Teoremi sui limiti - Matematica
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<strong>Teoremi</strong> <strong>sui</strong> <strong>limiti</strong><br />
Quando non espressamente detto, intendiamo che:<br />
f : R → R<br />
x0 ∈ R è punto di accumulazione per domf .<br />
Teorema di unicità del limite. Supponiamo che f ammetta limite ℓ<br />
(finito o infinito) per x → x0. Allora f non ha altri <strong>limiti</strong> per<br />
x → x0.<br />
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pag. 92 del<br />
libro di testo.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 <strong>Teoremi</strong> <strong>sui</strong> <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 1
Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista<br />
lim f (x) = ℓ ∈ R. Se ℓ > 0, allora esiste un intorno I(x0) del<br />
x→x0<br />
punto x0, tale che f (x) > 0 per ogni x ∈ I(x0) \ {x0}.<br />
y<br />
ℓ<br />
I(x0)<br />
x0<br />
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pagg. 92-93<br />
del libro di testo.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 <strong>Teoremi</strong> <strong>sui</strong> <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 2<br />
x
Corollario al teorema di permanenza del segno. Supponiamo che<br />
esista lim f (x) = ℓ ∈ R e che esista un intorno I(x0) del punto x0,<br />
x→x0<br />
tale che f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I(x0) \ {x0}. Allora ℓ ≥ 0.<br />
y<br />
ℓ<br />
I(x0)<br />
x0<br />
La dimostrazione è svolta a lezione.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 <strong>Teoremi</strong> <strong>sui</strong> <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 3<br />
x
Operazioni con i simboli +∞ e −∞<br />
Ricordiamo che<br />
è detta retta reale estesa.<br />
Somma<br />
Prodotto<br />
R = {−∞} ∪ R ∪ {∞}<br />
x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞ ∀x ∈ R<br />
(+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞<br />
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞ ∀x ∈ R +<br />
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞ ∀x ∈ R −<br />
(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 4
Divisione<br />
x x<br />
=<br />
+∞ −∞<br />
+∞<br />
x<br />
+∞<br />
x<br />
x<br />
0<br />
= 0, ∀x ∈ R<br />
−∞<br />
= +∞,<br />
x<br />
−∞<br />
= −∞,<br />
x<br />
= ∞ ∀x ∈ R \ {0}<br />
= −∞ ∀x ∈ R+<br />
= +∞ ∀x ∈ R−<br />
Forme indeterminate (non danno un risultato preciso)<br />
(+∞) + (−∞), (±∞) · 0,<br />
±∞<br />
±∞ ,<br />
0<br />
0<br />
∞ 0 , 0 0 , 1 ∞<br />
Per avere una risposta corretta, caso per caso, bisogna lavorare più<br />
accuratamente.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 5
Algebra dei <strong>limiti</strong><br />
Teorema. Se lim f (x) = ℓ1 ∈ R e lim g(x) = ℓ2 ∈ R, allora,<br />
x→x0<br />
x→x0<br />
quando l’espressione a secondo membro è definita (non si hanno<br />
forme indeterminate), si ha<br />
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = ℓ1 + ℓ2<br />
x→x0<br />
x→x0 x→x0<br />
lim<br />
x→x0<br />
lim<br />
x→x0<br />
(f (x) − g(x)) = lim<br />
x→x0<br />
(f (x) · g(x)) = ( lim<br />
f (x)<br />
lim<br />
x→x0 g(x) =<br />
lim<br />
x→x0<br />
lim<br />
x→x0<br />
<br />
Es. lim 2 +<br />
x→+∞<br />
1<br />
<br />
x<br />
f (x)<br />
g(x)<br />
x→x0<br />
f (x) − lim<br />
x→x0<br />
f (x)) · ( lim<br />
x→x0<br />
= ℓ1<br />
ℓ2<br />
1<br />
= lim 2 + lim<br />
x→+∞ x→+∞ x<br />
g(x) = ℓ1 − ℓ2<br />
g(x)) = ℓ1 · ℓ2<br />
(g(x) = 0, ∀x ∈ I(x0) \ {x0})<br />
= 2 + 0 = 2<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 6
Esempi di forme indeterminate<br />
Vediamo se possiamo applicare il teorema dell’algebra dei <strong>limiti</strong>.<br />
Calcoliamo<br />
x<br />
lim<br />
x→+∞<br />
2 − 1<br />
x + 3 =<br />
indeterminata<br />
lim<br />
x→+∞ (x2 − 1)<br />
lim<br />
x→+∞<br />
+∞ − 1<br />
=<br />
(x + 3) +∞ + 3<br />
Quindi l’algebra dei <strong>limiti</strong> non ci aiuta nel calcolo<br />
Vediamo il secondo limite:<br />
lim<br />
x→0<br />
x2 + 2x<br />
=<br />
x + 3x3 = +∞<br />
+∞ =forma<br />
lim<br />
x→0 (x2 + 2x)<br />
lim<br />
x→0 (x + 3x3 0<br />
= =forma indeterminata<br />
) 0<br />
Anche qui l’algebra dei <strong>limiti</strong> non ci aiuta nel calcolo<br />
Vediamo come risolvere alcune forme ideterminate<br />
c○Paola Gervasio . - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 7
Forme indeterminate ∞<br />
∞<br />
Es. lim<br />
x→+∞<br />
x 3 − 2x + 1<br />
x 4 + 2<br />
generate da rapporti di polinomi<br />
Devo raccogliere x elevato alla massima potenza a cui compare, sia<br />
a numeratore che a denominatore<br />
x<br />
lim<br />
x→+∞<br />
3 − 2x + 1<br />
x4 x<br />
= lim<br />
+ 2 x→+∞<br />
3<br />
<br />
1 − 2 1<br />
+<br />
x2 x3 <br />
x4 <br />
1 + 2<br />
x4 <br />
1 −<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
2 1<br />
+<br />
x2 x3 <br />
x 1 + 2<br />
x4 <br />
Adesso si applica l’algebra dei <strong>limiti</strong><br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 8
Si ha:<br />
lim<br />
x→+∞<br />
=<br />
1 − 2 1<br />
+<br />
x2 x3 <br />
x 1 + 2<br />
x4 =<br />
1 − lim<br />
<br />
lim x ·<br />
x→+∞<br />
x→+∞<br />
<br />
lim<br />
x→+∞<br />
lim<br />
x→+∞<br />
2<br />
+ lim<br />
x2 x→+∞<br />
lim 1 + lim<br />
x→+∞ x→+∞<br />
1 − 2 1<br />
+<br />
x2 x3 <br />
<br />
x 1 + 2<br />
x4 =<br />
1<br />
x3 2<br />
x4 1 − 0 + 0 1<br />
= = = 0<br />
+∞ · (1 + 0) +∞<br />
Di solito si sottointendono i passaggi intermedi (quelli in nero):<br />
1 −<br />
lim<br />
x→+∞<br />
2 1<br />
+<br />
x2 x3 <br />
x 1 + 2<br />
x4 1 − 0 + 0<br />
= = 0<br />
+∞ · (1 + 0)<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Algebra dei <strong>limiti</strong> cap4a.pdf 9
Forme indeterminate 0<br />
0<br />
generate da rapporti di polinomi<br />
x<br />
Es. lim<br />
x→0<br />
2 + 2x<br />
=<br />
x + x3 In questo caso si raccoglie al numeratore ed al denominatore la<br />
potenza minima, si semplifica e poi si applica l’algebra dei <strong>limiti</strong>.<br />
x<br />
lim<br />
x→0<br />
2 + 2x x(x + 2)<br />
= lim<br />
x + x3 x→0 x(1 + x2 x + 2<br />
= lim = 2<br />
) x→0 1 + x2 Es. lim<br />
x→0<br />
lim<br />
x→0<br />
x 2 − 4x<br />
x2 =<br />
− 2x3 x2 − 4x<br />
x2 = lim<br />
− 2x3 x→0<br />
x(x − 4)<br />
x2 = lim<br />
(1 − 2x) x→0<br />
x − 4 −4<br />
= = ∞<br />
x(1 − 2x) 0<br />
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Primo Teorema del confronto. Supponiamo che f ammetta limite<br />
ℓ1 ∈ R per x → x0 e la funzione g ammetta limite ℓ2 ∈ R per<br />
x → x0. Se esiste un intorno I(x0) di x0 tale che f (x) ≤ g(x) per<br />
ogni x ∈ I(x0) \ {x0}, allora ℓ1 ≤ ℓ2.<br />
y<br />
ℓ2<br />
ℓ1<br />
I(x0)<br />
x0<br />
La dimostrazione è svolta a lezione ed è riportata a pag. 94 del<br />
libro di testo.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 <strong>Teoremi</strong> del confronto cap4a.pdf 11<br />
x
Secondo Teorema del confronto. Siano date tre funzioni: f , g e h<br />
e supponiamo che esistano e siano uguali i <strong>limiti</strong><br />
lim f (x) = lim h(x) = ℓ.<br />
x→x0 x→x0<br />
Se esiste un intorno I(x0) in cui siano definite le tre funzioni,<br />
tranne al piú nel punto x0, tale che<br />
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ I(x0) \ {x0},<br />
allora si ha lim g(x) = ℓ.<br />
x→x0<br />
ℓ<br />
y<br />
x0<br />
h(x)<br />
x<br />
g(x)<br />
f (x)<br />
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Funzioni limitate<br />
Sia f : R → R, con dominio domf ⊆ R.<br />
Def. Diciamo che f è limitata se il suo insieme immagine (imf ) è<br />
un insieme limitato in R.<br />
Def. Diciamo che f è limitata inferiormente se il suo insieme<br />
immagine (imf ) è un insieme limitato inferiormente in R.<br />
Def. Diciamo che f è limitata superiormente se il suo insieme<br />
immagine (imf ) è un insieme limitato superiormente in R.<br />
Esempi. f (x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = arctan(x) sono<br />
funzioni limitate. Infatti imf = img = [−1,1], imh = − π π<br />
<br />
,<br />
2 2<br />
sono tutti insiemi limitati<br />
f (x) = sin(x) g(x) = cos(x) h(x) = arctan(x)<br />
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Esempi di funzioni NON limitate.<br />
f (x) = e x , è solo limitata inferiormente, imf = R +<br />
g(x) = log(x) non è limitata, img = R,<br />
h(x) = −x 2 è solo limitata superiormente, imh = R − ∪ {0}<br />
f (x) = e x g(x) = log(x) h(x) = −x 2<br />
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Sia A ⊆dom f e B = f (A) (l’immagine di A attraverso f ).<br />
Def. Diciamo che f è limitata su A se B è un insieme limitato in R.<br />
y<br />
B1<br />
A1<br />
x<br />
f è limitata su A1 ma non su A2 perchè limx→0 f (x) = +∞.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Funzioni limitate cap4a.pdf 15<br />
A2<br />
y<br />
B2<br />
x
Funzioni limitate (definizione equivalente)<br />
Def. Una funzione f è limitata in un intorno I(x0) del punto x0 se<br />
esiste una costante C > 0 tale che<br />
y<br />
f (I(x0))<br />
|f (x)| ≤ C, ∀x ∈ I(x0) \ {x0}.<br />
C<br />
x0 = 3<br />
I(x0)<br />
x<br />
I(x0)<br />
x0 = 0<br />
f limitata in I(3) ma non è limitata in I(0)<br />
y<br />
f (I(x0))<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Funzioni limitate cap4a.pdf 16<br />
x
OSSERVAZIONE<br />
Dire che f è limitata nell’intorno I(x0) NON vuole dire che esiste<br />
lim f (x)<br />
x→x0<br />
Esempio. Sia f (x) la funzione di Dirichlet così definita:<br />
<br />
1 se x ∈ Q<br />
f (x) =<br />
0 se x ∈ R \ Q<br />
L’insieme immagine di f è imf = {0, 1} è un insieme limitato (ammette<br />
sia maggioranti che minoranti), quindi f è limitata su tutto il suo<br />
dominio, cioè su R.<br />
Inoltre abbiamo −1 ≤ 0 ≤ f (x) ≤ 1 ∀x ∈ R, quindi possiamo dire che<br />
|f (x)| ≤ C ∀x ∈ R con C = 1 (vedi def. a pag. 13).<br />
Tuttavia ∃ lim f (x), qualunque sia x0 ∈ R<br />
x→x0<br />
Infatti f continua a saltare tra i valori 0 e 1 (ricordiamo che tra due<br />
numeri razionali ce n’è sempre almeno uno irrazionale e tra due nuemeri<br />
irrazionali ce n’è sempre almeno uno razionale) e non si riesce a verificare<br />
la definizione di limite (si vedano pag. 15-16 di cap3a.pdf).<br />
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Corollario al II thm del confronto<br />
Def. Se lim g(x) = 0, si dice che g è infinitesima per x → x0.<br />
x→x0<br />
Teorema. Sia f una funzione limitata in un intorno di x0 e sia g<br />
una funzione infinitesima per x → x0. Allora lim (f (x)g(x)) = 0,<br />
x→x0<br />
ovvero la funzione prodotto fg è infinitesima per x → x0.<br />
Es. lim<br />
x→+∞<br />
sin(x)<br />
.<br />
x<br />
f (x) = sin(x) è limitata: |sin(x)| ≤ 1 e g(x) = 1<br />
è tale che<br />
x<br />
sin(x)<br />
lim g(x) = 0. Allora lim = 0.<br />
x→+∞ x→+∞ x<br />
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sin(x)<br />
Limite fondamentale lim<br />
x→0 x<br />
Dim.<br />
1<br />
O<br />
x<br />
A( △<br />
POA) =<br />
e<br />
P<br />
H<br />
x<br />
A<br />
T<br />
PH · OA<br />
2<br />
= 1<br />
Lavoro con x ≥ 0, osservo che f (x) =<br />
sin(x)<br />
è pari.<br />
x<br />
Se l’angolo POA = x allora l’arco ⌢<br />
AP è<br />
lungo x, e A( ⌢<br />
OPA) = x<br />
2 .<br />
Infatti<br />
⌢<br />
AP: 2πr = x : 2π, ⇒ ⌢<br />
AP= x · r = x;<br />
A( ⌢<br />
OPA) : πr2 = x : 2π, ⇒A( ⌢<br />
OPA) = x<br />
2<br />
= sin(x)<br />
, A(<br />
2<br />
△ TA · OA<br />
TOA) = =<br />
2<br />
tan(x)<br />
2<br />
A( △<br />
POA) ≤ A( ⌢<br />
OPA) ≤ A( △<br />
TOA) ovvero sin(x) x<br />
≤<br />
2 2<br />
tan(x)<br />
≤ .<br />
2<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Primo limite fondamentale cap4a.pdf 19
Moltiplicando<br />
sin(x)<br />
2<br />
e invertendo il tutto:<br />
≤ x<br />
2<br />
≤ tan(x)<br />
2<br />
per<br />
1 ≤ x 1<br />
≤<br />
sin(x) cos(x)<br />
cos(x) ≤ sin(x)<br />
x<br />
≤ 1.<br />
2<br />
sin(x)<br />
si ha<br />
Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere x a 0:<br />
lim cos(x) = 1, lim 1 = 1 e quindi lim<br />
x→0 x→0 x→0<br />
sin(x)<br />
x<br />
= 1. <br />
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Riferimenti bibliografici<br />
Canuto-Tabacco: pagg. 91–99.<br />
Esercizi Canuto Tabacco: Es. 1, 2, 3 a pagg. 118-119.<br />
c○Paola Gervasio - Analisi <strong>Matematica</strong> 1 - A.A. 12/13 Bibliografia cap4a.pdf 21