x - at ee-cafe.org
x - at ee-cafe.org
x - at ee-cafe.org
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Open CourseDiferensial dan IntegralOleh: Sudary<strong>at</strong>no Sudirham
PengantarSetelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakanbagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahasbagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral.Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik,pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan denganpendek<strong>at</strong>an dari sisi aplikasi.
Turunan Fungsi-FungsiCakupan BahasanMononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian DuaFungsi. Fungsi Pangk<strong>at</strong> Dari Su<strong>at</strong>u Fungsi. Fungsi Rasional. FungsiImplisit. Fungsi Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong>. Kaidah Rantai. Diferensial dx dandy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi TrigonometriDari Su<strong>at</strong>u Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial IntegralIntegral Tak Tentu. Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral. Integral Tentu. PenerapanIntegral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral. Persamaan DiferensialPengertian. Persamaan Diferensial Orde S<strong>at</strong>u Dengan Peubah Yang Dap<strong>at</strong>Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde S<strong>at</strong>u. PersamaanDiferensial Linier Orde S<strong>at</strong>u. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.
Turunan Fungsi, Pengertian-PengertianPengertian-Pengertiany210-1ΔxΔy0 1 2 3 4 xKita telah melih<strong>at</strong> bahwakemiringan garis lurus adalahm =∆y∆x( y=( x22−y− x11))Bagaimanakah dengan garis lengkung?
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertianyy = f(x)P 2P 1ΔxΔyx∆x di perkecil menjadi ∆x*yy = f(x)pada kondisi ∆x mendek<strong>at</strong>i nolP 1Δx*∗P 2Δy*lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f( x+∆x)∆x−f( x)=f′(x)xfungsi turunan dari f (x)di titik Pekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertiany(x 1,y 1)(x 2,y 2)y =f(x)xf ′(x) di titik (x 1,y 1) adalah turunan y di titik (x 1,y 1),f ′(x) di titik (x 2,y 2) adalah turunan y di titik (x 2,y 2)
Turunan Fungsi, Pengertian-PengertianJika pada su<strong>at</strong>u titik x 1di manalim∆x→0∆y∆xbenar adamaka dik<strong>at</strong>akan bahwa fungsi f(x)“dap<strong>at</strong> didiferensiasi di titik tersebut”dydx=ddx( y)=lim∆x→0∆y∆xkita baca “turunan fungsi y terhadap x”.Penurunan ini dap<strong>at</strong> dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jik<strong>at</strong>idak, tentulah penurunan itu tidak dap<strong>at</strong> dilakukan.
Fungsi Mononom
Turunan Fungsi, MononomContoh-1.3y ( = x2 = f2x)22f ′(x)=2=2( x + ∆x)− 2xlim=x→0∆xlim (2 × 2x+ 2∆x)= 4x∆∆x→022lim∆x→02( x2+ 2x∆x+ ∆x∆xTurunan fungsi mononom pangk<strong>at</strong> 2 berbentukmononom pangk<strong>at</strong> 1 (kurva garis lurus)2)−2x2Contoh-1.4y ( = x3 = f3x)2f ′(x)=3==lim∆x→0lim∆x→0lim∆x→032( x2( x32 × 3x+ ∆x)+ 3x23∆x2− 2x3∆x+ 3x∆x∆x+ 2 × 3x∆x23+ ∆x+ 2∆x23) −= 6x2xTurunan fungsi mononom pangk<strong>at</strong> 3 berbentukmononom pangk<strong>at</strong> 2 (kurva parabola)23
Turunan Fungsi, MononomSecara umum, turunan mononomy = f ( x)=yadalahnmx′( n−1)= ( m × n)xJika n = 1 maka kurva fungsiny = mxberbentuk garis lurus *)dan turunannya berupa nilai konstan,Jika n > 1, maka turunan fungsifungsi x, y ′ = f ′(x)ny = mxy ′ = f ′(x)= kakan merupakanFungsi turunan ini dap<strong>at</strong> diturunkan lagi dan kita mendap<strong>at</strong>kan fungsiturunan berikutnya, yang mungkin masih dap<strong>at</strong> diturunkan lagiy ′ = f ′(x) turunan dari y ′ = f ′(x)y ′′′= f ′′′(x) turunan dari y ′′ = f ′(x)*) Untuk n berupa bilangan tak bul<strong>at</strong> akan dibahas kemudian
Turunan Fungsi, Mononomy ′ = f ′(x)=dydxdisebut turunan pertama,y ′′ = f ′′(x)=d2dxy2turunan kedua,y ′′′ = f ′′′ ( x)=d3dxy3turunan ke-tiga, dst.Contoh-1.5:y ( = x4 = f4x)23′(3−1)2(2−1)y4 = 2(3)x = 6x; y4′′= 6(2) x = 12x;y4′′′= 12
Turunan Fungsi, MononomKurva fungsi mononomy = f ( x)=nmxyang memiliki beberapa turunanakan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.Contoh-1.6:Fungsi4y = xdan turunan-turunannya3y = 4x′2y ′′ =12x y′ ′′ = 24xy ′′′′ = 242y ′′ = 12x4y = x2001000y ′′ = 12 x3y ′ = 4xy ′′′ = 24x2y ′′′′ = 243y ′ = 4x-3 -2 -1 0 1 2 3 4-100
Fungsi Polinom
Turunan Fungsi, PolinomContoh-1.7: y1 = f1(x)= 4x+ 2{ 4( x + ∆x)+ 2} − { 4x+ 2}f1 ′(x)= lim= 4∆x→x∆xy108642-4f 1 (x) = 4x + 2f1 x)=0-1 -0,5 0-20,5 1 1,5 x 2'(4Turunan fungsi inisama denganturunan f(x)=4xkarena turunan daritetapan 2 adalah 0.Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)Kita akan melih<strong>at</strong> hal ini dalam pembahasan integral tak tentu
Turunan Fungsi, PolinomContoh-1.8:y = f x)= 4( x 2)f ( x)= 4x82 2 ( −2 −f ′(x)2 =4y10f2 ( x)= 4( x − 2)50-1 0 1 2 3 x 4-5-10-15f ′ ( x)2 =4
Turunan Fungsi, Polinom23 3−Contoh-1.9: y = f ( x)= 4x+ 2x5y′3=lim∆x→022{ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 4x+ 2x− 5}= 4 × 2x+ 2 = 8x+ 2∆xContoh-1.10:3y4 = f4(x)= 5x+ 4x+ 2x− 5y′4=lim∆x→0= 5×3x2323 2{ 5( x + ∆x)+ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 5x+ 4x+ 2x− 5}2+ 4×2x+ 2 = 15x2+ 8x+ 2∆xSecara Umum:Turunan su<strong>at</strong>u polinom, yang merupakan jumlah beberapamononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononomdengan syar<strong>at</strong> setiap mononom yang membentuk polinom itumemang memiliki turunan.
Nilai Puncak Su<strong>at</strong>u Fungsi
Turunan Fungsi, Nilai PuncakTitik puncak kurva su<strong>at</strong>u fungsi adalah titik pada kurva di mana garissinggung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x).Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol.Contoh-1.11: Polinom Orde Dua y = 2x2 + 15x+ 13y′ = 4 x +15Jika fungsi turunan pertama ini = 0 makay = 4 x + 15 = 0= −3, 175′ px pInilah absis titik puncakOrdin<strong>at</strong> titik puncak diperoleh denganmemasukkan x pke persamaan kurvayp2= 2xp+ 15xp= 2(-3,75)2+ 13+ 15 × ( −3,75)+ 13 = −15,125Jadi koordin<strong>at</strong> titik puncak adalah: P = (3.15, -15.125)
Turunan Fungsi, Nilai PuncakSecara umum, x pdari fungsi kuadr<strong>at</strong>2y = ax + bx + cdap<strong>at</strong> diberoleh dengan membu<strong>at</strong>y′ = 2 ax + b = 0sehingga diperolehbx p = −2aOrdin<strong>at</strong> titik puncak dap<strong>at</strong> diperoleh dengan memasukkanx pke persamaan.yp= ax2 22 −p + bx pb b+ c = − + c = −4a4a4ac
Turunan Fungsi, Nilai PuncakMaksimum dan MinimumBagaimanakah mengetahui bahwa su<strong>at</strong>u nilai puncakmerupakan nilai minimum <strong>at</strong>au maksimum?Kita manfa<strong>at</strong>kan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak.y′ (kemiringan garissinggung) sekitar titikmaksimum terus menurunPyy″ bernilai neg<strong>at</strong>if disekitar titik maksimumy′y′xApabila di titik puncak y″ < 0, titik puncaktersebut adalah titik maksimum.Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncaktersebut adalah titik minimumQy′ (kemiringan garissinggung) sekitar titikminimum terus meningk<strong>at</strong>y″ bernilai positif disekitar titik minimum
Turunan Fungsi, Nilai PuncakContoh-1.12:y = 2x2 + 15x+ 13x py′′= −3,175=4y p= −15,125Nilai puncak fungsidan ini merupakan nilaiminimum, karena y ″ > 0453015-10 -8 -6 -4 -200 2-15-30Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > y minContoh-1.13: y = −2x2 + 15x+ 13x = +3,75= +41, 125py′′ = −4y pNilai puncak fungsidan ini merupakan nilaimaksimum, karena y ″ < 0453015-4 -200-152 4 6 8-30-45-60Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < y maks
Turunan Fungsi, Nilai PuncakContoh-1.14:y3= 2x− 3x2+ 3y′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1)= 0memberikan x p = 0 dan x p21 =y = +3= + 2puncak1y puncaky ′′ = 12x− 6Untuk x = 0 ⇒ y′′= −6Untuk x = 1⇒y ′′ = + 6maksimumrel<strong>at</strong>ifminimumrel<strong>at</strong>if15y10P[0,3] Q[1,2]50-2 -1,5 -1 -0,5-50 0,5 1 1,5 2 x 2,5-10-15-20
Turunan Fungsi, Garis SinggungGaris SinggungKemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurvasu<strong>at</strong>u fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R.Contoh-1.15:3y = 2x− 3x2+ 3y′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1)Titik R dengan absis x R = 2 memiliki ordin<strong>at</strong>R(2,7)yR = 2 × 8 − 3×4 + 3 = 7Kemiringan garis singgung di titik R adalah m = 6 × 2 × 1 = 123y = 2x− 3x2+ 3y151050-2 -1,5 -1 -0,5-50 0,5 1 1,5 2 2,5-10 y s-15-20RxPersamaan garis singgung:y s =12x+7 = 12 × 2y sK+ K= 12x−17K = 7 − 24 = −17
Fungsi Yang MerupakanPerkalian Dua Fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiFungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiJikamaka ( yy = vw+ ∆y)= ( v + ∆v)(w + ∆w)= ( vw + v∆w+w∆v+ ∆w∆v)∆ y ( y + ∆y)− y ( wv + v∆w+ w∆v+ ∆w∆v− vw==)∆x∆x∆x∆w∆v∆v∆w= v + w +∆x∆x∆xdydx=d(vw)dx=vdwdx+wdvdx
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiContoh-1.16:Turunan5y = 6xadalah4y ′ = 30xJika dipandang sebagai perkalian dua fungsi32d(2x× 3x) 3 2 2 4 4y ′ == 2x× 6x+ 3x× 6x= 12x+ 18x= 30xdx4JikaContoh-1.17:y = uvwd(uvw)dxd(uv)(w)=dxdw d(uv)= ( uv)+ wdx dxdw dv du= ( uv)+ ( uw)+ ( vw)dx dx dx5y = 6xdydx+ (3x22× 3x2× x)(4x)= 6x)(1) + (2x4dw ⎧ dv= ( uv)+ w⎨udx ⎩ dxJika dipandang sebagai perkalian tiga fungsid(uvw)= = (2xdx2+ 12x4× x)(6x)+ 12x4= 30x4+ vdudx⎫⎬⎭
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangk<strong>at</strong> Dari Su<strong>at</strong>u FungsiFungsi Yang Merupakan Pangk<strong>at</strong> Dari Su<strong>at</strong>u FungsiContoh-1.18:6y = v = v × v × v1dy1dx= ( v= v= v55= 6v3vdvdx3dv+ vdx52dvdx42dv) + ( vdx+ 2v⎛ dv dv⎜v+ v⎝ dx dx5dvdx3v)+ vdv52dxdvdx+ ( v⎞⎟⎠+ v+ v243v)⎛⎜v⎜⎝⎛⎜v⎝dvdx2dvdx3dvdx++ vvdvdxdv ⎞⎟dx ⎠2⎞⎟⎟⎠Contoh ini menunjukkan bahwaSecara Umum:dvndx=nvn−1dvdx66dv dv dv 5= = 6vdx dv dxdvdx
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangk<strong>at</strong> Dari Su<strong>at</strong>u FungsiContoh-1.19:y233= ( x + 1) ( x −1)2Kita gabungkan relasi turunan untuk perkaliandua fungsi dan pangk<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u fungsidy= ( xdx= ( x= 6x222= 6x(x+ 1)+ 1)( x3233d(x2( x+ 1)3−1)(x323dx−1)(3x( x−1)3+ 1)−1)+ 6x(x22(2x+ ( x2) + ( x33−1)332−1)−1)+ x −1)d(x223( x( x2dx2+ 1)2+ 1)+ 1)3222x
Fungsi Rasional
Turunan Fungsi, Fungsi RasionalFungsi RasionalFungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsiy =vw<strong>at</strong>au−1y = vwdydx= −vw=w=12ddx−2⎛⎜ w⎝⎛ v⎜⎝ wdvdxdvdx⎞⎟⎠+=w− vd(vw−1dxdvdxdw ⎞⎟dx ⎠−1=)= v− vw2dwdxdvdx−1++1wwdvdx−1dvdxJadi:ddx⎛⎜⎝vw⎞⎟⎠=⎛⎜w⎝dvdx− v2wdw ⎞⎟dx ⎠
Turunan Fungsi, Fungsi Rasional323xxy−=42624462239)9(32)3)(3()(2xxxxxxxxxxxdxdy+−=−−=−−=Contoh-1.20:22 1xxy +=322242102xxxxxdxdy−=×−×+=Contoh-1.21:1dengan;11 222≠−+= xxxy22223322221)(41)(22221)(1)2(1)2(−−=−−−−=−+−−=xxxxxxxxxxxxdxdy(agar penyebut tidak nol)Contoh-1.22:
Fungsi Implisit
Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitFungsi ImplisitSebagian fungsi implisit dap<strong>at</strong> diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.Untuk fungsi yang dap<strong>at</strong> diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dap<strong>at</strong> dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di<strong>at</strong>as.Untuk mencari turunan fungsi yang tak dap<strong>at</strong> diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasiimplisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dap<strong>at</strong>didiferensiasi terhadap x.
Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitContoh-1.23:x2+ xy + y2= 8Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.Jika kita melakukan operasi m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is di ruas kiri,maka operasi yang sama harus dilakukan pula diruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kitalakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dankita akan perolehdy dx2x+ x + y + 2ydx dxdy( x + 2y)= −2x− ydxdydx= 0Jika( x + 2y)≠0kita peroleh turunandydx= −2x+ yx + 2y
Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitContoh-1.24:x43+ 4xy− 3y4=4Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan.Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kitaakan memperoleh4x4x33+ 4x(3y3dy+ 4xdx23 d(4x)d(3y)+ y − = 0dx dxdy 3 3 dy) + 4y−12y= 0dxdx4Untuk( xy2− y3)≠0kita dap<strong>at</strong> memperoleh turunandydx=− ( x3( xy32+ y− y33))
Fungsi Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong>
Turunan Fungsi, Fungsi Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong>Fungsi Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong>Bilangan tidak bul<strong>at</strong>pn = dengan p dan q adalah bilangan bul<strong>at</strong> dan q ≠ 0qqyJika y ≠ 0, kita dap<strong>at</strong>kanyy = v(p / q)q−1p−(p / )v = vq−1 q=n= vp / qqy = vdyq−1 p−1dxdydxdydx=ppvp / qd(v=dxsehinggap / qd(v=dxdvdx))===pqpvqyqvvp−1q−1pvp−1dvdxp−(p / q)( p / q)−1dvdxdvdx(v adalah fungsi yangbisa diturunkan)=pqv( p−1)− p+( p / q)dvdxFormulasi ini mirip dengan keadaan jika n bul<strong>at</strong>,hanya perlu persyar<strong>at</strong>an bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
Kaidah Rantai
Turunan Fungsi, Kaidah RantaiKaidah RantaiApabila kita mempunyai persamaanmaka relasi antara x dan y dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dalam t. Persamaandemikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di <strong>at</strong>as, kita dap<strong>at</strong>kanpersamaan yang berbentuk y = F(x)Kaidah rantaiJikamakax = f ( t)dan y = f ( t)y = F(x) dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap x danx = f (t) dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap t,( f ( t)) g(t)y = F = dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap t menjadidy =dtdydxdxdt
Diferensial dx dan dy
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyDiferensial dx dan dyTurunan fungsi y(x) terhadap x diny<strong>at</strong>akan dengan formulasidy ∆y= lim = f ′(x)dx ∆x→0 ∆xSekarang kita akan melih<strong>at</strong> dx dan dy yang didefinisikan sedemikianrupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dany merupakan fungsi dari x: y = F(x)dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan ny<strong>at</strong>a danmerupakan peubah bebas lain selain x;2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang diny<strong>at</strong>akan dengan dy = F'( x)dx
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyPenjelasan secara grafisyP dxdyθxIni adalah fungsi(peubah tak bebas)dy = F'( x)dxIni adalahpeubah bebasyP dxdyθxJika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurvadydx= tan θdy = (tan θ)dx;laju perubahan ybesar perubahan nilai y sepanjangterhadap perubahan x.garis singgung di titik P pada kurva,jika nilai x berubah sebesar dxDiferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan neg<strong>at</strong>ifjika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia“mengarah ke <strong>at</strong>as” dan neg<strong>at</strong>if jika “mengarah ke bawah”.ydydxθPxyPdxdyθxydydxPθx
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyDengan pengertian diferensial seperti di <strong>at</strong>as, kita kumpulkan formul<strong>at</strong>urunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.Dalam tabel ini v adalah fungsi x.Turunan Fungsidcdx= 0 ; c =dcv dv = cdx dxkonstanDiferensialdc = 0 ; c =dcv = cdvkonstand(v + w)=dxdvwdx⎛ v ⎞d⎜⎟⎝ w ⎠=dxndvdxdcxdxndvdx+dwdxd ( v + w)= dv + dwdw dv= v + wd ( vw)= vdw + wdvdx dxdvwdx−2wdwvdx⎛d⎜⎝vw⎞ wdv − vdw⎟ =⎠2wn−1dvn n−1= nvdv = nv dvdx= cnxn−1d(cxn n−1) = cnxdx
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyAda dua cara untuk mencari diferensial su<strong>at</strong>u fungsi.1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudiandikalikan dengan dx.2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanantabel)3 3 2 −Contoh-1.25: y = x − x + 5x6y′ = 3x2 − 6x+ 5sehingga2dy = (3x− 6x+ 5)dxKita dap<strong>at</strong> pula mencari langsung dengan menggunakanformula dalam tabel di <strong>at</strong>asdy = d(x= (3x32) + d(−3x2− 6x+ 5) dx) + d(5x)+ d(−6)= 3x2dx − 6xdx+ 5dx
Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi TrigonometriJikay = sin x makadydx==d sin x sin( x + ∆x)− sin x=dx∆xsin x cos ∆x+ cos xsin∆x− sin x∆xUntuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.Oleh karena itudsindxx= cos x
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriJikay = cos x makadydx==d cos x cos( x + ∆x)− cos x=dx∆xcos x cos ∆x− sin xsin∆x− cos x∆xUntuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.Oleh karena itud cos xdx= −sinx
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriTurunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.2d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x(−sinx)1 2= ⎜ ⎟ == = secdx dx cos x22⎝ ⎠ cos x cos xx2d cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin x − cos x(cosx)−12= ⎜ ⎟ == = −cscdx dx sin x22⎝ ⎠ sin x sin xxd sec xdx=ddx⎛⎜⎝1cosx⎞⎟⎠=0 − ( −sincos2xx)=sin xcos2x=sec x tanxd csc xdxd=dx⎛⎜⎝1sin x⎞⎟⎠=0 − (cos x)sin2x=− cos xsin2x= −cscx cot x
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriContoh-1.26:Hubungan antara tegangan kapasitor v Cdan arus kapasitor i CadalahdvCiC = CdtTegangan pada su<strong>at</strong>u kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10 -6 faradmerupakan fungsi sinus v C= 200sin400t volt. Arus yang mengalir padakapasitor ini adalahdvC6 diC = C = 2 × 10 × ( 200sin 400t) = 0,160cos 400tamperedtdtDaya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalahp= vi200sin 400t× 0,16cos 400t= 32cos 400tsin 400t16sin 800tC C C ==w<strong>at</strong>tv CiCp C2001000-100-200v C i C p C0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriContoh-1.27:Arus pada su<strong>at</strong>u inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinusi L= −0,2cos400t ampere.Hubungan antara tegangan induktor v Ldan arus induktor i Ladalahdiv LLL =dtdiLdvL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t= 2,5 × 0,2 × sin 400t× 400 = 200sin 400dt dtpL= vLiL( ) t= 200sin 400t× ( −0.2cos 400t)= −40sin 400tcos 400t= −20sin 800tWi Lv L p L200v L100 iLp 0 L0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-100-200
Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri InversiTurunan Fungsi Trigonometri Inversiy= sin −1 x x = sin y dx = cos ydy1yxdydx=1cos ydydx=11 −x221 − xy= cos −1 x x = cos y dx = −sinydy1 2y1 − xxdydx=−1sin ydydx=−11 − x2
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometriy= tan −1 x x = tan y1dx = dy2cos y21+xx dy 2y= cos ydx1dydx1=1 + x2ycot −1−1= x x = cot y dx = dy2sin y21 x +yx1dy = −sin2dxydydx=−11+x2
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometriy= sec −1 xx10 − ( −sinx)= sec y =dx =dycos y2cos yxy1x 2 − 1dydx=cos2sin y=xyx12=1x2− 1⎛× ⎜⎜⎝x ⎞⎟2 ⎟x − 1 ⎠y= csc −1xx10 − (cos x)= csc y =dx = dysin y2sin yxyx 2 − 11dydx==sin2− cos y− 1xx2y= −− 11x2×xx2− 1
Fungsi Trigonometri Dari Su<strong>at</strong>u Fungsi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Su<strong>at</strong>u FungsiFungsi Trigonometri Dari Su<strong>at</strong>u FungsiJika v = f(x), makad(sinv)dxd(cosv)dxd(sinv)=dvd(cosv)=dvdv dv= cosvdx dxdv dv= −sinvdx dxd(tanv)d ⎛ sin v ⎞ cos x + sin x dv 2= ⎜ ⎟ == sec vdx dx cosv2⎝ ⎠ cos x dx22dvdxd(cotv)d ⎛ cosv⎞ 2= ⎜ ⎟ = −cscvdx dx ⎝ sin v ⎠dvdxd(secv)dx=ddx⎛⎜⎝1cosv⎞⎟⎠=0 + sin vcos2vdvdx= secvtan vdvdxd(cscv)d=dx dx⎛⎜⎝1sin v⎞⎟⎠= −cscvcot vdvdx
Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriJika w = f(x), makad(sin−1dxw)=11 − w2dwdxd(cosdx−1w)= −11 − w2dwdxd(tandx−1w)1=1 + w2dwdxd(cotdx−1w)1= −1 + w2dwdxd(secdx−1w)=w1w2−1dwdxd(cscdx−1w)= −w1w2−1dwdx
Fungsi LogaritmikdanFungsi Eksponensial
Turunan Fungsi, Fungsi LogaritmikTurunan Fungsi LogaritmikFungsi logaritmikf( x)= ln x didefinisikan melalui su<strong>at</strong>u integraly6543211/t00 1 2x3 41/xx 1f ( x)= ln x =∫dt ( x > 0)1 t=∫x 1ln x dt1 tln(x+∆x)−lnxx +Δxt1/(x+Δx)Tentang integral akandipelajari lebih lanjutluas bidang yang dib<strong>at</strong>asioleh kurva (1/t) dansumbu-t, dalam selangantara t = 1 dan t = xd ln x ln( x + ∆x)− ln( x)1 ⎛= = ⎜∆ ∆ ∫ x+ ∆x1dtdxx x ⎝ x t⎞⎟⎠d ln x 1=dx xLuas bidang ini lebih kecil dari luaspersegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆xmakin kecil, luas bidang tersebut akanmakin mendek<strong>at</strong>i (∆x × 1/x); dan jika ∆xmendek<strong>at</strong>i nol luas tersebut sama dengan(∆x × 1/x).
Turunan Fungsi, Fungsi EksponensialTurunan Fungsi Eksponensialxy = elny = x ln e =x.penurunan secara implisit di kedua sisid ln ydxdy<strong>at</strong>audxJadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri=1y= y =dy= 1dxxexy = e′ ′′x′′xy = ey ′ = e dst.Jikav = v(x)devdx=devdvdvdx=evdvdxy=etan −1xdydx=etan−1xdtandx−1x=etan−11 + x2x
Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianPengertian-PengertianMisalkan dari su<strong>at</strong>u fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untukmencari su<strong>at</strong>u fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai xtertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaandy =dxf(x)Persamaan yang meny<strong>at</strong>akan turunan fungsi sebagai fungsi x sepertiini disebut persamaan diferensial.Contoh persamaan diferensialdy= 2xdx22d y+ 6xy2dx+ 5x+ 6dy+ 3xdx2y2= 0
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertiandyTinjau persamaan diferensial = f (x)dxSu<strong>at</strong>u fungsi y = F(x) dik<strong>at</strong>akan merupakan solusi dari persamaandiferensial jika dalam rentang tertentu ia dap<strong>at</strong> diturunkan dan dap<strong>at</strong>memenuhidF(x)= f ( x)dxKarenad[ F(x)+ K ]dx=dF(x)dx+dKdx=dF(x)dx+0makafungsiy = F(x)+ Kjuga merupakan solusi
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertiandF(x)dx=f( x)dap<strong>at</strong> dituliskandF ( x)= f ( x)dxIntegrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum∫f ( x)dx = F(x)+ KJadi integral dari diferensial su<strong>at</strong>u fungsi adalah fungsi itu sendiriditambah su<strong>at</strong>u nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integraltak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianContoh-2.1:Cari solusi persamaan diferensialdy =45xdxubah ke dalam bentuk diferensialdyKita tahu bahwa= 5x45dxd( x ) = 5x4dxoleh karena itu45 5y =∫5xdx =∫d(x ) = x +K
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianContoh-2.2:Carilah solusi persamaany−1/2dy = x2dxdy =dy=xx22dxyydxkelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kananmengandung peubah berbedad⎛ 1 3 ⎞ 2= d⎜x ⎟ = x dx⎝ 3 ⎠(1/ 2)−1/22yy dyJika kedua ruas diintegrasid(1/ 2)⎛ 1 3 ⎞2y= d⎜x ⎟⎠⎝ 31/ 2 1 32y + K1= x + K31/ 2 1 31 32y = x + K2− K1= x + K332
Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianDalam proses integrasi seperti di <strong>at</strong>as terasa adanya keharusan untukmemiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawahini dap<strong>at</strong> memperingan upaya pendugaan tersebut.1. Integral dari su<strong>at</strong>u diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.∫dy = y +2. Su<strong>at</strong>u konstanta yang berada di dalam tanda integral dap<strong>at</strong> dikeluarkanK∫ady = a∫dy3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan menambahpangk<strong>at</strong> n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).∫yndy=yn+1n + 1+K,jikan≠ −1
Integral Tak Tentu, PenggunaanPenggunaan Integral Tak TentuDalam integral tak tentu, terdap<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u nilai K yang merupakanbilangan ny<strong>at</strong>a sembarang.Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggalmelainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimilikioleh K.y i= 10x 2 +K iy = 10x 2100y100y50-5 -3 -1 1 3 x 52kurva y =10xadalah kurva bernilai tunggal50K 1K 2K 3-5 -3 -1 1 3 5310x2kurva∫3dx = 10xx+ Kadalah kurva bernilai banyak
Integral Tak Tentu, PenggunaanDalam pemanfa<strong>at</strong>an integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syar<strong>at</strong> awal <strong>at</strong>au kondisi awal.Contoh-2.3:Kecep<strong>at</strong>an sebuah benda bergerak diny<strong>at</strong>akan sebagaiv = <strong>at</strong> = 3tkecep<strong>at</strong>an percep<strong>at</strong>an waktuPosisi benda pada waktu t = 0 adalahposisi benda pada t = 4.dsKecep<strong>at</strong>an adalah laju perubahan jarak, v =dtPercep<strong>at</strong>an adalah laju perubahan kecep<strong>at</strong>an,ds = vdt2. t2s =∫<strong>at</strong>dt = 3 + K = 1,5t+ K2a =s 0 = 3dvdt3 = 0 + K K = 3; tentukanlahKondisi awal: pada t = 0, s 0 = 3 1,5 3s= t2 +sehingga pada t = 4 posisi benda adalahs 4 = 27
Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralLuas Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralKita akan mencari luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh su<strong>at</strong>u kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.y =f(x)Contoh-2.4:2yA px∆A pxy = f(x) =2∆0 p x x+∆x∆ApxdApxlim = = f ( x)= 2x→0 ∆xdxxq∆A px= 2 = f ( x∆x∆ = 2 ∆x<strong>at</strong>au)A pxApx =∫dApx=∫2dx= 2x+Kondisi awal (kondisi b<strong>at</strong>as) adalah A px= 0 untuk x = pK0 = 2 p + K <strong>at</strong>au K = −2pA px = 2x− 2 p A pq = 2q− 2 p = 2( q − p)
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralKasus fungsi sembarang dengan syar<strong>at</strong> kontinyu dalam rentangp≤x≤qyf(x)f(x+∆x )y = f(x)0p x x+∆xqxA px ∆A px∆A pxbisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan∆A px= f(x)∆x <strong>at</strong>au ∆A px= f(x+∆x)∆x∆ = f x)∆x≤ f ( x ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆xA px( 0∆ApxdApxJika ∆x → 0: lim = = f ( x)∆x→0∆xdxx 0 adalah su<strong>at</strong>u nilai x yangterletak antara x dan x+∆xApx =∫dApx=∫f ( x)dx = F(x)+Apq= F( q)− F(p)=F(x)] q pK
Integral Tentu
Integral Tentu, PengertianIntegral tentu merupakan integral yang b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandangsebagai su<strong>at</strong>u limit.yy = f(x)Bidang dibagi dalamsegmen-segmen0p x 2x kx k+1x nqxLuas bidang dihitungsebagai jumlah luas segmenDua pendek<strong>at</strong>an dalam menghitung luas segmenyy = f(x)yy = f(x)0 p x 2x kx k+1x nq x 0 p x 2x kx k+1x nqLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k )×∆x kLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k +∆x)×∆x kx
Integral Tentu, Pengertianyy = f(x)yy = f(x)0 p x 2x kx k+1x nq x 0 p x 2x kx k+1x nqLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k )×∆x kLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k +∆x)×∆x kJika x 0kadalah nilai x di antara x kdan x k+1makaxf( xk) xk≤ f ( x0k∆ ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆xkkkn∑f ( x) ∆x≤n∑f ( x) ∆xk k0kkk = 1k = 1k = 1≤n∑f( xk+ ∆x)∆xkJika ∆x k→ 0 ketiga jumlah ini mendek<strong>at</strong>isu<strong>at</strong>u nilai limit yang samaNilai limit itu merupakan integral tentu
Integral Tentu, Pengertianyy = f(x)0p x 2x kx k+1x nqxLuas bidang menjadipq∫A f ( x)dx= q pApq=∫qpf( x)dx = F(x)] = F(q)− F(p)qp
Luas Bidang
Integral Tentu, Luas BidangDefinisiA pxadalah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh y = f (x) dan sumbu-x dari psampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di <strong>at</strong>assumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.Contoh-2.5:3 −y = x 12 x3 −Luas antara y = x 12xdan sumbu-xdari x = −3 sampai x = +3.20100x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10-2003 xA a =∫( x −12x)dx = − 6x−34= −0− (20,25 − 54) = 33,75343 x=∫( x −12x)dx = − 6x04= 20,25 − 54 − (0) = −33,75A b5422⎤⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎦0−330Apq= Aa− Ab= 33 ,75 − ( −33,755)= 67,
Integral Tentu, Luas BidangContoh di <strong>at</strong>as menunjukkan bahwa dengan definisimengenai A px, formulasiA =∫qp( ))f ( x)dx = F(q)− F ptetap berlaku untuk kurva yang memilikibagian baik di <strong>at</strong>as maupun di bawah sumbu-xyy = f(x)pA 1A 2A 3A 4qxApq=∫qp( ))f ( x)dx = F(q)− F pA pq = −A+1 + A2− A3A4
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaLuas Bidang Di Antara Dua Kurvapy0y 2xy 1xx+∆x qy = f ) berada di <strong>at</strong>as y = f )1 1 ( x2 2 ( xRentang p ≤ x ≤ qdibagi dalam n segmenAsegmen= ∆Apx= { f1 ( x)− f2(x)} ∆x∆A pxjumlah semua segmen:n∑1x=q−∆x∑{ f1 ( x)− f2(x }A =)segmenx=p∆xDengan membu<strong>at</strong> n menuju takhingga sehingga ∆x menuju nolkita sampai pada su<strong>at</strong>u limitpqn→∞∑segmen∫qp{ f ( x)− f ( x }A = lim A = 1 2 ) dx1
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaContoh-2.6:Jika y1 = 4 dan y2 = −2berapakah luas bidang antara y 1dan y 2dari x 1= p = −2 sampai x 2= q = +3.+ 3A pq = (∫−2+{ 4 − ( −2)} dx = 6x] = 18 − ( −12)= 303− 2Contoh-2.7:Jika21 xy = dan y 2 = 4berpakah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh y 1dan y 2.Terlebih dulu kita cari b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasi yaitu nilai x padaperpotongan antara y 1dan y 2.y 24yy y 212di <strong>at</strong>asxy 10-2 -1 0 1 22y1 = y2→ x = 4 ⇒ x1= p = −2,x2= q =A pq⎛⎜8−⎝2⎛2(4 ) ⎜ x=∫− x dx = 4x−− 2⎜⎝383⎞ ⎛⎟ − ⎜−8 −⎠ ⎝− 83⎞⎟⎠=1633⎞⎥ ⎥ ⎤⎟⎟⎠⎦−16− =32-23232
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaContoh-2.8:Jikay21 = −x+2dany2= −xberpakah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh y 1dan y 2.y4B<strong>at</strong>as integrasi adalah nilai x padaperpotongan kedua kurva2y 10-2 -1 0 1 2y 2-2-4y 1di <strong>at</strong>as y 2xyx11A pq=y2→−x2+ 2 = −x2−1+1= p =−2=∫2−1( −x2+ 8= −1;⎛ 8 ⎞ ⎛= ⎜−+ 2 + 4⎟ − ⎜−⎝ 3 ⎠ ⎝<strong>at</strong>aux−1+3− x2⎛2 ) ⎜x+ + x dx = −⎜⎝32+ x + 2 = 02−1−1= q =−23+x22⎞⎤+ 2x⎟⎥⎟⎠⎥⎦1 ⎞− 2⎟ = 4,52 ⎠+ 82−1= 2
Integral Tentu, PenerapanPenerapan IntegralContoh-2.9:Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangankonstan 200V. Berapakah energi yang diserap olehpiranti ini selama 8 jam ?Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p danenergi diberi simbol w, makap =dwdtyang memberikanw =∫pdtPerh<strong>at</strong>ikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau b<strong>at</strong>asbawah dari waktu kita bu<strong>at</strong> 0, maka b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>asnya adalah 8, dengans<strong>at</strong>uan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8jam adalah8w =∫pdt =∫100dt = 100t08080= 800=0,8W<strong>at</strong>t.hour [Wh]kilo W<strong>at</strong>t hour [kWh]
Integral Tentu, PenerapanContoh-2.10:Arus yang melalui su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>anyang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampait = 5 detik ?Arus i adalah laju perubahan transfer mu<strong>at</strong>an, q.i =dqdtsehinggaq =∫idtJumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan dalam 5 detik adalahq5=∫idt =∫0500,05tdt=0,05t2250=1,252=0,625coulomb
Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral
Integral Tentu, Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralBalok∆xBerikut ini kita akan melih<strong>at</strong> penggunaan integraluntuk menghitung volume.Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri danA(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kananmaka volume irisan ∆V adalahA(x)∆ x ≤ ∆V≤ A(x + ∆x)∆xVolume balok V adalah V ∑ A(x)∆ x=qApabila ∆x cukup tipis dan kita mengambilA(x) sebagai pengganti maka kitaqmemperoleh pendek<strong>at</strong>an dari nilai V, yaitu: V ≈ ∑ A(x)∆Jika ∆x menuju nol dan A(x)kontinyu antara p dan q maka :pluas r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a irisan antaraA(x) dan A(x+∆x).pxqV = lim ∑ A(x)∆x= A(x)dx∆x→oqp∫p
Integral Tentu, Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralRotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-xyOPQxA(x) adalah luas lingkaran denganjari-jari r(x); sedangkan r(x)memiliki persamaan garis OP.∆xm : kemiringan garis OPh : jarak O-Q.V=∫h0A(x)dx=∫h0π2[ r(x)] dx =∫h0πm2x2dxVkerucut=πm23h3=π(PQ/OQ)32h3=πr2h3Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong
Integral Tentu, Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u IntegralRotasi Bidang Sembarangyf(x)( r(x)) 2 = π( f ( )) 2A( x)= πx0 a b∆xxV∫ π( f ( x))=ba2dxRotasi Gabungan Fungsi Linieryf 3 (x)f 2 (x)f 1 (x)0 a b∆xxFungsi f(x) kontinyu bagian demibagian. Pada gambar di samping initerdap<strong>at</strong> tiga rentang x dimanafungsi linier kontinyu. Kita dap<strong>at</strong>menghitung volume total sebagaijumlah volume dari tiga bagian.
Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial, Pengertian-PengertianPengertianPersamaan diferensial adalah su<strong>at</strong>u persamaan di mana terdap<strong>at</strong>s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>au lebih turunan fungsi. Persamaan duferensialdiklasifikasikan sebagai:1. Menurut jenis <strong>at</strong>au tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidaktermasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjaufungsi dengan s<strong>at</strong>u peubah bebas.2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggiturunan fungsi yang ada dalam persamaan.3. Menurut deraj<strong>at</strong>: deraj<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u persamaan diferensial adalahpangk<strong>at</strong> tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.Contoh:⎛ 3d y ⎞⎜ ⎟⎜ 3dx ⎟⎝ ⎠2⎛ 2d y ⎞+ ⎜ ⎟⎜ 2dx ⎟⎝ ⎠5+x2y=+ 1adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, deraj<strong>at</strong> dua.xe
Persamaan Diferensial, Pengertian-PengertianSolusiSu<strong>at</strong>u fungsi y = f(x) dik<strong>at</strong>akan merupakan solusi su<strong>at</strong>u persamaandiferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengandigantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut olehf(x) dan turunannya.Contoh:−xdyy = ke adalah solusi dari persamaan + y = 0dtdy−x− xkarena turunan y = ke adalah = −kedtdan jika ini kita masukkan dalam persamaan akankita peroleh− ke−x+Persamaan terpenuhi.ke−x= 0Pada umumnya su<strong>at</strong>u persamaan orde n akan memiliki solusi yangmengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial Orde S<strong>at</strong>uDengan Peubah YangDap<strong>at</strong> Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde S<strong>at</strong>u Peubah Dap<strong>at</strong> DipisahPersamaan Diferensial Orde S<strong>at</strong>u DenganPeubah Yang Dap<strong>at</strong> DipisahkanJika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>uliskan dalam bentukf( y)dy + g(x)dx = 0Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendap<strong>at</strong>kan solusiumum dengan s<strong>at</strong>u tetapan sembarang K, yaitu∫f ( y)dy∫g(x)dx)=+ K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde S<strong>at</strong>u Peubah Dap<strong>at</strong> DipisahContoh-3.1:dydx=x−yePersamaan ini dap<strong>at</strong> kita tuliskandy =dx<strong>ee</strong>xyyang kemudian dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisaheydy− exdx= 0Integrasi kedua ruas:∫eydy−∫exdx=Ksehinggaey− ex=K<strong>at</strong>auey= ex+K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde S<strong>at</strong>u Peubah Dap<strong>at</strong> DipisahContoh-3.2:dy 1=dx xyPemisahan peubah akan memberikan bentukdxydy = <strong>at</strong>auxIntegrasi kedua ruas∫ydydx−x= 0dxydy −∫=xKy22− ln x<strong>at</strong>au=K2y = ln x + K′
Persamaan Diferensial HomogenOrde S<strong>at</strong>u
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde S<strong>at</strong>uPersamaan Diferensial Homogen Orde S<strong>at</strong>uSu<strong>at</strong>u persamaan disebut homogen jika ia dap<strong>at</strong> dituliskandalam bentukdy ⎛ y ⎞= F⎜⎟dx ⎝ x ⎠pemisahan peubah:Jadikan sebagai peubah bebas baruyv = yang akan memberikanxy = vx dandvv + x = F(v)dy dvdx= v + xdx dxdvx = F(v)− vdxdv dx=F(v)− v x<strong>at</strong>au:dxxdv+ = 0v − F(v)
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde S<strong>at</strong>u22Contoh-3.3: ( x + y ) dx + 2xydy= 022 yUsahakan menjadi homogen x (1 + ) dx + 2xydy= 02x2y y(1 + ) dx = −2dy2x x2dy 1 + ( y / x)= − = F(y /dx 2( y / x)2dy 1+vPeubah baru v = y/x= − = F(v)dx 2vx)dydxy = vx2dv 1 + vdv v + x = −= v + xdx 2vdxdv 1 + vx = −v−dx 2v21 + 3v= −2v2peubah terpisah2vdv1+3v2= −dxx<strong>at</strong>audxx+2vdv1 + 3v2 =0
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde S<strong>at</strong>uKita harus mencari solusipersamaan ini untukdx 2vdv+ 0mendap<strong>at</strong>kan v sebagai x 21 + 3v=fungsi x.Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dankita tahu bahwa1 d(lnx)=x dx22 2d ln(1 + 3v) d ln(1 + 3v) d(1+ 3v) 1Kita coba hitung== (6v)dv22d(1+ 3v) dv 1+3vHasil hitungan ini dap<strong>at</strong> digunakan untuk mengubah bentukpersamaan menjadi2dx 1 d ln(1 + 3v)+ dv = 0x 3 dv1 2 1Integrasi ke-dua ruas: ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′3323ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′332x (1 + 3v) = K′(2) (2 2) 1 + 3( y / x)= K x + 3y= Kx ′x ′
Persamaan Diferensial LinierOrde S<strong>at</strong>u
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uDalam persamaan diferensial linier, semua suku berderaj<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>aunol. Persamaan diferensial orde s<strong>at</strong>u yang juga linier dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>uliskan dalam bentukdy+ Py = QdxP dan Q merupakan fungsi x <strong>at</strong>au tetapanPembahasan akan dib<strong>at</strong>asi pada situasi dimana P adalah su<strong>at</strong>u tetapan.Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan denganpemanfa<strong>at</strong>an praktis dalam analisis rangkaian listrik.Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagaidya + by =dtf(t)Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalubervariasi. Mungkin ia bernilai 0, <strong>at</strong>au mempunyai bentuk utamayang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus.Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposityang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uPersamaan diferensial linier orde s<strong>at</strong>u seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (<strong>at</strong>au peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah carapendugaan.Peubah y adalah keluaran rangkaian (<strong>at</strong>au biasa disebut tanggapanrangkaian) yang dap<strong>at</strong> berupa tegangan <strong>at</strong>aupun arus sedangkan nilaia dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dap<strong>at</strong> berup<strong>at</strong>egangan <strong>at</strong>aupun arus dan disebut fungsi pemaksa <strong>at</strong>au fungsipenggerak.Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakanjumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalahfungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkansolusi homogen adalah fungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaanhomogendya + by = 0dt
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uHal ini dap<strong>at</strong> difahami karena jika f 1(t) memenuhi persamaan yangdiberikan dan fungsi f 2(t) memenuhi persamaan homogen, makay = (f 1+f 2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebabadydt+ by==aaddfdt( f + f )11dt+ bf12+ b(fdf+ adt21+f+ bf22)=adf1dt+ bf1+ 0Jadi y = (f 1+f 2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dankita sebut solusi total. Dengan k<strong>at</strong>a lain solusi total adalah jumlahdari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uSolusi HomogendyPersamaan homogen a + by = 0dtJika y a adalah solusinya makadyyaab+ dtaintegrasi kedua ruas memberikan= 0lnby a + t =aKlnby a = − t +aKsehinggaya=eb− t+Ka=Kae−( b / a)tInilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uJika solusi khusus adalah y p, makaadydtp+ byp= f (t)Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk y p.Jikaf( t)=0→yp=0Jikaf( t)=A =konstan,→yp=konstan=KJikaf( t)=Aeαt=eksponensial,→yp=eksponensial=KeαtJikaf( t)=Asinωt,<strong>at</strong>auf( t)=Acosωt→yp=Kccosωt+Kssin ωtDugaan bentuk-bentuk solusi y pyang tergantung dari f(t) inidap<strong>at</strong> diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dap<strong>at</strong> dipenuhiJika dugaan solusi total adalahytotal=yp+Kae−( b / a)tMasih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uContoh-3.4:Dari su<strong>at</strong>u analisis rangkaian diperoleh persamaandvdt+ 1000 v = 0Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.Solusi khusus bernilai nol.dvv+ 1000 dt = 0ln v = −1000t+ Kv=e−1000t+K −1000t= KaePenerapan kondisi awal:12 =KaSolusi total:v =−12e1000tV
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uContoh-3.5: Su<strong>at</strong>u analisis rangkaian memberikan persamaan−10 3 dv+ v = 12dtDengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.Solusi homogen: −10 3 dva+ va= 0dtva=Kae−1000tdvvaa+ 10 3 dt = 0Solusi khusus: v = 12 karena f(t) = 12pSolusi total (dugaan):vtotal= 12 +Kae−1000tPenerapan kondisi awal:0 = 12 + KaK a = −12Solusi total:v total = 12 −12e−1000tV
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde S<strong>at</strong>uContoh-3.6:Pada kondisi awal v = 0 V su<strong>at</strong>u analisis transiendvmenghasilkan persamaan + 5 v = 100 cos10tdtCarilah solusi totaldvSolusi homogen:a+ 5 va= 0dtdva+ 5 dt = 0valn v a + 5t= Kva=Kae−5tSolusi khusus:v p = Accos 10t+ Assin10tSolusi total (dugaan):−10 Ac sin10t+ 10Ascos10t+ 5Accos10t+ 5Assin10t= 100 cos10t10 As cos10t+ 5Accos10t= 100 cos10t10 A s + 5Ac= 100−10 A sin10t+ 5Asin10t= 0cPenerapan kondisi awal:sv t t K ta e −5= 4cos10 + 8sin10 +−10 A c + 5A= 00 = 4 + KaK a = −4A = 8 = 4ssA cSolusi total :v = 4cos10t+ 8sin10t− 4e−5t
Persamaan DiferensialLinier Orde DuaUntukPersamaan Diferensial Linier Orde Dua silakanlangsung melih<strong>at</strong>Analisis Transien
CoursewareDiferensial dan IntegralSudary<strong>at</strong>no Sudirham