Telescopi
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104 CAPITOLO 7. TELESCOPI<br />
Esplicitiamo z in funzione di r:<br />
z = R − √ R 2 − (1 + b)r 2<br />
1 + b<br />
= R<br />
[ √<br />
1 − 1 −<br />
1 + b<br />
r2<br />
]<br />
(1 + b)<br />
R2 (Delle due soluzioni consideriamo quella con il − perché z < R.)<br />
Cosideriamo il termine sotto radice quadrata: poiché r<br />
R<br />
di Taylor. Se chiamiamo u = − r2<br />
R 2 (1 + b), possiamo scrivere:<br />
Da cui:<br />
√<br />
1 + u ∼<br />
1 1<br />
= 1 + u −<br />
2 8 u2 + 1<br />
16 u3 + ...<br />
≪ 1 si può espandere in serie<br />
√<br />
1 − r2<br />
R2 (1 + b) ∼ = 1 − 1 r<br />
2<br />
2 1 r<br />
(1 + b) −<br />
R2 8<br />
4<br />
R4 (1 + b)2 − 1 r<br />
16<br />
6<br />
R6 (1 + b)3 − ...<br />
Sostituendo nell’espressione di z si ha:<br />
z = R<br />
[<br />
1 − 1 +<br />
1 + b<br />
1<br />
2<br />
z = 1 r<br />
2<br />
2<br />
R<br />
r2 1 r<br />
(1 + b) +<br />
R2 8<br />
4<br />
R4 (1 + b)2 + 1 r<br />
16<br />
6<br />
R6 (1 + b)3 ]<br />
+ ...<br />
1 r<br />
+<br />
8<br />
4 1 r<br />
(1 + b) +<br />
R3 16<br />
6<br />
R5 (1 + b)2 + ...<br />
Consideriamo ora una conica qualunque (Fig.7.3): la normale alla superficie varia punto<br />
per punto. La si può determinare derivando z rispetto a r:<br />
dz<br />
dr<br />
R<br />
= −1<br />
2 1 + b<br />
=<br />
− 1+b<br />
R2 2r<br />
√<br />
1 − r2<br />
R2 (1 + b)<br />
r<br />
R<br />
1 − 1+b<br />
R<br />
z =<br />
=<br />
r<br />
R − (1 + b)z<br />
r<br />
R<br />
√<br />
1 − r2<br />
R 2 (1 + b)<br />
= tanϑ<br />
La lunghezza focale sarà f = z + z0 e come si vede dalla figura tan2ϑ = r , da cui:<br />
z0<br />
=