Telescopi

104 CAPITOLO 7. TELESCOPI
Esplicitiamo z in funzione di r:
z = R − √ R 2 − (1 + b)r 2
1 + b
= R
[ √
1 − 1 −
1 + b
r2
]
(1 + b)
R2 (Delle due soluzioni consideriamo quella con il − perché z < R.)
Cosideriamo il termine sotto radice quadrata: poiché r
R
di Taylor. Se chiamiamo u = − r2
R 2 (1 + b), possiamo scrivere:
Da cui:
√
1 + u ∼
1 1
= 1 + u −
2 8 u2 + 1
16 u3 + ...
≪ 1 si può espandere in serie
√
1 − r2
R2 (1 + b) ∼ = 1 − 1 r
2
2 1 r
(1 + b) −
R2 8
4
R4 (1 + b)2 − 1 r
16
6
R6 (1 + b)3 − ...
Sostituendo nell’espressione di z si ha:
z = R
[
1 − 1 +
1 + b
1
2
z = 1 r
2
2
R
r2 1 r
(1 + b) +
R2 8
4
R4 (1 + b)2 + 1 r
16
6
R6 (1 + b)3 ]
+ ...
1 r
+
8
4 1 r
(1 + b) +
R3 16
6
R5 (1 + b)2 + ...
Consideriamo ora una conica qualunque (Fig.7.3): la normale alla superficie varia punto
per punto. La si può determinare derivando z rispetto a r:
dz
dr
R
= −1
2 1 + b
=
− 1+b
R2 2r
√
1 − r2
R2 (1 + b)
r
R
1 − 1+b
R
z =
=
r
R − (1 + b)z
r
R
√
1 − r2
R 2 (1 + b)
= tanϑ
La lunghezza focale sarà f = z + z0 e come si vede dalla figura tan2ϑ = r , da cui:
z0
=