1a Verifica - Dipartimento di Fisica e Astronomia

Quesito Quesito N N N N N
Partendo dal presupposto che l’Astrofisica sperimentale è una scienza
puramente “osservativa” elencate e commentate i canali attraverso i
quali gli astrofisici ottengono l’informazione
Risposta (sintetica)
Elenco solo gli elementi da elaborare:
1. Quattro interazioni fondamentali - loro “forza” relativa - campo d’azione - eventuale
schermatura. Importanza dell’interazione gravitazionale a larga distanza e con grandi masse
(galassie, ammassi di galassie) e quindi delle Relatività Generale come strumento di
interpretazione.
2. Da quanto sopra, la quasi totalità dell’informazione arriva sotto forma di radiazione
elettromagnetica (per l’effetto dell’atmosfera sulle osservazioni da terra vedi la risposta
seguente). Eccezione per i neutrini (Solari e da SN), per la radiazione gravitazionale (non
ancora rivelata) e i raggi cosmici.
3. Impossibilità di imporre “condizioni” sperimentali come in laboratorio, quindi necessità di
osservare e classificare secondo parametrii fisici gli oggetti (stelle, galassie etc. ) in studio. Un
problema per la Cosmologia, in quanto l’universo da studiare è, per definizione, solo quello in
cui viviamo.
Studente:

Quesito Quesito N N N N N
Tenendo presente il processo di osservazione della radiazione
elettromagnetica proveniente da oggetti celesti rispondete alle
seguenti domande:
Quali sono gli effetti dell’atmosfera terrestre sulla radiazione in
arrivo?
Quale ruolo svolge il “telescopio” ?
Tenendo conto che il raggio tipico di una stella è dell’ordine di
E cm e la distanza minima è circa anni luce giustificate
quantitativamente l’affermazione che una stella è una sorgente
puntiforme
Risposta (sintetica)
1. a) Effetto “filtro”
b) Effetto “seeing”
c) Segnale spurio (rumore)
2. a) “collettore” di fotoni (radiazione elettromagnetica). La capacità cresce con il quadrato del
diametro, di qui l’interesse a costruire telescopi più grandi possibile. La natura e qualità della
superficie riflettente dipendono dalla lunghezza d’onda per la quale il telescopio è stato
pensato.
b) capacità di determinare la “direzione” di provenienza dei fotoni (risoluzione angolare). La
risoluzione teorica è inversamente proporzionale al diametro dell’apertura del telescopio e
direttamente proporzionale alla lunghezza d’onda. Di qui le varie caratteristiche dei telescopi
ottici, radiotelescopi, etc.
3. Per piccoli angoli il seno si può approssimare con l’angolo (in radianti!). Quindi q ª
Diametro/distanza = 2 x 7.E+11/(4 x (3600 x 24 x 365 x 3E+10)) = 1.4E+12/3.78E+18 =
3.70E-07 radianti x 2.06E+5 = 7.63E-02 secondi d’arco (arcsec). Questo valore va paragonato
al potere risolutivo del telescopio: da terra questo è limitato dal seeing ed è dell’ordine di 0.5
arcsec, quello teorico fuori atmosfera è 1.22 l/D. Nel caso del telescopio spaziale (D = 2.4 m)
e l 550 nm abbiamo una risoluzione di 2.8E-07 rad = 5.8E-02 arcsec. Quindi da terra le stelle
sono puntiformi, dallo spazio le stelle più grandi e più vicine (molto poche!) possono essere
(al limite) risolte.
Studente:

Quesito Quesito N N N N N
(Questo quesito è una variante del problema del garage relativistico
discusso a lezione)
Un centopiedi (Scolopendra cingulata) è lungo a riposo cm Si
muove a velocità relativistica su un tagliere di legno che ha incisa una
scala in centimetri Un macellaio fornito di due affilati coltelli vede
sul tagliere graduato che la lunghezza del centopiedi è di cm A che
velocità corre il centopiedi? Il macellaio tiene i due coltelli a una
distanza di cm e li abbassa e rialza conteporaneamente in modo che
il primo coltello nell’attimo in cui si abbassa sul tagliere coincida con
la coda della bestiola Il macellaio è convinto che non spargerà sangue
(?) innocente perchè la distanza tra i coltelli è superiore di un
centimetro alla lunghezza (contratta) del centopiedi Questi però che
ha studiato Fisica all’Università di Cagliari è alquanto preoccupato
perchè dal suo punto di vista data la sua velocità relativa rispetto ai
coltelli calcola che la loro separazione è di soli cm Ha ragione ad
essere preoccupato oppure uscirà da questa avventura senza essere
ghigliottinato?
(Suggerimento caritatevole: non solo gli intervalli spaziali sono
relativi! ragionate in termini di “eventi” spaziotemporali)
Risposta (sintetica)
1. Vedi le formule:
l0
10 cm
g = = = 125 .
l 8 cm
2 2 ( )
g = 1-v
c
v
= 06 .
c
1
-
2
2. Chiamiamo S (x, t) e S’ (x’, t’) i sistemi rispettivamente del macellaio e del centopiedi.
Chiamiamo i due coltelli A e B. Gli “eventi” (separati nello spazio e nel tempo!) che ci
interessano sono
1. Coltello A colpisce il blocco
2. Coltello B colpisce il blocco
Nel sistema S (macellaio) abbiamo:
x1 = 0cm t1 = 0 s
x = 9cm t = 0s
2 2
Nel sistema del centopiedi invece:

¢ = ( - )= ( - ¥ )=
Ê ˆ Ê
ˆ
¢ = Á - ˜ = Á - ¥ ˜
Ë ¯ Ë
¯
=
x1 g x1 vt1 125 . 0cm v 0s 0cm ;
v
v
t1 g t1
x s cm s
2 1 125 . 0 0 0
2
c c
x2¢ = g ( x2 -vt2)=
125 . ( 9cm - v ¥ 0s)= 11cm
;
Ê v ˆ Ê v ˆ
-10
t2¢ = g Á t2
- xx s cm s
2 2˜ = 125 . Á0
- ¥ 9 23 10
2 ˜ =- . ¥
Ë c ¯ Ë c ¯
Quindi per il centopiedi l’evento B avviene “prima” dell’evento A. Il coltello B discende sul
blocco (e risale!) a x’ 2 = 11 cm quando la testolina del simpatico animaletto è ancora a x’ =10
cm. Quindi, come doveva essere, non c’è spargimento di liquido verdastro. Attenzione che la
separazione dei due coltelli, per il centopiedi, non è 11 cm, bensì 7.2 cm. Infatti il centopiedi
istruito sa che deve misurare le distanze “contemporaneamente” nel suo sistema di
riferimento.

Quesito Quesito N N N N N
Osservazioni spettroscopiche di una galassia lontana mostrano che la
riga di risonanza dell’idrogeno chiamata Lyman a che in laboratorio ha
una lunghezza d’onda di nm appare nello spettro a nm
Qual’è il redshift della galassia?
Qual’è la sua “apparente” velocità di recessione calcolata con la
formula classica e con quella relativistica dell’effetto Doppler?
Come si interpreta più correttamente questo redshift in termini
di espansione dell’Universo? Quanto più “piccolo” era l’Universo al
tempo dell’emissione dei fotoni oggi osservati?
Risposta (sintetica)
Elenco solo gli elementi da elaborare:
1. Dalla definizione di redshift ho:
l - l
oss lab
z =
llab
2. a Doppler classico:
Studente:
721. 4 -121.
6
=
= 493 .
121. 6
z
v
= =494 . impossibile!
c
2.b Doppler relativistico:
vc
z
vc
vc
z
vc
v
z
c z
+
= -
-
( + ) =
v
c
v
z
z
c
v z
c z
+
1
1
1
2 1
1
1-
2 2
( + 1) - ( + 1) = 1+
2
( + ) - =
Ê 2
1 1 ( + 1) + 1
ˆ
Ë ¯
2
2
( + 1) -1
( 493 . + 1) -1
34. 1649
= =
=
2
2
+ 1 1 493 . + 1 1 36. 1649
( ) +
( ) +
= 094 .
3. Dato che z + 1 = 1/R(t), l’Universo al tempo dell’emissione della riga era circa 6 volte più
piccolo.

Quesito Quesito N N N N N
La nuova camera fotografica ACS montata in febbraio sul telescopio
Hubble ha scoperto una Supernova in una galassia lontana poco prima
che l’esplosione raggiungesse il massimo Il redshift misurato è z
Per le Supernove dello stesso tipo osservate in galassie vicine la
luminosità diminuisce di volte a partire dal massimo in giorni
Quanto tempo impiegherà la luminosità della Supernova in questione a
diminuire della stessa quantità?
Risposta (sintetica)
1. La formula 1 + z = 1/R(t) usata nel precedente esercizio si basa sulla dilatazione del tempo
cosmologico dovuta all’espansione dell’Universo. Essa è equivalente alla Dt 0 /Dt e = 1 + z ,
dove Dt 0 e Dt e sono gli intervalli temporali di un “qualunque” fenomeno periodico (per
esempio l’intervallo tra l’emissione di due creste successive di radiazione) misurato
rispettivamente dall’osservatore oggi e in situ nella galassia al tempo dell’evento. Siccome
l’intervallo di 100 giorni è misurato localmente, all’osservatore a distanza z = 1.04 apparirà
dilatato di un fattore z + 1, ovvero poco più di 200 giorni.
Risposta (sintetica) al Quesito 6
1. Angeli a Diavoli sono inscrivibili in triangoli equilateri (e quindi equiangoli). Al centro se ne
incontrano 6 al vertice (3 Angeli e 3 Diavoli). Quindi (localmente!) 360/6 = 60, ii tre angoli
dei triangoli misurano ciascuno 60 gradi e la loro somma è 180. Localmente la geometria è
piana. Già al secondo giro l’incontro al vertice è alternativamente di 6 e 8 Angeli/Diavoli.
Siccome un angolo giro è di 360 gradi comunque sia la geometria, la somma degli angoli
interni diventa minore di 180. La geometria è iperbolica.
Studente:

Quesito Quesito N N N N N
L’incisore olandese MCEscher ha creato delle opere d’arte dal profondo
significato matematicogeometrico Nell’incisione qui riprodotta “Circle
limit IV” viene rappresentatauna particolare geometria Tenendo
conto che gli angeli e i diavoli hanno tutti la stessa dimenzione e
appaiono più piccoli per effetto prospettico sapreste dire se si tratta di
una geometria sferica euclidea o iperbolica (ovvero a curvatura
positiva nulla o negativa)?
Suggerimento: In geometria euclidea la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre ∞ (conseguenza diretta del postulato delle
parallele!) In un triangolo sferico la somma è maggiore di ∞
(pensate a due meridiani che formano un angolo retto con l’equatore e
si incontrano al vertice nel polo) Un triangolo tracciato su una patatina
Pringle (curvatura negativa) ha invece la somma degli angoli interni
minore di ∞ Gli angeli e i diavoli visti da vicino sembrano dei
triangoli equilateri i loro vertici si toccano
Studente:
All M. C. Escher works © Cordon Art, Baarn, the Netherlands. All rights reserved. Used by permission.