maTematikaSi

t/!Upgvsjb-!w/!ypXpmbwb!
o/!nbXbsbTwjmj-!h/!hjpshb[f-!b/!ljsUb[f
testebisa da amocanebis
krebuli
maTematikaSi
rekomendebulia stu-s
saredaqcio-sagamomcemlo
sabWos mier damxmare
saxelmZRvanelod
umaRles saswavleblebSi
SemsvlelTaTvis
profesor t/!Upgvsjbt redaqciiT
mesame gadamuSavebuli gamocema
Tbilisi
2009

wigni warmoadgens damxmare saxelmZRvanelos
umaRles saswavleblebSi SemsvlelTaTvis. masSi
mocemuli masalis safuZvliani Seswavla uzrunvelyofs
moswavle axalgazrdobis maTematikur momzadebas
im doneze, romelic moeTxoveba, dRevandel
pirobebSi, umaRles saswavlebelSi Semsvlels. garda
amisa, yoveli paragrafis pirvel naxevarSi mocemuli
testebi daexmareba abiturientebs unar-Cvevebis
maTematikuri nawilis momzadebaSi.
wigni rogorc damxmare saxelmZRvanelo, didad
sasargeblo iqneba saSualo skolebisaTvis.
recenzenti: profesori T/!ufuvobTwjmj
! ! ! ! ! !
© sagamomcemlo saxli `teqnikuri universiteti~, 2009
ISBN 978-9941-14-240-6
http://www.gtu.ge/publishinghouse/
yvela ufleba daculia. am wignis arc erTi nawili (iqneba es
teqsti, foto, ilustracia Tu sxva) aranairi formiT da
saSualebiT (iqneba es eleqtronuli Tu meqanikuri), ar SeiZleba
gamoyenebul iqnas gamomcemlis werilobiTi nebarTvis gareSe.
saavtoro uflebebis darRveva isjeba kanoniT.
Verba voland
scripta manent

pirveli gamocemis winasityvaoba
`testebisa da amocanebis krebuli maTematikaSi~
warmoadgens damxmare saxelmZRvanelos
abiturientebisaTvis. is umaRles saswavlebleb-
Si misaRebi gamocdebis programiT gaTvaliswinebuli
maTematikis amocanaTa krebulia. igi
Sedgeba 38 paragrafisagan. paragrafebi Sedgenilia
Tematikis mixedviT, xolo TiToeul
paragrafSi sakiTxebi dalagebulia maTi tipebisa
da sirTulis gaTvaliswinebiT. amasTan pirveli
naxevari testebia, xolo meore naxevari ki
amocanaTa krebuli. magaliTebisa da amocanebis
aseTi dalageba mkiTxvels gauadvilebs skolaSi
Seswavlili sakiTxebis gameorebas da SeZenili
codnis gaRrmavebas. masalis aseTi dalageba,
agreTve saSualebas iZleva SevadginoT sxvadasxva
sirTulis bileTebi maTematikaSi da unarebSi
sakiTxTa sasurveli raodenobiT.
wignSi gamoyenebulia erTiani erovnuli
gamocdebis masala da gaTvaliswinebulia am
gamocdebis Taviseburebani. moyvanilia 40 sakiTxiani
bileTis sxvadasxva SesaZlo variantebi.
wigni ZiriTadad gankuTvnilia moswavleebisa
da abiturientebisaTvis misaRebi gamocdebisa-
Tvis mosamzadeblad. wigni gamoadgeba agreTve
yvelas, vinc maTematikis saskolo kursiT aris
dainteresebuli.
avtorebi siamovnebiT miiReben mkiTxvelis
yvela saqmian SeniSvnas, romelic gaTvaliswinebuli
iqneba wignis Semdgom gamocemaSi.
3

meore gamocemis winasityvaoba
meore gamocemaSi gasworebulia SemCneuli
uzustobani. wigni mTlianad gadamuSavebulia da
arsebiTad Sevsebulia.
avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc mogvawoda
SeniSvnebi SemCneul xarvezebze.
mesame gamocemis winasityvaoba
mesame gamocema mTlianad gadamuSavebulia da
arsebiTad Sevsebulia. kerZod, damatebulia
albaTobis Teoriisa da maTematikuri statistikis
elementebi, veqtoruli algebra, simravleTa
Teoriis elementebi da figuraTa gardaqmna.
gasworebulia SemCneuli uzustobani.
avtorebi madlobas uxdian yvelas, vinc
mogvawoda SeniSvnebi SemCneul xarvezebze.
4

!! %2/!bsjUnfujlvmj!hbnpUwmfcj
gamoTvaleT (#1.1, 1.2):
1.1. 1) ( 564 : 47 + 2592 : 72)
⋅ 250 − 200
A. 11600 B. 11800 C. 12000
2) ( 21000 − 308 ⋅ 29)
: 4 + 14194 : 47
D. 1080
A. 3621 B. 4112 C. 3217
3) 9222 : 174 + 25 ⋅ ( 675 − 249)
− 2301:
177
D. 3319
A. 10690 B. 9970 C. 10780
4) 207 ⋅ 32 : 72 − ( 21140 : 7 − 43⋅
70)
: 5
D. 10716
1.2.
A. 92 B. 90 C. 84 D. 86
1) ( 701 ⋅ 83 − 205 ⋅99
− 37888)
: ( 4800 : 120 + 260)
A. 9 B. 4 C. 0
2) 300 : ( 50 − 100)
+ 500 : ( 400 − 500)
−100
D. 13
A. -106 B. -109 C. -89
3) − 39 : ( 19 − 32)
− 4 ⋅ ( 18 + 36 : ( − 9)
)
D. -111
A. -59 B. -53 C. -56
4) ( 27 − 24 : ( 8 −11)
) ⋅ ( − 9 + 8 : ( 27 − 35)
)
D. -49
A. -350 B. 350 C. -240 D. 240
1.3. 1) ras udris sxvaoba umcires rvaniSna da udides
SvidniSna naturalur ricxvebs Soris?
A. 2 B. 1 C. 100 D. 10000
2) ras udris sxvaoba umcires oTxniSna da umcires
samniSna ricxvebs Soris?
A. 1000 B. 2 C. 900 D. 1
3) ramdeniTaa naklebi udidesi samniSna ricxvi udides
xuTniSna ricxvze?
A. 80100-iT B. 900-iT C. 100-iT D. 99000-iT
4) ramdenjeraa meti udidesi oTxniSna ricxvi umcires
samniSna ricxvze?
A. 10,1-jer B. 9,9-jer C. 9,999-jer D.99,99-jer
1.4. 1) 1-dan 6-is CaTvliT yvela cifris gamoyenebiT SeadgineT
ori iseTi samniSna ricxvi, rom didsa da pataras
Soris sxvaoba iyos maqsimaluri. ipoveT es sxvaoba.
A. 81 B. 331 C. 531 D. 650
2) 1-dan 6-is CaTvliT yvela cifris gamoyenebiT SeadgineT
ori iseTi samniSna ricxvi, rom didsa da pata-
5

as Soris sxvaoba iyos minimaluri. ipoveT es sxvaoba.
A. 54 B. 68 C. 38 D. 47
3) ipoveT sxvaoba udides da umcires samniSna ricxvebs
Soris, romelTa yoveli cifri gansxvavebulia.
A. 255 B. 100 C. 890 D. 885
4) Tu udides orniSna ricxvs davumatebT 11-s da jams
gavyofT umcires orniSna ricxvze, miviRebT
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
1.5. 1) ori aTeuli gaamravles sam aTeulze. ramdeni aTeuli
miiRes?
A. 5 B. 30 C. 6 D. 60
2) xuTi aseuli gaamravles or aTeulze. ramdeni aseuli
miiRes?
A. 500 B. 1000 C. 100 D. 10
3) ramdeni aTeuli miiReba eqvsi aTaseulis or aseulze
gayofiT?
A. 3 B. 30 C. 60 D. 300
4) ramdeni aTeuli miiReba xuTi aTaseulisa da ori
aseulis jamis or aTeulze gayofiT?
A. 260 B. 26 C. 52 D. 200
1.6. ipoveT Mmocemuli ricxvebis udidesi saerTo gamyofi:
1) 56 da 84
A. 14 B. 28 C. 7 D. 2
2) 124 da 186
A. 2 B. 31 C. 4 D. 62
3) 60; 76 da 128
A. 6 B. 4 C. 2 D. 8
4) 150; 180 da 240
A. 30 B. 10 C. 6 D. 25
3 6
2 4
5) 2 ⋅ 3 ⋅5
da 3 ⋅ 5
A. 15 B. 9 C. 45 D. 90
2 2
6) 3⋅ 5⋅
7 ⋅9
⋅12
da 3 ⋅ 5 ⋅ 6
A. 135 B. 270 C. 54 D. 540
1.7. ipoveT mocemuli ricxvebis umciresi saerTo jeradi:
1) 18 da 24
A. 36 B. 96 C. 144 D. 72
2) 32 da 48
A. 192 B. 96 C. 128 D. 160
3) 48; 64 da 96
6

A. 192 B. 256 C. 288 D. 240
4) 72; 84 da 120
A. 5020 B. 2520 C. 4080 D. 4200
3 2
2
5) 2 ⋅ 3⋅
5 da 2 ⋅ 3 ⋅ 5
A. 30 B. 3600 C. 1800 D. 900
2 3
6) 3⋅ 5 ⋅9
⋅10
da 3 ⋅ 2 ⋅5
A. 1350 B. 5400 C. 90 D. 10800
1.8. 1) naturaluri ricxvi iyofa 15-ze da 9-ze. ras udris
aseTi ricxvis gamyofebis umciresi SesaZlo raodenoba?
A. 8 B. 3 C. 4 D. 6
2) naturaluri ricxvi iyofa 12-sa da 16-ze. ras udris
aseTi ricxvis gamyofebis umciresi SesaZlo raodenoba?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
1.9. qvemoT CamoTvlili ricxvebidan romeli ar SeiZleba
iyos p da q naturaluri ricxvebis:
1) udidesi saerTo gamyofi?
A. p B. q C. p-q D. p+q
2) umciresi saerTo jeradi?
A. p B. q C. p+q D. pq
1.10. mocemuli ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT
2 1 3
1) , ,
3 2 5
3 2 1
A. , ,
5 3 2
1 3 2
B. , ,
2 5 3
2 3 1
C. , ,
3 5 2
3 1 2
D. , ,
5 2 3
5 2
2) ; ; 0,3
8 5
5 2
A. ; ; 0,3
8 5
2 5
B. ; ; 0,3
5 8
2 5
C. 0,3; ;
5 8
5 2
D. 0,3; ;
8 5
1.11. mocemuli ricxvebi daalageT klebadobis mixedviT
4 7 13
1) , , −
5 8 15
7 13 4 7 4 13
A. , − , B. , , −
8 15 5 8 5 15
5
2) 0,75; ; 0,4
6
4 7 13
C. , , −
5 8 15
13 7 4
D. − , ,
15 8 5
5 5 5 5
A. 0,75; ; 0,4 B.0,4; 0,75; C. ;0,75;0,4 D. ;0,4; 0,75
6
6 6
6
7

1.12. 1) cnobilia, rom x-2=y+2=z-4. mocemuli x, y da z ricxvebidan
romelia umciresi?
A. x an z B. x C. y D. z
2) cnobilia, rom a+5=b+3=c+4. mocemuli a, b da c ricxvebidan
romelia udidesi?
A. a B. b C. c D. a an c
3) cnobilia, rom x-2=y+2=z-1=t-3. mocemuli x, y, z, t ricxvebidan
romelia udidesi?
A. z B. y C. t D. x
4) cnobilia, rom x+3=y-2=z+2=t. mocemuli x, y, z, t ricxvebidan
romelia umciresi?
A. x B. y C. z D. t
1.13. 1) wiladi, romlis mniSvnelia 8 da romelic moTavse-
1 3
bulia -sa da -s Soris, aris
2 4
1 3 7 5
A. B. C. D.
8
8
8
8
2) udidesi wiladi, romlis mniSvnelia 25 da rome-
1 4
lic moTavsebulia -sa da -s Soris, aris
5 5
19 21 17 15
A. B. C. D.
25
25
25
25
3) wiladi, romlis mniSvnelia 12 da romelic moTavsebulia
0,4-sa da 0,5-s Soris, aris
3 4 5 7
A. B. C. D.
12
12
12
12
4) udidesi wiladi, romlis mniSvnelia 20 da romelic
moTavsebulia 0,7-sa da 0,9-s Soris, aris
15 17 18 16
A. B. C. D.
20
20
20
20
gamoTvaleT (#1.14-1.25):
1 2 2
1.14. 1) 4 ⋅ 1 − 6
2 3 3
5
A.
6
B. 1
1
C. 1
6
1
D. 1
3
4 1 2
2) 14 − 7 ⋅1
5 2 3
A. 2 B. 2,1 C. 2,3 D. 2,4
8

2 1 1
3) 3 − 7 : 2
3 3 5
2
A.
3
1
B.
3
1
C.
2
D. 1
2 7 1
4) 5 : 3 − 1
3 9 5
A. 0,3 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,4
1 1
1.15. 1) 3, 5⋅
1 − 4
3 6
1
A.
2
1
B.
3
2
C.
3
3
D.
4
1 1 5
2) 4 − 2 :
3 7 7
1
A. 1
2
2
B. 1
3
3
C. 1
4
1
D. 1
3
1 8 1
3) 5 : − 5
3 9 6
3
A.
4
5
B.
6
2
C.
3
1
D.
6
2 2 1
4) 3 − 2 ⋅1
5 3 5
A. 0,2 B. 0,1 C. 0,3 D. 0,4
1.16.
⎛ 1 2 ⎞ 4
1) ⎜2
− : 0,
2⎟
⋅
⎝ 2 5 ⎠ 5
2
A.
5
1
B.
5
3 1
C. D.
5
2
2 3
2) 1, 2 ⋅ − : 1,
5
3 4
A. 0,3 B. 0,2 C. 0,1 D. 0,4
1 4
3) 1, 6 : 1 − 4,
5 ⋅
3 27
7
A.
15
1
B.
3
2 8
C. D.
5
15
⎛ 7 1 ⎞ 1
4) ⎜3,
6 ⋅ 2 − 8 ⎟ : 2
⎝ 9 3 ⎠ 2
2 1
A. B.
3
3
1 3
C. D.
2
4
9

1.17.
⎛ 3 5 7 ⎞
1) ⎜1
+ 2 : 1 ⎟ ⋅ 0,
5
⎝ 4 6 27 ⎠
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⎛ 2 2 ⎞ 2
2) ⎜0,
75⋅
2 − ⎟ :
⎝ 3 3 ⎠ 3
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
⎛ 1 1 ⎞
3) ⎜3
− 6 ⋅ 0,
4⎟
: 1,
5
⎝ 4 4 ⎠
A. 0,5 B. 1
⎛ 7 3 ⎞ 2
4) ⎜1
: 8,
75 + ⎟ ⋅ 4
⎝ 8 4 ⎠ 3
C. 0,25 D. 1,5
A. 1,5 B. 2
⎛ 2 4 3 ⎞ 3
1.18. 1) ⎜5
⋅ 1 − 8 ⎟ : 1
⎝ 3 5 5 ⎠ 10
C. 4,5 D. 3,5
2
A. 1
13
1
B. 1
13
3
C. 1
13
4
D. 1
13
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
2) ⎜2
+ 3 ⎟ : ⎜−
4 + 3 ⎟
⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 6 7 ⎠
15
A. − 5
43
16
B. − 5
43
30
C. − 5
43
32
D. − 5
43
⎛ 2 5 1 ⎞ 1
3) ⎜7
− 3 : 10 ⎟ : 21
⎝ 5 12 4 ⎠ 5
1
A.
5
1
B.
3
1
C.
15
4
D.
5
⎛ 3 7 3 ⎞
4) ⎜8
− 5 : 21 ⎟ : 0,
5
⎝ 4 16 4 ⎠
A. 17 B. 2 C. 15 D. 8
59
2, 4 : 0,
03 − 3,
5⋅
6 :
1.19. 1) ( ) 60
A. 59 B. 30 C. 60
2) ( 2, 4 + ( 0,
4 − 3,
2)
: 0,
7)
⋅5
D. 15
A. 4 B. 8 C. -16 D. -8
⎛ 1 1 ⎞
3) 3 , 1:
⎜5
− 4,
2 : 3 ⎟
⎝ 3 2 ⎠
A. 0,75 B. 3,5 C. 2 D. 3,1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
4) ⎜0
, 5 : 1,
5 − 3 ⋅ 0,
6⎟
: ⎜1−
3 ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠
10

1 2
A. B. 2 C. D.
3
3
11
1
− 1
3
⎛ 1 2 1 ⎞ 22
1.20. 1) ⎜7
: 4 − 1 ⎟ ⋅ 2
⎝ 3 5 4 ⎠ 25
1
A.
5
6
B.
5
1
C. 2
5
1
D. 1
4
⎛ 1 2 31 ⎞ 3
2) ⎜5
− 3 : 1 ⎟ : 29
⎝ 4 3 35 ⎠ 4
1
A.
9
1
B.
18
5 1
C. D.
36
6
⎛
7 ⎞
3) ⎜7,
25 − 25,
75 : 12 ⎟ : 3,
5
⎝
8 ⎠
A. 0,75 B. 1,5 C. 3 D. 3,5
⎛ 1 4 ⎞ 3 4
4) ⎜17
− 12 ⎟ ⋅ :
⎝ 3 5 ⎠ 34 5
A. 1
2
B.
5
1
C.
2
4
D.
5
1.21.
⎛ 4 1 7 3 ⎞ 7
1) ⎜6
: 29 + 5 : 12 ⎟ ⋅1
⎝ 19 2 19 4 ⎠ 12
A. 2 B. 1
3
C.
17
1
D.
17
4 2 1 3 1
2) 3 1 : 8 : 1
5 3 5 8
⎟
6
⎟
⎛⎛
⎞ ⎞
⎜
⎜⎜
+ ⎟ −
⎝⎝
⎠ ⎠
1
A.
3
1
B.
6
1
C.
4
D. 1
⎛ 7 4 3 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
3) ⎜1
⋅ 4 − 3 : 2 ⎟ ⋅⎜
7 − 2 ⎟
⎝ 8 5 5 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
A. 11,2 B. 33 C. 22 D. 7,5
⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 2 ⎞
4) ⎜3
: ⎜−
⎟ − ⎜−
17 ⎟ : 2⎟
⋅ ⎜4
− 3 ⎟
⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 11 3 ⎠
5
1
A. 1 B. 3 C. -4
9
3
1.22. 1) ( 0, 63 : 0,
003 − 5,
29 : 0,
023)
: 2,
5
D. 3
A. 4 B. 10 C. -2
2) ( 25, 6 − 8,
7)
: 0,
1−
180 : ( 9,
3 − 7,
5)
D. -8
A. 69 B. 169 C. 100 D. 112

2 6 ⎛ 5 ⎞
3) 31 : 1 − 5,
7 ⋅⎜
8,
5 − 7 ⎟
3 13 ⎝ 6 ⎠
2
A. 5
3
13
B. 17
15
3
C. 15
5
13
D. 13
15
⎛ 5
6 ⎞ 3
4) ⎜9,
75 : 1 − 31,
25 : 26 ⎟ : 1
⎝ 8 19 ⎠ 8
A. 1,5
7
B.
19
C. 3,5
13
D. 4
16
1.23.
⎛
−1
2 ⎞ 3
1) ⎜ −1
⎛ ⎞
4 − 3⋅
⎜ ⎟ ⎟ ⋅
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
34
3
A. −
8
3
B.
8
5
5
C. − D.
8
8
−1
2
−3
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2) 2 + ⎜ ⎟ ⋅⎜
− ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
5
A.
12
9
B.
24
13
C.
24
11
D.
24
−1
−2
−1
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞
3) ⎜ ⎟ : ⎜−
1 ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠
A. 2 B. 2,2 C. 2,1 D. 2,4
−1
−1
−2
⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
4) ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ : ⎜−
⎟
⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
1
A. 1
3
2
B. 1
3
1
2
C. 2 D. 2
3
3
1.24.
−1
−3
⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3
1) ⎜ ⎟ : + ⎜−
⎟ ⋅
⎝ 6 ⎠ 5 ⎝ 2 ⎠ 4
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
⎛
−2
⎞ ⎛
−1
⎞
2) ⎜ −1
⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎜ 0 ⎛ 1 ⎞
5 − 3⋅
⎜ ⎟ : 5 ⋅ 3 − ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠
1
A. 2
15
B. 3 C. 1
2
D. − 1
15
−1
−2
−3
−4
−2
0 −5
−1
3) ( 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ) : ( 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 )
1 1
A. B. C. 1 D. 2
2
4
−4
−2
−3
−3
−2
−4
4) ( 5 ⋅
3 − 3 ⋅ 3 ) : ( 4 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 )
12

7 42 35 1
A. B. C. D. !
109
109
109
2
3 4
10 ⋅18
1.25. 1)
3 2
36 ⋅15
A. 6 B. 5 C. 18 D. 10
3 4
12 ⋅15
2)
4 5
10 ⋅ 6
A. 12 B. 0,5 C. 1,125 D. 0,25
−2
−4
15 ⋅36
3)
−5
−3
18 ⋅ 5
A. 18 B. 0,625 C. 0,75 D. 5
−2
−2
−2
3 ⋅ 4 ⋅ 5
4)
−3
−1
6 ⋅8
A. 0,48 B. 4 C. 0,25 D. 8
1.26. 1) ramden elements Seicavs A da B simravleebis
gaerTianeba, Tu A = {0;2;3;4} da B = {1;3;4;5} .
A . 8 B . 6 C . 4 D. 2
2) ipoveT A da B simravleebis TanakveTis udidesi
elementi, Tu A = { −4; − 2;0;2;4} da B = {0; 4;6;8} .
A . 4 B . 8 C . 6 D. 0
3) ramden elements Seicavs A da B simravleebis
TanakveTa, Tu A = { −6; − 2;4;8;10;15} da B = { −3; − 2;0;4;10;12;15} .
A. 3 B . 5 C . 4 D. 2
4) ipoveT A da B simravleebis sxvaobis umciresi
elementi, Tu A = {1;3;5;7;9;11;13} da B = {3; 7;11;15;19} .
A . 1 B . 3 C . 5 D . 13
1.27. A da B simravleebisaTvis ipoveT:
1) n( A∪ B)
, Tu n( A) = 15, n( B) = 7, n( A∩ B)
= 0.
A . 8 B . 15 C . 18 D . 22
2) n( A∪ B)
, Tu n( A) = 12, n( B) = 13, n( A∩ B)
= 5.
A . 30 B . 15 C . 20 D . 25
3) n( A∩ B)
, Tu n( A∪ B) = 50, n( A) = 40, n( B)
= 30.
A . 10 B . 20 C . 70 D . 120
4) n( A ) , Tu n( A∪ B) = 63, n( A∩ B) = 23, n( B)
= 46.
A . 40 B . 86 C . 89 D . 132
13

1.28. 1) skolis biblioTekidan 36 moswavlem gamoiwera
mxatvruli literatura, xolo 24 moswavlem ki gamoiwera
rogorc mxatvruli, aseve teqnikuri literatura. ramdenma
moswavlem gamoiwera mxolod mxatvruli literatura?
A. 15 B. 10 C. 12 D. 13
2) 40 moswavle swavlobs inglisurs, 24 moswavle ki
germanuls, xolo 50 moswavle swavlobs inglisurs an germanuls.
ramdeni moswavle swavlobs erTdroulad inglisurs
da germanuls?
A. 16 B. 17 C. 20 D. 14
3) sportul skolaSi 36 moswavle varjiSobs fexbur-
TSi, 25 ki kalaTburTSi, xolo 21 moswavle varjiSobs rogorc
fexburTSi, aseve kalaTburTSi. ramdeni moswavle varjiSobs
fexburTSi an kalaTburTSi?
A. 40 B. 42 C. 38 D. 46
4) klasSi 25 moswavle dainteresebulia maTematikiT,
10 moswavle ki fizikiT, xolo 32 moswavle dainteresebulia
maTematikiT an fizikiT. ramdeni moswavlea dainteresebuli
erTdroulad maTematikiT da fizikiT?
A. 3 B. 5 C. 2 D. 7
1.29. 1) moswavleebi dadian Wadrakisa da SaSis wreebze.
Wadraks TamaSobs 36 moswavle, 48 moswavle TamaSobs Wadraks
an SaSs. ramdeni moswavle TamaSobs mxolod SaSs?
A. 10 B. 12 C. 9 D. 8
2) gogonebi swavloben qsovasa da kervas. qsovas swavlobs
15 gogona, 8 gogona swavlobs rogorc qsovas, aseve
kervas, xolo 30 ki _ qsovas an kervas. ramdeni gogona
swavlobs kervas?
A. 23 B. 21 C. 18 D. 25
3) saWidao darbazSi varjiSobs 80 moswavle. 45 moswavle
varjiSobs ZiudoSi, 24 varjiSobs samboSi, xolo 12
ki varjiSobs rogorc ZiudoSi, aseve samboSi. ramdeni moswavle
ar varjiSobs arc ZiudoSi da arc samboSi?
A. 25 B. 26 C. 23 D. 19
4) sacurao kompleqsSi varjiSobs 120 moswavle. 65 varjiSobs
curvaSi, 40 _ wyalburTSi, xolo 15 varjiSobs
rogorc curvaSi, aseve wyalburTSi. ramdeni moswavle ar
varjiSobs arc curvaSi da arc wyalburTSi?
14

A. 29 B. 28 C. 32 D. 30
1.30. 1) Tu p da q martivi ricxvebia, maSin p − q ar SeiZleba
iyos:
A. -4 B. 0 C. 2 D. 7
2) Tu p da q martivi ricxvebia, maSin 3 p + q ar Sei-
Zleba iyos
A. 6 B. 12 C. 17 D. 22
3) Tu a=(666444) 2 da b=666443·666445, maSin
A. b 2 =a 2 +1 B. a 2 =b 2 +1 C. b=a-1 D. a=b-2
4) Tu a=(555333) 2 da b=555331·555335, maSin
A. b 2 =a 2 -1 B. b=a-4 C. b=a+2 D. b 2 =a 2 -4
5) p da q martivi ricxvebia da pq=21, p>q. ipoveT p.
A. 1 B. 3 C. 7 D. 21
6) p da q martivi ricxvebia da 2p=3q. ipoveT p.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 11
1.31. 1) erT saaTSi ostati akeTebs 16 detals, moswavle ki
4 detals. ramden saaTSi gaakeTebs orive erTad 80 detals?
A. 20 B. 5 C. 6 D. 4
2) dReSi erT cxens aWmeven 15 kg Tivas, xolo erT
Zroxas _ 10 kg-s. ramden dRes eyofa 4 cxensa da 4 Zroxas
500 kg Tiva?
A. 6 B. 5 C. 4 D. 50
3) samma bavSvma, romelTagan TiToeuls oTx-oTxi kilogrami
Tixa hqonda, sxvadasxva zomis doqebi gamoZerwa.
pirvelma TiToeuli doqisaTvis 0,4 kg Tixa gamoiyena, meorem
TiToeulisaTvis _ 0,5 kg, xolo mesamem _ 0,8 kg. arcerT
maTgans Tixa ar darCenia. sul ramdeni doqi gamouZerwavT
bavSvebs?
A. 23 B. 25 C. 18 D. 16
4) kedlis SesaRebad sami feris saRebavi SeiZines: wi-
Teli, lurji da TeTri, TiToeuli 10 litri. wiTeli sa-
Rebavi SeiZines 5 l tevadobis qilebiT, lurji _ 2,5 l
tevadobis qilebiT, xolo TeTri _ 0,5 l tevadobis qilebiT.
sul ramdeni qila saRebavi SeuZeniaT?
A. 20 B. 24 C. 30 D. 26
1.32. 1) giorgim iyida erTi nayini SokoladiT 80 TeTrad,
erTi plombiri 45 TeTrad da erTi nayini marwyviT 55 TeTrad.
saSualod ramdeni TeTri YRirda erTi nayini?
A. 60 B. 55 C. 50 D. 40
2) bavSvma iyida oTxi namcxvari TiTo 45 TeTrad da
ori namcxvari TiTo 60 TeTrad. ramdeni TeTri gadaixada
15

man saSualod TiTo namcxvarSi?
A. 40 B. 48 C. 50 D. 55
3) saamqros muSebidan 20 qalia da 30 mamakaci. qalebis
saSualo asaki 30 welia, kacebis ki _ 40 weli. risi
tolia am saamqros muSebis saSualo asaki?
A. 32 B. 36 C. 40 D. 34
4) fexburTelma 40 matCSi miiRo monawileoba. aqedan
19 SexvedraSi mas burTi ar gautania, SvidSi man TiTo burTis
gatana moaxerxa, cxra TamaSSi man or-ori burTi gaitana,
darCenil xuT TamaSSi ki _ sam-sami. ramdeni burTi
gahqonda saSualod erT TamaSSi am fexburTels?
A. 0,5 B. 3 C. 2 D. 1
1.33. 1) Tu erT Sesakrebs gavadidebT 15-iT, xolo meores
SevamcirebT 8-iT, maSin jami gadiddeba
A. 8-iT B. 23-iT C. 7-iT D. 15-iT
2) Tu saklebs SevamcirebT 5-iT, xolo maklebs gavadidebT
7-iT, maSin sxvaoba Semcirdeba
A. 12-iT B. 2-iT C. 5-iT D. 7-iT
3) ramdenjer gadiddeba nulisagan gansxvavebuli namravli,
Tu erT Tanamamravls SevamcirebT 3-jer, xolo meores
gavadidebT 15-jer?
A. 3-jer B. 15-jer C. 45-jer D. 5-jer
4) ramdenjer Semcirdeba nulisagan gansxvavebuli ganayofi,
Tu gasayofi Semcirdeba 3-jer, xolo gamyofi ki
gadiddeba 2-jer?
A. 12-jer B. 6-jer C. 3-jer D. 2-jer
5) ori ricxvis namravli erT maTganze metia 5-jer,
meoreze ki _ 9-jer. ipoveT es ricxvebi.
A. 7 da 1 B. 5 da 9 C. 12 da 2 D. 9 da 7
6) ori ricxvis jami erT maTganze metia 8-iT, meoreze
ki 25-iT. ipoveT es ricxvebi.
A. 8 da 25 B. 2 da 8 C. 2 da 15 D. 8 da 17
1.34. 1) erT klasSi 8 moswavliT metia, vidre meoreSi. ramdeniT
meti iqneba pirvel klasSi moswavleTa raodenoba
meore klasSi moswavleTa raodenobaze, Tu pirvelidan meoreSi
ori moswavle gadava?
A. 6-iT B. 4-iT C. 2-iT D. 5-iT
2) pirvel yuTSi 20-iT naklebi burTia, vidre meore-
Si. ramdeniT naklebi iqneba burTebis raodenoba pirvel
yuTSi vidre meoreSi, Tu meore yuTidan pirvelSi sam
burTs gadavdebT?
A. 14 B. 17 C. 23 D. 10
16

3) mas Semdeg, rac gaCerebaze avtobusidan 3 mgzavri
Cavida da 8 mgzavri amovida, avtobusSi 35 mgzavri aRmoCnda.
ramdeni mgzavri yofila avtobusSi am gaCerebamde?
A. 27 B. 25 C. 26 D. 30
4) or yuTSi erTad 18 saTamaSoa. Tu erTi yuTidan meoreSi
gadavdebT 2 saTamaSos, maSin orive yuTSi saTamaSoebis
raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni saTamaSo iyo pirvel
yuTSi Tavdapirvelad?
A. 15 B. 11 C. 10 D. 9
1.35. 1) giorgi beravs 5 sahaero buSts yovel 12 wuTSi. ramdeni
sahaero buSti eqneba mas gaberili ori saaTis Semdeg,
Tu yoveli meaTe buSti gabervisas skdeba?
A. 35 B. 50 C. 45 D. 40
2) mwvrTnels gamoyofili TanxiT fexburTis gundisa-
Tvis 30 burTi unda eyida, TiTo 20 larad. maRaziaSi misvlisas
man gaigo, rom yovel 5 SeZenil burTze erTs ufasod
umatebdnen. ramdeni lari dazoga mwvrTnelma 30 bur-
Tis SeZeniT?
A. 60 B. 40 C. 80 D. 100
3) nugzari muSaobs miyolebiT 4 dRes da isvenebs mexuTe
da meeqvse dRes. is isvenebda SabaT-kviras da muSaoba
daiwyo orSabaTs. muSaobis dawyebidan sul mcire ramdeni
dRis Semdeg daemTxveva misi dasvenebebi isev SabaT-kviras?
A. 32 B. 36 C. 42 D. 40
1.36. 1) safexburTo gundma Catarebuli 22 matCidan 10
fred daamTavra da sul daagrova 31 qula. ramdeni matCi
waago gundma? (mogebisaTvis _ 3 qula, fred damTavrebuli
matCisTvis 1 qula, wagebisTvis _ 0).
A. 7 B. 6 C. 4 D. 5
2) yuTSi 17 burTula Zevs: wiTeli, TeTri da Savi. Te-
Tri burTulebi 8-jer metia, vidre wiTeli. ramdeni Savi
burTulaa yuTSi?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
1.37. 1) samniSna ricxvis naxevari iyofa 2-ze, mesamedi _ 3ze,
xolo mexuTedi _ 5-ze. ipoveT es samniSna ricxvi.
A. 900 B. 600 C. 990 D. 850
2) naturaluri ricxvis naxevari iyofa 4-zec da 5-zec.
ipoveT aseT ricxvebs Soris umciresi.
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
1.38. 1) a da b ricxvebis 7-ze gayofis Sedegad miRebuli
naSTebia 2 da 3. ipoveT a+b ricxvis 7-ze gayofis Sedegad
miRebuli naSTi.
17

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2) a da b (a>b) ricxvebis 8-ze gayofis Sedegad miRebuli
naSTebia Sesabamisad 2 da 7. ipoveT a-b ricxvis 8-ze
gayofis Sedegad miRebuli naSTi.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3) a, b da c (a+b>c) ricxvebis 9-ze gayofis Sedegad mi-
Rebuli naSTebia Sesabamisad 2, 3 da 7. ipoveT a+b-c ricxvis
9-ze gayofis Sedegad miRebuli naSTi.
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
4) a da b ricxvebis 5-ze gayofis Sedegad miRebuli
naSTebia 3 da 4. ipoveT a·b ricxvis 5-ze gayofis Sedegad
miRebuli naSTi.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
1.39. ipoveT a ricxvis b -ze gayofisas miRebuli naSTi,
Tu:
1) a = 2 ⋅3
⋅ 4 ⋅ 5⋅
7 − 5 , b = 8
A. 5 B. 7 C. 3 D. 1
2) a = 3142737 − 8 , b = 9
A. 8 B. 1 C. 2 D. 7
3) a = 2 ⋅3
⋅ 4 ⋅5
⋅ 7 + 13 , b = 12
A. 5 B. 7 C. 3 D. 1
4) a = 51 × 25 + 177 , b = 5
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
1.40. 1) ipoveT ricxvi, romlis 13-ze gayofis dros miiReba
ganayofi 5 da naSTi 9.
A. 74 B. 72 C. 68 D. 76
2) ipoveT ricxvi, romlis 16-ze gayofis dros miiReba
ganayofi 8 da naSTi 11.
A. 143 B. 126 C. 138 D. 139
3) 68-is raime ricxvze gayofis dros miiReba ganayofi
4 da naSTi 8. ipoveT gamyofi.
A. 12 B. 15 C. 16 D. 13
4) 127-is raime ricxvze gayofis dros miiReba ganayofi
6 da naSTi 1. ipoveT gamyofi.
A. 18 B. 22 C. 19 D. 21
1.41. 1) n naturaluri ricxvis 7-ze gayofis dros naSTi
udris 3-s. ras udris naSTi (n+2)-is 7-ze gayofis dros?
A. 6 B. 2 C. 4 D. 5
2) raime n naturaluri ricxvis 11-ze gayofis dros
naSTi udris 5-s. ras miviRebT naSTSi (n+4)-is 11-ze gayofis
dros?
18

A. 6 B. 9 C. 8 D. 7
3) raime n naturaluri ricxvis 4-ze gayofis dros na-
STi udris 3-s. ras miviRebT naSTSi (n+2)-is 4-ze gayofis
dros?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
4) raime n naturaluri ricxvis 3-ze gayofis dros na-
STi udris 1-s. ras miviRebT naSTSi (n+7)-is 3-ze gayofis
dros?
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
1.42. 1) ricxvis 4-ze gayofis dros naSTia 3. ras udris na-
STi amave ricxvis 8-ze gayofis dros?
A. 3 an 7 B. 3 C. 7 an 9 D. 7
2) ricxvis 6-ze gayofis dros naSTia 5. ras udris na-
STi amave ricxvis 12-ze gayofis dros?
A. 5 an 8 B. 11 C. 5 D. 5 an 11
3) ricxvis 2-ze gayofis dros naSTia 1, xolo 7-ze gayofis
dros ki _ 6. ras udris naSTi amave ricxvis 14-ze
gayofis dros?
A. 12 B. 11 C. 9 D. 13
4) ricxvis 3-ze gayofis dros naSTia 2, xolo 5-ze gayofis
dros ki _ 3. ras udris naSTi amave ricxvis 15-ze
gayofis dros?
A. 6 B. 8 C. 5 D. 7
1.43. 1) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT
4766-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 3-ze?
A. 2 B. 1 C. 0 D. 5
2) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT
47831-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 9-ze?
A. 4 B. 3 C. 6 D. 7
3) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT
87898-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 3-ze?
A. 1 B. 4 C. 2 D. 6
4) ra umciresi naturaluri ricxvi unda davumatoT
35987-s, rom miRebuli ricxvi unaSTod gaiyos 9-ze?
A. 7 B. 4 C. 6 D. 8
1.44. 1) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi 42 ∗ 53 varskvlavis
nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaSTod
gaiyos 9-ze?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
2) ra udidesi cifri unda CavsvaT CanawerSi 213∗ 4
varskvlavis nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaS-
19

Tod gaiyos 3-ze da ar gaiyos 9-ze?
A. 1 B. 5 C. 3 D. 8
3) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi 3217 ∗ varskvlavis
nacvlad, rom miRebuli xuTniSna ricxvi unaSTod
gaiyos 4-ze?
A. 6 B. 0 C. 2 D. 2 an 6
4) ra cifri unda CavsvaT CanawerSi 31732 ∗ varskvlavis
nacvlad, rom miRebuli eqvsniSna ricxvi unaSTod
gaiyos 12-ze?
A. 8 B. 2 C. 4 D. 0
1.45. 1) yuTSi 35-ze meti da 45-ze naklebi saTamaSoa, romelic
Tanabrad SeiZleba gaunawildes 3 bavSvsac da 7 bav-
Svsac. ramdeni saTamaSoa yuTSi?
A. 38 B. 42 C. 40 D. 44
2) ra udidesi raodenobis erTnairi saCuqari moamzades,
Tu amisaTvis gamoiyenes 36 mandarini da 45 vaSli?
A. 9 B. 12 C. 3 D. 5
3) 6 erTnair fanqarSi gadaixades 73 TeTrze meti da
81 TeTrze naklebi. ramdeni TeTri Rirda erTi fanqari?
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
4) moswavleebma eqskursiisaTvis Seagroves Tanxa, romelic
metia 350 larze da naklebia 370 larze. TiToeulma
moswavlem gadaixada 17 lari. ramdeni moswavle wasula eqskursiaze?
A. 23 B. 22 C. 21 D. 20
1.46. daalageT ricxvebi klebadobis mixedviT
2 3 4
2
1) x , x da x , Tu x = −
3
2 4 3
2 3 4
3 2 4
4 3 2
A. x , x , x B. x , x , x C. x , x , x D. x , x x
2 3
4 1
2) − y , − y da − y , Tu y =
3
2 3 4 4 3 2 4 2 3 3 2 4
A. − y , − y , − y B. − y , − y , − y C. − y , − y , − y D. − y , − y , − y
−2
−3
−4
3) a , a da a , Tu a = 1,
1
−2 −3
−4
−3 −2
−4
−4 −3
−2
−4 −2
−3
A. a , a , a B. a , a , a C. a , a , a D. a , a , a
−2
−3
−4
4) b , b da b , Tu b = −1,
2
−2
−3
−4
−3
−4
−2
−4
−2
−3
−2
−4
−3
A. b , b , b B. b , b , b C. b , b , b D. b , b , b
1.47. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT
2 3 4
1) x , x da x , Tu x = −0,
4
A.
3
x ,
4
2
2
3
4
x , x B. x , x , x C. x
20
, x , x D. x
4
2
3
3
, x
2
4
x

2
2) a , 3
a da 4
a , Tu a = 0,
7
2 3 4
A. a , a , a
4 3 2
3 4 2
B. a , a , a C. a , a , a
2 4 3
D. a , a , a
−2
−3
−4
3) b , b da b , Tu b = −1,
7
−3
−4
−2
−3
−2
−4
−2
−3
−4
−4
−3
−2
A. b , b , b B. b , b , b C. b , b , b D. b , b , b
4)
−2
−3
−4
y , y da y , Tu y = −0,
6
−3 −4
−2
−3
−2
−4
−4
−2
−3
−2
−4
−3
A. y , y , y B. y , y , y C. y , y , y D. y , y , y
1.48. a , b da c naturaluri ricxvebia. ipoveT gamosaxulebis
umciresi mniSvneloba
1) 2 c + ab , Tu a < 5 , b < 3 , c > 20
A. 42 B. 43 C. 46
2) a : ( b − c)
, Tu 8 < a < 11,
4 < b < 9 , 1 < c < 4
D. 50
A. 1,5 B. 2,25 C. 2 D. 5
b
3) c − a , Tu a < 5 , b < 3 , c > 20
A. 5 B. 4 C. 3
4) ( a − b)
: c , Tu a > 6 , b < 5 , c < 4
D. 6
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
5) a c
b − , Tu a > 3 , b > 2 , c < 5
A. 70 B. 68 C. 60
6) ( a + b)
: c , Tu a > 3 , b > 4 , c < 10
D. 48
A. 12 B. 0 C. 1 D. 9
1.49. a , b da c naturaluri ricxvebia. ipoveT gamosaxulebis
udidesi mniSvneloba
c
1) a − b , Tu a < 82 , b > 2 , c > 3
A. 0 B. 1 C. -1
2) ( b − c)
: a , Tu a > 2 , b < 6 , c > 1
D. 2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3) c b
21
a A. -1
− , Tu a < 3 , b > 14 , c < 5
B. 0 C. 1
4) ( b + c)
: a , Tu a > 3 , b < 4 , c < 6
D. 2
A. 0 B. 3 C. 1 D. 2
1.50. ra cifriT bolovdeba namravli?
1) 2 × 4×
6×
L × 24
A. 4 B. 6 C. 8 D. 0
2) 1 × 3×
5×
L × 17
A. 3 B. 0 C. 5 D. 7
3) 11 × 12×
13×
14 × 17
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

4) 1 × 3×
11×
13×
21×
23×
31×
33
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
1.51. ra cifriT bolovdeba gamosaxulebis mniSvneloba?
1) 23 × 27 × 28 + 21×
22 × 24
A. 4 B. 7 C. 8 D. 6
2) 31× 232× 533− 121× 722× 623
A. 0 B. 6 C. 3 D. 2
3 2 3
3) 12 × 53 × 17
A. 1 B. 6 C. 8 D. 4
2 3 4 3 2
4) 4 × 3 × 5 − 2 × 3 × 7
A. 6 B. 4 C. 0 D. 5
1.52. 1) ramdeni nuliT bolovdeba 1-dan 51-mde yvela naturaluri
ricxvis namravli?
A. 12 B. 10 C. 14 D. 8
2) ramdeni nuliT bolovdeba 1-dan 81-mde yvela naturaluri
ricxvis namravli?
A. 17 B. 20 C. 19 D. 18
3) ra cifriT bolovdeba 27
2 ?
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
4) ra cifriT bolovdeba 15
3 ?
A. 7 B. 3 C. 9 D. 1
5) ra cifriT bolovdeba pirveli 51 martivi ricxvis
namravli?
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
6) ramdeni nuliT bolovdeba pirveli 65 martivi
ricxvis namravli?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
1.53. orobiT sistemaSi mocemuli ricxvis gaSlili formaa:
1) 101
2
A . 12 ⋅
3
+ 02 ⋅
2
+ 12 ⋅ B . 12 ⋅
2
+ 02 ⋅
1
+ 12 ⋅
0
C . 12 ⋅
3
+ 02 ⋅
2
+ 12 ⋅
0
D . 12 ⋅
2
+ 12 ⋅
2) 1010
2
A . 12 ⋅
4
+ 02 ⋅
3
+ 12 ⋅
2
+ 02 ⋅
1
B . 12 ⋅
3
+ 12 ⋅
2
+ 02 ⋅
0
C .
3 2 1 0
12 ⋅ + 02 ⋅ + 12 ⋅ + 02 ⋅ D . 12 ⋅
3
+ 12 ⋅
2
3) 11001
2
A . 12 ⋅
5
+ 12 ⋅
4
+ 12 ⋅
1
B . 12 ⋅
5
+ 12 ⋅
4
+ 12 ⋅
0
C . 12 ⋅
4
+ 12 ⋅
3
+ 12 ⋅
1
D . 12 ⋅
4
+ 12 ⋅
3
+ 12 ⋅
0
22

4) 10010
2
A . 12 ⋅
4
+ 12 ⋅
1
B . 12 ⋅
5
+ 12 ⋅
2
C . 12 ⋅
5
+ 12 ⋅
1
D.
12 ⋅
4
+ 12 ⋅
2
1.54. orobiT sistemaSi mocemuli ricxvis aTobiT sistemaSi
Canaweria:
1) 110
2
A . 5 B . 6 C . 7 D . 8
2) 1101
2
A . 11 B . 12 C . 13 D . 14
3) 10101
2
A . 21 B . 22 C . 23 D . 24
4) 1110000
2
A . 110 B . 111 C . 112 D . 113
1.55. aTobiT sistemaSi mocemuli ricxvis orobiT sistemaSi
Canaweria:
1) 8
A . 100
2
B . 101
2
C . 1000
2
D . 1001
2
2) 11
A . 1101
2
B . 1011
2
C . 1010
2
D . 1100
2
3) 50
A . 110010
2
B . 101010
2
C . 110011
2
D . 101110
2
4) 121
A . 1111010
2
B . 1111011
2
C . 1111101
2
D . 1111001
2
1.56. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT:
1) 29, 11100
2
da 11011
2
A . 29, 11011
2
, 11100
2
B . 11011
2
, 29, 11100
2
C . 11011
2
, 11100
2
, 29 D . 11100
2
, 11011
2
, 29
2) 85, 1010011
2
da 1010110
2
A . 1010011
2
, 85, 1010110
2
B . 85, 1010011
2
, 1010110
2
C . 1010110
2
, 85, 1010011
2
D . 1010011
2
, 1010110
2
, 85
1.57. ramden erTians Seicavs mocemuli ricxvis Canaweri
orobiT sistemaSi:
1) 219
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
23

2) 385
A . 3 B . 5 C . 7 D . 9
1.58. ipoveT jami:
1) 1010
2
+ 111
2
A . 10101
2
B . 10001
2
C . 10011
2
D . 11011
2
2) 101010
2
+ 1010
2
A . 110110
2
B . 110100
2
C . 101100
2
D . 100110
2
3) 11111
2
+ 1111
2
A . 111111
2
B . 100000
2
C . 111110
2
D . 101110
2
4) 1101101
2
+ 101011
2
A . 10011000
2
B . 10101000
2
C . 1110110
2
D . 1001010
2
1.59. ipoveT aTobiT sistemaSi umciresi ricxvi, romelic
orobiT sistemaSi Caiwereba:
1) oTxi cifriT
A . 8 B . 10 C . 12 D . 16
2) eqvsi cifriT
A . 16 B . 24 C . 32 D . 64
1.60. ipoveT aTobiT sistemaSi udidesi ricxvi, romelic
orobiT sistemaSi Caiwereba:
1) xuTi cifriT
A . 30 B . 31 C . 32 D . 33
2) rva cifriT
A . 225 B . 235 C . 245 D . 255
1.61. 1) romelia meti 20-is gamyofebis raodenoba, Tu 25-is
gamyofebis raodenoba?
2) romelia meti 20-is martivi gamyofebis raodenoba
Tu 25-is martivi gamyofebis raodenoba?
1.62. 1) ipoveT pirveli cifri im umciresi naturaluri
ricxvisa, romlis cifrTa jami aris 12.
2) ipoveT pirveli cifri im umciresi naturaluri
ricxvisa, romlis cifrTa jami aris 101.
1.63. 1) ramdeni cifrisagan Sedgeba umciresi naturaluri
ricxvi, romelic Cawerilia mxolod 0-isa da 1-is gamoyenebiT
da romelic iyofa 15-ze?
24

2) ramdeni cifrisagan Sedgeba umciresi naturaluri
ricxvi, romelic Cawerilia mxolod 0-isa da 1-is gamoyenebiT
da romelic iyofa 45-ze?
1.64. 1) qalaqis mosaxleobam icis qarTuli an rusuli ena.
qarTuli icis mosaxleobis 85%-ma, xolo rusuli _ 75%-ma.
mosaxleobis ramdenma procentma icis orive es ena?
2) klasis yoveli moswavle dadis cekvis an simReris
2 4
wreSi. cekvaze dadis moswavleTa , xolo simReraze _
3
5
nawili. moswavleTa ra nawili dadis orive am wreSi erTdroulad?
3) turistebis 70% laparakobs inglisurad, 60% _ germanulad,
xolo 20%-ma ar icis am ori enidan arcerTi. am
turistebis ramdenma procentma icis inglisuric da germanulic?
4) metros vagonSi 100-ze naklebi adamiani iyo. mgzavrebi,
romlebic isxdnen, iyvnen orjer meti, vidre fexze
mdgomni. gaCerebaze mgzavrebis 4% Cavida. ramdeni mgzavri
darCa vagonSi?
5) klasSi, sadac 30-ze naklebi bavSvia, biWebis raodenoba
samjer metia gogonebis raodenobaze. ramdeni bav-
Svi darCa saklaso oTaxSi mas Semdeg, rac klasis moswavleTa
20% Sesvenebaze gareT gavida?
6) klasis moswavleTa naxevarma icis inglisuri ena,
xolo 40%-ma germanuli ena. ra umciresi raodenobis gogona
SeiZleba iyos klasSi, Tu maTi ricxvi metia germanulis
mcodneTa raodenobaze da naklebia inglisuris mcodneTa
ricxvze?
1.65. 1) n naturaluri ricxvisaTvis ∗
n simboloTi aRvni-
SnoT pirveli n naturaluri ricxvis jami. risi tolia
∗ ∗
8 − 6 ?
2) n naturaluri ricxvisaTvis ∗
n simboloTi aRvni-
SnoT pirveli n kenti naturaluri ricxvis jami. risi to-
∗ ∗
lia 8 − 5 ?
3) nebismieri a ricxvisaTvis ∗
a ganvmartoT tolo-
∗ 2
biT: a = a + 1.
gamoTvaleT ∗
3 -isa da ∗
5 -is namravli.
∗
4) Tu a ≠ 0 , maSin a ganvmartoT tolobiT:
∗
a = a − 1 . risi tolia ( ) a
∗
∗
a + 1 ?
a
25

%3/!qspdfoufcj/!sjdywjt!obxjmjt!hbnpUwmb/!
qspqpsdjfcj!
gamoTvaleT (## 2.1; 2.2):
2.1.
5
1) 9000-is nawili.
6
A. 1500 B. 7500 C. 3000 D. 4500
1 3
2) 95 -is nawili.
3 4
A. 71,5 B. 286
2
C. 1,2 D. 127
3
3
3) 89,2-is nawili.
223
A. 2 B. 2,3 C. 1,2 D. 4,3
1
4) 33 -is 0,01 nawili.
3
1
A. 1
3
B. 3 C. 33
1
D.
3
2.2. 1) 120-is 15%.
A. 16 B. 18
2) 105-is 40 %.
C. 17 D. 19
A. 42 B. 41
3) 114-is 20 %.
C. 44 D. 43
A. 22,2 B. 22,4 C. 22,8 D. 22,6
4) 84-is 15 %.
A. 12,6 B. 12,4 C. 12,8 D. 12,5
ipoveT ricxvi, romlis (## 2.3; 2.4):
2.3.
4
1) nawili aris 100.
9
A. 50 B. 225 C. 125 D. 150
4 1
2) nawili aris 85 .
15
3
A. 160 B. 85 C. 320 D. 240
3) 0,04 nawili aris 88 , 4 .
A. 1105 B. 884 C. 1768 D. 2210
4) 0,2 nawili aris 24 , 45 .
A. 122,25 B. 2445 C. 28,5 D. 244,5
2.4. 1) 12% aris 18 .
A. 120 B. 150 C. 130 D. 140
26

2) 10% aris 15 .
A. 150 B. 120
3) 15% aris 30 .
C. 140 D.130
A. 180 B. 190 C. 200 D. 210
4) 8% aris 24 .
A. 200 B. 280 C. 290 D. 300
2.5. 1) 2000-is ra nawils Seadgens 225?
A. 9 3
B.
80
8
9
C.
40
3
D.
40
1
2) 33 -is ra nawils Seadgens 2?
3
3
A.
10
3
B.
50
1
C.
50
1
D.
100
1
5
3) 99 -is ra nawils Seadgens 16 ?
3
9
1 1
A. B.
3
6
1
C.
2
5
D.
6
4) 510,3-is ra nawils Seadgens 17,01?
A. 1 1
B.
3
10
1
C.
30
1
D.
6
2.6. 1) 500-is ramdeni procentia 352?
A. 70,4 B. 27 C. 37 D. 75
2) 340-is ramdeni procentia 68?
A. 10 B. 5 C. 30 D. 20
3) 885,6-is ramdeni procentia 239,112?
A. 22 B. 27 C. 37 D. 32
1
4) 231 -is ramdeni procentia 97,09?
6
A. 21 B. 35 C. 42 D. 30
2.7. gamoTvaleT
2 1
1) 900-is nawilis nawili.
3
4
A. 150 B. 100 C. 200 D. 250
3
2) 800-is 20%-is nawili.
4
A. 160 B. 120 C. 200 D. 240
3) 880-is 25%-is 10%.
A. 120 B. 20 C. 22 D. 44
27

1
4) 560-is nawilis 5%.
4
A. 7 B. 8 C. 10 D. 14
2.8. Tu a ricxvi Seadgens b-s 60%-s, xolo 30 imave b ricxvis
10%-ia, maSin a ricxvi aris
A. 100 B. 60 C. 180 D. 360
2.9.
gamoTvaleT (##2.9; 2.10):
1 3
1) 450-is -isa da 200-is -is jami.
3
2
A. 300 B. 500 C. 350
1 1
2) 560 -is -isa da 140 -is -is sxvaoba.
4
7
D. 450
A. 120 B. 140 C. 160
1
1
3) 33 -is 0, 1-isa
da 52 -is 0,2-is jami.
3
2
D. 100
1
A. 3
3
B. 8
5
C. 13
6
1
D. 5
2
2 2 1 1
4) 66 -is nawilisa da 134 -is nawilis jami.
3 5
6 5
A. 53
1
B. 58
6
5
C. 52
6
1
D. 53
2
2.10. 1) 540-is 15 %-isa da 360-is 12 %-is jami.
A. 124,2 B. 100 C. 81
1
1
2) 33 -is 10%-isa da 97 -is 20%-is jami.
3
2
D. 28,8
A. 23
5
B. 22
6
1
C. 3
3
1
D. 15
6
1 1
1 1
3) 22 -is 3 %-isa da 98 -is 33 %-is jami.
2 3
3 3
A. 33
5
B. 32
36
19
C. 33
36
D. 34
1 1
1 1
4) 37 -is 22 %-isa da 17 -is 11 %-is sxvaoba.
5 2
3 4
A. 5,21 B. 8,37 C. 1,95 D. 6,42
2.11. 1) 300 dayaviT 7-isa da 8-is proporciul nawilebad da
ipoveT am nawilebidan umciresi.
A. 120 B. 140 C. 160 D. 200
2) 960 dayaviT 11-isa da 13-is proporciul nawilebad
28

da ipoveT am nawilebis sxvaobis moduli.
A. 80
B. 440 C. 120 D. 520
2 3
3) 130 dayaviT -isa da -is proporciul nawilebad
3 2
da ipoveT am nawilebidan udidesi.
A. 40 B. 60 C. 90 D. 120
5 7
4) 261 dayaviT -isa da -is proporciul nawilebad
6 9
da ipoveT am nawilebidan umciresi.
A. 125
B. 135 C. 162 D. 120
2.12. 1) 720 dayaviT 5; 4 da 3-is proporciul nawilebad da
ipoveT am nawilebidan umciresi.
A. 300 B. 240 C. 200 D. 180
2) 3630 dayaviT 0,6; 1 da 0,4-is proporciul nawilebad
da ipoveT am nawilebidan udidesi.
A. 1815 B. 1089 C. 2030 D. 1216
5 11 13
3) 880 dayaviT ; da -is proporciul nawile-
3 6 12
bad da ipoveT am nawilebidan umciresisa da udidesis sa-
Sualo ariTmetikuli.
A. 320 B. 240 C. 180 D. 280
4) 432 dayaviT 0,6; 1; 0,8 da 3-is proporciul nawilebad
da ipoveT am nawilebs Soris umciresi.
A. 80 B. 48 C. 24 D. 120
2.13. 1) mudmivi siCqariT moZravma matarebelma 5 saaTSi ga-
5
iara mTeli gzis nawili. ramden saaTSi gaivlis is
6
mTel gzas?
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
3
2) moswavlem wignis nawili waikiTxa 6 dReSi. ram-
4
den dReSi waikiTxavs is wignis darCenil nawils?
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
8
3) fermerma nakveTis nawili moxna 16 saaTSi. ram-
9
den saaTSi moxnavs is mTel farTobs?
A. 18 B. 19 C. 20 D. 22
6
4) avtomobilma mTeli gzis nawilis gavlis dros
7
daxarja 18 litri benzini. ramdeni litri benzini daixar-
29

jeba darCenili gzis gavlisas?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5) 800 grami Saqari 60 TeTriT meti Rirs, vidre 200
grami Saqari. ra Rirs erTi kilogrami Saqari?
A. 80 TeTri B. 1 lari C. 1,2 lari D. 0,9 lari
6) naxevari kilogrami karaqi 1 lariT naklebi Rirs
vidre 750 grami igive karaqi. ra Rirs erTi kilogrami
karaqi?
A. 6 lari B. 4,5 lari C. 4 lari D. 5 lari
2.14. 1) avtomobilma mTeli gzis 60% gaiara 9 saaTSi. ramden
saaTSi gaivlis is gzis darCenil nawils?
A. 6 B. 8 C. 7 D. 5
2) avzis 75% wyliT gaivso 12 saaTSi. ramden saaTSi
gaivseba avzi mTlianad?
A. 14 B. 16 C. 15 D. 13
3) fermerma nakveTis 40%-ze mosavali aiRo 8 saaTSi.
ramden saaTSi aiRebs is mosavals nakveTis darCenil nawilze?
A. 20 B. 18 C. 16 D. 12
4) kalaTaSi moTavsebuli vaSlebis raodenobis 45%
Seadgens 27 vaSls. ramdeni vaSlia kalaTaSi?
A. 62 B. 58 C. 60 D. 56
4
nawili moxna traqtoriT, xo-
2.15. 1) fermerma nakveTis 5
lo darCenili nawili ki daamuSava xeliT, razedac man
daxarja 6-jer meti dro, vidre imuSava traqtoriT. ramdenjer
metia Sromis nayofiereba traqtoriT muSaobis SemTxvevaSi
xeliT muSaobasTan SedarebiT?
A. 18-jer B. 24-jer C. 30-jer D. 20-jer
2) gza qalaqidan soflamde Sedgeboda aRmarTisa da
daRmarTisagan. aRmarTis gavlas, romlis sigrZe Seadgenda
1
mTeli gzis nawils, velosipedistma moandoma 2-jer me-
7
ti dro, vidre daRmarTis gavlas. ramdenjer meti iyo velosipedistis
siCqare daRmarTze aRmarTze siCqaresTan SedarebiT?
A. 14 B. 8 C. 10 D. 12
1
3) turistma mTeli gzis nawili gaiara fexiT, xo-
9
lo darCenili gza ki imgzavra avtobusiT. fexiT siarulis
dros man daxarja 3-jer meti dro, vidre avtobusiT.
30

amdenjer metia avtobusis siCqare fexiT moZraobis siCqaresTan
SedarebiT?
A. 20 B. 18 C. 24 D. 21
2
4) mgzavrma mTeli gzis 66 % ifrina TviTmfrinaviT,
3
xolo darCenili gza imgzavra avtomobiliT. avtomobiliT
mgzavrobis dros man daxarja 4-jer meti dro, vidre frenis
dros. ramdenjer metia TviTmfrinavis siCqare avtomobilis
siCqaresTan SedarebiT?
A. 8 B. 12 C. 10 D. 6
2.16. 1) moswavlis mier wignis wakiTxuli gverdebis raodenoba
3-jer metia wignis waukiTxavi gverdebis raodenobaze.
wignis ramdeni procenti waukiTxavs moswavles?
A. 60 B. 75 C. 80 D. 72
2) fermeris mier moxnuli nakveTis farTobi 4-jer metia
darCenil mouxnav farTobze. mTeli nakveTis ramdeni
procenti mouxnavs fermers?
A. 72 B. 76 C. 84 D. 80
3) avtomobilma daxarja 9-jer meti benzini, vidre darCa
benzinis avzSi. benzinis mTeli raodenobis ramdeni
procenti darCa avzSi?
A. 18 B. 15 C. 10 D. 20
4) mgzavrma gaiara 8-jer meti manZili, vidre darCa
gasavleli. mTeli gzis ra nawili gaiara mgzavrma?
8 7 7 1
A. B. C. D.
9
8
9
9
5) giorgis orjer meti kakali aqvs, vidre levans da
xuTjer naklebi, vidre daTos. kaklebis mTeli raodenobis
ra nawili aqvs levans?
2 3 1 1
A. B. C. D.
7
13
13
6
6) avtomobilma mTeli gzis gavlas sami dRe moandoma.
pirvel dRes man gaiara samjer meti manZili, vidre meore
dRes da oTxjer naklebi _ vidre mesame dRes. samive
dRes gavlili manZilis ramdeni procenti gaiara man mesame
dRes?
A. 75 B. 60 C. 50 D. 25
2.17. 1) fexsacmlis fasma 75 laridan 90 laramde moimata.
ramdeni procentiT gaizarda fexsacmlis fasi?
A. 10 B. 25 C. 15 D. 20
2) muSis dRiuri Semosavali 25 laridan 22 laramde
31

Semcirda. ramdeni procentiT Semcirda misi dRiuri Semosavali?
A. 20 B. 10 C. 12 D. 15
3) sawyobSi 1500 t xorbali iyo. pirvelad sawyobidan
1
gaitanes mTeli xorblis nawili, Semdeg ki _ darCenili
3
xorblis 20%. ramdeni tona xorbali darCa amis Semdeg
sawyobSi?
A. 800 B. 900 C. 600 D. 1000
4) metros vagonSi 60 kaci da 40 qali iyo. gaCerebaze
Cavida kacebis 20% da qalebis 10%. mgzavrebis ramdeni
procenti Cavida am gaCerebaze?
A. 12 B. 16 C. 18 D. 30
2.18. 1) erTi sirofi 15% Saqars Seicavs, meore _ 20%-s.
pirveli sirofis 4 litri auries meoris 6 litrSi. ramden
procent Saqars Seicavs miRebuli narevi?
A. 16 B. 17 C. 19 D. 18
2) erTi xsnari Seicavs 10% marils, meore 20%-s. es
xsnarebi erTmaneTSi auries Sesabamisad SefardebiT 1:4.
ramden procent marils Seicavs miRebuli narevi?
A. 18 B. 20 C. 15 D. 16
3) maSinac ki, roca aqlems swyuria, misi masis 60%
wyalia. wylis dalevis Semdeg misi wonaa 800 kg da wyali
Seadgens aqlemis masis 80%-s. ras udris aqlemis wona, roca
mas swyuria?
A. 320 kg B. 600 kg C. 400 kg D. 480 kg
4) vaSli 90% wyals Seicavs, xolo misgan miRebuli
Ciri 10% wyals. ramdeni kilogrami vaSli unda aviRoT 10
kg Ciris misaRebad?
A. 80 B. 90 C. 60 D. 100
2.19. 1) avtobusSi mgzavrTa 30% mamakacia, 24% qali, danarCeni
ki bavSvebia. ramdeni mgzavria avtobusSi, Tu maTgan
23 bavSvia?
A. 64 B. 40 C. 60 D. 50
1 1
2) biblioTekaSi wignebis rusul enazea, ingli-
3
4
sur enaze, danarCeni ki qarTulia. ramdeni wignia biblio-
TekaSi, Tu maTgan qarTulia 300?
A. 600 B. 720 C. 800 D. 900
3) klasis moswavleTa 40% gogonebia. ramdeni bavSvia
am klasSi, Tu biWebi metia gogonebze 7-iT?
32

A. 24 B. 30 C. 35 D. 40
3
4) giorgim morwya nakveTis nawili, levanma ki 2-
11
jer meti. ras udris am nakveTis farTobi, Tu mosarwyavi
darCa 200 m 2 ?
A. 1100 m 2 B. 1500 m 2 C. 800 m 2 D. 1600 m 2
2.20. 1) policielis xelfasma 30%-iT gazrdis Semdeg Seadgina
520 lari. ra xelfasi hqonda policiels Tavdapirvelad?
A. 350 l B. 380 l C. 400 l D. 420 l
2) fexsacmeli 40%-iani fasdaklebis Semdeg gaiyida
180 larad. ra Rirda fexsacmeli fasdaklebamde?
A. 360 l B. 300 l C. 240 l D. 400 l
3) CanTa Rirda 24 lari. fasdaklebis Semdeg misi Rirebuleba
gaxda 20,4 lari. ramdeni procentiT gaiafda Can-
Ta?
A. 15-iT B. 20-iT C. 30-iT D. 40-iT
4) biblioTekaSi wignebis 10% rusul enazea, danar-
Ceni _ qarTulze. ramdenjer meti wignia qarTul enaze, vidre
rusulze am biblioTekaSi?
A. 8-jer B. 4-jer C. 6-jer D. 9-jer
2.21. 1) erTi ricxvi Seadgens meoris 30%-s. meore ricxvis
ra nawils Seadgens pirveli ricxvi?
2 2 3 3
A. B. C. D.
5
3
5
10
2) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 85%-s. meore
ricxvis ra nawils Seadgens pirveli ricxvi?
7 1 17 19
A. B. C. D.
20
85
20
17
3) erTi ricxvi Seadgens meore ricxvis 80%-s. pirveli
ricxvis ramdeni procentia meore ricxvi?
A. 140 B. 125 C. 20 D. 60
2
4) erTi ricxvi Seadgens meoris nawils, pirveli
7
ricxvis ramdeni procentia meore ricxvi?
A. 350 B. 35 C. 175 D. 120
1
2.22. 1) qsovilis fasma moimata Tavisi fasis -iT. axali
3
fasis ra nawils Seadgens Zveli fasi?
3 1 2 3
A. B. C. D.
4
3
5
7
33

2) produqciis fasma moimata Tavisi fasis 25%-iT. axali
fasis ramden procents Seadgens Zveli fasi?
A. 75 B. 80 C. 120 D. 125
2
3) qsovilis fasma moiklo Tavisi fasis -iT. Zveli
5
fasis ra nawils Seadgens axali fasi?
2 1 3 2
A. B. C. D.
3
2
5
5
4) produqciis fasma moiklo Tavisi fasis 20%-iT. axali
fasis ramdeni procentia Zveli fasi?
A. 80 B. 120 C. 75 D. 125
2.23. 1) ipoveT a:b, Tu a ricxvis 20% tolia b ricxvis 120%is.
A. 1
1
B. 6 C. 4 D.
6 4
2) ipoveT a:b, Tu a ricxvis 15% samjer metia b ricxvis
115%-ze.
A. 18 B. 20 C. 25 D. 23
3) Tu a ricxvi Seadgens b-s 75%-s, b ki c-s 15%-s, xolo
c aris 10000-is 20%, maSin a aris
A. 50 B. 75 C. 150 D. 225
3
4) Tu a ricxvi Seadgens b-s nawilis 20%-s, xolo b
5
aris 10000-is 20%-is 5
3 nawili, maSin a aris
A. 64 B. 120 C. 144 D. 150
2.24. 1) muSis xelfasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki moimata
50%-iT. ramdeni procentiT gaizarda muSis xelfasi
TavdapirvelTan SedarebiT?
A. 15 B. 40 C. 30 D. 20
2) qsovilis fasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki isev
daiklo 25%-iT. Tavdapirveli fasis ramden procents Seadgens
qsovilis fasi axla?
A. 40 B. 60 C. 70 D. 80
3) produqciis fasma jer moiklo 15%-iT, Semdeg ki
moimata 10%-iT. Tavdapirvel fasTan SedarebiT ramdeni
procentiT moiklo sabolood produqciis fasma?
A. 7 B. 15 C. 6,5 D. 13
4) produqciis fasma jer daiklo 20%-iT, Semdeg ki
isev daiklo 10%-iT. Tavdapirvel fasTan SedarebiT ramde-
34

ni procentiT moiklo sabolood produqciis fasma?
A. 28 B. 72 C. 14 D. 30
2.25. 1) benzinis fasma 20%-iT daiwia. adrindelTan SedarebiT
ramdeni procentiT meti benzinis yidva SeiZleba axla
100 lariT?
A. 20 B. 25 C. 30 D. 50
2) karaqis fasma 25%-iT moimata. adrindelTan SedarebiT
ramdeni procentiT naklebi karaqis yidva SeiZleba axla
50 lariT?
A. 20 B. 25 C. 30 D. 50
2.26. 1) sami nayinis sayidlad gogonas daaklda 40 TeTri.
man ori nayini iyida da darCa 20 TeTri. ra Rirs erTi nayini?
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
2) giorgis unda eyida erTnairi kasrebi. Tu is iyidda
8 kasrs, mas Tavisi Tanxidan darCeboda 20 lari, xolo Tu
is iyidda 10 kasrs, maSin mas daakldeboda 160 lari. ramdeni
lari Rirs erTi kasri?
A. 80 B. 90 C. 100 D. 120
3) qoTani TafliT iwonis 3 kg-s. rodesac qoTnidan
gadmoasxes Taflis naxevari, aRmoCnda, rom qoTani darCenili
TafliT iwonis 2 kg-s. ramden kilograms iwonis carieli
qoTani?
A. 1,5 B. 0,5 C. 1 D. 2
4) rZiT naxevrad Sevsebuli kasri iwonis 9 kg-s, xolo
Tu kasris mxolod meoTxedia rZiT Sevsebuli, maSin
is iwonis 5,25 kg-s. ras iwonis carieli kasri?
A. 2,5 kg B. 1 kg C. 2 kg D. 1,5 kg
2.27. 1) 800 vafli imdenive Rirs, ramdenic 100 Sokoladi;
100 vafli imdenive Rirs, ramdenic 250 kanfeti. ramdeni Sokoladis
yidva SeiZleba imdenive TanxiT, ramdenic 100 kamfets
iyidda?
A. 2 B. 5 C. 10 D. 25
2) boTlsa da WiqaSi erTad imdeni siTxe Cadis, ramdenic
doqSi. boTlSi imave raodenobis siTxe Cadis, ramdenic
WiqaSi da qilaSi erTad; sam qilaSi ki imave raodenobis
siTxe Cadis, rac or doqSi. ramdeni Wiqa siTxe Cadis
erT qilaSi?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.28. 1) kasrSi aris 50 litri Rvino. gadmoasxes 10 litri
da mis nacvlad Caasxes 10 litri wyali. Semdeg, gadmoas-
35

xes 10 litri narevi da kasri isev Seavses wyliT. ramdeni
litri Rvino darCa kasrSi?
A. 20 B. 28 C. 32 D. 40
2) kasrSi iyo 32 litri spirti. gadmoasxes 8 litri
da mis nacvlad Caasxes 8 litri wyali. Semdeg, gadmoasxes
8 litri narevi da kasri isev Seavses wyliT. amis Semdeg,
kidev erTjer gadmoasxes 8 litri narevi da kasri isev Seavses
wyliT. ramdeni litri spirti darCa kasrSi?
A. 18,5 B. 12 C. 15 D. 13,5
3 1
2.29. 1) saaTSi mgzavrma 3 km gaiara. ra manZils gaiv-
4
4
lis mgzavri 6 saaTSi?
A. 39 B. 18 C. 26 D. 13
2) 12 saaTSi Sesrulebul samuSaoSi muSa 30 lars Rebulobs.
ramden lars miiRebs igi 8 saaTSi, Tu muSaobis
tempi igive iqneba?
A. 18 B. 24 C. 16 D. 20
3) tvirTis gadasazidad 4,5 tona tvirTmzidaobis 28
manqanaa saWiro. 3,5 tona tvirTmzidaobis ramdeni manqana
iqneba saWiro am tvirTis gadasazidad?
A. 36 B. 32 C. 40 D. 38
4) wisqvilSi 8 saaTSi 48 t. xorbali dafqves. ramdeni
tona xorblis dafqva SeiZleba 12 saaTSi, Tu muSaobis tempi
ar Seicvleba?
A. 64 B. 72 C. 78 D. 66
2.30. 1) garkveuli manZilis gavlas avtomobili 2 saaTs andomebs.
ra droSi gaivlis igive manZils avtomobili 3-jer
naklebi siCqariT?
A. 2 sT B. 8 sT C. 4 sT D. 6 sT
2) garkveuli manZili motociklistma 10km/sT siCqariT
raRac droSi gaiara. ra siCqariT unda imoZraos motociklistma,
rom igive manZili oTxjer nakleb droSi
gaiaros?
A. 16 km/sT B. 20 km/sT C. 40 km/sT D. 2,5 km/sT
3) avtomobilma 90 km/sT siCqariT garkveuli manZili
gaiara. ra siCqariT unda imoZraos avtomobilma, rom orjer
naklebi manZili samjer nakleb droSi gaiaros?
A. 80 km/sT B. 135 km/sT C. 120 km/sT D. 150 km/sT
4) erTma velosipedistma or saaTSi gaiara mTeli man-
1 1
Zilis nawili, meorem ki sam saaTSi imave manZilis .
2
4
ramdenjer metia pirveli velosipedistis siCqare meoris
36

siCqareze?
A. 4 -jer B. 3-jer C. 2 -jer D. 1,5-jer
2.31. 1) gogona saxlidan skolamde midis 9 wuTSi, xolo
misi Zma saxlidan skolamde misvlas da ukan dabrunebas
andomebs 12 wuTs. ramdenjer metia Zmis siCqare dis siCqareze?
A. 1,5-jer B. 2 -jer C. 2,5-jer D. 3-jer
2) ufrosi Zma saxlidan skolaSi midis 30 wuTSi, xolo
umcrosi _ 40 wuTSi. ramden wuTSi daeweva ufrosi Zma
umcross, Tu is 5 wuTiT gvian gamovida umcrosze?
A. 15 B. 16 C. 20 D. 24
3) A da B qalaqebidan erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad
gamovida ori avtomobili. gamosvlidan ramdeni saaTis
Semdeg Sexvdebian isini erTmaneTs, Tu A-dan gamosuli
avtomobili B-Si Cadis 4 saaTSi, xolo B-dan gamosuli
A-Si Cadis 6 saaTSi?
A. 1 B. 1,6 C. 2 D. 2,4
4) A da B qalaqebidan erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad
gamosuli avtomobilebi gamosvlidan 4 saaTis Semdeg
Sexvdnen erTmaneTs. Sexvedridan ramden saaTSi Cava Adan
gamosuli avtomobili B qalaqSi, Tu misi siCqare 2jer
metia meoris siCqareze?
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
2.32. 1) xuTi kombaini dReSi mosavals iRebs 300 ha-ze. ramden
heqtarze aiRebs mosavals erT dReSi Svidi iseTive
kombaini?
A. 400 B. 150 C. 200 D. 420
2) sami traqtori yanas 8 saaTSi xnavs. ramdeni traqtori
moxnavs igive yanas 6 saaTSi?
A. 6 B. 2 C. 4 D. 5
3) xuT kalatozs kedeli amohyavs 6 sT-Si. ramdeni kalatozi
aaSenebs igive kedels 10 sT-Si?
A. 5 B. 3 C. 2 D. 4
4) sami traqtori 5 dReSi 150 ha miwas xnavs, ramden
heqtar miwas moxnavs 4 traqtori 7 dReSi?
A. 280 B. 140 C. 70 D. 560
2.33. 1) kedlis aSenebas ori kalatozi 8 saaTs andomebs.
imave kedels 8 saaTSi eqvsi Segirdic aaSenebs. ramden saaTSi
aaSenebs am kedels 4 kalatozi da 12 Segirdi?
A. 4 B. 1 C. 6 D. 2
2) nakveTis moxvnas ori didi traqtori 5 dRes andomebs.
imave nakveTs 5 dReSi 4 patara traqtoric moxnavs.
37

nakveTis ra nawils moxnavs erT dReSi sami didi da ori
patara traqtori erTad?
A. 0,5 B. 0,4 C. 0,2 D. 0,25
3) auzis avsebas xuTi patara tumbo 4 saaTs andomebs.
igive auzs ori didi tumbo 5 saaTSi avsebs. ramden saaTSi
aavsebs am auzs oTxi patara da sami didi tumbo erTad
moqmedebiT?
A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 4
4) garkveuli farTobis yanas patara kombaini 16 wT-
Si iRebs, xolo didi kombaini 4-jer ufro swrafad. ra
droSi aiReben isini 10-jer meti farTobis mqone yanas er-
Tad muSaobiT?
A. 24 wT B. 32 wT C. 36 wT D. 40 wT
2.34. 1) 6 kombaini 8 saaTSi xorbals iRebs 288 ha farTobze.
ramden saaTSi aiRebs mosavals 7 kombaini 126 ha far-
Tobis nakveTze?
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
2) 9 traqtori 4 dReSi 360 ha miwas xnavs. ramdeni
traqtori moxnavs 240 ha-s 6 dReSi?
A. 6 B. 3 C. 5 D. 4
3) samma satvirTo manqanam 4 saaTSi 50 km manZilze 360
t tvirTi gadazida. ramden tona tvirTs gadazidavs 5 ase-
Tive manqana 3 saaTSi 75 km manZilze?
A. 300 B. 320 C. 250 D. 350
4) oTxma satvirTo manqanam 5 saaTSi 30 km manZilze
120 t tvirTi gadazida. ramdeni aseTi manqanaa saWiro 160
t tvirTis gadasazidad 45 km manZilze 8 saaTis ganmavlobaSi?
A. 6 B. 3 C. 5 D. 4
2.35. 1) miwis nakveTi naxazze 1:10000 masStabiTaa mocemuli.
cnobilia, rom naxazze or wertils Soris manZilia 3,7 sm.
ipoveT Sesabamisi manZili nakveTze.
A. 37 km B. 3,7 km C. 370 m D. 37 m
2) rukaze qalaqebs Soris manZili 12 sm-ia. ra manZilia
sinamdvileSi am qalaqebs Soris, Tu rukis masStabia
1:800000?
A. 84 km B. 96 km C. 960 km D. 9600 m
3) naxazze 125 metrs Seesabameba 5 sm. ra manZilia or
wertils Soris sinamdvileSi, Tu naxazze igi 7 sm-ia?
A. 175 m B. 150 m C. 200 m D. 125 m
4) naxazze stadionis zomebia 5 sm da 8 sm. sinamdvileSi
stadionis mcire ganzomilebaa 20 m. ipoveT stadio-
38

nis meore ganzomileba.
A. 30 m B. 32 m C. 28 m D. 24 m
2.36. 1) isrebiani saaTi, romelic dRe-RameSi win midis 4
wT-iT, gaaswores. ra umciresi drois (dRe-Rame) Semdeg aCvenebs
saaTi isev zust dros?
2) isrebiani saaTi, romelic yovel 4 saaTSi CamorCeba
2 wT-iT, gaaswores. ra umciresi drois (dRe-Rame) Semdeg
aCvenebs saaTi isev zust dros?
3) ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen
saaTis isrebi, Tu saaTis Cvenebaa 3 sT da 40 wT.
4) ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen
saaTis isrebi, Tu saaTis Cvenebaa 5 sT da 48 wT.
5) daadgineT romeli saaTia, Tu viciT, rom dRis 9
saaTidan gasuli drois naxevari udris saRamos 9 saaTamde
darCenili drois meoTxeds?
6) ramdenjer emTxveva saaTisa da wuTis maCvenebeli
isrebi erTmaneTs dRis pirveli saaTidan momdevno dRis
pirvel saaTamde?
2.37. 1) suraTis sigrZea 50 sm, sigane 40 sm. suraTis far-
Tobi gaadides 5-jer. ramdeni kvadratuli metri gaxda suraTis
farTobi?
2) mikroskopi yoveli sagnis farTobs adidebs 10 6 -
jer. ramdeni kvadratuli santimetri farTobiT gamoCndeba
mikroskopSi 0,00001 mm 2 farTobis mqone sxeuli?
3) evraziis rukis masStabia 1:7000000, xolo amierkavkasiis
rukisa ki 1:3500000. ramdenjer metia amierkavkasiis
rukaze saqarTvelos farTobi evraziis rukaze mocemul
saqarTvelos farTobze?
4) saqarTvelos farTobia 70000 kvadratuli kilometri,
xolo saqarTvelos rukis masStabia 1:500000. ramdeni
kvadratuli santimetri ukavia saqarTvelos rukaze?
!
!
!
!
!
!
39

%4/!sbdjpobmvsj!hbnptbyvmfcfcjt!hbnbsujwfcb!
eb!hbnpUwmb
gamoTvaleT (## 3.1_3.3):
3.1.
2
1) x + y , Tu x = −1,
y = 3
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
3
2) x − y , Tu x = −1,
y = 3
A. -3 B. -4 C. -5 D. -1
4
3) x − y,
Tu x = −1,
y = −1
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
2
4) x − y , Tu x = 4 , y = −2
A. 0 B. 2 C. -2 D. 1
5) x − y , Tu x = −3,
y = −1
A. 4 B. 2 C. -4 D. -2
6) x + y , Tu x = −5,
y = −2
A. 7 B. -3 C. 3 D. –7
3.2.
x − 2y
1) , Tu x = 4y
x + 2y
5
A.
6
1
B.
3
3
C.
4
2
D.
3
2x
+ 3y
2) , Tu y = 3x
7x
− 2y
13
A.
2
11
B. C. 9
2
D. 11
5x
− y
3) , Tu 2 x = 3y
6x
+ 4y
A. 2
1 1
B. C.
2
4
13
D.
4
2
2
2
3x
+ 4y
4)
2
5x
− 2y
, Tu 4 x − 3y
= 0
A. 7 B. 9 C. 6 D. 8
3.3.
2 1
1) x +
2
x
1 5
, Tu x + =
x 2
1
A. 16
4
1
B. 4
4
3
C. 4
4
1
D. 5
4
40

2 1
2) x +
2
x
1
, Tu x − = 3
x
A. 11 B. 7 C. 12 D. 8
2
16 x 4
3) + , Tu − = 5
2
x 25 5
x
x
4
A. 26
5
4
B. 25
5
C. 26
3
D. 26
5
9
4)
4
x
4
x 3
+ , Tu
2 4
2
+ = 4
2
x
x
A. 14 B. 13 C. 12 D. 15
3 1
5) x +
3
x
1 7
, Tu x + =
x 3
22
A. 5
27
19
B. 5
27
4
1
C. 6 D. 6
27
27
3 1
6) x −
3
x
1
, Tu x − = 5
x
A. 140 B. 135 C. 145 D. 130
3.4.
2
a 1 a + 3ab
1) Tu = , maSin
tolia
2
b 5 b − 3ab
A. 1,6 B. 16 C. 2,6 D. -1
2ab
+ 3b
2) Tu a:b=3:5, maSin
2
2ab
− 3b
tolia
A. -3
1
B. − 2
3
1
C. 3
3
D. 5
xy + yz + xz
3) Tu x:y:z=5:4:3, maSin
tolia
2 xy + 5yz
A. 0,35 B. 0,4 C. 0,47 D. 0,5
4xy
− 3yz
+ 6xz
4) Tu x:y=5:2, y:z=3:4, maSin
tolia
xy + 3yz
A. 6 B. 3 C. 5 D. 4
3.5. 1) Tu a ricxvi gaizrdeba 3-jer, xolo b _ 2-jer, maSin
2
9a
2
5b
gaizrdeba
A. 9 -jer B. 2-jer C. 4,5-jer D. 2,25-jer
41
2

2) Tu a ricxvi gaizrdeba 5-jer, xolo b Semcirdeba 2-
2
7a
jer, maSin gaizrdeba
3
4b
A. 800-jer B. 100-jer C. 200-jer D. 250-jer
3) Tu a ricxvi Semcirdeba 2-jer, xolo b Semcirdeba 5-
3
5a
jer, maSin gaizrdeba
2
2b
A. 2,75-jer B. 3,125-jer C. 4,5-jer D. 5-jer
4) Tu a ricxvi Semcirdeba 4-jer, xolo b gaizrdeba 5-
7a jer, maSin
3b
2
Semcirdeba
A. 80-jer B. 40-jer C. 140-jer D. 25-jer
3.6. 1) Tu x − y = y − z = z − t =1, maSin x − t ar SeiZleba
udrides
A. -3 B. 3 C. 1 D. 2
2 2
x − y
2) Tu y

3) ipoveT 3a+ 2b
gamosaxulebis umciresi mniSvneloba,
Tu 1≤a≤3, -3≤b≤-1
A. 1 B. 0 C. 3 D. 7
4) ipoveT 2a+ 3b
gamosaxulebis udidesi mniSvneloba,
Tu -2≤a≤0, 1≤b≤3
A. 0 B. 7 C. 9 D. 13
m+ 2n
3.8. 1) Tu m da n mTeli ricxvebia da 2≤m

⎛ 1 1 ⎞ y
2) ⎜ − : ,
x y x y
⎟ Tu x = 4 −
⎝ − + ⎠ x − y
2,
y = 2 − 2
A. 2 B. 1 C. − 2 D. 2
2
x −1
x + 1
3) : , Tu x =
2
3
x + x + 1 x −1
5 + 1
A. 1 B. 5 C. 5 D. 3
x + 1 1
4) : , Tu x =
3 2 4
x + x + x x − x
2
A. 3 B. -1 C. 1 D. 2
3.11.
3 3
x − y
1) − 3xy,
Tu x = 2
x − y
5 + 1 , y = 5 + 1
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
⎛ 3 3
2) ⎜
x − y
⎜ 2
2
⎝ x + xy + y
2
⎞
− ( y − x)
⎟ , Tu x = 2
⎟
⎠
5,
y = 5
A. 24 B. 30 C. 20 D. 5
2 2
a b
3)
2
2
a − ab + b
a + b
: , Tu a =
3 3
a + b
7 , b = 3
A. 7 B. 21 C. 21 D. 7
4 4
a b + ab ab
4) ⋅ , Tu a =
2 ( a + b)
− 3ab
a + b
1
, b =
7
14
A. 14 B. 7 C. 2 D. 14
3.12.
−1
3 3
5x
y + 5xy
⎛ 1 ⎞
1) ⋅⎜
⎟ , Tu x =
4 4 ⎜ 2 2
x − y
⎟
⎝ x − y ⎠
6 , y =
2
3
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6 3
x − y 2
4
2) − x y,
Tu x = 5,
y =
2
x − y
3
A. 6 B. 7 C. 9 D. 8
2
a a + 3a
− 6
3) − , Tu a =
a + 3 2
a + 6a
+ 9
3 − 3
A. 2 B. 3 C. 1 D. -4
⎛
2 2
y y ⎞
4) ⎜
x
1+
+ ⎟⋅
, Tu x = 2,
1 y
= 1,
1
⎜ x 2 3 3
x
⎟
⎝ ⎠ x − y
44

A. 2 B. 1 C. 1,5 D. 3
3.13.
3 3
a − b
1) − ab,
Tu a =
a − b
3 , b = 2
A. 3 B. 2 C. 5 D. 1
3 3
a − b 2 2
2) − ( a + b ), Tu a =
a − b
2,
b = 8
A. 4 B. 8 C. 2 D. 1
3 3
a + b
3) + ab,
Tu a =
a + b
5,
b = 2
A. 5 B. 7 C. 2 D. 3
x + 1 1
4) : , Tu x =
2
3
x + x + 1 x −1
7
A. 7 B. 5 C. 3 D. 6
3.14.
b 2 a
1
1) + + , Tu a = − ,
2 a b 2
a + ab + b + ab
5
1
b =
7
A. 2 B. 12
2
C.
35
D. 4
5a
5x
10ax
1
2) + + , Tu a = ,
a + x a − x 2 2
a − x
5
1
x =
7
A. 2 B. 12 C. 30 D. 10
2 ⎛ 1 1 ⎞
1
3) ( x −1)
⎜ − + 1⎟,
Tu x = 3
⎝ x −1
x + 1 ⎠
3
1
A. 12
9
1
1
B. 9 C. 2
9
3
1
D. 81
9
2
2x
+ x x + 1
4) − , Tu x = 1+
3 2
x −1
x + x + 1
1
2
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
3.15.
2
2
a
b
1) − ab + , Tu a = 5 −
2
2
a + ab ab + b
3,
b = 5 + 3
A. 22 B. 25 C. -21 D. -9
1 2n
m + n
2) + :
, Tu m = 5 +
m + n 3 3 2
2
m − n m + mn + n
3 , n = 1+ 3
1
A.
4
1
B.
2
C. 6 + 2 3 D. 4 −
3
45

( a − b)
3
2
2
3)
+ 3a
b − 3ab
2
2
a + ab + b
, Tu a = 7 + 2 3,
b = 10 + 2 3
A. 17 B. 4 3 C. -3 D. -17
3 2
2
( 2x
+ 3y)
− 36x
y − 54xy
4) , Tu x = 1 + 3
2
2
4x
− 6xy
+ 9y
2,
y = 5 − 2 2
A. 5 B. 5 2 C. 6 D. 17
1 a + 1 1
3.16. 1) − + , Tu a = 2
a + 1 3 2
a + 1 a − a + 1
3 −1
A. 3 B. 2 3
3
C.
6
3
D.
2
1
2)
2
xy + y
2y
−
3 2
x − xy
1
+ , Tu x = 3 − 2
2
x − xy
2,
y = 3 + 2 2
A. 6
1
B. 8 C.
6
D. 1
2 ( 4x
− 3y)
+ 48xy
1
3) , Tu x = 3 ,
4x
+ 3y
4
1
y = 5
3
A. 15 B. 29 C. 27 D. 9
2 ( 5x
+ 2y)
− 40xy
4) , Tu x = 5 + 2
5x
− 2y
3,
y = 2 + 5 3
A. 7 B. 25 C. 21 D. 29
−2
−2
a − b
3.17. 1) , Tu a = 3 +
−1
−1
b − a
5,
b = 3 − 5
A. 6 B. -4 C. –3,5 D. –1,5
−1
−1
−1
x + y ⎛ x − y ⎞
2) +
−2
−2
⎜ 2 ⎟
x − y ⎝ x ⎠
1
, Tu x = 81 ,
3
3
y = 85
7
1
A. 81
3
2
B. 4 C. 4
21
D. 166
−1
⎛
−1
1 ⎞
3) ⎜
+ a
⎟ , Tu a =
⎜ 2
−1
3 3
⎟
⎝ a + a + + a ⎠
5 −1
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
−1
−1
−1
1+
ax a − x
4) ⋅
, Tu a = 5,
x
= 1+ 3
−1
−1
−1
−1
a x a x − ax
2
46

A. 6 B. 5 C. 3 2 D. 4
gaamartiveT da gamoTvaleT (##3.18; 3.19):
3.18. 1)
2)
3)
x
x
− 3x
+ 3x
−1
:
2 ( x − 2x
+ 1)
2x
47
x
3 2 −
x
x
2
3
2
+ 1+
2x
+ 1
, Tu x < −1
x x − 2
−1
+ x + 1
x
2 ( x + 1)
2
1
, Tu x > 2
, Tu 0 < x < 1
4)
x −1
− x
2
2x
−1
x −1
1
− , Tu 0 < x <
2x
− 2
2
3.19.
2 2
1) a + b = 13 da ab = 6 . ipoveT a + b .
2 2
2) a + b = 10 da ab = −3
. ipoveT a − b .
3 3
3) a + b = 5 da ab = 6 . ipoveT a + b .
3 3
4) a − b = 6 da ab = −5
. ipoveT a − b .
!
!
!
%5/!jsbdjpobmvsj!hbnptbyvmfcfcjt!
hbnbsujwfcb!eb!hbnpUwmb
gamoTvaleT (##4.1 - 4.9):
4.1. 1) 4 25 ⋅ 81
A. 9 B. 10 C. 15 D. 20
2)
3
36 ⋅ 27
A. 15 B. 12 C. 10 D. 18
3) 4 81 ⋅ 16
A. 24 B. 18 C. 26 D. 27
4) 3 8
121 ⋅
A. 27 B. 18 C. 22 D. 20

5
49 ⋅ 32
4.2. 1)
A. 21 B. 32 C. 18 D. 14
2)
3
225 ⋅ 8
A. 30 B. 45 C. 15 D. 90
4 3
3) 256 ⋅ 1000
A. 4 B. 40 C. 400 D. 20
4 5
4) 625 ⋅ 243
A. 5 B. 10 C. 15 D. 25
4.3. 1) 2 18 − 3 8 + 3 32 − 50
A. 5 2 B. 7 2 C. 32 D. 98
2) 2 20 − 45 + 80
A. 6 5 B. 180 C. 125 D. 4 5
3) 4 27 + 3 75 − 4 108
A. 54 B. 27 C. 2 3 D. 4 3
3 3 3
4) 2 16 + 3 54 − 128
A. 3 9 2 B. 3 8 2 C. 3 532 D. 3 162
4.4. 1) ( 2 18 + 3 50 ) ⋅ 2 2
A. 22 B. 84 C. 21 2 D. 36
2) ( ) 3 3 54 − 16 ⋅
3 32
A. 4 B. 8 C. 3 2 4 D. 3 4 2
3
3
3) ( 2 81 + 5 24 ) ⋅5
3
A. 120
9
B. 240 C. 75 D. 100
3 3 3
4) ( 3 16 + 2 128)
⋅5
4
A. 12 B. 16 C. 140 D. 36
4.5. 1) ( 8 27 − 6 12 ) : 75
A. 2 B. 5,4 C. 12 D. 2,4
3 3
2) ( 3 250 − 2 54 ) : 3
3 2
A. 6 B. 3 C. 3 3 D. 9 3
3)
15 −
35 −
6
:
14
3
28
A. 5 B. 3 C. 2 D. 3
48

4)
35 −
70 −
10
:
20
8 −
6
50
A. -1
B. 1
C. 6
D. -6
4.6. 1)
3 + 1 2 + 3
−
2 3
A.
3 −1
6
B.
3 + 2
3
C.
3 + 1
2
1− 3
D.
2
2)
5 −
5 +
3
+
3
5 +
5 −
3
3
A. 2 B. 6 C. 8 D. 9
3)
5 −
3
2 2
−
2 +
2
5
+
5 + 8 2 + 12
6
A. 5 + 2 B. 1
C. 2 D. 2 5 − 5 2
4)
6 +
6 −
2
+
2
6 −
6 +
2
2
A. 4
B. 2
C. 6 D. 2
4.7.
1
1)
7 + 4
1
+
3 7 − 4 3
A. 7 B. 8 3 C. 14 D. 4 3
2)
50 +
8 +
75
12
A. 5 B. 2,5 C. 5 D. 0,5
3)
5 −1
⋅
2
10 +
4
2
A. 4 B. 1 C. 2 2 D. 2
4)
7 + 1
⋅
3
21 −
2
3
A. 2 B. 1 C. 6 D. 3
4.8. 1) ( ) ( ) 2
2
4 3 − 3 2 − 3 3 − 4 2
A. 16 B. 7 C. 30 D. 24 3
2) ( ) ( ) 2
2
2 5 + 3 3 + 3 5 − 2 3
A. 52 B. 39
49
C. 47 D. 104

3)
⎛
⎜
⎝
4 + 2 3 − 4 − 2 3
⎞
⎟
⎠
A. 4 B. 8 C. 16 3 D. 4 3
4)
⎛
⎜
⎝
7 + 13 + 7 −
2
13
⎞
⎟
⎠
A. 26 B. 7 C. 14 D. 13
A. 4
16
5
B. 2 C. 5 D. 3
3
4.9. 1) 2 5 ⋅ 6
3
2) 5
7
2 ⋅ 6 1
25
A. 1 B. 4 C. 5 D. 2
3)
2 2 2 ⋅
8 2
A. 4 B. 2 C. 2 D. 8 4
3
3 12
4) 3 3 3 ⋅ 3 ⋅
A. 4 B. 3 C. 3 3 D. 3
4.10. daalageT ricxvebi zrdadobis mixedviT:
1) 3 2 ; 15 ; 4
3
A. 3 2 ; 4; 15 B.4; 15 ; 3 2 C. 15 ; 4; 3 2 D. 4; 3 2 ; 15 ;
2) 5; 2 7 ; 26
A. 26 ; 5; 2 7 B.5; 26 ; 2 7 C.5; 2 7 ; 26 D. 2 7 ; 26 ;5;
3) 8 2 ; 2 30 ; 6 3
A. 6 3 ; 2 30 ; 8 2 B. 6 3 ; 8 2 ; 2 30 C. 8 2 ; 2 30 ; 6 3 D. 2 30 ; 6 3 ; 8 2
4) 3 5 ; 4 2 ; 3 3 9
A. 3 5 ; 4 2 ; 3 3 9 B. 4 2 ; 3 5 ; 3 3 9 C. 4 2 ; 3 3 9 ; 3 5 D. 3 5 ; 3 3 9 ; 4 2
5) x = a ,
3
y = a , z=a, Tu 0

A. z, y, x B. z, x, y C. y, x, z D. y, z, x
4.11. daalageT ricxvebi klebadobis mixedviT:
1) 5 2 ; 4 3 ; 7
A.7; 5 2 ; 4 3 B. 4 3 ;7; 5 2 C.7; 4 3 ; 5 2 D. 5 2 ;7; 4 3
2) 5; 2 5 ; 3 3
A. 3 3 ; 2 5 ;5 B. 3 3 ;5; 2 5 C. 2 5 ;5; 3 3 D.5; 3 3 ; 2 5
3) 4 2 3 ;
5
7 ;
2
A.
5
7 ; 4 2 3 ; B.
2
5
7 ; ; 4 2 3
2
5
C. ; 4 2 3 ;
2
7 D. 4 2 3 ;
5
7 ;
2
4) 3 2 28 ; 6; 4 3
A. 3 2 28 ;6; 4 3 B. 4 3 ; 3 2 28 ;6 C. 4 3 ;6; 3 2 28 D.6; 4 3 ; 3 2 28
5) x =
4
a , y = a , z= 3 a , Tu 0

⎛ ( 2)
⎜
⎜
⎝
2
a + b ) ⎞
−1
⎟
⋅
2 ab
⎟
⎠
ab,
Tu a = 2 + 2,
b = 4 − 2
A. 2 B. 3 C. 2,5 D. 3,5
3)
2 ( x + 2)
− 8x
, Tu x = 5
1
−
x − 2x
2
A. 5 B. 3 C. 4 D. 5
⎛
4 1 a ⎞
4) ⎜
−
a + ⎟
⎜ 4
a
⎟
⎝
⎠
a,
Tu a = 4
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
4.14.
3 3
2
1 1
a 2 − 2 2 ⎛ ⎞
1) − ⎜a
2 + 2 2 ⎟ , Tu a = 8
a − 2 ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A. -4 B. -1 C. -3 D. 2
⎛ 4
2) ⎜
+
⎝ a
2 ⎞ a − 2 2
+ 1⎟
⎟
⋅ , Tu a =
a ⎠ a a − 8 5
2
A.
3
2
B.
5
3
C.
2
5
D.
2
3)
a a − b b
− 3 ab , Tu a = 6,
25 b = 2,
25
a − b
A. 2,1 B. 1 C. 1,5 D. 2,7
x −1
x −1
4) : , Tu x =
x + x + 1 1−
x x
3 + 1
A. − 3 B. − 2 C. -3 D. -2
4.15.
a − 2 ab + b
1) , Tu a=1,44 b=1,21
4 4 4 4
( a − b )( a + b )
A. 0,1 B. -0,2 C. 0,2 D. 0,4
−2
⎛ 4 3 4
1
⎞
2)
⎜ x − x + x
+
⎟
, Tu x = 4
⎜
4
1
⎟
⎝
− x x
⎠
A. 3 B. 1,5 C. 1 D. 2
52

⎛ 1 3
2 ⎞⎛
1 2 ⎞
⎜ x + ⎟⎜
x −1⎟
⎝ ⎠⎝
⎠
3) , Tu x = 2,
5
x + x + 1
A. 1,5
4)
B. 2,5 C. 3,5 D. 5
( ) 2
a −1
+ 3 a
, Tu a = 2,
25
3
a 2 −1
A. 1 B. 2 C. 4,5 D. 5
4.16. 1)
1
−
a −1 1
, Tu a = 11
a + 1
A. 0,2 B. 0,1 C. 10 D. 0
⎛ 1 1 ⎞ 6
2) ⎜
⎟
⎜
+
⎟
: , Tu b = 111
2
⎝ 3 − b 3 + b ⎠ b − 81
A. 113 B. -120 C. 102 D. -11
3)
9
3
3 ,
⎟ a ⎛
⋅⎜
a − ⎜
⎝
a +
−
a
⎞
a − Tu a = 6,
25
⎠
A. 0,2 B. 3 C. 5,5 D. -5
2
4x
⎛ ( 2)
⎞
4)
⎜ x +
⋅
1
⎟
,
4 4
⎜
−
− + 8
⎟
Tu x = 1,
44
x x
⎝
x
⎠
A. 1,2 B. 2,4 C. 0,6 D. 1,8
4.17.
⎛
1) ⎜
⎝
a − b +
2ab − a ⎞
⎟
⋅
a + b ⎠
a +
4
b
, Tu a = 2,
b = 8
A. 6 B. 16 C. 24 D. 0,5
⎛
2)
⎜
⎜
⎝
3
6 2
x + a x
⎞
⎟
, Tu x = 64,
a =
3 3
x + a
⎟
⎠
2
A. 2 B. 8 2 C. 8 D. 12 2
3)
⎛
⎜(
⎝
a + 2
2
b ) − 8
1
⎞ 2
ab ⎟ , Tu a = 6,
25 b = 2,
25
⎠
A. 0,5 B. 5,5 C. -0,5 D. 6
⎛
4)
⎜
⎜
⎝
3 4 3
a + x
4
a + x
−
1
⎞ 2
4
a ⋅ x
⎟
, Tu a = 18,
x = 1024
⎟
⎠
A. 32 B. 3 2 C. 16 D. 2
53

3
1 1
1 − 5 − −
2
4.18. 1) a 2b
4 a 6b
a 3b
4 , Tu a = 3,
b = 2 3
A. 3 B. 6 C. 6 3 D. 3
1
−
1
−
4
2) x x ⋅ y 3 x 3 y 3 x 6 , Tu x = 2 2,
y = 2
A. 4 B. 4 2 C. 2 D. 3 2
3 4 3
4 3 2
3) m ⋅ m ⋅ m m , Tu m = 144
A. 12 B. 36 C. 144 D. 288
5 2
4) a
3 2
a ⋅ a a , Tu a = 8
A. 8 B. 2 C. 64 D. 16
1 1
+ − −
4.19.
x
1)
2 y 2
, Tu x = 2,
y = 18
x + y
1
A.
6
B. 6 C. 3 2
1
D.
3
−2
⎛1
x x ⎞
2) ⎜
− +
⎟ − 2
⎜
1 x x
⎟
⎝ + ⎠
x,
Tu x = 187
A. 181 B. 2 187 C. 188 D. 5
⎛
3) ⎜
⎝
−2
a + 1⎞
⎛
⎟ + ⎜
a −1
⎟ ⎜
⎠ ⎝
−2
a + 1⎞
⎟ , Tu a = 13
4
2 a
⎟
⎠
A. 1 B. 2 C. 8 D. 13
−2
⎛ 1 5 ⎞
4) ⎜ 4 − a
5 ⎟
5
a + , Tu a =
⎜ 4
5
⎟
⎝ a ⎠
4
A. 5 B. 2,5 C. 3,5 D. 10
4.20. 1) ipoveT ( 3 a)( 5 a)
− + , Tu 3− a + 5+
a =4
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2) ipoveT
2
4 − x , Tu 2− x + 2+ x = 2 2
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3) Tu x0, maSin
2 2
x − 2xy
+ y
2 2
x − y
=
54
1
−

A.
x − y
x + y
B. x-y C.
2 2
55
1
−
x + y
D.
1
x + y
4) Tu x>0 da y

1 5 7
4) 5 x − 3 = 2
4 6 12
1
2
A. 1 B. 1
9
9
5.2. 1) 3 x + 2 = 10 − x !
A. 1 B. 2
2) 2x − 5 = 4x
− 3
4
C. 1
9
C. –1
5
D. 1
9
D. –2!
A. –1 B. 1 C. –2 D. 2
3) 3 x + 8 = x + 4
A. –2 B. –1 C. 1 D. 2
4) 2 x − 3 = 3x
+ 1
A. –1 B. –2 C. -3 D. -4
5.3. 1) 5x − 6 = x − 6
A. –1 B. 0 C. 1 D. –2
1 2 2
2) 4 −1 x = 2 x + 1
2 3 9
1
A.
10
3
B.
10
7
C.
10
9
D.
10
3) 2, 5 + 3,
8x
= 1,
4x
−1,
1
A. –1,5 B. 1,5 C. –2,5 D. 2,5
1 7
4) 2, 1x
− 2 = 5 x −1,
3
2 10
1
A.
3
1
B. −
3
C. 0,3 D. -0,3
5.4.
2 x −1 5x
+ 2
1) =
7 13
A. –1 B. –3 C. -2 D. 0
5 − x 18 − 5x
2) =
8 12
A. 3 B. 2 C. -1 D. –3
4x + 33 17 + x
3) =
21 14
A. –2 B. –2,5 C. -3 D. –3,5
3, 7x
− 5,
2 1,
8x
− 0,
3
4) =
2 3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.5.
7x + 1 6 − 3x
1) = 2 −
13 4
A. –1 B. –2 C. 1 D. 2
56

2 + 3x
7 − x
2) = 3 −
11 2
A. –1 B. 2 C. -2 D. 3
x − 4 2x
− 41
3) = 9 −
5 9
A. 34 B. 40 C. 32 D. 42
6x + 7 5x
− 3
4) − 3 =
7 8
A. 7 B. 6 C. 5 D. 8
5.6.
3 + 5x
7 5 + 4x
1) = −
0,
5 4 4
A. –0,5 B. 0,5 C. -1 D. 1
4 − 3x
2 3x
+ 2
2) − 2 =
2,
5 5 3
2
A.
3
1
B. −
3
2
C. −
3
1
D.
3
x + 1 x + 2 x + 3
3) + + = 3
2 3 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
x − 4 3x
− 2 2x
+ 1
4) + = − 7
5 10 3
A. 30 B. 34 C. 38 D. 42
5.7.
3x
− 5 2x
− 5
1) − = 1
x −1
x − 2
A. 11 B. 8 C. 5 D. 3
4x
− 2 3x
− 3
2) − = 1
x + 1 x + 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5x
−1
8x
+ 1
3) − = 1
x − 2 2x
−1
1
A. −
13
1
B.
13
2
C. −
13
2
D.
13
2x
− 3 x − 5
4) + = 3
x + 2 x − 3
7
A.
9
8
B.
9
7
C. 1
9
8
D. 1
9
57

amoxseniT utolobebi (##5.8. - 5.10):
5.8. 1) 2 x − 5 < 3
A. ] −∞ ; 0[
B. ] −∞ ; 1[
C. ] ; 3[
2) 3 x − 4 > 2
A. ] 0;
∞[
B. ] 2;
∞[
C. ] − ; ∞[
3) 4x −1
≥ 3
A. [ 0 ; ∞[
B. ] −∞ ; 1]
C. ] ; 0]
4) 3 − 2x
< 1
A. ] 1;
∞[
B. ] −∞ ; 1[
5 x −1 + 7 ≤ 1−
3 x + 2
C. ] 0;
∞[
5.9. 1) ( ) ( )
⎤ 7 ⎤ ⎡ 7 ⎡
A. ⎥−
∞;
− ⎥ B.
⎦ 8
⎢−
; ∞⎢
⎦ ⎣ 8 ⎣
4 x + 8 − 7 x −1
<
58
−∞ D. ] −∞ ; 4[
1 D. ] 1;
∞[
−∞ D. [ 1 ; ∞[
D. ] −∞ ; 0[
⎤ 3⎤
⎡ 3 ⎡
C. ⎥−
∞;
− ⎥ D.
⎦ 4
⎢−
; ∞⎢
⎦ ⎣ 4 ⎣
2) ( ) ( ) 12
A. ] −∞ ; 9[
B. ] 9 ; ∞[
C. ] 3;
∞[
D. ] −∞ ; 3[
3) 4( x −1, 5)
−1,
2 > 6x
−1
A. ] 1,
3;
∞[
B. ] −∞ ; 1,
3[
C. ] −∞ ;−3,
1[
D. ] − 3 , 1;
∞[
4) 1 , 7 − 3(
1−
x ) > −x
+ 1,
9
A. ] 8 ; ∞[
B. ] −∞ ; 1,
8[
C. ] 1,
8;
∞[
D. ] 0,
8;
∞[
5.10. 1) 2 ( x + 4)
− 3(
3 − 4x)
> −5x
+ 18
A. ] 3 ; ∞[
B. ] −∞ ; 3[
C. ] 1;
∞[
D. ] −∞ ; 1[
2) 12( 1−
12x)
+ 100x
≥ 36 − 49x
A. [ 4 , 4;
∞[
B. ] −∞ ; 4,
4]
C. [ 4 , 8;
∞[
D. ] −∞ ; 4,
8]
3) 2( 0,
6x
−1) − 0,
4(
3x
+ 1)
< 10x
− 8
A. ] 0 , 56;
∞[
B. ] −∞ ; 0,
56[
C. ] 0 , 5;
∞[
D. ] −∞ ; 0,
5[
4) 4( 6x
+ 4)
− ( 12x
− 5)
≤ 24 − 36x
⎤ 1 ⎤
A. ⎥−
∞;
⎥
⎦ 12⎦
⎤ 1 ⎤
B. ⎥−
∞;
⎥
⎦ 16⎦
⎡ 1 ⎡
C. ⎢ ; ∞⎢
⎣16
⎣
⎡ 1 ⎡
D. ⎢ ; ∞⎢
⎣12
⎣
5.11. amoxseniT utoloba da ipoveT umciresi mTeli amonaxsni
x −1 x + 1
1) −1
< + 8
4 3
A. -114 B. -116 C. -115 D. -100
x − 2 x + 3 x − 3
2) + >
3 4 6
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

2x − 3 3x
−1
3 − x
3) − <
5 4 10
A. 2 B. -2 C. -4 D. -1
3x − 7 2x
−1
x −1
4) − >
3 4 3
A. 11 B. 10 C. 12 D. 9
5.12. amoxseniT utoloba da ipoveT udidesi mTeli amonaxsni
x − 3 2x
−1
1) x − + < 4
5 10
A. -3 B. 3 C. 2 D. 4
2x
− 3 3x
−1
2) − > 3 − x
0,
5 0,
4
A. -2 B. -3 C. -1 D. -4
x + 3 x − 3 2 − x
3) − <
0,
4 0,
6 0,
3
A. -1 B. -3 C. -4 D. -2
2x − 7 3 − 2x
2x
− 3
4) − <
3 4 6
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
!
5.13. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvi-
sac:
2
1) ( −1) x = a − 4a
+ 3
2
a gantolebas ara aqvs amonaxsni.
2
2) ( − 9)
x = a + 2a
− 3
2
a
sni.
gantolebas aqvs uamravi amonax-
5.14. ipoveT b parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac:
x − 2 x − b = gantolebas aqvs erTi amonaxsni.
1) ( )( ) 0
x − b
2) = 0 gantolebas ara aqvs amonaxsni.
2x
− 3
5.15. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs dadebiTi amonaxsni:
1) 2x − a = 4 − 5x
2) 3 ( x − a)
= 2(
4 − x)
5.16. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs uaryofiTi amonaxsni:
1) 2( a − x)
= a + 2 − 4x
2) 3( x − 2a)
= 2x
+ a − 3
5.17. ipoveT a parametris udidesi mTeli mniSvneloba,
59

omlisTvisac gantolebis amonaxsni akmayofilebs
miTiTebul utolobas:
1) 3( x + a)
= 2 − x,
x > 2 2) 5( a − x)
= 3 + 2a,
x < 1
5.18. ipoveT a parametris umciresi mTeli mniSvneloba,
romlisTvisac gantolebis amonaxsni akmayofilebs
miTiTebul utolobas:
1) 3( 2x
− a)
= 4 + a,
x > 2 2) 5( 2a
− x)
= 12a
− 2,
x < 1
5.19. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac:
1) 3 ( 2x
− a)
= 4 + 2x
gantolebis amonaxsni metia
( a − 2x)
= 6 − x
2) 5( 2a
3x)
= 4(
3 − 5x)
( 2x
− 3a)
= 2(
5 − x)
2 gantolebis amonaxsnze.
− gantolebis amonaxsni naklebia
3 gantolebis amonaxsnze.
5.20. ipoveT a parametris is umciresi mTeli mniSvneloba,
romlisTvisac gantolebas aqvs mTeli amonaxsni:
a + 3 x =
2) ( a + 2 ) x = 3a
+ 4
1) ( ) 6
!
!
%7/!xsgjw!vupmpcbUb!tjtufnfcj!!
ipoveT utolobaTa sistemis amonaxsn-
Ta simravle (##6.1 - 6.5):
6.1.
⎧3x
+ 6 > 0
1) ⎨
⎩x
− 3 < 0
A. ] − 2; −1[
B. ] − 2;
0[
⎧2x
− 6 < 0
2) ⎨
⎩x
+ 1 > 0
C. ] − 2;
3[
D. ] − 2;
1[
1;
1
1;
2
1;
0
− 1;
3
A. ] − [ B. ] − [ C. ] − [ D. ] [
⎧x
− 6 ≤ 0
3) ⎨
⎩2x
+ 1 > 0
⎤ 1 ⎤
A. ⎥−
; 0⎥
⎦ 2 ⎦
⎤ 1 ⎤
B. ⎥−
; 6⎥
⎦ 2 ⎦
⎤ 1 ⎤
C. ⎥−
; 3⎥
⎦ 2 ⎦
⎤ 1 ⎤
D. ⎥−
; 4⎥
⎦ 2 ⎦
⎧3x
−1
< 0
4) ⎨
⎩x
+ 5 ≥ 0
A. [ − 5;
0[
⎡ 1 ⎡
B. ⎢−
5 ; ⎢
⎣ 2 ⎣
60
⎡ 1⎡
C. ⎢−
5 ; ⎢
⎣ 3⎣
⎡ 2 ⎡
D. ⎢−
5
; ⎢
⎣ 3 ⎣

6.2.
⎧3x
− 2 > x + 5
1) ⎨
⎩4x
− 21 ≤ 14 − x
⎤ 1 ⎡
A. ⎥3
; 5⎢
⎦ 2 ⎣
⎡ 1 ⎡
B. ⎢3
; 5 ⎢
⎣ 2 ⎣
⎤ 1 ⎡
C. ⎥3
; 4⎢
⎦ 2 ⎣
⎤ 1 ⎤
D. ⎥3
; 7⎥
⎦ 2 ⎦
⎧3
− 4x
> x −10
2) ⎨
⎩9x
+ 1 ≤ 5x
−1
A. ] −∞ ; 1]
B. ] −∞ ; 0[
C. ] −∞ ;−1[
⎤ 1 ⎤
D. ⎥−
∞;
− ⎥
⎦ 2⎦
⎧11x
− 3 ≤ 9x
+ 7
3) ⎨
⎩13
− 4x
< x − 2
A. ] 3 ; 5[
B. ] 3 ; 4]
⎧4
− 3x
> −6
− x
4) ⎨
⎩3x
− 2 < 16 + x
C. [ 2 ; 5]
D. ] 3 ; 5]
; ∞
5;
5
; 5
− 5 ; ∞
A. ] 5 [ B. ] − [ C. ] −∞ [ D. ] [
A. [ 0 ; ∞[
⎧5(
x − 2)
− x > 2
⎨
⎩1
− 3(
x −1)
< −2
B. ] 1;
∞[
⎧3(
x −1)
− 2 > 2(
x + 4)
C. ] 3 ; ∞[
D. ] − 1 ; ∞[
6.3. 1)
2) ⎨
⎩8
− 2x
≥ 5 − 4x
⎡ 1 ⎡
A. ⎢−
1 ; ∞⎢
B. ] ; 13[
⎣ 2 ⎣
⎧2x
− ( x − 4)
< 6
3) ⎨
⎩x
> 3(
2x
−1)
+ 18
;−3
3;
2
−∞ C. − ∞ −1
] 13;
∞[
61
⎤
⎥
⎦
1 ⎡
;
2 ⎢ U D. ] 13;
∞[
⎣
A. ] −∞ [ B. ] − [ C. ] 2 ; ∞[
D. ] −∞ ; 2[
⎧3(
x − 4)
< 4(
0,
5 − x)
4) ⎨
⎩2(
0,
5x
−1,
5)
< 3(
x −1)
A. ] −∞ ; 2[
B. ] 0 ; ∞[
C. Ø D. ] 0 ; 2[
⎧7
− x 3 + 4x
⎪ − 3 < − 4
2 5
6.4. 1) ⎨
⎪5
x + 5 4 − x < 2 4 − x
⎪⎩
3
⎤ 7 ⎡
A. ⎥ ; ∞⎢
⎦13
⎣
( ) ( )
B. ] −∞ ; 9[
C. ] ; ∞[
⎤ 7
⎡
9 D. ⎥ ; 9⎢
⎦13
⎣

⎧ 4x
−1
⎪x
− < 10
3
2) ⎨
⎪ x
4x
−1
− < 10
⎪⎩
3
A. ] −∞ ; −29[
U ] 3;
∞[
B. ] − 29;
3[
⎧7x
−1
⎪ + x < 7
5
3) ⎨
⎪ x
+ 7x
−1
> 7
⎪⎩
5
C. ] − ; ∞[
⎤ 1 ⎡
A. ⎥1
; 3⎢
⎦ 9 ⎣
B. ] −∞ ; 3[
⎤
C. ⎥
⎦
1 ⎡
; ∞
9
⎢
⎣
⎧2x
−1
3x
−1
⎪ < −1
4 4
4) ⎨
⎪5x
+ 6 3x
− 7
< + 7
⎪⎩
4 5
⎤ 4 ⎡
A. ⎥6
; ∞⎢
⎦ 13 ⎣
⎤ 4 ⎡
B. ⎥4
; 6 ⎢
⎦ 13⎣
⎤ 4 ⎡
C. ⎥−
∞ 6 ⎢
⎦ 13⎣
6.5. 1)
⎧2x
+ 3 > 7x
−17
⎪
⎨2
− 4x
> 1−
5x
62
29 D. ] −∞ ; 3[
1 D. ] 3 ; ∞[
; D. ] 4 ; ∞[
⎪
⎩2(
x −1)
≤ 1−
x
A. ] − 1;
1]
B. [ 1 ; 4[
C. ] − 1;
4[
D. ] 4 ; ∞[
⎧3
− 2x
< 4 + 5x
⎪
2) ⎨2(
3 − x)
> 2x
− 6
⎪
⎩−
3x
< 5 + 2x
⎤ 1 ⎡
A. ⎥−1
; − ⎢
⎦ 7 ⎣
⎤ 1 ⎡
B. ⎥−
; 3⎢
⎦ 7 ⎣
C. ] 1;
3[
− ∞;−1
⎧4
− 3x
< x + 8
⎪
3) ⎨3(
1−
x)
< 3 − x
⎪
⎩2x
< 1−
x
A. ] − 1;
0[
⎤ 1⎡
B. ⎥−1
; ⎢
⎦ 3⎣
⎤ 1⎡
C. ⎥0
; ⎢
⎦ 3⎣
⎤1 ⎡
D. ⎥ ; ∞⎢
⎦3
⎣
⎧5
− 6x
< 4x
−15
⎪
4) ⎨4(
1−
x)
< 2 − 2x
⎪
⎩6x
< 6 + 4x
− D. ] [

A. ] 3;
∞[
B. ] 1;
3[
63
C. ] 1 ; 2[
D. ] 2;
3[
6.6. amoxseniT utolobaTa sistema da ipoveT udidesi
mTeli amonaxsni:
⎧3
− 2x
≥ 2x
− 9
1) ⎨
⎩3x
− 5 > x − 2
⎧3x
+ 5 ≤ x −1,
4
2) ⎨
⎩x
− 7 > 4x
+ 5
⎧3x
−1
≥ 2x
+ 0,
5
3) ⎨
⎩2x
− 5 < 4 − x
⎧6x
+ 3 > 4x
−1
4) ⎨
⎩3x
− 5 ≥ 4x
− 5,
5
6.7. amoxseniT utolobaTa sistema da ipoveT umciresi
mTeli amonaxsni:
⎧2x
− ( x − 4)
> 6
1) ⎨
⎩x
< 6x
+ 15
⎧5(
x − 2)
− x > 2
2) ⎨
⎩1
− 3(
x −1)
< −2x
⎧11−
x 13 + 4x
⎪ −1
< − 2
2 5
3) ⎨
⎪8
x + 5(
3 − x)
< 3 − x
⎪⎩
3
⎧ 2x
−1
⎪2x
− > 3
3
4) ⎨
⎪ x x −1
3x
−1
− >
⎪⎩
4 6
%8/!lwbesbuvmj!eb!nbt{f!ebzwbobej!
!hboupmfcfcj/!vupmpcfcj
ipoveT
(##7.1_7.3):
gantolebis udidesi fesvi
7.1.
2
2
1) 13x
−19 = 7x
+ 5
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2
2
2) 4x
+ 6x
= 9x
−15x
A. 2,4 B. 3,2 C. 3,8 D. 4,2
2
3) x − 8x
= 20
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4) 3 11 6 0
2
x + x + =
2
A. −
3
2
B.
3
C. -3 D. 3
7.2.
2 5
1) x − x − 26 = 0
3
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

2
2
8x
− 3 9x
− 5
2) + = 2
5 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 + 2x
3x
+ 3
3) =
4x
− 3 7 − x
A. –2 B. 2 C. -4 D. 4
6 − x x − 4
4) =
2x
− 3 x + 2
A. 0 B. 3 C. 5 D. 7
7.3. 1) 10 9 0
2 4
x − x + =
A. 3 B. 1 C. 4 D. -3
2) 13 36 0
2 4
x − x + =
A. 4 B. -3 C. 3 D. 16
3) 17 16 0
2 4
x − x + =
A. 5 B. 1 C. 4 D. 16
4 2
4) 4x
− 5x
+ 1 = 0
A. 2
1
B.
4
1
C. 1
2
D. 1
ipoveT gantolebis umciresi fesvi
(##7.4 – 7.6):
7.4.
2
1) x + 5x
− 24 = 0
A. 3 B. -8 C. -3 D. 8
2 ( x −1)
( 2x
+ 1)
2) x +
2
=
7
− 2
A. 3 B. -3 C. 11 D. –11
2 ( x + 2)
( 3x
−1)
3)
2
−
5
= x + 1
5
A. −
13
4
B. −
13
3
C. −
13
2
D. −
13
14 1
4) + = 1
2
x − 9 3 − x
A. -5 B. -4 C. -3 D. –2
7.5.
4
1) x + x = 0
A. 0 B. -1 C. -2 D. 1
2) 8 0
4
x − x =
A. 0
1
B.
2
1
C. −
2
D. –1
2
64
2

6
3) x − x − 3 = 0
A. 3 B. 3 3 C. -1 D. 1
4) 7 8 0
3 6
x + x − =
A. 2 B. -1 C. 1 D. –2
7.6.
2
1) x − 8 x = 20
A. 8 B. 6 C. -10 D. –2
2) 5 8 3 0
2
x − x + =
A. 1 B. -1
3
C. −
5
D. 2
3) 3 2 8 0
2
x + x − =
1
A. − 1
3
B. -1
1
C. 1
3
2
D. − 1
3
4) 3 5 8 0
2
x − x − =
A. -1
1
B. − 2
3
1
C. 2
2
2
D. − 2
3
7.7. ipoveT gantolebis fesvTa jami:
1) 7 2 5 0
2
x − x − =
3
A.
7
1
B.
7
2
C.
7
4
D.
7
2) 2 3 2 0
2
x + x − =
A. -1
1
B. −
2
1
C. − 1
2
D. –2
3) 3 2 5 0
2
x − x − =
A. -2
2
B. −
3
2
C.
3
1
D.
3
4) 4 9 1 0
2
x + x − =
A. 0
9
B. −
4
9
C.
4
1
D. −
4
7.8. ipoveT gantolebis fesvTa namravli:
1) 2 3 4 0
2
x + x − =
A. 0 B. -2 C. 2 D. 1
2) 5 4 0
2
x + x =
A. 0
4
B. −
5
4
C.
5
D. 9
3) 4 5 0
2
x
− =
2 3
65

5
A. 0 B. -1 C. D.
4
3 2
66
5
−
4
4) x + 2 x −16
= 0
A. -4 B. 4
16
C. −
3
16
D.
3
7.9. ramdeni gansxvavebuli fesvi aqvs gantolebas:
1) ( x − 2)(
2x
−1)(
x − 4)(
x + 3)
= 0
2
A. 4 B. 3 C. 5
2
2
2) x ( 3x
+ 5)(
x + 1)(
1−
3x)
= 0
D. 6
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
2
3) ( x + 1)(
x − 7x)(
x + x + 3)(
x −1)
= 0
2
A. 3 B. 5 C. 4 D. 2
2
2
4) ( x − 4 x )( x + 8x
+ 16)(
x − x − 2)
= 0
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle
(##7.10 - 7.13):
x − 2 x − 4 >
A. ] 2 ; 4[
B. ] −∞ ; 2[
U ] 4;
∞[
C. ] 2 ; ∞[
D. ] 4 ; ∞[
2) ( 3 − x )( x − 5)
> 0
A. ] 3 ; 5[
B. ] −∞ ; 3[
U ] 5;
∞[
C. ] 3 ; ∞[
D. ] −∞ ; 5[
7.10. 1) ( )( ) 0
3) ( x − ) ( x −1)
> 0
A. [ 1 ; 2]
B. ] −∞ ; 1[
C. ] −∞ 1[
] 2;
∞[
2 2
2 <
4) ( 3x
+ 2)(
x + 3)
0
2
2
; U D. ] 1; 2[
U ] 2;
∞[
⎤ 2 ⎡ ⎤ 2 ⎡ ⎤ 2 ⎡
A. ] − ∞;
−3[
U ⎥−
3;
− ⎢ B.
⎦ 3
⎥−
∞;
− ⎢ C.
⎣ ⎦ 3
⎥−
3 ; − ⎢
⎣ ⎦ 3 ⎣
⎤ 2 ⎡
D. ⎥−
; ∞⎢
⎦ 3 ⎣
7.11.
3x
−10
1) < 0
x + 4
⎤ 1⎡
A. ⎥−
∞;
3 ⎢
⎦ 3⎣
⎤ 1⎡
B. ⎥−
4 ; 3 ⎢
⎦ 3⎣
⎤ 1 ⎡
C. ⎥3
; ∞⎢
⎦ 3 ⎣
D. ] − 4 ; ∞[
5 − x
2) ≤ 0
3 − 2x
⎤ 1 ⎤
A. ⎥1
; 5⎥
⎦ 2 ⎦
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
B. ⎥−
∞;
1 ⎢ U [ 5;
∞[
C.
⎦ 2
⎥1
; ∞⎢
⎣ ⎦ 2 ⎣
D. ] −∞
; 5]

5 − 5x
3) ≥ 0
4x
+ 4
A. ] − 1 ; ∞[
B. ] − 1;
1]
C. [ 1 ; ∞[
D. ] −∞ ; 1[
14 2
4) 0
2 ( 8 )
>
− x
− x
A. ] 7 ; ∞[
B. ] 7; 8[
U ] 8;
∞[
C. ] −∞ ; 7[
D. ] −∞ ; 8[
7.12.
x − 2
1) > 1
x − 3
A. ] 3 ; ∞[
B. ] −∞ ; 3[
C. ] 2 ; 3[
D. ] 2 ; ∞[
x − 3
2) > 2
x + 2
A. ] −∞ ;−2[
B. ] − 7; −2[
C. ] − 7 ; ∞[
D. ] −∞ ; −7[
U ] −2;
∞[
3x
+ 1
3) > −3
x −1
⎤1 ⎡
A. ⎥ ; 1⎢
B. ] −∞ ; 1[
⎦3
⎣
x − 4
4) < 2
3x
− 5
⎤ 1⎡
C. ⎥−
∞;
⎢ U ] 1;
∞[
D. ] 1;
∞[
⎦ 3⎣
⎤ 1 2 ⎡ ⎤ 2 ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ 1⎡
⎤ 2 ⎡
A. ⎥1
; 1 ⎢ B.
⎦ 5 3
⎥−
∞;
1 ⎢ C.
⎣ ⎦ 3
⎥1
; ∞⎢
D.
⎣ ⎦ 5
⎥−
∞;
1 ⎢ U ⎥1
; ∞⎢
⎣ ⎦ 5⎣
⎦ 3 ⎣
7.13. 1) x − 4x
+ 3 > 0
1 ; 3
1;
∞
A. ] [
2
B. ] [
2) x − 7x
+ 2 < 0
5 2
A. − ] 1;
∞[
C. ] −∞ 1[
] 3;
∞[
⎤ 2 ⎡
⎤ 2 ⎡ ⎤ 2 ⎡
⎥ ∞;
⎢ U B.
⎦ 5
⎥−
∞;
⎢ C.
⎣
⎦ 5
⎥ ; 1⎢
⎣ ⎦ 5 ⎣
⎤ 1 1 ⎡
A. ⎥−
; ⎢
⎦ 3 2 ⎣
A. ] ;−1[
3) x − x −1
< 0
6 2
67
; U D. ] 3 ; ∞[
⎤ 1⎡
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
B. ⎥−
∞;
− ⎢ U ⎥ ; ∞⎢
C.
⎦ 3⎣
⎦ 2
⎥ ; ∞⎢
⎣ ⎦ 2 ⎣
4) − x − 3x
+ 2 > 0
5 2
⎤ 2 ⎡ ⎤ 2 ⎡
−∞ B. ⎥−1
; ⎢ C.
⎦ 5
⎥ ; ∞⎢
⎣ ⎦ 5 ⎣
2
5) x − 6x
+ 10 ≤ 0
∞
D. ] 1;
∞[
⎤ 1⎡
D. ⎥−
∞;
− ⎢
⎦ 3⎣
⎤ 2 ⎡
∞
D. ] − ∞;
−1[
U ⎥ ; ⎢
⎦ 5 ⎣
A. Ø B. ] −∞; [ C. ] 5 ; ∞[
D. ] −∞ ; 5[
6) x − 2x
+ 5 > 0
;−2
∞
3 2
A. ] −∞ [ B. ] −∞; [ C. Ø D. ] − 2
; ∞[

7.14. 1) mocemulia ori piroba: I. a2. imisaTvis, rom
davadginoT a 2 -4a+3 gamosaxulebis niSani:
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi
cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
2) mocemulia ori piroba: I. a7. imisaTvis, rom
( 3a−7)( a−5)
davadginoT gamosaxulebis niSani:
2a+ 5
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi
cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
7.15. 1) a 2 -2a-15 gamosaxulebis niSnis dasadgenad Semdegi
ori pirobidan: I. a-2.
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc erTi
cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
3a−5 2)
2a+ 1
gamosaxulebis niSnis dasadgenad Semdegi ori
pirobidan: I. a>0; II. a

2
x − 3x
+ 6 2x
1) +
= 2
2 2x
x − 3x
+ 6
2
x + x − 5 3x
2) + + 4 = 0
2 x x + x − 5
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞
3) 7⎜
x + ⎟ − 2⎜
x + = 9
2 ⎟
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠
2
x 16 10 ⎛ x 4 ⎞
4) + = ⎜ −
2
⎟
9 x 3 ⎝ 3 x ⎠
7.18. ipoveT k -s is mniSvneloba, romlisTvisac:
2
1) x + kx + 15 = 0 gantolebis fesvi 5-is tolia
2
2) kx −13x + 2 = 0 gantolebis fesvi 2-is tolia
7.19. SekveceT wiladi
2
2
a + 5a
+ 6
a + 3a
+ 2
1)
2)
2
2
a + 4a
+ 4
a + 6a
+ 5
2
2
b
2
3)
a − 9ab
+ 14
2
a − ab − 2b
4)
2a
− ab − 3b
2
2
2a
− 5ab
+ 3b
7.20. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac:
1) ( x − 5 )( x − a)
= 0 gantolebas aqvs erTi amonaxsni.
2) ( a −1 ) x −1
= 0 gantolebis amonaxsnTa simravlea [ 1 ; ∞[
.
2
x + 3x
− 4
3) = 0 gantolebas aqvs erTi amonaxsni.
x − a
2
x − 7x
+ 10
4) = 0 gantolebas aqvs erTi amonaxsni.
x − a
ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle
(##7.21; 7.22):
2
x − 6x
+ 18
7.21. 1) > 0
x − 4
x − 3
2) < 0
2
− x + x −1
2
x + 2x
− 3
3) > 0
2
x − 2x
+ 8
2
7.22. 1) ( 3x
−1)( 4 − x)(
2x
− 3)
< 0
2
x − 3x
+ 10
4) < 0
2
x − x − 2
2
2) ( x −16)( x − 4)(
8 − x)
> 0
2
x + 5x
+ 4
3) < 0
2
x − 5x
− 6
2
x
− x − 6
4) < 0
2
x − 7x
+ 12
69
2
2

7.23. ipoveT C -s is mniSvneloba, romlisTvisac gantolebas
aqvs erTi fesvi
1) 4 12 0
2
x − x + C =
2) 16 24 0
2
x + x − C =
7.24. ipoveT C -s is udidesi mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs erTi fesvi
1) 9 1 0
2
x − Cx + =
2) 3 2 48 0
2
x + Cx + =
7.25. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs erTi amonaxsni:
2
1) − ( 2m
+ 8)
x + 9m
+ 22 = 0
x 2) x − ( 2m
+ 2)
x + 5m
+ 1 = 0
7.26. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas ara aqvs amonaxsni:
2
1) − 2(
m + 4)
x + 15m
+ 6 = 0
x 2) x + ( 4m
+ 2)
x + 8m
+ 9 = 0
7.27. ipoveT a parametris yvela im mniSvnelobebs Soris
udidesi mTeli, romlisTvisac gantolebas aqvs ori
amonaxsni:
2
1) 5(
10 − ) x −10x
+ 6 − a = 0
a 2) 5(
a + 4)
x −10x
+ a = 0
7.28. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis fesvebi:
1) ( − ) x − 3ax
+ a + 5 = 0
a 2) ( a + ) x + ax + a − 5 = 0
7.29. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs ori dadebiTi amonaxsni:
2
2 2
1) − ( 2m
−1)
x + m − 9 = 0
2
70
2
2
1 2
x 2) x − ( 2m
+ 4)
x + m − 4 = 0
7.30. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs ori uaryofiTi amonaxsni:
2
1) + 2(
a + 1)
x + a + 18 = 0
2
x 2) x − 2(
a − 5)
x + a −1
= 0
7.31. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs moduliT toli da niSniT
mopirdapire amonaxsnebi:
ax
7.32. ipoveT a, b, c, Tu:
2
2
1) x − ( a − 9)
x − 2a
+ 1 = 0
2 2
2) 2 + 2(
a − 3a
+ 2)
x + 2a
− 3 = 0
1) x 2 +bx+c=0 gantolebis amonaxsnebia 1 da 10, xolo
ax 2 +dx+c=0 gantolebis amonaxsnebia 2
da 5.
5
2) x 2 +bx+c=0 gantolebis amonaxsnebia -8 da 1, xolo
ax 2 +c=0 gantolebis erT-erTi amonaxsnia 2.
7.33. ipoveT p da q, Tu:
2
2
2
2
2

1) x 2 +px-12=0 da 3x 2 +6x+q=0 gantolebebs aqvT erTidaigive
amonaxsnebi;
2) 2x 2 +6x+q=0 da px 2 +3x-4=0 gantolebebs aqvT erTidaigive
amonaxsnebi.
!
!
%9/!jsbdjpobmvsj!hboupmfcfcj!eb!vupmpcfcj!
!
amoxseniT gantoleba (##8.1 - 8.5):
8.1. 1) 1 − 7x
= 6
A. -3 B. -4 C. -5 D. -6
2) 2 x + 0,
8 = 2
A. 1,6 B. 1,8 C. 2 D. 2,8
3) 2 + 5 − x = 6
A. 4 B. -4 C. -11 D. -10
4) 5 , 3 − 3x
+ 1 = 1,
3
A. 5 B. 8 C. 16 D. 24
8.2. 1) 3, 1x
+ 5 =
1
5 x −1,
5
5
1
A. 3
20
2
B. 3
19
4
C. 3
21
2
D. 3
21
2)
1
0, 3x
−1 =
3
5
2x
− 9
6
A. 3 B. 4 C. 5
1
D. 5
2
3)
1
0, 5x
+ 1 =
2
1
2 x − 0,
25
4
1
A.
2
1
B.
3
1
C.
4
D. 1
4)
1
− 2 x + 2,
3 =
3
1 3
1 x + 4
2 5
3
A.
5
2
B.
5
2
C. −
5
3
D. −
5
8.3. 1)
2
5 + 3x
− 4x
=
2
5 − 2x
− 3x
A. 5 B. 3 C. 1 D. 0
71

2)
1 2
2 x − 3,
5x
−1
=
3
1 2
−1
x + 7,
5x
−1
3
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3)
2 1 1
0,
5x
+ 1 x − =
2 2
1 2 1
2 x − 0,
25x
−
4
2
1
A.
3
B. 0
1
C.
2
D. 1
4)
2 1
2,
1x
− 3x
− =
2
1 2 1
1 x − 2x
−
2 2
A. 0
2
B. 1
3
C. 1
1
D. 1
2
8.4. 1) 9 4 1 3 1
2
x − x − = x −
A. 1 B. 0 C. 2 D. 2,5
2) 25 4 4 5 2
2
x − x − = x −
A. 2 B. 3
1
C.
2
1
D.
3
3) 5 − 2x
= x −1
A. 2 B. –2 C. 1 D. -1
4) 13 − 4x
= 2 − x
A. -1 B. 0 C. -2 D. -3
8.5. 1) 2x
+ 6 =
x + 3
x −1
A. -3 B. 3 C. -5 D. 5
2) 2x
+ 2 =
x + 1
x − 3
A. 1 B. -1 C. 7 D. -7
3) x − 3 =
4 − x
x − 2
1
A. 3
3
2
B. 3
3
1
C. 3
5
2
D. 3
5
4) x −1
=
3 − x
x + 5
A. 1,2 B. 1,3 C. 1,4 D. 1,5
72

amoxseniT utoloba (## 8.6; 8.7):
8.6. 1)
A. ] −∞ ;−1[
1 − 4x
> 1
B. ] −∞ ; 0[
C. ] ; 1[
2)
A. ] −∞ ; 5]
25 − 2x
≥ 3
B. ] −∞ ; 6]
C. ] ; 7]
3)
A. [ − 4 ; ∞[
3x + 12 > −1
B. [ − 3 ; ∞[
C. [ − ; ∞[
4)
A. ] −∞ ; 3]
14 − 2x
> −3
B. ] −∞ ; 5]
C. ] ; 7]
5)
A. ] −∞ ; 14[
3 x − 6 < 6
B. [ 2 ; 14[
C. [ ; 36[
6) 4 − x ≤ 3
; 4
; ∞
5;
4
73
−∞ D. ] −∞ ; 2[
−∞ D. ] −∞ ; 8]
2 D. [ − 1 ; ∞[
−∞ D. ] −∞ ; 14]
2 D. [ 4 ; 14[
A. ] −∞ ] B. [ 5 [ C. [ − ] D. [ − 4;
5]
2 >
8.7. 1) 20 − x 2
4;
0
; 4
A. ] − [ B. ] 0 [ C. ] − 4;
4[
D. ] − 2;
2[
2 ≥
2) 17 − 2x
3
2;
2
3;
3
A. [ − ] B. [ − ] C. [ − 2;
0]
D. [ − 3;
0]
2 ≥
3) 11+
x − x 3
3;
2
2;
3
A. [ − ] B. [ − ] C. [ − 2;
1]
D. [ − 1;
2]
4) 25 − x > −3
4;
4
5;
5
2
A. ] − [ B. [ − ] C. [ 0 ; 4[
D. [ 0 ; 5]
amoxseniT gantoleba (##8.8; 8.9):
8.8. 1) x + 7 + x − 2 = 3
2) 15 − x + 3 − x = 6
3) 2x − 5 + x − 6 = 2 x − 3 4) x + 1 − 9 − x = 2x
−12
8.9. 3 3
1) x + 34 − x − 3 = 1
3 3
2) 5x
+ 7 − 5x
−12
= 1
3) 4 x + x = 12
4) 4 x −1 + 6 x −1
= 16
amoxseniT utoloba (##8.10-8.13):
8.10. 1) 4 x − 6 < x + 3
2) 3 − 4x
≥ 2x
+ 7
3) 4 − x ≤ 4 + x
4) 4
− x > 4 + x

2
2
8.11. 1) x − 6x
+ 5 < x − 2x
− 3 2) x + 11 > x − 3x
−10
3) ( x −1) 2
x − x − 2 > 0 4) ( x − 3)
2
x + x − 2 < 0
8.12. 1)
x − 7
< 0
2
4x
−19x
+ 12
2)
2
17 −15x
− 2x
x + 3
> 0
3) ( x + 3) 6 − x
≥ 0
8 − x
4) ( x − 3) 6 + x
≤ 0
8 + x
8.13. 1) 9 x − 20 < x
2)
2
x − 4x
−12
< x −1
3) x + 3 > x + 1
4) x + 5x
+ 4 > x + 2
!
!
%:/!hboupmfcbUb!tjtufnfcj!
amoxseniT sistema (##9.1 - 9.6):
⎧4x
− 3y
= −19
⎧3x
− 4y
= 5
9.1. 1) ⎨
2) ⎨
⎩6x
+ 5y
= 38
⎩2x
+ 6y
= −1
1
1
1
1
A. x = ; y = -7 B. x = − ; y = 7 A. x = −1;
y = − B. x = 1;
y =
2
2
2
2
1
1
1
1
C. x = − ; y = -7 D. x = ; y = 7 C. x = 1;
y = − D. x = −1;
y =
2
2
2
2
⎧9x
+ y = −1
⎧5x
+ 3y
= −3
3) ⎨
4) ⎨
⎩3x
− 2y
= −5
⎩−
4x
+ 9y
= 10
1
1
2
2
A. x = − ; y = 2 B. x = , y = −2
A. x = -1; y = − B. x = 1;
y = −
3
3
3
3
1
1
2
2
C. x = − ; y = −2
D. x = ; y = 2. C. x = -1; y = − D. x = −1;
y =
3
3
3
3
⎧3(
x −1)
= 4y
+ 1
⎧4(
x + 2)
= 1−
5y
9.2. 1) ⎨
2) ⎨
⎩5(
y −1)
= x + 1
⎩3(
y + 2)
= 3 − 2x
A. x = −4;
y = −2
B. x = −4;
y = 2 A. x = −3;
y = 1 B. x = −3;
y = −1
C. x = 4;
y = −2
D. x = 4; y = 2. C. x = 3;
y = −1
D. x = 3;
y = 1
⎧15(
x + 1)
= 5 − 2y
⎧7(
x −1)
= 3y
− 8
3) ⎨
4) ⎨
⎩4(
y + 1)
= 2 − 3x
⎩5(
1−
y)
+ 12 = −4x
2
2
A. x = ; y = 0 B. x = − ; y = 1 A. x = 2;
y = −5
B. x = 5;
y
= 2
3
3
74
2
2

2
1
C. x = − ; y = 0 D. x = ; y=-1 C. x = 2;
y = 5 D. x = −2;
y = −5
3
3
⎧2x
+ 2y
= −1
⎧1,
5x− y=
2
9.3. 1) ⎨
2) ⎨
⎩−
0,
5x
+ 4y
= 2,
5
⎩2x+
3y= 0,5
1
1
1
1
A. x = ; y = −1
B. x = −1;
y = A. x = − ; y = 1 B. x = 1;
y = −
2
2
2
2
1
1
C. x = −1;
y = 0 D. x = ; y = 1 C. x = 1;
y = 0 D. x = ; y = −1
2
2
⎧3x
+ y = 2
⎧3x
+ y = −1
⎪
3) ⎨
4) ⎨1
2
⎩1,
5x
− 0,
5y
= −2,
5
⎪ x − 2 y = 3
⎩3
3
A. x = 2;
y = −1
B. x = −1;
y = −1
A. x = −1;
y = 1 B. x = 1;
y = 1
C. x = −1;
y = 2 D. x = −1;
y = −2
C. x = −1;
y = 2 D. x = 1;
y = −1
⎧ x y
⎧2x
y
⎪ − = 1
2 3
⎪ + = 11
9 4
9.4. 1) ⎨
2) ⎨
⎪ x 2y
+ = 8
⎪5x
y
+ = 19
⎪⎩
4 3
⎪⎩
12 3
A. x = 2;
y = 3 B. x = 4;
y = 5 A. x = 12;
y = 36 B. x = 36;
y = 12
C. x = 6;
y = 7 D. x = 8;
y = 9 C. x = 6;
y = 18 D. x = 18;
y = 6
⎧3x
2y
⎧ x y 5
⎪ + = 5
4 5
⎪ − =
2 6 2
3) ⎨
4) ⎨
⎪ x 3y
+ = 5
⎪3x
+ 2y
= 0
⎪⎩
2 5
⎪⎩
2
A. x = 2;
y = 3 B. x = 3;
y = 4 A. x = 4;
y = −3
B. x = −4;
y = 3
C. x = 4;
y = 5 D. x = 5;
y = 6 C. x = 6;
y = −5
D. x = −6;
y = 5
⎪⎧
x + y = 2
⎪⎧
3x
+ 2y
= 4
9.5. 1) ⎨
2)
2
⎨
2
⎪⎩ x + xy = 2
⎪⎩ 3xy
+ 2y
= 8
A. x = 1;
y = 1 B. x = 2;
y = −1
A. x = −2;
y = 5 B. x = 1;
y = 1
C. x = −1;
y = 2 D. x = −1;
y = −1
C. x = 0;
y = 2 D. x = 0;
y = −2
⎪⎧
x + y = 5
⎪⎧
x + y = 3
3) ⎨
4)
2 2
⎨ 2 2
⎪⎩ x − y = 5
⎪⎩ x − y = 3
A. x = 3;
y = 2 B. x = 4;
y = 1 A. x = 1;
y = 2 B. x = 2;
y = 1
C. x = 0;
y = 5 D. x = 5;
y = 0 C. x = 0;
y = 3 D. x = 3;
y
= 0
75

a m o x s e n i T s i s t e m a:
⎪⎧
2
2
x − xy − y + 99 = 0 ⎪⎧
2 2
x + y − 6y
= 0
9.6. 1) ⎨
2) ⎨
⎪⎩ x − y = −3
⎪⎩ y + 2x
= 0
⎪⎧
2
2
x − xy + y = 63
⎪⎧
2
2
y − 3xy
+ x − x + y + 9 = 0
3) ⎨
4) ⎨
⎪⎩ x − y = −3
⎪⎩ y − x = 2
9.7. ipoveT x -is mniSvnelobebs Soris udidesi, Tu ( x, y)
wyvili sistemis amonaxsnia
⎪⎧
2 2
x + y = 13
⎪⎧
2 2
x + y = 41
1) ⎨
2) ⎨
⎪⎩ xy = 6
⎪⎩ xy = 20
⎧x
+ y + xy = 3
3) ⎨
⎩(
x + y)
⋅ xy = 2
9.8. 1) ipoveT a, Tu 3x+2=x 2 +a=5x+6
2) ipoveT a, Tu x-2=7x+10=x 2 -a
⎧ x
⎪x
+ y + = 9
⎪ y
4) ⎨
⎪ x
( x + y)
⋅ = 20
⎪⎩
y
amoxseniT sistema (##9.9-9.10):
⎧1
1 5
⎪ + =
⎪ x y 6
9.9. 1) ⎨
⎪1
1 1
− =
⎪⎩
x y 6
⎧1
8
⎪ − = 8
⎪ x y
2) ⎨
⎪5
4
+ = 51
⎪⎩
x y
⎧ 2 6
⎪ + = 1,
1
⎪ x − y x + y
3) ⎨
⎪ 4 9
− = 0,
1
⎪⎩
x − y x + y
⎧ 27 32
⎪ + = 7
⎪2x
− y x + 3y
4) ⎨
⎪ 45 48
− = −1
⎪⎩
2x
− y x + 3y
9.10.
⎪⎧
x +
1) ⎨
⎪⎩ xy = 4
y = 3
⎪
⎧
2) ⎨
⎪⎩
x + y = 5
xy = 6
⎧x
+ y = 10
⎪
3) ⎨ x y 5
⎪ + =
⎩ y x 2
⎧x
− y = 5
⎪
4) ⎨ x y 5
⎪ − =
⎩ y x 6
9.11. a -s ra mniSvnelobisaTvis aqvs sistemas erTi amonaxsni:
76

⎧4x
+ 3y
= 12
1) ⎨
⎩2x
+ ay = 5
⎧3x
+ 8y
= 10
2) ⎨
⎩x
− ay = 7
9.12. a parametris ra mniSvnelobisaTvis ara aqvs sistemas
amonaxsni:
⎧(
3 + a)
x + 4y
= 5 − 3a
1) ⎨
⎩2x
+ ( 5 + a)
y = 8
⎧(
a + 5)
x + ( 2a
+ 3)
y = 7
2) ⎨
⎩(
3a
+ 10)
x + ( 5a
+ 6)
y = 16
9.13. a parametris ra mniSvnelobisaTvis aqvs sistemas amonaxsnTa
usasrulo simravle:
⎧(
3 + a)
x + 4y
= 5 − 3a
⎧(
a + 5)
x + ( 2a
+ 3)
y = 7
1) ⎨
2) ⎨
⎩2x
+ ( 5 + a)
y = 8
⎩(
3a
+ 10)
x + ( 5a
+ 6)
y = 16
9.14. ipoveT naturalur ricxvTa yvela iseTi ( x, y)
wyvili,
romelic akmayofilebs tolobebs:
1) xy = 7
2) ( x −1 )( y + 2)
= 5
3) ( + 3 )( y −1)
= 15
x 4) x − y = 21
5) x − y = ab
2 2
, sadac a > b > 2 , a da b martivi ricxvebia.
6) x 2 y=200 7) x 2 y-x 2 =49
8) 3 x + 4y
= 24
9) 2 x + 3y
= 30
10) ax + by = 4ab
, sadac a > b , a da b urTierTmartivi
naturaluri ricxvebia.
9.15. ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac sistemis
amonaxsni akmayofilebs miTiTebul pirobas.
⎧3x−
2y
= a
1) ⎨ x > y
⎩x+
2y = a−2,
2) 2 2 ⎧ x+ y = a+
⎨ x+ y > 1
⎩x−
3y = 5,
3) 2 3 5 ⎧ x− ay =
⎨ x+ y < 1
⎩x+
3y = 2,
4) 3 ⎧ x+ y = a
⎨
⎩x+
2y = 2a+ 1,
!
77
x > 3y
2
2

$10. modulis Semcveli wrfivi gantolebebi da
utolobebi
10.1. amoxseniT gantoleba:
1) x −1 = 2x
− 3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
2) x + 1 = 3 − 2x
1
A.
3
1
B. −
3
2
C. −
3
2
D.
3
3) x − 2 = 3x
−1
A. 0,75 B. –0,75 C. 0,5 D. –0,5
4) x + 2 = 1−
3x
A. 0,25 B. –0,25 C. 0,75 D. –0,75
10.2. amoxseniT gantoleba da ipoveT umciresi fesvi:
1) 3 − x = 2,
5
1
A.
2
1
B. −
2
1
C.
3
1
D. −
3
2) x −1
= 2
A. 3 B. -1 C. 2 D. -2
3) 3 x −1 = x + 1
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0
4) 5 x − 3 = 2 − x
5
A.
6
1
B.
4
C. 0
1
D. −
4
10.3. amoxseniT gantoleba da ipoveT udidesi fesvi:
1) 5 x + 3 = 2
1
A. −
5
B. -1 C. 1
1
D.
5
2) 6 x − 7 = 3
2
A. 1
3
B. 2
2
C.
3
1
D. 1
3
3) 4 x − 3 = x + 2
3
A.
5
3
B. 1
4
1
C.
5
2
D. 1
3
78

4) 6 x − 8 = 3 − x
A. 2
6
B. 1
7
4
C. 1
7
D. 1
amoxseniT utoloba (##10.4; 10.5):
10.4. 1) x − 2 ≤ 3
A. [ − 3;
3]
B. [ − 1;
5]
C. [ − 2;
4]
D. ] − 1;
5[
2) 1 − x > 10
A. ] −∞ ; −9[
U ] 11;
∞[
B. ] − 9;
11[
3) x + 4 ≤ 3
C. ] − 8;
10[
D. ] − 9 ; ∞[
A. ] − 7 ; ∞[
B. ] −∞ ;−1]
4) 3x + 4 ≥ 1
C. [ − 7; −1]
D. ] −∞ ; −7]
U [ −1;
∞[
⎡ 2 ⎤
⎡ 2 ⎡ ⎤ 2⎤
A. ⎢−1
; −1⎥
B. ] −∞ ;−1]
C.
⎣ 3
⎢−
1 ; ∞⎢
D. [ − ∞[
⎦
⎣ 3 ⎥−
∞;
−1
⎥ U 1;
⎣ ⎦ 3⎦
10.5. 1) x − 4 ≥ 3x
− 5
⎤ 1 ⎤
A. ⎥−
∞;
2 ⎥
⎦ 4⎦
⎤ 1 ⎤
B. ⎥−
∞;
⎥
⎦ 2⎦
⎡1
1 ⎤
C. ⎢ ; 2 ⎥
⎣ 2 4⎦
⎡ 1 ⎡
D. ⎢2
; ∞⎢
⎣ 4 ⎣
2) 3 − 2x
< 3x
+ 2
A. ] − 5 ; ∞[
⎤ 1⎡
B. ⎥−
5 ; ⎢
⎦ 5⎣
⎤1 ⎡
C. ⎥ ; ∞⎢
⎦5
⎣
⎤ 1⎡
D. ⎥−
∞;
⎢
⎦ 5⎣
3) 5 x − 4 > x + 2
⎤ 1⎡
⎤ 1 ⎡ ⎤1
1 ⎡ ⎤ 1⎡
⎤ 1 ⎡
A. ⎥−
∞;
⎢ B.
⎦ 3
⎥1
; ∞⎢
C.
⎣ ⎦ 2
⎥ ; 1 ⎢ D.
⎣ ⎦3
2
⎥−
∞;
⎢ U ⎥1
; ∞⎢
⎣ ⎦ 3⎣
⎦ 2 ⎣
4) 3 x − 2 < 2x
+ 5
⎤ 3 ⎡
−∞ B. ⎥−
; 7⎢
⎦ 5 ⎣
A. ] ; 7[
⎤ 3 ⎡
C. ⎥−
; ∞⎢
⎦ 5 ⎣
79
⎤
⎥
⎦
3⎡
5
⎢
⎣
D. − ∞;
− U ] 7;
∞[
10.6. amoxseniT gantoleba:
1) 5 − x = x + 4
3) 5 − 2x
+ x + 3 = 2 − 3x
2) x −1 + x − 3 = 2 4) 2 x − 5 − 3x
= x + 7
10.7. amoxseniT utoloba:
1) 2x + 3 > x − 2
3) 2 x
− 7 − x + 5 < 1

2) 4 x + 1 − 3x
+ 2 < 0 4) x −1 + 2x
+ 1 > 3 .
$11. modulis Semcveli kvadratuli gantolebebi
da utolobebi
amoxseniT gantoleba (##11.1; 11.2):
11.1.
2
1) x −1
= 3
A. ± 2 B. ± 3 C. 2 D. ± 4
2
2) x − 5 = 4
A. ± 3 B. ± 1; ± 4 C. ± 1 D. ± 3; ± 1
2
3) x + 4x
+ 5 = 2
A. 3 B. –3; -1 C. 1; 3 D. –4; 0
2
4) x − 5x
+ 7 = 1
A. –2; 3 B. 3; 0 C. 2; 3 D. 1
11.2.
2 2
1) x − 4 + x − 3x
+ 2 = 0
A. -2 B. 1 C. 2 D. 4
2
2
2) 3 x − 9 + 2 4x
− x − 3 = 0
A. -3 B. 3 C. 1 D. 2
2
2
3) x + 5x
+ 6 + 2 − x − x = 0
A. -2 B. -3 C. 1 D. 2
2
2
4) 2 x − 6x
+ 8 + 34
+ 3x
− x = 0
A. -1 B. 2 C. -2 D. 4
11.3. ipoveT gantolebis udidesi amonaxsni:
2
1) x + 3 x −1
− 7 = 0
A. -5 B. 2 + 3 C. 4 D. 2
2
2) x − 5x
+ 9 = x − 6
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2
11.4. ipoveT gantolebis umciresi amonaxsni:
1) x − x − 3 = 9x
+ 8
A. -5 B. 2 C. 4 D. -1
2
2) x
− 6 = x − 7x
+ 1
3 2
80

A. 1 B. 7 C. 3 − 14 D. 3 + 14
11.5. ipoveT gantolebis amonaxsnTa jami:
16
1) = x − 5
x − 5 − 6
A. 10 B. -3 C. 13 D. 16
8
2) x −1
− = 0
x −1
A. -3 B. -5 C. 2 D. 5
amoxseniT utoloba (##11.6; 11.7):
11.6.
2
1) x − 6 < 3
A. ] − 3;
3[
B. ] 3;
0[
2
2) x − 9 ≤ 7
A. [ 4; − 2]
U [ 2;
4]
− C. ] 3; − 3[
U ] 3;
3[
− B. [ 4;
4]
A. ] 3;
6[
A. ] 0;
1[
2
3) x − 5x
< 6
81
− D. ] 0;
3[
− C. [ 2 ; 4]
D. [ − 4; − 2]
B. ] − 1; 2[
U ] 3;
6[
C. ] 3;
6[
2
4) x − 5x
+ 5 < 1
B. ] 0;
4[
11.7. 1) x − 4 > 3
A. ] 1;
1[
2
− B. ] − ∞ − 7[
] 7;
∞[
A. ] [ ] [
A. ] −∞ ;−2[
B. ] − ; ∞[
D. ] − 3; 1[
U ] 3;
6[
C. ] − 5; −1[
D. ] 1;
2[
U ] 3;
4[
D. ] − ∞;
− 7[
U ] −1;
1[
U ] 7;
∞[
; U C. ] 1;
7[
2
2) x − 2 > 2
− ∞;
−2
U 2;
∞ B. ] 2;
∞[
C. ] −∞ ;−2[
D. ] 0;
2[
2
3) x − 4x
− 2 > 6
2 C. ⎤−∞; − 2 3 ⎡U ⎤ 2+ 2 3; ∞⎡
D. ] 0;
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
12[
2
4) x − 2x
> 3
−∞ ;−3
B. ] − ∞;
−1[
U ] 3;
∞[
C. ] 3;
∞[
D. ] −
1;
3[
A. ] [

11.8. amoxseniT gantoleba
1) x − 2 ( x − 5)
= ( x − 2)
2
2
3) ( x − 5x
+ 6)
⋅ 9 − x = 0
2) x − 6 ⋅ ( x − 2)
+ 2 − x = 0
2
4) x − 8(
x − 2)
= ( x − 2)
amoxseniT utoloba (##11.10; 11.11):
11.9.
2
x −1
1) < 2
x + 4
2
x −12
3) ≥ 1
2
x + 4
x − 3x
+ 1
2) < 1
2
x + x + 1
11.10.
x + 4 − 3
1) <
4
1
x + 4
2)
2
x + 2 − 5 1
<
6 x + 2
82
2
x − 2x
+ 1
4) > 1
x − 3
3)
4)
x − 3 − 3
<
10
1
x − 3
x + 3 − 2
<
3
1
x + 3
$12. algebruli amocanebi
!
12.1. giorgim, daTom da beqam 62 kakali Seagroves. da-
Tom Seagrova 4-iT naklebi, vidre beqam da 2-iT meti, vidre
giorgim. ramdeni kakali Seagrova giorgim?
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
12.2. sam klasSi 119 moswavlea. pirvel klasSi moswavleTa
ricxvi 4-iT metia, vidre meore klasSi da 3-iT naklebi,
vidre mesame klasSi. ramdeni moswavlea meore klas-
Si?
A. 40 B. 43 C. 36 D. 20
12.3. nakveTidan Seagroves 1800 kg bostneuli. kartofili
iyo 5-jer meti, vidre Warxali, xolo kombosto 120 kgiT
meti, vidre Warxali. ramdeni kilogrami kartofili
Seagroves?
A. 1200 B. 1000 C. 1400 D. 1100
12.4. giorgim, daTom da Tornikem kalaTburTis TamaSisas
sul 60 qula daagroves. giorgim 3-jer meti qula daagrova,
vidre daTom, xolo Tornikem 20 quliT naklebi,
vidre giorgim da daTom erTad. ramdeni qula daagrova giorgim?
A. 40 B. 20 C. 30 D. 10
12.5. oTx momdevno mTel ricxvs Soris umciresi ricxvi

2
warmoadgens udidesi ricxvis nawils. ipoveT am ricx-
3
vebs Soris udidesi.
A. 9 B. 8 C. 10 D. 12
12.6. oTx momdevno mTel ricxvs Soris umciresi ricxvi
warmoadgens udidesi ricxvis 80%-s. ipoveT am ricxvebs
Soris umciresi.
A. 13 B. 10 C. 12 D. 11
12.7. naturaluri ricxvi Cawerilia 2-ianebis jamis saxiT.
Tu igive ricxvs CavwerT 5-ianebis jamis saxiT, maSin
pirvel CanawerSi 2-ianebis raodenoba aRmoCndeba 90-iT meti,
vidre meore CanawerSi 5-ianebis raodenoba. ipoveT es
naturaluri ricxvi.
A. 240 B. 420 C. 100 D. 300
12.8. mocemuli rva ricxvis saSualo ariTmetikulia 60.
am ricxvebidan erT-erTi 130-is tolia. ipoveT danarCeni
Svidi ricxvis saSualo ariTmetikuli.
A. 40 B. 60 C. 50 D. 45
12.9. mocemuli TxuTmeti ricxvis saSualo ariTmetikulia
46. am ricxvebidan Svidi ricxvis saSualo ariTmetikuli
30-is tolia. ipoveT danarCeni rva ricxvis saSualo
ariTmetikuli.
A. 60 B. 70 C. 80 D. 65
12.10. skolis moswavleTa meoTxedi TamaSobs fexburTs
da maTi saSualo asakia 12 weli, naxevari TamaSobs kalaTburTs
da maTi saSualo asakia 14 weli, xolo danarCeni
moswavleebis saSualo asakia 8 weli. ipoveT skolis moswavleTa
saSualo asaki.
A. 14 B. 10 C. 8 D. 12
12.11. auditoriaSi ramdenime studenti imyofeboda. Sem-
TxveviT aRmoaCines, rom maTi saSualo asaki maTi raodenobis
toli iyo. rodesac auditoriaSi Sevida 39 wlis profesori,
auditoriaSi myofTa saSualo asaki isev maTi raodenobis
toli aRmoCnda. ramdeni studentia auditoriaSi?
A. 17 B. 22 C. 20 D. 19
12.12. erT avzSi orjer meti benzinia, vidre meoreSi.
Tu pirveli avzidan meoreSi gadavasxamT 25 l benzins, ma-
Sin orive avzSi benzinis raodenoba gaTanabrdeba. ramdeni
litri benzini iyo pirvel avzSi?
A. 50 B. 100 C. 75 D. 120
12.13. erT sawyobSi 200 tona naxSiria, meoreSi ki _ 60
tona. yoveldRiurad TiToeul sawyobSi SeaqvT 20 tona
83

naxSiri. ramdeni dRis Semdeg iqneba pirvel sawyobSi 2-jer
meti naxSiri, vidre meoreSi?
A. 3 B. 5 C. 6 D. 4
12.14. erT sawyobSi 120 t xorbalia, meoreSi ki _ 150 t.
pirveli sawyobidan yoveldRiurad gahqondaT 8 t xorbali,
meoredan ki _ 12 t. ramdeni dRis Semdeg iqneba meore
sawyobSi xorblis raodenoba pirvelSi darCenili xor-
3
nawili?
blis 4
A. 10 B. 12 C. 9 D. 8
12.15. erTi da igive manZilis gasavlelad giorgis sWirdeba
90 nabijiT metis gadadgma, vidre daTos. ramdeni nabiji
gadadga daTom am manZilis gavlis dros, Tu 7 nabijis
gadadgmiT is gadis igive manZils, rasac giorgi 10 nabijis
gadadgmiT?
A. 90 B. 150 C. 210 D. 300
12.16. erTi skolis moswavleebma Seagroves 200 lari da
iyides Teatrisa da kinos 55 bileTi. Teatris ramdeni bileTi
uyidiaT, Tu Teatris erTi bileTi Rirda 5 lari,
xolo kinos erTi bileTi _ 2 lari?
A. 40 B. 35 C. 25 D. 30
12.17. moswavlem 3 rveulsa da 2 fanqarSi gadaixada 65
TeTri. meore moswavlem iseTive 2 rveulsa da 4 fanqarSi
gadaixada 70 TeTri. ramdeni TeTri Rirs erTi rveuli?
A. 15 B. 20 C. 25 D. 10
12.18. sagamocdo bileTi Sedgeba erTquliani, orquliani
da samquliani kiTxvebisagan. sul bileTSi aris 20 ki-
Txva da maTi qulebis jamia 34. erTquliani kiTxvebi imdenia,
ramdenic orquliani da samquliani kiTxvebi erTad.
ramdeni samquliani kiTxvaa am bileTSi?
A. 4 B. 6 C. 2 D. 8
12.19. ramdeni lari Rirs wigni, Tu 16 wigni Rirs imdeni
lari, ramdeni wignic SeiZleba viyidoT 100 larad?
A. 2 B. 2,5 C. 3 D. 3,5
12.20. proporciis pirveli sami wevris jami udris 58-s.
2
mesame wevri Seadgens pirveli wevris , xolo meore pir-
3
velis _ 4
3 nawils. ipoveT proporciis meoTxe wevri.
A. 12 B. 10 C. 14 D. 8
12.21. dadebiTi ricxvebis mier Sedgenili proporciis
84

kidura wevrebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:1, xolo
Sua wevrebis namravlia 12. ipoveT proporciis kidura
wevrebs Soris udidesi.
A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
12.22. ori ricxvi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc
3:2. Tu maT Soris umciress gavyofT 4-ze, udidess ki gavyofT
9-ze, maSin pirveli ganayofi 4-iT meti iqneba meore
ganayofze. ipoveT am ricxvebs Soris umciresi.
A. 72 B. 48 C. 56 D. 64
12.23. erTidaigive sasworze givis wona 42 kg gamovida,
xolo gelas wona _ 38 kg. roca biWebi sasworze erTad
dadgnen sasworma 74 kg uCvena. mxolod amis Semdeg aRmoa-
Cines, rom sasworze wonis ararsebobis dros sasworis
isari “0” niSans ar uCvenebs. ras udris givis wona sinamdvileSi?
A. 38 kg B. 36 kg C. 42 kg D. 40 kg
12.24. qsovilis fasma daiklo 30%-iT, ris Semdeg qsovilis
fasi gaxda 42 lari. ramdeni lari Rirda qsovili Tavdapirvelad?
A. 48 B. 50 C. 60 D. 65
12.25. meanabres bankSi axla aqvs 327 lari. ramdeni lari
Seitana man erTi wlis win, Tu wliuri danaricxia 9%?
A. 310 B. 280 C. 300 D. 290
12.26. qsovilis fasma moimata Tavisi fasis 8,5%-iT da
gaxda 43,4 lari. ra Rirda (larebSi) qsovili fasis momatebamde?
A. 39 B. 38 C. 41 D. 40
12.27. erT avzSi 50 litri benzinia, meoreSi _ 35 litri.
pirveli avzis benzinis raodenobis ramdeni procenti unda
gadavasxaT pirveli avzidan meoreSi, rom orive avzSi benzinis
raodenobebi gaTanabrdes?
A. 20 B. 18 C. 10 D. 15
12.28. qsovilis fasma jer 40%-iT daiklo, xolo Semdeg
pirvelad daklebuli Tanxis 25%-iT gaiafda, ris Semdegac
qsovilis fasi 60 lari gaxda. ra Rirda qsovili Tavdapirvelad?
A. 110 B. 120 C. 130 D. 140
12.29. sofelSi TiToeul ojaxs hyavs Zroxa an cxeni.
Zroxa hyavs ojaxebis 80%-s, xolo cxeni _ 45%-s. sofelSi
mcxovreb 40 ojaxs hyavs Zroxac da cxenic. sul ramdeni
ojaxia am sofelSi?
A. 200 B. 160 C. 100 D. 120
85

12.30. benzinis fasi gaormagda. ramdeni procentiT unda
daiklos fasma, rom igi daubrundes Zvel fass?
A. 50 B. 25 C. 20 D. 75
12.31. produqciis fasi 5-jer gaiazarda. ramdeni procentiT
unda daiklos fasma, rom igi daubrundes Zvel fass?
A. 20 B. 50 C. 75 D. 80
12.32. baRSi naZvis xeebis raodenoba aris xeebis saerTo
raodenobis 20%. 5 naZvis xis dargvis Semdeg baRSi naZvis
xeebis raodenoba gaxda 25%. ramdeni xe iyo darguli ba-
RSi Tavdapirvelad?
A. 25 B. 50 C. 75 D. 150
1
12.33. meanabrem bankidan gamoitana Tavisi Tanxis na-
6
wili, ris Semdeg bankSi darCa 800 lari. ramdeni lari
hqonda meanabres bankSi?
A. 1000 B. 980 C. 960 D. 940
12.34. avtomobiliT meore mgzavrobisas daixarja pirve-
1
li mgzavrobisas daxarjuli benzinis nawili. ramdeni
8
litri benzini daxarjula pirveli mgzavrobisas, Tu orive
mgzavrobisas daixarja 54 litri benzini?
A. 44 B. 50 C. 48 D. 46
12.35. moswavlem meore dRes waikiTxa pirvel dRes waki-
1
Txuli wignis gverdebis raodenobis nawili. ramdeni
11
gverdi waukiTxavs moswavles pirvel dRes, Tu orive dRes
wakiTxuli aqvs 180 gverdi?
A. 165 B. 175 C. 160 D. 170
2
12.36. avzidan gamouSves masSi arsebuli wylis nawi-
5
li, Semdeg isev gamouSves darCenili wylis 4
1 nawili. ramdeni
litri wyali iyo avzSi Tavdapirvelad, Tu sabolood
masSi darCa 450 litri wyali?
A. 800 B. 1000 C. 600 D. 900
12.37. matarebeli 300 metri sigrZis xids gadis 2 wuTSi,
xolo satelegrafo boZs Cauvlis naxevar wuTSi. ras udris
matareblis sigrZe?
A. 80 m B. 100 m C. 150 m D. 200 m
12.38. pirvel brigadas mosavlis aReba SeuZlia 4 dReSi,
meores ki 6 dReSi. ramden dReSi aiRebs mosavals orive
86

igada erTad?
A. 2,8 B. 2,4 C. 2,6 D. 2,5
12.39. pirveli mili avzs avsebs 18 saaTSi, meore ki 24
7
saaTSi. ramden saaTSi aavsebs avzis nawils orive mili
12
erTad muSaobiT?
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
12.40. orma brigadam mosavlis aReba daamTavra 12 dReSi.
ramden dReSi aiRebs mosavals marto meore brigada, Tu
igive samuSaos Sesruleba marto pirvel brigadas SeuZlia
20 dReSi?
A. 28 B. 32 C. 30 D. 24
12.41. ori traqtori, romelTagan pirveli 4-jer mZlavria
meoreze, erTad muSaobiT mindors xnavs 20 saaTSi. ramden
saaTSi moxnavs igive mindors marto pirveli traqtori?
A. 75 B. 100 C. 50 D. 25
12.42. ori traqtoridan pirveli 5-jer mZlavria meoreze.
ramdeni dRe dasWirdeba pirvel traqtors im samuSaos
Sesasruleblad, rasac orive traqtori erTad 20 dReSi
akeTebs?
A. 21 B. 22 C. 24 D. 25
12.43. turistma mTeli gzis 0,6 nawili gaiara motocikliT,
xolo danarCeni _ velosipediT. motocikliT moZraobisas
man daxarja 3-jer naklebi dro, vidre velosipediT
mgzavrobisas. ramdenjer swrafad moZraobs turisti motocikliT,
vidre velosipediT?
A. 4-jer B. 2,5-jer C. 6-jer D. 4,5-jer
12.44. turistma mTeli gzis 0,8 nawili gaiara velosipediT,
xolo danarCeni gza fexiT. velosipediT is moZraobs
2-jer meti siCqariT, vidre dadis fexiT. ramdenjer metia
fexiT moZraobisas daxarjuli dro velosipediT mgzavrobisas
daxarjul droze?
A. 4-jer B. 2-jer C. 2,5-jer D. 3-jer
12.45. gemma manZili or navsadgoms Soris gaiara mdinaris
dinebis mimarTulebiT 4 saaTSi, mdinaris dinebis sawinaaRmdego
mimarTulebiT _ 5 saaTSi. ipoveT manZili navsadgomebs
Soris, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2 km/sT.
A. 60 km B. 100 km C. 80 km D. 90 km
12.46. katerma mdinaris dinebis mimarTulebiT 5 saaTSi
imdeni kilometri gacura, ramdenic 6 sT 15 wT-Si mdinaris
87

dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT. ipoveT kateris siCqare
mdgar wyalSi, Tu mdinaris dinebis siCqarea 2,4 km/sT.
A. 20,4 km/sT B. 21,8 km/sT C. 21,6 km/sT D.22,4 km/sT
12.47. velosipedistma soflidan qalaqSi mgzavrobas da
ukan dabrunebas moandoma 2 saaTi da 45 wuTi. ipoveT manZili
soflidan qalaqamde, Tu qalaqSi velosipedisti moZraobda
12 km/sT siCqariT, ukan ki 10 km/sT siCqariT.
A. 20 km B. 12 km C. 15 km D. 18 km
12.48. matarebeli manZils A qalaqidan B qalaqamde gadis
10 sT 40 wuTSi. matareblis siCqare rom 10 km/sT-iT naklebi
iyos, maSin is B qalaqSi Cava 2 sT 8 wuTiT gvian. ipoveT
matareblis siCqare.
A. 65 km/sT B. 60 km/sT C. 50 km/sT D. 55 km/sT
12.49. soflidan qalaqisaken miemgzavrebian avtomobili
da avtobusi, xolo qalaqidan soflisaken modian velosipedisti
da motociklisti. avtobusi da motocikleti erTmaneTs
uaxlovdeba 90 km/sT siCqariT, avtomobili da motocikleti
_ 110 km/sT siCqariT, xolo avtomobili da velosipedi
_ 80 km/sT siCqariT. ra siCqariT uaxlovdeba er-
TmaneTs avtobusi da velosipedi?
A. 60 km/sT B. 80 km/sT C. 65 km/sT D. 90 km/sT
12.50. nika, giga da luka erTdroulad iwyeben sirbils
2000 metrian distanciaze mudmivi siCqariT. rodesac nikam
miaRwia finiSis xazs is gigas uswrebda 200 metriT, xolo
lukas 1100 metriT. ramdeni metri darCeba lukas finiSamde,
rodesac giga gadakveTs finiSis xazs?
A. 900 B. 1000 C. 1100 D. 1200
12.51. etlis erTi borblis wrewiris sigrZe udris 24
dm-s, meoresi ki 14 dm-s. ramden bruns gaakeTebs meore borbali
garkveuli manZilis gavlisas, Tu pirveli akeTebs 84
bruns?
A. 176 B. 170 C. 172 D. 144
12.52. ori matarebeli gavida qalaqidan erTidaigive mimarTulebiT.
pirveli matarebeli saaTSi gadis 36 kilometrs,
xolo meore_48 km-s. ramdeni saaTis Semdeg daeweva
meore matarebeli pirvels, Tu viciT, rom pirveli matarebeli
gasuli iyo 2 saaTiT adre meoreze?
A. 8 B. 7 C. 6 D. 9
12.53. ori avtomobili gavida qalaqidan erTidaigive mimarTulebiT.
pirveli avtomobilis siCqarea 60 km/saaTi, xolo
meoresi _ 75 km/saaTi. meore avtomobilis gasvlidan
88

amdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris manZili 180 km, Tu
pirveli avtomobili gasuli iyo 2 saaTiT adre meoreze?
A. 24 B. 16 C. 12 D. 20
12.54. avtomobili moZraobs 60 km/sT siCqariT. ra siCqariT
unda imoZraos man, rom yoveli kilometri 1
3 wuTiT
Cqara gaiaraos?
A. 100 km/sT B. 80 km/sT C. 90 km/sT D. 120 km/sT
12.55. avtomobilis siCqarea 60 km/sT da igi yovel kilometrs
gadis avtobusze naxevari wuTiT ufro swrafad.
ipoveT avtobusis siCqare.
A. 70 km/sT B. 60 km/sT C. 40 km/sT D. 30 km/sT
12.56. velosipedisti dabidan qalaqSi Casvlas andomebs
8 saaTs, xolo motociklisti 6 saaTs. ramden saaTSi daeweva
motociklisti velosipedists, Tu velosipedisti 1
saaTiT adre gava dabidan?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
12.57. imis gamo, rom TavlaSi 30 axali cxeni moiyvanes
Tivis maragi, romelic 60 dRisTvis iyo gaTvaliswinebuli,
50 dReSi daixarja. ramdeni cxeni hyavdaT TavlaSi Tavdapirvelad?
A. 120 B. 150 C. 160 D. 180
12.58. A punqtidan ori mimarTulebiT, romelTa Soris
kuTxe 120°-ia, erTdroulad gavida avtomobili da avtobusi.
maTi siCqareebia Sesabamisad 90 km/sT da 30 km/sT. ipoveT
avtomobilsa da avtobuss Soris manZili moZraobis
dawyebidan 40 wuTis Semdeg?
A. 10 10 km B. 20 13 km C. 20 km D. 10 km
12.59. Tu marTkuTxedis sigrZes SevamcirebT 4 sm-iT, xolo
mis siganes gavadidebT 7 sm-iT, maSin miviRebT kvadrats,
romlis farTobi 100 kv. sm-iT meti iqneba marTkuTxedis
farTobze. ipoveT kvadratis gverdi.
12.60. marTkuTxedis sigrZe 3-jer metia mis siganeze. Tu
marTkuTxedis siganes gavadidebT 4 m-iT, xolo mis sigrZes
SevamcirebT 5 m-iT, maSin marTkuTxedis farTobi 15 kv.m-iT
gadiddeba. ipoveT marTkuTxedis perimetri.
12.61. fotografiul suraTs, zomiT 12sm× 18sm erTnairi
siganis CarCo aqvs. ramdeni santimetria CarCos sigane, Tu
89

misi farTobi udris suraTis farTobs?
12.62. yvavilnari, romelsac marTkuTxedis forma aqvs
2m da 4m gverdebiT, erTnairi siganis bilikiT aris Semovlebuli.
ramdeni metria bilikis sigane, Tu misi farTobi
9-jer metia yvavilnaris farTobze?
12.63. miwis ori nakveTi, romelTagan erTs wris forma
aqvs, meores ki kvadratis, SemoRobilia mavTulbadeebiT.
TiToeuli mavTulbadis sigrZe 100 metria. romeli nakve-
Tis farTobi metia da ramdeniT?
12.64. miwis ori nakveTi, romelTagan erTs wris forma
aqvs, meores ki kvadratis, SemoRobilia mavTulbadeebiT.
TiToeuli nakveTis farTobia 100 m 2 . romeli nakveTis SemoRobaze
daixarja meti mavTulbade da ramdeniT?
12.65. miwis nakveTi, romlis farTobi 864 heqtaria, gayofilia
sam yanad. mesame yanis farTobi udris pirveli ori
yanis farTobTa jams. ipoveT meore yanis farTobi, Tu viciT,
rom misi farTobi ise Seefardeba pirveli yanis far-
Tobs, rogorc 5:11.
12.66. miwis sami nakveTis farTobi ise Seefardeba erT-
3 5 3
maneTs, rogorc 2 : 1 : 1 . cnobilia, rom pirveli nakveTi-
4
6
8
dan 72 centneriT ufro meti marcvalia aRebuli, vidre meore
nakveTidan. ipoveT mesame nakveTis farTobi, Tu saSualo
mosavlianoba Seadgens 18 centners 1 ha farTobze.
12.67. pirveli ricxvi ise Seefardeba meores, rogorc
3:4, xolo meore mesames, rogorc 8:21. ipoveT pirveli ricxvis
Sefardeba mesamesTan.
12.68. oTxi ricxvidan pirveli sami ricxvi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 4:2:3, xolo mesame ricxvi ise Seefardeba
meoTxe ricxvs, rogorc 4:1. rogori proporciiT
Seefardebian mocemuli oTxi ricxvi erTmaneTs?
12.69. or WurWelSi, romelTagan TiToeulis tevadobaa
100 litri, wylis garkveuli raodenoba asxia. Tu pirveli
WurWlis wylis mesameds gadavasxamT meore WurWelSi, ma-
Sin meore WurWeli aivseba. xolo, Tu meore WurWlis
wylis naxevars gadavasxamT pirvelSi, maSin pirveli Wur-
Weli aivseba. ramdeni litri wyali asxia TiToeul WurWelSi?
12.70. wiladis mricxveli 2-iT naklebia mniSvnelze. Tu
wiladis mricxvels SevamcirebT 3-jer, xolo mniSvnels
90

mivumatebT 3-s, maSin miviRebT 8
1 -s. ipoveT wiladi.
12.71. wiladis mniSvneli 4-iT metia mis mricxvelze. Tu
am wiladis mricxvels mivumatebT 11-s, mniSvnels ki gamovaklebT
erTs, maSin miviRebT mocemuli wiladis Sebrunebul
wilads. ipoveT wiladi.
12.72. meTevzeTa brigadas yoveldRiurad unda daeWira
60 c Tevzi. brigada yoveldRiurad iWerda 5 c-s gegmis zeviT,
amitom, vadamde 3 dRiT adre ara marto Seasrula gegma,
aramed daiWira kidev gegmis zeviT 120 c Tevzi. ramdeni
centneri Tevzi unda daeWira brigadas gegmiT?
12.73. fermers gansazRvruli vadisaTvis unda daeTesa
200 ha, magram igi yoveldRiurad 5 heqtariT mets Tesavda,
vidre hqonda gaTvaliswinebuli, da amitom Tesva vadaze 2
dRiT adre daamTavra. ramden dReSi daamTavra fermerma
Tesva?
12.74. gegmiT yoveldRiurad yvela cxenisaTvis gaicema
96 kg Tiva. Tu cxenebis raodenoba 2-iT Semcirdeba, maSin
TiToeuli cxenisaTvis yoveldRiuri ulufa gadiddeba 4
kg-iT. ramdeni cxeni iyo Tavdapirvelad?
12.75. 15t bostneulis gadasazidad moTxovnili iyo gansazRvruli
tvirTmzidaobis ramdenime sabarguli. aseTi
tvirTmzidaobis sabargulebis uqonlobis gamo gaigzavna
0,5 toniT naklebi tvirTmzidaobis sabargulebi da aseTi
sabargulebi gaigzavna moTxovnilze erTiT meti. ramdeni
tona bostneuli waiRo TiToeulma sabargulma?
12.76. samma brigadam erTad Seasrula garkveuli samu-
Sao, romelic mTlianad Sefasebuli iyo 6200 larad. ramden
lars miiRebs am Tanxidan pirveli brigada, Tu is Sedgeba
15 kacisagan da muSaobda 20 dRe, meore brigada Sedgeba
14 kacisagan da muSaobda 10 dRe, xolo mesame _ 12 kacisagan
da is muSaobda 15 dRe?
12.77. mokriveTa, moWidaveTa da mocuraveTa nakrebebi,
romelTa SemadgenlobaSi sportsmenTa raodenobebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 3:5:2, gaemgzavra sazRvargareT
turnirSi monawileobis misaRebad Sesabamisad 10, 20
da 15 dRiT. ra dajda turnirSi moWidaveTa nakrebis monawileoba,
Tu sul samive gundis gamgzavrebaze daixarja
32000 lari (igulisxmeba, rom yoveli sportsmenisaTvis
dReSi erTidaigive Tanxa daixarja) ?
12.78. pirvelma ostatma 60 detalis damzadebaze 3 saa-
91

TiT naklebi dro daxarja vidre meorem. ramden saaTSi daamzadebs
90 detals meore ostati, Tu erTad muSaobiT erT
saaTSi isini amzadeben 30 detals?
12.79. im samuSaosaTvis, romelsac pirveli memanqane 4
1
saaTSi beWdavs, meores sWirdeba 6 saaTi, xolo mesames 4
2
saaTi. 460 gverdiani xelnaweri memanqaneebs Soris gaanawiles
iseTnairad, rom maT erTidaigive droSi Seasrules
samuSao. ramdeni gverdi dabeWda pirvelma memanqanem?
12.80. pirvel wisqvils SeuZlia 19 centneri xorbali
dafqvas 3 saaTSi, meores 32 centneri 5 saaTSi, xolo mesames
10 centneri 2 saaTSi. 532 centneri xorbali wisqvilebs
Soris gaanawiles ise, rom maT erTidaigive droSi daamTavres
dafqva. ramdeni centneri xorbali dafqva meore wisqvilma?
12.81. ori memanqane erTmaneTisagan damoukideblad beWdavda
72-gverdian xelnawers. pirveli memanqane 6 gverdis
beWdvas andomebda imden dros, rasac meore memanqane 5 gverdis
beWdvas. ramden gverds beWdavda saaTSi pirveli memanqane,
Tu man mTeli samuSao Seasrula 1,5 saaTiT ufro adre,
vidre meorem?
12.82. pirveli mgzavrobisas avtomobilma daxarja im be-
3
nzinis nawili, rac iyo avzSi da kidev 5 litri. meore
8
mgzavrobisas ki darCenili benzinis 80% da ukanaskneli 4
litri. ramdeni litri benzini yofila avzSi Tavdapirvelad?
12.83. fermerma pirvel dRes aiRo mosavali mTeli far-
5
Tobis nawilze da kidev 3 heqtarze. meore dRes ki dar-
12
Cenili farTobis 75%-ze da ukanasknel 8 heqtarze. ramden
heqtarze aiRo mosavali fermerma?
12.84. qsovilis fasma daiklo imdeni procentiT, rac
Rirda metri qsovili fasis daklebamde. ra Rirda metri
qsovili fasis daklebamde, Tu daklebis Semdeg misi fasi
gaxda 16 lari?
12.85. qsovilis fasma moimata imaze orjer meti procentiT,
rac Rirda metri qsovili fasis momatebamde. ramdeni
procentiT moimata qsovilis fasma, Tu momatebis Semdeg
misi fasi gaxda 28 lari?
12.86. garaJis StatSi iricxeba 54 mZRoli. ramdeni Tavi-
92

sufali dRe SeiZleba hqondes TiToeul mZRols TveSi (30
dReSi), Tu garaJSi arsebuli 60 manqanidan yoveldRiurad
manqanebis 75% muSaobs?
12.87. stadionze Sesasvleli bileTis gaiafebis Semdeg
mayurebelTa ricxvma 50%-iT moimata da bileTebis gayidviT
Semosuli Tanxa 20%-iT gaizarda. ramdeni lari gaxda
bileTis fasi, Tu gaiafebamde is Rirda 10 lari?
12.88. maRaziam karaqis fasi gazarda 20%-iT, magram erT
dReSi karaqis realizaciiT Semosuli Tanxa gaizarda mxolod
5%-iT. ramdeni procentiT naklebi karaqi iyideba
dReSi axla?
12.89. samuSao dRe Semcirda 8 saaTidan 7 saaTamde. ramdeni
procentiT unda gaizardos Sromis nayofiereba, rom
imave pirobebSi Seqmnili produqciis raodenoba gadiddes
5%-iT?
12.90. maRaziam televizori gayida Tavdapirvelad gaTvaliswinebul
fasze 10%-iT naklebad. Sedegad aRmoCnda, rom
maRaziam mainc miiRo 26% mogeba. ramden procentian mogebas
gegmavda maRazia am televizoris gayidviT?
12.91. korporacia adidebs Tavis gamoSvebul produqcias
yovelwliurad procentebis erTi da igive ricxviT.
ipoveT es ricxvi, Tu or weliwadSi gamoSvebuli produqciis
raodenoba gadidda 69%-iT.
12.92. fermeri ori nakveTidan 500 tona xorbals Rebulobda.
agroteqnikuri RonisZiebebis gatarebis Semdeg mosavali
pirvel nakveTze gadidda 30%-iT, xolo meoreze
20%-iT, amitom fermerma am nakveTebidan aiRo 630 tona xorbali.
ramdeni tona xorbali aiRo fermerma meore nakve-
Tidan agroteqnikis gamoyenebis Semdeg?
12.93. maRaziaSi televizoris fasma moimata 20%-iT, xolo
macivris fasi gaizarda 30%-iT. myidvelma 1240 larad
erTi televizori da erTi macivari SeiZina. fasebis momatebis
gamo man am nivTebSi 24%-iT meti gadaixada. ramdeni
lari Rirda televizori da macivari fasebis momatebamde?
12.94. ramdeni kilogrami wyali unda avaorTqloT 0,5
tona celulozis masidan, romelic 85% wyals Seicavs,
rom miviRoT 75% wylis Semcveli masa?
12.95. ori erTnairi moculobis boTli gavsebulia
wylisa da sirofis nareviT. boTlebSi wylis moculobis
Sefardeba sirofis moculobasTan Sesabamisad aris 3:1 da
4:1. am boTlebSi moTavsebuli siTxeebi Caasxes erT did
boTlSi. ipoveT am boTlSi wylis Tanafardoba sirofTan.
93

12.96. zRvis wyali Seicavs 5% marils. ramdeni mtknari
wyali unda daematos 30 kg zRvis wyals, rom marilis koncentraciam
Seadginos 1,5%?
12.97. xsnari Seicavs 40 g marils. mas daumates 200 g
mtknari wyali da amis Semdeg marilis koncentraciam Seadgina
8%. ramdeni grami xsnari iyo Tavdapirvelad?
12.98. ramdeni litri wyali unda daematos 12% Saqris
Semcvel 20 litr sirofs, rom miviRoT 10% Saqris Semcveli
sirofi?
12.99. gvaqvs oqrosa da spilenZis ori Senadnobi. pirvel
SenadnobSi am liTonebis Sefardeba Sesabamisad aris
2:3, xolo meoreSi _ 3:5. am ori Senadnobidan gvinda mivi-
RoT 26 g liToni, romelSic oqrosa da spilenZis Sefardeba
Sesabamisad iqneba 5:8. ramdeni grami TiToeuli Senadnobis
aRebaa amisTvis saWiro?
12.100. tbis wyalSi marilis koncentraciaa 7%, xolo
zRvis wyalSi 2%. am ori saxis wylis Serevi|T gvinda mivi-
RoT 20 l wyali, romelSic marilis koncentracia iqneba
4%. ramdeni litri tbis da ramdeni litri zRvis wyali
unda SevurioT amisaTvis?
12.101. WurWelSi esxa spirtisa da wylis narevi, romel-
Sic spirtis moculoba 20%-s Seadgenda. mas Semdeg, rac
WurWlidan 5 litri siTxe amoiRes da mis nacvlad Caasxes
5 litri sufTa wyali, WurWelSi spirtis moculobam narevis
moculobis 10% Seadgina. ipoveT WurWelSi xsnaris
moculoba.
12.102. WurWelSi esxa spirtisa da wylis narevi ise,
rom spirtis moculobis Sefardeba wylis moculobasTan
iyo 1:3. mas Semdeg rac WurWlidan amoiRes 3 litri siTxe
da mis nacvlad Caasxes 3 litri sufTa wyali, es Sefardeba
gaxda 1:5. ipoveT WurWelSi xsnaris moculoba.
12.103. ori salewi manqana Segrovil TavTavs 4 dReSi
2
lewavs. Tu pirveli galewavs mTeli TavTavis nawils,
3
xolo Semdeg meore darCenil nawils, maSin mTeli samuSao
10 dReSi damTavrdeba. ramden dReSi galewavs mTel Tav-
Tavs marto pirveli manqana, Tu is ufro nela muSaobs vidre
meore?
12.104. ori milis erTdrouli muSaobiT avzi ivseba 6
saaTSi. Tu avzis 40%-s aavsebs marto pirveli mili da darCenil
nawils_marto meore, maSin avzi aivseba 13 saaTSi.
94

amden saaTSi aavsebs avzs marto meore mili, Tu is muSaobs
ufro swrafad vidre pirveli?
12.105. sxvadasxva simZlavris orma traqtorma erTad mu-
5
SaobiT 5 saaTis ganmavlobaSi moxna yanis nawili. mar-
12
to pirvel traqtors rom 12 saaTi emuSava, Semdeg ki marto
meore traqtors 4 saaTi, maSin isini moxnavdnen mTeli
yanis 60%-s. ramden saaTSi moxnavs mTel yanas marto pirveli
traqtori?
12.106. ori, sxvadasxva simZlavris, tumbos erTad muSaobiT
avzi 24 saaTSi ivseba. Tu jer marto pirveli tumbo
imuSavebs 8 saaTs, Semdeg marto meore tumbo_12 saaTs, ma-
2
Sin gaivseba avzis mxolod nawili. ramden saaTSi aav-
5
sebs avzs marto meore tumbo?
12.107. orma muSam erTad muSaobiT samuSao Seasrula 6
dReSi. Tu pirveli imuSavebda igive siCqariT, xolo meore
Tavdapirvelze samjer Cqara, maSin samuSaos Sesrulebas
dasWirdeboda 4 dRe. ramden dReSi Seasrulebs samuSaos
marto pirveli muSa?
2
12.108. sami amwe mTeli samuSaos nawils asrulebs 2
3
saaTSi. ramden saaTSi Seasrulebs mTel samuSaos marto
meore amwe, Tu is muSaobs 3-jer ufro swrafad, vidre pirveli
da 2-jer ufro nela, vidre mesame?
12.109. sami milis erTad moqmedebiT avzi ivseba 20 saaT-
Si. ramden saaTSi aavsebs avzs TiToeuli mili cal-calke,
Tu es droebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 5:2:4?
12.110. 4 dRis erTad muSaobiT orma xelosanma Seasru-
2
la samuSaos nawili. ramden dReSi Seasrulebs samuSa-
3
os pirveli xelosani damoukideblad, Tu mas SeuZlia am
samuSaos Sesruleba 5 dRiT adre meoreze?
12.111. pirveli mili avzs avsebs 4 saaTiT gvian, xolo
meore mili 9 saaTiT gvian, vidre orive mili erTad. ramden
saaTSi aavsebs avzs marto pirveli mili?
12.112. ramdenime kaci eqskursiaze gaemgzavra. Tu TiToeuli
xarjebisaTvis Seitans 12 larsa da 50 TeTrs, maSin
xarjebis dasafarad daakldebaT 100 lari. Tu TiToeuli
Seitans 16 lars, maSin zedmeti darCebaT 12 lari. ramdeni
kaci iyo eqskursiaze?
95

12.113. Tu turisti saaTSi gaivlis 35 km-s, maSin daniSnulebis
adgilze Casvla daagviandeba 2 sT-iT. Tuki is saaTSi
gaivlis 50 km-s, maSin Cava vadaze 1 sT-iT adre. ramden
saaTSi unda Casuliyo turisti daniSnulebis adgilze?
12.114. tvirTis gadasazidad gansazRvruli vadiT daqiravebulia
erTi da imave simZlavris ramdenime sabargo manqana.
manqanebi rom 2-iT naklebi yofiliyo, maSin tvirTis
gadasazidad dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT meti dro; manqanebi
rom 4-iT meti yofiliyo, maSin tvirTis gadasazidad
dasWirdebodaT vadaze 2 saaTiT naklebi dro. ramdeni
manqana iyo daqiravebuli?
12.115. ramodenime erTi da igive simZlavris traqtors
garkveul droSi unda moexna 30 ha. Tu traqtorebi iqnebodnen
4-iT meti, maSin isini samuSaos daamTavrebdnen vadaze
6 saaTiT adre. ramdeni traqtori muSaobda, Tu sami traqtori
4 saaTSi xnavs 4 ha miwis nakveTs?
12.116. orniSna ricxvis cifrebis jami udris 11-s. Tu am
ricxvs 63-s davumatebT, maSin miiReba imave cifrebiT, mxolod
Sebrunebuli mimdevrobiT Cawerili ricxvi. ipoveT
orniSna ricxvi.
12.117. Tu orniSna ricxvs gavyofT misi cifrebis jamze,
maSin ganayofSi miiReba 8 da naSTSi 2. Tu am ricxvs gavyofT
misi cifrebis namravlze, maSin ganayofSi miiReba 5
da naSTSi 2. ipoveT orniSna ricxvi.
12.118. Tu mocemul orniSna ricxvs gavyofT misi cifrebis
namravlze, maSin miiReba ganayofi 3 da naSTi 10. Tu ricxvs,
Sedgenils imave cifrebiT, magram Cawerils Sebrunebuli
mimdevrobiT, gavyofT am ricxvis cifrTa namravlze,
maSin miiReba ganayofi 1 da naSTi 16. ipoveT mocemuli orniSna
ricxvi.
12.119. ricxvi 50 warmoadgineT ori iseTi dadebiTi Sesakrebis
saxiT, romelTa kvadratebis jami umciresi iqneba.
ipoveT es Sesakrebebi.
12.120. 36 sm sigrZis mavTulisagan unda gakeTdes udidesi
farTobis mqone marTkuTxedi. ipoveT am marTkuTxedis
sigrZe da sigane.
12.121. gemma mdinaris dinebis mimarTulebiT gaiara 48 km
da amdenive dinebis winaaRmdeg, sul am mgzavrobas dasWirda
5 saaTi. ipoveT gemis siCqare mdgar wyalSi, Tu mdinaris
dinebis siCqarea 4 km saaTSi.
12.122. manZili erTi navsadguridan meoremde mdinaris
96

gaswvriv 30 km-ia. motoriani navi am manZils iqiT-aqeT 6 saaTSi
gadis, 40 wuTiT gzaSi gaCerebis CaTvliT. ipoveT motoriani
navis sakuTari siCqare, Tu mdinaris dinebis siCqare
3km-is tolia saaTSi.
12.123. A da B qalaqebs Soris manZili 50 km-ia. A-dan Bken
gavida velosipedisti. erTi saaTis Semdeg B-dan A-ken,
velosipedze orjer meti siCqariT, gamovida motociklisti.
ipoveT velosipedistis siCqare, Tu isini erTmaneTs Sexvdnen
B-dan 20 km-is daSorebiT.
12.124. avtomobilma manZili qalaqidan soflamde gaiara
siCqariT 60 km/sT. ukan dabrunebisas manZilis 75% man gaiara
pirvandeli siCqariT, xolo danarCeni gza siCqariT 40
km/sT, amitom ukan mgzavrobisas mas dasWirda 10 wuTiT meti
dro, vidre mgzavrobisas qalaqidan soflamde. ipoveT
manZili qalaqidan soflamde.
12.125. ori avtomobili gaemgzavra erTi qalaqidan meorisaken.
pirvelis siCqare saaTSi 10 km-iT metia meoris siCqareze
da amitom pirveli avtomobili 1 saaTiT adre midis
adgilze, vidre meore. ipoveT pirveli avtomobilis siCqare,
Tu cnobilia, rom manZili qalaqebs Soris 560 km-ia.
12.126. A punqtidan gavida velosipedisti, xolo 15 wu-
Tis Semdeg imave mimarTulebiT gavida motociklisti, romelic
daewia velosipedists A-dan 10 km-Si. roca motociklisti
imyofeboda A-dan 50 km-Si, velosipedisti CamorCeboda
mas 20 km-iT. ipoveT motociklistis siCqare.
12.127. matarebeli 6 wuTiT iqna SeCerebuli gzaSi da es
dagvianeba man aanazRaura 20 km-ian gadasarbenze, romelic
gaiara 10 km-iT meti siCqariT saaTSi, vidre ganrigiT iyo
dadgenili. ipoveT ganrigis mixedviT matareblis siCqare
am gadasarbenze.
12.128. A qalaqidan B qalaqisken gaemgzavra velosipedisti
15 km/sT siCqariT. 2 saaTis Semdeg mis kvaldakval gaemgzavra
motociklisti, romelic B qalaqSi velosipedistTan
erTdroulad Cavida. ipoveT motociklistis siCqare, Tu
manZili A da B qalaqebs Soris aris 180 km.
12.129. dabidan soflisaken velosipedisti 30 wuTiT ufro
adre gavida, vidre motociklisti. motociklma gzaSi
gadaaswro velosipedists da roca sofelSi mivida, am
dros velosipedists soflamde darCenili hqonda gasavleli
3 km. ipoveT velosipedistis siCqare, Tu motociklis-
97

tis siCqare 20 km/sT-iT metia velosipedis siCqareze da manZili
dabidan soflamde 12 km-ia.
12.130. ori qalaqidan, romelTa Soris manZili 339 km-ia,
erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili gaemgzavra
da 3 saaTis Semdeg Sexvdnen erTmaneTs. vipovoT
meore avtomobilis siCqare, Tu is saaTSi 5 km-iT mets gadioda,
vidre pirveli avtomobili.
12.131. A da B qalaqebs Soris manZili 120 km-ia. A qalaqidan
B qalaqisaken gavida velosipedisti, erTi saaTis Semdeg
ki _ motociklisti. motociklisti velosipedists
ori saaTis Semdeg daewia da B qalaqSi velosipedistze sami
saaTiT adre Cavida. ipoveT velosipedistis siCqare.
12.132. A da B punqtebidan erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad
gamovida ori turisti. rodesac A-dan gamosulma
gaiara mTeli gzis naxevari, maSin meore A-dan 30 kilometriT
iyo daSorebuli. ipoveT manZili A da B punqtebs
Soris, Tu A-dan gamosuli turisti orjer meti siCqariT
moZraobs, vidre _ B-dan gamosuli.
12.133. A da B punqtidan erTdroulad erTmaneTis Sesaxvedrad
gamovida ori turisti. rodesac A-dan gamosulma
gaiara gzis naxevari, maSin meore A-dan 24 km-iT iyo daSorebuli;
xolo rodesac meore turistma gaiara gzis naxevari,
pirveli B-dan 35 km-iT iyo daSorebuli. ipoveT manZili
A da B punqtebs Soris.
12.134. A da B qalaqebs Soris manZili 240 km-ia. A qalaqidan
B qalaqisaken erTdroulad ori avtomobili gavida.
rodesac pirveli avtomobili B qalaqSi Cavida, meores B
qalaqSi Casasvlelad kidev 80 km hqonda gasavleli. B qalaqSi
Casvlis Semdeg pirveli avtomobili SeuCerebliv
gamobrunda ukan. avtomobilebi erTmaneTs Sexvdnen moZraobis
dawyebidan 3 saaTis Semdeg. ipoveT pirveli avtomobilis
siCqare.
12.135. ori avtomobili gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad
A da B qalaqebidan. erTi saaTis Semdeg avtomobilebi
Sexvdnen erTmaneTs da SeuCerebliv ganagrZes gza imave si-
CqariT. pirveli B qalaqSi 27 wT-iT gvian mivida, vidre meore
A qalaqSi. ramden kilometrs gadis erT saaTSi TiToeuli
avtomobili, Tu manZili am qalaqebs Soris 90 km-ia?
12.136. A da B punqtebidan, romelTa Soris manZili 24
km-ia, erTsa da imave dros erTmaneTis Sesaxvedrad ori avtomobili
gaigzavna. maTi Sexvedris Semdeg A-dan gamosu-
98

li avtomobili B punqtSi midis 16 wT-Si, xolo meore avtomobili
4 wT-Si midis A-Si. ramden kilometrs gadis saaTSi
A punqtidan gamosuli avtomobili?
12.137. ori turisti gamovida erTmaneTis Sesaxvedrad A
da B punqtebidan. pirveli A-dan 6 saaTiT gvian gamovida,
vidre meore B-dan. Sexvedrisas aRmoCnda, rom pirvels 12
km-iT naklebi gauvlia meoreze. ganagrZes ra Sexvedris Semdeg
gza imave siCqariT, pirveli mivida B-Si 8 saaTSi, xolo
meore A-Si 9 saaTSi. ramdeni kilometria A da B punqtebs
Soris?
12.138. qalaqidan erTdroulad gamovida ori velosipedisti.
erTi moZraobda samxreTis mimarTulebiT, xolo meore
aRmosavleTis mimarTulebiT. garkveuli drois Semdeg
velosipedistebs Soris manZili gaxda 50 km. ramdeni kilometri
hqonda gavlili drois am momentisaTvis pirvel velosipedists,
Tu misi siCqare ise Seefardeba meoris siCqares,
rogorc 3:4?
12.139. qalaqidan gamomaval or gzaze orma avtomobilma
erTdroulad daiwyo moZraoba erTidaigive 70 km/sT siCqariT.
gzebs Soris kuTxe 60°-ia. moZraobis dawyebidan ramdeni
saaTis Semdeg iqneba avtomobilebs Soris manZili 210
kilometri?
12.140. A da B qalaqebs Soris manZili 15 km-ia. B qalaqidan
AB-s gaswvriv A qalaqisaken gaemgzavra motociklisti.
imave dros, A qalaqidan AB wrfis marTobuli mimarTulebiT
gavida velosipedisti. motociklistis siCqare orjer
metia velosipedistis siCqareze. raRac drois Semdeg
maT Soris manZili aRmoCnda minimaluri. ramdeni kilometri
hqonda gavlili velosipedists drois am momentisa-
Tvis?
12.141. A da B qalaqebs Soris manZili 25 km-ia. B qalaqidan
A qalaqisaken AB-s gaswvriv gaemgzavra qveiTi 3 km/sT
siCqariT. imave dros, A qalaqidan AB wrfis marTobuli mimarTulebiT
gavida turisti 4 km/sT siCqariT. moZraobis
dawyebidan ramdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris manZili
minimaluri?
12.142. mgzavrma, romelic matarebliT midioda siCqariT
40 km saaTSi, SeniSna, rom Semxvedrma matarebelma mis gverdiT
gavlas moandoma 3 wami. ramden kilometrs gadioda
Semxvedri matarebeli saaTSi, Tu cnobilia, rom misi sigrZe
aris 75 m?
99

12.143. avtomobilSi mjdomma mgzavrma, romelic moZraobda
80 km/sT siCqariT, SeniSna, rom avtomobilis mimarTulebiT
moZravi matareblis gverdis avlas moandoma 3 wT.
ramden kilometrs gadis matarebeli saaTSi, Tu misi sigr-
Zea 400 m?
12.144. eskalatoris safexurze mdgomi adamiani moZrav
eskalators metroSi Cayavs 36 wamSi, xolo uZrav eskalatorze
mosiarule adamiani metroSi Cadis 45 wamSi. ramden
wamSi Cava metroSi moZrav eskalatorze mosiarule adamiani?
12.145. uZrav eskalatorze mosiarule adamiani metroSi
Cadis 42 wamSi, xolo moZrav eskalatorze mosiarule adamiani
ki 24 wamSi. ramden wamSi Caiyvans metroSi eskalatoris
safexurze mdgom adamians moZravi eskalatori?
12.146. or wrewirze Tanabrad moZraobs ori wertili.
erT srul bruns pirveli 5 wamiT naklebs andomebs, vidre
meore, ris gamoc igi 1 wuTSi meoreze ori bruniT mets
akeTebs. ramden bruns akeTebs wuTSi pirveli wertili?
12.147. wrewirze, romlis sigrZe 999 m-s udris, ori sxeuli
moZraobs erTi da imave mimarTulebiT da xvdebian er-
TmaneTs yoveli 37 wuTis Semdeg. ramden metrs gadis wuT-
Si meore sxeuli, Tu cnobilia, rom misi siCqare oTxjer
metia pirvelis siCqareze?
12.148. wrewirze, romlis sigrZe udris 300 metrs, moZraobs
ori sxeuli. isini erTmaneTs xvdebian yoveli 20 wamis
Semdeg, rodesac sapirispiro mimarTulebiT moZraoben. ramden
metrs gadis wamSi meore sxeuli, Tu misi siCqare 2jer
metia pirveli sxeulis siCqareze?
12.149. tomi da jeri stadionis sarbeni bilikis garSemo
darbian mudmivi siCqariT. tomi yoveli 4 wris Semorbenas
andomebs 15 wuTs, xolo jeri 3 wris Semorbenas 17
wuTs. orivem sirbili erTdroulad daiwyes sastarto xazidan.
sul mcire ramdeni wre unda Semoirbinos jerim,
rom man sastarto xazi tomTan erTad gadakveTos?
12.150. velosipedisti yovel wuTSi 500 metriT naklebs
gadis, vidre motociklisti, amitom 120 km manZilis gasavlelad
igi xarjavs ori saaTiT met dros, vidre motociklisti.
gamoTvaleT velosipedistis siCqare.
12.151. avtomobili yovel 12 wT-Si gadioda 2 km-iT mets,
2
vidre hqonda navaraudevi, amitom 100 km gaiara 2 sT-iT
3
100

adre, vidre gaTvaliswinebuli hqonda. ra siCqariT unda
emoZrava avtomobils?
12.152. avtomobili manZils or qalaqs Soris gadis 5
3
saaTSi. Tu is yovel kilometrs gaivlis wT-iT ufro
7
Cqara, maSin mTeli manZilis gavlas moandomebs 3 saaTs.
ipoveT avtomobilis siCqare.
12.153. brigadaSi iyo 18 muSa da maTi saSualo xelfasi
Seadgenda 220 lars. mas Semdeg, rac ramdenime muSam datova
brigada, darCenil muSaTa saSualo xelfasi gaxda 180
lari. ramdenma muSam datova brigada, Tu maTi saSualo
xelfasi Seadgenda 300 lars?
12.154. fexburTelTa gundis (11 fexburTeli) saSualo
asaki iyo 22 weli. rodesac gundis erT-erTi wevri sxva
gundSi gadavida da misi adgili 20 wlis fexburTelma
daikava, gundis saSualo asaki 21 weli gaxda. ipoveT sxva
gundSi gadasuli fexburTelis asaki.
12.155. kalaTburTis matCi iTamaSa 5 kalaTburTelma. ma-
1
Tgan pirvelma daagrova mTeli qulebis nawili, meorem
8
5 25
_ 25%, mesamem _ nawili, meoTxem ki _ %. ipoveT mo-
12
3
TamaSeTa mier dagrovebuli qulebis saSualo maCvenebeli,
Tu mexuTe moTamaSem daagrova 15 qula.
12.156. kursis studentTa saSualo qula maTi raodenobis
toli iyo. mas Semdeg, rac xuTi studenti saSualo quliT
50, sxva fakultetze gadavida, am kursis studentTa
saSualo qula gaxda 82. ramdeni studenti iyo Tavidan kursze?
12.157. motociklistma 3 sT-is ganmavlobaSi imoZrava 10
km/sT siCqariT, momdevno 50 km gaiara 2 sT-Si, xolo ukanasknel
280 km-ze moZraobda 70 km/sT siCqariT. ipoveT motociklistis
saSualo siCqare mTel gzaze.
6
12.158. avtomobilma mTeli gzis iara siCqariT 40
7
2
m/wm. darCenili gzis _siCqariT 10 m/wm, xolo amis Semdeg
3
darCenil gzaze moZraobda siCqariT 20 m/wm. ipoveT avtomobilis
saSualo siCqare mTel gzaze.
2
12.159. avtomobilma mTeli drois iara sawyisi siCqa-
9
101

iT, xolo danarCeni dro sawyisze orjer meti siCqariT.
ipoveT ramdenjer metia mTel gzaze avtomobilis saSualo
siCqare mis sawyis siCqareze.
12.160. garaJSi mxolod avtobusebi da msubuqi avtomobilebia.
yoveldRiurad erTi avtobusi saSualod 80 litr
sawvavs moixmars, xolo erTi msubuqi avtomobili _ 30 litrs.
aRmoCnda, rom TiToeul manqanaze sawvavis saSualo
yoveldRiuri xarji 70 litria. ras udris am garaJSi msubuqi
avtomobilebis raodenoba procentebSi?
12.161. WadrakSi Sejibrebis Catarebis dros gaTamaSda
55 partia. amasTan, TiToeulma moWadrakem danarCen moWadrakeebTan
mxolod TiTo partia iTamaSa. ramdeni moWadrake
monawileobda am CempionatSi?
12.162. fexburTSi pirvelobis gaTamaSebis dros Catarda
231 matCi. amasTan, TiToeulma gundma danarCen gundeb-
Tan mxolod TiTo matCi Caatara. ramdeni gundi monawileobda
gaTamaSebaSi?
12.163. gamosaSvebi klasis moswavleebi erTmaneTs ucvlian
Tavis fotosuraTebs ise, rom yoveli moswavle Tavis
suraTs aZlevs TiToeul sxva moswavles. ramdeni moswavle
yofila am klasSi, Tu gacvla-gamocvlisaTvis saWiroa
870 fotosuraTi?
$13. mimdevroba. ariTmetikuli progresia
13.1. mimdevroba mocemulia formuliT xn = 3 n + 2
1) ipoveT n , Tu x n = 11
A. 3 B. 2 C. 4 D. 7!
2) ipoveT x n , Tu n = 5
A. 15 B. 17 C. 13 D. 11
13.2. ipoveT mimdevrobis zogadi wevri:
1) 1, 3, 5, 7,K
A. xn = 3n − 2 B. xn = 2n −1
C. xn = n + 1 D. = 3n − 2
13.3.
x n
1 2 3 4
2) , , , ,K
2 3 4 5
1
n −1
A. xn = B. xn =
n
n + 1
n
C. xn =
n + 1
n
D. xn =
n −1
1
= n + mimdevrobisaTvis ipoveT n -is im mniSvnelon
102
x n

aTa simravle, romlebisTvisac sruldeba utoloba:
1) x n ≤ 6
A. { 1 , 2,
3,
4,
5}
B. { 1 , 2,
3,
4,
5,
6}
C. { 1 , 2,
3,
4}
D. { 1 , 2}
2) 3 < x n < 20
A. { 1, 2,
3,
K , 19}
B. { 3, 4,
5,
K , 19}
C. { 7, 8,
9,
K , 18}
D. { 17 , 18}
2
13.4. 1) ipoveT xn = −n
+ 6n
+ 3 mimdevrobis udidesi wevri.
A. 12 B. 15 C. 8 D. 9
2
2) ipoveT xn = n − 8n
+ 1 mimdevrobis umciresi wevri.
A. -17 B. -15 C. -13 D. –11
ariTmetikul progresiaSi (##13.5–13.15):
13.5. 1) a 1 = −4,
d = 2 . ipoveT a 6 .
6 B. 5 C. 7 D. 4
2) a 1 = 8,
d = −2.
ipoveT a 7 .
A. –2 B. -4 C. –3 D. –5
13.6. 1) a 9 = 20 . ipoveT S 17 .
A. 320 B. 340 C. 330 D. 310
2) a 15 = −2.
ipoveT S 29 .
A. -48 B. -50 C. -54 D. –58
13.7. 1) a 30 = 53,
d = 2.
ipoveT a 17 .
A. 31 B. 27 C. 28 D. 32
2) a 15 = 34,
d = 2,
5.
ipoveT a 9.
A. 19 B. 20 C. 18 D. 17
3) a 32 = 76,
d = 3.
ipoveT a 15 .
A. 30 B. 20 C. 35 D. 25
4) a 16 = 7,
5,
d = −1,
5.
ipoveT a 12.
A. 13,5 B. 12,5 C. 13 D. 14
13.8. 1) a 1 = 13,
a 15 = −1
. ipoveT S 18 .
A. 81 B. 54 C. 99 D. 85
2) a 1 = 8,
a 11 = 18.
ipoveT S 13 .
A. 180 B. 181 C. 182 D. 183
13.9. 1) a 1 = −12,
d = 6,
a n = 144.
ipoveT n .
A. 25 B. 26 C. 28 D. 27
2) a 1 = −4,
d = 2,
an = 34.
ipoveT n .
A. 20 B. 18 C. 22 D. 16
13.10. 1) a 1 = −10,
S 9 = −18.
ipoveT d .
A. -2 B. -4 C. 2 D. 3
103

2) a 1 = −8,
S 20 = 220.
ipoveT d .
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3) S 31 = 0,
d = 3.
ipoveT a 1 .
A. -40 B. -45 C. -47 D. –49
4) S 16 = 128,
d = 2.
ipoveT a 1 .
A. 3 B. -3 C. 5 D. –7
13.11. 1) a8 + an
= a1
+ a16
. ipoveT n .
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
2) a3 − an
= a2
− a7
. ipoveT n .
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
13.12. 1) a 5 = 7,
a 9 = 19 . ipoveT a 15.
A. 31 B. 34 C. 37 D. 40
2) a 4 = −4,
a 8 = −34.
ipoveT a 10.
A. -30 B. -34 C. -20 D. –49
3) a 1 = 48,
a 6 = 28 , a n = 0 . ipoveT n .
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
4) a 3 = 11,
a 15 = 47 , a n = 26 . ipoveT n .
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5) a5=-a17, an=0. ipoveT n.
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
6) 2a10=a5, an=0. ipoveT n.
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
13.13. 1) a 3 + a5
+ a9
+ a15
= 36.
ipoveT a 8.
A. 7 B. 10 C. 9 D. 8
2) a 1 + a5
+ a7
+ a11
= 44.
ipoveT a 6.
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
13.14. 1) an = 2n −1
. ipoveT S 15 .
A. 210 B. 215 C. 225 D. 240
2) an = 1− 3n
. ipoveT S 8 .
A. -120 B. -60 C. -80 D. -100
3) 3 .
2
S n = n + n ipoveT d .
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4) 2 3 .
2
Sn = n − n ipoveT d .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13.15.
⎧a1
+ a7
= 42
1) ⎨
ipoveT a 1 .
⎩a10
− a3
= 21
A. 10 B. 16 C. 20 D. 12
104

⎧a5
+ a11
= −0,
2
2) ⎨
ipoveT d .
⎩a5
+ a10
= 2,
6
A. -2 B. 4 C. –2,8 D. –3,2
⎧a1
+ a5
= 24
3) ⎨
ipoveT d .
⎩a2
⋅ a3
= 60
A. 5 B. 7 C. 10 D. 2
⎧a7
− a3
= 8
4) ⎨
ipoveT a 1 .
⎩a2
⋅ a7
= 75
A. –17; 3 B. 2; 5 C. –14; 3 D. 0; 5
13.16. 1) a1=2, xolo pirveli n wevris saSualo ariTmetikulia
15. ipoveT an.
A. 15 B. 28 C. 20 D. 24
2) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulia 10, xolo
an=-2. ipoveT a1.
A. 22 B. 16 C. 20 D. 23
3) a1=2, d=3, pirveli n wevris saSualo
ariTmetikuli 14-is tolia. ipoveT n.
A. 9 B. 12 C. 8 D. 10
4) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulia 8.
an=-6, xolo d=-2. ipoveT n.
A. 10 B. 13 C. 15 D. 17
5) pirveli n wevris saSualo ariTmetikuli 5-jer
metia pirvel wevrze. ipoveT an: a1.
A. 8 B. 11 C. 10 D. 9
6) pirveli n wevris saSualo ariTmetikulisa da
pirveli wevris naxevris sxvaoba 10-is tolia. ipoveT an.
A. 19 B. 22 C. 20 D. 23
13.17. a 1,
a2,
a3,
K ariTmetikuli progresiis sxvaoba 3-is
tolia. ipoveT c 1,
c2,
c3,
K ariTmetikuli progresiis
sxvaoba, Tu yoveli n ≥ 1-Tvis:
1) cn = 3an
.
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
2) c n = an
+ 3 .
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
3) c n = a2n
−1
.
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
4) c n = −2
an
+ 1.
A. -3 B. -6 C. 3 D. 6
105

13.18. ipoveT ariTmetikuli progresiis udidesi uaryofiTi
wevri, Tu:
2
1) a 1 = 37 , d = −1
.
3
1
2) a 1 = 42 , d = −1
.
2
2
3) a 1 = −28
, d = .
5
3
4) a 1 = −40
, d = .
5
13.19. ipoveT ariTmetikuli progresiis umciresi dadebiTi
wevri, Tu:
4
1) a 1 = 50 , d = − .
5
1
2) a 1 = 48 , d = −2
.
3
1
3) a 1 = −32
, d = .
2
1
4) a 1 = −60
, d = 1 .
3
13.20. ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela dadebiTi
wevris jami, Tu:
3
1) a 1 = 35 , d = − .
4
2
2) a 1 = 28 , d = − .
5
13.21. ipoveT ariTmetikuli progresiis yvela uaryofiTi
wevris jami, Tu:
1
1) a 1 = −22
, d = .
3
3
2) a 1 = −35
, d = .
4
13.22. 1) ipoveT 3-is jeradi yvela orniSna ricxvis jami.
2) ipoveT 50-is jeradi yvela samniSna ricxvis jami.
3) ipoveT yvela kenti ricxvis jami 12-dan 82-mde.
4) ipoveT yvela luwi ricxvis jami 111-dan 129-mde.
13.23. 1) ipoveT yvela iseTi orniSna naturaluri ricxvis
jami, romlebic 3-ze gayofisas naSTSi iZleva 2-s.
2) ipoveT yvela im samniSna naturaluri ricxvis
jami, romlis 17-ze gayofisas naSTi tolia 5-is.
3) ipoveT naturaluri ricxvi, romelic yvela mis
win mdgomi naturaluri ricxvis jamze 20-iT naklebia.
4) ipoveT naturaluri ricxvi, romelic yvela mis
win mdgomi naturaluri ricxvis jamis tolia.
13.24. ariTmetikuli progresiis m -uri wevri udris n -s,
xolo n -uri wevri m -s ( m ≠ n)
. ipoveT am progresiis
pirveli wevri da sxvaoba.
13.25. amoxseniT gantoleba:
1 + 3 + 5 + L + x + 1 = 2) 4 + 7 + 10 + L + ( x − 2)
= 209
1) ( ) 400
3) 1 + 4 + 7 + + ( x −11)
= 117
L 4) 2 + 4,
5 + 7 + L
+ ( x + 30)
= 515
106

13.26. 1) ramden saaTSi gaivlis velosipedisti 54 km-s, Tu
pirvel saaTSi igi gadis 15 km-s, xolo yovel Semdeg
saaTSi 1 km-iT naklebs, vidre winaSi?
2) amfiTeatri Sedgeba 10 rigisagan. pirvel rigSi
100 adgilia, xolo yovel momdevno rigSi ki 20 adgiliT
meti, vidre winaSi. ramden kacs itevs amfiTeatri?
3) burTulebi samkuTxedis saxiTaa dalagebuli ise,
rom pirvel mwkrivSi erTi burTulaa, xolo yovel momdevnoSi
erTi burTuliT meti, vidre winaSi. ramden mwkrivadaa
dalagebuli burTulebi, Tu maTi saerTo raodenoba
120-s udris?
4) xelosanma pirvel dRes daamzada 8 detali, xolo
yovel Semdeg dRes amzadebda 1 detaliT mets, wina dRes-
Tan SedarebiT. ramdeni dRe imuSava xelosanma, Tu sul
daamzada 77 detali.
13.27. 1) ori dabidan, romelTa Soris manZilia 120 km, erTmaneTis
Sesaxvedrad gamovida velosipedisti da motociklisti.
amasTan motociklisti gamovida erTi saaTiT gvian
velosipedistze. motociklisti yovel saaTSi gadis 15 km-s.
velosipedistma pirvel saaTSi gaiara 5 km, xolo yovel
Semdeg saaTSi gadioda, 1 km-iT mets, vidre winaSi. motociklisti
moZraobis dawyebidan ramdeni saaTis Semdeg Sexvdeba
velosipedists?
2) qalaqidan soflisaken gaemgzavra velosipedisti,
xolo 2 sT-is Semdeg mis kvaldakval gavida motociklisti.
velosipedistma pirvel saaTSi gaiara 18 km, xolo yovel
Semdeg saaTSi gadioda erTi kilometriT naklebs, vidre
winaSi. motociklistma pirvel saaTSi gaiara 12 km,
xolo yovel Semdeg saaTSi gadioda 2 km-iT mets, vidre
winaSi. motociklisti gamosvlidan ramdeni saaTis Semdeg
daeweva velosipedists?
13.28. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlis-
Tvisac:
1) 3x+1=m, 2x+2=3m da 3x+2=5m gantolebebis fesvebi
Sesabamisad warmoadgenen ariTmetikuli progresiis
pirvel, meore da mesame wevrebs.
2) 2x-1=m gantolebis x1 fesvi da x 2 -(2m+6)x+(m+2)(m+4)=0
gantolebis x2 da x3 fesvebi warmoadgenen ariTmetikuli
progresiis Sesabamisad pirvel, meore da mesame wevrebs.
!
107

!
$14. geometriuli progresia
geometriul progresiaSi (##14.1 – 14.16):
14.1.
1
1) 1 ,
4
= b 2 = q . ipoveT b 6.
A. 8 B. 6 C. 7 D. 10
1
2) b 1 = −4,
q = − . ipoveT b 4.
3
4
A.
27
2
B.
27
1
C.
9
2
D.
9
14.2. 1) b 1 = −2,
b 6 = −486.
ipoveT q .
A. 3 B. -3 C. 2 D. –2
2) b 1 = 3,
b 8 = −384.
ipoveT q .
A. -2 B. -4 C. 4 D. 2
14.3.
1
1) b 1 = 256,
q = , b n
2
= 2.
ipoveT n .
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
1
2) b 1 = 81,
q = − , b n
3
1
= − . ipoveT n .
27
A. 8 B. 9 C. 7 D. 10
14.4. 1) b 5 = 256,
q = 4.
ipoveT b 3.
A. 48 B. 32 C. 64 D. 16
2) b 8 = −640,
q = −2.
ipoveT b 4.
A. 20 B. -20 C. -40 D. 40
14.5. 1) b 2 = 7 , b 5 = 56 . ipoveT q .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2) b 6 = 2 , b 10 = 162 , q < 0 . ipoveT q .
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
14.6. 1) b 1 = 32 , b 3 = 50 , b 2 > 0 . ipoveT b 2 .
A. 36 B. 38 C. 40 D. 42
2) b 5 = 49 , b 9 = 9 . ipoveT b 7 .
A. 29 B. 27 C. 23 D. 21
14.7. 1) b 3 = 18 , b 6 = 486 . ipoveT b 1 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
b , 64 b .
2) 5 = 1024
b 9 = . ipoveT 15
108

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3) b9:b6= 3 . ipoveT b50:b44.
A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 9
! ! ! 5*!b10:b5= 2 /!jqpwfU!b40:b20/!
A. 2 2 B. 2 C. 4 D. 8
14.8.
1
1) b 1 = , b 10 = 16 , b n = 1 . ipoveT n .
32
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2
2) b 5 = , b 9 = 6 , b n = 54 . ipoveT n .
27
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
14.9. 1) b 1 = 3,
q = 2.
ipoveT S 5.
A. 45 B. 63 C. 93 D. 95
2) b 1 = 2,
q = −1.
ipoveT S 20.
A. 3 B. -2 C. 2 D. 0
14.10. 1) b 1 = 1,
b 2 = −2.
ipoveT S 9.
A. 165 B. 171 C. 160 D. 172
2) b 1 = 3,
b 2 = 6.
ipoveT S 5.
A. 80 B. 73 C. 91 D. 93
14.11. 1) S 6 = 189,
q = 2 . ipoveT b 1.
A. 2 B. -2 C. 4 D. 3
2) S 4 = 80,
q = 3.
ipoveT b 1.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
14.12. 1) meore da meeqvse wevrebis namravlia 16. ipoveT am
progresiis meoTxe wevri.
A. ±2 B. -6 C. -8 D. ±4
2) pirveli, mesame da mexuTe wevrebis namravlia 8.
ipoveT am progresiis mesame wevri.
A. 2 B. 2 C. 4 D. 6
3) pirveli xuTi wevris namravlia 243. ipoveT am
progresiis mesame wevri.
A. -3 B. 3 C. 4 D. -2
4) pirveli Svidi wevris namravlia 128. ipoveT am
progresiis meoTxe wevri.
A. -2 B. 3 C. -4 D. 2
3 1
14.13. 1) b 1 = , q = . ipoveT am progresiis wevrTa jami
2 2
me-3-dan me-7-mde CaTvliT.
109

95
A.
128
93
B.
128
91
C.
128
89
D.
128
3
2) 1
4
= b , 2 − = q . ipoveT am progresiis wevrTa jami
me-4-dan me-7-mde CaTvliT.
A. 30 B. 40 C. 20 D. 50
14.14.
⎧b2
− b1
= −4
1) ⎨
ipoveT b 1
⎩b3
− b1
= 8
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
⎧b5
− b1
= 15
2) ⎨
ipoveT q .
⎩b4
− b2
= 6
1
A. 2;
2
1
B. 3;
3
1
C. 4;
4
1
D. 5;
5
14.15. 1) b3 b10
= b6bn
. ipoveT n .
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
2) b 5 : b2
= b7
: bn
. ipoveT n .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
14.16.
n
1) bn = 3⋅ 2 . ipoveT S 4 .
A. 60 B. 90 C. 120 D. 150
n−1
2) b n = 2 ⋅ 3 . ipoveT S 5 .
A. 80 B. 122 C. 242 D. 360
n
3) S n = 3⋅ 2 − 3.
ipoveT q .
A. 0,5 B. 2 C. 1,5 D. 3
n
3 −1
4) S n = . ipoveT q .
n−1
3
1
A.
3
2
B.
3
4
C. D. 3
3
14.17. b 1,
b2,
b3,
K geometriuli progresiis mniSvneli 2-is
tolia. ipoveT c 1,
c2,
c3,
K geometriuli progresiis
mniSvneli, Tu yoveli n ≥ 1-Tvis:
1) cn = 5 ⋅ bn
.
A. 5 B. 0,5 C. 10 D. 2
1
2) cn
=
bn
.
A. 0,5 B. 2 C. 4 D. 8
2
3) c = b .
n
n
110

A. 0,5 B. 2 C. 4 D. 8
4) cn = b2n
.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
14.18. amoxseniT gantoleba:
11
2 10 x + x
1) 1+
x + x + L + x =
x −1
11 2
2 3 10 x + x
2) 1−
x + x − x + L + x =
1 + x
14.19. 1) b n geometriuli progresiis TiToeuli wevri dadebiTia
da yoveli n ≥ 3 -Tvis b n = bn−
1 + bn−
2 . ipoveT
am progresiis mniSvneli.
2) b n geometriuli progresiis sami momdevno wevri
yoveli n ≥ 3 -Tvis akmayofilebs pirobas
2b n + 3bn
− 2 = 7bn
−1
. ipoveT am progresiis mniSvneli.
14.20. 1) ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli,
romlisTvisac 8b2+2b3 gamosaxuleba Rebulobs umcires
mniSvnelobas (b1>0)
2) ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli,
romlisTvisac 12b2-3b3 gamosaxuleba Rebulobs udides
mniSvnelobas (b1>0).
3) ipoveT b1-2b2-4b3 gamosaxulebis udidesi mniSvneloba,
Tu (bn) geometriuli progresiaa pirveli wevriT
b1=4.
4) ipoveT 3b3-2b2 gamosaxulebis umciresi mniSvneloba,
Tu (bn) geometriuli progresiaa pirveli wevriT
b1=6.
14.21. geometriuli progresiis m -uri wevri udris n
2 -s,
xolo n -uri wevri m
2 -s ( m ≠ n)
. ipoveT am progresiis
pirveli wevri da mniSvneli.
14.22. 1) geometriuli progresiis pirveli oTxi wevris
jami udris 30-s, momdevno oTxi wevrisa ki 480-s.
ipoveT pirveli Tormeti wevris jami.
2) geometriuli progresiis pirveli sami wevris
jamia 40, eqvsi wevrisa ki 60. ipoveT progresiis pirveli
cxra wevris jami.
3) geometriuli progresiis pirveli sami wevris jami
udris 168-s, xolo Semdegi sami wevris jami 21-s.
111

ipoveT progresiis pirveli wevri da mniSvneli.
4) ipoveT oTxi ricxvi, romlebic Seadgens klebad
geometriul progresias, Tu viciT, rom am progresiis
kiduri wevrebis jamia 27, xolo Sua wevrebis
jami aris 18.
14.23. ipoveT luwi raodenobis wevris mqone geometriuli
progresiis mniSvneli, Tu misi:
1) yvela wevris jami 7-jer metia kent adgilebze
mdgomi wevrebis jamze;
2) yvela wevris jamis fardoba luw adgilebze
mdgomi wevrebis jamTan 1,5-is tolia.
14.24. ipoveT m parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac:
1) 3x+3=2m, 2x-1=m da 4x-7=3m gantolebebis fesvebi
Sesabamisad warmoadgenen geometriuli progresiis
pirvel, meore da mesame wevrebs.
2) x-4=m gantolebis x1 fesvi da
9x 2 -6(m+1)x+(m+4)(m-2)=0
gantolebis x2 da x3 fesvebi warmoadgenen
geometriuli progresiis Sesabamisad momdevno wevrebs.
!
!
!
$15. logariTmis Semcveli gamosaxulebebis
gamoTvla. maCvenebliani da logariTmuli
gantolebebi. gantolebaTa sistemebi
g a m o T v a l e T (##15.1 – 15.8):
15.1. 1) lg100 − log 2 32
A. 0 B. –2 C. –3 D. -1
log3 4
2) 3 − log 4 16
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
3) 4 log 81
log 1
2
3 −
A. -6 B. –7 C. –5 D. -4
log2 3
4) 4 + log 3 27
A. 1 B. 0 C. 12 D. 3
112

log0, 2
1
3
15.2. 1) 5 + log 3 27
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
log9 16
2) 3 − log 0,
5 8
A. 0 B. 3 C. 5 D. 7
log 2
3 ⎛ 1 ⎞
3) ⎜ ⎟ − log0,
5 8
⎝ 3 ⎠
A. 3
1
B. 3
4
1
C. 3
2
3
D. 3
4
log7 3
⎛ 1 ⎞
4) ⎜ ⎟ − log0,
110
⎝ 7 ⎠
A. 1
1
B. 1
3
2
C. 1
3
D. 2
15.3. 1) log3 54 − log3
2
A. 2 B. 3 C. 4 D. -1
2) 2log2 48 − log2
3
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3) log
25
+ log
5 4
20
5
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
1 1 3
4) log2
+ log2
3 27 4
A. 3 B. 2 C. -3 D. -2
15.4. 1) log 48 log 3
2 +
1
2
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
8 5
2) log2 log0,
5
5 2
−
A. 1 B. 0 C. 2 D. -2
3) log 18 + log 2
3
1
3
A. 1 B. 3 C. 4 D. 2
1
4) log5
49 − log5
35
2
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
113

15.5. 1)
log
log
2
3
27 − log
2 − log
1
3
1
2
8
3
A. 3 B. 1 C. 2 D. -1
lg32
+ log0,
5 243
2)
log0,
1 2 + log 2 3
A. -2 B. -3 C. –5 D. -6
log5 3) 25
2−
3 log2
⋅ 4
2+
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4)
log3 9
4−
15 log4
⋅ 16
4+
15
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
15.6. 1) lg log3
log 4 64
A. 0 B. 4
2) log3 log 2 log 4 16
C. 1 D. 2
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
3) log 2 log9
log5
125
A. -3 B. -2 C. –1 D. 0
4) log 4 log9
log3
27
1
A. −
2
B. -1
1
C. –
4
D. 1
15.7. 1) xy, Tu 2 x =5, 5 y =8
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2) xy, Tu 3 x y
⎛ 1 ⎞
=7, ⎜ ⎟ =27
⎝ 7 ⎠
A. 1 B. 3 C. -2 D. -3
3) xyz, Tu 2 x =7, 7 y =11 da 11 z =16
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4) xy-2z, Tu 2 x =5, 5 y z
⎛ 1 ⎞ 8
=9 da ⎜ ⎟ =
⎝ 4 ⎠ 9
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5) 9 x -2⋅3 x+1 +9, Tu 3 x =a
A. (a+1) 2 B. a 2 -a+1 C. 2a D. (a-3) 2
6)
x x+
1
4 − 2
, Tu 2
x
2 − 2
x =a
A. a B. 2a C. a-2 D. 2a-1
15.8. 1) x+y, Tu 3 x =5, 3 y =5,4
114

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2) 1) x+3y, Tu 2 x =0,8, 8 y =2,5
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3) x-2y, Tu 3 x y
⎛1⎞ 1
=8, ⎜ = 1
9
⎟
⎝ ⎠ 8
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4) x+2y-z, Tu 2 x =7, 4 y = 3
z
⎛1⎞ 1
da
7
⎜ =
2
⎟
⎝ ⎠ 3
A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
15.9. 1) Tu lg3=a, maSin lg810=
A. a 2 +1 B. a 4 +1 C. 4a+1 D. 2a+1
2) Tu log3 5 =a, maSin log3 75 =
A. 2a-1 B. 2a+1 C. a 2 +1 D. a 2 -1
amoxseniT gantoleba (##15.10 – 15.18):
15.10.
x
1) 4 = 2
1
A.
6
1
B.
4
1
C.
3
1
D.
5
x
⎛ 1 ⎞
2) ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠
3
1
A. -
2
1
B.
2
C. 2 D. 3
3) ( 0 , 2)
= 5
x
1
A. -
2
1
B.
2
C. 1 D. -1
x
4) ( 0 , 75)
9
=
16
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
15.11.
2x+
4 1
1) 2 =
16
A. 0 B. -2 C. –4 D. -3
2x+
8 1
2) 5 =
25
A. 2 B. -4 C. –6 D. -5
6 2x−1
3) 4 = 2
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
7 6x+
1
4) 2 = 2
115

A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
1
−
15.12.
x ⎛ 1 ⎞
1) 4 ⋅ ⎜ ⎟
⎝16
⎠
2
= 4
A. -1 B. 1 C. 2 D. 0
1
−
x ⎛ 1 ⎞
2) 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
2
= 9
A. 0 B. 3 C. –1 D. 1
3) 15 ⋅ 5 = 27
−x x
A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
−x
x ⎛ 1 ⎞
4) 6 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
= 144
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
15.13. 1) log 2 x = 3
A. 8 B. 9
1
C.
3
1
D.
9
2) log x = −1
1
2
1 1
A. 4 B. C. D. 2
4
2
3) ( 2 − 3x
) = 1
log 3
1 1 1
A. B. - C. D.
3
3
2
4) log ( x − 4)
= −1
1
5
15.14.
A. 7 B. 8
1) log2 ( 1+
log3
x ) = 0
C. 9 D. 6
A. 1 B. 2
2) log 4 ( 2 + log 2 x ) = 1
C. 3 D. 4
A. 2 B. 8
3) log3 ( 4 − log 2 x ) = 1
C. 4 D. 16
A. 3 B. 4
4) log 4 log 2 ( x − 5)
= 0
C. 2 D. 8
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
15.15.
2
3
1) log3
x + log3
x + log3
x = 12
A. 9 B. 6 C. 12 D. 3
2) log x
+ 5log
2
x = 22
2
2
116
1
−
2

A. 8 B. 16 C. 4 D. 32
5
3) 2log 4 x − log 4 x = 18
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
2
6
4) log2
x + log2
x + log2
x = 36
A. 24 B. 16 C. 12 D. 20
2 4
5) log2 x + log2 x = 18
A. 8 B. 4 C. ±8 D. ±4
4 6
6) log3 x + log3 x = 10
A. -3 B. 3 C. ±2 D. ±3
lg x −13 + 3lg
2 = lg 3x
+ 1
A. 21 B. 19 C. 20
2) log2 ( x + 4)
+ 3 + log2
3 = log2
( 22x
+ 90)
D. 18
A. -2 B. -3 C. 2
3) lg5 −1 = lg(
x + 3)
− lg(
3x
−1)
D. 1
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
1
4) lg ( 2x
− 3)
+ lg 9 = lg(
4x
+ 9)
2
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
log7 2x
− 3 − log7
3 = log7
14 − 3x
− log7
A. 2 B. 4 C. 5 D. 3
2) log5 ( 2x
− 5)
− log5
5 = log5
( 11−
x)
− log5
6
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3) log3 ( 1+
2x
) + log3
13 = log3
9 + log3
( 4x
− 3)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4) log5 ( x + 3)
+ log5
( x − 3)
= log5
( 2x
−1)
+ log5
1
A. -2 B. -5 C. 4 D. 5
log3 2x
− 7 − log3
5x
− 7 = −
A. 14 B. 12 C. 18 D. 17
2) log3 ( 4x
− 7)
− log3
( x − 8)
= 2
A. 12 B. 13 C. 14
3) log 2 ( 7x
−1) − log 2 ( 2x
−11)
= 4
D. 15
A. 7 B. 9 C. 11
4) log5 ( 5 − 3x
) − log5
( 17 + x)
= 2
D. 13
A. -13 B. -15 C. -11 D. -9
15.16. 1) ( ) ( )
15.17. 1) ( ) ( ) 5
15.18. 1) ( ) ( ) 1
117

amoxseniT gantoleba (##15.19-15.25):
x x−1
⎛ 2 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 3
15.19. 1) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 8
x x−1
⎛ 4 ⎞ ⎛ 27 ⎞ 2
2) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 9 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 3
x−1
x−2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 25 ⎞ 5
3) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 8
x−1
x−2
⎛ 4 ⎞ ⎛125
⎞ 2
4) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ 25 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 5
0,
25
256
2−
x
=
x
15.20. 1) ( ) + 3
3) 3
x+
1
⎛ 1 ⎞
⋅ ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
2
3
0,
5
⎛ 8 ⎞ x ⎛ 9 ⎞
15.21. 1) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 27 ⎠ ⎝ 4 ⎠
x−3
2
( x−2)
x
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 27 ⎠
−3
x ⎛ 1 ⎞
3) 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 27 ⎠
15.22. 1) 3 3 30
2 x+
x
+ =
x−3
x−2
x−1
3) 5 + 5 + 5 = 31
x
15.23. 1) 4 − 3⋅
2 − 4 = 0
x x
3) 4 + 3⋅
2 − 28 = 0
15.24. 1) 5⋅
2 −12⋅
2 + 7 = 0
3x+
2 −3x−2
3) 3 −12
⋅ 3 + 1 = 0
x
3x−3
3−3x
x
x
x
x
118
x
x+
1
⎛ 8 ⎞ ⎛ 9 ⎞
2) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 1
⎝ 27 ⎠ ⎝ 4 ⎠
4) 2
x
⋅ 5
x
⎛
= 0,
1⎜
⎝
1
10
⎞
⎟
⎠
1−x
2x−1
⎛ 1 ⎞
2) = 9 2
⎜ ⎟
⎝ 27 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
−x
1
10
5−5x
4) ( ) 5
x
x−1
2 ⋅ = 10
4 2 x+
x
2) + 4 = 17
x−4
x−3
x−2
4) 6 + 6 + 6 = 43
x
2) 9 + 4 ⋅ 3 − 21 = 0
4) 25 + 5 − 2 = 0
x x
x
2x−1
1−2
x
2) 3 − 6 ⋅ 3 + 5 = 0
5x−1
1−5x
4) 2 −12
⋅ 2 −1
= 0
2x
x 2x
15.25. 1) 9 ⋅ 4 − 3⋅
6 = 2 ⋅ 9
2) 2 ⋅ 5 + 10 = 15 ⋅ 2
2x
2x
3) 25 ⋅ 9 + 5 ⋅15
2x
= 12 ⋅ 25
x−1
x−1
x−1
4) 7 ⋅ 4 + 14 = 8 ⋅ 49
15.26. ipoveT a parametris is umciresi mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs erTi fesvi:
x x
1) 4 − a ⋅ 2 − a + 3 = 0
x
25 −
x
a + 3 ⋅ 5 − a =
x
3) 9 − ( a − 3)
⋅ 3 + 6 − a = 0
x
2) ( ) 0
x
4) 6 − ( 2a
+ 3)
⋅ 6 2 − 2a
= 0
amoxseniT gantoleba (##15.27-15.31):
log 5 −1 = log 3x
+ 1 + log 3x
− 5
15.27. 1) ( ) ( )
2
2
2) lg( x + 3)
+ log0
, 1(
x − 3)
= 1+
lg
3) lg5 −1 = lg(
2x
− 3)
+ log0
, 1(
9 − x)
4) ( 5x
− 4)
= 1+
log 3 + log ( 3x
− 5)
1
2
log 2
2 2
2
5
x

1
2
15.28. 1) log ( 3x
−1) − log ( 4x
+ 2)
= 1+
lg5
1
2
10
1
10
2) log ( 2x
−1) − log ( x − 9)
= 2
10
1
10
1
3) log ( 3x
− 20)
+ log 1 ( 2x
−19)
= lg x
10 2
1
2
4) log x − log ( x + 5)
+ lg 0,
02 = 0
10
2
log3 3
1 2 1
1
10
10
119
2
log2 2
15.29. 1) x − 3log
x + 2 = 0 2) x − log x − 2 = 0
3) lg
12
1
x = − lg x
3 4
1 2
4) + = 1
5 − lg x 1+
lg x
15.30. 1) 3log
2 2
x − log ( −x)
− 5 = 0
2
2
4
2) 4log
( −x ) + 2 log x + 1 = 0
2
2
3) 2log2
( − x −1)
− 3log2
( x + 1)
+ 4 = 0
2 2
4) 3log
( x + 2)
− log ( − x − 2)
− 9 = 0
15.31. 1) ( + 8)
= x + 2
3) ( 7 4 ) = 3 − x
4
2
3
3
−x
log 3 3
+
x
x
log 3
−
log 2
x
4) log 2 ( 14 + 2 ) = 5 − x
2
2) ( 24 + 3 ) = 4 − x
amoxseniT sistema (##15.32; 15.33):
⎧ x y 1
⎪3
⋅ 2 =
⎪⎧
⋅ =
15.32. 1) ⎨ 9
2) ⎨
⎪
⎪⎩
⎩y
− x = 2
+ =
− y x
2 5 200
x y 1
⎪⎧
+
7 ⋅ 2 = 4
3) ⎨
⎪⎩ − = 3
1 x y
y x
⎧lg
x + lg y = 2
15.33. 1) ⎨
⎩x
− y = 15
⎪⎧
x y
3 ⋅ 2 = 972
3) ⎨
⎪⎩
log ( x − y)
= 2
3
!
⎪⎧
x y
27 = 9
4) ⎨ x − y
⎪⎩ 81 ⋅ 3 = 243
⎧log
4 x + log 4 y = 1+
log 4 9
2) ⎨
⎩x
− y = 16
⎪⎧
y x
3 ⋅ 9 = 81
4) ⎨
⎪⎩ 2lg(
x + y)
− lg x = 2lg3

$16. maCvenebliani da logariTmuli
utolobebi
!
ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle
(##16.1 - 16.7):
16.1.
x
1) 4 < 2
A. ] −∞ ;−1[
B. ] − 1 ; ∞[
⎤ 1 ⎡
C. ⎥−
∞;
⎢
⎦ 2 ⎣
⎤ 1 ⎡
D. ⎥ ; ∞⎢
⎦ 2 ⎣
x
2) 6 ≥ 1
A. [ 0 ; ∞[
B. [ 1 ; ∞[
C. ] −∞ ; 0]
D. ] −∞ ; 1]
x
⎛ 1 ⎞
3) ⎜ ⎟ < 25
⎝ 5 ⎠
A. ] −∞ ; 2[
B. ] −∞ ; 1[
C. ] 1;
∞[
D. ] − 2 ; ∞[
x+
1
⎛ 1 ⎞
4) ⎜ ⎟ > 1
⎝ 2 ⎠
A. ] −∞ ; 0[
B. ] −∞ ;−1[
C. ] 0;
∞[
D. ] 1;
∞[
16.2.
−x+
1 1
1) 2 >
2
A. ] 2 ; ∞[
B. ] −∞ ; 2[
C. ] −∞ ; 1[
D. ] 3 ; ∞[
1
2) 4
16
1−x
>
A. ] 2 ; ∞[
B. ] 3 ; ∞[
C. ] −∞ ; 3[
D. ] 0 ; ∞[
−x+
2 1
3) 5 <
25
A. ] −∞ ; 4[
B. ] −∞ ; 5[
−x+
4 1
4) 2 <
4
C. ] 5 ; ∞[
D. ] 4 ; ∞[
; ∞
; 6
; ∞
0;
∞
A. ] 6 [ B. ] −∞ [ C. ] 4 [ D. ] [
x−1
>
16.3. 1) ( 0,
3)
0,
09
A. ] −∞ ; 0[
B. ] 3 ; ∞[
C. ] −∞ ; 3[
D. ] 1;
∞[
3x−1
2) ( 0,
2)
<
1
A. ] [
−∞ C. ] 2 ; ∞[
D. ] −∞ ; 0[
1;
∞ B. ]
25
; 1[
2x−
4 2−x
3) ( 0 , 4)
≥ ( 0,
4)
A. ] −∞ ; 0[
B. ] −∞ ; 2]
C. [ 0 ; ∞[
D. [ 2
; ∞[
120

4x−
2
⎛ 1 ⎞
4) ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
≥ 1
A. ] −∞ ; 0]
⎡ 1 ⎤
B. ⎢0
; ⎥
⎣ 2⎦
⎤ 1 ⎤
C. ⎥−
∞;
⎥
⎦ 2⎦
⎡1 ⎡
D. ⎢ ; ∞⎢
⎣2
⎣
x−1
2x−
2
16.4. 1) 3 ⋅ 2 > 144
A. ] −∞ ; 3[
B. ] 3 ; ∞[
C. ] 1;
∞[
D. ] 0 ; ∞[
x−3
x−3
⎛ 2 ⎞ ⎛ 27 ⎞ 2
2) ⎜ ⎟ ⋅⎜
⎟ <
⎝ 9 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3
A. ] −∞ ; 2[
B. ] 2 ; ∞[
C. ] 0 ; 2[
D. ] − 1;
3[
3) 2
A. ] 1;
∞[
x x x x
⋅ 7 < 2 ⋅ 7
B. [ 0 ; ∞[
C. [ 0 ; 1[
D. ] − 1;
1[
x−2
x−2
⎛ 2 ⎞ ⎛125
⎞ 25
4) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ >
⎝ 5 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 4
A. ] −∞ ; 3[
B. ] 3 ; ∞[
C. ] 2 ; 3[
D. ] 2 ; ∞[
3x−2
3x+
1 3x
16.5. 1) 3 + 3 − 3 < 57
A. ] −∞ ; 1[
B. ] 1;
∞[
C. ] 0 ; 1[
D. ] 0 ; 3[
x x −1 x −2
2) 3 + 3 − 3 < 11
A. ] −∞ ; 4[
B. [ 0 ; ∞[
C. [ 0 ; 2]
D. [ 0 ; 4[
x
3) 2
A. ] 0 ; 2[
x −1 x −2
+ 2 + 2 < 7
B. ] 2 ; ∞[
C. ] −∞ ; 0[
D. ] − 2;
2[
4) 3 ⋅ 5
A. ] −∞ ; 4[
x x −1 − 2 ⋅ 5 + 5
B. ] 1;
∞[
x −2
< 66
C. [ 0 ; 4[
D. [ 0 ; ∞[
16.6. 1) log3 x < 2
A. ] 9 ; ∞[
B. ] 0;
9[
A. ] 0;
[
A. ] 0;
1[
2) log0,2 x >− 2
25
;
3) log5 x > 0
4) x < −1
log 1
4
A. ] −∞ ; 4[
B. ] 0;
∞[
16.7. 1) ( 2x
+ 1)
> 0
log 3
121
C. ] −∞ ; 9[
D. ] 1;
8[
B. ] 25 ∞[
C. ] −∞ ; 25[
D. ] 0;
∞[
B. ] −∞ ; 1[
C. ] 1;
∞[
C. ] 0;
4[
D. ] 0;
∞[
D. ] 4 ; ∞[

⎤ 1 ⎡
A. ⎥−
; 1⎢
⎦ 2 ⎣
B. ] 0;
∞[
2) log0 , 2 ( 2,
2 − 2x
) < 1
A. ] −∞ ; 1,
1[
B. ] 1;
∞[
1
3) ( x + 3)
<
log 9
2
; 0
8 − x > −
122
⎤ 1 ⎡
C. ⎥−
; ∞⎢
⎦ 2 ⎣
D. ] −∞ ; 1[
C. ] −∞ ; 1[
D. ] 1,
1;
∞[
A. ] 0;
∞[
B. ] −∞ [ C. ] − 3 ; ∞[
D. ] − 3;
0[
4) log0, 25(
) 1
A. ] 4 ; 8[
B. ] −∞ ; 8[
C. ] 4 ; ∞[
D. ] 1;
4[
16.8. ricxvebi daalageT zrdis mixedviT:
1) a = log3 5 , b = log5 3 , c=2
A. a, b, c B. a, c, b C. b, a, c D. b, c, a
2) a = log4 20 , b = log7 2 , c= log5 7
A. a, c, b B. c, b, a C. b, a, c D. b, c, a
log 3 log 5
3) a=1, b = 1 , c= 3
2
A. b, a, c B. b, c, a C. a, b, c D. c, a, b
1
4) a = log5 1,
b = log3 , c= log 1 5
2
2
A. b, a, c B. c, b, a C. a, b, c D. b, c, a
!
!
ipoveT
16.12):
utolobis amonaxsnTa simravle (##16.9-
2
x −3x 1
16.9. 1) 3 ≤
9
2
4x−x
2) 5 ≥1
⎛ 1 ⎞
3) ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
2
x + 2x
16−x
2x+
1
1 1
⎛ 1 ⎞
≤ ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
⎛ ⎞ −x
16.10. 1) ⎜ ⎟ > 125
⎝ 5 ⎠
2x−3
2)
3 2
3x−1
−x
2
x −6x+ 8
4) 2 < 1
≤
1
81
5 3
4x−1
⎛ ⎞ −x
3) 5 0,
04
1−x
≥
4) ⎜
⎝ 2
⎟
⎠
16
<
25
16.11. 2*! 4 − 2 ≤ 2
x x
! ! !
x x
3*! 25 < 6 ⋅ 5 − 5 !

!
2x
+ 1 x
4*! 5 > 5 + 4 !!
⎛ 1 ⎞
5*! ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
⎛ 1 ⎞
− 2⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
> 3 !
16.12.
x x x
2* 3 ⋅ 4 + 2 ⋅9
− 5 ⋅ 6 < 0
x x x
2) 3⋅ 25 − 2 ⋅15
− 5⋅
9 ≤ 0
2
1
1
3) 10 x + 25 x ≥ 4,
25 ⋅ 50 x 4) 9 ⋅ 4 x + 5 ⋅ 6 x ≤ 4 ⋅ 9 x
16.13. gamoarkvieT 1-ze metia, naklebia Tu tolia x :!
5−
15
log
2
1
⎛ 2 ⎞
⎛ 3 ⎞
7
2*! x = ⎜ ⎟ ! ! 3*! x = ⎜ ⎟ !
⎝ 3 ⎠
⎝ 2 ⎠
7−
log3 12
4
123
x
1
1
x
1
6−
log2 log
15
3
( 3−2
2 ) + log ( 3+
2 2 )
!
⎛ 4 ⎞
4*! x = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
! !
⎛ 2 ⎞
5*! x = ⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠
1
2
1
2 !
16.14. ipoveT! a -s! yvela mniSvneloba, romlisTvisac miTi-
Tebuli utoloba iqneba samarTliani!
log 2
5
11−3
0,
3
5−
19
log 4
0,
5
! 2*! a > 1!!
3*! a 5 > 1 !
4+
15
log
8 6
21−3
log
2 2
a
a
⎛ ⎞
⎛ ⎞
! 4*! ⎜ ⎟ > 1!
! 5*! ⎜ ⎟ > 1!
⎝ 5 ⎠
⎝ 3 ⎠
16.15. 1) amoxseniT utoloba! ,
4 1 2 + + > x x
a a !Uv! x = 2 !ar aris am
utolobis amonaxsni.
x+
13 2x
+ 15
2) amoxseniT utoloba! a < a -! Uv! x = −5
! aris am
utolobis amonaxsni.
ipoveT utolobis amonaxsnTa simravle
(##16.16-16.20):
x + 2 > lg 6 − x
log 3x
− 9 < log 7 − x
16.16. 1) lg ( ) ( )
2) ( ) ( )
3) log ( 2 4)
< log x
2
x 2
16.17. 1) log ( x − 2)
− log ( x − 3)
− 4) log ( x −1) > log ( 5 − x)
−1 − log
2
>
3
x + 1 + log 5 − x
2 8
8
1
3
1
2
2) log ( x ) ( ) ( ) < 1
1
3
3) log ( x + 14)
− 2log
( x + 2)
< 6
2
1
2
3
1
4
4) ( x + 2)
− log ( x − 2)
< 2log
( 4x
+ 1)
log3 1
9
3
2
16.18. 1) log ( x
− 5x
+ 5)
< log ( 2x
−1)
1
3
1
3
3
1
2
1
3

2
2) log 2 ( x + 3x)
< 2
2
3) log 1 ( x + x − 2)
> −2
2
2
4) ( x + 1)
< log ( 2x
− 5)
log0, 7
0,
7
2
16.19. 2) log3 x + 2log3
x − 3 ≤ 0 2) x + lg x − 2 ≤ 0
3)
2
x − log x > 3
2
4) log x − 6log
x + 2 ≤ 0
124
lg 2
log0 , 25 2
1
1
2
4
x
x+
1
log3 2) log 2 ( 2 − 4)
< x
16.20. 1) ( 2 ⋅ 3 − 9)
> x
x+
1 x
4*! log4
( 2 − 8)
≤ !
2
!
x
5*! log5 ( 35 − 2 ⋅ 5 ) > x + 1!
16.21. ipoveT x cvladis mniSvnelobaTa simravle,
romelTaTvisac
1) log0,3 ( x − 3)
, ( ) 2
log0,3 x − 3 , ( ) 3
log0,3 x − 3 ,... ariTmetikuli
progresia aris zrdadi.
2) log0,1 ( 2 − x)
, ( ) 2
log0,1 2 − x , ( ) 3
log0,1 2 − x ,... ariTmetikuli
progresia aris klebadi.
3)
2
3
log0,5 ( x − 2)
, log0,5 ( x − 2)
, log0,5 ( x − 3)
,... geometriuli
progresia aris zrdadi.
4) 1,
2
lg ( x − 3)
,
4
lg ( x − 3)
,... geometriuli progresia
aris zrdadi.
$17. trigonometriul funqciaTa mniSvnelobebis
gamoTvla
17.1. ipoveT sin α , Tu:
3
1) cos α = ;
5
π
0 < α <
2
2
A. −
5
2
B.
5
4
C. −
5
4
D.
5
12
2) cosα = − ;
13
o
o
90 < α < 180
5
A. −
13
5
B.
13
7
C. −
13
7
D.
13
3) cos α = 0,
6;
o
o
270 < α < 360
A. –0,8 B. –0,4 C. 0,8 D. 0,4

7
3
4) cos α = − ; π < α < π
25
2
24
A.
25
24
B. −
25
12
C.
25
12
D. −
25
17.2. ipoveT cos α , Tu:
4
1) sin α = ;
5
o
o
0 < α < 90
2
A. −
5
2
B.
5
3
C. −
5
3
D.
5
4
3
2) sin α = − ; π < α < π
5
2
3
A.
5
1
B.
2
1
C. −
2
3
D. −
5
5
3) sin α = ;
13
o
o
90 < α < 180
12
A.
13
3
B.
2
12
C. −
13
D. −
3
2
3
4) sin α = −0,
8;
π < α < 2π
2
!!!!!!!A. 0,6 B. –0,6 C. 0,4 D. -0,4
17.3. ipoveT tgα, Tu:
4
1) sin α = ,
5
π
0 < α <
2
4
A.
3
4
B. −
3
C. 1 D. –1
2) sin α =
3 π
, < α < π
2 2
A. 3 B. −
1
3
C.
1
3
D. − 3
3 3
3) cos α = ; π < α < 2π
5 2
3
A.
4
4
B. −
3
2
C. −
3
4
D.
3
3
4) cos α = −0,
8;
π < α < π
2
1
A.
2
4
B.
3
3
C.
4
4
D.
5
17.4. ipoveT cosα , Tu:
125

4
1) tg α = ;
3
π
0 < α <
2
3
A. −
5
4
B. −
5
3
C.
5
4
D.
5
3 π
2) tg α = − ; < α < π
4 2
4
A.
5
4
B. −
5
1
C.
2
1
D. −
2
3) tg α = − 2;
o
o
270 < α < 360
3
A.
3
B. −
3
3
1
C.
2
1
D. −
2
12
4) tg α = ;
5
o
o
180 < α < 270
5
A. −
13
5
B.
13
12
C. −
13
12
D.
13
17.5. ipoveT sin α , Tu:
5
1) tg α = ;
12
π
0 < α <
2
5
A. −
13
5
B.
13
12
C. −
13
12
D.
13
3
3
2) tg α = ; π < α < π
4
2
3
A.
5
4
B. −
5
4
C.
5
3
D. −
5
40 3
3) tg α = − ; π < α < 2π
9 2
40
A. −
41
40
B.
41
9
C. −
41
9
D.
41
24 π
4) tg α = − ; < α < π
7 2
24
A.
25
24
B. −
25
7
C.
25
7
D. −
25
17.6. ipoveT sin 2α
, Tu:
3
1) sin α = ;
5
π
0 < α <
2
24
A.
25
24
B. −
25
12
C.
25
12
D. −
25
126

5
2) sin α = ;
13
o
o
90 < α < 180
60
A.
169
60
B. −
169
120
C.
169
120
D. −
169
4
3) cos α = ;
5
o
o
270 < α < 360
24
A. −
25
24
B.
25
12
C. −
25
12
D.
25
3
3
4) cos α = − ; π < α < π
5
2
24
A. −
25
24
B.
25
12
C. −
25
12
D.
25
17.7. ipoveT cos 2α
, Tu:
1)
1
sin α =
3
1
A.
9
2
B.
9
7
C.
9
8
D.
9
2)
5
sin α =
7
1
A. −
49
1
B.
49
10
C. −
49
10
D.
49
2
3) cos α =
3
1
A.
9
1
B. −
9
4
C.
9
4
D. −
9
5
4) cos α = −
6
7
A.
18
7
B. −
18
11
C.
18
11
D. −
18
17.8. ipoveT sin ,
2
α Tu:
3
1) cos α = ;
5
π
0 < α <
2
A.
1
5
B.
2
5
C.
3
5
D.
4
5
3
3
2) cos α = − ; π < α < π
5
2
127

A. −
1
5
B.
1
5
C. −
2
5
D.
2
5
3) cos α = 0,
28;
o
o
270 < α < 360
A. –0,6 B. 0,6 C. –0,8 D. 0,8
12
3
4) cos α = − ; π < α < π
13
2
A.
5
26
B. −
5
26
C.
7
26
D. −
7
26
17.9. ipoveT cos ,
2
α Tu:
7
1) cos α = ;
8
π
0 < α <
2
3
A.
4
7
B.
4
C.
11
4
D.
15
4
7
2) cos α = − ;
8
o
o
180 < α < 270
1
A.
4
1
B. −
4
3
C.
4
3
D. −
4
4
3
3) cos α = − ; π < α < π
5
2
A. −
3
10
B.
3
10
C. −
1
10
D.
1
10
4) cosα = −0,
68;
o
o
90 < α < 180
A. –0,4
17.10. ipoveT:
B. 0,4 C. –0,2 D. 0,2
1) sin α , Tu 5
2 =
α
tg
3
A.
13
4
B.
13
5
C.
13
6
D.
13
2) cosα , Tu 5
2 =
α
tg
12
A. −
13
12
B.
13
5
C. −
13
5
D.
13
3) tg α,
Tu 3
2 =
α
tg
1
A. B.
4
1
− C.
4
4
128
3 D.
3
−
4

A.
4) tg 2α,
Tu tg α = 2
4
4
− B. C.
3
3
129
3
3
− D.
4
4
17.11. ipoveT:
o
3
1) sin(
α + 45 ), Tu sin α = ,
5
π
0 < α <
2
o
2) sin(
α − 30 ), Tu sin α =
3
,
7
o
o
90 < α < 180
o
3) cos(
α − 60 ), Tu cos α = −
4) ( 45 ),
1 π
, < α < π
13 2
o
tg α − Tu tg α = 3
17.12. ipoveT:
4 5 π π
1) cos ( α + β)
, Tu cos α = , cosβ = − , 0 < α < , < β < π .
5 13 2 2
4 12 3π
3π
2) sin ( α − β)
,Tu sin α = − , cosβ = − , < α < 2π
, π < β < .
5 13 2
2
3 12 π π
3) cos ( α − β)
,Tu cos α = − , sin β = , < α < π , < β < π .
5 13 2 2
3 7 π π
4) sin ( α + β)
, Tu sin α = , cosβ = − , < α < π , < β < π .
5 25 2 2
17.13. ipoveT funqciis umciresi dadebiTi periodi:
1) y = sin 2x
2) cos
3
x
⎛ 3πx
⎞
y = 3) y = sin⎜
+ 5⎟
⎝ 5 ⎠
πx
4) y = tg
3
5) y = sin x
!
6) y = cos3x
$18. trigonometriul gamosaxulebaTa
gamoTvla
g a m o T v a l e T (##18.1 - 18.18):
18.1.
o o
1) cos60 − tg45
1
A. 0 B. C.
2
o
2) sin 120 +
cos150
o
1
− D.
2
1
−
3

3
A. 0 B. C.
2
o
3) tg 135 + cos180
o
130
3
− D. 1
2
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
o o
4) sin150 − tg225
1
A.
2
B. 1 C.
1
− D. -1
2
18.2.
π π π
1) 4sin
− 2cos
+ 3tg
3 6 3
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
2) 2
2
3 sin π −
3
2 2
tg π +
3 3
3
2 cos π
4
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 3
3) 3
7 3
2 cos π − 2tg
π −
4 4
3
2 sin π
4
18.3. 1)
A. 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
4)
5 5
3tg π + 2sin
π −
3 6
7
3 cos π
6
A. -0,5 B. - 3 C. 0,5 D. 3
3sin
120
o
o
− 5cos150
tg240 − 3tg300
o
o
2)
cos360
A. -1
1
B. 0 A.
2
C. 1 D. 1,5 C.
1
2
3)
4cos
330
6tg210
o
o
− 3tg330
o
o
− 4sin
240
4)
o
tg150
sin 300
o
o
− sin 210
o
1
B.
3
1
−
− D.
3
5π
11π
4sin
− 3tg
3 6
7π
5π
3 cos + tg
6 4
1 2
A. B. A. 2 3 B. − 2 3
2 3
3 4
C. D. C. 3 D. −
3
4 5

o
18.4.
5sin
750 − 3cos
420
1)
o
tg585
3 tg840
+ 4cos870
4)
o
2sin
510
A. 1 B. 2 A. 5 B. -5
o
C. 3 D. 4 C. 5 3 D. − 5 3
3)
7 cos
7π
17π
− 5sin
3 6
9π
tg
4
131
4)
o
20π
19π
tg + 2cos
3 6
25π
sin
6
A. 1 B. 2 A. 3 B. − 2 3
C. 3 D. 4 C. 3 3 D. − 4 3
18.5.
o o
o o
1) cos 70 cos10
+ cos80
cos 20
A. 1
1
B.
2
1
C.
3
2
D.
3
o o o o
2) cos 64 cos 4 + cos86
cos 26
1
A.
3
1
B. −
2
1
C. −
3
1
D.
2
o o
o o
3) sin 36 cos 6 − cos84
sin 54
1
A.
2
B. 0
1
C. −
2
D. 1
5π
π 7π
11π
4) sin cos + cos sin
12 12 12 12
1
A.
2
5)
2 3
B. C. D. 1
2
2
o
tg65
1+
tg65
tg35
o
o
− tg35
o
A. 0 B.
1
3
C. 1 D. 3
π 2π
tg + tg
6)
9 9
π 2π
1−
tg tg
9 9
A. − 3 B. 3 C. −
1
3
D.
1
3
o

o
18.6.
2tg15
1)
2 o
1−
tg 15
2tg75
2)
2 o
1+
tg 75
A. −
1
3
B.
1
A. -1 B.1
3
C. − 3 D.
1 1
3 C. − D.
2 2
2 π
2 o
1−
tg
1−
tg 75
3)
4)
12
2 o
1+
tg 75
2 π
1+
tg
12
A.
C.
3 3
− B. A.
2 2
3 3
− D. C.
3 3
132
3 3
− B.
2 2
3 3
− D.
3 3
18.7.
o o
π 3π
1) 6 sin15
sin 75
2) cos cos
8 8
A. 1,5
2
B. 2 A.
2
2
B.
4
3 3
C. 2,5 D. 3 C. D.
2 4
π 13 5
o
3) 8 sin cos πcos
π 4) sin 75 cos 255
12 12 6
A. − 3 B. 3 A.
C. 2 3 D. − 2 3
C.
18.8. 1) cos 15
A.
C.
2
o
2
o
− cos 75
2)
2 2
− B. A.
2 2
3 3
− D. C.
2 2
⎛ π π ⎞
3) ⎜sin
+ cos ⎟
⎝ 12 12 ⎠
2
3 3
− B.
8 8
3 3
− D.
4 4
2 π 2 3π
sin − sin
8 8
3 3
− B.
2 2
2 2
− D.
2 2
o
o
cos 330
4) ( ) 2
o o
cos 75 −
sin 75
o

A. 1
3
B. A. 1
2
3
B.
2
1 1
C. D. 2 C. D. 2
2
2
sin 40
o
sin 50
o
133
π
sin
9
π
cos cos
18
18.9. 1)
o
cos10
2)
4π
9
1 1
A. B.
4 2
1
A.
2
B. 1
3 3
C. 1 D. C. D. 2
2
2
o o
o
1−
2sin
40 sin 50
4 3 cos10
3)
4)
2 o
2 o 2 o
sin 5
sin 70 − sin 10
A. 1 B. -1 A. 8 B. 2
C. -2 D. 2 C. 4 D. 1
18.10. 1) arcsin
3 ⎛ 1 ⎞
− arccos⎜
− ⎟ + arctg
2 ⎝ 2 ⎠
3
A. π
π
B.
3
2π
C. −
3
D. 0
1
2) arcsin( − 1)
+ 3⋅
arccos − arctg
2
1
3
A. 0
π
B.
3
C. − π
π
D.
2
3) arcsin
1 ⎛
− arccos⎜
−
2 ⎝
1 ⎞
⎟ + arctg1
2 ⎠
π
A. −
4
B. 0
π
C.
2
π
D.
4
4) arcsin 0 + arccos1−
arctg ( − 3)
A. 0 B. − π
π
C.
3
D. π
18.11.
2 2
1
1) sin α − 8cos α + 1 , Tu cosα
=
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
2) 5cos α − sin α + 2 , Tu cosα
=
1
5

A. 1 B. 2,2 C. 3,2 D. 4
4
3) − 2 , Tu tgα = 0,5
2
cos α
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1,5
5
4) + 2 , Tu tgα =
2
sin α
5
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
18.12.
2 4
1) 7cos α − 49sin α , Tu cosα
=
1
7
A. -35 B. -30 C. -25 D. -20
4 2
1
2) 81cos α − 27sin α + 1,
Tu sinα
=
3
A. 60 B. 62 C. 64 D. 66
6
2
3) − 3sin α , Tu ctgα =
2
cos α
2
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2 4
4) 5cos α − , Tu tgα = 2
2
sin α
A. 4 B. -5 C. 9 D. –4
18.13.
7sinα − 5cosα
1
1) , Tu tgα =
4sinα + 3cosα
2
A. –0,5 B. 2 C. 0,5 D. –0,3
3cosα + 5sinα
2) , Tu tgα = 3
2sinα − 7cosα
A. –18 B. -20 C. 6 D. 15
7sinα −
3)
3sinα +
3cosα
, Tu tgα = 3 3
3cosα
A. 5 B. 2 C. -3
o
6sin( α + 30 )
4)
, Tu tgα = 2 3
cosα
D. 1
A. 15 B. 18 C. 21
o
2cos( α − 60 )
5)
, Tu tgα = 5 3
cosα
D. 24
A. 12 B. 18 C. 15
o
4sin( α − 60 )
6)
, Tu tgα =
3 3
2sinα − 3cosα
D. 16
134

A. 0,8 B. 1 C. 1,2 D. 0,6
18.14.!! !
2
1−
sin α
2*! , !Uv! tg α = 2 !
2
1−
cos α
1 !!!!!!! C. 2!!!!!!! D. 4
1 A.! !!!!!!!B.!
2
4
sin 2
α 1
2) , Uv! cos α = !
1−
cosα
4
!
1 3 5 7
A. B. C. D.
4
4
4
4
2 2 2
1
! !3) 1+
tg α − tg α(
cos α + 1),
Uv! cos α = !
3
1
A.
9
2
B.
9
1
C.
3
2
D. !
3
tgα
1+
ctgα
!!!!!! 4) ⋅ , !Uv! tg α = 4 !
1+ tgα
ctgα
1 1
A. B. C. 2
4
2
sin
18.15.!
( α + β)
1) , Uv! tg α = 2 !eb! tg β = 3 !
cosα
cosβ
D. 4
A. 6 B. 5 C. -5
cos(
α − β)
!!!!!!! 2) , !Uv! tg α = 3 !eb! tg β = 2 !
cosα
cosβ
D. -4!
!!!!!!!!!
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7!
sin(
α + β)
− sin α cosβ
3)
, Uv! tg α = 2 !eb! tg β = 3 !
sin(
α − β)
+ cosα
sinβ
!!!!!!!!!
2 3
A. 5 B. 6 C. D. !
3
2
cos(
α − β)
− cosα
cosβ
4)
, !Uv! tg α = 2 !eb! tg β = 3 !
cos(
α + β)
+ sin αsinβ
A. 5 B. 6
2
C.
3
3
D.
2
18.16.
2 2
16sin α − 3cos α
1)
, Tu tgα = 0,5
2 2
8sin α + 3cos α
A. 1,2 B. 1 C. 0,5 D. 0,2
2 2
5sin α + 3cos α
2)
, Tu tgα =
2 2
3sin α − 5cos α
2
A. 13 B. 8 C. 15 D. 5
135

2
5sin α − 2
3)
2
4cos α + 5
, Tu 5 tgα =
A. 19
34
13
B.
34
5
C.
17
D. 1
2 2
2sin α + 3cos α
4)
, Tu tgα =
2
5cos α − 2
2
A. 5 B. 2 C. -7 D. –9
18.17.! ! 1
1) sin α cosα
cos 2α,
Uv! sin 4α
= !
4
1 1
A. B.
8
12
1
C.
24
1
D. !
16
α α ⎛ 2 α 2 α ⎞
1
!!!!!!!! 2) 2sin
cos ⎜sin
− cos ⎟,
Uv! sin 2α
= !
2 2 ⎝ 2 2 ⎠
3
1 1
1
A. B. − C.
6
6
12
2 2
1
!!!!!!!! 3) 4(
1−
8sin
α cos α),
!Uv! cos 4α
= !
2
1
D. − !
12
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4!
⎛ 2
2 α 2 α ⎞
3
!!!!!!!! 4) 3⎜
cos α − 4sin
cos ⎟,
Uv! cos 2α
= !
⎝
2 2 ⎠
4
1
A. 2
4
1
B. 3
2
1
C. 2
2
3
D. 1
4
18.18.
1−
cosα
1) , Uv! 4
sin α
2 =
α
tg !
1
A.
4
1
B.
2
C. 2 D. 4!
1+
cos3α
3 α
!!!!!!!! 2) , Uv! tg = 3 !
sin 3α
2
1
A.
3
1
B.
6
C. 3 D. 6!
!!!!!!!!!
sin 2α
+ 2sin
α
1
3) , Uv!
sin 2α
− 2sin
α 2 2
=
α
tg !
A. 2 B. -4
1
C.
2
1
D. − !
2
!!!!!!!!!
sin 2α
cos 2α
1
4) − , Uv! cos α = !
sin α cosα
4
136

1
A.
4
1
B.
2
C. 4 D. 2
⎛π⎞ 18.19. 1) Tu α ∈⎜ ; π
2
⎟,
maSin sinα ⋅ sinα + cosα ⋅ cosα
=
⎝ ⎠
A. 1 B. − cos 2α C. cos 2α D. –1
⎛ 3π
⎞
2) Tu α∈⎜π; 2
⎟,
maSin sinα ⋅ sinα + cosα ⋅ cosα
=
⎝ ⎠
A. 1 B. sin 2α C. cos 2α D. –1
⎛ 3π
⎞ sinα
3) Tu α∈⎜π; 2
⎟,
maSin + tgα
=
⎝ ⎠ cosα
A. 0 B. 2tgα C. − 2tgα D. 1
⎛π⎞ 4) Tu α ∈⎜ ; π
2
⎟,
maSin cos sin
⎝ ⎠ tg α ⋅ α − α =
A. 0 B. − 2sinα C. 2sinα D. sin 2α
⎛3 π ⎞
18.20. 1) Tu α ∈⎜ ;2π
2
⎟,
maSin sinα −cosα − sinα
=
⎝ ⎠
A. − cosα B. cosα C. 0 D. 2sinα − cosα
⎛ππ⎞ 2)Tu α ∈⎜ ;
4 2
⎟,
maSin cosα − sinα ⋅ ( cosα + sinα) + cos 2α
=
⎝ ⎠
A. 2cos2α B. 1+ sin2αC.
-1 D. 0
⎛π⎞ 3)Tu α ∈⎜ ; π
2
⎟ cosα − sinα ⋅ cosα + sinα + 2cos α =
⎝ ⎠ ,maSin ( ) 2
A. 1− sin2αB.
cos 2α C. 1 D. -1
4) Tu
⎛3 π ⎞
α ∈⎜ ;2π
2
⎟,
maSin 2 cosα sinα − cosα + sin 2α
=
⎝ ⎠
2
137
2
− 2cos α D. 1
A. 2sin2α B. 2cos α C.
18.21. daalageT zrdadobis mixedviT
o
o
o
1) sin 10 , cos 87 da sin 18
o o o
A. cos 87 , sin 10 , sin 18
o o o
B. sin 10 , sin 18 , cos 87
o o o
C. sin 18 , cos 87 , sin 10
o o o
D. cos 87 , sin 18 , sin 10
o o
o
2) sin 25 , cos 20 da cos 25
o o o
A. cos 20 , cos 25 , sin 25
o o o
B. sin 25 , cos 25 , cos 20
o o o
C. cos 25 , sin 25 , cos 20
o o o
D. cos 20 , sin 25 , cos 25
o o
o
3) tg 35 , sin 25 da tg
40

o o o
A. tg 35 , sin 25 , tg 40
o o o
B. tg 40 , sin 25 , tg 35
o o o
C. tg 35 , tg 40 , sin 25
o o o
D. sin 25 , tg 35 , tg 40
o
o
o
4) cos 250 , sin 640 da sin 580
o
o
o
A. sin 580 , cos 250 , sin 640
o o o
B. cos 250 , sin 580 , sin 640
o o
o
C. sin 640 , sin 580 , cos 250
o
o o
D. sin 640 , cos 250 , sin 580
gamoTvaleT (##18.22-18.26):
2
o
⎛
o 2
o 2
18.22. 1) cos 5 ⎜(
1+
tg 5 )
⎝
+ ( 1−
tg5
) ⎟
⎠
o
2)
⎛ o 2
o 2
ctg 10 ⋅ ( ) ( ) ⎞
⎜ 1+
tg10
− 1−
tg10
⎟
⎝
⎠
6 o 6 o 4 o 4 o
3) 2(
sin 5 + cos 5 ) − 3(
sin 5 + cos 5 )
2
o
4 − 3sin
20
4)
6 o 6 o
sin 10 + cos 10
o o
18.23. 1) cos36 ⋅ cos 72
2π
4π
2) cos ⋅ cos
5 5
o o o
3) cos 20 ⋅ cos 40 ⋅ cos80
π 2π
4π
4) cos ⋅ cos ⋅ cos
7 7 7
⎛1
+ cos 2α
2 2 ⎞
18.24.!1) 4⎜
⋅ tg α − cos α⎟,
Uv! sin α =
⎝1
− cos 2α
⎠
3
!
4
!!!!!
1−
sin α ⎛ π α ⎞ 3
2) 16 ⋅ , Uv! tg ⎜ − ⎟ = !
1+
sin α ⎝ 4 2 ⎠ 4
⎛ π α ⎞ ⎛ π α ⎞
1
!!!!!!3) tg ⎜ − ⎟ + tg⎜
+ ⎟,
Uv! cos α = !
⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠
2
2
2 α − β
!!!!!!4) ( sin α + sinβ)
+ ( cosα
+ cosβ)
, Uv! cos =
2
1
18.25. 1) sin 2α
, Uv! sin α + cos α = !
5
3 3
1
2) sin α + cos α,
Uv! sin α + cosα
= !
2
2 2
!!!!!!3) tg α + ctg α,
Uv! tg α + ctgα
= 6 !
4) sin 2α
, Uv! tg α + ctgα
= 12 !
3
!
2
o
18.26. 1) sin 15
o
2) tg 75
o
3) cos 105
o
4) sin
255
138
⎞

$19. trigonometriuli gantolebebi
! !
amoxseniT gantoleba (##19.1-19.3):
19.1. 1)
sin 3x
=
3
2
k π
A. ( −1
) + πk
3
k π π π
B. ( − 1)
+ k C. + πk
9 3 3
π
D. ± + πk
18
1
2) sin ( 2x
−1)
=
2
k π k π π
k π 1 π
A. ( −1
) + πk
B. ( − 1)
+ k C. ( − 1)
+ + k D. π k
6
12 2
12 2 2
x 1
3) cos =
4 2
4
A. ± π + 2πk
3
2 4 4
B. ± π + 8πk
C. π + 8πk
D. ± π + 8πk
3
3
3
⎛ x o ⎞
4) cos ⎜ −10
⎟ = 1
⎝ 2 ⎠
A. k
o
720 B. k
o o
20 + 720 C. k
o o
10 + 720 D. k
o o
10 + 360
cos = −
3
2
π
A. 2πk
6 + ± B. k π
5π
π
3 ± − 2 C. 2πk
6
6 + ± D. k π
π
3 ± − 2
3
19.2. 1) ( 3 − x )
⎛ x π ⎞
2) sin⎜ − ⎟ = −
⎝ 3 6 ⎠
3
2
k + 1 π k π π π k + 1
A. ( −1)
+ πk
B. ( −1)
+ πk
C. + πk
D. + ( −1)
π + 3πk
3
3 6 2
o
tg 2 x − 65 =
3) ( ) 1
A. k
139
o o
45 + 90 B. k
o o
55 + 90 C. k
o o 110 + 180 D. k
o o 45 + 180
⎛ x π ⎞
4) tg ⎜ − ⎟ = −
⎝ 3 4 ⎠
3
π
A. + 3πk
4
B. k π
π
3
4 + − C. k π
π
− +
3
π
D. 3πk
3 + −
19.3.!!! ! 1) sin 2sin
0
2
x − x =
A. π k
π
π
π
B. − + πk
C. + πk
D. + πk
2
2
4
2) sin 2x
− 3cos
x = 0

A. π k
π
B. + πk
4
π
C. + πk
3
π
D. + πk
2
2 2
3) cos x − sin x = 0,
5
π
A. ± + πk
6
π
B. ± + πk
4
π
C. ± + πk
3
π
D. ± + πk
2
π
A. + πk
2
x
4) sin x − 4sin
= 0
2
π
B. − + πk
2
C. 2 πk
D. π k
19.4. ipoveT gantolebis amonaxsni miTiTebul SualedSi
1 o o
2*! sin x = , ] 90 ; 180 [
2
A. 30 o B. 120 o C. 150 o D. 135 o
3
o o
2) cos x = , ] − 90 ; 0 [
2
A. 360 o B. -45 o C. 300 o D. -30 o
3
o o
3) sin 3x
= − , ⎤−30 ;0 ⎡
2 ⎦ ⎣
A. -20 o B. 100 o C. -10 o D. 20 o
o o
4) tg 4 x = 3 , ] 30 ; 90 [
A. 15 o B. 60 o C. 45 o D. 30 o
!
amoxseniT gantoleba da ipoveT miTi-
Tebuli amonaxsni (##19.5 – 19.9):
19.5. 1) sin 2x
= cos x )umciresi dadebiTi*
!!!
π π
A. B.
6
2
π
C.
4
D. π
2) sin 2x
= sin x (udidesi uaryofiTi)!
π
A. − π
B. −
2
π
C. −
3
2
D. − π !
3
2
3) cos 2x
= 2sin
x )udidesi uaryofiTi)!
!!!!
π
A. −
4
π
B. −
6
π
C. −
3
2
D. − π !
3
2
2
4) sin x = 1+
cos x )umciresi dadebiTi)!
π
A.
3
π
B.
2
π
C.
4
π
D. !
6
19.6. 1) 2 sin x sin x
2 = )umciresi dadebiTi)!
140

π π π
A. π B. C. D. !
3
4
6
2
2) 3 cos x = 2cos
x (udidesi uaryofiTi*!!
π
π
A. − B. −
3
6
π
C. −
4
π
D. − !
2
3) sin x 1 2cos
x
2
− = (udidesi uaryofiTi*!
π
A. −
2
π
B. −
4
π
C. −
3
π
D. − !
6
2
4) cos x = 2 − 2sin
x (umciresi dadebiTi)!
π
A. B. π
3
π
C.
4
π
D.
6
19.7. 1)! cos 2cos
3 0
2
x − x − = !!!(umciresi dadebiTi)!
π
A.
4
π
B.
2
C. π
3π
D.
2
! !
2
2)! 2sin
x − 5sin
x + 2 = 0 !!(umciresi dadebiTi)!
π
A.
6
π
B.
4
π
C.
2
D. π
! !
2
3)! tg x − 3tgx
+ 2 = 0 !!(umciresi dadebiTi)
π
A.
6
π
B.
3
π
C.
2
π
D.
4
! ! 4)! 3 4 3 0
2
tg x − tgx + = !!(umciresi dadebiTi)
π
A.
6
π
B.
4
π
C.
3
π
D.
2
19.8.
2
2*! 2cos
x + 3 2 sin x − 4 = 0 !!(umciresi dadebiTi)
π
A.
6
π
B.
4
π
C.
3
π
D.
2
2
3*! 2 sin x + cos x = 0 !(udidesi uaryofiTi)
π
A. −
2
B. − π
3π
C. −
4
π
D. −
6
! !
2
4*! 2cos
x + sin x −1
= 0 !!(udidesi uaryofiTi)
A. − π
π
B. −
4
π
C. −
3
π
D. −
6
! !
1
5*! − 4tgx
+ 2 = 0 !!(umciresi dadebiTi)
2
cos x
π
A.
6
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
2
141

19.9.
x
1) cos = 1+
cos x (umciresi dadebiTi)
2
π
A.
2
B. π
3
C. π
2
2
D. π
3
x
2) 2sin = 1−
cos x (udidesi uaryofiTi)
2
A. − π
3
B. − π
2
C. −2 π
2
D. − π
3
x
3) sin x − cos = 0 (umciresi dadebiTi)
2
A. π
π
B.
3
1
C. π
2
π
D.
6
4) 1 + cos x + cos 2x
= 0 (udidesi uaryofiTi)
A. − π
2
B. − π
3
π
C. −
2
π
D. −
3
amoxseniT gantoleba (##19.10 – 19.15):
19.10. 2*! sin 2x
− cos 2x
= 0 !!! ! 3*! sin x − 3 cos x = 0 !!!!
!
2 2
3
4*! 3sin
x − cos x = 0 !!! 5*! sin x −
3
27 cos x = 0 !!!
19.11.
2
2*! sin x − 3
2
3 sin x ⋅ cos x + 6cos
x = 0 !
! 3*!
2
3 sin x − 7sin
x ⋅ cos x + 2
2
3 cos x = 0 !
!
2
2
4*! 2sin
x + sin x ⋅ cos x − cos x = 1!!
!
2
2
5*! 3sin
x − 2sin
x ⋅ cos x − cos x = 2 !!
19.12. 1) sin x = 1−
cos x
2) 3 sin x = 1+
cos x !
3) sin 2x
= 3(
1+
cos 2x)
4) sin x = 3(
1+
cos x)
19.13. 2*! cos 2x
= cos x !! ! 3*! sin x − cos x = 0,
5 !!!
!
4 4
4*! cos x − sin x = 0,
5 !! !
4 x 4 x
5*! cos − sin =
2 2
3 sin x !!!
19.14. 1) sin 6x
− sin 4x
= 0
2) cos 3x
+ cos7
x = 0 !
3) tgx = tg2x
4) tg 4 x = tgx !
19.15. 2*! 2 tgx ⋅ cos x + 1 = 2cos
x + tgx !!!
! 3*! 2 tgx ⋅ cos x + 1+
2cos
x + tgx = 0 !!
! 4*! sin 2x
⋅ cos x − cos 2x
⋅sin
x = 2 sin x ⋅ cos x !!
! 5*! cos 2x
⋅ cos x + sin 2x
⋅ sin x = sin 2x
!!!
142
2
2

19.16. ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
gantolebas aqvs amonaxsni:
1) sinx=a+1; 2) 2-cos3x=a;
3) sin 2 2x-(a-2)sin2x-2a=0; 4) cos 2 3x-2(a+2)cos3x-8a-32=0
$20. funqciis gansazRvris are, mniSvnelobaTa
simravle. funqciis udidesi da umciresi
mniSvnelobebi
20.1. 1) Tu f ( x) = 3x−2 − x+
1 , maSin f(-2)=
A. 8 B. 7 C. -7 D. 5
log
1
3 1 2 x
f x =
−
x−
− , maSin f(-1)=
2) Tu ( )
2
A. -2 B. 0 C. 4 D. 6
f x = log 6x−6− log x+
1 , maSin f(-5)=
3) Tu ( ) 3 3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
2
4) Tu f ( x) = 3x−1⋅( x− 2) + x −3x− 7 , maSin f(-1)=
A. 10 B. 21 C. -9 D. –28
20.2. ipoveT funqciis gansazRvris are
1) y = 16 − x − 3x
+ 1
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡
A. ⎥−
; 16⎢
B.
⎦ 3
⎥−
; ∞⎢
⎣ ⎦ 3 ⎣
C. ] − ∞;
16[
⎡ 1 ⎤
D. ⎢−
; 16⎥
⎣ 3 ⎦
1
2) y = 7 − x +
x −1
A. ] 1 ; 7]
B. ] 1 ; ∞[
C. ] 1 ; 7[
D. ] 7 ; ∞[
3) y = log2 ( 1−
2x)
− 3log5(
2x
+ 6)
A. ] − ∞;−3[
B. ] − 3;
1]
C. ] − 3;
0,
5[
4) y = 2lg( 3 − 2x)
+ log2
( 4 − x)
D. ] 0 , 5;
∞[
; ∞
, 5;
4
∞;
4 − ∞;
1,
5
A. ] 4 [ B. ] 1 [ C. ] − [ D. ] [
5)
; ∞
y =
8 − 2
x+
1
A. [ 2 [ B. [ 0 ; 2]
C. ] − ∞;
2]
D. ] − ∞;
0[
x+
2
6) y = lg(
4 − 2 )
A. ] − ∞;
0[
B. ] 0 ; ∞[
C. ] − 4;
0[
D. ] 0 ; 4[
ipoveT funqciis udidesi mniSvneloba (20.3; 20.4):
143

20.3. 1) y = 3 − x + 1
A. 3 B. 2 C. 4 D. 0
2 +
2) = −2(
x − 3)
7
y
A. 7 B. 5 C. -2 D. 9
3) y = 5 − x
A. 6 B. 5 C. 0 D. 10
4) y = 8− 2 x+
1
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6
5) y =
2 + x
A. 1 B. 2 C. 6 D. 3
5
6) y =
5+ 3 x − 2
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
20.4.
2
1) y = −x
+ 2x
+ 3
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5
2) y = 5sin x − 2
A. -2 B. 3 C. -7 D. 0
5
3) y =
2cos
x + 3
A. 5 B. 0
4
4) y =
2
x + 2
C. 1 D. 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7
5) y =
2
x − 4x+ 5
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9
6) y =
2
2x− 4x+ 5
A. 3 B. 2 C. 4 D. 9
ipoveT funqciis umciresi mniSvneloba (20.5;
20.6):
20.5. 1) y = 2 x − 3
A. 2 B. -5 C. -3 D. 0
2) y
= 3 x + 2 + 5
144

A. 0 B. 3
3) 5 4
C. 8 D. 5
2 y = x −
A. -4 B. 5 C. 1 D. -9
4) ( ) 2
y = 3 + 5 x −1
A. 5 B. 3 C. -2 D. 0
20.6.
2
1) y = x − 5x
+ 6
A.
1
− B.
4
2) y = x − 3x
+ 1
2 2
1
− C. 6 D. 2
2
1
A. −
6
1
B. −
8
1
C. −
12
1
D. −
9
3) y = 2 − 3cos
x
A. 1 B. 5 C. -1 D. -3
7
4) y =
3sin
x − 4
A. -7 B. -1 C. 1 D. 0
ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle (##20.7; 20.8):
20.7.
2
1) y = x + 2x
+ 2
A. ] − ∞;
∞[
B. [ 1 ; ∞[
C. [ 2 ; ∞[
D. [ 0 ; ∞[
2)
y = 5 + 6x
− x
2
A. ] − ∞;
14]
B. ] −∞ ; 5]
C. ] − ∞;
∞[
D. ] − ∞;
9]
3) y = 3 − x
A. ] − ∞;
3]
B. [ ; 3]
4) y = 2 − 3 3x
− 6
A. ] − ∞;
0[
B. ] ∞;
2]
20.8. 1) y = 1− 2sin
x
0 C. [ 3 ; ∞[
D. [ 4 ; ∞[
− C. [ 0 ; 3]
D. [ 2 ; ∞[
A. [ 0 ; 1]
B. [ − 3;
0]
C. [ 1 ; 3]
D. [ − 1;
3]
2) y = 3cos x − 2
A. [ 0 ; 1]
B. [ − 5;
1]
C. [ 0 ; 5]
D. [ − 5; −2]
3)
5
y =
2sin
x − 3
2,
5;
0
7
y =
4 − 3cos
x
A. [ − 5; −1]
B. [ − ] C. [ − 5;
0]
D. [ 0 ; 5]
4)
145

A. [ 0 ; 4]
B. [ 1 ; 3,
5]
C. [ 1 ; 7]
D. [ − 7;
1]
ipoveT funqciis gansazRvris are (##20.9-20.12):
20.9. 1) y =
2
x − 4 +
2
16 − x 2) y =
2
x − 2x
− 63
2
3) y = − x + x + 42
4) y =
2
20.10. 1) y = log ( x − x ) 2) lg( 4)
2 y = x −
3)
7
146
2x
+ 4
3 − x
1
y =
lg(
3 − x)
+ 1
x −1
4) y =
lg x − lg5
y = log
2
4x
− x − 3 6) y = log
2
2
( x − 5x
+ 4)
− lg(
9 − x )
5) ( )
3
x
x
20.11. 1) y = 9 − 4 ⋅ 3 + 3
2) y = 5 ⋅ 2 − 2 ⋅ 4 − 2
2
log2 2
3) y = x + 4log
x − 5 4) y = 3 − log x − 2log
x
20.12. 1) y =
log2
x − 3
2 − log2
x
2) y =
x −1
log0, 3
x + 5
y log 5 2x
y = log
2
x − 4x+ 3
= 3x−2 − 4) ( x+
1)(
)
3) ( )( )
20.13. ipoveT funqciis udidesi mniSvneloba
1)
2
2
x
3
x + 2x−
2
2
−x
−1
y = 2
⎛ 1 ⎞
2) y = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
y = log 1
2
x − 6x
+ 18
⎛ 2 45 ⎞
4) y = log 1 ⎜ x + 5x
+ ⎟
⎝ 4 ⎠
3) ( )
3
20.14. ipoveT funqciis umciresi mniSvneloba
5
2
−x
+ 4x−5
2
x −2x
+ 1
1) y = 7
2
3) y = log 2 ( 4x
−12x
+ 25)
⎛ 1 ⎞
2) y = ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
4) y = log 4 ( x + 2x
+ 17)
ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle (##20.15-20.17):
20.15. 1) y =
2
x + 2x
+ 5
2) y =
2
8 − 2x
− x
20.16. 1)
2
3) y = x − 4x
+ 3
4)
2
10 x −
y = 2) y
= 3
y = 4x − x
2
x + 4x+
5
2
x
2
3

3)
2
x −2x
+ 2
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
y = ⎜ ⎟
4) y = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 5 ⎠
lg 10
2 2
y = x +
2) y = log ( x + 25)
20.17. 1) ( )
147
2
6x
− x −11
2
log2
3) ( x + 1
y = 2 )
2
log5
4) ( x −1
y = 5 )
20.18. ipoveT funqciis udidesi da umciresi mniSvneloba
miTiTebul segmentze
1) y = 6 − 5x,
x ∈ [ 1;
3]
2) y = 4x − 7,
x ∈[
4;
6]
2
2
3) y = x − 2x,
x ∈[
0;
3]
4) y = −x
− 4x
+ 1,
x ∈[
0;
3]
⎡π π⎤
⎡ π π⎤
5) y = 3sin x,
x ∈ ⎢ ; ⎥ 6) y = 6 cos x,
x ∈
⎣ 4 3
⎢−
; ⎥
⎦
⎣ 4 4 ⎦
20.19. ipoveT funqciis mniSvnelobaTa simravle
miTiTebul segmentze
1) y = 3x − 2,
x ∈[
−1;
4]
2) y = 3 − 5x,
x ∈[
0;
3]
2
3) y = x − 4x
− 7,
x ∈[
2;
4]
2
4) y = 5 + 6x
− x , x ∈[
− 3; −1]
! 5) y = 4sin x − 2 , x ∈ [ 0;
π]
⎡π 3π
⎤
6) y = 3 − 2cos
x , x ∈ ⎢ ; ⎥
⎣ 3 2 ⎦
20.20. GgamoTvaleT
1) f ( g ( 3 ) ) , Tu f ( x) = 2x− 1, g( x) = x+
2;
f g − 1
2
, Tu f ( x) = 2x − 3, g( x) = 2 − x;
2) ( ( ) )
3) f ( g(
o ) )
4) ( ( 2 ) ) ,
30 ,
2
Tu ( ) ( )
1
5
f x = x − x+ 1, g x = sin x;
f g
2
Tu f ( x) =− x + 3, g( x) = log 8 x.
20.21. ipoveT
f f x , Tu f ( x) = 3x+ 2;
1) ( ( ) )
2) ( ( ) )
3) ( ( ) )
4) ( ( ) )
f f x
2
, Tu f ( x) = x + 5;
f g x , Tu f ( x) = 2x+ 1, g( x) = x+
2;
f g x
2
, Tu f ( x) = x + x, g( x) = 1 −
x.

$21. koordinatTa sistemebi.
funqcia. funqciis grafiki
21.1. ipoveT manZili M da N wertilebs Soris, Tu:
1) M ( 7, ) N ( 13)
A. 20 B. 6 C. 8 D. 7
2) M ( − 8)
, N ( 3)
A. 5 B. 8 C. 11 D. 9
21.2. ipoveT manZili P da Q wertilebs Soris, Tu:
1) P ( − 3;
1)
, Q ( 4;
1)
A. 3 B. 4
2) P ( − 5; −1)
, Q ( − 5;
7)
C. 6 D. 7
A. 6 B. 8
3) P ( − 2;
5)
, Q ( 1;
9)
C. 4 D. 10
A. 3 B. 4 C. 5 D. 5
4) P ( − 7; −6)
, Q ( 5; −1)
A. 13 B. 13 C. 12 D. 5
21.3. 1) Tu ( ) 3 x f ( x+
3)
f x = , maSin =
f x−1
148
( )
A. 9 B. 27 C. 81 D. 243
f x
x
⎛1⎞ f ( x−2)
= ⎜
2
⎟ , maSin =
⎝ ⎠ f ( x+
1)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
f ⎜x+ + f x−
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
A. 0 B. 2 C. 2sinx D. 2cosx
2) Tu ( )
3) Tu f ( x) = sin x , maSin
4) Tu ( ) log2
f x = x,
maSin
f ( x+
2) f ( x−1)
2 − 42= A. –1 B. -2 C. 2 D. 3
21.4. y
1) naxazze mocemulia toli
S
sigrZis da urTierTmarTobuli
PQ da RS monakveTebi.
P (−1,
2)
Q(
7,
2)
ipoveT S wertilis koordinatebi.
0
R(
2,
−3)
x
1

A. (-2;5) B. (2;5) C. (-2;-5) D. (2;-5)
2) urTierTmarTobuli MN da KL monakveTebi
ikveTebian. ipoveT L wertilis koordinatebi, Tu
M(-4,1), N (2,1), K (1,-8) da KL = 2 MN .
A. (1;4) B. (-4;2) C. (2;4) D. (1;-4)
21.5. 1) ipoveT f(x+2)=0 gantolebis amonaxsni, Tu f(x)=0
gantolebis amonaxsnia mxolod x=-3.
A. -5 B. -2 C. -6 D. –4
2) ipoveT f(3-x)=0 gantolebis amonaxsni, Tu y=f(x) funqciis
grafiki abscisTa RerZs kveTs mxolod (1;0)
wertilSi.
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3) ipoveT y=f(x) funqciis grafikis abscisTa RerZTan
gadakveTis wertili, Tu f(x+5)=0 gantolebis amonaxsnia
mxolod x=-3.
A. (2;0) B. (-3;0) C. (-8;0) D. (-5;0)
4) ipoveT f(x)=0 gantolebis amonaxsni, Tu f(2x-1)=0
gantolebis amonaxsnia mxolod x=3.
A. 7 B. 3 C. 2 D. 5
21.6. ipoveT funqciis grafikis Ox RerZTan gadakveTis wertilis
koordinatebi:
5
1) y = −1
x −1
A. ( 6 ; 0)
B. ( 2 ; 0)
C. ( − 3;
0)
2
2) y = x − 4x
+ 3
D. ( 0 ; 6)
A. ( 0 ; 0)
B. ( 0 ; 0)
da ( 1 ; 0)
C. ( 3 ; 0)
da ( 2 ; 0)
D. ( 1 ; 0)
da ( 3 ; 0)
3) y = 1− log5
x
A. ( 1 ; 0)
B. ( 0 ; 1)
C. ( 5 ; 0)
D. ( 25 ; 0)
x
⎛ 1 ⎞
4) y = ⎜ ⎟ − 4
⎝ 2 ⎠
A. ( 2 ; 0)
B. ( 1 ; 0)
C. ( 0 ; 2)
D. ( − 2;
0)
21.7. ipoveT funqciis grafikis Oy RerZTan gadakveTis wertilis
koordinatebi:
1) y = x − 2x
+ 3
3 ; 0 B. ( 0; − 2)
C. ( 0 ; 3)
D. ( 0
; 0)
A. ( )
5 2
149

3
2) y =
x −1
0 ; 0 B. ( − 3;
0)
3) y = 3x − 5
C. ( 2 ; 3)
D. ( 0; − 3)
0 ; 5 B. ( 0; − 5)
C. ( − 5;
0)
D. ( 0 ; 0)
4) y = 3cos
x
A. ( )
A. ( )
A. ( 0 ; 0)
⎛ π ⎞
B. ⎜ ; 3⎟
⎝ 2 ⎠
C. ( 0 ; 3)
D. ( 0 ; 1)
21.8. a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs M ( a;
3)
wertili
funqciis grafikze:
1) 2 1
2 y = x −
A. ± 3 B. ± 1 C. ± 2 D. ± 2
3
2) y = −
x −1
A. 0
x
3) y = 3
B. 1 C. -1 D. 2
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2
4) y = log 2 x
A. 1 B. 8 C. 4 D. 3
21.9. b -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs
wertili funqciis grafikze:
2
1) y = −
x − 3
M ( 2 ; b)
A. -1 B. 2 C. 3 D. -3
2) y 2x 3x
2 = − +
A. -6 B. -4 C. -2 D. 0
3) y = 2log4
x
A. 2 B. 4 C. 8 D. 1
πx
4) y = −3sin
4
A. 3 B. -3 C. 1 D. –1
21.10. a -s ra mniSvnelobisaTvis mdebareobs M wertili
funqciis grafikze, Tu:
1) M ( 2;
5)
, y = ax − 3
A. a = 4 B. a = 1 C. a = −4
D. a
= 2
150

2) M ( 2;
2)
, 1
1 +
a
y =
x −
A. a = 4 B. a = 1 C. a = −1
D. a = 0
2
3) M ( −1;
5),
y = ax − 2x
+ 3
A. a = 1 B. a = 2 C. a = −1
D. a = 0
4) M ( 1;
24),
= 5 −1
ax
y
A. a = 1 B. a = 0 C. a = 2 D. a = −2
ipoveT c , Tu funqciis grafiki gadis M da
N wertilebze (#21.11-21.13):
21.11. 1)
x
y = a , M ( 1; 3)
, N( − 2; c)
A. 9 B. 3
1
C.
3
1
D.
9
x
2) y = a , M ( 1; 2)
, N( c ;8)
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0,5
3) y = loga
x , M ( 2;1)
, N( 8; c )
1
A.
3
B. 1 C. 3 D. 6
⎛1 ⎞
4) y = loga
x , M ⎜ ; −1
3
⎟,
( )
⎝ ⎠ ;2 N c
A. 3 B. 9 C. 6 D. 2
21.12. 1) 5 x
y = a⋅
, M(1;25), N(c;125)
A. 1 B. 2 C. 3 D. –4
2)
x
y = c⋅ a , M(1;8), N(2;4)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3) y = a⋅ log3
x,
M(9;1), N(c;2)
A. 81 B. 27 C. 9 D. 3
4) y = loga ( cx)
, M(1;2), N(8;3)
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
21.13.
⎛π⎞ 1) y = asin x,
M ⎜ ; −2
2
⎟,
N ;
⎝ ⎠ 6 c
⎛π⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A. -1 B. 1 C. 2 D. –2
⎛ π ⎞
2) y = atgx , M ⎜−;1 6
⎟,
N ;
⎝ ⎠ 3 c
⎛π⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
151

k
3) y = , M(2;-1), N(-2;3)
x + c
A. 0 B. 1 C. 2 D. -2
4)
3
y = ax , M(1;2), N(-2;c)
A. 2 B. 16 C. -16 D. –8
21.14. ipoveT c, Tu:
⎛ π ⎞
1) y = cos kx funqcia ⎜0; 2
⎟ SualedSi nulis to-
⎝ ⎠
π
li xdeba mxolod x = wertilSi da misi grafiki gadis
4
3
;
8 c
⎛ π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ wertilSi.
A. -1 B. 1 C. −
2
2
D. 2
2
⎡ π ⎞
2) y = tgkx funqcia ⎢⎣ 0;
2
⎟ SualedSi erTis toli
⎠
xdeba, mxolod
π
x = wertilSi da misi grafiki gadis
16
;
12 c
⎛ π ⎞
⎜−⎟ ⎝ ⎠ wertilSi.
A. 3 B. - 3 C. 1 D. –1
21.15. ipoveT Semdegi funqciebis grafikebis gadakveTis
wertilTa raodenoba:
1) y = 5 , y = 2x+ 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2) y = 5 − x , y = 3x− 2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2
y = x + 1,
y = x
3)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4)
2
y = x − 4x+ 3,
y = x+
2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
⎛ π ⎞⎛ π ⎞
5) y = ⎜x− x−
3
⎟⎜
6
⎟,
y sin x
⎝ ⎠⎝ ⎠ =
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
152

⎛ π ⎞⎛ π ⎞
6) y = ⎜x− x+
6
⎟⎜
3
⎟,
y cos x
⎝ ⎠⎝ ⎠ =
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21.16. x -is ra mniSvnelobebisaTvis Rebulobs tol mniSvnelobebs
funqciebi:
2
1) y = x − 5x
− 6 da y = x + 1
A. -1; 7 B. 1; 7 C. 2; 3 D. 3; 4
2) 2 5 3
2
2
y = x + x − da y = x + 3x
A. -1;-3 B. 1; 3 C. -3; 1 D. 3; -1
21.17. ipoveT funqciaTa grafikebis gadakveTis wertilebi:
1
1) y = − x , y = 1
3
A. (1;3) B. (-3;-1) C. (3;1) D. (-3;1)
2) y = 3x −1,
y = 3 − x
A. (-1;2) B. (1;2) C. (2;1) D. (-2;1)
3) 3 x + 2y
= 12,
5 x − y = 7
A. (2;3) B. (-2;3) C. (2;-3) D. (3;2)
2
4) y = x − 3x
+ 5,
y = x + 2
A. (1;3), (3;5) B. (3;1), (3;5) C. ((1;3), (5;3) D. (1;4)
21.18. ipoveT parabolis wveros koordinatebi:
2
1) y = 6x
− x − 4
A. ( 1 ; 4)
B. ( 2 ; 4)
C. ( 3 ; 5)
D. ( − 1; −11)
2) 2 8 1
2
y = x − x +
A. ( 0 ; 1)
B. ( 1; − 5)
C. ( − 1;
11)
D. ( 2; − 7)
2
3) y = 3 − 8x
− 4x
A. ( 1 ; 7)
B. ( − 1;
7)
C. ( 0 ; 3)
D. ( 2; − 5)
2 +
4) y = ( 3x
− 6)
3
A. ( ; 12)
;
1 B. ( 0 39)
C. ( 2 ; 3)
D. ( − 1;
84)
21.19. romel sakoordinato meoTxedSi mdebareobs
2
y = ax + bx + c
parabolis wvero, Tu:
2
1) a > 0 , b − 4ac
< 0 , b > 0 ;
A. I B. II C. III D. IV
2
2) a < 0 , b − 4ac
> 0 , b < 0 ;
A. I B. II C. III D. IV
2
3) a > 0 , b − 4ac
> 0 , b < 0 ;
153

A. I B. II C. III D. IV
2
4) a < 0 , b − 4ac
< 0 , b < 0 ;
A. I B. II C. III D. IV
21.20. 1)naxazze gamosaxulia
2
y = ax + bx + c funqciis grafiki. grafikis
mixedviT gaarkvieT
WeSmariti.
romeli utolobaa
b
A. c>0 B. − < 0 C. b>0
2a
D. b 2 -4ac0
2
4) cnobilia, rom y = ax + bx + c parabolis arcerTi
wertili mesame da meoTxe meoTxedSi ar mdebareobs.
Semdegi utolobebidan romelia aucileblad WeSma-riti?
b
A. < 0
2a
b
B. 0
2a
> C. b2-4ac≤0 D. c0, c

eobdnen pirvel, meore da meoTxe meoTxedebidan
TiToeulSi).
A. c0, b 2 -12c>0 B. c>0, b0
C. c>0, b>0, D. c0,
21.22. ipoveT funqciis zrdadobis Sualedi:
3
1) y = −
x + 1
A. ] −∞ ;−1[
da ] − 1 ; ∞[
B. ] 2 ; ∞[
C. ] − 1;
1[
D. ] −∞ ;−1[
1
2) y =
2 − x
A. ] −∞ ; 1[
B. ] −∞; 2[
da ] 2 ; ∞[
C. ] 2 ; ∞[
D. ] − 2;
2[
3) 2 8 1
2
y = x − x +
A. ] −∞ ; 2[
B. ] − 2;
2[
C. ] 2 ; ∞[
D. ] 0 ; ∞[
2
4) y = 5x −1
− 2x
⎤ 5 ⎡
A. ⎥ ; ∞⎢
⎦ 4 ⎣
⎤ 5 ⎡ ⎤ 5 5 ⎡
B. ⎥−
∞;
⎢ C.
⎦ 4
⎥−
; ⎢
⎣ ⎦ 4 4 ⎣
D. ] −∞ ; 0[
21.23. ipoveT funqciis klebadobis Sualedi:
2
1) y =
x −1
A. ] −∞ ; 0[
B. ] −∞ ; 1[
da ] 1 ; ∞[
C. ] − 1;
1[
D. ] −∞ ; 0[
U ] 0;
∞[
2
2) y =
x + 2
A. ] −∞ ;−2[
da ] − 2 ; ∞[
B. ] − 2;
2[
C. ] −∞; 0[
da ] 0 ; ∞[
D. ] 0 ; 2[
2
3) y = x − 6x
A. ] 3 ; ∞[
B. ] − 3;
3[
C. ] −∞ ; 0[
D. ] −∞ ; 3[
2
4) y = −x
+ 6x
+ 3
A. ] −∞ ; 3[
B. ] − 3;
3[
C. ] 3 ; ∞[
D. ] −∞ ; 0[
21.24. y=kx+b wrfivi funqciis (k≠0)grafiki aucileblad
gadakveTs:
1) ordinatTa RerZis dadebiT nawils, Tu
A. k>0 B. b>0 C. b0 C. b0 C. k0 D. k=-b
5) abscisTa RerZis dadebiT nawils, Tu
155

A. k=2b B. k>b C. k=-b D. k=b
6) abscisTa RerZis uaryofiT nawils, Tu
A. k>b B. k=-b C. k=-2b D. k=b
21.25. mocemulia y=kx+b funqcia da Semdegi ori piroba:
I. b>0, II. k=-1
imisaTvis, rom gavarkvioT am funqciis grafiki gaivlis Tu
ara sakoordinato sibrtyis meore meo-TxedSi, mocemuli
pirobebidan
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc
erTi cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
21.26. mocemulia y=kx+b wrfivi funqcia (k≠0) da Semdegi
ori piroba:
I. k=b II. b>0
imisaTvis, rom gavarkvioT am funqciis grafiki gadakveTs
Tu ara abscisTa RerZis uaryofiT na-wils, mocemuli
pirobebidan
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia I da II piroba erTad, magram arc
erTi cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
21.27. mocemulia y=kx+b wrfivi funqcia (k≠0) da Semdegi
ori piroba:
I. k=-2b II. k0 II. f(2)=-3
156

x 2 +px+q=0 gantolebis fesvebis raodenobis dasadgenad:
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi;
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
C. sakmarisia orive piroba erTad, magram arc
erTi cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
21.29. mocemulia y=x 2 +bx+c kvadratuli funqcia da
Semdegi sami piroba:
I. b 2 -4c0 III. b

monacemebis saSualo ariTmetikuli ar Seicvalos?
21.31. 1) ipoveT m, Tu wertilebi (m;-1) da (-8;m 2 )
koordinatTa saTaveze gamaval wrfeze mdebareoben.
2) ipoveT m, Tu wertilebi (m;1) da (8;m) im parabolaze
saTaveSia.
mdebareoben, romlis wvero koordinatTa
21.32. SeadgineT wrfis gantoleba, romlis kuTxuri koeficienti
udris k -s da gadis mocemul wertilze, Tu:
1) k = 3, M ( 0; 2 ) ; 2) k = −4, M ( 0; − 4 ) .
21.33. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic abscisaTa
RerZis dadebiT mimarTulebasTan adgens
gadis mocemul wertilze, Tu:
α kuTxes da
o
α = 45 , M 0;3 ; 2)
2π
M 0; − 4 .
1) ( )
158
α = , ( )
21.34. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic paraleluria
mocemuli wrfis da gadis mocemul wertilze, Tu:
1) y = 2x− 1, N(
1;2 ) ; 2) y = − 3x+ 7, N(
−2; − 1 ) .
21.35. SeadgineT wrfis gantoleba, romelic gadis or
mocemul wertilze, Tu:
1) M ( 1; −2 ) , N(
− 2;3 ) ; 2) M ( −4; 2 ) , N(
3; − 1 ) .
21.36. ipoveT sakoordinato RerZebiTa da mocemuli wrfeebiT
SemosazRvruli figuris farTobi:
4
1) x = −4,
y = −6
2) y = −x
+ 6 3) 3 x − 2y
= 6 4) y = 4 − x
3
2
21.37. 1) ipoveT y = x + 6x
+ c parabolis Ox RerZTan gadakveTis
wertilebi, Tu is Oy RerZs kveTs ( 0 ; 8)
wertilSi.
2
2) ipoveT y = x + 3x
+ c parabolis Oy RerZTan gadakveTis
wertili, Tu misi Ox RerZTan gadakveTis erT-erTi
wertilia ( 3 ; 0)
.
2
3) ipoveT b da c , Tu y = 2 x + bx + c parabolas Ox RerZTan
aqvs erTaderTi saerTo wertili ( 1 ; 0)
.
2
4) ipoveT b da c , Tu y = −x
+ bx + c funqciis grafiki
Ox RerZs kveTs ( 1 ; 0)
da ( ; 0)
3 wertilebSi.
5) ipoveT b da c , Tu y = x + bx + c
2
funqciis grafiki
Oy RerZs kveTs ( 0 ; 5)
wertilSi, xolo Ox RerZs ( ; 0)
3
1 wer-

tilSi.
6) ipoveT y = x + bx + c
2
parabolis wvero, Tu es parabola
Ox RerZs kveTs wertilebSi ( 1 ; 0)
da ( 3 ; 0)
.
2
21.38. 1) ipoveT a da c , Tu y = ax − 8x
+ c funqcia umcires
mniSvnelobas iRebs x = 2 wertilSi da es mniSvneloba 0-is
tolia.
2
2) ipoveT a da c , Tu y = ax + 4x
+ c funqcia udides
mniSvnelobas iRebs x = 1 wertilSi da es mniSvneloba 8-is
tolia.
2
3) ipoveT b da c, Tu y = −x
+ bx + c funqcia nuli xdeba
mxolod x = −2
-sTvis.
2
4) ipoveT b da c, Tu y = 2 x + bx + c funqcia nuli xdeba
mxolod x = 3 -sTvis.
21.39. 1) ipoveT b da c , Tu y = x + bx + c
2
funqciis grafikis
simetriis RerZia x = 1 wrfe da es grafiki Oy RerZs kveTs
( 0 ; 3)
wertilSi.
2) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
( 1) 2 3 2
2
y = k − x + kx + k − parabolas Ox RerZTan aqvs erTaderTi
saerTo wertili.
3) ipoveT k-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
2
y = kx + 6 wrfes y = x + 20x
+ 42 parabolasTan erTaderTi
saerTo wertili aqvs.
4) ipoveT k -s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
2
y = 2 kx + 1 wrfes y = kx + 8x
+ 3 parabolasTan aqvs erTader-
Ti saerTo wertili.
5) ipoveT a , b Dda c , Tu y = −x
+ a wrfes
1 2
y = x + bx + c parabolasTan aqvs erTaderTi saerTo werti-
4
li M ( 2;
8)
.
2
6) y = x − 2x
+ 9 parabolas da y = ax wrfes ( a > 0)
aqvT erTaderTi saerTo wertili. ipoveT am wertilis koordinatebi.
2
21.40. 1) y = ax + bx + c funqciis grafiki Ox RerZs kveTs
x = −1
da x = 3 wertilebSi, xolo Oy RerZs y = −2
wertilSi.
ipoveT a , b da c .
159

2) ipoveT a , b Dda c , Tu y = ax + bx + c parabolis
wveroa (1,2) wertili da gadis (0,3) wertilze.
3) ipoveT a da b , Tu y = 2 x + a wrfe da
2
y = −x
+ bx + 10 parabola erTmaneTs kveTs sakoordinato
RerZebze.
2
4) ipoveT a , b da c , Tu y = −x
+ bx + c parabola da
y = −x
+ a wrfe erTmaneTs kveTs M (5,7) wertilSi, xolo
meore TanakveTis wertili Oy RerZze mdebareobs.
21.41. 1) y = x + bx + c
2
da y = −x
funqciebis grafikebi erTmaneTs
kveTs koordinatTa saTaveSi da parabolis wveroSi.
ipoveT b da c .
2) y = x + bx + c
2
funqciis grafikis Oy RerZTan gadakveTis
wertilis ordinatia 4. garda amisa, parabolis wvero
meoTxe meoTxedSia da misi ordinatia –5. ipoveT b da
c .
2
2
3) ipoveT b da c . Tu y = −x
+ 2x
+ c da y = x + bx + 4
parabolebs aqvT saerTo wvero.
2
2
4) ipoveT a da b , Tu y = ax + 2x
+ 3 da y = bx + 4x
+ 2
parabolebs aqvT saerTo wvero.
21.42. 1) y=-x 2 +px+q funqciis grafiki ordinatTa RerZs
kveTs y=-4 wertilSi. garda amisa parabolis wvero meoTxe
meoTxedSia. ipoveT p da q, Tu cnobilia, rom y=2(p-1)x+q+16
wrfe parabolas exeba.
2) y=2x 2 +bx+c da y=cx+1 funqciaTa grafikebi erTmaneTs
kveTs sakoordinato RerZebze. ipoveT b da c.
3) y=x 2 +px+q da y=-x 2 +(p-1)x-3 funqciaTa grafikebis gadakveTis
erTi wertili mdebareobs abscisTa RerZze, xolo
meore ordinatTa RerZze. ipoveT p da q.
4) mocemulia ori parabola y=x 2 +px+q da y=ax 2 +bx+4.
pirvelis wvero meoris abscisTa RerZTan gadakveTis wertilSi
mdebareobs, xolo meore parabolis wvero _ pirvelis
ordinatTa RerZTan gadakveTis wertilSi. ipoveT a, b,
p da q.
21.43. 1) ipoveT a da p, Tu y=ax 2 +2x-3 da y=x 2 +(p-1)x+3
funqciebis grafikebis gadakveTis orive wertili abscisTa
RerZze mdebareobs.
160
2

2) ipoveT b da c, Tu y=-3x 2 +bx-9 da y=5x 2 +20x+c funqciaTa
grafikebis gadakveTis orive wertili mdebareobs abscisTa
RerZze.
21.44. 1) ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlis-
Tvisac y=x 2 -4ax+4a 2 +1 parabolis wvero koordinatTa saTave-
dan daSorebulia 5 -is toli manZiliT.
2) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, romlisTvisac
y=-x 2 +6ax-9a 2 -1 parabolis wvero (6;-1) wertilidan
daSorebulia 3-is toli manZiliT.
3) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, romlisTvisac
y=ax 2 -2(a+2)x+a-3 parabolis wvero moTavsebulia
meore meoTxedSi.
4) ipoveT a parametris yvela is mniSvneloba, romlisTvisac
y=x 2 -4ax+4a 2 +5a+10 parabolis wvero moTavsebulia
mesame meoTxedSi.
2
21.45. 1) cnobilia, rom y = ax + bx + c kvadratul samwevrs
aqvs erTnairi niSnis fesvebi da a < 0 . daadgineT c -s ni-
Sani.
2) cnobilia, rom y = ax + bx + c
2
161
kvadratul samwevrs
ara aqvs fesvebi da y ( 2 ) > 0 . daadgineT c -s niSani.
3) cnobilia, rom y = ax + bx + c
2
kvadratul samwevrs
ara aqvs fesvebi da y ( 1 ) < 0 . daadgineT c -s niSani.
4) cnobilia, rom y = ax + bx + c kvadratul samwevrs
ara aqvs fesvebi da a − b + c < 0 . daadgineT c -s niSani.
21.46. 1) gansazRvreT c-s niSani, Tu y=ax 2 +bx+c funqciis
gra fiki mdebareobs mxolod mesame da meoTxe meoTxedSi.
2) romel sakoordinato meoTxedSi mdebareobs
y=x 2 +bx+c parabolis wvero, Tu b>0 da b 2 -4c

4) ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
y=ax 2 -4x+a+3 parabola orive sakoordinato RerZs kveTs dadebiT
nawilSi.
21.48. sakoordinato sibrtyeze daStrixeT Semdegi utolo-
bis an utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravle:
1) 2< x < 5 2) −3≤ y < 2 3) y > 3x− 2 4) y ≤ − 5x+ 1
2
2
4
2
5) y > x − x 6) y ≤ − x + x+
2 7) y < 8) y ≥−
x
x
⎧x
> 3 ⎧1≤
x ≤ 4 ⎪⎧
x − 2 < 4 ⎧y
≤ 2x−3 9) ⎨ 10) ⎨ 11) ⎨ 12) ⎨
⎩y
2 ⎩y
< − 4x+ 3
2
2
⎧y
> 6x+ 4 ⎧y
≤ 3x−7 ⎧ y > x ⎧y ≤−x
13) ⎨ 14) ⎨ 15) ⎨ 16) ⎨
⎩y
≤−3x−4 ⎩y
< 5x+ 4 ⎩y
< x ⎩y
> 2x−3 ⎧y
< x+
4
2
2
⎧ y > x −2x−3 ⎧y ≤ − x + 5x+ 6 ⎪
17) ⎨ 18) ⎨ 19) ⎨y
< − x+
3
⎩y
2
⎧x−
y ≥ 4
⎧y−
x<
3
⎧x+
y ≥ 4
⎪ ⎪ ⎪
20) ⎨x+
2y ≤3
21) ⎨y+
2x > 4 22) ⎨4x−9y
≤ 2
⎪
⎩y
≥ 3
⎪
⎩x
− 2> 0
⎪
⎩x
≥ 0
$22. kombinatorika
22.1.! 1) yuTSi 8 TeTri da 6 wiTeli burTia. burTebis ra
udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxedavad) yuTidan,
rom yuTSi darCes TiToeuli feris TiTo burTi
mainc?
A. 7 B. 5 C. 4 D. 6
2) yuTSi 10 wiTeli da 9 yviTeli burTulaa. burTulebis
ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxedavad)
yuTidan, rom yuTSi darCes erTi feris ori burTula
da meore feris erTi burTula mainc?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 5
3) kalaTaSi 13 wiTeli da 10 yviTeli vaSlia. vaSlebis
ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxedavad)
kalaTidan, rom kalaTaSi darCes TiToeuli feris
or-ori vaSli mainc?
A. 8 B. 9 C. 7 D. 6
4) kalaTaSi 20 wiTeli da 17 yviTeli vaSlia. vaSlebis
ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT (Cauxeda-
162

vad) kalaTidan, rom kalaTaSi darCes romelime erTi feris
ori vaSli mainc?
A. 15 B. 34 C. 24 D. 32
22.2. 1) yuTSi 10 wiTeli, 8 TeTri da 7 Savi burTulaa.
burTulebis ra udidesi raodenoba SegviZlia amoviRoT
(Cauxedavad) yuTidan, rom yuTSi darCes oTxi cali erTi
feris burTula da danarCeni ori feris burTulebidan
TiToeuli feris TiTo burTula mainc?
A. 6 B. 8 C. 9 D. 16
2) yuTSi 5 lurji, 6 wiTeli da 3 Savi burTia. ra
umciresi raodenobis burTi unda amoviRoT (Cauxedavad)
yuTidan, rom amoRebul burTebSi aucileblad iyos 3 mainc
erTi feris burTi?
A. 5 B. 3 C. 7 D. 6
3) yuTSi 4 TeTri, 8 Savi da 7 wiTeli burTia. ra
umciresi raodenobis burTi unda amoviRoT (Cauxedavad)
yuTidan, rom amoRebul burTebSi aucileblad iyos ori
sxvadasxva feris TiTo burTi mainc?
A. 6 B. 8 C. 5 D. 9
4) kalaTaSi 26 lurji, 32 wiTeli, 18 mwvane da 24
Te-Tri burTia. ra umciresi raodenobis burTebi unda amoviRoT
(Cauxedavad) kalaTidan, rom maT Soris erTi feris
20 burTula mainc iyos?
A. 58 B. 68 C. 80 D. 76
22.3. 1) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis pirveli
cifria 5, xolo bolo ori cifri erTidaigivea?
A. 9 B. 12 C. 20 D. 10
! ! 2) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis bolo
cifria 5, xolo pirveli ori cifri erTidaigivea?
A. 9 B. 10 C. 18 D. 20
! ! 3) ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis pirveli
cifria 5 an 6, xolo bolo ori cifri erTidaigivea?
A. 10 B. 20 C. 18 D. 21
! ! 4) ramdeni oTxniSna ricxvi arsebobs, romlis pirveli
cifria 2, 3 an 4, xolo bolo sami cifri erTidaigivea?
A. 36 B. 27 C. 30 D. 20
22.4. 1) kaxas daaviwyda nacnobis telefonis nomris bolo
sami cifri, Tumca axsovda rom daviwyebuli cifrebidan
pirveli cifri iyo 6 an 8, xolo meore cifri 5-iT naklebi
iyo mesameze. minimum ramdeni sxvadasxva nomeri unda
akrifos kaxam, raTa man aucileblad SeZlos nacnobTan
dakavSireba?
A. 9 B. 8 C. 20 D. 10
163

! ! 3) patruls daaviwyda damrRvevi avtomobilis samcifriani
nomeri, Tumca mas axsovda, rom pirveli cifria 4
an 5, xolo bolo ori cifris jamia 8. minimum ramdeni
sxvadasxva samniSna ricxvi unda Camoweros patrulma, rom
maT! Soris aucileblad iyos damrRvevi avtomobilis nomeri?
A. 18 B. 20 C. 9 D. 8
! ! 3) rezos daaviwyda Tavisi sabanko angariSis oTxcifriani
nomeri. Tumca mas axsovda rom nomris pirveli da
bolo cifri erTidaigive kenti ricxvi iyo, xolo danarCeni
ori cifris jami _ 6. minimum ramdeni oTxniSna ricxvi
unda Camoweros rezom, rom maT Soris aucileblad iyos
misi sabanko angariSis nomeri?
A. 30 B. 35 C. 24 D. 40
! ! 4) molares daaviwyda seifis kodis bolo sami cifri,
Tumca axsovda rom daviwyebuli cifrebidan pirveli
cifri iyo luwi, xolo bolo or cifrs Soris erTi 4-iT
meti iyo meoreze. minimum ramdeni sxvadasxva kodi unda akrifos
molarem, raTa man aucileblad gaxsnas seifi?
A. 72 B. 36 C. 60 D. 30
22.5. gamoTvaleT:
1) P
4
+ P
6
A. 732
2)
2 1
A
6
− A
5
B. 744 C. 748 D. 764
A. 31 B. 36 C. 25 D. 41
3)
7 3
C
10
: C
5
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
4)
2
3A 7
− 2P
4
A. 78 B. 79 C. 80 D. 81
5)
4 6
A
8
: C
10
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6)
5
7P
6
: C
8
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120!
22.6. 1) ramdeni xerxiT SegviZlia davsvaT merxze erTmaneTis
gverdiT sami bavSvi?
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2) ramdeni xerxiT SegviZlia davsvaT merxze erTmaneTis
gverdiT oTxi bavSvi?
A. 12 B. 36 C. 16 D. 24
164

3) ramdeni sxvadasxva xerxiT SeiZleba davaxuroT 5
gansxvavebuli feris qudi 5 bavSvs?
A. 24 B. 140 C. 120 D. 1
4) ramdeni sxvadasxva xerxiT SeiZleba SevinaxoT! 6
beWedi 6 seifSi ise, rom TiToeul seifSi erTi beWedi
iyos?
A. 1080 B. 720 C. 240 D. 120
22.7. 1) oTxi kandidatidan unda SeirCes samkaciani gundi.
ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi gundis Sedgena?
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
! 2) oTxi kandidatidan Sejibrebaze unda gaigzavnos
orkaciani gundi. ramdeni xerxiT SeiZleba gundis Sedgena?
A. 12 B. 4 C. 8 D. 6
!!!!!!!!3) saWadrako turnirSi 15 moWadrake monawileobs.
ramdeni partia gaTamaSdeba am turnirze, Tu yoveli
moWadrake danarCen moWadrakeebTan TiTo partias
iTamaSebs?
A. 105 B. 210 C. 120 D. 80!
4) sibrtyeze mocemulia 10 wertili. ipoveT am wertilebis
wyvil-wyvilad SemaerTebeli yvela SesaZlo monakveTebis
raodenoba/!
A. 25 B. 40 C. 90 D. 45
22.8/! 1) sportuli asparezobis finalur etapze monawileobs
10 sportsmeni. ramdeni xerxiT SeiZleba ganawildes
pirveli sami saprizo adgili?
A. 120 B. 320 C. 520 D. 720
2) ramdeni gansxvavebuli samniSna ricxvis Sedgena
SeiZleba cifrebisagan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 ise, rom ricxvis
CanawerSi arcerTi cifri ar gameordes?
!!!!!!!!A. 40 B. 60 C. 210 D. 420
3) ramdeni xerxiT SeiZleba gamoiwvios oTxma vaJma
eqvsi gogona wyvilSi sacekvaod?
!!!!!!!!A. 360 B. 15 C. 720 D. 420!
4) ori sxvadasxva aviakompania Tbilisidan londonis
mimarTulebiT kviraSi asrulebs TiTo reiss gansxvavebul
dReebSi. ramdeni xerxiT SeiZleba Sedges erTi
kviris frenis ganrigi londonis mimarTulebiT?
A. 21 B. 28 C. 35 D. 42
22.9. 1) maTematikis bileTSi unda iyos 3 algebris da 2
geometriis amocana. ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi
bileTis Sedgena 6 algebrisa da 5 geometriis amocanisagan?
A. 100 B. 200 C. 240 D. 300
165

2) gvaqvs 7 fanqari da 8 avtokalami. ramdeni xerxiT
SeiZleba maTgan 4 fanqrisa da 5 avtokalamis SerCeva?
A. 840 B. 1600 C. 1960 D. 2040
3) fermerma 12 Zroxis, 10 cxenis da 8 kameCisagan gasayidad
unda SearCios 10 Zroxa, 8 cxeni da 7 kameCi.
ramdeni xerxiT SeuZlia mas amis gakeTeba?
A. 23760 B. 24520 C. 28310 D. 36760
4) yuTSi Zevs 12 burTi. oTxi bavSvidan TiToeuli
erTmaneTis miyolebiT yuTidan iRebs 3 burTs. ramdeni
xerxiT SeuZliaT maT amis gakeTeba?
A. 184200 B. 324600 C. 370200 D. 369600
5) ipoveT im luwi xuTniSna ricxvebis raodenoba,
romelTa CanawerSi pirveli cifri kentia.
!!!!!A. 25000 B. 50000 C. 20000 D. 55000
6) ipoveT kenti xuTniSna ricxvebis raodenoba,
romelTa CanawerSi pirveli cifri luwia/!
A. 150000 B. 20000 C. 25000 D. 30000
!
$23. kuTxeebi
23.1. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu is orjer
metia meoreze.
o
o
o
o
A. 60 B. 120 C. 150 D. 140
23.2. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu is samjer
naklebia meoreze.
o
o
o
o
A. 90 B. 30 C. 45 D. 60
23.3. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu erTi mao
Tgani 30 -iT metia meoreze.
o
o
o
o
A. 105 B. 115 C. 125 D. 120
23.4. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu maTi
o
sxvaoba 40 -is tolia.
o
o
o
o
A. 75 B. 80 C. 60 D. 70
23.5. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan umciresi, Tu isini
ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 3:7.
o
o
o
o
A. 48 B. 50 C. 52 D. 54
23.6. ipoveT mosazRvre kuTxeebidan udidesi, Tu isini
ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 22:23.
o
o
o
o
A. 105 B. 88 C. 92 D. 94
3
23.7. ipoveT kuTxe, romelic Tavisi mosazRvre kuTxis -s
7
udris.
166

o
o
o
o
A. 54 B. 55 C. 56 D. 53
23.8. ipoveT kuTxe, romelic Tavisi mosazRvre kuTxis
4
-s udris.
11
o
o
o
o
A. 50 B. 48 C. 52 D. 54
23.9. ras udris kuTxe, Tu misi mosazRvre ori kuTxis
o
jami 100 -s Seadgens?
o
o
o
o
A. 130 B. 80 C. 120 D. 100
23.10. ori wrfis gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe 4-jer
metia meoreze. ipoveT maT Soris udidesi.
o
o
o
o
A. 136 B. 140 C. 144 D. 148
23.11. ori wrfis gadakveTisas miRebuli kuTxeebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 11:25. ipoveT maT Soris umciresi.
o
o
o
o
A. 55 B. 50 C. 45 D. 40
o
23.12. ori wrfis gadakveTisas miRebuli erTi kuTxe 50 -iT
naklebia meoreze. ipoveT maT Soris umciresi.
o
o
o
o
A. 75 B. 55 C. 70 D. 65
23.13. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris ori Siga
calmxrivi kuTxis sxvaoba 30°-s udris. ipoveT maT Soris
umciresi.
o
o
o
o
A. 65 B. 75 C. 80 D. 85
23.14. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris ori Siga
o
jvaredini kuTxis jami 150 -s udris. ipoveT am kuTxeebis
sxvaoba.
o
o
o
o
A. 0 B. 20 C. 40 D. 60
23.15. or paralelur wrfesa da mkveTs Soris Sesabamisi
kuTxeebis jamia 130 o . ipoveT Siga calmxrivi kuTxeebis
sxvaobis moduli.
o
o
o
o
A. 40 B. 60 C. 50 D. 80
23.16. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi paralelur
wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris udi-
desi, Tu erTi maTgani 90
167
o -iT metia meoreze.
23.17. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi paralelur
wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris umciresi,
Tu erTi maTgani 8-jer metia meoreze.

23.18. mocemulia ori kuTxe, romelTa gverdebi paralelur
wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris umciresi,
Tu isini ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 7:11.
23.19. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore
kuTxis gverdebis Semcveli wrfeebis perpendikularul
wrfeebze mdebareobs. erTi kuTxe 4-jer naklebia meoreze.
ipoveT am kuTxeebs Soris udidesi.
23.20. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore
kuTxis gverdebis Semcveli wrfeebis perpendikularul
wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris udidesi,
Tu erTi maTgani 20 o -iT metia meoreze.
23.21. mocemulia ori kuTxe. erTi kuTxis gverdebi meore
kuTxis gverdebis Semcveli wrfeebis perpendikularul
wrfeebze mdebareoben. ipoveT am kuTxeebs Soris umciresi,
Tu isini ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 13:5.
23.22. mocemulia 48 o -is toli kuTxe. wertilze, romelic
kuTxis gverdebze ar mdebareobs, gavlebulia kuTxis erTi
gverdis paraleluri da meore gverdis perpendikularuli
wrfe. ipoveT am wrfeebiT Sedgenili kuTxeebidan umciresi.
23.23. mocemulia 64 o -is toli kuTxe. wertilze, romelic
kuTxis gverdebze ar mdebareobs, gavlebulia mocemuli
kuTxis gverdebis paraleluri wrfeebi. ipoveT am wrfeebiT
Sedgenili kuTxeebidan udidesi.
23.24. ras udris mocemuli kuTxis biseqtrisasa da gverds
Soris kuTxe, Tu mocemuli kuTxe 52 o -is tolia.
23.25. ipoveT kuTxe, Tu misi biseqtrisa gverdTan 89 o -ian
kuTxes adgens.
23.26. ipoveT mocemuli kuTxis biseqtrisasa da misi erTerTi
gverdis gagrZelebas Soris kuTxe, Tu mocemuli kuTxe
udris 50 o -s.
23.27. ipoveT kuTxis sidide, Tu kuTxe am kuTxis biseqtrisasa
da misi erT-erTi gverdis gagrZelebas Soris aris
140 o .
23.28. OC sxivi gadis 160 o -iani AOB kuTxis gverdebs
Soris. OA gverdis perpendikularuli OD sxivi COB ku-
Txis biseqtrisas warmoadgens. ipoveT COB kuTxis sidide.
23.29. OF sxivi gadis 140
168
o -iani AOB kuTxis gverdebs
Soris. OA gverdis perpendikularuli OE sxivi FOB ku-
Txis biseqtrisas warmoadgens. ipoveT AOF kuTxis sidide.

23.30. ABC da CBD kuTxeebi mosazRvrea. ∠CBD = 40 . B
wverodan gavlebulia ABC kuTxis biseqtrisa da AB
wrfis perpendikularuli wrfe. ipoveT kuTxe am biseqtrisasa
da perpendikularul wrfes Soris.
23.31. 108 o -is toli ABC kuTxis wveroze gavlebulia
misi biseqtrisis perpendikularuli MN wrfe. ipoveT MN
wrfiTa da ABC kuTxis gverdebiT Sedgenili udidesi ku-
Txis sidide.
23.32. MON kuTxe 46 o -ia da NOP kuTxe ki 20 o . ras udris
kuTxe maT biseqtrisebs Soris.
23.33. ABC kuTxe 70 o -ia da DBC kuTxe ki 40 o . ras udris
kuTxe maT biseqtrisebs Soris.
!
%35/!tbnlvUyfefcj
24.1. samkuTxedis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 4:5:6. ipoveT samkuTxedis kuTxeebidan udidesi.
A. 48 o B. 72 o C. 60 o D. 70 o
24.2. ipoveT tolferda samkuTxedis ferdebs Soris kuTxe,
Tu fuZesTan mdebare kuTxea 55 o .
A. 70 o B. 60 o C. 80 o D. 65 o
24.3. ipoveT tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare
kuTxe, Tu ferdebs Soris kuTxea 80 o .
A. 55 o B. 45 o C. 50 o D. 40 o
24.4. tolferda samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe
udris 30 o -s. mis ferdze daSvebulia simaRle. ipoveT kuTxe,
romelsac es simaRle fuZesTan Seadgens.
A. 25 o B. 20 o C. 10 o D. 15 o
24.5. tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare kuTxe udris
30 o -s. ipoveT kuTxe, romelsac erTi ferdi meore ferdze
daSvebul simaRlesTan Seadgens.
A. 30 o B. 40 o C. 35 o D. 45 o
24.6. tolferda samkuTxedis fuZeze daSvebul simaRlesa
da ferds Soris kuTxe 20 o -iT naklebia fuZesTan mdebare
kuTxeze. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe.
A. 65 o B. 60 o C. 80 o D. 70 o
169
o

24.7. tolferda blagvkuTxa samkuTxedis ferdis simaRlesa
da meore ferds Soris kuTxe 24 o -iT naklebia fuZes-
Tan mdebare kuTxeze. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdebare
kuTxe.
A. 102 o B. 104 o C. 106 o D. 98 o
24.8. tolferda ABC samkuTxedSi, romlis fuZea AC ,
gavlebulia CD biseqtrisa. ipoveT ABC samkuTxedis wverosTan
mdebare kuTxe, Tu ADC kuTxe udris 60 o -s.
A. 30 o B. 40 o C. 20 o D. 50 o
24.9. tolferda samkuTxedis Siga kuTxeebisa da erTerTi
gare kuTxis jami udris 210 o -s. ipoveT samkuTxedis
fuZesTan mdebare kuTxe.
A. 15 o B. 20 o C. 10 o D. 25 o
24.10. tolferda samkuTxedis erT-erTi gare kuTxe udris
70 o -s. ipoveT samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe.
A. 35 o B. 110 o C. 60 o D. 100 o
24.11. samkuTxedis kuTxeebi adgenen ariTmetikul progresias.
ras udris sididiT saSualo kuTxis gradusuli
zoma?
A. 45 o B. 60 o C. 30 o D. 75 o
24.12. ABC samkuTxedis AC gverdis gagrZelebaze
aRebulia D da E wertilebi ise, rom A wertili mdebareobs
D da C-s Soris, xolo C wertili A-sa da E-s Soris.
amasTan AD=AB da CE=CB. ipoveT DBE samkuTxedis kuTxeebs
Soris umciresi, Tu 40 ,
o
o
∠BAC = ∠ACB = 80 .
A. 30 o B. 50 o C. 40 o D. 20 o
24.13. ABC tolferda samkuTxedis AC fuZe 12-ia, xolo
BD simaRle 8. ipoveT A kuTxis kosinusi.
3 3 2 4
A. B. C. D.
4
5
3
5
24.14. ABC samkuTxedSi AB = BC = 5 da AC = 6 . ipoveT A
kuTxis tangensi.
5 3 4 3
A. B. C. D.
3
5
3
4
24.15. Tu samkuTxedis gverdia 10, maSin danarCeni ori
gverdis jami SeiZleba iyos
170

A. 9 B. 9,1 C. 10 D. 10,1
24.16. Tu samkuTxedis gverdebia 2 da 7, maSin mesame gverdi
SeiZleba iyos
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
24.17. Tu samkuTxedis gverdia 8, maSin danarCeni ori gverdis
sxvaoba SeiZleba iyos
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
24.18. Tu samkuTxedis perimetria 100, maSin samkuTxedis
gverdi ar SeiZleba iyos
A. 45 B. 48 C. 49 D. 50
24.19. Tu samkuTxedis gverdia 12, maSin samkuTxedis perimetri
ar SeiZleba iyos
A. 28 B. 24,5 C. 23,5 D. 25
24.20. Tu AB = 5 da BC = 2 , maSin AC SeiZleba iyos
A. 3 B. 2 C. 8 D. 9
24.21. samkuTxedis ori gverdia 5 da 1. ipoveT mesame gverdi,
Tu cnobilia, rom is mTeli ricxvia.
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
24.22. samkuTxedis perimetria 13, xolo erT-erTi gverdi
ki 1. ipoveT danarCeni ori gverdi, Tu isini mTeli ricxvebia.
A. 6; 6 B. 2; 12 C. 5; 7 D. 3; 6
24.23. tolferda samkuTxedis perimetri 15,6-is tolia.
ipoveT samkuTxedis fuZe, Tu is ferdze 3-iT naklebia.
A. 3,4 B. 3,2 C. 3 D. 3,6
24.24. tolgverda samkuTxedis simaRlea 30. gansazRvreT
ra manZilzea misi gverdebidan biseqtrisebis gadakveTis
wertili.
A. 20 B. 10 C. 5 D. 15
24.25. tolferda samkuTxedis ferdia 17, xolo fuZe ki
16. ipoveT fuZeze daSvebuli simaRle.
A. 12 B. 10 C. 15 D. 20
24.26. tolferda samkuTxedis fuZea 4, masTan mdebare ku-
Txe ki 45 o . ipoveT ferdi.
A. 2 2 B. 3 C. 4 2 D. 2
24.27. ipoveT tolferda marTkuTxa samkuTxedis farTobi,
Tu misi hipotenuza udris 12-s.
A. 36 B. 32 C. 40 D. 30
24.28. ipoveT tolferda samkuTxedis farTobi, Tu misi
fuZea 120, ferdi ki 100.
A. 4200 B. 5400 C. 4800 D. 4400
171

24.29. ABC samkuTxedSi AB=10, BC=20. A wertilidan gavlebuli
simaRle udris 5-s. ipoveT C wertilidan gavlebuli
simaRle.
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
24.30. tolferda samkuTxedis fuZea 30, masze daSvebuli
simaRle ki 20. ipoveT ferdze daSvebuli simaRle.
A. 20 B. 24 C. 30 D. 32
24.31. tolferda samkuTxedSi fuZeze daSvebuli simaRlea
3, ferdze daSvebuli simaRle ki 4. ipoveT samkuTxedis
fuZe.
12 5
8 5
A.
B. 10 5 C. D. 6
5
5
24.32. ABC samkuTxedis BD mediana AC gverdis naxevars
udris. ipoveT samkuTxedis B kuTxe.
A. 30 o B. 120 o C. 90 o D. 60 o
24.33. ABC samkuTxedSi A kuTxis biseqtrisa AC gverdisadmi
gavlebuli medianis marTobulia. ipoveT AC gverdis
sigrZe, Tu AB gverdis sigrZe 4 sm-ia.
A. 8 sm B. 6 sm C. 2 sm D. 16 sm
24.34. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe 25 o -is tolia.
marTi kuTxis wverodan gavlebulia simaRle da biseqtrisa.
ipoveT kuTxe maT Soris.
A. 5 o B. 10 o C. 20 o D. 40 o
24.35. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebul
simaRlesa da biseqtrisas Soris kuTxe aris 15 o .
ipoveT samkuTxedis didi maxvili kuTxe.
A. 60 o B. 65 o C. 70 o D. 75 o
24.36. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe 50 o -is tolia.
marTi kuTxis wverodan gavlebulia simaRle da mediana.
ipoveT kuTxe maT Soris.
A. 5 o B. 10 o C. 15 o D. 20 o
24.37. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebul
simaRlesa da medianas Soris kuTxe aris 20 o . ipoveT
samkuTxedis mcire maxvili kuTxe.
A. 5 o B. 15 o C. 25 o D. 35 o
24.38. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxea 15 o . marTi
kuTxis wverodan gavlebulia mediana da biseqtrisa. ipo-
172

veT kuTxe maT Soris.
A. 30 o B. 20 o C. 10 o D. 5 o
24.39. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebul
medianasa da biseqtrisas Soris kuTxea 10 o . ipoveT
samkuTxedis mcire maxvili kuTxe.
A. 25 o B. 30 o C. 35 o D. 40 o
24.40. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebulia
mediana, biseqtrisa da simaRle. medianasa da biseqtrisas
Soris kuTxea 40 o . ipoveT kuTxe medianasa da simaRles
Soris.
A. 50 o B. 60 o C. 70 o D. 80 o
24.41. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebulia
mediana, biseqtrisa da simaRle. medianasa da simaRles
Soris kuTxea 30 o . ipoveT kuTxe biseqtrisas da simaRles
Soris.
A. 25 o B. 20 o C. 15 o D. 10 o
24.42. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wrewiris
centria. ipoveT ACO kuTxis sidide, Tu ∠CAO=25° da
∠CBO=40°.
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
24.43. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 16 da 12. ipoveT
hipotenuzis mediana.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
24.44. manZili, marTkuTxa samkuTxedis medianebis gadakve-
Tis wertilidan marTi kuTxis wveromde, 8 sm-ia. ipoveT hipotenuzis
sigrZe.
A. 12 sm B. 16 sm C. 24 sm D. 27 sm
24.45. Tu marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza 12-ia, maSin
hipotenuzaze daSvebuli simaRle ar SeiZleba iyos:
A. 6 B. 7 C. 5 D. 4
24.46. Tu marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza 6-ia, maSin
marTkuTxa samkuTxedis farTobi SeiZleba iyos:
A. 12 B. 9 C. 11 D. 10
24.47. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 15 da 20. ipoveT
hipotenuzaze daSvebuli simaRle.
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
24.48. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis namravli 12-jer
metia hipotenuzaze. ipoveT marTi kuTxis wverodan hipotenuzaze
daSvebuli simaRle.
173

A. 12 B. 14 C. 13 D. 10
24.49. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis namravli 25-jer
metia marTi kuTxis wverodan gavlebul simaRleze. ipoveT
hipotenuza.
A. 25 B. 20 C. 18 D. 30
24.50. marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavlebuli
simaRlisa da hipotenuzis namravli 3-jer metia
erT-erT kaTetze. ipoveT meore kaTetis sigrZe.
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
24.51. ipoveT marTkuTxa samkuTxedis farTobi, Tu misi
simaRle hipotenuzas 32-isa da 18-is tol monakveTebad
yofs.
A. 600 B. 550 C. 700 D. 650
24.52. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe udris 60 o -s.
hipotenuzisa da mcire kaTetis jamia 1,8. ipoveT hipotenuza.
A. 1,4 B. 1,2 C. 1,3 D. 1,5
24.53. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori
daxrili. erTi maTganis sigrZea 13, xolo misi gegmili
wrfeze 12-is tolia. ipoveT meore daxrilis sigrZe, Tu is
wrfesTan 30 o -ian kuTxes adgens.
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
24.54. ABC marTkuTxa samkuTxedSi C kuTxe marTia da
∠A=30°. AC kaTetze aRebulia D wertili ise, rom ∠ABD=15°
da DC=7 sm. ipoveT AB hipotenuzis sigrZe.
A. 28 sm B. 21 sm C. 12 sm D. 14 sm
24.55. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 3:4:5, xolo perimetri udris 60-s. ipoveT im samku-
Txedis udidesi gverdi, romlis wveroebic mocemuli samkuTxedis
gverdebis SuawertilebSia.
A. 7,5 B. 10 C. 12,5 D. 15
24.56. ABC samkuTxedSi ∠C=105°, ∠B=45° da BC=2 2 sm.
ipoveT AB gverdis sigrZe.
A. 2+2 3 sm B. 4+ 3 sm C. 8 sm D. 8 3 sm
24.57. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 7:8:9. im samkuTxedis perimetri, romlis wveroebic
mocemuli samkuTxedis gverdebis SuawertilebSia, udris
24-s. ipoveT mocemuli samkuTxedis umciresi gverdi.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
24.58. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
174

ogorc 4:5:6. ipoveT misi msgavsi samkuTxedis perimetri,
Tu am ukanasknelis umciresi gverdi 8-is tolia.
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
24.59. samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:4:5. ipoveT misi msgavsi samkuTxedis udidesi gverdi,
Tu am ukanasknelis perimetri 55-is tolia.
A. 25 B. 27,5 C. 30 D. 32,5
24.60. samkuTxedis perimetria 10, xolo misi farTobi ki
3. ipoveT mocemuli samkuTxedis msgavsi samkuTxedis perimetri,
Tu misi farTobia 12.
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
24.61. ori tolferda samkuTxedis ferdebs Soris mdebare
kuTxeebi tolia. erTi samkuTxedis ferdi da fuZe Sesabamisad
17 da 10-ia, meore samkuTxedis fuZe udris 8-s. ipoveT
misi ferdi.
A. 13,6 B. 12,8 C. 14,2 D. 13,8
24.62. or tolferda samkuTxedSi wverosTan mdebare ku-
Txeebi tolia. pirveli samkuTxedis perimetria 544. ipoveT
misi fuZe, Tu meore samkuTxedis ori gverdi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 1:2.
A. 109 B. 108,6 C. 106,4 D. 108,8
24.63. ipoveT naxazze mocemuli B
ABC da AED samkuTxedebis farTob-
Ta Sefardeba, Tu BE=12 sm, AE=8 sm, 12
CD=14 sm da AC=10 sm.
E
D
8 14
C
A 10
A. 5
25
B.
4 24
24.64. mocemul naxazze ABC
da ADG samkuTxedebi tolia.
amasTan AD=AC=1 sm, AB=AG=5 sm.
ipoveT ADEC oTxkuTxedis far-
Tobi, Tu ABC samkuTxedis far-
Tobia 1,8 sm2 .
175
16
C.
9
B
4
D
1
11
D.
7
A. 0,6 B. 0,8 C. 0,4 D. 1,2
24.65. ABC samkuTxedSi gavlebuli medianebi ikveTebian
O wertilSi. ipoveT AOB samkuTxedis farTobi, Tu ABC
samkuTxedis farTobia 27.
E
A 1
C
4
G

A. 9 B. 18 C. 6 D. 12
24.66. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu am samkuTxedis
gverdebis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxedis
farTobia 4.
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
24.67. ABC samkuTxedis farTobi tolia 18-is. D wertili
AC gverdze aRebulia ise, rom DC=2AD. ipoveT BCD samkuTxedis
farTobi.
A. 6 B. 9 C. 12 D. 14
24.68. ABC samkuTxedis AC gverdze aRebulia D wertili
ise, rom AD : DC = 5 : 3 . ipoveT ABC samkuTxedis farTobi,
Tu BDC samkuTxedis farTobia 6.
A. 18 B. 24 C. 16 D. 8
24.69. samkuTxedis fuZesTan mdebare didi kuTxe 45 o -ia,
xolo simaRle fuZes 20-is da 21-is tol nawilebad yofs.
ipoveT didi ferdi.
A. 21 B. 24 C. 31 D. 29
24.70. samkuTxedis gverdebia 5 da 8, maT Soris mdebare
kuTxe ki 60 o . ipoveT samkuTxedis mesame gverdis sigrZe.
A. 7 B. 12 C. 10 D. 8
24.71. samkuTxedis gverdebia 6 da 10, maT Soris mdebare
kuTxe ki 120 o . ipoveT samkuTxedis mesame gverdis sigrZe.
A. 9 B. 14 C. 11 D. 5
24.72. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi gverdebia 13,
14 da 15.
A. 84 B. 78 C. 80 D. 86
24.73. samkuTxedis gverdebia 25, 29 da 36. ipoveT umciresi
simaRle.
A. 15 B. 25 C. 20 D. 30
24.74. samkuTxedis gverdebia 9, 10 da 17. ipoveT udidesi
simaRle.
A. 8 B. 14 C. 12 D. 16
24.75. ABC samkuTxedSi AB=4 sm, ∠C=35°. ABC samkuTxedisa-
Tvis mocemulia kidev ori piroba:
I. AC=4 sm;
II. B kuTxis biseqtrisa AC gverdis marTobulia.
imisaTvis, rom gamovTvaloT B kuTxis gradusuli zoma
A. sakmarisia I piroba, II ki ar aris sakmarisi
B. sakmarisia II piroba, I ki ar aris sakmarisi;
176

C. sakmarisia I da II piroba erTad, magram arc erTi
cal-calke;
D. sakmarisia orive piroba cal-calke.
24.76. tolferda samkuTxedis mediana yofs am samkuTxedis
perimetrs 15 da 6-is tol nawilebad. ipoveT samkuTxedis
ferdis sigrZe.
24.77. tolferda ABC samkuTxedSi, romlis fuZea AC ,
gavlebulia BD mediana. ipoveT misi sigrZe, Tu ABC samkuTxedis
perimetria 50 , xolo ABD samkuTxedis ki 40.
24.78. ABC tolferda samkuTxedSi AB ferdi udris 14-s.
misi D Suawertilidan am ferdisadmi gavlebuli perpendikularuli
wrfe BC ferds kveTs E wertilSi. E wertili
SeerTebulia A-sTan. AEC samkuTxedis perimetria 24. ipoveT
AC-s sigrZe.
24.79. ABC tolferda samkuTxedSi AB=BC=14. AB ferdis D
Suawertilze gavlebuli perpendikulari samkuTxedis fu-
Zes kveTs E wertilSi. E wertili SeerTebulia B wertil-
Tan. ipoveT ABC samkuTxedis AC fuZe, Tu BEC samkuTxedis
perimetri 40 sm-ia.
24.80. tolgverda samkuTxedis simaRle udris 3 3 . ipoveT
am samkuTxedis farTobi.
24.81. tolferda samkuTxedis ferdisadmi gavlebuli medianaa
30, romelic fuZesTan adgens 30 o -ian kuTxes. ipoveT
fuZeze daSvebuli simaRle.
24.82. ipoveT tolferda samkuTxedis fuZe, Tu misi sima-
Rle udris 35-s, xolo fuZe ise Seefardeba ferds, rogorc
48:25.
24.83. tolferda samkuTxedis perimetri udris 64-s, xolo
misi ferdi fuZeze 11-iT metia. ipoveT fuZeze daSvebuli
simaRle.
24.84. tolferda samkuTxedis medianebi udris 15, 15 da
18-s. ipoveT samkuTxedis farTobi.
24.85. tolferda samkuTxedSi ferdis medianis sigrZe
tolia m-is da fuZesTan α sididis kuTxes Seadgens. ipo-
4
veT am samkuTxedis farTobi, Tu m=10, cos α = .
24.86. tolferda samkuTxedis perimetria 36. fuZeze daSvebuli
simaRlis Suawertilze gavlebulia erT-erTi fer-
177
5

dis paraleluri wrfe. ipoveT mokveTili samkuTxedis perimetri.
24.87. tolferda samkuTxedis gverdebia AB=BC=50 da
AC=60. gavlebulia AE da CD simaRleebi da D da E wertilebi
SeerTebulia. ipoveT DE monakveTis sigrZe.
24.88. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 30 da 40. marTi
kuTxis wverodan hipotenuzaze daSvebulia simaRle. ipoveT
miRebuli samkuTxedebis farTobebidan umciresi.
24.89. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis biseqtrisa
mopirdapire kaTets yofs 4-is da 5-is tol monakveTebad.
ipoveT samkuTxedis farTobi.
24.90. wrfidan 10-is tol manZilze aRebuli wertilidan
am wrfisadmi gavlebulia ori daxrili, romelTa sigrZeebis
Sefardebaa 1:2. umciresi daxrili wrfesTan adgens
30 o -ian kuTxes. ipoveT udidesi daxrilis sigrZe.
24.91. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori
daxrili. erTi maTganis sigrZea 17, xolo misi gegmili
wrfeze 15-is tolia. ipoveT meore daxrilis gegmili
wrfeze, Tu is wrfesTan 45 o -ian kuTxes adgens.
24.92. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis Sefardebaa 3:2,
simaRle ki hipotenuzas yofs or monakveTad, romelTagan
erTi 10-iT metia meoreze. ipoveT hipotenuza.
24.93. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebis medianebia 52
da 73 . ipoveT hipotenuza.
24.94. samkuTxedis ferdi dayofilia oTx tol nawilad
da dayofis wertilebze gavlebulia fuZis paraleluri
wrfeebi. ipoveT wrfeebis ferdebs Soris moTavsebuli monakveTebidan
umciresis sigrZe, Tu fuZis sigrZea 12.
24.95. samkuTxedis ferdi dayofilia sam tol nawilad
da dayofis wertilebze gavlebulia fuZis paraleluri
wrfeebi. ipoveT ferdebs Soris moTavsebuli monakveTebis
sigrZeebi, Tu samkuTxedis fuZea 6.
24.96. ipoveT samkuTxedis ori gverdis Suawertilebisa
da medianebis gadakveTis wertiliT miRebuli samkuTxedis
farTobi, Tu mocemuli samkuTxedis farTobia 120.
24.97. samkuTxedis simaRlea 2 2 . wverodan ra manZilzea
am samkuTxedis farTobis Suaze gamyofi da fuZis paraleluri
wrfe?
24.98. samkuTxedis gverdis paraleluri wrfe am samkuTxeds
toldid nawilebad yofs. ipoveT mcire samkuTxedis
178

perimetri, Tu mocemuli samkuTxedis perimetria 52.
24.99. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD wrfe ise, rom
∠ BDC = ∠ABC
. AC gverdze miRebulia monakveTebi AD da DC.
ipoveT BC, Tu AD=9 da DC=16.
24.100. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD wrfe ise, rom
∠ ABD = ∠ACB
. AC gverdze miRebulia monakveTebi AD da DC.
ipoveT DC, Tu AB=6, AC=9.
24.101. samkuTxedSi, romlis fuZe udris 30-s da simaRle
10-s, Caxazulia marTkuTxa tolferda samkuTxedi ise, rom
misi hipotenuza mocemuli samkuTxedis fuZis paraleluria
da marTi kuTxis wvero am fuZeze Zevs. ipoveT hipotenuza.
24.102. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT DC
monakveTi, Tu AB=10, BC=15 da AC=20.
24.103. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT BC
gverdi, Tu AD:DC=8:5 da AB=16.
24.104. BD aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT AC
gverdi, TuU AB:BC=2:7 da DC-AD=10.
24.105. samkuTxedis gverdebia 3 2 , 8 da 10. ipoveT udidesi
gverdisadmi gavlebuli mediana.
24.106. samkuTxedis perimetria 32. erT-erTi kuTxis biseqtrisa
gverds yofs 5-is da 3-is tol nawilebad. ipoveT samkuTxedis
udidesi gverdis sigrZe.
24.107. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi ori gverdia
17 da 21, xolo mesame gverdis mediana ki 5.
24.108. samkuTxedis gverdi udris a -s, xolo masTan mdebare
kuTxeebia α da β . ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu
1 1
a = 10,
tg α = , tg β = .
2 3
24.109. samkuTxedis gverdebia 6 da 12, xolo maT Soris
kuTxe ki 120 o . ipoveT am kuTxis biseqtrisa.
24.110. samkuTxedis gverdebia a da b , xolo maT Soris
kuTxe udris α -s. ipoveT am kuTxis biseqtrisa, Tu a=5,
α 3
b=10, cos = .
2 5
24.111. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi gverdebia 5
da 10, xolo am gverdebs Soris moTavsebuli biseqtrisaa 4.
179

24.112. ABC samkuTxedSi BM simaRlea 4 sm, AN simaRle
ki 6 3 sm. am simaRleebs Soris kuTxea 60°. ipoveT ABC samkuTxedis
farTobi.
24.113. samkuTxedis gverdebia 6 da 8. am gverdebisadmi
gavlebuli medianebi urTierTmarTobulia. ipoveT samkuTxedis
mesame gverdi.
24.114. M da N Sesabamisad ABC samkuTxedis AB da BC
gverdebis Sua wertilebia, xolo K wertili MN monakveTze
Zevs. ipoveT AKC samkuTxedis farTobi, Tu ABC samkuTxedis
farTobia 44 sm
180
2 .
24.115. ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi ori mediana
urTierTmarTobulia da maTi sigrZeebia 5 da 9.
24.116. tolferda ABC samkuTxedSi AB = BC = 8 . BC gverdze
aRebulia D wertili ise, rom AD = AC = 4 . ipoveT BD.
24.117. ABC samkuTxedis BD simaRle AC gverds yofs 3
da 7-is tol monakveTebad. ipoveT B kuTxis tangensi, Tu
BD = 4 .
24.118. M wertili aris ABC samkuTxedis AD medianis
Suawertili. BM wrfe AC -s kveTs N wertilSi. vipovoT
MN : BN .
24.119. ABC samkuTxedis AD medianis Suawertilze da
B wveroze gavlebuli wrfe AC gverds kveTs M wertil-
Si. ra SefardebiT yofs ( A wveros mxridan) M wertili
AC gverds?
24.120. ABC samkuTxedSi ∠C = 2 ⋅ ∠A
da AC = 2 ⋅ BC . ipoveT
samkuTxedis umciresi kuTxe.
24.121. samkuTxedis ori gverdis sigrZeebia a = 6 da
b = 4 . ipoveT mesame gverdis sigrZe, Tu misi mopirdapire
kuTxis sidide orjer metia b gverdis mopirdapire kuTxis
sidideze.
24.122. ABC samkuTxedSi C kuTxe marTia. A da B kuTxis
wveroebidan gavlebulia Sesabamisad mediana da biseqtrisa.
ipoveT manZili maTi gadakveTis wertilidan AC -
mde, Tu AB = 12 da BC = 8 .
24.123. ABC samkuTxedSi gavlebulia BD mediana, xolo
ABD samkuTxedSi AK biseqtrisa. ipoveT AKD samkuTxedis
farTobi, Tu AC : AB = 1:
3 da ABC samkuTxedis farTobia
28.
24.124. ra SefardebiT yofs tolferda samkuTxedis far-
Tobs fuZeze daSvebuli simaRlis Suawertilze da fuZis
wveroze gavlebuli wrfe?

24.125. ABC samkuTxedSi AB da BC gverdebze Sesabamisad
aRebulia M da N wertilebi ise, rom AM:MB=2:3 da
BN:NC=1:4. K wertili MN monakveTis Sua wertilia. ipoveT
AKC samkuTxedis farTobi, Tu ABC samkuTxedis farTobi
30 sm 2 -ia.
%36/!nsbwbmlvUyfefcj
25.1. oTxkuTxedis sami kuTxea 88 o , 93 o da 97 o . ipoveT meoTxe
kuTxe.
A. 82 o B. 92 o C. 72 o D. 84 o
25.2. oTxkuTxedis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:3:6:7. ipoveT umciresi kuTxe.
A. 20 o B. 40 o C. 60 o D. 100 o
25.3. oTxkuTxedis sam wverosTan mdebare gare kuTxeebia
70 o , 80 o da 120 o . ipoveT meoTxe wverosTan mdebare gare ku-
Txe.
A. 60 o B. 80 o C. 90 o D. 70 o
25.4. oTxkuTxedis or wverosTan mdebare gare kuTxe marTia,
xolo erT-erTi Siga kuTxea 60 o . ipoveT Siga kuTxeebidan
udidesi.
A. 100 o B. 150 o C. 130 o D. 120 o
25.5. ipoveT xuTkuTxedis kuTxeebis jami.
A. 540 o B. 450 o C. 520 o D. 420 o
25.6. ipoveT wesieri rvakuTxedis kuTxe.
A. 145 o B. 135 o C. 130 o D. 120 o
25.7. ra udidesi raodenobis maxvili kuTxe SeiZleba
hqondes aTkuTxeds?
A. 5 B. 4 C. 3 D. 7
25.8. ra umciresi raodenobis blagvi kuTxe SeiZleba
hqondes rvakuTxeds?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
25.9. ra udidesi raodenobis marTi kuTxe SeiZleba hqondes
SvidkuTxeds?
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
25.10. ipoveT cxrakuTxedSi gavlebuli diagonalebis raodenoba.
A. 9 B. 27 C. 18 D. 36
25.11. mravalkuTxedis erTi wverodan SeiZleba mxolod
181

xuTi diagonalis gavleba. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds?
A. 8 B. 7 C. 10 D. 9
25.12. mravalkuTxedis ori mosazRvre wverodan gavlebuli
diagonalebis raodenobaa 12. ramdeni gverdi aqvs am
mravalkuTxeds?
A. 11 B. 10 C. 9 D. 12
25.13. mravalkuTxedis ori aramosazRvre wverodan gavlebuli
diagonalebis raodenobaa 13. ramdeni gverdi aqvs
am mravalkuTxeds?
A. 11 B. 10 C. 9 D. 12
25.14. mravalkuTxedis diagonalebis raodenobaa 44. ramdeni
gverdi aqvs am mravalkuTxeds?
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
25.15. mravalkuTxedis diagonalebis raodenoba 2-jer metia
gverdebis raodenobaze. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds?
A. 7 B. 8 C. 6 D. 9
25.16. ramdeni gverdi aqvs mravalkuTxeds, Tu misi gverdebisa
da diagonalebis raodenoba tolia?
A. 6 B. 5 C. 4 D. 8
25.17. mravalkuTxedis erTi wverodan gavlebulia yvela
SesaZlo diagonali. mravalkuTxedSi miRebuli samkuTxedebis
raodenobaa 9. ramdeni gverdi aqvs am mravalkuTxeds?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
25.18. Tu oTxkuTxedis sami gverdia 3, 4 da 5, maSin meo-
Txe gverdi ar SeiZleba iyos
A. 13 B. 11 C. 10 D. 9
25.19. YTu oTxkuTxedis sami gverdia 5, 6 da 13, maSin meoTxe
gverdi ar SeiZleba iyos
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
25.20. Tu oTxkuTxedis momdevno gverdebia 2, 3, 4 da 6,
maSin oTxkuTxedis diagonali ar SeiZleba iyos
A. 7 B. 5 C. 4 D. 6
25.21. wesieri eqvskuTxedis gverdia 4. ipoveT am eqvskuTxedis
didi diagonali.
25.22. wesieri eqvskuTxedis gverdia 2 3 . ipoveT am eqvskuTxedis
mcire diagonali.
25.23. wesieri eqvskuTxedis gverdia 4 2 3 . ipoveT wesieri
182

eqvskuTxedis farTobi.
25.24. ABCDE xuTkuTxedis B , D da E kuTxeebi marTia.
ipoveT am xuTkuTxedis perimetri, Tu AE = CD = 8 , AB = 12
da BC = 5 .
25.25. ABCDE xuTkuTxedis A da C kuTxeebi marTia.
ipoveT am xuTkuTxedis farTobi, Tu AB = BC = DE = 2 da
AE = CD = 1.
25.26. ABCD oTxkuTxedis AC da BD diagonalebi Sesabamisad
CD da AB gverdebis marTobulia. ipoveT oTxkuTxedis
umciresi diagonali, Tu AB = 10 , CD = 16 da
o
∠ADB = 30 .
25.27. ABCD oTxkuTxedis A da B kuTxis biseqtrisebi
M wertilSi ikveTebian. ipoveT AMB kuTxis sidide, Tu
o
o
∠D = 100 da ∠C = 120 .
25.28. ABCD oTxkuTxedis AC da BD diagonalebi urTierTmarTobulia.
BC = 4 .
gamoTvaleT
2 2
AB + CD , Tu AD = 3 da
25.29. oTxkuTxedis diagonalebi urTierTmarTobulia.
ipoveT diagonalebis gadakveTis wertilidan gverdebis
Suawertilebamde manZilebis jami, Tu am oTxkuTxedis perimetria
30.
25.30. oTxkuTxedis mopirdapire gverdebis Suawertilebis
SemaerTebeli monakveTebi tolia. ipoveT kuTxe oTxku-
Txedis diagonalebs Soris.
%37/!lwbesbuj/!nbsUlvUyfej
26.1. kvadratis diagonalis sigrZea 4. misi gverdi meore
kvadratis diagonalis tolia. ipoveT meore kvadratis gverdis
sigrZe.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 0,5
26.2. kvadratis gverdis sigrZea 1. misi diagonali meore
kvadratis gverdis tolia. ipoveT meore kvadratis diagonali.
A. 0,5 B. 3 C. 2 D. 1
26.3. kvadratis diagonalis sigrZea 12. kvadratis wveroebze
gavlebulia diagonalebis paraleluri wrfeebi. ipoveT
miRebuli oTxkuTxedis gverdis sigrZe.
A. 10 B. 12 C. 8 D. 6
26.4. kvadratis gverdis sigrZea 2 2 . kvadratis wveroeb-
183

ze gavlebulia diagonalebis paraleluri wrfeebi. ipoveT
miRebuli oTxkuTxedis perimetri.
A. 20 B. 16 C. 12 D. 8
26.5. ipoveT im kvadratis gverdi, romlis farTobis da
perimetris ricxviTi mniSvnelobebi tolia.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
26.6. ipoveT im kvadratis gverdi, romlis farTobi ricxobrivad
2-jer naklebia perimetrze.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
26.7. kvadratis Siga wertilze gavlebulia gverdebis paraleluri
wrfeebi. miRebuli oTxi marTkuTxedidan sami
momdevnos farTobia 6, 8 da 20. ipoveT kvadratis farTobi.
A. 36 B. 49 C. 64 D. 81
26.8. kvadratis farTobis ra nawils Seadgens misi sami
gverdis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxedis
farTobi?
1 1 1 1
A. B. C. D.
2
3
4
5
26.9. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kvadrati
ise, rom misi ori wvero hipotenuzaze mdebareobs,
danarCeni ki kaTetebze. ipoveT kvadratis gverdis sigrZe,
Tu hipotenuzis sigrZea 3.
A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2
26.10. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kvadrati
ise, rom misi ori wvero hipotenuzaze mdebareobs,
danarCeni ki kaTetebze. ipoveT kvadratis diagonalis sigrZe,
Tu hipotenuzis sigrZea 6 2 .
A. 4 B. 2 2 C. 2 D. 3
26.11. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kvadrati
ise, rom maT aqvT saerTo marTi kuTxe da kvadratis
am kuTxis mopirdapire wvero hipotenuzaze mdebareobs.
ipoveT kvadratis gverdis sigrZe, Tu kaTetis sigrZea 4.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
26.12. tolferda marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia kvadrati
ise, rom maT aqvT saerTo marTi kuTxe da kvadratis
am kuTxis mopirdapire wvero hipotenuzaze mdebareobs.
ipoveT kvadratis diagonalis sigrZe, Tu kaTetis sigrZea
2 2 .
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
26.13. ipoveT kvadratis farTobi, Tu misi diagonalis
sigrZea 4.
184

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
26.14. mocemuli kvadratis diagonalze, rogorc gverdze,
agebulia meore kvadrati. ipoveT mocemulisa da miRebuli
kvadratebis farTobebis Sefardeba.
1 1 1 1
A. B. C. D.
4
2
3
6
26.15. ori kvadratis farTobTa Sefardebaa 4:7. ipoveT
mcire kvadratis gverdis sigrZe, Tu didi kvadratis gverdis
sigrZea 2 7 .
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3
26.16. ori kvadratis gverdebis sigrZeTa Sefardebaa 1:2,
xolo am kvadratebis farTobTa jamia 20. ipoveT mcire kvadratis
gverdis sigrZe.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
26.17. marTkuTxedis diagonalebi 50 o -is tol kuTxes adgenen
erTmaneTTan. gansazRvreT kuTxe diagonalsa da mar-
TkuTxedis did gverds Soris.
A. 15 o B. 25 o C. 20 o D. 45 o
26.18. marTkuTxedis diagonaliT da gverdiT Sedgenili
kuTxe udris 36 o . ipoveT diagonalebs Soris umciresi kuTxis
sidide.
A. 72 o B. 48 o C. 36 o D. 50 o
26.19. marTkuTxedis wverodan diagonalze daSvebuli perpendikulari
marT kuTxes yofs SefardebiT 3:1. ipoveT
kuTxis sidide am perpendikularsa da meore diagonals
Soris.
A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 15 o
26.20. marTkuTxedis diagonali gverdTan adgens 30 o -is
tol kuTxes. marTi kuTxis wverodan am diagonalze daSvebulia
perpendikulari. ipoveT kuTxe am perpendikularsa
da meore diagonals Soris.
A. 15 o B. 30 o C. 45 o D. 60 o
26.21. marTkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 3:4. ipoveT marTkuTxedis sigane, Tu misi perimetria
140.
A. 20 B. 50 C. 40 D. 30
26.22. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertilidan
gverdebamde manZilebia 4 da 6. ipoveT marTkuTxedis pe-
185

imetri.
A. 40 B. 50 C. 30 D. 20
26.23. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertili,
mcire gverdidan 2-iT ufro Sorsaa, vidre dididan. marTkuTxedis
perimetria 56. ipoveT didi gverdi.
A. 18 B. 16 C. 20 D. 14
26.24. marTkuTxedis farTobia 36, xolo misi gverdebis
Sefardebaa 4:9. ipoveT marTkuTxedis perimetri.
A. 26 B. 13 C. 28 D. 14
26.25. marTkuTxedis perimetria 14, xolo misi gverdebis
Sefardebaa 3:4. ipoveT marTkuTxedis farTobi.
A. 10 B. 12 C.14 D. 16
26.26. marTkuTxedis sigrZe samjer metia siganeze. ipoveT
am marTkuTxedis perimetri, Tu misi farTobia 27.
A. 18 B. 24 C. 30 D. 29
26.27. marTkuTxedis kuTxis biseqtrisa did gverds yofs
Suaze. ipoveT marTkuTxedis farTobi, Tu misi mcire gverdis
sigrZea 2.
A. 8 B. 4 C. 6 D. 10
26.28. marTkuTxedis gverdebis sigrZeebia 2 da 3. ipoveT
misi msgavsi marTkuTxedis farTobi, romlis mcire gverdi
5-is tolia.
A. 35,5 B. 36,5 C. 37,5 D. 38,5
26.29. ABCD marTkuTxedis CD gverdis sigrZe 8 sm-ia. am
marTkuTxedis AD gverdze aRebulia M wertili ise, rom
MD=2 sm. ipoveT AM monakveTis sigrZe, Tu BMC samkuTxedis
farTobi 24 sm2-ia. A. 6 sm B. 5 sm C. 4 sm D. 2 sm
26.30. naxazze mocemulia ori kvadrati.
erTis gverdis sigrZea 6 sm, meoris _ 3 sm. 6 sm
3 sm
ipoveT gamuqebuli figuris farTobi.
A. 6 sm 2 B. 9 sm 2 C. 12 sm 2 D. 18 sm 2
26.31. ABCD marTkuTxedSi O aris AC da BD diagonalebis
gadakveTis wertili. K aris BC gverdis Sua wertili,
xolo P warmoadgens AK da BD monakveTebis TanakveTis wertils.
ipoveT AC:PO.
A. 8:1 B. 13:3 C. 3:1 D. 6:1
26.32. ABCD marTkuTxedis BD diagonalze agebulia
BMND marTkuTxedi ise, rom MN gverdi BD diagonalis pa-
186

aleluria da gadis C wveroze. ipoveT BMND marTkuTxedis
farTobi, Tu AB=3 sm da AD=4 sm.
A. 8 sm 2 B. 10 sm 2 C. 12 sm 2 D. 15 sm 2
26.33. ABCD marTkuTxedSi BC gverdze aRebulia E wertili
ise, rom BE=1 sm, EC=9 sm da ∠AED=90°. ipoveT AB gverdis
sigrZe.
A. 2 sm B. 3 sm C. 6 sm D. 9 sm
26.34. ABCD kvadratis BC gverdze aRebulia E wertili,
xolo AE monakveTze F wertili ise, rom AE⊥DF, AF=3 sm,
DF=4 sm. ramdeni santimetria BE monakveTis sigrZe?
A. 2,75 B. 3 C. 3,75 D. 4,5
26.35. kvadrati ori urTierTmarTobuli wrfiT gayofilia
or marTkuTxedad da or kvadratad ise, rom erTi
marTkuTxedisa da erTi kvadratis farTobebia Sesabamisad
10 sm 2 da 25 sm 2 . ipoveT mocemuli kvadratis gverdi.
A. 6 sm B. 7 sm C. 8 sm D. 10 sm
26.36. marTkuTxedis diagonalebs Soris kuTxis sididea
60 o . orive diagonalisa da orive mcire gverdis jamia 18.
ipoveT diagonalis sigrZe.
A. 8 B. 6 C. 10 D. 12
26.37. marTkuTxedis Siga wertilze gavlebulia gverdebis
paraleluri wrfeebi. miRebuli oTxi marTkuTxedidan
sami momdevnos farTobia 2, 5 da 15. ipoveT marTkuTxedis
farTobi.
A. 26 B. 24 C. 30 D. 28
26.38. samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi ori
wvero fuZeze mdebareobs, danarCeni ori ki ferdebze. ipoveT
kvadratis gverdi, Tu samkuTxedis simaRlea 6, fuZe ki
12.
26.39. samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi ori
wvero fuZeze mdebareobs, danarCeni ori ki ferdebze. ipoveT
samkuTxedis simaRle, Tu samkuTxedis fuZis sigrZea 6,
xolo kvadratis gverdis sigrZea 2.
26.40. ABCD kvadratis gareT aRebulia N wertili ise,
rom BCN tolgverda samkuTxedia. ipoveT DNC samkuTxe-
dis farTobi, Tu AB = 8 .
26.41. ABCD kvadratis gverdia 6. AD gverdis Suawertilia
N . AC da BN monakveTebi M wertilSi ikveTebian.
ipoveT ABM samkuTxedis farTobi.
187

26.42. M da N wertilebi aris ABCD kvadratis AB da
AD gverdebis Suawertilebi. ipoveT AMCN oTxkuTxedis
farTobi, Tu kvadratis farTobia 12.
26.43. ABCD kvadratis AB da AD gverdebze Sesabamisad
aRebulia M da N wertilebi ise, rom AM : MB = AN : ND = 2 : 3 .
kvadratis farTobis ra nawils Seadgens AMCN oTxkuTxedis
farTobi?
26.44. kvadratis diagonalebi dayofilia sam tol nawilad.
dayofis wertilebi SeerTebulia mimdevrobiT. ipoveT
miRebuli figuris perimetri, Tu kvadratis gverdia 9.
26.45. marTkuTxedis wverodan mis diagonalze daSvebuli
perpendikulari am diagonals yofs SefardebiT 1:3. ipoveT
diagonalis sigrZe, Tu marTkuTxedis mcire gverdis sigrZea
8.
26.46. marTkuTxedis perimetria 10, xolo misi farTobi 6.
ipoveT gverdebis sigrZe.
26.47. samkuTxedSi Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi
didi gverdi fuZeze mdebareobs, ori wvero ki ferdebzea
moTavsebuli. marTkuTxedis gverdebis Sefardebaa 2:3. ipoveT
marTkuTxedis didi gverdis sigrZe, Tu samkuTxedis
simaRlea 4, fuZe ki 6.
26.48. samkuTxedSi Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi
mcire gverdi fuZeze mdebareobs, ori wvero ki ferdebzea
moTavsebuli. marTkuTxedis gverdebis Sefardebaa 2:3. ipoveT
marTkuTxedis mcire gverdis sigrZe, Tu samkuTxedis
simaRlea 6, fuZe ki 4.
26.49. marTkuTxedis ori wverodan diagonalze daSvebuli
perpendikularebi am diagonals yofs sam tol monakve-
Tad. marTkuTxedis mcire gverdis sigrZea 3 2 . ipoveT didi
gverdi.
26.50. marTkuTxedis ori wverodan diagonalze daSvebuli
perpendikularebi am diagonals yofs sam monakveTad,
romelTa sigrZeebis Sefardebaa 1:2:1. ipoveT didi gverdis
sigrZe, Tu mcire gverdis sigrZea 3 .
26.51. marTkuTxedis sigrZe 2-jer metia siganeze. marTku-
Txedis wveroebidan gavlebulia biseqtrisebi. biseqtrisebis
gadakveTis wertilebiT miRebuli figuris farTobia 8.
ipoveT marTkuTxedis farTobi.
26.52. ABCD marTkuTxedis M Siga wertilidan A , B da
C wertilebamde manZilebia Sesabamisad 5, 2 da 10. ipoveT
188

MD monakveTis sigrZe.
26.53. ABCD marTkuTxedis AB gverdis sigrZea 5, BC
gverdis ki 3. E wertili am marTkuTxedis CD gverdze
mdebareobs, xolo AF monakveTi A wverodan BE monakve-
Tze daSvebuli marTobia. risi tolia ADEF oTxkuTxedis
farTobi, Tu AFB da ECB marTkuTxa samkuTxedebi erTmaneTis
tolia?
26.54. marTkuTxedis gverdebia 2 da 4. ipoveT oTxive ku-
Txis biseqtrisebiT miRebuli figuris farTobi.
26.55. marTkuTxedis gverdebia 2 da 6. ipoveT oTxive ku-
Txis biseqtrisebiT miRebuli figuris farTobi.
26.56. M aris ABCD kvadratis BC gverdis Sua wertili,
xolo N warmoadgens AM monakveTisa da BD diagonalis
gadakveTis wertils. ipoveT ABN samkuTxedisa da ABCD
kvadratis farTobebis Sefardeba.
26.57. M aris ABCD marTkuTxedis BC gverdis Sua
wertili, xolo N warmoadgens AM monakveTisa da BD
diagonalis gadakveTis wertils. ipoveT ABN samkuTxedis
farTobi, Tu AB=2 sm da BC=3 sm.
26.58. ABCD marTkuTxedis AD gverdze aRebulia M
wertili ise, rom AM=3 sm da MD=2 sm. BM monakveTze
daSvebulia CN marTobi. gamoTvaleT CDMN oTxkuTxedis
farTobi, Tu marTkuTxedis AB gverdi 4 sm-ia.
26.59. ABCD kvadratis gverdi 8 sm-ia. AB da BC
gverdebze aRebulia Sesabamisad M da N wertilebi ise,
rom ∠MND=90° da DN=10 sm. ipoveT AMND oTxkuTxedis
farTobi.
26.60. ABCD kvadratis gverdis sigrZe 4 sm-ia. M, N, K da
L wertilebi Sesabamisad AB, BC, CD da AD gverdebis Sua
wertilebia, xolo E aris MN monakveTis Sua wertili.
ipoveT LEK samkuTxedis farTobi.
26.61. M, N, K da L wertilebi Sesabamisad arian ABCD
marTkuTxedis AB, BC, CD da AD gverdebis Sua wertilebi.
T aris KL monakveTis Sua wertili. ABCD marTkuTxedis
farTobis ra nawils Seadgens MNT samkuTxedis farTobi?
26.62. samkuTxedSi, romlis fuZis sigrZea a sm da
simaRlea h sm, Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi ori
wvero samkuTxedis fuZeze mdebareobs, xolo danarCeni
ori wvero samkuTxedis ferdebze. ipoveT am tipis
marTkuTxedebis farTobebs Soris udidesi.
189

26.63. samkuTxedSi, romlis fuZesTan mdebare kuTxeebia
60° da 45°, Caxazulia marTkuTxedi ise, rom misi ori wvero
samkuTxedis fuZeze mdebareobs, xolo danarCeni ori
wvero _ samkuTxedis ferdebze. ipoveT am tipis marTkuTxedebs
Soris udidesi farTobis mqone marTkuTxedis gverdebis
Sefardeba.
26.64. ABC marTkuTxa samkuTxedis AB hipotenuzaze agebulia
kvadrati ABMN (kvadrati ar faravs samkuTxeds).
ipoveT ACBMN tipis mravalkuTxedis farTobTa Soris umciresi,
Tu AC+BC=6.
!
%38/!qbsbmfmphsbnj
27.1. paralelogramis ori kuTxis sxvaobaa 60 o . ipoveT
paralelogramis blagvi kuTxe.
A. 100 o B. 120 o C. 150 o D. 160 o
27.2. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxe, Tu is 5-jer
naklebia paralelogramis blagv kuTxeze.
A. 30 o B. 50 o C. 60 o D. 62 o
27.3. paralelogramis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 3:7. ipoveT paralelogramis blagvi kuTxe.
A. 26 o B. 154 o C. 126 o D. 92 o
27.4. ABCD paralelogramis BD diagonali CD gverd-
Tan adgens 68 o -is tol kuTxes. ipoveT ∠ ADB , Tu
o
∠ABC = 114 .
A. 32 o B. 14 o C. 22 o D. 46 o
27.5. ABCD paralelogramis AC diagonali DC gverdTan adgens
40 o o
-is tol kuTxes. ipoveT ∠ CAD , Tu ∠ABC = 110 .
A. 50 o B. 20 o C. 40 o D. 30 o
27.6. paralelogramis maxvili kuTxis wverodan gavlebul
simaRleebs Soris kuTxe udris 112 o -s. ipoveT paralelogramis
maxvili kuTxe.
A. 68 o B. 78 o C. 52 o D. 75 o
27.7. paralelogramis ori kuTxe ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 1:4. ipoveT kuTxe paralelogramis maxvili
kuTxis wverodan gavlebul simaRleebs Soris.
A. 36 o B. 72 o C. 108 o D. 144 o
190

27.8. ABCD paralelogramis B blagvi kuTxis wverodan
gavlebuli BM simaRle AB gverdTan adgens 20 o -ian kuTxes.
ipoveT kuTxe amave wverodan gavlebul meore simaRlesa
da BC gverds Soris.
A. 50 o B. 60 o C. 20 o D. 80 o
27.9. paralelogramis ori kuTxe ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:3. ipoveT kuTxe paralelogramis blagvi
kuTxis wverodan gavlebul simaRleebs Soris.
A. 36 o B. 72 o C. 108 o D. 80 o
27.10. ABCD paralelogramSi B wverodan AD gverdze
daSvebuli simaRle am gverds Suaze yofs. ipoveT paralelogramis
perimetri, Tu BD=5 da AD=7.
A. 20 B. 24 C. 28 D. 30
27.11. ABCD paralelogramSi B wverodan AD gverdze daSvebuli
marTobi am gverds Suaze yofs. ipoveT AD gverdi,
Tu BD=10, xolo paralelogramis perimetri 52-is tolia.
A. 10 B. 20 C. 25 D. 16
27.12. paralelogramSi blagvi kuTxe udris 120 o -s. paralelogramis
blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle
mopirdapire gverds Suaze yofs. ipoveT paralelogramis
mcire gverdi, Tu perimetri 32-is tolia.
A. 2 B. 16 C. 4 D. 8
27.13. paralelogramis maxvili kuTxea 60 o . paralelogramis
blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle paralelogramis
gverds Suaze yofs. ipoveT paralelogramis
mcire diagonali, Tu perimetri 60-is tolia.
A. 10 B. 20 C. 15 D. 5
27.14. ABCD paralelogramSi B blagvi kuTxis wverodan
gavlebuli simaRle AD gverds Suaze yofs. ipoveT parale-
o
logramis perimetri, Tu BD=5 da ∠ADB = 60 .
A. 20 B. 10 C. 5 D. 15
27.15. paralelogramis blagvi kuTxis biseqtrisa mopirdapire
gverds yofs SefardebiT 2:1, maxvili kuTxis wveros
mxridan. ipoveT paralelogramis mcire gverdi, Tu misi
perimetria 50.
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
27.16. paralelogramis blagvi kuTxis biseqtrisa mopirdapire
gverds yofs SefardebiT 3:2, maxvili kuTxis wveros
mxridan. ipoveT paralelogramis perimetri, Tu para-
191

lelogramis mcire gverdi 15-is tolia.
A. 80 B. 70 C. 100 D. 60
27.17. paralelogramis erTi kuTxe 3-jer metia meoreze.
blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle mopirdapire
gverds maxvili kuTxis wveros mxridan CamoWris 4-is tol
monakveTs. ipoveT paralelogramis simaRle.
A. 2 B. 8 C. 4 D. 1
27.18. ABCD paralelogramSi gavlebulia C kuTxis biseqtrisa,
romelic AD gverds E wertilSi gadakveTs. ipoveT
AE, Tu AB=3, BC=8.
A. 8 B. 3 C. 5 D. 2
27.19. paralelogramis gverdebia 10 da 4. mis did gverd-
Tan mdebare kuTxeebis biseqtrisebi mopirdapire gverds
yofen sam nawilad. ipoveT am nawilebiadan umciresi.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
27.20. paralelogramis gverdebia 15 sm da 8 sm. mis did
gverdTan mdebare kuTxeebis biseqtrisebi mopirdapire gverds
yofen sam nawilad. ipoveT am nawilebidan umciresi.
A. 7 B. 1 C. 0,5 D. 5
27.21. ABCD paralelogramSi diagonalebis gadakveTis wertilze
gavlebulia wrfe, romelic AB da CD gverdebze
CamoWris monakveTebs: AE=2, DK=7. ipoveT AB.
A. 2 B. 5 C. 3 D. 9
27.22. paralelogramis diagonalebia 6 da 2 2 , xolo
maT Soris mdebare kuTxea 45 o . ipoveT paralelogramis farTobi.
A. 6 B. 3 2 C. 4 D. 9
27.23. paralelogramis farTobia 9. ipoveT misi toldidi
kvadratis gverdis sigrZe.
A. 3 B. 2 C. 5 D. 4
27.24. paralelogramsa da marTkuTxeds Sesabamisad toli
gverdebi aqvT. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxe,
Tu misi farTobi marTkuTxedis farTobis naxevaria.
A. 30 o B. 45 o C. 90 o D. 60 o
27.25. paralelogramSi gverdisadmi gavlebuli simaRle
oTxjer naklebia am gverdze. ipoveT es gverdi, Tu paralelogramis
farTobia 64.
A. 4 B. 16 C. 20 D. 24
27.26. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu misi gverde-
bia 3 da 2 3 , xolo maT Soris kuTxea 60 o .
192

A. 3 B. 8 C. 6 D. 9
27.27. paralelogramis farTobia 18, xolo misi gverdebia
4 da 9. ipoveT paralelogramis maxvili kuTxis gradusuli
zoma.
A. 15 o B. 90 o C. 30 o D. 60 o
27.28. paralelogramis gverdebia 10 da 6. manZili did
gverdebs Soris aris 3. ipoveT manZili mcire gverdebs Soris.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 5
27.29. ABCD paralelogramis BC gverdze aRebulia M
wertili. paralelogramis farTobis ra nawils Seadgens
AMD samkuTxedis farTobi.
1 2 1 1
A. B. C. D.
3
3
4
2
27.30. paralelogramSi simaRleebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:3. ipoveT paralelogramis mcire gverdi,
Tu misi didi gverdia 9.
A. 4 B. 6 C. 2 D. 8
27.31. paralelogramis gverdebis Suawertilebi SeerTebulia
mimdevrobiT. ipoveT miRebuli oTxkuTxedis farTobi,
Tu paralelogramis farTobia 64.
A. 8 B. 32 C. 16 D. 48
27.32. paralelogramis gverdebis Suawertilebi SeerTebulia
mimdevrobiT. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu
miRebuli oTxkuTxedis farTobia 8.
A. 8 B. 32 C. 16 D. 20
27.33. paralelogramis gverdebia 5 da 10. ipoveT paralelogramis
Siga kuTxeebis biseqtrisebis gadakveTiT miRebuli
oTxkuTxedis diagonali.
A. 1 B. 5 C. 6 D. 4
27.34. tolferda samkuTxedis ferdia 10. am samkuTxedis
fuZeze mdebare wertilidan gavlebulia gverdebis paraleluri
ori wrfe. ipoveT miRebuli paralelogramis perimetri.
A. 15 B. 20 C. 22 D. 25
27.35. tolferda samkuTxedis fuZeze mdebare wertilidan
gavlebulia ferdebis paraleluri wrfeebi. miRebuli
paralelogramis perimetria 50. ipoveT samkuTxedis ferdi.
A. 25 B. 20 C. 22 D. 27
27.36. paralelogramis kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:3. ipoveT kuTxe paralelogramis blagvi
193

kuTxis wverodan gavlebul simaRlesa da biseqtrisas Soris.
A. 30º B. 32º C. 36º D. 38º
27.37. paralelogramis erTi kuTxe 3-jer metia meoreze.
ipoveT blagvi kuTxis wverodan gavlebuli simaRle, Tu
paralelogramis mcire gverdi 3 2 -is tolia.
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3
27.38. paralelogramis erTi kuTxe 2-jer metia meoreze.
ipoveT paralelogramis mcire gverdi, Tu blagvi kuTxis
wverodan gavlebuli simaRle 5 3 -is tolia.
A. 10 B. 8 C. 12 D. 14
27.39. ABCD paralelogramis perimetria 20. ipoveT BD diagonali,
Tu ABD samkuTxedis perimetria 15.
A. 3 B. 6 C. 5 D. 7
27.40. ABCD paralelogramis perimetria 40. ipoveT AC
diagonali, Tu ACD samkuTxedis perimetria 30.
A. 8 B. 10 C. 6 D. 12
27.41. paralelogramis perimetri 36-ia. misi TiToeuli
diagonali dayofilia sam tol monakveTad. ipoveT im oTxkuTxedis
perimetri, romlis wveroebi dayofis wertilebia.
A. 6 B. 10 C. 12 D. 8
27.42. paralelogramis TiToeuli diagonali dayofilia
sam tol monakveTad. im oTxkuTxedis perimetri, romlis
wveroebi dayofis wertilebia, 30-is tolia. ipoveT mocemuli
paralelogramis perimetri.
A. 85 B. 90 C. 80 D. 95
27.43. ABCD paralelogramSi AB=420. BC gverdze aRebulia
E wertili ise, rom BE:EC=5:7. gavlebulia DE wrfe, romelic
AB-s gagrZelebas F wertilSi kveTs. ipoveT BF.
27.44. paralelogramis diagonali gverdis marTobulia
da meore gverdTan adgens 30 o -ian kuTxes. ipoveT paralelogramis
mcire gverdi, Tu paralelogramis perimetria
60.
27.45. paralelogramis perimetria 180, maxvili kuTxe 60 o .
paralelogramis diagonali blagv kuTxes yofs SefardebiT
1:3. ipoveT paralelogramis didi gverdi.
27.46. paralelogramis gverdebia 23 da 11, diagonalebi
194

ki ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT paralelogramis
mcire diagonali.
27.47. paralelogramis diagonalebia 17 da 19, gverdebi ki
ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT paralelogramis
mcire gverdi.
27.48. paralelogramis diagonalebia 12 da 14, gverdebis
sxvaoba ki 4-ia. ipoveT paralelogramis didi gverdi.
27.49. paralelogramis mcire gverdi 2-jer naklebia mcire
diagonalsa da did gverdze. ipoveT paralelogramis
mcire gverdi, Tu misi didi diagonali 12-is tolia.
27.50. paralelogramis gverdebis sigrZeebia 23 da 4 2 .
erT-erTi diagonali misi gverdis marTobulia. ipoveT didi
diagonalis sigrZe.
27.51. paralelogramis erTi gverdia 51, diagonalebi ki
40 da 74. ipoveT paralelogramis mocemul gverdze daSvebuli
simaRle.
27.52. paralelogramis gverdebia 2 da 3, xolo maT Soris
mdebare kuTxea 60 o . ipoveT paralelogramis blagvi
kuTxis wverodan didi gvedisadmi gavlebuli simaRle.
27.53. paralelogramis blagvi kuTxis wverodan gavle-
buli simaRleebia 3 da 4, xolo maT Soris kuTxea 30
195
o .
ipoveT paralelogramis mcire diagonali.
27.54. paralelogramis perimetri 30 sm-ia, xolo maxvili
kuTxe 60°. paralelogramis blagvi kuTxe diagonaliT iyofa
1:3 SefardebiT. gamoTvaleT paralelogramis farTobi.
27.55. paralelogramis erTi wverodan gavlebuli simaRleebi
ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 4:9. ipoveT paralelogramis
perimetri, Tu misi umciresi gverdia 8.
27.56. paralelogramis perimetria 80, xolo simaRleebia
3 da 5. ipoveT paralelogramis farTobi.
27.57. paralelogramis perimetria 70, xolo simaRleebia
2 da 5. ipoveT paralelogramis mcire gverdi.
27.58. paralelogramis perimetria 112, misi simaRleebi
ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:5. ipoveT paralelogramis
mcire gverdi.
27.59. paralelogramis perimetria 280. ipoveT misi didi
gverdi, Tu paralelogramis simaRleebia 10 da 60.
27.60. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 3:4, xolo Siga kuTxeebis biseqtrisebiT Sedgenili
oTxkuTxedis erT-erTi diagonali udris 5. ipoveT

paralelogramis mcire gverdi.
27.61. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs
rogorc 1:2, xolo Siga kuTxeebis biseqtrisebiT Sedgenili
oTxkuTxedis erT-erTi diagonali udris 5. ipoveT
paralelogramis gverdebi.
27.62. paralelogramis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 2:7. paralelogramis Siga kuTxeebis biseqtrisebiT
Sedgenili oTxkuTxedis erT-erTi diagonalia 10.
ipoveT paralelogramis gverdebi.
27.63. ABCD paralelogramis BC gverdze aRebuli M
wertilidan AB da CD gverdebis Semcvel wrfeebamde man-
Zilebia 1 da 3. ipoveT paralelogramis farTobi, Tu
AB = 4 .
27.64. M wertili moTavsebulia ABCD paralelogramis
AC diagonalze ise, rom AM : MC = 2 : 1.
BM wrfe DC gve-
CN
rds kveTs N wertilSi. ipoveT .
ND
27.65. ABCD paralelogramis AC diagonali P da Q
wertilebiT gayofilia sam tol nawilad. daadgineT ra
SefardebiT gayofs BQ da DP wrfeebi mocemuli
paralelogramis farTobs.
27.66. ABCD paralelogramis AC diagonali M , N da
L wertilebiT gayofilia oTx tol nawilad. ra SefardebiT
yofs paralelogramis gverds BM wrfe? ( A wveros
mxridan)
27.67. ABCD paralelogramis AD gverdze aRebulia E
wertili ise, rom AE : ED = 2 : 3 . ras udris BCDE oTxkuTxedis
farTobi, Tu ABCD paralelogramis farTobia 50.
27.68. ABCD paralelogramis BC gverdis M Suawertilze
da A wveroze gavlebuli wrfe BD diagonals gadakveTs
O wertilSi. ipoveT OMCD oTxkuTxedis farTobi,
Tu ABCD paralelogramis farTobia 12.
27.69. ABCD marTkuTxedis AB da CD gverdebze Sesabamisad
aRebulia M da N wertilebi ise, rom
AM : MB = CN : ND = 3 : 1.
M wertili SeerTebulia D da C
wveroebTan, xolo N ki A da B wveroebTan. ipoveT marTkuTxedis
SigniT miRebuli paralelogramis farTobis Sefardeba
mocemuli marTkuTxedis farTobTan.
27.70. ABCD paralelogramis AB da CD gverdebze aRebulia
Sesabamisad M da N wertilebi ise, rom
AM : MB = CN : ND = 4 : 1 . ipoveT MD , MC , NA da NB monak-
196

veTebiT miRebuli paralelogramis farTobi, Tu mocemuli
paralelogramis farTobia 50.
27.71. ABCD paralelogramSi P , Q,
R da N wertilebi
warmoadgenen Sesabamisad AB , BC , CD da DA gverdebis
Suawertilebs. ipoveT AQ , BR , CN da DP wrfeebiT Sedgenili
figuris farTobi, Tu paralelogramis farTobia
30.
!
$28. rombi
28.1. rombis diagonalis mier mis gverdTan Sedgenili
kuTxe 72 o -is tolia. ipoveT rombis maxvili kuTxe.
A. 18 o B. 36 o C. 30 o D. 72 o
28.2. rombis diagonalebis mier mis erT gverdTan Sedgenili
kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT
rombis maxvili kuTxe.
A. 30 o B. 36 o C. 80 o D. 72 o
28.3. rombis gverdi mis diagonalebTan Seadgens kuTxeebs,
romelTa sxvaoba udris 20 o -s. ipoveT rombis blagvi
kuTxe.
A. 110 o B. 130 o C. 108 o D. 142 o
28.4. ipoveT rombis blagvi kuTxe, Tu misi erTi diagonali
udris rombis gverds.
A. 140 o B. 120 o C. 100 o D. 150 o
28.5. ipoveT rombis blagvi kuTxe, Tu rombis gverdi orjer
metia mis simaRleze.
A. 100 o B. 140 o C. 120 o D. 150 o
28.6. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen
50 o -ian kuTxes. ipoveT rombis blagvi kuTxe.
A. 110 o B. 120 o C. 130 o D. 150 o
28.7. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen
150 o -is tol kuTxes. ipoveT rombis maxvili kuTxe.
A. 50 B. 30 C. 20 D. 120
28.8. ipoveT rombis perimetri, Tu misi simaRlea 2, xolo
blagvi kuTxe xuTjer metia maxvil kuTxeze.
A. 4 B. 16 C. 8 D. 20
197

28.9. ipoveT rombis farTobi, Tu misi kuTxeebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 1:5, xolo gverdia 6.
A. 18 B. 18 3 C. 36 D. 36 3
28.10. rombis farTobia 25. ipoveT misi toldidi kvadratis
gverdi.
A. 10 B. 5 C. 5 D. 10
30.11. ipoveT rombis farTobi, Tu misi gverdia 10, xolo
erT-erTi diagonalia 12.
A. 48 B. 96 C. 192 D. 104
30.12. ipoveT rombis farTobi, Tu misi diagonalebia 18 da 8.
A. 144 B. 36 C. 84 D. 72
30.13. ipoveT rombis gverdi, Tu misi diagonalebia 8 da 6.
A. 6 B. 3 C. 5 D. 10
28.14. rombis farTobi ricxobrivad oTxjer metia rombis
simaRleze. ipoveT rombis gverdi.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
28.15. rombis diagonalebis namravli 6-jer metia rombis
gverdze. ipoveT rombis simaRle.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
28.16. rombs da kvadrats toli gverdebi aqvT. ipoveT
rombis maxvili kuTxis sidide, Tu rombis farTobi 2-jer
naklebia kvadratis farTobze.
A. 20 o B. 30 o C. 40 o D. 50 o
28.17. rombis wverodan gavlebuli simaRlis mier gverdTan
Sedgenili kuTxe 2-jer naklebia rombis maxvil kuTxeze.
ipoveT rombis gverdi, Tu misi simaRlea 10 3 .
A. 18 B. 20 C. 24 D. 26
28.18. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen
135 o -ian kuTxes. ipoveT rombis simaRle, Tu gverdi udris
5 2 -s.
A. 5 B. 3 C. 6 D. 4
28.19. rombis wverodan gavlebuli simaRleebi adgenen
120
198
o -ian kuTxes. ipoveT rombis gverdi, Tu simaRlea 10 3 .
A. 15 B. 10 C. 20 D. 25
28.20. rombis perimetria 24, simaRle ki 3. ipoveT rombis
blagvi kuTxe.
A. 120 o B. 110 o C. 140 o D. 150 o
28.21. ABCD rombSi maxvili kuTxe ∠A=30°. AB gverdze
aRebulia M wertili ise, rom MD=BD. ipoveT ∠MDB.

A. 90° B. 60° C. 30° D. 45°
28.22. mocemulia ABCD oTxkuTxedi da oTxi winadadeba:
1) ABCD oTxkuTxedis diagonalebi tolia;
2) ABCD oTxkuTxedis mopirdapire kuTxeebi tolia;
3) ABCD oTxkuTxedis diagonalebi marTi kuTxiT ikveTeba;
4) ABCD oTxkuTxedi rombia
am winadadebebidan romeli ori ar SeiZleba erTdroulad
iyos WeSmariti?
A. 1) da 2) B. 1) da 3) C. 1) da 4) D. 2) da 3)
28.23. rombis erTi wverodan gavlebuli simaRle da mcire
diagonali erTmaneTTan adgenen 15 o -ian kuTxes. ipoveT
rombis simaRle, Tu misi perimetria 40.
28.24. rombis erTi wverodan gavlebuli simaRle da mcire
diagonali erTmaneTTan adgenen 30 o -ian kuTxes. ipoveT
rombis gverdi, Tu misi simaRlea 5 3 .
28.25. rombis simaRleebs Soris kuTxe 135 o -ia. ipoveT
rombis farTobi, Tu rombis gverdia 6 4 2 .
28.26. ipoveT rombis mcire diagonali, Tu diagonalebi
ise Seefardebian erTmaneTs, rogorc 3:4, perimetri ki udris
100-s.
28.27. ipoveT rombis simaRle, Tu misi diagonalebia 16
da 12.
28.28. ipoveT rombis gverdi, Tu misi diagonalebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 1:2, rombis farTobi ki 16-is
tolia.
28.29. ipoveT rombis farTobi, Tu misi diagonalebi ise
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 3:4, rombis gverdi ki 10-is
tolia.
28.30. ipoveT rombis gverdi, Tu misi farTobia 96, xolo
erT-erTi diagonalia 12.
28.31. ipoveT rombis maxvili kuTxe, Tu misi farTobia
32 3 , xolo erT-erTi diagonalia 8 3 .
28.32. ipoveT rombis farTobi, Tu misi simaRlea 12, mcire
diagonali ki 4 13 .
28.33. rombis diagonalebia 20 da 44. masSi Caxazulia oT-
199

xkuTxedi, romlis wveroebs rombis gverdebis Suawertilebi
warmoadgens. ipoveT oTxkuTxedis perimetri.
28.34. rombSi Caxazulia oTxkuTxedi, romlis wveroebi
rombis gverdebis Suawertilebia. ipoveT am oTxkuTxedis
gverdebis kvadratebis jami, Tu rombis gverdia 5 .
28.35. rombSi Caxazulia oTxkuTxedi, romlis wveroebs
rombis gverdebis Suawertilebi warmoadgens. ipoveT rombis
diagonalebis sigrZeebis jami, Tu Caxazuli oTxkuTxedis
perimetria 20.
o
28.36. ABCD rombSi ∠B = 120 . ipoveT blagvi kuTxis wverodan
gavlebul simaRleebs Soris moTavsebuli diagonalis
monakveTi, Tu AC=30.
o
28.37. ABCD rombSi ∠A = 60 . BM simaRlisa da AC diagonalis
gadakveTis wertiliT diagonali iyofa or nawilad.
ipoveT am nawilebidan umciresis sigrZe, Tu AC=18.
28.38. ABCD rombis B wverodan gavlebulia BM da BN
monakveTebi, romlebic Sesabamisad AD da DC gverdebs
Suaze yofs. am monakveTebis AC diagonalTan gadakveTis wertilebia
K da L. ipoveT KL monakveTis sigrZe, Tu AC=24.
28.39. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADEF rombi ise, rom A
maTi saerTo kuTxea da E wvero BC gverdzea. ipoveT rombis
gverdi, Tu AB=4 da AC=6.
28.40. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADKE rombi ise, rom A
maTi saerTo kuTxea da K wvero BC gverdzea. ipoveT AB, Tu
AD=3 da AC=9.
28.41. ABC samkuTxedSi Caxazulia ADEF rombi ise, rom A
maTi saerTo kuTxea da E wvero BC gverdze Zevs. rombis
gverdis sigrZea 32. ipoveT AC, Tu AB=48.
28.42. marTkuTxa samkuTxedSi, romlis kaTetia 9, xolo
masTan mdebare maxvili kuTxea 60 o , Caxazulia rombi ise,
rom 60 o -iani kuTxe maT saerTo aqvT. ipoveT rombis gverdi.
28.43. marTkuTxa samkuTxedSi, romlis maxvili kuTxea
60 o , Caxazulia rombi 2-is toli gverdiT ise, rom 60 o -iani
kuTxe maT saerTo aqvT. ipoveT samkuTxedis umciresi ka-
Teti.
28.44. rombis wveroze gavlebuli wrfe rombis ori gverdis
gagrZelebas CamoWris 9 da 4-is tol monakveTebs. ipoveT
rombis gverdi.
200

28.45. ABCD rombis C wveroze gavlebuli wrfe AD gverdis
gagrZelebas CamoWris 4-is tol monakveTs. ipoveT AB
gverdis gagrZelebaze CamoWrili monakveTis sigrZe, Tu
AB=3.
28.46. rombi, romlis simaRlea 4 3 , diagonaliT gayofilia
or tolgverda samkuTxedad. ipoveT rombis gverdi.
28.47. rombi, romlis didi diagonalia 6 3 , mcire diagonaliT
gayofilia or tolgverda samkuTxedad. ipoveT
rombis gverdi.
28.48. rombis diagonalebis jami 34-ia. ipoveT rombis farTobi,
Tu rombis perimetri 52-is tolia.
28.49. rombis farTobia 24, xolo diagonalebis jami 14.
ipoveT rombis perimetri.
%3:/!usbqfdjb!
29.1. trapeciis ori kuTxea 58 o da 72 o . ipoveT trapeciis
udidesi kuTxe.
A. 124 o B. 122 o C. 120 o D. 126 o
29.2. ras udris tolferda trapeciis maxvili kuTxe, Tu
cnobilia, rom mopirdapire kuTxeebis sxvaoba 40 o .
A. 60 o B. 70 o C. 80 o D. 50 o
29.3. tolferda trapeciis mcire fuZe ferdis tolia,
diagonali ki ferdis marTobulia. ipoveT trapeciis blagvi
kuTxis sidide.
A. 150 o B. 130 o C. 120 o D. 110 o
29.4. ABCD trapeciis AC diagonali CD ferdis marTobulia,
xolo AB ferdi BC fuZis tolia. ipoveT
o
∠D = 40 .
∠ B , Tu
A. 80 o B. 70 o C. 60 o D. 50 o
29.5. tolferda trapeciis didi fuZea 27, ferdi 10, xolo
maxvili kuTxe 60 o . ipoveT mcire fuZis sigrZe.
A. 15 B. 13 C. 17 D. 10
29.6. tolferda trapeciis fuZeebia 5 da 9, xolo maxvili
kuTxe 60 o . ipoveT trapeciis perimetri.
A. 20 B. 22 C. 24 D. 18
201

29.7. tolferda trapeciis ferdi 24-is tolia. fuZeebis
jamia 44, xolo maxvili kuTxe 60 o . ipoveT didi fuZis sigrZe.
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
29.8. tolferda trapeciis blagvi kuTxis wverodan gavlebuli
simaRle did fuZes yofs 16-is da 36-is tol monakveTebad.
ipoveT trapeciis mcire fuZe.
A. 15 B. 20 C. 30 D. 25
29.9. marTkuTxa trapeciis fuZeebia 5 da 8; xolo didi
ferdia 5. ipoveT mcire ferdis sigrZe.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
29.10. marTkuTxa trapeciis ferdebia 4 da 5; xolo mcire
fuZe 5. ipoveT didi fuZis sigrZe.
A. 9 B. 10 C. 8 D. 11
29.11. marTkuTxa trapeciis ferdebia 8 da 10, xolo didi
fuZea 16. ipoveT mcire fuZis sigrZe.
A. 8 B. 6 C. 4 D. 10
29.12. mocemuli wrfis erT mxares aRebulia ori A da B
wertili, romlebic am wrfidan 10 da 4-iT arian daSorebuli.
ipoveT manZili AB monakveTis Suawertilidan am wrfemde.
A. 5 B. 8 C. 7 D. 6
29.13. mocemuli wrfis sxvadasxva mxares aRebulia ori
A da B wertili, romlebic am wrfidan 12 da 4-iT arian da-
Sorebuli. ipoveT manZili AB monakveTis Suawertilidan
mocemul wrfemde.
A. 3 B. 7 C. 6 D. 4
29.14. trapeciis erTi fuZe meoreze 4-iT metia. ipoveT
mcire fuZis sigrZe, Tu Suaxazi 7-is tolia.
A. 5 B. 6 C. 4 D. 3
29.15. trapeciis ferdi gayofilia 4 tol nawilad da dayofis
wertilebze gavlebulia trapeciis fuZeebis paraleluri
wrfeebi. ipoveT trapeciis ferdebs Soris moTavsebuli
paraleluri wrfeebis monakveTebis sigrZeebidan
udidesi, Tu fuZeebia 15 da 23.
A. 19 B. 20 C. 21 D. 18
29.16. trapeciis ferdi sam tol nawiladaa dayofili da
dayofis wertilebze gavlebulia fuZeebis paraleluri
wrfeebi. ipoveT trapeciis ferdebs Soris moTavsebuli paraleluri
wrfeebis monakveTebis sigrZeebidan umciresi,
Tu fuZeebia 50 da 20.
202

A. 30 B. 40 C. 25 D. 35
29.17. tolferda trapeciis diagonali maxvil kuTxes
Suaze yofs. trapeciis perimetria 9, xolo didi fuZea 3.
ipoveT mcire fuZe.
A. 0,5 B. 1 C. 2 D. 2,5
29.18. marTkuTxa trapeciaSi maxvili kuTxe 45 o -ia, Suaxazi
9, xolo fuZeebis sigrZeTa fardobaa 2:7. ipoveT trapeciis
mcire ferdi.
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
29.19. ABCD marTkuTxa trapeciis mcire fuZe BC = 4 , xolo
mcire ferdi AB = 6 . ipoveT BCD samkuTxedis farTobi.
A. 12 B. 24 C. 10 D. 8
29.20. tolferda trapeciis diagonali udris 13, xolo
simaRle 5. ipoveT trapeciis Suaxazis sigrZe.
A. 10 B. 12 C. 13 D. 14
29.21. tolferda trapeciis ferdia 5, simaRle 4, xolo
Suaxazi 9. ipoveT didi fuZis sigrZe.
A. 10 B. 12 C. 9 D. 11
29.22. trapeciis fuZeebia 2 da 8, xolo misi farTobia 20.
ipoveT trapeciis simaRlis sigrZe.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
29.23. trapeciis fuZea 8, simaRle 3, xolo farTobia 18.
ipoveT trapeciis meore fuZis sigrZe.
A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
29.24. tolferda trapeciis fuZeebia 6 da 14, xolo ferdi
tolia 5-is. ipoveT trapeciis farTobi.
A. 60 B. 50 C. 30 D. 35
29.25. tolferda trapeciis fuZeebia 2 da 8. ferdi fuZes-
Tan adgens 45 o -ian kuTxes. ipoveT trapeciis farTobi.
A. 10 B. 15 C. 18 D. 12
29.26. tolferda trapeciis fuZeebia 4 da 10. ferdi fuZesTan
adgens 30 o -ian kuTxes. ipoveT trapeciis farTobi.
A. 4 3 B. 5 3 C. 6 3 D. 7 3
29.27. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTobulia.
ipoveT trapeciis farTobi, Tu simaRlea 2.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
29.28. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTobulia.
ipoveT trapeciis farTobi, Tu Suaxazis sigrZea 3.
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15
29.29. trapeciis fuZeebia 17 da 13. ipoveT diagonalebis
203

Suawertilebis SemaerTebeli monakveTis sigrZe.
A. 3 B. 2 C. 5 D. 4
29.30. trapeciis Suaxazi diagonaliT iyofa or monakve-
Tad, romelTa fardobaa 3:8. ipoveT trapeciis mcire fuZe,
Tu Suaxazis monakveTebis sxvaobaa 10.
A. 12 B. 10 C. 14 D. 8
29.31. tolferda trapeciis ferdi Suaxazis tolia. ipoveT
ferdis sigrZe, Tu trapeciis perimetria 24.
A. 10 B. 8 C. 12 D. 6
29.32. tolferda trapeciis diagonaliT miRebuli samku-
Txedebis perimetrebis sxvaoba 6-is tolia. trapeciis Suaxazi
12-ia. ipoveT trapeciis didi fuZe.
A. 10 B. 20 C. 15 D. 25
29.33. tolferda trapeciaSi maxvili kuTxe 45 o -ia, simaRle
12, xolo Suaxazi 21. ipoveT trapeciis mcire fuZe.
A. 9 B. 7 C. 15 D. 13
29.34. trapeciis fuZeebi ise Seefardeba erTmaneTs rogorc
2:3. ipoveT didi fuZis sigrZe, Tu Suaxazi 10-is tolia.
A. 8 B. 6 C. 12 D. 10
29.35. ABCD marTkuTxa trapeciis fuZeebia BC=10 sm,
AD=16 sm da ∠A=∠B=90°. BC da AD fuZeebze Sesabamisad
aRebulia M da N wertilebi ise, rom MN monakveTi AB ferdis
paraleluria da is ABCD trapeciis farTobs Suaze
yofs. ipoveT BM monakveTis sigrZe.
A. 13 sm B. 8,5 sm C. 7 sm D. 6,5 sm
29.36. marTkuTxa trapeciis didi fuZea 8, xolo mcire
ferdi 4. ipoveT trapeciis mcire fuZe, Tu is didi ferdis
tolia.
29.37. marTkuTxa trapeciis mcire fuZe da didi ferdi
tolia da udris 5. ipoveT trapeciis mcire ferdi, Tu is
did fuZeze 2-jer naklebia.
29.38. marTkuTxa trapeciis didi fuZe da didi ferdi
tolia da udris 10-s. ipoveT trapeciis mcire fuZe, Tu is
2-jer naklebia mcire ferdze.
29.39. trapeciis mcire fuZe 4-is tolia. erT-erT wveroze
gavlebulia ferdis paraleluri wrfe. miRebuli samku-
Txedis perimetria 16. ipoveT trapeciis perimetri.
29.40. tolferda trapeciis diagonali maxvil kuTxes
204

Suaze yofs. trapeciis perimetria 22, xolo fuZeebis Sefardebaa
2:5. ipoveT Suaxazi.
29.41. tolferda trapeciis diagonali Suaze yofs trapeciis
blagv kuTxes. trapeciis perimetria 24, mcire fuZe
ki 3. ipoveT Suaxazis sigrZe.
29.42. trapeciis fuZeebis paraleluri wrfe trapeciis
ferds, mcire fuZis mxridan, yofs SefardebiT 3:7. ipoveT
ferdebs Soris moqceuli monakveTis sigrZe, Tu trapeciis
fuZeebia 2 da 5.
29.43. marTkuTxa trapeciaSi mcire diagonali udris daxril
ferds. ipoveT didi diagonalis sigrZe, Tu ferdebia
5 da 3.
29.44. marTkuTxa trapecia diagonaliT iyofa or samkuTxedad,
romelTagan erTi tolgverdaa 8-is toli gverdiT
da meore marTkuTxa. ipoveT marTkuTxa samkuTxedis far-
Tobi.
29.45. marTkuTxa trapecias diagonali or samkuTxedad
yofs, romelTagan erT-erTi tolgverdaa 4-is toli gverdiT.
ipoveT trapeciis farTobi.
29.46. mocemulia marTkuTxa trapecia a da b fuZeebiT. ra
manZiliTaa daSorebuli diagonalebis gadakveTis wertili
mcire ferdidan, Tu a = 2 , b = 3.
29.47. trapeciis fuZeebia 24 da 48. ipoveT trapeciis ferdebs
Soris moqceuli monakveTis sigrZe, romelic fuZeebis
paraleluria da gadis diagonalebis gadakveTis wertilze.
29.48. trapeciis diagonali misi fuZeebis perpendikularulia.
did fuZesTan mdebare blagvi kuTxea 120 o , xolo
masTan mimdebare ferdi 8. ipoveT Suaxazis sigrZe, Tu didi
fuZis sigrZea 12.
29.49. ABCD trapeciaSi BD mcire diagonali AD da BC
fuZeebis perpendikularulia. A da C maxvili kuTxeebis jamia
90 o . ipoveT BD, Tu AD=9 da BC=4.
29.50. trapeciis did fuZesTan mdebare kuTxeebia 60 o da
30 o . ipoveT trapeciis mcire ferdi, Tu trapeciis Suaxazia
8, xolo erT-erTi fuZea 6.
29.51. trapeciis fuZeebis sigrZeTa Sefardebaa 5:1, trapeciis
simaRlea 4. ipoveT trapeciis farTobi, Tu did fuZe-
sTan mdebare kuTxeebia 30 o da 60 o .
29.52. ABCD trapeciaSi (BC||AD) ∠ ABD = ∠BCD
. ipoveT AB,
205

Tu BC=1, DC=1,5 da BD=2.
29.53. ABCD trapeciaSi BC da AD fuZeebi Sesabamisad
tolia 2 da 8-is, xolo ∠ ABC = ∠ACD
. ipoveT AC diagonalis
sigrZe.
29.54. O aris ABCD trapeciis (BC||AD) diagonalebis gadakveTis
wertili. ipoveT OB , Tu AO = 6 , OC = 4 da BD = 13 .
29.55. ABCD trapeciis BC da AD fuZeebis sigrZeebi Sesabamisad
5 sm da 10 sm-ia. trapeciis BD diagonali fuZeebis
marTobulia. O diagonalebis gadakveTis wertilia.
ipoveT COD samkuTxedis farTobi, Tu BD=3 sm.
29.56. marTkuTxa trapeciis d diagonali ferdis marTobulia,
xolo maxvili kuTxe α -s tolia. ipoveT trapeciis
1
simaRle, Tu d=8 da cos α = .
8
29.57. marTkuTxa trapeciis d diagonali ferdis marTobulia,
xolo maxvili kuTxe α -s tolia. ipoveT trapeciis
2
mcire fuZe, Tu d=9 da sin α = .
3
29.58. tolferda trapeciis diagonalebi urTierTmarTobulia.
ipoveT trapeciis simaRlis sigrZe, Tu trapeciis
diagonalis sigrZea 6 2 .
29.59. tolferda trapeciis diagonali fuZesTan adgens
45 o -ian kuTxes. ipoveT Suaxazis sigrZe, Tu diagonalis sigrZea
3 2 .
29.60. ipoveT tolferda trapeciis farTobi, Tu misi diagonali
udris 8-s da did fuZesTan adgens 45 o -ian kuTxes.
29.61. tolferda trapeciis fuZeebia 3 da 27, xolo blagvi
kuTxe α . ipoveT trapeciis farTobi, Tu cosα = −0,
8 .
29.62. marTkuTxa trapeciaSi maxvili kuTxea 30 o . fuZeebis
jami udris 8, xolo ferdebis jami ki 6. ipoveT trapeciis
farTobi.
29.63. marTkuTxa trapeciis fuZeebia 3 da 5. ipoveT trapeciis
diagonalebis kvadratebis sxvaobis moduli.
29.64. tolferda trapeciis fuZeebis sigrZeTa namravli
aris 8. ipoveT trapeciis diagonalis sigrZe, Tu misi fer-
dis sigrZea 17 .
29.65. trapeciis fuZeTa Sefardebaa 1:2. am trapeciis diagonalebi
urTierTmarTobulia. ipoveT mcire fuZis sigrZe,
Tu trapeciis ferdebis sigrZeebia 3 da 4.
206

29.66. trapeciis farTobi misi diagonaliT iyofa SefardebiT
3:7. rogori SefardebiT iyofa is SuaxaziT?
29.67. trapeciis farTobi misi diagonaliT iyofa SefardebiT
3:7. trapeciis mcire fuZis bolodan gavlebulia ferdis
paraleluri wrfe. ipoveT miRebuli paralelogramis
da samkuTxedis farTobebis Sefardeba.
29.68. trapeciis fuZeebis paraleluri wrfe trapeciis
farTobs yofs SefardebiT 2:7 mcire fuZis mxridan. ipoveT
ferdebs Soris moqceuli am wrfis monakveTis sigrZe, Tu
trapeciis fuZeebia 2 da 5.
29.69. trapeciis fuZeebis sigrZeebia 3 da 41 . M da N
wertilebi mdebareoben ferdebze ise, rom MN fuZis paraleluria
da trapeciis farTobs Suaze yofs. ipoveT MN .
29.70. trapeciis diagonalebia 20 da 15, simaRlea 12. ipoveT
trapeciis farTobi.
29.71. tolferda trapeciis fuZeebis da ferdis Sefardebaa
10:4:5. misi farTobia 112. ipoveT trapeciis perimetri.
29.72. ABCD marTkuTxedis AC diagonali 20 sm-ia. B wertilidan
gavlebulia 12 sm sigrZis BK monakveTi, romelic
AC-s paraleluria. ipoveT BC gverdis sigrZe, Tu cnobilia,
rom ABKC tolferda trapeciaa.
29.73. ABCD tolferda trapeciaSi B da C kuTxeebis biseqtrisebi
ikveTebian M wertilSi. ipoveT BMC samkuTxedis
farTobi, Tu trapeciis fuZeebi BC = 4 da AD = 10 ,
xolo ferdi CD = 5 .
29.74. ABCD tolferda trapeciaSi B da C kuTxeebis biseqtrisebi
ikveTebian M wertilSi. ipoveT BMC samkuTxedis
farTobi, Tu trapeciis fuZeebi AD = 12 da BC = 6 ,
xolo ferdi CD = 5 .
29.75. ABCD marTkuTxa trapeciaSi A da D kuTxeebi marTia.
D da C kuTxeebis biseqtrisebi ikveTebian M wertilSi.
ipoveT AMD samkuTxedis farTobi, Tu trapeciis ferdebia
AD = 12 da BC = 15 , xolo mcire fuZea AB = 24 .
!
%41/!xsfxjsj/!xsf
30.1. wrewiris mocemuli wertilidan gavlebulia diametri
da qorda, romelic radiusis tolia. ipoveT kuTxe
maT Soris.
A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 90 o
207

30.2. wrewiris mocemuli wertilidan gavlebulia radiusis
toli ori qorda. ipoveT kuTxe maT Soris.
A. 30 o B. 60 o C. 90 o D. 120 o
30.3. sami wertiliT wrewiri gayofilia sam rkalad, romelTa
gradusuli zomebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc
7:11:6. ipoveT im samkuTxedis umciresi kuTxe, romlis
wveroebsac es wertilebi warmoadgenen.
A. 45 o B. 40 o C. 35 o D. 30 o
30.4. ipoveT wrewiris 200 o -iani rkalis boloebze gavlebuli
mxebebiT Sedgenili maxvili kuTxe.
A. 20 o B. 30 o C. 40 o D. 50 o
30.5. qorda wrewirs yofs SefardebiT 11:7. ipoveT am qordis
boloebze gavlebuli mxebebiT Seqmnili maxvili ku-
Txe.
A. 30 o B. 40 o C. 50 o D. 60 o
30.6. mocemulia ori koncentruli wrewiri. didi wrewiris
ori urTierTmarTobuli qordidan TiToeuli warmoadgens
mcire wrewiris mxebis monakveTs da gadakveTis wertiliT
iyofa 3-is da 7-is tol monakveTebad. ipoveT mcire
wrewiris radiusi.
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
30.7. mocemulia wrewiris ori urTierTmarTobuli qorda.
TiToeuli maTgani meoriT iyofa or monakveTad, romelTa
sigrZeebia 10 da 20. ipoveT manZili centridan TiToeul
qordamde.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
30.8. ori koncentruli wrewiriT Seqmnil rgolSi didi
wrewiris qorda exeba mcire wrewirs da udris 8-s. ipoveT
rgolis farTobi.
A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π
30.9. wrewiris qorda Wimavs 120 o -ian rkals. ipoveT manZili
wrewiris centridan qordamde, Tu radiusis sigrZe 15is
tolia.
A. 5 B. 5,5 C. 7 D. 7,5
30.10. gavlebulia wrewiris ori paraleluri qorda, romlebic
Wimaven 90 o -ian rkalebs. ipoveT manZili qordebs
Soris, Tu erTi qordis sigrZea 12.
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
30.11. wrewiris qorda diametrs kveTs 30 o -iani kuTxiT
208

da yofs mas or monakveTad sigrZiT 8 da 24. ipoveT manZili
centridan qordamde.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
30.12. urTierTgadamkveTi ori qordidan gadakveTis wertiliT
erTi gayofilia Suaze, meore ki 48-isa da 3-is
tol nawilebad. ipoveT pirveli qordis sigrZe.
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
30.13. urTierTgadamkveTi ori qordidan gadakveTis wertiliT
erTi gayofilia 12-isa da 18-is tol nawilebad, meore
ki SefardebiT 3:8. ipoveT meore qordis sigrZe.
A. 36 B. 33 C. 30 D. 27
30.14. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi
da mkveTi. ipoveT mxebis monakveTis sigrZe, Tu mkveTis gare
da Siga monakveTebia Sesabamisad 4 da 5.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
30.15. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi
da mkveTi. ipoveT mxebis monakveTis sigrZe, Tu is 5-iT metia
mkveTis gare monakveTze da amdeniTve naklebia Siga
monakveTze.
A. 5 B. 7,5 C. 10 D. 12,5
30.16. ori wrewiri garedan exeba erTmaneTs. wrewirebis
radiusebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT
didi wrewiris diametri, Tu centrebs Soris manZili 10-is
tolia.
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
30.17. ori wrewiri Signidan exeba erTmaneTs. wrewirebis
radiusebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 5:2. ipoveT
patara wrewiris diametri, Tu centrebs Soris manZili 15is
tolia.
A. 10 B. 16 C. 20 D. 24
30.18. tolferda samkuTxedSi, romlis fuZea 16, xolo
ferdi 20, Caxazulia wrewiri. ipoveT Sexebis wertiliT mi-
Rebuli ferdis monakveTebidan udidesi.
A. 12 B. 15 C. 14 D. 16
30.19. tolferda samkuTxedSi, romlis fuZea 20, xolo
ferdi 100, Caxazulia wrewiri. ipoveT manZili ferdebze
moTavsebul Sexebis wertilebs Soris.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
30.20. ipoveT marTkuTxa samkuTxedSi Caxazuli wrewiris
radiusi, Tu kaTetebia 24 da 7.
A. 4 B. 3 C. 5 D. 2
209

30.21. marTkuTxa samkuTxedis hipotenuza udris 17-s, xolo
kaTeti 15-s. ipoveT am samkuTxedSi Caxazuli wrewiris
radiusi.
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
30.22. wrewirze, romlis radiusia 5, Semoxazulia marTkuTxa
samkuTxedi, romlis perimetria 70. ipoveT hipotenuza.
A. 24 B. 25 C. 20 D. 30
30.23. wrewirze, romlis radiusia 4, Semoxazulia marTkuTxa
samkuTxedi 26-is toli hipotenuziT. ipoveT samkuTxedis
perimetri.
A. 60 B. 65 C. 58 D. 62
30.24. samkuTxedis gverdia 10, misi mopirdapire kuTxea
150 o . ipoveT am samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusi.
A. 10 B. 5 C. 15 D. 20
30.25. A, B, C wertilebi wrewirze mdebareobs. ras udris
AC qorda, Tu ABC kuTxe 30 o -is tolia, wrewiris diametri
ki udris 10-s.
A. 10 B. 5 C. 20 D. 15
30.26. A, B, C da D wertilebi wrewirze mdebareobs ise,
rom BD diametria, xolo A da C wertilebi BD wrfis
sxvadasxva
o
∠ADB = 20 .
mxaresaa. ipoveT ACD kuTxis sidide, Tu
A. 80 o B. 70 o C. 65 o D. 60 o
30.27. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wris cent-
o
o
ria. ipoveT ∠ BAO , Tu ∠BCO = 30 da ∠ABO = 25 .
A. 35 o B. 40 o C. 45 o D. 50 o
30.28. marTkuTxedis gverdebia 5 da 12. ipoveT Semoxazuli
wrewiris radiusi.
A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 7,5
30.29. wrewirSi Caxazulia marTkuTxedi, romlis gverdebi
ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 8:15. ipoveT marTkuTxedis
perimetri, Tu wrewiris radiusia 34.
A. 184 B. 180 C. 176 D. 190
30.30. marTkuTxedis mcire gverdi udris 1-s. diagona-
lebs Soris kuTxe tolia 60 o -is. ipoveT marTkuTxedze Semoxazuli
wrewiris radiusi.
A. 0,5 B. 1,5 C. 2 D. 1
30.31. marTkuTxedis mcire gverdi 10-is tolia. diagona-
210

lebs Soris kuTxe tolia 120 o -is. ipoveT Semoxazuli wrewiris
radiusi.
A. 11 B. 9 C. 10 D. 8
30.32. rombis gverdi udris 8-s, xolo maxvili kuTxe
30 o -s. ipoveT rombSi Caxazuli wrewiris radiusi.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
30.33. rombSi, romelic Tavisi diagonaliT iyofa or tolgverda
samkuTxedad, Caxazulia wrewiri, romlis radiusi
udris 2-s. ipoveT rombis gverdi.
2 3
A.
3
8 3
B. 6 3 C.
3
211
D. 8 3
30.34. wrewirze Semoxazuli tolferda trapeciis fuZeebi
udris 4-s da 9-s. ipoveT wrewiris radiusi.
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
30.35. wesier samkuTxedze Semoxazuli da masSi Caxazu-
li wrewirebis radiusebis sxvaobaa
dis gverdi.
3 . ipoveT samkuTxe-
A. 8 B. 4 C. 6 D. 9
30.36. wesier samkuTxedSi, romlis gverdia 4, Caxazulia
wrewiri, romelSiac Caxazulia wesieri eqvskuTxedi. ipoveT
eqvskuTxedis farTobi.
A. 3 B. 3 3 C. 2 D. 2 3
30.37. wesieri eqvskuTxedis gverdi 2
toldidi wesieri samkuTxedis gverdi.
6 -ia. ipoveT misi
A. 8 B. 12 C. 10 D. 11
30.38. wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdia 3
ipoveT amave wreSi Caxazuli kvadratis gverdi.
6 .
A. 7 B. 6 C. 8 D. 9
30.39. wreSi Caxazuli kvadratis gverdia 2 6 . ipoveT
amave wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdi.
A. 6 B. 5 C. 7 D. 4
30.40. A, B da C wertilebi wrewirze Zevs ise, rom AB diametria
da ∠BAC=60°. ipoveT AC qordiT SemosazRvruli
wris mcire segmentis farTobi, Tu AB=24 sm.
A. 6π-4 B. 24π C. 24π − 36 3 D.18π − 9 3π
30.41. wrewiris gareT mdebare A wertilidan am wrewirisadmi
gavlebulia ori mxebi, romlebic wrewirs B da C wertilebSi
exeba. mxebebs Soris kuTxea 60 o . ipoveT BC mcire

kaliT da AB da AC monakveTebiT SemosazRvruli figuris
farTobi, Tu wrewiris radiusia 2.
4
2
A. 2 3 − π B. 4 3 − π C. 4 3 D. π
3
3
30.42. mocemulia sami toli wre. manZili pirveli da meore
wris centrebs Soris 20-ia, xolo meore da mesame
wris centrebs Soris ki 7. CamoTvlilTagan romlis toli
ar SeiZleba iyos manZili pirveli da mesame wris centrebs
Soris?
A. 26 B. 27 C. 13 D. 12
30.43. mocemulia sami toli wre, romelTa diametria 1.
umciresi manZili pirveli da meore wris wertilebs Soris
50-ia, xolo meore da mesame wris wertilebs Soris ki 6.
qvemoT CamoTvlilTagan romlis toli ar SeiZleba iyos
umciresi manZili pirveli da mesame wris wertilebs Soris?
A. 43 B. 50 C. 58 D. 44
30.44. mocemuli sami toli wre, romelTa diametria 1. maqsimaluri
daSoreba pirveli da meore wris wertilebs
Soris 30-ia, xolo meore da mesame wris wertilebs Soris
ki 4. qvemoT CamoTvlilTagan romeli SeiZleba iyos maqsimaluri
daSoreba pirveli da mesame wris wertilebs Soris?
A. 26 B. 33 C. 34 D. 25
30.45. 18-is da 24-is toli ori paraleluri qorda moTavsebulia
wrewiris centris sxvadasxva mxares. ipoveT man-
Zili am qordebs Soris, Tu wrewiris radiusia 15.
30.46. 10-is da 24-is toli ori paraleluri qorda moTavsebulia
wrewiris centris erT mxares. ipoveT manZili am
qordebs Soris, Tu wrewiris radiusia 13.
30.47. wrewiris qorda diametrs kveTs 30 o -iani kuTxiT
da iyofa 12-is da 24-is tol nawilebad. ipoveT manZili
qordis Suawertilidan diametramde.
30.48. wrewiris qorda diametrs kveTs α kuTxiT da iyofa
or monakveTad sigrZiT 12 da 7. ipoveT manZili centridan
qordamde, Tu tg α = 2 .
30.49. wrewiris qorda diametrs kveTs α kuTxiT da
yofs mas or monakveTad sigrZiT 40 da 100. ipoveT manZili
212

5
centridan qordamde, Tu sin α = .
6
30.50. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi
da mkveTi. mxebis monakveTi metia mkveTis Siga da gare monakveTebze
Sesabamisad 2-iT da 4-iT. ipoveT mkveTis sigrZe.
30.51. mocemuli wertilidan gavlebulia mkveTi da mxebi.
mxebis sigrZe 20-is tolia. ipoveT mkveTis sigrZe, Tu misi
gare nawili ise Seefardeba Siga nawils, rogorc 4:5.
30.52. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia ori
mkveTi. pirvelis Siga monakveTi udris 7-s, gare monakveTi
5-s, xolo meoris Siga monakveTi 14-iT metia missave gare
monakveTze. ipoveT meore mkveTis sigrZe.
30.53. wrewiris radiusi 7-is tolia. centridan 9-iT da-
Sorebuli wertilidan gavlebulia mkveTi ise, rom is wrewiriT
Suaze iyofa. ipoveT mkveTis sigrZe.
30.54. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebuli mxebi
da mkveTi Sesabamisad udris 20-s da 40-s. manZili centridan
mkveTamde 8-is tolia. ipoveT wrewiris radiusi.
30.55. erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebuli mxebi
da mkveTi urTierTperpendikularulia. mxebi udris 12-s,
mkveTis Siga nawili ki 10-is tolia. ipoveT wrewiris radiusi.
30.56. centridan 10-is toli manZiliT daSorebuli wertilidan
wrewirisadmi gavlebulia ori mxebi. ipoveT manZili
Sexebis wertilTa Soris, Tu wrewiris radiusi 6-is
tolia.
30.57. ori wrewiri garedan exeba erTmaneTs. Sexebis wertilze
gavlebuli wrfe wrewirebSi warmoSobs qordebs,
5
romelTagan erTi Seadgens meoris -s. ipoveT patara
13
wrewiris radiusi, Tu manZili centrebs Soris 36-is tolia.
30.58. ori wrewiri Signidan exeba erTmaneTs. Sexebis wertilze
gavlebuli wrfe wrewirebSi warmoSobs qordebs,
romelTagan erTi 3-jer metia meoreze. ipoveT didi wrewiris
radiusi, Tu manZili centrebs Soris 8-is tolia.
30.59. ori toli wrewiri Signidan exeba mesame wrewirs
da exeba erTmaneTsac. samive centris SeerTebiT miRebuli
samkuTxedis perimetri 18-is tolia. ipoveT didi wrewiris
radiusi.
30.60. mocemul wrewirs exeba masze mcire da erTmaneTis
213

toli ori sxva wrewiri erTi Signidan, meore garedan. Sexebis
wertilTa Soris rkali 60 o -ia. mcire wrewirebis radiusebia
3, didisa 13. ipoveT manZili mcire wrewirebis centrebs
Soris.
30.61. 60 o -is tol maxvil kuTxeSi Caxazulia ori wrewiri,
romlebic garedan exebian erTmaneTs. mcire wrewiris
radiusi udris 6-s. ipoveT didi wrewiris radiusi.
30.62. ori Siga Sexebis wrewiris centrebs Soris manZili
d-s tolia. didi wrewiris centridan mcire wrewirisadmi
gavlebuli mxebi centrTa xazTan α kuTxes adgens.
1
ipoveT didi wrewiris radiusi, Tu d=36, sin α = .
6
30.63. R da r radiusiani wrewirebis centrTa wrfesa da
saerTo gare mxebs Soris kuTxis sidide α -s tolia. ipo-
1
veT centrebs Soris manZili, Tu R=10, r=6, sin α = .
3
30.64. ori wrewiri, romelTa radiusebia 8 da 9, garedan
exeba erTmaneTs, erTi wrewiris centridan gavlebulia meore
wrewiris mxebi da SexebiT miRebuli wertilidan pirveli
wrewiris mxebi. ipoveT manZili Sexebis wertilebs
Soris.
30.65. ori wrewiri, romelTa radiusebia 9 da 16, garedan
exeba erTmaneTs. ipoveT maTi saerTo gare mxebis monakveTi
Sexebis wertilTa Soris.
30.66. ori wrewiris radiusebia 15 da 8, maT centrebs Soris
manZili ki 25-is tolia. ipoveT maTi saerTo gare mxebis
monakveTi Sexebis wertilTa Soris.
30.67. ori wrewiris radiusebia 8 da 12. maTi saerTo Siga
mxebebi urTierTperpendikularulia. ipoveT Siga mxebis
monakveTi Sexebis wertilTa Soris.
30.68. ori wrewiris radiusebia 27 da 13, maT centrebs
Soris manZili ki 50-is tolia. ipoveT maTi saerTo Siga
mxebis monakveTi Sexebis wertilTa Soris.
30.69. sami wrewiri, romelTa radiusebia 3, 3 da 1, wyvilwyvilad
exebian erTmaneTs. ipoveT im samkuTxedis farTobi,
romlis wveroebi wrewirTa Sexebis wertilebia.
30.70. sami erTmaneTis toli 4 3 radiusis mqone wrewiridan
TiToeuli exeba or danarCens. ipoveT im samkuTxedis
farTobi, romelic Sedgenilia am wrewirTa saerTo gare
mxebebiT.
214

30.71. tolferda samkuTxedis fuZea 12, xolo ferdi 10.
ipoveT Caxazuli wrewiris radiusi.
30.72. tolferda samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centri
fuZeze daSvebul simaRles yofs 12:5 SefardebiT. ipoveT
fuZe, Tu ferdi 60-is tolia.
30.73. tolferda samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centri
fuZeze daSvebul simaRles yofs 5-is da 3-is tol monakveTebad.
ipoveT fuZe.
30.74. tolferda samkuTxedis fuZeze daSvebuli simaRle
udris 20-s, xolo fuZe ise Seefardeba ferds, rogorc 4:3.
ipoveT Caxazuli wrewiris radiusi.
30.75. tolferda samkuTxedis ferdi udris 12-s, fuZeze
daSvebuli simaRle ki 8-s. ipoveT Semoxazuli wrewiris
radiusi.
30.76. tolferda samkuTxedis ferdi udris 20-s, xolo
fuZe 24-s. ipoveT Semoxazuli wrewiris radiusi.
30.77. tolferda samkuTxedis ferdi udris 8-s, xolo
kuTxe wverosTan aris 120 o . ipoveT Semoxazuli wrewiris
diametri.
30.78. tolferda samkuTxedis wverosTan mdebare kuTxe
aris 120 o , xolo Semoxazuli wrewiris radiusia 10. ipoveT
samkuTxedis ferdi.
30.79. tolferda samkuTxedis ferdi udris b-s, xolo
wverosTan mdebare kuTxe α -s tolia. gamoTvaleT samkuT-
α 1
xedze Semoxazuli wrewiris radiusi, Tu b=14, cos = .
2 7
30.80. marTkuTxa samkuTxedSi Caxazulia wrewiri, Sexebis
wertili hipotenuzas yofs SefardebiT 2:3. ipoveT samkuTxedis
hipotenuza, Tu Caxazuli wrewiris centri marTi
kuTxis wverodan 8 -iT aris daSorebuli.
30.81. marTkuTxa samkuTxedSi Caxazuli wrewiris Sexebis
wertili hipotenuzas yofs 5 da 12 sigrZis monakveTebad.
ipoveT samkuTxedis perimetri.
30.82. samkuTxedSi Caxazulia wrewiri, romlis radiusia
3. ipoveT samkuTxedis perimetri, Tu erT-erTi gverdi Sexebis
wertiliT gayofilia 4 da 3-is tol monakveTebad.
30.83. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxe α -s tolia,
xolo masSi Caxazuli wrewiris radiusi udris r. ipoveT
215

1
samkuTxedis perimetri, Tu r=6,
2 2
=
α
tg .
30.84. marTkuTxa samkuTxedis erT-erTi kaTeti udris 15s,
xolo am samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusia 3.
ipoveT am samkuTxedis farTobi.
30.85. marTkuTxa samkuTxedis farTobi udris 24-s, xolo
hipotenuzaa 10. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi.
30.86. wrewiris erTi wertilidan gavlebulia 9 da 17 sigrZis
ori qorda. ipoveT wrewiris radiusi, Tu manZili
qordebis Suawertilebs Soris udris 5 sm.
30.87. ABC samkuTxedis B da C kuTxeebi Sesabamisad 70 o
da 50 o -is tolia. O wertili am samkuTxedze Semoxazuli
wrewiris centria, xolo AD ki BC gverdze daSvebuli simaRlea.
ipoveT ∠ OAD .
30.88. O wertili ABC samkuTxedSi Caxazuli wrewiris
o
centria. vipovoT ∠ AOC , Tu ∠B = 100 .
o
30.89. ABC samkuTxedSi, sadac ∠B = 82 , Caxazulia wrewiri.
ipoveT Sexebis wertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxedis
im kuTxis sidide, romlis wvero AC gverdzea.
30.90. ipoveT samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusi,
Tu samkuTexedis gverdebia 13, 14, 15.
30.91. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi,
Tu samkuTxedis gverdebia 4, 5, 7.
30.92. ipoveT samkuTxedSi Caxazuli da samkuTxedze Semoxazuli
wrewirebis radiusTa namravli, Tu samkuTxedis
gverdebia 26, 28, 30.
30.93. samkuTxedis gverdebia 13, 14 da 15. ipoveT im wrewiris
radiusi, romlis centri saSualo zomis gverdzea
da romelic or danarCen gverds exeba.
30.94. rombis maxvili kuTxe α -s tolia, xolo masSi Caxazuli
wris radiusi udris r-s. ipoveT rombis farTobi,
1
Tu r=2, sin α = .
4
30.95. rombSi, romlis gverdis sigrZea 4 da maxvili ku-
Txe udris 60
216
o -s, Caxazulia wrewiri. Sexebis wertilebi
mimdevrobiT aris SeerTebuli. ipoveT miRebuli oTxkuTxedis
farTobi.
30.96. tolferda trapeciaSi Caxazuli wrewiris radiusi
udris 6-s. ipoveT trapeciis SuamonakveTi, Tu trapeciis

fuZeebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 4:9.
30.97. r-radiusian wreze Semoxazulia trapecia, romlis
ferdebi did fuZesTan adgenen α da β sididis kuTxeebs.
1 1
ipoveT trapeciis perimetri, Tu r=2,25, sin α = , sin β = .
3 7
30.98. wreze Semoxazuli tolferda trapeciis ferdi
udris 6-s da maxvili kuTxe 30 o -s. ipoveT trapeciis far-
Tobi.
30.99. tolferda trapeciis maxvili kuTxe udris α -s,
xolo masSi Caxazuli wrewiris radiusia r. ipoveT trape-
2
ciis farTobi, Tu r= 11 , sin α = .
3
30.100. trapeciaSi Caxazulia wrewiri. trapeciis Suaxazis
sigrZea 12, xolo erT-erTi ferdi ki udris 10-s. ipoveT
meore ferdis sigrZe.
30.101. wrewiris radiusi udris 8-s. AB qorda ki udris
12-s. A wertilze gavlebulia mxebi da B wertilidan ki misi
paraleluri BC qorda. ipoveT manZili mxebsa da BC qordas
Soris.
30.102. wrewiris qorda udris 10-s. qordis erT boloze
gavlebulia wrewiris mxebi, xolo meoreze ki am mxebis paraleluri
mkveTi. ipoveT wrewiris radiusi, Tu mkveTis
Siga monakveTia 12.
30.103. R radiusis mqone wrewirSi gavlebulia qorda,
1
romlis sigrZea R. qordis erT boloze gavlebulia wre-
2
wiris mxebi, xolo meoreze ki mxebis paraleluri mkveTi.
ipoveT manZili mkveTsa da mxebs Soris, Tu R=20.
30.104. ori urTierTgadamkveTi wrewiris radiusebia 17
da 39. maT centrebs Soris manZili udris 44-s. ipoveT maTi
saerTo qordis sigrZe.
30.105. samkuTxedSi Caxazulia naxevarwrewiri, romelic
samkuTxedis fuZes exeba, diametri ki (misi boloebi ferdebzea)
fuZis paraleluria. ipoveT radiusi, Tu samkuTxedis
fuZea 6 da simaRle ki udris 2.
30.106. AB da CD aragadamkveTi qordebiT moWimuli
rkalebis gradusuli zomebia Sesabamisad 120 o da 90 o .
M aris AD da BC qordebis gadakveTis wertili. ipoveT
AMB da CMD samkuTxedebis farTobebis Sefardeba.
30.107. wreSi gavlebuli AB da CD qordebi gadaikveTe-
217

ian M wertilSi. K aris BMD kuTxis biseqtrisis gadakveTis
wertili BD qordasTan. ipoveT BK , Tu BD = 3 ,
S CMB : S AMD = 1:
4 .
30.108. samkuTxedSi, romlis gverdis sigrZea 9, xolo am
gverdis mopirdapire kuTxis sididea 60 o , Caxazulia wrewiri.
am wrewiris centrze da mocemuli gverdis boloebze
gavlebulia meore wrewiri. ipoveT misi radiusi.
30.109. samkuTxedis gverdis sigrZea 2, xolo am gverdis
mopirdapire kuTxis sididea 120 o . biseqtrisebis gadakveTis
wertilze da mocemuli gverdis boloebze gavlebulia
wrewiri. ipoveT misi radiusi.
30.110. BAK tolferda samkuTxedis AB ferdze, rogorc
diametrze agebuli wrewiri BK fuZes kveTs D wertilSi,
xolo AK ferds C wertilSi. ipoveT ADC samku-
Txedis farTobi, Tu wrewiris radiusia 10 , xolo
BK = 4 .
30.111. wrewiri, romlis centri ABCD oTxkuTxedis AD
gverdis Suawertilia, exeba danarCen sam gverds. ipoveT
AD , Tu AB = 9 da CD = 16 .
30.112. wrewirSi Caxazulia kvadrati da wesieri samkuTxedi.
kvadratis farTobi 54-ia. ipoveT samkuTxedis perimetri.
30.113. wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdia
2 3 . ipoveT amave wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis
gverdi.
30.114. wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis gverdia
5 3 . ipoveT amave wreSi Caxazuli wesieri samkuTxedis gverdi.
30.115. wreSi Caxazuli kvadratis gverdia 2 2 . ipoveT
amave wreSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis gverdi.
30.116. wrewirSi Caxazuli wesieri rvakuTxedis farTobi
2
udris 16 . ipoveT amave wrewirSi Caxazuli wesieri sam-
3
kuTxedis farTobi.
30.117. wrewirSi Caxazuli wesieri TormetkuTxedis far-
Tobi udris 18 2 -s. ipoveT amave wrewirSi Caxazuli wesieri
rvakuTxedis farTobi.
30.118. wrewirSi Caxazuli wesieri eqvskuTxedis farTobi
218

udris 3,25 3 . ipoveT imave wrewirSi Caxazuli wesieri TormetkuTxedis
farTobi.
30.119. ipoveT 3 -is toli sigrZis qordis mier moWimuli
rkalis sigrZe, Tu rkalis gradusuli zomaa 120 o .
30.120. ipoveT 2 ⋅ π sigrZis rkalis Sesabamisi qorda,
Tu rkalis gradusuli zomaa 90 o .
30.121. ipoveT wris farTobi, Tu wrewiris sigrZea 4 π .
30.122. ipoveT wrewiris radiusi, Tu wrewiris sigrZe da
amave radiusis mqone wris farTobi ricxobrivad
erTmaneTis tolia.
30.123. ipoveT wris farTobi, Tu masSi Caxazuli kvadra-
15
tis farTobia .
π
6
30.124. ipoveT radiusiani wriuli seqtoris farTo-
π
bi, Tu am seqtoris Sesabamisi centraluri kuTxea 150 o .
30.125. wris farTobis ra nawils Seadgens seqtoris farTobi,
Tu misi centraluri kuTxea 18 o .
30.126. ipoveT seqtoris centraluri kuTxe, Tu seqtoris
2
farTobi Seadgens wris farTobis nawils.
3
30.127. ipoveT seqtoris radiusi, Tu misi farTobi udris
5 π da centraluri kuTxea 72 o .
30.128. seqtoris centraleri kuTxea 60 o , radiusi ki udris
9-s. ipoveT seqtorSi Caxazuli wris radiusi.
30.129. wriul seqtorSi, romlis centraluri kuTxe 90°ia,
Caxazulia r radiusis mqone wrewiri. ipoveT am wriuli
seqtoris radiusi.
30.130. seqtoris centraluri kuTxea α , radiusi ki 6.
α 1
ipoveT am seqtorSi Caxazuli wris radiusi, Tu sin = .
2 3
30.131. ipoveT segmentis farTobi, Tu misi radiusi udris
2 3 -s da rkali Seicavs 30 o -s.
30.132. ipoveT segmentis farTobi, Tu qorda udris 6-s,
rkali ki Seicavs 120 o -s.
30.133. wreSi centris erT mxareze gavlebulia ori para-
219

leluri qorda, romelTagan erTi Wimavs sididiT 120 o -ian
rkals, meore ki _ 60 o -ians. gamoTvaleT qordebs Soris mo-
Tavsebuli wris nawilis farTobi, Tu wris radiusia
⋅
π
3
2 .
30.134. wrewirze mdebare A wertilidan gavlebulia AB
diametri da AC qorda. gamoTvaleT AB da AC qordebiTa
da BC mcire rkaliT SemosazRvruli wris nawilis farTobi,
Tu ∠CAB=45° da AB=16 sm.
30.135. wrewirze mdebare A wertlidan gavlebulia AC
diametri da AB qorda. cnobilia, rom AB qorda mis mar-
Tobul radiuss Suaze yofs. ipoveT AB da AC qordebiTa
da BC mcire rkaliT SemosazRvruli wris nawilis farTobi,
Tu wrewiris radiusia 4 sm.
30.136. wrewirSi Caxazuli kvadratis gverdi udris
4
. ipoveT kvadratis mier CamokveTil segmentTa farπ
− 2
Tobebis jami.
30.137. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxea α , xolo
169
misi farTobia . ipoveT samkuTxedze Semoxazuli wre-
2
π
1
wiris sigrZe, Tu sin 2α
= .
4
30.138. ipoveT wris farTobi, Tu is masze Semoxazuli
kvadratis farTobze 4,3 m 2 -iT naklebia.
30.139. ori wris saerTo qordiT moWimulia 60 o da 120 o
rkalebi. ipoveT am wreebis farTobTa Sefardeba.
30.140. rombis maxvili kuTxea α , xolo masSi Caxazuli
wrewiris sigrZe udris 5π -s. ipoveT rombis farTobi, Tu
1
sin α = .
3
30.141. mocemulia saerTo centris mqone ori wrewiri.
mcire radiusiani wrewiris mxebi meore wrewirs yofs SefardebiT
1:2. mcire wrewiris sigrZea 2. ipoveT didi wris
farTobi.
6 3
30.142. wesieri samkuTxedis farTobia . masze Semoxa-
π
zulia da masSi Caxazulia wrewirebi. ipoveT am wrewirebs
220

Soris moTavsebuli rgolis farTobi.
30.143. naxazze mocemulia ABCD kvadrati,
romelSic Caxazulia AB da BC diametrebis
mqone ori naxevarwrewiri. ipoveT
daStrixuli nawilis farTobi, Tu
AB=4 sm.
30.144. ABC marTkuTxa samkuTxedis BC kaTetze, rogorc
diametrze, Semoxazulia wrewiri. es wrewiri AB hipotenuzas
kveTs D wertilSi da yofs mas BD=6 sm-is da AD=2 smis
tol monakveTebad. ipoveT BD qordiTa da wrewiris
mcire rkaliT SemosazRvruli segmentis farTobi.
30.145. ABCD rombis BAD maxvili kuTxe 30°-is tolia, xolo
BD mcire diagonali 2 sm-ia. rombis blagvi kuTxis D
wverodan, rogorc centridan, Semoxazulia BD radiusis
mqone wrewiri. ipoveT rombis im nawilis farTobi, romelic
wrewiris SigniT aris moTavsebuli.
30.146. ABCD rombis BAD maxvili kuTxe 60°-is tolia, xolo
BD mcire diagonali 4 sm-ia. rombis blagvi kuTxis D
wverodan, rogorc centridan, Semoxazulia BD radiusis
mqone wrewiri. ipoveT wris im nawilis farTobi, romelic
rombis gareT mdebareobs.
!
%42/!xsgf!eb!tjcsuzf!
!
31.1. sibrtyidan 30-is toli manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia daxrili. ipoveT am daxrilis sigrZe,
Tu misi gegmili sibrtyeze 40-is tolia.
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
31.2. sibrtyidan 6-is toli manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia perpendikulari da daxrili, romlebic
erTmaneTTan 60 o -ian kuTxes adgenen. ipoveT daxrilis sigrZe.
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
31.3. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia perpendikulari
da daxrili, romlebic erTmaneTTan 30 o -ian
kuTxes qmnian. ipoveT perpendikularis sigrZe, Tu daxrilis
sigrZea 12.
A. 4 B. 6 C. 6 2 D. 6 3
31.4. daxrilis sigrZe 18-is tolia. ras udris am daxrilis
gegmili sibrtyeze, Tu daxrilis mier sibrtyesTan
221
B
A
C
D

Sedgenili kuTxe 60 o -ia.
A. 9 B. 9 2 C. 9 3 D. 12
31.5. sibrtyidan 12-is toli manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia perpendikulari da daxrili, romlebic
erTmaneTTan 30 o -ian kuTxes adgenen. ipoveT daxrilis
gegmili sibrtyeze.
A. 4 3 B. 6 C. 6 3 D. 12 3
31.6. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia perpendikulari
da daxrili, romlebic erTmaneTTan 60 o -ian
kuTxes qmnian. ipoveT perpendikularis sigrZe, Tu daxrilis
gegmili sibrtyeze 6-is tolia.
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3
31.7. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebul perpendikularsa
da daxrils Soris kuTxe α -s tolia. daxrilis
sigrZea a . ipoveT manZili wertilidan sibrtyemde, Tu
1
a = 10,
cos α = .
5
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
31.8. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia
ori daxrili, romelTa sigrZeebia 15 da 20. pirveli daxrilis
gegmili sibrtyeze 9-is tolia. ipoveT meore daxrilis
gegmili am sibrtyeze.
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
31.9. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia
ori daxrili, romelTa sigrZeebia 17 da 10. am daxrilTa
gegmilebs Soris sxvaoba 9-is tolia. ipoveT udidesi daxrilis
gegmili.
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
31.10. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia
ori daxrili, romelTagan erTi meoreze 26-iT metia. daxrilTa
gegmilebi 40-isa da 12-is tolia. ipoveT umciresi
daxrilis sigrZe.
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
31.11. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia
ori daxrili, romelTa sigrZeebia 10 da 17. ipoveT manZili
am wertilidan sibrtyemde, Tu daxrilTa gegmilebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 2:5.
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
31.12. A da B wertilebidan sibrtyeze daSvebulia marTo-
222

ebi, romelTa sigrZeebia 12 da 7, xolo maT fuZeebs Soris
manZili 12-is tolia. ipoveT manZili A da B wertilebs Soris,
Tu AB monakveTi sibrtyes ar kveTs.
A. 15 B. 19 C. 13 D. 17
31.13. 20-is toli monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia
17-is da 5-is toli manZilebiT. ipoveT monakveTis
gegmili sibrtyeze, Tu igi sibrtyes ar kveTs.
A. 18 B. 16 C. 12 D. 10
31.14. monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia 20-is
da 120-is toli manZilebiT. ipoveT manZili monakveTis Suawertilidan
sibrtyemde, Tu monakveTi sibrtyes ar kveTs.
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
31.15. monakveTi kveTs sibrtyes. monakveTis boloebidan
sibrtyemde manZilebi 6-is da 10-is tolia, xolo monakve-
Tis gegmili sibrtyeze udris 12-s. ipoveT monakveTis sigrZe.
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
31.16. 15-is toli monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia
7-is da 5-is toli manZilebiT. ipoveT monakveTis
gegmili sibrtyeze, Tu igi sibrtyes kveTs.
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
31.17. sibrtyidan 5 2 -is toli manZiliT daSorebuli
wertilidan gavlebulia ori toli daxrili, romlebic
sibrtyesTan 30 o -ian kuTxes adgenen, xolo erTmaneTTan
90 o -ians. ipoveT manZili daxrilTa fuZeebs Soris.
31.18. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisadmi
gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea
7 2 . daxrilebs Soris kuTxea 60 o , xolo maT gegmilebs
Soris kuTxe 90 o . ipoveT manZili am wertilidan sibrtyemde.
31.19. sibrtyidan 12-is toli manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia ori toli daxrili, romlebic sibrtyesTan
30 o -ian kuTxeebs adgenen, xolo maTi gegmilebi
erTmaneTTan 120 o -ian kuTxes qmnis. ipoveT manZili daxril-
Ta boloebs Soris.
31.20. sibrtyidan 11 6 -is toli manZiliT daSorebuli
223

wertilidan gavlebulia ori toli daxrili, romelTa Soris
kuTxea 60 o , xolo maT gegmilebs Soris kuTxe ki 120 o .
ipoveT daxrilTa sigrZe.
31.21. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisadmi
gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea l.
daxrilebs Soris kuTxea α , xolo maT gegmilebs Soris
kuTxe ki β . ipoveT manZili am wertilidan sibrtyemde, Tu
l = 8 3 ,
α
sin =
2
2
3
,
β
sin =
2
3
3
.
31.22. mocemuli wertilidan sibrtyisadmi gavlebulia
ori toli daxrili, romelTa Soris kuTxe 60 o -ia, xolo
maT gegmilebs Soris kuTxe ki marTia. ipoveT kuTxe daxrilsa
da mis gegmils Soris.
31.23. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisadmi
gavlebulia ori toli daxrili. daxrilTa Soris
kuTxea ϕ , xolo maT gegmilebs Soris kuTxe ki α . ipoveT
ϕ 1
kuTxe daxrilebsa da sibrtyes Soris, Tu sin = ,
2 4
α 1
sin = .
2 2 3
31.24. sibrtyidan d manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea l. daxrilebs
Soris kuTxea ϕ . ipoveT kuTxe daxrilTa gegmilebs
ϕ 6
Soris, Tu d=5, l=7, sin = .
2 7
31.25. sibrtyidan h manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia ori toli daxrili, romelTa sigrZea a. daxrilTa
gegmilebs Soris kuTxea α . ipoveT kuTxe daxri-
α 3 6
lebs Soris, Tu h = 2 , a = 6 , sin = .
2 8
31.26. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisadmi
gavlebulia marTobi da ori toli daxrili. daxrilebs
Soris kuTxea 2 β , xolo TiToeuli daxrili marTob-
Tan α kuTxes qmnis. ipoveT kuTxe daxrilTa gegmilebs
2 1
Soris, Tu sin α = , sin β = .
3 3 3
31.27. sibrtyis gareT mdebare wertilidan am sibrtyisadmi
gavlebulia marTobi da ori toli daxrili. Ti-
224

Toeuli daxrili sibrtyesTan α kuTxes qmnis, xolo daxrilTa
gegmilebs Soris kuTxea 2 ϕ . ipoveT kuTxe daxri-
4 5
lebs Soris, Tu cos α = , sin ϕ = .
5 8
31.28. sibrtyidan 2 6 -is toli manZiliT daSorebuli
wertilidan gavlebulia ori daxrili, romlebic sibrtyesTan
adgenen 30 o -ian da 45 o -ian kuTxeebs, xolo erTmaneT-
Tan ki marT kuTxes. ipoveT manZili daxrilTa boloebs
Soris.
31.29. sibrtyidan d manZiliT daSorebuli wertilidan
gavlebulia ori daxrili, romlebic sibrtyesTan adgenen
α da β kuTxeebs, xolo erTmaneTTan ki marT kuTxes. ipoveT
manZili daxrilTa boloebs Soris, Tu d = 13 ,
1 1
sin α = , sin β = .
6 3
31.30. monakveTis boloebi sibrtyidan daSorebulia 10-is
da 70-is toli manZilebiT. ipoveT manZili monakveTis Suawertilidan
sibrtyemde, Tu monakveTi sibrtyes kveTs.
31.31. 10-is toli sigrZis monakveTi kveTs sibrtyes ise,
rom monakveTis boloebidan sibrtyemde manZilebia 2 da 3.
ras udris kuTxe monakveTsa da sibrtyes Soris.
31.32. sibrtyeze gavlebulia ori paraleluri wrfe, romelTa
Soris manZili 12-is tolia. A wertili am wrfeebidan
Tanabradaa daSorebuli, xolo sibrtyidan ki 13 -is
toli manZiliT. ipoveT manZili A wertilidan TiToeul
wrfemde.
31.33. mocemuli wertilidan kvadratis TiToeul wveromde
manZili 18-is tolia. ipoveT manZili am wertilidan
kvadratis sibrtyemde, Tu kvadratis gverdi 16-is tolia.
31.34. mocemuli wertilidan kvadratis TiToeul gverdamde
manZili 9-is tolia. ipoveT manZili am wertilidan
kvadratis sibrtyemde, Tu kvadratis diagonali 16-is tolia.
31.35. kvadratis O centridan kvadratis sibrtyisadmi aRmarTulia
OM perpendikulari. M wertilidan AB gverdisadmi
gavlebulia MK perpendikulari. ipoveT ∠ MKO , Tu
AB=10 3 , OM=15.
31.36. wris centridan misi sibrtyisadmi aRmarTulia pe-
225

pendikulari, romlis sigrZea 7. ipoveT manZili perpendikularis
bolodan wrewiris wertilebamde, Tu wris far-
Tobia 51 π .
31.37. samkuTxedSi Caxazuli wrewiris centridan am samkuTxedis
sibrtyisadmi aRmarTulia marTobi, romlis sigrZea
9. ipoveT manZili am marTobis bolodan samkuTxedis
gverdebamde, Tu wrewiris radiusi 12-is tolia.
31.38. mocemuli wertilidan samkuTxedis sibrtyemde man-
Zili 15-is tolia, xolo TiToeul wveromde manZili 17-is
tolia. ipoveT am samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusi.
31.39. tolgverda samkuTxedis gverdi 30-is tolia. ipoveT
manZili samkuTxedis sibrtyemde im wertilidan, romelic
samkuTxedis TiToeuli wverodan daSorebulia 20-is
toli manZiliT.
31.40. wesieri samkuTxedis gverdi 7 6 -is tolia. M wertili
isea SerCeuli, rom monakveTebi, romlebic mas samkuTxedis
wveroebTan aerTebs samkuTxedis sibrtyesTan,
45 o -ian kuTxeebs adgenen. ipoveT manZili M wertilidan samkuTxedis
wveroebamde.
31.41. mocemuli wertili tolgverda samkuTxedis sibrtyidan
6-is toli manZiliTaa daSorebuli. monakveTebi,
romlebic am wertils samkuTxedis wveroebTan aerTebs, samkuTxedis
sibrtyesTan 30 o -ian kuTxeebs adgenen. ipoveT samkuTxedis
gverdi.
31.42. wesieri samkuTxedis gverdi a -s tolia. M wertili
isea SerCeuli, rom monakveTebi, romlebic mas samkuTxedis
wveroebTan aerTebs, samkuTxedis sibrtyesTan α ku-
Txes qmnian. ipoveT manZili M wertilidan samkuTxedis sibrtyemde,
Tu a = 8,
tg α = 2 3 .
31.43. mocemuli wertili Tanabradaa daSorebuli wesieri
samkuTxedis yvela wverodan da 8-is toli manZiliTaa
daSorebuli samkuTxedis sibrtyidan. ipoveT manZili am wertilidan
samkuTxedis gverdebamde, Tu samkuTxedis gverdi
12 3 -is tolia.
31.44. mocemuli wertili wesieri samkuTxedis TiToeuli
gverdidan 8-is toli manZiliTaa daSorebuli, xolo samkuTxedis
sibrtyidan ki 4-is toli manZiliT. ipoveT samku-
Txedis gverdi.
226

31.45. mocemuli wertili wesieri samkuTxedis TiToeuli
wverodan daSorebulia 10-is toli manZiliT, xolo gverdebidan
ki 2 13 -is toli manZiliT. ipoveT manZili am wertilidan
samkuTxedis sibrtyemde.
31.46. mocemuli wertili wesieri samkuTxedis TiToeuli
gverdidan 10-is toli manZiliTaa daSorebuli. ipoveT man-
Zili am wertilidan samkuTxedis sibrtyemde, Tu samkuTxedis
gverdi 30-is tolia.
31.47. mocemuli wertili marTkuTxa samkuTxedis TiToeuli
wverodan 13-is toli manZiliTaa daSorebuli, xolo
samkuTxedis sibrtyidan ki 12-is toli manZiliT. ipoveT
samkuTxedis hipotenuza.
31.48. marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 12 da 16. mocemuli
wertili samkuTxedis wveroebidan 26-is toli manZili-
Taa daSorebuli. ipoveT manZili am wertilidan samkuTxedis
sibrtyemde.
31.49. tolgverda ABC samkuTxedis wverodan am samkuTxedis
sibrtyisadmi aRmarTulia AD marTobi. ipoveT manZili
D wertilidan BC gverdamde, Tu AD=13, BC=6.
31.50. ABC marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 15 da 20. C marTi
kuTxis wverodan samkuTxedis sibrtyisadmi aRmarTulia
CM perpendikulari, romlis sigrZe 5-is tolia. ipoveT
manZili M wertilidan hipotenuzamde.
31.51. mocemuli wertili ABC samkuTxedis TiToeuli wverodan
10-is toli manZiliTaa daSorebuli. ipoveT manZili
o
am wertilidan samkuTxedis sibrtyemde, Tu BC=15, ∠A = 60 .
31.52. 30 o -ian orwaxnaga kuTxis erT waxnagze mocemulia
wertili, romelic meore waxnagidan daSorebulia 48-is
toli manZiliT. ipoveT manZili am wertilidan orwaxnaga
kuTxis wibomde.
31.53. α sididis orwaxnaga kuTxis erT-erT waxnagze,
mocemulia wertili, romelic wibodan daSorebulia a manZiliT.
ipoveT manZili am wertilidan meore waxnagamde,
3
Tu a = 36 , sin α = .
4
31.54. 60 o -iani orwaxnaga kuTxis SigniT aRebuli wertili
TiToeuli waxnagidan daSorebulia 24-is toli manZiliT.
ipoveT manZili am wertilidan wibomde.
31.55. α sididis orwaxnaga kuTxis SigniT mocemulia we-
227

tili, romelic a manZiliTaa daSorebuli TiToeuli waxnagidan.
ipoveT manZili am wertilidan orwaxnaga kuTxis
α 2
wibomde, Tu a=12, sin = .
2 3
31.56. ABC samkuTxedis BC gverdze gavlebulia sibrtye,
romelic samkuTxedis sibrtyesTan ϕ kuTxes qmnis.
ipoveT manZili A wverodan sibrtyemde, Tu AB = 29 ,
BC = 36 , AC = 25 da sin ϕ = 0,
4 .
31.57. or tolferda samkuTxeds aqvT saerTo fuZe da ma-
Ti sibrtyeebi daxrilia erTmaneTisadmi 60 o -iT. saerTo
fuZis sigrZea 16, erTi samkuTxedis ferdis sigrZea 17, xolo
meore samkuTxedis ferdebi urTierTperpendikularulia.
ipoveT manZili samkuTxedis wveroebs Soris.!
!
%43/!lvcj/!qbsbmfmfqjqfej/!qsj{nb
32.1. ipoveT kuTxe:
1) kubis gverdiTi waxnagis diagonalsa da fuZis sibrtyes
Soris.
A. 90 o B. 30 o C. 45 o D. 60 o
2) kubis diagonalsa da fuZis sibrtyes Soris.
2
A. arctg B. 60
2
o C. arctg 2 D. 30 o
3) kubis saerTo wverodan gavlebul gverdiTi waxnagebis
diagonalebs Soris.
A. 45 o B. 60 o C. 30 o D. 90 o
4) kubis erTi wverodan gavlebul kubis diagonalsa
da gverdiTi waxnagis diagonals Soris.
A. arcsin 2
3 B. 30 o C. 60 o D. arccos 3
32.2. kubis wibos sigrZea 4. ipoveT manZili:
1) erT waxnagze aramdebare ori paraleluri wibos
Suawertilebs Soris.
A. 2 2 B. 4 C. 4 2 D. 8
2) mopirdapire waxnagebis araparaleluri gverdebis
Suawertilebs Soris.
A. 2 5 B. 8 C. 5 D. 2 6
3) zeda fuZis centridan qveda fuZis romelime gverdis
Suawertilamde.
228
2

A. 2 5 B. 4 C. 6 D. 2 6
4) zeda fuZis romelime gverdis Suawertilidan qveda
fuZis sxva waxnagze mdebare wveromde.
A. 8 B. 6 C. 6 D. 2 6
32.3. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi
wibo 3-is tolia.
A. 36 B. 54 C. 45 D. 63
32.4. ipoveT kubis wibo, Tu misi sruli zedapiris far-
Tobi 24-is tolia.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
32.5. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi
diagonali 5-is tolia.
A. 25 B. 30 C. 45 D. 50
32.6. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonali 4
tolia.
3 -is
A. 72 B. 54 C. 64 D. 60
32.7. ipoveT kubis diagonaluri kveTis farTobi, Tu misi
fuZis farTobia 2.
A. 2 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 8 2
32.8. ipoveT kubis sruli zedapiris farTobi, Tu misi
diagonaluri kveTis farTobia 6.
A. 18 2 B. 16 2 C. 12 2 D. 6 2
32.9. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonaluri kve-
Tis farTobia 16 2 .
A. 16 B. 48 C. 64 D. 54
32.10. ipoveT kubis diagonaluri kveTis farTobi, Tu misi
sruli zedapiris farTobia 30.
A. 3 2 B. 5 2 C. 6 2 D. 10 2
32.11. ipoveT kubis diagonali, Tu misi sruli zedapiris
farTobia 98.
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
32.12. kubis moculoba udris 8-s. ipoveT misi sruli zedapiris
farTobi.
A. 18 B. 16 C. 20 D. 24
32.13. marTkuTxa paralelepipedis ganzomilebebia 1; 2 da
2. ras udris paralelepipedis diagonalis sigrZe.
A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 2
32.14. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 4 da
229

3. paralelepipedis simaRle ki udris 5-s. ipoveT kuTxe,
romelsac paralelepipedis diagonali adgens fuZis sibrtyesTan.
A. 15 o B. 60 o C. 30 o D. 45 o
32.15. marTkuTxa paralelepipedis diagonali misi fuZis
sibrtyesTan qmnis 45 o -ian kuTxes. fuZis gverdebia 12 da 16.
ipoveT paralelepipedis simaRle.
A. 20 B. 18 C. 24 D. 10
32.16. marTkuTxa paralelepipedis diagonali misi fuZis
sibrtyesTan qmnis 60 o -ian kuTxes. ipoveT paralelepipedis
simaRle, Tu fuZis gverdebia 6 da 2 3 .
A. 2 3 B. 6 C. 4 D. 12
32.17. ipoveT marTkuTxa paralelepipedis sruli zedapiris
farTobi misi sami ganzomilebis mixedviT: 10; 22; 16.
A. 1460 B. 1440 C. 1464 D. 1480
32.18. marTkuTxa paralelepipedis wiboebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 3:7:8, sruli zedapiris farTobi ki
udris 808-s. ipoveT paralelepipedis udidesi wibo.
A. 16 B. 6 C. 14 D. 10
32.19. marTkuTxa paralelepipedis ganzomilebebia:15; 50
da 36. ipoveT am paralelepipedis toldidi kubis wibo.
A. 25 B. 30 C. 20 D. 35
32.20. marTkuTxa paralelepipedis sruli zedapiris far-
Tobia 22. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu misi wiboebi
ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:2:3.
A. 8 B. 18 C. 12 D. 6
32.21. marTkuTxa paralelepipedis diagonalis sigrZea
14. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu misi wiboebi ise
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3:6.
A. 288 B. 276 C. 264 D. 294
32.22. marTkuTxa paralelepipedis moculoba tolia 48is.
ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris farTobi, Tu
misi wiboebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:2:3.
A. 84 B. 80 C. 88 D. 76
32.23. marTkuTxa paralelepipedis waxnagebis farTobia
7; 14 da 32. ipoveT paralelepipedis moculoba.
A. 56 B. 48 C. 52 D. 54
32.24. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 7 da
24, xolo paralelepipedis simaRlea 8. ipoveT diagonaluri
230

kveTis farTobi.
A. 150 B. 175 C. 225 D. 200
32.25. marTkuTxa paralelepipedis diagonaluri kveTa
warmoadgens kvadrats, romlis farTobi udris 25-s. ipoveT
paralelepipedis moculoba, Tu fuZis gverdebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 3:4.
A. 54 B. 56 C. 64 D. 60
32.26. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis farTobia 9, xolo simaRlea 5.
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
32.27. wesieri oTxkuTxa prizmis fuZis farTobi udris
144-s, simaRle ki tolia 14-is. ipoveT prizmis diagonali.
A. 20 B. 24 C. 22 D. 26
32.28. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, Tu
misi diagonali tolia 9-is, xolo fuZis gverdia 4.
A. 110 B. 112 C. 108 D. 116
32.29. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, TuU
misi diagonali udris 6-s, xolo simaRle orjer metia
fuZis gverdze.
A. 10 B. 12 C. 9 6 D. 12 6
32.30. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis simaRle, Tu misi
gverdiTi zedapiris farTobia 8, xolo fuZis farTobi 4.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
32.31. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris farTobia
32, xolo sruli zedapiris farTobi 40. ras udris
prizmis simaRle.
A. 4 B. 8 C. 6 D. 16
32.32. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis fuZis farTobi,
Tu misi gverdiTi zedapiris farTobia 60, xolo simaRle 3.
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
32.33. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi simaRlea 1, fuZis diagonali ki 2.
A. 5 2 B. 4 2 C. 3 2 D. 2
32.34. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi waxnagis far-
Tobia 23 2 . ipoveT diagonaluri kveTis farTobi.
A. 46 2 B. 46 C. 48 D. 36 2
32.35. wesieri oTxkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris farTobia
28 2 . ipoveT diagonaluri kveTis farTobi.
A. 7 2 B. 12 C. 12 2 D. 14
231

32.36. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi simaRlea 5, xolo fuZis farTobia
3 .
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
32.37. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi simaRlea 3 , xolo fuZis gverdia 2.
A. 2 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3
32.38. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis simaRle, Tu misi
fuZis farTobia 4
36.
3 , xolo gverdiTi zedapiris farTobia
A. 6 B. 4 C. 2 D. 3
32.39. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis fuZis farTobi,
Tu prizmis simaRlea 1, xolo gverdiTi zedapiris farTobia
18.
A. 4 3 B. 3 3 C. 9 3 D. 6 3
32.40. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis simaRle, Tu misi
fuZis gverdia 6, xolo sruli zedapiris farTobia 54 3 .
A. 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 4 3
32.41. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu misi
simaRlea 5, xolo fuZis perimetria 12.
A. 20 3 B. 30 3 C. 40 3 D. 60 3
32.42. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis simaRle, Tu misi
fuZis gverdia 4, xolo moculobaa 20 3 .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
32.43. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu misi
gverdiTi waxnagi kvadratia, xolo simaRlea 6.
A. 48 3 B. 54 3 C. 60 3 D. 72 3
32.44. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis fuZis gverdi, Tu
prizmis simaRlea 2, xolo moculobaa 18 3 .
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
32.45. ipoveT wesieri samkuTxa prizmis moculoba, Tu misi
gverdiTi waxnagi aris kvadrati, romlis farTobia 64.
A. 96 3 B. 128 3 C. 136 3 D. 148 3
32.46. ipoveT wesieri eqvskuTxa prizmis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 4, xolo simaRlea 2 3 .
A. 144 B. 120 C. 150 D. 136
232

32.47. wesieri eqvskuTxa prizmis TiToeuli wibo 7-is tolia.
ipoveT prizmis mcire diagonali.
A. 12 B. 28 C. 14 D. 8
32.48. wesieri eqvskuTxa prizmis TiToeuli wibo tolia
7 5 -is. ipoveT prizmis didi diagonali.
A. 36 B. 40 C. 28 D. 35
32.49. ipoveT marTi samkuTxa prizmis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi simaRle udris 50-s da fuZis gverdebia
40; 13 da 37.
A. 4800 B. 4500 C. 5000 D. 4200
32.50. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 25; 29 da
36. sruli zedapiris farTobia 1620. ipoveT prizmis simaRle.
A. 8 B. 14 C. 12 D. 10
32.51. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebi ise Seefardeba
erTmaneTs, rogorc 17:10:9. gverdiTi wibo tolia 16is;
prizmis sruli zedapiris farTobia 1440. ipoveT prizmis
fuZis umciresi gverdi.
A. 18 B. 16 C. 20 D. 14
32.52. marTi prizmis fuZe marTkuTxa samkuTxedia, romlis
kaTetebia 6 da 8. didi gverdiTi waxnagis farTobia 20.
ipoveT prizmis moculoba.
A. 36 B. 48 C. 42 D. 52
32.53. marT samkuTxa prizmaSi fuZis gverdebia 4; 5 da 7,
xolo gverdiTi wibo fuZis didi simaRlis tolia. ipoveT
prizmis moculoba.
A. 48 B. 52 C. 46 D. 44
32.54. marTi samkuTxa prizmis fuZe marTkuTxa samkuTxedia
kaTetebiT 6 sm da 9 sm. zeda fuZis mcire kaTetze da
qveda fuZis am kaTetis mopirdapire wveroze gavlebulia
kveTa. ipoveT miRebuli kveTis farTobi, Tu prizmis gverdiTi
wiboa 12 sm.
A. 30 sm2 B. 45 sm2 C. 90 sm2 D. 60 sm2 32.55. ABCDA 1B1C1
D1
marTkuTxa paralelepipedis moculobaa
24. M da N wertilebi Sesabamisad paralelepipedis
AD da BC wiboebis Suawertilebia. ipoveT AA1 MBB1N
samkuTxa
prizmis moculoba.
A. 8 B. 6 C. 12 D. 18
32.56. ABCDA 1B1C1
D1
marTkuTxa paralelepipedis moculobaa
25. M da N wertilebi Sesabamisad paralelepipedis
233

AD da BC wiboebis iseTi wertilebia, rom
AM : MD = BN : NC = 2 : 3 . ipoveT AA1 MBB1N
samkuTxa prizmis
moculoba.
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
32.57. kubis wibo 4 3 3 -is tolia. ipoveT fuZis gverdze
gamavali sibrtyiT kubis kveTis farTobi, Tu kuTxe am sibrtyesa
da fuZes Soris 30 o -ia.
32.58. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da
4. paralelepipedis diagonali daxrilia fuZis sibrtyisadmi
60 o -iani kuTxiT. ipoveT paralelepipedis gverdiTi zedapiris
farTobi.
32.59. marTkuTxa paralelepipedis fuZis gverdebia a da
b. misi diagonali fuZis sibrtyesTan α kuTxes qmnis. ipo-
1
veT paralelepipedis moculoba, Tu a=6, b=8, tg α = .
32.60. marTkuTxa paralelepipedis gverdiTi wibo udris
5-s. diagonaluri kveTis farTobia 205, fuZis farTobi ki
360. ipoveT fuZis udidesi gverdi.
32.61. ipoveT marTkuTxa paralelepipedis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi simaRlea 2, fuZis farTobi 3 da
diagonaluri kveTis farTobi 5.
32.62. marTkuTxa paralelepipedis d diagonali fuZis sibrtyesTan
α kuTxes Seadgens, xolo gverdiT waxnagTan β
kuTxes. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu d=6,
2 1
sin α = , sin β = .
3
3
32.63. marTkuTxa paralelepipedis d diagonali erT gverdiT
waxnagTan α kuTxes qmnis, xolo meore gverdiT waxnagTan
β kuTxes. ipoveT paralelepipedis gverdiTi zeda-
1 2
piris farTobi, Tu d=5, sin α = , sin β = .
5 5
32.64. marTkuTxa paralelepipedis moculoba udris V-s,
xolo diagonali fuZis sibrtyesTan adgens β kuTxes. fu-
Zis diagonalebs Soris kuTxe udris α -s. ipoveT parale-
4
lepipedis simaRle, Tu V=25, sin α = , tg β = 2 .
5
32.65. marTi paralelepipedis gverdiTi wiboa 5, fuZis
234
5

gverdebia 6 da 8, xolo fuZis erT-erTi diagonali udris
12-s. ipoveT paralelepipedis udidesi diagonali.
32.66. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 5, xolo
fuZis erT-erTi diagonali udris 4-s. ipoveT paralelepipedis
didi diagonali, Tu viciT, rom misi mcire diagonali
fuZis sibrtyesTan qmnis 60 o -ian kuTxes.
32.67. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 10 da 17.
fuZis erTi diagonali udris 21-s. paralelepipedis didi
diagonali tolia 29-is. ipoveT paralelepipedis sruli
zedapiris farTobi.
32.68. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 5, xolo
maT Soris kuTxe 30 o -ia. ipoveT paralelepipedis moculoba,
Tu misi gverdiTi zedapiris farTobia 24.
32.69. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 2 2 da 5,
xolo maT Soris kuTxe 45 o -ia. ipoveT paralelepipedis moculoba,
Tu misi mcire diagonalia 7.
32.70. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 8 da 15,
xolo maT Soris kuTxe 60 o -ia. paralelepipedis mcire diagonali
fuZis sibrtyesTan qmnis 30 o -ian kuTxes. ipoveT paralelepipedis
moculoba.
32.71. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 2 da 5, man-
Zili fuZis mcire gverdebs Soris udris 4-s. gverdiTi wibo
udris 2 2 -s. ipoveT paralelepipedis mcire diagonali.
32.72. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 6 da 8. maT
Soris kuTxe 30 o -ia, gverdiTi wibo ki udris 5-s. ipoveT
paralelepipedis sruli zedapiris farTobi.
32.73. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 3 da 8. maT
Soris kuTxe 60 o -ia. paralelepipedis gverdiTi zedapiris
farTobia 220. ipoveT paralelepipedis mcire diagonaluri
kveTis farTobi.
32.74. marTi paralelepipedis gverdiTi wibo udris 10-s,
fuZis gverdebi 23 da 11-ia, xolo fuZis diagonalebi ise
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 2:3. ipoveT didi diagonaluri
kveTis farTobi.
32.75. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia 2 da 6, xo-
lo maT Soris kuTxe 60
235
o -ia. ipoveT paralelepipedis sibrtyiT
kveTis farTobi, Tu cnobilia, rom es sibrtye kveTs

paralelepipedis yvela gverdiT wibos da fuZis sibrtyes-
Tan 30
236
o -ian kuTxes adgens.
32.76. marTi paralelepipedis fuZis gverdebia a da b, xolo
maT Soris maxvili kuTxe α -s tolia. fuZis didi
diagonali udris paralelepipedis mcire diagonals.
ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu a=3, b=2,
1
cos α = .
3
32.77. marTi paralelepipedis fuZe rombia, romlis diagonalebia
6 da 8. ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris
farTobi, Tu gverdiTi waxnagis diagonalia 13.
32.78. marTi paralelepipedis fuZe rombia, diagonaluri
kveTebis farTobebia 28 da 21, xolo paralelepipedis sima-
Rle udris 7-s. ipoveT paralelepipedis sruli zedapiris
farTobi.
32.79. marTi paralelepipedis fuZea rombi a gverdiTa da
α blagvi kuTxiT. paralelepipedis mcire diagonali misi
fuZis sibrtyesTan adgens β kuTxes. ipoveT paralelepipe-
α 1
dis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu a=12, cos = ,
2 3
1
tg β = .
8
32.80. marTi paralelepipedis fuZea rombi d mcire diagonaliTa
da α maxvili kuTxiT. paralelepipedis simaRlea
2
H. ipoveT paralelepipedis moculoba, Tu d=4,
2 3
=
α
tg , H=4.
32.81. marTi paralelepipedis fuZe aris rombi, romlis
maxvili kuTxea ϕ da didi diagonalia d. paralelepipedis
mcire diagonali fuZis sibrtyesTan qmnis β kuTxes. ipoveT
paralelepipedis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu
ϕ 3
d = 11 , sin = , tg β = 2 3 .
2 5
32.82. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis simaRle, Tu misi
gverdiTi zedapiris farTobia 16, xolo fuZis diagonali
4.
32.83. wesieri oTxkuTxa prizmis diagonalis sigrZe udris
d-s da daxrilia gverdiTi waxnagisadmi ϕ kuTxiT.
2 2
ipoveT prizmis moculoba, Tu d=5, sin ϕ = .
5

32.84. ipoveT wesieri oTxkuTxa prizmis moculoba, Tu
misi diagonali gverdiT waxnagTan qmnis 30 o -ian kuTxes,
xolo fuZis gverdi udris 3 2 -s.
32.85. wesieri samkuTxa prizmis gverdiT wiboze gavlebulia
mopirdapire waxnagisadmi perpendikularuli mkveTi
sibrtye, romlis farTobi udris 12 3 -s. ipoveT prizmis
gverdiTi zedapiris farTobi.
32.86. wesieri samkuTxa prizmis gverdiTi wibo udris
fuZis simaRles, maTze gavlebuli kveTis farTobi ki aris
48. ipoveT prizmis moculoba.
32.87. wesieri samkuTxa prizmis fuZis erT gverdze gavlebulia
mkveTi sibrtye, romelic kveTs mopirdapire gverdiT
wibos da fuZis sibrtyesTan adgens α kuTxes. fuZis
3
gverdi tolia 3-is. ipoveT kveTis farTobi, Tu cos α = .
4
32.88. wesieri eqvskuTxa prizmis udidesi diagonali udris
8-s, xolo gverdiTi wibos sigrZe ki 4 3 -s. ipoveT
prizmis moculoba.
32.89. wesieri eqvskuTxa prizmis fuZis gverdis sigrZea
2, xolo gverdiTi wibos sigrZe ki 4 3 . ipoveT kuTxe, romelsac
prizmis udidesi diagonali qmnis fuZis sibrtyes-
Tan.
32.90. wesieri eqvskuTxa prizmis udidesi diagonaluri
kveTis farTobia 1. ipoveT gverdiTi zedapiris farTobi.
32.91. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 10; 17 da
21. prizmis simaRle ki udris 11-s. ipoveT gverdiT wibosa
da fuZis mcire simaRleze gavlebuli kveTis farTobi.
32.92. marTi prizmis fuZe rombia. prizmis diagonalebis
sigrZeebia 2 10 da 2 17 , simaRle ki udris 2-s. ipoveT
prizmis moculoba.
32.93. marTi prizmis fuZe rombia, romlis gverdia 4,5.
prizmis diagonalebia 8 da 5. ipoveT prizmis simaRle.
32.94. marTi oTxkuTxa prizmis simaRlea h, diagonalebi
daxrilia fuZis sibrtyisadmi α da β kuTxeebiT. fuZis
diagonalebs Soris kuTxe ϕ -s tolia. ipoveT prizmis mo-
4 5 2
culoba, Tu h=5, tg α = , tg β = , sin ϕ = .
3 4 5
32.95. marTi prizmis fuZea wreze Semoxazuli tolferda
237

trapecia, romlis Suaxazia 20, xolo prizmis simaRlea 30.
ipoveT prizmis gverdiTi zedapiris farTobi.
32.96. marTi prizmis fuZea ABCD tolferda trapecia,
romlis gverdebia: AB=CD=13, BC=11 da AD=21. misi diagonaluri
kveTis farTobia 180. ipoveT prizmis gverdiTi zedapiris
farTobi.
32.97. marT prizmas fuZeSi aqvs tolferda trapecia, romlis
fuZeebis sigrZeebia 5 da 3, xolo maxvili kuTxea 60 o .
prizmis qveda fuZis did fuZeze da zeda FfuZis mcire fu-
Zeze gavlebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyisadmi
daxrilia 60 o -iani kuTxiT. ipoveT kveTis farTobi.
32.98. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia 43 , 43
da 6 3 , xolo gverdiTi wiboa 12. samkuTxedis fuZeze gavlebulia
mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyesTan ad-
3
gens α kuTxes. ipoveT kveTis farTobi, Tu cos α = .
5
32.99. marTi samkuTxa prizmis fuZis gverdebia AB = 3 ,
AC = 4 da BC = 5 , xolo gverdiTi wiboa 6 2 . samkuTxedis
AC gverdze gavlebulia mkveTi sibrtye, romelic fuZis
sibrtyesTan adgens α kuTxes. ipoveT kveTis farTobi, Tu
1
cos α = .
3
32.100. wesieri samkuTxa prizmis fuZis erT gverdze gavlebulia
mkveTi sibrtye, romelic fuZis sibrtyesTan adgens
α kuTxes. fuZis gverdi tolia 4-is, xolo gverdiTi
2
wibo 21 -is. ipoveT kveTis farTobi, Tu cos α = .
4
32.101. marTkuTxa paralelepipedis formis WurWeli
wyliT aris savse. paralelepipedis simaRle fuZis gverdze
metia, xolo fuZe warmoadgens kvadrats, romlis gverdi
6 sm-is tolia. ramdeni litri wyali gadaiRvreba WurWlidan,
Tu mas gadavxriT fuZis erT-erTi wibos mimarT
ise, rom fuZis sibrtyem horizontaluri sibrtyisadmi 45°iani
kuTxe Seadginos?
238

%44/!qjsbnjeb!
33.1. 1) Tu piramidas eqvsi wibo aqvs, maSin am piramidis
waxnagebis raodenobaa:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2) Tu piramidas xuTi waxnagi aqvs, maSin am piramidis
wiboebis raodenobaa:
A. 8 B. 6 C. 10 D. 4
3) Tu piramidis wiboebis ricxvi eqvsiT metia gverdiTi
waxnagebis ricxvze, maSin piramidis wveroebis raodenobaa:
A. 5 B. 8 C. 6 D. 7
4) Tu piramidis wiboebis ricxvi samiT metia waxnagebis
ricxvze, maSin piramidis wveroebis raodenobaa:
A. 6 B. 4 C. 5 D. 7
ABCDA B C D marTkuTxa paralelepipedis moculo-
33.2. 1 1 1 1
baa 18. O wertili aris 1B1C1
D1
A fuZis diagonalebis gadakveTis
wertili. ipoveT OABCD piramidis moculoba.
A. 8 B. 9 C. 6 D. 12
33.3. ABCDA 1B1C1
D1
marTkuTxa paralelepipedis moculobaa
30. ipoveT B1 ABCD piramidis moculoba.
A. 10 B. 6 C. 5 D. 15
33.4. ABCDA 1B1C1
D1
marTkuTxa paralelepipedis moculobaa
120. M da N wertilebi Sesabamisad A 1B1
da A 1D1
wiboebis
Suawertilebia. ipoveT AA1 MN piramidis moculoba.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
33.5. ABCDA 1B1C1
D1
marTkuTxa paralelepipedis moculobaa
96. M , N da E wertilebi Sesabamisad AA 1 , A1B1
da A 1D1
wiboebis Suawertilebia. ipoveT
loba.
A1 MNE piramidis mocu-
A. 4 B. 2 C. 8 D. 12
33.6. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobia 16, xolo sruli zedapiris farTobi 20. ipoveT
piramidis fuZis gverdi.
A. 4 B. 2 C. 1 D. 1,5
33.7. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis simaRle, Tu misi
fuZis gverdia 8, xolo gverdiTi wibo 9.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
33.8. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi,
239

Tu misi simaRlea 17, xolo gverdiTi wibo 19.
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
33.9. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi,
Tu piramidis simaRlea 16, xolo apoTema 20.
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
33.10. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo,
Tu misi simaRlea 7, xolo fuZis gverdia 8.
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
33.11. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema, Tu misi
fuZis gverdia 24, xolo simaRlea 5.
A. 17 B. 15 C. 13 D. 11
33.12. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 8, fuZeze Semoxazuli
wrewiris sigrZea 12 π . ipoveT piramidis gverdi-
Ti wibo.
A. 8 B. 9 C. 11 D. 10
33.13. wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema fuZis sibrtyesTan
adgens 45 o -ian kuTxes. ipoveT piramidis simaRle,
Tu misi fuZis farTobia 16.
A. 4 B. 2 C. 8 D. 2 2
33.14. wesieri oTxkuTxa piramidis apoTemaa 15, xolo fu-
Zeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 40 π . ipoveT piramidis
simaRle.
A. 5 B. 3 C. 8 D. 10
33.15. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis farTobia 9, xolo apoTemaa 4.
A. 22 B. 44 C. 55 D. 33
33.16. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis apoTema, Tu misi
fuZis farTobia 16, xolo sruli zedapiris farTobi 40.
A. 4 B. 3 C. 6 D. 8
33.17. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobia 14,76, xolo sruli zedapiris farTobi_18. ipoveT
piramidis simaRle.
A. 2 B. 5,8 C. 3,2 D. 4
33.18. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 12, xolo fuZis gverdia 3 .
A. 12 B. 6 C. 9 3 D. 3 3
33.19. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wiboa 5.
A. 32 B. 24 C. 48 D. 96
33.20. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
240

misi fuZis gverdia 12, xolo gverdiTi wiboa 9.
A. 72 B. 81 C. 144 D. 108
33.21. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 12, xolo apoTemaa 13.
A. 300 B. 400 C. 100 D. 200
33.22. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi gverdiTi wiboa 10, xolo fuZis diagonalia 12.
A. 96 B. 124 C. 148 D. 192
33.23. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis simaRle, Tu misi
fuZis gverdia 9, xolo gverdiTi wiboa 14.
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
33.24. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis apoTema, Tu misi
fuZis gverdia 12, xolo simaRlea 2.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
33.25. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdi,
Tu misi apoTema aris 8, xolo simaRle 4.
A. 28 B. 24 C. 20 D. 16
33.26. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo,
Tu misi fuZis gverdi aris 6, xolo simaRlea 2.
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
33.27. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdi,
Tu misi gverdiTi wiboa 13, xolo simaRle 11.
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
33.28. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobia 36
maRle.
7 , xolo apoTemaa 2 7 . ipoveT piramidis si-
A. 8 B. 6 C. 2 D. 4
33.29. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 2, xolo simaRlea 2 3 .
A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 2
33.30. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 6, xolo gverdiTi wiboa 3 3 .
A. 3 B. 4 5 C. 9 5 D. 9
33.31. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wiboa 5.
A. 12 3 B. 8 3 C. 15 3 D. 18 3
33.32. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 3, xolo apoTemaa 5.
241

A. 12 3 B. 24 3 C. 36 3 D. 48 3
33.33. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 18, xolo fuZis simaRlea 5.
A. 36 3 B. 42 3 C. 50 3 D. 90 3
33.34. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 4, xolo fuZeze Semoxazuli wrewiris radiusia
6.
A. 48 3 B. 36 3 C. 60 3 D. 72 3
33.35. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 4, xolo fuZeSi Caxazuli wrewiris radiusia
5.
A. 100 3 B. 70 3 C. 20 3 D. 50 3
33.36. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea 4, xolo moculoba
4 3 . ipoveT piramidis apoTema.
A. 3 B. 6 C. 17 D. 15
33.37. wesieri eqvskuTxa piramidis fuZis gverdia 12, gverdiTi
wibo ki 13. ipoveT piramidis simaRle.
A. 3 B. 5 C. 10 D. 2,5
33.38. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis apoTema, Tu
fuZis gverdia 4, xolo piramidis simaRlea 2.
A. 2 B. 6 C. 8 D. 4
33.39. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis gverdia
simaRlea 2.
3 , xolo piramidis
A. 12 3 B. 6 C. 12 D. 6 3
33.40. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu piramidis simaRle aris 3, xolo gverdiTi
wiboa 5.
A. 18 B. 21 C. 12 21 D. 12
33.41. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 6, xolo fu-
Zeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 16 2 π . ipoveT piramidis
apoTema.
33.42. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 2 15 . piramidis
apoTema daxrilia fuZis sibrtyisadmi 60 o -iani kuT-
242

xiT. ipoveT piramidis gverdiTi wibo.
33.43. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 10 . piramidis
gverdiTi wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi 30 o -iani
kuTxiT. ipoveT piramidis apoTema.
33.44. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi,
Tu misi sruli zedapiris farTobia 48, xolo fuZesTan
mdebare orwaxnaga kuTxe 60 o -ia.
33.45. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis gverdia 5, xolo fuZesTan
mdebare orwaxnaga kuTxe 60 o -ia.
33.46. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi apoTemaa 4, xolo fuZesTan mdebare
orwaxnaga kuTxe 60 o -ia.
33.47. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi simaRlea 3, xolo gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan
adgens 45 o -ian kuTxes.
33.48. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 12 da
igi daxrilia fuZis sibrtyisadmi 60 o -iani kuTxiT. ipoveT
piramidis moculoba.
33.49. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris
6-s da fuZis sibrtyisadmi daxrilia 30 o -iani kuTxiT. ipoveT
piramidis moculoba.
33.50. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 6, xolo fuZesTan mdebare orwaxnaga
kuTxea 45 o .
33.51. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 4, xolo apo-
Temasa da simaRles Soris kuTxea α . ipoveT piramidis mo-
4
culoba, Tu cos α = .
5
33.52. wesieri oTxkuTxa piramidis moculobaa 32, xolo
fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxea α . ipoveT piramidis
simaRle, Tu tg α = 3 .
33.53. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 14, gverdiTi
wibo ki 10. ipoveT diagonaluri kveTis farTobi.
33.54. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 4, xolo
gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan α kuTxes qmnis. ipoveT
piramidis diagonaluri kveTis farTobi, Tu tg α = 3 .
243

33.55. ipoveT wesieri oTxkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan adgens 45 o -ian kuTxes,
xolo diagonaluri kveTis farTobia 9.
33.56. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis farTobia 36,
gverdiTi zedapiris farTobi ki 3 265 . ipoveT piramidis
moculoba.
33.57. wesieri oTxkuTxa piramidis gverdiTi wibo 7-is
tolia, xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxe udris α -s.
1
ipoveT piramidis moculoba, Tu cos α = .
49
33.58. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 8, xolo
diagonaluri kveTis farTobia 12 2 . ipoveT piramidis
moculoba.
33.59. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 4, fuZesTan
mdebare orwaxnaga kuTxe ki 60 o . ipoveT piramidis
gverdiTi zedapiris farTobi.
33.60. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 3, xolo
gverdiT waxnagsa da fuZis sibrtyes Soris orwaxnaga
kuTxis sidide α -s tolia. ipoveT piramidis gverdiTi ze-
3
dapiris farTobi, Tu cos α = .
5
33.61. wesieri oTxkuTxa piramidis simaRlea 2, fuZis gverdTan
Seqmnili orwaxnaga kuTxea α . ipoveT piramidis gverdiTi
zedapiris farTobi, Tu cos α = 0,
6 .
33.62. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi udris
a -s, xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxe α -s tolia.
ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu a = 11 ,
1
2 3
=
α
tg .
33.63. piramidis fuZe marTkuTxedia, romlis gverdebia 9
da 12. yvela gverdiTi wibo 12,5-is tolia. ipoveT piramidis
moculoba.
33.64. oTxkuTxa piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis
diagonalia 2 3 , xolo diagonalebs Soris mdebare kuTxea
60 o . piramidis TiToeuli gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan
adgens 45 o -ian kuTxes. ipoveT piramidis moculoba.
33.65. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis diagonali
udris d -s, xolo diagonalebs Soris kuTxea α . piramidis
244

TiToeuli wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi β kuTxiT.
1
ipoveT piramidis moculoba, Tu d = 10 , sin α = , tg β = 3 .
5
33.66. piramidis fuZe marTkuTxedia, romlis gverdebia 6
da 8. piramidis TiToeuli gverdiTi wibo tolia 13-is.
ipoveT piramidis simaRle.
33.67. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis diagonalebia
6 da 8. ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu
misi simaRle gadis diagonalebis gadakveTis wertilze da
udris 1.
33.68. MABCD piramidis fuZe ABCD kvadratia. MB wibo
fuZis sibrtyis marTobulia, xolo MA wibo fuZis sibrtyesTan
45°-ian kuTxes qmnis. gamoTvaleT am piramidis gverdiTi
zedapiris farTobi, Tu MB= 2 sm.
33.69. MABCD piramidis fuZe ABCD marTkuTxedia; MB wibo
fuZis sibrtyis marTobulia. MA wibo fuZis sibrtyes-
Tan 60°-is tol kuTxes qmnis, xolo MC wibo _ 30°-ian kuTxes.
gamoTvaleT piramidis zedapiris farTobi, Tu cnobilia,
rom MB=2 sm.
33.70. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis farTobia 48
sm2 . piramidis ori gverdiTi waxnagi fuZis marTobulia,
xolo ori danarCeni daxrili da fuZesTan qmnian 60°-ian
da 30°-ian kuTxeebs. ipoveT piramidis zedapiris farTobi.
33.71. piramidis fuZea marTkuTxedi, romlis diagonali
16 sm-ia. piramidis ori gverdiTi waxnagi fuZis marTobulia,
xolo ori danarCeni daxrilia da fuZesTan qmnian
45°-ian da 60°-ian kuTxeebs. ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi.
33.72. piramidas fuZed aqvs rombi 60°-iani kuTxiT da 5
sm-iani gverdiT. piramidis ori mosazRvre gverdiTi waxnagi
fuZis sibrtyis marTobulia, xolo danarCeni ori ki
daxrilia misadmi 60°-iani kuTxiT. ipoveT piramidis gverdiTi
zedapiris farTobi.
33.73. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis gverdi 25 dmia
da mcire diagonali 30 dm. piramidis simaRle gadis misi
fuZis blagvi kuTxis wveroze da udris 32 dm-s. ipoveT
piramidis zedapiris farTobi.
33.74. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia a , xolo
fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxe udris α -s. ipoveT
piramidis moculoba, Tu a = 6 , tg α = 2 .
245

33.75. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis centrze gavlebulia
kveTa, romelic gverdiTi waxnagis paraleluria.
ipoveT kveTis farTobi, Tu piramidis simaRle udris 5-s,
xolo apoTema 13-s.
33.76. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdi udris
a-s, xolo gverdiTi wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi α
3
kuTxiT. ipoveT piramidis moculoba, Tu a = 2 , tg α = .
2
33.77. wesieri oTxkuTxa piramidis fuZis gverdia 6, xolo
or mosazRvre gverdiT waxnags Soris kuTxe ki 120 o .
ipoveT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi.
33.78. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris
11-s da fuZis sibrtyesTan qmnis 30 o -ian kuTxes. ipoveT piramidis
fuZis gverdi.
33.79. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis apoTema, Tu fu-
Zis gverdia 15 da gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan Seadgens
45 o -ian kuTxes.
33.80. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibo udris
15-s, xolo apoTema udris 12-s. ipoveT piramidis fuZeze
Semoxazuli wrewiris radiusi.
33.81. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis gverdia 6 3 , xolo simaRlea
4.
33.82. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu fuZis gverdia 4 15 da gverdiTi wibo
fuZis sibrtyesTan Seadgens 45 o -ian kuTxes.
33.83. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi simaRlea 4 da apoTemaa 8.
33.84. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis gverdia 2, xolo fuZesTan
mdebare orwaxnaga kuTxea 60 o .
33.85. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi apoTemaa 14, xolo fuZesTan mdebare orwaxnaga kuTxe
_ 45 o .
33.86. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 3 da
fuZis sibrtyesTan qmnis α kuTxes. ipoveT piramidis mocu-
246

1
loba, Tu sin α = .
3
33.87. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 6, piramidis
gverdiTi wibo fuZis sibrtyisadmi daxrilia 45 o -
iani kuTxiT. ipoveT piramidis moculoba.
33.88. ipoveT wesieri samkuTxa piramidis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 12, xolo gverdiTi waxnagi daxrilia
fuZis sibrtyisadmi 45 o -iani kuTxiT.
33.89. wesieri samkuTxa piramida gadakveTilia sibrtyiT,
romelic fuZis perpendikularulia da fuZis or gverds
Suaze yofs. piramidis gverdiTi wibo daxrilia fuZis sibrtyisadmi
α kuTxiT, xolo fuZis gverdi udris a -s. ipoveT
kveTis farTobi, Tu a = 12 , tg α = 2 3 .
33.90. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobia 90. fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 8 3π
.
ipoveT piramidis apoTema.
33.91. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi zedapiris
farTobia 72, xolo apoTema udris 8-s. ipoveT fuZeze Semoxazuli
wrewiris radiusi.
33.92. wesieri samkuTxa piramidis apoTema udris 10-s, xolo
fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 6 3π
. ipoveT piramidis
gverdiTi zedapiris farTobi.
33.93. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wiboa 10, xolo
fuZeze Semoxazuli wrewiris sigrZea 8 3π
. ipoveT piramidis
gverdiTi zedapiris farTobi.
33.94. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 6 3 , xolo
misi gverdiTi zedapiris farTobia 36 3 . ipoveT piramidis
moculoba.
33.95. wesieri samkuTxa piramidis gverdiTi wibos sigr-
Zea l , xolo wverosTan mdebare brtyeli kuTxea α . ipoveT
α 3
piramidis simaRle, Tu l = 14 , sin = .
2 4
33.96. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea H , xolo
wverosTan mdebare brtyeli kuTxea β . ipoveT piramidis
β 3
gverdiTi wibo, Tu H = 15 , sin = .
2 4
33.97. wesieri samkuTxa piramidis simaRlea H , xolo
247

wverosTan mdebare brtyeli kuTxe 2 ϕ . ipoveT manZili piramidis
fuZis centridan gverdiT waxnagamde, Tu H = 6 ,
tg ϕ = 2 .
33.98. samkuTxa piramidis gverdiTi wiboebi urTierTmar-
Tobulia da TiToeuli maTgani 6-is tolia. ipoveT piramidis
moculoba.
33.99. MABC samkuTxa piramidis fuZe tolferda samkuTxedia,
AB=BC=6 sm, romlis wverosTan mdebare kuTxea 90°.
piramidis MB wibo ABC sibrtyis marTobulia da 3 sm-is
tolia. ipoveT manZili B wertilidan AMC waxnagamde.
33.100. MABC samkuTxa piramidis gverdiTi wiboebi urTierTmarTobulia,
MA⊥MB, MB⊥MC da MA⊥MC. gamoTvaleT
piramidis simaRle, romelic daSvebulia ABC fuZeze, Tu
MA=8 sm, MB=6 sm da MC= 13 sm.
33.101. piramidis fuZe aris marTkuTxa samkuTxedi, romlis
hipotenuza 6-is tolia. TiToeuli gverdiTi wibo
fuZis sibrtyesTan qmnis α kuTxes. ipoveT piramidis sima-
Rle, Tu tg α = 2 .
33.102. piramidis fuZea marTkuTxa samkuTxedi, romlis
kaTetebia 6 da 8. yoveli gverdiTi waxnagi fuZis sibrtyes-
Tan 45 o -ian kuTxes qmnis. ipoveT piramidis simaRle.
33.103. piramidis fuZea marTkuTxa samkuTxedi, romlis
kaTetebia 7 da 2,3. piramidis yvela gverdiTi waxnagi daxrilia
fuZis sibrtyisadmi α kuTxiT. ipoveT piramidis gverdiTi
zedapiris farTobi, Tu cos α = 0,
25 .
33.104. wesieri piramidis sruli zedapiris farTobia 38,
xolo kuTxe gverdiT waxnagsa da fuZes Soris α -s tolia.
1
ipoveT fuZis farTobi, Tu cos α = .
4
33.105. samkuTxa piramidis fuZis gverdebia 13, 14 da15. fu-
ZesTan mdebare yvela orwaxnaga kuTxe 60 o -ia. ipoveT piramidis
sruli zedapiris farTobi.
33.106. piramidis fuZe tolferda samkuTxedia, romlis
fuZea 6, simaRle ki 9. piramidis TiToeuli gverdiTi wibo
13-is tolia. ipoveT piramidis simaRle.
33.107. piramidis fuZe tolferda samkuTxedia, romlis
gverdebia 6, 6 da 8. TiToeuli gverdiTi wibo 9-is tolia.
ipoveT piramidis moculoba.
248

33.108. piramidis fuZea tolferda samkuTxedi, romlis
gverdebia 6, 5 da 5. piramidis gverdiTi waxnagebi mis fuZes-
Tan adgenen 45 o -ian kuTxeebs. ipoveT piramidis moculoba.
33.109. ipoveT samkuTxa piramidis fuZis farTobi, Tu
gverdiTi wiboebis Suawertilebis SeerTebiT miRebuli samkuTxedis
farTobia 5.
33.110. piramidis simaRlis Suawertilze gavlebulia fu-
Zis paraleluri kveTa. ipoveT kveTis farTobi, Tu fuZis
farTobia 16.
33.111. piramidis simaRle dayofilia oTx tol nawilad
da dayofis wertilebze gavlebulia fuZis paraleluri
kveTebi. ipoveT fuZidan uaxloesi kveTis farTobi, Tu fu-
Zis farTobia 32.
33.112. wesieri eqvskuTxa piramidis fuZis gverdia 5 6 ,
xolo fuZis gverdTan Seqmnili orwaxnaga kuTxea α . ipo-
3
veT piramidis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu cos α = .
4
33.113. wesieri eqvskuTxa piramidis simaRlea 5, xolo
fuZis gverdia 3. ipoveT udidesi diagonaluri kveTis far-
Tobi.
33.114. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu
piramidis simaRlea 5 3 , xolo fuZis gverdia 2.
33.115. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu
misi fuZis gverdia 4, xolo gverdiTi wiboa 43 .
33.116. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba,
Tu misi fuZis gverdia 2, xolo fuZesTan mdebare orwaxnaga
kuTxea 45 o .
33.117. ipoveT wesieri eqvskuTxa piramidis moculoba, Tu
gverdiTi wiboa 4 da piramidis simaRlesTan qmnis 30
249
o -ian
kuTxes.
33.118. wesieri eqvskuTxa piramidis moculobaa 4116, xolo
gverdiTi wibos sigrZe orjer metia fuZis gverdis sigrZeze.
ipoveT piramidis fuZis gverdi.
33.119. samkuTxa piramidis ori waxnagi tolferda marTkuTxa
samkuTxedebia, romelTa kaTetebi 3-is tolia, xolo
hipotenuzebi erTmaneTTan qmnian α kuTxes. ipoveT pirami-
1
dis moculoba, Tu cos α = .
3
33.120. piramidas fuZed aqvs marTkuTxa samkuTxedi, xo-

lo gverdiTi wiboebi erTmaneTis tolia. piramidis simaRle
udris H -s. piramidis fuZesTan mdebare ori orwaxnaga
kuTxe udris α -s da β -s. ipoveT piramidis moculoba, Tu
1 1
H = 3 , tg α = , tg β = .
3 4
33.121. wesieri samkuTxa piramidis fuZis gverdia 8. sibrtye,
romelic gadis fuZis gverdze da piramidis simaRlis
Suawertilze, daxrilia fuZisadmi α kuTxiT. ipoveT am
3
sibrtyiT piramidis kveTis farTobi, Tu cos α = .
3
33.122. piramidas fuZed aqvs rombi, romlis mcire diagonalis
sigrZea d , xolo maxvili kuTxis sididea α . TiToeuli
gverdiTi waxnagi fuZis sibrtyesTan β sididis orwaxnaga
kuTxes qmnis. ipoveT piramidis sruli zedapiris
1
farTobi, Tu d = 2 ,
2 3
=
α
1
tg , cos β = .
6
33.123. piramidas fuZed aqvs tolferda trapecia, romlis
fuZeebia a da b . yoveli gverdiTi waxnagi piramidis
fuZesTan β kuTxes qmnis. ipoveT piramidis moculoba, Tu
1
a = 10 , b = 6 , tg β = .
2
33.124. piramidas fuzed aqvs trapecia, romlis diagonali
ferdis perpendikularulia, xolo fuZesTan α kuTxes
adgens. trapeciis simaRle udris h -s. piramidis TiToeuli
gverdiTi wibo fuZis sibrtyesTan β kuTxes adgens. ipo-
1 1
veT piramidis moculoba, Tu h = 6 , tg α = , tg β = .
3 6
$34. cilindri. konusi. birTvi
!
34.1. kvadratis gverdis sigrZea 2. ipoveT im sxeulis gverdiTi
zedapiris farTobi, romelic miiReba kvadratis
brunviT misi gverdis garSemo.
A. 6 π B. 8 π C. 10 π D. 12 π
34.2. marTkuTxedis gverdebia 3 da 4. ipoveT im sxeulis
moculoba, romelic miiReba marTkuTxedis brunviT misi
mcire gverdis garSemo.
A. 36 π B. 40 π C. 48 π D. 60 π
34.3. cilindris simaRlea 7, xolo fuZis radiusi 2. ipo-
250

veT cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.
A. 28 π B. 36 π C. 30 π D. 32 π
34.4. cilindris simaRlea 6, xolo fuZis radiusi 3. ipoveT
cilindris moculoba.
A. 27 π B. 54 π C. 36 π D. 48 π
34.5. ipoveT cilindris gverdiTi zedapiris farTobi, Tu
misi fuZis farTobia 36 π , xolo simaRle 3.
A. 36 π B. 12 π C. 42 π D. 40 π
34.6. ipoveT cilindris fuZis farTobi, Tu misi gverdi-
Ti zedapiris farTobia 100 π , xolo simaRle 10.
A. 5 π B. 10 π C. 25 π D. 50 π
34.7. ipoveT cilindris simaRle, Tu misi gverdiTi zedapiris
farTobia 32 π , xolo fuZis farTobi 16 π .
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
34.8. ipoveT cilindris RerZuli kveTis farTobi, Tu misi
fuZis farTobia 25 π , xolo simaRle 10.
A. 100 B. 120 C. 80 D. 90
34.9. ipoveT cilindris simaRle, Tu misi RerZuli kve-
Tis farTobia 42, xolo fuZis farTobi 9 π .
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
34.10. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati. ipoveT
cilindris simaRle, Tu fuZis radiusia 2.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
34.11. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis
farTobia 36. ipoveT cilindris gverdiTi zedapiris far-
Tobi.
A. 36 π B. 12 π C. 24 π D. 30 π
34.12. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis
diagonalis sigrZea 3 2 . ipoveT cilindris moculoba.
19π 21π 25π 27π
A. B. C. D.
4
4
4
4
34.13. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati. ipoveT
cilindris simaRle, Tu misi moculobaa 128 π .
A. 5 B. 6 C. 8 D. 7
34.14. cilindris RerZuli kveTa aris kvadrati, romlis
4
gverdis sigrZea . ipoveT cilindris sruli zedapiris
π
farTobi.
A. 24 B. 26 C. 18 D. 22
251

5
34.15. cilindris ERerZuli kveTis farTobia . ipoveT
π
cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
34.16. cilindris fuZis farTobia 4 π , xolo RerZuli
kveTis farTobia 20. ipoveT cilindris sruli zedapiris
farTobi.
A. 20 π B. 24 π C. 28 π D. 32 π
34.17. cilindris gverdiTi zedapiris farTobia 16, xolo
fuZis wrewiris sigrZe 8 π . ipoveT cilindris moculoba.
A. 32 π B. 32 C. 28 π D. 28
34.18. cilindruli formis WurWelSi, romlis fuZis diametri
30 sm-ia, asxia 9π l moculobis saRebavi. ra umciresi
sigrZis joxiT unda movurioT saRebavs, rom rogorc
ar unda Cagvivardes joxi WurWelSi, is mTlianad saRebavis
zedapiris qvemoT ar aRmoCndes (1 l=1 dm3 )?
A. 40 sm B. 40 2 sm C. 50 sm D. 50 2 sm
34.19. konusis fuZis radiusia 3, xolo simaRle 4. ipoveT
msaxvelis sigrZe.
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
3 4
34.20. konusis fuZis radiusia , xolo simaRlea .
π
π
ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi.
A. 10 B. 15 C. 12 D. 20
34.21. konusis fuZis radiusia 3, xolo msaxveli 5. ipoveT
konusis moculoba.
A. 9 π B. 10 π C. 12 π D. 15 π
5
34.22. konusis fuZis farTobia 9 π , xolo msaxveli .
π
ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi.
A. 15 B. 20 C. 10 D. 25
34.23. konusis fuZis wrewiris sigrZea 6 π , xolo simaR-
4
le ki . ipoveT konusis moculoba.
π
A. 10 B. 10 π C. 12 D. 12 π
34.24. konusis msaxveli fuZis sibrtyesTan 30 o -ian kuTxes
Seadgens. ipoveT konusis moculoba, Tu msaxvelis sigrZea
10.
A. 140 π B. 125 π C. 160 π D. 130 π
252

34.25. konusis msaxveli fuZis sibrtyesTan 60 o -ian kuTxes
Seadgens. ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi,
4
Tu msaxvelis sigrZea .
π
A. 8 B. 8 π C. 10 D. 10 π
34.26. konusis simaRlea 6, xolo fuZis radiusi aris 8.
ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi.
A. 80 π B. 60 π C. 70 π D. 40 π
34.27. konusis simaRlea 4, xolo msaxveli aris 5. ipoveT
sruli zedapiris farTobi.
A. 10 π B. 12 π C. 20 π D. 24 π
34.28. konusis simaRlea 5, xolo fuZis radiusi 12. ipoveT
konusis moculoba.
A. 200 π B. 220 π C. 240 π D. 260 π
34.29. konusis msaxvelia 13, xolo fuZis radiusi 5. ipoveT
konusis moculoba.
A. 80 π B. 100 π C. 120 π D. 140 π
34.30. konusis RerZuli kveTa marTkuTxa samkuTxedia.
ipoveT RerZuli kveTis farTobi, Tu konusis fuZis radiusia
2.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
34.31. konusis fuZis farTobia 9 π , xolo msaxveli aris
5. ipoveT RerZuli kveTis farTobi.
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
34.32. konusis fuZis farTobia 16 π , xolo msaxveli aris
5. ipoveT konusis moculoba.
A. 12 π B. 14 π C. 16 π D. 18 π
34.33. konusis fuZis wrewiris sigrZea 12 π . ipoveT konusis
moculoba, Tu msaxvelis sigrZea 10.
A. 96 π B. 98 π C. 40 π D. 20 π
34.34. konusis msaxveli 10-is tolia. RerZuli kveTis
wverosTan mdebare kuTxea α . ipoveT konusis fuZis farα
Tobi, Tu sin = 0,
6 .
2
A. 20 π B. 36 π C. 30 π D. 35 π
34.35. konusis fuZis farTobia 3 π . RerZuli kveTis wverosTan
mdebare kuTxea α . ipoveT RerZuli kveTis farα
3
Tobi, Tu sin = .
2 5
A. 6 B. 5 C. 3 D. 4
253

34.36. konusis simaRlis sigrZea 24, xolo moculobaa
392 π . ipoveT msaxvelis sigrZe.
A. 21 B. 25 C. 27 D. 21
34.37. konusis moculoba udris 9 π , xolo simaRlea 3.
ipoveT kuTxe msaxvelsa da fuZis sibrtyes Soris.
A. 30 o B. 45 o C. 60 o D. 75 o
34.38. konusis moculoba udris 27 π , xolo fuZis radiusia
3. ipoveT konusis RerZuli kveTis farTobi.
A. 25 B. 27 C. 29 D. 30
34.39. konusis fuZis farTobia 9 π , sruli zedapiris far-
Tobi ki 24 π . ipoveT konusis moculoba.
A. 9 π B. 10 π C. 12 π D. 16 π
34.40. im konusis moculoba, romlis fuZe mocemuli cilindris
erT fuZes emTxveva, wvero ki imave cilindris meore
fuZis centria, 10-is tolia. ipoveT cilindris moculoba.
A. 20 B. 30 C. 40 D. 33
34.41. sferos radiusis sigrZea 5. ipoveT sferos zedapiris
farTobi.
A. 80 π B. 100 π C. 120 π D. 140 π
34.42. birTvis radiusis sigrZea 3. ipoveT birTvis moculoba.
A. 30 π B. 32 π C. 34 π D. 36 π
34.43. sferos zedapiris farTobia 144 π . ipoveT sferos
radiusi.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
34.44. mocemulia sami birTvi radiusebiT: 3, 4 da 5. ipoveT
im birTvis radiusi, romlis moculoba am birTvebis
moculobaTa jamia.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
34.45. ipoveT sferos zedapiris farTobi, Tu didi wris
farTobia 1.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
34.46. sferos zedapiris farTobia 16. ipoveT didi wris
farTobi.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
34.47. ipoveT birTvis zedapiris farTobi, Tu misi moculobaa
36π .
A. 36 π B. 32 π C. 30 π D. 24 π
34.48. ipoveT birTvis moculoba, Tu misi zedapiris far-
Tobia 100π .
254

A.
200π
B. 100 π C.
3
255
400π
D.
3
500π
3
34.49. ipoveT im birTvis radiusi, romlis zedapiris farTobi
ricxobrivad 3-jer metia mis moculobaze.
A. 1 B. 2 C. 0,5 D. 0,3
34.50. ipoveT im birTvis radiusi, romlis moculoba da
zedapiris farTobi ricxobrivad tolia.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
34.51. cilindris simaRlea 6, xolo fuZis radiusi 5.
ipoveT im kveTis farTobi, romelic gadis cilindris Rer-
Zis paralelurad da misgan daSorebulia 4-is toli manZiliT.
34.52. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kveTa
kvadratia. ipoveT manZili am kveTidan RerZamde, Tu cilindris
simaRlea 16, xolo fuZis radiusi 10.
34.53. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kve-
Tis farTobia 240. ipoveT manZili am kveTidan RerZamde, Tu
cilindris fuZis radiusia 13, xolo simaRle 10.
34.54. cilindris RerZuli kveTis farTobia 70, fuZis radiusi
ki 5. ipoveT im kveTis farTobi, romelic gadis cilindris
RerZis paralelurad da misgan daSorebulia 3-is
toli manZiliT.
34.55. cilindris RerZis paralelurad gavlebuli kveTa
fuZis wrewirs yofs SefardebiT 1:5. ipoveT cilindris
gverdiTi zedapiris farTobi, Tu kveTis farTobia 15.
34.56. cilindris fuZis qordaze, romlis sigrZea 16, gavlebulia
fuZis marTobuli kveTa. ipoveT manZili am kve-
Tidan cilindris RerZamde, Tu cilindris gverdiTi zedapiris
farTobia 7, xolo moculoba 35.
34.57. cilindris gverdiTi zedapiris Slili aris kvad-
rati 2 3 π -is toli gverdiT. ipoveT cilindris moculoba.
34.58. cilindris gverdiTi zedapiris SlilSi diagona-
lebs Soris kuTxe wveroTi fuZisken 60 o -ia. ipoveT cilin-
dris moculoba, Tu cilindris simaRlea 2 3 π .
34.59. cilindris formis WurWeli wyliT aris savse. cilindris
simaRle 10 sm-ia, xolo fuZis radiusia 6 sm.
wylis moculobis ra nawili gadaiRvreba WurWlidan, Tu

mas gadavxriT fuZis wrewiris erT-erTi wertilis mimarT
ise, rom fuZis sibrtyem horizontaluri sibrtyisadmi 30°iani
kuTxe Seadginos?
34.60. marTkuTxa samkuTxedi brunavs Tavisi didi kaTetis
garSemo. ipoveT brunviT miRebuli sxeulis gverdiTi
zedapiris farTobi, Tu marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia
3 da 4.
34.61. marTkuTxa samkuTxedi brunavs Tavisi mcire kaTetis
garSemo. ipoveT brunviT miRebuli sxeulis moculoba,
Tu marTkuTxa samkuTxedis kaTetebia 5 da 12.
34.62. konusis simaRlea 20 sm, xolo fuZis radiusia 25.
ipoveT konusis wveroze gavlebuli kveTis farTobi, Tu am
kveTidan konusis fuZis centramde manZilia 12.
34.63. konusis simaRle aris 5, xolo kuTxe simaRlesa
da msaxvels Soris 60 o . ipoveT or urTierTperpendikularul
msaxvelze gavlebuli kveTis farTobi.
34.64. konusis fuZis radiusia 5 . am konusis gverdiTi
zedapiris Slili aris seqtori, romlis centraluri kuTxea
120 o . ipoveT konusis gveediTi zedapiris farTobi.
34.65. konusis gverdiTi zedapiris Slili aris seqtori,
romlis farTobia 1,5 π , xolo centraluri kuTxe ki 120 o .
ipoveT konusis simaRle.
48
34.66. konusis simaRlea 3 . am konusis gverdiTi zeda-
π
piris Slili aris seqtori 120 o -iani centraluri kuTxiT.
ipoveT konusis moculoba.
3
πh
34.67. konusis simaRlea h, xolo moculoba . am ko-
24
nusis gverdiTi zedapiris Slili aris seqtori. ipoveT seqtoris
centraluri kuTxe.
8
34.68. konusis msaxvelisa da simaRlis sxvaoba aris ,
π
xolo maT Soris kuTxea ϕ . ipoveT konusis gverdiTi ze-
12
dapiris farTobi, Tu sin ϕ = .
13
34.69. konusis msaxvelisa da fuZis radiusis jami udris
256

13
. msaxveli daxrilia fuZis sibrtyisadmi α kuTxiT.
π
3
ipoveT konusis sruli zedapiris farTobi, Tu cos α = .
7
34.70. konusis fuZis centridan mis msaxvelamde manZili
21
aris , xolo kuTxe msaxvelsa da simaRles Soris α .
π
2
ipoveT konusis gverdiTi zedapiris farTobi, Tu sin α = .
5
34.71. konusis fuZis centridan mis msaxvelamde manZili
aris 2 3 . ipoveT kuTxe msaxvelsa da simaRles Soris, Tu
konusis fuZis farTobia 16π .
34.72. konusis RerZuli kveTa tolgverda samkuTxedia.
ipoveT am konusis simaRle, Tu misi moculobaa 24π sm3 .
34.73. konusis RerZuli kveTa marTkuTxa samkuTxedia.
ipoveT am konusis simaRle, Tu misi moculobaa 72π sm3 .
34.74. birTvi, romlis radiusia 41, gadakveTilia sibrtyiT,
romelic centridan daSorebulia 9-iT. ipoveT kve-
Tis radiusi.
34.75. birTvi, romlis radiusia 13, gadakveTilia sibrtyiT,
romelic centridan daSorebulia 12-iT. ipoveT kve-
Tis farTobi.
34.76. birTvis radiusis Suawertilze gavlebulia am radiusis
perpendikularuli sibrtye. ipoveT kveTis farTobi,
Tu birTvis radiusia 6.
34.77. birTvi, romlis radiusia 7, exeba ϕ sididis orwaxnaga
kuTxis waxnagebs. ipoveT manZili birTvis centridan
ϕ 1
orwaxnaga kuTxis wibomde, Tu sin = .
2 3
34.78. birTvi exeba ϕ sididis orwaxnaga kuTxis waxnagebs.
manZili birTvis centridan orwaxnaga kuTxis wibom-
ϕ 1
de aris 20. ipoveT birTvis radiusi, Tu sin = .
2 4
34.79. birTvi exeba orwaxnaga kuTxis waxnagebs. ipoveT
orwaxnaga kuTxis gradusuli zomis sidide, Tu birTvis
radiusia 6, xolo manZili birTvis centridan orwaxnaga
kuTxis wibomde 12.
34.80. sferos radiusia 63. wertili, romelic Zevs mxeb
257

sibrtyeze, Sexebis wertilidan daSorebulia 16-iT. ipoveT
umoklesi manZili am wertilidan sferos zedapiramde.
34.81. birTvis radiusis sigrZea 4. birTvis radiusis boloze
gavlebulia kveTa, romelic am radiusTan 60 o -ian
kuTxes adgens. ipoveT miRebuli kveTis farTobi.
34.82. birTvis radiusis sigrZea 2. birTvis radiusis boloze
gavlebulia kveTa, romelic am radiusTan 30 o -ian
kuTxes adgens. ipoveT miRebuli kveTis farTobi.
34.83. birTvis zedapirze mocemulia sami wertili. maT
Soris manZilebia 6, 8 da 10. birTvis radiusia 13. ipoveT manZili
birTvis centridan am sam wertilze gavlebul sibrtyemde.
$35. veqtorebi.
35.1. naxazis mixedviT ipoveT:
uuur uuur
1) AB+ BC
A. CD
uuur B. AD
uuur uuur uuur
C. CA D. AC
uuur uuur
2) AB+ BD
A. AD
uuur uuur uuur uuur
B. DA C. AB D. BC
uuur uuur
3) AD−AB A. AD
uuur uuur uuur uuur
B. DB C. BC D. BD
uuur uuur uuur
4) AB+ BC+ CD
uuur uuur uuur uuur
A. AB B. AD C. DA D. BA
35.2. mocemulia ABCDA1B1C1D 1 paralelepipedi. naxazis mixedviT
ipoveT:
uuur uuur
1) DB + BB1
uuur
A. AB B. 1 BD
uuuur uuuur uuur
C. DB1
D. BB1
uuur uuur uuuur
2) DB + BB1 + B1C uuuur uuur
A. DB1
B. DB C. −DB1 uuuur D. - CD
uuur
3) - BC 1 CD −
uuuur uuur
uuuur
B. BC
BB
−DB uuuur
A. DB1
uuur uuur
C. 1 D. 1
258

uuuur uuuur
4) DB1 + B1C A. CD
uuur B. −CD uuur uuur uuur
C. DB D. BC
uuur uuuur uuur uuur
5) DB+ AD 1 1+ AA1 + DA
uuur uuuur uuuur
A. DB B. DB1
C. B1C D. −DB1 uuuur
uuuur uuuur uuur
6) DB1+ AD 1 1− AA1
A. - CD
uuur uuur
B. DA C. 1 BC
uuuur uuur
D. BB1
35.3. mocemulia MABCD piramida. naxazis
mixedviT ipoveT:
uuur uuur uuuur uuuur
1) AO + OB + BM + MD
uuuur uuur uuur uuur
A. MC B. AD C. OC D. −AD uuur uuuur uuuur
2) AO + OM + MC
uuur uuur uuur uuur
A. OC B. −AC C. DB D. AC
uuur r uuur r r r
35.4. ABC samkuTxedSi AB = a, BC = b.
gamosaxeT a da b
veqtorebis saSualebiT AM
uuuur veqtori, sadac M aris BC
gverdis Suawertili.
r r r 1 r 1
A. a+ b B. a+ b C. a b
2 2 +
r r r r
D. a−b uuur r uuur r r r
35.5. ABC samkuTxedSi AB = a, AC = b.
gamosaxeT a da b
veqtorebis saSualebiT AM
uuuur veqtori, sadac M aris BC
gverdis Suawertili.
A. 1
a b
2 +
r r r 1 r r r 1 r 1r
B. a+ b C. a+ b D. a+ b
2
2 2
35.6. O aris ABC samkuTxedis AM , BN da CE medianebis
gadakveTis wertili. gamosaxeT:
uuur uuuur r uuur r
1) AB veqtori AM = a da BN = b veqtorebis
saSualebiT;
2 r 2r
2 r 2r
1r 2r
1r1r A. a−b B. a+ b C. a+ b D. a−b 3 3 3 3 3 3 3 3
2) CM
uuuur uuuur r uuur r
veqtori AM = a da CE = c veqtorebis
saSualebiT.
1r 1r
2r1 r 2r 2 r 2r1r A. c+ a B. c−a C. c+ a D. c+ a
3 3 3 2 3 3 3 3
259

35.7. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis
uuur ur uuur ur r r
gadakveTis wertili. AB = a, BC = b.
a da b veqtorebis
saSualebiT gamosaxeT:
uuur
1) OB veqtori;
1 r 1r
1 r 1r
r 1 r 1
A. a+ b B. a−b C. a+ b D. a b
2 2 2 2
2 2 +
r r
uuur
2) OA veqtori.
1 r 1r
1 r 1r
1 r 1r
1 r 1r
A. − a+ b B. a−b C. a+ b D. − a− b
2 2 2 2 2 2 2 2
35.8. mocemulia A( 3; −2 ) , B( − 4;1 ) , C(
0;5)
da D ( 3; 2)
wertilebi.
ipoveT:
uuur
1) AB veqtoris koordinatebi;
A. (3;-7) B. (-7;-3) C. (7;-3) D. (-7;3)
2) BC
uuur veqtoris koordinatebi;
A. (4;-4) B. (-4;4) C. (4;4) D. (-4;-4)
uuur
3) DC veqtoris koordinatebi;
A. (3;-3) B. (-3;3) C. (3;3) D. (3;0)
4) AD
uuur veqtoris koordinatebi;
A. (0;4) B. (4;0) C. (0;-4) D. (-4;0)
35.9. mocemulia A( −4;1; −1 ) , B( 2;0; −3 ) , C(
1; − 1;0 ) da D( 0; 4; − 2)
wertilebi. ipoveT:
uuur
1) AB veqtoris koordinatebi;
A. (6;1;-2) B. (-6;-1;2) C. (-6;1;-2) D. (6;-1;-2)
2) BC
uuur veqtoris koordinatebi;
A. (-1;1;3) B. (-1;-1;3) C. (-1;1;-3) D. (1;-1;3)
uuur
3) DC veqtoris koordinatebi;
A. (1;-5;-2) B. (1;5;-2) C. (1;-5;2) D. (-1;-5;2)
4) AD
uuur veqtoris koordinatebi.
A. (4;3;-1) B. (-4;3;-1) C. (-4;-3;1) D. (4;-3;-1)
35.10. ipoveT B wertilis koordinatebi, Tu:
uuur
1) AB( −3;
0)
da A ( 2;1)
;
A. (1;1) B. (-1;1) C. (1;-1) D. (-1;-1)
uuur
BA 4;2
2) ( )
da A( − 1; 3)
;
260

A. (5;-1) B. (-5;-1) C. (-5;1) D. (5;1)
uuur
AB 2;0; −4
da A( 2; − 1;8 ) ;
A. (4;-1;4) B. (4;1;4) C. (4;-1-4) D. (-4;-1;4)
uuur
BA 7; −5;6
3) ( )
4) ( )
da A( − 4;0;5)
.
A. (11;-5;-1) B. (11;-5;1) C. (-11;5;1) D. (-11;5;-1)
35.11. ipoveT D wertilis koordinatebi, Tu:
uuur uuur
A −2;5 , B 0; − 3 , C 1;7 da AB = CD;
1) ( ) ( ) ( )
A. (-3;2) B. (-3;-1) C. (3;-1) D. (3;1)
uuur uuur
A 3;0; −5 , B −2; 4;1 , C 1;7; − 2 da AC = BD.
2) ( ) ( ) ( )
A. (4;11;-4) B. (4;11;4) C. (-4;11;-4) D. (-4;11;4)
35.12. ipoveT ABCD paralelogramis D wveros koordi-
A 7;4 , B 1;10 C 7;2 .
natebi, Tu ( − ) ( − ) da ( )
A. (-1;-4) B. (1;4) C. (1;-4) D. (-1;4)
35.13. ipoveT ABCD paralelogramis B wveros koordi-
natebi, Tu ( 1; 2 ) , ( 2; 4)
3;3 .
A. (0;3) B. (-2;1) C. (4;2) D. (2;-1)
35.14. mocemulia M ( − 3;1)
da N ( 4; 2)
wertilebi. E da F
wertilebi Sesabamisad OX da OY RerZebs ekuTvnian,
uuuur uuur
amasTan MN = EF . ipoveT:
A C da D ( )
1) E wertilis koordinatebi;
A. (-7;0) B. (7;0) C. (0;-7) D. (0;7)
2) F wertilis koordinatebi.
A. (0;-1) B. (0;1) C. (1;0) D. (-1;0)
r
r
35.15. mocemulia veqtorebi a ( 2; −1)
da b( −4;0
) . ipoveT:
r r
1) a+ b;
A. (-2;0) B. (2;-1) C. (-2;1) D. (-2;-1)
r r
2) b−a; A. (-6;1) B. (6;1) C. (-6;-1) D. (-2;-1)
r r
3) 2a+ b;
A. (0;2) B. (0;-2) C. (8;2) D. (8;-2)
r r
4) a+ 3b
;
A. (-10;1) B. (-10;0) C. (-10;-1) D. (10;-1)
r r
5) − a+ 2b;
261

A. (10;-1) B. (-10;1) C. (-10;-1) D. (10;1)
r r
6) 5a−3b; A. (-22;-5) B. (-22;5) C. (22;5) D. (22;-5)
r r
35.16. mocemulia veqtorebi a( −1;0;1 ) , b(
0; 2; −1)
. ipoveT:
r r
1) a+ b;
A. (-1;2;0) B. (-1;-2;0) C. (-1;3;1) D. (1;2;0)
r r
2) a−b; A. (-1;2;2) B. (-1;-2;2) C. (1;2;-2) D. (1;-2;2)
r r
3) 2a+ 3b;
A. (-2;6;1) B. (2;-6;1) C. (2;6;-1) D. (-2;6;-1)
r r
4) 3a−4b ;
A. (-3;-8;-7) B. (-3;-8;7) C. (-3;8;7) D. (3;-8;7)
35.17. ipoveT manZili P da Q wertilebs Soris, Tu:
P −1; − 4 , Q 4;1 ;
1) ( ) ( )
A. 3 B. 4 C. 5 2 D. 5
P 3; −5 , Q − 10;8 ;
2) ( ) ( )
A. 13 2 B. 13 C. 12 D. 5
P − 1;2; 4 , Q 3; 2;5 ;
3) ( ) ( )
A. 4 B. 17 C. 19 D. 5
P 1; −1; − 2 , Q 3; 5; 2 .
4) ( ) ( )
A. 2 14 B. 2 15 C. 8 D. 2 17
35.18. ipoveT a r , Tu:
r
1) a ( −8;6
) ;
A. 7 B. 10 C. 12 D. 15
r r r r
2) a = 2i− 6j+ 3k;
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
r uuur
a = AB, A −10;5
, B 2;0 ;
3) ( ) ( )
A. 153 B. 73 C. 13 D. 12
r uuur
a = AB, A −3; −1;
4 , B 3;1;1 .
4) ( ) ( )
A. 7 B. 8 C. 5 2 D. 3 5
262

35.19. ipoveT m , Tu:
r r r r
1) a = 12 i+ m j da a = 13 ;
A. ± 1 B. 6 C. ± 5
D. ± 4
r
r
2) a = ( −4;
m;6)
da a = 14 ;
A. ± 12 B. ± 13 C. ± 14
D. ± 10
uuur
3) A( − 2;3 ) , B( 2; m)
da AB = 5 ;
A. -6 an 3 B. 0 an 6 C. ± 6
D. 0 an 4
uuur
4) A( −2;5; m) , B(
10;2; − 1)
da AB = 13 .
A. 3 an -5 B. -3 an 5 C. 3 an 0 D. 0 an 5
r r
35.20. ipoveT 2a−3b , Tu
r r
1) a( 3; 0 ) , b( −1;
2)
;
A. 97 B. 117 C. 11 D. 123
r r r r r r
2) a = i− k, b= 2j−3k .
A. 8 B. 65 C. 89 D. 109
35.21. ipoveT a r veqtoris koordinatebi, Tu:
r r r
1) is b =−2i−j veqtoris TanamimarTulia da misi
sigrZe 80 -is tolia;
A. (8;-4) B. (8;4) C. (-8;4) D. (-8;-4)
r
2) is b( −1;1;
2)
veqtoris sawinaaRmdegodaa mimarTuli
da misi sigrZe 2 6-is tolia.
A. (2;-2;-4) B. (-2;2;-4) C. (2;2;4) D. (-2;-2;4)
35.22. mocemulia A( 0; − 2)
da B ( 4; − 6)
wertilebi. ipoveT C
uuur uuur uuur ur
wertilis koordinatebi, Tu 2AB − AC + 5BC = 0.
A. (8;9) B. (3;-5) C. (-8;-9) D. (-8;9)
35.23. mocemulia A ( 1; 0)
da B ( − 2; 2)
wertilebi. ipoveT C
uuur uuur r r
wertilis koordinatebi, Tu 2AB − BC = a , sadac a ( 2; −1)
.
A. (10;-7) B. (-10;-7) C. (-10;7) D. (10;7)
35.24. mocemulia A( 0; − 1; 2)
da B ( 1; 0; − 2)
wertilebi. ipoveT
uuur uuur uuur
C wertilis koordinatebi, Tu AB + 2AC = 3BC
.
263

A. (4;3;-14) B. (4;-3-14) C. (4;3;14) D. (-4;3;14)
35.25. mocemulia A( −1; − 2; 0)
, B ( − 3; 0;1)
da C ( 0;1; 2)
wertilebi. ipoveT D wertilis
uuur uuur uuur r r
AB − 2BC
+ CD = a , sadac a ( −7;0;1)
.
koordinatebi, Tu
A. (-1;1;3) B. (-1;1;-3) C. (1;-1;3) D. (1;1;4)
35.26. a r da b r veqtorebs Soris kuTxe α -s tolia. ipoveT
am veqtorebis skalaruli namravli, Tu:
r r
o
1) a = 8, b = 3, α = 60 ;
A. 24 B. 12 3 C. 12 D. 24 3
r r
o
2) a = 6, b = 5, α = 45 ;
A. 15 2 B. 15 3 C. 30 2 D. 30 3
r r
3) a = 3, b = 9, α = π;
A. 14,5 B. 0 C. -27 D. 27
r r
o
4) a = 4, b = 7, α = 120 .
A. − 14 3 B. 14 3 C. 14 D. -14
35.27. ipoveT kuTxe a r da b r veqtorebs Soris, Tu:
r r r r
1) a = 1, b = 2, a⋅ b = 3 ;
A. 30 o B. 60 o C. 150 o D. 90 o
r r r r
2) a = 4, b = 1, a⋅ b = −22.
A. 45 o B. 135 o C. 120 o D. 150 o
35.28. mocemul a r da b r veqtorebs Soris kuTxe α -s
tolia. ipoveT:
r r r r r π
1) ( 2a−b) ⋅a,
Tu a = 2, b = 3, α = ;
6
A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 5
r r r r
o
a+ 3b
, Tu a = 5, b = 2 3, α = 150 ;
2) ( ) 2
A. 13 B. 37 C. 43 D. 45
r r
2a−5b r
, Tu a =
r 3π
2, b = 1, α = ;
4
3) ( ) 2
264

A. 13 B. 53 C. 63 D. 25 2
r r
2a−b ⋅
r r r r
a+ 3b
, Tu a = 1, b = 3, cos α =
3
;
6
4) ( ) ( )
A. -4,5 B. 2 3 C. 2 D. − 5 3
35.29. mocemul a r da b r veqtorebs Soris kuTxe α -s
tolia. ipoveT:
r r r r
o
1) a+ b , Tu a = 2, b = 5, α = 120 ;
A. 3 2 B. 19 C. 23 D. 6
r r r
2) a−b , Tu a =
r π
2, b = 3, α = ;
4
A. 5 B. 2 C. 7 D. 3
r r r r
3) 3a−b , Tu a = 2, b =
5π
3, α = ;
6
A. 5 3 B. 8 C. 57 D. 55
r r r r
4) 2a+ 5b
, Tu a = 1, b =
3π
2, α = .
4
A. 5 B. 6 C. 35 D. 34
35.30. α -s ra mniSvnelobisaTvis iqnebian urTierTmarr
r r r r r
Tobuli a+ αb
da b veqtorebi, Tu ab ⋅ =− 6, b=
2 ?
A. 1 B. -2 C. 3 D. 4
35.31. α -s ra mniSvnelobisaTvis iqnebian urTierTmarr
r r r r r
Tobuli a+ αb
da a−αb veqtorebi, Tu a = 6, b = 3?
A. ± 3
B. ± 2 C. ± 1 D. ± 5
35.32. gamoTvaleT:
r r r r r r
i⋅ i−2j − j⋅ 3i+ k
r
+ k⋅ r r
j+ 2k
;
1) ( ) ( ) ( )
A. 3 B. 2 C. -3 D. -2
2) ( ) ( ) ( ) 2
r r r r r r r r
i⋅ i+ 2j + 3j⋅ j−3k − i−2j .
A. 0 B. -1 C. 2 D. -2
r r
35.33. ipoveT ab ⋅ , Tu:
r r
a −1; 2 , b 2; −3
;
1) ( ) ( )
265

A. -4 B. -8 C. 8 D. 4
r r r r r r
2) a = 2i− 3 j, b= i+ 2j;
A. 8 B. -8 C. -4 D. 4
r r
a 1;0; −1 , b 2; −3;0
;
3) ( ) ( )
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
r r r r r r r
4) a = 3i− 4 k, b = i+ 2j−3k ;
A. -5 B. 5 C. -15 D. 15
35.34. ipoveT 1
c ur da c2 uur veqtorebis skalaruli namravli,
Tu:
ur r r uur r r r r
1) c1 = a− 2, b c2 = 2a+ 3, b a( 1; −2, ) b(
2; −1)
;
A. -24 B. 24 C. -8 D. 8
ur r r uur r r r r r r r r
2) c1 = a+ 2 b, c2 = a− b, a = i− j, b= 2i+
j;
A. 7 B. -7 C. -5 D. 5
ur r r uur r r r r
3) c1 = a+ b, c2 = 2 a−b, a( 1;0; −1 ) , b(
0;1; −2)
;
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
ur r r uur r r r r r r r r
4) c1 = 3 a− b, c2 = a+ 3 b, a = i− k, b= j+ k .
A. 3 B. -3 C. 8 D. -8
35.35. samkuTxedis wveroebia A( −2;1 ) , B( 2; − 1 ) , C(
1;3 ) . ipoveT:
uuur
1) ;
2
AB
A. 10 B. 2 5 C. 20 D. 10
uuur uuur
2) AB ⋅ AC .
A. -6 B. 6 C. -8 D. 8
35.36. ipoveT a r da b r veqtorebs Soris kuTxis kosinusi,
Tu:
r r r r r r
1) a = i− 3, j b = 2i+
j;
2
A. − B.
10
2
10 C. −
1
D.
5
1
r r
2) a( −1; 2 ) , b(
3; −2)
;
5
A. 7
65 B.
7
− C.
65
2
13 D.
r r r r r r r r
3) a = i− j+ k, b = 2i−3j−k ;
−
3
13
266

5 3
3
A. − B. − C.
9
7
4
3
D.
42 21
r r
4) a( −1;0;2 ) , b(
0;1; −1)
.
10
A. − B.
5
5
5 C.
5
− D.
5
10
5
35.37. m -is ra mniSvnelobisTvisaa marTobuli a r da b r
veqtorebi, Tu:
r r
1) a( −2; m) , b(
−1;
4)
;
A. 2 B. 1
− C.
4
1
1
D. −
4 2
r r r r r r
2) a = 2 i− j, b = m i+ 6j;
A. 2 B. -3 C. 3 D. 4
r r
3) a( 1; m; −2 ) , b( 3; −1;
m)
;
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
r r r r r r r r
4) a = m i− 4j+ 4 k, b = m i+ m j+ k .
A. 2 B. 1 C. -2 D. 0
$36. figuraTa gardaqmna
36.1. CamoTvlilTagan romel figuras aqvs simetriis
centri:
A. tolgverda samkuTxeds; B. tolferda samkuTxeds;
C. wesier xuTkuTxeds; D. paralelograms.
36.2. CamoTvlilTagan romel figuras ara aqvs simetriis
centri:
A. wrewirs; B. marTkuTxeds;
C. wesier samkuTxeds; D. wesier eqvskuTxeds.
36.3. tolgverda samkuTxedis simetriis centria:
A. medianebis gadakveTis wertili;
B. gverdis Suawertili;
C. Caxazuli wrewiris centri;
D.simetriis centri ara aqvs.
36.4. C wertili AB monakveTis Suawertilia. ipoveT:
267

1) C wertilis koordinatebi, Tu A( − − ) B(
− )
1; 5 , 5; 7 ;
A. ( − 1; 7)
B. ( − 3;1)
C. ( − 3; 0)
D. ( 0;1 )
2) A wertilis koordinatebi, Tu C( 1; 3 ) , B( 2; − 1 ) .
A. ( 0;7 ) B. ( 0;1 ) C. ( 2;5 ) D. ( 1; − 1)
36.5. ipoveT M wertilis simetriuli wertilis koordinatebi
saTavis mimarT, Tu:
1) M ( 4; 2 ) ;
A. ( −2; − 4)
B. ( −4; − 2)
C. ( − 4; 2)
D. ( 4; − 2)
2) M ( − 5; 4 ) .
A. ( − 4;5)
B. ( − 5; 4)
C. ( 5; − 4)
D. ( 5; 4 )
36.6. ipoveT M wertilis simetriuli wertilis koordinatebi
Q wertilis mimarT, Tu:
1) M ( 2;1 ) , Q ( 4;3 ) ;
A. ( 5;0 ) B. ( − 6;5)
C. ( 5;6 ) D. ( 6;5 )
2) M( − 2;8 ) , Q(
1;7 ) .
A. ( 6; 4 ) B. ( − 4;6 ) C. ( 4;6 ) D. ( 4; − 6)
36.7. ABCD paralelogramSi AB = 5 sm da BC = 10 sm. A
kuTxis biseqtrisa BC gverds kveTs M wertilSi. N
aris M wertilis simetriuli wertili paralelogramis
diagonalebis gadakveTis wertilis mimarT. ipoveT MN .
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
36.8. M da N aris ABCD paralelogramis A da B wveroebis
simetriuli wertilebi A da B kuTxeebis
biseqtrisebis gadakveTis wertilis mimarT. ipoveT ABMN
oTkuTxedis perimetri, Tu AB = 7 sm.
A. 14sm B. 21sm C. 28sm D. 35sm
36.9. ramdeni simetriis RerZi aqvs:
1) tolgverda samkuTxeds;
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2) marTkuTxeds, romelic kvadrati ar aris;
A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
3) tolferda trapecias;
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
268

4) wesier eqvskuTxeds;
A. 6 B. 12 C. 4 D. 3
5) kvadrats;
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6) paralelograms, romelic ar aris marTkuTxedi da
arc rombi.
A. 0 B. 4 C. 2 D. 3
36.10. ramdeni simetriis RerZi ar SeiZleba hqondes samkuTxeds?
A. arc erTi B. mxolod erTi
C. mxolod ori; D. mxolod sami
36.11. rogor samkuTxeds aqvs mxolod ori simetriis
RerZi?
A. sxvadasxvagverdas B. tolferdas
C. tolgverdas D. arc erTs
36.12. ipoveT M ( − 2;3)
wertilis simetriuli wertilis koordinatebi:
1) abscisTa RerZis mimarT;
A. (2;-3) B. (-2;-3) C. (2;3) D. (0;2)
2) ordinatTa RerZis mimarT;
A. (2;3) B. (2;-3) C. (-2;-3) D. (2;6)
3) x = 1 wrfis mimarT;
A. (4;-3) B. (-2;-2) C. (-2;0) D. (4;3)
4) y =− 2 wrfis mimarT.
A. (-2;-4) B. (2;5) C. (-2;-5) D. (-2;-7)
36.13. mocemulia A, B da C wertilebi. ipoveT C wertilis
simetriuli wertilis koordinatebi im RerZis
mimarT, romlis mimarTac simetriulia A da B
wertilebi, Tu:
A 2;5, B 2; − 5, C 8;2;
1) ( ) ( ) ( )
A. (-8;2) B. (8;2) C. (-8;-2) D. (8;-2)
A 3;5 , B −3;5 , C −2; − 3 ;
2) ( ) ( ) ( )
A. (-2;-3) B. (-2;3) C. (2;-3) D. (2;3)
A 5; 2 , B 5; −8 , C − 3;1 ;
3) ( ) ( ) ( )
A. (3;1) B. (-3;-7) C. (-3;7) D. (-3;-6)
4) A( 8;4, ) B( 4;4, ) C( 1; −
6. )
269

A. (11;-6) B. (10;-6) C. (12;-6) D. (1;6)
36.14. ABCD trapeciaSi BD diagonalis sigrZe 13 dm-ia.
ipoveT trapeciis SuamonakveTi, Tu trapecias aqvs
simetriis RerZi, romlis fuZeebs Soris moqceuli
monakveTi 5 dm-ia.
A. 12dm B. 10dm C. 9dm D. 13dm
36.15. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo mobrunebisas
P wertili aisaxeba Q wertilSi, xolo M
wertili N -Si. ipoveT N wertilis koordinatebi, Tu:
1) P( 3;0 ) , Q( 0;3 ) , M ( 0;5 ) ;
A. ( − 5;0 ) B. ( 0; − 5)
C. ( 4;0 ) D. ( 0; − 4)
2) P( − 4;0 ) , Q( 0;4 ) , M(
4;0 ) ;
A. ( 0;4 )
B. ( 0; 4)
3) P( ) Q( − − ) M(
− )
− C. ( 2;0 ) D. ( 0; − 2)
2;3 , 2; 3 , 1; 4 ;
A. ( 3; − 2)
B. ( 3; 2 ) C. ( 1; 4 ) D. ( 1; − 4)
4) P( 3; −4 ) , Q( −3; 4 ) , M ( −2; − 5 ) .
A. ( −2; − 5)
B. ( − 2;5)
C. ( 2;5 ) D. ( 5; 2 )
36.16. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT
mobrunebisas P wertili aisaxeba Q wertilSi. ipoveT
PQ monakveTis sigrZe, Tu:
o
P 5;12 , α = 60 ;
1) ( )
A. 5 B. 10 C. 12 D. 13
Q 5; − 5 , α =−90 ;
o
2) ( )
A. 5 B. 10 C. 5 2 D. 10 2
2π
P 3; − 4 , α = ;
3
3) ( )
A. 5 3 B. 5 C. 5 2 D. 13
π
4) P ( 7; − 1 ) , α = .
2
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3
36.17. O wertilis garSemo α kuTxiT mobrunebisas K
wertili aisaxeba misgan gansxvavebul M wertilSi,
270

xolo β kuTxiT mobrunebisas - N wertilSi. O centris
garSemo ra kuTxiT mobrunebisas aisaxeba M wertili N
wertilSi, Tu:
o o
1) α = 70 , β = 120 ;
o o o o
A. −190
B. 190 C. 50 D. −50 o o
2) α = 110 , β = 40 ;
A. −70 o B. 150 o o o
C. −150
D. 70
o o
3) α = 105 , β = −55
;
A. 50 o o o o
B. −160
C. 160 D. −50 o o
4) α =− 100 , β =−40
.
A. 140 o o o o
B. −140
C. −60 D. 60
36.18. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo mobrunebisas
E wertili aisaxeba F wertilSi. ipoveT F wertilis
y ordinati, Tu:
1) E ( 0;3 ) , F( − 2; y)
da mobruneba xdeba blagvi kuTxiT;
A. -5 B. 5 C. − 5 D. 5
2) E ( 4;0 ) , F( 2; y ) da mobruneba xdeba saaTis isris
moZraobis mimarTulebiT maxvili kuTxiT;
A. − 2 3 B. 2 3 C. -12 D. 12
3) E ( 33;2 ) , F( − 6; y)
da F wertili meore meoTxed-
Sia;
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
4) E ( − 7;2 ) , F( 5; y)
da F wertili meoTxe meoTxedSia.
A. -35 B. 35 C. 2 7 D. − 2 7
36.19. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT
mobrunebisas M wertili aisaxeba N wertilSi. ipoveT
N wertilis koordinatebi, Tu:
π
1) M ( 5;0 ) , α = ;
2
A. (-5;0) B. (0;5) C. (0;-5) D. (5;0)
o
M 2;0 , α = 45 ;
2) ( )
271

A. ( − 2; 2 ) B. (0;2) C. ( 2; 2 ) D. ( 2; − 2 )
M
5π
4;0 , α = ;
6
3) ( )
A. ( 2; 2 3 ) B. ( − 2 3;2)
C. ( 2 3; − 2)
D. ( − 4;0 )
4) M ( 3;0 ) , α =−30 ;
o
⎛3 3 3⎞
⎛ 3 3 3⎞
A. ⎜
; − ⎟
2 2⎟
B. ⎜
− ; ⎟
⎝ ⎠ 2 2⎟
⎝ ⎠
2π
5) M ( 0;6 ) , α = ;
3
272
⎛3 3 3⎞
C. (-3;0) D. ⎜
; − ⎟
2 2 ⎟
⎝ ⎠
A. (6;0) B. ( − 3 3;3)
C. (0;-6) D. ( −3 3; − 3)
o
M 0; − 4 , α =−210
.
6) ( )
A. ( 2; 2 3 ) B. (-2; 2 3 ) C. ( 2 3;2) D. (0;4)
36.20. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo α kuTxiT
mobrunebisas P wertili aisaxeba Q wertilSi. ipoveT
Q wertilis koordinatebi, Tu:
P 3; 4 , α = π;
1) ( )
A. (5;0) B. (4;3) C. (-3;4) D. (-3;-4)
2) P( 3;3 ) , α =−90 ;
o
A. (0;-6) B. (0;-3) C. (3;-3) D. (-3;3)
π
3) P ( 2; 2 ) , α = ;
4
A. (0; − 2 2 ) B. (0; 2 2 ) C. ( 2 2 ;0) D. ( − 2 2;2 2 )
o
P 4;4 , α =−225
;
4) ( )
A. ( − 4 2 ;0) B. ( 4 2 ;0) C. (0; 4 2 ) D. (-8;0)
P 3 3;3 ,
o
α = 60 ;
5) ( )
A. (0;-6) B. (-6;0) C. (0;6) D. (0; 3 3)
π
P − 2; 2 3 , α = − .
2
A. ( − 2 3;2)
B. (0; 2 3) C. ( 2 3 ;0) D. ( 2 3;2)
6) ( )

36.21. ipoveT M wertilis homoTetiuri wertilis koordinatebi
koordinatTa saTavis mimarT, homoTetiis koeficientiT
k , Tu:
1) M( 2;3 ) , k = 1;
A. (-3;-2) B. (3;2) C. (2;3) D. (-2;-3)
M − 2;3 , k = 2;
2) ( )
A. (-4;6) B. (4;-6) C. (4;6) D. (-4;-6)
2
3) M ( 3; 6 ) , k = ;
3
A. (1;3) B. (2;4) C. (4;2) D. (3;1)
1
4) M ( −4; − 6 ) , k = − .
2
A. (12;8) B. (8;12) C. (3;2) D. (2;3)
36.22. ipoveT M wertilis homoTetiuri wertilis koordinatebi
Q wertilis mimarT, homoTetiis koeficientiT
k , Tu:
M 2; − 3 , Q 2;0 , k = 3;
1) ( ) ( )
A. (2;-6) B. (2;-9) C. (6;-9) D. (-9;-3)
M −1; −2 , Q 0; − 2 , k =− 4;
2) ( ) ( )
A. (4;8) B. (4;2) C. (4;-2) D. (-4;-2)
M 3; − 4 , Q 3; 0 , k = 2;
3) ( ) ( )
A. (3;-8) B. (3;14) C. (-3;-14) D. (6;-8)
M − 2;3 , Q 1;3 , k =− 5.
4) ( ) ( )
A. (14;3) B. (-3;14) C. (-14;3) D. (3;14)
36.23. P wertili aris Q wertilis homoTetiuri koordinatTa
saTavis mimarT. ipoveT homoTetiis koeficienti,
Tu:
1) P( 7;0 ) , Q ( 2;0 ) ;
A. 3,5 B. 14 C. -3,5 D. 5
2) P( 0;5 ) , Q( 0; − 4 ) ;
A. 1,25 B. 0,8 C. -0,8 D. -1,25
3) ( ) ( )
4;2 , 8; 4 ;
P Q
A. 0,5 B. 2 C. -2 D. -0,5
273

4) P( − ) Q(
− )
9; 6 , 3;2 .
A. 3 B. -3 C. 1
1
D. −
3 3
36.24. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis gadakveTis
wertili. ipoveT homoTetiis koeficienti, Tu:
1) A aris C -s homoTetiuri O centris mimarT;
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0,5
2) O aris B -s homoTetiuri D centris mimarT.
A. -0,5 B. 2 C. -2 D. 0,5
36.25. O aris ABC samkuTxedis AN da BM medianebis gadakveTis
wertili. ipoveT homoTetiis koeficienti, Tu:
1) A aris N -s homoTetiuri O centris mimarT;
A. -2 B. 2 C. 0,5 D. -0,5
2) M aris O -s homoTetiuri B centris mimarT.
A. 3
− B.
2
3
2
C. − D.
2 3
2
3
36.26. ABCD trapeciis fuZeebia AD = 10 da BC = 2 , xolo
O aris diagonalebis gadakveTis wertili. ipoveT homo-
Tetiis koeficienti, Tu:L
1) C aris A -s homoTetiuri O centris mimarT;
A. -0,2 B. 5 C. 0,2 D. -5
2) D aris B -s homoTetiuri O centris mimarT;
A. 5 B. 0,2 C. -5 D. -0,2
3) B aris O -s homoTetiuri D centris mimarT;
A. 5
− B.
6
6
5
6
C. D. −
5 6 5
4) A aris O -s homoTetiuri C centris mimarT;
A. 1
1
B. − C. -6 D. 6
6 6
5) O aris C -s homoTetiuri A centris mimarT;
A. 5
1
B. C. 6 D. 5
6 5
6) AOD aris BOC -s homoTetiuri O centris mimarT.
A. 1
− B. -5 C. 5 D.
5
1
5
274

36.27. AM aris ABC samkuTxedis biseqtrisa. ipoveT
AB : AC , Tu B aris M -is homoTetiuri C centris
mimarT, homoTetiis koeficientiT 3.
A. 3 B. 2 C. 1
1
D.
3 2
36.28. SeadgineT im wrfis gantoleba, romelic mocemuli
wrfis homoTetiuria koordinatTa saTavis mimarT,
homoTetiis koeficientiT k , Tu:
1) y = 3x+ 5, k = 2;
A. y = 3x+ 10 B. y = 3x+ 7 C. y = 3x− 3 D. y = 6x+ 10
2) y =− 5x+ 2, k =− 0,5.
A. y =− 5x+ 1 B. y = −5x− 1 C. y =−5x− 5 D. y = 5x− 1
36.29. ipoveT im homoTetiis koeficienti, romliTac
y = 3x− 8 wrfe aisaxeba y = 3x+ 2 wrfeSi koordinatTa sa-
Tavis mimarT.
A. 1
1
B. − C. 4 D. -4
4 4
36.30. A( 1; − 5)
da C ( 5; − 7)
aris ABCD paralelogramis mopirdapire
wveroebi. ipoveT paralelogramis diagonalebis
gadakveTis wertilis homoTetiuri wertili koordinatTa
saTavis mimarT, homoTetiis koeficientiT - 1
3 .
A. (1;-4) B. (-1;2) C. (2;-4) D. (-1;4)
36.31. paraleluri gadatana ganisazRvreba a r veqtoriT.
ipoveT M wertilis saxe am paraleluri gadatanisas,
Tu:
r
1) a( 2; −3 ) , M ( 7; −1)
;
A. (5;2) B. (9;-4) C. (14;3) D. (-9;4)
r
2) a( −2; −7
) , M ( 3; 4)
.
A. (1;-3) B. (-1;3) C. (-6;-28) D. (28;-6)
36.32. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N
wertilSi. ipoveT im veqtoris koordinatebi, romelic am
paraleluri gadatanas gansazRvravs, Tu:
1) M( 2;3 ) , N ( 4;7 ) ;
275

A. (2;4) B. (-2;-4) C. (8;21) D. (2;-4)
M −2;7 , N 5; − 3 .
2) ( ) ( )
A. (3;4) B. (-3;-4) C. (-10;-21) D. (7;-10)
36.33. paraleluri gadatanisas L wertili aisaxeba K
wertilSi. ipoveT
gadatanisas, Tu:
M wertilis saxe imave paraleluri
L −1;3, K 9; − 3, M 2;4;
1) ( ) ( ) ( )
A. (12;-2) B. (-12;2) C. (-12;-2) D. (12;2)
L 5; −7, K −5; − 7, M 3;4.
2) ( ) ( ) ( )
A. (7;4) B. (-7;4) C. (7;-4) D. (-7;-4)
36.34. ipoveT im wrfis gantoleba, romelSic aisaxeba
mocemuli wrfe a r veqtoriT gansazRvruli paraleluri
gadatanisas, Tu:
r
1) y = 2x−1, a(
0;3 ) ;
A. y = 2x+ 2 B. y = 2x− 4 C. y = 2x− 2 D. y = 2x+ 5
r
2) y =− 0,5x+ 0, 2, a(
0; −2
) ;
A. y =−0,5x− 2 B. y = −0,5x− 1,8 C. y = 3, 2 −0,5xD. y = 5− 0,5x
r
3) y = 3−2 x, a(
−4;0
) ;
A. y = 5− 2x
B. y = −2x− 4 C. y =−2x− 5 D. y = 3− 2x
r
4) y = 3x−1, a(
2;0 ) ;
A. y = 3x− 5 B. y = 3x+ 1 C. y = 3x+ 2 D. y = 3x− 7
r
5) y = 0,5x+ 3, a(
−2;1
) ;
A. y = 0,5x+ 5 B. y = 0,5x− 1 C. y = 0,5x+ 3 D. y = 0,5x− 2
r
6) y =−4x−1, a(
2; −3
) .
A. y =− 4x+ 1 B. y = 3− 4x
C. y = 4− 4x
D. y = −4x− 1
36.35. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N
wertilSi. romel wrfeSi aisaxeba mocemuli wrfe imave
paraleluri gadatanisas, Tu:
M 2;3 , N 4;7 , y = − 2x+ 3;
1) ( ) ( )
A. y =− 2x+ 3 B. y = − 2x+ 7 C. y =−2x− 4 D. y = − 2x+ 11
M −2;0, N 3; − 4, y = 2x− 3.
2) ( ) ( )
276

A. y = 2x− 17 B. y = 2x− 7 C. y = 2x+ 1 D. y = 2x− 9
36.36. ipoveT im parabolis gantoleba, romelSic aisaxeba
mocemuli parabola a r veqtoriT gansazRvruli paraleluri
gadatanisas, Tu:
r
2
1) y = 3 x , a(
0;4 ) ;
2
2
A. y = 3x + 4 B. y = 3x − 4
2
2
C. y = 3x − 2 D. y = 3x + 2
r
2
2) y =− 2x + 7, a(
0; −4
) ;
2
2
A. y = − 2x + 11 B. y =− 2x + 3
2
2
C. y = 5− 3x
D. y = −2x − 4
r
2
3) y = 5 x , a(
3;0 ) ;
2
2
A. y = 5x − 3x
B. y = 5x + 9
2
2
C. y = 5x − 30x+ 45 D. y = 5x + 30x+ 9
r
2
4) y = 4 −x , a(
−2;0
) ;
2
2
A. y = − x + 4x
B. y = −x − 4x+ 4
2
2
C. y = − x + 2x− 4 D. y = −x − 4x
r
2
5) y = 2 x , a(
−2;3
) ;
2
2
A. y = 2x + 8x
B. y = 2x + 6x+ 9
2
2
C. y = 2x + 8x+ 5 D. y = 2x + 8x+ 11
r
2
6) y =− x + x−2, a(
2;3 ) .
2
2
A. y = − x + x B. y = − x + 4x− 1
2
2
C. y = − x + 5x− 5 D. y = − x + 5x
36.37. paraleluri gadatanisas M wertili aisaxeba N
wertilSi. romel parabolaSi aisaxeba mocemuli
parabola imave paraleluri gadatanisas, Tu:
2
M 0; − 2, N 3;4, y = 2x + 4x− 3;
1) ( ) ( )
2
2
A. y = 2x − 8x+ 9 B. y = 2x − 6x+ 2
2
2
C. y = 2x − 4x+ 3 D. y = 2x + 4x− 2
2
M −1;3 , N 0; − 2 , y =− 3x + 2x− 1.
2) ( ) ( )
2
2
A. y = − 3x + 6x− 9 B. y = − 3x + 8x− 11
277

2
2
C. y = −3x −8x− 2 D. y = − 3x + 4x− 1
$37. monacemTa analizi da statistika.
37.1. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo:
1) 4; 7; 12; 17
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
2) -7; 4; -8; -3; 6; 12; -4
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3) 0,3; 2; 2; -1,7; 2
5
A. 0,9 B. 1,1 C. 0,7 D. 0,6
4) 1 4
; 3; − ; 4; 0; 0,2
5
5
A. 1,1 B. 0,9 C. 1,2 D. 1,15
37.2. ipoveT Semdegi monacemebis mediana:
1) -2; 7; -3; 3; -1
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
2) 3,5; -2,1; -1,2; -0,4; -0,9; -3; 4
A. -0,9 B. -0,4 C. -1,2 D. -2,1
3) 2,2; 7,7; 4,2; -4; -3,5; 3
A. 1,2 B. 2,6 C. 2,8 D. 0,5
4) 7,3; 4,4; -2,3; -5;6; 2,4; -1,2
A. 2 B. 2,1 C. -0,6 D. 0,6
37.3. ipoveT Semdegi monacemebis gabnevis diapazoni:
1) -7; 0; -9; 3; 4; 9
A. 16 B. 18 C. 10 D. 23
2) 10; 17; -5; 22; -10; -8
A. 32 B. 20 C. 25 D. 35
37.4. ipoveT Semdegi monacemebis sixSireebs Soris udidesi:
1) -2; 0; 3; -2; 3; 3; 0; 3; 0
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
2) -4; 3; -4; 5; 5; -4; 6; 6
A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
278

37.5. ipoveT Semdegi monacemebis fardobiT sixSireTa Soris
umciresi:
1) -5; -3; 2; -4; -5; -3; -5; 2; -3
A. 1
1
2
2
B. C. D.
9 10 9 11
2) -7; 7; 2; 7; 7; 2; -7; 2; 2; 7
A. 0.1 B. 0,3 C. 0,2 D. 0,15
37.6. ipoveT Semdegi monacemebis moda:
1) -4; 2; -2; 2; 1; 6; -10; 2; -4
A. -4 B. 2 C. ara aqvs D. 6
2) 1; 7; 1; 1; 7; 4; 7; 4; 7; 5; 4
A. 1 B. 5 C. 4 D. 7
3) -5; 5; -4; 5; -5; -4; -5; 5
A. -5 B. -5 an 5 C. 5 D. ara aqvs
4) -12; -10; 17; 5; -9; 9
A. ara aqvs B. -10 C. 17 D. 9
37.7. ipoveT Semdegi monacemebis saSualo kvadratuli
(standartuli) gadaxra:
1) -3; 1; 4; 6
A. 4 B. 43
46
C. 3 D.
2 2
2) -5; 3; -2; 4
3 5
3 6
3 6
3 5
A. B. C. D.
2 2 4 4
3) 2; 1; 0; -5; -8
A. 370
B.
5
73
390
C. D.
5 5
83
5
4) -7; 2; -1; 2; -1
3 39
3 29
A. B. C.
5
5
53 3 30
D.
5 5
37.8. 1) 12 Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSireTa
cxriliT
mniSvnelobebi -2 0 -1 2 3
sixSire 1 3 2 n 1
279

ipoveT n-is mniSvneloba.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
2) 15-jer Catarebuli cdis Sedegebi mocemulia sixSireTa
cxriliT
mniSvneloba -8 8 1 -2 3 5
sixSire 2 n 1 3 5 m
ipoveT n da m, Tu mocemuli monacemebis saSualoa 23
15 .
A. 3;1 B. 3;2 C. 2;2 D. 2;3
37.9. Sejibrebis dros tyviis msrolelis mier miRebuli
qulebis fardobiTi sixSireTa cxrilia
qulebi 6 7 8 9 10
fardobiTi
sixSire
5
16
1) ramdeni gasrola moaxdina msrolelma, Tu
cxrianebis sixSire 4-iT metia rvianebis sixSireze?
A. 120 B. 76 C. 60 D. 80
2) ramdenjer moaxvedra msrolelma SvidianSi, Tu
cxrianebsa da aTianebSi moxvedraTa jami 25-is tolia?
A. 10 B. 20 C. 1 D. 24
37.10. sibrtyeze SemTxveviT aRebulia sasruli raodenobis
wertilebi, romlebic sakoordinato RerZebze ar mdebareoben.
am wertilebis sakoordinato meoTxedebSi mdebareobis
sixSireTa da fardobiT sizSireTa cxrilia
meoTxedis
nomeri
sixSire
280
1
8
1
4
3
10
1
80
I II III IV
42 x 24 54
fardobiTi
sixSire 7
25 1
5 4
25
y

ipoveT:
1) II meoTxedidan aRebuli wertilebis sixSire.
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
2) IV meoTxedidan aRebuli wertilebis fardobiTi six-
Sire.
A. 3
20
B. 7
25
281
C. 7
20
$38. xdomilobis albaToba
D. 9
25
38.1. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis erTjer gagorebisas
ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:
1) 5-is mosvla;
A. 1
1
5
1
B. C. D.
5 2 6 6
2) 2-ze meti ricxvis mosvla;
A. 2
1
5
1
B. C. D.
3 2 6 4
3) luwi ricxvis mosvla;
A. 1
1
1
5
B. C. D.
3 2 4 6
4) 6-is gamyofis ar mosvla.
A. 0 B. 2
1
5
C. D.
3 3 6
38.2. yuTSi 10 Savi, 8 wiTeli da 7 lurji burTulaa. ipoveT
albaToba imisa, rom yuTidan SemTxveviT amoRebuli
burTula:
1) iqneba wiTeli;
A. 18
3
2
8
B. C. D.
25 5 5 25
2) ar iqneba Savi.
A. 3
2
7
17
B. C. D.
5 5 25 25
38.3. yuTSi 8 TeTri, 3 Savi da 4 wiTeli burTulaa. ipoveT
albaToba imisa, rom SemTxveviT amoRebuli 2 burTu-

lidan:
1) orive iqneba TeTri;
A. 11
7
2
B. C.
30 30 15
2) orive iqneba erTi da imave feris;
A. 37
41
12
B. C.
105 105 35
3) erTi iqneba TeTri, meore ki – wiTeli;
A. 33
32
31
B. C.
110 105 110
4) orive iqneba sxvadasxva feris.
A. 68
13
67
B. C.
105
21
282
105
D. 4
15
D. 13
35
D. 31
105
D. 11
21
38.4. ipoveT albaToba imisa, rom 36-kartiani dastidan darigebisas
ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:
1) pirveli karti iqneba yvavis eqvsiani;
A. 1
1
1
B. C.
6 12 9
2) pirveli karti iqneba aTiani;
A. 1
1
1
B. C.
3 9 36
3) pirveli karti iqneba guli;
A. 1
3
1
B. C.
9 4 4
4) pirveli karti iqneba cxriani an tuzi;
A. 2
5
1
B. C.
9 9 9
5) pirveli karti ar iqneba tuzi;
A. 8
5
1
B. C.
9 9 9
6) meore karti iqneba cxriani;
A. 2
1
1
B. C.
9 9 36
7) pirveli ori karti iqneba Svidiani;
D. 1
36
D. 4
9
D. 1
2
D. 7
9
D. 8
9
D. 3
35

A. 1
2
4
5
B. C. D.
105 9 105 9
8) pirveli karti iqneba Svidiani, meore ki - cxriani.
A. 11
2
4
5
B. C. D.
315 9 315 9
38.5. ipoveT albaToba imisa, rom kamaTlis orjer
gagore-bisas ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:
1) ori erTnairi ricxvis mosvla;
A. 1
5
5
1
B. C. D.
6 6 36 36
2) ori kenti ricxvis mosvla;
A. 3
1
7
11
B. C. D.
4 4 36 36
3) erTi luwi da erTi kenti ricxvis mosvla;
A. 5
4
1
1
B. C. D.
9 9 5 2
4) erTi mainc eqvsianis mosvla;
A. 1
11
1
5
B. C. D.
3 36 6 6
5) erTi mainc luwi ricxvis mosvla;
A. 5
3
3
1
B. C. D.
7 8 4 4
6) mosuli ricxvebis jamia 7;
A. 5
11
5
1
B. C. D.
12 12 6 6
7) pirvel kamaTelze mosuli ricxvi 2-iT metia meore
kamaTelze mosul ricxvze;
A. 7
1
4
5
B. C. D.
18 9 9 18
8) mosuli ricxvebidan erT-erTi 2-iT metia meoreze.
A. 1
5
7
2
B. C. D.
9 9 9 9
38.6. ipoveT albaToba imisa, rom monetis 3-jer agdebisas
ganxorcieldeba Semdegi xdomiloba:
1) samivejer mova safasuri;
283

A. 7
5
3
1
B. C. D.
8 8 8 8
2) gerbi mova mxolod erTjer;
A. 3
5
7
1
B. C. D.
8 8 8 8
3) erTjer mainc mova gerbi;
A. 5
7
1
3
B. C. D.
8 8 8 8
4) orjer mainc mova safasuri.
A. 5
1
3
1
B. C. D.
8 4 4 2
38.7. auzSi aris sami saxeobis Tevzi: 15 kalmaxi, 14 murwa
da 11 Wanari. ipoveT albaToba imisa, rom auzidan
SemTxveviT amoyvanili 3 Tevzidan:
1) samive iqneba kalmaxi;
A. 33
7
11
13
B. C. D.
152 152 145 145
2) samive iqneba murwa;
A. 11
13
7
7
B. C. D.
190 180 180 190
3) erTi iqneba kalmaxi da danarCeni ori – murwa;
A. 21
19
17
19
B. C. D.
152 152 145 145
4) samive iqneba sxvadasxva saxeobis.
A. 231
289
221
329
B. C. D.
988 988 990 990
38.8. klasis 30 moswavlidan 8-s hyavs mxolod da, 10-s
mxolod Zma, xolo danarCen moswavleebs hyavT Zmac da
dac. ras udris albaToba imisa, rom SemTxveviT SerCeuli
ori moswavlidan:
1) erTs hyavs mxolod da, xolo meores mxolod Zma;
A. 8
14
38
37
B. C. D.
87 87 87 87
2) orives hyavs mxolod da;
284

A. 29
28
11
13
B. C. D.
435 435 145 145
3) orives hyavs Zma;
A. 3
38
77
79
B. C. D.
29 87 145 135
4) erTs hyavs da, xolo meores Zma.
A. 121
362
361
133
B. C. D.
145 435 435 135
38.9. moswavles jibeSi aqvs rva moneta: sami 5-TeTriani,
sami 10-TeTriani da ori 20-TeTriani. moswavle jibidan
SemTxveviT iRebs n raodenobis monetas. ipoveT albaToba
imisa, rom amoRebuli monetebis Rirebulebebis jami aris
m TeTri, Tu:
1) n = 2, m = 25;
A. 5
3
3
5
B. C. D.
14 14 8 8
2) n = 2, m = 20;
A. 7
5
3
3
B. C. D.
8 28 8 28
3) n = 3, m = 20;
A. 9
13
3
5
B. C. D.
28 28 14 14
4) n = 3, m = 35;
A. 5
9
5
3
B. C. D.
28 28 14 14
5) n = 3, m = 40;
A. 2
3
5
5
B. C. D.
21 28 28 21
6) n = 3, m = 30.
A. 11
3
25
1
B. C. D.
56 8 56 8
38.10. yuTSi moTavsebuli 8 monetidan 2 yalbia. ras udris
albaToba imisa, rom yuTidan SemTxveviT amoRebuli 4
monetidan:
1) orive yalbia;
285

A. 5
3
15
13
B. C. D.
14 14 28 28
2) mxolod erTia yalbi;
A. 9
3
5
4
B. C. D.
14 14 7 7
3) erTi mainc yalbia;
A. 11
9
6
5
B. C. D.
14 14 7 7
4) arc erTi ar aris yalbi.
A. 3
5
3
5
B. C. D.
7 7 14 14
38.11. firma Tavisi 10 TanamSromlisaTvis aTamaSebs 10
prizs, romelTa Soris aris erTi avtomobili. Tavidanve
dawesebuli rigiT yvela TanamSromeli yuTidan iRebs
konverts, romelSic miTiTebulia prizis dasaxeleba. ras
udris albaToba imisa, rom rigiT mexuTe TanamSromeli
moigebs avtomobils?
A. 1
1
1
3
B. C. D.
10 6 5 10
38.12. turistuli saagento 10 qalaqidan, romelTa Soris
aris siRnaRi, saeqskursiod SemTxveviT arCevs 3 qalaqs.
ras udris albaToba imisa, rom maT Soris aucileblad
iqneba siRnaRi?
A. 1
1
1
3
B. C. D.
2 5 10 10
38.13. kubi, romlis waxnagebi SeRebilia, dayofilia 27
erTnairi zomis kubad. ipoveT albaToba imisa, rom
miRebuli nawilebidan SemTxveviT aRebul kubs eqneba
sami SeRebili waxnagi?
A. 5
8
2
4
B. C. D.
27 27 9 9
38.14. safexburTo turnirSi monawileobs oTxi gundi:
liverpuli, milani, barselona da baierni. ras udris
albaToba imisa, rom saboloo cxrilSi gundebi
ganlagdebian Semdegi TanmimdevrobiT: liverpuli,
barselona, baierni, milani.
286

A. 5
1
1
5
B. C. D.
24 24 216 216
38.15. CempionTa ligis gaTamaSebaSi monawile gundebi,
romelTa Soris aris espaneTis sami gundi, unda
ganawildes 8 jgufSi. ras udris albaToba imisa, rom
espaneTis gundebi moxvdebian gansxvavebul jgufebSi?
A. 7
21
25
3
B. C. D.
8 32 32 8
38.16. avtosadgomze dgas mxolod ,,mersedesis” da
,,toiotas” firmis or-ori avtomobili. ras udris
albaToba imisa, rom avtosadgomidan gamosuli pirveli
ori avtomobili iqneba erTidaimave firmis?
A. 1
2
1
1
B. C. D.
4 3 6 3
38.17. festivalze warmodgenili 30 filmidan zuras nanaxi
aqvs 10 filmi. festivalze yoveldRiurad aCveneben
SemTxveviT SerCeul 3 films. ras udris albaToba imisa,
rom festivalis mimdinareobis pirvelive dRes naCvenebi
samive filmi zuras nanaxi aqvs?
A. 5
6
3
3
B. C. D.
203 203 101 100
38.18. yuTSi aris 5 cali sxvadasxva feris burTi: TeTri,
yviTeli, mwvane, Savi da lurji. yuTidan SemTxveviT
viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan vabrunebT.
Semdeg isev viRebT erT burTs, viniSnavT fers da ukan
vabrunebT. Semdeg igives vimeorebT mesamejerac. ras
udris albaToba imisa, rom:
1) samivejer amoRebuli iqneba TeTri burTi?
A. 1
1
3
3
B. C. D.
125 25 125 25
2) pirvelad amoRebuli burTi iqneba TeTri, meored
amoRebuli – Savi, mesamed – mwvane?
A. 3
1
1
3
B. C. D.
25 25 125 125
3) amoRebuli burTebs Soris erTi iqneba TeTri, erTi
– lurji, erTi – mwvane?
287

A. 1
6
3
2
B. C. D.
125 125 125 125
4) amoRebuli burTebidan ori lurjia da erTi yviTeli?
A. 3
2
1
3
B. C. D.
25 125 125 125
38.19. farexSi 20 batkania. erT Rames mgelma scada batknis
motaceba, magram ZaRlma gaagdebina. mgelma meore Ramesac
scada batknis motaceba – ZaRlma isev gaagdebina. ras
udris albaToba imisa, rom mgeli sxvadasxva batkans
itacebda?
A. 19
1
1
1
B. C. D.
20 20 4 19
38.20. safexburTo matCis Casatareblad msajebma SearCies
10 burTi. TamaSis msvlelobis dros moednidan
gadavardnili burTis nacvlad zogjer SerCeuli
burTebidan erT-erTs awvdian saTamaSod. matCSi ori
golis gatanis SemTxvevaSi ras udris albaToba imisa,
rom orive goli erTidaimave burTiT iqneba gatanili?
A. 1
1
1
1
B. C. D.
100 10 5 20
38.21. mocemulia cifrebi: 0; 1; 2; 6; 9. am cifrebisagan
adgenen orniSna ricxvebs ise, rom masSi cifrebi ar
meordeba. ras udris albaToba imisa, rom miRebul
orniSna ricxvebs Soris SemTxveviT SerCeuli ricxvi:
1) iqneba 5-is jeradi;
A. 2
3
1
1
B. C. D.
5 4 5 4
2) iqneba 3-is jeradi;
A. 1
3
1
3
B. C. D.
4 8 8 4
3) iqneba kenti ricxvi;
A. 1
1
3
3
B. C. D.
4 8 8 4
4) iqneba 4-is jeradi.
288

A. 1
1
3
3
B. C. D.
4 8 8 4
38.22. A da B ori araTavsebadi xdomilobaa. gamoTvaleT:
1
1
1) P ( A∪ B)
, Tu P( A ) = , P( B ) = ;
2
3
A. 5
1
1
2
B. C. D.
6 6 3 3
2) P( A ) , Tu P( A∪ B)
= 0,75, , P( B ) = 0, 4.
A. 0,25 B. 0,35 C. 0,45 D. 0,5
38.23. A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT:
1
2
1) P ( A∩ B)
, Tu P( A ) = , P( B ) = ;
2
5
A. 3
9
7
1
B. C. D.
5 10 10 5
2) P( B ) , Tu ( ) 0,3
P A = , P( A∩ B)
= 0,15.
A. 0,4 B. 0,45 C. 0,5 D. 0,3
38.24. A da B raime xdomilobebia. gamoTvaleT:
1 1
1
1) P( A∪ B)
, Tu P( A ) = , P( B ) = , P( A∩ B)
= ;
3 4
5
A. 3
11
11
23
B. C. D.
10 60 30 60
1
2
11
2) P( A∩ B)
, Tu P( A ) = , P( B ) = , P( A∪ B)
= .
2
5
20
A. 3
4
7
9
B. C. D.
5 5 20 20
38.25. A da B damoukidebeli xdomilobebia. gamoTvaleT:
1
1
1) P( A∪ B)
, Tu P( A ) = , P( B ) = ;
5
4
A. 2
3
7
1
B. C. D.
5 5 10 2
2) P( A∪ B)
, Tu ( ) 0, 2
P A = , P( A∩ B)
= 0,1;
A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8 D. 0,9
289

1
5
3
B.
5
3) P( A ) , Tu P( B ) = , P( A B)
A. 2
5
4) P( A∩ B)
, Tu ( )
1
3
P A = , P( A B)
290
4
∪ = ;
5
1
C.
4
1
∪ = .
2
5
C.
D. 3
4
A. 1
3
7
B. D.
12 10 12 10
38.26. erT yuTSi 4 TeTri da 8 Savi burTia, meoreSi ki 3
TeTri da 2 Savi. orive yuTidan erTmaneTisagan
damoukideblad amoiRes TiTo-TiTo burTi. ras udris
albaToba imisa, rom amoRebuli burTebidan:
1) orive TeTria;
A. 1
7
5
11
B. C. D.
12 12 12 12
2) mxolod erTia TeTri.
A. 1
5
7
11
B. C. D.
12 12 12 12
38.27. erT klasSi 8 gogo da 12 biWia, xolo meoreSi – 12
gogo da 16 biWi. TiTo klasidan SemTxveviT SearCies
TiTo moswavle. ras udris albaToba imisa, rom SerCeuli
moswavleebidan erTi mainc iqneba biWi?
A. 17
23
29
6
B. C. D.
35 35 35 7
38.28. albaToba imisa rom, ganxorcieldeba A xdomoloba
aris 4
, xolo albaToba imisa, rom ganxorcieldeba B
9
xdomiloba aris 3
. ras udris albaToba imisa, rom A da
5
B xdomilobebi erTdroulad ganxorcieldeba, Tu
cnobilia, rom A da B xdomilobebidan erTi mainc
aucileblad ganxorcieldeba.
A. 1
7
2
1
B. C. D.
45 45 45 15
38.29. klasSi yovel moswavles hyavs da an Zma. albaToba
imisa, rom klasidan SemTxveviT SerCeul moswavles hyavs

Zma aris 2
, xolo albaToba imisa, rom klasidan SemTxve-
3
3
viT SerCeul moswavles hyavs da aris . ipoveT
4
albaToba imisa, rom klasidan SemTxveviT SerCeul
moswavles hyavs dac da Zmac.
A. 7
5
5
7
B. C. D.
12 12 24 24
38.30. monakveTi dayofilia 5 nawilad, romelTa sigrZeebia
5 sm, 6 sm, 9 sm, 12 sm da 13 sm. ipoveT albaToba imisa, rom
am monakveTze SemTxveviT aRebuli wertili:
1) ekuTvnis umciresi sigrZis nawils;
A. 1
5
2
1
B. C. D.
9 44 9 5
2) ekuTvnis 9 sm sigrZis nawils;
A. 9
1
1
2
B. C. D.
44 9 5 7
3) ar ekuTvnis 12 sm sigrZis nawils;
A. 4
7
13 11
B. C. D.
15 15 15 15
4) ekuTvnis umciresi an udidesi sigrZis nawils.
A. 1
2
3
5
B. C. D.
3 5 5 9
38.31. ricxviT RerZze mocemulia monakveTi [ − 6;3]
. ras
udris albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT
aRebuli wertilis simetriuli wertili saTavis mimarT,
agreTve ekuTvnis amave monakveTs.
A. 0,7 B. 0,5 C. 2
1
D.
7 3
38.32.ras udris albaToba imisa, rom ABCD paralelogramis
BD diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili
ekuTvnis ABC samkuTxeds.
A. 0,5 B. 0,6 C. 0,4 D. 0,75
38.33. ipoveT albaToba imisa, rom ABC marTkuTxa samkuTxedis
AC hipotenuzaze SemTxveviT aRebuli D wertili
291

B wverodan ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli,
vidre C wverodan.
A. 1
1
1
1
B. C. D.
5 2 3 4
38.34. ras udris albaToba imisa, rom ABCD kvadratis
AB gverdze SemTxveviT aRebuli wertili C wverodan
ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli, vidre D wverodan.
A. 1
1
1
1
B. C. D.
5 4 2 3
38.35. ras udris albaToba imisa, rom tolgverda samkuTxedis
simaRleze SemTxveviT aRebuli wertili erTi
wverodan ufro naklebi manZiliTaa daSorebuli, vidre
danarCeni oridan.
A. 2
1
1
1
B. C. D.
3 3 6 4
38.36. ABC samkuTxedSi AB = 4 sm da BC = 6 sm. B wverodan
gavlebuli biseqtrisa AC gverds kveTs D wertilSi.
ipoveT albaToba imisa, rom AC gverdze SemTxveviT
aRebuli wertili ekuTvnis AD monakveTs.
A. 3
3
2
2
B. C. D.
5 4 5 3
38.37. ras udris albaToba imisa, rom mocemuli diametris
paralelurad SemTxveviT gavlebuli qordis sigrZe
radiusze metia.
A. 3
2
1
2
B. C. D.
2 2 3 3
38.38. ABCD trapeciaSi AD da BC fuZeebi Sesabamisad
tolia 12 sm da 8 sm. ras udris albaToba imisa, rom AC
diagonalze SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis BCD
samkuTxeds.
A. 1
2
3
2
B. C. D.
3 3 5 5
38.39. M aris ABCD paralelogramis BC gverdis Sua
wertili. ras udris albaToba imisa, rom paralelog-
292

amSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis ABM
samkuTxeds.
A. 1
1
1
2
B. C. D.
4 5 3 3
38.40. M da N aris ABCD paralelogramis AB da BC
gverdebis Suawertilebi. ipoveT albaToba imisa, rom
paralelogramSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis
MBN samkuTxeds.
A. 1
1
1
1
B. C. D.
6 8 4 7
38.41. wreSi, romlis centria O wertili, gavlebulia radiusis
toli AB qorda. ipoveT albaToba imisa, rom
wreSi SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis maxvili
centraluri kuTxis mqone AOB seqtors.
A. 1
3
B. 1
4
293
C. 1
5
D. 1
6

ileTis nimuSebi TviTSemowmebisaTvis
1. ipoveT jami
bileTi #1
11111
2
+ 1111
2
A . 111111
2
B . 100000
2
C . 111110
2
D . 101110
2
2.
7 2
5 2
x = 2 ⋅3 ⋅ 5 da y = 23 ⋅ ⋅65 ⋅ ricxvebis udidesi saerTo
gamyofia:
A. 360 B. 900 C. 180 D. 90
3. gamoTvaleT
A. 1
1 1 1
+ +
2+ 1 3+ 2 2+ B. 0,5
3
C. 2 D. 3− 2
4. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:
3 3 ; 6 10 ; 2
A. 2; 3 3 ; 6 10 B. 2; 6 10 ; 3 3 C. 6 10 ; 3 3 ; 2 D. 3 3 ; 6 10 ; 2
5. gamoTvaleT
2 2
x −1−x x −1
1
− , Tu 0 < x < .
2
2x−1 2x−2 2
A. 1
2
1
B. 1 C. -1 D. −
2
6.avtomobilma manZili or qalaqs Soris gaiara 5 saaTSi.
mTeli gzis ra nawili gaiara man 45 wuTSi?
A. 9
20
B. 3
20
294
1
C.
25
4
D.
25
7. yuTSi 8 TeTri, 3 Savi da 4 wiTeli burTulaa. ipoveT
albaToba imisa, rom SemTxveviT amoRebuli 2 burTulidan
orive iqneba TeTri.
A. 11
30
B. 7
30
C. 2
15
D. 4
15

8. naxazze sportuli moednis ganzomilebebia 60 sm da
50 sm. ramdeni kvadratuli metria sinamdvileSi moedani,
Tu naxazis farTobi sinamdvilesTan SedarebiT
Semcirebulia 500-jer?
A. 200 B. 120 C. 150 D. 180
9. mocemulia Semdegi monacemebi: 7,3; 4,4; -2,3; -5;6; 2,4; -1,2.
ipoveT am monacemebis mediana.
A. 2 B. 2,1 C. -0,6 D. 0,6
10. trasaze erTidaigive mimarTulebiT Tanabrad moZraobs
ori avtomobili, romelTa Soris manZili sawyis momentSi
24 km-ia. ra droSi daeweva 62 km/sT siCqariT moZravi meore
avtomobili pirvels, Tu misi siCqarea 56 km/sT?
A. 6 sT B. 3 sT C. 5 sT D. 4 sT
11. ipoveT n( A ) , Tu n( A∪ B) = 63, n( A∩ B) = 23, n( B)
= 46.
A . 40 B . 86 C . 89 D . 132
12. gamoTvaleT
log38+ log 2 27
log29+ log34 A. 3 B. 1,5 C. 0,5 D. 2
x y z
13. ipoveT x + y − z , Tu 2 = 56,
2 = 6 da 2 = 42.
A. 0 B. 3 C. -1 D. 2
14. ipoveT
π
0 < β <
2
sin ( α + β ) , Tu
5
sinα
= ,
13
3
cos β = ,
5
π
< α < π ,
2
63
A. −
65
B. 63
65
33
C.
65
33
D. −
65
15. ariTmetikuli progresiis 21-e wevri aris 60, 31-e ki 85.
ipoveT progresiis mexuTe wevri.
A. 20 B. 18 C. 22 D. 16
16. ipoveT 18, 12,K geometriuli progresiis me-4-dan me-6-mde
(CaTvliT) wevrTa jami.
A. 12
27
B. 264
25
295
304
C.
27
D. 362
27

17. ipoveT M ( 2;3)
wertilis homoTetiuri wertilis koordinatebi
koordinatTa saTavis mimarT, homoTetiis koeficientiT
1.
A. (-3;-2) B. (3;2) C. (2;3) D. (-2;-3)
18. ABCD marTkuTxedi Sedgeba 18 patara kvadratisagan,
romelTagan 5 gamuqebulia. ra umciresi raodenobis patara
kvadrati unda gavamuqoT
A
B damatebiT, rom gamuqebuli
kvadratebisgan miRebuli
figura simetriu-li iyos
AB da DC gverdebis
Suawertilebze gavlebuli
D C wrfis mimarT.
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
19.
2
y = x − 4x+ 2 funqciis mniSvnelobaTa simravlea:
A. ] − 2; 2[
B. [ −2; ∞ [ C. ] 4;∞ [ D. [ − 2;0]
4 2
20. ipoveT manZili y = x parabolis
9
y
da
4
y = x
3
wrfis gadakveTis
•
wertilebs Soris.
•
0
21.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
x • 230 ◦
ipoveT wrewiris 230 o -iani
rkalis boloebze gavlebuli
mxebebiT
kuTxe.
Sedgenili maxvili
A. 40 o B. 50 o C. 60 o D. 70 o
22. MNKE rombis SigniT aRebulia P wertili ise,
rom MPE
o
∠ NME = 70 .
samkuTxedi tolgverdaa. ipoveT ∠ MNP , Tu
296
x

A. 85 o B. 75 o C. 70 o D. 60 o
23. marTkuTxedis kuTxis biseqtrisa
did gverds Sua-
6
6 ze yofs. ipoveT marTkuTxedis
farTobi, Tu misi
mcire gverdis sigrZea 6.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
A
B
24. M ABCD kvadratis gareT
D C
aRebulia M wertili ise,
rom MB = MC . ipoveT S MBA ,
Tu kvadratis gverdia 2. A.
0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2
25. tolferda trapeciis fuZeebia 7 da 11, xolo maxvili
kuTxe 60 o . ipoveT trapeciis perimetri.
A. 26 B. 28 C. 32 D. 36
26. ipoveT rombis gverdi, Tu misi farTobia 120, xolo
erT-erTi diagonalia 10.
A. 12 B. 13 C. 17 D. 18
27. O aris ABCD paralelogramis diagonalebis gadak-
uuur ur uuur ur uuur r
veTis wertili. AB = a, BC = b.
gamosaxeT OB veqtori a da
b r veqtorebis saSualebiT.
1 r 1r
1 r 1r
r 1 r 1
A. a+ b B. a−b C. a+ b D. a b
2 2 2 2
2 2 +
r r
28. ipoveT kubis moculoba, Tu misi diagonali 5 3-is
tolia.
A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
29. • cilindris RerZuli kveTa
kvadrati, romlis farTobia 64.
aris
ipoveT
cilindris gverdiTi zedapiris farTobi.
•
A. 32π B. 48π C. 64π D. 128π
297

30. M
wesier oTxkuTxa piramida-
Si gavlebulia kveTa, romelic
fuZis paraleluria da gadis
piramidis simaRlis Suawer-
A
B
0
D
C
tilze. ipoveT kveTis farTobi,
Tu piramidis fuZis gverdia 2.
A. 2 B. 1 C. 0,5 D. 0,25
31. ipoveT 33-is jeradi yvela luwi samniSna
naturaluri ricxvis jami.
32. ipoveT gantolebis amonaxsni miTiTebul SualedSi
cos =
3
2
o o
− 90 ; 0
33. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba,
2
x , ] [
romlisTvisac x − a − a)
x − 2a
+ 1 = 0 gantolebas aqvs
( 2
moduliT toli da niSniT mopirdapire amonaxsnebi
34. amoxseniT utoloba
log 2
x ( 5 − 9)
> 4
35. A da B punqtidan, romelTa Soris manZili 120 km-ia,
erTmaneTis Sesaxvedrad erTdroulad gamovida qveiTi da
motociklisti, romlebic 5 sT-is Semdeg Sexvdnen
erTmaneTs. Caisva ra qveiTi motociklSi, motociklisti
dabrunda ukan da Cavida B-Si, ris Semdeg SeuCerebliv
wavida A-Si. amis gamo motociklistma daxarja 2,5-jer meti
dro, vidre mas daWirdeboda B-dan A-Si Casasvlelad.
ipoveT TiToeulis siCqare.
36.
B
ABC samkuTxedis AB gverdi
gayofilia 5 tol nawilad da
dayofis wertilebze gavlebulia
AC gverdis paraleluri
wrfeebi. ipoveT samkuTxedis
A
C
gverdebs Soris moTavsebuli am
monakveTebis sigrZeTa jami, Tu
298

AC = 10.
37.
muyaos naWers aqvs 6 2 − is
6 2
6 2
toli gverdis mqone wesieri
samkuTxedis forma. ipoveT im
piramidis moculoba, romelic
6 2 miiReba muyaos naWris gadakecviT
samkuTxedis Suaxazebze.
38. wrewiri gadis misi toli
meore wrewiris centrze. ipoveT am
• •
wrewirebis gadakveTiT miRebuli
figuris farTobi, Tu radiusia 6 .
39.
2
ipoveT a, b da c, Tu y = ax + bx + c parabolis wveroa
(1;1) wertili da es parabola gadis (2;3) wertilze.
40. ipoveT (bn) geometriuli progresiis mniSvneli, romlisTvisac
8b2+2b3 gamosaxuleba Rebulobs umcires mni-
Svnelobas (b1>0).
bileTi #2
1. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:
29, 11100
2
da 11011
2
A . 29, 11011
2
, 11100
2
B . 11011
2
, 29, 11100
2
C . 11011
2
, 11100
2
, 29 D . 11100
2
, 11011
2
, 29
3
2
2. ipoveT a = 2 ⋅3⋅ 5 da b = 2365 ⋅ ⋅ ⋅ ricxvebis umciresi
saerTo jeradi.
A. 1800 B. 900 C. 180 D. 450
2 2
3. gamoTvaleT ( 5− 3) − ( 3− 5)
A. 2 5− 2 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 0
4.
5
a − 0 7
, a , a − ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT, Tu
a = 0,75 .
A.
5
a − ,
0
a ,
7
a − B.
0
a ,
5
a − ,
299
7
a − C.
7
a − ,
5
a − ,
0 0 7
a D. a , a − 5
, a −

2
5. ipoveT k , Tu x + kx + 15 = 0 gantolebis fesvi 5-is
tolia.
A. 8 B. -8 C. 3 D. -3
6. maTematikis bileTSi unda iyos 3 algebris da 2
geometriis amocana. ramdeni xerxiT SeiZleba aseTi
bileTis Sedgena 6 algebrisa da 5 geometriis amocanisagan?
A. 100 B. 200 C. 240 D. 300
7. moWadrakeTa turnirSi nikam moigo 4 partia, rac mis
mier naTamaSevi partiebis 20%-ia. ramdeni moTamaSea am
turnirSi, Tu TiToeuli maTgani mxolod erTxel Sexvda
erTmaneTs?
A. 18 B. 20 C. 21 D. 22
8. ipoveT kuTxe, romlebsac erTmaneTTan Seadgenen
saaTis isrebi, Tu saaTis Cvenebaa 3 sT da 40 wT.
A. 140 o B. 150 o C. 130 o D. 120 o
9. velosipedisti 5 wT-is ganmavlobaSi moZraobs 400 m/wT
siCqariT, momdevno 8 wT-s _ 600 m/wT-iT, xolo Semdeg 7
wT-s 800 m/wT siCqariT. gansazRvreT velosipedistis
saSualo siCqare mTeli moZraobis drois ganmavlobaSi.
A. 620 m/wT B. 600 m/wT C. 640 m/wT D. 700 m/wT
10. navma mdinaris dinebis mimarTulebiT 4 sT-Si imdenive
manZili gacura, rac dinebis sawinaaRmdego mimarTulebiT
6 sT-Si. ipoveT navis siCqare mdgar wyalSi, Tu dinebis
siCqarea 2 km/sT.
A. 12 km/sT B. 8 km/sT C. 10 km/sT D. 6 km/sT
11. ramdeni mTeli amonaxsni aqvs utolobas x −1 ≤ 3
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
log 4−
3 log7
12. gamoTvaleT 9 3 ⋅ 49
A. 19 B. 13 C. 8 D. 2 3
13. ramden elements Seicavs A da B simravleebis
TanakveTa, Tu A = { −6; − 2;4;8;10;15} da B = { −3; − 2;0;4;10;12;15} .
A. 3 B . 5 C . 4 D. 2
14. gamoTvaleT
o o
4cos330 − 3tg330 o o
6tg210 − 4sin 240
A. 1
2
3
B.
4
2
C.
3
4
D.
5
300
4+
3

15. 6-sa da 15-s Soris Casmulia eqvsi ricxvi ise, rom
maT mocemul ricxvebTan erTad ariTmetikuli progresia
Seadgines. ipoveT am progresiis sxvaoba.
A. 9
10
8
B.
7
9
C.
7
3
D.
10
16. ipoveT 1280, 640,K geometriuli progresiis im wevris
nomeri, romelic udris 20-s.
A. 5 B. 8 C. 6 D. 7
uuur
17. ipoveT AB veqtoris sigrZe, Tu A( − 2;1)
da B ( 2; 4)
.
A. 3 B. 5 C. 41 D. 4
18. ipoveT M ( −3; − 2)
wertilis simetriuli wertili
koordinatTa saTavis mimarT.
A. (3;-2) B. (3;2) C. (-3;2) D. (1;1)
7
19. ipoveT y =
3sinx + 4
funqciis udidesi mniSvneloba.
A. 14 B. 7 C. 1 D. 5
20. cnobilia, rom
2
y = ax + 6x+
c parabolis arcerTi
wertili mesame meoTxedSi ar mdebareobs. Semdegi
daskvnebidan romelia mcdari?
A. a > 0
B. c < 0 C. ac ≥ 0 D. c ≥ 0
21. ipoveT kuTxe 100 o -iani kuTxis biseqtrisasa da misi
erT-erTi gverdis gagrZelebas Soris.
A. 80 o B. 100 o C. 130 o D. 150 o
22. wesieri xuTkuTxedis mezobeli gverdebia MN da NQ .
am xuTkuTxedis SigniT aRebulia P wertili ise, rom
MPN wesieri samkuTxedia. ipoveT NQP
∠ .
A. 45 o B. 66 o C. 72 o D. 60 o
23. mocemulia Semdegi monacemebi: -3; 1; 4; 6. ipoveT am
monacemebis saSualo kvadratuli (standartuli) gadaxra.
A. 4 B. 43
C. 3 D.
2
46
2
24. risi tolia trapeciis erTi ferdis Suawertilis da
meore ferdis boloebis
SeerTebiT miRebuli samkuTxedis
farTobi, Tu trapeciis farTobia
20.
A. 5 B. 10 C. 12 D. 8
301

25. ricxviT RerZze mocemulia monakveTi [ − 6;3]
. ras udris
albaToba imisa, rom am monakveTze SemTxveviT aRebuli
wertilis simetriuli wertili saTavis mimarT, agreTve
ekuTvnis amave monakveTs.
A. 0,7 B. 0,5 C. 2
1
D.
7 3
r r r r r r r r r
26. ipoveT a⋅b, Tu a = 3i− 4 k, b = i+ 2j−3k .
A. -5 B. 5 C. -15 D. 15
27. wre, romlis radiusia 4, Caxazuli
• 0
kvadratis gverdis toli qordiT
gayofilia or segmentad. ipoveT mcire
segmentis farTobi.
A. 2π− 1 B. 4π C. 2( π − 2)
D. 4( π − 2)
28. M
ipoveT wesieri samkuTxa
piramidis gverdiTi wibo,
Tu misi fuZis gverdi
A
B
aris 12, xolo simaRlea 4.
C
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
29. ipoveT wesieri oTxkuTxa
prizmis moculoba, Tu misi
fuZis gverdia 3, xolo
diagonali fuZis sibrtyesTan
45 o -ian kuTxes adgens.
3
0
12
45º
3
A. 9 2 B. 18 2 C. 24 2 D. 27 2
302

30. metalis kubi gadaadnes da Camoasxes eqvsi erTnairi
birTvi. ipoveT birTvis radiusi, Tu kubis gverdia 3
2 π .
A. 1 B. 2 C. π D. 0,5
31. ipoveT
6
an = 14 − n mimdevrobis yvela iseTi wevris
7
jami, romelic metia 2-ze.
32. ipoveT Semdegi gantolebis umciresi dadebiTi
amonaxsni:
33.
2
2sin
x − 5sin
x + 2 = 0
daStrixeT sakoordinato sibrtyeze Semdegi utolobaTa
sistemis amonaxsni:
⎧y
≤ x−1
⎨
⎩y
≤ 1−
x
34. amoxseniT utoloba
log
2
( x − 2x
− 3)
> −1
1
3
35. wriul trasaze moZraobs ori sxeuli. isini
erTmaneTs xvdebian yoveli 40 wuTis Semdeg, rodesac erTi
da igive mimarTulebiT moZraoben, xolo xvdebian yoveli
10 wuTis Semdeg, rodesac mopirdapire mimarTulebiT
moZraoben. ra droSi gaivlis mTel wriul trasas
TiToeuli sxeuli?
36. E
tolferda marTkuTxa samkuTxedis
hipotenuzaze agebulia marTkuTxedi.
C
ipoveT miRebuli xuTkuTxedis far-
F
TobTa Soris udidesi, Tu am xuTku-
Txedis perimetri tolia 2-is.
B A
37. konusis fuZis radiusi aris 5 sm. am konusis gverdiTi
zedapiris Slilia
seqtori, romlis cen-
120°
traluri kuTxea 120°.
ipoveT konusis gver-
5
diTi zedapiris far-
303

Tobi.
38.
39.
wesieri samkuTxedis Siga
M wertilidan gverdebamde
manZilebia 1, 2 da 3. ipoveT am
samkuTxedis farTobi.
y = −x
+ bx + c da y = x −1
funqciebis
grafikebi erTmaneTs
kveTs or wertilSi, romelTagan
erTi parabolis wveroa,
xolo meore ox RerZze mdebareobs.
ipoveT b da c.
40.ipoveT a-s yvela mniSvneloba, romlisTvisac
( a −1) x − ax + 3 = 0
gantolebis erTi fesvi metia 2-ze, xolo meore naklebia 2ze.
2
304
2
bileTi #3
1. 110
2
ricxvi CawereT aTobiT sistemaSi.
A . 5 B . 6 C . 7 D . 8
2. sportul skolaSi 36 moswavle varjiSobs fexbur-TSi,
25 ki kalaTburTSi, xolo 21 moswavle varjiSobs ro-gorc
fexburTSi, aseve kalaTburTSi. ramdeni moswavle varjiSobs
fexburTSi an kalaTburTSi?
A. 40 B. 42 C. 38 D. 46
3. gamoTvaleT
⎛ x y ⎞ x + y
⎜ −
y x ⎟ : , Tu x =
⎝ ⎠ xy
5 + 3 , y = 5 − 2 .
4.
A
y
0
3
A. 2 5 + 1 B. 5 C. 7 D. 2 5
5
a , 6
a da 7
B
1
2 M
x
C
a ricxvebi daalageT zrdadobis mixedviT,
Tu a = 0,
75 .

A.
5
a , 6
a , 7
a B.
6
a , 7
a , 5
a C. 7
a , 6
a , 5
5. gamoTvaleT ( ) ( ) 2
2
5 − 2 + 5 − 4
305
7
a D. a ,
5
a , 6
a
A. 2 B. 2 5 − 6 C. -6 D. 2 5
6. ramden saaTSi gaivlis turisti 20 km-s, Tu is 1 km-s 15
wT-Si gadis?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
7. 800 kg Saqari imdenive Rirs, ramdenic 200 kg karaqi.
100 kg Saqari imdenive Rirs, ramdenic 200 kg fqvili.
ramdeni kilogrami karaqis yidva SeiZleba im TanxiT,
romelic 100 kg fqvils iyidis?
A. 10,5 B. 80 C. 12,5 D. 25
8. sportul kompleqsSi varjiSobs 106 moswavle.
aqedan 40 moswavle varjiSobs ZiudoSi, 30 moswavle
varjiSobs karateSi, xolo 48 moswavle ar dadis arc
Ziudosa da arc karates seqciaze. ramdeni moswavle
varjiSobs rogorc ZiudoSi, aseve karateSi?
A. 10 B. 12 C. 16 D. 14
9. avtomobilma 108 km gaiara 15 m/wm siCqariT, xolo
darCenili 60 km 1 saaTSi dafara. gansazRvreT
avtomobilis saSualo siCqare mTel gzaze.
A. 60 km/sT B. 56 km/sT C. 50 km/sT D. 54 km/sT
10. avtomobilSi mjdomma mgzavrma, romelic moZraobda 60
km/sT siCqariT, SeniSna, rom avtomobilis sapirispirod
moZravi matareblis gverdis avlas moandoma 5 wm. ipoveT
matareblis siCqare, Tu misi sigrZea 125 m-ia.
A. 40 km/sT B. 30 km/sT C. 35 km/sT D. 25 km/sT
11. ipoveT gantolebis umciresi amonaxsni
2 7 3 0
2
x − x + =
1
A. B.
2
1
− C. 3 D. –3
2
12. gamoTvaleT log
16
− log
2 5
2
2 5
A. 6 B. 8 C. 4 D. 0
x
y
13. ipoveT xy , Tu 2 = 7 da 7 = 8 .
A. 2 B. 3 C. 12 D. 15
14.
sin
gamoTvaleT ,
1 cos
2
α 1
Tu cos α
=
− α
4

1
A.
4
3
B.
4
5
C.
4
7
D.
4
15. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jami
gamoisaxeba formuliT
1 2 3
= n + n .
S n
ipoveT progresiis meoTxe wevri.
A. 6 B. 5 C. 7 D. 11
2
16. geometriuli progresiis n -uri wevri mocemulia
n+
1
formuliT b n = 2 ⋅3
. ipoveT S 5 .
A. 2218 B. 2178 C. 1916 D. 2412
17. sakoordinato sibrtyis saTavis garSemo
π
kuTxiT
2
mobrunebisas M ( 5;0 ) wertili aisaxeba N wertilSi.
ipoveT N wertilis koordinatebi.
A. (-5;0) B. (0;5) C. (0;-5) D. (5;0)
18.
y
marTkuTxa koordinatTa sistemis
saTave emTxveva kvadratis
centrs. kvadratis gverdebi sakoordinato
RerZebis paraleluria.
0 x
ipoveT meoTxe meoTxedSi moTavsebuli
kvadratis wveros koordinatebi,
Tu kvadratis gverdia 4.
A. (-2;2) B. (-2;2) C. (2;-2) D. (2;2)
19. ipoveT 2 4 3
2
y = x − x + funqciis umciresi mniSvneloba.
A. 1 B. 3 C. 0 D. –1
r
20. paraleluri gadatana ganisazRvreba a( 2; −3)
veqtoriT.
ipoveT M ( 7; − 1)
wertilis saxe am paraleluri
gadatanisas.
A. (5;2) B. (9;-4) C. (14;3) D. (-9;4)
21.
ipoveT ∠ MNK , Tu igi 50 o A
-
B
C
M
iT metia ∠ABC -ze da MN ||AB,
NK ||BC.
K N
306
2

A. 105 o B. 115 o C. 120 o D. 130 o
22. MNPQ oTxkuTxedSi MN = NP , PQ = MP ,
o
∠MQP = 40 . ipoveT ∠ NPQ .
307
∠MNP = 70 ,
A. 125 o B. 160 o C. 135 o D. 155 o
23. mocemuli wertilidan wrfisadmi gavlebulia ori
daxrili. erTi maTganis sigrZea 13, xolo misi gegmili
wrfeze 12-is tolia.
24.
13
ipoveT meore daxrilis
sigrZe, Tu is wrfesTan
30 o -ian kuTxes adgens.
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
B
M N
A
C
ABC samkuTxedSi gavle-bulia
MN Suaxazi. AMNC trapeciis
farTobis ra nawils Seadgens
MBN samkuTxedis farTobi?
1
A.
4
1
B.
3
2
C.
3
1
D.
2
25.
A
0•6 24
wrewirze, romlis radiusia
6, Semoxazulia
marTkuTxa samkuTxedi 24-is
C B toli hipotenuziT. ipoveT
samkuTxedis perimetri.
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
26. ipoveT rombis farTobi, Tu misi kuTxeebi ise
8
α
12
5α
x
30 o
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1:5,
xolo gverdia 8.
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
o

27. ipoveT seqtoris radiusi, Tu
misi farTobi udris
centraluri kuTxea 72
5 π da
o 72º
R
.
A.3 B. 4 C. 5 D.
28.ipoveT kubis zedapiris farTobi, Tu misi moculoba
udris 27-s.
A. 9 B. 36 C. 54 D. 81
29.
30.
60 º
308
ipoveT wesieri oTxkuTxa
piramidis sruli zedapiris
farTobi, Tu misi fuZis
gverdia 4, xolo fuZesTan
mdebare orwaxnaga kuTxe
60º-ia.
4
A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
konusSi gavlebulia kveTa, romelic
fuZis paraleluria da gadis
simaRlis Suawertilze. ipoveT
kveTis wrewiris sigrZe Tu konusis
fuZis wrewiris sigrZea 4.
A. 1 B. 2 C. 0,5 D. 1,5
31. ganvadebiT gamotanili televizoris Rirebulebis
dasafaravad pirvel TveSi gadaixades 30 lari, xolo
yovel Semdeg TveSi ki 6 lariT meti, vidre wina Tves.
televizoris Rirebulebis dafarvis Semdeg damatebiT
gadaixades kidev 72 lari. ramdeni Tvis ganmavlobaSi

dafares televizoris Rirebuleba, Tu TveSi saSualod
gadaxdilia 60 lari?
32. SeasruleT moqmedeba
⎛3 π ⎞
sinα −cosα − sinα
, Tu Uα
∈ ⎜ ;2π
2
⎟
⎝ ⎠ U
33. ipoveT a parametris yvela mniSvneloba, romlisTvisac
( 2) 3 5 0
2
− x − ax + a + =
a gantolebas aqvs sxvadasxva niSnis
fesvebi.
34. amoxseniT utoloba
3
2
x −3x 35. A da B qalaqebs Soris manZili 108 kilometria. A-dan
B-sken gavida motociklisti, xolo erTi saaTis Semdeg mis
Sesaxvedrad B-dan gamovida velosipedisti. maTi Sexvedra
moxda B-dan 24 km-is daSorebiT. isini rom erTdroulad
gasuliyvnen, maSin maTi Sexvedra moxdeba A-dan 72 km-is
daSorebiT. ipoveT TiToeuli maTganis siCqare.
36.
60°-is tol kuTxe-Si
37.
60° 8
R
≤
1
9
Caxazulia ori wrewiri,
romle-bic garedan exeba
erTmaneTs. mcire wrewiris
radiusi udris 8-s.
ipoveT didi wrewiris
radiusi.
1
10×9 zomis marTkuTxedis formis
Tunuqis fuclisagan TavRia yuTi
daamzades ise, rom am furclis
9
2
2
moculoba.
kuTxeebSi amoWri-lia kvadratebi 2-is
toli gver-diT da darCenili napirebi
gadakecilia. ipoveT miRebuli yuTis
38. marTkuTxedis didi gverdi
gayofilia xuT tol nawilad da
gayofis wertilebze gavlebulia mcire
gverdis paraleluri wrfeebi (ixileT
naxazi). ipoveT naxazze daStrixuli
figuris farTobi, Tu marTkuTxedis
farTobia 150.
309

39. ipoveT b da c Tu y = −x
+ bx + c funqcia udides
mniSvnelobas iRebs x = −1
wertilSi da es udidesi
mniSvnelobaa 1.
40.AAP da BQ paralelur gzebs Soris manZili 36 km-ia. A
punqtidan P-s mimarTulebiT gavida velosipedisti 12 km/sT
A
60km
B
36km
310
2
siCqariT. 2 saaTis Semdeg
B punqtidan Q-s
mimarTulebiT gavida
qveiTi 4 km/sT siCqariT
(ixileT naxazi). qveiTis
gamosvlidan ramdeni saaTis Semdeg iqneba maT Soris
manZili umciresi, Tu manZili A da B punqtebs Soris 60
km-ia.
bileTi #4
1. ramdenjer Semcirdeba dadebiTi ricxvebis ganayofi,
Tu gasayofs gavadidebT 3-jer, xolo gamyofs ki 12-jer?
A. 9-jer B. 4-jer C. 36-jer D. 15-jer
2. ra cifriT bolovdeba 27
2 ?
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
3. gamoTvaleT
⎛
⎜ (
⎜
⎝
a + 1) ⎞
−1
⎟
⋅
2 a ⎟
⎠
a
2
, Tu a = 11 .
A. 6 B. 12 C. 5 D. 8
4. daalageT zrdadobis mixedviT Semdegi ricxvebi:
A. x, z, y
x a y = a , z=a, Tu a>1
B. x, y, z C. y, x, z D. y, z, x
5. Tu 3 ≤ a ≤ 5 da 1 ≤ b ≤ 4 , maSin a − b gamosaxulebis
umciresi mniSvnelobaa:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
= , 3
P
Q

6.
3 9
dm3 moculobis mqone Tafli iwonis
4
8
kg-s. ramden
5
kilograms iwonis dm3 moculobis Tafli?
6
5
A.
4
5
B.
3
7
C.
4
7
D.
3
7.
1
a ricxvi Seadgens b -s nawils, b aris c -s 10%, c
5
warmoadgens 1000-is 75%-s. ipoveT a ricxvi.
A. 15 B. 5 C. 75 D. 100
8. yuTSi Zevs 12 burTi. oTxi bavSvidan TiToeuli
erTmaneTis miyolebiT yuTidan iRebs 3 burTs. ramdeni
xerxiT SeuZliaT maT amis gakeTeba?
A. 184200 B. 324600 C. 370200 D. 369600
9. erTi sirofi 20% Saqars Seicavs, meore ki 15%-s.
pirveli sirofis 2 litri auries meoris 3 litrSi.
ramden procent Saqars Seicavs miRebuli narevi?
A. 16 B. 17 C. 18 D. 12
10. pirvel brigadas mosavlis aReba SeuZlia 8 dReSi,
5
meores ki 12 dReSi. ramden dReSi aiRebs mosavlis 6
nawils orive brigada erTad?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. amoxseniT gantoleba
2x −1 = x − 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
1
log3 1 5
12. gamoTvaleT
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
− lg 0,
1
A. 25 B. 30 C. 26 D. 24
13. amoxseniT gantoleba
2x
2x
+ 1 2x
−1
2 + 2 + 2 = 14
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. gamoTvaleT
4cos
330
6tg210
o
o
− 3tg
330
− 4sin
240
1 2 3 4
A. B. C. D.
2
3
4
5
311
o
o

15. daadgineT im mravalkuTxedis gverdebis umciresi
ricxvi, romlis Siga kuTxeebis gradusuli zomebi
Seadgenen ariTmetikul progresias pirveli wevriT 120 º da
sxvaobiT 5 º .
A. 1 2 B. 9 C. 10 D. 8
16. ipoveT
2
x , Tu x ; 8;
2
x geometriuli progresiis
momdevno wevrebia.
A. 10 B. 16 C. 32 D. 64
17. mocemulia urTierTmarTobuli MN da KL monakveTebi.
ipoveT L wertilis koor-
M(-3;2)
K(1;3)
N(5;2
dinatebi, Tu MN = 2KL
,
M(-3;2),NN(5;2), KK(1;3).
A. (1;0) B. (-1;1) C. (1;2) D. (1;-1)
18. ipoveT A(4;3) wertilis simetriuli wertili B(2;1)
wertilis mimarT.
A. (-3;-4) B. (-4;-3) C. (0;-1) D. (1;0)
19. ipoveT y =
2
15 − 2x
− x funqciis mniSvnelobaTa
simravle.
A. [ 0 ; ∞[
20. ipoveT
B. [0;4] C. [ 4 ; ∞[
D. [4;8]
a r veqtoris koordinatebi, Tu is
r r r
b = −2i− j
veqtoris TanamimarTulia da misi sigrZe 80 -is tolia.
A. (8;-4) B. (8;4) C. (-8;4) D. (-8;-4)
21. M aris ABCD paralelogramis BC gverdis Sua
wertili. ras udris albaToba imisa, rom paralelogramSi
SemTxveviT aRebuli wertili ekuTvnis ABM
samkuTxeds.
A. 1
4
L
B. 1
5
312
C. 1
3
D. 2
3
22. MNPQ kvadratis gareT agebulia tolgverda MEQ
samkuTxedi. ipoveT ∠ MEN .
A. 30 º B. 12 º C. 15 º D. 20 º
23. marTkuTxedis diagonalebis gadakveTis wertilidan
gverdebamde manZilebia 3 da 5. ipoveT marTkuTxedis
perimetri.
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

24.
25.
B
ipoveT ABC samkuTxedis
farTobi, Tu am samkuTxedis
P
Q
gverdebis Suawertilebis SeerTebiT
miRebuli PQR samkuTxedis
farTobia 8.
A R C
A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
ipoveT tolferda ABCD trapeciis
farTobi, Tu misi diagonali udris
10-s da did fuZesTan adgens
45 ° -ian kuTxes.
A. 40 B. 50 C. 60 D. 100
26. paralelogramis blagvi kuTxis wverodan gavlebuli
simaRleebia 3 da 5, xolo maT
Soris kuTxe 30 ° -ia. ipoveT pa-
30
5
ralelogramis farTobi.
°
3
15 3
A.
B. 15 C. 30 D. 7,5
2
27. ipoveT -5; -3; 2; -4; -5; -3; -5; 2; -3 monacemebis fardobiT
sixSireTa Soris umciresi.
28.
A
B
A. 1
9
0
10
45 º
5
13
C
D
B. 1
10
313
C. 2
9
D. 2
11
marTkuTxa samkuTxedi, romlis hipote-
nuzaa 13 da erTi kaTetia 5, brunavs
didi kaTetis garSemo. ipoveT miRe-
buli figuris moculoba.
A. 80 π
B. 100 π C. 120 π D. 140 π

29. gamoTvaleT kubis A wverodan
A
gamosuli samive wibos boloze
gavlebuli kveTis farTobi, Tu
kubis wiboa 2 .
A. 2 3
B. 3 C. 4 3
3
D.
2
30. metalis cilindri gadaadnes, risganac Camoasxes oTxi
erTnairi kubi. ipoveT kubis gverdis sigrZe, Tu
cilindris fuZis radiusia 2, simaRle ki 2
π .
A. π B. 2 π C. 4 D. 2
31. ipoveT kenti naturaluri ricxvi, Tu masze naklebi
yvela kenti ricxvis jami 2207-iT metia TviT am ricxvze.
32. amoxseniT gantoleba
2
2cos
x + sin x −1
= 0
33. ipoveT a–s yvela mniSvneloba, romlisTvisac x > a − 2
utolobis yoveli amonaxsni warmoadgens x > 3 utolobis
amonaxsnsac.
34. amoxseniT utoloba
2x
+ 1 x
3 − 4 ⋅3
+ 1 < 0
35. satvirTo manqana 2 wuTSi gadis 400 metriT naklebs,
vidre avtobusi da amitom 360 km-is gavlas andomebs 1
saaTiT mets, vidre avtobusi. ipoveT TiToeulis siCqare.
36.
B
M
C
ABCD kvadratSi gavlebulia urTierTmarTobuli
DM da AN monakve-
Tebi. ise rogorc naxazzea miTiTe-
N
buli. ipoveT MC, Tu AN = 4 , DN = 3.
A
D
314

37. cilindris simaRle aris
4. misi gverdiTi zeda-
60° piris SlilSi msax-veli
diagonalTan Seadgens
60°-ian kuTxes. ipoveT
cilindris moculoba.
38.
B
36
C
trapeciis fuZeebia 36 da 72.
ipoveT trapeciis ferdebs So-
M
N ris moqceuli monakveTis sig-
K
rZe, romelic fuZeebis parale-
A
72
D
luria da gadis diagonalebis
gadakveTis wertilze.
39.
y
0
315
2
y = 2 x + bx + c da y = cx + 1
funqciaTa grafikebi erTmaneTs
kveTs sakoordinato
RerZebze. ipoveT b da c.
40. ipoveT
2
y = x − 2x
funqciis udidesi da umciresi
mniSvneloba [ 0;3 ] segmentze.
x

q!b!t!v!y!f!c!j!
§1
1.1. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 1.2. 1) C, 2) D, 3) B, 4) A.
1.3. 1) B, 2) C, 3) D, 4) D. 1.4. 1) C, 2) D, 3) D, 4) C.
1.5. 1) D, 2) C, 3) A, 4) B. 1.6. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A, 5) C, 6) B.
1.7. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B, 5) C, 6) B. 1.8. 1) D, 2) D.
1.9. 1) D, 2) C. 1.10. 1) B, 2) C.
1.11.1) B, 2) C. 1.12. 1) C, 2) B, 3) C, 4) A.
1.13.1) D, 2) A, 3) C, 4) B. 1.14.1) A, 2) C, 3) B, 4) A.
1.15.1) A, 2) D, 3) B, 4) A. 1.16.1) A, 2) A, 3) D, 4) A.
1.17.1) B, 2) A, 3) A, 4) C. 1.18.1) C, 2) C, 3) B, 4) A.
1.19.1) C, 2) D, 3) A, 4) C. 1.20.1) B, 2) A, 3) B, 4) C.
1.21.1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 1.22.1) D, 2) A, 3) B, 4) C.
1.23.1) A, 2) D, 3) C, 4) B. 1.24.1) A, 2) D, 3) A, 4) B.
1.25.1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.26.1) B, 2) A, 3) C, 4) A.
1.27. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 1.28. 1) C, 2) D, 3) A, 4) A.
1.29. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 1.30.1) D, 2) A, 3) C, 4) B, 5) C, 6) A.
1.31.1) D, 2) B, 3) A, 4) D. 1.32.1) A, 2) C, 3) B, 4) D.
1.33.1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) A. 1.34.1) B, 2) A, 3) D, 4) B.
1.35. 1) C, 2) D, 3) D. 1.36. 1) D, 2) C.
1.37. 1) A, 2) B. 1.38. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A.
1.39.1) C, 2) B, 3) D, 4) B. 1.40.1) A, 2) D, 3) B, 4) D.
1.41.1) D, 2) B, 3) A, 4) C. 1.42.1) A, 2) D, 3) D, 4) B.
1.43.1) B, 2) A, 3) C, 4) B. 1.44.1) C, 2) B, 3) D, 4) A.
1.45.1) B, 2) C, 3) B, 4) C. 1.46.1) A, 2) B, 3) A, 4) D.
1.47.1) A, 2) B, 3) A, 4) B. 1.48.1) B, 2) A, 3) A, 4) B, 5) C, 6) C.
1.49.1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 1.50.1) D, 2) C, 3) B, 4) A.
1.51.1) D, 2) A, 3) B, 4) A. 1.52. 1) A, 2) C, 3) B, 4) A, 5)A, 6) D.
1.53.1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 1.54. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C.
1.55. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 1.56. 1) C, 2) A.
1.57. 1) D, 2) A. 1.58. 1) B, 2) B, 3) D, 4) A.
1.59. 1) A, 2) C. 1.60. 1) B, 2) D.
1.61. 1) 20-is, 2) 20-is. 1.62. 1) 3, 2) 2. 1.63. 1) 4, 2) 10. 1.64. 1) 60,
7
2) , 3) 50, 4) 72, 5) 16, 6) 9. 1.65. 1) 15, 2) 39, 3) 260, 4) 0.
15
§2
2.1. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 2.2. 1) B, 2) A, 3) C, 4) A.
2.3. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 2.4. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D.
2.5. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C. 2.6. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C.
2.7. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 2.8. C.
2.9. 1) D, 2) A, 3) C, 4) D. 2.10. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D.
2.11. 1) B, 2) A, 3) C, 4) B. 2.12. 1) D, 2) A, 3) D, 4) B.
2.13. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B, 5) B, 6) C. 2.14. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C.
2.15. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A. 2.16. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A, 5) C, 6) A.
2.17. 1) D, 2) C, 3) A, 4) B. 2.18. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B.
316

2.19. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 2.20. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D.
2.21. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 2.22. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D.
2.23. 1) B, 2) D, 3) D, 4) C. 2.24. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A.
2.25. 1) B, 2) A. 2.26. 1) C, 2) B, 3) C, 4) D.
2.27. 1) B, 2) B. 2.28. 1) C, 2) D.
2.29. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 2.30. 1) D, 2) C, 3) B, 4) B.
2.31. 1) A, 2) A, 3) D, 4) C. 2.32. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A.
2.33. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B. 2.34. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C.
2.35. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B.
2.36. 1) 180, 2) 60, 3) 130 o , 4) 114 o , 5) 13 sT, 6) 22-jer. 2.37. 1) 1, 2) 0,1;
3) 4, 4) 2800.
§3
3.1. 1) A, 2) B, 3) D, 4) A, 5) B, 6) A. 3.2. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A.
3.3. 1) B, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) A. 3.4. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D.
3.5. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 3.6. 1) D, 2) C, 3) B, 4) B, 5) A, 6) D.
3.7. 1) D, 2) B, 3) B, 4) C. 3.8. 1) B, 2) B.
3.9. 1) A, 2) B, 3) D, 4) A. 3.10. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C.
3.11. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C. 3.12. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B.
3.13. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 3.14. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B.
3.15. 1) C, 2) A, 3) C, 4) D. 3.16. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C.
3.17. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B.
3.18. 1) –2, 2) 1, 3) 1, 4)
1
− . 3.19. 1) ± 5 , 2) ± 4 , 3) 35, 4) 126.
2
§4
4.1. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 4.2. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C.
4.3. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 4.4. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C.
4.5. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 4.6. 1) A, 2) C, 3) C, 4) A.
4.7. 1) C, 2) B, 3) B, 4) D. 4.8. 1) B , 2) D, 3) A, 4) A.
4.9. 1) B, 2) D, 3) C, 4) D. 4.10. 1)C, 2)B, 3)A, 4)C, 5) B, 6) C, 7) A, 8) B.
4.11.1)D, 2)B, 3)A, 4)B, 5)B, 6)B. 4.12. 1) B, 2) D, 3) C, 4) B.
4.13. 1) D, 2) B, 3) D, 4) D. 4.14. 1) A, 2) D, 3) B, 4) A.
4.15. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 4.16. 1) A, 2) B, 3) B, 4) C.
4.17. 1) A, 2) C, 3) A, 4) D. 4.18. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D.
4.19. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B. 4.20. 1) B, 2) A, 3) C, 4) B, 5) D, 6) B.
1 1
4.21. 1)1, 2)0,3, 3)
. 4.22. 1) 2, 2) 7 , 3) 1, 4) 2.
− , 4)
6 15
§5
5.1. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B. 5.2. 1) B, 2) A, 3) A, 4) D.
5.3. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 5.4. 1) B, 2) A, 3) C, 4) A.
5.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A. 5.6. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B.
5.7. 1) D, 2) A, 3) A, 4) D. 5.8. 1) D, 2) B, 3) D, 4) A.
5.9. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 5.10. 1) C, 2) C, 3) A, 4) B.
5.11. 1) A, 2) A, 3) B, 4) A. 5.12. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B.
317

⎤ 2 ⎡
4 , 2) ⎥−
2 ; ∞⎢
.
⎦ 3 ⎣
⎤ 3 ⎡
2 , 2) ⎥−
∞;
⎢ . 5.17. 1) –3, 2) 2. 5.18. 1) 3, 2) –1. 5.19.
⎦ 7 ⎣
⎤ 46 ⎡
− 36 ; ∞ , 2) ⎥ ; ∞⎢
. 5.20. 1) –9, 2) –4.
⎦125
⎣
5.13. 1) –1, 2) –3. 5.14. 1) 2, 2) 1,5. 5.15. 1) ] − ; ∞[
5.16. 1) ] ; ∞[
1) ] [
§6
6.1. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 6.2. 1) D, 2) D, 3) D, 4) C. 6.3. 1) C, 2) D, 3) A, 4) D.
6.4. 1) C, 2) B, 3) A, 4) B. 6.5. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D.
6.6. 1) 3, 2) -3, 3) 2, 4) 0. 6.7. 1) 3, 2) 5, 3) 10, 4) 3.
§7
7.1. 1) B, 2) D, 3) C, 4) A. 7.2. 1) C, 2) A, 3) B, 4) C. 7.3. 1) A, 2) C, 3) C, 4)
D. 7.4. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A. 7.5. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 7.6. 1) C, 2) B, 3) A,
4) D. 7.7. 1) C, 2) C, 3) C, 4) A. 7.8. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 7.9. 1) B, 2) A, 3)
C, 4) D. 7.10. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 7.11. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 7.12. 1) A, 2)
B, 3) C, 4) D. 7.13. 1) C, 2) C, 3) A, 4) B, 5) A, 6) B. 7.14. 1) A, 2) D. 7.15. 1) C,
2) B.
7.16. 1) 64, 2) 0, 3) –3, 4) –33. 7.17. 1) 5, 2) –6, 3) 2,5, 4) 10. 7.18. 1) -8, 2) 6.
a + 3 a + 2 a − 7 b a + b
7.19. 1) , 2) , 3) , 4) . 7.20. 1) 25, 2) 1, 3) –4; 1, 4) 2;
a + 2 a + 5 a + b a − b
; ∞ ; ∞ −∞ −3
1;
∞ − 1;
2 . 7.22. 1)
5. 7.21. 1) ] 4 [ , 2) ] 3 [ , 3) ] ; [ U ] [ , 4) ] [
⎤ 1⎡
∞
⎥−
; ⎢ U ] 4;
∞[
, 2) ] − 4; 4[
U ] 4;
8[
, 3) ] −4; −1[
U ] −1;
6[
, 4) ] 2; 3[
U ] 3;
4[
⎦ 3⎣
2) –9. 7.24. 1) 6, 2) 12. 7.25. 1) –2; 3, 2) 0; 3. 7.26. 1) ] 2 ; 5[
, 2) ] 1;
2[
1) 9, 2) 0. 7.28. 1) ] − 5;
2[
, 2) ] − 1;
5[
. 7.29. 1) ] 3 ; 9,
25[
, 2) ] ; ∞[
] 8 , 5;
∞[
, 2) ] ; −1[
U ] 1;
2,
6[
318
− . 7.23. 1) 9,
− . 7.27.
2 . 7.30. 1)
−∞ . 7.31. 1) 3, 2) 1. 7.32. 1) a = 5, b=− 11, c = 10 ;
2) a = 2, b= 7, c=−
8 . 7.33. 1) p = 2, q =− 36 ; 2) p = 1, q =− 8 .
§8
8.1. 1) C, 2) A, 3) C, 4) A. 8.2. 1) D, 2) C, 3) D, 4) D.
8.3. 1) D, 2) D, 3) D, 4) B. 8.4. 1) A, 2) C, 3) A, 4) D.
8.5. 1) D, 2) C, 3) A, 4) C. 8.6. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) C.
8.7. 1) C, 2) A, 3) D, 4) B.
8.8. 1) 2, 2) –1, 3) 7, 4) 7; 8. 8.9. 1) –61; 30. 2) –3; 4, 3) 81, 4) 17. 8.10. 1)

⎡ 3 ⎡ ⎡ 7 2 ⎤
⎢ ; 3⎢
, 2)
⎣ 2
⎢−
; − ⎥
⎣ ⎣ 2 3 ⎦
, 3) [ 0 ; 4]
, 4) [ − 4;
0[
. 8.11.1) [ 5 ; ∞[
, 2) ] 3; −2]
U [ 5;
7[
⎤
⎥
⎦
3 ⎡
∞
4
⎢
⎣
⎡ 20 ⎡
⎢ ; 4⎢
⎣ 9 ⎣
5;
∞
319
− , 3)
] 2 ; ∞[
, 4) ] −∞ ; −2[
U ] 1;
3[
. 8.12. 1) − ; U ] 4;
7[
, 2) ] − 3;
1[
, 3) [ − ; 6]
] 8;
∞[
3 U , 4)
] −∞; −8[
U [ −6;
3]
. 8.13. 1) U ] [ , 2) [ 6 ; ∞[
, 3) [ 3;
1[
] −∞ −4]
] 0;
∞[
; U .
§9
9.1. 1) D, 2) C, 3) A, 4) D. 9.2. 1) D, 2) A, 3) C, 4) C.
9.3. 1) B, 2) B, 3) C, 4) D. 9.4. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A.
9.5. 1) A, 2) C, 3) A, 4) B.
− , 4)
9.6. 1) (6;9), (-15;-12), 2) (0;0), (-2,4;4,8), 3) (6;9), (-9;-6), 4) (3;5), (-5;-3).
⎛ 1 ⎞
9.7. 1) 3, 2) 5, 3) 1, 4) 4. 9.8. 1) –8, 2) 8. 9.9. 1) (2;3), 2) ⎜ ; 4⎟
, 3) (7;3), 4)
⎝10
⎠
(5;1). 9.10. 1) (1;4), (4;1), 2) (9;4), (4;9), 3) (8;2), (2;8), 4) (9;4). 9.11. 1)
⎤ 3 ⎡ ⎤ 3 ⎡ ⎤ 8⎡
⎤ 8 ⎡
⎥−
∞;
⎢ U ⎥ ; ∞⎢
, 2)
⎦ 2 ⎣ ⎦ 2
⎥−
∞;
− ⎢ U ⎥−
; ∞⎢
. 9.12. 1) –7, 2) 0. 9.13. 1) –1, 2) 2.
⎣ ⎦ 3⎣
⎦ 3 ⎣
⎛ a + b a − b ⎞
9.14. 1) (1;7), (7;1), 2) (2;3), 3) (2;4), (12;2), 4) (5;2), (11;10), 5) ⎜ ; ⎟ ,
⎝ 2 2 ⎠
⎛ ab + 1 ab −1
⎞
⎜ ; ⎟ , 6) (5;8), (10;2), (2;50), (1;200). 7) (1;50), (7;8), 8) (4;3), 9) (12;2),
⎝ 2 2 ⎠
b 3a
b; 2a
3 b; a . 9.15. 1) a >− 1 , 2) a > 1 , 3)
(9;4), (6;6), (3;8), 10) ( ; ) , ( 2 ) , ( )
8
− < a

§11
11.1. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 11.2. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 11.3. 1)D, 2)A.
11.4. 1) D, 2) C. 11.5. 1) A, 2) C. 11.6. 1)C, 2)A, 3) B, 4) D. 11.7. 1) D, 2)
A, 3) C, 4) B.
11.8. 1) 2; 6, 2) 2; 5; 7, 3) –3; 2; 3, 4) 2; ± 3 ; ± 7 . 11.9. 1)
] 1 10;
1+
10[
− , 2) ] 0;
∞[
, 3) [ − 2;
2]
, 4) ] − ∞;
−1[
] 2;
3[
U ] 3;
∞[
11.10. 1) ] − 8; −4[
U ] − 4;
0[
, 2) ] − ∞;
−2[
U ] − 2;
4[
, 3) ]
] − 6; −3[
U ] − 3;
0]
.
2; 3[
U ] 3;
8[
§12
320
U .
− , 4)
12.1. A 12.2. C 12.3. A 12.4. C 12.5. A
12.6. C 12.7. D 12.8. C 12.9. A 12.10. D
12.11. D 12.12. B 12.13. D 12.14. A 12.15. C
12.16. D 12.17. A 12.18. A 12.19. B 12.20. A
12.21. B 12.22. B 12.23. B 12.24. C 12.25. C
12.26. D 12.27. D 12.28. B 12.29. B 12.30. A
12.31. D 12.32. C 12.33. C 12.34. C 12.35. A
12.36. B 12.37. B 12.38. B 12.39. C 12.40. C
12.41. D 12.42. C 12.43. D 12.44. B 12.45. C
12.46. C 12.47. C 12.48. B 12.49. A 12.50. B
12.51. D 12.52. C 12.53. D 12.54. C 12.55. C
12.56. B 12.57. B 12.58. B
12.59. 24. 12.60. 40. 12.61. 3. 12.62. 3. 12.63. pirvelis,
⎛ 2500 ⎞
⎜ − 625⎟
-iT. 12.64. meoris, ( 40 − 20 π ) -iT. 12.65. 135. 12.66. 6.
⎝ π ⎠
2
12.67. . 12.68. 16:8:12:3. 12.69. pirvelSi 60 l, meoreSi 80 l.
7
12.70. 5
3 . 12.71. 7
3 . 12.72. 3780. 12.73. 8. 12.74. 8. 12.75. 2,5.
12.76. 3000. 12.77. 20000. 12.78. 9. 12.79. 180. 12.80. 192. 12.81.
9,6. 12.82. 40. 12.83. 60. 12.84. 20; 80. 12.85. 40%. 12.86. 5. 12.87.
8. 12.88. 12,5. 12.89. 20. 12.90. 40. 12.91. 30. 12.92. 240. 12.93. 600,
400. 12.94. 200. 12.95. 31:9. 12.96. 70. 12.97. 300. 12.98. 4. 12.99.
pirveli 10 g, meore 16 g. 12.100. tbis 8 l, zRvis 12 l. 12.101. 10.
12.102. 9. 12.103. 12. 12.104. 10. 12.105. 30. 12.106. 60. 12.107. 8.
12.108. 10. 12.109. 95 sT; 38 sT; 76 sT. 12.110. 10. 12.111. 10. 12.112.
32. 12.113. 8. 12.114. 8. 12.115. 6. 12.116. 29. 12.117. 82. 12.118. 73.
12.119. 25; 25. 12.120. 9; 9. 12.121. 20 km/sT. 12.122. 12 km/sT. 12.123. 20
km/sT. 12.124. 80 km. 12.125. 80 km/sT. 12.126. 40 km/sT. 12.127. 40 km/sT,
12.128. 18 km/sT. 12.129. 10 km/sT. 12.130. 59 km/sT. 12.131. 10 km/sT.

12.132. 40 km. 12.133. 60 km. 12.134. 96 km/sT. 12.135. 40; 50. 12.136. 60.
12.137. 84. 12.138. 30 km. 12.139. 3 sT. 12.140. 6 km. 12.141. 3 sT. 12.142.
50. 12.143. 72. 12.144. 20 wamSi. 12.145. 56 wamSi. 12.146. 6. 12.147.
36. 12.148. 10. 12.149. 45. 12.150. 60. 12.151. 15. 12.152. 56 km/sT.
12.153. 6. 12.154. 31. 12.155. 24. 12.156. 80. 12.157. 40 km/sT. 12.158. 30
16
m/wm. 12.159. . 12.160. 20%. 12.161. 11. 12.162. 22. 12.163. 30.
9
§13
13.1. 1) A, 2) B. 13.2. 1) B, 2) C. 13.3. 1) A, 2) B. 13.4. 1) A, 2) B. 13.5. 1) A, 2)
B. 13.6. 1) B, 2) D. 13.7. 1) B, 2) A, 3) D, 4) A. 13.8. 1) A, 2) C. 13.9. 1) D, 2) A.
13.10. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 13.11.1) C, 2) A. 13.12. 1) C, 2) D, 3) C, 4) B, 5) C, 6)
B. 13.13.1) C, 2) A. 13.14. 1) C, 2) D, 3) B, 4) B. 13.15.1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 13.16.
1) B, 2) A, 3) A, 4) C, 5) D, 6) C. 13.17. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B.
1 1 2 2
2 1 1 1
13.18.1) − 1 , 2) − 1 , 3) − , 4) − . 13.19. 1) , 2) 1 , 3) , 4) 1 . 13.20.
3 2 5 5
5 3 2 3
1
1
1) 834 , 2) 994. 13.21. 1) -737, 2) − 834 . 13.22. 1) 1665, 2) 9450, 3) 1645, 4)
4
4
1080. 13.23. 1) 1635, 2) 29097, 3) 8, 4) 3. 13.24. 1) a 1 = m + n −1
, d = −1
. 13.25. 1)
38, 2) 36, 3) 36, 4) 19,5. 13.26. 1) 4, 2) 1900, 3) 15, 4) 7. 13.27. 1) 5, 2) 7.
13.28. 1) 1, 2) -11; 1.
§14
14.1. 1) A, 2) A. 14.2. 1) A, 2) A. 14.3. 1) D, 2) A. 14.4. 1) D, 2) C. 14.5. 1) A, 2) B.
14.6. 1) C, 2) D. 14.7. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 14.8. 1) C, 2) B. 14.9. 1) C, 2) D. 14.10.
1) B, 2) D. 14.11. 1) D, 2) A. 14.12. 1) D, 2) A, 3) B, 4) D. 14.13. 1) B, 2) A.
14.14. 1) B, 2) A. 14.15. 1) A, 2) B. 14.16. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A. 14.17. 1) D,
2) A, 3) C, 4) B.
5 + 1 1
14.18. 1) –1, 2) 1. 14.19. 1) , 2) 3; . 14.20. 1) –2, 2) 2, 3) 5, 4) –2.
2 2
m+
n−1
1
1
14.21. 1) b 1 = 2 ; q = . 14.22. 1) 8190, 2) 70, 3) b 1 = 96 , q = ; 4) 24;
2
2
12; 6; 3. 14.23. 1) 6, 2) 2. 14.24. 1) 3 da 8
− , 2) 5; − 7± 3 3 .
3
§15
15.1. 1) C, 2) C, 3) A, 4) C. 15.2. 1) C, 2) D, 3) B, 4) B. 15.3. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D.
15.4. 1) C, 2) C, 3) D, 4) A. 15.5. 1) A, 2) C, 3) A, 4) C. 15.6. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A.
15.7. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 15.8. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 15.9. 1) C, 2) B.
15.10. 1) B, 2) A, 3) A, 4) D. 15.11. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B. 15.12. 1) D, 2) D, 3) C,
4) A. 15.13. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 15.14.1) A, 2) C, 3) C, 4) B. 15.15. 1) A, 2) C, 3)
321

A, 4) B, 5) C, 6) D. 15.16. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D. 15.17. 1) D, 2) C, 3) D, 4) C. 15.18.
1) A, 2) B, 3) A, 4) B.
1
15.19. 1) 3, 2) 2, 3) 4, 4) 3. 15.20. 1) 3, 2) 2, 3) –1, 4) 1,5. 15.21. 1) , 2)
3
1
2, 3) -1, 4) 1 . 15.22. 1) 1, 2) 0, 3) 3, 4) 4. 15.23. 1) 2, 2) 1, 3) 2, 4) 0.
2
1
15.24. 1) 1, 2) , 3)
2
1 3
− , 4) . 15.25. 1) 1, 2) 1, 3) 0,5, 4) 1. 15.26. 1) 2,
3 5
2) -1, 3) 5, 4) –0,5. 15.27. 1) 3, 2) 5, 3) 3, 4) 2. 15.28. 1) 2, 2) 13, 3) 10,
1
4) 5. 15.29. 1) 9; 3, 2) 4; , 3) 10; 0,0001, 4) 100; 1000. 15.30. 1) –32; -2, 2)
2
–0,5, 3) –5; -3, 4) -29. 15.31. 1) 0, 2) 1, 3) 0; − log2 7 , 4) 1. 15.32. 1) x = −2
;
y = 0 , 2) x = −2
; y = 3 , 3) x = −1
; y = 2 , 4) x = 2 ; y = 3 . 15.33. 1) x = 20 ;
y = 5 , 2) x = 18 ; y = 2 , 3) x = 5 ; y = 2 , 4) x = 1;
y = 2 .
§16
16.1. 1) C, 2) A, 3) D, 4) B. 16.2. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 16.3. 1) C, 2) A, 3) B, 4) C.
16.4. 1) B, 2) A, 3) A, 4) B. 16.5. 1) A, 2) D, 3) D, 4) C. 16.6. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D.
16.7. 1) B, 2) C, 3) D, 4) A. 16.8. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B.
16.9. 1) [ 1 ; 2]
, 2) [ 0 ; 4]
, 3) ] −∞ ; −8]
U [ 4;
∞[
, 4) ] 2 ; 4[
. 16.10. 1) ] 1 ; 4[
, 2) ] ; 7]
] 1 ; ∞[
, 4) ] 3 ; ∞[
. 16.11.1) ] − ∞;
1]
, 2) ] 0 ; 1[
, 3) ] 0 ; ∞[
, 4) ] −∞ ;−1[
. 16.12.1) ] ; 1[
] − ∞;
1]
, 3) [ − 0, 5;
0[
U ] 0;
0,
5]
, 4) ] 0 ; 0,
5]
. 16.13. 1) x < 1,
2) x < 1,
3) > 1
322
2 , 3)
0 , 2)
x , 4)
x = 1 . 16.14.1) 0 < a < 1 , 2) 0 < a < 1 , 3) a > 1 , 4) a > 1 . 16.15. 1) ] 3 ; ∞[
, 2)
] − ∞;−2[
. 16.16.1) ] 2 ; 6[
, 2) ] 4 ; 7[
, 3) ] 2 ; 4[
, 4) ] 1 ; 3[
. 16.17. 1) ] 3; 4[
U ] 4;
∞[
, 2)
; 5 2;
2 ; 5
, 5;
1 6;
∞ − 4; −3
U 0;
1 , 3)
] 2 [ , 3) ] − [ , 4) ] 2 [ . 16.18.1) ] 0 [ U ] [ , 2) ] [ ] [
⎡ 1 ⎤
] − 3; −2[
U ] 1;
2[
, 4) ] 2 , 5;
∞[
. 16.19. 1) ⎢ ; 3⎥
⎣ 27 ⎦
⎡1
1 ⎤
⎢ ; ⎥ . 16.20.1) ] 2 ; ∞[
, 2) ] 1 ; 2[
, 3) ] ; 3]
⎣ 4 2 ⎦
]2; 2,5[, 4) ]3; 3,1[ U ] 13; ∞[.
⎤ 1 ⎡
⎥0
⎢ U , 4)
⎦ 4 ⎣
, 2) [ 0 , 01;
10]
, 3) ; ] 64;
∞[
2 , 4) ] ; 1[
§17
17.1. 1) D, 2) B, 3) A, 4) B. 17.2. 1) D, 2) D, 3) C, 4) A.
17.3. 1) A, 2) D, 3) B, 4) C. 17.4. 1) C, 2) B, 3) A, 4) A.
17.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A. 17.6. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B.
17.7. 1) C, 2) A, 3) B, 4) A. 17.8. 1) A, 2) D, 3) B, 4) A.
17.9. 1) D, 2) B, 3) C, 4) B. 17.10. 1) C, 2) A, 3) D, 4) A.
−∞ . 16.21. 1) ]3;4[, 2) ⎤⎦−∞;1⎡⎣ , 3)

7 2
17.11. 1) , 2)
10
5 5
, 3)
2 7 2 13
63 117
, 4) − . 17.13. 1) π , 2) 6 π ,
65 125
1
, 4) . 17.12. 1)
2
3)
323
10 π
, 4) 3, 5) π , 6) .
3
3
56 63
− , 2) , 3)
65 65
§18
18.1. 1) C, 2) A, 3) D, 4) C. 18.2. 1) D, 2) C, 3) D, 4) A. 18.3. 1) C, 2) B, 3) C, 4) A.
18.4. 1) A, 2) D, 3) A, 4) D. 18.5. 1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) B. 18.6. 1) B, 2) D,
3) A, 4) B. 18.7. 1) A, 2) B, 3) B, 4) A. 18.8. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C. 18.9. 1) B, 2) D,
3) D, 4) A. 18.10. 1) D, 2) B, 3) A, 4) C. 18.11. 1) A, 2) B, 3) B, 4) D. 18.12. 1) A, 2)
B, 3) C, 4) D. 18.13. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 18.14. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D.
18.15. 1) B, 2) D, 3) D, 4) B. 18.16. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 18.17. 1) D, 2) B, 3) B, 4)
A. 18.18. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 18.19. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B. 18.20. 1) B, 2) D, 3)
C, 4) B. 18.21. 1) A, 2) B, 3) D, 4) C.
18.22. 1) 2, 2) 4, 3) –1, 4) 4. 18.23. 1) 0,25, 2) –0,25, 3) 0,125, 4) –0,125.
24 11 1
18.24. 1) 0,75, 2) 9, 3) 4, 4) 3. 18.25. 1) − , 2) , 3) 34, 4) . 18.26.
25 16
6
1)
6 −
4
2
, 2)
3 + 1
, 3)
3 −1
2 −
4
6 6 + 2
, 4) − .
4
§19
19.1. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B. 19.2. 1) B, 2) D, 3) B, 4) B.
19.3. 1) A, 2) D, 3) A, 4) C. 19.4. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B.
19.5. 1) A, 2) C, 3) B, 4) B. 19.6. 1) C, 2) B, 3) A, 4) A.
19.7. 1) C, 2) A, 3) D, 4) A. 19.8. 1) B, 2) C, 3) D, 4) C.
19.9. 1) D, 2) C, 3) B, 4) C.
1
19.10. 1)
8 2 k
π
π π π π
+ π , 2) + πk
, 3) ± + πk
, 4) + πk
. 19.11. 1) + πk
;
3
6 3
3
π π
arctg2 3 + πk
, 2) + πk
; arctg2 3 + πk
, 3) + πk
; −arctg2 + πk
, 4)
6
4
π π
− + πk
; arctg3 + πk
, 19.12. 1) 2 πk
; + 2πk
, 2) k
4
2 π π + 2 ; k π
π
+ 2 ,
3
π π 2 π
2
3) + πk
; + πk
, 4) π + 2πk
; + 2πk
. 19.13. 1) πk
; 2 πk
, 2)
3 2
3
3
π π π π π
π π
± + πk
, 3) ± + πk
, 4) + πk
. 19.14. 1) + k ; π k , 2) + k ;
3
6 6
10 5
10 5
π π
π
π π
+ k , 3) π k , 4) k . 19.15. 1) + πk
; 2πk
4 2
3
4 3 + ± , 2) k π
π
− + ;
4

2 π
± π + 2πk
, 3) 2πk
3
4 + ± ; π k , 4) k π
π k π
+ ; ( −1
) + πk
. 19.16. 1)
2
6
−2≤a≤ 0 , 2) 1 ≤a≤ 3 , 3) −1 ≤a≤ 1,
4) −4,5 ≤a≤ 3,5 .
§20
20.1. 1) B, 2) A, 3) B, 4) C. 20.2. 1) D, 2) A, 3) C, 4) D, 5) C, 6) A. 20.3. 1) A, 2) A,
3) B, 4) C, 5) D, 6) A. 20.4. 1) B, 2) B, 3) A, 4) B, 5) C, 6) A. 20.5. 1) C, 2) D, 3) A,
4) B. 20.6. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 20.7. 1) B, 2) A, 3) A, 4) B. 20.8. 1) D, 2) B, 3)
A, 4) C.
20.9. 1) [ − 4; −2]
U [ 2;
4]
, 2) ] −∞ ; −7]
U [ 9;
∞[
, 3) [ − 6;
7]
, 4) [ − 2;
3[
. 20.10. 1) ] ; 1[
2) ] −∞ ; −2[
U ] 2;
∞[
, 3) ] −∞ ; 2,
9[
U ] 2,
9;
3[
, 4) ] 0; 5[
U ] 5;
∞[
, 5) ] ; 3[
1
20.11. 1) x≤0, x≥
1 , 2) −1≤ x ≤1
, 3) 0 < x ≤ , x ≥ 2 , 4)
32
1
27
20.12. 1) 4 < x ≤ 8 , 2) x > 1,
3)
324
0 ,
1 , 6) ]-3;1[.
≤ x ≤ 3 .
⎤2 ⎡ ⎤ 5⎡
⎥ ;1 1;
3
⎢U ⎥
2
⎢,
4) ⎤⎦−1;0⎡⎣U⎤⎦0;1⎡⎣U ⎤⎦3; ∞⎡⎣.
20.13.
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
2 ; ∞ ,
1) 0,5, 2) 27, 3) -2, 4) -1. 20.14. 1) 1, 2) 2, 3) 4, 4) 2. 20.15. 1) [ [
2) [ 0 ; 3]
, 3) [ 0 ; ∞[
, 4) [ 0 ; 2]
. 20.16. 1) ] 0 ; 1]
, 2) [ ; ∞[
⎤ 1⎤
0 ; , 4) [ ; ∞[
20.17. 1) [ 1 ; ∞[
, 2) ] −∞ ;−2]
, 3) [ 1 ; ∞[
, 4) ] [
3 3
3) 3; -1, 4) 1;-20, 5)
2
3 2
; , 6) 6; 2
2
3) [ − 11; −7]
, 4) [ − 22; −2]
, 5) [ − 2;
2]
, 6) [ ; 5]
4) 8
2 . 20.21. 1) 9x + 8,
2)
9
3 , 3) ⎥
⎦ 3
⎥
⎦
25 .
0 ; ∞ . 20.18. 1) 1; -9, 2) 17; 9,
3 . 20.19. 1) [ − 5;
10]
, 2) [ 12;
3]
− ,
2 . 20.20. 1) 9, 2) 15, 3) 3
4 ,
4 2
x + 10x + 30 , 3) 2x + 5,
4)
§21
2
x − 3x+ 2.
21.1. 1) B, 2) C. 21.2. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 21.3. 1) C, 2) B, 3) A, 4) D. 21.4. 1) B,
2) A. 21.5. 1) A, 2) B, 3) A, 4) D. 21.6. 1) A, 2) D, 3) C, 4) D. 21.7. 1) C, 2) D, 3) A,
4) C. 21.8. 1) C, 2) A, 3) A, 4) B. 21.9. 1) B, 2) C, 3) D, 4) B. 21.10. 1) A, 2) B, 3)
D, 4) C. 21.11. 1) D, 2) A, 3) C, 4) B. 21.12. 1) B, 2) D, 3) A, 4) D. 21.13. 1) A, 2)
D, 3) A, 4) C. 21.14. 1) C, 2) B. 21.15. 1) B, 2) B, 3) A, 4) C, , 5) C, 6) C. 21.16. 1) A,
2) C. 21.17. 1) D, 2) B, 3) A, 4) A. 21.18. 1) C, 2) D, 3) B, 4) C. 21.19. 1) B, 2) B, 3)
D, 4) C. 21.20. 1) C, 2) B, 3) B, 4) C. 21.21. 1) B, 2) C, 3) C, 4) B. 21.22. 1) A, 2) B,
3) C, 4) B. 21.23. 1) B, 2) A, 3) D, 4) C. 21.24. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C, 5) C, 6) D.
21.25. D. 21.26. A. 21.27. C. 21.28. B. 21.29. C.
21.30. 1) m = 4 , n = 6 , 2) 1; 3; 5, 3) m = 6 , n = 8 , 4) I da IV. 21.31. 1) 2,

2) 4. 21.32. 1) y = 3x+ 2 , 2) y = −4x− 4 . 21.33. 1) y = x+
3 , 2)
5 1
y =− 3x− 4.
21.34. 1) y = 2x
, 2) y = −3x− 7.
21.35. 1) y = − x−
, 2)
3 3
3 2
y =− x+
. 21.36. 1) 24, 2) 18, 3) 3, 4) 6. 21.37. 1) (-2;0), (-4;0), 2)
7 7
(0;-18), 3) b = −4
, c = 2 , 4) b = 4, c = −3
, 5) b = −6
, c = 5 , 6) (2;-1). 21.38.
1) a = 2 , c = 8 , 2) a = −2
, c = 6 , 3) b = −4,
c = −4
, 4) b = −12
, c = 18 . 21.39.
1) b = −2
, c = 3 , 2) 2; 0,5, 3) 8; 32, 4) 2; 8, 5) 10; -2; 11, 6) (3;12). 21.40. 1)
2 4
; − ; − 2 , 2) 1; -2; 3, 3) 10; -3, 4) 12; 4; 12. 21.41. 1) b = −2
, c = 0 , 2)
3 3
b = −6
, c = 4 , 3) b = −2
, c = 2 , 4) a = −1,
b = −2
. 21.42. 1) p = 10, q =− 4 ,
2) b=− 3, c=
1 , 3) p = − 5,5, q =− 3 , 4) a = − 1, b= 0, p =± 4, q = 4 . 21.43. 1)
a =− 1, p =− 1 , 2) b= − 12, c = 15 . 21.44. 1) a =± 1 , 2) a = 1, a = 3 , 3)
4
− < a < 0 , 4) a 0, 3) c

24.29. B 24.30. B 24.31. A 24.32. C 24.33. A 24.34. C 24.35. A
24.36. B 24.37. D 24.38. A 24.39. C 24.40. D 24.41. C 24.42. B
24.43. D 24.44. C 24.45. B 24.46. B 24.47. C 24.48. A 24.49. A
24.50. B 24.51. A 24.52. B 24.53. C 24.54. D 24.55. C 24.56. A
24.57. B 24.58. D 24.59. A 24.60. A 24.61. A 24.62. D 24.63. B
24.64. A 24.65. A 24.66. C 24.67. C 24.68. C 24.69. D 24.70. A
24.71. B 24.72. A 24.73. C 24.74. A 24.75. D
24.76. 10. 24.77. 15. 24.78. 10. 24.79. 26. 24.80. 9 3 . 24.81. 30.
24.82. 240. 24.83. 24. 24.84. 144. 24.85. 64. 24.86. 27. 24.87. 16,8. 24.88.
216. 24.89. 54. 24.90. 40. 24.91. 8. 24.92. 26. 24.93. 10. 24.94. 3.
24.95. 2; 4. 24.96. 10. 24.97. 2. 24.98. 26 2 . 24.99. 20. 24.100. 5.
24.101. 12. 24.102. 12. 24.103. 10. 24.104. 18. 24.105. 4. 24.106. 15.
24.107. 84. 24.108. 10. 24.109. 4. 24.110. 4. 24.111. 24. 24.112. 24.
24.113. 2 5 . 24.114. 22. 24.115. 30. 24.116. 6. 24.117. –8. 24.118. 1:4.
24.119. 1:2. 24.120. 30 o . 24.121. 2 10 . 24.122. 3. 24.123. 2. 24.124. 1:2.
24.125. 18.
§25
25.1. A 25.2. B 25.3. C 25.4. D
25.5. A 25.6. B 25.7. C 25.8. D
25.9. C 25.10. B 25.11. A 25.12. C
25.13. B 25.14. B 25.15. A 25.16. B
25.17. C 25.18. A 25.19. B 25.20. A
25.21. 8. 25.22. 6. 25.23. 18. 25.24. 46. 25.25. 4. 25.26. 12. 25.27. 110 o .
25.28. 25. 25.29. 15. 25.30. 90 o .
§26
26.1. B 26.2. C 26.3. B 26.4. B 26.5. C 26.6. A 26.7. B
26.8. C 26.9. B 26.10. A 26.11. B 26.12. A 26.13. B 26.14. B
26.15. A 26.16. B 26.17. B 26.18. A 26.19. B 26.20. B 26.21. D
26.22. A 26.23. B 26.24. A 26.25. B 26.26. B 26.27. A 26.28. C
26.29. C 26.30. B 26.31. D 26.32. C 26.33. B 26.34. C 26.35. B
26.36. B 26.37. D
26.38. 4. 26.39. 3. 26.40. 16. 26.41. 6. 26.42. 6. 26.43. 0,4. 26.44. 12.
26.45. 16. 26.46. 2 ; 3. 26.47. 3. 26.48. 2. 26.49. 6. 26.50. 3. 26.51. 32.
26.52. 11. 26.53. 3. 26.54. 2. 26.55. 8. 26.56. 1:6. 26.57. 1 sm. 26.58. 8
sm 2 . 26.59. 38,5 sm 2 . 26.60. 4 sm 2 . 26.61. 4 sm 2 ah 3+ 3
. 26.62. . 26.63. .
4
3
26.64. 22,5.
326

§27
27.1. B 27.2. A 27.3. C 27.4. D 27.5. D 27.6. A 27.7. D
27.8. C 27.9. B 27.10. B 27.11. D 27.12. D 27.13. C 27.14. A
27.15. B 27.16. A 27.17. C 27.18. C 27.19. A 27.20. B 27.21. D
27.22. A 27.23. A 27.24. A 27.25. B 27.26. D 27.27. C 27.28. D
27.29. D 27.30. B 27.31. B 27.32. C 27.33. B 27.34. B 27.35. A
27.36. C 27.37. D 27.38. A 27.39. C 27.40. B 27.41. C 27.42. B
27.43. 300. 27.44. 10. 27.45. 60. 27.46. 20. 27.47. 10. 27.48. 11. 27.49.
2 6 . 27.50. 25. 27.51. 24. 27.52. 3 . 27.53. 2 7 . 27.54. 25 3 sm2 .
27.55. 52. 27.56. 75. 27.57. 10. 27.58. 16. 27.59. 120. 27.60. 15. 27.61.
5; 10. 27.62. 4; 14. 27.63. 16. 27.64. 1. 27.65. 1:2:1. 27.66. 1:2. 27.67.
40. 27.68. 5. 27.69. 3:16. 27.70. 8. 27.71. 6.
§28
28.1. B 28.2. D 28.3. A 28.4. B 28.5. D 28.6. C 28.7. B
28.8. B 28.9. A 28.10. B 28.11. B 28.12. D 28.13. C 28.14. B
28.15. A 28.16. B 28.17. B 28.18. A 28.19. C 28.20. D 28.21. C
28.22. C
28.23. 5. 28.24. 10. 28.25. 36. 28.26. 30. 28.27. 9,6. 28.28. 2 5 .
28.29. 96. 28.30. 10. 28.31. 60 o . 28.32. 156. 28.33. 64. 28.34. 10. 28.35.
20. 28.36. 10. 28.37. 6. 28.38. 8. 28.39. 2,4. 28.40. 4,5. 28.41. 96.
28.42. 6. 28.43. 3. 28.44. 6. 28.45. 2,25. 28.46. 8. 28.47. 6. 28.48.
120. 28.49. 20.
§29
29.1. B 29.2. B 29.3. C 29.4. A 29.5. C 29.6. B 29.7. C
29.8. B 29.9. B 29.10. C 29.11. D 29.12. C 29.13. D 29.14. A
29.15. C 29.16. A 29.17. C 29.18. B 29.19. A 29.20. B 29.21. B
29.22. B 29.23. D 29.24. C 29.25. B 29.26. D 29.27. A 29.28. B
29.29. B 29.30. A 29.31. D 29.32. C 29.33. A 29.34. C 29.35. D
29.36. 5. 29.37. 4. 29.38. 4. 29.39. 24. 29.40. 7. 29.41. 5. 29.42.
2,9. 29.43. 73 . 29.44. 8 3 . 29.45. 6 3 . 29.46. 1,2. 29.47. 32.
29.48. 8. 29.49. 6. 29.50. 2. 29.51. 3
16 . 29.52. 3. 29.53. 4. 29.54. 5,2.
29.55. 5 sm. 29.56. 1. 29.57. 6. 29.58. 6. 29.59. 3. 29.60. 32. 29.61. 135.
327

29.62. 8. 29.63. 16. 29.64. 5. 29.65. 5. 29.66. 2:3. 29.67. 3:2.
29.68. 8 . 29.69. 5. 29.70. 150. 29.71. 48. 29.72. 2 82 sm. 29.73. 8.
3
29.74. 18. 29.75. 66.
§30
30.1. C 30.2. D 30.3. A 30.4. A 30.5. B 30.6. C 30.7. B
30.8. D 30.9. D 30.10. B 30.11. D 30.12. C 30.13. B 30.14. A
30.15. C 30.16. C 30.17. C 30.18. A 30.19. D 30.20. B 30.21. C
30.22. D 30.23. A 30.24. A 30.25. B 30.26. B 30.27. A 30.28. B
30.29. A 30.30. D 30.31. C 30.32. B 30.33. C 30.34. D 30.35. C
30.36. D 30.37. B 30.38. B 30.39. A 30.40. C 30.41. B 30.42. D
30.43. C 30.44. B
30.45. 21. 30.46. 7. 30.47. 3. 30.48. 5. 30.49. 25. 30.50. 18.
30.51. 30. 30.52. 20. 30.53. 8. 30.54. 17. 30.55. 13. 30.56. 9,6.
30.57. 10. 30.58. 12. 30.59. 9. 30.60. 14. 30.61. 18. 30.62. 42.
30.63. 12. 30.64. 12. 30.65. 24. 30.66. 24. 30.67. 20. 30.68. 30.
9
30.69. 7 . 30.70. 6 ( 2 + 3)
. 30.71. 3. 30.72. 50. 30.73. 12. 30.74.
16
8. 30.75. 9. 30.76. 12,5. 30.77. 16. 30.78. 10. 30.79. 49. 30.80. 10.
5
30.81. 40. 30.82. 56. 30.83. 72. 30.84. 60. 30.85. 2. 30.86. 10 .
8
30.87. 20 o . 30.88. 140 o . 30.89. 49 o 1
6
. 30.90. 8 . 30.91. .
8
2
30.92. 130. 30.93. 6. 30.94. 64. 30.95. 3 3 . 30.96. 13. 30.97. 90.
30.98. 18. 30.99. 66. 30.100. 14. 30.101. 9. 30.102. 6,25. 30.103. 2,5.
30.104. 30. 30.105. 1,2. 30.106. 3:2. 30.107. 1. 30.108. 3 3 . 30.109. 2.
30.110. 4,8. 30.111. 24. 30.112. 27. 30.113. 2. 30.114. 15. 30.115. 2.
2π
30.116. 6. 30.117. 24. 30.118. 6,5. 30.119. . 30.120. 4. 30.121. 4.
3
30.122. 2. 30.123. 7,5. 30.124. 15. 30.125. 1 . 30.126. 240
20
o . 30.127.
5. 30.128. 3. 30.129. ( 2 1)
r + . 30.130. 1,5. 30.131. π − 3 . 30.132.
4π − 3 3 . 30.133. 2. 30.134. ( 32 + 16π ) sm2 8
. 30.135. 4 3
3 π
⎛ ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ sm2 .
4,
3π
30.136. 8. 30.137. 52. 30.138. . 30.139. 3:1. 30.140. 75. 30.141. 4 .
4 −π
π
30.142. 6. 30.143. 8 sm2 . 30.144. ( 4 3 3)
30.146. ( 16π − 8 3 ) sm2 .
328
π + sm 2 .
π − sm2 . 30.145. ( 2)

§31
31.1. A 31.2. C 31.3. D 31.4. A 31.5. A 31.6. B 31.7. D
31.8. D 31.9. D 31.10. B 31.11. A 31.12. C 31.13. B 31.14. C
31.15. D 31.16. A
31.17. 20. 31.18. 7. 31.19. 36. 31.20. 33. 31.21. 8. 31.22. 45 o .
31.23. 30 o . 31.24. 60 o . 31.25. 120 o . 31.26. 120 o . 31.27. 60 o .
31.28. 12. 31.29. 39. 31.30. 30. 31.31. 30 o . 31.32. 7. 31.33. 14.
31.34. 7. 31.35. 60 o . 31.36. 10. 31.37. 15. 31.38. 8. 31.39. 10.
31.40. 14. 31.41. 18. 31.42. 16. 31.43. 10. 31.44. 24. 31.45. 6.
31.46. 5. 31.47. 10. 31.48. 24. 31.49. 14. 31.50. 13. 31.51. 5.
31.52. 96. 31.53. 27. 31.54. 48. 31.55. 18. 31.56. 8. 31.57. 13.
§32
32.1. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 32.2. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B.
32.3. B 32.4. A 32.5. D 32.6. C 32.7. A 32.8. A 32.9. C
32.10. B 32.11. C 32.12. D 32.13. C 32.14. D 32.15. A 32.16. D
32.17. C 32.18. A 32.19. B 32.20. D 32.21. A 32.22. C 32.23. A
32.24. D 32.25. D 32.26. D 32.27. C 32.28. B 32.29. D 32.30. A
32.31. A 32.32. C 32.33. B 32.34. B 32.35. D 32.36. C 32.37. D
32.38. D 32.39. C 32.40. C 32.41. A 32.42. D 32.43. B 32.44. C
32.45. B 32.46. A 32.47. C 32.48. D 32.49. B 32.50. D 32.51. A
32.52. B 32.53. B 32.55. B 32.56. A
32.57. 18. 32.58. 70 3 . 32.59. 96. 32.60. 40. 32.61. 14. 32.62. 32.
32.63. 12 5 . 32.64. 5. 32.65. 13. 32.66. 10. 32.67. 1416. 32.68.
11,25. 32.69. 60. 32.70. 780. 32.71. 5. 32.72. 188. 32.73. 70.
32.74. 300. 32.75. 12. 32.76. 16. 32.77. 288. 32.78. 82. 32.79. 48.
32.80. 48. 32.81. 30. 32.82. 2 . 32.83. 24. 32.84. 108. 32.85. 72.
32.86. 192. 32.87. 9. 32.88. 72. 32.89. 60. 32.90. 3. 32.91. 88.
32.92. 48. 32.93. 2. 32.94. 15. 32.95. 2400. 32.96. 522. 32.97. 8 3 .
32.98. 60. 32.99. 18. 32.100. 6 6 . 32.101. 0,108 l.
§33
33.1. 1) B, 2) A, 3) D, 4) C. 33.2. C 33.3. A 33.4. D 33.5. B
33.6. B 33.7. D 33.8. B 33.9. B 33.10. D 33.11. C 33.12. D
33.13. B 33.14. A 33.15. D 33.16. B 33.17. D 33.18. A 33.19. A
33.20. C 33.21. B 33.22. D 33.23. D 33.24. A 33.25. B 33.26. C
33.27. B 33.28. D 33.29. D 33.30. C 33.31. A 33.32. D 33.33. C
33.34. B 33.35. A 33.36. C 33.37. B 33.38. D 33.39. A 33.40. C
329

33.41. 10. 33.42. 10. 33.43. 5. 33.44. 4. 33.45. 75. 33.46. 48.
33.47. 18. 33.48. 144 3 . 33.49. 54. 33.50. 36. 33.51. 48. 33.52. 6.
33.53. 14. 33.54. 24. 33.55. 18. 33.56. 33. 33.57. 32. 33.58. 64.
33.59. 32. 33.60. 15. 33.61. 15. 33.62. 33. 33.63. 360. 33.64. 3.
33.65. 50. 33.66. 12. 33.67. 26. 33.68. ( 2+ 2 2)
sm2 . 33.69. ( 8+ 4 3)
sm2 . 33.70. 48( 3 + 2)
sm2 . 33.71. 32( 3 3 + 6 + 3)
sm2 . 33.72.
25
( 6+ 3)
sm2 . 33.73. 24 sm2 . 33.74. 72. 33.75. 117. 33.76. 1. 33.77. 36 2 . 33.78.
16,5. 33.79. 2,5. 33.80. 6 3 . 33.81. 45 3 . 33.82. 3,75. 33.83. 288.
33.84. 2 3 . 33.85. 686 6 . 33.86. 4,5. 33.87. 18. 33.88. 72. 33.89.
54. 33.90. 5. 33.91. 2 3 . 33.92. 135. 33.93. 144. 33.94. 9 21 .
33.95. 7. 33.96. 30. 33.97 2. 33.98 36. 33.99 6 . 33.100.
330
4
13
24 901 .
33.101. 6. 33.102. 2. 33.103. 32,2. 33.104. 7,6. 33.105. 252. 33.106.
12. 33.107. 48. 33.108. 6. 33.109. 20. 33.110. 4. 33.111. 18. 33.112. 900.
33.113. 15. 33.114. 30. 33.115. 72. 33.116. 6. 33.117. 12. 33.118. 14.
33.119. 3 2 . 33.120. 216. 33.121. 24. 33.122. 42. 33.123. 40. 33.124. 60.
§34
34.1. B 34.2. C 34.3. A 34.4. B 34.5. A 34.6. C 34.7. B
34.8. A 34.9. D 34.10. B 34.11. A 34.12. D 34.13. C 34.14. A
34.15. A 34.16. C 34.17. B 34.18. C 34.19. C 34.20. B 34.21. C
34.22. A 34.23. C 34.24. B 34.25. A 34.26. A 34.27. D 34.28. C
34.29. B 34.30. B 34.31. B 34.32. C 34.33. A 34.34. B 34.35. D
34.36. B 34.37. B 34.38. B 34.39. C 34.40. B 34.41. B 34.42. D
34.43. B 34.44. A 34.45. B 34.46. C 34.47. A 34.48. D 34.49. A
34.50. A
34.51. 36. 34.52. 6. 34.53. 5. 34.54. 56. 34.55. 30 π . 34.56. 6.
2 3
34.57. 2. 34.58. . 34.59. . 34.60. 15 π . 34.61. 240 π . 34.62. 500.
3
5
2π
34.63. 50. 34.64. 15 π . 34.65. 2. 34.66. 2. 34.67. . 34.68. 156.
3
34.69. 3,9. 34.70. 62,5. 34.71. 30 o . 34.72. 6 sm. 34.73. 6 sm. 34.74. 40.
34.75. 25 π . 34.76. 27 π . 34.77. 21. 34.78. 5. 34.79. 60 o . 34.80.
2. 34.81. 4 π . 34.82. 3 π . 34.83. 12.

$35
35.1. 1) D, 2) A, 3) D, 4) B. 35.2. 1) C, 2) D, 3) A, 4) B, 5) B, 6) A. 35.3.
1) B, 2) D. 35.4. B. 35.5. D 35.6. 1) A, 2) D. 35.7. 1) B, 2) D. 35.8. 1)
D, 2) C, 3) B, 4) A. 35.9. 1) D, 2) B, 3) C, 4) A. 35.10. 1) B, 2) C,
3) A, 4) D. 35.11. 1) C, 2) D. 35.12. C. 35.13. A. 35.14. 1) A, 2) B.
35.15. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C, 5) B; 6) D. 35.16. 1) A, 2) B, 3) D, 4) B.
35.17. 1) C, 2) A, 3) B, 4) A. 35.18. 1) B, 2) C, 3) C, 4) A. 35.19 1) C,
2) A, 3) B, 4) A. 35.20. 1) B, 2) C. 35.21. 1) D, 2) A. 35.22. B. 35.23. C.
35.24. A. 35.25. D. 35.26. 1) C, 2) A, 3) C, 4) D. 35.27. 1) A, 2) B. 35.28.
1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 35.29. 1) B, 2) A, 3) C, 4) D. 35.30. C. 35.31. B.
35.32. 1) A, 2) B. 35.33. 1) B, 2) C, 3) A, 4) D. 35.34. 1) A, 2) B, 3) C,
4) D. 35.35. 1) C, 2) D. 35.36. 1) A, 2) B, 3) C, 4) A. 35.37. 1) D,
2) C, 3) B, 4) A.
$36
36.1. D. 36.2. C. 36.3.D. 36.4. 1) B, 2) A. 36.5. 1) B, 2) C. 36.6. 1) D, 2) C.
36.7.B. 36.8. C. 36.9. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A, 5) A, 6) A. 36.10. C. 36.11. D.
36.12. 1) B, 2) A, 3) D, 4) D. 36.13. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A. 36.14. A. 36.15.
1) A, 2) B, 3) D, 4) C. 36.16. 1) D, 2) B, 3) A, 4) A. 36.17. 1) C, 2) A,
3) B, 4) D. 36.18. 1) C, 2) A, 3) B, 4) D. 36.19. 1) B, 2) C, 3) B, 4) A, 5)
D, 6) A. 36.20. 1) D, 2) C, 3) B, 4) A, 5) C, 6) D. 36.21. 1) C, 2) A, 3) B, 4)
D. 36.22. 1) B, 2) C, 3) A, 4) C. 36.23. 1) A, 2) D, 3) A, 4) B. 36.24. 1)
B, 2) D. 36.25. 1) A, 2) B. 36.26. 1) A, 2) C, 3) B, 4) D, 5) A, 6) B.
36.27. B. 36.28. 1) A, 2) B. 36.29. B. 36.30. B. 36.31. 1) B, 2) A. 36.32.
1) A, 2) D. 36.33. 1) A, 2) B. 36.34. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D, 5) A, 6) C.
36.35. 1) D, 2) A. 36.36. 1) A, 2) B, 3) C, 4) D, 5) D, 6) C. 36.37. 1) A, 2) B.
§37
37.1. 1) C, 2) B, 3) D, 4) A. 37.2. 1) B, 2) A, 3) B, 4) D. 37.3. 1) B, 2) A.
37.4. 1) B, 2) D. 37.5. 1) A, 2) C. 37.6. 1) B, 2) D, 3) B, 4) A. 37.7. 1) D, 2) B,
3) A, 4) D. 37.8. 1) B, 2) A. 37.9. 1) D, 2) A. 37.10. 1) B, 2) D.
§38
38.1. 1) D, 2) A, 3) B, 4) C. 38.2. 1) D, 2) A. 38.3. 1) D, 2) A, 3) B, 4) A. 38.4.
1) D, 2) B, 3) C, 4) A, 5) D, 6) B, 7) A, 8) C. 38.5. 1) A, 2) B, 3) D, 4) B, 5) C,
6) D, 7) B, 8) D. 38.6. 1) D, 2) A, 3) B, 4) D. 38.7. 1) B, 2) D, 3) A, 4) A.
38.8. 1) A, 2) B, 3) C, 4) B. 38.9. 1) B, 2) D, 3) A, 4) B, 5) B, 6) D. 38.10. 1)
B, 2) D, 3) A, 4) C. 38.11. A. 38.12. D. 38.13. B. 38.14. B. 38.15. B. 38.16. D.
38.17. B. 38.18. 1) A, 2) C, 3) B, 4) D. 38.19. A. 38.20. B. 38.21. 1) D, 2) B,
331

3) C, 4) C. 38.22. 1) A, 2) B. 38.23. 1) D, 2) C. 38.24. 1) D, 2) C. 38.25. 1)
A, 2) B, 3) D, 4) A. 38.26. 1) A, 2) B. 38.27. B. 38.28. C. 38.29. B. 38.30. 1)
A, 2) C, 3) D, 4) B. 38.31. C. 38.32. A. 38.33. B. 38.34. C. 38.35. A. 38.36. C.
38.37. A. 38.38. D. 38.39. A. 38.40. B. 38.41. D.
cjmfUjt!ojnvTfcjt!qbtvyfcj!
bileTi #1
1. D 2. C 3. A 4. A 5. D 6. B 7. D 8. C
9. D 10. D 11. A 12. B 13. B 14. D 15. A 16. C
17. C 18. D 19. B 20. C 21. B 22. A 23. D 24. B
25. A 26. B 27. B 28. D 29. C 30. B
− o 33. 1. 34. ] [ ] [
31. 7854. 32. 30
−∞ ; −2
U 2;
∞ . 35. 6 km/sT; 18 km/sT.
36. 20. 37. 9. 38. 4π − 3 3 . 39. a = 2 ; b = −4;
c = 3 . 40. -2
bileTi #2
1. C 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C
9. A 10. C 11. C 12. B 13. C 14. B 15. C 16. D
17. B 18. B 19. B 20. B 21. C 22. B 23. D 24. B
25. C 26. D 27. D 28. B 29. D 30. A
31. 104. 32. 6
π
34. ] 1 7;
−1[
] 3;
1+
7 [
− U . 35. 16 wT; 26 wT da 40 wm. 36.
1
2 2 + 1
. 37. π 75 . 38. 12 3 . 39. 3 ; 4 − = = c b . 40. ⎤ 1 ⎡
⎥ ; 1⎢
.
⎦ 2 ⎣
bileTi #3
1. B 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. C 8. B
9. B 10. B 11. D 12. A 13. B 14. C 15. B 16. B
17. B 18. C 19. A 20. B 21. B 22. D 23. C 24. B
25. D 26. B 27. C 28. C 29. C 30. B
5;
2 1; 2 . 35. 18 km/sT; 36 km/sT. 36. 24.
31. 3; 8. 32. cosα 33. ] − [ . 34. [ ]
37. 60. 38. 21. 39. b = −2
; c = 0 . 40. 3 sT.
bileTi #4
1. B 2. B 3. A 4. C 5. A 6. A 7. A 8. D
9. B 10. B 11. D 12. C 13. A 14. C 15. B 16. B
17. D 18. C 19. B 20. D 21. A 22. C 23. D 24. D
25. B 26. C 27. A 28. B 29. B 30. A
332

π
k+
π
31. 97. 32. + 2πk
; ( −1)
+ πk
2 6
1
. 33. [ 5 ; ∞[
. 34. ] − 1;
0[
. 35. 60 km/sT;
48
72 km/sT. 36. 3,75. 37. . 38. 48. 39. b = 3 ; c = 1 . 40. 3; -1.
π
333

!!!!!!!s a c n o b a r o m a s a l a
I. a l g e b r a
!
Semoklebuli gamravlebis formulebi
2 2
3 3
2 2
1. a − b = ( a − b)(
a + b)
; 2. a b = ( a − b)(
a + ab + b )
3 3
2
2
2 2
2
3. a + b = ( a + b)(
a − ab + b ) ; 4. ( a ± b)
= a ± 2ab + b ;
3
3 2 2 3
5. ( a b)
= a ± 3a b + 3ab
± b
334
− ;
± ;
2 2 2 2
6. ( a + b + c)
= a + b + c + 2ab
+ 2ac
+ 2bc
;
!
proporciebi
a c a± b c± d
Tu = , maSin a⋅ d = b⋅ c;
= .
b d b d
procenti
ak
1. a ricxvis k % tolia -is.
100
2. ricxvi, romlis k % aris b , tolia
!
b
k
100
⋅ -is.
a a
3. a ricxvi aris b ricxvis nawili, anu ⋅100
b
b
!
xarisxi
n
0
1. a = a1
⋅2a
... 3a
; sadac n ∈ N;
2. a = 1;
a ≠ 0 .
n−jer
procenti.
−n
1
3. a = ,
n
a
n ∈ N,
m
n n m
a ≠ 0.
4. a = a , m∈Z n∈ N da a > 0.
moqmedebebi xarisxebze
n n n ⎛ a ⎞ a
1. ( ab ) = a b ; 2. ⎜ ⎟ = , Tu b ≠ 0 ;
n
⎝ b ⎠ b
3.
a
m
n
m+
n
⋅ a = a ; 4.
n
n
m
a m−n
a
n
a
m mn
= ; 5. ( a ) = a .
n

a n
S
n
Tu
a)
x
kvadratuli gantolebis amonaxsnTa formula
ax
1,
2
2
+ bx + c = 0 da D = b − 4ac
≥ 0,
maSin
2
2
− b ±
=
b − 4ac
− k ±
; b) x1
, 2 =
2a
!
vietis Teorema
k
a
− ac
, Tu b = 2k
.
Tu x da x aris ax + bx + c = 0
1
2
2
335
2
gantolebis amonaxsnebi, maSin
b
x 1 + x2
= − ,
a
!
c
x1
⋅ x2
= .
a
!
kvadratuli samwevris daSla wrfiv mamravlebad
Tu x da x aris ax + bx + c
1
2
2
maSin ax bx + c = a(
x − x )( x − x )
= a + ( n −1)
d;
1
a + a
=
2
2
+ .
1
kvadratuli samwevris amonaxsnebi,
ariTmetikuli progresia
2a1
+ ( n −1)
d
=
n,
2
2
2a
=
− d(
n −1)
2
1 n
n
n,
Sn
Sn
n
a + a = a + a = K = a + a k
b
1 n 2 n−
1
k n−
+ 1
S
n
n
= b
n−1
1q
;
n
;
− 1 + 1
2
+ an
an
a n = .
geometriuli progresia
b1(
q −1)
bnq
− b1
= , Sn
= , ( q ≠ 1);
q −1
q −1
b1 ⋅bn = b2
⋅bn
−1
= K = bk
⋅bn
−k+
1;
−1 + 1.
⋅ = b n bn
bn
!
trigonometria
kuTxis gradusuli zomis gadayvana radianebSi da piriqiT
,
180 π α
°
=
°
a α
a ° = 180°
(α - radianuli zomaa, a - gradusi)!
π
!
!
2
;

!
!
trigonometriul funqciaTa niSnebi
!
!!!!!!!!sinusi kosinusi tangensi
α
trigonometriuli funqciebis mniSvnelobaTa cxrili
zogierTi argumentisaTvis
0
0 = 0
sin α 0
cosα
1
tg α 0
o
30
6 =
π
1
2
3
2
o
45
4 =
π
2
2
2
2
336
o
60
3 =
π
o
90
2 =
π
0
π = 180
3 π
=
2
3
1 0 -1
2
1
0 -1 0
2
3
1 3 - 0 -
3
!
!
damokidebuleba erTidaimave argumentis
trigonometriul funqciebs Soris
2 2
sinα
1. sin α + cos α = 1;
2. tg α = ;
cosα
cosα
3. ctg α = ;
sinα
4. tg α ctgα
= 1;
2 1
2 1
5. 1+
tg α = ; 6. 1+
ctg α = . !
2
2
cos α
sin α
0
270

ori argumentis jamisa da sxvaobis
trigonometriuli funqciebi
1. ( )
sin α + β = sinαcosβ + cosαsin β;
2. sin( α − β ) = sinα
cos β − cosα
sin β;
3. cos( α + β ) = cosα
cos β − sinα
sin β;
4. cos( α − β ) = cosα
cos β + sinα
sin β;
tgα
+ tgβ
5. tg(
α + β ) = ;
1− tgα
tgβ
tgα
− tgβ
6. tg(
α − β ) = .
1+ tgα
tgβ
ormagi argumentis trigonometriuli funqciebi
1. sin 2α
= 2sinα
cosα;
2. cos2α
= cos
2tgα
3. tg2α
= ;
2
1−
tg α
!
α − sin α;
!
naxevari argumentis trigonometriuli funqciebi
1 cos
1. sin ;
2 2
2 α − α
1 cos
= 2. cos ;
2 2
2 α + α
=
trigonometriul funqciaTa gamosaxva naxevari
argumentis tangensiT
α
2 α
α
2tg
1−
tg
2tg
1. sinα
= 2 ; 2. cosα
= 2 ; 3. tgα
= 2 .
2 α
2 α
2 α
1+
tg
1+
tg
1−
tg
2
2
2
Seqceuli trigonometriuli funqciebi
1. y = arcsin x,
Tu
π π
x = sin y da − ≤ y ≤ ;
2 2
2. y = arccos x,
Tu x = cos y da 0 ≤ y ≤ π ;
3. y = arctgx,
Tu
π π
x = tgy da − < y < ;
2 2
337
2
2

4. arcsin( x) = −arcsin
x
6. arctg( x)
= −arctgx
− ; 5. arccos( −x) = π − arccos x ;
− ;
umartivesi trigonometriul gantolebaTa amonaxsnebi
k
1. sin x = a;
a ≤1,
x = ( −1)
arcsin a + πκ , κ ∈ Z;
π
kerZod: a) sin x = 0,
x = πκ , κ ∈ Z;
b) sin x = 1,
x = + 2πκ
, κ ∈ Z;
2
π
g) sin x = −1,
x = − + 2πκ
, κ ∈ Z;
2
2. cos x = a;
a ≤1,
x = ± arccosa
+ 2πκ
, κ ∈ Z;
π
kerZod: a) cos x = 0,
x = + πκ , κ ∈ Z;
b) cos x = 1,
x = 2πκ
, κ ∈ Z;
2
g) cos x = −1,
x = π + 2πκ
, κ ∈ Z.
3. tgx = a,
x = arctga + πκ , κ ∈ Z ; 4. ctgx = a,
x = arcctga + πκ , κ ∈ Z .!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x
1. log a b = x ⇔ a = b,
logariTmebi
loga
b
( a ≠ 1,
a > 0,
b > 0)
; 2. a = b ; 3. log a 1 = 0 ;
x
4. log a a = 1;
5. log a ( x1 ⋅ x2
) = log a x1
+ log a x2
; 6. 1 loga = loga
x1
− loga
x ; 2
x2
k
7. log a x = k log a x ; 8. x x
a a
k
k
1
m
log = log ; 9. b
a
m
a b
k
k log = log ;
10.
logc
b
log a b = ; 11.
1
log a b = ; 12. loga
x logb
x
logc
b logc
a
= ; 13. a = b .
log a
log a log y log y
c
kombinatorika
1.
m Pn
Pn = n!
; P0
= 1;
2. An
=
P
= n(
n −1
) L ( n − m + 1)
;
1
0
3. A n = n;
An
= 1;
4. C
m
n
5. ;
m n m − 1
0
C = C Cn = n ; C = 1 .
n
n
n
b
n−m
m
An
n!
= = ;
P m!
( n − m)!
m
338
a
b

II. geometria
planimetria
samkuTxedi
samkuTxedis gverdebia a, b, c; simaRleebi _ h a , h b , h c ;
medianebi _ m a , m b , m c ; Siga kuTxeebi _ A, B, C; biseqtrisebi _
l a , l b , l c ; r_Caxazuli wris radiusi; R_Semoxazuli wris radiusi;
a + b + c
p = − naxevarperimetri; S_samkuTxedis farTobi
2
1. ∠A + ∠B
+ ∠C
= 180°
.
2. a + b > c,
a + c > b , b + c > a ,
3. ha ≤ la
≤ ma
; hb ≤ lb
≤ mb;
hc ≤ lc
≤ mc.
4.
2
ha = p(
p − a)(
p − b)(
p − c)
.
a
2
b ′ c′
5. a) la = bc − b′
c′
, b) = .
b c
1.
samkuTxedis farTobi
1
1
1
S = a ⋅ ha
; S = b ⋅ hb
; S = c ⋅ hc
.
2
2
2
2. S = p(
p − a)(
p − b)(
p − c)
(heronis formula).
3.
1
1
1
S = absin
C;
S = bcsin
A ; S = acsin
B .
2
2
2
4. S = r ⋅ p (formula marTebulia wrewirze Semoxazuli nebismieri
mravalkuTxedisaTvis).
5.
abc
S = .
4R
SABC 6. Tu ∆ ABC ~ ∆A1
B1C1
, maSin:
S
2 2
AB ha = = 2 2
A B h
2
lb = 2
l
2
mc
= . 2
m
ABC 111 1 1 a1 b1 c1
sinusebis Teorema
a b c
= = = 2R
.
sin A sin B sinC
!
339

kosinusebis Teorema
2 2 2
a = b + c − 2bc
cos A
!
marTkuTxa samkuTxedi
1) damokidebuleba marTkuTxa samkuTxedis elementebs Soris:
2 2 2
a) hc = ac ⋅ bc, a = c⋅ ac, b = c⋅ bc.
2 2 2
b) a + b = c (piTagoras Teorema).
g) a = c ⋅sin
A ;… b = c ⋅sin
B ; a = b ⋅ tgA;
a
a = c ⋅ cos B ; b = c ⋅ cos A ; a = b ⋅ ctgB .
a+ b−c c
d) r = = p− c; R = .
2 2
1
e) S = ab.
2
1. 30°-iani kuTxis mqone marTkuTxa samkuTxedi:
c
a) ,
c 3
a = b) b = .
2
2
wesieri samkuTxedi
1. a = R ; a = 2 3r
( a − samkuTxedis gverdia).
3
3 3
a3
R = ; R = 2r.
3
3
oTxkuTxedebi
oTxkuTxedis farTobi diagonalebisa da maT Soris
kuTxis sinusis namravlis naxevris tolia.
!
paralelogrami
ABCD paralelogramSi, AB = a , AD = b ;
2 2 2 2
1) AC + BD = 2(
a + b ).
2) S = ah2;
S = bh1.
1 2
3) S = ab sinα
. 4)
sinα
h h ⋅
S = .
340

ombi
rombSi d 1 da d 2 diagonalebia, a _gverdi:
1) 4 .
2 2 2
d 1 + d2
= a
2) S = ah.
2
3) S = a sin A.
1
4) S = d1
⋅ d 2 .
2
lwbesbuj!
1. a4 = R 2; a4
= 2r
( a4 − kvadratis gverdia),
2.
a4
R = ;
2
R =
a4
R 2
2
2 r.
3. r = ; r = . 4. S = a ;
2 2
2
S = 2R
;
2
S = 4r
.
!
trapecia
ABCD trapeciaSi AD = a , BC = b , BK = h .
1.
a + b
S = ⋅ h.
2
2. roca AB = CD;
a − b
AK = ;
2
a + b
KD = .
2
3. Tu tolferda trapeciaSi diagonalebi urTierTperpendikularulia,
maSin simaRle SuamonakveTis tolia
a + b
2
h = da S = h .
2
!
wesieri eqvskuTxedi. wesieri n -kuTxedi
2r
1. a 6 = R,
a6
= ( a6 − wesieri eqvskuTxedis gverdia).
3
2
2
2.
3
S =
3a6
,
2
3
S =
3R
2
; S = 2
2
3 r .
360°
3. wesieri n -kuTxedis centraluri kuTxe − is tolia.
n
( n − 2)
⋅180°
4. wesieri n -kuTxedis kuTxe -is tolia.'
n
341

180°
5. wesieri n -kuTxedis gverdi an = 2 Rsin
, sadac R
n
Semoxazuli wrewiris radiusia.
180°
6. wesier n -kuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi r = R cos .'
n
7. mravalkuTxedis Siga kuTxeebis jami aris 180° ( n − 2)
, sadac n
gverdebis ricxvia.
8. mravalkuTxedis wverosTan TiTo-TiTod aRebuli gare kuTxeebis
jami 360°-is tolia.
n(
n − 3)
9. n -kuTxedSi SeiZleba diagonalis gavleba.
2
wrewiri, wre
1. Caxazuli kuTxe izomeba im rkalis naxevriT, romelsac igi
eyrdnoba.
1 ∪ ∪ ⎛ ⎞
2. gadamkveT qordebs Soris kuTxe ∠ AMD = ⎜AD+ BC ⎟;
(nax. I)
2 ⎝ ⎠
1 ∪ ∪ ⎛ ⎞
3. mkveTebs Soris kuTxe ∠ BAC = ⎜BC−DE ⎟
. (nax. II)
2 ⎝ ⎠
nax. I
4. mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe izomeba maT Soris
moTavsebuli rkalis naxevriT.
5. mxebebs Soris moTavsebuli kuTxe
342
nax. II
∠BAC = 180 ° − BDC .
6. wrewiris sigrZis Sefardeba diametrTan yvela wrewirisaTvis
erTi da igive ricxvia. es ricxvi aRiniSneba π asoTi. π ≈ 3,
14,
∪

c
2R
= π . wrewiris sigrZe c = 2πR
; wris farTobi
343
2
S = πR
.
7. S seqtoris farTobia, R _seqtoris radiusi, l –rkalis
sigrZe, centraluri kuTxe _α radiani, α
2 1
S = R , l = Rα
.
2
1 2
8. segmentis farTobi S = R ( α ± sinα
) .
2
!
proporciuli monakveTebi wreSi
AM ⋅ MB = CM ⋅ MD (nax. I);
AD mxebis monakveTia. AD = AB ⋅ AC
(nax. III).
AB ⋅ AD = AC ⋅ AE (nax. II).
nax III
!
stereometria
1. marTkuTxa paralelepipedis diagonalis kvadrati udris misi
sami ganzomilebis kvadratebis jams.
2. prizmis gverdiTi zedapiris farTobi perpendikularuli kveTis
perimetris gverdiT wiboze namravlis tolia.
3. marTi prizmis gverdiTi zedapiris farTobi udris fuZis
perimetris namravls simaRleze.
4. wesieri piramidis gverdiTi zedapiris farTobi apoTemis da
fuZis perimetris namravlis naxevris tolia.
5. marTkuTxa paralelepipedis moculoba misi samive ganzomilebis
namravlis tolia.
6. paralelepipedis
namravlis tolia.
moculoba fuZis farTobisa da simaRlis
7. piramidis moculoba
simaRle.
1
V = Qh,
sadac Q fuZis farTobia, h
3
8. cilindris simaRlea H, fuZis wrewiris radiusia R, gverdiTi
zedapiris farTobia S, sruli zedapiris farTobi T, moculoba
2
_ V, maSin S = 2πRH , T = 2π R(
H + R),
V = πR
H.
9. konusis simaRlea H, fuZis wrewiris radiusi_R, gverdiTi
zedapiris farTobi S, sruli zedapiris farTobi_T,
moculoba_V, msaxveli _l, maSin S = πRl,
T = π R(
l + R),
1 2
V = πR
H.
3
2

10. sferos zedapiris farTobi S = 4πR
, sadac R sferos radiusia.
4 3
11. birTvis moculoba V = πR
.
3
homoTetia
homoTetia O centriT da k koeficientiT aris sibrtyis Tavis
Tavis Tavze asaxva, roca yovel X wertils Seesabameba iseTi X ′
wertili, rom Tu k > 0 , maSin X ′ ekuTvnis OX sxivs da
OX ′ = k ⋅OX
; xolo Tu k < 0 , maSin O aris X-sa da X ′
wertilebs Soris da OX ′ = | k | ⋅OX
.
manZili or wertils Soris
Tu mocemulia wertilebi M x , y , z ) da M x , y , z ) , maSin
1
344
2
1(
1 1 1
M M
−
2(
2 2 2
2
2
2
2 = ( x2
− x1)
+ ( y2
− y1)
+ ( z2
z1)
.
geometriuli gardaqmnebi: M ( x,
y)
→ M ′ ( x′
, y′
)
1) paraleluri gadatana n( a;
b)
r
veqtoriT: x ′ = x + a,
y ′ = y + b ;
2) simetria abscisTa RerZis mimarT: x ′ = x , y′ = −y;
3) simetria ordinatTa RerZis mimarT: x′ = −x
, y ′ = y ;
4) simetria koordinatTa saTavis mimarT: x′ = −x
, y′ = − y ;
5) homoTetia k koeficientiT koordinatTa saTavis mimarT: x ′ = kx ,
y ′ = ky ;
π
6) mobruneba koordinatTa saTavis garSemo kuTxiT: x′ = −y
,
2
y ′ = x .

kompiuteruli uzrunvelyofa c. canava
e. zariZe
ibeWdeba avtoris mier warmodgenili saxiT
gadaeca warmoebas 11.12.2008. xelmowerilia dasabeWdad
18.12.2008 qaRaldis zoma 60×84 1/8. pirobiTi nabeWdi Tabaxi 21,25.
tiraJi 300 egz.
sagamomcemlo saxli `teqnikuri universiteti~, Tbilisi,
kostavas 77
Verba voland
scripta manent

s a r C e v i
winasityvaoba ...................................................................................... 3
$ 1. ariTmetikuli gamoTvlebi .............. 5
$ 2. procentebi, ricxvis nawilis gamoTvla.
proporciebi ........................................................................... 26
$ 3. racionaluri gamosaxulebebis gamartiveba
da gamoTvla ........................................................................... 40
$ 4. iracionaluri gamosaxulebebis
gamartiveba da gamoTvla .......................................... 47
$ 5. wrfivi gantolebebi da utolobebi
................................................................................................... 55
$ 6. wrfiv utolobaTa sistemebi ................................ 60
$ 7. kvadratuli da masze dayvanadi gantolebebi.
utolobebi ................................................ 63
$ 8. iracionaluri gantolebebi da
utolobebi ............................................................................... 71
$ 9. gantolebaTa sistemebi ............................ 74
$ 10. modulis Semcveli wrfivi gantolebebi
da utolobebi ................................................................... 78
$ 11. modulis Semcveli kvadratuli
gantolebebi da utolobebi ............................... 80
$ 12. algebruli amocanebi ............................................. 82
$ 13. mimdevroba. ariTmetikuli
progresia…………… ......................................................... 102
$ 14. geometriuli progresia ................................ 108
$ 15. logariTmis Semcveli gamosaxulebebis
gamoTvla. maCvenebliani da logariTmuli
gantolebebi. gantolebaTa sistemebi
................................................................................................ 112
$ 16. maCvenebliani da logariTmuli
utolobebi .......................................................................... 120
$ 17. trigonometriul funqciaTa mniSvnelobebis
gamoTvla ................................................................. 124
$ 18. trigonometriul gamosaxulebaTa
gamoTvla ........................................ 129
$ 19. trigonometriuli gantolebebi ..................... 139
$ 20. funqciis gansazRvris are, mniSvnelo-
345

aTa simravle. funqciis udidesi da
umciresi mniSvnelobebi .......................................... 143
$ 21. koordinatTa sistemebi. funqcia.
funqciis grafiki ........................................................ 148
$ 22. kombinatorika .......................................................... 162
$ 23. kuTxeebi ...................................................................................... 166
$ 24. samkuTxedebi .......................................................................... 169
$ 25. mravalkuTxedebi ................................................ 181
$ 26. kvadrati. marTkuTxedi ................................................ 183
$ 27. paralelogrami ................................................................... 190
$ 28. rombi .............................................................................................. 197
$ 29. trapecia ..................................................................................... 201
$ 30. wrewiri. wre ........................................................................... 207
$ 31. wrfe da sibrtye ................................................................ 221
$ 32. kubi. paralelepipedi. prizma .............................. 228
$ 33. piramida ...................................................................................... 239
$ 34. cilindri. konusi. birTvi ....................................... 250
$ 35. veqtorebi ................................................................................. 258
$ 36. figuraTa gardaqmna ...................................................... 267
$ 37 monacemTa analizi da statistika .................. 278
$ 38. xdomilobis albaToba ............................................... 281
bileTis nimuSebi TviTSemowmebisaTvis ................. 294
pasuxebi ...................................................................................................... 316
sacnobaro masala ........................................................................... 334
346