MODUL-MATEMATIKA-EKONOMI-2

Laboratorium Manajemen DasarNamaNPM/KelasFakultas/Jurusan:::Matematika Ekonomi 2 i Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarKATA PENGANTARPuji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat,hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penulis dapatmenyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkankegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajarandalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhikebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikumsebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapatmeningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedomanbagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu,modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswamelihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomiyang ada.Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perludisempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinyasangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim LitbangMatematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turutberpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihakyang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.Jakarta, 2013Tim Litbang ATA 13/14Matematika Ekonomi 2 ii Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDAFTAR ISIHALAMAN JUDUL ..................................................................................... iKATA PENGANTAR .................................................................................. iiDAFTAR ISI ................................................................................................ iiiDERIVATIF1. Konsep Dasar Turunan .......................................................................... 12. Kaidah Diferensiasi ................................................................................ 13. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya ……..................................... 63.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal ........... 63.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ........... 64. Penerapan Ekonomi ............................................................................... 74.1 Elastisitas ………………………………......................................... .... 74.1.1 Elastisitas Harga .................................................................. 74.1.2 Elastisitas Permintaan ......................................................... 84.1.3 Elastisitas Penawaran ......................................................... 134.1.4 Elastisitas Produksi .............................................................. 174.2. Biaya .............................................................................................. 214.3 Penerimaan ………………………………......................................... 264.4 Laba Maksimum ............................................................................ 31INTEGRAL TAK TENTU1. Konsep Dasar Integral ........................................................................... 342. Kaidah-kaidah dalam Integral Tak Tentu ............................................... 353. Penerapan Ekonomi .............................................................................. 363.1 Fungsi Biaya ................................................................................... 363.2 Fungsi Penerimaan ......................................................................... 413.3 Fungsi Produksi .............................................................................. 46Matematika Ekonomi 2 iii Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3.4 Fungsi Utilitas ................................................................................. 513.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ......................................... 52INTEGRAL TERTENTU1. Konsep Dasar Integral Tertentu ............................................................. 582. Penerapan Ekonomi .............................................................................. 582.1 Surplus Konsumen .......................................................................... 582.2 Surplus Produsen ........................................................................... 66TRANSEDENTAL1. Konsep Dasar Transedental .................................................................. 731.1 Fungsi Eksponensial ....................................................................... 731.2 Fungsi Logaritmik ............................................................................ 752. Penerapan Ekonomi .............................................................................. 772.1 Model Bunga Majemuk ................................................................... 772.2 Model Pertumbuhan ........................................................................ 822.3 Kurva Gompertz .............................................................................. 862.4 Kurva Belajar (Learning Curve) ....................................................... 90DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 96Matematika Ekonomi 2 iv Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDERIVATIF1. KONSEP DASAR TURUNANTurunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsisehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yangbersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagidiferensi, dimana : ∆x 0.YJika y = f ( x ), maka∆∆=( ∆) ()∆Bentuk Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau kousien diferensi(difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikaty terhadap variabel bebas x.Jika y = f ( x ), maka turunan fungsinya adalah∆lim ∆ →∆ = lim ( ∆) ()∆ →∆2. KAIDAH DIFERENSIASIBerikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:1. Diferensiasi fungsi konstantaJika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0Contoh : y = 4 maka y’ = 02. Diferensiasi fungsi linearJika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = bContoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12Matematika Ekonomi 2 1 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Diferensiasi fungsi pangkatJika y = ax n , dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a x n-1Contoh : y = 5x 4 maka y’ = 5.4x 4-1 = 20x 34. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsiJika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’Contoh : y = 8x 3 – 8x 2u = 8X 3 , u’ = 8.3x 3-1 = 24x 2v = – 8x 2 , v’ = -8.2x 2-1 = -16xkarena y’= u’ ± v’maka y’ = 24x 2 – 16x5. Diferensiasi perkaliana. Perkalian fungsi dan konstantaJika y = k . u , dimana u = g (x), maka y’= k . u’Contoh : y = 8 . 7x 2u = 7x 2u’ = 7 . 2x = 14xkarena y’ = k . u’ maka y’ = 8 . 14x = 112xb. Perkalian fungsiJika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v + u.v’Contoh: y = (2x 6 – 2)(3x 3 – 7)u = (2x 6 – 2) u’ = 2.6x 6-1 = 12x 5v = (3x 3 – 7) v’ = 3.3x 3-1 = 9x 2karena y’ = u’.v + u.v’ makay’ = (12x 5 )(3x 3 – 7) + (2x 6 – 2)(9x 2 )= 36x 8 – 84x 5 + 18x 8 – 18x 2= 54x 8 – 84x 5 – 18x 2Matematika Ekonomi 2 2 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar6. Diferensiasi hasil bagi fungsiJika y = u u’.v – u.v’, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ =v v 2Contoh : y = ( – )( – )u = (9x 2 – 5)u’ = 2.9x 2-1 = 18xv = (4x 3 – 6) v’ = 3.4x 3-1 = 12x 2’. – .’karena y’ = , maka: y’ = ()( – ) – ( – )( )( – ) y’ = – – ( – ) y’ = ( – )7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], makadydx = dydu x dudxContoh 1: y = (6x 2 + 4) 2misalkan : u = 6x 2 +4 , sehingga y = u 2 = 12x = 2uMaka dydx = dydu x dudx = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x 3 + 96xContoh 2: y = √3x 2 + 4x – 5y = (3x 2 + 4x - 5) 1/2misalkan : u = 3x 2 + 4x -5 , sehingga y = u 1/2 = 6x + 4 = ½ u-1/2Matematika Ekonomi 2 3 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarMaka dydx = dydu x dudx = ½ u-1/2 . (6x + 4)= ½ (3x 2 + 4x -5) -1/2 . (6x + 4)= x √ x (6x + 4) – =√ – 8. Derivatif tingkat tinggiDerivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikansebanyak n kali.Derivatif ke-n dilambangkan dengan dn ydx n atau fn (x) atau dn ydxContoh : y = 5x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x makay’ atau = 25x4 + 16x 3 + 9x 2 + 4x + 1y’’ atau d2 yd 2 y = 100x3 + 48x 2 + 18x + 4 ………..dst9. Diferensiasi implisifAdalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian daripersamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .Contoh : xy 2 - x 2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :1.y 2 + x.2y – 2x + = 0( 2xy + 1 ) = - y2 + 2x= Matematika Ekonomi 2 4 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar10. Derivatif fungsi logaritmik• y = ln x dydx = 1 xy = ln u , dimana u = g (x) = . = • y = a log x dydx = 1ln aContoh : jika y = ln ( 3 – 3x 2 ) maka tentukan dy / dxu = 3 – 3x 2= u’ = -6x = = 11. Derivatif fungsi eksponensial• y = e x dydx = ex• y = a x dydx = ax ln a12. Derivatif fungsi trigonometrikBeberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : y = sin x dydx = cos x y = cos x dydx = - sin x y = tg x dydx = sec2 x y = ctg x dydx = - cosec2 xMatematika Ekonomi 2 5 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasardy y = sec x = sec x . tg xdxdy y = cosec x = - cosec x . ctg xdx1Catatan: sec x =cos x1cos x =sin x3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis NormalLangkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normaladalah:1. Tentukanlah titik singgung (xo , yo)2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo)4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = 1 (x – xo)m* Catatan :Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada GarisSinggung kurva3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f’(x) > 02. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f‘(x) < 03. Nilai stasionerJika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan NilaiStasionerMatematika Ekonomi 2 6 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJenis – jenis Titik Stasioner adalah :• Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum• Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum• Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belokContoh :Diketahui TR = 100Q - 5Q 2 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum darifungsi tersebut!Jawab :TR’ = 0100 – 10Q = 010Q = 100 jadi Q = 10TR’’ = -10 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum)Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q 2= 100(10) - (10) 2= 9004. PENERAPAN EKONOMI4.1 ELASTISITAS4.1.1 Elastisitas hargaAdalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah denganperubahan relatif dari harga.Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yangdigunakan yaitu:1. Elastisitas titik (Point Elasticity)ƞ = ∆// = ∙ 2. Elastisitas busur (Arc Elasticity)Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.Matematika Ekonomi 2 7 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarKelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.Ƞ = . ∆ ∆Ƞ = . ∆ ∆Ƞ = ()/. ∆()/ ∆Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :a. Elastisitas harga permintaan, ƞ d < 0 (negatif)b. Elastisitas harga penawaran, ƞ s > 0 (positif )Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :a. |ƞ| > 1 elastisb. |ƞ| < 1 inelastisc. |ƞ| = 1 unitary elastisd. |ƞ| = 0 inelastis sempurnae. |ƞ| = ∞ elastis tak hingga4.1.2 Elastisitas PermintaanAdalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barangyang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaandinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalahƞd = Qd’ ∙ Matematika Ekonomi 2 8 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarContoh soal :Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 33 – 3P 2 .Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifatelastisitasnya? Analisislah!Diketahui : Qd = 33 – 3P 2 Qd’ = -6PP = 5Ditanya: d?Jawab :ƞd = Qd’ ∙ ƞd = -6P ∙ – ƞd = -6(5) ∙ – () ƞd = 3,57 elastisAnalisis :Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3,57 pada saat harga produksebesar Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yangdiminta akan turun sebanyak 3,57%.Matematika Ekonomi 2 9 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih DerivatifMatematika Ekonomi 2 10 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Mencari Elastis Permintaan4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan EnterMatematika Ekonomi 2 11 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yangdiketahui di soal.6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.Matematika Ekonomi 2 12 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4.1.3 Elastisitas PenawaranAdalah suatu koefisian yang menjelaskan besarnya perubahan jumlahbarang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsipenawaran dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas penawarannya:ƞs = Qs’ ∙ Contoh soal :Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -53 + 4P 2 .Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 3/ unit. Bagaimana sifatelastis penawaran tersebut, analisislah !Diketahui : Qs = -53 + 4P 2Qs’ = 8PP = Rp 3/ unitDitanya: s?Jawab :ƞs = Qs’ ∙ ƞs = 8P ∙ ƞs = 8(3) ∙ () ƞs = - 4,23 elastisAnalisis:Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4,23 pada saat harga produksebesar Rp 3. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yangditawarkan akan bertambah sebanyak 4,23%Matematika Ekonomi 2 13 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih DerivatifMatematika Ekonomi 2 14 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Mencari Elastis Penawaran4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan EnterMatematika Ekonomi 2 15 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yangdiketahui di soal6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.Matematika Ekonomi 2 16 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4.1.4 Elastisitas ProduksiAdalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlahkeluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan(input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P= f(X),maka elastisitas produksinya:ƞp = P’ ∙ Contoh soal :Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 4X 2 - 3X 3 .Hitunglah elastisitas pada X = 4 unit dan analisislah !Diketahui : P = 4X 2 - 3X 3P’ = 8X - 9X 2X = 4Ditanya: p?Jawab :ƞp = P’ ∙ ƞp = 8X – 9X 2 ∙ – ƞp = ƞp = () () () () ƞp = 3,5Analisis :Jadi elastisitas produksi sebesar 3,5 pada saat jumlahmasukan produksebesar 4 unit.Matematika Ekonomi 2 17 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih DerivatifMatematika Ekonomi 2 18 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Mencari Elastisitas Produksi4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan EnterMatematika Ekonomi 2 19 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yangdiketahui di soal:6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.Matematika Ekonomi 2 20 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4.2 BIAYAa. Biaya Total (TC)Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi ataumemasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetapatau biaya variabel.TC = F(Q) atau TC = FC + VCDimana :TC = Total costVC = Variabel costFC = Fixed costQ = Quantitasb. Biaya Rata – rata (AC)Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatubarang atau jasa pada tingkat produksi total.AC = TC / Qc. Biaya Marginal ( MC)Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibatpertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.MC = TC’ = Contoh soal :Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkanoleh persamaan TC = 43Q 3 + 35Q 2 - 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biayatotal, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikananalisisnya!Matematika Ekonomi 2 21 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDiketahui : TC = 43Q 3 + 35Q 2 - 44Q + 45Q = 4Ditanya : TC, AC dan MC pada Q = 4?Jawab :TC = 43(4) 3 + 35(4) 2 – 44(4) + 45= 2.752 + 560 – 176 + 45= 3.181AC= TC / Q= 3.181 / 4= 795,25MC= TC’= 129Q 2 + 70Q - 44= 129(4) 2 + 70(4) - 44= 2.064 + 280 - 44= 2.300Analisis:Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 4 unit maka biaya totalyang dikeluarkan sebesar Rp 3.181 dengan biaya rata – rata sebesar Rp795,25 dan biaya marginal Rp 2.300.Matematika Ekonomi 2 22 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih DerivatifMatematika Ekonomi 2 23 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Mencari Fungsi Biaya4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3 kemudian tekan EnterMatematika Ekonomi 2 24 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yangdiketahui di soal:6. Kemudian tekan Enter ,maka hasilnya adalah sebagai berikut.Matematika Ekonomi 2 25 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4.3 PENERIMAANa. Penerimaan Total (TR)Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.TR = F(Q) = P ∙ Qb. Penerimaan Rata – rata (AR)Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualansuatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue samadengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.AR = =( )= Pc. Penerimaan Marginal ( MR )Adalah pertambahan hasil penerimaanyang diperoleh akibatpertambahan penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.MR = TR’ = ∆∆Contoh Soal :Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q +3. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnyapenerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jikapenjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!Diketahui : P = 45Q + 3Q = 4Ditanya : Persamaan TR?Besarnya TR, AR dan MR pada saat Q = 4?Matematika Ekonomi 2 26 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJawab :TR = P x Q= (45Q + 3)Q= 45Q 2 + 3QJika Q = 4, maka:TR = 45(4) 2 + 3(4)= 720 + 12= 732AR= TR / Q= 732 / 4 = 183MR= TR’= 90Q + 3= 90(4) + 3= 363Analisis :Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saatpenjualan 4 unit sebesar Rp 732 dengan penerimaan rata – rata sebesar Rp183 dan penerimaan marginal sebesar Rp 363.Matematika Ekonomi 2 27 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih DerivatifMatematika Ekonomi 2 28 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Mencari Fungsi PenerimaanKarena P = 45Q + 3, maka TR = P . Q = (45Q + 3) . Q = 45Q 2 + 3Q4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2, kemudian tekan EnterMatematika Ekonomi 2 29 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yangdiketahui di soal:6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.Matematika Ekonomi 2 30 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4.4 LABA MAKSIMUMTerdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu :1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach)3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimumdengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan labadilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan PendapatanMarginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunanpertama fungsi (∂n/∂Q) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilaiturunan pertama TC (∂TC/∂Q atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengandemikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugianminimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.Contoh soal:Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -250Q +20.000 dengan biaya variabel VC = 20Q 2 – 2.000Q. Biaya tetap yangdikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualanberapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakahbesarnya laba tersebut? Analisislah!Diketahui : TC = VC + FC = 20Q 2 – 2.000Q + 25.000TR = P x Q = -250Q 2 + 20.000QDitanya : Q pada saat laba max?Jawab :laba / rugi = TR – TC= (-250Q 2 + 20.000Q) - (20Q 2 – 2.000Q + 25.000)= -270Q 2 + 22.000Q – 25.000Matematika Ekonomi 2 31 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLaba maksimum → laba’ = 0-540Q + 22.000 = 0540Q = 22.000Q = 40,74 ≈ 41Saat Q = 41 → Laba = -270Q 2 + 22.000Q – 25.000= -270(41) 2 + 22.000(41) – 25.000= 423.130Analisis:Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjualproduknya sebanyak 41 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar Rp423.130.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka software EC-MATH seperti tampilan dibawah iniMatematika Ekonomi 2 32 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih menu Derivatif3. Pilih Mencari Fungsi LabaKemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul outputseperti berikut :Matematika Ekonomi 2 33 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarINTEGRAL TAK TENTU1. KONSEP DASAR INTEGRALDalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaituintegral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yangberhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunanatau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentumerupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luassuatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencariintegral atau turunan-antinya, yaitu F(x).Bentuk umum integral dari f(x) adalah : f(x) dx = F(x) + cKeterangan :∫ = tanda integralf(x) = diferensial dari F(x)F(x) = intergal partikularc = konstanta pengintegralanDalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asaldilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)maka:Untuk fungsi asal : F(x) = x + 5Fungsi turunannya : f(x) = ()= 2xMatematika Ekonomi 2 34 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka: f(x)dx = F(x) + c = x + cDerivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kitamengintegralkan fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai ctidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebutsudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentukintegral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral taktentu.2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTUdiantaranya:Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu,1. Formula pangkat x dx = xn + 1 + k2. Formula logaritmis 1 dx = ln x + kx3. Formula eksponensial e dx = e + k e du = e + ku = f(x)4. Formula penjumlahan{(x) + g(x)}dx = f(x)dx + g(x)dx = F(x) + G(x) + k5. Formula perkalian nf(x)dx = n f(x)dx n ≠ 0Matematika Ekonomi 2 35 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar6. Formula subtitusi f(u) du dx = f(u)du = F(u) + kdx3. PENERAPAN EKONOMIPendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencaripersamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsimarginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakanturunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi,dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.3.1 Fungsi BiayaBiaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC).Biaya total (TC)Biaya marginal (MC)Biaya total (TC)Biaya rata-rata (AC)= f(Q)= TC’ = f’(Q)= ∫ MC dQ = ∫ f’(Q)= Contoh soal :Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan MC = 5Q 2 + 5Q + 5.Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila diketahuikonstanta sebesar 5? Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jikakuantitasnya sebesar 10 unit? Analisislah!Diketahui : MC = 5Q 2 + 5Q + 5c = 5Q = 10Ditanya : Persamaan TC dan AC?Besarnya TC & AC jika Q = 10?Matematika Ekonomi 2 36 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJawab :TC = ∫ MC dQ= ∫ 5Q 2 + 5Q + 5 dQ= Q3 + Q2 + 5Q + c= Q3 + Q2 + 5Q + 5AC= = ( )= Q2 + Q + 5 + Jika Q = 10, maka:TC = Q3 + Q2 + 5Q + 5= (10)3 + (10)2 + 5(10) + 5= (1000) + (100) + 5(10) + 5= 1.971,67AC= = .,= 197,167Matematika Ekonomi 2 37 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarAnalisis :Apabila MC = 5Q 2 + 5Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biayatotalnya adalah TC = Q3 + Q2 + 5Q + 5, dan fungsi biaya rata-ratanyaadalah AC = Q2 + Q + 5 + .Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya biaya total yang harusdikeluarkan perusahaan tersebut adalah Rp 1.971,67. Sedangkan besarnyabiaya rata-rata adalah Rp 197,167.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math1. Buka aplikasi EC – MathMatematika Ekonomi 2 38 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih Integral Tak Tentu3. Pilih Fungsi BiayaMatematika Ekonomi 2 39 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukanBanyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. MasukkanFC sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yangdiketahui di soal. Klik Calculate.Matematika Ekonomi 2 40 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang adadi soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.3.2 Fungsi PenerimaanPenerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).Penerimaan total (TR)Penerimaan marginal (MR)Penerimaan total (TR)Penerimaan rata-rata (AR)= f(Q)= TR’ = f’(Q)= ∫ MR dQ = ∫ f’(Q)= Contoh soal :Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan olehpersamaan MR = 4Q 2 + 3Q + 4, maka bentuklah fungsi TR dan AR jika c = 0?Matematika Ekonomi 2 41 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarBerapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jikakuantitas yang terjual sebesar 10 unit? Analisislah!Diketahui : MR = 4Q 2 + 3Q + 4c = 0Q = 10Ditanya : Persamaan TR dan AR?Besarnya TR dan AR jika Q = 10?Jawab :TR = ∫ MR dQ= ∫ 4Q 2 + 3Q + 4= Q3 + Q2 + 4Q + c= Q3 + Q2 + 4QAR= =43 3 2 = Q2 + Q + 4Jika Q = 10, maka:TR= Q3 + Q2 + 4Q= (10)3 + (10)2 + 4(10)= 1.523,33AR= = .,= 152,333Matematika Ekonomi 2 42 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarAnalisis :Apabila MR = 4Q 2+ 3Q + 4 dan konstanta sebesar 0, maka fungsipenerimaan totalnya adalah TR = Q3 + Q2 + 4Q dan fungsi persamaanrata-ratanya adalah AR = Q2 + Q + 4.Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya penerimaan totalperusahaan tersebut adalah Rp 1.523,33. Sedangkan besarnya penerimaanrata-rata adalah Rp 152,333.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – MathMatematika Ekonomi 2 43 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih Integral Tak Tentu3. Pilih Fungsi PenerimaanMatematika Ekonomi 2 44 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukanBanyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkanpersamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.Matematika Ekonomi 2 45 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang adadi soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.3.3 Fungsi ProduksiProduk Total adalah integral dari produk marginal.Produk total (P)Produk marginal (MP)Produk total (P)Produk rata-rata (AP)= f(X) dimana,P = keluaran; X = masukan= P’ = f’(X)= ∫ MP dX = ∫ f ′ (X)dX= Matematika Ekonomi 2 46 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarContoh soal :Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q 2 + 5. Bentuklahfungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika c = 0? Berapakahbesarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakansebesar 10 unit? Analisislah!Diketahui : MP = 3Q 2 + 5c = 0X = 10Ditanya : Persamaan TP dan AP?Besarnya TP dan AP jika X = 10?Jawab :TP = ∫ MP dQ= ∫ 3Q 2 + 5= Q 3 + 5Q + c= Q 3 + 5QAP= = Q3 + 5Q= Q 2 + 5Jika X = 10, maka:TP = Q 3 + 5Q= (10) 3 + 5(10)= 1000 + 50= 1.050AP= = .= 105Matematika Ekonomi 2 47 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarAnalisis :Apabila MP = 3Q 2 + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produk total PTPOOH adalah TP = Q 3 + 5Q dan fungsi produk rata-ratanya adalah AP = Q 2+ 5.Jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit, maka besarnya produk totaladalah 1.050 unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar 105 unit.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – MathMatematika Ekonomi 2 48 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih Integral Tak Tentu3. Pilih Fungsi ProduksiMatematika Ekonomi 2 49 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukanBanyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkanpersamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.Matematika Ekonomi 2 50 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada disoal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.3.4 Fungsi UtilitasUtilitas Total adalah integral dari utilitas marginal.Utilitas total (TU)Utilitas marginal (MU)Utilitas total (TU)= f(Q)= TU’ = f’(Q)= ∫ MU dQ = ∫ f’(Q)Contoh soal:Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitasmarginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 90 – 10Q dan konstantanyasebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 10?Matematika Ekonomi 2 51 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDiketahui : MU = 90 – 10Qc = 0Q = 10Ditanya : Persamaan TU?Besarnya TU jika Q = 10?Jawab :TU = ∫ MU dQ= ∫ 90 – 10Q= 90Q – 5Q 2 + c= 90Q – 5Q 2Jika Q = 10, maka:TU = 90Q – 5Q 2= 90(10) – 5(10) 2= 900 – 500= 400Analisis :Apabila MU = 90 – 10Q dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitastotalnya adalah TU = 90Q – 5Q 2 .Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya utilitas total konsumentersebut adalah 400.3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi TabunganDalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakanfungsional terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi,konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dariMPS.Matematika Ekonomi 2 52 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarC = ∫ MPC dY = F(Y) + kk = aS = ∫ MPS dY = G(Y) + k k = -a• k = a = Autonomous Consumption → konsumsi otonom menunjukkanbesarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol• k = a = Autonomous Saving → Tabungan otonom menunjukkanbesarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.• MPC (Marginal Propensity to Consume) → Perbandingan antarabesarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan PendapatanNasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.• MPS (Marginal Propensity to Saving) → Perbandingan antara besarnyaperubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y)yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.1 > MPC > 12MPC + MPS = 1Keterangan:• MPC < 1 → menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahanpendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkansisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.• MPC > ½ → menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperolehdigunakan untuk konsumsi.• MPC selalu positif → karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.Contoh soal :Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negarajika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34milyar?Matematika Ekonomi 2 53 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDiketahui : MPC = 0,55Ditanya : C dan S?Konsumsi otonom = a = k = 34Jawab :MPC + MPS = 1MPS = 1 – MPCMPS = 1 – 0,55MPS = 0,45C= ∫ MPC dY= ∫ 0,55 dY= 0,55Y + c= 0,55Y + 34S= ∫ MPS dY= ∫ 0,45 dY= 0,45Y + c= 0,45Y - 34Analisis :Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34; maka fungsikonsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y + 34. Sedangkan fungsitabungannya adalah S = 0,45Y – 34.Matematika Ekonomi 2 54 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka aplikasi EC – Math2. Pilih Integral Tak TentuMatematika Ekonomi 2 55 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Pilih Fungsi Konsumsi4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal, yaitu34, kemudian masukkan nilai MPC, yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate.Matematika Ekonomi 2 56 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarCatatan:Untuk mencari fungsi Konsumsi dan tabungan, dapat pula dilakukan denganmengklik Integral Tak Tentu → Fungsi Tabungan. Hanya saja, saatmemasukkan nilai k atau a, peru ditambahkan minus.Untuk contoh soal ini, masukkan nilai k atau a sebesar -34. Lalu masukkannilai MPS sebesar 0,45 (didapat dari 1 – MPC). Kemudian klik Calculate.Matematika Ekonomi 2 57 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarINTEGRAL TERTENTU1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTUIntegral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungandengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nyasudah ditentukan.Rumus Integral tertentu: f(x)dx = [F(x)] = F(b) − F(a)Keterangan :a = batas minimumb = batas maksimumdimana a < bContoh :Hitunglah luas daerah persamaan 6x 2 – 8x + 2 dibatasi oleh a=2 dan b=4 !Jawab :∫ 6x – 8x + 2 dx = [ 2x − 4x + 2x ] = [2(4) − 4(4) + 2(4)] − [2(2) − 4(2) + 2(2)]= 72 − 4 = 682. PENERAPAN EKONOMI2.1 Surplus KonsumenSurplus konsumen yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplusyang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat hargaMatematika Ekonomi 2 58 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasarpasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luasarea dibawah kurva permintaan ( P = f(Q) ) tetapi diatas tingkat harga pasar(Pe).Cs = f(Q)dQ − Qe . Pe = f(P)dPDimana :Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasarPe = Tingkat Harga keseimbangan di pasarP = Tingkat harga pada saat Q=0Grafik Surplus KonsumenContoh Soal 1:Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 55 - 4Q dan fungsi penawaran Ps= 5 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara? Analisislah danbuatlah grafiknya !Diketahui : Pd = 55 - 4QPs = 5 + QDitanya : Cs ?Matematika Ekonomi 2 59 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJawab :Cara 1Pd = Ps P = 55 – 4(10)55 - 4Q = 5 + Q Pe = 15- Q - 4Q = 5 – 55- 5Q = - 50Qe = 10Cs = ∫ f(Q)dQ − Qe . Pe= ∫ [55 – 4Q] dQ – 10 . 15= [55Q – 2Q 2 ] – 150= [55(10) – 2(10) 2 ] – [55(0) – 2(0) 2 ] – 150= 350 – 0 – 150= 200Analisis:Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karenakonsumen dapat membeli dengan harga Rp 15 padahal konsumen sanggupmembayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 15.Grafik Surplus Konsumen Soal 1Matematika Ekonomi 2 60 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah membuat Kurva:1. Pd = 55 - 4QMisal P = 0 → Q = 13,75Misal Q = 0 → P = 552. Letakkan nilai Kuantitas Keseimbangan Pasar (Qe = 10) dan HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 15)3. Untuk area Cs dapat hitung menggunakan rumus Luas Segitiga, L = (a xt) : 2. Dengan a = 10; t = 40 maka nilai Cs atau Luas Segitiga yang diarsiradalah L = (10 X 40) : 2 = 200Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Pilih materi Integral Tentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1 (rumus 1)Matematika Ekonomi 2 61 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat FungsiPermintaannya), pilih 1 variabel3. Input data sesuai soal, kemudian klik Hitung maka jawaban soal akanmuncul.Matematika Ekonomi 2 62 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarCara 2Pd = 55 - 4Q → 4Qd = 55 – PQd = 13,75 – 0,25PJika : Q = 0 ; P = 55Cs = ∫ f(P)dP= ∫ [13,75 – 0,25P] dP= [13,75P – 0,125P 2 ] = [13,75(55) – 0,125(55) 2 ] – [13,75(15) – 0,125(15) 2 ]= 378,125 – 178,125= 200Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Pilih materi Integral Tentu, Surplus Konsumen 2 (rumus 2)Matematika Ekonomi 2 63 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat FungsiPermintaannya), pilih 1 variabel3. Input data sesuai soal. Jika sudah diinput sesuai soal klik tab Hitung makajawaban soal akan muncul.Matematika Ekonomi 2 64 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarContoh Soal 2:Jika fungsi permintaan P = 34 - 4Q dan tingkat kuantitas keseimbanganpasarnya adalah 5, hitunglah surplus konsumennya dengan 2 cara,analisislah dan buat grafiknya!Diketahui : P = 34 - 4QQe = 5Ditanya : Cs ?Jawab :Qe = 5 → Pe = 34 – 4(5) = 14Cara 1Cs = ∫f(Q)dQ − Qe . Pe= ∫ [34 − 4Q] dQ – 5 . 14= [34Q – 2Q 2 ] – 70= [34(5) – 2(5) 2 ] – [34(0) – 2(0) 2 ] – 70= 120 – 0 – 70= 50Cara 2P = 34 - 4Q → Q = 8,5 – 0.25PJika : Q = 0 ; P = 34Cs = ∫ f(P)dP= ∫ [8,5 – 0.25P] dP= [8,5P – 0,125P 2 ] = [8,5(34) – 0,125(34) 2 ] – [8,5(14) – 0,125(14) 2 ]= 144,5 – 94.5= 50Matematika Ekonomi 2 65 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarAnalisis :Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karenakonsumen dapat membeli dengan harga Rp.14 padahal konsumen sanggupmembayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14.Grafik Surplus Konsumen Soal 2Langkah membuat Kurva :1. P = 34 - 4QMisal, P = 0 maka nilai Q = 8,5Misal, Q = 0 maka nilai P = 342. Letakkan nilai Kuantitas Keseimbangan Pasar (Qe = 5) dan HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 14)3. Untuk area Cs dapat hitung menggunakan rumus Luas Segitiga, L = (a xt) : 2. Dengan a = 5; t = 20 maka nilai Cs atau Luas Segitiga yang diarsiradalah L = (5 X 20) : 2 = 502.2 Surplus ProdusenSurplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yangdinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barangyang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas areadiatas kurva penawaran ( P= f (Q) ) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe).Matematika Ekonomi 2 66 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarRentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qesebagai batas atas.Ps = Qe . Pe − f(Q)dQ = f(P)dPDimana :Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasarPe = Tingkat Harga keseimbangan di pasarP = Tingkat harga pada saat Q=0Grafik Surlus ProdusenContoh Soal 1:Bila diketahui fungsi penawaran dan fungsi permintaan masing-masing Ps =33 + Q dan Pd = 45 – Q. Hitunglah surplus PT Lorebus sebagai produsendengan dua cara, analisis dan buat grafiknya!Diketahui : Ps = 33 + QPd = 45 – QDitanya : Ps ?Matematika Ekonomi 2 67 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJawab :Cara 1Pd = Ps P = 33 + (6)45 – Q = 33 + Q Pe = 39- Q - Q = 33 – 45- 2Q = - 12Qe = 6Ps = Qe . Pe − ∫ f(Q)dQ= 6 . 39 – ∫ [33 + Q] dQ= 234 – [33Q + 0,5Q 2 ] = 234 – [33(6) + 0,5(6) 2 ] – [33(0) + 0,5(0) 2 ]= 234 – 216 – 0= 18Analisis :Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 18 dikarenakanperusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 39 padahalsebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dariharga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 33.Grafik Surplus Produsen Soal 1Matematika Ekonomi 2 68 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah membuat Kurva :1. Ps = 33 + QMisal, P = 0 maka nilai Q = -33Misal, Q = 0 maka nilai P = 332. Letakkan nilai Kuantitas Keseimbangan Pasar (Qe = 6) dan HargaKeseimbangan Pasar (Pe = 39)3. Untuk area Cs dapat hitung menggunakan rumus Luas Segitiga, L = (a xt) : 2. Dengan a = 6; t = 6 maka nilai Cs atau Luas Segitiga yang diarsiradalah L = (6 X 6) : 2 = 18Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 1 (rumus 1)Matematika Ekonomi 2 69 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat FungsiPenawarannya), pilih 1 variabel3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akanmuncul.Matematika Ekonomi 2 70 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarCara 2Ps= 33 + Q → Qs = P - 33Jika Q = 0 ; P = 33Ps = ∫ f(P)dP= ∫ [P – 33] dP= [ 0,5P 2 – 33P] 3933= [0,5(39) 2 – 33(39)] – [0,5(33) 2 – 33(33)]= -526,5 – (-544,5)= 18Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 2 (rumus 2)Matematika Ekonomi 2 71 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat FungsiPenawarannya), pilih 1 variabel3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akanmuncul.Matematika Ekonomi 2 72 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarTRANSEDENTAL1. KONSEP DASAR TRANSEDENTALTransedental merupakan suatu hubungan matematis yangmenyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untukmenentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yangtermasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsilogaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkatirrasional. Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensialdan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmikkeduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalahfungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.1.1 Fungsi EksponensialFungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkatadalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatukonstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimanakonstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.• Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah:di mana: n > 0y = n x• Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:di mana: n ≠ 0y = ne kx + ce = 2,71828k , c merupakan konstanta• Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain:1. a 0 = 12. a -k = 1/(a) k3. a 1/q = q√ aMatematika Ekonomi 2 73 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4. a m a n5. a m / a n = a m-n6. (a m ) k = a mkContoh Soal:Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0,35x - 1 , pada masing-masingsumbu dan hitunglah f(3)!Jawab :• Pada sumbu x ; y = 0e 0,35x – 1 = 0e 0,35x = 1Ln e 0,35x = Ln 10,35x Ln e = Ln 1Ln e = 10,35x = 0Ln 1 = 0x = 0Titik potongnya (0 ; 0)• Pada sumbu y ; x = 0y = e 0,35x - 1y = e 0,35(0) - 1y = e 0 - 1y = 1 - 1y = 0Titik potongnya (0 ; 0)• Untuk x = 3y = e 0,35x - 1y = e 0,35(3) - 1y = e 1,05 – 1y = 2,718 1.05 – 1Matematika Ekonomi 2 74 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasary = 2,858 – 1y = 1,858Titik potongnya (3 ; 1,858)Grafik 1Kurva Eksponensial pada y = e 3,5x - 11.2 Fungsi LogaritmikLogaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokokuntuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 5 2 = 25, ini berartibahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5.Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnyamerupakan bilangan logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x.• Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :di mana: n > 0y = n log xn ≠ 1• Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :y = a ln (1 + x) + bdi mana: x > -1• Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma1. Log a.b = log a + log b2. Log a/b = log a – log b3. a log b = log b / log aMatematika Ekonomi 2 75 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar4. a log b = c maka a c = b5. a log a = 16. log x n = n log x7. a log 1 = 08. a a log b = bContoh soal:Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) – 3, pada masingmasingsumbu dan hitunglah f(3)!Jawab :• Pada sumbu x ; y = 0-4,5 Ln(1 + x) – 3 = 0-4,5 Ln (1 + x) = 3Ln (1 + x) = -0,671 + x = e –0,671 + x = 0,512x = -0,488Titik potongnya (-4,88 ; 0)• Pada sumbu y ; x = 0y = -4,5 Ln (1 + x) – 3y = -4,5 Ln (1 + 0) – 3y = -4,5 Ln 1 – 3y = -4,5 . 0 – 3y = –3Titik potongnya (0 ; -3)• Untuk x = 3y = -4,5 Ln(1 + x) – 3y = -4,5 Ln(1 + 3) – 3Matematika Ekonomi 2 76 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasary = -4,5 Ln 4 – 3y = -6,2383 – 3y = -9,2383Titik potongnya (3 ; -9,2383)Grafik 2Kurva Logaritmik pada y = - 4,5 Ln(1 + x) = 32. PENERAPAN EKONOMIBanyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaahdengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-modelyang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yangmenerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:2.1 Model Bunga MajemukModul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsieksponensial. Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masamendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan.Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan padasuku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :Fn = P ( 1 + i ) nMatematika Ekonomi 2 77 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarTetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun,maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :F n = P(1 + ) m.ndi mana :Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun.P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0).i = Tingkat bunga per tahun.m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.n = Jumlah tahunDalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dann sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsipprinsippenyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadapmodel ini.Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satutahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atausering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:Fn ≈ Pe i.ndimana e = 2,71828Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuouscompound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjammeminjamseringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir”atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkanbunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karenaitu, model ini dapat pula disebut “model lintah darat”Matematika Ekonomi 2 78 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarContoh Soal :Tuan Tedi seorang pengusaha tekstil yang sedang melakukanpengembangan usaha. Modal yang dibutuhkan sekitar Rp 300.000.000,-.Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Swasta untuk jangka waktu 5 tahundengan bunga pinjaman 5% per tahun. Hitunglah:a. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saatpinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per kuartal!b. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saatpinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per jam!Diketahui : P = 300.000.000DitanyaJawab :i = 5% = 0,05m = 3n = 5: a. F5 per kuartal?b. F5 per jam?a. Per kuartal (dengan rumus bunga majemuk biasa)1) Tanpa Menggunakan LogaritmaF5 = 300.000.000 (1 + , )F5 = 300.000.000 (1,0167) 15F5 = 300.000.000 (1,2820)F5 = 384.600.000,-2) Dengan Menggunakan LogaritmaF5 = 300.000.000 (1,0167) 15Log F5 = log 300.000.000 + 15 log 1,0167Log F5 = 8,4771 + 0,1079Log F5 = 8,585F5 = 384.591.782,-Matematika Ekonomi 2 79 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasarb. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung)1) Tanpa Menggunakan Logaritma NaturalF5 ≈ 300.000.000 x e 0,05 * 5F5 ≈ 300.000.000 x e 0,25F5 ≈ 300.000.000 x 1,2840F5 ≈ 385.200.000,-2) Dengan Menggunakan Logaritma NaturalF5 ≈ 300.000.000 x e 0,05 * 5F5 ≈ 300.000.000 x e 0,25Ln F5 ≈ Ln 300.000.000 + 0,25 Ln eLn F5 ≈ 19,5193 + 0,25Ln F5 ≈ 19,7693F5 ≈ 385.210.309,-Analisis :Jumlah uang yang harus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo apabilapembayaran bunga dihitung per kuartal adalah sebesar Rp 384.600.000,-.Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah uang yangharus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo adalah sebesar Rp385.200.000,-.Matematika Ekonomi 2 80 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klikTransendental.2. Lalu pilih Model Bunga MajemukMatematika Ekonomi 2 81 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hitung maka akanmuncul jawaban dibawah data diketahui.Catatan :Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Mathmengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manualmenggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan padasoftware EC-Math tidak menggunakan pembulatan.2.2 Model PertumbuhanModel pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsieksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabelkependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabellain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.P t = P 1 . R t-1R = 1 + rMatematika Ekonomi 2 82 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasardi mana:P ttP 1r= Jumlah penduduk pada tahun ke-t.= Jumlah tahun.= Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis).= Tingkat pertumbuhanAgar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segalamacam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalahkependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi:N t = N 1 . R t-1R = 1 + rdi mana:N = Variabel yang sedang diamati.r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu.t = Indeks tahun.Contoh Soal :PRINCE merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidangMulti Level Marketing di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2005. Pada awalusahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing/Sales sebanyak355 orang untuk seluruh Indonesia. Diperkirakan pertumbuhan PersonalMarketingnya sebesar 5% per tahun. Hitunglah berapa jumlah PersonalMarketing yang dimiliki oleh PRINCE pada tahun 2009? Analisislah!Diketahui : N = 355 orangt = 5 tahunr = 0,05R = 1 + 0,05 = 1,05Ditanya : N5 = ….. ?Matematika Ekonomi 2 83 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarJawab :1) Tanpa Menggunakan LogaritmaNt = N1 x R (t-1)N5 = 355 x 1,05 (5-1)N5 = 355 x 1,05 4N5 = 355 x 1,2155N5 = 431 orang2) Dengan Menggunakan LogaritmaN5 = 20.504 x 1,04 (5-1)N5 = 355 x 1,05 4Log N5 = log 355 + 4 log 1,05Log N5 = 2,5502 + 0,0847Log N5 = 2,6349N5 = 431 orangAnalisis :Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personal Marketing(sales) akan meningkat menjadi 431 orang, dengan jumlah peningkatansebesar 76 orang.Matematika Ekonomi 2 84 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarLangkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, kliktransendental.2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk.Matematika Ekonomi 2 85 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akanmuncul jawaban dibawah data diketahui.Catatan :Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Mathmengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manualmenggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan padasoftware EC-Math tidak menggunakan pembulatan..2.3 Kurva GompertzMetode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkatsecara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itupeningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terusberjalan.N = c . a Matematika Ekonomi 2 86 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDimana:N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamatic = Batas jenuh pertumbuhana = Proporsi pertumbuhan awalr = Tingkat pertumbuhan rata-ratat = Indeks waktuContoh soal:PT Chup-chup adalah perusahaan penghasil permen lollipop. Manajerperusahaan mempunyai data bahwa produksi awal permen lollipop berjumlah3.534 bungkus. Tingkat rata-rata pertumbuhan produksi permen lollipop pertahunnya sebesar 35%. Perusahaan membatasi produksinya maksimal 5.444bungkus. Hitunglah berapa jumlah produksi permen lollipop yang dihasilkanPT Chup-chup pada tahun kelima?Diketahui : c = 5.444x = 3.534a = = .. = 0,649r = 35% = 0,35t = 5Ditanya : N untuk tahun kelima atau N 5 = ?Jawab :1) Tanpa Menggunakan LogaritmaN = c . a N = 5.444 x 0,649 ,N = 5.444 x 0,649 0,005252N = 5.444 x 0,9977320177N = 5.431,65 ≈ 5.432Matematika Ekonomi 2 87 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2) Dengan Menggunakan LogaritmaN = 5.444 X 0,649 ,N = 5.444 x 0,649 0,005252Log N = log 5.444 + 0,005252 log 0,649Log N = 3,735918 + 0,005252(-0,1877553)Log N = 3,735918 + (-0,00098609)Log N = 3,73493191N = 5.431,65 ≈ 5.432Analisis :Dengan produksi awal sebanyak 3.534 bungkus dan rata-rata pertumbuhan35% didapatkan jumlah permen lollipop tahun ke-5 sebanyak 5.432 bungkus.Jumlah produksi tahun ke-5 masih dibawah produksi maksimum perusahaanyaitu 5.444 bungkus.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klikTransendental.Matematika Ekonomi 2 88 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih Model Kurva Gompertz3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung makaakan muncul jawaban dibawah data diketahui.Matematika Ekonomi 2 89 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarCatatan:Hasil pengerjaan dengan cara manual berbeda dengan hasil pengerjaanmenggunakan software EC-Math. Hal ini dikarenakan bahwa software EC-Math menggunakan angka dibelakang koma. Sedangkan pada cara manualmenggunakan pembulatan.2.4 Kurva Belajar (Learning Curve)Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomiuntuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannyadengan variabel waktu.• Bentuk Dasary = m − se Dimana:m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapaik, m, s > 0• Perilaku ProduksiDimana:PP mP str= Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu= Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu= Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t= 0)= Indeks waktu= Tingkat pertumbuhan produksi .P = P m – P s . eMatematika Ekonomi 2 90 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar• Perilaku Biaya .C = C m – C s . eDimana:C = Biaya total per satuan waktuC m = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)per satuan waktuC s = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0)t = Indeks waktur = Persentase kenaikan biaya per satuan waktuContoh soal:Sebuah mesin perakit televisi pada awal produksi hanya mampu beroperasi53% dari kapasitas yang ditentukan. Namun. manajer produksi perusahaanyakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sebesar 4% setiap bulannya. Jikakapasitas produksi maksimum perusahaan sebesar 534 unit, maka:a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan mesin perakit tersebut!b. Berapa unit televisi yang dihasilkan pada awal produksi?c. Berapa unit televisi yang dihasilkan setelah mesin tersebut di operasikanselama 5 bulan?d. Analisislah!Diketahui : P m = 534P s = 47%(534) = 250,98 ≈ 251r = 4% = 0,04t = 5Ditanya : a. Persamaan P?b. Produksi perdana?Matematika Ekonomi 2 91 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasarc. Jumlah produksi setelah 5 bulan?d. Analisis!Jawab :a. Persamaan perilaku produksiP = P m - P s . e - r. tP = 534 – 250,98 . e – 0,04. tb. Jumlah produksi perdana53 % x 534 = 283,02 ≈ 283c. Jumlah produksi setelah 5 bulan1) Tanpa Menggunakan LogaritmaP = 534 – 251 . e – 0,04. t= 534 – 251 . e – 0,04. 5= 534 – 251 . e – 0,2= 534 – 251 . (0,81873)= 534 – 205,50123= 328,49877 ≈ 3282) Dengan Menggunakan Logaritma NaturalP = 534 – 251. e – 0,04. t= 534 – 251. e – 0,04. 5= 534 – 251 . e – 0,2= 534 – 251 (-0,2 ln e)= 534 – 251 (-0,2 . 1)= 534 – 251 (anti ln -0,2)= 534 – 251 (0,81873)= 534 – 205,50123= 328,49877 ≈ 328Matematika Ekonomi 2 92 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasard. AnalisisJadi hasil produksi televisi yang dioptimalkan setelah 5 bulan adalahsebanyak 328 unit televisi dari awal produksi sebanyak 283 unit. Hal iniberarti ada peningkatan dalam optimalisasi produksi selama 5 bulansebanyak 45 unit.Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec- Math1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klikTransendental.Matematika Ekonomi 2 93 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen Dasar2. Pilih Model Kurva Belajar (Learning Curve)3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung makaakan muncul jawaban dibawah data diketahui.Matematika Ekonomi 2 94 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarCatatan:Hasil pengerjaan dengan cara manual berbeda dengan hasil pengerjaanmenggunakan software EC-Math. Hal ini dikarenakan bahwa software EC-Math menggunakan angka dibelakang koma. Sedangkan pada cara manualmenggunakan pembulatan.Matematika Ekonomi 2 95 Litbang ATA 13/14

Laboratorium Manajemen DasarDAFTAR PUSTAKAAssauri, Sofjan. 1996. Matematika Ekonomi, Edisi Baru. Jakarta: PT RajaGrafindo Persada.Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kedua.Yogyakarta: BPFE.Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi, EdisiPertama. Yogyakarta: ANDI.H. Johanes dan Budiono, Sri Handoko. 1994. Pengantar Matematika untukEkonomi. Jakarta: LP3ES.Kalangi, Josep Bintang. 2006. Matematika Ekonomi & Bisnis. Jakarta:Salemba Empat.Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA2012/2013.Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002.Matematika Ekonomi 2 96 Litbang ATA 13/14