Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu - Hand ... - at ee-cafe.org
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu - Hand ... - at ee-cafe.org
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu - Hand ... - at ee-cafe.org
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
8/20/2012<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong><strong>di</strong> <strong>Kawasan</strong> <strong>Waktu</strong>12Kuliah Terbukadalam form<strong>at</strong> ppsx beranimasi terse<strong>di</strong>a <strong>di</strong>www.<strong>ee</strong>-<strong>cafe</strong>.<strong>org</strong>Bukudalam form<strong>at</strong> pdf terse<strong>di</strong>a <strong>di</strong>www.buku-e.lipi.go.iddanwww.<strong>ee</strong>-<strong>cafe</strong>.<strong>org</strong>34• Pendahuluan• Besaran <strong>Listrik</strong>• Model Sinyal• Model Piranti• Hukum Dasar <strong>Rangkaian</strong>• Kaidah <strong>Rangkaian</strong>• Teorema <strong>Rangkaian</strong>• Metoda <strong>Analisis</strong> Dasar (Reduksi <strong>Rangkaian</strong>, UnitOutput, Superposisi, <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Thevenin& Norton• Metoda <strong>Analisis</strong> Umum (Tegangan Simpul, ArusMesh)• <strong>Rangkaian</strong> Pemroses Energi (Arus Searah)• <strong>Rangkaian</strong> Pemroses Sinyal (Dioda, OpAmp)• <strong>Analisis</strong> Transien <strong>Rangkaian</strong> Orde-1• <strong>Analisis</strong> Transien <strong>Rangkaian</strong> Orde-2561
8/20/2012Pembahasan <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> Mencakup<strong>Analisis</strong> <strong>di</strong><strong>Kawasan</strong> <strong>Waktu</strong>Sinyal Sinus &Bukan SinusKeadaan MantapKeadaan Transien<strong>Analisis</strong> <strong>di</strong><strong>Kawasan</strong> FasorSinyal SinusKeadaan Mantap<strong>Analisis</strong> <strong>di</strong><strong>Kawasan</strong> s(Transf. Laplace)Sinyal Sinus &Bukan SinusKeadaan MantapKeadaan Transien78 Banyak kebutuhan manusia,seperti: Sandang Pangan Papan Keseh<strong>at</strong>an Keamanan Energi Informasi Pen<strong>di</strong><strong>di</strong>kan <strong>Waktu</strong> Senggang dll.Sajian pelajaran initerutama terkaitpada upaya pemenuhankebutuhan energi daninformasiPenye<strong>di</strong>aan Energi <strong>Listrik</strong>Energi yang <strong>di</strong>butuhkan manusia terse<strong>di</strong>a <strong>di</strong> alam,tidak selalu dalam bentuk yang <strong>di</strong>butuhkanEnergi <strong>di</strong> alam terkandung dalam berbagai bentuk sumberenergi primer:• air terjun,• b<strong>at</strong>ubara,• minyak bumi,• panas bumi,• sinar m<strong>at</strong>ahari,• angin,• gelombang laut,• dan lainnya.sumber energi juga tidak selalu berada <strong>di</strong> temp<strong>at</strong>ia <strong>di</strong>butuhkan910Diperlukan konversi (pengubahan bentuk) energi.Energi <strong>di</strong> alam yang biasanya berbentuk non listrik,<strong>di</strong>konversikan menja<strong>di</strong> energi listrik.Energi listrik dap<strong>at</strong> dengan lebih mudah• <strong>di</strong>salurkan• <strong>di</strong><strong>di</strong>stribusikan• <strong>di</strong>kendalikanDi temp<strong>at</strong> tujuan ia kemu<strong>di</strong>an <strong>di</strong>konversikan kembali kedalam bentuk yang sesuai dengan kebutuhan, energi• mekanis,• panas,• cahaya,• kimia.Penye<strong>di</strong>aan energi listrik <strong>di</strong>lakukan melaluiserangkaian tahapan:Berikut ini kita lih<strong>at</strong> salah s<strong>at</strong>u contoh, mulaidari pengubahan energi, penyaluran,sampai pen<strong>di</strong>stribusian ke temp<strong>at</strong>-temp<strong>at</strong>yang memerlukan11122
8/20/2012energi kimia <strong>di</strong>ubahmenja<strong>di</strong> energi panasenergi panas <strong>di</strong>ubahmenja<strong>di</strong> energimekanisenergi listrik<strong>di</strong>transmisikanpengguna tegangantinggiPenye<strong>di</strong>aan Informasi• informasi ada dalam berbagai bentuk• terse<strong>di</strong>a <strong>di</strong> <strong>di</strong> berbagai temp<strong>at</strong>• tidak selalu berada <strong>di</strong> temp<strong>at</strong> <strong>di</strong> mana ia <strong>di</strong>butuhkanBOILERGENERATOR Berbagai bentuk informasi <strong>di</strong>konversikan kedalam bentuk sinyal listrik Sinyal listrik <strong>di</strong>salurkan ke temp<strong>at</strong> ia <strong>di</strong>butuhkanTURBINenergi mekanis<strong>di</strong>ubah menja<strong>di</strong>energi listrikTRANSFORMATORenergi listrik <strong>di</strong>ubah menja<strong>di</strong>energi listrik pada tegangan yanglebih tinggiGARDU DISTRIBUSIpenggun<strong>at</strong>egangan menengahpenggun<strong>at</strong>egangan rendahSampai <strong>di</strong> temp<strong>at</strong> tujuan sinyal listrik <strong>di</strong>konversikankembali ke dalam bentuk yang dap<strong>at</strong>i <strong>di</strong>tangkap olehindera manusia <strong>at</strong>aupun <strong>di</strong>manfa<strong>at</strong>kan untuk su<strong>at</strong>ukeperluan lain (pengendalian misalnya).1314Penye<strong>di</strong>aan InformasiJika dalam penye<strong>di</strong>aan energi kita memerlukanmesin-mesin besar untuk mengubah energi yangterse<strong>di</strong>a <strong>di</strong> alam menja<strong>di</strong> energi listrik, dalampenye<strong>di</strong>aan informasi kita memerlukan rangkaianelektronika untuk mengubah informasi menja<strong>di</strong>sinyal-sinyal listrik agar dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>kirimkan dan<strong>di</strong><strong>di</strong>stribusikan untuk berbagai keperluan.15 16Pemrosesan Energi danPemrosesan Informasi<strong>di</strong>laksanakan dengan memanfa<strong>at</strong>kanrangkaian listrik<strong>Rangkaian</strong> listrik merupakan interkoneksi berbagai piranti yangsecara bersama melaksanakan tugas tertentuUntuk mempelajari perilaku su<strong>at</strong>u rangkaian listrikkita melakukan analisis rangkaian listrikUntuk keperluan analisis:• rangkaian listrik <strong>di</strong>pindahkan ke <strong>at</strong>as kertas dalambentuk gambar.• piranti-piranti dalam rangkaian listrik <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan denganmenggunakan simbol-simbol• untuk membedakan dengan piranti yang ny<strong>at</strong>a, simbolini kita sebut elemenGambar rangkaian listrik <strong>di</strong>sebut<strong>di</strong>agram rangkaian,17183
8/20/2012Struktur Dasar <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>+−Struktur su<strong>at</strong>u rangkaian listrik pada dasarnya ter<strong>di</strong>ridari tiga bagian, yaituSumber, Saluran, dan BebanPirantiPerubahan besaran fisisyang terja<strong>di</strong> dalamrangkaian kita ny<strong>at</strong>akandengan model m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>isyang kita sebut modelsinyalElemen(Simbol Piranti)Perilaku piranti kitany<strong>at</strong>akan dengan modelm<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is yang kita sebutmodel pirantiBagian yang aktifmemberikan daya(sumber)+−Penyalur dayaBagian yang pasifmenyerap daya(beban)1920Dalam keny<strong>at</strong>aan, rangkaian listrik tidaklah sederhanaJaringan listrik perlu <strong>di</strong>lindungi dari berbagai keja<strong>di</strong>antidak normal yang dap<strong>at</strong> menyebabkan kerusakanpiranti.Keadaan transienJaringan perlu sistem proteksi untuk mencegah kerusakanJaringan listrik juga memerlukan sistem pengendali untukmeng<strong>at</strong>ur aliran energi ke beban.Pada jaringan penyalur energi listrik, sumber mengeluarkan daya sesuaidengan permintaan beban. Saluran energi juga menyerap daya.Pada rangkaian penyalur informasi, daya sumber terb<strong>at</strong>as. Oleh karena itualih daya ke beban perlu <strong>di</strong>usahakan semaksimal mungkin.+−Kon<strong>di</strong>si operasi rangkaian tidak selalu mantap.Pada waktu-waktu tertentu bisa terja<strong>di</strong> keadaan peralihan <strong>at</strong>aukeadaan transienMisal: pada waktu penutupan saklarAlih daya ke beban akan maksimal jika tercapai m<strong>at</strong>ching(kesesuaian) antara sumber dan beban.2122Landasan Untuk Melakukan <strong>Analisis</strong>Untuk melakukan analisis rangkaiankita memerlukan pengetahuan dasar sebagaipendukung.Pengetahuan dasar yang kita perlukan ada emp<strong>at</strong>kelompok.Hukum OhmHukum Kirchhoff<strong>Rangkaian</strong> EkivalenKaidah Pembagi TeganganKaidah Pembagi arusTransformasi SumberHukum-Hukum <strong>Rangkaian</strong>Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong>Teorema <strong>Rangkaian</strong>Metoda-Metoda <strong>Analisis</strong>Metoda <strong>Analisis</strong> Dasar:Reduksi <strong>Rangkaian</strong>Unit OutputSuperposisi<strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Thevenin<strong>Rangkaian</strong> Ekivalen NortonMetoda <strong>Analisis</strong> Umum:Metoda Tegangan SimpulMetoda Arus MeshProporsionalitasSuperposisiTheveninNortonSubstitusiMilmannTellegenAlih Daya Maksimum23244
8/20/2012Dua besaran fisika yang menja<strong>di</strong> besarandasar dalam kelistrikan adalahMu<strong>at</strong>an [s<strong>at</strong>uan: coulomb]Energi [s<strong>at</strong>uan: joule]Akan tetapi kedua besaran dasar ini tidak <strong>di</strong>lib<strong>at</strong>kan langsung dalampekerjaan analisisYang <strong>di</strong>lib<strong>at</strong>kan langsung dalam pekerjaan analisis adalaharus tegangan dayaketiga besaran ini mudah <strong>di</strong>ukur sehingga sesuai dengan praktikengin<strong>ee</strong>ring dan akan kita pelajari lebih lanjut2526Sinyal <strong>Waktu</strong> Kontinyu & Sinyal <strong>Waktu</strong> Diskrit Sinyal listrik pada umumnya merupakan fungsi waktu, t, dan dap<strong>at</strong> kitabedakan dalam dua macam bentuk sinyal yaitu sinyal waktu kontinyu <strong>at</strong>au sinyal analog sinyal waktu <strong>di</strong>skritSinyal waktu kontinyu(sinyal analog)v(t)0v(t)tSinyal waktu <strong>di</strong>skrit mempunyai nilaihanya pada t tertentu yaitu t n dengant n mengambil nilai dari s<strong>at</strong>u setbilangan bul<strong>at</strong>Sinyal waktu kontinyu mempunyainilai untuk setiap t dan t sen<strong>di</strong>rimengambil nilai dari s<strong>at</strong>u setbilangan riilSinyal waktu <strong>di</strong>skrit0 tDalam pelajaran ini kita akan mempelajari rangkaian dengan sinyal waktukontinyu <strong>at</strong>au sinyal analog, dan rangkaiannya kita sebut rangkaian analog.<strong>Rangkaian</strong> dengan sinyal <strong>di</strong>skrit akan kita pelajari tersen<strong>di</strong>ri.2728Besaran yang <strong>di</strong>lib<strong>at</strong>kan langsung dalam pekerjaan analisisarusdengan simbol: is<strong>at</strong>uan: ampere [ A ](coulomb/detik)<strong>di</strong>sebut peubah sinyal yaitu:tegangandengan simbol: vs<strong>at</strong>uan: volt [ V ](joule/coulomb)dayadengan simbol: ps<strong>at</strong>uan: w<strong>at</strong>t [ W ](joule/detik)Tiga peubah sinyal ini tetap kita sebut sebagai sinyal, baik untukrangkaian yang bertugas melakukan pemrosesan energi maupunpemrosesan sinyal.ArusSimbol: i, S<strong>at</strong>uan: ampere [ A ]Arus adalah laju perubahan mu<strong>at</strong>an:dqi =dtApabila melalui s<strong>at</strong>u piranti mengalir mu<strong>at</strong>ansebanyak 1 coulomb setiap detiknya, maka arus yangmengalir melalui piranti tersebut adalah 1 ampere1 ampere = 1 coulomb per detik29305
8/20/2012TeganganSimbol: v S<strong>at</strong>uan: volt [ V ]Tegangan adalah energi per s<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an:dwv =dqApabila untuk memindahkan 1 s<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>andari s<strong>at</strong>u titik ke titik yang lain <strong>di</strong>perlukan energi1 joule, maka beda tegangan antara dua titiktersebut adalah 1 volt1 volt = 1 joule per coulombDayaSimbol: p, S<strong>at</strong>uan: w<strong>at</strong>t [ W ]Daya adalah laju perubahan energi:dwp =dtApabila su<strong>at</strong>u piranti menyerap energi sebesar 1joule setiap detiknya, maka piranti tersebutmenyerap daya 1 w<strong>at</strong>tdw dw dqp = = = vidt dq dt1 w<strong>at</strong>t = 1 joule per detik3132Referensi SinyalPerhitungan-perhitungan dalam analisis bisamenghasilkan bilangan positif <strong>at</strong>aupun neg<strong>at</strong>if,tergantung dari pemilihan referensi sinyaltegangan <strong>di</strong>ukur antaradua ujung pirantipiranti+ −arus melew<strong>at</strong>i pirantiKonvensi Pasif:Referensi tegangan <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan dengan tanda“+” dan “−”<strong>di</strong> ujung simbol piranti;piranti+ −Arah arus <strong>di</strong>gambarkan masuk ke elemen pada titikyang bertanda “+”.Referensi tegangan <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan dengan tanda “+” dan “−” <strong>di</strong> ujung simbol piranti; ujungdengan tanda “+” <strong>di</strong>anggap memiliki tegangan (potensial) lebih tinggi <strong>di</strong>ban<strong>di</strong>ng ujungyang bertanda “−”. Jika dalam perhitungan <strong>di</strong>peroleh angka neg<strong>at</strong>if, hal itu berarti teganganpiranti dalam rangkaian sesungguhnya lebih tinggi pada ujung yang bertanda “−”.Referensi arus <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan dengan anak panah. Arah anak panah <strong>di</strong>anggap menunjukkanarah positif arus. Jika dalam perhitungan <strong>di</strong>peroleh angka neg<strong>at</strong>if, hal itu berarti aruspada piranti dalam rangkaian sesungguhnya berlawanan dengan arah referensi.3334Titik referensi tegangan umumSu<strong>at</strong>u simpul (titik hubung dua <strong>at</strong>au lebih piranti) dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>pilih sebagaititik referensi tegangan umum dan <strong>di</strong>beri simbol “pentanahan”. Titik ini<strong>di</strong>anggap memiliki tegangan nol. Tegangan simpul-simpul yang lain dap<strong>at</strong><strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan rel<strong>at</strong>if terhadap referensi umum ini.referensiarusA+i 1 1 v 1−referensi teganganpirantii 2B2+ v 2 −+v 3 3i 3−Greferensi teganganumum (ground)Dengan konvensi pasif ini maka:daya positif berarti piranti menyerap dayadaya neg<strong>at</strong>if berarti piranti memberikan dayaPiranti v [V] i [A] p [W] menerima/ memberidayaA 12 5B 24 -3(isilah kotak yang kosong)C 12 72D -4 96E 24 7235366
8/20/2012Mu<strong>at</strong>anSimbol: q S<strong>at</strong>uan: coulomb [ C ]Mu<strong>at</strong>an, yang tidak <strong>di</strong>lib<strong>at</strong>kan langsung dalamanalisis, <strong>di</strong>peroleh dari arusEnergiSimbol: w S<strong>at</strong>uan: joule [ J ]Energi, yang tidak <strong>di</strong>lib<strong>at</strong>kan langsung dalam analisis,<strong>di</strong>peroleh dari dayaArusdqi =dtDayadwp =dtMu<strong>at</strong>anq∫t= 2t1idtEnergiw∫t= 2t1pdt3738CONTOH: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti adalah 12 V (konstan) dan arus yangmengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang <strong>di</strong>serap ? b). Berapakahenergi yang <strong>di</strong>serap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>an yang <strong>di</strong>pindahkanmelalui piranti tersebut selama 8 jam itu?c). i[mA]100+ v = 12 V −pirantii = 100 mA0 8−a). p = vi = 12×100×103 = 1,2 Wb).p [W]1,20 8 t [ jam ]t288w =∫pdt =∫1,2dt= 1,2t= 1,2(8 − 0) = 9,6 Wht 001Ini adalah luas bidang yang <strong>di</strong>b<strong>at</strong>asi oleh garisp = 1,2 W, dan t antara 0 dan 8 jamt288−3−3q =∫idt =∫100×10 dt = 100×10 t = 0,1(8 − 0) = 0,8 Aht 001t [jam]Ini adalah luas bidang yang <strong>di</strong>b<strong>at</strong>asi oleh garisi = 100 mA , dan t antara 0 dan 8 jamCONTOH: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan 200V(konstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energiyang <strong>di</strong>serap selama 8 jam ?+ v = 200 V −pirantii = ?p = 100 Wp 100i = = = 0,5 Av 200t288w =∫pdt =∫100dt = 100t= 800 Wh = 0,8 kWHt 001CONTOH: Arus yang melalui su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>an yang<strong>di</strong>pindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?55 5 0,05 2 1,25q = ∫ idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫ tdt t0 2 0 23940CONTOH: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5cos400t A.a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Berapakah nilaidaya maksimum dan daya minimum ?2a). p = v × i = 220cos400t× 5cos400t= 1100cos 400tW= 550 112001000800600400200-200b). Nilai daya :0( + cos800t) = 550 + 550cos800tW0 100 200 300 400 500 600 700 800pmaksimum= 550 + 550 = 1100 Wpminimum= 550 − 550 = 0 WCONTOH: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t V dan arus yang mengalir adalah i = 5sin400t A.a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Tunjukkan bahwapiranti ini menyerap daya pada su<strong>at</strong>u selang waktu tertentu danmemberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakah dayamaksimum yang <strong>di</strong>serap ? d). Berapa daya maksimum yang <strong>di</strong>berikan ?a). p = 220cos400t× 5sin 400t= 1100sin 400tcos400t= 550sin800tWb). daya merupakan fungsi sinus. Selama setengah perioda daya bernilaiposisitif dan selama setengah perioda berikutnya ia bernilai neg<strong>at</strong>if. Jika padawaktu daya bernilai positif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya,maka pada waktu bernilai neg<strong>at</strong>if berarti piranti memberikan dayac). p maks <strong>di</strong>serap = 550d). p maks <strong>di</strong>berikan = 550WW41427
8/20/2012Kita mengenal berbagai perny<strong>at</strong>aantentang sinyalv(t)Sinyal kausal, berawal <strong>di</strong> t = 0periodav(t)Sinyal perio<strong>di</strong>k & Sinyal Aperio<strong>di</strong>kSinyal Kausal & Non-KausalNilai sesa<strong>at</strong>AmplitudoNilai amplitudo puncak ke puncak (peak to peakvalue)Nilai puncakNilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>aNilai efektif ( nilai rms ; rms value)0t 0perio<strong>di</strong>kaperio<strong>di</strong>kSinyal non-kausal, berawal <strong>di</strong> t = − ∞v(t)v(t)t0t0t4344Perioda dan Amplitudo SinyalNilai-Nilai SinyalSinyal perio<strong>di</strong>kSinyal ini berulangsecara perio<strong>di</strong>ksetiap selangwaktu tertentuv(t)Selang waktu <strong>di</strong>manasinyal akan berulang<strong>di</strong>sebutperioda0tNilai sesa<strong>at</strong>yaitu nilai sinyal padasa<strong>at</strong> tertentuv(t)0t 1t 2Nilai puncak<strong>at</strong>au amplitudo maksimumt 3Amplitudo minimumtamplitudo puncak ke puncak4546Nilai R<strong>at</strong>a-R<strong>at</strong>a Sinyalv6VTt0=∫ + TDefinisi:1Vrrv(x)dxT t00 1 2 3 4 5 6 7 8 t1 3 1 2=∫ ∫Integral sinyal selama s<strong>at</strong>uperioda <strong>di</strong>bagi periodaCONTOH:v6VT0 t−4V1 2 3 4 5 6 7 8 9V rr v(t)dt = 6dt3 0 3 0( )3∫v t dt =01 2 1= ( 6t) = ( 12 − 0) = 4 V102= ( 6t) − ( 6t)33= 1 3 1 ⎛ 2 3 ⎞⎜∫6∫ 6 ⎟V rr dt − dt3⎝0 2 ⎠3{ } = 4 − 2 = 2V3 0 247Nilai efektif (rms)6 2 = 36Definisi:0 1 2 3 4 5 6 7 8 tVrms=t0+ T12∫[ v(t)]dtTt0Akar dari integral kuadr<strong>at</strong> sinyal selama s<strong>at</strong>uperioda yang <strong>di</strong>bagi oleh periodaCONTOH: nilai efektif dari sinyal pada contoh sebelumnya26 2 = 36(−4) 2 = 160t1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 726 ( 36 ) 2⎛2V = V3 ∫dt = t =1 2 3 ⎞2 2 188rms3 0=⎜6 4⎟= ( 72 + 16) = V33⎜∫ dt +∫dt⎟ 330⎝ 0 2 ⎠V rms488
8/20/2012CONTOH: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ), tegangan puncakpuncak(V pp ), perioda (T), tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dan tegangan efektif daribentuk gelombang tegangan berikut ini.CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), tegangan puncakpuncak(V pp ), perioda (T), tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dan tegangan efektif daribentuk gelombang tegangan berikut ini.6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 tVp= 6 V ; Vpp= 6 V ; T = 3sV rr1 ⎛ 2 3 ⎞ 1⎜ 6 0 ⎟ =3 ⎝dt +0 2 ⎠ 3=∫ ∫ dt1 ⎛ 2263 2 ⎞V rms = ⎜0 ⎟ =3 ∫dt +⎝ 0 ∫dt2 ⎠( 6×2 + 0) = 4 V13( 36×2 + 0) = 4,9 V6V0 t−4V1 2 3 4 5 6 7 8 9Vp= 6 V ; Vpp= 10 V ; T = 3 s1 ⎛ 23⎞1V rr = ⎜ 6 4 ( 6 2 4 1) 2,66 V3 ∫dt +0 ∫− dt ⎟ = × − × =⎝ 2 ⎠ 31 ⎛ 22163 2 ⎞V rms = ⎜ + ( −4)⎟ = ( 36×2 + 16×1) = 5,42 V3 ∫dt⎝ 0 ∫dt2 ⎠ 35049CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut iniv6V0 t1 2 3 4 5 6 7Vp= 6 V ; V pp = 6 V ; T = 4 s1 ⎛ 2 31 6 33 (6 6( 2))4 ⎞ ⎛ × ⎞V rr = ⎜0 ⎜ ⎟ = 2,25 V4 ∫tdt +⎟ =⎝ 0 ∫− t − dt +∫ dt23 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠1 ⎛ 2 3229 (6 6( 2))4 2 ⎞V rms = ⎜0 ⎟ = 3,0 V4 ∫t dt + − − +∫⎝ 0 ∫t dt dt23 ⎠51CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda, tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, dan teganganefektif dari bentuk gelombang tegangan sinus iniv T1V p = 1V ;v = sin ωt V00 2π 4π ωt-11 2V rms =∫sinωtdωt2πd sin x cos x 2 2= −sinx + cos xdx2 21 = sin x + cos xd(sinx cos x)21−= 2sin xdxdx − d(sinx cos x)2⇒= sin xdx2V pp = 2 V;T = 2π;Vrr= 0 Vdx−d(sinxcosx)2⇒∫ =∫sin xdx22π1 2 1 ⎛ ωt1⎞V rms = sin ω ω = × ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td tt t2π⎝ 2 2⎠ 01 ⎛ 2π1 ⎞ 1= × ⎜ − (0 − 0) ⎟ = V2π⎝ 2 2 ⎠ 252CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut inivV rms =π1 π2 1 ⎛ ωt1⎞sin ω ω = × ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td tt t02π⎝ 2 2⎠ 0v = sin ωtV1ωtTVp= 1V ; Vpp= 1V; T = 2π;1 π 1π 11= ω ω = × ( ω ) = × − + =π ∫sin td t cos t ( 1 1)2 0 2π0 2ππ1 ⎛ π 1 ⎞ 1= × ⎜ − (0 − 0) ⎟ = V2π⎝ 2 2 ⎠ 2CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut inivv = sin ωtV1ωtT =2πVp= 1V ; Vpp= 1V; T = 2π;1 2π1 π 1π 12V rr = sin ω ω = sin ω ω = × ( cos ω ) = × ( −1+1) = V2π∫td t0 π ∫td tt0 π0 2πππ1 2π21 π21 ⎛ ωt1⎞V rms = sin ω ω = 2×sin ω ω = 2×× ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td t0π ∫td tt t0π ⎝ 2 2⎠ 01 ⎛ π 1 ⎞= 2×× ⎜ − (0 − 0) ⎟ = 1 Vπ ⎝ 2 2 ⎠V rr53549
8/20/2012Bentuk gelombang sinyal adalah su<strong>at</strong>u persamaan <strong>at</strong>au su<strong>at</strong>ugrafik yang meny<strong>at</strong>akan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Ada dua macam bentuk gelombang, yaitu:3. Model SinyalBentuk Gelombang DasarHanya ada 3 macam bentukgelombang dasar yaitu:Anak tangga (step)EksponensialSinusBentuk Gelombang KompositBentuk gelombang kompositmerupakan kombinasi(penjumlahan, pengurangan,perkalian) dari bentuk gelombangdasar.5556Tiga Bentuk GelombangDasarv1,2v0-1,2v1,20tAnak tangga0 20tSinus0020tEksponensial1,2 v00 t20-1,2v0tDeretan pulsavContoh Bentuk GelombangKompositSinus teredam0Gigi gergaji t1,2v00 t20-1,2Eksponensial gandav0Gelombang persegiv0Segi tig<strong>at</strong>tvvvFungsi Anak-Tangga ( Fungsi Step )000T s1V AV AtBentuk Gelombang Dasarttv = u(t)= 0 untuk t < 0= 1 untuk t ≥ 0v = VAu(t)= 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ 0v = VAu(t −Ts) = 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ TsAmplitudo = V AMuncul pada t = T sAmplitudo = 1Muncul pada t = 0Amplitudo = V AMuncul pada t = 057Atau tergeser positif sebesar T s58Bentuk Gelombang EksponensialvV A)Amplitudo = V A−t/ τv = [ V e ] u(tτ : konstanta waktuA0.368V A0 1 2 3 4 5 t /τPada t = τ sinyal sudah menurun sampai 36,8 % V A .Pada t = 5τ sinyal telah menurun sampai 0,00674V A , kurang dari 1% V A .Kita definisikan durasi (lama berlangsungnya) su<strong>at</strong>u sinyal eksponensialadalah 5τ. Makin besar konstanta waktu, makin lamb<strong>at</strong> sinyal menurun.Contoh10v [V]5v v 2 3v 100 5 t [detik] 10−t / 2v1 ( t)= 5eu(t)VKonstanta waktu = 2−t / 2v2(t)= 10eu(t)VKonstanta waktu = 2−t / 4v3(t)= 10eu(t)VKonstanta waktu = 4Makin besar konstanta waktu,makin lamb<strong>at</strong> gelombang menurun596010
- 28/20/2012Gelombang SinusBentuk Gelombang Kompositv VA0−V-1,2AT 0v = V A cos(2π t / T o )( Nilai puncak pertam<strong>at</strong>erja<strong>di</strong> pada t = 0 )tDap<strong>at</strong> <strong>di</strong>tulisv T 01,2V A 0-2tT S−V-1,2A( Nilai puncak pertamav = VAcos[ 2π(t −Ts) / To]terja<strong>di</strong> pada t = T S )Fungsi ImpulsDipandangsebagai ter<strong>di</strong>ridari duagelombangvA0 T 1 T 2v Aanak tangga v = Au ( t − )tT 1Tv = VA cos[ 2πt / To − φ]dengan φ = 2 π s(sudut fasa)T 01Karena frekuensi siklus f0=Tv = V cos[ 2πf 0 t − φ]0Amaka2πdan frekuensi sudut ω v = V A cos[ ω0t − φ]0= 2πf0=T0<strong>at</strong>au0 T 1tv = AuMuncul pada t = T 1v = − Au( t − T ) − Au( t − )1T 2( t − )T 2Muncul pada t = T 261−AT 262Impuls S<strong>at</strong>uanImpuls simetristhd sumbu tegakLuas = 1v0Impuls simetris thd sumbu tegakdengan lebar impuls <strong>di</strong>perkecilnamun <strong>di</strong>pertahankan luas tetap 1tFungsi Rampv0r(t)tAmplitudo ramp berubah secara linierRamp muncul pada t = 0v ( t)= r(t)= t u(t)Kemiringan = 1v0δ(t)tLebar impuls terus <strong>di</strong>perkecilsehingga menja<strong>di</strong> impulss<strong>at</strong>uan dengan definisi:v = δ(t)= 0= 1untuk t ≠ 0untuk t = 0r0T 0r(t)tFungsi Ramp Tergeserramp berubah secara liniermuncul pada t = T 0( t − T ) u ( t − )r(t)= KTKemiringan fungsi ramp00Pergeseran sebesar T 06463Sinus Teredam−t/ τ( V e )v = sin( ωt)A u(t)−t/ τ= VAsinωte u(t)Faktor yang menyebabkanpenurunan secara eksponensialV Av00.5Maksimum pertamafungsi sinus < V A65CONTOH: (bentuk gelombang anak tangga dan kompositnya)v 1a).4V0v 1 = 4 u(t) Vtb).v 21 2 3 4 50 t−3Vv 2 = −3 u(t−2) VFungsi sinus beramplitudo 1-0.5Fungsi eksponensial beramplitudo V A0 5 10 15 20 t 25c). v 3vv 33 = 4u(t)−3u(t−2) V4V4Vv a = 4u(t) V<strong>di</strong>pandang1Vsebagai tersusunt dari du<strong>at</strong>001 2 3 4 5 gelombang anak 1 2 3 4 5 v b = −3u(t−2) Vtangga6611
8/20/2012d).v 4 v 4 = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) V4Vt01 2 3 4 5 6−3Vv 4 v a = 4u(t) V4Vv c = 3u(t−5) Vt01 2 3 4 5 6−7VDipandang sebagai tersusun daritiga gelombang anak tanggav b = −7u(t−2) VCONTOH:va). 1v 1 = 2t u(t) V4Vt01 2 3 4 5 6(fungsi ramp dan kompositnya)v 2b).t01 2 3 4 5 6−4V−2(t−2) u(t−2) V2tu(t) Vc).v v 3 32tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V4V4VDipandangsebagai tersusuntt0dari dua fungsi 01 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6ramp− 2(t−2) u(t−2) V6768CONTOH:d). v 44Vt01 2 3 4 5 6(fungsi ramp dan kompositnya)2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) Vv 5 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2)e).4V− 4u(t−5)t01 2 3 4 5 62tu(t) Vv 4 2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V4Vt01 2 3 4 5 6f).− 2(t−2) u(t−2) Vv 62tu(t) − 2(t−2)u(t−2)4V− 4u(t−2)t1 2 3 4 5 6CONTOH: sinus teredam10V5v 1v 2 0t [detik]00 0.1 0.2 0.3 0.3 0.4-5-10( 50( t − 0,020) ) u() Vsinus v1 = 10cost−t / 0,1( 50( t − 0,020) ) e u() Vsinus teredam v2 = 10costyang dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>abaikan nilainya pada t > 0,5 detik6970Spektrum SinyalSu<strong>at</strong>u sinyal perio<strong>di</strong>k dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>uraikan <strong>at</strong>as komponen-komponenpenyusunnya. Komponen-komponen penyusun tersebutmerupakan sinyal sinus.Contoh : Susunan sinyal sinus yang membentukGelombang PersegiKita juga dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan sebaliknya, yaitu susunan sinyalsinyalsinus akan membentuk su<strong>at</strong>u sinyal perio<strong>di</strong>k.Komponen sinus dengan frekuensi paling rendah <strong>di</strong>sebutkomponen sinus dasar, sedang komponen sinus denganfrekuensi lebih tinggi <strong>di</strong>sebut komponen-komponen harmonisa.sinus dasar sin dasar + harmonisa 3 sin dasar + harmonisa 3 + 5Komponen harmonisa memiliki frekuensi yang merupakankelip<strong>at</strong>an bul<strong>at</strong> dari frekuensi sinus dasar. Jika sinus dasarmemiliki frekuensi f 0 , maka harmonisa ke-3 mempunyaifrekuensi 3f 0 , harmonisa ke-7 memiliki frekuensi 7f 0 , dst.Berikut ini adalah su<strong>at</strong>u contoh penjumlahan sinyal sinus yangakhirnya membentuk gelombang persegi.71sin dasar + harmonisa 3 + 5 + 7 sin dasar + harmonisa 3 s/d 217212
8/20/2012Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u penjumlahan sinyalsinus yang kemu<strong>di</strong>an kita analisis komponen perkomponen.( 2πft) + 15sin( 2π(2f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t)Sinyal: v = 10 + 30cos 0 0π 0 )Uraian:Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo (V) 10 30 15 7,5Sudut fasa − 0° −90° 180°Uraian amplitudo setiap komponen membentukspektrum amplitudoAmplitudo [ V ]403020100Spektrum Amplitudo0 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]Sudut Fasa [ o ]180900-90-180Spektrum Sudut Fasa0 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]Dalam spektrum ini, frekuensi sinyal terendah adalahnol, yaitu komponen arus searahFrekuensi komponen sinus terendah adalah f 0.Uraian sudut fasa setiap komponen membentukspektrum sudut fasaFrekuensi komponen sinus tertinggi adalah 4f 0.74Kedua spektrum tersebut <strong>di</strong>gambarkan sebagai berikut:73Lebar Pita (band width)Lebar pita adalah selisih dari frekuensi tertinggi dan terendahFrekuensi tertinggi adalah b<strong>at</strong>as frekuensi <strong>di</strong>mana amplitudo dariharmonisa-harmonisa yang frekuensinya <strong>di</strong> <strong>at</strong>as frekuensi ini dap<strong>at</strong><strong>di</strong>abaikanB<strong>at</strong>as frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentukgelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah.Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendahadalah nol75Spektrum sinyal perio<strong>di</strong>k merupakan uraiansinyal menja<strong>di</strong> deret FourierSu<strong>at</strong>u fungsi perio<strong>di</strong>kdap<strong>at</strong> <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akansebagai:<strong>at</strong>au∑[ ancos(2πnf0t)+ bnsin(2πnf]f ( t)= a0 +0t)⎡⎢⎣( ) 0 ∑ ∞ f t = a +n=1Komponen searah2 2a + cos( ω0− ϕ )⎤n bnn t n ⎥⎦Amplitudokomponen sinus1 T0/ 2a0=∫f ( t)dtT0−T0/ 2<strong>di</strong>mana: 2 T0/ 2an=∫f ( t)cos(2πnf0t)dtT0−T0/ 22 T0/ 2bn=∫f ( t)sin(2πnf0t)dtT0−T0/ 2Sudut Fasakomponen sinusbn= tan ϕnanyang <strong>di</strong>sebut sebagaikoefisien Fourier76Jika sinyal simetris terhadap sumbu-y, banyak koefisienFourier bernilai nolSimetri Genap y( t)= y(−t)Ay(t)-T T t0/2 0/2T obn= 0∑ ∞ y(t)= ao + n 0 )n=1[ a cos( nωt ]Contoh: simetri ganjil - Penyearahan Setengah Gelombangva0= A/π2A/ πan= n genap; a = 0 ganjil2n n1−ntT b1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 10Contoh: simetri genap - Sinyal SegitigaSimetri Ganjily( t)= − y(−t)y(t) T 0A−Ata0= 0 dan an= 0( ) ∑ ∞ y t = nn=1[ b sin( nωt)]0vAT 0ta0= 08Aan= n ganjil; an= 0 n genap2( nπ)bn= 0 untuk semua n777813
8/20/2012Contoh: Uraian Penyearahan Setengah GelombangKoefisien Fourier Amplitudo ϕ [rad]a 0 0,318 0,318a 1 0 0,5 1,57b 1 0,5a 2 -0,212 0,212 0b 2 0a 4 -0,042 0,042 0b 4 0a 6 -0,018 0,018 0b 6 0Uraian tersebut <strong>di</strong> <strong>at</strong>as <strong>di</strong>lakukanhanya sampai pada harmonisa ke-6Dan kita mendap<strong>at</strong>kan spektrumamplitudo sebagai berikut:[V]0.60.50.40.30.20.1A0= 0,318 V; A1= 0,5 V; A2= 0,212 V;A4= 0,042 V; A6= 0,018 V001 2 3 4 5 6harmonisa79 80Jika dari spektrum yang hanya sampai harmonisake-6 ini kita jumlahkan kembali, kita peroleh bentukgelombang:1.2[V]0.8v hasil penjumlahan0.4Sinus dasar0[ o ]0 90 180 270 360-0.4Terdap<strong>at</strong> cac<strong>at</strong> padabentuk gelombanghasil penjumlahanSampai harmonisa ke berapa kita harus menguraikan su<strong>at</strong>u bentukgelombang perio<strong>di</strong>k, tergantung seberapa jauh kita dap<strong>at</strong> menerimaadanya cac<strong>at</strong> yang mungkin terja<strong>di</strong> pada penjumlahan kembalispektrum sinyal81 8283 8414
8/20/2012Piranti <strong>Listrik</strong> <strong>di</strong>kelompokkan ke dalam 2 k<strong>at</strong>agoriPiranti4. Model Pirantipasifmenyerapdayaaktifmemberidaya8586Perilaku su<strong>at</strong>u piranti <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan oleh karakteristik i-v yang<strong>di</strong>milikinya, yaitu hubungan antara arus yang melaluipiranti dengan tegangan yang ada <strong>di</strong> antara terminalnya.tegangan <strong>di</strong>ukur antaradua ujung pirantipiranti+ −arus melew<strong>at</strong>i pirantiiliniertidak liniervRSimbol:Kurva i terhadap v tidak linierbenar namun ada bagian yangsang<strong>at</strong> mendek<strong>at</strong>i linier,sehingga dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>anggap linier.Di bagian inilah kita bekerja.Resistorb<strong>at</strong>as daerahliniervR= R iR<strong>at</strong>au iR= G vR1dengan G =RR <strong>di</strong>sebut resistansiG <strong>di</strong>sebut konduktansi2 2 vRDaya pada R : pR= vRiR= iRR= vRG=Riny<strong>at</strong>amodelv28788CONTOH:Resistor :10080V 60AW40200-20-40-60R = 4Ω2A p R= 400sin 314 t Wp Rv Ri Ri R= 10sin 314 tv R= 40sin 314t0 0.01 0.02 0.03 0.04t [detik]Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang teganganV89simbolCKonstanta proporsionalitasC <strong>di</strong>sebut kapasitansiKapasitordvCiC = Cdti CDaya pada C :Energi :1Cdv C /dtt1vC= vC( t 0 ) + i∫ CdtCtp = v iCC C0= CvCdvC=dtddt⎡12 ⎤⎢CvC⎣2⎥⎦Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Makaapa yang ada dalam tanda kurung adalah energi1wC= C vC2 + konstanta2Energi awal 9015
8/20/2012CONTOH:−6Kapasitor : C = 2 µ F = 2×10 Fv C= 200sin 400tVdv C= 80000 cos 400tVdti C = 0,16cos 400 tp C = 16sin800tAWsimbolLInduktor<strong>di</strong> Ldt11/Lv L200VmA 100W0-100-200v C iCp C0 0.01 0.02 0.03 0.04 t [detik] 0.05Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangannamun i C muncul lebih dulu dari v C . Arus 90 o mendahului tegangan91t<strong>di</strong>LvL =1L iL= iL( t 0 ) + v∫ LdtdtLt0Konstanta proporsionalitasL <strong>di</strong>sebut induktansi<strong>di</strong>Ld ⎡12 ⎤Daya pada L : pL= vLiL= LiL= ⎢ LiLdt dt ⎥⎣2⎦Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Makaapa yang ada dalam tanda kurung adalah energiEnergi :1 2w L = LiL+ konstanta2Energi awal92CONTOH: Induktor : L = 2,5 H200V v Li LmA 100pWL00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]-100-200v L = 200sin400t Volt<strong>di</strong>L1v L = L → iL= vLdt= −0,2 cos400t+ iL0dt L∫pL= vLiL= −20sin 800tWBentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangannamun i L muncul lebih belakang dari v L . Arus 90 o <strong>di</strong> belakang teganganA93Resistorv = RRi RLR = ρAresistivitasL: panjang konduktorA: luas penampangKapasitoriC =dvCCdtkonstanta proporsionalitasInduktordalam analisis rangkaian listrikmerupakan su<strong>at</strong>u konstanta proporsionalitasvL =<strong>di</strong>LLdtSecara Fisikmereka merupakan besaran <strong>di</strong>mensionalA= εL = kNdC2konstanta <strong>di</strong>elektrikA: luas penampang elektrodad: jarak elektrodakonstantaN: jumlah lilitan94Induktansi Bersamai 1 i 2Dua kumparan terkopelsecara magnetik v 1 v 2Induktansi sen<strong>di</strong>rikumparan-12L 1 = k1N1Terdap<strong>at</strong> kopling magnetik antar kedua kumparan yang <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan dengan: MKopling padakumparan-1 olehkumparan-2Persamaan tegangan<strong>di</strong> kumparan-1M 12 = k12N1N<strong>di</strong>dt1v 1 = L1±2<strong>di</strong>2Mdt2L 2 = k2N2M 21 = k21N2N1Jika me<strong>di</strong>um magnet linier : k 12 = k 21 = k MM12 = M 21 = kM N1N2= M = k L1L2<strong>di</strong>2= L2dt<strong>di</strong>Mdt1v2 ±Induktansi sen<strong>di</strong>rikumparan-2Kopling padakumparan-2 olehkumparan-1Tanda ± tergantung dari apakah fluksi magnet yang <strong>di</strong>timbulkanoleh kedua kumparan saling membantu <strong>at</strong>au saling berlawananPersamaan tegangan<strong>di</strong> kumparan-2Kopling magnetikbisa positif (a<strong>di</strong>tif) bisa pula neg<strong>at</strong>if (substraktif)Untuk memperhitungkankopling magnetik<strong>di</strong>gunakanKonvensi Titik:Arus i yang masukke ujung yangbertanda titik <strong>di</strong>salah s<strong>at</strong>ukumparan,membangkitkanteganganberpolaritas positifpada ujungkumparan lainyang jugabertanda titik.Besarny<strong>at</strong>egangan yangterbangkit adalahM <strong>di</strong>/dt.φ 1 i 1 i 2φ 2φ a<strong>di</strong>tifi 1 i 2v 1 v 2<strong>di</strong>1<strong>di</strong>2v 1 = L1+ Mdt dt<strong>di</strong>2<strong>di</strong>1v2 = L2+ Mdt dti 1 φ 1 φ 2i 2φ substraktifi 1 i 2v 1 v 2<strong>di</strong>1<strong>di</strong>2v1= L1− Mdt dt<strong>di</strong>2<strong>di</strong>1v2 = L2− Mdt dt959616
8/20/2012Transform<strong>at</strong>or Ideali 1 i 22L 1 = k 1 N 1v 1 v 2M 12 = k12N1N22L 2 = k2N2M 21 = k21N2N1CONTOH:+ +v 1_v 2_ 50ΩJika kopling magnet terja<strong>di</strong>secara sempurna, artinyafluksi magnit melingkupikedua kumparan tanpa terja<strong>di</strong>kebocoran, makak 1 = k 2 = k 12 = k 21 = k MJika susut dayaadalah nol:v<strong>di</strong>1<strong>di</strong>2⎛ <strong>di</strong>1<strong>di</strong>2⎞v1= L1± M = N1⎜kM N1± k M N 2 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠<strong>di</strong>2<strong>di</strong>1⎛ <strong>di</strong>2<strong>di</strong>1⎞v2= L2± M = ± N 2 ⎜ ± k M N 2 + k M N1⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠1 i1+ v2i2=0i2i1vv12= −N= ±Nv1v212= mNN12N1/N2 = 0,1v 1 = 120sin400t Vv 2 = ( N 2 / N1)v1= 1200sin 400 t Vi 2 = v2/ 50 = 24sin 400 t Ai 1 = ( N 2 / N1)i2= 240sin 400 t A2p L = v2i2= 28.8sin 400 t kW.9798Saklariisimbolsimbolvvsaklar terbukasaklar tertutupi = 0 , v = sembarang v = 0 , i = sembarangSumber tegangan bebas memiliki tegangan yang <strong>di</strong>tentukan oleh<strong>di</strong>rinya sen<strong>di</strong>ri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.v = v s (tertentu) dan i = sesuai kebutuhaniV ovKarakteristik i - vsumber tegangankonstanSumber Tegangan Bebas IdealV o+−iSimbol sumbertegangankonstanvs+ _Simbol sumbertegangan bervariasiterhadap waktui99100Sumber Arus Bebas IdealSumber arus bebas memiliki kemampuan memberikan arus yang <strong>di</strong>tentukanoleh <strong>di</strong>rinya sen<strong>di</strong>ri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.i = i s (tertentu) danv = sesuai kebutuhanCONTOH:+−40V beban 5A bebaniI svKarakteristiksumber arus idealI s , i s−v+Simbolsumber arus idealiSumber Teganganv beban = v sumber = 40 Vp beban = 100 W → i = 2,5 Ap beban = 200 W → i = 5 ATegangan sumber tetap, arussumber berubah sesuaipembebananSumber Arusi beban = i sumber = 5 Ap beban = 100 W → v = 20 Vp beban = 200 W → v = 40 AArus sumber tetap, tegangansumber berubah sesuaipembebanan10110217
8/20/2012Sumber praktis memiliki karakteristik yang mirip dengan keadaan dalampraktik. Sumber ini <strong>di</strong>gambarkan dengan menggunakan sumber idealtetapi tegangan <strong>at</strong>aupun arus sumber tergantung dari besar pembebanan.iiv s _ +R s+v−Sumber Praktisi sR pi p−v+Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources)Sumber tak-bebas memiliki karakteristik yang <strong>di</strong>tentukan oleh besaran <strong>di</strong>bagian lain dari rangkaian. Ada emp<strong>at</strong> macam sumber tak-bebas, yaitu:CCVS+i 1_ r i 1Sumber tegangan <strong>di</strong>kendalikanoleh arusVCVS+v 1_+_µ v 1Sumber tegangan <strong>di</strong>kendalikanoleh teganganSumber tegangan praktis ter<strong>di</strong>ri darisumber ideal v s dan resistansi seri R ssedangkan tegangan keluarannyaadalah v.Sumber arus praktis ter<strong>di</strong>ri darisumber ideal i s dan resistansi paralel R psedangkan tegangan keluarannyaadalah v.CCCSi 1β i 1VCCS+v 1_g v 1v s tertentu, akan tetapi tegangankeluarannya adalahv = v s − iRi s tertentu, akan tetapi aruskeluarannya adalahi = i s − i pSumber arus <strong>di</strong>kendalikanoleh arusSumber arus <strong>di</strong>kendalikanoleh tegangan103104Contoh: <strong>Rangkaian</strong> dengan sumber tak bebas tanpa umpan balikSumber tak bebas <strong>di</strong>gunakan untuk memodelkan Pengu<strong>at</strong>Operasional (OP AMP)v s = 24 V+−i s60 Ωi s = 0 ,4 A+−500 i s+v o−i ov o = 500 i s = 200 V2( o )p o = v = 2000 W2020 Ω+V CC : c<strong>at</strong>u daya positif−V CC : c<strong>at</strong>u daya neg<strong>at</strong>ifv P +v N +i Pi N+8Top1+V CC v o726− +354v N v P −V CCModel Sumber Tak Bebas OP AMPR o++ µ (v voR i − P − v N )−i ov P = tegangan masukan non-inversi;v N = tegangan masukan inversi;v o = tegangan keluaran;Diagram rangkaianmasukannon-inversimasukaninversi+−c<strong>at</strong>u daya positifkeluaranc<strong>at</strong>u daya neg<strong>at</strong>if105106Su<strong>at</strong>u OPAMP ideal<strong>di</strong>gambarkan dengan<strong>di</strong>agram rangkaian yang<strong>di</strong>sederhanakan:OP AMP Idealmasukan non-inversimasukan inversiv pv ni nvP= vNdan iP= iN= 0i p+−v okeluaranJika OpAmp <strong>di</strong>anggap ideal, terdap<strong>at</strong> relasi yang mudah pada sisi masukanContoh: <strong>Rangkaian</strong> Pengu<strong>at</strong> Non-Inversiv Pi Pv o+v sv N −+−R 1i N R 2umpan balikv P = v v R2 s N = voR1+ R2Rv = v2P = v N ⇒ voR1+ R2R1+ R2vo= vsR2sContoh: <strong>Rangkaian</strong> Penyangga (buffer)i Piv P + v oov N −v P = v sv N = vov + s −R v P = v Ni Nv o = v s1075VContoh:+ −2kΩ+−v i o B2kΩ +v B1kΩ −v o = ? i B = ? p B = ?v p = v N5 − v NiP= iN= 0 = → v N = 5 V20001 1v N = v o ⇒ v o = 5 VR B =1kΩ 1 + 2 3→ v o = 15 Vv oi B = ;R B2p B = v B i B = v oiB = i B R B10818
8/20/2012Sudary<strong>at</strong>no Su<strong>di</strong>rhamHukum-HukumDasarPekerjaan analisis rangkaian listrikberbasis padadua Hukum Dasar yaitu1. Hukum Ohm2. Hukum Kirchhoff109110• Relasi Hukum Ohm• Resistansi konduktorR =ρ lAHukum Ohmv = iRresistansi– Su<strong>at</strong>u konduktor yang memiliki luas penampangn mer<strong>at</strong>a, A,mempunyai resistansi Rρ : resistivitas bahan konduktor2dengan s<strong>at</strong>uan [ Ω.mm/ m]l : panjang konduktor dengan s<strong>at</strong>uan [m]2A:luas penampang konduktor dengan s<strong>at</strong>uan [mm ]111Sumber220 VCONTOH:Seutas kaw<strong>at</strong> terbu<strong>at</strong> dari tembaga dengan resistivitas 0,018 Ω.mm2/m. Jika kaw<strong>at</strong>ini mempunyai penampang 10 mm2 dan panjang 300 m, hitunglah resistansinya.Jika kaw<strong>at</strong> ini <strong>di</strong>pakai untuk menyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan j<strong>at</strong>uhpada saluran ini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran)jika arus yang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan <strong>di</strong> ujung kirim adalah 220 V,berapakah tegangan <strong>di</strong> ujung terima? Berapakah daya yang <strong>di</strong>serap saluran ?Diagram rangkaian adalah:∆V saluranSaluran kirim R+−iiSaluran balikRBebani = 20 AResistansi saluran kirim :ρl0,018×300R = == 0,054 ΩA 10Karena ada saluran balik,∆V saluran = iRsaluran= 20×0,108 = 2,16 VR saluran = 2×0,054 = 0,108 ΩSaluran<strong>di</strong>aliraiarus20 A, terja<strong>di</strong> tegangan j<strong>at</strong>uh antara sumber dan beban :Tegangan <strong>di</strong> beban = tegangan sumber − tegangan j<strong>at</strong>uh <strong>di</strong> saluran :v terima = 220 − 2,16 = 217,84 VDaya yang <strong>di</strong>serap saluran, merupakan susut daya <strong>di</strong> saluran2 2p saluran = i R = (20) × 0,108 = 43,2 W112Hukum KirchhoffAda dua hukum Kirchhoff, yaitu1. Hukum Tegangan Kirchhoff2. Hukum Arus KirchhoffFormulasi dari kedua hukum tersebut adalah sebagai berikut:• Hukum Arus Kirchhoff (HAK) -Kirchhoff's Current Law (KCL)– Setiap sa<strong>at</strong>, jumlah aljabar arus <strong>di</strong> s<strong>at</strong>u simpul adalah nol+v 1−i 2+ v 2 − i 4+ v 4 −AB241i 1i 3i 5loop 1 3 loop 2loop 3C5+v 5−• Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) Kirchhoff's Voltage Law (KVL)– Setiap sa<strong>at</strong>, jumlah aljabar tegangan dalam s<strong>at</strong>u loop adalah nolRelasi-relasi kedua hukum Kirchhoff <strong>di</strong>jelaskan melalui<strong>di</strong>agram rangkaian berikutHAK untuk simpul:HTK untuk loop:simpul A : − i − i21=0simpul B: + i − i3− i42=simpul C: + i + i3+ i41=00loop1:− v + v2+ v31=loop 2: − v + v4+ v53=loop 3: − v + v2+ v4+ v5001=011311419
8/20/2012a).b).+−+−+ v 1 −v sR 1R 2+v2−+ v 1 −v sR + 1 vLL −−v s+ v1+ v2=0−vs+ v1 + vL= 0→ v s= i +→1vs = i1R+1R1i2R2<strong>di</strong>LLdta).b).i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 −+v 3 −+ v 2 −R 3i 3i 1 R 1 R 2 iA 2+ v 1 −++ v 2 −v L i L− Li1− i2− i3=i1− i2− iL=00→v1v2v3− −R R R= 0112→v1 v21− −∫vLdtR R L0 =23c).+−+ v 1 −v sR 1 C+vC−−vs+ v1 + vC= 0→1vs= i1R1+C∫i dtCc).i 1R 1+ v 1 −+v 3−ACi C+ v C −R 3i 3i1− iC− i3=0→vR1 C 3− C − =1dvdtvR30d).+−+ v 1 −+ v L −vR 1 Ls C+vC−−vs+ v1 + vL+ vC= 0<strong>di</strong>L1→ vs= i1R1+ L +dt C∫i dtC115d).i 1R 1CAi C+ v 1 − + v C −+v Li L− Li1 − i C− iL= 0→v1dvC1− C −∫vLdt= 0R dt L1116Pengembangan HTK dan HAKHukum Kirchhoff dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>kembangan, tidak hanya berlakuuntuk simpul <strong>at</strong>aupun loop sederhana saja, akan tetapi berlakupula untuk simpul super maupun loop supersimpul super merupakan gabungan dari beberapa simpulloop super merupakan gabungan dari beberapa loopsimpul super ABi 2+ v 2 − i 4+ v 4 −AB24+v 1−1i 1ii 5335loop 3Csimpul super ABloop 3 = mesh super−i1 − i3− i4= 0 −v1 + v2+ v4+ v5= 0+v 5−117118CONTOH:i 4Ai 5v = ?v+−4Ω3Ωi 1 = 5ABi 2 = 2ACi 3 = 8Asimpul superABCSimpul Cloop ACBAi4 + i1− i3= 0 ⇒ i4= i3− i1= 8 − 5 = 3 Ai2 + i5− i3= 0 ⇒ i5= i3− i2= 8 − 2 =6 A−v+ 3i5 − 4i2= 0 ⇒ v = 3×6 − 4×2 = 10 V119 12020
8/20/2012Hubungan Seri dan Paralel+ v 1 −+v 1−1i 1+v2− 2i 2i 11i 22+v2−Hubungan paralelv 1 = v 2Dua elemen <strong>at</strong>au lebih<strong>di</strong>k<strong>at</strong>akan terhubung paraleljika mereka terhubung padadua simpul yang samaHubungan serii 1 = i 2Dua elemen <strong>di</strong>k<strong>at</strong>akan terhubung serijika mereka hanya mempunyai s<strong>at</strong>usimpul bersama dan tidak ada elemenlain yang terhubung pada simpul itu121122<strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Resistor SeriDua rangkaian <strong>di</strong>sebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu,mereka mempunyai karakteristik i-v yang identik<strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Resistor PaalelDua rangkaian <strong>di</strong>sebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu,mereka mempunyai karakteristik i-v yang identikiR 1 R 2 R ekiv+ V total −ii totali 1G ekivG 1G 2Resistansi Seri :Vtotal= V=R1R ekiv= R1+ R2+ R3+ ⋅ ⋅⋅⋅( R + R + ⋅⋅⋅⋅) i = R i.1+ VR22+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = R i + R i + ⋅⋅⋅⋅⋅1ekivalen2Konduktansiitotal= iG1=Paralel:+ iG2G ekiv=1 2 3G + G + G + ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅⋅ = G v + G v + ⋅⋅⋅⋅⋅( G + G + ⋅⋅⋅⋅⋅) v = G v1212ekivaleni 2i total124123Kapasitansi Ekivalen Kapasitor ParaleliA+i 1 i 2 i NKapasitor Paralel:v C 1 C 2 C N_C +Bek= C1+ C2+ ⋅⋅⋅⋅ C NInduktansi Ekivalen Induktor SeriA+v_BL 1 L 2+ v 1 − + v 2 − +L vN− NInduktor Seri :L +ek= L1+ L2+ ⋅⋅⋅⋅ L NA+v_BKapasitansi Ekivalen Kapasitor SeriiC 1C 2C N1CKapasitor Seri:1 1= +C C+ ⋅⋅⋅⋅ +1ek 1 2C NInduktansi Ekivalen Induktor ParalelAB+v_L 1L 2L N1LInduktor Paralel:1 1= +L L+ ⋅⋅⋅⋅ +1ek 1 2L N12512621
8/20/2012CONTOH:1=Ctot1100→ i = CCtottot+15050 + 100= =5000−43100→ C100 10= µ F =3 3dv 10= × 3000cos100 t = 0,1cos100 t Adt 3Jika kapasitor <strong>di</strong>hubungkan paralel := 100 + 50 = 150 µ F = 0,15 × 10→ i = Cv = 30 sin(100 t) Vtoti = ?dv= 0,15 × 10dti−3+−C 1 =100µFtot−3FC 2 =50µF−4× 3000cos100 t = 0,45cos100 t AFR i1+v + + v R −s v−−Sumber teganganvs= isR 2Sumber EkivalenbagianlainrangkaianDari sumber tegangan menja<strong>di</strong>sumber arusR1= R 2ii R +i s vR 2 −Sumber arusis =vsR 1R2= R 1bagianlainrangkaianDari sumber arus menja<strong>di</strong>sumber tegangan127128CONTOH:Transformasi Y - ∆CC30V+ −R 1 =10Ω3A R 2 =10ΩHubungan ∆R 3R 1R A R BAHubungan YBR CAB2,5 Ai si 1i 2 +−R 120 ΩR 230 Ωi 3R 150 V 20 Ω R 230 ΩEkivalen ∆ dari YR1R2 + R2R3+ R1R3R A =R1R1R2 + R2R3+ R1R3RB=R2R1R2 + R2R3+ R1R3RC=R3R 23Ekivalen Y dari ∆RBRCR1=R A + RB+ RCRCR AR2=R A + RB+ RCR ARBR3=R A + RB+ RCDalam keadaan seimbang,RA= RB= RC<strong>at</strong>au R = R2=1R3R∆RY=3R = R∆Y129130Kaidah Pembagi TeganganPembagi Tegangan : vk⎛ R= ⎜⎝ Rktotal⎞⎟v⎠totalKaidah Pembagi Arus⎛ Gk⎞Pembagi Arus : i k = ⎜ ⎟itotalG⎝ total ⎠60 Vi s 10 Ω 20 Ω+ v+ 1 − + v 2 − +−v330 Ω −v1 = 10 V ; v2= 20 V ; v3= 30 V1 AR 110 ΩR 220 ΩR 320 ΩG1(1/10)i1= is=× 1 = 0,5 AGtot(1/10) + (1/ 20) + (1/ 20)G2G3i2= is= 0,25 A ; i3= is= 0,25 AGtotGtoti s i 1i 2 i 313213122
8/20/2012ProporsionalitasKeluaran dari su<strong>at</strong>u rangkaian linier adalahproporsional terhadap masukannyaxmasukanKy = K xkeluaranPenjelasan:masukan+_v sR 1R 2+v o−keluaranR2vo = ⎛ ⎞⎛ R⎜ ⎟vsR1R⎝ + 2 ⎠⎟ ⎞⎜ 2 K =⎝ R1+ R2⎠133134CONTOH:A(a)v in+−60Ω120ΩB+v o1−⎛ 120 ⎞vo1 = ⎜ ⎟ vin= (2 / 3) vin; K1= (2 / 3)⎝ 120 + 60 ⎠Prinsip SuperposisiKeluaran dari su<strong>at</strong>u rangkaian linier yang <strong>di</strong>c<strong>at</strong>u oleh lebih daris<strong>at</strong>u sumber adalah jumlah keluaran dari masing-masing sumberjika masing-masing sumber bekerja sen<strong>di</strong>ri-sen<strong>di</strong>riA(b)+ 80Ωv AB 40Ω−B(c)v in + 60Ω− 120ΩAB+v o2−80Ω40Ω⎛ 40 ⎞vo2 = ⎜ ⎟ vAB= (1 / 3) vAB→ K 2 = 1 / 3⎝ 40 + 80 ⎠⎛ 40 ⎞vo3= ⎜ ⎟vAB⎝ 40 + 80 ⎠+ ⎛ 40 ⎞⎛120 || (40 + 80) ⎞v = ⎜ ⎟⎜⎟ vo3in− ⎝ 40 + 80 ⎠⎝120 || (40 + 80) + 60 ⎠= (1 / 3) × (1 / 2) = 1 / 6 vin⇒ K 3 = (1 / 6)Su<strong>at</strong>u sumber bekerja sen<strong>di</strong>ri apabilasumber-sumber yang lain <strong>di</strong>m<strong>at</strong>ikan.Cara mem<strong>at</strong>ikan sumber:a. Mem<strong>at</strong>ikan sumber tegangan berarti membu<strong>at</strong> tegangansumber itu menja<strong>di</strong> nol, artinya sumber ini menja<strong>di</strong> hubungansingk<strong>at</strong>.b. Mem<strong>at</strong>ikan sumber arus adalah membu<strong>at</strong> arus sumber menja<strong>di</strong>nol, artinya sumber ini menja<strong>di</strong> hubungan terbuka.135136CONTOH:10Ω+v o+ + 10Ω _v 1 =12V − −m<strong>at</strong>ikan v v 2 =24Vm<strong>at</strong>ikan v 1212V+−10Ω +v o110Ω _10Ω+−10Ω24V+v o2_Teorema MillmanApabila beberapa sumber arus i k yang masing-masing memilikiresistansi paralel R k <strong>di</strong>hubungkan seri, maka hubungan seritersebut dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>gantikan dengan s<strong>at</strong>u sumber arus ekivalen i ekivdengan resistansi paralel ekivalen R ekiv sedemikian sehinggaiekivRekiv= ∑ Rkikdan Rekiv= ∑ R kContoh:i ekiv × 20 = 1×10 + 2 × 10i ekiv =1,5A10vo 1 = × 12 V = 6 V10 + 1010vo 2 = × 24 V = 12 V10 + 10i 1 =1Ai 2 =2AKeluaran v o jika kedua sumber bekerja bersama adalah:R 1 =10ΩR 2 =10ΩR ekiv =20Ωvo = vo1+ vo2= 6 + 12 = 18 V=10 +10R ekiv13713823
8/20/2012Su<strong>at</strong>u rangkaian bisa<strong>di</strong>pandang ter<strong>di</strong>ri daridua seksiSSeksisumberivBSeksibebanTeorema ThéveninJika rangkaian seksi sumber pada hubungandua-terminal adalah linier, maka sinyal pad<strong>at</strong>erminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu <strong>di</strong>ganti denganrangkaian ekivalen ThéveninTeorema NortonJika rangkaian seksi sumber pada hubungandua-terminal adalah linier, maka sinyal pad<strong>at</strong>erminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu <strong>di</strong>ganti denganrangkaian ekivalen Norton<strong>Rangkaian</strong> ekivalen ThéveninSeksi sumber dari su<strong>at</strong>u rangkaian dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>gantikan oleh<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Théveninyaitu rangkaian yang ter<strong>di</strong>ri dari s<strong>at</strong>u sumber tegangan V T yangterhubung seri dengan resistor R Tseksisumber+v ht−V T+ _R T139140Cara Menentukan V T dan R TUntuk mencari V T : lepaskan beban sehingga seksi sumber menja<strong>di</strong> terbuka.Tagangan terminal terbuka v ht inilah V Ti = 0i = 0seksisumber+v ht−i = i hs+V T −R T+v ht = V T−Untuk mencari R T : hubung singk<strong>at</strong>lah terminal beban sehingga seksi sumbermenja<strong>di</strong> terhubung singk<strong>at</strong> dan mengalir arus hubung singk<strong>at</strong> i hs . R T adalahCara lain mencari R TCara lain yang lebih mudah untuk menentukan R T adalah dengan melih<strong>at</strong>resistansi dari terminal beban ke arah seksi sumer dengan semua sumber<strong>di</strong>m<strong>at</strong>ikan.Penjelasan:+−v sR 1R 2Denganmem<strong>at</strong>ikansumber makaR 1R 2R TseksisumberV T+ _R TV T <strong>di</strong>bagi hi s.141i hs = V T /R TR T = R1 paralel dengan R2Ja<strong>di</strong> dalam <strong>Rangkaian</strong> ekivalen Thevenin : V T = v ht dan R T = v ht / i hs142<strong>Rangkaian</strong> ekivalen NortonSeksi sumber su<strong>at</strong>u rangkaian dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>gantikan dengan<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Nortonyaitu rangkaian yang ter<strong>di</strong>ri dari s<strong>at</strong>u sumber arus I N yang terhubungparalel dengan resistor R N<strong>Rangkaian</strong> ekivalen ThéveninV T+ _R TV T = v htR T = v ht / i hsseksisumber I NR N<strong>Rangkaian</strong> ekivalen NortonR T = R yang <strong>di</strong>lih<strong>at</strong>dari terminal ke arahseksi sumber dengansemua sumber m<strong>at</strong>i<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Norton dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>peroleh dari rangkaian ekivalen Thevenindan demikian juga sebaliknya. Hal ini sesuai dengan kaidah ekivalensisumber.I NR N IN = I hsR N = v ht / i hsR T = R N14314424
8/20/2012CONTOH: <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen ThéveninA'A20Ω 10ΩR T = 20 Ω+−+− 24 V 20ΩV T = 12 VBVT = VABBR T20= VA' = × 24 = 12 V20 + 2020 × 20= 10 + = 20 Ω20 + 20ABAlih Daya MaksimumAda emp<strong>at</strong> macam keadaan hubunganantara seksi sumber dan seksi beban Sumber tetap, beban bervariasi Sumber bervariasi, beban tetap Sumber bervariasi, beban bervariasi Sumber tetap, beban tetapDalam membahas alih daya maksimum, yaitu dayamaksimum yang dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>alihkan (<strong>di</strong>transfer) kebeban, kitahanya meninjau keadaan yang pertama145146Kita menghitung alih daya maksimum melalui rangkaianekivalen Thévenin <strong>at</strong>au NortonR+TV T _+v−I NsumbersumberR NABABiiR BbebanR Bbeban<strong>Rangkaian</strong> sumber tegangan denganresistansi Thévenin R T akanmemberikan daya maksimum kepadaresistansi beban R B bila R B = R Tpmaks2⎡VT⎤ ⎡ V ⎤TVT==⎢⎣ 2⎥⎦⎢⎣ 2RT⎥⎦ 4RT<strong>Rangkaian</strong> sumber arus denganresistansi Norton R N akan memberikandaya maksimum kepada resistansibeban R B bila R B = R N2⎡ IN ⎤ INRpmaks= RB= ⎢⎣ 2⎥⎦ 42N+−CONTOH:24 V20ΩA′20Ω10ΩABHubungkan kembali R xHitung R X agarterja<strong>di</strong> alih dayamaksimumR X = ?Lepaskan R X hitung R T , V T20×20RT= 10 + = 20 Ω20 + 2020VT= × 24 = 12 V20 + 20Alih daya ke beban akan maksimum jika R X = R T = 20 Ωdan besar dayamaksimum yang bisa<strong>di</strong>alihkan adalah2(12)p X maks = = 1,8 W4×20147148Teorema TellegenDalam su<strong>at</strong>u rangkaian, jika v k mengikuti hukum tegangan Kirchhoff(HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff (HAK), makaNv k × ik= 0k = 1∑Teorema SubstitusiSu<strong>at</strong>u cabang rangkaian antara dua simpul dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>substitusi oleh cabangbaru tanpa mengganggu arus dan tegangan <strong>di</strong> cabang-cabang yang lainasalkan tegangan dan arus antara kedua simpul tersebut tidak berubahTeorema ini meny<strong>at</strong>akan bahwa <strong>di</strong> setiap rangkaian listrik harus ada perimbanganyang tep<strong>at</strong> antara daya yang <strong>di</strong>serap oleh elemen pasif dengan daya yang <strong>di</strong>berikanoleh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi.+ v k −R k≡+ v k −+ −10 VCONTOH:+_i sR 1 = 2ΩiR 2 = 3Ω⎛ 10 ⎞i = ⎜ ⎟ = 2 A⎝ 2 + 3⎠p beban = p1+ p22 2= i R1+ i R2= 8 + 12 = 20 W= −2 i spsumber= vsis= −20 W (memberi daya)A(menyerap daya)i ksubv subkR subi kv = v − R × isubk14915025
8/20/2012Pengukur Tegangan dan ArusBerikut ini kita akan melih<strong>at</strong> pengukur tegangandan pengukur arus. Tegangan maupun arus yangperlu kita ukur bisa sang<strong>at</strong> besar. Akan tetapi al<strong>at</strong>pengukur (bagian pengukurnya) tidak bisa <strong>di</strong>bu<strong>at</strong>besar karena al<strong>at</strong> ukur harus ringan agar dap<strong>at</strong>bereaksi dengan cep<strong>at</strong>.Al<strong>at</strong> ukur yang kecil ini harus <strong>di</strong>tingk<strong>at</strong>kankemampuannya, dengan tetap mempertahankanmassanya tetap kecil.151152Pengukur Tegangan SearahPengukur Arus Searah10 ΩR s50 mA+ v = 750 V −Bagian pengukur hanya mampumenahan tegangan50 × 10 = 500 mVAl<strong>at</strong> ini harus mampu mengukurtegangan 750 V.100 AI sh10 Ω50 mABagian pengukur hanya mampu<strong>di</strong>aliri arus50 mAAl<strong>at</strong> ini harus mampu mengukurarus 100 A.750−3→ = 50×10Rs+ 10750⇒ Rs= −10= 14990 Ω−350×10Untuk itu <strong>di</strong>pasang resistor seri R sagar tegangan total yang <strong>di</strong>ukur750 V tetapi bagian pengkur tetaphanya <strong>di</strong>bebani tegangan 500 mVKita harus menghitung berapa R syang harus <strong>di</strong>pasang.R sh−3→ I sh + 50×10 = 100−3→ I sh Rsh= 10×50×10−310×50×10⇒ Rsh=−3100 − 50×10= 0,005 ΩUntuk itu <strong>di</strong>pasang resistorparalel R sh agar sebagian besararus total yang <strong>di</strong>ukur mengalir<strong>di</strong> R sh sedangkan bagian pengkurtetap hanya <strong>di</strong>aliri arus 50 mAKita harus menghitung berapa R shyang harus <strong>di</strong>pasang.153154+−IAVI R = I −R VR V : resistansi voltmeterVRVR = =I R I − ( V / RV)Pengukuran ResistansiHubungan antara tegangan dan arus resistor adalahVRV R = RiR<strong>at</strong>au R =iRDengan hubungan ini maka resistansi R dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>hitungdengan mengukur tegangan dan arus resistorAda dua kemungkinan rangkaian pengukuran:<strong>Rangkaian</strong> A <strong>Rangkaian</strong> B II RV R +−V RVA= V − IR AR A : resistansi ampermeterV V − IR VR= − RIIRA= =I R II RRSaluran DayaEnergi <strong>di</strong>salurkan ke beban melalui saluran. Padaumumnya saluran mengandung resistansi. Oleh karenaitu sebagian dari energi yang <strong>di</strong>kirim oleh sumber akanberubah menja<strong>di</strong> panas <strong>di</strong> saluran.Daya yang <strong>di</strong>serap saluran adalahI 2s R sI s adalah arus saluran dan R s adalah resistansi saluranI s dan R s ini pula yang menyebabkan terja<strong>di</strong>ny<strong>at</strong>egangan j<strong>at</strong>uh <strong>di</strong> saluranBerikut ini s<strong>at</strong>u contoh penyaluran daya dari s<strong>at</strong>u sumber ke dua beban15515626
8/20/2012Contoh:Sumber40+20=60A+ +0,4Ω550V V 1− −0,03Ω40ADaya yang <strong>di</strong>serap saluran adalah20A0,06Ω0,8Ω+V 2−V1 = 550 − 60(0,4 + 0,03) = 524,2 V20A22p saluran = 60 (0,4 + 0,03) + 20 (0,8 + 0,06) = 1892 W = 1,89 kWTegangan <strong>di</strong> beban adalahV2 = V1− 20(0,8 + 0,06) = 507 VGarduDistribusi+550VDiagram S<strong>at</strong>u GarisDalam ketenagalistrikan, rangkaian listrik biasa <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akandengan <strong>di</strong>agram yang lebih sederhana yaitu <strong>di</strong>agram s<strong>at</strong>u garis.<strong>Rangkaian</strong> dalam contoh sebelumnya <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan dengan<strong>di</strong>agram s<strong>at</strong>u garis sebagai berikut:0,4Ω0,8Ω++V 40A 1V 2 20A− −−0,03Ω0,06Ω<strong>di</strong>agram s<strong>at</strong>u garis550V0,43Ω 0,86Ω40A20A157158⇒ V B⇒ V Cv A = 255 VV B − V AV B − V C+ 100 += 02 × 0 ,01 2 × 0 ,025⎛V B ⎜⎝CONTOH:10 ,02A= 251 ,3 V= 247 ,1 VB0,01Ω 0,025Ω 0,015Ω100A1 ⎞ 255 V C+ ⎟ + 100 − − = 00 ,05 ⎠ 0 ,02 0 ,0570 V B − 20 V C = 12650⎛V C ⎜⎝10 ,051 ⎞ 250 V B+ ⎟ + 180 − − = 00 ,03 ⎠ 0 ,03 0 ,05V A −VB255 − 251,3I AB = == 185 A ; I BC = I AB −100= 85 A; I DC = 180 − I BC = 95 AR AB 0,02C180ADv D = 250 VHitung arus saluranV C − V BV C − V D+ 180 += 02 × 0 ,0252 × 0 ,01553 ,3V C − 20 V B = 8153 ,3Contoh:50A0,05ΩAX0,1ΩB20A250V0,04Ω60AHitung daya yang<strong>di</strong>serap saluranCV A = VX− 0,05×50 = 247,5 VVB= 250 − 0,1 × 20 = 248 VVC= 250 − 0,04×60 = 247,6 VDaya yang <strong>di</strong>serap saluran2p XA = (50) × 0,05 = 125 W2p XB = (20) × 0,1 = 40 W2p XC = (60) × 0,04 = 144 W159160A50AContoh:X0,05Ω0,1ΩX0,1ΩB20A250V0,15ΩA3 −10 V A0 7 − 2 VB=0 0 125 VC0,04Ω60AV = 250 V; hitungV, V , VBCC495123930954⎛ 1 1 ⎞ VBVXV A ⎜ + ⎟ + 50 − − = 0⎝ 0,05 0,1 ⎠ 0,1 0,05⎛ 1 1 1 ⎞ V A VCV XVB⎜ + + ⎟ + 20 − − − = 0⎝ 0,1 0,1 0,15 ⎠ 0,1 0,15 0,1⎛ 1 1 ⎞ VBV XVC⎜ + ⎟ + 60 − − = 0⎝ 0,04 0,15 ⎠ 0,15 0,0430 V + 50 − 10 V − 5000 = 0AB8020V B + 20 − 10 V A −33V − 2500C9520V C + 60 −33V − 6250 = 0B30 −10− 30 80− 2049507440185701239+2×247,64495+247,75VC= 247 ,63 V; VB== 247,75 V ; V A == 247,58 V7300− 2095V AV BVC== 016170AContoh:120A30A I 280AB 0,02Ω CI 1 I 30,01Ω 0,02ΩADI 0,01Ω60,01ΩIF 0,03Ω E 4I 5Hitung arus <strong>di</strong> saluran60A60A0,01 0,02 0,02 0,01 0,03 0,01 I1−10 0 0 0 1 I 21 −10 0 0 0 I 30 1 −10 0 0 I 40 0 1 −10 0 I 50 0 0 1 −10 I 61 2 2 1 3 10 2 2 1 3 20 0 2 1 3 40 0 0 1 3 60 0 0 0 3 70 0 0 0 0 1I 1I 2I 3I 4I 5I 60− 70− 150=− 390− 450− 810− 7030=− 80I6 = −81 A ; I5= 39 A ; I4= −21A ; I3= 39 A ; I2= −41A ; I1= −11A60− 6016227
8/20/2012<strong>Rangkaian</strong> Dengan DiodaDioda Ideal+v D−i Dny<strong>at</strong>aiideali<strong>Rangkaian</strong> Dengan Dioda<strong>Rangkaian</strong> Dengan OP AMP+v−+v a−+v D−i D0 vi0 v a v0 vDioda konduksi : iD> 0 , vD= 0Dioda tak konduksi : iD= 0 , vD< 0Dioda konduksi : iD> 0 , v > vaDioda tak konduksi : iD= 0 , v < va163164Penyearah Setengah GelombangPenyearah Gelombang Penuhv+i+ v D +R LIas2π[ cosωt]VmIm= =πRπV m viI as00 π 2π ωt11 Vmsin ωtid(ωt)=d(ωt)+ 02π2πR=∫ ∫1 Vm=2πRLπ0π0 0Jika v = 220sinωt sedangkan R = 5kΩ,maka I as = 220/5000π = 0,014 ALL<strong>Rangkaian</strong> Jemb<strong>at</strong>anD 3 D 4DD 1 D 2iCv +AB+R LV mvi00 πi2πvI asωt<strong>Rangkaian</strong> Dengan Transform<strong>at</strong>orber-titik-tengah+Ias+v 1v 2+D 1D 2R2 V=π RmLi2I=πmi 1i 2165166v15Vm 105i Dv R =v C0ωt-5 0 0.05 0.1 0.15iRi+ v C+D+v R R LC−Filter Kapasitor<strong>Waktu</strong> <strong>di</strong>oda konduksi, kapasitor terisi sampaiv C = v maks .<strong>Waktu</strong> tegangan menurun, <strong>di</strong>oda tidakkonduksi. Terja<strong>di</strong> loop tertutup RC seri.∆v CvC= v RdvCvR= RiR= R(−iC) = −RCdt→ vCdvC+ RCdt= 0dvvC= − dtRCC 1+v 1_+ V−i+v D− +v R−vVPemotong GelombangDioda i v Rkonduksiv1 −Vi = > 0Rv R = 1tak konduksi 0 0v 1iR = v −V−V -10 m-15∆TC yang <strong>di</strong>perlukan:∆ q = C ∆v= I ( T − ∆T) ≈ I TC⇒ v = v eCIasTIasVas⇒ C = = =∆vf∆vRf∆vCCasCC0−(1/RCCas)t0v R = v 1 –V, dengan bagian neg<strong>at</strong>if<strong>di</strong>tiadakan oleh <strong>di</strong>od<strong>at</strong>16716828
8/20/2012CONTOH:+v s−Ri D−+A2 V−v D++v 2−Dioda v s v 2konduksitak konduksiv = −2VAv s< −2Vv s = v Av2 = −2v 2 = vsVCONTOH:+ 4,7 V1kΩi A+ − +v A 0,7 V D 1PD 2+v A = 1 V−i B = ?0,7 VD 1 D 2 v P i Bv 28−8−2v 110[V] v 2 =v 1500 ωtv 2 v-52v 1-10169konduksitak konduksikonduksitak konduksitak konduksikonduksikonduksitak konduksiv = 1,7Pv < 0,7Pv < 1,7Pv = 0,7Pv = 1,7Pv = 0,7Ptak mungkinmungkintak mungkin4,7− 0,7i B= mA1170Pengu<strong>at</strong> Operasional (OP AMP)masukannon-inversimasukaninversi+−<strong>Rangkaian</strong> Dengan Op Ampc<strong>at</strong>u daya positifkeluaranc<strong>at</strong>u daya neg<strong>at</strong>if8Top1+V CC v o726− +354v N v P −V CC+V CC : c<strong>at</strong>u daya positif−V CC : c<strong>at</strong>u daya neg<strong>at</strong>ifv P = tegangan masukan non-inversi;v N = tegangan masukan inversi;v o = tegangan keluaran;v P +v N +i Pi N+−−i o+ v oDiagram <strong>di</strong>sederhanakani P = arus masukan non-inversi;i N = arus masukan inversi;i o = arus keluaran;v oKarakteristik Alih+V CCv = µ ( − )−V CCv P − v NParameter Rentang nilai Nilai idealµ 10 5 ÷ 10 8 ∞R i 10 6 ÷ 10 13 Ω ∞ ΩR o 10 ÷ 100 Ω 0 Ω± V CC ± 12 ÷ ± 24 Vov P v Nµ <strong>di</strong>sebut gain loop terbuka(open loop gain)Nilai µ sang<strong>at</strong> besar, biasanya lebih dari 105.Selama nilai netto (v P − v N ) cukup kecil, v o akanproporsional terhadap masukan. Akan tetapijika µ (v P − v N ) > V CC OP AMP akan jenuh;tegangan keluaran tidak akan melebihitegangan c<strong>at</strong>u ± V CC171172Model Ideal OP AMPPengu<strong>at</strong> Non-Inversiv P +v N +i Pi N+i oR ovo≤ V+ CC+voR i −µ (v P − v N )<strong>at</strong>auVCC−µ ( v P − vN) ≤ VCC⇒ ( vP− vN) ≤µKarena µ sang<strong>at</strong> besar, dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>anggap µ = ∞ ,sedangkan V CC tidak lebih dari 24 Volt, maka(V CC /µ ) = 0 sehingga v P = v N .R i dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>anggap ∞ sehingga arus masuk <strong>di</strong>kedua terminal masukan dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>anggap nol,i P = i N = 0. Ja<strong>di</strong> untuk OP AMP ideal :vP= v NiP= iN= 0v Ni Pv P+−v ov s+−R 1i Numpan balikR 2v R2= vN oR1+ R2R2v P = v N = vo= vsR1+ R2R1+ R2vo=R2v sR1+ R2K =R217317429
8/20/2012CONTOH:5V+−2kΩ+−v o2kΩ1kΩi B+v B−R B =1kΩvN =1 vo3vv = o = 15 V ; = BB viB= 15 mA ; pB= vBiB= 225 mW.RBResistansimasukan :v B = ? i B = ? p B = ?v p = v N5 − v2000PiP= 0 = → vP= 5 V =vo = 3vN=v 5Rin = in = = ∞ karena iin= iP= 0iiniinv15 VNCONTOH:v sV TvPv Ni in+−+−R 4R 5BR TBR 3R 3AA+−+−R5R5R= VT= v1s → vs= voR4+ R5R4+ R5R1+ R2R1= vvoR5R1+ R2o → = ×R1+ R2vsR4+ R5R1R 2R 1R 2R 1+vo+ vov o = ?v sVTR5= vsR4+ R5;RTR4R5=R4+ R5Resistansi masukanvsRin = = R 4 + R 5iin175176v s+−i 1R 1i Nv Nv Pumpan baliki 2A−+R 2Pengu<strong>at</strong> Inversiv o⎛ 1 1 ⎞ vsvov N ⎜ ⎟++ i N − − = 0⎝ R1R2⎠ R1R2vsvo+R1R2= 0Penyangga (buffer)i Piv P + v oov+ N −v s −Rsehingga⎛ R2⎞vo= −⎜ vsR⎟⎝ 1 ⎠CONTOH:v si in R 1 A R 2+ ⎛ 1 1 ⎞ vsvo− v v0oN ⎜ ⎟++ iN− − =+⎝ R1R2⎠ R1R2−+−vs−vovo−R2R + = 0 → =3R1R2vsR1vinvsRin= =i v − v ) /( R 1+ R )in(s o2vinv sRin = = = R1iinvs / R1vs1R1Rin===vs( 1−vo/ vs) /( R1 + R2)(1 + R2/ R1) /( R1+ R2) ( R1+ R2) /( R1+ R2)i N177178CONTOH:V T+−R Tv sR 3i in+−AR 4R 5BR 2−+R5 = vs; RT= R1( R4|| R5)R + RVT +4 5R 1R 3A+v oR 2−++v ov R= − = −Vo 2T RTR1+vsRin= = R4+ R1|| R5iinR4(R1+ R5) + R1R5=R1+ R5R2( R || R )vovoVTR2R5= × = −×vsVTvsR1+ R4|| R5R4+ R5R2R5= −( R1R5+ R1R4 + R4R5)45Penjumlahi 1R 1 i 2 i F ⎛A1 1 1 ⎞ v1v2vov⎜⎟N+ + + iN− − − = 0R R F v o ⎝ R1R2RF⎠ R1R2RF2 i Nv1v2vov + v +1 2v −− − N+ + = 0Rv +1R2R FP⎛ v1v2⎞ RFRFvo= −RF ⎜ ⎟+ = − v1− v2= K1v1+ K 2v2R1R⎝ 2 ⎠ R1R2vo=∑nK nvndenganRFK n = −Rn17918030
8/20/2012CONTOH:RPengurang (Pengu<strong>at</strong> Diferensial)i 2v 1v 2v 1v 2RRRRA−++−v ov oRRR Rv o = − v1− v2= −( v1+ v2)R R⎛ 1 1 ⎞ v1v2vP⎜ + ⎟ + iP− − = 0⎝ R R ⎠ R Rv1+ v2→ vP=2vv oN =2v1+ v2vo= → vo= v1+ v22 2i 1R 1 R +i 2Nvov 1+ R 3 −−+v + i 2 P− R 4R1R1+ R 2v o2R 4=R 3 + R 4v 2<strong>at</strong>auJika v 2 <strong>di</strong>m<strong>at</strong>ikan:Jika v 1 <strong>di</strong>m<strong>at</strong>ikan:R 2v o1 = −R1⎛ R2⎞ ⎛ R4⎞⎛ R1+ R2⎞v o = vo1+ vo2= − v1⎜ ⎟⎜v2= −K1v1+ K2v2R⎟ +1 R3R⎜4 R⎟⎝ ⎠ ⎝ + ⎠⎝1 ⎠v1R 1v N = v o2R 1 + Rv 4= vP 22R3+ R4v o2⎛ R 4= ⎜⎝ R 3 + R 4R⎞⎛ R1+ R 2 ⎟⎜⎠⎝R1⎞⎟v 2⎠Jika kita bu<strong>at</strong> R 1 = R 2 = R 3 = R 4 maka v o = v 2 − v 1181182Integr<strong>at</strong>ori Ri A C⎛ 1 ⎞ dv( )sv N ⎜ ⎟ − C vo − v N − = 0+ R C + ⎝ R ⎠ dtRv si N vovv tts do ( ) 1v −= −CN( vo) <strong>at</strong>au∫d(vo) = −∫vsdtR dtvo(0) RC 0v P +1 tvo= vo−∫v sRCdt1 t( 0)vo= −0∫v sRCdt 0i C i RA+v CiRs Nv N −v P ++v oDiferensi<strong>at</strong>orv N dvo− C ( vs − v N ) − = 0R dtRv o dvs( t )t= −C( vs) <strong>at</strong>au∫d(vs) = −1v ∫v dtR dts (0) RC 0 o1vs= −RCt∫0vodt<strong>at</strong>au vdvs= −RCdto183v 1+−v oR 1v 1KDiagram Blokv oR R1+ R22K =R 2Pengu<strong>at</strong> Non-InversiR 1 v ov1R Fv 2−R 2 +Penjumlahv 1R 1 R v 2 oR −v 32+R 4Pengurangv 1K 1v 1R 1v o_+R 2Pengu<strong>at</strong> Inversiv oK1=−v 1R FR 1K 2R FK 2 = −K 2 R 2K R 21K 1 = −R 1v o++v 2v 1++v 2K 2K= −R FR 2v o⎛ R 1 + R 2 ⎞ ⎛ R 4 ⎞K =⎜⎟ × ⎜ ⎟2⎝ R 1 ⎠ ⎝ R 3 + R 4 ⎠184Hubungan Bertingk<strong>at</strong>v 1 v 2 v 3 vo+−+−+−v 1 v 2 v 3 v oK 1K 1 K 2 K 31v = K v = K K v = K K K vo3 33 2 2321185 18631
8/20/2012Peristiwa transien dalam rangkaian listrik, yang walaupunberlangsung hanya beberapa sa<strong>at</strong> namun jika tidak <strong>di</strong>tangani secarabenar dap<strong>at</strong> menyebabkan terja<strong>di</strong>nya hal-hal yang sang<strong>at</strong> merugikanpada rangkaian11. <strong>Analisis</strong> Transien<strong>Rangkaian</strong> Orde-1Yang <strong>di</strong>maksud dengan analisis transien adalah analisisrangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan <strong>at</strong>aukeadaan transien.Peristiwa transien biasanya berlangsung hanya beberapa sa<strong>at</strong>namun jika tidak <strong>di</strong>tangani secara baik dap<strong>at</strong> menyebabkanterja<strong>di</strong>nya hal-hal yang sang<strong>at</strong> merugikan pada rangkaianPeristiwa transien timbul karena pada sa<strong>at</strong> terja<strong>di</strong> perubahankeadaan rangkaian, misalnya penutupan <strong>at</strong>au pembukaansaklar, rangkaian yang mengandung elemen <strong>di</strong>namikcenderung memper<strong>at</strong>ahankan st<strong>at</strong>us yang <strong>di</strong>milikinya sebelumperubahan terja<strong>di</strong>187188Dalam pembahasan model piranti pasif kita pelajaribahwa tegangan kapasitor adalah peubah st<strong>at</strong>uskapasitor; dan arus induktor adalah peubah st<strong>at</strong>usinduktor.Pada sa<strong>at</strong>-sa<strong>at</strong> terja<strong>di</strong> perubahan rangkaian, kapasitor cenderungmempertahankan tegangan yang <strong>di</strong>milikinya sesa<strong>at</strong> sebelumterja<strong>di</strong> perubahanPada sa<strong>at</strong>-sa<strong>at</strong> terja<strong>di</strong> perubahan rangkaian, induktor cenderungmempertahankan arus yang <strong>di</strong>milikinya sesa<strong>at</strong> sebelum terja<strong>di</strong>perubahanPeubah st<strong>at</strong>us tidak dap<strong>at</strong> berubah secara mendadakKita ambil contoh rangkaian seri R dan C+v s−SRKita ambil contoh lain, rangkaian seri R dan L+v s−SRCi LA+v C−BABLApabila sesa<strong>at</strong> sebelum saklar S<strong>di</strong>tutup kapasitor tidak bertegangan,maka setelah saklar <strong>di</strong>tutup tegangankapasitor akan meningk<strong>at</strong> mulai darinol. Tegangan kapasitor tidak dap<strong>at</strong>berubah secara mendadak.Sesa<strong>at</strong> sebelum saklar <strong>di</strong>buka, aruspada induktor adalah i L = v s /R. Padawaktu saklar <strong>di</strong>buka, arus induktorakan turun menuju nol dalam waktutertentu karena arus induktor tidakdap<strong>at</strong> berubah secara mendadak.Sebelum mencapai nol arus induktormengalir melalui <strong>di</strong>oda.189190Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitormerupakan hubungan linier <strong>di</strong>ferensial, maka persamaan rangkaian yangmengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan <strong>di</strong>ferensialPersamaan <strong>di</strong>ferensial ini dap<strong>at</strong> berupa persamaan<strong>di</strong>ferensial orde pertama dan rangkaian yang demikian ini<strong>di</strong>sebut rangkaian <strong>at</strong>au sistem orde pertama (orde-1)<strong>Rangkaian</strong> Orde-1 biasanya mengandung hanya s<strong>at</strong>uelemen <strong>di</strong>namik, induktor <strong>at</strong>au kapasitor<strong>Rangkaian</strong> RC SeriS+−+v in−Rii CCA+v−Bv s192Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaan<strong>di</strong>ferensial orde kedua maka rangkaian ini <strong>di</strong>sebutrangkaian <strong>at</strong>au sistem orde kedua (orde-2)HTK setelahsaklar tertutup:dv− vs+ iR + v = −vs+ RC + v = 0dtdvRC + v = v sdtInilah persamaan rangkaianyang merupakan persamaan<strong>di</strong>ferensial orde pertamadengan tegangan sebagaipeubah rangkaian19132
8/20/2012<strong>Rangkaian</strong> RL SeriHTK setelahsaklar tertutup:+−Sv s<strong>di</strong>vs− Ri − vL= vs− Ri − L = 0dtRii LA<strong>di</strong>L + Ri = v sInilah persamaandtrangkaian yangmerupakan persamaan<strong>di</strong>ferensial orde pertamadengan arus sebagaipeubah rangkaianBLBentuk Umum Persamaan <strong>Rangkaian</strong> Orde-1dya + by = x(t)dty adalah fungsi keluaranFungsi x(t) adalah masukan padarangkaian yang dap<strong>at</strong> berupa tegangan<strong>at</strong>aupun arus dan <strong>di</strong>sebutfungsi pemaksa <strong>at</strong>au fungsi penggerak.tetapan a dan b <strong>di</strong>tentukan oleh nilai-nilaielemen yang membentuk rangkaianPersamaan <strong>di</strong>ferensial seperti <strong>di</strong> <strong>at</strong>as mempunyai solusiyang <strong>di</strong>sebutsolusi totalyang merupakan jumlah darisolusi homogen dan solusi khusus193194Solusi homogen adalah fungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaan homogen<strong>di</strong> mana x(t) bernilai nol:dya + bydt= 0Solusi khusus adalah fungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaan aslinya <strong>di</strong>mana x(t) tidak bernilai noldya + by = x(t)dtSolusi total adalah jumlah dari kedua solusi.Ja<strong>di</strong> y total = (y 0 +y p )Misalkan solusipersamaan ini y 0Misalkan solusipersamaan ini y pTanggapan Alami, Tanggapan Paksa,Tanggapan LengkapDalam rangkaian listrik, fungsi pemaksa x(t) adalah besaran yangmasuk ke rangkaian dan memaksa rangkaian untuk menanggapinya;besaran ini biasanya d<strong>at</strong>ang dari sumber.Dalam rangkaian inix(t) = v sDalam rangkaian listrik solusi homogen adalah tanggapan rangkaian apabilax(t) = v s = 0 dan tanggapan ini <strong>di</strong>sebut tanggapan alamiDalam rangkaian listrik solusi khusus adalah tanggapan rangkaian apabilax(t) = v s ≠ 0 dan tanggapan ini <strong>di</strong>sebut tanggapan paksa+−Dalam rangkaian listrik solusi total <strong>di</strong>sebut tanggapan lengkap yangmerupakan jumlah dari tanggapan alami dan tanggapan paksaSv sRii LABL195196Tanggapan AlamiTanggapan alami adalah solusikhusus dari persamaan homogen :dya + bydta dy= 0<strong>at</strong>au + y = 0b dtDalam kuliah ini kita akan mencari solusi persamaan homogenini dengan cara pendugaanPersamaan homogen ini memperlih<strong>at</strong>kan bahwa y <strong>di</strong>tambah dengansu<strong>at</strong>u tetapan kali turunan y, sama dengan nol untuk semua nilai tHal ini hanya mungkin terja<strong>di</strong> jika y dan turunannya berbentuksama; fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama denganfungsi itu sen<strong>di</strong>ri adalah fungsi eksponensial.Ja<strong>di</strong> kita dap<strong>at</strong> menduga bahwa solusi dari persamaan homogenini mempunyai bentuk eksponensialy = K 1 e st197Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke persamaannya, kita perolehst staK 1 se + bK1e= 0 <strong>at</strong>au yK1 ( as + b) = 0Salah s<strong>at</strong>u solusi adalah y = 0, namunini bukanlah solusi yang kita carisedangkan K 1 adalah tetapan yang ≠ 0Ini <strong>di</strong>sebutpersamaan karakteristik.Persamaan ini akanmenentukan bentuktanggapan rangkaian.as + b = 0Inilah yang harusbernilai 0Akar persamaan ini adalah s = −(b/a)Ja<strong>di</strong> tanggapan alami yang kita cari adalahst −(b / a)tya= K1e= K1eTetapan ini masih harus kita cari. Nilaitetapan ini <strong>di</strong>peroleh daritanggapan lengkap pada waktu t = 0Untuk mencari tanggapan lengkap kitamencari lebih dulu tanggapan paksa, y p19833
8/20/2012Tanggapan PaksaTanggapan paksa adalah solusi daripersamaan:dya + by = x(t)dtJika solusi persamaan ini kita sebut y p (t), maka bentuk y p (t) haruslahsedemikian rupa sehingga jika y p (t) <strong>di</strong>masukkan ke persamaan ini maka ruaskiri dan ruas kanan persamaan akan berisi bentuk fungsi yang sama.Hal ini berarti x(t), y p (t), dan dy p (t) /dt harus berbentuk samaKita lih<strong>at</strong> beberapa kemungkinan bentuk fungsi pemaksa, x(t):1. x(t) = 0. Jika fungsi pemaksa bernilai nol maka hanya akan ada tanggapanalami; tanggapan paksa = 0.2. x(t) = K. Jika fungsi pemaksa bernilai tetap maka tanggapan paksa y p jugaharus merupakan tetapan karena hanya dengan cara itu dy p /dt akan bernilainol sehingga ruas kanan dan kiri dap<strong>at</strong> berisi bentuk fungsi yang sama.3. x(t) = Ae αt . Jika fungsi pemaksa berupa fungsi eksponensial, mak<strong>at</strong>anggapan paksa y p harus juga eksponensial karena dengan cara ituturunan y p juga akan berbentuk eksponensial, dan fungsi <strong>di</strong> ruas kiri dankanan persamaan rangakaian akan berbentuk sama.4. x(t) = Asinωt. Jika fungsi pemaksa berupa fungsi sinus, maka tanggapanpaksa akan berupa penjumlahan fungsi fungsi sinus dan cosinus karenafungsi sinus merupakan penjumlahan dari dua fungsi eksponensialkompleks.jx − jxe − esin x =2Melih<strong>at</strong> identitas ini, maka kita bisa kembali ke kasus 3; perbedaannyaadalah kita menghadapi eksponensial kompleks sedangkan <strong>di</strong> kasus 3kita menghadapi fungsi eksponensial ny<strong>at</strong>a. Dalam hal ini maka Solusiyang kita cari akan berbentuk jumlah fungsi sinus dan cosinus.5. x(t) = Acosωt. Kasus ini hampir sama dengan kasus 4, hanya berbedapada identitas fungsi cosinusecos x =jx+ e2− jx199200Tanggapan LengkapRingkasan bentuk tanggapan paksaJika x(t)= 0 , maka y p = 0Jika x(t)= A = konstan, maka y p = konstan = KαtαtJika x(t)= Ae = eksponensial, maka y p = eksponensial = KeJika x(t)= Asinωt, maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtJika x(t)= Acosωt,maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtPerh<strong>at</strong>ikan: y = Kccos ωt+ Kssin ωtadalah bentuk umumfungsi sinus maupun cosinus .Dugaan tanggapans ty = y p + y a = y p + K 1elengkap adalahIni masih dugaan karen<strong>at</strong>anggapan alami jugamasih dugaantanggapan paksa Dugaan tanggapan alamiK 1 masih harus <strong>di</strong>tentukanmelalui penerapan kon<strong>di</strong>siawal yaitu kon<strong>di</strong>si pada t = 0Kon<strong>di</strong>si AwalKon<strong>di</strong>si awal adalah situasi sesa<strong>at</strong> setelah penutupan rangkaian (jika saklar<strong>di</strong>tutup) <strong>at</strong>au sesa<strong>at</strong> setelah pembukaan rangkaian (jika saklar <strong>di</strong>buka);Sesa<strong>at</strong> sebelum penutupan/pembukaan saklar <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan sebagai t = 0 -Sesa<strong>at</strong> sesudah penutupan/pembukaan saklar <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan sebagai t = 0 + .Pada induktor, arus pada t = 0 + sama dengan arus pada t = 0 -Pada kapasitor, tegangan pada t = 0 + sama dengan tegangan pada t = 0 -201202Jika kon<strong>di</strong>si awal kita masukkan pada dugaan solusi lengkap akan kitaperoleh nilai K 1+ ++ +y( 0 ) = y p (0 ) + K1 → K1= y(0) − y p (0 ) = A0Dengan demikian tanggapan lengkap adalahIni merupakankomponen mantap daritanggapan lengkap;ia memberikan nilaitertentu pad<strong>at</strong>anggapan lengkappada t = ∞s ty = y p + A0eIni merupakankomponen transiendari tanggapanlengkap;ia bernilai 0 pad<strong>at</strong> = ∞Prosedur Mencari Tanggapan Lengkap <strong>Rangkaian</strong>1. Carilah nilai peubah st<strong>at</strong>us pada t = 0 − ; ini merupakan kon<strong>di</strong>si awal.2. Carilah persamaan rangkaian untuk t > 0.3. Carilah persamaan karakteristik.4. Carilah dugaan tanggapan alami.5. Carilah dugaan tanggapan paksa.6. Carilah dugaan tanggapan lengkap.7. Terapkan kon<strong>di</strong>si awal pada dugaan tanggapan lengkap yang akanmemberikan niali-nilai tetapan yang harus <strong>di</strong>cari.8. Dengan <strong>di</strong>perolehnya nilai tetapan, <strong>di</strong>dap<strong>at</strong>lah tanggapan rangkaianyang <strong>di</strong>cari20320434
8/20/2012Contoh: x(t) = 0Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t = 0S <strong>di</strong>pindah ke posisi 2. Carilah tanggapanrangkaian.1. Pada t = 0 - kapasitor telah terisi penuh dan v(0 + ) = 12 V2. Persamaan rangkaian untuk t > 0: − v + iRR= 03. Persamaan karakteristik:+v s = 12V −dvKarena iR= −iC= −Cdtdvdvmaka − v − RC = 0+ 1 v = 0dtdt RCs + 1000 = 0 → s = −1000S1 2R=10kΩC=0.1µFdv+ 1000 v = 0dtPersamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −10004. −1000tDugaan tanggapan alami : va= A0e5. Dugaan tan ggpan paksa : v p = 0 ( tidak ada fungsi pemaksa)6. Dugaan tanggapan7. Kon<strong>di</strong>siawal :lengkap :+ −v(0) = v(0) = 12 V.Penerapan kon<strong>di</strong>si awal padamemberikan : 12 = 0 + A0 → A0= 12st−1000tv = vp+ A0e= 0 + A0edugaan tanggapan lengkap−1000 t8. Tanggapan lengkap menja<strong>di</strong> : v = 12 e V+v−205206Contoh: x(t) = 0Saklar S telah lama tertutup.Pada t = 0 saklar S <strong>di</strong>buka.Carilah tanggapan rangkaianSebelum saklar <strong>di</strong>buka:− 50i( 0 ) = = 50 mA1000Persamaan rangkaian pada t > 0:v ASimpul A: + i = 03000Karena v A = v L = L <strong>di</strong>/dt,+v s =−50 VPersamaan karakteristik: 0,6 s + 3000 = 0SR 0 =1 kΩR =3 kΩA1 ⎛ <strong>di</strong> ⎞⎜ L ⎟ + i = 03000 ⎝ dt ⎠1 ⎛ <strong>di</strong> ⎞⎜0,6⎟ + i = 03000 ⎝ dt ⎠<strong>di</strong>0,6 + 3000 i = 0dtL=0.6 HiPersamaan karakteristik: 0,6 s + 3000 = 0−5000tDugaan tanggapan alami: ia= A0eDugaan ta nggapan paksa : i p = 0 (tak ada fungsi pemaksa)−5000t−5000tDugaan tanggapan lengkap : i = ip+ A0e= 0 + A0e+ −Kon<strong>di</strong>si awal : i(0) = i(0) = 50 mA .Penerapan kon<strong>di</strong>si awal padamemberikan : 50 = A0Tanggapan lengkap menja<strong>di</strong> :dugaan tanggapan lengkap−5000 ti = 50 e mA207208Contoh: x(t) = A+-12V21S10kΩ0,1µFi+v−Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t= 0 saklar <strong>di</strong>pindah ke posisi 2. Carilahtanggapan rangkaian.−3−3Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10= −1000−1000tDugaan tanggapan alami : va= A0eDugaan tanggapan paksa : v p = KPada t = 0 - kapasitor tidak bermu<strong>at</strong>an; tegangan kapasitor v(0 - ) = 0.⇒ v(0 + ) = 0Persamaan rangkaian pada t > 0:4−12+ 10 i + v = 04 −6dvKarena i = i C = C dv/dt −12+ 10 × 0,1 × 10 + v = 0dt−10 3 dv+ v = 12dtPersamaan karakteristik: 10 −3 s + 1 = 0Masukkan v p dugaan ini ke persamaan rangkaian :0 + K = 12 ⇒ v p = 12−1000tDugaan tanggapan lengkap : v = 12 + A0eV+Kon<strong>di</strong>si awal : v(0) = v(0−)= 0.Penerapan kon<strong>di</strong>si awal memberikan :0 = 12 + A0 → A0= −12−1000tTanggapan lengkap menja<strong>di</strong> : v = 12 −12e V12v[V]12-12e 1000t0t0 0.002 0.00420921035
8/20/2012Contoh: x(t) = Acosωt<strong>Rangkaian</strong> <strong>di</strong> samping inimendap<strong>at</strong> masukantegangan sinusoidal yangmuncul pada t = 0.Kon<strong>di</strong>si awal <strong>di</strong>ny<strong>at</strong>akan bernilai nol:Persamaan rangkaian untuk t > 0:v s =50cos10t u(t) V⎛ 1 1 ⎞ vs1 v0sSimpul A: v ⎜ + ⎟ + iC− = → v + iC=⎝1510 ⎠ 15 6 15i C = C dv/dt+v( 0 ) = 0+−Persamaan karakteristik: s + 5 = 0 → s = −5v si15Ω C1/30 FA1 1 dv vsv + =6 30 dt 15dv→ + 5 v = 100cos10tdt+v−10Ωv(0 + ) = 0Persamaan karakteristik: s + 5 = 0 → s = −5−5Dugaan tanggapan alami : va= A0eDugaan ta nggapan paksa : v p = Accos10t+ Assin10tSubstitusi tanggapan dugaan ini ke persamaan rangkaian memberikan :−10Acsin10t+ 10Ascos10t+ 5Accos10t+ 5Assin10t= 100cos10t→ −10Ac+ 5As= 0 dan 10As+ 5Ac= 100→ As= 2Ac→ 20Ac+ 5Ac= 100 ⇒ Ac= 4 dan As= 8Tanggapan paksa : v p = 4cos10t+ 8sin10t−5tDugaan tanggapan lengkap : v = 4cos10t+ 8sin10t+ A0e+Kon<strong>di</strong>si awal v(0) = 0Penerapan kon<strong>di</strong>si awal :Ja<strong>di</strong> tegangan kapasitor :Arus kapasitor :0 = 4 + A0 → A0= −4t−5tv = 4 cos10t+ 8sin10t− 4e−5t( − 40sin10t+ 80cos10t+ 20 e )dv 1iC= C =dt 30−5t= −1,33sin10t+ 2,66cos10t+ 0,66 eVA211212Lama waktu yang <strong>di</strong>perlukan oleh su<strong>at</strong>u peristiwa transienuntuk mencapai akhir peristiwa (kon<strong>di</strong>si mantap) <strong>di</strong>tentukanoleh konstanta waktu yang <strong>di</strong>miliki oleh rangkaian.Tinjauan pada Contoh sebelumnyaKonstanta <strong>Waktu</strong>+v s −S1 2CRTanggapan alami:1− tv RCa = K1eTanggapan alami dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>tuliskan:−t/ τva= K1edengan:τ = RC−t/ τTanggapan lengkap menja<strong>di</strong>: v = v p + va= v p + K1e+v− i R213Setelah saklar S pada posisi 2,persamaan raqngkaian adalah:Dugaan tanggapan alami:dv 1+ v = 0dt RC1Fungsi karakteristik: s + = 0 RC1− tv RCa = K1e1s = −RCTanggapan alami ini yang akan menentukankomponen transien pada tanggapan lengkapτ <strong>di</strong>sebut konstanta waktu.Tanggapan paksaIa <strong>di</strong>tentukan oleh besarnya elemen rangkaian.Ia menentukan seberapa cep<strong>at</strong> transien menuju akhir.Makin besar konstanta waktu, makin lamb<strong>at</strong> tanggapanrangkaian mencapai nilai akhirnya (nilai mantapnya),yaitu nilai komponen mantap, v p214Tinjauan pada Contoh sebelumnyaPada t = 0 saklar S <strong>di</strong>bukaPersamaan rangkaian setelahsaklar <strong>di</strong>buka adalah:Tanggapan alami:+v s −<strong>di</strong>L = −RidtPersamaan karakteristik:R− ti La = K 1 eSR 0R<strong>di</strong> R+ idt LRs + = 0 LRs = −L= 0Tanggapan alami ini juga akan menentukankomponen transien pada tanggapan lengkapseperti halnya tinjauan pada Contoh-2.1A+−L+−iR− tTanggapan alami: i La = K 1 eTanggapan alami dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>tuliskan:−t/ τia= K1eTanggapan lengkap:dengan:τ <strong>di</strong>sebut konstanta waktu.Lτ =R−t/ τi = i p + ia= i p + K1eTanggapan paksaIa <strong>di</strong>tentukan oleh besarnya elemen rangkaian.Ia menentukan seberapa cep<strong>at</strong> transien menuju akhir.Makin besar konstanta waktu, makin lamb<strong>at</strong> transienmencapai nilai akhirnya yaitu nilai komponen mantap, i p .21521636
8/20/2012Tinjauan pada Contoh sebelumnya2+R +v 1s -vC −Persamaan rangkaian setelahsaklar pada posisi 2:STanggapan alami:− v s + Ri + v = 0Pada t = 0, S <strong>di</strong>pindahkan ke posisi 2.dvKarena i = i C = C dv/dt RC + v = vsdtPersamaan karakteristik: RCs +1 = 0−( 1/ RC)t −t/ τva= Ke = Ke−t/ τTanggapan lengkap: v = v p + va= v p + Keiτ = RC− v s + Ri + v = 0s = −1/RCTinjauan pada Contoh sebelumnyaSimpul A:i C = C dv/dtPersamaan karakteristik:Tanggapan alami:Tanggapan lengkap:v s =Acosωt u(t)⎛ 1 1 ⎞ v⎜⎟ sv + + iC− = 0⎝ R1R2⎠ R1⎛ R1+ R2⎞ dv vsv⎜ C =R1R⎟ +⎝ 2 ⎠ dt R1v = Kea+−∗R + Cs = 0∗s = −1/R C∗−( 1/ R C)t −t/ τ∗ ⎛ R1+ R2⎟ ⎞R =⎜⎝ R1R2 ⎠= KeR 1i C−t/ τv = v p + va= v p + KeCA+v−τ = R ∗ CR 2217218Dari tinjauan contoh-1 s/d 4, dengan menggambarkan rangkaianuntuk melih<strong>at</strong> tanggapan alami saja, kita bu<strong>at</strong> ringkasan berikut:Konstanta waktu <strong>di</strong>tentukan oleh besar elemen-elemen rangkaianUntuk rangkaian R-C : τ = RCCτ = RCRRτ = L / RLUntuk rangkaian R-L : τ = L/RKonstanta waktu juga <strong>di</strong>tentukan oleh berapa besar energi yang semul<strong>at</strong>ersimpan dalam rangkaian (yang harus <strong>di</strong>keluarkan)Makin besar C dan makin besar L, simpanan energi dalam rangkaianakan makin besar karenaR 1CR 2τ = R * C∗ ⎛ R +⎟ ⎞=⎜1 R2R⎝ R1R2 ⎠1 21 2wC = Cv dan wL= Li22Oleh karena itu konstanta waktu τ berban<strong>di</strong>ng lurus dengan C <strong>at</strong>au LKonstanta waktu <strong>di</strong>tentukan oleh besar elemen-elemen rangkaianUntuk rangkaian R-C : τ = RCUntuk rangkaian R-L : τ = L/R219Pengurangan energi berlangsung dengan mengalirnya arus i dengandesipasi daya sebesar i 2 R. Dalam kasus rangkaian R-C, <strong>di</strong> mana vadalah peubah st<strong>at</strong>us, makin besar R akan makin besar τ karena arusuntuk desipasi makin kecil. Dalam kasus rangkaian R-L <strong>di</strong> manapeubah st<strong>at</strong>us adalah i makin besar R akan makin kecil τ karenadesipasi daya i 2 R makin besar220Tanggapan Masukan NoldanTanggapan St<strong>at</strong>us NolPeristiwa transien dap<strong>at</strong> pula <strong>di</strong>lih<strong>at</strong> sebagai gabungan daritanggapan masukan nol dan tanggapan st<strong>at</strong>us nolTanggapan Masukan Nol adalah tanggapan rangkaian jika tidakada masukan. Peristiwa ini telah kita kenal sebagai tanggapan alamiTanggapan St<strong>at</strong>us Nol adalah tanggapan rangkaian jika adamasukan masukan pada rangkaian sedangkan rangkaian tidakmemiliki simpanan energi awal (simpanan energi sebelum terja<strong>di</strong>nyaperubahan rangkaian).Pengertian tentang tanggapan st<strong>at</strong>us nol ini muncul karenasesungguhnya tanggapan rangkaian yang mengandung elemen<strong>di</strong>namik terhadap adanya masukan merupakan peristiwa transienwalaupun rangkaian tidak memiliki simpanan energi awal221Tanggapan Masukan Noli L+v C C R RL−Bentuk tanggapan rangkaian tanpa fungsi pemaksa secara umum adalah+ − t / τym0= y(0) etanggapan masukan nol v C (0 + ) <strong>at</strong>au i L (0 + )masing-masing menunjukkanadanya simpanan energi energiawal dalam rangkaian<strong>di</strong> kapasitor sebesar ½Cv 2C<strong>di</strong> induktor sebesar ½Li 2Lpeubah st<strong>at</strong>us, v C dan i L , tidak dap<strong>at</strong> berubah secara mendadakPelepasan energi <strong>di</strong> kapasitor dan induktor terja<strong>di</strong> sepanjang peristiwa transien,yang <strong>di</strong>tunjukkan oleh perubahan tegangan kapasitor dan arus induktor22237
8/20/2012Tanggapan St<strong>at</strong>us NolJika sebelum peristiwa transien tidak ada simpanan energi dalamrangkaian, maka tanggapan rangkaian kita sebut tanggapan st<strong>at</strong>us nol.Bentuk tanggapan ini secara umum adalahTanggapan st<strong>at</strong>us nolys0= ySt<strong>at</strong>us finalt = ∞f+− y (0 ) ef−t/ τBagian ini merupakan reaksielemen <strong>di</strong>namik (kapasitor <strong>at</strong>aupuninduktor) dalam mencobamempertahankan st<strong>at</strong>us rangkaian.Oleh karena itu ia bertanda neg<strong>at</strong>if.y f (0 + ) adalah nilai tanggapan pad<strong>at</strong> = 0 + yang sama besar dengan y fsehingga pada t = 0 + tanggapanst<strong>at</strong>us nol y s0 = 0.Kita ambil contoh <strong>Rangkaian</strong> R-C+-12V21S10kΩ0,1µFTanggapan st<strong>at</strong>us nol adalahi+v−+ −t/ τvs0= v f − v f (0 ) e−t/ τ= 12−12ePada rangkaian R-C, kapasitorakan mencoba bertahan padast<strong>at</strong>us yang <strong>di</strong>miliki sebelumpemindahan saklar, yaitu v = 0.Pada sa<strong>at</strong> final (sa<strong>at</strong> akhirtransien) tegangan kapasitoradalah v = v s = 12 VUntuk rangkaian R-C : τ = RC223224Dengan demikian tanggapan lengkap rangkaian dap<strong>at</strong> <strong>di</strong>pandangsebgai ter<strong>di</strong>ri daritanggapan st<strong>at</strong>us nol dan tanggapan masukan noly = ys0+ ym0= y ( t)− y (0 ) eff+− t / τ++ y(0) e−t/ τKonstanta waktu τ<strong>di</strong>tentukan oleh elemenrangkaian225 226227 22838
8/20/2012<strong>Rangkaian</strong> Orde-2 biasanya mengandung dua elemen<strong>di</strong>namik, induktor dan kapasitor<strong>Rangkaian</strong> RLC SeriSLv s+−+ Rv in−iC+v−229<strong>di</strong>Ri + L + v =dt2d v dvKarena i = i C = C dv/dt, maka: LC + RC + v = v2indt dtv inInilah persamaan rangkaian yangmerupakan persamaan <strong>di</strong>ferensial ordeke-dua dengan tegangan sebagaipeubah rangkaian230<strong>Rangkaian</strong> RLC Paraleli sAi Ri C +i L = iL vRC−Bi R + iL+ iC= isv =v L =L <strong>di</strong>/dt, sehingga i R = v/R dan i C = C dv/dtv dv+ i + C = is<strong>at</strong>auInilah persamaan rangkaian yangR dtmerupakan persamaan <strong>di</strong>ferensial orde2d i L <strong>di</strong>ke-dua dengan arus sebagai peubahLC + + i = i2sdt R dtrangkaian231Bentuk Umum Persamaan <strong>Rangkaian</strong> Orde-22d y dya + b + cy = x(t)2dt dty = tanggapan rangkaian yang dap<strong>at</strong>berupa tegangan <strong>at</strong>aupun arusfungsi pemaksa <strong>at</strong>aufungsi penggerak.tetapan a dan b <strong>di</strong>tentukan oleh nilainilaielemen yang membentuk rangkaianPersamaan <strong>di</strong>ferensial orde ke-dua muncul karenarangkaian mengandung kapasitor dan induktordengan tegangan sebagaipeubah st<strong>at</strong>usdengan arussebagai peubah st<strong>at</strong>ussedangkan peubah dalam persamaan rangkaianharus salah s<strong>at</strong>u <strong>di</strong> <strong>at</strong>aranya, tegangan <strong>at</strong>au arus232Tanggapan AlamiTanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian <strong>di</strong>mana x(t) bernilai nol:2d y dya + b + cy = 02dt dtDugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial y a = Ke st dengan nilaiK dan s yang masih harus <strong>di</strong>tentukan.Kalau solusi ini <strong>di</strong>masukkan ke persamaan, akan <strong>di</strong>peroleh2 st st staKs e + bKse + cKe = 0stKe2( as + bs + c) = 0<strong>at</strong>auBagian ini yang harus bernilai nol yangmemberikan persamaan karakteristik2as + bs + c = 02332as + bs + c = 0Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadr<strong>at</strong> itumempunyai dua akar yaitu2− b ± b − 4acs1, s2=2aDengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyaidua solusi homogen, yaitus1ts2tya1 = K1edan ya2= K2eTanggapan alami yang kita cari akan berbentuks1ts2tya= K1 e + K2eSeperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan ini<strong>di</strong>peroleh melalui penerapan kon<strong>di</strong>si awal pada tanggapan lengkap23439
8/20/2012Tanggapan PaksaTanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian <strong>di</strong>mana x(t) ≠ 0:2d y dya + b + cy = x(t)2dt dtBentuk tanggapan paksa <strong>di</strong>tentukan oleh bentuk x(t)sebagaimana telah <strong>di</strong>ulas pada rangkaian orde pertama, yaituJika x(t)= 0 , maka y p = 0Jika x(t)= A = konstan, maka y p = konstan = KαtαtJika x(t)= Ae = eksponensial, maka y p = eksponensial = KeJika x(t)= Asinωt, maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtJika x(t)= Acosωt,maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtPerh<strong>at</strong>ikan: y = Kccos ωt+ Kssin ωtadalah bentuk umumfungsi sinus maupun cosinus .Tanggapan LengkapTanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alamidan tanggapan paksas t s ty = yp+ ya= yp+ K e1K e21 + 2Tetapan ini <strong>di</strong>peroleh melalui penerapan kon<strong>di</strong>si awalJika rangkaian mengandung C dan L, dua elemenini akan cenderung mempertahankan st<strong>at</strong>usnya.Ja<strong>di</strong> ada dua kon<strong>di</strong>si awal yang harus <strong>di</strong>penuhiyaitu+ = C−v C (0 ) v (0 )dan+ = L−i L (0 ) i (0 )235236Kon<strong>di</strong>si AwalSecara umum, kon<strong>di</strong>si awal adalah:+ −dy + +y(0) = y(0) dan (0 ) = y'(0)dtNilai sesa<strong>at</strong> sebelum dan sesudahpenutupan/pembukaan saklar harus sama, danlaju perubahan nilainya juga harus kontinyuyyTiga Kemungkinan Bentuk TanggapanPersamaan karakteristik2as + bs + c = 0dap<strong>at</strong> mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0;c). Dua akar kompleks konjug<strong>at</strong> s 1 ,s 2 = α ± jβ jika {b 2 −4ac } < 0.0Pada rangkaian ordepertama dy/dt(0 + ) tidakperlu kontinyut0Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0 + )harus kontinyu sebab ada d 2 y/dt 2dalam persamaan rangkaian yanghanya terdefinisi jika dy/dt(0 + ) kontinyu237tTiga kemungkinan akar ini akan memberikan tigakemungkinan bentuk tanggapan238Contoh-1Persamaan karakteristik dengan dua akar riil berbeda,s 1 ≠ s 2 , {b 2 − 4ac } > 0S 1 21 H++iivC15 V 8,5 kΩ− − 0,25µFPada t = 0 - −−: i( 0 ) = 0 dan v(0) = 12 VSaklar S telah lama berada pada posisi 1. Pad<strong>at</strong> = 0 saklar <strong>di</strong>pindahkan ke posisi 2. Carilahperubahan tegangan kapasitor.<strong>di</strong>Persamaan <strong>Rangkaian</strong> pada t > 0 : − v + L + Ri = 0dt2Karena i = -i d v dvC = -C dv/dt, maka: − v − LC − RC = 02dt dt2d v R dv− − −2dt L dtvLC= 02d v 3 dv 6+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 02dtdt239Persamaan karakteristik: 2 3 6s + 8,5×10 s + 4×10 = 0→ akar- akar :Tak ada fungsi pemaksa3 2s1,s2= −4250± 10 (4,25) − 4 = −500,− 8000−500t−8000tDugaan tanggapan lengkap: v = 0 + K1e+ K2e++Kon<strong>di</strong>si awal: v C ( 0 ) = 15 V dan i L ( 0 ) = 0Karena persamaan rangkaian menggunakan vsebagai peubah maka kon<strong>di</strong>si awal arus i L (0 + )harus <strong>di</strong>ubah menja<strong>di</strong> dalam tegangan v++ + dvC(0 )iL( 0 ) = iC(0 ) = C = 0dt+dv C (0 )= 0dt24040
8/20/2012Kon<strong>di</strong>si awal:+v( 0 ) = 15 V+dv(0)= 0dt−500 t −8000tTanggapan lengkap: v = 16e− e VDugaan tanggapan lengkap:−500t−8000tv = 0 + K1e+ K2e1615= K 1 + K20 = −500K1 − 8000K20 = −500K1 − 8000(15 − K1)8000×15K1 = = 16 K2 = −17500Tanggapan lengkap menja<strong>di</strong>: −500 t −8000tv = 16e− e V(hanya ada tanggapan alami).Ini adalah pelepasan mu<strong>at</strong>an kapasitor padarangkaian R-L-C seri1284v00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-4Perh<strong>at</strong>ikan bahwa pada t = 0 + tegangan kapasitor adalah 15 VPada waktu kapasitor mulai melepaskan mu<strong>at</strong>annya,ada perlawanan dari induktor yang menyebabkanpenurunan tegangan pada sa<strong>at</strong>-sa<strong>at</strong> awal agak landai241242Contoh-2+−Si+ ivC19 V −8,5 kΩ0,25 µFSebelum saklar <strong>di</strong>buka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.− 19iL( 0 ) = = 2 mA8500−v C ( 0 ) = 0 V<strong>di</strong>Persamaan <strong>Rangkaian</strong> pada t > 0 : − v + L + Ri = 0dt1 HSaklar S telah lama tertutup.Pada t = 0 saklar <strong>di</strong>buka.Tentukan perubahan tegangankapasitor dan arus induktor.2dvd v dvCi = −iC= −C− v − LC − RC = 02dtdt dt2d v R dv− − −2dt L dtvLC= 02d v 3 dv 6+ 8,5 × 10 + 4×10 v = 02dtdt243236Persamaan karkteristik : s + 8,5×10 s + 4×10 = 03 2→ akar -akar : s1,s2= −4250±10 (4,25) − 4 = −500,−8000Dugaan tanggapan lengkap : v = 0 + K eTak ada fungsi pemaksaKon<strong>di</strong>si awal:+iL( 0 ) = 2 mA dan−500t1+ K+v C ( 0 ) = 0 VKarena persamaan rangkaian menggunakan v sebagaipeubah maka kon<strong>di</strong>si awal i L (0 + ) harus <strong>di</strong>ubah menja<strong>di</strong>dalam v++ + dvC(0 ) −3− iL(0 ) = iC(0 ) = C = 2×10dt+−3dv C (0 ) 2×10= −dt C−8000t2e244+−3+ dv(0) 2×10Kon<strong>di</strong>si awal: v( 0 ) = 03= −= −8×10dt−60,25×10Dugaan tanggapan lengkap :0 = K 1 + K2Tegangan kapasitor menja<strong>di</strong> :v = 0 + K e−500t1+ K−8000t2e−8000 = −500K1 −8000K2−8000 = −500K 1 + 8000K1−8000K1 = ≈ −1,06K2 = −K1= 17500−500 t −8000tv ≈ 1,06e−1eVIni adalah pengisian kapasitor oleh arusinduktor pada rangkaian R-L-C seridv−6Arus induktor : iL= −iC= −C≈ −0,25×10dt−3−500t −8000t≈ −133×10 e + 2emA−500t−8000t( − 530e−8000e)245−500 t −8000tTanggapan lengkap : v = 1,06e−1eV1v0. 5[V]-0. 500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-1Perh<strong>at</strong>ikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naikkarena menerima pelepasan energi dari induktorKenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemu<strong>di</strong>anmenurun karena ia melepaskan mu<strong>at</strong>an yang pada awalnya<strong>di</strong>terima.24641
8/20/201216v [V]12840-4v−500 t −8000tv = 16e− e0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Vv0. 5[V]−500 t −8000tv = 1,06e−1eVUntuk kedua peristiwa ini yang <strong>di</strong>-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitorSeandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terja<strong>di</strong>dengan konstanta waktuτ = RC = 8500×0.25×10= 2125×10<strong>at</strong>au 1/τ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menja<strong>di</strong> lebih kecilsehingga 1/τ = 500. Inilah yang terlih<strong>at</strong> pada suku pertama v.Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/τ= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menja<strong>di</strong> 8000 pada suku ke-dua v.-0. 5-1−610Pelepasan energi induktor0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-6247Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar Riil Sama Besars 1 = s 2 , {b 2 − 4ac } = 0Dua akar yang sama besar dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagais1 = s dan s2= s + δ ; dengan δ → 0Tanggapan lengkap akan berbentuks1ts2tst ( s+δ)ty = y p + K1e+ K2e= y p + K1e+ K2eKon<strong>di</strong>si awal pertama+ +y(0) = y p (0 ) + K1+ K2+ +y(0) − y p (0 ) = K1+ K2= A0Tanggapan paksaTanggapan alamiKon<strong>di</strong>si awal keduay′+(0 ) y′+= p (0 ) + K1s+ K2(s + δ)y′+(0 ) y′+− p (0 ) = ( K1+ K2)s + K2δ = B0B − A sB − A sA s + K δ = B → K = 0 0 K = A − 0 00 2 0 2dan 1 0δδ248Tanggapan lengkap menja<strong>di</strong>⎡⎛ 1y = y p + ⎢A0+ ( B0− A0s)⎜−⎢⎣⎝+δδ te ⎞⎤⎟ st⎥ eδ ⎠⎥⎦Contoh-3.+−S 1 21 H+iivC15 V 4 kΩ− 0,25 µFSakalar telah lama <strong>di</strong> posisi 1. Pada t= 0 <strong>di</strong> pindah ke posisi 2. Tentukanperubahan tegangan kapasitor.y = y p +y = y p +<strong>di</strong>tentukan oleh kon<strong>di</strong>si awal[ A + B A s)t] est0 ( 0 − 0[ K + K t] estab⎛ δ t1 e ⎞ ⎛ δte 1⎞lim ⎜lim ⎜−− + ⎟ =⎟ = tδ→0⎜⎟ 0⎜⎟⎝δ δ δ→⎠ ⎝δ⎠<strong>di</strong>tentukan oleh kon<strong>di</strong>si awal dan ss sen<strong>di</strong>ri <strong>di</strong>tentukan oleh nilai elemenelemenyang membentuk rangkaian dantidak ada kaitannya dengan kon<strong>di</strong>si awal(Diganti dengan 4 kΩ dari contoh sebelumnya)−−Sebelum saklar <strong>di</strong>pindahkan: v( 0 ) = 15 V ; i(0) = 0<strong>di</strong>Persamaan rangkaian untuk t > 0: − v + L + iR = 0dt2d v dvKarena i = − i C = −C dv/dt LC + RC + v = 02dt dt2d v 3 dv 6+ 4×10 + 4×10 v = 02dt dt2 3 6Persamaan karakteristik: s + 4×10 s + 4×10 = 0249250Persamaan karakteristik26: s + 4000s+ 4×10 = 0akar - akar : s1,s2= −2000±maka tanggapan lengkap akan berbentuk :v = v p ++Kon<strong>di</strong>si awal pertama v(0) = v(0) ⇒ v(0) = 15 = K .6 64×10 − 4×10 = −2000= sKarena persamaan karakteristik memiliki akar sama besarst( K + K t) e = 0 + ( K + K t) estadv + dv ststKon<strong>di</strong>si awal kedua (0 ) = 0 ⇒ = Kbe+ ( Ka+ Kbt)s edtdtdv +→ (0 ) = 0 = Kb+ Kas→ Kb= −Kas= 30000dt−b+aabTak ada fungsi pemaksa−2000 tv = ( 15 + 30000t) e V1510−2000 tv = 30000 t e500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5tv =15 e−2000-10-15−2000 t⇒ Ja<strong>di</strong> : v = ( 15+30000t) e V25125242
8/20/2012Tanggapan lengkap akan berbentuk( α+y = y p + K1es1 = α + jβdan s2= α − jβjβ)t ( α−+ K2ejβ)αty = y + ( K cos βt+ K sin βt) ep++Kon<strong>di</strong>si awal pertama: y (0 ) = y p (0 ) + KaKon<strong>di</strong>si awal kedua:Dua akar kompleks konjug<strong>at</strong>{b 2 − 4ac } < 0abt= y p +y′+= p (0 ) + αKa + βKb+ jβt − jβt αt( K1e+ K2e) eK1(cosβt+ jsinβt)K2(cosβt− j sin βt)( K1+ K2)cosβt+ j(K1− K2)sin βtKacos βt+ Kbsin βt+Ka= y(0+ ) − y p (0 )ty′+y′+α(0 ) = p (0 ) + {( αKb− Kaβ)sinβt+ ( Kbβ + αKa)cos βt}e+ +αKa+ βKb= y′(0 ) − y′p (0 )253Contoh-4.+−S 1 2+iivC15 V 1 kΩ− 0,25 µF(Diganti dengan 1 kΩ dari contoh sebelumnya)Pada t = 0 + : −−v( 0 ) = 15 V ; i(0) = 0 <strong>di</strong>− v + L + iR = 0dtPersamaan rangkaian untuk t > 0:1 HSaklar S sudah lama pada posisi 1.Pada t = 0 <strong>di</strong>pindah ke poisisi 2.Carilah perubahan tegangan kapasitor.2Karena i = −i C = −C dv/dt d v dvLC + RC + v = 02dt dt2d v 3 dv 6+ 1×10 + 4×10 v = 02dt dt2 3 6Persamaan karakteristik: s + 1×10 s + 4×10 = 02542 dv 6Persamaan karakteristik : s + 1000 + 4×10 = 0dtakar - akar :v = 0 +Tanggapan lengkap : v =s1,s2= −500±Tanggapan lengkap akan berbentuk:αt( K cosβt+ K sin βt) eKon<strong>di</strong>si awal pertama ⇒ v (0+ ) = 15 = K adv +Kon<strong>di</strong>si awal kedua ⇒ (0 ) = 0 = αKa+ βKbdt− αKa500×15→ Kb= = =β 500 15a2 6500 − 4×10 = −500± j50015α ±bdua akar kompleks konjug<strong>at</strong>jβdengan α = −500; β = 500 15−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e V15255v =−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e V1515cos(500 15 tv 10[V]515 sin(500 15 t)00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5-10-15256Perban<strong>di</strong>ngan tanggapan rangkaian:−500 t −8000tDua akar riil berbeda: sang<strong>at</strong> teredam, v = 16e− e V−2000 tDua akar riil sama besar : teredam kritis, v = ( 15 + 30000t) e VDua akar kompleks konjug<strong>at</strong> : kurang teredam,v =−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e VContoh Tanggapan <strong>Rangkaian</strong> Dengan Masukan Sinyal Sinusv s =26cos3t u(t) V+−iv s5Ω1H1F6+v−<strong>Rangkaian</strong> mendap<strong>at</strong> masukansinyal sinus yang muncul pada t = 0.Tentukan perubahan tegangan danarus kapasitor, apabila kon<strong>di</strong>si awaladalah i(0) = 2 A dan v(0) = 6 V1510500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5-10Pada t = 0 + : i(0 + ) = 2 A dan v(0 + ) = 6 V<strong>di</strong>Persamaan rangkaian untuk t > 0 : − v s + Ri + L + v = 0dt2dv d iRC + LC + v = vsdt 2dt25 dv 1 d v→ + + v = 26cos3t6 dt 6 2dt-152572d v dv+ 5 + 6v= 156cos3t2dt dt25843
8/20/20122Persamaan karakteristik : s + 5s+ 6 = 0 = ( s + 2)( s + 3);akar - akar :s1,s2= −2,− 3Dugaan ta nggapan paksa : v p = Accos3t+ Assin3tPersamaan rangkaian( − 9A+ 15A+ 6A) cos 3t+ ( − 9A−15A+ 6A)→ c s cs c s sin 3t= 156cos3t→ −3Ac+ 15As= 156 dan −15Ac− 3As= 0156 + 05×156 − 0⇒ Ac= = −2; As= = 10− 3 − 7575 + 3Dugaan tanggapan lengkap :2d v dv+ 5 + 6v= 156cos3t2dt dtTanggapan paksa : v p = −2cos3t+ 10sin3t−2t−3tv = −2cos3t+ 10sin 3t+ K1e+ K2emasih harus <strong>di</strong>tentukan melaluipenerapan kon<strong>di</strong>si awal259Kon<strong>di</strong>si awal :Aplikasi kon<strong>di</strong>si awal kedua :Tanggapan lengkap :++ 1 dv + dv +v(0) = 6 dan i(0) = 2 = (0 ) → (0 ) = 126 dt dt= −2+ K1+ K2→ K2= 8 − K112 = 30 − 2K1− 3K2⇒ K1= 6 ⇒ K2= 2Aplikasi kon<strong>di</strong>si awal pertama : 6v [V]i [A]−2t−3tv = −2cos3t+ 10sin 3t+ 6e+ 2e1 dv−2t−3t⇒ i = = sin 3t+ 5cos3t− 2e− e6 dt3020100t [s]-10 0 i 2 4 6 8 10-20-30vv sAVAmplitudo teganganmenurunAmplitudo arusmeningk<strong>at</strong>260Mudah-Mudahan Dap<strong>at</strong> Membantu26144