Introduzione a Lisrel: richiami teorici [Pdf] - Marco Vicentini

Facoltà di Psicologia di Padova – Corso FSE – ottobre 2009  

Marco Vicentini  

info@marcovicentini.it 

� Relazioni tra variabili e nessi causali  

� Modelli di Equazioni Strutturali  

� Regressione lineare  

� Matrici e Variabili: osservate e latenti, endogene ed esogene  

� Statistica χ 2  e L 2   

� Formulazione di modelli e stima dei parametri in Lisrel  

� Dai dati osservati alla matrice di covarianza (Prelis)  

� Modelli correlazionali  

� Analisi fattoriale confermativa ed esplorativa  

� Path Analysis  

� Falsificazione e valutazione del modello  

� Comprendere gli indici di fit  

� Il processo di miglioramento del modello  

� Dati categoriali e ordinali  

Marco Vicen+ni – Introduzione a Lisrel ‐  Slide 2 

� Il primo a occuparsi dei SEM fu lo statistico psicometrico  

svedese Karl Jöreskog attorno ai primi anni ’70.  

� Inizialmente si era posto il problema di stimare i coefficienti  

strutturali dell’analisi fattoriale col metodo della massima  

verosimiglianza (ML).  

� L’iniziale approccio è andato oltre l’obiettivo per il quale era  

stato inizialmente concepito: la sua applicazione ha superato  

i confini dell’analisi fattoriale diventando una procedura  

generale per i modelli basati su sistemi di equazioni  

strutturali.  

� Per implementare i risultati teorici raggiunti, Jöreskog  

sviluppò un software denominato LISREL.  

� Oggi i SEM trovano una vasta applicazione nell’ambito della  

ricerca scientifica in diversi campi (sociologia, psicologia,  

economia, biometria…)  


� I SEM sono una tecnica statistica per  

verificare e testare relazioni causali tra  

variabili.  

� Sono utilizzati per congiungere assieme   

� una analisi fattoriale confermativa ed esplorativa,  

� modelli di path analysis   

� permettendo sia di falsificare che di sviluppare un  

modello teorico di relazioni tra variabili osservate  

e latenti.  


� Vengono anche chiamati:  

� Analisi della struttura di covarianza, modelli causali,  

modelli Lisrel  

� Combinano la logica della analisi fattoriale e della  

regressione multipla  

� Lo scopo è sviluppare un modello che spieghi come  

sono legate delle variabili osservate  

� Spiegare la matrice di varianza‐covarianza(Σ)  

� Attraverso la soluzione simultanea di equazioni che  

rappresentano il modello  


� Vantaggi  

� Riduzione dell’errore di misura tramite multipli  

indicatori della variabile latente  

� Capacità di valutare un modello in generale e i singoli  

parametri  

� Capacità di verificare modelli con moltepilici variabili  

dipendenti  

� Capacità di modellare variabili mediatrici  

� Capacità di confrontare statisticamente modelli  

nested e non‐nested  

� Capacità di modellare relazioni tra gruppi e nel tempo  


� Approcci principali, bastati sugli obiettivi  

sperimentali  

� Analisi fattoriale confermativa  

� Modelli di equazioni strutturali  

� Per ciascun approccio principale, sono possibili  

differenti scelte metodologiche  

� Strettamente confermativo  

� Modelli alternativi  

� Sviluppo di modelli  


� Variabili  

� Osservate = misurate, manifeste, indicatori  

▪ Possono essere item, sottoscale o scale  

� Latenti = costrutti teorici  

▪ Variabili definite tramite variabili osservate  

� Lo scopo è:  

▪ modellare la comunanza tra le variabili osservate  

▪ Simile ad una analisi fattoriale?  

▪ la relazione tra molteplici variabili latenti  

▪ Simile ad una regressione multipla?  


Variabili  Osservate  Latenti  

Indipendenti  X  Ksi (ξ)  

Dipendenti  Y  Eta (ή)  

Errore  di misurazione   

( δ, ε )  

Marco Vicen+ni – Introduzione a Lisrel ‐  Slide 9  

di specificazione  

( ζ ) 

� Verifica di un modello di misurazione  

specificato a priori  

� Viene modellata e misurata la relazione diretta tra  

variabili osservate e variabile(i) latente  

Scala 1 (X 1) Scala 2 Scala 3 Scala 4 


peso fattoriale 

λ11 costrutto 

(ξ 1) 

errore (δ1) errore errore errore

� Si verifica un modello strutturale posto a‐ 

priori congiuntamente alla CFA  

� Processo in tre fasi  


▪ Definizione del modello di misurazione  

▪ Stima dei parametri del modello  

▪ Secondo differenti procedure matematiche  

▪ Valutazione del modello strutturale  

▪ Si modella la relazione diretta tra variabili latenti tramite  

regressione lineare multipla 

λ x 

S1 S2 S3 S4 


Coping (ξ 1) 

λ 

λ λ 

γ11 Coefficiente strutturale 

depressione 

(η 1 ) 

S1 S2 S3 S4 

errore errore 

errore errore errore errore errore errore 

λ y 

λ 

errore (ζ 1 ) 

λ 

λ

� Tipologia di variabili latenti (LV)  

� esogene: LV che solamente causano altre LV  

� endogene: LV che sono causate da altre LV  


▪ mediatori: sono “causa” e “causate”  

Illness 

perceptions 

Coping 

Depression

� Specifica del modello  

� Scrivere le equazioni per specificare  

▪ Ciascun peso fattoriale  

▪ MV1 = λ(LV) + e1  

▪ E.s.: BDI = λ11(Depression) + e1  

▪ Ciascuna relazione tra variabile latente  

▪ LV endogena = γ(LV esogena) + d2  

▪ Depression LV = γ21(Coping LV) + d2  

▪ Indicare quali parametri stimare  

▪ Liberi (FR, 1), fissati (FI, 0), vincolati (VA, ST, EQ, …)  

� Queste equazioni implicano un modello  

� Questo modello cerca di spiegare la matrice di varianza‐ 

covarianza (Σ vs. S)  

▪ La relazione tra le variabili osservate  


� Stima dei parametri del modello  

� Viene effettuata matematicamente con pesanti  

calcoli di algebra matriciale e regole di tracking  

� Le procedure di stima includono  

▪ Maximum Likelihood  

▪ Minimi quadrati generalizzati  

▪ Metodi asintotici liberi dagli assunti di distribuzioni note   

� La stima produce una funzione di adattamento  

del modello ai dati  

▪ Ci dice quanto bene abbiamo riprodotto la matrice Σ con il  

nostro modello e la stima dei parametri  


� Determinazione dell’adattamento del modello  

compiuta a due livelli  

� Il modello in generale  

▪ Ci si riferisce alla bontà di adattamento del modello ai dati  

(goodeness of fit indexes)  

▪ Ci dicono se il modello deve essere rigettato  

� I singoli parametri del modello  

▪ Parametri: peso fattoriale, correlazione tra fattori, coefficienti  

strutturali  

� Processo decisionale  

� Se il modello è accettato, interpreta i parametri del  

modello  

� Se il modello è rifiutato, non interpretare i parametri  




X  

Y  

Due variabili sono legate da una relazione causale  

diretta quando un mutamento nella variabile causa  

produce un mutamento nella variabile effetto  

Ad esempio:  


X  

Y  

Due variabili sono legate da una relazione causale reciproca (o  

retroazione, simultaneità, mutua relazione) quando un  

mutamento nella variabile causa produce un mutamento nella  

variabile effetto e viceversa, anche in tempi differenti.  

Ad esempio: prezzo – domanda; identificazione e partecipazione nei gruppi  


X  

Z 

Y  

Presenza di covariazione in assenza di causazione.  

La covaziazione fra due variabili è provocata da una terza  

variabile che agisce causalmente sulle prime.  

Ad esempio:  

•  Numero di pompieri e dimensione dell’incendio  

•  Cicogne sui camini e numero di figli per famiglie   

•  Gelati consumati e voti al partito dei pensionati 


X  

Z 

Y  

Si ha relazione causale indiretta tra due variabili X e Y quando  

il loro legame causale è mediato da una terza variabile Z,  

detta interveniente.  


•  Razza e quoziente di intelligenza, mediato da istruzione  

•  … 


X  

Z 

Y  

Si ha relazione causale condizionata, o interazione, quando la  

relazione tra due variabili cambia a seconda del valore assunto  

da una terza.  


•  Età e ascolto di musica classica, solo in interazione con livello culturale.  

•  … 

� “ Se scegliamo un gruppo di fenomeni sociali  

senza precedente conoscenza di causazione o  

di non‐causazione fra essi, il calcolo dei  

coefficienti di correlazione non ci farà  

avanzare di un passo nella direzione della  

comprensione delle cause in opera ”  


[ Fisher, 1925 ] 

� Per correlazione si intende una relazione tra  

due variabili casuali tale che a ciascun valore  

della prima variabile corrisponda con una  

certa regolarità un valore della seconda.  

� Non si tratta di un rapporto di causa ed  

effetto ma semplicemente della tendenza di  

una variabile a variare assieme ad un'altra.  


� La covarianza è un indice che misura la  

contemporaneità della variazione (in termini  

lineari) di due variabili casuali:  


Cov( x, y) 

= 1 

n −1 

n 

∑ 

i=1 

( x − x ) ( y − y ) 

i i

� La correlazione è la medesima misura  

standardizzata:  

� tramite le deviazioni standard delle variabili  

stesse:   


s x = 

1 

n −1 

n 

∑ 

i=1 

( x − x ) i 2


� Calcolare la relazione lineare tra le seguenti variabili:  

� Calcolare:  

1. Media  

2. Varianza  

3. Covarianza  

4. Correlazione  

P.S. si può usare la calcolatrice… meglio non quella del cellulare…  


A  B  C  

15  21  43  

26  23  37  

27  27  31  

39  30  25  

43  49  14 


A  B  C  a i ‐A  b i ‐B  a 2  b 2  ab  

15  21  43  ‐15  ‐9  225  81  135  

26  23  37  ‐4  ‐7  16  49  28  

27  27  31  ‐3  ‐3  9  9  9  

39  30  25  +9  0  81  0  0  

43  49  14  +13  +19  169  361  247  

Σ  150  150  150  500  500  419  

Χ  30  30  30  125  125  104.75 

Matrici di covarianza (CM) e di correlazione (KM)  


A  B  C  

A  125.00  104.75  ‐119.75  

B  104.75  125.00  ‐118.25  

C  ‐119.75  ‐118.25  125.00  

A  B  C  

A  1.000  0.838  ‐0.958  

B  0.838  1.000  ‐0.946  

C  ‐0.958  ‐0.946  1.000 

Matrici di covarianza (CM) e di correlazione (KM)  


A  B  C  

A  125.00  104.75  ‐119.75  

B  104.75  125.00  ‐118.25  

C  ‐119.75  ‐118.25  125.00  

Varianza  

Covarianza  

A  B  C  

A  1.000  0.838  ‐0.958  

B  0.838  1.000  ‐0.946  

C  ‐0.958  ‐0.946  1.000 

� es0.pr2  

DA NI=3  

RA=es0.raw  

LA   

a b c  

CO ALL  

OU MA=CM SM=es0.cov  


� es0.raw  

15 21 43  

26 23 37  

27 27 31   

39 30 25  

43 49 14 

es0.out  

Total Sample Size = 5 

Univariate Summary Statistics for Continuous Variables 

Variable Mean St. Dev. T-Value Skewness Kurtosis Minimum Freq. Maximum Freq. 

-------- ---- -------- ------- -------- -------- ------- ----- ------- ----- 

a 30.000 11.180 6.000 -0.161 -1.113 15.000 1 43.000 1 

b 30.000 11.180 6.000 1.717 3.149 21.000 1 49.000 1 

c 30.000 11.180 6.000 -0.501 -0.230 14.000 1 43.000 1 

Covariance Matrix 

a b c 

-------- -------- -------a 

125.000 

b 104.750 125.000 

c -119.750 -118.250 125.000 


� Nei fenomeni sociali, le relazioni tra variabili sono molto  

complesse.   

� Trarre conclusioni da analisi bivariate, per altro utilissime a  

livello esplorativo, può portare a errori di valutazione  

considerevoli.   

� Quando è possibile è certamente preferibile utilizzare  

approcci multivariati.  

� Nel provare la causalità di una relazione è determinante  

l’ipotesi teorica del ricercatore.   

� Un modello statistico da solo, non può mai provare la  

causalità di una relazione !  

� Al limite, un modello statistico può suggerire la non esistenza  

di una relazione causale … ma mai provarne l’esistenza !  


Solamente un breve accenno 

� Consideriamo le seguenti variabili osservate:  

� Y: punteggio alla prova di ingresso in psicologia  

� X1: esito all’Esame di Stato  

� X2: prova comprensione brani   

� X3: prova matematica   

� X4: conoscenze scienze umane   

� X5: conoscenze fisica   


� Potremmo formulare un modello di regressione multipla del tipo:  

� E stimare (ad es. in R) i parametri che meglio risolvono l’equazione.  

lm(formula = Y1 ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5, data = dati) 

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 

X1 0.02152 0.01116 1.928 0.054 . 

X2 1.46008 0.05726 25.499

� Il modello di regressione presenta una interpretazione assai  

parziale della realtà.   

� Ad esempio non vengono tenuti in considerazione legami causali  

diretti e/o simmetrici tra le indipendenti.  

� Questi legami possono essere considerati definendo le seguenti  

equazioni:  

� Questo è un primo esempio di sistema di equazioni strutturali  



DA NI=7  

LA  

punteggio EdS Brani Matematica   

Umane Fisica Logica  

RA=test.dat  

CO ALL  

OU MA=CM SM=es6.cov  


Variabili in Input  

Dati grezzi  

Tipologia dei dati  

Parametri di Output 

DA MA=CM NO=1616 NI=7  

LA  

punteggio EdS Brani Matematica   

Umane Fisica Logica  

CM FI=es6.cov  

MO NX=5 NY=1  

 PD  

 OU  


Dati in Input  

Matrice di Covarianza  

Specifiche del Modello  

Path Diagram  


Le matrici che definiscono un modello 


Esogene  Endogene  

Osservate  Latenti  Osservate 

X  


Ksi  Eta  

Y 

λ x  


ϒ   

β   

λ y 

δ   


ζ (zeta)   

ε  

θ δ  


ϕ (phi)   

Ψ (psi)   

θ ε 



Variabili  Osservate  Latenti  

Indipendenti  X  Ksi (ξ)  

Dipendenti  Y  Eta (ή)  

Errore  Osservate  Latenti  

Indipendenti  Delta (δ)  

Dipendenti  Epsilon (ε)  Zeta (ζ)  


Variabile  

dipendente  


Variabile  

indipendente  

(causa)  

Coefficiente  

Eta (ή)  Eta (ή)  Beta (β)  

Eta (ή)  Ksi (ξ)  Gamma (γ)  

Y  Eta (ή)  Lambda‐Y (λ y )  

X  Ksi (ξ)  Lambda‐X (λ x ) 


Indicatore  Varianza e  

covarianza  

Ksi (ξ)  Phi (φ)  

Zeta (ζ)  Psi (ψ)  

Epsilon (ε)  Theta‐Epsilon (θ ε )  

Delta (δ)  Theta‐Delta (θ δ ) 

Relazione  Variabili  Matrice  

Regressione  

Covarianza  


Eta (ή) ← Eta (ή)  Beta (Β)  

Eta (ή) ← Ksi (ξ)  Gamma (Γ)  

Y ← Eta (ή)  Lambda‐Y (Λ y )  

 X ← Ksi (ξ)  Lambda‐X (Λ x )  

Ksi (ξ)  Phi (Φ)  

Zeta (ζ)  Psi (Ψ)  

Epsilon (ε)  Theta‐Epsilon (Θ ε)  

Delta (δ)  Theta‐Delta (Θ δ)  

� Modello strutturale  

� Modello misurazione  

per le variabili  

endogene  

� Modello misurazione  

per le variabili esogene  



MO LX=FU,FI   TD=DI,FR LY=FU,FI  TE=DI,FR   GA=FU,FR   BE=FU,FI  PH=SY,FR PS=SY,FR  


La verifica di ipotesi e gli indici di fit 

� Prerequisito fondamentale che tutti i modelli statistici  

devono soddisfare è quello dell’identificazione.  

� Un modello statistico si dice identificato quando tutti i  

suoi parametri sono univocamente determinati.  

� Condizione necessaria (anche se non sufficiente)  

affinché un modello sia identificabile è che il numero  

di equazioni che lo definiscono sia maggiore o uguale  

al numero di incognite (parametri da stimare).  

� In altre parole il numero di valori osservati deve essere  

(molto) maggiore o uguale al numero di parametri  

incogniti del modello.  


� Affinché un SEM sia identificabile, i gradi di  

libertà del modello teorico (scarto tra il  

numero di osservazioni e parametri da  

stimare) devono essere maggiori o uguali a 0:  

� Dove n è il numero delle variabili osservate e t  

il numero dei parametri del modello.  

€ 


df = [ n( n +1) 

2] 

− t ≥ 0

� I gradi libertà possono anche essere visti come un indice  

che misura la parsimonia del modello di equazioni  

strutturali ipotizzato.  

� Maggiori sono i gradi di libertà del modello e minore è il numero  

di parametri di cui il modello ha bisogno per esprimere la  

struttura delle covarianze osservate.  

� Maggiori sono i gradi di libertà del modello, maggiore è la  

capacità del modello di semplificare la realtà.  

� Il “bravo” ricercatore, nel processo di miglioramento di un  

modello teorico, deve andare nella direzione della  

semplificazione del modello e quindi deve mirare ad  

aumentare i gradi libertà  


� Consideriamo le matrici S, matrice di  

covarianza osservata tra X e Y  

� E Σ, matrice di covarianza attesa attraverso il  

modello teorico.  


€ 

� È possibile dimostrare  (Corbetta, pp. 85‐89) che:  

� Questo significa che ciascun modello teorico  

implica una determinata matrice di  

covarianza attesa tra le variabili X e Y.  


Σ xx = Λ x Φ ′ 

Λ x + Θ δ 

⎡ 

Σyy = Λy⎢ I − B 

⎣ 

( ) −1 

( ) −1′ 

Σ xy = Λ x Φ ′ 

Γ I − B 

( ΓΦ Γ ′ + Ψ) 

I − B 

Λ ′ y 

( ) −1′ 

⎤ 

⎥ ′ 

⎦ 

Λ y + Θ ε

� Sulla base di quanto dimostrato è ovvio che:  

� cambiando i parametri del modello teorico si  

ottengono diverse matrici di covarianza attesa.  

� La discrepanza tra matrice di covarianza  

osservata (S) e matrice di covarianza  

stimata dal modello (Σ) ad essere assunta  

come criterio fondamentale per valutare la  

consistenza del modello teorico con i dati  

osservati.  


� I valori iniziali (starting values) dei parametri liberi vengono stimati  

attraverso il metodo dei minimi quadrati in due stadi (Two Stage Least  

Squares, TSLS).  

� Su queste “stime iniziali” si innesta il metodo della massima  

verosimiglianza (Maximum Likelihood, ML)  

� In generale il metodo ML permette di stimare in parametri incogniti della  

popolazione individuando quei valori dei parametri che massimizzano la  

probabilità per i dati campionari di essere osservati.  

� Il metodo ML è quello usato dal software LISREL per default.   

� Esistono altri metodi di stima.  

� In particolare, il metodo ML prevede che le variabili studiate abbiano una  

distribuzione normale multivariata.  

� Se ciò non avviene una valida alternativa al metodo ML è il metodo dei minimi  

quadrati pesati (Weighted Least Squares). Il metodo WLS è inoltre adatto  

alla stima di modelli di equazioni strutturali per variabili ordinali.  


� Se l’incongruenza fra i dati e il modello è tale che il  

programma non è in grado di arrivare a una soluzione  

(stima dei parametri), esso lo segnala con un vari tipi di  

messaggi di errore.  

� In questo caso è necessario controllare che i dati siano stati  

inseriti correttamente e che il modello sia stato correttamente  

specificato sia dal punto di vista informatico (corretta sintassi)  

che teorico (sensatezza del modello e delle ipotesi).   

� A seconda della tipologia del messaggio di errore é inoltre  

possibile adottare alcune strategie (leggi anche “trucchi”) per  

“guidare” la convergenza dell’algoritmo di stima   

� Se la situazione di non convergenza delle stime persiste è  

il caso di ripensare completamente al modello teorico di  

partenza.  


� Può accadere che l’algoritmo di stima raggiunga la convergenza,  

ma che i parametri ottenuti siano inammissibili o perlomeno  

problematici da un punto di vista logico e statistico.  

� Parametri inammissibili sono comunemente: varianze negative,  

correlazioni maggiori di 1, matrici di covarianza non ammissibili dal  

punto di vista statistico.  

� Parametri problematici sono in genere quelli con errori standard molto  

elevati.  

� La presenza di parametri non ammissibili rende il modello non  

valido e quindi incompatibile con i dati osservati.   

� In questo caso è bene riformulare il modello fino ad “arrivare”  

all’ammissibilità del modello.  


� Una volta accertata l’ammissibilità dei  

parametri stimati si può passare ad analizzare  

la bontà di adattamento complessivo del  

modello ai dati.  

� L’idea fondamentale è quella di confrontare la  

matrice di varianza e covarianza osservata S  

con quella stimata dal modello Σ.  

� Maggiore sarà lo scarto tra le due matrici e minore  

sarà la bontà di adattamento del modello ai dati.  



� Determinazione dell’adattamento del  

modello ai dati (Hu & Bentler, 1999)  

� La funzione di adattamento è convertita in un test  

statistico e numerosi indici descrittivi  


▪ Il test χ 2  offre un test statistico di adattamento  

▪ ci aspettiamo che sia non significativo   

▪ (ovvero che la differenza tra la matrice osservata e quella stimata  

sia non significativa)  

▪ Raramente accade, soprattutto con grande N 

� Indici di bontà descrittivi  

� Comparative Fit Index (CFI; Bentler, 1990)  


▪ Confronta il modello con un modello nullo  

▪ baseline model = modello di indipendenta, senza alcun fattore  

� Indici di parsimonia  

▪ Il fit viene corretto considerando il numero di parametri  

stimati  

▪ Solitamente si utilizza il Root Mean Square Error of  

Approximation (RMSEA; Steiger, 1990) 

da Schermelleh‐Engel (2003)  


� Adattamento dei singoli parametri  

� Per ciascun parametro viene effettuato un test  

statistico, chiamato anche Critical Ratios (CR)  

▪ CR = stima del parametro / errore standard  


▪ Sono distribuiti come valori t  

� Spesso si considerano i valori standardizzati  

▪ Peso fattoriale (> 0.35)  

▪ Correlazione tra fattori e coefficienti strutturali  

dipendono dalla ricerca condotta in letteratura 

� E se il mio modello e/o singoli parametri non si  

adattano (“non fittano”) ?  

� Prendilo in considerazione e fermati …  

� Procedi a modificare il modello  

▪ I SEM offrono quelli che sono chiamati gli indici di modifica  

▪ Quali sono i parametri che possono essere aggiunti per migliorare  

l’adattamento  

� Attraverso il LaGrange Multiplier test  

▪ Quali sono i parametri che possono essere cancellati senza danneggiare  

l’adattamento  

� Tramite il Wald test  

� In ogni casa, un SEM è sempre guidato da una teoria  


� Se il modello di equazioni strutturali considerato  

non presenta complessivamente buoni indici  

di adattamento si può concludere che esso non è  

compatibile con i dati osservati.  

� Se il modello di equazioni strutturali considerato  

presenta buoni indici di adattamento si può dire  

che tale modello è compatibile con i dati  

osservati, ma non si può concludere che esso  

sia l’unico o il migliore tra tutti quelli possibili.  


� [ ce ne è di strada da fare … ]  


� Proposta di modello(i) a‐priori  

� Valutazione univariata e multivariata della  

distribuzione dei dati osservati  

� Determinazione degli indici complessivi di  

adattamento per il modello  

� Attraverso una analasi di tipo confermativa  

� Determinazione dei singoli parametri del  

modello  

� Modifica e verifica dell’adattamento  

� Confronto tra tutti i modelli a‐priori  


� Assunzioni per una CFA  

� Un grande N: almeno 200 ma 400 è ottimale  

� Numero di casi   


▪ per ciascuna variabile osservata 10:1  

▪ per ciascun parametro stimato 10:1  

▪ se i dati sono non normali 20:1 

� Scala di misurazione per le variabili osservate  

� Necessario assumere che i dati su scala categoriale/ 

ordinale/intervalli abbiano una soggiacente  

distribuzione normale  

� Oppure utilizzo di speciali correlazioni  

▪ Tutte variabili categoriali = matrice di correlazione tetracorica  

▪ Variabili categoriali e continue = matrice di correlazione  

policorica  

� Variabili osservate per variabili latenti  

� Ci si aspetta un minimo di tre (>3 ancora meglio)  


� Non normalità dei dati  

� Valutazione multivariata della non‐normalità (in  

Prelis)  

� Utilizzo della correzione  di Satorra‐Bentler scaled  

χ 2   


Scriviamo le equazioni di un modello 

da Chiesi, Menzione, & Primi (2005)  








! Da Chiesi et al. 2005  

DA NI=8 NO=128 MA=CM  

CM  

1.274  

0.313  0.606  

0.654  0.162  0.916    

0.151  0.081  0.171  0.400  

0.761  0.223  0.635  0.179  1.199  

0.210  0.056  0.183  0.069  0.219  0.733  

0.275  0.129  0.282  0.086  0.191  0.421  0.775  

0.598  0.225  0.629  0.205  0.660  0.238  0.181  0.856  

LA  

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 X1 X2 X3  

…  


Dati in Input  

Matrice di Covarianza  

Etichette delle Variabili osservate 

MO NX=3 NK=2 NY=5 NE=1   

PA LX  

2*(1 0)  

1*(0 1)  

PA LY  

5*(1)  

FI TD(3,3)  

PD  

OU MI ND=3  


Specifiche del Modello  

Specifiche delle Matrici  

Path Diagram  




Goodness of Fit Statistics 

Degrees of Freedom = 18  

Normal Theory Weighted Least Squares Chi‐Square = 25.19 (P = 0.12)  

Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) = 0.056  

P‐Value for Test of Close Fit (RMSEA 

Analisi della struttura fattoriale di un questionario per la misura della  

fiducia 

� Il dataset e gli esempi sono contenuti in:   


Esercizio3.OTI 

Da Vidotto, Vicentini, Argentero & Bromiley (2007)  


Un modello relativo ai fattori di rischio per le abbuffate 



Esercizio4.Croazia 

da Bastianelli, Vicentini, Spoto & Vidotto (2006)  


Un modello relativo all’apprendimento scolastico 



Esercizio5.DelFavero 

da Del Favero, Boscolo, Vidotto, & Vicentini (2007)  


Utilizzare gli indici di adattamento per definire un modello ottimale 



Esercizio6.Scheller 





� Bollen, K.A. (1989). Structural Equations with Latent Variables, Wiley, New  

York.  

� Chiesi F., Menzione M., & Primi C. (2005). I modelli di equazioni strutturali  

nella ricerca in psicologia: istruzioni per l’uso di una tecnica di analisi  

multivariata. Giornale italiano di Psicologia 32(2), 385‐403.  

� Corbetta P. (2003). Metodi di analisi multivariata per le scienze sociali. I  

modelli di equazioni strutturali. Il Mulino, Bologna.  

� Jöreskog K., & Sörbom D. (2001). Lisrel 8: User’s Reference Guide, SSI  

Scientific Software, Lincolnwoord.  

� Schermelleh‐Engel K., & Moosbrugger H. (2003). Evaluating the Fit of  

Structural Equation Models: Tests of Significance and  Descriptive  

Goodness‐of‐Fit Measures. Methods of Psychological Research Online  

8(2), 23‐74.

Introduzione a Lisrel: richiami teorici [Pdf] - Marco Vicentini

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