × ∆z = 245 km.
Siccome l’aereo viaggia in direzione opposta al vento avrá le regioni di alto
geopotenziale (verso cui si muove) alla sinistra del suo heading iniziale (perché il
vento geostrofico tiene le alte alla sua destra nel nostro emisfero).
4. Determinare il vento di gradiente in un punto che é distante 700 km dal centro di
un ciclone, e posto a 60 ◦ N. La distanza fra isoipse vicine (le isoipse sono tracciate
a intervalli di 40 gpm = 392 m 2 /s 2 ) sulla mappa a 700 mb é 2.5 cm, e la scala é
1 : 2 × 10 7 .
Sappiamo che in un sistema di coordinate isobariche il gradiente orizzontale di
pressione (che dobbiamo ricavare per ottenere il vento di gradiente) coincide con
il gradiente di geopotenziale a pressione costante. Aiutandosi con la fig. 3.14
dalla formula:
essendo
∇p z
=
1
ρ
∇z p
= g
∇p z
40 m
5×10 5 m = 8 × 10−5 si ha con ρ = 1 kg/m 3 :
1
ρ
∇z p
= 9.8 × 8 × 10 −5 = 78.4 P a/100 km m 3 /kg = 0.78 mb/100 km m 3 /kg

3.8. ESERCIZI 95
8.5 m/s
B B A
58.5 m/s
13.8 m/s
A
36.2 m/s
Figura 3.15: Possibili venti di gradiente con un raggio di curvatura di 500 km e un
gradiente di pressione di 1kP a/1000 km.
trovandoci in una bassa (perché stiamo trattando un ciclone nell’emisfero N)
allora 1 ∂p 1 = + ρ ∂r ρ |∇z p| = 0.78 mb/100 km m3 /kg ragione per cui la (3.19) per la
soluzione di bassa regolare diviene:
f r
c = −
2 +
f 2 r2 r ∂p
+
4 ρ ∂r = −44.1 + √ 44.12 + 548.8 = 5.8 m/s
cioé come richiesto la circolazione é ciclonica.
5. Calcolare il vento geostrofico per un gradiente di pressione di 1kP a/1000 km e
confrontare tale valore con tutti i possibili venti di gradiente con un raggio di
curvatura di 500 km. Sia f = 10 −4 s −1 e ρ = 1 kg/m 3 .
Usando la (3.42) si trova subito che Vgeo = 10m/s. Per quel che concerne il vento
di gradiente usiamo adesso la notazione (3.18). Abbiamo i seguenti casi:
• con centro in una bassa ( ∂p
∂r = 10−3 P a/m) si trovano due valori
c1 = 8.5 m/s, c2 = −58.5 m/s;
• con centro in una alta ( ∂p
∂r = −10−3 P a/m) si trovano due valori
I 4 casi sono illustrati in figura 3.15.
c3 = −36.2 m/s, c4 = −13.8 m/s.
6. Confronto tra vento geostrofico e di gradiente in coordinate naturali.
Considerando solo le intensitá dei venti si ha, usando la (3.44):
V 2
grad
R + fVgrad − fVgeo = 0 ⇒ Vgeo
Vgrad
= 1 + Vgrad
f R
= 1 + Ro (3.46)

96 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
ció significa che se fR > 0 come nell’usuale flusso attorno alle basse il vento
geostrofico sovrastima il vento di gradiente mentre se fR < 0 come per il flusso
attorno alle alte il vento geostrofico sottostima il vento di gradiente.
Nota bene: Per valutare il peso della forza di Coriolis e centrifuga si introduce il
numero di Rossby definito come rapporto tra forza centrifuga e di Coriolis:
Ro ≡
V 2
grad /R
f Vgrad
= Vgrad
f R .
Si noti che con questa notazione Ro é positivo (per moti ciclonici) o negativo (caso
anticiclonico) a seconda del segno di fR e che in generale Ro ≥ −1 (lo si capisce
ricordando che il primo membro della (3.46) deve essere positivo. Tanto piú
grande é |Ro| tanto migliore é l’approssimazione ciclostrofica, tanto piú piccolo
é |Ro| tanto migliore é l’approssimazione geostrofica. (Come esercizio si valuti il
Ro per un’onda di Rossby).
Per sistemi sinottici alle medie latitudini la differenza tra vento geostrofico e di
gradiente non supera mai il 10 − 20%. Tuttavia per cicloni tropicali Ro ∼ 1 e per
trovare il valore del vento va utilizzata la formula del vento di gradiente e non
quella per il vento geostrofico.
7. Per un moto alla latitudine di 45 ◦ C N attorno ad un centro circolare di pressione
ad una distanza di 100 km dal centro, discutere in quali situazioni il termine di
Coriolis eguaglia “vettorialmente” (cioé in modulo direzione e verso) il termine
di accelerazione centrifuga. In tali situazioni determinare la velocitá del vento ed
il gradiente di pressione. Si assuma ρ = 1 kg/m 3 . Ripetere il ragionamento alla
stessa latitudine nell’emisfero S.
Utilizziamo la notazione delle coordinate naturali. Nell’emisfero N l’unico caso
in cui si puó verificare tale situazione é quello di una bassa regolare. In tal caso
imponendo l’uguaglianza f Vgrad =
poi dovrá essere che 2 f Vgrad = − 1
V 2
grad
∂p
ρ ∂N
−2 mb/100 km. (Si noti che in questo caso ∂p
∂r
R si ricava Vgrad = f R = 10 m/s del resto
da cui ∂p
∂n = −2 ρ f Vgrad = −2 P a/km =
= − ∂p
∂n ).
Nell’emisfero S accadrá esattamente lo stesso solo che in questo caso la bassa
regolare vede circolazione di tipo orario mentre sia attorno alla bassa anomala
che attorno alle alte si sviluppa circolazione antioraria per la quale quindi la
forza di Coriolis (che nell’emisfero S spinge verso sinistra) spinge verso il centro
e quindi non puó mai essere concorde alla centrifuga.
8. Determinare il massimo possibile rapporto tra la velocitá di vento di gradiente
anticiclonico regolare (soluzione della (3.44) con il segno -) e di vento geostrofico,
per lo stesso gradiente di pressione.

3.8. ESERCIZI 97
In condizioni anticicloniche regolari nell’emisfero Nord (R < 0) si ha:
Vgrad =
mentre dalla (3.46) segue:
f |R|
2 −
Vgrad
Vgeo
f 2 R 2
=
4
− |R|
ρ
1
1 + Ro
∂p
∂n
(3.47)
(3.48)
quindi con numeri di Rossby piccoli ci si aspetta Vgrad Vgeo; quando invece Ro
si avvicina a -1 sembrerebbe dalla (3.48) che il vento di gradiente possa diventare
arbitrariamente piú grande del vento geostrofico. Ció peró non é possibile in
condizioni normali anticicloniche perché in tali condizioni, per le condizioni di
esistenza del radicando nella (3.47) il gradiente di pressione non puó superare un
certo valore per una fissata distanza dal centro R:
f 2 R 2
4
Corrispondentemente:
ovvero 0 ≤ Vgrad ≤
0 ≤
f |R|
2
− |R|
ρ
∂p
∂n
> 0 →
f |R|
2 −
f 2 R2 |R|
−
4 ρ
e quindi (Ro < 0):
∂p
∂n
−0.5 ≤ Ro ≤ 0
∂p
∂n
< ρ |R| f 2
4
≤ f |R|
2
cioé il valore minimo di Ro é pari a -0.5 e sostituendo infine nella (3.48):
1 ≤ Vgrad
Vgeo
(3.49)
≤ 2. (3.50)
Pertanto, per flussi attorno ad alte pressioni regolari (quando Vgrad ≤ −fR/2),
il vento di gradiente é al piú due volte il vento geostrofico corrispondente allo
stesso gradiente barico, cioé, il vento geostrofico sottostima il vento di gradiente
al piú di un fattore 2.
Si noti che attorno ad una alta anomala questo non é piú vero perché si ha:
e quindi
Vgrad =
f |R|
2 +
f 2 R 2
4
− |R|
ρ
∂p
∂n
(3.51)
f |R|
2 ≤ Vgrad ≤ f |R| (3.52)

98 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
ovvero −1.0 ≤ Ro ≤ −0.5 e quindi il rapporto (3.48) puó diventare arbitrariamente
grande, e quindi la stima fornita dal vento geostrofico essere completamente
sottostimata.
Attorno ad una bassa invece, siccome Ro puó essere arbitrariamente grande (si
ha solo il vincolo Ro > 0), la sottostima ottenuta con il vento geostrofico puó
essere davvero non realistica. Vediamolo con un esempio.
9. In una regione a 20 ◦ N (f = 4.5 × 10 −5 s −1 ), 50 km al di fuori del centro di
bassa pressione di un grosso uragano si osserva un gradiente di pressione di 50
mb per 100 km (si noti che questo valore é 50 volte il valore usuale di gradiente
di pressione su scala sinottica). Determinare le velocitá del vento geostrofico,
ciclostrofico e di gradiente (ρ = 1.25 kg m −3 ).
Il vento geostrofico é dato dalla:
Vgeo = − 1 ∂p
ρ f ∂n
= 888 m s−1
con flusso ciclonico attorno alla bassa. Il vento ciclostrofico é dato dalla:
V 2
ciclo
R
∂p
= −1
ρ ∂n ⇒ Vciclo = 44.75 m s −1
e si puó avere sia flusso ciclonico che anticiclonico. Assumendo invece una traiettoria
di tipo circolare attorno al centro, dalla (3.44) si trovano, per il vento di
gradiente Vgrad, le due soluzioni (f|R| = 2.25 m/s) :
Vgrad =
43.6 m s −1 anticiclonica
45.9 m s −1 ciclonica
La piú grande delle due soluzioni corrisponde ad una situazione anomala di flusso
anticiclonico (verso orario), quella piú piccola alla situazione ciclonica (verso
antiorario), regolare, attorno ad una bassa. Come si vede in questo caso é decisamente
piú corretta l’approssimazione di vento ciclostrofico. Si noti infatti che
(Vgrad 44 m/s) e |Ro| 19.5 che conferma la validitá dell’approssimazione
ciclostrofica.
10. Un tornado ruota con velocitá angolare costante ω. Assumendo una temperatura
costante pari a T determinare la pressione nel centro del tornado sapendo che la
pressione ad una distanza ¯r vale p(¯r). Se T = 288 K e p(¯r = 100 m) = 10 2 kP a
e la velocitá del vento a 100 m vale v = 100 m/s, quanto vale p(r = 0)?
Per i tornado, centri di bassa pressione, vale sicuramente l’approssimazione ciclostrofica:
Fcentrifuga = Fgradiente ⇒ ω 2 r = v2
r
1 ∂p
=
ρ ∂r = Rd T ∂p
p ∂r

3.8. ESERCIZI 99
p(r) (mb)
1200
1150
1100
1050
1000
950
900
0 20 40 60 80 100
r (m)
120 140 160 180 200
Figura 3.16: Dipendenza della pressione dalla distanza dall’occhio del tornado.
da cui:
integrando:
r
che invertita dá (vedi fig. 3.16):
e nel caso particolare ¯r = 0:
¯r
ω 2 r dr = Rd T d log p
ω 2 r dr =
p(r)
p(¯r)
Rd T d log p
1
2 ω2 (r 2 − ¯r 2 ) = Rd T log p(r)
p(¯r)
p(r)
p(¯r)
1 ω
2 = e 2 (r 2 −¯r 2 )
Rd T
1 ω
− 2
p(¯r = 0) = p(r) e 2 r 2
Rd T .
Inserendo i valori del testo (ω = 1 rad/s) si trova:
1
−
p(r = 0) = 100 e 2
100 2
287 288 = 94kP a.
Calcolare il gradiente di pressione in funzione di r. Si trova immediatamente:
∂p(r)
∂r = ω2 r
Rd T p(r).
Si noti che ∂p
∂r |r=0 = 0 : questa é la ragione della calma piatta nell’occhio di un
tornado.

100 CAPITOLO 3. APPLICAZIONI ELEMENTARI
B
A
Figura 3.17: Inclinazione delle linee di vento rispetto alle isobare per circolazione
attorno alle alte (divergenza) e alle basse (convergenza) pressioni.
Si noti infine che il dato campo di velocitá per il tornado (quello cioé di un corpo
rigido con velocitá angolare costante) risulta realistico solo ove vi é il vortice del
tornado stesso; tale situazione va quindi raccordata ad un campo “normale” di
vento con una diversa dipendenza della velocitá dalla distanza dall’occhio del
tornado.
11. Alle latitudini medie, negli strati piú bassi dell’atmosfera, l’angolo tra le isobare
e i vettori di vento é dell’ordine di α = 15 ◦ . In presenza di un termine viscoso
(= −kV ) calcolare il tempo richiesto per ridurre la velocitá orizzontale di un
fattore e, in assenza di altre forze.
Da fig. 3.17 e dalla teoria k = f tan α, che con f = 10 −4 tipico delle medie
latitudini, diventa: k = .27 × 10 −4 . L’eq. differenziale che controlla un moto con
solo attrito viscoso sará:
α
fv
v
kv
Fg
v
fv
Fg
kv
dV
dt = −k V ⇒ V (t) = V0 e −kt .
Quindi τsmorzamento = 1
k 3.7 × 104 s cioé quasi mezza giornata.
12. Scrivere nel sistema (x, y, p, t) l’eq. di continuitá che nel sistema (x, y, z, t) ha
la forma:
(Risp.: ∂u ∂v ∂ω + + ∂x ∂x ∂p
= 0)
∂ρ
∂t + ∇ · (ρ v) = 0.
α

Capitolo 4
Cinematica del flusso dei fluidi
Finora abbiamo esaminato alcuni aspetti della dinamica dell’atmosfera investigando
le forze che governano il moto delle masse d’aria. Ora consideriamo brevemente la
cinematica dell’atmosfera, cioè il solo moto senza riferimenti alle forze in gioco. Si
tratta di un mezzo concettuale meno potente della dinamica, nello studio dei fluidi;
tuttavia alcuni risultati importanti possono essere dedotti dalla sola cinematica.
4.1 Linearizzazione del campo di velocità
Consideriamo per semplicità un moto orizzontale bidimensionale in un sistema di coordinate
cartesiane, ovvero un campo (u(x, y), v(x, y)). Le componenti della velocità,
in un dato istante, possono essere espresse in serie di Taylor intorno all’origine:
⎧
⎨
u(x, y) = u0 +
⎩
∂u
∂x x + 0
v(x, y) = v0 +
∂v
∂x x +
0
∂u
∂y 0
∂v
∂y
0
y + 1
y + 1
2
∂2u 2 ∂x2
0 x2 + 1
∂2u 2 ∂y2
0 y2
∂2u + ∂x∂y
0
∂2v ∂x2
0 x2 + 1
∂2v 2 ∂y2
0 y2
∂2v + ∂x∂y
0
xy + ...
xy + ...
(4.1)
I termini con pedice zero sono calcolati all’origine e sono pertanto dei coefficienti
costanti. Se ci poniamo immediatamente vicini all’origine, x e y sono piccoli e diviene
possibile approssimare u e v con espressioni lineari (fino alla derivata prima):
⎧
⎨
⎩
u(x, y) ∼ = u0 +
∂u
∂x
v(x, y) ∼ = v0 +
∂v
∂x
0
0
x +
x +
∂u
∂y 0
∂v
∂y
0
y
y
(4.2)
Per approfondire il significato di queste derivate in parentesi, possiamo chiederci
se alcune di esse, o combinazioni di esse, restino invariate durante una rotazione degli
assi. Queste combinazioni invarianti, se esistono, possono rappresentare fondamentali
proprietà del moto lineare.
Se il sistema iniziale K = (x, y) ruota di ϑ in K ′ = (x ′ , y ′ ) come in fig. 4.1 un
generico vettore A in K viene trasformato nel vettore A ′ in K ′ :
101

102 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
Figura 4.1: Coordinate di un punto P in due sistemi cartesiani ruotati di un angolo ϑ.
A ′ x = Ax cos ϑ + Ay sin ϑ
A ′ y = Ay cos ϑ − Ax sin ϑ
che, per il vettore posizione si particolareggia a:
x ′ = x cos ϑ + y sin ϑ
y ′ = y cos ϑ − x sin ϑ
mentre per il vettore velocitá trasformazione diretta e inversa diventano:
u ′ = u cos ϑ + v sin ϑ
v ′ = v cos ϑ − u sin ϑ
Ci interessa capire come trasformano i termini ∂u
∂x
u = u ′ cos ϑ − v ′ sin ϑ
v = v ′ cos ϑ + u ′ sin ϑ
, ∂u
∂y
, ∂v
∂x
e ∂v
∂y
(4.3)
(4.4)
. (4.5)
(che sono palesemente
non invarianti per rotazioni). Per far ció consideriamo una funzione generica F che
puó essere pensata sia come funzione di x e y che di x ′ e y ′ di modo che derivando:
∂F
∂x
∂F
∂y
= ∂x′
∂x
= ∂x′
∂y
∂F ∂y′ ∂F
+ = cos ϑ∂F − sin ϑ∂F
∂x ′ ∂x ∂y ′ ∂x ′ ∂y ′
∂F ∂y′ ∂F
+ = sin ϑ∂F + cos ϑ∂F
∂x ′ ∂y ∂y ′ ∂x ′ ∂y ′
Combinando le (4.5) e le (4.6-4.7) si trova:
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
=
=
=
=
′
′
∂u ∂v′
∂u ∂v′
cos ϑ cos ϑ − sin ϑ − sin ϑ cos ϑ − sin ϑ
∂x ′ ∂x ′ ∂y ′ ∂y ′
′
′
∂u ∂v′
∂u ∂v′
sin ϑ cos ϑ − sin ϑ + cos ϑ cos ϑ − sin ϑ
∂x ′ ∂x ′ ∂y ′ ∂y ′
′
′
∂u ∂v′
∂u ∂v′
cos ϑ sin ϑ + cos ϑ − sin ϑ sin ϑ + cos ϑ
∂x ′ ∂x ′ ∂y ′ ∂y ′
′
′
∂u ∂v′
∂u ∂v′
sin ϑ sin ϑ + cos ϑ + cos ϑ sin ϑ + cos ϑ
∂x ′ ∂x ′ ∂y ′ ∂y ′
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)

4.1. LINEARIZZAZIONE DEL CAMPO DI VELOCITÀ 103
da cui sottraendo la (4.9) alla (4.10) e sommando la (4.8) alla (4.11) si ottengono
rispettivamente:
∂v ∂u
−
∂x ∂y
∂u ∂v
+
∂x ∂y
∂v′ ∂u′
= −
∂x ′ ∂y ′ Vorticità (4.12)
∂u′ ∂v′
= +
∂x ′ ∂y ′
Divergenza (4.13)
Abbiamo così due combinazioni delle derivate prime delle componenti della velocità
che sono invarianti per rotazione d’assi. Altre combinazioni interessanti sono:
′
∂v ∂u
∂u ∂v′
+ = sin 2ϑ −
∂x ∂y ∂x ′ ∂y ′
′ ∂v ∂u′
+ cos 2ϑ +
∂x ′ ∂y ′
(4.14)
′
∂u ∂v
∂u ∂v′
− = cos 2ϑ −
∂x ∂y ∂x ′ ∂y ′
′ ∂v ∂u′
− sin 2ϑ +
∂x ′ ∂y ′
(4.15)
Queste combinazioni non sono invarianti ma lo diventano la somma dei loro quadrati:
2 2 ′
∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u′
+ + − = +
∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ′ ∂y ′
2 ′ ∂u ∂v′
+ −
∂x ′ ∂y ′
2 (4.16)
Le combinazioni delle derivate (4.14) e (4.15) i cui quadrati compaiono qui, sono definite
come deformazioni.
Prima di esaminare le proprietà di queste quantità fondamentali (vorticità, divergenza
e le due deformazioni 1 ), mostriamo che un campo di velocità lineare è composto di
una combinazione lineare di queste quantità più una velocità costante detta traslazione:
questa è la ragione principale della loro importanza. Poniamo gli assi ad un angolo
tale che una delle deformazione si annulli (si può farlo data l’invarianza di vorticità
e divergenza per rotazione d’assi). Per un opportuno ϑ (quello che annulla la (4.14))
sarà quindi
v ∼ = v0 + 1
2
∂x
− ∂u
∂y
0
x + 1
2
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂x
+ ∂v
∂y
0
= 0 (4.17)
perciò riscrivendo l’eq. (4.2) aggiungendo e togliendo termini uguali si trova
⎧
⎨ u
⎩
∼ = u0 − 1
∂v ∂u − y + 2 ∂x ∂y
0
1
∂u ∂v + x + 2 ∂x ∂y
0
1
∂u ∂v − x + 2 ∂x ∂y
0
1
∂v ∂u + y
2 ∂x ∂y
0
∂v
∂u
∂u
x (4.18)
y − 1
2
∂x
− ∂v
∂y
0
y + 1
2
∂v
∂x
+ ∂u
∂y
Come detto gli ultimi termini sono zero se ruotiamo opportunamente gli assi; u0 e
v0 sono le componenti di pura traslazione. I restanti termini sono moti puramente
vorticosi, divergenti e deformativi nell’ordine. Ogni moto nelle vicinanze di un punto
risulta quindi caratterizzato da questi “moti costituenti fondamentali” che vengono
calcolati a partire dal valore della divergenza, della vorticitá e delle deformazioni nel
punto attorno al quale si vuole studiare il moto.
1 Si noti che tutte queste grandezze hanno dimensioni T −1 .
0

104 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
4.2 Modi di descrivere i flussi di fluidi
Vi sono diversi modi per descrivere il flusso dei fluidi. Enunciamo qui i principali
definendo:
• Linee di corrente - Streamlines: linea alla quale in ogni istante sono tangenti
i vettori velocità i cui raggi di curvatura verranno indicati con Rs. Le linee di
flusso costituiscono una foto ”euleriana” del campo di velocitá in un particolare
istante. Quindi, ricordando la definizione del vettore tangente ad una curva r(s)
ove s é il parametro che parametrizza la curva, si trova:
dr
ds = v(r, t0) ⇒ dy
dx
v(x, y, t0)
= . (4.19)
u(x, y, t0)
che costituisce l’equazione differenziale delle streamlines (e ci dice che dx e dy, le
componenti di un incremento lungo la streamline, sono parallele al flusso).
• Traiettorie - Trajectories: linea ”lagrangiana” lungo la quale una particella
di fluido si è mossa. (es.: cammino tracciato dalla particella di un pennacchio) i
cui raggi di curvatura verranno indicati con Rt. Le traiettorie delle particelle ne
rappresentano la legge oraria e pertanto per determinarli va risolta l’equazione
differenziale che ne determina la legge oraria:
dr
dt
= v(r, t) ⇒
dx
dt
dy
dt
= u(x, y, t)
= v(x, y, t)
(4.20)
• Streaklines: linea di contorno che congiunge tutte le particelle che sono passate
per un certo punto geometrico (es.: il contorno di un pennacchio).
Questi tre modi di descrivere il moto di un fluido coincidono per flussi stazionari. Per
flussi non stazionari invece in generale non coincidono.
Per il momento ci occuperemo principalmente delle streamlines. In generale se le
componenti u e v della velocitá sono date come funzioni di x e y è possibile, mediante la
(4.19), calcolare l’equazione per il set di curve che costituiscono le streamlines. Usiamo
come esempi i quattro casi di campi lineari che compaiono nella (4.18).

4.2. MODI DI DESCRIVERE I FLUSSI DI FLUIDI 105
• Pura traslazione: se non vi sono altri movimenti eccetto la traslazione (primo
termine del membro di destra della (4.18)), l’eq. differenziale delle linee di flusso
é:
dy
dx
v v0
= =
u u0
⇒ y =
v0
u0
x + k (4.21)
che rappresenta una famiglia di rette di pendenza v0/u0 con k costante di integrazione.
Un fluido che si muova in questo modo trasporta le particelle di fluido
in modo uniforme.
Figura 4.2: Rotazione antioraria dovuta a shear.
• Pura vorticità: non vi sono altri movimenti eccetto che vorticitá (secondo termine
del membro di destra della (4.18)), l’eq. differenziale delle linee di flusso
é
dy
dx
v
= = −x
u y , x2 + y 2 = k (4.22)
famiglia di cerchi di vario raggio. In un movimento puramente vorticoso ho
solo una rotazione attorno ad un asse con velocitá che aumenta andando verso
l’esterno (in questo caso si ha solo vorticità intorno a z, quindi la rotazione
avviene solo attorno a tale asse). Andiamo ad analizzare piú da vicino il termine
di vorticitá; se consideriamo che tutti e due i termini che entrano nella formula
(4.12) diano un contributo positivo come in fig. 4.2 allora la vorticità é positiva e
si ha moto ciclonico; viceversa con vorticità negativa si ha moto anticiclonico. Si
noti come questa terminologia é consistente col fatto che per un campo di velocitá
di pura vorticitá é possibile realizzare l’equilibrio con un campo di pressione: si
tratta proprio del campo di vento di gradiente ciclonico od anticiclonico.
• Pura divergenza: se non vi sono altri movimenti eccetto che divergenza (terzo
termine del membro di destra della (4.18)) l’eq. differenziale delle linee di flusso
é
dy
dx
= v
u
y
= , y = kx (4.23)
x

106 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
❅
❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅
✻
✻ t0 + δt
✛ ✛ ✲ t0 ✲
❄
❄
✒
✒
❅
❅❘
❅
❅
❅❘
✒
✒
❅■
❅
❅
❅■
❅
Figura 4.3: Linee di flusso di pura divergenza orizzontale.
che descrive una famiglia di rette passanti per l’origine. Si ha convergenza se tali
rette sono dirette verso il centro (il centro funge da pozzo puntiforme), divergenza
se tali rette sono dirette verso l’esterno (il centro funge da sorgente puntiforme).
Una migliore comprensione della divergenza si può avere dal caso in cui ∂u
∂x e
∂v contribuiscano entrambi positivamente (e allo stesso modo) e la velocità sia
∂y
zero all’origine come in fig. 4.3. Una curva del fluido (un quadratino in figura)
sarà espansa senza essere traslata, ruotata o subire variazioni di forma. Come
vedremo poi la divergenza fornisce proprio il tasso relativo di variazione dell’area.
Si noti che le linee di flusso di pura divergenza non possono verificarsi con alcun
campo di pressione.
• Pura deformazione (di allungamento): non vi sono altri movimenti eccetto
che quelli consentiti dal quarto termine del membro di destra della (4.18)); l’eq.
differenziale delle linee di flusso é
dy v
=
dx u
= −y , xy = k (4.24)
x
famiglia di iperboli con gli assi x e y come asintoti (se si fosse considerato il quinto
termine, detto deformazione di shear, si sarebbe trovata una famiglia di iperboli

4.3. LA FUNZIONE CORRENTE O STREAM FUNCTION 107
con asintoti le bisettrici dei quadranti). Una curva del fluido sarà alterata nella
sua forma (ma manterrá sempre la stessa area): cosí, ad esempio, un quadrato
diventa un rettangolo (un rombo se si considera la deformazione di shear). Di
qui il nome deformazione.
Questi risultati mostrano come nelle immediate vicinanze di un punto in un fluido,
il moto puó essere visto come la sovrapposizione, al piú, di quattro tipi diversi di
movimenti, detti flussi base. Sulla carta del tempo si devono ricercare indicazioni sulla
distribuzione spaziale dei flussi base in modo da risolvere il tipo di moto.
4.3 La funzione corrente o stream function
Consideriamo combinazioni dei campi base di velocità. Analizzeremo il caso speciale a
divergenza bidimensionale nulla ovvero il caso in cui: ∂u ∂v + = 0. Questa relazione è
∂x ∂y
soddisfatta automaticamente (per il teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste)
se il campo di velocitá viene costruito a partire da una funzione ψ(x, y) che soddisfi:
u = − ∂ψ
∂y
v = ∂ψ
∂x
(4.25)
La funzione ψ si chiama stream function e dimensionalmente ha unitá L2T −1 . Da notare
la somiglianza con l’equazione del vento geostrofico. Quando esiste una tale funzione,
l’equazione delle streamlines (4.19) si puó riscrivere come: ∂ψ ∂ψ
dx + dy = 0 ovvero
∂x ∂y
dψ = 0 dove dψ rappresenta il differenziale della ψ. Ma allora è chiaro che l’equazione di
una streamline, per un flusso a divergenza nulla, è ψ = costante. Cosí ogni streamline
può essere definita dal valore della stream function; le linee di corrente non solo indicano
la direzione del flusso, ma la loro spaziatura determina la loro intensità. Cosí ad esempio
ψ = c/4 (x2 + y2 ) é la stream function di un moto puramente vorticoso con vorticitá c,
ψ = dxy o ψ = d (x2 − y2 ) corrispondono a un moto puramente deformante, ψ = −u0y
corrisponde a un moto puramente traslatorio con velocitá lungo x pari a u0, ψ = v0x
corrisponde a un moto puramente traslatorio con velocitá lungo y pari a v0.
Questa proprietà della funzione corrente permette una rapida addizione dei campi
velocità con metodi grafici. Infatti se ψ1 e ψ2 sono stream functions associate a due
campi di velocitá v1 e v2 allora la stream function ψ1 + ψ2 risulta associata al campo di
velocitá v1 + v2. Date le curve di livello delle due stream function per trovare le linee
di flusso associate al campo di velocitá somma dei due campi, si tratterá dunque di
trovare le curve di livello della somma delle due stream function. I quattro campi di
moto fondamentali sopra illustrati possono cosí essere combinati per originare campi
realistici di vento che si ritrovano in situazioni pratiche.
Si noti infine che la vorticitá del campo si esprime come il laplaciano della stream
function ∇2ψ.

108 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
4.4 Legame tra divergenza orizzontale ed equazione
di continuitá
Y
dy
udt
dx
(v+dv/dy dy)dt
v dt
(u+du/dxdx)dt
Figura 4.4: Crescita orizzontale di un rettangolo infinitesimo di fluido.
In questo capitolo abbiamo considerato campi di velocitá bidimensionali. Cerchiamo
ora di comprendere la relazione fra divergenza orizzontale ed area racchiusa da
una curva infinitesima di area A = dx dy di particelle del fluido come in fig. 4.4. Dopo
un tempo ∆t, il flusso sarà su una nuova area A ′ :
A ′ dx
∂u
= + dx∆t dy + ∂x ∂v
∂y dy∆t
= dxdy 1 + ∂u
∆t 1 + ∂x ∂v
∂y ∆t
∂u ∂v
= dxdy 1 + + ∆t + ∂x ∂y
∂u ∂v
∂x ∂y (∆t)2
(4.26)
Il cambio di area A − A ′ = ∆A è:
∂u ∂v
∆A = dx dy +
∂x ∂y
X
∆t + ∂u ∂v
∂x ∂y (∆t)2
Quindi poiché dx dy = A, il tasso di variazione dell’area:
∆A ∂u ∂v ∂u ∂v
= A + +
∆t ∂x ∂y ∂x ∂y ∆t
e per ∆t → 0 abbiamo:
1 dA
A dt
∂u ∂v
= +
∂x ∂y
(4.27)
(4.28)
(4.29)
La divergenza orizzontale in un punto è uguale alla derivata frazionale individuale
dell’area racchiusa da una piccola catena di particelle che circonda il punto.

4.5. COMPLEMENTI 109
Dalla sezione 2.6 sappiamo che se dρ
dt = 0 il fluido è compressibile, altrimenti il
fluido si dice incompressibile. L’atmosfera è compressibile, ma c’è una grande varietà
di fenomeni nei quali la compressibilità è trascurabile. Per questi solamente si potrà
dire: dρ
= 0. Per un fluido incompressibile la conservazione della massa impone che
dt
il volume di una data porzione di fluido rimanga costante. Se consideriamo colonne
cilindriche di fluido di profondità h, il volume costante è A h. Pertanto combinando
1 dA 1 dh ∂u ∂v
l’equazione di continuità (2.20) e la (4.29): = − = + che può usarsi
A dt h dt ∂x ∂y
per eliminare la divergenza orizzontale quando appare in un problema. Si vede che per
un fluido incompressibile la divergenza orizzontale può essere diversa da zero, anche se
div V = 0, potendosi avere una simultanea variazione della profondità e della altezza
della colonna. Ma allora ad una divergenza orizzontale deve essere connessa ad una
convergenza verticale. Se si assume che in media il massimo dei movimenti verticali si
trovi nella media troposfera allora il grafico che ne risulta é quello mostrato in fig. 4.5.
Figura 4.5: Connessione tra divergenza e convergenza orizzontale (HD e HC) e
divergenza e convergenza verticale (V D e V C) in troposfera.
4.5 Complementi
4.5.1 Divergenza e vorticitá in coordinate naturali
Vogliamo riscrivere la divergenza e la vorticitá (componenente verticale) delle eqs. (4.12-
4.13) in coordinate naturali. Pertanto ragioniamo come fatto in fig.4.4 usando peró un
sistema di coordinate (s, n) riferito alla direzione parallela e normale (alla sinistra) al
moto.
Per capire come esprimere la divergenza si puó usare la fig. 4.6 vedendo come cambia
in un intervallo dt un’area infinitesima di fluido δs δn (la cui velocitá ai quattro vertici

110 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
V + ∂V
V + ∂V
δn + δs, V
∂n ∂s ∂V ∂β
δn, V
∂n ∂n δn
✂
❆
✂✌
❆❆❯
D
δn
A
❙♦
❙
❙
(V, 0)
δs
V + ∂V
∂s
C
B
∂β
δs, V
∂s δs
✑ ✑✑✑✸
∂β ∂β
δs +
∂s ∂n δn
Figura 4.6: Calcolo della divergenza in coordinate naturali.
viene indicata nella figura). Detta β la direzione angolare del vento e V il modulo della
velocitá, la base dell’area varia di ∂V
∂β
δsδt mentre l’altezza varia di V δnδt ma allora
∂s ∂n
usando la (4.29) si ha:
∇ · v = ∂u ∂v
+
∂x ∂y
1 dA ∂V
= =
A dt ∂s
∂β
+ V , (4.30)
∂n
ovvero consiste di una componente dovuta alla divergenza del modulo della velocitá
( ∂V
: se aumenta ho convergenza, se decresce ho divergenza) ed una alla divergenza
∂s
della direzione della velocitá (V ∂β
: se le linee di flusso convergono ho convergenza, se
∂n
divergono ho divergenza positiva). In generale questi due contributi vanno a sottrarsi
e a compensarsi vicendevolmente: cosí tipicamente in una zona di confluenza di flusso
(ove le isobare si avvicinano per esempio) si ha divergenza di velocitá e convergenza di
direzione.
Invece per la componente z della vorticitá si puó vedere (la dimostrazione si basa sul
calcolo della circolazione attorno ad un circuito infinitesimo ed al fatto che la vorticitá
coincide con il rapporto tra circolazione ed area del circuito stesso al tendere di tale
area a 0) che essa risulta da:
ζ = ∂v ∂u
−
∂x ∂y
ovvero dalla somma di due contributi:
= −∂V
∂n
+ V
Rs
(4.31)
1. un termine di taglio dovuto alla variazione della componente della velocitá normale
alla direzione del flusso (vorticitá di shear o di taglio) ;
2. un termine di vorticitá di curvatura dovuta al ruotare del vento lungo le linee di
flusso (vorticitá di curvatura).

4.5. COMPLEMENTI 111
Si noti quindi che se vi é una perfetta compensazione dei due termini si puó avere
un flusso curvo privo di vorticitá. In aree in cui la curvatura delle linee di flusso
é ciclonica antioraria Rs > 0 (anticiclonica-oraria, Rs < 0) le particelle possiedono
vorticitá di curvatura positiva (negativa), e la vorticitá é proporzionale a V . Viceversa
se la velocitá decresce ∂V
∂V
< 0 (cresce > 0) alla sinistra, guardando nella direzione
∂n ∂n
del vento, allora le particelle hanno vorticitá di shear o di taglio positiva (negativa).
Ordini di grandezza: facendo una analisi di scala si trova che divergenza e vorticitá
relativa (al sistema meteorologico) hanno ordini di grandezza U/L con U e L valori
rappresentativi delle velocitá orizzontali e della scala di lunghezza. Per moti sinottici
alle medie latitudini ci si aspetterebbe allora per la divergenza e la vorticitá un ordine
di grandezza di 10−5 s−1 . In realtá i due termini che costituiscono la divergenza
normalmente hanno segno opposto di modo che divergenze tipiche su scala sinottica
hanno ordini di grandezza 10−6 s−1 e solo durante la ciclogenesi si puó arrivare a valori
di 10−5 s−1 . D’altro canto invece per la vorticitá relativa si puó arrivare sino a 10−4 s−1 .
Per esempio, prendendo Rs = ±500 km si trova un valore di vorticitá di curvatura pari
a V/Rs = ±2 × 10−5 s−1 oppure V/Rs = ±10−4 s−1 a seconda che si sia nella bassa
troposfera V = 10 m/s oppure nella corrente a getto V = 50 m/s. Uguali valori si
trovano per la vorticitá di shear o di taglio prendendo una decrescita laterale della
velocitá di 10 o di 50 m/s su una distanza di 500 km. Nel caso della vorticitá quindi,
in generale, le due derivate parziali potranno andare a compensarsi o a rafforzarsi.
4.5.2 La relazione di Blaton
Tutti i raggi di curvatura che entrano nelle equazioni dei venti sono i raggi di curvatura
delle traiettorie dei pacchetti d’aria. In pratica peró tali valori vengono spesso stimati
dalla curvatura delle isobare (di facile misura) che non sono altro che le linee di flusso
del vento di gradiente. Per avere una stima dell’errore che si commette usando una
simile approssimazione ad esempio nella eq. (3.44) bisogna trovare una relazione tra
curvatura delle traiettorie Rt e delle linee di flusso Rs.
I raggi di curvatura delle traiettorie Rt sono quelli che si trovano seguendo il moto
della particella (visione lagrangiana) e sono connessi alla velocitá di cambiamento della
direzione del vento lungo una traiettoria. Sia VK = V ˆt = ds
dt ˆt la velocitá del vento
misurata nel sistema di riferimento naturale. Detta β la direzione angolare del vento
rispetto ad un asse di riferimento fissato sará δs = Rt δβ ove δs é sempre positivo
mentre Rt e δβ lo sono se la traiettoria gira in verso antiorario. Passando al limite per
δs → 0 si trova:
dβ
ds
1
= . (4.32)
Rt
Viceversa i raggi delle linee di flusso Rs sono quelli che si trovano in visione euleriana,
sono cioé connessi alla velocitá di cambiamento della direzione del vento lungo una
linea di flusso ad un dato istante:
∂β
∂s
= 1
Rs
(4.33)

112 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
Ma allora la velocitá con cui cambia la direzione del vento lungo una traiettoria é:
dβ dβ
(r) =
dt ds (r)ds
V
(r) = (r) (4.34)
dt
e d’altro canto usando la solita derivata totale ( V = V ˆt):
dβ ∂β
= +
dt ∂t
V ·
∂β
∇β = + V
∂t
∂β
∂s =
∂β
+
∂t
V
Rs
Rt
(4.35)
Ma allora combinando le (4.35) e la (4.34) si perviene alla formula per il tasso locale
di rotazione del vento nel sistema naturale
∂β 1
= V −
∂t Rt
1
(4.36)
Rs
Si noti che in generale quando Rt = Rs (in particolare in condizioni stazionarie) non
c’é rotazione locale del vento.
L’eq. di Blaton (4.36) puó essere usata per studiare la relazione tra traiettorie e
linee di flusso per sistemi di pressione in movimento2 . Supponiamo di avere allora
un sistema di isobare circolari di raggio Risob.. Le isobare saranno le linee di flusso
Rs = Risob., il vento sará dato dal vento di gradiente Vg corrispondente quindi in
particolare per la simmetria del problema ∇β = ( ∂β ∂β 1 , ) = ( , 0).
∂s ∂n Rs
Cominciamo col supporre che tale sistema isobarico sia fermo (situazione stazionaria,
linee di flusso e traiettorie coincideranno). In tal caso ∂β
= 0 (non c’e’ rotazione
∂t
locale del vento) e dβ
dt = Vg · ∇β = V V = Rs Rt .
Mettiamo adesso il sistema isobarico in movimento con velocitá C (sempre rispetto
al sistema naturale) senza cambiare la sua forma. Le isobare continueranno a coincidere
con linee di flusso cosí che Rs = Risob. (se si fa una foto ad un istante del campo di
velocitá questo apparirá parallelo alle isobare circolari, solo che adesso anziché essere
dei cerchi fissi nell’origine le linee di flusso si sposteranno mantenendo il loro centro nella
direzione individuata da C, che rappresenta il vettore velocitá del campo di streamlines
in movimento) e la velocitá del vento continuerá ad essere quella del corrispondente
vento di gradiente.
La variazione locale del vento quindi é unicamente dovuta al movimento del sistema
isobarico (se non ci fosse tale movimento sarebbe nulla) di modo che:
∂β
∂t
dβ
=
dt − Vg · ∇β = dβ
dt − ( Vg − C) · ∇β − C · ∇β = − C · ∇β = −C cos γ ∂β
∂s
(4.37)
ove γ é l’angolo tra le linee di flusso (isobare) e la direzione del moto del sistema
isobarico e dove abbiamo sfruttato il fatto che ∇β = ∂β
∂s ˆt (e ˆt é parallelo alle isobare).
Si noti che nella (4.37) si é usato il fatto che in un sistema di riferimento K ′ che si
muove solidale con il centro isobarico gode delle proprietá prima espresse per il centro
2 Normalmente alle medie latitudini le strutture bariche si spostano verso est come risultato
dell’avvezione sa parte dei venti occidentali in quota.

4.6. ESERCIZI 113
isobarico fisso; in questo caso peró la velocitá del vento vale ( Vg − C) di modo che
∂β
∂t K ′ = 0, dβ
dt K ′ = ( Vg − C) · ∇β. Per giustificare pienamente la (4.37) va infine
osservato che dβ
dt K ′ = dβ
dt perche il sistema naturale e K′ sono in moto rettilineo
uniforme uno rispetto all’altro e sono quindi due sistemi equivalenti. Inserendo la
(4.37) nella (4.36) i raggi di curvature delle traiettorie Rt e quelli delle linee di flusso
Rs sono connessi allora dalla relazione:
Rs = Rt
1 −
C cos γ
V
(4.38)
ove C é la velocitá alla quale si sposta il sistema circolare di isobare e V é la velocitá
del vento (misurata nel sistema meteorologico).
Si é dato un esempio di campo di vento non stazionario in cui vi é una diversitá
tra cammini e linee di flusso. Nella parte di esercizi si puó facilmente vedere come i
raggi di curvatura di traiettorie e linee di flusso possano essere profondamente diversi
ed addirittura opposti in segno. Siccome la formula del vento di gradiente fa riferimento
ai raggi di curvatura delle isobare anziché utilizzare quelli delle traiettorie questo
introduce un errore che puó essere spesso rilevante (i sistemi barici alle medie latitudini
si spostano con velocitá confrontabili con quelle dei venti) di modo che spesso i valori
dei venti di gradiente calcolati si avvicinano ai valori veri del vento ancora meno dei
corrispondenti valori di vento geostrofico.
4.6 Esercizi
4.6.1 Divergenza
1. Sapendo che 50 km a E, N, O, S di una stazione si hanno i seguenti dati di vento 3 :
10 m/s, 90 ◦ ; 4 m/s, 120 ◦ ; 8 m/s, 90 ◦ ; 4 m/s, 60 ◦ . Calcolare approssimativamente
la divergenza orizzontale del vento alla stazione. Se ciascuna velocitá del vento
é nota con un errore di ±10% quale sará l’errore percentuale della divergenza
orizzontale di velocitá nel peggiore dei casi?
Come in figura 4.7 sia (x0, y0) il centro della stazione. Allora si ha:
∇or · V = ∂u ∂v
+
∂x ∂y ≈ u(x0 + d) − u(x0 − d)
+
2d
v(y0 + d) − v(y0 − d)
2d
e nel nostro caso diventa:
∇or · V ≈
−10 − (−8)
10 5
+ 2 + 2
10 5 = 2 × 10−5 s −1 .
Passando agli errori (indicati con ∆), usando la propagazione lineare si ha che il
massimo errore possibile sará:
3 L’orientazione dei dati di vento é da Nord in verso orario, con la convenzione che quella data é la
direzione di provenienza; cosí ad esempio un vento 90 ◦ é un vento orientale.

114 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
8 m/s
✛
❍❨ ❍ 120
❍
❍
❍❍
0
4 m/s
d = 50 km
(x0, y0) 10 m/s
✉ ✛
60 0
✟
✟
✟✙ ✟
✟✟
4 m/s
Figura 4.7: Dati di vento ad una distanza di 50 km a E, N, O, S di una stazione.
∆ ( ∇or · V) = |∆ u(x0 + d)| + |∆ u(x0 − d)| + |∆ v(y0 + d)| + |∆ v(y0 − d)|
2d
= 1 + 0.8 + 0.2 + 0.2
10 5
= 2.2 × 10 −5 s −1
cioé un errore relativo del 110%. In generale siccome la velocitá orizzontale del
vento alle medie latitudini é molto vicina al vento geostrofico, e quest’ultimo ha
divergenza quasi nulla (vedi esercizio successivo), le divergenze orizzontali hanno
valori molto piccoli. Pertanto puó succedere che piccoli errori sulle componenti
di vento generino errori molto grandi sulla divergenza.
Si ripeta l’esercizio calcolando la vorticitá e le deformazioni.
2. Si calcoli la divergenza del vento geostrofico nel sistema (x, y, z) e in quello
(x, y, p).
Nel sistema (x, y, z), prendendo la divergenza delle eqs. 3.4 (tenendo presente
che il parametro di Coriolis varia solo muovendosi lungo y), si trova:
∇ · Vgeo = ∂ugeo
∂x
+ ∂vgeo
∂y
1
= −vgeo β −
f ρ Vgeo · ∇ρ; (4.39)
per il sistema (x, y, p), prendendo la divergenza delle eqs.3.29:
ove
β ≡ ∂f
∂y
= 2ΩT
∇p · Vgeo = − vgeo
β (4.40)
f
d sin φ
dy = 2ΩT cos φ dφ
= 2ΩT
dy
cos φ
RT
(4.41)
é il parametro di Rossby il cui ordine di grandezza tipico é 10 −11 s −1 m −1 . In

4.6. ESERCIZI 115
Figura 4.8: Effetto della latitudine sulla distribuzione della divergenza in un’onda
dell’alta troposfera, su superfici a p costante.
ambedue le equazioni compare un termine con la componente meridionale vgeo
del vento geostrofico. Si ha divergenza se vgeo < 0 cioé per movimenti verso
S, convergenza per movimenti verso N (vedi fig.4.8). Queste divergenze sono
dovute alla forma sferica della Terra e corrispondono alla convergenza e divergenza
muovendosi lungo i meridiani. Come ordine di grandezza tale termine é
dell’ordine di 10 −6 s −1 e stima correttamente l’ordine di grandezza della divergenza
su sistemi su grande scala. Nel sistema z compare un termine aggiuntivo
con l’avvezione di densitá: vi é divergenza nel caso di avvezione di aria piú densa,
convergenza per avvezione di aria meno densa. Questo perché il vento geostrofico
in aria piú densa é piú debole che in aria meno densa.
3. Si calcoli la divergenza del vento geostrofico se vgeo = 10 m/s a φ = 45 ◦ .
La (4.40) si riscrive: ∇p · Vgeo = − vgeo
10 = − RT tan φ 6.4×106 = −1.56 × 10−6 s−1 .
4. Determinare la divergenza del campo di vento in mezzo a due streamlines, separate
da una distanza di 500 km, che convergono con un angolo di 10 ◦ e sulle
quali la velocitá del vento é costante e uguale a 10 m/s.
La divergenza in coordinate polari piane diventa:
∇ · v = ∂vr
∂r
+ vr
r
+ 1
r
∂vθ
; (4.42)
∂θ
in questo caso r = 360
20π × 500 = 2864.8 km mentre vr = −10 m/s (essendo
convergente); siccome la velocitá é costante la (4.42) porge:
∇ · v = vr
r =
−10
2864.8 × 10 3 = −0.35 × 10−5 s −1 .

116 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
Si noti che questo stesso problema poteva essere risolto usando la (4.30): qui
l’unico contributo alla divergenza viene da una convergenza di traiettoria.
5. Dimostrare che i campi tridimensionali radiali a divergenza nulla hanno la forma
v = (vr, vθ, vφ) = f(θ, φ)(1/r 2 , 0, 0) mentre i campi bidimensionali radiali a
divergenza nulla hanno la forma v = f(θ)(vr, vθ) = f(θ)(1/r, 0).
Il risultato segue immediatamente dall’espressione della divergenza in coordinate
polari sferiche (C.10) e da quella in coordinate polari piane (C.3) con banali
integrazioni. Del resto ció é una semplice conseguenza del fatto che siccome il
flusso attraverso ogni superficie chiusa di tale campo deve essere comunque nullo
(th. della divergenza) in particolare il flusso attraverso superfici di raggio r1 deve
essere uguale al flusso attraverso superfici di raggio r2 (il flusso attraverso le pareti
laterali é nullo perché il campo é radiale) e, questo implica che la dipendenza
radiale del campo cancelli esattamente la dipendenza radiale di tali superfici (che
é proporzionale a r 2 nel caso tridimensionale, a r nel caso bidimensionale).
4.6.2 Vorticitá
• Determinare la vorticitá del vento geostrofico nel sistema p. Usando le eq. del
vento geostrofico in coordinate isobariche e la definizione di vorticitá si trova
subito:
ζgeo ≡ ∂vgeo
∂x
− ∂ugeo
∂y
= 1
f
2 ∂ Φ
∂x2 + ∂2Φ ∂y2
− 1
f
∂Φ ∂f
∂y ∂y
1
=
f ∇2Φ + ugeo
β, (4.43)
f
e l’ ultimo termine nella (4.43) é sicuramente trascurabile (ha ordine di grandezza
10 −6 s −1 ) per cui:
ζgeo = 1
f ∇2 Φ ⇒ ηgeo = 1
f ∇2 Φ + f (4.44)
Si noti che per il calcolo pratico del ∇ 2 , noti i valori dei campi Φ in cinque punti
come in fig. 4.9 si puó ricorrere alle formule:
∂ 2 Φ
∂x2 ≈ Φ1 − 2Φ0 + Φ3
d2 ,
∂ 2 Φ
∂y2 ≈ Φ2 − 2Φ0 + Φ4
d2 ∇ 2 Φ ≈ Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 − 4Φ0
d 2
,
(4.45)
Pertanto una volta che si ha il campo di geopotenziale la (4.45) consente di
determinare la vorticitá associata al vento geostrofico.
• Determinare la vorticitá del campo di vento su una streamline circolare di curvatura
ciclonica quando il raggio é 600 km e la velocitá del vento a questa e
all’adiacente linea di corrente é 11 m/s.

4.6. ESERCIZI 117
•
3✉
d
y
✻
✉ 2
d
d
✉ 4
d
1
✉
✲
x
Figura 4.9: Griglia per il calcolo della vorticitá.
Scriviamo la vorticitá in coordinate cilindriche:
ζ = ∇ × v = 1
⎛
⎝
r
ˆr rˆ ∂
∂r
θ
∂
∂θ
kˆ
∂
∂z
⎞
⎠ ; (4.46)
vr r vθ vz
siccome in questo caso si ha vr = vz = 0 e vθ = vθ(r) = cost = 11 m/s si ha che:
ζ = ∇ × v = vθ
r ˆ k = 1.83 × 10 −5 s −1 .
Si noti che in questo caso ζ = ω e non come ci si potrebbe aspettare ζ = 2ω
(vorticitá corrispondente al moto rotatorio a velocitá ω). Qui infatti la velocitá
lineare non decresce linearmente con il raggio ma rimane costante con r e quindi
non si tratta di moto circolare uniforme. Anche qui allo stesso risultato si poteva
arrivare usando la (4.31) con V = 11 m/s e Rs = +600 km.
É possibile che un campo di velocitá bidimensionale (per il quale quindi esiste
non nulla solo la z−componente della vorticitá) avente come linee di flusso linee
parallele abbia vorticitá diversa da zero? ed un campo con linee di flusso con
curvatura avente vorticitá nulla?
Come esempio di quest’ultima situazione si prenda il campo di velocitá azimutali
V = 1
(definito ovunque tranne che nell’origine) e si usi la (4.31). Viceversa
r
prendendo un campo come (vx = ax, vy = b), che non possiede curvatura, é
facile vedere che tale campo non é conservativo, cioé non é irrotazionale. Come
verifica pratica per vedere se un campo bidimensionale ha vorticitá basta mettervi
una “padellina” e vedere se ruota.
• Quali sono i campi di velocitá a simmetria cilindrica assiale che sono irrotazionali,
e quindi, privi di vorticitá? E quali quelli a divergenza orizzontale nulla?

118 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
Il rotore in coordinate cilindriche, per simmetria cilindrica (la velocitá dipende
solo dalle coordinate r e z) si semplifica:
ζ = ∇ × v =
− ∂vθ
∂vr
ˆr,
∂z ∂z
∂w
−
∂r
ˆθ, 1
r
∂
∂r (rvθ) ˆ
k . (4.47)
Per avere un campo irrotazionale dovranno essere nulle tutte e tre le componenti.
Annullando la prima e la terza si ricava immediatamente che vθ deve essere
indipendente da z e che ∂
∂r (rvθ) = 0 e quindi vθ = c/r (per tale campo si parla di
vortice libero). Invece la componente radiale e quella verticale del campo devono
verificare ∂vr ∂w
= . Nel caso particolare di campi radiali bidimensionale (in cui
∂z ∂r
w = 0) tale condizione é soddisfatta purché vr sia una qualunque funzione di r.
Ma allora il generico campo a simmetria rotazionale avente vorticitá nulla ha la
forma (vr, vθ) = (f(r), c/r).
In 3 dimensioni quali sono i campi radiali (con la sola componente vr = 0)
irrotazionali? e quali quelli solenoidali?
Dalla (C.11) si ricava subito che tutti i campi radiali per essere irrotazionali
devono essere dipendenti solo da r, ovvero devono essere centrali (campi centrali
sono conservativi, questo perché funzioni di una sola variabile si possono sempre
scrivere come gradienti di qualcosa). Si é giá visto invece che la condizione di
solenoidalitá per i campi a simmetria radiale richiede che la dipendenza radiale del
campo sia tipo campo elettrico o gravitazionale cioé inversamente proporzionale
al quadrato della distanza.
• Determinare la vorticitá del campo di vento su una streamline circolare di curvatura
anticiclonica quando il raggio é 2000 km e la velocitá del vento alla
streamline é 9 m/s e diminuisce linearmente verso il centro dell’anticiclone.
Siccome il movimento é anticiclonico la velocitá angolare sará negativa (verso
orario) pari a vθ(r)
r
= −4.5 × 10−6 s −1 . Riscrivendo la formula della vorticitá con
vz = 0 e con vr = vr(r) e vθ = vθ(r) si trova:
ζ =
vθ(r)
∇ × v =
r
cioé come ci si apetta ora sí ζ = 2ω.
4.6.3 Traiettorie e linee di flusso
∂vθ(r)
+ ˆk = −4.5 × 10
∂r
−6 − 4.5 × 10 −6 = −9 × 10 −6 s −1
1. Descrivere i cammini delle particelle per il flusso:
vEul = (a(t) x, −a(t) y, 0)
e determinarne l’accelerazione euleriana e lagrangiana.

4.6. ESERCIZI 119
Per i cammini delle particelle bisogna risolvere
⎧
⎨
⎩
dx
dt
dy
dt
dz
dt
= a(t) x
= −a(t) y
= 0
⇒ dy
dx
= −y
x ⇒
x y = cost
z = z0
cioé i cammini delle particelle sono iperboli su piani a z costante. Detta A(t) la
primitiva di a(t) che ha A(0) = 0 si ha:
x(t) = x0 e
r(t) =
A(t)
y(t) = y0 e−A(t) da cui si puó scrivere la velocitá in descrizione lagrangiana, cioé la velocitá in
funzione della posizione iniziale, ovvero la velocitá posseduta al tempo t dalla
particella che passa per r0 = (x0, y0) al tempo t = 0:
vLag = (a(t) x0 e A(t) , −a(t) y0 e −A(t) , 0).
Passando alle accelerazioni l’accelerazione euleriana é la derivata locale della
velocitá e quindi si ha:
aEul ≡ ∂vEul
∂t = (a′ (t) x, −a ′ (t) y, 0)
mentre invece l’accelerazione lagrangiana é una derivata totale o sostanziale:
aLag ≡ ∂vLag
∂t
= dv
dt = x0
a ′ (t) + a 2 (t) e A(t) , y0
−a ′ (t) + a 2 (t) e −A(t) , 0 .
Si noti che nel caso particolare in cui a(t) = a = cost l’accelerazione euleriana
risulta nulla mentre quella lagrangiana é aLag = a 2 r(t). Come conferma e controllo
di questo risultato basta ricordare il legame tra derivata totale e derivata locale:
aLag ≡ dv
⇓
dt
aLag − aeul = v · ∇v
= ∂v
∂t + v · ∇v = aEul + v · ∇v
che, ad esempio, per la componente x della velocitá del problema in esame si
particolareggia a:
∂vx ∂vx ∂vx
(ax)Lag − (ax)Eul = vx + vy + vz
∂x ∂y ∂z
come effettivamente é.
∂vx
= vx
∂x
= a(t)vx
Si puó dire che la particella accelera, mentre il fluido no. Si pensi ad esempio
ad una canoa su delle rapide. L’osservatore che si trova sulla canoa, che é solidale
alle particelle di fluido e quindi fornisce una descrizione lagrangiana, sente

120 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
chiaramente una accelerazione; l’osservatore invece che si trova sulla sponda del
fiume, che fornisce una descrizione euleriana del movimento di fluido, non vede
alcuna accelerazione perché fissando un punto del fiume rivela a tempi diversi
sempre la stessa velocitá. I due sistemi di riferimento sono orientati allo stesso
modo ma uno si muove di moto relativo rispetto all’altro con velocitá v (ma
si noti bene non rettilineo uniforme, quindi i due sistemi non sono equivalenti,
altrimenti dovrebbero vedere la stessa accelerazione).
Si noti che in questo esempio le linee di flusso coincidono con i cammini delle
particelle e con le streaklines; questo perché la direzione di v é indipendente dal
tempo (é il modulo della velocitá cioé a non essere stazionario). Quindi é vero
che se il moto é stazionario streamlines, streaklines e cammini coincidono ma non
é detto che se ció accade necessariamente il flusso debba essere stazionario.
2. Calcolare la distanza orizzontale fra due isoterme che differiscono per 1 ◦ al livello
di volo di un pallone che vola ad altezza costante se lo strumento posto su tale
pallone ha registrato un aumento di temperatura di 0.8 ◦ /ora durante il volo e
0.4 ◦ /ora, quando fisso. La velocitá del vento é 8 m/s e l’angolo tra la direzione
del vento e la direzione del massimo aumento di temperatura é 60 ◦ .
La derivata totale (cioé quella “lagrangiana” che segue il moto di un pacchetto
d’aria) é connessa a quella locale e all’avvezione termica dalla relazione:
ove ricordiamo che:
−v · ∇ T = avvezione termica
Dai dati del problema:
⎧
⎨
⎩
dT
d t
= ∂T
∂t + v · ∇T
< 0 fredda (il vento spira dal freddo al caldo)
> 0 calda (il vento spira dal caldo al freddo)
dT
d t = 0.8 ◦ /ora
∂T
∂t = 0.4 ◦ /ora
v · ∇T = 4∇ T
e quindi ∇ T = 0.1/3600 ◦ C/m cioé la distanza tra due isoterme che differiscono
per un grado sará di 36 km.
3. Una nave si muove verso N ad una velocitá di 10 km/h e misura p decrescenti ad
una velocitá di 100 P a/3 h. Le superfici di pressione aumentano verso N − O a
5 P a/km. Qual é la tendenza della pressione registrata su un’isola vicina a dove
passa la nave? (Risp: −2mb/3h)
4. Calcolare e descrivere le linee di flusso e i cammini delle particelle per il flusso:
v = (ay, −ax, b(t)).

4.6. ESERCIZI 121
Per le linee di flusso si deve risolvere il sistema:
⎧
dx
⎨ = ay ds
dy
= −ax
⎩ ds
= b(t)
dz
ds
le prime due equazioni conducono a d2x ds2 = −a2 x che é il solito oscillatore
armonico. Le soluzioni del sistema sono pertanto:
⎧
⎨ x(s) = A cos(a s + φ) = x0 cos(a s) + y0 sin(a s)
y(s) = B sin(a s + φ) = y0 cos(a s) − x0 sin(a s)
⎩
z(s) = z0 + b(t) s.
Le linee di flusso sono, ad ogni istante di tempo, delle eliche lungo l’asse z.
Per i cammini delle particelle bisogna invece risolvere:
⎧
dx
⎨ = ay dt
dy
= −ax
⎩ dt
= b(t)
e quindi:
⎧
⎨
⎩
dz
dt
x(t) = x0 cos(a t) + y0 sin(a t)
y(t) = y0 cos(a t) − x0 sin(a t)
z(t) = z0 + t
b(τ) dτ.
0
Come si vede la velocitá lungo z non é costante, in generale, mentre invece sul
piano (x, y) i cammini delle particelle sono sempre dei cerchi percorsi a velocitá
angolare a; ció significa che il moto delle particelle di fluido é di tipo elicoidale
attorno ad un condotto cilindrico ma con passo dell’elica che cambia nel tempo.
5. Determinare le streamlines e le traiettorie per:
• v = (a cos(ω t), a sin(ω t), 0);
• v = (x − V t, y, 0);
• v = (vr, vθ, vz) = (r cos(θ/2), r sin(θ/2), 0) 0 < θ < 2π;
Per il primo flusso si trova che:
da cui
x(s) − x0 = a s cos(ω t)
y(s) − y0 = a s sin(ω t)
y = y0 + tan(ω t)(x − x0)

122 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
150
210
120
240
linee di flusso
90
2
180 0
270
1.6
1.2
0.8
0.4
60
300
30
330
150
210
120
240
linee di flusso
90
1
180 0
Figura 4.10: (Sinistra) Andamento di alcune streamlines per (vr, vθ) =
(r cos(θ/2), r sin(θ/2)). (Destra) Alcune delle linee di flusso paraboliche per la funzione
di flusso ψ = r 1/2 sin(θ/2).
cioé, per un fissato t, un fascio improprio di rette passante per (x0, y0) con
coefficiente angolare ω t (vedi Fig. 4.11). Le traiettorie vengono invece da:
dx
dt
dy
dt
= a cos ωt
= a sin ωt;
ne risultano chiaramente delle circonferenze percorse in verso antiorario con
velocitá angolare ω di centro (x0, y0 − a
a ) e raggio ω ω .
Nel secondo caso invece l’integrazione delle equazioni porge:
e quindi
x(s) = (x0 − V t)e s + V t
y(s) = y0 e s
x = (x0 − V t)y
+ V t
y0
cioé, per un fissato t, un fascio proprio di rette passante per (V t, 0) con coefficiente
y0
angolare . Risolvendo per le traiettorie si trova invece:
x0−V t
x(t) = (x0 − V ) et + V t + V
y(t) = y0e t
Nel terzo caso invece rimanendo in coordinate polari si trova:
vr = dr
= r cos(θ/2)
ds ;
= r sin(θ/2)
vθ = r dθ
ds
270
0.8
0.6
0.4
0.2
60
300
30
330

4.6. ESERCIZI 123
Figura 4.11: Linee di flusso a diversi istanti temporali (t = 0 linee continue, t = π/(4ω)
linee a tratteggio breve, t = π/(2ω) linee a tratteggio lungo) e traiettoria passante per
l’origine.
che divise danno: dθ
dr
= 1
r
tan(θ/2) che integrata dá infine:
r = r0 sin 2 (θ/2)
il cui andamento é illustrato in fig.4.10 (sinistra). I cammini delle particelle sono
identici essendo la situazione stazionaria.
6. Disegnare le streamlines per la funzione di flusso:
e determinarne la vorticitá.
ψ = r 1/2 sin(θ/2)
Sappiamo che le linee di flusso sono le curve di livello della funzione di flusso.
Quindi tracciamo alcune curve di livello di questa funzione (vedi fig. 4.10 a destra)
che nel piano cartesiano (x, y) hanno espressione y 2 = 2ax + a 2 . Si tratta
di parabole con asse coincidente con l’asse delle ascisse. Queste linee di flusso
possono rappresentare ad esempio il flusso attorno ad una barriera che occupa
solo l’asse delle x positive. La vorticitá di questo campo di flusso, che avrá solo
componente lungo z essendo il campo bidimensionale ed indipendente da z, é:
ζ = ˆ k ∇ 2 ψ = ˆ 2 ∂ 1 ∂ 1
k + +
∂r2 r ∂r r2 ∂2 ∂2
+
∂θ2 ∂z2
r 1/2 sin(θ/2) = 0
cioé ha vorticitá nulla.
7. Calcolare dv
dt per il flusso stazionario due dimensionale v = f(r)ˆ θ.
Non essendoci dipendenza esplicita dal tempo si trova subito con la (C.7):

124 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
dv
dt
∂v
=
∂t + v · ∇ v
∂vr vθ
= ˆr vr +
∂r r
= − [f(r)]2
ˆr
r
∂vr
∂θ
2
vθ
− +
r
ˆ
∂vθ
θ vr
∂r
+ vθ
r
∂vθ
∂θ + vθ
vr
r
come ci si aspetta visto che l’accelerazione é solo di tipo centripeto con modulo
pari al modulo quadro della velocitá diviso per la distanza dal centro di rotazione.
8. Trovare le streaklines (cioé le linee di contorno che congiungono tutte le particelle
che sono passate per un certo punto geometrico, si pensi ad esempio al pennacchio
di una ciminiera: tutti i fumi sono usciti dallo stesso “punto” ad istanti diversi)
per il campo di velocitá
u = x
1 + t
v = y
1 + 2t .
Si tratta di determinare la famiglia di particelle che passano attraverso il punto
(x0, y0) in una sequenza continua di istanti ξ con ξ < t. Per far ció conviene
cominciare col determinare la famiglia di traiettorie Fξ(t) che passano per (x0, y0)
all’istante ξ, cioé risolvere il problema:
dx
dt
dy
dt
x = u = 1+t
y
= v = 1+2t
con
Tali equazioni sono facilmente risolte e danno:
xξ(t) = x0(1 + t)
1 + ξ
1 + 2t
yξ(t) = y0
1 + 2ξ
x(ξ) = x0
y(ξ) = y0
(4.48)
Tali equazioni forniscono, facendo variare ξ da 0 a t, l’equazione parametrica rξ(t)
in ξ delle streaklines per ogni tempo t. Infatti per un tempo fissato ¯t, presi due
valori ξ1 e ξ2 del parametro ξ, i raggi vettori rξ1(¯t) e rξ1(¯t) forniscono la posizione
all’istante ¯t della particella che era passata in (x0, y0) all’istante ξ1 e all’istante ξ2
rispettivamente. Si noti invece che queste stesse equazioni forniscono le traiettorie
delle particelle pensandole come equazioni parametriche in t a ξ fissato.
Ma allora l’equazione cartesiana delle streak-lines si ottiene eliminando il parametro
ξ ovvero con semplici calcoli:
1 + 2t
y = y0
2 [1 + t] x0 − 1
x

4.6. ESERCIZI 125
15
10
5
0
−5
−10
che possono essere disegnate tenendo t costante. A t = 0 si trova la streakline:
y = y0
x0
−1/2
1 + 2 − 1 = y0
x
x
2x0 − x .
In questo caso le streaklines non coincidono né con le linee di flusso né con i
cammini. Verificarlo e disegnarle.
−15
−10 −5 0 5 10 15 20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−10 −5 0 5 10 15 20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−10 −5 0 5 10 15 20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−10 −5 0 5 10 15 20
Figura 4.12: Traiettorie delle particelle che partono ad una distanza R da un centro
isobarico circolare per un tempo t = R/C (ovvero l’intervallo di tempo durante il quale
il sistema isobarico si sposta a E di R) per diversi valori di V : V = 10 C (alto a
sinistra) V = 2C (alto a destra), V = C (basso a sinistra), V = C/2 (basso a destra).
La linea puntinata rappresenta la struttura del campo isobarico al tempo t = 0 e al
tempo t = R/C.
9. Si studino le linee di flusso e i cammini associati ad un campo di vento V circolare
che si sposta con velocitá C verso E.
Supponiamo dapprima che il campo di isobare circolari sia fermo di modo che le
linee di flusso e cammini delle particelle coincidono e si ottengono risolvendo il

126 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
sistema accoppiato di equazioni differenziali:
dX(t)
dt = −V √ Y
X2 +Y 2
dY (t)
= V √
X
dt X2 +Y 2
che corrispondono a traiettorie circolari di punto iniziale (x0, y0):
X(t) = x 2 0 + y 2 0 cos(ω t + θ0)
Y (t) = x 2 0 + y 2 0 sin(ω t + θ0)
ω = V/ x2 0 + y2 0
ove θ0 é l’angolo individuato da x0 e y0. Se ora consideriamo il sistema in movimento
con velocitá (C, 0, 0) sará che l’equazione per la traiettoria delle particelle
si trova risolvendo l’eq. differenziale:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
˙x(t) = −V
y(t)/
˙y(t) = V [x(t) − C t] /
[x(t) − C t] 2 + y(t) 2
(x(t) − C t) 2 + y(t) 2
(4.49)
ove si assume che la velocitá del vento sia V indipendentemente dalla distanza
dal centro di delle isobare. In fig. 4.12 sono illustrate le traiettorie (calcolate
risolvendo numericamente le (4.49)) per alcuni valori di V/C per 4 diverse condizioni
iniziali. Si noti che con V ≫ C le traiettorie tendono a diventare delle
circonferenze.
10. Si supponga che durante il passaggio di una perturbazione ciclonica il raggio di
curvatura delle isobare sia di +800 km in una stazione ove il vento sta girando
in verso orario ad una velocitá di 10 ◦ per ora. Qual é il raggio di curvatura di
una particella d’aria che sta passando sopra la stazione se la velocitá del vento é
di 20 m/s?
I raggi di curvatura delle linee di flusso e delle traiettorie sono legati dalla relazione
di Blaton (4.36). In questo caso Rs = +800 km mentre ∂β
∂t = −10◦ /h = −4.85 ×
10 −5 /s. Ma allora invertendo la (4.36) si ricava Rt = −851 km (traiettoria oraria)
cioé accade che la curvatura delle traiettorie sia opposta a quelle delle linee di
flusso. É il caso che si presenta in fig. 4.12 per la traiettoria che parte dal polo S
nel pannello in basso a destra. Si noti che, per effetto della (4.38) questo si puó
verificare solo se C > V .
11. Determinare i raggi di curvatura per le traiettorie di pacchetti d’aria localizzati
a 500 km a E, N, S e O dal centro di un sistema circolare di bassa pressione; il
sistema si muove verso E a 15 m/s. Si assuma un flusso geostrofico con velocitá
tangenziale uniforme pari a 15 m/s.
In questo caso si puó applicare la (4.38) con C = V e inoltre γ = 90 ◦ , 180 ◦ , 90 ◦ , 0 ◦
rispettivamente a E, N, O, S del centro. Ma allora invertendo la (4.38) si trova

4.6. ESERCIZI 127
che i raggi delle traiettorie dei pacchetti d’aria sono:
Rt =
Rs
(1 − cos γ) =
⎧
⎨
⎩
Rs = 500 km E, O
Rs/2 = 250 km N
Rs/0 = +∞ km S.
Si noti come tale situazione sia illustrata in fig. 4.12, pannello in basso a sinistra.
12. Onde dell’alta atmosfera
A differenza dei campi superficiali, in alta quota le linee di flusso hanno forma di
tipo ondulatorio. Per semplicitá si abbiano delle linee di flusso sinusoidali sopra
un flusso zonale di base di velocitá U: l’onda risultante si muova senza cambiare
ampiezza con velocitá c, nella direzione del flusso di base ovvero il campo di
velocitá sia:
2π
v = (U, v0 cos (x − c t) , 0).
Ls
Si determinino linee di flusso e il cammino che all’istante t = 0 passano per
(x = 0, y = 0). Supposto Ls = 2000 km, U = 30 m/s, c = 10 m/s e v0 = 15 m/s
si confrontino le ampiezze e le lunghezze d’onda della traiettoria e della linea di
flusso cosí ottenute.
Per le linee di flusso si trova subito che:
dy v0
=
dx U cos
2π
(x − c t)
che, nel caso in cui v0, U e c siano costanti si puó integrare dando:
ys = v0 Ls
U 2π sin
2π
(x − c t) + k
Ls
ove la costante di integrazione k determina la posizione della linea di flusso. La
condizione iniziale porge immediatamente k = y(x = 0, t = 0) = 0. La linea di
flusso ha forma sinusoidale con lunghezza d’onda Ls ed ampiezza As = v0 Ls
U 2π .
Passando invece a determinare le traiettorie integrando la:
dx
dt
= U
con la condizione iniziale x(t = 0) = 0 si trova banalmente x(t) = U t che va
inserita nella seconda integrazione:
dy
dt = v0
2π
2π
cos (x − c t) = v0 cos (U − c) t
Ls
Ls
da cui segue che
yt = v0 Ls
U − c 2π sin
2π
Ls
Ls
(U − c) t + k = v0
U − c
Ls
2π sin
2π
Ls
1 − c
U
x

128 CAPITOLO 4. CINEMATICA DEL FLUSSO DEI FLUIDI
ove si é imposta la condizione iniziale e ove t é stato sostituito da x/U. In
questo caso la traiettoria é ancora di tipo sinusoidale ma ha lunghezza d’onda
. In generale quindi
Lt = Ls U
U−c ed ampiezza At = v0 Ls
U−c 2π
Lt
Ls
= At
As
= U
U − c
(4.50)
Nel caso in cui l’onda si sta propagando progressivamente (questo é tipico di onde
con lunghezza d’onda corta Ls ≤ 3000 km, vedi pg. 133 Holton) nella direzione
del flusso di base U > c > 0, l’ampiezza e la lunghezza d’onda della traiettoria
sono piú grandi di quelle della corrispondente linea di flusso; viceversa nel caso
in cui si abbia a che fare con un’onda retrogressiva U > 0 > c (tipica di onde
lunghe Ls ≥ 10000 km). Nel caso di onde stazionarie invece (c = 0) le linee di
flusso e i cammini coincidono.
Con i dati del problema si trova che: As = Ls
fornisce un valore di Lt
Ls
= At
As
= 1.5.
4π
= 159.1 km mentre la (4.50)

Capitolo 5
Altri equilibri
5.1 Il vento termico
Proseguiamo lo studio delle equazioni (3.28) del vento geostrofico per vedere di ricavarne
ulteriori informazioni. Si può dimostrare qualitativamente che il “taglio” verticale
del vento geostrofico è in relazione col gradiente orizzontale di temperatura. Consideriamo
due superfici di pressione costante in una sezione verticale come in fig. 5.1.
Sappiamo dal capitolo 3 che il vento geostrofico è proporzionale alla pendenza delle
Figura 5.1: Separazione verticale di superfici isobariche.
superfici isobariche (vedi eq. (3.30)). Così in figura 5.1, il vento geostrofico aumenta
con la quota, perché la superficie superiore è più inclinata di quella inferiore. La causa
della maggior pendenza di una superficie su di un altra risiede nell’equazione della
statica. La differenza di pressione tra le due superfici è la medesima per le colonne A
e B, cosicché la loro diversa pendenza è da attribuirsi alla diminuzione della densità
nel passare da A a B. Essendo la pressione per le due colonne mediamente uguale significa
che la temperatura nella colonna B è in media superiore di quella della colonna
A. Così un taglio verticale del vento geostrofico con la quota deve essere associato ad
un gradiente quasi orizzontale di temperatura. Quel quasi orizzontale sta a significare
che il gradiente di temperatura non è perfettamente orizzontale, ma va misurato lungo
una superficie isobarica. Così ci si attende che il “taglio” del vento geostrofico sia in
129

130 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
relazione al gradiente orizzontale di temperatura più un termine correttivo. Il termine
correttivo comprenderà la pendenza della superficie isobarica e la variazione verticale di
temperatura. Poiché la pendenza della superficie isobarica è generalmente molto piccola
(∼ 10−4 ), anche il termine correttivo è molto piccolo. Esaminiamo quantitativamente
queste idee partendo dalle seguenti equazioni:
⎧
⎪⎨ fvgeo =
⎪⎩
1 ∂p
ρ ∂x
fugeo = − 1
equazioni dell’equilibrio geostrofico
∂p
ρ ∂y
g = − 1 ∂p
ρ ∂z
ρ = p
RT
equazione della statica
equazione di stato
È un sistema di 4 equazioni in 5 incognite (u, v, p, T, ρ). Perciò da tali eqs. non possiamo
ottenere un risultato completo che ci dia tutte le variabili in funzione della posizione;
avremo però delle relazioni che le legano. Eliminiamo il termine ρ nelle equazioni di
equilibrio geostrofico e nella equazione della statica, usando l’equazione di stato:
essendo 1
∂p
p ∂x
R T ∂p ∂ ln p
f vgeo = = R T
p ∂x ∂x
R T ∂p ∂ ln p
f ugeo = − = −R T
p ∂y ∂y
∂ ln p
g = −RT
∂z
∂ ln p
= . Se derivo la (5.1) rispetto a z e la (5.3) rispetto a x:
∂x
∂ f vgeo
= R
∂z T
∂
∂ ln p
∂z ∂x
∂
−
∂x
g
= R
T
∂
⎫
⎪⎬
∂ ln p ⎪⎭
∂x ∂z
⇒ ∂
∂z
f vgeo
T
= − ∂
g
∂x T
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
alternativamente se derivo la (5.2) rispetto a z e la (5.3) rispetto a y:
∂ f ugeo
= −R
∂z T
∂
∂ ln p
∂z ∂y
∂
−
∂y
g
= R
T
∂
⎫
⎪⎬
⇒
∂ ln p ⎪⎭
∂y ∂z
∂
f ugeo
=
∂z T
∂
g
. (5.5)
∂y T
Osservando che
1
∂
T
∂z
1
= −
T 2
∂T
∂z

5.1. IL VENTO TERMICO 131
possiamo differenziare il primo ed il secondo membro della (5.4):
⎧
∂ f vgeo f vgeo
⎪⎨
= −
∂z T T
⎪⎩
2
∂T f ∂vgeo
+
∂z T ∂z
−g ∂
1
=
∂x T
g
T 2
∂T
∂x
=⇒
f vgeo
−
T 2
∂T f ∂vgeo
+
∂z T ∂z
Eseguendo le stesse operazioni per l’eq. (5.5) con il termine ugeo si ottiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂vgeo
∂z
∂ugeo
∂z
g ∂T
=
fT ∂x
= − g
fT
vgeo ∂T
+
T ∂z
∂T ugeo ∂T
+
∂y T ∂z
⇒
∂vgeo
∂z
= g
fT
g
=
T 2
∂T
∂x
ˆk × ∇z
T + vgeo ∂T
. (5.6)
T ∂z
che sono le equazioni del vento termico, ove i primi termi del secondo membro
sono proprio proporzionali al gradiente orizzontale di T , mentre i secondi rappresentano
dei termini correttivi. Dividendo per ugeo la seconda equazione, così da avere una
espressione per la variazione frazionale di ugeo con l’altezza, si può vedere che il termine
correttivo è molto piccolo. Infatti il termine correttivo frazionale diventa 1
∂T
T ∂z
che, anche per alti gradienti, come l’adiabatica secca, è pari a 9.7/280 ≈ 3 − 4% per
chilometro. Nella troposfera, alle medie latitudini, il taglio normale dei venti occidentali
con l’altezza varia frazionalmente di ∼ 25% per chilometro. È chiaro che il termine
correttivo non contribuisce molto, dunque, trascurandolo, si ottiene:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂vgeo
∂z ∼ = g ∂T
fT ∂x
∂ugeo
∂z ∼ = − g
fT
⎪⎩
∂T
∂y
⇒ ∂vgeo
∂z ∼ = − g
f T ∇ T × ˆ k (5.7)
Nell’emisfero nord la (5.7) dice che se vgeo aumenta con l’altezza, T aumenta verso
est; se ugeo aumenta con l’altezza, T aumenta verso sud. Il taglio verticale del vento
geostrofico è un vettore che giace parallelo alle isoterme su una superficie di livello, con
le basse temperature sulla sinistra nell’emisfero nord. Il fatto che i venti occidentali
reali nelle medie latitudini normalmente aumentino con la quota, si può spiegare come
il risultato del normale decrescere delle temperature con la latitudine, andando verso i
poli. Queste proprietà del vento termico possono essere usate per mostrare le relazioni
fra la rotazione del vento con la quota ed il gradiente orizzontale della temperatura. Se
esprimiamo le equazioni (5.7) in forma approssimata e con differenze finite, abbiamo:
⎧
⎪⎨ ∆vgeo ∼ = g
fT 〈∂T
∂x 〉∆z
∆ugeo ∼ = − g
fT 〈∂T
∂y 〉∆z
dove ∆ugeo e ∆vgeo rappresentano la variazione del vento geostrofico attraverso un incremento
∆z dell’altezza, e i simboli 〈 〉 per le derivate spaziali del campo di temperatura
si devono intendere come valori medi dello strato in esame.

132 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Figura 5.2: Rotazione del vento geostrofico con l’altezza a seconda dell’avvezione
orizzontale di T .
In fig. 5.2 sono mostrate le isoterme medie dello strato ed il vettore taglio del vento
con la quota di componenti ∆ugeo e ∆vgeo, parallelo alle isoterme medie, con l’aria
fredda alla sinistra (nell’emisfero nord). Ciò significa che un tale vettore taglio, così
orientato, e di grandezza dipendente dal gradiente medio di temperatura, deve essere
addizionato al vento del livello inferiore dello strato per avere il vento alla sommità.
Il vento ruoterà pertanto con la quota come indicato: rotazione oraria (anticiclonica)
per avvezione calda. Con questa regola si può stimare l’orientazione, la spaziatura e
l’avvezione delle isoterme medie in un dato strato dalle sole osservazioni di un pilot.
Consideriamo ora il taglio verticale del vento in un’atmosfera barotropica e baroclina.
Si definisce atmosfera barotropica quella in cui la densità in ogni punto è
determinata solo dalla pressione nel punto; un’atmosfera è invece baroclina se non
è soddisfatta questa condizione. La condizione di barotropicità è ρ = ρ(p) oppure
T = T (p) per cui: ⎧⎪
∂T
⎨
∂y
⎪⎩
∂T
∂z
dT ∂p
=
dp ∂y
= dT
dp
∂p
∂z
dT
= −ρf ugeo
dp
= −ρg dT
dp
Sostituendo questi due risultati nella seconda equazione del vento termico (5.6) si ha:
∂ugeo
∂z
= ρ g ugeo
T
dT
dp
− ρ g ugeo
T
e similmente per l’altra equazione del vento termico. Così in un’atmosfera barotropica
non vi può essere incremento del vento geostrofico con l’altezza. Questo si ha perché
la condizione di barotropicità è esattamente quella che rende il termine di gradiente
verticale della temperatura uguale ed opposto al termine di gradiente orizzontale nelle
equazioni complete del vento termico. La precedente valutazione, che riteneva trascurabile
il termine contenente il gradiente verticale, equivale pertanto a ritenere l’atmosfera
dT
dp
= 0

5.1. IL VENTO TERMICO 133
normalmente baroclina (nel caso barotropico si é appena visto che tale termine non
solo é dello stesso ordine di grandezza ma addirittura cancella esattamente l’altro termine).
La barotropicità si manifesta sulle carte a livello costante col parallelismo delle
isobare ed isoterme. Sulle carte isobariche invece siccome la superficie isobarica è anche
a temperatura costante non si può tracciare alcuna isoterma.
5.1.1 Equazioni del vento termico su superfici isobariche
Vogliamo ora scrivere l’eq. del vento termico nel sistema (x, y, p). Derivando rispetto
a p l’eq. (3.29) del vento geostrofico ed usando ∂Φ RT = − , in tali coordinate si trova
∂p p
immediatamente:
∂vgeo
= −R
∂ ln p f ˆ k × ⎧
⎨ p
∇pT ⇒
⎩
∂ugeo
R ∂T
= ∂p f ∂y
p
. (5.8)
p ∂vgeo
∂p
= − R
f
Per avere un confronto diretto con quella nel sistema (x, y, z) ricaviamo la variazione
del vento geostrofico con l’altezza z piuttosto che con la pressione p usando la solita
eq. della statica:
∂vgeo
∂z
g ∂vgeo
= −
RT ∂ ln p
= g
f T ˆ k × ∇p T ⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ugeo
∂z
∂vgeo
∂z
∂T
∂x
g ∂T
= −
fT ∂y
g ∂T
=
f T ∂x
p
p
p
(5.9)
che così scritte sono espressioni esatte del vento termico su una superficie isobarica,
mentre sulla superficie a livello costante avevano natura approssimata. L’esattezza
della forma semplice delle equazioni del vento termico sulle superfici isobariche, in contrapposizione
alla loro natura approssimata sulle superfici di livello è uno dei vantaggi
dell’analisi isobarica rispetto a quella “di livello costante” nella pratica meteorologica.
Si noti che usando la (3.34) con S = p e Ψ = T il gradiente orizzontale di
temperatura misurato lungo una superficie isobarica diventa:
∂T
∇pT =
∂x
z
+
∂z ∂T
∂x p ∂z ,
∂T
+
∂y z
∂z ∂T
∂y p ∂z
L’equazione del vento termico dice che nel nostro emisfero, lo shear verticale del vento
geostrofico corre parallelo alle isoterme medie dello strato e lascia alla sua destra le
temperature piú calde.
Parlando in termini stretti il vettore del vento termico é il vettore risultante dalla
differenza dei vettori vento geostrofico a due livelli:
vT = vgeo(p1) − vgeo(p0) = − R
f
p1
p0
ˆk × ∇pT
.
d ln p. (5.10)

134 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Ora peró parlare di isoterme medie dello strato é equivalente a parlare di topografia
relativa dello strato. Ciò si chiarisce pensando che dalla legge della statica, prendendo
p0 e p1 corrispondenti a z0 e z1 ed integrando:
p1
p0
1 ∂p
dz =
p ∂z
z1
z0
− g p0
dz ⇒ ln
RT p1
= g
R
ed estraendo l’inverso della temperatura media:
R
z1 − z0 = T
g
⇒ δΦ = Φ1 − Φ0 = R ¯ T ln
ln p0
p1
Date due superfici isobariche, il contenuto in parentesi quadra è costante. Ma allora
le linee di differenza di livello costante fra due superfici isobariche sono anche isoterme
medie dello strato e lo shear del vento termico è parallelo a tali linee. Le sottrazioni si
possono fare graficamente sovrapponendo le due carte di geopotenziale come in fig. 5.3.
Quest’operazione consente la verifica della consistenza delle analisi sinottiche ai livelli
successivi.
Figura 5.3: Sottrazione grafica di due campi di geopotenziale (linea continua e linea
tratteggiata) e determinazione del campo di temperatura media dello strato (linea
puntinata).
Ma allora le (5.10) diventano infine:
⎧
⎨
⎩
uT = ugeo(p1) − ugeo(p0) = − R
vT = vgeo(p1) − vgeo(p0) = R
f
∂T¯ f ∂y
∂T¯ ∂x
p
p
ln
ln
p0
p1
p0
p1
= 1
f
z1
z0
= − 1
f
dz
T
∂(Φ1−Φ0)
∂x
p0
p1
∂(Φ1−Φ0)
∂y
(5.11)
Riassumendo: una volta che si hanno le isoipse al livello 0 si puó determinare il vento
geostrofico al livello 0; avendo inoltre le isoterme medie dello strato p0 ÷ p1 (una
scelta tipica é 1000 ÷ 500 mb, un esempio in fig. 5.4) (o equivalentemente le curve

5.1. IL VENTO TERMICO 135
Figura 5.4: Spessore (in decametri) dello strato tra 500 e 1000 mb del 4/9/1998 ore 00
UT.
di topografia relativa dello strato) é quindi possibile determinare il vento termico dello
strato. Sommando questi due vettori si determina facilmente il vento geostrofico al
livello 1. L’equazione del vento termico é quindi un ottimo strumento diagnostico che
consente ad esempio di verificare la consistenza tra campi di vento e di temperatura. Ad
esempio da un profilo verticale del vento ottenuto con un sondaggio é possibile capire
l’avvezione verticale di temperatura e la sua dipendenza con l’altezza. Ad esempio se
ho una rotazione oraria del vento con l’altezza mi aspetto una avvezione calda (figura
(c) in fig. 5.5).
Alcuni esempi in fig. 5.5 mostrano come il vento possa aumentare o diminuire
con l’altezza rimanendo parallelo a se stesso (questo é il caso di isoterme e isoipse
parallele) oppure puó anche cambiare in direzione con l’altezza (se isoterme e isoipse
si intersecano).
Tutte le relazioni sopra derivate hanno il loro corrispettivo nel caso di flusso curvilineo.
Ci sono equazioni per vento termico nel caso di vento di gradiente come per quello
di vento geostrofico. Nelle equazioni del vento termico di gradiente il taglio verticale
del vento non deve essere parallelo alle isoterme medie, ma devia per effetto della cur-

136 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Figura 5.5: Esempi di vento termico.
vatura del flusso e della sua variazione con l’altezza. Approssimativamente il vettore
taglio punterà in direzione antioraria intorno ad un centro freddo, in direzione oraria
intorno ad un centro caldo. Così un flusso ciclonico intorno ad una bassa si rafforzerà
con l’altezza se la bassa ha un centro freddo; si indebolirà con l’altezza se la bassa ha un
centro caldo. Al contrario la circolazione anticiclonica attorno ad un’alta diminuirà con
l’altezza se l’alta ha un centro freddo, aumenterà se l’alta ha un centro caldo. Inoltre
se i centri di circolazione e di temperatura non coincidono, i cicloni si muoveranno con
l’altezza verso l’aria fredda e gli anticicloni verso il centro caldo. Queste regole sono di
importanza fondamentale nell’analisi sinottica e sono tutte basate sulle proprietà del
vento termico. Per maggiori dettagli si veda la sezione 5.7.
5.2 I meccanismi di variazione della pressione
È noto che la pressione atmosferica varia notevolmente col tempo, a varie latitudini e
nelle diverse stagioni. Così gli equilibri descritti, siano essi geostrofici o di gradiente,
non vengono mantenuti a lungo. In realtà c’è un continuo aggiustamento reciproco
tra vento e gradienti di pressione. Cerchiamo ora i meccanismi fisici responsabili di
tali variazioni di pressione. Innanzitutto esaminiamo il significato dell’equazione della
statica che abbiamo già introdotto. Consideriamo la terza equazione delle (2.13):
dw
dt = 2ΩT u cos φ − 1 ∂p
− g
ρ ∂z
nella quale ignoriamo l’attrito e ogni altra forza Fz/m. Mostriamo ora che anche in
situazioni meteorologiche estreme dw
dt e 2ΩT u cos φ sono trascurabili (ma non nulli!)

5.2. I MECCANISMI DI VARIAZIONE DELLA PRESSIONE 137
rispetto a 1 ∂p
. Le accelerazioni verticali sono massime nei cumulonembi dove l’aria
ρ ∂z
che sale dagli strati superficiali raggiunge normalmente i 10 m/sec a 5 km (ma può
raggiungere velocità verticali molto superiori attorno agli 8 ÷ 9 km). Quindi (si stimi
l’accelerazione dal rapporto w2 /(2H)) dw/dt ∼ = 1 cm/s2 . Il termine di Coriolis è
massimo dove u è grande: la prendiamo al centro delle correnti a getto. Qui le correnti
locali hanno velocità di circa 50 m/s da cui 2ΩT u = 1 cm/s2 . Sono accelerazioni ben
trascurabili rispetto a quella di gravità g. Per cui l’equazione idrostatica con fluido
in quiete (dp = −ρgdz) dà risultati con un errore massimo del 0.1% anche in queste
condizioni estreme. A maggior ragione sarà valida per gli oceani dove le velocità sono
assai più basse che non in atmosfera. D’ora in poi supponiamo quindi che la pressione
sia il peso, per unità d’area, dell’aria sovrastante:
+∞
p(h)
+∞
dp = − ρgdz ⇒ p(h) =
h
∞
h
ρgdz (5.12)
Ora siamo interessati a determinare la tendenza della pressione (che é la grandezza
rilevante a fini previsionistici); differenziando rispetto al tempo la (5.12), per g =
costante, si ha:
∂p(h)
∂t
= g
h
∞
∂ρ
∂t dz
La differenziazione sotto il segno di integrale si può fare perché t ed h sono indipendenti.
Dall’equazione di continuità (2.20) nella seconda forma:
∂p(h)
∂t
= −g
h
∞
∂ (ρu)
∂x
+ ∂ (ρv)
∂y
∂ (ρw)
+ dz.
∂z
L’ultimo termine in parentesi può essere integrato col risultato che:
∞
∂p(h) ∂ (ρu) ∂ (ρv)
= −g + dz + g (ρw) h
∂t ∂x ∂y
h
Equazione delle tendenze (barometriche)
(5.13)
Il limite superiore dà zero per il termine di velocità verticale in quanto ρ tende a zero
quando h tende all’infinito.
L’equazione delle tendenze (5.13) ci dice che la tendenza della pressione a livello
h è dovuta a due termini; il primo è l’effetto integrato sulla colonna superiore della
divergenza orizzontale di massa; il secondo è il trasporto di massa, verticalmente, attraverso
il fondo della colonna. Quindi la pressione può cambiare per effetto di questi
due termini. Al suolo il secondo termine non può contribuire e la pressione varia solo
per la divergenza di massa nella colonna verticale. Si può pensare un uso pratico per

138 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
l’equazione prognostica. Se possiamo determinare la divergenza orizzontale di massa
su uno spessore sufficiente di atmosfera e la integriamo, abbiamo la variazione della
pressione col tempo, che può essere estrapolata al futuro. Tuttavia ciò non è praticabile
per due motivi. Il primo è che calcoli della divergenza di massa sui dati reali alle medie
latitudini darebbero variazioni di pressione dell’ordine delle decine di millibar sulle tre
ore, e ciò per tutta la troposfera. Poichè le variazioni reali di pressione sono assai più
piccole, ne deriva che vi sono divergenze di massa di segno opposto così che non si
possono avere rapidi accumuli o svuotamenti di massa lungo la colonna verticale. In
altre parole l’integrale rappresenta piccole differenze fra due numeri grandi. In secondo
luogo è difficile determinare con accuratezza la divergenza di massa, per cui le piccole
differenze non possono essere determinate con accuratezza. È abbastanza frequente in
meteorologia che le quantità utili siano differenze fra variabili grandi, e male misurabili.
Si chiarisce meglio la natura dell’equazione delle tendenze espandendo l’integrando:
∂p
(h) = −g
∂t
∞
h
∂u ∂v
+ ρdz − g
∂x ∂y
div. orizz.
di velocità
∞
h
u ∂ρ
∂ρ
+ v dz + g (ρw) h
∂x ∂y
avvezione orizz.
di massa
che ci dice che si ha una crescita di p al livello h in presenza di convergenza orizzontale
nella colonna sopra h (+massa=+peso) e/o avvezione di aria fredda nella colonna sopra
h (aria+densa=aria+pesante) e/o moti verticali che portano aria da sotto a sopra
la colonna. L’effetto di convergenza orizzontale di velocità (primo termine) è grande
ma é difficile da misurare. In particolare poi il primo e il terzo termine tenderanno
in generale a compensarsi; cosí, ad esempio, se la caduta di pressione viene determinata
da un moto verticale verso il basso al livello h, ci sará un flusso di massa dai
lati che tenderá a ridurre la caduta di p. Il secondo termine comprende l’avvezione
orizzontale di massa che risulta più facile da misurare, meno compensata verticalmente
e comunque spesso piccola rispetto al primo termine. Quanto detto mostra come sia
vano, allo stato presente delle tecniche di misura, cercare una applicazione prognostica
dell’equazione delle tendenze. Però la teoria suggerisce come interpretare il moto dei
sistemi di pressione. Discuteremo ora piú in dettaglio tale argomento.
5.3 La teoria di Bjerknes - Holmboe
In generale possiamo dire che i sollevamenti o le discese di masse d’aria nella nostra
atmosfera si verificano in risposta a fattori dinamici connessi a flussi d’aria orizzontali
(e solo secondariamente vengono influenzati dalla stabilitá delle masse d’aria, che verrá
studiata nel vol.2).
Vogliamo qui presentare, solo qualitativamente, la teoria di Bjerknes - Holmboe.
Tale teoria cerca di correlare la distribuzione orizzontale della divergenza netta di
massa [che entra nella (5.13)] alla distribuzione delle alte e delle basse pressioni. Le
alte pressioni si muoveranno verso regioni di pressioni crescente (o di convergenza di

5.3. LA TEORIA DI BJERKNES - HOLMBOE 139
massa) le basse verso regioni di pressione decrescente (divergenza di massa). Non si
può partire dal puro caso geostrofico perché la divergenza del vento geostrofico puro
è zero (a parte variazioni di f e di ρ): se il vento fosse geostrofico non ci sarebbero i
meteorologi!! Pertanto si studiano situazioni da vento di gradiente.
Esempio 1: Isobare sinusoidali da ovest ad est: é la situazione tipica delle onde
nelle correnti dell’alta troposfera.
Figura 5.6: Distribuzione delle divergenze in un’onda sinusoidale dell’alta troposfera
dovuta all’effetto di curvatura.
Nel flusso di gradiente, il moto avviene lungo le isobare tracciate sulle carte di
livello (o lungo le isoipse su cartine isobariche), ma anche se le isobare sono parallele
ed ugualmente spaziate ci possono essere cambiamenti nella velocitá dovuti a due effetti:
1. Effetto di curvatura:
Come visto nel paragrafo (3.5) quando le isobare sono curve e ci si trova in
regime stazionario il vento é correttamente descritto dal vento di gradiente c.
L’approssimazione geostrofica é per difetto o per eccesso a seconda del tipo di
circolazione. In particolare:
• i venti nella gola dell’onda (cioé ove la circolazione attorno alla bassa é
ciclonica/antioraria) sono subgeostrofici |c| = c < |vgeo|;
• i venti nei crinali dell’onda (cioé ove la circolazione attorno alla alta é
anticiclonica/oraria) sono supergeostrofici |c| = −c > |vgeo|
quindi ci si aspetta la distribuzione delle velocitá dei venti in fig. 5.6: con gradienti
di pressione costanti (quindi ugual valori di vgeo) ci si aspetta velocitá di vento
di gradiente piú basse nelle gole che non nei crinali. Ne segue un effetto di
divergenza (e quindi caduta di pressione) tra le gole e i crinali (a valle delle gole)
e una convergenza (e quindi aumento di pressione) tra le gole e i crinali (a monte
delle gole). Per questo effetto ci si aspetta che l’intero sistema di pressione si
muova verso est.
2. Effetto di latitudine: se tutti gli altri parametri sono immutati e aumenta la sola
latitudine (quindi f), sia c che vgeo diminuiscono all’aumentare della latitudine.

140 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Lo si vede dalla forma:
c = 1
f
1 ∂p c2
−
ρ ∂r r
Poiché in un flusso occidentale le gole si trovano a latitudini piú basse che non i
crinali, le curve di livello nelle gole (per effetto della diminuzione di f e quindi
dell’incremento di 1/f) devono essere piú distanti che non nei crinali di modo
che si verifica una convergenza in direzione nel tratto crescente e una divergenza
in direzione nel tratto decrescente delle gole. Per cui ci si attende, per questo
effetto da solo, un comportamento opposto al precedente.
Così tutto il sistema evolverà verso est (per basse velocità e corte λ) se ha la
prevalenza l’effetto di curvatura, evolve verso ovest se prevale l’effetto di latitudine
(alta velocità e lunghe λ). Tali ragionamenti, in prevalenza, si applicano alle carte
a 500 mb dove si hanno questi andamenti sinusoidali. In effetti, in generale, c’è per
queste onde lunghe un prevalere dell’effetto di curvatura con un leggero moto verso est.
Esempio 2: Isobare concentriche
Figura 5.7: Distribuzione delle divergenze per una struttura di isobare circolari.
L’effetto di curvatura è il medesimo, quindi si fa sentire solo quello della latitudine
(venti piú elevati nel lato verso l’equatore), con convergenza ad est e divergenza ad
ovest. Perciò ci si attende che il sistema muova verso ovest.
Esempio 3: Sovrapposizione di isobare sinusoidali in alta quota e di isobare circolari
al suolo
Nella struttura sinusoidale verticale prevalga l’effetto di curvatura, di modo che
compare una zona di divergenza a Est delle gole e di convergenza a Est dei crinali. A
Est del centro di bassa al suolo si ha convergenza a bassa quota e divergenza ai livelli

5.4. IL VENTO ISALLOBARICO 141
Figura 5.8: In alto: isobare in alta quota (andamento sinusoidale) e al suolo (struttura
circolare). In basso: struttura verticale che compete alle aree di convergenza e divergenza
(individuate dalle strutture isobariche alle due differenti quote) orizzontale dei
venti.
piú alti 1 originando quindi verticalmente una regione di moto ascendente 2 (e di solito
dove vi sono moti ascendenti si sviluppano nubi e maltempo). A Ovest del centro di
bassa al suolo si ha divergenza a bassa quota e convergenza ai livelli piú alti originando
quindi verticalmente una regione di moto discendente (e di solito dove vi s ono moti
discendenti si dissolvono nubi e vi é beltempo).
A motivo della compensazione verticale, non si può dire se tutto il sistema completo
muoverà verso est o verso ovest. Se il livello di non divergenza è basso, prevale il sistema
in quota e tutto si sposta verso est. Se il livello di non divergenza è alto, prevale il
sistema al suolo e tutto si sposta verso ovest.
C’è un buon accordo tra questo modellino e l’esperienza sinottica.
5.4 Il vento isallobarico
Dopo aver esaminato il vento in bilancio di forze e come variano nel tempo sistemi
barici e vento separatamente, esaminiamo come varia il vento al variare del campo di
pressione nel tempo (e quindi non consideriamo piú una situazione stazionaria come per
1Nella media troposfera vi sará poi un livello con divergenza orizzontale nulla, tipicamente attorno
ai 600 mb.
2Ricordiamo che tali moti verticali non superano velocitá di 5−10 cm/s, mentre gli updraft dentro
i cumuli possono superare i 10m/s.

142 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
il vento di gradiente). Assumiamo un moto orizzontale e senza attrito. Le equazioni
del moto nell’approssimazione di piano tangente saranno:
du
dt
dv
dt
= fv − 1
∂p
ρ ∂x
= −fu − 1
∂p
ρ ∂y
(5.14)
Consideriamo ora delle isobare rettilinee orientate est - ovest (cioè p = p(y, t)) ed un
gradiente di pressione variabile nel tempo secondo una funzione lineare:
1 ∂p
1 ∂p
= 0 −
ρ ∂x ρ ∂y = P = Po(y)
∂P
+ (y) t
∂t
sostituendo nelle equazioni del moto (5.14) otteniamo:
du
dt
dv
dt
= fv
= −fu + P
t=0
(5.15)
Per risolvere tale equazione si puó passare ad una equazione differenziale del secondo
Figura 5.9: Vettore velocitá bidimensionale sul piano complesso.
ordine per ciascuna variabile u e v oppure usare l’artificio di moltiplicare la seconda
equazione delle (5.15) per i e sommarla alla prima:
d
(u + iv) = −if (u + iv) + iP
dt
e quindi se consideriamo il piano complesso come in fig. 5.9 otteniamo così un’equazione
differenziale lineare del 1◦ ordine ordinaria a coefficienti costanti:
dV
dt = −ifV + iP = −ifV + iP0
∂P
+ i t
∂t
Tale equazione (esiste una formula risolvente!) ha come soluzione dell’omogenea associata
V (t) = ke −ift (con k costante complessa da fissare con le condizioni al contorno)
mentre la soluzione generale si trova sommando alla soluzione dell’omogenea la
0

5.4. IL VENTO ISALLOBARICO 143
soluzione particolare cercata tra i polinomi di primo grado in t della forma A + Bt:
⎧
⎪⎨ A =
∂p
B + if(A + Bt) = iP0 + i t ⇒
∂t 0 ⎪⎩
Po i
+
f f 2
∂P
∂t 0
B = 1
∂P
f ∂t 0
⇒ V (t, P ) = ke −ift + Po i
+
f f 2
∂P
+
∂t 0
1
∂P
t
f ∂t 0
Per trovare k é necessario imporre le condizioni iniziali di vento geostrofico V (t = 0) =
P0/f. Si trova infine k = − i
f 2
∂P
e quindi:
∂t 0
V (t, P ) = P0
1 ∂P
+ t +
f f ∂t
i
f 2
∂P
−ift
1 − e
∂t
= u(t, P ) + iv(t, P )
0
In base all’espressione di Eulero e ±iϑ = cos ϑ±i sin ϑ scomponiamo di nuovo la V in u e
v prendendo parte reale e immaginaria e riesprimendo tutto in funzione della pressione
p:
P 1
u = Re[V (t, P )] = − f f 2
v = Im[V (t, P )] = 1
f 2
∂P
∂t
∂P
∂t
0
0
0
1 ∂p
sin ft = − ρf ∂y
(1 − cos ft) = − 1
ρf 2
1
+ ρf 2
∂
∂y
∂ ∂p
∂y ∂t 0
∂p
∂t 0
sin ft
1 + ρf 2
∂ ∂p
∂y ∂t
0
cos ft
(5.16)
che é la soluzione delle (5.14) nel caso di isobare e isallobare (le isallobare sono le
curve sulle quali la variazione temporale locale o tendenza della pressione é costante)
orientate E − O. Come si vede dalle (5.16) vi sono 3 contributi alla velocitá del vento.
1. Nell’ultimo termine di ogni equazione c’è un termine che ha una variazione temporale
costante con periodo 2π/f del moto d’inerzia, che è il moto fondamentale
delle vibrazioni sul piano orizzontale. Questo termine origina dal fatto che l’equilibrio
iniziale tra forza di Coriolis e forza di pressione viene cambiato dal mutato
campo di pressione. Questo moto periodico puó venire trascurato essendo che
l’energia associata a queste oscillazioni viene dissipata nel fluido circostante.
2. Il primo termine a destra della prima equazione delle (5.16) è la componente
geostrofica lungo x.
3. Il primo termine della seconda equazione è il vento isallobarico che rappresenta
quindi una componente ageostrofica del vento. Essendo coinvolto f 2 , non
c’è cambio di segno al passaggio dell’equatore: esso spira verso le diminuzioni di
pressione in entrambi gli emisferi.
È la componente perpendicolare alle isobare
che, spirando verso la pressione in abbassamento, contrasta la tendenza all’abbassamento
di pressione, in entrambi gli emisferi; questo in perfetto accordo con
il principio di Le Chatelier. Misure sulle carte isallobariche indicano che spesso
è un vento non trascurabile (anche 5 m/s) ed è forte in prossimità dei centri
isallobarici negativi.

144 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
.
v ✬✩
✒
v
✘✘✘✘✘✘✿ ◗❦ v − vgeo ◗✲
vgeo
✫✪
Figura 5.10: Il vento ageostrofico v −vgeo viene ruotato dal vettore dv
dt
risulta dalla somma vettoriale di vento geostrofico e ageostrofico.
5.5 Complemento I: il vento ageostrofico
. Il vettore vento
Se vgeo é il vento geostrofico e v é il vento allora il vento ageostrofico é definito dalla:
v ∗ ≡ v − vgeo. (5.17)
Tale vettore si potrá pertanto ricavare facilmente una volta nota la struttura delle
isobare (e quindi il vento geostrofico) e il valore del vento. Matematicamente si trova
subito dalla equazione del moto che tale componente é connessa all’accelerazione:
dv
dt = f (v − vgeo) × ˆ k = f v ∗ × ˆ k (5.18)
cioé il vettore accelerazione é perpendicolare al vettore del vento ageostrofico e punta
alla sua destra (nell’emisfero N) come illustrato in fig. 5.10.
5.5.1 Vento ageostrofico in campi di pressione uniformi
L’eq. 5.18 é particolarmente illuminante: siccome l’accelerazione é sempre ortogonale a
v − vgeo, modificherá tale vettore nello stesso modo in cui la forza di Coriolis modifica
il vettore di vento: ne cambierá direzione ma non intensitá, ovvero fará ruotare circolarmente
v − vgeo. Per di piú dalla 5.18 si legge che la frequenza del moto é f, ovvero
il periodo della rotazione é il periodo di inerzia. Ma allora l’aria viene portata avanti
da un vettore di vento v che é la combinazione del vento geostrofico vgeo, parallelo
alle isobare, e del vento ageostrofico che ruota attorno alla punta del vettore vento
geostrofico.
Ma allora il moto, combinazione di un moto traslatorio ed uno rotatorio, seguirá una
cicloide (e siccome la componente geostrofica é piú grande della componente ageostrofica
generalmente una cicloide contratta) con la velocitá che varierá tra |vgeo|+|v −vgeo|
e |vgeo| − |v − vgeo|. In particolare se l’aria é inizialmente a riposo e viene immessa in
un campo di pressione costante descriverá una cicloide con velocitá compresa tra 0 e
2|vgeo|. Che non inganni quindi la fig. 3.1: se oltre a Coriolis e forze di pressione non
ci sono altre forze in gioco non si raggiunge una situazione di equilibrio ma la particella
continua ad andare “su e giú”. A titolo di esempio si puó risolvere l’equazione
differenziale (5.15) per un campo di pressione costante (orientato Nord-Sud) usando lo

5.5. IL VENTO AGEOSTROFICO 145
Distanza (km)
500
400
300
200
100
0
−100
u 0 =0; v 0 =0 m/s
u 0 =10 m/s; v 0 =0 m/s
u 0 =0; v 0 =30 m/s
−200
0 500 1000 1500 2000 2500
Distanza (km)
Figura 5.11: Moto di una particella immessa in un campo di vento geostrofico occidentale
pari a (ugeo = 15 m/s, vgeo = 0) con due diverse velocitá iniziali in un intervallo
di tempo di 36h. Si é assunto f = 10 −4 s −1 .
stesso artificio del paragrafo 5.4. Se la particella viene immessa a t = 0 in (0,0) ad un
velocitá (u0, v0)) le equazioni del moto sono:
u(t) = (u0 − ugeo) cos(ft) + v0 sin(ft) + ugeo
v(t) = v0 cos(ft) − (u0 − ugeo) sin(ft)
mentre, andando a ricavare x(t) e y(t), si trova:
x(t) = u0−ugeo
f
y(t) = v0
f
sin(ft) − v0
f cos(ft) + ugeot + v0
f
sin(ft) + u0−ugeo
f
cos(ft) − u0−ugeo
f
(5.19)
Nel caso in cui la particella venga immessa con velocitá nulla le (5.19) descrivono il
moto su una cicloide (x − ugeot) 2 + y2 = (ugeo/f) 2 , ovvero il moto percorso da un punto
sul bordo di una ruota di raggio r = ugeo/f che rotola senza strisciare (il cui centro si
muove verso E a ugeo) come mostrato in fig. 5.11.
Quale moto si sarebbe avuto se la particella fosse stata immessa ad una velocitá
u(0) = u0? Il moto sarebbe stato:
u(t) = ugeo + (u0 − ugeo) cos(ft)
;
v(t) = (ugeo − u0) sin(ft)
la componente v si annulla per t = mπ/f (m = 0, 1, . . .) e in corrispondenza a tali
valori y = 0 oppure y = 2 ugeo−u0 , che dá quindi il range di variazione della variabile
f

146 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Figura 5.12: Componenti del vento ageostrofico e accelerazione del vento. La situazione
supergeostrofica e subgeostrofica sono illustrate in basso a sinistra e a destra
rispettivamente.
y. Il moto descritto dalla particella é quello percorso da un punto ad una distanza
d = (ugeo − u0)/f dal centro di una ruota di raggio r = ugeo/f che rotola senza
strisciare (vedi fig. 5.11). Se ugeo > u0 il punto sta dentro alla ruota, altrimenti sta al
di fuori della ruota stessa.
5.5.2 Vento ageostrofico in presenza di campi di pressione
variabili
Siamo adesso interessati a capire che cosa succede se, anziché essere in un campo di
pressione costante é questo che varia e con esso il relativo vgeo associato. Supponiamo
allora che l’accelerazione dv che una particella riceve sia essenzialmente dovuta alla
dt
variazione nella componente geostrofica, ovvero:
dv
dt
dvgeo
≈
dt = f v∗ × ˆ k ⇒ v ∗ = 1
f ˆ k × dvgeo
dt
(5.20)
da cui segue, separando l’accelerazione in componente tangenziale e centripeta, che
avró una accelerazione tangenziale (e quindi cambi nel modulo della velocitá del vento)
in presenza di vento ageostrofico trasverso (questo vento porterá verso le basse se vgeo
rinforza, verso le alte viceversa), accelerazione centripeta (cambi nella direzione del
vento) in presenza di vento ageostrofico parallelo a vgeo (vedi fig. 5.12). Si noti che la
(5.20) ci consente, una volta determinato il valore di v ∗ , di determinare l’accelerazione
del vento.

5.5. IL VENTO AGEOSTROFICO 147
Figura 5.13: Vento ageostrofico isallobarico.
Ora, scrivendo la derivata totale per la velocitá, si trova:
dvgeo
dt
= ∂vgeo
∂t
+ V ∂vgeo
∂s
+ w ∂vgeo
∂z
che introdotta nella (5.20) fornisce 3 sorgenti di vento ageostrofico:
(5.21)
• una componente derivante dalla derivata locale che si puó riscrivere usando la
(3.6) e trascurando le variazioni temporali di densitá come:
∂vgeo
∂t
= − 1
ρ f ∇
∂p
×
∂t
ˆ k (5.22)
cosí che la corrispondente componente ageostrofica diventa quella che abbiamo
giá trovato nel par. 5.4:
v ∗ 1
1 = −
ρ f 2
∂p
∇
∂t
(5.23)
cioé la corrispondente accelerazione corre parallela alle isallobare con i valori di
tendenza della pressione piú bassi alla sinistra mentre la componente ageostrofica
del vettore di vento corre perpendicolarmente alle isallobare e punta nella
direzione ove la tendenza della pressione é ad abbassarsi (vedi fig. 5.13). Si noti
che questo vento isallobarico determina convergenza di aria verso il centro di
caduta di pressione e viceversa divergenza di aria dalle zone ove la crescita di
pressione é massima. Se si considera il campo di superficie, corrispondentemente
si avrá, per continuitá (vedi eq. 5.13), un moto ascendente di aria dove vi é la
caduta di pressione (che puó portare alla formazione di nubi). Ove la pressione é
in crescita invece il moto sará discendente e quindi vi sará tendenza a dissoluzione
e dispersioni di nubi.

148 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Figura 5.14: Componenti del vento ageostrofico in presenza di confluenza e diramazione
(sinistra) e con isobare curve (destra).
• una componente derivante dalla variazione del vento geostrofico sul piano orizzontale.
Per semplicitá possiamo pensare di sostituire Vgeo alla velocitá V e le
isobare, con raggio di curvatura Ri, alle linee di flusso. In tal caso cambi della
velocitá derivano da variazioni nel modulo della velocitá (zone di confluenza o
diramazione ove le isobare convergono o divergono) o della sua direzione (lungo
isobare curve). Usando il sistema di coordinate naturali:
∂vgeo
Vgeo
∂s
∂
= Vgeo
∂s
Vgeoˆt ∂Vgeo
= Vgeo
∂s ˆt +
che quindi porta ad una componente ageostrofica data da:
v ∗ 2 = Vgeo
f
∂Vgeo
∂s
ˆn −
V 2
geo
Ri
ˆn (5.24)
2 Vgeo ˆt (5.25)
f Ri
In fig. 5.14 a sinistra si vede come nelle zone di confluenza dove la particella deve
aumentare la sua velocitá (il vento tende a diventare supergeostrofico) si avrá
una componente di vento ageostrofica verso le basse pressioni [si veda il primo
termine della (5.25)]; l’opposto accadrá nelle zone di divergenza. Tale fenomeno,
giá descritto al paragrafo 3.2, é particolarmente pronunciato nell’alta troposfera
in vicinanza della corrente a getto: nelle zone di ingresso e uscita dalla corrente
a getto la direzione del vento puó formare angoli anche di 20 ◦ ÷ 30 ◦ rispetto alle
isoipse (che danno la direzione del vento geostrofico).
Analogamente (vedi fig. 5.14, destra) si vede che, dove le isobare sono curve, vento
super-geostrofico é richiesto nelle aree di curvatura anticiclonica, sub-geostrofico
nelle aree a curvatura ciclonica. Tali differenze di velocitá sono il prerequisito per
un cambio nella direzione delle particelle e corrisponde esattamente all’equilibrio
del vento di gradiente. Questo meccanismo é particolarmente efficiente nelle onde
delle correnti di alta troposfera e fondamentale nello sviluppo dei sistemi di alta
e di bassa pressione.

5.5. IL VENTO AGEOSTROFICO 149
Figura 5.15: Componenti del vento ageostrofico nel caso di moto verticale (vgu e vgo
stanno per vento geostrofico nel livello inferiore e superiore risp.).
• la terza componente del vento ageostrofico é connessa con il campo di temperature
essendo che ∂vgeo
dipende solo dal gradiente di T fatto sulle superfici isobariche
∂z
(vedi eq. 5.9). Sempre usando la (5.20):
v ∗ 3
= − w
f 2
g
T ∇p T (5.26)
cosí che questa componente ageostrofica é perpendicolare alle isoterme e punta
verso le T fredde nel caso di moti ascendenti (w > 0) e verso le T calde nel caso
di moti discendenti (w < 0) (vedi fig. 5.15); corrispondentemente si hanno venti
super-geostrofici con avvezioni di aria calda con sollevamenti o avvezioni di aria
fredda con discese e viceversa.

150 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
5.6 Complemento II: avvezione di temperatura e
cambiamento locale della temperatura
La conoscenza dell’avvezione termica é molto importante a scopi previsionistici e diagnostici.
L’avvezione termica orizzontale é definita come:
AT = −v · ∇ T (5.27)
ove ˜v é la velocitá bidimensionale ed é positiva o negativa per avvezione calda o fredda
rispettivamente. Sappiamo che tale termine determina in parte la variazione locale
della temperatura, infatti detto γamb = − ∂T
∂z :
Per esprimere dT
dt
da cui segue che:
∂T
∂t = AT − w ∂T
∂z
dT
+
dt = AT + w γamb + dT
. (5.28)
dt
differenziamo rispetto a t il primo principio della termodinamica:
dT
dt
= 1
cp
dq
dt
dq
dt
dT
= cp
dt
− αdp
dt
α ∂p
+
cp ∂t + v ·
∇p + α w ∂p
cp ∂z
il termine centrale nel membro di destra della (5.30) é trascurabile cosí che si ha:
che sostituita nella (5.28) porge:
dT
dt
≈ 1
cp
∂T
∂t = AT + w (γamb − Γd) + 1
(5.29)
(5.30)
dq
dt + Γd w (5.31)
cp
dq
dt
(5.32)
che ci dice che si ha un aumento locale della temperatura se si ha e/o un’avvezione di
aria piú calda, e/o un moto discendente in una stratificazione stabile (γamb < Γd) e/o
un guadagno diabatico di calore. Un’equazione analoga vale sulle superfici a p costante.
Si noti che l’avvezione di temperatura é essenzialmente dominata dal vento geostrofico
ovvero:
AT ≈ −vgeo · ∇ T (5.33)
che si puó facilmente determinare avendo a disposizione i campi di T e di Φ.
Si puó determinare anche l’avvezione termica media in uno strato (ad esempio
500/1000 hP a) osservando che tutti i vettori di vento geostrofico dello strato hanno la
stessa componente parallela al gradiente termico medio essendo che la loro differenza
é pari al vento termico ed é quindi perpendicolare alle isoterme medie stesse.

5.7. STRUTTURA VERTICALE DEI SISTEMI DI PRESSIONE 151
5.7 Complemento III: struttura verticale dei sistemi
di pressione
5.7.1 Variazione con l’altezza dell’asse verticale di un sistema
di pressione
Consideriamo un centro di bassa di geopotenziale su una superficie isobarica a p
costante. Siccome tale centro é un minimo si ha:
∂Φ
∂x
= ∂Φ
∂y
= 0,
∂2Φ > 0
∂x2 ∂2Φ > 0 (5.34)
∂y2 Supponiamo adesso di seguire in verticale la posizione del minimo; la variazione della
grandezza ∂Φ sull’asse sará:
∂x
∂Φ
δasse verticale = 0 (5.35)
∂x
Senza perdita di generalitá possiamo indicare con x la direzione (si tratterebbe di
un punto se tale asse fosse esattamente verticale) individuata proiettando sul piano
orizzontale l’asse di inclinazione del centro di bassa. La situazione é rappresentata in
fig. 5.16 (a) e quindi la (5.35) diventa:
∂ ∂Φ
δx +
∂x ∂x
∂
∂Φ
δp = 0 (5.36)
∂p ∂x
e quindi, ricavando δx/δp da tale equazione, l’angolo di inclinazione β rispetto alla
verticale diventa:
e siccome ∂Φ
∂p
= − 1
ρ allora:
tan β ≡ δx
δz
= −gρδx
δp
tan β = g
ρ
= gρ
∂ρ
∂x
∂2Φ ∂x2 Ora peró sulle superfici a p = ρ R T = cost si ha:
∂p
∂x
= 0 ⇒
∂ρ
T
∂x
da cui segue infine che:
p
tan β = g
T
p
∂T − ∂x
∂ 2 Φ
∂x 2
∂
∂x
∂Φ
∂p
∂ 2 Φ
∂x 2
(5.37)
. (5.38)
∂T
+ ρ = 0 (5.39)
∂x p
p
. (5.40)
Pertanto una volta individuata la direzione x sul piano orizzontale, la pendenza dell’asse
del centro di bassa si trova con la (5.40). Se β é positivo allora anche − ∂T
> 0 (cioé
∂x
p

152 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Figura 5.16: (a) Rotazione dalla verticale di un sistema di bassa pressione; (b)-(c)
Rotazione verticale dell’asse e cambiamento dell’intensitá con l’altezza, a seconda del
campo di T .
il campo di T decresce nella direzione ove si sposta con l’altezza l’asse) e ció significa
che l’asse delle basse tende ad andare nella direzione dell’aria piú fredda, cioé nella
direzione opposta al gradiente di T fatto a p costante (viceversa per l’asse delle alte
per le quali ∂2Φ ∂x2 < 0, ∂2Φ ∂y2 < 0); questo fatto é illustrato in fig. 5.16 (a). Si noti che tanto
maggiore é il gradiente orizzontale tanto maggiore é la pendenza. L’asse coincide con
la verticale nel caso in cui − ∂T
= 0.Tale condizione ad esempio é soddisfatta nel
∂x p
caso barotropico (per il quale non ci sono gradienti orizzontali di pressione: le superfici
a p costante sono anche a T costante) oppure nel caso in cui il centro di bassa pressione
coincida con un massimo o un minimo pure del campo di temperatura.
Esempio: in un centro di bassa pressione sulla cartina a 950 mb (T = 280 K)
|∇pT | = 3 ◦C/100 km e il gradiente di T punta verso E. Supponendo che il centro di
bassa si sposti nella direzione E −O muovendosi verso l’alto e sapendo che 50km a E e
a O del centro il geopotenziale é 40 gpm piú alto che nel centro della bassa calcolare la
pendenza rispetto alla verticale della linea che congiunge a diverse p il centro di bassa.
Si ricava subito dalla (4.45) che ∂2Φ ∂x2 = 3.2 gpm/102 km2 da cui infine: tan β =
1 3 K/100 km
280 80 m/25×102 km2 = 3.3 e quindi l’inclinazione é di 73◦ nella direzione di decrescita
della T .
E se il centro di bassa si fosse spostato nella direzione N − S? In tal caso l’asse del
sistema di pressione sarebbe stato verticale.
5.7.2 Struttura verticale dell’intensitá di un sistema di pressione
L’intensitá di un sistema di pressione é descritto dalla forza del gradiente di pressione
attorno al centro: graficamente un centro di minima di geopotenziale sará tanto piú
marcato quanto piú concave sono le linee di geopotenziale o equivalentemente tanto
piú le isobare sono inclinate rispetto all’orizzontale. Dobbiamo pertanto chiederci come

5.7. STRUTTURA VERTICALE DEI SISTEMI DI PRESSIONE 153
varia con l’altezza la grandezza
∂Φ ove al solito x rappresenta la direzione individuata
∂x p
proiettando sul piano orizzontale l’asse di inclinazione del centro del sistema isobarico;
siccome ∂
∂ = −g ρ si ha:
∂z ∂p
∂ ∂Φ
= −g ρ
∂z ∂x p
∂
∂Φ
= −g ρ
∂p ∂x p
∂
∂Φ ∂ 1
= g ρ = −
∂x ∂p ∂x ρ p
g
∂ρ
(5.41)
ρ ∂x p
ed usando la (5.39) (∇pρ = − ρ
T ∇pT ) si trova infine:
∂ ∂Φ
=
∂z ∂x p
g
∂T
. (5.42)
T ∂x p
Se si applica ad una bassa fredda (quindi siccome la temperatura tende ad aumentare
spostandosi in ogni direzione verso l’esterno in particolare ció sará vero muovendosi
in direzione x, da cui
∂T > 0 fuori dal centro, nel centro invece tale quantitá si
∂x p
annulla) con asse verticale (si noti che in tal caso
∂Φ = 0 sui punti dell’asse) il
∂x p
secondo termine della (5.42) é positivo e quindi l’intensitá aumenterá con l’altezza.
Pertanto un centro di bassa freddo é un sistema verticale profondo (vedi fig. 5.16 (c)).
Considerazioni simili valgono per un sistema di alta caldo (infatti in tal caso, al di fuori
del centro di alta,
∂T
∂x p < 0 e
∂Φ decresce con l’altezza).
∂x p
Viceversa cicloni caldi e anticicloni freddi rappresentano sistemi in cui la variazione
con l’altezza tende a smorzarne l’intensitá. In taluni casi, se viene mantenuto il gradiente
orizzontale di T con la quota si puó arrivare addirittura ad avere un cambio di
segno di
∂Φ
: in tal caso si puó avere una alta sopra una bassa calda oppure una
∂x p
bassa sopra un centro superficiale freddo di alta pressione.
Esempio: si supponga di avere un centro di bassa caldo a terra (T = 300 K). Il
centro del sistema isobarico a simmetria radiale si mantenga sulla verticale del punto a
terra. La pendenza della superficie isobarica in un punto al di fuori del centro sia 10−4 (sia x la direzione che va dal centro a tale punto) mentre il gradiente radiale di temperatura
fatto sulle superfici a p costante in tale punto valga
∂T suolo
= −3 ∂x p
◦C/100 km
costantemente con l’altezza sopra tale punto. Supponendo che la T decresca linearmente
con γamb = 6 K/km determinare a quale altezza sopra il punto in questione la
pendenza sull’orizzontale diventa nulla.
Integrando la (5.42) dal suolo all’altezza incognita in questione si trova:
H
H
∂ ∂Φ
g ∂T
= −g tan αsuolo =
dz
0 ∂z ∂x p
0 T0 − γamb z ∂x p
H
∂T suolo
∂ ∂Φ
∂x p T0 − γamb H
= −g log
.
∂z ∂x
0
da cui infine espandendo in serie:
H ≈ T0
γamb
tan αsuolo
p
γamb
∂T suolo
∂x p
=
γamb
T0
∂T suolo
∂x p
T0
tan αsuolo = 300
3 × 10 −2 × 10−4 = 1 km

154 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
5.8 Esercizi
✓ ✓✼
✪
N
✪✪✪✪✪✪
✪ ✪✪✪✪✪✪
1800 m
✡
∂T
✡ ∂y
✡
✡✢
= −2.5 0 ugeo = −0.1 m/s
✛
✛ ✲
K/100 km
T crescenti
✪ ✪✪✪✪✪✪
✪ ✪✪✪✪✪✪
1000 m
O ✛ ✛ ✲ E
ugeo = −6 m/s
Figura 5.17: Vento termico fra due strati a 1800 m e a 1000 m.
5.8.1 Vento termico
1. Determinare il vento geostrofico a 1800 m se il vento geostrofico a 1000 m é
da Est e pari a Vgeo = 6 m/s, e se il gradiente della temperatura media dello
strato é diretto da Nord a Sud e vale 2.5 ◦ /100 km (⇒ ∂T
∂y = −2.5◦ /100 km).
La temperatura media dello strato é T = 273 K e la latitudine é φ = 60 ◦ ⇒
f = 1.26 × 10 −4 s −1 .
Aiuta la figura 5.17. In questo caso solo la componente u del vento varierá con
la quota perché il gradiente termico é in direzione N − S:
∆ ugeo
∆ z
g ∂T
= −
f T ∂y
+ ugeo
T
Quindi, assumendo un gradiente adiabatico secco ∂T
∂z
∆ ugeo = −∆ z g ∂T
f T ∂y
+ ∆ z ugeo
T
∂T
∂z
∂T
∂z .
= −9.7K/km:
= 5.7 + 0.17 5.9 m/s.
Come si vede il secondo termine é decisamente piú piccolo (dá comunque una
variazione percentuale ≤ 4% per km). Ma allora, considerando solo le componenti
di vento non nulle, in direzione E − O:
ugeo(1800 m) = ugeo(1000 m) + ∆ ugeo = −6 + 5.9 = −0.1 m/s
cioé il vento geostrofico a 1800 m continua ad essere diretto verso ovest ma é
contrastato dal vento di gradiente. Mnemonicamente basta ricordare che i venti

5.8. ESERCIZI 155
zonali occidentali di alta quota sono proprio venti termici dovuti al gradiente
termico N − S. In questo caso l’avvezione termica é nulla.
2. La temperatura media dello strato tra 75 e 50 kP a decresce verso Est di 3 ◦ /100km.
Se il vento geostrofico a 75 kP a é da Sud-Est con intensitá Vgeo = 20 m/s, determinare
il vento geostrofico a 50 kP a. (f = 10 −4 s −1 ). Qual é l’avvezione media
di temperatura nello strato?
In questo caso:
sará:
ma:
vT =
− R
f
vgeo(750 mb) =
− 20
√ m/s,
2 20
√ m/s, 0 .
2
vgeo(500 mb) = vgeo(750 mb) + vT
∂T
∂y p
palta
log ,
pbassa
R
∂T
f ∂x p
Nel nostro caso solo
∂T
∂x p = −3◦ /100 km = 0 quindi:
che inserito nella (5.43) dá:
vT = (0, −34.9 m/s, 0)
vgeo(500 mb) = (−14.14 m/s, −20.75 m/s, 0) .
palta
log , 0 .
pbassa
(5.43)
Quindi Vgeo = √ 14.14 2 + 20.75 2 = 25.1 m/s proveniente da N-E con un angolo
di α = arctg 14.14
20.75 = 34◦ dal Nord.
Per calcolare l’avvezione termica media dello strato possiamo prendere l’avvezione
del vento ad uno qualunque dei due livelli (l’avvezione del vento termico infatti
é comunque nulla):
−vgeo · ∇T = −ugeo
∂T
∂x = −(−14.1 × 3600 m/h) · (−3 × 10−5 ◦ C/m) = −1.5 ◦ C/h.
Si tratta quindi di un’avvezione termica fredda e come tale origina una rotazione
antioraria dei venti andando verso l’alto come in fig. 5.18. Viceversa una rotazione
oraria del vento termico con l’altezza viene causata da una avvezione calda del
vento geostrofico nello strato. In generale, nell’Emisfero Nord, il vento termico
é diretto come le isoterme medie dei due strati e lascia a sinistra l’aria fredda,
alternativamente spira lungo le linee di ugual spessore della topografia relativa
con i bassi spessori a sinistra. Quindi noti i venti geostrofici a diverse quote
é possibile ottenere una stima ragionevole della avvezione termica orizzontale e
della sua dipendenza verticale.

156 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
caldo
v1
v2
vT
freddo
Figura 5.18: Rotazione del vento in quota per effetto del vento termico.
3. Se il polo é 40 K piú freddo dell’equatore e il vento sulla superficie é nullo, che
= −40/(3200 · π) =
vento ci si aspetta a 200 mb? Il gradiente di T é pari a ∂T
∂y
4 × 10−3 K/km che inserito nella (5.43) a 45◦ di latitudine N e a 200 mb porge un
vento occidentale di 18 m/s. I venti zonali occidentali hanno un massimo proprio
al top della troposfera con valori medi stagionali di 40 m/s in gennaio (quando
il gradiente termico Polo-equatore é piú marcato) e 20 m/s in giugno a 45◦ di
latitudine.
4. É possibile vento termico in una atmosfera barotropica? No, il vento geostrofico
é indipendente dalla quota perché in tal caso le superfici isobariche sono anche
superfici a ρ costante (ρ = ρ(p)) e isoterme. Ma allora ( ∇T )p = 0 e quindi
anche ∂vgeo
= 0. Per avere vento termico occorre una atmosfera baroclina con
∂ ln p
ρ = ρ(p, T ).
5. A 60 ◦ N (f = 1.26 · 10 −4 s −1 ) un vento occidentale di 30 nodi (1 nodo corrisponde
a 0.514 m/s) viene osservato a p = 500 mb (equivalente a 5.8 km), mentre a p =
300 mb la sua direzione é la stessa ma ha intensitá di 70 nodi. Se la temperatura
media dei due livelli é T = −30 ◦ C determinare il gradiente di temperatura
orizzontale indicandone la direzione.
In questo caso
Ma:
quindi:
∆ ugeo = ugeo(300 mb) − ugeo(500 mb) = 40 nodi = 20.6 m/s.
∂T
∂y
∆ ugeo = −∆ z g
f ¯ ∂T
T ∂y
= −∆ ugeo
∆ z
f ¯ T
g = −2.15◦ /100 km.
Pertanto le isoterme saranno dirette E − O con la temperatura che diminuisce
verso nord.
6. Il vento termico é piú forte al Polo o ad una latitudine di 30 ◦ , a paritá di
condizioni?

5.8. ESERCIZI 157
Siccome il vento termico é inversamente proporzionale a f sará piú grande a
piccole latitudini. A 30 ◦ ci aspettiamo che sia doppio di quello al polo, a paritá
delle altre condizioni.
7. In una atmosfera in cui la pressione varia verticalmente approssimativamente
come p = p0 exp(−z/H0) con H0 = 7 km, trovare l’altezza di inversione del vento
geostrofico sopra una stazione posta alla latitudine di 40 ◦ se il vento geostrofico
ad un altezza di 500 m é di 6 m/s e il gradiente orizzontale della temperatura
media vale 2 ◦ /100 km nel caso in cui il gradiente di geopotenziale sia opposto al
gradiente medio di temperatura.
Nel caso in cui questi gradienti siano ortogonali determinare l’altezza alla quale
il vento sará ruotato di 45 ◦ . Discutere in quale caso trattasi di rotazione oraria
e in quale di rotazione antioraria e valutare come varia l’avvezione termica del
vento geostrofico nello strato nei due casi. (Un disegno puó essere utile)
Siccome i gradienti sono antiparalleli il vento termico dará un contributo opposto
in direzione a quello del vento a 500 m. L’eq. del vento termico porge:
|vtermico| = R
f
∇ ¯
T ln
p1
p2
= R
f
∇ ¯
T z2 − z1
H0
(5.44)
da cui, imponendo che il contributo di vento termico annulli esattamente il vento
geostrofico di partenza:
f
∆z = H0
R
|vtermico|
∇ ¯
T
= 7 Km 9.37 × 10−5 s −1
287J/(K Kg)
6 m/s
2 × 10 −5 K/m
= 0.68 Km
e quindi l’inversione avverrá ad una altezza di 0.5+0.68 = 1.18km. Nel caso in cui
i gradienti sono ortogonali il vento termico sará ortogonale al vento geostrofico
a 500 m per cui ci sará una rotazione oraria od antioraria del vento geostrofico
con l’altezza a seconda che ci sia avvezione calda o fredda rispettivamente. Una
semplice somma vettoriale mostra che la quota alla quale c’é stata la rotazione é
quella per cui il vento termico eguaglia il vento geostrofico alla quota di 500 m e
quindi si ritrova una altezza di 1.18Km. L’avvezione termica del vento geostrofico
é costante nello strato e vale ±6 × 2/10 5 = 1.2 × 10 −4 K/s = 0.43 K/hr (positiva
se calda, negativa se fredda).
8. Stimare direzione e velocitá del vento geostrofico ad una altezza di 2km e φ = 50 ◦
se il vento geostrofico ad 1 km é da S di intensitá 11 m/s e che il δΦ dello strato
aumenta verso S di 20gpm ogni 3cm su una mappa in scala 1 : (1.5×10 7 ). (Risp:
≈ 12 m/s)
9. Il pianeta Venere ruota attorno al suo asse cosí lentamente che é ragionevole porre
il parametro di Coriolis uguale a 0. Per movimenti stazionari, privi di attrito,

158 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
lungo i paralleli (solo u = 0), l’eq. del moto si riduce a una sorta di bilancio
ciclostrofico:
u2 tan φ
= −
a
1 ∂p
ρ ∂y .
Verificare tale espressione con una analisi di scala quindi trasformare questa
espressione nel sistema di coordinate isobariche.
Partendo dalla eq. (2.36) e usando i dati di Tab. 2.2 si trova immediatamente:
u2
tan φ ∂Φ
= − ; (5.45)
a ∂y p
introducendo ora la velocitá angolare relativa ωr ≡ u
azione di ωr con la quota.
Usando la (5.45) si trova che:
ω 2 r
∂ω
=
1 ∂Φ
−
a sin φ cos φ ∂y p
2 r
∂p
=
1 ∂ ∂Φ
−
a sin φ cos φ ∂y ∂p
ove si é utilizzata l’eq. idrostatica nella forma:
∂Φ
∂p
p
a cos φ
RV 1
=
a sin φ cos φ p
∂z
= g
∂p = −α = −RV T
p
determinare la vari-
∂T
∂y p
(5.46)
ove RV é la costante dei gas per l’aria di Venere (RV = 187J/(kg K)); integrando
la (5.46) si trova:
ω 2 r(p1) − ω 2 r(p0) =
=
p1
p0
RV 1
a sin φ cos φ p
2RV
a sin 2φ
∂T
∂y p
dp
p1
log 〈
p0
∂T
∂y 〉(p0, p1) = 2RV p1 ∂〈T 〉(p0, p1)
log
a sin 2φ p0 ∂y
(5.47)
ove a = 6100 km é il raggio del pianeta e < T > é la temperatura mediata
verticalmente.
Come deve variare < T > rispetto alla latitudine perché ωr sia funzione solo
dell’altezza?
La dipendenza di < T > dalla latitudine dovrá cancellare la dipendenza da sin 2φ
della (5.47), quindi dovrá essere:
∂ < T >
∂y
= 1 ∂ < T >
a ∂φ
= A sin 2φ

5.8. ESERCIZI 159
cioé:
< T >= − aA
cos 2φ + C.
2
In tal modo la (5.47) diventa:
ω 2 (p1) − ω 2 (p0) = 2RV A
a
log p1
p0
(5.48)
In tal caso se la velocitá zonale a 60 km di altezza sopra l’equatore (p1 = 2.9 ×
10 5 P a) é 100 m/s = 360 km/h (si tratta cioé di una super-rotazione verso ovest,
che inizialmente trasse in inganno gli astronomi che inzialmente, basandosi sulle
misure ultraviolette individuarono un periodo di rotazione planetario attorno ai
4 giorni) e si annulla alla superficie del pianeta (p0 = 9.5 × 10 6 P a) qual é la
differenza di temperatura mediata verticalmente tra l’equatore e il polo?
Si ha:
< T >equatore − < T >polo=< T > (φ = 0)− < T > (φ = π/2) = −aA;
dai dati del problema, applicando la (5.48) ai due livelli a pressione p1 e p0:
u 2 60 km
a 2
= 2RV A
a
log p1
p0
che é la differenza di temperatura cercata.
= ⇒ −aA = 7.663 K
Si tratta pertanto di un gradiente poli-equatore molto piccolo.
É una caratteris-
tica del pianeta quella dell’assenza di gradienti termici diurni, stagionali (l’obliquitá
dell’asse di rotazione é di 178 ◦ ) e latitudinali. La circolazione del pianeta é
dominata da due gigantesche celle convettive, che trasportano verso i poli l’aria
equatoriale riscaldata dal Sole e riportano verso l’equatore l’aria polare piú fredda.
Quasi tutta l’energia solare é assorbita dalle nubi 3 e la sommitá delle due
celle (una per ogni emisfero) coincide con gli strati nuvolosi piú elevati. Vi é un
ottimo rimescolamento atmosferico.
5.8.2 Legame velocitá verticale-tendenza della pressione
I prossimi due problemi si propongono di calcolare le velocitá verticali associate a
moti sinottici. Tali velocitá hanno grandezze dell’ordine di pochi cm/s e quindi non
misurabili con buona accuratezza dal punto di vista sperimentale (gli errori di misura
con sonde, ad esempio sono dell’ordine di 1 m/s). Pertanto le velocitá verticali vanno
3 Le nubi vere e proprie di cui non si conosce esattamente la composizione sono organizzate in 3
strati tra i 48 e i 68 km di altezza. Solo nello strato inferiore, dai 48 ai 51 km, si hanno particelle di
nube di dimensioni confrontabili con quelle terrestri (sono peró molto meno dense, circa 1/10). Al di
sotto sino a circa 32 km vi é uno strato di virga perpetua, cioé di pioggia che, causa le alte T , evapora
prima di raggiungere il suolo.

160 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
Tabella 5.1: Divergenza orizzontale del vento a vari livelli di pressione sopra una
stazione.
Pressione (kP a) ∇or
· V ρ(z) (kg/m3 100 +0.9 (× 10
)
∂〈u〉 ∂〈v〉
∂x + ∂y
p
w (cm/s)
−5 s−1 ) 1.34 0
85 +0.6 1.07 0.75 (× 10−5 s−1 ) −1.07
70 +0.3 0.94 0.45 −2.03
50 0.0 0.67 0.15 −3.3
30 −0.6 0.40 −0.3 −4.47
10 −1.0 0.134 −0.8 −1.23
determinate indirettamente: tipicamente esse vengono inferite da determinazioni di
(p). infatti, espandendo tale grandezza nel sistema (x, y, z) si trova:
ω(p) = dp
dt
ω ≡ dp ∂p
(p) =
dt ∂t + V · ∇p + w ∂p
∂z .
Ora per moti su scala sinottica la velocitá orizzontale é quasi geostrofica cioé V =
Vgeo + V ′ con | V ′ |

5.8. ESERCIZI 161
costante4
∂u ∂v
+ +
∂x ∂y p
∂ (dp/dt)
= 0
∂p
(5.51)
e integrare tra un livello di pressione p0 e uno a pressione p:
dp dp
(p) =
dt dt (p0) −
p
p0
= dp
dt (p0) + (p0 − p)
∂u ∂v
+ dp (5.52)
∂x ∂y p
∂〈u〉 ∂〈v〉
+
∂x ∂y
ove con 〈〉 si indica una media verticale mediata sulla pressione (vedi la quarta
colonna di tabella 5.1 ove si é ripetuta l’integrazione passo passo prendendo come
p0 il livello di pressione immediatamente piú alto). Essendo dp/dt(p) −ρ g w
si trova infine:
w(z) = ρ(z0) w(z0)
ρ(z)
− p0
− p ∂〈u〉 ∂〈v〉
+ .
ρ(z) g ∂x ∂y p
con z e z0 le altezze corrispondenti ai livelli di pressione p e p0. Nel nostro caso,
essendo p0 = 1000 mb, ρ(0) = p0
Rd T = 1.34 kg/m3 e ρ(z) = ρ(0) p
(indicata nella
p0
terza colonna di tabella 5.1) tale formula diventa:
w(z) = p0 w(z0)
−
p
p0
− p ∂〈u〉 ∂〈v〉
+ .
ρ(z) g ∂x ∂y p
I risultati vengono dati nella quinta colonna di tabella 5.1. Chiaramente per
quanto visto nel problema precedente questo metodo é affetto da grossi errori
nella determinazione delle divergenze orizzontali sui vari livelli.
• Si supponga che sul livello a 850 mb il lapse rate sia pari a 4 K/km. Se la temperatura
su questo livello decresce ad una velocitá di 2 K/h, il vento é occidentale
a 10 m/s e la temperatura decresce verso ovest ad una velocitá di 5 K/100 km,
calcolare la velocitá verticale usando il metodo adiabatico.
Il metodo adiabatico per la determinazione di ω(p) si basa sulla eq. di bilancio
termodinamico:
dT
dT
1
˙q = cp − αdp = cp − α ω α = (5.53)
dt dt dt ρ
che riscritta in un sistema isobarico diventa:
˙q ∂T ∂T ∂T ∂T
= + u + v + ω −
cp ∂t ∂x ∂y ∂p
α
ω
cp
˙q ∂T ∂T ∂T
= + u + v − Sp ω (5.54)
∂t ∂x ∂y
cp
4Per ricavare tale equazione basta ricordarsi che equivale alla conservazione della massa. Per un
volumetto δ V = δ x δ y δ z, con variazioni idrostatiche di pressione (δ p = −ρ gδ z), δ M =
1 d
imponendo che δ M dtδ M = 0 si ricava la (5.51).
p
−δ x δ y δ p
g ;

162 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI
ove
Sp ≡ RT
cpp
Sp
− ∂T
∂p
∂θ
= −T
θ ∂p = (Γd − γ)/ρg
é il parametro di stabilitá statica nel sistema isobarico. Trascurando il riscaldamento
diabatico ˙q la (5.54) diventa:
ω = 1
∂T ∂T ∂T
+ u + v . (5.55)
∂t ∂x ∂y
e introducendo w = − ω
ρ g
w = − 1
Nel nostro caso v = 0, ∂T
∂t
si ricava che w = 0.96 cm/s.
si ha infine:
Γd − γ
∂T
∂t
+ u ∂T
∂x
∂T
+ v . (5.56)
∂y
= −2 K/h, u ∂T
∂x = 1.8 K/h, Γd − γ = 5.8 K/km da cui
• L’area dell’anvil di un grosso nembocumulo, osservata da un satellite geosincrono,
aumenta del 20% in un periodo di 10 minuti. Assumendo che tale crescita sia
rappresentativa della divergenza media nello strato 300-100 mb, e che la velocitá
verticale sia nulla a 100 mb (sia assume cioé che a tale livello ci sia la tropopausa),
calcolare la velocitá verticale a 300 mb (si assuma ρ(300 mb) = 0.4 kg/m 3 ).
La divergenza orizzontale si ricava dalla (4.29):
∇or · v = 1 dA
A dt
usando la (5.52) con ω = dp
dt
si ha:
= ∆ A
A
1
∆ t = 3.33 × 10−4 s −1 ;
ω(300 mb) = ω(100 mb) − ∇ · v(300−500 mb) ∆ p = −6.66 × 10 −2 mb s −1 .
Ma w(300 mb) −ω(300 mb) 1
= 1.7 m/s. Questa sará la velocitá a 300 mb; in
ρ g
realtá si possono verificare velocitá di risalita molto piú alte.
5.8.3 Vento ageostrofico
• Si abbia una vento geostrofico Vgeo = 10 m/s a φ = 45 ◦ (f = 10 −4 s −1 ). Si calcoli
il modulo del vento ageostrofico:
1. tra due isallobare poste a 100 km nel caso la tendenza della pressione su di
esse sia di 10 mb/10 h, 5 mb/10 h (si assuma ρ = 1kg/m 3 ).
Usando la (5.23) si trova
v ∗ 1 =
1
10 −8 s −2
(10 − 5)mb
3.6 × 10 4 s 10 5 m
= 14 cm/s

5.8. ESERCIZI 163
2. in una zona ove si ha una confluenza con ∂Vgeo
∂s = 10−5 m/s 2 oppure con il
raggio di curvatura delle isobare pari a 1000 km;
in tal caso usando la (5.25) si trova:
v ∗ 2 =
1 m/s zona di confluenza delle isobare
1 m/s zona di curvatura delle isobare
3. nel caso sia presente un gradiente termico di 3 ◦ C/100 km con T = 280 K
ed un moto ascendente pari a w = 1 cm/s.
In tal caso usando la (5.26) si trova:
v ∗ 3 = 10−2 m/s
10 −8 s −2
9.8 m/s 2
280 K 3 × 10−5 K/m = 1.0 m/s
Si noti che il lavoro per unitá di massa della forza di gradiente di pressione per
unitá di tempo diventa:
Wpressione = f |vgeo| |v ∗ | sin(vgeo, v ∗ ) (5.57)
• Si calcoli ampiezza e direzione dell’accelerazione di una particella a 50 ◦ N se il
vento geostrofico é di 8.7 m/s ed é ruotato di 30 ◦ a sinistra del vento reale, che
ha velocitá pari a 10 m/s. Il vento ageostrofico, usando il teorema del coseno per
i triangoli, é in intensitá pari a
(v ∗ ) 2 = V 2
geo + V 2 − 2|Vgeo| |V | cos( Vgeo, V)
che nel caso in esame porge |v ∗ | = 5 m/s. Ora peró riapplicando il teorema
del coseno cos( V, v ∗ ) = V 2 +v ∗ −V 2
geo
2 |V | |v ∗ |
= 0.5 cioé l’angolo formato tra il valor
vero del vento e il vento ageostrofico é pari a 60 ◦ . Ma allora l’angolo tra vento
ageostrofico e vento geostrofico é di 90 ◦ (con il vento ageostrofico alla destra)
e quindi l’accelerazione del vento é diretta nella stessa direzione ma in verso
opposto al vento geostrofico (vedi fig. 5.12, pannello in alto a destra).

164 CAPITOLO 5. ALTRI EQUILIBRI

Capitolo 6
Il boundary layer
6.1 Viscositá e turbolenza
Nella sez. 1.6.2 abbiamo discusso del flusso laminare e del concetto di viscositá molecolare
(vedi fig. 1.13). Se nell’esempio del trascinamento del foglio aumentiamo la velocitá
ad un certo punto il moto da “liscio diventa irregolare e caotico, con larghi vortici che
trasportano fluido sia parallellamente al foglio che nella direzione verticale. Questa condizione
turbolenta si raggiunge quando viene superato un valore critico (tipicamente
dell’ordine di 6000) del NRe = V l ρ
µ = V l
, essendo ν la viscositá cinematica. Quando
ν
ció si verifica1 la forza necessaria a tenere in movimento il foglio aumenta di molte volte
il suo valore. I vortici si rivelano essere agenti molto efficenti per il trasporto di calore e
di vapor d’acqua via dalla superficie terrestre a velocitá di gran lunga maggiore rispetto
a quelle che competerebbero ad un mescolamento per pura diffusione molecolare.
Questo tipo di trasporto turbolento ha una influenza apprezzabile sul moto in tutto
uno strato atmosferico noto come boundary layer il cui spessore va da circa 30 m in
condizioni di larga stabilitá statica a piú di 3 km se ci troviamo in condizioni di forte
convezione. In condizioni medie alle nostre latitudini il suo spessore é dell’ordine del
km.
Se l’atmosfera é staticamente stabile, il mixing turbolento é generato primariamente
da ragioni meccaniche piú che termiche, ovvero dal forte gradiente verticale del vento in
prossimitá del suolo (ove la velocitá del vento si deve azzerare). Si distinguono allora:
uno strato superficiale, confinato nei primi metri di atmosfera nel quale il profilo di
velocitá si aggiusta ad uno stress orizzontale pressocché indipendente dall’altezza;
uno strato di Ekman che si estende per tutto il rimanente boundary layer ove il vento
puó essere descritto da un bilancio tra forza di Coriolis di gradiente e di stress
viscoso.
1 Si noti che in atmosfera siccome aria a STP ha ν 1.5 × 10 −5 m 2 /s tale condizione é verificata
per flussi attorno ad oggetti con l = 1 m giá con V >∼ 0.1 m/s.
165

166 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
Ci limiteremo a studiare gli aspetti puramente meccanici che vanno a determinare le
caratteristiche di tali strato. Gli aspetti convettivi tipici di condizioni instabili o neutre
(tipiche ai Tropici) non verranno affrontati.
6.1.1 Stress di Reynolds
In condizioni turbolente la quantitá di moto é traferita nella direzione del flusso medio
per mezzo del moto di massa di fluido (i vortici), mentre il trasporto molecolare perde
importanza. Poiché lo scambio per vortici a grande scala é un processo molto piú
efficace dello scambio della quantitá di moto molecolare a piccola scala, lo sforzo o
stress richiesto aumenta considerevolmente. Per un flusso unidimensionale, ad un primo
livello di comprensione, si puó parametrizzare l’effetto della turbolenza in maniera
simile a come avevamo descritto il flusso laminare scrivendo:
dV
τ = µe
dz
(6.1)
con µe (e sta per eddy cioé turbolenta) il coefficiente di viscositá turbolenta e V la
velocitá mediata su un tempo sufficientemente lungo. Non bisogna ritenere questa
relazione valida come la (1.16) per la viscositá, perché µe non é costante e caratteristico
del fluido (a fissate T e p) come era µ ma in generale dipende dallo stato del moto. C’é
comunque una gerarchia dei vortici fino ai piú piccoli che confinano con la viscositá
molecolare. Abbiamo giá calcolato la forza viscosa netta su un elemento di fluido nelle
(1.17-1.19).
6.2 Eq. del moto per il flusso medio in un fluido
turbolento
Quando il moto é turbolento le componenti della velocitá ad un dato punto fluttuano
ampiamente al passare dei vortici. Se tuttavia si osserva ció che succede ad un punto
fisso del fluido per un tempo sufficiente é chiaro che esiste un trend generale del moto
al di lá delle fluttuazioni. La velocitá mediata su un certo periodo di tempo sará una
funzione che cambia meno velocemente della velocitá istantanea. Si definisce quindi
una velocitá media:
ū = 1
t+∆ t
∆ t t
u dt (6.2)
con ∆ t sufficientemente lungo da lisciare i vortici e rivelare il flusso medio. Pertanto
u = ū + u ′ con u velocitá istantanea e ū velocitá media mentre la fluttuazione u ′ ,
associata ai vortici turbolenti, avrá media nulla sul periodo ∆ t.
L’idea fondamentale che sta alla base della teoria turbolenta di Prandtl (che é l’unica
che prenderemo qui in considerazione) si basa sul fatto che il trasporto di momento
determinato dai movimenti vorticosi sulla piccola scala possa essere parametrizzato in

6.2. EQ. DEL MOTO PER IL FLUSSO MEDIO IN UN FLUIDO TURBOLENTO167
termini del flusso medio sulla larga scala. Tale parametrizzazione verrá sviluppata in
analogia al caso di diffusione molecolare giá studiato al paragrafo 1.6.2.
Pertanto cerchiamo di ricavare come si trasformano equazioni orizzontali del moto
per il moto medio. Partendo dalle equazioni del moto orizzontale:
∂u
∂t
∂v
∂t
+ u ∂u
∂x
+ u ∂v
∂x
insieme all’equazione di continuitá:
∂ρ
∂t
+ v ∂u
∂y
+ v ∂v
∂y
+ w ∂u
∂z
+ w ∂v
∂z
1 ∂p
− fv = − ρ ∂x
1 ∂p
+ fu = − ρ ∂y
(6.3)
∂ ∂ ∂
+ (ρ u) + (ρ v) + (ρ w) = 0 (6.4)
∂x ∂y ∂z
moltiplicando le (6.3) per ρ e la (6.4) per u e addizionandole si ricava l’eq. per le
quantitá di moto lungo x:
∂ ∂
(ρ u) +
∂t ∂x (ρ u2 ) + ∂ ∂
∂p
(ρ u v) + (ρ u w) − f ρ v = −
∂y ∂z ∂x
(6.5)
e similmente per la componente y. Ora eseguiamo la media dell’eq. (6.5) tenendo in considerazione
che tutti gli scostamenti hanno medie nulle e che |v ′ /〈v〉|, |u ′ /〈u〉|, |w ′ /〈w〉| ≫
|ρ ′ /〈ρ〉|,). Cosí ad esempio:
Si ha cosí che la (6.5) diventa:
vv = (¯v + v ′ )(¯v + v ′ ) = ¯v ¯v + v ′ v ′
ρ u w = ρ (ū + u ′ )( ¯w + w ′ ) = ρ ū ¯w + ρ u ′ w ′ .
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ¯p ∂
(ρ ū) + (ρ ū ū) + (ρ ū ¯v) + (ρ ū ¯w) = f ρ ¯v − −
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x (ρ u′ u ′ ) − ∂
∂y (ρ u′ v ′ ) − ∂
∂z (ρ u′ w ′ )(6.6)
e prendendo l’eq di continuitá (6.4) mediata sul tempo:
∂ρ
∂t
∂ ∂ ∂
+ (ρ ū) + (ρ ¯v) + (ρ ¯w) = 0 (6.7)
∂x ∂y ∂z
moltiplicandola per ū e sottraendola alla precedente si trova infine:
∂ū
∂ū ∂ū
+ ū∂ū + ¯v + ¯w − f ¯v
∂t ∂x ∂y ∂z
=
1 ∂ ¯p 1 ∂
− −
ρ ∂x ρ ∂x (ρ u′ u ′ ) + ∂
∂y (ρ u′ v ′ ) + ∂
∂z (ρ u′ w ′ ∂¯v ∂¯v ∂¯v ∂¯v
+ ū + ¯v + ¯w + f ū
∂t ∂x ∂y ∂z
=
) (6.8)
1 ∂ ¯p 1 ∂
− −
ρ ∂y ρ ∂x (ρ v′ u ′ ) + ∂
∂y (ρ v′ v ′ ) + ∂
∂z (ρ v′ w ′
) (6.9)
e analogamente per la componente media ¯v. La struttura é la stessa delle eq. del
moto per le quantitá istantanee con il termine in piú nelle parentesi quadre: i cosidetti
termini di stress turbolento o di Reynolds. Essi rappresentano il flusso di momento
dovuto alla turbolenza. Tali termini nascono dalla media di termini non lineari (bensí
quadratici nelle velocitá) delle equazioni del moto: la (6.8) fornisce un metodo di

168 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
come misurare tali grandezze ma non dá alcuna indicazione su come esprimere tali
grandezze in termini di quantitá medie. L’approccio piú semplice é quello di tracciare
una analogia con la viscositá molecolare; cosí, ad esempio, prendendo come confine il
piano x y, scriveremo per lo stress turbolento nella direzione y che si propaga nella
direzione verticale:
τz y = −ρv ′ w ′ = ρ K ∂¯v
∂z = µe, y
∂¯v
∂z
(6.10)
con K (coefficiente di viscositá turbolenta) e µe, y corrispondenti (anche dimensionalmente)
della viscositá cinematica e dinamica. Valori tipici atmosferici di K sono
dell’ordine di 1 ÷ 100 m 2 /s (si ricorda che la viscositá molecolare assume valori dell’ordine
di 10 −5 m 2 /s). Questo consente di trascurare i termini viscosi rispetto a quelli
turbolenti nelle equazioni del moto.
In questo modo le equazioni finali della forma (6.8) possono essere scritte in una
forma che contiene solo quantitá medie e loro derivate.
6.3 La teoria di mixing-length (lunghezza di mescolamento)
Descriveremo ora un modellino di Prandtl che va a spiegare la (6.10), ovvero il fatto
che gli stress viscosi siano proporzionali ai gradienti del vento medio.
In viscositá molecolare lo scambio di quantitá di moto avviene fra fra strati adiacenti
di fluido a causa di componenti casuali del moto delle molecole. In questo contesto il
cammino libero medio svolge un ruolo importante in quanto rappresenta la distanza
media che una molecola percorre tra un urto e quello successivo.
Prandtl ha trattato lo scambio turbolento in analogia con quello viscoso. Consideriamo
una situazione in cui si abbia ∂¯v > 0 (d’ora in poi siccome nel boundary layer i
∂z
gradienti verticali del vento sono molto maggiori di quelli orizzontali ci limiteremo alla
discussione dei termini di stress verticali, ovvero quelli il cui primo pedice é z).
Nel modello di Prandtl si assume che, quando una porzione di fluido si muove dal
suo livello originario di turbolenza z, porti con sé, nella direzione y, la quantitá di moto
media di quel livello, e dopo essersi mossa verticalmente di una distanza l ′ produrrá
una fluttuazione turbolenta v ′ che sará assorbita dal fluido al livello z + l ′ . Cosí si
ha uno scambio di quantitá di moto fra strati per trasporto di vortici, cosí come in
viscositá molecolare per scambio di quantitá di moto delle molecole.
Quantitativamente se la massa origina a z con ¯vz e muove verso lo strato ad altezza
z + ∆ z ove si ha ¯vz+∆ z la perturbazione prodotta sará v ′ = ¯vz − ¯vz+∆ z che se ∆ z é
piccolo si puó scrivere come v ′ = − ∂¯v
∂z ∆ z; infine prendendo ∆ z = l′ si trova che:
v ′ ′ ∂¯v
= −l
∂z
(6.11)

6.3. LA TEORIA DI MIXING-LENGTH (LUNGHEZZA DI MESCOLAMENTO)169
da cui segue che, ad esempio, lo stress turbolento (6.10) risulta:
τz y = −ρ v ′ w ′ = ρ l ′ w
∂¯v ′ . (6.12)
∂z
Ora se la turbolenza é approssimativamente isotropica sará |w ′ | |v ′ | per cui anche
w ′ = l ′
∂¯v ′ ′ ove si é preso il valore assoluto perché cosí l e w abbiano lo stesso segno
∂z
(e quindi rimpiazzamenti di pacchetti d’aria verso l’alto diano contributo positivo alla
velocitá verticale). Ma allora la (6.12) diventa:
∂¯v
τz y = ρ l ′2
∂¯v
∂z ∂z
= ρ l2
∂¯v
∂¯v
y
∂z ∂z
(6.13)
ove si é definita una lunghezza quadratica media ly ≡ l ′2 . Ma allora confrontando la
(6.13) e la (6.10) il coefficiente di scambio turbolento puó essere espresso in termini di
tale lunghezza di mescolamento media ly come:
µe, y = ρ l 2
∂¯v
y ∂z
(6.14)
e, analogamente, nella direzione x:
τz x = ρ l 2
∂ū
∂ū
x
∂z ∂z
µe, x = ρ l 2 x
∂ū
∂z
(6.15)
con possibilitá di lunghezze di mescolamento medie e viscositá turbolente diverse nelle
varie direzioni.
Pertanto la lunghezza di mescolamento media di un vortice é l’analogo del cammino
libero medio per una molecola nella diffusione laminare. Ora peró vi é una maggiore
complessitá che nella viscositá molecolare perché i coefficienti turbolenti sono funzione
dello stato medio del moto (dipendono dallo shear verticale delle velocitá orizzontali
medie) mentre i coefficienti molecolari ne sono indipendenti.
Ci occupiamo ora della turbolenza nello strato inferiore presso la superficie terrestre
considerando solamente gli stress verticali (quelli cioé originati dai vortici che si propagano
nei piani verticali (τz x e τz y). Ció é possibile perché il taglio verticale del vento
medio (grandezze tipo ∂ū
∂ū
) é molto superiore al taglio orizzontale (grandezze tipo ∂z ∂x ).
∂τz x
Ma allora nelle eqs.(6.8-6.9) gli ultimi termini nei membri di destra diventano 1/ρ ∂z
∂τz y
e 1/ρ . Siccome poi i termini di accelerazione sono piccoli rispetto a quelli della
∂z
forza di Coriolis e di pressione ne risulta che le eq. del moto esprimono un bilancio tra
forza viscosa, di Coriolis e di pressione:
−f ¯v = − 1
∂ ¯p ∂ τz x
+ (6.16)
ρ ∂x ∂z ρ
f ū = − 1
∂ ¯p ∂ τz y
+ (6.17)
ρ ∂y ∂z ρ
ove si é usato il fatto che ρ é pressocché costante sul boundary layer.

170 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
6.4 Struttura verticale del vento nello strato turbolento
superficiale
Negli strati inferiori (< 10 m circa) gli stress del vento orizzontale sono quasi costanti
con l’altezza 2 . Se gli stress sono costanti anche la direzione é costante, perché se ci
fossero variazioni apprezzabili in direzione anche le componenti degli stress dovrebbero
variare. Consideriamo quindi stress e direzione costanti e orientiamo l’asse x sullo
stress turbolento del primo strato. Dalla teoria della lunghezza di mescolamento segue
che:
∂ū
∂z
= 1
lx
τz x
ρ
≡ 1
ove ρ e τz x sono costanti e solo lx puó variare con l’altezza: u⋆ =
lx
u⋆
τz x
ρ
(6.18)
quindi é
una costante con le dimensioni di una velocitá, detta velocitá di frizione il cui ordine
di grandezza é u⋆ ∼ 0.3 m/s. Per poter ricavare il campo di vento medio risultante
dobbiamo specificare come lx varia con l’altezza. Una ipotesi semplice é che i vortici
diventino piú grandi con l’altezza ovvero che lx = k z con k > 0 costante di von
Karman (=0.38 valore tipico), ovvero che la lunghezza di mescolamento sia 0 al suolo
e cresca linearmente con l’altezza. Integrando la (6.18) si trova allora:
ū (z) = u⋆
u⋆
ln z + C =
k k ln
z
z0
(6.19)
ove z0 é il parametro di rugositá che dá l’altezza per cui ū = 0: al di sotto la velocitá si
annulla al di sopra crescerá logaritmicamente. z0 tipicamente é proporzionale all’altezza
geometrica dell’ostacolo in superficie ed inferiore ad essa: quindi se il suolo é rugoso ū
si annulla prima del livello z = 0. Ad esempio per neve liscia z0 = 0.5 cm, per erba
bassa z0 = 3.2 cm, per un campo di grano z0 = 4.5 cm.
La legge logaritmica (6.19) é in accordo con le osservazioni quando il gradiente di
T é neutramente stabile nello strato limite piú basso (fino a 50-100 m). In generale
peró il profilo verticale del vento dipenderá fortemente dalle condizioni di stabilitá
dell’atmosfera. Tipiche leggi empiriche che incorporano i due effetti sono quelle in cui
il vento viene dato con leggi di potenza della forma:
u(z1)
u(z2) =
β z1
z2
(6.20)
2 A questa conclusione si puó arrivare osservando che gli stress turbolenti in prossimitá della superficie
hanno ordine di grandezza τ ∼ 0.1 N/m 2 da cui τ/ρ ∼ 0.1 m 2 /s 2 . Da un’analisi di scala
sappiamo che i termini di Coriolis e di pressione hanno ordine di grandezza 10 −3 m/s 2 per cui se i
termini di stress devono andare a bilanciare tali termini nelle eqs.(6.16-6.17) dovrá essere:
∆τ
∆z ≈ 10−3 m/s 2
ragione per cui se ∆z = 10 m allora ∆τ

6.5. STRATO DI EKMAN 171
ove β é un parametro compreso tra 0 e 1 che dipende dalle condizioni di stabilitá e
dalla rugositá del terreno.
6.5 Struttura verticale del vento nello strato turbolento
di Ekman
Lo strato di Ekman comincia quando non vale piú l’ipotesi che lo stress turbolento
sia indipendente dall’altezza (sopra i 50 − 100 m); sperimentalmente si sa che lo stress
diminuisce con l’altezza fino ad un livello (tipicamente attorno ad 1km di altezza) dove
é trascurabile e l’equilibrio é geostrofico o di gradiente. Questo strato é almeno 10 volte
piú spesso dello strato limite superficiale a stress costante.
Facciamo ora alcune ipotesi:
• il moto medio é solo orizzontale;
• il wind shear orizzontale é piccolo rispetto a quello verticale (in particolare il
vento termico sia trascurabile e il vento geostrofico non vari con l’altezza);
• ci sia equilibrio fra forza di Coriolis, forza di gradiente di pressione e forze di
viscositá turbolenta e che queste ultime si possano scrivere come nella (6.10) con
K indipendente dalla quota;
allora le eqs.(6.16-6.17) diventano:
K ∂ 2 u
∂z 2 + f(v − vgeo) = 0
K ∂2 v
∂z 2 − f(u − ugeo) = 0
ove
ugeo = − 1
∂p
ρ f ∂y
vgeo = 1 ∂p
ρ f ∂x
con le condizioni al contorno:
u = 0, v = 0 con z = 0;
u = ugeo, v = vgeo con z → ∞
(6.21)
(6.22)
ovvero che le componenti orizzontali dei venti si annullino al suolo e si avvicinino ai
valori geostrofici allontanandosi dalle superfici. Si tratta di un sistema di eq. differenziali
lineari che si risolve facilmente considerando la velocitá complessa u + i v. In tale
variabile infatti il sistema (6.21) si scrive:
K ∂2 (u + i v)
∂z 2
− if(u + i v) = −if(ugeo + i vgeo)
che é una semplice eq. differenziale lineare non omogenea del secondo ordine la cui
soluzione é data da:
u + i v = A e (i f/K)1/2 z + B e −(i f/K) 1/2 z + ugeo + i vgeo. (6.23)

172 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
v/u g
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
u/u
g
Figura 6.1: Spirale di Ekman con vgeo
ugeo
= 0.5 (linea continua) e 0.1 (linea puntinata).
La seconda delle condizioni al contorno (6.22) impone subito che sia A = 0 mentre la
prima porge B = −(ugeo + i vgeo); separando la soluzione in parte immaginaria e parte
reale e usando √ i = (1 + i)/ √ 2 si trova infine:
u = ugeo (1 − e−γ z cos γ z) − vgeo e−γ z sin γ z
v = vgeo (1 − e−γ z cos γ z) + ugeo e−γ z (6.24)
sin γ z
o alternativamente:
u/ugeo = (1 − e −γ z cos γ z) − vgeo
ugeo e−γ z sin γ z
v/ugeo = vgeo
ugeo (1 − e−γ z cos γ z) + e −γ z sin γ z
Come giá osservato nella sezione (3.2.1) il vento nello strato limite ha infine una componente
diretta verso le basse pressioni (vedi anche fig.3.3). Abbiamo tracciato i valori
di u e v su un odogramma con due diversi valori di vgeo
(vedi fig.6.1). Come si vede
ugeo
dal grafico ma anche dalla (6.24) quando z = π/γ il vento é parallelo al vento geostrofico
vgeo = (ugeo, vgeo) sebbene leggermente piú grande di un fattore 1 + e−π = 1.043.
Convenzionalmente tale livello viene designato come cima dello strato limite cioé lo
spessore dello strato di Ekmann é:
DE ≡ π
γ
= π
2K
. (6.25)
f
I dati sperimentali ci dicono che i valori di vento vanno a coincidere con quelli di vento
geostrofico a circa 1 km di altezza. Introducendo un valore di DE = 1 km e f = 10 −4 s −1

6.6. ESERCIZI 173
si trova un valore di viscositá turbolenta pari a K 5 m 2 s −1 . Corrispondentemente la
lunghezza di mescolamento diventa pari a 30 m, cioé piccola come deve essere rispetto
all’intera profonditá dello strato di Ekman.
Siccome l’approssimazione che K sia costante non é buona, specie vicino a z = 0, il
profilo di Ekman non é accurato in pratica, fornendo comunque una buona descrizione
qualitativa.
6.6 Esercizi
1. Condizioni al contorno piú generali combinano la soluzione delle eq. differenziali
(6.21) dello strato di Ekman con il profilo dello strato superficiale. In tal caso le
condizioni al contorno richiedono non piú u + i v = 0 ma dobbiamo permettere
che u + i v = C0 e iα ove C0 é la grandezza della velocitá del vento e α é l’angolo
tra la direzione del vento e le isobare sullo strato superficiale. Imponendo questa
condizione insieme al fatto che u + i v → ugeo per z → ∞ (supponiamo cioé che
il vento geostrofico sia indipendnete dall’altezza e solo zonale)
la soluzione della (6.21) diventa:
u + i v = C0 e iα
−(1+i) γ z
− ugeo e + ugeo. (6.26)
Siccome nello strato superficiale si ha che:
∂u
∂z =
u
z log(z/z0)
(6.27)
allora una ulteriore condizione al contorno é che in cima allo strato superficiale
(cioé in fondo allo strato di Ekman) sia:
u + i v = C ∂
(u + i v) (6.28)
∂z
con C costante reale. Imponendo tale condizione nella (6.26) si trova infine:
√
−γ z u = ugeo √
1 − 2 sin α e cos(γ z − α + π/4)
−γ z (6.29)
v = ugeo 2 sin α e sin(γ z − α + π/4)
2. Circolazione secondaria
Per la soluzione della spirale di Ekman determinare la velocitá verticale in cima
al boundary layer trascurando le variazioni locali della densitá nello strato di
Ekman.
In tali ipotesi si puó riscrivere l’eq. di continuitá come per fluidi incomprimibili:
∂
∂ ∂
(ρ w) = − (ρ u) − (ρ v) (6.30)
∂ z ∂ x ∂ y

174 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
che integrata sullo strato di boundary layer con w = 0 a z = 0 porge:
DE
DE
∂ ∂
(ρ w)DE = − (ρ u) + (ρ v) dz = −ρ ∇ · v dz (6.31)
∂ x ∂ y
0
ove con DE si é indicato lo spessore dello strato di Ekman. Quindi il flusso
verticale al top del boundary layer é uguale alla convergenza orizzontale di massa
nel boundary layer o equivalentemente al trasporto trasversale isobarico di massa
verso le pressione minori per una colonna di larghezza unitaria che si estende per
l’intero strato.
Inserendo le espressioni (6.24) valide per le velocitá si trova allora:
DE
∂ vgeo ∂ ugeo
wDE =
− e
0 ∂ x ∂ y
−γ z
∂ ugeo ∂ vgeo 1 −γ z
sin γ z − + − e cos γ z
∂ x ∂ y
dz
⎡
DE
wDE = ⎣ζgeo e −γ z sin γ z − ⎤
−γ z
∇ · vgeo 1 − e cos γ z ⎦ dz
0
wDE = ζgeo
wDE = ζgeo
DE
0
=0
e −γ z sin γ z dz = ζgeo
γ
DE
2π (e−π DE
+ 1) ζgeo
2π
− 1
(cos x + sin x) e−x
2
K
= ζgeo
2f
0
π
0
(6.32)
Si é dunque trovato che la velocitá verticale al top del boundary layer é proporzionale
alla vorticitá geostrofica. In questo modo l’effetto dell’attrito nel
boundary layer viene comunicato direttamente all’atmosfera “libera attraverso
una circolazione secondaria forzata, molto piú veloce del lento processo di
diffusione viscosa.
Tanto per fare un esempio numerico, per un tipico sistema su scala sinottica,
con DE = 1 km, f ∼ 10 −4 s −1 e ζgeo ∼ 10 −5 s −1 dalla (6.32), si trova wDH =
0.16 cm/s mentre la velocitá tipica di diffusione viscosa turbolenta (se non vi
fosse la possibilitá di movimenti verticali e di circolazione secondaria) é vd =
0.5 mm/s ove H = 10 km é l’altezza dell’atmosfera.
K
H
3. Tempo di spin-down dell’atmosfera
La presenza di un moto verticale dal boudary layer ha conseguenze, per ragioni
di continuitá sulla circolazione del resto dell’atmosfera. Infatti per una atmosfera
barotropica su scala sinottica l’equazione della vorticitá diventa:
d
∂u ∂v
(ζ + f) = −f + = f
dt ∂x ∂y
∂w
(6.33)
∂z
e trascurando la variazione latitudinale di f, integrata tra l’altezza DE e H
(altezza della tropopausa ove w = 0) porge:
H
DE
dζ
dz = f
dt
w(H)
w(DE)
dw ⇒ dζgeo
dt
= −f w(DE)
H − DE
(6.34)

6.6. ESERCIZI 175
ove si é lavorato in approssimazione geostrofica e dove si é sfruttato il fatto che
la vorticitá geostrofica é indipendente dall’altezza in una atmosferica barotropica
e quindi anche dζgeo
dt lo é. Usando infine la (6.32) si trova:
dζgeo
dt
= −
f K
2
H2
ζgeo
(6.35)
che ha come soluzione uno smorzamento esopnenziale della vorticitá geostrofi-
2
ca con costante di tempo τspin−down ≡ H . Per valori tipici si trovano
tempi di spin-down di diversi giorni. Questo peró é il meccanismo principale di
smorzamento della circolazione principale.
4. Per il flusso laminare (non turbolento!) per un contenitore cilindrico rotante
(10 rivoluzioni al minuto) riempito d’acqua (viscositá molecolare cinematica ν =
0.01 cm 2 s −1 ) di altezza H = 30 cm computare la profonditá dello strato di
Ekman e il tempo di spin down. Quanto dovrebbe essere piccolo il raggio del
contenitore perché la scala di tempo per la diffusione viscosa dalle pareti laterali
sia confrontabile con il tempo di spin-down?
Questo sistema é del tutto equivalente al sistema atmosferico con l’avvertenza
che in questo caso f = 2Ω = 4π
T = 1.05 s−1 e K = ν (le equazioni del moto (6.21)
ora descrivono il moto laminare con attrito viscoso e non turbolento). Ma allora:
2ν
DE = π
2Ω = 0.1 × √ 3π = 0.307 cm
mentre:
τspin−down ≡ H
2
f K
= H
1
Ω ν
f K
= 30 ×
Il tempo di diffusione viscosa dalle pareti laterali é τd = r2
ν
3
× 10 = 293 s.
π
quindi si ha che:
τd = τspin−down ⇒ r 2 = τspin−downν = 2.93 cm 2 ⇒ r = 1.7 cm.
Pertanto anche per flussi laminari si genera una circolazione secondaria che é
responsabile del decadimento della circolazione stessa. L’esempio classico é quello
del decadimento della circolazione creata mescolando il liquido di una tazza con
il cucchiaino. Lontano dalle pareti della tazza, radialmente, c’é equilibrio fra
forza centrifuga e gradiente di pressione radiale. Sul fondo della tazza invece la
viscositá rallenta il moto di modo che le forze centrifughe non sono piú sufficienti
a bilanciare il gradiente di pressione radiale (che é indipendente dalla profonditá
per liquidi incompressibili, vedi eq. (8.46)). Pertanto ha luogo un flusso radiale
verso il centro. Per continuitá vi deve essere, al centro della tazza, un flusso verso
l’alto ed un flusso lento verso l’esterno di compensazione nella restante parte della

176 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER
tazza. Questo lento flusso verso l’esterno conserva solo approssimativamente il
momento angolare, in realtá sostituisce fluido ad alto momento angolare con
fluido a basso momento angolare e ció riduce la vorticitá. Si parla di spin-down
della vorticitá. Ció avviene molto piú rapidamente di quanto non si possa fare
con la mera diffusione molecolare.
5. Derivare una espressione per la velocitá dell’acqua nello strato di Ekman nell’oceano
assumendo che lo stress del vento τw sia costante e diretto lungo l’asse x.
Se K = 10 −3 m 2 s −1 é la viscositá del mare quanto é profondo lo strato di Ekman
superficiale (c’é anche uno strato di Ekman sul fondale!!) a 45 0 di latitudine?
Si tratta di risolvere le solite eqs. (6.21) con le condizioni al contorno:
∂u ρ K ∂z = τw, ρ K ∂v
u, v → 0
= 0 ∂z con z = 0;
con z → −∞.
che ha come soluzione generale la:
u − ugeo = C1 e γ z (cos γ z + c1) + C2 e −γ z (cos γ z + c2)
v − vgeo = C1 e γ z (sin γ z + c1) − C2 e −γ z (sin γ z + c2)
(6.36)
(6.37)
ove vgeo e ugeo costituiscono il flusso geostrofico (delle correnti) al di sotto dello
strato limite che viene supposto nullo. In un certo senso quindi i primi membri
della (6.37) rappresentano le componenti delle velocitá delle correnti superficiali
oceaniche indotte dal vento che soffia al di sopra di esse. Con la seconda
condizione al contorno la (6.37) dá:
u = C1 e γ z cos (γ z + c1)
v = C1 e γ z sin (γ z + c1) .
Computando le derivate si trova:
∂u
∂z = √ 2C1 γ e γ z cos (γ z + c1 + π/4)
∂v
∂z = √ 2C1 γ e γ z sin (γ z + c1 + π/4)
e dovendo essere soddisfatte le eqs. (6.36) si trova che c1 = −π/4 e C1 = τw
√ 2 ρ K γ
quindi:
u = τw
√ 2 ρ K γ e γ z cos (γ z − π/4)
v = τw
√ 2 ρ K γ e γ z sin (γ z − π/4) .
Pertanto a causa del termine e γ z la velocitá decresce rapidamente con il decrescere
di z (che é negativo!); alla superficie dell’oceano si ha invece che:
u = τw
ρ K γ
v = − τw
ρ K γ ,

6.6. ESERCIZI 177
per un vento sopra l’oceano e il suo stress lungo l’asse delle x. Quindi la corrente
superficiale oceanica indotta dal vento é ruotata di 45 0 in verso orario rispetto
alla direzione del vento stesso. Tale rotazione oraria prosegue andando verso il
basso tracciando la solita spirale. Similmente a quanto fatto per il vento, per le
correnti marine la profonditá dello strato di Ekman é data dalla eq. (6.25) che
con i valori dati fornisce un valore di DE = 14 m. Tutto ció spiega il perché gli
iceberg e il pack si muovano non nella direzione del vento ma ad una direzione
ruotata di 20−50 ◦ in verso orario rispetto a questa. Si noti che ad una profonditá
pari a DE la direzione della corrente é ruotata di π in verso orario rispetto alla
direzione superficiale. A 2DE la corrente sará parallela alla corrente in superficie
ma attenuata di un fattore e 2 . Si noti che il momento posseduto dagli iceberg
é cosí grande che spesso il loro moto prosegue parecchie ore dopo che il vento é
cessato, seguendo caratteristici circoli di inerzia. Puó succedere allora che quando
il vento riprende l’iceberg si muova nella direzione opposta ad esso.
Notiamo infine che il meccanismo di pompaggio di Ekman é responsabile della
presenza in zona equatoriale di una stretta fascia con SST (=sea surface temperature)
leggermente piú basse. Infatti i venti da est generano correnti marine
verso ovest, ma causa Coriolis, tali correnti si allontaneranno dall’Equatore su
ambedue gli emisferi. Questo comporta una divergenza di acqua in superficie che
richiama acqua piú fredda dagli strati sottostanti. L’effetto si riesce a vedere solo
dove i venti sono stazionari.
6. Per la spirale di Ekman modificata della (6.29), lo stress di taglio in fondo allo
strato,
τzx + i τzy = ρ K ∂
∂ z (u + i v)| z=0
deve essere uguale allo stress superficiale. Trovare la grandezza dello stress di
superficie in termini di vento geostrofico.
Si trova che:
τzx =
∂ u
ρ K
∂ z | τzx =
√
z=0 = −ρ K ugeo 2 sin α [−γ (sin(π/4 − α) + cos(π/4 − α))]
√
ρ K ugeo 2 γ sin α cos α
e analogamente:
τzy =
∂ v
ρ K
∂ z | τzy =
√
z=0 = ρ K ugeo 2 sin α [γ (− sin(π/4 − α) + cos(π/4 − α))]
√
2
ρ K ugeo 2 γ sin α
e quindi:
τ0 =
τ 2 zx + τ 2 √
zy = ρ K ugeo 2 γ sin α
τ0 = ρ ugeo sin α 2f K

178 CAPITOLO 6. IL BOUNDARY LAYER

Capitolo 7
I fronti
Nell’atmosfera reale, osservando scale superiori alla microscopica, non ci sono vere
e proprie discontinuità in nessuna delle proprietà fisiche. Tuttavia spesso troveremo
zone in cui le proprietà cambiano drasticamente in una breve distanza. Se operiamo
su grande scala (quale quella delle cartine sinottiche), è opportuno trattarle come
discontinuità. Questo è il caso dei fronti, zone di transizione tra masse d’aria diverse
altamente barocline.
7.1 Superfici di discontinuità
Cominciamo con il definire un po’di nomenclatura: se una grandezza che descrive una
qualche proprietà è essa stessa discontinua, si dice che tale grandezza ha una discontinuità
di ordine zero (es.: densità e temperatura attraverso una superficie frontale); se
è discontinua una sua derivata prima (es.: pressione attraverso una superficie frontale,
densità e temperatura attraverso la Tropopausa) allora avrà una discontinuità del
prim’ordine, e così via. In fig.7.1 sono schematizzati i primi tre ordini di discontinuitá
per una generica grandezza).
✻
❜
✲
✻
★ ★★✘✘✘
Figura 7.1: Discontinuitá di ordine zero, del primo e del secondo ordine.
Si può pensare alla discontinuità come ad un contorno al quale si devono applicare
certe condizioni:
• Condizione dinamica: impossibilità fisica di forze infinite. Se la pressione
avesse discontinuità zero, noi avremmo a che fare con una variazione finita della
179
✲
✻
✂ ✂✂
✲

180 CAPITOLO 7. I FRONTI
pressione attraverso un distanza infinitesima ed avremmo quindi una forza di
gradiente di pressione infinita. Siccome ció non é permesso dalla dinamica ci
deve essere nella superficie frontale una continuità della pressione (ma non nel
gradiente di p), ovvero (pD − pL = 0).
• Condizione cinematica: non si devono formare inclusioni (buchi) di vuoto durante
il moto di un fluido. Questo si traduce nel fatto che dalle due parti della
discontinuità le particelle devono avere la stessa componente della velocità perpendicolare
al contorno (superficie) della discontinuità, altrimenti si formerebbe
una cavità (per la divergenza infinita). Per un fluido reale (viscoso) deve valere
anche la condizione di non scorrimento del contorno, ovvero le componenti della
velocitá tangenziali alla superficie devono essere uguali.
7.2 Fronti
Definiamo fronte una discontinuità di ordine zero nella densità (e nella temperatura).
Per comodità 1 consideriamo l’intersezione del fronte col suolo (e quindi quella che si
puó leggere su una cartina al suolo) giacente in direzione est-ovest, con l’aria densa (D)
a nord e quella leggera (L) a sud (questa é la situazione tipica che si crea per effetto
del diverso riscaldamento Polo-Equatore sulla Terra) come in fig. 7.2. In generale la
superficie di discontinuità tra le due masse d’aria sarà caratterizzata da una inclinazione
in un piano individuato dalla verticale e dalla direzione nord - sud (vedi fig.7.2).
z ✻
z ✻
aria leggera
✟ ✟✟✟✟✟✟✟
✟ aria densa
α
✟ ✟✟ dpL
dpD ✲
y
❜❜
❜ aria densa
❜
❜
❜
aria leggera ❜ α
❜ ✲
y
Figura 7.2: Sezione verticale di un fronte ideale: caso di fronte in equilibrio (sinistra)
e di fronte in non equilibrio (destra).
Calcoliamo questa inclinazione dalle condizioni dinamiche di contorno pD − pL = 0.
Differenziando lungo le superfici frontali:
∂p ∂p
∂p ∂p
∂p ∂p
d (pD − pL) = − dx + − dy + − dz = 0
∂x D ∂x L ∂y D ∂y L ∂z D ∂z L
(7.1)
dove dx, dy, dz sono le componenti di un incremento di distanza lungo la superficie di
discontinuità. Poiché il fronte é parallelo all’asse x (vedi fig. 7.2) la pressione sui due
1 Alternativamente qui di seguito si puó considerare il sistema (y, z) come un sistema di coordinate
naturali perpendicolare al fronte.

7.2. FRONTI 181
lati deve rimanere uguale per spostamenti con dy = dz = 0, ovvero:
∂p
−
∂x D
∂p
= 0 (7.2)
∂x L
In questo caso l’espressione (7.1) esprime la condizione che le pressioni rimangano uguali
muovendosi in un piano orientato perpendicolarmente al fronte (ma non i gradienti di
p!) e, ricavando dz/dy, diventa:
tan α = dz
dy
∂p
∂y
= −
∂p
∂z
D
D
∂p
−
∂y
∂p
−
∂z
L
L
(7.3)
che rappresenta la pendenza della superficie di discontinuità. La condizione dinamica
di contorno è espressa ora come condizione che il gradiente orizzontale e verticale di
pressione nelle due masse d’aria sia conforme alla pendenza del fronte. La (7.2) e la
(7.3) sono una conseguenza della continuitá della p sulla superficie frontale. Formule
simili possono essere scritte sostituendo a p qualunque altra variabile continua.
Se si considera una situazione nella quale, dopo un eventuale transiente iniziale,
l’equilibrio tra le masse d’aria sia raggiunto, la pendenza della superficie frontale dovrá
essere positiva perchè l’aria leggera deve stare sopra la densa (vedi fig. 7.2). Infatti una
configurazione con aria densa sopra aria leggera é staticamente instabile (si rimanda al
cap 2 della II parte). Ma dall’equazione della statica sappiamo che:
−ρD g =
∂p
<
∂z D
e quindi affinché la (7.3) risulti positiva deve essere
∂p
>
∂y D
∂p
= −ρL g
∂z L
∂p
∂y L
(7.4)
Si ha così che la variazione di pressione in direzione y (ovvero nella direzione orizzontale
perpendicolare al fronte) è maggiore nell’aria densa che nella leggera2 . Ciò
significa che le isobare che intersecano un fronte devono cambiare bruscamente inclinazione
formando un riccio con l’angolo acuto verso le basse pressioni. Questo può
essere visto graficamente tracciando varie combinazioni delle condizioni espresse dalle
equazioni (7.2), (7.4). In alto in fig.7.3 mostriamo il caso in cui ∂p
∂x D = ∂p
= 0,
∂x L
ovvero in cui la superficie frontale sia anche isobara. A sinistra é illustrato il caso in
2 Si noti che se invece si considera aria densa a S e leggera a N anziché quelle di fig. 7.2 si troveranno
due situazioni delle quali sará quella con tan α < 0 ad essere fisicamente realizzata: ne segue che la
(7.4) andrá sostituita con la disuguaglianza di verso opposto; i risultati sulle spigolature enunciati qui
di seguito rimarranno peró gli stessi.

182 CAPITOLO 7. I FRONTI
cui
∂p
∂y
D
> 0 >
∂p
∂y
L
(la superficie frontale coincide con un minimo barico e la pres-
sione é crescente verso nord nell’aria densa/fredda e verso sud nell’aria leggera/calda),
a destra quello in cui > > 0 (la pressione cresce andando verso Nord). É
∂p
∂y
D
∂p
∂y
L
evidente uno shear ciclonico nel passaggio della superficie frontale. In basso in fig.7.3
y A p + 1
B p − 1
✻
B
✛ vgeo
p
✲
B
✲ p
✲
✲p
+ 1
∂p
= 0 ∂x
y
✻
A
A
p + 2 A
✲
p + 1
A
x
✚ ✚ ✚ ✚ ✚
✚ ✚ ✚ ✚ ✚
✚ ✚ ✚ ✚ ✚
❩ ❩ ❩ ❩ ❩
❩ ❩ ❩ ❩ ❩
❩ ❩ ❩ ❩ ❩
✲
B
vgeo
vgeo
p + 3 p
✚
p − 1
✟ ✟ ✟
✚❂
✚
A ✟
✟ ✟
✟
✟
✟
✟
✟✟
✟✙
✟
✟✟
✟✟
❩ B
❩❩⑦
vgeo
✁
x
∂p
< 0 ∂x ✁✁
✁ ✁✁
✁ ✁✁
✁
✁☛
p + 1 p p − 1
Figura 7.3: Distribuzione dei campi di pressione su un piano orizzontale attorno ad
un fronte orientato E − O (linea grossa) con l’aria densa a Nord e l’aria leggera a
Suddella superficie frontale. Sulla colonna asinistra sono analizzati due casi con
> 0 > a destra con > > 0.
∂p
∂y
D
∂p
∂y
L
∂p
∂y
D
invece mostriamo il caso in cui ∂p
< 0, ovvero in cui la superficie frontale abbia alla
∂x
sua sinistra le alte e alla sua destra le basse pressioni. In questo caso é ancora presente
shear ciclonico nell’attraversamento del fronte e si evidenzia anche la spigolatura verso
le alte. In generale vale la seguente regola: le isobare che attraversano un fronte devono
spigolare verso le alte pressioni. Questa regola viene dalle proprietà delle discontinuità
e dall’equazione della statica e si applica in entrambi gli emisferi.
∂p
∂y
7.2.1 Fronti in un campo di vento geostrofico
Quando il vento è geostrofico, i risultati del paragrafo precedente indicano che si deve
avere una deviazione ciclonica nell’attraversamento del fronte. Infatti essendo il gradiente
di pressione attraverso il fronte il medesimo nelle due masse d’aria (vedi eq.7.2),
dalle equazioni del vento geostrofico segue che la componente del vento geostrofico
perpendicolare al fronte è la medesima (e questo soddisfa le condizioni cinematiche al
contorno). Le componenti del vento parallele al fronte invece sono discontinue e come
si capisce lo shear è ciclonico. Le linee frontali rappresentano quindi un’area di forte
vorticitá positiva (ecco perché molto spesso frontogenesi e ciclogenesi convivono).
L

7.3. LA TROPOPAUSA E ZONE FRONTALI 183
Con le ipotesi geostrofiche ed idrostatiche, l’equazione (7.3) diventa:
⎧
⎪⎨
∂p
= ρfv
∂x
⎪⎩
∂p
= −ρfu
∂y
−→ dz
dy
f (ρu) L − (ρu) D
=
g ρD − ρL
Sostituendo ρ = p
e ricordando che i valori di p sono gli stessi da una parte e dall’altra
RT
del fronte:
dz f TDuL − TLuD
=
dy g TL − TD
con la temperatura virtuale al posto della reale in caso di aria umida. La differenza
percentuale in temperatura assoluta attraverso il fronte è ordinariamente inferiore alla
differenza nel vento. Perciò la temperatura media T può essere estratta dal numeratore:
dz
dy ∼ = f ¯ T uL − uD
g TL − TD
(7.5)
che fornisce la legge di Margules: la pendenza di equilibrio in condizioni geostrofiche
ed idrostatiche delle superfici frontali é direttamente proporzionali alla differenza tra
le componenti del vento parallele al fronte ed inversamente proporzionale alla discontinuitá
di temperatura.
Usando valori tipici di f ≈ 10−4 s−1 , g ≈ 10 m/s2 e ¯ T ≈ 280 K si trova che
tan α = 0.0028 uL−uD
TL−TD
che con valori caratteristici fornisce pendenze comprese tra 1/50
(fronte pendente) e 1/300 (fronte piatto). Per dare un’idea per passare dalla posizione
ove il fronte é al suolo a quella dove buca la troposfera le pendenze or ora trovate
forniscono distanze dell’ordine di 500 ÷ 3000 km.
Maggiore è il contrasto di temperatura, minore è la pendenza del fronte. Questa
relazione esiste perchè la situazione di energia potenziale minima si verifica quando
l’aria fredda si trova completamente sotto la calda, con pendenza zero della superficie
di discontinuitá. D’altro canto tanto maggiore é lo shear del vento tanto maggiore é
la pendenza del fronte. In questo caso l’unico fattore che impedisce all’aria fredda di
diffondersi sotto l’aria calda per effetto dei gradienti orizzonatli di pressione é la forza
di Coriolis che bilancia i gradienti di pressione. Potremmo dire che è la forza di Coriolis
che tiene piegato il fronte.
7.3 La tropopausa e zone frontali
La superficie tra troposfera e stratosfera puó essere schematizzata come una superficie
di discontinuità del prim’ordine in temperatura e densitá (e del secondo nella pressione).
Trattasi quindi di una superficie di discontinuitá piú “liscia” dei fronti. Si parla
in tal caso di “zona frontale”. La posizione sul piano orizzontale della zona frontale é
quindi individuata dalla regione ove é massimo il gradiente orizzontale di temperatura.
La condizione dinamica (continuità nella pressione) insieme al fatto che anche la
temperatura è continua porge come risultato (dall’eq. di stato) che anche ρ è continua.

184 CAPITOLO 7. I FRONTI
Consideriamo il caso in cui l’intersezione tra tropopausa e superficie orizzontale sia
parallela all’asse x come in fig. 7.4 [ove é tracciata una sezione sul piano (asse N-S,
verticale)]. Si noti come le isoterme siano pressoché verticali in stratosfera (la bassa
stratosfera non presenta gradienti verticali di T ) e come in troposfera la T cresca andando
verso l’Equatore a paritá di altezza (questo per il diverso riscaldamento terrestre
essendo poi che il lapse rate in troposfera é pressoché indipendente dalla latitudine).
Ma allora, procedendo in maniera simile al paragrafo (7.2) si trova che la pendenza
Figura 7.4: Sezione verticale della distribuzione di T attorno alla tropopausa.
della tropopausa é:
∂p ∂p
−
dz ∂y T ∂y
= −
S
dy ∂p ∂p
−
∂z T ∂z S
T = Troposfera, S = Stratosfera
ma per il numeratore risulta ∂p
∂z T − ∂p
∂z S = g (ρT − ρS) = 0 essendo ρ continua
(ρT = ρS). Siccome vogliamo che la pendenza della tropopausa = 90◦ (cioé che non sia
verticale) dovrá necessariamente essere:
∂p
∂y T
∂p
−
∂y S
= 0
Ma allora tutte le componenti del gradiente di p sono continue (la componente lungo
x dalla condizione dinamica, quella lungo z dalla continuitá di ρ e dall’eq. della
statica), quindi il gradiente è continuo. La tropopausa rappresenta cioé una superficie
di discontinuità del second’ordine nella pressione. Dalla continuità della temperatura,
esattamente ponendo T al posto di p nella (7.3), abbiamo:
∂T ∂T
dz
dy
∂y
= −
∂T
∂z
T
T
−
∂y
∂T
−
∂z
S
S

7.3. LA TROPOPAUSA E ZONE FRONTALI 185
Figura 7.5: Struttura termica della troposfera e della bassa stratosfera con il fronte
polare e quello sub-tropicale.
si ha
Ma essendo 3
∂T
∼= 0 e
∂z S
tan α = dz
dy ∼ =
∂T
∂z T
= −γT = 0
∂T
∂y T
∂T
−
∂y S
γT
(7.6)
Normalmente γT > 0 e la troposfera pende verso il basso in direzione dei poli, ovvero
tan α < 0 che usato nella (7.6) porge:
∂T
∂y T
Inoltre, ricordando l’eq. del vento termico,
tan α = dz
dy
= f T
g
<
∂T
∂y S
∂ug
∂z
T
∂T
∂z
−
∂ug
∂z
T − ∂T
∂z
S
S
(7.7)
dove al solito intendiamo con u la componente del vento parallela al fronte. La (7.7)
fornisce un legame tra pendenza della zona frontale, e discontinuitá dello shear verticale
del vento parallelo al fronte e discontinuitá nella stabilitá della stratificazione termica.
Si noti che il tipico comportamento dei gradienti orizzontali di temperatura si deduce
guardando la fig. 7.6:
3 La tropopausa rappresenta il limite inferiore della stratosfera, uno strato stabile caratterizzato da
un profilo termico di inversione o costante.

186 CAPITOLO 7. I FRONTI
Figura 7.6: Struttura del fronte polare in accordo con il modello di Berggren. Le linee
tratteggiate e quelle solide corrispondono alle isoterme e alle isotacche (in m/s).
∂T
∂y
∂T
∂y
T
< 0 (cioé in Troposfera la T decresce muovendosi verso i Poli) quindi vediamo
che il vento geostrofico occidentale aumenta con la quota fino alla tropopausa;
> 0 cioè il vento geostrofico occidentale diminuisce con la quota nella stratos-
S
fera.
Così la tropopausa è solitamente un livello di massima velocità del vento: si parla di
jet stream o correnti a getto.
7.3.1 Struttura del fronte polare
Particolare interesse ricopre per ciclogenesi e frontogenesi il fronte polare, la regione
cioé di forte contrasto tra aria polare e aria sub tropicale. Fig. 7.6 rappresenta un
modello di fronte polare in accordo a Berggren. La zona frontale é ben marcata in
tutta la troposfera e nella bassa stratosfera; interseca in uno strato isotermo spesso
verticalmente circa 1 km l’intera troposfera, quindi unisce la tropopausa polare e quella
sub-tropicale, per continuare poi con pendenza rovesciata nella bassa stratosfera.
Questa zona frontale, con pendenze tipiche di 1:100, separa aria calda troposferica e
fredda stratosferica a destra (verso S) e aria fredda troposferica e calda stratosferica
a sinistra (verso N). Il fronte sta in posizione verticale attorno ai 10 km dove il gradiente
termico orizzontale si annulla. A questo livello la zona frontale é definita da
un’area di altissimo shear ciclonico del vento. Ai confini della zona del fronte polare
e in corrispondenza delle tropopause (linee spesse di fig. 7.6) si verificano invece delle
discontinuitá nei gradienti di temperatura (ed anche negli shear orizzontali e verticali
del vento). Si noti come le isotacche siano molto impachettate all’interno della zona

7.4. CLASSIFICAZIONE DEI FRONTI 187
frontale. Pertanto nel passaggio della zona frontale si hanno forti shear verticali (anche
25 m/s per km) e shear ciclonici orizzontali: la componente occidentale del vento é
maggiore a S che non a N (shear tipici possono raggiungere i 20 m/s per 100 km).
Nell’aria troposferica fredda (verso N) la componente del vento parallela al fronte presenta
tipici shear ciclonici, mentre invece l’aria troposferica calda (verso S) gli shear
sono anticiclonici.
Una caratteristica peculiare del fronte polare é la rottura a livello di tropopausa:
vi é una netta separazione tra tropopausa polare piú bassa e tropopausa sub-tropicale
piú alta. In questo punto di rottura ci puó essere interscambio tra particelle d’aria
della bassa stratosfera con quelle della troposfera. La zona frontale é caratterizzata
da forte baroclinicitá (gradienti orizzontali di temperatura medi pari a 7 K/100 km),
mentre anche le masse d’aria da ambedue i lati sono stratificate in modo baroclino (in
fig. 7.6) si noti come le isoterme non siano orizzontali). A causa della baroclinicitá
della massa d’aria calda, il vento va via via aumentando ulteriormente al di sopra della
sueprficie frontale. Nella parte piú alta dell’aria calda (quando si considerino cartine
a 200 mb per esempio), tuttavia, il gradiente orizzontale di T cambia segno (la T non
decresce piú verso N ma verso S) di modo che la regione di piú alti venti (dove le
isotacche segnalano venti anche pari a 80 m/s), la cosí detta corrente a getto polare,
viene osservata approssimativamente 1 km al di sotto della tropopausa sub-tropicale.
L’asse del jet puó essere localizzato salendo sulla verticale (sino a circa 250 mb) a
partire dalla posizione della zona frontale a 500 mb (e quindi da una cartina del campo
di isotermia a 500 mb).
7.4 Classificazione dei fronti
Bergeron, Margules, Bjerkness hanno applicato i concetti teorici alla meteorologia
sinottica nelle analisi frontali e nella formazione di onde di cicloni. T. Bergeron ha
raffinato i concetti ed impostato l’analisi delle masse d’aria, richiamando l’attenzione
sul fatto che i principali mutamenti nel tempo atmosferico avvengono lungo i contorni
fra due masse d’aria. Abbiamo già detto della semplificazione che si fa nel parlare di
superfici di discontinuità (fronti) piuttosto che di zone di transizione.
La principale caratteristica che classifica i fronti é il movimento del fronte, ovvero
la componente del vento normale al fronte (vedi fig. 7.7). In generale infatti il fronte
viene considerato una superficie impenetrabile di modo che qualsiasi moto che tenda ad
attraversare il fronte viene convertito in un moto lungo la superfici obliqua del fronte.
Detta vN la componente normale al fronte e cF la velocitá del fronte dovrá essere:
wD
wL
tan α =
=
(vN)D − cF (vN)L − cF
(7.8)
valida per ciascuna altezza z. Al suolo w = 0 di modo che cF = (vN)L = (vN)D, cioé
il fronte si muove ad una velocitá pari alla componente normale al fronte del vento
superficiale. Se il vento in superficie fluisce strettamente parallelo al fronte (vN = 0), il

188 CAPITOLO 7. I FRONTI
Figura 7.7: Distribuzione delle componenti di velocitá verticali e orizzontali normali al
fronte per ana e kata front.
fronte si dice stazionario (e viene indicato con un alternarsi di triangolini 4 e semicerchi
diretti in direzioni opposte). Viceversa se il fronte si muove, si distinguono i fronti freddi
che si muovono dall’area fredda all’area calda (indicati con un alternarsi di triangolini
diretti nella direzione di movimento del fronte) e fronti caldi che si muovono dall’area
calda all’area fredda (indicati con un alternarsi di semicerchi diretti nella direzione
di movimento del fronte). Durante lo sviluppo dei cicloni, si verificano anche i fronti
occlusi quando il fronte freddo di un sistema frontale prende il fronte caldo che gli
viaggia davanti 5 . velocitá tipiche di spostamento dei fronti sono attorno ai 10nodi
4I triangolini sono pieni se viene indicato un fronte in superficie, sono vuoti se viene indicato un
fronte in quota.
5In generale nell’evoluzione di un sistema ciclonico il fronte freddo si muove piú rapidamente di
quello caldo che gli sta davanti; come conseguenza il settore caldo compreso tra i due fronti si va via
via riducendo. Questo processo deriva dai movimenti verticali cui le due masse d’aria sono sottoposte.
La massa d’aria calda si solleva, quella di aria fredda invece fa subsidenza. La risalita dell’aria calda
deve essere associata ad una contrazione orizzontale di questa massa al suolo, e ad una divergenza
in quota. Viceversa la massa d’aria fredda dovrá espandersi al suolo e contrarsi in quota. A causa
di questi movimenti (che si sovrapporranno allo spostamento dell’intero sistema ciclonico), il fronte
freddo viene accelerato al suolo mentre quello caldo viene frenato rispetto al movimento medio del
sistema.

7.5. MODELLI DI FRONTI 189
(≈ 20km/h).
Un’altra importante caratteristica utilizzata per la classificazione dei fronti viene
fornita dal movimento verticale cui l’aria calda é soggetta. Se aria calda viene sollevata
verticalmente, masse di nubi in sollevamento (e corrispondenti aree precipitative) si
possono sviluppare, mentre con aria calda discendente l’attivitá meteorologica sará
minima. Questa differenza é stata utilizzata da Bergeron per classificare i fronti in
due classi: anafront per i fronti caratterizzati da aria calda che scivola sopra aria
fredda e katafront nel caso in cui l’aria calda si insinua sotto l’aria fredda. Uno schema
riassuntivo della classificazione dei diversi fronti in base al movimento del fronte viene
fornita in 7.7.
7.5 Modelli di fronti
Per rappresentare in modo schematico i componenti fisici e dinamici di un particolare
sistema meteorologico é utile introdurre la definizione di modello concettuale, cioé
una rappresentazione grafica che descrive le caratteristiche generali di un fenomeno
meteorologico e identifica i principali processi che avvengono in esso. Le informazioni
che deve fornire un modello concettuale per essere completo sono:
• definizione del fenomeno in termini di caratteristiche riconoscibili dalle osservazioni,
analisi o simulazioni validate;
• descrizione del suo ciclo di vita in termini di comparsa, dimensione, intensitá e
tempo meteorologico che lo accompagna;
• esposizione dei processi fisici di controllo che rendono possibile la comprensione
dei fattori che determinano il modo e la velocitá di sviluppo del sistema;
• specificazione dei campi meteorologici chiave che dimostrano i processi principali;
• guida per prevedere la formazione del sistema utilizzando i campi diagnostici e
prognostici che meglio discriminano fra sviluppo e non sviluppo; inoltre una guida
per predirne il movimento e l’evoluzione.
I modelli concettuali risultano utili sia nel campo della ricerca che nel campo della previsione
e permettono di interpretare non solo le immagini da satellite e radar, ma anche
gli output dei modelli numerici e quindi di coordinare le osservazioni in modo coerente,
fornendo una visione quadridimensionale del sistema e una tempestiva identificazione
dei processi in atto. Diamo ora alcuni esempi di modelli concettuali di fronti.
7.5.1 Fronti caldi
La struttura idealizzata di un fronte caldo (in particolare la distribuzione di nubi e
pioggia) puó essere spiegata facendo riferimento alla teoria delle cinghie di convezione
(“conveyor belt”): la banda frontale di nubi e la precipitazione sono determinate dalla

190 CAPITOLO 7. I FRONTI
Figura 7.8: Modello a cinghie di convezione.
cinghie di convezione ascendente di aria calda (freccia adombrata in fig. 7.8) che ha
il suo massimo movimento verso l’alto (con w ≈ 10 cm/s) tra 700 e 500 hP a. La
cinghia di convezione calda comincia dietro la superficie frontale nei livelli piú bassi
della troposfera (vedi fig. 7.8), attraversa la superficie frontale e cresce verso i livelli
piú alti della troposfera. Lí la cinghia di convezione calda gira a destra (anticiclonicamente).
L’ascesa é debole e termina ove il vento relativo gira in direzione parallela
al fronte. Se vi é sufficiente umiditá nell’atmosfera, il risultato di questa risalita della
cinghia di convezione calda é la condensazione e una nuvolositá sempre piú accentuata.
La cinghia di convezione fredda (freccia vuota in fig. 7.8), che si avvicina al
Figura 7.9: Sezione verticale di un fronte caldo. Le frecce rappresentano i moti relativi
in un sistema di coordinate che si muove con il fronte.
fronte caldo perpendicolarmente ed in moto discendente, svolta immediatamente negli
strati piú bassi parallelamente alla linea di superficie del fronte caldo. Quindi risale

7.5. MODELLI DI FRONTI 191
parallelamente alla linea del fronte in superficie al di sotto della cinghia di convezione
calda. Sebbene l’aria fredda si sia seccata per il precedente fenomeno di subsidenza,
essa assorbe umiditá per evaporazione della precipitazione che viene dalla cinghia di
convezione calda; l’ascesa porta allora alla formazione di nubi basse che si possono
andare a combinare con le nubi formatesi dall’aria calda ed andare a costituire un nimbostrato
spesso (puó raggiungere anche i 6 − 9 km di spessore). Orizzontalmente tale
nimbostrato ricopre un’area di circa 200 − 300 km (un tipico schema del tempo in un
fronte caldo é mostrato in fig. 7.9) avanti alla linea superficiale del fronte; generalmente
qui si sviluppano precipitazioni persistenti anche intense in forma di pioggia o neve. La
pendenza ( ∼ = 1/150) è in media molto debole, così che le componenti verticali nell’aria
calda non sono mai larghe [si veda la (7.8)], anche quando si hanno venti relativamente
forti nell’aria calda.
Prima (a destra in fig. 7.9) di questa area di cattivo tempo si incontra una zona
di As − Cs (altostrati e cirrostrati), che si sviluppano nell’aria calda, mentre nella
regione di aria fredda prevalgono condizioni di bel tempo grazie all’aria fredda subsidente.
Il tipico segnale del fronte caldo in avvicinamento é la comparsa di cirri che
appaiono 500 − 800 km prima della linea superficiale del fronte approssimativamente
parallelamente alla superficie frontale (fig. 7.9 in alto a destra). Finora si è sempre
parlato di nubi stratiformi in zona prefrontale: se tuttavia l’aria è convettivamente
instabile, si verificano condizioni di rovescio e temporale e si possono produrre nubi
cumuliformi a sviluppo verticale. Tipica è la presenza della nebbia frontale nella parte
fredda che scompare solo al passaggio del fronte. Si noti che normalmente, nonostante
si osservi anche un moto verso l’alto di aria fredda, un tipico fronte caldo ha carattere
di anafront.
Il comportamento tipico dei parametri meteorologici in un tipico fronte caldo nell’Europa
Centrale sono:
• Tendenza della pressione: area molto estesa di caduta di p prima del fronte con le
tendenze piú forti proprio in prossimitá del fronte; durante il passaggio del fronte
tendenza costante o debole caduta della p.
• Venti superficiali: all’approssimarsi del fronte venti forti scorrono parallelamente
ad esso. Passato il fronte ruotano e si indeboliscono.
• Precipitazioni: come illustrate in fig. 7.9. Tipicamente le precipitazioni tendono
a diventare drizzle in zona post-frontale.
• Temperatura: prima del fronte generale lento aumento della T . Nella zona di
pioggia prefrontale, raffreddamento dovuto all’evaporazione con simultaneo aumento
nella Td. Durante il passaggio del fronte aumento delle T poi la T rimane
costante.
• Temperatura di rugiada e mixing ratio: prima del fronte crescita lenta, nell’area
precipitativa rapida crescita, quindi, dopo il passaggio del fronte, costanti.

192 CAPITOLO 7. I FRONTI
• Visibilità: prima ottima al di sotto della copertura di Cs e As, durante pessima
(a causa anche di nebbie che si formano per evaporazione), dopo mediocre.
7.5.2 Fronte freddo
Figura 7.10: Modello del primo tipo di fronte freddo con cinghia calda (sinistra) e
modellino di nubi (destra). Le frecce rappresentano i moti relativi in un sistema di
coordinate che si muove con il fronte.
Ne esistono di due tipi secondo la classificazione classica di Bergeron.
1 ◦ tipo Ana cold front (con flusso caldo retroverso): in questa configurazione l’aria
nella warm conveyor belt ha una componente del moto che si muove nella parte opposta
del fronte freddo e la salita obliqua avviene sopra la zona frontale fredda (in greco
ana significa su). Aria fredda si muove molto rapidamente incuneandosi sotto aria
calda, creando cosí convergenza alla linea frontale superficiale e costringendo l’aria
calda-umida a risalire lungo la superficie frontale molto rapidamente in una stretta
striscia adiacente al fronte freddo superficiale, creando una regione di intenso taglio
del vento ciclonico. Durante questa ripida salita l’aria sale solo 2 − 3 km, poi subisce
un’ulteriore ascesa in modo obliquo sopra il cuneo di aria fredda. Si producono quindi
due distinte regioni di precipitazione: una banda stretta di pioggia molto forte lungo
il fronte freddo superficiale, e una banda larga di pioggia leggera e moderata dietro il
fronte freddo superficiale (vedi fig. 7.10, destra). Di conseguenza, in questo caso, la
maggior parte della nuvolositá (si noti che in questo caso si possono sviluppare anche
enormi cumulinembi) e della precipitazione appare dietro alla linea frontale superficiale.
Questo viene confermato da immagini da satellite. Solo nel caso di forti venti in
quota, la nuvolositá di alta quota viene trasportata “downstream” (a valle) e si ha una
posizione della linea frontale superficiale entro la banda di nubi.
Se si descrive la situazione con le cinghie di convezione (vedi fig. 7.10, sinistra), la
banda di nubi e precipitativa viene determinata da una cinghia di convezione calda
ascendente, che ha una componente all’indietro relativamente al movimento del fronte.

7.5. MODELLI DI FRONTI 193
Questo porta appunto alla situazione sopra spiegata. Parallelamente alla cinghia di
convezione calda, esiste un flusso secco (dry intrusion) proveniente da ovest.
Questo tipo di fronte é molto simile al fronte caldo, eccetto che qui ora nubi (meno
estese sia orizzontalmente che verticalmente) e precipitazione sono post-frontali. In
molti casi poi la copertura di cirri non é completa.
2 ◦ tipo Kata cold front (con flusso caldo inclinato in avanti): in questa configurazione
l’aria nella warm conveyor belt ha una componente del moto che si muove nella
direzione del fronte freddo, con la regione principale di salita obliqua che avviene sottovento
nella regione frontale calda. L’aria calda è sollevata nella sola zona del cuneo;
altrove c’è discesa (kata significa giú).
Si muove molto velocemente e il suo passaggio é associato a violente squalls line
che possono determinare forte mal tempo. La precipitazione cade quasi esclusivamente
prefrontalmente e le nubi scompaiono rapidamente dopo il passaggio del fronte. A
causa delle forti velocità, si possono avere elevate pendenze del fronte dell’ordine di
1/40, 1/80.
é:
Figura 7.11: Modello del secondo tipo di fronte freddo.
Il comportamento tipico di alcuni parametri rilevanti per i due tipi di fronti freddi
• Venti superficiali: prima del fronte rotazione sino a diventare paralleli al fronte
con rinforzo; durante il passaggio marcata rotazione a destra, meno chiara vicino
ai nuclei ciclonici. Venti molto violenti, tempestosi durante il passaggio. Dopo
fronti del 1 ◦ tipo forte riduzione dei venti, per il 2 ◦ tipo venti intensi perdurano.
• Tendenza della pressione: prima del fronte caduta di pressione, dopo il fronte forte
crescita vicino al cuore ciclonico ma possibile ulteriore lieve decrescita altrove.
• Temperatura: dopo il passaggio di fronti freddi del 1 ◦ tipo abbassamento della
temperatura molto forte; per i fronti del 2 ◦ tipo diminuzione di T prefrontale,

194 CAPITOLO 7. I FRONTI
dopo il passaggio solo piccola riduzione e addirittura possibile piccola crescita
nella stagione fredda.
• Visibilità: molto buona dopo il passaggio del fronte del 2 ◦ tipo; notevole peggioramento
con possibilitá di nebbie dopo il passaggio del fronte di 1 ◦ tipo.
7.5.3 Fronti occlusi
Durante la ciclogenesi il settore caldo vicino al suolo tra il fronte caldo e quello freddo
si riduce via via di piú sotto l’effetto della convergenza, l’aria calda si innalza finché i
due fronti si uniscono. Si tratta del cosí detto processo di occlusione. Il fronte occluso
separa aria fredda davanti e dietro alla depressione ed é associato da una lingua di aria
calda sollevata. Fra le occlusioni si distingue tra occlusone calda e occlusione fredda.
Tale distinzione si basa sul confronto tra le due masse d’aria fredda, che si trovavano
davanti e dietro all’aria calda. Se aria piú fredda é localizzata nella parte piú avanzata
della depressione si verifica un’occlusione calda, con pendenza in avanti, viceversa
un’occlusione fredda. Le aree di nubi e di precipitazioni sono localizzate essenzialmente
Figura 7.12: Modello di occlusione calda.
nel lato piú avanzato dell’occlusione e derivano dalla risalita dell’aria fredda (e dell’aria
calda sovrastante) davanti al fronte. La risalita avviene parallelamente al fronte con le
traiettorie che sono curvate ciclonicamente verso altezze crescenti (pannello di sinistra
di fig. 7.12). Come risultato di questo, si formano delle bande di nubi spiraleggianti,
tipicamente osservate in immagini da satellite.

7.6. INDIVIDUAZIONE DEI FRONTI 195
7.6 Individuazione dei fronti
7.6.1 Studio delle cartine
Quando si analizza una cartina meteorologica si dovrebbe essere in grado di tracciare
la posizione dei fronti presenti nell’area sotto osservazione. Anche se talvolta
l’individuazione dei fronti risulta semplice, spesso richiede esperienza ed intuizione.
La grandezza piú semplice da studiare per l’individuazione di un fronte dovrebbe
essere costituita dalla temperatura, visto che un fronte normalmente separa aria calda
da aria fredda. Il problema é che in realtá il fronte é una zona di transizione di modo che
la localizzazione discreta delle stazioni meteorologiche rende spesso inutile l’utilizzo di
questa variabile. In piú si aggiunga il fatto che i campi superficiali di temperatura sono
spesso disturbati fortemente da effetti diabatici e turbolenti. Ecco perché comunque
é meglio considerare le temperature 6 in quota, a 850 hP a ad esempio al di fuori del
boundary layer. In tal caso, per tracciare il fronte al suolo, bisogna tenere conto della
pendenza della superficie frontale. Di solito nello strato limite la pendenza puó essere
molto marcata per i fronti freddi mentre mantiene piú o meno lo stesso valore che in
quota per i fronti caldi. Come risultato la posizione del fronte sulla cartina a 850 mb puó
essere shiftata rispetto a quella al suolo indietro nel lato caldo di distanze considerevoli
(un centinaio di km) per il fronte caldo, mentre puó coincidere con essa (nei casi piú
estremi) per il fronte caldo.
Un altro strumento utile nell’analisi sinottica dei fronti é costituita dalle cartine
di topografia relativa dello strato 500 − 1000 hP a, ovvero della temperatura media
dei primi 5 km e mezzo. Analogamente le temperature di rugiada possono aiutare
nella collocazione dei fronti visto che ci si aspetta una variazione di tale grandezza nel
passaggio di un fronte (i punti di rugiada infatti sono generalmente piú bassi in aria
fredda che in aria calda) ma non sono certo una guida infallibile.
L’impronta piú chiara della presenza di una superficie frontale rimane comunque
quella costituita da uno shear ciclonico del vento di equilibrio geostrofico con i caratteristici
ricci nelle isobare che puntano verso le alte pressioni.
7.6.2 Studio delle immagini Meteosat
Un buon aiuto per l’analisi delle superfici frontali é costituito dalle immagini satellitari,
grazie ad una distribuzione delle nubi particolarmente chiara (questo é vero
specialmente per i fronti freddi ed occlusi piú che per quelli caldi).
In particolare siamo interessati alle caratteristiche legate ai cicloni extratropicali
atlantici associati ad un profondo sistema di bassa pressione. Figs. 7.13-7.14 mostrano
due esempi tipici di sistema ciclonico completamente sviluppato nei tre canali IR (infrarosso),
VIS (visibile), WV (vapor d’acqua). Le caratteristiche principali che identificano
il ciclone sono il centro di depressione, o vortice, e le strutture nuvolose associate
6 Nei campi di temperatura equivalente potenziale e pseudopotenziale i contrasti tra le diverse masse
d’aria sono anche piú accentuati.

196 CAPITOLO 7. I FRONTI
alle bande frontali organizzate attorno al centro di depressione, che si presentano nelle
immagini come aree estese di nuvolosiá organizzata su larga scala in bande riconoscibili,
ma aventi una vasta varietá di dettagli a piccola scala.
Associate ai fronti freddi nelle immagini da satellite sono frequentemente osservati
due tipi di bande nuvolose. Il cosiddetto fronte freddo “classico” appare come una banda
di nubi dalla sommitá molto fredda, il fronte freddo “splittato” appare come due
bande adiacenti con due diverse temperature della sommitá delle nubi. Questi due differenti
strutture forniscono importanti indicazioni per la localizzazione del fronte freddo
superficiale, per l’identificazione dei processi fisici presenti e per la determinazione della
distribuzione del tempo in superficie. Spesso un tipo di banda frontale puó trasformarsi
nell’altro, oppure possono essere presenti contemporaneamente. Dall’analisi della
fig. 7.13 é possibile mettere in evidenza la presenza di queste due strutture. In particolare,
l’effetto dell’intrusione secca che supera il fronte alla superficie e passa sopra
uno strato di aria calda e umida si puó riconoscere nelle nubi dalla sommitá calda a
ovest della Danimarca, indicate con la lettera K nell’immagine IR (pannello in alto
della fig. 7.13). Nell’immagine VIS (pannello al centro) sono facilmente riconoscibili le
posizioni del fronte alla superficie e del fronte superiore: il primo corrisponde al bordo
posteriore delle nubi piú basse (lettera G nell’immagine VIS), mentre nell’immagine
IR risulta difficile distinguerlo dalla superficie sottostante a causa della temperatura
relativamente calda delle nubi; il secondo corrisponde al bordo delle nubi alte, in corrispondenza
del bordo avanzante dell’intrusione secca, ed é messo in evidenza, a sud,
dall’ombra che lo strato di nubi alte proietta su quelle piú basse e a nord perché é
illuminato dal sole (indicato nel pannello al centro dalle frecce). In fig. 7.14 é ben
evidente la struttura della banda nuvolosa di un fronte freddo con la sommitá delle
nubi molto fredda. Nell’immagine IR, la banda presenta un bordo posteriore netto e
l’area nuvolosa é molto simile anche nell’immagine VIS. Nel WV é presente una larga
banda di aria umida con un bordo netto nella parte posteriore.
La caratteristica principale della struttura nuvolosa associata ad un fronte caldo,
nelle immagini IR, é una singola banda larga di nubi medie e alte che spesso assume
la forma di scudo, indicate con la lettera W nelle immagini in alto dei due esempi
riportati. In alcuni casi nel settore caldo si sviluppano nubi convettive e stratificate
che si fondono con la banda del fronte, rendendo difficile collocare il fronte in superficie
usando solamente le immagini. Lo studio dei fronti caldi risulta piú chiaro con l’ausilio
dei dati convenzionali, in particolare della temperatura potenziale di bulbo bagnato
e dell’avvezione di temperatura: in tal caso il fronte caldo in superficie é collocato
all’interno dell’area nuvolosa vicino alla zona calda del gradiente di temperatura, con
avvezione calda davanti al fronte.
La banda nuvolosa associata al fronte occluso presenta una caratteristica forma a
virgola, causata dall’intrusione dell’aria secca lungo il fianco del sistema ciclonico e da
un flusso di aria calda che sale davanti al sistema frontale, responsabile della forma ad
uncino della struttura nuvolosa, indicato con H nella fig. 7.14 in alto. Durante lo sviluppo
del processo di occlusione il disegno delle nubi non subisce particolari variazioni: H
continua a girare ciclonicamente attorno al centro della depressione assumendo un bor-

7.7. ESERCIZI 197
do occidentale netto, mentre la sommitá delle nubi aumenta in altezza verso il centro
del vortice in corrispondenza della salita del flusso d’aria in questa regione.
7.7 Esercizi
L’inclinazione di una superficie di discontinuitá rispetto al piano orizzontale in un
campo di vento geostrofico puó essere determinato dalla formula:
tan α = f ¯ T
g
· [ugeo]
[T ]
(7.9)
ove [T ] é la differenza di temperatura tra le due masse d’aria, ¯ T é la media delle
due temperature e [ugeo] é la differenza tra le componenti parallele al fronte del vento
geostrofico delle due masse d’aria (la componente di vento normale al fronte invece é
continua sulla superficie frontale).
1. A quale distanza l’altezza della superficie frontale é pari a L = 1 km, se la
differenza di temperatura é [T ] = 9 K, la differenza delle componenti tangenziali
del vento geostrofico é di [ugeo] = 8 m/s, la latitudine é di 60 ◦ (⇒ f = 1.26 ×
10 −4 s −1 ), e la temperatura media é di ¯ T = 283 K?
Determiniamo dapprima la pendenza della superficie frontale dalla formula (7.9):
tan α = 1.26 × 10−4 × 283 × 8
9.8 × 9
= 3.241 × 10 −3 .
Pertanto la distanza x in km necessaria perché l’altezza della superficie frontale
aumenti di 1 km é data dall’espressione:
x = L
tan α
1 km
= = 308.5 km.
3.241 10−3 Si noti che le pendenze tipiche delle superfici frontali variano tipicamente tra
1/50 a 1/400. Le pendenze delle superfici isobariche sull’orizzontale invece non
superano mai 1/1000.
2. Quale é la distanza verticale di due punti separati da una distanza orizzontale di
100 km che si trovino su di una superficie frontale se la differenza di temperatura
é di 10 K, la differenza nelle componenti tangenziali del vento geostrofico é 12
m/s la latitudine 55 ◦ (f = 1.11 × 10 −4 s −1 ) e la temperatura media 273 K?
Sempre usando la (7.9) si trova:
tan α = 1.11 × 10−4 × 273 × 12
9.8 × 10
= 3.71 × 10 −3 .
e quindi la differenza nelle altezze di una superficie frontale a due punti separati
da una distanza orizzontale di 100 km é:
∆ h = ∆ x × tan α = 371 m.

198 CAPITOLO 7. I FRONTI
3. Un settore di aria calda di un fronte di 300 km é caratterizzato da una variazione
nella velocitá verticale ad 1 km da 1 cm/s a 0 m/s (a metá settore) a 2 cm/s.
Supponendo che il vento sia puramente occidentale determinare la variazione tra
componente occidentale media dello strato 0 ÷ 1 km tra lato piú occidentale e
lato piú orientale del settore.
Potremo scrivere usando l’eq. di continuitá che ∂u ∂w
= − ≈ −w(1 km)/H =
∂x ∂z
1 km. Ma allora detto Lx = 300 km e ∂u
∂u
(x = 0) = ∂x ∂x (x = Lx) = −0.02 ×
10−3s−1 = D0 potremo scrivere che ∂u
∂x (x) = D0 − 2x
Lx D0 per 0 ≤ x ≤ Lx
2 e
∂u 2x−Lx
(x) = ∂x Lx D0 per Lx
2 ≤ x ≤ Lx. Integrando lungo x si trova allora ∆u =
u(0) − u(Lx) = Lx
2 D0 = 3 m/s ≈ 10 km/h = 240km/day. Molto sommariamente
questo problema rende conto della diversa velocitá tra un fronte caldo e il suo
omologo fronte freddo.

7.7. ESERCIZI 199
Figura 7.13: Immagine meteosat relativa al 25 gennaio 94 12:00 UTC. In alto
l’immagine IR, al centro quella VIS e in basso quella del vapor d’acqua.

200 CAPITOLO 7. I FRONTI
Figura 7.14: Immagine meteosat relativa al 4 novembre 1996 12:00 UTC. In alto
l’immagine IR, al centro quella VIS e in basso quella del vapor d’acqua.

Capitolo 8
Circolazione e vorticità
Oltre alle combinazioni di derivate parziali trovate al cap. 4 esistono altri modi per
esprimere le proprietà dei flussi. Ad esempio la circolazione su una linea orientata
chiusa in un fluido è l’integrale sulla curva della componente della velocità lungo la
curva:
C ≡ V · ds = V cos α ds
ove V é il modulo della velocità, ds é l’elemento della curva orientato positivamente in
verso antiorario (una volta fissata la normale al circuito) e α l’ angolo tra V e ds. In
sostanza C dà una misura del moto rotatorio ed è positiva per circolazioni cicloniche.
Chiaramente la circolazione dipende dal sistema di riferimento usato (perché cosí é V);
nel sistema di riferimento meteorologico, ad esempio, la circolazione diventa:
C =
(u dx + v dy + w dz)
Stabiliamo ora una relazione tra circolazione e vorticità.
Figura 8.1: Circolazione attorno ad un quadrato infinitesimo.
201

202 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Se si considera un quadrato infinitesimo come in fig. 8.1 si ha:
dCdxdy = udx + v + ∂v
∂x dx
dy − u + ∂u
∂y dy
∂v ∂u
dx − vdy = − dxdy
∂x ∂y
vorticità ζ
che dimostra come, per un piccolo elemento d’area ove la vorticitá puó essere considerata
costante, la vorticità del fluido sia uguale alla circolazione intorno al perimetro
per unitá d’area ovvero:
V · ds
ζ = lim
A→0 A
. (8.1)
Ora ogni area finita A può essere suddivisa in quadrati infinitesimi; per un circuito
Γ che racchiude l’area A, sommando su tutti i quadratini infinitesimi e osservando che
nei lati interni i contributi alla circolazione si annullano, si trova infine:
Γ
(udx + vdy) =
circolazione
∂v ∂u
− dxdy (8.2)
∂x ∂y
vorticità
che é il teorema di Green 1 o equivalentemente il teorema di Stokes in forma duedimensionale
2 . La circolazione è una misura areale della tendenza rotazionale di un
fluido, e la vorticità è la misura di punto della stessa tendenza. In generale la circolazione
attorno ad un circuito divisa per l’area del circuito fornisce una stima media
della vorticitá all’interno del circuito. Cosí un fluido con vorticità ovunque zero ha
circolazione zero attorno a tutti i possibili cammini chiusi, cioè è irrotazionale.
Ora si possono correlare circolazione e vorticità alla velocità angolare di rotazione di
un piccolo elemento di fluido. Sia ω la velocità angolare intorno ad O, centro istantaneo
di rotazione come in fig. 8.2. La particella di fluido in un intervallo dt si muoverá di
una distanza V dt dando un contributo alla circolazione pari a:
essendo cos α =
dC = V cos α ds =
r dϑ
ds
r dϑ
dt
A
cos α ds = rω cos α ds = r 2 ω dϑ
per cui, integrando su tutta la curva,
C =
ϑ=2π
ϑ=0
r 2 ω dϑ.
1Si noti che il campo vettoriale di velocitá non ha nulla di speciale, ragione per cui il teorema di
Green vale per un generico campo vettoriale F = (Fx, Fy, Fz).
2Infatti per il teorema di Stokes si ha:
V · ds = ∇ × V · ˆndA
Γ
ove ˆn é la normale alla superficie A (qualunque superficie si appoggi a Γ) definita dalla regola della
mano destra coerentemente con l’orientazione di Γ. Ora peró la grandezza ∇ × V · ˆn coincide proprio
con la componente verticale della vorticitá ζ.
A

8.1. TEOREMA DELLA CIRCOLAZIONE 203
Figura 8.2: Legame tra circolazione, vorticitá e velocitá angolare.
Se prendiamo come curva un cerchio e facciamo tendere r a zero, possiamo assumere
che la velocità angolare al centro, ω, sia una costante che non dipende da ϑ; si ottiene
cosí C = 2 π r 2 ω ≡ π r 2 ζ. Ricordando il legame tra vorticitá e circolazione espresso
nella (8.2) se ne deduce che la vorticità ζ deve essere pari a 2 ω nel punto considerato.
Una applicazione immediata di questo risultato é quella costituita da un disco
circolare di fluido di raggio r in rotazione a velocità angolare ω “come un corpo solido”,
intorno all’asse z. In tal caso la velocitá angolare di rotazione é in ogni punto pari ad
ω e quindi il campo di vorticitá sará costantemente uguale a 2 ω. Ne deriva che il
parametro di Coriolis f = 2 ΩT sin φ, essendo pari a due volte la componente verticale
della velocitá angolare terrestre, rappresenta la vorticità intorno alla verticale propria
del sistema meteorologico (dovuta alla rotazione terrestre) misurata da un sistema di
riferimento assoluto (tipo stelle fisse).
8.1 Teorema della circolazione
Abbiamo appena visto che la circolazione è un parametro che misura la tendenza rotazionale
di un fluido. Tale misura è molto importante in meteorologia. Nei temporali,
ad esempio, la rotazione raggiunge quantità considerevoli; inoltre la variazione nel
tempo della circolazione può essere coinvolta nella previsione.
In questo paragrafo lavoriamo nell’usuale sistema di riferimento meteorologico (una
trattazione del teorema della circolazione in un sistema di riferimento inerziale viene
data nei complementi 8.5). Cerchiamo di esprimere la derivata totale della circolazione
partendo dalla circolazione attorno ad un circuito chiuso di fluido:
C =
V · ds =
(u dx + v dy + w dz).
Seguiamo nel tempo questa catena di fluido e determiniamo la sua variazione (come
derivata totale), differenziando anche gli incrementi di distanza lungo la catena di fluido

204 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
(poichè anche essi possono variare nel tempo):
dC
dt =
du
dt
dv dw
dx + dy +
dt dt dz
d (dx) d (dy) d (dz)
+ u + v + w . (8.3)
dt dt dt
Per valutare i termini del tipo d(dx)/dt vediamo in fig. 8.3 come evolve un segmento
infinitesimo di particelle di fluido in un intervallo ∆t di tempo. La variazione nella
Figura 8.3: Variazione della lunghezza di un elemento di linea di fluido ds.
componente x dell’elemento di linea dx é:
∆ (dx)
∆t =
∂u
∂x
∂u ∂u
dx + dy +
∂y ∂z dz
e nel limite ∆t → 0:
d (dx)
= du.
dt
Così per dy e dz. Il secondo integrale a secondo membro della (8.3) diviene:
(u du + v dv + w dw) =
2 2 2
u + v + w
d
= 0
2
e si annulla in quanto integrale di percorso chiuso di un differenziale esatto. Rimane
pertanto il primo integrale; sostituendo in esso le accelerazioni du/dt, dv/dt e dw/dt
dalle equazioni del moto (2.21), si ha:
dC
dt
1
= −
+
−
∂p
∂x
∂p ∂p
dx + dy +
∂y ∂z dz
ρ
I
2Ω [(v sin φ − w cos φ) dx − u sin φdy + u cos φdz]
Fx Fy Fz
gdz + dx + dy +
m m m dz
III
II

8.1. TEOREMA DELLA CIRCOLAZIONE 205
e, semplificando, il termine I puó essere scritto come:
dp
−
ρ ;
il termine II invece é il termine di Coriolis e può essere interpretato considerando
una proiezione della catena chiusa di fluido sul piano equatoriale (vedi fig. 8.4). Se
Figura 8.4: Proiezione di un circuito chiuso sul piano equatoriale.
si considera un sistema (x ′ , y ′ ) nel piano equatoriale x ′ essendo la proiezione di x sul
piano equatoriale e y ′ quella del piano (y, z) che punta verso l’asse della Terra allora:
e così per le velocità
dy ′ = dy sin φ − dz cos φ
dx ′ = dx
v ′ = v sin φ − w cos φ
u ′ = u
Applicando queste considerazioni, il termine II diventa: 2ΩT (v ′ dx ′ − u ′ dy ′ ) come si
può verificare. Se indichiamo con Aeq. l’area racchiusa dalla proiezione della catena di
fluido sul piano equatoriale, l’integrale sotto esame si può scrivere: −2ΩT (dAeq./dt).
Infatti se si ricorda l’interpretazione della divergenza data al paragrafo 4.4 si vede che:
dAeq.
dt =
∂u ′
∂v′
+
∂x ′ ∂y ′
dx ′ dy ′ = −
(v ′ dx ′ − u ′ dy ′ )
ove nell’ultimo passaggio si é usato il teorema di Green.
Il primo pezzo del termine III si annulla come integrale di percorso chiuso di un
differenziale esatto, mentre il termine delle forze generiche restanti può essere lasciato
nella espressione finale.
Si arriva pertanto al teorema della circolazione (Kelvin):
dC
dt
= −
dp
ρ
− 2ΩT
dAeq.
dt +
Fx
m
Fy Fz
dx + dy +
m m dz
(8.4)
Pertanto la circolazione assoluta Ca = C + 2ΩT Aeq. è trasportata con il fluido (o è
conservata dal fluido), a parte gli effetti di baroclinicità e di viscosità.

206 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
8.2 Interpretazione fisica del teorema di Kelvin
Cerchiamo adesso di interpretare fisicamente i diversi termini che compaiono nella
(8.4). La derivata individuale della circolazione è l’equivalente, per il fluido, della
accelerazione angolare in dinamica dei solidi, poichè descrive il tasso di variazione nel
tempo della circolazione, che é una misura della rotazione del fluido. In dinamica dei
solidi le accelerazioni angolari sono prodotte da momenti torcenti. Così i termini alla
destra sono analoghi a momenti torcenti di vario tipo.
Termine di baroclinicitá: − dp
in generale non è nullo. Quando il fluido è
ρ
barotropico [ρ = ρ(p)], il termine diviene l’integrale di percorso di un differenziale
esatto, e pertanto zero. Ciò vale per ogni istante in cui il fluido è barotropico. Se
poi è persistentemente barotropico (autobarotropico), il termine è sempre zero e non
contribuisce mai alla generazione della circolazione. In generale peró la densitá non
è determinata dalla sola pressione e le superfici isobariche e isosteriche si intersecano.
Consideriamo allora una catena di fluido 1234 come mostrato in fig. 8.5 e valutiamo
Figura 8.5: Isobare e curve isosteriche in un fluido baroclino.
la variazione della circolazione indotta su tale circuito dal termine di baroclincitá.
Isobare ed isosteriche in generale formano una rete di parallelogrammi. Nei tratti da
1 a 2 e da 3 a 4 il contributo a − dp
è = 0 poiché in questi tratti dp = 0. Da 2 a
ρ
3 dp è negativo ed il contributo all’integrale è positivo. Da 4 a 1 dp è positivo ed il
contributo all’integrale negativo. Ma la ρ media fra 2 e 3 è minore della ρ media fra
4 e 1, così, in questo caso, c’è un contributo positivo a dC/dt cioè una tendenza ad
instaurare una circolazione antioraria (positiva). L’effetto è di far innalzare il fluido
meno denso e far abbassare quello più denso tendendo a rendere le isosteriche parallele
alle isobariche. È un processo che converte l’energia potenziale del fluido in energia
cinetica di circolazione. Il valore numerico dell’integrale è proporzionale al numero di
parallelogrammi, definiti dall’intersecarsi di isobare ed isosteriche, detti solenoidi: essi
visualizzano la baroclinicità.
È da notare che l’eq. 8.4 si riferisce alla derivata della circolazione e non alla circolazione
in sè. Così può esserci circolazione negativa (C < 0) con una derivata positiva

8.2. INTERPRETAZIONE FISICA DEL TEOREMA DI KELVIN 207
(dC/dt > 0). Quando la variazione della circolazione é concorde alla variazione dettata
dal termine solenoidale si parla di circolazione solenoidale diretta, altrimenti si dice
che si ha circolazione solenoidale indiretta (in tal caso altri termini del teorema della
circolazione devono avere instaurato una tale circolazione).
Il termine di Coriolis −2ΩT dAeq.
dt
è analogo al contributo all’accelerazione ango-
lare che si ha quando si varia il raggio di rotazione di un corpo rigido. Se il raggio
aumenta, si ha una diminuzione della rotazione, se il raggio diminuisce, la rotazione
aumenta (per la legge di conservazione del momento angolare). Possiamo prendere
come riferimento l’area della proiezione sul piano equatoriale: se aumenta col tempo il
termine è negativo e la circolazione diminuisce; se l’area Aeq. si contrae, il termine sarà
positivo e la circolazione aumenterà.
Consideriamo allora una catena di particelle di fluido inizialmente sul piano orizzontale;
il termine di Coriolis può causare variazioni in circolazione per uno qualsiasi
dei tre processi fondamentali:
1. effetto di divergenza: l’area racchiusa dalla catena di fluido cambia per convergenza
o divergenza, producendo una variazione di Aeq., l’area della proiezione sul
piano equatoriale: una convergenza determinerá una tendenza a circolazione antioraria
(dC/dt > 0), una divergenza una tendenza a circolazione oraria (dC/dt <
0);
2. effetto di latitudine: l’area racchiusa dal circuito puó essere sottoposta ad una
variazione di latitudine, pur rimanendo orizzontale. Questo altererá Aeq.. Nell’emisfero
Nord:
• un moto verso l’equatore porterá ad una diminuzione di Aeq. (dAeq./dt < 0) e
quindi ad una tendenza antioraria/ciclonica della circolazione (dC/dt > 0)
[ecco perché tipicamente gli uragani si rinforzano scendendo verso l’area
caraibica];
• un moto verso i poli porterá ad un aumento di Aeq. (dAeq./dt > 0) e quindi ad
una tendenza oraria della circolazione (dC/dt < 0) [ecco perché tipicamente
gli uragani si indeboliscono salendo verso le medie latitudini].
Per l’emisfero Sud i risultati vanno ribaltati (si noti infatti che per un circuito
orientato orizzontalmente con normale verso l’alto Aeq. é negativa nell’emisfero
Sud).
3. effetto di tipping: non c’è né divergenza né variazione di latitudine ma per moti
orizzontali con gradiente di w le particelle sono spostate dal piano orizzontale ed
Aeq. cambia col tempo.
Il termine di forze non conservative (fxdx + fydy + fzdz) è un momento torcente
di altre possibili forze che possono essere presenti (quali, ad esempio, la viscositá
mentre si é visto che la gravità, forza conservativa, non produce alcun effetto). È chiaro
che la sorgente principale della circolazione è quella espressa dal primo termine, cioè

208 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
della distribuzione di massa espressa nel termine solenoidale. Coriolis e i termini viscosi
possono alterare il moto profondamente, ma il vero motore dell’atmosfera è nella baroclinicità
prodotta dal diverso riscaldamento solare e dell’evaporazione e condensazione
del vapore.
8.3 Casi specifici di applicazione del teorema della
circolazione
8.3.1 La brezza di mare
La presenza di brezze di mare durante il giorno e brezze di terra durante la notte sulla
superficie delle coste puó essere spiegata dal termine solenoidale della (8.4).
Figura 8.6: Isobare e curve isosteriche: sezione verticale sopra una costa marina durante
il giorno.
Durante il giorno la terra si riscalda maggiormente e le superfici a ρ = costante
avranno una pendenza verso l’alto dalla terra al mare. Le isobare sono pressochè
orizzontali: si forma così un campo solenoidale nel piano verticale (vedi fig. 8.6). La
variazione della circolazione attorno ad un circuito verticale che si trovi metá sopra il
mare e metá sopra la terra sará negativa; pertanto, se la circolazione é inizialmente
nulla, si svilupperá una circolazione oraria che porta aria fresca dal mare verso la terra
vicino alla superficie mentre una controbrezza in quota riporterá aria calda verso il
mare. L’opposto accade di notte (la terra si raffredda piú velocemente per emissione
radiativa).
Le brezze vengono modificate dall’attrito e da Coriolis. Per esempio la circolazione
solenoidale diretta sopra descritta dovrebbe far crescere progressivamente la velocità
del vento di mare durante il giorno, ma l’attrito esercita un freno per cui è possibile

8.3. APPLICAZIONI DEL TEOREMA DELLA CIRCOLAZIONE 209
un equilibrio fra aumento della circolazione causato dalla distribuzione di massa e la
diminuzione causata dall’attrito, col risultato di venti stazionari.
Se la scala è sufficientemente grande 3 , l’effetto di Coriolis è importante. Consideriamo
una catena di fluido inizialmente verticale e parallela alla costa: essa sarà spostata
fuori dalla verticale per opera della circolazione solenoidale diretta come mostrato in
fig. 8.7. La sua proiezione sul piano equatoriale aumenta col tempo e ciò sviluppa una
circolazione negativa (oraria).
Figura 8.7: Una catena di fluido inizialmente verticale e parallela alla costa (sinistra) e
poi come viene modificata per effetto della brezza (destra). In tratteggio la proiezione
della catena sul piano orizzontale.
La parte superiore del percorso (che sará verso il mare durante il giorno) acquisterà
una componente che esce dalla pagina e quella inferiore una componente che penetra
nella pagina come mostrato in fig. 8.8. È lo stesso effetto che si può immaginare
direttamente pensando all’effetto deflettente verso destra della forza di Coriolis sulla
brezza già formata.
8.3.2 La pendenza delle superfici frontali
Consideriamo ora una superficie frontale come in fig. 8.9. I solenoidi nel caso del fronte
tendono a creare una circolazione oraria che spinge l’aria fredda sotto la calda (vedi
freccia a sinistra in figura). Se però c’è anche uno shear verticale del vento attraverso
il fronte (come mostrato in Fig. 8.9), un percorso di fluido inizialmente verticale viene
3 Tale condizione si realizza molto bene nei monsoni che possono essere pensati come delle brezze
originate da baroclinicitá stagionali anziché giornaliere.

210 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Figura 8.8: Effetto della forza di Coriolis sulla circolazione associata alla brezza di
mare.
piegato, con una proiezione negativa sul piano equatoriale (qui assumiamo che la normale
al circuito sia uscente dal foglio): ne nasce un termine di Coriolis che si oppone
al precedente dando un contributo positivo (antiorario) al tasso di crescita della circolazione.
Così il tempo che l’aria fredda impiega ad incunearsi sotto la calda è maggiore
in presenza della rotazione terrestre. C’è poi la possibilità di un equilibrio di effetti
cioè dC/dt = 0, che è la condizione assunta nel derivare la regola di Margules (7.5) e
l’eq. del vento termico (5.6).
Figura 8.9: Sezione verticale-nord/sud di un fronte. × indica vento entrante, ◦ vento
uscente. Rotazione oraria viene indotta dal termine solenoidale, antioraria da quello
di Coriolis.
8.3.3 Convergenza, divergenza ed effetti di latitudine
Come giá sottolineato fenomeni di convergenza tendono ad instaurare circolazione antioraria
(ciclonica), fenomeni di divergenza circolazione oraria (anticiclonica). Ciò si
manifesta nel comportamento dei cicloni e degli anticicloni che, ai livelli inferiori, costituiscono
generalmente zone di convergenza e di divergenza rispettivamente. Del resto,
se si considera il comportamento dei sistemi di circolazione sul piano orizzontale quando
si muovono in latitudine, il teorema della circolazione indica che un ciclone che va
verso i poli si indebolisce e può eventualmente divenire un anticiclone; analogamente,
anche un anticiclone che va verso l’equatore tende ad indebolirsi e può diventare un
ciclone. In pratica può succedere più frequentemente che i cicloni si intensifichino an-

8.4. TEOREMA DELLA VORTICITÀ 211
dando verso i poli a causa della predominanza dell’effetto di convergenza su quello di
latitudine.
8.4 Teorema della vorticità
Abbiamo visto che vi è una relazione fra circolazione e vorticità. La circolazione è la
misura della rotazione del fluido mentre la vorticità è una misura della stessa proprietà
riferita ad un’area infinitamente piccola. È più comodo talvolta avere a che fare con
la vorticità piuttosto che con la circolazione. Sarebbe anzi possibile trasformare direttamente
il teorema della circolazione in un teorema della vorticità (vedi esercizi). Ma
partendo da capo con le equazioni del moto si può ottenere un teorema di dinamica
sulla variazione della vorticità. Consideriamo le equazioni orizzontali del moto nelle
quali sono trascurabili i termini piccoli in 2ΩT w cos φ:
⎧
∂u
∂u ∂u ∂p Fx
⎪⎨ + u∂u + v + w = fv − α +
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x m
α =
⎪⎩
∂v
∂v ∂v
Fy
+ u∂v + v + w = −fu − α∂p +
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y m
1
(8.5)
ρ
Siccome si cerca un teorema che coinvolga la vorticità intorno ad un asse verticale:
ζ = ∂v ∂u
−
∂x ∂y
vorticità
prendiamo la derivata parziale rispetto ad x della seconda delle (8.5) e sottraiamo la
derivata parziale rispetto ad y della prima equazione delle (8.5). Si ottiene:
∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂f
∂w ∂v ∂w ∂u
+ u + v + w + v = − (f + ζ) D − −
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z
∂α ∂p ∂α ∂p
− − +
∂x ∂y ∂y ∂x
1
∂Fy ∂Fx
−
m ∂x ∂y
ove D ≡ ∂u ∂v
+ ∂x ∂y
scrivere v ∂f
∂y
d (f + ζ)
dt
= ∂f
∂y
é la divergenza orizzontale. Poiché f è solo funzione di y, possiamo
∂y
∂t
= df
dt
= − (f + ζ) D −
[si é usata la (2.2)] e quindi:
∂w ∂v ∂w
−
∂x ∂z ∂y
∂u ∂α ∂p
−
∂z ∂x ∂y
− ∂α
∂y
∂p
+
∂x
∂fy ∂fx
−
∂x ∂y
che è il teorema della vorticitá. Il termine a sinistra è la derivata totale della
vorticità assoluta 4 η ≡ f + ζ intorno alla verticale quale sarebbe vista da un osservatore
inerziale, ovvero della somma della vorticità intorno alla verticale della rotazione
terrestre e della vorticità intorno alla verticale del moto relativo alla terra. Dunque
la vorticità assoluta può cambiare solamente per opera dei quattro termini a destra
dell’equazione. Esaminiamoli:
4 Tale grandezza é pressoché sempre positiva in atmosfera.
(8.6)

212 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
1. il termine “divergenza”:
−(f + ζ) D
È ancora l’analogo per i fluidi della variazione del raggio di rotazione nella dinamica
dei corpi rigidi che genera accelerazioni angolari. D > 0 significa aumento
del raggio effettivo e, per analogia, dovrebbe diminuire l’intensità della vorticità
assoluta. Di fatto, a causa del segno meno, il termine di divergenza dá un
contributo negativo a d(f+ζ)
dt . D’altra parte la convergenza darà un aumento alla
vorticità assoluta.
2. il termine di “tipping” o capovolgimento
∂w ∂v ∂w ∂u
− −
∂x ∂z ∂y ∂z
Nel primo termine entro parentesi, quando w diminuisce nella direzione x e v
aumenta verso l’alto, a causa del segno meno darà un contributo positivo, cioè
f + ζ aumenta nel tempo. È una vorticità attorno ad un asse est−ovest. L’equivalente
in dinamica dei corpi rigidi è una ruota con asse est−ovest e rotazione
antioraria vista da ovest. Quando l’estremità occidentale dell’asse viene alzata e
quella est abbassata (∂w/∂x) < 0, la ruota diviene più orizzontale e compare una
rotazione ciclonica intorno ad un’asse verticale: ciò corrisponde all’aumento nel
tempo di f + ζ. Così il campo delle velocità verticali capovolge vorticità orientata
orizzontalmente in vorticità nella verticale.
Figura 8.10: Una ruota rotante che illustra l’analogia nel corpo rigido del termine di
tipping della (8.6).
3. Il terzo termine della (8.6) corrisponde al termine solenoidale del teorema della
circolazione (8.4) applicato ad un circuito orizzontale infinitamente piccolo.
Verifichiamolo. Il termine solenoidale di circolazione se il circuito é orizzontale

8.4. TEOREMA DELLA VORTICITÀ 213
(dz = 0) diventa:
dp
− = −
ρ
α ∂p
∂x
dx + α∂p
∂y dy
Il teorema di Stokes ricavato nella (8.2)
∂v ∂u
(u dx + v dy) = − dxdy
∂x ∂y
è valido per le componenti di ogni vettore incluso quelle della forza di gradiente
al posto di v, si ha:
di pressione. Così per α ∂p
∂x
dp
−
ρ
al posto di u e α ∂p
∂y
∂α ∂p ∂α ∂p
= −
− dxdy
∂x ∂y ∂y ∂x
Restringendoci ad un’area A sufficientemente piccola, entro la quale le derivate
hanno valori medi costanti, il contributo alla circolazione del termine solenoidale
si può scrivere:
1 dC
A dt
∂α ∂p ∂α ∂p
= − −
∂x ∂y ∂y ∂x
Poiché C = ζA, il termine in esame contribuisce ad una variazione della vorticità
ed è un modo alternativo di esprimere il temine solenoidale, tipico dei fluidi.
4. Il termine di forze non inerziali:
1
m
∂Fy
∂x
∂Fx
−
∂y
rappresenta l’effetto di ogni altra forza. Possono essere, ad esempio, viscosità
o turbolenza. Se queste esercitano un’azione torcente, allora si determina una
variazione della vorticità. In molte applicazioni possono essere ignorate.
Dalle osservazioni concrete appare che ognuno dei 4 termini può dare contributi
apprezzabili a d(f + ζ)/dt nei sistemi sinottici a larga scala. Il termine di divergenza è
spesso il più importante; per brevi periodi tuttavia anche questo può essere trascurabile.
8.4.1 Conservazione della vorticitá assoluta
Quando c’è poca divergenza, moti verticali deboli, campi solenoidali deboli e le altre
forze sono trascurabili, il teorema della vorticità (8.6) si riduce a:
d (f + ζ)
dt
che esprime la conservazione della vorticità assoluta. Quando l’aria muove verso i poli
f aumenta e ζ deve diminuire. In più, se ζ è espressa come curvatura (cioé nella (4.31)
= 0

214 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
compare solo il termine di curvatura V ) l’aria che muove verso i poli deve perdere
Rs
curvatura ciclonica e addirittura curvare anticiclonicamente. L’inverso avviene per
moti verso l’equatore. Come conseguenza immediata di queste considerazioni se si ha
un flusso zonale (quindi con ζ = 0) occidentale questo deve rimanere puramente zonale
se la vorticitá assoluta é conservata lungo il moto. Invece per un flusso zonale orientale
sia la curvatura ciclonica verso S che quella anticiclonica verso N sono compatibili con
la conservazione della vorticitá assoluta.
Date velocità iniziale, direzione, latitudine, curvatura iniziali, si possono calcolare
delle traiettorie di vorticità assoluta costante (come in fig. 8.11). Il cammino di tali
traiettorie é caratterizzato dal fatto che le particelle che si muovono inizialmente verso
Nord, devono girare anticiclonicamente verso Sud per effetto della aumento di f;
viceversa particelle che fluiscono verso Sud descriveranno traiettorie cicloniche ritornando
infine verso Nord. Tali traiettorie sono ovviamente utili per la previsione come
prima valutazione; va poi aggiunto l’effetto dei vari termini che modificano la vorticitá
assoluta.
Figura 8.11: Esempi di traiettorie con vorticitá assoluta costante.
Ritorniamo allora all’equazione completa della vorticità (8.6) e discutiamo l’effetto
del termine di divergenza trascurando il termine di tipping e quello solenoidale. Supponendo
l’atmosfera incompressibile la divergenza orizzontale D = ∂u ∂v + può essere
∂x ∂y
sostituita da − 1 dH , indicando con H la profondità della colonna d’aria. Il teorema
H dt
della vorticità (8.6) diviene in tal caso:
d
dt
f + ζ
= 0 (8.7)
H
Includendo la divergenza ciò che si conserva è il rapporto tra la vorticità assoluta e
la profondità della colonna d’aria in esame. Questo risultato é un caso particolare del
teorema di conservazione della vorticitá potenziale (vedi paragrafo 8.4.2).

8.4. TEOREMA DELLA VORTICITÀ 215
Applicazione: flusso sopra la montagna
Prendiamo una corrente occidentale caratterizzata da una vorticitá relativa nulla (ζ =
0) che arriva su una catena orientata N −S (come mostrato in fig. 8.12), e supponiamo
che la vorticità si manifesti solo come curvatura (e non come shear, si veda il paragrafo
4.5.1). Il comportamento della corrente sará regolato dalla (8.7). Al versante sopra
Figura 8.12: Sezione verticale (alto) e vista planare (basso) delle linee di flusso per una
corrente zonale occidentale che attraversa una catena montuosa nell’emisfero N.
vento la profondità diminuisce provocando l’inizio di una curvatura anticiclonica (la
vorticitá relativa deve diventare negativa): l’aria si muove verso S come mostrato in
basso nella fig. 8.12. Poi si comincia a far sentire un effetto di latitudine, combinato
all’aumento, di nuovo, della colonna. Quando arriverà ai piedi della catena siccome f
é diminuito per effetto dello spostamento verso S l’aria manterrá un po’ di curvatura
ciclonica (ζ = fin − ffin > 0). Quando il pacchetto d’aria raggiunge la latitudine originaria
possiederá una componente della velocitá verso N: in questo punto la curvatura
passerá da ciclonica ad anticiclonica. Il moto procederá verso N sino ad un punto
di inversione verso S e cosí via. La corrente allora ondulerà su e giù sinusoidalmente
secondo traiettorie di vorticità assoluta costante. Questo spiega due fenomeni:
1. predice la curvatura ciclonica a valle delle montagne (saccatura o ciclogenesi a
valle delle montagne) che viene osservata frequentemente;
2. spiega la presenza di una sequenza di saccature quasi stazionarie e promontori
nelle correnti occidentali in quota alle medie latitudini. Infatti queste potrebbero
essere ondulazioni indotte in una corrente zonale dal meccanismo sopra descritto.
Si noti che se si ha un flusso orientale (vedi fig. 8.13) anziché occidentale che va a
fluire sopra una catena montuosa le cose sono molto diverse. In questo caso si risente

216 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Figura 8.13: Come in fig. 8.12 per un flusso zonale orientale che attraversa una catena
montuosa nell’emisfero N.
della presenza della barriera a monte: in regime stazionario la colonna d’aria comincia
a curvare ciclonicamente prima di raggiungere la montagna 5 . La vorticitá relativa
positiva viene compensata da una diminuzione di f. Quando la colonna si muove
sopra la montagna invece, l’aria continua a muoversi verso l’equatore di modo che la
decrescita in altezza viene compensata dalla decrescita di f. Il processo in discesa
dalla montagna é esattamente opposto di modo che, a valle, ad una ugual distanza da
dove l’aria aveva cominciato a curvare a monte, l’aria riprende il suo moto verso O alla
latitudine originaria.
8.4.2 Vorticitá potenziale isoentropica
Vediamo ora come a partire dal teorema della circolazione sia possibile ricavare una
importantissima quantitá conservata.
Nel caso di processi adiabatici le porzioni d’aria si muovono su superfici isoen-
tropiche, ovvero su superfici con la stessa temperatura potenziale θ. Se la tempera-
tura potenziale rimane costante allora p/ρ γ = cost da cui segue che ρ ∝ p cv
cp , cioé su
una superficie adiabatica la densitá é funzione della sola pressione per cui il termine
solenoidale presente nel teorema della circolazione si cancella:
5 Se cosí non fosse infatti supponiamo che il flusso si mantenga uniforme sino a quando non raggiunge
la montagna. In tal caso non appena la colonna d’aria si muove sopra la montagna da est, dovrebbe
acquistare curvatura anticiclonica (ζ < 0) affinché sia soddisfatta la (8.7). Ma allora il pacchetto d’aria
tenderebbe a dirigersi verso Nord verso le alte latitudini; ció determinerebbe un’ulteriore decrescita
di ζ a causa dell’aumento di f. Alla fine il pacchetto d’aria finirebbe per curvare indietro verso est di
modo che nessuna struttura di flusso stazionario che conservi la vorticitá potenziale sarebbe possibile.

8.4. TEOREMA DELLA VORTICITÀ 217
Figura 8.14: Esempio di vorticitá potenziale a 250 hP a in P V U (vedi testo).
d p
ρ ∝
cv
(1− cp d p ) = 0
e quindi il teorema della circolazione si riduce alla stessa forma del fluido barotropico:
d
dt (C + 2ΩT A sin φ) = 0 (8.8)
ove C é la circolazione attorno ad un circuito Γ che racchiude un’area A (supposta
quasi orizzontale) sulla superficie adiabatica. Assumendo che la superficie isoentropica
sia approssimativamente orizzontale, e osservando che la componente verticale della
vorticitá relativa é data da:
si puó riscrivere la (8.8) come:
C
ζ = lim
A→0 A
A(ζ + f)θ = Aηθ = cost (8.9)
ovvero che il prodotto della vorticitá assoluta per il valore della sezione é costante per
il moto adiabatico: se la sezione della porzione aumenta per divergenza isentropica

218 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Figura 8.15: Colonna cilindrica di aria che si muove adiabaticamente conservando la
vorticitá potenziale.
la sua vorticitá assoluta diminuisce, se A diminuisce per convergenza iseoentropica ηθ
aumenta.
Si consideri ora una porzione confinata tra le superfici isoentropiche θ e θ + dθ,
separate da una distanza δ p (vedi fig. 8.15). Tale porzione avrá massa M = ρ A δ z =
A δ p
g . La massa della porzione si conserva durante il moto quindi:
A =
M g
δ p =
M g
δθ
×
δθ
δp
= cost ×
δθ
δp
che sostituita nella (8.9) porge infine:
δθ
(ζ + f)θ = ηθ
δp
δθ
= cost.
δp
(8.10)
∂θ
La grandezza IP V ≡ −g ηθ ∂p viene detta vorticitá potenziale isoentropica IP V e
la (8.10) dimostra come essa sia una quantitá conservata in moti adiabatici, privi di
attrito. Pertanto un aumento della vorticitá produce una aumento dello spessore tra le
superfici isoentropiche mentre una riduzione di vorticitá é associato ad una riduzione
di questo spessore. L’unitá di misura di tale grandezza é l’unitá di vorticitá potenziale
P V U = 10 −6 m 2 K/(s kg). Se anziché valutare la vorticitá sulle superfici
isoentropiche si considera
la vorticitá canonica si ottiene invece la vorticitá potenziale
P V ≡ −g η .
∂θ
∂p
8.4.3 Un teorema di divergenza
Così come abbiamo derivato l’equazione della variazione della vorticità si può ricavarne
una per la variazione della divergenza orizzontale. Partendo sempre dalle equazioni del
moto orizzontale (8.5), siccome vogliamo ricavare un teorema sulla divergenza orizzontale
D = (∂u/∂x) + (∂v/∂y) prendiamo la derivata parziale rispetto a x della prima

8.5. RIVISITAZIONE DEL TEOREMA DELLA CIRCOLAZIONE 219
equazione e sommiamo alla derivata parziale rispetto a y della seconda delle (8.5):
∂D
∂D ∂D
+ u∂D + v + w + u∂f
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y = fζ − D 2
∂w ∂u ∂w ∂v
− +
∂x ∂z ∂y ∂z
2 ∂α ∂p ∂α ∂p ∂Fx ∂Fy ∂ p
− + + + − α
∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x2 + ∂2p ∂y2
∂u ∂v ∂u ∂v
+ 2 −
∂x ∂y ∂y ∂x
Non c’è possibile analogia con la dinamica dei corpi rigidi, poichè la divergenza
è propria dei fluidi. Questa equazione è molto simile a quella della vorticità a parte
gli ultimi due termini alla destra. L’equazione è complessa e la si usa solo in casi
semplificati.
Esempio: moto orizzontale con divergenza trascurabile, considerando il termine col
prodotto delle derivate in α e p trascurabile e senza forze addizionali rimane:
2 ∂ p
α
∂x2 + ∂2p ∂y2
∂u ∂v ∂u ∂v
− fζ + βu − 2 − = 0
∂x ∂y ∂y ∂x
che è una relazione differenziale fra vento orizzontale e pressione che è in generale
diversa dalle equazioni geostrofiche o di gradiente. Si chiama balance equation o
equazione di bilancio e per la difficoltà di soluzione si usa solo con potenti mezzi di
calcolo.
8.5 Complemento I: rivisitazione del teorema della
circolazione
Rivisiteremo ora il teorema della circolazione ragionando in un sistema di riferimento
inerziale del tutto generico (che chiameremo sistema assoluto). In particolare enunceremo
il teorema di Kelvin e la sua modifica con baroclinicitá e forze viscose. Il punto
di partenza per il calcolo della variazione della circolazione sono le eq. del moto per
una particella di fluido, in un sistema di riferimento assoluto inerziale:
ρ dava
dt = ρ f − ∇p + µ∇ 2 va + (µ ′ + µ) ∇
∇ · va
ove µ ′ é il secondo coefficiente di viscositá. Tali equazioni si particolareggiano:
• alle equazioni di Navier Stokes nel caso di fluidi incompressibili ∇ · va:
(8.11)
ρ dava
dt = ρ f − ∇p + µ∇ 2 va; (8.12)
• alle equazioni di Eulero nel caso di fluidi incompressibili con viscositá trascurabile
(µ = 0):
ρ dava
dt = ρ f − ∇p; (8.13)

220 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
• alle equazioni della statica quando va = 0:
0 = ρ f − ∇p. (8.14)
Queste equazioni consentono di determinare la variazione della circolazione assoluta
(misurata indifferentemente nel sistema di riferimento assoluto o in quello rotante: la
circolazione é uno scalare) a seconda della particolare eq. del moto utilizzata. Si ha
infatti6 dCa
dt
daCa
=
dt =
da
dt (va
dava
· ds) = · ds. (8.15)
dt
A titolo di esempio vediamo come si particolareggia la (8.15) per un fluido barotropico
[per il quale ρ = f(p) (quindi, in particolare, per un fluido a densitá costante)] per
il quale valga l’eq. di Eulero. Se le forze f sono conservative si potranno descrivere in
termini di un potenziale Φ (ad esempio il potenziale gravitazionale) e la (8.13) diventa:
dava
dt = − ∇p
ρ − ∇Φ = − ∇G(p) − ∇Φ (8.16)
1 1
G(p) = dp =
ρ f(p) dp.
Ma allora, siccome l’integrale di linea di un gradiente si annulla, combinando la (8.15)
e la (8.16) la circolazione assoluta é conservata seguendo il moto cioé:
dCa
dt
d
=
dt
va · ds = 0 (8.17)
8.5.1 Connessione tra circolazione assoluta e circolazione relativa
A scopi metereologici é piú utile lavorare con la circolazione relativa C piuttosto che con
quella assoluta Ca perché una parte della circolazione assoluta é dovuta alla rotazione
della Terra attorno al suo asse ed anche perché le velocitá dei venti che misuriamo sono
sempre quelle del sistema meteorologico. Vediamo ora come sono connesse circolazione
assoluta e circolazione relativa considerando il sistema di riferimento assoluto delle stelle
fisse e quello meteorologico, quest’ultimo orientato come il primo ma rotante rispetto
al primo con velocitá angolare Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ)E N alto. La circolazione assoluta,
quella cioé ottenuta computando la velocitá della particella nel sistema assoluto delle
stelle fisse si ottiene scrivendo: va = vT erra +vr {(ove vT erra = Ω×r é la velocitá della
6 Si noti che:
va · dadl
dt =
va · dva = 1
2
d (va · va) = 0.

8.5. RIVISITAZIONE DEL TEOREMA DELLA CIRCOLAZIONE 221
Terra alla posizione r (raggio vettore dal centro della Terra al punto di locazione della
particella)}. Pertanto la variazione della circolazione diventa:
dCa
dt = dCT
erra dCr d
+ = vT erra · ds +
dt dt dt
dCr
dt
dCa d
= ∇ × vT erra · ˆndA +
dt dt A
d
vr · ds
dt
= d
(0, 2Ω cos φ, 2Ω sin φ)E N alto · ˆndA +
dt
d
vr · ds (8.18)
dt
A
ove A é una superficie che si appoggia al circuito ove si effettua la circolazione. Detta
ˆn = (n1, n2, n3)E N alto la normale all’elemento di superficie si ha infine:
dCa
dt
= d
dt
2Ω
[n2 cos φ + n3 sin φ] dA
+ d
dt
vr · ds = 2Ω d
dt (Aeq.) + dC
dt
essendo Aeq. la proiezione di A sul piano equatoriale. Infatti per proiettare una superficie
su un piano basta prendere il prodotto scalare fra i due versori normali al piano e
alla superficie e moltiplicarlo per l’area della superficie; ma la normale al piano equatoriale
nel sistema di riferimento meteorologico é proprio ˆneq. = (0, cos φ, sin φ)E N alto
e quindi
ˆn · ˆneq.dA = [n2 cos φ + n3 sin φ] dA = dAeq..
É importante osservare che solo nel caso il circuito sia orizzontale Aeq. = A sin φ mentre
in generale é Aeq. = A cos ψ ove l’angolo ψ é appunto l’angolo formato dalla normale
al circuito e dalla normale al piano equatoriale.
8.5.2 Il teorema di Kelvin
L’equazione (8.17) é nota come:
Teorema di Kelvin: Per un fluido barotropico in assenza di forze viscose la
circolazione calcolata in un sistema inerziale rispetto a qualsiasi circuito si mantiene
costante seguendo il moto del fluido.
Come diventa questa equazione nel caso in cui il fluido sia baroclino oppure se si
usa l’eq. di Navier-Stokes includendo il termine ν ∇2va? Nel caso baroclino, usando il teorema di Stokes, si ha:
dCa
dt
= −
Γ
dp
ρ
= −
Γ
1
ρ ∇p · ds = −
S
1
ρ 2
∇p × ∇ρ · ˆn dS (8.19)
ove si é usato il fatto che
∇
1
×
ρ
∇p = 1
∇ × ∇p +
ρ
1
∇ ×
ρ
∇p = 0 + 1
ρ2
∇p × ∇ρ ;
la (8.19) mostra come ci sia un cambio nella circolazione quando le superfici isobariche
non coincidono con le superfici isosteriche.

222 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Aggiungendo invece il termine di attrito viscoso si ha:
dCa
dt =
ν ∇
Γ
2
va · ds = ν ∇
S
2 η · ˆn dS (8.20)
che mostra come in presenza di viscositá del fluido si debba aggiungere il termine della
eq. (8.20).
In definitiva, il teorema di Kelvin sará una buona approssimazione in flussi con alti
numeri di Reynolds su scale di tempo durante le quali il circuito attorno al quale si
misura la circolazione rimanga al di fuori da regioni ove i flussi di calore e di viscositá
sono importanti.
8.6 Complemento II: teorema della vorticitá in forma
vettoriale
Scriveremo ora la variazione della vorticitá assoluta in un sistema rotante utilizzando
una notazione vettoriale. Il punto di partenza sono le solite eq. del moto che in un
sistema rotante con velocitá Ω si scrivono:
dv
dt
= −1
ρ ∇p − 2 Ω × v + fcons. + fnon cons. + ν∇ 2 v; (8.21)
ove abbiamo incluso oltre al termine viscoso delle generiche forze per unitá di massa di
natura conservativa e non, essendo v = (u, v, w) la velocitá relativa. Applichiamo ora
il rotore in ambo i membri della (8.21), con l’accortezza che gli operatori ∇× e d
dt non
commutano:
∇ × dv
dt =
∂v
∇ ×
∂t + (v ·
∇)v
∇ × dv
dt =
∂v
∇ ×
∂t + ∇(v · v/2) + (
∇ × v) × v =
∇ × dv
dt = ∂ ∇ × v
∂t + ∇ ×
( ∇ × v) × v
; (8.22)
ricordando la (B.5) ed il fatto che forze conservative sono irrotazionali si ottiene:
Ora definiamo
∂ ∇ × v
∂t +
∇ × (
∇ × v) × v
= − ∇
1
×
ρ
∇p − 2
∇ × Ω × v +
+ ∇ × fnon cons. + ν∇ 2 ∇ × v. (8.23)
ζ = ∇ × v, η = ∇ × va = ζ + 2 Ω

8.7. TEOREMA DELLA VORTICITÁ IN COORDINATE ISOBARICHE 223
e visto che é ∇2 2 ζ = ∇ η, riarrangiando i termini della (8.23):
∂ ζ
∂t +
∇ × ( ζ + 2
Ω) × v = −
1
∇
ρ
ed, essendo ∂ Ω
∂t
= 0, si trova infine:
∂η
∂t + ∇ × (η × v) = − ∇
× ∇p + ∇ × fnon cons. + ν∇ 2 η (8.24)
1
×
ρ
∇p + ∇ × fnon cons. + ν∇ 2 η. (8.25)
Riscrivendo il secondo termine del primo membro, usando la (B.9) e la solenoidalitá
dei rotori:
si arriva infine a:
∇ × (η × v) = η ( ∇ · v) − v( ∇ · η) + (v · ∇)η − (η · ∇)v
dη
dt + η( ∇ · v) − (η · ∇)v = − ∇
= η ( ∇ · v) + (v · ∇) η − (η · ∇)v
1
×
ρ
∇p + ∇ × fnon cons. + ν∇ 2 η. (8.26)
che é l’eq. della vorticitá assoluta nel caso piú generale possibile.
Usando l’eq. di continuitá 1/ρ dρ/dt + ∇ · v = 0 moltiplicata per −η/ρ e la (8.26)
moltiplicata per 1/ρ si trova infine, sommando:
d η η
=
dt ρ ρ ·
∇ v − 1
ρ
1
∇ ×
ρ
∇p (8.27)
che é l’eq. della vorticitá assoluta in assenza di forze non conservative/viscose; l’ultimo
termine a destra nella (8.27) viene chiamato vettore di baroclinicitá e descrive il grado
di inclinazione delle isobare e delle isosteriche.
8.7 Complemento III: l’eq. della vorticitá in coordinate
isobariche
Come al solito il passaggio alle coordinate (x, y, p) rende le cose piú semplici. Si parte
dall’eq. del moto in coordinate p nel sistema meteorologico:
d V
dt + f k × V = − ∇pΦ (8.28)
ove ∇p é il gradiente orizzontale fatto sulle superfici a p costante. Usando la relazione
(consideriamo non nulla solo la componente verticale della vorticitá):
V
V · ∇p
V = ∇p
· V
+ ζ
2
ˆ k × V (8.29)

224 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
la (8.28) con l’ausilio della d V
dt = ∂ V
∂t +
V · ∇p
V ∂ + ω V
dp diventa:
∂ V
∂t = −
V · V
∇p + Φ
2
= −
V · V
∇p + Φ
2
− ζ ˆ k × V − ω ∂ V
dp − f ˆ k × V =
− (ζ + f) ˆ k × V − ω ∂ V
. (8.30)
∂p
Vogliamo ora applicare ad ambo i membri l’operatore ˆ k · ∇p× perché siamo interessati
alla componente verticale della vorticitá. Ora, usando il fatto che ogni gradiente é
irrotazionale si eliminerá il primo termine a destra della (8.30) mentre siccome valgono
la (B.5) (con a = ζ + f e A = ˆ k × V), la (B.9) ed il fatto che ˆ k · ∇p = 0 le due relazioni
∇p × (ζ + f) ˆ k ×
V = (ζ + f)
∇p × ˆk × V
− ˆk × V
×
∇p × ˆk × V
=
∇p (ζ + f)
( ∇p · V) ˆ k (8.31)
consentono di risolvere il secondo termine nel membro di destra della (8.30). Usando
infine la (B.1) segue che:
∂ζ
∂t = − V · ∇p (ζ + f) −ω
Aη
∂ζ
∂p
Avert − (ζ + f)
ζ
∇p · V + ˆ
∂
k ·
V
∂p ×
∇pω (8.32)
In particolare esprimendo con η = ζ + f la terza componente di η (ζ é la terza
componente di ζ) riportando a sinistra i termini avvettivi, si trova che
dη
dt = −η ∇p · V + ˆ
∂
k ·
V
∂p ×
∇pω ; (8.33)
come si vede confrontando la (8.33) con la (8.6) si nota come nel caso di coordinate
p non vi sia generazione di vorticitá per effetto dei solenoidi di pressione e densitá. Il
primo termine di sinistra della (8.33) é il termine di divergenza: puó essere separato in
due termini:
−η ∇p · V = − ζ ∇p · V
A
− f ∇p · V
B
(8.34)
La parte A é effettiva se le particelle hanno giá rotazione. In questo caso la convergenza
isobarica porta ad un aumento, la divergenza isobarica ad una diminuzione di vorticitá,
indipendentemente dal segno della vorticitá. É l’equivalente della conservazione del
momento angolare, applicato alla rotazione intorno ad un asse verticale relativo alla
Terra.

8.7. TEOREMA DELLA VORTICITÁ IN COORDINATE ISOBARICHE 225
La parte B invece descrive la creazione di vorticitá ad opera della forza di Coriolis:
la spinta a destra di questa forza nel caso di convergenza innesca rotazione ciclonica,
anticiclonica nel caso di divergenza. Questo meccanismo é il piú importante nella
creazione di vorticitá per sistemi su larga scala.
Se le particelle hanno vorticitá relativa positiva (ζ > 0) allora A e B hanno lo stesso
segno e si rinforzano reciprocamente. Se invece ζ é negativa si ha compensazione; in
questo caso se ζ rimane quantitativamente inferiore ad f, B é dominante, se eccede f
allora A é dominante. Se sono uguali allora vi é cancellazione.
Questo risulta chiaro anche prendendo direttamente in considerazione il termine
somma −η ∇p · V nel quale é proprio il segno della vorticitá assoluta η che ne determina
la variazione temporale. Se η > 0 allora convergenza porta ad un aumento, divergenza
ad una diminuzione della vorticitá, e la derivata temporale aumenta con η. Se η < 0
succede l’opposto, mentre se η = 0, cioé ζ = −f la divergenza non ha alcun effetto sul
cambio di vorticitá.
Si noti che se c’é stabilitá dinamica, si puó ipotizzare che la porzione abbia vorticitá
assoluta positiva. Se si considera solo il contributo di divergenza allora:
dη
dt = −η ∇p · V ⇒
d ln η
dt = − ∇p · V (8.35)
che nel caso di divergenza costante puó essere integrata e dare:
η(t) = η0 e −
“ ”
∇p· V
t
(8.36)
Pertanto, ove gli effetti di A e B si manifestano, la vorticitá cambia esponenzialmente.
Con i valori tipici della divergenza pari a 10 −5 s −1 in sistemi su scala sinottica, si
avrá un aumento della vorticitá di un fattore e per convergenza (o una decrescita per
divergenza) in un tempo di 10 5 s 1 giorno.
Il secondo termine della (8.33) é il termine di twisting e descrive la conversione di
rotazione intorno ad un asse orizzontale in rotazione intorno ad un asse verticale per
mezzo di gradienti orizzontali della velocitá verticale. In fig.8.16 si mostra una sezione
di una corrente zonale che aumenta con l’altezza. Con ∂u
< 0 questo flusso contiene
∂p
forte shear verticale e perció rotazione intorno all’asse y (vettore nero). Se ora iniziano
moti verticali che variano orizzontalmente lungo y con ∂ω < 0, l’avvezione da parte di
∂y
tale movimento verticale tenderá a piegare il vettore vorticitá inizialmente orientato
lungo l’asse y: si genererá una componente verticale positiva della vorticitá, ovvero
vorticitá di taglio ciclonica.
Nel caso in cui ambedue i termini del termine di destra della (8.33) si annullano,
si conserverá la vorticitá assoluta in questo caso, in generale, lungo la traiettoria ci
saranno scambi tra vorticitá relativa e planetaria).
In generale invece, nel caso di una variazione di vorticitá, é possibile un’alternanza
naturale fra vorticitá di curvatura e di shear. Si puó dimostrare che la variazione é
determinata dal termine:
V ∂V ∂ ∂Φ V ∂V ∂ dV
± + = ± − (8.37)
Rt ∂s ∂n ∂s Rt ∂s ∂n dt

226 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
p
x
Figura 8.16: Generazione di vorticitá con il termine di ’twisting’.
ove Rt é il raggio di curvatura delle traiettorie e ove si é usato il sistema di coordinate
naturali; col segno positivo si descrive la transizione da vorticitá di curvatura a vorticitá
di shear, col segno negativo viceversa. Il primo termine esprime la divergenza della
velocitá. Se é positiva (come in zone di confluenza) la vorticitá di curvatura muta in
vorticitá di shear, se viceversa é negativa (zone di divergenza) si verifica transizione da
vorticitá di shear a vorticitá di curvatura. L’altro fattore é il moto ageostrofico attraverso
le isoipse, che porta a cambiamenti nella velocitá della porzione. Se queste variazioni
cambiano attraverso la corrente, la transizione da shear a curvatura e viceversa si vede
secondo la specifica distribuzione.
L’eq. (8.32) esprime invece la tendenza locale della vorticitá relativa. In questo caso
a secondo membro nella (8.32) sono presenti oltre al termine di divergenza e a quello
di twisting il termine di avvezione orizzontale della vorticitá assoluta Aη e l’avvezione
verticale della vorticitá relativa Avert ζ . L’avvezione orizzontale della vorticitá assoluta
Aη a sua volta si puó separare in avvezione della vorticitá relativa e di quella planetaria:
y
− V · ∇p η = − V · ∇p ζ − V · ∇p f = − V · ∇p ζ − V β (8.38)
ove β = ∂f
é il parametro di Rossby. Ma allora una tendenza di vorticitá positiva
∂y
risulta attraverso questi tre termini avvettivi se:
1. il vento orizzontale avvetta particelle con piú alta vorticitá relativa;
2. il vento orizzontale ha una componente meridionale verso sud v < 0;
3. particelle con maggiore vorticitá relativa raggiungono il livello di pressione interessato
per mezzo di moti verticali.

8.8. ESERCIZI 227
Una tendenza di vorticitá negativa si ha per le situazioni opposte.
8.7.1 Analisi di scala dell’equazione della vorticitá
Siamo interessati a stimare i singoli termini dell’equazione della vorticitá con una analisi
di scala sinottica ove L ∼ 10 6 m, δp ∼ 10hP a = 10mb, f ∼ 10 −4 s −1 , β ∼ 10 −11 s −1 m −1 ,
δω ∼ 10 −3 hP a s −1 mentre valori tipici della velocitá orizzontale sono U ∼ 10 m/s per
la bassa troposfera e U ∼ 50 m/s per le correnti a getto.
La grandezza dei vari termini dell’equazione della vorticitá diventano:
∂ω
∂y
∂ζ ∂ζ ∂ζ
, u , v
∂t ∂x ∂y
∂u ∂ω
−
∂p ∂x
2 U
∼
L2 ∼ 10−10 ÷ 10 −9 s −2
v β ∼ U β ∼ 10 −10 s −2
f ∇ · v < ∼ f U
L ∼ 10−9 s −2
ζ ∇ · v < ∼
∂v
∂p
ω ∂ζ
∂p
<
∼ δω
δp
<
∼ δω
δp
U 2
L 2 ∼ 10−10 ÷ 10 −9 s −2
U
L ∼ 10−11 s −2
U
L ∼ 10−11 s −2
cosí che i termini di twisting e di avvezione verticale sono piú piccoli di un fattore 10
rispetto a tutti gli altri termini. In generale potranno essere trascurati nell’equazione
della vorticitá su grande scala ma possono diventare significativi in processi su area
ristretta.
Si noti che con questi ordini di grandezza una stima immediata sulla vorticitá porta:
ζ = ∂v ∂u
−
∂x ∂y
<
∼ U
L ∼ 10−5 s −1
ove il simbolo < ∼ significa minore o uguale in termini di ordini di grandezza. Confrontan-
do tale valore con quello della vorticitá planetaria f si vede che ζ/f < ∼ U
fL ≡ Ro ∼ 10−1 ,
ovvero per sistemi sinottici alle medie latitudini la vorticitá relativa ζ é piccola rispetto
alla vorticitá planetaria (quindi in generale il termine ζ ∇ · v potrá venire trascurato
rispetto al termine f ∇ · v).
8.8 Esercizi
8.8.1 Circolazione
1. Qual é la circolazione attorno a un quadrato di lato L = 1000km per una corrente
orientale che decresce verso N alla velocitá di 10 ms −1 /500km? Qual é la vorticitá
relativa media nel quadrato?

228 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
❄
u0 +
✛
✛
∂u
∆ y ∂y
Figura 8.17: Circolazione attorno a un quadrato di lato L = 1000 km per una corrente
orientale.
u0
✛
✲
Prendendo un quadrato come in figura 8.17 gli unici contributi alla circolazione
vengono dai pezzi orizzontali:
C = (−u0 + ∂u
∂y L) (−L) + (−u0) L = − ∂u
∂y L2 .
Inserendo i dati del problema si trova: C = −2 × 10 7 m 2 s −1 .
La vorticitá media sará invece:
✻
¯ζ = C
Area = −2 × 10−5 s −1 .
Si noti come in realtá la vorticitá ζ sia uguale a questo valore ovunque essendo
proprio ζ = − ∂u . Quindi in questo esempio la circolazione attorno ad un generico
∂y
circuito di area A sará C = ζA = ¯ ζ; in particolare la circolazione sará la stessa
per tutti i quadrati di ugual lato, indipendentemente da come siano orientati.
Chiaramente questo é un caso particolare. Con campi di velocitá a vorticitá non
costante la circolazione dipenderá in maniera determinante non solo dall’area ma
anche dalla forma e dall’orientazione del circuito.
2. Effetto della divergenza sulla circolazione
Una colonna cilindrica d’aria con raggio di 100 km che si trova a 30 ◦ N si espande
sino a due volte il raggio iniziale. Se l’aria é inizialmente a riposo, qual é la
velocitá tangenziale media sul perimetro dopo l’espansione?
Il teorema della circolazione, applicato ad un fluido barotropico che si mantiene
alla stessa latitudine, per un circuito ad altezza costante 7 , dá:
Cf − Ci = −2Ω (Af − Ai) sin φ
Nel nostro caso Ci = 0 perché il fluido é in quiete quindi, essendo sin φ = 0.5:
7 In questo caso Aeq. = A sin φ.
Cf − Ci = 2π r2 ¯vt = −Ω(Af − Ai) = −Ω π(r 2 2 − r 2 1)

8.8. ESERCIZI 229
ma r2 = 2r1 quindi:
¯vt = Ω × .75 × r1 = −5.5 m/s.
Come si vede l’effetto della divergenza é quello di sviluppare una circolazione
oraria anticiclonica. Viceversa convergenze determineranno circolazioni cicloniche
antiorarie. Si noti come il momento angolare relativo al sistema rotante meteorologico
(con polo il centro della Terra) non si sia conservato nonostante tutti
i momenti delle forze siano nulli: si passa da una situazione a momento angolare
nullo ad una in cui vi é una componente di momento angolare diretta verso
l’alto di modulo pari a Iω con I momento di inerzia del cilindro e ω velocitá
angolare di rotazione. La ragione di questo fatto é che il sistema di riferimento
é non inerziale; ció che si conserva é il momento angolare espresso in un sistema
di riferimento inerziale (vedi eq. (8.62)). L’analogo di questo esempio potrebbe
cioé essere quello di una ballerina pattinatrice che si trova su una piattaforma di
ghiaccio rotante e che varia il suo momento di inerzia.
3. Effetto della variazione di latitudine sulla circolazione
Una colonna cilindrica d’aria con raggio di 100 km, centrata all’equatore si muove
sino al Polo Nord lungo una superficie isobarica preservando la sua area. Se l’aria
é inizialmente a riposo, qual é la velocitá tangenziale media sul perimetro al Polo?
Il teorema della circolazione, applicato ad un fluido barotropico che mantiene la
propria area ma cambia latitudine, per un circuito ad altezza costante dá:
e quindi (φi = 0, φf = π/2):
dC = −2Ω A d sin φ,
Cf − Ci = −2Ω A (sin φf − sin φi) = −2Ω A,
〈v f
t 〉 = Cf −2Ω π r2
= = −Ωr −7 m/s.
2πr 2πr
Quindi, nell’emisfero Nord, un aumento della latitudine determina una tendenza
anticiclonica, una diminuzione della latitudine una tendenza ciclonica.
4. Effetto della baroclinicitá sulla circolazione
Calcolare la velocitá di variazione della circolazione attorno ad un quadrato nel
piano x, y (vedi fig. 8.18) con lati di 1000 km se la temperatura aumenta verso
E di 1 ◦ C/200 km e la pressione aumenta verso N di 1 mb/200 km. La pressione
all’origine é di 1000 mb.
Applicando il teorema della circolazione si ha che:
dC
dt
=
⎡
dp
− = − ⎣Rd T1
ρ
dp
p + Rd
T2
= −Rd (T1 − T2) ln pB
pA
1
2
⎤
dp
⎦
p

230 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
pB
1000 km
✛
pB
✻
❄
✻
∂T
∂x
✲
✲
= 1 0 2
1
C
200 km
pA pA
∂p
∂y
= 1 mb/(200 km)
Figura 8.18: Circolazione attorno a un quadrato di lato l = 1000 km.
e quindi dC
dt
5. Brezza di mare
= −288 × 5 × ln 1005
1000 = −7.2 m2 /s 2 .
Le brezze di mare e di terra, di valle e di monte sono dei tipici aspetti causati
dalla baroclinicitá dell’atmosfera: l’aria sopra la terra, di giorno, si scalda piú
rapidamente del mare (e analogamente il monte rispetto alla valle); l’opposto
accade di notte. Questo determina durante il giorno una inclinazione delle isosteriche
come illustrato in fig. 8.19: l’aria, piú calda sopra la terra, é anche meno
densa.
p1
p0
4
h
mare
L
3
¡ ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
1
terra
ρ
¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡
£¡£¢£¡£¡£¡£¡£¡£¢£¡£
£¡£¢£¡£¡£¡£¡£¡£¢£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡
Figura 8.19: Brezza di mare durante il giorno: circuito di stima della variazione della
circolazione.
Al contempo invece le isobare rimangono pressoché immutate: le assumeremo
parallele al terreno in questa schematizzazione. Sappiamo che nelle regioni
mediterranee le brezze hanno una estensione orizzontale tra i 10 e i 40 km, una
velocitá dei venti massima pari a 40 km/h e una controbrezza che spira ad una
altezza tra i 300 m e il km. Consideriamo allora un circuito con lati di questi
ordini di grandezza ed andiamo ad applicarvi il teorema di Kelvin, trascurando
i contributi di divergenza e di variazione di latitudine. Guardando sempre alla
2
ρ−3
ρ−2
ρ−1

8.8. ESERCIZI 231
fig. 8.19 si vede che:
dCa
dt
= −
dp
ρ
dCa
dt = −R ¯ T2 ln p1
= −
p0
RT d ln p = − RT d ln p − RT d ln p
2
= R
4
T2
¯ − ¯ p0
T4 ln
− R ¯ T4 ln p0
p1
p1
(8.39)
che nel nostro caso é > 0 e quindi si avrá una tendenza alla circolazione antioraria,
essendoci una variazione positiva della circolazione: durante il giorno la brezza
fluisce dal mare verso la terra o equivalentemente dalla valle verso le vette. Per
stimare gli ordini di grandezza prendiamo h = 1 km, L = 20 km e valutiamo
quanto vale 〈 dV
dt 〉 sul circuito. Sará Ca 〈V 〉2(h + L) da cui:
〈 dV
dt 〉 R T2
¯ − ¯ T4
2(h + L)
ln p0
p1
≈ 7.1 × 10 −3
avendo usato p0 = 1000 mb, p1 = 900 mb e ¯ T2 − ¯ T4 = 10 K. Se questa fosse
effettivamente l’accelerazione media un pacchetto d’aria inizialmente fermo
acquisterebbe in 1 h una velocitá di ≈ 25 m/s. In realtá questo valore é abbondantemente
sovrastimato in quanto sono presenti le forze di attrito ed inoltre
l’avvezione di temperatura riduce i gradienti termici.
8.8.2 Vorticitá
1. Dimostrare che la (8.26) é equivalente alla eq. della variazione della circolazione.
Basta utilizzare il teorema di Stokes per passare da integrali di linea a integrali
si superficie. In particolare il teorema di Kelvin diventa:
dava
∂va
· ds = 0 ⇒ ∇ ×
dt
∂t + va ·
∇va · ˆndS = 0 (8.40)
Γ
S
ed essendo S superficie generica che si appoggia al cicuito Γ, usando la (B.10), il
fatto che ogni gradiente é irrotazionale e la(B.9) si trova infine:
∂va ∇ ×
∂t + va ·
∇va = ∂η
∂t +
∇ × ∇(v 2
a /2) + η × va = 0
∂η
∂t + ∇ × [η × va] = ∂η
∂t + η( ∇ · va) + (va · ∇)η − (η · ∇)va = 0;
a questo punto sostituendo a va v + Ω × r si trova (si usa la 2.15):
daη
dt + η(
∇ · v) + η ∇ · ( Ω × r) − (η · ∇)v − (η · ∇)( Ω × r)
dη
dt
= 0
+ Ω × η + η( ∇ · v) − (η · ∇)v −
Ω × (η ·
∇)r
dη
dt
= 0
+ η( ∇ · v) − (η · ∇)v +
Ω× η − (η ·
∇)r = 0

232 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
ed osservando che (η · ∇)r = η si trova infine l’equivalente del teorema di Kelvin
per la vorticitá:
dη
dt + η( ∇ · v) − (η · ∇)v = 0 (8.41)
Tale teorema, riletto per fluido incomprimibile si particolarizza a:
noto come teorema della vorticitá.
dη
dt − (η · ∇)v = 0 (8.42)
2. Determinare la vorticitá associata alla rotazione terrestre. Utilizzando un sistema
di cartesiano “assoluto Σ delle stelle fisse (X, Y, Z) si ha che la velocitá relativa
della Terra in un punto (x, y, z) vale:
Uterra = ⎛
ˆX
ΩT × r = ⎝ 0
ˆY
0
ˆZ
ΩT
⎞
⎠ = (−ΩT y, ΩT x, 0)Σ (8.43)
x y z
e prendendone il rotore si trova:
∇ × Uterra = (0, 0, 2ΩT )Σ
(8.44)
che é il risultato noto: un sistema rotante con velocitá angolare costante ha
vettore vorticitá parallelo all’asse di rotazione di modulo pari a 2 volte la velocitá
angolare. Ma allora nel sistema di coordinate che ha come versori i, j, k diretti
verso E, N e verso l’alto essendo (0, 0, 1)Σ = j cos φ + k sin φ si trova che:
∇ × Uterra = (0, 0, 2ΩT )Σ = (0, 2ΩT cos φ, 2ΩT sin φ)E N alto. (8.45)
Da qui il risultato molto importante che la componente della vorticitá della Terra
verso l’alto é pari proprio a 2ΩT sin φ = f cioé che ˆ k · ∇ × UT erra = f.
3. Una massa d’aria, inizialmente a 30 ◦ N si muove verso N conservando la propria
vorticitá assoluta. Se la sua vorticitá relativa iniziale é di 5 × 10 −5 s −1 , qual é la
sua vorticitá relativa quando raggiunge 90 ◦ N?
Dalla conservazione della vorticitá si ha:
ζ(30 ◦ N) + f(30 ◦ N) = ζ(90 ◦ N) + f(90 ◦ N)
e quindi ζ(90 ◦ N) = ζ(30 ◦ N) − ΩT = −2.3 × 10 −5 s −1 .
4. Una colonna d’aria a 60 ◦ N con ζ = 0 inizialmente si espande dalla superficie
terrestre alla tropopausa, di altezza assunta sempre costante pari a 10 km. Se la
colonna d’aria si muove fino a superare una montagna alta 2.5 km e posta a 45 ◦ N,
quale sará la sua vorticitá assoluta e relativa quando oltrepassa la montagna?

8.8. ESERCIZI 233
Ω
Figura 8.20: Contenitore cilindrico rotante: le isobare sono paraboloidi, non piú piani
ad altezza costante.
Supponiamo che valga la (8.7) di modo che si ha:
ζ + f
H
e quindi la vorticitá assoluta finale é:
r
= cost
(ζ + f)fin = Hfin
H in (ζ + f)in = 7.5
10 × 7.3 × 10−5 √ 3 = 9.48 × 10 −5 s −1 .
mentre la vorticitá relativa finale é:
ζfin = (ζ + f)fin − ffin = 9.48 × 10 −5 − 7.3 × 10 −5 √ 2 = −8.4 × 10 −6 s −1 .
5. Mostrare che in un fluido in cui valgono le eq. della statica (8.14), con forze
derivanti da un potenziale, le superfici isobariche sono parallele alle superfici
isosteriche.
Partendo dall’equazione ∇p = −ρ ∇Φ (che mostra come le isobare siano parallele
alle linee di ugual potenziale) e prendendo il rotore di ambo i membri si trova
che: 0 = ∇ρ × ∇Φ cioé, assumendo che nessuna delle due quantitá sia nulla, che
le isosteriche sono parallele alle superfici a potenziale costante. Quindi, in condizioni
statiche con forze derivanti da potenziali, isobare, isosteriche e superfici a
potenziale costante sono parallele. Come prima approssimazione é ció che accade
in atmosfera, negli oceani, nell’interno della Terra o di una stella. La baroclinicitá
dell’atmosfera quindi, ad esempio, é associata ai movimenti dell’atmosfera stessa
e quindi alla sua dinamicitá.
6. Dato il sistema in figura 8.20 determinare l’equazione del profilo Γ per un fluido
incomprimibile in rotazione con velocitá angolare Ω.

234 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Uguagliando la forza di pressione alla forza centrifuga 8 su un profilo tra r e r +dr
si trova:
[p (r + dr) − p(r)] S = ρ Ω 2 r S dr ⇒
dp(r)
dr = ρ Ω2 r (8.46)
che integrata dá: p(r) = p(h)asse + 1/2 ρ Ω2 r2 . Ora peró verticalmente vale la
legge ∂p
∂z = −ρ g e quindi p(h)asse = p0 − ρ g h essendo p0 la pressione sull’asse sul
fondo del cilindro. Quindi:
p(r, z) = p0 − ρ g h + 1/2 ρ Ω 2 r 2 .
Le superfici isobariche saranno quelle in cui p(r, z) = ¯p e quindi avranno la forma
h(r) = p0 − ¯p
ρg + Ω2 r 2
2g = h0 + Ω2 r 2
2g ;
il profilo ha cioé forma parabolica, in quanto le superfici a pressione costante sono
dei paraboloidi di rivoluzione. Il fluido si muove come un corpo rigido quindi la
sua vorticitá é 2Ω ˆ k.
Si supponga ora di muovere una colonna di fluido dal centro della tanica sino a
50 cm di distanza dal centro. Di quanto cambia la vorticitá? Qual é l’andamento
della vorticitá ζ(r) dal centro? Se h0 = 0.1 m, Ω = 2/3π rad/s quanto vale
ζ(r = 0.5 m)?
In questo caso il “parametro di Coriolis vale f = 2Ω. Il teorema di conservazione
della vorticitá potenziale assume per un fluido incompressibile omogeneo una
forma molto semplice:
ζ(r = 0) + 2Ω
h0
2Ω
h0
= ζ(r) + 2Ω
⇓
= ζ(r) + 2Ω
h(r)
h0 + Ω2 r 2
2g
e quindi ζ(r) = Ω3 r2 . Inserendo i dati del problema si trova
g h0
ζ(r = 0.5 m) = 2.34 s −1 .
Pertanto, spostandosi radialmente, siccome aumenta l’altezza del fluido la vor-
costante.
ticitá relativa ζ(r) dovrá aumentare in modo da lasciare ζ+2Ω
h
8 Il problema potrebbe anche essere risolto in un sistema rotante: in tal caso il fluido é statico e si
avrá ∇p = −ρ ∇Φ con Φ = gz − 1/2Ω 2 r 2 essendo il secondo il potenziale legato alla forza centrifuga.

8.8. ESERCIZI 235
7. Dimostrazione del Teorema di Ertel
Se vi é attrito trascurabile si ha che la temperatura potenziale é conservata lungo
il moto ovvero che:
dθ
= 0
dt
lungo il moto, e quindi anche che ∇
dθ = 0. In generale peró non sará vero che
d
dt
∇
∇θ = 0. Infatti si ha:
dθ
dt
dt
=
∂θ
∇
∂t + v ·
∇θ = ∂ ( ∇θ)
∂t +
∇ v ·
∇θ + (v · ∇) ∇θ − (v · ∇) ∇θ
= d
∇θ +
dt
∇ v ·
∇θ − (v · ∇) ∇θ = 0. (8.47)
Si puó allora introdurre il vettore Q definito come:
Q ≡ d
∇θ =
dt
e, dalla (8.47), ricavare che:
− ∂v
∂x · ∇θ, − ∂v
∂y · ∇θ, − ∂v
∂z · ∇θ
. (8.48)
d
∇θ =
dt
Q = −
∇ v ·
∇θ + (v · ∇) ∇θ (8.49)
e, prendendone il prodotto scalare con una generica grandezza vettoriale A:
A · Q =
A · −
∇ v ·
∇θ + (v · ∇)
∇θ = − A · ∇
v · ∇θ; (8.50)
scegliendo A = η
ρ
si trova infine:
η
ρ · Q = η d
· ∇θ = −
ρ dt
η
ρ ·
∇ v · ∇θ. (8.51)
Se ora prendiamo il prodotto scalare dell’eq. della vorticitá assoluta (8.27) con
∇θ si trova:
∇θ · d
η η
=
dt ρ ρ ·
∇ v · ∇θ − 1
ρ
∇θ · ∇
1
×
ρ
η
∇p =
ρ ·
∇ v · ∇θ(8.52)
essendo che ∇θ deve essere sul piano comune ai vettori
∇ e ∇p, essendo θ
funzione solo di p e T (e quindi di p e ρ). Sommando la (8.51) e la (8.52) si trova
infine:
η d
· ∇θ +
ρ dt
∇θ · d
η
= 0 ⇒
dt ρ
d
η
dt ρ ·
∇θ = 0 (8.53)
1
ρ

236 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
Il teorema di Ertel dice che, per un moto adiabatico e senza attrito, lo scalare:
P VErtel ≡ η
ρ · ∇θ (8.54)
detta vorticitá potenziale di Ertl é conservata lungo il moto.
Le curve di livello di tale grandezza sono un utile tracciante nella stratosfera per
i moti dell’aria. La temperatura potenziale θ cresce con la quota (ovvero ∂θ
> 0) ∂z
coerentemente col fatto che sia la troposfera che la stratosfera sono stabilmente
stratificate (in particolare la crescita é maggiore in stratosfera poiché ivi l’aria é
piú stabile).
In fig. 8.22 si vede come tale parametro sia dominato in stratosfera dalle forti
variazioni di ∂θ
∂θ
ed in troposfera da quelle di f. Si noti che > 0 come richiede
∂z ∂z
il criterio di stabilitá. Inoltre la vorticitá potenziale di Ertl aumenta andando
verso i Poli (vedi fig. 8.22 pannello in basso) in quanto siccome la tropopausa é
piú bassa ai Poli che all’Equatore, si raggiunge prima la stratosfera ove vi sono
che contribuiscono ad aumentare la vorticitá potenziale.
elevati valori di ∂θ
∂z
Figura 8.21: Profilo verticale di vettori di vento geostrofico e valori di vorticitá
potenziale in P V U a 1000, 925, 850, 700, 500, 400, 300, 250, 200, 150 e 100 mb.
In fig. 8.21 é mostrato un profilo verticale (1000÷100 hP a) (corripondente ad un
sistema convettivo alla mesoscala indotto da moto ciclonico nel Mediterraneo)
di vorticitá potenziale con i relativi vettori di vento geostrofico che costituisce
un interessante esempio di anomalia positiva di vorticitá potenziale. Si parla di
anomalie di vorticitá potenziale quando i valori di P V superano 2 P V U dove
1 P V U = 10 −6 K m 2 /(kg s) ove la superficie di 2 P V U puó essere assunta rappresentare
la tropopausa dinamica (valori maggiori di 2 P V U rappresentano aria
stratosferica, minori aria troposferica). Nell’esempio si nota una piegatura della

8.8. ESERCIZI 237
tropopausa corrispondente ad un moto verso il basso dei venti dalla stratosfera
in troposfera, dovuta alla presenza di una saccatura (zona di bassa pressione)
in quota. Si noti che intrusioni stratosferiche molto secche possono arrivare sino
a bassa quota; in effetti sono oggetto di studio presso diverse stazioni meteorologiche
montane come quella di Monte Cimone (mt. ) ove in un anno si
registrano circa una decina di intrusioni stratosferiche della durata media di un
paio di giorni.
8. Si scriva il teorema di Ertel in coordinate (x, y, θ).
Nell’approssimazione di moto solo orizzontale V = uî + vˆj cominciamo con il
calcolare il termine ζ · ∇θ:
ζ · ∇θ = − ∂v ∂θ ∂u ∂θ
+
∂z ∂x ∂z ∂y +
∂v ∂u ∂θ
−
∂x ∂y ∂z
di modo che usando il fatto che ∂θ
∂z
P VErtel = η
ρ · ∇θ = 1
ρ
= 1
ρ
− ∂v
∂z
∂θ = −gρ la vorticitá di Ertl (8.54) diventa:
∂p
− ∂v ∂θ ∂u ∂θ
+
∂z ∂x ∂z ∂y +
∂v ∂u ∂θ
− + f
∂x ∂y ∂z
∂θ ∂u ∂θ ∂v ∂u ∂θ
+ − g − + f (8.55)
∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂p
ed ha pertanto una espressione abbastanza complicata. Se invece esprimiamo la
vorticitá potenziale nel sistema di coordinate atmosferico isoentropico siccome
∂θ
∂x θ =
∂θ = 0 la (8.55) si riduce a:
∂y
θ
∂v ∂u
g − + f
∂x ∂y
θ
IP V = −
(8.56)
Il teorema di Ertl é equivalente pertanto alla conservazione della vorticitá potenziale
isoentropica trovata al paragrafo 8.4.2.
9. Calcolare la grandezza ∂θ
∂p
Siccome si ha:
∂p
∂θ
nel caso di fluido barotropico.
θ = T
usando il fatto che T = p/(ρ R) si trova:
e quindi:
R
pst
cp
p
ln θ = ln p − ln ρ − R
ln p + C =
cp
z
(8.57)
1 − R
ln p − ln ρ + C (8.58)
cp
∂ ln θ
∂p =
1 − R
1
cp p − ρ′ (p)
ρ(p) .

238 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
10. Un vortice ciclonico si trova in bilancio ciclostrofico con un profilo della velocitá
tangenziale dato da V = V0 (r/r0) n con V0 componente tangenziale della velocitá
a distanza r0 dal vortice. Determinare la circolazione attorno ad una linea di
flusso di raggio r, la vorticitá e la pressione al variare di r.
La circolazione é:
C = 2π r v(r) = 2π r V0 (r/r0) n = 2π V0
rn+1 rn ;
0
osservato che vettorialmente, usando coordinate cilindriche, la velocitá é V =
V0 (r/r0) n êθ la vorticitá invece é data da:
ζ = ∇ × v = 1 ∂ [r vθ(r)]
ˆk =
r ∂r
V0
r
Siccome vi é bilancio ciclostrofico allora v2 = − r ∂p
ρ ∂r
p
r
p = p0 +
= p0 − ρ
p(r0 = p0 − ρ
p0
V 2
0
r 2n
0
∂ p
∂r dr = p0 − ρ
V 2
0
r
r0
2n r 2n
0
r 2n−1 dr
(r 2n − r 2n
0 ).
n r
(n + 1)
r0
da cui:
r0
V 2 (r)
r
11. Il moto orizzontale entro ad un anello cilindrico con pareti permeabili con raggio
interno pari a Rm = 10 cm e raggio esterno RM = 20 cm, profondo H = 10 cm é
indipendente dall’altezza e dall’azimuth ed é dato da:
vr = 7 − 0.2 r
vθ = 40 + 2 r
ove r, la distanza dal centro dell’anello, é espressa in cm e le velocitá sono espresse
in cm/s. Assumendo il fluido incomprimibile determinare:
• la circolazione attorno all’anello;
• la vorticitá media entro l’anello;
• la divergenza media entro l’anello;
• la velocitá verticale media in cima all’anello se é zero alla base.
La circolazione attorno all’anello é data da:
C = v · ds = 2π RM vθ(RM) = 2π × 20 × 80 = 1.005 m 2 /s.
dr
ˆk.

8.8. ESERCIZI 239
Per determinare la vorticitá media cominciamo con il determinare l’espressione
della vorticitá; usando l’espressione (4.46) si trova:
ζ = 1
∂
r ∂ r (r vθ)
∂ vr vθ
−
∂ vθ
k = + ˜k,
∂ θ r ∂ r
essendo vr indipendente da θ. Ma allora:
ζ(r, θ) = 40
r
+ 2 + 2 = 40
r
+ 4.
Per trovare il valor medio della vorticitá sull’anello dovremo mediare:
¯ζ =
ζ(r, θ) r dr dθ
anello
=
r dr dθ
2π RM
(40 + 4r) dr
Rm
π(R2 M − R2 m)
anello
= 2 [40 (RM − Rm) + 2 (R 2 M − R2 m )]
(R 2 M − R2 m )
=
80
RM + Rm
+ 4 = 6.67 s −1 .
Per quel che concerne la divergenza orizzontale, sempre usando coordinate cilindriche
si trova:
∇or · v = 1
∂
r ∂ r (r vr)
∂ vθ
− (8.59)
∂ θ
che nel nostro caso diventa:
∇or · v = vr
r
+ ∂ vr
∂ r
e allora, mediando come prima sull’anello:
∇or · v =
anello ∇or · v r dr dθ
r dr dθ
anello
7
7
= − 0.2 − 0.2 = − 0.4
r r
= 2π RM
(7 − 0.4r) dr
Rm
π(R2 M − R2 m)
= 2 [7 (RM − Rm) − 0.2 (R 2 M − R2 m )]
(R 2 M − R2 m )
= 0.067 s −1 .
=
14
RM + Rm
− 0.4
Per determinare la velocitá verticale media sfruttiamo il fatto che il fluido é
incomprimibile quindi:
∇ · v = 0 ⇒
∂ w
∂ z = − ∇or · v (8.60)
che integrata banalmente ( ∇or · v non dipende da z) porge:
w(z) = w(0) − z
7
∇or · v = −z − 0.4
r

240 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
e quindi passando alle medie:
7
w(z) = −z − 0.4 ;
r
inserendo per z il valore z = H = 10 cm si trova:
w(H = 10 cm) = −10 × 1
= −0.67 cm/s.
15
Questo tipo di moto soddisfa l’eq. di vorticitá (8.42)?
L’unica componente non nulla della vorticitá e quella lungo z quindi l’unica
componente non nulla della (8.42) diventa, usando la (C.7):
dζz
dt
e riscrivendo il primo membro:
∂ζz
vr
∂r
dvz
= ζz
dz
dvz
= ζz
dz ⇒ v · dw
∇ζz = ζz
dz
−40
⇒ (7 − 0.2r)
r2
=
40
r
+ 4 0.4 − 7
r
e questi ultimi due termini non sono uguali. Ma allora il movimento dato non é
fisicamente possibile senza viscositá o altre forze non conservative.
8.8.3 Conservazione momento angolare
Useremo d’ora in poi tre sistemi di riferimento:
• il sistema Σ, delle “stelle fisse, inerziale con asse verticale diretto come l’asse
terrestre verso N, con origine al centro della Terra;
• il sistema meteorologico, non inerziale, rotante solidalmente alla Terra e con assi
orientati verso E, N e verso l’alto. Ricordiamo che tale sistema é un sistema di
coordinate curvilineo; pertanto le coordinate x e y vanno intese come distanze
misurate su paralleli e meridiani mentre la coordinata z rappresenta l’altezza
rispetto al suolo;
• il sistema Σ ′ , non inerziale in tutto e per tutto uguale al sistema meteorologico
ma con origine nel centro della Terra di modo che la particella descritta avrá
coordinate (xΣ, yΣ, zΣ + RT );
• il sistema Σ ′′ , inerziale, che ha la stessa orientazione del sistema Σ ′ ma non é
rotante.

8.8. ESERCIZI 241
Indicheremo con da
dt le derivate computate nel sistema di riferimento assoluti (Σ e Σ′′ )
le derivate computate nei sistemi di riferimento non inerziali (meteorologico e
on d
dt
Σ ′ ), ambedue sistemi rotanti con velocitá angolare ΩΣ = (0, 0, Ω). La connessione tra
le due derivate é la solita: da
dt
= d
dt + Ω × . I versori del sistema di riferimento Σ siano
( ˆX, ˆY, ˆZ), quelli del sistema di rif. meteorologico e quelli di Σ ′ e Σ ′′ (coincidono!)
siano (ˆx, ˆy, ˆz).
1. In un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare di un corpo materiale
m rispetto ad un polo fisso O é conservato in assenza di momenti delle forze
rispetto a questo polo. Questo teorema non vale piú se si passa ad un sistema di
riferimento rotante; dimostrare come si estende questo teorema.
Sia La = mr × va il vettore momento angolare nel sistema di rif. inerziale
(assoluto) e Lr = mr × vr il vettore momento angolare nel sistema di rif. non
inerziale (relativo) connessi quindi dalla relazione
La = Lr + mr × Ω × r
che riscritta in termini delle componenti, prendendo come asse z quello parallelo
a Ω, porge:
⎧
⎨ L
⎩
a x = Lr x − mΩxz
La y = Lry − mΩyz
(8.61)
L a z = L r z − mΩ(x 2 + y 2 )
Usando la solita regola di derivazione per grandezze vettoriali da
dt
trova:
da L a
dt = d L a
dt + Ω × L a
che riscritta componente per componente porge:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
daLa x
dt = dLax dt − ΩLa daL
y
a y
dt = dLay dt + ΩLax daLa z
dt = dLaz dt
= d
dt + Ω× si
e, riscrivendo la terza componente in termini di L r , usando la terza delle (8.61)
si trova:
daLa z
dt = dLaz dt = dLrz dt − mΩd(x2 + y2 )
dt
(8.62)
che dimostra come la componente parallela a Ω del momento angolare viene conservata
nel sistema di riferimento rotante solo se la distanza dall’asse di rotazione
non cambia.

242 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
2. Nel sistema Σ delle stelle fisse ( ˆ X, ˆ Y, ˆ Z) (con φ e λ latitudine e longitudine)
esprimere la velocitá e il momento angolare di una particella di massa unitaria che
si muove solidale con la Terra e con velocitá nel sistema meteorologico vE, N, alto =
(u, v, w).
Un punto materiale che si muove solidale con la Terra nel sistema di riferimento
Σ ′′ ha vΣ ′′ = (Ω RT cos φ, 0, 0) e quindi un punto che ha vΣ ′ = (u, v, w) avrá
velocitá vΣ ′′ = (Ω RT cos φ + u, v, w). Per passare al sistema di riferimento delle
stelle fisse basterá ricordare la dipendenza dei versori del sistema di riferimento
atmosferico:
⎧
⎨
⎩
ˆx = (− sin λ, cos λ, 0) ( ˆ X, ˆ Y, ˆ Z)
ˆy = (− cos λ sin φ, − sin λ sin φ, cosφ) ( ˆ X, ˆ Y, ˆ Z)
ˆz = (cos λ cos φ, sin λ cos φ, sin φ) ( ˆ X, ˆ Y, ˆ Z)
. (8.63)
Ora per una particella di massa unitaria, che si trovi ad una altezza z, ad una
latitudine φ e longitudine λ, il momento angolare prendendo come polo il centro
della Terra, sará:
LΣ ′′ = (Lx, Ly, Lz) = m(RT + z)ˆz × v
= −mv(RT + z)ˆx + m [Ω(RT + z) cos φ + u] (RT + z)ˆy
e passando al sistema di riferimento delle stelle fisse
LΣ = (LX, LY , LZ) stelle
LΣ = m (v(RT + z) sin λ − LZ cos λ tan φ, −v(RT + z) cos λ − LZ sin λ tan φ, LZ)
con
LZ = [Ω(RT + z) cos φ + u] (RT + z) cos φ. (8.64)
3. Dalla legge di conservazione del momento angolare dedurre le equazioni del moto
di una particella nel sistema rotante meteorologico.
Prendiamo come polo il centro della Terra. Se un corpo non é soggetto a forze
che creano momenti rispetto al polo, come nel caso in cui ci sia solo una forza di
gravitazione, allora conserva il momento angolare cioé sará:
da LΣ
dt = d LΣ
dt + Ω × LΣ = d LΣ
dt +
che decomposta componente per componente fornisce:
⎧
⎨
⎩
daLX
dt
daLY
dt
daLZ
dt
⎛
⎝
= dLX
dt − Ω LY = 0
= dLY
dt + Ω LX = 0
= dLZ
dt
= 0
ˆX ˆY ˆZ
0 0 Ω
LX LY LZ
⎞
⎠ = 0
. (8.65)

8.8. ESERCIZI 243
Come si vede la componente parallela alla velocitá angolare ha sia derivata
assoluta che derivata “rotante nulla.
Vediamo che conseguenza ha la conservazione della componente Z del momento
angolare. Differenziando LZ si trova:
d LZ
dt = 2Ω (RT + z) cos 2 φ dz
dt − 2Ω (RT + z) 2 cos φ sin φ dφ
dt +
+ (RT + z) cos φ du
dt
e imponendo che tale variazione sia nulla:
dz
+ u cos φ
dt − u (RT + z) sin φ dφ
dt
0 = 2Ω (RT + z) cos 2 φ w − 2Ω (RT + z) cos φ sin φv +
+ (RT + z) cos φ du
+ u cos φ w − uv sin φ
dt
ove si é usato che u = (RT + z) cos φ dλ
dt e v = (RT + z) dφ
dt
du
dt
= −2Ω w cos φ + 2Ω v sin φ − u w
RT + z
e quindi infine:
u v
+ tan φ (8.66)
RT + z
che corrisponde esattamente alla prima delle eqs. (2.36) in assenza di forze di
pressione.
Passiamo ora a vedere le conseguenze della conservazione della componente X
del momento angolare. Il primo termine della prima delle eqs. (8.65) diventa
(usiamo = 0):
d LX
dt
d LX
dt
d LX
dt
d LZ
dt
= (RT + z) sin λ dv
+ v sin λdz
dt dt + v (RT + z) cos λ dλ
dt
−LZ − sin λ dλ cos λ
tan φ +
dt cos2
dφ
φ dt
dv vw uv cotanλ
= (RT + z) sin λ + +
dt RT + z RT + z cos φ +
u tan φ
+ [Ω(RT + z) cos φ + u]
RT + z −
v cotanλ
RT + z cos φ
dv vw
= (RT + z) sin λ +
dt RT + z + u2
tan φ
Ωv
+ Ωu sin φ −
RT + z tan λ
mentre il secondo termine della prima delle eqs. (8.65) diventa:
−ΩLY
(RT + z) sin λ
= Ωv
tan λ + ΩLZ
RT + z tan φ
= Ωv
tan λ + Ω [Ω(RT + z) cos φ + u] sin φ

244 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
e quindi sommando i due termini:
d LX
dt
− ΩLY
(RT + z) sin λ =
dv
dt
ed imponendo che tale termine si annulli:
dv
dt
vw
+
RT + z + u2 tan φ
Ω2
+ 2Ωu sin φ +
RT + z 2 (RT
+ z) sin 2φ
+ vw
RT + z + u2 tan φ
RT + z = −2Ωu sin φ − Ω2 (RT + z) cos φ sin φ (8.67)
che coincide con la seconda delle eqs. (2.36) in assenza di pressione. Si noti la
presenza anche del termine centrifugo che puó essere trascurato. Utilizzando la
seconda delle eqs. (8.65) si perviene alla medesima equazione. Si noti come, cosí
facendo, abbiamo ottenuto le eq. del moto su un sistema rotante, solidale con la
Terra, con anche tutti i termini di curvatura.
É un facile esercizio vedere che il
momento creato dalle forze orizzontali di pressione conduce proprio ad un termine
uguale a quello presente a secondo membro nelle eqs. (2.36).
Quindi le prime due eqs. (2.36) sono una conseguenza del teorema del momento
angolare (valido solo in un sistema inerziale!!). Si noti che nell’esempio fatto sopra
tale teorema non ci dá informazione alcuna su quello che succede lungo la componente
verticale essendo che, con la scelta del polo fatta, le velocitá verticali danno
comunque contributo nullo al momento angolare. Ma allora tutte le leggi che si
ricavano da queste prime due eqs. sono un’altra faccia della stessa medaglia: la
conservazione del momento angolare. Cosí é ad esempio per la conservazione della
vorticitá che si ottiene dalle eq. del moto con semplice algebra. Tale teorema,
senza il termine solenoidale, esprime per l’appunto la conservazione del momento
angolare; il termine solenoidale terrá conto del fatto che, in presenza di gradienti
orizzontali di pressione, il momento angolare varierá ma tale variazione sará pari
ai momenti forniti da tali forze.
4. Quanto distante deve essere spostato latitudinalmente un anello zonale di aria
che si trova a riposo a 100 km di altezza ad una latitudine di 60 0 per acquistare
una componente di velocitá di u = 10 m/s da est a ovest rispetto alla superficie
terrestre? E a che altezza dovrebbe essere spostato per acquistare la stessa
velocitá?
Assumendo una atmosfera priva di attrito possiamo conservare la componente z
del momento angolare; nel primo caso, detta ∆φ la variazione di latitudine 9 si
trova:
(Lz) iniziale = (Lz) finale
Ω ([RT + h] cos φ) 2 = [Ω (RT + h) (cos φ − ∆φ sin φ) − u] (RT + h) (cos φ − ∆φ sin φ)
Ω[RT + h] cos 2 φ = Ω (RT + h) (cos φ − ∆φ sin φ) 2 − u (cos φ − ∆φ sin φ)
Ω (RT + h) cos 2 φ (1 − 2∆φ tan φ) − u (cos φ − ∆φ sin φ)
u
∆φ =
tan φ [−2Ω(RT + h) cos φ + u]
9 Si noti che ∆φ < 0 per uno spostamento verso l’equatore.

8.8. ESERCIZI 245
e nel caso particolare diventa:
∆φ =
−10
− √ 3 [7.3 × 10 −5 × 6.47 × 10 6 + 10]
= 0.0123 rad = 0.71◦
quindi verso il Polo. Si noti che passando a variazioni infinitesime δφ avrá corrispondentemente
come variazione infinitesima u = −δu di modo che si puó
trascurare il termine −u a denominatore:
δu = 2Ω(RT + h) sin φ δφ.
Dividendo per δt e osservando che v = (RT + h) dφ
dt
du
dt
= 2Ω sin φ v
si ricava che:
che non é altro che parte dell’accelerazione di Coriolis nella direzione E − O.
Nel secondo caso, detta ∆h la variazione di altezza si ha invece:
Ω ([RT + h] cos φ) 2 = [Ω (RT + h + ∆h) cos φ − u] (RT + h + ∆h) cos φ
Ω (RT + h) 2 = Ω (RT + h + ∆h) 2 − u
cos φ (RT + h + ∆ h)
Ω (RT + h) 2
(RT + h + ∆h) = Ω (RT + h + ∆h) − u
cos φ
Ω (RT + h) 1 − ∆h
= Ω (RT + h + ∆h) −
RT + h
u
cos φ
da cui infine si ricava che
che nel nostro caso diventa:
∆h = u
Ω =
∆h =
u
2Ω cos φ
10
= 137 km
7.3 × 10−5 verso l’alto. Ragionando analogamente a prima si vede che si trova anche:
da cui:
δu = −2Ω cos φ δh
du
dt
= −2Ω cos φ w
che non é altro che la parte rimanente dell’accelerazione di Coriolis nella direzione
E − O.

246 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
5. Un vaso cilindrico di raggio a e altezza che si puó considerare costante e pari ad
H, rotante con velocitá angolare Ω attorno al suo asse di simmetria verticale é
riempito con un fluido incompressibile omogeneo, inizialmente a riposo rispetto
al vaso. Un volumetto V ≪ πa 2 H di fluido viene prelevato attraverso un foro
puntiforme al centro del lavandino: si crea cosí un vortice. Trascurando l’attrito,
trovare la velocitá azimutale relativa dopo la fase di svuotamento. Computare
quindi la vorticitá e la circolazione prima e dopo.
Sia Σ il sistema di riferimento inerziale e Σ ′ il sistema di riferimento rotante a
velocitá angolare Ω. Siccome il fluido viene prelevato dal centro (quindi non porta
via momento angolare) possiamo conservare, nel sistema Σ, il momento angolare
del vaso rotante, la cui unica componente iniziale non nulla é quella parallella
all’asse di rotazione, essendo quest’asse un asse centrale di inerzia. Siccome il
momento di inerzia é proporzionale alla massa, e questa al volume si avrá :
Ifinω Σ fin = Iinω Σ in
Vfinω Σ fin = Vinω Σ in
ω Σ fin =
Vin
ω
Vfin
Σ Vin
in = Ω
Vfin
ω Σ fin =
πa2H πa2 Ω > Ω
H − V
cioé per compensare la diminuzione del momento di inerzia c’é un aumento della
velocitá di rotazione.
Nel sistema di riferimento rotante Σ ′ invece si passa da una situazione in cui il
fluido é inizialmente fermo ad una in cui:
ω Σ′
fin = ω Σ fin − Ω =
v Σ′
θ (r) =
V
πa2 Ω > 0
H − V
V
πa2H − V Ωr
cioé si sviluppa un moto concorde alla velocitá angolare iniziale.
Piú dettagliatamente in Σ ′ , a partire da uno stato di quiete con vorticitá nulla,
si sviluppa un moto circolare uniforme, la cui vorticitá sará:
ζ ≡ ζ Σ′
= 2ω Σ′
fin =
2V
πa 2 H − V Ω,
mentre la circolazione (sempre nel sistema di riferimento rotante) attorno ad un
circolo di raggio r sará:
C Σ′
= 2πr v Σ′
θ (r) =
2πV
πa 2 H − V Ωr2 .
Come si vede, in Σ ′ , sia la vorticitá che la circolazione su una catena di fluido
di raggio r sono cambiate. Si noti che in questo caso assume un carattere

8.8. ESERCIZI 247
fondamentale il movimento lungo la componente z e le convergenze (nulle nelle
fasi stazionarie) che si vengono a creare nel fluido nella fase di svuotamento.
L’equazione della vorticitá in questo caso si puó scrivere:
dζ
dt
= −(ζ + 2Ω)
∂u ∂v
+
∂x ∂y
avendo trascurato il termine di tilting, quello solenoidale e quelli dovuti alla
∂u ∂v
viscositá. Come si vede in corrispondenza ad una convergenza + < 0 vi
∂x ∂y
é un aumento della vorticitá relativa.
Questo ad esempio fa sí che una catena di fluido di raggio r man mano che evolve
il tempo nella fase non stazionaria di travaso si modifichi. Quindi é vero che la
circolazione si conserva ma non é vero che si conserva la circolazione attorno ad
una circonferenza di ugual raggio r. Questo perché nella fase di transiente la
catena di fluido si modifica.

248 CAPITOLO 8. CIRCOLAZIONE E VORTICIT À
T (K)
T (K)
300
280
260
240
220
200
180
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
altezza (km)
190
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
altezza (km)
vorticita potenziale di Ertl
280
270
260
250
240
230
220
210
200
x 10−5
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
altezza (km)
θ (K)
θ (K)
vorticita potenziale di Ertl
440
420
400
380
360
340
320
300
280
260
240
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
altezza (km)
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
altezza (km)
0
10 20 30 40 50 60
altezza (km)
70 80 90 100 110
Figura 8.22: In alto e al centro: temperatura e temperatura potenziale in troposfera e
in stratosfera per un atmosfera standard di Marzo a 10 N (linea continua), 40 N (linea
puntinata) e 70 N (linea tratteggiata). In basso valori della vorticitá potenziale di Ertl
per una atmosfera a riposo in troposfera e stratosfera alle diverse latitudini in funzione
dell’altezza.

Capitolo 9
Onde in atmosfera
Fenomeni ondulatori sono tipici in atmosfera: il suono si propaga tramite onde (onde
sonore), le strutture isobariche si propagano a livello planetario con tipici andamenti
ondulatori (onde di Rossby), a valle di ostacoli orografici si incontrano strutture
nuvolose con regolaritá associate a moti ondulatori (onde sottovento),. . . . In tutti i
casi onde nei fluidi sono il risultato di forze (dovute alla pressione, alla gravitá, alla
rotazione, . . . ) che tendono a ripristinare la condizione di equilibrio per particelle di
fluido che sono state spostate da tale condizione.
9.1 La teoria delle onde lunghe nelle correnti occidentali
Per i processi meteorologici su larga scala le onde di gran lunga piú importanti sono
le onde planetarie o di Rossby, che devono la loro esistenza alla variazione della forza
di Coriolis con la latitudine. Il teorema della vorticità permette moti ondulatori come
soluzione. Nell’ipotesi che la divergenza orizzontale sia nulla, che il flusso sia orizzontale,
che l’atmosfera sia autobarotropica e che le forze addizionali siano trascurabili il
th. della vorticitá (8.6) diventa:
d (f + ζ)
dt
= 0 → ∂ζ
∂t
Introduciamo il parametro di Rossby:
+ u ∂ζ
∂x
+ v ∂ζ
∂y
=0
β ≡ ∂f
∂y = 2ΩT cos φ
.
RT
+v ∂f
∂y
= 0 (9.1)
Se assumiamo di avere una corrente occidentale, molto estesa lateralmente, che onduli
nord - sud, allora possiamo assumere le variabili dipendenti indipendenti da y (cioè le
streamlines ad una fissata latitudine sono parallele a quelle ad ogni altra latitudine da
249

250 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
cui l’annullarsi del termine nella (9.1)) di modo che la vorticitá si puó scrivere come
mentre la (9.1) diventa:
ζ = ∂v
∂x
− ∂u
∂y
= ∂v
∂x
∂2v ∂x∂t + u∂2 v
+ βv = 0
∂x2 nota come equazione delle onde lunghe. Cerchiamo, come soluzione, onde che si
muovano nella direzione x con velocità costante c senza cambiare forma, in modo che
se uno si muove da est−ovest con velocità c, non si osservi variazione in nessuna delle
variabili. Se indichiamo con D/Dt la derivata individuale seguendo un punto che si
muove a velocità c, operatorialmente sará D/Dt = 0 = ∂/∂t + c(∂/∂x). [L’operatore è
ovviamente diverso dal d/dt che rappresenta la derivata totale seguendo una particella
d’aria]. Con tali ipotesi il teorema della vorticità diventa:
(u − c) ∂2v + βv = 0 (9.2)
∂x2 che, avendo al suo interno un prodotto di variabili dipendenti (il termine u ∂2 v
∂x 2 ), è non
lineare, quindi difficile da risolvere. Si puó linearizzare col metodo delle perturbazioni.
Per far ció si assume un flusso orizzontale U da ovest a est al quale si sovrappongono
piccole perturbazioni u ′ e v ′ , funzione di x e t:
u (x, t) = U + u ′ (x, t)
L’eq. (9.2) diventa:
(U − c) ∂2 v ′
∂x 2
1 ◦ ordine
v (x, t) = v ′ (x, t)
+ βv ′
1 ◦ ordine
+ u ′ ∂2v ′
∂x2
2◦ = 0.
ordine
Un’analisi di scala permette di trascurare il termine di secondo ordine ed arrivare a:
∂2v ′
+
∂x2 β
(U − c) v′ = 0 (9.3)
che rappresenta un’equazione differenziale del second’ordine a coefficienti costanti nell’unica
variabile indipendente x. La soluzione per v ′ è sinusoidale in x. Per provarlo si
prenda una soluzione della forma v ′ = v0 sin 2πx
L ove v0 e L sono costanti arbitrarie che
rappresentano l’ampiezza e la lunghezza dell’onda. Sostituendo nell’equazione (9.3) si
trova:
U − c = β L2 1
≡ β
4π2 k2 φ
(9.4)
nota come equazione delle frequenze; essa fornisce una relazione tra la lunghezza L delle
onde sinusoidali, la velocitá del flusso zonale U e la velocitá di fase dell’onda c. Tale
relazione rimane fissata una volta fissato il parametro di Rossby β, ovvero la latitudine.
In particolare la velocità istantanea di propagazione delle onde c viene data in termini
di U e L che sono misurabili sulle mappe, con importanti effetti teorici e di previsione.
É immediato verificare dalla (9.4) che:

9.1. LA TEORIA DELLE ONDE LUNGHE NELLE CORRENTI OCCIDENTALI251
Figura 9.1: Esempio di onde di Rossby su cartine isobariche di geopotenziale.
• per c > 0 (la propagazione avviene cioé da ovest a est) U − c < U e le L sono
relativamente corte;
• per c = 0 si é in presenza di onde stazionarie con Ustaz = β L2
4π 2 ;
• per c < 0 (la propagazione avviene cioé da est a ovest) U − c > U e le L sono
lunghe
in pieno accordo con la teoria di Bjerkness Holmboe. Si noti comunque che c < U e
quindi tutte le onde anche quelle che si muovono progressivamente verso Est vengono
percorse da particelle d’aria che, essendo piú veloci, passano dal di dietro al davanti
dell’onda.
Siccome alle medie latitudini si trova
β
4π 2 = ΩT cos φ
2π 2 RT
= 7.29 · 10−5 s −1 · 0.707
2 · 9.87 · 6.37 · 10 6 m = 41 · 10−14 s −1 m −1
si possono andare a calcolare i valori di U − c con la (9.4) per diverse L. Molto spesso
anziché usare L si usa N , il numero di onde di lunghezza L che stanno nell’intero
parallelo di modo che N = 2π RT sin φ/L oppure i gradi di longitudine dell’onda. I
risultati sono riassunti in Tab. 9.1.
Tabella 9.1: Numero d’onde attorno alla Terra alla latitudine di 45 ◦ in funzione di
U − c.
N 2 3 4 5 6 7
L [10 3 km] 14.1 9.4 7.1 5.7 4.7 4.0
(U − c)[m/s] 82 36.5 20.5 13.1 9.1 6.7

252 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
Tabella 9.2: Frequenze caratteristiche dei diversi tipi di onde atmosferiche.
Tipo d’onda Frequenza
Onde per secondo Onde per giorno
Onde sonore 10 3 10 8
Onde di gravità 10 −1 10 4
Onde di inerzia e shearing 10 −2 10 3
Onde cicloniche 10 −5 10 0
Onde di Rossby 10 −6 10 −1
Ma allora intorno alla circonferenza terrestre a latitudine 45 ◦ potrà adattarsi un
numero intero di onde: poiché (U − c) sta fra 10 e 50 m/sec il numero di onde alle
medie latitudini sta tra 3 e 6. Un esempio di onda di Rossby é mostrato in fig. 9.1.
Le onde cosí trovate sono dette di Rossby; esse sono solo alcune, le piú lunghe, della
grande famiglia delle onde possibili in atmosfera. Per esempio le piú corte e piú rapide
sono quelle sonore, per le quali la compressibilità del fluido è importante e dove si
raggiungono elevati valori della divergenza. A L crescenti troviamo poi le onde di
gravità (che devono la loro esistenza all’effetto della gravitá su una superficie disturbata
di fluido), le onde di inerzia dovute ad un effetto simile alla rotazione terrestre, le onde
di shear dovute allo shear del vento attraverso una discontinuità, le onde di ciclone
e le onde di Rossby che devono la loro esistenza alla variazione con la altitudine del
parametro di Coriolis. Tali onde con le caratteristiche frequenze di passaggio sopra un
dato punto sono riassunte in tab. 9.2.
Al diminuire della frequenza aumenta il tempo disponibile perché la forza di Coriolis
faccia sentire il suo effetto mentre diminuiscono le accelerazioni quindi aumenta la
probabilitá che si instauri un equilibrio geostrofico. I fenomeni di interesse meteorologico
sono proprio quelli che si verificano con frequenze inferiori a 10 −4 s −1 , cioé cicloni
e onde di Rossby, per i quali l’equilibrio geostrofico é un’ottima approssimazione.
9.2 Complemento I: velocitá di fase e di gruppo di
un’onda di Rossby
L’eq. 9.1 puó essere riscritta in termini di una funzione di flusso ψ della perturbazione
definita come:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u ′ = − ∂ψ
∂y
v ′ = ∂ψ
∂x

9.3. COMPLEMENTO II: ONDE SONORE 253
di modo che ζ ′ = ζ = ∇ 2 ψ é la vorticitá relativa del campo di velocitá. Ora trascurando
i termini contenenti prodotti di perturbazioni si trova:
∂∇2ψ ∂ t + U ∂∇2ψ ∂ψ
+ β
∂ x ∂ x = 0 ∇2 = ∂2
∂ x
∂ y 2
2 + ∂2
(9.5)
Un’onda di Rossby ha la forma ψ = Re Ae iφ con φ = kx + ly − νt con k e l
numeri d’onda nella direzione dei paralleli e dei meridiani (zonale e meridionale); perché
soddisfi alla (9.5) dovrá essere:
ν = U k − β
le velocitá di fase dell’onda saranno allora:
La velocitá di gruppo é invece:
cx = ν
k
cy = ν
l
k
k2 ; (9.6)
+ l2 = U − β
= Uk
l −
(vgruppo)x = ∂ν
∂k = U + β k2 − l 2
(k 2 + l 2 ) 2
(vgruppo)y = ∂ν
∂l
(9.7)
k2 + l2 β k
l(k2 + l2 . (9.8)
)
= 2β
9.3 Complemento II: onde sonore
kl
(9.9)
(k2 + l2 . (9.10)
) 2
Le onde sonore sono onde longitudinali, ove l’oscillazione delle particelle é parallela
alla direzione di propagazione dell’onda. L’onda (ma non le particelle che oscillano su
e giú) si propaga per effetto di un continuo alternarsi di compressioni e rarefazioni:
la forza di pressione che tende a ricostituire l’equilibrio é parallela alla direzione di
propagazione dell’onda. Pensiamo allora di lavorare in un condotto orizzontale (in
direzione x) e assumiamo che, all’inizio si abbia v = w = 0 di modo che, essendo l’onda
longitudinale, sará u = u(x, t). Le equazioni del moto, di continuitá e di conservazione
dell’energia per trasformazioni adiabatiche (legge 2.27) diventano:
1
γ
du 1 ∂p
+
dt ρ ∂x
dρ
+ ρ∂u
dt ∂x
d ln p d ln ρ
−
dt dt
= 0 (9.11)
= 0 (9.12)
= 0; (9.13)

254 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
Si noti che, per avere come soluzioni onde sonore, il fluido deve essere comprimibile:
come vedremo in seguito per le onde di gravitá il supporre il fluido incomprimibile
automaticamente elimina le onde sonore dalle possibili soluzioni alle equazioni del moto.
Nelle ultime due equazioni (9.12-9.13) si puó eliminare ρ per ottenere:
1 d ln p ∂u
+
γ dt ∂x
= 0. (9.14)
Scriviamo adesso i campi come somma di campi base (pedice 0) e campi perturbati
(coll’apice): u = u0 +u ′ , p = p0 +p ′ , ρ = ρ0 +ρ ′ . Dalla (9.11) e dalla (9.14) si ricavano 1
le due equazioni per i campi perturbati:
∂ ∂
+ u0 u
∂t ∂x
′ + 1 ∂p
ρ0
′
∂x
∂ ∂
+ u0 p
∂t ∂x
′ ∂u
+ γ p0
′
∂x
che, applicando l’operatore
∂ ∂ + u0 alla (9.17) e usando la (9.16) porgono:
∂t ∂x
2 ∂ ∂
+ u0 p
∂t ∂x
′ − γ p0
ρ0
= 0 (9.16)
= 0 (9.17)
∂2p ′
= 0. (9.18)
∂x2 Assumendo un’onda di pressione della forma p ′ = Re Aeik(x−ct) si ricava la relazione
di dispersione:
(−i k c + i k u0) 2 − γ p0
(i k) 2
γ p0
= 0 ⇒ c = u0 ± = u0 ± γ R T0. (9.19)
ρ0
Ma allora la velocitá di fase (che in questo caso coincide anche con la velocitá di
gruppo!) deve soddisfare la (9.19), ovvero la velocitá del suono relativa alla corrente
zonale u0 é √ γ R T0, velocitá adiabatica del suono. In aria a 20 ◦ C si trova il valore
noto u0 ≡ vsuono = √ 1.4 × 287 × 1.4 = 343 m/s.
Si noti infine che la frequenza dell’onda diventa:
ν = k c = k u0 ± k γ R T0 : (9.20)
la velocitá zonale media gioca un ruolo fondamentale in termini di spostamento Doppler.
Per un medesimo numero d’onda k, la frequenza del suono appare piú acuta ad un
osservatore che si trovi a valle della sorgente (u0 > 0) che non a monte (u0 < 0).
1
Supposto ρ′
≪ 1
si puó sviluppare:
ρ0
1
1
=
ρ0 + ρ ′
ρ0
1 + ρ′
′ ∂u′
mentre poi si possono trascurare i termini u ∂x
ρ0
−1
e u′ ∂p′
∂x
ρ0
1
1 −
ρ0
ρ′
ρ0
rispetto agli altri.
(9.15)

9.4. COMPLEMENTO III: ONDE DI GRAVITÁ O DI GALLEGGIAMENTO 255
9.4 Complemento III: onde di gravitá o di galleggiamento
Se l’atmosfera é stabilmente stratificata (∂θ/∂z > 0) abbiamo giá visto che se un
pacchetto d’aria viene spostato dalla sua posizione di equilibrio compie delle oscillazioni
di galleggiamento: la forza di galleggiamento é la forza che tende a richiamare la
particella nella sua posizione di equilibrio.
In un fluido che sia limitato sia sopra che sotto (quale l’oceano) le onde di gravitá si
propagano essenzialmente orizzontalmente mentre le onde che si muovono verticalmente
vengono riflesse dalle superfici di confine e generano onde stazionarie; la cosa é diversa
in atmosfera, non avendo quest’ultima un confine superiore. In tal caso infatti le onde
di gravitá oltre che orizzontalmente si possono propagare anche verticalmente, di modo
che la fase dell’onda diventa funzione dell’altezza: si parla in tal caso di “onde interne”.
Questo tipo di onde oltre ad essere responsabili del verificarsi di onde sottovento a
catene montuose sono un meccanismo molto importante in atmosfera per il trasporto
di energia e momento il alta atmosfera.
Consideriamo il set completo di equazioni (2.21) con in piú la conservazione della
temperatura potenziale. Se consideriamo un moto puramente bidimensionale (v = 0),
per un fluido incomprimibile e trascurando i termini di Coriolis si ha 2 :
∂w
∂t
du
dt
+ u∂w
∂x
1 ∂p ∂u
∂u 1 ∂p
+ = + u∂u + w + = 0
ρ ∂x ∂t ∂x ∂z ρ ∂x
(9.21)
∂w 1 ∂p dw 1 ∂p
+ w + + g = + + g = 0
∂z ρ ∂z dt ρ ∂z
(9.22)
∂u ∂w
+ = 0
∂x ∂z
(9.23)
dθ ∂θ ∂θ ∂θ
= + u + w = 0
dt ∂t ∂x ∂z
(9.24)
Con il metodo delle perturbazioni poniamo: ρ = ρ0 + ρ ′ , p = p0 + p ′ , θ = θ0 + θ ′ , u = u ′
e w = w ′ ove lo stato base del campo di pressione soddisfa l’equazione della statica
dp0/dz = −ρ0g, e lo stato base della temperatura potenziale ln θ0 = 1/γ ln p0 − ln ρ0 +
2 Qui si lavora in quella che é nota come approssimazione di Boussinesq, ovvero nell’equazione
di continuitá il termine 1/ρ dρ/dt viene considerato nullo, cioé l’atmosfera viene considerata
incompressibile.

256 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
cost. Le equazioni linearizzate per i campi perturbati diventano 3 :
∂w ′
∂t
∂u ′ 1 ∂p
+
∂t ρ0
′
= 0
∂x
(9.26)
1 ∂p
+
ρ0
′
θ′
− g = 0
∂z θ0
(9.27)
∂u ′ ∂w′
+ = 0
∂x ∂z
(9.28)
∂θ ′ ∂θ0
+ w′ = 0
∂t ∂z
(9.29)
che opportunamente rimaneggiate forniscono una equazione per w ′ della forma:
∂2 ∂t2 2 ′ ∂ w
∂x2 + ∂2w ′
∂z2
+ ω 2 BV
∂ 2 w ′
∂x 2 = 0 ω2 BV = gd ln θ0/dz (9.30)
Supposto ωBV costante, se ora assumiamo una soluzione della forma
w ′ = Re Ae iφ
φ = kx + mz − νt
con k e m numeri d’onda nel piano orizzontale e verticale (le lunghezze d’onda caratteristiche
sono tipicamente di pochi km) si trova una relazione di dispersione della
forma:
ν 2 (k 2 + m 2 ) − ω 2 BV k2 = 0 ⇒ ν = ± ωBV k
√ k 2 + m 2 = ±ωBV cos α (9.31)
essendo α l’angolo di inclinazione sull’orizzontale delle linee equifase. Supponiamo ad
esempio di prendere k > 0 e m > 0. Le linee equifase ad ogni istante sono delle rette
nel piano x − z con pendenza negativa, ovvero salendo verso l’alto sono inclinate verso
ovest. Se nella (9.31) prendiamo il segno + per ν, allora le velocitá di fase cx = ν/k e
cz = ν/m sono ambedue positive, mentre le velocitá di gruppo
3 Qui usando la (9.15) si ricava che:
(vgruppo)x = ∂ν
∂k = ωBV m2 (k2 + m2 > 0
) 3/2 (9.32)
(vgruppo)z = ∂ν
∂m = − ωBV mk
(k2 + m2 < 0
) 3/2 (9.33)
1 ∂p 1
+ g =
ρ ∂z ρ0 + ρ ′
∂p0
∂z
mentre per θ si trova che θ ′ /θ0 1/γ p ′ /p0 − ρ ′ /ρ0 da cui:
ρ ′ θ
−ρ0
′
+
θ0
p′
v2 suono
∂p ′
+ g =
∂z
1 ∂p
ρ0
′
ρ′
+ g
∂z ρ0
⇒ θ′
θ0
− ρ′
ρ0
(9.25)
essendo che per movimenti di galleggiamento le fluttuazioni di densitá dovute a cambi di pressione
sono piccole rispetto a quelle dovute a cambi di temperatura e quindi |ρ0 θ ′ /θ0| ≫ |p ′ /v 2 suono |.

9.4. COMPLEMENTO III: ONDE DI GRAVITÁ O DI GALLEGGIAMENTO 257
sono una positiva e una negativa. Si noti come, per onde di gravitá, la velocitá di gruppo
é antiparallela alla velocitá di fase ed ha in generale grandezza diversa (al limite di
onde lunghe |k| ≪ |m| le due diventano uguali). Siccome l’energia si propaga con la
velocitá di gruppo in questo esempio si vede come per onde di gravitá una propagazione
della fase verso l’alto implichi una propagazione dell’energia verso il basso (e viceversa).
Nell’atmosfera le onde di gravitá ricoprono un ruolo importante poiché possono
propagare l’energia per distanze rilevanti nell’alta atmosfera anche se le oscillazioni dei
pacchetti d’aria rimangono confinate in distanze inferiori al km.
Figura 9.2: Esempio di onde di gravitá da una immagine (in negativo) visibile Meteosat.
Una applicazione interessante delle onde di gravitá (vedi fig. 9.2) é costituita dalle
onde sottovento (lee in inglese), che si verificano quando aria viene forzata a risalire
sul fianco di una montagna in condizioni di stabilitá statica: siccome i singoli pacchetti
d’aria vengono spostati dalla loro situazione di equilibrio, a valle della montagna,
procederanno con tipiche oscillazioni di galleggiamento. In condizioni stazionarie se il
movimento verticale associato a queste onde é consistente e l’aria é umida, si puó avere
condensazione nella parte di updraft: si ha cosí la formazione di nubi a onde (sono
tipiche ad esempio a est delle Montagne Rocciose, orientate Nord-Sud).

258 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
9.5 Esercizi
1. Determinare la velocitá di fase e di gruppo di un’onda di Rossby in un flusso che
ha una velocitá di 20 ◦ di logitudine per 24 ore se la latitudine é 45 ◦ e la lunghezza
d’onda é 60 ◦ di longitudine.
Sappiamo che la velocitá di fase é data dalla (9.7), che, nel caso in cui l = 0, si
semplifica:
In questo caso
U = RT cos φ dλ
dt = 6.4 × 10 6 √
2
2
cx = U − β β L2
= U − . (9.34)
k2 4π2
20π
180 × 24 × 3600
β L2
4π2 = 1.62×10−11 6.72 ×1012 = 5.6 m/s
mentre L = RT ∆λ = 6700 km, da cui 4π2 = 2.8m/s e quindi
cx = 2.8 m/s o equivalentemente 10◦ di longitudine al giorno. Come si vede le
onde di Rossby su scala sinottica si muovon molto lentamente.
Per quel che concerne la velocitá di gruppo la (9.9) diventa:
(vgruppo)x = u + β
k 2 = cx + 2β
k 2 = 9.4 m/s = 30◦ long. /24h.
2. Determinare w ′ e u ′ per un’onda di gravitá stazionaria che passa sopra una topografia
al suolo che ha la forma h = h0 cos kx con h0 = 50 m e k = 3×10 −3 m −1 .
Si assuma ωBV = 2 × 10 −2 s −1 e u0 = 5 m/s.
Per un osservatore al suolo quanto fatto nel paragrafo (9.4) va leggermente modificato
perché ora u = u0 +u ′ . Tutto é perfettamente analogo purché si sostituisca
. L’equazione di dispersione che se ne ricava é:
∂
∂t
con ∂
∂t
+ u0 ∂
∂x
(ν − u0 k) 2 (k 2 + m 2 ) − ω 2 BV k2 = 0 ⇒ ν = u0 k ± ωBV k
√ k 2 + m 2 .
Se per un osservatore solidale con il suolo vogliamo che l’onda sia stazionaria nel
tempo (in particolare cx = 0) dovrá essere ν = 0 di modo che:
u0 =
ωBV
√ k 2 + m 2
m = ±
ω 2 BV
u 2 0
− k 2 = ± √ 7 × 10 −3 m −1
(9.35)
e quindi, essendo la soluzione reale, ci sará propagazione nella direzione verticale.
Bisogna capire se verso l’alto o verso il basso, cioé il segno di m. Siccome la
sorgente di energia di questo tipo di onde é al suolo tali onde trasporteranno
energia verso l’alto. Ma, sulla verticale, la velocitá di fase ha direzione opposta a

9.5. ESERCIZI 259
quella di propagazione di modo che dovremo prendere la soluzione negativa per
m: le linee equifase piegheranno verso ovest salendo verso l’alto.
La soluzione w ′ = Re Ae iφ = Re Ae i(kx+mz) se, come in questo caso h0 k =
0.15 ≪ 1, avrá come condizione al contorno per z = 0 w ′ = dh
dt
u0 ∂h
∂x =
−u0 h0 k sin(kx) che consente di determinare infine A = −i u0 h0 k. Usando
infine la (9.28) si possono scrivere le soluzioni per u e w come:
u = u0 (1 + h0 m sin(kx + mz)) = 5 m/s(1 + 0.132 sin(3 × 10 −3 x − √ 7 × 10 −3 z))
w = −u0 h0 k sin(kx + mz) = −0.75 m/s sin(3 × 10 −3 x − √ 7 × 10 −3 z).
3. Verificare l’approssimazione (9.25) ricavando dalla soluzione ondulatoria per w ′
quelle per u ′ , p ′ e θ ′ . Determinare il flusso verticale di quantitá di moto orizzontale
〈ρ0 u ′ w ′ 〉 mediata orizzontalmente su un periodo.
Partendo da w ′ = Re Ae iφ ed usando le (9.28)- (9.26)-(9.29) sfruttando il fatto
che tutte queste grandezze devono avere media temporale nulla, si ricava che u ′ =
−Re A m/k e iφ , p ′ = −ρ0 Re A m ν/k 2 e iφ e θ ′ /θ0 = −ω 2 BV /g Re iA/ν e iφ .
ρ0
k 2 |A|2 che
mostra come per l’onda che ha fase che si propaga verso E (k > 0) e verso il
basso (m < 0) si ha propagazione di quantitá di moto orizzontale verso l’alto.
Ma allora un semplice calcolo di integrazione porge 〈ρ0 u ′ w ′ 〉 = − m
La condizione (9.25) invece rimane soddisfatta se ω 2 BV v2 suono ≫ m
v 2 suono ≫
m
k2 g che é soddisfatta per valori tipici di m e k.
+ m2 k 2 ν2 g ovvero
4. Derivare la velocitá dell’onda di Rossby per un oceano omogeneo incomprimibile
di profonditá h usando l’approssimazione di piano β. Si assuma uno stato di base
privo di moto e delle perturbazioni piccole che dipendono solo da x e da t:
u = u ′ (x, t), v = v ′ (x, t), h = H + h ′ (x, t) (9.36)
ove H é la profonditá media dell’oceano. Scrivere l’equazione della vorticitá e
determinare la velocitá per un’onda con L = 10000 km a 45 0 con un oceano
profondo H = 4 km.
L’eq. di continuitá per fluidi incompressibili ∇ · v = 0, vista la dipendenza di v
solo da x diventa:
∂u ∂w
+
∂x ∂z
che integrata dal livello 0 al livello h essendo ∂u
∂x
w(h) − w(0) = w(h) = −h ∂u
∂x
= 0 (9.37)
indipendente da z diventa:
(9.38)

260 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA
essendo nulla la velocitá verticale in fondo all’oceano. Ora peró w(h) = dh
dt e
quindi la (9.38) diventa:
∂h
∂t
w(h) ≡ dh
dt
=
⇓
∂h
∂t
∂
+ (h x)
∂x
= 0
che riscritta tenendo conto della (9.36) porge:
∂h ′
∂t
+ H ∂u′
∂x
+ u∂h
∂x
= 0.
= −h∂u
∂x
Le equazioni del vento (supposto p = ρ g h, cioé l’oceano in equilibrio idrostatico)
si scrivono invece:
−fv = −fv ′ = −g ∂h
dv
dt
∂h′ = −g ∂x ∂x
dv′ + fu = dt + fu′ = −g ∂h
∂y
(ove per la componente x si é usata l’approssimazione geostrofica) da cui v ′ =
. Passando all’equazione della vorticitá:
g
f
∂h ′
∂x
= 0
d
dt (ζ + f) = −(f + ζ) ∇ · v (9.39)
sviluppando con le dipendenze date nella (9.36) si trova:
∂ζ
∂t
g
= f0
bazioni la (9.40) diventa:
∂ g
∂t
2 ′ ∂ ∂ h
∂t
ora peró ζ = ∂v′ (x, t)
∂x
∂ζ ∂ζ
+ u′ + v′
∂x ∂y + βv′ = −(ζ + f) ∂u′
∂x
; (9.40)
∂ 2 h ′
∂x 2 e, trattenendo solo i termini lineari nelle pertur-
f0
∂2h ′
∂x2
∂x 2 − f 2 0
gH h′
+ β g ∂h
f0
′
∂x
+ β ∂h′
∂x
f0 ∂h
=
H
′
∂t
Imponendo che h ′ = Ae ik(x−ct) sia una soluzione, essendo:
si trova che deve essere
⎧
⎨
⎩
∂h ′
= ik h′
∂x
∂2h ′
∂x2 = k2 h ′
∂h ′
∂t = −ik c h′ ,
β = −c k 2 + f 2
0
gH
(9.41)
= 0. (9.42)

9.5. ESERCIZI 261
che fornisce un legame tra profonditá H dell’oceano, numero d’onda k, parametro
di Coriolis f0 e parametro di Rossby β. Nel caso numerico del problema si trova
una velocitá di fase pari a:
c = −
β
(k 2 + f 2 0 /(gH))
= −
1.62 × 10 −11
(4π 2 × 10 −14 + 1.07 × 10 −8 /(3.9 × 10 4 ))
= −24.3 m/s

262 CAPITOLO 9. ONDE IN ATMOSFERA

Appendice A
Costanti fisiche notevoli
A.1 Costanti fondamentali
Costante di gravitazione universale G = 6.673 × 10 −11 N m 2 kg −2 ;
Costante universale dei gas R ∗ = 8.314 × 10 3 J K −1 kmol −1 ;
Numero di Avogadro NA = 6.022 × 10 23 ;
Costante di Planck h = 6.6256 × 10 −34 J s;
Costante di Boltzmann kB = 1.38 × 10 −23 J K −1 ;
Costante di Stefan-Boltzmann σ = 5.67 × 10 −8 W m −2 K −4 ;
Permeabilitá magnetica del vuoto µ0 = 4π × 10 −7 henry m −1 ;
Costante dielettrica del vuoto ɛ0 = 8.85 × 10 −12 farad m −1 ;
Velocitá della luce c = 3 × 10 8 m s −1 ;
Accelerazione di gravitá sul livello del mare g0 = 9.81 ms −2 ;
Raggio medio della Terra RT = 6.37 × 10 6 m;
Velocitá angolare di rotazione terrestre Ω = 7.292 × 10 −5 rad s −1 ;
Volume occupato da una mole di gas ideale a 0 ◦ C e p = 760 mm Hg V0 = 22.416l;
Temperatura dello zero assoluto T0 = −273.16 ◦ C.
263

264 APPENDICE A. COSTANTI FISICHE NOTEVOLI
A.2 Costanti fisiche di acqua e ghiaccio
Peso specifico del ghiaccio 0.917;
Calore specifico dell’acqua a 0 ◦ cw = 1.0 cal/(g K) = 4187 J/(kg K);
Calore specifico dell’acqua a −10 ◦ cw = 1.02 cal/(g K);
Calore specifico del ghiaccio ci = 0.49 cal/(g K);
Calore latente di evap. dell’acqua a 0 ◦ Le = 597.3 cal/g = 2.501 × 10 6 J/kg;
Calore latente di fusione del ghiaccio a 0 ◦ Lf = 79.8 cal/g = 333 J/g;
Coefficiente di viscositá dell’acqua a 20 ◦ µacqua = 10 −3 kg/(m s);
Coefficiente di conduttivitá termica a 0 ◦ Kw = 0.6 J/(m s K).
A.3 Costanti fisiche di aria secca
Peso molecolare medio 28.97; γ = cp/cv = 1.4;
Costante dei gas per aria secca Rd = 287 J/(K kg);
Densitá per aria secca a 1000 mbρ = 1.276 kg/m 3 ;
Calore specifico dell’aria secca a p costante cp = 0.240cal/(g K) = 1005J/(kg K);
Calore specifico dell’aria secca a V costante cv = 0.171cal/(gK) = 717.85J/(kgK);
Coefficiente di conduttivitá termica a 0 ◦ [20 ◦ ] di aria secca Kair = 2.4 [2.55] ×
10 −2 J/(m s K);
Coefficiente di viscositá di aria secca a 0 ◦ [20 ◦ ] µ = 1.717 [1.815]×10 −5 kg/(m s).
A.4 Costanti fisiche del vapor d’acqua
Peso molecolare medio 18.02; γ = cp/cv = 1.33;
Costante dei gas per vapore Rv = 461.5 J/(K kg);
Coefficiente di diffusivitá di vapor acqueo in aria a 0 ◦ [20 ◦ ] D = 2.21 [2.52] ×
10 −5 m 2 /s;
Calore specifico del vapore a p costante a T = 0 ◦ C cp = 0.445 cal/(g K) =
1863.4 J/(kg K);
Densitá a T = 0 ◦ C e 1000 mb ρ = 0.794 kg/m 3 .

Appendice B
Equazioni vettoriali utili
ogni rotore é solenoidale
ogni gradiente é irrotazionale
A · (B × C) = (A × B) · C = (C × A) · B (B.1)
A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (B.2)
∇ · (∇ × A) = 0 (B.3)
∇ × (∇A) = 0 (B.4)
∇×(aA) = a∇ × A − A × ∇a (B.5)
∇·(aA) = a∇ · A + A · ∇a (B.6)
∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A) (B.7)
∇·(A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) (B.8)
∇×(A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (B.9)
(A · ∇)A = ∇(A 2 /2) + (∇ × A)×A (B.10)
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A (B.11)
265

266 APPENDICE B. EQUAZIONI VETTORIALI UTILI

Appendice C
Proprietá delle coordinate
curvilinee
COORDINATE CILINDRICHE
∇ 2 A = er
∇ψ =
er
∇ · A = 1
r
∇ × A = 1
⎛
⎝
r
∂er
∂φ
∂eφ
∂φ
= eφ
= −er
(C.1)
∂ 1 ∂ ∂
+ eφ + ez ψ (C.2)
∂r r ∂φ ∂z
∂
∂r (rAr) + 1
r
er reφ ez
∂
∂r
∂
∂φ
∂
∂z
Ar rAφ Az
∂Aφ
∂φ
⎞
⎠ =
+ ∂Az
∂z
1 ∂Az ∂Aφ ∂Ar
= er − + eφ
r ∂φ ∂z ∂z
1 ∂
+ez
r ∂r (rAφ) − 1
∂Ar
r ∂φ
∇ 2 ψ = 1
r
∂
∂r
∇ 2 Ar − Ar 2
−
r2 r2 +ez∇ 2 Az
r ∂ψ
+
∂r
1
r2 ∂2ψ ∂φ2 + ∂2ψ ∂z2
∂Aφ
+ eφ
∂φ
267
∂Az
− +
∂r
∇ 2 Aφ − Aφ 2
+
r2 r2
∂Ar
+
∂φ
(C.3)
(C.4)
(C.5)
(C.6)

268 APPENDICE C. PROPRIETÁ DELLE COORDINATE CURVILINEE
∂ 1 ∂ ∂
A · ∇B = (Arer + Aφeφ + Azez) · er + eφ + ez B =
∂r r ∂φ ∂z
∂ 1 ∂ ∂
∂Br 1 ∂Br
Ar + Aθ + Az B = er Ar + Aθ
∂r r ∂φ ∂z
∂r r ∂φ
∂Bφ 1 ∂Bφ 1
eφ Ar + Aφ +
∂r r ∂φ r ArBφ
∂Bz
+ ez Az
∂z
COORDINATE SFERICHE
∇ × A =
∇ · A = 1
r 2
=
∇ 2 ψ = 1
r 2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
= eθ
∂er
∂θ
∂er = sin θeϕ
∂ϕ
∂eθ = cos θeϕ
∂ϕ
∂eθ = er ∂θ
∂eϕ
∂ϕ = − sin θer − cos θeθ
∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ
∇ψ = er + eθ + eϕ
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
∂
∂r (r2Ar) + 1
r sin θ
∂
∂θ (sin θAθ) + 1 ∂Aϕ
r sin θ ∂ϕ
1
r2 ⎛
⎞
er reθ r sin θeϕ
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠
∂r ∂θ ∂ϕ =
sin θ
Ar rAθ r sin θAϕ
er ∂
r sin θ ∂θ (sin θAϕ) − ∂Aθ
+
∂ϕ
eθ
1 ∂Ar
r sin θ ∂ϕ
1 ∂
+eϕ
r ∂r (rAθ) − ∂Ar
∂θ
∂ 2 ∂ψ
r +
∂r ∂r
1
r 2 sin θ
∂
sin θ
∂θ
∂ψ
+
∂θ
1
−
r AφBφ
+
∂
−
∂r (rAϕ)
+
1
r2 sin2 ∂
θ
2ψ ∂ϕ2 ∇ 2
A = er ∇ 2 Ar − 2Ar 2
−
r2 r2 ∂ ∂ψ
(sin θ ) −
sin θ ∂θ ∂θ 2
r2
∂Aϕ
+
sin θ ∂θ
+eθ ∇ 2 Aθ − Aθ
r2 sin2 2
+
θ r2 ∂Ar 2 cos θ
−
∂θ r2 sin2
∂Aϕ
+
θ ∂ϕ
+eϕ ∇ 2 Aϕ − Aϕ
r2 sin 2 θ +
2
r2 ∂Ar 2 cos θ
+
sin θ ∂ϕ r2 sin 2
∂Aθ
θ ∂ϕ
(C.7)
(C.8)
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)