Pilihan Topik Matematika - Ee-cafe.org

Sudaryatno SudirhamPilihan TopikMatematika(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )Darpublic – Edisi Juli 2012

Pilihan Topik Matematika(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )olehSudaryatno Sudirhami

Hak cipta pada penulis.SUDIRHAM, SUDARYATNOBeberapa Topik MatematikaAplikasi Dalam Analisis Rangkaian ListrikDarpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135.iiSudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

PengantarBuku ini berisi bahasan mengenai topik-topik matematika yang dipilihterkait dengan penggunaannya dalam Analisis Rangkaian Listrik. Sudahbarang tentu bahwa matematika sebagai ilmu dasar tidak hanya terpakaidalam analisis rangkaian listrik. Namun uraian dalam buku ini dikaitkandengan buku-buku lain yang penulis susun, bahkan contoh-contohpersoalan yang diberikan banyak diambil dari buku-buku tersebut;dengan penulisan buku ini penulis bermaksud memberi penjelasanmengenai dasar matematika yang digunakan di dalamnya. Dalam bukuini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika dari sisi pandangaplikasi teknik, dengan sangat membatasi penggunaan ungkapanmatematis; pendefinisian dan pembuktian formula-formula digantidengan pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudahdifahami. Dengan cara demikian penulis berharap bahwa pengertianmatematis yang diperlukan bisa difahami dengan lebih mudah.Pendalaman lebih lanjut dapat diperoleh dari buku-buku tentangmatematika yang digunakan sebagai referensi dalam kuliah matematika.Kemajuan teknologi komputer telah sangat membantu proses pemecahanpersoalan di bidang teknik. Namun buku ini tidak membahas caraperhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkanmenyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang topikmatematika yang dipilih, yang penulis anggap dapat memberikanpemahaman mengenai proses perhitungan dengan menggunakankomputer.Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini bermanfaat bagi pembaca.Bandung, Juli 2012Wassalam,Penulisiii

DarpublicKanayakan D-30, Bandung, 40135Dalam format .pdf buku ini dapat diunduh bebas diwww.buku-e.lipi.go.id dan www.ee-cafe.orgSelain Buku-e, diwww.ee-cafe.orgtersedia juga open coursedalam format .ppsx beranimasi dan .pdfivSudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Daftar IsiPengantarDaftar IsiiiivBab 1: Pengertian Fungsi dan Grafik 1Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. BentukImplisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak.Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar.Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.Bab 2: Fungsi Linier 15Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan GarisLurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 29Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. PerkalianRamp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.Bab 4: Mononom dan Polinom 39Mononom: Mononom Pangkat Dua, Mononom PangkatTiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan MononomPangkat Tiga pada Fungsi Kuadrat.Bab 5: Bangun Geometris 57Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua.Perputaran Sumbu.Bab 6: Fungsi Trigonometri 71Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah BebasBersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 87Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus.Spetrum Dan Lebar Pita Fungsi Periodik.Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 97Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. FungsiHiperbolik.Bab 9: Koordinat Polar 107Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku.Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. PersamaanGaris Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat danOval Cassini. Luas Bidang.v

Bab 10: Turunan Fungsi Polinom 119Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak.Garis Singgung.Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi 135Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat DariSuatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. FungsiBerpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dxdan dy.Bab 12: Turunan Fungsi-Fungsi Transenden 147Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi.Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. FungsiLogaritmik. Fungsi Eksponensial.Bab 13: Integral 155Macam-macam Integral. Integral Tak Tentu, IntegralTentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Aplikasi.Bab 14: Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi 177Fungsi Tetapan. Mononom. Polinom. Fungsi Pangkatdari Fungsi. Fungsi Berpangkat Satu. FungsiEksponensial. Tetapan Berpangkat Fungsi. FungsiTrigonometri. Fungsi Hiperbolik. IntegralMenghasilkan Fungsi Trigonometri. Tabel RelasiDiferensial-Integral.Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1 187Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde SatuDengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. PersamaanDiferensial Homogen Orde Satu. Persamaan DiferensialLinier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai FungsiPemaksa.Bab 16: Persamaan Diferensial Orde-2 201Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. TigaKemungkinan Bentuk Solusi.Bab 17: Matriks 211Konsep Dasar Matriks. Pengertian dan Operasi Matriks.Matriks Khusus. Putaran Matriks. Sistem PersamaanLinier. Eliminasi Gauss. Kebalikan Matriks, EliminasiGauss-Jordan.viSudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 18: Bilangan dan Peubah Kompleks 241Pengertian dan Definisi. Operasi-Operasi Aljabar.Repersentasi Grafis. Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar.Fungsi Kompleks. Pole dan Zero. Aplikasi untukMenyatakan Fungsi Sinus.Bab 19: Transformasi Laplace 251Pemahaman Transformasi Laplace. Transformasi Laplace.Sifat-sifat Transformasi Laplace. Transformasi BalikBab 20: Deret dan Transformasi Fourier 271Deret Fourier. Koefisien Fourier. Deret Fourier BentukEksponensial. Transformasi Fourier. Sifat-SifatTransformasi Fourier. Transformasi Balik.Daftar Pustaka 297Biodata penulis 298vii

Halaman Kosongviii Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 1 Pengertian Fungsi dan GrafikFungsi dan dan bentuk-bentuk kurvanya akan kita gunakan secara luas dibuku ini untuk memahami berbagai relasi matematis. Oleh karena itubab pertama ini kita akan mempelajari secara umum lebih dulu mengenaifungsi dan grafik.1.1. FungsiApabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaranlain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsibesaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaany = f (x)(1.1)Perhatikan bahwa penulisan y = f (x)bukanlah berarti y sama dengan fkali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari xyang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah yakan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan sebagai peubah-takbebas(y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatubesaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilaiyang dimiliki x.Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalahsebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.Kita ambil contoh dalam relasi fisisL T= L 0 (1 + λT)dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L 0 adalahpanjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muaipanjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggitemperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makinpanjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akanbertambah panjang namun tidak berarti temperaturnya meningkat.1

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harusditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.1.2. DomainDomain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas xbervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuksebagai berikut:a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai adan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagaia < x < bIni berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namunlebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapatkita gambarkan sebagi berikut:aa dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.b). rentang nilaikita gambarkan sebagaiaa ≤ x < bDi sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakanrentang setengah terbuka.c). rentang nilaia ≤ x ≤ bDalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Iniadalah rentang tertutup, dan kita gambarkanbbab2Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1.3. Kurva, Kekontinyuan, SimetriKurva. Fungsi y = f (x)dapat divisualisasikan secara grafis. Dalamvisualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontalmemanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkansebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapatmenggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah xmemiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.3Q[-2,2]210-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4xIII -1 IVR[-3,-3]yII-2-3P[2,1]S[3,-2]-4Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimalterbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalahbilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimalterbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yangjika hanya dilihat sampai sembilan angka di belakang koma nilainyaadalah 3,141592654.Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x,memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewatititik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongansumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasaldan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan jugasatuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kitauntuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisikyang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidakharus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-xI3

isa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dansebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.Py2,521,510,50-0,5-1Gb.1.2. Kurva dari fungsiy = 0, 5xDengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0, 5xmembentukkurva dengan persamaan y = 0, 5xdi bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitikP, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0.5],Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva iniperlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secaraparalel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai xtertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentangtersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakansebagai berikut:Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakankontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat, yaitu:(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x =c;(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kitatuliskan sebagai lim f ( x)= f ( c)yang kita baca limit f(x)x→cuntuk x menuju c sama dengan f(c).Q∆x∆y0 1 2 3 x 4RContoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi initidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;lim f ( x)tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratanx→c5

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagaiy = u(x),y = 1 untuk x ≥ 0y = 0 untuk x < 0yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. PerhatikanGb.1.3.1yy = 1/x-10 -500 5 x 10y = 1/x-1Tak terdefinikan di x = 0.y100y = u(x)Gb.1.3. FungsixTerdefinisikan di x = 0y = 1/x dan y = u(x)Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titiktertentua) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x makakurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurvafungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurvafungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.6Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.Kurva y = 0,3x 2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x =2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap.Kurva y = 0,05x 3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini xberpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti– x dan y diganti – y.2 2Kurva x + y = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadapsumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan jugasimetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.y = 0,3x 263ytidak berubah bila x diganti −xtidak berubah jika x dan ydiganti dengan −x dan −y0-6 -3 0 3 6-3 y 2 + x 2 = 9y = 0,05x 3 tidak berubah jikax diganti −xx dan y diganti dengan −x dan −y-6x dan y dipertukarkany diganti dengan −yGb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.1.4. Bentuk ImplisitSuatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimanapeubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, sepertiy = f (x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mananilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalahbeberapa contoh bentuk implisisit.x7

x2xy = 1yx22+ y2= x= 1+ xy + y2= 8(1.3)Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas xakan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contohpertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentukeksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistemkoordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contohyang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikanbentuk persamaan kuadratyang akar-akarnya adalah222 ( 2 =x + xy + y = 8 ⇒ y + xy + x −8)0y , y12− x ±=x2− 4( x22− 8)Nilai y 1 dan y 2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikannilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kitatuliskan sebagai22− x x − 4( x − 8)y = ±(1.4)2 2yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit y = f (x). Kurva fungsiini terlihat pada Gb.1.5.8y40x-4 -2 0 2 4-4-82 2− x x − 4( x − 8)Gb.1.5. Kurva y = ±2 28Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai BanyakFungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilaipeubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsibernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.1).2y = 0,5x.Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurvadari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurvafungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar initerutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.8y6420-1 0 1 2 3 x 4Gb.1.6. Kurvay = 0,5x22). y = + x .Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu iabernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.y1,61,20,80,400 0,5 1 1,5 x 2Gb.1.7. Kurvay = +x9

3). y = − x .Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena ituia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8.Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurvay = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilaibaik positif maupun negatif.00 0,5 1 1,5 x 2-0,4-0,84). y = log10x .-1,2y-1,6Gb.1.8. Kurvay = −xSebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingatkembali tentang logaritma.log 10 adalah logaritma dengan basis 10; log 10 a berartiberapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadiy = log10x berarti 10y = xy 1 = log 10 1 = 0 ;y 2 = log 10 1000 = 3 ;y 3 = log 10 2 = 0,30103 ; ...dst.Kurva fungsiy = log10x terlihat pada Gb.1.9.0,8y0,40-0,40 1 2 3 x 4-0,8Gb.1.9. Kurvay = log10x10Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

5). 2y = x = x .Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.2Perhatikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x 2Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapatlebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilaibanyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.1). Fungsi y = ± x .Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnyax bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihatpada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatifsaja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkanpada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .y 21,510,50-0,5-1y43210-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 40 0,5 1 1,5 2 2,5 3x-1,5-2Gb.1.11. Kurvay = ±x11

2). Fungsi y2 1= .xFungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.10y50-50 1 2 3x-10Gb.1.12. Kurvay 2 = 1/x ⇒ y = ± 1/x1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah BebasFungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satupeubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakansebagaiy = f ( x,t)(1.5)Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakanfungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombangberjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi(x) dan waktu (t).Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyaksebagaiw = f ( x,y,z,u,v)(1.6)untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,z,u,dan v.Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,misalnya12Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2 2 2 2ρ = x + y + z(1.7)Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positifdari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai2 2 2ρ = + x + y + z(1.8)1.7. Sistem Koordinat PolarSelain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalamskala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titikke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara rdengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-sikuposisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polardinyatakan sebagai P(r,θ).Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalahy = r sin θ ;x = r cos θ ;2r = x + y2−θ = tan 1 ( y / x)Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.yrcosθrθxGb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.Prsinθ13

1.8. Fungsi ParametrikDalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x)mungkin juga dituliskansebagaiy = y(t) x = x(t)(1.10)jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yangdemikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.14Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 2 Fungsi Linier2.1. Fungsi TetapanFungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.Kita tuliskany = k[2.1]dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupagaris lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞sampai +∞.y 5y = 40-5 0 x 5-4y = −3,5Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):y = 4 dan y = −3, 5 .2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis LurusPersamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yangmerupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva sepertiterlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidaksejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadapperubahan x, atau kita tuliskan∆y⎛ "delta y"⎞kemiringan = m = , ⎜dibaca : ⎟ (2.2)∆x⎝ "delta x"⎠15

Dalam hal garis lurus, rasio∆ymemberikan hasil yang sama di titik∆xmanapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanyamempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m padafungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurvagaris lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengankemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dariy = 0, 5x , garis y = 2xlebih miring dari y = x dan jauh lebih miringdari y = 0, 5x, dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garisakan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dania miring ke bawah (menurun).8y642-4-6y = 2x0-1 0-21 2 3 x 4y = -1,5 xGb.2.2. Empat contoh kurva garis lurusy = mx .Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalahy = mx(2.3)dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akansemakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jikam bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garisy = xy = 0,5xBagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis inimemiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x,sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagaiy = 2 x + 2 . Perhatikan Gb.2.3.16Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotongsumbu-y di [0,b] adalah( y − b)= mx(2.4)b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arahsumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atastitik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (kebawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, bpada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotongsumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4.Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2x,setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2x; ataudengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikannilai x pada garis y = 2xdengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis initerjadi pada x = x 1 dan hal ini terjadi pada x = ( x 1 −1)pada kurvay = 2x .y108642-48y = 2x + 2y = 2x0-1 0-21 2 3 x 4642y = 2xy =2(x–1)0-1 0 1 2-2 x 1 −1 x 13 x 4-4Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].17

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengankemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaany = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalahy = m( x − a)(2.5)Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arahsumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arahsumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkanpergeseran kurva y sejajar sumbu-x.Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan danmemotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2].Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannyaadalah∆y0 − ( −2)2m = = = = 2∆x 1 1dan persamaan garis adalahy = 2x− 2(2.6)Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), denganmemberikan m = 2 dan b = −2.Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinatdi [a,0] dan [0,b] adalahContoh:y86420-4y = mx + b-1 0 1 2 3 x 4-2bdengan m = −(2.7)agaris memotong sumbu x di 2,dan memotong sumbu y di 44Persamaan garis: y = − x + 4 = −2x+ 4218Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannyadengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapatdicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut.Lihat Gb.2.5.Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu∆y( y2− y1)m = =(2.8)∆x( x − x )y8642-421Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui duatitik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlakumy[x 1 ,y 1 ]−−y2 1= (2.9)x2x1Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan iniadalahy − y = m( x − 1 )(2.10)1 x[x 2 ,y 2 ]0-1 0 1 2 x 3-2Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan myang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y 1 danbergeser searah sumbu-x sebesar x 1 .Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) danQ(1,2).19

y P − yQ7 − 2Kemiringan garis ini adalah m = = = 1, 25x p − xQ5 −1Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titikasal y = 1, 25x. Persamaan garis dengan kemiringan ini yangmelalui titik P(5,7) adalahy − 7 = 1,25( x − 5) → y = 1,25 x − 6,25 + 7y = 1,25 x + 0,75Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsiy = f (x)akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x 1 skala jika x diganti dengan (x −x 1 ), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y 1 skala jika y diganti dengan (y− y 1 )y = f (x) menjadi y = f x − x ) atau y − y = f ( ) (2.11)( 11 xWalaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun iaberlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikankurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.Contoh:y864-4y = 2x20-1 0-21 2 3 x 4kurva semulay + 2 = 2x (pergeseran –2searah sumbu-y)atauy = 2(x – 1) (pergeseran +1searah sumbu-x)Contoh:Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garisyang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan20Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalahy = 1, 25x. Garis iniharus kita geser menjadi ( y − b)= 1,25( x − a)agar melalui titik Pdan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkankoordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Denganmemasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan7 − b = 1,25(5 − a)dan 2 − b = 1,25(1 − a)Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)dapat diperoleh, yaitu y − 0 ,75 = 1, 25xatau y = 1 ,25( x + 0,6).Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di−0,6.2.4. Perpotongan GarisDua garis lurusy +1 = a1xb1dan y 2 = a2x+ b2berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y 1 = y2sehinggaContoh:⇒ x⇒PyPb2− b=1a − a1= a x1Pa +21xP+ b1= a2xpb2+ b1atauyP= a2xP+ bTitik potong dua garis y 1 = 2x+ 3 dan y2= 4x− 8y 1 = y2→ 2x+ 3 = 4x− 8 → 2x= 112(2.12)11x P = = 5,5 ; y P = 2x+ 3 = 2 × 5,5 + 3 = 142atau y = 4 × 5,5 − 8 14P =Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikutini.21

y3020y 1y 2100-10 -5 0 5 10-10P ⇒ Koordinat P memenuhipersamaan y 1 maupun y 2 .x-20-30Gb.2.6. Perpotongan dua garis.Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kitatak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan jugamereka berpotongan di ∞.Contoh: Dua garis y 1 = 4x+ 3 dan y2= 4x− 8 adalah sejajar.2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu KoordinatPada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbukoordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akanmemiliki kemiringan garism = tan θ(2.13)dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-xatau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.y5 −m = tan θθ||5x−5 −Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagianskala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika22Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafikmenunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak samabesar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnyasehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) danbukan dilihat dari grafik.2.6. Domain, Kekontinyuan, SimetriPada fungsi liniery = m( x − a)+ b , peubah y akan selalu memiliki nilai,berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini jugakontinyu dalam rentang tersebut.Kurva fungsiy = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi initak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.2.7. Contoh-Contoh Fungsi LinierContoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwafungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akanmemperoleh percepatan.F = ma ; a adalah percepatanJika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan abenda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagaiv ( t)v + at= 0v kecepatan gerak benda, v 0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatanawal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalahv ( t)= at2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katodaadalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antaraanoda dan katoda terdapat medan listrik sebesarVE =l23

Elektron yangmuncul dipermukaan katodaakan mendapatpercepatan dariadanya medanlistrik sebesaranodaa = eEa adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, Emedan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktutempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron padawaktu mencapai katoda adalahv k = at3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali padaposisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam bataselastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegassepanjang x merupakan fungsi linier dari x.dengan k adalah konstanta pegas.F = kx4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar ijika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V.Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan denganrelasiVi = GV = , dengan G =1RRG adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebutresistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskanV = iRyang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.]Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, makaresistansi dapat dinyatakan denganR =ρlAρ disebut resistivitas bahan logam.lkatoda24Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kerapatan arus dalam logam adalahatas kita perolehj =iA=VRA1=ρij = dan dari persamaan diAVl= σEdengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρadalah konduktivitas bahan logam.Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial ataudVgradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertiandxgradien akan kita pelajari di Bab-9.5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untukterjadinya difusi,yaitu penyebaranmateri menembusmateri lain, adalahadanya perbedaanmateri masukdi x a C akonsentrasi. Situasiini analog denganC xperistiwa aliranmuatan listrik di manafaktor pendorongx a ∆x xuntuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.materi keluardi xAnalog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapatkita tuliskan sebagaidCJ x = −DdxD adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalamkeadaan mantap di mana C 0 dan C x bernilai konstan. Relasi inidisebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwafluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradienkonsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakanfungsi linier dari gradien konsentrasi.Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaandengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kitamenyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu25

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalampraktik rekayasa.Soal-Soal1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-limayang tergambar di bawah ini.54y3y 1 y 2210-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1y 5y 3-2-3y 4-4-5x2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut padasoal nomer-1 di atas.3. Carilah persamaan garis yanga) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y 2 ;b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y 3 .4. Carilah persamaan garis yang melaluia) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 3 – y 4 ;b) titik potong y 3 − y 4 dan titik potong y 1 – y 5 ;c) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 4 – y 5 .5. Carilah persamaan garis yanga) melalui titik potong y 1 – y 5 dan sejajar dengan garis y 2 ;b) melalui titik potong y 4 – y 5 dan sejajar dengan garis y 1 .26Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 3 Gabungan Fungsi LinierFungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dariperubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkinmerupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinyawaktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah takbebas, y.Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jikadalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier,besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsilinier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisistersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisisrangkaian listrik.3.1. Fungsi Anak TanggaFungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kitamenginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 danmembentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yangdisebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untukx < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x). Jadiu(x)= 1 untuk x ≥ 0= 0 untuk x < 0(3.1)Jika suatu fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tanggasatuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anaktangga (disebut juga undak), yaituy = ku(x)(3.2)Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsiy = 3,5u( x)dan fungsi y = −2,5u(x)yang bernilai nol untuk x < 0dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.27

y5y = 3,5 u(x)0-5 0 x 5-4y = −2,5 u(x)Gb.3.1. Fungsi anak tangga.Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dank disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang barumuncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tanggay = ku( x − a)(3.3)merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anaktangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi inibergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatifsumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.y 5y = 3,5 u(x−1)0-5 0 1x 5-4Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisidi x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda denganfungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).28Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

3.2. Fungsi RampTelah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengankemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anaktangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untukx < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalahy = axu(x)(3.4)Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.Fungsi ramp tergeser adalahy = a( x − g)u(x − g)(3.5)dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5)bagian y1 = a(x − g)adalah fungsi linier tergeser sedangkany2 = u(x − g)adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3.memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y 1 = xu(x), fungsi rampy 2 = 2xu(x), dan fungsi ramp tergeser y 3 = 1,5( x − 2) u(x − 2).3.3. Pulsay654321y 2 = 2xu(x)y 1 = xu(x)0-1 0 1 2 3 x 4Gb.3.3. Ramp satuan y 1 = xu(x), ramp y 2 = 2xu(x),ramp tergeser y 3 = 1,5(x-2)u(x-2).y 3 = 1,5(x-2)u(x-2)Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu danmenghilang pada x 2 >x 1 . Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengangabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi29

erlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnyaadalahy = au x − x ) − au(x − )(3.6)( 1 x2x 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x 2adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x 2 > x 1 .Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentukpulsa, yang muncul pada x = x 1 dan menghilang pada x = x 2 . Selisih( x2 − x1 ) disebut lebar pulsalebar pulsa = x 2 − x 1(3.7)Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalahy = 2u(x −1)− 2u(x − 2)= 2{ u(x −1)− u(x − 2) }lebarpulsa21y 1 =2u(x-1)y 1 +y 2 = 2u(x-1)-2u(x-2)0-1 0 1 2 3 x 4-1y 2 = -2u(x-2)-2Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaituy ′ = { u( x −1)− u(x − 2) }, adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul padax = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yangmuncul pada x = x 1 dan berakhir pada x = x 2 adalahy′ = A{ u( x − x1 ) − u(x − x2)}; lebar pulsa ini adalah (x 2 – x 1 ).Contoh: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 danamplitudo 4, memiliki persamaan{ u(x)− u(3) }y = 4 x − .30Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesarlebar pulsanya, ( x2 − x1), dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karenaitu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memilikinilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.Dalam praktik, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.memperlihatkan deretan pulsaperiodayGb.3.5. Deretan Pulsa.Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa munculbiasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilangdiberi simbol t off . Satu perioda T = t on + t off . Nilai rata-rata deretan pulsaadalahtony rr pulsa = ymaks(3.8)Tdengan y maks adalah amplitudo pulsa.x3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.Persamaan umumnya adalah{ ( x − x ) − u(x − )}y = mxu( x)× A u 1 x2(3.9)dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp danamplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulisy = mAx{ u x − x ) − u(x − )}( 1 x2Perhatikan bahwa u ( x)= 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y 1 = 2xu(x)denganfungsi pulsa y 2 = 1,5{ u(x −1)− u(x − 3) } yang hanya memiliki nilaiantara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki31

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasilkali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.y3= y1= 3xy2= 2xu(x)× 1,5{ u(x −1)− u(x − 3) }{ u(x −1)− u(x − 3) }1086yy 3 = y 1 y 2y 1 =2xu(x)4y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)}20-1 0 1 2 3 4 x 5Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y 1 dan pulsa y 2 .Perkalian fungsi ramp y 1 = mxu(x)dengan pulsa y2 = 1{ u(x)− u(x − b)}membentuk fungsi gigi gergaji y = ( m × 1) x{ u(x)− u(x − b)} yangmuncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).108yy 1 =mxu(x)6y 3 = y 1 y 2 =mx{u(x)-u(x-b)}42y 2 ={u(x)-u(x-b)}0b-1 0 1 2 3 4 5Gb.3.7. Kurva gigi gergajiSeperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secaraperiodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalahy rr gigi - gergaji =ymaks2(3.10)x32Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dengan y maks adalah nilai puncak gigi gergaji.y64T200 1 2 3 4 x 5Gb.3.8. Fungsi gigi gergaji terjadi secara periodik.3.5. Gabungan Fungsi RampPenjumlahan fungsi ramp akan berbentuky = axu(x)+ b(x − x1)u(x − x1)+ c(x − x2)u(x − x2)+ .......(3.11)Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(x)dany 2 = −2(x − 2) u(x − 2) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan duafungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karenamulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsigabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saatmencapai x = 2.y12108y 1 =2xu(x)6420-2 0 1 2 3 4 5x-4y-62 = −2(x−2)u(x−2)-8y 3 = 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)Gb.3.9. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(x)dan y = −4(x − 2) u(x − 2). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan33

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Olehkarena itu fungsi gabungan y 3 = y 1 + y 2 akan menurun mulai dari x = 2.y151050-5-10y 1 =2xu(x)y 2 = −4(x−2)u(x−2)y 3 = 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)0 1 2 3 4 5xGb.3.10. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsay pulsa = u( x −1)− u(x − 3) akan kita peroleh bentuk kurva sepertiterlihat pada Gb.3.11.y15105050 1 2 3 4 5-5x-10y 2 = −4(x-2)u(x-2)y 3 = {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}y 1 =2xu(x)Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentukgelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.yGb.3.12. Gelombang segitiga.x34Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalambentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergajimisalnya, kita jumpai dalam osciloscope.3.6. Domain, Kekontinyuan, SimetriFungsi anak tangga satuan yang tergeser y = u( x − a)hanya mempunyainilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikandengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yangmemiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetristerhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuanyang tergeser.Soal-SoalBentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai padabentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anaktangga berikut ini :a) y 1 : y maks = 5, muncul pada x = 0.b) y 2 : y maks = 10 , muncul pada x = 1.c) y 3 : y maks = −5 , muncul pada x = 2.2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 1, gambarkanlah kurva fungsiberikut ini.a). yc). y4b). y56= y + y11123= y + y2;= y + y ;+ y3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.335

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretanpulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji denganamplitudo 10 dan perioda 0,5.6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yangdigambarkan di bawah ini.y5perioda0 x1 2 3 4 5 6−37. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodikyang digambarkan di bawah ini.y50 x1 2 3 4 5 6−5perioda36Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 4 Mononom dan PolinomMononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n , dengan kadalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut inibeberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit3 2y1= x + 5x− 3x+ 72 2y2= ( x − 5)y3= 10xy4= 5Contoh yang pertama, y 1 , adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitupangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y 2 , adalah fungsiberpangkat empat. Contoh y 3 dan y 4 adalah fungsi mononom berpangkatsatu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier danfungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.4.1. MononomMononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagaifungsi genap, kita tuliskan2y = kx(4.1)Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akanmengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanyaakan negatif manakala k negatif.Kita ingat bahwa pada fungsi linier y = kx nilai k merupakankemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arahpositif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besarkemiringan garis makin tajam.Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-xjika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika kmakin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.37

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.10y y = 5x 2 y = 3x 2987y = x 2654321-3 -2 -100 1 2 3Gb.4.1. Kurva fungsi2y = kx dengan k positif.Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurvadengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu padatitik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimumpada titik [0,0].xx0-5 -4 -3 -2 -1 0-201 2 3 4 5-40-60-80y-100y = −10x 2y = −2x 2Gb.4.2. Kurva fungsi2y = kx dengan k negatif.Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;kita akan melihat bagaimana jika kurva mononom digeser. Pergeserankurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikanpeubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skaladiperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikianpersamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi2− b)= k(x − )(4.3)( ya38Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi2y 1 = 10xy22 = 10(x − 2)y 3 = 10( x − 2) + 302100yy 3 = 10(x−2) 2 + 30y 1 = 10x 2 50y 2 = 10(x−2) 20-5 -3 -1 1 3 5Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua dan tergeser.Perhatikanlah bahwa y 2 adalah pergeseran dari y 1 ke arah positif sumbu-xsebesar 2 skala; y 3 adalah pergeseran dari y 2 ke arah positif sumbu-ysebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalahberpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akanmembentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkatdua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika kpositif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4.memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yangmemiliki koefisien k sama besar.Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makincepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makintinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapatdimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jikapangkat makin besar.x39

y32y 1 = 2x 2y 2 = 2x 41y 3 = 2x 6 0-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisiensama.Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jikakoefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yangsama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengankoefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.y 1 = 6x 6y 2 = 3x 4y 3 = 2x 2Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepatmeningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besarsudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian padanilai x yang kecil tetap terlihat.Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yangmakin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makinkecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalahseperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.6543210-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5yx40Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y = 6x 2y = 3x 4y = x 6Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengankoefisien yang makin rendah pada mononomberpangkat tinggi.Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah padanilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkatrendah terjadi pada nilai y yang besar.Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contohperistiwa fisis.1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akanmemperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsiwaktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagaiv ( t)= atJarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah876543210-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.51s ( t)= at22). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, danwaktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatanelektron pada waktu mencapai katoda adalahv k = at241

anoda]katodal(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).Waktu tempuh dapat dihitung dari formula= l.122s ( t)= at , di mana s(t)3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medanj rsentral adalah ψ = e k dengan k adalah vektor bilangan gelombangyang searah dengan rambatan gelombang.gelombangEnergi kinetik elektron sebagaigelombang, E k , adalahEk =2h k2m2ek = 2π , λ : panjangλE km e massa electron, h suatu konstanta.E k dan k memiliki relasi mononomialpangkat dua(Dari Bab-8, ref. [4])kMononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dandalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y = kx .Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Iabernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makintinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.42Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1 ≤ x ≤ 1.Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisienk, perpotongan kurva dengan garis y = kx bisa terjadi pada nilai x < 1.4.2. Polinom Pangkat DuaFungsi polinom pangkat dua berbentuk2y = ax + bx + c(4.4)Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahanmononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masingmononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononompositif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurvamasing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.150yy 1 =2x 20-10 03210-1.5 -1 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5-2-3y = 2x y = 2x 5y 2 =15xy 3 =13y = 2x 3x-150Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.43

Jika kurva y 2 = 15x ditambahkan pada y 1 = 2x 2 maka kurva y 1 akanbertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah disebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.y 1 =2x 2150yy 4 =2x 2 +15x-10 00x(a)x = −15/2y 2 =15x-150150sumbu simetri y−15/4y 4 =2x 2 +15x−15/2-10 00x(b)sumbu simetri150y-150y 5 = 2x 2 +15x+13y 4 = 2x 2 +15x-10 00x(c)-150Gb.4.7. Penjumlahan y 1 = 2x 2 , y 2 = 15x, dan y 3 = 1344Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Karena y2 = 15xmelalui titik [0,0] dan y 1 = 2x 2 juga melalui titik [0,0]maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurvay = y + y = x 15x(4.5)4 1 2 2 2 +yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini jugamemotong sumbu-x di x = −15 / 2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 danx = −15 / 2 ) memenuhi persamaan y 3 = 2x2 + 15x= 0 . Kurva inimemiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = −15 / 4 sepertiterlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y 4tebentuklahy 5 = 2x2 + 15x+ 13(4.6)yang merupakan pergeseran dari y 4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)yang dapat kita tuliskan sebagai⎛ 2y = a⎜x +⎝⎛= a⎜x +⎝bab2a2y = ax + bx + cba⎞ ⎛x⎟+ c = a⎜x +⎠ ⎝ 22 2⎞ b − 4ac⎟ −⎠ 4a2 2⎞ b⎟ − + c⎠ 4a(4.7)Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva yadalah kurva y = ax 2byang tergeser sejajar sumbu-x sejauh −2akemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauhPerhatikan Gb.4.8.⎛ 2 ⎞⎜b − 4ac− ⎟ .⎜ ⎟⎝4a⎠45

yy = ax 2 +bx +cx 1x 2y = ax 2b−2a}Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax 2 sejajar sumbu-x ke kirisejauh–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawahsejauh –(b 2 −4ac)/4a.bSumbu simetri terletak pada x = − dan kurva memotong sumbu-x di2asebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x 1 dan x 2 . Daripersamaan (4.7) kita dapatkan0-500⎛⎜b−⎝2x− 4ac⎞⎟4a⎠2 2⎛ b ⎞ b − 4acy = a⎜x + ⎟ − = 0 →⎝ 2a⎠ 4a⎛a⎜x +⎝b2a2 2⎞ b − 4ac⎟ =⎠ 4a2 22⎛ b ⎞ b − 4ac⎛ b ⎞ b − 4ac→ ⎜ x + ⎟ = → ⎜ x + ⎟ = ±2a22⎝ ⎠ 4a⎝ 2a⎠ 4ax , x122b b − 4ac= − ±(4.8)2a2ayang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungandengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi samabesar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol46Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2b − 4ac2− = 0 ⇒ ( b − 4ac)= 04a(4.9)Jika ( b 2 − 4ac)< 0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan inimemberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:21. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax + bx yang memotong sumbu-bbx di x = 0 dan x = − dan memiliki sumbu simetri di x = −a2ayang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat2y = ax + bx + c .22. Nilai puncak fungsi y = ax + bx + c2y = ax + bx ditambah c yaitu2by = − + c4 aadalah nilai puncak2b − 4 acatau − .4a23. Fungsi kuadrat y = ax + bx + cmemotong sumbu-x dix1,2= −b±2a2b − 4ac2aFungsi Polinom Pangkat Dua Sebagai Mononom Tergeser. Mononom2pangkat dua yang tergeser tergeser adalah ( y − b)= k(x − a)yangdapat kita tuliskan sebagaidengan222 2y = kx − 2 akx + ka + b = Ax + Bx + CA = kx , B = −2akx, C = ka + b .Jadi bentuk kurva polinom pangkat dua memiliki bentuk yang samadengan mononom tergeser.247

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga3Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan y = kx . Jika k positif, fungsiini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk xnegatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurvafungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.3y = −2x500y4000-5 -4 -3 -2-100-1 0 1 2 3 4 5x3y = 2x300200100-200-300-400-500Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx 3 .Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x denganpergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita perolehdengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yangtergeser akan menjadidengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.33y = 2x3y = −2xy = k( x − a)+ b(4.10)48Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

600y400y = 10x 32000-5 -3 -1 1 3 5-200y = 10(x−2) 3x-400y = 10(x−2) 3 + 100-600Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yangberbentuk3 2y = ax + bx + cx + d(4.11)3Karena y = kx naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahanke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik disebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].3Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y 1 = ax dan b =19, c = −80, d2= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y 2 = bx + cx + d sepertiterlihat pada Gb.4.11.a.49

y2 = 19x2 − 80x− 2002000yy 1 =4x 3-1000 10x(a)-2000y3= y13= 4x+ y2+ 19x2− 80x− 200y 22000y0-10 0 10x(b)y 1-2000Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y 1 dan fungsi kuadrat y 2 .Dengan a positif maka kurva y 1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilainegatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y 2 telah kita kenal. Jika y 1ditambahkan pada y 2 maka nilai-nilai y 2 di sebelah kiri titik [0,0] akanberkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y 1 dan y 2 menghasilkankurva y 3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa3 2persamaan pangkat tiga ax + bx + cx + d = 0 (dengan nilai koefisienyang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan olehperpotongan fungsi y 3 dengan sumbu-x tersebut.50Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,penurunan kurva y 1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal inimenyebabkan pengurangan nilai y 2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sinifungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yangterlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotonganyang ke-tiga ini.2000y 2y 3 = y 1 + y 2y 1-2000-10 10(a) a kurang positif2000y 2-10 15(b) a terlalu positify 3 = y 1 +y 2y 1-2000Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y 1 + y 2 .Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y 1 di daerah negatif sangattajam. Pengurangan y 2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita51

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidakmemotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong disumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kitabahas di sub-bab sebelumnya.Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatifakan membuat kurva y 1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilainegatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y 2 akan bertambahdi daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidakterlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihatpada Gb.4.13.a.y 3 = y 1 + y 22000y 1y 20-10 0 15(a)-2000y 3 = y 1 + y 2y 215y 10-10 0(b)-2000Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y 3 = y 1 + y 2 dengan a negatif.Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapiperpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a52Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurvaberpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat padaGb.4.13.b.CATATAN: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tigadengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisiena pada mononom pertama ax 3 . Bentuk dan posisi kurva fungsikuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.4.4. Domain, Kekontinyuan, SimetriPeubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinomkontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kitamempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom denganpolinom, y = y 1 × y2.Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua2y = kx simetristerhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubahfungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yangberpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genapuntuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsicosinus yang akan kita pelajari di bab lain.Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga3y = kxsimetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y danpenggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlakupula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetriganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononomberpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbusimetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagimononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukanuntuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang jugamerupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini jugasimetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linierdengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsimononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan53

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurvafungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetriyang sejajar dengan sumbu-y.Soal-Soal1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengansumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.22y1= 4x; y2= 5x− 7 ;22y3= 3x−12 ; y4= −4x+ 82. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotonganantara kurva-kurva fungsi berikut iniy1 dan y2; y2dan y3; y3dan3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengansumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.2221 23 +y = 5x−10x; y = 3x−12x; y = −4x2x4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongankurva-kurva fungsi berikut.y1 dan y2; y2dan y3; y1dan5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengansumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.yy1232y = 5x= 3x2= −4x−10x− 7 ;−12x+ 2 ;2+ 2x+ 86. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongankurva-kurva fungsi berikut.y1 dan y2; y2dan y3; y1danyy34y354Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 5 Bangun Geometris5.1. Persamaan KurvaPersamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagaiF ( x,y)= 0(5.1)Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhipersamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhipersamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletakpada kurva.Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa diantaranya telah kita pelajari di bab pertama.Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titiktertentua) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x makakurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurvafunsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurvafunsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].Nilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyatadari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaanterdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yangberasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidakmemiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal initelah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasanpembahasan.2 2Contoh: y + x = 1. Jika kita cari nilai y kita dapatkany = ±1−x255

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan dibawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kitamembatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1. Karena kurva inisimetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbataspada rentang −1≤y ≤1.Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengansumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkankoordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x= 0.2 2Contoh: y + x = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] danQ[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1].Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akanmendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidakakan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidakmemotong sumbu-x maupun sumbu-y.Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurvamenjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garistertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakanasimptot dari kurva.22Contoh: y ( x − x)= x + 10 .2Persamaan ini memberikany = ±2x + 10x(x − 1)Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal iniberarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satuagar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang beradaantara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalahasimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.56Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4y0-4 0x4Soal-Soal:Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai-4222 x + 10 1 + 10 / xy = =2x − x 1 − 1/ xJika x → ±∞ maka y 2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbukoordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:1y = x + ; = x 2 1y + 1 ; y =x2 ;x + 1y = x 2 −1;y 1=x2 −1.5.2. Jarak Antara Dua TitikJika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[x p ,y p ) dan Q[x q ,y q ], makajarak antara keduanya adalahPQ22= ( x p − xq) + ( y p − yq)(5.2)Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempatkedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akanmelihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.57

Soal-Soal:1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakanpersamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titikyang berjarak sama terhadap P dan Q.2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakanpersamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yangsedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.5.3. ParabolaKita telah melihat bentuk kurva2y = kx(5.3)yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarakantara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletakdi sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncakparabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.yy=kx 2Q[0,p]P[x,y][0,0]xR[x,−p]Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.2 22 2 22 2PQ = (PR − p)+ x = ( y − p)+ x = y − 2 py + p + xPR = (y + p)58Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Karena PQ = PR, maka222 2y − 2 py + p + x = y + p2y − 2 py + p + x = y + 2 py + p2+xy = yang berarti4 p222x = + 4 pyatauk = 14 patau21p =4kDengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskandengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].1 2y = x(5.4)4 pContoh: Persamaan parabola2y = 0,5xdapat kita tuliskanSoal-Soal:y =12x21= x4 × 0,5dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0, 5 dantitik fokus di Q[0,(0,5)].Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:2y + 4x= 8 ; x − 8y= 4 ;25.4. Lingkaranx + 2x− 4y− 3 = 0 ; y + x + y = 0Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak samaterhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]ke titik-asal adalah222XO =2x + y259

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, makax 2 + y2 = rOleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah2 2 2+ y r(5.5)x =dengan r adalah jari-jari lingkaran.Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapatmelihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat diP[a,b] mempunyai persamaan2 2 2− a)+ ( y − b)(5.6)( x = rGb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut2 2lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x + y = 1 .y 1y10,5-1 [0,0]0,51 xGb.5.3. LingkaranPada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r 2 = 0,4 berpusat di[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan( x − 0,5)2-1+ ( y − 0,5)2= 0,460Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Soal-Soal:Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbukoordinat lingkaran berikut5.5. Elips1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titiktertentu adalah konstan. Keduatitik tertentu tersebut merupakanX[x,y]dua titik fokus dari elips.Perhatikan Gb.5.4. Misalkandiketahui posisi dua titik P[−a,0]dan Q(a,0]. Jarak antara titiksembarang X[x,y] dengan keduatitik tersebut masing-masingadalah2 2XP = ( x + c)+ y danP[-c, 0] Q[c, 0] xGb.5.4. ElipsXQ =2 2( x − c)+ yJika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka2 22 2( x + c)+ y + ( x − c)+ y = 2aJika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas dikuadratkan, akan kita peroleh2 2 22 2 2 2( x + c)+ y = 4a− 4a( x − c)+ y + ( x − c)+ yyang dapat disederhanakan menjadic2 2a − x = ( x − c)+ ya61

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan22 c 2 22 2a − 2cx+ x = x − 2cx+ c + y2ayang dapat disederhanakan menjadi2 2x y+ = 12 2 2a a − cKita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhirini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisiselalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akarnyata; misalkanpersamaan elipsa 2 − c2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan2 2x y+ = 12 b2a(5.7)Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potongdengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segipanjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbupendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kitamendapatkan persamaan lingkaran).Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisamelihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah22( x − p)( y − q)+ = 122a b(5.8)dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseransejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan22( x − 0,5) ( y − 0,25)+120,5= 162Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1y0-1 0 1 x 2Soal-Soal:Gb.5.5. Elips tergeser.Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:5.6. Hiperbola2 21) 9x + 4x= 36 ;2-12) 4x + 9y= 144 ;22 23) 4x + y = 1;24) 16( x − 2) + 9( y + 3) = 144Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknyaantara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperboladapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips diatas.Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] danQ(c,0].Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasingadalah2 2XP = ( x + c)+ y dan2XQ =2 2( x − c)+ y63

yX(x,y)P[-c,0]Q[c,0]xGb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka22( x + c)+ y − ( x − c)+ y = 2aSuku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas dikuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan( c / a)x − a = ( x − c)+ yJika kedua ruas dikuadratkan akan diperolehxa22−c2y2− a222= 1Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalulebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua2 2 2ruas kiri selalu positif, misalkan c − a = b . Dengan demikian kitadapatkan persamaanxa22−by22= 1Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.22(5.9)64Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y+∞X(x,y)-c -a a cxGb.5.7. Kurva hiperbolaDengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengansumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidakmemperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak adabagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.Soal-Soal:Gambarkan (skets) hiperbola berikut:1) x 2 2− y = 19 16; 2) y 2 2− x =9 161 ;3) x 2 2− y = 116 9; 4) x 2 2− y = −9 1615.4. Kurva Berderajat DuaParabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khususkurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaanberderajat dua adalah22Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0(5.10)Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan−∞B = C = D = F = 0;A = 1; E = −4p65

1 2sehingga diperoleh persamaan (5.4) y = x .4 pLingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) denganB = D = E = 0 ; A = 1; C = 1; F = −1Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari(5.10), di manaA = B = C = 0 ;D = −a;E = 1;F = −byang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalamkasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadipersamaan berderajat satu.Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telahsering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namunbentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernahkita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.5.5. Perputaran Sumbu KoordinatDalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabolasampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Inisesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalambangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotongsumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus diP[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.yXP[-a,-a]Q[a,a]xGb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a66Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2 22 2( x + a)+ ( y + a)− ( x − a)+ ( y − a)= 2aJika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian keduaruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita perolehx + y − a =2 2( x − a)+ ( y − a)Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan22xy = a(5.11)Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurvapersamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran IIdan III seperti terlihat pada Gb.5.9.5y0-5 0x-5Gb.5.9. Kurva 2xy = a 2 .Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbolasebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memilikisumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaranjarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenaiperputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.yP[x,y]y’P[x’,y’]x’OβαQQ’xGb.5.10. Perputaran sumbu.67

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapatdinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atauP[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkanSementara itux = OQ = OP cos( α + β)y = PQ = OPsin( α + β)x'= OQ' = OP cosβy'= PQ' = OPsin βDengan kesamaan (Catatan: lihat fungsi trigonometri di Bab-6)cos( α + β)= cosαcosβ − sin αsinβsin( α + β)= sin αcosβ + cosαsinβDengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadix = x'cosα − y'sinαy = x'sinα + y'cosαPersamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.(5.12)(5.13)(5.14)(5.15)Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva padaGb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehinggacos α = sin α = 1/ 2 . Oleh karena itu kita perolehx' −y'x' + y'x = dan y =22Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkanx'−y'x'+ y'2 2 22 × = ( x')− ( y')= a2 2Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalahsumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45 o .Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadilengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajarsumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kitapandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengandemikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di manasumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbukoordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].68Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 6 Fungsi TrigonometriTrigon adalah poligon yang paling sederhana. Ia bersisi tiga yang disebutsegitiga; ia unik. Suatu segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c adalahsatu-satunya segitiga yang memiliki sisi-sisi ini; tidak ada segitiga lainyang memiliki sisi-sisi a, b, dan c, yang berbeda bentuk dan ukuran darisegitiga ABC. Bentuk dan ukuran yang pasti ini menjamin adanya relasiyang pasti antara sisi-sisi dan sudutnya. Dengan kepastian ini ia menjadiwahana transformasi dari berbagai gejala fisis yang kita kenal; bentuksegitiga yang digunakan untuk keperluan ini adalah segitiga siku-siku.Segitiga siku-siku dengan sisi-miring cdan sisi siku-siku b dan c, dan sudut αadalah antara sisi b dan c, mempunyairelasi pastia = c sin α danb = c cos αSinus dan cosinus adalah fungsi-fungsi trigonometri. Sudut α menjadipeubah bebas dan a menjadi peubah tak bebas yang nilainya tergantungdari α, dengan c merupakan tetapan; kita dapat menuliskan fungsiy= Asin αJika α bervariasi terhadap waktu, a = ωt, makay = AsinωtInilah fungsi sinus yang sering kita jumpai, yang digunakan untukmenyatakan berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu secarasinusoidal. Sebagai contoh: getaran garpu tala, gelombang suara gongyang ditabuh, gelombang tegangan saluran transmisi enegi listrik,gelombang tegangan medan listrik pemancar radio, dan sebagainya.ω dalam contoh di atas disebut frekuensi sudut, t adalah waktu yangbiasanya dinyatakan dalam satuan detik, dan sudut α dapat dinyatakandalam satuan derajat ataupun radian; jadi ω memiliki satuanderajat/detik atau radian/detik.Aαcb = c cos αBaC= csin α69

6.1. Peubah Bebas Bersatuan DerajatBerikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagaipeubah-bebas.y = sin θyyyyy123456= cos θsin θ= tan θ =cos θcos θ= cot θ =sin θ1= sec θ =cos θ1= csc θ =sin θ(6.1)Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan,yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran inidiperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positifberlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijarir berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.y1Oθ-1 [0,0] -θ Q 1 xrP-1P’Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.70Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, makaPQsin θ = = PQ(6.2)rPQ = 0 pada waktu θ = 0 o , dan membesar jika θ membesar sampaimencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90 o . Kemudian PQmenurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180 o . Sesudah itu PQmenjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 padawaktu θ = 270 o , kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktuθ = 360 o . Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnyaterjadi pada waktu θ = 720 o . Kejadian berulang lagi dan demikianseterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkatkita memperolehsin 0osin 270= 0;o= −1;sin 90o= 1;sin 360osin180= 0o= 0;Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, makaOQcos θ = = OQr(6.3)OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampaimencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQmeningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π.Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklusberikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dandemikian seterusnya. Secara singkatcos0ocos 270= 1;o= 0;cos90o= 0;cos360ocos180= 1o= −1;Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalilPitagoras memberikan PQ 2 + OQ 2 = OP 2 =1, makaDari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga22sin ( θ ) + cos ( θ)= 1(6.4.a)71

P′Q −PQsin( −θ)= = = −sinθr rOQcos( −θ)= = cosθr(6.4.b)(6.4.c)Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecildari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilaiantara −1 dan +1.Fungsi Tangent.PQtan θ =(6.4.d)OQP′Q −PQtan( −θ)= = = − tan θ(6.4.e)OQ OQNilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0 o , dan akan menuju +∞ jika θ menuju90 o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ padawaktu θ menuju −90 o . Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.Nilai tanθ = 1 bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1jika θ = −45 o . Lihat pula kurva pada Gb.6.5.Fungsi Cotangent.OQcot θ =(6.4.f)PQOQ OQcot( −θ)= = = −cotθ(6.4.g)P′Q − PQNilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0 o karena PQ akan menuju 0walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90 o karena OQ = 0.Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akanmenuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90 o karena P’Q menuju −∞. Lihat pulakurva Gb.6.6.72Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Secan dan Cosecan1 rsecθ = =(6.4.h)cosθOQ1 rcscθ = =(6.4.i)sin θ PQNilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90 o karena OQ menuju 0 dan secθ =1 pada waktu θ = 0 o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1.Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju0. Lihat pula Gb.6.7.Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan denganmengunakan Gb.6.2., yaitucosαy1sinα cosββsinαsinα sinβαcosα sinββ-1 [0,0] 1 xcosα cosβ-1Gb.6.2. Relasi-relasisin( α + β)= sin αcosβ + cosαsinβcos( α + β)= cosαcosβ − sin αsinβ(6.5)Karenasin( −β)= −sinβdan cos( −β)= cosβmaka kita peroleh pulasin( α − β)= sin αcosβ − cosαsinβcos( α − β)= cosαcosβ + sin αsinβ(6.6)73

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-yrθsBilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengansatuan radian. Jumlah radian dalam sudut θdidefinisikan dengan persamaanθ =s , s = rθ(6.7)rJika θ = 360 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr .Jadi jumlah radian dalam sudut 360 o adalah 2π. Dengan demikian makaukuran sudutθ 1 = 180 o adalah π rad.θ 2 = 90 o adalah 0,5πrad.θ = adalah ( /180) rad. dst.3 1 o πFungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometriakan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwasumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsisinusy = sin(x)(6.8)terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90 o ,mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180 o , mencapai minimum −1 (arahnegatif) pada x = 1,5π atau θ = 270 o , kembali nol pada x = 2π atau θ =360 o ; inilah satu perioda.−2πy1,510,5−π00-0,5π 2π-1-1,5Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.x74Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinusy = cos(x)(6.9)terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0atau θ = 0 o , mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90 o , mencapaiminimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180 o , kembali nol pada x= 1,5π atau θ = 270 o , dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satuperioda, 2π.−π1,5y10,5-1,5Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik denganperioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yangsama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitusin( x)= −sin(−x)sedangkan cos( x)= cos( −x)(6.10)Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memilikisimetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebutmemiliki simetri genap.Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsisinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajarsumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakandalam cosinusy = sin( x)= cos( x − π / 2)(6.11)Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi-1perioda00 π 2π x-0,5sin( x)y = tan( x)=(6.12)cos( x)75

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai takhingga pada x = +π/2 dan −π/2.3y210-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π-1-2-3Gb.6.5. Kurva y = tan(x)Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.cos( x)1y = cot( x)= =(6.13)sin( x)tan( x)Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.Lihat Gb.6.6.3210-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π-1-2-3Gb.6.6. Kurva y = cot (x)76Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.1y = sec( x)=(6.14.a)cos( x)Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.1y = csc( x)=(6.14.b)sin( x)Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 karapada nilai x ini sin(x) bernilai 0.3210-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π-1-2(a) y = sec(x)-3321-1,5π -π0-0,5π 0-10,5π π 1,5π-2-3(b) y = csc(x)Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)77

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:y = 2sin x ; y = 3sin 2x; y = 2cos3x;y = 3cos(2x+ π / 4) ; y = 2 tan( x / 3)6.3. Fungsi Trigonometri InversiSinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan y = sin(x), maka fungsisinus inversi dituliskan sebagai−1y = arcsin x atau y = sin x(6.15)Perhatikan bahwa sin −1 x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus xyang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama denganx.Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsiy = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat padaGb.6.8.a.Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanyameninjau fungsi sinus inversi padaπ π− ≤ y ≤ . Dengan pembatasan ini2 2maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin −1 x. Jadi nilaiutama y = sin −1 x terletak padaπ −1 π− ≤ sin x ≤ . Kurva fungsi2 2y = sin −1 x yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin −1 x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =0 = x. Pada x = 1, y = sin −1 x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.Contoh:−y = sin 1 (1) = 0,5π;−y = sin 1 ( −1)= −0,5π−sin 1 πy = (0,5) = ;6−sin 1 πy = ( −0,5)= −678Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2πyπ-1001x0,5πy0,25π−2π−π0-1 -0,5 0 0,5 x 1-0,25π-0,5πa) b)Gb.6.8. Kurva y = sin −1 xJika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkanhorizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akanmemperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentangπ π− ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi2 2sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan−1π −1y = cos x = − sin x(6.16)2Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancipsegitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan sin α = cosβ.Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga−1cos x= β = π−1/ 2 − α = π / 2 − sin x79

Karena dengan pembatasanπ π− ≤ y ≤ pada fungsi sinus inversi2 2memberikanπ −1 π1− ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos − x akan2 2terletak pada ≤− 10 cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsicosinus inversi pada nilai utama.Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-ydigambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.dalam rentang 0 ≤ x ≤ π .yπ1πy-1001x0,75π0,5π−π0,25π0-1 -0,5 0 0,5 x 1a) b)Gb.6.9. Kurva y = cos −1 xTangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalahy = tan −1 x(6.17)πdengan nilai utama1 π− < tan− x

1,5πyπ0,5π-3 -20-1 0 1 2 3-0,5π-πx0,5πy0,25π0-10 -5 0 5 x 10-0,25π-1,5πa) b)Gb.6.10. Kurvay = tan −1 xJika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.bini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,dalam rentangπ −1 π− < tan x

1πy0,5π0x-10 -5 0 5 10Gb.6.11. Kurvay= cot −1xPertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikanbentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi1y = sec−1 x = cos−1(6.19)xdengan nilai utamaπ≤− 10 sec x ≤ π .0,75π0,5π0,25π0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Gb.6.12. Kurvay= sec −1xFungsi Cosecan Inversi.1csc−1 x = sin−1(6.20)xdengan nilai utamaπ −1 π− ≤ csc x ≤2 282Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsiterakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.0,5πy0,25π0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4-0,25π-0,5πGb.6.12. Kurvay = csc −1 xHubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversidengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakangambar segitiga siku-siku.1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitusudut y yang sinus-nya adalah xdapat kita gambarkan segitigasiku-siku dengan sisi miring samadengan 1 seperti terlihat disamping ini.Dari gambar ini selain fungsiy = sin −1 x dan sin y = x , kita dapat peroleh2cos y = 1−x ,tan yx= , dst.21 − xy121 − xx2). Dari fungsi cosinus inversiy = cos −1 x dapat kitagambarkan segitiga siku-sikuseperti di samping ini.1 21 x −yx83

Selaincos y = x dari gambar ini kita dapatkan2sin y = 1 − x ,1 − xtan y = , dst.x23). Dari fungsi y = tan −1 x , kitagambarkan segitiga seperti di sampingini.Selaintan y =x , kita perolehxsin y = ,21 + xcos y1= , dst21 + x21 + xy1x4). Dari fungsi y = sec −1 x kitagambarkan segitiga seperti disamping ini.yxx 2 − 1Dari gambar ini kita peroleh2tan y = 1 − x ,2 −1x 1sin y = , dst.xSoal-Soal:1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y84Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 7 Gabungan Fungsi Sinus7.1. Fungsi Sinus Dan CosinusBanyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnyagelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang teganganlistrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsiwaktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktusebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detikdisebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T 0 maka1f 0 = (7.1)T0Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakanjumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahansudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus perdetik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensisiklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuanradian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut(ω), dan juga dengan perioda (T 0 ), adalah2πω = 2πf0=(7.2)T0Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) Adituliskan sebagai⎛ 2πt⎞y = Acosωt= Acos⎜⎟(7.3)⎝ T0⎠Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatanyang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsisinus y = sin(x)atau fungsi cosinus y = cos(x)dengan x sebagaipeubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakanfungsi cosinus y = cos ωtdengan t sebagai peubah bebas dengansatuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadiradian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.85

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kitageser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsisinus. Gb.7.2.⎛ π ⎞⎛ 2πt⎞y = Acos⎜ωt− ⎟ = Asinωt= Asin⎜⎟⎝ 2 ⎠(7.4)⎝ T0⎠yAT 000 t-AGb.7.1. Fungsi cosinusy⎛ 2πt⎞y = Acosωt= Acos⎜⎟⎝ T0⎠AT 000 t-AGb.7.2. Fungsi sinus⎛ 2πt⎞ ⎛ π ⎞y = Asinωt= Asin⎜⎟= Acos⎜ωt− ⎟⎝ T0⎠ ⎝ 2 ⎠Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3.Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalahy = Acosω⎛ 2πt( t − T ) = Acos⎜−ssT ⎟ 0 T0⎠⎝2πT⎞86Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

yAT 000 T st-AGb.7.3. Fungsi cosinus tergeserKita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkanpergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseranadalah T s . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadikurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatufungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentukcosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yangditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidalkita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggapsebagai bentuk normalPerhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehinggafungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3)yang dapat pula kita tuliskany = Acosωy = Acos( t − )T s( ωt− ω )Pada penulisan terakhir ini, ωT s mempunyai satuan radian, sama dengansatuan ωt. Selanjutnya2πTsϕ = ωTs=(7.5)T0disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncakpertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kitatuliskan( ω − ϕ)T sy = cos t(7.6)87

Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubahfungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kitamenambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkanadalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yangbukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadijumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudutfasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponensearah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensidasar f 0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf 0 .Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsisinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yangberlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuksinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentukfungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yangmenyusunnya.Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatanbulat n dari frekuensi dasar f 0 . Frekuensi f 0 kita sebut sebagai frekuensidasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T 0 = 1/f 0 .Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisaketiga (3f 0 ), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisake-n mempunyai frekuensi nf 0 .7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisamempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, ataudengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita jugamempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponentersebut.88Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4yy40-5 15t0-5 15t-4y = 3 cos 2f 0t-4y = 1 + 3 cos 2f 0t4y0t- 5 15- 4y = 1+3cos 2πf0t− 2cos(2π(2f0) t)1-5 15-4y = 1+3cos 2π f0t− 2cos(2π(2f0)t + π / 4)Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakandengan persamaan( 2πft) + 15sin( 2π(2f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t)y = 10 + 30 cos 0 0π 0)Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tigakomponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponenberfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponensinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponeninilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Sukuketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3tidak ada.Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untukmelihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap sukudengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan89

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalahmenggunakan fungsi cosinus, yaitu y = Acos(2πft+ ϕ).Dengan menggunakan kesamaansin( 2πft ) = cos(2πft− π / 2) dan −cos(2πft) = cos(2πft+ π)persamaan fungsi di atas dapat kita tulisy = 10 + 30 cos(2πf0t)+ 15cos(2π2f0t− π / 2) + 7,5cos(2π4f0t+ π)Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalambentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiapkomponen seperti dalam tabel berikut.Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo 10 30 15 7,5Sudut fasa − 0 −π/2 πFungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataansuatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkanapa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatuspektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudomaupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi darifrekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu: 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turutadalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyaltegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f 0 , 2f 0 dan4f 0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitugrafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsifrekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).90Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

40Amplitudo302010Sudut Fasa00 1 2 3 4 5Frekuensi [×f 0]Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo2ππ/200 1 2 3 4 5−π/2−2πFrekuensi [×f 0]Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapatdilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadijumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraianfungsi persegi ini adalah sebagai berikut :Ay = Acos(2πf0t− π / 2) + cos(2π3f0t− π/2)3AA+ cos(2π5f0t− π/2) + cos(2π7f0t− π/2) + ....57Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudutfasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnyafrekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak adaharmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.91

Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 .. nf 0Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/nSudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangundari harmonisa-harmonisanya.a) b)c)d)e)Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai padaharmonisa ke-21.Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa denganmenambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akanmakin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukanterus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsiyang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentukyang kita inginkan.Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggifrekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidakhanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas92Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggapamplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensitertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kitatetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%dari amplitudo sinus dasar.Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah jugaperlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasarjika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalahnol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (bandwidth).93

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut inidalam format cosinus y = Acos(x − xs) :a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensisiklus 10 siklus/skala.b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,frekuensi siklus 10 siklus/skala.c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi sudut 10rad/skala.d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi sudut10 rad/skala.2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungansinus berikut ini:y = 4 + 5sin 2π2000t− 2cos 2π4000t+ 0,2sin 2π8000tDengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,tentukan lebar pita fungsi ini.3. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungansinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini denganmengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.oy = 3cos(2π1000t− 60 ) - 2sin2π2000t+ cos2π8000t4. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungansinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini denganmengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.y = 10cos100t+ 2cos300t+ cos500t+ 0.2cos1500t+ 0,02cos5000t5. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungansinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini denganmengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.y = 10 + 10cos 2π500t+ 3cos 2π1000t+ 2cos 2π1500t+ 0,2cos 2π2000t94Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 8 Fungsi Logaritma Natural,Eksponensial, Hiperbolik8.1. Fungsi Logarithma Natural.Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basisbilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangannyatadengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakangkoma, nilainya adalahe = 2,7182818284Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat pentingdalam matematika:ln e = 1(8.1)ln e a = a ln e = a(8.2)Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma naturaldari x dituliskan sebagaiy = ln x(8.3)Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kitapelajari pada Bab-12), yaitu=∫x 1ln x dt(8.4)1 tDi sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integraldengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/tdan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilaifungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dansumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.6y543211/tln x0t0 1 2 x 3 4Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.97

Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2.Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e.yGb.8.2. Kurva y = ln x.Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa.Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:ln ax = ln a + ln xlnln xln e = 1ln ex= ln x − ln a;anx21,510,500-0,51 2 e 3 x 4-1-1,5-2= nlnx= xln x bernilai negatif untuk x < 1y = ln x(8.5)Soal-SoalDengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmensebagai luas trapesium, hitunglah1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,598Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

8.2. Fungsi EksponensialAntilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversidari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsix = ln y(8.6)Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi iniekivalen denganyang disebut fungsi eksponensial.xy = e(8.7)Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsieksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai munculpada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidakdituliskan.y = ae−bx; x ≥ 0(8.8)Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilaifungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi iniakan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunantersebut.Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsieksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 sepertiterlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b,makin cepat fungsi menurun.y10,80,6e − xe −2x0,40,200 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 4Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e −x dan y = e −2x .99

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x= 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudahdi bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensialbiasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah−aty = Ae u(t)(8.9)Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwakita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepatjika a makin besar. Didefinisikanlahsehingga (8.9) dituliskan1τ =(8.10)a−t / τy = Ae u(t)(8.11)τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsieksponensial menurun.Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yangbanyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitupenjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyaiamplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanyajuga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah−t/ τ1 −t/ τ2( − e ) u(t)y = A e(8.12)Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4.Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja(surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampaisuatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebihlambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan laboratoriumberbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkandengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.100 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y5A43y = Ae1y2−t/ τ1= Ae−t/ τy = A e2−t/ τ1 −t/ τ2( − e )2100 1 2 3 4 t/τ 5Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.Soal-Soal1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensialyang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini :a). y a = amplitudo 5, τ = 2.b). y b = amplitudo 10, τ = 2.c). y c = amplitudo −5, τ = 4.2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsiberikut.a). yc). ydb). yef= y= yaa= ya+ y+ ybc+ yb+ yc3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut.a).b).−0,5x10{ 1−e }−0,2x{ 10 − 5e}y1 =u(x)y2 =u(x)101

8.3. Fungsi HiperbolikDefinisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsihiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)v−v−ve + ee − ecosh v = ; sinh v =(8.13)22Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dansinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometribiasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dany = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan“lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu22x + y = 1 = sin θ + cos θ .Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsifungsiini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”:x2− y22= 1Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh vuntuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan”akan terpenuhi. Kita coba:x2− y2= cosh2v − sinh2ev =2v+ 2 + e4v−2v2e−2v− 2 + e4−2vBentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. denganex = cosh v =v+ e2−vy;ey = sinh v =43210-1-2-3-4v = 0v− e2−vv = ∞P[x,y]x0 1 2 3 4Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan.=4= 14102 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika kita masukkanex = cosh v =v+ e2−v;ey = sinh v =v− e2maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena e vselalu bernilai positif dan e −v = 1/e v juga selalu positif untuk semua nilainyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelahkanan sumbu-y) kurva hiperbolik.Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang laindidefinisikan sebagaiv −vv −vsinh v e − ecosh v e + etanh v = = ; coth v = =(8.14)cosh v v −vv v −ve + esinh e − e1cosh1sinh vsech v = = ; csch v = = (8.15)v −vv −vve2+ ee−v2− eIdentitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini.1). 2 2cosh v − sinh v = 1 . Identitas ini telah kita buktikan di atas.Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa.2 22). 1 − tanh v = sech v . Identitas ini diperoleh dengan membagiidentitas pertama dengan cosh 2 v.223). coth v − 1 = csch v . Identitas ini diperoleh dengan membagiidentitas pertama dengan sinh 2 v.4).5).cosh v + sinh v = eu. Ini merupakan konsekuensi definisinya.−ucosh v − sinh v = e . Ini juga merupakan konsekuensidefinisinya.103

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkankurva fungsi-fungsi hiperbolik.(a)1e2x4y3210y = sinh x-2 -1 0 1 2-11− e − x-22y = cosh x-3-443yx2c)b)1y = sech x0x-2 -1 0 1 2-14y = cosh x y3211 xey = sinh x20-2 -1 0 1 2-1-2-3-4x104 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4y32y = coth x1y = tanh x0x-2 -1 0 1 2-1y = coth x-2-3d)-4y432y = cschxy = sinh x1-2 -100-11x2-2e)y = cschx-3-4Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.105

Soal-Soal1). Turunkan relasi sinh( u + v)dan cosh( u + v).2). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, coth v, dan csch v.3). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.106 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 9 Koordinat Polar9.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-sikuPada pernyataan posisi satu titik P[x P ,y P ] pada sistem koordinat sudutsikuterdapat hubungany = r sin θ ; x = r cosθ(9.1)PPdengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalahsudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat padaGb. 17.1.yy PrP[r,θ]θ[0,0] x P xGb.9.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar.Dalam koordinat polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk menyatakanposisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 17.1. dituliskan sebagaiP[r,θ].17.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat PolarDi Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat diO[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu2( x − a)+ ( y − b)= cKita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar denganmengganti x dan y menurut relasi (9.1), yaituyang dapat dituliskan sebagai2222 2θ − a)+ ( r sin θ − b)(9.2.a)( r cos= c107

( r2cos2θ − 2racosθ + a2( r − 2r(a cosθ + bsinθ))r) + ( rsin= 02 2 2( r − 2( a cosθ + bsinθ)) + a + b − c = 02+ a22+ bdengan bentuk kurva seperti Gb.9.2.a22θ − 2rbsinθ + b− c22) − c2= 0(9.2.b)Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] makapersamaan (9.2.b) menjadir ( r − 2acosθ)= 0(9.2.c)Pada faktor pertama, jika kita mengambil r = 0 , kita menemui titikpusat. Faktor ke-dua adalahr − 2 a cosθ= 0(9.2.d)merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti padaGb.9.2.b.by[0,0]θra(a)P[r,θ][0,0]Gb.9.2. LingkaranBerikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola.xContoh: r = 2(1− cosθ). Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.3yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati.yθra(b)P[r,θ]x108 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

3P[r,θ]2r1yθ0-5 -3 -1-11xGb.9.3 Kurva kardioid, r = 2(1− cosθ)Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π,r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2.Contoh:2r = 16cosθ. Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.4321-5 -3 -101 3 x 5-1-2-3Gb.9.4 Kurva2r = 16cosθPerhatikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π,r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0.Contoh: r θ = 2 . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat padaGb.9.5y-2-3rθP[r,θ]109

2y1,510,5rθP[r,θ]0-1 0 1 2 x 3θ = π-0,5θ = 3π θ = 4π θ = 2π-1Gb.9.5 Kurva r θ = 2y = 2Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidakbenar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaiandengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendekati nol maka r mendekati ∞;garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perhatikanlah bahwaperpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ= π, 2π, 3π, 4π, dst.17.3. Persamaan Garis LurusSalah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinatpolar adalah menggunakan relasi (9.1) jika persamaan dalam koordinatsudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaanlingkaran (9.2.a) menjadi (9.2.b) atau (9.2.c). Berikut ini kita akanmenurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung daribentuk / persyaratan kurva.Gb.9.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l 1 sejajar sumbu-x dan l 2sejajar sumbu-y.yl 1yOrθaP[r,θ]xbOl 2rθP[r,θ]xGb.9.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0].Garis l 1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis iniharus memenuhi110 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Inilah persamaan garis l 1 .r cos θ = a(9.3)Garis l 2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis iniharus memenuhiInilah persamaan garis l 2 .r sin θ = b(9.4)Kita lihat sekarang garis l 3 yang berjarak a dari titik asal dengankemiringan positif seperti terlihat pada Gb.9.7. Karena garis memilikikemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l 3 , yaitu βjuga tertentu. Kita manfaatkan β untuk mencari persamaan garis l 3 . Jikatitik P harus terletak pada l 3 makaInilah persamaan garis l 3 .r cos( β − θ)= a(9.5)yP[r,θ]Aαl 3aβrθOxGb.9.7. Garis lurus l 3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif.Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (9.3) terlihatbahwa persamaan (9.5) ini adalah bentuk umum dari (9.3), yang akankita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kitalakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif,maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (9.5). Apabila perputaransumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l 4 , memilikikemiringan negatif, seperti pada Gb.9.8., maka persamaan garis adalahr cos( θ − β)= a(9.6)111

yP[r,θ]r aθβl 4OxGb.9.8. Garis lurus l 4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif.17.4. Parabola, Elips, HiperbolaKetiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinatsudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar.Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalahmenyimpang dari yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalahrasio antara jarak suatu titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antaratitik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dangaris tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal padawaktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, denganpengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola,elips, dan hiperbola.Perhatikan Gb.9.8. Jika e s adalah eksentrisitas, makaPFe s =(9.7)PDDAdirektriksrθFGb.9.8. Titik fokus dan garis direktriks.Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, makakyPF = rBP[r,θ]x112 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dan dengan (9.7) menjadir = e s PD ; sedangkanPD = AB = AF + FB = k + r cosθsehingga r = es( k + r cosθ)= esk+ esrcosθDari sini kita dapatkanr =esk− e cosθ(9.8)1 sNilai e s menentukan persamaan bangun geometris yang kita akanperoleh.Parabola. Jika e s = 1, yang berarti PF = PD, makakr =(9.9)1−cosθInilah persamaan parabola.Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga.Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurvadan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengahantara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5.Elips. Jika e s < 1, misalnya e s = 0, 5 , PF = PD/2, makakr =(9.10)2 − cosθInilah persamaan elips.Perhatikan bahwa karena − 1 ≤ cosθ ≤ + 1 maka penyebut padapersamaan (9.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalumempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik Pmencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = πmaka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F.Hiperbola. Jika e s > 1, misal e s = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka2kr =(9.11)1 − 2cosθInilah persamaan hiperbola.113

Jika θ mendekati π/3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π / 2 maka r =2k. Jika θ = π , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.17.4. Lemniskat dan Oval CassiniDi laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yangpenting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulauvulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorokdalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan.Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean DominiqueCassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empatdi antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yangmenemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincinke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakansituasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titikyang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan.Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F 1 [a,π] dan F 2 [a,0]. LihatGb.9.9.θ = π/2P[r,θ]rθ = πF 1[a,π]θF 2[a,0]θ = 0Dari Gb.9.9. kita dapatkanGb.9.9. Menurunkan persamaan kurva denganpersyaratan PF 1 ×PF 2 = konstan22( PF ) = ( r sin θ) + ( a + r cosθ)1= r2+ a2+ 2arcosθ22( PF ) = ( r sin θ) + ( a − r cosθ)2= r2+ a2− 2arcosθ22Misalkan hasil kaliPF21 × PF 2 = b , maka kita peroleh relasi114 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4=2 22 2( r + a + 2arcosθ) × ( r + a − 2arcosθ)= r= r44+ a+ a44+ 2a2+ 2ar222− (2arcosθ)2r (1 − 2cosθ)2(9.12)Kita manfaatkan identitas trigonometri2 2 2cos 2θ= cos θ − sin θ = 2cos θ −1untuk menuliskan (9.12) sebagai4 4 4 2 2b = r + a − 2ar cos 2θ(9.13)Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13)ini dapat kita tuliskanUntuk r > 0, persamaan ini menjadi4 2 24 40 = r − 2ar cos 2θ + a (1 − k )2 22 24r = a cos 2θ ± a cos 2θ − (1 − k )(9.14)Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada2kondisi khusus (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau PF1 × PF 2 = a .Pada kondisi ini persamaan (9.14) menjadi2 2 20 = r ( r − 2acos 2θ)Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-duamemberikan persamaanr2 = 2a2 cos 2θDengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat padaGb.9.10.115

θ = π/20,6θ = π0,2θ = 0-1,5 -10-0,5 0-0,20,5 1 1,5Gb.9.10. Kurva persamaan (9.14), k = 1 = a.Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1.Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yangakan diperoleh terlihat seperti pada Gb.9.11.θ = π-0,6θ = π/21,510,50-1-1,5θ = 0-2 -1 0 1 2-0,5Gb.9.11. Kurva persamaan (9.14), k = 1,1 & a = 1.Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k =0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalahseperti pada Gb.9.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelahmenjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planetSaturnus.116 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

θ = π/21,510,5θ = π0θ = 0-2 -1 0 1 2-0,5-1-1,5Gb.9.12. Kurva persamaan (9.14), k = 0,8 & a = 1.17.5. Luas Bidang Dalam Koordinat PolarKita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dandua garis masing-masing mempunyai sudut kemiringan α dan β. LihatGb.9.12yθ = β∆θGb.9.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis.Antara α dan β kita bagi dalam n segmen.β − α∆ θ =nLuas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara θdan (θ + ∆θ) ada suatu nilai θ k sedemikian rupa sehingga luas sektorlingkaran adalah2A k = ( r k ∆θ) / 2Luas antara θ = α dan θ = β menjadiθθ = αx117

22∑ ( r k ∆θ)/ 2 = ∑( f ( θk))∆θA αβ =/ 2Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidangmenjadiatauAαβ=∆θ→0β1=2lim∫α∑( r[ f ( θ)]2k2A∆θ) / 2 =dθαβ2lim∆θ→0∫ β r= dθα 2∑[ f ( θ)]2∆θ / 2(9.15)118 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 10 Turunan Fungsi Polinom10.1. Pengertian DasarKita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak padasuatu garis lurus diketahui, misalnya [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ], maka kemiringangaris tersebut dinyatakan oleh persamaan∆y( y2− y1)m = =(10.1)∆x( x − x )2Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ]berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkangaris lengkung? Perhatikan Gb.10.1.y1y = f(x)P 2∆yP 1∆x(a)yy = f(x)xP 1∆x′P′ 2∆y′x(b)Gb.10.1. Tentang kemiringan garis.Pada Gb.10.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P 1 P 2 dan bukankemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihatpada GB.10.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringangaris lurus P 1 P′ 2 . Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan119

kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P 1 , dan jika ∆xmendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurvay di titik P 1 . Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x)danmelihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆xmendekati nol, persamaan (10.1) dapat kita tuliskan∆yf ( x + ∆x)− f ( x)lim = lim= f ′(x)∆x→0∆x∆x→0∆x(10.2)f ′(x)merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kitatinjau f ′(x)memiliki nilai berbeda; f ′(x)disebut fungsi turunan darif (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x)bernilai konstandan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (10.1)tidak hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka iadapat diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwakemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurvalengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 11.2.y(x 2 ,y 2 )(x 1 ,y 1 )Gb.10.2. Garis singgung pada garis lengkung.Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x)maka f ′(x)pada titik [x 1 ,y 1 ]adalah kemiringan garis singgung di titik [x 1 ,y 1 ], dan f ′(x) di titik (x 2 ,y 2 )adalah kemiringan garis singgung di [x 2 ,y 2 ]. Bagaimana mencari f ′(x)akan kita pelajari lebih lanjut.∆yJika pada suatu titik x 1 di mana lim seperti yang dinyatakan oleh∆x→0∆x(10.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dandikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilaix120 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

∆ylim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan∆x→0∆xkemiringan garis singgung di titik tersebut).Persamaan (10.2) biasanya ditulisdy d∆y= ( y)= limdx dx ∆ x→0∆x(10.3)f ( x + ∆x)− f ( x)= lim= f ′(x)∆x→0∆xdy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi ydxterhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakanfungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t); maka penurunan y hanya bisadilakukan terhadap t, tidak terhadap x.10.2. Fungsi MononomKita lihat uraian-uraian berikut ini.dy df ( t)y ′ = = = f ′(t)dt dt1). y 0 = f ( x)= k , bernilai konstan. Di sini2). y1 = f1 ( x)= 2xf ( x + ∆x)− f ( x)0y0 ′ = lim= = 0∆x→0∆x∆x⇒2( x + ∆x)− 2x2∆xf1 ′(x)= lim= = 2∆x→0∆x∆x121

y108642f ( x)2x1=f 1′(x)= 2Gb.10.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.Kurva f 1′ ( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilaikonstan 2 untuk semua x.3). 2y 2 = f2( x)= 2x02( x + ∆x)− 2xf2′( x)= lim= lim∆ x→0∆x= lim (2 × 2x+ 2∆x)= 4x∆x→022∆x→02( x2+ 2x∆x+ ∆x) − 2x∆xTurunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan4.4). 3y 3 = f3( x)= 2x0 1 2 3 4 5x3 32( x + ∆x)− 2xf3′( x)= lim∆x→0∆x3 23 3 32( x + 3x∆x+ 3x∆x+ ∆x) − 2x= lim∆x→0∆x= lim22 2 22 × 3x+ 2 × 3x∆x+ 2∆x= 6x∆x→0Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.22122 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

′′′5). Secara umum, turunan mononomadalahn( x mx(10.4)y = f ) =′( n−1)y = ( m × n)x(10.5)Jika n pada (10.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x)akanberbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan,y ′ = f ′(x)= kJika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,y ′ = f ′(x). Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapatditurunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnyay ′′ = f ′(x)yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapatditurunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagidan demikian seterusnya.Contoh:y ′′ ′ = f ′′′(x)dyy ′ = f ′( x)= kita sebut turunan pertama,dx2d yy = f ′′ ( x)=2dx′′ turunan kedua,3d yy = f ′′′ ( x)=3dx′′′ turunan ke-tiga, dst.3y 4 = f4( x)= 2x(3 1) 2(2 1)4 ′ −2(3)6 ; 4′′−y = x = x y = 6(2) x = 12x;y4= 126) Dari (10.4) dan (10.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurvasuatu fungsi dengan kurva fungsi turunannya.Fungsi mononom ny = f ( x)= mx memiliki turunan′( n−1)y = ( m × n)x . Koordinat titik potong P antara kurva mononomf(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan123

y = y′→ mxn= ( m × n)x( n−1)⇒ x P = n dan nyP = mxPKoordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunanselanjutnya dapat pula dicari.Gb.10.4. memperlihatkan kurva mononom4y = x dan turunanturunannya3y ′2= 4x , y ′′ =12x , y ′′ ′ = 24x, y ′′′′ = 24 .2y ′′ = 12x4y = x2001000y ′′ = 12x3y ′ = 4xy ′′′ = 24x2y ′′′ ′ = 243y ′ = 4x-3 -2 -1 0 1 2 3 4-10010.3. Fungsi PolinomGb.10.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contohcontohberikut.1). y 1 = f1 ( x)= 4x+ 2{ 4( x + ∆x)+ 2} − { 4x+ 2}f1 ′(x)= lim= 4∆x→x∆xKurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.10.5.124 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Gb.10.5. f 1 (x) = 4x + 2 dan turunannya.Suku yang bernilai konstan pada f 1 (x), berapapun besarnya, positifmaupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.2). y 2 = f2 ( x)= 4( x − 2)⇒ f 2(x)= 4x− 83). 2y 3 = f3(x)= 4x+ 2x− 5y10⇒ f 2 ′(x)= 4-15Gb.10.6. f 2 (x) = 4(x – 2) dan turunannya.22{ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 4x+ 2x− 5}y3′= lim∆x→0= 4 × 2x+ 2 = 8x+ 24). 3 2y 4 = f4(x)= 5x+ 4x+ 2x− 55yf 2 ′ ( x)= 40-1 0 1 2 3 x 4-5f 2 ( x)= 4( x − 2)-10∆x323 2{ 5( x + ∆x)+ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 5x+ 4x+ 2x− 5}y4′= lim∆x→0∆x22= 5 × 3x+ 4 × 2x+ 2 = 15x+ 8x+ 2108642-4f 1(x) = 4x + 2f 1′(x) = 40-1 -0,5 0-20,5 1 1,5 x 2125

5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlahbeberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masingmononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinomitu memang memiliki turunan.10.4. Nilai PuncakKita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakankemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik[x p ,y p ] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik[x p ,y p ] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol.Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik dimana turunan pertama fungsi bernilai nol.Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsikuadrat):Turunan pertama fungsi ini adalahy = 2x2 + 15x+ 13y ′ = 4 x +15Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai x p dari titik puncak yaitux p = −(15/4) = −3,75Jika nilai x p ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kitadapatkan nilai puncak y p .2y p = 2xp + 15xp+ 132= 2(-3,75) + 15×( −3,75)+ 13 = −15,125Secara umum, x p dari fungsi kuadratdengan membuat2y = ax + bx + cdapat diberolehy ′ = 2 ax + b = 0(10.6)sehingga diperolehbx p = −(10.7)2a126 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Nilai puncak, y p dari fungsi kuadratdengan memasukkan x p2y = ax + bx + cdapat diperoleh2 22 b b − 4acy p = axp+ bxp+ c = − + c = −(10.8)4a4aMaksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukanapakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum?Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. LihatGb.10.7.Pyy′y′xQGb.10.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung padakurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri kekanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol dititik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ disekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua dititik maksimum bernilai negatif.Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan,kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titikpuncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitartitik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titikminimum bernilai positif.Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncaktersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncakbernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.127

2Dalam kasus fungsi kuadrat y = ax + bx + c , turunan pertama adalahy ′ = 2 ax + b dan turunan kedua adalah y′ = 2a. Jadi pada fungsikuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika anegatif ia memiliki nilai maksimum.Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di atas.y = 2x2 + 15x+ 13Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15, 125 dan ini merupakannilai minimum, karena turunan keduanya y ′′ = 4 adalah positif.Lihat pula Gb.10.5.c.Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:y = −2x2 + 15x+ 13Turunan pertama fungsi menjadiy = −4 x + 15 , yang jika y′= 0 memberi x = + 3,75′ pNilai puncak adalahy p= −2 (3,75)^2 + 15 × 3,75 + 13 = + 41,125Turunan kedua adalah y ′′ = −4bernilai negatif. Ini berartibahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita dimintamenentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehinggaperkaliannya mencapai nilai maksimum, sementara jumlahnyatetap 20.Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yanglain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi2y = x( 20 − x)= 20x− xTurunan pertama yang disamakan dengan nol akanmemberikan nilai x yang memberikan y puncak .y ′ = 20 − 2x= 0 memberikan x = 10dan nilai puncaknya adalah128 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y puncak= 200 −100= 100Turunan kedua adalah y ′′ = −2; ia bernilai negatif. Jadiy puncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; keduabilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurvadari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.8.y12010080604020-5 -20 0 5 10 15 20 x 25-400Gb.11.8. Kurva y = x( 20 − x)Kurva tersebut memotong sumbu-x diy = x( 20 − x)= 0 ⇒ x = 0 dan x21 =Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum;semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilaimaksimum y puncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kitasebut nilai maksimum absolut.Jika seandainya y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka iaakan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut.Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita dimintamenentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehinggaperkaliannya mencapai nilai minimum, sementara selisihnya tetap20.Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilanganyang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanyamenjadi2 +y = x(x + 20) = x 20x20129

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akanmemberikan nilai x yang memberikan y puncak .y ′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10dan nilai puncak adalahy puncak= 100 − 200 = −100Turunan kedua adalah y ′′ = + 2 ; ia bernilai positif. Jadiy puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; keduabilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10.Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.9.y 40-25 -20 -15 -10 -5 -20 0 x 5Gb.10.9. Kurva y = x( x + 20)Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh200-40-60-80-100-1203y = ax + bx + cx + d2(10.10)Turunan dari (10.29) adalahy ′ = 3ax2 + 2bx+ c(10.11)Dengan membuat y ′ = 0 kita akan mendapatkan x p .Ada dua posisi nilai puncak, yaituy′ = 0 = 3axp + 2bxp + c2130 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

xp1, xp2− 2b±=− b ±=b23a4b6a2− 3ac−12ac(10.12)Dengan memasukkan x p1 dan x p2 ke penyataan fungsi (10.11) kita perolehnilai puncak y p1 dan y p2 . Namun bila x p1 = x p2 berarti dua titik puncakberimpit atau kita sebut titik belok.Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi3 2y = 2x− 3x+ 3 dan apakah nilai puncak merupakan nilaiminimum atau maksimum.Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol,akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurvaterjadi.y′= 6x2 − 6x= 6x(x −1)= 0memberikan x = 0 dan x = 1Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnyamemberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.x = 0x = 1memberikanmemberikany puncak = + 3y puncak = + 2Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakahnilai puncak y puncak minimum atau maksimum kita lihat dariturunan kedua dari fungsi yy ′′ = 12x− 6Untuk x = 0 ⇒ y ′′ = −6Untuk x = 1⇒y ′′ = + 6Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum,sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurvadari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.10.131

15y105P[0,3] Q[1,2]R0-2 -1,5 -1 -0,5-50 0,5 1 1,5 2x2,5-10y s-203 2Gb.10.10. Kurva y = 2x− 3x+ 3 dan garis singgung di R.10.5. Garis Singgung-15Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsiy = f (x) secara umum adalah y s = mx dengan kemiringan m adalahturunan pertama fungsi di titik R.3 2Contoh: Lihat fungsi y = 2x− 3x+ 3 yang kurvanya diberikan padaGb.10.10.Turunan pertama adalah y ′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1). Titik R denganabsis x R = 2 , memiliki ordinat y R = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadikoordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik Radalah m = 6 × 2 × 1=12 .Persamaan garis singgung y s =12 x + K . Garis ini harus melaluiR(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaangaris singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaangaris singgung akan kita dapatkan nilai K.y s =12 x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = −17.Persamaan garis singgung di titk R adalah y s = 12x−17132 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

10.6. Contoh Hubungan DiferensialBerikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir perdetik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliranmuatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q makadqi =dtSatuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi1 A = 1 C/detik.Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahanenergi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energidiberi simbol w, makadwv =dqSatuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W =1 J/detik.Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi.Jika daya diberi simbol p makadwp =dtDari definisi tegangan dan arus kita dapatkandw dw dqp = = = vidt dq dtKarakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakandengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yangada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dani L masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arusdan tegangan induktor adalahdiv LLL =dtKarakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansikapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, makaiC =dvCdtc133

Soal-Soal1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukannilai puncak2y1= 5x− 10x− 7;2y2= 3x− 12x+ 2 ;2y3= −4x+ 2x+ 82. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukannilai puncak3 2y1= 2x− 5x+ 4x− 2 ;4 3 2y2= x − 7x+ 2x+ 6 ;7 3 2y3= 3x− 7x+ 21x134 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 11 Turunan Perkalian Fungsi, PangkatDari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit11.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiMisalkan kita memiliki dua fungsi x, v (x)dan w (x), dan kita hendakmencari turunan terhadap x dari fungsi y = vw . Misalkan nilai x berubahsebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikianrupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y = vw tetapberlaku, yaitu( y + ∆y)= ( v + ∆v)(w + ∆w)(11.1)= ( vw + v∆w+ w∆v+ ∆w∆v)Dari sini kita dapatkan∆ y ( y + ∆y)− y ( wv + v∆w+ w∆v+ ∆w∆v− vw==)∆x∆x∆x∆w∆v∆v∆w= v + w +∆x∆x∆xJika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehinggajuga mendekati nol. Persamaan (11.2) akan memberikan(11.2)∆v∆w∆xdy d( vw)dw dv= = v + w(11.3)dx dx dx dxInilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari duafungsi.Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsimononom 5y = 6x yang kita tahu turunannya adalah 4y ′ = 30x .Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi135

y = vw dengan 3v = 2x dan 2w = 3x . Menurut (11.3) turunan dariy menjadi3 2d(2x× 3x) 3 2 2 4 4 4y ′ == 2x× 6x+ 3x× 6x= 12x+ 18x= 30xdxTernyata sesuai dengan apa yang diharapkan.Bagaimanakahd ( uvw)jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kitadxaplikasikan (11.3) secara bertahap seperti berikut.d(uvw)d(uv)(w)dw d(uv)= = ( uv)+ wdx dx dx dxdw ⎧ dv du ⎫= ( uv)+ w⎨u+ v ⎬dx ⎩ dx dx ⎭dw dv du= ( uv)+ ( uw)+ ( vw)dx dx dx(11.4)Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi pengujisebelumnya, yaitu 5y = 6x yang kita tahu turunannya adalah4y ′ = 30x . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tigafungsi y = uvw dengan u = 2x,(11.9) turunan dari y adalahdy d(uvw)= = (2xdx dx+ (3x22× 3x2× x)(4x)= 6x2v = 3x , dan w = x . Menurut)(1) + (2x42+ 12xTernyata sesuai dengan yang kita harapkan.× x)(6x)4+ 12x4= 30x11.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu FungsiYang dimaksud di sini adalah bagaimana turunandy jika y = v n dengandxv adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi632y 1 = v = v × v × v dengan v merupakan fungsi x. Jika kitaaplikasikan formulasi (11.4) akan kita dapatkan4136 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dy1= ( vdx= v= v55= 6v3 2 dv 3 dv 2 dvv ) + ( v v)+ ( v v)dx dx dx2dv 4 ⎛ dv dv ⎞ ⎛3 2 dv dv ⎞+ v ⎜v+ v ⎟ + v ⎜v+ v ⎟dx ⎝ dx dx ⎠ ⎜ dx dx ⎟⎝⎠dv+ 2vdx5dvdx5dv+ vdxContoh ini memperlihatkan bahwayang secara umum dapat kita tulis66dv dv dv 5= = 6vdx dv dxndvdx52dv 4 ⎛ dv dv ⎞+ v ⎜v+ v ⎟dx ⎝ dx dx ⎠dvdx3n−1dv= nv(11.5)dxContoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkaliandan pangkat dua fungsi.2 3 3y = x + x( 1) ( −1)Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi danpangkat suatu fungsi.dy= ( xdx= ( x2= 6x22( x= 6x(x+ 1)+ 1) 2( x3233+ 1) ( x−1)(xd(x −1)dx3323−1)(3x3+ ( x−1)+ 6x(x222+ 1) (2x) + ( x33−1)3322+ x −1)d(x + 1)dx2−1)3( x222−1)( x23+ 1)+ 1)222x137

11.3. Fungsi RasionalFungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsivy = (11.6)wTinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan w ≠ 0 .Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:−1y = vw(11.7)Kalau kita aplikasikan (11.3) pada (11.7) kita perolehatau−1−1dy d ⎛ v ⎞ d(vw ) dw −= ⎜ ⎟ = = v + wdx dx ⎝ w ⎠ dx dx−2dv −1dv − v dv 1 dv= −vw+ w = +dx dx 2w dx w dx1 ⎛ dv dw ⎞= ⎜ w − v ⎟2w ⎝ dx dx ⎠ddx⎛⎜⎝vw⎛ dv dw ⎞⎜w− v ⎟⎞ ⎝ dx dx ⎠⎟ =⎠2w138 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”1dvdx(11.8)Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanyamerupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w.(Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggipeubah x dari w).Contoh:21).x − 3y =3x2).2 12y = x +x32x=4− (3xx642dy x (2x)− ( x=dx6x− 3)(3x− 9x22)2) − x=x4+ 9

2dy x × 0 −1×2x2= 2x+= 2x−dx43x23).x + 1 2y = ; dengan x ≠ 1 (agar penyebut tidak nol)2x −122dy ( x −1)2x − ( x + 1)2 x=dx2 2( x −1)2x=3− 2x− 2x( x2−1)23− 2x− 4x=2( x −1)11.4. Fungsi ImplisitSebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namunsebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentukeksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kitapelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah kedalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasiimplisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.Contoh:1). 2 2x + xy + y = 8 . Fungsi implisit ini merupakan sebuahpersamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agarkesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) dikedua ruas, dan kita akan perolehdy dx dy2x+ x + y + 2y= 0dx dx dxdy( x + 2y)= −2x− ydxUntuk titik-titik di mana ( x + 2y)≠ 0 kita peroleh turunandydx= −2x+ yx + 2yUntuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka2139

dy 2 + 2= − = −0,8.dx 1 + 4Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi ybentuk implisit yang sedang kita hadapi.2). 4 3 4x + 4xy− 3y= 4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuahpersamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kitaakan memperoleh343 dy 3 d(4x)d(3y)4x+ 4x+ y − = 0dx dx dx3 2 dy 3 3 dy4x+ 4x(3y) + 4y−12y= 0dxdx2 3 dy 3 3(12 xy − 12y) = −4(x + y )dxDi semua titik di mana 2 3( xy − y ) ≠ 0 kita dapat memperolehturunan3 3dy − ( x + y )=dx 2 33( xy − y )11.5. Fungsi Berpangkat Tidak BulatPada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat darisuatu fungsi lain, y = v n , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat.Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasiopn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalahqfungsi yang bisa diturunkan.Fungsi (11.9) dapat kita tuliskanyp / q= v(11.9)q py = v(11.10)yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasiterhadap x di kedua ruas (11.10) kita perolehq−1 dy p−1qy = pvdxdvdx140 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika y ≠ 0, kita dapatkanp / qp−1dy d(v ) pv dv= =(11.11)dx dx q−1qy dxAkan tetapi dari (11.9) kita lihat bahwasehingga (11.11) menjadiyp / qdy d(v=dx dxp / q q−1p−(p / )( v ) = vq−1 q=) pv=p−qv==pqpqvvp−1( p / q)( p / q)−1dvdx( p−1)− p+( p / q)dvdxdvdx(11.12)Formulasi (11.12) ini mirip dengan (11.5), hanya perlu persyaratanbahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.11.6. Kaidah RantaiApabila kita mempunyai persamaanx = f ( t)dan y = f ( t)(11.13)maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikiandisebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kitaeliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yangberbentuky = F(x)(11.14)Bagaimanakahdy= F ′(x)dari (11.14) ber-relasi dengandxdydx= g′( t)dan = f ′(t)?dtdtPertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.141

Jika y = F(x)dapat diturunkan terhadap x danx = f (t) dapat diturunkan terhadap t, makay = F( f ( t)) = g(t)dapat diturunkan terhadap tmenjadidy dy dx =dt dx dt(11.15)Relasi ini sudah kita kenal.11.7. Diferensial dx dan dyPada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai∆y( ym = =∆x( x2 − y12 − x1kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol.Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap xpada formulasi))dydx∆y= lim =∆x→0∆xf ′(x)Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupasehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadapx. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakanfungsi dari x:Kita ambil definisi sebagai berikuty = F(x)(11.16)1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyataberapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lainselain x;2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengandy = F'( x)dx(11.17)Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai142 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dy= f ′(x).dxPerhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkanturunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandangrelasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akanmemperoleh relasi (11.17), namun sesungguhnya (11.17) didefinisikandan bukan berasal dari relasi ini.Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris sepertiterlihat pada Gb.11.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesardx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akanberubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia“mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dydianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika“mengarah ke bawah”.yydydxPdxPdyθxθxyyPdxdydydxPθθxGb.11.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.dy= tan θ ; dy = (tan θ)dxdxdy1. adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.dx2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garissinggung di titik P pada kurva, jika nilai x berubahsebesar dx skala.x143

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formulaturunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalamtabel ini v adalah fungsi x.Tabel-11.1Turunan FungsiDiferensialdc1. = 0 ; c = konstan 1. dc = 0 ; c = konstandx2.dcv dv = c2. dcv = cdvdx dxd( v + w)dv dw3. = +3. d ( v + w)= dv + dwdx dx dx4.dvw dw dv= v + w 4. d ( vw)= vdw + wdvdx dx dx⎛ v ⎞d⎜⎟⎝ w ⎠5. =dxdvwdx− v2wdwdx⎛5. d⎜⎝vw⎞ wdv − vdw⎟ =⎠2wndv6.dxn−1dvn n−1= nv6. dv = nv dvdx−17.dcx nn= cnx7. n n−1d(cx ) = cnx dxdxAda dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-11.1),kemudian dikalikan dengan dx.2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kananTabel-10.1)Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi3 3 2 −y = x − x + 5x6144 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Turunan y adalah : y ′ = 3x2 − 6x+ 5sehingga2dy = (3x− 6x+ 5)dxKita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalamtabel di atas:3 22dy = d(x ) + d(−3x) + d(5x)+ d(−6)= 3xdx − 6xdx+ 5dx2= (3x− 6x+ 5) dx145

146 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.32243231)(2)(;)2(;3)(1)(−++=−=+−=xxyxxyxxy132;11;112222+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−+=xxyxxyxxy221;;;23322222=−−=++=+=+yxyxyxyxyxyxyxy

Bab 12 Turunan Fungsi Trigonometri,Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial12.1. Turunan Fungsi TrigonometriJikay = sin x makady d sin x sin( x + ∆x)− sin x= =dx dx∆xsin x cos ∆x+ cos xsin∆x− sin x=∆xUntuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Olehkarena ituJikay = cos x makad sin x= cos x(12.1)dxdy d cos x cos( x + ∆x)− cos x cos x cos ∆x− sin xsin∆x− cos x= ==dx dx∆x∆xJik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itud cos x= − sin x(12.2)dxTurunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.2d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x(−sinx)1 2= ⎜ ⎟ == = sec xdx dx cos x22⎝ ⎠ cos x cos x2d 2cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin= ⎜ ⎟ =dx dx ⎝ sin x ⎠d sec x=dxd csc x=dxddxddx⎛⎜⎝⎛⎜⎝x − cos x(cosx)−1= = −csc22sin x sin x1 ⎞ 0 − ( −sinx)sin x⎟ == = sec x tan xcos x22⎠ cos x cos x1 ⎞ 0 − (cos x)− cos x⎟ = = = −cscx cot xsin x 22⎠ sin x sin xx147

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.2y = tan( 4x) ; y = 5sin (3x) ; y = 3cosy = cot(3x+ 6) ;4423y = sin (2x)− cos(2x)y = sec x − tan x ; y = (csc x + cot x)Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihatturunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4).1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus v C =200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir padakapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10 -6 farad ini.Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalahdvi C CC =dtArus yang melalui kapasitor adalahdv6 di C CC = = 2 × 10 ×=dtdt2( 200sin 400t) 0,160cos 400tampereDaya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserapkapasitor adalahpC= vCiC= 200sin 400t× 0,16cos 400t= 32cos 400tsin 400t= 16sin 800twattBentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.v Ci Cp C200100i Cv Cp C2x-10000 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]-200Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulaimenurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arusmencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan148 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

ahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaankemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitorbesarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangan dengan bedafasa sebesar 90 o .Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kalilipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetristerhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengahperioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya.Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya inidisebut daya reaktif.2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinusterhadap waktu sebagai i L = −0,2cos400t ampere. Berapakahtegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ?Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalahdiLvL = LdtdiLdvL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t= 2,5 × 0,2 × sin 400t× 400 = 200sin 400dt dt( ) tDaya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.pL= vLiL= 200sin 400t× ( −0.2cos 400t)= −40sin 400tcos 400t= −20sin 800tWKurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.v Li Lp L200100v L i Lp L00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-100-200Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal darikurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih seringdikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakankebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 o , artinyaarus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90 o .Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu,yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.149

12.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi1) y = sin −1 x1y21 − xxx = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒dydx=11 − x2dydx=1cosy2) y = cos −1 x1 21 − xyxx = cos y ⇒ dx = −sinydy ⇒dydx= −1sin y;dydx=−11 − x23) y = tan −1 x21+xy14) y = cot −1 x21+xyxx11x = tan y ⇒ dx = dy ⇒2cos ydy 2= cos y ;dxdy 1=dx 1+x−1x = cot y ⇒ dx = dy ⇒2sin ydy 2= −sin y ;dxdydx2−1=1+x2150 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

5) y = sec −1 x ⇒xy110 − ( −sinx)x = sec y = ⇒ dx =dycos y2cos y2dy cos y 1 ⎛ ⎞⎜ x= = × ⎟x 2 − 1 dx sin y 2x ⎜ 2 ⎟⎝ x − 1 ⎠1=2x x − 16) y = csc −1 xxyx 2 − 111 0 − (cos x)x = csc y = ⇒ dx = dysin y2sin y2dy sin y 1 x= = − ×dx − cos y 2x 2x − 1− 1=2x x − 1Soal-Soal1). Jika α = sin −1(0.5)carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α .−2). Jika α = cos 1 ( −0.5)carilahsin α , tan α , sec α , dan csc α .−1−13). Hitunglah sin (1) − sin ( −1).−1−14). Hitunglah tan (1) − tan ( −1).−1−15). Hitunglah sec (2) − sec ( −2).12.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu FungsiJika v = f(x), makad(sinv)d(sinv)=dx dvd(cosv)d(cosv)=dx dvdvdxdvdx= cosvdvdx= −sinvdvdx151

152 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”dxdvvdxdvxxxvvdxddxvd 2222seccossincoscossin)(tan=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdvvvvdxddxvd 2cscsincos)(cot= −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdvvvdxdvvvvdxddxvdtanseccossin0cos1)(sec2=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdvvvvdxddxvdcotcscsin1)(csc= −⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Jika w = f(x), makadxdwwdxwd2111)(sin−=−dxdwwdxwd2111)(cos−= −−dxdwwdxwd2111)(tan+=−dxdwwdxwd2111)(cot+= −−dxdwwwdxwd11)(sec21−=−dxdwwwdxwd11)(csc21−= −−Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.xyxyxyxy4sec;3tan31)(2cos) ;(0,5sin1111−−−−====

12.4. Turunan Fungsi LogaritmikWalaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telahmengetahui bahwa fungsi f ( x)= ln x didefinisikan melalui suatuintegrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)x 1f ( x)= ln x =∫dt ( x > 0)1 ty = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, diselang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.65y43211/t lnxln(x+∆x)−lnxKita lihat pula00 1 2x3tx41/xx+∆x1/(x+∆x)Gb.12.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.ln( x + ∆x)− ln( x)1 ⎛ ∆ ⎞= ⎜ ⎟∆ ∆ ∫x+ x 1dt(12.3)x x ⎝ x t ⎠Apa yang berada dalam tanda kurung (12.3) adalah luas bidang yangdibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luasbidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x);dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Padakeadaan batas ini (12.3) akan bernilai (1/x). Jadid ln x 1= (12.4)dx x153

Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv denganmemanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x2 + 42d ln v d ln v dv 1 d(3x+ 4) 6x= ==dx dv dx 223x+ 4 dx 3x+ 4Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.ln( 2xy = x + 2x) ; y = ln ; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x)2 + 2x12.5. Turunan Fungsi EksponensialFungsi eksponensial berbentukxy = e(12.5)Persamaan (12.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukanpenurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkand ln y 1=dxdyy dx= 1ataudydxx= y = e(12.6)Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yangtidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunandapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunandarixy = e adalahxy ′ = ey ′′= ex′xdst.y ′′ = eFormula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatufungsi, v = v(x).Kita ambil contoh:tan xy = e−1dy tan= edxv vde de dv v dv= = e(12.7)dx dv dx dx−1xd tan−1−1tan xx e=dx2+ xSoal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.x −xx −x2 x e − e e − e−1sin x 1/ xy = x e ; y = ; y = ; y = e ; y = e2x −xe + e1154 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 13 IntegralDalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utamakalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahasbagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkankeseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untukmencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai xtertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaandy = f (x)(13.1)dxPersamaan seperti (13.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagaifungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:dy= 2xdx22d y+ 6xy2dx+ 5x+ 6dydx2+ 3xy2= 0Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaandiferensial seperti contoh yang pertama.13.1. Integral Tak TentuSuatu fungsi y = F(x)dikatakan sebagai solusi dari persamaandiferensial (13.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dandapat memenuhidF(x)= f ( x)(13.2)dxPerhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (13.2) maka F ( x)+ K dengan Kadalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (13.2) sebab155

d[ F(x)+ K ]dxdF(x)dK= +dx dxJadi secara umum dapat kita tuliskandF(x)= + 0dx(13.3)∫f ( x)dx = F(x)+ K(13.4)yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.Persamaan (13.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitudF ( x)= f ( x)dxyang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan∫dF x)=∫f ( x)dx( (13.5)Jika kita bandingkan (13.5) dan (13.4), kita dapat menyimpulkan bahwa∫dF ( x)= F(x)+ K(13. 6)Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiriditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral taktentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini.1) Cari solusi persamaan diferensialdy = 5xdxKita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensialdy = 5x4dxMenurut relasi (11.4) dan (11.5) di Bab-9,Oleh karena itu5d( x ) = 5x4dx45 5y =∫5 x dx =∫d(x ) = x + K4156 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2). Carilah solusi persamaan dy = x2 ydxKita tuliskan dalam bentuk diferensial2dy = x ydxdan kitakelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kirimengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanyamengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagikedua ruas dengan √y.y−1 / 2dy = xRuas kiri memberikan diferensial d ( 2y) y dymemberikan diferensial2dx⎛ 1 3 ⎞ 2d⎜x ⎟ = x dx , sehingga⎝ 3 ⎠d( 1/ 2 ⎛ 1 3 ⎞2y) = d⎜x ⎟⎠Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh1/ 2 −1/2= dan ruas kanan⎝ 31/ 2 1 32y + K1= x + K2atau31 / 2 1 31 32 y = x + K2− K1= x + K33Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasaadanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaantersebut.1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantasembarang K.∫dy = y + K2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapatdikeluarkan∫ady = a∫dy157

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh denganmenambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginyadengan (n + 1).∫n+1n yy dy = + K,n + 1jika n ≠ −1Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapatsuatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berartibahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkanbanyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita2gambarkan kurva y = 10x kita akan mendapatkan kurva bernilaitunggal seperti Gb.13.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi10x∫3 dx tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan3tetapi banyak kurva seperti pada Gb.13.1.b; kita akan mendapatkan satukurva jika K dapat ditentukan.y i = 10x 2 +K iy = 10x 2 50100y100y50K 1K 2K 3xx-5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5a) b)Gb.13.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengankecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah bendabergerak dinyatakan sebagai v = at = 3t, dengan v adalah kecepatan, aadalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi158 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

awal benda adalah s 0 = 3 pada waktu t = 0, tentukanlah posisi bendapada t = 4.Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatandsadalah laju perubahan jarak, v = ; sedangkan percepatan adalah lajudtdvperubahan kecepatan, a = . Karena kecepatan sebagai fungsi tdtdiketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasidsv = yang memberikan ds = vdtdtsehingga integrasinya memberikan2t2s =∫atdt = 3 + K = 1,5t+ K2Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s 0 = 3 pada t = 0.3 = 0 + K yang memberikan K = 3Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s = 1,5t2 + 3sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s 4 = 27Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yangdibatasi oleh suatu kurva y = f (x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan y = 2 sepertiterlihat pada Gb.13.2.2yy = f(x) =2A px∆A pxx0 p x x+∆x qGb.13.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.159

Jika luas dari p sampai x adalah A px , dan kita bisa mencari fungsipertambahan luas ∆A px yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadix+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulaidari x = p sampai x = q untuk memperoleh A pq yaitu luas dari p sampai q.Pertambahan luas yang dimaksud tentulah∆A px∆A px = 2 ∆x atau = 2 = f ( x)∆xJika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limitlim∆x→0Dari (13.8) kita perolehA∆Apx∆xdA=dxpx= f ( x)= 2(13.7)(13.8)=∫dApx=∫2 dx = 2xK(13.9)px +Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p. Jika kondisi inikita terapkan pada (13.9) kita akan memperoleh nilai K yaitusehingga0 = 2 p + K atau K = −2p(13.10)A px = 2x− 2 p(13.11)Kita mendapatkan luas A px (yang dihitung mulai dari x = p) merupakanfungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita perolehA pq= 2q− 2 p = 2( q − p)(13.12)Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetriyang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yangdalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsitetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa iakontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q seperti digambarkan pada Gb.13.3.160 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

yf(x)f(x+∆x )y = f(x)∆A pxA pxGb.13.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤ x ≤ bDalam kasus ini, ∆A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakahdalam menghitungnya kita memilih ∆A px = f(x)∆x atau ∆A px = f(x+∆x)∆x.Namun kita akan mempunyai nilai∆ = f ( x)∆x≤ f ( x0 ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆x(13.13)A pxdengan x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆xkita buat mendekati nol kita akan mempunyai∆ = f ( x)∆x= f ( x0 ) ∆x= f ( x + ∆x)∆x(13.14)A pxDengan demikian kita akan mendapatkan limitlim∆x→0Dari sini kita perolehA0∆Apx∆xdA=dxpx= f ( x)(13.15)=∫dApx=∫f ( x)dx = F(x)K(13.16)px +Dengan memasukkan kondisi awal A px = 0 untuk x = p dan kemudianmemasukkan nilai x = q kita akan memperolehAp x x+∆x qpq = F( q)− F(p)= F(x)] q p(13.17)x161

13.2. Integral TentuIntegral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagaisuatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatukurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yangdiarsir pada Gb.13.4.a.Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dankita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudianmenjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmenkita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar padaGb.13.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luasyang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luassegmen bawah).Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luassegmen seperti tergambar pada Gb.13.4.c, kita akan memperoleh luasyang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luassegmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas).Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkanterjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlihat padaGb.13.4.d. Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen kek,yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlakuf ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x)(13.18)kkJika pertidaksamaan (13.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecildan bernilai positif, makafk( xk) ∆ xk≤ f ( x0 k ) ∆xk≤ f ( xk+ ∆x)∆xk(13.19)Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (13.19) kitajumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kitabuat), kita akan memperolehnnn∑ f ( xk) ∆xk≤∑f ( x0k) ∆xk≤ ∑ f ( xk+ ∆x)∆xk(13.20)k = 1k = 1k = 1Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas palingkanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalahjumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa162 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Apqb ≤ An≤ Apqa(13.21)yy = f(x)(a)0p x 2 x k x k+1 x nxyy = f(x)(b)0p x 2 x k x k+1 x nxyy = f(x)(c)0yp x 2 x k x k+1 x ny = f(x)x(d)0p x 2 x k x k+1 x nGb.13.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kitacari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika nx163

kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆x k menuju nol, maka luasbidang yang kita cari adalahApq = lim Apqb= lim An= lim Apqa(13.22)∆x→0∆x→0∆x→k kk0Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limityang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atauatas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,dituliskan∫A f ( x)dx(13.23)= q pqpIntegral tertentu (13.23) ini terkait dengan integral tak tentu (11.12)Apqq=∫f ( x)dx = F(x)] = F(q)− F(p)(13.24)pqpJadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahandari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:a. integrasi untuk memperoleh F ( x)=∫f ( x)dx ;b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yangbernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan ituberlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempatbernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yangdisebut dengan A px dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yangbaru ini akan berlaku umum, yaituA px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x)dansumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagianyang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagianyang di bawah sumbu-x.164 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akanmenghitung luas antara y = x3 −12xdan sumbu-x dari x = −3 sampai x= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.13.5.3 −y = x 12 x20100- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 10xGb.13.5. Kurva- 20y = x3 −12xDi sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-xdan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagianyang di atas sumbu-x kita mempunyai luasA a=∫0−3( x34x ⎤2−12x)dx = − 6x⎥4 ⎥⎦0−3Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkanA b343 x ⎤=2∫( x −12x)dx = − 6x⎥04 ⎥⎦30= −0− (20,25 − 54) = 33,75= 20,25 − 54 − (0) = −33,75Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-xdikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-xApq= Aa− Ab= 33 ,75 − ( −33,755)= 67,5Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenaiA px , formulasiqA =∫f ( x)dx = F(q)− F pp( ))tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun dibawah sumbu-x.165

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.13.6. kitadapatkanA pq = −A+1 + A2− A3A4yang kita peroleh dari A f ( x)dx = F(q)− F( p))pq=∫qpyy = f(x)pA 4A 1A 2A 3qxGb.13.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidangdi antara kurva y 1 = f1 ( x)dan y 2 = f2 ( x)pada batas antara x = p dan x= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalamrentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x)berada di atasy 2 = f2 ( x)meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yangberada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.13.7.yy 1p0y 2xx+∆xqxGb.13.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunyadiperlihatkan pada Gb.13.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),dimana ∆ x = ( q − p)/ n .166 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Luas segmen dapat didekati dengan{ f1 ( x)− f2(x } ∆x(13.25)A segmen = )yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita perolehn∑1x=q−∆x∑{ f1 ( x)− f2(x }A =) ∆xsegmenx=p(13.25)Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kitasampai pada suatu limitn→∞∑∫{ f ( x)− f ( x }A pq = lim Asegmen= 1 2 ) dxKita lihat beberapa contoh.1qp(13.26)1). Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3.A pq=∫+ 3−2+{ 4 − ( −2)} dx = 6x] = 18 − ( −12)= 30(Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luasyang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2= 6dan panjang x 2 − x1= 5 .22). Jika y 1 = x dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1dan y 2 .Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x padaperpotongan antara y 1 dan y 2 .23− 2y 1 = y2→ x = 4 ⇒ x1= p = −2,x2= q = 2Perhatikan bahwa y 1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncakminimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagiankurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, beradadi di bawah y 2 = 4.167

22⎛ 3 ⎞⎤28 8 16 16 32(4 ) ⎜x ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ −A pq = 4 ⎟⎥∫− x dx = x − = ⎜8− ⎟ − ⎜−8 − ⎟ = − =− 2⎜ 3 ⎟⎝ ⎠⎥⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3⎦-2Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akanmelakukan kesalahan:22⎛ 3 ⎞⎤28 8 16 16* ( 4) ⎜x⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − +A pq = 4 ⎟⎥∫x − dx = − x = ⎜ − 8⎟ − ⎜ + 8⎟= − = 0− 2⎜ 3 ⎟⎝ ⎠⎥⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3⎦-223). Jika y 1 = −x+ 2 dan y2 = −xberapakah luas bidang yangdibatasi oleh y 1 dan y 2 .Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsiy 1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yangmemotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurusmelalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yangberarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian makabagian kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cariluasnya berada di atas y 2 .Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.y = y12⇒ −x2+ 2 = −x2atau− x2+ x + 2 = 0−1+ 1 + 8−1− 1 + 8x1= p == −1;x2= q == 2− 2− 222⎛ 3 2 ⎞⎤2( 2 ) ⎜ x xA 2 ⎟pq =⎥∫−x+ + x dx = − + + x−1⎜ 3 2 ⎟⎝⎠⎥⎦−1⎛ 8 ⎞ ⎛ −11 ⎞= ⎜−+ 2 + 4⎟− ⎜−+ − 2⎟= 4,5⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus padapenghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidakselalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapatpula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan2168 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikianseolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini duacontoh dalam kelistrikan.1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8jam ?Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol pdan energi diberi simbol w, makadwp = yang memberikan w =dt∫pdtPerhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalaubatas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserapselama 8 jam adalah8 8w =∫pdt = 100 = 1000 ∫dt t080= 800 Watt.hour [Wh]= 0,8 kilo Watt hour [kWh]2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagaii(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yangdipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.dqi = sehingga q =dt ∫idtJumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah5 550,05 2 1,25q =∫idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫tdt t0 2 0 2Pendekatan Numerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kitafahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar prosesperhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,∆x.2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai169

∫qnf ( x)dx = lim ∑ f ( xk) ∆xkp∆x→0k = 1dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yangbesarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggidalam segmen ∆x k jika ∆x menuju nol.Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆xsedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilaiterendah ataupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendahataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadimasih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengancara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dankita dapat menghitung dengan bantuan komputer.Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasioleh kurva y = x3 −12xdengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luasini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini perhitungan=∫ 3 3A pq ( x −12x)dx akan kita lakukan dengan pendekatan numerik− 3dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luasantara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawahsumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen.Perhitungan menghasilkan403A pq = ∑ ( xk−12xk) = 67,39875 ≈ 67,4k = 1Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagidalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkanA pq1203= ∑ ( xk−12xk) = 67,48875 ≈ 67,5k = 1Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.170 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiapsegmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimummasing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitungluas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luassetiap segmen menjadiA( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x/ 2segmen = kkmaks(13.27)Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuankomputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupunmenggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.Soal-Soal:1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengansumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurvafungsi dengan sumbu-x.2 3y = 2 x − x2 ; y − y = x2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.2Luas antara kurva y = x dan garis x = 4Luas antara kurvay = 2x− x2dan garis x = −33. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.y4 2= x − 2x dan13.3. Volume Sebagai Suatu Integral2y = 2xy = 2x2 − 5 dan y = −2x2 + 5Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatuintegral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untukmenghitung volume.Balok. Kita ambil contoh sebuah balok seperti tergambar pada Gb.13.8.Balok ini dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p dan q. Balok inidiiris tipis-tipis dengan tebal irisan ∆x sehingga volume balok, V,merupakan jumlah dari volume semua irisan.171

Gb.13.8. BalokJika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisandi sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalahVolume balok V adalahA(x)∆ x ≤ ∆V≤ A(x + ∆x)∆x∑V A(x)∆ x=qpdengan A (x)adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A (x)maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu∑V A(x)∆ x≈qJika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q makaqp∑ A(x)∆x=∫qV = lim A(x)dx(13.28)∆x→op∆xRotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x. Satu kerucut dapat dibayangkansebagai segitiga yang berputar sekitar salah satu sisinya. Segitiga ini akanmenyapu satu volume kerucut seperti terlihat pada Gb.13.9. SegitigaOPQ, dengan OQ berimpit dengan sumbu-x, berputar mengelilingisumbu-x.p172 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

yPOQxGb.13.9. Rotasi Segitiga OPQ mengelilingi sumbu-xFormula (13.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalahluas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaangaris OP.V =∫h0∫h2[ r(x)] dx =∫hA( x)dx = ππmx dx (13.29)0dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula(13.29) akan memberikan volume kerucut2 32 3πmh π(PQ/OQ)h 2 hVkerucut= == πr(13.30)3 33dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akanmemiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucutterporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garisOP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y = mx berubah menjadiy = mx + b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x) kontinyu pada a ≤ x ≤ b , rotasibidang antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x antara a ≤ x ≤ bsekeliling sumbu-x akan membangun suatu volume benda yang dapatdihitung menggunakan relasi (13.10).y∆xf(x)0220 a bx∆xGb.13.10. Rotasi bidang mengelilingi sumbu-x173

Dalam menghitung integral (13.28) penyesuaian harus dilakukan padaA(x) dan batas-batas integrasi.A( x)= π r(x)2 = π f ( x)( ) ( ) 2∫ πsehingga V ( f x))=ba2( dx(13.31)Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada (13.31) merupakan gabunganfungsi linier, kita akan mendapatkan situasi seperti pada Gb.13.11.y20000 a bxGb.13.11. Fungsi f(x) merupakan gabungan fungsi linier.Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.13.11. terdapat tigarentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volumetotal sebagai jumlah volume dari tiga bagian.Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (13.29) menunjukkan bahwadalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika adabagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagianini akan menjadi positif.13.4. Panjang Kurva Pada Bidang DatarJika kurva y = f (x)kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah∆x∆ l = PQ =2 2∆x+ ∆ySalah satu segmen diperlihatkan pada Gb.13.12.Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletakantara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′), yang merupakan garissinggung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′)ini,∆l dapat dinyatakan sebagai∆l=2∆x+22[( y′( P ′))∆x] = 1+( y′(P′)) ∆x174 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

yy = f(x)∆xxabGb.13.12. Salah satu segmen pada kurva y = f (x).Setiap segmen memiliki y ′(P′)masing-masing yaitu y′k , dan ∆lmasing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =a ke x = b adalahnnnlab= lim ∑∆lk= lim ∑ 1 + ∑kn→∞n→∞∆x→0k = 1k = 1k = 1P∆lQ∆y22( y′) ∆x= lim 1 + ( y′) ∆xkataub2⎛ dy ⎞lab =∫1 + ⎜ ⎟ dx(13.32)a ⎝ dx ⎠Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisisumbu koordinat. Oleh karena itu (13.32) dapat ditulis juga sebagaib dxlab ∫ ′2⎛dya′ dy⎟ ⎞= 1 +⎜ dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah⎝ ⎠bebas.13.5. Nilai Rata-Rata Suatu FungsiUntuk fungsi y = f (x)yang kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q nilairata-rata fungsi ini didefinisikan sebagaiy 1 q( rr ) x =− ∫f ( x dxq p)(13.33)p(Penulisan (y rr ) x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)Definisi (13.33) dapat kita tuliskan175

q( y rr ) x ⋅(q − p)=∫f ( x)dx(13.34)Ruas kanan (13.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (13.34) dapatditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar(y rr ) x . Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan(13.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)dengan sumbuxbagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positifpada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai ratarata(13.33) kontibusi tersebut adalah negatif.Sebagai contoh, kita ambil fungsi3 −p3 −y = x 12x. Luas bidang antaray = x 12xdengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,A = 67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kitapqmenghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnyaadalah (y rr ) x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawahsumbu-x akan saling meniadakan.176 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 14 Integral Tak Tentu Fungsi-FungsiDalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitunganintegral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah denganpendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yangmengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekansampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihatperhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.14.1. Integral Fungsi Tetapan:∫ adx∫ adx = ax + K karena dax = adxContoh:y =∫2 dx = 2x+ K14.2. Integral Fungsi Mononom:∫x n dxn+1n n−1n xKarena dx = x dx dengan syarat n ≠ −1, maka∫x dx = + Kn + 12 2 2 3Contoh: y =∫2 x dx = 2∫x dx = x + K3n m14.3. Integral Fungsi Polinom∫( x + x ) dxPolinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatupolinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.n m n mKarena d( x + x ) = x dx + x dx maka∫( xn+ xmn+1m+1x x) dx = + + K,n + 1 m + 1Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.∫5dx;∫∫2xdx;12( x − 2x+ 4) dx ;0∫∫44xdx;dengan syarat n ≠ −1,m ≠ −1∫(2x+ 5) dx ;3 2(4x+ 6x+ 4x+ 2) dx177

14.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:∫v n dxn+1n vJika v adalah polinom, maka∫v dv = dv + Kn + 1karenan+1v nd = v dv dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untukn + 1mencari∫v n dx .Contoh: Hitunglah y =∫( 2x+ 1) dx2dvMisalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx→ dx =22 33 22 v v 8x+ 12x+ 6x+ 1y =∫(2x+ 1) dx =∫dv = + K =+ K2 664 3 2 1= x + 2x+ x + + K36Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akandiperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.3 2224x4xy = x + dx = x + x + dx = + + x + K′∫(2 1)∫(4 4 1)3 2Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,K ′ = K + 1/ 6 .Contoh: Hitunglah2Misalkan 1 − x = v →3xy =∫dx21 − xdvdxdv= −2x→ dx =− 2x1/ 23x3xdv 3 − 1/ 2 3 vy =∫dx = = − v dv = −2 1/ 21−x v − 2x2 ∫2 1/ 2= −321−xSoal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.2∫( 1) dx ;∫4x+x + 1 dx ;1x∫2 + 5xdx;∫dx ;+∫dx2(3x2)22x+ 1178 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:∫ vdvKarenadvdvd (ln v)= , maka v Kv ∫= ln + . Integrasi inivmemecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi∫v n dx .2xContoh: Carilah integral y =∫dx2x + 12Misalkan v = x + 1→dvdxdv= 2x→ dx =2x2x2xdv2y =∫dx =∫= ln v + K = ln( x + 1)+ K2x + 1 v 2xSoal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.2dx x dx dx xdx xdx xdx+ 1∫;∫;∫;∫;− − + ∫;2x334 2 3 1 21 −∫ 2x x x x 4x+14.6. Integral Fungsi Eksponensial:∫e v dvKarena dev = ve dv maka v ve dv = e + KSoal-Soal:22xxx / 3∫e dx ;∫xe dx ;∫e dx ;∫1 +∫xe dxx2e14.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :∫a v dvKarenavv vv ada = a ln adv maka∫a dv = + Kln a179

Contoh: Carilah∫2xy = 3 dxMisalkan v = 2x →14.8. Integral Fungsi Trigonometridvdv= 2 → dx =dx2v 2x2x3 1 3y =∫3 dx =∫dv = + K2 2 ln 3Karena d sin v = cosvdvmaka cos v dx = sin v + KKarena d cosv= −sinvdx maka sin v dx = −cosv+ K∫Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang laintermuat dalam Tabel-13.1.Contoh: Carilah integral tak tentu∫∫y = sin 2xdxdvdvMisalkan v = 2x→ = 2 → dx =dx2sin v −cosvy =∫sin 2xdx=∫dv =2 2Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.= −cos 2x2∫4xdx ;∫cos(2x+ 2) dx ;∫4cos3xdx∫∫∫sin .2sin x cos xdx ;2sin xdx ;∫∫2cos axdx2sin x cos xdx .sin 2xcos 2 x sin xdx ;∫dx .2 − cos 2x180 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.9. Integral Fungsi HiperbolikKarena d(sinh v)= cosh v maka cosh vdv = sinh v + KKarena d(cosh v)= sinh vdv maka sinh vdv = cosh v + KRelasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuatdalam Tabel-13.1.Contoh: Carilah y =∫cosh( 2x+ 1)dx∫∫Misalkandvdvv = 2x+ 1→= 2 → dx =dx21sinh21y =∫cosh(2x+ 1) dx =∫cosh( v)dv =21= sinh(2x+ 1) + K2Soal-Soal: Carilah integral berikutv + K∫sinhxx 2 sinh x2dx ;∫tanh xdx ;∫cosh 2xdx;∫dx ;∫tanh xdx4cosh x14.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri InversiIntegral fungsi-fungsi yang berbentuk∫dv1 − v2dv,∫ +21 vdv∫dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,2v v −1menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.Contoh: Carilah y =∫dx21 − 4x,181

2 dvJika kita membuat pemisalan v = 1 − 4xmaka = −8xataudxdvdx = . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan− 8xintegral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk1 / 2 dv∫v−− 8xyang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapatter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.Namun bentukdxini dapat kita transformasi menjadi bentuk∫ 21 − 4xyang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2xdvdvyang akan memberikan = 2 atau dx = . Persoalan integral kitadx2menjadiy =∫dx dv 1 dv=∫=22 ∫1 − 4x2 1 − v21 − v2yang menghasilkany =1 −11 −sin v + K = sin1 (2x)+ K22Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.∫dx dx dx dx dx;∫;∫;∫;2 222 ∫1 + 4x1 − x 4 + x x 4 + x 1 − x2182 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.9. Relasi Diferensial dan IntegralBerikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9dan 16, 17 yang sering kita temui.Tabel-14.1.dv1. dv = dx1. dv = v + Kdx∫2. d ( kv)= kdv2.∫kdv = k∫dv3. d ( v + w)= dv + dw3. ∫( dv + dw)=∫dv +∫ dwn n−14. dv = nv dvn+1n v4.∫v dv = + C ; n≠1n + 15.dvdvd (ln v)=5. v Kv∫= ln +v6. dev = ve dv6. v ve dv = e + K∫v v7. da = a ln advvv a7.∫a dv = + Kln a8. d (sin v)= cosvdv8. cos vdv = sin v + K9. d(cosv)= −sinvdv9. sin vdv = −cosv+ K210. d(tan v)= sec vdv 10.∫sec 2 vdv = tan v + K∫∫183

211. d(cotv)= −cscvdv 11. csc 2 vdv = −cotv+ K∫12. d(sec v)= sec v tan vdv13. d(cscv)= −cscvcot vdv∫12. sec tan vdv = sec v + K∫13. csc cot vdv = −cscv+ K14. d (sinh v)= cosh v14. cosh vdv = sinh v + K∫15. d(cosh v)= sinh vdv∫15. sinh vdv = cosh v + K216. d(tanh v)= sech vdv 16. sec h2 vdv = tanh v + K217. d(cothv)= −cschvdv 17. csch2 vdv = −cothv+ K∫∫18. d( sechv)= −sechvtanh vdv19. d( cschv)= −cschvcothvdv∫18. sec hv tanh vdv = −sechv+ K∫19. csch v coth vdv = −coshv+ K1 dv20. d(sin− v)=20. ∫ dv −1= sin v + K221−v1 − v1 dv21. d(cos− −v)=21. ∫ dv −1= − cos v + K ′221−v1 − v22.d tan−1dvv =1+v2dv −122.∫= tan v + K21 + v184 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

23.d cot−1−dvv =1 + v2dv −123.∫= −cotv + K21+v24.−1dvdv −1d sec v =24.2 ∫= sec v + K , v >02v v −1v v −1dv 1−1−dv25. d csc v =−25.2 ∫ = − csc v +v v −1226.v v −11 dvd(sinh− v)=26. ∫ dv −1= sinh v + K221+v1 + v−1dv27. d (cosh v)=27.dv −1∫= cosh v + K22v −1v − 11 dv28. d(tanh− v)=28. ∫ dv −1= tanh v2+ K ; jika |v|121−v−1−dvdv−130. d(sechv)=30.2 ∫= −sechv + K;2v 1−vv 1−v−1−dv31. d(cschv)=v 1+vCatatan Tentang Isi Tabel-14.1.2dv−131.∫= −cschv + K;2v 1+vDengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapatmelakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:Fungsi mononom dan polinom:∫ vdvK, v >0Fungsi polinom berpangkat:Fungsi exponensial:∫∫ve dv ;v n dv ;∫va dv∫dvv185

22Fungsi trigonometri:∫cos vdv ;∫sin vdv ;∫sec vdv ;∫csc vdv ;∫sec tan vdv ;∫csc cot vdv .tetapi tidak:∫tan vdv ;∫cot vdv ;∫sec vdv ;∫csc vdv .Fungsi hiperbolik:∫cosh vdv ;∫vdv∫2csc h vdv ;∫sec hv tanh vdv ;∫csch v coth vdv .2sinh ;∫sec h vdv ;tetapi tidak:∫tanh vdv ;∫coth vdv ;∫sec hvdv;∫csc hvdv.Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometriinversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti∫dv1 − v2dv;∫ +21 vdv;∫ ;2 ∫v v −1dv1 + v2;∫dv2v− 1dv;∫ −21 vdv ;∫v 1 − v2dv;∫v 1 + v2tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti∫sin−1vdv;∫tan−1xdx;∫sinh−1vdv.;∫tanh−1vdvTabel-14.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yangdvberbentuk2 22 2∫;∫a ± v dv;∫v − a dv;dsb2 2a + v186 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 15 Persamaan Diferensial Orde-115.1. PengertianPersamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu ataulebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kitapelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengansatu peubah bebas.2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi3d yturunan fungsi yang ada dalam persamaan. adalah orde3dxtiga;2d y2dxdyadalah orde dua;dxadalah orde satu.3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalahpangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.2 5⎛ 3d y ⎞ ⎛ 2d y ⎞ y xSebagai contoh: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + = e adalah persamaan⎜ 3dx ⎟ ⎜ 2dx ⎟ 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x + 1diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,orde satu dan orde dua, derajat satu.15.2. SolusiSuatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaandiferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannyay dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.−xKita ambil satu contoh: y = ke adalah solusi dari persamaandy+ y = 0 karena turunan−xdyy = ke adalah− x= −ke, dan jika ini kitadtdt−x−xmasukkan dalam persamaan akan kita peroleh − ke + ke = 0 .;persamaan terpenuhi.187

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satumempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Padaumumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yangmengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde duayang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusidengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan olehkondisi awal.15.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang DapatDipisahkanSolusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubahdapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semuay dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan makapersamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentukf ( y)dy + g(x)dx = 0(15.1)Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umumdengan satu tetapan sembarang K, yaituKita ambil dua contoh.∫f y)dy∫g(x)dx)=( + K(15.2)1).dy x−ydy= e . Persamaan ini dapat kita tuliskan =dxdxsehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisahsehinggay xe dy − e dx = 0dany xy xe − e = K atau e = e + K∫ye dy −x∫e dx = Kxeyedy2).dx= 1xy. Pemisahan peubah akan memberikan bentukdxdxydy − = 0 dan Kx ∫ydy −∫=x188 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

sehingga2y2− ln x = Katau2y = ln x + K′15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde SatuSuatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentukdy ⎛ y ⎞= F⎜⎟dx ⎝ x ⎠(15.3)Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubahbebas baruDengan peubah baru ini makaPersamaan (14.2) menjadiy = vx danyv =xdydx= v +dvxdxdvv + x = F(v)(15.4)dxyang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.dx dv+ = 0x v − F(v)(15.5)Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/xsetelah persamaan terakhir ini dipecahkan.2 2Kita ambil contoh: ( x + y ) dx + 2xydy= 0Persamaan ini dapat kita tulis 2 yx (1 + ) dx + 2xydy= 0 atau2x22y y(1 + ) dx = −2dy sehinggady 1 + ( y / x)= − = F(y / x)2x xdx 2( y / x)2189

yang merupakan bentuk persamaan homogen.Peubah baru v = y/x memberikany = vx dandan membuat persamaan menjadi2dv 1 + vv + x = − ataudx 2vDari sini kita dapatkandv dx= −2(1 + 3v) / 2vxdydx= v +dvxdx22dv 1 + v 1 + 3vx = −v− = −dx 2v2vdx 2vdvatau + 0x 21 + 3v=Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan vsebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini.Kita tahu bahwad(lnx)1= . Kita coba hitungdx x222d ln(1 + 3x) d ln(1 + 3x) d(1+ 3x) 1== (6x)dx22d(1+ 3x) dx 1 + 3xKembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di ataskita dapatkan solusi dariadalahdx 2vdv+ 0x 21 + 3v=1 2 1ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′33atau23ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′Dalam x dan y solusi ini adalahsehingga3 2x (1 + 3v) = K′22 2( 1 + 3( y / x)) = K atau ( x + 3 y ) = K3x ′x ′190 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde SatuDalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol.Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat daripeubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderajat dua karena ydan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkanuntuk menentukan derajat dari y(dy/dx).Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskandalam bentukdy+ Py = Q(15.6)dxdengan P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan. Persamaan diferensialbentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi padasituasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kitaakan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadipada analisis rangkaian listrik.Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arusmerupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yangakan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagaidya + by = f (t)(15.7)dtPersamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Carayang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan.Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapanrangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai adan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa teganganataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai solusi total yangmerupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khususadalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusihomogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogendya + by = 0(15.8)dt191

Hal ini dapat difahami karena jika f 1 (t) memenuhi (15.7) dan fungsi f 2 (t)memenuhi (15.8), maka y = (f 1 +f 2 ) akan memenuhi (15.7) sebab( f + f )dy da + by = a 1 2 + b(f1+ f2)dtdtdf= 1 df+ 2 dfa bf11 + a + bf2= a + bf1+ 0dt dt dtJadi y = (f 1 +f 2 ) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut solusi total yangterdiri dari solusi khusus f 1 dari (15.7) dan solusi homogen f 2 dari (15.8).Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaandiferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selangperalihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain..Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yangkita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahanyaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beritanda t = 0 + dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0 − .Solusi Homogen. Persamaan (15.8) menyatakan bahwa y ditambahdengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semuanilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama.Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itusendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusidari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K 1 e st . Jika solusi dugaanini kita masukkan ke (15.8), kita perolehstst( as + b) 0aK1 se + bK1e= 0 atau K1y =(15.9)Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K 1 juga tidakboleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untukseluruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalahas + b = 0(15.10)Persamaan (15.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem ordepertama. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = −(b/a). Jadisolusi homogen yang kita cari adalahyst −(b / a)ta = K1e= K1e(15.11)Nilai K 1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratantertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0 + sesaat192 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telahmempunyai nilai tertentu pada t = 0 + sehingga nilai K 1 haruslahsedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0 + tersebut dapat dipenuhi.Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusihomogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisiawal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusihomogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebihdulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkankondisi awal.Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsipemaksa f(t). Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dapatmelakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslahsedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (15.7) makaruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yangsama. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka y p dan turunannya harusmempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagaibentuk f(t), solusi khusus dugaan y p adalah sebagai berikut.Jika f ( t)= 0 , maka y p = 0Jika f ( t)= A = konstan, maka y p = konstan = KJikaJikaαtf ( t)= Ae = eksponensial, makaαty p = eksponensial = Kef ( t)= Asinωt, atau f ( t)= Acosωt, makay p = Kccosωt+ Kssin ωtPerhatikan : y = Kccosωt+ Kssin ωtadalahbentuk umum fungsi sinus maupun cosinus .Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka solusi total adalahs ty = y p + ya= y p + K1e(15.12)Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akanmemberikan nilai K 1 .Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinyaperubahan yaitu pada t = 0 + . Dalam menurunkan persamaan diferensialpada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah193

status. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini,sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama.Jika kondisi awal ini kita sebut y(0 + ) maka−y (0+ ) = y(0)(15.13)Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12)akan kita peroleh nilai K 1 .+ ++( = p 1 1py 0 ) y (0 ) + K → K = y(0) − y (0 ) (15.14)y p (0 + ) adalah nilai solusi khusus pada t = 0 + . Nilai y(0 + ) dan y p (0 + ) adalahtertentu (yaitu nilai pada t = 0 + ). Jika kita sebut+++y( 0 ) − y p (0 ) = A0(15.15)maka solusi total menjadis ty = y p + A0e(15.16)15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi PemaksaTanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kitaperoleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalammencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada,akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harusditerapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri darisolusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol).Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen sajaatau solusi khusus saja.Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaandv+ 1000 v = 0dtuntuk t > 0. Kondisi awal adalah v(0 + ) = 12 V.Persamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −1000Dugaan solusi homogen :Dugaan solusi khusus :Dugaan solusi total−1000tva= A0ev p = 0 (karena tidak adast−1000t: v = v p + A0e= 0 + A0efungsipemaksa)194 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

+ −Kondisi awal : v(0) = v(0) = 12 V.Penerapankondisiawalpadadugaanmemberikan : 12 = 0 + A0→ A0= 12−1000tSolusi total menjadi : v = 12 e Vsolusi totalContoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 10menghasilkan persamaandv+ 3 v = 0dtV, analisis transienPersamaan karakteristik : s + 3 = 0 → s = −3DugaanDugaan solusi khusus :Dugaansolusi homogen :solusi total:+Kondisi awal : v(0) = 10 V−3tva= A0ev p = 0−3tv = vp+ A0ePenerapan kondisi awal memberikan : 10 = 0 + A0−3tSolusi total menjadi: v = 10 e VFungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajaribahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 danbernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaanuntuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskansebagai f(t) = A (tetapan).Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan−10 3 dv+ v =12dtdengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V.−3−3Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10= −1000Dugaansolusi homogen :−1000tva= A0e195

Karena f(t) = 12 konstan, kita dapat menduga bahwa solusi khususakan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehinggakedua ruas persamaan tersebut dapat berisi suatu nilai konstan.Dugaansolusi khusus :Masukkan v p dugaanvp= Kini ke persamaan :−1000tDugaan solusi total : v = 12 + A0eV+Kondisi awal : v(0) = v(0−)= 0.0 + K = 12 ⇒ vp= 12Penerapan kondisi awal memberikan : 0 = 12 + A0→ A0= −12−1000tSolusi total menjadi : v = 12 −12e VContoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 11 V, analisis transienmenghasilkan persamaandv+ 5 v = 200dtPersamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5DugaanDugaanDugaanKondisisolusi homogen :solusi khusus :solusi lengkap:awal :−5tva= A0ev p = K → 0 + 5K= 200 → v p = 40−5t−5tv = v p + A0e= 40 + A0e+v(0) = 11V. Penerapankondisi11 = 40 + A0→ A0= −29−5tTanggapan total: v = 40 − 29 e V.awalmemberikan :Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusijika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidaktergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogendari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contohsebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan padapencarian solusi khusus.Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0,bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskany = Acos( ωt+ θ)196 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Melalui relasi{ cosωtcosθ − sin ωtθ}y = Acos(ωt+ θ)= Asinbentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagaiy = Accosωt+ Assin ωtdengan Ac= AcosθdanAs= −AsinθDengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungansudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien A c dan A s .Koefisien A c dan A s tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka A s = 0dan jika θ = 90 o maka A c = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ darifungsi sinus yang dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapatAsmenggunakan relasi tan θ = .AcTurunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu,penjumlahan y = sinωt dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.y = A cos ωt+ A sin ωt;cdy= −Acωsinωt+ Asωcosωtdt2d y= −Acω2dt2scos ωt− A ωs2;sin ωtContoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 0 V suatu analisis transiendvmenghasilkan persamaan + 5 v =100cos10tdtPersamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5Dugaansolusi homogen :−5tva= A0eFungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akanberbentuk sinus juga.197

Dugaansolusi khusus :vp= Accos10t+ Assin10tSubstitusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan :−10Acsin10t+ 10Ascos10t+ 5Accos10t+ 5Assin10t= 100cos10t→ −10Ac+ 5As= 0 dan 10As+ 5Ac= 100→ As= 2Ac→ 20Ac+ 5Ac= 100 ⇒ Ac= 4 dan As= 8Solusi khusus : vp= 4cos10t+ 8sin10t−5tDugaan solusi total : v = 4cos10t+ 8sin10t+ A0e+Kondisi awal v(0) = 0.Penerapan kondisi awal : 0 = 4 + A0→ A0= −4−5tJadi: v = 4cos10t+ 8sin10t− 4eVContoh: Apabila kondisi awal adalah v(0 + ) = 10 V, bagaimanakahsolusi pada contoh sebelum ini?Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah.−5tSolusi total : v = 4 cos10t+ 8sin10t+ A0e+Kondisi awal v(0) = 10 → 10 = 4 + A0→ A0= 6−5tJadi : v = 4 cos10t+ 8sin10t+ 6 e VRingkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen.Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktuyang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam halrangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusikhusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa,yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar;solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final.198 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y = y( ) − t / τp t + A0eSolusi khusus : ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen mantap;tetap ada untuk t →∞.Solusi homogen : tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen transien; hilang pada t→∞; sudah dapat dianggap hilang pada t = 5τ. konstanta waktu τ = a/b pada (14.10)Soal-Soal:1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.dv+a). + 10v= 0 , v(0) = 10 ;dtdv+b). + 15v= 0 , v(0) = 5dt2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.di+a). + 8i= 0 , i(0) = 2 ;dtdi 4+b). + 10 i = 0 , i(0) = −0,005dt199

3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.dv+a). + 10v= 10u(t), v(0) = 0 ;dtdv+b). + 10v= 10u(t), v(0) = 5dt4. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.di 4+a). + 10 i = 100u(t), i(0) = 0 ;dtdi 4+b). + 10 i = 100u(t), i(0) = −0,02dt5. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.dv+a). + 5v= 10cos(5t)u(t), v(0) = 0 ;dtdv+b). + 10v= 10cos(5t)u(t), v(0) = 5dt200 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 16 Persamaan Diferensial Orde-216.1. Persamaan Diferensial Linier Orde DuaSecara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk2d y dya + b + cy = f ( t)(16.1)2dt dtPada persamaan diferensial orde satu kita telah melihat bahwa solusitotal terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus.Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yangdengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya padapersamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan initerletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdapat duakondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaansolusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah+ − dy + −y (0 ) = y(0) dan (0 ) = y'(0)(16.2)dtSolusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaiandengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25),sehingga persamaan menjadi2d y dya + b + cy = 0(16.3)2dt dtAgar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyaibentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial y a =Ke st dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusidugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh :aKs2eststst2( as + bs + ) = 0+ bKse + cKe = 0 atau Kecst(16.4)Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidakdiperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. Satusatunyajalan agar persamaan ini dipenuhi adalah2as + bs + c = 0(16.4)201

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensialorde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentukpersamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu:s , s122− b ± b − 4ac= (16.5)2aAkar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: duaakar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat.Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadapbentuk solusi akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kitamelihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai duaakar.Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusihomogen, yaitu:s1ts ta1 = K1edan ya2= K2e(16.6)y2Jika y a1 merupakan solusi dan y a2 juga merupakan solusi, maka jumlahkeduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cariakan berbentukKonstanta K 1solusi total.s1ts ta = K1 e + K2e(16.7)y2dan K 2 kita cari melalui penerapan kondisi awal padaSolusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusikhusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara mendugabentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaanorde satu. Kita umpamakan solusi khusus y khusus = y p .Solusi Total. Dengan solusi khusus y p maka solusi total menjadis1ts t= y p + ya= y p + K1 e + K2e(16.8)y2202 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk SolusiSebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yangberbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinannilai akar, yaitu:a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0c). Dua akar kompleks konjugat s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0.Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tigakemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengancontoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.Dua Akar Nyata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kitaterapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaanyaitu+y(0) = y+p(0 ) + K + Ky'(0) = y′(0 ) + s K + s Kp++11122dan2(16.9)yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebutBmaka kita peroleh00++p+A = y(0) − y (0 )+= y′(0 ) − y′(0 )pdan(16.10)dan dari sini kita memperolehK =1 + K2= A0dan s1K1+ s2K2B0s2A0− B0K1 =dans − ssehingga solusi total menjadi21s A − BK2s As1A0− B0=s − s2 0 0 s1t1 0 0 s t= y p + e + e (16.11)s2− s1s1− s21− By2Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan ordepertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi2203

persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentangkondisi awal, yang hanya dapat diterapkan pada solusi total. Persamaanyang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaandengan solusi khusus yang bernilai nol.Contoh: Dari analisis transien suatu rangkaian listrik diperolehpersamaan2d v3 dv 6+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 02dtdtdengan kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + ) = 023 6Persamaan karkteristik : s + 8,5 × 10 s + 4 × 10 = 0→ akar- akarDugaan solusi total:Kondisi awal :3 2: s1,s2= −4250± 10 (4,25) − 4s1= −500,s2= −8000( dua akar riil berbeda).−500t−8000tv = 0 + K1e+ K2e(solusi homogen nol)+ −a). v(0) = v(0) = 15 V →15= K1+ K2⇒ K2= 15 − K1dv +b). (0 ) = 0 → 0 = K1s1+ K2s2= K1s1+ (15 − K1)s2dt− 15s2− 15( −8000)⇒ K1= == 16 ⇒ K2= 15 − K1= −1s1− s2− 500 + 8000−500t −8000tSolusi total: v = 16e− e V(hanya terdiri dari solusi homogen).Dua Akar Nyata Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebutdapat kita tuliskan sebagais 1 = s dan s2= s + δ ; dengan δ → 0(16.12)Dengan demikian maka solusi total dapat kita tulis sebagaiy = y= ypps1t1+ K e+ K e1st+ K+ Ks2t2e( s+δ)t2e(16.13)204 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kalau kondisi awal pertama y(0 + ) kita terapkan, kita akan memperoleh+y(0) = yp→ K + K1+(0 ) + K + K21+2= y(0) − yp+(0 ) = AJika kondisi awal kedua dy/dt (0 + ) kita terapkan, kita peroleh+y′(0 ) = y′(0 ) + K s + K ( s + δ)→ ( K1p+ K ) s + KDari kedua persamaan ini kita dapatkan2+212+δ = y′(0 ) − y′(0 ) = Bp+00A0s + K2δ = B0→→B0− A0sK2=δB0K1= A0−−δA0s(16.14)Solusi total menjadi⎛ B0− A0s ⎞ st B0− A0s ( s+δ)ty = y p + ⎜ A0− ⎟e+ e⎝ δ ⎠ δ⎡⎛B0= y p + ⎢⎜A0−⎣⎝−δA0s ⎞ B0⎟ +⎠−δA0s δ t ⎤ ste ⎥ e⎦⎡⎛ δ t1 e ⎞⎤st= y p + ⎢A0+ ( B0− A0s)⎜−+ ⎟⎥e⎢⎜ ⎟⎣⎝δ δ⎠⎥⎦(16.15.a)Karena⎛ δ t1 e ⎞ ⎛ δte 1⎞lim ⎜lim ⎜ −− + ⎟ =⎟ = tδ→0⎜⎟ 0⎜⎟⎝δ δ δ→⎠ ⎝δ⎠maka solusi total dapat kita tulisy[ A + B A s)t] est= y p + 0 ( 0 − 0(16.15.b)Solusi total seperti dinyatakan oleh (16.15.b) merupakan bentuk khususyang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar samabesar. A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisiawal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (16.15.b) sebagai205

y[ K + K t] est= y p + a b(16.15.c)dengan nilai K a yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai K bditentukan oleh kondisi awal dan s. Dalam rangkaian listrik, nilai stergantung dari elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak adakaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahuibahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yangsama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan sepertiyang ditunjukkan oleh (16.15.c).Contoh: Pada kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + )=0, analisistransien rangkaian listrik memberikan persamaanDi sinisolusi totalakan2d v 3 dv 6+ 4 × 10 + 4 × 10 v = 02dt dt26Persamaan karakteristik : s + 4000s+ 4 × 10 = 06 6: s1,s2= −2000± 4 × 10 − 4 × 10 = −2000= sterdapat dua akar sama besar; oleh karena ituakar - akarv = v p +Jadi : v =berbentuk :stst( K + K t) e = 0 + ( K + K t) e , karena v = 0.aAplikasi kondisi awal pertamab+v(0) = 15 = Ka.dv +Aplikasi kondisi awal kedua (0 ) = 0dtdv ststmemberikan = Kbe+ ( Ka+ Kbt)s edtdv +→ (0 ) = 0 = Kb+ Kas→dt−2000 t( 15 + 30000t) e Vabpada solusi total ini memberikanKb= −Kas= 30000p206 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Akar-Akar Kompleks Konjugat. Kita belum membahas bilangankompleks di buku ini. Kita baru memandang fungsi-fungsi yangmemiliki nilai bilangan nyata. Namun agar pembahasan menjadilengkap, berikut ini diberikan solusinya.Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagais 2Solusi total dari situasi ini adalah1 = α + jβdan s = α − jβy = y= ypp+ K+( α+ jβ)t1e+ K+ jβt − jβt αt( K e + K e ) e12( α− jβ)t2eAplikasikan kondisi awal yang pertama, y(0 + ),y(0) = y→+K + K1p(0 ) +2+( K + K )+12= y(0) − yp+(0 ) = A0(16.16)dv + +Aplikasi kondisi awal yang kedua, (0 ) = y′(0 ) ,dtdydt+Kita akan memperolehdy pjβt− jβt= + ( jβK1e− jβK2e)dtjβt− jβtαt( K e + K e ) α e1dy +(0 ) y′+(0 ) y′+= = p (0 ) +dt→ jβjβ2eαt( jβK− jβK) + ( K + K )( K1K2) ( K1K2) y′+(0 ) y′+− + α + = − p (0 ) = B0K1+ K2= A0( K − K ) + α( K + K )1211B0− αA02 = B0→ K1− K2=jβA0+ ( B0− αA0) / jβA0− ( B0− αA0) / jβK 1 =K2=22Solusi total menjadi212α207

y = y= y= yppp⎛ A + B+0 ( 0⎜⎝⎛+ ⎜ A⎜⎝0e+ jβt+ e2− jβt⎛ ( B+⎜ A cosβt+00⎝− αA0) / jβe2( B++ jβt0− αA0) eβ− αA0) ⎞sinβt⎟ eβ ⎠A − ( B+0 0αt+ jβt− αA0) / jβe2− e2 j− jβt⎞⎟ e⎟⎠αt− jβt⎞⎟ e⎠αt(16.17)A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awalsedangkan α dan β memiliki nilai tertentu (dalam rangkaian listrikditentukan oleh nilai elemen rangkaian). Dengan demikian solusi totaldapat kita tuliskan sebagaiy = yp+αt( K βt+ K sinβt) ea cos b(16.18)dengan K a dan K b yang masih harus ditentukan melalui penerapankondisi awal. Ini adalah bentuk solusi total khusus untuk persamaandiferensial yang memiliki persamaan karakteristik dengan dua akarkompleks konjugat.Persamaan (16.18) menunjukkan bahwa bila persamaan karakteristikmemberikan dua akar kompleks konjugat, maka solusi persamaandiferensial orde dua akan terdiri dari solusi khusus y p ditambah fungsisinus yang teredam.208 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

209Soal-Soal:1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.5)(00 ,)(00 ;54c).10)(00 ,)(00 ;44b).15)(00,)(00 ;107a).222222===++===++===++++++++dtdvvvdtdvdtvddtdvvvdtdvdtvddtdvvvdtdvdtvd2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.10(0)5,)(0);(100258c).10(0)5,)(0);(1002510b).25(0)5,)(0) ;(1002410a).222222===++===++===+++++dtdvvtuvdtdvdtvddtdvvtuvdtdvdtvddtdvvtuvdtdvdtvd3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.0)(00,)(0,)(]100[cos100086a).22===++++dtdvvtutvdtdvdtvd0)(00,)(0,)(]100[cos100096b).22===++++dtdvvtutvdtdvdtvd0)(00,)(0) ,(]100[cos1000102c).22===++++dtdvvtutvdtdvdtvd

210 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 17 Matriks17.1. Konsep Dasar MatriksMatrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolomyang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukansebagai suatu kesatuan. Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatukurung siku (ataupun dengan kurung biasa) seperti contoh berikut⎡2⎢⎢1⎢⎣30223⎤⎥4⎥1⎥⎦⎡2⎤; ⎢ ⎥⎣4⎦⎡24 1⎤3 ; ⎢ ⎥⎣30 2 ⎦; [ 2 4](17.1)Dalam contoh matriks (17.1) ini, banyaknya baris matriks yang pertamasama dengan banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriksbujur sangkar. Yang kedua terdiri dari dua baris dan satu kolom,disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri dari satubaris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yangkeempat adalah matrik persegi panjang dengan dua baris dan tigakolom.Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehinggasuatu matrik akan terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemenmatriks ini dapat berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapidalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat matriks denganelemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secaraumum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalammatriks. Jika b (b = 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalahnomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemenmatriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama matriks adalahhuruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakansebagai notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.⎡20 3⎤⎢ ⎥ ⎡24 1⎤⎡2⎤A = ⎢1 2 4⎥ ; B = ⎢ ⎥ ; a = ⎢ ⎥⎦⎢⎣32 1⎥⎣30 2 ⎦ ⎣4⎦Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan; b = [ 2 4]3 (17.2)211

⎡ a11a12L a1n ⎤⎢⎥⎢a21a22L a2nA =⎥ = [ abk](17.3)⎢ L L L L ⎥⎢⎥⎢⎣am1am2L amn⎥⎦Posisi elemen-elemen a 11 …a mn disebut diagonal utama matriks.Banyaknya baris dan kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh(17.1), berturut-turut kita mempunyai matriks dengan ukuran 3×3, 2×1,1×3, dan 2×3. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar, dankita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (17.2) adalahmatriks bujur sangkar berordo 3.Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh denganmenghilangkan sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatumatriks. Sebagai contoh, matriks⎡2B = ⎢⎣3mempunyai dua anak matriks 1× 3 , yaitu [ 2 4 1], [ 0 2]tiga anak matriks 2× 1, yaitu401⎤⎥2 ⎦3 ;⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡1 ⎤⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ;⎣3⎦ ⎣0⎦ ⎣2⎦enam anak matriks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];enam anak matriks 1×2 yaitu [ 2 4], [ 2 1], [ 4 1], [ 3 0], [ 3 2], [ 0 2];tiga anak matriks 2×2 yaitu⎡2⎢⎣34⎤⎡21⎤⎡41⎤⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ .0 ⎦ ⎣32 ⎦ ⎣02 ⎦Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapatmemandang matriks sebagai tersusun dari anak-anak matriks yangberupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks⎡2⎢A= ⎢1⎢⎣30223⎤⎥4⎥1⎥⎦⎡a1⎤⎢ ⎥dapat kita pandang sebagai matriks A =⎢a2⎥⎢⎣a3⎥⎦212 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris 1 = [ 2 0 3]a [ 1 2 4], a [ 3 2 1]a ,2 =3 = . Dengan cara pandang ini matriks A miripbentuknya dengan vektor kolom.Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks A = [ a a ]1 2 a3⎡2⎤⎡0⎤⎡3⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥dengan anak-anak matriks a 1 =⎢1⎥ , a 2 =⎢2⎥ , a 3 =⎢4⎥ yang berupa⎢⎣3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦⎢⎣1⎥⎦vektor-vektor kolom. Dengan cara ini matriks A terlihat seperti vektorbaris.17.2. Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi MatriksKesamaan MatriksDua matriks A dan B sama jika dan hanya jika berukuran sama danelemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskankesamaan ini A = B.⎡24⎤⎡24⎤Jika A = ⎢ ⎥ maka haruslah B = ⎢ ⎥ .⎣30 ⎦ ⎣30 ⎦PenjumlahanPenjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yangberukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari keduamatriks tersebut sama). Jumlah dari dua matriks A dan B yang masingmasingberukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yangelemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A danB yang posisinya sama.Jika A=⎡2⎢⎣34⎤⎡1⎥ dan B= ⎢0 ⎦ ⎣23⎤⎡37⎤⎥ , maka C= A + B = ⎢ ⎥2 ⎦ ⎣52 ⎦Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikutMatriks Nol.a. A + B = B + Ab. ( A B) + C = A + ( B + C)+ (17.4)Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×ndengan semua elemennya bernilai nol.213

Matriks NegatifNegatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yangdiperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1).Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatifadalahPerkalian Matriks dengan Bilangan Skalarc). A + 0 = Ad). A + ( −A)= A − A = 0(17.5)Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalahmatriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. Kitamenuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA =Aa.⎡22 1⎤⎡22 1⎤⎡44 2⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2⎢1 3 2⎥=⎢1 3 2⎥2 =⎢2 6 4⎥⎢⎣32 3⎥⎦⎢⎣32 3⎥⎦⎢⎣64 6⎥⎦Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifatsebagai berikut.a. a ( A + B) = aA+ aBb. ( a + b) A = aA+ bAc. a [ bA] = ( ab)A(17.6)Perkalian Matriks dengan MatriksPerkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB (dalam urutanperkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriksA sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks Aberukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dapatdilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa matriks yangberukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke kmerupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b darimatriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B (matriks A dipandangsebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor baris danmatriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi214 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

jika A = [ a b ] dan B = [ b k ] maka C = AB = [ cbk] = [ ab• bk]Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kitasebut menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihatbahwa menggandaawalkan A ke B tidak selalu sama denganmenggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris a = [ 2 3]⎡4⎤dan vektor kolom b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom a adalah 2, sama⎣ 3⎦ dengan banyaknya baris b, maka perkalian internal c = a • b dapatkita lakukan, yaitu⎡4⎤c = a • b = [ 2 3] ⎢ ⎥ = [ 2 × 4 + 3×3] = [ 17].⎣3⎦Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama denganbanyaknya baris a, maka. kita dapat melakukan perkalian⎡4⎤d = b • a = ⎢ ⎥⎣3⎦⎡4× 2⎢⎣3×24×3⎤⎥3×3⎦⎡8⎢⎣612⎤[ 2 3] == ⎥ ⎦Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya perkalian ini dapatdilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matrikstidak komutatif.⎡21⎤• Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan⎣34 ⎦⎡2⎤b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka⎣ 3 ⎦perkalian Ab dapat dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai⎡a1⎤A = ⎢ ⎥ , yaitu matrik dengan anak matriks berupa vektor baris⎣a2⎦2 1 a 3 4 . Perkalian C = Ab adalaha [ ] dan [ ]1 =2 =⎡a1⎤ ⎡aC = Ab = ⎢ ⎥ b = ⎢⎣a2⎦⎣a12• b⎤⎡2× 2 + 1×3⎤⎡ 7 ⎤⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥• b⎦⎣3×2 + 4 × 3⎦⎣18⎦Jika urutan perkalian dibalik D = bA , perkalian tak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.9215

⎡21⎤• Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan⎣34 ⎦⎡42⎤B = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B;⎣53⎦oleh karena itu kita dapat melakukan perkalian C = AB . Matriks A⎡a1⎤kita pandang sebagai A = ⎢ ⎥ , yaitu matrik dengan anak matriks⎣a2⎦berupa vektor baris a 1 = [ 2 1]dan a 2 = [ 3 4]. Matriks B kitapandang sebagai B = [ b 1 b 2 ], yaitu matriks dengan dua anakmatriks berupa vektor kolomC = AB adalah⎡a1⎤C = AB = ⎢ ⎥⎣a2⎦⎡2× 4 + 1×5= ⎢⎣3×4 + 4 × 5[ b b ]12⎡4⎤⎡2⎤b 1 = ⎢ ⎥ dan b 2 = ⎢ ⎥ . Perkalian⎣ 5⎦ ⎣ 3⎦ ⎡a1• b1= ⎢⎣a2• b12 × 2 + 1×3⎤⎡13⎥ = ⎢3×2 + 4 × 3⎦⎣32a1• b2⎤⎥a2• b2⎦7 ⎤⎥18⎦⎡24 3⎤• Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan A = ⎢ ⎥⎣13 2 ⎦⎡12⎤⎢ ⎥dan B =⎢4 3⎥ . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan⎢⎣23⎥⎦banyaknya baris B. Kita dapat melakukan perkalian⎡12⎤⎡24 3⎤⎢ ⎥ ⎡2× 1+4 × 4 + 3×2 2 × 2 + 4 × 3 + 3×3⎤⎡25C = AB = ⎢ ⎥ ⎢4 3⎥= ⎢⎥ = ⎢⎣13 2⎦⎣1×1+3×4 + 2 × 2 1×2 + 3×3 + 2 × 3⎢ ⎥⎦ ⎣17⎣23⎦25⎤⎥17⎦Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atasadalah sebagai⎡a1⎤= ⎢ ⎥⎣a2⎦A , B = [ ]b 1 b 2, sehingga⎡a1⎤ ⎡a1• b1a1• b2⎤C = AB = ⎢ ⎥ [ b1b2] = ⎢⎥ .⎣a2⎦⎣a2• b1a2• b2⎦216 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Dalam operasi perkalian matrike, matriks yang pertama kita susundari anak matriks yang berupa vektro baris sedangkan matriks yangkedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadiperkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom.Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan( a A) B = a( AB) = A( aB)( BC) ( AB)CA =( A + B) C = AC + BC(17.7)( A + B) = CA CBC +b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BAterdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BAc. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.Matriks-Matriks KhususMelihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentukmatriks khusus.• Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matrikssegitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawahadalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanyabernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemenelemendi bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan contohberikut.Matriks segitiga bawah :T 1⎡ 2⎢=⎢−1⎢⎣ 30140⎤⎥0⎥3⎥⎦Matriks segitiga atas :T 2⎡2⎢=⎢0⎢⎣0− 2101⎤⎥3⎥3⎥⎦217

• Matriks Diagonal. Matriks diagonal adalah matriks yang elemenelemendi atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.Contoh :⎡2⎢D =⎢0⎢⎣0• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas,adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriksini dilambangkan dengan I.⎡1⎢I =⎢0⎢⎣0Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembalipada matriks asalnya.0100100⎤⎥0⎥0⎥⎦0⎤⎥0⎥1⎥⎦AI = IA = A(17.8)Putaran MatriksPutaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalahsuatu matriks A T yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks Asebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks Amenjadi kolom-kolom matriks A T .⎡ a11a12L a1n ⎤⎢⎥a a L aA⎥bk maka⎢ L L L L⎢⎥⎢⎣am1am2L amn⎥⎦Jika ⎢ 21 22 2n=⎥ = [ a ]Perhatikan contoh-contoh berikut ini.⎡a11a21L am1⎤⎢⎥T ⎢a12a22L am2A =⎥ = [ apq](17.9)⎢ L L L L ⎥⎢⎥⎢⎣a1na2nL amn⎥⎦218 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akanmenjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akanmenjadi vektor baris.⎡2⎤T ⎢ ⎥⎢ ⎥a = [ 2 4 3]⇒ a = 4 ; b = 4 ⇒ bT = [ 5 4 3]⎢ ⎥⎢⎣3⎥⎦⎡5⎤⎢ ⎥⎢⎣3⎥⎦• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor barissama dengan jumlah putaran masing-masing vektor.Jika a = [ 2 4 3] dan b = [ 1 3 2]maka a + b = [ 3 7 5]⎡3⎤⎡2⎤⎡1⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .⎢⎣5⎥⎦⎢⎣3⎥⎦⎢⎣2⎥⎦TT T( a b) = 7 = 4 + 3 = a + bT TSecara umum : ( a b) = a + bT+ (17.10)• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kalivektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektorbaris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutandibalik.⎡1⎤⎢ ⎥Jika a = [ 2 4 3]dan b = 3 maka ab = [ 2 × 1+4 × 3 + 3×2]⎢ ⎥⎢⎣2⎥⎦⎡2⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣3⎥⎦TT T⇒ ab = [ 2 × 1+4×3 + 3×2] = [ 1 3 2] 4 = b a⎡2⎤a⎢ ⎥maka⎢⎣3⎥⎦⎢ ⎥Jika = 4 dan b = [ 1 3 2]⎡2× 1⎢ab =⎢4 × 1⎢⎣3×12 × 34 × 33×32 × 2⎤⎥4 × 2⎥3×2⎥⎦T⎡2× 1⎢⎢⎢⎣2× 24×13×1⎤⎥⎥3×2⎥⎦⎡1⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣2⎥⎦T T⇒ ( ab ) = 2 × 3 4 × 3 3×3 = 3 [ 2 4 3] = b a4×2219

T TSecara umum : ( ) b aTab = (17.11)• Putaran matriks persegi panjang.⎡21⎤⎡24 3⎤T ⎢ ⎥Jika A = ⎢ ⎥ maka A =⎣13 2⎢4 3⎥⎦ ⎢⎣32⎥⎦Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dsri vektor baris⎡ a1⎤⎢ ⎥T T TA =⎢L⎥ maka putarannya adalah A = [ a1L a m ]. Di sini⎢⎣a m ⎥⎦terlihat jelas bagaimana baris-baris di A menjadi kolom-kolom diA T . Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolomA = [ a1a2L a m ] maka putarannya akan berbentuk matriksdengan anak-anak matriks berupa vektor baris.• Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama denganjumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat padaputaran jumlah vektor baris.T T T( A B) = A + B+ (17.12)Jika A = [ a L ] dan B = [ b L ]1a m1b mmaka A + B = [ a + b L + ]Dengan demikian( + B)( a + b )1 1 a m b m .⎡ T ⎤ ⎡ T T T T1 1 a1+ b ⎤ ⎡1 a ⎤ ⎡1 b ⎤1T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T TA = ⎢ L ⎥ = ⎢ L ⎥ = ⎢L⎥+ ⎢L⎥ = A + B⎢T T T T T( a b )⎥ ⎢a b⎥ ⎢a⎥ ⎢b⎥⎢ ⎥ ⎢+⎣ m + m ⎦ ⎣ m m ⎥⎦⎢⎣m ⎥⎦⎢⎣m ⎥⎦• Putaran hasil kali matriks. Putaran hasilkali dua matriks samadengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yangdibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor barisdan vektor kolom.T T T( ) B AAB = (17.13)220 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika⎡ a1⎤⎢ ⎥A =⎢L⎥⎢⎣a m ⎥⎦dan B [ b L ]= maka⎡ a 1 • b 1 L a 1 • bn⎤⎢⎥AB =⎢L L L⎥ . Dengan demikian maka⎢⎣am• bnL am• bn⎥⎦⎡ a1• b1L a1• bn⎤ ⎡b1⎤T ⎢⎥ ⎢ ⎥AB =⎢L L L⎥=⎢L⎥ 1 m =⎢⎣am• bnL am• bn⎥⎦⎢⎣bn⎥⎦1b nT T[ a L a ] B A• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenalkesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriksyang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks Adikatakan simetris apabila A = ATT .Jika B = −Bdikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.Karena dalam putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidakberubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jikaelemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.17.3. Sistem Persamaan LinierSuatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan)adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.Bentuk umum sistem persamaan linier ini adalaha11x1+ L+a1nxn= b1a21x1+ L + a2nxn= b2. . . . . . . . . . .am1x1+ L+amnxn= bm(17.14)Sistem (17.14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang takdiketahui yaitu x 1 ….x n . Bilangan a 11 …..a mn disebut koefisien dari sistemitu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.Bilangan-bilangan b 1 ….b m juga merupakan bilangan-bilangan yangdiketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh bbernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaanhomogen.221

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilaidari x 1 , …x n yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem inihomogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x 1 = 0,…., x n = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistempersamaan ini adalah sebagai berikut.a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakahhimpunan solusi tersebut?d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satusolusi?Memperhatikan sistem persamaan (17.14) kita dapat melakukan operasioperasiyang kita sebut operasi baris sebagai berikut.a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikandengan faktor bukan nol yang sama tanpa mempengaruhihimpunan sistem persamaan tersebut.b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiripersamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan.Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaantersebut.c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklahmengganggu himpunan sistem persamaan.Sistem persamaan (17.14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriksdengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah⎡a11⎢⎢a21⎢ L⎢⎢⎣am1a12a22Lam2LLLLa1n⎤ ⎡ x1⎤ ⎡ b1⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥a2n⎥ ⎢x2⎥= ⎢b2⎥L ⎥ ⎢L⎥⎢L⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥amn⎥⎦⎢⎣xn⎥⎦⎢⎣bm⎥⎦(17.15)atau secara singkatdenganAx = b(17.16)⎡ a11a12L a1n⎤ ⎡ x1⎤ ⎡ b1⎤⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢a21a22L a2n⎥ = ⎢x2⎥ = ⎢b2A =; x ; b ⎥ (17.17)⎢ L L L L ⎥ ⎢L⎥⎢L⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣am1am2L amn⎥⎦⎢⎣xn⎥⎦⎢⎣bm⎥⎦222 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Dari (17.17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebutmatriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan bmenjadi⎡ a11a12L a1n| b1⎤⎢⎥~= ⎢a21a22L a2n| b2A ⎥(17.18)⎢ L L L L | L⎥⎢⎥⎢⎣am1am2L amn| bm⎥⎦Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (17.14)secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan (17.14)kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan (17.18) menjadi sebagaiberikut.a). Setiap elemen dari baris yang sama (17.18) dapat dikalikandengan faktor bukan nol yang sama.b). Satu baris dari (17.18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriksgandengan baru ini kita sebut sebagai setara baris dengan matriksgandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriksgandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih barulagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandenganyang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi barismenghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriksgandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan barumenyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriksgandengan asalnya.Eliminasi GaussEliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untukmemecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandenganmerupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, makaeliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melaluicontoh berikut ini.Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.223

x A − xB= 8− x A + 4xB− 2xC= 0(17.19)x A − 3xB+ 5xC− 2xD= 8− x A + 4xB− 3xC+ 2xD= 0Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai⎡ 1⎢⎢−1⎢ 1⎢⎣−1−14− 340− 25− 30 ⎤ ⎡x⎥ ⎢0⎥ ⎢x− 2⎥⎢x⎥ ⎢2⎦⎣xABCD⎤ ⎡8⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢0= ⎥⎥ ⎢8⎥⎥ ⎢ ⎥⎦⎣0⎦dengan matriks gandeng⎡ 1⎢⎢−1⎢ 1⎢⎣−1−14− 340− 25− 300− 22||||8⎤⎥0⎥8⎥⎥0⎦Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriksgandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambilbaris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama barisbarisberikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkanbaris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13− 230− 25− 300− 22||||8⎤⎥8⎥0⎥⎥8⎦pivot+ baris1− baris1+ baris1Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriksgandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku keduabaris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, danmengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah224 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⇒⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−1300⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣00− 25 − 4 /3−1300−10− 211−100− 2200− 62||||||||8 ⎤⎥8⎥16/3⎥⎥0⎦8 ⎤⎥8⎥16⎥⎥0⎦× 3pivot+ 2/3 baris 2− baris 2Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivotdan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukandengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkankepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13000− 211000− 616||||8 ⎤⎥8⎥16⎥⎥16⎦pivot× 11+baris 3(17.20)Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:xA− xB= 83xB− 2xC= 811xC− 6xD= 1616xD= 16yang dengan substitusi mundur akan memberikan:x D = 1 ; xC= 2 ; xB= 4 ; xA= 12 .Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihanSistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukaneliminasi Gauss di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yangmemberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika banyaknyaunsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya persamaan danpersamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknyapersamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, makasistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu225

memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jikabanyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang takdiketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurangtertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentudan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidakmemberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yangmemberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihatpersamaan berikut.xA− x− xA− 3x+ 4xBB= 8B+ 2x− 2xCC= −8= 0Matriks gandeng dari sistem ini adalah⎡ 1⎢⎢−1⎢⎣ 0−14− 30− 22|||8 ⎤⎥0⎥− 8⎥⎦(17.21)Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti padacontoh di atas, yang akan menghasilkan⎡1⎢⎢0⎢⎣0−13− 30− 22|||8 ⎤ ⎡1⎥ ⎢8⎥ ⇒ ⎢0− 8⎥⎦⎢⎣0−1300− 20|||8⎤⎥8⎥0⎥⎦Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :xA3x− xB0 = 0B− 2x= 8C= 8(17.22)(17.23)Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan x b = ( 8 + 2xc)/ 3 yangkemudian memberikan x a = 8 + (8 + 2xc) / 3 . Karena x c tetapsembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akanmemperoleh nilai x a dan x b jika kita menentukan nilai x c lebih dulu.• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistempersamaan berikut.226 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

xA− x− xA− 3x+ 4xBB= 8B+ 2x− 2xCC= −10= 0Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan(17.24)⎡ 1⎢⎢−1⎢⎣ 0−14− 30− 22|||8 ⎤⎥0⎥−10⎥⎦⇒⎡1⎢⎢0⎢⎣0−13− 30− 22|||8 ⎤⎥8⎥−10⎥⎦⇒⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300− 20|||8 ⎤⎥8⎥− 2⎥⎦Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalahxA3x− xBB− 2x0 = −2= 8C= 8(17.25)(17.26)Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnyamenghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baristerakhir (17.26).. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaanyang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matrikspada (17.20), (17.22) dan (17.25) disebut bentuk eselon. Dari (17.25)misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannyaadalah⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300 ⎤⎥− 2⎥0 ⎥⎦dan⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300− 20|||8 ⎤⎥8⎥− 2⎥⎦Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah227

⎡a11⎢⎢0⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a12c22LLLLkrrLLLa1nc2nMkrn0M0|||||||b1⎤⎥b2′⎥⎥⎥br′⎥b′⎥r+1⎥⎥b⎥m ⎦(17.27)dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akanberbentuka x + a11 1c1222x + LLLL + a2x + LLLL + a2krrx + L+kr1nn2nnMxxx= b= b′= b′rn n r0 = br′+ 1M0 = b′dengan a ≠ , a ≠ 0 , k 0 , dan r ≤ n. Perhatikan (17.28) ini.11 0 22 rr ≠1m2(17.28)a). Jika r = n dan b r′ + 1,K,bm′sama dengan nol atau tidak ada, makasistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.b). Jika r < n dan b r′ + 1,K,bm′sama dengan nol atau tidak ada, makasistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.c). Jika r = n ataupun r < n dan b r′ + 1,K,bm′tidak sama dengan nolatau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidakmemberikan solusi.Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jikab r′ + 1,K,b m ′ sama dengan nol atau tidak ada. Pada suatu sistem persamaanyang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n ; jikar < n akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriksgandengan pada (17.27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yangbebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan liniervektor-vektor kita bahas berikut ini.228 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektorMisalkan a 1 , a2, L amadalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A=[a bk ]. Kita tinjau suatu persamaan vektorc1 a1+ c2a2+ L + c m am= 0(17.29)Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c 1 …c m ) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier.Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yangtidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisienyang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalamkombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karenadalam persamaan (17.29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektorvektortidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (17.29)(atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektordapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain;misalnya vektor a 1 dapat dinyatakan sebagaic2ca1 = − a2−L −mam= 0(17.30)c1c1karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nolKita ambil contoh dua vektor barisa [ 2 3 1 2]dan a [ 4 2 6 2]1 =Vektor a 1 dan a 2 adalah bebas linier karena2 =[ 3 1 2] + [ 4 2 6 2] 0c1 a 1 + c2a2= c12 c2=hanya akan terjadi jika c = c 0Ambil vektor ketiga a [ 4 6 2 4]1 2 =3 =. Vektor a 3 dan a 1 tidak bebaslinier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagaia 3 = 2a1 = 2[ 2 3 1 2] = [ 4 6 2 4]. Vektor a 1 , a 2 dan a 3 juga tidakbebas linier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagai[ 2 3 1 2] + 0 [ 4 2 6 2] [ 4 6 2 4]a 3 = 2a1+ 0a2= 2=Akan tetapi jika kita hanya melihat a 3 dan a 2 saja, mereka adalah bebaslinier.229

Kita lihat vektor lain yaitu a [ 6 7 5 5]4 =. Vektor a 4 , a 1 dan a 2 tidakbebas linier karena kita dapat menyatakan a 4 sebagai[ 2 3 1 2] + 0.5 [ 4 2 6 2] [ 6 7 5 5]a 4 = 2a1+ 0.5a2 = 2=Rank matriks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier,didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linierdalam suatu matriks A = [a bk ] disebut rank matriks A disingkat rank A.Rank matriks B = 0 adalah nol.Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwaoperasi baris menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriksasalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rankmatriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubahrank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasibaris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkahterakhir eliminasi Gauss.Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasiGauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektoryang tak bebas linier telah tereliminasi. Kita ambil contoh matriks pada(17.20), (17.22) dan (17.25).• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari(17.20), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan solusitunggal, adalah⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13000− 21100 ⎤⎥0⎥− 6⎥⎥16⎦dan⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13000− 211000− 616||||8 ⎤⎥8⎥16⎥⎥16⎦Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriksgandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama denganbanyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari(17.22), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan banyaksolusi, adalah230 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300 ⎤⎥− 2⎥0 ⎥⎦dan⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300− 2Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriksgandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil daribanyaknya unsur yang tak diketahui.• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari(17.25), yaitu dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi,adalah⎡1⎢⎢0⎢⎣0−1300 ⎤⎥− 2⎥0 ⎥⎦dan⎡1⎢⎢0⎢⎣0−13000− 20||||||8⎤⎥8⎥0⎥⎦8 ⎤⎥8⎥− 2⎥⎦Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rankmatriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rankmatriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari keduamatriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.Kita melihat bahwa(a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rankmatriks koefisien harus sama dengan rank matriksgandengannya;(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rankmatriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang takdiketahui;(c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsuryang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.Sistem Persamaan HomogenSistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan darisistem seperti (17.14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itudisebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk231

a11x1+ a12x2+ L + a1nxn= 0a21x1+ a22x2+ L + a2nxn= 0. . . . . . . . . . .am1x1+ am2x2+ L+amnxn= 0Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah(17.31)⎡ a11a12L a1n| 0 ⎤⎢⎥~= ⎢a21a22L a2n| 0A ⎥(17.32)⎢ L L L L | L⎥⎢⎥⎢⎣am1am2L amn| 0 ⎥⎦Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan⎡a11′ a12′ L a1′n | 0 ⎤⎢⎥~ ⎢0 a′22 L a′2n| 0A ′ =⎥(17.33)⎢LL L L | L⎥⎢⎥⎢⎣0 0 0 amn′ | 0 ⎥⎦Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsuryang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuka11′ x1+ a12′ x2+ L+a1′nxn= 0a22′ x2+ L+a′2nxn= 0Mamn′ xn= 0(17.34)Dari (17.34) terlihat bahwa xn= 0 dan substitusi mundur akhirnyamemberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusitrivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivialhanya akan diperoleh jika r < n . Kita akan melihat beberapa contoh.• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivialxA− xB= 0− xA+ 4xB− 2xC= 0xA− 3xB+ 5xC− 2xD= 0− xA+ 4xB− 3xC+ 2xD= 0(17.35)Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah232 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⎡ 1⎢⎢−1⎢ 1⎢⎣−1−14− 340− 25− 300− 22||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦eliminasi Gauss⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13000− 211000− 6Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahuijuga 4. Sistem persamaan liniernya menjadixA− xB= 03xB− 2xC= 011xC− 6xD= 016xD= 0⇒ yang akhirnya memberikan16||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦x D = xC= xB= xA= 0(17.36)Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaanr = n .• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivialxA− xB= 0− xA+ 4xB− 2xC= 0xA− 3xB+ 5xC− 2xD= 0− xA+ 4xB−13xC+ 6xD= 0Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah(17.37)⎡ 1⎢⎢−1⎢ 1⎢⎣−1−14− 340− 25−1300− 26||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦eliminasi Gauss⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−13000− 211000− 60||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦dan sistem persamaan menjadix − x = 0A3xB11x0 = 0− 2xCBC− 6xD= 0= 0(17.38)233

Jika kita mengambil nilai x = 1 maka akan diperoleh6 12 12x C = ; xB= ; xA= . Solusi ini membentuk vektor solusi11 33 33⎡12/ 33⎤⎢ ⎥⎢12/33x ⎥1 = yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya⎢ 6/11 ⎥⎢ ⎥⎣ 1⎦akan menghasilkan vektor nol b = 0.D⎡1−10 0 ⎤ ⎡12/33⎤⎡0⎤⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢0 3 − 2 0⎥ ⎢12/33⎥ = ⎢0Ax ⎥1 =(17.39)⎢00 11 − 6⎥⎢ 6/11 ⎥ ⎢0⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣00 0 0⎦⎣ 1⎦⎣0⎦Jika kita menetapkan nilai x D yang lain, misalnya x = 33 akan⎡12⎤⎢ ⎥12diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu x 2 = ⎢ ⎥ = 33x1, yang jika⎢18⎥⎢ ⎥⎣33⎦digandaawalkan dengan matriks koefisiennya juga menghasilkanvektor nol.. Vektor solusi x 2 ini merupakan perkalian solusisebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yangsesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusiberbentukxc = cx 1(17.40)dengan c adalah skalar sembarang.Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh denganmenjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x 1 dan x 2 .⎡12/33⎤⎡12⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥12/33 12x 3 = x1+ x2= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = x1+ 33x1= 34x1(17.41)⎢ 6/11 ⎥ ⎢18⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ 1⎦⎣33⎦Jelas bahwa x 3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkanakan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusiD234 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kitanyatakan sebagaix ∑x(17.42)j = cContoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaanhomogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperolehmelalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar (17.40) danpenjumlahan vektor-vektor solusi (17.42). Kita katakan bahwa solusidari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruangvektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwasetiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x 1walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana terlihatpada (17.41).Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk olehvektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknyaunsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalamkasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang takdiketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kitaakan melihat kasus yang lain.• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihatsistem berikut.xA− xB= 0− xA+ 4xB− 5xC+ 2xD= 0xA− 4xB+ 5xC− 2xD= 0− xA+ 7xB−10xC+ 4xD= 0Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah(17.43)⎡ 1⎢⎢−1⎢ 1⎢⎣−1−14− 470− 55−1002− 24||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦eliminasi Gauss⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎣0−10− 5Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui4. Sistem persamaan menjadi300000200||||0⎤⎥0⎥0⎥⎥0⎦235

xA3x− xB0 = 00 = 0B− 5x= 0C+ 2xD= 0(17.44)Jika kita memberi nilai x C = 1 dan xD= 0 , kita akan mendapatkanx 5 /3 ; x = 5/3 .B = A⎡5/3⎤⎢ ⎥Vektor ⎢5/3x ⎥1 = adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan⎢ 1 ⎥⎢ ⎥⎣ 0⎦matriks koe fisien dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor b = 0Ax 1⎡1⎢⎢0=⎢0⎢⎣0−13000− 5000⎤⎡5/3⎤⎡ 5/3 − 5/3 ⎤ ⎡0⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2⎥ ⎢5/3⎥ ⎢0 + 5 − 5 + 0=⎥ = ⎢0⎥0⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0⎦⎣ 0⎦⎣ 0⎦⎣0⎦Jika Ax 1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikanA k 1x1= 0 , A k 2x1= 0 , dan Ak 1 x1+ Ak2x1= A( k1+ k2)x1= Ac1x1 = 0 .Dengan kata lain, jika x 1 adalah vektor solusi, makak 1x1, k2x1, ( k1x1+ k2x1)adalah juga vektor-vektor solusi dansebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberinilai x 1 dan x = 0 .C = DJika x 0 dan x = 1 akan kita peroleh x = −2/ 3 dan x = −2/ 3C = D⎡ −2 /3⎤⎢ ⎥yang membentuk vektor solusi ⎢− 2 /3x ⎥2 = . Dengan skalar l⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎣ 1⎦sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lainseperti l x l x , ( l x + l ) .1 2 , 2 2 1 2 2x2Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalahx = k x 1 + lx 2(17.45)BA236 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektorberdimensi 2.Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwasolusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahuidan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi(n − r).Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-JordanPengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannyadengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertianini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriksyang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriksidentitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A −1 sehingga definisiini memberikan relasi−1 −1A = I = AAA (17.45)Jika A berukuran n × n maka A −1 juga berukuran n × n dan demikian pulamatriks identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memilikikebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks taksingular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A;dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Halini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnyaP dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanyamungkin terjadi jika P = Q.P = IP = ( AQ)P = QAP = Q(AP)= QI = Q(17.46)Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaanmatriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaituAx = b(17.47)Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan(17.47), akan kita perolehA−1 −1−1Ax = A b → Ix = x = A b(17.48)237

Persamaan (17.48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektorsolusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien Aada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalahbagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular danbagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matrikskoefisien A pada (17.47) adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusitunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berartibahwa vektor x pada (17.48) dapat kita peroleh jika rank A −1 samadengan n. Dengan perkataan lainmatriks A yang berukuran n × n tak singular jikarank A sama dengan n dan akan singular jika rank Alebih kecil dari n.Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasiGauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (17.47). Jika X adalahkebalikan matriks A makaAX = I~dan kitalakukan eliminasi Gauss pada A ~ sehingga matriks gandengan iniU H dengan U berbentuk matriks segitiga atas.Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan A = [ A I]berubah menjadi [ ]Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ U H]denganmengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentukmatriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan [ I X].Perhatikan contoh berikut.Kita akan mencari kebalikan dari matriks⎡ 1⎢A =⎢3⎢⎣−2Kita bentuk matriks gandengan [ A I]2− 242⎤⎥2⎥1⎥⎦[ A I]⎡ 1⎢=⎢3⎢⎣−22− 24221|||1000100⎤⎥0⎥1⎥⎦238 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini⎡12 2 | 1 0 0⎤pivot⎢⎥⎢0 − 8 − 4 | − 3 1 0⎥− 3×baris1 ⇒⎢⎣08 5 | 2 0 1⎥⎦ + 2 × baris1⎡1⎢⎢0⎢⎣02 2− 8 − 4| 1| − 30 1 | −1Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan0 0⎤⎥1 0⎥pivot1 1⎥⎦ + baris 2⎡1⎢⎢0⎢⎣021021/ 21|||13/8−10 0⎤⎥− 1/8 0⎥× ( −1/8)⇒1 1⎥⎦⎡1⎢⎢0⎢⎣0210001|||37 /8−1− 2− 5/81− 2 ⎤⎥−1/2⎥1 ⎥⎦− 2 × baris 3− 0.5×baris3⎡1 0 0 | 10/8 − 6/8 −1⎤ − 2 × baris 2⎢⎥⎢0 1 0 | 7 /8 − 5/8 −1/2⎥⎢⎣00 1 | −11 1 ⎥⎦Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu :⎡10/8−1⎢A =⎢7 /8⎢⎣ −1− 6/8− 5/81−1⎤⎥−1/2⎥1 ⎥⎦Hasil ini dapat kita teliti balik dengan menggandaawalkannya denganmatriks A⎡10/8− ⎢A1 A =⎢7 /8⎢⎣ −1− 6/8− 5/81⎡10/8−18/8+ 2⎢=⎢7 /8 −15/8+ 1⎢⎣ −1+3 − 2−1⎤ ⎡ 1 2 2⎤⎥ ⎢ ⎥−1/2⎥ ⎢3 − 2 2⎥1 ⎥⎦⎢⎣−2 4 1⎥⎦20/8 + 12/8 − 414/8 + 10/8 − 2− 2 − 2 + 420/8 −12/8−1⎤ ⎡1⎥ ⎢14/8 −10/8−1/2⎥=⎢0− 2 + 2 + 1 ⎥⎦⎢⎣00100⎤⎥0⎥1⎥⎦239

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yangpersamaan matriksnya⎡ 1⎢⎢3⎢⎣−22− 242⎤⎡ x1⎤ ⎡8⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2⎥ ⎢x2⎥=⎢0⎥1⎥⎦⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦vektor solusinya adalah⎡ x1⎤ ⎡ 1⎢ ⎥ ⎢⎢x2⎥=⎢3⎢⎣x3⎥⎦⎢⎣−22− 24−12⎤⎡8⎤⎡10/8⎥ ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎢0⎥=⎢7 /81⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣ −1− 6 /8− 5/81−1⎤ ⎡8⎤⎡10⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−1/2⎥ ⎢0⎥=⎢7⎥1 ⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣−8⎥⎦Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat denganmudah kita peroleh.⎡a11⎢⎢0⎢⎣ 0−10 0 ⎤ ⎡1/a110 0 ⎤⎥ ⎢⎥L 0⎥=⎢0 L 0⎥(17.49)0 ann ⎥⎦⎢⎣ 0 0 1/ a nn ⎥⎦Kebalikan dari kebalikan matriks. Kebalikan dari kebalikan matriksadalah matriks itu sendiri.−1( A ) − 1= A(17.50)Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriksadalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutandibalik.AB− 1 = B−1A−(17.51)( )1Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut−1A I = AAB−1( )−1−1= B AB− 1 − 1 − 1A= B( AB)( ) −1I = AB−1−1−1( AB)( AB) = ( A A) B( AB) = IB( AB)−( ) 1 −( ) 1 −= I AB = ( AB) 1B AB−1240 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 18 Bilangan dan Peubah KompleksJika kita menggambarkan kurva fungsiy =xdengan x adalah peubah bebas yang merupakan bilangan-bilangan nyataseperti yang kita temui dalam bab-bab sebelumnya, maka penggambarankurva hanya dapat kita lakukan untuk nilai x > 0.21.510.500 1 2 3 4Maka dibuat pengertian bilangan khayal dengan operatorj = −1 sehingga jika dari bilangan nyata 1 kita perolehbilangan khayal j1, dari bilangan nyata 2 kita dapatkanbilangan khayal j2 dan seterusnya.Dalam penggambaran grafis, bilangan nyata digambarkan disumbu mendatar yang selanjutnya disebut sumbu-nyata(real-axis) diberi tanda Re, sedangkan bilangan khayal ataubilangan imajiner digambarkan pada sumbu yang tegaklurus pada sumbu-nyata yang diberi tanda Im. Bidang yangdibatasi oleh kedua sumbu ini kita sebut bidang kompleks.18.1. Definisi Bilangan KompleksSuatu bilangan kompleks s didefinisikan sebagais = σ + jω(18.1)dengan σ dan ω keduanya adalah bilangan nyata (σ ∈ R dan ω ∈ R).241

Representasi bilangan kompleks seperti di atas disebut representasi sudutsiku ; σ adalah bagian riil dari s dan ditulis Re(s) = σ, ω adalah bagianimajiner dari s dituliskan Im(s) = ω.18.2. Representasi GrafisSuatu bilangan kompleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurutdari dua bilangan riil.s = σ + jω⇔ (σ,ω) (18.2)Dengan demikian kita dapat menggambarkan bilangan kompleks dibidang kompleks seperti pada Gb.18.1.a. Bidang dengan sumbukoordinat Re (sumbu riil) dan Im (sumbu imajiner) ini disebut bidangkompleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan kompleks akanterletak di bidang kompleks ini.Pasangan berurut (σ,ω) dapat pula diasosiasikan dengan sebuah vektorseperti terlihat pada Gb.18.1.b.; dengan kata lain vektor tersebutmerepresentasikan bilangan kompleks. Dengan representasi vektor inikita dapat menyatakan bilangan kompleks sebagais = σ + jω = A(cosθ + j sin θ)(18.3)dengan A adalah panjang vektor dan θ adalah sudut yang dibentuk oleharah vektor dengan sumbu nyata. Bentuk pernyataan bilangan kompleksseperti (18.3) ini disebut bentuk sudut siku. Selain bentuk susut siku kitamengenal juga pernyataan dalam bentuk polar.Imjω • s(σ,ω)jωρAθσReσRea) Pasangan berurut bilangan (σ,ω) b). Representasi bilanganpada bidang komplekskompleks secara vektorGb.18.1.. Representasi grafis bilangan kompleks.Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometrisederhana. Jika panjang vektor pada Gb.18.1.b. adalah A, dan θ adalahsudut yang dibentuk oleh vektor tersebut dengan sumbu Re makaIm

σ = Acosθ dan ω = Asinθ2 2A = σ + ω dan θ = tanMelalui persamaan atau identitas Euler, yaitu−1⎛ ω ⎞⎜ ⎟⎝ σ ⎠(18.4)θe j = cos θ + j sin θ(18.5)representasi polar dari bilangan kompleks menjadijθs = Ae(18.7)2 2Nilai absolut (magnitude) s adalah A, ditulis | s | = A = σ + ω . Sudut−θ disebut sudut fasa, ditulis ∠s= θ = tan 1 ( ω/σ). Pernyataan dalambentuk sudut siku dapat diubah ke dalam bentuk polar; sebaliknyapernyataan dalam bentuk polar dapat pula diubah ke dalam bentuk sudutsiku.18.3. Operasi-Operasi AljabarPenjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleksadalah sebagai berikut:s1+ s2= ( σ1+ jω1)+ ( σ2+ jω2)= ( σ1+ σ2)+ j(ω1+ ω2)s1− s2= ( σ1+ jω1)− ( σ2+ jω2)= ( σ1− σ2)+ j(ω1− ω2)Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut.( s1)(s2)= ( σ1+ jω1)(σ2+ jω2)= ( σ1σ2 − ω1ω2)+ j(ω1σ2 + σ1ω2)Pembagian. Pembagian satu bilangan kompleks oleh bilangan kompleksyang lain adalah sebagai berikut.ssσ+ jωσ− jωσ σ+ ω ω+ j ω σ− σ ω1 1 1 2 2 ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 )= × =2 22 σ2+ jω2σ2− jω2σ2+ ω2243

CONTOH: Jika s 1 = 2 + j3dan s2= 3 + j4makass11( s+ s− s1)( s222= (2 + j3)+ (3 + j4)= 5 + j7= (2 + j3)− (3 + j4)= −1− j1) = (2 + j3)(3+ j4)= (6 −12)+ j(8+ 9) = −6+j17ss122 + j33 −= ×3 + j43 −j4(6 + 12) + j(−8+ 9)==j42 23 + 41825+j125CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = 10 e j0,5 .Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya ∠s =0,5 rad.Bentuk sudut sikunya adalah:s = 10 (cos0,5 + j sin 0,5) = 10 (0,88 + j0,48)= 8,8 + j4,8CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = 3+ j4.2 2Nilai absolut s adalah | s | = ρ = 3 + 4 = 5− 4Sudut fasanya adalah ∠s = θ = tan 1 = 0,93 rad .3Representasi polar adalah: s = 5e j0,93CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = −1.Representasi polar adalah : s = −1 = e jπ = e −jπ− ⎛ 0 ⎞Pemahaman : tan 1 ⎜ ⎟ tidak bernilai tunggal. Kita harus⎝ −1⎠berhati-hati menentukan sudut fasanya. Di sini kita harus memilih πrad.CONTOH: Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudahoperasi perkalian dan pembagian.( s )( s12) = ρ e1jθ1ρ2ejθ2= ρ ρ e12j(θ +θ )12244 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

sjθ11 ρ1eρ1j(θ1−θ2)= = ejθ22 ρ ρ2e2sKonjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperolehdengan mengganti j dengan −j .Ims = σ + jωRes*= σ − jωGb.17.2. Konjugat bilangan kompleks.Perhatikan Gb.18.2. Jika s = σ + jωmaka konjugatnya adalahs = σ − jω.Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya adalahsebagai berikut.2( s )( s*)= | s | atau |s| = s s * ;[ s + s ]1∗ ∗ ∗2 = s1+ s2∗ ∗ ∗[ s s ] = ( s )( s )1 2 1∗⎡ ⎤ ∗s1s⎢ ⎥ = 1∗⎣ s2⎦ s2218.4. Fungsi KompleksFungsi kompleks X(s) merupakan suatu fungsi yang memetakan suatu setpeubah bebas kompleks ke dalam satu set peubah tak bebas kompleks.Peubah bebas kompleks adalah peubah bebas yang berupa bilangankompleks; dan peubah tak bebas kompleks adalah peubah tak bebas yangjuga berupa bilangan kompleks.245

Zero. Kita lihat fungsi kompleksX ( s)= 2s− 4Untuk beberapa nilai s kita dapat nilai X(s) pada tabel dan gambarberikut:sX(s)s 1 1+ j1X 1 − 2 + j2s 2 2 + j2X 2 0 + j4s 3 2 + j0X 3 0 + j0X4 23X 1s22s11X 3s 30-2 -1 0 1 2Setiap nilai s memberikan X(s). Ada satu nilai s yang khusus yaitu yangmemberikan nilai X ( s)= 0 + j0; s ini kita sebut zero yang artinyamembuat fungsi kompleks menjadi bernilai nol.Suatu fungsi kompleks X(s) dikatakan mempunyai zero di s = z 1 jikaPole. Kita lihat sekarang fungsilim X ( s)= 0s→z11X ( s)=2 s − 4Kita dapat membuat tabel dan gambar seperti pada pembahasanmengenai zero, akan tetapi tidak kita lakukan. Kita lebih tertarik padapeubah s yang khusus, yaitu yang membuat fungsi kompleks menjadibernilai tak hingga; s ini kita sebut pole. pada fungsi kompleks yangdiambil contoh ini zero ada di2s − 4 = 0 ⇒ s = 2 + j0246 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Suatu fungsi kompleks X(s) dikatakan mempunyai pole di s = p 1 jikalims→p1X ( s)= ∞s − bCONTOH: Tinjau suatu fungsi kompleks X ( s)= , a ≠ bs − aFungsi ini mempunyai pole di s = a dan zero di s = b18.5. Fungsi Rasional KompleksFungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasiodua polinomial kompleks dengan koefisien-koefisien nyata.b sX ( s)=a sm m−1m + bm−1s+ L+b0=n n−1n + an−1s+ L + a0B(s)A(s)Kita definisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Polinomial B(s)disebut numerator (kita mengguanakan istilah pembilang), sedangkanA(s) disebut denominator (kita menggunakan istilah penyebut). Dalampenulisan fungsi rasional biasanya diambil a n = 1 (dengan mengeluarkana n dari suku-suku penyebut).Fungsi rasional X(s) dikatakan proper (kita menggunakan istilah patut)jika m ≤ n ; dikatakan not proper (kurang patut) jika m > n. Fungsirasional dengan m > n sering juga disebut fungsi non-kausal.Jika X(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien nyata, kita dapatmenyatakan B(s) dan A(s) dalam faktor-faktor yang linier.K(s − z1)(s − z2) L(s − zm)X ( s)=( s − p )( s − p ) L(s − p )12n(18.11)Jika koefisien X(s) nyata maka akar-akar kompleks dari B(s) dan A(s)akan berupa pasangan konjugat. Bentuk pernyataan fungsi rasionalseperti (18.11) ini memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. Padaumumnya kita menghadapi fungsi yang proper, sehingga jumlah zerolebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian sering kitamenganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n − m) zero di takhingga.247

CONTOH : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional( s + 1)( s + 2)X ( s)=( s + 2)( s + 4)Fungsi ini dapat ditulis sebagai( 1)1 ( s +X s)= .( s + 4)X 1 (s) merupakan bentuk tereduksi dari X(s). Numerator dandenominator dari fungsi X(s) mempunyai faktor yang sama yaitu (s +2) dan faktor yang sama ini dapat dieliminir.Numerator dan denominator dari fungsi tereduksi X 1 (s) mempunyaipula faktor sama, yaitu 1. Jadi faktor yang sama antara polinom B 1 (s)dan A 1 (s) pada X 1 (s) adalah 1; rasio dua polinom yang demikian inidisebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja padabentuk yang sudah tereduksi; kita bekerja pada numerator dandenominator yang coprime.18.6. Diagram Pole-ZeroFungsi rasional dapat direpresentasikan secara grafis, yaitu dengan hanyamenggambarkan pole dan zero yang dimilikinya. Pole diberi tanda “×”sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero.CONTOH: Tinjau fungsi5( s −1)X ( s)= .( s + 1)( s + 2 + j1)(s + 2 − j1)×−2×Im1×−1 −1 1ReZero ada di s = 1 ;Pole ada di s = −1, (−2−j1), (−2+j1).248 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

18.7. Aplikasi Bilangan Kompleks untuk Menyatakan Fungsi SinusKita telah melihat di sub-bab 18.2. bahwa melalui persamaan atauidentitas Euler, representasi polar dari bilangan kompleks adalahs = Aejθ= Acos θ + jAsin θ(18.12)Dari relasi (18.2) ini kita dapat menyatakan bahwa A cos θ adalah bagianjθnyata dari bilangan kompleks Ae yang kita tuliskanjθA cos θ = Re Ae(18.13)Jika relasi (18.13) ini kita tetapkan sebagai relasi untuk menyatakan fungsisinus (yang dalam hal ini dinyatakan sebagai cosinus) maka penulisan Re diruas kanan (18.13) tidak perlu dituliskan lagi sehinggajθAcos θ = Ae(18.14)Relasi (18.14) inilah pernyataan besaran sinusoidal menggunakan bilangankompleks: A di ruas kiri adalah amplitudo besaran sinusoidal, dan A di ruaskanan adalah panjang vektor pernyataan bilangan komplek secara vektor.Karena dalam pernyataan bilangan kompleks secara vektor θ adalah sudutantara arah vektor dengan sumbu nyata, maka kita dapat menyatakanbilangan kompleks dengan menyatakan panjang vektor dan sudutnyasehingga (18.14) menjadiθAe j = A∠θ(18.15)Acos θ = A∠θ(18.16)Dalam besaran-besaran berbentuk sinusoidal dengan amlitudo A, misalnyategangan sinusoidal, θ merupakan fungsi waktu yang dapat kita tulisθ = ωt + ψ ; ω adalah frekuensi sudut dalam radian/detik, dan ψ adalahsudut fasa yaitu pergeseran sudut yang sudah terjadi pada t = 0 . Dari(18.16) kita dapat menyatakanA cos( ωt+ ψ)= A∠(ωt+ ψ)= A∠ψ(18.17)t = 0Inilah pernyataan besaran sinusoidal dalam fasor. Dalam menyatakanbesaran sinusoidal ke dalam bentuk fasor, kita mengambil bentuk sepertiruas paling kanan (18.17) tanpa menyebut lagi t = 0, karena hanyaamplitudo dan sudut fasa sajalah yang membedakan satu besaran sinusoidal249

dengan besaran sinusoidal yang lain, dan perbedaan itu kita amati pada t =0.Hubungan antara cosinus dan sinus suatu sudut adalahsin ωt= cos( ωt− π / 2) . Oleh karena itu bentuk fasor dariA sin( ωt+ ψ)adalah A∠(ψ − π / 2)(18.18)Dalam analisis rangkaian listrik, penulisan dalam bentuk fasor dilakukanseperti contoh berikut:v = V cos( ωt+ α)i = I cos( ωt+ β)menjadimenjadiV = V∠αI = I∠βOperasi perkalian fasor menjadi lebih mudah dilakukanjα1jα2V1= V1∠α1 = V1e; V2= V2∠α2= V2ej(α1+α2)⇒ V1× V2= V1V2e= V1V2∠(α1+ α2)∗V1= V1∠α1 , I1= I1∠β1⇒ I1= I1∠ − β1∗⇒ V1× I1= V1I1∠ ( α1− β1)Penjumlahan dan pengurangan akan lebih mudah jika fasor-fasordinyatakan dalam bentuk sudut sikuVV1 = V1∠α1 = V1(cosα1+ jsinα1)2 = V2∠α2= V2(cosα2+ jsinα2)V1+ V2= 1 1 2 2⇒( V cosα+ V cosα) + j( V sin α + V sin α )Selanjutnya lihat ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” pada bab Fasor danImpedansi.1122250 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 19 Transformasi LaplaceTransformasi Laplace, didefinisikan sebagai suatu integral∫ ∞ −stF ( s)= f ( t)e dt(19.1)0dengan s merupakan peubah kompleks, s = σ + jω. Batas bawah integrasiini adalah nol yang berarti bahwa dalam kita hanya meninjau besarandengan nilai lebih besar dari nol. Untuk itu kita menggunakan fungsianak tangga satuan u(t) untuk menyatakan f(t).19.1. Transformasi LaplaceMelalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semuladinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana sadalah peubah kompleks.Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) yang didefinisikan sebagai∫ ∞ −stF ( s)= f ( t)e dt kita tuliskan dengan notasi :0∫ ∞ −stL [ f ( t)]= F(s)= f ( t)e dt(19.2)0Fungsi Tetapan. Kita lihat lebih dulu fungsi tetapan f ( t)= Au(t)sehingga∞∞∞−(σ+ jω)t−st−stAeL [ Au(t) ] =∫Au(t)e dt =∫Ae dt = −00σ + jω0Batas atas, dengan σ > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawahmemberikan nilai A/s.JadiAL [ Au ( t)]=(19.3)sFungsi Eksponensial. Transformasi Laplace fungsi eksponensial−atberamplitudo A, yaitu f ( t)= Ae u(t)adalahL[ Ae−atu(t)]∞−at−st∞=∫A e e u(t)dt =0 ∫0Ae−(s+a)t∞−(s+a)tAe= −s + a0251

Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawahmemberikan A/(s+a).Jadi− AL [ Ae at u(t)]=(19.4)s + aFungsi Sinus. Transformasi Laplace fungsi sinusf(t) = (A cos ωt) u(t) adalah :∞−st∞−stL [(Acosωt)u(t)] = ( Acosωt)e u(t)dt = ( Acosωt)e dtDengan memanfaatkan hubungan Euler∫0cosω= ( ej ω t+ruas kanan persamaan di atas menjadi2e− jωt2) / 2∞ jωt+ − jωte e −st∞ A ( jω−s)t∞ A ( − jω)e dt =+− s tA0 2 ∫e dt0 2 ∫e0 2∫=sAs+ ωsL ( Acosωt)u(t)= A(19.5)s + ωJadi [ ]2 2Dengan cara yang sama, diperolehωL [(Asinωt)u(t)] = A(19.6)2 2s + ω19.2. Tabel Transformasi LaplaceMencari transformasi Laplace dari beberapa di atas merupakan contohbagaimana suatu transformasi dari fungsi t ke dalam fungsi s dilakukan.Kita lihat bahwa nilai tetapan A, selalu muncul sebagai faktor pengalidalam pernyataan fungsi di kawasan s. Transformasi dari beberapa fungsiyang lain termuat dalam Tabel-19.1. dengan mengambil nilai tetapan A= 1.∫0dt252 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Tabel-19.1. Pasangan Transformasi LaplacePernyataan Fungsidi Kawasan t : f(t)Pernyataan Fungsi diKawasan s : L[f(t)]=F(s)impuls : δ(t) 1anak tangga :eksponensial :cosinus :sinus :u(t)[e −at ]u(t)[cos ωt] u(t)[sin ωt] u(t)cosinus teredam : [e −at cos ωt] u(t)sinus teredam :[e −at sin ωt] u(t)cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t)sinus tergeser :ramp :ramp teredam :[sin (ωt + θ)] u(t)[ t ] u(t)[ t e −at ] u(t)1s1s + as2 2s + ωω2 2s + ωs + a2+ a + ω2( s )ω2 2( s + a) + ωs coss sinθ − ω2 2s + ωθ + ω2 2s + ω12s1( s + a) 2sin θcos θCONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut:a). f ( t)= 5cos(10t) u(t)1b). fc). f23( t)= 5sin(10t) u(t)( t)= 3e−2tu(t)253

Solusi : Dengan menggunakan Tabel-3.1 kita peroleh :5s5sa). f1(t)= 5cos(10t) u(t)→ F1( s)= =2 2 2s + (10) s + 1005 × 10 50b). f2(t)= 5sin(10t) u(t)→ F2( s)= =2 2 2s + (10) s + 100−2tc). f3(t)= 3eu(t)3→ F3( s)=s + 219.3. Sifat-Sifat Transformasi LaplaceSifat Unik. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasibalik dari F(s) adalah f(t).Bukti dari pernyataan ini tidak kita bahas di sini. Sifat ini memudahkankita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencarifungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasiLapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencaritransformasi balik dari F(s), dengan notasi L −1 [F(s)] = f(t) . Hal terakhirini akan kita bahas lebih lanjut setelah membahas sifat-sifat transformasiLaplace.Sifat Linier. Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, makaia bersifat linier.Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalahjumlah dari transformasi masing-masing fungsi.Jika f ( t)= A1 f1(t)+ A2f2(t)maka transformasi Laplace-nya adalahF(s)= ∞∞st[ A1f1(t)+ A2f2(t)] e dt = A 1 f ( ) 2 ( )00 1 t dt + A∫∞−∫∫f0 2 t dt(19.7)= A1F1( s)+ A2F2( s)dengan F 1 (s) dan F 2 (s) adalah transformasi Laplace dari f 1 (t) dan f 2 (t).254 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: a). Carilah transformasi Laplace dari :−2tv1 ( t)= (1 + 3e) u(t)b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae −at u(t)adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari v 2 (t)=Acosωtu(t).Solusi :−2t1 3a). v1( t)= (1 + 3e) u(t)→V1(s)= +s s + 2jωt− jωte + eb). v2(t)= Acos(ωt)u(t)= Au(t)2A jωt− jωt= ( e u(t)+ e u(t))2A ⎛ 1 1 ⎞ A ⎛ 2s⎞ AsV2(s)= ⎜ + ⎟ = ⎜ ⎟ =22 2 2 2 2⎝ s − jωs + jω⎠ ⎝ s + ω ⎠ s + ωIntegrasi. Transformasi Laplace dari integrasi suatu fungsi dapat kitalihat sebagai berikut.tMisalkan f ( t)=∫f ( )0 1 x dx . Maka∞⎛F(s)= ⎜⎝0∫ ∫t−st⎞ ⎡−ste ⎛f x dx⎟e dt = ⎢ ⎜0 1 ( )⎠ ⎢⎣− s ⎝∞ ∞tst⎞⎤e −f x dx⎟⎥−0 1 ( )⎠∫⎥⎦− s0 0∫f1(t)dtSuku pertama ruas kanan persamaan di atas akan bernilai nol untuk t = ∞karena e −st = 0 pada t→∞ , dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karenaintegral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi∞e − st∞1 −stF ( s)F( s)= − f ( t)dt f ( t)e dt 1∫ 1 = 1 =− s s ∫(19.8)s00CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp r(t)=tu(t).Solusi :Kita mengetahui bahwa fungsi ramp adalah integral dari fungsi anaktangga.255

(t)= tu(t)=→ R(s)=∫t0∞u(x)dx⎛⎜⎝∫ ∫t0 0⎞u(x)dx⎟e⎠Hasil ini sudah tercantum dalam Tabel.3.1.−st1dt =2sDiferensiasi. Transformasi Laplace dari suatu diferensiasi dapat kita lihatsebagai berikut.Misalkandf ( t)f ( t)=1makadt− st ∞[ f1(t)e ]0 −∫∞ df −∞−= 1 ( t)ststF ( s)∫e dt =f1(t)(−s)e dt0 dt0Suku pertama ruas kanan bernilai nol untuk t = ∞ karena e −st = 0 untukt→ ∞ , dan bernilai −f(0) untuk t = 0. Dengan demikian dapat kitatuliskan⎡df1 ( t)⎤st⎢ = s f ( t)e dt − f (0) = sF1( s)− f 1(0)dt ⎥⎣ ⎦∫ ∞ −L (19.9)0CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi cos(ωt) denganmemandang fungsi ini sebagai turunan dari sin(ωt).Solusi :1 d sin( ωt)f ( t)= cos( ωt)=ω dt1 ⎛ ω ⎞→ F(s)= ⎜ s − sin(0) ⎟ =ω 2 2⎝ s + ω ⎠ sPenurunan di atas dapat kita kembangkan lebih lanjut sehingga kitamendapatkan transformasi dari fungsi-fungsi yang merupakan fungsiturunan yang lebih tinggi.2s+ ω2256 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2d f ( )jika ( ) 1 tf t =2dt2→ F(s)= s F1( s)− sf1(0)− f1′(0)3d f ( )jika ( ) 1 tf t =3dt3 2→ F ( s)= s F1( s)− s f1(0)− sf1′(0) − f1′′(0)(19.10)Translasi di Kawasan t. Sifat transformasi Laplace berkenaan dengantranslasi di kawasan t ini dapat dinyatakan sebagai berikutJika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasiLaplace dari f(t−a)u(t−a) untuk a > 0 adalah e −as F(s).Hal ini dapat kita lihat sebagai berikut. Menurut definisi, transformasiLaplace dari f(t−a)u(t−a) adalah∫ ∞0−stf ( t − a)u(t − a)e dtKarena u(t−a) bernilai nol untuk t < a dan bernilai satu untuk t > a ,bentuk integral ini dapat kita ubah batas bawahnya serta tidak lagimenuliskan faktor u(t−a), menjadi∫∞0−stf ( t − a)u(t − a)e dt = f ( t − a)eKita ganti peubah integrasinya dari t menjadi τ dengan suatu hubungan τ= (t−a). Dengan penggantian ini maka dt menjadi dτ dan τ = 0 ketika t =a dan τ = ∞ ketika t = ∞. Persamaan di atas menjadi∫∞a−st∞−st∞−s(τ+ a)f ( t − a)u(t − a)e dt = f ( ) e d0∫τ τ0−as∞−sτ−as= e∫f ( τ)e dτ= e F(s)0∫CONTOH: Carilah transformasi Laplace daribentuk gelombang sinyal seperti yangtergambar di samping ini.Solusi :Model bentuk gelombang ini dapat kitatuliskan sebagaiAf ( t)= Au(t)− Au(t − a).dtf(t)(19.11)0 a →t257

Transformasi Laplace-nya adalah :F(s)=A− es−as−as )A A(1− e=s sTranslasi di Kawasan s. Sifat mengenai translasi di kawasan s dapatdinyatakan sebagai berikut.Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , makatransformasi Laplace dari e −αt f(t) adalah F(s + α).Bukti dari pernyataan ini dapat langsung diperoleh dari definisitransformasi Laplace, yaitu∫∞0e−αtf ( t)e−stdt =∫∞0f ( t)e−(s+α)tdt = F(s + α)(19.12)Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan transformasi fungsi teredamjika diketahui bentuk transformasi fungsi tak teredamnya.CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi rampteredam dan sinus teredam berikut ini :−αt−αt1 ta). v = tu(t)e ; b). v2= ecosωtu()Solusi :1a).Karena untuk v(t)= tu(t)→ F(s)= ,2s−αt1maka jika v1( t)= tu(t)e ⇒ V1( s)=( s + α)sb). Karena untuk v(t)= cosωtu(t)→ V ( s)= ,2 2s + ω−αts + αmaka jika v2(t)= e cosωtu(t)⇒ V2( s)=2( s + α)+ ωPen-skalaan (scaling). Sifat ini dapat dinyatakan sebagai :Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a1 ⎛ s ⎞> 0 transformasi dari f(at) adalah F⎜⎟ .a ⎝ a ⎠22258 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bukti dari sifat ini dapat langsung diperoleh dari definisinya. Denganmengganti peubah t menjadi τ = at maka transformasi Laplace dari f(at)adalah:∫∞0f ( at)e−st1dt =a∫∞0f ( τ)es− τa1 ⎛dτ= F⎜a ⎝sa⎞⎟⎠(19.13)Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecildan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skalafrekuensi menjadi besar.Nilai Awal dan Nilai Akhir. Sifat transformasi Laplace berkenaandengan nilai awal dan nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut.Nilai awal : lim f ( t)= lim sF(s)t→0+Nilai akhir : lim f ( t)= lim sF(s)t→∞s→∞s→0Jadi nilai f(t) pada t = 0 + di kawasan waktu (nilai awal) sama dengannilai sF(s) pada tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞(nilai akhir) sama dengan nilai sF(s) pada titik asal di kawasan s. Sifatini dapat diturunkan dari sifat diferensiasi.CONTOH: Transformasi Laplace dari suatu sinyal adalahSolusi :Nilai awal adalah :s + 3V ( s)= 100s(s + 5)( s + 20)Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).lim v(t)= lim sV ( s)t→0+s→∞⎡s + 3 ⎤= lim ⎢s× 100= 0( 5)( 20)⎥s→∞⎣s s + s + ⎦Nilai akhir adalah :⎡s + 3 ⎤lim v(t)= lim sV ( s)= lim ⎢s× 100= 300 ( 5)( 20)⎥t→∞s→s→⎣ s s + s + ⎦259

Tabel 19.2. memuat sifat-sifat transformasi Laplace yang dibahas di ataskecuali sifat yang terakhir yaitu konvolusi. Konvolusi akan dibahas dibagian akhir dari pembahasan mengenai transformasi balik.Tabel 19.2. Sifat-sifat Transformasi LaplacePernyataan f(t)Pernyataan F(s) =L[f(t)]linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t) A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)integrasi :∫ tf ( x)dx0F ( s)sdiferensiasi :df ( t)−sF ( s)− f (0 )dt2d f ( t)2 −s F(s)− sf (0 ) − f ′(0− )2dt3d f ( t)3dtlinier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t)translasi di t: [ f ( t a)] u(t − a)32s F(s)− s−f (0−− sf (0 ) − f ′′(0)A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)− e −asF(s)translasi di s : e − at f (t)F ( s + a )penskalaan : f (at)1a⎛F⎜⎝nilai awal : lim f ( t)lim sF ( s)t→0+s→∞nilai akhir : lim f ( t)t→∞s→0sa⎞⎟⎠lim sF ( s))−konvolusi :∫t0f ( x)f( t1 2 −x)dxF 1( s)F2( s)260 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

19.4. Transformasi BalikBerikut ini kita akan membahas mengenai transformasi balik, yaitumencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicaritransformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kitapunyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s)berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sederhana dan tidak selaluada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kitauraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalamtabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari bentukbentukfungsi sederhana. Dengan perkataan lain kita membuat F(s)menjadi transformasi dari suatu gelombang komposit dan kelinieran daritransformasi Laplace akan memberikan transformasi balik dari F(s) yangberupa jumlah dari bentuk-bentuk gelombang sederhana.Pole dan Zero. Tentang pole dan zero telah kita pelajari di babsebelumnya. Pada umumnya, transformasi Laplace berbentuk rasiopolinomm m−1b s b( )1sb1sbF sm + m + + +=− L 0(19.14)n n−1ans+ an−1s+ L + a1s+ a0yang masing-masing polinom dapat dinyatakan dalam bentuk faktormenjadi( s − z )( ) ( )( )1 s − z2L s − zF s = Km( s − p )( s − p ) L(s − p )dengan K = b m /a n dan disebut faktor skala.12n(19.15)Akar-akar dari pembilang dari pernyataan F(s) di atas memberikan zerosedangkan akar-akar dari penyebut memberikan pole. Pole dan zerodisebut frekuensi kritis karena pada nilai-nilai itu F(s) menjadi nol atautak-hingga.CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari1a). F(s)=s + 1A(s + a)b). F(s)=2 2( s + a)+ b1c). F(s)=s261

Solusi :a). Fungsi ini mempunyai pole di s = −1tanpa zerotertentu.b). Fungsi ini mempunyai zero di s = −a.Pole dapat dicari dari22( s + a)+ b = 0 → pole di s = −a± jbc). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentusedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 +j0.×−1−ajωjω+jbjω−jbσσσBentuk Umum F(s). Bentuk umum F(s) adalah seperti (19.15) yaitu( s − z )( ) ( )( )1 s − z2L s − zF s = Km( s − p )( s − p ) L(s − p )1Jika fungsi ini memiliki pole yang semuanya berbeda, jadi p i ≠ p j untuk i≠ j , maka dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika adapole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa fungsi inimempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kitakatakan bahwa fungsi ini mempunyai pole ganda.Fungsi Dengan Pole Sederhana. Apabila fungsi rasional F(s) hanyamempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan menjadi berbentuk2k( )1 k2kF s = + + L +n (19.16)( s − p ) ( s − p ) ( s − p )1Jadi F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana;konstanta k yang berkaitan dengan setiap fungsi pembangun F(s) itu kitasebut residu. Kita ingat bahwa transformasi balik dari masing-masingfungsi sederhana itu berbentuk ke −αt . Dengan demikian makatransformasi balik dari F(s) menjadi2nn262 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

p1tp2tpnt( t)= k1e+ k2e+ L kne(19.17)f +Persoalan kita sekarang adalah bagaimana menentukan residu. Untukmencari k 1 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 1 ) sehinggafaktor (s− p 1 ) hilang dari ruas kiri sedangkan ruas kanan menjadi k 1ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s− p 1 ).Kemudian kita substitusikan s = p 1 sehingga semua suku di ruas kananbernilai nol kecuali k 1 dan dengan demikian diperoleh nilai k 1 . Untukmencari k 2 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 2 ) kemudian kitasubstitusikan s = p 2 ; demikian seterusnya sampai semua nilai k diperoleh,dan transformasi balik dapat dicari.CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.4a). F(s)=;( s + 1)( s + 3)6( s + 2)c). F(s)=s(s + 1)( s + 4)4( s + 2)b). F(s)=;( s + 1)( s + 3)a).Solusi :4 k( )1 kF s == + 2( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 34 k→ F(s)× ( s + 1) → = k 21 + ( s + 1)( s + 3) s + 3→ F(s)× ( s + 3) dan substitusi2 − 2⇒ F(s)= +s + 1 s + 34→ substitusi s = −1→ = k1→ k1= 2−1+3⇒ f ( t)= 2e4s = −3→ = k− 3 + 1−t− 2e−3t2→ k2= −2263

).4( s + 2) k( )1 kF s == + 2( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3→ F(s)× ( s + 1) dan substitusi4( −1+2)s = −1→ = k1→ k1= 2−1+3→ F(s)× ( s + 3) dan substitusi4( −3+ 2)s = −3→ = k2→ k2= 2− 3 + 12 2t −3t⇒ F(s)= + ⇒ f ( t)= 2e+ 2es + 1 s + 3c).6( s + 2) k( )1 k2kF s == + +3s(s + 1)( s + 4) s s + 1 s + 4Dengan cara seperti di a) dan b) kita peroleh6( s + 2)→ k1=( s + 1)( s + 4)k36( s + 2)=s(s + 1)s=−4s=0= −13 − 2 −1⇒ F(s)= + +s s + 1 s + 4= 3;k26( s + 2)=s(s + 4)s=−1−t→ f ( t)= 3 − 2e− e= −2 ;−4tFungsi Dengan Pole Kompleks. Fungsi F(s) merupakan rasio polinomialdengan koefisien nyata. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yangberbentuk p = −α + jβ, maka ia juga harus mempunyai pole lain yangberbentuk p* = −α − jβ; sebab jika tidak maka koefisien polinomialtersebut tidak akan nyata. Jadi pole kompleks dari F(s) haruslahberpasangan konjugat. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandungdua suku yang berbentukk k *F( s)= L + + +L (19.18)s + α − jβs + α + jβResidu k dan k* pada pole konjugat juga merupakan residu konjugatsebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu inidapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraianfungsi dengan pole sederhana. Kita cukup mencari salah satu residu daripole kompleks karena residu yang lain merupakan konjugatnya.264 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks akan berupacosinus teredam. Tansformasi balik dari dua suku pada (19.18) adalahfk( t)= ke==k ek e= 2 k e−(α− jβ)t+ k * ejθ−(α− jβ)te−(α− j(β+θ))t−αte++j(β+θ)t−(α+ jβ)tk ek e+ e2Jadi f(t) dari (19.18) akan berbentuk :− jθ−(α+ jβ)te−(α+ j(β+θ))t− j(β+θ)t= 2 k e−αt−αtf ( t)= L + 2 k e cos( β + θ)+Lcos( β + θ)CONTOH: Carilah transformasi balik dari8F ( s)=2s(s + 4s+ 8)Solusi :Fungsi ini mempunyai pole sederhana di s = 0, dan pole kompleksyang dapat ditentukan dari faktor penyebut yang berbentuk kwadrat,yaitu− 4 ± 16 − 32s == −2± j22Uraian dari F(s), penentuan residu, serta transformasi baliknyaadalah sebagai berikut.∗8 k( )1 k2kF s == + + 22s(s + 4s+ 8) s s + 2 − j2s + 2 + j288→ k1=× s = = 12s(s + 4s+ 8) 8s=08→ k2=× ( s + 2 − j2)2s(s + 4s+ 8)∗→ k2=s=−2+j288== =s(s + 2 + j2)− 8 − j8s=−2+j22 − j(3π/ 4)e22 j(3π/ 4)e2265

⇒f(t) = u(t)+= u(t)+= u(t)+2e2222ej(3π/ 4) −(2−j2)te−2t−2te+j(3π/ 4+2t)− j(3π/ 4+2t)[ e + e ]cos(2t+ 3π/ 4)2e2− j(3π/ 4) −(2+j2)teFungsi Dengan Pole Ganda. Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dapatmempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukandengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuanuntuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapatdiuraikan seperti biasanya. Untuk jelasnya kita ambil suatu fungsi yangmengandung pole ganda (dua pole sama) seperti berikut ini.F(s)K(s − z )=1(19.19)2( s − p1)(s − p2)Dengan mengeluarkan salah satu faktor yang mengandung pole gandakita dapatkan1 ⎡ K(s − z ) ⎤F ( s)=1⎢⎥(19.20)s − p2 ⎣(s − p1)(s − p2)⎦Bagian yang didalam tanda kurung dari (19.20) mengandung polesederhana sehingga kita dapat menguraikannya seperti biasa.F ( s)1⎡K(s − z )⎤k=11 2⎢⎥ = +(19.21)( s − p1)(s − p2)s − p1s − p2⎣Residu pada (19.21) dapat ditentukan, misalnya k 1 = A dan k 2 = B , danfaktor yang kita keluarkan kita masukkan kembali sehingga (19.20)menjadi1F(s)=s − p⎡⎢A+B⎤⎥ =⎦22 ⎣ s − p1s − p2⎦ ( s − p2)(s − p1)( s − p2)dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadiF(s)kkBA=11+12+(19.22)s − p21 s − p2( s − p2)k+B266 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi balik dari (19.22) adalahp t11p t12p t122f ( t)= k e + k e + BteCONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi:sF ( s)=2( s + 1)( s + 2)Solusi :sF(s)=( s + 1)( s + 2)1 ⎡ k1k2⎤=( 2) ⎢ +s + 1 2⎥⎣ s + s + ⎦→ k1s=( s + 2)21 ⎡ s ⎤=( s + 2)⎢( 1)( 2)⎥⎣ s + s + ⎦= −1k11k122= + +s + 1 s + 2 2( s + 2)→ ks=( s + 1)2s= −1s=−2= 21 ⎡ −12 ⎤ −12⇒ F(s)=( 2) ⎢ + =+s + 1 2⎥( + 1)( + 2) 2⎣ s + s + ⎦ s s ( s + 2)−1−1→ k11= = −1→ k12= = 1s + 2 s=−1s + 1 s=−2−11 2−t−2t−2t⇒ F(s)= + + ⇒ f ( t)= −e+ e + 2tes + 1 s + 2 2( s + 2)Konvolusi. Transformasi Laplace menyatakan secara timbal balik bahwajika f ( t)= f1(t)+ f2(t)maka F(s)= F1( s)+ F2( s)jika F ( s)= F1 ( s)+ F2( s)maka f (t) = f1(t)+ f2(t)Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadijika F(s)= F1 ( s)F2( s)maka f ( t)≠ f1(t)f2(t)Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) yang merupakan hasil kali duafungsi s yang berlainan, melibatkan sifat transformasi Laplace yang kitasebut konvolusi. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.267

jikaL−1F(s)= F1( s)F2( s)t[ F(s)] = f ( t)=∫f1(τ)f2(t − τ)dτ =∫0makatf2(τ)f1(t − τ)dτ0(19.23)Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperolehdengan melakukan konvolusi dari kedua bentuk gelombang yangbersangkutan. Kedua bentuk integral pada (19.23) disebut integralkonvolusi.Pandanglah dua fungsi waktu f 1 (t) dan f 2 (t). Transformasi Laplacemasing-masing adalah∫ ∞1 s)= f1(τ)0−sτF ( e dτdan∫ ∞ −stF2 ( s)= f2(t)e dt .0Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akankita peroleh∫ ∞ −sτF1( s)F2( s)= f1(τ)e F2( s)dτ0Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e −sτ F 2 (s) adalahtransformasi Laplace dari [ f 2 (t−τ) ] u(t−τ) sehingga persamaan tersebutdapat ditulis∞ ⎡ ∞−st⎤F1 ( s)F2( s)=∫f1(τ)⎢∫f2(t − τ)u(t − τ)e dt⎥dτ0 ⎣ 0 ⎦Karena untuk τ > t nilai u(t−τ) = 0, maka integrasi yang berada di dalamkurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja,sehingga∞ t1 2−=∫τ ⎢∫− τ ⎥ τ0 1⎣ 0 2stF ( s)F ( s)f ( ) f ( t ) e dt d⎦∞ ⎡ t−st⎤=∫ ⎢∫f1(τ)f2(t − τ)e dt⎥dτ0 0Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh⎣⎡⎦⎤268 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

269⎥⎦⎤⎢⎣⎡τ− ττ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡τ− ττ= ∫∫ ∫∞−tsttdtffdtedtffsFsF0210 02121 )()()()()()( LCONTOH: Carilah f(t) dari F(s) berikut.)(1)(c).))((1)(b).)(1)(a).22asssFbsassFassF+=++=+=Solusi : a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari duafungsi.attattaxataxtxtaaxtattedxedxedxeedxxtfxftfetftfassFsFsFsFsF−−+−−−−−−====−=⇒==→+===∫∫∫∫000)(021212121)()()()()()(1)()(dengan)()()(b). Fungsi ini juga merupakan perkalian dari dua fungsi.btatetfetfbssFassFsFsFsF−−==→+=+==)(dan)()(1)(dan)(1)(dengan)()()(212121( )baeebaeebaeedxeedxeedxxtfxftfbtattbabttxbabttxbabttxtbaxt+−−=+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−===−=⇒−−+−−+−−+−−−−−∫∫∫1)()()()(0)(0)(0)(021

270 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”c). Fungsi ketiga ini juga dapat dipandang sebagai perkalian duafungsi.22020000)(02121221211100)()()()(dan)(1)(dan1)(dengan)()()(aeataeateeaeateedxaeaxeedxxeedxxedxxtfxftfetfttfassFssFsFsFsFatatatattaxatattaxtaxattaxattxtatat−−−−−−−−+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−===−=⇒==→+===∫∫∫∫

Bab 20 Deret dan Transformasi FourierPada kasus tertentu dijumpai keadaan dimana pemecahan persoalan tidakdapat dilakukan dengan menggunakan transformasi Laplace akan tetapidapat dilakukan melalui transformasi Fourier. Topik-topik yang akan kitabahas berikut ini meliputi: deret Fourier, transformasi Fourier, sifat-sifattransformasi Fourier.20.1. Deret FourierKoefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadikomponen-komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataanfungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodikyang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakansebagai deret Fourier :yang dapat kita tuliskan sebagai[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ f ( t)= a0 + n 0 n 0 ) (20.1)n=1∑ ∞ ⎡ 2 2f ( t)= a + + ( ω − θ )⎤0 anbncos( n 0tn ) (20.2)n=1⎢⎣⎥⎦Koefisien Fourier a 0 , a n , dan b n ditentukan dengan hubungan berikut.aab0nn1=T02=T02=T0∫−T/ 2∫−T/ 2∫T / 20T / 20T / 2000−T/ 20f ( t)dtf ( t) cos( nωf ( t)sin(nω00t)dtt)dt;;n > 0n > 0(20.3)Hubungan (20.3) dapat diperoleh dari (20.1). Misalkan kita mencari a n :kita kalikan (20.1) dengan cos(kω o t) kemudian kita integrasikan antara−T o /2 sampai T o /2 dan kita akan memperoleh271

∫T / 2o−T/ 2of ( t) cos( kωt)dt =o+∫T / 2o−T/ 2o⎡o∞ ⎢∫−T⎢∑⎢n=1⎢+∫⎣a0T / 2oT /cos( kω/ 2o−T/ 2oot)dt⎤ancos( nω0t) cos( kωot)dt ⎥⎥2⎥bnsin( nω0t) cos( kωot)dt⎥⎦Dengan menggunakan kesamaan tigonometri11cos α cos β = cos( α − β)+ cos( α + β)2211cos α sin β = sin( α − β)+ sin( α + β)22maka persamaan di atas menjadiTo/ 2f ( t)cos(kωot)dt =−T/ 2∫o∫⎡aTo/ 2n∞ ⎢ ∫−⎢2 To/ 2+ ∑⎢b To/ 2n=1⎢+n⎣ 2 ∫ −To/ 2To/ 2a0cos( kωot)dt−T/ 2o( cos(( n − k)ω t)+ cos(( n + k)ω t))0( sin(( n − k)ω t)+ sin(( n + k)ω t))0⎤o dt ⎥⎥⎥o dtdt⎥⎦Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, makasemua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaituaTno/ 2∫ − T / 22oan( cos(( n − k)ω t)) dt = yang terjadi jika n = koleh karena itu a n =∫f ( t) cos( nωT − T / 202 To/ 2oo20t)dtPada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisienkoefisienFourier-nya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan olehkesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya dalam urain berikut ini.20.2. Kesimetrisan FungsiSimetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jikaf(t) = f(−t). Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalahfungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1)kita dapatkan272 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

∞f ( t)= a0+ ∑ nn=1∞f ( −t)= a0+n=1[ a cos( nωt)+ b sin( nωt)]0∑[ ancos( nω0t)− bnsin( nω0t)]Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b n = 0, dan f(t)menjadiCONTOH: Tentukan deret Fourierdari bentuk gelombangderetan pulsa berikut ini.n0dan∑ ∞ f ( t)= ao + [ ancos( nω0t)](20.4)n=1Solusi :Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, periodaT o , lebar pulsa T.1ao=To2an=ToAn=πT / 2T / 2 At ATAdt = = ; bn= 0 ;−T/ 2 ToT−T/2 oT / 22AT / 2Acos(nωot)dt = sin nωot−T/ 2T ω− / 2o onT∫∫⎡ ⎛ nπT⎞⎤2A⎡ ⎛ nπT⎞⎤⎢2sin⎜⎟⎥= ⎢ ⎜ ⎟sin⎥⎢⎣⎝ To⎠⎥⎦πn⎢⎣⎝ To⎠⎥⎦Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), a n = 0; a n hanya mempunyai nilaiuntuk n = 1, 3, 5, …. (ganjil).f ( t)==Pemahaman :ATToATTo++∞∑n=1, ganjil2A⎡ ⎛ nπT⎞⎤⎢sin⎜⎟⎥cos( nωot)nπ⎢⎣T⎝ ⎠⎥⎦n=1,ganjilo∞∑2AnπAv(t)−T/2 0 T/2T o( n−/ 2( −1) 1) cos( nωt)oT273

Pada fungsi yang memiliki simetri genap, b n = 0. Oleh karena itusudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = 0 yang berarti θ n = 0 o .Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t)= −f(−t). Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus,sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan∑ ∞ − f ( −t)= −a0 + n 0 n 0 )n=1Kalau fungsi ini harus sama dengan[ − a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ f ( t)= a0 + n 0 n 0 )n=1maka haruslah[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ][ b sin( nωt)]0 0 dan 0 ( ) ∑ ∞ a = an= ⇒ f t = n 0 (20.5)n=1CONTOH: Carilah deret Fourier daribentuk gelombang persegi disamping ini.Solusi:Bentuk gelombang ini memilikisimetri ganjil, amplitudo A, periodaT o = T.a o = 0 ; an= 0;v(t)A−A2 ⎛ T / 2T⎞bn= ⎜ sin( o )sin( o ) ⎟⎝∫A nωt dt +0 ∫− A nωt dtTT / 2⎠2A/ 2⎜⎛TT= − cos( nωot)+ cos( nωot)⎟⎞Tnω0/ 2o ⎝T ⎠A 2= ( 1+cos ( nπ)− 2cos( nπ))nπUntuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1.Dengan demikian makaTt274 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Abn=nπAbn=nπ( 1 + 1 + 2)4A=nπuntuk n ganjil( 1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap∑ ∞ 4A⇒ v(t)=nωtnπsin( o )n=1, ganjilPemahaman:Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, a n = 0. Oleh karenaitu sudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = ∞ atau θ n = 90 o .Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyaisimetri setengah gelombang jika f(t) = −f(t−T o /2). Fungsi dengan sifat initidak berubah bentuk dan nilainya jika diinversi kemudian digesersetengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita inversikankemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt).Demikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi,dan gelombang segitiga.− f ( t − To/ 2) = −a0+= −a0+∞∑n=1[ − a cos( nω( t − π))− b sin( nω( t − π))]∞nn∑[ − ( −1)ancos( nω0t)− ( −1)bnsin( nω0t)]n=1Kalau fungsi ini harus sama dengann∑ ∞ f ( t)= a0 + n 0 n 0 )n=10[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ]maka haruslah a o = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsiini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier padabeberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk gelombang yangtercantum disini adalah bentuk gelombang yang persamaanmatematisnya mudah diperoleh, sehingga pencarian koefisien Fouriermenggunakan hubungan (20.3) dapat dilakukan.n0275

Penyearahan Setengah Gelombang:vT 0a0= A / π2A/ πan= n genap; a = 02n1−ntb1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 1nganjilSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu a 0 ≠ 0 .Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi(3.12).Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:vAT 0a0= 2A/ π4A/ πan= n genap; an= 021−ntbn= 0 untuk semua nnganjilSinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandungkomponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbuwaktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lipat daripenyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk ngenap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.Sinyal Persegi:v T 0Ataab0nn= 0= 0 semua n ;4A=nπn ganjil;bn= 0ngenapSinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidakmengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetristerhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.276 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Deretan Pulsa:TAvT 0ta0= AT / T02AnπTan= sinnπT0bn= 0 untuk semua nSinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuk semua n.Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu a 0 ≠ 0 .Sinyal Segitiga:vAT 0ta0= 08Aan=2( nπ)bn= 0n ganjil; an= 0 n genapuntuk semua nSinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.Sinyal Gigi Gergaji:vAT 0ta0= A/2an= 0 untuk semua nbn= −Anπuntuk semua nSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Ia memilikisimetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.20.3. Deret Fourier Bentuk EksponensialDeret Fourier dalam bentuk seperti (20.1) sering disebut sebagai bentuksinus-cosinus. Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (20.2).Sekarang bentuk (20.2) akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensialdengan menggunakan hubungan277

ecosα =jα +e2− jα.Dengan menggunakan relasi ini maka (20.2) akan menjadi∞⎡ 2 2f ( t)= a ∑ ( )⎤0 + an+ bncos( nω0t− θn)⎢⎣⎥⎦n=1∞ ⎡ j(nω0t−θn) − j(nω0t−θn)+⎤2 2 ee= a0+ ∑ ⎢ an+ bn⎥= 1⎢⎣2n⎥⎦∞ ⎡= a ⎢0 + ∑ ⎢n=1⎣2 2∞a⎤ ⎡n + bnj(nω0t−θn)e ⎥ + ⎢2⎥ ∑ ⎢⎦ n=1⎣2 2a⎤n + bn− j(nω0t−θn)e ⎥2⎥⎦(20.6)Suku ketiga (20.6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jikapenjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, denganpenyesuaian a n menjadi a −n , b n menjadi b −n , dan θ n menjadi θ −n , makamenurut (20.3) perubahan ini berakibat2 T0/ 22 T0/ 2a−n= f ( t)cos(n 0t)dtf ( t)cos(n 0t)dt anT ∫− ω =ω =0 −T0/ 2T ∫0 −T0/ 22 T0/ 22 T0/ 2b−n= f ( t)sin(n 0t)dtf ( t)sin(n 0t)dt bT ∫− ω = −ω = −0 −T0/ 2T ∫0 −T0/ 2btan n − bθnn = −− = ⇒ θ−n= −θna−nan(20.7)Dengan (20.7) ini maka (20.6) menjadi∞ ⎡f ( t)= ⎢∑ ⎢n=0⎣2 2−∞a⎤ ⎡n + bnj(nω0t−θn)e ⎥ + ⎢2⎥ ∑ ⎢⎦ n=−1⎣2 2a⎤n + bnj(nω0t−θn)e ⎥2⎥⎦(20.8)Suku pertama dari (20.8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n= 0 untuk memasukkan a 0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini.Dengan cara ini maka (20.8) dapat ditulis menjadi278 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

+∞ ⎛ 2 2 ⎞+∞⎜ an+ bn− jθ⎟n j(nω0t)j(nω0t)f ( t)= ∑ ⎜ e ⎟ e = ∑cne (20.9)n=−∞2⎝⎠n=−∞Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan c n adalah koefisienFourier yang mungkin berupa besaran kompleks.cn=a2n+ b22ne− jθa=n− jb2n(20.10)2 2an+ bncn=2−1⎛ − b ⎞θn= tan ⎜ n ⎟⎝ an⎠danjika∠cn= θndengan−1⎛b ⎞0; n tan ⎜ nan< θ = ⎟⎝ an⎠jikaan> 0(20.11)Jika a n dan b n pada (20.3) kita masukkan ke (20.10) akan kita dapatkana− jb1T0/ 2− ω=n njn n tcn=∫f ( t)e dt (20.12)2 T0− T0/ 2dan dengan (20.12) ini maka (20.9) menjadi+∞+∞j(nωt)⎛ 1 T0/ 2− ω ⎞0ω= ∑ = ∑⎜jnot⎟ j(n0t)f ( t)cne∫f ( t)e dt−e (20.13)=−∞n=−∞⎝T T / 2n0 0⎠Persamaan (20.11) menunjukkan bahwa 2|c n | adalah amplitudo dariharmonisa ke-n dan sudut fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠c n . Persamaan(20.10) ataupun (20.12) dapat kita pandang sebagai pengubahan sinyalperiodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrumamplitudo dan spektrum sudut fasa seperti telah kita kenal di Bab-1.Persamaan (20.9) ataupun (20.13) memberikan f(t) apabila komposisiharmonisanya c n diketahui. Persamaan (20.12) menjadi cikal bakaltransformasi Fourier, sedangkan persamaan (20.13) adalah transformasibaliknya.279

CONTOH: Carilah koefisien Fourier c n dari fungsi pada contoh-10.1.Solusi :1cn=ToT / 2− jnωotA e dt =−T/ 2∫o/ 2oA ⎛ jnωT − jnωT⎜ e − e=nωoT⎜o ⎝j20.4. Transformasi FourierToA ⎛ − jnωte ⎞⎜ ⎟T ⎜o jn ⎟⎝− ωo⎠ −T/ 2/ 2/ 2⎞⎟ 2A= sin⎟⎠nωoTo( nωT / 2)Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh(20.12) hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodikseperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapatdirepresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyaldemikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrumkontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik denganperioda tak-hingga.Jika diingat bahwa ω 0 = 2π/T 0 , maka (20.13) menjadi∞⎛ 1 T0/ 2f ( t)= ∑⎜∫−=−∞⎝Tn 0 T0/ 2∞1 ⎛ T0/ 2= ∑ ⎜2π∫−n=−∞⎝T0/ 2− jnω⎞0t⎟ jnω0tf ( t)e dte⎠− jnω⎞0tjnω0tf ( t)e dt ⎟ ω0e⎠o(20.14)Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T 0 diperbesar. Karenaω 0 = 2π/T 0 maka jika T 0 makin besar, ω 0 akan makin kecil. Bedafrekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu∆ ω =( n + 1) ω0− nω0= ω02π=Tjuga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentujumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T 0diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu,∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan nω 0 menjadi0280 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (20.14) menjadi integral. Jadidengan membuat T 0 → ∞ maka (20.14) menjadi1 ∞ ⎛ ∞− jωt⎞ jωt1 ∞jωtf ( t)=∫⎜−∞ ∫f ( t)e dt ⎟ e dω =−∞∫F(ω)e dω(20.15)2π⎝⎠ 2π−∞dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikianrupa sehinggaF∫ ∞ − jωt( ω)= f ( t)e dt(20.16)−∞dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasiF[ f ( t)] = F(ω)Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (20.15).Ff ( t)= −1 ( ω)CONTOH: Carilah transformasi Fourierdari bentuk gelombang pulsa di sampingini.Solusi :−T/2 0 T/2Bentuk gelombang ini adalah aperiodikyang hanya mempunyai nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untukt yang lain nilainya nol. Oleh karena itu integrasi yang diminta oleh(20.16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja.T / 2T / 2/ 2 / 2AA ⎡ jωT− jωTe e ⎤− jωt− jωt−F(ω)=∫A e dt = − e = ⎢⎥−T/ 2jωω/2 j2−T/ 2 ⎢⎣⎥⎦sin( ωT/ 2)= ATωT/ 2Kita bandingkan transformasi Fourier (20.16)F(ω)=∫ ∞ −∞− jωtf ( t)e dtdengan koefisien FourierAv(t)281

an− jbn1 T0/ 2− jnωn tcn= =∫f ( t)e dt(20.17)2 T0− T0/ 2Koefisien Fourier c n merupakan spektrum sinyal periodik dengan periodaT 0 yang terdiri dari spektrum amplitudo |c n | dan spektrum sudut fasa ∠c n ,dan keduanya merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilaipada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit). Sementara itutransformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan periodasinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kitaanggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T 0pada c n dikeluarkan untuk memperoleh F(ω) yang merupakan spektrumkontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)| maupun spektrum sudut fasa∠ F(ω).CONTOH: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contohsebelumnya.Solusi :Spektrum amplitudosinyal aperiodik inimerupakan spektrumkontinyu |F(jω)|.F ( ω)=Pemahaman:sin( ωT/ 2)ATωT/ 2-5−6πT−4πT 0−2πT|F(ω)|0 2π 4π 6π ωT T TSinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalahnol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikanpula bahwa |F(ω)| mempunyai spektrum di dua sisi, ω positifmaupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0 yaitu pada ω =±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu padawaktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.282 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e −αt ] u(t) dangambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.Solusi :∞−αt− jωt∞−(α+ jω)tF(ω)=∫Ae u(t)e dt =−∞ ∫Ae dt0∞−(α+ jω)teA= − A= untuk α > 0α + jωα + jω0|F(ω)|25 A/α⇒ F(ω)=α| A |+ ω⇒ θ(ω)= ∠F(jω)= − tan22−1θ(ω)90ωα+90 oω−90 oPemahaman:Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasimenjadi tidak konvergen.20.3. Transformasi BalikPada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan denganmengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (20.15). Hal ini dapatdimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif mudah dilakukanCONTOH: Carilah f(t) dariF( ω)= 2πδ(ω)283

Solusi:f ( t)=Pemahaman :12π∞jωt2πδ(ω)e dω =−∞∫+α=∫δ(ω)(1)dω = 1−α12π+0jωt2πδ(ω)e dω−0Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanyamempunyai nilai di ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanyamempunyai nilai di ω=0 sebesar e j0t =1. Karena fungsi hanyamempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai +∞ cukupdilakukan dari 0 − sampai 0 + , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=0.Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyalsearah beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).∫CONTOH: Carilah f(t) dariSolusi :f ( t)=12F( jω)= 2πδ(ω − α)∞jωtπδ ω − α e dω =π ∫2 ( )−∞+jαtαjαt= e∫δ(ω − α)dω = e−αPemahaman :12+αjωtπδ ω − α e dωπ ∫2 ( )−αFungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanyamempunyai nilai di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanyamempunyai nilai di ω=α sebesar e jαt . Karena fungsi hanyamempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞ cukupdilakukan dari α − sampai α + , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=α.284 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: Carilah f(t) dariSolusi :πAF( ω)=αα[ u(ω + α)− u(ω − )]1 ∞ πAjωtf ( t)= [ u ω + α − u ω − α ] e dωπ ∫( ) ( )2 −∞ ααjωt1 ∞ πAjωtA e= [ ] e dω=π ∫12 −∞ α2αjt−αjαt− jαtjαt− jαtA e − e A e − e sin( αt)=== A2αjt αtj2αtPemahaman:Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α

20.5. Dari Transformasi Laplace ke Transformasi FourierUntuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasiFourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui,transformasi Laplace didefinisikan melalui (19.1) sebagai∫ ∞ −stF( s)= f ( t)e dt0(20.18)dengan s = σ + jω adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawahintegrasi adalah nol, artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t)memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasi tersebut di atas akantetap konvergen jika σ = 0, dan formulasi transformasi Laplace inimenjadi∫ ∞ − jωtF( s)= f ( t)e dt0(20.19)Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukupdilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausalmenjadi∫ ∞ − jωtF( ω)= f ( t)e dt0Bentuk (20.20) sama benar dengan (20.19), sehingga kita dapatsimpulkan bahwa(20.20)untuk sinyal f ( t)kausal dan dapat di - integrasiF(ω)= F(s)σ= 0berlaku(20.21)Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (20.21) dapat dipenuhijika f(t) mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nolsehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=∞ konvergen. Ini berarti bahwapole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Jikapersyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencarian transformasibalik dari F(ω) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balikLaplace.CONTOH: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilahtransformasi Fourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap α, β > 0).286 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Solusi:a). f ( t)= A eb). fc) f132( t)= δ(t)( t)= A e−αtu(t)−αt[ sin βt] u(t)−αta). f1(t)= Ae u(t)→ fungsi kausal dan dapat di - integrasiA→ F(s)= → pole p1= −α (di kiri sumbu imag)s + α1→ F(ω)=jω + αb). f2(t)= δ(t)→ fungsi kausal dan dapat di - integrasi→ F(s)= 1 → F(ω)= 1−αt[ sin βt]c). f3(t)= A e u(t)→ fungsi kausal, dapatA→ F(s)=→ pole p = −α ± jβ2 2( s + α)+ βAa→ F(ω)==2 2 2 2 2( jω + α)+ β α + β − ω + j2αωdi - integrasi(di kiri sumbuim)CONTOH: Carilah f(t) dari10F ( ω)=( jω + 3)( jω + 4)Solusi :Jika kita ganti jω dengan s kita dapatkan10F ( s)=( s + 3)( s + 4)Pole dari fungsi ini adalah p 1 = −3 dan p 2 = −4, keduanya di sebelahkiri sumbu imajiner.287

10 k( )1 kF s == + 2( s + 3)( s + 4) s + 3 s + 410→ k1= = 10 ;s + 4 s=−310 10⇒ F(s)= −s + 3 s + 4Transformasi balik dari F(ω) adalah :10k2= = −10s + 3 s=−4f ( t)=−3t−4t[ 10 e −10e ] u(t)20.6. Sifat-Sifat Transformasi FourierKelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasiFourier adalah kelinieran.Jikamaka::F[ f1( t)] = F1( ω)dan F[ f ( t)] = F2([ Af ( t)+ Bf ( t)] = AF ( ω)+ BF ( ω)F21CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosβt.Solusi:212ω)(20.22)Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasiLaplace tidak dapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskandalam bentuk eksponensial.F⎡ jβt− jβte + e ⎤ 1 jβt1 − jβt[ cosβt] = F⎢⎥ = F[ e ] + F[ e ]⎢⎣2Dari contoh 10.8. kita ketahui bahwa F⎡ejωt⎤= 2πδ(ω − β)⎢⎣ ⎥⎦FJadi [ cosβt] = πδ( ω − β)+ πδ(ω + β)⎥⎦22288 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikutPersamaan (20.15) menyatakan⎡df( t)⎤F ⎢ ⎥ = jωF( ω)(20.23)⎣ dt ⎦1 ∞jωtf ( t)= ( ω)ω2π∫F e d−∞df ( t)d ⎛ 1 ∞→ = ⎜ ( ω)⎝ 2π∫F edt dt −∞1 ∞j= ω ( ω)2π∫j F e−∞⎡df( t)⎤→ F⎢⎥ = jωF( ω)⎣ dt ⎦jωtωt⎞ 1dω⎟=⎠ 2πdωIntegrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.∫∞−∞⎡ d⎢⎣dtjωt( F(ω)e dω)⎡ t ⎤ F(ω)F ⎢∫ f ( x)dx⎥= + πF(0)δ(ω)(20.24)⎣ −∞⎦ jωSuku kedua ruas kanan (20.24) merupakan komponen searah jikasekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nolakan kita dapatkan∫ ∞ −∞F ( 0) = f ( t)dtCONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t).Solusi:Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsianak tangga. Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F [ δ( t)] = 1.Karena fungsi anak tangga adalah integral dari fungsi impuls, kitadapat menerapkan hbungan (20.24) tersebut di atas.Ft1j ω[ u( t)] = F∫ δ(x)dx = + πδ(ω)∞−⎤⎥⎦289

Pembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan −t.Jika kita membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsiyang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula.Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikandari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapatdituliskan sebagaiJikaMenurut (20.16)F→[ f ( −t)]F[ f ( t)] = F ( ω)maka F[ f ( −t)] = F ( −ω)F (20.25)=∫∞−∞f ( −t)e[ f ( −t)] = F[ f ( τ)]− jωt= −=∫∫∞∞−∞dt−∞;f ( τ)ef ( τ)eMisalkanjωτ− jωτdτ− t = τdτ= F(−ω)Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasiFourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi.CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum daneksponensial dua sisi breikut ini.−u(−t)Solusi :1v(t)0−1u(t)signum : sgn(t) = u(t) − u(−t)te −α(−t) u(−t)v(t)11F = makajωContoh 10.13. memberikan [ u( t)] + πδ(ω)e −αt u(t)0teksponensial dua sisi :e −α| t | = e −αt u(t) + e −α(−t) u(−t)F[ sgn( t)] = F[ u(t)− u(−t)]=2jω290 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

−αF e u(t)= makat 1Contoh 10.10.a memberikan [ ]α + jω−α |( )[ ] [ ]| t −αt−α −tF e = F e u(t)+ e u(−t)1 1= + =α + jωα + j(−ω)α22αKomponen Nyata dan Imajiner dari F(ω). Pada umumnyatransformasi Fourier dari f(t), F(ω), berupa fungsi kompleks yang dapatkita tuliskan sebagaidenganF(ω)=A∫∞−∞f ( t)e− jωtdt =∞−∞= A(ω)+ jB(ω)= F(ω)e∫f ( t)cosωtdt − jjθ ω∫∞−∞+ ω2f ( t)sinωtdt∞∞( ω)=∫f ( t)cosωtdt ; B(ω)= −−∞∫f ( t)sinωtdt (20.26)−∞2 2−1⎛B(ω)⎞F ( ω)= A ( ω)+ B ( ω); θ(ω)= tan⎜⎟ (20.27)⎝ A(ω)⎠Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (20.26) dan (20.27) dapat kita simpulkanbahwa1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena A(−ω)= A(ω).2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karenaB(−ω) =− B(ω).3. |F(ω)| merupakan fungsi genap, karena |F(−ω)| = |F(ω)|.4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ(−ω) =− θ(ω).5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(ω) adalahkonjugat-nya, F(−ω) = A(ω) − jB(ω) = F * (ω) .6. Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(ω) × F(−ω) = F(ω) × F * (ω)= |F(ω)| 2 .7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) = 0, yang berarti F(ω) riil.291

8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) = 0, yang berarti F(ω)imajiner.Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.Jika[ f ( t)] = F(ω)maka F[ F(t)] = 2πf ( −ω)F (20.28)Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.∞jωt∞− jωt2πf ( t)=∫F(ω)e dω → 2πf ( −t)=−∞∫F(ω)e dω−∞∞− jωtJika t dan ω dipertukarkan maka : 2πf ( −ω)=∫F(t)e dω−∞Pergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.Jika− jωT[ f ( t)] = F(ω)maka F[ f ( t − T )] = e F(ω)F (20.29)Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.[ ]1jβtF(ω)= f ( t)maka F−[ F(ω − β)] = e f ( t)Jika F−1(20.30)Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.1 ⎛ ω ⎞Jika F [ f ( t)] = F(ω)maka F[ f ( at)] = F⎜⎟ (20.31)| a | ⎝ a ⎠Tabel: Tabel-20.1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fouriersedangkan sifat-sifat transformasi Fourier termuat dalam Tabel-20.2.292 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Tabel-20.1. Pasangan transformasi Fourier.Sinyal f(t) F(ω)Impuls δ(t) 1Sinyal searah (konstan) 1 2π δ(ω)Fungsi anak tangga u(t) 1+ πδ(ω)jωSignumsgn(t)Exponensial (kausal) −αt( e ) u(t)Eksponensial (dua sisi) |e α |tEksponensial kompleks2jω1α + j2αω−2 2α+ ωj te β 2πδ(ω − β)Kosinus cosβt π [ δ( ω − β)+ δ(ω + β)]Sinus sinβt − j π [ δ( ω − β)− δ(ω + β)]Tabel-20.2. Sifat-sifat transformasi Fourier.Sifat Kawasan Waktu Kawasan FrekuensiSinyal f(t) F(ω)Kelinieran A f 1 (t) + B f 2 (t) AF 1 (ω) + BF 2 (ω)DiferensiasiIntegrasidf ( t)jωF(ω)dttF(ω)f ( x)dx+ π F(0)δ(ω)∫ −∞jωKebalikan f (−t) F(−ω)Simetri F (t) 2π f (−ω)Pergeseran waktu f (t − T) − jωTe F(ω)Pergeseran frekuensi e j β t f (t) F(ω − β)Penskalaan |a| f (at) ⎛ ω ⎞F ⎜ ⎟⎝ a ⎠293

Soal-SoalDeret Fourier Bentuk Sinus-Cosinus.1. a). Tentukan deret Fourier dari fungsi yang digambarkan berikut ini.b). Carilah koefisien kompleks deretv 1ms5Vta). −5Vv1ms10Vb).v20mst150Vtc).v150Vd).v20ms1ms10Vte).−5Vt294 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi Fourier2. Carilah transformasi Fourier dari bentuk-bentuk gelombang berikut:AtTa). v( t)= [ u(t)− u(t − T )]b).⎛ 2πt⎞⎡⎞ ⎞⎤⎢ ⎜⎛ T⎜⎛ Tv ( t)= Acos⎜⎟ u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ ⎝ T ⎠⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦A ⎡⎤c).⎛ 2πt⎞⎤⎡ ⎞ ⎞⎢ ⎜⎛ T⎜⎛ Tv ( t)= ⎢1+ cos⎜⎟⎥u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ 2 ⎣ ⎝ T ⎠⎦⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦d). v ( t)= 2 + 2u(t)e). v ( t)= 2sgn( −t)+ 6u(t)−2tf). v(t)= [ 2eu(t)+ 2sgn( t)] δ(t + 2)−2(t−2)−2(t+2)g). v(t)= 2eu(t − 2) + 2eu(t + 2)3. Tentukan transformasi balik dari fungsi-fungsi berikut:a). F ( ω)=παeπAβ−α|ω|b). F ( ω)= [ u(ω + β)− u(ω − β)]c).d).e).F ( ω)=F ( ω)=F ( ω)=1000( jω + 20) ( jω + 50)jω( jω + 20) ( jω + 50)2− ω( jω + 20) ( jω + 50)f). F ( ω)=1000jω(jω + 20) ( jω + 50)295

g).j500ωF ( ω)=( − jω + 50) ( jω + 50)h).i).j).F ( ω)=F ( ω)=F ( ω)=j5ω( jω + 50) ( jω + 50)5000jω(− jω + 50) ( jω + 50)5000δ(ω)2− ω + j200ω + 2500k).l).−2ωF ( ω)= 4π δ(ω)+ e−4π δ(ω − 4)e j2F ( ω)=jωωm).F ( ω)=4π δ(ω)+ 4( jω + 1)jω(2+ jω)n).F ( ω)= 4π δ(ω)+ e−2ωo). F ( ω)= 4π δ(ω)+ 4π δ(ω − 2) + 4π δ(ω + 2)296 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Daftar Pustaka1. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addisonWesley, 1956.2. Erwin Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, John Wiley& Son, Inc, 1988.3. D.W. Jordan, P. Smith, “Mathematical Techniques”, Oxford UPress, 3 rd edition, 20024. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,2002.5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, Darpublic,Bandung, 2010.6. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”,Darpublic, Bandung, 2012.7. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”,Darpublic, Bandung, 2012.8. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-3”,Darpublic, Bandung, 2012.Biodata Penulis 297

Biodata PenulisNama: Sudaryatno SudirhamLahir: 26 Juli 1943, di Blora.Istri: Ning UtariAnak: Arga Aridarma, Aria Ajidarma.Pendidikan & Pekerjaan:1971 : Teknik Elektro, Institut Teknologi Bandung.1982 : DEA, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.1985 : Doktor, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.1972−2008 : Dosen Teknik Elektro, ITB.Training & Pengalaman lain:1974 : TERC, UNSW, Australia; 1975 − 1978 : Berca Indonesia PT,Jakarta; 1979 : Electricité de France, Perancis; 1981 : Cour d”Ete,Grenoble, Perancis; 1991 : Tokyo Intitute of Technology, Tokyo, Jepang;2005 : Asian Institute of Technology, Bangkok, Thailand; 2005 − 2009 :Tenaga Ahli, Dewan Komisaris PT PLN (Persero); 2006 − 2011 :Komisaris PT EU – ITB.298 Biodata Penulis