sillogismi sfumati, triangolo oppositivo, quadrilatero ... - Arrigo Amadori

SILLOGISMI SFUMATI, TRIANGOLO OPPOSITIVO, QUADRILATERO NUMERICO,
INTER-BIVALENZA. CON UN’APPENDICE STORICA SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO.
di Cavaliere Ferdinando Via della Libertà 5, 47042 Cesenatico (FC) t. 0547-672469
Laureato in Filosofia, Fac. Lettere e Filosofia - Università degli Studi di Bologna, tesi in Storia del
Pensiero Scientifico (Prof. Giuliano Pancaldi), biennalizzazione Storia della Logica (Prof. Maurizio
Ferriani).
Sommario
Abstract
INTRODUZIONE: FINALITÀ DELLO STUDIO, CON CENNI SULLA SILLOGISTICA TRADIZIONALE
PARTE I SILLOGISMI DISTINTIVI PRE-NUMERICI D
Sillogismi Distintivi semplici:
Sillogismo Triangolare Categorico D3
Sillogismo Triangolare Esclusivo D3e
Sillogismo Esagonale D6
Sillogismi Poligonali
Sillogismi Quasi-numerici DQ
Sillogismi Distintivi composti:
Polisillogismo con Complementari D7c
Espressioni base, inferenze immediate
Regole deduttive mediate
Polisillogismo con Soggetto “ad infinitum” D7s
Estensioni Tri-Esagonali delle Logiche Classiche
Sillogismo Relazionale Iconico R7
Triangolo oppositivo nella Logica degli Enunciati
Triangolo oppositivo nelle Logiche Modali
Altre interpretazioni/applicazioni
PARTE II SILLOGISMI DISTINTIVI NUMERICI N
Sillogismi Distintivi Numerici semplici DN
Quadrilatero Distintivo Numerico
Polisillogismi Numerici PN
Sillogismi Singolari: caso limite D2
Prospettive di sviluppo teorico
PARTE III INTERPRETAZIONI LOGICHE NON-STANDARD
Trasposizione dei Quantificatori ai Valori di Verità: Inter-bivalenza
Super-bivalenza
Logica Pre-Numerica (generalizzante)
Logiche Numeriche (puntualizzanti)
Logica Graduata o Naturale (discreta)
Logica Sfumata o Continua (razionale, reale)
Sillogismi e Polisillogismi sfumati tridimensionali
Prospettive applicative
APPENDICE STORICA: SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO
Il modello teorico: il Polisillogismo Distintivo con Inversa D10
Da D10 alla “Quantificazione del Predicato”, e dal modello alla storia
Sistemi isomorfi a D10: Lambert, Gergonne, Stanhope, Holland, Bentham, Hamilton
Sistemi isomorfi alla Sillogistica Tradizionale : Ploucquet, De Morgan 1
Sistema ibrido : De Morgan 2 composto D12
BIBLIOGRAFIA
Ringraziamenti
1

ABSTRACT
I. Vengono qui sviluppate inedite Sillogistiche, dette “Distintive”, D. Una nuova categorica, la “Particolare
Distintiva”, esprimibile tramite il quantificatore U (=Solo qualche, Qualche ma non ogni), equivalente alla
congiunzione delle Particolari tradizionali (quantificatori I ed O), a queste viene preferita, come primitiva, perché
più vicina al linguaggio comune e all’ intuizione estensionale (riferimenti più distinuibili). “Solo qualche b è a”
è resa con Uba. Assieme alle predicazioni Universali (con A ed E), costituisce il “Triangolo dei contrari”, T.
Quest’ultimo si integra col Quadrato tradizionale, Q, in un Esagono delle opposizioni, Eo, in cui compare l’
“Universale Distintiva” (O ogni o nessun b è a: Yba). Inferenza tipica del sistema è l’obversione senza
negazione di copula o qualità del quantificatore: Uba = Uba’ , Yba = Yba’. Su queste basi si generano:
- Sillogismi Distintivi, D: Triangolari D3, D3a, inclusi nell’ Esagonale D6, Poligonali DP, fra i quali i Quasinumerici
DQ (“la maggioranza di”, “quasi nessun”...), dotati di schemi, modalità e strutture proprie;
- Polisillogismi Distintivi, D7, ove ogni premessa (e -quando possibile- la conclusione) è una congiunzione di 2
categoriche di D3 o D3a tale da identificare biunivocamente ciascuna delle 7 relazioni estensionali possibili
tra due insiemi diversi dalle classi Vuota e Universo. Le espressioni di questo sistema, più economico della sua
traduzione in catene di Sillogismi tradizionali, S, possono fungere da primitivi per S e D.
Vengono fornite: dei sistemi D (eccetto DQ, da approfondire tramite R.D. Carnes e P.L. Peterson), le regole di
inferenza immediata e le tabelle con le conclusioni sillogistiche; di D7, anche le regole di deduzione
polisillogistica e una versione relazionale diadica, iconica dei 7 diagrammi; inoltre applicazioni di T, Eo e D in
ambito Enunciativo (semi-implicazione), Modale, Semiotico (sinonimie-antonimie).
II. Lo schema poligonale, tramite quantificatori D numerici, si amplia in Sillogismi e Polisillogismi D-
Numerici, DN, DPN, a cui sono riconducibili quelli, più indefiniti, di S (categorici, singolari, soriti, Exponibilia, ecc)
o D. Il Q, l’ Eo ed i Poligoni vengono ricondotti ad un Quadrilatero Distintivo Numerico, QDN (base per
deduzioni mediate con diagramma, in fase di studio). Le regole deduttive di questi sistemi sono da accordare ai
Sillogismi Numerici, SN di W. Parry ,E.T. Hacker, H.A.Finch, P.L.Peterson, tenuto conto di alcune differenze
d’impostazione, ed a principi della Matematica discreta (inclusione-esclusione, formule Da Silva, Sylvester). La
struttura logica dei D essendo articolata in soggetto-predicato (logica dei termini) per estendersi alla pluriargomentalità
e alle relazioni può recuperare alcuni concetti dall’approccio algebrico fra ‘8 e ‘900, e connettersi
alla Numerical Term Logic di W. Murphree, F. Summers, e G. Englebretsen, alternativa alla moderna logica
predicativa, ma che in S. Lindell pare possa con questa coniugarsi, in vista di applicazioni informatiche e di I.A.
III. Privando la classe-soggetto del quantificatore e trasferendone il valore pre-numerico o numerico alla
copula o al valore di verità, si rivelano isomorfismi fra D, bivalenti, e Logiche Non-Standard: da un lato, le D prenumeriche,
possono tradursi in una Logica Inter-bivalente, LI, che ammette alla predicazione un valore
intermedio al vero ed al falso, dunque principi indeboliti del Terzo escluso e di Contraddizione; dall’altro, le
DN, in Logiche Pluri-Inter-bivalenti, LPI che assegnano una misura alla verità (e falsità) di una predicazione.
Si perviene così alla Logica Sfumata (o Vaga o Fuzzy): all’inizio, tra due classi crisp (nette) la relazione
predicativa è conteggiata per gradi discreti; poi si attribuisce anche ad ogni elemento la misura (o verità) della
sua appartenza alla classe, che diviene classe fuzzy), esprimibile aggiungendo la dimensione della profondità
al QD, che diviene un “Cubo fuzzy delle opposizioni”; infine arricchendo i valori numerici naturali dello spigolo
A-E coi razionali ed i reali, ampliando il potere quantificazionale da collezioni discrete a entità continue.
(utilizzabile in vari modi: commensurativo assoluto, statistico-correlativo, relativo-probabilistico, frazionariopercentuale,
ecc). Si accennano confronti di LI e LPI con Super-bivalenza, Paraconsistenza, Dialettica,
Trivalenza, Polivalenza, Non-monotonicità.
Per analogia e ad integrazione delle fuzzy-tecnologie, si propone l’applicazione di LI LPI e D, a svariate campi
specie interdisciplinari (pluralità di codici) ad es. in linguistica (traduttori, dizionari), biblioteconomia
(indicizzazioni), informatica (data base, motori di ricerca, pattern recognition, A.I.), ingegneria
(progettazione).
IV. Nella Appendice storica sarà presentato un sistema polisillogistico, sempre su base T, in cui ogni premessa è
costituita dalla congiunzione di 2 categoriche di D3 o D3a, aventi ciascuna le medesime classi dell’altra, ma in
ordine inverso, ossia un sistema che preveda la quantificazione della inversa. Questa variante di D7, sarà
presa come modello correttivo capace di spiegare i “fallimenti” di vari sistemi deduttivi dei secoli scorsi che, per
rifondare la sillogistica tradizionale, ricorsero alla “quantificazione del predicato”. Una tabella comparativa
elencherà le forme espressive dei vari autori e le sostanziali equivalenze semantiche.
2

Introduzione: finalità dello studio, con cenni sulla sillogistica tradizionale
Prendiamo una striscia chiusa ad anello, tipicamente dotata di una faccia interna ed
una esterna. Se la tagliamo in un punto trasversalmente e la distendiamo, produciamo un
lungo rettangolo. Se poi rovesciamo, torcendola, una delle estremità ottenute, ed infine
ricolleghiamo quest’ultima all’altra estremità, quella non rovesciata, otteniamo un anello di
Moebius, caratterizzato dall’avere una sola faccia ed un solo bordo. Percettivamente,
osservandone una piccola porzione, sembrerebbe ancora dotato di due facce e due bordi,
ma basta seguire con un dito il percorso di un bordo o di una faccia per convincersi che,
globalmente, potremmo dire in realtà, non ve ne sono altre.
Questo procedimento può essere una metafora di quanto vorremmo mostrare nel
presente studio, ossia come due facce solitamente contrapposte (concettualmente,
istituzionalmente, tecnologicamente) della logica contemporanea, possano riunificarsi: quella
classica e quella delle cosiddette logiche non-standard, o di almeno alcune fra queste ultime,
come la logica fuzzy.
Il dito designato a seguire il bordo unico, ossia il modello di partenza per la nostra traduzione,
che passo dopo passo subirà la torsione, ci sarà fornito dalla più classica delle teorie
standard, comprensibile tanto per i logici-filosofi, quanto dai logici-matematici: la Sillogistica,
di derivazione scolastica. Qui ne sarà sviluppata una variante inedita, denominata Distintiva,
che, evidenziando strutture latenti alla prima (Triangolo dei Contrari), le inquadrerà in un più
ampio punto di vista (Inter-bivalenza), e ne consentirà la finale evoluzione in una Sillogistica
“Fuzzy”: come un rettangolo ed un cerchio che sembrino inconciliabili, considerati su due
dimensioni, ma entrambi si rivelino coerenti proiezioni di un’unica forma, se pensati in tre
dimensioni, come cilindro. O come, se ci è consentita un’ultima immagine, nonostante
l’esperienza “locale” ci releghi al fissismo delle specie viventi (“dalle lepri nascono solo le
lepri”), il ragionamento su un più ampio contesto di fatti (fossili, genetica, ecc..) ci convinca
dell’evoluzionismo.
Il passaggio nodale infatti si articola in tre fasi. Nella prima si opera una estensione dello
schema classico e si creano i quantificatori intermedi fra l’”Ogni” ed il “Nessuno” : il “Solo
qualche” pre-numerico ed i “Numerici”. Nella seconda occorre un rovesciamento: questo si
ottiene traslando o trasferendo la “misura” o tipicità di una predicazione / relazione dal suo
quantificatore al suo valore di verità , si tratti di quantificatore distintivo, numerico naturale,
razionale o continuo; in questa fase diviene fuzzy la relazione tra insiemi, mentre
sottoinsiemi ed elementi mantengono la bivalenza. Nella terza fase si opera una completa
saldatura con la logica fuzzy applicando un quantificatore ad ogni elemento delle classe
considerata, che ne misuri l’appartenenza (membership) alla classe stessa e la nonappartenenza
alla classe complementare.
Per riportare il discorso a riferimenti concreti, occorre un breve inquadramento storico.
A partire dal 1910, il logico russo N. A. Vasiliev, volendo creare in Logica l’equivalente
della svolta non-euclidea della geometria “immaginaria” di Lobacevskij, parlò di “curvatura dei
concetti”, in apparenza e localmente ”aristotelici”, ma globalmente rispondenti ad una logica
“immaginaria”, che supera i principi di terzo escluso e di non contraddizione, posti alla base
della logica tradizionale. Nello stesso anno, dalla riflessione critica su tali principi classici, J.
Lukasiewicz diede sviluppo ad una intuizione di Aristotele circa l’esistenza di affermazioni “né
vere, né false”, che porterà nei decenni seguenti lui ed altri logici e matematici alla
produzione di logiche trivalenti e polivalenti.
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Mentre la messa in discussione del Principio di non contraddizione indusse alcuni a
fondare le cosiddette logiche dialettiche e paraconsistenti, gli studi teorici sulla polivalenza e
sugli insiemi “vaghi” di L. Zadeh e di altri, portarono alla formulazione delle cosiddette logiche
“sfumate” o fuzzy, particolarmente adatte alle applicazioni tecnologiche. Tutto ciò sullo
sfondo del rigoglioso sviluppo della Logica-matematica moderna, soprattutto nei due grandi
filoni algebrico e logicista, che avevano scosso la secolare stagnazione della Logica, in
particolare della Sillogistica Scolastica.
E’ da tempo acquisito come quest’ultima, ancorché di portata assai più limitata, sia
valida non meno del moderno calcolo dei predicati, in quanto a questo riconducibile. Dunque
tutto ciò che in essa è derivabile, a fortiori lo è nella logica predicativa (che comprende anche
quella enunciativa).
Prima di proporre le nostre elaborazioni, conviene richiamare alcune nozioni basilari della
Sillogistica (in forma abbreviata, S) che ai fini del presente studio, considereremo
indistintamente come tradizionale, classica, scolastica, o moderna. Esempi manualistici di tali
sistemi sono Bird, Otto: Syllogistic and its estensions (Englewood Cliffs; Prentice-Hall,1964)
Thomas, Ivo, O.P. “ CS(n): An Exstension of CS” , Dominican Studies, 2 ( 1949), 145-160 ,
una estensione ai termini negativi del sistema proposto in Bochenski, I.M., “On the
Categorical Syllogism”, Dominican Studies, 1 (1948), 35-47; o prima ancora da Miller, J. W.,
the Structure of Aristotelian Logic. London: Routeledge & Kegan Paul, L t d.,1938.
Come noto, data una coppia ordinata di classi, di cui una classe-soggetto “b” ed una
classe-predicato “a”, S prevedeva 4 possibili predicazioni, nel medioevo illustrate col celebre
Quadrato oppositivo (Q). Ai vertici superiori venivano collocate le categoriche (o
predicazioni) “Universali” : affermativa “Ogni b è a” (Aba) e negativa “Nessun b è a” (Eba).
Agli angoli opposti si collocavano le loro contraddittorie, ovvero le negazioni delle Universali,
dette “Particolari”, rispettivamente: negativa “Qualche (almeno un) b non è a” (Oba) e
affermativa “Qualche (almeno un) b è a” (Iba) (v. fig.1A). I quantificatori A e I derivano dalla
parola latina “AdfIrmo”, i quantificatori E ed O da “nEgO”. Un Sillogismo è un ragionamento
costituito da tre categoriche in sequenza, due che fungono da premessa, ed una da
conclusione. I termini che in quest’ultima fungono da soggetto e predicato (s e p)
compaiono ciascuno separatamente in una delle due categoriche in premessa (anche in
ruolo diverso da quello conclusivo) accanto ad un terzo termine detto medio (m). A seconda
della posizione, nelle premesse e nella conclusione, dei 3 termini, otteniamo le 4 figure
sillogistiche classiche, schematizzabili come segue :
I II III IV
mp pm mp pm
sm sm ms ms
sp sp sp sp
La combinatoria dei 4 quantificatori con le 3 premesse nelle 4 figure dà luogo a 256 possibili
sillogismi di cui solo 24 (6 per figura) costituiranno deduzioni valide (le cui formule
mnemoniche sono le famose “Barbara, Celarent, …”). Un tipico esempio di sillogismo valido
è il seguente: “ogni greco è europeo e ogni ateniese è greco, dunque ogni ateniese è
europeo” (Age * Aag)-> Aae. La sillogistica classica e quella moderna hanno stabilito delle
regole per discriminare rapidamente i modi validi da quelli non validi, estendendola anche ai
termini negativi o complementari (“ad infinitum”), di seguito indicati con l’ apostrofo (ad es.:
a’ = non a), segno di negazione applicabile anche ad espressioni più complesse ( es.: (Aba)’
= non Aba)
5

Come è stato dimostrato dagli autori sopra citati e da molti altri, la sillogistica moderna,
con termini positivi e negativi, ingloba la sillogistica tradizionale (quella dei 24 modi validi),
come caso particolare, poiché l’uso di classi negative e delle regole connesse, assieme ad
un più vasto uso del calcolo degli enunciati, ne estende la portata deduttiva. Analogamente i
sistemi inediti qui presentati sono intesi quali estensioni della sillogistica moderna, includenti
quest’ultima.
La sillogistica classica ha una portata descrittiva e deduttiva limitata, essendo ancorata
alla struttura quantificatore-soggetto-copula-predicato che non si presta a situazioni un po’
più complesse, come quelle descrivibili tramite la logica delle relazioni, o quelle booleane,
poliargomentali.
Nel panorama della logica contemporanea la sillogistica classica, da molti, è ritenuta
una disciplina di interesse esclusivamente storico (vedi ad es E.J. Lemmon).
Gunther Patzig afferma: “La sillogistica era importante quando la scienza era intenta
all’impresa di sistemare i concetti particolari entro quelli più generali e stabilire classificazioni;
e la scienza moderna non si occupa più di cose del genere. Ma le prove sillogistiche si usano
ancora nell’applicazione dei risultati scientifici, come nelle applicazioni giuridiche e nella
terapia medica.” (evidenziazioni nostre).
Tale considerazione va ampliata considerando che, negli ultimi decenni, la crescita
esponenziale delle specializzazioni scientifiche, nonché le necessità di creare nuovi linguaggi
o codici interdisciplinari ripropone una situazione “aurorale” in molte branche particolari del
sapere.
Per districarsi in queste reti semantiche può tornare d’attualità la sillogistica, in quanto
sistema sintattico (insieme di regole formali e di entità astratte) naturalmente portato al
chiarimento terminologico ed alla trasmissione delle conoscenze. Si può perciò dire con
Carruccio: ”Anche se non possiamo accettare la vecchia opinione secondo la quale ogni
deduzione consta di sillogismi, è opportuno soffermarsi su questa forma di argomentazione
(…), di cui è notevole specialmente, ma non esclusivamente, l’importanza storica”
(evidenziazioni nostre).
Questa concessione diviene più persuasiva alla luce di alcune novità comparse in
ambito filosofico: la Old New Logic, sviluppata negli anni ’60 da Fred Sommers, ed arricchita
dai contributi dei continuatori negli anni ’90 (Englebretsen G., Murphree W., e altri) ha
espanso l’approccio classico basato sul linguaggio naturale, creando un sistema (Numerical
Term Logic) dalla potenza deduttiva ed espressiva in grado di competere con il calcolo dei
predicati di 1° ordine, ed in grado di cogliere anche la logica delle relazioni.
Gli ampliamenti della sillogistica, presentati in questo lavoro, si inseriscono nel filone di
approccio alla logica a partire dal linguaggio naturale e dall’intuizione comune. Tenteremo di
illustrare come la loro interpretazione li agganci ad attuali campi della logica per tradizione
considerati lontani dalla sillogistica, interessanti teoricamente e per i possibili risvolti
applicativi.
Si considerino le seguenti inferenze (le formule con simboliche saranno spiegate più avanti):
1. Solo qualche scienziato è logico
se, e solo se, solo qualche scienziato non è logico. Usl Usl’
2. Solo qualche sillogismo è aristotelico;
ogni sillogismo è un ragionamento;
dunque solo qualche ragionamento non è aristotelico. Usa * Asr Ura’
3. Una sola parte, maggioritaria, di bestie è ammalata ;
nessuna ammalata è comprabile ;
6

dunque nessuna, o una sola parte, minoritaria, di bestie è comprabile (>ba * Eac) (E
2 c)
5. solo qualche film sonoro è a colori, ma non lo è nessun film muto;
solo qualche film a colori è film di Tornatore, ma non lo è nessun film in bianco e nero;
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore, ma non lo è nessun film muto.
Uscs’E * Uctc’EUsts’E
6. Ogni uomo è mortale, e non viceversa;
solo qualche mortale è volatile, e non viceversa;
dunque qualche non-uomo è non-volatile. AumO * UmvY Iu’v’
7. Tutti gli uomini sono solo alcuni mortali
solo alcuni mortali sono tutti i volatili
dunque qualche non-uomo è non-volatile. AuUm * UmAv Iu’v’
8. Che gli uomini siano mortali è vero, viceversa, che i mortali siano uomini, è vero in parte;
che i mortali siano volatili è vero in parte, viceversa, che i volatili siano mortali è vero;
dunque, che i non-uomini siano non-volatili è vero almeno in parte.
Questi 8 esempi si riferiscono ad inferenze logicamente valide, anche se non
inquadrabili nella sillogistica tradizionale. La “1.” è una inferenza immediata, la “2.” una
specie di sillogismo semplice, la 3. un sillogismo quasi numerico, la 4. un sillogismo numerico
, la “5.” un polisillogismo col soggetto preso sia “ad finitum” sia “ad infinitum”, la “6.” un
polisillogismo con premesse a struttura “simmetrica” fra soggetto e predicato, la 7. un
sillogismo con quantificazione del predicato, equivalente alla 6, la 8. una interpretazione nonbivalente
dello stesso.
Queste forme deduttive troveranno giustificazione nel presente lavoro. Nei sistemi
inediti che qui illustreremo, che abbiamo chiamato Sillogistiche Distintive, la caratteristica
di fondo è riconducibile all’uso di una serie di nuove predicazioni (ed alle loro
contraddittorie), la prima delle quali è la Particolare distintiva. Il quantificatore che la
caratterizza, in seguito ad alcuni arricchimenti concettuali, si trasformerà quindi in
quantificatore numerico, che, a sua volta, sarà posto alla base di nuove Sillogistiche
Numeriche .
(Avvertenza: per evitare un eccessivo uso di “virgolette” nella menzione di proposizioni o
simboli, spesso useremo i caratteri tipografici in grassetto o corsivo, peraltro usati anche
come evidenziatori; il contesto chiarirà quale dei due utilizzi viene di volta in volta adoperato.
Analogo discorso per l’intercambiabilità del prodotto logico reso con “&” o * , o della somma
logica con ” +” o “V” o, se esclusiva, ” V “).
PARTE I SILLOGISMI DISTINTIVI PRE-NUMERICI D
Sillogismi Distintivi semplici:
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Cominciamo illustrando la più semplice delle nostre varianti della sillogistica classica.
Sillogismo Triangolare Categorico D3
Nella Sillogistica Distintiva più primitiva abbiamo sostituito al quadrato oppositivo, un
“triangolo” dei contrari, che presenterà le seguenti 3 categoriche-base: Universale
affermativa, Universale negativa, e, anziché le 2 Particolari, la loro congiunzione logica, che
chiamiamo Particolare Distintiva (v.fig.1B). Il quantificatore di quest’ultima è interpretabile
nel linguaggio naturale con espressioni come “solo qualche” in senso esclusivo della
universalità, “almeno uno ma non tutti”, “solo alcuni”, “tutti i … tranne alcuni”, “né tutti né
nessun”, “solamente una parte (tra tutti i)”, ecc.
Dal punto di vista della Logica Scolastica la Particolare Distintiva potrebbe figurare,
come una forma inedita, tra gli “Exponibilia” (esponibili), in quanto la congiunzione di due
categoriche (in questo caso due sub-contrarie) appare sotto forma di predicazione con un
solo soggetto ed un solo predicato. Potremmo definirla “Distinctiva” ed accostarla alle
“Exceptivae” (eccettuative): queste ultime hanno una struttura del tipo “tutti i b eccetto x sono
a”, simile, ma più informativa, perché triargomentale, alla prima, che ha una struttura
biargomentale ( “tutti i b, eccetto alcuni, sono a”).
Data una coppia ordinata di classi, di cui una classe-soggetto “b” ed una classepredicato
“a”, possiamo simbolizzare le 3 categoriche di cui sopra nel modo seguente : Aba
(=ogni b è a); Eba (=nessun b è a); Uba (=solo qualche b è a) (quantificatori dalla formula
scolastica modificata “Adfirmo, nEgo, distingUo”). La scelta terminologica di Distintivo
accanto ad affermativo e negativo è motivata dalla necessità di porre accanto ai giudizi
compatibili con la totalità di un insieme dei giudizi che appunto operino una distinzione fra le
parti di una totalità per poter affermare di alcune quel che si deve negare di altre.
[N.b. : ai fini del presente studio utilizzeremo come sinonimi i termini classe ed
insieme, in senso ingenuo, salvo quando il discorso renda necessaria la distinzione, peraltro
rilevante in logica]
In fig.1B, vicino ad ogni categorica, compaiono i diagrammi che, presi disgiunti, ne
rappresentano le sue possibili interpretazioni insiemistiche.
In tali diagrammi il rettangolo di cornice rappresenta l’Universo del discorso, UD,
tranne nel caso 5, per il motivo seguente: per lo sviluppo del nostro discorso, è fondamentale
rilevare la differenza tra il caso 4. e il 5. : in entrambi, le classi “b” ed “a” si intersecano in
senso stretto, ma nel secondo caso la loro unione copre l’intero Universo, rappresentato
dunque dai due insiemi senza altra “cornice” esterna. Ugualmente importanti sono le
analoghe differenze ricavabili dal confronto fra i casi 6. e 7.
Quali esempi di questi 7 casi, possono essere presi i seguenti: 1. UD=triangoli,
b=equilateri, a=equiangoli 2. UD=triangoli, b=equilateri, a=isosceli 3. UD=quadrilateri,
b=rettangoli, a=quadrati 4. UD=quadrilateri, b=rombi a=rettangoli 5. UD=poligoni b=pol. con
meno di cinque lati a=pol. con più di tre lati 6. UD=poligoni b=triangoli a=quadrati 7.
UD=triangoli b=isosceli a=scaleni.
I 7 diagrammi sono notoriamente esaustivi dei rapporti fra due insiemi diversi dalla
classe Universale e dalla classe Vuota (vedi ad es. Bird, O. : cap. 3 par. 27). Ovviamente
perché vi siano i casi 2., 4. e 5. la classe a deve consistere di almeno 2 elementi; stessa
sorte per b nei casi 3., 4., e 5. In particolare b, essendo soggetto, se consistesse di 1 solo
elemento non saremmo più neppure in presenza di Categoriche, ma di Singolari, e non
avrebbe più senso parlare di particolari. Tornemo su questo più avanti.
8

Il “triangolo” delle opposizioni opera una partizione di questi 7 casi, circostanza che
non si realizza nel quadrato delle opposizioni, ove ciascuna Particolare, non essendo
esclusiva della Universale della stessa qualità affermativa o negativa, può designare tanto i
casi di quest’ultima quanto quelli della distintiva.
Possiamo pertanto porre come Assioma di base (Aba) V (Eba) V (Uba), ove per V si
intende la disgiunzione esclusiva (o or esclusivo), ossia l’AUT.
Leggi di inferenza immediata:
a = a’’
Aba = Aa’b’ (contrapposizione)
Eba = Eab (conversione)
Aba = Eba’ (obversione)
Eba = Aba’ (obversione)
Uba = Uba’ (obversione)
Quest’ultima può essere così dimostrata , all’interno della sillogistica tradizionale:
Uba =def: Iba *Oba
Iba * Oba = (Eba)’ * (Aba)’ = (Aba’)’ * (Eba’)’ = Oba’ * Iba’ = def: Uba’
(Qualcuno potrebbe obiettare che quando inferiamo “Solo qualche b non è a” da “Solo qualche b è a”,
il soggetto quantificato nella prima categorica non è lo stesso della seconda, ancorché indicato dalla
medesima espressione (solo qualche b) : incorreremmo cioè nella fallacia dell’amphibolia o
ambiguità. Tuttavia una inferenza vale anche se cambiamo il soggetto: ad es da “Ogni uomo è
mortale”, inferiamo correttamente “Nessun immortale è uomo”.)
La obversione della Particolare distintiva, con copula o predicato affermativi,
genera, senza un cambio nella qualità del quantificatore (come invece avviene per i 4
tradizionali), una Particolare distintiva equivalente, con copula o predicato negativi,
proprio perché abbiamo distinto due sottoinsiemi propri nella classe del soggetto, uno dei
quali incluso nella classe del predicato, l’altro escluso.
Tali sottinsiemi – un tempo da molti (fra gli altri J. Lambert) interpretabili come “specie”
del “genere” - sono ciascuno il complemento dell’altro nel soggetto , pertanto la partizione del
soggetto è esaustiva.
Sulla base di queste tre categoriche è possibile costruire una sillogistica, che d’ora in poi
chiameremo “triangolare” (o “primitiva”) o D3, sul modello di quella classica.
Tra i 108 modi possibili i 6 validi saranno così distribuiti fra le 4 figure:
nella 1^ avremo sillogismi in AAA ( Barbara), EAE (Celarent), nella 2^ : EAE ( Cesare) AEE
(Camestres); nella 3^: UAU (Unavult = ”li vuole in uno” nuovo modo), nella 4^: AEE (
Camenes).
Si può prendere il modo UAU in 3^ come assioma, ma qui vogliamo dimostrare come
esso può essere derivato dalla sillogistica tradizionale.
DIMOSTRAZIONE VALIDITA’ DEL MODO UAU NELLA 3^ FIGURA
Tesi Uba *
Abc
Uca
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Dimostrazione:
1. ( Iba * Abc ) ( Ica ) ( Disamis )
2. ( Oba* Abc ) ( Oca ) ( Bocardo )
(1.* 2. ) Ica * Oca ( Per logica degli enunciati )
(1.* 2. ) Uca ( Definizione Uca = Ica * Oca )
[( Iba * Abc ) * ( Oba * Abc )] Uca
1. 2.
[( Iba * Oba ) * Abc] Uca ( Distributività del prodotto logico)
[ Uba * Abc ] Uca ( Definizione Uba )
Sillogismo Triangolare Esclusivo D3e
Nella Logica Scolastica le predicazioni del tipo ”Soltanto (tantum) b è a” ossia “Solo i b sono
a” erano chiamate “Exclusivae”. Erano un tipo di “Exponibilis”, ossia di quelle proposizioni
composte da prodotti e somme di predicazioni semplici. In questo caso “Soltanto i b sono a”
veniva tradotta con Iba * Eb’a; senonchè Iba per legge di assorbimento è già implicato da
Eb’a, per cui alla fine ci troviamo con una predicazione assimilabile alle categoriche semplici,
con qualche termine negativo. Nella nostra simbologia potremmo indicarla con Sba. Alla luce
delle interpretazioni sillogistiche moderne, data una coppia ordinata di insiemi, una Esclusiva
risulta l’equivalente di una Universale Affermativa con i medesimi termini volti al negativo –
ossia, come si diceva allora – con ogni termine “ad infinitum” : Sba = Ab’a’.
Alla Esclusiva può esser data anche una veste eccettuale speciale: Sba equivale a: Nessuno (o
niente), tranne (i) b è (sono) a.
Anche dalle Esclusive si ottenevano i quadrati oppositivi (vedi qui sotto, fig 2):
Sba ---- Sba’
I X I
(Sba’)’---- (Sba)’
(le formule mnemoniche per le Universali affermative e negative erano rispettivamente Dives
e Orat, per le Particolari affermative e negative Anno ed Heli).
Sba significa che non vi sono a che non siano b, mentre è lasciato indefinito se vi siano b che
non sono a. Sba’ significa: Soltanto b non è a. Pertanto Sba = Ab’a’ = Aab = Sa’b’ mentre
Sba’ = Aa’b = Ab’a = Sab’.
Quanto alle particolari, anche qui, allontanandoci dalla Logica Scolastica, possiamo operare
una congiunzione delle particolari per generare un triangolo delle opposizioni. Volendo
mantenere i termini tutti al positivo e nell’ordine iniziale, potremmo dare la seguente
interpretazione vicina al linguaggio naturale : Sba =Soltanto il b è a; Cba =il complemento di
b è a (ogni b “ad infinitum” è a); Jba =Solo qualche complemento di b è a (Solo qualche b
“ad infinitum” è a). Vedi qui fig.2 bis:
Jba
/ \
Sba ----- Cba
10

Per tali predicati varranno regole d’inferenza ed assiomi del tutto analoghi a quelli delle
categoriche. Anche per le esclusive potremmo dunque generare una sillogistica distintiva,
che riteniamo però superflua in quanto equivalente a quella ordinaria con le dovute
sostituzioni dei termini negativi nelle giuste occorrenze.
Sillogismo Esagonale D6
A questo punto integriamo Categoriche triangolari e Categoriche tradizionali, arricchite
anche dei termini negativi, in un Sillogismo Esagonale o allargato.
Dall’ assioma di base ( Aba v Eba v Uba ) ricaviamo le contraddittorie, ossia le
negazioni, delle categoriche-base. Così (Aba)‘ (Uba v Eba) ; (Eba)‘ (Aba v Uba);
(Uba)’(Aba v Eba). Riconosciamo le tradizionali Iba = def. ( Aba v Uba ) ed Oba = def.
(Eba v Uba), mentre compare una nuova categorica che chiameremo Universale
“distintiva”, esprimente la negazione della particolare distintiva e che simbolizzeremo
Yba=def. (Aba v Eba) (o ogni o nessun b è a) (quantificatori dalla formula scolastica
modificata “AdfIrmo, nEgO, distingUo: sYllogizo”).
Anche per l’Universale distintiva vale l’obversione: Yba = Yba’. La obversione della
universale distintiva, con copula o predicato affermativi, genera, senza un cambio nella
qualità del quantificatore (come invece avviene per i 4 tradizionali) una universale
distintiva equivalente, con copula o predicato negativi. Infatti ammettendo solo i due
casi distinti dal quantificatore (o ogni o nessun…) se neghiamo il predicato in un caso lo
affermiamo dell’altro e viceversa.
E. Casari, in “Lineamenti di logica matematica”, chiama la Particolare distintiva
“Particolare neutra” e la sua contraddittoria “Universale alternativa”. Sceglie poi di utilizzare
gli altri quantificatori, in linea con la tradizione logico matematica, pur ammettendo la
legittimità di altre scelte. Non abbiamo adottato l’aggettivo “neutra” perché vogliamo tenere
equidistante la distintiva sia dal concetto di diversità dalle universali (“ne-uter”, non entrambe)
sia dal concetto di coesistenza (“uter” , entrambe) di una affermazione ed una negazione,
ancorchè parziali, poichè riferite ai 2 sottinsiemi . “Distintiva” rende l’idea di una pluralità di
livelli coinvolti nella predicazione di cui trattasi, anche nel caso della Universale, in cui a livello
disgiuntivo si può avere una equivalenza che a livello atomico pare una incompatibilità
(giustamente “alternativa”, anche se inesaustiva) .
Il quadrilatero delle opposizioni che rappresentava la sillogistica tradizionale viene
dunque inglobato in un esagono a 6 categoriche (vedi fig.1C); chiameremo Sillogismo
“Esagonale” (o”allargato”) o D6 il sistema deduttivo che ne scaturisce. Nell’esagono le
categoriche contraddittorie sono disposte simmetricamente rispetto al centro, mentre le
contrarie (o sub-contrarie) lo sono rispetto all’asse verticale. Un ideale asse orizzontale
separa le primitive, poste nella parte alta dell’esagono, dalle derivate, in basso. Due triangoli,
uno col vertice in alto, l’altro verso il basso, nello schema equilateri, uniscono rispettivamente
le Particolari e le Universali.
Le possibili rappresentazioni insiemistiche delle categoriche derivate Iba, Oba, Yba,
sono visualizzabili in fig.1B, raggruppando, per ciascuna di esse, i diagrammi associati ad
entrambe le categoriche primitive che le costituiscono in disgiunzione, oppure escludendo
quelle che ne rappresentano le contraddittorie.
(Se vogliamo distinguere la sillogistica tradizionale da entrambi i sistemi qui presentati,
potremmo qualificare la prima come sillogistica “assoluta”, e gli altri come sillogistiche
“distintive”)
In fig.1C compaiono le inferenze immediate di questo sistema a 6 categoriche-base.
11

Da notare innanzitutto la differenza tra la negazione della sola copula di una
Particolare distintiva, negazione che produce null’altro che la obversione della Particolare
distintiva di partenza, che è doppiamente implicata da quella ( “ solo qualche b è a “, “
solo qualche b non è a “) e la negazione di una intera Particolare distintiva che, per l’assioma
di base, equivale a “o ogni o nessun b è a”.
Poiché Eba=Eab allora (Eba)’=(Eab)’ ; inoltre (Eba)’=(Aba v Uba), come (Aab)’= (Aab
v Uab), perciò (Aab v Uab)=(Aba v Uba). Quest’ultima equivalenza ricostruisce la classica
inferenza immediata Iab=Iba. Viene così individuata una legge generale del sillogismo
secondo la quale per ciascuna categorica vale la stessa legge di inferenza immediata della
categorica ad essa contraddittoria: contrapposizione per le categoriche contraddittorie
Universale affermativa-Particolare negativa, conversione per le Universale negativa -
Particolare affermativa, obversione per la Particolare distintiva - Universale distintiva.
Oltre a ciò vale poi la generalissima legge di obversione per cui ogni categorica
equivale alla propria obversione se se ne nega al contempo la copula: Aba= ogni b non è
non-a, Eba= nessun b non è non-a, Uba= solo qualche b non è non-a, Yba= ogni, o nessun
b non è non-a, Iba= almeno un b non è non-a, Oba= almeno un b è non-a.
Aggiungendo i due casi di obversione della Particolare distintiva - Universale distintiva
alle regole di inferenza immediata già note nelle sillogistiche con termini anche negativi ( Aba
= Aa’b’, ecc.) ed estendendo sistematicamente tutte le trasformazioni di equivalenza ad una
coppia non ordinata di termini presi sia negativi che positivi, si ottengono in tutto 16 enunciatibase
diversi per significato gli uni dagli altri.
In tabella 1 presentiamo questi enunciati-base nelle varie forme equivalenti.
tab.1
Aba=Aa’b’=Ea’b=Eba’ Contraddittoria di Oba=Oa’b’=Iba’=Ia’b
Eba=Eab=Aab’=Aba’
" Iba=Iab=Oba’=Oab’
Uba=Uba’
" Yba=Yba’
Ab’a’=Aab=Eab’=Eb’a " Ob’a’=Oab=Iab’=Ib’a
Eb’a’=Ea’b’=Aa’b=Ab’a
" Ib’a’=Ia’b’=Oa’b=Ob’a
Ub’a’=Ub’a
" Yb’a’=Yb’a
Uab=Uab’ " Yab=Yab’
Ua’b’=Ua’b " Ya’b’=Ya’b
Nelle ultime tre righe compaiono espressioni non comprese nell’esagono iniziale,
costruito sulla coppia b,a. Tali espressioni, non riconducibili agli altri casi, sono comunque
espressioni-base del sistema, generate dall’ esagono costruito sulla coppia b’a’.
Esempi di questi 16 enunciati-base sono elencati nelle intestazioni delle colonne della
tab. 2., ove sono presi in considerazioni tutti i possibili rapporti di predicazione tra la classe m
( o m’ ) e la classe a ( od a’ ). Analogamente nelle denominazioni delle righe della tabella 2 gli
stessi rapporti intercorrono tra la classe m ( o m’ ) e la classe c ( o c’ ) dall’altro.
La tab.2.(suddivisa per esigenze tipografiche in due parti, a e b, la seconda
idealmente giustapponibile a destra della prima) riassume tutti i sillogismi ammissibili nel
sistema esagonale, con le intestazioni di colonne e righe che fungono rispettivamente da I e
II premessa, mentre all’interno delle caselle ciascun enunciato rappresenta la conclusione più
“ stretta” o “forte” (cioè sono sottintesi i cosiddetti modi subalterni) del sillogismo avente come
premesse le coordinate della casella medesima. Ad es. (Uma*Amc) implica Uca; da questa
conclusione in via subalterna ricaviamo Ica, o anche Oca, conclusioni, queste ultime due, che
lasciamo sottintese.
12

Operando le dovute trasformazioni (inversioni nell’ordine delle premesse, conversioni,
ecc.) la tabella renderà conto (caratteri neri) non solo di tutti i modi validi sia del sillogismo
tradizionale (24 modi) nonché di quello con termini anche negativi, ma altresì di nuove forme
sillogistiche (caratteri blu e rossi) dovute all’introduzione dei nuovi quantificatori. Compaiono
inoltre altre forme deduttive (caratteri verdi) non propriamente sillogistiche, ma valide (e
derivabili) come ad es.: Yma * Umc Uca * Uc’a’. (n.b. nella tabella al posto del segno V si
è adoperato il segno”+”).
A dimostrazione che la sillogistica tradizionale vi è realmente inglobata basti
considerare che nel sistema di cui trattasi compaiono i due modi Barbara e Celarent
(rispettivamente I e III colonna, II riga della tab.2a -non contando le intestazioni- con la
dovuta trasformazione di Am’c’ in Acm) dai quali, come noto, sono derivabili tutti gli altri modi
del sillogismo classico e, con le appropriate trasformazioni, anche quello con termini negativi.
Fra i modi nuovi : Hydrargyr in I° figura, Yma *Acm Yca ; Lycurgo in II° figura, Yam *
Ucm Oca .
Tralasciando gli altri, pur nuovi, in cui compare la Universale distintiva, ci paiono
interessanti i sillogismi validi in cui una premessa è Particolare distintiva.
Ordinati nelle classiche figure, questi nuovi modi così si distribuiscono: nella I^ figura
abbiamo i modi AUI, EUO; nella II^ AUO, EUO; nella III^ AUI, UAU, UAI, UAO, EUO; nella
IV^ UAI, EUO.
Dal capostipite Unavult (Uma * Amc Uca in III° figura) per la logica degli enunciati si
giunge ai modi subalterni UAI e UAO (U I, e UO). Dal primo di questi, tramite la
conversione della conclusione e lo scambio delle premesse, si giunge ad AUI; da
quest’ultimo, per obversione della conclusione nonché della I^ premessa, si ottiene il modo
EUO. Da EUO in III^ fig. si può passare a EUO in IV^ con la conversione della I^ premessa;
da questo modo per riduzione indiretta si giunge a UAI, sempre in IV^ fig. ; da questo, per
conversa della conclusione e scambio di premesse si giunge a AUI nella I^ che per
obversione di conclusione e I^ premessa genera EUO, che per conversa della prima
premessa genera EUO nella II^ figura. Da AUI nella I^ si genera AUO nella II^ nel seguente
modo: si contrappone la I^ premessa, e si obvertono la II^ premessa e la conclusione.
Questo sistema si presenta equivalente, per potenza deduttiva, alle sillogistiche con
termini positivi e negativi, assestatisi nella modernità, da Lewis Carroll a Lukasiewicz e oltre.
La sillogistica tradizionale, come quella coi termini negativi, (comprese le forme non
tipiche come il sorite e l’entinema) può essere quindi considerata come un caso particolare,
per quanto ampio, di questo nuovo sistema. Dal punto di vista assiomatico tutte le nuove
forme sono riconducibili, tramite trasformazioni dirette o indirette, al solo modo UAU della III^
figura. Pertanto tutte le sillogistiche citate sono riconducibili ai soli modi Barbara, Celarent, e
UAU della III^ figura. Come metodo di controllo metateoretico della correttezza di questi modi
e dei loro derivati abbiamo adottato i diagrammi di Venn.
13

tab.2a Ama Am'a' Ema Em'a' Ima Im'a' Oma Om'a'
Amc Ica Ac'a' Oca Ec'a' Ica Oca
Am'c' Aca Ic'a' Eca Oc'a' Ic'a' Oc'a'
Emc Oc'a' Eca Ic'a' Aca Oc'a' Ic'a'
Em'c' Ec'a' Oca Ac'a' Ica Oca Ica
Imc Ica Oca
Im'c' Ic'a' Oc'a'
Omc Oc'a' Ic'a'
Om'c' Oca Ica
Umc Uac Ua'c'
Um'c' Ua'c' Uac
Ucm Ica Oca Oca Ica
Uc'm' Oc'a' Ic'a' Ic'a' Oc'a'
Ymc Yac Ya'c'
Ym'c' Ya'c' Yac
Ycm Aca+Oc'a' Eca+Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a' Aca+Oc'a' Eca+Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Yc'm' Ica+Ec'a' Oca+Ac'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a' Ica+Ec'a' Oca+Ac'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
14

tab.2b Uma Um'a' Uam Ua'm' Yma Ym'a' Yam Ya'm'
Amc Uca Ica Oca Yc'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
Am'c' Uc'a' Oc'a' Ic'a' Yca Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Emc Uc'a' Oc'a' Ic'a' Yca Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Em'c' Uca Ica Oca Yc'a' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
Imc Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
Im'c' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Omc Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Om'c' Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
Umc Uca+Uc'a'
Um'c' Uca+Uc'a'
Ucm Oca Ica
Uc'm' Ic'a' Oc'a'
Ymc Uca+Uc'a' Yca+Yc'a'
Ym'c' Uca+Uc'a' Yca+Yc'a'
Ycm Oc'a' Ic'a' Eca+Ic'a' Aca+Oc'a'
Yc'm' Ica Oca Oca+Ac'a' Ica+Ec'a'
15

Sillogismi Poligonali
La Particolare Distintiva ha evidenziato che un quantificatore collocato sull’asse di simmetria
fra affermative e negative, idealmente equidistante dalle due Universali, consente la legge di
obversione senza negazione della copula o del quantificatore stesso.
Viene così spezzato il segmento A-E o, se si preferisce, ne viene colmato lo iato, in modo
non ambiguo, operazione impossibile con le Particolari tradizionali.
Possiamo a questo punto concepire ulteriori interruzioni, intermedie ma non necessariamente
equidistanti rispetto agli estremi A ed E. Tali nuovi quantificatori, e corrispondenti
predicazioni, se scelti in modo da essere incompatibili fra loro ed esaustivi, possono dare
origine a nuovi Poligoni delle opposizioni, base per la costruzione di Sillogismi
Poligonali. Questi vanno sempre considerati Distintivi in quanto le situazioni intermedie
presuppongono sempre giudizi che distinguono nel soggetto un sottinsieme cui viene
attribuito (affermativamente o negativamente) il predicato ed uno cui non viene attribuito. La
differenza principale con D3, D3a e D6 consiste, oltre al maggior numero di quantificatori
(potenzialmente illimitato), nel fatto che alcuni di essi, non equidistanti da A ed E,
nell’obversione dovranno tramutarsi nel proprio simmetrico, similmente a quanto accade
nell’obversione fra A ed E, e diversamente da U (che essendo simmetrico a se stesso, non
muta).
Va precisato che i precedenti D3, D3a e D6 debbono considerarsi casi particolari di
Sillogismi Poligonali, caratterizzati da 3 categoriche contrarie (6 con le contraddittorie).
Vedremo più avanti che, in questa ottica, pure i Sillogismi Singolari rientrano, come caso
degenere, nei Poligonali.
Ora esaminiamo un esempio di questi Poligoni delle opposizioni.
Sillogismi Quasi-numerici DQ
Lo schema sotto riportato illustra le relazioni oppositive tra 5 quantificatori: i tradizionali A ed
E, ed altri tre i cui simboli: !! , > , < , significano, rispettivamente, la metà esatta di ; una
sola parte maggioritaria di ; una sola parte minoritaria di. Definiamo i nuovi quantificatori
Quasi-numerici, Qn, in quanto forniscono una stima della quantità del soggetto coinvolta nella
predicazione (ed indirettamente della quantità coinvolta nel complementare del predicato),
che nasce dal confronto con una ideale metà degli elementi (2 sottoinsiemi equipotenti), ma
senza una unità di misura che definisca numericamente né tale metà né le differenze. Il Qn ci
informa della sua superiorità o inferiorità o coincidenza con detta metà, nonché della sua
diversità da A ed E (in termini scolastici potremmo usare il verbo “Comparo”). Tra i 5
quantificatori vige perciò una semplice relazione d’ordine. E’ chiaro che, per classi-soggetto
con un numero dispari di elementi il quantificatore !! non ha senso, come non ne hanno > e <
, se il soggetto ha meno di 3 elementi; dunque per avere i 5 Qn il soggetto deve avere
almeno 4 elementi. La somma logica disgiunta (>ba) + ( !! ba) + (

di queste espressioni intermedie, vale come disgiunzione; nel diagramma vengono sottintese
le equivalenti di Iba, ossia A > !! < ba (ogni, o una sola parte maggioritaria di, o la metà esatta
di, o una sola parte minoritaria di b è a) ed Oba, ovvero E < !! > ba (nessun o una sola parte
minoritaria di, o la metà o una sola parte maggioritaria di b è a). Vedi qui fig 3
!! ba
> ba < ba
A ba E ba
A > ba E < ba
A > !! ba
E < !! ba
I ba Oba
AE !!< ba AE !! >ba
AE> < ba
Ai vertici opposti si trovano espressioni reciprocamente contraddittorie. Si sarà notato
l’incremento più che proporzionale dei vertici (14, tetradecagono) rispetto all’esagono (6),
raffrontato all’aumento di 2 soli primitivi (5 contro 3). Se i primitivi fossero stati 4 il poligono
avrebbe avuto 10 lati (decagono), se 2 il poligono avrebbe collassato in segmento (vedi
Sillogismi singolari)
Per analogia con l’ esagono, anche qui i vertici superiore e inferiore saranno occupati dalle
predicazioni che ammettono l’obversione senza cambio di quantificatore, ossia dalla
predicazione !! ba, equivalente a !! ba’, e dalla sua contraddittoria.
I due vertici a contigui a !! ba saranno occupati, a sinistra da >ba, a destra da ba !! ba E < !!
ba’ . Abbiamo dunque reciprocità fra > e < , come fra A ed E e fra I ed O, mentre !! è
reciproco a se stesso. Considerando anche le forme inverse, i complementari e la riduzione
delle forme equivalenti otteniamo un sistema con16 espressioni-base irriducibili:
Aba Aba’ Ab’a Ab’a’
>ba !! ba < ba >b’a !! b’a < b’a >ab !!ab < ab >a’b !!a’b < a’b
cui aggiungere le 16 contraddittorie e le disgiunzioni a 3 a 3, a 2 a 2…
La sillogistica che ne deriva prevede una casistica vasta. A titolo puramente
esemplificativo citiamo la seguente inferenza:
17

(>ba * Eac) (E < bc) (Se una sola parte maggioritaria di b è a e nessun a è c, allora
nessuno o una sola parte minoritaria di b è c).
Qui la conclusione è interpretabile anche con un ulteriore quantificatore, come
“nessuno o quasi dei b è c”. Infatti, complicando ancor più il sistema, altri quantificatori si
potrebbero aggiungere, ad es. ”Quasi tutti”, ”Molti”, ”Pochi”, ”Quasi nessuno”, anche se
bisognerebbe meglio definirli. E’ quanto analizzato negli studi su forme argomentative
analoghe ai sillogismi, con quantificatori denominati “intermediate”, da R.D. Carnes e P.L.
Peterson. Ai loro lavori si rimanda per lo sviluppo di una DQ, anche se l’impostazione diversa
richiede un adattamento analogo a quello operato nel passaggio da S a D. La ragione
apparirà più chiara operando una semplificazione del poligono. Questo infatti mantiene
inalterate le sue proprietà logiche anche se ne comprimiamo i lati, riducendo i vertici, tranne i
4 canonici, come punti interni al Quadrato classico: vedi fig. 4 qui sotto.
L’unica informazione che diviene meno evidente in questo diagramma è
l’allineamento, sulla stessa riga, dei quantificatori che si sostituivano reciprocamente
nell’obversione: qui lo sono quelli simmetrici rispetto all’asse verticale centrale (asse che
idealmente sussiste anche nei casi di classe-soggetto con elementi in numero dispari).
L’impostazione Distintiva predilige, come primitivi, i Qn posti sul lato orizzontale superiore del
Quadrilatero. Invece, in analogia alla S, gli Autori citati utilizzano i Qn posti sui lati, per noi
derivati. La traduzione reciproca è assicurata tramite congiunzioni o disgiunzione dei rispettivi
primitivi. Così >ba può derivare per prodotto logico di A>ba congiunta a Oba ossia a E < !! >
ba. Quando gli Autori parlano di majorty (=Most) e half (=Half) si riferiscono ai quantificatori
da noi collocati immediatamente sotto Aba, e non alla sua destra, in quanto le loro
espressioni sottintendono “or more”. Questa maggiore generalità si paga ricadendo nella
consueta controintuitività: nel linguaggio comune dicendo “la metà delle mele sono mature” di
solito si esclude che lo siano tutte.
A parte questo, riteniamo fattibile la traduzione degli studi citati nei nostri termini
primitivi, con annesse leggi inferenziali, per sviluppare una DQ basata sulla solida
impostazione algebrica di calcolo degli Autori menzionati e di altri ad essi collegati. Vi è
anche un’altra ragione per non sviluppare in questa sede un DQ: le espressioni di
quest’ultimo sono infatti riconducibili alla sintassi dei Sillogismi Distintivi Numerici, che
vedremo nella Parte II.
All’estremo opposto della moltiplicazione infinita dei lati del poligono (che porterebbe
questo alla forma limite del cerchio), troviamo il caso limite che riduce a semplice segmento
le figurazioni finora trattate: se b è costituito da 1 solo elemento o è a o è a’. Tale struttura è
analoga a quella delle tanto discusse Predicazioni Singolari, spesso assimilate alle
Universali, ma che non riuscivano ad essere collocate nel quadrato delle opposizioni in
quanto prive delle corrispondenti subordinate Particolari. Il motivo di questa “singolarità” si
18

evidenzia chiaramente dalla struttura dinamica dei sillogismi poligonali. Si può concepire che
il poligono esista, al limite, anche per una Singolare, collassato.
Sillogismi Distintivi composti
A questo punto vorremmo produrre una sillogistica ancora più univoca nei suoi riferimenti
estensionali.
Come si è visto con le sole 3 categoriche di un triangolo delle opposizioni abbiamo
operato una partizione delle 7 situazioni topologiche di fig.1B. Queste ultime per essere
discriminate l’una dall’altra, in modo inequivoco, da espressioni predicative, dovranno vedere
integrata l’informazione, fornita dalla categorica di riferimento, da ulteriori predicazioni.
Infatti la singola predicazione ha una struttura che, per quanto si potenzi la precisione
del suo quantificatore (ad es. anche se numericamente definito), ci fornisce informazioni
concernenti essenzialmente gli elementi della classe-soggetto, e solo incidentalmente quelle
relative alla classe-predicato. Come vedremo in appendice, la tentazione di quantificare
semplicemente anche il predicato, in cui caddero alcuni logici dei secoli scorsi, presenta delle
insidie. Per evitare tali problemi qui adotteremo un approccio basato sulla congiunzione di
due predicazioni, alla maniera degli Esponibili della tradizione Scolastica. Dobbiamo cioè
trovare delle espressioni di base più informative, e di conseguenza i sillogismi cui potranno
dar luogo dovranno propriamente essere definiti Polisillogismi, in questo caso Polisillogismi
Distintivi.
Polisillogismo con Complementari D7c
Espressioni base, inferenze immediate
Le informazioni aggiuntive di cui avevamo bisogno per individuare i 7 casi ci possono essere
fornite dalle Esclusive. In fig. 5, il triangolo categorico (caratteri in grassetto) viene
sovrapposto al triangolo esclusivo (caratteri in corsivo), quest’ultimo per comodità grafica col
vertice particolare posto in basso.
Fig.5
Ab’a’ 3 Uba’ 5 Ab’a Eb’a’
Sba Uba C ba
^ ^ ^
I I I
1 O ( () ) 4 I 7
I I I
v v V
Aba Jba Eba Aba’
2 Ub’a
Ub’a’ 6
In questa figurazione (una sorta di stella di Davide schiacciata), da ogni raffigurazione
topologica partono le 2 frecce che indicano 2 predicazioni che, congiunte, la rappresentano.
Viceversa ad ogni espressione predicativa convergono le frecce che partono dalle sole
possibili situazioni topologiche riferibili a quella singola predicazione. Vicino ad ogni
espressione ne compaiono alcune equivalenti.
19

In tabella 3, II° colonna (denominata “scolastica”), sono elencate le combinazioni di
Categoriche ed Esclusive della medesima coppia ba, che identificano in modo biunivoco i 7
casi topologici, indicati nella I°colonna.
Tab.3
I II III IV V VI
casi “scolastica” esplicita pratica alternativa sintetica
1 Aba *Sba Aba *Ab'a' AbaA,, Aba *Eb’a Abab’E
2 Aba *Jba Aba *Ub'a' AbaU,, Aba *Ub'a Abab’U
3 Uba *Sba Uba *Ab'a' UbaA,, Uba *Eb'a Ubab'E
4 Uba *Jba Uba *Ub'a' UbaU,, Uba *Ub'a Ubab’U
5 Uba *Cba Uba' *Ab'a Uba'A,, Uba *Ab'a Ubab'A
6 Eba *Jba Aba' *Ub'a Aba'U,, Eba *Ub'a Ebab'U
7 Eba *Cba Aba' *Ab'a Aba'A,, Eba *Ab'a Ebab'A
Nella colonna III (esplicita) per ciascuna espressione “scolastica” abbiamo fornito una
versione equivalente, che utilizza solo congiunzioni di categoriche, che limita i quantificatori ai
soli A ed U, e che presenta nella seconda categorica della congiunzione la coppia dei termini
complementari alla prima.
Si noti che la 7. può essere considerata una forma Eccettuale, semplificata rispetto a quella
Scolastica, e diversa da quelle in precedenza esaminate (potremmo chiamarla”Moderna”, perché
frequente nella manualistica attuale), e interpretabile nel seguente modo: Tutto/i, tranne (i) b, è(sono)
a.
Le residue espressioni categoriche o esclusive primitive non considerate nello
schema, o sono equivalenti a quelle considerate, o sono equivalenti alle seguenti quattro, per
le quali forniamo gli equivalenti casi insiemistici:
Uab = 2 aut 4 aut 5
Ua' b' = 3 aut 4 aut 6
Fra le non primitive restano, oltre alle particolari tradizionali, Yba o Yb’a’, facilmente
individuabili nella fig 7,
Yab = 1 aut 3 aut 6 aut
7
Ya'b' = 1 aut 2 aut 5 aut
7
Ognuna di queste “doppie” categoriche, o bi-categorica, può diventare una premessa di un
sillogismo distintivo composto o polisillogismo distintivo con i complementari,
coinvolgente 3 insiemi – di cui uno avente funzione di termine medio e gli altri due presenti in
premessa ed in conclusione - nonchè i 3 corrispondenti insiemi complementari. Trattasi di un
polisillogismo in quanto le 2 bi-premesse costituiscono una congiunzione di 4 categoriche
triangolari (in taluni casi, quando sono coinvolte le particolari distintive, di 6 o 7 categoriche
tradizionali, in teoria pure 8, senonché in tal caso non vi sono conclusioni valide). Loro
caratteristica saliente sarà quella di trarre le conclusioni delle 49 combinazioni di bi-premesse
risultanti dai 7 casi possibili per ogni bi-premessa, in base alle regole di deduzione valide per
il sistema.
20

La colonna IV (pratica) proprio in vista del calcolo polisillogistico opera una semplificazione
della formula di ciascun caso, omettendo il segno di congiunzione e la seconda coppia di
termini, segnalata qui (per motivi che si chiariranno in seguito) dalla doppia virgola, ma
totalmente ignorata in sede di calcolo; della seconda coppia, che sarà da intendersi con i
componenti della prima al negativo, conserviamo però il quantificatore.
Per visualizzare facilmente il riferimento topologico di una espressione pratica si potrà
considerare la formula con le seguenti regole di ausilio mnemonico:
1) due classi coi propri segni, affiancate, afferma che la loro intersezione non è vuota,
come non lo è quella fra le stesse classi- termine, con i segni invertiti;
2) se il quantificatore a fianco di un termine è A, significa che un Argine non permette
alla classe di estendersi oltre l’intersezione;
3) se il quantificatore a fianco di un termine è U, significa che una Uscita permette alla
classe di estendersi oltre l’intersezione (ossia di intersecarsi anche con il complementare
dell’altra classe).
Anzitutto diamo le regole di inferenza immediata, (si farà riferimento alla colonna IV,
“pratica”) :
A..A invertire il segno di complementazione di entrambi i termini. Inoltre è immediatamente
convertibile.
A..U o U..A invertire sia il segno di complementazione di ciascun termine sia la successione
dei quantificatori. La conversione dei termini va accompagnata da analogo cambio di
posizione dei quantificatori.
U..U si può invertire il segno di complementazione anche di un solo termine. Inoltre è
immediatamente convertibile.
E’ ovvio inoltre che, per le leggi del calcolo enunciativo, ogni espressione composta con la
congiunzione di più predicazioni, implica tutte le predicazioni implicate dalle sue componenti.
Regole deduttive mediate
Quanto alle regole per la deduzione della conclusione da due bi-premesse del
Polisillogismo distintivo, occorre precisare quanto segue.
Se vogliamo mantenere la conclusione sempre omogenea ad espressioni bi-composte, allora
anticipiamo fin d’ora che si otterrà la seguente risultanza sui 49 polisillogismi base:
1 sola combinazione di bi-premesse non avrà alcuna conclusione, ciò accade quando le bipremesse
sono entrambe strutturate come il caso 4;
8 combinazioni danno come soluzione una disgiunzione di cinque casi, equivalente ad una
categorica particolare assoluta (tradizionale);
8 combinazioni danno come soluzione una disgiunzione di tre casi, equivalente ad una
categorica particolare distintiva;
32 combinazioni daranno luogo ad 1 bi-conclusione, ossia ad 1 dei sette possibili casi.
Per sinteticità, nel presentare la tabella 4. e le regole deduttive del Polisillogismo,
indichiamo le conclusioni utilizzando sia bi-categoriche, sia particolari distintive, sia particolari
assolute. Ad essere rigorosamente formali, il sistema Polisillogistico richiederebbe una
coerenza di espressioni tratte esclusivamente dal suo interno. Anzi, in tal modo, si
evidenzierebbe come il Polisillogismo distintivo può essere posto come sistema primitivo, da
21

cui derivare le sillogistiche distintive ed assolute. Oppure, a rovescio, potremmo presentare le
regole deduttive del Polisillogismo come derivanti dalla sillogistica tri-esagolare considerando
“atomicamente” le componenti delle bi-predicazioni.Tuttavia, essendo ormai chiare le
equivalenze tra i vari sistemi, e potendo comunque controllare la correttezza del tutto
metateoricamente, tramite i diagrammi di Venn, abbiamo scelto una presentazione ibrida, ma
più scorrevole – anche se ugualmente valida – visto anche il taglio metalinguistico o
metalogico adottato in questo lavoro.
In tabella 4. le conclusioni estraibili dalle 49 coppie di bi-premesse, modi equivalenti e
subordinati esclusi.
Tab. 4 1 2 3 4 5 6 7
AbaA,, AbaU,, UbaA,, UbaU,, Uba'A,, Aba'U,, Aba'A,,
1 AacA,, AbcA,, AbcU,, UbcA,, UbcU,, Ubc'A,, Abc'U,, Abc'A,,
2 AacU,, AbcU,, AbcU,, Ibc Ucb Ubc'A,, Ib'c Ubc'A,,
3 UacA,, UbcA,, Ib'c' UbcA,, Uc'b Ibc' Abc'U,, Abc'U,,
4 UacU,, UbcU,, Ub'c Ubc Ubc Ub'c UbcU,,
5 Uac'A,, Ubc'A,, Ib'c Ubc'A,, Ucb Ibc AbcU,, AbcU,,
6 Aac'U,, Abc'U,, Abc'U,, Ibc' Uc'b UbcA,, Ib'c' UbcA,,
7 Aac'A,, Abc'A,, Abc'U,, Ubc'A,, UbcU,, UbcA,, AbcU,, AbcA,,
Quanto alle regole di deduzione pratica si procederà come segue.
Preliminarmente dobbiamo raggiungere la forma standard:
1) disponiamo le premesse in sequenza, come nella prima figura del sillogismo
tradizionale con premesse invertite 2) volgiamo il termine medio allo stesso segno in
entrambe le premesse (operazioni sempre eseguibili grazie alle leggi di inferenza immediata).
Saranno trascurate le virgole, da riposizionare a fine calcolo, se la conclusione sarà bipredicativa.
Quindi si dovranno seguire le seguenti regole deduttive:
A) Quando almeno una delle premesse ha forma A..A, il termine non-medio in essa
contenuto può sostituire il medio nell’altra premessa, generando così la
conclusione.
B) Se le premesse hanno forma A..U ovvero U..A, e, messe in sequenza risultano
ugualmente “orientate” (AU*AU, UA*UA), i medi possono essere eliminati
assieme ai quantificatori vicini, lasciando la sequenza conclusiva; se invece
“l’orientamento” è simmetrico (AU*UA,UA*AU), si avrà una conclusione Particolare
affermativa, i cui termini avranno il segno come in premessa se i quantificatori
centrali (vicini ai medi) sono A A, il segno opposto se i centrali sono U U .
C) Quando una premessa di tipo U..U si combina con una di forma A..U ovvero U..A,
la conclusione sarà una particolare distintiva, in cui il soggetto sarà il termine
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non medio che compare nella premessa A..U ovvero U..A, e che avrà il segno
come in premessa se nella stessa è accompagnato da U, altrimenti opposto.
D) Due premesse U..U non danno luogo ad alcuna conclusione, essendo in questo
caso possibili tutte e 7 le relazioni tra i termini non medi.
In termini insiemistici la regola B) significa: se la classe media è inclusa (in senso stretto)
nelle altre due allora l’intersezione fra queste non è vuota; se la classe media include le altre
due, allora saranno le complementari di queste ultime ad avere una intersezione non vuota.
La regola C) significa che se il medio è incluso (s.s.) in un primo insieme ed è in relazione XX
con un secondo, gli elementi del primo che sono nel medio in parte saranno nel secondo in
parte no, (situazione tipica da U) , e così via .
Come esempio di D7 possiamo vedere il 5. presentato in apertura della I° parte in altra
forma, che vedremo al prossimo paragrafo:
solo qualche film sonoro è a colori, e ogni film muto è in bianco e nero;
solo qualche film a colori è film di Tornatore, e ogni film in bianco e nero è non suo;
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore e ogni film muto è non suo
( UscA,, * UctA,, ) UstA,,
Polisillogismo con Soggetto “ad infinitum” D7s
Altre varianti di Polisillogismo distintivo, equivalenti a questo, sono possibili. Ad esempio (vedi
colonna V “alternativa” di tab. 3) potremmo utilizzare due categoriche di cui la seconda
presenti in negativo solo il soggetto della prima, mantenga inalterato il predicato ed utilizzi
anche l’universale negativa; in una versione “sintetica” (colonna VI), per non ripetere il
predicato “a”, la seconda categorica viene letta da destra a sinistra. Secondo questa
notazione, avremmo un sillogismo equivalente al precedente nella forma seguente:
( Uscs’E * Uctc’E)Usts’E
solo qualche film sonoro è a colori, e (non) lo è nessun film muto;
solo qualche film a colori è film di Tornatore, e (non) lo è nessun film in bianco e nero;
dunque: solo qualche film sonoro è film di Tornatore, e (non) lo è nessun film muto.
N.B. “e (non) lo è nessun film muto” significa “nessun film muto lo è”; il “non” di troppo,
inserito per evitare sgrammaticature, ma privato di valore logico, sconta il difetto della
grammatica della lingua italiana, ove la doppia negazione è richiesta a conferma della
negazione. Latini ed anglosassoni, (invidiatissimi in questo da un italiano come il sottoscritto),
non hanno mai avuto questi problemi.
Forse un simile Polisillogismo sarebbe piaciuto agli scolastici in quanto presenta il soggetto
sia “ad finitum” sia “ad infinitum”, tuttavia lo stile linguistico forse più elegante rispetto a quello
precedente, si sconta con una maggiore complessità nella pratica del calcolo inferenziale.
Questo schema ci sarà però utile quando tratteremo dei sillogismi numerici.
Comunque, al di là delle differenti versioni, ci pare evidente come i Polisillogismi distintivi
risultino più economici della loro traduzione negli equivalenti sillogismi tradizionali con
categoriche uniti da connettivi enunciativi.
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Esistono ovviamente varie altre possibilità di sillogismi composti. Sono possibili sillogismi
composti misti di predicazioni elementari, quasi-numeriche, singolari, ecc., interessanti anche
se molto complicati.
Combinando predicazioni quasi-numeriche fra loro, possiamo dedurre relazioni d’ordine
matematiche. Infatti se >ba * b. Se, congiuntamente, abbiamo >ac * b, ove però il segno “ >” ha l’ordinario significato di
“è maggiore di” diverso dal nostro “una sola parte, maggioritaria di...è…”. Restano
ovviamente da re-interpretare – ammesso sia possibile- all’interno dei sillogismi quasi
numerici, espressioni come b>a. Questi sillogismi non saranno trattati nel presente lavoro.
Estensioni Tri-Esagonali delle Logiche Classiche
Vogliamo ora riproporre la tab.3, sviluppata da ulteriori interpretazioni (tab. 3bis).
I VI III IV VII VIII
Tri
IX X XI
casi
relazionale iconica relazioni sinonimie antonimie
1 Abab’E Aba *Ab'a' AbaA,, AbaA,, bVa bVa Vale sinonimo
2 Abab'U Aba *Ub'a’ AbaU,, AbaU,, b))a b))a Diminuisce iponimo
3 Ubab'E Uba *Ab'a’ UbaA,, Ab’a'U,, b’))a’ b((a Contiene iperonimo
4 Ubab’U Uba *Ub'a' UbaU,, UbaU,, bXXa bXXa Multimixa meronimo
5 Ubab'A Uba' *Ab'a Uba'A,, Ab’aU,, b’))a b()a Hyper-integra ipercomplemento
6 Ebab'U Aba' *Ub'a Aba'U,, Aba'U,, b))a’ b)(a Respinge ipocomplemento
7 Ebab'A Aba' *Ab'a Aba'A,, Aba'A,, bVa’ b\ a Nega complemento
Sillogismo Relazionale Iconico R7
Se la struttura predicativa del Polisillogismo Distintivo lo inquadra entro un linguaggio di
tipo naturale e tradizionale, la traduzione della colonna IV, attraverso le equivalenze della
colonna VII, alla colonna VIII, porta tale sistema all’interno della Logica Simbolica moderna,
anche se di tipo limitato, in quanto bi-argomentale e speciale, per il tipo di simbologia e la
referenza ai 7 casi. Nella colonna VII abbiamo i 7 casi descritti in modo “equivalente” alle già
viste espressioni della colonna “pratica”. Ora possiamo adottare una notazione di tipo
relazionale (colonna VIII) secondo il seguente codice di traduzione (i puntini stanno per le
variabili):
A..A diviene V,
A..U diviene )),
U..U diviene XX
I tre tipi di relazioni V )) XX (equi-valenza, in-clusione, multi-mixaggio) traducono le bicategoriche
in relazioni diadiche di tipo insiemistico speciale. La successiva ed equivalente
colonna IX ne evidenzia l’ iconicità diagrammatica, e si determina tramite le regole di
inferenza immediata della nuova notazione: la semplice regola di rotazione speculare della
parentesi o altro grafema vicino ad un termine. Quest’ultimo, in concomitanza della
rotazione della sua parentesi o simbolo, va invertito nella qualità. La relazione ”V” va intesa
come costituita da 2 parti, ognuna riferibile ad un termine: se ruota una sola delle parti
facendo perno sulla punta, essa va a sovrapporsi all’altra e si ha la relazione \ ovvero / , se
ruotano entrambe si ricostituisce la “V”. Invece le rotazioni di XX non cambiano nulla. Nella
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colonna IX si crea graficamente uno schema in miniatura delle situazioni topologiche di
riferimento per ogni coppia ordinata di insiemi b a. Si sono cercati dei simboli (le parentesi)
che per la loro disposizione e grafia indichino intuitivamente le condizioni estensionali dei
termini cui si riferiscono. Es. il grafema “))” richiama la situazione in cui il primo insieme è una
parte interna del secondo, )( quella in cui i 2 insiemi si ignorano, ma con qualcosa che si
frappone tra loro, mentre \ oppure / richiamano la situazione in cui dove finisce l’uno comincia
l’altro, mentre \/ identifica i due insiemi dentro lo stesso confine; in ( ) entrambi sconfinano
l’uno sull’altro, occupando insieme l’intero! V, mentre con XX oltre allo sconfinamento
reciproco si crea uno spazio ove non stanno né l’uno né l’altro.
Gli schemi notazionali di cui alle colonne VIII e IX configurano un sistema che, pur
presentando un codice di traduzione semplice nel polisillogismo distintivo, se ne distanzia per
il riferimento immediato ed intuitivo alle 7 situazioni insiemistiche, rappresentabili
simbolicamente al di fuori dello schema predicativo quantificato. Tali sistemi potrebbero esser
definiti, a seconda del numero di relazioni utilizzate, Polisillogismo trirelazionale (E3), o
Polisillogismo eptarelazionale (E7). o Sillogismo Iconico Relazionale R7 Limitatamente alle
sillogistiche, potremmo anzi rovesciare la costruzione fin qui perseguita e porre come
primitive le 3 o 7 relazioni illustrate e partendo da esse definire i sistemi sillogistici distintivi.
Diamo in Tab. 4 bis il quadro completo delle deduzioni del Sillogismo Iconico Relazionale R7
tab 4 bis 1 2 3 4 5 6 7
AbaA,, AbaU,, Ab'a'U,, UbaU,, Ab'aU,, Aba'U,, Aba'A,,
b V a b )) a b((a b XX a b( ) a b ) ( a b \ a
1 AacA,, a V c b V c b )) c b((c b XX c b( ) c b ) ( c b \ c
2 AacU,, a )) c b )) c b )) c Ibc Ucb b ( ) c Ib'c b( ) c
3 Aa'c'U,, a((c b((c Ib'c' b((c Uc'b Ibc' B ) ( c b ) ( c
4 UacU,, a XX c b XX c Ub'c Ubc Ubc Ub'c b XX c
5 Aa'cU,, a ( ) c b( ) c Ib'c b( ) c Ucb Ibc b )) c b)) c
6 Aac'U,, a ) ( c b ) ( c b ) ( c Ibc' Uc'b b((c Ib'c' b((c
7 Aac'A,, a \ c b \ c b ) ( c b( ) c b XX c b((c b )) c b V c
Avendo trasformato delle doppie predicazioni in relazioni diadiche meriterebbe
indagare come questi argomenti si possano collocare –come in effetti dovrebbero- nella
moderna Logica delle Relazioni, tuttavia ciò esula dal presente lavoro.
Triangolo oppositivo nella Logica degli Enunciati
Per l’isomorfismo che sussiste fra logica delle classi e Logica degli Enunciati,
possiamo esportare a quest’ultima lo schema tri-esagonale della sillogistica distintiva.
Partendo dalle somiglianze strutturali fra l’ Universale Aba e l’implicazione b a , o fra Aba’
e b a’, possiamo generare una nuova implicazione distintiva, o semiimplicazione, per
analogia con la Particolare Distintiva, esprimibile come b :> a, e interpretabile come “Solo in
parte b implica a” equivalente alla propria obversione “Solo in parte b implica a’ “.
25

Espressioni analoghe a “solo in parte” possono essere date da “Solo in un certo senso”,
“Solo in un certo verso, o modo”, e simili.
Anche i Polisillogismi D7 possono ispirare forme omologhe nella Logica Enunciativa.
Basta sostituire la relazione di implicazione alle categoriche Universali, e la semiimplicazione
alle Particolari distintive.
Forniamo qualche esempio. Siano gli enunciati: V (il sole è Visibile), G (è Giorno), E (è
Estate), P (Piove), I (il sole è Invisibile). Potremmo allora dire che G semiimplica V , G:>V, ma
V implica G, VG (o se preferiamo G’ V’), avremo così l’omologo del caso 3. Riconducibile
al caso 4 saranno situazioni come E :>P, insieme a E’:>P’ , mentre al caso 5 potremmo riferirci
per situazioni come I :> G e G’ I.
L’omologia citata va necessariamente integrata con le restrizioni esistenziali alla
base della sillogistica distintiva, il cui sistema presuppone accanto ad ogni insieme l’esistenza
anche del proprio complementare, nonché la diversità di tutti dall’universo. Naturalmente
valgono qui le regole definitorie ed inferenziali analoghe alla sillogistica distintiva.
Determinate interpretazioni possono dare al sistema connotazioni temporali (“sempre,
mai, solo alcune volte”,”Solo in un dato periodo”…)
Trasponendo alla Logica degli Enunciati la quantificazione numerica (e quasinumerica)
potremmo dare un valore di probabilità alle relazioni tra eventi, facendo sempre
riferimento ai 7 casi, coinvolgenti l’Universo, inteso come sfondo degli eventi.
Le considerazioni effettuate, specialmente quando entriamo in interpretazioni temporali o
probabilistiche, a nostro avviso dimostrano come una logica enunciativa distintiva possa
fornire una saldatura fra logica degli enunciati e, come di seguito illustrato, logiche
modali.
Triangolo oppositivo nelle Logiche Modali
La struttura triangolare (e conseguentemente esagonale) là dove può applicarsi come
costituita da uno dei 3 elementi base per il quale valga la legge di obversione analoga a
quella dei sistemi D, è forse in grado di semplificare alla radice alcuni sistemi deduttivi
complessi, come quelli modali. Tale impostazione può ad esempio modificare l’approccio alle
Logiche Deontiche, specie in campo legalistico, ove per analogia ai quantificatori A, E, U,
potremmo porre Obbligatorio (Prescritto), Vietato, Facoltativo (o Libero o Consentito o
Permesso) a determinate azioni. Valgono infatti le obversioni per cui: è Obbligatorio b = è
Vietato b’ ; è Vietato b = è Obbligatorio b’ ; è Facoltativo b = è Facoltativo b’. Qui il
quantificatore si trasforma in operatore modale che opera su una variabile enunciativa,
anzichè su due classi. Si può anche mantenere una struttura bi-argomentale ed esprimersi
come segue: E’ obbligatorio che b sia a; è vietato che b sia a; è facoltativo che b sia a.
Come per la logica enunciativa possiamo descrivere i 7 casi con una doppia proposizione
che segue gli stessi schemi di D7 , con A, E, U sostituiti da Obbl, Viet, Fac.
Analoghe convenzioni interpretative, anche se più ardite, perché meno evidenti, possono
dare una struttura triangolare di altre Logiche Modali : Evidente (Necessario, Certo),
Impossibile (o Assurdo), Incerto (Possibile), ove Ev b = Imp b’ , Imp b = Ev b’, Inc b = Inc b’
. Sulla scia di S. Kripke, potremmo anche definire vero in tutti i mondi possibili, falso in
tutti i mondi possibili, vero solo in alcuni mondi possibili.) Anche qui possiamo scegliere
fra interpretazioni mono- o bi-argomentali, ed elaborare sistemi isomorfi a D7. Altri esempi
sperimentali:
Epistemici: Asserire Denegare (Credere Misconoscere) Dubitare.
Teoria della dimostrazione (tautologico, contraddittorio, derivato)
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Bulomatici: Desiderare Paventare Noncurare
Valutativa : è buono, è cattivo, è indifferente.
Infine nei campi della Semiotica, Epistemologia, e in generale in tutte le discipline, le
Definizioni possono avvalersi della triade Essenziale, Estraneo, Accidentale, con l’ultimo
elemento concepito in analogia alla Particolare distintiva cioè per un verso estraneo e per
l’altro essenziale alla nozione in giudizio.
Agganciata alle nozioni di Essenziale e Accidentale può figurare una predicazione
“Esponibile” della Logica Scolastica nota come “Reduplicativa”, che a nostro parere si
colloca in una area semantica di frontiera tra logica modale, enunciati e predicati distintivi. Un
esempio :” I sovrani, in quanto Sovrani, sono obbediti”. Ossia: è parte essenziale, o
necessaria, del sovrano essere obbedito, ma accidentale, o contingente, non esserlo. Da una
certa angolazione vale quello che non vale da un’altra.
Altre interpretazioni / applicazioni
In colonna X fig 3 abbiamo voluto interpretare con verbi transitivi le 7 relazioni riferendoli
sempre alla coppia ordinata di classi b a , cercando espressioni che potessero ricostruire
tutte le condizioni di ciascun caso, a costo di inventarne qualcuna, con un minimo di
plausibilità. Abbiamo cercato dei verbi la cui iniziale ricordasse il grafema delle 7 relazioni,ove
possibile. Il risultato ci pare interessante anche se un po’ irrigidito, imbalsamato
semanticamente.
Da ultimo, in colonna XI, abbiamo voluto interpretare in termini di sinonimie le 7 relazioni; le
prime tre e l’ultima sono già utilizzate in ambito linguistico e nei dizionari dei sinonimi e
contrari; le residue tre sono state da noi coniate per sottolineare l’importanza dello Sfondo
concettuale, o Ambito lessicografico, nella definizione delle voci, un ruolo analogo a quello
dell’Universo del discorso, nella definizione delle classi. La rilevanza scientifico-culturale di
tale completamento può essere la più svariata: dalle assiomatizzazioni delle teorie che
coinvolgono definizioni, alle indicizzazioni biblioteconomiche e documentali, alla
programmazione di database e di traduttori automatici. Possiamo ad esempio pensare di
poter riunire in un database relazionale basato sulle 7 relazioni diadiche un intero thesaurus
terminologico ottenendo così una rete semantica in parte gerarchizzata, idonea ad essere
assiomatizzata in maniera economica ed iconica.
PARTE II SILLOGISMI DISTINTIVI NUMERICI N
Sillogismi Distintivi Numerici semplici DN
Nell’ambito delle Predicazioni Distintive, quando possiamo specificare con dei numeri positivi
(in termini scolastici potremmo usare il verbo “Metior” o un equivalente =misurare) la quantità
della classe-soggetto (o, se si preferisce la cardinalità del sottoinsieme) coinvolta nella
predicazione, quest’ultima può essere definita Numerica, ed i numeri che affiancano i teminiclasse,
Quantificatori Distintivi Numerici. Rispetto ai Quantificatori Numerici già
riconosciuti dalla Sillogistica contemporanea (autori che citeremo più avanti), quello di tipo
Distintivo si differenzia per le seguenti caratteristiche:
1- sottintendendo davanti ai numeri l’espressione “solo” o “esattamente”, perchè indica la
quantità numerica esatta, non minima, ritenendo la interpretazione minimale meno intuitiva,
soggetta ad ambiguità del tipo: “2 uomini sono sopravvissuti”, dove “2” può significare “solo 2”
o “2 o più”; la Distintiva va intesa nel primo dei due sensi mentre, per indicare il secondo, al
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numero va premesso il simbolo > (maggiore o uguale), così come, in casi opposti, verrà
usato < (minore o uguale);
2- prevede il riferimento a tre numeri per ogni termine, il primo (numeratore) indicante la
quantità del sottoinsieme del soggetto coinvolta nella predicazione, il secondo la quantità
entro la quale (totale) il primo si distingue, ed il terzo dalla quale (residuo), sempre il primo,
si distingue; essendo il residuo definibile dalla differenza fra totale e numeratore, di solito
viene sottinteso.
3- può esprimere numeri Naturali (in termini scolastici potremmo usare il verbo “Numero”=
contare, enumerare) ma anche in generale razionali, reali, in teoria anche negativi e
immaginari.
Nella Parte III vedremo in quale senso possano essere utilizzati quelli non naturali; in questa
Parte diamo per scontato che le operazioni presentate coi naturali, mutatis mutandis, siano
estendibili agli altri.
Quanto al punto 2) nel presente lavoro adottiamo la convenzione di sottintendere il residuo,
almeno nella sillogistica non composta; tuttavia per edificare una sillogistica distintiva
numerica completa, in un prossimo lavoro, per disporre di un primitivo più adatto a tradurre
quelli numerici più tradizionali, dovremo affiancare esplicitamente al numeratore il residuo,
anziché il totale.
Vediamo un esempio di formula di predicazione distintiva numerica:
(3) s8 5 p = (mentre i 3 residui non lo sono) di totali 8 s, 5 sono p
Il numero che quantifica la predicazione (numeratore) viene indicata apicalmente in
posizione staccata ed intermedia fra soggetto e predicato, per sottolineare la
quantificazione della stessa relazione ovvero della intersezione fra le classi soggetto e
predicato, nonchè la natura simmetrica o convertibile di quest’ultima. E’ infatti evidente che
se, di totali (x) s, 5 sono p, pure dei totali (y) p, 5 sono s, e viceversa. Il numero indicante la
quantità totale del soggetto, gli sarà posto immediatamente adiacente (e di solito a destra);
se invece ci si riferisce alla quantità del soggetto dalla quale il numeratore si distingue, il
numero di questa viene posto apicalmente e staccato alla sinistra del soggetto (posizione
intermedia fra il soggetto ed un sottinteso complementare del predicato).
Lo “spirito dIstintivo” porta naturalmente anche una “quantificazione numerica del
predicato”: “di totali 8b solo (o esattamente) 5 sono fra le totali 6 a”. Il totale del predicato
sarà posto adiacente (ed a sinistra) dello stesso, mentre il numeratore resta in posizione
intermedia ed apicale, essendo in comune col soggetto). Per inquadrare poi una simile
“doppia predicazione” nell’intero Universo, dovremo infine quantificare numericamente il
complementare del soggetto, o della intersezione fra i complementari di soggetto e
predicato, o dell’UD stesso. Stiamo quindi parlando di predicazioni composte, base per
Polisillogismi Distintivi Numerici, sui quali torneremo più avanti.
Nell’uso pratico spesso il numero totale dell’insieme è superfluo; in questi casi, anche nel
presente lavoro, quando parliamo di “quantificatore” o “quantificato”, intendiamo riferirci al
numeratore ; quando la distinzione sarà necessaria la sottolineeremo, anche se il contesto
chiarirà facilmente la situazione.
Come per le Quasi-numeriche anche per le predicazioni Distintive Numeriche
possiamo usare i Poligoni oppositivi.
Supponiamo ad esempio che l’insieme b consti in tutto di 4 elementi (vedi qui sotto fig
6; le cifre si riferiscono al numeratore, lasciando sottinteso il totale e la parte predicativa).
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Indichiamo il numero zero col simbolo Ø, (per non equivocare la cifra 0 con la lettera O,
simbolo della particolare negativa).
fig 6
2
3 1
Aba 4 Ø Eba
4v3 Ø v1
4v3v2 Ø v1v2
Iba 4v3v2v1 Ø v1v2v3 Oba
Ø v2v3v4 Ø v1v2v4
Ø v1v3v4
Dire che “ogni b è a” equivale a dire che “di 4 b, 4 sono a”; che “nessun b sia a” equivale a “di
4 b, Ø sono a”. “Solo qualche b è a” significa “(di 4 b, solo 1 è a) o (di 4 b, solo 2 sono a) o (di
4 b, solo 3 sono a)” (numeratori in rosso). Questi 3 casi sono incompatibili, ossia contrari.
Dunque in questo sistema abbiamo cinque contrari primitivi. Il triangolo delle opposizioni sarà
sostituito da un pentagono oppositivo (irregolare, vertici 0-1-2-3-4-, come in fig 3).
Dicendo che di 4 b 4 sono a, di conseguenza avremo che di 4b Ø a’, di 4 b zero sono a’,
ossia nessuno dei 4 b è a’. Il “4” rappresenta il valore massimo (MX), “Ø” il minimo (mn). Le
categoriche con MX e mn rappresentano le Universali, le restanti tre primitive sono le
Particolari Distintive (Numeriche). Con b4 3 a diremo che esattamente 3 dei 4b sono a, che
equivale ad b 4 1 a’, e viceversa. Questa obversione, con scambio dei quantificatori 4_ 3 e
4_1, esprime la loro posizione simmetrica rispetto all’asse verticale del valore mediano,
mentre la obversione b4 2 a b4 2 a’ spiega perché il quantificatore 4_2 o mediano (Md)
sia posto proprio sull’asse sopradetto, in analogia all’ U pre-numerico.
Il valore di un quantificatore simmetrico ad uno dato è calcolabile (nella parte del
numeratore) come differenza fra i due valori espressi fra il totale e il numeratore del
quantificatore dato. Ossia la formula generale prevede che sM N p sM M-N p’
Come si può vedere nella fig 6 la parte inferiore del poligono contiene le contraddittorie ai 5
primitivi, ciascuna caratterizzata dalla disgiunzione delle restanti primitive. La contraddittoria
di Uba (disgiunzione di 1, 2 e 3) per le leggi di de Morgan equivale alla congiunzione di 1’ 2’ e
29

3’ (in blu; l’apostrofo sta per negazione di quel numero ovvero disgiunzione dei restanti
ovvero per “≠ da”.). Ai lati del poligono sono poste delle disgiunzioni che fungono da
predicazioni intermedie fra le due universali e le loro subordinate classiche. Ciascuna di
queste intermedie è posizionata in modo da trovarsi diametralmente opposta alla propria
contraddittoria; sulla stessa riga compaiono i numeratori che si scambiano fra due
obversioni equivalenti. Anziché utilizzare i simboli > e < abbiamo usato le disgiunzioni dei
vari numeri, ma chiaramente 2 v 3 v 4 equivale a > 2.
Per le quattro predicazioni equivalenti alle categoriche classiche valgono naturalmente le
inferenze immediate viste in D6, con la differenza che qui A E I O sono sostituiti da MX, Ø,
>1 , < MX -1.
In tutto abbiamo 14 lati. In generale la formula prevede che, se il soggetto è costituito da n
elementi, il poligono abbia 4n-2 lati. Se proseguiamo con la moltiplicazione dei lati possiamo
arrivare al caso limite del cerchio con infiniti lati, che ospita infiniti quantificatori numerici, che
potrebbero essere le frazioni tra 1 e Ø (col totale che diviene denominatore), le percentuali
fra 100 %(totale) e Ø % e simili. Attenzione però, questa interpretazione contiene una
riduzione: la frazione 5/10 dell’insieme s se interpretata come la metà di s (perché
aritmeticamente ½ = 5/10) ci fa perdere i dati assoluti di s lasciandocene solo alcuni rapporti,
importanti in taluni contesti, fuorvianti in altri. Facciamo un esempio:
5 cammelli su 10 si sono abbeverati, non so quali. Ho 1 possibilità su 2 di sceglierne uno
giusto (dissetatosi) per affrontare il deserto, perchè qui conta il rapporto 10 : 5 = 2 . Voglio
portare all’ombra i 6 che si sono accasciati, e dispongo di 3 stalle monoposto, quanti ne
restano fuori? Ovvio, qui non uso il rapporto, ma la sottrazione 6 – 3 = 3 , posso anche
trascurare il totale dei cammelli.
Come già accennato, possiamo proseguire e far assumere ai quantificatori i valori dei numeri
reali.
Possiamo anche concepire sistemi numerici semplicissimi. Se il MX è 2 abbiamo un
triangolo, ove 1 è Md. Con MX pari a 3 non abbiamo un Md, ed abbiamo un ottagono, con le
contraddittorie. In generale un sistema in cui la classe b abbia un numero dispari di elementi
un quantificatore mediano non potrà esserci, a meno di concepire frazioni di elementi o
elementi ambivalenti. Anche nel caso di Sillogismi Numerici privi di mediano riteniamo
corretta la qualifica di Distintivi, perché in essi si verifica che solo qualche elemento
dell’insieme soggetto sia predicato ed allo stesso tempo che solo qualche elemento non lo
sia.
Quadrilatero Distintivo Numerico
Abbiamo utilizzato i Poligoni oppositivi per sottolineare la continuità dei sistemi Distintivi
numerici coi precedenti, Distintivi pre-numerici. Ora ci preme invece integrare il Sillogismo
Distintivo Numerico con altri di impostazione più classica. A questo scopo modifichiamo il
Poligono oppositivo costringendolo entro un quadrilatero delle opposizioni, come vediamo
nelle figure 7 e 8 qui sotto.
fig.7
30

fig. 8
Otteniamo così una rappresentazione dei quantificatori intermedi in una scala ordinata fra i
due estremi del segmento Aba-Eba.
La figura 7 vale sostanzialmente come il poligono di fig 6, essendo ogni quantificatore
diametralmente opposto al suo contraddittorio. > sta per almeno, < per al più, =
(sottinteso) per esattamente , ≠ per o maggiore o minore, ossia per non uguale.
La differenza maggiore è la seguente: come accaduto con i Quasi numerici, ciascun
quantificatore sul lato superiore (A-E) è collocato simmetricamente, secondo la linea verticale
mediana, rispetto al proprio reciproco obvertito (nel senso dell’equivalenza ad es sM M-2 p =
sM 2 p ); però sul poligono ciò era evidenziato dall’essere tali quantificatori collocati anche
sulla medesima linea orizzontale.
Nelle fig. 7 e 8 sono state apportate modifiche generalizzatici e informative.
Ognuna di esse è più generalizzante, non essendo legata ad un numero prestabilito di
elementi del soggetto. Il valore massimo stabilito dalla sola lettera M, cui viene sottratto zero
in coincidenza con Aba, poi 1 , 2 ecc fino a sottrarre M stessa in corrispondenza di Eba (M-M
= zero). Dei puntini lasciano aperta l’espansione ad ulteriori intermedi.
Si possono così interpretare i quantificatori in senso Eccettuale : tutti eccetto (o tranne o
meno) 1, tutti eccetto 2, e cosi fino a “tutti eccetto tutti”, cioè nessuno. Tutti eccetto Ø,
naturalmente sarà uguale a tutti. Una lunga tradizione, dagli “excepta” scolastici a J. Lambert,
da De Morgan fino ai numerici di Murphree, ha utilizzato interpretazioni come questa,
31

assimilabile all’operazione insiemistica di differenza asimmetrica: s\p = gli s che non sono
p. Con l’aggiunta di una quantificazione numerica tale operatore può trasformarsi in una
predicazione, come nel seguente esempio, da prendere con beneficio d’inventario perchè
puramente sperimentale: 2 Ms\p = sM 2 p’.
In fig 7 e 8 con delle frecce sono state evidenziate le implicazioni, quelle sui lati indicano i
rapporti di subalternanza. Nella fig 8, esse mettono in rilievo che i numeri posti sul lato A-E,
implicano le espressioni che, congiunte, li potrebbero definire in un sistema tradizionale. Nel
nostro sistema, analogamente a quanto accadeva per l’esagono, proponiamo un
ribaltamento nella scelta dei primitivi tradizionali.
La figura 8 consente di visualizzare tutti gli intermedi compresi in determinati intervalli sul
segmento A-E Ad es. alla destra del numeratore 2 sono presenti tutti quelli < 2, come la
freccia che va a destra indica, mentre quella di sinistra indica quelli > 2 . L’ intervallo
compreso tra < M-1 e > 1 illustra i numeratori che disgiunti compongono Uba, mentre
l’intervallo complementare o esterno indica Yba.
In tabella 5 riportiamo le definizioni reciproche degli operatori-quantificatori numerici:
b N a = N b sono a (né più, né meno)
> N = più di N = ( < N …)' = non al più N = > N + 1
> N = almeno N = ( < N …)' = non meno N = > N - 1
< N = meno di N = ( > N )' = non almeno N = < N + 1
< N = al più N = ( > N.)' = non più di N = < N - 1
al più = al massimo
almeno = come minimo, quantomeno , perlomeno
Forniamo un esempio di sillogismo numerico: (b6 4 a * a9 Ø c) al massimo, di 6 b, 2 sono c.
I predicati numerici della sillogistica contemporanea ignorano sistematicamente il lato
superiore del quadrato numerico, potremmo pertanto ritenerli teoricamente basati su di un
quadrilatero numerico non distintivo. Tuttavia il loro apparato deduttivo, ancorché ampliabile,
appare solido, fondato su sviluppi algebrici e verifiche diagrammatiche consolidate. Pertanto
ad essi si rimanda per costruire una eventuale Sillogistica Distintiva Numerica, come una
analoga Polisillogistica, che concilii i nostri primitivi e le regole annesse, con detti sistemi.
Le regole deduttive di questi sistemi sono riferibili ai “Numerical Sillogisms” di E. A.
Hacker e W. T. Parry. (fine anni ’60), di W. Murphree, (anni ’90) e altri, ed ai principi della
matematica discreta (inclusione-esclusione, formule Da Silva, Sylvester, ecc.).
Convinti però di dover salvaguardare la scelta dei primitivi nel solco della intuibilità immediata
e della non sovrapposizione dei 7 casi, in attesa di realizzare una fusione con quei sistemi,
continuiamo qui a sviluppare la sintassi dei nostri sistemi Distintivi.
Forniamo però qualche esempio di sillogismo numerico valido nei termini degli autori sopra
citati, utilizzando la nostra simbologia, per darne almeno un’idea.
(m >60 p) & (m ≤10 s’ ) (s >50 p) (tipo Disamis)
(m >16 p’ ) & (m ≤10 s’ ) ( s > 6 p’ ) (tipo Bokardo)
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Come sappiamo il modo Unavult, tipico del Sillogismo Triangolare, è derivabile dai classici
modi Disamis e Bocardo, pertanto gli esempi sopra riportati ne originano un analogo modo,
nella Sillogistica Numerica .
( >16 m >60 p ) & ( m ≤10 s’ ) > 6 s >50 p (tipo Unavult)
Procediamo quindi con alcune precisazioni sintattiche.
Una predicazione numerica, è una relazione copulativa tra due classi non vuote, una
classe-soggetto s ed una classe-predicato p, entro un Universo del discorso, UD, distinto
da ciascuna delle due, definita tramite dei numeri (usualmente interi naturali) M, N, Q, R, W,
T, ecc, associati eventualmente ai funtori ≤ (al più) o ≥ (almeno). Per elementari definizioni
aritmetiche vale che ≥ n equivale a > n –1, come ≤ n equivale a < n+1.
Numeri e funtori hanno la funzione di quantificatori numerici delle classi e della relazione
copulativa. La predicazione è semplice asimmetrica se coinvolge solo il soggetto, o la
relazione, composta simmetrica o incompleta informativamente, se coinvolge anche la
classe predicato, composta asimmetrica o completa informativamente, cioè che permette
di quantificare anche il complementare del soggetto o l’UD o l’intersezione delle classi
complementari. I sillogismi composti sono detti anche polisillogismi, anche i distintivi
numerici. Da quanto detto finora è chiaro che i sillogismi semplici non sono altro che versioni
meno informative della struttura dei polisillogismi completi, di cui andiamo ora ad analizzare
le basi.
Vale la regola per cui, data una predicazione Universale, invertendo i valori estremi (M e
Ø) del numerale ed il segno del predicato, otteniamo una predicazione logicamente
equivalente. Questo vale a prescindere dal numero del quantificatore, purchè sia M o Ø (per
l’appunto Universale). Se invece il numerale è intermedio (N), per ottenere l’equivalente
obvertita occorrerà ricavare il nuovo numerale con l’operazione MX – N.
Polisillogismi Numerici PN
Possiamo esprimerne la formula generale delle predicazioni composte incomplete come
segue:
sM N W p ossia: degli s, che in tutto sono M, solo N sono fra i W p.
Più analiticamente, s...M …Q(...R) ...W p
I puntini valgono come occorrenze dei funtori ≤ (al più) o ≥ (almeno), che possono
mancare, nel qual caso il numero seguente è da intendersi come esatto, con conseguente
aumento dell’informazione. Con tale notazione è possibile esprimere anche intervalli di valori
numerici.
Così, s6 ≥3 ≤5 ≥7p , si leggerà: Fra gli s, che sono in tutto 6, dai 3 ai 5 sono fra i p,
che in tutto sono almeno7, mentre s6 ≤3 ≥5 ≥7p vorrà dire: Fra gli s, che sono in
tutto 6, o al più 3 o almeno 5 sono fra i p, che in tutto sono almeno7.
Il numero accanto a s, come quello accanto a p, definibile come il massimo relativo a quella
classe, ne esprime la consistenza numerica totale ossia cardinale. Le cifre intermedie della
...Q (…R)
formula,
, quantificano il numero degli elementi di s interessati anche
all’appartenenza a p: in termini insiemistici, all’intersezione delle due classi.
33

Notiamo la convertibilità di una formula, dovuta alla quantificazione dell’intersezione: se 9,
(almeno 9, al più 9) s sono p altrettanti p devono essere s, ciò anche in assenza di
determinazione della quantità totale di s, di p, o di entrambi.
Vi sono ovvie condizioni che rendono non ben formate alcune occorrenze numeriche della
formula, ma non stiamo qui a espletarle. Valgano per tutti un paio di esempi:
- non ha senso dire che esattamente 4 e ≥ 5 s sono p, o 6 e 8; così sarebbe
ridondante dire 3 e ≤ 4; pertanto, o sia Q che R sono accompagnati dai segni di ≤ (al più) o
≥ (almeno), o altrimenti deve comparire uno solo dei due quantificatori;
- una intersezione non avrà mai più elementi di ogni insieme di cui è parte.
Se Q ≠ R, tale numero risulta essere in realtà un intervallo; altrimenti, se Q = R e uno di
questi è preceduto dal segno ≤ mentre l’altro dal segno ≥ , come risultato otteniamo l’esatto
numero (Q ovvero R) degli elementi comuni. Se tale numero è zero, non vi è alcun elemento
comune fra s e p. Vi è anche la possibilità che compaia uno solo fra Q ed R, preceduto da
almeno; in questo caso l’intervallo sarà comprensivo del massimo della classe meno
numerosa fra s e p.
Possono esservi espansioni della formula che considerino più di due intervalli, o la esaustività
di tali intervalli rispetto all’intero segmento; qui non esamineremo tali casi complessi.
Possiamo invece vedere come questo tipo di notazione possa esprimere le categoriche
tradizionali e distintive.
Se sappiamo che M=N, possiamo sostituire M con la A dell’ Universale affermativa : As N
W p. Ad es.: tutti gli 8 s sono fra i W p, se supponiamo M = 8 = N
Tutti i tipi di quantificatori tradizionali possono in ultima analisi essere ricondotti alla
struttura numerica generalizzata bX Y a. Come possiamo facilmente constatare Aba si
realizza quando X=Y, Eba quando Y= Ø, Uba quando (X ≠ Y) * (Y ≠ Ø), Iba quando Y ≠ Ø,
Oba quando X ≠ Y, Yba quando (X=Y aut Y= Ø),
Inoltre possiamo disporre dellla informazione, non contemplata dai sillogismi classici,
di quanti in tutto siano i componenti la classe soggetto ossia X, anche lasciando indefinito
Y, sostituito dall segno “?”, . Naturalmente, possiamo lasciare anche la X indefinita, ed allora
la traduzione nelle categoriche classiche è perfetta!
E’ quasi superfluo dire che anche un’espressione indefinita come “di ? b 3 sono a” ( dove il
segno interrogativo non definisce di quanti elementi sia costituito b ) è comunque più
informativa della implicata Iba classica.
Anche i Sillogismi Quasi-Numerici sono riconducibili allo schema numerico, con
variabili numeriche sottoposte a condizioni: quando Y >½ X possiamo affermare che “solo
una parte, maggioritaria, di b è a”, esprimibile direttamente con “>ba”, quando Y =½ X, allora
“esattamente la metà dei b sono a” ossia !!ba, quando Y < ½ X ,“solo una parte, minoritaria,
di b è a” esprimibile direttamente con “

differenza tra totale e numeratore ci indica la potenza dell’intersezione fra il soggetto ed il
complementare del predicato. Dai totali di soggetto e predicato, sottraendo l’intersezione (per
non contarla due volte, secondo il principio di inclusione-esclusione della matematica
discreta) otteniamo il totale dell’insieme unione di soggetto e predicato, e per differenza di
quest’ultima sottratta al numero dell’ UD, il totale del complemento dell’unione stessa. Se nel
corso delle operazioni compaiono degli zeri, alcune sezioni saranno assenti.
Su queste basi possono essere effettuate deduzioni polisillogistiche con conclusioni
numeriche o quasi numeriche. Inoltre, anche in presenza di dati parzialmente indefiniti, in
molti casi e’ possibile procedere a deduzioni parziali.
Un possibile sviluppo numerico del sistema iconico relazionale può portare ad una
semplificazione del sistema. Possiamo infatti attribuire un numero a ciascuno dei
due\tre\quattro settori di ognuno dei 7 casi, settori separati dalle parentesi o sbarre inclinate
(con una lieve modifica anche dalla relazione xx). La tabella 6 sottostante mostra come
tradurre le espressioni del polisillogismo numerico in quello iconico (e viceversa), oltre a
mostrare la corrispondenza, riduttiva, coi vari casi pre-numerici.
pratica sintetica casi numerica completa iconica numerica iconica
AbaA,, Abab’E 1 bM M Ma Ø Rb' \M/R bVa
AbaU,, Abab’U 2 bM M Qa N Rb' M)Q-M) R-N b))a
UbaA,, Ubab'E 3 bM N Na Ø Rb' R (M-N(N b((a
UbaU,, Ubab’U 4 bM N Qa T Rb' (M-N (N)T) R-T bXXa
Uba'A,, Ubab'A 5 bM N Qa R Rb' M-N(N)R b()a
Aba'U,, Ebab'U 6 bM Ø Qa Q Rb' M)R-Q(Q b)(a
Aba'A,, Ebab'A 7 bM Ø Ra R Rb' M \ R b\ a
Possiamo fare degli esempi:
• b \8/ a 5 = b ed a sono 8 in tutto ed equivalenti, i restanti sono 5 [oppure b8Va 5 ]
• b8)3)a 6 = i b sono 8 gli a 11, i non b non a sono 6
• 6 b(3(8a = i non b non a sono 6, i b sono 11 gli a 8,
• b(5(3)7)a 9 = i b sono 8, gli a 10, i non a e non b sono 9 [oppure b5x3x7a 9 ]
• b 5(3)7 a = i b sono 8 , gli a 10, i non a 5, i non b 7
• b8) 2 (11a = i b sono 8, gli a 11 , 2 non sono nè b nè a
• b4 \ 3a = i b sono 4, i complementari, a , sono 3
Ancorché riduttiva, la correlazione con i sistemi pre-numerici prospetta alcune deduzioni
polisillogistiche che quantomeno restringono il campo delle corrette inferenze numeriche.
Confrontando i 7 casi con le formule di doppia predicazione Distintiva Numerica, possiamo
notare che in termini algebrico-booleni e diagrammi di Venn, quando un settore manca gli si
può attribuire un valore numerico pari a zero. Ciò permetterà di trarre immediatamente
alcune inferenze, arricchite da eventuali successive condizioni restrittive.
35

A questo punto possiamo suggerire una ipotesi di diagramma comparativo (attualmente in
fase di studio e altamente sperimentale), ispirato al quadrilatero numerico oppositivo, che
confidiamo possa produrre delle soluzioni grafiche sul modello delle disequazioni
matematiche (e che tenta superare analoghi modelli erronei, come quelli di Liebnitz e
Lambert, o molto limitati come “the Demonstrator” di Stanhope; v. Appendice). Il diagramma
risulta dall’affiancamento, a destra del quadrilatero graduato con soggetto b, del quadrilatrero
con soggetto b’, ma in modo che gli elementi totali dell’ UD evidenzino su una duplice fila la
loro consistenza numerica in questo o quello dei sottinsiemi ba, ba’, b’a, b’a’. In fig. 9 qui di
seguito un esempio.
ba b b' b'a
b4 3 a b' 6 4 a
a 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 a
a' 1 2 3 4 6 5 4 3 2 1 a'
b4 1 a' b' 6 2 a'
ba' b b' b'a'
4+3=7 esistono 7a nell' universo
1+2=3 esistono 3 a' nell' universo
6+4=10 esistono 10 elementi nell'universo
La situazione sopra rappresenta una bi-predicazione numerica riconducibile al caso 4 dei 7
soliti. Diamo di seguito (fig. 10) esempi relativi agli altri casi, 1, 2, 3, 5, 6, 7. (N.B. causa
problemi di incollaggio tabelle alcune formule non riportano la giusta collocazione delle cifre,
es 0\3 ba significa b3 0 a , tuttavia è sufficientemente intuitivo quali correzioni vadano
apportate, il valore fondamentale del diagramma essendo quello topologico).
1 3\3ba 0\2b'a
3 2 1 1 2
1 2 3 2 1
0\3ba' 2\2 b'a'
2 3\3ba 4\6 b'a
36

3 2 1 1 2 3 4 5 6
2 3 4 6 5 4 3 2 1
0\3ba' 2\6 b'a'
3 3\4ba 0\2b'a
4 3 2 1 1 2
1 2 3 4 2 1
1\4ba' 2\2b'a'
5 3\4ba 4\4 b'a
4 3 2 1 1 2 3 4
1 2 3 4 4 3 2 1
1\4ba' 0\4 b'a'
6 0\1ba 4\6 b'a
1 1 2 3 4 5 6
1 6 5 4 3 2 1
1\1ba' 2\6 b'a'
7 0\1ba 4\4 b'a
1 1 2 3 4
1 4 3 2 1
1\1ba' 0\4 b'a'
L’idea dovrebbe prevedere dei modi corretti di allineare, in analogia coi sistemi delle
disequazioni, le 2 bi-premesse numeriche di un sillogismo ed osservare le corrispondenze
37

numeriche possibili fra soggetto della conclusione o suo complementare e predicato della
stessa o suo complementare
Esaminiamo ora un caso particolare di distintiva numerica.
Sillogismi Singolari: caso limite D2
Sia data una classe-soggetto s costituita esattamente da un solo elemento. Si consideri
una seconda classe-predicato p, che consista di almeno un elemento. Se l’elemento unico
di s è anche elemento di p, diciamo s è p. Se non lo è diciamo s non è p o, se preferiamo, s
è non-p (s è p’). Tali predicazioni, per tradizione, sono denominate rispettivamente Singolare
affermativa e Singolare negativa; noi le simbolizzeremo rispettivamente con Fsp e Gsp (da
“adFirmo” e “neGo”, in analogia con quanto facevano gli Scolastici per le categoriche).
Solitamente non sono interpretate in chiave numerica, il che ne diminuisce la espressività in
quanto si priva il predicato di quantificazione (W.T.Parry ha identificato una specie nontradizionale
di quantificatore, α , che determina la unità numerica e l’identificazione di
entrambi i termini di una predicazione singolare, ma non andiamo molto oltre).
Si può discutere se nel caso di s composto di 1 solo elemento abbia senso sostenere che sia
vero o meno che “Ogni s è p” o “Nessun s è p”. Se le singolari dovessero considerarsi tra loro
contrarie o contraddittorie, universali o particolari, è una vecchia querelle all’intero della logica
tradizionale, risolta dal moderno calcolo dei predicati. Anche con la notazione numerica sopra
proposta tale problema non si pone, come già visto anche con le Quasi-numeriche .
In termini classici una singolare è assimilabile ad una universale composta da un solo
elemento, tuttavia se l’unico b è a, allora qualche b è a; se non lo è allora qualche b non è a,
ossia è non a. Ma siccome Aba e Aba’ non sono mai vere insieme, ed in questo caso non
possono neppure entrambe false (caso che si verifica allorquando sono vere entrambe le
particolari), allora deve essere vera Yba (o tutti, cioè 1, o nessuno), quindi Uba è falso. Yba ,
diviene una sorta di espressione del principio di non contraddizione.
Utilizzare funtori o quantificatori numerici ci esprimeremo così: Fsp diviene “di 1 s dato,
esattamente 1 è fra gli almeno 1 p”, in simboli s1 1 ≥1p mentre Gsp diventa “di 1 s dato,
esattamente Ø (zero) sono fra gli almeno 1 p” ossia s1 Ø ≥1p. Quest’ultima equivale
logicamente a “di 1 s dato, esattamente 1 è fra gli almeno 1 non-p ossia s1 1 ≥1p’.
In generale restano valide le 8 formule deduttive dei Sillogismi Singolari moderni (vedi
Bird,O.: cap.5 par 45), tuttavia occorre trovare una adeguata simbolizzazione per aggiungere
gli schemi che coinvolgono l’ Universale Distintiva, o meglio la sua omologa nella logica delle
classi. Senza soffermarci nella loro esplicitazione forniamo un esempio: [(b incluso in a)*(c
elemento di b)] c incluso in a ; questa conclusione può essere banalmente espansa
come c incluso in a o a’, espressione Singolare isomorfa di Yca.
Se avessimo il soggetto costituito di 2 elementi, già potremmo avere il triangolo o l’esagono
oppositivo in quanto all’interno della classe madre si potrebbero costituire 2 sottoinsiemi fra i
quali 1 potrebbe avere un attributo che l’altro non ha. Ne conseguirebbe l’ interruzione del
segmento A-E con il quantificatore intermedio. Tra due Singolari opposte non è data la
situazione intermedia. A meno che, con un salto di livello, si passi ad una “scissione
dell’atomo”, ovvero si concepisca che l’individuo stesso possa avere parti, per una delle quali
l’attribuzione di un dato predicato possa sussistere, mentre per l’altra no.
In una logica a due valori, il vero ed il falso, le due Singolari, affermativa e negativa, sono
necessariamente una vera e l’altra falsa, sono cioè incompatibili, ed esaustive. Dalla verità
dell’una se ne deduce la falsità dell’altra, dalla falsità dell’una se ne deduce la verità dell’altra.
38

Diverso sarebbe in un sistema che ammettesse una condizione intermedia tra
l’appartenenza e la non appartenenza di un predicato ad un soggetto : ad es. un frutto
potrebbe essere maturo o non maturo (acerbo), ma anche quasi-maturo. Lo stesso Aristotele
ammetteva che tra estremi contrari potevano darsi stati intermedi, ma non tra contraddittorie.
Tratteremo questi temi nella prossima parte, qui ci servono solo per concepire dei
quantificatori che usino non solo i numeri Naturali, ma anche quelli razionali e reali, o del
continuo. Quanto agli Immaginari, solo i limiti della nostra fantasia non ne hanno ancora
concepito un utilizzo, ma sicuramente prima o poi ci si arriverà. Buttiamo là un’idea senza la
minima pretesa: potremmo sfruttare la componente immaginaria di un numero per definirne
in termini modali (possibile, necessario, impossibile, contingente ecc…), o temporali
(passato, presente, futuro, eterno, transeunte, provvisorio, precedente ecc..) la presenza o
assenza di determinanti fattori numerici, magari negativi?
Prospettive di sviluppo teorico
A conclusione della rassegna dei sistemi distintivi, e prima della loro interpretazione in chiave
non standard, occorre mettere in rilevo qualche punto.
I limiti, come i pregi, dei sistemi D esposti derivano dal fondarsi sulla struttura del linguaggio
naturale della sillogistica, articolato in soggetto-predicato (logica dei termini) inadatto ad
esprimere le complessità di funzioni pluri-argomentali e della logica delle relazioni.
Basti pensare che la conclusione di un sillogismo, anche numerico composto, che utilizza tre
termini-classe, nonché i complementari, in generale non riesce ad informarci sulla
consistenza numerica dell’intersezione comune a tutte e tre le classi, limitandosi ai rapporti a
due a due: in ciò manifesta la sua inferiorità rispetto all’algebra della logica da Boole in poi.
Tuttavia negli anni ’90 almeno un filone di ricerca pare sia stato esplorato per superare questi
limiti: parliamo della Old New Logic o Numerical Term Logic di W. Murphree, F.
Summers, e G Englebretsen, per certi versi ispiratasi a Liebnitz, per altre derivata dalla
impostazione algebrico-logica a cavallo tra ‘8-‘900, alternativa alla moderna logica
predicativa, ma che in S. Lindell pare possa con questa coniugarsi (in vista di applicazioni
informatiche e di I.A.). F. Summers avrebbe creato un sistema che a partire dalla struttura
soggetto-predicato, base della lingua naturale, e della logica, attraverso progressive
espansioni (fra cui la sillogistica numerica di Murphree) potrebbe generare un sistema
deduttivo di potenza paragonabile al calcolo dei predicati del primo ordine ed
espandibile anche alle relazioni.
Non siamo attualmente in grado di valutare tali sistemi, tuttavia le risultanze del nostro lavoro
paiono suggerire che l’analisi delle predicazioni riveli strutture più articolate di quanto appaia
ad una prima occhiata. Abbiamo visto che la logica tradizionale, il cui riferimento linguisticosemantico
è quello naturale, proprio in nome di tale riferimento è suscettibile di una
presentazione più intuitiva, da un lato più semplice, dall’altro più completa, tramite un
rimescolamento, legittimo entro il suo stesso sistema, di qualche suo elemento. Tale
presentazione rivela simmetrie sottostanti alla sua struttura linguistico-logica. Queste
sottostrutture riconducono ad una comune matrice filoni della riflessione logica mantenutisi
storicamente e teoricamente indipendenti (in appendice ne vedremo alcuni). Queste
sottostrutture mostrano come le predicazioni distintive ed altre assimilabili contengano in
nuce aspetti poliargomentali, anche se esternamente diadici,
L’ apparente struttura biargomentale di una predicazione distintiva nasconde una relazione
a quattro-cinque argomenti, in cui i primi due si spartiscono iI terzo (soggetto), e si
relazionano ad un quarto, e anche ad un quinto argomento (il predicato e la sua negazione).
39

Il tutto è però così ben incastrato da essere criptato sotto le spoglie di una predicazione del
soggetto quantificato.
Nello sviluppo storico della logica classica, vedi ad es. gli studi del Lambert (op.cit., par.235
ssgg) espressioni come “tutti i b che sono c non sono a” escono dalle relazioni diadiche della
predicazione classica, e si avvicinano ai funtori booleani. La predicazione Esponibile
Scolastica Eccettuale, manifesta una struttura poliargomentale che, in questo caso, vuol
dire distintiva. Strutture del tipo “ Ogni b, eccetto c, è a ”, Xbca, non possono
immediatamente essere tradotte da relazioni di tipo biargomentale, come le predicazioni
distintive semplici.
Si potrebbe basare una nuova sillogistica “iperdistintiva” sulla struttura eccettuale Xbca. Se c
non è alcun b allora Xbca = Aba. Se tutti i b sono c allora Xbca = Eba. Vale inoltre in
generale che Xbca = Xbac. Se c costituisce solo una parte di b siamo in presenza della
Eccettuale Scolastica, implicante Uba, ma più informativa di quest’ultima. Per “esporre” la
Eccettuale scolastica adeguatamente occorreranno probabilmente particolari congiunzioni di
più predicazioni distintive. Tutto ciò pare indicare possibilità di ampliamento delle variabili
predicative e argomentali della sillogistica.
Abbiamo poi visto una interpretazione relazionale, semplice ma quantificabile
numericamente. Tutto ciò fa pensare che, se non per la via della numerical term logic, per
qualche analogo percorso sia edificabile un sistema basato su linguaggio ed intuizione
naturale che esprima la ricchezza del calcolo dei predicati.
Un altro limite dei sistemi distintivi deriva dall’ancoraggio all’impostazione bivalente della
Sillogistica. Tale limite però può essere superato, come vedremo nella prossima parte.
PARTE III: INTERPRETAZIONI LOGICHE NON-STANDARD
I Sillogismi D ed N, come visto nelle parti I e II, sono uno sviluppo di quelli tradizionali, ma
rappresentano una prima fase della traduzione in logiche non-standard.
Per proseguire in questa direzione ora occorre un rovesciamento: questo si ottiene traslando
o trasferendo la “misura” o tipicità di una predicazione / relazione dal suo quantificatore al
suo valore di verità, si tratti di quantificatore distintivo, numerico naturale, razionale o
continuo. In questa fase diviene fuzzy la relazione tra insiemi, mentre sottoinsiemi ed
elementi mantengono la bivalenza.
Nella ultima fase si opererà una completa saldatura con la logica fuzzy applicando un
quantificatore ad ogni elemento delle classe considerata, che ne misuri l’appartenenza
(membership) alla classe stessa e la non-appartenenza alla classe complementare. Se
avremo una predicazione semplice il quantificatore del soggetto ci dirà la misura della verità
dell’ “interezza” di questi al predicato, a seconda del tipo di quantificatore: Categorico
(affermativo, negativo, intermedio), Quasi-numerico, Numerico (discreto o continuo). Se la
predicazione sarà congiunta a quella del complemento del soggetto (Polisillogismo) avremo
una descrizione di tutti i valori di verità da attribuire alle relazioni in gioco, perciò più
completa, e massimamente accurata se i quantificatori saranno di tipo Numerico completo.
Per operare il “rovesciamento” e la “saldatura” occorre partire da alcuni principi
fondamentali della logica.
Trasposizione dei Quantificatori ai Valori di Verità: Inter-bivalenza
40

Partiamo dal Principio di Non-Contraddizione (Pnc) alla base della logica standard: non è
possibile che S sia p e insieme non p: (Sp * Sp’)’.
Aristotele parlando del Pnc sottolineava che “lo stesso attributo non può
contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo stesso
punto di vista”.
Tale principio trova piena espressione nelle predicazioni Singolari (e nei Sillogismi
Singolari con queste costruibili), dove al soggetto, non “quantificato”, perché unitario,
monolitico (saremmo tentati di definirlo “parmenideo”), può vedersi interamente attribuito o
interamente negato un determinato attributo.
La contraddittoria ovvero la negazione di una predicazione Singolare sarà la Singolare
che nega al medesimo soggetto lo stesso predicato, e viceversa: ad es. “Socrate è un
politico” viene negata da “Socrate non è un politico”, o da “Socrate è un non-politico” oppure
ancora, tramite uno spostamento dal livello linguistico “0” al livello “1” o meta-livello superiore,
da “non è vero che ”. Una Singolare può essere anche indicata
ostensivamente “Quel cane è tranquillo”. Per visualizzarne la relazione oppositiva utilizzando
un modello analogo al celebre Quadrato delle Opposizioni dovremmo ricorrere a Due Punti
posti su un Segmento orizzontale ai cui estremi si pongono da un lato la Singolare
affermativa dall’altro quella negativa. Il Segmento non rappresenta altro se non la relazione di
reciproca negazione tra i due estremi.
Tale modello – col sottinteso PnC – non è limitato alle Singolari, giacché funziona
anche con le predicazioni Plurali Indivise, contenenti soggetti genericamente collettivi e/o
indefiniti, cioè privi di quantificatori (“tutti, alcuni, nessuno, uno, due” e simili). Ad es. “il cane
è fedele”, significa “i cani sono fedeli” in senso generale, senza specificare se vi siano poche,
molte o nessuna eccezione; ben maggiore definizione possiamo infatti riscontrare
nell’Universale “tutti i cani sono fedeli”. La contraddittoria di una Indivisa affermativa, è una
Indivisa negativa, ad es. “i cani non sono fedeli”, altrettanto generica. Qui l’entità collettiva dei
cani, ancorché plurale, viene trattata in modo indiviso, per cui si può predicare di essa in
modo affermativo o negativo solo in blocco.
(Vi è stato chi ha visto nella indefinita il significato proprio della particolare aristotelica,
ed ha chiamato “parziale” la nostra particolare distintiva (v. Blanché, R). Questa ri-definizione
sarebbe in effetti più corretta ed economica, ma la storia ha ormai consolidato talmente il
concetto di “particolare” che sottrarsi all’uso dominante rischierebbe troppi fraintendimenti.)
Il modello presenta una crisi - di crescita, potremmo dire - quando accanto al soggetto
introduciamo i quantificatori. Questi portano ad una più complessa articolazione del Pnc. Una
predicazione Universale sarà contraddetta da una Particolare e viceversa. Dal modello
unidimensionale a Segmento passiamo allo sviluppo bidimensionale del Quadrato oppositivo,
in cui accanto alle contraddittorie compaiono le contrarie, le sub-contrarie e le subalterne. Per
ottenere una contraddittoria ad una predicazione data, occorrerà scambiare fra loro il
quantificatore Universale con quello Particolare, non bastando più la semplice negazione
della copula o del predicato, come nelle Singolari. Il Quadrato oppositivo si può dunque
vedere come uno sviluppo su di un piano del Segmento di retta delle Singolari o Plurali
Indivise, o viceversa il Segmento si può interpretare come un collassamento del Quadrato,
dove contraria e contraddittoria si sovrappongono in un tutt’uno indistinto (al punto che
ancora oggi v’è chi discute se le Singolari siano assimilabili a Particolari o ad Universali).
Ma qual è la ragione profonda di questo sviluppo dimensionale del Segmento in
Quadrato, che abbiamo con i quantificatori?
Riprendiamo la citazione di Aristotele, rimarcandone la parte finale: “lo stesso attributo
non può contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo
41

stesso punto di vista” (o traduzioni analoghe: oggetto considerato sotto il medesimo
riguardo, rispetto, senso, verso, prospettiva, taglio, interpretazione, parallelo, ecc.).
Chiediamoci : e se cambiassimo punto di vista ?
A nostro avviso una molteplicità di punti di vista si introduce implicitamente proprio con la
quantificazione del soggetto. Riteniamo che la quantificazione sorga per l’esigenza di
distinguere delle partizioni o sottoinsiemi all’interno della classe del soggetto, non più visto
come un tutto monolitico.
Tale disarticolazione diviene più evidente con la riduzione del Quadrato oppositivo a
Triangolo, o Esagono, come abbiamo visto coi Sillogismi Distintivi. L’apparente struttura
biargomentale di una Particolare distintiva nasconde una relazione a cinque argomenti, in cui
i primi due (sottoclassi) si spartiscono iI terzo (soggetto), e si relazionano ad un quarto
(predicato), ma anche ad un quinto argomento (il complemento del predicato). Il tutto è però
così ben incastrato da essere criptato sotto le spoglie di una predicazione del soggetto
quantificato dal “solo qualche”.
Nella Particolare Distintiva la classe-soggetto, formalmente unitaria, è costituita
sostanzialmente da due sottoclassi disgiunte e, relativamente alla classe-madre, esaustive,
per le quali si determinano predicazioni opposte, dunque riguardanti necessariamente, per
via del Pnc, soggetti diversi. Se a livello “0” (zero) poniamo gli elementi della classe soggetto,
al livello “1”, troveremo i due sottoinsiemi: in entrambi i livelli restiamo entro una logica
bivalente, e rispettiamo il Pnc e del terzo – o medio – escluso. Così quando diciamo “solo
qualche europeo è greco” insieme a ”solo qualche europeo non è greco” non violiamo il Pnc,
in quanto il sottinsieme degli europei soggetto della prima predicazione non è lo stesso della
seconda. Però ora saliamo al livello “2” , che contiene l’insieme di tutti gli europei, e
chiediamoci “gli europei sono greci?”. Per il Pnc o lo sono o non lo sono. A rigore, ossia nella
generalità, non lo sono. Ma, se ogni greco è un europeo, ed in quanto europeo non è greco
(come abbiamo appena visto) egli è greco e non greco al tempo stesso, il che è
contraddittorio. Concediamo allora che gli europei siano greci. Che dire di un inglese? E’
europeo, ma non greco; in quanto europeo è però greco (come concesso), quindi è greco e
non greco. Siamo di nuovo ad una contraddizione, o meglio ad un paradosso.
In altre parole se nel soggetto di una distintiva quel che vale per una parte, non vale
per l’altra, come possiamo sostenere per l’intero che, in base al Pnc, anche per esso aut
valga aut non valga il dato predicato?
Un paio di esempi chiariranno la differenza tra una situazione che non crea problemi
nel suo inserimento in una logica bivalente ed una che ne chiede una estensione.
Ad una collezione di anatre come uno stormo in migrazione, possiamo attribuire,
poniamo: una formazione di volo a “V”, un numero di componenti dispersi, un fronte ampio
30 m, ecc. Tali caratteristiche non possono certo attribuirsi alle singole anatre; invece
l’andare verso una certa direzione, è attribuibile ad entrambi i livelli del discorso. Ad entrambi
i livelli, senza problemi sussiste la bivalenza.
Ora prendiamo il soggetto di una universale, inteso come classe, ad esempio della
categorica “ogni mammifero è allattato (da piccolo)”. La verità di tale predicazione si può
riscontrare a livello di ogni elemento, come a livello di insieme, o concetto generale di
“mammifero”. Prendiamo ora il soggetto di una particolare distintiva, inteso come classe, ad
esempio della categorica “Solo qualche mammifero è oviparo (come l’ornitorinco femmina e
specie affini)” Ciascun elemento costitutivo della classe “mammifero” o è oviparo o non lo
è, non si possono (nella nostra epoca) deporre mezze uova, e tertium non datur. Ma se
riflettiamo sull’insieme “mammifero” o, se preferiamo, sul suo concetto…a questo livello
possiamo ancora considerare un attributo passibile di appartenere o non appartenere
all’insieme dato ? in realtà qui se affermiamo che il mammifero, in quanto tale, non è oviparo,
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diciamo il falso, così come se dichiariamo che lo sia, poiché il concetto sottende realtà
individuali non omogenee relativamente a quell’attributo. Ma se qualcosa risulta in parte
solidale ad una qualità, in parte no, e tuttavia ci teniamo a mantenere l’integrità di tale
soggetto, pare ragionevole abbandonare la bivalenza vero-falso ed introdurre un valore
intermedio. Avremo così in modo “de re” la formulazione bivalente “solo qualche b è a “ , in
modo “de dicto” , (equivalente, per omogeneità con l’obversione,
a ”parzialmente falso”).
Forse per questa via si possono dissolvere i problemi generati dalla suddivisione fra
connotazioni accidentali ed essenziali in un concetto e nella sua estensione.
Possiamo venir fuori dal paradosso in un modo semplice: indebolendo il Pnc, al
livello “2”, cioè violandolo in parte, tramite una bivalenza flessibile. Le risposte possibili e
alternative alla domanda “Gli europei sono greci?” saranno così tre: T (ingl. True o V) = si, è
Vero; F = no, è Falso; Γ = in parte, è Moderato (o Relativo, Parziale, Riduttivo, Limitato,
Circoscritto, Semivero, Flessibile, Scomponibile, Analizzabile, Misurato-abile, Variegato,
Frazionato, Razionato, Delimitato, Attenuato ecc). Se una proposizione è in parte vera, è
anche in parte falsa, dunque in parte non falsa ed in parte non vera. La tripartizione ogni /
nessuno / solo qualche, si sposta così dal quantificatore al valore di verità, o anche, se si
preferisce, alla copula è / non è / è in parte. Da notare che la “terza” opzione valoriale non è
altro che un ibrido delle altre due, si compone esclusivamente di porzioni delle altre due, non
risulta perciò “aliena” al vero ed al falso, come richiederebbe una autentico terzo valore. Essa
si riferisce a tutti quei casi collocati idealmente nell’intervallo tra i due estremi dell’”Ogni” e del
“Nessuno”, perciò l’abbiamo denominata Inter-bivalenza (o Meso-bivalenza).
Volendo esprimerci in termini modali, diremmo che in “solo una parte di b è a”
abbiamo bivalenza e il quantificatore svolge la funzione modale De re, in “ è vero
solo in parte” abbiamo Inter-bivalenza con modalità De dicto.
Se poi volessimo portarci ad un ulteriore livello logico, al livello 3, nulla ci impedirebbe
di ripristinare la bivalenza pura: ad es che “è in parte vero che gli europei sono greci” o è vero
o è falso. Oppure potremmo mantenere anche a livello 3 l’inter-bivalenza e giudicare
parzialmente vero che “è vero che gli europei sono greci”.
Spesso nel linguaggio comune scegliamo proprio l’Inter-bivalenza a livello 3
Se io dico che tutte le donne sono bionde, quando lo sono solo alcune, dico il falso? No, dico
un vero parziale. Direi il falso totale solo se non lo fosse nessuna. E se dico che solo qualche
italiano è europeo, quando lo sono tutti, o anche quando non lo fosse nessuno, dico il falso
solo parzialmente.
Si noti che a giudicare parzialmente vere a livello 3 le affermazioni di livello 2, se si
sbaglia…lo si fa solo in parte!! Ecco forse il motivo del successo del noto adagio: “In medio
stat virtus”. Purtroppo – o per fortuna- in molte cose non basta essere approssimativi, ci
occorre la misura esatta…
A questo punto si rende necessaria una distinzione concettuale.
Esistono due formulazione ritenute da sempre sinonime: da un lato il principio
aristotelico di esclusione del μεταξυ (=medio, intermedio), in inglese "Excluded
Middle", dall’altro la sua versione latino-scolastica del "tertium non datur" (terzo escluso).
Tuttavia a nostro avviso non è lo stesso dire che si esclude un valore di verità intermedio, per
esempio entro un sistema bivalente (ma anche tri- o pluri-valente, come nella fuzzy logic) o
un valore “terzo”, sempre rispetto alla bivalenza (o quarto, rispetto alla trivalenza, come per
N. A. Vasiliev, o quinto, etc...) La differenza consiste in questo, che un valore medio o
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intermedio rappresenta un ibrido, una miscela degli altri due, composto di nient’altro che dei
medesimi, in misura inversamente proporzionale l’uno dell’altro, mentre un autentico “terzo”
valore deve essere totalmente alieno, eterogeneo al vero ed al falso, extra-bivalente come ad
es. essere “privo di senso/significato”, “non ben formato”, “convenzionale/ato”, “extracategoriale/contestuale”
“improprio, inappropriato” (A. Zinov’iev, H. Wessel, quest’ultimo
autore di un esagono oppositivo strutturalmente identico al nostro distintivo, ma basato sulla
trivalenza a livello dei termini, e bivalente a livello proposizionale), “indecidibile/indimostrabile”
(dove vero e falso si intendono come dimostrabili o assiomatizzabili) “irrilevante” (si pensi alle
logiche della rilevanza) etc... Potremmo anche denominare il terzo valore come neutro (lat.
ne-uter=nessuno dei due, né vero nè falso ±), tuttavia va chiaramente postulato che vero e
falso non sono più sufficienti per qualificarsi vicendevolmente tramite negazione: “non vero”
non significa automaticamente falso, può anche significare neutro, ed analogamente il “non
falso” non significa necessariamente vero, potendo essere neutro. Tipico esempio per
illustrare l’inadeguatezza della bivalenza in taluni contesti: se essere scapoli significa non
essere sposati e viceversa, e il sole non è sposato, allora il sole è scapolo. In realtà il
contesto sensato per trattare della complementarietà fra scapoli e sposati è l’essere uomo
maschio adulto (in determinate società), qualsiasi estensione dell’universo del discorso
comporta il passaggio dalla bivalenza alla trivalenza, con la possibilità di giudizi neutrali. Altro
esempio è l’irrompere di termini insensati come “i leoni sono tttccwwxzz”
Alla luce delle considerazioni esposte, appare chiaro perché i sistemi qui proposti non
vanno qualificati come Trivalenti, bensì Inter-bivalenti.
Super-bivalenza
Storicamente vi è stata anche un’altra modalità, molto controversa, per restare al di
qua della bivalenza (cis-bivalenza), violando il Pnc e che potremmo definire della Superbivalenza
: quella delle cosiddette Logiche Dialettiche o Paraconsistenti, per le quali una
cosa può essere insieme vera e falsa ( Ŧ ) , e non falsa e non vera. Sempre partendo dalla
citazione dello Stagirita si può sottolineare infatti che il Pnc vale perché “lo stesso attributo
non può contemporaneamente appartenere e non appartenere allo stesso soggetto dallo
stesso punto di vista”. Dunque poiché nel tempo, nella storia, quasi ogni cosa muta nei propri
attributi, a volte stravolgendoli nei loro contrari, per comprendere la realtà è forse meglio un
logica “eraclitea” che ammetta la dinamica “coincidentia oppositorum”.
Le interpretazioni di fenomeni storici, biologici, antropologici ostinatamente refrattarie
ai riduzionismi classici, possono essere sottratti ad irrazionalismi arbitrari attraverso logiche
Inter-bivalenti. Esempi di campi predisposti ad una lettura in questa chiave possono essere
dati dal lavoro di W.R. Bion e più in generale dal pensiero psicanalitico, con l’interazione fra
livello conscio ed inconscio (v. applicazioni del quadrato logico da parte di F. Fornari
nell’interpretazione dei sogni, ne “Il codice vivente”), dagli studi di G. Bateson e della scuola
di psicoterapia sistemica di Palo Alto, (Watszlawik et al.), e da vaste aree dell’ intelligenza
artificiale, nella simulazione dei processi della mente umana, primo fra tutti l’apprendimento..
L’avverbio “contemporaneamente” sopra sottolineato può intendersi non solo in senso
temporale, ma anche riferito alla pluralità dei livelli linguistico-logici delle proposizioni
(sintattico-semantici).
Esiste un piano, quello reale, dove accettiamo valga la bivalenza, e nel quale risulta
tautologico, perciò vero, che “x è aut vero aut falso”; ma esiste un piano ideale (linguistico-
gnoseologico) nel quale non sappiamo quale delle 2 sia l’opzione reale, e dobbiamo
immaginarle entrambe, per esempio per prepararci ad ogni evenienza. Così per assumere
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comportamenti razionali dobbiamo paradossalmente adottare la contraddizione. Qui non
dobbiamo prepararci ad un via di mezzo, che potrebbe risultare sbagliata in entrambi i casi,
ma ad una soluzione che serva in entrambi i casi o, se ciò non fosse possibile, al più
probabile dei due.
Riteniamo che tali Logiche, che gli stessi sostenitori vogliono esplicitamente salvare da
una totale inconsistenza, o siano in realtà Trivalenti o Polivalenti (la stessa fisica
contemporanea, nelle teorie quantistica e probabilistica, è stata interpretata come
presupponente logiche di questo tipo) o in qualche modo riconducibili all’Inter-bivalenza (o
a possibili sviluppi Inter-trivalenti, Inter-quadrivalenti ecc..). Questa traduzione ci pare
possibile, se ad essere tradotto in termini di valenza non sia il quantificatore, ma
trasversalmente, lo stesso livello logico “0”, ossia con un salto “meta-logico”. Facciamo
un esempio. Le autoambulanze salvano vite. Le autoambulanze inquinano mortalmente.
Sono due verità piene, a livello 1, che riguardano tutte le ambulanze, non solo alcune. Se le
poniamo sullo stesso piano o livello per la bivalenza otteniamo due affermazioni a livello 2
contraddittorie: “è vero che le ambulanze salvano vite” ed “e’ vero che non salvano vite”. Ma
se le consideriamo su due piani diversi (diciamo x, y) e riformuliamo il giudizio su tali piani
trasversali (sovrapposizione, crossover) anziché sulle ambulanze, ossia “solo su qualche
piano le ambulanze salvano vite”, e “solo su qualche piano le distruggono”, alla luce
dell’Inter-bivalenza possiamo infine valutare: “è vero in parte che le ambulanze salvano vite”
– seguono specificazioni.
Un’analogia di riconducibilità di una Logica Non–Standard all’Inter-bivalenza o alla
Super bivalenza, può essere fornito dalle Logiche Non-Monotoniche. In queste, a livello “0”,
una “situazione qualificata a” si può rivelare, alla luce di sopraggiunte conoscenze,
“situazione b” in parte identica in parte contraddittoria alla prima; vi è tuttavia una
memorizzazione dell’intero processo (e dell’ordine di sequenza) che funge da analogon della
classe-madre a livello “1”, interpretabile in termini interbivalenti (o inter-trivalenti ecc.).
Una predicazione Esponibile Scolastica, l’ Eccettuale, potrebbe rivelare nella sua
forma predicativa una struttura Non-monotona. Strutture del tipo “ Ogni b, eccetto c, è a ”,
Xbca, sembrano fatte apposta per seminare zizzania nella bivalenza. Non è forse un
paradosso logico il detto che “l’eccezione conferma la regola”? Non è forse
autocontraddittorio affermare che “tutti gli uomini tranne gli italiani corrono”? Le pur acute
analisi degli scolastici, scomponendo frasi come questa in più elementari frasi in
congiunzione, come le seguenti:
1. tutti gli uomini che non sono italiani corrono
2. gli italiani sono uomini
3. gli italiani non corrono
si sono arrestate davanti a frasi come la 1. Hanno considerato in blocco come un soggetto
“gli uomini che non sono italiani”, senza analizzarla ulteriormente, in ciò seguiti poi da altri
logici (ad es. Lambert, Lewis Carroll, che tratteranno simili locuzioni come categoriche
universali). L’espressione “TRANNE” svolge un ruolo analogo, nell’insiemistica moderna,
all’operazione logica di differenza asimmetrica fra classi. Ma, in una logica strettamente
bivalente, se all’insieme degli uomini togliamo gli italiani, il “tutti” andrebbe sostitituito con il
“solo qualche”. Se non lo facciamo vuol dire che ci muoviamo in una logica a più livelli, e che
le stesse operazioni logiche (la differenza), che “trasformano” un insieme in un altro,
presuppongono, in questo “divenire” una equivalenza tra una situazione statica (il risultato
dell’operazione) ed una trasformazione di due stati logicamente contrapposti mediati da una
operazione/quantificazione.
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A voler essere esaustivi la prima valenza da passare in rassegna dovrebbe essere la
monovalenza, nelle due versioni “tutto è vero” e “nulla è vero”, già scartate da Aristotele come
inadeguate e prive di senso (poiché una affermazione presuppone un distinzione), da lui
attribuite (libro IV della Metafisica) rispettivamente ad Eraclito (in quanto nel divenire i contrari
sono entrambi veri) e ad Anassagora (perché vedeva in ogni realtà una indistinta
mescolanza).
Di quest’ultima concezione se ne può vedere una versione moderna nella Logica Simmetrica,
descritta da Matte Blanco e altri, come la logica dell’inconscio e degli schizofrenici, che non
distinguono la parte dal tutto, il soggetto dal predicato o dal complemento. La Logica
Simmetrica diviene interessante allorché interagisce con la Logica Bivalente classica,
generando la Bi-logica, la sola effettivamente capace, secondo gli autori, di comprendere i
processi psichici ed intellettivi umani, e di spiegarne la ricchezza dei comportamenti, normali
o patologici (vedi Oneroso Fiorangela, in bibliografia).
“ .... è caratteristica del pensiero inconscio, o “primario”, l’incapacità del soggetto di
distinguere tra “ alcuni “ e “tutti”, e l’incapacità di distinguere tra “non tutti” e “nessuno”.
Sembra che queste distinzioni siano compiute da processi mentali superiori o più
consci, i quali nell’individuo non psicotico servono a correggere il pensiero “bianco e nero”
dei livelli inferiori.” ( Gregory Bateson, “ Verso un’ecologia della mente”, Milano, Adelphi,
1976, pag.225).
Da questo punto di vista le logiche dei sistemi Distintivi e dell’Inter-bivalenza –
inclusiva della Super-bivalenza- si pongono come una nuova fonte di equilibrio o integrazione
dei punti di vista conscio ed inconscio, emotivo e razionale, nelle psicoterapie o nella
psicopedagogia. Possono cioè rappresentare quella Logica formalmente ineccepibile che è
sempre mancata a teorie, come ad es. la Psicanalisi ma non solo, spesso bollate come
antiscientifiche perché non ascrivibili a logiche bivalenti. (con questo non vogliamo
assicurarne la scientificità, solo non la vogliamo respingere sulla semplice base della parziale
violazione del Pnc). Un altro campo applicativo può essere la didattica della logica e del
pensiero astratto in età evolutiva.
A questo punto si impone un chiarimento per evitare una riduzione dell’ Inter-bivalenza al
calcolo delle probabilità, equivoco spesso capitato alla fuzzy logic. Un esempio-metafora,
ispirato ad uno simile in B. Kosko. chiarisce molto bene le differenze. Una flotta è sorpresa
da un uragano. Perdiamo i contatti e non sappiamo fine abbia fatto. Nell’incertezza totale
diciamo che le probabilità la considerano ½ affondata. Poi accertiamo cosa è successo e
scopriamo che metà delle navi sono affondate e metà no. La flotta è ancora per ½ affondata,
ma stavolta non c’è alcuna incertezza o probabilità. Ma supponiamo un’altra situazione:
passato l’uragano, scopriamo che tutte le navi siano in una baia a basso fondale, incagliate a
pelo dell’acqua, molto danneggiate, forse recuperabili. Si può dire che la flotta sia affondata?
Si e no, dunque concludiamo che è ½ affondata. Abbiamo tre diverse descrizioni di stati di
cose, non importa quale sia reale o creduto. Abbiamo usato un ente collettivo per sottolineare
il gioco fra i livelli di elementi, insiemi, valori di verità, ma il discorso era lo stesso se usavamo
una mela di cui ignorassimo se è marcia o no, o di cui sapessimo che è marcia in una sua
precisa metà o che è uniformemente non troppo marcia. La prima descrizione è in termini
probabilistici ossia: Super-bivalente come possibile sovrapposizione di stati contraddittori
(insieme affondata & non-affondata), Poli-Inter-bivalente come attribuzione numerica di
probabilità. La seconda è Inter-bivalente, numerica come grado della relazione fra l’insieme
delle navi della flotta e quello delle navi affondate. La terza è di tipo fuzzy con valore
numerico di appartenenza delle singole navi all’attributo di “affondata”. L’incertezza
probabilistica scompare ad evento accaduto, la fuzzy no.
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La cosa interessante è che la stessa struttura o modello logico, con la stessa legge di
obversione, calcolo inferenziale ecc. presiede a logiche diverse, con riferimenti semantici e
disciplinari diversi ma, in determinate interpretazioni, scambiabili.
A conclusione delle considerazioni sulla bivalenza ci pare interessante rilevare che
l’abbandono della bivalenza classica, per dar luogo all’Inter-bivalenza, scaturisce non da
necessità di tipo modale, temporale, metafisico o fisico/probabilistico (libero arbitrio,
indeterminismo), come storicamente è accaduto per Aristotele (qualche breve accenno) o
Lukasiewicz (logica trivalente) ed altri in seguito, ma da un modo pluriprospettico,
stratificato di guardare le relazioni semantico-topologico fra insiemi, sottinsiemi ed
elementi. Ciò non toglie che la “parzialità” di un Pnc indebolito, possa interpretare non solo la
relazione tra due classi soggetto/predicato, ma anche insiemi contraddittori in qualche
dimensione, prospettiva (spazio-temporale/topologica, categoriale, modale, metalinguistica,
strutturale, ecc). giudizi dubbiosi problematici esitante incerto oscillante
Logica Pre-Numerica (generalizzante)
Possiamo a questo punto produrre un elenco completo delle espressioni della sillogistica triesagonale
tradotte in termini Inter-bivalenti. Possiamo chiamare questa particolare Interbivalenza
Pre-numerica, perchè limita la distinzione dei quantificatori/valori di verità
particolari distintivi/interbivalenti o parziali alla generalità dei casi compresi nell’intervallo tra
gli estremi Ogni;Nessuno/Vero;Falso, senza ulteriori specificazioni numeriche.
Nell’elencazione che segue il verbo “risultare”, introdotto per motivi stilitico-grammaticali,
svolge il medesimo ruolo di copula del verbo essere; inoltre il segno “=”, non deve intendersi
come identità, bensì come “traducente/-ibile in”.
Aba = V ba = risulta Vero che “b sia a” , Falso che “b sia a’ ”
Eba = F ba = risulta Falso che “b sia a” , Vero che “b sia a’ ”
Uba = M ba = risulta Moderato che “b sia a” = risulta Moderato che
Iba= > M ba = risulta almeno Moderato che b sia a = ris. al più Moderato che b sia a’
Oba= < M ba = risulta al più Moderato che b sia a = ris. almeno Moderato che b sia a’
Yba= ≠ M ba = non risulta Moderato che b sia a = ris. o Vero o Falso che b sia a
I 7 casi del polisillogismo saranno così interpretabili:
1 bVa Abab’E è vero che b sia a, che lo sia b’ è falso T bab’ F
2 b))a Abab’U è vero che b sia a, che lo sia b’ è moderato T bab’ Γ
3 b((a Ubab'E è moderato che b sia a, che lo sia b’ è falso Γ bab' F
4 bXXa Ubab’U è moderato che b sia a, che lo sia b’ è moderato Γ bab’ Γ
5 b( )a Ubab'A è moderato che b sia a, che lo sia b’ è vero Γ bab' T
6 b)(a Ebab'U è falso che b sia a, che lo sia b’ è moderato F bab' Γ
7 b \ a Ebab'A è falso che b sia a, che lo sia b’ è vero F bab' T
oppure in altra formulazione
1 bVa Abab’E essere a è vero per i b, falso per i restanti T bab’ F
2 b))a Abab’U essere a è vero per i b, moderato per i restantiT bab’ Γ
3 b((a Ubab'E essere a è moderato per i b, falso per i restanti Γ bab' F
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4 bXXa Ubab’U essere a è moderato per i b, moderato per i restanti Γ bab’ Γ
5 b( )a Ubab'A essere a è moderato per i b, vero per i restanti Γ bab' T
6 b)(a Ebab'U essere a è falso per i b, moderato per i restanti F bab' Γ
7 b \ a Ebab'A essere a è falso per i b, vero per i restanti F bab' T
Restano valide tutte le leggi inferenziali visite con le distintive pre-numeriche, in particolare la
legge dell’obversione che rende tipico il sistema tri-esagonale rispetto al quadrato oppositivo.
Vediamo ora un sillogismo semplice ricondotto alla Inter-bivalenza
(Solo qualche Barboncino è Ammalato * Ogni Barboncino è Cane) Solo qualche
Cane è Ammalato. In Inter-bivalenza risulterebbe: che i "Barboncini siano Ammalati" è
moderatamente vero * che "i Barboncini siano Cani" è [totalmente] vero che "i Cani siano
Ammalati" è moderatamente vero (ossia moderatamente falso).
Logiche Numeriche (puntualizzanti)
Queste vanno oltre una distinzione generica dell’intermedio dai casi estremi, in quanto
assegnano una precisa misura della verità di una predicazione di una classe-soggetto verso
una classe-predicato (utilizzabile in vari modi: commensurativo assoluto, statistico-correlativo,
relativo-probabilistico, frazionario-percentuale, ecc). Utilizzando il modello del quadrilatero
graduato o continuo possiamo far corrispondere un valore di verità ad un punto o ad un
intervallo definito da punti sul segmento fra i quantificatori universali. Naturalmente la misura
della verità, derivando la sua struttura dai quantificatori dei sillogismi numerici si presenta bidimensionale,
per il doppio riferimento da un lato alla totalità numerico-esistenziale della
classe soggetto, dall’altro alla quantità numerica di quest’ultima coinvolta nella predicazione;
trattasi dunque di verità relativa ad una totalità, quella della classe-soggetto. In pratica la
bidimensionalità viene però ripiegata, nel modello del quadrilatero graduato, sul segmento A-
E, o Massimo-Zero, dove la totalità è indicata dal Massimo e il valore di verità da un punto
intermedio. Anche qui, come nei sistemi seguenti, abbiamo il puntuale riscontro di tutte le
leggi e regole deduttive valide per i sistemi sillogistici corrispondenti (numerici).
La misura del valore di verità presuppone una unità di misura che rappresenta la verità
piena. Può essere 1 ma può anche essere il numero totale degli elementi dell’universo
considerato. La legge fondamentale delle verità numeriche, o misurabili, assegna ad ogni
valore di verità intermedio la sua equivalenza al valore di falsità complementare rispetto
all’assoluto o totale. Da porre in rilievo la diversità da interpretazioni probabilistiche.
Logica Graduata o Naturale (discreta)
I Sillogismi Numerici Naturali visti in precedenza vengono qui tradotti in una sorta di Poli-
Inter- bivalenza. Utilizzando una metafora ottica, se la bivalenza utilizza il bianco ed il nero e
l’ Inter-bivalenza aggiunge un tono intermedio alla predicazione (cioè al suo valore di verità),
la Logica Graduata moltiplica, in base ad unità discrete, i toni intermedi, organizzati in
scala, assicurando così una maggiore accuratezza al giudizio. E’ una prima
approssimazione alle predicazioni sfumate, fra classi-termini dai confini netti (crisp, rough),
per i quali cioè è ancora chiaramente definibile l’appartenenza o la non appartenenza alle
classi di qualsiasi elemento.
48

Logica Sfumata o Continua (razionale, reale)
Con l’utilizzo di quantificatori numerici razionali o reali, viene raggiunta finalmente la
gamma infinita di sfumature di grigio, senza soluzione di continuità: fuor di metafora, la logica
fuzzy, (detta anche flou, sfuocata, morbida) sempre però riferita alla relazione o
predicazione fra insiemi crisp. Cessa a questo punto una interpretazione ingenua degli
insiemi come individui discreti e si apre a enti continui, ad esempio superfici, distanze, ecc.
conservando però il riferimento al linguaggio naturale, garantito dalla struttura predicativa.
Abbiamo così conseguito Sillogismi e Polisillogismi Sfumati
Da quanto riferito emerge l’inadeguatezza della denominazione “vaga” spesso attribuita
alla logica fuzzy, capace al contrario della massima precisione. Interessante potrebbe
risultare un confronto diretto tra questo linguaggio logico ed il calcolo infinitesimale o
integrale.
Sillogismi e Polisillogismi sfumati tridimensionali
Per completare l’ approdo alla logica fuzzy (secondo metafora, ottenere le sfumature, non
solo di grigio, ma colorate), resta l’ultimo passo: attribuire non solo alla relazione, ma anche
ad ogni elemento di una classe, la misura (o verità) della sua appartenza (membership)
alla classe stessa (dunque trasformandola in classe fuzzy), esprimibile aggiungendo una
terza dimensione al modello discreto del quadrilatero graduato, che diviene un “Cubo fuzzy
delle opposizioni”(vedi di seguito fig. 11).
Se possibile, occorrerà ora individuare le funzioni matematiche che descrivano le
progressioni dei valori individuali ordinati (membership function).
In base al cubo fuzzy, ed alle regole acquisite in ambito bivalente, sarà così possibile
dar luogo a Sillogismi e Polisillogismi Sfumati tridimensionali.
Riprendendo la struttura delle Singolari, se volessimo introdurre una predicazione sfumata
dovremmo far svolgere ad un nuovo quantificatore il ruolo mediano, e “sfondare” il piano
bidimensionale generando un triangolo non sul piano ordinario, del quadrato, ma in una terza
49

dimensione, in cui ad es. “Solo in parte Socrate è conosciuto”. Tale quantificatore
“Esclusivamente Parziale” si contrapporrebbe ad un “Alternativo Totale” sia affermativo che
negativo.
Se possono esistere elementi che appartengono solo parzialmente ad un insieme b
accanto ad altri che totalmente vi appartengano e ad altri ancora che totalmente non vi
appartengano, potremmo stabilire le seguenti notazioni delle rispettive 3 classi di
appartenenza: b ,b b’ ove la virgola anteposta ad un termine lo quantifica solo
parzialmente . Ora se vogliamo creare predicazioni bivalenti con intermedio dobbiamo
combinare tale terzetto con un altro terzetto, a ,a a’ come in tab 7 qui sotto .
a ,a a’
b b a b ,a b a’
,b ,b a ,b ,a ,b a’
b’ b’ a b’ ,a b’ a’
Si noti che solo ai quattro angoli si trovano espressioni compatibili con la bivalenza, e
raggruppabili 2 a 2 per i soliti assunti esistenziali. Altre riduzioni possono essere fatte, ma
non approfondiamo il discorso in questa sede.
Se vogliamo creare sillogismi occorrerà combinare uno dei terzetti visti con un ultimo
terzetto c ,c c’ poi stabilire le regole di deduzione.
Prendiamo ad es l’Univ dei cani, suddivisibile in barboncini, non barboncini, barboncini
bastardini. Mettiamo le tre sezioni in relazione ai cani ammaestrati professionalmente (ad es.
come nei circhi), non ammaestrati, ammaestrati più o meno bene (dai proprietari domestici).
Pensiamo ora ad una tripartizione teorica per i barboncini in relazione
all’ammaestramento: A) di alcuni (o in numero di...sul totale di...) possiamo dire che sono
ammaestrati al 100% B) di alcuni ammaestrati allo 0% C) di alcuni ammaestrati
parzialmente tra lo 0% e il 100% (o in maniera indefinita). Se non compaiono elementi C)
siamo in presenza di verità assolute, se non compaiono A) e B) di verità intermedie, se poi
compaiono A), B) e C) un sistema misto.
Già nel formulare una predicazione di tal fatta possiamo configurare una ipotesi
scientifica, soggetta a verifica o falsificazione, ad es: I barboncini sono più adatti degli altri
cani ad essere ammaestrati, specie se un po’ bastardini. Mancano solo i numeri, o le curve
funzionali.
Possiamo però imboccare un sentiero alternativo, e fare qualche passo indietro: mantenere
l’appartenenza fuzzy degli elementi alla classe, ma stabilire relazioni crisp fra le classi stesse;
penso che qualcosa del genere si raggiunga quando B. Kosko, o altri, parlano di “defuzzificazione”
di insiemi o funzioni fuzzy.
Si possono analizzare ovviamente tutte le possibili combinazioni di classi e predicazioni di
tipo crisp, graduato, sfumato ecc. Il campo è talmente vasto che converrà concentrarsi sulle
combinazioni che paiono più interessanti sul piano applicativo.
Resta ovviamente necessario selezionare, all’interno del bagaglio concettuale proprio
della logica fuzzy, le espressioni, i problemi, le formulazioni che possano attagliarsi al
50

epertorio delle sillogistiche qui illustrate, ma anche verificare quest’ ultime quali estensioni
formali, semantiche e pragmatiche possano indurre nel campo della meno classica, si dice,
delle logiche.
Prospettive applicative
Una sillogistica “sfumata” potrebbe rivelarsi capace di concettualizzare adeguatamente
situazioni ambivalenti ad es indagate dai cosiddetti “pattern recognitions” (vedi fig 12 qui
sotto), là dove modelli bivalenti risultano poco adeguati o dispendiosi. Nell’esempio, di ogni
segno-lettera può essere predicato l’essere “H” secondo un certo grado di verità,
esattamente inverso al grado di verità del suo essere “A”. Nelle situazioni estreme vale una
interpretazione inter-bivalente di una sillogistica conforme a quella aristotelica, in quelle
intermedie vale in generale il sillogismo esagonale, e per ogni singola lettera un sillogismo
numerico.
L’esempio ci è stato suggerito dal prof. Antonio Donnarumma (Università di Salerno e
Napoli). Questi, dalla fine degli anni ’60, dapprima a livello pionieristico poi via via con
maggiori realizzazioni, sviluppò le potenzialità applicative nella progettazione ingegneristica
(specialmente Disegno tecnico di macchine, Geometria proiettiva) della Fuzzy Logic e di altre
Logiche non-standard. Precedette quindi di circa un decennio quella che è stata definita una
rivoluzione culturale in campo tecnologico e industriale. Infatti, dopo qualche anno, lo
sviluppo di tecnologie a logica fuzzy (in particolare negli elettrodomestici, ma non solo) vide
su scala mondiale gli USA e soprattutto il Giappone invadere i mercati ed estenderne il
successo applicativo alle tecnologie più disparate, soprattutto nei sistemi di regolazione e
controllo.
Oggi restano comunque vaste aree in cui le logiche applicate sono quelle classiche, ed
altre in cui le logiche, di qualsiasi tipo, stentano a trovare una traducibilità nei termini del
linguaggio naturale (es in campo psicolinguistico, socioeconomico, biomedico ecc…)
Riteniamo che lo sviluppo di una sintassi comune fra la Fuzzy Logic e le Logiche
Distintive potrebbe ridurre un divario teorico culturale e disciplinare importante, e ampliare le
applicazioni tecnologiche e scientifiche di entrambi i filoni.
Pare teoricamente legittimo cercare, per sistemi formali o sintattici, quali le sillogistiche
“sfumate”, delle interpretazioni semantiche nelle applicazioni tecnologiche dell’attualità.
Per analogia e ad integrazione delle fuzzy-tecnologie, si ritiene promettente sul piano
pragmatico proporre l’applicazione di LI LPI e D, nella progettazione, specie interdisciplinare
(pluralità di codici), ad es. in linguistica (traduttori), biblioteconomia (indicizzazioni),
informatica (data base, motori di ricerca, pattern recognition).
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APPENDICE STORICA: SULLA QUANTIFICAZIONE DEL PREDICATO
Il modello teorico: il Polisillogismo Distintivo con Inversa D10
Consideriamo una qualsiasi categorica primitiva caratterizzata da una coppia ordinata
di classi b,a. Potremmo chiederci quali categoriche primitive sono compatibili con essa, tra
quelle caratterizzate dalla medesima coppia in ordine inverso, a,b e verificare quali
congiunzioni primitive sono possibili tra 2 categoriche ciascuna con l’ordine invertito rispetto
all’altra.
La tabella A. illustra le risposte a tale quesito; in essa le celle vuote esprimono
l’incompatibilità delle coordinate.
Tabella A
Aba Uba Eba
Aab Aba*Aab Uba*Aab
Uab Aba*Uab Uba*Uab
Eab Eba*Eab
In tabella B è evidenziato come alle 5 congiunzioni binarie possibili corrispondano
biunivocamente le 5 relazioni di Gergonne (1816) che possono sussistere tra due insiemi.
Tabella B
Rappresentazioni
insiemistiche
Congiunzione
Forma
Gergonne di categoriche
sintetica
inverse
O Caso 1 a I b Aba*Aab AbaA AbAa
(°) Caso 2 a ) b Aba*Uab AbaU AbUa
(o) Caso 3 a ( b Uba*Aab UbaA UbAa
( () ) Casi 4 o 5 () a X b Uba*Uab UbaU UbUa
O O Casi 6 o 7
I a H b Eba*Eab EbaE EbEa
Quantificazione
del predicato
A fianco di ogni espressione di congiunzione tra due categoriche, abbiamo introdotto
una nuova notazione, logicamente equivalente alla precedente, ma più sintetica: al posto
della seconda categorica e del segno di congiunzione con la prima, abbiamo posto il solo
quantificatore della seconda. L’assenza di virgole in coda alla formula marca la differenza
con le predicazioni con complementare del sistema D7. La formula verrà interpretata e letta
normalmente fino al secondo termine, poi si intenderà la congiunzione come sott’intesa;
quindi si leggerà, procedendo da destra a sinistra, la seconda categorica che, nell’ordine,
presenterà: il secondo quantificatore, il secondo termine (soggetto della seconda categorica),
primo termine (predicato della seconda categorica); infine ci si arresterà prima del
quantificatore di sinistra. I termini nella lettura da dx a sin. saranno dunque invertiti rispetto
alla prima categorica. Ad es. AbaU sarà letto: “ogni b è a e solo qualche a è b”.
53

Il codice di traduzione tra espressioni con inversa e relazioni di Gergonne è il seguente
(i puntini stanno per le classi) :
A..A = . I .
A..U = . ( .
U..A = .) .
U..U = .X.
E..E = .H.
(Il caso dell’incrocio, bXa, può avere anche la seguente interpretazione: solo alcuni b, fra gli altri ( b’ ),
sono a.)
Come ampiamente dimostrato (fra gli altri da Kneale, O.Bird, Thomas I.,citati) il sistema di
Gergonne a 5 relazioni (per brevità lo chiameremo G5) è una coerente e valida sillogistica,
anzi per Kneale una “sottostruttura della o per la sillogistica”.
Considerando due classi, le relazioni estensionali possibili sono le 5 di Gergonne; se
però vogliamo involgere anche le loro classi complementari, dobbiamo riferirci ai famosi 7
casi di fig.1b.
Estendendo dunque la congiunzione di categoriche, con inverse compatibili, ai termini
negativi, la casistica darà luogo a 10 espressioni, irriducibili per significato le une alle altre,
più altre 6, equivalenti all’una o all’altra delle 10, nonché ad altre 4, formate da Universali
negative, rese però superflue dall’uso dei termini negativi, poiché riconducibili a disgiunzioni
del tipo Aba’A aut Aba’U . In tabella C diamo l’elenco dei 10 casi, con accanto le
interpretazioni insiemistiche, le forme equivalenti, quindi le espressioni subordinate, ossia
implicate.
Tabella C
Casi
Quantificazione della inversa
Fig1b
1
2
3
AbaA Ab'a'A -->
-->
AbaU Ub'a'A -->
-->
UbaA Ab'a'U -->
-->
Citazione di 1 sola
categorica Rappresentazioni insiemistiche
Eba'E
Eb'aE Aba e viceversa O
Ub'aU
Eba'E Aba ma non viceversa (°)
Uba'U
Eb'aE Uba ma non viceversa (o)
4+2 Ub'aU Ub'a e viceversa (°) ( () )
4+3 Uba'U Uba' e viceversa (o) ( () )
4+5 UbaU Uba e viceversa () ( () )
4+6 Ub'a'U Ub'a' e viceversa o o ( () )
5
6
7
Uba'A Ab'aU -->
-->
Aba'U Ub'aA -->
-->
Aba'A Ab'aA -->
-->
UbaU
Eb'a'E Uba' ma non viceversa ()
Ub'a'U
EbaE Aba' ma non viceversa o o
EbaE
Eb'a'E Aba' e viceversa I
54

Può essere fornita una versione con 1 sola predicazione, seguita dalle espressioni “e
viceversa” o “ma non viceversa”. Ad esser precisi la “non viceversa” di una Universale
affermativa o negativa è una Particolare, rispettivamente O o I, non una U, come prospettato
finora; tuttavia come sappiamo O ed I sono disgiunzioni di una U ed una Universale; in
questo caso l’Universale viene neutralizzata (incompatibile) dalla predicazione iniziale, ed il
risultato complessivo è equivalente, ad es. AbaU AbaO; analogamente UbaA
UbaY.
Abbiamo così generato una estensione del sistema di Gergonne ai termini negativi. In
questo sistema che potremmo chiamare D10, diviene superflua la relazione “H”.
Come possiamo vedere le 4 espressioni con forma U..U hanno sempre 2 possibili
interpretazioni insiemistiche, e per questo le definiamo “ambigue”.
Le altre 6 si riferiscono ciascuna ad una sola e precisa situazione topologica,
biunivocamente, pertanto le definiamo “chiare”.
Le regole mnemoniche di visualizzazione sono analoghe a quelle di D7, tranne che
per le ambigue, riguardo parte della regola 1) : ogni termine, col suo segno, testimonia che
l’intersezione con il termine vicino non è vuota, ma non si può affermare o negare lo stesso
per i medesimi termini col segno invertito, proprio per la natura ambigua della predicazione.
Le ambigue sono compatibili tra loro, anzi due qualsiasi di esse congiunte, implicano
anche le altre due.
Le chiare sono reciprocamente esclusive.
La regola di inferenza immediata stabilisce che si possono i invertire i segni di
entrambi i termini se e solo se si scambiano i quantificatori: tale regola non vale però per le
ambigue.
Le ambigue 4+2, 4+3, 4+5, 4+6 sono rispettivamente compatibili con la 2, la 3, la 5, la
6.
Per ricavare, da una chiara della forma AU o UA, la ambigua ad essa conseguente,
basta sostituire nell’espressione il quantificatore universale con il particolare distintivo, ed
invertire il segno del termine ad esso riferito. Ad. es. AbaU Ub’aU oppure Uba’A UbaU.
Col procedimento inverso da una ambigua si può risalire alla chiara con essa compatibile.
Rispetto alle 4 categoriche tradizionali, a ciascuna delle quali potevano riferirsi o 2 o 5
interpretazioni insiemistiche, poi ridotte a 2 o 3 dal sillogismo triangolare, possiamo qui
registrare un deciso passo avanti nell’avvicinare il linguaggio sillogistico alle interpretazioni
topologiche intuitive. Vogliamo però anche evidenziare come nessuna espressione di
questo sistema riesca a rappresentare biunivocamente il caso 4 di cui alla iniziale figura
1b.
Congiungendo come premesse 2 espressioni di tale sistema aventi fra loro un solo
termine comune, e verificando nella conclusione quali relazioni possono essere dedotte fra i
restanti 2 termini, avremo realizzato un sillogismo complesso.
In tale sistema ogni premessa è formata da 2 categoriche triangolari congiunte,
pertanto il sillogismo che ne scaturisce in realtà sottintende, come premesse congiunte, 4
categoriche triangolari; quindi trattasi di un polisillogismo, basato sulla quantificazione
della inversa, che prevede 10 espressioni base, che denominiamo Pi10. Le conclusioni
valide sono perciò deducibili considerando “atomicamente” i sillogismi triangolari, ed
eventualmente esagonali, sottesi dalle premesse, oppure, metateoreticamente, esaminando i
diagrammi di Venn. Quanto alle regole di deduzione pratica si procederà come segue.
Preliminarmente dobbiamo raggiungere la forma standard come nel Polisillogismo
Distintivo coi Complementari. Quindi si dovranno seguire le seguenti regole deduttive:
E) Come nel Polisillogismo Distintivo con Complementari.
55

F) Idem.
G) Quando una chiara di forma A..U ovvero U..A si combina con una ambigua,
dovremo distinguerere 2 casi: se la A compare a fianco del medio l’ambigua dovrà
essere trattata alla stregua di una bi-predicazione del tipo U..U,, di PRC7
(conclusione in U), altrimenti sarà equiparata alla chiara con essa compatibile
(abbiamo visto come ottenerla: avremo solo cura di mantenere i medi con lo stesso
segno) (conclusione in I). In entrambi i casi procederemo con le regole di PRC7.
H) Due premesse ambigue non danno luogo ad alcuna conclusione.
In tabella D diamo il quadro completo delle conclusioni, modi subordinati esclusi.
tab.D 1 2 3 4+2 4+3 4+5 4+6 5 6 7
AbaA AbaU UbaA Ub'aU Uba'U UbaU Ub'a'U Uba'A Aba'U Aba'A
1 AacA AbcA AbcU UbcA Ub'cU Ubc'U UbcU Ub'c'U Ubc'A Abc'U Abc'A
2 AacU AbcU AbcU Ibc Ucb Ibc Ucb Ib'c Ubc'A Ib'c Ubc'A
3 UacA UbcA Ib'c' UbcA Ib'c' Uc'b Ibc' Uc'b Ibc' Abc'U Abc'U
4+2 Ua'cU Ub'cU Ub'c Ibc Ubc Ib'c UbcU
4+3 Uac'U Ubc'U Ib'c' Ubc Ibc' Ub'c Ub'c'U
4+5 UacU UbcU Ib'c Ubc Ibc Ub'c Ub'cU
4+6 Ua'c'U Ub'c'U Ub'c Ibc' Ubc Ib'c' Ubc'U
5 Uac'A Ubc'A Ib'c Ubc'A Ib'c Ucb Ibc Ucb Ibc AbcU AbcU
6 Aac'U Abc'U Abc'U Ibc' Uc'b Ibc' Uc'b Ib'c' UbcA Ib'c' UbcA
7 Aac'A Abc'A Abc'U Ubc'A UbcU Ub'c'U Ub'cU Ubc'U UbcA AbcU AbcA
Di questo sistema può essere fornita una versione anche più sciolta verbalmente, come
indicato in tabella 7, ricorrendo alla congiunzione della prima categorica con, anziché la
seconda, espressioni come “e viceversa” o “ma non viceversa”, tenendo presente che tali
espressioni fanno sempre riferimento ai quantificatori A od U, presenti o assenti nella prima
premessa.
56

Dal D10 alla “Quantificazione del Predicato”, e dal modello alla storia
Del sistema testé presentato può essere elaborata una ulteriore interpretazione.
Operando inizialmente una pura modifica stilistica delle espressioni con inversa,
potremmo anteporre al secondo termine il quantificatore finale; se però a questo punto
leggiamo solamente da sinistra a destra l’intera sequenza, otteniamo una vera e propria
“quantificazione del predicato”. Ad esempio AbaU, trasformato in AbUa può esser letto
come “Tutti i b sono solo alcuni a”. Se poi vogliamo applicare una simmetrica lettura da
destra a sinistra, a questo punto superflua, dovremo leggere “Solo alcuni a sono tutti i b”,
tenendo legato ogni quantificatore al suo termine.
Questa modifica stilistica risulta linguisticamente più “artificiale” della precedente, ma
anche più sintetica, come pure abbastanza intuitiva, visualizzabile.
Vi abbiamo ricorso per mostrare che può esistere una interpretazione chiara e
funzionante dei sistemi sette-ottocenteschi, noti per aver tentato di innovare la sillogistica
con la “quantificazione del predicato”, anche se non hanno raggiunto l’obbiettivo storico
compiutamente. L’oscurità di cui sono stati accusati di quei sistemi, diventano più intelleggibili
se le espressioni “barbare” su cui si basano sono interpretate come equivalenti a
congiunzioni binarie fra una qualsiasi categorica ed una seconda coi termini invertiti rispetto
alla prima.
Riteniamo che il D10, basato sulla sillogistica triangolare ed equivalente al sistema G-
10, possa essere un modello paradigmatico per quasi tutti quei sistemi, utile per chiarirne la
fondatezza, gli errori, i limiti strutturali, le potenzialità di sviluppo.
Lo scopo di questa parte del lavoro non è perciò uno studio storico su questi sistemi,
bensì quello di fornire alcune categorie di confronto. L’applicazione del modello ai vari
sistemi storici non ha alcuna pretesa storico-scientifica, non basandosi sull’attento studio
delle fonti, bensì sulla manualistica diffusa e tradotta prevantemente in italiano; vuole essere
solo uno strumento, il cui uso corretto è rimesso agli storici della scienza: la nostra
indagine di ispirazione storica ha un semplice valore esemplicativo.
Da tale confronto saranno esclusi i tentativi esperiti nell’ambito di sillogistiche
intensionali, anche per la comprovata inadeguatezza di queste ultime.
Ad esempio J. Lambert ebbe l’idea di una quantificazione del predicato, ma la scarsa
chiarezza del concetto dal punto di vista della comprensione (o intensione), non ne permise
lo sviluppo in un sistema di calcolo efficace (v. Blanchè, pag.295).
Rimarremo pertanto nella prospettiva di sillogistiche con riferimenti estensionali.
I sistemi con le caratteristiche in questione possono idealmente essere suddivisi in
due gruppi: quelli che, oltre alle universali, hanno utilizzato la particolare “distintiva”, e quelli
che hanno utilizzato esclusivamente i quantificatori tradizionali. In un solo caso avremo un
sistema “ibrido” fra i due gruppi.
Per non disperderci nelle interpretazioni dei vari sistemi abbiamo messo in
corrispondenza una a una le espressioni base di D10 con le omologhe dei vari sistemi,
(v allegata tabella E) dando per concessa una interpretazione distintiva del quantificatore
particolare di quei sistemi medesimi. In seguito abbiamo considerato anche i sistemi con
particolare tradizionale v. allegata tabella F
Nella tabella abbiamo omesso espressioni, presenti nei sistemi considerati, o
palesemente erronee, o tali da non rappresentare dei veri casi-base, ma risultanti dalla
congiunzione di alcuni di questi ultimi. Sono perlopiù forme negative, dagli stessi autori
epurate dai loro sistemi in fasi avanzate.
57

Ci siamo concessi la libertà di integrare, là dove non viene tradito lo spirito del
sistema in esame, eventuali carenze di espressione, specie nell’uso dei termini negativi, con
“restauri” o completamenti, miranti non a falsificazioni storiche, quanto a sottolineare la
strutturale, organica convergenza di alcune architetture logiche succedutesi nel tempo.
In tabella le espressioni in grassetto sono quelle degli autori, in normale abbiamo
indicato le espressioni che, pur da noi non riscontrate nell’autore, ci paiono un plausibile
completamento del sistema, mentre abbiamo posto in corsivo quelle più improbabili dal punto
di vista storico. In rosso abbiamo evidenziato la nostra aggiunta di espressioni con termini al
negativo.
Va comunque precisato che la nostra interpretazione della quantificazione del
predicato, come congiunzione di due categoriche, di cui la seconda coi termini della prima
invertiti nell’ordine, è appunto una interpretazione, non l’unica possibile. Ci sembra anzi che
storicamente sia stato perseguito dagli stessi autori un diverso approccio, che anziché
poggiarsi sulla simmetria delle due categoriche, ha puntato sulla simmetria dei termini,
spesso sostituendo il verbo predicativo con l’equivalenza matematica. Questo approccio
riteniamo sia il responsabile ultimo delle oscurità, contraddizioni e sterilità dei risultati dei
sistemi considerati.
Se ci si allontana dal fermo riferimento alla categorica distintiva, il concetto di “Parte”
rischia di naufragare in un mare di ambiguità. Mancando infatti dell’esclusivo “Solo”, torna ad
essere ambiguo come il “qualche” della logica tradizionale, ed applicandolo anche al
predicato, la confusione non può che aumentare.
Insomma, col “Parte” non esclusivo è come se dicessi: “sto parlando solo di questa
parte e di essa dico…”; con “Soltanto alcuni” è come se dicessi “Sto per dirvi qualcosa che
vale per una sola parte di…, ma per la parte residua vale il contrario!”.
Purtroppo non sempre questa distinzione risulta chiara agli autori che tratteremo.
I sistemi che andiamo esaminando, infatti, paiono procedere, in generale, nel modo
seguente.
Si considera dapprima una quantità del primo termine, determinata dal quantificatore,
la si isola, e la si confronta estensionalmente con la quantità associata al secondo termine,:
se vi è perfetta sovrapposizione (biunivoca) si pone l’equivalenza, altrimenti la si nega. Per
illustrare la differenza facciamo due esempi. Sia UbaU b=benestanti a=artisti Nella nostra
interpretazione significa che vi sono benestanti artisti, benestanti non-artisti, non-benestanti
artisti, e resta indefinito se vi siano non-benestanti non-artisti. Nell’interpretazione tradizionale
prendiamo una sola parte di benestanti, una sola parte di artisti, constatiamo che coincidono
e ci dobbiamo fermare lì, per evitare inferenze indebite. Infatti in questa interpretazione,
UbaU potrebbe essere valida anche in una situazione, non compatibile nella precedente
interpretazione, in cui la totalità dei benestanti coincidesse con la totalità degli artisti AbaA :
ad esempio considerando solo alcuni benestanti (quelli nati i giorni dispari) e solo alcuni
artisti (pure nati i giorni dispari). Allo stesso modo potrebbe non esser valida se cambiamo un
sottinsieme (i benestanti nati i giorni pari confrontati con gli artisti nati i giorni dispari).
Le nefande conseguenze della confusione tra particolari distintive ed affermative risultano
anche più evidenti in considerazione delle leggi di inferenza immediata che coinvolgono i
concetti negativi o complementari, e le negazioni ai diversi livelli del costrutto categorico.
Come abbiamo visto ogni categorica equivale alla propria obversione se se ne nega
al contempo la copula: Aba= ogni b non è non-a, Eba= nessun b non è non-a, Uba= solo
qualche b non è non-a, Yba= ogni, o nessun b non è non-a, Iba= almeno un b non è non-a,
Oba= almeno un b è non-a. Tuttavia per legge di inferenza immediata alla Particolare
distintiva l’obversione si applica, anche senza negare la copula.
58

La obversione della particolare distintiva genera una particolare distintiva
equivalente: con essa si può tanto affermare quanto negare il predicato, ovvero si può
affermare o negare indifferentemente la copula: Uba = solo qualche b è non-a. Uba=Ub
non è a=Uba’=Ub non è a’. Questo non accade per nessuna categorica tradizionale, anzi
apparentemente qui se ne violano gli schemi. Si possono quindi capire le difficoltà incontrate
dagli autori considerati, allorquando dovevano districarsi tra le forme negative ai vari livelli del
costrutto predicativo, imbattendosi nelle particolari distintive. Ricordiamo la differenza tra la
negazione della sola copula di una Particolare distintiva, negazione che produce la
obversione della categorica originaria, che è doppiamente implicata da quella (solo qualche
b è a solo qualche b non è a solo qualche b è non-a solo qualche b non è
non-a ) e la negazione di una intera Particolare distintiva che, per l’assioma di base, equivale
all’ Universale distintiva (“o tutti o nessun b è a”).
Sul piano delle scienze cognitive è stato accertato sperimentalmente che la frequenza
degli errori logico-deduttivi aumenta significativamente quando intervengono espressioni
negative. (vedi Wason, P.C. e Johnson-Laird, P.N. )
Prima di esaminare i due gruppi di sistemi, ci sembra comunque doveroso chiarire che
le elaborazioni sette ed ottocentesche ebbero una lunga e complessa incubazione storica. La
quantificazione del predicato, intesa da un lato come approfondimento della struttura
linguistica della predicazione, dall’altro come studio dei correlati estensionali – semantici delle
medesime espressioni linguistiche, in vista di espansioni della sillogistica, muoveva da
concetti presentatisi fin dagli albori della logica, e nel suo corso intrecciati a tematiche oggi
inquadrabili come poliargomentalità, polivalenza, insiemistica.
Prima di Aristotele, il procedimento della Dieresi di Platone (considerato il primo
tentativo, inconcludente, di sistema deduttivo), nella ricerca socratica delle definizioni,
stabiliva delle divisioni, in genere dicotomie, esaustive all’interno di una classe. Analogie con
questa impostazione possono echeggiare in costruzioni concettuali posteriori come l’Albero di
Porfirio.
Già a Boezio erano note le 5 relazioni estensionali poi rese in diagrammi da Liebnitz ,
Eulero e Gergonne (v. Kneale a proposito di Gergonne e Hamilton).
Una predicazione Esponibile Scolastica, l’ Eccettuale, ha una forma predicativa
poliargomentale che, in ultima analisi, è alla base della sillogistica distintiva. Strutture del
tipo “Ogni b, eccetto c, è a”, non possono immediatamente essere tradotte da relazioni di
tipo biargomentale, come le predicazioni distintive semplici, tuttavia le suggeriscono, come
forme semplificate: “Ogni b, eccetto alcuni, è a”: è una particolare distintiva. Tutto ciò
accadde prima che, negli studi del Lambert (op.cit., par.235 ssgg) espressioni come “tutti i b
che sono c non sono a”, uscendo dalle relazioni diadiche della predicazione classica, si
avvicinassero ai funtori booleani. Anche la predicazione Esponibile nota come
“Reduplicativa”, rappresenta una struttura distintiva che spacca l’unità del soggetto. Nell’
esempio :” I sovrani, in quanto Sovrani, sono obbediti” da una certa angolazione vale quello
che non vale da un’altra
Quando parliamo di logica tradizionale ci riferiamo chiaramente a quella del mondo
occidentale. Altre tradizioni logiche, come quella dell’ India, ad un certo momento del loro
sviluppo (secolo XIV) concepirono le tre predicazioni di base, fra cui quella con il
quantificatore particolare distintivo (ovviamente con altra denominazione: v. Bochenski cit.).
Probabilmente esiste un nesso culturale profondo che lega questa circostanza con taluni
aspetti della filosofia buddista, gli stessi che hanno indotto il logico Bart Kosko a contrapporre
la logica binaria di Aristotele a quella “fuzzy” di Budda (nella sua interpretazione chiaramente
riduttiva e simbolica del Budda). Si è visto come triangolo oppositivo e logica inter-bivalente si
59

possano evocare vicendevolmente. A proposito di polivalenza e terzo escluso, I. Husic e
Bochenski hanno posto in rilievo come lo stesso Aristotele si rese conto dell’esistenza di
almeno un sillogismo corretto che violava il principio di non contraddizione, e che oltretutto il
principio stesso non poteva esser posto tra gli assiomi primitivi del suo sistema (v.Bochenski
I° vol cit. 12.26, pag.88).
Chi riuscì effettivamente a concepire una sillogistica (da lui chiamata “Logica delle Nozioni”)
basata effettivamente sul quantificatore “solo qualche” fu il logico russo N. A. Vasiliev, nel
1910. Accanto alle proposizioni che lui chiamava Generali (cioè le Universali) poneva le
Accidentali, ed i Giudizi potevano essere non solo Affermativi o Negativi, ma anche
Indifferenti. La sua Logica corrispondeva grosso modo alla nostra “triangolare”, ma
mettendo in discussione terzo escluso e principio di non contraddizione avviarono
interpretazioni e gli sviluppi paraconsistenti o polivalenti, e non ne derivò la quantificazione
del predicato, neanche nella interpretazione polisillogistica qui illustrata. I suoi contemporanei
erano ormai lontani dalla sillogistica, e le sue idee non incisero nella storia della logica del
‘900. Così la quantificazione multipla, includente anche quella del predicato, su tutt’altre basi,
divenne prerogativa della filone dominante, quello logico-matematico. Recentemente Avi
Sion ha riconosciuto validità alla quantificazione del predicato, in linea di principio (ma del
resto lo fa anche Martin Gardner, salvo poi stroncarne le realizzazioni storiche), ma ritiene
superfluo ricorrervi; peraltro è forse tra i pochi ad aver riconosciuto la validità al modo UAU in
terza figura, da lui visto in modo composto, utilizzando IO laddove noi usiamo U (e AE al
posto di Y) e chiamando Giudizi contingenti i nostri Particolari Distintivi.
Detto questo passiamo ad esaminare i due gruppi di cui si parlava ad inizio paragrafo.
60

Sistemi isomorfi a D10: Lambert, Gergonne, Stanhope, Holland, Bentham, Hamilton
La prima cosa che colpisce dando uno sguardo d’insieme a tali sistemi è il diverso numero
delle categoriche base. Il sistema paradigma da noi scelto ne ha 10. In Holland sono 9, in
Bentham 8, come pure in Hamilton, che però poi le riduce a 5 (tante quanto i casi di
Gergonne), in Stanhope 4. e, se vogliamo includere anche l’abbozzo di sistema implicito in
Lambert, le riduciamo addirittura a 3. Poi vengono le diverse simbologie, e le loro
interpretazioni. Come estrarre unità da tante varianti? Ecco, caso per caso, la spiegazione di
come siamo approdati alla tabella, che rappresenta la sintesi del lavoro comparativo svolto.
J. H. Lambert (1764) tra i primi esplicitò l’idea che >
[“Neues Organon” (Dianoiologia, terza sezione, par.143-144, e quarta sezione,
par.235), anno 1764 – trad. Lambert, “Nuovo Organo”, Bari, Laterza, 1977, pp.76-77 e
p.117].
Lambert non sviluppò un calcolo che utilizzasse questo nuovo quantificatore.
Di Gergonne (1816) abbiamo già detto quando abbiamo presentato G10. Di Gergonne va
aggiunto che il suo sistema –perfettamente funzionante- non è definibile formalmente come
una sillogistica con quantificazione del predicato, anche se in effetti perfettamente traducibile
in essa; tra l’altro tale sistema risulta privo di termini negativi, seppure quest’ultimi fossero già
disponibili, senza scomodare Aristotele, almeno fin dai tempi della Scolastica (terminus
infinitus ossia negativo) o grazie a simbolismi come, ad esempio, quello ideato da von
Segner (1740) che anteponeva un segno “ – “ al termine da negare.
Stanhope (1816, pubblicato 1879) fornisce una interpretazione riduttiva delle categoriche
classiche facendo uso del quantificatore parziale “some” inteso come “solo alcuni” che
applica sistematicamente al predicato. Come nei diagrammi a cerchio o segmento di Liebnitz,
Lambert ed Eulero, l’universale A viene ricondotta al solo caso 2.,di fig 1b, la E al caso 6.,
mentre le particolari I ed O assumono la bivalenza interpretativa rispettivamente dei casi 4+5
e 4+6. Precisando che la sua restrizione delle categoriche tradizionali è impropria,
interpretato nei nostri termini il suo sistema base è corretto, e poteva perciò approdare ad
alcune inferenze immediate di Pi10. Forse non è per caso che di tutti gli autori che trattiamo
sia stato l’unico a produrre una macchina logica, “the Demonstrator”, capace di produrre
meccanicamente sillogismi, tra l’altro la prima del genere in tutta la storia della logica. Tale
macchinetta si presta anche ad elementari sillogismi numerici e probabilistici, a testimonianza
di un legame che abbiamo perseguito in questo nostro lavoro. Vista la relazione simmetrica di
equivalenza che pone tra i termini quantificati e l’uso che fa dei termini negativi, si ritiene che
solo l’aderenza originaria al modello del quadrato delle opposizioni abbia impedito a
Stanhope di estendere la sua notazione ai casi 3, 4+5, 4+6. Certo, per arrivare ai casi 1 e 7,
sarebbe occorso un ulteriore sforzo di fantasia.
Bentham (1827) questo sforzo lo fece a metà, e concepì il caso 1. Preferendo il latino
all’inglese, invece di “all” e “some” usò i quantificatori “in toto” ed “ex parte”, ma, non usando i
termini negativi, le espressioni base si fermano, per combinatoria, alle prime quattro del
nostro Pi10. Anche qui, l’adesione allo schema del quadrato oppositivo, produce le quattro
negazioni di ciascuno dei casi precedenti (espresse sostituendo fra i due termini la relazione
= con la II ); ciascuna di tali negazioni non può coincidere con una qualsiasi delle restanti 9
espressioni base di Pi10, ma con la loro disgiunzione. Se invece di privilegiare la negazione
della relazione di equivalenza si fosse ricorso all’uso sistematico dei termini negativi, si
sarebbe riprodotta la base completa di Pi10. Invece Bentham si confonde strada facendo,
61

delle sue 8 forme ne elimina due in quanto mere simmetrie di altre due (una da noi indicata in
corsivo), poi ne scarta un’altra ancora perchè meglio rappresentabile da una ulteriore. In
conclusione ritiene fondamentali, fra le cinque residue, due espressioni negative, tX II tY e pX
II pY, i cui significati restano assai confusi.
Si consideri l’affermazione pA=pB, ove A stia per Animali, B per Balene. E’ vera?
Parrebbe di no, essendo esclusa dalla più appropriata pA=tB. Però dipende da quale parte di
animali stiamo parlando: è pur vero che le balene spiaggiate in California in una certo anno
sono al medesimo tempo una parte degli animali ed una parte delle balene, e se pensiamo a
quegli sfortunati cetacei l’equivalenza pA=pB è vera. Però è anche vero che una parte di
animali, ad esempio i rettili, non ha nessun individuo in comune con le balene, per cui è vero
anche pA II pB.
Analoghe considerazioni possono essere sviluppate con insiemi in totale corrispondenza
biunivoca, ad esempio triangoli e trilateri: a seconda dei sottinsiemi, propri o impropri, che
vogliamo scegliere possiamo affermare: p=p, p II p, t=t, p II t .
Da questo quadro emerge l’inadeguatezza dell’equivalenza fra parti di insiemi quale
proposizione base indipendente del sistema di Bentham, specialmente con le forme negative,
notoriamente plurivoche nei riferimenti estensionali. Questo accade perché nella fioritura di
forme nuove che non si possono più collocare nel semplice quadrato oppositivo, la
mancanza di una struttura di riferimento genera una confusione dei livelli delle negazioni.
Con Hamilton (1833) si torna alla lingua inglese (anche se poi questi inventa notazioni più
simboliche e sintetiche); l’equivalenza matematica lascia il posto alla copula “is” o ”are”,
mentre il segno “II” diviene “is not”. Nelle negative l’universale All diviene Any. Delle 5 forme
da lui considerate fondamentali solo 4 coincidono con espressioni Pi10, essendo la “Any a is
not any b”, a rigore, una disgiunzione di 9 casi di Pi10, mentre nella sua intenzione una
equivalente della universale negativa (la gergonniana relazione H). Sostanzialmente restiamo
al punto di Bentham, solo che Hamilton costruisce effettivamente un complesso edificio
sillogistico (in Bentham solo abbozzato) che non può che crollare per incoerenza interna,
come sottolineato da vari commentatori. Dal nostro punto di vista valgono le stesse
considerazioni svolte per Bentham.
Holland (1765) rappresenta un caso più complesso. Il simbolismo e i procedimenti deduttivi
sono permeati di una impostazione algebrica, dotata di una sua compiutezza, salvo perdere
in alcuni punti nodali la corrispondenza con la sostanza predicativa che vorrebbe riformulare.
L’ uguaglianza è posta tra frazioni di termini. Il numero delle espressioni base, nove, è
determinato dalla combinatoria dei due termini (uniti da una relazione di identità) corredati
ciascuno da 3 possibili quantificatori: 1/1, 1/f, 1/∞, forme frazionarie col significato,
rispettivamente, di “tutti, solo alcuni, nessuno”, ossia i funtori A, U, E. Qui emerge subito un
problema. Se rimaniamo fortemente ancorati ad una interpretazione algebrica, il
quantificatore 1/∞ azzerando l’insieme che lo segue, non può essere equivalente ad una
parte o ad una totalità di un altro insieme diverso da zero; eppure 4 dei 9 casi sono proprio
equivalenze di questo tipo! (da notare che i restanti 5 casi corrispondono a quelli di
Gergonne). L’unica equivalenza valida in cui compaia 1/∞ è l’ultima della lista, ove appunto vi
è corrispondenza fra due insiemi azzerati, ma questa forma alla fin fine si riduce ad una sorta
di pura tautologia, valida per qualsiasi insieme nullo si consideri. Probabilmente per non
cadere in queste assurdità, Holland introduce il concetto di classe negativa e, scostandosi
dall’analogia algebrica, traduce 1/∞ con “Tutti i non…”, se applicato al soggetto, a volte con
“non…”, se al predicato. Circa l’applicazione al soggetto, nella sillogistica di base questo è un
errore: invece di una valida obversione (Eba Aba’) qui abbiamo una erronea inferenza
immediata (EbaAb’a). Interpretando la quantificazione del predicato come congiunzione
62

di 2 categoriche a termini invertiti l’una rispetto all’altra, se applichiamo le obversioni corrette,
dobbiamo respingere i medesimi 4 casi citati perché non ben formati, ossia formati dalla
congiunzione di 2 categoriche incompatibili. Rigettando invece il quantificatore Nessuno o
Zero, e volendo adottare termini negativi, ci si chiede perché prevedere per essi solo il
quantificatore Tutti e non anche il Solo qualche, visto che lo spirito iniziale era un
dispiegamento combinatorio completo? Nella tabella di confronto abbiamo proprio applicato
la sostituzione dei quantificatori “ad infinitum” di Holland con l’ intero o frazioni proprie,
facendole precedere dal segno “ – “ del von Segner (1740) , per adottare un segno già
inventato in logica all’epoca di Holland, ampliando poi la casistica alle forme mancanti o
riducendola per quelle equivalenti. Riteniamo comunque di aver mantenuto intatto il nucleo
originario e lo spirito del sistema anche in questo caso. Ne è risultata anche qui una casistica
corrispondente al D10.
Non abbiamo analizzato cosa resti del procedimento deduttivo del sistema di Holland dopo le
correzioni conseguenti a quanto finora esposto, ma riteniamo che debba per forza essere,
almeno in parte riconducibile alle regole deduttive del D10.
63

Tab E
Pi 10 Holland Holland modificato con von Segner Stanhope
Bentham (
- )
Hamilton (-)
Gergonne (
- )
1.
AbaA b/1=a/1 , b/∞=a/∞ b/1=a/1 -b/1=-a/1 all b = all a Tb=Ta all b is all a b I a
2.
3.
4+2
AbaU b/1=a/f b/1=a/f -b/f= -a/1 --> b/h= -a/k all b = some a Tb=Pa all b is some a b ( a
UbaA b/f=a/1 b/f=a/1 -b/1= -a/g -->-b/h=a/k some b = all a Pb=Ta some b is all a b ) a
Ub'aU b/∞/f=a/g -b/f=a/g some not-b = some a Pb'=Pa some b' is some a b' X a
4+3
Uba'U b/f=a/∞/g b/f=-a/g some b = some not-a Pb=Pa' some b is some a' b X a'
4+5 UbaU b/f=a/g b/f=a/g some b = some a Pb=Pa some b is some a b X a
4+6 Ub'a'U b/∞/f=a/∞/g -b/f=-a/g some not-b = some not-a Pb'=Pa' some b' is some a' b' X a'
5.
Uba'A b/f=a/∞ , b/∞=a/f b/f=-a/1 -b/1=a/g -->b/h = a/k some b = all not-a Pb=Ta' some b is all a' b ) a'
6. Aba'U b/1=a/∞/f , b/∞/f=a/1 -b/f=a/1 b/1= -a/f --> -b/h= -a/k all b = some not-a Tb=Pa' all b is some a' b ( a'
7. Aba'A b/1=a/∞ , b/∞=a/1 b/1= -a/1 -b/1=a/1 all b = all not-a Tb=Ta' all b is all a' b I a'
Espressioni proprie dell'autore espressioni di completamento estranee all'autore
espressioni di completamento plausibili (-) arricchito delle classi negative
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Sistemi isomorfi alla sillogistica tradizionale : Ploucquet, De Morgan 1
Riteniamo che questo gruppo, sebbene possa stimolare interessanti riflessioni sulla
struttura linguistica del sillogismo tradizionale, non se ne discosti a livello semantico. Infatti pur
generando, con la quantificazione del predicato, categoriche di forma nuova, il significato di
queste coincide perfettamente con quello delle tradizionali: non opera una restrizione dei casi
insiemistici descritti dalle categoriche classiche. In allegata tabella F abbiamo anche voluto
mostrare la corrispondenza tra talune espressioni “esponibili” della scolastica spesso annoverate
tra gli antenati della quantificazione del predicato da alcuni degli autori citati, come le Esclusive, o
alcuni schemi che sviluppano le negazioni latine.
Tutto ciò per mostrare come da queste forme non si potesse ricavare altro che sillogistica
tradizionale, a meno di ricorrere a combinatorie che generassero il quantificatore particolare
distintivo, base per ulteriori sviluppi polisillogistici.
La necessità di accostamento fra le formulazioni logiche e le equazioni matematiche può essere
all’origine dell’ introduzione nella storia della logica della quantificazione del predicato, dovuta a
Gottfried Ploucquet (1763).
Questi elaborò un sistema notazionale ed un calcolo logico che, ove si discosta dalla logica
tradizionale, cade in ambiguità ed errori significativi (per altri versi stimolanti) anche se queste
anomalie lo apparentano in parte all’altro gruppo da noi considerato. Si prenda ad es.
l’apparentemente innovativa predicazione “Nessun uomo è qualche animale” ossia “Tutti gli
uomini non sono alcuni animali”: se intesa come l’affermazione che “alcuni animali (ad es. quelli
“irrazionali”) non sono uomini”, alla fin fine risulta del tutto equivalente alla tradizionale “Qualche
animale non è uomo”. A meno che non sia intesa come “tutti gli uomini sono SOLO ALCUNI
animali” ovvero equivalente al caso AuaU del nostro P10; ma non è in questo senso,
generalmente, che Ploucquet la usa, anche se conosceva quella che noi abbiamo chiamato la
particolare distintiva. In un’opera del 1763 Ploucquet aveva distinto tra il senso esclusivo da parte
del linguaggio comune del quantificatore “qualche”, ed il senso comprensivo del “qualche” usato in
logica, osservando che le categoriche particolari affermative o negative, nel primo senso erano
complementari, nel secondo (sub)contrarie.
La compiuta realizzazione di un sistema corretto di calcolo logico con quantificazione del
predicato si avrà un secolo dopo con Augustus De Morgan (1846-68), ma sempre all’interno di
una impostazione che nulla aggiunge al sillogismo tradizionale. De Morgan, riconducendo ai
termini negativi alcune negazioni poco chiare negli altri sistemi, eviterà errori, ma anche
significative innovazioni. Si tenga presente che la Scolastica aveva già esplorato modi diversi di
esprimere le Categoriche classiche con la trattazione dei termini negativi e delle Esclusive.
Quest’ultime nelle formule Dives, Orat, Anno ed Heli sono rispettivamente equivalenti alle forme
demorganiane con le minuscole a, e, i, o, da lui utilizzate al posto di A, E, I, O, per le coppie coi
termini al negativo Nella traduzione delle predicazioni classiche in forme notazionali che
prevedono la quantificazione del predicato, la categorica classica Iba viene da lui tradotta in A ( )
B. Una parentesi chiusa verso la variabile ad essa vicina ne indica la universalità, una aperta la
particolarità. I punti intermedi e le variazioni dal minuscolo al maiuscolo, unitamente ai cambi di
parentesi, regolano le inferenze immediate secondo regole precise e valide. In tabella 10 l’elenco
delle forme equivalenti. Rimandiamo all’analisi di Mangione C. (cit.) e Barone (cit.13) le
considerazioni critiche su questo suo sistema, che per molti aspetti è meno intuitivo e più lontano
dal linguaggio naturale della stessa logica classica. . Indubbiamente il sistema di De Morgan
possiede un certo fascino estetico e non a caso qualche storico della logica, con intento a onor
del vero più dispregiativo, ha paragonato autori come questo a coloro che negli edifici dipingono
65

finestre finte per amor di simmetria. Dalle leggi di equivalenza del suo sistema si è portati a fare
degli accostamenti (che non vogliono essere equivalenze) con i successivi sviluppi booleani,
secondo il seguente codice:
A( )B A*B , A)( B A’ * B’ , A).)B A’ *B , A(.(B A * B’
A(.)B AvB , A).(B A’ v B’ , A))B A’ v B , A((B AvB’
Visto che il nostro S7 utilizza in parte le parentesi, vale la pena sottolinearne la differenza con il significato
e l’uso che ne fa De Morgan, come appare chiaro dal confronto tra le rispettive tabelle di riferimento.
tab F
Ploucquet Sillogismo con negativi De Morgan Esclusive
Ba Aba = Aa'b'= Eba'= Ea'b A B))A B'((A' B'(.)A B).(A' Sab= Sb'a'
ba Iba = Iab= Oba'= Oab' I B( )A B')(A' B').)A B(.(A'
b>a Oba = Oa'b'= Iba'= Ia'b O B( )A' B(.( A B').)A' B')(A
B>A B>a Eba = Eab= Aba'= Aab' E B))A' B).(A B'(.)A' B'((A Sa'b= Sb'a
Eb'a' = Ea'b'= Ab'a= Aa'b e B(.)A B').(A' B'))A B((A' Sab'= Sba'
Ib'a' = Ia'b'= Ob'a= Oa'b i B)(A B'( )A' B'(.(A B).)A'
bA Ab'a' = Aab= Eb'a= Eab' a B((A B'))A' B').(A B(.)A' Sa'b'= Sba
Ob'a' = Oab= Ib'a= Iab' o B).)A B'(.(A' B'( )A B)(A'
Sistema ibrido : De Morgan 2 composto D12
66

Quando produce sillogismi composti per congiunzione di 2 categoriche del suo sistema –
base, De Morgan va senz’altro oltre il sillogismo tradizionale. Diciamo subito di non aver
esaminato direttamente il testo di tale sistema complesso; pertanto parleremo di esso in via
ipotetica, sulla base dei dati fornitici da alcuni manuali e testi critici, sufficienti però a delinearne
alcuni aspetti rilevanti per la nostra analisi. Dalle informazioni in nostro possesso si deduce che
tale sistema si basa sulla congiunzione di coppie di predicazioni tratte dall’altro suo sistema
sillogistico. Si veda in tabella 11. la casistica delle 12 espressioni-base che, al di là della
simbologia usata da De Morgan, che in parte ignoriamo(ad es. AbaA viene da lui espressa con A
II B, tuttavia il significato è lo stesso), ne possono logicamente scaturire, sfrondata delle forme
equivalenti. Per dar conto della novità in essa contenuta, abbiamo scelto di dargli una forma
paragonabile a Pi10, ove possibile.
Tab.G.
casi
casi
disgiunti
1 AbaA = Aba*Aab 3+4+5 Uba = Iba * Oba
2 AbaO = Aba*Oab 2+4+6
Ub'a = Ib'a * Ob'a
3 ObaA = Oba*Aab 2+4+5 Uab = Iab * Oab
5 Oba'A = Oba' * Aa'b
3+4+6 Ua'b = Ia'b * Oa'b
6 Aba'O = Aba' * Oab 1+2+3+4 Iba * Ib’a’
7 Aba'A = Aba' * Aa'b 4+5+6+7 Oba * Ob’a’
Questo sillogismo composto, quanto a precisione referenziale, rimane leggermente
inferiore a quello di P10, non riuscendo a restringere altrettanto bene della relazione “X”
(interpretabile in 2 delle 7 relazioni base) la casistica contemplata dalla propria congiunzione Iba *
Oba (3 casi possibili su 7), nella quale riconosciamo la particolare distintiva. Quest’ultima
tuttavia emerge all’apice del suo sistema e, per quanto ne sappiamo, non diventa la base di
ulteriori aggregati categorici. Abbiamo perciò definito il sillogismo composto di De Morgan un
sistema di ibrido fra il sillogismo esagonale ed il polisillogismo con inversa, in effetti più vicino a
questo, tuttavia con alcune forme assai ridondanti.
In De Morgan vi sono certamente altri grandi temi innovativi, si pensi solo ai sillogismi
numericamente definiti, per non parlare della logica delle relazioni, tuttavia sul tema del
polisillogismo non ci risultano sviluppi ulteriori.
Come già accennato chi avrebbe potuto pervenire alla quantificazione del predicato
correttamente era N. Vasil’iev, che nel 1910 individuò la Particolare Distintiva, da lui chiamata
Accidentale. Individuò certamente la legge di obversione che la riguarda, e individuò i 6 modi validi
del sillogismo triangolare, da lui denominato “Logica delle Nozioni”. Tuttavia pare che il sistema
cominciasse a scricchiolare per una confusione di livelli interpretativi fra bivalenza, interbivalenza,
polivalenze o paraconsistenza, che lo portarono a concepire dapprima una legge del “Quarto
escluso” poi la “Logica immaginaria”.
Recentemente Avi Sion ha individuato correttamente l’uso sillogistico di entrambe le
distintive, nei modi UAU in terza figura ed YAY in prima; lui chiama la nostra U “Contingente” e la
simbolizza come IO, mentre la Y equivale alla sua AE. In ciò sottolinea la natura derivata di tali
predicazioni; la tendenza a non vedere nella IO una primitiva pare la ragione di un mancato
67

sviluppo di un sistema polisillogistico, dunque di una quantificazione del predicato, che lui valuta
correttamente in taluni tardi epigoni anglosassoni, ma ritiene poco conveniente.
Concludendo, ci pare che il giudizio storico, spesso sferzante, sugli autori dei sistemi con
“quantificazione del predicato”, possa tener conto di quelle interpretazioni ed agganci che
abbiamo cercato di valorizzare nel presente lavoro. Probabilmente pesò su tale giudizio, in
prevalenza negativo, il confronto con il successivo e più fecondo periodo dell’”algebra della
logica”, se non addirittura del logicismo. Riteniamo tuttavia opportuno riprendere il cammino
precocemente abbandonato della quantificazione del predicato, ereditandone l’aspirazione ad una
sintesi fra trasparenza semantica del linguaggio naturale e univocità di referenza insiemistica. E,
perché no, anche alla creazione di forme esteticamente più belle, cioè più complete e simmetriche
rispetto alla sillogistica tradizionale.
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Processing and Manufacturing of Materials, 1, 185-189, Hawaii, July 10-15, 1999.
Donnarumma Antonio, “La Progettazione come metamodello”, Modelli Logici della Conoscenza”
, Fisciano (Salerno),6 dicembre 2002.
Logica e Psicologia
Wason, P.C. e Johnson-Laird, P.N. : Psicologia del Ragionamento , Martello-Giunti, 1978
Watzlawick, P. et al.: Pragmatica della comunicazione umana, Astrolabio-Ubaldini, Roma, 1971
Matte Blanco, I. : L’inconscio e l’infinito, in “Scienza e tecnica”, Annuario della EST, Mondadori,
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Oneroso, Fiorangela e Bria Pietro (a cura di).: La bi-logica tra mito e letteratura; saggi sul
pensiero di Ignacio Matte Blanco, Franco Angeli, 2004
Storia della Logica : Quantificazione del predicato
Mangione, Corrado: in Storia del pensiero filosofico e scientifico di Geymonat, Ludovico,
Garzanti Milano, 1975, vol 4, pp. 161-163 (Gergonne), 166-171 (Bentham e Hamilton), vol.5 pp.
198-203 (De Morgan).
Barone, Francesco: Logica formale e logica trascendentale, Torino, Edizioni di “Filosofia”,1957-
65 [vol 1 da Liebniz a Kant: pp.73-75 (Ploucquet), 102-103 (Holland)], [vol 2 L’ algebra della
logica: pp. 8-15 e 24-26 ( su Bentham e Hamilton)
Kneale, W.C. e M.: Storia della logica, Einaudi, Torino, 1972. pp.399-403 (Gergonne e Hamilton)
Gardner, Martin: Logic machines and diagrams, The University of Chicago Press, II ed. 1982
(pp. 34-39, 80-90) (esiste una edizione più recente, in italiano)
Blanché, Robert: La logica e la sua storia, da Aristotele a Russell, Ubaldini, Roma, 1973 v.
cap IX, pp.273-276 (Gergonne), 292-296 (Hamilton e Bentham), 336-338 (De Morgan)
Bochenski, Joseph M.: La logica formale (vol. 1 dai presocratici a Liebniz), Einaudi, Torino, 1972
Mugnai, Massimo, antologia a cura di: La logica da Liebniz a Frege, Loescher, Torino, 1982
(Introduzione par 3; Parte II pp. 91-92 (Ploucquet), 104-107(Holland), 118-131(Gergonne); in
Avvertenza e Nota bibligafica importanti approfondimenti bibliografici)
Thom, Paul: The syllogism, citato, v. Appendice 1 pp.253-255 sulle relazioni di Gergonne, vedi
anche la Bibliografia.
Omodeo, Eugenio G. “L’automazione della Sillogistica” in Le Scienze” nr.218, ottobre 1986,
pp. 120-128, con bibliografia a pag.143., fra cui Gardner, citato.
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Ringraziamenti
Ringrazio il Prof. Arrigo Amadori, che ospitando questo studio nel sito da lui creato, mi offre la
possibilità di un confronto con la comunità scientifica altrimenti impossibile, data la mia lontananza
da mondi editoriali o accademici. E’ per me un onore partecipare alla sua “missione” culturale e
scientifica: spero di meritarlo, non tanto per il valore intrinseco di questo scritto, soggetto alla
fallibilità come tutte le imprese umane, quanto per il comune amore per la conoscenza, maturato
anche grazie a lui negli anni del Liceo.
Ringrazio il Professor Ing. Antonio Donnarumma, Accademico Pontaniano e già docente alla
Facoltà di Ingegneria dell’Università di Salerno, con cui tuttora collaboro per l’applicazione
tecnologica delle teorie qui illustrate e che ha sempre incoraggiato e creduto nel mio lavoro,
fornendo continui stimoli e, ad ogni colloquio con lui, facendo decollare la ricerca in direzioni prima
insospettate.
Ringrazio i docenti dell’Università di Bologna: il Prof. Maurizio Ferriani (Storia della Logica), che
per primo mi instradò e appassionò agli studi della Logica; il mio relatore di tesi Prof. Giuliano
Pancaldi (Storia del Pensiero Scientifico), per l’insegnamento del metodo della ricerca storicoscientifica;
la Prof.ssa Marilena Barnabei per un importante chiarimento riguardante la Matematica
Discreta; il Prof. Bruno D’Amore per i contatti (alcuni molto lontani nel tempo) favoriti presso alcuni
suoi colleghi Logico-Matematici, le cui osservazioni hanno inciso significativamente
sull’impostazione dell’originario lavoro, permettendone un più maturo sviluppo: fra questi,
recentemente, il Prof. Giorgio Bagni (Università di Udine).
Ringrazio la dr.ssa Mireille Staschok, Ricercatrice di Logica presso la Università Humboldt di
Berlino, per l’incoraggiante apprezzamento di alcune idee contenute nel lavoro e per alcune linee
di approfondimento suggeritemi.
Gli errori o i travisamenti rintracciabili nel presente scritto sono ovviamente imputabili
esclusivamente al sottoscritto.
Infine ringrazio soprattutto mia moglie Alfonsa che, con la sua pazienza e generosità, in questi
anni, ha reso possibile lo studio e la stesura di questa appassionata ricerca, senza che la nostra
famiglia ne pagasse lo scotto.
Cesenatico, 21.01.2007.
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