1a Verifica - Dipartimento di Fisica e Astronomia
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Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
Partendo dal presupposto che l’Astrofisica sperimentale è una scienza<br />
puramente “osservativa” elencate e commentate i canali attraverso i<br />
quali gli astrofisici ottengono l’informazione<br />
Risposta (sintetica)<br />
Elenco solo gli elementi da elaborare:<br />
1. Quattro interazioni fondamentali - loro “forza” relativa - campo d’azione - eventuale<br />
schermatura. Importanza dell’interazione gravitazionale a larga <strong>di</strong>stanza e con gran<strong>di</strong> masse<br />
(galassie, ammassi <strong>di</strong> galassie) e quin<strong>di</strong> delle Relatività Generale come strumento <strong>di</strong><br />
interpretazione.<br />
2. Da quanto sopra, la quasi totalità dell’informazione arriva sotto forma <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione<br />
elettromagnetica (per l’effetto dell’atmosfera sulle osservazioni da terra ve<strong>di</strong> la risposta<br />
seguente). Eccezione per i neutrini (Solari e da SN), per la ra<strong>di</strong>azione gravitazionale (non<br />
ancora rivelata) e i raggi cosmici.<br />
3. Impossibilità <strong>di</strong> imporre “con<strong>di</strong>zioni” sperimentali come in laboratorio, quin<strong>di</strong> necessità <strong>di</strong><br />
osservare e classificare secondo parametrii fisici gli oggetti (stelle, galassie etc. ) in stu<strong>di</strong>o. Un<br />
problema per la Cosmologia, in quanto l’universo da stu<strong>di</strong>are è, per definizione, solo quello in<br />
cui viviamo.<br />
Studente:
Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
Tenendo presente il processo <strong>di</strong> osservazione della ra<strong>di</strong>azione<br />
elettromagnetica proveniente da oggetti celesti rispondete alle<br />
seguenti domande:<br />
Quali sono gli effetti dell’atmosfera terrestre sulla ra<strong>di</strong>azione in<br />
arrivo?<br />
Quale ruolo svolge il “telescopio” ?<br />
Tenendo conto che il raggio tipico <strong>di</strong> una stella è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong><br />
E cm e la <strong>di</strong>stanza minima è circa anni luce giustificate<br />
quantitativamente l’affermazione che una stella è una sorgente<br />
puntiforme<br />
Risposta (sintetica)<br />
1. a) Effetto “filtro”<br />
b) Effetto “seeing”<br />
c) Segnale spurio (rumore)<br />
2. a) “collettore” <strong>di</strong> fotoni (ra<strong>di</strong>azione elettromagnetica). La capacità cresce con il quadrato del<br />
<strong>di</strong>ametro, <strong>di</strong> qui l’interesse a costruire telescopi più gran<strong>di</strong> possibile. La natura e qualità della<br />
superficie riflettente <strong>di</strong>pendono dalla lunghezza d’onda per la quale il telescopio è stato<br />
pensato.<br />
b) capacità <strong>di</strong> determinare la “<strong>di</strong>rezione” <strong>di</strong> provenienza dei fotoni (risoluzione angolare). La<br />
risoluzione teorica è inversamente proporzionale al <strong>di</strong>ametro dell’apertura del telescopio e<br />
<strong>di</strong>rettamente proporzionale alla lunghezza d’onda. Di qui le varie caratteristiche dei telescopi<br />
ottici, ra<strong>di</strong>otelescopi, etc.<br />
3. Per piccoli angoli il seno si può approssimare con l’angolo (in ra<strong>di</strong>anti!). Quin<strong>di</strong> q ª<br />
Diametro/<strong>di</strong>stanza = 2 x 7.E+11/(4 x (3600 x 24 x 365 x 3E+10)) = 1.4E+12/3.78E+18 =<br />
3.70E-07 ra<strong>di</strong>anti x 2.06E+5 = 7.63E-02 secon<strong>di</strong> d’arco (arcsec). Questo valore va paragonato<br />
al potere risolutivo del telescopio: da terra questo è limitato dal seeing ed è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 0.5<br />
arcsec, quello teorico fuori atmosfera è 1.22 l/D. Nel caso del telescopio spaziale (D = 2.4 m)<br />
e l 550 nm abbiamo una risoluzione <strong>di</strong> 2.8E-07 rad = 5.8E-02 arcsec. Quin<strong>di</strong> da terra le stelle<br />
sono puntiformi, dallo spazio le stelle più gran<strong>di</strong> e più vicine (molto poche!) possono essere<br />
(al limite) risolte.<br />
Studente:
Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
(Questo quesito è una variante del problema del garage relativistico<br />
<strong>di</strong>scusso a lezione)<br />
Un centopie<strong>di</strong> (Scolopendra cingulata) è lungo a riposo cm Si<br />
muove a velocità relativistica su un tagliere <strong>di</strong> legno che ha incisa una<br />
scala in centimetri Un macellaio fornito <strong>di</strong> due affilati coltelli vede<br />
sul tagliere graduato che la lunghezza del centopie<strong>di</strong> è <strong>di</strong> cm A che<br />
velocità corre il centopie<strong>di</strong>? Il macellaio tiene i due coltelli a una<br />
<strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> cm e li abbassa e rialza conteporaneamente in modo che<br />
il primo coltello nell’attimo in cui si abbassa sul tagliere coincida con<br />
la coda della bestiola Il macellaio è convinto che non spargerà sangue<br />
(?) innocente perchè la <strong>di</strong>stanza tra i coltelli è superiore <strong>di</strong> un<br />
centimetro alla lunghezza (contratta) del centopie<strong>di</strong> Questi però che<br />
ha stu<strong>di</strong>ato <strong>Fisica</strong> all’Università <strong>di</strong> Cagliari è alquanto preoccupato<br />
perchè dal suo punto <strong>di</strong> vista data la sua velocità relativa rispetto ai<br />
coltelli calcola che la loro separazione è <strong>di</strong> soli cm Ha ragione ad<br />
essere preoccupato oppure uscirà da questa avventura senza essere<br />
ghigliottinato?<br />
(Suggerimento caritatevole: non solo gli intervalli spaziali sono<br />
relativi! ragionate in termini <strong>di</strong> “eventi” spaziotemporali)<br />
Risposta (sintetica)<br />
1. Ve<strong>di</strong> le formule:<br />
l0<br />
10 cm<br />
g = = = 125 .<br />
l 8 cm<br />
2 2 ( )<br />
g = 1-v<br />
c<br />
v<br />
= 06 .<br />
c<br />
1<br />
-<br />
2<br />
2. Chiamiamo S (x, t) e S’ (x’, t’) i sistemi rispettivamente del macellaio e del centopie<strong>di</strong>.<br />
Chiamiamo i due coltelli A e B. Gli “eventi” (separati nello spazio e nel tempo!) che ci<br />
interessano sono<br />
1. Coltello A colpisce il blocco<br />
2. Coltello B colpisce il blocco<br />
Nel sistema S (macellaio) abbiamo:<br />
x1 = 0cm t1 = 0 s<br />
x = 9cm t = 0s<br />
2 2<br />
Nel sistema del centopie<strong>di</strong> invece:
¢ = ( - )= ( - ¥ )=<br />
Ê ˆ Ê<br />
ˆ<br />
¢ = Á - ˜ = Á - ¥ ˜<br />
Ë ¯ Ë<br />
¯<br />
=<br />
x1 g x1 vt1 125 . 0cm v 0s 0cm ;<br />
v<br />
v<br />
t1 g t1<br />
x s cm s<br />
2 1 125 . 0 0 0<br />
2<br />
c c<br />
x2¢ = g ( x2 -vt2)=<br />
125 . ( 9cm - v ¥ 0s)= 11cm<br />
;<br />
Ê v ˆ Ê v ˆ<br />
-10<br />
t2¢ = g Á t2<br />
- xx s cm s<br />
2 2˜ = 125 . Á0<br />
- ¥ 9 23 10<br />
2 ˜ =- . ¥<br />
Ë c ¯ Ë c ¯<br />
Quin<strong>di</strong> per il centopie<strong>di</strong> l’evento B avviene “prima” dell’evento A. Il coltello B <strong>di</strong>scende sul<br />
blocco (e risale!) a x’ 2 = 11 cm quando la testolina del simpatico animaletto è ancora a x’ =10<br />
cm. Quin<strong>di</strong>, come doveva essere, non c’è spargimento <strong>di</strong> liquido verdastro. Attenzione che la<br />
separazione dei due coltelli, per il centopie<strong>di</strong>, non è 11 cm, bensì 7.2 cm. Infatti il centopie<strong>di</strong><br />
istruito sa che deve misurare le <strong>di</strong>stanze “contemporaneamente” nel suo sistema <strong>di</strong><br />
riferimento.
Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
Osservazioni spettroscopiche <strong>di</strong> una galassia lontana mostrano che la<br />
riga <strong>di</strong> risonanza dell’idrogeno chiamata Lyman a che in laboratorio ha<br />
una lunghezza d’onda <strong>di</strong> nm appare nello spettro a nm<br />
Qual’è il redshift della galassia?<br />
Qual’è la sua “apparente” velocità <strong>di</strong> recessione calcolata con la<br />
formula classica e con quella relativistica dell’effetto Doppler?<br />
Come si interpreta più correttamente questo redshift in termini<br />
<strong>di</strong> espansione dell’Universo? Quanto più “piccolo” era l’Universo al<br />
tempo dell’emissione dei fotoni oggi osservati?<br />
Risposta (sintetica)<br />
Elenco solo gli elementi da elaborare:<br />
1. Dalla definizione <strong>di</strong> redshift ho:<br />
l - l<br />
oss lab<br />
z =<br />
llab<br />
2. a Doppler classico:<br />
Studente:<br />
721. 4 -121.<br />
6<br />
=<br />
= 493 .<br />
121. 6<br />
z<br />
v<br />
= =494 . impossibile!<br />
c<br />
2.b Doppler relativistico:<br />
vc<br />
z<br />
vc<br />
vc<br />
z<br />
vc<br />
v<br />
z<br />
c z<br />
+<br />
= -<br />
-<br />
( + ) =<br />
v<br />
c<br />
v<br />
z<br />
z<br />
c<br />
v z<br />
c z<br />
+<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2 1<br />
1<br />
1-<br />
2 2<br />
( + 1) - ( + 1) = 1+<br />
2<br />
( + ) - =<br />
Ê 2<br />
1 1 ( + 1) + 1<br />
ˆ<br />
Ë ¯<br />
2<br />
2<br />
( + 1) -1<br />
( 493 . + 1) -1<br />
34. 1649<br />
= =<br />
=<br />
2<br />
2<br />
+ 1 1 493 . + 1 1 36. 1649<br />
( ) +<br />
( ) +<br />
= 094 .<br />
3. Dato che z + 1 = 1/R(t), l’Universo al tempo dell’emissione della riga era circa 6 volte più<br />
piccolo.
Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
La nuova camera fotografica ACS montata in febbraio sul telescopio<br />
Hubble ha scoperto una Supernova in una galassia lontana poco prima<br />
che l’esplosione raggiungesse il massimo Il redshift misurato è z <br />
Per le Supernove dello stesso tipo osservate in galassie vicine la<br />
luminosità <strong>di</strong>minuisce <strong>di</strong> volte a partire dal massimo in giorni<br />
Quanto tempo impiegherà la luminosità della Supernova in questione a<br />
<strong>di</strong>minuire della stessa quantità?<br />
Risposta (sintetica)<br />
1. La formula 1 + z = 1/R(t) usata nel precedente esercizio si basa sulla <strong>di</strong>latazione del tempo<br />
cosmologico dovuta all’espansione dell’Universo. Essa è equivalente alla Dt 0 /Dt e = 1 + z ,<br />
dove Dt 0 e Dt e sono gli intervalli temporali <strong>di</strong> un “qualunque” fenomeno perio<strong>di</strong>co (per<br />
esempio l’intervallo tra l’emissione <strong>di</strong> due creste successive <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione) misurato<br />
rispettivamente dall’osservatore oggi e in situ nella galassia al tempo dell’evento. Siccome<br />
l’intervallo <strong>di</strong> 100 giorni è misurato localmente, all’osservatore a <strong>di</strong>stanza z = 1.04 apparirà<br />
<strong>di</strong>latato <strong>di</strong> un fattore z + 1, ovvero poco più <strong>di</strong> 200 giorni.<br />
Risposta (sintetica) al Quesito 6<br />
1. Angeli a Diavoli sono inscrivibili in triangoli equilateri (e quin<strong>di</strong> equiangoli). Al centro se ne<br />
incontrano 6 al vertice (3 Angeli e 3 Diavoli). Quin<strong>di</strong> (localmente!) 360/6 = 60, ii tre angoli<br />
dei triangoli misurano ciascuno 60 gra<strong>di</strong> e la loro somma è 180. Localmente la geometria è<br />
piana. Già al secondo giro l’incontro al vertice è alternativamente <strong>di</strong> 6 e 8 Angeli/Diavoli.<br />
Siccome un angolo giro è <strong>di</strong> 360 gra<strong>di</strong> comunque sia la geometria, la somma degli angoli<br />
interni <strong>di</strong>venta minore <strong>di</strong> 180. La geometria è iperbolica.<br />
Studente:
Quesito Quesito N N N N N <br />
<br />
<br />
L’incisore olandese MCEscher ha creato delle opere d’arte dal profondo<br />
significato matematicogeometrico Nell’incisione qui riprodotta “Circle<br />
limit IV” viene rappresentatauna particolare geometria Tenendo<br />
conto che gli angeli e i <strong>di</strong>avoli hanno tutti la stessa <strong>di</strong>menzione e<br />
appaiono più piccoli per effetto prospettico sapreste <strong>di</strong>re se si tratta <strong>di</strong><br />
una geometria sferica euclidea o iperbolica (ovvero a curvatura<br />
positiva nulla o negativa)?<br />
Suggerimento: In geometria euclidea la somma degli angoli interni <strong>di</strong> un<br />
triangolo è sempre ∞ (conseguenza <strong>di</strong>retta del postulato delle<br />
parallele!) In un triangolo sferico la somma è maggiore <strong>di</strong> ∞<br />
(pensate a due meri<strong>di</strong>ani che formano un angolo retto con l’equatore e<br />
si incontrano al vertice nel polo) Un triangolo tracciato su una patatina<br />
Pringle (curvatura negativa) ha invece la somma degli angoli interni<br />
minore <strong>di</strong> ∞ Gli angeli e i <strong>di</strong>avoli visti da vicino sembrano dei<br />
triangoli equilateri i loro vertici si toccano<br />
Studente:<br />
All M. C. Escher works © Cordon Art, Baarn, the Netherlands. All rights reserved. Used by permission.