Teoremi sui limiti - Matematica

Teoremi sui limiti
Quando non espressamente detto, intendiamo che:
f : R → R
x0 ∈ R è punto di accumulazione per domf .
Teorema di unicità del limite. Supponiamo che f ammetta limite ℓ
(finito o infinito) per x → x0. Allora f non ha altri limiti per
x → x0.
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pag. 92 del
libro di testo.
c○Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 12/13 Teoremi sui limiti cap4a.pdf 1

Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista
lim f (x) = ℓ ∈ R. Se ℓ > 0, allora esiste un intorno I(x0) del
x→x0
punto x0, tale che f (x) > 0 per ogni x ∈ I(x0) \ {x0}.
y
ℓ
I(x0)
x0
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pagg. 92-93
del libro di testo.
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x

Corollario al teorema di permanenza del segno. Supponiamo che
esista lim f (x) = ℓ ∈ R e che esista un intorno I(x0) del punto x0,
x→x0
tale che f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I(x0) \ {x0}. Allora ℓ ≥ 0.
y
ℓ
I(x0)
x0
La dimostrazione è svolta a lezione.
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x

Operazioni con i simboli +∞ e −∞
Ricordiamo che
è detta retta reale estesa.
Somma
Prodotto
R = {−∞} ∪ R ∪ {∞}
x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞ ∀x ∈ R
(+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞ ∀x ∈ R +
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞ ∀x ∈ R −
(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞
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Divisione
x x
=
+∞ −∞
+∞
x
+∞
x
x
0
= 0, ∀x ∈ R
−∞
= +∞,
x
−∞
= −∞,
x
= ∞ ∀x ∈ R \ {0}
= −∞ ∀x ∈ R+
= +∞ ∀x ∈ R−
Forme indeterminate (non danno un risultato preciso)
(+∞) + (−∞), (±∞) · 0,
±∞
±∞ ,
0
0
∞ 0 , 0 0 , 1 ∞
Per avere una risposta corretta, caso per caso, bisogna lavorare più
accuratamente.
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Algebra dei limiti
Teorema. Se lim f (x) = ℓ1 ∈ R e lim g(x) = ℓ2 ∈ R, allora,
x→x0
x→x0
quando l’espressione a secondo membro è definita (non si hanno
forme indeterminate), si ha
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = ℓ1 + ℓ2
x→x0
x→x0 x→x0
lim
x→x0
lim
x→x0
(f (x) − g(x)) = lim
x→x0
(f (x) · g(x)) = ( lim
f (x)
lim
x→x0 g(x) =
lim
x→x0
lim
x→x0
Es. lim 2 +
x→+∞
1
x
f (x)
g(x)
x→x0
f (x) − lim
x→x0
f (x)) · ( lim
x→x0
= ℓ1
ℓ2
1
= lim 2 + lim
x→+∞ x→+∞ x
g(x) = ℓ1 − ℓ2
g(x)) = ℓ1 · ℓ2
(g(x) = 0, ∀x ∈ I(x0) \ {x0})
= 2 + 0 = 2
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Esempi di forme indeterminate
Vediamo se possiamo applicare il teorema dell’algebra dei limiti.
Calcoliamo
x
lim
x→+∞
2 − 1
x + 3 =
indeterminata
lim
x→+∞ (x2 − 1)
lim
x→+∞
+∞ − 1
=
(x + 3) +∞ + 3
Quindi l’algebra dei limiti non ci aiuta nel calcolo
Vediamo il secondo limite:
lim
x→0
x2 + 2x
=
x + 3x3 = +∞
+∞ =forma
lim
x→0 (x2 + 2x)
lim
x→0 (x + 3x3 0
= =forma indeterminata
) 0
Anche qui l’algebra dei limiti non ci aiuta nel calcolo
Vediamo come risolvere alcune forme ideterminate
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Forme indeterminate ∞
∞
Es. lim
x→+∞
x 3 − 2x + 1
x 4 + 2
generate da rapporti di polinomi
Devo raccogliere x elevato alla massima potenza a cui compare, sia
a numeratore che a denominatore
x
lim
x→+∞
3 − 2x + 1
x4 x
= lim
+ 2 x→+∞
3
1 − 2 1
+
x2 x3
x4
1 + 2
x4
1 −
= lim
x→+∞
2 1
+
x2 x3
x 1 + 2
x4
Adesso si applica l’algebra dei limiti
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Si ha:
lim
x→+∞
=
1 − 2 1
+
x2 x3
x 1 + 2
x4 =
1 − lim
lim x ·
x→+∞
x→+∞
lim
x→+∞
lim
x→+∞
2
+ lim
x2 x→+∞
lim 1 + lim
x→+∞ x→+∞
1 − 2 1
+
x2 x3
x 1 + 2
x4 =
1
x3 2
x4 1 − 0 + 0 1
= = = 0
+∞ · (1 + 0) +∞
Di solito si sottointendono i passaggi intermedi (quelli in nero):
1 −
lim
x→+∞
2 1
+
x2 x3
x 1 + 2
x4 1 − 0 + 0
= = 0
+∞ · (1 + 0)
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Forme indeterminate 0
0
generate da rapporti di polinomi
x
Es. lim
x→0
2 + 2x
=
x + x3 In questo caso si raccoglie al numeratore ed al denominatore la
potenza minima, si semplifica e poi si applica l’algebra dei limiti.
x
lim
x→0
2 + 2x x(x + 2)
= lim
x + x3 x→0 x(1 + x2 x + 2
= lim = 2
) x→0 1 + x2 Es. lim
x→0
lim
x→0
x 2 − 4x
x2 =
− 2x3 x2 − 4x
x2 = lim
− 2x3 x→0
x(x − 4)
x2 = lim
(1 − 2x) x→0
x − 4 −4
= = ∞
x(1 − 2x) 0
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Primo Teorema del confronto. Supponiamo che f ammetta limite
ℓ1 ∈ R per x → x0 e la funzione g ammetta limite ℓ2 ∈ R per
x → x0. Se esiste un intorno I(x0) di x0 tale che f (x) ≤ g(x) per
ogni x ∈ I(x0) \ {x0}, allora ℓ1 ≤ ℓ2.
y
ℓ2
ℓ1
I(x0)
x0
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pag. 94 del
libro di testo.
c○Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 12/13 Teoremi del confronto cap4a.pdf 11
x

Secondo Teorema del confronto. Siano date tre funzioni: f , g e h
e supponiamo che esistano e siano uguali i limiti
lim f (x) = lim h(x) = ℓ.
x→x0 x→x0
Se esiste un intorno I(x0) in cui siano definite le tre funzioni,
tranne al piú nel punto x0, tale che
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ I(x0) \ {x0},
allora si ha lim g(x) = ℓ.
x→x0
ℓ
y
x0
h(x)
x
g(x)
f (x)
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Funzioni limitate
Sia f : R → R, con dominio domf ⊆ R.
Def. Diciamo che f è limitata se il suo insieme immagine (imf ) è
un insieme limitato in R.
Def. Diciamo che f è limitata inferiormente se il suo insieme
immagine (imf ) è un insieme limitato inferiormente in R.
Def. Diciamo che f è limitata superiormente se il suo insieme
immagine (imf ) è un insieme limitato superiormente in R.
Esempi. f (x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = arctan(x) sono
funzioni limitate. Infatti imf = img = [−1,1], imh = − π π
,
2 2
sono tutti insiemi limitati
f (x) = sin(x) g(x) = cos(x) h(x) = arctan(x)
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Esempi di funzioni NON limitate.
f (x) = e x , è solo limitata inferiormente, imf = R +
g(x) = log(x) non è limitata, img = R,
h(x) = −x 2 è solo limitata superiormente, imh = R − ∪ {0}
f (x) = e x g(x) = log(x) h(x) = −x 2
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Sia A ⊆dom f e B = f (A) (l’immagine di A attraverso f ).
Def. Diciamo che f è limitata su A se B è un insieme limitato in R.
y
B1
A1
x
f è limitata su A1 ma non su A2 perchè limx→0 f (x) = +∞.
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A2
y
B2
x

Funzioni limitate (definizione equivalente)
Def. Una funzione f è limitata in un intorno I(x0) del punto x0 se
esiste una costante C > 0 tale che
y
f (I(x0))
|f (x)| ≤ C, ∀x ∈ I(x0) \ {x0}.
C
x0 = 3
I(x0)
x
I(x0)
x0 = 0
f limitata in I(3) ma non è limitata in I(0)
y
f (I(x0))
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x

OSSERVAZIONE
Dire che f è limitata nell’intorno I(x0) NON vuole dire che esiste
lim f (x)
x→x0
Esempio. Sia f (x) la funzione di Dirichlet così definita:
1 se x ∈ Q
f (x) =
0 se x ∈ R \ Q
L’insieme immagine di f è imf = {0, 1} è un insieme limitato (ammette
sia maggioranti che minoranti), quindi f è limitata su tutto il suo
dominio, cioè su R.
Inoltre abbiamo −1 ≤ 0 ≤ f (x) ≤ 1 ∀x ∈ R, quindi possiamo dire che
|f (x)| ≤ C ∀x ∈ R con C = 1 (vedi def. a pag. 13).
Tuttavia ∃ lim f (x), qualunque sia x0 ∈ R
x→x0
Infatti f continua a saltare tra i valori 0 e 1 (ricordiamo che tra due
numeri razionali ce n’è sempre almeno uno irrazionale e tra due nuemeri
irrazionali ce n’è sempre almeno uno razionale) e non si riesce a verificare
la definizione di limite (si vedano pag. 15-16 di cap3a.pdf).
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Corollario al II thm del confronto
Def. Se lim g(x) = 0, si dice che g è infinitesima per x → x0.
x→x0
Teorema. Sia f una funzione limitata in un intorno di x0 e sia g
una funzione infinitesima per x → x0. Allora lim (f (x)g(x)) = 0,
x→x0
ovvero la funzione prodotto fg è infinitesima per x → x0.
Es. lim
x→+∞
sin(x)
.
x
f (x) = sin(x) è limitata: |sin(x)| ≤ 1 e g(x) = 1
è tale che
x
sin(x)
lim g(x) = 0. Allora lim = 0.
x→+∞ x→+∞ x
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sin(x)
Limite fondamentale lim
x→0 x
Dim.
1
O
x
A( △
POA) =
e
P
H
x
A
T
PH · OA
2
= 1
Lavoro con x ≥ 0, osservo che f (x) =
sin(x)
è pari.
x
Se l’angolo POA = x allora l’arco ⌢
AP è
lungo x, e A( ⌢
OPA) = x
2 .
Infatti
⌢
AP: 2πr = x : 2π, ⇒ ⌢
AP= x · r = x;
A( ⌢
OPA) : πr2 = x : 2π, ⇒A( ⌢
OPA) = x
2
= sin(x)
, A(
2
△ TA · OA
TOA) = =
2
tan(x)
2
A( △
POA) ≤ A( ⌢
OPA) ≤ A( △
TOA) ovvero sin(x) x
≤
2 2
tan(x)
≤ .
2
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Moltiplicando
sin(x)
2
e invertendo il tutto:
≤ x
2
≤ tan(x)
2
per
1 ≤ x 1
≤
sin(x) cos(x)
cos(x) ≤ sin(x)
x
≤ 1.
2
sin(x)
si ha
Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere x a 0:
lim cos(x) = 1, lim 1 = 1 e quindi lim
x→0 x→0 x→0
sin(x)
x
= 1.
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Riferimenti bibliografici
Canuto-Tabacco: pagg. 91–99.
Esercizi Canuto Tabacco: Es. 1, 2, 3 a pagg. 118-119.
c○Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 12/13 Bibliografia cap4a.pdf 21