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UNIVERSITÀ<br />
DEGLI STUDI<br />
DI UDINE<br />
Progetto IDIFO<br />
PROPOSTE DIDATTICHE<br />
SULLA FISICA MODERNA<br />
STRUMENTI PER UNA DIDATTICA LABORATORIALE<br />
a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini<br />
M.I.U.R.<br />
Ministero dell’Istruzione<br />
dell’Università e della Ricerca<br />
PLS<br />
Progetto Lauree<br />
Scientifi che
Università<br />
degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong><br />
Progetto IDIFO<br />
<strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong><br />
<strong>sulla</strong> fi sica <strong>moderna</strong><br />
Strumenti per una <strong>di</strong>dattica laboratoriale<br />
a cura <strong>di</strong><br />
Marisa Michelini<br />
M.I.U.R.<br />
Ministero dell’Istruzione<br />
dell’Università e della Ricerca<br />
PLS<br />
Progetto Lauree<br />
Scientifi che
Università<br />
degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong><br />
Progetto IDIFO<br />
<strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong><br />
<strong>sulla</strong> fi sica <strong>moderna</strong><br />
Materiali per studenti<br />
M.I.U.R.<br />
Ministero dell’Istruzione<br />
dell’Università e della Ricerca<br />
PLS<br />
Progetto Lauree<br />
Scientifi che<br />
Il Progetto IDIFO del Progetto Lauree Scientifiche ha realizzato dal 2006 al 2009, oltre ad un Master biennale per insegnanti<br />
in rete telematica, tre Workshop per insegnanti e studenti, Laboratori <strong>di</strong>dattici e sperimentali per studenti, la Prima Scuola<br />
Estiva nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna per studenti (estate 2007). Quest’ultima è stata gestita dall’Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica<br />
della <strong>Fisica</strong> dell’Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne e ripetuta nell’estate 2009. È stata l’occasione per preparare materiali per studenti,<br />
che mettano a frutto i risultati della ricerca in <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> per l’appren<strong>di</strong>mento dei concetti più importanti della<br />
<strong>fisica</strong> dell’ultimo secolo. Questo volume raccoglie i contributi più significativi alle attività per studenti della scuola estiva, in<br />
forma adatta ad essere utilizzati in attività scolastiche o <strong>di</strong>rettamente dai ragazzi in autonomia.<br />
Curatore<br />
Marisa Michelini, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Comitato scientifico<br />
Compagno Cristiana, Rettore dell’Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Colombo Mario, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Corni Federico, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Bolzano e Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Modena e Reggio Emilia<br />
Corvaja Pietro, Direttore del Dottorato <strong>di</strong> Ricerca in matematica e <strong>fisica</strong>, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Fabbro Franco, Preside della Facoltà <strong>di</strong> Scienze della Formazione, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Ferraro Speranzina, Direzione Generale dello Studente, MIUR<br />
Gervasio Mario, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Honsell Furio, Sindaco <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Marcolini Lorenzo, Segretario <strong>Sezione</strong> AIF <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Michelini Marisa, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Michelutti Gian Luigi, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Mossenta Alessandra, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Pastore Giorgio, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Trieste<br />
Peressi Maria, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Trieste<br />
Piccinini Livio Clemente, Direttore della Scuola Superiore, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Rocca Filomena, Direzione Generale degli Or<strong>di</strong>namenti Scolastici, MIUR<br />
Santi Lorenzo, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Sciarratta Isidoro, Segretario <strong>Sezione</strong> AIF <strong>di</strong> Pordenone<br />
Stefanel Alberto, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Tarantino Giovanni, ANSAS Palermo<br />
Tasso Carlo, Preside della Facoltà <strong>di</strong> Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Toppano Elio, Responsabile PLS – Matematica, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Vercellati Stefano, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Viola Rossana, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Segreteria redazionale<br />
Cristina Cassan<br />
Donatella Ceccolin<br />
Chiara Geretti<br />
IIª E<strong>di</strong>zione <strong>di</strong>cembre 2010<br />
IIª E<strong>di</strong>zione luglio 2011<br />
© Copyright Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
ISBN 978-88-97311-04-1
In<strong>di</strong>ce<br />
Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5<br />
Marisa Michelini, Responsabile dell’Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong> e del Progetto IDIFO<br />
Capitolo 1. Ricerche<br />
La <strong>fisica</strong> dei raggi cosmici, la rivelazione dei fotoni gamma e l’espansione dell’Universo . » 11<br />
Alessandro De Angelis, Barbara De Lotto, Francesco de Sabata e Massimo Persic<br />
Gruppo MAGIC-GLAST, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Astro<strong>fisica</strong> gamma e futuro dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 21<br />
Valeria Scapin, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
LHC e l’esperimento ATLAS: alle origini della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 25<br />
Marina Cobal, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Equazioni alle <strong>di</strong>fferenze finite: stabilità ed evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 32<br />
Livio Clemente Piccinini, Dipartimento <strong>di</strong> Biologia Economia Agro-Industriale, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Gruppi <strong>di</strong> simmetria sul piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 46<br />
Pietro Corvaja, Dipartimento <strong>di</strong> Matematica e Informatica, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Modelli e Ontologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 60<br />
Elio Toppano, Dipartimento <strong>di</strong> Matematica e Informatica, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Per una storia del principio <strong>di</strong> Relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 69<br />
Stefano Bordoni, Università <strong>di</strong> Bergamo<br />
Appunti dalla relazione sul problema del corpo nero: entrare nel merito per capire . . . . . » 82<br />
Giovanni Luigi Michelutti, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
La <strong>Fisica</strong> della Superconduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 88<br />
Rosanna Viola, URDF, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Tavola sinottica. La storia della superconduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 96<br />
Rosanna Viola, URDF, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
Fare scienza con il computer: il moto browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 111<br />
Giovanni Pastore e Maria Peressi,<br />
Università <strong>di</strong> Trieste e Centro Nazionale <strong>di</strong> Simulazione Numerica CNR-INFM Democritos<br />
Capitolo 3. Esperimenti<br />
La misura del numero <strong>di</strong> Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 119<br />
Diego Cauz, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Misura della velocità della luce: metodo dello spostamento <strong>di</strong> fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 122<br />
Lorenzo Santi e Stefano Vercellati, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne
4<br />
Diffrazione: appunti a supporto dell’attività sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 127<br />
Marisa Michelini, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
La legge <strong>di</strong> Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 142<br />
Alberto Stefanel, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Coefficiente <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> un polaroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 147<br />
Alberto Stefanel, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 153<br />
Isidoro Sciaratta, CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Esperimento <strong>di</strong> Franck-Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 166<br />
Isidoro Sciarratta, CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Effetto Ramsauer-Townsend in una valvola contenente Xenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 171<br />
Lorenzo Santi, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Misura del rapporto e/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 175<br />
Isidoro Sciarratta, CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Effetto Termoelettronico e Valvole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 181<br />
Isidoro Sciarratta, CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Misure <strong>di</strong> resistenza elettrica dei materiali in funzione della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . » 188<br />
Marisa Michelini e Lorenzo Santi, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 194<br />
Mario Gervasio, Marisa Michelini e Lorenzo Santi, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Capitolo 4. Percorsi<br />
Avvicinarsi alla teoria della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 199<br />
Marisa Michelini e Alberto Stefanel, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Mettersi in gioco nell’esplorare ed interpretare fenomeni <strong>di</strong> superconduttività . . . . . . . . . . » 228<br />
Marisa Michelini e Rossana Viola, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Capitolo 5. Schede per una <strong>di</strong>dattica esplorativa<br />
Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica.<br />
Schede studente 1-15 e questionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 233<br />
Marisa Michelini e Alberto Stefanel, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Esplorare la superconduttività.<br />
Schede studente 1-6 e problem solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 279<br />
Marisa Michelini e Rossana Viola, Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne
Presentazione<br />
Marisa Michelini<br />
Responsabile dell’URDF e del Progetto IDIFO<br />
Il Progetto IDIFO (Innovazione Didattica in <strong>Fisica</strong> e Orientamento) è nato come iniziativa delle unità<br />
<strong>di</strong> ricerca in <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> delle Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Bologna, Milano, Milano Bicocca,<br />
Napoli, Palermo, Pavia, Roma La Sapienza, Torino e U<strong>di</strong>ne, con la collaborazione delle Università<br />
degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Bari, Bolzano, Lecce, Modena e Reggio Emilia, Trento, Trieste, coor<strong>di</strong>nata dall’unità<br />
<strong>di</strong> ricerca in <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> (URDF) dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne per il Progetto Lauree Scientifiche<br />
(PLS). Esso è illustrato alla pagina http://www.<strong>fisica</strong>.uniud.it/URDF/laurea/index.htm. Ha realizzato<br />
nella sua prima e<strong>di</strong>zione dal 2006 al 2009 un Master biennale per insegnanti <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>,<br />
affrontando la sfida ancora aperta sulle modalità con cui la <strong>fisica</strong> del novecento <strong>di</strong>venti parte del<br />
curriculum <strong>di</strong> scuola secondaria. Il Master, condotto per lo più in rete telematica, è stato arricchito<br />
da tre Workshop in presenza e dalla prima Scuola Estiva Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna per studenti<br />
(SEN-FM), che ha visto la partecipazione a U<strong>di</strong>ne nell’estate 2007 <strong>di</strong> 50 studenti selezionati dalle<br />
oltre 450 domande ricevute.<br />
Si sono aggiunte le Università della Basilicata e della Calabria nella prosecuzione del Progetto (IDIFO2<br />
descritto alla pagina http://www.<strong>fisica</strong>.uniud.it/URDF/laurea/ftp/pls2/i<strong>di</strong>fo2.pdf) per la realizzazione<br />
<strong>di</strong> un Corso <strong>di</strong> Perfezionamento per insegnanti e della seconda e<strong>di</strong>zione della Scuola Estiva SEN-FM,<br />
che, come la prima, ha raccolto ampio interesse da parte <strong>di</strong> giovani <strong>di</strong> tutta Italia.<br />
Sono 18 le istituzioni che hanno deciso <strong>di</strong> cooperare dal 2010 con il coor<strong>di</strong>namento dell’URDF <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
per il Progetto IDIFO3 e tra esse vi sono 17 università e l’Istituto Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Nucleare (INFN).<br />
Ci sembra utile illustrare in questa sede il Progetto IDIFO nel suo complesso.<br />
Il Master IDIFO (1-7), <strong>di</strong> durata biennale da marzo 2006 a giugno 2008 per complessivi 60 cre<strong>di</strong>ti<br />
universitari (cfu) <strong>di</strong> attività <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> in presenza e a <strong>di</strong>stanza, si è posto l’obiettivo <strong>di</strong> formare un<br />
insegnante esperto in:<br />
a) <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> (soprattutto <strong>fisica</strong> quantistica, relativistica, statistica e della materia,<br />
con elementi <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> nucleare, delle particelle elementari e cosmologia);<br />
b) formazione al pensiero teoretico in <strong>fisica</strong>;<br />
c) attività sperimentale sugli esperimenti cruciali e fondamentali per la fondazione del modo <strong>di</strong><br />
pensare quantistico;<br />
d) impostazione del pensiero relativistico moderno;<br />
e) spiegazione delle principali applicazioni moderne della <strong>fisica</strong> quantistica e relativistica;<br />
f) formazione <strong>di</strong> altri insegnanti sull’innovazione <strong>di</strong>dattica in <strong>fisica</strong> nella scuola secondaria;<br />
g) progettazione e realizzazione <strong>di</strong> materiali ed attività per l’orientamento formativo in <strong>fisica</strong>.<br />
Il progetto <strong>di</strong> Master si è strutturato in 4 Aree Formative (generale, caratterizzante, progettuale e situata)<br />
articolate in 5 Moduli tematici: A. <strong>fisica</strong> quantistica (18 cfu); B. relatività ristretta e generale (12 cfu);<br />
C. <strong>fisica</strong> statistica e della materia (15 cfu); D. <strong>fisica</strong> nucleare, delle particelle e cosmologia (2 cfu); E.<br />
orientamento e problem solving come sfida operativa orientante (6 cfu). Grande spazio è stato riservato<br />
alla <strong>di</strong>scussione <strong>di</strong> proposte <strong><strong>di</strong>dattiche</strong>, all’analisi ed al confronto <strong>di</strong> scelte su questioni messe in luce<br />
dalla ricerca <strong>di</strong>dattica sui vari temi affrontati: è stata favorita la riflessione in<strong>di</strong>viduale e <strong>di</strong> gruppo.<br />
La ricerca <strong>di</strong>dattica è stata sorgente e modalità <strong>di</strong> realizzazione del Master. La valutazione degli esiti<br />
formativi del Master IDIFO ha coinvolto i corsisti nella preparazione <strong>di</strong> 4 project work sui Moduli<br />
Didattici A, B, C&D ed E) e la tesi finale, che è consistita in un elaborato scritto su una sperimentazione<br />
lunga effettuata con ragazzi <strong>di</strong> scuola secondaria. Ciascuno dei 4 project work ha comportato a<br />
sua volta un’attività <strong>di</strong> sperimentazione <strong>di</strong>dattica. La tesi si è configurata come un approfon<strong>di</strong>mento<br />
<strong>di</strong> uno dei Project Work ed è stata <strong>di</strong>scussa davanti ad una Commissione designata dal Consiglio del<br />
Master. L’impegno richiesto ai corsisti è stato molto alto. I corsisti d’altra parte si sono rivelati <strong>di</strong> alto<br />
livello culturale e professionale, profondamente interessati a <strong>di</strong>ventare professionisti competenti nella
6 Presentazione<br />
tematica affrontata. Il Modello formativo messo in campo è risultato corrispondente ai bisogni nella<br />
sua integrazione <strong>di</strong> aspetti culturali, <strong>di</strong>sciplinari, <strong>di</strong>dattici e professionali. Esso comprende fasi <strong>di</strong> formazione<br />
meta culturale, esperienziale e situata, offrendo a ciascuno l’occasione <strong>di</strong> sviluppo progettuale<br />
commisurato ai bisogni ed alle motivazioni. Tutti i corsisti del Master IDIFO hanno infatti vissuto le<br />
seguenti fasi formative: A) stu<strong>di</strong>o e <strong>di</strong>scussione delle proposte <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> che i docenti hanno proposto<br />
loro come esito <strong>di</strong> anni <strong>di</strong> ricerca <strong>di</strong>dattica su 4 principali aree (Relatività, Quantistica, <strong>Fisica</strong> della<br />
Materia, Orientamento Formativo); B) rielaborazione critica in laboratori <strong>di</strong>dattici <strong>di</strong> <strong>di</strong>scussione in<br />
web forum <strong>di</strong> nuclei, no<strong>di</strong> e aspetti cruciali; C) Progettazione <strong>di</strong> un percorso <strong>di</strong>dattico da sottoporre<br />
a sperimentazione, collaudo e autovalutazione delle attività <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> del percorso (esperimenti,<br />
attività multime<strong>di</strong>ali, etc) e messa a punto dei materiali <strong>di</strong>dattici (schede per ragazzi, esercizi, test);<br />
D) <strong>di</strong>scussione con i docenti del Master del percorso e <strong>di</strong> tutti i materiali proposti e loro revisione; E)<br />
sperimentazione <strong>di</strong>dattica con i ragazzi; F) analisi dei dati <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento; G) documentazione, in un<br />
Project Work, delle basi teoriche e concettuali e del percorso formativo, con analisi critica del lavoro<br />
svolto e del ruolo che esso ha avuto nella formazione personale, oltre alla <strong>di</strong>scussione sui processi <strong>di</strong><br />
appren<strong>di</strong>mento dei ragazzi con i quali è stata fatta la sperimentazione. La comunità internazionale del<br />
GIREP ha valorizzato tale esperienza <strong>di</strong> ricerca, de<strong>di</strong>candole un workshop nel Congresso Internazionale<br />
<strong>di</strong> Leicester (2009) e selezionandone il lavoro per il libro Physics Community and Cooperation (6).<br />
Tutti i materiali utilizzati per la formazione degli insegnanti sono stati pubblicati in rete telematica<br />
alla pagina http://www.<strong>fisica</strong>.uniud.it/URDF/laurea/. Esperienze emblematiche <strong>di</strong> questo lavoro sono<br />
state pubblicate nel libro Formazione degli insegnanti all’innovazione <strong>di</strong>dattica in <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> e<br />
orientamento. Contributi <strong>di</strong> una comunità <strong>di</strong> ricerca in <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> a un progetto <strong>di</strong> formazione<br />
a <strong>di</strong>stanza degli insegnanti: strategie e meto<strong>di</strong> (7). La piattaforma <strong>di</strong> e-learning messa a punto<br />
per la formazione a <strong>di</strong>stanza degli insegnanti è stata sede dei successivi Corsi <strong>di</strong> Perfezionamento e<br />
Master IDIFO.<br />
I Workshop intensivi in presenza (WS) hanno avuto un valore formativo autonomo, che nello stesso<br />
tempo ha potenziato la formazione a <strong>di</strong>stanza. Il confronto in presenza delle proposte formative e<br />
<strong><strong>di</strong>dattiche</strong> degli insegnamenti, dei prodotti dei corsisti, la possibilità <strong>di</strong> eseguire esperimenti <strong>di</strong> <strong>fisica</strong><br />
<strong>moderna</strong> e confrontarsi sui risultati e sul loro ruolo, la <strong>di</strong>scussione intorno a nuclei fondanti e no<strong>di</strong><br />
concettuali della meccanica quantistica e della relatività einsteiniana in seminari <strong>di</strong> rassegna o in<br />
analisi comparate <strong>di</strong> approcci <strong>di</strong>dattici ne ha fatto una palestra esemplare e fertile <strong>di</strong> formazione per<br />
professionisti riflessivi. Il primo <strong>di</strong> essi è stato tutto de<strong>di</strong>cato agli insegnanti del Master (WS1). Si<br />
è tenuto a U<strong>di</strong>ne nel periodo 4-8 settembre 2006. Il secondo WS si è proposto <strong>di</strong> realizzare la ricaduta<br />
sul territorio del Progetto IDIFO per studenti ed insegnanti del Friuli Venezia Giulia (WS2), in<br />
sinergia con il progetto LEMI_EST. È stato realizzato in due fasi e se<strong>di</strong> (marzo a U<strong>di</strong>ne ed aprile a<br />
Pordenone per 2 settimane) ed ha visto utilizzare sul territorio del Friuli Venezia Giulia i materiali<br />
prodotti nel Master (percorsi <strong>di</strong>dattici ed esperimenti cruciali <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>), con attività formative<br />
per insegnanti e per studenti <strong>di</strong> laboratorio <strong>di</strong>dattico concettuale, esplorativo e sperimentale (8-9): i<br />
relativi programmi sono pubblicati nel già citato sito del Progetto IDIFO. Il terzo è stato realizzato<br />
in concomitanza con Scuola Estiva <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna per studenti, tenutasi a U<strong>di</strong>ne nel luglio 2007<br />
ed ha intrecciato contenuti ed attività per gli insegnanti del Master con quelli per studenti selezionati<br />
a partecipare alla Scuola stessa. Le attività sperimentali su cui erano stati formati i corsisti nel WS1<br />
sono state proposte ai ragazzi, con due livelli <strong>di</strong> sostegno: quello dei corsisti e quello dei docenti del<br />
Master. La straor<strong>di</strong>naria ricchezza <strong>di</strong> un simile contesto ha insegnato molto a tutti su molti livelli e ci<br />
ha dato un modello <strong>di</strong> formazione in presenza. I contenuti <strong>di</strong> queste attività sono risultati <strong>di</strong> interesse<br />
per gli insegnanti: abbiamo allora deciso <strong>di</strong> raccogliere nel volume <strong>Fisica</strong> <strong>moderna</strong> per la scuola<br />
(10) i materiali più significativi prodotti nelle attività in presenza a U<strong>di</strong>ne. Vi sono altri materiali del<br />
Progetto IDIFO messi a <strong>di</strong>sposizione nelle attività in presenza; essi sono <strong>di</strong> varia natura: kit <strong>di</strong>dattici<br />
per attività sperimentali esplorative e opuscoli <strong>di</strong> proposte <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> sperimentate. Essi continuano<br />
ad essere prestati o regalati alle scuole.<br />
La prima Scuola Estiva Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna, progettata e messa a punto dall’Unità <strong>di</strong> Ricerca<br />
in Didattica della <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne (URDF) come percorso <strong>di</strong> eccellenza per studenti
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 7<br />
secondari, è stata proposta anche come ricaduta del master IDIFO per insegnanti <strong>di</strong> scuola secondaria<br />
superiore <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>, perché gli insegnanti formati propongano ai ragazzi le attività progettate.<br />
La valorizzazione dell’eccellenza nella scuola (11, 12) può essere garantita solo se vi è un processo <strong>di</strong><br />
continuo rinnovamento, creatività e si pone gli studenti <strong>di</strong> fronte a nuove sfide (13). Per l’appren<strong>di</strong>mento<br />
è prioritario prevedere un forte coinvolgimento personale degli studenti con l’oggetto <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o,<br />
con<strong>di</strong>zione necessaria per garantire un effettivo appren<strong>di</strong>mento scientifico (14 - 16) e l’orientamento<br />
formativo (17-19). Queste con<strong>di</strong>zioni sono state poste alla base del progetto. Essa è stata pertanto<br />
offerta come percorso formativo basato su ricerche in <strong>di</strong>dattica della <strong>fisica</strong> a studenti degli ultimi anni<br />
delle scuole superiori italiane. Tra le principali finalità nella progettazione vi sono state l’offrire: a)<br />
significative proposte <strong>di</strong> percorsi operativi per la costruzione del pensiero formale su rilevanti aspetti <strong>di</strong><br />
<strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>, b) sfide lu<strong>di</strong>che sui no<strong>di</strong> concettuali della meccanica quantistica, della <strong>fisica</strong> degli stati<br />
condensati e della superconduttività; c) attività sperimentali a piccolo gruppo su esperimenti cruciali<br />
per la fondazione delle moderne teorie; d) quadri concettuali <strong>di</strong> rifermento per interpretare i fenomeni.<br />
La seconda Scuola Estiva Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna (SEN-FM) è stata realizzata nel luglio 2009<br />
(20-22) nell’ambito del progetto IDIFO2 del PLS2 ed è stata attuata in collaborazione con la Scuola<br />
Superiore, la Facoltà <strong>di</strong> Scienze Matematiche Fisiche Naturali, la Facoltà <strong>di</strong> Scienze della Formazione<br />
dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne, il progetto Democritos, il Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> Trieste,<br />
l’Area <strong>di</strong> Ricerca del Sincrotrone <strong>di</strong> Trieste, il MIUR - Direzione Generale dello studente e degli<br />
Or<strong>di</strong>namenti Scolastici, con il sostegno dell’ERDISU <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne e della Fondazione CRUP. Il numero<br />
<strong>di</strong> studenti ammessi, inizialmente fissato in 30 unità, è stato successivamente portato a 40 grazie ai<br />
contributi <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi enti locali. La selezione è stata effettuata da un’apposita commissione <strong>sulla</strong> base<br />
dei seguenti criteri <strong>di</strong> priorità esplicitati nel bando nazionale: a) certificazione del profitto riportato<br />
nelle materie scientifiche negli ultimi due anni; b) regione <strong>di</strong> residenza per la miglior <strong>di</strong>stribuzione<br />
nazionale; c) tipologia <strong>di</strong> Scuola; d) altri titoli eventuali (gare <strong>di</strong> materie scientifiche); e) maggiore età<br />
anagrafica. Il modello attuativo della Scuola Estiva integra: A) Laboratorio <strong>di</strong>dattico per l’esplorazione<br />
operativa <strong>di</strong> percorsi, condotti con metodologie tipiche dell’Inquiry Base Learning (IBL) (8, 9) e del<br />
problem solving (23, 24) su tematiche <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>; B) Laboratorio sperimentale per gruppi a<br />
rotazione (25); C) Laboratorio sperimentale a grande gruppo (25); D) Gli studenti relazionano; E)<br />
Le gare; F) Laboratorio <strong>di</strong> simulazione; G) Seminari formativi <strong>di</strong> esperti; H) Visite, attività complementari,<br />
attività sociali. Nelle attività <strong>di</strong> tipo A sono stati proposti i tre percorsi: 1) Mettersi in gioco<br />
nell’esplorare e interpretare fenomeni <strong>di</strong> superconduttività (26, 27); 2) Esplorazione dei fenomeni <strong>di</strong><br />
polarizzazione della luce come sfida per avvicinarsi alla teoria della Meccanica Quantistica (28-32);<br />
3) Rutherford Backscattering Spectroscopy (RBS): cimentarsi in una tecnica <strong>di</strong> analisi della ricerca<br />
nella <strong>fisica</strong> dei soli<strong>di</strong> (33). Si tratta <strong>di</strong> laboratori <strong>di</strong>dattici con le seguenti caratteristiche: utilizzo <strong>di</strong><br />
strategie PEC – Previsione Esperimento Confronto (34) nell’esplorazione <strong>di</strong> contesti fenomenologici<br />
per riconoscere operativamente concetti e grandezze (8, 9); analisi <strong>di</strong> simulazioni che propongono<br />
situazioni ideali, per la costruzione <strong>di</strong> ipotesi interpretative ed il confronto con gli esiti sperimentali.<br />
Una delle attività più qualificanti della scuola è il laboratorio sperimentale (B) proposto a gruppi <strong>di</strong><br />
4-5 studenti a rotazione. Sono stati proposti i sei percorsi <strong>di</strong> attività sperimentali realizzati a gruppi su<br />
due mezze giornate <strong>di</strong> lavoro: Diffrazione ottica con sensori on-line; Misura della velocità della luce;<br />
Misure <strong>di</strong> resistività ed effetto Hall in materiali <strong>di</strong>versi; Esperimento <strong>di</strong> Franck ed Hertz; rapporto<br />
e/m. Altri esperimenti sono stati proposti a grande gruppo o inseriti nei percorsi <strong>di</strong>dattici. Non meno<br />
significativa è l’attività D): gli studenti relazionano. L’ esplicitazione da parte degli studenti <strong>di</strong> quali<br />
sono gli appren<strong>di</strong>menti è il coronamento dell’obiettivo della scuola <strong>di</strong> offrire occasioni formative in<br />
cui è previsto il coinvolgimento attivo degli studenti. È stato perciò previsto un seminario finale in<br />
cui gli studenti hanno relazionato a piccoli gruppi su: analisi <strong>di</strong> spettri RBS, i concetti <strong>di</strong> Meccanica<br />
Quantistica e le attività <strong>di</strong> laboratorio. Hanno offerto occasioni <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento le competizioni,<br />
che sono state proposte come attività <strong>di</strong> sintesi e valutazione affiancate alle relazioni finali su <strong>di</strong>versi<br />
temi: Laboratorio, Meccanica quantistica, Superconduttività ed RBS.<br />
Tutte le attività della scuola sono state videoregistrate. In particolare l’ultima giornata è stata interamente<br />
ripresa dalla troupe <strong>di</strong> RAI-EDUCATIONAL che ha realizzato una trasmissione appositamente
8 Presentazione<br />
de<strong>di</strong>cata alla scuola estiva. Gli appren<strong>di</strong>menti sono stati valutati e certificati <strong>sulla</strong> base <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenziati<br />
strumenti e meto<strong>di</strong>: le schede <strong>di</strong> lavoro che hanno accompagnato le <strong>di</strong>verse fasi del lavoro (con<br />
strategie IBL e PEC); le brevi relazioni e i questionari con domande aperte utilizzati come strumenti<br />
<strong>di</strong> riepilogo e quelli <strong>di</strong> problem solving delle gare; le relazioni finali presentate dai ragazzi stessi; le<br />
sintesi dei valutatori esterni. In base agli esiti <strong>di</strong> tale monitoraggio e solo laddove fossero stati riconsegnanti<br />
i materiali compilati sono stati rilasciati gli attestati con documentazione degli appren<strong>di</strong>menti<br />
dei <strong>di</strong>versi moduli. Schede <strong>di</strong> valutazione hanno permesso <strong>di</strong> arricchire il monitoraggio delle attività<br />
basato su Schede IBL e PEC ed hanno completato le informazioni ricavate con test ed interviste. La<br />
valutazione è infatti stata particolarmente attenta ed affidata a membri interni al processo (docenti,<br />
corsisti Master, studenti della Scuola Estiva) ed a esperti o testimoni esterni, come rappresentanti del<br />
Ministero, dell’ANSAS nazionale, dell’Associazione per l’Insegnamento della <strong>Fisica</strong> e degli studenti<br />
del territorio. Sia le singole attività sia l’intera scuola sono state valutate dagli studenti <strong>sulla</strong> base <strong>di</strong><br />
schede <strong>di</strong> monitoraggio che prevedevano per ciascun seminario, modulo formativo, attività sperimentale,<br />
le voci previste nel monitoraggio REQUS del PLS. L’analisi degli appren<strong>di</strong>menti e gli esiti del<br />
monitoraggio interno ed esterno sono risultati coerenti con la sintesi del valutatore esterno in merito al<br />
giu<strong>di</strong>zio altamente positivo sia sulle singole professionalità impegnate nella Scuola, sia sull’impegno<br />
davvero eccezionale profuso dal gruppo dei referenti scientifici. Le attività sono state sempre dense e<br />
costruttive, i meto<strong>di</strong> e le tecniche scelte in tutte le fasi sono stati sempre strettamente funzionali agli<br />
obiettivi della Scuola e singolarmente efficaci. Il gruppo <strong>di</strong> Progetto ha inoltre dato prova <strong>di</strong> intelligente<br />
duttilità nell’adattare le soluzioni via via ipotizzate alle con<strong>di</strong>zioni operative riscontrate sul terreno,<br />
senza mai perdere <strong>di</strong> vista gli obiettivi del progetto, garantendone un’alta vali<strong>di</strong>tà scientifica.<br />
Abbiamo deciso <strong>di</strong> raccogliere in questo volume soltanto i principali materiali <strong>di</strong>dattici utilizzati<br />
nelle due prime Scuole Estive Nazionali <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna (SEN-FM), perché contengono esempi<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>dattica basata su attività esplorative, laboratoriali e <strong>di</strong> applicazione del metodo dell’IBL (8, 9).<br />
In questo volume sono pertanto raccolti i materiali più significativi della Scuola, in una forma adatta<br />
ad essere utilizzati <strong>di</strong>rettamente dagli studenti in autonomia o con gli insegnanti in classe: si vuole<br />
offrire un supporto ad attività <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>di</strong> base <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> e <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento tematico<br />
su gli aspetti specifici.<br />
Nel primo capitolo sono raccolti i seminari offerti nella Scuola (SEN-FM) su ricerche avanzate <strong>di</strong><br />
<strong>fisica</strong>, su temi fondanti <strong>di</strong> matematica ed informatica, su stu<strong>di</strong> storici <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>.<br />
Abbiamo de<strong>di</strong>cato il capitolo 2 alla <strong>fisica</strong> computazionale, per la crescente importanza che ha nella<br />
ricerca in <strong>fisica</strong>, scegliendo <strong>di</strong> illustrare ciò che è fattibile a scuola per assaggiare questa attività, come<br />
si è fatto nella Scuola SEN-FM.<br />
Nel capitolo 3 abbiamo raccolto i materiali preparati per i ragazzi sugli esperimenti eseguiti: sintetiche<br />
introduzioni concettuali, con in<strong>di</strong>cazioni operative sull’esecuzione degli esperimenti e l’analisi dati,<br />
spesso mettendo a confronto strategie e meto<strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenziati per l’attività.<br />
Nel capitolo 4 abbiamo due esempi <strong>di</strong> percorsi su temi innovativi per la scuola secondaria, come<br />
meccanica quantistica (MQ) e superconduttività (SC). L’impostazione dei percorsi è mirata alla fondazione<br />
del pensiero teoretico (MQ) e all’esplorazione qualitativa e quantitativa della fenomenologia<br />
(SC) nella prospettiva <strong>di</strong> costruzione del pensiero formale, basandosi sulle strategie <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento<br />
attivo (IBL e PEC).<br />
Nel capitolo 5 mettiamo a <strong>di</strong>sposizione le schede per l’attività laboratoriale che consentono <strong>di</strong> monitorare<br />
gli appren<strong>di</strong>menti e valutare le competenze acquisite sui temi in<strong>di</strong>cati (MQ e SC).<br />
Tutti i materiali sono stati sperimentati con ragazzi <strong>di</strong> scuola secondaria, oltre che nelle Scuole Estive<br />
SEN-FM e i risultati sono stati validati in congressi internazionali (26, 28-35). Ci auguriamo pertanto<br />
che essi siano <strong>di</strong> sufficiente qualità perché gli insegnanti ne possano fare uso a scuola per introdurre i<br />
concetti della <strong>fisica</strong> del ’900. Augurandoci <strong>di</strong> aver prodotto con questa pubblicazione uno strumento<br />
utile, restiamo in attesa dei commenti e dei suggerimenti dei nostri lettori privilegiati, studenti ed<br />
insegnanti, e <strong>di</strong> quelli eventualmente interessati.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 9<br />
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Capitolo 1. Ricerche<br />
LA FISICA DEI RAGGI COSMICI, LA RIVELAZIONE DEI FOTONI GAMMA<br />
E L’ESPANSIONE DELL’UNIVERSO<br />
Alessandro De Angelis, Barbara De Lotto, Francesco de Sabata e Massimo Persic<br />
Gruppo MAGIC-GLAST, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
La <strong>fisica</strong> delle alte energie è nata come <strong>fisica</strong> dei raggi cosmici [1]: nei primi decenni del secolo<br />
scorso, non appena si scoprì che particelle <strong>di</strong> altissima energia arrivano dal cosmo, gli stu<strong>di</strong>osi <strong>di</strong><br />
<strong>fisica</strong> fondamentale avviarono campagne <strong>di</strong> stu<strong>di</strong> in atmosfera e costruirono centri <strong>di</strong> rivelazione sulle<br />
montagne (Fig. 1). Alle origini la <strong>fisica</strong> delle particelle si poteva dunque definire, con un termine<br />
moderno, “astroparticellare”.<br />
Fig. 1.a - Il fisico austriaco Victor<br />
Hess alla partenza dell’ascensione<br />
in aerostato in cui <strong>di</strong>mostrò l’esistenza<br />
dei raggi cosmici (1912).<br />
Fig. 1.b - Il fisico statunitense<br />
Robert Milllikan mentre prepara<br />
un rivelatore prima del lancio<br />
in alta atmosfera (1938).<br />
Fig 1.c - L’osservatorio della Marmolada a Passo Fedaia,<br />
Belluno (1950).<br />
Solo in seguito i fisici impararono a produrre in laboratorio particelle <strong>di</strong> altissima energia me<strong>di</strong>ante<br />
gli acceleratori. Dal 1950 alla fine degli anni’90 le potenzialità <strong>di</strong> scoperta della <strong>fisica</strong> agli acceleratori<br />
superarono quelle della <strong>fisica</strong> basata sui raggi cosmici, in quanto gli acceleratori consentivano la<br />
realizzazione <strong>di</strong> esperimenti in con<strong>di</strong>zioni controllate. Per una cinquantina d’anni l’energia generata<br />
crebbe esponenzialmente con il tempo, e con essa il potenziale <strong>di</strong> scoperta; in questo periodo la <strong>fisica</strong><br />
delle particelle agli acceleratori garantì un progresso spettacolare alla conoscenza fondamentale. Negli<br />
ultimi <strong>di</strong>eci anni si è assistito però ad un rallentamento nei progressi, evidenziato nel cosiddetto plot<br />
<strong>di</strong> Livingstone in Fig. 2.a, in cui si nota una tendenza alla saturazione, in funzione del tempo, delle<br />
energie raggiunte, in corrispondenza per contro ad un’esplosione dei costi <strong>di</strong> costruzione.<br />
L’indagine astro<strong>fisica</strong> fornisce la possibilità <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are fenomeni a scale <strong>di</strong> energia superiori, anche<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza, a quelli raggiungibili con la produzione <strong>di</strong> particelle nei laboratori<br />
terrestri. La ragione per cui gli acceleratori costruiti dall’uomo non possono competere con gli ancora<br />
misteriosi acceleratori cosmici è dovuta al fatto che il metodo più efficiente per l’accelerazione <strong>di</strong><br />
particelle richiede il loro confinamento entro un raggio R tramite un campo magnetico B, e l’energia è<br />
proporzionale al prodotto <strong>di</strong> R per B. Sulla Terra è <strong>di</strong>fficile ipotizzare raggi <strong>di</strong> confinamento più gran<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> un centinaio <strong>di</strong> km e campi magnetici più forti <strong>di</strong> una decina <strong>di</strong> tesla (centomila volte il campo
12 Capitolo 1. Ricerche<br />
magnetico terrestre), senza contare l’impatto ambientale <strong>di</strong> tali progetti, il consumo energetico e la<br />
ra<strong>di</strong>oattività indotta. Questa combinazione può fornire per il ventunesimo secolo energie dell’or<strong>di</strong>ne<br />
della decina <strong>di</strong> TeV (1 TeV = 10 12 eV), come quelle che verranno raggiunte nell’acceleratore LHC del<br />
CERN (Fig. 2.b). In natura esistono tuttavia acceleratori con raggi molto maggiori, come i relitti <strong>di</strong><br />
supernove (centinaia <strong>di</strong> anni luce, Fig. 2.c) e i nuclei galattici attivi delle galassie (decine <strong>di</strong> migliaia<br />
<strong>di</strong> anni luce) (1 anno luce = 9.46 . 10 15 m); da essi arrivano <strong>sulla</strong> Terra particelle <strong>di</strong> energie <strong>di</strong> decine<br />
<strong>di</strong> milioni <strong>di</strong> TeV. Oggi finalmente sappiamo sfruttare questi acceleratori cosmici i quali, a <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> quelli costruiti dall’uomo che costano ormai svariati miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> euro, sono privi <strong>di</strong> costi.<br />
Flavio Waldner, formatosi a Padova nel gruppo che allestì il laboratorio della Marmolada, con i suoi<br />
contributi pionieristici a esperimenti su pallone aerostatico compiuti all’Università <strong>di</strong> Bari negli anni<br />
’70 è stato un antesignano del ritorno in auge della <strong>fisica</strong> dei raggi cosmici, che è oggi ancora una<br />
volta, come all’inizio della <strong>fisica</strong> delle particelle, la <strong>fisica</strong> <strong>di</strong> frontiera, in particolare riguardo alla<br />
nostra comprensione dell’evoluzione dell’Universo.<br />
Fig. 2.a - Il “plot <strong>di</strong> Livingstone” per<br />
gli acceleratori.<br />
Fig. 2.b - Il Large Hadron Collider,<br />
LHC, che entrerà in funzione nel 2008<br />
al CERN.<br />
Fig. 2.c - Un’immagine della SNR (Super-<br />
Nova Remnant) Tycho.<br />
Una delle principali scoperte del XX secolo, forse la più importante <strong>di</strong> tutte (almeno secondo un<br />
sondaggio realizzato nel 2000 dalla rivista “Time”), è che l’Universo è in espansione. L’astronomo<br />
Edwin Hubble giunse a questa conclusione negli anni ’20 del secolo scorso stu<strong>di</strong>ando un gran numero<br />
<strong>di</strong> galassie e osservando che la luce proveniente da quelle più lontane presenta sistematicamente lunghezze<br />
d’onda maggiori rispetto a quella delle galassie più prossime a noi. Tale “spostamento verso<br />
il rosso” (Doppler redshift, Fig. 3.a) <strong>di</strong>pende dalla velocità delle sorgenti e <strong>di</strong>mostra che le galassie<br />
si allontanano tra loro con una velocità proporzionale alla mutua <strong>di</strong>stanza (legge <strong>di</strong> Hubble, Fig. 3.b).<br />
Fig. 3.a - Un confronto tra gli spettri <strong>di</strong> oggetti<br />
a varia <strong>di</strong>stanza da noi che evidenzia<br />
lo spostamento verso il rosso.<br />
Fig. 3.b - Il plot <strong>di</strong> Hubble, che evidenzia<br />
la <strong>di</strong>pendenza lineare della velocità <strong>di</strong><br />
recessione delle galassie dalla <strong>di</strong>stanza.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 13<br />
Fig. 4.a - Una rappresentazione grafica<br />
della storia dell’Universo.<br />
Fig. 4.b - I <strong>di</strong>versi scenari possibili per<br />
l’evoluzione dell’Universo.<br />
Ciò nasce dal fatto che è lo spazio stesso che si sta espandendo,<br />
in accordo con la teoria del Big Bang, la quale prevede che l’Universo<br />
abbia avuto inizio da un volume piccolissimo. La conferma<br />
<strong>di</strong> questa teoria venne nel 1965 con la scoperta della ra<strong>di</strong>azione<br />
cosmica <strong>di</strong> fondo, o “ra<strong>di</strong>azione fossile”, ad opera <strong>di</strong> Arno Penzias<br />
e Robert Wilson. Si tratta <strong>di</strong> un caratteristico segnale nella<br />
banda delle microonde presente ovunque nel cosmo, che venne<br />
originato in una situazione iniziale <strong>di</strong> gran<strong>di</strong>ssima energia: la<br />
“firma” del Big Bang.<br />
È dunque sensato chiedersi quale sia l’istante in cui tutto ha avuto<br />
inizio, estrapolando a ritroso nel tempo l’espansione a partire dalle<br />
osservazioni sperimentali: si ottiene così per il nostro Universo<br />
un’età <strong>di</strong> circa 14 miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> anni.<br />
Molti processi fisici, avvenuti soprattutto nei primi istanti dell’espansione,<br />
hanno cambiato profondamente la struttura dell’Universo,<br />
mo<strong>di</strong>ficandolo fino alla situazione attuale; un’osservazione<br />
importante è che esso, compiendo lavoro a spese della propria<br />
energia interna, deve essersi raffreddato (ossia avere <strong>di</strong>minuito<br />
l’energia cinetica me<strong>di</strong>a delle particelle). È quin<strong>di</strong> ragionevole<br />
pensare che all’origine fosse molto più caldo, rendendo possibili<br />
fenomeni che oggi non riusciamo a ritrovare neppure nel centro<br />
delle stelle o nei gran<strong>di</strong> acceleratori <strong>di</strong> particelle o nei più avveniristici<br />
prototipi <strong>di</strong> generatori <strong>di</strong> energia nucleare.<br />
La conoscenza delle <strong>fisica</strong> fondamentale ci consente <strong>di</strong> ricondurre<br />
tutti i fenomeni attuali a quattro tipi <strong>di</strong> interazione (gravitazionale,<br />
elettromagnetica, debole e forte), ma ricostruendo l’evoluzione<br />
dell’Universo si arriva alla conclusione che nei primi istanti<br />
dell’espansione (~10 -43 s) esse fossero unificate in una sola. Questa<br />
meravigliosa e semplice simmetria fu successivamente alterata<br />
e nascosta al <strong>di</strong>minuire delle energie <strong>di</strong>sponibili. La ricerca <strong>di</strong><br />
energie più alte è dunque anche un viaggio all’in<strong>di</strong>etro nel tempo<br />
(Fig. 4.a).<br />
Facciamo ora un viaggio nel futuro. Ci si può domandare se l’espansione dell’Universo continuerà<br />
per sempre, o se prima o poi si arresterà e invertirà il proprio corso, iniziando una fase <strong>di</strong> contrazione<br />
che lo riporti alla situazione iniziale: la risposta <strong>di</strong>pende dall’intensità dell’attrazione gravitazionale<br />
esercitata al suo interno, quin<strong>di</strong> dal contenuto totale <strong>di</strong> materia dell’Universo (Fig. 4.b). Per stimare<br />
con cura tale quantità è necessario riuscire a stu<strong>di</strong>are le regioni più lontane, con strumenti che ci<br />
consentano <strong>di</strong> rilevare nuovi<br />
oggetti e nuove particelle.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o delle proprietà <strong>di</strong><br />
rotazione delle galassie fornisce<br />
la prova dell’esistenza<br />
<strong>di</strong> una nuova forma dominante<br />
<strong>di</strong> materia, la cosiddetta<br />
“materia oscura” (Fig.<br />
5.a). Inoltre, il confronto<br />
fra la luminosità apparente<br />
(osservata) e quella intrinseca<br />
delle supernove <strong>di</strong> tipo<br />
Ia ha in<strong>di</strong>cato la presenza <strong>di</strong><br />
Fig. 5.a - La velocità rotazionale delle galassie<br />
in<strong>di</strong>ca la presenza <strong>di</strong> massa oscura.<br />
Fig. 5.b - Le proporzioni tra energia oscura,<br />
massa oscura e massa visibile nell’Universo.
14 Capitolo 1. Ricerche<br />
una misteriosa tensione, la cosiddetta “energia oscura”, che permea l’Universo e ne determina la<br />
<strong>di</strong>namica a grande scala (Fig. 5.b).<br />
Per quanto riguarda la materia oscura, nella maggior parte delle teorie sviluppate per spiegare i<br />
risultati delle osservazioni astrofisiche si ipotizza l’esistenza <strong>di</strong> una nuova particella pesante neutra<br />
(<strong>di</strong> massa compresa fra quaranta e centomila volte la massa del protone) che interagisce debolmente<br />
con la materia or<strong>di</strong>naria; tale particella viene chiamata WIMP (Weakly Interacting Massive Particle).<br />
Le teorie supersimmetriche offrono un can<strong>di</strong>dato naturale per la WIMP, il cosiddetto neutralino. Le<br />
WIMP possono annichilarsi in coppia generando energia, come ipotizzato da Majorana (il famoso<br />
fisico siciliano misteriosamente scomparso nel 1938). L’annichilazione <strong>di</strong> WIMP è osservabile<br />
dai rivelatori <strong>di</strong> raggi gamma, in quanto gran parte dell’energia prodotta si presenta sotto forma <strong>di</strong><br />
fotoni gamma con energie confrontabili a quelle della WIMP, e caratteristiche che consentirebbero<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>stinguerli dal fondo astrofisico. Il primo problema sperimentale è quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> rivelare questi fotoni<br />
gamma <strong>di</strong> altissime energie, ma quali e quanti nuovi oggetti celesti è ancora possibile scoprire? Gli<br />
strumenti <strong>di</strong> frontiera per tale stu<strong>di</strong>o sono i telescopi gamma, sensibili alle sorgenti più energetiche<br />
dell’Universo.<br />
I raggi gamma sono quanti <strong>di</strong> luce <strong>di</strong> altissima energia [2]. Nei collassi gravitazionali che avvengono<br />
nei centri delle galassie, dove gran<strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> materia sono <strong>di</strong>vorate, vengono prodotti raggi gamma<br />
con energie anche mille miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> volte più gran<strong>di</strong> della luce visibile. Un fenomeno spettacolare (e<br />
relativamente frequente) è quello dei “lampi gamma” o Gamma Ray Bursts (GRB): per pochi secon<strong>di</strong><br />
una sorgente emette un’energia gamma che, se irra<strong>di</strong>ata isotropicamente, è confrontabile con quella<br />
dell’Universo intero. Fortunatamente per la nostra salute, l’atmosfera assorbe molto bene questo tipo<br />
<strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione, consentendo l’esistenza degli esseri viventi <strong>sulla</strong> superficie terrestre; allo stesso tempo,<br />
però, questo schermo rende molto <strong>di</strong>fficile l’osservazione dei raggi gamma.<br />
La tecnologia necessaria per la rivelazione dei raggi gamma è stata sviluppata solo negli ultimi<br />
anni, seguendo due <strong>di</strong>stinte metodologie <strong>di</strong> osservazione: da terra, con l’impiego <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> rivelatori<br />
Čerenkov (specchi focalizzati, Fig. 6.a), e dall’esterno dell’atmosfera, me<strong>di</strong>ante appositi strumenti<br />
montati su satelliti (Fig. 6.b) [3].<br />
Fig. 6.a - Il telescopio MAGIC, un rivelatore per raggi gamma da terra. Fig. 6.b - Il satellite GLAST, un rivelatore per<br />
raggi gamma in orbita.<br />
La tecnica Čerenkov si basa <strong>sulla</strong> rivelazione della ra<strong>di</strong>azione caratteristica emessa dalle particelle<br />
cariche che attraversano l’atmosfera a velocità superiore a quella della luce. Quando vengono assorbiti<br />
nell’alta atmosfera, i raggi gamma provenienti dallo spazio danno origine infatti a sciami <strong>di</strong> particelle<br />
secondarie in grado <strong>di</strong> produrre questo segnale, che è l’analogo ottico del bang supersonico per le
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 15<br />
onde sonore (Fig. 7.a). Il lampo Čerenkov viaggia verso terra nella <strong>di</strong>rezione dello sciame e, benché<br />
<strong>di</strong> debole intensità, può essere rivelato da opportuni telescopi, detti IACT (Imaging Air Čerenkov<br />
Telescopes). Tra gli esperimenti attualmente in funzione che sfruttano tale tecnica spiccano le collaborazioni<br />
MAGIC, HESS, CANGAROO e VERITAS (i cosiddetti “Big Four”, Fig. 7.b).<br />
Fig. 7.a - Schema della formazione del segnale<br />
Čerenkov a partire da un raggio gamma.<br />
Fig. 8.a - Un particolare dello specchio parabolico<br />
composto <strong>di</strong> MAGIC.<br />
Fig. 7.b - “The Big Four”, i maggiori telescopi IACT attualmente in funzione.<br />
Il rivelatore MAGIC (Major Atmospheric Gamma Imaging Čerenkov telescope [4,5]), frutto <strong>di</strong> una<br />
collaborazione internazionale con partner principali in Italia, Germania e Spagna, si trova sull’isola<br />
<strong>di</strong> La Palma (Canarie) ed è attivo dal 2004. Con i suoi 17 metri <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro è attualmente il telescopio<br />
dotato del più grande specchio al mondo. Tale superficie riflettente è costituita da quasi 1000<br />
specchi quadrati <strong>di</strong> alluminio a curvatura variabile (Fig. 8.a) per ottenere un profilo parabolico (la<br />
tecnologia è stata sviluppata appositamente in Italia) e serve per raccogliere la luce Čerenkov prodotta<br />
dallo sciame e focalizzarla su una matrice <strong>di</strong> fotomoltiplicatori (camera) posta nel piano focale dello<br />
specchio. Il segnale così ottenuto, della durata <strong>di</strong> qualche nanosecondo appena, viene registrato ed<br />
analizzato, permettendo <strong>di</strong> ricostruire una “fotografia” che identifica il raggio gamma (o <strong>di</strong> altro tipo)<br />
all’origine dello sciame (Fig. 8.b). All’esperimento partecipa un gruppo u<strong>di</strong>nese formato da cinque<br />
ricercatori e sette studenti <strong>di</strong> dottorato.<br />
Fig. 8.b - L’immagine del segnale <strong>di</strong> un raggio gamma ricostruita dalla<br />
camera MAGIC .
16 Capitolo 1. Ricerche<br />
MAGIC ha anche un’altra notevole proprietà, legata alla<br />
leggerezza della struttura in fibra <strong>di</strong> carbonio e al sistema<br />
<strong>di</strong> controllo attivo degli specchi: è la sua velocità <strong>di</strong> posizionamento,<br />
che permette <strong>di</strong> puntare il telescopio verso un<br />
punto preciso del cielo in poche decine <strong>di</strong> secon<strong>di</strong>, osservando<br />
così anche fenomeni altamente variabili nel tempo<br />
e <strong>di</strong> breve durata. Per sfruttare al meglio tale caratteristica,<br />
MAGIC è in costante contatto con la rete <strong>di</strong> satelliti GCN,<br />
che comunica a terra in tempo reale l’arrivo <strong>di</strong> un GRB (Fig.<br />
9). Ciò ha permesso nel 2005, per la prima volta al mondo,<br />
<strong>di</strong> osservare un GRB per circa 30 secon<strong>di</strong> simultaneamente<br />
al satellite con sufficiente sensibilità ad alta energia.<br />
Una possibilità ulteriore <strong>di</strong> osservare i raggi gamma da<br />
terra è la tecnica EAS (Extensive Air Shower), che rivela<br />
le particelle cariche degli sciami prodotti in atmosfera con<br />
rivelatori estesi posti in montagna ad alta quota: è il caso<br />
Fig. 9 - La rete GCN della NASA, che funge da<br />
sistema <strong>di</strong> allerta per l’arrivo dei GRB.<br />
<strong>di</strong> esperimenti come ARGO [6] o MILAGRO [7] (Fig. 10.b). La tecnica EAS presenta una soglia<br />
in energia molto alta (circa 500 GeV), e risulta quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> limitata utilità date le caratteristiche delle<br />
sorgenti gamma, a meno <strong>di</strong> non passare a <strong>di</strong>mensioni superiori (Fig. 10.a).<br />
Fig. 10.a - Un confronto tra le tecniche <strong>di</strong><br />
rivelazione <strong>di</strong> raggi gamma da terra.<br />
Fig. 10.b - Un’immagine dei rivelatori gamma in Tibet (sopra) e <strong>di</strong> MILAGRO<br />
(sotto).<br />
Se lo stu<strong>di</strong>o dei raggi gamma da terra sfrutta in vari mo<strong>di</strong> gli sciami secondari prodotti nell’atmosfera,<br />
i rivelatori montati su satellite si basano su una <strong>di</strong>versa tecnologia, sviluppata negli scorsi decenni<br />
per gli esperimenti agli acceleratori: la conversione dei fotoni gamma <strong>di</strong> alta energia in coppie <strong>di</strong><br />
elettroni e positroni viene indotta in sottili fogli <strong>di</strong> materiale assorbente (tungsteno o piombo) alternati<br />
a strati <strong>di</strong> materiale sensibile al passaggio delle cariche (scintillatore o silicio). Il piccolo sciame<br />
(generalmente una coppia elettrone-antielettrone con qualche particella elettromagnetica terziaria) così<br />
prodotto viene tracciato all’interno <strong>di</strong> un rivelatore compatto, che consente <strong>di</strong> ricostruire la <strong>di</strong>rezione<br />
del raggio gamma incidente, quin<strong>di</strong> raccolto da un “calorimetro elettromagnetico” che permette <strong>di</strong><br />
misurarne l’energia (Fig. 11.a).<br />
AGILE (Astrorivelatore Gamma a Immagini Leggero [8]) è un rivelatore al silicio per raggi gamma:<br />
una missione scientifica dell’ASI tutta italiana in collaborazione tra i gruppi IASF-Istituto Nazionale <strong>di</strong><br />
Astro<strong>fisica</strong> (INAF) <strong>di</strong> Bologna, Milano e Roma e le sezioni dell’Istituto Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Nucleare<br />
(INFN) <strong>di</strong> Roma e Trieste. Il lancio <strong>di</strong> questo piccolo satellite dovrebbe avvenire nella primavera del
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 17<br />
2007 dal Satish Dhawan Space Centre in In<strong>di</strong>a. Le prestazioni e osservazioni <strong>di</strong> AGILE serviranno<br />
come importante banco <strong>di</strong> prova per le missioni successive, tra le quali GLAST [9,10] occupa un<br />
posto <strong>di</strong> prima importanza.<br />
Fig. 11.a - Uno schema <strong>di</strong> AGILE, un innovativo rivelatore per raggi gamma. Fig. 11.b - L’integrazione <strong>di</strong> AGILE sul satellite<br />
che lo porterà in orbita.<br />
L’osservatorio spaziale GLAST (Gamma ray Large Area Space Telescope, Fig. 12.a) nasce da una<br />
collaborazione tra Stati Uniti, Italia, Francia, Svezia e Giappone. Il satellite verrà messo in orbita<br />
dalla NASA alla fine del 2007; a bordo vi saranno due strumenti, il Large Area Telescope (LAT) ed<br />
il Gamma-ray Burst Monitor (GBM), che permetteranno <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are i raggi gamma da un’energia<br />
<strong>di</strong> circa 10 KeV fino a oltre i 300 GeV, un valore mai raggiunto da altri rivelatori su satellite: per le<br />
sue caratteristiche innovative, la missione è destinata a fornire contributi fondamentali allo sviluppo<br />
dell’astronomia gamma. Per l’Italia partecipano i gruppi <strong>di</strong> Bari, Perugia, Padova, Pisa, Trieste e<br />
U<strong>di</strong>ne, responsabili dello sviluppo e della costruzione del LAT e <strong>di</strong> parte del software (simulazione<br />
ed event <strong>di</strong>splay).<br />
Fig. 12.a - Il satellite GLAST.<br />
Gli obiettivi scientifici principali <strong>di</strong> GLAST sono:<br />
- la comprensione del meccanismo <strong>di</strong> accelerazione delle particelle nei nuclei galattici attivi (AGN),<br />
nelle Pulsar e nel relitti <strong>di</strong> supernova (SNR): per questo, già nei primi due anni <strong>di</strong> osservazione<br />
GLAST osserverà più <strong>di</strong> 100 sorgenti extra-galattiche e migliaia <strong>di</strong> sorgenti galattiche;
18 Capitolo 1. Ricerche<br />
- un’accurata mappatura del cielo nella banda dei raggi gamma, incluse le sorgenti non identificate e<br />
l’emissione <strong>di</strong>ffusa dalla Via Lattea. Il LAT permetterà <strong>di</strong> localizzare sorgenti gamma non identificate<br />
in altre lunghezze d’onda con una precisione inferiore al minuto <strong>di</strong> grado;<br />
- lo stu<strong>di</strong>o ad alta energia dei GRB e <strong>di</strong> altri fenomeni transienti: GLAST permetterà <strong>di</strong> rivelare circa<br />
200 GRB all’anno con una localizzazione dell’or<strong>di</strong>ne del minuto <strong>di</strong> grado e <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are emissioni<br />
ritardate ad alta energia;<br />
- l’indagine <strong>sulla</strong> natura della materia oscura, con la ricerca <strong>di</strong> possibili deca<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> particelle<br />
esotiche nell’Universo primor<strong>di</strong>ale e <strong>di</strong> processi <strong>di</strong> annichilazione <strong>di</strong> particelle <strong>di</strong> materia oscura<br />
nell’alone della Via Lattea.<br />
Il cuore dello strumento è il LAT, formato<br />
da 16 torri <strong>di</strong> strip <strong>di</strong> silicio alternate a fogli<br />
<strong>di</strong> tungsteno per il tracciamento dei raggi<br />
gamma, seguite da un calorimetro in cristalli<br />
<strong>di</strong> ioduro <strong>di</strong> cesio per la misura dell’energia<br />
depositata dagli elettroni. L’intero rivelatore,<br />
schermato da una copertura <strong>di</strong> scintillatore<br />
per identificare e ridurre il fondo nel segnale<br />
dovuto a raggi cosmici <strong>di</strong> altro tipo, ha un<br />
peso <strong>di</strong> circa 3 tonnellate (Fig. 12.b).<br />
L’università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne, assieme agli atenei <strong>di</strong><br />
Padova, Pisa, Bari e Roma, partecipa attivamente<br />
sia alla collaborazione MAGIC che a<br />
GLAST. Il gruppo <strong>di</strong> astro<strong>fisica</strong> gamma <strong>di</strong><br />
Fig. 12.b - Una rappresentazione schematica del rivelatore LAT.<br />
U<strong>di</strong>ne si occupa specificamente della parte<br />
informatica <strong>di</strong> GLAST, ma va anche ricordato<br />
che gran parte <strong>di</strong> questo satellite, basato su<br />
<strong>di</strong>spositivi rivelatori a semiconduttore, è costruita da un’industria friulana <strong>di</strong> Cormons. Il gruppo è<br />
inoltre responsabile dell’acquisizione dei dati provenienti da MAGIC, e un fisico <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne (Alessandro<br />
De Angelis) è responsabile scientifico dell’esperimento.<br />
L’astro<strong>fisica</strong> gamma è una scienza in esplosione:<br />
negli ultimi cinque anni il numero <strong>di</strong><br />
sorgenti <strong>di</strong> altissima energia (oltre i 100 GeV)<br />
è più che decuplicata, e in una mappa celeste<br />
cominciano a <strong>di</strong>segnarsi il piano galattico e<br />
gli emettitori extragalattici (Fig. 13). Recentemente<br />
sono state scoperte anche nuove classi<br />
<strong>di</strong> emettitori gamma, come le binarie perio<strong>di</strong>che<br />
[11].<br />
Le collaborazioni HESS e MAGIC hanno<br />
inoltre rivelato una spettacolare emissione Fig. 13 - Una mappa delle sorgenti gamma.<br />
<strong>di</strong> fotoni gamma <strong>di</strong> altissima energia dalle<br />
vicinanze del buco nero nel centro galattico.<br />
Non si può escludere che questo segnale sia la prima evidenza <strong>di</strong> annichilazione <strong>di</strong> materia oscura,<br />
anche se questa regione è ricca <strong>di</strong> emettitori gamma <strong>di</strong> natura astro<strong>fisica</strong>, che potrebbero generare<br />
fotoni gamma con le stesse caratteristiche <strong>di</strong> quelli osservati. La massa della particella che potrebbe<br />
spiegare un segnale come quello osservato è dell’or<strong>di</strong>ne della decina <strong>di</strong> TeV, più alto <strong>di</strong> quello preferito<br />
dai modelli attuali (Fig. 14).
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 19<br />
Fig. 14 - A sinistra l’immagine gamma del Centro della Galassia (GC) ripresa da MAGIC; è visibile la regione<br />
del buco nero. A destra lo spettro <strong>di</strong> energia dei fotoni rivelati da MAGIC e HESS, confrontato con un’ipotesi<br />
<strong>di</strong> WIMP supersimmetrica <strong>di</strong> massa 14 TeV.<br />
Inoltre altre galassie vicine, per le quali il moto delle stelle sembra incompatibile con la <strong>di</strong>stribuzione<br />
della materia visibile, sono state stu<strong>di</strong>ate da MAGIC; la misura è <strong>di</strong>fficile in quanto richiede <strong>di</strong> accumulare<br />
molti dati a causa dell’attenuazione del segnale con la <strong>di</strong>stanza. I primi risultati <strong>sulla</strong> galassia<br />
nana sferoidale Draco, satellite della Via Lattea, non rivelano segnali, mentre una presa dati lunga e<br />
accurata è in corso <strong>sulla</strong> ra<strong>di</strong>ogalassia M87, un ottimo can<strong>di</strong>dato a causa <strong>di</strong> anomalie gravitazionali<br />
ivi osservate.<br />
Le misure descritte in precedenza sono abbastanza “<strong>di</strong>rette”, in quanto evidenziano i prodotti secondari<br />
dell’annichilazione delle particelle <strong>di</strong> materia oscura. I telescopi gamma consentono anche una misura<br />
in<strong>di</strong>pendente, seppure in<strong>di</strong>retta, della quantità <strong>di</strong> materia oscura, e anche dell’ancora più misteriosa<br />
“energia oscura” che controlla l’evoluzione dell’Universo governandone l’espansione. Tale misura<br />
si basa sul fatto che fotoni gamma provenienti da regioni lontanissime, come quelli che arrivano<br />
dai collassi gravitazionali nei nuclei delle galassie, viaggiano per centinaia <strong>di</strong> milioni <strong>di</strong> anni in uno<br />
spazio che si deforma; tale deformazione, misurabile dalle caratteristiche della <strong>di</strong>ffusione dei fotoni,<br />
è legata alla densità <strong>di</strong> materia e <strong>di</strong> energia dell’Universo.<br />
I prossimi anni saranno cruciali per l’astro<strong>fisica</strong><br />
gamma, che promette <strong>di</strong> essere la<br />
chiave per scoperte fondamentali nel prossimo<br />
decennio. Un secondo telescopio MAGIC è<br />
in costruzione a circa 80 m <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza dal<br />
primo per consentire una visione stereoscopica;<br />
l’INFN e le università italiane consorziate<br />
sono responsabili dell’ottica (per la quale<br />
verrà usata una tecnologia ancora più avanzata<br />
rispetto a quella del primo telescopio,<br />
sempre legata all’industria italiana, e che si<br />
giova <strong>di</strong> un importante contributo da parte<br />
dell’INAF) e <strong>di</strong> parte dell’elettronica e del<br />
sistema <strong>di</strong> acquisizione e trattamento in linea<br />
dei dati. Questo secondo telescopio, chiamato<br />
MAGIC2 (Fig. 15), raddoppierà la sensibilità<br />
e migliorerà la precisione <strong>di</strong> imaging fino<br />
Fig. 15 - Il telescopio MAGIC è sullo sfondo, e in primo piano il<br />
suo gemello in costruzione.
20 Capitolo 1. Ricerche<br />
a consentire <strong>di</strong> risolvere particolari all’interno degli emettitori gamma galattici. È particolarmente<br />
urgente che il finanziamento <strong>di</strong> questo telescopio, il cui progetto è già stato approvato, sia presto<br />
completato, per terminare la costruzione entro il 2007 e potersi giovare della sinergia con GLAST.<br />
In seguito le collaborazioni MAGIC e HESS si uniranno per costruire due gigantesche matrici <strong>di</strong><br />
telescopi, chiamate Cerenkov Telescope Array (CTA), la cui sensibilità dovrebbe superare <strong>di</strong> oltre un<br />
or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza quella <strong>di</strong> MAGIC e <strong>di</strong> HESS. Per questa nuova impresa la tecnologia scelta, simile<br />
a quella utilizzata attualmente, verrà replicata su decine <strong>di</strong> strumenti in due siti, uno per emisfero.<br />
L’Italia ha già avuto, con le componenti legate all’INFN e all’INAF, la responsabilità dell’ottica per<br />
questo progetto. C’è speranza tuttavia <strong>di</strong> introdurre anche nuove tecnologie che potrebbero cambiare<br />
il concetto stesso <strong>di</strong> telescopio utilizzando ottiche <strong>di</strong> Fresnel in trasmissione per concentrare la luce:<br />
ancora una volta l’Italia è all’avanguar<strong>di</strong>a nelle ricerche in questo campo, e il gruppo <strong>di</strong> astro<strong>fisica</strong><br />
<strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne svolge un contributo rilevante al data processing e alla stesura della proposta, con Massimo<br />
Persic come coor<strong>di</strong>natore scientifico.<br />
Negli anni successivi al 2010÷2015 le informazioni raccolte dai telescopi gamma potrebbero aprire<br />
la strada ai gran<strong>di</strong> rivelatori <strong>di</strong> neutrini cosmici (ICECUBE al polo sud [12] e un rivelatore marino in<br />
costruzione nel me<strong>di</strong>terraneo) e <strong>di</strong> onde gravitazionali (il sistema <strong>di</strong> satelliti NASA chiamato LISA<br />
[13]).<br />
Bibliografia:<br />
[1] Rossi B. (1971) “I raggi cosmici”, Einau<strong>di</strong>, Torino.<br />
[2] NASA, “Imagine the Universe: Gamma Rays”, http://imaginingsfc.nasa.gov/<br />
[3] Aharonian F. (2006) “The Very-High-Energy Gamma-Ray Sky”, Science 315, 70.<br />
[4] De Angelis A. e Peruzzo L. (2007). “Le magie del telescopio MAGIC”, Le Scienze, pp. 64-73.<br />
[5] Sito MAGIC: http://magic.<strong>fisica</strong>.uniud.it<br />
[6] Sito ARGO: http://argo.na.infn.it/<br />
[7] Sito MILAGRO: http://www.lanl.gov/milagro/<br />
[8] Sito AGILE: http://agile.rm.iasf.cnr.it/<br />
[9] Sito GLAST: http://glast.gsfc.nasa.gov/ (con una bella brochure scientifica)<br />
[10] Sito GLAST Italia: http://glast.pi.infn.it/ (con una buona sezione <strong>di</strong> outreach)<br />
[11] Albert J. et al. (2006) (The MAGIC Collaboration), Science 312, p. 1771.<br />
[12] Sito IceCube: http://icecube.wisc.edu/<br />
[13] Sito LISA: http://lisa.nasa.gov/
ASTROFISICA GAMMA E FUTURO DELL’UNIVERSO 1<br />
Valeria Scapin<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Una delle scoperte scientifiche più importanti e esaltanti del XX secolo, è che l’Universo si sta espandendo.<br />
La legge <strong>di</strong> Hubble afferma che le galassie si allontanano tra loro con una velocità che è proporzionale<br />
alla loro <strong>di</strong>stanza.<br />
Il fatto che lo spazio in cui viviamo si stia espandendo ha portato alla formulazione della teoria del<br />
big bang. Chi non ha mai sentitio parlare <strong>di</strong> questa teoria, secondo la quale l’Universo alla sua origine<br />
avrebbe dovuto occupare un volume piccolissimo e dalla quale è possible calcolare l’età dell’Universo?<br />
Estrapolando infatti in<strong>di</strong>etro nel tempo l’espansione è infatti possible risalire a quando tempo fa<br />
sarebbe iniziata e dare all’Universo un’età che risulta essere pari a circa 14 miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> anni.<br />
Pensando al principio dell’Universo viene spontaneo porsi una domanda anche sul suo destino: l’Universo<br />
si espanderà all’infinito oppure prima o poi inizierà una progressiva contrazione?<br />
La risposta a questa domanda <strong>di</strong>pende dall’attrazione gravitazionale esercitata dalla materia presente,<br />
e quin<strong>di</strong> dal contenuto totale <strong>di</strong> materia dell’Universo.<br />
Per fare un bilancio <strong>di</strong> tale materia è necessario riuscire a stu<strong>di</strong>are le regioni più lontane, nel tempo<br />
e nello spazio, capire cos’è successo relativamente vicino al big bang.<br />
Nell’espansione dello spazio molti processi fisici avrebbero cambiato la struttura della realtà.<br />
In particolare l’Universo, compiendo lavoro a spese della propria energia interna, deve essersi raffreddato.<br />
All’origine sarebbe stato molto più caldo, realizzando transizioni che oggi non riusciamo a ritrovare<br />
neppure nel centro delle stelle o nei gran<strong>di</strong> acceleratori <strong>di</strong> particelle o nei più avveniristici prototipi<br />
<strong>di</strong> generatori <strong>di</strong> energia nucleare.<br />
Fig. 1. Spettro elettromagnetico e corrispondente finestra osservativa per varie tipologie <strong>di</strong> rivelatori. La linea continua nello<br />
schema inferiore in<strong>di</strong>ca l’altezza alla quale ogni classe <strong>di</strong> rivelatori può ricevere metà della ra<strong>di</strong>azione totale prodotta per una<br />
particolare lunghezza d’onda.<br />
(1) Completamento <strong>di</strong> Alessandro De Angelis, Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne
22 Capitolo 1. Ricerche<br />
Per indagare l’Universo in queste estreme ”con<strong>di</strong>zioni estreme” dobbiamo osservare gli oggetti astrofisici<br />
e le particelle delle regioni a noi più lontane. Dallo stu<strong>di</strong>o del moto delle galassie lontane viene<br />
la provo dell’esitenza <strong>di</strong> oggetti e forme <strong>di</strong> material dominanti rispetto a quelli già conosciuti. Naturale<br />
è chiedersi quali e quanti nuovi oggetti potranno essere scoperti.<br />
Gli strumenti più avveniristici per tale stu<strong>di</strong>o sono i telescopi gamma, in grado <strong>di</strong> “vedere” le sorgenti<br />
più energetiche dell’Universo.<br />
I telescopi gamma vanno ad osservare i raggi gamma, quanti <strong>di</strong> luce <strong>di</strong> altissima energia.<br />
Pur essendo noti i meccanismi con i cui i raggi gamma, una volta prodotti, interagiscono con la material,<br />
poco noti risultano i processi che permettono <strong>di</strong> accelerarli fino alle alte energie con cui vengono<br />
osservati.<br />
La sfida dell’astronomia gamma è quella <strong>di</strong> osservare e stu<strong>di</strong>are in dettaglio l’emissione <strong>di</strong> raggi<br />
gamma prodotti da sorgenti astrofisiche come resti <strong>di</strong> supernovae, nuclei galattici attivi e gamma ray<br />
bursts (lampi <strong>di</strong> raggi gamma). Quello dei gamma ray burst è un fenomeno spettacolare e altamente<br />
energetico: circa una volta al giorno da qualche parte nel nostro Universo un lampo <strong>di</strong> raggi gamma<br />
ad altissime energie si accende per un breve intervallo <strong>di</strong> tempo (possono durare da pochi decimi <strong>di</strong><br />
secondo a minuti). Un gamma ray burst è in grado <strong>di</strong> rilasciare in questo breve tempo una quantità<br />
<strong>di</strong> energia comparabile con quella dell’Universo intero!<br />
L’osservazione dei raggi gamma <strong>di</strong> alta energia richiede l’utilizzo <strong>di</strong> tecnologie molto complicate e<br />
avanzate, in quanto l’atmosfera funge da assorbitore per questa ra<strong>di</strong>azione.<br />
I raggi gamma possono essere rivelati in maniera <strong>di</strong>retta da rivelatori posti su satellite o in maniera<br />
in<strong>di</strong>retta dai telescopi Cherenkov, che stu<strong>di</strong>ano la luce Cherenkov emessa dagli sciami atmosferici<br />
indotti dai gamma.<br />
Fig 2. I due telescopi MAGIC sull’isola de La Palma, nelle Canarie.<br />
Il sistema <strong>di</strong> telescopi a raggi gamma Magic (Major Atmospheric Gamma Imaging Cherenkov) ha<br />
la più grande superficie riflettente al mondo costituita da due parabole <strong>di</strong> 17 metri <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro e 240<br />
metri quadrati <strong>di</strong> superficie ciascuna. Magic è una collaborazione internazionale <strong>di</strong> 150 scienziati provenienti<br />
principalmente da Germania, Italia e Spagna. Per l’Italia collaborano l’Istituto nazionale <strong>di</strong><br />
<strong>fisica</strong> nucleare (Infn), l’Istituto nazionale <strong>di</strong> astro<strong>fisica</strong> (Inaf) e le Università <strong>di</strong> Padova, Siena e U<strong>di</strong>ne.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 23<br />
Magic stu<strong>di</strong>a, in particolare, l’origine dei raggi cosmici, la formazione degli oggetti più antichi dell’universo,<br />
la materia oscura e la geometria spazio-temporale del cosmo. Le osservazioni compiute finora<br />
hanno portato alla scoperta <strong>di</strong> una ventina <strong>di</strong> nuove sorgenti <strong>di</strong> altissima energia e allo stu<strong>di</strong>o delle<br />
proprietà del buco nero al centro della nostra galassia.<br />
Fig 3. Rappresentazione grafica del telescopio Fermi.<br />
Il telescopio a raggi gamma Glast, ribattezzato Fermi in onore del premio Nobel italiano, per un<br />
sesto è stato costruito dall’industria friulana. Il progetto è frutto <strong>di</strong> una collaborazione fra astrofisici<br />
e fisici delle particelle sviluppata dalla Nasa e dal <strong>di</strong>partimento dell’Energia americano, con il<br />
contributo <strong>di</strong> istituzioni accademiche in Italia, Francia, Giappone, Germania e Svezia. Per il nostro<br />
Paese collaborano a Fermi, oltre a U<strong>di</strong>ne, le se<strong>di</strong> universitarie e dell’Infn <strong>di</strong> Bari, Padova, Perugia,<br />
Pisa, Roma e Trieste.<br />
Grazie alle rilevazioni compiute con questo telescopio è possibile <strong>di</strong>segnare la mappa dell’universo<br />
in una regione ad altissima energia, una regione finora sconosciuta in cui si ritiene possano trovarsi<br />
nuovi oggetti che potrebbero cambiare la nostra visione della natura. Glast è stato lanciato in orbita<br />
nel giugno 2007 dalla base Nasa <strong>di</strong> Cape Canaveral in Florida. Gira attorno alla Terra a una altezza<br />
me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 565 chilometri e compie un’orbita in 95 minuti.<br />
Ora che son completamente operativi telescopi Cherenkov a terra e telescopi gamma su satellite si<br />
è aperta un’emozionante era per l’astro<strong>fisica</strong> gamma. Una osservazione congiunta da parte <strong>di</strong> questi<br />
telescopi permette <strong>di</strong> osservare I fenomeni astrofisici <strong>di</strong> più alta energia in un’ampia banda elettromagnetica<br />
e <strong>di</strong> poter apportare fondamentali contributi in settori scientifici quali l’astro<strong>fisica</strong> delle<br />
alte energie, la <strong>fisica</strong> delle particelle e la cosmologia.
24 Capitolo 1. Ricerche<br />
Fig 4. La mappa del “cielo gamma” vista da Fermi. L’immagine è una trasposizione grafica realizzata al computer, in quanto i<br />
segnali gamma sono esterni alla regione visibile.
LHC E L’ESPERIMENTO ATLAS: ALLE ORIGINI DELLA MATERIA<br />
Marina Cobal<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Introduzione<br />
Ogni singolo elemento nell’Universo è composto da un certo numero <strong>di</strong> costituenti fondamentali, i<br />
cosiddetti “mattoni” della materia: alcune <strong>di</strong> queste particelle sono scomparse miliardesimi <strong>di</strong> secondo<br />
dopo il Big Bang, altre sono presenti a tutt’oggi e formano la materia che ci circonda. La <strong>fisica</strong> delle<br />
particelle è un settore che stu<strong>di</strong>a questi costituenti fondamentali ed il modo in cui interagiscono per<br />
formare l’Universo come lo conosciamo.<br />
La parola atomo viene dal greco, e significa “in<strong>di</strong>visibile”. Oggi però sappiamo che un atomo, seppur<br />
estremamente piccolo (si possono allineare 10.0000 atomi <strong>sulla</strong> lunghezza <strong>di</strong> un capello!) è fatto<br />
<strong>di</strong> elettroni, protoni e neutroni. Neutroni e protoni -che costituiscono il nucleo dell’atomo -hanno<br />
circa lo stesso peso. L’elettrone è molto più piccolo: la proporzione fra il nucleo e l’elettrone è la<br />
stessa <strong>di</strong> una biglia posta al centro <strong>di</strong> un campo <strong>di</strong> calcio. In termini <strong>di</strong> peso, se un elettrone pesasse<br />
quanto una monetina da 5 centesimi <strong>di</strong> euro, un protone peserebbe quasi quanto 4 litri <strong>di</strong> latte! La<br />
<strong>fisica</strong> delle particelle va a stu<strong>di</strong>are ciò <strong>di</strong> cui è formato un atomo: le ricerche in <strong>fisica</strong> delle particelle<br />
degli ultimi decenni hanno permesso <strong>di</strong> avere un quadro molto semplice e sod<strong>di</strong>sfacente dei costituenti<br />
elementari: il cosiddetto Modello Standard. Secondo il Modello Standard i “mattoni” <strong>di</strong> tutto<br />
l’Universo sono do<strong>di</strong>ci, raggruppati in tre famiglie. Ogni famiglia contiene due quark e due leptoni,<br />
come mostrato in Fig. 1. L’elettrone è uno dei costituenti elementari. Protoni e neutroni non lo sono<br />
invece, ma sono a loro volta formati da quark.<br />
Fig. 1. I 12 costituenti elementari della materia secondo il Modello Standard. Ogni riga rappresenta una famiglia.<br />
I leptoni sono <strong>di</strong> sei <strong>di</strong>versi tipi: l’elettrone (e), il neutrino-elettrone, il muone (mu), il neutrino muone,<br />
il tau ed il neutrino-tau. L’elettrone, il muone, e il tau hanno tutti carica elettrica negativa (-1), e sembrano<br />
<strong>di</strong>fferire l’uno dall’altro solo per avere masse <strong>di</strong>verse. Se esprimiamo le masse in rapporto alla<br />
massa del protone, otteniamo che l’elettrone è 1836 volte più leggero, il muone è 9 volte più leggero<br />
e il tau è quasi 2 volte più pesante del protone. Ad ogni particella e, mu e tau è associata una particella<br />
detta neutrino che non trasporta alcuna carica elettrica. La massa dei neutrini è molto piccola:<br />
sono le particelle più leggere del Modello Standard. I leptoni più pesanti, i mu ed i tau, si trasformano<br />
velocemente (“decadono”) in leptoni più leggeri. I fisici hanno osservato molti <strong>di</strong> questi deca<strong>di</strong>menti<br />
ed hanno scoperto che le regole secondo le quali queste particelle decadono possono essere<br />
spiegate se si <strong>di</strong>vidono i leptoni in tre famiglie o generazioni: l’elettrone ed il suo neutrino, il muone<br />
ed il suo neutrino, il tau ed il suo neutrino. Nel processo <strong>di</strong> trasformazione <strong>di</strong> un leptone, il numero<br />
dei membri <strong>di</strong> ogni famiglia prima e dopo la trasformazione deve restare costante. Lo schema dei<br />
quark è molto simile a quello dei leptoni. Anche i quark si presentano in sei <strong>di</strong>verse varietà: up (u),<br />
down (d), strange (s), charm (c), bottom (b), e top (t), in or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> massa crescente. Ponendo uguale<br />
ad uno la carica <strong>di</strong> un elettrone, i quark up, charm e top hanno una carica <strong>di</strong> -2/3, mentre i quark<br />
down, strange e bottom hanno una carica <strong>di</strong> 1/3. Anche i quark si presentano in tre famiglie organiz-
26 Capitolo 1. Ricerche<br />
zate per massa crescente. Posta uguale ad 1 la massa del protone, il quark up ha massa pari a circa<br />
1/235, il quark down 1/135, il quark strange 1/6, il quark charm 1,6, il quark bottom 5,2 e il quark<br />
top 170. Ad ogni “mattone” della materia, nel Modello Standard è associata una corrispondente antiparticella,<br />
che costituisce uno dei mattoni dell’antimateria. Una antiparticella è caratterizzata dalla<br />
stessa massa della particella corrispondente, ma da numeri quantici, come carica elettrica o numero<br />
barionico, ecc. opposti. Ad esempio, il positrone, antiparticella dell’elettrone, ha la sua stessa massa,<br />
ma carica elettrica opposta. Alcune particelle, come il fotone, hanno carica elettrica ed altri numeri<br />
quantici tutti nulli. In questi casi, particella ed antiparticella coincidono. Ciò non è vero per tutte<br />
le particelle elettricamente neutre. Così l’antineutrone ed il neutrone sono particelle <strong>di</strong>verse poiché<br />
hanno numero barionico <strong>di</strong>verso da zero.<br />
Particelle ed anti-particelle interagiscono tra <strong>di</strong> loro me<strong>di</strong>ante delle forze. Il Modello Standard descrive<br />
tre forze fondamentali: la forza nucleare forte, che tiene insieme i quark all’interno <strong>di</strong> protoni e neutroni,<br />
ed anche gli stessi protoni e neutroni all’interno del nucleo; la forza debole, responsabile dei<br />
deca<strong>di</strong>menti ra<strong>di</strong>oattivi ed alla base della fusione nucleare che fa splendere le stelle; la forza elettromagnetica,<br />
che tiene gli elettroni legati al nucleo nell’atomo ed è responsabile dei fenomeni elettrici<br />
e magnetici. Le forze che agiscono fra i costituenti della materia si manifestano attraverso lo<br />
scambio <strong>di</strong> altre particelle, chiamate bosoni me<strong>di</strong>atori che vengono assorbite o omesse dalle particelle<br />
interagenti. Ad esempio, la forza elettromagnetica è il risultato del continuo scambio <strong>di</strong> fotoni,<br />
quella debole avviene attraverso lo scambio <strong>di</strong> bosoni chiamati W e Z, mentre la forza forte è me<strong>di</strong>ata<br />
dai gluoni. Nel Modello Standard queste tre forze sono unificate e descritte <strong>sulla</strong> base <strong>di</strong> relazioni<br />
<strong>di</strong> simmetria. C’è un’altra forza fondamentale che però non si riesce a descrivere all’interno del formalismo<br />
fisico matematico del Modello Standard: la forza <strong>di</strong> gravità, per la quale - a <strong>di</strong>fferenza delle<br />
altre tre forze - non è stata ancora verificata sperimentalmente l’esistenza <strong>di</strong> una particella me<strong>di</strong>atrice<br />
(gravitone). L’intensità relativa delle quattro forze fondamentali della natura può essere espressa in<br />
rapporto all’intensità della forza forte. Se poniamo l’intensità della forza forte uguale a 1, l’intensità<br />
della forza elettromagnetica, è circa un centesimo, l’intensità della forza debole è pari a 10-13 (dobbiamo<br />
immaginare <strong>di</strong> ridurre la forza forte <strong>di</strong> un milione <strong>di</strong> volte poi ancora <strong>di</strong> un milione <strong>di</strong> volte e<br />
poi ancora <strong>di</strong> <strong>di</strong>eci volte). L’intensità della gravità è 1038 volte minore della interazione elettromagnetica.<br />
Questo vuole <strong>di</strong>re che l’interazione forte è cento miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> miliar<strong>di</strong> <strong>di</strong> miliar<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> volte più intensa della gravità. Uno dei principali scopi della <strong>moderna</strong> <strong>fisica</strong> delle particelle è proprio<br />
capire come descrivere in un solo modello teorico queste quattro interazioni fondamentali.<br />
Il Modello Standard ipotizza anche l’esistenza <strong>di</strong> particelle non ancora osservate <strong>di</strong>rettamente, come<br />
il bosone <strong>di</strong> Higgs. La ricerca <strong>di</strong> questa particella è cruciale per la <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong>. Ad oggi, infatti,<br />
non sappiamo perché le particelle possiedono la fondamentale caratteristica che chiamiamo “massa”<br />
e che cosa ci sia all’origine della massa. Più <strong>di</strong> 40 anni fa, Peter Higgs, un fisico scozzese, ha proposto<br />
un meccanismo per spiegare il mistero dell’origine della massa delle particelle. Higgs ha ipotizzato<br />
che il vuoto contenga un onnipresente campo <strong>di</strong> forza che può “frenare” alcune particelle elementari,<br />
come la gelatina balistica frena un proiettile. Rallentare una particella significa farle acquisire<br />
una massa: questo campo <strong>di</strong> forza è generato da una particella che non è stata ancora osservata:<br />
il bosone <strong>di</strong> Higgs.<br />
Il Modello Standard, pur essendo stato confermato nelle sue previsioni da tutti gli esperimenti effettuati<br />
sino ad oggi, non è una teoria completa. Come già accennato, non include la forza <strong>di</strong> gravità ed<br />
inoltre lascia ancora molte domande senza risposta tra le quali: come era fatta la materia nei primi<br />
secon<strong>di</strong> <strong>di</strong> vita dell’Universo? Perchè i costituenti fondamentali della materia sono do<strong>di</strong>ci? E questi<br />
sono davvero fondamentali, o anch’essi sono composti da qualcosa <strong>di</strong> ancor più piccolo? Perchè<br />
viviamo in un mondo <strong>di</strong> materia e non <strong>di</strong> anti-materia?<br />
Gli acceleratori<br />
Per guardare all’interno del mondo sub-nucleare, caratterizzato da <strong>di</strong>mensioni infinitesime, e cercare<br />
<strong>di</strong> rispondere alle domande formulate poco prima, ed a molte altre, non sono sufficienti né i<br />
microscopi ottici, né i più moderni microscopi elettronici ma si utilizzano gli acceleratori <strong>di</strong> parti-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 27<br />
celle. Questi, permettono <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are i costituenti fondamentali della materia, milioni <strong>di</strong> milioni <strong>di</strong><br />
volte più piccoli delle strutture che possono essere stu<strong>di</strong>ate dai microscopi. I più potenti acceleratori<br />
esistenti sono i cosiddetti “collisori”. All’interno della loro struttura ad anello le particelle, tipicamente<br />
elettroni o protoni, vengono accelerate grazie a campi elettromagnetici, fino a raggiungere<br />
elevatissime energie. Le particelle viaggiano in due fasci che si muovono lungo l’anello in <strong>di</strong>rezioni<br />
opposte, e vengono quin<strong>di</strong> fatti scontrare in punti prestabiliti, dove sono installati gli esperimenti<br />
che si occupano <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are il prodotto delle collisioni. Nelle collisioni, l’energia delle particelle si<br />
trasforma in materia (si ricor<strong>di</strong> E=mc 2 ) e come conseguenza vengono generate particelle già note<br />
oppure non ancora scoperte.<br />
I rivelatori <strong>di</strong> particelle, costruiti intorno al punto dove avvengono le collisioni, permettono <strong>di</strong> identificare<br />
e stu<strong>di</strong>are le proprietà delle particelle prodotte negli urti, attraverso le interazioni <strong>di</strong> dette particelle<br />
con il materiale del quale è costituito il rivelatore, e ricercando la presenza <strong>di</strong> nuovi tipi <strong>di</strong> particelle.<br />
LHC<br />
Il Large Hadron Collider (LHC), raffigurato in Fig. 2 e 3 (a sinistra), è l’acceleratore <strong>di</strong> particelle<br />
più grande e potente finora realizzato, costruito al laboratorio CERN <strong>di</strong> Ginevra, in Svizzera. Potrà<br />
accelerare protoni e ioni pesanti fino al 99,9999991% della velocità della luce e farli successivamente<br />
scontrare, raggiungendo un’energia nel centro <strong>di</strong> massa pari a 14 TeV (Teraelettronvolt). Simili livelli<br />
<strong>di</strong> energia non sono mai stati raggiunti fino ad ora in laboratorio. LHC è costruito all’interno <strong>di</strong> un<br />
tunnel sotterraneo, lungo 27 km, alla profon<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> circa 100 m, al confine tra la Francia e la Svizzera.<br />
Ad ogni secondo, verranno prodotti 800 milioni <strong>di</strong> collisioni protone-protone, e ad ogni collisione<br />
migliaia <strong>di</strong> particelle saranno viste nei rivelatori. Il flusso <strong>di</strong> informazioni sarà allora comparabile<br />
con quello del traffico telefonico generato dalla popolazione mon<strong>di</strong>ale.<br />
La produzione delle particelle più interessanti, come la particella <strong>di</strong> Higgs, è molto rara. Si prevede<br />
Fig. 2. Schema dell’acceleratore LHC con i quattro esperimenti (a sinistra). Esperimento ATLAS (a destra).<br />
che ne sarà prodotta non più <strong>di</strong> una al giorno. L’LHC funzionerà grazie alla superconduttività con<br />
più <strong>di</strong> 1200 <strong>di</strong>poli magnetici superconduttori utilizzati per guidare il fascio, e tenuti alla incre<strong>di</strong>bile<br />
temperatura <strong>di</strong> -272 °C. Gigantesche caverne sono state scavate per ospitare i quattro esperimenti<br />
<strong>di</strong> LHC: ATLAS, CMS, ALICE e LHCb. I fasci <strong>di</strong> protoni verranno fatti collidere al centro <strong>di</strong> questi<br />
quattro esperimenti.<br />
Scoprire il bosone <strong>di</strong> Higgs è uno degli scopi principali <strong>di</strong> LHC ed, in particolare, dei due esperimenti<br />
ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS, Fig. 2 e Fig. 3 a destra) e CMS (Compact Muon Solenoid).<br />
Questa particella è stata già cercata in altri esperimenti precedenti, ad acceleratori meno potenti<br />
<strong>di</strong> LHC, ma nessuno è ancora riuscito ad osservarla. Il Modello Standard non fissa il valore della
28 Capitolo 1. Ricerche<br />
massa del bosone <strong>di</strong> Higgs, ma in<strong>di</strong>ca per essa soltanto un intervallo piuttosto ampio <strong>di</strong> valori possibili.<br />
Gli esperimenti finora effettuati, pur consentendo <strong>di</strong> stabilire che essa deve avere un valore contenuto<br />
tra poco più <strong>di</strong> 100 GeV/c 2 e 1.000 GeV/c 2 , non hanno esplorato questo intervallo <strong>di</strong> valori<br />
nella sua totalità. L’acceleratore LHC e gli esperimenti ATLAS e CMS sono stati progettati e realizzati<br />
in modo da garantire che l’Higgs possa essere scoperto ovunque sia posizionata la sua massa in<br />
tale intervallo. E nel caso in cui non venisse scoperto, i fisici dovrebbero sviluppare una teoria completamente<br />
nuova per spiegare l’origine delle masse delle particelle. Avere due esperimenti, progettati<br />
in<strong>di</strong>pendentemente e capaci <strong>di</strong> effettuare le stesse misure, è <strong>di</strong> cruciale importanza per una reciproca<br />
conferma dei risultati ottenuti. Questo è ancora più importante nel caso delle altre nuove scoperte<br />
che si attendono a LHC. L’Italia, grazie all’Istituto Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Nucleare (INFN) che<br />
finanzia questa ricerca, partecipa ad entrambi gli esperimenti con due grossi gruppi <strong>di</strong> circa 200 ricercatori<br />
e ha dato un contributo molto rilevante sia nella progettazione degli apparati sperimentali che<br />
nell’assunzione <strong>di</strong> responsabilità per la loro costruzione, coinvolgendo l’industria nazionale nelle<br />
fasi <strong>di</strong> <strong>di</strong>segno e <strong>di</strong> realizzazione.<br />
Qui <strong>di</strong> seguito ci occuperemo <strong>di</strong> ATLAS, in quanto il gruppo <strong>di</strong> ricerca <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne, è coinvolto da molti<br />
anni in questo esperimento.<br />
Fig. 3. Foto <strong>di</strong> una sezione dell’acceleratore LHC (a sinistra) e dell’esperimento ATLAS (a destra).<br />
ATLAS<br />
La collaborazione ATLAS è formata da 2900 scienziati (che includono 1000 studenti) da 172 <strong>di</strong>versi<br />
istituti o laboratori <strong>di</strong> 37 paesi. Tutti i moderni apparati sperimentali operanti presso collisionatori<br />
<strong>di</strong> particelle sono costituiti da strati <strong>di</strong> sotto-rivelatori, ciascuno specializzato per rivelare un particolare<br />
tipo <strong>di</strong> particella o una sua particolare proprietà, ed ATLAS non fa eccezione. I principali tipi<br />
<strong>di</strong> sotto-rivelatori utilizzati sono i rivelatori <strong>di</strong> tracce (o tracciatori), che “vedono” il percorso delle<br />
particelle cariche, i calorimetri, che misurano l’energia delle particelle, e i rivelatori per l’identificazione<br />
del tipo <strong>di</strong> particella. Altre componenti molto importanti, che costituiscono parti fondamentali<br />
<strong>di</strong> questo tipo <strong>di</strong> apparati, sono i magneti. Le particelle cariche che attraversano un campo magnetico<br />
assumono una traiettoria curva, e dalla curvatura si può risalire all’impulso (il prodotto <strong>di</strong> massa<br />
e velocità) della particella e alla sua carica elettrica.<br />
ATLAS (schematizzato in Fig. 4) è caratterizzato dal suo enorme sistema magnetico. Esso consiste <strong>di</strong><br />
otto avvolgimenti <strong>di</strong> cavo superconduttore a forma rettangolare, percorsi da elevate correnti, lunghi<br />
ben 25 m, alti circa 5 m e sistemati a raggiera attorno alla linea dei fasci. Al loro interno si genera un<br />
campo magnetico toroidale (così detto perché il volume magnetizzato ha la forma <strong>di</strong> un anello cilindrico),<br />
nel quale sono <strong>di</strong>sposti rivelatori in grado <strong>di</strong> “tracciare” le particelle. L’assenza <strong>di</strong> ferro che elimina<br />
il limite dovuto allo scattering multiplo (piccole deviazioni, dovute all’interazione con la materia,<br />
che perturbano la traiettoria “ideale” delle particelle) e la grande estensione del campo magnetico
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 29<br />
consentono una misura dell’impulso con ottima precisione. Altri due magneti toroidali forniscono in<br />
ATLAS il campo magnetico necessario alla misura delle particelle prodotte con un angolo piccolo<br />
rispetto alla linea dei fasci collidenti. Per la misura dell’impulso delle particelle cariche nel tracciatore<br />
interno è utilizzato un solenoide superconduttore che fornisce un campo magnetico <strong>di</strong> intensità<br />
pari a 2 Tesla: un valore 50.000 volte più intenso del campo magnetico terrestre.<br />
ATLAS ha sviluppato un calorimetro elettromagnetico ad Argon liquido e piombo <strong>di</strong> nuova concezione,<br />
con una geometria a “fisarmonica” che consente una buona uniformità e risoluzione spaziale.<br />
Fig. 4. L’esperimento ATLAS.<br />
Esso in<strong>di</strong>vidua, cioè, con buona precisione il punto <strong>di</strong> impatto del fotone o dell’elettrone sul calorimetro.<br />
La soluzione adottata per la misura <strong>di</strong> energia delle particelle sensibili alle interazioni forti, come<br />
protoni e pioni, nel settore centrale (la cosiddetta calorimetria adronica) è l’utilizzo <strong>di</strong> un calorimetro<br />
a lastre <strong>di</strong> scintillatore formate da un materiale plastico che emette luce se attraversato da particelle<br />
cariche, ed alternate ad assorbitori che inducono la produzione a valanga delle particelle secondarie,<br />
tanto più abbondante quanto maggiore è l’energia della particella iniziale. Anche per il tracciatore<br />
interno sono state scelte soluzioni molto simili: strati sovrapposti <strong>di</strong> rivelatori al silicio, con<br />
una sud<strong>di</strong>visione estremamente elevata (80 milioni <strong>di</strong> celle solo per il rivelatore a pixel <strong>di</strong> ATLAS),<br />
per permettere la misura <strong>di</strong> precisione dell’impulso delle particelle cariche e misurare i vertici secondari,<br />
ossia determinare dove avvengono i deca<strong>di</strong>menti delle particelle a vita me<strong>di</strong>a lunga (dell’or<strong>di</strong>ne<br />
del millesimo <strong>di</strong> miliardesimo <strong>di</strong> secondo!), come lo sono ad esempio alcune particelle contenenti il<br />
quark b (b come beauty, uno dei sei tipi <strong>di</strong> quark). Il tracciatore interno <strong>di</strong> ATLAS contiene inoltre<br />
un rivelatore a gas, il cosiddetto Transition Ra<strong>di</strong>ation Tracker, che ha la capacità <strong>di</strong> identificare gli<br />
elettroni me<strong>di</strong>ante i raggi X, che solo essi generano in questo rivelatore.<br />
Un complesso sistema <strong>di</strong> computer è stato installato per gestire le gran<strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> dati create da<br />
ATLAS. Un sistema <strong>di</strong> trigger selezionerà 100 “eventi interessanti” ogni secondo. tra 1000 milioni<br />
<strong>di</strong> eventi. Un sistema <strong>di</strong> acquisizione <strong>di</strong> dati convoglierà questi dati dai rivelatori alla struttura <strong>di</strong><br />
immagazzinamento e il sistema <strong>di</strong> computer analizzerà 1000 milioni <strong>di</strong> eventi registrati in un anno.
30 Capitolo 1. Ricerche<br />
Dal 20 Novembre 2009 LHC ha cominciato a funzionare e fino al 16 Dicembre sono stati presi dati,<br />
fino ad una energia nel centro <strong>di</strong> massa <strong>di</strong> 2.36 TeV, che è la più alta mai raggiunta da un acceleratore,<br />
seppure inferiore alla energia <strong>di</strong> 14 TeV che LHC deve raggiungere. In poche settimane sono<br />
state registrate dall’esperimento più <strong>di</strong> un milione <strong>di</strong> collisioni a 900 GeV e circa 50000 collisioni a<br />
2.36 TeV (si veda uno degli eventi registrati in Fig. 5). Nel Febbraio 2010, dopo il periodo <strong>di</strong> chiusura<br />
invernale, la macchina tornerà a funzionare - ad una energia ancora più alta - e dovrebbero arrivare<br />
i primi risultati interessanti.<br />
Fig. 5. Display <strong>di</strong> una delle prime collisioni protone-protone a 2.36 TeV registrate dall’esperimento ATLAS.<br />
Trovare il bosone <strong>di</strong> Higgs non è, però, l’unico scopo <strong>di</strong> ATLAS. Infatti, la <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> aspira<br />
a descrivere le quattro forze come aspetti <strong>di</strong>versi <strong>di</strong> un’unica forza fondamentale (proprio come la<br />
forza elettrica e la forza magnetica sono aspetti <strong>di</strong>versi della forza elettromagnetica). Un passo molto<br />
importante verso una formulazione unificata e consistente è fornito dalla teoria chiamata supersimmetria,<br />
proposta negli anni 70, e dalla supergravità. Queste teorie prevedono una completa simmetria<br />
fra bosoni e fermioni e l’esistenza <strong>di</strong> superpartners più pesanti delle particelle finora note. L’energia<br />
raggiunta da LHC dovrebbe permetterne l’osservazione in esperimenti come ATLAS. La crescita<br />
dell’intensità delle interazioni gravitazionali con il quadrato della massa e quin<strong>di</strong> dell’energia<br />
rende <strong>di</strong>fficile se non impossibile una teoria quanto-relativistica unificata e consistente <strong>di</strong> particelle<br />
puntiformi. Negli ultimi anni si è quin<strong>di</strong> fatta strada l’idea che i costituenti fondamentali della materia<br />
siano piuttosto oggetti uni<strong>di</strong>mensionali ossia stringhe molto più piccole dei quark e dei leptoni<br />
oggi noti, con <strong>di</strong>mensioni cioè dell’or<strong>di</strong>ne della scala <strong>di</strong> Planck (circa 1.6 x10 -35 metri). Le teorie <strong>di</strong><br />
stringhe permettono <strong>di</strong> unificare la gravità con le altre interazioni in uno schema elegante e consistente.<br />
Le eccitazioni prive <strong>di</strong> massa <strong>di</strong> una stringa chiusa si comportano infatti come il gravitone<br />
mentre le eccitazioni prive <strong>di</strong> massa <strong>di</strong> una stringa aperta si comportano come il fotone, i gluoni o<br />
gli altri bosoni vettori del Modello Standard. Queste teorie si basano sul concetto che oltre alle quattro<br />
<strong>di</strong>mensioni note del mondo macroscopico (tre spaziali e una temporale), possano esistere altre<br />
<strong>di</strong>mensioni, confinate su scale sub microscopiche e quin<strong>di</strong> non ancora osservate sperimentalmente.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 31<br />
L’esperimento ATLAS ha la possibilità <strong>di</strong> far luce <strong>sulla</strong> vali<strong>di</strong>tà o meno <strong>di</strong> queste teorie per esempio<br />
ricercando, tra i prodotti delle collisioni tra protoni, sia le particelle supersimmetriche che tutte<br />
le altre particelle previste nei modelli <strong>di</strong> stringhe a N-<strong>di</strong>mensioni.<br />
Fino alla prima metà del 1900 si credeva che la quasi totalità della massa dell’Universo risiedesse<br />
nelle stelle; oggi invece sappiamo che queste costituiscono soltanto una percentuale irrisoria della<br />
materia cosmica (circa il 4%). La restante parte della massa dell’Universo non è visibile (cioè non<br />
emette ra<strong>di</strong>azione elettromagnetica) e a tale massa mancante si dà appunto il nome <strong>di</strong> Materia Oscura.<br />
La natura della Materia Oscura è ancora sconosciuta. Essa può avere varie componenti: una <strong>di</strong> tipo<br />
barionico (materia “or<strong>di</strong>naria”, cioè fatta da atomi) e una, più “esotica”, <strong>di</strong> tipo non barionico. Una<br />
ipotesi affascinante è la possibilità che la Materia Oscura sia composta da particelle elementari come<br />
il neutralino, previsto dalle teorie supersimmetriche. Oltre alla Materia Oscura, si ipotizza che esista<br />
una particolare forma <strong>di</strong> energia (nota come Energia Oscura), la quale, secondo il principio <strong>di</strong><br />
equivalenza <strong>di</strong> Einstein (E = mc 2 ), è in grado <strong>di</strong> dar conto della maggior parte della massa dell’Universo<br />
(circa il 70%). La particolarità dell’Energia Oscura è che essa agisce come una gravità negativa,<br />
ovvero tende a far espandere l’Universo e si contrappone alla decelerazione dovuta all’attrazione<br />
gravitazionale della materia or<strong>di</strong>naria e della materia oscura.
EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE: STABILITÀ ED EVOLUZIONE<br />
Livio Clemente Piccinini<br />
Dipartimento <strong>di</strong> Biologia Economia Agro-Industriale, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
1. Equazioni alle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> tipo lineare<br />
Di solito una successione viene descritta esplicitamente dando una regola per il calcolo <strong>di</strong> un suo termine<br />
generico, ma può venire anche descritta per ricorrenza nel modo seguente:<br />
(1.1) a n+1 = f (a n ),<br />
dove a o è assegnato. È chiaro che, visto che si conosce il primo termine, è possibile calcolarne il<br />
secondo con la formula, e a questo punto conoscendo il secondo è possibile calcolarne il terzo con<br />
la formula, e così via. Tuttavia la complessità del calcolo aumenta proporzionalmente all’in<strong>di</strong>ce n,<br />
a <strong>di</strong>fferenza del caso a formula esplicita in cui la complessità del calcolo non <strong>di</strong>pende dal particolare<br />
in<strong>di</strong>ce.<br />
La (1.1) prende spesso il nome <strong>di</strong> equazione alle <strong>di</strong>fferenze. Risolverla significa giungere a una rappresentazione<br />
esplicita del tipo a n = g(n). Questo problema non è in generale affatto semplice; l’eccezione<br />
è costituita dalle equazioni lineari che vedremo tra poco. Va detto tuttavia che talvolta è possibile<br />
ricavare informazioni <strong>sulla</strong> successione anche in mancanza <strong>di</strong> formule risolutive esplicite: si<br />
può ad esempio trovare il limite, si può stabilire la monotonia, si può stabilire il carattere <strong>di</strong> convergenza<br />
ni<strong>di</strong>ficata.<br />
La (1.1) può assumere aspetti molto più generali, usando più valori iniziali, e ammettendo eventualmente<br />
una <strong>di</strong>pendenza della funzione generatrice anche dall’in<strong>di</strong>ce, ottenendo<br />
(1.2) a n+k = f (n,a n ,a n+1 ,…,a n+k-1 ) a 0 , a 1 , …, a k-1 assegnati<br />
La (1.2) prende il nome <strong>di</strong> equazione alle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne k. Anche in questo caso risolverla significa<br />
giungere a una rappresentazione esplicita del tipo a n = g(n).<br />
L’equazione alle <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne k lineare autonoma omogenea ha la seguente forma<br />
(1.3) a n+k = c 0 a n + c1 a n+1 + … + c k-1 a n+k-1 a 0 , a 1 , …, a k-1 assegnati<br />
Il caso più semplice <strong>di</strong> equazione alle <strong>di</strong>fferenze è dunque quello del primo or<strong>di</strong>ne che in<strong>di</strong>vidua la<br />
successione geometrica.<br />
(1.4) a n+1 = k a n , a 0 assegnato.<br />
La soluzione esplicita è data da a n = k n a 0 : è sufficiente compiere la verifica <strong>di</strong>retta sostituendo nell’equazione.<br />
In generale si dovrà osservare che anche la generica equazione lineare omogenea (1.3) possiede (pur<br />
<strong>di</strong> porre dati iniziali opportuni) soluzioni della forma x n , purché x sia una soluzione dell’equazione<br />
algebrica corrispondente (detta equazione caratteristica):<br />
(1.5) x k = c 0 + c 1 x + … c k-1 x k-1<br />
Infatti sostituendo nell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze (1.3) a n = x n si ottiene l’identità<br />
x n+k = c 0 x n + c 1 x n+1 + … + c k-1 x n+k-1
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 33<br />
che deve essere sod<strong>di</strong>sfatta per ogni n. Dividendo per x n si ottiene per l’appunto l’equazione caratteristica<br />
(1.5). Resta ora il problema <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfare le con<strong>di</strong>zioni iniziali assegnate alla nostra successione.<br />
Supponiamo per il momento che l’equazione caratteristica abbia esattamente k ra<strong>di</strong>ci (reali o complesse<br />
coniugate), che in<strong>di</strong>chiamo con x 1 , x 2 , …, k k . Si osserva per prima cosa che le successioni ottenute<br />
come combinazione lineare del tipo a n = b 1 x 2 n + … + bk x k n sod<strong>di</strong>sfano ancora l’equazione alle<br />
<strong>di</strong>fferenze. Questa è una proprietà caratteristica delle equazioni lineari omogenee. Per verificarlo è<br />
sufficiente osservare che valgono separatamente le identità.<br />
x 1 n+k = c0 x 1 n + c1 x 1 n+1 + … + ck-1 x 1 n+k-1<br />
x 2 n+k = c0 x 2 n + c1 x 2 n+1 + … + ck-1 x 1 n+k-1<br />
…<br />
…<br />
x k n+k = c0 x k n + c1 x k n+1 + … + ck-1 x k n+k-1<br />
moltiplicando or<strong>di</strong>natamente ogni identità per b i e sommando si trova così che a n = b 1 x 1 n + b2 x 2 n + bk x k n<br />
è anch’essa soluzione dell’equazione (1.3). Una opportuna scelta delle costanti b 1 , b 2 , …, b k permette<br />
allora <strong>di</strong> trovare l’unica soluzione del problema che sod<strong>di</strong>sfa i valori iniziali assegnati. Per determinare<br />
i valori delle costanti si può risolvere il sistema <strong>di</strong> equazioni lineari che ne deriva, anche se esistono<br />
meto<strong>di</strong> più semplici e più generali per risolvere questo problema (la trasformata Z, molto usata<br />
in elettrotecnica e in elettronica, oppure il calcolo operazionale).<br />
Il problema è risolubile a con<strong>di</strong>zione che vi siano k incognite, tante cioè quante sono le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali che sono state assegnate. Questo si verifica solamente se le ra<strong>di</strong>ci dell’equazione caratteristica<br />
sono tutte semplici. Vedremo tra poco come si risolve il problema nel caso in cui vi siano ra<strong>di</strong>ci<br />
multiple.<br />
ESEMPIO 1.1 (I numeri <strong>di</strong> Fibonacci)<br />
Una successione ha per termini iniziali 0 e 1. Ogni termine successivo è dato dalla somma dei due<br />
termini precedenti. Far vedere che la successione è monotona crescente (con questi dati iniziali), che<br />
non è limitata e trovarne la formula esplicita <strong>di</strong> rappresentazione.<br />
In realtà la formulazione originaria <strong>di</strong> Leonardo Fibonacci, padre dell’algebra italiana nel XIII secolo,<br />
aveva per termini iniziali 1 e 1, ma cominciando da 0 si semplificano i calcoli.<br />
I primi termini della successione sono 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 etc. e questa sequenza, osservata per<br />
la prima volta da Fibonacci, si ritrova molto spesso nella modellizzazione <strong>di</strong> fenomeni naturali. In<br />
questo caso la monotonia è ovvia in quanto i valori iniziali sono positivi e ogni termine è dato dal<br />
termine precedente cui si aggiunge un ulteriore termine positivo (il termine che precedeva <strong>di</strong> due<br />
posti). Si ha così la stretta monotonia. Poiché i termini sono tutti interi e vi è stretta monotonia, ne<br />
segue che la successione è (definitivamente) maggiore della successione n, e quin<strong>di</strong> per il teorema<br />
del confronto non è limitata.<br />
Veniamo ora al calcolo esplicito della soluzione. L’equazione q caratteristica, che è <strong>di</strong> secondo grado,<br />
è x 2 = x + 1, per cui le due ra<strong>di</strong>ci sono<br />
. Scriviamo ora la combinazione lineare<br />
b 1 x 1 n + b2 x 2 n e imponiamo che essa valga 0 per n = 0 e valga 1 per n=1. Queste con<strong>di</strong>zioni ci portano<br />
a costruire un sistema <strong>di</strong> due equazioni nelle due incognite b 1 e b 2 e quin<strong>di</strong> ci permettono <strong>di</strong> risolvere<br />
il problema. Si ha dunque
34 Capitolo 1. Ricerche<br />
intero per ogni n.<br />
cioè da cui<br />
da cui la soluzione finale, che può essere espressa in forma più compatta come<br />
. Si osservi che nonostante la presenza <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>cali il risultato è<br />
ESEMPIO 1.2<br />
Si scriva la soluzione dell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze in cui ogni termine è la me<strong>di</strong>a dei due precedenti.<br />
Detti a e b i dati iniziali, si calcoli il limite della successione in <strong>di</strong>pendenza da a e da b.<br />
L’equazione alle <strong>di</strong>fferenze è dunque , con dati iniziali a o = a, a 1 =b. L’equazione<br />
caratteristica è 2x 2 – x – 1 = 0, che ha le soluzioni x = 1, x = - ½.<br />
La soluzione avrà dunque la forma<br />
Imponendo le con<strong>di</strong>zioni iniziali si vede la <strong>di</strong>pendenza dai dati iniziali, ma risulta già evidente che<br />
il limite delle soluzioni vale b 1 .<br />
Si ottiene il sistema<br />
che ha soluzione . Perciò la soluzione dell’equazione<br />
alle <strong>di</strong>fferenze, in <strong>di</strong>pendenza dai dati iniziali, è<br />
.<br />
Si può notare che, contrariamente a quello che verrebbe da pensare, il valore limite non è la me<strong>di</strong>a<br />
dei primi due termini, ma si sposta verso il secondo termine.<br />
Per la curiosità del lettore riportiamo la formulazione generale della soluzione.<br />
TEOREMA 1.1 (Equazioni alle <strong>di</strong>fferenze lineari omogenee)<br />
La soluzione generale dell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze lineare omogenea<br />
(1.6) a n+k = c 0 a n + c 1 a n+1 + … + c k-1 a n+k-1<br />
è una combinazione lineare <strong>di</strong> k soluzioni in<strong>di</strong>pendenti così ottenute: siano x 1 <strong>di</strong> molteplicità r 1 , x 2<br />
<strong>di</strong> molteplicità r 2 ,…, x h <strong>di</strong> molteplicità r h le soluzioni dell’equazione caratteristica. Le k successioni<br />
x 1 n , nx1 n , …, n r 1 -1 x1 n , …, xh n , nxh n , …, n r h -1 xh n sono in<strong>di</strong>pendenti e permettono <strong>di</strong> determinare in uno e un<br />
solo modo le k costanti della combinazione lineare corrispondente ai dati iniziali.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 35<br />
In particolare si può osservare che nel caso più frequente, che è quello del secondo or<strong>di</strong>ne, l’unico<br />
caso che si può verificare è quello <strong>di</strong> una unica ra<strong>di</strong>ce avente molteplicità due. Le soluzioni hanno<br />
allora la forma b 1 x n + b 2 n x n .<br />
Può accadere che nell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze lineare venga aggiunto un termine noto costante o<br />
<strong>di</strong>pendente da n. Essa assume allora la forma<br />
(1.7) a n+k = c 0 a n + c 1 a n+1 + … + c k-1 a n+k-1 + b n .<br />
Un’equazione <strong>di</strong> questo tipo si <strong>di</strong>ce equazione alle <strong>di</strong>fferenze lineare non omogenea. Le informazioni<br />
che si traggono dalla risoluzione della corrispondente equazione omogenea (1.6) rimangono ancora<br />
utili, vale infatti una delle proprietà fondamentali dei fenomeni lineari:<br />
TEOREMA 1.2 (Equazioni alle <strong>di</strong>fferenze lineari non omogenee)<br />
Ogni soluzione della equazione non omogenea può essere decomposta in due parti<br />
an = An + Bn dove A n è la soluzione generale dell’equazione omogenea, <strong>di</strong>pendente da k costanti, e B n è una soluzione<br />
particolare dell’equazione non omogenea, costruita in modo in<strong>di</strong>pendente dai dati iniziali assegnati.<br />
Dimostrazione: Si considerano due soluzioni <strong>di</strong>verse dell’equazione non omogenea, siano f n e g n .<br />
Vale allora<br />
f n+k = c 0 f n + c 1 f n+1 + … + c k-1 f n+k-1 + b n .<br />
g n+k = c 0 g n + c 1 g n+1 + … + c k-1 g n+k-1 + b n .<br />
e quin<strong>di</strong> sottraendo membro a membro<br />
( f - g) n+k = c 0 ( f - g) n + c 1 ( f - g) n+1 +… + c k-1 ( f- g) n+k-1<br />
cioè la <strong>di</strong>fferenza tra due soluzioni qualsiasi dell’equazione non omogenea è una soluzione dell’equazione<br />
omogenea. Basta allora conoscere separatamente una soluzione particolare dell’equazione<br />
non omogenea e tutte le soluzioni (ovvero la soluzione generale) dell’equazione omogenea per poter<br />
rappresentare tutte le possibili soluzioni dell’equazione non omogenea.<br />
QED<br />
La ricerca <strong>di</strong> An ha sempre soluzione, pur <strong>di</strong> saper risolvere l’equazione caratteristica. In alcuni casi<br />
particolari è possibile trovare in modo esplicito anche la successione Bn , mentre in altri casi essa non<br />
può essere ricondotta a formule chiuse, ma è a sua volta ricondotta a formule ricorsive. Ci limititamo<br />
a due regole elementari che riportiamo senza <strong>di</strong>mostrazione.<br />
TEOREMA 1.3 (Termini noti <strong>di</strong> forma speciale nelle equazioni alle <strong>di</strong>fferenze lineari)<br />
Se nell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze lineare non omogenea (1.7) il termine noto è un polinomio <strong>di</strong> grado<br />
h, P h (n), e 1 non è una soluzione dell’equazione caratteristica, allora esiste una soluzione particolare<br />
costituita da un opportuno polinomio <strong>di</strong> grado h. Se invece 1 è soluzione dell’equazione caratteristica,<br />
allora il polinomio deve essere moltiplicato per n p , dove p è la molteplicità della ra<strong>di</strong>ce 1.<br />
Più in generale, se il termine noto è della forma P h (n)a n e a non è una soluzione dell’equazione<br />
caratteristica, allora esiste una soluzione particolare della forma Q h (n)a n , mentre se a è una soluzione<br />
dell’equazione caratteristica, allora la soluzione è della forma n p Q h (n)a n dove p è la molteplicità<br />
della ra<strong>di</strong>ce a.
36 Capitolo 1. Ricerche<br />
ESEMPIO 1.3<br />
Determinare la formula della somma dei primi n numeri naturali. Determinare la formula della somma<br />
quadrati dei primi n numeri naturali.<br />
La formalizzazione del problema è la seguente<br />
(1.8) a n+1 = a n + (n+1) a 0 =0<br />
e rispettivamente<br />
(1.9) b n+1 = bn + (n+1) 2 b0 =0<br />
In tutti e due i casi l’equazione caratteristica è x = 1. Quin<strong>di</strong> risulta A n = C. Per trovare B n occorre cercare<br />
nel primo caso un polinomio <strong>di</strong> grado 1 moltiplicato per n (in quanto 1 è ra<strong>di</strong>ce dell’equazione<br />
caratteristica), e nel secondo caso un polinomio <strong>di</strong> grado 2 moltiplicato per n.<br />
Un polinomio <strong>di</strong> grado 1 ha la forma pn + q, quin<strong>di</strong> nel nostro caso dobbiamo prendere il polinomio<br />
pn 2 + qn e sostituirlo nell’equazione (1.8). Si ottiene p(n+1) 2 + q(n+1) pn 2 + qn + n + 1, che<br />
svolgendo e semplificando <strong>di</strong>viene 2pn + p + q n + 1, da cui il sistema . Si ha dunque<br />
che la soluzione generale dell’equazione non omogenea è data da a n = C + n 2 /2 + n/2. Imponendo<br />
la con<strong>di</strong>zione iniziale si trova C = 0, per cui si ritrova la formula ben nota<br />
a n = n(n+1)/2<br />
Un polinomio <strong>di</strong> grado 2 ha la forma pn2 + qn + r, quin<strong>di</strong> nel nostro caso dobbiamo prendere il polinomio<br />
pn3 + qn2 + rq e sostituirlo nell’equazione (1.9). Si ottiene<br />
p(n+1) 3 + q(n+1) 2 + r(n+1) pn3 + qn2 + rn + n2 + 2n + 1, che svolgendo e semplificando <strong>di</strong>viene<br />
3pn 2 + 3pn + p + 2qn + q + r n 2 + n+1, da cui il sistema .<br />
Si ha dunque che la soluzione generale dell’equazione non omogenea è data da<br />
b n = C + n 3 /3 + n 2 /2+ n/6. Imponendo la con<strong>di</strong>zione iniziale si trova C = 0, per cui si ottiene la formula<br />
della somma dei primi n quadrati<br />
(1.10)<br />
ESEMPIO 1.4<br />
Data la successione geometrica <strong>di</strong> ragione q {q k , k =1, 2 …} calcolare la somma dei primi n termini.<br />
Si supponga q <strong>di</strong>verso da 1.<br />
Si deve risolvere il problema<br />
a n+1 = an + q n+1 a0 = 0
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 37<br />
Essendo per ipotesi q <strong>di</strong>verso da 1, la soluzione particolare va cercata nella forma Q h (n)q n con h = 0,<br />
quin<strong>di</strong> è della forma Q q n . Sostituendo nell’equazione si trova l’identità<br />
Qq n+1 = Qq n + q n+1<br />
e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>videndo per q n si ottiene q Q = Q + q, da cui Q = q/(q-1). La soluzione generale è allora<br />
C + q n+1 /(q-1). Imponendo la con<strong>di</strong>zione iniziale si trova l’equazione C + q/(q-1) = 0, cioè<br />
C = q/(1-q). Ne risulta perciò la nota formula<br />
(1.11) ,<br />
che talvolta viene usata introducendo anche il termine <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 0, cioè una somma del tipo 1+q+…+q n ,<br />
e quin<strong>di</strong> equivale a porre il dato iniziale eguale a 1:<br />
(1.11)bis<br />
Si osservi fin da ora che se |q| < 1 esiste il limite della successione ricorrente, mentre se q > 1 allora<br />
il limite esiste ma è infinito.<br />
Il fatto che questo modo <strong>di</strong> calcolare la somma <strong>di</strong> una serie geometrica sia più complicato <strong>di</strong> quello<br />
appreso a scuola non deve gettare cattiva luce <strong>sulla</strong> teoria delle equazioni alle <strong>di</strong>fferenze finite. Basta<br />
infatti considerare l’esempio seguente per capire la grande potenza del metodo<br />
ESEMPIO 1.5<br />
Data la successione geometrica <strong>di</strong> ragione q {q k , k =1, 2 …} calcolare la somma . Si supponga<br />
q <strong>di</strong>verso da 1.<br />
Si deve risolvere il problema<br />
S n+1 = S n + (n+1)q n+1 S 0 = 0<br />
Essendo per ipotesi q <strong>di</strong>verso da 1, la soluzione particolare va cercata nella forma Q h (n)q n con h = 1,<br />
quin<strong>di</strong> è della forma (P+Qn)q n . Sostituendo nell’equazione si trova l’identità<br />
[P + Q(n+1)]q n+1 (P+Qn)q n + (n+1)q n+1<br />
che equivale alle due identità<br />
(P+Q) q n+1 = P q n + q n+1<br />
Q n q n+1 = Q n q n + n q n+1 ,<br />
e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>videndo per q n la prima equazione e per nq n la seconda si ottiene il sistema<br />
{<br />
(q-1)P + qQ = q<br />
Q(q-1)= q<br />
da cui , e quin<strong>di</strong>
38 Capitolo 1. Ricerche<br />
. Imponendo ora la con<strong>di</strong>zione iniziale si ricava la formula finale<br />
Si osservi anche in questo caso che se |q| < 1 esiste il limite e risulta la formula classica<br />
(1.12)<br />
che può anche essere <strong>di</strong>mostrata <strong>di</strong>rettamente usando la teoria delle serie <strong>di</strong> potenze.<br />
La facilità (a parte eventuali questioni <strong>di</strong> calcolo algebrico) con cui abbiamo risolto i precedenti esempi<br />
non deve farci assolutamente credere che il problema <strong>di</strong> trovare formule esplicite per le somme parziali<br />
<strong>di</strong> una successione assegnata <strong>di</strong> termini sia <strong>di</strong> semplice soluzione. Esso non ammette in generale<br />
alcuna formula risolutiva, e spesso lo stesso problema <strong>di</strong> stabilire se esiste finito il limite delle<br />
somme parziali è <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile soluzione. Il problema viene affrontato nella teoria delle serie numeriche,<br />
ma spesso risposte, almeno parziali al problema, giungono nei mo<strong>di</strong> più inaspettati risolvendo<br />
problemi del tutto <strong>di</strong>versi.<br />
ESERCIZI<br />
1.1 Sia 0 < p < 1. Si scriva la soluzione dell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze<br />
a n+2 = (1-p) a n+1 + p a n , avente dati iniziali 0 e 1. Si calcoli il limite al variare del parametro p.<br />
1.2 Si scriva la soluzione dell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze a n+2 = a n+1 - a n con dati iniziali 0, 1.<br />
1.3 Si scriva la soluzione dell’equazione alle <strong>di</strong>fferenze a n+2 = 2a n+1 - a n con dati iniziali 1, p. Esiste<br />
qualche valore <strong>di</strong> p per cui il limite è finito?<br />
1.4* Si calcoli la formula della somma dei primi n cubi dei numeri naturali.<br />
1.5* Si <strong>di</strong>a una formula per calcolare esplicitamente .<br />
1.6* Si <strong>di</strong>a una formula esplicita per il calcolo <strong>di</strong> . Si calcoli in particolare<br />
1 + cos 1 + cos 2 + … cos n. Suggerimento: si usino i numeri complessi in forma trigonometrica e<br />
si applichi la formula della serie geometrica (1.11)bis.<br />
2. Successioni per ricorrenza ed equazioni alle <strong>di</strong>fferenze non lineari.<br />
Fino a questo punto abbiamo visto semplici fenomeni <strong>di</strong> evoluzione lineare. Questo paragrafo affronta<br />
un argomento che in generale risulta <strong>di</strong> notevole complessità nonostante i problemi apparentemente<br />
sembrino <strong>di</strong> semplice comprensione e <strong>di</strong> possibile risoluzione.<br />
Una premessa importante è dato dallo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> questo semplice problema lineare non omogeneo:<br />
sia p un parametro reale, si consideri l’equazione lineare del primo or<strong>di</strong>ne<br />
a n+1 = 1 + p a n con dato assegnato a 0 .<br />
La soluzione del problema è particolarmente semplice, ma ci interesseranno le seguenti domande:<br />
Quali sono le con<strong>di</strong>zioni che devono essere sod<strong>di</strong>sfatte da p affinché la successione possieda limite
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 39<br />
finito? Come <strong>di</strong>pende il limite dal dato iniziale? Quando non esiste il limite? Vi è qualche valore <strong>di</strong><br />
p per cui esistono successioni limitate che non convergono?<br />
La soluzione, come abbiamo visto nel paragrafo precedente è data da<br />
se p ≠ 1, a n = a o + n se p = 1.<br />
Si osserva innanzitutto che la successione è sempre costante se il dato iniziale vale<br />
1/(1-p), quin<strong>di</strong> con tale dato iniziale il limite esiste qualunque sia il valore <strong>di</strong> p. Se il dato iniziale<br />
non sod<strong>di</strong>sfa questa con<strong>di</strong>zione l’esistenza del limite <strong>di</strong>pende dal valore <strong>di</strong> p.<br />
Il limite esiste ed è finito se |p| < 1. In tale caso esso non <strong>di</strong>pende dal dato iniziale, vale a <strong>di</strong>re che<br />
tutte le possibili successioni convergono allo stesso limite L = 1/(1-p). Si può osservare che la successione<br />
è monotona se 0 < p < 1 e risulta strettamente crescente se il dato iniziale è minore del valore<br />
del limite, strettamente decrescente se il dato iniziale è maggiore del valore del limite. La successione<br />
invece è ni<strong>di</strong>ficata se -1 < p < 0. In questo caso infatti si alternano valori maggiori del limite<br />
e valori minori del limite.<br />
Il limite esiste infinito se p > 1, e il segno <strong>di</strong>pende dalla localizzazione del dato iniziale. Se invece<br />
p < -1 la successione non è limitata e non ha limite.<br />
Un caso interessante è quello in cui il coefficiente p vale -1. Infatti in questo caso i termini <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce<br />
pari valgono a0 , mentre quelli <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong>spari valgono 1 – a0 . Si ha dunque un caso <strong>di</strong> soluzioni<br />
perio<strong>di</strong>che che quin<strong>di</strong> non convergono ad alcun limite.<br />
Osserviamo in conclusione un fatto importante: se noi scriviamo l’equazione alle <strong>di</strong>fferenze nella<br />
forma<br />
a n+1 = f(an )<br />
l’eventuale limite deve essere una soluzione dell’equazione L = f(L). Si è peraltro visto che la con<strong>di</strong>zione<br />
non è sufficiente, in quanto in tutti i casi, tolto p = 1, 1/(1-p) era una soluzione dell’equazione<br />
L = f(L), ma nonostante ciò il limite veniva raggiunto solo se |p| < 1. Nei casi in cui il limite esiste<br />
effettivamente la successione per ricorrenza è un buon modo per approssimare la soluzione dell’equazione<br />
L = f(L). Il valore L si <strong>di</strong>ce anche punto unito o punto fisso della funzione f, in quanto rappresenta<br />
quel valore che non viene cambiato applicando la funzione f(x).<br />
Una con<strong>di</strong>zione sufficiente perché si abbia il limite è che il rapporto incrementale della funzione sia<br />
limitato da una costante minore <strong>di</strong> 1, ossia che per ogni coppia x, y risulti<br />
(2.1) |f(x) – f(y)| ≤ K | x – y|, K < 1<br />
Una funzione che sod<strong>di</strong>sfi la con<strong>di</strong>zione (2.1) si chiama contrazione. In questo caso risulta anche che<br />
il punto fisso è unico. Tutte le possibili successioni, in<strong>di</strong>pendentemente dal valore iniziale convergono<br />
allo stesso limite, cioè<br />
al punto fisso.<br />
La figura fa vedere l’andamento<br />
delle successioni<br />
dell’esempio precedente nel<br />
caso in cui p = -0,75 con il<br />
dato iniziale rispettivamente<br />
1, 2, 3, 0. Si osservi che ci<br />
vuole un certo numero <strong>di</strong><br />
iterazioni perché si stabilizzino<br />
intorno al limite (che
40 Capitolo 1. Ricerche<br />
vale 4/7), in quanto in questo caso risulta K = 0,75, che è un valore abbastanza elevato dal punto <strong>di</strong><br />
vista del calcolo numerico. Si nota anche che la successione oscilla alternando valori al <strong>di</strong> sopra del<br />
limite con valori al <strong>di</strong> sotto.<br />
È tuttavia antica tra<strong>di</strong>zione (nata soprattutto in economia) rappresentare il comportamento delle successioni<br />
alle <strong>di</strong>fferenze finite me<strong>di</strong>ante <strong>di</strong>agrammi in cui vengono rappresentate la bisettrice e la funzione<br />
<strong>di</strong> ricorsività. Su questo <strong>di</strong>agramma vengono rappresentate poi le evoluzioni delle singole successioni<br />
a partire dai valori iniziali, utilizzando alternativamente il punto (x, f(x)) <strong>sulla</strong> curva, congiunto<br />
in orizzontale con il punto (f(x), f(x)) <strong>sulla</strong> bisettrice, congiunto poi in verticale con il nuovo<br />
valore (f(x), f(f(x)). In questo modo si ottengono dei <strong>di</strong>agrammi a scala se f ’ > 0, a ragnatela se f ’<<br />
0, convergenti al limite se |f ’| < 1, <strong>di</strong>vergenti o non regolari se |f ’| >1.<br />
Questi <strong>di</strong>agrammi sono <strong>di</strong> realizzazione abbastanza semplice su qualsiasi programma <strong>di</strong> foglio elettronico.<br />
Presentiamo qualcuno dei casi precedenti:<br />
Caso p = 2: scala <strong>di</strong>vergente, dato<br />
iniziale –2/3<br />
Caso p = -0,75: ragnatela convergente, dato iniziale<br />
-2/3<br />
Nel caso delle funzioni lineari è facile determinare K nella (2.1), in quanto è semplicemente il valore<br />
assoluto del coefficiente. Per una funzione generica <strong>di</strong> una variabile dotata <strong>di</strong> derivata esso è dato<br />
dal massimo (o dall’estremo superiore) dei valori assoluti della derivata.<br />
Di solito tuttavia una funzione non lineare non è una contrazione su tutto l’insieme dei numeri reali.<br />
Può tuttavia accadere che la funzione applichi un intervallo [a,b] in se stesso e, ristretta a questo<br />
intervallo sia una contrazione. Allora in questo intervallo esiste un punto fisso, esso è unico, e tutte le<br />
successioni che partono dall’interno dell’intervallo convergono al punto fisso. Può (fortunatamente)<br />
accadere che anche successioni che partono esternamente al dominio [a,b] in seguito vi ricadano; da<br />
quel momento in poi convergeranno anch’esse al punto fisso.<br />
Il classico algoritmo per il calcolo della ra<strong>di</strong>ce quadrata rientra in questo caso.<br />
ESEMPIO 2.1<br />
Si consideri la seguente successione definita per ricorrenza . Si verifichi che il<br />
punto fisso è la ra<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> N, rispettivamente positiva e negativa. Si assegnino i valori iniziali 1 e rispettivamente<br />
2 e si calcolino alcuni termini (ad esempio 5 o 10) della successione: che osservazioni si
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 41<br />
possono trarre? Si può dedurre che la successione, tolto eventualmente il primo termine è monotona?<br />
In quale insieme sono sod<strong>di</strong>sfatte le con<strong>di</strong>zioni affinché sia una contrazione?<br />
L’equazione ha per soluzioni . Si osserva che se il dato iniziale della successione<br />
è positivo tutti i termini successivi saranno positivi, mentre se è negativo saranno negativi. L’unico<br />
dato iniziale non ammesso è 0. I primi <strong>di</strong>eci termini sono rispettivamente<br />
1 2<br />
1,5 1,5<br />
1,416667 1,416667<br />
1,414216 1,414216<br />
1,414214 1,414214<br />
1,414214 1,414214<br />
1,414214 1,414214<br />
1,414214 1,414214<br />
1,414214 1,414214<br />
1,414214 1,414214<br />
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> decrescenza è , che per i valori positivi porta alla <strong>di</strong>sequa-<br />
zione a n 2 >2. È però ora necessario far vedere che tale <strong>di</strong>seguaglianza risulta sod<strong>di</strong>sfatta a partire dal<br />
secondo termine. Si deve dunque imporre che<br />
, che per valori positivi porta alla <strong>di</strong>sequazione , sempre<br />
sod<strong>di</strong>sfatta tranne (ovviamente) che per . Nel caso <strong>di</strong> valori iniziali negativi il ragionamento<br />
procede allo stesso modo cambiando i versi delle <strong>di</strong>seguaglianze.<br />
Il modo alternativo <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are la convergenza è quello <strong>di</strong> ricondursi alle contrazioni. Sempre restringendosi<br />
ai reali positivi, si può osservare che la derivata è sempre minore <strong>di</strong> 1, mentre è maggiore<br />
<strong>di</strong> –1 solamente per . Esistono allora intervalli del tipo [a,+∞[ con 0 < su cui la funzione<br />
è una contrazione. D’altra parte si è visto che, anche se il valore iniziale è compreso tra 0 e , il valore<br />
successivo è comunque maggiore <strong>di</strong> , e quin<strong>di</strong> si ricade in ogni caso in una contrazione a partire<br />
dal secondo termine; ciò assicura la convergenza del proce<strong>di</strong>mento qualunque sia il dato iniziale.<br />
È interessante ricordare che il proce<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> questo esempio, sia pure fermato alla seconda iterazione,<br />
era usato per il calcolo delle ra<strong>di</strong>ci quadrate già dai Babilonesi circa 4000 anni fa. Come dato<br />
iniziale veniva scelto il più grande intero minore della ra<strong>di</strong>ce quadrata.<br />
L’esempio presentato ha una altissima velocità <strong>di</strong> convergenza, tuttavia non essendovi la convergenza<br />
ni<strong>di</strong>ficata non è possibile avere stime rapide dell’errore residuo; per questo motivo sui calcolatori<br />
attuali viene utilizzata una funzione leggermente <strong>di</strong>versa, che senza sacrificare troppo la velocità <strong>di</strong><br />
calcolo presenta convergenza ni<strong>di</strong>ficata. L’esercizio 2.1 presenta un caso, in cui peraltro essendo stati<br />
mo<strong>di</strong>ficati pesantemente i coefficienti vi è un forte rallentamento della convergenza. Gli esercizi 2.2<br />
e 2.3 presentano poi algoritmi analoghi idonei al calcolo <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne più alto.
42 Capitolo 1. Ricerche<br />
Quando l’applicazione in<br />
prossimità del punto fisso<br />
non è una contrazione, il<br />
comportamento della successione<br />
può assumere<br />
aspetti alquanto complicati.<br />
Un comportamento interessante<br />
è quello dei cicli perio<strong>di</strong>ci.<br />
A <strong>di</strong>fferenza del caso<br />
lineare con coefficiente –1,<br />
in cui in corrispondenza <strong>di</strong><br />
ogni valore iniziale si aveva<br />
una soluzione perio<strong>di</strong>ca, in<br />
questo caso può avvenire che<br />
vi sia una unica soluzione<br />
perio<strong>di</strong>ca, mentre in corrispondenza<br />
degli altri valori<br />
iniziali si hanno soluzioni che tendono ad approssimare la soluzione perio<strong>di</strong>ca. Solo la successione<br />
costante con valore pari al punto fisso è convergente, ma appena i dati iniziali deviano, sia pur <strong>di</strong><br />
poco, da tale valore, la soluzione non converge più, e tende a raggiungere la soluzione perio<strong>di</strong>ca. In<br />
particolare l’esistenza della soluzione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo 2 è segnalata dal fatto che la funzione iterata<br />
f [ f(x)] presenta oltre al punto fisso della funzione f(x) altri 2 punti fissi, e in un intorno <strong>di</strong> questi<br />
<strong>di</strong> ciascuno <strong>di</strong> questi ulteriori punti fissi essa è una contrazione.<br />
ESEMPIO 2.2<br />
Si consideri la successione definita per ricorrenza<br />
a n+1 = - k arctan a n ., k > 0.<br />
Si osservi che per k < 1 è una contrazione e tutte le successioni convergono a 0. Per k = 1, pur non<br />
essendo una contrazione, le successioni convergono ancora a 0. Per k > 1 invece il punto fisso x = 0<br />
<strong>di</strong>viene instabile, mentre tutte le soluzione tendono ad una successione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo 2.<br />
La derivata <strong>di</strong> f vale<br />
-k/(1+x 2 ). Per k < 1 il massimo<br />
valore assoluto della derivata<br />
è k (in corrispondenza<br />
del punto fisso), e quin<strong>di</strong><br />
vi è una contrazione. Per<br />
k > 1 la derivata nel punto<br />
fisso eccede in valore assoluto<br />
1, quin<strong>di</strong> non si è più in<br />
presenza <strong>di</strong> una contrazione<br />
e il punto fisso <strong>di</strong>viene instabile.<br />
Stu<strong>di</strong>ando la derivata si<br />
constata che essa è minore <strong>di</strong><br />
1 per valori lontani dal punto<br />
critico, e ciò implica che vi<br />
è una zona centrale <strong>di</strong> attrazione<br />
e quin<strong>di</strong> che le successioni<br />
non possono <strong>di</strong>vergere.<br />
Di per sé, come si vedrà
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 43<br />
nell’esempio 2.3, il fatto che le successioni si mantengano limitate non assicura ancora che vi siano<br />
successioni perio<strong>di</strong>che verso cui tendono le successioni. Il primo grafico illustra il comportamento<br />
della funzione iterata f[f(x)] per il valore k = 1,5.<br />
Il grafico seguente invece illustra, sempre per k = 1,5, il comportamento <strong>di</strong> una successione che parte<br />
dal valore iniziale 0,4.<br />
L’esempio seguente è la classica equazione alle <strong>di</strong>fferenze che rappresenta nel <strong>di</strong>screto l’equazione<br />
logistica. Questo sembra essere il tipo <strong>di</strong> equazione più semplice che per opportuni valori dei parametri<br />
presenta il fenomeno del comportamento caotico, passando inizialmente per i cicli <strong>di</strong> periodo<br />
2, come nell’esempio precedente, poi per i cicli <strong>di</strong> periodo 4, e successivamente per cicli <strong>di</strong> periodo<br />
sempre maggiore.<br />
ESEMPIO 2.3<br />
La <strong>di</strong>scretizzazione dell’equazione logistica ha la forma<br />
2 a n+1 = an + k an (1 – an ) = (1+k) an – k an con k > 0.<br />
I dati iniziali significativi per il problema fisico sono quelli compresi nell’intervallo ]0,1[.<br />
I punti fissi sono 0 e 1 per<br />
qualunque valore <strong>di</strong> k. La<br />
derivata nel punto 0 è sempre<br />
maggiore <strong>di</strong> 1, e quin<strong>di</strong> 0 è<br />
sempre un punto fisso instabile.<br />
Per 0 < k < 1 intorno al<br />
punto fisso 1 si è in presenza<br />
<strong>di</strong> una contrazione, e la funzione<br />
è crescente. Pertanto<br />
tutte le successioni aventi<br />
dati iniziali compresi nell’intervallo<br />
]0,1[ risultano convergenti<br />
a 1 e monotone crescenti.<br />
Nell’intervallo <strong>di</strong> parametri<br />
1 < k < 2 intorno al punto<br />
fisso 1 si è ancora in presenza<br />
<strong>di</strong> una contrazione e<br />
la convergenza è ni<strong>di</strong>ficata.<br />
Poiché il massimo della<br />
funzione assume il valore<br />
(1+k) 2 Diagramma 2.1.<br />
/(4k), mentre vengono<br />
assunti valori positivi<br />
fino al valore <strong>di</strong> (1+k)/k ne<br />
segue che partendo da valori<br />
compresi iniziali compresi in<br />
]0,1[ si continuano ad ottenere<br />
sempre valori positivi.<br />
Perciò la successione<br />
non <strong>di</strong>verge mai all’infinito<br />
negativo.<br />
Non appena viene superato<br />
il valore 2 il punto fisso Diagramma 2.2.
44 Capitolo 1. Ricerche<br />
<strong>di</strong>viene instabile e si presentano cicli <strong>di</strong> periodo 2, analoghi a quelli dell’esempio precedente. Incrementando<br />
ulteriormente il parametro si entra nella zona in cui anche i cicli <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2 <strong>di</strong>vengono<br />
instabili. Ad esempio al livello del coefficiente 2,5 siamo in presenza <strong>di</strong> cicli asintotici con perio<strong>di</strong>cità<br />
4. La situazione è illustrata dal <strong>di</strong>agramma 2.1<br />
Al livello del coefficiente 2,7 siamo in presenza <strong>di</strong> un comportamento caotico illustrato dal <strong>di</strong>agramma<br />
2.2<br />
ESERCIZI:<br />
2.1 Si consideri la seguente successione definita per ricorrenza , che come<br />
nell’esempio 2.1 fa la me<strong>di</strong>a tra i termini N/a n e a n , solo che questa volta il peso dei due termini non<br />
è eguale. Si osservi che anche in questo caso la successione converge allo stesso punto fisso. Si calcolino<br />
alcuni termini con i valori iniziali come nell’esempio e si constati che questa volta non vi<br />
è monotonia, ma i termini, pur stabilizzandosi, approssimano il valore del limite alternativamente<br />
dall’alto e dal basso (situazione vantaggiosa nel calcolo numerico, perché data una approssimazione<br />
si sa in quale intervallo sta la soluzione vera).<br />
2.2 Si analizzi il seguente algoritmo dei calcolo della ra<strong>di</strong>ce cubica<br />
2.3 Si analizzi il seguente algoritmo dei calcolo della ra<strong>di</strong>ce k-sima<br />
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI<br />
1.1 Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono 1 e -p. La soluzione al problema proposto è dunque<br />
della forma b 1 +b 2 (-p) n . Si ricava quin<strong>di</strong> b 1 =1/(1+p), b 2 = -1/(1+p).<br />
1.2 Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono i numeri complessi coniugati<br />
che possono essere espressi in forma trigonometrica con r = 1 e θ = π/3. Si hanno allora le soluzioni<br />
della forma<br />
Imponendo le con<strong>di</strong>zioni iniziali si ottiene il sistema<br />
da cui e quin<strong>di</strong> la soluzione . Si osservi che la soluzione è<br />
perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo 6 e i primi termini sono 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, …<br />
1.3 L’unica ra<strong>di</strong>ce dell’equazione caratteristica è 1, con molteplicità 2. La soluzione generale è del<br />
tipo b 1 + b 2 n, che con i dati iniziali assegnati <strong>di</strong>viene 1 + (p-1)n. Essa ammette limite finito se p = 1.<br />
1.4<br />
1.5
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 45<br />
1.6 Si consideri il numero complesso z = r (cos θ + i sin θ). Risulta allora che per la somma parziale<br />
vale la<br />
, che nella rappresentazione trigonometrica <strong>di</strong>viene<br />
vale a <strong>di</strong>re che la somma da noi cercata è la parte reale dell’espressione a secondo membro. Per calcolarla<br />
si moltiplica al solito numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore.<br />
Si giunge così, ricordando la formula trigonometrica del coseno della <strong>di</strong>fferenza alla formula finale<br />
2.1 Riportiamo una tabella <strong>di</strong> valori<br />
1,00000 2,00000<br />
1,75000 1,25000<br />
1,29464 1,51250<br />
1,48228 1,36986<br />
1,38252 1,43747<br />
1,43060 1,40287<br />
1,40616 1,41995<br />
1,41828 1,41136<br />
1,41219 1,41564<br />
1,41523 1,41350<br />
Si osserva la grande lentezza <strong>di</strong> convergenza (in 10 passaggi sono corretti solamente i primi due<br />
decimali), però vi è l’oscillazione intorno al valore limite. Le soluzioni utili dal punto <strong>di</strong> vista numerico<br />
sono quelle in cui la me<strong>di</strong>a viene fatta spostando solo leggermente il peso a favore del primo<br />
addendo.<br />
2.2 Si constati che il punto fisso è proprio . Si verifica poi che la derivata in tale punto vale 0.<br />
2.3 Si constati che il punto fisso è proprio . Si verifica poi che la derivata in tale punto vale 0.<br />
,
GRUPPI DI SIMMETRIA SUL PIANO<br />
Pietro Corvaja<br />
Dipartimento <strong>di</strong> Matematica e Informatica, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
1. Introduzione<br />
Lo scopo <strong>di</strong> questa teoria è la classificazione dei tipi <strong>di</strong> simme tria che si possono incontrare nei <strong>di</strong>segni<br />
“perio<strong>di</strong>ci” sul piano. In particolare definiremo rigorosamente cosa s’intende per <strong>di</strong>segno perio<strong>di</strong>co.<br />
Supponiamo <strong>di</strong> <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> una famiglia infinita <strong>di</strong> mattonelle rettangolari delle stesse <strong>di</strong>mensioni;<br />
decoriamole tutte con uno stesso <strong>di</strong>segno e usiamole per pavimentare il piano in maniera regolare,<br />
cioè senza sovrapporle e senza lasciare spazi tra esse. Otterremo un esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>segno perio<strong>di</strong>co,<br />
nel senso che a partire da un elemento fondamentale, si può ottenere l’intero <strong>di</strong>segno tramite traslazioni.<br />
Nel tal caso ogni traslazione nella <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> un lato delle piastrelle, <strong>di</strong> lunghezza pari al lato<br />
corrispondente, conserva il <strong>di</strong>segno. Naturalmente iterando e componendo tra loro delle traslazioni<br />
<strong>di</strong> questo tipo si ottengono nuove trasformazione del piano che mandano il <strong>di</strong>segno in sé. Se non<br />
poniamo nessuna con<strong>di</strong>zione sul <strong>di</strong>segno tracciato su ogni singola mattonella, le uniche trasformazioni<br />
del piano che conservano il <strong>di</strong>segno saranno le traslazioni <strong>di</strong> quel tipo. Supponiamo invece che<br />
il <strong>di</strong>segno su ogni singola mattonella sia “simmetrico”, nel senso per esempio che si con servi ruotandolo<br />
<strong>di</strong> 180° rispetto al baricentro della mattonella. Allora ogni rotazione del piano <strong>di</strong> 180° attorno al<br />
baricentro <strong>di</strong> una qualsiasi mattonella conserva il <strong>di</strong>segno; questo è dovuto al fatto che tali rotazioni<br />
conservano il reticolo delle mattonelle, cioè mandano ogni mattonella esattamente sopra un’altra,<br />
oltre a conservare il <strong>di</strong>segno <strong>di</strong> ciascuna sin gola mattonella. Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> che una proprietà fondamentale<br />
delle trasformazioni che conservano il <strong>di</strong>segno è il fatto <strong>di</strong> conservare un reticolo. Ci si<br />
può chiedere a tal propos ito se si possono costruire <strong>di</strong>segni perio<strong>di</strong>ci invarianti per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne<br />
superiore; il risultato <strong>di</strong>mostrato sarà che gli or<strong>di</strong>ni possibili sono soltanto 1,2,3,4 e 6; per esempio<br />
non esistono <strong>di</strong>segni che siano invarianti sia per un reticolo <strong>di</strong> traslazioni che per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne<br />
cinque (nonostante si possano decorare singole mattonelle con <strong>di</strong>segni invarianti per tali rotazioni).<br />
Questa impossibilità è dovuta all’inesistenza <strong>di</strong> reticoli invarianti per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 5, nonché<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne ≥ 7. Il punto essenziale per la classificazione dei tipi <strong>di</strong> simmetria <strong>di</strong> <strong>di</strong>segni piani è quin<strong>di</strong><br />
la classificazione dei reticoli e dei loro gruppi <strong>di</strong> trasformazioni (automorfismi).<br />
Nel prossimo paragrafo introdurremo la notazione e i risultati <strong>di</strong> teoria dei gruppi e <strong>di</strong> geometria piana<br />
necessari per lo stu<strong>di</strong>o dei reticoli (par. 3) e dei gruppi <strong>di</strong> isometrie del piano (par. 4).<br />
2. Preliminari<br />
Raccogliamo qui molto brevemente le nozioni necessarie <strong>di</strong> teoria dei gruppi e algebra lineare che<br />
verranno usate nel seguito. Sia dato un gruppo G con operazione · ed elemento neutro e. Un’azione<br />
<strong>di</strong> G su un insieme X è un’applicazione g → φ g che associa ad ogni elemento <strong>di</strong> g <strong>di</strong> G una permutazione<br />
φ g degli elementi dell’insieme X e tale che valga φ e = id X, φ g1 ◦ φ g2 = φ g1·g2. In altri termini<br />
si identificano gli elementi <strong>di</strong> G a delle trasformazioni dell’insieme X. Per semplicità si scriverà<br />
g(x) al posto <strong>di</strong> φ g (x) quando l’azione sarà sottintesa. Ad ogni punto P ∈ X dell’insieme X si associa<br />
lo stabilizzatore G P , che consiste nel sottogruppo <strong>di</strong> G formato dagli elementi che fissano il punto<br />
P: G P = {g ∈ G | g(P )= P }. Dato un elemento h <strong>di</strong> un gruppo G, si associa ad h l’automorfismo<br />
interno ψ h del gruppo G definito me<strong>di</strong>ante ψ h (g)= hgh −1 . L’immagine <strong>di</strong> g si chiama coniugato <strong>di</strong> g<br />
(rispetto a h). Se K è un sottogruppo <strong>di</strong> G, l’immagine ψ h (K) si <strong>di</strong>ce sottogruppo coniugato <strong>di</strong> K. È<br />
<strong>di</strong> fondamentale importanza l’osservazione seguente: data un’azione <strong>di</strong> G su un insieme X, il coniugato<br />
ψ h (G P ) dello stabilizzatore <strong>di</strong> un punto P è lo stabilizzatore del punto h(P). Ad ogni matrice<br />
2×2 a coefficienti reali associamo la trasformazione del piano R 2 data dalla moltiplicazione “matrice<br />
per vettore”. Esplicitamente (scrivendo i vettori <strong>di</strong> R 2 come colonne)<br />
.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 47<br />
Si tratta <strong>di</strong> una trasformazione invertibile se e solo se ad−bc ≠0. Questa quantità si chiama determinante<br />
della matrice sopra; le matrici con determinante non nullo formano un gruppo per la moltiplicazione<br />
tra matrici, denotato GL 2 (R). Viceversa, ogni trasformazione lineare del piano corrisponde<br />
ad una matrice. Più in generale, ad ogni trasformazione lineare F del piano reale R 2 e ad ogni base<br />
(v 1 ,v 2 ) si associa una matrice, detta matrice <strong>di</strong> F nella base (v 1 ,v 2 ), nel modo seuente: scrivendo un<br />
generico vettore nella forma v = xv 1 + yv 2 , calcoliamo F(v), decomponiamolo nella forma ξv 1 + ηv 2 .<br />
Esistono e sono unici dei numeri a, b, c, d tali che valga sempre<br />
Se (w 1 ,w 2 ) è un’altra base, espressa nella base (v 1 ,v 2 ) me<strong>di</strong>ante w 1 = αv 1 + βv 2 , w 2 = γv 1 + δv 2 allora<br />
le matrici T v e T w <strong>di</strong> F nelle basi (v 1 ,v 2 ) e (w 1 ,w 2 ) rispettivamente verificano la relazione<br />
cioè sono coniugate. Viceversa due matrici coniugate sono associate alla stessa trasfor mazione lineare<br />
in basi <strong>di</strong>verse.<br />
Due sottogruppi notevoli del gruppo delle matrici invertibili GL 2 (R) sono SL 2 (R) (il gruppo delle<br />
matrici con determinante 1) e O 2 , il gruppo delle matrici ortogonali. Queste ultime sono associate a<br />
rotazioni o riflessioni, cioè a quelle trasformazioni che conservano la norma euclidea (lunghezza dei<br />
vettori). In<strong>di</strong>chiamo con SO 2 il gruppo delle matrici della forma<br />
per un numero reale α. Le trasformazioni lineari loro associate nella base canonica sono le rotazioni:<br />
la matrice qui sopra rappresenta la rotazione <strong>di</strong> angolo α in senso anti-orario.<br />
Sia dato un gruppo G che agisce su un insieme X; supponiamo che esista un sot togruppo H <strong>di</strong> G con<br />
la proprietà seguente: dati comunque due punti P e Q <strong>di</strong> X, esiste un unico elemento h <strong>di</strong> H tale che<br />
h(P )= Q. Allora è facile vedere che per ogni punto P <strong>di</strong> X, posto G P il suo stabilizzatore, ogni elemento<br />
<strong>di</strong> G si scrive in modo unico come prodotto <strong>di</strong> un elemento <strong>di</strong> H per un elemento <strong>di</strong> G P . Infatti<br />
sia g un qualsiasi elemento del gruppo. Se g(P )= P allora g ∈ H. Altrimenti sia Q = g(P ) e h l’unico<br />
elemento <strong>di</strong> H che manda Q in P; allora g’ := h · g fissa P, pertanto appartiene a G P e g = h -1 g’<br />
è la decomposizione cercata. Notiamo che è unica se si prescrive l’or<strong>di</strong>ne, richiedendo per esempio<br />
che l’elemento <strong>di</strong> h moltiplichi a sinistra quello <strong>di</strong> G P . Un esempio comune <strong>di</strong> questo fenomeno è il<br />
gruppo delle affinità del piano, o della retta. Conside riamo il caso in cui l’insieme X è la retta reale<br />
R. Sia G il gruppo delle trasformazioni della forma f(x)= ax + b, dove a è un numero <strong>di</strong>verso da 0,<br />
b un numero qualsiasi. Sia H il gruppo delle traslazioni, cioè delle funzioni della forma f(x)= x + b.<br />
Ve<strong>di</strong>amo che H gode della proprietà sopra esposta. Infatti ogni affinità, che è del tipo f(x)= ax + b, si<br />
scrive in modo unico come prodotto <strong>di</strong> una traslazione, la traslazione h : x x + b, per l’omotetia<br />
<strong>di</strong> centro l’origine g : x ax; in simboli f = h · g. Notiamo che le omotetie <strong>di</strong> centro l’origine sono<br />
esattamente le affinità che stabilizzano l’origine.<br />
Supponiamo ora che un gruppo G agisca su un insieme X, ed esista un sottogruppo normale H con la<br />
proprietà precedente: dati due punti P, Q in X, esiste un unico elemento h ∈ H con h(P )= Q; è quello<br />
che succede nel caso delle affinità della retta, quando H è il sottogruppo delle traslazioni. Scelto<br />
comunque un punto P ∈ X, G si decompone in prodotto semi-<strong>di</strong>retto <strong>di</strong> H con G P , rispetto all’azione<br />
<strong>di</strong> G P su H definita dagli automor fismi interni. Nel tal caso risulta definita una proiezione sul quoziente<br />
π : G → G/H, la cui restrizione a G P è iniettiva e suriettiva. Pertanto π ammette una sezione;<br />
questa è la con<strong>di</strong>zione per poter decomporre un gruppo nel prodotto semi<strong>di</strong>retto <strong>di</strong> un sottogruppo<br />
normale per un suo complementare.<br />
.
48 Capitolo 1. Ricerche<br />
3. Reticoli<br />
Siano ω 1 , ω 2 due vettori del piano euclideo R 2 linearmente in<strong>di</strong>pendenti. (Talvolta identificheremo il<br />
piano reale R 2 col piano complesso C; in tal caso l’in<strong>di</strong>pendenza lineare sarà sempre riferita ai reali.<br />
In altri termini imponiamo che ω 1 ≠ 0 e non esiste alcun numero reale λ tale che ω 2 = λω 1 ). Chiamiamo<br />
reticolo il gruppo ad<strong>di</strong>tivo Ω generato da ω 1 , ω 2 . L’insieme Ω è formato dalle combinazioni<br />
lineari a coefficienti interi <strong>di</strong> ω 1 e ω 2 :<br />
Ω= {a 1 ω 1 + a 2 ω 2 | a 1 , a 2 ∈ Z}.<br />
La coppia (ω 1 , ω 2 ) è una base del reticolo, ma non l’unica! Le altre possibili basi sono classificate<br />
dalla proposizione seguente:<br />
TEOREMA 1. Siano ω 1 , ω 2 due vettori linearmente in<strong>di</strong>pendenti del piano; siano a, b, c, d dei numeri<br />
interi. Allora la coppia <strong>di</strong> vettori (aω 1 + bω 2 , cω 1 + cω 2 ) è una base del reticolo generato da ω 1 , ω 2<br />
se e solo se ad − bc = ±1.<br />
Dato un reticolo Ω, con base (ω 1 , ω 2 ) definiamo il suo volume come l’area del parallel ogramma<br />
<strong>di</strong> vertici 0, ω 1 , ω 1 + ω 2 , ω 2 . Se ω 1 ha coor<strong>di</strong>nate (ω 1,x , ω 1,y ) e ω 2 ha coor<strong>di</strong>nate (ω 2,x , ω 2,y ) allora il<br />
volume <strong>di</strong> Ω risulta essere<br />
Se ora (λ 1 ,λ 2 ) è un’altra base <strong>di</strong> Ω, allora λ 1 = aω 1 + bω 2 , λ 2 = cω 1 + cω 2 , dove gli interi a, b, c, d<br />
verificano |ad − bc| = 1. Le coor<strong>di</strong>nate λ 1,x , λ 1,y , λ 2,x , λ 2,y si ottengono da quelle <strong>di</strong> ω 1 , ω 2 , me<strong>di</strong>ante<br />
le relazioni:<br />
Pertanto si ha<br />
siccome |ad−bc| = 1, il volume calcolato nella base (λ 1 , λ 2 ) risulta uguale a quello calcolato nella<br />
base (ω 1 , ω 2 ). Si può pertanto definire univocamente il volume <strong>di</strong> un reticolo. Ad ogni reticolo <strong>di</strong> vettori<br />
corrisponde in modo canonico un gruppo <strong>di</strong> traslazioni, ottenuto associando ad ogni vettore ω<br />
∈ Ω la traslazione corrispondente τ ω . Denoteremo con Ω il gruppo <strong>di</strong> traslazioni così ottenuto, detto<br />
anche reticolo <strong>di</strong> traslazioni. Dato un reticolo Ω chiamiamo dominio fondamentale per Ω ogni sottinsieme<br />
misurabile del piano D con le seguenti proprietà:<br />
(1) R 2 è ricoperto dalle immagini <strong>di</strong> D rispetto all’azione del gruppo <strong>di</strong> traslazioni Ω;<br />
(2) Se ω e ω’ sono vettori <strong>di</strong>stinti in Ω, allora l’intersezione τ ω (D)∩ τ’ ω (D) ha misura nulla.<br />
Ad ogni base (ω 1 , ω 2 ) del reticolo Ω si può associare un dominio fondamentale, che consiste nel<br />
parallelogramma <strong>di</strong> vertici 0, ω 1 , ω 1 +ω 2 , ω 2 , detto anche parallelogramma fon damentale associato<br />
alla base (ω 1 , ω 2 ). Il parallelogramma fondamentale D si può definire anche come l’insieme delle<br />
combinazioni lineari del tipo aω 1 +bω 2 dove a, b sono numeri reali compresi tra 0 e 1; quin<strong>di</strong> D<br />
è l’immagine del quadrato [0, 1] × [0, 1] rispetto alla trasformazione lineare associata alla matrice<br />
. Naturalmente il parallelo gramma fondamentale <strong>di</strong>pende dalla base, ma la sua area,<br />
che è il volume <strong>di</strong> Ω, <strong>di</strong>pende solo dal reticolo.<br />
Tutti i reticoli sono isomorfi tra loro, e ad<strong>di</strong>rittura coniugati nel senso che dati due reticoli nel piano si<br />
può sempre trovare un automorfismo del piano che manda il primo nel secondo. Non sempre però si
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 49<br />
potrà trovare una similitu<strong>di</strong>ne del piano che li identifichi. Quando tale similitu<strong>di</strong>ne esiste, <strong>di</strong>remo che<br />
i reticoli sono simili. Ciò equivale all’esistenza <strong>di</strong> parallelogrammi fondamentali simili. La nozione<br />
<strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne è più semplice da enun ciare se identifichiamo il piano reale con l’insieme dei numeri<br />
complessi C. Diremo allora che due reticoli Ω 1 , Ω 2 ⊂ C sono simili se esiste un numero complesso<br />
non nullo λ tale che Ω2 = λΩ 1 .<br />
Vogliamo ora stu<strong>di</strong>are gli automorfismi <strong>di</strong> un reticolo. Sia f :Ω → Ω una applicazione; <strong>di</strong>ciamo che f<br />
è un endomorfismo <strong>di</strong> Ω se è lineare, cioè se per ogni coppia (ω, ω’) <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> Ω si ha<br />
f(ω + ω’)= f(ω)+ f(ω’).<br />
(Allora si avrà anche f(u·ω)= u·f(ω) per ogni intero u, quin<strong>di</strong> f sarà la restrizione <strong>di</strong> un’applicazione<br />
lineare del piano). Diremo inoltre che f è un automorfismo se è un endomorfismo ed è invertibile.<br />
Sia (ω 1 , ω 2 ) una base <strong>di</strong> Ω; sia la matrice <strong>di</strong> f in tale base; allora f(ω 1 )= aω 1 + bω 2<br />
e f(ω 2 )=cω 1 + dω 2 . Se il determinante ad − bc si annulla, allora l’immagine <strong>di</strong> f è contenuta in una<br />
retta, e f(Ω) non può essere un reticolo; se ad − bc = ±1 allora la coppia (f(ω 1 ), f(ω 2 )) è una base <strong>di</strong><br />
Ω, pertanto f risulta invertibile (è un automorfismo). Nel caso in cui |ad − bc| > 1, l’immagine f(Ω)<br />
risulta un sotto-reticolo <strong>di</strong> Ω. Il gruppo degli automorfismi <strong>di</strong> un reticolo risulta pertanto isomorfo al<br />
gruppo GL 2 (Z) delle matrici a coefficienti interi con determinante ±1; l’isomorfismo <strong>di</strong>pende però<br />
da una scelta della base del reticolo.<br />
Il seguente teorema è uno dei punti essenziali per la classificazione dei tipi <strong>di</strong> simmetria piana:<br />
TEOREMA 2. Sia f un automorfismo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne finito <strong>di</strong> un reticolo piano. Allora l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> f è 1, 2, 3,<br />
4 o 6.<br />
Dimostrazione. Sia T = ∈ GL 2 (Z) la matrice associata all’automorfismo f in una base del<br />
reticolo; si tratta <strong>di</strong> una matrice a coefficienti interi, <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n pari all’or<strong>di</strong>ne dell’automorfismo<br />
f. Siano ζ 1 , ζ 2 i suoi autovalori complessi, necessariamente ra<strong>di</strong>ci n-esima dell’unità. Abbiamo che<br />
Tr(T)= a + d = ζ 1 + ζ 2 è un intero, ed è in valore assoluto ≤ 2, poiché |ζ 1 | = |ζ 2 |≤ 1; pertanto può<br />
essere uguale solo a −2, −1, 0, 1 o 2. Si lascia al lettore la facile verifica che in ognuno <strong>di</strong> questi casi<br />
le ra<strong>di</strong>ci ζ 1 , ζ 2 hanno or<strong>di</strong>ne 1, 2, 3, 4 o 6 e anche T ha lo stesso or<strong>di</strong>ne.<br />
Ogni reticolo è invariante per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 1 (identità) e 2 (riflessione rispetto all’origine).<br />
Si possono esibire esempi (essenzialmente unici) <strong>di</strong> reticoli invarianti per ro tazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3 e <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne 4. (Notiamo che i reticoli invarianti per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 6 sono quelli invarianti per rotazioni<br />
d’or<strong>di</strong>ne 3). Il seguente teorema li classifica:<br />
TEOREMA 3. Sia ζ = e 2πi/3 una ra<strong>di</strong>ce terza primitiva dell’unità. L’anello Z[ζ] è un reticolo in C invariante<br />
per rotazione <strong>di</strong> angolo 2π/3. Ogni reticolo invariante per tale rotazione è simile a Z[ζ]. Ogni<br />
reticolo invariante per rotazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 4 è simile al reticolo Z[i].<br />
Dimostrazione. Il numero algebrico ζ sod<strong>di</strong>sfa l’equazione ζ 2 + ζ + 1 = 0; pertanto l’anello Z[ζ] è<br />
generato come gruppo da 1, ζ (le potenze superiori <strong>di</strong> ζ si ottengono come combinazione lineare a<br />
coefficienti interi <strong>di</strong> 1, ζ). Allora l’anello Z[ζ] è un reticolo, invari ante per moltiplicazione per il suo<br />
elemento ζ, quin<strong>di</strong> per rotazione <strong>di</strong> 2π/3. Vogliamo <strong>di</strong>mostrare che si tratta dell’unico reticolo invariante,<br />
a meno <strong>di</strong> similitu<strong>di</strong>ne. Sia allora Ω ⊂ C un tale reticolo, ω un suo elemento <strong>di</strong> norma minima.<br />
Se <strong>di</strong>mostriamo che la coppia (ω, ζ · ω) è una base <strong>di</strong> Ω, allora la similitu<strong>di</strong>ne del piano complesso<br />
z → z/ω lo identifica al reticolo Z[ζ].
50 Capitolo 1. Ricerche<br />
Dobbiamo quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrare che ω, ζ · ω generano Ω; ciò equivale al fatto che nel parallelogramma<br />
<strong>di</strong> vertici 0, ω, ω+ζω, ζω non ci sono punti del reticolo, oltre ai vertici. Per semplificare la notazione,<br />
supponiamo ω = 1 (cioè consideriamo il reticolo simile ω -1 Ω). Sappiamo allora per ipotesi<br />
che 1 è un vettore <strong>di</strong> norma minima. Sia dunque λ = a+bζ con 0 ≤ a, b ≤ 1 un punto del reticolo nel<br />
parallelogramma <strong>di</strong> vertici 0, 1, 1+ ζ,ζ. Calcolando la norma <strong>di</strong> λ otteniamo |λ| 2 = λ · λ ¯ = (a + bζ)<br />
(a + bζ ¯ ) = a 2 + b 2 − ab. Aggiungendo multipli interi <strong>di</strong> 1 e ζ (quin<strong>di</strong> punti del reticolo), otteniamo un<br />
punto λ’ = a’ + b’ζ con |a|≤ 1/2, |b|≤ 1/2. La sua norma è allora ≤ 3/4, contro l’ipotesi che la norma<br />
minima fosse 1. La <strong>di</strong>mostrazione è simile per il caso dei reticoli invarianti per rotazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 4.<br />
4. Le isometrie del piano<br />
Definiamo isometria ogni trasformazione del piano (affine) R 2 che conserva le <strong>di</strong>stanze: una trasformazione<br />
δ del piano è una isometria se per ogni coppia <strong>di</strong> punti P, Q vale l’uguaglianza<br />
<strong>di</strong>st(P, Q) = <strong>di</strong>st(δ(P),δ(Q)).<br />
Le isometrie formano un gruppo, denotato I. Gli elementi <strong>di</strong> I si <strong>di</strong>vidono in quattro tipi:<br />
(1) Traslazioni. Le abbiamo già definite. Esse formano un gruppo, in<strong>di</strong>cato con T, iso morfo al<br />
gruppo ad<strong>di</strong>tivo R 2 . T è un sottogruppo normale <strong>di</strong> I.<br />
(2) Rotazioni. Sono definite a partire da un centro <strong>di</strong> rotazione P e un angolo <strong>di</strong> rotazione α. Noteremo<br />
con ρ P,α la rotazione in senso anti-orario attorno a P <strong>di</strong> angolo α. Fissato un punto P, le<br />
rotazioni <strong>di</strong> centro P formano un sottogruppo <strong>di</strong> I; i suoi coniugati sono i sottogruppi <strong>di</strong> rotazioni<br />
attorno agli altri punti del piano. Notiamo che componendo rotazioni <strong>di</strong> centri <strong>di</strong>versi e<br />
con angoli opposti si ottiene una traslazione; pertanto l’insieme delle rotazioni non è un sottogruppo.<br />
(3) Riflessioni. Sono definite a partire da una retta r, ed associano ad ogni punto P il punto simmetrico<br />
<strong>di</strong> P rispetto a r. I punti <strong>di</strong> r sono i punti fissi per la rifles sione. Notiamo che componendo<br />
due riflessioni rispetto a rette parallele si ottiene una traslazione, mentre se gli assi <strong>di</strong> riflessione<br />
sono incidenti si ottiene una rotazione attorno al loro punto d’intersezione.<br />
(4) Glissoriflessioni. Sono il prodotto <strong>di</strong> una riflessione e <strong>di</strong> una traslazione <strong>di</strong> vettore parallelo<br />
all’asse <strong>di</strong> riflessione; non hanno punti fissi.<br />
Le isometrie dei tipo (1) e (2) sono dette <strong>di</strong>rette, e formano un sottogruppo I + <strong>di</strong> I. Quelle <strong>di</strong> tipo (3)<br />
e (4) sono dette inverse; componendo due isometrie inverse se ne ottiene una <strong>di</strong>retta, mentre il prodotto<br />
<strong>di</strong> una isometria inversa con una <strong>di</strong>retta è una isometria inversa.<br />
Ad ogni isometria affine δ si associa una isometria vettoriale δ → dello spazio R 2 nel modo seguente:<br />
per ogni coppia P, Q del piano affine A 2 poniamo . L’applicazione δ → risulta ben<br />
definita, cioè in<strong>di</strong>pendente dal particolare segmento orientato PQ scelto come rappresentante del<br />
vettore , è lineare e conserva la norma euclidea in R2 . Queste proprietà possono essere assunte<br />
nella definizione <strong>di</strong> isometria, in maniera alternativa alla definizione data qui. In<strong>di</strong>chiamo con O2 il<br />
gruppo delle isometrie vettoriali, cioè degli automorfismi lineari <strong>di</strong> R2 che conservano la norma. Possiamo<br />
identificarlo col gruppo delle matrici ortogonali.<br />
Il legame tra le isometrie affini e quelle vettoriali è rappresentato dal seguente:<br />
TEOREMA 4. L’applicazione δ δ → è un morfismo dal gruppo I sul gruppo O 2 . Il suo nucleo è il gruppo<br />
delle traslazioni T. L’immagine <strong>di</strong> I + è il sottogruppo SO 2 delle matrici <strong>di</strong> O 2 con determinante 1.<br />
Osservazione. Fissiamo un punto P ∈ R 2 . Sia I P lo stabilizzatore <strong>di</strong> P in I, cioè il gruppo delle isometrie<br />
che fissano il punto P. Giacchè nessuna traslazione, a parte l’identità, fissa P, la restrizione<br />
del morfismo δ δ → a I P è iniettiva. Pertanto le isometrie affini che fissano un punto dato P sono
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identificate dalle isometrie vettoriali associate. In altri termini, una isometria è definita dall’immagine<br />
<strong>di</strong> un qualsiasi punto e dalla isometria vettoriale associata.<br />
Dato un intero positivo n, chiamiamo C n il gruppo generato dalla rotazione (vettoriale) <strong>di</strong> R 2 <strong>di</strong> angolo<br />
2π/n. È il gruppo delle matrici del tipo con k ∈{0, 1,..., n−1}.<br />
Si tratta naturalmente <strong>di</strong> un gruppo ciclico <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n. Abbiamo il seguente teorema:<br />
TEOREMA 5. Tutti i sottogruppi finiti <strong>di</strong> SO 2 sono del tipo C n .<br />
Dimostrazione. Sia K un sottogruppo finito <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n <strong>di</strong> SO 2 . Allora ogni matrice T ∈ K verifica<br />
T n = I (l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> un elemento <strong>di</strong>vide l’or<strong>di</strong>ne del gruppo). Siccome le matrici <strong>di</strong> rotazioni T con la<br />
proprietà che T n = I sono tutte potenze della matrice , e sono in<br />
numero <strong>di</strong> n, segue che K = Cn .<br />
Sia Dn il gruppo generato da Cn e dalla riflessione . È un gruppo finito, <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2n,<br />
detto gruppo <strong>di</strong>edrale (n-esimo). Contiene Cn come sottogruppo normale <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce 2. Osserviamo che<br />
D1 e D2 sono gruppi abeliani, mentre per n ≥ 3 il gruppo Dn non è abeliano.<br />
I gruppi Cn e Dn esauriscono la lista dei sottogruppi finiti del gruppo I, come <strong>di</strong> mostrato da Leonardo<br />
Da Vinci (naturalmente senza utilizzare il linguaggio della teoria dei gruppi). Il risultato preciso<br />
è il seguente:<br />
TEOREMA 6. Per ogni gruppo finito <strong>di</strong> isometrie G, il morfismo δ δ → è un isomor fismo <strong>di</strong> G su un<br />
gruppo C n o un gruppo coniugato <strong>di</strong> D n .<br />
Dimostrazione. Dimostriamo prima che G ammette un punto fisso. Sia A un qualsiasi punto del piano<br />
affine; la sua orbita sotto l’azione <strong>di</strong> G è un insieme finito {A 1 ,...,A m }, dove m = |G|/|G A |. Ogni isometria<br />
<strong>di</strong> G permuta i punti A 1 ,...,A m , quin<strong>di</strong> ne fissa il baricentro P. Allora G ⊂ I P , quin<strong>di</strong> la restrizione<br />
del morfismo δ δ → a G è iniettiva, cioè è un isomorfismo con l’immagine G͂ ⊂ O 2 . Se G → ⊂ SO 2 ,<br />
allora per il teorema precedente G → =C n , dove n = |G|. Altrimenti, sia σ una riflessione <strong>di</strong> G → ; a meno<br />
<strong>di</strong> coniugio si può supporre che σ sia la riflessione . Poniamo K = G͂ ∩ SO 2 = C n<br />
(n = |G|/2). Allora è G͂ generato da K e da σ, cioè è D n .<br />
Chiamiamo gruppo <strong>di</strong>scontinuo <strong>di</strong> isometrie un sottogruppo Δ <strong>di</strong> I con la proprietà seguente:<br />
Sia P un punto del piano, ε> 0. Allora per tutte le isometrie ∈ → Δ, a parte un numero finito <strong>di</strong> esse,<br />
<strong>di</strong>st(P, δ(P )) >ε.<br />
Si potrebbe riformulare la proprietà <strong>di</strong>cendo che per ogni regione limitata del piano X, l’insieme delle<br />
isometrie δ∈Δ tali che δ(X) ∩ X ≠Ø è finito. In maniera equivalente, si può <strong>di</strong>re che ogni punto ha<br />
stabilizzatore finito e orbita <strong>di</strong>screta.<br />
Dato un gruppo <strong>di</strong>scontinuo (<strong>di</strong> isometrie) Δ, possiamo definire la nozione <strong>di</strong> dominio fondamentale<br />
per Δ in maniera analoga a quanto fatto nel caso dei reticoli.<br />
Definizione. Si <strong>di</strong>ce dominio fondamentale per Δ una parte connessa e misurabile F del piano con<br />
le proprietà:<br />
(1) Il piano R 2 è ricoperto dalle immagini <strong>di</strong> F rispetto a Δ:
52 Capitolo 1. Ricerche<br />
(2) Se δ ≠ e allora δ(F) ∩ F ha area nulla.<br />
R 2 = δ∈Δ δ(F).<br />
Osserviamo che la proprietà (2) si potrebbe riscrivere sotto la forma “se δ 1 ≠δ 2 sono isometrie del<br />
gruppo Δ allora δ 1 (F) ∩ δ 2 (F) ha area nulla.”<br />
Naturalmente ci sono in generale infiniti domini fondamentali per un gruppo Δ; è invariante (nel<br />
senso che <strong>di</strong>pende solo da Δ) l’area <strong>di</strong> un dominio fondamentale. Chiamer emo questo invariante<br />
volume del gruppo Δ, facendo attenzione al fatto che il volume dei sottogruppi <strong>di</strong> Δ è maggiore del<br />
volume <strong>di</strong> Δ! (Naturalmente, più piccolo è il gruppo, più grande dev’essere un dominio per ricoprire<br />
il piano sotto l’azione del gruppo). Ci inter essano in particolare i gruppi <strong>di</strong>scontinui <strong>di</strong> volume finito,<br />
che sono classificati nel modo seguente:<br />
TEOREMA 7. Sia Δ un gruppo <strong>di</strong> isometrie. Sono equivalenti:<br />
1) Δ è <strong>di</strong>scontinuo <strong>di</strong> volume finito<br />
2) Δ ∩ T è un reticolo <strong>di</strong> traslazioni.<br />
Abbiamo ora introdotto tutte le nozioni che permettono <strong>di</strong> chiarire cosa s’intenda per simmetria ornamentale<br />
e per <strong>di</strong>segno perio<strong>di</strong>co: dato un gruppo <strong>di</strong>scontinuo Δ, si può ottenere un <strong>di</strong>segno ornamentale<br />
semplicemente decorando in qualsiasi maniera un dominio fondamentale C per Δ, utilizzato<br />
come “piastrella”, e poi “riportando” il <strong>di</strong>segno su tutto il piano me<strong>di</strong>ante l’azione <strong>di</strong> Δ. Si ottiene<br />
allora un <strong>di</strong>segno perio<strong>di</strong>co che viene conservato da tutte le isometrie <strong>di</strong> Δ. Viceversa, dato un <strong>di</strong>segno<br />
nel piano, <strong>di</strong>remo che si tratta <strong>di</strong> un <strong>di</strong>segno perio<strong>di</strong>co se il gruppo <strong>di</strong> isometrie che lo conserva<br />
è <strong>di</strong>scontinuo <strong>di</strong> volume finito.<br />
5 Classificazione dei gruppi <strong>di</strong>scontinui<br />
Il nostro scopo era quello <strong>di</strong> classificare i <strong>di</strong>segni perio<strong>di</strong>ci. È naturale cercare <strong>di</strong> classificarli “a meno<br />
<strong>di</strong> equivalenza”. Potremmo <strong>di</strong>re allora che due <strong>di</strong>segni perio<strong>di</strong>ci sono equivalenti quando i gruppi <strong>di</strong><br />
isometrie che li con servano (automorfismi del <strong>di</strong>segno) sono gli stessi. Saremmo quin<strong>di</strong> condotti a<br />
classificare i gruppi <strong>di</strong>scontinui <strong>di</strong> isometrie del piano. Consideriamo però queste situazioni:<br />
(1) Disponiamo <strong>di</strong> due <strong>di</strong>segni, il secondo dei quali è come il primo, ma in scala più grande. Allora<br />
i gruppi <strong>di</strong> automorfismi potrebbero essere <strong>di</strong>versi: per esempio se il primo gruppo contiene un<br />
reticolo <strong>di</strong> traslazioni, il secondo deve contenere un reticolo <strong>di</strong> traslazioni nelle stesse <strong>di</strong>rezioni,<br />
ma <strong>di</strong> lunghezze <strong>di</strong>verse.<br />
(2) Di due <strong>di</strong>segni, uno si ottiene dall’altro ruotandolo. Naturalmente anche in questo caso i gruppi<br />
<strong>di</strong> automorfismi saranno in generale <strong>di</strong>versi.<br />
Questi esempi mostrano che è più naturale cercare una nozione meno rigida <strong>di</strong> equiv alenza tra <strong>di</strong>segni:<br />
possiamo considerare come equivalenti tutti i <strong>di</strong>segni ottenuti da uno dato tramite una trasformazione<br />
affine (isometrica o no). In ogni caso i gruppi <strong>di</strong> auto morfismi saranno tra loro coniugati<br />
nel gruppo <strong>di</strong> tutte le affinità del piano. Possiamo allora enunciare in maniera precisa il problema<br />
iniziale nel modo seguente:<br />
Problema<br />
Classificare le classi <strong>di</strong> coniugio dei gruppi <strong>di</strong>scontinui <strong>di</strong> isometrie nel gruppo delle affinità del<br />
piano.<br />
Otterremo <strong>di</strong>ciassette classi <strong>di</strong> coniugio, e per ognuna <strong>di</strong> queste sarà possibile esibire un <strong>di</strong>segno ornamentale<br />
corrispondente, a partire da un dominio fondamentale.<br />
Per classificare i gruppi <strong>di</strong>scontinui Δ, che sono gli invarianti caratterizzanti la classe d’equivalenza<br />
del <strong>di</strong>segno, secondo il problema, conviene cominciare con lo stu<strong>di</strong>are altri invarianti, più semplici.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 53<br />
Il primo <strong>di</strong> questi è il reticolo Ω, il secondo è il gruppo <strong>di</strong> isometrie vettoriali Δ → . La coppia (Ω, Δ → )<br />
non basta comunque, da sola, a determinare Δ a meno <strong>di</strong> coniugio, ma fornisce molte informazioni.<br />
Cominciamo dal reticolo Ω. Fissata una base (ω 1 , ω 2 ) <strong>di</strong> Ω, i punti <strong>di</strong> Ω saranno quei vettori <strong>di</strong> R 2 le<br />
cui coor<strong>di</strong>nate nella base (ω 1 , ω 2 ) sono dei numeri interi. Possiamo esprimere questo fatto <strong>di</strong>cendo<br />
che tutti i reticoli sono isomorfi al reticolo degli interi Z 2 :<br />
TEOREMA 8. Per ogni reticolo Ω ⊂ R 2 esiste un automorfismo lineare φ ∈ GL(R 2 ) tale che φ(Ω) = Z 2 .<br />
Pertanto per ogni ω ∈ Ω la traslazione φ ◦ τ ω ◦ φ −1 = τ φ(ω) è una traslazione <strong>di</strong> vettore intero.<br />
Dato un gruppo <strong>di</strong>scontinuo Δ <strong>di</strong> isometrie, possiamo considerare il gruppo coniugato φ ◦ Δ ◦ φ −1 ,<br />
la cui intersezione col gruppo delle traslazioni T consiste nel reticolo delle traslazioni intere. Siccome<br />
φ non è necessariamente una isometria, il gruppo coniugato <strong>di</strong> Δ tramite φ non sempre è un<br />
gruppo <strong>di</strong> isometrie.<br />
Il secondo invariante da stu<strong>di</strong>are è il gruppo Δ → , che è un sottogruppo <strong>di</strong> O 2 (R), per il quale, grazie ai<br />
Teoremi 2 e 6, ci sono <strong>di</strong>eci possibilità. Un altro invariante importante è l’azione <strong>di</strong> Δ sul suo reticolo<br />
<strong>di</strong> traslazioni Ω, che ’e, ricor<strong>di</strong>amolo, un sottogruppo normale <strong>di</strong> Δ. Il gruppo Δ agisce infatti<br />
per coniugio nel modo seguente: ad ogni suo elemento δ si associa l’automorfismo δ ¯ <strong>di</strong> Ω definito da<br />
δ ¯ (τ )= δ ◦ τ ◦ δ −1 per ogni traslazione τ ∈ Ω → .<br />
Naturalmente δ ¯ è l’identità su Ω se e solo se δ commuta con tutte le traslazioni del reticolo Ω. Questo<br />
implica che δ è esso stesso una traslazione. Abbiamo infatti il<br />
TEOREMA 9. Siano ω1 , ω2 ∈ R2 due vettori linearmente in<strong>di</strong>pendenti. Ogni affinità δ che commuta con<br />
le due traslazioni τ , τ commuta con tutte le traslazioni. Nel tal caso δ è una traslazione.<br />
ω1 ω2<br />
Lasciamo al lettore la facile <strong>di</strong>mostrazione. È importante il seguente<br />
Corollario. Sia Δ un gruppo <strong>di</strong>scontinuo <strong>di</strong> affinità, con reticolo <strong>di</strong> traslazioni Ω. Il nucleo del<br />
morfismo δ δ ¯ è il sottogruppo Ω. Pertanto il gruppo quoziente {δ ¯ |δ ∈Δ} è canonicamente isomorfo<br />
al gruppo Δ → .<br />
Come già osservato, se τ ∈Ω è la traslazione τ ω <strong>di</strong> vettore ω ∈ Ω, allora .<br />
A questo punto ci troviamo con due invarianti: il gruppo Δ → e una sua azione sul gruppo Ω ≅ Z 2. Tale<br />
azione, una volta scelta una base <strong>di</strong> Ω, è definita da un morfismo φ : Δ → → GL 2 (Z), che identifica Δ → ad<br />
un gruppo <strong>di</strong> matrici Φ = φ(Δ → ) ⊂ GL 2 (Z). Cambiando la base del reticolo, l’azione risultante cambia<br />
per un automorfismo interno in GL 2 (Z); pertanto identificheremo due azioni, cioè due morfismi φ 1 ,φ 2 ,<br />
se le loro immagini Φ 1 = φ 1 (Δ → ), Φ2 = φ 2 (Δ → ) sono coniugate in GL 2 (Z), cioè se esite una matrice<br />
T ∈ GL 2 (Z) tale che Φ 1 = T · Φ 2 · T −1 . Ricor<strong>di</strong>amo che per il gruppo Δ → ci sono <strong>di</strong>eci possibilità: i cinque<br />
gruppi C n e i cinque gruppi <strong>di</strong>edrali D n (n =1, 2, 3, 4, 6). I gruppi C n sono gruppi <strong>di</strong> rotazioni; pertanto<br />
ci interessano le loro rappresentazioni nel gruppo SL 2 (Z); i gruppi <strong>di</strong>edrali invece sono generati<br />
da un gruppo <strong>di</strong> rotazioni C n e da una riflessione. Quin<strong>di</strong> le rappresentazioni <strong>di</strong> D n che ci interessano<br />
non hanno immagine contenuta in SL 2 (Z). Diremo che una rappresentazione <strong>di</strong> Δ → in GL 2 (Z) è ammissibile<br />
se conserva il determinante, cioè se il sottogruppo delle rotazioni viene mandato in SL 2 (Z) e<br />
le riflessioni nel suo complementare. Notiamo al tal proposito che D 1 e C 2 sono gruppi isomorfi, ma<br />
non ammettono rappresentazioni ammissibili con la stessa immagine.<br />
Ci siamo quin<strong>di</strong> ricondotti a stu<strong>di</strong>are il seguente invariante <strong>di</strong> Δ: una rappresentazione ammissibile<br />
<strong>di</strong> Δ → in GL 2 (Z) a meno <strong>di</strong> coniugio in GL 2 (Z). Vedremo che ce ne sono tre<strong>di</strong>ci in tutto, e che non<br />
bastano (ma per poco!) a caratterizzare Δ a meno <strong>di</strong> coniugio.<br />
Nel caso dei gruppi <strong>di</strong> rotazioni, la rappresentazione è essenzialmente unica:
56 Capitolo 1. Ricerche<br />
Δ P <strong>di</strong> P è generato da δ. Il gruppo Δ si decompone in un prodotto semi-<strong>di</strong>retto del sottogruppo normale<br />
delle sue traslazioni Ω e dello stabilizzatore Δ P ≅ Δ → . L’azione <strong>di</strong> Δ → su Ω è naturalmente quella<br />
descritta al paragrafo precedente. In questo caso Δ risulta determinato. Otteniamo pertanto il<br />
TEOREMA 13. Ci sono esattamente cinque classi <strong>di</strong> coniugio <strong>di</strong> gruppi <strong>di</strong>scontinui Δ < I + <strong>di</strong> volume<br />
finito. Si ottengono come prodotto semi <strong>di</strong>retto <strong>di</strong> un gruppo C n (per n =1, 2, 3, 4, 6) con un reticolo<br />
invariante.<br />
Invece nel caso in cui Δ ⊄ I + , cioè quando Δ contiene riflessioni o glisso-riflessioni, non è detto che esista<br />
un sottogruppo complementare a Ω e che Δ si decomponga in prodotto semi-<strong>di</strong>retto. Questo spiega<br />
perché da tre<strong>di</strong>ci possibli azioni <strong>di</strong> δ → su Z 2 si ottengano <strong>di</strong>ci assette gruppi <strong>di</strong>scontinui non coniugati.<br />
Nel seguito Δ è un gruppo <strong>di</strong>scontinuo <strong>di</strong> isometrie, <strong>di</strong> volume finito, non contenuto in I + ; pertanto il<br />
gruppo Δ → è un gruppo <strong>di</strong>edrale D n , contenente Δ → + = Cn come sottogruppo <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce 2. In<strong>di</strong>chiamo con<br />
π :Δ → Δ → la proiezione canonica, <strong>di</strong> nucleo Ω. Sia O ∈ A 2 un centro per il sottogruppo Δ + , in modo<br />
che il suo stabilizzatore Δ O sia isomorfo, tramite la proiezione π, a C n . Vale il seguente<br />
TEOREMA 14. Sia Δ come sopra, con Δ → <strong>di</strong>edrale. Le seguenti proposizioni sonoequivalenti:<br />
(1) La proiezione π ammette una sezione.<br />
(2) Esiste un sottogruppo <strong>di</strong> Δ isomorfo a Δ → .<br />
(3) Esiste un asse <strong>di</strong> riflessione passante per O.<br />
(4) L’orbita <strong>di</strong> O sotto l’azione <strong>di</strong> Δ coincide con l’orbita sotto l’azione <strong>di</strong> Ω.<br />
(5) Ogni glisso-riflessione <strong>di</strong> Δ si decompone nel gruppo Δ nel prodotto <strong>di</strong> una riflessione per una<br />
traslazione.<br />
(6) Δ si decompone nel prodotto semi-<strong>di</strong>retto <strong>di</strong> Δ → per Ω.<br />
Dimostrazione. (1) ⇒ (2). Sia θ una sezione <strong>di</strong> π. Allora θ(Δ → ) è isomorfo a Δ → .<br />
(2) ⇒ (3). Sia G un sotto-gruppo <strong>di</strong> Δ isomorfo a Δ → ; siccome G è finito, non può contenere traslazioni,<br />
quin<strong>di</strong> la restrizione <strong>di</strong> π a G è iniettiva. Allora G è isomorfo via π a Δ → ; consiste <strong>di</strong> n rotazioni<br />
e n riflessioni (nessuna glisso-riflessione essendo un gruppo finito). Abbiamo già osservato che ogni<br />
gruppo finito <strong>di</strong> affinità ammette un punto fisso (il baricentro dell’orbita <strong>di</strong> un qualsiasi punto). Sia<br />
P un punto fisso per G; in particolare P è un centro per Δ + , pertanto sta nell’orbita <strong>di</strong> O; allora lo<br />
stabilizzatore <strong>di</strong> O è coniugato a G, quin<strong>di</strong> contiene riflessioni. (3) ⇒ (4). Se esiste una riflessione<br />
che fissa O, allora lo stabilizzatore <strong>di</strong> O contiene 2n elementi (n rotazioni <strong>di</strong> centro O, per ipotesi,<br />
e n riflessioni, ottenute da una <strong>di</strong> esse coniugandole con le rotazioni). Allora la restrizione <strong>di</strong> π a<br />
Δ O è surgettiva. Sia ora P un punto dell’orbita <strong>di</strong> O per Δ; sia δ ∈ Δ tale che δ(O)= P, σ un elemento<br />
<strong>di</strong> Δ O tale che π(σ)= π(δ). Poniamo δ’ = δ ◦ σ −1. Allora δ’(O) = δ(O)= P e π(δ’)= e, quin<strong>di</strong><br />
δ’ è una traslazione che manda O in P. (4) ⇒ (5). Sia δ ∈ Δ una glisso-riflessione. Allora δ = σ ◦ τ,<br />
dove σ è una riflessione e τ una traslazione <strong>di</strong> vettore parallelo all’asse fisso <strong>di</strong> σ. Dobbiamo <strong>di</strong>mostrare<br />
che σ e τ appartengono a Δ. Sia τ la traslazione tale che τ(O)= δ(O). Allora σ := τ -1 ◦ δ è una<br />
isometria inversa che fissa O; pertanto è una riflessione rispetto ad un asse passante per O. Allora<br />
δ = σ ◦ τ con σ, τ nel gruppo Δ. (5) ⇒ (6). Il gruppo Δ → è generato da due riflessioni vettoriali ;<br />
per ipo tesi sono indotte da riflessioni σ 1 , σ 2 del gruppo Δ, non solo da glisso-rilessioni. Sia O il<br />
punto d’intersezione degli assi <strong>di</strong> riflessione <strong>di</strong> σ 1 , σ 2 . Allora lo stabilizzatore <strong>di</strong> O è isomorfo a D n .<br />
Vogliamo <strong>di</strong>mostrare che ogni elemento <strong>di</strong> Δ si decompone in modo unico come prodotto σ ◦ τ dove<br />
σ fissa O e τ è una traslazione. Cominciamo con l’unicità: dalla relazione σ ◦ τ = σ’ ◦ τ’ si deduce<br />
σ’ −1 ◦ σ = τ’ ◦ τ −1. Siccome σ’ −1 ◦ σ fissa O, anche la traslazione τ’ ◦ τ −1 deve fissare O, quin<strong>di</strong> è l’identità,<br />
e così σ’ −1 ◦ σ =e cioè σ = σ’ e τ = τ’. Per l’esistenza della decomposizione, usiamo il fatto<br />
che giacché Δ O ≅ D n , la proiezione Δ O Δ → è surgettiva. Sia ora δ un qualsiasi elemento <strong>di</strong> Δ; l’isometria<br />
vettoriale δ → è anche indotta da una isometria σ che fissa O; pertanto σ −1 ◦ δ = τ è una traslazione<br />
e δ = σ ◦ τ come si voleva. Per il teorema 13, Δ è un prodotto semi-<strong>di</strong>retto del suo sottogruppo<br />
normale delle traslazioni per lo stabilizzatore Δ O . (6) ⇒ (1) È imme<strong>di</strong>ato.
58 Capitolo 1. Ricerche<br />
anche il loro rapporto). Anche in questo caso il gruppo è prodotto semi-<strong>di</strong>retto del sottogruppo delle<br />
traslazioni per il sottogruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x. Tuttavia il gruppo non è<br />
isomorfo al precedente nemmeno come gruppo astratto.<br />
VIII. Δ → = D 1 , Φ = e Δ non si decompone come prodotto semi-<strong>di</strong>retto. In coor<strong>di</strong>nate opportune il<br />
gruppo risulta generato dalle traslazioni intere e dalla glisso -riflessione σ : . Notare<br />
che Δ non contiene alcuna riflessione. Esempio: il <strong>di</strong>segno dei Cavalieri.<br />
IX. Δ → = D 2 , Φ =< −I,A > -In virtù del Teorema 14, Δ è prodotto semi-<strong>di</strong>retto del gruppo delle traslazioni<br />
del reticolo del caso VI per il gruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x e dalla rotazione<br />
<strong>di</strong> un angolo π.<br />
X. Δ → = D 2 , Φ=< −I,B > e Δ si decompone. -Allora Δ è il prodotto semi-<strong>di</strong>retto del reticolo delle traslazioni<br />
intere per il gruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x e dalla rotazione <strong>di</strong> un angolo π.<br />
XI. Δ → = D 2 , Φ=< −I,B > e Δ non si decompone. -Δ risulta allora generato dalle traslazioni intere, dalla<br />
rotazione <strong>di</strong> π e dalla glissoriflessione σ : . Non contiene riflessioni.<br />
XII. Δ → = D 3 , Φ=. -Il reticolo è come nel terzo caso, e il gruppo contiene in più le riflessioni<br />
rispetto ad un asse generato da un elemento <strong>di</strong> norma minima del reticolo. (Scegliendo come base<br />
ζ,ζ 2 , dove ζ è una ra<strong>di</strong>ce terza primitiva <strong>di</strong> 1, la riflessione <strong>di</strong>venta il coniugio).<br />
XIII. Δ → = D 3 , Φ= e Δ si decompone come prodotto semi-<strong>di</strong>retto. -Analogo al precedente, solo<br />
che l’asse <strong>di</strong> riflessione non contiene elementi del reticolo <strong>di</strong> norma minima.<br />
XIV. Δ → = D 3 , Φ=< T 3 ,C > e Δ non si decompone. -Prendendo, come reticolo Z[ζ], rispetto al caso<br />
precedente c’è la glisso-riflessione prodotto della riflessione attorno all’asse y con la traslazione <strong>di</strong><br />
(ζ − ζ 2 )/2. Non contiene riflessioni.<br />
Angeli e <strong>di</strong>avoli. Cavalieri.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 59<br />
Rettili. Reticolo <strong>di</strong> mattonelle.<br />
XV. Δ → = D 4 e Δ si decompone. -Prendendo il reticolo Z[i], il gruppo è generato dal gruppo ad<strong>di</strong>tivo<br />
Z[i] dalla moltiplicazione per i (rotazione) e dal coniugio.<br />
XVI. Δ → = D 4 e Δ non si decompone. Allora Δ contiene il prodotto del coniugio per la traslazione <strong>di</strong><br />
1/2. Notare che sono presenti riflessioni lungo assi paralleli alle <strong>di</strong>agonali; invece ci sono solo glissoriflessioni<br />
parallele agli assi. È interessante il fatto che gli assi <strong>di</strong> riflessione si incontrano in centri<br />
<strong>di</strong> rotazione <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2, non 4 (altrimenti, per il Teorema 14 –proprietà (3), Δ sarebbe un prodotto<br />
semi-<strong>di</strong>retto!). Vedere la figura degli Angeli e <strong>di</strong>avoli, avendo l’accortezza <strong>di</strong> scegliere delle coor<strong>di</strong>nate<br />
ortogonali sulle <strong>di</strong>agonali del <strong>di</strong>segno, passanti per un punto d’intersezione delle ali!<br />
XVII. Δ → = D 6 . È il caso del favo delle api.
MODELLI E ONTOLOGIE<br />
Elio Toppano<br />
Dipartimento <strong>di</strong> Matematica e Informatica, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
1. Introduzione: il concetto <strong>di</strong> modello<br />
Dare una definizione esauriente del concetto <strong>di</strong> modello è <strong>di</strong>fficile, in quanto, spesso, a questo termine<br />
vengono attribuiti significati <strong>di</strong>versi. Ve<strong>di</strong>amo alcuni esempi tratti dal linguaggio comune:<br />
- uno stilista che <strong>di</strong>segna il modello <strong>di</strong> un abito descrive, attraverso un insieme <strong>di</strong> linee <strong>sulla</strong> carta o<br />
<strong>sulla</strong> stoffa, una idea presente nella sua mente, una rappresentazione che non è ancora l’abito, ma<br />
che serve al sarto per tagliare e realizzare l’abito;<br />
- una rappresentazione grafica tri<strong>di</strong>mensionale <strong>di</strong> una <strong>di</strong>ga eseguita al calcolatore è un modello virtuale,<br />
in scala ridotta, dell’artefatto da realizzare;<br />
- un plastico della crosta terrestre realizzato con la plastilina è un modello fisico <strong>di</strong> qualche cosa che<br />
invece esiste già in natura, costruito in modo ritenuto funzionale per descrivere – analizzare e stu<strong>di</strong>are<br />
- questo particolare aspetto della realtà;<br />
- una carta geografica costituisce un modello bi<strong>di</strong>mensionale <strong>di</strong> una porzione <strong>di</strong> territorio, nel senso<br />
che lo riproduce graficamente secondo certe convenzioni;<br />
- un modello <strong>di</strong> vita è la rappresentazione <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> comportamenti assunti come riferimento;<br />
- una ricetta <strong>di</strong> cucina è il modello <strong>di</strong> una procedura nel senso che descrive una sequenza <strong>di</strong> azioni<br />
che, se eseguite nell’or<strong>di</strong>ne e nelle modalità descritte, permettono <strong>di</strong> realizzare la pietanza descritta<br />
dalla ricetta.<br />
Il denominatore comune (più o meno esplicito) a questi esempi è che un modello è qualche cosa che<br />
rappresenta o descrive qualcosa d’altro da se sia che questo qualche cosa d’altro sia già esistente<br />
(la crosta terrestre, una porzione <strong>di</strong> territorio, un comportamento <strong>di</strong> riferimento, una procedura, ecc.)<br />
oppure debba ancora essere realizzato (un abito, una <strong>di</strong>ga).<br />
Esistono però anche altri significati possibili. Per l’artista che esegue un ritratto dal vero, per esempio,<br />
il modello è la persona che viene ritratta piuttosto che la sua rappresentazione. Nella teoria delle<br />
basi <strong>di</strong> dati relazionali il termine “modello” denota un insieme <strong>di</strong> strutture simboliche me<strong>di</strong>ante le<br />
quali descrivere o rappresentare una certà realtà: in questo caso, quin<strong>di</strong>, il modello (ad esesempio il<br />
modello Entità Relazioni) è il linguaggio utilizzato per costruire la rappresentazione e non la rappresentazione<br />
stessa. In logica il termine modello viene usato con il singnificato <strong>di</strong> interpretazione<br />
semantica <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong> enunciati tale che gli enunciati sono veri sotto quella interpretazione. E<br />
gli esempi potrebbero continuare.<br />
La definizione che segue è stata proposta da Minsky [9] e coglie alcuni aspetti generali, ma importanti<br />
<strong>di</strong> questo concetto:<br />
“Dati due oggetti, M ed S, e un osservatore O, l’oggetto M è detto modello dell’oggetto S se l’osservatore<br />
O può usare M per rispondere a domande o, più in generale, per risolvere problemi, che lo<br />
interessano e che riguardano S”.<br />
La definizione non fa particolari assunzioni <strong>sulla</strong> natura delle entità M ed S coinvolte. S potrebbe essere<br />
un sistema esistente oppure ancora da costruire; potrebbe essere un oggetto, ad esempio un artefatto tecnico,<br />
oppure un fenomeno fisico, un processo industriale, una procedura o una attività. Analogamente<br />
il modello M può essere <strong>di</strong> natura <strong>di</strong>versa: una descrizione simbolica (un modello simbolico) oppure<br />
un oggetto materiale (un “modellino” in scala ridotta). L’aspetto che viene sottolineato con maggior<br />
forza dalla definizione <strong>di</strong> Minsky è che un modello è un particolare tipo <strong>di</strong> artefatto, cioè un oggetto<br />
progettato (e costruito) intenzionalmente per sod<strong>di</strong>sfare uno o più scopi (in un contesto dato).<br />
Alcune implicazioni teoriche e pratiche della definizione sono le seguenti [5]:<br />
1. un modello è un “surrogato” della realtà che viene costruito per permettere all’osservatore-utente<br />
<strong>di</strong> trarre delle conseguenze <strong>sulla</strong> realtà (esistente o immaginata) ragionando, piuttosto che agendo<br />
in essa;
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 61<br />
2. un modello, essendo un surrogato, è inevitabilmente una astrazione della realtà e incorpora un<br />
insieme <strong>di</strong> assunzioni - ontologiche (su cosa esiste), epistemologiche e rappresentazionali (su<br />
come ciò che esiste può essere conosciuto e descritto) che sono specifiche rispetto allo scopo per<br />
cui viene costruito;<br />
3. per un dato oggetto S non esiste “il Modello <strong>di</strong> S”, ma esistono <strong>di</strong>versi modelli che rappresentano<br />
S da <strong>di</strong>verse prospettive, a <strong>di</strong>versi livelli <strong>di</strong> astrazione e per <strong>di</strong>versi scopi a seconda dell’osservatore<br />
O, del tipo <strong>di</strong> problema da risolvere e degli obiettivi dell’applicazione a cui il modello e destinato;<br />
4. l’accettabilità <strong>di</strong> un modello M può essere valutata: i) rispetto al sistema reale S che esso descrive,<br />
ii) rispetto agli scopi che l’osservatore O desidera sod<strong>di</strong>sfare, iii) rispetto ad un altro modello M*<br />
che rappresenta il sistema S, per gli stessi scopi, ma ad un livello <strong>di</strong>verso <strong>di</strong> astrazione o approssimazione.<br />
Come conseguenza, cambiano i criteri <strong>di</strong> valutazione: l’accuratezza e la precisione del<br />
modello nel descrivere o pre<strong>di</strong>re gli aspetti rilevanti della realtà modellata, nel primo caso; l’utilità<br />
ed efficacia del modello nel sod<strong>di</strong>sfare lo scopo dell’utente, nel secondo caso; e, infine, l’efficienza,<br />
la semplicità, l’usabilità e, in generale, la adeguatezza cognitiva della rappresentazione,<br />
nell’ultimo caso.<br />
1.1 I modelli simbolici<br />
Un modello simbolico è essenzialmente una descrizione. Ma come è fatta una descrizione, quali sono<br />
gli ingre<strong>di</strong>enti principali che costituiscono una descrizione? Sapere come è fatta una descrizione permette<br />
<strong>di</strong> capire che decisioni si devono prendere quando si intende costruire un modello.<br />
Nel seguito supporremmo quanto segue [10-11]:<br />
1. una descrizione è costituita da un insieme <strong>di</strong> asserzioni riguardanti la realtà S considerata (che<br />
denoteremo con il termine referente). Il modello descrive S nel senso che asserisce, cioè <strong>di</strong>ce qualche<br />
cosa su S;<br />
2. le asserzioni sono rappresentate in un qualche linguaggio <strong>di</strong> rappresentazione(L);<br />
3. le asserzioni descrivono la realtà modellata S in termini <strong>di</strong> un qualche sistema <strong>di</strong> concetti (una concettualizzazione).<br />
Più precisamente, col termine concettualizzazione si intendono: i tipi <strong>di</strong> entità<br />
(materiali o astratte) che si assume esistano nel mondo, i tipi <strong>di</strong> relazioni che si suppone valgano<br />
fra tali entità e, infine, gli attributi delle entità (e delle relazioni) con i relativi domini <strong>di</strong> possibili<br />
valori. La concettualizzazione <strong>di</strong>pende dal punto <strong>di</strong> vista adottato dal modellizzatore;<br />
4. le asserzioni del linguaggio, per reificarsi in segni fisici, tangibili e percepibili, hanno bisogno <strong>di</strong><br />
un veicolo strumentale. Si pensi, ad esempio, alle parole scritte con l’inchiostro su un foglio <strong>di</strong><br />
carta, o alle immagini formate da pixel luminosi sullo schermo <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> calcolo.<br />
Ad esempio, la pagina che state leggendo, composta da macchie <strong>di</strong> inchiostro su carta, è il veicolo<br />
strumentale. Le macchie <strong>di</strong> inchiostro rappresentano delle frasi espresse nella lingua italiana. Le frasi<br />
asseriscono qualche cosa del mondo nel senso che designano concetti, proprietà, relazioni che appartengono<br />
alla concettualizzazione che l’autore ha riguardo l’argomento trattato. La concettualizzazione<br />
esprime sempre ed inevitabilmente il punto <strong>di</strong> vista dell’autore sull’argomento.<br />
1.2 I modelli scientifici e quelli matematici<br />
Come si può collegare il concetto generale <strong>di</strong> modello simbolico con i concetti più specifici <strong>di</strong> modello<br />
scientifico e <strong>di</strong> modello matematico. Consideriamo alcune definizioni tratte dalla letteratura sull’argomento.<br />
Secondo Bunge, citato in [4]:<br />
“Un modello scientifico è una rappresentazione <strong>di</strong> un sistema reale o pensato, consistente in un<br />
insieme <strong>di</strong> enti con determinate proprietà, e una serie <strong>di</strong> leggi <strong>di</strong> stato che regolano il comportamento<br />
<strong>di</strong> questi enti; le funzioni che un modello scientifico essenzialmente assolve sono quella pre<strong>di</strong>ttiva<br />
e quella interpretativa”.<br />
La definizione riba<strong>di</strong>sce alcuni aspetti già analizzati: un modello scientifico è una rappresentazione,<br />
è un artefatto che serve per determinati scopi. In particolare vengono enfatizzate due funzioni specifiche<br />
quella pre<strong>di</strong>ttiva e quella interpretativa. L’insieme degli enti e delle leggi <strong>di</strong> stato cui fa rife-
62 Capitolo 1. Ricerche<br />
rimento la definizione sono considerate da Bunge come le componenti ontologiche <strong>di</strong> un modello<br />
scientifico. Gli enti del modello potrebbero denotare un insieme <strong>di</strong> grandezze fisiche, mentre le leggi<br />
sarebbero le equazioni <strong>di</strong>fferenziali che vincolano il comportamento (cioè la variazione dello stato<br />
inteso come insieme dei possibili valori) <strong>di</strong> tali grandezze nel tempo.<br />
Per Malinvaud [8]:<br />
“Un modello matematico è la rappresentazione formale <strong>di</strong> idee o conoscenze relative ad un fenomeno”.<br />
Secondo questa definizione:<br />
- un modello matematico è la rappresentazione <strong>di</strong> un fenomeno (piuttosto che <strong>di</strong> un sistema);<br />
- si richiede che tale rappresentazione sia espressa in un linguaggio formale;<br />
- non esiste una via <strong>di</strong>retta dalla realtà alla matematica, il fenomeno specifico descritto non determina<br />
la sua rappresentazione matematica. Ciò che si fa è tradurre idee e conoscenze relative al fenomeno<br />
considerato. Si noti che in questo modo si sottolinea il ruolo delle concettualizzazioni del modellizzatore.<br />
Infine, si consideri la seguente definizione <strong>di</strong> modello proposta da Von Neumann - uno dei padri della<br />
Scienza dei Calcolatori - citato in Israel, [7]:<br />
“Per modello si intende un costrutto matematico che con l’aggiunta <strong>di</strong> certe interpretazioni verbali<br />
descrive fenomeni osservati. La giustificazione <strong>di</strong> un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente<br />
che ci si aspetta che funzioni cioè che descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente<br />
ampia. Inoltre esso deve sod<strong>di</strong>sfare certi criteri estetici cioè, in relazione alla quantità<br />
<strong>di</strong> informazione che descrive, deve essere semplice”<br />
Ci pare interessante sottolineare, in questa definizione, due aspetti. Il primo riguarda il criterio <strong>di</strong> giustificazione<br />
del modello adottato: il modello deve funzionare cioè descrivere correttamente i fenomeni<br />
in una area ragionevolmente ampia. È un criterio molto pragmatico, ma anche problematico. Che cosa<br />
significa descrivere correttamente? Cosa si deve intendere per “area ragionevolmente ampia”?<br />
Il secondo aspetto interessante riguarda l’applicazione <strong>di</strong> un criterio estetico: un modello non solo<br />
deve riflettere correttamente il fenomeno rappresentato, ma deve anche essere semplice ossia, per<br />
esempio, deve essere costituito da un numero minimo <strong>di</strong> entità. Può un fenomeno complesso essere<br />
rappresentato in maniera corretta da un modello semplice? Come si scelgono gli aspetti/entità da<br />
rappresentare e gli aspetti da ignorare? Sono gli aspetti pertinenti? Ma cosa significa pertinente?<br />
Rispetto a cosa? Per chi?<br />
Si potrebbe andare avanti citando ulteriori definizioni e osservando come ciascuna <strong>di</strong> esse enfatizzi<br />
alcuni aspetti e caratteristiche dei modelli a scapito <strong>di</strong> altri. Quello che si vuole sottolineare è la natura<br />
problematica del concetto <strong>di</strong> “modello scientifico” e il ruolo che i punti <strong>di</strong> vista degli autori hanno<br />
nella formulazione delle <strong>di</strong>verse definizioni.<br />
1.3 L’attività <strong>di</strong> modellizzazione e l’uso dei modelli<br />
Da quanto detto nei paragrafi precedenti segue che l’attività <strong>di</strong> costruzione <strong>di</strong> un modello simbolico<br />
(o modellizzazione), implica tre sotto-attività fondamentali (Figura 1):<br />
- internalizzazione: il modellizzatore si costruisce una immagine mentale (la concettualizzazione Im(S)<br />
del sistema da modellare (S); tale immagine <strong>di</strong>pende dalle conoscenze personali o <strong>di</strong> background<br />
del modellizzatore;<br />
- rappresentazione: il modellizzatore sceglie un linguaggio <strong>di</strong> rappresentazione, decide quali aspetti<br />
della concettualizzazione rappresentare nel modello, associa alle primitive del linguaggio i significati/concetti<br />
che intende trasmettere (Im(M);<br />
- esternalizzazione: il modellizzatore utilizza il sistema notazionale del linguaggio scelto e uno specifico<br />
veicolo strumentale per rendere manifesto e percepibile il contenuto concettuale che intende<br />
esprimere (M).<br />
Queste tre attività vanno intese come attività integrate che avvengono simultaneamente piuttosto che<br />
in sequenza cronologica. In altri termini ciò significa che non c’è ne’ materializzazione <strong>di</strong> un pensiero<br />
preesistente nè spiritualizzazione del me<strong>di</strong>um espressivo, ma pensiero (idee, concetti) e me<strong>di</strong>um
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 63<br />
(inteso sia come linguaggio espressivo sia come veicolo strumentale) sono co-presenti e si determinano<br />
reciprocamente. Il modellizzatore acquisisce una sempre maggiore comprensione del sistema<br />
che sta modellando iterando le varie fasi e costruendo dei modelli alternativi del sistema che da preliminari<br />
e incompleti evolvono verso versioni sempre più accurate e complete (ovviamente nei limiti<br />
dello scopo per cui sono costruiti). Mentre costruisce il modello, il modellizzatore impara.<br />
Figura 1. L’attività <strong>di</strong> modellizzazione: internalizzazione S --> Im(S); rappresentazione<br />
Im(S)-->Im(M); esternalizzazione Im(M)-->M.<br />
Una situazione particolare, ma importante, riguarda il caso in cui il referente cioè il sistema da modellare<br />
è, a sua volta, un modello. Si parla allora più propriamente <strong>di</strong> trasformazione o riformulazione<br />
<strong>di</strong> modelli simbolici. Il modellizzatore può trasformare un modello in vari mo<strong>di</strong> ad esempio mo<strong>di</strong>ficandone<br />
il contenuto concettuale, oppure cambiando il linguaggio <strong>di</strong> rappresentazione o effettuando<br />
entrambe queste trasformazioni.<br />
È ciò che avviene quando i modelli sono usati come me<strong>di</strong>atori (boundary objects) nella comunicazione<br />
tra utenti appartenenti ad una stessa comunità <strong>di</strong> pratica o a comunità <strong>di</strong>fferenti [11]. Si pensi<br />
ad esempio, ai <strong>di</strong>versi modelli simbolici che vengono prodotti e scambiati all’interno <strong>di</strong> un gruppo<br />
<strong>di</strong> progettisti: dagli schizzi iniziali ed informali dell’artefatto da progettare, agli schemi grafici fino<br />
ai <strong>di</strong>segni tecnici finali. Questi ultimi dovranno contenere l’informazione completa per la successiva<br />
costruzione dell’artefatto in un formato che sia comprensibile ai realizzatori. Il <strong>di</strong>segno tecnico fa da<br />
me<strong>di</strong>atore tra la comunità dei progettisti e quella dei realizzatori. Un problema cruciale quando si utilizzano<br />
i modelli simbolici nella comunicazione tra persone appartenenti a <strong>di</strong>verse comunità <strong>di</strong> pratica<br />
riguarda la possibilità che il contenuto concettuale del modello sia interpretato in mo<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi.<br />
Una comunicazione efficace richiede quin<strong>di</strong> un allineamento delle concettualizzazioni personali che<br />
non sempre è possibile o può essere garantito.<br />
I modelli simbolici non sono usati solo per comunicare ma anche, e soprattutto, per interpretare e per<br />
risolvere situazioni problematiche. Un modello, infatti, inteso come schema o struttura concettuale<br />
può servire per dare un or<strong>di</strong>ne e un senso al flusso, altrimenti <strong>di</strong>sor<strong>di</strong>nato e incomprensibile, della<br />
esperienza. Alcuni modelli sono utilizzati per scopi descrittivi, altri per simulare il comportamento <strong>di</strong><br />
un sistema al fine <strong>di</strong> prevederne il comportamento futuro; altri ancora possono essere usati per fornire<br />
spiegazioni sulle cause o sulle ragioni <strong>di</strong> un dato comportamento o fenomeno.<br />
La Figura 2 illustra, in maniera astratta, l’utilizzo dei modelli nella risoluzione dei problemi. In generale<br />
si suppone che una situazione (o sistema) S, per qualche verso problematica, susciti in noi delle<br />
domande o problemi che in<strong>di</strong>cheremo con Ps. Per dare una risposta si modellizza S: si costruisce cioè
64 Capitolo 1. Ricerche<br />
una rappresentazione simbolica M “analoga” <strong>di</strong> S. Più precisamente: il modello M <strong>di</strong> S è costruito<br />
in modo tale che, nell’analogia <strong>di</strong> S con M, il problema Ps posto per S si traduce in un problema Pm<br />
attinente ad M. Si utilizza il modello M per trovare una risposta Rm al problema Pm. Infine, sfruttando<br />
l’analogia tra S e M in senso inverso, si riesce a ottenere da Rm una risposta Rs attinente ad<br />
S e la si sottopone a verifica.<br />
Figura 2. Uno schema semplificato dell’utilizzo dei modelli per la risoluzione <strong>di</strong><br />
problemi.<br />
1.4 Un esempio<br />
Per fissare le idee si supponga <strong>di</strong> voler costruire un modello strutturale della situazione S illustrata<br />
nella Figura 3. La situazione consiste in cinque cubi (a,b,c,d,e) <strong>di</strong>sposti su due pile sopra un tavolo t.<br />
Il modellizzatore si costruisce una immagine mentale (la concettualizzazione) della situazione data,<br />
sceglie il linguaggio <strong>di</strong> rappresentazione - nel nostro caso il calcolo dei pre<strong>di</strong>cati del 1° or<strong>di</strong>ne - infine<br />
costruisce delle asserzioni (delle formule) utilizzando i simboli e le regole sintattiche del linguaggio<br />
e assegna ai simboli e alle formule del linguaggio una interpretazione <strong>sulla</strong> base della concettualizzazione<br />
prodotta. Per esempio utilizza i simboli “A” e “B” del linguaggio per denotare rispettivamente<br />
gli oggetti “a” e “b” della concettualizzazione e la formula On(A,B) per descrivere la relazione<br />
“a è sopra b”.<br />
Figura 3. Un esempio <strong>di</strong> modello simbolico che utilizza la logica.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 65<br />
A questo punto è possibile utilizzare il modello M per risolvere dei problemi, ad esempio eseguire<br />
delle deduzioni logiche. In generale, nei processi deduttivi si parte da una regola del tipo “SE vale A,<br />
ALLORA si può inferire B” che denoteremo con il simbolo d’implicazione AB, (si legge A implica<br />
B, A viene detta premessa della implicazione, B conseguenza) e dalla conoscenza <strong>di</strong> A (è noto che A è<br />
vero) per dedurre la verità <strong>di</strong> B. In termini logici, la regola è detta assioma, la conoscenza A premessa<br />
e la conclusione B teorema. Il ragionamento deduttivo può essere schematizzato come segue:<br />
AB assioma (regola)<br />
A premessa<br />
B teorema (conseguenza)<br />
Un esempio concreto <strong>di</strong> applicazione dello schema visto (podus ponens) è:<br />
Se X è un cane allora X è un animale (X in<strong>di</strong>ca una entità generica, non specificata)<br />
Fido è un cane<br />
Fido è un animale<br />
Si noti che la deduzione permette <strong>di</strong> derivare conoscenze che sono già implicitamente contenute<br />
nell’assioma. Nell’esempio precedente, l’assioma asserisce che tutti i cani sono animali, per cui è<br />
gioco forza concludere che poiché Fido è un cane è anche un animale.<br />
Ve<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> applicare lo schema deduttivo al modello M.<br />
Se [On(x1, x2) e On(x2, x3)] allora Above(x1, x3) (regola)<br />
On(A, B), On(B, C) (premessa; x1=A, x2=B, x3=C)<br />
Above(A, C) (conseguenza)<br />
La regola asserisce che se un oggetto x1 è sopra e <strong>di</strong>rettamente a contatto (On) con un oggetto x2 e<br />
x2 è sopra e a contatto con x3 allora si può inferire che x1 è sopra ma non necessariamente a <strong>di</strong>retto<br />
contatto (Above) ad x3. La premessa utilizza le conoscenze descritte nel modello M che asseriscono<br />
che A è <strong>di</strong>rettamente sopra B e B è sopra C. Dalla regola e dalla premessa si può inferire allora che<br />
A è sopra (ma non <strong>di</strong>rettamente a contatto) a C. Questo risultato non è descritto nel modello, ma è<br />
stato dedotto a partire dal modello e da una semplice regola <strong>di</strong> produzione. Molte applicazioni della<br />
Intelligenza Artificiale (sistemi esperti, robot intelligenti, sistemi basati <strong>sulla</strong> conoscenza) utilizzano<br />
i modelli e le regole <strong>di</strong> inferenza nel modo illustrato dall’esempio.<br />
2. Le ontologie<br />
L’Ontologia è intesa in ambito filosofico come quella branca della meta<strong>fisica</strong> che si occupa dello stu<strong>di</strong>o<br />
dell’essere in quanto tale. L’ontologia si occupa della natura delle cose che esistono nel mondo.<br />
In Informatica [6]:<br />
“Un ontologia è una specifica esplicita e formale <strong>di</strong> una concettualizzazione con<strong>di</strong>visa”.<br />
Ve<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> chiarire alcuni termini presenti nella definizione. In essa si fa riferimento alla nozione<br />
<strong>di</strong> concettualizzazione. Come visto, una concettualizzazione è un sistema <strong>di</strong> concetti relativi ad un<br />
qualche dominio <strong>di</strong> interesse. È un modello astratto del dominio. Dire che una concettualizzazione<br />
è una specifica esplicita <strong>di</strong> una concettualizzazione significa <strong>di</strong>re che i tipi <strong>di</strong> concetti usati e i vincoli<br />
sul loro uso devono essere esplicitamente definiti per esempio in uno standard. L’attributo “formale”<br />
riferito alla specifica si riferisce al fatto che la ontologia dovrebbe essere descritta me<strong>di</strong>ante un<br />
linguaggio formale in modo da poter essere “compresa” e usata, oltre che dalle persone, anche dalle<br />
macchine (machine readable). Infine il termine “con<strong>di</strong>visa” riflette il fatto che l’ontologia cattura la<br />
conoscenza consensuale cioè quella non propria <strong>di</strong> un in<strong>di</strong>viduo, ma costruita e negoziata all’interno<br />
<strong>di</strong> una comunità <strong>di</strong> pratica o <strong>di</strong> interesse.
66 Capitolo 1. Ricerche<br />
Il concetto <strong>di</strong> ontologia è spesso confuso con altri concetti come quello <strong>di</strong> vocabolario controllato, glossario,<br />
tassonomia e tesauro. Per evitare frainten<strong>di</strong>menti <strong>di</strong>amo qui <strong>di</strong> seguito le relative definizioni:<br />
- vocabolario controllato: è una lista finita <strong>di</strong> termini esplicitamente scelti e or<strong>di</strong>nati (da una autorità<br />
<strong>di</strong> controllo) per descrivere un dominio <strong>di</strong> interesse;<br />
- glossario: è una lista <strong>di</strong> termini e relative definizioni;<br />
- tassonomia: è una struttura gerarchica (ad albero) <strong>di</strong> termini (o concetti) legati da relazioni <strong>di</strong> generalizzazione/specializzazione<br />
(tipo-<strong>di</strong>);<br />
- tesauro: è una collezione interconnessa <strong>di</strong> termini <strong>di</strong> un vocabolario controllato (usa relazioni:<br />
tassonomiche, associative, <strong>di</strong> equivalenza).<br />
Nelle definizioni riportate si parla in<strong>di</strong>stintamente <strong>di</strong> concetti e <strong>di</strong> termini. Un termine è una parola<br />
(o coppia <strong>di</strong> parole o gruppo <strong>di</strong> parole) che viene usata in uno specifico contesto con un significato<br />
specifico. Un concetto è una idea, una rappresentazione mentale che si ha <strong>di</strong> qualcosa e specialmente<br />
delle sue caratteristiche essenziali. Termini e concetti non sono la stessa cosa. Uno stesso concetto<br />
può essere denotato da termini <strong>di</strong>versi (problema dei sinonimi). Ad esempio, si può usare il termine<br />
“metodo” o “procedura” come sinonimo dello stesso concetto oppure usare termini appartenenti a lingue<br />
<strong>di</strong>fferenti es. “albero” o “tree” per denotare lo stesso concetto. Alternativamente si può usare uno<br />
stesso termine per denotare concetti <strong>di</strong>versi (problema degli omonimi). Ad esempio il termine “funzione”<br />
usato per designare sia un tipo particolare <strong>di</strong> relazione matematica sia il concetto <strong>di</strong> scopo.<br />
Secondo Mike Uschold [13] una ontologia contiene cinque componenti fondamentali:<br />
- una struttura concettuale cioè una collezione <strong>di</strong> concetti e <strong>di</strong> relazioni (per esempio tipologiche o<br />
mereologiche) tra concetti;<br />
- le definizioni dei concetti;<br />
- un vocabolario cioè un insieme <strong>di</strong> termini che denotano i concetti, compresi eventuali sinonimi e<br />
omonimi;<br />
- vincoli ed assiomi sul significato da attribuire ai concetti e sul loro uso;<br />
- esemplificazioni dell’uso dei concetti e commenti generali.<br />
Alcune ontologie, come SUMO, DOLCE, descrivono concetti molto generali (per esempio, il concetto<br />
<strong>di</strong> spazio, <strong>di</strong> tempo, <strong>di</strong> sostanza, <strong>di</strong> evento,..) utilizzati in <strong>di</strong>versi domini. Queste ontologie si<br />
chiamano ontologie fondamentali (top ontologies). Altre descrivono i concetti <strong>di</strong> un dominio specifico:<br />
biome<strong>di</strong>co (OBR), aziendale (TOVE), istruzionale (IMS LD), ecc. Su web si possono trovare<br />
esempi <strong>di</strong> ontologie per moltissimi domini <strong>di</strong> applicazione.<br />
2.1 Funzioni <strong>di</strong> una ontologia<br />
Una ontologia è un particolare tipo <strong>di</strong> artefatto e come tale viene progettata e realizzata per svolgere<br />
<strong>di</strong>verse funzioni o sod<strong>di</strong>sfare <strong>di</strong>versi scopi [1,2,3], [12]. Innanzi tutto una ontologia può essere utilizzata<br />
per sistematizzare un dato ambito <strong>di</strong> conoscenza identificandone i principali sno<strong>di</strong> concettuali,<br />
definendo i concetti <strong>di</strong> base, stabilendo un vocabolario <strong>di</strong> riferimento per denotare i concetti. Nel<br />
campo <strong>di</strong>dattico, l’ontologia può essere usata per specificare la struttura epistemologica <strong>di</strong> una data<br />
<strong>di</strong>sciplina. Nella gestione delle conoscenze, per sistematizzare ed esplicitare le conoscenze usate in<br />
un dato ambito e renderle in questo modo riutilizzabili.<br />
Una seconda funzione strettamente correlata alla prima è quella <strong>di</strong> meta-modello. L’ontologia fornisce<br />
i tipi <strong>di</strong> concetti (<strong>di</strong> entità e relazione) che definiscono un dato dominio <strong>di</strong> applicazione e possono<br />
essere usati per costruire modelli del dominio ossia descrivere il dominio, analizzarlo, e ragionarci<br />
sopra da un dato punto <strong>di</strong> vista. I modelli del dominio utilizzano istanze dei concetti (classi) descritti<br />
dalla ontologia. L’ontologia <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong> un generatore <strong>di</strong> modelli specifici; vincola il modellatore<br />
ad usare, nella descrizione del dominio <strong>di</strong> applicazione, un dato insieme <strong>di</strong> tipi <strong>di</strong> concetti che<br />
hanno un significato predefinito e quin<strong>di</strong> vincola anche il tipo <strong>di</strong> domande e <strong>di</strong> problemi che si possono<br />
affrontare sul dominio: quelli che sono esprimibili con i soli concetti dell’ontologia!.<br />
La Figura 4 schematizza quanto appena detto. Per modellizzare il sistema S sono <strong>di</strong>sponibili due<br />
ontologie: Oi e Oj. Oi fornisce i concetti generali per costruire modelli della struttura <strong>di</strong> S. Esempi<br />
<strong>di</strong> concetti strutturali sono: “componente”, “terminale”, “nodo”, “connessione”, ecc. I modelli strut-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 67<br />
turali, basati su concettualizzazioni <strong>di</strong> tipo strutturale, descrivono come è fatto un sistema e permettono<br />
<strong>di</strong> identificare possibili cammini strutturali tra coppie <strong>di</strong> componenti dati. Oj, invece, fornisce i<br />
concetti per costruire modelli del comportamento <strong>di</strong> S. I modelli comportamentali descrivono come<br />
i componenti <strong>di</strong> S possono operare e interagire tra <strong>di</strong> loro e con l’ambiente esterno. Utilizzano, a tal<br />
scopo, i concetti <strong>di</strong>: “tempo”, “grandezza <strong>fisica</strong>” (variabile, parametro e costante), “legge <strong>fisica</strong>”,<br />
“modo operativo”, “stato”, “valore” e “unità <strong>di</strong> misura” <strong>di</strong> una grandezza <strong>fisica</strong>, ecc. I modelli comportamentali,<br />
permettono <strong>di</strong> risolvere <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> problemi come la previsione dello stato futuro<br />
del sistema, l’analisi delle <strong>di</strong>pendenze tra grandezze fisiche, l’analisi <strong>di</strong> sensitività, la spiegazione<br />
causale del comportamento, la <strong>di</strong>agnosi comportamentale. Si tratta <strong>di</strong> due punti <strong>di</strong> vista <strong>di</strong>versi sul<br />
sistema S. Spesso per risolvere problemi complessi è necessario usare più modelli contemporaneamente.<br />
Per <strong>di</strong>agnosticare i possibili guasti <strong>di</strong> un sistema tecnico, per esempio, sono necessari i seguenti<br />
modelli: un modello strutturale della attività <strong>di</strong>agnostica che descriva come tale attività può essere<br />
decomposta in sottoattività e quali relazioni esistono tra <strong>di</strong> esse; un modello strutturale del sistema<br />
tecnico che descriva quali componenti costituiscono il sistema e come sono interconnessi tra <strong>di</strong> loro;<br />
un modello comportamentale del sistema tecnico che permetta <strong>di</strong> simulare il comportamento corretto<br />
del sistema per confrontarlo con quello attuale e identificare possibili sintomi e guasti; eventuali<br />
modelli <strong>di</strong> comportamenti non corretti (modelli <strong>di</strong> guasto) che possano essere usati per fare ipotesi<br />
o <strong>di</strong>scriminare tra ipotesi <strong>di</strong> guasti; ecc.<br />
Figura 2. Le ontologie come meta-modelli: forniscono i tipi <strong>di</strong> concetti per costruire<br />
modelli specifici del sistema referente S.<br />
La necessità <strong>di</strong> operare nella risoluzione <strong>di</strong> problemi complessi con modelli basati su concettualizzazioni<br />
eterogenee (nell’esempio <strong>di</strong> cui sopra modelli strutturali e comportamentali) richiede che le<br />
ontologie possano interoperare tra <strong>di</strong> loro ossia che esistano delle concettualizzazioni ponte (bridge<br />
ontologies) che stabiliscano collegamenti tra concetti appartementi alle ontologie coinvolte.<br />
Un’altra funzione della ontologia è quella <strong>di</strong> contesto cioè <strong>di</strong> esplicitare le (o alcune) informazioni<br />
implicite <strong>di</strong> un modello. La prospettiva è esattamente duale al caso precedente. L’ontologia associata<br />
ai concetti usati per descrivere un dato dominio, ne specifica il significato, le interrelazioni e le con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> uso. È come se <strong>di</strong>cesse al modellatore: “Puoi usare questi concetti, ma con questo significato,<br />
queste relazioni e queste realizzazioni terminologiche” e all’utente del modello “Il significato<br />
<strong>di</strong> quanto descritto in questo modello è in queste definizioni dei concetti, questi legami tra concetti,<br />
queste assunzioni e questi vincoli”. L’ontologia spiega ciò che nel modello è lasciato implicito. In
68 Capitolo 1. Ricerche<br />
questo senso fornisce informazioni contestuali che possono essere usate per comprendere meglio il<br />
significato <strong>di</strong> ciò che viene espresso da un modello.<br />
Un altro ruolo delle ontologie è ovviamente quello <strong>di</strong> facilitare la comunicazione e la comprensione<br />
all’interno <strong>di</strong> una comunità <strong>di</strong> lavoro o <strong>di</strong> pratica fornendo un vocabolario e un lessico comune e concordato.<br />
Questo permette alle persone <strong>di</strong> collaborare meglio.<br />
Infine, un altro ruolo molto importante <strong>di</strong> una ontologia è quello <strong>di</strong> supportare l’interoperabilità tra<br />
applicazioni <strong>di</strong>verse, funzione cruciale, per esempio, nell’ambito della iniziativa del Web Semantico.<br />
Bibliografia<br />
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n. 148, pp. 59-62. http://www.capuano.biz/Papers/CP_Ontologie_1.pdf.<br />
[2] Capuano N. Ontologie OWL: Teoria e pratica (seconda puntata), Computer Programming, n.<br />
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[3] Capuano N. Ontologie OWL: Teoria e pratica (terza puntata), Computer Programming, n.<br />
150, pp. 51-56. http://www.capuano.biz/Papers/CP_Ontologie_3.pdf.<br />
[4] Danusso L., Testa I., Vicentini M. (2009) Gli insegnanti <strong>di</strong> matematica e <strong>fisica</strong> e i modelli scientifici.<br />
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[11] Rossi P.G., Toppano E. (2009) Progettare nella società della conoscenza. Carocci, Roma.<br />
[12] Toppano E., Roberto V., Giuffrida R. and Buora G.B (2008) Ontology Engineering: Reuse and<br />
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[13] Uschold M. (1998) Knowledge level modelling: concepts and terminology. The Knowledge<br />
Engineering Review, Vol.13:1, pp. 5-29.
PER UNA STORIA DEL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ<br />
Stefano Bordoni<br />
Università <strong>di</strong> Bergamo<br />
Abstract<br />
The history of the principle of Relativity is rooted in Middle Ages natural philosophy. In the XIV<br />
century N. Oresme put forward a new theory of local motion, quite <strong>di</strong>fferent from Aristotelian physics.<br />
He surmised that the Earth was in motion and the stars at rest: neither experiments nor logic<br />
deductions could demonstrate or deny that conjecture. Moreover, the Earth could drag along flying<br />
arrows and other moving objects. At the end of the XVI century G. Bruno was able to design a new<br />
physics consistent with Copernico’s new astronomy. The motion of bo<strong>di</strong>es on Earth surface <strong>di</strong>d not<br />
depend on the starting point nor the end point of the motion; it could not depend on the interposed<br />
me<strong>di</strong>um. Accor<strong>di</strong>ng to Bruno, the case of a stone falling towards a boat deck or towards the shore<br />
of a river showed that the straight trajectory of the stone was at rest with regard the correspon<strong>di</strong>ng<br />
reference frame.<br />
Da circa un secolo, dalle fondamentali ricerche <strong>di</strong> Duhem, sappiamo che la storia della <strong>fisica</strong> non<br />
inizia con Galileo. In particolare, la storia del principio <strong>di</strong> relatività non inizia con Galileo, anche<br />
se ciò che è accaduto prima <strong>di</strong> Galileo è meno noto <strong>di</strong> ciò che è accaduto successivamente. La storia<br />
che sommariamente tratteggeremo è una parte <strong>di</strong> quella storia meno conosciuta che va dal Trecento<br />
al Seicento.<br />
Nel XIV secolo, a Oxford e Parigi, maturarono alcune interessanti riflessioni sullo spazio, sul tempo<br />
e <strong>sulla</strong> cinematica: si ebbe, in particolare, un processo <strong>di</strong> matematizzazione della cinematica. Ciò<br />
significa che accanto tra<strong>di</strong>zione aristotelica che profondamente influenzava la cultura europeanel<br />
XIV secolo poterono nascere e svilupparsi tendenze non perfettamente omologabili a quella stessa<br />
tra<strong>di</strong>zione. L’interesse per la cinematica nacque in ambito strettamente filosofico ma si nutrì dell’apparato<br />
matematico allora <strong>di</strong>sponibile. Il punto <strong>di</strong> partenza può essere così sintetizzato: come rappresentare<br />
qualità la cui intensità varia nel tempo. 1<br />
Per comprendere il <strong>di</strong>stacco tra ricerca filosofica e matematica, da una parte, e ricerca empirica<br />
dall’altro, occorre riferirsi al più generale contesto intellettuale del XIII e XIV secolo. Nella seconda<br />
metà del XIII secolo, il papa <strong>di</strong> Roma Giovanni XXI aveva incaricato il vescovo <strong>di</strong> Parigi, E. Tempier,<br />
<strong>di</strong> controllare l’ortodossia delle tesi <strong>di</strong> Aristotele, Averroè e Tommaso d’Aquino, che venivano<br />
stu<strong>di</strong>ate e insegnate nelle università. L’indagine <strong>di</strong> Tempier sfociò in un elenco <strong>di</strong> 219 enunciati giu<strong>di</strong>cati<br />
erronei e quin<strong>di</strong> condannati. 2 La censura <strong>di</strong> Tempier era in<strong>di</strong>rizzata fondamentalmente contro<br />
le leggi rigide che la logica aristotelica imponeva al mondo creato. A quei vincoli intellettuali, Tempier<br />
opponeva la libertà e l’imperscrutabilità dell’agire <strong>di</strong>vino. Dio, nella sua infinità potenza, nella<br />
sua sconfinata libertà, poteva violare le leggi «necessarie» della logica e della <strong>fisica</strong>: può creare più<br />
mon<strong>di</strong>, può imprimere moto all’universo come un tutto, può, soprattutto, fare miracoli. Alcune tesi<br />
condannate si riferiscono a spazio, tempo, moto e collocazione del cosmo nello spazio e nel tempo.<br />
Una tesi aristotelica particolarmente temuta era l’eternità del mondo, che sembrava escludere l’atto<br />
della creazione <strong>di</strong>vina. 3<br />
(1) Come osserva Clagett, tale indagine mantenne un carattere prevalentemente astratto; la speculazione filosofica e<br />
matematica si mantenne <strong>di</strong>stante da osservazioni empiriche e dal confronto <strong>di</strong>retto con i fenomeni matematicamente<br />
indagati. Si veda CLAGETT M. 1981, pp. 236-7.<br />
(2) Non era la prima volta che il conflitto tra filosofi e teologi sfociava in una condanna dell’autorità ecclesiastica<br />
Vicende simili, seppure dagli esiti più contenuti, si erano già verificate negli anni precedenti: nel 1210, nel 1215 e nel<br />
1231. Si veda GRANT E. 1983, p. 36.<br />
(3) Si veda PARODI M. 1981, pp. 34 e 201. Grant vede nella condanna il tentativo <strong>di</strong> «purgare» Aristotele <strong>di</strong> alcuni
70 Capitolo 1. Ricerche<br />
La conseguenza <strong>di</strong> questa condanna sugli stu<strong>di</strong>osi del XIII e XIV secolo fu una grande cautela nel<br />
formulare asserti sul mondo reale. Sebbene la recente riscoperta dell’aristotelismo aveva significato<br />
anche la rinascita <strong>di</strong> un interesse per la natura, tutto ciò che poteva riguardare la realtà <strong>fisica</strong> venne<br />
affrontato in modo ipotetico, mantenendo l’indagine sul livello dell’argomentazione logica o del calcolo<br />
matematico 4 .<br />
Oresme: l’invarianza dei fenomeni per traslazione uniforme<br />
N. Oresme visse e insegnò a Parigi agli inizi della seconda metà del XIV secolo. Egli inventò un<br />
metodo grafico bi<strong>di</strong>mensionale per la rappresentazione <strong>di</strong> grandezze, o “qualità” che subiscono delle<br />
variazioni. Anche la trattazione <strong>di</strong> Oresme è puramente teorica: egli si interessa <strong>di</strong> “quantità <strong>di</strong> qualità”<br />
e delle loro “intensioni” o “remissioni” in generale. Quando espone esempi cinematici, il problema<br />
del «controllo sperimentale», così come noi lo inten<strong>di</strong>amo, non si pone. Questa rappresentazione<br />
grafica non è il solo contributo che Oresme abbia dato alla cinematica. Interessante è pure la<br />
sua riflessione sullo spazio e sul sistema <strong>di</strong> riferimento. Oresme indaga anche la possibilità, del tutto<br />
ipotetica, che esista una pluralità <strong>di</strong> mon<strong>di</strong> 5 .<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> altri mon<strong>di</strong> esternamente al nostro richiede una revisione dell’idea aristotelica <strong>di</strong> spazio.<br />
Secondo Aristotele, lo spazio, così come il tempo, può essere concepito solo all’interno del nostro<br />
mondo; non ha senso concepire spazio, tempo e moto esternamente al mondo. Nell’ipotesi <strong>di</strong> Oresme,<br />
invece, dall’esistenza <strong>di</strong> più mon<strong>di</strong> se ne deduce l’esistenza <strong>di</strong> uno spazio tra essi. Il nostro<br />
mondo dev’essere pensato finito, ma si può ipotizzare coerentemente uno spazio più grande del nostro<br />
mondo. Egli ritiene che si possa concepire uno spazio non occupato da corpi, uno spazio vuoto in<strong>di</strong>pendente<br />
dalla materia. 6<br />
Oresme ipotizza uno spazio assoluto, incorporeo, fondamentalmente <strong>di</strong>verso dallo spazio percepito<br />
in relazione ai corpi, lo spazio relazionale dei sensi e della scienza aristotelica. La <strong>di</strong>stanza concettuale<br />
tra questi due tipi <strong>di</strong> spazio è la stessa <strong>di</strong>stanza che intercorre tra un tempo assoluto, incorruttibile,<br />
eterno e la durata degli intervalli temporali che si riferiscono agli eventi reali. Che tale <strong>di</strong>fferenza<br />
sia <strong>di</strong> tipo concettuale è in<strong>di</strong>cato dal fatto che Oresme sottolinea la <strong>di</strong>versità tra una eternità<br />
assoluta e un intervallo <strong>di</strong> tempo <strong>di</strong> durata infinita. 7<br />
Nella ricerca <strong>di</strong> Oresme entra pure la possibilità del moto della terra. Egli è consapevole che il mondo<br />
accessibile alla nostra osservazione, in particolare il suo stato cinematico, è suscettibile <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenti<br />
interpretazioni. Infatti, il movimento del cielo stellato, così come è osservabile dalla terra, è spiegabile<br />
sia attribuendo il moto ai cieli e la quiete alla terra, che attribuendo il moto alla terra e la quiete<br />
ai cieli. La scelta tra le due alternative è sottratta, secondo Oresme, a qualunque controllo empirico.<br />
Non esistono esperienze in grado <strong>di</strong> <strong>di</strong>scriminare tra le due <strong>di</strong>fferenti interpretazioni.<br />
enunciati imbarazzanti, per potere poi «salvare» la compatibilità con la teologia <strong>di</strong> tutto il resto del suo corpus filosofico<br />
e cosmologico. Si veda e GRANT E. 1983, p. 79.<br />
(4) Si veda GRANT E. 1983, pp. 110-11.<br />
(5) Pare che Oresme non sia stato il primo in assoluto ad introdurre tali rappresentazioni, anche se a lui si deve l’esposizione<br />
più completa e convincente Per una più dettagliata <strong>di</strong>scussione, si veda CLAGETT M.. 1981, pp. 356-7 e 365.<br />
Si vedaORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, citato e tradotto in PARODI M. 1981, pp. 255 e 257-9.<br />
(6) Si veda ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in PARODI M. 1981, pp. 261-262: “Ancora, supponendo<br />
che la sfera degli elementi o tutti i corpi corruttibili contenuti entro la volta del cielo o entro la sfera della luna fossero<br />
annichilati, e che il cielo rimanesse invece come è ora, ne seguirebbe necessariamente che in questa concavità si<br />
avrebbe una <strong>di</strong>stanza e uno spazio vuoto. Una situazione <strong>di</strong> questo genere è immaginabile senza contrad<strong>di</strong>zione ed è<br />
possibile, anche se non potrebbe avere origine da cause puramente naturali, come <strong>di</strong>mostra Aristotele con gli argomenti<br />
del libro IV della <strong>Fisica</strong>, che tuttavia non permettono <strong>di</strong> concludere che ciò non possa avvenire altrimenti, come si può<br />
facilmente da quanto appena detto.<br />
(7) Si veda ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in PARODI M. 1981, p. 262.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 71<br />
“Ma, salvo ogni correzione, mi pare che si potrebbe ben sostenere e illustrare l’ultima opinione,<br />
ossia che la terra si muove <strong>di</strong> movimento <strong>di</strong>urno e il cielo no. E innanzitutto desidero <strong>di</strong>chiarare<br />
che non si potrebbe <strong>di</strong>mostrare il contrario me<strong>di</strong>ante qualche esperienza; in secondo luogo neppure<br />
per mezzo <strong>di</strong> ragioni; e in terzo luogo addurrò ragioni a sostegno [del moto <strong>di</strong>urno della terra].” 8<br />
Da un punto <strong>di</strong> vista cinematico generale, il moto uniforme è un fenomeno relativo all’osservatore:<br />
ogni osservatore può attribuire, a sé, la quiete e, agli oggetti esterni, il moto. Si tratta <strong>di</strong> un enunciato<br />
che potremmo chiamare «relativismo osservativo». Un osservatore in quiete rispetto ad una nave,<br />
osservando un’altra nave che cambia uniformemente posizione rispetto alla propria, può spiegarsi il<br />
fatto <strong>di</strong>chiarando che la propria nave è in quiete e che l’altra è in moto, anche nel caso in cui, rispetto<br />
al mare, la sua nave fosse in moto e l’altra in quiete. Ancora, se le due navi avessero lo stesso moto,<br />
rispetto alla superficie del mare, purché il moto sia “regolare”, lo stesso osservatore può attribuire la<br />
quiete ad entrambe le navi. Oresme non trova in questo alcuna contrad<strong>di</strong>zione; è ciò che avviene nel<br />
nostro mondo, così come esso è accessibile ai nostri sensi.<br />
“Suppongo inoltre che il moto locale non possa essere percepito dai sensi se non nello stesso<br />
modo in cui si percepisce una <strong>di</strong>versa <strong>di</strong>sposizione <strong>di</strong> un corpo rispetto a un altro corpo. Per<br />
esempio, se un uomo si trova su una nave chiamata a, la quale sia mossa <strong>di</strong> moto regolare, velocemente<br />
o lentamente,e se quest’uomo non vede altro che un’altra nave chiamata b, la quale si<br />
muova con moto esattamente uguale a quello <strong>di</strong> a, nella quale egli si trova, <strong>di</strong>co che sembrerà<br />
a quest’uomo che nessuna delle due navi si muova. E se a è immobile e b si muove, gli sembrerà<br />
che a muoversi sia b; e se a si muove e bè immobile, ancora gli sembrerà che a sia immobile<br />
e che b si muova.” 9<br />
Questo relativismo osservativo può essere applicato all’intero sistema del mondo. Piuttosto che supporre<br />
la terra in quiete e il cielo in moto intorno alla terra, potremmo supporre il cielo in quiete e la<br />
terra in moto. Le due configurazioni cinematiche sono in<strong>di</strong>stinguibili all’osservazione; lo scambio<br />
tra esse non provoca mo<strong>di</strong>ficazioni nei fenomeni celesti così come essi ci appaiono.<br />
“Al quinto [argomento], dove si <strong>di</strong>ce che se il cielo non compisse una rotazione ogni giorno<br />
tutta l’astronomia sarebbe falsa, ecc., rispondo che non è vero, poiché tutti gli aspetti, le congiunzioni,<br />
le opposizioni, le costellazioni, le fi gure e infl uenze del cielo sarebbero esattamente<br />
quali sono, così come appare chiaramente da quanto fu detto in risposta alla prima esperienza,<br />
e le tavole dei movimenti e tutti gli altri libri resteranno veri come sono, tranne che per il fatto<br />
che del movimento <strong>di</strong>urno si dovrebbe <strong>di</strong>re che è compiuto in apparenza dal cielo ma in verità<br />
dalla terra, e nessun effetto segue più dall’una posizione che dall’altra.” 10<br />
Oresme si spinge oltre la considerazione della relatività osservativa dei moti uniformi; egli constata<br />
l’invarianza <strong>di</strong> alcuni fenomeni fisici rispetto al moto uniforme del sistema nel quale essi hanno luogo.<br />
Lo spunto per questa considerazione è dato a Oresme dall’obiezione della freccia scagliata verso l’alto:<br />
come potrebbe tale freccia ricadere ai pie<strong>di</strong> dell’arciere se, nel frattempo, la terra si fosse spostata?<br />
La freccia dovrebbe «restare in<strong>di</strong>etro» rispetto alla terra. Co Sì Non è, <strong>di</strong>ce Oresme, perché<br />
la terra trascina con sé, nel suo moto uniforme, l’aria e la freccia. Quin<strong>di</strong> il moto della terra non è<br />
avvertibile, è ininfluente ai fini dell’osservazione dei fenomeni che su <strong>di</strong> essa hanno sede. Che così<br />
possa essere è messo in luce da Oresme con una osservazione semplice, quasi banale: se un marinaio,<br />
appoggiato all’albero maestro <strong>di</strong> una nave fa scivolare la sua mano lungo l’albero, dall’alto verso il<br />
(8) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, citato e tradotto in CLAGETT M. 1981, p. 646.<br />
(9) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 647.<br />
(10) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 650.
72 Capitolo 1. Ricerche<br />
basso, si avvertono forse dei mutamenti nel caso in cui la nave è in moto uniforme, rispetto al caso<br />
in cui la nave è in quiete rispetto alla superficie del mare?<br />
“Alla terza esperienza, che sembra più forte, della freccia o del sasso gettato in alto, ecc., si<br />
potrebbe rispondere che la freccia scagliata in alto è mossa molto velocemente verso levante<br />
insieme all’aria attraverso cui passa e insieme a tutta la massa della parte inferiore del mondo<br />
suddetta, che si muove <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>urno; per questa ragione la freccia ricade nel luogo della terra<br />
da dove è stata scoccata. E tale cosa appare possibile per analogia, poiché se un uomo si trovasse<br />
su una nave mossa velocissimamente verso levante ed egli non percepisse tale movimento,<br />
ed abbassasse la sua mano in linea retta lungo l’albero della nave, avrebbe l’impressione che la<br />
sua mano non avesse altro movi mento, che il rettilineo; e così, secondo quest’opinione, ci sembra<br />
della freccia che cade o si innalza verticalmente [...]<br />
... tutti i moti che avvengono in questo mondo inferiore sembrerebbero come se la terra fosse<br />
inquiete.” 11<br />
Successivamente Oresme conferma lo stesso enunciato: non è possibile, in base all’esperienza, asserire<br />
il moto dei cieli e la quiete della terra. Non è possibile <strong>di</strong>scriminare tra le due possibili configurazioni<br />
cinematiche: terra in quiete e cieli in moto oppure terra in moto e cieli in quiete. 12 Ma, ad un<br />
certo punto, l’argomentazione si arresta e il tono del <strong>di</strong>scorso cambia repentinamente. Con poche,<br />
brevi, espressioni egli nega vali<strong>di</strong>tà reale al suo ragionamento, riducendolo ad una “<strong>di</strong>scussione”<br />
finalizzata alla <strong>di</strong>fesa della fede.<br />
“Ma considerato tutto quanto si è detto, si potrebbe credere che la terra si muova <strong>di</strong> tale moto,<br />
e non il cielo, e non c’è alcuna prova del contrario; tuttavia ciò sembra prima facie altrettanto o<br />
ancor più contrario alla ragione naturale <strong>di</strong> quanto lo siano gli articoli della nostra fede, tutti o<br />
la maggior parte. E così tutto ciò che ho detto in tal modo per amore <strong>di</strong> <strong>di</strong>scussione può servire<br />
per confutare coloro che volessero impugnare la nostra fede per via <strong>di</strong> ragioni.” 13<br />
Colpisce la cesura profonda tra le due fasi della riflessione <strong>di</strong> Oresme: da una parte vi sono le argomentazioni<br />
intorno alla pluralità dei mon<strong>di</strong>, l’infinità dello spazio e la relatività del moto; dall’altra,<br />
vi è il modo sbrigativo con il quale, alla fine, si allinea alle usuali concezioni fisiche e cosmologiche.<br />
Un mondo nuovo, un nuovo concetto <strong>di</strong> spazio e una nuova cinematica vengono prefigurati<br />
nell’opera <strong>di</strong> Oresme. Ma queste novità non si trasformano in una nuova scienza, una nuova concezione<br />
della realtà. Il sistema del mondo tra<strong>di</strong>zionale, filtrato attraverso il raffinato scetticismo conseguente<br />
alle condanne dei teologi, restò intatto. 14<br />
(11) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 648.<br />
(12) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 649: “Concludo dunque che con nessuna<br />
esperienza si può <strong>di</strong>mostrare che il cielo si muova <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>urno e che la terra sia immobile.”<br />
(13) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 652.<br />
(14) Si veda GRANT E. 1983, pp. 113-14: “Ironicamente, allora, fu solo quando il realismo fisico fu oscurato e largamente<br />
eclissato da un positivismo cristiano sviluppatosi nel quattor<strong>di</strong>cesimo secolo, che furono proposte e vigorosamente<br />
perseguite critiche significative ed allontanamenti dalla cosmologia e dalla <strong>fisica</strong> <strong>di</strong> Aristotele. Il vigore che si manifestò<br />
nel quattor<strong>di</strong>cesimo secolo fu una conseguenza della credenza che la conoscenza della realtà <strong>fisica</strong> fosse virtualmente<br />
impossibile da conseguire e che le alternative a questa o a quella spiegazione aristotelica fossero sempre possibili, sia<br />
plausibili che non. Nominalisti è l’etichetta frequentemente applicata, sebbene in modo impreciso, a questi scolastici<br />
del quattor<strong>di</strong>cesimo secolo. Essi generarono moltissimo dell’interesse e dei risultati potenzialmente significativi nella<br />
cosmologia e nella <strong>fisica</strong>, soprattutto nella cinematica, e avrebbero potuto <strong>di</strong>struggere il sistema aristotelico se li avessero<br />
applicati alla realtà <strong>fisica</strong>. Invece le loro idee e i loro concetti stimolanti furono offerti come mere alternative o<br />
soluzioni immaginarie a problemi ipotetici.”
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 73<br />
Nicola <strong>di</strong> Kues: il cosmo e l’infinito<br />
Nicola <strong>di</strong> Kues, noto anche come Cusano, è un filosofo che, vissuto tra la fine del me<strong>di</strong>o evo e l’inizio<br />
dell’età <strong>moderna</strong>, propose una consapevole, ar<strong>di</strong>ta, contiguità tra cielo e terra. Con Nicola <strong>di</strong> Kues,<br />
la ricerca <strong>fisica</strong>, matematica e cosmologica del XIV secolo si apre ad una nuova consapevolezza e<br />
ad una più sofisticata epistemologia.<br />
Il testo del Cusano più interessante per i temi che stiamo trattando è La dotta ignoranza, pubblicato<br />
verso la fine della prima metà del XV secolo. L’opera è <strong>di</strong>visa in tre libri; nel secondo, il Cusano<br />
espone alcune originali concezioni sullo spazio, <strong>sulla</strong> geometria e <strong>sulla</strong> cinematica del cosmo. Fin<br />
dall’inizio dell’opera, egli pone due temi cruciali per la teoria della conoscenza: il tema dell’infinito<br />
e quello dei limiti della conoscenza scientifica. L’infinito si sottrae a qualunque confronto; infinito<br />
in atto è <strong>di</strong>o, massimo assoluto, totalità del possibile in atto. Dio è unità assoluta, unità nella quale<br />
convergono tutti i limiti, tutti i superlativi, il massimo assoluto e il minimo assoluto. Ma <strong>di</strong>o non ci<br />
è accessibile, e questo limite, questa impossibilità, segna una impossibilità anche per la conoscenza.<br />
L’universo è l’unità universale dell’essere, <strong>di</strong>scendente da <strong>di</strong>o, essere assoluto; ci è dunque preclusa<br />
una conoscenza compiuta dell’universo, ci è preclusa l’essenza delle cose. La verità è irraggiungibile;<br />
ci è incomprensibile l’assoluta precisione della verità. La nostra conoscenza è un sapere impreciso;<br />
solo questa consapevolezza, questa “dotta ignoranza”, ci avvicina alla verità 15 .<br />
Nei capitoli 11, 12, 13, de “La dotta ignoranza”, il Cusano espone alcune tesi cosmologiche piuttosto<br />
ar<strong>di</strong>te, come egli stesso annuncia con espressioni misurate ma solenni. La “dotta ignoranza” gli<br />
suggerisce <strong>di</strong> applicare al cosmo le considerazioni svolte sull’infinito: sostanzialmente, la coincidenza<br />
degli opposti, del massimo e del minimo assoluti. Dunque, centro e circonferenza del mondo<br />
coincidono. Centro e circonferenza <strong>di</strong>stinti significherebbero un cosmo finito e, quin<strong>di</strong>, uno spazio<br />
esterno ad esso, la qual cosa egli rifiuta. Il cosmo non è infinito, ma neppure possiamo considerarlo<br />
finito; <strong>di</strong> sicuro, esso non ha “termini”. 16<br />
L’universo <strong>di</strong> Cusano è condannato alla indeterminazione; centri e circonferenze si smarriscono in<br />
questa intrinseca indeterminazione. Ma il cosmo ha, in realtà, una sua certezza, purché si operi uno<br />
slittamento dal dominio geometrico-cosmologico al trascendente. Alla fine, il cosmo ritrova la sua<br />
certezza in <strong>di</strong>o, centro e circonferenza del tutto, assoluta coincidenza degli opposti. Il regno dell’imprecisione,<br />
confinato, dagli antichi, alla terra, si espande ai cieli. Nessun corpo celeste può muoversi<br />
<strong>di</strong> perfetto moto circolare; né nel senso geometrico <strong>di</strong> orbita perfetta, né nel senso cinematico<br />
<strong>di</strong> moto uniforme. 17<br />
Per <strong>di</strong> più -secondo il Cusano -lo spazio non può avere riferimenti sicuri, assoluti; vige un ampio<br />
relativismo osservativo. Tutto ciò che possiamo conoscere e descrivere <strong>di</strong>pende dal nostro punto <strong>di</strong><br />
osservazione: per un uomo posto al polo Nord terrestre, lo zenith è il polo Nord del cosmo, ma per<br />
un uomo posto al polo Nord del cosmo, lo zenith è la Terra. E’ collegata anche a questo relativismo<br />
l’impossibilità <strong>di</strong> stabilire un centro e una circonferenza per il cosmo. Anche in questo caso, il relativismo<br />
del Cusano potrebbe intendersi in due sensi <strong>di</strong>fferenti: sia come equivalenza tra <strong>di</strong>fferenti<br />
sistemi <strong>di</strong> riferimento, sia come imprecisione nella determinazione del sistema <strong>di</strong> riferimento. 18<br />
Come possiamo avvertire -argomenta il Cusano -il moto della terra, noi che la abitiamo? Similmente,<br />
come può un uomo, su una barca in mezzo ad un fiume, avere percezione del moto, se non guardando<br />
(15) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, pp. 68, 71-4 e 76.<br />
(16) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 171.<br />
(17) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 172-4.<br />
(18) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 174: “Infatti, se uno si trovasse <strong>sulla</strong> Terra sotto<br />
il polo artico e un altro nel polo artico stesso, come a colui che sta <strong>sulla</strong> Terra il polo artico apparirebbe allo zenith,<br />
così a colui che si trova sul polo il centro apparirebbe allo zenith. Dovunque uno si trovi, gli sembra <strong>di</strong> stare al centro.<br />
Complica dunque queste apparenze <strong>di</strong>verse, <strong>di</strong> modo che il centro sia zenith e viceversa, e così, me<strong>di</strong>ante l’intelletto,<br />
al quale serve soltanto la dotta ignoranza, ve<strong>di</strong> che il mondo, il suo moto, la sua figura non si possono comprendere,<br />
perché esso ti apparirà come una ruota in una ruota e una sfera in una sfera, senza avere in alcun luogo il centro o la<br />
circonferenza, come abbiamo detto prima”.
74 Capitolo 1. Ricerche<br />
le rive? Ogni osservatore può ritenere <strong>di</strong> essere al centro dei moti. Centro e circonferenza sono concetti<br />
che non possono sfuggire a tale relativismo. In assenza <strong>di</strong> riferimenti certi, non ci resta, <strong>di</strong> nuovo,<br />
che l’unico riferimento assoluto, <strong>di</strong>o onnipresente, centro e circonferenza del mondo.<br />
“Gli antichi non giunsero a queste verità <strong>di</strong> cui abbiamo detto, perché mancarono della dotta<br />
ignoranza. Ma a noi ormai è chiaro che codesta Terra si muove veramente, anche se non ne<br />
avvertiamo il movimento. Non riusciamo ad accorgerci del moto che in relazione a qualcosa<br />
<strong>di</strong> fi sso. Se uno non sapesse che l’acqua scorre e non guardasse alle rive stando <strong>sulla</strong> barca in<br />
mezzo al fi ume, come saprebbe che la barca si muove? Per questo, poiché a ciascuno, si trovi<br />
egli <strong>sulla</strong> Terra, sul Sole<br />
o su un’altra stella, sembra sempre <strong>di</strong> stare in un centro immobile e che tutto il resto invece si<br />
muova, egli immaginerebbe continuamente poli <strong>di</strong>versi stando sul Sole, <strong>sulla</strong> Luna o su Marte, e<br />
via <strong>di</strong>cendo. La macchina del mondo avrà il centro dovunque, e la circonferenza in nessun luogo,<br />
poiché il suo centro e la sua circonferenza sono Dio, che è dappertutto e in nessun luogo.” 19<br />
Il Cusano non mette comunque in <strong>di</strong>scussione la particolare nobiltà del moto circolare; esso rappresenta<br />
meglio <strong>di</strong> altri il moto perfetto nel quale non vi è limite, nel quale inizio e fine coincidono. La<br />
terra, pur non essendo “perfettamente” sferica, né avendo moto “perfettamente” circolare, partecipa<br />
della nobiltà della circonferenza. 20 Non è facile, a questo punto, valutare gli elementi <strong>di</strong> novità introdotti<br />
dal Cusano, nel concetto <strong>di</strong> spazio, nella cinematica, nella cosmologia. Egli rifiuta la perfetta<br />
armonia geometrica del cosmo e la certezza dei suoi riferimenti, ma non propone uno spazio omogeneo,<br />
astratto, infinito. Egli rifiuta la centralità assoluta della terra nel cosmo, ma non propone un moto<br />
orbitale della terra intorno al sole o intorno al proprio asse. Egli rifiuta <strong>di</strong> considerare la quiete e il<br />
moto come proprietà assolute, ma non propone un principio <strong>di</strong> relatività in senso stretto; il suo relativismo<br />
fisico è intrecciato al suo relativismo gnoseologico. Egli rifiuta <strong>di</strong> separare la perfezione matematica<br />
dei cieli dall’imperfezione della terra, ma si limita alla nterpretazione meta<strong>fisica</strong> e teologia.<br />
Alcune sue argomentazioni fisiche e cosmologiche sono meno audaci e meno circostanziate delle<br />
argomentazioni degli scolastici. Eppure, rispetto al XIV secolo, vi è un mutamento <strong>di</strong> prospettiva: la<br />
ricerca del Cusano non si arresta alla pura speculazione. Le sue congetture sullo spazio e sull’universo<br />
non hanno, <strong>di</strong>chiaratamente, nulla <strong>di</strong> ipotetico, ma sono intrinsecamente collegate alla sua teoria<br />
della conoscenza. Egli ci propone qualcosa che ritiene vero, nei limiti della “dotta ignoranza”. Vi<br />
è insomma, nel Cusano, una nuova consapevolezza, la consapevolezza che anche i più ar<strong>di</strong>ti enunciati<br />
non riguardano solo le parole, ma anche le cose. 21<br />
Copernico: una nuova architettura per il cosmo<br />
Copernico è tra<strong>di</strong>zionalmente considerato come lo spartiacque tra due <strong>di</strong>fferenti concezioni del mondo.<br />
Tuttavia la sua collocazione intellettuale è assai più variegata e interessante: le novità <strong>di</strong> contenuto<br />
geometrico e astronomico s’intrecciano con alcuni elementi della tra<strong>di</strong>zione aristotelica. Nel De rivolutionibus<br />
orbium caelestium, l’opera della sua vita, appare imme<strong>di</strong>atamente la precedenza logica<br />
data alla geometria. Sulla geometria si fondano la astronomia e la <strong>fisica</strong> copernicane. La geometria<br />
<strong>di</strong> Copernico è una geometria <strong>di</strong> sfere; è una geometria armoniosa in virtù della “perfezione” e della<br />
“<strong>di</strong>vinità” della sfera. E, come a sottolineare che è stata annullata la <strong>di</strong>stanza tra il «celeste» e il «terrestre»,<br />
Copernico apre il secondo capitolo con l’asserto che pure la terra è sferica. La <strong>fisica</strong> copernicana<br />
appare come un’appen<strong>di</strong>ce della sua geometria: alla forma geometrica circolare compete un<br />
(19) CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, pp. 174-5.<br />
(20) CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 175.<br />
(21) Si potrebbe <strong>di</strong>re che egli ha osato guidare il pensiero oltre l’idealizzazione del dato empirico imme<strong>di</strong>ato, ha osatoattraversare<br />
il paradosso, per scoprire un mondo che esprime la perfezione del suo creatore e che, insieme, nasconde<br />
sottole apparenze la sua vera natura. Si veda GARIN E. 1992, p. 271.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 75<br />
moto circolare. Il moto dei corpi celesti è circolare, perché i corpi celesti sono circolari 22 .<br />
Nella <strong>di</strong>fesa del sistema eliocentrico, Copernico invoca ripetutamente l’equivalenza dei sistemi <strong>di</strong><br />
riferimento. Possiamo spiegare i moti celesti ipotizzando l’immobilità della terra o ipotizzandone il<br />
moto. Decide fra le due possibilità un criterio logico, non un criterio fisico: è più logico che il moto<br />
sia attribuito al contenuto che al contenitore. Quin<strong>di</strong> è più logico che il cielo, che contiene la terra,<br />
sia immobile, e la terra, che è ivi contenuta, sia in moto. 23<br />
“Infatti, ogni mutazione locale apparente deriva o dal movimento della cosa guardata, o da<br />
quello <strong>di</strong> chi guarda, o da mutazione certamente ineguale <strong>di</strong> entrambi. Perché fra cose mosse in<br />
modo eguale nello stesso senso non si percepisce movimento, intendo <strong>di</strong>re fra l’oggetto veduto<br />
e colui che lo vede. Ora è proprio la Terra quella da cui è visto quel circuito celeste e offerto alla<br />
nostra vista. Se dunque si ipotizza qualche movimento della terra, esso apparirà in tutte le cose<br />
che gli sono esterne come <strong>di</strong> eguale velocità, ma in senso opposto, come se quelle cose passassero<br />
via, quale è innanzi tutto la rivoluzione <strong>di</strong>urna. Questa, infatti, sembra trascinare l’intero<br />
mondo, fuorché la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Ma se si ammettesse che<br />
il cielo non ha nulla <strong>di</strong> questo movimento, e invece la Terra ruota da occidente verso oriente,<br />
se qualcuno esaminasse seriamente quanto riguarda l’apparente sorgere e tramontare del Sole,<br />
della Luna e delle stelle, troverebbe che proprio così avviene. E poiché è il cielo quello che contiene<br />
e abbraccia tutto, il luogo comune <strong>di</strong> tutte le cose, apparirà subito perché si debba attribuire<br />
un movimento piuttosto al contenuto che al contenente, a ciò che è collocato piuttosto che<br />
a quello che colloca.” 24<br />
La giustificazione logica dell’immobilità del cielo e della conseguente immobilità della terra, è riba<strong>di</strong>ta<br />
più oltre nel testo. Copernico elenca due motivi per sostenere l’immobilità dei cieli e il moto<br />
della terra:<br />
a) l’immobilità è uno stato più nobile del movimento, e quin<strong>di</strong> si ad<strong>di</strong>ce maggiormente al cielo che<br />
alla terra;<br />
b) il moto compete più ragionevolmente al corpo contenuto piuttosto che al suo contenitore, cioè alla<br />
terra piuttosto che al cielo 25 .<br />
Questa considerazione richiama la teoria del luogo <strong>di</strong> Aristotele: in effetti, Copernico espone una<br />
teoria dei luoghi naturali. Ogni corpo tende a riunirsi al simile, a riconquistare il proprio luogo. Se<br />
il moto circolare è il moto naturale, il moto rettilineo è il moto violento, è il moto dei corpi che si<br />
allontanano o ritornano al proprio luogo. 26<br />
Il modello aristotelico <strong>di</strong> universo è geocentrico, con la sfera più esterna occupata dalle stelle. Tale<br />
sfera, il primo cielo, ruotante con velocità costante, non poteva avere un suo luogo, non essendo contenuta<br />
in alcuna altra sfera. Ciò significa che il primo cielo, pur non avendo luogo, si muove, cioè<br />
muta <strong>di</strong> luogo. Per risolvere questo conflitto, si poteva intervenire sull’uno o sull’altro dei due termini<br />
della contrad<strong>di</strong>zione: o mo<strong>di</strong>ficare il concetto <strong>di</strong> luogo o dare immobilità alle stelle. Copernico,<br />
(22) Si veda COPERNICO N. 1975, pp. 35, 37 e 47.<br />
(23) Si veda l’analisi <strong>di</strong> Koyré, in KOYRÈ A. 1975, p. XXIII.<br />
(24) COPERNICO N. 1975, pp. 53-5.<br />
(25) Si veda COPERNICO N. 1975, p. 79.<br />
(26) Differentemente che per Aristotele, il moto rettilineo, per Copernico, è sempre un moto violento. Si veda COPER-<br />
NICO N. 1975, p. 77, nota 13. Il primo cielo <strong>di</strong>venta per Copernico il vero contenitore <strong>di</strong> tutto l’universo: ora l’universo<br />
ha il suo luogo immobile. Si veda p. 99: “La prima e la più alta <strong>di</strong> tutte è la sfera delle stelle fisse, che contiene se<br />
stessa e tutte le cose, ed è perciò immobile; senza dubbio è il luogo dell’universo a cui si rapporta il movimento e la<br />
posizione <strong>di</strong> tutte le altre stelle. Infatti, riguardo a quello che alcuni pensano, che in qualche modo anch’essa si muova,<br />
noi assegneremo una causa <strong>di</strong>versa al perché così appaia, nel dedurre il movimento terrestre.”
76 Capitolo 1. Ricerche<br />
con il suo modello eliocentrico, nel quale la sfera delle stelle è immobile e la terra è in moto, offrì<br />
anche una risposta a tale contrad<strong>di</strong>zione. 27<br />
Non sappiamo quale sia stata la genesi dell’opera copernicana. Può essere <strong>di</strong>scutibile la convinzione<br />
<strong>di</strong> Jammer, che Copernico abbia infranto un “dogma” aristotelico, che era, in realtà, un’ipotesi tanto<br />
“dogmatica” quanto la propria. Può essere <strong>di</strong>scutibile anche la convinzione che Copernico abbia trovato<br />
una importante sollecitazione per la formulazione della sua teoria in una contrad<strong>di</strong>zione irrisolta<br />
nella teoria dello spazio <strong>di</strong> Aristotele. Comunque non sottovalutiamo questo collegamento, che<br />
contribuisce a collocare Copernico nel contesto culturale del suo tempo. 28<br />
Potremmo chiederci, a questo punto, quale sia l’elemento che caratterizza in modo originale la<br />
ricerca <strong>di</strong> Copernico, rispetto alla tra<strong>di</strong>zione e rispetto a quel contesto culturale. Non è certamente il<br />
modello eliocentrico in sé, né l’insieme delle argomentazioni che egli porta a <strong>di</strong>fesa del moto della<br />
terra; come abbiamo visto, tali argomentazioni erano già state sviluppate dagli scolastici, in modo<br />
dettagliato e convincente. Possiamo citare la tesi <strong>di</strong> Grant, che la novità <strong>di</strong> Copernico consista nella<br />
nuova convinzione, <strong>fisica</strong> e metodologica, che il mondo richiedesse una nuova effettiva architettura<br />
e una nuova effettiva spiegazione. 29<br />
La questione del «realismo fisico» <strong>di</strong> Copernico fu assai <strong>di</strong>battuta, fin dalla prima e<strong>di</strong>zione del De<br />
Rivolutionibus. Il testo, come è noto, uscì con una prima prefazione del teologo luterano Osiander,<br />
il quale si cautelò nei confronti <strong>di</strong> possibili censure ecclesiastiche, insistendo sul carattere formale,<br />
ipotetico delle tesi copernicane. In tale prefazione, il modello <strong>di</strong> Copernico acquistava un carattere<br />
marcatamente strumentale: <strong>di</strong>spositivo matematico utile per i calcoli astronomici, essendo impossibile<br />
indagare le “vere cause” dei moti celesti. La riduzione <strong>di</strong> Osiander, peraltro né rozza né banale,<br />
riproponeva lo scetticismo fisico tipico degli scolastici. 30<br />
Bruno: il Principio <strong>di</strong> Relatività<br />
Con G. Bruno entriamo nella seconda metà del XVI secolo, e ci troviamo <strong>di</strong> fronte a una sofisticata<br />
teoria del moto. Egli ci ha lasciato numerosi testi; alcuni <strong>di</strong> questi sono Dialoghi a contenuto<br />
sia metafisico, che fisico, che cosmologico. I <strong>di</strong>aloghi che più da vicino ci interessano sono tre, e<br />
vennero pubblicati a Londra, nel 1584, durante il suo soggiorno inglese: La cena de le ceneri, De<br />
la causa, principio e uno, e De l’infinito, universo e mon<strong>di</strong>. Essi sono noti come Dialoghi metafisici,<br />
nonostante questa co<strong>di</strong>fica sia riduttiva rispetto al loro contenuto, che è <strong>di</strong> carattere prevalentemente<br />
scientifico. 31<br />
(27) Si veda la <strong>di</strong>scussione <strong>di</strong> Jammer, in JAMMER M. 1974, pp. 71-2. Jammer interpreta l’ipotesi copernicana dell’immobilità<br />
del cielo, come la rottura <strong>di</strong> un “dogma”, quello del moto del primo cielo, e come una “soluzione” al problema<br />
irrisolto che nasceva all’interno della tra<strong>di</strong>zione aristotelica. (JAMMER M. 1974, p. 69).<br />
(28) Copernico offre alcuni elementi per comprendere la genesi della sua opera nella de<strong>di</strong>ca “Al Santissimo Signore<br />
Paolo III, pontefice massimo -Prefazione <strong>di</strong> Niccolò Copernico ai libri sulle rivoluzioni, in COPERNICO N.1975, p.<br />
8-25. Siveda il commento <strong>di</strong> Dreyer, in DREYER J.L.E. 1980, pp. 283 e seguenti.<br />
(29) GRANT E. 1983, p. 111.<br />
(30) Si veda la “Lettera al lettore”, in COPERNICO N. 1975, pp. 3-5: “E’ proprio dell’astronomo, infatti, mettere insieme<br />
con osservazione <strong>di</strong>ligente e conforme alle regole, la storia dei movimenti celesti; poi le loro cause, ossia -non<br />
potendo in alcun modo raggiungere quelle vere -escogitare e inventare qualunque ipotesi, con la cui supposizione sia<br />
possibile calcolare quei medesimi movimenti secondo i princìpi della geometria, tanto nel futuro quanto nel passato.<br />
Ora, l’autore ha assolto egregiamente entrambi questi compiti. Non è infatti necessario che queste ipotesi siano vere,<br />
e persino nemmeno verosimili, ma è sufficiente solo questo: che presentino un calcolo conforme alle osservazioni;...<br />
Ora, poiché <strong>di</strong> un solo e medesimo movimento talvolta si offrono varie ipotesi [...], l’astronomo prenderà <strong>di</strong> preferenza<br />
quella più facile da comprendere. Il filosofo richiederà forse piuttosto la verosimiglianza. Né l’uno né l’altro, tuttavia,<br />
comprenderà o insegnerà alcunché <strong>di</strong> certo, a meno che non gli sia stato rivelato da Dio.” Sulla Prefazione <strong>di</strong> Osiander<br />
si veda anche KOYRÈ A. 1975, pp. XXVIII-XX.<br />
(31) Che metafisici in senso stretto tali <strong>di</strong>aloghi non potessero considerarsi è sottolineato in una non recente ma autorevole<br />
prefazione alla raccolta dei tre <strong>di</strong>aloghi: si veda GENTILE G. 1985, in BRUNO G. 1985, p. XXXI.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 77<br />
Anche se Bruno non è stato il primo a porre l’esigenza <strong>di</strong> uno spazio infinito, è colui che tale esigenza<br />
ha posto in modo ra<strong>di</strong>cale e appassionato. Bruno concepisce un unico e infinito spazio vuoto<br />
e, in esso, infiniti mon<strong>di</strong>. In questo spazio non vi è centro, né vi sono <strong>di</strong>rezioni privilegiate. Sono<br />
assenti, nell’universo, riferimenti assoluti; <strong>di</strong> più, nel tempo, l’universo cambia continuamente la sua<br />
configurazione. Bruno sottolinea anche la <strong>di</strong>fferenza tra “universo” e “mondo”. L’universo è il tutto,<br />
il ricettacolo del tutto; i mon<strong>di</strong> sono i corpi come la terra, la luna, il sole. L’universo è un vuoto che<br />
contiene corpi; i corpi, a loro volta, sono costituiti da pieno e da vuoto. Il vuoto non è il nulla, è esistente;<br />
è un etere imponderabile che circonda i corpi e li penetra internamente 32 .<br />
Questo universo infinito, connubio <strong>di</strong> pieno e <strong>di</strong> vuoto, richiama l’universo degli antichi atomisti, forse<br />
Democrito più che Epicuro: Bruno <strong>di</strong>chiara esplicitamente questa genealogia intellettuale, ponendo<br />
sullo stesso piano sia Democrito che Epicuro. Questo universo infinito è a misura dell’infinita gloria<br />
<strong>di</strong> Dio. Più opportunamente questa gloria può manifestarsi in infiniti mon<strong>di</strong> piuttosto che in solo<br />
mondo. Le immagini <strong>di</strong> Bruno sono enfatiche, prorompenti; i mon<strong>di</strong> si succe dono l’uno all’altro in<br />
un tripu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> fantasia, libertà, vitalità, a gloria <strong>di</strong> <strong>di</strong>o e dell’intelletto umano. 33<br />
Il riferimento a Democrito appare pertinente anche in un altro senso: lo spazio <strong>di</strong> Bruno non è accessibile<br />
ai sensi. La vera conoscenza può essere raggiunta solo dall’intelletto, che può superare la finitezza,<br />
la limitatezza, delle nostre percezioni. Solo l’intelletto può guidarci nella profon<strong>di</strong>tà dello spazio<br />
e del tempo. I sensi non possono rivelarci l’infinito, né possono confutarlo. 34<br />
La commistione <strong>di</strong> elementi strettamente naturali e <strong>di</strong> elementi oggi ritenuti soprannaturali è presente<br />
in <strong>di</strong>verse parti del Dialogo che abbiamo citato. La ricerca <strong>di</strong> Bruno non è confinabile entro<br />
schemi rigi<strong>di</strong>, e non è assimilabile al concetto <strong>di</strong> scienza co<strong>di</strong>ficato nel XIX secolo. Inoltre, anche<br />
in Dialoghi temporalmente contigui, non sempre rimangono invariati i suoi riferimenti filosofici. Se<br />
nel Dialogo “De l’infinito, universo e mon<strong>di</strong>” egli ha esposto una concezione dello spazio e dell’universo<br />
<strong>di</strong>chiaratamente vicina alla concezione atomistica, nel Dialogo “De la causa, principio e uno”,<br />
egli si accosta agli Eleati In tale Dialogo, l’universo appare come una unità immobile, eterna, infinita.<br />
Esso tutto comprende; è esso stesso il tutto, non alterabile, non corruttibile. Bruno evoca una<br />
unità onnicomprensiva e infinita, che richiama l’uno infinito <strong>di</strong> Melisso. 35<br />
La concezione <strong>di</strong> Bruno era effettivamente rivoluzionaria nel contesto culturale del suo tempo. Non<br />
era particolarmente rivoluzionaria per i contenuti in senso stretto poiché, come abbiamo visto, spazio<br />
infinito e pluralità <strong>di</strong> mon<strong>di</strong> erano ipotizzati anche dai filosofi scolastici. Era una concezione rivoluzionaria<br />
per il realismo delle immagini proposte, per la fede ardente in un universo siffatto. 36<br />
(32) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mon<strong>di</strong>”, in BRUNO G. 1985, pp. 397-8, 518 e 520.<br />
(33) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mon<strong>di</strong>”, in BRUNO G. 1985, pp. 362 e 411.<br />
(34) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mon<strong>di</strong>”, in BRUNO G. 1985, p. 369: “Filoteo. Non è senso che<br />
vegga l’infinito, non è senso da cui si richieda questa conchiusione; perché l’infinito non può essere oggetto del senso;<br />
e però chi <strong>di</strong>manda <strong>di</strong> conoscere questo per via <strong>di</strong> senso, è simile a colui che volesse veder con gli occhi la sustanza<br />
e l’essenza; e chi negasse per questo la cosa, perché non è sensibile o visibile, verebe a negar la propria sustanza ed<br />
essere. Però deve esser modo circa il <strong>di</strong> mandar testimonio del senso; a cui non doniamo luogo in altro che in cose<br />
sensibili, anco non senza suspizione, se non entra in giu<strong>di</strong>zio gionto alla raggione. A l’intelletto conviene giu<strong>di</strong>care e<br />
render raggione de le cose absenti e <strong>di</strong>vise per <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> tempo ed intervallo <strong>di</strong> luoghi. Ed in questo assai ne basta ed<br />
assai sufficiente testimonioabbiamo dal senso per quel, che non è potente a contra<strong>di</strong>rne e che oltre fa evidente e confessa<br />
la sua imbecillità ed insufficienza per l’apparenza che caggiona per il suo orizonte, in formar della quale ancora<br />
si vede quanto sia in costante.Or, come abbiamo per esperienza, che ne inganna nella superficie <strong>di</strong> questo globo in cui<br />
ne ritroviamo, molto magiormente doviamo averlo suspetto quanto a quel termine che nella stellifera concavità ne fa<br />
comprendere.” Sull’atomismo razionale <strong>di</strong> Bruno si veda KOYRÈ A. 1970, p. 41.<br />
(35) Si veda BRUNO G., “De la causa, principio e uno”, in BRUNO G. 1985, pp. 318-19. Sull’eleatismo <strong>di</strong> Bruno si<br />
veda l’interpretazione <strong>di</strong> Cassirer, in CASSIRER E. 1978, vol I°, tomo II°, p. 335.<br />
(36) Koyré sottolinea la novità della posizione <strong>di</strong> Bruno, la sua influenza sulle epoche successive, e i limiti della sua<br />
ricerca. Egli giu<strong>di</strong>ca un segno <strong>di</strong> arretratezza la presenza, in Bruno, <strong>di</strong> un tono profetico e <strong>di</strong> elementi magici e vitalistici.<br />
Questa osservazione, simile all’osservazione <strong>sulla</strong> “non modernità” <strong>di</strong> Copernico, è <strong>di</strong>scutibile dal punto <strong>di</strong>
78 Capitolo 1. Ricerche<br />
Non credo comunque sia facile <strong>di</strong>stinguere, in Bruno, ciò che è “moderno” da ciò che non lo è. In che<br />
cosa consisterebbe la modernità? Koyré probabilmente intende la modernità come “scientificità”. Ma<br />
principi in verificabili e credenze <strong>di</strong> vario tipo, seppure fortemente razionalizzate, sono forse assenti<br />
dall’impresa e dalle teorie scientifiche? Probabilmente la cosa più <strong>moderna</strong> che possiamo concepire<br />
non è l’eliminazione <strong>di</strong> principi e credenze, ma la consapevolezza che tali principi esistono e guidano,<br />
talora in modo fecondo, la ricerca scientifica, pur essendo <strong>di</strong> naturaextra-logica, extra-matematica,<br />
extra-empirica. La critica <strong>di</strong> Koyré ha comunque un aspetto interessante, dal punto <strong>di</strong> vista<br />
storiografico. Egli ritiene che, da una parte, la ricerca <strong>di</strong> Bruno abbia favorito l’affermazione della<br />
scienza <strong>moderna</strong>, mentre, dall’altra, la presenza <strong>di</strong> alcuni principi metafisici, abbia nuociuto alla<br />
scienza. L’esistenza <strong>di</strong> tali principi avrebbe permesso, agli accusatori, <strong>di</strong> accomunare nella loro critica<br />
la sua scienza e la sua potente meta<strong>fisica</strong>. 37<br />
L’idea <strong>di</strong> “sistema fisico” <strong>di</strong> cui parla Koyré è effettivamente presente in Bruno: è espressa in modo<br />
chiaro e con numerosi esempi. Bruno <strong>di</strong>fende il modello cosmologico copernicano o, per meglio<br />
<strong>di</strong>re, la sua versione del modello copernicano. Nel suo universo infinito, la terra è comunque in moto<br />
intorno al sole. Egli quin<strong>di</strong> vuole <strong>di</strong>fendere la realtà del moto della terra contro le critiche degli avversari.<br />
Tali critiche sono più o meno quelle <strong>di</strong>scusse dagli scolastici; le stesse critiche che ha affrontato<br />
Copernico e che affronterà Galileo: innanzitutto la convinzione che, se la terra ruotasse, i corpi e le<br />
entità atmosferiche resterebbero in<strong>di</strong>etro. Bruno obietta che la terra, nel suo moto, porta con sé tutti<br />
questi corpi e questi enti; essi costituiscono una stessa unità insieme alla terra.<br />
“Teofi lo. -...: che se fusse vero la terra muoversi verso il lato che chiamiamo oriente, necessario<br />
sarebbe che le nuvole de l’aria sempre apparissero <strong>di</strong>scorrere verso l’occidente, per raggione del<br />
velocissimo e rapi<strong>di</strong>ssimo moto <strong>di</strong> questo globo, che in spacio <strong>di</strong> vintiquattro ore deve aver compito<br />
sìgran giro. -A questo rispose il Nolano, che questo aere, per il quale <strong>di</strong>scorrono le nuvole<br />
e gli venti, è parte de la terra; perché sotto nome <strong>di</strong> terra vuol lui (e deve essere cossì al proposito)<br />
che se intenda tutta la machina e tutto l’animale intiero, che costa <strong>di</strong> sue parti <strong>di</strong>ssimilari:<br />
onde gli fi umi, gli sassi, gli mari, tutto l’aria vaporoso e turbulento, il quale è rinchiuso negli<br />
altissimi monti, appartiene a la terra come membro <strong>di</strong> quella, o pur come l’aria ch’è nel pulmone<br />
ed altre cavità de gli animali, per cui respirano, se <strong>di</strong>latano le arterie ed altri effetti necessarii a<br />
la vita s’adempiscono. Le nuvole dunque dagli accidenti, che son nel corpo della terra, si muoveno<br />
e son come nelle viscere de quella, cossì come le acqui.” 38<br />
La terra è in grado <strong>di</strong> trasportare con sé tutti i corpi che contiene, comunicando a tutti questi il suo<br />
moto. Quin<strong>di</strong>, nel moto dei corpi in prossimità della superficie terrestre, occorre <strong>di</strong>stinguere due componenti<br />
qualitativamente <strong>di</strong>verse: il moto che hanno in comune con la terra e il moto rispetto alla<br />
terra. E’ per questo motivo che i corpi in caduta libera <strong>sulla</strong> terra non possono restare in<strong>di</strong>etro; mentre<br />
cadono, essi mantengono, insieme al loro moto verticale rispetto alla superficie terrestre, il moto<br />
che hanno in comune con la terra. La terra è come una nave in movimento; forse che su tale nave,<br />
lanciando un oggetto ad un’altra persona, questo oggetto non si comporta come se la nave fosse in<br />
quiete? Forse che saltando verso l’alto, ricadendo, ci si trova con i pie<strong>di</strong> su un punto <strong>di</strong>verso della<br />
nave? Ciò che succede su una nave è - secondo Bruno -un esempio <strong>di</strong> ciò che succede <strong>sulla</strong> terra in<br />
moto. Bruno formula quel Principio <strong>di</strong> Relatività che, nei manuali, viene attribuito a Galileo: i fenomeni<br />
che avvengono in un sistema in quiete sono in<strong>di</strong>stinguibili dai fenomeni che avvengono in un<br />
sistema dotato <strong>di</strong> moto uniforme.<br />
vista storiografico. Tuttavia essa ha il pregio <strong>di</strong> restituirci un Bruno più reale rispetto alla figura retorica del pala<strong>di</strong>no,<br />
imprudente e coraggioso, dello spirito moderno e della scienza <strong>moderna</strong>. Si veda KOYRÈ A. 1970, p. 48.<br />
(37) Si veda KOYRÈ A. 1979, pp. 172-3.<br />
(38) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, p. 112.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 79<br />
“Smitho. M’avete suffi cientissimamente satisfatto, ed altamente aperto molti secreti de la natura,<br />
che sotto questa chiave sono ascosi. Da quel che respondete a l’argomento tolto da’ venti e nuvole,<br />
si prende ancora la risposta de l’altro che nel secondo libro Del cielo e mondo apportò Aristotele;<br />
dove <strong>di</strong>ce, che sarebbe impossibile che una pietra gitata a l’alto potesse per medesma rettitu<strong>di</strong>ne<br />
perpen<strong>di</strong>colare tornare al basso; ma sarrebbe necessario che il velocissimo moto della<br />
terra se la lasciasse molto a <strong>di</strong>etro verso l’occidente. Perché, essendo questa proiezione dentro<br />
la terra, è necessario che col moto <strong>di</strong> quella si venga a mutar ogni relazione <strong>di</strong> rettitu<strong>di</strong>ne ed<br />
obliquità: perché è <strong>di</strong>fferenza tra il moto della nave e moto de quelle cose che sono nella nave.<br />
Il che se non fusse vero, seguiterebbe che, quando la nave corre per il mare, giammai alcuno<br />
potrebbe trarre per dritto qualchecosa da un canto <strong>di</strong> quella a l’altro, e non sarebbe possibile che<br />
un potesse far un salto e ritornare co’ piè onde le tolse.” 39<br />
Secondo Bruno, se un corpo appartiene alla terra, ne con<strong>di</strong>vide lo stato cinematico. Egli osserva che<br />
gli effetti previsti dai critici del sistema copernicano potrebbero manifestarsi solo lanciando qualcosa<br />
verso la terra, a partire da un sistema esterno alla terra. Di nuovo egli propone l’esempio della nave.<br />
Chi lanciasse un sasso, dalla sponda <strong>di</strong> un fiume, verso una nave in veloce navigazione, potrebbe non<br />
colpirla, se il sasso non ha sufficiente velocità; il sasso non partecipa in alcun modo del moto della<br />
nave. Ma se dalla cima dell’albero della nave si lanciasse un sasso verso la nave, o lo si lasciasse<br />
semplicemente cadere, esso non potrebbe non colpire la nave. Oppure, se dalla base dell’albero, si<br />
lanciasse un sasso verso la cima, esso ricadrebbe alla base. In questi ultimi due casi, il sasso appartiene<br />
al sistema fisico della nave, e quin<strong>di</strong> conserva inalterato il moto <strong>di</strong> essa. Bruno specifica che<br />
le precedenti asserzioni sono valide a con<strong>di</strong>zione che il moto della nave non sia perturbato; sicuramente<br />
Bruno intende <strong>di</strong>re che la nave non deve subire oscillazioni o brusche accelerazioni. Per il<br />
resto, il moto della nave può essere <strong>di</strong> qualunque tipo; non pare che Bruno faccia <strong>di</strong>fferenze tra moti<br />
rettilinei e moti curvilinei.<br />
“[Teofi lo] Con la terra dunque si muoveno tutte le cose che si trovano in terra. Se dunque dal<br />
locoextra la terra qualche cosa fusse gettata in terra, per il moto <strong>di</strong> quella perderebbe la rettitu<strong>di</strong>ne.<br />
Come appare nella nave AB [...], la qual, passando per il fi ume, se alcuno che se ritrova<br />
nella sponda <strong>di</strong> quello C venga a gittar per dritto un sasso, verrà fallito il suo tratto per quanto<br />
comporta la velocità del corso. Ma poso alcuno sopra l’arbore <strong>di</strong> detta nave, che corra quanto si<br />
voglia veloce, non fallirà punto il suo tratto <strong>di</strong> sorte che per dritto dal punto E, che è nella cima<br />
de l’arbore o nella gabbia, al punto D che è nella ra<strong>di</strong>ce de l’arbore, o altra parte del ventre e<br />
corpo <strong>di</strong> detta nave, la pietra o altra cosa grave gittata non vegna. Cossì, se dal punto D al punto<br />
E alcuno che è dentro la nave, gitta per dritto una pietra, quella per la medesma linea ritornarà<br />
a basso, muovasi quanto si voglia la nave, purche non faccia degl’inchini.” 40<br />
Koyré sottolinea una profonda <strong>di</strong>fferenza tra Bruno e Copernico nella modalità <strong>di</strong> appartenenza alla<br />
terra dei corpi terrestri; mentre questo ritiene che tra i corpi <strong>sulla</strong> terra e la terra stessa vi sia una natura<br />
comune che li vincola a un moto comune, Bruno ritiene che la con<strong>di</strong>visione del moto si adovuta alla<br />
semplice collocazione materiale. Secondo Bruno, le caratteristiche del moto <strong>di</strong> un corpo non <strong>di</strong>pendono<br />
dalla sua posizione in relazione ai luoghi naturali o in relazione ai riferimenti fissi<br />
del cosmo. Diversamente da Aristotele, egli ritiene che i corpi non tendano a posizioni date una volta<br />
per tutte e immobili nello spazio, ma possano appartenere a <strong>di</strong>fferenti sistemi <strong>di</strong> riferimento e<strong>di</strong> questi<br />
con<strong>di</strong>viderne lo stato cinematico. 41<br />
(39) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, p. 116.<br />
(40) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, pp. 116-17.<br />
(41) Si veda KOYRÈ A. 1979, pp. 172-5: “Si vede bene tutta la novità del ragionamento <strong>di</strong> Bruno in rapporto a quello<br />
<strong>di</strong> Copernico: i corpi che sono «<strong>sulla</strong> terra» partecipano al movimento della terra non perché partecipano alla sua
80 Capitolo 1. Ricerche<br />
Effettivamente, la <strong>di</strong>versa concezione dello spazio e del cosmo, porta Bruno a capovolgere consapevolmente<br />
la concezione <strong>fisica</strong> aristotelica: il moto non <strong>di</strong>pende né dal punto <strong>di</strong> partenza, né dal punto<br />
<strong>di</strong> arrivo, né dal mezzo interposto. Il moto <strong>di</strong> un corpo <strong>di</strong>pende dalla “virtù impressa” e questa virtù<br />
determina ciò che Bruno chiama la “<strong>di</strong>fferenza”, cioè quella componente del moto non ascrivibile al<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> appartenenza. Bruno mostra con un esempio come i moti <strong>di</strong> due corpi dello<br />
stesso tipo, nello stesso istante, in posizioni vicine nello spazio, possano avere <strong>di</strong>fferenti caratteristiche<br />
cinematiche, se appartengono a <strong>di</strong>fferenti sistemi meccanici. Due uomini abbiano in mano pietre<br />
dello stesso tipo; l’uno sia collocato in quiete, supponiamo su un molo, l’altro sia sopra una nave in<br />
navigazione. Nell’istante in cui l’uomo <strong>sulla</strong> nave sorpassa quello sul molo, entrambi lascino cadere<br />
le pietre. Esse percorreranno traiettorie <strong>di</strong>verse, trovandosi una in<strong>di</strong>etro rispetto l’altra. Troviamo<br />
qui l’altro aspetto del Principio <strong>di</strong> Relatività: se rispetto ad ogni osservatore, collocato nel proprio<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento, i fenomeni avvengono nello stesso modo, in<strong>di</strong>pendentemente dallo stato <strong>di</strong><br />
quiete o <strong>di</strong> moto del sistema stesso, ad un osservatore esterno a questi, proprio per lo stesso motivo,<br />
i due moti appaiono geometricamente <strong>di</strong>versi.<br />
“Teofi lo. Or, per tornare al proposito, se dunque saranno dui, de’ quali l’uno si trova dentro la<br />
nave che corre, e l’altro fuori <strong>di</strong> quella, de’ quali tanto l’uno quanto l’altro abbia la mano circa il<br />
medesmo punto de l’aria, e da quel medesmo loco nel medesmo tempo ancora l’uno lasce scorrere<br />
una pietra e l’altro un’altra, senza che gli donino spinta alcuna, quella del primo, senza perdere<br />
punto né deviar dala sua linea, verrà al prefi sso loco, e quella del secondo si trovarrà tralasciata<br />
a <strong>di</strong>etro. Il che non procede da altro, eccetto che la pietra, che esce da la mano de l’uno<br />
che è sustentato da la nave, e perconseguenza si muove secondo il moto <strong>di</strong> quella, ha tal virtù<br />
impressa, quale non ha l’altra, che procede dalla mano <strong>di</strong> quello che n’è <strong>di</strong> fuora; benché le pietre<br />
abbino medesma gravità, medesmo aria tramezzante, si partano (se possibil fi a) dal medesmo<br />
punto, e patiscano la medesma spinta. Della qual <strong>di</strong>versità non possiamo apportar altra<br />
raggione, eccetto che le cose, che hanno fi ssione o simili appartinenze nella nave, si muoveno<br />
con quella; e la una pietra porta seco la virtù del motore il qualesi muove con la nave, l’altra <strong>di</strong><br />
quello che non ha detta participazione. Da questo manifestamente si vede, che non dal termine<br />
del moto onde si parte, né dal termine dove va, né dal mezzo per cui simove, prende la virtù<br />
d’andar rettamente; ma da l’effi cacia de la virtù primieramente impressa, dalla quale depende<br />
la <strong>di</strong>fferenza tutta.” 42<br />
Possiamo affermare che ciò <strong>di</strong> cui parla Bruno corrisponde a ciò che noi chiamiamo principio <strong>di</strong><br />
Relatività. La storia successiva, da Galileo a Einstein, avrebbe visto svilupparsi due fasi <strong>di</strong>stinte.<br />
Nella prima fase, nel corso del Settecento, il principio si consolidò e trovò collocazione nella costruzione<br />
della Meccanica. Nella seconda fase, nel corso dell’Ottocento, il principio dovette confrontarsi<br />
«natura»,ma semplicemente perché sono «in essa», esattamente allo stesso modo in cui i corpi che sono «nella nave»<br />
partecipano al movimento <strong>di</strong> questa; il che vuol <strong>di</strong>re -e d’altronde lo <strong>di</strong>ce lo stesso Bruno -che non si tratta più della<br />
partecipazione a un movimento «naturale», ma si tratta del moto tout court, dell’appartenenza del mobile a un sistema<br />
meccanico. Questa nozione del sistema meccanico -insieme <strong>di</strong> corpi uniti dalla loro partecipazione a un movimento<br />
comune -che il ragionamento <strong>di</strong> Bruno sottintende, non c’è nella <strong>fisica</strong> <strong>di</strong> Aristotele. Aristotele considera il movimento<br />
come una funzione o un’espressione della «natura» del mobile; lo intende come passaggio da un luogo A un luogo B;<br />
questi «luoghi» li considera come determinati in rapporto al centro e alla circonferenza del Cosmo. Ne segue che a<br />
partire da un dato luogo non può esserci per un determinato corpo che un solo movimento «naturale»; il che, per Bruno,<br />
vorrebbe <strong>di</strong>re: Aristotele concepisce i «luoghi» come esterni al sistema fisico della Terra. Perché, per Bruno, i «luoghi»<br />
non si determinano in rapporto al Cosmo, ma si determinano in rapporto al tale o al talaltro sistema meccanico. In tal<br />
modo uno stesso «luogo» può appartenere a sistemi meccanici <strong>di</strong>versi, e i corpi che si muovono da questi «luoghi»<br />
possono effettuare movimenti assai <strong>di</strong>versi: secondo i sistemi ai quali appartengono.”<br />
(42) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, pp. 118-19.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 81<br />
con l’Ottica e, successivamente, con l’Elettromagnetismo. Da quel confronto il principio ne sarebbe<br />
emerso rafforzato, mentre la Meccanica avrebbe subito una profonda trasformazione. Ma questa storia<br />
è già stata in più mo<strong>di</strong> raccontata. 43<br />
Bibliografia essenziale<br />
Bordoni S. (1995) Eleveremo questa congettura …, Università degli Stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> Pavia, Pavia.<br />
Bruno G. (1985) Dialoghi italiani I, Dialoghi metafisici, Sansoni, Firenze.<br />
Cassirer E. (1978) Storia della filosofia <strong>moderna</strong> - Il problema della conoscenza nella filosofia e<br />
nella scienza, vol I°, tomo II°, Einau<strong>di</strong>, Torino.<br />
Clagett M. (1981) La scienza della meccanica nel me<strong>di</strong>oevo, Feltrinelli, Milano.<br />
Copernico N. (1975) De rivolutionibus orbium caelestium, Einau<strong>di</strong>, Torino.<br />
Cusano (1988) La dotta ignoranza -Le congetture, Rusconi, Milano.<br />
Dreyer J.L.E. (1992) Storia dell’astronomia da Talete a Keplero, Feltrinelli, Milano.<br />
Garin E. (1992) Rinascite e rivoluzioni -Movimenti culturali dal XIV al XVIII secolo-, Mondadori,<br />
Milano.<br />
Gentile G. (1985) Prefazione a, Bruno G. (1985), pp. XXIX-LI.<br />
Grant E. (1983) La scienza nel me<strong>di</strong>oevo, Il Mulino, Bologna.<br />
Jammer M. (1974) Storia del concetto <strong>di</strong> spazio, Feltrinelli, Milano.<br />
Koyré A. (1970) Dal mondo chiuso all’universo infinito, Feltrinelli, Milano.<br />
Koyré A. (1975) Introduzione a Copernico N., De rivolutionibus orbium caelestium, Einau<strong>di</strong>,<br />
Torino.<br />
Koyré A. (1979) Stu<strong>di</strong> galileiani, Einau<strong>di</strong>, Torino.<br />
Oresme N. (1981), “Le livre du ciel et du monde”, riprodotto in Clagett M., La scienza della meccanica<br />
nel me<strong>di</strong>oevo, Feltrinelli, Milano.<br />
Paro<strong>di</strong> M. (1981) Tempo e spazio nel me<strong>di</strong>oevo, Loescher, Torino.<br />
(43) Per una storia pubblicata in lingua italiana si veda tutta la Parte Prima <strong>di</strong> BORDONI S. 1995.
APPUNTI DALLA RELAZIONE SUL PROBLEMA DEL CORPO NERO:<br />
ENTRARE NEL MERITO PER CAPIRE 1<br />
Giovanni Luigi Michelutti<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Irraggiamento<br />
1. L’irraggiamento è la trasmissione <strong>di</strong> energia termica per opera delle onde elettromagnetiche.<br />
2. Quando una carica q subisce un’accelerazione a, essa irraggia onde elettromagnetiche. La potenza<br />
irraggiata vale<br />
3. A temperatura ambiente, la ra<strong>di</strong>azione emessa dai corpi che ci circondano appartiene alla regione<br />
infrarossa dello spettro che l’occhio umano non è capace <strong>di</strong> rilevare.<br />
4. Si può misurare l’energia emessa sotto forma <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione termica? Quale legge governa il fenomeno?<br />
5. Le risposte conclusive, al punti precedente, dono l’inizio della FISICA QUANTISTICA.<br />
Potere emissivo <strong>di</strong> un corpo<br />
1. Il potere emissivo monocromatico <strong>di</strong> un corpo è dato dalla formula<br />
E λ (T) = ε λ (T) E nλ (T), (Wm -2 μm -1 ) (S.1)<br />
con 0 ≤ ε λ (T) ≤ 1 (emissività monocromatica)<br />
e (Wm -2 μm -1 ) (S.2)<br />
2. Il potere emissivo totale si può esprimere nella formula<br />
E (T) = ε (T) σ β T 4 (Wm -2 ) (S.3)<br />
con 0 ≤ ε λ (T) ≤ 1 (emissività me<strong>di</strong>a)<br />
3. Un corpo con ε λ (T) = 1, oppure ε (T) = 1, è un emittore perfetto ed è noto come CORPO NERO<br />
4. Dato che (nell’irraggiamento) l’energia viene trasmessa tra i vari corpi, è evidente che i corpi<br />
oltre a emettere devono anche assorbire energia.<br />
Il corpo nero assorbe tutta l’energia che incide su <strong>di</strong> esso. Un corpo nero è quin<strong>di</strong> un assorbitore<br />
e un emittore perfetto.<br />
(1) a cura <strong>di</strong> Cristina Cassan, CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 83<br />
Una scatola con un forellino si comporta come un corpo nero.<br />
Le pareti della scatola assorbono “tutta” la ra<strong>di</strong>azione che penetra dal forellino.<br />
Emette la ra<strong>di</strong>azione prodotta dalle pareti all’interno.<br />
La ra<strong>di</strong>azione emessa si chiama ra<strong>di</strong>azione nera (o <strong>di</strong> corpo nero) o <strong>di</strong> cavità.<br />
Potere emissivo <strong>di</strong> un corpo nero<br />
1. Il potere emissivo monocromatico (o spettrale) del corpo nero è dato dalla formula <strong>di</strong> Planck:<br />
con<br />
a) T = temperatura assoluta (K);<br />
b) λ = lunghezza d’onda della ra<strong>di</strong>azione emessa (μm):<br />
c) C 1 = 2πћc 2 = 3,742 Wμm 4 m -2 ;<br />
d) μm K;<br />
e) k B = 1,380 10 -23 Ј K -1 (costante <strong>di</strong> Boltzmann);<br />
f) ћ = 6,625 10 -34 Јs (costante <strong>di</strong> Planck);<br />
g) c = 2,998 10 8 ms -1 (velocità della luce nel vuoto).<br />
(Wm -2 μm -1 ) (C.1)<br />
2. Si osservi che E nλ (T) fornisce la potenza ra<strong>di</strong>ante emessa dal corpo nero alla temperatura assoluta<br />
T per unità <strong>di</strong> area superficiale e per unità <strong>di</strong> lunghezza d’onda, nell’intorno della lunghezza<br />
d’onda λ.<br />
3. Inoltre E nλ (T) Δλ (Wm -2 ) fornisce la potenza emessa dal c.n. alla temperatura assoluta T, per unità<br />
<strong>di</strong> area superficiale, nell’intervallo <strong>di</strong> lunghezza d’onda da λ a λ + Δλ.
84 Capitolo 1. Ricerche<br />
4. Ricordando che c = λν<br />
e quin<strong>di</strong> con Δν >0, si ha, da (C.1),<br />
(C.2)<br />
Che fornisce la presenza emessa dal c.n., alla temperatura assoluta T, per unità <strong>di</strong> area superficiale,<br />
nell’intervallo <strong>di</strong> frequenza da ν a ν + Δν.<br />
5. Il potere emissivo del corpo nero è dato da<br />
Con σ B = 5.67 10 -8 Wm -2 K -4 .<br />
(Wm -2 )<br />
La formula E n (T) = σ B T 4 (C.3)<br />
è nota come la Legge <strong>di</strong> Stefan-Boltzmann.<br />
6. Il potere emissivo monocromatico ha un massimo in corrispondenza <strong>di</strong> λ = λ max e si ha<br />
che rappresenta la Legge dello spostamento <strong>di</strong> Wien.<br />
Si osservi che per<br />
T = 300 K si ha λm = 970 nm (infrarosso)<br />
T = 6000 K si ha λm = 480 nm (visibile)<br />
7. La formula <strong>di</strong> Rayleigh-Jeans.<br />
Si osservi che<br />
λ max T 2,9 10 -3 m K (C.4)<br />
e quin<strong>di</strong> per x 1<br />
nella (C.2) si può porre<br />
(C.5)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 85<br />
per frequenze molto elevate, cioè per >>1<br />
Si ottiene (C.6)<br />
Noto come equazione <strong>di</strong> W.Wien (ottenuta nel 1893-94)<br />
La formula <strong>di</strong> Planck<br />
1. Nel 1899 Max Planck stabilì la seguente relazione<br />
che lega le grandezze<br />
(x, T) (P.1)<br />
a) u ν (T), densità spettrale, me<strong>di</strong>a, <strong>di</strong> energia (del corpo nero) alla temperatura <strong>di</strong> equilibrio T;<br />
b) U (ν,T) , energia me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un oscillatore (mi<strong>di</strong>mensionale) in equilibrio con la ra<strong>di</strong>azione nera.<br />
2. Alla fine del 1900 (14 Dicembre) Planck riuscì a determinare l’espressione analitica <strong>di</strong> U (ν,T) :<br />
3. Combinando (P.1) e (P.2) Planck trovò la legge che porta il suo nome<br />
4. Sapendo che il legame fra densità spettrale e potere emissivo è dato da<br />
Dalla (P.3) si ottiene (P.4)<br />
Interpretazione quantistica della formula <strong>di</strong> Planck<br />
1. Prendendo (Wm -2 ) (P.5)<br />
si può affermare che<br />
a) è l’energia associata a un singolo fotone;<br />
b) ΔΝ ν è il numero me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> fotoni emessi dal c.n., per unità <strong>di</strong> area superficiale e per unità <strong>di</strong><br />
tempo, nell’intervallo <strong>di</strong> frequenze fra ν e ν + Δν.<br />
(P.2)<br />
(P.3)
86 Capitolo 1. Ricerche<br />
Il modello statistico <strong>di</strong> Planck<br />
Supponiamo <strong>di</strong> avere un certo numero G <strong>di</strong> oscillatori, g 1 dei quali oscillano con frequenza ν 1 , g 2 con<br />
frequenza ν 2 , …, g r con frequenza ν r , …, g s con frequenza ν s . Si ha<br />
G = g 1 + g 2 + … + g r + … + g s (i g r sono interi).<br />
Supponiamo, inoltre, <strong>di</strong> voler <strong>di</strong>stribuire agli oscillatori g 1 l’energia n 1 ε 1 , agli oscillatori g 2 l’energia<br />
n 2 ε 2 , …, agli oscillatori g r l’energia n r ε r , agli oscillatori g s l’energia n s ε s , in modo tale che<br />
E = n 1 ε 1 + n 2 ε 2 +…+n r ε r + n s ε s (gli n r sono interi).<br />
In quanti mo<strong>di</strong> è possibile realizzare una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> energia?<br />
Il numero <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> (totale) sarà dato dal numero <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> w 1 in cui n 1 “pezzi” <strong>di</strong> energia ε 1 si possono<br />
<strong>di</strong>stribuire fra g 1 oscillatori, moltiplicato il numero <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> w 2 in cui n 2 “pezzi” <strong>di</strong> energia ε 2 si possono<br />
<strong>di</strong>stribuire fra g 2 oscillatori e così via,<br />
rispettando il vincolo<br />
W = w 1 ·w 2 ·…·w r ·…·w s =<br />
La <strong>di</strong>stribuzione ottenuta con il numero massimo <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> è quella che caratterizza gli oscillatori in<br />
equilibrio termico alla temperatura T. Per questa <strong>di</strong>stribuzione si ha<br />
dove<br />
Si può interpretare n r come il numero me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> “pezzi” <strong>di</strong> energia posseduti dai g r oscillatori all’equilibrio<br />
termico. Ne segue che l’energia me<strong>di</strong>a posseduta dai g r oscillatori è<br />
mentre l’energia me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un singolo oscillatore è data da<br />
Ricordando la notazione (P.1) possiamo porre<br />
che esprime l’energia me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un oscillatore <strong>di</strong> frequenza data ν r .<br />
(P.6)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 87<br />
Suggerimenti per ulteriori letture:<br />
Sexl, Raab (1984) Streeruwitz, <strong>Fisica</strong> 3, Zanichelli, Bologna, (Cap. III).<br />
Zanetti V. (1989) La <strong>fisica</strong> attorno a noi, Zanichelli, Bologna, (Cap. 5).<br />
Çengel Y.A. (1998) Termo<strong>di</strong>namica e trasmissione del calore, Mc Graw-Hill, N.Y., (Cap. 14).<br />
Nolan P.J. (1996) Fondamenti <strong>di</strong> <strong>fisica</strong>, Zanichelli, Bologna, (Cap. 16).<br />
Bon M., <strong>Fisica</strong> atomica, Boringhieri, Torino.<br />
Kuhn T.S. (1978) Alle origini della <strong>fisica</strong> contemporanea, Il Mulino, Bologna.
LA FISICA DELLA SUPERCONDUTTIVITÀ 1<br />
Rosanna Viola<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
1. Introduzione/Fenomeni<br />
Il punto <strong>di</strong> partenza della scoperta della superconduttività è stata una <strong>di</strong>scussione <strong>sulla</strong> <strong>di</strong>pendenza<br />
dalla temperatura della resistenza dei metalli. Secondo la teoria classica (P. Drude e H.A. Lorentz)<br />
c’erano due possibilità per il caso limite alla temperatura dello zero assoluto:<br />
• gli elettroni dovrebbero condensare attorno agli atomi; il metallo dovrebbe <strong>di</strong>ventare un isolante<br />
alla temperature T = 0 K.<br />
• non c’è condensazione; la resistenza va a zero come la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> T.<br />
Gli esperimenti, però, rivelarono che nessuna delle due previsioni si realizzava. Dopo che Heike<br />
Kamerlingh Onnes riuscì a liquefare l’elio (a 4.2 K) nel 1908, fu possibile misurare la resistenza dei<br />
metalli a temperature molto basse con il risultato che essa si avvicinava a un valore finito che <strong>di</strong>pendeva<br />
fortemente dalle impurezze. Per campioni molto puri, la resistenza dovrebbe andare a zero, dato<br />
che la <strong>di</strong>pendenza della temperatura osservata può essere associata all’agitazione termica degli atomi.<br />
Nel 1911 furono condotti molti esperimenti con mercurio molto puro con il risultato che realmente la<br />
resistenza del mercurio assumeva valori molto piccoli, ma inaspettatamente essa crollava repentinamente<br />
a zero (nel 1913 H. Kamerlingh Onnes vinse il Premio Nobel per questa scoperta).<br />
Poco dopo fu scoperto che, al <strong>di</strong> sopra <strong>di</strong> un valore critico <strong>di</strong> densità <strong>di</strong> corrente, la resistenza<br />
<strong>di</strong>ventava nuovamente finita.<br />
Un altro fenomeno della superconduttività è <strong>di</strong> natura magnetica – il cosiddetto “Effetto Meissner-<br />
Ochsenfeld”: i superconduttori mostrano la caratteristica <strong>di</strong> espellere completamente un campo<br />
magnetico applicato, in<strong>di</strong>pendentemente da quando questo campo sia stato applicato, prima o dopo<br />
la transizione alla fase superconduttiva.<br />
Fig. 1. Resistenza del mercurio: fase <strong>di</strong> transizione alla superconduttività. Fig. 2. Effetto Meissner-Ochsenfeld - http://commons.<br />
wikime<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:EfektMeisnera.svg.<br />
Un superconduttore, <strong>di</strong> conseguenza, si comporta come un materiale <strong>di</strong>amagnetico perfetto. Ma esiste<br />
un valore critico del campo magnetico al <strong>di</strong> sopra del quale la superconduttività scompare. In<br />
(1) Dai materiali del progetto MOSEM http://supercomet.no/gb/MOSEM.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 89<br />
effetti è questo comportamento magnetico che caratterizza un materiale come superconduttore.<br />
Non si ebbe una descrizione teorica <strong>di</strong> questi fenomeni, tuttavia, fino al 1957, quando J. Bardeen,<br />
L.N. Cooper and J.R. Schrieffer svilupparono con successo una teoria quantistica consistente della<br />
superconduttività (Teoria BCS). Una prova della natura quantistica della superconduttività è l’Effetto<br />
Josephson che portò allo sviluppo <strong>di</strong> molti <strong>di</strong>spositivi innovativi.<br />
Il comportamento magnetico sopra descritto è tipico dei cosiddetti Superconduttori del I Tipo,<br />
<strong>di</strong> solito rappresentati dagli elementi metallici. Più tar<strong>di</strong> fu trovato un altro tipo <strong>di</strong> superconduttori,<br />
chiamati Superconduttori del II Tipo, soprattutto leghe e composti. Essi mostrano due valori critici<br />
<strong>di</strong> campo magnetico: al <strong>di</strong> sotto del primo il materiale si trova nello stato Meissner (come un<br />
Superconduttore del I Tipo), tra il primo e il secondo è in un cosiddetto stato misto o stato Abrikosov<br />
(vincitore del Premio Nobel nel 2003), al <strong>di</strong> sopra del secondo valore critico <strong>di</strong> campo il materiale<br />
<strong>di</strong>venta nuovamente un normale conduttore. La fase interme<strong>di</strong>a è caratterizzata dalla comparsa<br />
nel materiale <strong>di</strong> vortici <strong>di</strong> flusso, ognuno dei quali porta una unità <strong>di</strong> flusso magnetico quantizzato<br />
(“fluxoid”). Quando i vortici sono trattenuti da <strong>di</strong>fetti (“pinning”), il materiale può tollerare campi<br />
magnetici piuttosto intensi ed è detto “Superconduttore Duro”, tali materiali sono <strong>di</strong> conseguenza<br />
molto utili per applicazioni tecnologiche.<br />
Tra il 1986 e il 1993 è stato scoperto un nuovo tipo <strong>di</strong> superconduttori: i cosiddetti “Superconduttori<br />
ad Alta Temperatura (High-Tc)”. Essi sono caratterizzati da temperature critiche molto alte,<br />
alcune ben al <strong>di</strong> sopra del punto <strong>di</strong> ebollizione dell’azoto liquido (77 K). J.G. Bednorz and K.A. Müller<br />
hanno ricevuto il Premio Nobel nel 1987 per la scoperta pionieristica <strong>di</strong> questi superconduttori.<br />
Nel frattempo il record <strong>di</strong> temperatura critica registrata cade intorno a 160 K.<br />
La maggior parte <strong>di</strong> questi materiali sono ceramici e la <strong>fisica</strong> che descrive la loro superconduttività<br />
non è ancora chiaramente compresa.<br />
2. Proprietà elettriche<br />
La superconduttività, come in<strong>di</strong>ca il nome, descrive il fenomeno secondo il quale un pezzo <strong>di</strong> materiale<br />
<strong>di</strong>venta un conduttore perfetto con resistenza elettrica nulla e ciò avviene molto repentinamente<br />
al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> una certa temperatura, la temperatura critica T c . Solitamente ciò avviene a temperature<br />
molto basse, appena al <strong>di</strong> sopra dello zero assoluto. Come si giustifica il fatto <strong>di</strong> parlare <strong>di</strong> scomparsa<br />
della resistenza? Al tempo della scoperta, l’accuratezza della misura era intorno a 10 -5 , oggi la <strong>di</strong>minuzione<br />
della resistenza all’inizio della fase superconduttiva può essere misurata con una accuratezza <strong>di</strong><br />
10 -14 . Questo può essere fatto monitorando la <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> una corrente in un anello superconduttore<br />
(anche Kammerlingh Onnes utilizzò questo metodo molto sensibile nel 1914): una barra magnetica<br />
viene dapprima inserita nell’anello allo stato normale, poi l’anello viene raffreddato portandolo<br />
al <strong>di</strong> sotto della temperatura critica del materiale <strong>di</strong> cui è fatto. Quando il magnete viene rimosso, si<br />
Fig. 3. Creazione <strong>di</strong> una supercorrente in un anello superconduttore: prima l’anello viene raffreddato, poi il magnete viene rimosso.
90 Capitolo 1. Ricerche<br />
registra nell’anello una corrente indotta. Se questa corrente decresce nel tempo, sicuramente esiste<br />
una resistenza nel conduttore; se non decresce, si può determinare un limite superiore della resistenza.<br />
La bassa resistenza dei metalli è connessa con l’osservazione che il trasporto <strong>di</strong> carica è realizzato dai<br />
cosiddetti elettroni liberi nel materiale. In realtà essi sono solo quasi-liberi in quanto essi collidono<br />
durante il loro moto l’uno con l’altro, dando il cosiddetto contributo intrinseco alla resistenza (abbastanza<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla temperatura) e con gli ioni del reticolo cristallino (in realtà eccitazioni elementari<br />
delle vibrazioni reticolari, dette fononi). L’ultimo contributo è fortemente <strong>di</strong>pendente dalla<br />
temperatura. Perchè in un materiale superconduttore dovrebbe essere improvvisamente proibito lo<br />
scambio <strong>di</strong> energia tra gli elettroni <strong>di</strong> conduzione e il reticolo? Intorno al 1930 si è <strong>di</strong>mostrato che la<br />
superconduttività deve essere un fenomeno quantistico macroscopico. Soli<strong>di</strong> che normalmente sono<br />
buoni conduttori (come rame, argento, oro) in genere non <strong>di</strong>ventano superconduttori, mentre molti<br />
cattivi conduttori possono <strong>di</strong>ventare superconduttori. La ragione <strong>di</strong> quest’ultima osservazione risiede<br />
nella forte interazione (scattering) elettrone-fonone, che porta a alti valori della resistenza nello stato<br />
normale, mentre è responsabile del meccanismo della superconduttività quando questa si realizza a<br />
bassa temperatura. L’esistenza <strong>di</strong> una densità <strong>di</strong> corrente limite (corrente critica) che un superconduttore<br />
può sostenere è legata a questo meccanismo (ve<strong>di</strong> la <strong>Sezione</strong> 4).<br />
3. Comportamento magnetico<br />
In un campo magnetico, i superconduttori si comportano in modo piuttosto <strong>di</strong>fferente dai (anche perfetti)<br />
conduttori metallici: un superconduttore è un materiale <strong>di</strong>amagnetico perfetto, la magnetizzazione<br />
indotta compensa completamente un campo magnetico applicato – ma solo fino a un valore<br />
critico B c (ve<strong>di</strong> fig. 4a).<br />
Fig. 4. a) Magnetizzazione indotta in un superconduttore (I Tipo) in funzione del campo magnetico applicato; b) Dipendenza del<br />
valore critico del campo magnetico dalla temperatura.<br />
Nel 1935 W. Meissner e R. Ochsenfeld scoprirono l’effetto (chiamato più tar<strong>di</strong> col loro nome) secondo<br />
il quale un flusso magnetico sarà sempre espulso dal materiale superconduttore, in<strong>di</strong>pendentemente<br />
se il campo magnetico è applicato prima o dopo l’insorgere dello stato superconduttivo. Così l’effetto<br />
è in<strong>di</strong>pendente dalla sua storia precedente e quin<strong>di</strong> è reversibile in termini termo<strong>di</strong>namici. Di<br />
conseguenza la superconduttività è un vero stato termo<strong>di</strong>namico.<br />
La <strong>di</strong>pendenza dell’intensità del campo magnetico critico dalla temperatura può essere approssimata<br />
molto bene dalla semplice espressione (ve<strong>di</strong> fig. 4b)<br />
B c (T) = B c (0) [1 – (T/T c )²].
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 91<br />
Poco dopo la scoperta dell’effetto Meissner-Ochsenfeld fu sviluppata una teoria fenomenologica da<br />
F. e H. London. Essa, tra le altre cose, pre<strong>di</strong>ceva che il campo magnetico non venisse espulso completamente<br />
fino alla superficie del superconduttore, ma penetrasse in un sottile strato dove scorrono<br />
le correnti <strong>di</strong> compensazione. La lunghezza caratteristica associata a questo strato è detta profon<strong>di</strong>tà<br />
<strong>di</strong> penetrazione <strong>di</strong> London λ L , e tipicamente è del’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 50 nm. Il fatto che tutto il trasporto<br />
<strong>di</strong> energia avvenga in un sottile strato superficiale <strong>di</strong> un filo superconduttore ha alcune conseguenze<br />
pratiche: migliaia <strong>di</strong> sottili filamenti superconduttori possono essere inseriti in una matrice <strong>di</strong> rame,<br />
che trasportano la corrente sotto la temperatura critica; tuttavia se la superconduttività improvvisamente<br />
cessasse il materiale <strong>di</strong> rame si assumerebbe il trasporto della corrente in modo tale da prevenire<br />
la <strong>di</strong>struzione del filo.<br />
Se si applica la regola <strong>di</strong> quantizzazione <strong>di</strong> Bohr-Sommerfeld a una corrente in un anello superconduttore<br />
(a un sistema macroscopico!) si ottiene il risultato che il flusso magnetico è quantizzato, cioè<br />
il flusso magnetico risulta <strong>di</strong> unità elementari <strong>di</strong> “fluxoids”<br />
Φ 0 = h/2e 0 = 2.07 · 10 -15 Tm² (= Wb)<br />
dove h è la costante <strong>di</strong> Planck e e 0 l’unità elementare <strong>di</strong> carica. In realtà, al denominatore c’è la<br />
carica dei portatori <strong>di</strong> corrente, che sperimentalmente risulta essere il doppio della unità elementare<br />
<strong>di</strong> carica, in<strong>di</strong>cando che in un superconduttore si ha un accoppiamento <strong>di</strong> elettroni (maggiori dettagli<br />
nella sezione successiva).<br />
4. Teoria BCS<br />
La Teoria BCS (per la quale J. Bardeen, L.N. Cooper e J.R. Schrieffer ricevettero il Premio Nobel<br />
nel 1972) è una teoria quantistica a molte particelle che spiega la superconduttività nei metalli. L’osservazione<br />
sperimentale che la temperatura critica mostra una forte <strong>di</strong>pendenza dalla presenza nel<br />
metallo <strong>di</strong> una maggiore quantità <strong>di</strong> isotopi pesanti o <strong>di</strong> isotopi leggeri (“effetto isotopico”) in<strong>di</strong>ca<br />
che le vibrazioni quantizzate del reticolo (i cui quanti sono chiamati fononi), che <strong>di</strong>pendono dalla<br />
massa, giocano un ruolo vitale nella formazione dello stato superconduttivo. Misurando il calore specifico,<br />
dal cui valore <strong>di</strong>pende la formazione delle coppie <strong>di</strong> elettroni nello stato superconduttivo, fu<br />
trovato anche un gap <strong>di</strong> energia nello spettro <strong>di</strong> eccitazione elettronico dei superconduttori sotto T c .<br />
L’idea <strong>di</strong> base che sta <strong>di</strong>etro alla Teoria BCS si poggia <strong>sulla</strong> formazione delle cosiddette coppie <strong>di</strong><br />
Cooper che consistono in due elettroni (con quantità <strong>di</strong> moto e spin opposti, ve<strong>di</strong> oltre). Questo può<br />
essere ottenuto postulando una nuova interazione attrattiva debole elettrone-elettrone attraverso<br />
l’emissione e l’assorbimento <strong>di</strong> fononi virtuali che può essere interpretata nel modo seguente: l’emissione<br />
<strong>di</strong> un fonone virtuale da un elettrone è equivalente a una deflessione degli ioni del reticolo e<br />
quin<strong>di</strong> a una polarizzazione del reticolo nelle sue vicinanze. Se un altro elettrone attraversa questa<br />
nube <strong>di</strong> polarizzazione, sente una forza attrattiva (dovuta all’assorbimento del fonone virtuale) in<strong>di</strong>pendente<br />
dalla repulsione Coulombiana tra gli elettroni (va qui notato che i fononi scambiati non<br />
possono essere reali in quanto un fonone reale porterebbe a un trasferimento <strong>di</strong> energia al reticolo e<br />
quin<strong>di</strong> a una resistenza non nulla).<br />
La formazione delle coppie <strong>di</strong> Cooper è un processo <strong>di</strong>namico, <strong>di</strong>pende da quanto velocemente il reticolo<br />
può seguire l’azione polarizzante degli elettroni, e <strong>di</strong> conseguenza le masse degli ioni giocano<br />
un ruolo cruciale, portando al sopra menzionato effetto isotopico della temperatura critica. Poiché il<br />
reticolo reagisce molto più lentamente degli elettroni che viaggiano attraverso <strong>di</strong> esso, l’accoppiamento<br />
della coppia <strong>di</strong> Cooper avviene a <strong>di</strong>stanze tra 100 nm e 1000 nm; questa <strong>di</strong>stanza è detta “lunghezza<br />
<strong>di</strong> coerenza” e può essere interpretata come estensione me<strong>di</strong>a della coppia <strong>di</strong> Cooper. All’interno<br />
<strong>di</strong> questa <strong>di</strong>stanza c’è un numero <strong>di</strong> elettroni dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 10 6 , sotto forma <strong>di</strong> coppie <strong>di</strong> Cooper<br />
che si <strong>di</strong>sintegrano e si riformano continuamente.<br />
Un calcolo <strong>di</strong> meccanica quantistica mostra che tutte le coppie <strong>di</strong> Cooper hanno quantità <strong>di</strong> moto<br />
totale e spin nulli (a T = 0 K). Quin<strong>di</strong> ogni coppia <strong>di</strong> Cooper si comporta come un bosone, fatto che<br />
favorisce la situazione in cui tutte le coppie sono nel medesimo stato quantico <strong>di</strong> energia. L’insieme
92 Capitolo 1. Ricerche<br />
<strong>di</strong> tutte le coppie è descritto da una singola funzione d’onda che attraversa l’intero superconduttore.<br />
L’energia <strong>di</strong> legame <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> Cooper è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> pochi meV, molto più piccola dell’energia<br />
<strong>di</strong> legame degli elettroni nel metallo (alcuni eV), <strong>di</strong> conseguenza l’accoppiamento degli elettroni<br />
in coppie <strong>di</strong> Cooper è possibile solo se l’energia termica del reticolo è bassa. Questa energia <strong>di</strong><br />
legame ovviamente crea il sopra menzionato gap <strong>di</strong> energia nello spettro elettronico.<br />
Appena sotto la temperatura critica solo una piccola parte degli elettroni <strong>di</strong> conduzione si lega in coppie<br />
<strong>di</strong> Cooper; man mano che la temperatura decresce si formano sempre più coppie fino a quando<br />
a T = 0 K sono tutte coppie.<br />
Quando si applica un campo elettrico, tutte le coppie hanno la stessa quantità <strong>di</strong> moto senza alcuna<br />
interazione col reticolo, e ciò porta all’osservato trasporto <strong>di</strong> carica senza resistenza; comunque la<br />
quantità <strong>di</strong> moto che può essere trasferita alle coppie è limitata, infatti quando la loro energia cinetica<br />
supera quella <strong>di</strong> legame, la superconduttività scompare – questa è la ragione dell’esistenza della<br />
corrente critica. Anche i campi magnetici possono essere applicati fino a una certa intensità, dal<br />
momento che la corrente <strong>di</strong> compensazione raggiungerebbe poi il suo valore critico.<br />
In conclusione va notato che la Teoria BCS ha bisogno <strong>di</strong> soli tre parametri per esprimere le caratteristiche<br />
essenziali della superconduttività nei metalli: essi sono le caratteristiche del sottosistema<br />
elettronico (densità <strong>di</strong> stati vicino alla superficie <strong>di</strong> Fermi), del reticolo (le frequenze caratteristiche<br />
fononiche), e l’intensità dell’accoppiamento elettrone-fonone.<br />
5. L’effetto Josephson<br />
Se due superconduttori sono connessi tramite un sottile strato <strong>di</strong> materiale non superconduttore (<strong>di</strong><br />
spessore <strong>di</strong> pochi nanometri), la teoria quantistica prevede una probabilità non nulla che le coppie<br />
<strong>di</strong> Cooper possano attraversare la barriera tra un superconduttore e l’altro. I due superconduttori si<br />
<strong>di</strong>cono allora debolmente accoppiati. Un simile apparato è detto giunzione <strong>di</strong> Josephson, da Brian<br />
D. Josephson, che pre<strong>di</strong>sse il fenomeno teoricamente<br />
nel 1962 e vinse il Premio Nobel<br />
nel 1973, dopo la verifica sperimentale della<br />
sua previsione. La giunzione <strong>di</strong> Josephson può<br />
essere una combinazione <strong>di</strong> superconduttore-isolante-superconduttore<br />
(SIS) o superconduttorenormale<br />
conduttore-superconduttore (SNS), o<br />
realizzata pressando un sottile punto superconduttore<br />
in un altro superconduttore, o una fen<strong>di</strong>tura<br />
molto stretta in un film superconduttore.<br />
Il fatto che in un superconduttore tutte le coppie<br />
<strong>di</strong> Cooper siano nello stesso stato quantico<br />
implica anche che la fase della funzione d’onda<br />
ad esse associate è ben determinata. Se si applica<br />
una tensione U0 alla giunzione, fluirà attraverso<br />
<strong>di</strong> essa una supercorrente, a resistenza nulla, Is (corrente <strong>di</strong> Josephson) <strong>di</strong> intensità<br />
Fig. 5. La giunzione Josephson.<br />
I s = I c sin (Δφ).<br />
dove Δφ è la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra le funzioni d’onda dei due superconduttori accoppiati, in analogia<br />
alla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra due pendoli accoppiati debolmente in meccanica. Il valore <strong>di</strong> I s può essere<br />
incrementato incrementando la tensione applicata U 0 fino alla corrente critica I c . Questo fenomeno<br />
è chiamato Effetto Josephson DC (corrente continua).<br />
Se la corrente <strong>di</strong>venta più intensa <strong>di</strong> I c , ai capi della barriera apparirà una tensione U s , cioè si sviluppa<br />
una certa resistenza. Questa tensione comporta una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> energia tra i sistemi <strong>di</strong> coppie<br />
<strong>di</strong> Cooper, data da:
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 93<br />
ΔE = 2 e 0 U s,<br />
e, in accordo con la meccanica quantistica, questa è equivalente a una <strong>di</strong>fferenza nelle frequenze<br />
interne dei sistemi <strong>di</strong> Δv = ΔE/λ. Se i due sistemi oscillano con frequenze <strong>di</strong>fferenti ma costanti nel<br />
tempo, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra <strong>di</strong> essi varia linearmente col tempo<br />
dove appare nuovamente il quanto <strong>di</strong> flusso magnetico Δ 0 ; il suo inverso è detto costante <strong>di</strong> Josephson<br />
K J . Come conseguenza, una supercorrente alternata, con la cosiddetta frequenza <strong>di</strong> Josephson<br />
v J = 2 e 0 U s /h,<br />
ora fluisce attraverso la barriera. Questo determina l’Effetto Josephson AC (corrente alternata).<br />
Le giunzioni <strong>di</strong> Josephson sono usate come elementi <strong>di</strong> commutazione estremamente rapi<strong>di</strong> e accurati<br />
stabilizzatori <strong>di</strong> tensione. In aggiunta essi sono usati in <strong>di</strong>spositivi <strong>di</strong> misura <strong>di</strong> flussi magnetici<br />
estremamente piccoli (SQUIDs = Superconducting Quantum Interference Devices).<br />
Nell’Effetto Josephson AC Inverso, una tensione alternata <strong>di</strong> frequenza v è applicata alla giunzione<br />
Josephson (<strong>di</strong> solito irra<strong>di</strong>andola con microonde). Si creano livelli <strong>di</strong>screti <strong>di</strong> tensione tra i due<br />
superconduttori, del tipo<br />
U n = n v 0 v, n = 1, 2, 3,...<br />
Quin<strong>di</strong> la giunzione Josephson si comporta come un perfetto convertitore frequenza-tensione. Di<br />
conseguenza è usato in tutto il mondo come base per la tensione costante <strong>di</strong> riferimento negli istituti<br />
nazionali metrologici e nei laboratori <strong>di</strong> calibrazione delle industrie.<br />
Infine va notato che l’effetto Josephson è stato <strong>di</strong>mostrato anche con i nuovi Superconduttori ad alta<br />
temperatura.<br />
6. Superconduttori del I Tipo/ II Tipo<br />
I fenomeni e la loro interpretazione teorica, così come descritti nelle Sezioni 2-4, sono relativi ai<br />
cosiddetti Superconduttori del I Tipo, caratterizzati da un completo Effetto Meissner-Ochsenfeld al <strong>di</strong><br />
sotto <strong>di</strong> T c e B c : un campo magnetico applicato decresce esponenzialmente all’interno della profon-<br />
Fig. 6. a) Magnetizzazione indotta in un Superconduttore del II Tipo in funzione del campo magnetico applicato; b) Dipendenza<br />
dell’intensità del campo magnetico critico dalla temperatura.<br />
,
94 Capitolo 1. Ricerche<br />
<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> penetrazione <strong>di</strong> London dove scorre una supercorrente, all’interno il campo è nullo. Sopra il<br />
valore critico <strong>di</strong> campo B c le coppie <strong>di</strong> Cooper si scindono e il materiale <strong>di</strong>venta un normale conduttore.<br />
I materiali che mostrano un simile comportamento sono <strong>di</strong> solito metalli puri che sono caratterizzati,<br />
comunque, in generale da bassi valori <strong>di</strong> temperatura e intensità <strong>di</strong> campo magnetico critici.<br />
Di conseguenza non sono molto utili per le applicazioni tecnologiche.<br />
Di contro, i cosiddetti Superconduttori del II Tipo (<strong>di</strong> solito leghe e composti) mostrano un <strong>di</strong>fferente<br />
comportamento: al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> un primo campo magnetico critico B c1 , essi sono nel cosiddetto<br />
stato Meissner e mostrano un completo Effetto Meissner-Ochsenfeld (come un Superconduttore<br />
del I Tipo). Tra questo campo critico e un secondo campo critico B c2 (<strong>di</strong> solito molto più alto) essi<br />
mostrano un Effetto Meissner-Ochsenfeld incompleto, che significa che un campo magnetico applicato<br />
può entrare nel materiale. Al <strong>di</strong> sopra del valore B c2 la superconduttività scompare (ve<strong>di</strong> fig. 6a).<br />
Nello stato interme<strong>di</strong>o (misto, Abrikosov o fase <strong>di</strong> vortice) è energicamente favorito che esistano nel<br />
materiale vortici <strong>di</strong> flusso magnetico v 0 . Questi vortici sono nella fase conduttiva normale e sono circondati<br />
da regioni superconduttrici in<br />
cui scorrono correnti superconduttrici<br />
a forma <strong>di</strong> anello (ve<strong>di</strong> fig. 7). Mentre<br />
il campo magnetico cresce da B c1<br />
a B c2 , sempre più vortici entrano nel<br />
materiale; poiché essi si respingono<br />
l’uno con l’altro, si forma un or<strong>di</strong>nato<br />
reticolo esagonale bi-<strong>di</strong>mensionale <strong>di</strong><br />
vortici. Questo può essere osservato al<br />
microscopio.<br />
La base teorica <strong>di</strong> questi fenomeni è<br />
stata posta dal lavoro <strong>di</strong> V.L. Ginzburg<br />
e L.D. Landau (1950), poi esteso da<br />
A.A. Abrikosov (1957) e L.P. Gor’kov<br />
(1960). Abrikosov e Ginzburg vinsero<br />
il Premio Nobel nel 2003 per il loro<br />
lavoro (essendo Landau morto nel<br />
Fig. 7. Disegno <strong>di</strong> vortici in un Superconduttore del II Tipo.<br />
1968). Si possono esprimere le caratteristiche essenziali considerando le scale <strong>di</strong> lunghezza caratteristica:<br />
la prima definisce una lunghezza <strong>di</strong> coerenza efficace ζ che <strong>di</strong>pende dalla lunghezza <strong>di</strong> coerenza<br />
“intrinseca” ζ 0 (cioè l’“estensione”<strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> Cooper) e dal cammino libero me<strong>di</strong>o L<br />
degli elettroni nello stato conduttore normale (che implica la resistenza; cioè, un piccolo/grande L<br />
significa un cattivo/buon conduttore):<br />
1/ζ = 1/ζ 0 + 1/L<br />
Questa lunghezza <strong>di</strong> coerenza va confrontata con la profon<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> penetrazione <strong>di</strong> London λ L . In un<br />
superconduttore puro (con un grande L) ζ è approssimativamente uguale a ζ 0 e maggiore <strong>di</strong> λ L . Dall’altro<br />
lato, quando L è piccolo, ζ può <strong>di</strong>ventare minore <strong>di</strong> λ L , e lo stato superconduttivo si mo<strong>di</strong>fica,<br />
così che un campo magnetico può entrare nel materiale, cioè esso è un Superconduttore del II Tipo.<br />
Le stesse scale <strong>di</strong> lunghezza determinano le intensità del campo magnetico critico: B c1 <strong>di</strong>pende da<br />
λ L , e B c2 da ζ, così che il loro prodotto è approssimativamente uguale al campo critico “termo<strong>di</strong>namico”<br />
B c (ve<strong>di</strong> fig. 6a),<br />
B c1 B c2 ≈ B c 2 .<br />
Idealmente, i vortici possono viaggiare liberamente attraverso il materiale, ma <strong>di</strong>fetti del materiale<br />
(“bor<strong>di</strong> <strong>di</strong> grano”, ovvero interfacce tra i macrocristalli in un materiale policristallino, <strong>di</strong>fetti <strong>di</strong> punto<br />
etc.) tendono a fermarli. Questo ha dei vantaggi tecnici: possono essere prodotti campi magnetici più
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 95<br />
alti in tali “Superconduttori Duri” (intorno a 50 T). Inoltre, poiché il campo magnetico è presente in<br />
gran parte del materiale, tutta la sezione può essere usata per il trasporto <strong>di</strong> corrente, permettendo<br />
correnti critiche più alte. Con appropriate lavorazioni dei materiali, superconduttori del I Tipo possono<br />
essere resi del II Tipo (duri).<br />
7. Superconduttori ad Alta Temperatura<br />
I Superconduttori ad Alta Temperatura sono superconduttori con una temperature critiche ben al <strong>di</strong><br />
sopra dei 30 K. Fino al 1986 si pensava che, in accordo con la Teoria BCS, la superconduttività al<br />
<strong>di</strong> sopra dei 30 K non fosse possibile. Ma in quell’anno, J.G. Bednorz e K.A. Müller scoprirono la<br />
superconduttività in materiali ceramici perovskiti <strong>di</strong> ossido <strong>di</strong> rame (La 2-x Ba x CuO 4 ) con temperature<br />
critiche tra i 30 K e i 40 K (per questo hanno vinto il Premio Nobel nel 1987). Poco dopo fu scoperto<br />
che, sostituendo il lantanio con ittrio, cioè fabbricando YBa 3 Cu 3 O 7 , le temperature critiche potevano<br />
salire a 93 K. Questo materiale, anche conosciuto come YBCO o composto-123, è attualmente uno<br />
dei superconduttori ad alta temperatura meglio stu<strong>di</strong>ati.<br />
Così, raffreddando con azoto liquido (punto <strong>di</strong> ebollizione a 77 K), <strong>di</strong>venta molto più facile ed economico<br />
realizzare applicazioni tecnologiche. Negli anni seguenti sono stati scoperti molti altri materiali<br />
con temperature critiche ancor più elevate, il record ufficiale (Marzo 2007) è T c = 138 K per<br />
Hg 0.8 Tl 0.2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 8 . A pressioni elevate, il composto <strong>di</strong> mercurio HgBa 2 Ca 2 Cu 3 O 8 raggiunge una<br />
temperatura critica anche maggiore <strong>di</strong> 160 K. È stato anche brevettato un materiale con temperatura<br />
critica fino a 150 K.<br />
Sfortunatamente, il meccanismo che sta alla base<br />
della superconduttività ad alta temperatura non è<br />
ancora noto, sebbene alcune caratteristiche comuni<br />
degli ossi<strong>di</strong> <strong>di</strong> rame ad alta T c siano state trovate:<br />
tutti i composti <strong>di</strong> rame non drogati sono isolanti<br />
antiferromagnetici, drogandoli <strong>di</strong>ventano metallici<br />
e, quin<strong>di</strong>, superconduttori. Esiste una concentrazione<br />
<strong>di</strong> drogaggio ottimale, sotto e sopra la quale<br />
T c è più bassa. I portatori <strong>di</strong> carica <strong>di</strong> molti superconduttori<br />
ad alta temperatura sono lacune (assenza<br />
<strong>di</strong> elettroni). Gli elementi della struttura comune<br />
sono piani <strong>di</strong> CuO 2 che sono i principali responsabili<br />
della supercorrente. Un possibile can<strong>di</strong>dato<br />
per la formazione delle coppie <strong>di</strong> Cooper (essenziali<br />
per la superconduttività) potrebbe essere una<br />
interazione spin-spin antiferromagnetica, mentre i<br />
fononi (come nella Teoria BCS) saranno molto probabilmente<br />
esclusi. Si sta conducendo molto lavoro<br />
per trovare una teoria fondamentale della superconduttività<br />
ad alta temperatura.<br />
Come nota finale, nel 1964 fu fatta un’ipotesi<br />
secondo cui i materiali organici potrebbero mostrare<br />
superconduttività con temperature critiche molto<br />
elevate. Questa attesa non è stata confermata, ma<br />
effettivamente sono stati trovati superconduttori<br />
organici con temperature critiche intorno a 10 K.<br />
Fig. 8. Modello 3D <strong>di</strong> YBCO - http://commons.wikime<strong>di</strong>a.<br />
org/wiki/Image:YBCO-3D-balls.png
TAVOLA SINOTTICA. LA STORIA DELLA SUPERCONDUTTIVITÀ<br />
Rosanna Viola<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
La superconduttività è una delle branche della <strong>fisica</strong> che si sta sviluppando più rapidamente, in cui<br />
le scoperte fondamentali non risalgono a centinaia <strong>di</strong> anni fa, ma a pochi decenni recenti. E nuove<br />
scoperte sono ancora in corso. Ti portiamo a fare un viaggio nella storia <strong>di</strong> questo affascinante fenomeno<br />
dalla sua scoperta nel 1911 fino ai recenti eccitanti sviluppi.<br />
Un magnete in levitazione su un superconduttore.<br />
Heike Kamerlingh Onnes. http://commons.<br />
wikime<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:Kamerlingh_portret.jpg.<br />
1908: Elio liquido<br />
Il 10 luglio 1908 il professor Heike Kamerlingh Onnes riuscì a raffreddare il gas nobile più leggero,<br />
l’elio (He), alla sua temperatura <strong>di</strong> condensazione nella fase liquida (detto anche punto <strong>di</strong> ebollizione),<br />
che corrisponde a 4.2K o -269°C. Egli fu il primo scienziato della storia a produrre l’elio liquido.<br />
Onnes realizzò questo nel suo laboratorio nell’università <strong>di</strong> Leida in Olanda, usando strumenti molto<br />
semplici confrontati con la tecnologia avanzata <strong>di</strong>sponibile oggi. Per fare ciò egli dovette realizzare<br />
una macchina frigorifera capace <strong>di</strong> portare l’elio fino alla temperatura <strong>di</strong> -269°C, che corrisponde a<br />
circa un sessantesimo della temperatura tipica <strong>di</strong> un congelatore per cibi (tipicamente a -18°C; nota<br />
bene: il confronto ha significato solo <strong>sulla</strong> scala <strong>di</strong> temperatura assoluta).<br />
1911: scoperta della superconduttività<br />
Sulla base <strong>di</strong> stu<strong>di</strong> precedenti, il professor Onnes assumeva che la resistenza elettrica dei metalli<br />
dovesse decrescere in maniera continua con il <strong>di</strong>minuire della temperatura, ma altri fisici dell’epoca<br />
avevano previsto che la resistenza dei metalli dovesse tendere a <strong>di</strong>ventare infinita all’avvicinarsi allo<br />
zero assoluto. Perciò Onnes decise <strong>di</strong> scoprire cosa sarebbe successo realmente. Usando l’elio liquido<br />
che aveva prodotto, egli raffreddò <strong>di</strong>versi metalli e misurò la resistenza elettrica in funzione della temperatura.<br />
Uno dei metalli che egli misurò era il mercurio (Hg). Uno strano metallo? In un certo senso<br />
sì, visto che è liquido a temperatura ambiente. Ma quando lo si raffredda al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> -39°C congela<br />
<strong>di</strong>ventando un solido metallico. La resistenza del mercurio (Hg) decresceva regolarmente al calare<br />
della temperatura, in perfetto accordo con le misure precedenti. Ma a circa 4K la resistenza elettrica<br />
scomparve del tutto. Questo fu del tutto sorprendente e non rispondeva ad alcuna teoria conosciuta.<br />
Onnes aveva scoperto un fenomeno del tutto nuovo e lo chiamò “superconduttività”.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 97<br />
1911: premio Nobel all’Olanda<br />
Heike Kamerlingh Onnes ricevette il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> per il suo lavoro nel campo della<br />
<strong>fisica</strong> delle basse temperature che culminò con la liquefazione dell’elio e la sua scoperta della superconduttività<br />
nel mercurio e in altri materiali. Altri scienziati scoprirono poi che molti metalli mostravano<br />
la stessa proprietà del mercurio, come il piombo (Pb), lo stagno (Sn), l’alluminio (Al), l’in<strong>di</strong>o<br />
(In) e il gallio (Ga). Tuttavia i metalli che a temperatura ambiente risultano i migliori conduttori<br />
come oro, argento e rame non <strong>di</strong>ventano superconduttori a nessuna temperatura. La transizione da<br />
una normale conducibilità elettrica al regime superconduttivo avviene nel mercurio a circa 4K, questa<br />
temperatura fu quin<strong>di</strong> chiamata temperatura critica T c del mercurio.<br />
1913: il piombo superconduttore<br />
La temperatura critica per la superconduttività varia da un metallo all’altro tra quelli che <strong>di</strong>ventano<br />
superconduttori. Nel 1913 fu scoperto che la temperatura critica del piombo (Pb) è <strong>di</strong> 7.196K - quasi<br />
il doppio <strong>di</strong> quella del mercurio. Ma ancora estremamente freddo! I metalli comuni come il mercurio,<br />
il piombo, lo stagno, l’alluminio e lo zinco, hanno tutti temperature critiche estremamente basse,<br />
solo pochi gra<strong>di</strong> sopra lo zero assoluto. Lo stagno (Sn) ha una temperatura critica T c = 3.72K, l’alluminio<br />
(Al) ha T c = 1.175K, lo zinco (Zn) ha T c = 0.9K e il berillio (Be) ha T c = 0.023K. Perciò questi<br />
metalli sono chiamati superconduttori a bassa temperatura. Presto gli scienziati cominciarono a lavorare<br />
duramente per cercare materiali con una temperatura critica T c più elevata. Le possibilità sarebbero<br />
enormi se essi potessero scoprire materiali che fossero superconduttori a temperatura ambiente.<br />
1922: Einstein e la superconduttività<br />
Nel 1922 Albert Einstein parlò della superconduttività all’Università <strong>di</strong> Leiden. Pubblicò inoltre un<br />
paper basato su tale talk, scritto in Germania. Questo fu l’unico articolo pubblicato da Einstein sul<br />
tema dalla superconduttività. E’ stato tradotto in inglese nel 2005 da Bjoern Schmekel dell’Università<br />
della California a Berkeley, in occasione della celebrazione del centenario del lavoro <strong>di</strong> Einstein<br />
del 1905. A partire da Neil Ashcroft della Cornell University, l’articolo è stato duramente criticato.<br />
Così Einstein non ha contribuito molto alla nostra comprensione della superconduttività ma questo<br />
articolo conteneva alcune idee che si sono rivelate corrette.<br />
1930: il niobio superconduttore<br />
In quest’anno fu misurata per il niobio (Nb) la temperatura critica più alta tra quelle <strong>di</strong> tutti gli elementi<br />
metallici puri: T c = 9.2 K. Il niobio è anche uno dei tre soli elementi metallici ad essere superconduttori<br />
<strong>di</strong> II tipo; tutti gli altri elementi sono superconduttori <strong>di</strong> I tipo. Ma nel 1930 i ricercatori<br />
non lo sapevano - la <strong>di</strong>stinzione in superconduttori<br />
<strong>di</strong> I tipo e <strong>di</strong> II tipo fu in<strong>di</strong>viduata solo 27<br />
anni più tar<strong>di</strong>.<br />
1933: l’Effetto Meissner<br />
I superconduttori hanno due importanti proprietà.<br />
Una è la capacità <strong>di</strong> trasportare una corrente elettrica<br />
senza resistenza, come fu scoperto da H. K.<br />
Onnes nel 1911. L’altra proprietà ha a che fare<br />
con il campo magnetico e fu scoperta nel 1933 in<br />
Germania da Walter Meissner e Robert Ochsenfeld.<br />
Quando un materiale <strong>di</strong>venta superconduttore,<br />
esso espelle qualunque campo magnetico<br />
che altrimenti lo attraverserebbe. Diciamo che<br />
un superconduttore ha permeabilità magnetica<br />
nulla. I materiali ferromagnetici come il ferro<br />
hanno una permeabilità magnetica molto elevata.<br />
Espulsione del campo magnetico da parte <strong>di</strong> un superconduttore.
98 Capitolo 1. Ricerche<br />
Le linee <strong>di</strong> campo possono essere contenute densamente<br />
nel ferro e se ne possono fare magneti<br />
molto intensi. In effetti il ferro attrae le linee <strong>di</strong><br />
flusso. L’effetto Meissner è in pratica l’opposto<br />
del ferromagnetismo - un superconduttore al cui<br />
interno si abbia campo magnetico nullo si <strong>di</strong>ce<br />
<strong>di</strong>amagnetico - <strong>di</strong>versamente da qualunque altro<br />
materiale, sarebbe respinto da un magnete qualunque<br />
sia il polo rivolto verso il superconduttore.<br />
Ciò è equivalente a <strong>di</strong>re che ha permeabilità<br />
magnetica nulla.<br />
1934: il modello a due flui<strong>di</strong><br />
Per meglio descrivere il trasporto senza resistenza<br />
nei superconduttori, gli scienziati olandesi<br />
C.J. Gorter e H. B. G. Casimir, suggerirono <strong>di</strong><br />
considerare gli elettroni responsabili del trasporto<br />
elettrico nei superconduttori come <strong>di</strong>visi in due<br />
componenti: una normale ed una supercondut- Espulsione del campo magnetico da parte <strong>di</strong> un superconduttore.<br />
trice. La separazione delle componenti doveva<br />
essere fortemente <strong>di</strong>pendente dalla temperatura.<br />
L’idea era che la componente superconduttrice aumentasse in proporzione da zero, in corrispondenza<br />
della temperatura critica, fino al 100% alla temperatura dello zero assoluto. La proporzione degli<br />
elettroni della componente normale seguiva un evoluzione opposta. Questo modello fenomenologico<br />
si <strong>di</strong>mostrò utile anche dopo lo sviluppo nel 1957 <strong>di</strong> una teoria quantistica della superconduttività.<br />
1935: l’equazione <strong>di</strong> London<br />
I fratelli ungheresi Fritz e Heinz London furono i primi a sviluppare un supporto teorico agli stu<strong>di</strong><br />
<strong>sulla</strong> superconduttività. Essi proposero un’equazione per calcolare la densità <strong>di</strong> supercorrente che si<br />
genera in un superconduttore quando viene esposto ad un campo magnetico esterno statico. Questa<br />
supercorrente genera un campo magnetico opposto a quello esterno, che lo cancella esattamente producendo<br />
l’effetto Meissner. Questo lavoro fu pubblicato nel marzo 1935. Il modello pre<strong>di</strong>sse anche<br />
l’esistenza <strong>di</strong> una lunghezza caratteristica per la penetrazione del campo magnetico statico all’interno<br />
del superconduttore, la profon<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> penetrazione <strong>di</strong> London. L’equazione <strong>di</strong> London per la supercorrente<br />
è analoga alla legge <strong>di</strong> Ohm per la corrente nei normali metalli. La legge <strong>di</strong> Ohm mette in<br />
relazione la corrente con la variazione spaziale <strong>di</strong> potenziale elettrico che la determina, l’equazione<br />
<strong>di</strong> London mette invece in relazione la supercorrente che produce l’effetto <strong>di</strong> schermo nei confronti<br />
del campo magnetico statico, con un potenziale magnetico da cui il campo magnetico è determinato.<br />
Questa equazione viene ancora utilizzata per modellizzare il comportamento dei superconduttori.<br />
1936: superconduttori del II tipo<br />
A quell’epoca la comunità dei fisici non classificava i superconduttori in due tipi. Nel 1936 tuttavia,<br />
all’Istituto <strong>di</strong> Scienza e Tecnologia <strong>di</strong> Kharkov, L. V. Shubnikov scoprì una caratteristica nuova<br />
del PbTl2 superconduttore: Quando egli sottopose il superconduttore ad un campo magnetico variabile,<br />
egli potè in<strong>di</strong>viduare due valori critici per il campo magnetico! Questa caratteristica è propria<br />
dei superconduttori <strong>di</strong> II tipo; Shubnikov perciò fu il primo ad in<strong>di</strong>viduare un superconduttore <strong>di</strong><br />
questo genere. Alcuni scienziati chiamano la regione tra questi due valori critici del campo magnetico<br />
fase <strong>di</strong> Shubnikov. Shubnikov non visse abbastanza per apprezzare quanto importante si rivelò<br />
essere la sua scoperta.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 99<br />
1950: la teoria <strong>di</strong> Ginzburg-Landau<br />
Gli scienziati sovietici Valerii Ginzburg e Lev Landau pubblicarono un quadro teorico per i superconduttori<br />
che è tuttora molto utile. Il punto essenziale della loro teoria sta nello sviluppo <strong>di</strong> una espressione<br />
per determinare l’energia della fase superconduttrice in prossimità della temperatura critica T c<br />
me<strong>di</strong>ante la somma <strong>di</strong> potenze successive della funzione d’onda che descrive gli elettroni della componente<br />
superconduttrice. Anche se la teoria è puramente fenomenologica, essa si è rivelata estremamente<br />
utile ed applicabile alla maggior parte dei superconduttori, compresi i superconduttori ad<br />
alta temperatura. Il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> del 2003 è stato assegnato per il suo lavoro a Vitaly<br />
L. Ginzburg (insieme ad Abrikosov e Leggett). Il lavoro <strong>di</strong> Ginzburg e Landau dal 1950 ha assunto<br />
un’importanza via via crescente.<br />
1953: proprietà <strong>di</strong> coerenza<br />
L’inglese Brian Pippard scoprì che i superconduttori avevano proprietà <strong>di</strong> coerenza molto particolari.<br />
Egli concluse che gli elettroni nella fase superconduttrice presenti in un certo volume <strong>di</strong> un<br />
campione dovessero contribuire insieme a produrre le proprietà <strong>di</strong> superconduttività in un determinato<br />
punto. Esprimiamo questo <strong>di</strong>cendo che ci deve essere coerenza tra gli elettroni superconduttori.<br />
Nei suoi calcoli egli introdusse la lunghezza <strong>di</strong> coerenza, detta <strong>di</strong> Pippard, che è la più breve<br />
<strong>di</strong>stanza <strong>sulla</strong> quale si possono osservare variazioni <strong>di</strong> densità degli elettroni nella fase superconduttrice.<br />
Il confine tra una regione superconduttrice e una normale non può quin<strong>di</strong> mai essere più definito<br />
della lunghezza.<br />
1954: nuovo record per la temperatura critica: 18,05 K<br />
Bernd T. Matthias, nato in Svizzera ma la cui carriera scientifica si svolse negli Stati Uniti, e Ted<br />
Geballe scoprirono la superconduttività in una lega <strong>di</strong> niobio (Nb) e stagno (Sn), l’Nb3Sn, che <strong>di</strong>venta<br />
superconduttore a 18.05 K cioè una temperatura superiore a quella del mercurio <strong>di</strong> ben 14 gra<strong>di</strong>. Questo<br />
segnò un nuovo record per la temperatura critica <strong>di</strong> un superconduttore.<br />
1956: coppie <strong>di</strong> Cooper<br />
Il giovane fisico Leon N. Cooper stu<strong>di</strong>ò dal punto <strong>di</strong> vista teorico il bilancio energetico legato all’aggiunta<br />
<strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> elettroni aggiuntiva ad un metallo che avesse già tutti gli elettroni necessari.<br />
Egli pensò che il meccanismo alla base della superconduttività potesse essere collegato alla costituzione<br />
<strong>di</strong> coppie <strong>di</strong> elettroni. Due elettroni normalmente si respingono poiché hanno carica del medesimo<br />
segno. Nonostante ciò, Cooper eseguì i suoi conti inserendo un’interazione attrattiva tra i due<br />
elettroni che venivano aggiunti, e lo fece pur non avendo alcuna idea <strong>di</strong> cosa potesse produrre questa<br />
strana interazione! Cooper sviluppò quest’idea<br />
e pubblicò un articolo <strong>sulla</strong> costituzione <strong>di</strong><br />
coppie <strong>di</strong> elettroni. Queste coppie <strong>di</strong> elettroni<br />
vengono oggi chiamate in suo onore coppie <strong>di</strong><br />
Cooper per l’importanza della sua intuizione.<br />
1957: la Teoria BCS<br />
All’Università dell’Illinois il professor John<br />
Bardeen insieme al giovane studente <strong>di</strong> dottorato<br />
J. Robert Schrieffer e Leon N. Cooper<br />
svilupparono una teoria completa per descrivere<br />
la superconduttività nei metalli. La teoria<br />
fu pubblicata <strong>sulla</strong> rivista Physical Review<br />
e viene oggi chiamata teoria BCS da Bardeen,<br />
Cooper e Schrieffer. La loro teoria spiegò in<br />
dettaglio come si formano le coppie <strong>di</strong> Cooper,<br />
e come queste siano alla base della super- Moderno scanner MRI.
100 Capitolo 1. Ricerche<br />
conduttività: le coppie <strong>di</strong> Cooper consistono in due elettroni che interagiscono tra loro attraverso le<br />
vibrazioni del reticolo cristallino del materiale superconduttore, e che in questo modo riducono la<br />
loro energia. A <strong>di</strong>fferenza degli elettroni liberi che si respingono a vicenda, i due elettroni <strong>di</strong> una coppia<br />
<strong>di</strong> Cooper si attraggono.<br />
1957: quantizzazione del flusso<br />
Nello stesso anno in cui fu pubblicata la teoria BCS, fu pubblicato in Unione Sovietica un lavoro<br />
decisivo <strong>di</strong> Alexei Abrikosov nel quale egli mostrava come il flusso del campo magnetico nei<br />
superconduttori potesse essere quantizzato. Il quanto minimo <strong>di</strong> flusso magnetico è dato da<br />
Φ 0 = h/2e=2.07·10 2 gauss cm 2 , dove h è la costante <strong>di</strong> Planck ed e è la carica elettrica elementare.<br />
La proprietà <strong>di</strong> quantizzazione del flusso magnetico si incontra tuttavia solo in alcuni superconduttori<br />
Questo fatto rese inoltre possibile specificare la <strong>di</strong>stinzione tra i due tipi fondamentali <strong>di</strong> superconduttori<br />
detti <strong>di</strong> I e II tipo.<br />
<strong>Sezione</strong> sagittale <strong>di</strong> una scansione MRI del cranio umano.<br />
http://en.wikipe<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:MRI_head_saggital.jpg<br />
1960: una spinta alle applicazioni pratiche<br />
Per potere fare applicazioni pratiche dei superconduttori<br />
è piuttosto importante che essi siano<br />
in grado <strong>di</strong> trasportare gran<strong>di</strong> intensità <strong>di</strong> corrente<br />
e sopportare campi magnetici elevati. I<br />
superconduttori scoperti prima del 1960 erano<br />
molto sensibili ai valori combinati <strong>di</strong> corrente<br />
elettrica e campo magnetico e piccole correnti<br />
erano sufficienti a farli uscire dallo stato superconduttore.<br />
Ad Eugene Kunzler dei Bell labs fu<br />
assegnato da Morry Tanenbaum il compito <strong>di</strong><br />
sviluppare un superconduttore a base <strong>di</strong> niobio<br />
che potesse sopportare sia un campo magnetico<br />
elevato, che un’elevata densità <strong>di</strong> corrente.<br />
Nel <strong>di</strong>cembre 1960, Kunzler fece le sue prime<br />
misure <strong>di</strong> campo magnetico critico su un campione<br />
superconduttore <strong>di</strong> niobio-stagno, e in<strong>di</strong>viduò<br />
il valore critico in 88000 gauss (il campo<br />
magnetico terrestre ha <strong>sulla</strong> superficie della<br />
Terra un valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> circa 0.5 gauss). Il<br />
composto si <strong>di</strong>mostrò inoltre capace <strong>di</strong> trasportare una elevata densità <strong>di</strong> corrente. Finalmente si rendeva<br />
possibile applicare i superconduttori. Questo composto si <strong>di</strong>mostrò essere in grado <strong>di</strong> sopportare<br />
i campi magnetici più intensi e le correnti più elevate <strong>di</strong> qualunque altro per i successivi 20-30<br />
anni. Da questo momento in avanti i magneti superconduttori <strong>di</strong>ventarono un prodotto industriale<br />
rilevante. Gli intensi magneti superconduttori sono assai più semplici e più piccoli <strong>di</strong> magneti convenzionali<br />
della stessa intensità. Ciò fu <strong>di</strong> gran beneficio per la scienza e la me<strong>di</strong>cina.<br />
1960: evidenza sperimentale<br />
Lo scienziato norvegese Ivar Giaever confermò in modo assai elegante una parte importante della<br />
teoria BCS. La teoria BCS prevede che gli elettroni che formano una coppia <strong>di</strong> Cooper siano legati<br />
da una energia detta energia <strong>di</strong> legame. Giaever stu<strong>di</strong>ava gli effetti quantistici. All’epoca egli stava<br />
stu<strong>di</strong>ando gli effetti quantistici nell’effetto tunnel <strong>di</strong> elettroni a temperatura ambiente tra due metalli<br />
separati da un sottile strato <strong>di</strong> ossido. Egli applicava una piccola <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale tra i due<br />
metalli e misurava la corrente <strong>di</strong> tunnel. Giaever fu il primo ad applicare questa tecnica ai superconduttori.<br />
Egli comprese che se avesse generato l’effetto tunnel <strong>di</strong> elettroni partecipanti alla superconduzione,<br />
questo avrebbe dovuto provocare la scissione <strong>di</strong> alcune coppie <strong>di</strong> Cooper e quin<strong>di</strong> sarebbe<br />
stato possibile misurarne l’energia <strong>di</strong> legame. Raffreddando a 1.2 K una giunzione <strong>di</strong> piombo e allu-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 101<br />
minio separata da ossido <strong>di</strong> alluminio e misurando la corrente <strong>di</strong> tunnel, egli ottenne evidenza chiara<br />
e cristallina dell’esistenza <strong>di</strong> un’energia <strong>di</strong> legame per le coppie <strong>di</strong> Cooper e delle altre proprietà previste<br />
dalla teoria BCS. Possiamo <strong>di</strong>re che egli fornì una prova chiara della correttezza della teoria<br />
BCS. Dopo la sua scoperta Giaever <strong>di</strong>ventò citta<strong>di</strong>no degli Stati Uniti d’America. Egli ricevette per<br />
il suo lavoro il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> del 1973.<br />
1962: l’Effetto Josephson<br />
Brian D. Josephson, un giovane studente inglese, pubblicò un articolo con dei calcoli che prevedevano<br />
un risultato “impossibile” - cioè che una corrente elettrica dovesse fluire tra due elettro<strong>di</strong> superconduttori<br />
senza che fosse applicata una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale. Secondo la legge <strong>di</strong> Ohm la corrente<br />
dovrebbe essere nulla in corrispondenza <strong>di</strong><br />
una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale nulla. A <strong>di</strong>fferenza<br />
degli esperimenti <strong>di</strong> Giaever in cui le coppie <strong>di</strong><br />
Cooper si separavano prima del tunnelling, i calcoli<br />
<strong>di</strong> Josephson assumevano che le coppie <strong>di</strong><br />
Cooper fossero in grado <strong>di</strong> attraversare la barriera<br />
tra due elettro<strong>di</strong> superconduttori. Una corrente<br />
<strong>di</strong> tunnelling <strong>di</strong> coppie <strong>di</strong> Cooper può fluire<br />
se esiste una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra le funzioni<br />
d’onda in due superconduttori. La fase della funzione<br />
d’onda in un superconduttore può essere<br />
pensata come qualcosa <strong>di</strong> analogo alla <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong> magnetizzazione in un ferromagnete. In conclusione,<br />
non è necessaria alcuna <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
potenziale per produrre una supercorrente! Questa<br />
scoperta teorica fu così incre<strong>di</strong>bile che John<br />
Bardeen in principio si rifiutò <strong>di</strong> crederci! Egli<br />
dovette presto ricredersi e cortesemente presentò La giunzione Josephson.<br />
le sue scuse.<br />
1964: pre<strong>di</strong>zione dell’esistenza <strong>di</strong> superconduttori organici<br />
William A. Little pre<strong>di</strong>sse la possibilità <strong>di</strong> produrre superconduttori organici e che essi potessero<br />
supercondurre a temperatura ambiente. Egli scoprì che le con<strong>di</strong>zioni necessarie per l’esistenza <strong>di</strong><br />
uno stato superconduttore potevano essere realizzate in certi polimeri organici. Questa fu un’importante<br />
fonte d’ispirazione per i lavori che seguirono in questo campo.<br />
1972: premio nobel agli USA<br />
I fisici americani John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer si <strong>di</strong>vidono il premio Nobel<br />
per la <strong>fisica</strong> per la teoria BCS della superconduttività pubblicata nel 1957. Era la seconda volta che<br />
Bardeen riceveva il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> - aveva ricevuto il primo nel 1956 (insieme a William<br />
B. Shockley e Walter H. Brattain) per l’invenzione del transistor. Perciò Bardeen veniva talvolta chiamato<br />
“il grande” dai suoi colleghi.<br />
1972: primo veicolo MAGLEV giapponese<br />
L’Istituto per la Ricerca Tecnologica delle ferrovie giapponesi sviluppò e provò un veicolo a levitazione<br />
magnetica (ML) chiamato ML100, spinto da un motore lineare ad induzione. Per generare il<br />
campo magnetico erano utilizzate bobine superconduttrici.<br />
1973: premo nobel a Norvegia, Giappone e Regno Unito<br />
Il norvegese Ivar Giaever, allora citta<strong>di</strong>no statunitense, il giapponese Leo Esaki e l’inglese Brian<br />
D. Josephson si <strong>di</strong>vidono il premio Nobel per la <strong>fisica</strong>. Giaever e Esaki ricevettero il premio Nobel
102 Capitolo 1. Ricerche<br />
per i loro risultati sperimentali riguardo i fenomeni <strong>di</strong> tunnelling in superconduttori e semiconduttori<br />
rispettivamente, mentre Josephson fu premiato per la previsione teorica dell’effetto Josephson.<br />
Leo Esaki fu premiato per il suo lavoro pionieristico sui processi <strong>di</strong> tunnelling nei soli<strong>di</strong> realizzato<br />
nel 1958, Giaever fece invece nel 1960 l’importante passo successivo misurando, in un esperimento<br />
<strong>di</strong> tunnel, il gap energetico per un superconduttore. Questo ispirò Josephson a lavorare ad una teoria<br />
della supercorrente tra due superconduttori, che fu pubblicata nel 1962.<br />
1973: nuovo record per la temperatura critica: 23 K<br />
J. R. Gavaler realizzò un esperimento con un composto <strong>di</strong> niobio (Nb) e germanio (Ge), l’Nb3Ge,<br />
che si <strong>di</strong>mostrò <strong>di</strong>ventare superconduttore a 23 K. Cioè a temperatura più alta <strong>di</strong> 19 gra<strong>di</strong> rispetto al<br />
mercurio (Hg). Questo segnò il nuovo record per la temperatura critica <strong>di</strong> un superconduttore.<br />
Sviluppo della superconduttività ad alta temperatura.<br />
1979: scoperta dei superconduttori organici<br />
Nei loro laboratori <strong>di</strong> Parigi, lo scienziato francese D. Jerome ed il danese Klaus Bechgaard insieme<br />
ai loro collaboratori, ispirati dalle previsioni <strong>di</strong> William Little, scoprirono i superconduttori organici.<br />
Essi combinarono la molecola organica TMTSF (tetramethyltetraselenafulvalenium) con fosforo e<br />
fluoro a produrre il (TMTSF)2PF6 e scoprirono in esso la proprietà <strong>di</strong> essere superconduttore.<br />
1986: scoperta dei superconduttori ceramici<br />
Lo scienziato <strong>di</strong> origine tedesca J. George Bednorz e lo svizzero K. Alex Müller nell’ambito delle loro<br />
ricerche svolte all’IBM Research Laboratory presso Zurigo scoprono nel composto La2-xBaxCuO4,<br />
ossido <strong>di</strong> lantanio bario rame, la temperatura critica Tc record <strong>di</strong> 30 K. Confrontata con lo sviluppo<br />
realizzato nei primi 75 anni dalla scoperta della superconduttività questo rappresenta un grande salto<br />
in avanti. Nessuna delle leghe metalliche che erano state provate prima aveva mai raggiunto temperature<br />
critiche superiori ai 24 K. Perciò esse vengono ora chiamate superconduttori a bassa tempe-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 103<br />
ratura. Il composto LaBaCuO è il primo <strong>di</strong> una nuova classe <strong>di</strong><br />
materiali ceramici chiamati cuprati. I cuprati appartengono al<br />
gruppo dei superconduttori ad alta tempertura perché molti <strong>di</strong><br />
essi hanno temperature critiche molto più alte rispetto a quelle<br />
dei superconduttori a bassa temperatura.<br />
1987: premio nobel alla svizzera<br />
J. George Bednorz e K. Alex Müller dei laboratori IBM in Svizzera<br />
si <strong>di</strong>vidono il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> per la loro scoperta<br />
della superconduttività nei materiali ceramici, preannunciando<br />
una nuova era <strong>di</strong> ricerca e scoperte <strong>di</strong> nuovi materiali superconduttori,<br />
ed uno slancio esplosivo verso lo sviluppo <strong>di</strong> nuove<br />
applicazioni della superconduttività. Tutti questi materiali superconduttori<br />
ad alta temperatura contengono strati <strong>di</strong> rame e ossigeno<br />
e sono perciò chiamati cuprati. Essi appartengono tutti ad<br />
una famiglia <strong>di</strong> ceramiche cristalline chiamate perovskiti. Si è<br />
scoperto che le proprietà fisiche <strong>di</strong> questi superconduttori non<br />
possono essere spiegate con la teoria BCS. Molto lavoro è stato<br />
fatto per sviluppare una teoria quantistica adeguata a descriverli<br />
ma il problema è tuttora irrisolto.<br />
La scoperta <strong>di</strong> questi superconduttori aprì nuove possibilità per<br />
le applicazioni della superconduttività perché la maggior parte<br />
dei superconduttori ad alta temperatura possono essere raffreddati<br />
usando azoto liquido (N2) che è molto più economico dell’elio<br />
liquido (He). L’azoto liquido ha un punto <strong>di</strong> ebollizione <strong>di</strong> 77<br />
K, molto più alto del punto <strong>di</strong> ebollizione dell’elio liquido che<br />
è <strong>di</strong> 4.2 K. E’ quin<strong>di</strong> molto più economico usare superconduttori<br />
ad alta temperatura che non superconduttori a bassa temperatura<br />
perché raffreddare a 77 K è molto più semplice che raffreddare<br />
l’elio a 4.2 K.<br />
1987: nuovo record per la temperatura critica: 93 K<br />
Due gruppi <strong>di</strong> scienziati negli USA, uno all’Università dell’Alabama<br />
e l’altro a Huston, in Texas, capitanati rispettivamente<br />
da Mau-Kuen Wu e Paul C. W. Chu, erano impegnati a cercare<br />
<strong>di</strong> migliorare i risultati <strong>di</strong> Bednorz e Müller. Essi sostituirono<br />
il lantanio con l’ittrio, ed ottennero un nuovo composto chiamato<br />
ossido <strong>di</strong> ittrio bario rame (YBa2Cu3O7), con una temperatura<br />
critica <strong>di</strong> 93 K. Questo salto gigantesco nella massima<br />
temperatura critica provocò una grande sensazione e collaborò<br />
a fare sì che Bednorz e Müller ricevessero il premio Nobel per<br />
la <strong>fisica</strong> a solo un anno <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza dalla loro scoperta. Normalmente<br />
ci vogliono parecchi anni prima che la commissione dei<br />
Nobel attribuisca il riconoscimento ad un nuovo passo significativo<br />
nel campo della <strong>fisica</strong>.<br />
1988: nuovo record per la temperatura critica: 125 K<br />
Un nuovo composto, il Tl2Ca2Ba2Cu3O8 viene realizzato dai<br />
professori Zhengzhi Z. Sheng e Allen M. Hermann all’Università<br />
dell’Arkansas negli USA, la sua temperatura critica è <strong>di</strong> 125 K.<br />
Questo rappresenta <strong>di</strong> nuovo un grande salto in avanti e se que-<br />
Cella unitaria <strong>di</strong> Bi-2212, un superconduttore<br />
ad alta temperatura. http://commons.<br />
wikime<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:Bi2212_Unit_<br />
Cell.png.<br />
Un piccolo esempio <strong>di</strong> superconduttore<br />
ad alta temperatura, Bi-2223. http://commons.wikime<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:BI2223piece3_001.jpg
104 Capitolo 1. Ricerche<br />
The unit cell of YBCuO, a high-temperature superconductor.<br />
http://de.wikipe<strong>di</strong>a.org/wiki/Bild:YBCO.gif<br />
sto rapido sviluppo fosse conservato sarebbe<br />
possibile arrivare a superconduttori a temperatura<br />
ambiente nel giro <strong>di</strong> pochi anni. La superconduttività<br />
<strong>di</strong>venta un fenomeno largamente<br />
conosciuto, quando appena tre anni prima solo<br />
poche persone al <strong>di</strong> fuori <strong>di</strong> fisici specializzati e<br />
ricercatori ne avevano sentito parlare. E’ aperta<br />
la competizione per raggiungere temperature<br />
ancora più elevate.<br />
1989: il collider Large Electron-Proton<br />
Un grande traguardo scientifico europeo venne<br />
raggiunto quando il Large Electron-Proton Collider<br />
(LEP) entrò in funzione nel 1989. L’acceleratore<br />
<strong>di</strong> particelle è situato a Ginevra<br />
presso il Centro Europeo per la Ricerca Nucleare<br />
(CERN). Le particelle vengono accelerate<br />
nell’anello principale <strong>di</strong> 26.67 km e sono guidate<br />
da elettromagneti convenzionali. In ciascuna<br />
stazione sperimentale <strong>di</strong> collisione, tuttavia<br />
quadrupoli magnetici a superconduttore<br />
sono utilizzati per focalizzare il fascio. Dopo soli due mesi dall’inizio dei primi esperimenti con il<br />
LEP, esperimenti estremamente accurati con la particella Z mostrarono che quando essa decade in<br />
coppie neutrino-antineutrino, si producono tre tipi, e soltanto tre <strong>di</strong> neutrini leggeri. Queste misure<br />
in<strong>di</strong>carono che per ciascuna famiglia <strong>di</strong> particelle elementari, leptoni e quark, esistono (nel dominio<br />
<strong>di</strong> energia accessibile alla macchina) solo tre gruppi, e furono perciò assai importanti per lo sviluppo<br />
della nostra conoscenza sui costituenti elementari della materia. Il LEP ha <strong>di</strong>mostrato <strong>di</strong> essere uno<br />
strumento eccezionale per la comprensione della <strong>fisica</strong> delle particelle elementari.<br />
1990: costruzione <strong>di</strong> una linea MAGLEV sperimentale<br />
Gran<strong>di</strong> aspettative furono legate allo sviluppo <strong>di</strong> treni a levitazione magnetica (Maglev) dal momento<br />
in cui le autorità giapponesi or<strong>di</strong>narono la costruzione della linea sperimentale Maglev Yamanashi.<br />
La linea fu completata sette anni più tar<strong>di</strong>. La linea <strong>di</strong> 42.8 Km fu costruita per verificare ed assicurare<br />
l’affidabilità, la sicurezza ed il comfort per il trasporto <strong>di</strong> passeggeri in treni ad alta velocità<br />
impieganti magneti superconduttori per la levitazione dell’intero convoglio. Da questo momento fu<br />
possibile sperimentare i treni in un ambiente reale.<br />
1993: nuovo record per la temperatura critica 133 K<br />
In quest’anno A. Shilling, M. Cantoni, J. D. Guo e H. R. Ott osservano nel composto HgBa2Ca2Cu3O1+x<br />
le proprietà <strong>di</strong> superconduttività fino alla temperatura <strong>di</strong> 133 K. Come quello scoperto nel 1988, si<br />
tratta <strong>di</strong> un cuprato che contiene gli stessi elementi a parte il tallio che è sostituito dal mercurio. Da<br />
quel momento molti gruppi <strong>di</strong> ricerca sono fortemente impegnati per stabilire un nuovo record per<br />
la superconduttività ad alta temperatura.<br />
1994: Nuovo record per la temperatura critica (sotto pressione): 164 K<br />
Nel 1994 fu raggiunto il record attuale per la temperatura critica con il cuprato HgBa2Ca2Cu3O10+x.<br />
La scoperta fu fatta da L. Gao, Y. Y. Xue, F. Chen, X. Xiong, R. L. Meng, D. Ramires, C. W. Chu, tutti<br />
dell’Università <strong>di</strong> Huston in Texas negli USA, insieme a J. H. Eggert e H. K. Mao del Geophysical<br />
Laboratory al Carnegie Institution <strong>di</strong> Washington. Per ottenere la superconduttività ad una temperatura<br />
così alta dovettero sottoporre il campione a una pressione <strong>di</strong> 31 GPa, cioè circa 306.000 volte la<br />
pressione atmosferica al livello della superficie terrestre. Raggiungere pressioni elevate come que-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 105<br />
ste richiede costose attrezzature <strong>di</strong> laboratorio e sarebbe quin<strong>di</strong> del tutto irrealizzabile l’utilizzo <strong>di</strong><br />
un superconduttore in queste con<strong>di</strong>zioni per le applicazioni pratiche.<br />
1995: Nuovo record per la temperatura critica: 138 K<br />
Un nuovo record mon<strong>di</strong>ale per la temperatura critica a pressione atmosferica viene realizzato con un<br />
cuprato a base <strong>di</strong> mercurio drogato con tallio. Contiene mercurio, tallio, bario, calcio, rame e ossigeno<br />
ed ha la formula chimica Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+x. I primi due <strong>di</strong> questi elementi sono molto velenosi,<br />
è perciò importante essere molto attenti nel fare questo tipo <strong>di</strong> superconduttori. Questo cuprato<br />
fu scoperto da P. Dai e i suoi collaboratori degli Oak Ridge National Laboratories in USA.<br />
1996: LEP II<br />
Questo è l’anno in cui l’energia del LEP fu raddoppiata portandola a 90 GeV per fascio <strong>di</strong> particelle<br />
me<strong>di</strong>ante l’installazione <strong>di</strong> nuove avanzate bobine <strong>di</strong> filo superconduttore. Ciò rese possibile investigare<br />
particelle create ad energie molto più gran<strong>di</strong> <strong>di</strong> prima.<br />
1998: Provato un nuovo trasformatore superconduttore<br />
I trasformatori vengono usati nelle linee <strong>di</strong> trasmissione della potenza elettrica per elevare o abbassare<br />
la tensione. Nel maggio del 1998 la società Wuakesha Electric del Wisconsin, negli USA, provò<br />
un trasformatore da 1 MV A (mega volt ampere) realizzato con superconduttori ad alta temperatura.<br />
I nuovi trasformatori sono interessanti dal punto <strong>di</strong> vista commerciale perché non impiegano olio per<br />
il loro raffreddamento come i trasformatori convenzionali. L’olio richiede filtraggio ed un sistema<br />
<strong>di</strong> circolazione, è piuttosto pesante ed ha quin<strong>di</strong> costi <strong>di</strong> trasporto elevati, esso rappresenta inoltre un<br />
importante elemento <strong>di</strong> rischio per incen<strong>di</strong> ed inquinamento ambientale. L’azoto liquido che viene<br />
usato per raffreddare i superconduttori pesa molto meno dell’olio, non è infiammabile ed è molto<br />
meno pericoloso per l’ambiente.<br />
1999: Nuovo record <strong>di</strong> velocità per il MAGLEV<br />
Un treno a levitazione magnetica (Maglev) con persone a bordo segnò, il 14 aprile 1999, un record <strong>di</strong><br />
velocità raggiungendo una punta <strong>di</strong> 522 km/h <strong>sulla</strong> linea Maglev sperimentale <strong>di</strong> Yamanash. Il convoglio,<br />
<strong>di</strong> cinque vagoni, superò il limite precedente segnato da un treno composto da tre vagoni.<br />
2000: Primo transistore superconduttore<br />
I transistori sono oggi impiegati in computer, ra<strong>di</strong>o, lettori CD e in praticamente ogni altro <strong>di</strong>spositivo<br />
elettronico; vengono utilizzati come amplificatori o interruttori. Fin dagli anni ’80, i fisici hanno<br />
cercato <strong>di</strong> realizzare <strong>di</strong>spositivi superconduttori in grado <strong>di</strong> funzionare come transistori. Nel 2000 un<br />
gruppo <strong>di</strong> fisici italiani e inglesi sono riusciti a realizzare un piccolo <strong>di</strong>spositivo superconduttore in<br />
grado <strong>di</strong> amplificare correnti elevate. La temperatura <strong>di</strong> esercizio era <strong>di</strong> 4.2 K.<br />
2001: Prima perovskite superconduttrice non appartenente ai cuprati<br />
Per la prima volta la superconduttività viene in<strong>di</strong>viduata in una perovskite non contenente strati <strong>di</strong><br />
ossido <strong>di</strong> rame. Il composto ha la formula chimica MgCNi3, in cui il nickel gioca lo stesso ruolo<br />
svolto dall’ossigeno nei cuprati. La temperatura critica è tuttavia assai più bassa rispetto a quella dei<br />
cuprati e venne in<strong>di</strong>viduata essere <strong>di</strong> 8K. Il nichel è un elemento importante tra i materiali ferromagnetici<br />
ed è piuttosto sorprendente che si osservi la superconduttività piuttosto che il ferromagnetismo,<br />
in un composto con una tale abbondanza <strong>di</strong> nickel.<br />
2001: Nuovo metallo superconduttore<br />
Bottiglie <strong>di</strong> <strong>di</strong>boruro <strong>di</strong> magnesio (MgB2) sono da lungo tempo comuni nei laboratori <strong>di</strong> chimica, ma<br />
si è dovuto aspettare fino al 2001 perché un gruppo <strong>di</strong> scienziati giapponesi scoprissero che <strong>di</strong>venta<br />
superconduttore! Esso mostrò avere una temperatura critica <strong>di</strong> 39 K, molto più alta della maggior<br />
parte dei metalli. La lega mostra caratteristiche <strong>di</strong> superconduttività piuttosto esotiche ma può essere
106 Capitolo 1. Ricerche<br />
descritta con la teoria BCS utilizzando una tecnica<br />
particolare relativa ai materiali con struttura<br />
elettronica complessa. Una <strong>di</strong> queste caratteristiche<br />
esotiche consiste nel fatto che il <strong>di</strong>boruro<br />
<strong>di</strong> magnesio ha due gap <strong>di</strong> energia per la fase<br />
superconduttrice legati all’esistenza <strong>di</strong> due tipi<br />
<strong>di</strong> coppie <strong>di</strong> Cooper. La scoperta della superconduttività<br />
nell’MgB2 ha rivelato l’esistenza <strong>di</strong><br />
un nuovo tipo <strong>di</strong> superconduttore che potrebbe<br />
forse un giorno superare il record per la temperatura<br />
critica. Il composto si è rivelato essere<br />
un materiale molto promettente per l’applicazione<br />
della superconduttività.<br />
2003 Il primo treno Maglev in commercio: Shanghai Transrapid.<br />
http://en.wikipe<strong>di</strong>a.org/wiki/Image:Shanghai_Transrapid_002.jpg.<br />
2002: litio superconduttore<br />
Solo un anno dopo la scoperta del boro superconduttore, il litio prende il titolo dell’elemento superconduttore<br />
più leggero. Ricercatori all’Università <strong>di</strong> Osaka e <strong>di</strong> Tokyo, <strong>di</strong>rette da Katsuya Shimizu, hanno<br />
mostrato che il litio perde tutta la resistenza alla corrente elettrica a una pressione <strong>di</strong> 30 gigapascal,<br />
300 000 volte la pressione atmosferica. Il litio è vicino ad altri 22 elementi che è già noto <strong>di</strong>ventano<br />
superconduttori a pressioni elevate, e a 29 elementi che sono superconduttori a pressione atmosferica.<br />
2003: Primo treno MAGLEV commerciale<br />
Nel gennaio 2003 è entrato in servizio tra Shanghai e l’aeroporto <strong>di</strong> Pudong in Cina, attraversando il<br />
fiume Huangpu, il primo treno Maglev commerciale. Il treno levita a 10 millimetri <strong>di</strong> altezza sopra<br />
il binario ed ha raggiunto la velocità massima <strong>di</strong> 430 km/h. La tecnologia Maglev è stata importata<br />
dalla Germania.<br />
2003: Premio Nobel per la teoria della superconduttività<br />
Viene assegnato il premio Nobel per la <strong>fisica</strong> a Alexei A. Abrikosov, Vitaly L. Ginzburg e Anthony J.<br />
Legget per il loro lavoro <strong>sulla</strong> superconduttività e <strong>sulla</strong> superflui<strong>di</strong>tà. Vitaly Ginzburg contribuì allo<br />
sviluppo della teoria <strong>di</strong> Landau-Ginzburg per i superconduttori che fu pubblicata nel 1950. Nel 1957<br />
Alexei Abrikosov applicò questa teoria al caso <strong>di</strong> un superconduttore in presenza <strong>di</strong> campo magne-<br />
Il Premio Nobel in <strong>Fisica</strong> 2003: “per i contributi pionieristici alla teoria dei superconduttori e dei superflui<strong>di</strong>” - http://nobelprize.<br />
org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/index.html<br />
Alexei A. Abrikosov Vitaly L. Ginzburg Anthony J. Leggett
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 107<br />
tico e scoprì che il campo può penetrare<br />
nel superconduttore in forma <strong>di</strong> tubi <strong>di</strong><br />
flusso magnetico <strong>di</strong> grandezza unitaria.<br />
Chiamiamo questi quanti <strong>di</strong> flusso o vortici.<br />
Il lavoro <strong>di</strong> Abrikosov permise <strong>di</strong> stabilire<br />
il criterio <strong>di</strong> <strong>di</strong>stinzione tra superconduttori<br />
<strong>di</strong> I tipo e superconduttori <strong>di</strong> II tipo.<br />
Il lavoro <strong>di</strong> Anthony Legget fu de<strong>di</strong>cato ad<br />
un fenomeno strettamente collegato alla<br />
superconduttività chiamato superflui<strong>di</strong>tà.<br />
2004: Scartato il meccanismo che lega<br />
Quanti <strong>di</strong> flusso o vortici.<br />
gli elettroni nei cuprati superconduttori<br />
Il meccanismo che permette la superconduttività<br />
nei superconduttori a bassa temperatura è essenzialmente legato al fatto che le vibrazioni<br />
del reticolo <strong>di</strong> ioni positivi (queste vibrazioni sono chiamate fononi) me<strong>di</strong>ano l’interazione attrattiva<br />
tra coppie <strong>di</strong> elettroni. Diciamo quin<strong>di</strong> che gli elettroni sono legati insieme dai fononi. Questo meccanismo<br />
è spiegato assai bene dalla teoria BCS. Nei superconduttori ad alta temperatura tuttavia non<br />
è noto quale sia la causa della formazione <strong>di</strong> un legame tra gli elettroni. Un gruppo <strong>di</strong> fisici dell’Università<br />
<strong>di</strong> McMaster in Canada e del Brookhaven National Laboratory negli Stati Uniti hanno stu<strong>di</strong>ato<br />
gli ossi<strong>di</strong> <strong>di</strong> rame superconduttori ad alta temperatura (i cuprati) illuminandoli con ra<strong>di</strong>azione<br />
infrarossa e stu<strong>di</strong>ando l’intensità della luce <strong>di</strong>ffusa a ciascuna lunghezza d’onda. Compiendo esperimenti<br />
su cuprati con <strong>di</strong>verso contenuto <strong>di</strong> ossigeno, essi hanno concluso che sia i fononi che la creazione<br />
<strong>di</strong> uno stato <strong>di</strong> risonanza magnetica possono essere esclusi come meccanismo legante per gli<br />
elettroni nei superconduttori ad alta temperatura.<br />
2008: Il Large hadron collider (LHC)<br />
comincia a funzionare<br />
Il Centro Europeo per la Ricerca Nucleare<br />
(CERN) a Ginevra decise <strong>di</strong> chiudere il<br />
LEP (Large Electron-Proton Collider) nel<br />
2000. Da allora hanno preparato e costruito<br />
l’LHC (Large Hadron Collider) che<br />
è <strong>di</strong>ventato operativo nel 2008. E’ il più<br />
grande apparato superconduttore al mondo.<br />
Esso è costruito nello stesso tunnel circolare<br />
lungo 27 Km come il LEP ma l’LHC<br />
è molto più potente.<br />
2016: operazioni iniziali <strong>di</strong> Iter<br />
ITER è un tokamak in cui un campo<br />
magnetico forte è intorno a del plasma <strong>di</strong><br />
forma toroidale. Al costo <strong>di</strong> 10 billioni <strong>di</strong><br />
Solenoide superconduttore, parte del detector CMS all’interno dell’LHC<br />
(Large Hadron Collider) al CERN. http://en.wikipe<strong>di</strong>a.org/wiki/<br />
Image:HCAL_Prepared_for_insertion.jpg<br />
Euro per tutta la sua durata, ITER è il più grande esperimento <strong>di</strong> fusione <strong>di</strong> energia. Ha lo scopo <strong>di</strong><br />
stabilire la fattibilità scientifica e tecnologica della fusione come sorgente <strong>di</strong> energia per scopi pacifici.<br />
L’accordo per l’implementazione <strong>di</strong> ITER è stato firmato il 21 Novembre 2006 a Parigi. Le 7<br />
parti, Cina, In<strong>di</strong>a, Russia, Giappone, Korea, UE e USA stanno ora terminando la ratificazione dell’accordo<br />
<strong>di</strong> ITER. Il secondo meeting dell’Interim ITER Council (IIC) ha avuto luogo l’11 e 12 Luglio<br />
2007 a Tokyo. La costruzione comincia nel 2008 e durerà 7 anni, e ITER comincerà nel 2016 21<br />
anni <strong>di</strong> operatività regolare. Nel 2037 l’impianto verrà chiuso e, per quanto riguarda la ra<strong>di</strong>oattività,<br />
funzionerà per altri 32 anni prima <strong>di</strong> essere completamente rimosso nel 2059.
108 Capitolo 1. Ricerche<br />
APPLICAZIONI TECNOLOGICHE<br />
Si riportano in questa sede la principale sitologia sulle AT della superconduttività<br />
http://www.physnet.uni-hamburg.de/home/vms/reimer/htc/pt4.html<br />
http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/uses_noflash.html<br />
Levitazione Magnetica<br />
Il Yamanashi MLX01 veicolo test MagLev ha raggiunto una velocità <strong>di</strong><br />
343 miglia all’ora il 14 aprile 1999.<br />
Magnetic Resonance Imaging (MRI)<br />
Scansione MRI <strong>di</strong> un cranio umano.<br />
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/scapp.html#c1<br />
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/scmag.html#c1<br />
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/squid.html#c1<br />
http://www.vectorsite.net/ttspcon.html<br />
http://www.physicscentral.com/action/action-01-3-print.html
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 109<br />
Prototipo <strong>di</strong> treno Maglev giapponese (photo courtesy of Railway<br />
Technical Research Institute, Maglev Systems Development<br />
Dept.)<br />
Magnete superconduttore <strong>di</strong> 200 tonnellate costruito<br />
presso gli Argonne National Laboratory come parte<br />
<strong>di</strong> un progetto per stu<strong>di</strong>are la produzione <strong>di</strong> potenza<br />
elettrica da fusione (see Plasma Power in Physics in<br />
Action Archives); photo by Dan Giroux, courtesy of<br />
Argonne National Laboratory<br />
Prototipo MLU0002N Maglev giapponese con freni aero<strong>di</strong>namici<br />
aperti; photo courtesy of Railway Technical Research<br />
Institute Maglev Systems Development Department.
110 Capitolo 1. Ricerche<br />
Ai lati della traccia (si vedano le foto precedenti e lo<br />
schema a destra) vi sono pareti con una serie continua<br />
<strong>di</strong> bobine verticali <strong>di</strong> filo montate dentro ad esse. Il filo<br />
in queste bobine non è superconduttore. Quando il treno<br />
passa accanto a ogni bobina, il moto dei magneti superconduttori<br />
sul treno induce una corrente in questi fili, rendendoli<br />
elettromagnetici. Gli elettromagneti sul treno e<br />
fuori <strong>di</strong> esso producono forze che fanno levitare il treno<br />
e lo tengono centrato <strong>sulla</strong> traccia. Inoltre, un’onda <strong>di</strong><br />
corrente elettrica spinge in<strong>di</strong>etro/in basso queste bobine<br />
e sospinge in avanti il treno (si veda il <strong>di</strong>segno).<br />
Fili <strong>di</strong> <strong>di</strong>borite <strong>di</strong> magnesio come appaiono dopo essere<br />
stati rimossi da tubi <strong>di</strong> tentalio e parte <strong>di</strong> un decimo <strong>di</strong><br />
$ per contronto.
Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
FARE SCIENZA CON IL COMPUTER: IL MOTO BROWNIANO<br />
Giovanni Pastore e Maria Peressi<br />
Università <strong>di</strong> Trieste e Centro Nazionale <strong>di</strong> Simulazione Numerica CNR-INFM Democritos<br />
Sommario<br />
Nel 1827 il botanico Brown osservava che i granelli <strong>di</strong> polline sospesi nell’acqua descrivono un moto<br />
a zig-zag, casuale. Nel 1905 Einstein fornisce la spiegazione del moto browniano e, anche per questo,<br />
nel 1921 vince il premio Nobel. Questo moto è provocato da una forza stocastica dovuta all’effetto<br />
cumulativo sui granelli <strong>di</strong> polline <strong>di</strong> molte collisioni con tante particelle molto più piccole e più<br />
leggere (non visibili <strong>sulla</strong> scala osservativa scelta). Questa forza stocastica si può trattare con meto<strong>di</strong><br />
statistici, senza preoccuparsi esplicitamente dei dettagli della <strong>di</strong>namica delle molecole leggere del<br />
solvente. Mentre una soluzione analitica rigorosa richiederebbe delle conoscenze <strong>di</strong> matematica che<br />
vanno oltre quelle normalmente presenti negli studenti dell’ultimo biennio delle scuole superiori, un<br />
approccio numerico a questo problema è più semplice.<br />
Queste note seguono sinteticamente il percorso proposto agli studenti: dopo la presentazione del fenomeno<br />
e l’in<strong>di</strong>viduazione del problema, si passa alla spiegazione <strong>di</strong> algoritmi numerici per la sua soluzione,<br />
proponendo l’utilizzo critico <strong>di</strong> alcuni programmi <strong>di</strong> comprensione possibile anche per chi non<br />
abbia conoscenze pregresse <strong>di</strong> programmazione. Si propone l’analisi e la <strong>di</strong> scussione dei risultati <strong>di</strong><br />
simulazioni per <strong>di</strong>versi dati in input, con<strong>di</strong>zioni, algoritmi (esperimenti what-if, “che cosa succede<br />
se”). Sono presentati anche alcuni cenni agli elementi basilari del linguaggio <strong>di</strong> programmazione<br />
Java e all’implementazione specifica degli algoritmi nei co<strong>di</strong>ci qui proposti.<br />
Il moto browniano e un semplice modello, il “random walk”<br />
Il moto browniano, come si presenta al microscopio, quello incessante, erratico, <strong>di</strong> granuli <strong>di</strong> polline<br />
in una goccia <strong>di</strong> acqua, è stato stu<strong>di</strong>ato per tutto il XIX secolo, prima <strong>di</strong> arrivare ad una spiegazione<br />
plausibile (il moto osservato al microscopio è dovuto al continuo agitarsi delle molecole <strong>di</strong> solvente<br />
che urtano contro le particelle browniane) e soprattutto ad una teoria quantitativa passibile <strong>di</strong> verifica<br />
sperimentale (Eistein, 1905).<br />
È utile puntualizzare in via preliminare alcuni concetti probabilistici e statistici rilevanti, che si possono<br />
introdurre in un modello molto semplificato <strong>di</strong> moto browniano: il cammino casuale o “random<br />
walk”.<br />
Consideriamo un punto vincolato a muoversi in modo casuale con spostamenti <strong>di</strong> lunghezza fissata<br />
nelle due <strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong> una retta orientata. Sia:<br />
• N: numero <strong>di</strong> passi;<br />
• ℓ: lunghezza del singolo passo (<strong>di</strong>rezione casuale), e quin<strong>di</strong> lo spostamento relativo al passo i-esimo<br />
sia s i = ±ℓ;<br />
• Δ N : spostamento dal punto <strong>di</strong> partenza dopo N passi: , con Δ N ∈ [–Nℓ,+Nℓ];<br />
• .<br />
Così come per il moto browniano, anche per il random walk non ha senso cercare <strong>di</strong> valutare quantità<br />
deterministiche istantanee, quali ad es. la velocità (cambia continuamente <strong>di</strong>rezione e verso!) o<br />
la posizione, quanto piuttosto proprietà me<strong>di</strong>e. Domande ragionevoli sono ad esempio le seguenti:
112 Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
dato un insieme <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi cammini casuali, qual è la <strong>di</strong>stanza dal punto <strong>di</strong> partenza che ci si aspetta<br />
in me<strong>di</strong>a dopo N passi? E quale la <strong>di</strong>stanza quadratica me<strong>di</strong>a Δ2 N ? Cosa possiamo <strong>di</strong>re <strong>sulla</strong> probabilità<br />
PN (ΔN ) che il punto si trovi ad una certa <strong>di</strong>stanza ΔN dal punto <strong>di</strong> partenza dopo N passi?<br />
Nell’esempio sopra citato del random walk uni<strong>di</strong>mensionale, e supponendo per semplicità che il<br />
punto possa muoversi a destra o sinistra con uguale probabilità, ci aspettiamo <strong>di</strong> trovare in me<strong>di</strong>a,<br />
nella <strong>di</strong>stribuzione statistica dei cammini, tanti cammini con spostamento netto verso sinistra quanti<br />
con lo stesso spostamento verso destra. Pertanto il valore me<strong>di</strong>o dello spostamento sarà .<br />
È facile <strong>di</strong>mostrare invece che , cioè lo spostamento quadratico me<strong>di</strong>o rispetto al<br />
punto <strong>di</strong> partenza è proporzionale al numero <strong>di</strong> passi. E quin<strong>di</strong> la ra<strong>di</strong>ce della <strong>di</strong>stanza quadratica<br />
me<strong>di</strong>a cresce come la ra<strong>di</strong>ce quadrata del numero <strong>di</strong> passi e non, come in un cammino<br />
or<strong>di</strong>nato sempre nella stessa <strong>di</strong>rezione, col numero dei passi. Questa è una quantità sperimentalmente<br />
(sia in un esperimento reale che in un esperimento virtuale, numerico) misurabile. Per quanto<br />
riguarda la probabilità PN (ΔN ) che il punto si trovi alla posizione Δ dal punto <strong>di</strong> partenza dopo N<br />
passi, si <strong>di</strong>mostra che pper ggran<strong>di</strong><br />
N questa probabilità è una curva a campana (gaussiana) con massimo<br />
in 0 e ampiezza .<br />
Il contributo <strong>di</strong> Einstein alla comprensione del moto browniano non nacque esplicitamente con questo<br />
scopo, ma più in generale verteva “Sul moto richiesto dalla teoria cinetica degli atomi a piccole particelle<br />
sospese in un liquido”. L’analisi <strong>di</strong> Einstein della <strong>di</strong>ffusione delle particelle nel liquido portò ad<br />
una relazione tra il coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione D (che è la pendenza della retta che descrive l’andamento<br />
lineare nel tempo dello spostamento quadratico me<strong>di</strong>o < L2 > <strong>di</strong> tali particelle dal punto <strong>di</strong> partenza)<br />
e i parametri del solvente (temperatura e coefficiente <strong>di</strong> attrito) e delle particelle (forma e raggio):<br />
< L2 >=2dDt (1)<br />
(dove d è la <strong>di</strong>mensione dello spazio), con:<br />
formula che lega il rapporto R/N A , oggi noto anche come costante <strong>di</strong>Boltzmann k B (R: costante dei<br />
gas, N A : numero <strong>di</strong> Avogadro), il coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione D, la viscosità del solvente η, la temperatura<br />
T e il raggio molecolare P.<br />
Poiché l’analisi <strong>di</strong> Einstein richiede un bagaglio <strong>di</strong> matematica che va oltre le conoscenze scolastiche,<br />
conviene qui seguire un approccio alternativo proposto dal fisico francese Paul Langevin che,<br />
poco dopo il lavoro <strong>di</strong> Einstein, ricavò la stessa relazione. Mentre Einstein evita <strong>di</strong> lavorare <strong>di</strong>rettamente<br />
con la traiettoria della particella browniana, introducendo imme<strong>di</strong>atamente considerazioni<br />
statistiche <strong>sulla</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità, Langevin lavora con un’equazione del moto che include<br />
una forza “casuale” dovuta al solvente. In una implementazione numerica, l’approccio <strong>di</strong> Langevin<br />
è più semplice e più <strong>di</strong>retto rispetto a quello <strong>di</strong> Einstein. Nel seguito abbiamo semplificato ed adattato<br />
alle necessità <strong>di</strong> un approccio computazionale la derivazione dell’equazione <strong>di</strong> Langevin e della<br />
sua soluzione proposta da B.G. de Groot (1999).<br />
L’algoritmo per un approccio numerico<br />
Iniziamo analizzando un urto uni-<strong>di</strong>mensionale tra una particella grande, <strong>di</strong> massa M, che procede con<br />
velocità V, ed una piccola (<strong>di</strong> solvente), <strong>di</strong> massa m e velocità v. Le con<strong>di</strong>zioni che nell’urto (elastico)<br />
si conservino energia e quantità <strong>di</strong> moto comportano la vali<strong>di</strong>tà simultanea delle due con<strong>di</strong>zioni:<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 113<br />
dove simboli con e senza apice fanno riferimento rispettivamente a quantità dopo e prima dell’urto.<br />
Il sistema costituito dalle due equazioni può essere facilmente risolto per dare le velocità dopo l’urto<br />
in funzione delle masse e delle velocità prima della collisione:<br />
Approssimando queste espressioni nell’ipotesi m
114 Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
Data l’espressione per la forza, possiamo ricavare un algoritmo per risolvere le equazioni del moto<br />
numericamente.<br />
Se <strong>di</strong>scretizziamo il tempo in intervallini <strong>di</strong> ampiezza Δt possiamo ottenere la velocità al (q+1)−esimo<br />
istante <strong>di</strong> tempo come:<br />
dove con ΔV s abbiamo in<strong>di</strong>cato la variazione <strong>di</strong> velocità nell’intervallo Δt dovuta al termine <strong>di</strong> forza<br />
stocastico. Ve<strong>di</strong>amo come possiamo trattare questo termine me<strong>di</strong>ante considerazioni statistiche, senza<br />
dover descrivere esplicitamente la <strong>di</strong>namica delle molecole leggere del solvente.<br />
Se riducessimo l’intervallo Δt a valori tali che possa avvenire solo una collisione, il termine dovuto<br />
alla forza stocastica sarebbe:<br />
dove abbiamo fatto uso del teorema <strong>di</strong> equipartizione della teoria cinetica ( , per ciascuna<br />
componente cartesiana della velocità) per sostituire al quadrato della velocità delle particelle<br />
<strong>di</strong> solvente la temperatura e abbiamo usato l’espressione per il coefficiente <strong>di</strong> attrito per eliminare<br />
la <strong>di</strong>pendenza dalla massa m).<br />
Il rapporto tra una componente della velocità e il suo valore assoluto vale 1 o −1. Pertanto l’effetto<br />
statistico cumulativo <strong>di</strong> N collisioni corrisponderà alla somma <strong>di</strong> altrettanti contributi uguali con segni<br />
casuali. L’analisi del random walk ci <strong>di</strong>ce che il risultato sarà una variabile ca suale caratterizzata da<br />
una <strong>di</strong>stribuzione a campana (gaussiana)i centrata in 0 e con deviazione standard .<br />
Arriviamo così al seguente algoritmo (in<strong>di</strong>chiamo con X q la posizione della particella grande):<br />
dove w q è una variabile casuale con <strong>di</strong>stribuzione gaussiana con deviazione standard unitaria e abbiamo<br />
usatola relazione N = nΔt. Se il linguaggio <strong>di</strong> programmazione utilizzato rende <strong>di</strong>ret tamente <strong>di</strong>sponibile<br />
valori casuali <strong>di</strong>stribuiti secondo una gaussiana allora w q sarà <strong>di</strong>rettamente uno <strong>di</strong> tali valori.<br />
Con l’algoritmo così introdotto, possiamo verificare me<strong>di</strong>ante “sperimentazione nu merica” l’esistenza<br />
<strong>di</strong> una relazione lineare tra tempo e spostamento quadratico me<strong>di</strong>o e la vali<strong>di</strong>tà della<br />
relazione <strong>di</strong> Einstein tra la pendenza <strong>di</strong> questa retta e i parametri del solvente (temperatura e<br />
coefficiente <strong>di</strong> attrito):<br />
< L 2 > (17)<br />
dove L2 è il quadrato del vettore spostamento nello spazio d-<strong>di</strong>mensionale. Tale quantità descrive<br />
<strong>di</strong>rettamente l’evoluzione temporale delle <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> una goccia <strong>di</strong> soluto che fenomenologicamente<br />
viene misurata attraverso il cosiddetto coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffusione D legato a < L2 > dalla relazione:<br />
< L2 >=2dDt. (18)<br />
Una possibile implementazione<br />
Proponiamo un’implementazione dell’algoritmo nel linguaggio Java1 . Il cuore del programma numerico<br />
è riportato qui sotto. In particolare, riguardo alle variabili del programma va segnalato che:<br />
(1) Una versione del software Java sviluppato dagli Autori e che implementa l’algoritmo qui presentato è <strong>di</strong>sponibile<br />
su: http://www.democritos.it/edu/index.php.<br />
(12)<br />
(13)<br />
(14)<br />
(15)<br />
(16)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 115<br />
• sono definiti tre array: vel, pos, posPrec che contengono le componenti cartesiane delle<br />
velocità, posizione e posizione al passo precedente <strong>di</strong> ciascuna particella browniana;<br />
• l’utilizzo del programma <strong>di</strong> libreria (metodo) random.nextGaussian() che fornisce valori<br />
<strong>di</strong>stribuiti secondo una <strong>di</strong>stribuzione a campana (gaussiana) standard <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a zero e σ =1.<br />
• il programma prevede la possibilità che <strong>sulla</strong> particella agisca anche una forza esterna (rappresentata<br />
dall’array forza). Da notare però che nell’implementazione proposta tale forza è sempre zero.<br />
• NDIM e nPart rappresentano il numero <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni spaziali e il numero <strong>di</strong> particelle <strong>di</strong> cui si calcola<br />
il moto.<br />
….<br />
double posPrec[]=new double[NDIM];<br />
for (int ip=0;ip
116 Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
APPENDICE - NUMERI CASUALI E PSEUDOCASUALI<br />
Una sequenza <strong>di</strong> numeri casuali è una sequenza <strong>di</strong> numeri che sembrano impre<strong>di</strong>cibili ma che hanno<br />
ben definite proprietà statistiche. Se hanno ben definite proprietà statistiche, si possono definire e calcolare<br />
varie proprietà, tra cui ad esempio la me<strong>di</strong>a della <strong>di</strong>stribuzione: da una <strong>di</strong>stribuzione uniforme<br />
degli interi in [0,9], ad es., la me<strong>di</strong>a risulta < r >= 4.5.<br />
Un computer (deterministico!) non può generare dei numeri rigorosamente casuali, ma pos siamo<br />
scrivere degli algoritmi che generino sequenze <strong>di</strong> numeri avente le stesse proprietà stati stiche <strong>di</strong> una<br />
sequenza <strong>di</strong> numeri davvero casuali, con <strong>di</strong>stribuzione uniforme e non correlazione tra i numeri generati:<br />
parleremo <strong>di</strong> numeri pseudocasuali.<br />
In pratica le sequenze così generate hanno stesso valore <strong>di</strong> una sequenza realmente casuale, con il vantaggio<br />
<strong>di</strong> una rapi<strong>di</strong>tà nella generazione e la possibilità <strong>di</strong> ricreare la stessa sequenza fornendo all’algoritmo<br />
lo stesso valore iniziale (“seme”). Tipicamente procedure intrinseche nei linguaggi <strong>di</strong> programmazione<br />
comuni generano numeri casuali tra [0,1] con <strong>di</strong>stribuzione uni forme. È il caso ad esempio<br />
della funzione (metodo) Math.random () in Java, che è utilizzata in alcuni dei co<strong>di</strong>ci proposti.<br />
Numeri casuali: <strong>di</strong>stribuzioni non uniformi<br />
Gettando un solo dado possiamo ottenere un qualsiasi numero compreso tra 1 e 6 con la stessa probabilità.<br />
Diremo allora che la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità dei numeri da 1 a 6 è uniforme e pari a 1/6,<br />
con valor me<strong>di</strong>o 3,5.<br />
Gettando due da<strong>di</strong>, possiamo ottenere come somma un qualsiasi numero compreso tra 2 e 12 con probabilità<br />
non più uniforme ma con <strong>di</strong>stribuzione triangolare con massimo a 7. Infatti il 7 lo possiamo<br />
ottenere in più <strong>di</strong> n modo (6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6), mentre ad esempio il 2 lo possiamo ottenere<br />
solo come 1+1. (come esercizio, si può provare a completare i <strong>di</strong>versi casi <strong>di</strong> uscite per convincersi<br />
che la <strong>di</strong>stribuzione ha forma triangolare con centro su 7 e quin<strong>di</strong> 3,5 come me<strong>di</strong>a per ogni dado.<br />
Nel lancio <strong>di</strong> tre da<strong>di</strong> possiamo ottenere come somma qualsiasi numero compreso tra 3 e18, con una<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità centrata attorno a 10,5 ma non più triangolare bensì a forma <strong>di</strong> campana.<br />
Il centro corrisponde <strong>di</strong> nuovo ad una me<strong>di</strong>a per dado <strong>di</strong> 3,5.<br />
Il risultato si può generalizzare con la legge dei gran<strong>di</strong> numeri: se si estraggono N numeri da un campione<br />
caratterizzato da qualsiasi <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità, che abbia una certa me<strong>di</strong>a , all’aumentare<br />
<strong>di</strong> N la <strong>di</strong>stribuzione delle me<strong>di</strong>e dei campioni (cioè la somma <strong>di</strong> N numeri casuali <strong>di</strong>visa<br />
per N) tende ad avvicinarsi ad una <strong>di</strong>stribuzione unica (la cosiddetta <strong>di</strong>stribuzione gaussiana).<br />
In particolare, se estraiamo 12 volte un numero casuale compreso tra −0.5 e 0.5 e sommiamo i 12<br />
valori otteniamo che la variabile somma ha una <strong>di</strong>stribuzione gaussiana centrata in zero e con σ =1.<br />
Questo può essere un modo economico per generare numeri secondo la <strong>di</strong>stribuzione gaussiana, tuttavia,<br />
alcuni linguaggi <strong>di</strong> programmazione, tra cui Java, forniscono <strong>di</strong>rettamente un’implementazione<br />
efficiente <strong>di</strong> tale variabile casuale.<br />
Schede <strong>di</strong> laboratorio<br />
Avvio dei programmi Java<br />
Tutto il materiale è liberamente accessibile al sito: http://www.democritos.it/edu/<br />
index.php/Main/Browniano.<br />
Per dare la possibilità <strong>di</strong> capirne i contenuti e <strong>di</strong> apportare eventuali mo<strong>di</strong>fiche, vengono forniti i programmi<br />
Java nella versione sorgente e non in versione applet che si possa avviare in modo <strong>di</strong>retto.<br />
I programmi Java forniti vanno quin<strong>di</strong> sempre avviati caricando il relativo progetto BlueJ (menu<br />
Project e poi Open Project).<br />
Se i rettangoli che rappresentano le classi Java nella finestra principale <strong>di</strong> BlueJ appaiono con un<br />
angolo “a righe”, occorre premere il bottone Compile. Quin<strong>di</strong> si clicca <strong>sulla</strong> classe <strong>di</strong> partenza<br />
(verrà in<strong>di</strong>cata) col tasto destro del mouse (su alcuni sistemi invece tenendo premuto il tasto ctrl<br />
(control) ed usando il tasto sinistro) e si seleziona void main (String [] args). Apparirà<br />
una finestra a cui si da OK e quin<strong>di</strong> parte l’esecuzione dell’applicazione Java.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 117<br />
La lista che segue va considerata come un canovaccio guida per le attività numeriche. Il primo progetto<br />
fornito è preliminare rispetto all’argomento principale dell’attività e riguarda la generazione<br />
<strong>di</strong> numeri pseudocasuali e le proprietà <strong>di</strong> variabili causali “somma” (Progetto Gas). Il Progetto<br />
Brown riguarda invece l’uso dell’approccio <strong>di</strong> Langevin per la simulazione dell’evoluzione temporale<br />
<strong>di</strong> particelle browniane.<br />
Progetto Gas (numeri casuali)<br />
Si tratta <strong>di</strong> un’applicazione che permette <strong>di</strong> esplorare l’effetto <strong>di</strong> valutare un prefissato numero (N.conf)<br />
<strong>di</strong> volte i valori <strong>di</strong> variabili casuali ottenute sommando N.variabili variabili casuali <strong>di</strong>verse, ciascuna<br />
delle quali può assumere N.valori valori <strong>di</strong>fferenti (corrispondenti agli interi da 1 a N.valori con<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità uniforme. P.es., se N.valori= 6, l’output del programma sarà l’istogramma<br />
delle frequenze delle <strong>di</strong>verse uscite <strong>di</strong> un dado (N.variabili=1) lanciato N.conf volte.<br />
Premendo più volte il testo Calcola si otterranno istogrammi relativi ad esperimenti in<strong>di</strong> pendenti.<br />
1. Porre N.variabili= 1, N.valori=2 e N.conf=20 (il default) e osservare il risultato (la <strong>di</strong>stribuzione).<br />
Questo simula il lancio <strong>di</strong> una moneta (due facce, cui attribuiamo i valori 1 e 2) per 20<br />
volte <strong>di</strong> seguito.<br />
2. Eseguire la serie virtuale <strong>di</strong> 20 lanci per un certo numero <strong>di</strong> volte e verificare la variabilità dei risultati.<br />
Quante volte mi aspetto <strong>di</strong> dover fare la serie <strong>di</strong> 20 lanci prima <strong>di</strong> trovare un’uscita <strong>di</strong> 20 “1”<br />
o 20 “2”? (Si suggerisce <strong>di</strong> provare a stimare il numero prima <strong>di</strong> iniziare la serie <strong>di</strong> tentativi).<br />
3. Confrontare quello che appare sul vostro schermo con quello che appare sullo scher mo del vostro<br />
vicino se iniziate entrambi da zero l’esperimento (subito dopo l’apertura dell’applicazione BlueJ.<br />
Cosa si può <strong>di</strong>re?<br />
4. Cosa succede se iniziamo a lanciare più monete e ci preoccupiamo della variabile casuale “somma<br />
dei risultati delle singole monete”? Provare ad aumentare sia N.variabili, sia N.conf e ad effettuare<br />
più serie <strong>di</strong> lanci. Cosa succede qualitativamente?<br />
5. Mo<strong>di</strong>fichiamo N.valori ponendolo uguale a 6 (caso del dado). Esplorare la forma tipica degli<br />
istogrammi <strong>di</strong> frequanza al variare <strong>di</strong> N.variabili ed N.conf.<br />
6. Valutare qualitativamente come varia il valore me<strong>di</strong>o della variabile casuale “somma” e la larghezza<br />
della sua <strong>di</strong>stribuzione.<br />
Progetto Brown (moto browniano)<br />
Il programma necessita <strong>di</strong> impostare i parametri e le costanti che appaiono nelle formule. Sono fissati<br />
alcuni valori <strong>di</strong> default ma si possono cambiare.<br />
I parametri fisici (massa Mass, temperatura kT, il coefficiente <strong>di</strong> attrito Gamma, γ) <strong>di</strong>pendono dalla<br />
particolare situazione <strong>fisica</strong> che vogliamo stu<strong>di</strong>are.<br />
La scelta dell’intervallo <strong>di</strong> <strong>di</strong>scretizzazione temporale Δt è cruciale e non può essere decisa a priori.<br />
L’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza si può stimare <strong>sulla</strong> base <strong>di</strong> considerazioni numeriche, ma è essenziale per<br />
l’affidabilità dei risultati che venga pazientemente determinato <strong>sulla</strong> base <strong>di</strong> esperimenti numerici,<br />
così come è essenziale tarare uno strumento in un laboratorio reale per poter valutare l’incertezza<br />
dei risultati <strong>di</strong> misura. Questa parte dell’esercitazione numerica va assolutamente sviluppata, ed è<br />
ricca <strong>di</strong> valore formativo.<br />
I principali vincoli su Δt sono costituiti dal fatto che un valore troppo piccolo non darebbe un’evoluzione<br />
sufficientemente rapida <strong>sulla</strong> scala della simulazione numerica, mentre un valore troppo grande<br />
comporterebbe inaccuratezze inaccettabili. In pratica, basta osservare che a temperatura nulla (o trascurabile)<br />
il moto deve corrispondere ad un moto smorzato da un attrito proporzionale alla velocità.<br />
Per descrivere questa situazione accuratamente con il precedente algoritmo è necessario che γΔt/M<br />
sia piccolo confronto a 1 (nella parentesi che moltiplicala velocità nell’algoritmo). Con questo vincolo<br />
si può quin<strong>di</strong> aumentare il valore <strong>di</strong> Δt fino a che non si cominciano a notare cambiamenti importanti<br />
nella traiettoria calcolata.
118 Capitolo 2. Fare scienza con il computer<br />
In<strong>di</strong>chiamo una traccia per l’attività <strong>di</strong> laboratorio:<br />
1. Lanciando il programma con i parametri <strong>di</strong> default, verificare che il comportamento del lo spostamento<br />
quadratico me<strong>di</strong>o in funzione del tempo nel moto browniano, dopo un transiente iniziale,<br />
tende ad una crescita lineare col tempo.<br />
2. Valutare il coefficiente angolare della retta che approssima lo spostamento quadratico me<strong>di</strong>oper<br />
valori<strong>di</strong>versi <strong>di</strong> M, T e γ verificando la consistenza dei risultati conle relazioni <strong>di</strong> Einstein.<br />
3. Verificare se e come i risultati <strong>di</strong>pendono dalla scelta del passo <strong>di</strong> integrazione numerica Δt. (Provare<br />
a <strong>di</strong>mezzarne o raddoppiarne il valore e poi eventualmente passare a valori ancora più lontani<br />
da quelli iniziali).<br />
4. Tenendo presenti i valori realistici del coefficiente <strong>di</strong> viscosità dei flui<strong>di</strong> elencati nella tabella allegata,<br />
le ragionevoli variazioni <strong>di</strong> k B T per esperimenti <strong>di</strong> laboratorio e valori plausibili per raggi(P)<br />
e masse(M) delle particelle browniane, esplorare la regione plausibile dei parametri in gioco. Si<br />
ricorda l’espressione del coefficiente <strong>di</strong> attrito γ data dalla formula <strong>di</strong> Stokes (valida per sfere in<br />
moto in un fluido in regime laminare): γ =6πηP.<br />
5. Variando sistematicamente tutti i parametri del modello, stu<strong>di</strong>are quali influenzano mag giormente<br />
l’estensione della regione iniziale dello spostamento quadratico me<strong>di</strong>o in fun zione del tempo in<br />
cui la <strong>di</strong>pendenza dal tempo è parabolica invece che lineare.<br />
Un esempio <strong>di</strong> quanto si può ottenere dal programma è mostrato in fig. 1.<br />
Figura 1. Random walk in due<br />
<strong>di</strong>mensioni corrispondente ad un<br />
moto browniano con i valori γ =<br />
8 · 10 −7 Ns/m, kT =4 · 10 −21 J e M<br />
=1.4 · 10 −10 kg, ragionevoli per il<br />
caso <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> polline<br />
in acqua a temperatura ambiente.
Capitolo 3. Esperimenti<br />
LA MISURA DEL NUMERO DI AVOGADRO<br />
Diego Cauz<br />
Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
È stato realizzato un video del moto browniano <strong>di</strong> microsfere (raggio 1-2 μm) immerse in acqua.<br />
Qualche goccia <strong>di</strong> liquido è stata messa su un vetrino portaoggetto e coperta con un coprioggetto. Si<br />
è poi sigillato il volume del liquido spennellando un po’ <strong>di</strong> smalto per unghie sul bordo del coprioggetto.<br />
La ripresa video è stata fatta con una telecamera montata su <strong>di</strong> un microscopio a 500 ingran<strong>di</strong>menti.<br />
Si è infine proceduto al trasferimento del filmato su DVD.<br />
Per la determinazione <strong>di</strong> N me<strong>di</strong>ante la relazione <strong>di</strong> Einstein (R è la costante dei gas):<br />
è necessario conoscere la temperatura T e la viscosità η del liquido, il raggio r delle sferette, scegliere<br />
un opportuno intervallo <strong>di</strong> tempo t, misurare gli spostamenti <strong>di</strong> alcune sferette selezionate durante intervalli<br />
tutti uguali a t, e la varianza. La realizzazione <strong>di</strong> questa esperienza si è basata su <strong>di</strong> un articolo <strong>di</strong><br />
H. Kruglak [1]. Ve<strong>di</strong>amo come determiniamo ciascuna delle grandezze in gioco nell’equazione (1):<br />
1) Temperatura: la misuriamo con un termometro posto in vicinanza del vetrino.<br />
2) Viscosità: la desumiamo da una tabella, tenendo conto della sua <strong>di</strong>pendenza dalla temperatura<br />
(ve<strong>di</strong> appen<strong>di</strong>ce).<br />
3) Raggio: ci è dato dal ven<strong>di</strong>tore [2];<br />
4) Tempo: lo scegliamo arbitrariamente uguale a 30 s. Si fa uso del cronometro del lettore DVD<br />
che compare sullo schermo del computer. Allo scadere dell’intervallo si blocca lo scorrimento<br />
dell’immagine e si determina la posizione del centro della microsfera;<br />
5) Spostamento:<br />
a. applichiamo un foglio <strong>di</strong> acetato trasparente sul monitor su cui proiettiamo il filmato e segnamo<br />
con un pennarello la posizione della sferetta prescelta<br />
ad intervalli <strong>di</strong> tempo t uguali.<br />
b. Ogni punto misurato ci dà due coor<strong>di</strong>nate in<strong>di</strong>pendenti:<br />
x e y. Otteniamo gli spostamenti per<br />
<strong>di</strong>fferenza tra due posizioni successive, così se<br />
abbiamo rilevato n posizioni, otterremo (n-1) spostamenti<br />
lungo x e altrettanti lungo y.<br />
c. Infine moltiplichiamo per un fattore <strong>di</strong> scala determinato<br />
osservando al miscroscopio un vetrino<br />
micrometrico con lo stesso ingran<strong>di</strong>mento usato<br />
per le riprese del moto delle sferette. Nel nostro<br />
caso tale fattore è uguale a 1,56 um/cm.<br />
Le posizioni e gli spostamenti rilevati sono riportati in<br />
tabella rispettivamente nelle prime due e nelle seconde<br />
due colonne: Tabella 1. Posizioni e spostamenti lungo i due assi.<br />
(1),
120 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Il grafico delle posizioni è riportato nella figura seguente:<br />
Figura 1. grafico delle posizioni sul piano x,y <strong>di</strong> microsfere in sospensione acquosa.<br />
I valori delle grandezze rilevati per questa misura sono:<br />
t (s) D (μm) T (°C) η (N/s/m 2 )<br />
30 1,06 21,3 9,73·10 -4<br />
Le varianze degli spostamenti calcolate sui dati sono (in μm 2 ):<br />
x y x ∪ y<br />
27,416 9,110 17,978<br />
Consideriamo l’insieme degli spostamenti lungo i due assi per duplicare la statistica, quin<strong>di</strong> usiamo<br />
l’ultimo numero della tabella precedente come varianza degli spostamenti da inserire nella formula<br />
(1).<br />
Per N otteniamo il valore:<br />
L’errore dominante è quello su б 2 (<strong>di</strong> natura casuale) che teoricamente vale:<br />
Ove n è il numero <strong>di</strong> spostamenti considerati (nel nostro caso 15 lungo x e altrettanti lungo y). Per<br />
aumentare la precisione della misura bisogna dunque eseguire molte misure <strong>di</strong> posizione.<br />
Un altro errore importante (<strong>di</strong> natura sistematica stavolta) è dovuto alla <strong>di</strong>pendenza della viscosità<br />
dalla temperatura. L’errore relativo è stimato al 2-3% per grado <strong>di</strong> temperatura.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 121<br />
Appen<strong>di</strong>ce: viscosità dell’acqua<br />
Tabella 2. viscosità dell’acqua in funzione della temperatura.<br />
I dati precedenti sono posti in grafico nella figura seguente:<br />
Figura 2. <strong>di</strong>pendenza della viscosità dalla temperatura.<br />
Bibliografia<br />
[1] Kruglak H. (1988) Brownian motion – a laboratory experiment, Phys. Educ. 23.<br />
[2] Molecular Probes Europe B.V., PoortGebouw, Rijnsburgerweg 10, 2333 AA Leiden, The Netherlands.
MISURA DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE:<br />
METODO DELLO SPOSTAMENTO DI FASE<br />
Lorenzo Santi e Stefano Vercellati<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Cenni <strong>sulla</strong> storia della misurazione della velocità della luce<br />
Il <strong>di</strong>battito concernente la finitezza o meno della velocità <strong>di</strong> propagazione della luce ha ra<strong>di</strong>ci antiche.<br />
Già nell’antica Grecia Empedocle (490 – 430 a.C.) sosteneva che la propagazione della luce<br />
avvenisse con velocità finita, mentre altri, tra cui Erone <strong>di</strong> Alessandria (10 a.C. – 70 d.C.) ed Aristotele,<br />
erano convinti che la luce si propagasse istantaneamente.<br />
Le argomentazioni portate a sostegno delle rispettive tesi però erano sostenute solo da ipotesi teoriche<br />
che si basavano sull’idea che i singoli stu<strong>di</strong>osi avevano riguardo alla luce e/o alla spiegazione<br />
che loro davano del meccanismo della visione. Empedocle in particolare pensava alla luce come<br />
un qualcosa in moto e quin<strong>di</strong> gli sembra ovvio che lo spostarsi <strong>di</strong> questo qualcosa da un posto ad<br />
un altro richiedesse del tempo. Erone <strong>di</strong> Alessandria invece, basandosi <strong>sulla</strong> teoria emissiva della<br />
visione 1 , afferma che la luce deve propagarsi con velocità infinita in quanto non appena apriamo gli<br />
occhi ve<strong>di</strong>amo subito sia gli oggetti vicini che quelli lontanissimi (come ad esempio le stelle). Questo<br />
<strong>di</strong>battito si mantenne sempre su <strong>di</strong> un livello teorico fino alla prima metà del XVII secolo rimanendo<br />
però pressoché in una situazione <strong>di</strong> stallo in quanto non vi erano forti evidenze sperimentali<br />
a sostegno dell’una o dell’altra tesi.<br />
All’inizio del Seicento alcuni stu<strong>di</strong>osi cercarono <strong>di</strong> ideare degli esperimenti specifici per cercare <strong>di</strong><br />
misurare la velocità della luce, però non riuscirono a giungere a dei risultati sod<strong>di</strong>sfacenti. Essi infatti<br />
non <strong>di</strong>sponendo <strong>di</strong> strumenti sufficientemente precisi per riuscire a misurate sperimentalmente una<br />
velocità così elevata. Galileo (1562 – 1642) ad esempio propose <strong>di</strong> misurare la velocità della luce stu<strong>di</strong>ando<br />
l’intervallo <strong>di</strong> tempo presente fra la generazione <strong>di</strong> un segnale luminoso e la sua percezione da<br />
parte <strong>di</strong> un osservatore lontano. Per far ciò Galileo propose che due persone, ciascuna delle quali con<br />
una lanterna accesa e schermata, si posizionassero in cima a due montagne e non appena uno vedeva<br />
che l’altro aveva scoperto la sua lanterna doveva fare altrettanto. In questo modo la prima persona<br />
che aveva scoperto la lanterna poteva misurare l’intervallo <strong>di</strong> tempo che intercorreva tra quando lui<br />
aveva scoperto la lanterna e quando vedeva la luce proveniente dall’altra lanterna. Effettuata questa<br />
misura e sapendo la <strong>di</strong>stanza a cui si trovavano le due persone, si poteva ricavare la velocità della<br />
luce. Questo metodo però non era funzionale in quanto il tempo <strong>di</strong> reazione delle due persone era<br />
molto maggiore rispetto al tempo che la luce impiega a percorre lo spazio tra le due persone (generalmente<br />
si ha una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> 4-5 or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza).<br />
La velocità <strong>di</strong> propagazione della luce è talmente grande che per effettuare una sua misurazione sperimentalmente<br />
in termini <strong>di</strong> spazio percorso in un intervallo <strong>di</strong> tempo è necessario considerare o<br />
<strong>di</strong>stanze gran<strong>di</strong>ssime (<strong>di</strong>stanze astronomiche) o intervalli <strong>di</strong> tempo molto piccoli. Vedremo ora due<br />
metodologie <strong>di</strong> misura che vanno proprio a considerare queste due situazioni.<br />
La prima tecnica <strong>di</strong> misura che ha portato a risultati sod<strong>di</strong>sfacenti fu proposta da Rømer (1644 –<br />
1710) e fa entrare in gioco le <strong>di</strong>stanze interplanetarie. Rømer, proseguendo ed integrando gli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
Cassini (1625 – 1712) sui satelliti <strong>di</strong> Giove (in particolare Io), si accorse che la misura del periodo <strong>di</strong><br />
rivoluzione <strong>di</strong> Io variava a seconda che la Terra nel suo moto <strong>di</strong> rivoluzione intorno al Sole si stesse<br />
avvicinando o allontanando da Giove. In particolare egli osservò che quando la Terra si avvicinava a<br />
Giove la misura del periodo <strong>di</strong> rivoluzione <strong>di</strong> Io risultava minore rispetto a quando la Terra si allontanava<br />
da Giove. Facendo riferimento alla Figura 1, supponiamo che la Terra si trovi nel punto L e<br />
che Io si trovi nel punto D (vale a <strong>di</strong>re sia appena uscito dal cono d’ombra <strong>di</strong> Giove) e <strong>di</strong> voler misu-<br />
(1) Secondo questa teoria noi siamo in grado <strong>di</strong> vedere gli oggetti perché dall’occhio vengono emessi dei “raggi visuali”<br />
che colpiscono gli oggetti che stiamo guardando. Solo ciò che viene colpito dai raggi visuali risulta essere visibile.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 123<br />
rare il tempo impiegato da Io per effettuare un certo numero<br />
(scelto arbitrariamente) <strong>di</strong> rivoluzioni intorno a Giove. Mentre<br />
Io orbita intorno a Giove, la terra prosegue nel suo moto<br />
<strong>di</strong> rivoluzione intorno al Sole, quin<strong>di</strong>, quando Io avrà completato<br />
il numero <strong>di</strong> orbite previsto, la Terra non si troverà<br />
più nel punto D, ma si troverà in un altro punto (in<strong>di</strong>cato<br />
in figura con K). Per la misura del periodo orbitale <strong>di</strong> Io<br />
pren<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> rispettivamente i due istanti coincidenti<br />
con gli istanti in cui dalla Terra si osserva Io uscire dal cono<br />
d’ombra <strong>di</strong> Giove. Le due osservazioni però vengono effettuate<br />
quando la Terra si trova a due <strong>di</strong>stanze <strong>di</strong>verse da Io.<br />
Quin<strong>di</strong>, se la luce ha una velocità <strong>di</strong> propagazione finita,<br />
l’immagine <strong>di</strong> Io che esce dall’ombra <strong>di</strong> Giove impiegherà<br />
più tempo a raggiungere la Terra quando quest’ultima si<br />
trova nel punto K rispetto a quando si trovava nel punto L.<br />
Questo comporterà una sovrastima del periodo <strong>di</strong> Io. Analogamente<br />
se si ripete la misura del periodo <strong>di</strong> Io quando<br />
la Terra si sposta dalla posizione F alla posizione G e si<br />
considerano gli istanti in cui Io entra nell’ombra <strong>di</strong> Giove<br />
si avrà una sottostima del periodo <strong>di</strong> Io in quanto l’immagine<br />
<strong>di</strong> Io che entra dall’ombra <strong>di</strong> Giove impiegherà meno<br />
tempo a raggiungere la Terra quando quest’ultima si trova<br />
nel punto G rispetto a quando è nel punto F. La semi<strong>di</strong>fferenza<br />
fra la misura dei due perio<strong>di</strong> rappresenta il tempo<br />
impiegato dalla luce per percorrere la <strong>di</strong>stanza LK. Rømer<br />
infine, effettuando numerose misure per angoli <strong>di</strong>versi ed<br />
estrapolando i dati raccolti, arrivò alla conclusione che la<br />
luce impiega 22 min per percorrere una <strong>di</strong>stanza pari al <strong>di</strong>ametro<br />
<strong>di</strong> rivoluzione terrestre 2 ; vale a <strong>di</strong>re 220000 km/s.<br />
Col passare degli anni e con lo sviluppo <strong>di</strong> strumenti scientifici<br />
più accurati si sono sviluppate altre tecniche utili per<br />
la misurazione della velocità della luce. Un interessante<br />
esperimento è quello proposto da Foucault (1819 – 1868).<br />
In questo esperimento, grazie allo stratagemma dello specchio<br />
ruotante, si vanno a considerare degli intervalli <strong>di</strong><br />
tempo molto piccoli permettendo in questo modo <strong>di</strong> far<br />
sì che l’apparato <strong>di</strong> misura abbia delle <strong>di</strong>mensioni modeste<br />
(se paragonato alle <strong>di</strong>stanze astronomiche utilizzate da<br />
Rømer). L’apparato, rappresentato schematicamente nella<br />
Figura 2, consiste in una sorgente <strong>di</strong> luce, uno schermo,<br />
due specchi <strong>di</strong> cui uno ruotante ed un rilevatore. Foucault<br />
pose i due specchi S1 ed S2 ad una <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> circa 30<br />
km l’uno dall’altro. Lo specchio S2 viene fissato nella sua<br />
posizione, mentre lo specchio S1 viene fatto ruotare con<br />
una velocità nota. Lo specchio S1, ruotando su se stesso,<br />
ad un certo istante verrà a trovarsi nell’angolo necessario<br />
Fig. 1. Rappresentazione schematica dell’osservazione<br />
<strong>di</strong> Rømer.<br />
Fig. 2. Rappresentazione schematica dell’apparato<br />
<strong>di</strong> Foucault.<br />
(2) L’estrapolazione dei dati è necessaria perché non si può misurare <strong>di</strong>rettamente con il metodo <strong>di</strong> Rømer il tempo<br />
impiegato a percorrere la <strong>di</strong>stanza EH in quanto Giove ed Io non son visibli dalla Terra quando essa si trova nella<br />
posizione E.
124 Capitolo 3. Esperimenti<br />
per far sì che la luce emessa dalla sorgente vada a riflettere sullo specchio S2. Una volta riflessa da<br />
S2 la luce tornerà a riflettersi su S1 che però, essendo in rotazione, avrà ruotato su se stesso <strong>di</strong> un<br />
angolo pari alla velocità angolare con cui sta ruotando (ω) per il tempo impiegato dalla luce a percorrere<br />
due volte la <strong>di</strong>stanza (d) presente tra i due specchi (due volte perché la luce deve andare da<br />
S1 ad S2 e poi tornare in<strong>di</strong>etro su S1). In<strong>di</strong>cando la velocità della luce con c possiamo quin<strong>di</strong> scrivere<br />
che θ = ω — 2d<br />
da cui si ricava che: c = ω —2d<br />
c c .<br />
Con un’apparecchiatura <strong>di</strong> questo tipo Foucault riuscì a stimare in 2980000 km/s la velocità della<br />
luce; valore molto vicino a quello accettato oggi. Differisce infatti da quest’ultimo dello 0.6%.<br />
I due esperimenti sopra riportati sono esempi <strong>di</strong> misure che si basano sull’idea <strong>di</strong> velocità vista come<br />
rapporto tra lo spazio percorso e l’intervallo <strong>di</strong> tempo impiegato per percorrere quello spazio. Le tecniche<br />
moderne utilizzate per la misura della velocità <strong>di</strong> propagazione della luce si basano invece su<br />
misure in<strong>di</strong>rette che fondano la propria legittimità su elementi teorici che permettono <strong>di</strong> effettuarne<br />
una stima della velocità <strong>di</strong> propagazione a partire dalla misurazione <strong>di</strong> altre grandezze. Questo connubio<br />
tra tecniche sperimentali e sviluppo teorico è uno degli elementi fondamentali della ricerca in<br />
<strong>fisica</strong>: lo sviluppo della teoria favorisce la nascita <strong>di</strong> nuove tecniche sperimentali e lo sviluppo delle<br />
tecniche sperimentali fornisce alla teoria nuovi elementi su cui costruirsi.<br />
Apparato sperimentale per la misura con il metodo dello spostamento <strong>di</strong> fase 3<br />
Come evidenziato nelle pagine precedenti, un approccio alla misura della velocità della luce basato<br />
<strong>sulla</strong> determinazione del tempo impiegato da un raggio luminoso a percorrere una data <strong>di</strong>stanza (o,<br />
viceversa, dello spazio percorso in un dato tempo) comporta delle <strong>di</strong>fficoltà tecniche notevoli, dovuto<br />
all’elevato valore (circa 10 8 m/s) <strong>di</strong> questa costante, e quin<strong>di</strong> alla necessità <strong>di</strong> misure temporali estremamente<br />
precise oppure <strong>di</strong> percorsi estremamente lunghi.<br />
In questa esperienza come “cronometro” viene utilizzato un segnale <strong>di</strong> alta frequenza (1 Ghz) per<br />
impulsare un fascio laser e viene rilevata la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase per <strong>di</strong>verse lunghezze <strong>di</strong> cammini ottici<br />
del fascio stesso. Ciò permette una notevole precisione nelle misure <strong>di</strong> intervalli <strong>di</strong> tempo e quin<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> limitare la lunghezza dei percorsi ottici utilizzati.<br />
(3) Da un apparato progettato da Guido Pegna dell’Università <strong>di</strong> Cagliari.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 125<br />
L’apparato, mostrato in figura, può essere schematizzato come segue<br />
Unità <strong>di</strong> controllo<br />
Emettitore Ricevitore<br />
- L’unità <strong>di</strong> controllo contiene un oscillatore (del tipo usato nei computer per generare il segnale <strong>di</strong><br />
clock) che genera un segnale elettrico sinusoidale ad una alta fraquenza F. Tale segnale viene inviato<br />
me<strong>di</strong>ante un cavo coassiale all’emettitore.<br />
- L’emettitore consiste in un laser, il cui fascio luminoso viene modulato dal segnale inviato dall’unità<br />
<strong>di</strong> controllo. Il segnale orginario viene così propagato nell’aria come modulazione dell’intensità<br />
del fascio luminoso, con frequenza F (è una frequenza <strong>di</strong> modulazione in ampiezza e non va<br />
confuso con la frequenza propria della luce) e velocità pari a quella c della luce.<br />
- Il fascio laser arriva poi al ricevitore, che consiste in un sensore <strong>di</strong> luminosità. Questo snsore riconverte<br />
il segnale luminoso in un segnale elettrico, che viene inviato nuovamente all’unità <strong>di</strong> controllo.<br />
- Nell’unità <strong>di</strong> controllo, il segnale inviato dal ricevitore (S), viene sommato ad uno <strong>di</strong> riferimento S0,<br />
generato da un secondo oscillatore nell’unità <strong>di</strong> controllo. Il risultato della composizione <strong>di</strong> questi<br />
due segnali <strong>di</strong>pende dalla loro fase reciproca. Se risultano in controfase, l’interferenza sarà <strong>di</strong>struttiva<br />
e il segnale composto sarà nullo, mentre se sono in fase, si comporranno in maniera costruttiva<br />
e si otterrà un segnale amplificato.<br />
Il segnale S+S0 può essere “sentito” inviandolo ad uno speaker (dopo averlo opportunamente<br />
amplificato) 4 .<br />
La fase tra i due segnali deriva dalla somma <strong>di</strong> due fasi <strong>di</strong>verse: la fase tra i due oscillatori (sconosciuta<br />
ma che può essere considerata costante) e quella dovuta al ritardo del segnale S per la sua propagazione<br />
nei cavi e nell’aria, trasportato dal fascio laser.<br />
In particolare, si può spostare il ricevitore avvicinandolo o allontanandolo dal trasmettitore, in maniera<br />
tale da ridurre o aumentare il cammino percorso e quin<strong>di</strong> il tempo <strong>di</strong> propagazione del segnale nell’aria.<br />
In questo modo si può variare la fase relativa tra S e S0: la scelta ottimale è quella <strong>di</strong> posizionare il<br />
ricevitore in maniera tale da ottenere un minimo del segnale combinato S+S0 (interferenza <strong>di</strong>struttiva).<br />
La ragione per cui si sceglie il punto <strong>di</strong> minimo è che le misure <strong>di</strong> zero sono intrinsecamente<br />
(4) L’orecchio umano non può percepire suoni alla frequenza utilizzata nell’esperimento ed è necessario produrre in<br />
qualche modo un suono che ricada nel campo dell’u<strong>di</strong>bile (vi è anche una limitazione della <strong>di</strong>namica dello speaker,<br />
che non consente <strong>di</strong> riprodurre suoni a frequenza troppo elevata). Ciò può essere fatto utilizzando oscillatori con frenquenze<br />
F e F’ leggermente <strong>di</strong>verse fra <strong>di</strong> loro. Il segnale S+S0 risultante avrà una frequenza pari a (F+F’)/2, modulato<br />
in ampiezza con una frequenza |F-F’| (fenomeno del battimento). È proprio la modulazione <strong>di</strong> ampiezza che viene<br />
trasdotta dallo speaker, producendo un suono con frequenza |F-F’| (nel caso dell’apparato sperimentale, circa 400 Hz).
126 Capitolo 3. Esperimenti<br />
più sensibili e si può determinare la posizione desiderata con maggiore precisione, aumentando progressivamente<br />
l’amplificazione del segnale inviato allo speaker.<br />
Determinata la posizione x 1 del ricevitore per cui si ottiene un minimo <strong>di</strong> interferenza, lo si sposta.<br />
S+S0 in questo modo aumenta <strong>di</strong> intensità, fino a raggiungere un massimo (interferenza costruttiva)<br />
e poi <strong>di</strong>minuire, fino ad un nuovo punto <strong>di</strong> minimo, con il ricevitore nella posizione x 2 .<br />
Spostando il ricevitore da x 1 a x 2 , la fase relativa tra S e S0 è variata <strong>di</strong> 2π (la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra<br />
due successive situazioni <strong>di</strong> interferenza <strong>di</strong>struttiva). Questa variazione <strong>di</strong> fase è dovuta al fatto che<br />
il tempo <strong>di</strong> propagazione del segnale in aria è cambiato <strong>di</strong> una quantità pari al periodo del segnale<br />
elettrico, cioè il periodo τ (pari a 1/F) dell’oscillatore.<br />
Ne segue che nel tempo τ il segnale percorre una <strong>di</strong>stanza |x 2 -x 1 | e quin<strong>di</strong> la velocità con cui si propaga<br />
è pari a |x 2 -x 1 |/τ. Nella pratica, conviene ridurre gli errori <strong>di</strong> misura prendendo una lunghezza <strong>di</strong><br />
propagazione più lunga, ad esempio quella in cui si hanno tre minimi <strong>di</strong>struttivi e non due. (A causa<br />
<strong>di</strong> dettagli tecnici <strong>di</strong> come è realizzata la modulazione del fascio laser, le <strong>di</strong>stanze tra due coppie <strong>di</strong><br />
minimi consecutive, x 1 , x 2 e x 2 , x 3 , risultano essere molto <strong>di</strong>verse fra loro: solo prendendo l’intervallo<br />
x 1 , x 3 si ottiene una situazione corrispondente alla descrizione qui fatta).<br />
L’intervallo <strong>di</strong> tempo da considerare è così il doppio del periodo dell’oscillatore: il T in<strong>di</strong>cato sull’apparato<br />
corrisponde effettivamente a 2τ.
DIFFRAZIONE: APPUNTI A SUPPORTO DELL’ATTIVITÀ SPERIMENTALE<br />
Marisa Michelini<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Rilevanza<br />
• La <strong>di</strong>ffrazione è un fenomeno che si incontra ovunque nella vita quoti<strong>di</strong>ana e nelle applicazioni<br />
dell’ottica<br />
• Pone un confine inferiore all’avanzamento verso il “microscopico” o il “lontano” (potere risolutivo):<br />
• limite nella capacità <strong>di</strong> <strong>di</strong>stinzione fra due oggetti vicini fra loro che si trovano a grande <strong>di</strong>stanza<br />
• limite inferiore nell’osservazione microscopica<br />
• limite inferiore all’integrazione (litografia)….<br />
• Costituisce un doppio ponte tra l’ottica geometrica e quella <strong>fisica</strong> ed tra la <strong>fisica</strong> classica quella<br />
quantistica, proponendo una interpretazione ondulatoria della luce<br />
• È il caso reale <strong>di</strong> interferenza ottica<br />
• Permette <strong>di</strong> comprendere nella sua potenzialità il principio <strong>di</strong> Huygens-Fresnel<br />
• Offre significativa occasione <strong>di</strong> raccordo tra ipotesi interpretative (modellizzione e simulazione)<br />
ed esperimento.<br />
Possiamo identificare vari contesti in cui la si ritrova, prodotta da ra<strong>di</strong>azione o particelle, come nelle<br />
seguenti figure:<br />
D1: <strong>di</strong>ffrazione per trasmissione<br />
<strong>di</strong> luce bianca<br />
che attraversa le foglie<br />
degli alberi.<br />
D4: <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> elettroni su un cristallo<br />
<strong>di</strong> ZnO.<br />
D2:<strong>di</strong>ffrazione per riflessione <strong>di</strong><br />
luce bianca da parte <strong>di</strong> un CD-rom.<br />
D5: <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> raggi<br />
X su un cristallo <strong>di</strong><br />
NaCl.<br />
D3: <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> luce monocromatica blu che attraversa i bor<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> una lametta da barba.<br />
D6: <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong><br />
immagini <strong>di</strong> stelle<br />
lontane.<br />
D7: la <strong>di</strong>ffrazione nell’arte: la<br />
tecnica dei puntinisti (Van Gogh,<br />
1887).
128 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Troviamo la <strong>di</strong>ffrazione anche <strong>sulla</strong> superficie dell’acqua o nei fenomeni acustici.<br />
Ha applicazioni negli stu<strong>di</strong> <strong>di</strong> struttura della materia (<strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> elettroni, <strong>di</strong> raggi X, <strong>di</strong> neutroni),<br />
delle alte energie e dell’astro<strong>fisica</strong> (<strong>di</strong>ffrazione gamma).<br />
Stabilisce il limite degli strumenti ottici (criterio <strong>di</strong> Rayleigh) ed il potere risolutivo.<br />
I puntinisti ne hanno fatto una tecnica in termini <strong>di</strong> separazione dei colori.<br />
La <strong>di</strong>ffrazione ottica si presenta in varie situazioni<br />
• Bordo <strong>di</strong> uno schermo<br />
• Foro, filo/capello<br />
• Fen<strong>di</strong>tura semplice e multipla<br />
• Reticolo mono e bi<strong>di</strong>mensionale<br />
La sua interpretazione: richiede un’ipotesi ondulatoria <strong>sulla</strong> natura della luce<br />
Principio <strong>di</strong> Huygens-Fresnel<br />
Ciascun punto <strong>di</strong> un fronte d’onda si comporta come una sorgente<br />
puntiforme secondaria <strong>di</strong> stessa frequenza <strong>di</strong> quella primaria:<br />
l’onda al <strong>di</strong> là dell’ostacolo è data dalla sovrapposizione<br />
<strong>di</strong> tutte le onde sferiche delle sorgenti secondarie.<br />
Diffrazione da una fen<strong>di</strong>tura<br />
Caso più generale Fraunhofer<br />
Fresnel<br />
Caso semplifi cato<br />
Fronte d’onda qualsiasi su apertura qualsiasi a<br />
<strong>di</strong>stanza qualsiasi<br />
In un pounto P dello schermo giungono perturbazioni<br />
che <strong>di</strong>fferiscono per ampiezza e fase<br />
Fronte d’onda piano <strong>sulla</strong> fen<strong>di</strong>tura (raggi //)<br />
Fronti d’onda piani sul punto P dello schermo (raggi //)<br />
Si ottiene:<br />
1) con 2 lenti convergenti<br />
2) laser+schermo all’infi nito<br />
Oppure con la semplice <strong>di</strong>sposizione da noi proposta in cui un fascetto laser costituisce sorgente e<br />
riferimento per l’allineamento ottico <strong>di</strong> fen<strong>di</strong>tura e schermo su un tavolo.<br />
Si può facilmente ottenere in laboratorio per misure quantitative con sensori.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 129<br />
La proposta <strong>di</strong>dattica<br />
La proposta <strong>di</strong>dattica è un percorso ragionato tra gli esperimenti per costruire le leggi fenomenologiche,<br />
impadronirsi delle loro caratteristiche e significati.<br />
Non ci si limita alle tra<strong>di</strong>zionali analisi della posizione dei minimi e dei massimi, ma si va verso l’interpretazione<br />
dei processi analizzando le caratteristiche della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa.<br />
Sensore da noi<br />
realizzato per<br />
lo stu<strong>di</strong>o della<br />
<strong>di</strong>ffrazione<br />
Distribuzione <strong>di</strong> intensità ottenute con<br />
- fen<strong>di</strong>tura <strong>di</strong> ampiezza a= 0.24 mm;<br />
- <strong>di</strong>stanza fen<strong>di</strong>tura schermo D=0.80 cm;<br />
- sorgente laser <strong>di</strong> λ = 623.8 nm.<br />
Proce<strong>di</strong>mento seguito:<br />
il laser è stato <strong>di</strong>retto <strong>sulla</strong> fen<strong>di</strong>tura e si è<br />
raccolta la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa<br />
in funzione della posizione a <strong>di</strong>stanza<br />
D dalla fen<strong>di</strong>tura, in <strong>di</strong>rezione normale a<br />
quelle <strong>di</strong> propagazione del fascio e della<br />
fen<strong>di</strong>tura.<br />
No<strong>di</strong> concettuali legati alla <strong>di</strong>ffrazione<br />
1. Concetti <strong>di</strong> fase, cammino ottico e fronte d’onda<br />
2. Sovrapposizione <strong>di</strong> onde e interferenza<br />
3. Rappresentazione spazio-temporale del fenomeno e <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> immaginare che l’interferenza<br />
si verifica in tutto lo spazio<br />
4. Stretta relazione fra cammino ottico e fase<br />
5. Ruolo fondamentale della fase nella determinazione della figura <strong>di</strong> interferenza<br />
6. Principio <strong>di</strong> Huygens-Fresnel<br />
7. Formalismo matematico per l’interpretazione
130 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Materiale necessario<br />
- laser (He-Ne, Oriel MOD 79262, 2 mW, λ=6328 Å)<br />
- fen<strong>di</strong>ture (Phywe 08577.01, 8540) a=0.05÷0.1÷0.2 mm<br />
- sistema <strong>di</strong> rilevazione posizione-intensità luminosa<br />
Assetto<br />
- non serve banco ottico<br />
- allineamenti<br />
- <strong>di</strong>mensioni fascetto laser (0.63 mm)<br />
- D/a ≈ 10 4 D≈ 35 cm ÷ 2 m<br />
La sequenza <strong>di</strong> attività<br />
Si descrive <strong>di</strong> seguito la sequenza delle attività <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> proposte.<br />
A – Esame qualitativo della figura <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione ottenuta con una fen<strong>di</strong>tura<br />
a) Ispezione visiva al variare della <strong>di</strong>stanza fen<strong>di</strong>tura-schermo D<br />
La figura mantiene la stessa forma alle <strong>di</strong>verse <strong>di</strong>stanze: si tratta <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione angolare<br />
<strong>di</strong> intensità luminosa: lo schermo intercetta una <strong>di</strong>stribuzione angolare costante ( cost)<br />
b) Acquisizione <strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa. Attenzione:<br />
- non si richiescono a rilevare insieme il massimo centrale e quelli laterali (uso polaroid)<br />
- caratteristiche <strong>di</strong> simmetria della figura<br />
- peculiarità della <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa<br />
Distribuzione intensità luminosa in funzione della posizione (fen<strong>di</strong>tura da 0.12 mm posta<br />
a 80 cm dal sensore).<br />
B – Posizione dei minimi<br />
A partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante<br />
Ci sono minimi per sen z=0 z= mπ m=±1, ±2, ±3…
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 131<br />
Per D>> a L ≈D<br />
La proposta <strong>di</strong>dattica per lo stu<strong>di</strong>o della POSIZIONE DEI MINIMI è la seguente<br />
a) Acquisizione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> intensità luminosa I(x) vs x per <strong>di</strong>verse D (a=cost)<br />
cursore: x m , x 0<br />
grafico vs m<br />
motivato dall’attività A_a) sopra descritta<br />
Si trova
132 Capitolo 3. Esperimenti<br />
b) Acquisizione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa I(x) vs x per <strong>di</strong>verse a (per ogni D)<br />
si trovano rette <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa pendenza al variare <strong>di</strong> a<br />
↓<br />
interpolazione lineare<br />
↓<br />
calcolo <strong>di</strong> a o λ<br />
Il coefficiente angolare è<br />
inversamente proporzionale ad a<br />
Pertanto si può scrivere<br />
Tutto quanto richiamato finora:<br />
• La simmetria dei minimi rispetto al massimo centrale<br />
• La <strong>di</strong>retta proporzionalità della <strong>di</strong>stanza dei minimi dal massimo centrale e il numero d’or<strong>di</strong>ne<br />
• La proporzionalità inversa alla larghezza della fen<strong>di</strong>tura<br />
è in accordo con il modello che prevede<br />
Si possono valutare quantitativamente le larghezze delle fen<strong>di</strong>ture o la lunghezza d’onda dai risultati<br />
delle interpolazioni lineari:<br />
Nominale (mm) Misurata (mm)<br />
0.16 0,155<br />
0.05 0.049<br />
0.1 0.100<br />
0.2 0.207
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 133<br />
B – Posizione dei massimi<br />
A partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante<br />
La cui base è la seguente<br />
Massimo centrale per θ=0 <br />
Altri massimi<br />
cioè<br />
Dove km: tg con m=1,2,3….d<br />
max centrale<br />
Max secondari dovuti a interferenza parzialmente costruttiva delle onde secondarie<br />
Essi si trovano nei punti <strong>di</strong> intersezione <strong>di</strong><br />
non a metà tra 2 minimi<br />
Se i massimi <strong>di</strong> sen z / z sono vicini (
134 Capitolo 3. Esperimenti<br />
La proposta <strong>di</strong>dattica per lo stu<strong>di</strong>o della POSIZIONE DEI MASSIMI è la seguente<br />
a) Rilevazione con cursore <strong>di</strong> x M e <strong>di</strong> x 0 (uso <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità luminosa precedenti) In analogia<br />
con minimi<br />
grafico vs M<br />
retta che passa per (0;0)<br />
c) Interpolazione lineare<br />
d) Grafico x M vs (2M+1)<br />
interpolazione lineare <strong>di</strong> x0 ed a (o λ)<br />
Per varie fen<strong>di</strong>ture si trova il coefficiente angolare sempre circa doppio dell’intercetta, si può perciò<br />
scrivere:
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 135<br />
D – Intensità <strong>di</strong> picco<br />
A partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante sull’intensità I M <strong>di</strong> ogni massimo rispetto a<br />
quella del centrale I 0<br />
e <strong>sulla</strong> intensità relativa dei massimi laterali<br />
Che deriva da quanto segue<br />
<br />
poiché i massimi si hanno per per M>0<br />
La proposta <strong>di</strong>dattica per l’INTENSITÀ DEI MASSIMI è la seguente<br />
a) Grafico vs<br />
b) calcolo Io dalla pendenza
136 Capitolo 3. Esperimenti<br />
c) grafico vs (2M+1)<br />
d)<br />
In<strong>di</strong>pendenza dell’intensità relativa <strong>di</strong> ciascun picco dall’ampiezza della fen<strong>di</strong>tura
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 137<br />
APPROFONDIMENTI - Gli aspetti interpretativi<br />
Nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Fraunhofer la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità ha la forma<br />
A. Metodo numerico<br />
Si può applicare il principio <strong>di</strong> Huygens-Fresnel a un numero finito N <strong>di</strong> sorgenti puntiformi posizionate<br />
lungo la fen<strong>di</strong>tura e calcolare la sovrapposizione delle onde secondarie nei punti dello schermo.<br />
I fasori corrispondenti sono
138 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Metodo della bisezione della fen<strong>di</strong>tura
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 139<br />
B. Metodo dei fasori<br />
Diffrazione da singola fen<strong>di</strong>tura: I (θ)<br />
Fasore: vettore rotante <strong>di</strong> modulo pari<br />
all’ampiezza dell’onda e <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> rotazione<br />
pari alla fase. L’ampiezza istantanea<br />
dell’onda è data dalla proiezione del fasore<br />
lungo una data <strong>di</strong>rezione.<br />
Me<strong>di</strong>ante i fasori si possono rappresentare<br />
le singole onde elementari provenienti da<br />
segmenti a<strong>di</strong>acenti della fen<strong>di</strong>tura.<br />
Per θ=0, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> fase tra le onde<br />
elementari è nulla ed è quin<strong>di</strong> nullo anche<br />
l’angolo tra ogni coppia <strong>di</strong> fasori a<strong>di</strong>acenti.<br />
L’ampiezza data dalla sovrapposizione<br />
delle onde elementari è massima.
140 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Questa relazione motiva:<br />
• la simmetria rispetto al massimo centrale della figura <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione<br />
• l’in<strong>di</strong>pendenza della forma della figura <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione dalla <strong>di</strong>stanza dello schermo.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 141<br />
Bibliografia<br />
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www.<strong>fisica</strong>.uniud.it/URDF.
LA LEGGE DI MALUS<br />
Alberto Stefanel<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Finalità<br />
Riconoscere la relazione tra l’intensità I della luce trasmessa da due polaroid allineati con un fascio<br />
<strong>di</strong> luce e l’angolo α <strong>di</strong> cui si ruota uno <strong>di</strong> essi intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio, a partire da una situazione<br />
<strong>di</strong> massimo <strong>di</strong> trasmissione.<br />
Alternative sperimentali<br />
La semplicità, rapi<strong>di</strong>tà e precisione con cui si riconosce la legge <strong>di</strong> Malus operando con polaroid sono<br />
<strong>di</strong>fficilmente superabili con altri apparati. Tuttavia, dato che la legge <strong>di</strong> Malus descrive gli aspetti<br />
peculiari dei fenomeni relativi alla polarizzazione lineare, può essere esplorata, ovvero riconosciuta<br />
in quasi tutti i fenomeni in cui è coinvolta la polarizzazione lineare. La si può per esempio esplorare<br />
utilizzando il fenomeno della polarizzazione per riflessione, oppure la si può riconoscere nella luce<br />
trasmessa da cristalli birifrangenti.<br />
In ogni caso è necessario <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> una sorgente che emette luce con intensità sufficientemente<br />
costante nel tempo, come una normale lampa<strong>di</strong>na, collegata ad un alimentatore stabilizzato, o un raggio<br />
laser (es. il fascio <strong>di</strong> un puntatore laser), <strong>di</strong> un misuratore <strong>di</strong> intensità luminosa.<br />
Se si opera con polaroid, ne sono necessari due <strong>di</strong> cui almeno uno montato su supporto ruotante.<br />
Per misurare l’angolo fra le <strong>di</strong>rezioni <strong>di</strong> trasmissione dei due polaroid si può utilizzare un goniometro<br />
solidale con il supporto ruotante del polaroid, oppure si può utilizzare un sensore che misura<br />
l’angolo <strong>di</strong> rotazione.<br />
Può essere interessante esplorare la legge <strong>di</strong> Malus utilizzando sorgenti che producono luce <strong>di</strong> colore<br />
<strong>di</strong>verso, ovvero utilizzando una sorgente <strong>di</strong> luce bianca schermata alternativamente con filtri <strong>di</strong> colori<br />
<strong>di</strong>versi. Nei <strong>di</strong>versi casi si ritrova sempre lo stesso andamento, ma si riconosce la <strong>di</strong>versa efficienza<br />
dei polaroid nel polarizzare la luce. In genere si dovrebbe riscontrare il massimo grado R <strong>di</strong> polarizzazione<br />
(R=[I max – I min ]/[I max + I min ]) per la luce rossa.<br />
L’intensità luminosa può essere misurata <strong>di</strong>rettamente ad esempio con:<br />
- un sensore <strong>di</strong> luce<br />
- un esposimetro per fotografie<br />
- un foto<strong>di</strong>odo o un fototransistor<br />
- un tra<strong>di</strong>zionale fotometro <strong>di</strong> Bunsen<br />
- un luxmetro<br />
Materiale necessario<br />
Per la misura qui proposta sono necessari i seguenti materiali:<br />
• Banco <strong>di</strong> lavoro <strong>di</strong> almeno 1 metro<br />
• Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto<br />
• Puntatore laser bassa potenza (≤1 mW - λ=650-660 nm)<br />
• Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o pila<br />
• Cavetti <strong>di</strong> collegamento<br />
• Sensore <strong>di</strong> luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500 CI-<br />
6765CI / sensore-6504A, sensore <strong>di</strong> luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])<br />
• 2 Polaroid su supporto ruotante dotati <strong>di</strong> goniometro<br />
Un banco ottico della lunghezza <strong>di</strong> almeno 50 cm può essere utile per semplificare l’assemblaggio,<br />
ma non è necessario. Sensore e sorgente possono essere fissati su tavolini elevabili o supporti su trepiede<br />
allineando i <strong>di</strong>versi componenti con il fascio stesso <strong>di</strong> luce.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 143<br />
Fig. 1. Assetto sperimentale per lo stu<strong>di</strong>o della legge <strong>di</strong> Malus. Al posto del proiettore si può utilizzare una sorgente laser come i<br />
puntatori oggi facilmente reperibili a costi decisamente accessibili. Il proiettore, i due polaroid e il sensore sono allineati in modo<br />
da garantire il buon illuminamento <strong>di</strong> quest’ultimo.<br />
Il materiale viene assemblato come nelle foto <strong>di</strong> fig. 1 (al posto del proiettore si monta il laser).<br />
Si posiziona il misuratore <strong>di</strong> intensità luminosa in modo tale che la sua superficie sia <strong>di</strong>sposta perpen<strong>di</strong>colarmente<br />
alla <strong>di</strong>rezione della luce incidente e completamente illuminata. Se si opera con la<br />
luce bianca non polarizzata del proiettore è in genere necessario utilizzare una lente per focalizzare<br />
il fascio sul sensore. Se si opera con il laser può essere necessario schermare il fascio per evitare <strong>di</strong><br />
saturare il sensore, ovvero <strong>di</strong> uscire dal suo regime <strong>di</strong> linearità.<br />
Si posizionano i due polaroid in modo da mantenere l’illuminazione del sensore. Non è necessario<br />
effettuare un perfetto allineamento per ottenere buoni risultati. L’unico accorgimento da curare è che<br />
il sensore sia sempre illuminato da un cono <strong>di</strong> luce della stessa apertura.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere alla misura vera e propria è necessario calibrare il sensore ed effettuare qualche<br />
misura <strong>di</strong> prova per assicurarsi <strong>di</strong> operare nel regime <strong>di</strong> linearità del sensore stesso.<br />
Se non si opera in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> buio, è inoltre necessario acquisire l’intensità del fondo, una volta<br />
spenta la sorgente (proiettore o laser che sia). È necessario evitare <strong>di</strong> operare in presenza <strong>di</strong> sorgenti<br />
<strong>di</strong> luce alimentate <strong>di</strong>rettamente dalla tensione <strong>di</strong> rete in quanto le misure verrebbe falsate dalle oscillazioni<br />
<strong>di</strong> tensione tipicamente <strong>di</strong> periodo 20 s.<br />
Principio della misura<br />
A parità <strong>di</strong> illuminamento del primo dei due polaroid, l’intensità della luce trasmessa varia in modo<br />
regolare con l’angolo α <strong>di</strong> cui si ruota il secondo polaroid, risultando proporzionale a cos 2 α.<br />
Se si opera nel regime <strong>di</strong> linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità della<br />
luce trasmessa dal secondo polaroid.<br />
Questo permette quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> misurare l’intensità luminosa trasmessa dai due polaroid al variare <strong>di</strong> α.<br />
Descrizione della procedura<br />
Si rileva l’intensità luminosa I al variare dell’angolo α <strong>di</strong> cui si ruota uno dei polaroid a partire dalla<br />
situazione per cui si ha un massimo <strong>di</strong> trasmissione (polaroid paralleli).<br />
Poiché la luce prodotta dalla lampada può presentare una debole polarizzazione è in genere conveniente<br />
fissare la posizione del primo polaroid (polarizzatore) e ruotare il secondo polaroid (analizzatore).<br />
Tale procedura <strong>di</strong>venta obbligatoria se si utilizza una sorgente laser ossia una sorgente <strong>di</strong><br />
luce polarizzata.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere alle misure vere e proprie è necessario effettuare una serie <strong>di</strong> operazioni preliminari<br />
che sono <strong>di</strong> fatto essenziali per la buona riuscita dell’esperimento e più laboriose della stessa<br />
misura, <strong>di</strong> per sé banale e molto rapida.
144 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Calibrazione del sensore <strong>di</strong> luce<br />
Si calibra il sensore in modo che in<strong>di</strong>chi come valore minimo il valore <strong>di</strong> buio (facilmente ottenibile<br />
oscurando con un <strong>di</strong>to il sensore stesso), e come valore massimo quello per cui si ha un massimo <strong>di</strong><br />
trasmissione dai due polaroid.<br />
Prima <strong>di</strong> procedere alla misura vera e propria si effettua una acquisizione <strong>di</strong> prova, allontanando leggermente<br />
la sorgente, ovvero <strong>di</strong>minuendo leggermente la focalizzazione del fascio, oppure utilizzando<br />
un filtro opportuno per schermare la sorgente stessa, in modo che al valore massimo <strong>di</strong> luce<br />
trasmessa corrisponda circa al 90% del valore massimo <strong>di</strong> calibrazione. Ciò in genere è sufficiente<br />
ad evitare effetti <strong>di</strong> saturazione durante la misura vera e propria.<br />
Incertezza <strong>sulla</strong> misura<br />
Una stima della incertezza con cui viene acquisita l’intensità della luce può essere fatta al termine<br />
della fase precedente lasciando che il sensore acquisisca il valore massimo dell’intensità della luce trasmessa<br />
per qualche decina <strong>di</strong> secon<strong>di</strong>. La deviazione standard dei dati ottenuti, fornisce una stima della<br />
imprecisione statistica con cui si effettua la misura. In genere si ottiene un valore percentuale rispetto<br />
al valore massimo misurato pari a 0.8-0.9%, ma si può operare in con<strong>di</strong>zioni anche migliori.<br />
In figura sono riportati i dati acquisiti dell’intensità luminosa misurata da un sensore illuminato dalla<br />
luce prodotta da una sorgente alimentata con tensione stabilizzata.<br />
Figura 2. A sinistra: Dati acquisisti con un illuminamento costante nel tempo del sensore. A destra <strong>di</strong>stribuzione delle classi <strong>di</strong><br />
valori dell’intensità.<br />
Il valore me<strong>di</strong>o della <strong>di</strong>stribuzione è 0.9975, la deviazione standard è pari a 0.0005.<br />
Stabilità della sorgente<br />
Per assicurarsi che la sorgente sia effettivamente stabile è utile effettuare una acquisizione del valore<br />
massimo della intensità della luce trasmessa per qualche minuto in modo da verificare che non vi<br />
siano derive temporali (ad esempio quasi sempre presenti nelle prime fasi <strong>di</strong> accensione <strong>di</strong> lampade<br />
a filamenti) o oscillazioni perio<strong>di</strong>che (che in<strong>di</strong>cherebbero una alimentazione non stabilizzata).
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 145<br />
Fig. 3. a) a sinistra: l’intensità della luce mostra una marcata deriva temporale (si tratta <strong>di</strong> una torcetta elettrica alimentata da una<br />
pila); b) al centro: l’intensità della luce mostra una oscillazione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> circa 20 secon<strong>di</strong> sovrapposta a una deriva temporale<br />
(si tratta <strong>di</strong> un proiettore alimentato con un generatore <strong>di</strong> tensione non stabilizzato); c) a destra: l’intensità della luce è sufficientemente<br />
stabile, anche se si può riconoscere una leggera deriva temporale (si tratta della luce prodotta da una lampa<strong>di</strong>na da bicicletta<br />
alimentata con un generatore <strong>di</strong> tensione stabilizzata).<br />
Acquisizione del fondo<br />
Si spegne la sorgente e si acquisisce l’intensità del fondo. Se tale valore risulta superiore alla incertezza<br />
della misura è necessario sottrarre questo valore a tutti i dati che vengono acquisiti nella misura<br />
vera e propria. La presenza del fondo in ogni caso non dovrebbe essere decisiva per riconoscere la<br />
<strong>di</strong>pendenza lineare <strong>di</strong> I da cos 2 α. Diventa essenziale se si vuole riconoscere la proporzionalità tra I<br />
e cos 2 α, che sussiste nel caso in cui si usa una sorgente <strong>di</strong> luce rossa (i polaroid hanno la massima<br />
efficienza nella regione del rosso) e polarizzata come quella del laser.<br />
Acquisizione dati<br />
Avviato il sistema <strong>di</strong> acquisizione si misura il valore dell’intensità luminosa rilevata dal sensore per<br />
ogni rotazione dell’analizzatore <strong>di</strong> 10°. Si effettuano misure tra 0° e 180° o tra 0° e 90°.<br />
In genere conviene effettuare le misure tra 0° e 180° in modo da ottenere un grafico simmetrico<br />
rispetto a α=90°. Si effettua poi l’analisi separatamente tra 0° e 90° o tra 90° e 180°.<br />
Dati campione<br />
In figura 4 è riportata l’intensità luminosa misurata dal sensore in funzione dell’angolo α, <strong>di</strong> cui si<br />
ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio a partire dalla situazione <strong>di</strong><br />
massimo <strong>di</strong> trasmissione per angoli α che variano da 0° a 180°. L’indeterminazione angolare con cui<br />
è stato fissato l’analizzatore è <strong>di</strong> ± 2°.<br />
La sostanziale simmetria del grafico rispetto a α = 90° evidenzia la perio<strong>di</strong>cità <strong>di</strong> I(α) al variare del<br />
suddetto angolo.<br />
Figura 4. Intensità della luce<br />
misurata dal sensore in funzione<br />
dell’angolo α <strong>di</strong> cui si ruota un<br />
polaroid rispetto all’altro intorno<br />
alla <strong>di</strong>rezione del fascio per angoli<br />
che variano da 0° a 180°. La sorgente<br />
è un puntatore laser. I punti<br />
sperimentali sono in<strong>di</strong>cati con<br />
l’indeterminazione <strong>sulla</strong> intensità.
146 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Elaborazione dati<br />
Per determinare l’esplicita <strong>di</strong>pendenza funzionale dell’intensità luminosa I dall’angolo α, è conveniente<br />
considerare solo la parte relativa all’intervallo 0°≤ α≤ 90° o all’intervallo 90°≤ α≤ 180°.<br />
In figura 5 sono riportati i dati relativi a due acquisizioni: una effettuata con luce bianca non polarizzata;<br />
l’altra utilizzando come sorgente un puntatore laser (P≤1 mW - λ=650-660 nm).<br />
Figura 5. Nei due grafici<br />
è riportata l’intensità<br />
luminosa misurata<br />
dal sensore in funzione<br />
<strong>di</strong> α (grafico A) e<br />
in funzione <strong>di</strong> cos2 α<br />
(grafico B). Nel grafico<br />
B sono riportate<br />
le linee <strong>di</strong> tendenza, le<br />
rispettive equazioni e<br />
i rispettivi coefficiente<br />
<strong>di</strong> correlazione.<br />
Discussione dei risultati<br />
Il valore <strong>di</strong> 0.9992-3 del coefficiente <strong>di</strong> correlazione consente <strong>di</strong> asserire che tra I e cos 2 α sussiste una<br />
relazione lineare con un grado <strong>di</strong> affidabilità maggiore del 99%. L’analisi condotta porta a stabilire<br />
che l’intensità della luce trasmessa da due polaroid, i cui piani <strong>di</strong> trasmissione formano un angolo α<br />
è data dalla seguente relazione:<br />
I(α) = I max cos 2 (α) (1)<br />
Tale relazione sussiste per la luce laser, mentre in generale si deve supporre che valga una relazione<br />
del tipo: I(α) = I 2 cos 2 (α)+I 1 , con I 1 intensità della luce trasmessa quando i polaroid sono<br />
incrociati, e I 2 = I max -I 1<br />
Considerazioni conclusive<br />
L’analisi quantitativa dell’intensità luminosa I trasmessa da due polaroid al variare dell’angolo α <strong>di</strong><br />
cui si ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione della luce, porta<br />
ad una relazione lineare tra I e cos 2 α. Nel caso della luce laser in particolare si ottiene con buona<br />
approssimazione la relazione (1). Questa relazione, nota come legge <strong>di</strong> Malus, consente <strong>di</strong> descrivere<br />
gli aspetti caratteristici dell’interazione della luce con polaroid. È inoltre la base descrittiva su<br />
cui fondare una esplorazione quantitativa dei <strong>di</strong>versi fenomeni in cui si ha luce polarizzata, come per<br />
esempio la riflessione e la birifrangenza. Costituisce il riferimento attraverso cui costruire una interpretazione<br />
formalizzata della fenomenologia della polarizzazione della luce.
COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE DI UN POLAROID<br />
Alberto Stefanel<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Finalità<br />
Riconoscere che un polaroid attenua <strong>di</strong> un fattore costante la luce che incide su <strong>di</strong> esso, in<strong>di</strong>pendentemente<br />
dal fatto che la luce in<strong>di</strong>cente sia polarizzata o meno.<br />
Tale comportamento è analogo a quello dei normali filtri rifrangenti ed è dovuto a tutti i processi non<br />
<strong>di</strong>rettamente legati alla polarizzazione e che sono ineliminabili, come la riflessione, la <strong>di</strong>ffusione,<br />
l’assorbimento passivo.<br />
Materiale necessario<br />
• Banco <strong>di</strong> lavoro <strong>di</strong> oltre 1 metro<br />
• Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto<br />
• Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o batteria<br />
• Cavetti <strong>di</strong> collegamento<br />
• Sensore <strong>di</strong> luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500 CI-<br />
6765CI / sensore-6504A, sensore <strong>di</strong> luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])<br />
• Almeno 3 Polaroid uguali e relativo supporto<br />
• Un banco ottico della lunghezza <strong>di</strong> almeno 50 cm, un tavolino elevabile, aste su supporto a treppiede<br />
possono essere utili (ma non sono necessari) per semplificare l’assemblaggio.<br />
Il materiale viene assemblato come in figura 1.<br />
Fig. 1. Assemblaggio dei materiali. La luce del proiettore viene focalizzata in modo da illuminare sufficientemente il sensore,<br />
avendo cura però <strong>di</strong> non saturare il sensore. I polaroid vengono impacchettati su un sopporto dotato <strong>di</strong> fermo.<br />
Attività preliminari<br />
Anche per questa misura vanno fatte le attività preliminari già <strong>di</strong>scusse nel caso della legge <strong>di</strong><br />
Malus.<br />
In questo caso è utile fare anche la seguente misura.<br />
Si acquisisce l’intensità della luce trasmessa da un solo polaroid illuminato da una sorgente e ruotato<br />
intorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione della luce, come illustrato nella figura 2.
148 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Fig. 2. Assemblaggio per le misure preliminari.<br />
L’obiettivo è riconoscere che un solo polaroid trasmette sempre la stessa frazione <strong>di</strong> luce se la sorgente<br />
emette luce non polarizzata, in<strong>di</strong>pendentemente da come viene orientato nello spazio.<br />
Questa attività può consentire <strong>di</strong> riconoscere che le sorgenti or<strong>di</strong>narie <strong>di</strong> luce sono in genere debolmente<br />
polarizzate.<br />
Nella tabella sono riportati i dati acquisiti utilizzando una normale lampa<strong>di</strong>na da bicicletta alimentata<br />
con un alimentatore stabilizzato, come illustrato in figura.<br />
Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im<br />
0 0,985 130 0,986 260 0,989<br />
10 0,984 140 0,986 270 0,994<br />
20 0,980 150 0,986 280 0,996<br />
30 0,978 160 0,983 290 0,996<br />
40 0,974 170 0,980 300 0,999<br />
50 0,978 180 0,978 310 0,999<br />
60 0,977 190 0,978 320 0,998<br />
70 0,973 200 0,979 330 1,000<br />
80 0,980 210 0,975 340 0,999<br />
90 0,984 220 0,973 350 0,994<br />
100 0,986 230 0,984 360 0,994<br />
110 0,990 240 0,986 370 0,991<br />
120 0,986 250 0,990 380 0,985<br />
390 0,984<br />
Dai dati si riconosce che la intensità della luce trasmessa dal polaroid, che è stata normalizzata al suo<br />
valore massimo, oscilla tra 0.973 e 1.00 con un valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> 0.986. La variazione rispetto è del 1.4<br />
%, ossia dello stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza dell’incertezza con cui si misura l’intensità della luce.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 149<br />
Per confronto si riporta il grafico<br />
(fig. 3) della intensità trasmessa da<br />
una lampada a filamento da 5V, 6 A,<br />
alimentata sempre con tensione stabilizzata<br />
È evidente che la luce in questo<br />
caso risulta parzialmente polarizzata.<br />
Il grado <strong>di</strong> polarizzazione è 0.09<br />
(il grado <strong>di</strong> polarizzazione per luce<br />
completamente polarizzata è pari a 1).<br />
Principio della misura<br />
Si ipotizza che i filtri utilizzati siano<br />
tutti uguali (polaroid tutti uguali fra<br />
loro; lamine rifrangenti tutte uguali<br />
Fig. 3. Grafico della intensità <strong>di</strong> luce trasmessa da un solo polaroid in funzione<br />
dell’angolo <strong>di</strong> cui lo si ruota intorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione della luce.<br />
È evidente che la luce del proiettore risulta debolmente polarizzata.<br />
fra loro). A parità <strong>di</strong> illuminamento del primo polaroid, l’intensità della luce trasmessa varia in modo<br />
regolare con il numero dei polaroid che si <strong>di</strong>spongono allineati uno <strong>di</strong>etro all’altro.<br />
Se si opera nel regime <strong>di</strong> linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità della<br />
luce trasmessa dall’ultimo polaroid.<br />
Questo permette quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> misurare l’intensità luminosa trasmessa al variare del numero <strong>di</strong> polaroid,<br />
<strong>di</strong>sposti in modo da avere un massimo <strong>di</strong> trasmissione (polaroid paralleli).<br />
Descrizione della procedura<br />
Si <strong>di</strong>spongono sensore e proiettore ad una fissata <strong>di</strong>stanza in modo che la parte sensibile del sensore sia<br />
ben illuminata dal fascio <strong>di</strong> luce prodotto dal proiettore, ma assicurandosi che non si saturi il sensore.<br />
Si acquisisce l’intensità luminosa misurata dal sensore. Si interpongono tra il proiettore e il sensore<br />
1, 2, 3 polaroid in modo da avere sempre un massimo <strong>di</strong> trasmissione (polaroid paralleli). Per ogni<br />
nuovo polaroid si acquisisce l’intensità luminosa misurata dal sensore.<br />
Si ripete la procedura con lamine rifrangenti come vetrini da microscopio o fogli <strong>di</strong> lucido.<br />
Dati campione<br />
Nella figura 4 è riportato il <strong>di</strong>agramma intensità luminosa – numero <strong>di</strong> polaroid, ottenuto seguendo<br />
la procedura in<strong>di</strong>cata. Si riconosce un andamento regolare dal secondo polaroid in poi. Si osserva<br />
invece una <strong>di</strong>scontinuità tra la intensità rilevata senza alcun polaroid e il primo polaroid.<br />
Fig. 4. Intensità luminosa misurata dal sensore in funzione del numero <strong>di</strong> polaroid. Dal<br />
secondo polaroid si riconosce un andamento regolare.
150 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Per confronto si riporta l’analogo grafico ottenuto con lamine <strong>di</strong> vetro (fig. 5): in<br />
Questo caso si osserva un andamento regolare a partire dalla prima lamina.<br />
Fig. 5. Intensità luminosa misurata dal sensore in funzione del numero <strong>di</strong> lamine rifrangenti.<br />
Si osserva un andamento sempre regolare.<br />
Elaborazione dati<br />
L’elaborazione dei dati può essere fatta convenientemente riportando i dati in scala semilogaritmica,<br />
ovvero riportando il logaritmo <strong>di</strong> I/Imax in funzione del numero <strong>di</strong> polaroid o del numero <strong>di</strong> filtri<br />
rifrangenti.<br />
Nella figura 6 sono riportati i due grafici.<br />
Si riconosce in entrambi i casi un andamento <strong>di</strong> tipo lineare, che in<strong>di</strong>ca una <strong>di</strong>pendenza esponenziale<br />
tra I/Im e il numero <strong>di</strong> filtri intermosti (l’andamento è analogo a quello previsto nella legge <strong>di</strong> Bouguer-Lambert-Beer<br />
(Mayer-Arendt 1976, p. 405)).
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 151<br />
Nel caso dei polaroid è utile valutare i rapporti:<br />
Ro = I 1 /I o<br />
Ti = I i+1 /I i<br />
dell’intensità della luce trasmessa dal primo polaroid e intensità della luce incidente<br />
dell’intensità della luce trasmessa dall’i-esimo polaroid e l’intensità della luce incidente<br />
su <strong>di</strong> esso (ossia l’intensità della luce trasmessa dall’(i-1)-esimo polaroid).<br />
Con i dati <strong>di</strong> cui alla figura 2 si ottengono i seguenti valori:<br />
Ro = 0.30<br />
Fig. 6. Grafici semilogaritmici per l’intensità della luce trasmessa da n filtri: polaroid (in alto); vetrini da<br />
microscopio (in basso).<br />
i 2 3 4 5 6 7 8<br />
T 0,64 0,59 0,60 0,60 0,60 0,42 0,61<br />
A parte il settimo polaroid, per gli altri si ha un coefficiente T=0,61±0.03.<br />
Questo può essere assunto come valore del coefficiente <strong>di</strong> trasmissione dei polaroid utilizzati.<br />
L’analogo coefficiente per le lamine <strong>di</strong> vetro è 0.83.<br />
Si osserva che R/T = 0.5 = ½. Questo è esattamente il fattore <strong>di</strong> cui viene attenuato un fascio luminoso<br />
non polarizzato ad opera <strong>di</strong> un polaroid ideale.<br />
Discussione dei risultati<br />
Dall’elaborazione dei dati emerge che la luce polarizzata che incide su un polaroid orientato in modo<br />
da avere un massimo <strong>di</strong> trasmissione viene attenuata <strong>di</strong> un fattore costante T, nel caso specifico pari<br />
a circa 0.6.<br />
Tale è la frazione <strong>di</strong> luce che non viene trasmessa dal polaroid per effetti non connessi alla polarizzazione<br />
e presenti anche quando la luce incide su una lamina <strong>di</strong> un or<strong>di</strong>nario materiale rifrangente<br />
e viene da essa trasmessa (riflessione della luce incidente, assorbimento della luce che attraversa la<br />
lamina, <strong>di</strong>ffusione).
152 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Della luce non polarizzata emessa dal proiettore incidente sul primo polaroid viene trasmessa una<br />
frazione R o che nel caso specifico vale circa 0.3. Il rapporto R/T esprime la frazione <strong>di</strong> luce trasmessa<br />
dal primo polaroid come effetto della sua azione <strong>di</strong> polarizzatore della luce. Tale fattore è pari a 1/2.<br />
Considerazioni conclusive<br />
A conclusione delle attività sperimentali qui proposte si possono riassumere i risultati nel seguente<br />
modo.<br />
Quando luce trasmessa da un primo polaroid, polarizzata linearmente quin<strong>di</strong> secondo una ben definita<br />
<strong>di</strong>rezione ortogonale a quella <strong>di</strong> propagazione, incide su un secondo polaroid, si riconosce che<br />
viene trasmessa una frazione <strong>di</strong> essa la cui intensità è pari al prodotto <strong>di</strong> un fattore costante T, come<br />
avviene in un qualsiasi mezzo rifrangente, e <strong>di</strong> un fattore funzione dell’angolo θ formato dalla <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong> polarizzazione della luce e <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione del secondo polaroid, in base alla<br />
legge <strong>di</strong> Malus. Si può quin<strong>di</strong> caratterizzare formalmente l’azione <strong>di</strong> un polaroid nel seguente modo:<br />
[luce incidente polarizzata]<br />
dove I t è l’intensità della luce trasmessa dal polaroid, quando su <strong>di</strong> esso incide luce polarizzata <strong>di</strong><br />
intensità I i , T è il coefficiente <strong>di</strong> trasmissione del polaroid.<br />
Se la luce incidente non è polarizzata, l’intensità della luce trasmessa è data da:<br />
Il fattore 1/2 è dovuto all’azione <strong>di</strong> polarizzatore che ha il polaroid <strong>sulla</strong> luce incidente.<br />
[Nota: Se si interpreta la luce non polarizzata come formata da infinite componenti polarizzate<br />
linearmente e <strong>di</strong> uguale intensità, è la frazione che viene trasmessa della<br />
intensità <strong>di</strong> luce che vibra in <strong>di</strong>rezione compresa tra θ e θ+dθ. L’intensità della luce trasmessa dal<br />
polaroid è allora data da: .]<br />
.
EFFETTO FOTOELETTRICO<br />
Isidoro Sciaratta<br />
CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Obiettivi<br />
1) I quanti <strong>di</strong> luce che colpiscono la superficie <strong>di</strong> un metallo ne liberano elettroni purché la loro energia<br />
sia maggiore del lavoro <strong>di</strong> estrazione degli elettroni da quel metallo.<br />
2) Gli elettroni liberati per effetto fotoelettrico esterno possiedono un’energia cinetica i cui valori<br />
<strong>di</strong>pendono linearmente dall’energia hν dei fotoni incidenti.<br />
3) Dai risultati delle misure e dal valore noto della carica elementare e, si ricava il valore della<br />
costante h <strong>di</strong> Planck.<br />
Effetto fotoelettrico<br />
Nel 1887 Hertz è intento a eseguire un esperimento a conferma della teoria <strong>di</strong> Maxwell sulle onde<br />
elettromagnetiche.<br />
Egli produce e rivela onde elettromagnetiche in laboratorio con mezzi strettamente elettrici. Proprio<br />
in questa occasione scopre per caso l’effetto fotoelettrico (esterno), infatti egli osserva che il passaggio<br />
delle scintille nello spinterometro ricevente della sua apparecchiatura è facilitato dalla luce<br />
emessa dallo spinterometro generatore. In pratica, in<strong>di</strong>rizzando luce ultravioletta contro una coppia<br />
<strong>di</strong> elettro<strong>di</strong> fra cui è applicata una d.d.p., cresce l’intensità della scarica.<br />
Nel 1900 Lenard trova che la luce che illumina una superficie metallica (ad es. una lastra <strong>di</strong> zinco<br />
molto pulita), espelle elettroni e che le energie <strong>di</strong> questi elettroni non <strong>di</strong>pendono dall’intensità della<br />
luce ma solo dalla sua frequenza.
154 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Anche una debole sorgente <strong>di</strong> luce, purché <strong>di</strong> opportuna<br />
frequenza, estrae, senza alcun ritardo, elettroni dalla superficie<br />
illuminata. Questo fatto è piuttosto sorprendente perché<br />
l’intensità della luce in<strong>di</strong>ca l’energia che cade per ogni<br />
secondo sull’unità <strong>di</strong> area della superficie illuminata, pertanto,<br />
in base alle leggi della <strong>fisica</strong> classica, ad una maggiore<br />
intensità <strong>di</strong> luce dovrebbe corrispondere non solamente<br />
una maggiore quantità <strong>di</strong> elettroni espulsi ma anche<br />
una maggiore energia ad essi associata.<br />
Entrambi i fenomeni osservati vennero spiegati me<strong>di</strong>ante<br />
la rimozione (espulsione) degli elettroni dai materiali<br />
metallici a causa della luce incidente. Questo fenomeno<br />
dell’espulsione degli elettroni per opera della luce incidente<br />
venne chiamato “effetto fotoelettrico”.<br />
La spiegazione <strong>di</strong> tale espulsione, in un primo momento,<br />
venne giustificata secondo la teoria classica dell’elettromagnetismo.<br />
Poichè la luce è costituita da campi elettromagnetici<br />
oscillanti, che trasportano energia elettromagnetica<br />
essa può, quin<strong>di</strong>, trasferire energia agli elettroni Fig. 1. Effetto fotoelettrico esterno.<br />
del metallo, ed un elettrone, acquistata energia sufficiente<br />
dall’onda, può sfuggire dal metallo.<br />
L’onda elettromagnetica è costituita da un campo elettrico E e da un campo magnetico B, variabili<br />
nel tempo, oscillanti l’uno perpen<strong>di</strong>colarmente all’altro ed entrambi perpen<strong>di</strong>colarmente alla <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong> propagazione. Il lavoro <strong>di</strong> estrazione viene fatto dal campo elettrico E della ra<strong>di</strong>azione incidente.<br />
Il campo magnetico B, infatti, esercita una forza perpen<strong>di</strong>colare alla velocità dell’elettrone e<br />
perciò non esegue lavoro.<br />
Ciò premesso si può <strong>di</strong>re che l’effetto fotoelettrico consiste in quel complesso <strong>di</strong> fenomeni elettrici<br />
che si manifestano in un corpo esposto a ra<strong>di</strong>azione elettromagnetica, in particolare luce visibile. In<br />
pratica si tratta <strong>di</strong> un’interazione fra la luce e la materia analogamente a come avviene per la ra<strong>di</strong>azione<br />
<strong>di</strong> cavità o corpo nero. L’esposizione provoca, in certe con<strong>di</strong>zioni, rilevanti mo<strong>di</strong>fiche delle<br />
proprietà elettriche della zona irra<strong>di</strong>ata che si manifestano:<br />
- con l’aumento della conduttività (effetto fotoelettrico interno); oppure<br />
- con l’emissione <strong>di</strong> elettroni (effetto fotoelettrico esterno).<br />
L’effetto fotoelettrico interno è analogo a quello esterno, con la <strong>di</strong>fferenza che gli elettroni liberati<br />
dalla ra<strong>di</strong>azione incidente, non vengono espulsi, ma restano <strong>di</strong>sponibili, dentro al corpo irra<strong>di</strong>ato,<br />
per fenomeni <strong>di</strong> conduzione elettrica; ne deriva un aumento della conduttività nella zona interessata.<br />
Fra i <strong>di</strong>spositivi funzionanti me<strong>di</strong>ante l’effetto fotoelettrico interno figurano: i foto<strong>di</strong>o<strong>di</strong>, i fototransistor,<br />
e le fotoresistenze.<br />
Poiché l’energia richiesta per l’effetto fotoelettrico interno è generalmente inferiore a quella per la<br />
fotoemissione, ne consegue che anche la soglia fotoelettrica ν 0 è generalmente più bassa, per cui l’effetto<br />
può essere prodotto anche da luce infrarossa.<br />
L’effetto fotoelettrico esterno si riscontra, in generale, nell’irraggiamento <strong>di</strong> metalli o <strong>di</strong> gas. Una<br />
lastra <strong>di</strong> zinco, ben pulita, viene collegata ad un elettroscopio, inizialmente scarico (fig. 1), (esperimento<br />
<strong>di</strong> Hertz-Hallwach). Illuminando con un fascio <strong>di</strong> luce ultravioletta la lastra <strong>di</strong> zinco si<br />
osserva che la lastra si elettrizza imme<strong>di</strong>atamente con carica positiva (fig. 2); segno, questo, che la<br />
ra<strong>di</strong>azione incidente provoca emissione <strong>di</strong> elettroni da parte del metallo.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 155<br />
Fig. 2. La lastra, illuminata con luce ultravioletta, si elettrizza imme<strong>di</strong>atamente con carica<br />
positiva.<br />
Per appurare che la carica emessa dal metallo è proprio quella degli elettroni, ovvero che la superficie<br />
illuminata rimane carica positivamente, si può procedere in uno dei seguenti mo<strong>di</strong>:<br />
a) dopo avere caricato l’elettroscopio me<strong>di</strong>ante l’effetto fotoelettrico gli si avvicina, senza toccarlo,<br />
un corpo carico positivamente: in tal caso le foglioline dell’elettroscopio tendono a chiudersi;<br />
oppure<br />
b) nelle con<strong>di</strong>zioni del caso a) e con un corpo carico negativamente le foglioline dell’elettroscopio,<br />
invece, tendono ad allontanarsi ulteriormente;<br />
c) oppure me<strong>di</strong>ante un alimentatore <strong>di</strong> alta tensione, (circa 1000 V), si carica negativamente l’elettroscopio<br />
collegato alla lastra <strong>di</strong> zinco prima che quest’ultima venga illuminata con ra<strong>di</strong>azione<br />
ultravioletta. Quin<strong>di</strong> si illumina la lastra e si osserva che l’elettroscopio si scarica rapidamente.<br />
Fig. 3. Schema elettrico per alimentare la cella fotoelettrica.
156 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Che sia, poi, la ra<strong>di</strong>azione ultravioletta a liberare elettroni dalla lastra <strong>di</strong> zinco lo <strong>di</strong>mostra il fatto<br />
che se fra la lastra e la sorgente <strong>di</strong> luce si interpone una lastra <strong>di</strong> vetro, la scarica della lastra cessa o,<br />
quantomeno, rallenta notevolmente. Ciò avviene perché la lastra <strong>di</strong> vetro non trasmette, se non che<br />
in quantità molto modeste, la ra<strong>di</strong>azione ultravioletta.<br />
Effetto fotoelettrico e teoria ondulatoria della luce<br />
Alcune delle più importanti caratteristiche dell’effetto fotoelettrico non possono trovare spiegazione<br />
nell’ambito della teoria ondulatoria della luce.<br />
1) La teoria ondulatoria della luce ammette che si possa aumentare l’energia cinetica dei fotoelettroni<br />
a con<strong>di</strong>zione che cresca l’intensità del fascio <strong>di</strong> luce incidente. Al contrario, lo stu<strong>di</strong>o delle<br />
curve caratteristiche <strong>di</strong> un qualsiasi tubo fotoelettrico <strong>di</strong>mostra che “l’energia cinetica massima<br />
dei fotoelettroni non <strong>di</strong>pende dall’intensità del fascio <strong>di</strong> luce ma dalla frequenza n della ra<strong>di</strong>azione<br />
incidente” (fig. 4).<br />
Fig. 4. Confronto fra due curve caratteristiche della cella fotoelettrica:<br />
l’intensità della luce incidente per la curva a è il<br />
doppio <strong>di</strong> quella per la curva b.<br />
Per misurare l’energia cinetica massima degli elettroni si applica un campo elettrico <strong>di</strong>retto fra catodo<br />
ed anodo in modo che rallenti il loro moto (fig. 3). Aumentando la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale che determina<br />
il campo elettrico ritardatore, si può determinare la tensione Vr appena necessaria per impe<strong>di</strong>re<br />
ai fotoelettroni <strong>di</strong> raggiungere l’anodo. Misure <strong>di</strong> questo tipo consentono <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare il potenziale<br />
<strong>di</strong> arresto Vr relativo alle sorgenti <strong>di</strong> luce <strong>di</strong> varie frequenze e <strong>di</strong>mostrano che Vr è <strong>di</strong>rettamente proporzionale<br />
alla frequenza n della ra<strong>di</strong>azione incidente.<br />
Fig. 5. Potenziale <strong>di</strong> arresto in funzione della frequenza della<br />
luce incidente per tre celle fotoelettriche <strong>di</strong>verse.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 157<br />
2) Secondo la teoria ondulatoria della luce, l’effetto fotoelettrico dovrebbe avvenire per qualsiasi<br />
frequenza della luce incidente, purchè l’intensità della luce sia sufficientemente grande. L’esperienza,<br />
invece, sempre dallo stu<strong>di</strong>o delle curve caratteristiche, conferma costantemente l’esistenza<br />
<strong>di</strong> una caratteristica frequenza <strong>di</strong> soglia ν 0 <strong>di</strong>versa per ogni metallo illuminato (fig. 5). Per<br />
frequenze ν inferiori a ν 0 scompare l’effetto fotoelettrico, per quanto intensa sia la luce. Al contrario<br />
per frequenze n superiori a ν 0 anche la più debole sorgente <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione incidente libera<br />
elettroni. In figura 4 sono descritte le curve caratteristiche <strong>di</strong> un tubo fotoelettrico illuminato con<br />
una sorgente <strong>di</strong> luce monocromatica <strong>di</strong> assegnata frequenza. L’intensità della luce incidente per<br />
la curva a è il doppio <strong>di</strong> quella della curva b. Entrambe le curve inducono alla determinazione<br />
dello stesso potenziale Vr.<br />
3) Secondo la teoria ondulatoria della luce, un determinato elettrone nel metallo riceverebbe energia<br />
dalla luce alquanto lentamente, ciò perché l’elettrone potrebbe intercettare solo una piccolissima<br />
porzione dei fronti dell’onda incidente. Per questo motivo dovrebbe trascorrere del tempo<br />
prima che l’elettrone possa assorbire un’energia sufficiente per essere emesso. Secondo questa<br />
teoria, adoperando sorgenti <strong>di</strong> luce piuttosto deboli, questo ritardo (ve<strong>di</strong> problema<br />
1) risulterebbe misurabile corrispondendo, ad<strong>di</strong>rittura, all’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza <strong>di</strong> alcune ore. Al contrario,<br />
sperimentalmente, non si è mai osservato alcun ritardo dell’effetto fotoelettrico: tutti gli<br />
esperimenti provano che i fotoelettroni emergono entro 10 -9 s circa dall’istante in cui la luce raggiunge<br />
l’emettitore.<br />
In definitiva lo stu<strong>di</strong>o quantitativo sull’effetto fotoelettrico prova che la tensione <strong>di</strong> arresto dei fotoelettroni<br />
è <strong>di</strong>rettamente proporzionale alla frequenza della ra<strong>di</strong>azione incidente secondo una legge<br />
del tipo<br />
Vr = a(ν-ν 0 ) (1)<br />
dove il coefficiente a (fig. 5) è uguale per tutti i metalli mentre la frequenza <strong>di</strong> soglia n0 è <strong>di</strong>versa<br />
per tutti i metalli. Si sottolinea, inoltre, che il potenziale ritardatore Vr è atto ad in<strong>di</strong>viduare l’energia<br />
cinetica K dei fotoelettroni espulsi secondo la relazione Δ K = e Vr.<br />
Le tre rette <strong>di</strong> fig. 5 si riferiscono a tre tubi <strong>di</strong>versi fra loro per la superficie metallica <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa<br />
sostanza. Le intercette sull’asse x delle tre rette in<strong>di</strong>cano le relative frequenze <strong>di</strong> soglia.<br />
Ogni linea della figura 5 ne è la testimonianza.<br />
Si osservi che entrambe le curve della fig. 4 rappresentano l’unione della curva caratteristica inversa e <strong>di</strong><br />
quella <strong>di</strong>retta. Dal loro andamento si evince che in assenza <strong>di</strong> campo elettrico esterno nello spazio fra gli<br />
elettro<strong>di</strong>, vi è una corrente fotoelettrica che tende ad una saturazione in presenza <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong> polarizzazione<br />
<strong>di</strong>retta ed alla estinzione in presenza <strong>di</strong> una adeguata tensione <strong>di</strong> polarizzazione inversa.<br />
A tale scopo è necessario tener conto delle <strong>di</strong>mensioni dell’elettrone rispetto a quelle della lunghezza<br />
d’onda della luce visibile.<br />
Interpretazione <strong>di</strong> Einstein dell’effetto fotoelettrico<br />
Nel 1905 Einstein <strong>di</strong>mostrò che l’effetto fotoelettrico può essere spiegato con l’ipotesi che l’energia<br />
associata ad un’onda elettromagnetica sia quantizzata, ovvero costituita <strong>di</strong> piccole quantità finite<br />
e localizzate, in seguito chiamate fotoni, la cui energia è proporzionale alla frequenza dell’onda. In<br />
pratica, per Einstein, ogni fotone ha energia<br />
E = h ν (2)<br />
dove h è la costante <strong>di</strong> Planck e ν la frequenza dell’onda. Inoltre Einstein ipotizza che allorchè un<br />
fotone interagisce con la materia, esso si comporta come una particella e trasferisce la sua energia<br />
non al materiale come a un tutt’unico e neppure ad un atomo, bensì ad un singolo elettrone. Il fatto<br />
che si è trovato una frequenza <strong>di</strong> soglia ν 0 , <strong>di</strong>ce Einstein, significa che è necessario fornire all’elettrone<br />
una certa quantità <strong>di</strong> energia per liberarlo dal materiale. Materiali <strong>di</strong>versi hanno poi una frequenza<br />
<strong>di</strong> soglia ν 0 <strong>di</strong>fferente per la <strong>di</strong>versa natura dell’atomo.<br />
Questa idea che “un fascio <strong>di</strong> luce si comporti come un fascio <strong>di</strong> particelle” è in netto contrasto con<br />
l’idea che esso si comporti come un’onda. Nella teoria ondulatoria della luce infatti l’energia non è<br />
concentrata secondo quantità finite, ma è <strong>di</strong>stribuita uniformemente sugli interi fronti d’onda.
158 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Quando, nel 1900, Planck dedusse la sua legge <strong>sulla</strong> ra<strong>di</strong>azione ed introdusse per primo la quantità<br />
h nella <strong>fisica</strong>, utilizzò la relazione E = h ν. Egli la applicò, però, agli oscillatori atomici che costituiscono<br />
le pareti della cavità e non alla ra<strong>di</strong>azione dentro la cavità. In seguito Einstein dedusse la legge<br />
della ra<strong>di</strong>azione <strong>di</strong> Planck <strong>sulla</strong> base del suo concetto <strong>di</strong> fotone. Il suo metodo era sia chiaro che semplice<br />
e non aveva bisogno <strong>di</strong> molte delle ipotesi specifiche che Planck fu costretto ad introdurre. Con<br />
il fotone <strong>di</strong> Einstein l’effetto fotoelettrico risulta descritto dalla seguente equazione:<br />
h ν = h ν0 + ½ m0 v2 (3)<br />
ossia ogni fotone della ra<strong>di</strong>azione incidente possiede un ben preciso contenuto <strong>di</strong> energia (h ν) che<br />
si ripartisce in lavoro <strong>di</strong> estrazione (h ν0 ) del fotoelettrone ed in energia cinetica residua (m0 v2 / 2)<br />
del fotoelettrone emesso.<br />
Einstein interpreta i fatti come segue. Un elettrone espulso da una superficie metallica esposta alla<br />
luce riceve la sua energia da un singolo fotone. Allorché l’intensità della luce monocromatica che<br />
illumina la superficie aumenta, un maggior numero <strong>di</strong> fotoni cade <strong>sulla</strong> lastra metallica espellendo<br />
un maggior numero <strong>di</strong> elettroni, ma l’energia residua <strong>di</strong> ciascun elettrone non aumenta. Secondo Einstein<br />
l’energia residua <strong>di</strong> ogni elettrone espulso aumenta, secondo una legge lineare, solamente con<br />
l’aumentare della frequenza della luce incidente (fig. 5) e giustifica l’esistenza <strong>di</strong> una frequenza <strong>di</strong><br />
soglia ν0 , <strong>di</strong>pendente dal tipo <strong>di</strong> metallo illuminato, in quanto nessun singolo fotone, <strong>di</strong> frequenza<br />
inferiore a ν0 , ha più l’energia sufficiente per estrarre un elettrone. Infatti dalla (3) segue che l’energia<br />
cinetica K residua si può esprimere come<br />
K = h ν - h ν0 = h(ν-ν0 ) (4)<br />
In secondo luogo è possibile, con l’applicazione <strong>di</strong> un potenziale ritardatore, compiere un lavoro<br />
negativo sui fotoelettroni espulsi si da ridurli allo stato <strong>di</strong> quiete: in tal caso si ha:<br />
Δ K = e Vr (5)<br />
Confrontando la (4) con la (5), segue che:<br />
e Vr = h(ν-ν0 ) (6)<br />
da cui Vr = h/e (ν-ν0 ) (7)<br />
Dalla (7) segue che il coefficiente angolare a della (1) corrisponde al rapporto h/e. Questo stesso rapporto<br />
spiega perché le varie curve <strong>di</strong> fig. 5 sono fra <strong>di</strong> loro parallele.<br />
Circa un decennio più tar<strong>di</strong>, nel 1916, Millikan conferma sperimentalmente la teoria <strong>di</strong> Einstein<br />
sull’effetto fotoelettrico.<br />
Egli conferma anche la correttezza della pendenza a come a = h/e voluta da Einstein e con le sue<br />
misure contribuisce ad un buon perfezionamento del valore della costante h <strong>di</strong> Planck.<br />
ü Analogia meccanica<br />
Con le figure 6, 7 e 8 si intende illustrare una analogia meccanica dell’effetto fotoelettrico.<br />
In ognuna <strong>di</strong> esse si osserva a sinistra una sferetta (che simula l’elettrone) <strong>di</strong>sposta all’interno <strong>di</strong> una<br />
buca (gravitazionale), a destra un fotone <strong>di</strong>retto contro una lastra metallica.<br />
Fig. 6. Moto <strong>di</strong> una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è<br />
inferiore a quella necessaria per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce<br />
la lastra metallica.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 159<br />
Alla sfera deve essere associata una energia sufficiente perché possa superare la buca <strong>di</strong> potenziale<br />
gravitazionale, ed eventualmente allontanarsi con velocità residua v.<br />
Nella figura 6) l’energia ε < ε 0 associata alla massa m non è sufficiente ad estrarla dalla buca. A<br />
destra un fotone <strong>di</strong> frequenza ν < ν 0 e quin<strong>di</strong> dotato <strong>di</strong> energia ε < ε 0 non estrae elettroni dal metallo.<br />
Fig. 7. Moto <strong>di</strong> una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è appena<br />
suffciente per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce la lastra metallica.<br />
Nella figura 7) l’energia ε 0 , associata alla massa m ed al fotone, è solo sufficiente a compiere il lavoro<br />
<strong>di</strong> estrazione W est . Nella figura 8) l’energia ε > ε 0 determina sia l’estrazione dalla relativa buca <strong>di</strong><br />
potenziale che un residuo <strong>di</strong> energia cinetica della particella estratta.<br />
Fig. 8. Moto <strong>di</strong> una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è<br />
superiore a quella necessaria per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce<br />
la lastra metallica.<br />
Esecuzione dell’esperimento ed elaborazione dei dati<br />
Elenco materiale<br />
• lampada a vapori <strong>di</strong> mercurio;<br />
• alimentatore per lampada a vapori <strong>di</strong> mercurio;<br />
• lente condensatrice;<br />
• filtri interferenziali;<br />
• tubo fotoelettrico (meglio se due con caratteristiche <strong>di</strong> sensibilità <strong>di</strong>verse);<br />
• alimentatore per tubo fotoelettrico;<br />
• microamperometro;<br />
• millivolmetro;<br />
• cavi <strong>di</strong> collegamento;
160 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Note tecniche<br />
In fig. 9 è illustrato il <strong>di</strong>spositivo me<strong>di</strong>ante il quale si sono eseguite tutte le misure <strong>di</strong> seguito descritte.<br />
Per la parte riguardante la cella fotoelettrica, esso risulta identico a quello schematizzato nella precedente<br />
fig. 3.<br />
In essa si osserva una lampada a vapori <strong>di</strong> mercurio fissata <strong>di</strong>rettamente davanti ad un otturatore a<br />
ten<strong>di</strong>na montato su asta, i vari filtri interferenziali alloggiati sullo stesso otturatore dalla parte che si<br />
proietta verso il tubo fotoelettrico, un tubo fotoelettrico sistemato su un apposito supporto e collegato<br />
ad un microamperometro per tramite <strong>di</strong> un amplificatore <strong>di</strong> misura.<br />
Fig. 9. Schema dell’esperimento.<br />
L’otturatore, che può essere <strong>di</strong> tipo a ten<strong>di</strong>na oppure <strong>di</strong> tipo circolare con <strong>di</strong>aframma a iride, è necessario<br />
sia perché non risulta conveniente fra una misura e l’altra togliere l’alimentazione alla lampada<br />
a causa del lungo intervallo <strong>di</strong> tempo che si richiede per il raggiungimento della sua con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> regime e sia perché consente <strong>di</strong> collimare il fascio <strong>di</strong> luce sul tubo. Ovviamente, nel corso delle<br />
misure è necessario che la zona illuminata del tubo sia sempre della stessa estensione.<br />
La cella fotoelettrica consiste, essenzialmente, in un bulbo<br />
<strong>di</strong> vetro con due elettro<strong>di</strong>: il catodo e l’anodo. Il catodo è<br />
costituito da una pellicola <strong>di</strong> potassio applicata internamente<br />
ad una delle due facce del tubo; l’anodo consiste,<br />
invece, in un filo <strong>di</strong> platino a forma <strong>di</strong> anello ed è <strong>di</strong>sposto<br />
<strong>di</strong> fronte al catodo. La sezione del filo <strong>di</strong> platino e il<br />
<strong>di</strong>ametro dell’anello sono tali da non ostruire il passaggio<br />
della luce verso il catodo. L’anodo è <strong>di</strong> platino perché per<br />
la bassa reattività <strong>di</strong> quest’ultimo si riducono gli effetti<br />
secondari fino a livelli trascurabili.<br />
Se il tubo fotoelettrico è rimasto inutilizzato da tempo è<br />
buona norma:<br />
- mandare una corrente nel filamento che funge da anado<br />
tramite una tensione <strong>di</strong> circa 2 V continui od alternati<br />
(fig. 10);<br />
- attivare inizialmente il massimo campo senza eseguire<br />
misure;<br />
- iniziare a fare le misure dopo che la lampada <strong>di</strong> mercurio<br />
raggiunge le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> pieno regime, il che accade<br />
dopo un tempo <strong>di</strong> circa una ventina <strong>di</strong> minuti.<br />
Fig. 10. Schema della cella fotoelettrica.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 161<br />
Una ulteriore operazione necessaria prima <strong>di</strong> ogni nuova misura consiste nello scaricare l’elettricità<br />
statica presente nell’ingresso ad alta resistenza dell’amplificatore <strong>di</strong> misura; per questa operazione è<br />
sufficiente premere il tasto <strong>di</strong> “zero” presente sul pannello.<br />
ü Conduzione dell’esperimento<br />
L’esperimento viene condotto come segue: la ra<strong>di</strong>azione emessa da una lampada a vapori <strong>di</strong> mercurio<br />
viene in<strong>di</strong>rizzata, me<strong>di</strong>ante una lente condensatrice, su un filtro (rosso, verde, azzurro, violetto)<br />
e quin<strong>di</strong> <strong>sulla</strong> superficie fotoemissiva <strong>di</strong> un opportuno tubo. Il filtro serve a selezionare la ra<strong>di</strong>azione<br />
elettromagnetica dal fascio <strong>di</strong> luce proveniente dalla sorgente.<br />
Provando con il filtro rosso è possibile osservare che la corrente <strong>di</strong> fotoelettroni è nulla.<br />
Con il filtro giallo, in assenza <strong>di</strong> controcampo, si osserverà, invece, nel circuito del tubo una corrente<br />
dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche mA. Tale corrente è la testimonianza degli elettroni fotoespulsi.<br />
Me<strong>di</strong>ante un campo elettrico E, <strong>di</strong>retto in modo opportuno (catodo negativo rispetto all’anodo), è<br />
possibile, regolandone via via il modulo, aumentare la corrente fotoelettronica fino a raggiungere<br />
un valore <strong>di</strong> saturazione.<br />
Con l’applicazione <strong>di</strong> un controcampo E, (catodo positivo rispetto all’anodo), sempre regolabile in<br />
intensità, è possibile ridurre la corrente fotoelettronica fino a eliminarla totalmente. Con una serie <strong>di</strong><br />
misure, si deduce il potenziale ritardatore necessario per l’attuale ra<strong>di</strong>azione incidente. Si riba<strong>di</strong>sce<br />
che per potenziale ritardatore Vr si intende il potenziale che genera un controcampo atto a ridurre a<br />
zero la corrente per ogni tipo <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione incidente.<br />
Si ripete la prova con il componente verde, con il componente azzurro e quin<strong>di</strong> con il componente<br />
violetto, e per ognuno <strong>di</strong> essi si ricava la curva del potenziale ritardatore.<br />
Si ottengono dati del tipo riportato nella tabella 1.<br />
Tab. 1. Dati delle curve caratteristiche ricavate con luce gialla, verde, blu e violetta. I corrispondenti<br />
grafici sono riportati in fig. 11.
162 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Fig. 11. Curve caratteristiche ricavate con luce <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa frequenza: gialla, verde, blu e violetta.<br />
Come si vede dalla figura 11, per valori del controcampo maggiori <strong>di</strong> Vr esiste una piccola corrente<br />
inversa, che tende velocemente alla saturazione, dovuta principalmente a depositi del potassio, <strong>di</strong><br />
cui è costituito il fotocatodo, sull’anello che forma l’anodo. Questi depositi emettono fotoelettroni<br />
quando vengono colpiti dalla luce <strong>di</strong>ffusa dal catodo.<br />
Allorchè si manifesta una forte corrente inversa è necessario ripetere l’operazione <strong>di</strong> riscaldamento<br />
dell’anodo come descritto nel precedente paragrafo.<br />
Tenuto conto delle<br />
frequenze corrispondenti<br />
alle linee dello<br />
spettro del mercurio<br />
usato come sorgente<br />
<strong>di</strong> luce e delle<br />
tensioni ritardatrici<br />
deducibili dai grafici<br />
<strong>di</strong> fig. 11, si ottengono<br />
le coppie riportate<br />
nella tabella 2<br />
che conviene rappresentare<br />
in un piano<br />
V = f (ν) (fig. 12)<br />
Tab. 2. Potenziali <strong>di</strong> arresto in funzione della frequenza della luce<br />
Fig. 12. Grafico dei potenziali <strong>di</strong> arresto in funzione della frequenza della luce.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 163<br />
Dall’allineamento dei punti sperimentali presenti nel grafico <strong>di</strong> fig. 12 si può verificare l’esattezza<br />
dell’ipotesi <strong>di</strong> Einstein ed allo stesso tempo calcolare la costante <strong>di</strong> Planck. Infatti risulta evidente che<br />
- Vr è proporzionale a ν, anzi Vr ∝ (ν − ν 0 ), ove per ν 0 si intende la frequenza <strong>di</strong> soglia;<br />
- esiste una frequenza <strong>di</strong> soglia ν 0 ;<br />
- si può calcolare la costante <strong>di</strong> proporzionalità h/e e da cui h.<br />
Con i dati della precedente tabella si trova che:<br />
h / e = ΔV/ Δν = 4, 05 10 -15 J·s·C -1<br />
Ma la carica dell’elettrone è nota (e = 1.60·10 -19 C) e quin<strong>di</strong> si ottiene per la costante <strong>di</strong> Planck:<br />
h = (h / e) e = (4,05·10 -15 ) · (1, 60·10 -19 ) = 6, 48·10 -34 J·s.<br />
Dato che il valore ufficiale della costante <strong>di</strong> Planck è <strong>di</strong> 6, 63·10 -34 J·s, in<strong>di</strong>cativamente si può <strong>di</strong>re<br />
che l’errore del valore stimato sperimentalmente è del 2,5% che è ampiamente giustificato dal tipo<br />
<strong>di</strong> materiale e dai meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> misurazione usati.<br />
N.B. Per stimare l’errore è sufficiente fare il rapporto fra lo scarto della misura sperimentale rispetto<br />
al valore ufficiale con la misura sperimentale.<br />
Può essere interessante, infine, confrontare la curva del grafico <strong>di</strong> figura 12 con altre due, una delle<br />
quali è quella determinata dallo stesso Millikan (fig. 13). I dati sono riportati nella tabella 3.<br />
Fig. 13. Altri grafici <strong>di</strong> potenziali <strong>di</strong> arresto in funzione della frequenza della luce ricavati per celle<br />
<strong>di</strong>verse ed in con<strong>di</strong>zioni sperimentali <strong>di</strong>verse.
164 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Tab. 3. potenziali <strong>di</strong> arresto in funzione della frequenza<br />
della luce ricavati con celle <strong>di</strong>verse ed in con<strong>di</strong>zioni<br />
sperimentali <strong>di</strong>verse. Sono compresi i dati ricavati dallo<br />
stesso Millikan.<br />
Si ponga particolare attenzione al parallelismo delle rette contenenti i punti sperimentali relativi alle<br />
tre prove. In particolare la coincidenza <strong>di</strong> due delle tre curve conferma che si riferiscono allo stesso<br />
tipo <strong>di</strong> tubo (stessa superficie metallica).<br />
Conclusioni<br />
L’ipotesi dei fotoni <strong>di</strong> Einstein risolve le tre obiezioni sollevate contro l’interpretazione ondulatoria<br />
dell’effetto fotoelettrico.<br />
Per l’obiezione <strong>sulla</strong> in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> K max = ½ mv 2 dall’intensità dell’illuminazione, vi è un accordo<br />
totale tra la teoria fotonica e i dati sperimentali. Se si raddoppia l’intensità della luce, il numero dei<br />
fotoni <strong>di</strong>venta il doppio e quin<strong>di</strong> anche la corrente fotoelettrica raddoppia, ma non cambia l’energia<br />
dei singoli fotoni (h ν) nè la natura dei singoli processi fotoelettrici.<br />
Per l’obiezione <strong>sulla</strong> esistenza <strong>di</strong> una frequenza <strong>di</strong> soglia ν 0 essa è risolta dall’equazione (4)<br />
h ν = h ν 0 + ½ mv 2<br />
Se K max è nulla, si ha h ν = h ν 0 che implica che il fotone ha proprio l’energia sufficiente per estrarre<br />
i fotoelettroni, ma che non gliene rimane altra da fornire loro come energia cinetica <strong>di</strong> fuga. Se ν<br />
<strong>di</strong>venta più piccola <strong>di</strong> ν 0 , i singoli fotoni, in<strong>di</strong>pendentemente da quanti essi siano (cioé in<strong>di</strong>pendentemente<br />
dall’intensità della luce), non hanno energia sufficiente per estrarre fotoelettroni.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 165<br />
Infine per l’obiezione sull’assenza <strong>di</strong> ritardo nell’emissione questa è risolta dalla teoria fotonica in<br />
base alla quale l’energia richiesta è fornita secondo quantità finite e concentrate, e non è <strong>di</strong>stribuita<br />
uniformemente sull’intera sezione ortogonale del fascio, come nella teoria ondulatoria.<br />
Problema 1<br />
Una superficie <strong>di</strong> zinco è posta a 5,0 m <strong>di</strong> <strong>di</strong>stanza da una debole sorgente <strong>di</strong> luce monocromatica la<br />
cui potenza <strong>di</strong> emissione è <strong>di</strong> 1,0 mW. Si ammetta che un fotoelettrone emesso abbia raccolto energia<br />
dall’area <strong>di</strong> una superficie circolare <strong>di</strong> raggio pari a 10 <strong>di</strong>ametri atomici (= 1,0·10 -9 m). Si sa, inoltre,<br />
che l’energia necessaria per estrarre un elettrone dalla superficie <strong>di</strong> zinco è <strong>di</strong> 4,2 eV. Assumendo<br />
che la luce sia un’onda, quanto tempo impiegherebbe un «bersaglio» <strong>di</strong> questo tipo per assorbire questa<br />
energia dal fascio incidente?<br />
Per risolvere il problema si calcola:<br />
la superficie del bersaglio<br />
S = π (1, 0·10 -9 m) 2 = 3.1·10 -18 m 2<br />
La superficie sferica a 5,0 m dalla sorgente su cui è <strong>di</strong>stribuita l’energia emessa dalla sorgente:<br />
S sfera = 4 π (5, 0) 2 ≈ 3.1·10 2 m 2<br />
Posto che la sorgente <strong>di</strong> luce emette uniformemente in tutte le <strong>di</strong>rezioni, l’energia incidente nell’unità<br />
<strong>di</strong> tempo sul bersaglio è<br />
P = 1.0·10 -3 (3.1·10 -18 m 2 / 3.1·10 2 m 2 ) = 1.0·10 -23 J/s (10)<br />
Posto che tutta l’energia caduta sul bersaglio sia stata assorbita, si può calcolare il tempo richiesto<br />
come segue<br />
t = (E <strong>di</strong> estrazione / P ass. del bersaglio ) ≈ 19 ore (11)<br />
Nella realtà, invece, per quanto debole sia la sorgente <strong>di</strong> luce, i fotoelettroni emergono entro 10 -9 s<br />
circa dall’istante in cui la luce ha raggiunto l’emettitore.<br />
Problema 2<br />
La lunghezza d’onda <strong>di</strong> soglia per il potassio è 564 nm.<br />
Qual è il lavoro <strong>di</strong> estrazione per il potassio?<br />
Qual è il potenziale d’arresto quando si usa luce <strong>di</strong> 400 nm <strong>di</strong> lunghezza d’onda?<br />
Risoluzione<br />
West = h ν0 = h c/ λ0 = (1240 eV nm / 564 nm) = 2, 20 eV<br />
L’energia <strong>di</strong> un fotone <strong>di</strong> lunghezza d’onda pari a 400 nm è<br />
E = h ν = h c/ λ= (1240 eV nm / 400 nm) = 3, 10 eV<br />
L’energia cinetica massima dei fotoelettroni (emessi) è<br />
½ mv2 = h ν - h ν0 = (3, 10 - 2, 20) eV = 0, 90 eV<br />
Perciò il potenziale d’arresto (da ½ mv2 = e V) vale 0,90 V.
ESPERIMENTO DI FRANCK-HERTZ<br />
Isidoro Sciarratta<br />
CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Introduzione<br />
Nel 1914, Franck ed Hertz stavano stu<strong>di</strong>ando il trasferimento <strong>di</strong> energia negli urti anelastici <strong>di</strong> elettroni<br />
contro atomi <strong>di</strong> mercurio.<br />
Nel corso delle loro esperienze trovarono un risultato inaspettato: gli atomi <strong>di</strong> mercurio possono venire<br />
eccitati ad uno stato corrispondente alla riga λ = 253, 65 nm del suo spettro <strong>di</strong> emissione me<strong>di</strong>ante urti<br />
con elettroni solo per energie fissate <strong>di</strong> ultimi, corrispondenti ad una d.d.p. acceleratrice <strong>di</strong> circa 4,9 V.<br />
Questo induce a concludere che gli atomi <strong>di</strong> mercurio acquistano (e perdono) energia solo per valori<br />
<strong>di</strong>screti, (quantizzati).<br />
Materiale necessario<br />
Tubo <strong>di</strong> Franck-Hertz completo <strong>di</strong> forno;<br />
alimentatore cc 0..........35 V;<br />
alimentatore cc 0............3 V;<br />
alimentatore ca 6,3 V;<br />
un reostato <strong>di</strong> potenza (110 Ω; 1,5A);<br />
un termometro 0..............250 °C;<br />
un amperometro;<br />
due volmetri;<br />
un amplificatore <strong>di</strong> misura per cc;<br />
fili <strong>di</strong> collegamento.<br />
Descrizione dell’esperimento<br />
Il montaggio dell’esperimento è schematizzato dalla figura 1.<br />
Il <strong>di</strong>spositivo principale consiste essenzialmente in una valvola termoionica (triodo) contenente una<br />
goccia <strong>di</strong> mercurio.<br />
Fig. 1 Schema descrittivo del montaggio dell’esperimento.<br />
Il tubo è alloggiato in un forno che ha lo scopo <strong>di</strong> scaldare l’ambiente <strong>di</strong> modo che il mercurio evapori<br />
e si crei, internamente al tubo, una pressione <strong>di</strong> vapore <strong>di</strong> mercurio, tra 8 e 10 mm Hg quando<br />
la temperatura del forno è <strong>di</strong> circa 170 °C. Tale valore <strong>di</strong> pressione è necessario affinchè le mole-
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 167<br />
cole <strong>di</strong> mercurio si eccitino dallo stato fondamentale (6S) al livello superiore (6P) con una probabilità<br />
molto elevata rispetto ad altri livelli energetici: infatti con la densità <strong>di</strong> vapore <strong>di</strong> mercurio usata,<br />
il cammino libero me<strong>di</strong>o degli elettroni è molto piccolo.<br />
Per alimentare il tubo <strong>di</strong> Franck-Hertz sono necessarie tre tensioni in<strong>di</strong>pendenti:<br />
1) una tensione continua od alternata <strong>di</strong> 5 volt circa, per il filamento;<br />
2) una tensione continua e variabile da 0 a circa 35 volt, da applicare come campo acceleratore dei<br />
termoelettroni emessi da filamento, fra catodo (negativo) e griglia (positiva);<br />
3) una tensione continua variabile da 0,5 a 2 volt, da applicare come controcampo tra griglia (positivo)<br />
e anodo (negativo).<br />
Schema <strong>di</strong> funzionamento del tubo <strong>di</strong> Franck-Hertz<br />
Da un catodo riscaldato elettricamente, (me<strong>di</strong>ante la corrente <strong>di</strong> filamento), vengono emessi termoelettroni;<br />
questi vengono accelerati dal campo generato dalla tensione applicata fra catodo e griglia.<br />
Giunti alla griglia, gli elettroni hanno acquistato l’energia cinetica<br />
Fino a che l’energia degli elettroni è minore <strong>di</strong> 4,86 eV, la maggior parte <strong>di</strong> essi raggiunge l’anodo,<br />
superando il controcampo applicato fra griglia e anodo. Ovviamente l’anodo è raggiunto solo dagli<br />
elettroni la cui energia è maggiore <strong>di</strong> quella perduta nel moto contro il campo ritardatore. L’arrivo <strong>di</strong><br />
tali elettroni si rivela misurando la corrente ano<strong>di</strong>ca ia.<br />
Nel loro percorso, dal catodo verso la griglia, gli elettroni urtano contro gli atomi <strong>di</strong> mercurio. Finché<br />
la loro energia è minore <strong>di</strong> 4,9 eV, i loro urti contro gli atomi <strong>di</strong> mercurio sono elastici, ossia senza<br />
cessione <strong>di</strong> energia, mentre per energie superiori o uguali a 4,9 eV, essi <strong>di</strong>ventano anelastici, ossia<br />
con ce<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> energia da parte dell’elettrone.<br />
Gli atomi <strong>di</strong> mercurio, eccitati da un urto anelastico, si <strong>di</strong>seccitano in un tempo brevissimo (10 -7 s<br />
circa), ritornando al loro stato fondamentale. L’energia emessa in questa <strong>di</strong>seccitazione appare<br />
sotto forma <strong>di</strong> un quanto <strong>di</strong> luce <strong>di</strong> energia h ν, la cui frequenza ν è legata alla variazione <strong>di</strong> energia<br />
secondo la relazione:<br />
E - E 0 = 4.86 eV = h ν da cui ν = 11.08 · 10 14 Hz.<br />
La lunghezza d’onda corrispondente è <strong>di</strong> λ = c / ν = 253,652 nm,<br />
quin<strong>di</strong> nell’ultravioletto estremo, rilevabile solo con una lunga esposizione fotografica.<br />
Non appena gli elettroni hanno ceduto per urto anelastico la loro energia agli atomi <strong>di</strong> mercurio, essi<br />
non sono in grado <strong>di</strong> procedere attraverso il controcampo e <strong>di</strong> raggiungere l’anodo, pertanto la corrente<br />
ia <strong>di</strong>minuisce.<br />
La corrente comincia a <strong>di</strong>minuire la prima volta esattamente allorché gli elettroni raggiungono un’energia<br />
sufficiente (4,9 eV), per eccitare quegli atomi <strong>di</strong> mercurio che si trovano poco prima della griglia<br />
acceleratrice G, in maniera tale che dopo l’urto anelastico non possano essere accelerati a sufficienza<br />
per superare il controcampo.<br />
Al crescere ulteriore della tensione acceleratrice, gli elettroni raggiungono l’energia <strong>di</strong> 4,9 eV in una<br />
regione più vicina al catodo K. In quella regione essi perdono <strong>di</strong> nuovo tutta la loro energia eccitando<br />
gli atomi <strong>di</strong> mercurio, ma nell’attraversare la rimanente regione <strong>di</strong> spazio che li separa dalla griglia<br />
G, acquistano energia sufficiente per superare nuovamente il controcampo; e la corrente cresce.<br />
Aumentando ulteriormente la tensione acceleratrice fra catodo K e griglia G, si può raggiungere la<br />
con<strong>di</strong>zione per cui gli elettroni acquistano per la seconda volta altri 4,9 eV prima <strong>di</strong> arrivare alla griglia<br />
G, allora la corrente <strong>di</strong>minuisce una seconda volta, e cosi via.<br />
In verità gli atomi <strong>di</strong> mercurio possono stare in stati <strong>di</strong> energia più grande <strong>di</strong> 4,9 eV (rispetto a quello<br />
fondamentale <strong>di</strong> equilibrio), ad esempio 6,7 eV; 8,8 eV; ecc..<br />
(1)
168 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Questi stati non si manifestano in questo esperimento, poiché pochissimi elettroni raggiungono una<br />
energia maggiore <strong>di</strong> 4,9 eV, infatti per la appropriata scelta del vapore <strong>di</strong> mercurio all’interno del tubo<br />
dovuta alla temperatura scelta per il forno <strong>di</strong> circa 170 °C, il cammino libero me<strong>di</strong>o degli elettroni, fra<br />
urto e urto contro gli atomi <strong>di</strong> mercurio, è molto piccolo. Pertanto è molto poco probabile che un elettrone<br />
raggiunga l’energia sufficiente per portare un atomo <strong>di</strong>rettamente al successivo stato eccitato. In<br />
tali con<strong>di</strong>zioni, invece, <strong>di</strong>venta alta la probabilità che l’elettrone ogni volta che raggiunge l’energia <strong>di</strong><br />
circa 4,9 eV urti anelasticamente un atomo <strong>di</strong> mercurio cedendo tutta la sua energia per poi tornare, se<br />
ne esistono le con<strong>di</strong>zioni, a guadagnarne altrettanta per un nuovo urto anelastico e così via. Si spiega<br />
così il carattere oscillatorio della corrente con i suoi massimi in corrispondenza <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong><br />
campo elettrico coincidente con il punto me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> ogni intervallo <strong>di</strong> tensione i cui estremi sono multipli<br />
<strong>di</strong> circa 4,9 V, mentre presenta i minimi in corrispondenza <strong>di</strong> una tensione <strong>di</strong> campo pari ai multipli<br />
interi <strong>di</strong> 4,9 V. Il fatto poi che l’oscillazione della corrente non segue una linea orizzontale bensì<br />
una linea inclinata positivamente col crescere della tensione fra catodo e griglia si spiega pensando<br />
che gli elettroni che raggiungono l’anodo a basso valore <strong>di</strong> campo sono quelli che non hanno avuto<br />
una eguale evoluzione. Via via che il potenziale aumenta vi è una maggiore probabilità che gli elettroni<br />
che raggiungono l’anodo possono avere subito una evoluzione <strong>di</strong>versa nel percorso dal catodo<br />
alla griglia: ad esempio arrivano contemporaneamente elettroni che hanno subito un solo urto anelastico<br />
ed in seguito hanno guadagnato una energia sufficiente per superare il controcampo fra griglia<br />
G ed anodo A con elettroni che non hanno ancora subito urto anelastico e così via. In ogni caso<br />
è bene non <strong>di</strong>menticare che si tratta sempre della curva caratteristica <strong>di</strong> un tubo a vuoto.<br />
Suggerimenti per l’esecuzione<br />
1) La resistenza sul filamento serve per l’accensione graduale dello stesso; la corrente necessaria è<br />
<strong>di</strong> 300÷400 mA (non superiore e neppure inferiore per allungare la vita del tubo);<br />
2) pre<strong>di</strong>sposti i collegamenti secondo il circuito descritto in figura 1, si procede come segue:<br />
- si fa riscaldare il forno fino a circa 160°C;<br />
- si alimenta il filamento;<br />
- si assegna il valore <strong>di</strong> controcampo <strong>di</strong> circa 1,5 V;<br />
- si fa variare gradualmente il campo acceleratore da 0 a circa 35 V, prendendo nota della corrente<br />
in nA.<br />
Con<strong>di</strong>zioni alle ultime misure<br />
Per misurare la corrente ano<strong>di</strong>ca usare l’amplificatore <strong>di</strong> corrente (personale) regolato <strong>sulla</strong> posizione<br />
0 e collegato ad un voltmetro con fondo scala <strong>di</strong> 2V.<br />
Alimentare il filamento con 5 V circa (è essenziale) e regolare il reostato del forno <strong>sulla</strong> posizione<br />
5, 150 °C circa.<br />
Elaborazione dei dati<br />
Eseguendo l’esperimento nelle con<strong>di</strong>zioni sopra descritte, ed in particolare con<br />
la temperatura me<strong>di</strong>a = 160 °C<br />
la corrente <strong>di</strong> filamento = 340 mA<br />
il controcampo = 1,5 V<br />
si sono ottenuti i dati riportati nella tabella 1 il cui andamento grafico è riportato in figura 2.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 169<br />
Fig. 2 Grafico relativo alla prima raccolta <strong>di</strong> dati.<br />
In un’altra prova nella quale, in particolare, si registrava:<br />
la temperatura me<strong>di</strong>a = 160°C<br />
la corrente <strong>di</strong> filamento = 340mA<br />
il controcampo = 1,0 V<br />
Fig. 3. Grafico relativo alla seconda raccolta <strong>di</strong> dati.<br />
Dai dati riportati in fig. 3 e fig. 4 si può desumere facilmente che in me<strong>di</strong>a il “quanto <strong>di</strong> energia”<br />
assorbita dall’atomo <strong>di</strong> mercurio è <strong>di</strong> circa 5 eV; basta calcolare per questo il valore me<strong>di</strong>o delle <strong>di</strong>fferenze<br />
<strong>di</strong> tensione fra due massimi <strong>di</strong> corrente consecutivi. Misure più accurate hanno fornito il<br />
valore <strong>di</strong> 4,86 eV; questo risultato è confermato dalla teoria.
170 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Rilevamento dati me<strong>di</strong>ante l’oscilloscopio<br />
La figura 4 schematizza i collegamenti del tubo <strong>di</strong> Franck-Hertz con l’oscilloscopio.<br />
Provare a stu<strong>di</strong>are la curva caratteristica <strong>di</strong> un tubo me<strong>di</strong>ante l’uso dell’oscilloscopio e in seguito trasferire<br />
la stessa tecnica per stu<strong>di</strong>are la curva caratteristica del tubo <strong>di</strong> F-H.<br />
Fig. 4. Collegamenti necessari per ottenere la curva caratteristica <strong>di</strong>rettamente in oscilloscopio.<br />
Bibliografia<br />
[1] PSSC (2005) La <strong>fisica</strong> secondo il PSSC, Guida alla visione, Zanichelli, Bologna.<br />
[2] PHYWE Enseignement Superieur vol. 2.<br />
[3] Leybold-Heraeus S.p.A. Note <strong>di</strong> laboratorio.<br />
[4] Autori vari.
EFFETTO RAMSAUER-TOWNSEND IN UNA VALVOLA CONTENENTE XENON 1<br />
Lorenzo Santi<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
L’effetto Ramsauer-Townsend è un fenomeno quantomeccanico che viene osservato nella propagazione<br />
<strong>di</strong> un fascio <strong>di</strong> elettroni in gas formati da atomi <strong>di</strong> elementi nobili (Argon, Neon, Xenon), misurando<br />
il coefficiente <strong>di</strong> trasmissione (cioè il rapporto tra il numero <strong>di</strong> elettroni che passano il materiale<br />
imperturbati ed il numero <strong>di</strong> quelli incidenti) al variare dell’energia degli elettroni incidenti.<br />
Tale rapporto <strong>di</strong>pende dalla probabilità con cui un elettrone interagisce con un singolo atomo del gas:<br />
a sua volta questa probabilità <strong>di</strong>pende in maniera essenziale dall’energia dell’elettrone incidente e<br />
dal tipo <strong>di</strong> processi <strong>di</strong> interazione elettrone-atomo coinvolti.<br />
Ad esempio, per energie inferiori a quelle <strong>di</strong> eccitazione o <strong>di</strong> ionizzazione degli atomi (dell’or<strong>di</strong>ne<br />
<strong>di</strong> alcuni eV), l’unico meccanismo <strong>di</strong> interazione elettrone-atomo accessibile consiste in una collisione<br />
(<strong>di</strong>ffusione) elastica, me<strong>di</strong>ata dalla forza elettrica agente tra la carica dell’elettrone e quella del<br />
nucleo dell’atomo.<br />
In una <strong>di</strong>ffusione elastica, gli elettroni dell’atomo interagente non vengono eccitati (portati ad un<br />
livello energetico superiore) e quin<strong>di</strong> l’energia cinetica dell’elettrone incidente si conserva. In questo<br />
caso l’interazione elettrone-atomo può essere descritta come una <strong>di</strong>ffusione dell’elettrone da parte <strong>di</strong><br />
una buca <strong>di</strong> potenziale attrattiva tri<strong>di</strong>mensionale (corrispondente al potenziale atomico).<br />
Quando però l’elettrone incidente ha una quantità <strong>di</strong> moto p tale che la lunghezza d’onda che si ottiene<br />
dalla relazione <strong>di</strong> de Broglie λ = h/p, è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza delle <strong>di</strong>mensioni spaziali della buca<br />
<strong>di</strong> potenziale, intervengono dei fenomeni <strong>di</strong> interferenza quantistici, che modulano la probabilità <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ffusione elastica dell’elettrone da parte dell’atomo.<br />
Per comprendere questo fenomeno, possiamo utilizzare un modello <strong>di</strong> complessità ridotta, costituito<br />
da una buca <strong>di</strong> potenziale uni<strong>di</strong>mensionale, <strong>di</strong> profon<strong>di</strong>tà V0 (in energia) e lunghezza L, come rappresentata<br />
in figura.<br />
Lo stato dell’elettrone incidente è rappresentato da una funzione d’onda ψ che si propaga in <strong>di</strong>rezione<br />
delle x crescenti. In corrispondenza delle pareti della buca si può avere trasmissione (<strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong> propagazione positiva) e riflessione (<strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione negativa).<br />
Consideriamo la regione 2. In essa la funzione d’onda sarà costituita dalla sovvraposizione della funzione<br />
d’onda associata all’elettrone incidente, verso x crescenti, e <strong>di</strong> quella dell’elettrone riflesso,<br />
propagantesi nel verso delle x decrescenti.<br />
(1) Da un esperimento proposto da Guido Pegna dell’Università <strong>di</strong> Cagliari.<br />
Fig. 1. Buca<br />
<strong>di</strong> potenziale.
172 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Il risultato della sovvraposizione <strong>di</strong>pende dalla fase con cui la funzione d’onda incidente arriva alla<br />
seconda parte della buca e quin<strong>di</strong> dalla lunghezza d’onda associata a ψ all’interno della regione 2.<br />
Le figure seguenti esemplificano l’andamento <strong>di</strong> Re ψ all’interno della buca, ad un istante prefissato<br />
e per tre <strong>di</strong>versi valori della lunghezza d’onda. La funzione d’onda incidente e quella riflessa sono<br />
in<strong>di</strong>cate con linee trattegiate, la sovvrapposizione con una linea continua<br />
Sinistra in alto: L = λ n<br />
Destra in alto: L ≈λ (2n+1)/4<br />
Sinistra in basso: L = λ (n+1)/2<br />
Si ha quin<strong>di</strong> interferenza costruttiva quando<br />
L = λ n/2 (questa relazione comprende il primo<br />
e l’ultimo dei casi considerati), <strong>di</strong>struttiva per<br />
L =λ (2n+1)/4.<br />
Ne consegue che, per continuità <strong>sulla</strong> seconda<br />
parete, la funzione d’onda che si propaga nella<br />
regione 3 ha un’ampiezza massima nella prima<br />
categoria dei casi, nulla nel secondo. Tale risultato<br />
si ripercuote sul coefficiente <strong>di</strong> trasmissione<br />
(legato al modulo quadro dell’onda nella<br />
regione 3) che mostra, in funzione dell’energia<br />
dell’elettrone incidente, una modulazione come<br />
quella rappresentata in figura.<br />
Sperimentalmente questo tipo <strong>di</strong> comportamento<br />
è <strong>di</strong>fficile da osservare, a causa della limitazione
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 173<br />
che viene posta dal considerare solo la <strong>di</strong>ffusione elastica degli elettroni e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> utilizzare elettroni<br />
con energia sotto la soglia <strong>di</strong> eccitazione atomica (troncando così lo spettro della figura precedente<br />
a valori <strong>di</strong> energia relativamente bassi). A ciò si può ovviare utilizzando gas <strong>di</strong> elementi nobili, per i<br />
quali tale soglia risulta essere più elevata.<br />
Nell’esperienza proposta viene utilizzato una valvola<br />
termoionica <strong>di</strong> tipo speciale, contenente gas Xenon.<br />
In una valvola vi sono (almeno) due elettro<strong>di</strong> <strong>di</strong> cui<br />
uno, il catodo, viene riscaldato in maniera da far emettere<br />
elettroni per effetto termoelettronico. Tali elettroni<br />
vengono accelerati verso il secondo elettrodo<br />
(anodo) per effetto <strong>di</strong> un campo elettrico generato<br />
da una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale imposta tra catodo<br />
e anodo. Il flusso <strong>di</strong> elettroni in un normale tubo a<br />
vuoto è essenzialmente balistico, cioè regolato dalla<br />
sola intensità del campo elettrico nel tubo. In una<br />
normale valvola la corrente circolante risulta essere<br />
una funzione monotonamente crescente al crescere<br />
della tensione applicata agli elettro<strong>di</strong>. (Le valvole<br />
possono avere ulteriori elettro<strong>di</strong> piazzati, tra catodo<br />
ed anodo, per un controllo della corrente circolante).<br />
Nel tubo utilizzato nell’esperimento il gas Xenon<br />
viene utilizzato come limitatore <strong>di</strong> corrente: la <strong>di</strong>ffusione<br />
subita dagli elettroni riduce la corrente effettiva<br />
che raggiunge l’anodo. Inoltre, l’effetto Ramsauer-<br />
Townsend modula la correlazione corrente-tensione,<br />
facendo apparire dei massimi e dei minimi, in corrispondenza ai massimi e minimi del coefficiente<br />
<strong>di</strong> trasmissione dell’elettrone da parte dell’atomo <strong>di</strong><br />
gas nobile.<br />
Nell’apparato sperimentale che proponiamo, la tensione<br />
<strong>di</strong> alimentazione della valvola viene regolata<br />
me<strong>di</strong>ante un segnale triangolare negativo (da 0V<br />
a -10V) e la corrente circolante (anch’essa negativa)<br />
viene valutata misurando la tensione ai capi<br />
<strong>di</strong> una resistenza posta in serie alla valvola. I due<br />
segnali (in tensione ed in corrente) vengono inviati<br />
agli ingressi <strong>di</strong> un oscilloscopio, che permette la<br />
visualizzazione <strong>di</strong>retta della curva corrente tensione<br />
della valvola. Nella figura accanto viene mostrata tale<br />
visualizzazione: sull’asse orizzontale è riportata la<br />
tensione (negativa, quin<strong>di</strong> crescente in valore assoluto<br />
da destra a sinistra; la scala è <strong>di</strong> 2 Volt/ <strong>di</strong>visione)<br />
sull’asse verticale la corrente (anch’essa negativa,<br />
quin<strong>di</strong> crescente in valore assoluto dall’alto<br />
verso il basso).<br />
I valori in tensione corrispondenti al massimo (V M ) ed al minimo (V m ) <strong>di</strong> corrente possono essere<br />
interpretati come i valori <strong>di</strong> energia (in unità elettron Volt) corrispondenti al primo massimo ed al<br />
primo minimo <strong>di</strong> trasmissione degli elettroni da parte degli atomi <strong>di</strong> Xenon.
174 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Ciò corrisponde, nel modello a buca <strong>di</strong> potenziale, ai valori <strong>di</strong> energia cinetica degli elettroni nella<br />
buca pari a<br />
K M = e (V M +V 0 ) K m = e (V m +V 0 ) [1]<br />
(ove e è il valore assoluto della carica dell’elettrone).<br />
Essendo K = 2p 2 /m (ove m è la massa dell’elettrone) avremo<br />
K M = p 2 M /2m K m = p2 m /2m<br />
Ed utilizzando la relazione <strong>di</strong> de Broglie<br />
K M = h 2 /(2m λ 2 M ) K m = h2 /(2m λ 2 m )<br />
Per i due estremanti, il modello a buca <strong>di</strong> potenziale prevede (ponendo n=1)<br />
λ M = 2L λ m = 4/3 L<br />
e quin<strong>di</strong><br />
K M = h 2 /(8m L 2 ) K m = 9h 2 /(32m L 2 )<br />
Oppure<br />
E quin<strong>di</strong> dalla 1)<br />
oppure<br />
K m – K M = h 2 /(8 m L 2 ) (9/4-1) = 5 h 2 /(32m L 2 )<br />
e(V m -V M ) = h 2 /(32/5 m L 2 )<br />
L = h/(32/5 m(e(V m -V M ))) 1/2 .<br />
con m = 9.1 10 -31 Kg, e = 1.6 10 -19 C, h = 6.62 10 -34 Js (V m e V M espressi in Volt).<br />
Il valore che si ottiene per L (“<strong>di</strong>ametro” dell’atomo <strong>di</strong> Xenon) è ovviamente solo una stima per<br />
or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza della <strong>di</strong>mensione dell’atomo, dovuta alle approssimazioni che sono state introdotte<br />
nella modelizzazione: il suo raggio viene valutato in 1.3 10 -10 m.
MISURA DEL RAPPORTO e/m<br />
Isidoro Sciarratta<br />
CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Rapporto e/m col tubo <strong>di</strong> Wehnelt<br />
Elenco materiale<br />
tubo <strong>di</strong> Wehnelt<br />
bobine <strong>di</strong> Helmholtz<br />
alimentatore per il tubo <strong>di</strong> Wehnelt<br />
alimentatore per le bobine <strong>di</strong> Helmholtz<br />
voltimetro<br />
amperometro<br />
cavetti <strong>di</strong> collegamento<br />
Fig. 1. Apparato sperimentale (a bobine <strong>di</strong> Helmoltz, b tubo a fascio fine, c <strong>di</strong>spositivi <strong>di</strong><br />
lettura).<br />
Fig. 2. Cannoncino <strong>di</strong> Wehnelt. Fig 3. Fascio <strong>di</strong> elettroni.
176 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Presentazione del <strong>di</strong>spositivo sperimentale<br />
Il <strong>di</strong>spositivo atto a misurare il rapporto e/m è costituito da una sfera <strong>di</strong> vetro che contiene gas molto<br />
rarefatto H 2 , (figura 1), in cui è inserito un cannoncino elettronico (fig. 2). Quest’ultimo presenta al<br />
suo interno un filamento che per effetto termoelettronico, riscaldandosi, emette elettroni.<br />
Le particelle negative vengono attirate dall’anodo ed accelerate dalla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale esistente<br />
fra filamento ed anodo.<br />
L’anodo, a forma <strong>di</strong> cilindro-cono, presenta un piccolo foro da cui escono gli elettroni con <strong>di</strong>rezione<br />
assiale rispetto al cono stesso; questi, urtando gli atomi del gas molto rarefatto (una atmosfera <strong>di</strong> idrogeno<br />
a pressione stabilita con precisione) che si trova internamente al bulbo <strong>di</strong> vetro, lo inducono ad<br />
emettere una debole luce che permette <strong>di</strong> visualizzare il percorso degli<br />
elettroni (figura 3).<br />
L’ampolla <strong>di</strong> vetro è posta fra due bobine, dette bobine <strong>di</strong> Helmholtz, <strong>di</strong>sposte sullo stesso asse a<br />
<strong>di</strong>stanza R fra <strong>di</strong> loro, con R uguale al raggio delle bobine stesse. In questo modo, facendo passare una<br />
corrente attraverso le spire delle bobine, si genera un campo magnetico, praticamente uniforme, calcolabile,<br />
attraverso la composizione dei campi <strong>di</strong> induzione magnetica generati dalle singole bobine<br />
lungo il comune asse descrivibili, a loro volta, me<strong>di</strong>ante la legge <strong>di</strong> Laplace. La <strong>di</strong>mostrazione del<br />
campo magnetico generato dalle bobine <strong>di</strong> Helmholtz è riportata in appen<strong>di</strong>ce.<br />
(La pressione <strong>di</strong> 1 Tor equivale alla pressione <strong>di</strong> 1 mm <strong>di</strong> mercurio).<br />
Principio <strong>di</strong> funzionamento<br />
Influenza del campo elettrico: gli elettroni emessi termoelettronicamente dal filamento vengono accelerati,<br />
inizialmente, dal campo elettrico che si costituisce all’interno del cilindro <strong>di</strong> Wehnelt (fig. 2).<br />
Il cilindro <strong>di</strong> Wehnelt serve ad accelerare gli elettroni e a selezionare quelli la cui velocità è <strong>di</strong>retta<br />
secondo l’asse del cilindro (in pratica produce un effetto lente elettrica).<br />
Gli elettroni, all’uscita dal cilindro <strong>di</strong> Wehnelt, possiedono una energia cinetica tale che:<br />
e ΔV = 1/2 m v 2 (1)<br />
Influenza del campo magnetico <strong>di</strong> Helmholtz: non appena fuori dal cilindro<br />
<strong>di</strong> Wehnelt, gli elettroni si trovano internamente al campo magnetico<br />
dovuto alle bobine <strong>di</strong> Helmholtz. È possibile regolare la <strong>di</strong>sposizione del<br />
bulbo <strong>di</strong> vetro in modo che le <strong>di</strong>rezioni della velocità degli elettroni e del<br />
campo magnetico esterno formino un angolo qualsiasi fra 0° e 90°. Gli<br />
elettroni risultano, così, sotto l’azione della forza <strong>di</strong> Lorentz F = e v Bsen θ<br />
(fig. 4): ricordare che gli elettroni hanno carica negativa.<br />
Posto che l’angolo fra v e B risulti <strong>di</strong> 90°, gli elettroni si mettono a ruotare<br />
su una circonferenza il cui raggio è funzione sia della energia cinetica<br />
degli elettroni, che dell’intensità del campo magnetico esterno. È, anche,<br />
possibile regolare il modulo della velocità degli elettroni ed il modulo <strong>di</strong><br />
B in modo che l’intera circonferenza cada internamente al bulbo così che<br />
l’intero percorso risulti visibile (fig. 5), purchè in ambiente molto oscurato.<br />
Fig 4. Direzione dei vettori<br />
nella legge <strong>di</strong> Lorentz.<br />
Il bulbo <strong>di</strong> vetro è pieno <strong>di</strong> idrogeno alla pressione <strong>di</strong> circa 10-2 Tor; la pressione è scelta allo scopo<br />
<strong>di</strong> rendere visibile il passaggio degli elettroni per condensazione. Per le scelte fatte, si ha, in modulo<br />
F = e v B.<br />
Poichè F è perpen<strong>di</strong>colare istante per istante alla velocità v<br />
F = ma = m v 2 /r<br />
pertanto<br />
e v B = m v 2 /r<br />
da cui<br />
r = mv / eB (2)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 177<br />
Fig 5. Azione <strong>di</strong> incurvamento del fascio <strong>di</strong> elettroni nel tubo<br />
<strong>di</strong> Wehnelt.<br />
Fig 6. Se il fascio <strong>di</strong> elettroni inizialmente è composto da elettroni<br />
con velocità non molto prossime, accade che il pennello<br />
si allarga in quanto più l’elettrone è lento e più risulta deviato.<br />
La (2) afferma, in particolare, che il raggio r delle traiettorie circolari percorse dagli elettroni è <strong>di</strong>rettamente<br />
proporzionale alla velocità degli stessi elettroni. La figura 6 simula la situazione che si viene<br />
ad avere internamente al bulbo <strong>di</strong> vetro: essa evidenzia, in modo particolare, che non esiste un’unica<br />
orbita sperimentale, bensi un gruppo <strong>di</strong> orbite (sia pure stretto) che in<strong>di</strong>ca l’esistenza <strong>di</strong> uno spettro<br />
<strong>di</strong> velocità degli elettroni: ciò anche se quelli che escono dal cilindro <strong>di</strong> Wehnelt vengono opportunamente<br />
selezionati. Se si tiene conto che tutti sono stati sottoposti allo stesso lavoro elettrico, nel<br />
senso che tutti sono passati attraverso lo stesso campo elettrico, la <strong>di</strong>versa velocità degli elettroni<br />
all’uscita dal campo elettrico implica che <strong>di</strong>versa è la loro energia cinetica e quin<strong>di</strong> la loro velocità,<br />
all’atto della loro emissione da parte del filamento incandescente (emissione termoionica).<br />
Dalle relazioni (1) e (2) risolvendo rispetto al modulo della velocità e confrontando si ottiene:<br />
e/m = 2 V / B 2 r 2 (3)<br />
dove<br />
e = carica dell’elettrone;<br />
m = massa dell’elettrone «a riposo»;<br />
V = <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale che genera il campo elettrico acceleratore all’interno del cilindro <strong>di</strong><br />
Wehnelt;<br />
B = il modulo del campo magnetico delle bobine <strong>di</strong> Helmholtz<br />
r = raggio della traettoria circolare percorsa dagli elettroni.<br />
Il modulo del vettore induzione magnetica generato dalle bobine <strong>di</strong> Helmholtz vale (ve<strong>di</strong> appen<strong>di</strong>ce):<br />
B H = μ (4/5) 3/2 I N / R<br />
dove<br />
N = numero <strong>di</strong> spire <strong>di</strong> una bobina; (130)<br />
R = raggio <strong>di</strong> una bobina; (0,156±0,002) m<br />
μ = permeabilità magnetica dell’aria che si può considerare pari a quella dello spazio vuoto, e dunque:<br />
μ = 12, 57 10 -7 H/m<br />
pertanto, il modulo del campo B <strong>di</strong> Helmholtz, fissati N ed R, <strong>di</strong>pende solo dalla corrente che attraversa<br />
ogni spira, motivo per cui si può scrivere che<br />
B = 7, 450 10 -4 I
178 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Dalla relazione (3) segue, poi, che il rapporto fra la carica elementare e e la massa m dell’elettrone<br />
<strong>di</strong>pende, solamente, da tre misure:<br />
1) il raggio r della traiettoria percorsa dagli elettroni;<br />
2) la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V;<br />
3) l’intensità <strong>di</strong> corrente I.<br />
Nel seguente elenco sono riportate le misure tipiche <strong>di</strong> I, V ed r ottenute dall’esecuzione dell’esperimento<br />
descritto.<br />
Prima prova<br />
V = 165V I = 1,10A r = 0,050m (raggio interme<strong>di</strong>o)<br />
da cui B = 8,572 ·10 -4 W/m 2 e/m = 1,796 10 11 C/Kg.<br />
Seconda prova<br />
V = 160 V I = 1,00 A r = 0,056 m (raggio interme<strong>di</strong>o)<br />
da cui B = 7,793 10 -4 W/m 2 e/m = 1, 70 10 11 C/Kg.<br />
Terza prova<br />
V = 150 V I = 0,95 A r = 0,055 m (raggio interme<strong>di</strong>o)<br />
da cui B = 7,40 10 -4 W/m 2 e/m = 1,80 ·10 11 C/Kg.<br />
Quarta prova (raggio interme<strong>di</strong>o)<br />
V = 165 V I = 1,15 A r = 0,046<br />
da cui B = W/m 2 e/m = C/Kg.<br />
I conteggi <strong>di</strong> quest’ultimo caso sono lasciati da fare a titolo <strong>di</strong> esercizio.<br />
Apparato sperimentale alternativo con il tubo <strong>di</strong> Thomson<br />
È possibile eseguire le precedenti misure, anche senza visualizzare la traiettoria circolare completa<br />
dell’elettrone, misurando però lo scostamento dalla traiettoria rettilinea del fascio elettronico. Ciò<br />
può essere fatto con il tubo <strong>di</strong> Thomson (figura 7).<br />
Nel <strong>di</strong>spositivo in figura il cannoncino <strong>di</strong> Wehnelt (in<strong>di</strong>cato da una freccia) produce un fascio <strong>di</strong> elettroni,<br />
che procede verso destra, tra le due bobine <strong>di</strong> Helmoltz, e viene incurvato dal campo magnetico.<br />
Uno schermo fluorescente (il rettangolo quadrettato <strong>di</strong> figura) intercetta il fascio, visualizzando<br />
<strong>di</strong> quanto e’ stato deviato dalla propagazione orizzontale.<br />
Nella figura 8 viene mostrato come, misurando gli spostamenti verticale ed orizzontale dell’elettrone<br />
nella sua propagazione, sia possibile risalire al raggio della sua traiettoria.<br />
Attraverso il <strong>di</strong>segno 8 è possibile osservare che, note le coor<strong>di</strong>nate (x,y) del punto <strong>di</strong> uscita del fascio<br />
dallo schermo, si risale al raggio della traiettoria imposta agli elettroni con semplici passaggi qui <strong>di</strong><br />
seguito riassunti:<br />
Per il rimanente valgono le stesse considerazioni già pre<strong>di</strong>sposte per il primo esperimento.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 179<br />
Figura 7. Tubo <strong>di</strong> Thomson. Figura 8<br />
Campo magnetico <strong>di</strong> Helmholtz<br />
Figure 7 a, b. Disposizione delle variabili relativamente al calcolo <strong>di</strong> B lungo l’asse <strong>di</strong> una spira.<br />
Sia P un punto dell’asse <strong>di</strong> una spira scelto a <strong>di</strong>stanza x dal centro (fig. 8): per ogni punto generico<br />
dell’asse il modulo del vettore induzione magnetica B è descritto dalla relazione<br />
B r = μ/2 I R/r 2 sin θ<br />
dove<br />
R = raggio della spira;<br />
r = <strong>di</strong>stanza del punto P da un punto della spira;<br />
I = corrente che attraversa la spira;<br />
μ = permeabilità magneta assoluta dello spazio in cui è immersa la spira;<br />
θ = angolo che r forma con l’asse della spira.<br />
Se si tiene conto della <strong>di</strong>sposizione nello spazio delle bobine <strong>di</strong> Helmholtz e cioè che sono situate su<br />
piani paralleli alla <strong>di</strong>stanza, l’uno dall’altro, pari al raggio <strong>di</strong> ciascuna <strong>di</strong> esse, scegliendo come posizione<br />
del punto P, sull’asse della spira, quella a <strong>di</strong>stanza R/2 dal centro, si ottiene:<br />
sin θ= 2 /√5
180 Capitolo 3. Esperimenti<br />
relazione facilmente deducibile dalla figura 9 b). Sostituendo, si ottiene che il modulo del campo B<br />
generato lungo l’asse da una sola bobina costituita da N spire, alla <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> R/2 dal suo centro, vale<br />
B R/2 = ½ μ (4/5) 3/2 I N / R<br />
Infine, tenendo conto <strong>di</strong> entrambe le bobine, si raggiunge il modulo del vettore induzione B valido<br />
per il punto me<strong>di</strong>o dell’asse fra le due bobine. Poichè dalla teoria si apprende che il vettore B, per i<br />
punti dell’asse fra le due bobine e per tutti i punti attorno a questi non cambia apprezzabilmente nè<br />
il modulo nè la <strong>di</strong>rezione (<strong>di</strong>rezione e verso non cambiano lungo l’asse), si conclude che il precedente<br />
valore rappresenta il modulo <strong>di</strong> B in tutti i punti dello spazio fra le due bobine confinato attorno<br />
all’asse. Questo è il campo <strong>di</strong> Helmholtz. Si ha, pertanto,<br />
B H = μ (4/5) 3/2 I N / R.
EFFETTO TERMOELETTRONICO E VALVOLE<br />
Isidoro Sciarratta<br />
CIRD, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Effetto Termoelettronico<br />
L’effetto termoelettronico o effetto E<strong>di</strong>son , consiste nell’emissione <strong>di</strong> elettroni liberi da parte <strong>di</strong><br />
un metallo portato all’incandescenza nel vuoto. In pratica, un fi lamento <strong>di</strong> metallo, in una ampolla a<br />
vuoto spinto, portato all’incandescenza, emette elettroni. L’emissione <strong>di</strong> corpuscoli negativi crea una<br />
carica spaziale negativa detta nube elettronica. Questo fenomeno è stato scoperto da E<strong>di</strong>son (1884) per<br />
fi lamenti <strong>di</strong> platino e carbone, ma si verifi ca anche per altre sostanze, ed è molto attivo nei metalli.<br />
Fig. 1. Diodo <strong>di</strong> Fleming: cimelio storico.<br />
Verifi ca sperimentale<br />
Per stu<strong>di</strong>are sperimentalmente l’effetto termoionico si ricorre al <strong>di</strong>odo <strong>di</strong> Fleming (fi g. 1) che consiste<br />
in un’ampolla a vuoto spinto nella quale si trova un fi lamento f <strong>di</strong> tungsteno che si può portare<br />
all’incandescenza applicando una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale <strong>di</strong> circa 4÷6 V (fi g. 2).
182 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Fig. 2a). Circuito generale. Fig. 2b). Circuito particolare del filamento.<br />
A parità <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni del tubo, l’emissione elettronica aumenta se si ricopre il fi lamento con un sottile<br />
strato (monoatomico) <strong>di</strong> ossido <strong>di</strong> torio o <strong>di</strong> ossido <strong>di</strong> bario. Gli ossi<strong>di</strong> <strong>di</strong> torio e <strong>di</strong> bario presentano<br />
la caratteristica <strong>di</strong> avere un potenziale <strong>di</strong> estrazione molto basso. Un fi lamento <strong>di</strong> tungsteno<br />
con uno strato <strong>di</strong> ossido <strong>di</strong> torio o <strong>di</strong> bario fornisce una ricca emissione <strong>di</strong> elettroni anche a temperature<br />
relativamente basse con il conseguente vantaggio <strong>di</strong> una più lunga durata del fi lamento stesso.<br />
Affacciato al fi lamento è posto un conduttore P detto placca o anodo (fi g. 2). Fra placca e fi lamento<br />
è inserita una batteria B che crea una tensione ano<strong>di</strong>ca, regolabile fi no a circa 250 V me<strong>di</strong>ante un<br />
<strong>di</strong>spositivo potenziometrico.<br />
Il circuito è interrotto fra fi lamento e placca; se il fi lamento è spento, il milliamperometro in serie al<br />
circuito non segna corrente. Se, invece, si porta il fi lamento all’incandescenza, chiudendo così il circuito,<br />
si osserva un passaggio <strong>di</strong> corrente, detta ano<strong>di</strong>ca perché la placca risulta positiva rispetto al<br />
fi lamento. Se, al contrario, il potenziale della placca risulta negativo rispetto a quello del fi lamento,<br />
non si ha corrente ano<strong>di</strong>ca. Ciò conferma l’ipotesi che il fi lamento incandescente emette solo carica<br />
negativa (elettroni): in effetti un campo elettrico orientato dall’anodo verso il fi lamento accelera cariche<br />
negative verso la placca, nel qual caso si ha corrente ano<strong>di</strong>ca. Al contrario, un campo elettrico<br />
orientato dal fi lamento verso la placca respinge la carica negativa verso il fi lamento, e perciò non si<br />
ha più corrente ano<strong>di</strong>ca.<br />
Si possono ricavare le curve caratteristiche, allorché la placca è positiva rispetto al fi lamento, regolando<br />
la tensione della batteria ano<strong>di</strong>ca per tutto il suo campo <strong>di</strong> variabilità ed a <strong>di</strong>versi valori <strong>di</strong> temperatura<br />
del fi lamento. Si riesce a far variare la temperatura del fi lamento regolando la tensione applicata<br />
allo stesso. Ad es. fornendo prima 2 V, quin<strong>di</strong> 2,5 V ... 4,5 V.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 183<br />
Dall’esame delle varie curve caratteristiche, risulta possibile confermare le seguenti leggi che si<br />
devono a Richardson:<br />
1) “Si ha conduzione solo in un senso”: la corrente ano<strong>di</strong>ca I a passa solo dalla placca positiva al fi lamento<br />
negativo. L’analisi della corrente ano<strong>di</strong>ca, fatta con tubi <strong>di</strong> forma conveniente, porta a stabilire<br />
che questa corrente è dovuta esclusivamente ad un fl usso <strong>di</strong> elettroni, perfettamente uguali<br />
a quelli che costituiscono i raggi cato<strong>di</strong>ci, e che si muovono dal fi lamento alla placca.<br />
2) “La corrente ano<strong>di</strong>ca presenta il fenomeno della saturazione: inizialmente la corrente ano<strong>di</strong>ca<br />
cresce col crescere della tensione ano<strong>di</strong>ca. A partire da un dato valore, <strong>di</strong>pendente dalla temperatura<br />
del fi lamento, la corrente ano<strong>di</strong>ca rimane costante per quanto, entro termini ragionevoli, si<br />
possa aumentare la tensione ano<strong>di</strong>ca. La corrente <strong>di</strong> saturazione avviene allorché tutti gli elettroni<br />
emessi dal fi lamento sono attratti dalla placca (anodo).<br />
3) Il valore della densità <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong> saturazione J sat <strong>di</strong>pende dalla temperatura assoluta T del fi lamento<br />
e cresce con essa. Infatti, se si fornisce al fi lamento maggiore energia termica, più numerosi<br />
saranno gli elettroni espulsi.<br />
La prima teoria dell’emissione <strong>di</strong> elettroni da parte <strong>di</strong> un metallo nel vuoto spinto fu elaborata da<br />
O.W. Richardson che, assimilando gli elettroni alle molecole <strong>di</strong> un gas, <strong>di</strong>mostrò che la densità <strong>di</strong><br />
corrente <strong>di</strong> saturazione J sat misurata dal numero <strong>di</strong> elettroni emessi nel vuoto da 1 cm 2 <strong>di</strong> superfi cie<br />
emittente del metallo in 1 s, è data dalla relazione:<br />
dove C e d sono due costanti caratteristiche della natura del metallo, T è la temperatura assoluta del<br />
fi lamento, e il numero <strong>di</strong> Nepero e k è la costante <strong>di</strong> Boltzmann.<br />
Questa teoria dell’emissione elettronica non si adatta perfettamente ai risultati sperimentali e perciò<br />
fu mo<strong>di</strong>fi cata più tar<strong>di</strong> da H.A. Wilson, J.J. Thomson e dallo stesso Richardson con un ragionamento<br />
fondato sui principi della termo<strong>di</strong>namica nel quale il fenomeno della emissione elettronica è<br />
considerato equivalente alla evaporazione <strong>di</strong> un gas monoatomico.<br />
La nuova formula proposta da Richardson:<br />
per l’emissione termoelettronica, è formalmente identica a quella ricavata più recentemente da Sommerfeld,<br />
partendo dalla <strong>moderna</strong> teoria elettronica dei metalli (basata <strong>sulla</strong> teoria dei quanti <strong>di</strong> energia),<br />
che ha trovato per la densità J sat della corrente <strong>di</strong> saturazione l’espressione:<br />
dove:<br />
A è una costante universale uguale per tutti i metalli [ ];<br />
W o = eV e è il lavoro <strong>di</strong> estrazione caratteristico per ogni tipo <strong>di</strong> fi lamento;<br />
T è la temperatura assoluta del fi lamento;<br />
e è il numero <strong>di</strong> Nepero;<br />
k è la costante <strong>di</strong> Boltzmann.<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)
184 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Rappresentando in un unico<br />
grafi co le curve caratteristiche<br />
<strong>di</strong> un <strong>di</strong>odo riferentesi a<br />
temperature <strong>di</strong>verse del fi lamento<br />
(fi g. 3), queste presentano<br />
un tratto comune,<br />
quello precedente al punto<br />
<strong>di</strong> fl esso che preannuncia il<br />
valore <strong>di</strong> J sat , <strong>di</strong> saturazione.<br />
Per ottenere una temperatura<br />
<strong>di</strong>versa del fi lamento è<br />
suffi ciente regolare la tensione<br />
<strong>di</strong> filamento entro il<br />
valore massimo consentito.<br />
Il tratto comune delle varie<br />
curve della corrente ano<strong>di</strong>ca<br />
in funzione della tensione<br />
ano<strong>di</strong>ca sono ben rappresentate<br />
dalla funzione<br />
Fig. 3. Legge <strong>di</strong> Richardson – Sommerfeld.<br />
stu<strong>di</strong>ata da Langmuir e Child.<br />
La costante k presente nella (4) <strong>di</strong>pende dalla sostanza del fi lamento ed anche dalla forma del <strong>di</strong>odo,<br />
ma non <strong>di</strong>pende dalla temperatura.<br />
Lavoro <strong>di</strong> estrazione<br />
Nel fi lamento metallico vi sono elettroni liberi <strong>di</strong> conduzione formanti una specie <strong>di</strong> nube nella quale<br />
sono immersi gli ioni positivi del metallo: legame metallico.<br />
Riscaldando il fi lamento per effetto Joule, aumenta l’energia cinetica degli elettroni e se questa energia<br />
raggiunge un certo valore, alcuni <strong>di</strong> questi elettroni riescono ad abbandonare il metallo.<br />
A tale proposito si ricorda che gli elettroni, per abbandonare il metallo, devono superare una barriera<br />
<strong>di</strong> potenziale V e che il metallo forma me<strong>di</strong>ante l’ultimo strato dei suoi atomi superfi ciali. Questa barriera<br />
<strong>di</strong> potenziale compie un lavoro -W 0 sugli elettroni (con W 0 > 0), pertanto gli elettroni dovranno<br />
possedere una energia cinetica almeno uguale o superiore a W 0 che si defi nisce lavoro <strong>di</strong> estrazione<br />
del metallo. Per il tungsteno V e vale 4,5 V<br />
V (V) I (mA) I (mA) I (mA) I (mA) I (mA)<br />
10 0,006 0,008 0,012 0,021 0,033<br />
20 0,018 0,026 0,034 0,052 0,080<br />
40 0,031 0,055 0,080 0,118 0,200<br />
60 0,033 0,065 0,086 0,130 0,245<br />
80 0,034 0,068 0,087 0,135 0,268<br />
100 0,034 0,068 0,087 0,136 0,280<br />
120 0,034 0,069 0,088 0,136 0,290<br />
140 0,035 0,069 0,088 0,137 0,300<br />
160 0,035 0,070 0,089 0,137 0,305<br />
180 0,035 0,070 0,089 0,138 0,316<br />
200 0,036 0,071 0,090 0,138 0,325<br />
Tab. 1 Effetto termoelettrico (Vf : 2.0 V; 2.2 V; 2.6 V; 3.0 V; 3.4V)<br />
(4)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 185<br />
Questa energia è fornita agli elettroni dall’energia termica. Più grande è la temperatura raggiunta dal<br />
fi lamento e maggiore risulta il numero degli elettroni che lasciano il metallo. Così, ad esempio, per<br />
un fi lamento <strong>di</strong> tungsteno la densità <strong>di</strong> corrente termoelettronica a 1000 K è <strong>di</strong> circa 10 -17 A mm -2<br />
mentre a 3000 K sale a circa 15×10 -2 A mm -2 con un aumento relativo uguale a 15×10 15 .<br />
Si deve tenere presente, inoltre, che il lavoro <strong>di</strong> estrazione aumenta col numero <strong>di</strong> elettroni già espulsi:<br />
infatti se il numero <strong>di</strong> elettroni estratti è n, la carica totale nel metallo è n·e e pertanto l’(n + 1)-esimo<br />
elettrone subirà l’azione <strong>di</strong> una forza n volte più grande del primo estratto.<br />
Ad un certo momento un metallo, portato ad alta temperatura, non perderà che pochi elettroni perché<br />
si stabilisce un certo equilibrio fra il metallo e la nebbia elettronica che lo circonda.<br />
Perciò, per avere una emissione continua <strong>di</strong> elettroni, occorre captare quelli emessi (ad es. con la<br />
placca ano<strong>di</strong>ca) e sostituirli con altri che fl uiscono al metallo attraverso il circuito <strong>di</strong> placca. In tal<br />
modo si evita, fra l’altro, l’accrescimento del lavoro <strong>di</strong> estrazione.<br />
I dati della tab. 1 si riferiscono alle curve caratteristiche del <strong>di</strong>odo commerciale YA1000 per il quale<br />
Le curve caratteristiche corrispondenti sono riportate in fi gura 4.<br />
Fig. 4. Curve caratteristiche per temperature <strong>di</strong>verse.<br />
Dall’analisi delle varie curve si prova<br />
1) che il grafi co presenta l’andamento della legge teorica <strong>di</strong> Richardson;<br />
2) che il grafi co comune alle varie curve caratteristiche segue l’andamento della legge <strong>di</strong> Langmuir<br />
e Child.
186 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Schema alternativo per la misura sull’effetto termoelettronico<br />
Fig. 5. V f =12.6 V; i f =(100 ... 150) mA; i a ≤ 15 mA; per ottenere le curve usare V f ≤ 8 V zoccolo 906, lato pie<strong>di</strong>ni,<br />
per ECC82 ed ECC83.<br />
La valvola ECC82 è un bitriodo e presenta le seguenti caratteristiche:<br />
Dati sperimentali<br />
Vengono riportati in tabella e fi gura dati campione presi in una tipica misura<br />
If (82 mA) If (90 mA) If (100 mA)<br />
Vf (4.40 V) Vf (5.34 V) Vf (6.51 V)<br />
V (V) I1 (mA) I2 (mA) I3 (mA)<br />
0.0 0.000 0.000 0.00<br />
0.3 0.000 0.004 0.02<br />
0.5 0.006 0.031 0.10<br />
1.0 0.121 0.280 0.59<br />
1.5 0.210 0.675 1.24<br />
2.0 0.239 1.045 1.97<br />
2.5 0.255 1.329 2.65<br />
3.0 0.267 1.542 3.32<br />
3.5 0.279 1.640 3.91<br />
4.0 0.288 1.660 4.45<br />
4.5 0.295 1.682 4.90<br />
5.0 0.303 1.700 5.30<br />
6.0 0.315 1.738 5.88<br />
7.0 0.327 1.769 6.22<br />
8.0 0.335 1.790 6.40<br />
9.0 0.341 1.804 6.53<br />
10.0 0.349 1.808 6.55<br />
11.0 0.358 1.812 6.60<br />
12.0 0.366 1.815 6.65
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 187<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
Per l’analisi dei dati <strong>di</strong> una misura sull’effetto Termoelettronico è necessario stimare la temperatura<br />
del fi lamento. A tal fi ne bisogna fare una buona misura della corrente <strong>di</strong> fi lamento per ogni tensione<br />
<strong>di</strong> alimentazione e quin<strong>di</strong> seguire la seguente legge.<br />
La temperatura assoluta T del fi lamento <strong>di</strong> tungsteno si può calcolare me<strong>di</strong>ante l’equazione<br />
dove R 0 e T 0 rappresentano la resistenza e la corrispondente temperatura <strong>di</strong> uno stato noto.<br />
Per la misura iniziale <strong>di</strong> R 0 alla temperatura ambiente T 0 si procede con il tester. Per il tubo cui si riferiscono<br />
i precedenti dati si ha:<br />
Segue pertanto che le temperature del fi lamento relative alle precedenti ultime curve caratteristiche,<br />
sono rispettivamente:<br />
.<br />
Bibliografi a<br />
[1] Perucca E. (1942) <strong>Fisica</strong> Generale e sperimentale vol. 1 UTET, Torino.<br />
[2] Castagnoli C. (1981) Elementi <strong>di</strong> fi sica, vol. 3 SEI, Torino.<br />
[3] Montalbetti S. (1973 ) Trattato <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> elementare, vol. 3 Paravia, Torino.<br />
[4] De Marco A.(1977) <strong>Fisica</strong> vol. 3 Poseidonia, Bologna.<br />
[5] Bretschneider-Meissner Esperimenti <strong>di</strong> fi sica E<strong>di</strong>scientifi ca
MISURE DI RESISTENZA ELETTRICA DEI MATERIALI,<br />
IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA<br />
Marisa Michelini, Lorenzo Santi<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
La caratterizzazione <strong>di</strong> come varia la resistività elettrica dei materiali in funzione della loro temperatura<br />
fornisce numerosi elementi per comprendere la natura dei materiali stessi e costruire semplici<br />
modelli delle loro proprietà elettriche.<br />
Per introdurre i concetti necessari a comprendere questa fenomenologia, consideriamo innanzitutto<br />
un semplice materiale conduttore, quale il rame.<br />
Un modello semiclassico, chiamato <strong>di</strong> Drude o modello a gas <strong>di</strong> elettroni liberi, spiega il fenomeno<br />
della conduzione elettrica nel seguente modo. Il materiale solido può essere considerato come un reticolo<br />
cristallino con gli atomi fissi ai no<strong>di</strong>. Gli elettroni <strong>di</strong> conduzione <strong>di</strong> ciascun atomo sono liberi <strong>di</strong><br />
muoversi in questo reticolo, risentendo dell’azione degli atomi solo occasionalmente, quando collidono<br />
con essi.<br />
Questo modello è giustificato dalla struttura a bande energetiche degli elettroni <strong>di</strong> un solido cristallino:<br />
gli elettroni si <strong>di</strong>stribuiscono su livelli energetici molto ravvicinati fra <strong>di</strong> loro, tanto da formare<br />
una <strong>di</strong>stribuzione quasi continua. Questa <strong>di</strong>stribuzione ha degli intervalli <strong>di</strong> stati non permessi (gap)<br />
che separano le fasce <strong>di</strong> stati permessi (bande). A causa del principio <strong>di</strong> esclusione <strong>di</strong> Pauli (che proibisce<br />
a due elettroni <strong>di</strong> occupare lo stesso stato), nello stato fondamentale del sistema, gli elettroni<br />
riempiono i livelli energetici <strong>di</strong> queste bande, a partire da quelle <strong>di</strong> energia più bassa. In una banda<br />
completamente occupata, gli elettroni non possono venire eccitati con processi a bassa energia, poiché,<br />
a causa del principio <strong>di</strong> esclusione, non possono “muoversi” in un altro stato (occupato) della<br />
stessa banda oppure in uno stato <strong>di</strong> un’altra banda (a causa dell’altro valore <strong>di</strong> energia necessario per<br />
superare il gap tra le bande). Solo gli elettroni nei livelli della banda ad energia più elevata (se solo<br />
parzialmente occupata, banda <strong>di</strong> conduzione) possono essere influenzati dall’esterno nelle situazioni<br />
in cui consideriamo il fenomeno <strong>di</strong> conduzione elettrica e quin<strong>di</strong> possono contribuirvi.<br />
In presenza <strong>di</strong> un campo elettrico E esterno, questi elettroni tendono ad accelerare, assumendo velocità<br />
crescenti nel tempo. Ad intervalli irregolari gli elettroni collidono con i no<strong>di</strong> del reticolo cristallino<br />
e perdono completamente la velocità aggiuntiva causata dal campo elettrico e poi ritornano ad<br />
accelerare.<br />
In me<strong>di</strong>a, gli elettroni assumono una velocità (chiamata velocità <strong>di</strong> drift v d ) che, per valori non troppo<br />
elevati del campo elettrico, risulta essere proporzionale ad E.<br />
Il rapporto μ = v d / E (chiamato mobilità) è una grandezza che <strong>di</strong>pende dalla natura degli atomi e<br />
dalla temperatura del materiale.<br />
Il moto <strong>di</strong> drift (deriva) degli elettroni viene osservato macroscopicamente in termini della densità<br />
<strong>di</strong> corrente J che esso comporta. (La densità <strong>di</strong> corrente viene definita come la quantità <strong>di</strong> carica che<br />
attraversa una sezione <strong>di</strong> area unitaria del conduttore, in un intervallo <strong>di</strong> tempo unitario).<br />
J però in questo modo risulta <strong>di</strong>pendere dal valore E del campo elettrico applicato: per caratterizzare<br />
quantitativamente le proprietà del materiale e non una singola situazione sperimentale, si preferisce<br />
far riferimento alla grandezza conducibilità elettrica σ,definita come rapporto tra la densità <strong>di</strong> corrente<br />
J circolante nel materiale ed il campo elettrico E che la causa, σ = J/E.<br />
σ è generalmente data dalla combinazione <strong>di</strong> tre <strong>di</strong>versi fattori<br />
σ = n q μ<br />
ove n è la densità dei portatori <strong>di</strong> carica nel materiale (elettroni per il rame), q la carica del singolo<br />
portatore e μ è la mobilità del portatore. Se nel materiale fossero presenti portatori <strong>di</strong> carica <strong>di</strong>versi,<br />
ognuna contribuente alla conducibilità, la conducibilità complessiva risulta essere la somma dei vari<br />
contributi.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 189<br />
Usualmente poi le proprietà <strong>di</strong> conduzione dei materiali non vengono espresse me<strong>di</strong>ante la conducibilità,<br />
bensì il suo inverso, la resistività ρ = 1/σ.<br />
Se vogliamo stu<strong>di</strong>are il comportamento della resistività in funzione della temperatura T del materiale,<br />
dobbiamo esaminare come questi tre fattori (n q μ) variano in funzione <strong>di</strong> T.<br />
Materiali conduttori<br />
In un materiale conduttore, la temperatura T non influenza significativamente né la densità dei portatori<br />
<strong>di</strong> carica, né il valore della loro carica. Solo quin<strong>di</strong> la mobilità risulta essere influenzabile da T.<br />
Per vedere come ciò avviene, ripren<strong>di</strong>amo il modello <strong>di</strong> Drude. Supponiamo che in me<strong>di</strong>a un elettrone<br />
subisca un urto con il reticolo cristallino ogni τ secon<strong>di</strong>: allora, l’aumento <strong>di</strong> velocità Δvmax che<br />
esso ha subito finito ad un istante imme<strong>di</strong>atamente precedente all’urto è<br />
Δvmax = τ q E / m<br />
Ove m è la massa dell’elettrone (q E / m risulta così l’accelerazione dovuta al campo elettrico).<br />
Il valore me<strong>di</strong>o della velocità <strong>di</strong> drift risulta essere metà <strong>di</strong> Δvmax (essa parte da 0 e cresce linearmente)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
vd = τ q E / 2m<br />
La mobilità dell’elettrone risulta essere quin<strong>di</strong><br />
μ = τ q / 2m<br />
Il parametro che definisce quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> μ da T è il tempo me<strong>di</strong>o tra due urti τ.<br />
τ può essere considerato come il rapporto tra la <strong>di</strong>stanza me<strong>di</strong>a λ percorsa da un portatore <strong>di</strong> carica<br />
tra due urti (libero cammino me<strong>di</strong>o) e la velocità me<strong>di</strong>a vterm con cui esso si muove (τ = λ/ vterm ).<br />
Alla fine avremo<br />
μ = λ q / (2m vterm )<br />
(Vterm è la velocità quadratica me<strong>di</strong>a del moto termico degli elettroni, che per l’ipotesi <strong>di</strong> campi elettrici<br />
E deboli, non risulta essere influenzata da E).<br />
In con<strong>di</strong>zioni or<strong>di</strong>narie, vterm per materiale conduttore non varia significativamente con la temperatura.<br />
Infatti, seconda la teoria a bande dei metalli, l’energia degli elettroni <strong>di</strong> conduzione è con buona<br />
approssimazione costante e pari alla cosiddetta Energia <strong>di</strong> Fermi: la variazione <strong>di</strong> energia dovuto<br />
all’aumento della temperatura risulta essere assolutamente trascurabile.<br />
Per stimare invece λ, immaginiamo <strong>di</strong> seguire il moto <strong>di</strong> un elettrone che subisce N urti, mentre si<br />
muove (a zig zag tra un urto e l’altro) lungo un percorso <strong>di</strong> lunghezza L. Se supponiamo che (in<br />
me<strong>di</strong>a) l’elettrone subisce un urto quando arriva a <strong>di</strong>stanza r o minore da un nodo del reticolo, allora<br />
il numero N <strong>di</strong> atomi che provocano le collisioni sarà dato dal volume <strong>di</strong> un cilindro <strong>di</strong> raggio r con<br />
asse la traiettoria dell’elettrone (π r2 L) per la densità<br />
natomi e quin<strong>di</strong><br />
λ = L/N = L /(π r2 L natomi ) = 1/(π r2 natomi )<br />
La <strong>di</strong>stanza massima <strong>di</strong> interazione r <strong>di</strong>pende dalla<br />
temperatura. Gli atomi del reticolo cristallino vibrano<br />
attorno alla loro posizione <strong>di</strong> equilibrio e tanto maggiore<br />
è l’ampiezza <strong>di</strong> oscillazione, tanto maggiore è la<br />
<strong>di</strong>stanza massima r <strong>di</strong> interazione. Un semplice modello<br />
ad oscillatore armonico mostra che l’energia vibrazione<br />
Ev è proporzionale a r2 . Per il principio <strong>di</strong> equipartizione<br />
dell’energia però abbiamo che Ev è proporzionale a kT (k costante <strong>di</strong> Boltzmann) e quin<strong>di</strong><br />
alla fine risulta λ ∝ 1/T.
190 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Propagando questa <strong>di</strong>pendenza dalla temperatura fino alla resistività, otteniamo<br />
ρ ∝ T<br />
I risultati ottenuti in questo modello, che sono solo approssimati per molti materiali e non tengono<br />
conto <strong>di</strong> effetti quantistici significativi, trovano riscontro nell’andamento osservato della resistività<br />
per il rame.<br />
Nella figura seguente è riportata la <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ρ rame dalla temperatura, così come ricavato da Handbook<br />
of Chemistry and Physics (CRC)<br />
Le deviazioni a bassa temperatura sono effetti quantomeccanici, non descrivibili con il modello semiclassico<br />
che abbiamo utilizzato-<br />
Materiali semiconduttori<br />
All’inizio abbiamo affermato che solo gli elettroni della banda <strong>di</strong> conduzione contribuiscono, nei<br />
metalli, alla conduzione elettrica, mentre quelli della banda imme<strong>di</strong>atamente sottostante (chiamata<br />
<strong>di</strong> valenza) non possono farlo in maniera significativa. Che cosa succede se la banda <strong>di</strong> conduzione<br />
risultasse completamente vuota?<br />
Poiché la conducibilità è proporzionale al numero dei portatori, ciò dovrebbe portare ad una conducibilità<br />
nulla. In realtà, a causa della eccitazione termica, per temperature assolute non nulle, un piccolo<br />
numero <strong>di</strong> elettroni vengo eccitati dalla banda <strong>di</strong> valenza a quella <strong>di</strong> conduzione, generando una<br />
piccola conduzione. Inoltre, gli stati vuoti lasciati nella banda <strong>di</strong> valenza, permettono agli altri elettroni<br />
<strong>di</strong> occuparli in risposta alla sollecitazione <strong>di</strong> un campo esterno, lasciando a loro volta libero il<br />
loro stato <strong>di</strong> partenza. Questo fenomeno <strong>di</strong> conduzione può essere modellizzato supponendo che lo<br />
stato mancante (lacuna) sia in realtà un portatore <strong>di</strong> carica con le stesse caratteristiche dell’elettrone,<br />
ma <strong>di</strong> carica opposta. In questi materiali quin<strong>di</strong> la conducibilità elettrica assume la forma<br />
σ = n - q - μ - + n + q + μ + (1)<br />
(ove i due segni si riferiscono alla conduzioni <strong>di</strong> elettroni e <strong>di</strong> lacune, rispettivamente).<br />
In con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio termico, il numero <strong>di</strong> portatori dei due segni sono legati tra <strong>di</strong> loro dalla<br />
relazione
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 191<br />
n - n + ∝ e -ΔE/kT (2)<br />
ove ΔE è il gap in energia tra la banda <strong>di</strong> conduzione e quella <strong>di</strong> valenza. (Questa relazione deriva da<br />
una trattazione dell’equilibrio termico tra i processi <strong>di</strong> creazione <strong>di</strong> coppie elettroni-lacune per eccitazione<br />
termica e della loro ricombinazione)<br />
Poiché tipicamente ΔE >> kT (ΔE è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche elettronVolt, mentre kT è alcuni or<strong>di</strong>ni<br />
<strong>di</strong> grandezza più piccolo), il numero <strong>di</strong> portatori <strong>di</strong> carica è estremamente piccolo e la capacità <strong>di</strong><br />
condurre corrente elettrica <strong>di</strong>pende in maniera drastica dal valore <strong>di</strong> ΔE. Per valori <strong>di</strong> ΔE prossimi<br />
o inferiori a 1 eV, la conducibilità elettrica del materiale risulta essere non trascurabile, anche se <strong>di</strong><br />
svariati or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza inferiore a quella dei metalli: tali materiali vengono chiamati semiconduttori.<br />
Per valori significativamente superiori, il materiale viene considerato isolante, cioè inadatto<br />
alla conduzione elettrica.<br />
In un materiale semiconduttore puro, il numero <strong>di</strong> elettroni <strong>di</strong> conduzione è uguale a quello delle<br />
lacune formatesi, per cui all’aumentare della temperatura, entrambi aumentano in maniera esponenziale.<br />
Ciò fa aumentare in egual misura la conducibilità: la <strong>di</strong>pendenza dalla temperatura della mobilità<br />
(essenzialmente simile a quella dei conduttori metallici), pur se <strong>di</strong> tendenza opposta, è più debole<br />
e non riesce a contrastare tale crescita. Ne segue che la resistività <strong>di</strong> un semiconduttore puro (o intrinseco)<br />
tende a <strong>di</strong>minuire con l’aumentare della temperatura.<br />
La situazione cambia drasticamente nel caso in cui il materiale semiconduttore sia contaminato (drogato)<br />
con elementi <strong>di</strong> valenza chimica <strong>di</strong>versa. In questo caso si vengono a creare degli stati energetici<br />
nella zona <strong>di</strong> gap tra la banda <strong>di</strong> conduzione e <strong>di</strong> valenza.<br />
Nel caso sia un drogante “donatore” <strong>di</strong> elettroni (cioè ha una valenza superiore al materiale semiconduttore)<br />
viene a crearsi un livello supplementare, nella zona del gap, prossimo al limite inferiore<br />
alla banda <strong>di</strong> conduzione. Questi elettroni vengono facilmente eccitati alla banda <strong>di</strong> conduzione e<br />
quin<strong>di</strong> è possibile ipotizzare che tutti gli elettroni supplementari degli atomi droganti passino siano<br />
<strong>di</strong>sponibili al processo <strong>di</strong> conduzione elettrica. Poiché la relazione (2) vale ancora per questo materiale,<br />
ne segue che per densità N don degli atomi droganti sufficientemente elevate (n - ≥ N don ) la densità<br />
<strong>di</strong> portatori <strong>di</strong> carica positivi n + è completamente trascurabile. Il materiale si <strong>di</strong>ce quin<strong>di</strong> drogato<br />
<strong>di</strong> tipo n, poiché i portatori <strong>di</strong> maggioranza sono elettroni.<br />
In maniera analoga, se viene usato un drogante “accettore” <strong>di</strong> elettroni (con valenza inferiore al materiale<br />
semiconduttore), si crea una situazione simmetrica, questa volta però con un livello elettronico<br />
(vuoto) presso il limite della banda <strong>di</strong> valenza, che ingenera una maggioranza <strong>di</strong> portatori <strong>di</strong> carica<br />
positivi (lacune) e quin<strong>di</strong> il semiconduttore si <strong>di</strong>ce drogato <strong>di</strong> tipo n.<br />
In entrambi i casi, nell’espressione (1) della conducibilità sopravvive un solo termine (positivo o negativo<br />
a seconda del drogante). Poiché il numero <strong>di</strong> portatori è circa costante, fissato dalla densità del<br />
drogante, il comportamento del semiconduttore è simile a quello <strong>di</strong> un normale conduttore (a parte<br />
il valore estremamente più basso della conducibilità) e la sua <strong>di</strong>pendenza dalla temperatura deriva<br />
unicamente da quella della mobilità. Ne segue che, come per un conduttore metallico, la resistività<br />
<strong>di</strong> un semiconduttore drogato dovrebbe aumentare con l’aumentare della temperatura.<br />
Quando però, continuando ad aumentare la temperatura, la densità <strong>di</strong> portatori <strong>di</strong> minoranza (cioè<br />
quelli <strong>di</strong> segno opposto a quelli <strong>di</strong> maggioranza) <strong>di</strong>venta confrontabile con quella del drogante, allora<br />
accadono due fenomeni<br />
1) Il contributo dato alla conducibilità dai portatori <strong>di</strong> minoranza non è più trascurabile<br />
2) La densità dei portatori <strong>di</strong> maggioranza non è più costante, ma risente dell’eccitazione termica <strong>di</strong><br />
nuove coppie elettroni-lacune.<br />
Riassumendo, al <strong>di</strong> sopra <strong>di</strong> una certa temperatura <strong>di</strong> soglia, che <strong>di</strong>pende dalla concentrazione del<br />
drogante, il semiconduttore rincomincia a comportarsi come un semiconduttore intrinseco, e la sua<br />
resistività incomincia a <strong>di</strong>minuire con la temperatura.<br />
Nella figura viene mostrato il comportamento <strong>di</strong> un campione <strong>di</strong> silicio drogato p, misurato con il<br />
<strong>di</strong>spositivo sperimentale che verrà usato in laboratorio
192 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Materiali superconduttori<br />
Il fenomeno della superconduttività fu scoperto nel 1911 da H. Kamerling Onnes, stu<strong>di</strong>ando il comportamento<br />
del mercurio solido, a temperature prossime a quelle dell’Elio liquido (circa 4K): alla temperatura<br />
<strong>di</strong> 4.2K, il mercurio sembrava <strong>di</strong>ventare un conduttore perfetto (la sua resistività si annullava).<br />
Questo risultato era inaspettato: si sapeva che i conduttori hanno una resistenza elettrica che <strong>di</strong>minuisce<br />
con la loro temperatura, ma anche a temperature prossime allo zero assoluto, un campione <strong>di</strong><br />
rame presenta una resistività non nulla dovuta ad impurità e <strong>di</strong>fetti del materiale.<br />
Nel mercurio invece (ed in altri materiali, scoperti successivamente), la resistività cade bruscamente<br />
a valori nulli o comunque non rilevabili, non appena il conduttore viene portato ad una temperatura<br />
inferiore ad un valore critico (temperatura critica T C ). Questo comportamento <strong>di</strong> brusca <strong>di</strong>scontinuità,<br />
e’ in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> una transizione <strong>di</strong> fase per lo stato del materiale e le sue caratteristiche elettriche.<br />
Si incominciò a comprendere le ragioni <strong>di</strong> tale comportamento solo più tar<strong>di</strong>, quando nel 1933, quando<br />
Meissner e Ochsenfeld scoprirono che al <strong>di</strong> sotto della temperatura<br />
critica <strong>di</strong> transizione alla fase superconduttiva, il materiale<br />
immerso in campo magnetico relativamente debole, tende<br />
ad annullare il campo magnetico al suo interno, “espellendo le<br />
linee <strong>di</strong> campo” (effetto Meissner).<br />
Questo effetto è dovuto all’insorgere <strong>di</strong> correnti permanenti<br />
<strong>sulla</strong> superficie del materiale superconduttore a causa del campo<br />
magnetico esterno, che inducono un ulteriore campo che si<br />
oppone ed annulla quello esterno.<br />
Per campi magnetici al <strong>di</strong> sopra <strong>di</strong> una certa soglia (<strong>di</strong>pendente<br />
dalla temperatura e dalla natura del superconduttore) l’effetto<br />
Meissner scompare. Il modo con cui avviene permette <strong>di</strong> classificare<br />
i materiali superconduttori in due categorie.<br />
Tipo I (tipicamente materiali puri, con temperature critiche estremamente<br />
basse). La superconduttività scompare improvvisamente quando il campo magnetico supera<br />
un valore critico H c , <strong>di</strong>pendente dalla temperatura e dal tipo <strong>di</strong> materiale<br />
Tipo II (tipicamente leghe e materiali compositi, con temperature critiche elevate). Per questi materiali,<br />
la superconduttività non scompare quando il campo magnetico esterno aumenta ma, al <strong>di</strong> sopra<br />
<strong>di</strong> un certo valore <strong>di</strong> soglia H C1 , alcune zone del materiale <strong>di</strong>ventano non superconduttive, intrappolando<br />
linee <strong>di</strong> campo (effetto pinning). Queste regioni intrappolate permangono anche quando il<br />
campo esterno viene rimosso, mantenendo una sua “memoria”. Aumentando ulteriormente il campo,<br />
fino a superare un secondo valore critico H C2 , tutto il materiale <strong>di</strong>venta non superconduttore.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 193<br />
I materiali <strong>di</strong> tipo II possono raggiungere temperature critiche <strong>di</strong> transizione molto più elevate dei<br />
materiali puri: ad esempio il materiale semiconduttore che verrà usato in laboratorio, una ceramica <strong>di</strong><br />
composizione Y Ba2 Cu3 O7 (Ittrio, Bario, Rame ed Ossigeno, abbreviato comunemente in YBCO),<br />
raggiunge lo stato superconduttivo a temperature dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 90K. Tali temperature possono essere<br />
facilmente raggiunte in laboratorio usando l’azoto liquido (che bolle a pressione atmosferica a 77K)<br />
e quin<strong>di</strong> permettono <strong>di</strong> effettuare in maniera semplice delle misure <strong>di</strong> resistività dal comportamento<br />
superconduttore a quello normale a temperatura ambiente.<br />
In figura è mostrato l’esito <strong>di</strong> una <strong>di</strong> queste misure<br />
Notiamo come ad una temperatura <strong>di</strong> poco inferiore ai 90K, la resistenza del campione <strong>di</strong>minuisce<br />
in maniera brusca, fino ad annullare completamente la resistenza. Per temperature superiori a quelle<br />
<strong>di</strong> transizione, il materiale si comporta come un normale conduttore, aumentando la resistenza con<br />
l’aumentare della temperatura.<br />
La transizione <strong>di</strong> fase non è netta, poiché la temperatura critica della miscela <strong>di</strong>pende fortemente<br />
dalla quantità <strong>di</strong> ossigeno presente nella ceramica: piccole <strong>di</strong>somogeneità creano una <strong>di</strong>stribuzione<br />
<strong>di</strong> temperature critiche, che si riflettono <strong>sulla</strong> pendenza del tratto <strong>di</strong> transizione.<br />
La temperatura a cui si incomincia a notare lo scostamento della curva dal comportamento “conduttore”<br />
corrisponde alla temperatura critica <strong>di</strong> un campione “ideale”, perfettamente omogeneo.
EFFETTO HALL<br />
Mario Gervasio, Marisa Michelini, Lorenzo Santi<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Obiettivi: Misurare il coefficiente <strong>di</strong> Hall su campioni metallici ed a semiconduttore. Determinare il<br />
segno ed il numero dei portatori liberi e la mobilità <strong>di</strong> deriva degli stessi.<br />
Il modello classico (a gas <strong>di</strong> elettroni liberi) considera gli elettroni <strong>di</strong> valenza come un gas <strong>di</strong> particelle<br />
che si muovono in maniera <strong>di</strong>sor<strong>di</strong>nata all’interno del reticolo cristallino del metallo.<br />
Pren<strong>di</strong>amo in considerazione un campione<br />
(uno strato <strong>di</strong> materiale <strong>di</strong> forma parallelepipeda)<br />
come in<strong>di</strong>cato in Figura 1,<br />
immerso in un campo magnetico uniforme<br />
<strong>di</strong> intensità B e <strong>di</strong>retto secondo l’asse z.<br />
Si fa passare una corrente <strong>di</strong> intensità I x<br />
<strong>di</strong>retta lungo l’asse delle x.<br />
Gli elettroni, sotto l’effetto del campo elettrico<br />
E x , acquistano una velocità <strong>di</strong> deriva<br />
v nel verso contrario al campo elettrico.<br />
Essi risultano pertanto sottoposti alla forza<br />
<strong>di</strong> Lorentz F L = q · v · B <strong>di</strong>retta lungo<br />
l’asse delle y negative e tendono quin<strong>di</strong><br />
Figura 1. Geometria dell’effetto Hall.<br />
ad accumularsi <strong>sulla</strong> faccia del campione perpen<strong>di</strong>colare all’asse y e posta verso chi guarda la figura.<br />
Questo accumulo <strong>di</strong> cariche determina una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale V H tra le due facce del campione<br />
perpen<strong>di</strong>colari all’asse y. Il campo elettrico E H che si viene a generare (campo <strong>di</strong> Hall) determina<br />
una forza elettrica q · E H uguale ed opposta alla forza <strong>di</strong> Lorentz nei termini che E H = v · B dalla<br />
quale si evidenzia che il campo <strong>di</strong> Hall è <strong>di</strong>rettamente proporzionale sia al campo magnetico B che<br />
alla velocità <strong>di</strong> deriva v.<br />
Si definisce il coefficiente <strong>di</strong> Hall come R H = E H /(J x · B) dove E H = v · B. Ricordando che<br />
J x = I x / a · s = q · n · v si ottiene<br />
R H = v B / (q · n · v B) = 1/ q · n = - 1/ e · n (1.1)<br />
quin<strong>di</strong> la misura <strong>di</strong> R H ci permette <strong>di</strong> conoscere la concentrazione n dei portatori liberi.<br />
La misura della conducibilità elettrica σ, associata alla misura <strong>di</strong> R H ci permette inoltre <strong>di</strong> conoscere<br />
la mobilità <strong>di</strong> deriva μ, definita come rapporto tra la velocità <strong>di</strong> deriva v ed il campo elettrico E x<br />
R H σ = R H (J x / E x ) = 1/ q · n (q · n · v · μ / v) = μ (1.2)<br />
Per effettuare la misura del coefficiente <strong>di</strong> Hall è necessario misurare V H , I x , B e lo spessore del campione<br />
s, in quanto R H = E H / (J x · B) dove E H = V H / a e J x = I x / a · s e pertanto<br />
R H = V H · s / (I x · B) (1.3)<br />
Misura su campioni metallici<br />
L’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza <strong>di</strong> R H per i metalli più comuni è dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 10 -11 m 3 C -1 ed è chiaro che per<br />
avere valori <strong>di</strong> V H misurabili occorrerà utilizzare un campo magnetico sufficientemente intenso (un<br />
valore facilmente ottenibile è <strong>di</strong> 1 T), una corrente elevata (almeno 10 A) ed uno spessore del campione<br />
ridotto a qualche centesimo <strong>di</strong> millimetro.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 195<br />
Dalla relazione (1.3) si evince che, anche con spessori del campione <strong>di</strong> qualche micron, la tensione<br />
<strong>di</strong> Hall V H risulterà dell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> pochi microvolt e sarà quin<strong>di</strong> necessario l’utilizzo <strong>di</strong> un amplificatore<br />
con guadagno almeno 1.000 ed una altissima impedenza <strong>di</strong> ingresso.<br />
Per la misura del campo magnetico B viene utilizzata una sonda ad induzione collegata ad un integratore<br />
<strong>di</strong> carica.<br />
Per un campione <strong>di</strong> Rame <strong>di</strong> spessore 30 μm, sottoposto ad un campo magnetico <strong>di</strong> 0,98 T, si sono<br />
ottenuti i seguenti risultati:<br />
Figura 2. tensione <strong>di</strong> Hall V H in funzione della corrente I per B = 0,98T.<br />
L’interpolazione lineare dei dati ottenuti fornisce R H = - 5,8 · 10 -11 m 3 / C<br />
In letteratura si trova. Lo scostamento da questo valore è dovuto principalmente alla incertezza data<br />
dagli errori sullo spessore del campione e sul valore <strong>di</strong> B.<br />
Dalla 1.1 si ricava che la concentrazione degli elettroni liberi n, col valore da noi ottenuto per R H è:<br />
n = 1/(e · R H ) = 1 / (1,6·10 -19 · 5,8·10 -11 ) = 10,8·10 28 m -3<br />
Il confronto <strong>di</strong> questo risultato con il valore della previsione teorica (n ≈ 8,5·10 28 m -3 ) conferma che<br />
entro un margine <strong>di</strong> errore del 22 % la prova sperimentale conferma le previsioni del modello a gas<br />
<strong>di</strong> elettroni liberi.<br />
Le previsioni del modello a gas <strong>di</strong> elettroni liberi trovano conferma sperimentale per la tutti i metalli<br />
del gruppo I della tabella <strong>di</strong> Mendeleev, ma non, ad esempio, per quelli del gruppo II. Questi metalli<br />
hanno ad<strong>di</strong>rittura un valore <strong>di</strong> R H positivo come se i portatori liberi non fossero elettroni ma cariche<br />
positive.<br />
I risultati ottenuti per un campione <strong>di</strong> Zinco <strong>di</strong> spessore 30 μm, sottoposto ad un campo magnetico<br />
<strong>di</strong> 0,99 T, sono evidenziati nella Figura 3.<br />
Per poter spiegare queste anomalie occorre introdurre nuovi concetti, come la teoria delle bande <strong>di</strong><br />
energia per gli elettroni.<br />
Il segno positivo <strong>di</strong> R H per questi metalli si spiega in quanto per essi la banda <strong>di</strong> valenza risulta essere<br />
quasi piena. L’agitazione termica porta alcuni elettroni ad occupare i livelli più alti <strong>di</strong> tale banda e<br />
quin<strong>di</strong> in essa rimangono presenti livelli energetici non occupati, ossia delle lacune che, sottoposte<br />
all’azione del campo elettrico E si muovono, intuitivamente, nel verso del campo elettrico stesso<br />
come fossero cariche positive.
196 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Figura 3. Tensione <strong>di</strong> Hall V H in funzione della corrente I per B = 0,99T.<br />
Figura 4. Tensione <strong>di</strong> Hall V H in funzione della corrente I per B = 0,427 T.<br />
Misura su campioni a semiconduttore<br />
Le misure verranno effettuate su campioni <strong>di</strong> Ge con drogaggio sia <strong>di</strong> tipo P che <strong>di</strong> tipo N.<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> Hall dei semiconduttori è <strong>di</strong> molti or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza inferiore a quello dei metalli,<br />
dato il numero nettamente inferiore dei portatori liberi. L’esperimento richiede correnti <strong>di</strong> polarizzazione<br />
dei campioni dell’or<strong>di</strong>ne dei mA per ottenere tensioni <strong>di</strong> Hall già dell’or<strong>di</strong>ne dei mV.<br />
Anche per i semiconduttori i risultati sperimentali evidenziano il fatto che il segno della tensione<br />
<strong>di</strong> Hall non è sempre negativo e questo naturalmente mette in <strong>di</strong>scussione il modello a gas <strong>di</strong> elettroni<br />
liberi.<br />
Vi è inoltre una osservazione da fare e riguarda la deviazione dalla linearità che si riscontra per i<br />
valori più elevati della corrente <strong>di</strong> polarizzazione. Ciò è dovuto al fatto che R H <strong>di</strong>minuisce al crescere<br />
della temperatura ed ad<strong>di</strong>rittura, nel semiconduttore <strong>di</strong> Ge drogato P, si riscontra l’inversione
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 197<br />
Figura 5. Valore me<strong>di</strong>o, sulle misure precedentemente effettuate, della tensione <strong>di</strong> Hall V H in<br />
funzione della corrente I per B = 0,427 T.<br />
del segno della tensione <strong>di</strong> Hall qualora si riscal<strong>di</strong> con un phon il campione mentre si trova tra le<br />
espansioni polari del magnete.<br />
Le prove su un campione <strong>di</strong> GeP sono state effettuate introducendo il campione nel campo magnetico<br />
prima in un senso e poi ruotato <strong>di</strong> 180° (ciò equivale ad invertire la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> B).<br />
In un secondo tempo si è fatta la me<strong>di</strong>a delle due letture (in modulo) e questo per annullare totalmente<br />
l’effetto della d.d.p. dovuta al non perfetto allineamento dei contatti trasversali del campione<br />
su una linea equipotenziale.<br />
In Figura 4 sono riportati i risultati ottenuti nelle due serie <strong>di</strong> letture ed in Figura 5 la me<strong>di</strong>a delle<br />
misure effettuate.<br />
Figura 5. Tensione <strong>di</strong> Hall V H in funzione della corrente I per B = 0,46 T.
198 Capitolo 3. Esperimenti<br />
Dal fit del grafico otteniamo per R H il seguente valore:<br />
R H = V H s / (I x B) = (V H / I x ) · s /B = 3,02 ·10 -2 m 3 / C<br />
Misurando anche la resistenza elettrica del campione, le sue <strong>di</strong>mensioni e calcolandone quin<strong>di</strong> la resistività<br />
si può anche calcolare la mobilità <strong>di</strong> Hall (per questo campione ρ=15 Ω cm):<br />
μ H = R H / ρ = 0,201 m 2 V -1 s -1<br />
La mobilità <strong>di</strong> Hall, per campioni <strong>di</strong> Ge fortemente drogati, deve risultare circa uguale alla mobilità<br />
<strong>di</strong> deriva (3900 cm 2 V -1 s -1 per gli elettroni e 1900 cm 2 V -1 s -1 per le lacune)<br />
La concentrazione dei portatori liberi (nel nostro caso lacune) risulta p = 2,1 ·10 20 m -3<br />
I risultati ottenuti per un campione <strong>di</strong> GeN dello spessore <strong>di</strong> 1,65 mm sottoposto ad un campo magnetico<br />
<strong>di</strong> 0,46 T sono riportati in Figura 5.<br />
Dal fit del grafico otteniamo per R H il seguente valore:<br />
R H = V H s / (I x B) = (V H / I x ) · s /B = - 3,23 ·10 -3 m 3 / C
Capitolo 4. Percorsi<br />
AVVICINARSI ALLA TEORIA DELLA MECCANICA QUANTISTICA<br />
Marisa Michelini, Alberto Stefanel<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
In<strong>di</strong>cazioni generali<br />
1. Obiettivi generali<br />
Ci si propone in questa sede <strong>di</strong> fare i primi passi verso una visione sintetica della <strong>fisica</strong> quantistica<br />
ed il formalismo che la sostiene.Si tratta pertanto <strong>di</strong> un’introduzione delle idee della <strong>fisica</strong> quantistica<br />
a partire dal riconoscimento del ruolo del principio <strong>di</strong> sovrapposizione per la comprensione<br />
dello stato quantico.<br />
2. Motivazioni e scelte rispetto al quadro concettuale<br />
Le idee che costituiscono il fondamento della <strong>fisica</strong> quantistica fondano una nuova meccanica: la<br />
meccanica quantistica. Esse mo<strong>di</strong>ficano in modo sostanziale, spesso antiintuitivo, quelle della meccanica<br />
classica e rappresentano un nuovo modo <strong>di</strong> guardare la realtà, capace <strong>di</strong> interpretare i fenomeni<br />
a livello microscopico.<br />
Dopo quasi un secolo dalla sua formulazione è sempre più vasto il suo impiego in tutta la ricerca<br />
scientifica, in particolare nella scienza dei materiali, nella <strong>fisica</strong> atomica e delle particelle elementari.<br />
Si sente la necessità che essa <strong>di</strong>venti parte integrante del patrimonio culturale <strong>di</strong> tutti: essa viene<br />
infatti prevista nell’insegnamento della <strong>fisica</strong> secondaria dei Paesi europei. Il problema <strong>di</strong> come<br />
impostarne la <strong>di</strong>dattica è però ancora aperto sia per le <strong>di</strong>fficoltà concettuali, sia per le <strong>di</strong>fficoltà<br />
formali intrinseche nel profondo cambiamento del modo in cui interpretare la fenomenologia 1 . Nel<br />
quadro <strong>di</strong> un’ampia offerta <strong>di</strong>vulgativa <strong>di</strong> aspetti sorprendenti del modo <strong>di</strong> pensare quantistico, si<br />
sente la necessità <strong>di</strong> una trattazione per la <strong>di</strong>dattica che permetta <strong>di</strong> riconoscere l’unitarietà del quadro<br />
concettuale: le idee teoriche <strong>di</strong> fondo, con il formalismo, che dà loro un ruolo preciso.<br />
Oggi<br />
Descrizione del mondo quantica<br />
Programmi <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> per SSS in Europa<br />
Difficoltà concettuali<br />
Programmi Brocca<br />
Quale impostazione Storico fenomenologica?<br />
Difficoltà formali Conoscenze <strong>di</strong> <strong>fisica</strong> <strong>di</strong> base<br />
Discussione <strong>di</strong> aspetti cruciali<br />
concetti car<strong>di</strong>ne<br />
elementi peculiari<br />
Fig. 1. Il quadro riassume le motivazioni che stanno alla base delle nostre proposte.<br />
(1) Molto variegato in peso e in contenuti è soprattutto il materiale a livello secondario. Per un quadro delle possibili<br />
impostazioni è ancora attuale il volume: A. Loria, P. Thomsen, Seminar on the teaching of physics in schools 2, GIREP,<br />
Gylendal, 1975. Una <strong>di</strong>scussione interessante e più aggiornata in italiano si trova nei quaderni Q3 (1992) e Q7 (1997)<br />
de La <strong>Fisica</strong> nella Scuola. Completa il quadro delle proposte il seguente lavoro <strong>di</strong> grande interesse generale e fondante<br />
dell’approccio basato <strong>sulla</strong> ricostruzione razionale dei concetti: E. Fabri, "Come introdurre la <strong>fisica</strong> quantisúca nella<br />
scuola secondaria superiore", La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XXIX, 1 suppl. (1996), p. 63.
200 Capitolo 4. Percorsi<br />
3. Impostazione (percorso concettuale)<br />
L’approccio ondulatorio costituisce la modalità più rigorosa con cui avvicinarsi gradualmente alla<br />
nuova meccanica, ma si appoggia su prerequisiti <strong>di</strong> competenza in <strong>fisica</strong> e in matematica non comunemente<br />
presenti a livello secondario; inoltre richiede un processo lungo e attento sia all’analisi<br />
formale sia a quella concettuale per processi analogici <strong>di</strong> graduale avvicinamento al nuovo modo<br />
<strong>di</strong> guardare: resta in ombra la sintetica potenzialità del formalismo vettoriale, che fonda la nuova<br />
meccanica.<br />
Il passaggio dal continuo al <strong>di</strong>screto nella rappresentazione delle grandezze fisiche è uno dei fatti<br />
più rilevanti della meccanica quantistica. La <strong>fisica</strong> dei quanti è pertanto un approccio affascinante<br />
e motivante, che consente una ricostruzione razionale delle idee, che hanno portato alla quantizzazione<br />
delle principali grandezze descrittive dello stato dei sistemi microscopici. Si può effettuare<br />
me<strong>di</strong>ante un’analisi storica dei problemi irrisolti e/o degli esperimenti classicamente non spiegabili<br />
2 . Comporta tuttavia per alcuni aspetti una trattazione a livello fenomenologico, che lascia sul<br />
piano qualitativo ipotesi, che richiederebbero argomentazioni puntuali e giustificazioni formali. La<br />
<strong>di</strong>mensione descrittiva appare insod<strong>di</strong>sfacente sul piano <strong>di</strong>dattico e non può essere assunta come<br />
modalità <strong>di</strong> costruzione <strong>di</strong> una conoscenza <strong>di</strong> base in tale campo, se non viene completata dalle<br />
principali idee su cui la meccanica quantistica si fonda. A tale scopo serve produrre consapevolezza<br />
degli assunti <strong>di</strong> riferimento della nuova meccanica e offrire qualche in<strong>di</strong>cazione sul formalismo<br />
in essa adottato, perché esso assume in meccanica quantistica un ruolo quasi concettuale.<br />
La scelta che si fa in questa sede punta all’introduzione della teoria, me<strong>di</strong>ante la trattazione <strong>di</strong><br />
concetti car<strong>di</strong>ne e <strong>di</strong> elementi peculiari della meccanica quantistica. Si tratta <strong>di</strong> un approccio alle<br />
idee teoriche, a quelle scelte formali che determinano il significato degli enti 3 .<br />
Essa comporta:<br />
a) sul piano <strong>di</strong>sciplinare: <strong>di</strong> affrontare subito il concetto <strong>di</strong> stato quantico e il principio <strong>di</strong> sovrapposizione.<br />
b) sul piano <strong>di</strong>dattico: <strong>di</strong> far riferimento ad una fenomenologia che evidenzi in modo semplice<br />
proprietà descritte quantisticamente da uno stato.<br />
Si propone la fenomenologia della polarizzazione, come proprietà quantistica della luce, da analizzare<br />
me<strong>di</strong>ante semplici esperimenti ideali <strong>di</strong> interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali<br />
birifrangenti (cristalli <strong>di</strong> calcite).<br />
In questo quadro, esaminando situazioni specifiche con il bagaglio culturale <strong>di</strong> uno studente <strong>di</strong><br />
scuola secondaria, si possono <strong>di</strong>scutere a fondo nuclei fondanti della meccanica quantistica, come<br />
il concetto <strong>di</strong> stato ed indeterminismo quantico, proprietà incompatibili, non località e processo <strong>di</strong><br />
misura.<br />
Il comportamento dei fotoni polarizzati linearmente nell’interazione con polaroid permette il riconoscimento<br />
del principio <strong>di</strong> indeterminazione e dell’indeterminismo quantistico.<br />
L’interazione dei fotoni con cristalli birifrangenti fa riconoscere come lo stato <strong>di</strong> polarizzazione a<br />
45° sia associato al vettore somma degli stati ortogonali componenti e non possa essere considerato<br />
una loro miscela statistica. Essa permette <strong>di</strong> evidenziare anche l’impossibilità <strong>di</strong> attribuire un<br />
preciso cammino ai singoli fotoni, oppure, secondo teorie alternative, <strong>di</strong> dover ammettere un comportamento<br />
non classico dei fotoni nelle interazioni.<br />
(2) Si unifichino qui tre impostazioni <strong>di</strong>verse (storica, per problemi, <strong>di</strong> ricostruzione razionale delle idee <strong>di</strong> fondo) che<br />
focalizzano l’attenzione sul riconoscimento della natura <strong>di</strong>screta <strong>di</strong> alcune principali grandezze descrittive degli stati<br />
e dei processi microscopici. Come la <strong>fisica</strong> dei quanti sia stata necessaria, ma non possa essere rappresentativa della<br />
meccanica quantistica è descritto in vari lavori <strong>di</strong> storia della <strong>fisica</strong> e in scritti <strong>di</strong>vulgativi. Ne citiamo tre: B. Ferretti,<br />
Le ra<strong>di</strong>ci classiche della meccanica quantistica, Torino, Boringhieri, 1980; Toraldo <strong>di</strong> Francia, Le cose e i loro nomi,<br />
Bari, Laterza, 1986; E. Bellone, Caos e armonia, Torino, Utet, 1990.<br />
(3) Ciò implica un approccio ai sistemi quantistici secondo l’impostazione <strong>di</strong> Dirac (P?.A.M. Dirac, I principi della<br />
meccanica quantistica, Torino, Boringhieri, 1959) con quelle belle estensioni proposte da Sakurai (J.J. Sakurai, Meccanica<br />
quantistica <strong>moderna</strong>, Zanichelli, Bologna, 1996).
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 201<br />
Introduzione delle idee della <strong>fisica</strong> quantistica<br />
e il ruolo del principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare<br />
Il principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare<br />
Perché? - Che cos’è?<br />
La <strong>di</strong>scussione <strong>di</strong> una serie <strong>di</strong> esperimenti<br />
con polaroid e cristalli <strong>di</strong> calcite<br />
Le conseguenze:<br />
il principio <strong>di</strong> indeterminazione<br />
l’indeterminismo<br />
la descrizione dei macroggetti e il problema della misura<br />
la non località<br />
Fig. 2. I punti nodali della nostra proposta.<br />
La rinuncia alle visioni classiche:<br />
una <strong>di</strong>scussione da due punti <strong>di</strong> vista<br />
Dagli esiti degli esperimenti ideali si introduce il concetto <strong>di</strong> proiettore, con il quale si costruiscono<br />
il concetto <strong>di</strong> operatore e quello <strong>di</strong> grandezza misurabile come soluzione agli autovalori.<br />
Il problema della teoria quantistica della misura, della descrizione dei macroggetti e la non località<br />
vengono proposti nello stesso contesto, con esemplificazioni nella fenomenologia della <strong>di</strong>ffrazione<br />
<strong>di</strong> particelle ed analogie nel mondo macroscopico. Fig. 2.<br />
4. Approccio<br />
L’approccio attraverso la legge <strong>di</strong> Malus permette il riconoscimento <strong>di</strong> uno stato associato ad una<br />
proprietà <strong>fisica</strong> e consente <strong>di</strong> evidenziare come l’interazione della luce con polaroid svolge il doppio<br />
ruolo <strong>di</strong> preparazione e misura rispetto ad uno stato <strong>di</strong> polarizzazione dei fotoni.<br />
5. Strategia <strong>di</strong>dattica<br />
L’analisi fenomenologica <strong>di</strong> semplici situazioni sperimentali esplorate sul piano operativo ed analizzate<br />
in termini <strong>di</strong> esperimenti ideali motiva e sostiene ipotesi interpretative, che ricadono <strong>sulla</strong><br />
stessa fenomenologia, per un confronto che permette <strong>di</strong> costruire con gradualità le caratteristiche<br />
degli enti formali, che entreranno a far parte del modello interpretativo. Il continuo passaggio dal<br />
fenomeno alla sua rappresentazione ideale e dagli esiti dell’esplorazione al significato dei risultati<br />
porta ad identificare gli enti formali e a stu<strong>di</strong>arne l’adeguatezza in una collana <strong>di</strong> situazioni, per<br />
costruirne l’autonomia <strong>di</strong> impiego.<br />
6. Prerequisiti<br />
La polarizzazione è considerata come una proprietà da analizzare per le intrinseche peculiarità: non è<br />
richiesta un’interpretazione riferita alla descrizione della luce come onda elettromagnetica. Il fotone<br />
come particella capace <strong>di</strong> descrivere i comportamenti della luce e <strong>di</strong> render conto della sua natura viene<br />
invece assunta come conoscenza consolidata da utilizzare per interpretare le situazioni proposte.<br />
La rappresentazione vettoriale delle grandezze fisiche e le più elementari leggi <strong>di</strong> composizione dei<br />
vettori in uno spazio bi<strong>di</strong>mensionale sono gli strumenti concettuali <strong>di</strong> riferimento per l’analisi proposta.<br />
È pertanto opportuno che vi sia un po’ <strong>di</strong> familiarità prerequisita nella loro gestione.
202 Capitolo 4. Percorsi<br />
7. Il filo e i suoi contenuti<br />
La presentazione dei contenuti qui riportata è sintetica, volutamente scarna, per offrire all’insegnante<br />
strumenti operativi <strong>di</strong> un percorso concettuale. L’illustrazione dei semplici esperimenti ideali<br />
traccia il filo <strong>di</strong> un’analisi rigorosa in cui le situazioni scelte sono quelle necessarie per il riconoscimento<br />
dei concetti. Una rappresentazione iconografica delle situazioni, con scelte grafiche stu<strong>di</strong>ate<br />
per dare significato ad alcune idee, sostiene l’analisi concettuale degli esperimenti secondo una<br />
sequenza che rappresenta la nostra proposta.È lasciata all’insegnante la modalità <strong>di</strong> integrazione <strong>di</strong><br />
questo percorso con attività <strong>di</strong> raccordo con altri ambiti conoscitivi, così come quella <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento<br />
e consolidamento dei concetti.<br />
In questo fascicolo presentiamo una proposta minimale <strong>di</strong> esperimenti <strong>sulla</strong> polarizzazione che<br />
consentono <strong>di</strong> contestualizzare il percorso proposto.<br />
Si rimanda al sito internet www.<strong>fisica</strong>.uniud.it/URDF/ per ulteriori spunti, strumenti <strong>di</strong>dattici, risorse<br />
e alla bibliografica per approfon<strong>di</strong>menti.<br />
8. Il percorso<br />
Una sequenza <strong>di</strong> concetti per esplorare le caratteristiche e il significato del formalismo della meccanica<br />
quantistica, con prerequisiti minimi.<br />
• Si costruisce un’idea qualitativa del principio <strong>di</strong> sovrapposizione:<br />
- Si <strong>di</strong>scutono alcune semplici esperienze <strong>di</strong> interazione <strong>di</strong> polaroid e cristalli birifrangenti con<br />
fotoni polarizzati linearmente.<br />
• Si capiscono alcuni concetti fondamentali:<br />
I - Lo stato <strong>di</strong> un sistema fisico è definito dalle proprietà fisiche che possono essere attribuite<br />
con certezza al sistema stesso.<br />
Fig. 3. I fotoni vengono preparati in un opportuno stato <strong>di</strong> polarizzazione. Ad essi può essere associata<br />
operativamente una definita proprietà.<br />
II - Due stati sono “<strong>fisica</strong>mente ortogonali” quando le proprietà fisiche che li definiscono sono<br />
mutuamente esclusive.<br />
III - I possibili stati in cui possiamo trovare un sistema fisico, dopo che è stato sottoposto ad un<br />
processo <strong>di</strong> misura, sono mutuamente ortogonali.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 203<br />
• Si rende plausibile che lo stato <strong>di</strong> un fotone polarizzato linearmente possa essere descritto da un<br />
vettore appartenente ad uno spazio vettoriale.<br />
• Si assume che la <strong>fisica</strong> classica descriva correttamente il comportamento me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un grande numero<br />
<strong>di</strong> fotoni.<br />
• Si stabilisce il legame tra il prodotto scalare <strong>di</strong> due vettori e la probabilità <strong>di</strong> transizione tra i corrispondenti<br />
stati fisici.<br />
• Si estendono questi risultati ad un sistema fisico generico.<br />
A - Si introduce la rappresentazione degli stati fisici in termini <strong>di</strong> ampiezze: Il vettore <strong>di</strong> stato <strong>di</strong><br />
polarizzazione lineare: può essere scritto come combinazione lineare <strong>di</strong> due versori mutuamente<br />
ortogonali correlati a proprietà mutuamente esclusive.<br />
I coefficienti <strong>di</strong> tale combinazione sono detti ampiezze e forniscono una descrizione alternativa<br />
per lo stato <strong>di</strong> un fotone.<br />
B - Si correlano il concetto <strong>di</strong> ampiezza e la definizione <strong>di</strong> stati “ortogonali”: la sovrapposizione<br />
tra due stati ortogonali è rappresentata da una coppia <strong>di</strong> ampiezze.<br />
È quin<strong>di</strong> legittimo ammettere che la sovrapposizione tra n stati ortogonali venga rappresentata da<br />
una n-pla <strong>di</strong> ampiezze.<br />
• Il ruolo degli operatori lineari emerge dal problema <strong>di</strong> calcolare il valore atteso <strong>di</strong> una osservabile<br />
<strong>fisica</strong>.<br />
9. Preparazione <strong>di</strong> luce polarizzata e legge <strong>di</strong> Malus<br />
Se si fa incidere luce non polarizzata su un polaroid: la luce emergente dal polaroid risulta sempre<br />
polarizzata lungo la <strong>di</strong>rezione permessa del polaroid. (Fig. 4)<br />
È questo il modo in cui si può preparare luce polarizzata linearmente in una <strong>di</strong>rezione scelta.<br />
Se si fa incidere luce polarizzata linearmente su un polaroid, il fascio luminoso risulta attenuato<br />
secondo la legge <strong>di</strong> Malus:<br />
I trasm = I inc cos 2 ϑ<br />
ove I trasm è l’intensità luminosa del fascio emergente, I inc quella del fascio incidente e ϑ è l’angolo<br />
compreso tra la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> trasmissione (o permessa) del polaroid e la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione<br />
della luce incidente.<br />
Facendo incidere su polaroid fasci <strong>di</strong> luce polarizzati linearmente (ad esempio preparati da altri<br />
polaroid opportunamente orientati) emergono fasci con:<br />
→ intensità attenuata secondo la legge <strong>di</strong> Malus.<br />
→ polarizzati secondo la <strong>di</strong>rezione permessa del polaroid.<br />
10. Vali<strong>di</strong>tà della legge <strong>di</strong> Malus per il singolo fotone<br />
L’analisi effettuata su fasci <strong>di</strong> luce pone il problema della rappresentazione microscopica del processo<br />
ed in particolare porta con sé la domanda se il comportamento osservato è un fenomeno<br />
collettivo o del singolo fotone.<br />
È pertanto opportuno ripetere l’esplorazione fenomenologica eventualmente effettuata con intensità<br />
luminosa decrescente per registrare lo stesso comportamento.<br />
Ammesso che l’intensità luminosa sia descritta dal numero <strong>di</strong> fotoni che compongono il fascio <strong>di</strong><br />
luce, la vali<strong>di</strong>tà della legge <strong>di</strong> Malus al <strong>di</strong>minuire dell’intensità porta ad escludere che i risultati<br />
osservati <strong>di</strong>pendano da fenomeni collettivi <strong>di</strong> interazione tra fotoni.<br />
* NOTA: I contenuti del ragionamento proposto in questa Parte II, sono il risultato del lavoro svolto con G. Ghirar<strong>di</strong> e<br />
R. Grassi.
204 Capitolo 4. Percorsi<br />
luce incidente<br />
non polarizzata<br />
luce incidente<br />
non polarizzata<br />
luce incidente<br />
non polarizzata<br />
filtro polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
verticale<br />
filtro polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
orrizzontale<br />
filtro polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
a 45°<br />
Se si <strong>di</strong>minuisce l’intensità luminosa<br />
del fascio incidente: stesso comportamento.<br />
I risultati della legge <strong>di</strong> Malus NON <strong>di</strong>pendono<br />
da fenomeni collettivi <strong>di</strong> interazione tra fotoni.<br />
luce emergente<br />
polarizzata<br />
verticalmente<br />
luce emergente<br />
polarizzata<br />
orrizzontalmente<br />
luce emergente<br />
polarizzata<br />
a 45°<br />
Fig. 4. Un fascio <strong>di</strong> luce non polarizzata incide su un polaroid. La luce emergente è polarizzata<br />
linearmente secondo la <strong>di</strong>rezione permessa del polaroid.<br />
11. Stato quantico, vettore che lo descrive e principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
In un quadro classico <strong>di</strong> descrizione della luce come onda elettromagnetica, la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione<br />
coincide con quella del campo elettrico della ra<strong>di</strong>azione incidente.<br />
Il quadro mentale per l’analisi della fenomenologia <strong>di</strong> seguito proposta fa riferimento alla rappresentazione<br />
<strong>di</strong> stato in meccanica quantistica.<br />
In <strong>fisica</strong> quantistica, lo stato <strong>di</strong> ogni sistema è descritto da un vettore appartenente ad uno opportuno<br />
spazio vettoriale (spazio <strong>di</strong> Hilbert). Tra i casi più semplici <strong>di</strong> spazi <strong>di</strong> Hilbert, che si possono
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 205<br />
considerare ci sono quelli che hanno <strong>di</strong>mensione 2, come quello associato agli stati <strong>di</strong> polarizzazione<br />
dei fotoni e quello <strong>di</strong> spin 1/2 <strong>di</strong> una particella.<br />
Gli stati <strong>di</strong> polarizzazione della luce sono infatti descritti quantisticamente da spazi vettoriali <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>mensione 2, come lo spin, e ciò semplifica la comprensione <strong>di</strong> come sia la stessa natura vettoriale,<br />
che descrive la proprietà degli stati quantici.<br />
Se u e v sono due vettori corrispondenti a due <strong>di</strong>versi possibili stati <strong>di</strong> un sistema fisico S allora, secondo<br />
il principio <strong>di</strong> sovrapposizione, anche lo stato w = u + v è uno stato possibile per il sistema S.<br />
Ovviamente tutti gli stati del tipo u + αv con α coefficiente complesso sono possibili stati del sistema.<br />
Qui e in seguito abbiamo supposto che α sia reale, per evitare l’utilizzo dei numeri complessi<br />
non essenziale nella impostazione scelta.<br />
Questo fatto, tuttavia, non limita in alcun modo la generalità delle conseguenze <strong>di</strong>scusse.<br />
IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE<br />
car<strong>di</strong>ne del <strong>di</strong>stacco dalla visione classica<br />
impone una nuova concezione nella descrizione dei fenomeni<br />
anche quando si consideri una teoria alternativa in cui viene reintrodotto<br />
il principio <strong>di</strong> causalità e in cui si usano concetti classici (traiettoria<br />
Sistema fisico S<br />
stato u stato v<br />
vettore u vettore v<br />
principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
stato u + v<br />
Fig. 5. Schema per la costruzione del principio <strong>di</strong> sovrapposizione.<br />
12. Proprietà <strong>di</strong> polarizzazione e stati quantici della luce<br />
Nel piano perpen<strong>di</strong>colare alla <strong>di</strong>rezione del fascio <strong>di</strong> luce, definiamo come orizzontale e verticale<br />
due arbitrarie <strong>di</strong>rezioni fra loro ortogonali.<br />
Sia H lo stato dei fotoni associati alla luce polarizzata orizzontalmente e V lo stato dei fotoni associati<br />
alla luce polarizzata verticalmente. H e V sono stati ortogonali. (Fig. 6a)<br />
Secondo lo schema quantistico, ai fotoni polarizzati a 45° viene associato il vettore (H + V) corrispondente<br />
alla sovrapposizione lineare dei due vettori H e V (Fig. 6b).<br />
Consideriamo situazioni ideali <strong>di</strong> interazione <strong>di</strong> fasci <strong>di</strong> luce a bassa intensità con polaroid. La bassa<br />
intensità del fascio luminoso ci permette <strong>di</strong> poter ritenere che ciascun fotone interagisca sempre e<br />
solo con il polaroid.
206 Capitolo 4. Percorsi<br />
Se si inviano fotoni nello stato V su un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
verticale essi passano sempre in<strong>di</strong>sturbati. Poiché l’esito <strong>di</strong> questa interazione<br />
(misura) è certo: cioè è preve<strong>di</strong>bile con certezza, possiamo attribuire<br />
al fotone una proprietà corrispondente che in<strong>di</strong>cheremo con ∆<br />
(Fig. 7a). Se si inviano fotoni nello stato H su un polaroid con <strong>di</strong>rezione<br />
permessa orizzontale essi passano sempre in<strong>di</strong>sturbati. Anche in questo caso<br />
siamo quin<strong>di</strong> condotti ad attribuire loro una proprietà corrispondente che<br />
in<strong>di</strong>cheremo con * (Fig. 7b). Possiamo anche constatare che se il polaroid<br />
ha <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale, i fotoni V vengono tutti assorbiti (Fig.<br />
7a), mentre se il polaroid ha <strong>di</strong>rezione permessa verticale, i fotoni H vengono<br />
tutti assorbiti (Fig. 7b).<br />
Proprietà mutuamente esclusive<br />
In generale, possiamo attribuire ad ogni fotone polarizzato linearmente in<br />
una certa <strong>di</strong>rezione una proprietà <strong>di</strong> polarizzazione corrispondente a quella<br />
<strong>di</strong>rezione.<br />
Ad esempio:<br />
→ la proprietà ∆ ai fotoni polarizzati linearmente in <strong>di</strong>rezione verticale e<br />
quin<strong>di</strong> nello stato V,<br />
→ la proprietà * ai fotoni polarizzati linearmente in <strong>di</strong>rezione orizzontale<br />
e quin<strong>di</strong> nello stato H,<br />
→ la proprietà ◊ ai fotoni polarizzati linearmente in <strong>di</strong>rezione 45° e quin<strong>di</strong><br />
nello stato H + V.<br />
Dall’interazione dei fotoni polarizzati linearmente con i polaroid, ve<strong>di</strong>amo<br />
che i fotoni:<br />
• nello stato V:<br />
→ passano sempre con certezza un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
verticale<br />
→ sono tutti assorbiti da polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale<br />
• nello stato H:<br />
→ passano sempre con certezza un polaroidcon <strong>di</strong>rezione permessa<br />
orizzontale<br />
→ sono tutti assorbiti da polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale<br />
Ne segue che le proprietà ∆ e * sono mutuamente esclusive.<br />
Proprietà incompatibili e stato <strong>di</strong> sovrapposizione H+V<br />
Ci si propone <strong>di</strong> capire il significato dello stato quantico (H + V).<br />
Si inviano fotoni polarizzati a 45°, e quin<strong>di</strong> nello stato quantico (H+V), su<br />
un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa, per brevità <strong>di</strong>ciamo, orientati orizzontalmente<br />
o verticalmente.<br />
Misurando l’intensità della ra<strong>di</strong>azione che ha attraversato il polaroid si<br />
trova che essa è la metà <strong>di</strong> quella incidente e della stessa frequenza.<br />
Metà dei fotoni incidenti attraversa il polaroid e ne esce con una <strong>di</strong>versa<br />
polarizzazione, orizzontale (stato H, con proprietà *) o verticale (stato V,<br />
con proprietà ∆) a seconda della <strong>di</strong>rezione permessa del polaroid. (Fig. 7c)<br />
Fig 6a. Luce polarizzata<br />
linearmente: la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong><br />
polarizzazione corrispode<br />
alla <strong>di</strong>rezione del campo<br />
elettrico.<br />
Polarizzazione<br />
orizzontale<br />
stato H<br />
Polarizzazione<br />
verticale<br />
stato V<br />
Fig 6b. Polarizzazione a 45°<br />
stato H + V.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 207<br />
Fig. 7a. Fotoni polarizzati verticalmente<br />
(con proprietà ∆; nello<br />
stato V) vengono:<br />
• sempre trasmessi da un polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
verticale;<br />
• assorbiti da un polaroid con<br />
<strong>di</strong>rezione permessa orrizzontale;<br />
• trasmessi nella metà dei casi<br />
da un polaroid con <strong>di</strong>rezione<br />
permessa a 45°<br />
Fig. 7b. Fotoni polarizzati orrizzontalmente<br />
(con proprietà *;<br />
nello stato H) vengono:<br />
• sempre trasmessi da un polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
orizzontale;<br />
• assorbiti da un polaroid con<br />
<strong>di</strong>rezione permessa verticale;<br />
• trasmessi nella metà dei casi<br />
da un polaroid con <strong>di</strong>rezione<br />
permessa a 45°.<br />
Fig. 7c. Fotoni polarizzati a 45°<br />
(con proprietà ◊) vengono:<br />
• sempre trasmessi da un polaroid<br />
con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
a 45°;<br />
• trasmessi nella metà dei casi<br />
da un polaroid con <strong>di</strong>rezione<br />
permessa o verticale o orizzontale.
208 Capitolo 4. Percorsi<br />
Facciamo un po’ <strong>di</strong> ipotesi interpretative<br />
L’insieme <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45° e quin<strong>di</strong> nello stato (H + V) (cui è associata la proprietà ◊):<br />
1) può essere pensato come un insieme <strong>di</strong> fotoni costituito<br />
da una miscela statistica <strong>di</strong> fotoni con proprietà * e ∆.<br />
2) può essere pensato come un insieme <strong>di</strong> fotoni che hanno simultaneamente due proprietà ed in<br />
particolare, con ugual peso:<br />
le proprietà ◊ e * oppure le proprietà ◊ e ∆<br />
Sicchè l’esito dell’interazione con i polaroid è dovuto alle proprietà * e ∆.<br />
È come pensare che i polaroid:<br />
1) selezionino i fotoni che hanno la proprietà corrispondente alla <strong>di</strong>rezione permessa dal polaroid,<br />
come in Fig. 8A<br />
2) spoglino i fotoni dalle proprietà che non corrispondono alla <strong>di</strong>rezione permessa dal polaroid,<br />
come mostrato in Fig. 8B.<br />
Fig. 8A. I polaroid selezionano<br />
i fotoni con proprietà<br />
corrispondente alla <strong>di</strong>rezione<br />
permessa dal polaroid.<br />
Fig. 8B. I polaroid spogliano<br />
i fotoni <strong>di</strong> tutte le proprietà<br />
che non corrispondono a<br />
quella permessa dal polaroid.<br />
Fig. 8A<br />
Fig. 8B
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 209<br />
Riconsideriamo l’interazione dei fotoni polarizzati linearmente in vari mo<strong>di</strong>, e quin<strong>di</strong> ad esempio<br />
con proprietà ◊, ∆, *, con polaroid aventi <strong>di</strong>rezione permessa a 45°.<br />
I risultati mostrano quanto segue:<br />
→ la ra<strong>di</strong>azione che attraversa il polaroid a 45° esce sempre polarizzata a 45°;<br />
→ l’intensità trasmessa risulta <strong>di</strong>mezzata rispetto a quella incidente se quella incidente era costituita<br />
da fotoni polarizzati orizzontalmente (*, stato H) o verticalmente (∆, stato V).<br />
→ l’intensità trasmessa risulta uguale a quella incidente (o attenuata solo <strong>di</strong> un fattore in<strong>di</strong>pendente<br />
dallo stato <strong>di</strong> polarizzazione) se si inviano fotoni polarizzati a 45°, con proprietà ◊ e cioè nello<br />
stato (H+V).<br />
La Fig. 9 mostra che nel caso <strong>di</strong> miscela statistica <strong>di</strong> fotoni con proprietà *<br />
e ∆ si ottengono risultati <strong>di</strong>versi da quelli che si hanno nel caso <strong>di</strong> fotoni<br />
tutti con la stessa proprietà ◊.<br />
Ciò si può leggere anche in questo modo:<br />
→ mentre i fotoni nello stato H + V passano tutti in<strong>di</strong>sturbati<br />
→ soltanto la metà dei fotoni passa attraverso il polaroid, nel caso dell’insieme<br />
costituito dal 50% <strong>di</strong> fotoni nello stato H dal 50% <strong>di</strong> fotoni nello<br />
stato V.<br />
Questo fa cadere l’ipotesi considerata della miscela statistica <strong>di</strong> stati, come<br />
unione <strong>di</strong> fotoni in stati H e V, ossia H + V ≠ H U V<br />
Un fotone con proprietà ◊ non può aver anche proprietà del tipo * o ∆.<br />
Per questo le proprietà ◊ e *<br />
oppure ◊ e ∆ vengono chiamate incompatibili.<br />
Fig. 9. Fotoni polarizzati a<br />
45° che attraversano polaroid<br />
a 45°. I casi <strong>di</strong> miscela<br />
statistica <strong>di</strong> proprietà e <strong>di</strong><br />
proprietà specifica danno<br />
esiti <strong>di</strong>versi.<br />
Ciò può essere visto come una specie <strong>di</strong> democrazia della meccanica quantistica rispetto ai fotoni:<br />
li vuole considerare tutti uguali.<br />
Principio <strong>di</strong> indeterminazione<br />
Un fotone con proprietà ◊ non può aver anche proprietà del tipo * o ∆.<br />
Abbiamo già visto che le proprietà * o ∆ sono mutuamente esclusive.<br />
Ora abbiamo visto che ciascuna <strong>di</strong> esse è incompatibile con la proprietà ◊, perché corrispondenti ad<br />
osservabili incompatibili: la polarizzazione verticale (orizzontale) e la polarizzazione a 45°.<br />
Il fatto che non si possano attribuire simultaneamente ad un sistema definite proprietà illustra in<br />
modo semplice il principio d’indeterminazione in <strong>fisica</strong> quantistica, espressione dell’impossibilità<br />
<strong>di</strong> osservare simultaneamente due proprietà incompatibili.<br />
Indeterminismo quantico<br />
L’incompatibilità <strong>di</strong> proprietà sostiene la democrazia sui fotoni della meccanica quantistica, infatti<br />
comporta che essi si debbano vedere come tutti uguali tra loro. Ciò è una conseguenza del fatto che<br />
quando essi si trovano in uno stato possa essere loro attribuita una sola proprietà.<br />
Tuttavia accade che fotoni del tutto identici si comportino in modo <strong>di</strong>verso.<br />
La situazione <strong>di</strong> Fig. 7c mostra che fotoni appartenenti ad un fascio polarizzato a 45° e quin<strong>di</strong> nello<br />
stato H+V, per cui a ciascuno può essere attribuita la proprietà ◊ si comportano in modo <strong>di</strong>verso se<br />
vengono fatti interagire con un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale (oppure verticale): il<br />
50% passa attraverso il polaroid mentre il 50% viene assorbito. Perciò sistemi del tutto identici fra<br />
loro possono evolvere in maniera <strong>di</strong>versa. Questo esprime il concetto dell’indeterminismo quantistico,<br />
che contiene un’importante nuova idea <strong>di</strong> cui la meccanica quantistica è portatrice: l’impossibilità<br />
<strong>di</strong> attribuire a priori, separatamente da una misura, precise proprietà a sistemi fisici.<br />
L’attribuzione <strong>di</strong> precise proprietà ai sistemi comporta una loro conoscenza deterministica incompatibile<br />
con il carattere evolutivo <strong>di</strong> ogni sistema quando con esso si effettuano interazioni per<br />
eseguire delle misure, le quali peraltro producono per l’appunto anche la sua evoluzione.
210 Capitolo 4. Percorsi<br />
Impossibilità <strong>di</strong> attribuire una traiettoria al fotone<br />
Si può fare uno stu<strong>di</strong>o più approfon<strong>di</strong>to del principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare e delle sue conseguenze,<br />
anche per quanto riguarda il concetto <strong>di</strong> traiettoria, considerando una serie <strong>di</strong> situazioni in cui<br />
l’analisi dello stato <strong>di</strong> polarizzazione del fotone viene effettuata con cristalli birifrangenti (calcite).<br />
Fig. 10.<br />
a) Nel cristallo si propagano<br />
due fasci che hanno polarizzazione<br />
ortogonale: il fascio<br />
straor<strong>di</strong>nario è polarizzato<br />
verticalmente, quello or<strong>di</strong>nario<br />
orizzontalmente.<br />
b) A ciascun cammino può<br />
essere associata una definita<br />
polarizzazione.<br />
Fig. 11.<br />
I fotoni possono impiegare<br />
solo i cammini del fascio<br />
or<strong>di</strong>nario o straor<strong>di</strong>nario,<br />
infatti:<br />
a) se si intercetta il fascio or<strong>di</strong>nario<br />
il rivelatore 1 scatta<br />
il 50% delle volte;<br />
b) se si intercetta il fascio<br />
straor<strong>di</strong>nario il rivelatore 2<br />
scatta il 50% delle volte;<br />
c) se entrambi i fasci vengono<br />
intercettati, non viene<br />
rilevato alcun fotone.<br />
a)<br />
b)<br />
straor<strong>di</strong>nario<br />
or<strong>di</strong>nario<br />
calcite<br />
straor<strong>di</strong>nario<br />
or<strong>di</strong>nario<br />
calcite<br />
straor<strong>di</strong>nario<br />
or<strong>di</strong>nario<br />
calcite<br />
straor<strong>di</strong>nario<br />
or<strong>di</strong>nario<br />
calcite<br />
calcite<br />
I cristalli birifrangenti sono mezzi trasparenti non isotropi, che danno luogo a due <strong>di</strong>stinti raggi rifratti in corrispondenza<br />
<strong>di</strong> un’unica <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> incidenza, purchè essa non sia quella dell’asse ottico o asse <strong>di</strong> simmetria principale<br />
del cristallo. L’asse ottico si in<strong>di</strong>vidua proprio per estinzione dello sdoppiamento della luce rifratta.<br />
I due raggi rifratti hanno <strong>di</strong>versa velocità <strong>di</strong> propagazione nel cristallo ed emergono con polarizzazione rettilinea<br />
in due piani tra loro ortogonali. Uno <strong>di</strong> essi segue la legge <strong>di</strong> rifrazione normale <strong>di</strong> Cartesio, qualunque sia il piano<br />
e l’angolo <strong>di</strong> incidenza: per questo motivo viene denominato "raggio or<strong>di</strong>nario". L’altro è caratterizzato da un<br />
in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione variabile con l’angolo <strong>di</strong> incidenza e piani <strong>di</strong> rifrazione non coincidenti con quello <strong>di</strong> incidenza.<br />
Sono birifrangenti cristalli con struttura esagonale, come il quarzo e con struttura rombica, come la calcite<br />
o spato d’Islanda.<br />
La calcite, come gli altri cristalli birifrangenti, può trasmettere ra<strong>di</strong>azione polarizzata linearmente solo parallelamente<br />
(raggio straor<strong>di</strong>nario) e perpen<strong>di</strong>colarmente (raggio or<strong>di</strong>nario) al piano della sezione principale. La<br />
sezione principale è il piano che contiene l’asse ottico e la normale ad una faccia del cristallo. Si veda anche la<br />
scheda dell’esperimento: Interazione <strong>di</strong> luce polarizzata con un cristallo birifrangente.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 211<br />
Si può tagliare e <strong>di</strong>sporre un tale cristallo rispetto all’asse ottico in modo che la luce incidente polarizzata<br />
orizzontalmente segua il raggio or<strong>di</strong>nario mentre quella polarizzata verticalmente segua il<br />
raggio straor<strong>di</strong>nario e venga quin<strong>di</strong> deflessa. (Fig. 10a)<br />
Anche in questo caso è importante lavorare a intensità molto basse in modo che nel <strong>di</strong>spositivo si<br />
trovi <strong>di</strong> volta in volta un singolo fotone.<br />
Se si fanno incidere sul cristallo fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V, il sistema evolve, per<br />
la linearità delle leggi quantistiche, nella sovrapposizione dei due stati corrispondenti alle due <strong>di</strong>rezioni<br />
<strong>di</strong> polarizzazione associate ai due <strong>di</strong>versi percorsi <strong>di</strong> rifrazione, come mostrato in Fig. 10b.<br />
Il cammino del fotone<br />
Ponendo uno schermo su uno dei due cammini ed un contatore <strong>di</strong> fotoni sull’altro, si vede che<br />
quest’ultimo scatta il 50% delle volte (Fig. 11). Questo significa che il fotone non si “<strong>di</strong>vide” nel<br />
<strong>di</strong>spositivo, in particolare non segue entrambi i cammini. Ponendo uno schermo ed un contatore <strong>di</strong><br />
fotoni su entrambi i cammini, si può constatare che non viene rivelato alcun fotone. Perciò fotoni<br />
non possono giungere ai contatori seguendo cammini <strong>di</strong>versi da quelli considerati (Fig. 11).<br />
Possiamo affermare che un singolo fotone segue un particolare cammino?<br />
Data la correlazione tra il cammino e lo stato <strong>di</strong> polarizzazione dei fotoni, questo equivale a chiedersi<br />
se l’insieme <strong>di</strong> fotoni che emergono dal primo cristallo può essere considerato composto dal<br />
50% <strong>di</strong> fotoni nello stato V che seguono il cammino non deflesso e dal 50% <strong>di</strong> fotoni nello stato H<br />
che seguono il cammino deflesso.<br />
Consideriamo un esperimento con un cristallo <strong>di</strong> calcite "inversa".<br />
Questo cristallo è <strong>di</strong>sposto sul cammino dei fotoni in modo da compensare le deflessioni prodotte<br />
dal primo cristallo (Fig. 12).<br />
Fig. 12. Nel sistema dei due cristalli <strong>di</strong> calcite <strong>di</strong>retta e inversa allineati vengono sempre trasmesi<br />
tutti i fotoni mantenendone le proprietà.
212 Capitolo 4. Percorsi<br />
Facendo incidere sul sistema costituito dai due cristalli, fotoni con polarizzazione verticale (stato<br />
V) e orizzontale rispettivamente (stato H), questi emergono secondo un cammino non deflesso e con<br />
la polarizzazione originaria.<br />
Se si manda nel sistema un insieme <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato (H + V), essi emergono<br />
tutti con polarizzazione a 45°.<br />
Ponendo un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa a 45° dopo il secondo cristallo <strong>di</strong> calcite, tutti i fotoni<br />
lo attraversano (Fig. 13a).<br />
Se i fotoni fossero una miscela statistica <strong>di</strong> fotoni nei due stati H e V con ugual peso oppure fossero<br />
identificabili in tali stati dopo il primo cristallo birifrangente, dovremmo rivelare la metà dei<br />
fotoni (Fig. 13b).<br />
In conclusione, nello stato <strong>di</strong> sovrapposizione (H + V), il fotone: non segue il cammino deflesso,<br />
non segue il cammino non deflesso, non li segue entrambi, non segue un cammino <strong>di</strong>verso.<br />
È il concetto <strong>di</strong> traiettoria che perde <strong>di</strong> significato! Non si può attribuire al fotone una traiettoria<br />
definita!<br />
Fig. 13. a) Tutti i fotoni incidenti con polarizzazione a 45° e proprietà ◊ vengono trasmessi dal polaroid.<br />
b) Solo metà dei fotoni viene trasmessa se il fascio incidente è formato dalla miscela statistica<br />
<strong>di</strong> fotoni con proprietà ∆ e *.<br />
L’analogia con la <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> elettroni<br />
Alle stesse conclusioni si può arrivare analizzando esperimenti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> particelle (onde<br />
materiali Fig. 14).<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> De Broglie, verificata sperimentalmente ad un alto livello <strong>di</strong> accuratezza, consiste<br />
nell’associare ad una particella con impulso p un’onda piana <strong>di</strong> lunghezza d’onda λ = h / p, ove h<br />
è la costante <strong>di</strong> Planck.<br />
a)<br />
b)
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 213<br />
L’analisi che si può compiere porta a considerare la possibilità <strong>di</strong> prevedere in quale delle due fen<strong>di</strong>ture<br />
passa ciascuna particella ovvero la possibilità <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare il punto in cui una particella<br />
arriva nello schermo per costruire la <strong>di</strong>stribuzione caratteristica della figura <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione.<br />
Come appare in Fig. 14 ogni particella arriva in un punto a caso dello schermo ed è il grande numero<br />
<strong>di</strong> particelle che produce la caratteristica <strong>di</strong>stribuzione dovuta all’interferenza delle stesse.<br />
Come appare in Fig. 15, inoltre, la <strong>di</strong>stribuzione delle particelle su uno schermo equi<strong>di</strong>stante dalle<br />
fen<strong>di</strong>ture nei casi in cui una delle due fen<strong>di</strong>ture sia chiusa ed entrambe aperte risulta decisamente<br />
<strong>di</strong>versa.<br />
Fig. 14. L’emergere <strong>di</strong><br />
una figura <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione<br />
<strong>di</strong> elettroni da un apparato<br />
a due fen<strong>di</strong>ture. Il<br />
caso (a) si riferisce alla<br />
rilevazione <strong>di</strong> 10 elettroni.<br />
Passando da (b) ad<br />
(e) i numeri registrati<br />
sono 100, 3000, 20.000<br />
e 70.000.<br />
Fig. 15. a) Distribuzioni<br />
<strong>di</strong> intensità rilevate sullo<br />
schermo quando è aperta<br />
o solo la fen<strong>di</strong>tura a o<br />
solo la fen<strong>di</strong>tura b. b) La<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> intensità<br />
rilevata sullo schermo<br />
quando entrambe le fen<strong>di</strong>ture<br />
sono aperte è molto<br />
<strong>di</strong>versa da quella che<br />
si avrebbe come somma<br />
delle <strong>di</strong>stribuzioni rilevate<br />
da ciascuna delle<br />
due fen<strong>di</strong>ture.<br />
Significativamente <strong>di</strong>verse sono anche le <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità prodotte dall’interazione delle<br />
particelle che passano per entrambe le fen<strong>di</strong>ture ([ψ a + ψ b ] 2 ) e dalla somma delle <strong>di</strong>stribuzioni prodotte<br />
dalle singole fen<strong>di</strong>ture aperte ([ψ a ] 2 + [ψ b ] 2 ).<br />
Anche in questo caso non è possibile attribuire alle particelle una traiettoria definita passante per<br />
una delle due fen<strong>di</strong>ture.<br />
a)<br />
b)
214 Capitolo 4. Percorsi<br />
La misura e il mondo macroscopico<br />
Al contrario <strong>di</strong> quanto viene spesso asserito, la <strong>fisica</strong> quantistica non si riduce alla <strong>fisica</strong> classica<br />
per sistemi macroscopici. In particolare, se H e V corrispondono a stati macroscopici <strong>di</strong>versi <strong>di</strong> un<br />
sistema, lo stato H + V non corrisponde a proprietà macroscopiche definite del sistema. Ad esempio,<br />
se S è un sistema macroscopico, ad esempio un corpo rigido, ed u e v sono due stati corrispondenti<br />
al corpo localizzato in due <strong>di</strong>verse regioni spaziali A e B, secondo il principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
lineare anche il vettore <strong>di</strong> stato w = u + v rappresenta un possibile stato per il sistema S. L’esistenza<br />
<strong>di</strong> tali stati costituisce un problema molto serio per la teoria quantistica a livello macroscopico.<br />
Infatti, analogamente a quanto visto nel caso della polarizzazione dei fotoni, se il sistema S è nello<br />
stato w non possiamo attribuirgli né la proprietà <strong>di</strong> essere nella regione A dello spazio né quella <strong>di</strong><br />
essere nella regione B: il corpo non ha cioè una posizione definita. Questa impossibilità <strong>di</strong> attribuire,<br />
in generale, una posizione ed una traiettoria definite ad un oggetto macroscopico è in evidente<br />
contrasto con le nostre percezioni e con la nostra visione del mondo macroscopico.<br />
La descrizione dei fenomeni fisici a livello macroscopico, che la teoria quantistica dà, appare poter<br />
essere legata esclusivamente a processi <strong>di</strong> misura su sistemi microscopici: ne costituisce esempio<br />
carismatico il famoso esperimento "ideale" del gatto <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger. Si tratta <strong>di</strong> un processo <strong>di</strong> misura<br />
su un sistema atomico in cui il rivelatore è un marchingegno mortale che viene innescato in corrispondenza<br />
<strong>di</strong> uno degli esiti della misura ed uccide il gatto, mentre in corrispondenza degli altri esiti<br />
ciò non avviene. Per opportuni stati iniziali del sistema atomico, lo stato finale del sistema composto<br />
è uno stato correlato corrispondente alla sovrapposizione GV + GM (GV = gatto vivo, GM = gatto<br />
morto), che descrive un gatto che non è né vivo né morto.<br />
Una possibile soluzione al problema della teoria della misura quantistica è fornita dalla teoria unificata<br />
<strong>di</strong> Ghirar<strong>di</strong>, Rimini e Weber 4 dei micro e dei macrosistemi, che porta ad una rapida soppressione<br />
degli stati, sovrapposizione <strong>di</strong> stati macroscopicamente <strong>di</strong>versi, e si riduce praticamente alla<br />
meccanica quantistica per i microsistemi.<br />
La non località<br />
Come conseguenza del principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare, due sistemi <strong>di</strong>stanti che hanno interagito<br />
in passato risultano generalmente correlati.<br />
Un semplice esempio è dato da due fotoni nello stato <strong>di</strong> polarizzazione 1 H 2 H - 1 V 2 V .<br />
Secondo la teoria quantistica, i fotoni descritti da tale stato non hanno polarizzazione definita in alcuna<br />
<strong>di</strong>rezione; tuttavia la probabilità <strong>di</strong> trovare lo stesso esito in una misura della polarizzazione su<br />
due fotoni in qualsiasi <strong>di</strong>rezione comune è uno. Questa situazione è in netto conflitto con la richiesta<br />
<strong>di</strong> località; infatti, se i due fotoni sono <strong>di</strong>stanti e gli esiti delle misure genuinamente stocastici, come<br />
può un fotone conoscere l’esito dato dall’altro alla misura in assenza <strong>di</strong> effetti non locali?<br />
Questo tipo <strong>di</strong> analisi ci porta a concludere, con Einstein, Podolsky e Rosen 5 che gli esiti <strong>di</strong> misure, su<br />
sistemi <strong>di</strong>stanti, <strong>di</strong> osservabili correlate al 100% non possono essere genuinamente stocastici e che<br />
pertanto la teoria quantistica deve essere considerata incompleta.<br />
Nel 1964 Bell 6 ha provato che non è possibile trovare un completamento deterministico e locale<br />
della teoria quantistica, che risulta quin<strong>di</strong> fondamentalmente non locale.<br />
Non è tuttavia possibile utilizzare le caratteristiche non locali della teoria per mandare segnali ad<br />
una velocità superiore alla velocità della luce 7 .<br />
E’ questo fatto che permette una "pacifica coesistenza" della <strong>fisica</strong> quantistica con la teoria della<br />
relatività.<br />
(4) G.C. Ghirar<strong>di</strong>, A. Rimini, T. Weber, Phiys. Rev., ∆ 34, 470 (1986).<br />
(5) A. Einstein, B. PodoIsky, N. Rosen, Phys. Rev., 47, 777 (1935).<br />
(6) J.S. Bell, Physics, 1, 195 (1964).<br />
(7) G.C. Ghirar<strong>di</strong>, A. Rinuni, T. Weber, Lettere al Nuovo Cimento, 27, 293 (1980).
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 215<br />
Fig. 16. Alcuni elementi peculiari<br />
della teoria quantistica,<br />
che portano a chiedersi<br />
se è completa.<br />
➞<br />
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE<br />
I fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V,<br />
non hanno ne’ la proprietà H ne’ la proprietà V<br />
INDETERMINISMO<br />
Gli esiti ottenuti ad una misura<br />
della polarizzazione lungo le<br />
<strong>di</strong>rezioni H o V su fotoni<br />
polarizzati a 45° sono genuinamente<br />
stocastici e non dovuti a proprietà<br />
preesistenti del fotone<br />
NON LOCALITA’<br />
Considerando due fotoni lontani<br />
nello stato <strong>di</strong> polarizzazione<br />
1 H 2 H - 1 V 2 V<br />
si può <strong>di</strong>mostrare<br />
che la meccanica quantistica<br />
presenta effetti non locali<br />
DESCRIZIONE DEI SISTEMI<br />
MACROSCOPICI ED IL<br />
PROBLEMA DELLA MISURA<br />
Se V ed H corrispondono a stati<br />
macroscopicamente <strong>di</strong>versi<br />
<strong>di</strong> unsistema, lo stato H + V<br />
non corrisponde a proprieteà<br />
macroscopiche definite del sistema<br />
La meccanica quantistica non <strong>di</strong>venta<br />
quin<strong>di</strong> equivalente alla maeccanica clasica<br />
a livello macroscopico.<br />
Una possibile soluzione al problema<br />
della misura è data dalla teoria<br />
“la meccanica quantistica<br />
con localizzazioni spontanee”<br />
(G.C. Ghirar<strong>di</strong>, A. Rimini, T. Weber<br />
PHYS Rev D 34, 470 (1986)<br />
Teorie alternative<br />
Come abbiamo già accennato, il principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare impone l’abbandono <strong>di</strong> una<br />
visione classica dei fenomeni fisici anche quando si considerino teorie alternative che, pur riproducendo<br />
le previsioni statistiche della teoria quantistica, reintroducano concetti classici come il principio<br />
<strong>di</strong> causalità e le traiettorie. Per analizzare questo fatto possiamo considerare nuovamente gli<br />
esperimenti con fotoni polarizzati e con le lenti polaroid o con i cristalli <strong>di</strong> calcite. Naturalmente i<br />
primi sono i più semplici.<br />
Sappiamo che se si invia un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati verticalmente su un polaroid orientato verticalmente<br />
tutti i fotoni passano in<strong>di</strong>sturbati (fig. 5).<br />
A questo comportamento caratteristico dei fotoni V è stata associata una proprietà ∆. In questo<br />
nuovo spirito, un insieme <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V, sarà costituito dal 50%<br />
<strong>di</strong> fotoni che pur avendo ovviamente la proprietà ◊ portano anche l’attributo ∆ e dal 50% <strong>di</strong> fotoni<br />
che portano quello *.<br />
Verrebbe spontaneo pensare, seguendo un ragionamento classico, che se i fotoni con l’attributo ∆<br />
vengono fatti passare attraverso un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale essi emergono tutti<br />
in<strong>di</strong>sturbati. In realtà questo non accade. Per capirlo consideriamo i due seguenti esperimenti:<br />
1. Un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45° viene inviato su un polaroid orientato a 45°. Passano tutti i<br />
fotoni e quin<strong>di</strong> anche in particolare tutti i fotoni con l’attributo ∆.<br />
2. Un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45° viene inviato su un polaroid orientato verticalmente seguito<br />
da un polaroid orientato a 45°. Soltanto il 25% dei fotoni attraversa l’ultimo polaroid.<br />
In particolare almeno la metà dei fotoni polarizzati a 45° ma con attributo ∆ non passa.<br />
Questo fatto mostra chiaramente che la presenza del polaroid con <strong>di</strong>rezione verticale ha influito sul<br />
comportamento <strong>di</strong> questi fotoni.<br />
Essi, pur portando l’attributo ∆, sono in qualche modo consapevoli <strong>di</strong> essere nello stato sovrapposizione<br />
H + V e non si comportano nel modo caratteristico dei fotoni V con la relativa proprietà ∆.<br />
Per questo, l’attributo ∆ non può essere considerato come una proprietà classica <strong>di</strong> tali fotoni.<br />
➞
216 Capitolo 4. Percorsi<br />
Fig. 17. Non si riescono a<br />
prevedere gli esiti sperimentali<br />
attribuendo ai fotoni proprietà<br />
preesistenti opportune.<br />
Fig. 18. Alcuni elementi<br />
caratteristici della teoria <strong>di</strong><br />
Bohm.<br />
Il principio <strong>di</strong> sovrapposizione impone comunque l’abbandono<br />
<strong>di</strong> una visione classica dei fenomeni fisici.<br />
Il principio <strong>di</strong> indeterminazione e l’indeterminismo quantistico sono<br />
in netto contrasto con una concezione classica dei fenomeni naturali<br />
ed il principio <strong>di</strong> causalità.<br />
Tentativo <strong>di</strong> recupero <strong>di</strong> una visione classica dei fenomeni fisici<br />
DETERMINISMO<br />
BOHM<br />
Reintroduzione del concetto <strong>di</strong><br />
traiettoria per le particelle<br />
Quali sono le conseguenze del principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
in teorie <strong>di</strong> questo tipo?<br />
Le particelle seguono traiettorie definite ma si comportano<br />
in modo chiaramente non classico
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 217<br />
Il fatto che i fotoni nello stato H + V ma con l’attributo ∆ non si comportino<br />
nel modo caratteristico dei fotoni nello stato V può essere provato<br />
anche me<strong>di</strong>ante esperimenti con i cristalli <strong>di</strong> calcite.<br />
Consideriamo il <strong>di</strong>spositivo costituito dal primo cristallo <strong>di</strong> calcite e<br />
dalla "calcite inversa" e supponiamo <strong>di</strong> porre uno schermo sul cammino<br />
deflesso (Fig. 17). Se si inviano fotoni V nel <strong>di</strong>spositivo essi passano<br />
tutti in<strong>di</strong>sturbati: la presenza dello schermo sul cammino deflesso non<br />
influenza i fotoni che seguono l’altro cammino.<br />
Come abbiamo visto sopra, un insieme <strong>di</strong> fotoni nello stato H + V cioè<br />
polarizzati a 45° è costituito dal 50% <strong>di</strong> fotoni che hanno la proprietà ◊<br />
e l’attributo * (e seguono il cammino deflesso) e dal 50% <strong>di</strong> foto che<br />
hanno la proprietà ◊ e l’attributo ∆ (e seguono il cammino non deflesso).<br />
Nella situazione sperimentale in cui si hanno i due cristalli <strong>di</strong> calcite<br />
seguiti da un polaroid orientato a 45°, tutti i fotoni inviati sul <strong>di</strong>spositivo<br />
passano attraverso il polaroid, in particolare tutti i fotoni che hanno la<br />
proprietà ◊ e l’attributo ∆. Se ora poniamo uno schermo sul cammino<br />
deflesso, possiamo constatare che solo il 25% dei fotoni passa attraverso<br />
il polaroid, così che almeno la metà dei fotoni con l’attributo ∆ non passa<br />
(Fig. 17). Questi fotoni sono stati quin<strong>di</strong> influenzati dalla presenza dello<br />
schermo sull’altro cammino. Le conclusioni che se possono trarre sono<br />
del tutto analoghe a quelle del caso precedente.<br />
Nella sezione precedente abbiamo accennato al fatto che si sarebbe potuto<br />
stu<strong>di</strong>are il principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare ed analizzare le sue<br />
conseguenze anche considerando esperimenti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione <strong>di</strong> onde materiali<br />
da due fen<strong>di</strong>ture.<br />
Per le particelle materiali esiste effettivamente la teoria <strong>di</strong> Bohm 8 che,<br />
pur riproducendo le previsioni statistiche della meccanica quantistica, è<br />
deterministica ed assegna ad ogni particella una traiettoria definita (Fig.<br />
18).<br />
E’ facile mostrare tuttavia come anche in questa teoria le particelle si<br />
comportino in modo non classico in particolare, in un esperimento <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ffrazione da due fen<strong>di</strong>ture, le traiettorie delle particelle uscenti da una<br />
fen<strong>di</strong>tura sono notevolmente influenzate dall’eventuale presenza <strong>di</strong> uno<br />
schermo <strong>di</strong>etro all’altra fen<strong>di</strong>tura (fig. 19).<br />
(8) D. Bohm, Phys. Rev- 85, 166 (1952).<br />
Fig. 19. Traiettorie previste<br />
dalla teoria <strong>di</strong> Bohm per le<br />
particelle materiali negli<br />
esperimenti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione.<br />
Conclusioni: nel caso B le<br />
particelle che attraversano<br />
la fen<strong>di</strong>tura A sono in<br />
qualche modo consapevoli<br />
<strong>di</strong> essere nella sovrapposizione<br />
ψ a + ψ b
218 Capitolo 4. Percorsi<br />
Verso il formalismo*<br />
Il percorso sin qui proposto ha consentito <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are situazioni semplici sul piano operativo per la<br />
comprensione <strong>di</strong> concetti <strong>di</strong>fficili.<br />
La rappresentazione iconografica utilizzata è lo strumento che proponiamo per la costruzione dei<br />
concetti basilare della teoria quantistica, come quello <strong>di</strong> stato quantico, sovrapposizione <strong>di</strong> stati,<br />
incompatibilità.<br />
Il passo successivo del percorso consiste nel riprendere i concetti introdotti, per rendere conto del<br />
modo con cui la meccanica quantistica ne fornisce una rappresentazione formalizzata. Il contesto <strong>di</strong><br />
riferimento è ancora quello della interazione <strong>di</strong> fotoni con polaroid a cristalli birifrangenti, ma i risultati<br />
ottenuti vengono proposti in una forma facilmente generalizzabile.<br />
Stati fisici, ampiezze e vettori<br />
Introduzione ad un’idea fondamentale: gli stati quanto-meccanici sono descritti da vettori appartenenti<br />
ad uno spazio vettoriale astratto.<br />
Ogni fotone dell’insieme U (filtrato dal primo polaroid) ha la proprietà <strong>di</strong> attraversare con certezza un<br />
secondo polaroid con la stessa <strong>di</strong>rezione permessa u.<br />
Fig. 20. Apparato sperimentale:<br />
2 polaroid A e B, con<br />
<strong>di</strong>rezione permessa lungo i<br />
versori u e v, un rilevatore<br />
<strong>di</strong> fotoni D.<br />
Il secondo polaroid è orientato lungo una <strong>di</strong>rezione arbitraria v:<br />
→ quali previsioni possiamo fare su U?<br />
→ qual è la probabilità P(u,v) per i fotoni U <strong>di</strong> attraversare B e far scattare D?<br />
Un insieme formato da un gran numero <strong>di</strong> fotoni può essere descritto dalle leggi dell’ottica classica<br />
=> legge <strong>di</strong> Malus<br />
I tr<br />
–––– = cos 2 θ<br />
I in<br />
θ: angolo tra la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione della luce incidente e la <strong>di</strong>rezione permessa del polaroid.<br />
Interpretiamo:<br />
Itr / Iin = numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi / numero <strong>di</strong> fotoni incidenti = Ntr / Ni Allora:<br />
Itr / Iin = Ntr / Nin = P(u,v)<br />
Poiché:<br />
P(u,v)=cos2 θ<br />
*NOTA: I contenuti del ragionamento qui proposto, sono il risultato del lavoro svolto con R. Ragazzon.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 219<br />
D’altra parte:<br />
cos2θ = (u · v) 2<br />
Si ottiene:<br />
P(u,v) = cos2θ = (u · v) 2 (2)<br />
Qualunque sia la <strong>di</strong>rezione permessa v, il versore u determina il comportamento statistico dei<br />
fotoni.<br />
Se accettiamo che le nostre previsioni siano inevitabilmente <strong>di</strong> carattere statistico,allora il versore u<br />
fornisce una descrizione completa dei fotoni appartenenti all’insieme U.<br />
Lo stato <strong>di</strong> polarizzazione lineare <strong>di</strong> un fotone è quin<strong>di</strong> rappresentato da un vettore in uno spazio bi<strong>di</strong>mensionale.<br />
Il versore v può rappresentare lo stato <strong>di</strong> un fotone che ha attraversato il polaroid B.<br />
Se il rivelatore D scatta, significa che la nostra misura ha indotto una transizione dallo stato u allo<br />
stato v.<br />
La relazione (u · v) 2 in<strong>di</strong>ca una semplicissima procedura per determinare la probabilità <strong>di</strong> tale transizione.<br />
Ogni vettore in uno spazio bi<strong>di</strong>mensionale può essere scritto come combinazione lineare <strong>di</strong> due vettori<br />
mutuamente ortogonali H e V:<br />
lo stato u:<br />
u = ψ1 H + ψ2 V, (3,a)<br />
Le componenti ψ1 and ψ2 sono chiamate "ampiezze".<br />
Devono obbe<strong>di</strong>re alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> normalizzazione:<br />
2 2 ψ1 + ψ2 = 1. (3,b)<br />
Poichè H e V sono versori (vettori unitari),<br />
anch’essi rappresentano due possibili stati <strong>di</strong> un fotone linearmente polarizzato.<br />
La relazione vettoriale:<br />
u = ψ1 H + ψ2 V<br />
rappresenta la formulazione quantitativa del principio <strong>di</strong> sovrapposizione per gli stati <strong>di</strong> polarizzazione:<br />
la combinazione lineare <strong>di</strong> due stati fisici è ancora uno stato fisico ammissibile.<br />
2<br />
D’altra parte essendo ψ1 = H · u, si ha che: ψ1 è la probabilità <strong>di</strong> transizione dallo stato u allo stato H:<br />
la probabilità <strong>di</strong> essere rivelato/misurato se la <strong>di</strong>rezione permessa del secondo polaroid fosse H.<br />
ψ 1 2 è la probabilità <strong>di</strong> trovare un fotone nello stato H.<br />
Analogamente, essendo ψ2 = V · u si ha che: ψ 2 2<br />
è la probabilità <strong>di</strong> transizione dallo stato u allo stato V:<br />
la probabilità <strong>di</strong> essere rivelato/misurato se la <strong>di</strong>rezione permessa del secondo polaroid fosse V.<br />
La relazione:<br />
u = ψ 1 H + ψ 1 V,<br />
ψ 2 2 fornisce la probabilità <strong>di</strong> trovare il fotone nello stato V
220 Capitolo 4. Percorsi<br />
contiene importanti novità concettuali.<br />
Non riduzionismo: cerchiamo una via per capirle.<br />
In <strong>fisica</strong> classica<br />
L’insieme U può essere pensato come insieme (unione) <strong>di</strong> 2 sottoinsiemi <strong>di</strong>sgiunti caratterizzati da<br />
propretà fisiche complementari.<br />
Insieme<br />
U {<br />
fotoni con proprietà H<br />
(attraversano polaroid con <strong>di</strong>r.<br />
{<br />
fotoni con proprietà V<br />
(attraversano polaroid con <strong>di</strong>r.<br />
{<br />
ψ1 2 = P(H)<br />
ψ2 2 = P(V)<br />
P(H) or P(V): probabilità che un fotone <strong>di</strong> U, scelto a caso abbia proprietà H o V.<br />
La probabilità <strong>di</strong> scattare del rivelatore P(D) è<br />
P(u,v) = cos2θ = (u · v) 2<br />
con<br />
u = ψ1 H + ψ2 V<br />
perciò:<br />
P(D) ≡ P(u,v) = (u · v) 2 = [ ψ 1 H · v + ψ 2 V · v ] 2<br />
= P(H) (H · v) 2 + P(V) (V · v) 2 + 2 ψ 1 ψ 2 (H · v) (V · v) (4)<br />
Lo stato H: descrive il comportamento statistico dei fotoni con proprietà H<br />
(H · v) 2 = P(D | H) => probabilità <strong>di</strong> far scattare D, se il fotone ha la proprietà H.<br />
(V · v) 2 = P(D | V) => probabilità <strong>di</strong> far scattare D, se il fotone ha la proprietà V.<br />
Allora:<br />
P(D) = P(H)P(D | H) + P(V)P(D | V) + 2 ψ1 ψ2 (H · v) (V · v) (5)<br />
Il terzo termine <strong>di</strong> questa espressione, che caratterizza l’interferenza quantistica, non può essere ottenuto<br />
con la regola della probabilità con<strong>di</strong>zionata classica.<br />
Esso è sempre presente se le ampiezze ψ 1 ψ 2 sono <strong>di</strong>verse da zero.<br />
NON SI PUO’:<br />
→ pensare U come costituito da 2 sottoinsiemi con proprietà H e V<br />
→ considerare il simbolo "+" come UNIONE.<br />
Si tratta <strong>di</strong> una conseguenza del principio <strong>di</strong> sovrapposizione, priva <strong>di</strong> analogie o interpretazioni classiche.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 221<br />
Stati e ampiezze<br />
Come scrivo il vettore <strong>di</strong> stato:<br />
u = ψ 1 H + ψ 2 V<br />
scrivo il vettore <strong>di</strong> stato v<br />
v = ψ 1’ H + ψ 2’ V (6)<br />
che rappresenta ancora un possibile stato del sistema.<br />
La probabilità P(u,v) può allora essere scritta come:<br />
P(u,v) = (v · u) 2 = (ψ1 ψ1’ + ψ2 ψ2’) 2 (7)<br />
Un risultato importante: siamo passati<br />
da una descrizione<br />
vettoriale degli stati<br />
➞<br />
ad una loro rappresentazione<br />
in termini <strong>di</strong> ampiezze<br />
• Ogni stato fisico viene in<strong>di</strong>viduato da una coppia <strong>di</strong> ampiezze<br />
• La conoscenza delle ampiezze permette <strong>di</strong> determinare tutte le probabilità <strong>di</strong> transizione pertinenti<br />
al nostro sistema.<br />
Ortogonalità tra stati<br />
Gli stati quanto-meccanici vengono definiti dalle proprietà che possono essere attribuite con certezza<br />
ad un sistema fisico.<br />
→ Due stati sono ortogonali quando le proprietà fisiche che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.<br />
Gli stati <strong>di</strong> polarizzazione H e V sono ortogonali se un fotone che:<br />
→ ha la certezza <strong>di</strong> passare il polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale<br />
→ ha anche quella <strong>di</strong> NON passare il polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale.<br />
Ogni processo <strong>di</strong> misura può essere riguardato come una “fabbrica”<br />
<strong>di</strong> stati ortogonali<br />
L’osservabile quantità <strong>di</strong> moto: un caso per capire.<br />
Vogliamo misurare la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> una particella puntiforme.<br />
Se una misura dà il valore p, dobbiamo essere certi che una seconda misura <strong>di</strong>a lo stesso valore.<br />
Quin<strong>di</strong> lo stato caratterizzato dal valore p è ortogonale a tutti gli stati con p’≠ p.<br />
Conseguenza:<br />
→ un sistema fisico complesso ammette più <strong>di</strong> due stati mutuamente ortogonali.<br />
→ La particella puntiforme considerata può trovarsi in un numero infinito <strong>di</strong> stati ortogonali <strong>di</strong>stinti,<br />
uno per ogni possibile valore della quantità <strong>di</strong> moto.<br />
Ciò si applica a qualunque grandezza <strong>fisica</strong>.
222 Capitolo 4. Percorsi<br />
Il formalismo generale della meccanica quantistica può essere derivato combinando insieme il concetto<br />
<strong>di</strong> ampiezza e la definizione <strong>di</strong> ortogonalità tra stati fisici.<br />
→ la coppia <strong>di</strong> ampiezze (ψ 1 , ψ 2) rappresenta la sovrapposizione <strong>di</strong> due stati fisici ortogonali per la<br />
polarizzazione del fotone,<br />
→ le ampiezze (ψ 1 , ψ 2 ,..., ψ i ,....) rappresentano la sovrapposizione <strong>di</strong> più stati ortogonali,<br />
2 ψi : probabilità con cui una certa misura induce una transizione all’i-mo stato della sovrapposizione<br />
rappresentata dalle n ampiezze (ψ1 , ψ2 ,..., ψi ,....).<br />
In generale, la probabilità <strong>di</strong> transizione da una sovrapposizione (ψ1 , ψ2 ,..., ψi ,....) ad una seconda<br />
sovrapposizione (ψ1’ , ψ2’ ,..., ψi’ ,....), si ottiene come:<br />
P = ∑i = 1,...,N ( ψi ψi’ ) 2<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> un reticolo <strong>di</strong> <strong>di</strong>ffrazione potrebbe essere utilizzato per mostrare come sia effettivamente<br />
necessario considerare la sovrapposizione <strong>di</strong> un numero arbitrario <strong>di</strong> stati ortogonali.<br />
Operatori lineari<br />
In meccanica quantistica ogni osservabile <strong>fisica</strong> è associata ad un operatore lineare.<br />
?<br />
OSSERVABILE FISICA OPERATORE LINEARE<br />
natura <strong>di</strong> tale<br />
relazione<br />
Un gioco per capirli<br />
Consideriamo un oggetto matematico, un operatore Ô del tipo a b · e applichiamolo a un vettore c.<br />
Il risultato dell’operazione è un nuovo vettore proporzionale ad a<br />
ab ·<br />
c ➞ (b · c)a ab · c = (b · c) a<br />
Posso considerarne altri:<br />
Ô’ = a a ·<br />
Ô’’ = b b ·<br />
numero<br />
Oppure l’operatore combinazione lineare:<br />
Ô ≡ λ1 a a · + λ2 b b ·<br />
dove a e b sono due versori ortogonali:<br />
a a · = b · b = 1, a · b = 0<br />
Applichiamo l’operatore a un vettore c:<br />
Ôc ≡ (λ1 a a · + λ2 b b ·)c = λ1 (a · c) a + λ1 (b · c) b<br />
Leggiamo come agisce l’operatore:<br />
• proietta c lungo le <strong>di</strong>rezioni ortogonali a e b<br />
• moltiplica le proiezioni per le costanti λ 1 e λ 1<br />
• i vettori componenti così ottenuti vengono sommati per produrre il vettore finale.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 223<br />
Applichiamo l’operatore al versore a:<br />
Ôa ≡ λ1 a a · a + λ2 b b · a = λ1 a<br />
Il risultato non è altro che il vettore a moltiplicato per la costante λ1 a → λ1 a<br />
Si <strong>di</strong>ce che a è un autovettore dell’operatore Ô con autovalore λ1 .<br />
Applichiamo l’operatore al versore b<br />
Ôb ≡ λ2 b<br />
Si <strong>di</strong>ce che b è un autovettore dell’operatore Ô con autovalore λ2 .<br />
Legame tra operatori lineari e variabili fisiche<br />
Un cristallo birifrangente è seguito da due rivelatori <strong>di</strong> fotoni, uno per ogni fascio secondario, collegati<br />
ad un in<strong>di</strong>ce con due “posizioni” λ 1 e λ 2.<br />
L’in<strong>di</strong>ce si porta <strong>sulla</strong> posizione λ 1 (λ 2) quando un fotone viene segnalato dal rivelatore D1 (D2). Il<br />
risultato della misura è quin<strong>di</strong> una variabile aleatoria λ, che può assumere soltanto due valori, λ 1 e λ 2.<br />
Fig. 21. Un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati incide su un cristallo <strong>di</strong> calcite. Per ogni fotone incidente<br />
scatta o solo il rilevatore D1 (in<strong>di</strong>ce m>1, o solo D2 (in<strong>di</strong>ce m>2).<br />
Calcoliamo il valore atteso <strong>di</strong> λ, calcolando il suo valore me<strong>di</strong>o.<br />
Se il versore u rappresenta lo stato dei fotoni inviati verso il cristallo:<br />
la probabilità <strong>di</strong> ottenere λ1 è data dalla probabilità <strong>di</strong> rivelazione <strong>di</strong> D1:<br />
P(λ = λ1) = (u · v1) 2<br />
La probabilità <strong>di</strong> ottenere λ2 è data dalla probabilità <strong>di</strong> rivelazione <strong>di</strong> D2:<br />
P( λ = λ2) = (u · v2) 2.<br />
Il valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> λ è quin<strong>di</strong><br />
< λ > = (u · v1) 2 + λ2(u · v2) 2<br />
Con semplici passaggi si può ridurre questa espressione alla forma che riporta all’idea <strong>di</strong> operatori:<br />
< λ > = u · [λ1 (v1 · u) v1+ λ2 (v2 · u) v2] Il vettore in parentesi quadra può essere ottenuto applicando l’operatore<br />
Ôλ = λ1v1 v1 · + λ2 v2 v2 ·<br />
al vettore <strong>di</strong> stato u che descrive i fotoni interagenti con il nostro apparato <strong>di</strong> misura.<br />
Il valore atteso λ può essere scritto nella forma particolarmente semplice:<br />
< λ > = u · Ôλ u
224 Capitolo 4. Percorsi<br />
L’operatore Ô λ fornisce una descrizione compatta e completa dell’apparato <strong>di</strong> misura considerato.<br />
I possibili esiti <strong>di</strong> una misura coincidono con gli autovalori dell’operatore, mentre i suoi autovettori<br />
sono i possibili stati in cui possiamo trovare il fotone dopo la misura.<br />
Il risultato è generale:<br />
per ogni variabile aleatoria, il valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> λ è dato da una sommatoria <strong>di</strong> termini in ciascuno dei<br />
quali si evidenziano due fattori significativi:<br />
→ uno dei possibili valori assunti dall’osservabile λ<br />
→ la probabilità del corrispondente evento<br />
come nel nostro caso:<br />
< λ > = λ1 (u · v1) 2 + λ2 (u · v2) 2<br />
L’unica cosa <strong>di</strong> cui abbiamo bisogno è <strong>di</strong> esprimere le probabilità <strong>di</strong> transizione nella forma <strong>di</strong> un<br />
prodotto scalare.<br />
Per un sistema fisico generico, dove gli stati vengano rappresentati da vettori n-<strong>di</strong>mensionali, si ha:<br />
Ô λ = ∑ λ i v i v i ·<br />
i<br />
dove la sommatoria è ora estesa a tutti gli stati ortogonali in cui possiamo trovare il sistema fisico<br />
dopo il processo <strong>di</strong> misura.<br />
Domande aperte<br />
• Come è possibile determinare i possibili valori <strong>di</strong> una osservabile <strong>fisica</strong>?<br />
• Come è possibile definire (e quin<strong>di</strong> usare) gli operatori associati ad<br />
una osservabile <strong>fisica</strong>?<br />
• Perchè gli operatori lineari sono ritenuti un ingre<strong>di</strong>ente essenziale del<br />
formalismo quanto-meccanico?<br />
I seguenti due elementi rispondono<br />
1) I valori me<strong>di</strong> delle osservabile fisiche obbe<strong>di</strong>scono alle leggi della <strong>fisica</strong> classica<br />
2) L’equazione<br />
(λ) = u · Ô λ u<br />
→ mette in relazione il valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> una osservabile <strong>fisica</strong> con il suo operatore<br />
→ permette <strong>di</strong> “tradurre” le leggi della <strong>fisica</strong> classica in ben precise relazioni tra gli operatori<br />
associati alle osservabili <strong>di</strong> un sistema fisico.<br />
Usualmente, queste relazioni sono sufficienti per caratterizzare gli operatori e determinarne autovalori<br />
ed autovettori.<br />
Gli operatori lineari sono lo strumento più efficace per “quantizzare” un sistema fisico, cioè per ottenerne<br />
la descrizione quantistica partendo da quella classica.
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 225<br />
Dal principio <strong>di</strong> sovrapposizione ai cammini <strong>di</strong> Feynman*<br />
L’approccio seguito <strong>di</strong> introduzione alla <strong>fisica</strong> quantistica e alla costruzione del formalismo nel caso<br />
generele conduce all’idea <strong>di</strong> funzione d’onda. In particolare si possono considerare sovrapposizioni <strong>di</strong><br />
stati a posizione definita effettuando l’ipotesi semplificativa che lo spazio sia costituito da un insieme<br />
<strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti.<br />
x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 ................... x n<br />
ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5 ................... ψ n<br />
Se una particella ad un certo istante è stata localizzata da un rivelatore in x i, si escludono tutte le<br />
altre possibilità. I <strong>di</strong>versi possibili esiti delle misure <strong>di</strong> posizione definiscono proprietà mutuamente<br />
esclusive che caratterizzano sistemi in stati ortogonali dal punto <strong>di</strong> vista geometrico. Mentre in <strong>fisica</strong><br />
classica gli unici stati possibili sono gli stati a posizione definita (in <strong>fisica</strong> classica la particella<br />
sta per forza in uno solo <strong>di</strong> questi stati), in meccanica quantistica la particella vive in generale in<br />
una sovrapposizione <strong>di</strong> stati.<br />
Se può rappresentare questo associando ad ogni stato ortogonale un’ampiezza, ossia ad ogni posizione<br />
definita x i si associa l’ampiezza ψ i.<br />
Si è costruita una funzione ψ i(x i), che consiste in sostanza in una sovrapposizione tra stati a posizione<br />
definita.<br />
Se all’istante t i è stata trovata la particella in x i , la funzione d’onda deve essere <strong>di</strong>versa da zero solo<br />
in un ristretto intorno <strong>di</strong> x i (figura sotto a sinistra). Dopo un tempo Δt, la particella non si troverà<br />
più in x i e la funzione d’onda sarà del tipo illustrato a destra.<br />
t = t<br />
xi i x t = ti + Δt x<br />
Per calcolare la funzione d’onda e <strong>di</strong>re come evolve, ci sono due approcci equivalenti:<br />
a) Equazione <strong>di</strong> Schrö<strong>di</strong>nger<br />
h ⁄ ∂ 2 ∂ ψ (t,x)<br />
[- ––– ––– + V(x)] ψ (t,x) = i h ––––––––<br />
2m ∂x 2 ∂ t<br />
b) Formalismo dei cammini <strong>di</strong> Feynman.<br />
Possiamo seguire questo secondo approccio, che risulta relativamente semplice utilizzando i fasori.<br />
Si cerca la probabilità <strong>di</strong> trovare la particella in x2 se al tempo t1 era stata localizzata in x1. Ci sono<br />
i S ( γ ) / h⁄<br />
infiniti mo<strong>di</strong> con cui la particella potrebbe portarsi da x1 a x2. Per ogni percorso si calcola, e<br />
dove<br />
t mv 2 (t’)<br />
S ( γ ) = ∫ [ –––––––– - V(x (t’))] dt<br />
t 1 2<br />
*NOTA: I contenuti del ragionamento qui proposto, sono il risultato del lavoro svolto con R. Ragazzon.
226 Capitolo 4. Percorsi<br />
e quin<strong>di</strong> si valuta la funzione d’onda come:<br />
ψ ( x,t ) = ––<br />
1<br />
∑ γ e i S ( γ ) / h<br />
N<br />
che è una somma (in generale un integrale) su uno spazio funzionale (spazio <strong>di</strong> funzioni).<br />
In questo approccio è contenuto il principio <strong>di</strong> sovrapposizione: ogni percorso dà il suo contributo,<br />
come se la particella li seguisse contemporaneamente tutti.<br />
Nei problemi concreti i cammini utili sono pochi ed inoltre ogni contributo si può visualizzare.<br />
Questo consente <strong>di</strong> rendere entro certi limiti visualizzabile e più intuitiva la meccanica quantistica.<br />
Esiste infatti una corrispondenza tra i numeri complessi e iϕ e i vettori <strong>di</strong> modulo unitario <strong>di</strong> angolo ϕ.<br />
|e i ϕ1 + e i ϕ2| ➔<br />
ϕ 1<br />
ϕ 2<br />
Perciò si può associare a ogni percorso un vettore, invece <strong>di</strong> un numero complesso, e quin<strong>di</strong> sommare<br />
i vettori.<br />
Ogni vettore associato a ciascun percorso è inclinato <strong>di</strong> un angolo S(γ) / h ⁄ .<br />
e i S ( γ ) / / h<br />
S ( γ ) / h ⁄<br />
Poiché si può spezzare l’integrale per il calcolo <strong>di</strong> S:<br />
t2 t3 tn<br />
S ( γ ) = ∫ + ∫ + · · · · ∫<br />
t1 t2 t n - 1<br />
alche il vettore da associare ad ogni percorso si può calcolare sommando i vettori dei singoli tratti.<br />
Ogni tratto del percorso contribuisce in modo ad<strong>di</strong>tivo all’angolo e ogni rotazione corrisponde ad<br />
ogni percorso cui è associato un vettore. Questo fatto consente <strong>di</strong> attribuire una “lancetta” interna<br />
ad una particella che ruota secondo il valore <strong>di</strong> S(γ) / h ⁄ .<br />
Nel caso <strong>di</strong> particella libera:<br />
t mv 2 (t ı)<br />
S ( γ ) = ∫ [ –––––––– ] d t ı<br />
t i 2<br />
e poiché v è costante:<br />
S ( γ ) E<br />
–––––––– = ––––– (t - t i)<br />
h ⁄ h ⁄<br />
Allora in questo caso la lancetta ruota con velocità (angolare) <strong>di</strong> E / h ⁄ .<br />
Se si è in grado <strong>di</strong> capire che alcuni percorsi sono dominanti, il calcolo <strong>di</strong>venta semplice.<br />
Per esempio si può dare risposta alla domanda:<br />
perché una particella libera sembra propagarsi lungo una retta?<br />
Per rispondere dobbiamo chiederci:<br />
qual è la probabilità che la particella, localizzata in A a t = 0, si trovi in<br />
B all’istante t = 2Δt?<br />
P[(A, 0) → (B,2Δt)] = ?<br />
1 Δt mv 2 2Δt mv 2<br />
ϕ(x) = –– [ ∫ –––– dt + ∫ –––– dt ] =<br />
h ⁄ 0 2 Δt 2
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 227<br />
m D 2 + x 2 D 2 + (y - x) 2<br />
= –––– [ –––––––– + –––––––––––– ] <br />
2 h ⁄ Δt Δt<br />
D 2 + x 2 - xy x 2 - xy<br />
Se si rappresenta ϕ (x) in funzione <strong>di</strong> x si ottengono delle parabole<br />
(ϕ(x)=x2-xy). Se B è un punto classicamente in ombra, le fasi sono monotone e il vettore <strong>di</strong> fase è piccolo, ossia<br />
vi è bassa probabilità <strong>di</strong> trovare la particella in B. La regione <strong>di</strong> minimo della fase corrisponde a<br />
sommare vettori equiversi. Cosa succede se la fen<strong>di</strong>tura è piccola? Si sommano pochi percorsi, in<br />
cui le <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> cammino sono trascurabili. Ne segue che la probabilità <strong>di</strong> trovare la particella<br />
in zona d’ombra e <strong>di</strong> luce sono poco <strong>di</strong>verse. Il metodo <strong>di</strong> Feynman nel campo macroscopico riproduce<br />
la <strong>fisica</strong> classica, in quello microscopico evidenzia grosse deviazioni dalla <strong>fisica</strong> classica.<br />
Bibliografia<br />
A carattere <strong>di</strong>dattico generale<br />
A. LORIA, C. MALAGODI, M. MICHELINI, School Quantum Physics, in Structure of matter in the School,<br />
Budapest, 1979.<br />
R. FEYNMAN, QED, La strana teoria della luce, ADELPHI, 1985.<br />
J. S. BELL, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge, Cambridge University<br />
Press, 1987.<br />
J.S. TOWNSEND, A Modern Approach to Quantum Mechanics, New York, McGraw-Hill, 1992.<br />
G.C. GHIRARDI, Un’occhiata alle carte <strong>di</strong> Dio, Milano, Il Saggiatore, 1997.<br />
Le basi della proposta<br />
G. GHIRARDI, R. GRASSI, M. MICHELINI, A Fundamental Concept in Quantum Theory: The Superposition<br />
Principle, in Thinking Physics for Teaching, Aster, Plenum Publishing Corporation, p.329, 1995.<br />
G. GHIRARDI, R. GRASSI, M. MICHELINI, The linear superposition principle and non classical features<br />
of microphenomena, short contribute in Teaching the Science of Condensed Matter and New Materials,<br />
GIREP-ICPE Book, Forum , 1996.<br />
G. GHIRARDI, R. GRASSI, M. MICHELINI, Introduzione delle idee della <strong>fisica</strong> quantistica e il ruolo del<br />
principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XXX, 3 Sup., Q7, p.46-57, 1997.<br />
A. STEFANEL, Un'esperienza sul campo <strong>di</strong> introduzione della <strong>fisica</strong> quantistica nella scuola secondaria<br />
superiore, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XXX, 3 sup., Q7, 1997.<br />
Gli sviluppi<br />
M. MICHELINI, R. RAGAZZON, L. SANTI, A. STEFANEL, Una proposta operativa a confronto con <strong>di</strong>versi<br />
approcci alla meccanica quantistica nella scuola secondaria superiore, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola,<br />
XXXII, 3, p.196, 1999.<br />
M. MICHELINI, R. RAGAZZON, L. SANTI, A. STEFANEL, Proposal for quantum physics in secondary school,<br />
Phys. Educ . 35(6), p.406, 2000.<br />
A. STEFANEL, Interazione <strong>di</strong> fotoni con polarizzatori e cristalli birifrangenti per l'introduzione del<br />
concetto <strong>di</strong> stato quantico, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XXXIV, 1 supplemento, 2001.<br />
M. MICHELINI, R. RAGAZZON, L. SANTI, A. STEFANEL, Quantum Physics as a way of thinking: an educational<br />
proposal, in Phyteb 2000, Elsevier, Paris, p.479, 2001.<br />
M. MICHELINI, L. SANTI, A. STEFANEL, G. MENEGHIN, A resource environment to introduce quantum<br />
physics in secondary school, Procee<strong>di</strong>ngs International MPTL-7, http://informando.infm.it/MPTL/,<br />
2002.<br />
A. STEFANEL, M. MICHELINI, R. RAGAZZON, L. SANTI, Mecaniche cuantistiche te scuele secondary -<br />
Quantum Physics si secondary school, Friulan journal of sciences – reserches, 3, p. 9-19, 2003.
METTERSI IN GIOCO NELL’ESPLORARE ED INTERPRETARE FENOMENI<br />
DI SUPERCONDUTTIVITÀ<br />
Marisa Michelini e Rossana Viola<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
1. Introduzione<br />
Si presenta in questa sede la proposta <strong>di</strong>dattica messa a punto per la sperimentazione <strong>di</strong> ricerca <strong>sulla</strong><br />
superconduttività nella seconda Scuola Estiva Nazionale <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna, tenutasi a U<strong>di</strong>ne nel<br />
luglio 2009 in attuazione del Progetto IDIFO2.<br />
Si tratta <strong>di</strong> un percorso sperimentale <strong>di</strong> tipo esplorativo in cui le situazioni esplorative hands-on sono<br />
offerte con l’approccio dei laboratori concettuali CLOE (Michelini, 2005), usando schede-stimolo<br />
(Martongelli, 2001; Michelini, 2003) ed una strategia basata su cicli SPPEA (Situazione, Previsione,<br />
Progettazione, Esperimento, Analisi). Interviste Rogersiane e a piccolo gruppo sono state effettuate<br />
durante l’attività per monitorare i processi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento.<br />
2. Il percorso<br />
Ci pare più efficace illustrare il percorso utilizzando le domande <strong>di</strong> ricerca (DR) che ci siamo posti<br />
in relazione alle <strong>di</strong>verse situazioni (S).<br />
Situazione (S) Domande <strong>di</strong> Ricerca (DR)<br />
1. INTERAZIONI TRA DIPOLI<br />
S1. Avvicinare un magnete ad un altro magnete: interazione<br />
tra due <strong>di</strong>poli<br />
S2. Rappresentazioni del <strong>di</strong>polo presente in ciascun magnete:<br />
utilizzando la rappresentazione vettoriale schematizzazione<br />
<strong>di</strong> tutte le situazioni provate e dei corrispondenti effetti.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
S3. Esaminando l’interazione a <strong>di</strong>stanza che si sperimenta con<br />
<strong>di</strong>versi esploratori nello spazio circostante il magnete si in<strong>di</strong>viduano<br />
le linee <strong>di</strong> campo<br />
S4. Confi gurazione delle linee <strong>di</strong> campo nei due casi<br />
• poli omologhi affacciati<br />
• poli <strong>di</strong>versi affacciati<br />
Rappresentazione, per ognuna delle due situazioni, in termini<br />
<strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo e <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo.<br />
S5. Analisi della possibilità <strong>di</strong> sospendere un magnete sull’altro<br />
Rappresentazione in termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo e <strong>di</strong> linee<br />
<strong>di</strong> campo.<br />
1 - L’esplorazione è basata su ipotesi esplicite/implicite?<br />
2 - Vengono riconosciuti i <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> interazione tra due<br />
magneti a seconda dei poli affacciati? (attrazione o rotazione<br />
+ attrazione)<br />
3 - Viene utilizzata una descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo?<br />
4 - Viene riconosciuto che le linee <strong>di</strong> campo sono una struttura<br />
simmetrica tri<strong>di</strong>mensionale?<br />
5 - Emerge l’idea <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>di</strong> campi?<br />
6 - Gli studenti descrivono le linee e/o le confrontano in <strong>di</strong>verse<br />
situazioni? Viene riconosciuto che la configurazione delle<br />
linee <strong>di</strong> campo permette una previsione sul tipo <strong>di</strong> interazione<br />
tra i <strong>di</strong>poli?<br />
7 - Viene riconosciuta l’impossibilità <strong>di</strong> sospendere un magnete<br />
sull’altro a meno <strong>di</strong> introdurre un vincolo?<br />
8 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o raggiungono<br />
un livello anche interpretativo?<br />
9 - Viene usata una descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli?<br />
10 - Vengono usate le linee <strong>di</strong> campo magnetico per spiegare<br />
la fenomenologia?
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 229<br />
2. INTERAZIONI DI UN MAGNETE CON OGGETTI DI DIVERSO MATERIALE:<br />
FERRO – PARA – DIA MAGNETISMO<br />
S6. Interazione tra un magnete e oggetti <strong>di</strong> <strong>di</strong>verso materiale<br />
avvicinando il magnete a:<br />
S6.1. una graffetta o una sferetta: ferromagnetismo<br />
S6.2. una bilancia <strong>di</strong> torsione con [solfato <strong>di</strong> rame e acqua ]<br />
o [polvere <strong>di</strong> alluminio e acqua]<br />
o [solfato <strong>di</strong> rame e olio]:<br />
para e <strong>di</strong>amagnetismo<br />
S6.3. sottile mina <strong>di</strong> grafi te pirolitica: <strong>di</strong>amagnetismo<br />
Rappresentazione, per ognuna delle tre situazioni, in termini<br />
<strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo e <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo.<br />
S7. Analisi della possibilità <strong>di</strong> sospendere una sottile sfoglia<br />
<strong>di</strong> grafi te pirolitica su un magnete<br />
S8. Esplorazione dell’interazione tra un magnete e un campione<br />
<strong>di</strong> YBCO (YBa2Cu3O7 - superconduttore del II tipo con<br />
debole pinning) per determinare il tipo <strong>di</strong> materiale.<br />
3. LE LINEE DI CAMPO<br />
S9. Analisi delle linee <strong>di</strong> campo all’interno e fuori dai materiali:<br />
S9.1. Analisi della possibilità che la presenza <strong>di</strong> un materiale<br />
in un campo magnetico costante ed uniforme possa mo<strong>di</strong>fi -<br />
care il campo magnetico risultante<br />
S9.2. Analisi <strong>di</strong> come si mo<strong>di</strong>fi ca il campo magnetico risultante<br />
se un materiale ferromagnetico, paramagnetico, <strong>di</strong>amagnetico<br />
viene immerso in un campo magnetico uniforme,<br />
tenendo conto della rappresentazione per linee <strong>di</strong> campo, <strong>di</strong><br />
quelle per vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo e del comportamento osservato<br />
nella esplorazione sperimentale.<br />
S9.3. Confi gurazione delle linee <strong>di</strong> campo del sistema magnete<br />
+ YBCO (a T ambiente)<br />
11 - Viene utilizzata la descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli e <strong>di</strong><br />
linee <strong>di</strong> campo per rappresentare le situazioni esaminate?<br />
12 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o raggiungono<br />
un livello anche interpretativo? Quali modelli interpretativi<br />
emergono per la fenomenologia osservata?<br />
13 - Vengono riconosciute le analogie e le <strong>di</strong>fferenze tra le<br />
varie situazioni?<br />
14 - Viene riconosciuto che gli oggetti presi in considerazione<br />
si comportano come dei <strong>di</strong>poli, indotti dal campo magnetico<br />
esterno?<br />
15 - L’esplorazione viene fatta avvicinando uno solo o entrambi<br />
i poli del magnete?<br />
16 - Vengono in<strong>di</strong>viduate analogie e <strong>di</strong>fferenze col caso della<br />
sospensione <strong>di</strong> un magnete sull’altro?<br />
17 - Viene riconosciuta la necessità <strong>di</strong> un vincolo per avere<br />
sospensione?<br />
18 - L’esplorazione è basata su ipotesi esplicite/implicite?<br />
19 - Viene tenuto conto del principio <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>di</strong><br />
campi? Sia dentro che fuori il materiale?<br />
20 - Viene data una descrizione/interpretazione in termini <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>poli e/o <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo?
230 Capitolo 4. Percorsi<br />
S10. Esplorazione del comportamento del sistema magnete +<br />
YBCO (superconduttore del II tipo con debole pinning) all’abbassarsi<br />
della temperatura (raffreddando con azoto liquido):<br />
effetto Meissner ed effetto pinning<br />
S11. Confronto e descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli per ciascuno<br />
dei casi:<br />
1) due magneti<br />
2) magnete e grafi te pirolitica<br />
3) superconduttore e magnete<br />
Mentre nel caso della grafi te pirolitica il <strong>di</strong>amagnetismo evidenzia<br />
come si realizza una sospensione non <strong>di</strong> equilibrio della<br />
grafi te pirolitica, il superconduttore sembra essere in equilibrio.<br />
L’effetto pinning.<br />
4. IL CONTRIBUTO DELLA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ<br />
S12. Un magnete in levitazione su un superconduttore YBCO<br />
(del II tipo con debole pinning) - il contributo della legge <strong>di</strong><br />
Faraday-Neumann-Lenz in alcuni fenomeni connessi alla<br />
levitazione magnetica:<br />
S12.1. il magnete resta in levitazione e non cade sul superconduttore<br />
S12.2. per il magnete in levitazione esiste un unico asse <strong>di</strong><br />
rotazione permesso, l’asse N-S magnetico del magnete<br />
S12.3. il magnete resta in levitazione con una qualunque<br />
orientazione del suo asse magnetico e, nonostante sia presente<br />
solo l’attrito con l’aria, non si orienta secondo la <strong>di</strong>rezione<br />
dell’asse magnetico terrestre<br />
5. GLI EFFETTI DI UN FORTE PINNING<br />
S13. Esplorazione dell’interazione tra un magnete e un campione<br />
<strong>di</strong> YBCO (YBa2Cu3O7 - superconduttore del II tipo con<br />
forte pinning) per determinare il tipo <strong>di</strong> materiale.<br />
Le linee <strong>di</strong> campo del sistema magnete + YBCO (a T<br />
ambiente)<br />
21 - Viene riconosciuto che è avvenuta una transizione? Le<br />
descrizioni sono in termini <strong>di</strong> processo?<br />
22 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o passano<br />
ad un piano interpretativo?<br />
23 - Viene utilizzata una descrizione in termini <strong>di</strong> linee <strong>di</strong><br />
campo?<br />
24 - Viene utilizzata una descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo?<br />
25 - Quali modelli interpretativi emergono per spiegare l’effetto<br />
pinning?<br />
26 - I fenomeni osservati vengono interpretati in termini <strong>di</strong><br />
variazione <strong>di</strong> fl usso <strong>di</strong> campo magnetico utilizzando la legge<br />
<strong>di</strong> Faraday? In che modo?
Progetto IDIFO - <strong>Proposte</strong> <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>sulla</strong> <strong>fisica</strong> <strong>moderna</strong> 231<br />
S14. [Raffreddamento con campo magnetico] Esplorazione 27 - Viene riconosciuto l’insorgere <strong>di</strong> un legame tra magnete e<br />
del comportamento del sistema magnete + YBCO (supercon- superconduttore dello stesso tipo del caso precedente?<br />
duttore del II tipo con forte pinning) all’abbassarsi della tem- 28 - Quali modelli interpretativi emergono per giustifi care<br />
peratura nei due casi:<br />
la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> intensità <strong>di</strong> tale legame rispetto al caso precedente?<br />
S14.1. magnete poggiato sul campione <strong>di</strong> YBCO<br />
S14.2. con uno spaziatore interposto<br />
Confi gurazione delle linee <strong>di</strong> campo dei sistemi dopo la transizione.<br />
Descrizione e confronto delle situazioni S 10, S14.1. e S14.2.<br />
prima e dopo la transizione, in termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo, <strong>di</strong><br />
linee <strong>di</strong> campo e <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> fl usso.<br />
S15. [Raffreddamento in assenza <strong>di</strong> campo magnetico]<br />
Raffreddare il campione <strong>di</strong> YBCO e poi provare ad avvicinare<br />
il magnete.<br />
6. LA STABILITÀ DELLA LEVITAZIONE<br />
S16. Una sottile sfoglia <strong>di</strong> grafi te pirolitica e 4 magneti (a<br />
forma <strong>di</strong> parallelepipedo): possibilità <strong>di</strong> ottenere la levitazione<br />
della grafi te sui magneti<br />
S17. Un campione <strong>di</strong> superconduttore del II tipo con forte<br />
pinning poggiato (con uno spaziatore) su:<br />
1) un magnete<br />
2) un quadrupolo<br />
Il sistema viene raffreddato. Esplorazione del comportamento<br />
e della stabilità nelle due situazioni.<br />
Descrizione e confronto delle due situazioni, prima e dopo la<br />
transizione, in termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo, <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo<br />
e <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> fl usso.<br />
7. IL TRENO MAGLEV A LEVITAZIONE MAGNETICA<br />
S18. Problem solving. Prototipo <strong>di</strong> treno a levitazione magnetica.<br />
Si chiede <strong>di</strong>:<br />
1) Descrivere il treno<br />
2) Descrivere il suo funzionamento<br />
3) Spiegare il suo funzionamento<br />
29 - Quale modello interpretativo viene utilizzato per spiegare<br />
i comportamenti osservati?<br />
30 - L’esplorazione è basata su ipotesi esplicite/implicite?<br />
31 - Per ciascuno dei casi 1) e 2) viene data una descrizione/<br />
interpretazione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli, <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo, <strong>di</strong> variazione<br />
<strong>di</strong> fl usso?<br />
32 - Quali modelli interpretativi emergono per dar conto della<br />
<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> stabilità della levitazione nelle due situazioni?<br />
33 - Quali elementi descrittivi del sistema e del suo funzionamento<br />
emergono come importanti dalle descrizioni date<br />
dagli studenti?<br />
34 - Quali modelli interpretativi vengono utilizzati per spiegare<br />
il funzionamento del treno maglev?<br />
3. Considerazioni sui risultati della sperimentazione delle attività qui proposte<br />
Le esplorazioni proposte per indagare le interazioni tra magneti sono per lo più finalizzate a stu<strong>di</strong>are<br />
la <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> tali interazioni dalla posizione reciproca e dalla <strong>di</strong>stanza relativa dei magneti.<br />
Le risposte degli studenti alle domande sugli esperimenti da loro stessi progettati sono per lo più <strong>di</strong><br />
tipo interpretativo delle interazioni tra <strong>di</strong>poli che, a seconda delle prove effettuate, sono liberi o vincolati.<br />
Solo in un numero ristretto <strong>di</strong> casi le risposte sono semplicemente descrittive della fenomenologia<br />
osservata.
232 Capitolo 4. Percorsi<br />
La rappresentazione con vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo delle situazioni provate è usata correttamente dalla maggior<br />
parte degli studenti e risulta un utile strumento per descrivere i risultati dell’esplorazione dello<br />
spazio circostante ad un magnete con bussole-esploratori per poi ricavarne la configurazione delle<br />
linee <strong>di</strong> campo.<br />
Le rappresentazioni per vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo e per linee <strong>di</strong> campo nel caso <strong>di</strong> due magneti con poli omologhi<br />
e opposti affacciati vengono confrontate con gli effetti corrispondenti osservati e risultano un<br />
utile strumento per prevedere e giustificare l’impossibilità <strong>di</strong> sospendere due magneti uno sull’altro,<br />
a meno <strong>di</strong> inserire un vincolo.<br />
Le interazioni osservate tra un magnete e oggetti <strong>di</strong> materiale ferro-para e <strong>di</strong>a magnetico sono tutte<br />
interpretate facendo riferimento allo stato temporaneo che si induce nei materiali <strong>di</strong> volta in volta<br />
presi in esame, in termini <strong>di</strong> polarizzazione del materiale, <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo, <strong>di</strong> campo magnetico o<br />
<strong>di</strong> magnete indotto e la maggior parte degli studenti sottolinea che, mentre nel caso <strong>di</strong> due magneti<br />
i due <strong>di</strong>poli sono permanenti, ora uno è fisso e l’altro è temporaneo e indotto dal campo magnetico<br />
esterno.<br />
Alla richiesta <strong>di</strong> pianificazione <strong>di</strong> una proposta operativa per classificare un campione <strong>di</strong> YBCO tutti<br />
gli studenti propongono <strong>di</strong> avvicinare al campione il magnete da un lato e dall’altro.<br />
La mo<strong>di</strong>ficazione del campo magnetico risultante che un materiale immerso in un campo costante ed<br />
uniforme può produrre viene spiegata utilizzando il principio <strong>di</strong> sovrapposizione dei campi esterno e<br />
indotto. Anche quando il materiale preso in considerazione è specificatamente ferro-para-<strong>di</strong>a magnetico,<br />
9 studenti utilizzano il principio <strong>di</strong> sovrapposizione per giustificare il cambiamento dell’intensità<br />
del campo magnetico sia all’interno che all’esterno dei materiali. Circa metà degli studenti utilizza<br />
la rappresentazione in termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo, l’altra metà utilizza la rappresentazione in<br />
termini <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo.<br />
Osservando il comportamento <strong>di</strong> un sistema YBCO – magnete raffreddato con azoto liquido, tutti<br />
gli studenti riconoscono una transizione che ha mo<strong>di</strong>ficato le proprietà magnetiche dell’YBCO che<br />
è <strong>di</strong>ventato un materiale <strong>di</strong>amagnetico e la loro attenzione si focalizza su cosa ha prodotto il cambiamento:<br />
l’abbassamento della temperatura, le variazioni del campo magnetico risultante all’interno e<br />
all’esterno del superconduttore a causa del <strong>di</strong>amagnetismo che è nato, la polarizzazione indotta nel<br />
superconduttore e i cambiamenti del campo magnetico risultante per il principio <strong>di</strong> sovrapposizione.<br />
Si registrano inoltre alcune risposte in cui la fenomenologia è interpretata in termini <strong>di</strong> variazione <strong>di</strong><br />
flusso del campo magnetico e induzione elettromagnetica.<br />
Il confronto della levitazione <strong>di</strong> un magnete su un superconduttore con il caso <strong>di</strong> una sfoglia <strong>di</strong> grafite<br />
pirolitica su un magnete permette <strong>di</strong> riconoscere che tra magnete e superconduttore si è instaurato<br />
un vincolo (effetto pinning) che viene interpretato per lo più con modelli in cui le linee <strong>di</strong> campo<br />
(che in alcuni casi sono pensate riuscire a penetrare il superconduttore e creano un vincolo, in altri<br />
avvolgono il superconduttore e lo tengono legato) sono pensate come enti materiali capaci <strong>di</strong> vincolare<br />
e legare oggetti <strong>di</strong>versi; in alcuni casi la stabilità della levitazione viene interpretata in termini<br />
<strong>di</strong> induzione elettromagnetica e variazione <strong>di</strong> flusso del campo magnetico concatenato con la superficie<br />
del superconduttore.<br />
Nel caso della levitazione <strong>di</strong> un magnete su un superconduttore con forte pinning, la maggiore stabilità<br />
della levitazione, ovvero la maggiore intensità del vincolo che si osserva rispetto al caso precedente,<br />
viene interpretato con una maggiore presenza <strong>di</strong> vortici nel superconduttore.<br />
Dall’analisi della attività <strong>di</strong> problem solving <strong>di</strong> interpretazione del funzionamento <strong>di</strong> un trenino a<br />
levitazione magnetica emergono modelli interpretativi in cui la rappresentazione in termini <strong>di</strong> linee<br />
<strong>di</strong> campo e <strong>di</strong> effetti conseguenti gioca un ruolo fondamentale. Le linee <strong>di</strong> campo, però, sono ancora<br />
pensate come enti materiali o come linee <strong>di</strong> forza su cui il superconduttore può scivolare, emerge<br />
quin<strong>di</strong> la necessità <strong>di</strong> costruire percorsi per superare questi no<strong>di</strong>. In alcuni casi l’interpretazione è in<br />
termini <strong>di</strong> variazioni <strong>di</strong> flusso del campo magnetico che generano correnti indotte nel superconduttore<br />
che, con il loro campo, si oppongono a detta variazione e quin<strong>di</strong>, per esempio, non permettono<br />
al trenino <strong>di</strong> cadere o <strong>di</strong> uscire dai binari.
Capitolo 5. Schede per una <strong>di</strong>dattica esplorativa<br />
DALL’ESPLORAZIONE CON POLAROID AL FORMALISMO DELLA MECCANICA<br />
QUANTISTICA. SCHEDE STUDENTE 1-15 E QUESTIONARIO.<br />
Marisa Michelini e Alberto Stefanel<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Introduzione<br />
L’esperienza ed un’ampia letteratura ci insegnano che la coerenza <strong>di</strong> un percorso <strong>di</strong>dattico e del filo<br />
dei ragionamenti nell’attività in classe si ottengono utilizzando strumenti <strong>di</strong> lavoro – Schede Stimolo<br />
(SS) (Martongelli et al 2001) – che pongano i problemi da esplorare e documentino i ragionamenti<br />
del razionale proposto. Esse permettono <strong>di</strong> monitorare gli appren<strong>di</strong>menti ed indentificare i no<strong>di</strong> da<br />
affrontare, oltre che le competenze acquisite. Per gli insegnanti sono uno strumento <strong>di</strong> progettazione<br />
e riflessione sui processi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento dei ragazzi. Nella nostra esperienza <strong>di</strong> ricerca sono uno<br />
strumento <strong>di</strong> lavoro ed anche formativo e <strong>di</strong> raccolta dati, capace <strong>di</strong> trasformare l’attività <strong>di</strong>dattica<br />
in attività <strong>di</strong> ricerca – azione per gli insegnanti.<br />
Le schede studenti qui proposte traducono operativamente, e ne costituiscono parte integrante, la<br />
proposta <strong>di</strong>dattica basata <strong>sulla</strong> ricerca sull’insegnamento appren<strong>di</strong>mento della meccanica quantistica<br />
nella scuola con approccio alla Dirac, messa a punto in oltre quin<strong>di</strong>ci anni <strong>di</strong> ricerche (Ghirar<strong>di</strong> et<br />
al. 1995, 1997; Michelini M et al 2000; Michelini, Stefanel 2004). Sono progettate per attivare strategie<br />
basate sull’inquiry method (McDermott et al 1998; Thornton, Sokoloff 1999; Abd-El-Khalick<br />
F et al. 2004) e consentire il monitoraggio dei percorsi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento degli studenti (Aiello et al<br />
1997; Marucci et al 2001; Martongelli et al 2001).<br />
Si possono raccogliere in tre gruppi: schede fenomenologiche, per la esplorazione dei fenomeni <strong>di</strong><br />
polarizzazione della luce e la loro caratterizzazione con leggi epiriche; schede concettuali, in cui si<br />
costruisce il concetto <strong>di</strong> stato quantomeccanico esplorando ipotesi interpretative <strong>di</strong>verse e le conseguenze<br />
che tali ipotesi comportano; schede sul formalismo, in cui si guidano gli studenti alla rappresentazione<br />
matematica <strong>di</strong> stati e osservabili. Seppure <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa struttura, mirate a <strong>di</strong>versi obiettivi<br />
e con alcune importanti <strong>di</strong>fferenze, tutte le schede fanno riferimento al seguente modello generale:<br />
A) il problema - si presenta brevemente il problema che costituisce il punto <strong>di</strong> attacco del nodo<br />
concettuale che si vuole affrontare nella scheda;<br />
B) la situazione- il problema viene contestualizzato in una o due situazioni sperimentali, ciascuna<br />
delle quali consente <strong>di</strong> superare un ben definito microstep concettuale;<br />
C) la previsione - per ciascuna situazione gli studenti prevedono l’esito dell’esperimento, sia esso<br />
reale o ideale, in merito a un ben definito aspetto qualitativo o quantitativo che sia;<br />
D) l’esperimento - gli studenti effettuano l’esperimento, o la semplice osservazione sperimentale,<br />
mirando al particolare aspetto selezionato, ne descrivono gli aspetti essenziali<br />
E) il confronto - gli studenti confrontano previsioni ed esiti dell’esplorazione effettuata per riconoscerne<br />
analogie e <strong>di</strong>fferenze<br />
F) le conclusioni – la richiesta <strong>di</strong> una sintesi degli obiettivi concettuali raggiunti nel microstep<br />
conclude l’attività proposta nella scheda aprendo la strada a nuove domande ossia in<strong>di</strong>rizzando<br />
verso l’analisi <strong>di</strong> nuovi problemi.<br />
La maggior parte delle schede mira a un singolo microstep concettuale e pertanto è <strong>di</strong> 1-2 facciate.<br />
Solo un paio <strong>di</strong> schede sono <strong>di</strong> 4-6 facciate. Tali schede mirano a un obiettivo complesso, che viene<br />
scomposto in microstep, ciascuno analizzato nelle <strong>di</strong>verse parti in cui è composta la scheda, riepilogati<br />
e sintetizzati in una conclusione <strong>di</strong> sintesi dell’intera scheda.<br />
Le schede si concatenano in un percorso logicamente strutturato, che consente <strong>di</strong> affrontare con organicità<br />
e completezza i no<strong>di</strong> principali della proposta sviluppata. Realizzano una struttura modulare
234 Capitolo 5. Schede per una <strong>di</strong>dattica esplorativa<br />
che ne consente un uso non rigido, per seguire percorsi <strong>di</strong>dattici <strong>di</strong>versi, per esempio più orientati<br />
agli aspetti concettuali o al contrario più rivolti a quelli legati al formalismo. Tengono conto dei<br />
risultati <strong>di</strong> ricerca sui processi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento, consentono <strong>di</strong> dare risposta ai tipici problemi <strong>di</strong><br />
appren<strong>di</strong>mento, seguire le tipiche sequenze <strong>di</strong> ragionamento, proporre i no<strong>di</strong> principali della MQ in<br />
un contesto motivante, coinvolgente e interessante. Consentono <strong>di</strong> affrontare la MQ sia all’interno<br />
<strong>di</strong> un riferimento teorico ortodosso o standard, sia <strong>di</strong> esplorare alcune conseguenze che derivano da<br />
un approccio alternativo come quello delle teorie a variabili nascoste.<br />
Si offrono per l’attività in classe come tracce <strong>di</strong> lavoro autonomo, per favorire il confronto <strong>di</strong> idee in<br />
gruppi <strong>di</strong> studenti, fissare idee e concetti attraverso la loro esplicitazione, stimolare l’esplorazione<br />
<strong>di</strong> percorsi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento sui concetti fondanti della MQ, in particolare sul principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
e le principali conseguenze che da esso ne derivano.<br />
Oltre a fornire tracce <strong>di</strong>verse <strong>di</strong> lavoro per l’insegnante, le schede, una volta compilate dagli studenti,<br />
consentono <strong>di</strong> seguire i loro percorsi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento, in<strong>di</strong>viduare i no<strong>di</strong> non risolti, riconoscere i<br />
passaggi in cui si è prodotto appren<strong>di</strong>mento.<br />
Il quadro riepilogativo delle schede<br />
Bibliografia<br />
Abd-El-Khalick F et al. (2004) Inquiry in science education: International perspectives. Sci. Educ.,<br />
88(3), pp. 397-419.<br />
Aiello ML et al. (1997) Teaching mechanical oscillations using an integrate curriculum, IJRSE 19,<br />
8, p.981-995<br />
Ghirar<strong>di</strong> G. C., Grassi R., Michelini M. (1995) A Fundamental Concept in Quantum Theory: The Superposition<br />
Principle, in C. Bernar<strong>di</strong>ni et al. eds. Thinking Phys. for Teach., Aster: Plenum 329-334.<br />
Ghirar<strong>di</strong> G. C., Grassi R., Michelini M. (1997) Introduzione delle idee della <strong>fisica</strong> quantistica e il<br />
ruolo del principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XXX, 3 Sup., Q7, p.46-57<br />
Martongelli R, Michelini M, Santi S, Stefanel A (2001) Educational proposals using new technologies<br />
and telematic net for physics, in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep -Elsevier,<br />
Paris, 615-620<br />
Marucci G, Michelini M, Santi L (2001), The Italian Pilot Project LabTec of the Ministry of Education,<br />
in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep book- Elsevier, Paris, 607-610<br />
McDermott L. C., Shaffer P. A., the Physics Education Research Group (1998) Tutorials in Introductory<br />
Physics, Upper Saddle River: Prentice Hall.<br />
Michelini M, Ragazzon R, Santi L, Stefanel A (2000) Proposal for QP in secondary sch., Phys.<br />
Educ. 35 (6) 406-410<br />
Michelini M., Stefanel A. (2004) Avvicinarsi alla <strong>Fisica</strong> Quantistica, una proposta <strong>di</strong>dattica, (U<strong>di</strong>ne:<br />
Forum).<br />
Thornton RK, Sokoloff DR (1999) Learning motion concepts using real-time microcomputer-based<br />
laboratory tools, Am. J. Phys. 58 (9), 1999. p. 858-867
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Scheda 1 - Produrre/Analizzare luce polarizzata con polaroid <strong>sulla</strong> lavagna luminosa<br />
A. ESPLORAZIONE. Produrre luce polarizzata<br />
Azioni effettuate<br />
Sulla lavagna luminosa…<br />
A1…appoggio un polaroid<br />
Osservazioni.<br />
L’intensità della luce trasmessa…<br />
…dal polaroid si riduce<br />
<strong>di</strong> un dato fattore<br />
A2…ruoto il polaroid …dal polaroid……………………<br />
A3…appoggio due polaroid identici<br />
con la stessa orientazione<br />
A4…traslo, ruoto insieme i due<br />
polaroid rispetto alla lavagna<br />
A5….ruoto uno dei due polaroid<br />
rispetto all’altro intorno a un asse<br />
verticale<br />
…dai due polaroid<br />
………………………..<br />
…dai due polaroid<br />
………………………..<br />
…dai due polaroid<br />
………………………..<br />
Considerazioni<br />
<strong>sulla</strong> frazione <strong>di</strong> luce trasmessa<br />
Solo una frazione <strong>di</strong> luce viene<br />
trasmessa dal polaroid.<br />
Sempre la stessa frazione<br />
<strong>di</strong> luce viene trasmessa<br />
B. Analizzare la polarizzazione della luce<br />
L’intensità della luce trasmessa da un solo polaroid appoggiato <strong>sulla</strong> lavagna luminosa (A1) è ridotta.<br />
Tale intensità non cambia se si ruota il polaroid <strong>di</strong> 360° intorno alla <strong>di</strong>rezione ortogonale al piano<br />
della lavagna (<strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> osservazione) (A2). L’intensità della luce trasmessa da un secondo polaroid<br />
(analizzatore) appoggiato sul primo cambia in funzione dell’angolo relativo tra i polaroid (ruoto<br />
il secondo rispetto al primo intorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> osservazione). Il minimo si ha quando sono tra<br />
loro ortogonali (A5).<br />
B1. La luce emessa dalla lavagna luminosa e quella che ha attraversato il polaroid hanno le stesse<br />
proprietà? Spiegare ______________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C. Orientazione dei Polaroid e polarizzazione della luce.<br />
I nostri occhi sono dei sensori <strong>di</strong> intensità luminosa e non sono in grado <strong>di</strong> riconoscere la luce polarizzata.<br />
Per questo abbiamo bisogno <strong>di</strong> utilizzare un polaroid come analizzatore per riconoscere la<br />
eventuale polarizzazione della luce.<br />
C1. In che modo si riconosce che la polarizzazione è una proprietà della luce <strong>di</strong>versa dalla sua intensità?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
235
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
C2. PROBLEMA. La luce viene sempre polarizzata nello stesso modo dal polaroid? Cosa determina<br />
la polarizzazione che essa assume?<br />
C2.1 PREVISIONE e spiegazione<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C2.2 ESPLORAZIONE<br />
Due polaroid sono appoggiati <strong>sulla</strong> lavagna luminosa, sovrapposti e ruotati <strong>di</strong> un angolo α rispetto<br />
alla situazione <strong>di</strong> massimo <strong>di</strong> trasmissione.<br />
C2.3 Con un altro polaroid si analizza la polarizzazione della luce trasmessa dal secondo polaroid.<br />
Essa è determinata:<br />
a) solo dalla orientazione nello spazio del primo polaroid<br />
b) solo dalla orientazione nello spazio del secondo polaroid<br />
c) dalla orientazione relativa <strong>di</strong> un polaroid rispetto all’altro.<br />
C2.4 Prove effettuate e motivazione della risposta<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C2.5 L’intensità della luce trasmessa dal secondo polaroid <strong>di</strong>pende:<br />
a) solo dalla orientazione nello spazio del primo polaroid<br />
b) solo dalla orientazione nello spazio del secondo polaroid<br />
c) dalla orientazione relativa <strong>di</strong> un polaroid rispetto all’altro.<br />
commenti ______________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
D. Polarizzazione come proprietà che caratterizza lo stato della luce.<br />
La polarizzazione della luce trasmessa da un polaroid è determinata dalla sua orientazione nello spazio.<br />
Se la polarizzazione è una proprietà della luce preparata dal polaroid che la trasmette, come si<br />
può fare perché la luce trasmessa da più polaroid abbia sempre la stessa proprietà?<br />
SITUAZIONE PER L’ESPLORAZIONE<br />
Un polaroid è appoggiato <strong>sulla</strong> lavagna luminosa. Su <strong>di</strong> esso si appoggiano, uno sopra all’altro, due polaroid in modo da avere<br />
sempre un massimo <strong>di</strong> trasmissione (polaroid con <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> trasmissione parallela, per brevità polaroid paralleli). Con un<br />
polaroid-analizzatore si analizza la polarizzazione della luce trasmessa da ciascun polaroid.<br />
D1. Come<br />
bisogna<br />
orientare<br />
l’analizzatore<br />
per<br />
osservare un<br />
massimo <strong>di</strong><br />
trasmissione<br />
nei <strong>di</strong>versi<br />
casi?<br />
Osservazione<br />
della luce<br />
trasmessa<br />
dal:<br />
I polaroid<br />
II polaroid<br />
III polaroid<br />
236<br />
Orientazione dell’analizzatore per<br />
avere un massimo <strong>di</strong> trasmissione
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
D2. In base al risultato ottenuto, cambia la polarizzazione della luce trasmessa dai <strong>di</strong>versi polaroid<br />
sovrapposti? Spiegare<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
E. Rappresentazione formalizzata.<br />
La polarizzazione della luce trasmessa da più polaroid paralleli è sempre la stessa. Quin<strong>di</strong> la luce si<br />
trova sempre nello stesso stato <strong>di</strong> polarizzazione.<br />
E1. Dopo aver fissato opportuni riferimenti, si rappresenti con una freccia lo stato <strong>di</strong> polarizzazione<br />
della luce trasmessa da ciascuno dei due polaroid <strong>di</strong>segnati in figura (si supponga che l’angolo tra<br />
essi sia <strong>di</strong>verso da 90°)<br />
E2. Spiegare accanto il criterio con cui è stato fatto il <strong>di</strong>segno.<br />
Illustrazione Spiegazione<br />
F. Ruolo dei polaroid nell’interazione con la luce.<br />
Quando sovrapponiamo più filtri rifrangenti l’intensità della luce trasmessa si riduce con l’aumentare<br />
del numero <strong>di</strong> filtri.<br />
Succede la stessa cosa nel caso <strong>di</strong> filtri polaroid?<br />
ESPLORAZIONE. Due polaroid sono <strong>di</strong>sposti <strong>sulla</strong> lavagna luminosa, uno<br />
sopra all’altro incrociati in modo da ottenere un minimo <strong>di</strong> intensità luminosa<br />
trasmessa, come nella immagine a destra.<br />
F1. Previsioni sull’intensità della luce trasmessa<br />
F1.1 Si appoggia un terzo polaroid sopra ad essi,<br />
variandone l’orientazione<br />
F1.2 Si inserisce il terzo polaroid in mezzo agli altri due,<br />
inclinato <strong>di</strong> 45° rispetto ad essi<br />
L’intensità della luce trasmessa…<br />
L’intensità della luce trasmessa…<br />
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
F2. Esperimento - Si effettua ora la prova.<br />
Azioni effettuate<br />
Sulla lavagna luminosa…<br />
F2.1… appoggio un terzo<br />
polaroid su due fi ltri<br />
incrociati<br />
F2.2… inserisco un terzo<br />
polaroid tra due fi ltri<br />
<strong>di</strong>sposti incrociati<br />
F2.3… ruoto il terzo<br />
polaroid intorno ad un asse<br />
perpen<strong>di</strong>colare al piano<br />
della lavagna<br />
Osservazioni ed esiti<br />
sull’intensità luminosa.<br />
L’intensità della luce<br />
trasmessa….<br />
Confronto con la previsione<br />
Analogie/Differenze<br />
Conclusione<br />
F3. Un filtro passivo è una lamina rifrangente, che attenua l’intensità della luce trasmessa. In base<br />
all’esperienza, il polaroid si comporta come un filtro passivo? Motivare la risposta.<br />
F4. Prima formalizzazione.<br />
F4.1 Si <strong>di</strong>segni la situazione con i due polaroid incrociati e il terzo inserito fra essi a 45°, rappresentando<br />
intensità e polarizzazione della luce trasmessa da ciascun polaroid;<br />
F4.2 Si <strong>di</strong>scuta la spiegazione dei risultati ottenuti.<br />
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Scheda 2 - Birifrangenza con un cristallo <strong>di</strong> calcite sul libro<br />
A. Esplorazione della birifrazione<br />
Quando la luce passa da un mezzo isotropo ad un altro messo isotropo<br />
(es. dall’aria al plexiglas o al vetro) viene rifratta secondo<br />
la legge <strong>di</strong> Cartesio-Snell. Si vuole ora esplorare che cosa accade<br />
se la luce interagisce con un mezzo non isotropo come in genere<br />
sono i cristalli.<br />
A1. Si appoggia un cristallo <strong>di</strong> calcite (tipo spato <strong>di</strong> Islanda) <strong>sulla</strong><br />
pagina scritta <strong>di</strong> un libro.<br />
Quante immagini delle scritte si osservano? ________________<br />
A2. Si ruota <strong>di</strong> un piccolo angolo (
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
B. Polarizzazione della luce birifratta.<br />
Si vuol ora esplorare la luce birifratta da un cristallo<br />
con un polaroid per evidenziare l’eventuale<br />
polarizzazione.<br />
B. Si pone un polaroid sopra ad un cristallo <strong>di</strong><br />
calcite, appoggiato <strong>sulla</strong> lettera scritta su un<br />
foglio. Attraverso il polaroid si osservano le<br />
immagini della lettera.<br />
B1. Che cosa si osserva attraverso il polaroid posto sopra al cristallo? ______________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B2. Si ruota il polaroid mantenendolo sopra al cristallo.<br />
B2.1 Cambia l’intensità delle immagini che si osservano? Sì No<br />
B2.2 Cambia il numero <strong>di</strong> immagini che si osservano? Sì No<br />
B3. Si ruoti ora il polaroid fino a che si ottiene una sola immagine.<br />
B4. Disegnare le situazioni che hai realizzato per ottenere una sola immagine trasmessa dal polaroid<br />
(il cristallo è visto dall’alto)<br />
Calcite Calcite<br />
B4.1 Commentare le illustrazioni con una breve spiegazione.<br />
D4.2 Di che angolo bisogna ruotare il polaroid per passare da una situazione all’altra? _________<br />
D5. Le immagini della lettera, prodotte dal cristallo, sono generate da fasci <strong>di</strong> luce che hanno proprietà<br />
<strong>di</strong>verse.<br />
D5.1 Dalle osservazioni fatte, puoi concludere che tali fasci sono polarizzati? Sì No<br />
D5.2 Che cosa si può concludere <strong>sulla</strong> polarizzazione <strong>di</strong> questi fasci? Motivare la risposta<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
C. L’interazione <strong>di</strong> luce laser con un cristallo birifrangente<br />
Osservato come la luce non polarizzata interagisce con un cristallo<br />
birifrangente, si vuole esplorare ora come la luce polarizzata, come<br />
quella emessa da un laser interagisce con un cristallo birifrangente.<br />
Il fascio <strong>di</strong> luce polarizzata <strong>di</strong> un puntatore laser incide su un cristallo<br />
birifrangente. Si intercettano su uno schermo S i fasci che emergono<br />
dal cristallo. Si osservano le macchie luminose che si formano.<br />
C1. Previsioni<br />
C1.1 Qual è il numero <strong>di</strong> macchie che ci si aspetta <strong>di</strong> osservare sullo<br />
schermo S? ____________________________________________<br />
C1.2 Se si allontana <strong>di</strong> qualche centimetro lo schermo S, con cui si intercettano i fasci, che cosa cambierà<br />
nelle macchie che si osservano? ________________________________________________<br />
C1.3 Si intercettano i fasci emergenti dal cristallo con un polaroid.<br />
❖ Se si ruota il polaroid intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio laser, ci si aspetta che cambi l’intensità<br />
delle macchie luminose sullo schermo? ____________________________________<br />
❖ Ci si aspetta <strong>di</strong> trovare orientazioni del polaroid, per cui si ha una sola macchia?<br />
Sì No<br />
Esplicitare la risposta _____________________________________________________________<br />
C1.4 Si ruota <strong>di</strong> un piccolo angolo (
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
C4. Si ruota <strong>di</strong> un piccolo angolo (
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Scheda 3 - Interazione <strong>di</strong> luce con due cristalli birifrangenti<br />
La fenomenologia della birifrazione stu<strong>di</strong>ata quando la luce interagisce con<br />
un cristallo come la calcite tipo spato d’Islanda, viene ora estesa all’analisi<br />
<strong>di</strong> tre situazioni in cui due cristalli sono allineati con in fascio <strong>di</strong> un puntatore<br />
laser. Queste situazioni possono essere poi rianalizzate con esperimenti<br />
simulati a singolo fotone in con<strong>di</strong>zioni ideali utilizzando l’applet JQM.<br />
A. Due cristalli <strong>di</strong>retti<br />
Due cristalli <strong>di</strong> calcite sono <strong>di</strong>sposti uno <strong>di</strong> seguito all’altro con le facce<br />
corrispondenti parallele (cristalli <strong>di</strong>retti). Il fascio <strong>di</strong> luce polarizzata <strong>di</strong> un<br />
puntatore laser incide sul primo cristallo. Si <strong>di</strong>spone il puntatore in modo<br />
da ottenere due fasci trasmessi <strong>di</strong> uguale intensità (polarizzazione verticale<br />
del fascio incidente). I fasci trasmessi incidono sul secondo cristallo.<br />
Con uno schermo S si intercettano i fasci emergenti dal secondo cristallo.<br />
A Previsioni<br />
A1.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce ci si aspetta che emergano dal secondo cristallo? ___________________<br />
A1.2 Che polarizzazione si prevede che abbiano? _______________________________________<br />
A1.3 Illustrare che cosa ci si aspetta <strong>di</strong> osservare, tracciando il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce:<br />
quello che incide sul primo cristallo, quelli che vengono trasmessi da ciascuno dei due cristalli e<br />
intercettati dallo schermo.<br />
A1.4 Rappresentare nel <strong>di</strong>segno la polarizazione che ci si aspetta <strong>di</strong> rilevare per i <strong>di</strong>versi fasci.<br />
A.2 Esperimento. Effettua ora l’esperimento.<br />
A2.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce emergono dal secondo cristallo? ________________________________<br />
A2.2 Disegnare la situazione osservata, tracciando il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce: quello incidente;<br />
quelli trasmessi da ciascun cristallo.<br />
243
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
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A2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei <strong>di</strong>versi fasci e rappresentarla nella figura.<br />
A2.4 Riportare il risultato della esplorazione <strong>sulla</strong> polarizzazione nella seguente tabella<br />
Polarizzazione della luce<br />
che incide sul primo<br />
cristallo<br />
Verticale<br />
Orizzontale<br />
__________________<br />
Fasci che si propagano tra i cristalli<br />
Fascio polarizzazione<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
Fasci che emergono dal secondo cristallo<br />
e incidono sullo schermo<br />
Fascio polarizzazione<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
244<br />
__________________<br />
__________________<br />
__________________<br />
A2.5 Confronto<br />
A2.5.1 Confronta le previsioni con le osservazioni effettuate. Discutere analogie e <strong>di</strong>fferenze.<br />
Analogie Differenze<br />
A2.5.2 In base alle osservazioni fatte.<br />
❖ Sono ancora valide le ipotesi alla base delle tue previsioni? Sì No<br />
❖ Eventuali mo<strong>di</strong>fiche? _____________________________________________________<br />
A3 Conclusioni.<br />
Si osservano ______ fasci, che emergono dal secondo cristallo, rispettivamente con polarizzazione<br />
____________________________ perché ____________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B. Due cristalli <strong>di</strong>retti <strong>di</strong> cui uno ruotato <strong>di</strong> 45º<br />
Due cristalli <strong>di</strong> calcite sono allineati, uno <strong>di</strong> seguito all’altro, con il raggio <strong>di</strong> un puntatore laser, inizialmente<br />
con le facce corrispondenti parallele (cristalli <strong>di</strong>retti). Il secondo cristallo viene ruotato <strong>di</strong><br />
45° intorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione del fascio incidente sul primo cristallo. Con uno schermo<br />
si intercettano i fasci emergenti dal secondo cristallo.<br />
B1 Previsioni<br />
B1.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce ci si aspetta <strong>di</strong> osservare in uscita dal secondo cristallo? _____________<br />
B1.2 Che polarizzazione ci si aspetta che abbiano?<br />
B1.3 Disegna la situazione che ti aspetti <strong>di</strong> osservare, tracciando il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce,<br />
quello che incide sul primo cristallo; quelli che si propagano tra i due cristalli, quelli emergenti dal<br />
secondo cristallo intercettati dallo schermo.
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
B1.4 Rappresenta nel <strong>di</strong>segno la polarizazione che ci si aspetti <strong>di</strong> rilevare per i <strong>di</strong>versi fasci raffigurati.<br />
B2. Esperimento. Effettua ora l’esperimento.<br />
B2.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce emergono dal secondo cristallo? ________________________________<br />
B2.2 Illustra la situazione osservata. Traccia il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce, quello che incide<br />
sul primo cristallo e quelli trasmessi da ciascuno dei due cristalli.<br />
B2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei <strong>di</strong>versi fasci. Rappresenta nella figura<br />
la polarizzazione rilevata dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce.<br />
B2.4 Riporta il risultato della esplorazione <strong>sulla</strong> polarizzazione nella seguente tabella<br />
Polarizzazione della<br />
luce incidente sul primo<br />
cristallo<br />
Fasci che si propagano tra i cristalli<br />
Fascio polarizzazione<br />
Fasci che emergono dal secondo cristallo<br />
e incidono sullo schermo<br />
Fascio polarizzazione<br />
B3. Confronto<br />
B3.1 Confronta le tue previsioni con le osservazioni fatte. Discuti analogie e <strong>di</strong>fferenze.<br />
Analogie Differenze<br />
B3.2 In base alle osservazioni fatte, ritieni ancora valide le ipotesi che ti hanno condotto alle previsioni<br />
formulate? Sì No<br />
Eventualmente come le mo<strong>di</strong>ficheresti? ______________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B4. Conclusioni<br />
B4.1 Si osservano _______ fasci, che emergono dal secondo cristallo, perché ________________<br />
B4.2 Tali fasci hanno rispettivamente le seguenti polarizzazioni:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
245
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C. Due cristalli inversi<br />
Su due cristalli <strong>di</strong> calcite allineati, uno <strong>di</strong>retto e uno<br />
inverso, incide il fascio <strong>di</strong> luce polarizzata <strong>di</strong> un puntatore<br />
laser. Con uno schermo S si intercetta la luce emergente<br />
dal secondo cristallo (nella foto un ovale copre la<br />
parte illuminata).<br />
C1. Previsioni.<br />
C1.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce ci si aspetta <strong>di</strong> osservare in uscita dal secondo cristallo? _____________<br />
C1.2 Con che polarizzazione? ______________________________________________________<br />
C1.3 Disegna la situazione che ci si aspetta <strong>di</strong> osservare. Traccia il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce:<br />
quello incidente sul primo cristallo e quelli trasmessi da ciascuno dei cristalli.<br />
246<br />
Immagine speculare <strong>di</strong> un cristallo <strong>di</strong>retto, ottenuto<br />
ruotando il secondo <strong>di</strong>due cristalli <strong>di</strong>retti <strong>di</strong> 180° intorno<br />
alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> propagazione del frascio incident.<br />
C1.4 Rappresenta nel <strong>di</strong>segno la polarizazione, che si prevede <strong>di</strong> rilevare per i <strong>di</strong>versi fasci raffigurati.<br />
C2. Esperimento. Effettua ora l’esperimento.<br />
C2.1 Quanti fasci <strong>di</strong> luce si osservano emergere dal secondo cristallo? ______________________<br />
C2.2 Disegna la situazione osservata. Tracciare il cammino dei <strong>di</strong>versi fasci <strong>di</strong> luce.
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
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C2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei <strong>di</strong>versi fasci e rappresentarla per ciascuno<br />
dei fasci raffigurati.<br />
C3. Confronto<br />
C3.1 Confrontare le previsioni con le osservazioni fatte. Discutere analogie e <strong>di</strong>fferenze.<br />
Analogie Differenze<br />
C3.2 In base alle osservazioni effettuate, sono ancora valide le ipotesi alla base delle previsioni formulate?<br />
Sì No<br />
C3.3 Eventuali mo<strong>di</strong>fiche? ________________________________________________________<br />
D. Conclusioni<br />
Si osservano _____ fasci, che emergono dal secondo cristallo, perché ______________________.<br />
In merito alla polarizzazione della luce emergente dal secondo cristallo si può concludere _______<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
Se si effettua l’esperimento mantenendo la coerenza tra i due fasci che si propagano tra i due cristalli,<br />
il fascio emergente ha la stessa polarizzazione del fascio incidente (questo è quanto avviene nella<br />
simulazione JQM). Il fascio emergente dal secondo cristallo non ha alcuna polarizzazione se tale coerenza<br />
viene <strong>di</strong>strutta, come in genere accade nelle situazioni realizzabili in laboratorio <strong>di</strong>dattico.<br />
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Scheda 4 - Scheda raccolta dati<br />
Le leggi che descrivono la fenomenologia della polarizzazione si ottengono facilmente misurando<br />
con un sensore <strong>di</strong> luce on-line l’intensità della luce trasmessa dai polaroid variando: a) l’angolo formato<br />
tra due <strong>di</strong> essi; b) il numero <strong>di</strong> polaroid paralleli <strong>di</strong>sposti tra la sorgente e il sensore.<br />
Materiali: Sensore <strong>di</strong> luce on line; sorgente <strong>di</strong> luce laser, proiettore <strong>di</strong> luce bianca con lente focalizzatrice;<br />
polaroid su supporto ruotante; 6-8 polaroid uguali e supporto per fissarli. Un banco ottico<br />
può essere utile, ma non necessario in quanto per l’allineamento è sufficiente usare il laser.<br />
Assemblaggio: si <strong>di</strong>spone il sensore a 50 cm circa dalla sorgente <strong>di</strong> luce orientandolo in modo che<br />
sia ben illuminata la parte sensibile. Si interpongono tra sorgente e sensore: il polaroid su sopporto<br />
ruotante o i polaroid su supporto fisso <strong>di</strong> cui si misura il coefficiente <strong>di</strong> trasmissione.<br />
1. Attività preliminari<br />
Effettuato l’assetto, si procede alla calibrazione del sensore, in modo da operare in regime lineare. Se<br />
la sorgente è il proiettore <strong>di</strong> luce, è necessario usare un alimentatore stabilizzato e focalizzare opportunamente<br />
il fascio <strong>di</strong> luce sul sensore.<br />
Misure preliminari: intensità del fondo (bias).<br />
2. Legge <strong>di</strong> Malus<br />
2.1 Acquisizione dati<br />
Si acquisisce l’insensità della luce I(α) al variare dell’angolo α <strong>di</strong> cui si ruota il polaroid più vicino al<br />
sensore a partire dal massimo <strong>di</strong> trasmisisone (si può ad esempio variare α <strong>di</strong> 10° in 10°, da 0 a 90°<br />
o da 0° 180°). L’angolo α viene inserito manualmente, l’intensità I viene acquisita on-line.<br />
Si costruisce una tabella, su foglio <strong>di</strong> carta o su foglio elettronico, in cui si riportano I seguenti dati:<br />
valori <strong>di</strong> α; valori <strong>di</strong>; dati <strong>di</strong> intensità luminosa I misurata dal sensore (eventualmente sottraendo a<br />
ciascuno il fondo); rapporto tra le intensità misurate e il loro valore massimo I max .<br />
α (º) cos 2 (α) I (u.a.) I/I max<br />
0<br />
10<br />
20<br />
….<br />
248
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2.2 Elaborazione.<br />
Si costruiscono i grafici <strong>di</strong> I/ I max in funzione <strong>di</strong> α e <strong>di</strong> cos 2 α (per 0º ≤ α≤ 90º o 90º ≤ α≤ 180º). Un<br />
probabile errore sistematico su α può essere corretto osservando l’eventuale shift del minimo del<br />
primo grafico rispetto ad α=90°. Si interpolano linearmente i dati del secondo grafico per riconoscere<br />
la legge <strong>di</strong> Malus.<br />
3. Coefficiente <strong>di</strong> trasmissione.<br />
Si acquisisce l’insensità della luce I(n) al variare del numero <strong>di</strong> polaroid paralleli interposti tra sorgente<br />
(il proiettore) e il sensore. Il numero <strong>di</strong> polaroid viene inserito manualmente, l’intensità I viene<br />
acquisita on-line.<br />
Si costruisce una tabella, su foglio <strong>di</strong> carta millimetrata o su foglio elettronico, in cui si riportano I<br />
seguenti dati: numero <strong>di</strong> polaroid inseriti (n=0,1,2,3…), intensità luminosa I misurata dal sensore<br />
(eventualmente sottraendo a ciascuno il fondo); rapporto tra le intensità misurate e il loro valore massimo<br />
I max ; ln(I/Imax) (per N≥1).<br />
3.2 Elaborazione.<br />
Si costruiscono i grafici <strong>di</strong> I/ I max e <strong>di</strong> ln(I/Imax) in funzione <strong>di</strong> n. Si interpolano linearmente i dati<br />
del secondo grafico per ricavare il coefficiente <strong>di</strong> trasmissione T dei polaroid (T: rapporto tra intensità<br />
della luce trasmessa e intensità della luce incidente su un polaroid).<br />
249
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Scheda 5 - Dall’esperimento <strong>di</strong> Malus alla situazione ideale<br />
A. L’esperimento<br />
Un fascio <strong>di</strong> luce polarizzata <strong>di</strong> intensità Io incide su un Polaroid, il cui coefficiente <strong>di</strong> trasmissione<br />
è T. Sperimentalmente si è trovato che l’intensità della luce trasmessa è data da:<br />
IT (θ)=Io T cos2θ A1.1 Quali aspetti della fenomenologia sono descritti dal coefficiente T (il significato fisico <strong>di</strong> T)?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
A1.2 Il suo valore sperimentale è sempre: > 1 < 1 = 1<br />
Motiva la risposta: _______________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
A2. Quale aspetto della fenomenologia è descritto dal fattore cos 2 θ? _______________________<br />
Gli esperimenti che abbiamo condotto possono essere riletti tenendo conto del fatto che la luce è<br />
composta da fotoni,che vengono sempre rivelati come entità singole o <strong>di</strong>screte (Non accade mai <strong>di</strong><br />
rivelare 1/2 fotone). L’intensità <strong>di</strong> luce è proporzionale al numero <strong>di</strong> fotoni.<br />
B-POLAROID IDEALI<br />
B1. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni, precedentemente filtrato da un primo Polaroid che polarizza verticalmente<br />
la luce (polaroid V), incide su un polaroid ideale F2 (T=1) ruotato <strong>di</strong> 45° rispetto a V. Con un rivelatore<br />
posto oltre F2 si misura il numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi.<br />
B1.1 Qual è il numero NT dei fotoni che vengono trasmessi da F2? NT = _________<br />
B2. Che <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione dovrebbe avere il fascio incidente affinché il rapporto NT / N<br />
sia uguale a: 1? ___________; 0? __________ 1/2? _____________<br />
B3. Si consideri ora il caso in cui il fascio sia <strong>di</strong> bassa intensità, ovvero in cui si possa considerare<br />
che solo un fotone alla volta interagisca con il Polaroid (ed eventualmente il rivelatore), per ciascuno<br />
degli N fotoni del fascio. Cambieresti le risposte alle domande dei punti B1 e B2? Esplicita e<br />
motiva le risposte.<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B4. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni polarizzato secondo la <strong>di</strong>rezione verticale V incide su un polaroid ideale<br />
(T=1) con <strong>di</strong>rezione permessa ruotata <strong>di</strong> θ rispetto a V.<br />
• Che informazione fornisce la legge <strong>di</strong> Malus, <strong>sulla</strong> sorte <strong>di</strong> ciascun fotone?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
B5.1 Qual è la probabilità che un fotone <strong>di</strong> una fascio polarizzato a 45° venga trasmesso da un polaroid<br />
ideale (T=1) con <strong>di</strong>rezione permessa:<br />
• _________ verticale? _____________ orizzontale? _____________ A 45°? ______________<br />
B5.2 Spiegare le risposte date ______________________________________________________<br />
C. POLAROID REALI<br />
C1. Un fascio <strong>di</strong> luce polarizzata secondo una definita <strong>di</strong>rezione (ad esempio la <strong>di</strong>rezione V) composto<br />
da N fotoni incide su un polaroid reale (es.:T=0.7)<br />
C.1.1 Qual è la probabilità che un fotone del fascio venga trasmesso dal Polaroid:<br />
• con <strong>di</strong>rezione permessa V? ____________________________________________________<br />
• con <strong>di</strong>rezione permessa O (orizzontale)? __________________________________________<br />
• con <strong>di</strong>rezione permessa a 45° rispetto a V? ________________________________________<br />
C2. Nel caso <strong>di</strong> polaroid reali (es. T=0.7) è possibile avere una probabilità <strong>di</strong> trasmissione:<br />
C2.1 uguale ad 1? Sì No<br />
Spiegare: ______________________________________________________________________<br />
C2.2 uguale a 0? Sì No<br />
Spiegare: ______________________________________________________________________<br />
C3. Nel caso <strong>di</strong> polaroid reali (es.:T=0.7):<br />
C3.1 qual è il valore massimo della probabilità <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> un fotone? ______________<br />
C3.2 quando si ottiene? ________________________________________________________<br />
C4. Che informazione fornisce <strong>sulla</strong> sorte dei singoli fotoni il rapporto in questo caso?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Scheda 6 - Riepilogo <strong>sulla</strong> interazione fotoni-polaroid e l’interpretazione probabilistica<br />
A. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni, trasmesso da un primo polaroid F1, incide su un secondo polaroid F2, ad<br />
esso sovrapposto e ruotato intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio <strong>di</strong> un angolo θ a partire dalla situazione<br />
<strong>di</strong> massimo <strong>di</strong> trasmissione.<br />
Qual è la probabilità P(θ) che un fotone venga trasmesso da F2? P(θ) = _____ ______<br />
B. Su due polaroid allineati F1 ed F2 incide un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati <strong>di</strong> intensità I 0 . Qual è l’intensità<br />
della luce trasmessa e la probabilità <strong>di</strong> trasmissione nei <strong>di</strong>versi casi?<br />
Casi Polarizzazione Orientazione Polaroid (*) Intensità luce trasmessa I // probabilità <strong>di</strong> trasmissione P<br />
fascio incidente F1 F2 Da: F1 F2 dai due polaroid<br />
(*) IF1 P F1 IF2 P F2 I P<br />
B1 V V V I0 1 I0 1 I0 1<br />
B2 V V H I0 1 0 0 0 0<br />
B3 V 45° V I0 /4 ½ I0 /4 ¼<br />
B4 V 45° H<br />
B5 H 45° H<br />
B6 H 45° V<br />
B7 45° H V<br />
B8 45° H 45°<br />
B9 45° V 45°<br />
(*) V: verticale; H: orizzontale; 45°: a 45°<br />
C. Su tre polaroid allineati F1, F2 ed F3, incide un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati <strong>di</strong> intensità I0 . Qual è<br />
l’intensità della luce trasmessa e la probabilità <strong>di</strong> trasmissione nei <strong>di</strong>versi casi?<br />
Casi Polarizzazione Orientazione Polaroid (*) Intensità luce trasmessa I // probabilità <strong>di</strong> trasmissione<br />
fascio incidente F1 F2 F3 da F1 da F2 da F3 dai tre polaroid<br />
(*) IF1 P F1 IF2 P F2 IF2 P F2 I P<br />
C1 V 45° V V I0 /2 0,5 I0 /4 0,5 I0 /4 1 I0 /4 0,25<br />
C2 V 45° H 45° I0 1 0 0 0 0 I0 1<br />
C3 V 45° V 45° I0 /4 0,5 I0 /8 0,5 I0 /8 0,125<br />
C4 H 45° 45° H<br />
C5 H 45° 45° V<br />
C6 45° H V 45°<br />
C7 45° H 45° V<br />
C8 45° V 45° V<br />
C9 45° V 45° H<br />
C10 45° H 45° H<br />
(*) V: verticale; H: orizzontale; 45°: a 45°<br />
La fenomenologia <strong>di</strong> riferimento nel caso dei fotoni interagenti con polaroid può essere richiamata<br />
e/o esplorata utilizzando i file: malus1.xls; 1_polaroid.xls; 2_polaroid.xls; 3_polaroid.xls<br />
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Scheda 7 - Proprietà mutuamente esclusive<br />
A. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni viene trasmesso da un primo polaroid F1 e incide su un secondo polaroid<br />
F2, parallelo al primo, ruotato intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio <strong>di</strong> un angolo θ a partire dalla situazione<br />
<strong>di</strong> massimo <strong>di</strong> trasmissione.<br />
A1. Scegliere tra le <strong>di</strong>verse opzioni nei seguenti due casi (barrare le opzioni scelte)<br />
Situazione Opzioni<br />
A1.1 il fotone viene certamente trasmesso da F2 (probabilità<br />
<strong>di</strong> trasmissione uguale ad 1), se i due polaroid F1 e F2<br />
sono ruotati <strong>di</strong><br />
A1.2. il fotone viene certamente assorbito da F2<br />
(probabilità <strong>di</strong> trasmissione uguale a 0), se i due polaroid F1<br />
e F2 sono ruotati <strong>di</strong><br />
a θ =______________<br />
b θ =0° (paralleli)<br />
c θ =90° (ortogonali)<br />
a θ =______________<br />
b θ =0° (paralleli)<br />
c θ =90° (ortogonali)<br />
B. L’esito certo del caso A1.1. comporta che si possa assumere che un fotone:<br />
• possiede una proprietà, una volta trasmesso da F1<br />
• mantiene la suddetta proprietà anche dopo essere stato trasmesso da F2 (viene sempre trasmesso<br />
da F2)<br />
I fotoni che emergono da un polaroid sono polarizzati (linearmente). La polarizzazione del fotone<br />
può essere rappresentata con un versore, che verrà chiamato versore (o semplicemente vettore) <strong>di</strong><br />
polarizzazione del fotone, parallelo a una fissata <strong>di</strong>rezione sul polaroid (ve<strong>di</strong> figura 1). Tale <strong>di</strong>rezione<br />
per semplicità viene in<strong>di</strong>cata come: <strong>di</strong>rezione permessa. Per due polaroid <strong>di</strong>versi si assume<br />
che tali <strong>di</strong>rezioni siano parallele quando si ha un massimo <strong>di</strong> trasmissione.<br />
C. Si può visualizzare la situazione con una descrizione iconografica delle proprietà <strong>di</strong> polarizzazione,<br />
considerando tre casi esemplari: la polarizzazione in <strong>di</strong>rezione verticale, orizzontale e a 45° (figura 2).<br />
253
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Si in<strong>di</strong>ca con il simbolo:<br />
∆ la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale (V)<br />
* la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale (H)<br />
◊ la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa a 45° (45°)<br />
D. Si considera un fascio <strong>di</strong> debole intensità <strong>di</strong> fotoni polarizzati linearmente secondo una fissata<br />
<strong>di</strong>rezione (che possiedono quin<strong>di</strong> una ben definita proprietà) che incide su un polaroid.<br />
D1. Completare le ultime colonne della tabella secondo gli esiti attesi.<br />
casi Proprietà fotone incidente polaroid Probabilità <strong>di</strong> trasmissione<br />
1 * H<br />
2 * V<br />
3 ∆ H<br />
4 ∆ V<br />
Si può utilizzare il file iconogr_polaroid.xls per esplorare le situazioni sopraproposte.<br />
D2. Dalla tabella sopra riportata emerge (barrare le opzioni che si ritengono corrette):<br />
Esito: fotone trasmesso<br />
(M: mai/ S: sempre)<br />
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SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Scheda 8 - Formulazione <strong>di</strong> ipotesi<br />
A. Come vengono trasmessi fotoni polarizzati a 45º (proprietà <strong>di</strong> polarizzazione ◊)?<br />
Si considerano fotoni preparati da un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa a 45º, che quin<strong>di</strong> possiedono<br />
la proprietà <strong>di</strong> polarizzazione iconograficamente rappresentata da ◊.<br />
A1. Esiti delle esplorazioni sperimentali. Completare le seguenti rappresentazioni iconografiche<br />
delle proprietà <strong>di</strong> polarizzazione (ottenute con un polaroid contatore ed un analizzatore).<br />
A2. Riassunto dei risultati sperimentali. Cancellare le opzioni scartate nella IV e V colonna.<br />
Casi<br />
Proprietà<br />
fotoni inc.<br />
Direzione permessa<br />
dal polaroid<br />
Probabilità<br />
<strong>di</strong> trasmissione<br />
Il singolo fotone viene trasmesso<br />
255<br />
Proprietà fotoni<br />
trasmessi<br />
1 ◊ 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *<br />
2 ◊ V mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *<br />
3 ◊ H mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *<br />
4 ∆ 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *<br />
5 * 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *<br />
B. Ipotesi interpretative sugli esiti sperimentali. Come si può caratterizzare un fascio <strong>di</strong> fotoni<br />
polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊).<br />
B1. Quale tra le seguenti ipotesi, descrive meglio un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊?<br />
A) Un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio composto in me<strong>di</strong>a per metà da<br />
fotoni che hanno proprietà ∆ e per metà da fotoni con proprietà *.<br />
B) Un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio composto in me<strong>di</strong>a per metà da<br />
fotoni che possiedono contemporaneamente proprietà ◊ e ∆ e per metà da fotoni che possiedono<br />
contemporaneamente le proprietà ◊ e *.
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C) Un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊ è formato da fotoni con la sola proprietà ◊, che è completamente<br />
<strong>di</strong>versa sia dalla proprietà ∆ sia dalla proprietà *.<br />
D) Altro (spiegare) ____________________________________________________________<br />
B2. Quale ruolo gioca il polaroid (ideale) nell’interazione con la luce?<br />
Il polaroid nell’interazione con la luce agisce:<br />
solo come filtro passivo (assorbe soltanto parte della luce che incide su <strong>di</strong> esso)<br />
solo come un filtro attivo (mo<strong>di</strong>fica le proprietà della luce che incide su <strong>di</strong> esso)<br />
sia come filtro attivo, sia come filtro passivo (mo<strong>di</strong>fica le proprietà della luce che viene trasmessa<br />
e assorbe parte della luce)<br />
B3. Illustra la risposta precedente rappresentando e spiegando le situazioni che lo possono supportare.<br />
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Scheda 9 - Ipotesi interpretative. Proprietà incompatibili. Proprietà mutuamente esclusive.<br />
Per descrivere un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊) si possono<br />
fare le seguenti ipotesi.<br />
IPOTESI A: Miscela statistica. Un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio che in<br />
me<strong>di</strong>a è formato per metà da fotoni con proprietà ∆ e per metà da fotoni con proprietà *.<br />
In simboli si può scrivere: ◊◊◊◊ = ∆∆ + **.<br />
A1. Ve<strong>di</strong>amo cosa comporta. Si valuta la consistenza dell’ipotesi A confrontando come interagisce<br />
con polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa a 45°: a) un insieme <strong>di</strong> fotoni tutti polarizzati a 45° con proprietà<br />
◊; b) un insieme <strong>di</strong> fotoni per metà con polarizzazione verticale ∆ e per metà orizzontale *. Si<br />
analizzano due situazioni<br />
A1.1 Un fascio debole <strong>di</strong> N fotoni polarizzati a 45° (fotoni con proprietà ◊, trasmessi ad esempio da<br />
un primo polaroid a 45°), incide su un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa a 45°:<br />
• il numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi è: __________________<br />
• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ___________<br />
• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli<br />
appropriati in numero consistente con i dati<br />
sperimentali.<br />
A1.2 Un fascio debole <strong>di</strong> N fotoni, formato in me<strong>di</strong>a da N/2<br />
fotoni con proprietà ∆ e N/2 con proprietà *, incide su un<br />
polaroid ideale con <strong>di</strong>rezione permessa a 45º.<br />
• il numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi è: _____________________<br />
• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ______________<br />
• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli appropriati<br />
in numero consistente con i dati sperimentali.<br />
B. Dall’analisi fatta nei due casi, cosa possiamo concludere<br />
sull’IPOTESI A <strong>di</strong> miscela statistica ◊◊◊◊ = ∆∆ + ** ?<br />
Lo stato <strong>di</strong> polarizzazione dei fotoni a 45° è equivalente<br />
all’unione <strong>di</strong> insiemi <strong>di</strong> fotoni negli stati <strong>di</strong> polarizzazione per il 50% verticale e per il 50% orizzontale?<br />
Spiegare<br />
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C. Si incorre in contrad<strong>di</strong>zione a ipotizzare che la proprietà ◊ sia l’unione delle proprietà ∆ e *. Cosa<br />
si può concludere dagli esiti sperimentali esaminati sulle proprietà ◊ e * o sulle proprietà ◊ e ∆ ?<br />
(barrare le scelte)<br />
Discutere/Motivare le scelte in base ai risultati ottenuti finora:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
D. Le proprietà Δ e * sono mutuamente esclusive. In generale, possiamo attribuire a ogni fotone polarizzato<br />
linearmente in una certa <strong>di</strong>rezione una proprietà <strong>di</strong> polarizzazione corrispondente a quella<br />
<strong>di</strong>rezione: ad esempio, la proprietà ◊ ai fotoni polarizzati a 45°.<br />
D1. Esplicitare i concetti <strong>di</strong> mutua esclusività e <strong>di</strong> incompatibilità.<br />
D1.1 Mutua esclusività:<br />
D1.2 Incompatibilità:<br />
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Scheda 10 - Principio <strong>di</strong> indeterminazione, identità e in determinismo quantistico<br />
L’esito del confronto tra dato sperimentale e previsioni basate sull’ipotesi A, comporta alcune conseguenze<br />
che sono aspetti peculiari dei sistemi quantistici.<br />
A. Principio <strong>di</strong> indeterminazione<br />
Si risponda alle seguenti domande aperte, facendo riferimento alla semplice situazione in cui un<br />
fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati incide su un polaroid opportunamente orientato.<br />
A1. Un fotone è stato filtrato da un polaroid verticale, possiede quin<strong>di</strong> la proprietà Δ. Si può <strong>di</strong>re se<br />
possiede e in che misura la proprietà ◊ ? Spiegare<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
A2. Un fotone è stato filtrato da un polaroid a 45°, possiede quin<strong>di</strong> la proprietà ◊. Si può <strong>di</strong>re se possiede<br />
e in che misura la proprietà * o la proprietà Δ ? Spiegare<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
Il contenuto del principio <strong>di</strong> indeterminazione consiste nel fatto che non è possibile associare simultaneamente<br />
ad un sistema fisico definite proprietà, corrispondenti ad osservabili incompatibili [osservabile<br />
<strong>di</strong> un sistema: grandezza <strong>fisica</strong> che caratterizza lo stato del sistema].<br />
A3. Nel caso della polarizzazione della luce, quali sono le proprietà incompatibili? ____________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
A4. Come si può tradurre il principio nel caso dell’interazione dei fotoni con i polaroid?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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B. Identità dei sistemi quantistici e indeterminismo quantistico<br />
Si considerino le seguenti situazioni in cui un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati incide su un polaroid opportunamente<br />
orientato.<br />
B1.1 I fotoni <strong>di</strong> un fascio polarizzato verticalmente possiedono tutti la proprietà Δ.<br />
- Possono essere <strong>di</strong>stinti l’uno dall’altro? Si No<br />
- Eventualmente in che modo?<br />
B2.1 Quando incidono su un polaroid a 45° si comportano tutti nello stesso modo? Si No<br />
B2.2 I fotoni <strong>di</strong> un fascio polarizzato a 45° possiedono tutti la proprietà ◊.<br />
Quando incidono su un polaroid verticale si comportano tutti nello stesso modo? Spiegare ______<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B3. L’indeterminismo che si manifesta per la sorte dei <strong>di</strong>versi fotoni:<br />
B3.1 è legato alla natura stessa dei fenomeni? (Esplicitare la risposta)<br />
B3.2 è dovuto alla nostra ignoranza <strong>di</strong> qualche fattore? _______________________________<br />
Quale? Spiegare _____________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B4. I sistemi fisici quantistici che si trovano nello stesso stato sono identici fra loro.<br />
B4.1 Come si può esprimere questo fatto relativamente alla polarizzazione della luce, esemplificando<br />
con le situazioni considerate?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B5. Sistemi fisici preparati nello stesso stato in generale interagiscono in maniera <strong>di</strong>versa con uno<br />
stesso sistema fisico, come per esempio un apparato <strong>di</strong> misura <strong>di</strong> una grandezza <strong>fisica</strong>.<br />
B5.1 Come si può esprimere questo fatto relativamente alle situazioni considerate?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Scheda 11 - Particelle quantistiche e traiettorie<br />
Si considera qui l’interazione <strong>di</strong> fotoni con cristalli birifrangenti ideali (ogni fotone incidente viene<br />
comunque trasmesso). Si vuole esplorare la eventuale possibilità <strong>di</strong> associare una traiettoria ad un<br />
fotone, sfruttando la correlazione tra polarizzazione dei fotoni e cammino dei fasci.<br />
1. Ricognizione della fenomenologia della birifrangenza e interpretazione probabilistica<br />
A. Il fascio <strong>di</strong> un puntatore laser con polarizzazione verticale incide su una faccia <strong>di</strong> un cristallo birifrangente<br />
(calcite), orientato in modo che il fascio or<strong>di</strong>nario è polarizzato a 45°.<br />
A1. Che cosa si osserva?<br />
A1.1. Descrizione a parole A1.2 Completare il <strong>di</strong>segno<br />
A2. Se il fascio or<strong>di</strong>nario è polarizzato a 45°, che polarizzazione ha il fascio straor<strong>di</strong>nario?______<br />
A3. Fissata la posizione del cristallo:<br />
A3.1 la polarizzazione del fascio or<strong>di</strong>nario e quella del fascio straor<strong>di</strong>nario <strong>di</strong>pendono dalla polarizzazione<br />
del fascio incidente? Si No<br />
Spiegare: ___________________________________________________________________<br />
___________________________________________________________________________<br />
A3.2 L’intensità del fascio or<strong>di</strong>nario e quella del fascio straor<strong>di</strong>nario <strong>di</strong>pendono dalla polarizzazione<br />
del fascio incidente? Si No<br />
Spiegare: ___________________________________________________________________<br />
___________________________________________________________________________<br />
A4. Se la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> polarizzazione del fascio incidente forma un angolo θ=45° con la polarizzazione<br />
del fascio straor<strong>di</strong>nario, si ha:<br />
B. Un fascio <strong>di</strong> bassa intensità <strong>di</strong> N fotoni polarizzati<br />
verticalmente incide su una faccia <strong>di</strong> un cristallo birifrangente<br />
(calcite) ideale. In corrispondenza delle uscita<br />
<strong>di</strong> ciascuno dei due fasci, or<strong>di</strong>nario e straor<strong>di</strong>nario, vengono<br />
posti due rivelatori <strong>di</strong> fotoni.<br />
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B1. Per ogni fotone incidente:<br />
sempre un solo rivelatore rivela un fotone<br />
entrambi i rivelatori rivelano un fotone<br />
sempre e solo il rivelatore posto all’uscita del fascio _____________________ rivela un fotone<br />
B2. Per ogni fotone incidente:<br />
B2.1. il rivelatore posto all’uscita del fascio or<strong>di</strong>nario nel ______ % dei casi rivela un fotone,<br />
B2.2 il rivelatore posto all’uscita del fascio straor<strong>di</strong>nario nel ____ % dei casi rivela un fotone.<br />
B3. Se si scherma il rivelatore Rs, il rivelatore Ro scatta (rivela un fotone):<br />
per ognuno dei fotoni incidenti<br />
in me<strong>di</strong>a solo nel 50% delle volte, a caso<br />
alternativamente per un fotone sì e per il seguente no<br />
per nessun fotone incidente.<br />
B4. Se si scherma il rivelatore Ro, il rivelatore Rs scatta (rivela un fotone):<br />
per ognuno dei fotoni incidenti<br />
in me<strong>di</strong>a solo nel 50% delle volte, a caso<br />
alternativamente per un fotone sì e per il seguente no<br />
per nessun fotone incidente.<br />
B5. Se si schermano entrambi i rivelatori, ciascuno <strong>di</strong> essi scatta:<br />
per ognuno dei fotoni incidenti<br />
in me<strong>di</strong>a solo nel 50% delle volte, a caso<br />
alternativamente per un fotone sì e per il seguente no<br />
per nessun fotone incidente.<br />
2. Polarizzazione e fasci trasmessi in un cristallo <strong>di</strong> calcite<br />
A. Si <strong>di</strong>spongono in successione due cristalli <strong>di</strong> calcite, uno <strong>di</strong>retto e l’altro inverso. Sul primo cristallo<br />
incide un fascio <strong>di</strong> N fotoni. In uscita dal secondo cristallo si ha un unico fascio dato dalla ricombinazione<br />
del fascio or<strong>di</strong>nario e <strong>di</strong> quello straor<strong>di</strong>nario. Il fascio incidente ha polarizzazione verticale,<br />
il fascio or<strong>di</strong>nario ha polarizzazione a 45°, quello straor<strong>di</strong>nario ha polarizzazione a 135°.<br />
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A1. Qual è la polarizzazione dell’unico fascio emergente dal secondo cristallo? _______________<br />
A2. Quanti fotoni emergeranno dal secondo cristallo? ___________________________________<br />
B. Dato che il fascio or<strong>di</strong>nario ha sempre polarizzazione a 45° (fotoni con proprietà ◊)e quello straor<strong>di</strong>nario<br />
sempre polarizzazione a 135° (fotoni con proprietà), vi è una stretta correlazione fra cammino<br />
della luce e polarizzazione.<br />
È possibile ritenere che i singoli fotoni seguano uno dei due cammini?<br />
Questa domanda equivale a riconsiderare, nel caso dei cristalli birifrangenti, l’ipotesi A esplorata<br />
in precedenza nel caso dell’interazione <strong>di</strong> fotoni con Polaroid.<br />
Ve<strong>di</strong>amo che conseguenza porta in merito al concetto <strong>di</strong> traiettoria.<br />
Su due cristalli <strong>di</strong> calcite, uno inverso dell’altro, incidono N fotoni con polarizzazione verticale (con<br />
proprietà Δ). Si può pensare che i fotoni percorrano una delle due traiettorie (quella del fascio or<strong>di</strong>nario<br />
o quella del fascio straor<strong>di</strong>nario)?<br />
Questo equivale a chiedersi se ΔΔΔΔ = ◊◊+ ,<br />
domanda a cui si è già data risposta, ma che si riconsidera qui per esplorarne le conseguenze in merito<br />
alla possibilità o meno <strong>di</strong> associare una traiettoria ai fotoni.<br />
C. Si completino le figure sottostanti:<br />
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D. Sulla base del confronto tra situazione sperimentale e esiti basati <strong>sulla</strong> ipotesi A:<br />
D1. Si può ipotizzare che metà dei fotoni segua il cammino o<strong>di</strong>nario e metà quello straor<strong>di</strong>nario?<br />
Si No<br />
Spiegare _______________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
D2. Si può <strong>di</strong>re che i fotoni seguano entrambi i cammini? Si No<br />
Spiegare _______________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
D3. Si può ritenere che i fotoni seguano percorsi <strong>di</strong>versi da quelli or<strong>di</strong>nario o straor<strong>di</strong>nario?<br />
Si No<br />
Spiegare _______________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
D4. Si può attribuire una traiettoria al fotone? Sì No<br />
Spiegare _______________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Scheda 12 - Esplorazione <strong>di</strong> ipotesi alternative<br />
Per descrivere un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊) si può fare<br />
la seguente ipotesi:<br />
IPOTESI B. I fotoni possono avere proprietà coesistenti e il polaroid seleziona la proprietà corrispondente<br />
alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> trasmissione del polaroid. In altre parole un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45º è<br />
composto in me<strong>di</strong>a in ugual misura da fotoni con proprietà ◊ e ∆ e da fotoni con proprietà ◊ e *.<br />
In simboli:<br />
◊ ◊ ◊ ◊ = ◊ * ◊ * ∆ ∆<br />
◊ ◊<br />
A. Su tre polaroid allineati F1, F2, F3 incide un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati a 45º. Per i casi illustrati<br />
in figura, prevedere gli esiti in accordo con l’ipotesi B, utilizzando i simboli appropriati in numero<br />
appropriato per rappresentare il numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi in me<strong>di</strong>a.<br />
A1. Si effettui la previsione completando i <strong>di</strong>segni sottostanti<br />
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A2. Confronto fra esiti sperimentali e previsioni basate su ipotesi esplicative.<br />
Si confrontino gli esiti che si otterrebbero se fosse valida l’ipotesi fatta con quelli sperimentali. Completare<br />
la tabella.<br />
caso<br />
<strong>di</strong>rezione permessa del polaroid (*)<br />
F1 F2 F3<br />
F1<br />
A B<br />
N° fotoni trasmessi in me<strong>di</strong>a dal polaroid:<br />
(A: esiti sperimentali; B: esiti secondo l’ipotesi B)<br />
A 45° 45° 45° N N N N N N<br />
B 45° V V N N N/2 N/2<br />
C 45° V H N/2 0<br />
D 45° V 45°<br />
E 45° H V<br />
F 45° H H<br />
G 45° H 45°<br />
(*) V: Verticale; H: Orizzontale; 45°<br />
B.1 Vi sono casi in cui gli esiti sperimentali non coincidono con quelli previsti dall’ipotesi B? ___<br />
B1.1 In quali casi coincidono? ______________________________________________________<br />
B1.2 In quali casi non coincidono? __________________________________________________<br />
C. Che cosa si può concludere in merito alla consistenza dell’ipotesi B rispetto ai dati sperimentali?<br />
F2<br />
A B<br />
F3<br />
A B<br />
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Scheda 13 - Esplorazione dell’ipotesi B nel caso dei cristalli birifrangenti<br />
È utile confrontare le previsioni basate sull’ipotesi B con gli esiti sperimentali che si hanno in una<br />
situazione basata unicamente sull’interazione <strong>di</strong> luce con cristalli birifrangenti, perché i polaroid<br />
potrebbero avere un ruolo attivo nell’interazione con i fotoni, permettendo <strong>di</strong> rendere conto dei risultati<br />
sperimentali (es.previsione della trasmissione <strong>di</strong> fotoni da un analizzatore a 45° per fotoni preparati<br />
con polarizzazione H o V).<br />
A. Un fascio <strong>di</strong> fotoni incide su un primo cristallo <strong>di</strong>retto. In corrispondenza all’uscita del fascio or<strong>di</strong>nario<br />
e <strong>di</strong> quello straor<strong>di</strong>nario si pongono due rivelatori ciascuno dei due quali scatterà in me<strong>di</strong>a, per<br />
ciascuno dei fotoni incidenti, il 50% delle volte.<br />
A1. Si completino le seguenti figure con le frequenze con cui verranno attivati i rivelatori, in base a<br />
quanto prevede l’ipotesi B e in base a quello che è l’esito sperimentale.<br />
A2. Vi sono <strong>di</strong>fferenze tra la previsione e l’esito sperimentale? Spiegare<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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B. I fotoni trasmessi dal primo cristallo vengono fatti incidere su un secondo cristallo birifrangente<br />
<strong>di</strong>retto, ma ruotato intorno alla <strong>di</strong>rezione del fascio incidente <strong>di</strong> 45°.<br />
I due fasci che emergono dal primo cristallo, hanno polarizzazione 45° e 135°, ossia ciascun fotone<br />
ha proprietà ◊ e. In base all’ipotesi B’ devono anche mantenere la proprietà Δ.<br />
B1.1 Quanti fasci ci si aspetta <strong>di</strong> osservare in base all’ipotesi B? (<strong>di</strong>segnarli nella figura precedente)<br />
_______________________________________________________________________________<br />
B1.2 Che polarizzazione avrà ciascuno <strong>di</strong> essi? _________________________________________<br />
B2.1 Quanti fasci si osservano sperimentalmente? _______________________________________<br />
B2.2 Con che polarizzazione? ______________________________________________________<br />
C. Si illustri nello spazio sottostante la situazione sperimentale.<br />
D. Sulla base dei risultati del confronto con gli esperimenti, che cosa si può concludere della ipotesi<br />
B.<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Scheda 14 - Il ruolo attivo dei polaroid e l’interpretazione quantistica<br />
IPOTESI C: Un fascio <strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊ è formato da fotoni con la sola proprietà ◊, che è<br />
completamente <strong>di</strong>versa sia dalla proprietà ∆ sia dalla proprietà *. Il polaroid (con ruolo attivo) attribuisce<br />
alla probabilità <strong>di</strong> trasmissione il valore fenomenologico definito dalla legge <strong>di</strong> Malus. Si analizzano<br />
in base all’ipotesi C quattro situazioni,in cui un fascio <strong>di</strong> fotoni polarizzati incide su: A) un<br />
polaroid; B) due polaroid ruotali <strong>di</strong> 45° fra loro; D) un cristallo <strong>di</strong> calcite; due cristalli <strong>di</strong> calcite uno<br />
<strong>di</strong>retto e uno inverso.<br />
A. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni con polarizzazione a 45°, quin<strong>di</strong> fotoni con proprietà ◊, incide su un polaroid<br />
verticale.<br />
• il numero <strong>di</strong> fotoni trasmessi è: _______________________<br />
• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ________________<br />
• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli<br />
appropriati in numero consistente con i dati sperimentali.<br />
A1. (completare la frase) Nel……dei casi un fotone incidente viene trasmesso. In questo caso, nell’interazione<br />
con il polaroid il singolo fotone passa da uno stato a polarizzazione a 45° a uno stato a polarizzazione<br />
______________________________ , polarizzazione che hanno tutti i fotoni trasmessi.<br />
A2. (completare la frase) Nel…….dei casi un fotone incidente viene assorbito. In questo caso, nell’interazione<br />
con il polaroid il singolo fotone passa da uno stato a polarizzazione a 45° a uno stato a polarizzazione<br />
_______________________________, polarizzazione che hanno tutti i fotoni assorbiti.<br />
B. Un fascio <strong>di</strong> N fotoni con polarizzazione verticale, quin<strong>di</strong> fotoni con proprietà ∆, incide su due<br />
polaroid allineati, il primo ruotato a 45° il secondo orizzontale.<br />
B1. Completare la fi gura a destra utilizzando<br />
i simboli appropriati in numero consistente<br />
con i dati sperimentali.<br />
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
B2. Stabilire la probabilità con cui avvengono gli eventi sottoin<strong>di</strong>cati e per ciascuno se ne <strong>di</strong>a una<br />
descrizione basata sull’ipotesi C:<br />
Evento considerato Probabilità P Descrizione in base all’ipotesi C<br />
B2.1. Fotone assorbito dal primo polaroid B2.1.1<br />
P =_____<br />
B2.2. Fotone trasmesso dal primo polaroid e<br />
assorbito dal secondo polaroid<br />
B2.2.1<br />
P = ______<br />
B2.3. Fotone trasmesso dai entrambi i polaroid B2.3.1<br />
P = ____<br />
C. Un fascio <strong>di</strong> bassa intensità <strong>di</strong> N fotoni polarizzati<br />
verticalmente incide su una faccia <strong>di</strong> un cristallo birifrangente<br />
(calcite) ideale. In corrispondenza delle uscita <strong>di</strong><br />
ciascuno dei due fasci, or<strong>di</strong>nario (caratterizzato da polarizzazione<br />
a 45°) e straor<strong>di</strong>nario (caratterizzato da polarizzazione<br />
a 135°), vengono posti due rivelatori <strong>di</strong> fotoni.<br />
C1. Stabilire la probabilità con cui avvengono gli eventi<br />
sottoin<strong>di</strong>cati e per ciascuno se ne <strong>di</strong>a una descrizione basata sull’ipotesi C:<br />
B2.1.2<br />
B2.2.2<br />
B2.3.2<br />
Evento considerato Probabilità P Descrizione in base all’ipotesi C<br />
C1.1. Fotone assorbito dal rivelatore Rs C1.1.1<br />
P =___<br />
C1.2. Fotone assorbito dal rivelatore Ro C1.2.1<br />
P =___<br />
C1.1.2<br />
C1.2.2<br />
C2. In base all’ipotesi C i fotoni all’interno del cristallo si propagano nello stato V, oppure è nell’interazione<br />
con il cristallo che vengono forzati a seguire uno dei due cammini? Spiega la risposta.<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
270
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SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
D. Su due cristalli <strong>di</strong> calcite, uno inverso dell’altro, incidono N fotoni con polarizzazione verticale<br />
(con proprietà Δ). Si completi il <strong>di</strong>segno che schematizza la situazione e se ne <strong>di</strong>a una descrizione<br />
basata sull’ipotesi C.<br />
D1.1 Situazione D1.2 Descrizione in base all’ipotesi C<br />
D2. In base all’ipotesi C i fotoni nei due cristalli e tra <strong>di</strong> essi si propagano nello stato V?<br />
D3. Percorrono uno dei due cammini? _______________________________________________<br />
D4. Percorrono entrambi i cammini? _________________________________________________<br />
D5, Percorrono altri cammini? ______________________________________________________<br />
D6. È possibile attribuire una traiettoria a ciascun fotone? spiegare<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
E. Quando un fotone con polarizzazione a 45° incide su un polaroid V, si <strong>di</strong>ce che il suo stato è una<br />
sovrapposizione dei possibili stati finali (<strong>di</strong> polarizzazione: verticale trasmissione; orizzontale <br />
assorbimento). La proprietà che può essere associata al sistema in questo stato è incompatibile con<br />
quelle che ad esso possono essere associate in seguito al processo <strong>di</strong> misura.<br />
Descrivere, in termini <strong>di</strong> sovrapposizioni <strong>di</strong> stati la situazione del fascio <strong>di</strong> fotoni che incide sui due<br />
cristalli inversi <strong>di</strong>scussa nel punto D <strong>di</strong> questa scheda.<br />
271
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Scheda 15 - Dai concetti al formalismo<br />
Il principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare.<br />
La semplicità della fenomenologia della polarizzazione permette una costruzione graduale della<br />
descrizione formale dei processi. Dalle leggi classiche relative ai molti fotoni dell’intensità luminosa<br />
misurata si costruisce gradualmente la rappresentazione formale dello stato <strong>di</strong> polarizzazione<br />
<strong>di</strong> un fotone, del principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità <strong>di</strong> transizione<br />
tra stati, dei proiettori.<br />
N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto – es.: V<br />
In tondo si in<strong>di</strong>cano gli stati – es.: V in<strong>di</strong>ca lo stato <strong>di</strong> polarizzazione verticale.<br />
1. Stati quantistici e vettori.<br />
A. Si allineano due polaroid F1 ed F2, orientati secondo i versori U e W rispettivamente [(U U)=1<br />
e (WW)=1].<br />
Su F1 incide un fascio <strong>di</strong> N fotoni.<br />
A1. Se si in<strong>di</strong>ca con θ l’angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone trasmesso<br />
da F1 venga trasmesso anche da F2? _________________________________________________<br />
A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U è dato da: (W·U) _______________________________<br />
A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare(W·U)? _______________________<br />
A4. Si fissa la <strong>di</strong>rezione permessa <strong>di</strong> F2 (cioè si fissa W).<br />
➢ La probabilità <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> un fotone che incide su F2:<br />
è completamente definita da U<br />
è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale) __________________________<br />
non <strong>di</strong>pende da U<br />
➢ Lo stato del fotone prima <strong>di</strong> incidere su F2:<br />
è completamente definito quando è definito U<br />
è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale) _____________________<br />
non <strong>di</strong>pende da U<br />
A5. Se si fissa F2 in modo che la sua <strong>di</strong>rezione permessa sia in<strong>di</strong>viduata dal vettore W’≠W, quale<br />
delle risposte alle domande del punto A1 si deve cambiare? Motivare la risposta<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
272
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
A6. Si può concludere che il comportamento statistico <strong>di</strong> un fotone che incide su F2:<br />
è completamente determinato da U per qualsiasi W<br />
è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale) ______________ per qualsiasi W<br />
non <strong>di</strong>pende da U<br />
A7. Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//U. Tale associazione<br />
è sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge <strong>di</strong> Malus)? Spiega<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
A8. Lo stato del fotone trasmesso da F2 è rappresentato da:<br />
u//U w//W da __________<br />
B. La probabilità P rappresenta la probabilità <strong>di</strong> transizione fra due stati del fotone. Esplicitare questa<br />
affermazione alla luce del semplice formalismo che è stato introdotto.<br />
Il fatto che lo stato u <strong>di</strong> un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad indagare<br />
le conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
quantistico.<br />
2. Il principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
A. Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su:<br />
➢ un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa in<strong>di</strong>viduata dal versore V.<br />
Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? ___________<br />
➢ un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa in<strong>di</strong>viduata dal versore V ⊥ , con V ⊥ ⊥ V.<br />
Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? _______________<br />
B. Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e v ⊥ //V ⊥ :<br />
➢ Completare le seguenti espressioni:<br />
u=Ψ 1 v+Ψ 2 v ⊥<br />
h·u=h·(Ψ1v+Ψ2h) = Ψ1 h·v+Ψ2 h·h= ________________________________________________<br />
v·u=v·(Ψ1v+Ψ2h) = Ψ1 v·v+Ψ2 v·h= _________________________________________________<br />
273
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C. Probabilità <strong>di</strong> trasmissione. Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle<br />
con frecce su cui riportare dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute – <strong>di</strong>stinguere<br />
i due casi utilizzando in uno la linea continua e nell’altro la linea tratteggiata - - - ->):<br />
Poiché u è un versore, si ha: [(u u)=1], si deve avere anche:<br />
C1. (u u)= (Ψ 1 v+Ψ 2 v ⊥ ) ·(Ψ 1 v+Ψ 2 v ⊥ ) =________________=1<br />
C2. Quale interpretazione si può dare alla somma: ?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C3. Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo aver<br />
interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato V ⊥ o nello stato V<br />
C4. Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo<br />
aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato V ⊥ )?<br />
spiegare _______________________________________________________________________<br />
D. Casi certi e stati ortogonali.<br />
D1. Un fotone nello stato h ha probabilità ___ <strong>di</strong> essere trasmesso da un Polaroid V ⊥ .<br />
D2. Un fotone nello stato h ha probabilità ___ <strong>di</strong> essere trasmesso da un Polaroid V.<br />
D3. Un fotone nello stato v ha probabilità ___ <strong>di</strong> essere trasmesso da un Polaroid V.<br />
D4. Un fotone nello stato v ha probabilità __ <strong>di</strong> essere trasmesso da un Polaroid V ⊥ .<br />
D5. La probabilità <strong>di</strong> transizione v ⊥ v o vv ⊥ è uguale: P= (v ⊥ •v) 2 =______<br />
E. Le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato h sono mutuamente esclusive. Gli<br />
stati in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da:<br />
vettori mutuamente ortogonali<br />
vettori fra loro paralleli<br />
vettori che formano un angolo θ=___<br />
Due stati si <strong>di</strong>cono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.<br />
274
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
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2. Esplorazione <strong>di</strong> ipotesi<br />
Ipotesi A. Un fascio <strong>di</strong> fotoni con polarizzazione a 45° è composto per metà da fotoni con polarizzazione<br />
verticale e per metà da fotoni con polarizzazione orizzontale.<br />
A1. In questo schema, (Ψ 1 ) 2 rappresenta:<br />
la probabilità P(v ⊥ ) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà <strong>di</strong> attraversare<br />
un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale (proprietà *)<br />
la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà <strong>di</strong> attraversare<br />
un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale (proprietà Δ)<br />
altro (specificare) ___________________________________________________________<br />
A2. In questo schema, (Ψ 2 ) 2 rappresenta:<br />
la probabilità P(v ⊥ ) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà <strong>di</strong> attraversare<br />
un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa orizzontale (proprietà *)<br />
la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà <strong>di</strong> attraversare<br />
un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa verticale (proprietà Δ)<br />
altro (specificare) ___________________________________________________________<br />
B. Un fascio <strong>di</strong> fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con <strong>di</strong>rezione permessa<br />
W.<br />
B1. Poiché il versore u può essere espresso da u=Ψ 1 v+Ψ 2 v ⊥ , la probabilità che un fotone venga trasmesso<br />
dal polaroid, e quin<strong>di</strong> venga rivelato da D, è data da:<br />
P (D) =P(u w)=(u·w) 2 =[(Ψ 1 v+Ψ 2 v ⊥ ) ·w] 2 = [ _________ + _________ ] 2 =<br />
= ___________ + ____________+ _____________________ (°°)<br />
B2. Il fattore (h·w) 2 fornisce la probabilità P(D|v ⊥ ) <strong>di</strong> far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il<br />
fotone possieda abbia polarizzazione orizzontale<br />
B2. 1 Il fattore (v·w) 2 fornisce la probabilità __________________________________________<br />
______________________________________________________________________________ .<br />
B3. Il primo termine dell’espressione (°°), dato dal prodotto (Ψ1 ) 2 (v·w) 2 , non è altro che la probabilità<br />
che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quin<strong>di</strong> venga rivelato da D.<br />
B3.1 Il secondo termine dell’espressione (°°), dato dal prodotto _______, non è altro che la probabilità<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C. Se fosse valida l’ipotesi A la probabilità <strong>di</strong> rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da:<br />
P(D) =(Ψ 1 ) 2 (V’•v’) 2 +(Ψ 2 ) 2 (V ⊥ ’•v’) 2 = P(H) P(D⏐V ⊥ ) + P(V) P(D⏐V)<br />
C1. Il terzo termine dell’espressione (°°), dato da _____________, non ha ragione <strong>di</strong> essere nell’ipotesi<br />
A (non ha analogo classico).<br />
275
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SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Ne consegue che il formalismo con cui viene espresso il principio <strong>di</strong> sovrapposizione lineare quantistico<br />
(la combinazione lineare con cui può essere scritto un qualsiasi vettore <strong>di</strong> stato) traduce il fatto<br />
che l’insieme <strong>di</strong> fotoni nello stato a 45° non può essere pensato come somma <strong>di</strong> due insiemi <strong>di</strong>sgiunti<br />
<strong>di</strong> fotoni ciascuno dei quali è formato da un ugual numero <strong>di</strong> fotoni con proprietà mutuamente esclusive.<br />
Si deve scartare l’ipotesi A.<br />
C. Conclusioni sul principio <strong>di</strong> sovrapposizione<br />
C1. Si <strong>di</strong>scuta brevemente il significato <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>di</strong> stati quantistici facendo riferimento<br />
allo stato <strong>di</strong> polarizzazione a 45º (rappresentato dal vettore u 45 ) considerato come sovrapposizione<br />
degli stati h e v, rappresentati rispettivamente dai versori v ⊥ e v.<br />
C2. Conclusione sul significato fisico e l’espressione formale del principio <strong>di</strong> sovrapposizione quantistico.<br />
D. Verso gli operatori lineari<br />
Nei punti precedenti è stato introdotta la rappresentazione vettoriale degli stati quantistici e del principio<br />
<strong>di</strong> sovrapposizione, riconoscendo il ruolo che gioca il prodotto scalare nella determinazione<br />
delle probabilità <strong>di</strong> transizione. Si esplicita ora la connessione tra prodotto scalare e operatori <strong>di</strong> proiezione,<br />
come ponte verso la rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari.<br />
D1. Un fascio <strong>di</strong> fotoni preparato nello stato rappresentato dal versore u (es.: fotoni trasmessi da un<br />
polaroid, orientato secondo il versore U//u), incide su un polaroid (ideale) orientato secondo il versore<br />
V.<br />
276
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SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
D1.1 In base al principio <strong>di</strong> sovrapposizione, come si può esprimere il versore u in termini dei versori<br />
v (v// V) e v ⊥ (v ⊥ // V ⊥ )?<br />
u = ______ + ________<br />
D1.2 Qual à la probabilità P <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> ciascun fotone (esprimila sia utilizzando l’ampiezza<br />
opportuna che hai in<strong>di</strong>cato nella risposta precedente, sia per mezzo <strong>di</strong> un opportuno prodotto scalare):<br />
____________________________________ ____________________________________<br />
D1.3 P rappresenta la probabilità che, in seguito all’interazione con il polaroid, un fotone effettui la<br />
transizione (completa la frase):<br />
dallo stato ________ allo stato _______<br />
D2. Tale probabilità può essere espressa nel seguente modo:<br />
P = (u· v) 2 = (u· v)(v· u) = u · (v v·) u,<br />
con la convenzione che bisogna effettuare i prodotti da destra a sinistra.<br />
Tra parentesi compare l’oggetto matematico vv·: il versore v ripetuto due volte e seguito dal segno<br />
<strong>di</strong> prodotto scalare.<br />
Per capire che tipo <strong>di</strong> oggetto matematico costituisca vv·, si può vedere come agisce quando viene<br />
applicato ad un vettore <strong>di</strong> stato.<br />
D2.1 Determina i risultati delle seguenti applicazioni (si sottintende che si stanno seguendo le convenzioni<br />
sin qui introdotte per l’in<strong>di</strong>cazione dei versori):<br />
(vv·)v = _______________________________________________________________________<br />
(vv·)v⊥ = _______________________________________________________________________<br />
(vv·)u = _______________________________________________________________________<br />
B2.2. L’applicazione <strong>di</strong> vv· a un qualsiasi vettore produce sempre un vettore parallelo a: ______<br />
B2.3 Come si può interpretare geometricamente questo fatto? _____________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
C. La rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari si effettua valutando il valore<br />
<strong>di</strong> aspettazione <strong>di</strong> una osservabile <strong>fisica</strong>: si pesano i possibili esiti <strong>di</strong> una misura (gli autovalori), con<br />
le corrispondenti proprietà <strong>di</strong> transizione, ossia con i quadrati dei prodotti scalari tra il vettore dello<br />
stato iniziale del sistema e i ciascuno dei vettori dei possibili stati finali (autovettori). Come in D2 è<br />
semplice far emergere l’operatore che rappresenta l’osservabile misurata. Per come viene costruito<br />
esso ha come autovettori i vettori dei possibili stati finali <strong>di</strong> una misura e come autovalori i possibili<br />
esiti stessi della misura. Si rende conto in questo modo della connessione operatori lineari e osservabili<br />
fisiche, rendendo conto del significato fisico <strong>di</strong> tale connessione.<br />
277
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Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini ed Alberto Stefanel<br />
Questionario finale - L’esplorazione dei fenomeni <strong>di</strong> polarizzazione<br />
della luce come sfida per avvicinarsi alla teoria della Meccanica Quantistica<br />
Cognome __________________ Nome ______________________ U<strong>di</strong>ne: _________________<br />
1. Un fascio <strong>di</strong> bassa intensità <strong>di</strong> N fotoni attraversa un polaroid che li prepara con polarizzazione<br />
verticale. Tale fascio incide su una faccia <strong>di</strong> un cristallo birifrangente (calcite) ideale. In corrispondenza<br />
delle uscita <strong>di</strong> ciascuno dei due fasci, or<strong>di</strong>nario e straor<strong>di</strong>nario vengono posti due rivelatori<br />
<strong>di</strong> fotoni rispettivamente R1 e R2.<br />
Il rivelatore R1 rivela un fotone: Ciò ci autorizza a <strong>di</strong>re che tale fotone ha seguito il cammino del<br />
raggio or<strong>di</strong>nario? Discuti la risposta<br />
2. Si consideri l’esperimento in cui due cristalli birifrangenti, uno <strong>di</strong>retto e uno inverso, sono allineati<br />
con il fascio <strong>di</strong> un laser che produce luce polarizzata verticalmente. Descrivi i processi che<br />
si hanno in questo esperimento, mettendo in particolare in luce il ruolo del principio <strong>di</strong> sovrapposizione.<br />
3. Quando su due polaroid ideali incrociati incide il fascio <strong>di</strong> luce <strong>di</strong> un laser, attraverso il secondo<br />
polaroid non viene trasmesso alcun fotone, ossia la probabilità <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> ciascun fotone<br />
è 0. Se tra i due polaroid si inserisce un terzo polaroid la probabilità che i fotoni siano trasmessi<br />
aumenta.<br />
3.1 Quanto è la probabilità <strong>di</strong> trasmissione dei fotoni incidenti su quattro polaroid, il primo e l’ultimo<br />
ortogonali fra loro e gli altri due ruotati in modo da formare angoli <strong>di</strong> 30* con gli altri<br />
polaroid?<br />
3.2 Se il numero <strong>di</strong> polaroid è n, il primo e l’ultimo sono ortogonali e due successivi polaroid<br />
sono ruotati <strong>di</strong> un angolo 90°/(n-2) qual è la probabilità <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong> ciascun fotone?<br />
3.3 A quanto tende la probabilità <strong>di</strong> trasmissione se n∞?<br />
3.4 Qual è la massima probabilità <strong>di</strong> trasmissione che si può raggiungere con polaroid reali (T=0,7)?<br />
Per quale numero <strong>di</strong> polaroid si ottiene?<br />
4. Lo stato <strong>di</strong> un elettrone è rappresentato: dal vettore a, quando la quantità <strong>di</strong> moto dell’elettrone<br />
è parallela all’asse x; dal vettore b, quando la quantità <strong>di</strong> moto dell’elettrone è parallela all’asse<br />
y. I due vettori a e b sono mutuamente ortogonali.<br />
Che cosa si può <strong>di</strong>re del vettore c che rappresenta lo stato dell’elettrone quando la sua quantità <strong>di</strong><br />
moto è a 45° rispetto all’asse x e all’asse y?<br />
278
ESPLORARE LA SUPERCONDUTTIVITÀ.<br />
SCHEDE STUDENTE 1-6 E PROBLEM SOLVING<br />
Marisa Michelini e Rossana Viola<br />
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong>, dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Introduzione<br />
Come già in<strong>di</strong>cato in altra sede, l’esperienza ed un’ampia letteratura ci insegnano che la coerenza<br />
<strong>di</strong> un percorso <strong>di</strong>dattico e del filo dei ragionamenti nell’attività in classe si ottengono utilizzando<br />
strumenti <strong>di</strong> lavoro – Schede Stimolo (SS) (Martongelli et al 2001) – che pongano i problemi da<br />
esplorare e documentino i ragionamenti del razionale proposto. Esse permettono <strong>di</strong> monitorare gli<br />
appren<strong>di</strong>menti ed indentificare i no<strong>di</strong> da affrontare, oltre che le competenze acquisite. Per gli insegnanti<br />
sono uno strumento <strong>di</strong> progettazione e riflessione sui processi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento dei ragazzi.<br />
Nella nostra esperienza <strong>di</strong> ricerca sono uno strumento <strong>di</strong> lavoro ed anche formativo e <strong>di</strong> raccolta<br />
dati, capace <strong>di</strong> trasformare l’attività <strong>di</strong>dattica in attività <strong>di</strong> ricerca – azione per gli insegnanti.<br />
Le schede <strong><strong>di</strong>dattiche</strong> <strong>di</strong> seguito presentate sono state sviluppate per la seconda Scuola Estiva Nazionale<br />
<strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> Moderna nell’ambito della ricerca <strong>di</strong> dottorato <strong>di</strong> una delle autrici (R. Viola) in sinergia<br />
con il progetto europeo del programma LLP-LdV sull’introduzione della superconduttività Mosem 1 .<br />
Sono proposte come schede stimolo (SS) (Aiello et al 1997; Marucci et al 2001; Martongelli et al<br />
2001; Michelini 2006), basate sull’Inquiry Based Learning (IBL) (McDermott et al 1998; Thornton,<br />
Sokoloff 1999; Abd-El-Khalick F et al. 2004), con strategia SPPEA:<br />
- Situazione – Il nodo concettuale che si vuole affrontare nella scheda viene proposto come problema,<br />
sfida interpretativa in uno specifico contesto o situazione/problema.<br />
- Previsione – Agli studenti viene richiesta la previsione sull’esito atteso in merito alla situazione/<br />
problema proposta<br />
- Progettazione – L’esplorazione sperimentale attraverso cui mettere alla prova la previsione viene<br />
progettata dai ragazzi sia per quello che riguarda le prove da effettuare, le grandezze da guardare<br />
e/o da controllare, le modalità con cui si controllano gli esiti ottenuti<br />
- Esperimento – La messa in atto della esplorazione progettata viene condotta dagli studenti raccogliendone<br />
gli esiti<br />
- Analisi – L’esito della esplorazione viene <strong>di</strong>scusso e confrontato con le previsioni per definire il<br />
risultato concettuale raggiunto e aprire nuovi interrogativi da esplorare.<br />
Ciascuna scheda mira a uno specifico obiettivo concettuale, ponendo domande aperte che abbinano<br />
la richiesta <strong>di</strong> rappresentazione e spiegazione dei processi che possono rendere conto dei fenomeni<br />
osservati. Sono formulate in modo tale che, oltre che costituire una traccia <strong>di</strong> lavoro stimolante e<br />
coinvolgente, consentono anche <strong>di</strong> raccogliere una ricca informazione sui mo<strong>di</strong> in cui gli studenti<br />
progre<strong>di</strong>scono nei personali percorsi <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento.<br />
Le schede tracciano un percorso <strong>di</strong> esplorazione aperto a partire da fenomenologie con cui gli studenti<br />
hanno confidenza, come quella della semplice interazione tra magneti ovvero della esplorazione dello<br />
spazio intorno a un magnete con una bussola, a quella meno frequentata dell’induzione elettromagnetica,<br />
a quella decisamente nuova della superconduttività, particolarmente stimolante sui <strong>di</strong>versi<br />
piano della fenomenologico, delle applicazioni, dei concetti.<br />
La prima propone l’esplorazione dell’interazione tra magneti e dello spazio intorno ad essi con<br />
una bussola per costruire gli strumenti concettuali per la successiva analisi: la rappresentazione<br />
vettoriale del <strong>di</strong>polo magnetico <strong>di</strong> un magnete e la descrizione tramite linee <strong>di</strong> campo dei campi<br />
(1) Progetto MOSEM (Minds-On experimental equipment kits in Superconductivity and ElectroMagnetism for the continuing<br />
vocational training of upper secondary school physics teachers) - LLP-LdV-TOI-2007-NO/165.009, finanziato<br />
con supporto della Commissione European el Programma Lifelong Learning.
280 Capitolo 5. Schede per una <strong>di</strong>dattica esplorativa<br />
magnetici generati da singole sorgenti, ovvero <strong>di</strong> sovrapposizione <strong>di</strong> campi generati da più sorgenti.<br />
La seconda scheda affronta il nodo della <strong>di</strong>versa magnetizzazione acquisita dai sistemi (<strong>di</strong>amagnetici,<br />
paramagnetici, ferromagnetici) in presenza <strong>di</strong> un campo magnetico esterno, attraverso l’interazione<br />
<strong>di</strong> un potente magnete con frammenti <strong>di</strong> grafite pirolitica, boccette, fissate a un giogo in sospensione<br />
e libero <strong>di</strong> ruotare, contenti acqua, cristalli <strong>di</strong> solfato <strong>di</strong> rame, cristalli <strong>di</strong> solfato <strong>di</strong> zinco, limatura<br />
<strong>di</strong> alluminio. La terza scheda propone la prima esplorazione dell’interazione tra un magnete e un<br />
<strong>di</strong>sco <strong>di</strong> YBCO raffreddato alla temperatura dell’azoto liquido come prima evidenza sperimentale<br />
dell’effetto Meissner. Il ruolo dell’induzione elettromagnetica nella levitazione viene proposto come<br />
problem solving aperto nella quarta scheda.<br />
Nella quinta scheda viene affrontata la levitazione magnetica causata da un forte pinning, mentre<br />
nella sesta scheda si esplora la levitazione <strong>di</strong> un modellino <strong>di</strong> treno MAGLEV.<br />
Bibliografia<br />
Aiello ML et al. (1997) Teaching mechanical oscillations using an integrate curriculum, IJRSE 19,<br />
8, p.981-995<br />
Engstrom V., Karwasz G., Michelini M., Viola R. (2009a) I materiali del Progetto europeo MOSEM,<br />
La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XLII, 3 Supplemento, pp. 144-150.<br />
Engstrom V., Karwasz G., Michelini M., Peeters W., Viola R. (2009b) Il Progetto Europeo MOSEM su<br />
elettromagnetismo e superconduttività: strategie per il coinvolgimento attivo dei ragazzi e risorse<br />
in rete telematica, La <strong>Fisica</strong> nella Scuola, XLII, 3 Supplemento, pp. 120-128.<br />
Lawson P. (2008), LivePhoto physics, in Physics Curriculum Design, C. P. Constantinou ed., Girep-<br />
Cyprus 2008, Nicosia: University of Nycosia-Girep.<br />
Martongelli R, Michelini M, Santi S, Stefanel A (2001) Educational proposals using new technologies<br />
and telematic net for physics, in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep -Elsevier,<br />
Paris, 615-620<br />
Marucci G, Michelini M, Santi L (2001), The Italian Pilot Project LabTec of the Ministry of Education,<br />
in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep book- Elsevier, Paris, 607-610<br />
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Physics, Upper Saddle River: Prentice Hall.<br />
McDermott L. C., Shafferm P. S., Constantinou C. P. (2000) Preparing teachers to teach physics and<br />
physical science by inquiry, Physics Education 35 (6), pp. 411-416.<br />
Michelini M (2006) The Learning Challenge: A Bridge Between Everyday Experience And Scientfìc<br />
Knowledge, in Informai Learning And Public Understan<strong>di</strong>ng Of Physics, G Planinsic and A<br />
Mohoric eds., Ljubijana, p. 18-39<br />
Thornton RK, Sokoloff DR, 1999, Learning motion concepts using real-time microcomputer-based<br />
laboratory tools, Am. J. Phys. 58 (9), 1999. p. 858-867
Unità <strong>di</strong> Ricerca in Didattica della <strong>Fisica</strong> dell’Università <strong>di</strong> U<strong>di</strong>ne<br />
Esplorare la superconduttività<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini e Rossana Viola<br />
1. INTERAZIONE TRA DIPOLI<br />
1.1. Progetta come esplorare l’interazione tra due magneti come quelli che hai a <strong>di</strong>sposizione:<br />
Azione Obiettivi<br />
1.2. Prova. Discuti la fenomenologia osservata<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
1.3. Appoggia un magnete sul tavolo. Avvicina ad uno dei suoi poli l’altro magnete in modo da affacciare<br />
prima uno poi l’altro polo. Descrivi i comportamenti che osservi<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
Il <strong>di</strong>polo presente in ciascun magnete può essere rappresentato come in (1) o con un vettore, per convenzione<br />
dal N al S come in (2):<br />
(1) (2)<br />
1.4. Utilizzando la rappresentazione vettoriale schematizza tutte le situazioni che hai provato e i corrispondenti<br />
effetti:<br />
Situazione Effetti<br />
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Esplorare la superconduttività<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini e Rossana Viola<br />
1.5. Esaminando l’interazione a <strong>di</strong>stanza che sperimenti con <strong>di</strong>versi esploratori nello spazio circostante<br />
il magnete si in<strong>di</strong>viduano le linee <strong>di</strong> campo:<br />
1.6.1. - 1.6.2. Facendo l’ipotesi che gli oggetti rappresentativi siano dei vettori, allora vale il principio<br />
<strong>di</strong> sovrapposizione locale produce una linea globale, che risulta tangente ai singoli vettori in ogni<br />
punto nel piano dello spazio <strong>di</strong> osservazione.<br />
Come risulterebbe la configurazione delle linee <strong>di</strong> campo nei due casi<br />
a) poli omologhi affacciati<br />
b) poli <strong>di</strong>versi affacciati<br />
Fai un <strong>di</strong>segno qui sotto e riporta l’effetto conseguente:<br />
a) b)<br />
1.7. Riepiloga le tue considerazioni nella tabella seguente:<br />
Situazione Fenomeno<br />
Poli<br />
omologhi affacciati<br />
Poli<br />
opposti affacciati<br />
Come posso descriverlo in<br />
termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo<br />
A cosa corrisponde in termini<br />
<strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo<br />
282
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1.8. La configurazione delle linee <strong>di</strong> campo ti permette <strong>di</strong> prevedere l’effetto sui <strong>di</strong>poli? Spiega:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
1.9. È possibile mantenere in sospensione due magneti uno sull’altro affacciando poli omologhi?<br />
Prova. Scrivi i risultati:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
1.10. Come spieghi i risultati ottenuti?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
1.11. Vincola i magneti infilandoli in un tubicino <strong>di</strong> plexiglas in modo che affaccino poli omologhi.<br />
Disegna e descrivi ciò che osservi nella tabella seguente:<br />
Situazione Fenomeno<br />
Magneti vincolati:<br />
sospensione magnetica<br />
Come posso descriverlo<br />
in termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo<br />
A cosa corrisponde in<br />
termini <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo<br />
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2. INTERAZIONI DI UN MAGNETE CON OGGETTI DI DIVERSO MATERIALE:<br />
FERRO-PARA-DIAMAGNETISMO<br />
2.1. Fase esplorativa: esploriamo l’interazione tra un magnete e oggetti <strong>di</strong> <strong>di</strong>verso materiale avvicinando<br />
il magnete a:<br />
a) una graffetta o una sferetta: ferromagnetismo<br />
b) una bilancia <strong>di</strong> torsione con [solfato <strong>di</strong> rame e acqua] o [polvere <strong>di</strong> alluminio e acqua] o [solfato<br />
<strong>di</strong> rame e olio]: para e <strong>di</strong>amagnetismo<br />
c) sottile mina <strong>di</strong> grafite pirolitica: <strong>di</strong>amagnetismo<br />
2.1. Disegna e scrivi le tue considerazioni nella tabella seguente:<br />
Situazione<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Rappresentazione in termini<br />
<strong>di</strong> vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo<br />
Rappresentazione<br />
in termini <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo<br />
Come lo spiego<br />
2.2. Le situazioni a), b) e c) in cosa sono uguali e in cosa <strong>di</strong>verse dalle situazioni precedentemente<br />
considerate? Lo stato <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo dei sistemi considerati è temporaneo o permanente?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.3. La configurazione delle linee <strong>di</strong> campo permette <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>re gli effetti ovvero la fenomenologia<br />
che si osserva?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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2.4. Hai a <strong>di</strong>sposizione una sottile sfoglia <strong>di</strong> grafite pirolitica e un magnete:<br />
secondo te, è possibile sospendere la grafite sul magnete? Giustifica la tua risposta:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.5. Prova. Illustra i risultati<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.6. Cosa puoi concludere?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.7. Hai a <strong>di</strong>sposizione un campione <strong>di</strong> supercoduttore YBCO (YBa2Cu3O7). Hai il compito <strong>di</strong> classificarlo.<br />
Fai una proposta operativa<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.8. Prova<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
2.9. Che tipo <strong>di</strong> materiale è?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
Osservazioni<br />
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3. LE LINEE DI CAMPO<br />
Ora guar<strong>di</strong>amo gli stessi fenomeni dal punto <strong>di</strong> vista dei campi e dei loro descrittori, le linee <strong>di</strong> orientazione.<br />
3.1. Disegna qui sotto un campo magnetico, per semplicità costante ed uniforme:<br />
3.2. Immagina <strong>di</strong> immergere in detto campo un oggetto.<br />
Secondo te, la presenza <strong>di</strong> un materiale può mo<strong>di</strong>ficare il campo magnetico risultante? In che modo<br />
e perché? Spiega, aiutandoti anche con un <strong>di</strong>segno me<strong>di</strong>ante la rappresentazione a linee:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
3.3.1. – 3.3.2. – 3.3.3. Consideriamo un oggetto che viene immerso in un campo magnetico. Tenendo<br />
conto della rappresentazione per linee <strong>di</strong> campo, <strong>di</strong> quelle per vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli e del comportamento<br />
osservato nella esplorazione sperimentale, prova a giustificare il comportamento osservato nel caso dei<br />
a) ferromagnetici<br />
b) paramagnetici<br />
c) <strong>di</strong>amagnetici<br />
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3.4. Disegna le linee <strong>di</strong> campo del sistema<br />
3.5. Esploriamo il suo comportamento all’abbassarsi della temperatura.<br />
Versa dell’azoto liquido sul sistema YBCO-magnete e aspetta che la temperatura si abbassi. Descrivi<br />
cosa osservi<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
3.6. Come te lo spieghi? Fai delle ipotesi e prova a spiegare cosa è cambiato anche aiutandoti con<br />
un <strong>di</strong>segno<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
3.7. Secondo te, l’YBCO ha cambiato le sue proprietà?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
3.8. Come?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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3.9. Disegna nuovamente qui sotto i due oggetti e il campo magnetico risultante, dopo la transizione:<br />
Questo è chiamato Effetto Meissner<br />
3.10. Cosa puoi concludere?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
L’YBCO è un materiale che, al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> una certa temperatura, detta temperatura critica, acquista<br />
delle particolari proprietà elettriche (resistività nulla – Laboratorio a rotazione T4) e magnetiche<br />
(<strong>di</strong>amagnetismo perfetto), per le quali viene detto superconduttore.<br />
3.11. Confronta ciò che hai osservato in questo esperimento e negli altri riguardanti materiali <strong>di</strong>amagnetici<br />
(grafite pirolitica): è lo stesso tipo <strong>di</strong> comportamento? Cosa c’è <strong>di</strong> uguale e cosa <strong>di</strong> <strong>di</strong>verso?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
3.12.1. -3.12.2. – 3.12.3. Disegna qui sotto la descrizione in termini <strong>di</strong> <strong>di</strong>poli per ciascuno dei casi:<br />
1) due magneti<br />
2) magnete e grafite pirolitica<br />
3) superconduttore e magnete<br />
3.13. Mentre nel caso della grafite pirolitica il <strong>di</strong>amagnetismo evidenzia come si realizza una sospensione<br />
non <strong>di</strong> equilibrio della grafite pirolitica, il superconduttore sembra essere in equilibrio.<br />
Verifica questa ipotesi: prova a spostare leggermente il magnete. Cosa noti? Resta in equilibrio?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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3.14. Tra il superconduttore e il magnete si è instaurato un vincolo: questo è il cosiddetto effetto<br />
pining. Fai un modello, utilizza una rappresentazione e spiega:<br />
4. IL CONTRIBUTO DELLA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ<br />
4.1. Discutiamo insieme.<br />
Secondo te, qual è il modello interpretativo corretto? O meglio, essendo sostenibili entrambi, quale<br />
scegli? Argomenta:<br />
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5. GLI EFFETTI DI UN FORTE PINNING<br />
5.1. Hai a <strong>di</strong>sposizione un altro campione <strong>di</strong> YBCO, con <strong>di</strong>fferente qualità dei cristalli però, azoto<br />
liquido e un magnete. Hai il compito <strong>di</strong> classificarlo. Poggia il magnete sul campione a temperatura<br />
ambiente. Che tipo <strong>di</strong> materiale è?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
5.2. Disegna qui sotto il campo magnetico del sistema:<br />
5.3. Versa dell’azoto liquido sul sistema YBCO-magnete e aspetta che la temperatura si abbassi.<br />
Descrivi cosa osservi<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
5.4. Prova ad allontanare il magnete. Ci riesci?<br />
Sì No<br />
Perché, secondo te? Prova a dare una spiegazione<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
5.5. Tra il superconduttore e il magnete si è instaurato il vincolo dell’Effetto pinning, questa volta<br />
molto più forte rispetto al precedente.<br />
In questo esperimento c’è stato effetto Meissner secondo te? Spiega:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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5.6. Disegna il campo dopo la transizione<br />
L’effetto pinning ha “mascherato” la repulsione dovuta all’effetto Meissner.<br />
5.7. Ora, a temperatura ambiente, poggia il magnete sullo stesso campione con interposto un separatore.<br />
Disegna qui sotto il campo magnetico:<br />
5.8. Raffredda versando azoto liquido, aspetta la fine dell’ebollizione. Cosa ti aspetti succeda se<br />
rimuovi il separatore? Spiega<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
5.9. Rimuovi il separatore. Cosa osservi?<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
5.10. Prova ad allontanare il magnete. Ci riesci?<br />
Sì No<br />
Perché, secondo te? Prova a dare una spiegazione<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
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Esplorare la superconduttività<br />
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5.11. Disegna il campo dopo la transizione<br />
5.12. Riepiloga i risultati ottenuti nella tabella seguente (anche con <strong>di</strong>segni):<br />
Caso<br />
3.2.<br />
5.1.<br />
5.2.<br />
Linee <strong>di</strong> campo prima<br />
della transizione<br />
Fenomeni osservati<br />
dopo la transizione<br />
Rappresentazione in<br />
termini <strong>di</strong> vettori <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>polo<br />
Rappresentazione<br />
in termini <strong>di</strong> linee <strong>di</strong><br />
campo<br />
292<br />
Descrizione in termini<br />
<strong>di</strong> variazione <strong>di</strong> fl usso
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6. LA STABILITÀ DELLA LEVITAZIONE<br />
6.1. Hai a <strong>di</strong>sposizione una sottile sfoglia <strong>di</strong> grafite pirolitica e 4 magneti (a forma <strong>di</strong> parallelepipedo).<br />
Come puoi ottenere la sospensione della grafite sui magneti? Fai una proposta operativa:<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
6.2. Disegna qui tutte le possibilità <strong>di</strong> costruire un quadrupolo magnetico (<strong>di</strong>segnandoli così come<br />
suggerito in figura) e le relative configurazioni <strong>di</strong> linee <strong>di</strong> campo:<br />
6.3. Con quale configurazione secondo te si avrà sospensione della grafite pirolitica sul quadrupolo?<br />
Perché? Spiega<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
6.4. Prova. Scrivi i risultati<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
293
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6.5. Un campione <strong>di</strong> superconduttore del II tipo con forte pinning viene poggiato (con uno spaziatore)<br />
su:<br />
1) un magnete<br />
2) un quadrupolo;<br />
Raffred<strong>di</strong>amo con azoto liquido. Riassumi le tue osservazioni e considerazioni completando la tabella<br />
dei risultati<br />
caso<br />
1)<br />
2)<br />
Linee <strong>di</strong> campo<br />
prima della<br />
transizione<br />
Fenomeni<br />
osservati dopo la<br />
transizione<br />
Rappresentazione<br />
in termini <strong>di</strong><br />
vettori <strong>di</strong> <strong>di</strong>polo<br />
Rappresentazione<br />
in termini <strong>di</strong> linee<br />
<strong>di</strong> campo<br />
Stabilità della<br />
levitazione<br />
294<br />
Descrizione<br />
in termini <strong>di</strong><br />
variazione <strong>di</strong> fl usso<br />
6.6. Fai un confronto tra le due situazioni ed esprimi le tue considerazioni in merito alla stabilità in<br />
ciascuno dei due casi: in quale caso hai maggiore stabilità? Perché? Aiutati anche con <strong>di</strong>segni.<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________<br />
_______________________________________________________________________________
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Esplorare la superconduttività<br />
SCHEDA STUDENTE a cura <strong>di</strong> Marisa Michelini e Rossana Viola<br />
Problem Solving <strong>di</strong> Superconduttività data ______<br />
Scuola ___________________________________________________ classe ________________<br />
Gruppo (cognomi e nomi degli studenti) _______________________________________________<br />
__________________________________________________________________________________<br />
IL TRENO MAGLEV A LEVITAZIONE MAGNETICA<br />
1) Descrivete il treno<br />
2) Descrivete il suo funzionamento<br />
3) Come spiegate il suo funzionamento?<br />
295
Seconda e<strong>di</strong>zione - Finito <strong>di</strong> stampare nel mese <strong>di</strong> luglio 2011
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