Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu - Hand ... - at ee-cafe.org

8/20/2012Analisis Rangkaian Listrikdi Kawasan Waktu12Kuliah Terbukadalam format ppsx beranimasi tersedia diwww.ee-cafe.orgBukudalam format pdf tersedia diwww.buku-e.lipi.go.iddanwww.ee-cafe.org34• Pendahuluan• Besaran Listrik• Model Sinyal• Model Piranti• Hukum Dasar Rangkaian• Kaidah Rangkaian• Teorema Rangkaian• Metoda Analisis Dasar (Reduksi Rangkaian, UnitOutput, Superposisi, Rangkaian Ekivalen Thevenin& Norton• Metoda Analisis Umum (Tegangan Simpul, ArusMesh)• Rangkaian Pemroses Energi (Arus Searah)• Rangkaian Pemroses Sinyal (Dioda, OpAmp)• Analisis Transien Rangkaian Orde-1• Analisis Transien Rangkaian Orde-2561

8/20/2012Pembahasan Analisis Rangkaian Listrik MencakupAnalisis diKawasan WaktuSinyal Sinus &Bukan SinusKeadaan MantapKeadaan TransienAnalisis diKawasan FasorSinyal SinusKeadaan MantapAnalisis diKawasan s(Transf. Laplace)Sinyal Sinus &Bukan SinusKeadaan MantapKeadaan Transien78 Banyak kebutuhan manusia,seperti: Sandang Pangan Papan Kesehatan Keamanan Energi Informasi Pendidikan Waktu Senggang dll.Sajian pelajaran initerutama terkaitpada upaya pemenuhankebutuhan energi daninformasiPenyediaan Energi ListrikEnergi yang dibutuhkan manusia tersedia di alam,tidak selalu dalam bentuk yang dibutuhkanEnergi di alam terkandung dalam berbagai bentuk sumberenergi primer:• air terjun,• batubara,• minyak bumi,• panas bumi,• sinar matahari,• angin,• gelombang laut,• dan lainnya.sumber energi juga tidak selalu berada di tempatia dibutuhkan910Diperlukan konversi (pengubahan bentuk) energi.Energi di alam yang biasanya berbentuk non listrik,dikonversikan menjadi energi listrik.Energi listrik dapat dengan lebih mudah• disalurkan• didistribusikan• dikendalikanDi tempat tujuan ia kemudian dikonversikan kembali kedalam bentuk yang sesuai dengan kebutuhan, energi• mekanis,• panas,• cahaya,• kimia.Penyediaan energi listrik dilakukan melaluiserangkaian tahapan:Berikut ini kita lihat salah satu contoh, mulaidari pengubahan energi, penyaluran,sampai pendistribusian ke tempat-tempatyang memerlukan11122

8/20/2012energi kimia diubahmenjadi energi panasenergi panas diubahmenjadi energimekanisenergi listrikditransmisikanpengguna tegangantinggiPenyediaan Informasi• informasi ada dalam berbagai bentuk• tersedia di di berbagai tempat• tidak selalu berada di tempat di mana ia dibutuhkanBOILERGENERATOR Berbagai bentuk informasi dikonversikan kedalam bentuk sinyal listrik Sinyal listrik disalurkan ke tempat ia dibutuhkanTURBINenergi mekanisdiubah menjadienergi listrikTRANSFORMATORenergi listrik diubah menjadienergi listrik pada tegangan yanglebih tinggiGARDU DISTRIBUSIpenggunategangan menengahpenggunategangan rendahSampai di tempat tujuan sinyal listrik dikonversikankembali ke dalam bentuk yang dapati ditangkap olehindera manusia ataupun dimanfaatkan untuk suatukeperluan lain (pengendalian misalnya).1314Penyediaan InformasiJika dalam penyediaan energi kita memerlukanmesin-mesin besar untuk mengubah energi yangtersedia di alam menjadi energi listrik, dalampenyediaan informasi kita memerlukan rangkaianelektronika untuk mengubah informasi menjadisinyal-sinyal listrik agar dapat dikirimkan dandidistribusikan untuk berbagai keperluan.15 16Pemrosesan Energi danPemrosesan Informasidilaksanakan dengan memanfaatkanrangkaian listrikRangkaian listrik merupakan interkoneksi berbagai piranti yangsecara bersama melaksanakan tugas tertentuUntuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrikkita melakukan analisis rangkaian listrikUntuk keperluan analisis:• rangkaian listrik dipindahkan ke atas kertas dalambentuk gambar.• piranti-piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan denganmenggunakan simbol-simbol• untuk membedakan dengan piranti yang nyata, simbolini kita sebut elemenGambar rangkaian listrik disebutdiagram rangkaian,17183

8/20/2012Struktur Dasar Rangkaian Listrik+−Struktur suatu rangkaian listrik pada dasarnya terdiridari tiga bagian, yaituSumber, Saluran, dan BebanPirantiPerubahan besaran fisisyang terjadi dalamrangkaian kita nyatakandengan model matematisyang kita sebut modelsinyalElemen(Simbol Piranti)Perilaku piranti kitanyatakan dengan modelmatematis yang kita sebutmodel pirantiBagian yang aktifmemberikan daya(sumber)+−Penyalur dayaBagian yang pasifmenyerap daya(beban)1920Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sederhanaJaringan listrik perlu dilindungi dari berbagai kejadiantidak normal yang dapat menyebabkan kerusakanpiranti.Keadaan transienJaringan perlu sistem proteksi untuk mencegah kerusakanJaringan listrik juga memerlukan sistem pengendali untukmengatur aliran energi ke beban.Pada jaringan penyalur energi listrik, sumber mengeluarkan daya sesuaidengan permintaan beban. Saluran energi juga menyerap daya.Pada rangkaian penyalur informasi, daya sumber terbatas. Oleh karena itualih daya ke beban perlu diusahakan semaksimal mungkin.+−Kondisi operasi rangkaian tidak selalu mantap.Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan ataukeadaan transienMisal: pada waktu penutupan saklarAlih daya ke beban akan maksimal jika tercapai matching(kesesuaian) antara sumber dan beban.2122Landasan Untuk Melakukan AnalisisUntuk melakukan analisis rangkaiankita memerlukan pengetahuan dasar sebagaipendukung.Pengetahuan dasar yang kita perlukan ada empatkelompok.Hukum OhmHukum KirchhoffRangkaian EkivalenKaidah Pembagi TeganganKaidah Pembagi arusTransformasi SumberHukum-Hukum RangkaianKaidah-Kaidah RangkaianTeorema RangkaianMetoda-Metoda AnalisisMetoda Analisis Dasar:Reduksi RangkaianUnit OutputSuperposisiRangkaian Ekivalen TheveninRangkaian Ekivalen NortonMetoda Analisis Umum:Metoda Tegangan SimpulMetoda Arus MeshProporsionalitasSuperposisiTheveninNortonSubstitusiMilmannTellegenAlih Daya Maksimum23244

8/20/2012Dua besaran fisika yang menjadi besarandasar dalam kelistrikan adalahMuatan [satuan: coulomb]Energi [satuan: joule]Akan tetapi kedua besaran dasar ini tidak dilibatkan langsung dalampekerjaan analisisYang dilibatkan langsung dalam pekerjaan analisis adalaharus tegangan dayaketiga besaran ini mudah diukur sehingga sesuai dengan praktikengineering dan akan kita pelajari lebih lanjut2526Sinyal Waktu Kontinyu & Sinyal Waktu Diskrit Sinyal listrik pada umumnya merupakan fungsi waktu, t, dan dapat kitabedakan dalam dua macam bentuk sinyal yaitu sinyal waktu kontinyu atau sinyal analog sinyal waktu diskritSinyal waktu kontinyu(sinyal analog)v(t)0v(t)tSinyal waktu diskrit mempunyai nilaihanya pada t tertentu yaitu t n dengant n mengambil nilai dari satu setbilangan bulatSinyal waktu kontinyu mempunyainilai untuk setiap t dan t sendirimengambil nilai dari satu setbilangan riilSinyal waktu diskrit0 tDalam pelajaran ini kita akan mempelajari rangkaian dengan sinyal waktukontinyu atau sinyal analog, dan rangkaiannya kita sebut rangkaian analog.Rangkaian dengan sinyal diskrit akan kita pelajari tersendiri.2728Besaran yang dilibatkan langsung dalam pekerjaan analisisarusdengan simbol: isatuan: ampere [ A ](coulomb/detik)disebut peubah sinyal yaitu:tegangandengan simbol: vsatuan: volt [ V ](joule/coulomb)dayadengan simbol: psatuan: watt [ W ](joule/detik)Tiga peubah sinyal ini tetap kita sebut sebagai sinyal, baik untukrangkaian yang bertugas melakukan pemrosesan energi maupunpemrosesan sinyal.ArusSimbol: i, Satuan: ampere [ A ]Arus adalah laju perubahan muatan:dqi =dtApabila melalui satu piranti mengalir muatansebanyak 1 coulomb setiap detiknya, maka arus yangmengalir melalui piranti tersebut adalah 1 ampere1 ampere = 1 coulomb per detik29305

8/20/2012TeganganSimbol: v Satuan: volt [ V ]Tegangan adalah energi per satuan muatan:dwv =dqApabila untuk memindahkan 1 satuan muatandari satu titik ke titik yang lain diperlukan energi1 joule, maka beda tegangan antara dua titiktersebut adalah 1 volt1 volt = 1 joule per coulombDayaSimbol: p, Satuan: watt [ W ]Daya adalah laju perubahan energi:dwp =dtApabila suatu piranti menyerap energi sebesar 1joule setiap detiknya, maka piranti tersebutmenyerap daya 1 wattdw dw dqp = = = vidt dq dt1 watt = 1 joule per detik3132Referensi SinyalPerhitungan-perhitungan dalam analisis bisamenghasilkan bilangan positif ataupun negatif,tergantung dari pemilihan referensi sinyaltegangan diukur antaradua ujung pirantipiranti+ −arus melewati pirantiKonvensi Pasif:Referensi tegangan dinyatakan dengan tanda“+” dan “−”di ujung simbol piranti;piranti+ −Arah arus digambarkan masuk ke elemen pada titikyang bertanda “+”.Referensi tegangan dinyatakan dengan tanda “+” dan “−” di ujung simbol piranti; ujungdengan tanda “+” dianggap memiliki tegangan (potensial) lebih tinggi dibanding ujungyang bertanda “−”. Jika dalam perhitungan diperoleh angka negatif, hal itu berarti teganganpiranti dalam rangkaian sesungguhnya lebih tinggi pada ujung yang bertanda “−”.Referensi arus dinyatakan dengan anak panah. Arah anak panah dianggap menunjukkanarah positif arus. Jika dalam perhitungan diperoleh angka negatif, hal itu berarti aruspada piranti dalam rangkaian sesungguhnya berlawanan dengan arah referensi.3334Titik referensi tegangan umumSuatu simpul (titik hubung dua atau lebih piranti) dapat dipilih sebagaititik referensi tegangan umum dan diberi simbol “pentanahan”. Titik inidianggap memiliki tegangan nol. Tegangan simpul-simpul yang lain dapatdinyatakan relatif terhadap referensi umum ini.referensiarusA+i 1 1 v 1−referensi teganganpirantii 2B2+ v 2 −+v 3 3i 3−Greferensi teganganumum (ground)Dengan konvensi pasif ini maka:daya positif berarti piranti menyerap dayadaya negatif berarti piranti memberikan dayaPiranti v [V] i [A] p [W] menerima/ memberidayaA 12 5B 24 -3(isilah kotak yang kosong)C 12 72D -4 96E 24 7235366

8/20/2012MuatanSimbol: q Satuan: coulomb [ C ]Muatan, yang tidak dilibatkan langsung dalamanalisis, diperoleh dari arusEnergiSimbol: w Satuan: joule [ J ]Energi, yang tidak dilibatkan langsung dalam analisis,diperoleh dari dayaArusdqi =dtDayadwp =dtMuatanq∫t= 2t1idtEnergiw∫t= 2t1pdt3738CONTOH: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) dan arus yangmengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yang diserap ? b). Berapakahenergi yang diserap selama 8 jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkanmelalui piranti tersebut selama 8 jam itu?c). i[mA]100+ v = 12 V −pirantii = 100 mA0 8−a). p = vi = 12×100×103 = 1,2 Wb).p [W]1,20 8 t [ jam ]t288w =∫pdt =∫1,2dt= 1,2t= 1,2(8 − 0) = 9,6 Wht 001Ini adalah luas bidang yang dibatasi oleh garisp = 1,2 W, dan t antara 0 dan 8 jamt288−3−3q =∫idt =∫100×10 dt = 100×10 t = 0,1(8 − 0) = 0,8 Aht 001t [jam]Ini adalah luas bidang yang dibatasi oleh garisi = 100 mA , dan t antara 0 dan 8 jamCONTOH: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan 200V(konstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakah energiyang diserap selama 8 jam ?+ v = 200 V −pirantii = ?p = 100 Wp 100i = = = 0,5 Av 200t288w =∫pdt =∫100dt = 100t= 800 Wh = 0,8 kWHt 001CONTOH: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yangdipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?55 5 0,05 2 1,25q = ∫ idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫ tdt t0 2 0 23940CONTOH: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5cos400t A.a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Berapakah nilaidaya maksimum dan daya minimum ?2a). p = v × i = 220cos400t× 5cos400t= 1100cos 400tW= 550 112001000800600400200-200b). Nilai daya :0( + cos800t) = 550 + 550cos800tW0 100 200 300 400 500 600 700 800pmaksimum= 550 + 550 = 1100 Wpminimum= 550 − 550 = 0 WCONTOH: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t V dan arus yang mengalir adalah i = 5sin400t A.a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Tunjukkan bahwapiranti ini menyerap daya pada suatu selang waktu tertentu danmemberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakah dayamaksimum yang diserap ? d). Berapa daya maksimum yang diberikan ?a). p = 220cos400t× 5sin 400t= 1100sin 400tcos400t= 550sin800tWb). daya merupakan fungsi sinus. Selama setengah perioda daya bernilaiposisitif dan selama setengah perioda berikutnya ia bernilai negatif. Jika padawaktu daya bernilai positif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya,maka pada waktu bernilai negatif berarti piranti memberikan dayac). p maks diserap = 550d). p maks diberikan = 550WW41427

8/20/2012Kita mengenal berbagai pernyataantentang sinyalv(t)Sinyal kausal, berawal di t = 0periodav(t)Sinyal periodik & Sinyal AperiodikSinyal Kausal & Non-KausalNilai sesaatAmplitudoNilai amplitudo puncak ke puncak (peak to peakvalue)Nilai puncakNilai rata-rataNilai efektif ( nilai rms ; rms value)0t 0periodikaperiodikSinyal non-kausal, berawal di t = − ∞v(t)v(t)t0t0t4344Perioda dan Amplitudo SinyalNilai-Nilai SinyalSinyal periodikSinyal ini berulangsecara periodiksetiap selangwaktu tertentuv(t)Selang waktu dimanasinyal akan berulangdisebutperioda0tNilai sesaatyaitu nilai sinyal padasaat tertentuv(t)0t 1t 2Nilai puncakatau amplitudo maksimumt 3Amplitudo minimumtamplitudo puncak ke puncak4546Nilai Rata-Rata Sinyalv6VTt0=∫ + TDefinisi:1Vrrv(x)dxT t00 1 2 3 4 5 6 7 8 t1 3 1 2=∫ ∫Integral sinyal selama satuperioda dibagi periodaCONTOH:v6VT0 t−4V1 2 3 4 5 6 7 8 9V rr v(t)dt = 6dt3 0 3 0( )3∫v t dt =01 2 1= ( 6t) = ( 12 − 0) = 4 V102= ( 6t) − ( 6t)33= 1 3 1 ⎛ 2 3 ⎞⎜∫6∫ 6 ⎟V rr dt − dt3⎝0 2 ⎠3{ } = 4 − 2 = 2V3 0 247Nilai efektif (rms)6 2 = 36Definisi:0 1 2 3 4 5 6 7 8 tVrms=t0+ T12∫[ v(t)]dtTt0Akar dari integral kuadrat sinyal selama satuperioda yang dibagi oleh periodaCONTOH: nilai efektif dari sinyal pada contoh sebelumnya26 2 = 36(−4) 2 = 160t1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 726 ( 36 ) 2⎛2V = V3 ∫dt = t =1 2 3 ⎞2 2 188rms3 0=⎜6 4⎟= ( 72 + 16) = V33⎜∫ dt +∫dt⎟ 330⎝ 0 2 ⎠V rms488

8/20/2012CONTOH: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ), tegangan puncakpuncak(V pp ), perioda (T), tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektif daribentuk gelombang tegangan berikut ini.CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), tegangan puncakpuncak(V pp ), perioda (T), tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektif daribentuk gelombang tegangan berikut ini.6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 tVp= 6 V ; Vpp= 6 V ; T = 3sV rr1 ⎛ 2 3 ⎞ 1⎜ 6 0 ⎟ =3 ⎝dt +0 2 ⎠ 3=∫ ∫ dt1 ⎛ 2263 2 ⎞V rms = ⎜0 ⎟ =3 ∫dt +⎝ 0 ∫dt2 ⎠( 6×2 + 0) = 4 V13( 36×2 + 0) = 4,9 V6V0 t−4V1 2 3 4 5 6 7 8 9Vp= 6 V ; Vpp= 10 V ; T = 3 s1 ⎛ 23⎞1V rr = ⎜ 6 4 ( 6 2 4 1) 2,66 V3 ∫dt +0 ∫− dt ⎟ = × − × =⎝ 2 ⎠ 31 ⎛ 22163 2 ⎞V rms = ⎜ + ( −4)⎟ = ( 36×2 + 16×1) = 5,42 V3 ∫dt⎝ 0 ∫dt2 ⎠ 35049CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan rata-rata (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut iniv6V0 t1 2 3 4 5 6 7Vp= 6 V ; V pp = 6 V ; T = 4 s1 ⎛ 2 31 6 33 (6 6( 2))4 ⎞ ⎛ × ⎞V rr = ⎜0 ⎜ ⎟ = 2,25 V4 ∫tdt +⎟ =⎝ 0 ∫− t − dt +∫ dt23 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠1 ⎛ 2 3229 (6 6( 2))4 2 ⎞V rms = ⎜0 ⎟ = 3,0 V4 ∫t dt + − − +∫⎝ 0 ∫t dt dt23 ⎠51CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda, tegangan rata-rata, dan teganganefektif dari bentuk gelombang tegangan sinus iniv T1V p = 1V ;v = sin ωt V00 2π 4π ωt-11 2V rms =∫sinωtdωt2πd sin x cos x 2 2= −sinx + cos xdx2 21 = sin x + cos xd(sinx cos x)21−= 2sin xdxdx − d(sinx cos x)2⇒= sin xdx2V pp = 2 V;T = 2π;Vrr= 0 Vdx−d(sinxcosx)2⇒∫ =∫sin xdx22π1 2 1 ⎛ ωt1⎞V rms = sin ω ω = × ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td tt t2π⎝ 2 2⎠ 01 ⎛ 2π1 ⎞ 1= × ⎜ − (0 − 0) ⎟ = V2π⎝ 2 2 ⎠ 252CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan rata-rata (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut inivV rms =π1 π2 1 ⎛ ωt1⎞sin ω ω = × ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td tt t02π⎝ 2 2⎠ 0v = sin ωtV1ωtTVp= 1V ; Vpp= 1V; T = 2π;1 π 1π 11= ω ω = × ( ω ) = × − + =π ∫sin td t cos t ( 1 1)2 0 2π0 2ππ1 ⎛ π 1 ⎞ 1= × ⎜ − (0 − 0) ⎟ = V2π⎝ 2 2 ⎠ 2CONTOH: Tentukanlah nilai tegangan puncak (V p ), teganganpuncak-puncak (V pp ), perioda (T), tegangan rata-rata (V rr ), dantegangan efektif dari bentuk gelombang tegangan berikut inivv = sin ωtV1ωtT =2πVp= 1V ; Vpp= 1V; T = 2π;1 2π1 π 1π 12V rr = sin ω ω = sin ω ω = × ( cos ω ) = × ( −1+1) = V2π∫td t0 π ∫td tt0 π0 2πππ1 2π21 π21 ⎛ ωt1⎞V rms = sin ω ω = 2×sin ω ω = 2×× ⎜ − sin ω cos ω ⎟2π∫td t0π ∫td tt t0π ⎝ 2 2⎠ 01 ⎛ π 1 ⎞= 2×× ⎜ − (0 − 0) ⎟ = 1 Vπ ⎝ 2 2 ⎠V rr53549

8/20/2012Bentuk gelombang sinyal adalah suatu persamaan atau suatugrafik yang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Ada dua macam bentuk gelombang, yaitu:3. Model SinyalBentuk Gelombang DasarHanya ada 3 macam bentukgelombang dasar yaitu:Anak tangga (step)EksponensialSinusBentuk Gelombang KompositBentuk gelombang kompositmerupakan kombinasi(penjumlahan, pengurangan,perkalian) dari bentuk gelombangdasar.5556Tiga Bentuk GelombangDasarv1,2v0-1,2v1,20tAnak tangga0 20tSinus0020tEksponensial1,2 v00 t20-1,2v0tDeretan pulsavContoh Bentuk GelombangKompositSinus teredam0Gigi gergaji t1,2v00 t20-1,2Eksponensial gandav0Gelombang persegiv0Segi tigattvvvFungsi Anak-Tangga ( Fungsi Step )000T s1V AV AtBentuk Gelombang Dasarttv = u(t)= 0 untuk t < 0= 1 untuk t ≥ 0v = VAu(t)= 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ 0v = VAu(t −Ts) = 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ TsAmplitudo = V AMuncul pada t = T sAmplitudo = 1Muncul pada t = 0Amplitudo = V AMuncul pada t = 057Atau tergeser positif sebesar T s58Bentuk Gelombang EksponensialvV A)Amplitudo = V A−t/ τv = [ V e ] u(tτ : konstanta waktuA0.368V A0 1 2 3 4 5 t /τPada t = τ sinyal sudah menurun sampai 36,8 % V A .Pada t = 5τ sinyal telah menurun sampai 0,00674V A , kurang dari 1% V A .Kita definisikan durasi (lama berlangsungnya) suatu sinyal eksponensialadalah 5τ. Makin besar konstanta waktu, makin lambat sinyal menurun.Contoh10v [V]5v v 2 3v 100 5 t [detik] 10−t / 2v1 ( t)= 5eu(t)VKonstanta waktu = 2−t / 2v2(t)= 10eu(t)VKonstanta waktu = 2−t / 4v3(t)= 10eu(t)VKonstanta waktu = 4Makin besar konstanta waktu,makin lambat gelombang menurun596010

- 28/20/2012Gelombang SinusBentuk Gelombang Kompositv VA0−V-1,2AT 0v = V A cos(2π t / T o )( Nilai puncak pertamaterjadi pada t = 0 )tDapat ditulisv T 01,2V A 0-2tT S−V-1,2A( Nilai puncak pertamav = VAcos[ 2π(t −Ts) / To]terjadi pada t = T S )Fungsi ImpulsDipandangsebagai terdiridari duagelombangvA0 T 1 T 2v Aanak tangga v = Au ( t − )tT 1Tv = VA cos[ 2πt / To − φ]dengan φ = 2 π s(sudut fasa)T 01Karena frekuensi siklus f0=Tv = V cos[ 2πf 0 t − φ]0Amaka2πdan frekuensi sudut ω v = V A cos[ ω0t − φ]0= 2πf0=T0atau0 T 1tv = AuMuncul pada t = T 1v = − Au( t − T ) − Au( t − )1T 2( t − )T 2Muncul pada t = T 261−AT 262Impuls SatuanImpuls simetristhd sumbu tegakLuas = 1v0Impuls simetris thd sumbu tegakdengan lebar impuls diperkecilnamun dipertahankan luas tetap 1tFungsi Rampv0r(t)tAmplitudo ramp berubah secara linierRamp muncul pada t = 0v ( t)= r(t)= t u(t)Kemiringan = 1v0δ(t)tLebar impuls terus diperkecilsehingga menjadi impulssatuan dengan definisi:v = δ(t)= 0= 1untuk t ≠ 0untuk t = 0r0T 0r(t)tFungsi Ramp Tergeserramp berubah secara liniermuncul pada t = T 0( t − T ) u ( t − )r(t)= KTKemiringan fungsi ramp00Pergeseran sebesar T 06463Sinus Teredam−t/ τ( V e )v = sin( ωt)A u(t)−t/ τ= VAsinωte u(t)Faktor yang menyebabkanpenurunan secara eksponensialV Av00.5Maksimum pertamafungsi sinus < V A65CONTOH: (bentuk gelombang anak tangga dan kompositnya)v 1a).4V0v 1 = 4 u(t) Vtb).v 21 2 3 4 50 t−3Vv 2 = −3 u(t−2) VFungsi sinus beramplitudo 1-0.5Fungsi eksponensial beramplitudo V A0 5 10 15 20 t 25c). v 3vv 33 = 4u(t)−3u(t−2) V4V4Vv a = 4u(t) Vdipandang1Vsebagai tersusunt dari duat001 2 3 4 5 gelombang anak 1 2 3 4 5 v b = −3u(t−2) Vtangga6611

8/20/2012d).v 4 v 4 = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) V4Vt01 2 3 4 5 6−3Vv 4 v a = 4u(t) V4Vv c = 3u(t−5) Vt01 2 3 4 5 6−7VDipandang sebagai tersusun daritiga gelombang anak tanggav b = −7u(t−2) VCONTOH:va). 1v 1 = 2t u(t) V4Vt01 2 3 4 5 6(fungsi ramp dan kompositnya)v 2b).t01 2 3 4 5 6−4V−2(t−2) u(t−2) V2tu(t) Vc).v v 3 32tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V4V4VDipandangsebagai tersusuntt0dari dua fungsi 01 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6ramp− 2(t−2) u(t−2) V6768CONTOH:d). v 44Vt01 2 3 4 5 6(fungsi ramp dan kompositnya)2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) Vv 5 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2)e).4V− 4u(t−5)t01 2 3 4 5 62tu(t) Vv 4 2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V4Vt01 2 3 4 5 6f).− 2(t−2) u(t−2) Vv 62tu(t) − 2(t−2)u(t−2)4V− 4u(t−2)t1 2 3 4 5 6CONTOH: sinus teredam10V5v 1v 2 0t [detik]00 0.1 0.2 0.3 0.3 0.4-5-10( 50( t − 0,020) ) u() Vsinus v1 = 10cost−t / 0,1( 50( t − 0,020) ) e u() Vsinus teredam v2 = 10costyang dapat diabaikan nilainya pada t > 0,5 detik6970Spektrum SinyalSuatu sinyal periodik dapat diuraikan atas komponen-komponenpenyusunnya. Komponen-komponen penyusun tersebutmerupakan sinyal sinus.Contoh : Susunan sinyal sinus yang membentukGelombang PersegiKita juga dapat menyatakan sebaliknya, yaitu susunan sinyalsinyalsinus akan membentuk suatu sinyal periodik.Komponen sinus dengan frekuensi paling rendah disebutkomponen sinus dasar, sedang komponen sinus denganfrekuensi lebih tinggi disebut komponen-komponen harmonisa.sinus dasar sin dasar + harmonisa 3 sin dasar + harmonisa 3 + 5Komponen harmonisa memiliki frekuensi yang merupakankelipatan bulat dari frekuensi sinus dasar. Jika sinus dasarmemiliki frekuensi f 0 , maka harmonisa ke-3 mempunyaifrekuensi 3f 0 , harmonisa ke-7 memiliki frekuensi 7f 0 , dst.Berikut ini adalah suatu contoh penjumlahan sinyal sinus yangakhirnya membentuk gelombang persegi.71sin dasar + harmonisa 3 + 5 + 7 sin dasar + harmonisa 3 s/d 217212

8/20/2012Berikut ini kita akan melihat suatu penjumlahan sinyalsinus yang kemudian kita analisis komponen perkomponen.( 2πft) + 15sin( 2π(2f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t)Sinyal: v = 10 + 30cos 0 0π 0 )Uraian:Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo (V) 10 30 15 7,5Sudut fasa − 0° −90° 180°Uraian amplitudo setiap komponen membentukspektrum amplitudoAmplitudo [ V ]403020100Spektrum Amplitudo0 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]Sudut Fasa [ o ]180900-90-180Spektrum Sudut Fasa0 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]Dalam spektrum ini, frekuensi sinyal terendah adalahnol, yaitu komponen arus searahFrekuensi komponen sinus terendah adalah f 0.Uraian sudut fasa setiap komponen membentukspektrum sudut fasaFrekuensi komponen sinus tertinggi adalah 4f 0.74Kedua spektrum tersebut digambarkan sebagai berikut:73Lebar Pita (band width)Lebar pita adalah selisih dari frekuensi tertinggi dan terendahFrekuensi tertinggi adalah batas frekuensi dimana amplitudo dariharmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi ini dapatdiabaikanBatas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentukgelombang yang kita tinjau tidak mengandung komponen searah.Jika mengandung komponen searah maka frekuensi terendahadalah nol75Spektrum sinyal periodik merupakan uraiansinyal menjadi deret FourierSuatu fungsi periodikdapat dinyatakansebagai:atau∑[ ancos(2πnf0t)+ bnsin(2πnf]f ( t)= a0 +0t)⎡⎢⎣( ) 0 ∑ ∞ f t = a +n=1Komponen searah2 2a + cos( ω0− ϕ )⎤n bnn t n ⎥⎦Amplitudokomponen sinus1 T0/ 2a0=∫f ( t)dtT0−T0/ 2dimana: 2 T0/ 2an=∫f ( t)cos(2πnf0t)dtT0−T0/ 22 T0/ 2bn=∫f ( t)sin(2πnf0t)dtT0−T0/ 2Sudut Fasakomponen sinusbn= tan ϕnanyang disebut sebagaikoefisien Fourier76Jika sinyal simetris terhadap sumbu-y, banyak koefisienFourier bernilai nolSimetri Genap y( t)= y(−t)Ay(t)-T T t0/2 0/2T obn= 0∑ ∞ y(t)= ao + n 0 )n=1[ a cos( nωt ]Contoh: simetri ganjil - Penyearahan Setengah Gelombangva0= A/π2A/ πan= n genap; a = 0 ganjil2n n1−ntT b1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 10Contoh: simetri genap - Sinyal SegitigaSimetri Ganjily( t)= − y(−t)y(t) T 0A−Ata0= 0 dan an= 0( ) ∑ ∞ y t = nn=1[ b sin( nωt)]0vAT 0ta0= 08Aan= n ganjil; an= 0 n genap2( nπ)bn= 0 untuk semua n777813

8/20/2012Contoh: Uraian Penyearahan Setengah GelombangKoefisien Fourier Amplitudo ϕ [rad]a 0 0,318 0,318a 1 0 0,5 1,57b 1 0,5a 2 -0,212 0,212 0b 2 0a 4 -0,042 0,042 0b 4 0a 6 -0,018 0,018 0b 6 0Uraian tersebut di atas dilakukanhanya sampai pada harmonisa ke-6Dan kita mendapatkan spektrumamplitudo sebagai berikut:[V]0.60.50.40.30.20.1A0= 0,318 V; A1= 0,5 V; A2= 0,212 V;A4= 0,042 V; A6= 0,018 V001 2 3 4 5 6harmonisa79 80Jika dari spektrum yang hanya sampai harmonisake-6 ini kita jumlahkan kembali, kita peroleh bentukgelombang:1.2[V]0.8v hasil penjumlahan0.4Sinus dasar0[ o ]0 90 180 270 360-0.4Terdapat cacat padabentuk gelombanghasil penjumlahanSampai harmonisa ke berapa kita harus menguraikan suatu bentukgelombang periodik, tergantung seberapa jauh kita dapat menerimaadanya cacat yang mungkin terjadi pada penjumlahan kembalispektrum sinyal81 8283 8414

8/20/2012Piranti Listrik dikelompokkan ke dalam 2 katagoriPiranti4. Model Pirantipasifmenyerapdayaaktifmemberidaya8586Perilaku suatu piranti dinyatakan oleh karakteristik i-v yangdimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melaluipiranti dengan tegangan yang ada di antara terminalnya.tegangan diukur antaradua ujung pirantipiranti+ −arus melewati pirantiiliniertidak liniervRSimbol:Kurva i terhadap v tidak linierbenar namun ada bagian yangsangat mendekati linier,sehingga dapat dianggap linier.Di bagian inilah kita bekerja.Resistorbatas daerahliniervR= R iRatau iR= G vR1dengan G =RR disebut resistansiG disebut konduktansi2 2 vRDaya pada R : pR= vRiR= iRR= vRG=Rinyatamodelv28788CONTOH:Resistor :10080V 60AW40200-20-40-60R = 4Ω2A p R= 400sin 314 t Wp Rv Ri Ri R= 10sin 314 tv R= 40sin 314t0 0.01 0.02 0.03 0.04t [detik]Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang teganganV89simbolCKonstanta proporsionalitasC disebut kapasitansiKapasitordvCiC = Cdti CDaya pada C :Energi :1Cdv C /dtt1vC= vC( t 0 ) + i∫ CdtCtp = v iCC C0= CvCdvC=dtddt⎡12 ⎤⎢CvC⎣2⎥⎦Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Makaapa yang ada dalam tanda kurung adalah energi1wC= C vC2 + konstanta2Energi awal 9015

8/20/2012CONTOH:−6Kapasitor : C = 2 µ F = 2×10 Fv C= 200sin 400tVdv C= 80000 cos 400tVdti C = 0,16cos 400 tp C = 16sin800tAWsimbolLInduktordi Ldt11/Lv L200VmA 100W0-100-200v C iCp C0 0.01 0.02 0.03 0.04 t [detik] 0.05Bentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangannamun i C muncul lebih dulu dari v C . Arus 90 o mendahului tegangan91tdiLvL =1L iL= iL( t 0 ) + v∫ LdtdtLt0Konstanta proporsionalitasL disebut induktansidiLd ⎡12 ⎤Daya pada L : pL= vLiL= LiL= ⎢ LiLdt dt ⎥⎣2⎦Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi. Makaapa yang ada dalam tanda kurung adalah energiEnergi :1 2w L = LiL+ konstanta2Energi awal92CONTOH: Induktor : L = 2,5 H200V v Li LmA 100pWL00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]-100-200v L = 200sin400t VoltdiL1v L = L → iL= vLdt= −0,2 cos400t+ iL0dt L∫pL= vLiL= −20sin 800tWBentuk gelombang arus sama dengan bentuk gelombang tegangannamun i L muncul lebih belakang dari v L . Arus 90 o di belakang teganganA93Resistorv = RRi RLR = ρAresistivitasL: panjang konduktorA: luas penampangKapasitoriC =dvCCdtkonstanta proporsionalitasInduktordalam analisis rangkaian listrikmerupakan suatu konstanta proporsionalitasvL =diLLdtSecara Fisikmereka merupakan besaran dimensionalA= εL = kNdC2konstanta dielektrikA: luas penampang elektrodad: jarak elektrodakonstantaN: jumlah lilitan94Induktansi Bersamai 1 i 2Dua kumparan terkopelsecara magnetik v 1 v 2Induktansi sendirikumparan-12L 1 = k1N1Terdapat kopling magnetik antar kedua kumparan yang dinyatakan dengan: MKopling padakumparan-1 olehkumparan-2Persamaan tegangandi kumparan-1M 12 = k12N1Ndidt1v 1 = L1±2di2Mdt2L 2 = k2N2M 21 = k21N2N1Jika medium magnet linier : k 12 = k 21 = k MM12 = M 21 = kM N1N2= M = k L1L2di2= L2dtdiMdt1v2 ±Induktansi sendirikumparan-2Kopling padakumparan-2 olehkumparan-1Tanda ± tergantung dari apakah fluksi magnet yang ditimbulkanoleh kedua kumparan saling membantu atau saling berlawananPersamaan tegangandi kumparan-2Kopling magnetikbisa positif (aditif) bisa pula negatif (substraktif)Untuk memperhitungkankopling magnetikdigunakanKonvensi Titik:Arus i yang masukke ujung yangbertanda titik disalah satukumparan,membangkitkanteganganberpolaritas positifpada ujungkumparan lainyang jugabertanda titik.Besarnyategangan yangterbangkit adalahM di/dt.φ 1 i 1 i 2φ 2φ aditifi 1 i 2v 1 v 2di1di2v 1 = L1+ Mdt dtdi2di1v2 = L2+ Mdt dti 1 φ 1 φ 2i 2φ substraktifi 1 i 2v 1 v 2di1di2v1= L1− Mdt dtdi2di1v2 = L2− Mdt dt959616

8/20/2012Transformator Ideali 1 i 22L 1 = k 1 N 1v 1 v 2M 12 = k12N1N22L 2 = k2N2M 21 = k21N2N1CONTOH:+ +v 1_v 2_ 50ΩJika kopling magnet terjadisecara sempurna, artinyafluksi magnit melingkupikedua kumparan tanpa terjadikebocoran, makak 1 = k 2 = k 12 = k 21 = k MJika susut dayaadalah nol:vdi1di2⎛ di1di2⎞v1= L1± M = N1⎜kM N1± k M N 2 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠di2di1⎛ di2di1⎞v2= L2± M = ± N 2 ⎜ ± k M N 2 + k M N1⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠1 i1+ v2i2=0i2i1vv12= −N= ±Nv1v212= mNN12N1/N2 = 0,1v 1 = 120sin400t Vv 2 = ( N 2 / N1)v1= 1200sin 400 t Vi 2 = v2/ 50 = 24sin 400 t Ai 1 = ( N 2 / N1)i2= 240sin 400 t A2p L = v2i2= 28.8sin 400 t kW.9798Saklariisimbolsimbolvvsaklar terbukasaklar tertutupi = 0 , v = sembarang v = 0 , i = sembarangSumber tegangan bebas memiliki tegangan yang ditentukan olehdirinya sendiri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.v = v s (tertentu) dan i = sesuai kebutuhaniV ovKarakteristik i - vsumber tegangankonstanSumber Tegangan Bebas IdealV o+−iSimbol sumbertegangankonstanvs+ _Simbol sumbertegangan bervariasiterhadap waktui99100Sumber Arus Bebas IdealSumber arus bebas memiliki kemampuan memberikan arus yang ditentukanoleh dirinya sendiri, tidak terpengaruh oleh bagian lain dari rangkaian.i = i s (tertentu) danv = sesuai kebutuhanCONTOH:+−40V beban 5A bebaniI svKarakteristiksumber arus idealI s , i s−v+Simbolsumber arus idealiSumber Teganganv beban = v sumber = 40 Vp beban = 100 W → i = 2,5 Ap beban = 200 W → i = 5 ATegangan sumber tetap, arussumber berubah sesuaipembebananSumber Arusi beban = i sumber = 5 Ap beban = 100 W → v = 20 Vp beban = 200 W → v = 40 AArus sumber tetap, tegangansumber berubah sesuaipembebanan10110217

8/20/2012Sumber praktis memiliki karakteristik yang mirip dengan keadaan dalampraktik. Sumber ini digambarkan dengan menggunakan sumber idealtetapi tegangan ataupun arus sumber tergantung dari besar pembebanan.iiv s _ +R s+v−Sumber Praktisi sR pi p−v+Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources)Sumber tak-bebas memiliki karakteristik yang ditentukan oleh besaran dibagian lain dari rangkaian. Ada empat macam sumber tak-bebas, yaitu:CCVS+i 1_ r i 1Sumber tegangan dikendalikanoleh arusVCVS+v 1_+_µ v 1Sumber tegangan dikendalikanoleh teganganSumber tegangan praktis terdiri darisumber ideal v s dan resistansi seri R ssedangkan tegangan keluarannyaadalah v.Sumber arus praktis terdiri darisumber ideal i s dan resistansi paralel R psedangkan tegangan keluarannyaadalah v.CCCSi 1β i 1VCCS+v 1_g v 1v s tertentu, akan tetapi tegangankeluarannya adalahv = v s − iRi s tertentu, akan tetapi aruskeluarannya adalahi = i s − i pSumber arus dikendalikanoleh arusSumber arus dikendalikanoleh tegangan103104Contoh: Rangkaian dengan sumber tak bebas tanpa umpan balikSumber tak bebas digunakan untuk memodelkan PenguatOperasional (OP AMP)v s = 24 V+−i s60 Ωi s = 0 ,4 A+−500 i s+v o−i ov o = 500 i s = 200 V2( o )p o = v = 2000 W2020 Ω+V CC : catu daya positif−V CC : catu daya negatifv P +v N +i Pi N+8Top1+V CC v o726− +354v N v P −V CCModel Sumber Tak Bebas OP AMPR o++ µ (v voR i − P − v N )−i ov P = tegangan masukan non-inversi;v N = tegangan masukan inversi;v o = tegangan keluaran;Diagram rangkaianmasukannon-inversimasukaninversi+−catu daya positifkeluarancatu daya negatif105106Suatu OPAMP idealdigambarkan dengandiagram rangkaian yangdisederhanakan:OP AMP Idealmasukan non-inversimasukan inversiv pv ni nvP= vNdan iP= iN= 0i p+−v okeluaranJika OpAmp dianggap ideal, terdapat relasi yang mudah pada sisi masukanContoh: Rangkaian Penguat Non-Inversiv Pi Pv o+v sv N −+−R 1i N R 2umpan balikv P = v v R2 s N = voR1+ R2Rv = v2P = v N ⇒ voR1+ R2R1+ R2vo= vsR2sContoh: Rangkaian Penyangga (buffer)i Piv P + v oov N −v P = v sv N = vov + s −R v P = v Ni Nv o = v s1075VContoh:+ −2kΩ+−v i o B2kΩ +v B1kΩ −v o = ? i B = ? p B = ?v p = v N5 − v NiP= iN= 0 = → v N = 5 V20001 1v N = v o ⇒ v o = 5 VR B =1kΩ 1 + 2 3→ v o = 15 Vv oi B = ;R B2p B = v B i B = v oiB = i B R B10818

8/20/2012Sudaryatno SudirhamHukum-HukumDasarPekerjaan analisis rangkaian listrikberbasis padadua Hukum Dasar yaitu1. Hukum Ohm2. Hukum Kirchhoff109110• Relasi Hukum Ohm• Resistansi konduktorR =ρ lAHukum Ohmv = iRresistansi– Suatu konduktor yang memiliki luas penampangn merata, A,mempunyai resistansi Rρ : resistivitas bahan konduktor2dengan satuan [ Ω.mm/ m]l : panjang konduktor dengan satuan [m]2A:luas penampang konduktor dengan satuan [mm ]111Sumber220 VCONTOH:Seutas kawat terbuat dari tembaga dengan resistivitas 0,018 Ω.mm2/m. Jika kawatini mempunyai penampang 10 mm2 dan panjang 300 m, hitunglah resistansinya.Jika kawat ini dipakai untuk menyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan jatuhpada saluran ini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran)jika arus yang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan di ujung kirim adalah 220 V,berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah daya yang diserap saluran ?Diagram rangkaian adalah:∆V saluranSaluran kirim R+−iiSaluran balikRBebani = 20 AResistansi saluran kirim :ρl0,018×300R = == 0,054 ΩA 10Karena ada saluran balik,∆V saluran = iRsaluran= 20×0,108 = 2,16 VR saluran = 2×0,054 = 0,108 ΩSalurandialiraiarus20 A, terjadi tegangan jatuh antara sumber dan beban :Tegangan di beban = tegangan sumber − tegangan jatuh di saluran :v terima = 220 − 2,16 = 217,84 VDaya yang diserap saluran, merupakan susut daya di saluran2 2p saluran = i R = (20) × 0,108 = 43,2 W112Hukum KirchhoffAda dua hukum Kirchhoff, yaitu1. Hukum Tegangan Kirchhoff2. Hukum Arus KirchhoffFormulasi dari kedua hukum tersebut adalah sebagai berikut:• Hukum Arus Kirchhoff (HAK) -Kirchhoff's Current Law (KCL)– Setiap saat, jumlah aljabar arus di satu simpul adalah nol+v 1−i 2+ v 2 − i 4+ v 4 −AB241i 1i 3i 5loop 1 3 loop 2loop 3C5+v 5−• Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) Kirchhoff's Voltage Law (KVL)– Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nolRelasi-relasi kedua hukum Kirchhoff dijelaskan melaluidiagram rangkaian berikutHAK untuk simpul:HTK untuk loop:simpul A : − i − i21=0simpul B: + i − i3− i42=simpul C: + i + i3+ i41=00loop1:− v + v2+ v31=loop 2: − v + v4+ v53=loop 3: − v + v2+ v4+ v5001=011311419

8/20/2012a).b).+−+−+ v 1 −v sR 1R 2+v2−+ v 1 −v sR + 1 vLL −−v s+ v1+ v2=0−vs+ v1 + vL= 0→ v s= i +→1vs = i1R+1R1i2R2diLLdta).b).i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 −+v 3 −+ v 2 −R 3i 3i 1 R 1 R 2 iA 2+ v 1 −++ v 2 −v L i L− Li1− i2− i3=i1− i2− iL=00→v1v2v3− −R R R= 0112→v1 v21− −∫vLdtR R L0 =23c).+−+ v 1 −v sR 1 C+vC−−vs+ v1 + vC= 0→1vs= i1R1+C∫i dtCc).i 1R 1+ v 1 −+v 3−ACi C+ v C −R 3i 3i1− iC− i3=0→vR1 C 3− C − =1dvdtvR30d).+−+ v 1 −+ v L −vR 1 Ls C+vC−−vs+ v1 + vL+ vC= 0diL1→ vs= i1R1+ L +dt C∫i dtC115d).i 1R 1CAi C+ v 1 − + v C −+v Li L− Li1 − i C− iL= 0→v1dvC1− C −∫vLdt= 0R dt L1116Pengembangan HTK dan HAKHukum Kirchhoff dapat dikembangan, tidak hanya berlakuuntuk simpul ataupun loop sederhana saja, akan tetapi berlakupula untuk simpul super maupun loop supersimpul super merupakan gabungan dari beberapa simpulloop super merupakan gabungan dari beberapa loopsimpul super ABi 2+ v 2 − i 4+ v 4 −AB24+v 1−1i 1ii 5335loop 3Csimpul super ABloop 3 = mesh super−i1 − i3− i4= 0 −v1 + v2+ v4+ v5= 0+v 5−117118CONTOH:i 4Ai 5v = ?v+−4Ω3Ωi 1 = 5ABi 2 = 2ACi 3 = 8Asimpul superABCSimpul Cloop ACBAi4 + i1− i3= 0 ⇒ i4= i3− i1= 8 − 5 = 3 Ai2 + i5− i3= 0 ⇒ i5= i3− i2= 8 − 2 =6 A−v+ 3i5 − 4i2= 0 ⇒ v = 3×6 − 4×2 = 10 V119 12020

8/20/2012Hubungan Seri dan Paralel+ v 1 −+v 1−1i 1+v2− 2i 2i 11i 22+v2−Hubungan paralelv 1 = v 2Dua elemen atau lebihdikatakan terhubung paraleljika mereka terhubung padadua simpul yang samaHubungan serii 1 = i 2Dua elemen dikatakan terhubung serijika mereka hanya mempunyai satusimpul bersama dan tidak ada elemenlain yang terhubung pada simpul itu121122Rangkaian Ekivalen Resistor SeriDua rangkaian disebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu,mereka mempunyai karakteristik i-v yang identikRangkaian Ekivalen Resistor PaalelDua rangkaian disebut ekivalen jika antara dua terminal tertentu,mereka mempunyai karakteristik i-v yang identikiR 1 R 2 R ekiv+ V total −ii totali 1G ekivG 1G 2Resistansi Seri :Vtotal= V=R1R ekiv= R1+ R2+ R3+ ⋅ ⋅⋅⋅( R + R + ⋅⋅⋅⋅) i = R i.1+ VR22+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = R i + R i + ⋅⋅⋅⋅⋅1ekivalen2Konduktansiitotal= iG1=Paralel:+ iG2G ekiv=1 2 3G + G + G + ⋅⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅⋅ = G v + G v + ⋅⋅⋅⋅⋅( G + G + ⋅⋅⋅⋅⋅) v = G v1212ekivaleni 2i total124123Kapasitansi Ekivalen Kapasitor ParaleliA+i 1 i 2 i NKapasitor Paralel:v C 1 C 2 C N_C +Bek= C1+ C2+ ⋅⋅⋅⋅ C NInduktansi Ekivalen Induktor SeriA+v_BL 1 L 2+ v 1 − + v 2 − +L vN− NInduktor Seri :L +ek= L1+ L2+ ⋅⋅⋅⋅ L NA+v_BKapasitansi Ekivalen Kapasitor SeriiC 1C 2C N1CKapasitor Seri:1 1= +C C+ ⋅⋅⋅⋅ +1ek 1 2C NInduktansi Ekivalen Induktor ParalelAB+v_L 1L 2L N1LInduktor Paralel:1 1= +L L+ ⋅⋅⋅⋅ +1ek 1 2L N12512621

8/20/2012CONTOH:1=Ctot1100→ i = CCtottot+15050 + 100= =5000−43100→ C100 10= µ F =3 3dv 10= × 3000cos100 t = 0,1cos100 t Adt 3Jika kapasitor dihubungkan paralel := 100 + 50 = 150 µ F = 0,15 × 10→ i = Cv = 30 sin(100 t) Vtoti = ?dv= 0,15 × 10dti−3+−C 1 =100µFtot−3FC 2 =50µF−4× 3000cos100 t = 0,45cos100 t AFR i1+v + + v R −s v−−Sumber teganganvs= isR 2Sumber EkivalenbagianlainrangkaianDari sumber tegangan menjadisumber arusR1= R 2ii R +i s vR 2 −Sumber arusis =vsR 1R2= R 1bagianlainrangkaianDari sumber arus menjadisumber tegangan127128CONTOH:Transformasi Y - ∆CC30V+ −R 1 =10Ω3A R 2 =10ΩHubungan ∆R 3R 1R A R BAHubungan YBR CAB2,5 Ai si 1i 2 +−R 120 ΩR 230 Ωi 3R 150 V 20 Ω R 230 ΩEkivalen ∆ dari YR1R2 + R2R3+ R1R3R A =R1R1R2 + R2R3+ R1R3RB=R2R1R2 + R2R3+ R1R3RC=R3R 23Ekivalen Y dari ∆RBRCR1=R A + RB+ RCRCR AR2=R A + RB+ RCR ARBR3=R A + RB+ RCDalam keadaan seimbang,RA= RB= RCatau R = R2=1R3R∆RY=3R = R∆Y129130Kaidah Pembagi TeganganPembagi Tegangan : vk⎛ R= ⎜⎝ Rktotal⎞⎟v⎠totalKaidah Pembagi Arus⎛ Gk⎞Pembagi Arus : i k = ⎜ ⎟itotalG⎝ total ⎠60 Vi s 10 Ω 20 Ω+ v+ 1 − + v 2 − +−v330 Ω −v1 = 10 V ; v2= 20 V ; v3= 30 V1 AR 110 ΩR 220 ΩR 320 ΩG1(1/10)i1= is=× 1 = 0,5 AGtot(1/10) + (1/ 20) + (1/ 20)G2G3i2= is= 0,25 A ; i3= is= 0,25 AGtotGtoti s i 1i 2 i 313213122

8/20/2012ProporsionalitasKeluaran dari suatu rangkaian linier adalahproporsional terhadap masukannyaxmasukanKy = K xkeluaranPenjelasan:masukan+_v sR 1R 2+v o−keluaranR2vo = ⎛ ⎞⎛ R⎜ ⎟vsR1R⎝ + 2 ⎠⎟ ⎞⎜ 2 K =⎝ R1+ R2⎠133134CONTOH:A(a)v in+−60Ω120ΩB+v o1−⎛ 120 ⎞vo1 = ⎜ ⎟ vin= (2 / 3) vin; K1= (2 / 3)⎝ 120 + 60 ⎠Prinsip SuperposisiKeluaran dari suatu rangkaian linier yang dicatu oleh lebih darisatu sumber adalah jumlah keluaran dari masing-masing sumberjika masing-masing sumber bekerja sendiri-sendiriA(b)+ 80Ωv AB 40Ω−B(c)v in + 60Ω− 120ΩAB+v o2−80Ω40Ω⎛ 40 ⎞vo2 = ⎜ ⎟ vAB= (1 / 3) vAB→ K 2 = 1 / 3⎝ 40 + 80 ⎠⎛ 40 ⎞vo3= ⎜ ⎟vAB⎝ 40 + 80 ⎠+ ⎛ 40 ⎞⎛120 || (40 + 80) ⎞v = ⎜ ⎟⎜⎟ vo3in− ⎝ 40 + 80 ⎠⎝120 || (40 + 80) + 60 ⎠= (1 / 3) × (1 / 2) = 1 / 6 vin⇒ K 3 = (1 / 6)Suatu sumber bekerja sendiri apabilasumber-sumber yang lain dimatikan.Cara mematikan sumber:a. Mematikan sumber tegangan berarti membuat tegangansumber itu menjadi nol, artinya sumber ini menjadi hubungansingkat.b. Mematikan sumber arus adalah membuat arus sumber menjadinol, artinya sumber ini menjadi hubungan terbuka.135136CONTOH:10Ω+v o+ + 10Ω _v 1 =12V − −matikan v v 2 =24Vmatikan v 1212V+−10Ω +v o110Ω _10Ω+−10Ω24V+v o2_Teorema MillmanApabila beberapa sumber arus i k yang masing-masing memilikiresistansi paralel R k dihubungkan seri, maka hubungan seritersebut dapat digantikan dengan satu sumber arus ekivalen i ekivdengan resistansi paralel ekivalen R ekiv sedemikian sehinggaiekivRekiv= ∑ Rkikdan Rekiv= ∑ R kContoh:i ekiv × 20 = 1×10 + 2 × 10i ekiv =1,5A10vo 1 = × 12 V = 6 V10 + 1010vo 2 = × 24 V = 12 V10 + 10i 1 =1Ai 2 =2AKeluaran v o jika kedua sumber bekerja bersama adalah:R 1 =10ΩR 2 =10ΩR ekiv =20Ωvo = vo1+ vo2= 6 + 12 = 18 V=10 +10R ekiv13713823

8/20/2012Suatu rangkaian bisadipandang terdiri daridua seksiSSeksisumberivBSeksibebanTeorema ThéveninJika rangkaian seksi sumber pada hubungandua-terminal adalah linier, maka sinyal padaterminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti denganrangkaian ekivalen ThéveninTeorema NortonJika rangkaian seksi sumber pada hubungandua-terminal adalah linier, maka sinyal padaterminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti denganrangkaian ekivalen NortonRangkaian ekivalen ThéveninSeksi sumber dari suatu rangkaian dapat digantikan olehRangkaian ekivalen Théveninyaitu rangkaian yang terdiri dari satu sumber tegangan V T yangterhubung seri dengan resistor R Tseksisumber+v ht−V T+ _R T139140Cara Menentukan V T dan R TUntuk mencari V T : lepaskan beban sehingga seksi sumber menjadi terbuka.Tagangan terminal terbuka v ht inilah V Ti = 0i = 0seksisumber+v ht−i = i hs+V T −R T+v ht = V T−Untuk mencari R T : hubung singkatlah terminal beban sehingga seksi sumbermenjadi terhubung singkat dan mengalir arus hubung singkat i hs . R T adalahCara lain mencari R TCara lain yang lebih mudah untuk menentukan R T adalah dengan melihatresistansi dari terminal beban ke arah seksi sumer dengan semua sumberdimatikan.Penjelasan:+−v sR 1R 2Denganmematikansumber makaR 1R 2R TseksisumberV T+ _R TV T dibagi hi s.141i hs = V T /R TR T = R1 paralel dengan R2Jadi dalam Rangkaian ekivalen Thevenin : V T = v ht dan R T = v ht / i hs142Rangkaian ekivalen NortonSeksi sumber suatu rangkaian dapat digantikan denganRangkaian ekivalen Nortonyaitu rangkaian yang terdiri dari satu sumber arus I N yang terhubungparalel dengan resistor R NRangkaian ekivalen ThéveninV T+ _R TV T = v htR T = v ht / i hsseksisumber I NR NRangkaian ekivalen NortonR T = R yang dilihatdari terminal ke arahseksi sumber dengansemua sumber matiRangkaian ekivalen Norton dapat diperoleh dari rangkaian ekivalen Thevenindan demikian juga sebaliknya. Hal ini sesuai dengan kaidah ekivalensisumber.I NR N IN = I hsR N = v ht / i hsR T = R N14314424

8/20/2012CONTOH: Rangkaian Ekivalen ThéveninA'A20Ω 10ΩR T = 20 Ω+−+− 24 V 20ΩV T = 12 VBVT = VABBR T20= VA' = × 24 = 12 V20 + 2020 × 20= 10 + = 20 Ω20 + 20ABAlih Daya MaksimumAda empat macam keadaan hubunganantara seksi sumber dan seksi beban Sumber tetap, beban bervariasi Sumber bervariasi, beban tetap Sumber bervariasi, beban bervariasi Sumber tetap, beban tetapDalam membahas alih daya maksimum, yaitu dayamaksimum yang dapat dialihkan (ditransfer) kebeban, kitahanya meninjau keadaan yang pertama145146Kita menghitung alih daya maksimum melalui rangkaianekivalen Thévenin atau NortonR+TV T _+v−I NsumbersumberR NABABiiR BbebanR BbebanRangkaian sumber tegangan denganresistansi Thévenin R T akanmemberikan daya maksimum kepadaresistansi beban R B bila R B = R Tpmaks2⎡VT⎤ ⎡ V ⎤TVT==⎢⎣ 2⎥⎦⎢⎣ 2RT⎥⎦ 4RTRangkaian sumber arus denganresistansi Norton R N akan memberikandaya maksimum kepada resistansibeban R B bila R B = R N2⎡ IN ⎤ INRpmaks= RB= ⎢⎣ 2⎥⎦ 42N+−CONTOH:24 V20ΩA′20Ω10ΩABHubungkan kembali R xHitung R X agarterjadi alih dayamaksimumR X = ?Lepaskan R X hitung R T , V T20×20RT= 10 + = 20 Ω20 + 2020VT= × 24 = 12 V20 + 20Alih daya ke beban akan maksimum jika R X = R T = 20 Ωdan besar dayamaksimum yang bisadialihkan adalah2(12)p X maks = = 1,8 W4×20147148Teorema TellegenDalam suatu rangkaian, jika v k mengikuti hukum tegangan Kirchhoff(HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff (HAK), makaNv k × ik= 0k = 1∑Teorema SubstitusiSuatu cabang rangkaian antara dua simpul dapat disubstitusi oleh cabangbaru tanpa mengganggu arus dan tegangan di cabang-cabang yang lainasalkan tegangan dan arus antara kedua simpul tersebut tidak berubahTeorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus ada perimbanganyang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasif dengan daya yang diberikanoleh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi.+ v k −R k≡+ v k −+ −10 VCONTOH:+_i sR 1 = 2ΩiR 2 = 3Ω⎛ 10 ⎞i = ⎜ ⎟ = 2 A⎝ 2 + 3⎠p beban = p1+ p22 2= i R1+ i R2= 8 + 12 = 20 W= −2 i spsumber= vsis= −20 W (memberi daya)A(menyerap daya)i ksubv subkR subi kv = v − R × isubk14915025

8/20/2012Pengukur Tegangan dan ArusBerikut ini kita akan melihat pengukur tegangandan pengukur arus. Tegangan maupun arus yangperlu kita ukur bisa sangat besar. Akan tetapi alatpengukur (bagian pengukurnya) tidak bisa dibuatbesar karena alat ukur harus ringan agar dapatbereaksi dengan cepat.Alat ukur yang kecil ini harus ditingkatkankemampuannya, dengan tetap mempertahankanmassanya tetap kecil.151152Pengukur Tegangan SearahPengukur Arus Searah10 ΩR s50 mA+ v = 750 V −Bagian pengukur hanya mampumenahan tegangan50 × 10 = 500 mVAlat ini harus mampu mengukurtegangan 750 V.100 AI sh10 Ω50 mABagian pengukur hanya mampudialiri arus50 mAAlat ini harus mampu mengukurarus 100 A.750−3→ = 50×10Rs+ 10750⇒ Rs= −10= 14990 Ω−350×10Untuk itu dipasang resistor seri R sagar tegangan total yang diukur750 V tetapi bagian pengkur tetaphanya dibebani tegangan 500 mVKita harus menghitung berapa R syang harus dipasang.R sh−3→ I sh + 50×10 = 100−3→ I sh Rsh= 10×50×10−310×50×10⇒ Rsh=−3100 − 50×10= 0,005 ΩUntuk itu dipasang resistorparalel R sh agar sebagian besararus total yang diukur mengalirdi R sh sedangkan bagian pengkurtetap hanya dialiri arus 50 mAKita harus menghitung berapa R shyang harus dipasang.153154+−IAVI R = I −R VR V : resistansi voltmeterVRVR = =I R I − ( V / RV)Pengukuran ResistansiHubungan antara tegangan dan arus resistor adalahVRV R = RiRatau R =iRDengan hubungan ini maka resistansi R dapat dihitungdengan mengukur tegangan dan arus resistorAda dua kemungkinan rangkaian pengukuran:Rangkaian A Rangkaian B II RV R +−V RVA= V − IR AR A : resistansi ampermeterV V − IR VR= − RIIRA= =I R II RRSaluran DayaEnergi disalurkan ke beban melalui saluran. Padaumumnya saluran mengandung resistansi. Oleh karenaitu sebagian dari energi yang dikirim oleh sumber akanberubah menjadi panas di saluran.Daya yang diserap saluran adalahI 2s R sI s adalah arus saluran dan R s adalah resistansi saluranI s dan R s ini pula yang menyebabkan terjadinyategangan jatuh di saluranBerikut ini satu contoh penyaluran daya dari satu sumber ke dua beban15515626

8/20/2012Contoh:Sumber40+20=60A+ +0,4Ω550V V 1− −0,03Ω40ADaya yang diserap saluran adalah20A0,06Ω0,8Ω+V 2−V1 = 550 − 60(0,4 + 0,03) = 524,2 V20A22p saluran = 60 (0,4 + 0,03) + 20 (0,8 + 0,06) = 1892 W = 1,89 kWTegangan di beban adalahV2 = V1− 20(0,8 + 0,06) = 507 VGarduDistribusi+550VDiagram Satu GarisDalam ketenagalistrikan, rangkaian listrik biasa dinyatakandengan diagram yang lebih sederhana yaitu diagram satu garis.Rangkaian dalam contoh sebelumnya dinyatakan dengandiagram satu garis sebagai berikut:0,4Ω0,8Ω++V 40A 1V 2 20A− −−0,03Ω0,06Ωdiagram satu garis550V0,43Ω 0,86Ω40A20A157158⇒ V B⇒ V Cv A = 255 VV B − V AV B − V C+ 100 += 02 × 0 ,01 2 × 0 ,025⎛V B ⎜⎝CONTOH:10 ,02A= 251 ,3 V= 247 ,1 VB0,01Ω 0,025Ω 0,015Ω100A1 ⎞ 255 V C+ ⎟ + 100 − − = 00 ,05 ⎠ 0 ,02 0 ,0570 V B − 20 V C = 12650⎛V C ⎜⎝10 ,051 ⎞ 250 V B+ ⎟ + 180 − − = 00 ,03 ⎠ 0 ,03 0 ,05V A −VB255 − 251,3I AB = == 185 A ; I BC = I AB −100= 85 A; I DC = 180 − I BC = 95 AR AB 0,02C180ADv D = 250 VHitung arus saluranV C − V BV C − V D+ 180 += 02 × 0 ,0252 × 0 ,01553 ,3V C − 20 V B = 8153 ,3Contoh:50A0,05ΩAX0,1ΩB20A250V0,04Ω60AHitung daya yangdiserap saluranCV A = VX− 0,05×50 = 247,5 VVB= 250 − 0,1 × 20 = 248 VVC= 250 − 0,04×60 = 247,6 VDaya yang diserap saluran2p XA = (50) × 0,05 = 125 W2p XB = (20) × 0,1 = 40 W2p XC = (60) × 0,04 = 144 W159160A50AContoh:X0,05Ω0,1ΩX0,1ΩB20A250V0,15ΩA3 −10 V A0 7 − 2 VB=0 0 125 VC0,04Ω60AV = 250 V; hitungV, V , VBCC495123930954⎛ 1 1 ⎞ VBVXV A ⎜ + ⎟ + 50 − − = 0⎝ 0,05 0,1 ⎠ 0,1 0,05⎛ 1 1 1 ⎞ V A VCV XVB⎜ + + ⎟ + 20 − − − = 0⎝ 0,1 0,1 0,15 ⎠ 0,1 0,15 0,1⎛ 1 1 ⎞ VBV XVC⎜ + ⎟ + 60 − − = 0⎝ 0,04 0,15 ⎠ 0,15 0,0430 V + 50 − 10 V − 5000 = 0AB8020V B + 20 − 10 V A −33V − 2500C9520V C + 60 −33V − 6250 = 0B30 −10− 30 80− 2049507440185701239+2×247,64495+247,75VC= 247 ,63 V; VB== 247,75 V ; V A == 247,58 V7300− 2095V AV BVC== 016170AContoh:120A30A I 280AB 0,02Ω CI 1 I 30,01Ω 0,02ΩADI 0,01Ω60,01ΩIF 0,03Ω E 4I 5Hitung arus di saluran60A60A0,01 0,02 0,02 0,01 0,03 0,01 I1−10 0 0 0 1 I 21 −10 0 0 0 I 30 1 −10 0 0 I 40 0 1 −10 0 I 50 0 0 1 −10 I 61 2 2 1 3 10 2 2 1 3 20 0 2 1 3 40 0 0 1 3 60 0 0 0 3 70 0 0 0 0 1I 1I 2I 3I 4I 5I 60− 70− 150=− 390− 450− 810− 7030=− 80I6 = −81 A ; I5= 39 A ; I4= −21A ; I3= 39 A ; I2= −41A ; I1= −11A60− 6016227

8/20/2012Rangkaian Dengan DiodaDioda Ideal+v D−i DnyataiidealiRangkaian Dengan DiodaRangkaian Dengan OP AMP+v−+v a−+v D−i D0 vi0 v a v0 vDioda konduksi : iD> 0 , vD= 0Dioda tak konduksi : iD= 0 , vD< 0Dioda konduksi : iD> 0 , v > vaDioda tak konduksi : iD= 0 , v < va163164Penyearah Setengah GelombangPenyearah Gelombang Penuhv+i+ v D +R LIas2π[ cosωt]VmIm= =πRπV m viI as00 π 2π ωt11 Vmsin ωtid(ωt)=d(ωt)+ 02π2πR=∫ ∫1 Vm=2πRLπ0π0 0Jika v = 220sinωt sedangkan R = 5kΩ,maka I as = 220/5000π = 0,014 ALLRangkaian JembatanD 3 D 4DD 1 D 2iCv +AB+R LV mvi00 πi2πvI asωtRangkaian Dengan Transformatorber-titik-tengah+Ias+v 1v 2+D 1D 2R2 V=π RmLi2I=πmi 1i 2165166v15Vm 105i Dv R =v C0ωt-5 0 0.05 0.1 0.15iRi+ v C+D+v R R LC−Filter KapasitorWaktu dioda konduksi, kapasitor terisi sampaiv C = v maks .Waktu tegangan menurun, dioda tidakkonduksi. Terjadi loop tertutup RC seri.∆v CvC= v RdvCvR= RiR= R(−iC) = −RCdt→ vCdvC+ RCdt= 0dvvC= − dtRCC 1+v 1_+ V−i+v D− +v R−vVPemotong GelombangDioda i v Rkonduksiv1 −Vi = > 0Rv R = 1tak konduksi 0 0v 1iR = v −V−V -10 m-15∆TC yang diperlukan:∆ q = C ∆v= I ( T − ∆T) ≈ I TC⇒ v = v eCIasTIasVas⇒ C = = =∆vf∆vRf∆vCCasCC0−(1/RCCas)t0v R = v 1 –V, dengan bagian negatifditiadakan oleh diodat16716828

8/20/2012CONTOH:+v s−Ri D−+A2 V−v D++v 2−Dioda v s v 2konduksitak konduksiv = −2VAv s< −2Vv s = v Av2 = −2v 2 = vsVCONTOH:+ 4,7 V1kΩi A+ − +v A 0,7 V D 1PD 2+v A = 1 V−i B = ?0,7 VD 1 D 2 v P i Bv 28−8−2v 110[V] v 2 =v 1500 ωtv 2 v-52v 1-10169konduksitak konduksikonduksitak konduksitak konduksikonduksikonduksitak konduksiv = 1,7Pv < 0,7Pv < 1,7Pv = 0,7Pv = 1,7Pv = 0,7Ptak mungkinmungkintak mungkin4,7− 0,7i B= mA1170Penguat Operasional (OP AMP)masukannon-inversimasukaninversi+−Rangkaian Dengan Op Ampcatu daya positifkeluarancatu daya negatif8Top1+V CC v o726− +354v N v P −V CC+V CC : catu daya positif−V CC : catu daya negatifv P = tegangan masukan non-inversi;v N = tegangan masukan inversi;v o = tegangan keluaran;v P +v N +i Pi N+−−i o+ v oDiagram disederhanakani P = arus masukan non-inversi;i N = arus masukan inversi;i o = arus keluaran;v oKarakteristik Alih+V CCv = µ ( − )−V CCv P − v NParameter Rentang nilai Nilai idealµ 10 5 ÷ 10 8 ∞R i 10 6 ÷ 10 13 Ω ∞ ΩR o 10 ÷ 100 Ω 0 Ω± V CC ± 12 ÷ ± 24 Vov P v Nµ disebut gain loop terbuka(open loop gain)Nilai µ sangat besar, biasanya lebih dari 105.Selama nilai netto (v P − v N ) cukup kecil, v o akanproporsional terhadap masukan. Akan tetapijika µ (v P − v N ) > V CC OP AMP akan jenuh;tegangan keluaran tidak akan melebihitegangan catu ± V CC171172Model Ideal OP AMPPenguat Non-Inversiv P +v N +i Pi N+i oR ovo≤ V+ CC+voR i −µ (v P − v N )atauVCC−µ ( v P − vN) ≤ VCC⇒ ( vP− vN) ≤µKarena µ sangat besar, dapat dianggap µ = ∞ ,sedangkan V CC tidak lebih dari 24 Volt, maka(V CC /µ ) = 0 sehingga v P = v N .R i dapat dianggap ∞ sehingga arus masuk dikedua terminal masukan dapat dianggap nol,i P = i N = 0. Jadi untuk OP AMP ideal :vP= v NiP= iN= 0v Ni Pv P+−v ov s+−R 1i Numpan balikR 2v R2= vN oR1+ R2R2v P = v N = vo= vsR1+ R2R1+ R2vo=R2v sR1+ R2K =R217317429

8/20/2012CONTOH:5V+−2kΩ+−v o2kΩ1kΩi B+v B−R B =1kΩvN =1 vo3vv = o = 15 V ; = BB viB= 15 mA ; pB= vBiB= 225 mW.RBResistansimasukan :v B = ? i B = ? p B = ?v p = v N5 − v2000PiP= 0 = → vP= 5 V =vo = 3vN=v 5Rin = in = = ∞ karena iin= iP= 0iiniinv15 VNCONTOH:v sV TvPv Ni in+−+−R 4R 5BR TBR 3R 3AA+−+−R5R5R= VT= v1s → vs= voR4+ R5R4+ R5R1+ R2R1= vvoR5R1+ R2o → = ×R1+ R2vsR4+ R5R1R 2R 1R 2R 1+vo+ vov o = ?v sVTR5= vsR4+ R5;RTR4R5=R4+ R5Resistansi masukanvsRin = = R 4 + R 5iin175176v s+−i 1R 1i Nv Nv Pumpan baliki 2A−+R 2Penguat Inversiv o⎛ 1 1 ⎞ vsvov N ⎜ ⎟++ i N − − = 0⎝ R1R2⎠ R1R2vsvo+R1R2= 0Penyangga (buffer)i Piv P + v oov+ N −v s −Rsehingga⎛ R2⎞vo= −⎜ vsR⎟⎝ 1 ⎠CONTOH:v si in R 1 A R 2+ ⎛ 1 1 ⎞ vsvo− v v0oN ⎜ ⎟++ iN− − =+⎝ R1R2⎠ R1R2−+−vs−vovo−R2R + = 0 → =3R1R2vsR1vinvsRin= =i v − v ) /( R 1+ R )in(s o2vinv sRin = = = R1iinvs / R1vs1R1Rin===vs( 1−vo/ vs) /( R1 + R2)(1 + R2/ R1) /( R1+ R2) ( R1+ R2) /( R1+ R2)i N177178CONTOH:V T+−R Tv sR 3i in+−AR 4R 5BR 2−+R5 = vs; RT= R1( R4|| R5)R + RVT +4 5R 1R 3A+v oR 2−++v ov R= − = −Vo 2T RTR1+vsRin= = R4+ R1|| R5iinR4(R1+ R5) + R1R5=R1+ R5R2( R || R )vovoVTR2R5= × = −×vsVTvsR1+ R4|| R5R4+ R5R2R5= −( R1R5+ R1R4 + R4R5)45Penjumlahi 1R 1 i 2 i F ⎛A1 1 1 ⎞ v1v2vov⎜⎟N+ + + iN− − − = 0R R F v o ⎝ R1R2RF⎠ R1R2RF2 i Nv1v2vov + v +1 2v −− − N+ + = 0Rv +1R2R FP⎛ v1v2⎞ RFRFvo= −RF ⎜ ⎟+ = − v1− v2= K1v1+ K 2v2R1R⎝ 2 ⎠ R1R2vo=∑nK nvndenganRFK n = −Rn17918030

8/20/2012CONTOH:RPengurang (Penguat Diferensial)i 2v 1v 2v 1v 2RRRRA−++−v ov oRRR Rv o = − v1− v2= −( v1+ v2)R R⎛ 1 1 ⎞ v1v2vP⎜ + ⎟ + iP− − = 0⎝ R R ⎠ R Rv1+ v2→ vP=2vv oN =2v1+ v2vo= → vo= v1+ v22 2i 1R 1 R +i 2Nvov 1+ R 3 −−+v + i 2 P− R 4R1R1+ R 2v o2R 4=R 3 + R 4v 2atauJika v 2 dimatikan:Jika v 1 dimatikan:R 2v o1 = −R1⎛ R2⎞ ⎛ R4⎞⎛ R1+ R2⎞v o = vo1+ vo2= − v1⎜ ⎟⎜v2= −K1v1+ K2v2R⎟ +1 R3R⎜4 R⎟⎝ ⎠ ⎝ + ⎠⎝1 ⎠v1R 1v N = v o2R 1 + Rv 4= vP 22R3+ R4v o2⎛ R 4= ⎜⎝ R 3 + R 4R⎞⎛ R1+ R 2 ⎟⎜⎠⎝R1⎞⎟v 2⎠Jika kita buat R 1 = R 2 = R 3 = R 4 maka v o = v 2 − v 1181182Integratori Ri A C⎛ 1 ⎞ dv( )sv N ⎜ ⎟ − C vo − v N − = 0+ R C + ⎝ R ⎠ dtRv si N vovv tts do ( ) 1v −= −CN( vo) atau∫d(vo) = −∫vsdtR dtvo(0) RC 0v P +1 tvo= vo−∫v sRCdt1 t( 0)vo= −0∫v sRCdt 0i C i RA+v CiRs Nv N −v P ++v oDiferensiatorv N dvo− C ( vs − v N ) − = 0R dtRv o dvs( t )t= −C( vs) atau∫d(vs) = −1v ∫v dtR dts (0) RC 0 o1vs= −RCt∫0vodtatau vdvs= −RCdto183v 1+−v oR 1v 1KDiagram Blokv oR R1+ R22K =R 2Penguat Non-InversiR 1 v ov1R Fv 2−R 2 +Penjumlahv 1R 1 R v 2 oR −v 32+R 4Pengurangv 1K 1v 1R 1v o_+R 2Penguat Inversiv oK1=−v 1R FR 1K 2R FK 2 = −K 2 R 2K R 21K 1 = −R 1v o++v 2v 1++v 2K 2K= −R FR 2v o⎛ R 1 + R 2 ⎞ ⎛ R 4 ⎞K =⎜⎟ × ⎜ ⎟2⎝ R 1 ⎠ ⎝ R 3 + R 4 ⎠184Hubungan Bertingkatv 1 v 2 v 3 vo+−+−+−v 1 v 2 v 3 v oK 1K 1 K 2 K 31v = K v = K K v = K K K vo3 33 2 2321185 18631

8/20/2012Peristiwa transien dalam rangkaian listrik, yang walaupunberlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secarabenar dapat menyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikanpada rangkaian11. Analisis TransienRangkaian Orde-1Yang dimaksud dengan analisis transien adalah analisisrangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan ataukeadaan transien.Peristiwa transien biasanya berlangsung hanya beberapa saatnamun jika tidak ditangani secara baik dapat menyebabkanterjadinya hal-hal yang sangat merugikan pada rangkaianPeristiwa transien timbul karena pada saat terjadi perubahankeadaan rangkaian, misalnya penutupan atau pembukaansaklar, rangkaian yang mengandung elemen dinamikcenderung memperatahankan status yang dimilikinya sebelumperubahan terjadi187188Dalam pembahasan model piranti pasif kita pelajaribahwa tegangan kapasitor adalah peubah statuskapasitor; dan arus induktor adalah peubah statusinduktor.Pada saat-saat terjadi perubahan rangkaian, kapasitor cenderungmempertahankan tegangan yang dimilikinya sesaat sebelumterjadi perubahanPada saat-saat terjadi perubahan rangkaian, induktor cenderungmempertahankan arus yang dimilikinya sesaat sebelum terjadiperubahanPeubah status tidak dapat berubah secara mendadakKita ambil contoh rangkaian seri R dan C+v s−SRKita ambil contoh lain, rangkaian seri R dan L+v s−SRCi LA+v C−BABLApabila sesaat sebelum saklar Sditutup kapasitor tidak bertegangan,maka setelah saklar ditutup tegangankapasitor akan meningkat mulai darinol. Tegangan kapasitor tidak dapatberubah secara mendadak.Sesaat sebelum saklar dibuka, aruspada induktor adalah i L = v s /R. Padawaktu saklar dibuka, arus induktorakan turun menuju nol dalam waktutertentu karena arus induktor tidakdapat berubah secara mendadak.Sebelum mencapai nol arus induktormengalir melalui dioda.189190Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitormerupakan hubungan linier diferensial, maka persamaan rangkaian yangmengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan diferensialPersamaan diferensial ini dapat berupa persamaandiferensial orde pertama dan rangkaian yang demikian inidisebut rangkaian atau sistem orde pertama (orde-1)Rangkaian Orde-1 biasanya mengandung hanya satuelemen dinamik, induktor atau kapasitorRangkaian RC SeriS+−+v in−Rii CCA+v−Bv s192Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaandiferensial orde kedua maka rangkaian ini disebutrangkaian atau sistem orde kedua (orde-2)HTK setelahsaklar tertutup:dv− vs+ iR + v = −vs+ RC + v = 0dtdvRC + v = v sdtInilah persamaan rangkaianyang merupakan persamaandiferensial orde pertamadengan tegangan sebagaipeubah rangkaian19132

8/20/2012Rangkaian RL SeriHTK setelahsaklar tertutup:+−Sv sdivs− Ri − vL= vs− Ri − L = 0dtRii LAdiL + Ri = v sInilah persamaandtrangkaian yangmerupakan persamaandiferensial orde pertamadengan arus sebagaipeubah rangkaianBLBentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde-1dya + by = x(t)dty adalah fungsi keluaranFungsi x(t) adalah masukan padarangkaian yang dapat berupa teganganataupun arus dan disebutfungsi pemaksa atau fungsi penggerak.tetapan a dan b ditentukan oleh nilai-nilaielemen yang membentuk rangkaianPersamaan diferensial seperti di atas mempunyai solusiyang disebutsolusi totalyang merupakan jumlah darisolusi homogen dan solusi khusus193194Solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogendi mana x(t) bernilai nol:dya + bydt= 0Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan aslinya dimana x(t) tidak bernilai noldya + by = x(t)dtSolusi total adalah jumlah dari kedua solusi.Jadi y total = (y 0 +y p )Misalkan solusipersamaan ini y 0Misalkan solusipersamaan ini y pTanggapan Alami, Tanggapan Paksa,Tanggapan LengkapDalam rangkaian listrik, fungsi pemaksa x(t) adalah besaran yangmasuk ke rangkaian dan memaksa rangkaian untuk menanggapinya;besaran ini biasanya datang dari sumber.Dalam rangkaian inix(t) = v sDalam rangkaian listrik solusi homogen adalah tanggapan rangkaian apabilax(t) = v s = 0 dan tanggapan ini disebut tanggapan alamiDalam rangkaian listrik solusi khusus adalah tanggapan rangkaian apabilax(t) = v s ≠ 0 dan tanggapan ini disebut tanggapan paksa+−Dalam rangkaian listrik solusi total disebut tanggapan lengkap yangmerupakan jumlah dari tanggapan alami dan tanggapan paksaSv sRii LABL195196Tanggapan AlamiTanggapan alami adalah solusikhusus dari persamaan homogen :dya + bydta dy= 0atau + y = 0b dtDalam kuliah ini kita akan mencari solusi persamaan homogenini dengan cara pendugaanPersamaan homogen ini memperlihatkan bahwa y ditambah dengansuatu tetapan kali turunan y, sama dengan nol untuk semua nilai tHal ini hanya mungkin terjadi jika y dan turunannya berbentuksama; fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama denganfungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial.Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari persamaan homogenini mempunyai bentuk eksponensialy = K 1 e st197Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke persamaannya, kita perolehst staK 1 se + bK1e= 0 atau yK1 ( as + b) = 0Salah satu solusi adalah y = 0, namunini bukanlah solusi yang kita carisedangkan K 1 adalah tetapan yang ≠ 0Ini disebutpersamaan karakteristik.Persamaan ini akanmenentukan bentuktanggapan rangkaian.as + b = 0Inilah yang harusbernilai 0Akar persamaan ini adalah s = −(b/a)Jadi tanggapan alami yang kita cari adalahst −(b / a)tya= K1e= K1eTetapan ini masih harus kita cari. Nilaitetapan ini diperoleh daritanggapan lengkap pada waktu t = 0Untuk mencari tanggapan lengkap kitamencari lebih dulu tanggapan paksa, y p19833

8/20/2012Tanggapan PaksaTanggapan paksa adalah solusi daripersamaan:dya + by = x(t)dtJika solusi persamaan ini kita sebut y p (t), maka bentuk y p (t) haruslahsedemikian rupa sehingga jika y p (t) dimasukkan ke persamaan ini maka ruaskiri dan ruas kanan persamaan akan berisi bentuk fungsi yang sama.Hal ini berarti x(t), y p (t), dan dy p (t) /dt harus berbentuk samaKita lihat beberapa kemungkinan bentuk fungsi pemaksa, x(t):1. x(t) = 0. Jika fungsi pemaksa bernilai nol maka hanya akan ada tanggapanalami; tanggapan paksa = 0.2. x(t) = K. Jika fungsi pemaksa bernilai tetap maka tanggapan paksa y p jugaharus merupakan tetapan karena hanya dengan cara itu dy p /dt akan bernilainol sehingga ruas kanan dan kiri dapat berisi bentuk fungsi yang sama.3. x(t) = Ae αt . Jika fungsi pemaksa berupa fungsi eksponensial, makatanggapan paksa y p harus juga eksponensial karena dengan cara ituturunan y p juga akan berbentuk eksponensial, dan fungsi di ruas kiri dankanan persamaan rangakaian akan berbentuk sama.4. x(t) = Asinωt. Jika fungsi pemaksa berupa fungsi sinus, maka tanggapanpaksa akan berupa penjumlahan fungsi fungsi sinus dan cosinus karenafungsi sinus merupakan penjumlahan dari dua fungsi eksponensialkompleks.jx − jxe − esin x =2Melihat identitas ini, maka kita bisa kembali ke kasus 3; perbedaannyaadalah kita menghadapi eksponensial kompleks sedangkan di kasus 3kita menghadapi fungsi eksponensial nyata. Dalam hal ini maka Solusiyang kita cari akan berbentuk jumlah fungsi sinus dan cosinus.5. x(t) = Acosωt. Kasus ini hampir sama dengan kasus 4, hanya berbedapada identitas fungsi cosinusecos x =jx+ e2− jx199200Tanggapan LengkapRingkasan bentuk tanggapan paksaJika x(t)= 0 , maka y p = 0Jika x(t)= A = konstan, maka y p = konstan = KαtαtJika x(t)= Ae = eksponensial, maka y p = eksponensial = KeJika x(t)= Asinωt, maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtJika x(t)= Acosωt,maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtPerhatikan: y = Kccos ωt+ Kssin ωtadalah bentuk umumfungsi sinus maupun cosinus .Dugaan tanggapans ty = y p + y a = y p + K 1elengkap adalahIni masih dugaan karenatanggapan alami jugamasih dugaantanggapan paksa Dugaan tanggapan alamiK 1 masih harus ditentukanmelalui penerapan kondisiawal yaitu kondisi pada t = 0Kondisi AwalKondisi awal adalah situasi sesaat setelah penutupan rangkaian (jika saklarditutup) atau sesaat setelah pembukaan rangkaian (jika saklar dibuka);Sesaat sebelum penutupan/pembukaan saklar dinyatakan sebagai t = 0 -Sesaat sesudah penutupan/pembukaan saklar dinyatakan sebagai t = 0 + .Pada induktor, arus pada t = 0 + sama dengan arus pada t = 0 -Pada kapasitor, tegangan pada t = 0 + sama dengan tegangan pada t = 0 -201202Jika kondisi awal kita masukkan pada dugaan solusi lengkap akan kitaperoleh nilai K 1+ ++ +y( 0 ) = y p (0 ) + K1 → K1= y(0) − y p (0 ) = A0Dengan demikian tanggapan lengkap adalahIni merupakankomponen mantap daritanggapan lengkap;ia memberikan nilaitertentu padatanggapan lengkappada t = ∞s ty = y p + A0eIni merupakankomponen transiendari tanggapanlengkap;ia bernilai 0 padat = ∞Prosedur Mencari Tanggapan Lengkap Rangkaian1. Carilah nilai peubah status pada t = 0 − ; ini merupakan kondisi awal.2. Carilah persamaan rangkaian untuk t > 0.3. Carilah persamaan karakteristik.4. Carilah dugaan tanggapan alami.5. Carilah dugaan tanggapan paksa.6. Carilah dugaan tanggapan lengkap.7. Terapkan kondisi awal pada dugaan tanggapan lengkap yang akanmemberikan niali-nilai tetapan yang harus dicari.8. Dengan diperolehnya nilai tetapan, didapatlah tanggapan rangkaianyang dicari20320434

8/20/2012Contoh: x(t) = 0Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t = 0S dipindah ke posisi 2. Carilah tanggapanrangkaian.1. Pada t = 0 - kapasitor telah terisi penuh dan v(0 + ) = 12 V2. Persamaan rangkaian untuk t > 0: − v + iRR= 03. Persamaan karakteristik:+v s = 12V −dvKarena iR= −iC= −Cdtdvdvmaka − v − RC = 0+ 1 v = 0dtdt RCs + 1000 = 0 → s = −1000S1 2R=10kΩC=0.1µFdv+ 1000 v = 0dtPersamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −10004. −1000tDugaan tanggapan alami : va= A0e5. Dugaan tan ggpan paksa : v p = 0 ( tidak ada fungsi pemaksa)6. Dugaan tanggapan7. Kondisiawal :lengkap :+ −v(0) = v(0) = 12 V.Penerapan kondisi awal padamemberikan : 12 = 0 + A0 → A0= 12st−1000tv = vp+ A0e= 0 + A0edugaan tanggapan lengkap−1000 t8. Tanggapan lengkap menjadi : v = 12 e V+v−205206Contoh: x(t) = 0Saklar S telah lama tertutup.Pada t = 0 saklar S dibuka.Carilah tanggapan rangkaianSebelum saklar dibuka:− 50i( 0 ) = = 50 mA1000Persamaan rangkaian pada t > 0:v ASimpul A: + i = 03000Karena v A = v L = L di/dt,+v s =−50 VPersamaan karakteristik: 0,6 s + 3000 = 0SR 0 =1 kΩR =3 kΩA1 ⎛ di ⎞⎜ L ⎟ + i = 03000 ⎝ dt ⎠1 ⎛ di ⎞⎜0,6⎟ + i = 03000 ⎝ dt ⎠di0,6 + 3000 i = 0dtL=0.6 HiPersamaan karakteristik: 0,6 s + 3000 = 0−5000tDugaan tanggapan alami: ia= A0eDugaan ta nggapan paksa : i p = 0 (tak ada fungsi pemaksa)−5000t−5000tDugaan tanggapan lengkap : i = ip+ A0e= 0 + A0e+ −Kondisi awal : i(0) = i(0) = 50 mA .Penerapan kondisi awal padamemberikan : 50 = A0Tanggapan lengkap menjadi :dugaan tanggapan lengkap−5000 ti = 50 e mA207208Contoh: x(t) = A+-12V21S10kΩ0,1µFi+v−Saklar S telah lama pada posisi 1. Pada t= 0 saklar dipindah ke posisi 2. Carilahtanggapan rangkaian.−3−3Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10= −1000−1000tDugaan tanggapan alami : va= A0eDugaan tanggapan paksa : v p = KPada t = 0 - kapasitor tidak bermuatan; tegangan kapasitor v(0 - ) = 0.⇒ v(0 + ) = 0Persamaan rangkaian pada t > 0:4−12+ 10 i + v = 04 −6dvKarena i = i C = C dv/dt −12+ 10 × 0,1 × 10 + v = 0dt−10 3 dv+ v = 12dtPersamaan karakteristik: 10 −3 s + 1 = 0Masukkan v p dugaan ini ke persamaan rangkaian :0 + K = 12 ⇒ v p = 12−1000tDugaan tanggapan lengkap : v = 12 + A0eV+Kondisi awal : v(0) = v(0−)= 0.Penerapan kondisi awal memberikan :0 = 12 + A0 → A0= −12−1000tTanggapan lengkap menjadi : v = 12 −12e V12v[V]12-12e 1000t0t0 0.002 0.00420921035

8/20/2012Contoh: x(t) = AcosωtRangkaian di samping inimendapat masukantegangan sinusoidal yangmuncul pada t = 0.Kondisi awal dinyatakan bernilai nol:Persamaan rangkaian untuk t > 0:v s =50cos10t u(t) V⎛ 1 1 ⎞ vs1 v0sSimpul A: v ⎜ + ⎟ + iC− = → v + iC=⎝1510 ⎠ 15 6 15i C = C dv/dt+v( 0 ) = 0+−Persamaan karakteristik: s + 5 = 0 → s = −5v si15Ω C1/30 FA1 1 dv vsv + =6 30 dt 15dv→ + 5 v = 100cos10tdt+v−10Ωv(0 + ) = 0Persamaan karakteristik: s + 5 = 0 → s = −5−5Dugaan tanggapan alami : va= A0eDugaan ta nggapan paksa : v p = Accos10t+ Assin10tSubstitusi tanggapan dugaan ini ke persamaan rangkaian memberikan :−10Acsin10t+ 10Ascos10t+ 5Accos10t+ 5Assin10t= 100cos10t→ −10Ac+ 5As= 0 dan 10As+ 5Ac= 100→ As= 2Ac→ 20Ac+ 5Ac= 100 ⇒ Ac= 4 dan As= 8Tanggapan paksa : v p = 4cos10t+ 8sin10t−5tDugaan tanggapan lengkap : v = 4cos10t+ 8sin10t+ A0e+Kondisi awal v(0) = 0Penerapan kondisi awal :Jadi tegangan kapasitor :Arus kapasitor :0 = 4 + A0 → A0= −4t−5tv = 4 cos10t+ 8sin10t− 4e−5t( − 40sin10t+ 80cos10t+ 20 e )dv 1iC= C =dt 30−5t= −1,33sin10t+ 2,66cos10t+ 0,66 eVA211212Lama waktu yang diperlukan oleh suatu peristiwa transienuntuk mencapai akhir peristiwa (kondisi mantap) ditentukanoleh konstanta waktu yang dimiliki oleh rangkaian.Tinjauan pada Contoh sebelumnyaKonstanta Waktu+v s −S1 2CRTanggapan alami:1− tv RCa = K1eTanggapan alami dapat dituliskan:−t/ τva= K1edengan:τ = RC−t/ τTanggapan lengkap menjadi: v = v p + va= v p + K1e+v− i R213Setelah saklar S pada posisi 2,persamaan raqngkaian adalah:Dugaan tanggapan alami:dv 1+ v = 0dt RC1Fungsi karakteristik: s + = 0 RC1− tv RCa = K1e1s = −RCTanggapan alami ini yang akan menentukankomponen transien pada tanggapan lengkapτ disebut konstanta waktu.Tanggapan paksaIa ditentukan oleh besarnya elemen rangkaian.Ia menentukan seberapa cepat transien menuju akhir.Makin besar konstanta waktu, makin lambat tanggapanrangkaian mencapai nilai akhirnya (nilai mantapnya),yaitu nilai komponen mantap, v p214Tinjauan pada Contoh sebelumnyaPada t = 0 saklar S dibukaPersamaan rangkaian setelahsaklar dibuka adalah:Tanggapan alami:+v s −diL = −RidtPersamaan karakteristik:R− ti La = K 1 eSR 0Rdi R+ idt LRs + = 0 LRs = −L= 0Tanggapan alami ini juga akan menentukankomponen transien pada tanggapan lengkapseperti halnya tinjauan pada Contoh-2.1A+−L+−iR− tTanggapan alami: i La = K 1 eTanggapan alami dapat dituliskan:−t/ τia= K1eTanggapan lengkap:dengan:τ disebut konstanta waktu.Lτ =R−t/ τi = i p + ia= i p + K1eTanggapan paksaIa ditentukan oleh besarnya elemen rangkaian.Ia menentukan seberapa cepat transien menuju akhir.Makin besar konstanta waktu, makin lambat transienmencapai nilai akhirnya yaitu nilai komponen mantap, i p .21521636

8/20/2012Tinjauan pada Contoh sebelumnya2+R +v 1s -vC −Persamaan rangkaian setelahsaklar pada posisi 2:STanggapan alami:− v s + Ri + v = 0Pada t = 0, S dipindahkan ke posisi 2.dvKarena i = i C = C dv/dt RC + v = vsdtPersamaan karakteristik: RCs +1 = 0−( 1/ RC)t −t/ τva= Ke = Ke−t/ τTanggapan lengkap: v = v p + va= v p + Keiτ = RC− v s + Ri + v = 0s = −1/RCTinjauan pada Contoh sebelumnyaSimpul A:i C = C dv/dtPersamaan karakteristik:Tanggapan alami:Tanggapan lengkap:v s =Acosωt u(t)⎛ 1 1 ⎞ v⎜⎟ sv + + iC− = 0⎝ R1R2⎠ R1⎛ R1+ R2⎞ dv vsv⎜ C =R1R⎟ +⎝ 2 ⎠ dt R1v = Kea+−∗R + Cs = 0∗s = −1/R C∗−( 1/ R C)t −t/ τ∗ ⎛ R1+ R2⎟ ⎞R =⎜⎝ R1R2 ⎠= KeR 1i C−t/ τv = v p + va= v p + KeCA+v−τ = R ∗ CR 2217218Dari tinjauan contoh-1 s/d 4, dengan menggambarkan rangkaianuntuk melihat tanggapan alami saja, kita buat ringkasan berikut:Konstanta waktu ditentukan oleh besar elemen-elemen rangkaianUntuk rangkaian R-C : τ = RCCτ = RCRRτ = L / RLUntuk rangkaian R-L : τ = L/RKonstanta waktu juga ditentukan oleh berapa besar energi yang semulatersimpan dalam rangkaian (yang harus dikeluarkan)Makin besar C dan makin besar L, simpanan energi dalam rangkaianakan makin besar karenaR 1CR 2τ = R * C∗ ⎛ R +⎟ ⎞=⎜1 R2R⎝ R1R2 ⎠1 21 2wC = Cv dan wL= Li22Oleh karena itu konstanta waktu τ berbanding lurus dengan C atau LKonstanta waktu ditentukan oleh besar elemen-elemen rangkaianUntuk rangkaian R-C : τ = RCUntuk rangkaian R-L : τ = L/R219Pengurangan energi berlangsung dengan mengalirnya arus i dengandesipasi daya sebesar i 2 R. Dalam kasus rangkaian R-C, di mana vadalah peubah status, makin besar R akan makin besar τ karena arusuntuk desipasi makin kecil. Dalam kasus rangkaian R-L di manapeubah status adalah i makin besar R akan makin kecil τ karenadesipasi daya i 2 R makin besar220Tanggapan Masukan NoldanTanggapan Status NolPeristiwa transien dapat pula dilihat sebagai gabungan daritanggapan masukan nol dan tanggapan status nolTanggapan Masukan Nol adalah tanggapan rangkaian jika tidakada masukan. Peristiwa ini telah kita kenal sebagai tanggapan alamiTanggapan Status Nol adalah tanggapan rangkaian jika adamasukan masukan pada rangkaian sedangkan rangkaian tidakmemiliki simpanan energi awal (simpanan energi sebelum terjadinyaperubahan rangkaian).Pengertian tentang tanggapan status nol ini muncul karenasesungguhnya tanggapan rangkaian yang mengandung elemendinamik terhadap adanya masukan merupakan peristiwa transienwalaupun rangkaian tidak memiliki simpanan energi awal221Tanggapan Masukan Noli L+v C C R RL−Bentuk tanggapan rangkaian tanpa fungsi pemaksa secara umum adalah+ − t / τym0= y(0) etanggapan masukan nol v C (0 + ) atau i L (0 + )masing-masing menunjukkanadanya simpanan energi energiawal dalam rangkaiandi kapasitor sebesar ½Cv 2Cdi induktor sebesar ½Li 2Lpeubah status, v C dan i L , tidak dapat berubah secara mendadakPelepasan energi di kapasitor dan induktor terjadi sepanjang peristiwa transien,yang ditunjukkan oleh perubahan tegangan kapasitor dan arus induktor22237

8/20/2012Tanggapan Status NolJika sebelum peristiwa transien tidak ada simpanan energi dalamrangkaian, maka tanggapan rangkaian kita sebut tanggapan status nol.Bentuk tanggapan ini secara umum adalahTanggapan status nolys0= yStatus finalt = ∞f+− y (0 ) ef−t/ τBagian ini merupakan reaksielemen dinamik (kapasitor ataupuninduktor) dalam mencobamempertahankan status rangkaian.Oleh karena itu ia bertanda negatif.y f (0 + ) adalah nilai tanggapan padat = 0 + yang sama besar dengan y fsehingga pada t = 0 + tanggapanstatus nol y s0 = 0.Kita ambil contoh Rangkaian R-C+-12V21S10kΩ0,1µFTanggapan status nol adalahi+v−+ −t/ τvs0= v f − v f (0 ) e−t/ τ= 12−12ePada rangkaian R-C, kapasitorakan mencoba bertahan padastatus yang dimiliki sebelumpemindahan saklar, yaitu v = 0.Pada saat final (saat akhirtransien) tegangan kapasitoradalah v = v s = 12 VUntuk rangkaian R-C : τ = RC223224Dengan demikian tanggapan lengkap rangkaian dapat dipandangsebgai terdiri daritanggapan status nol dan tanggapan masukan noly = ys0+ ym0= y ( t)− y (0 ) eff+− t / τ++ y(0) e−t/ τKonstanta waktu τditentukan oleh elemenrangkaian225 226227 22838

8/20/2012Rangkaian Orde-2 biasanya mengandung dua elemendinamik, induktor dan kapasitorRangkaian RLC SeriSLv s+−+ Rv in−iC+v−229diRi + L + v =dt2d v dvKarena i = i C = C dv/dt, maka: LC + RC + v = v2indt dtv inInilah persamaan rangkaian yangmerupakan persamaan diferensial ordeke-dua dengan tegangan sebagaipeubah rangkaian230Rangkaian RLC Paraleli sAi Ri C +i L = iL vRC−Bi R + iL+ iC= isv =v L =L di/dt, sehingga i R = v/R dan i C = C dv/dtv dv+ i + C = isatauInilah persamaan rangkaian yangR dtmerupakan persamaan diferensial orde2d i L dike-dua dengan arus sebagai peubahLC + + i = i2sdt R dtrangkaian231Bentuk Umum Persamaan Rangkaian Orde-22d y dya + b + cy = x(t)2dt dty = tanggapan rangkaian yang dapatberupa tegangan ataupun arusfungsi pemaksa ataufungsi penggerak.tetapan a dan b ditentukan oleh nilainilaielemen yang membentuk rangkaianPersamaan diferensial orde ke-dua muncul karenarangkaian mengandung kapasitor dan induktordengan tegangan sebagaipeubah statusdengan arussebagai peubah statussedangkan peubah dalam persamaan rangkaianharus salah satu di ataranya, tegangan atau arus232Tanggapan AlamiTanggapan alami adalah solusi persamaan rangkaian dimana x(t) bernilai nol:2d y dya + b + cy = 02dt dtDugaan solusi y berbentuk fungsi eksponensial y a = Ke st dengan nilaiK dan s yang masih harus ditentukan.Kalau solusi ini dimasukkan ke persamaan, akan diperoleh2 st st staKs e + bKse + cKe = 0stKe2( as + bs + c) = 0atauBagian ini yang harus bernilai nol yangmemberikan persamaan karakteristik2as + bs + c = 02332as + bs + c = 0Persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itumempunyai dua akar yaitu2− b ± b − 4acs1, s2=2aDengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyaidua solusi homogen, yaitus1ts2tya1 = K1edan ya2= K2eTanggapan alami yang kita cari akan berbentuks1ts2tya= K1 e + K2eSeperti halnya pada rangkaian orde pertama, tetapan-tetapan inidiperoleh melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap23439

8/20/2012Tanggapan PaksaTanggapan paksa adalah solusi persamaan rangkaian dimana x(t) ≠ 0:2d y dya + b + cy = x(t)2dt dtBentuk tanggapan paksa ditentukan oleh bentuk x(t)sebagaimana telah diulas pada rangkaian orde pertama, yaituJika x(t)= 0 , maka y p = 0Jika x(t)= A = konstan, maka y p = konstan = KαtαtJika x(t)= Ae = eksponensial, maka y p = eksponensial = KeJika x(t)= Asinωt, maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtJika x(t)= Acosωt,maka y p = Kccos ωt+ Kssin ωtPerhatikan: y = Kccos ωt+ Kssin ωtadalah bentuk umumfungsi sinus maupun cosinus .Tanggapan LengkapTanggapan lengkap adalah jumlah tanggapan alamidan tanggapan paksas t s ty = yp+ ya= yp+ K e1K e21 + 2Tetapan ini diperoleh melalui penerapan kondisi awalJika rangkaian mengandung C dan L, dua elemenini akan cenderung mempertahankan statusnya.Jadi ada dua kondisi awal yang harus dipenuhiyaitu+ = C−v C (0 ) v (0 )dan+ = L−i L (0 ) i (0 )235236Kondisi AwalSecara umum, kondisi awal adalah:+ −dy + +y(0) = y(0) dan (0 ) = y'(0)dtNilai sesaat sebelum dan sesudahpenutupan/pembukaan saklar harus sama, danlaju perubahan nilainya juga harus kontinyuyyTiga Kemungkinan Bentuk TanggapanPersamaan karakteristik2as + bs + c = 0dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0;c). Dua akar kompleks konjugat s 1 ,s 2 = α ± jβ jika {b 2 −4ac } < 0.0Pada rangkaian ordepertama dy/dt(0 + ) tidakperlu kontinyut0Pada rangkaian orde kedua dy/dt(0 + )harus kontinyu sebab ada d 2 y/dt 2dalam persamaan rangkaian yanghanya terdefinisi jika dy/dt(0 + ) kontinyu237tTiga kemungkinan akar ini akan memberikan tigakemungkinan bentuk tanggapan238Contoh-1Persamaan karakteristik dengan dua akar riil berbeda,s 1 ≠ s 2 , {b 2 − 4ac } > 0S 1 21 H++iivC15 V 8,5 kΩ− − 0,25µFPada t = 0 - −−: i( 0 ) = 0 dan v(0) = 12 VSaklar S telah lama berada pada posisi 1. Padat = 0 saklar dipindahkan ke posisi 2. Carilahperubahan tegangan kapasitor.diPersamaan Rangkaian pada t > 0 : − v + L + Ri = 0dt2Karena i = -i d v dvC = -C dv/dt, maka: − v − LC − RC = 02dt dt2d v R dv− − −2dt L dtvLC= 02d v 3 dv 6+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 02dtdt239Persamaan karakteristik: 2 3 6s + 8,5×10 s + 4×10 = 0→ akar- akar :Tak ada fungsi pemaksa3 2s1,s2= −4250± 10 (4,25) − 4 = −500,− 8000−500t−8000tDugaan tanggapan lengkap: v = 0 + K1e+ K2e++Kondisi awal: v C ( 0 ) = 15 V dan i L ( 0 ) = 0Karena persamaan rangkaian menggunakan vsebagai peubah maka kondisi awal arus i L (0 + )harus diubah menjadi dalam tegangan v++ + dvC(0 )iL( 0 ) = iC(0 ) = C = 0dt+dv C (0 )= 0dt24040

8/20/2012Kondisi awal:+v( 0 ) = 15 V+dv(0)= 0dt−500 t −8000tTanggapan lengkap: v = 16e− e VDugaan tanggapan lengkap:−500t−8000tv = 0 + K1e+ K2e1615= K 1 + K20 = −500K1 − 8000K20 = −500K1 − 8000(15 − K1)8000×15K1 = = 16 K2 = −17500Tanggapan lengkap menjadi: −500 t −8000tv = 16e− e V(hanya ada tanggapan alami).Ini adalah pelepasan muatan kapasitor padarangkaian R-L-C seri1284v00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-4Perhatikan bahwa pada t = 0 + tegangan kapasitor adalah 15 VPada waktu kapasitor mulai melepaskan muatannya,ada perlawanan dari induktor yang menyebabkanpenurunan tegangan pada saat-saat awal agak landai241242Contoh-2+−Si+ ivC19 V −8,5 kΩ0,25 µFSebelum saklar dibuka arus hanya melalui induktor. Dioda tidak konduksi.− 19iL( 0 ) = = 2 mA8500−v C ( 0 ) = 0 VdiPersamaan Rangkaian pada t > 0 : − v + L + Ri = 0dt1 HSaklar S telah lama tertutup.Pada t = 0 saklar dibuka.Tentukan perubahan tegangankapasitor dan arus induktor.2dvd v dvCi = −iC= −C− v − LC − RC = 02dtdt dt2d v R dv− − −2dt L dtvLC= 02d v 3 dv 6+ 8,5 × 10 + 4×10 v = 02dtdt243236Persamaan karkteristik : s + 8,5×10 s + 4×10 = 03 2→ akar -akar : s1,s2= −4250±10 (4,25) − 4 = −500,−8000Dugaan tanggapan lengkap : v = 0 + K eTak ada fungsi pemaksaKondisi awal:+iL( 0 ) = 2 mA dan−500t1+ K+v C ( 0 ) = 0 VKarena persamaan rangkaian menggunakan v sebagaipeubah maka kondisi awal i L (0 + ) harus diubah menjadidalam v++ + dvC(0 ) −3− iL(0 ) = iC(0 ) = C = 2×10dt+−3dv C (0 ) 2×10= −dt C−8000t2e244+−3+ dv(0) 2×10Kondisi awal: v( 0 ) = 03= −= −8×10dt−60,25×10Dugaan tanggapan lengkap :0 = K 1 + K2Tegangan kapasitor menjadi :v = 0 + K e−500t1+ K−8000t2e−8000 = −500K1 −8000K2−8000 = −500K 1 + 8000K1−8000K1 = ≈ −1,06K2 = −K1= 17500−500 t −8000tv ≈ 1,06e−1eVIni adalah pengisian kapasitor oleh arusinduktor pada rangkaian R-L-C seridv−6Arus induktor : iL= −iC= −C≈ −0,25×10dt−3−500t −8000t≈ −133×10 e + 2emA−500t−8000t( − 530e−8000e)245−500 t −8000tTanggapan lengkap : v = 1,06e−1eV1v0. 5[V]-0. 500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-1Perhatikan bahwa pada awalnya tegangan kapasitor naikkarena menerima pelepasan energi dari induktorKenaikan tegangan kapasitor mencapai puncak kemudianmenurun karena ia melepaskan muatan yang pada awalnyaditerima.24641

8/20/201216v [V]12840-4v−500 t −8000tv = 16e− e0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Vv0. 5[V]−500 t −8000tv = 1,06e−1eVUntuk kedua peristiwa ini yang di-plot terhadap waktu adalah tegangan kapasitorSeandainya tidak ada induktor, penurunan tegangan kapasitor akan terjadidengan konstanta waktuτ = RC = 8500×0.25×10= 2125×10atau 1/τ = 470,6. Tetapi karena ada induktor, konstanta waktu menjadi lebih kecilsehingga 1/τ = 500. Inilah yang terlihat pada suku pertama v.Suku ke-dua v adalah pengaruh induktor, yang jika tidak ada kapasitor nilai 1/τ= R/L = 8500. Karena ada kapasitor nilai ini menjadi 8000 pada suku ke-dua v.-0. 5-1−610Pelepasan energi induktor0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-6247Persamaan Karakteristik Memiliki Dua Akar Riil Sama Besars 1 = s 2 , {b 2 − 4ac } = 0Dua akar yang sama besar dapat kita tuliskan sebagais1 = s dan s2= s + δ ; dengan δ → 0Tanggapan lengkap akan berbentuks1ts2tst ( s+δ)ty = y p + K1e+ K2e= y p + K1e+ K2eKondisi awal pertama+ +y(0) = y p (0 ) + K1+ K2+ +y(0) − y p (0 ) = K1+ K2= A0Tanggapan paksaTanggapan alamiKondisi awal keduay′+(0 ) y′+= p (0 ) + K1s+ K2(s + δ)y′+(0 ) y′+− p (0 ) = ( K1+ K2)s + K2δ = B0B − A sB − A sA s + K δ = B → K = 0 0 K = A − 0 00 2 0 2dan 1 0δδ248Tanggapan lengkap menjadi⎡⎛ 1y = y p + ⎢A0+ ( B0− A0s)⎜−⎢⎣⎝+δδ te ⎞⎤⎟ st⎥ eδ ⎠⎥⎦Contoh-3.+−S 1 21 H+iivC15 V 4 kΩ− 0,25 µFSakalar telah lama di posisi 1. Pada t= 0 di pindah ke posisi 2. Tentukanperubahan tegangan kapasitor.y = y p +y = y p +ditentukan oleh kondisi awal[ A + B A s)t] est0 ( 0 − 0[ K + K t] estab⎛ δ t1 e ⎞ ⎛ δte 1⎞lim ⎜lim ⎜−− + ⎟ =⎟ = tδ→0⎜⎟ 0⎜⎟⎝δ δ δ→⎠ ⎝δ⎠ditentukan oleh kondisi awal dan ss sendiri ditentukan oleh nilai elemenelemenyang membentuk rangkaian dantidak ada kaitannya dengan kondisi awal(Diganti dengan 4 kΩ dari contoh sebelumnya)−−Sebelum saklar dipindahkan: v( 0 ) = 15 V ; i(0) = 0diPersamaan rangkaian untuk t > 0: − v + L + iR = 0dt2d v dvKarena i = − i C = −C dv/dt LC + RC + v = 02dt dt2d v 3 dv 6+ 4×10 + 4×10 v = 02dt dt2 3 6Persamaan karakteristik: s + 4×10 s + 4×10 = 0249250Persamaan karakteristik26: s + 4000s+ 4×10 = 0akar - akar : s1,s2= −2000±maka tanggapan lengkap akan berbentuk :v = v p ++Kondisi awal pertama v(0) = v(0) ⇒ v(0) = 15 = K .6 64×10 − 4×10 = −2000= sKarena persamaan karakteristik memiliki akar sama besarst( K + K t) e = 0 + ( K + K t) estadv + dv ststKondisi awal kedua (0 ) = 0 ⇒ = Kbe+ ( Ka+ Kbt)s edtdtdv +→ (0 ) = 0 = Kb+ Kas→ Kb= −Kas= 30000dt−b+aabTak ada fungsi pemaksa−2000 tv = ( 15 + 30000t) e V1510−2000 tv = 30000 t e500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5tv =15 e−2000-10-15−2000 t⇒ Jadi : v = ( 15+30000t) e V25125242

8/20/2012Tanggapan lengkap akan berbentuk( α+y = y p + K1es1 = α + jβdan s2= α − jβjβ)t ( α−+ K2ejβ)αty = y + ( K cos βt+ K sin βt) ep++Kondisi awal pertama: y (0 ) = y p (0 ) + KaKondisi awal kedua:Dua akar kompleks konjugat{b 2 − 4ac } < 0abt= y p +y′+= p (0 ) + αKa + βKb+ jβt − jβt αt( K1e+ K2e) eK1(cosβt+ jsinβt)K2(cosβt− j sin βt)( K1+ K2)cosβt+ j(K1− K2)sin βtKacos βt+ Kbsin βt+Ka= y(0+ ) − y p (0 )ty′+y′+α(0 ) = p (0 ) + {( αKb− Kaβ)sinβt+ ( Kbβ + αKa)cos βt}e+ +αKa+ βKb= y′(0 ) − y′p (0 )253Contoh-4.+−S 1 2+iivC15 V 1 kΩ− 0,25 µF(Diganti dengan 1 kΩ dari contoh sebelumnya)Pada t = 0 + : −−v( 0 ) = 15 V ; i(0) = 0 di− v + L + iR = 0dtPersamaan rangkaian untuk t > 0:1 HSaklar S sudah lama pada posisi 1.Pada t = 0 dipindah ke poisisi 2.Carilah perubahan tegangan kapasitor.2Karena i = −i C = −C dv/dt d v dvLC + RC + v = 02dt dt2d v 3 dv 6+ 1×10 + 4×10 v = 02dt dt2 3 6Persamaan karakteristik: s + 1×10 s + 4×10 = 02542 dv 6Persamaan karakteristik : s + 1000 + 4×10 = 0dtakar - akar :v = 0 +Tanggapan lengkap : v =s1,s2= −500±Tanggapan lengkap akan berbentuk:αt( K cosβt+ K sin βt) eKondisi awal pertama ⇒ v (0+ ) = 15 = K adv +Kondisi awal kedua ⇒ (0 ) = 0 = αKa+ βKbdt− αKa500×15→ Kb= = =β 500 15a2 6500 − 4×10 = −500± j50015α ±bdua akar kompleks konjugatjβdengan α = −500; β = 500 15−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e V15255v =−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e V1515cos(500 15 tv 10[V]515 sin(500 15 t)00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5-10-15256Perbandingan tanggapan rangkaian:−500 t −8000tDua akar riil berbeda: sangat teredam, v = 16e− e V−2000 tDua akar riil sama besar : teredam kritis, v = ( 15 + 30000t) e VDua akar kompleks konjugat : kurang teredam,v =−500t( 15cos(500 15 t)+ 15 sin(500 15 t)) e VContoh Tanggapan Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Sinusv s =26cos3t u(t) V+−iv s5Ω1H1F6+v−Rangkaian mendapat masukansinyal sinus yang muncul pada t = 0.Tentukan perubahan tegangan danarus kapasitor, apabila kondisi awaladalah i(0) = 2 A dan v(0) = 6 V1510500 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006-5-10Pada t = 0 + : i(0 + ) = 2 A dan v(0 + ) = 6 VdiPersamaan rangkaian untuk t > 0 : − v s + Ri + L + v = 0dt2dv d iRC + LC + v = vsdt 2dt25 dv 1 d v→ + + v = 26cos3t6 dt 6 2dt-152572d v dv+ 5 + 6v= 156cos3t2dt dt25843

8/20/20122Persamaan karakteristik : s + 5s+ 6 = 0 = ( s + 2)( s + 3);akar - akar :s1,s2= −2,− 3Dugaan ta nggapan paksa : v p = Accos3t+ Assin3tPersamaan rangkaian( − 9A+ 15A+ 6A) cos 3t+ ( − 9A−15A+ 6A)→ c s cs c s sin 3t= 156cos3t→ −3Ac+ 15As= 156 dan −15Ac− 3As= 0156 + 05×156 − 0⇒ Ac= = −2; As= = 10− 3 − 7575 + 3Dugaan tanggapan lengkap :2d v dv+ 5 + 6v= 156cos3t2dt dtTanggapan paksa : v p = −2cos3t+ 10sin3t−2t−3tv = −2cos3t+ 10sin 3t+ K1e+ K2emasih harus ditentukan melaluipenerapan kondisi awal259Kondisi awal :Aplikasi kondisi awal kedua :Tanggapan lengkap :++ 1 dv + dv +v(0) = 6 dan i(0) = 2 = (0 ) → (0 ) = 126 dt dt= −2+ K1+ K2→ K2= 8 − K112 = 30 − 2K1− 3K2⇒ K1= 6 ⇒ K2= 2Aplikasi kondisi awal pertama : 6v [V]i [A]−2t−3tv = −2cos3t+ 10sin 3t+ 6e+ 2e1 dv−2t−3t⇒ i = = sin 3t+ 5cos3t− 2e− e6 dt3020100t [s]-10 0 i 2 4 6 8 10-20-30vv sAVAmplitudo teganganmenurunAmplitudo arusmeningkat260Mudah-Mudahan Dapat Membantu26144