x - at ee-cafe.org

Open CourseDiferensial dan IntegralOleh: Sudaryatno Sudirham

PengantarSetelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakanbagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahasbagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral.Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik,pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan denganpendekatan dari sisi aplikasi.

Turunan Fungsi-FungsiCakupan BahasanMononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian DuaFungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. FungsiImplisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dandy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi TrigonometriDari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial IntegralIntegral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. PenerapanIntegral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral. Persamaan DiferensialPengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang DapatDipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. PersamaanDiferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.

Turunan Fungsi, Pengertian-PengertianPengertian-Pengertiany210-1ΔxΔy0 1 2 3 4 xKita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalahm =∆y∆x( y=( x22−y− x11))Bagaimanakah dengan garis lengkung?

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertianyy = f(x)P 2P 1ΔxΔyx∆x di perkecil menjadi ∆x*yy = f(x)pada kondisi ∆x mendekati nolP 1Δx*∗P 2Δy*lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f( x+∆x)∆x−f( x)=f′(x)xfungsi turunan dari f (x)di titik Pekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertiany(x 1,y 1)(x 2,y 2)y =f(x)xf ′(x) di titik (x 1,y 1) adalah turunan y di titik (x 1,y 1),f ′(x) di titik (x 2,y 2) adalah turunan y di titik (x 2,y 2)

Turunan Fungsi, Pengertian-PengertianJika pada suatu titik x 1di manalim∆x→0∆y∆xbenar adamaka dikatakan bahwa fungsi f(x)“dapat didiferensiasi di titik tersebut”dydx=ddx( y)=lim∆x→0∆y∆xkita baca “turunan fungsi y terhadap x”.Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jikatidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

Fungsi Mononom

Turunan Fungsi, MononomContoh-1.3y ( = x2 = f2x)22f ′(x)=2=2( x + ∆x)− 2xlim=x→0∆xlim (2 × 2x+ 2∆x)= 4x∆∆x→022lim∆x→02( x2+ 2x∆x+ ∆x∆xTurunan fungsi mononom pangkat 2 berbentukmononom pangkat 1 (kurva garis lurus)2)−2x2Contoh-1.4y ( = x3 = f3x)2f ′(x)=3==lim∆x→0lim∆x→0lim∆x→032( x2( x32 × 3x+ ∆x)+ 3x23∆x2− 2x3∆x+ 3x∆x∆x+ 2 × 3x∆x23+ ∆x+ 2∆x23) −= 6x2xTurunan fungsi mononom pangkat 3 berbentukmononom pangkat 2 (kurva parabola)23

Turunan Fungsi, MononomSecara umum, turunan mononomy = f ( x)=yadalahnmx′( n−1)= ( m × n)xJika n = 1 maka kurva fungsiny = mxberbentuk garis lurus *)dan turunannya berupa nilai konstan,Jika n > 1, maka turunan fungsifungsi x, y ′ = f ′(x)ny = mxy ′ = f ′(x)= kakan merupakanFungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsiturunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagiy ′ = f ′(x) turunan dari y ′ = f ′(x)y ′′′= f ′′′(x) turunan dari y ′′ = f ′(x)*) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

Turunan Fungsi, Mononomy ′ = f ′(x)=dydxdisebut turunan pertama,y ′′ = f ′′(x)=d2dxy2turunan kedua,y ′′′ = f ′′′ ( x)=d3dxy3turunan ke-tiga, dst.Contoh-1.5:y ( = x4 = f4x)23′(3−1)2(2−1)y4 = 2(3)x = 6x; y4′′= 6(2) x = 12x;y4′′′= 12

Turunan Fungsi, MononomKurva fungsi mononomy = f ( x)=nmxyang memiliki beberapa turunanakan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.Contoh-1.6:Fungsi4y = xdan turunan-turunannya3y = 4x′2y ′′ =12x y′ ′′ = 24xy ′′′′ = 242y ′′ = 12x4y = x2001000y ′′ = 12 x3y ′ = 4xy ′′′ = 24x2y ′′′′ = 243y ′ = 4x-3 -2 -1 0 1 2 3 4-100

Fungsi Polinom

Turunan Fungsi, PolinomContoh-1.7: y1 = f1(x)= 4x+ 2{ 4( x + ∆x)+ 2} − { 4x+ 2}f1 ′(x)= lim= 4∆x→x∆xy108642-4f 1 (x) = 4x + 2f1 x)=0-1 -0,5 0-20,5 1 1,5 x 2'(4Turunan fungsi inisama denganturunan f(x)=4xkarena turunan daritetapan 2 adalah 0.Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

Turunan Fungsi, PolinomContoh-1.8:y = f x)= 4( x 2)f ( x)= 4x82 2 ( −2 −f ′(x)2 =4y10f2 ( x)= 4( x − 2)50-1 0 1 2 3 x 4-5-10-15f ′ ( x)2 =4

Turunan Fungsi, Polinom23 3−Contoh-1.9: y = f ( x)= 4x+ 2x5y′3=lim∆x→022{ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 4x+ 2x− 5}= 4 × 2x+ 2 = 8x+ 2∆xContoh-1.10:3y4 = f4(x)= 5x+ 4x+ 2x− 5y′4=lim∆x→0= 5×3x2323 2{ 5( x + ∆x)+ 4( x + ∆x)+ 2( x + ∆x)− 5} − { 5x+ 4x+ 2x− 5}2+ 4×2x+ 2 = 15x2+ 8x+ 2∆xSecara Umum:Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapamononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononomdengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itumemang memiliki turunan.

Nilai Puncak Suatu Fungsi

Turunan Fungsi, Nilai PuncakTitik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garissinggung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x).Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol.Contoh-1.11: Polinom Orde Dua y = 2x2 + 15x+ 13y′ = 4 x +15Jika fungsi turunan pertama ini = 0 makay = 4 x + 15 = 0= −3, 175′ px pInilah absis titik puncakOrdinat titik puncak diperoleh denganmemasukkan x pke persamaan kurvayp2= 2xp+ 15xp= 2(-3,75)2+ 13+ 15 × ( −3,75)+ 13 = −15,125Jadi koordinat titik puncak adalah: P = (3.15, -15.125)

Turunan Fungsi, Nilai PuncakSecara umum, x pdari fungsi kuadrat2y = ax + bx + cdapat diberoleh dengan membuaty′ = 2 ax + b = 0sehingga diperolehbx p = −2aOrdinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkanx pke persamaan.yp= ax2 22 −p + bx pb b+ c = − + c = −4a4a4ac

Turunan Fungsi, Nilai PuncakMaksimum dan MinimumBagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncakmerupakan nilai minimum atau maksimum?Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak.y′ (kemiringan garissinggung) sekitar titikmaksimum terus menurunPyy″ bernilai negatif disekitar titik maksimumy′y′xApabila di titik puncak y″ < 0, titik puncaktersebut adalah titik maksimum.Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncaktersebut adalah titik minimumQy′ (kemiringan garissinggung) sekitar titikminimum terus meningkaty″ bernilai positif disekitar titik minimum

Turunan Fungsi, Nilai PuncakContoh-1.12:y = 2x2 + 15x+ 13x py′′= −3,175=4y p= −15,125Nilai puncak fungsidan ini merupakan nilaiminimum, karena y ″ > 0453015-10 -8 -6 -4 -200 2-15-30Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > y minContoh-1.13: y = −2x2 + 15x+ 13x = +3,75= +41, 125py′′ = −4y pNilai puncak fungsidan ini merupakan nilaimaksimum, karena y ″ < 0453015-4 -200-152 4 6 8-30-45-60Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < y maks

Turunan Fungsi, Nilai PuncakContoh-1.14:y3= 2x− 3x2+ 3y′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1)= 0memberikan x p = 0 dan x p21 =y = +3= + 2puncak1y puncaky ′′ = 12x− 6Untuk x = 0 ⇒ y′′= −6Untuk x = 1⇒y ′′ = + 6maksimumrelatifminimumrelatif15y10P[0,3] Q[1,2]50-2 -1,5 -1 -0,5-50 0,5 1 1,5 2 x 2,5-10-15-20

Turunan Fungsi, Garis SinggungGaris SinggungKemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurvasuatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R.Contoh-1.15:3y = 2x− 3x2+ 3y′ = 6x2 − 6x= 6x(x −1)Titik R dengan absis x R = 2 memiliki ordinatR(2,7)yR = 2 × 8 − 3×4 + 3 = 7Kemiringan garis singgung di titik R adalah m = 6 × 2 × 1 = 123y = 2x− 3x2+ 3y151050-2 -1,5 -1 -0,5-50 0,5 1 1,5 2 2,5-10 y s-15-20RxPersamaan garis singgung:y s =12x+7 = 12 × 2y sK+ K= 12x−17K = 7 − 24 = −17

Fungsi Yang MerupakanPerkalian Dua Fungsi

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiFungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiJikamaka ( yy = vw+ ∆y)= ( v + ∆v)(w + ∆w)= ( vw + v∆w+w∆v+ ∆w∆v)∆ y ( y + ∆y)− y ( wv + v∆w+ w∆v+ ∆w∆v− vw==)∆x∆x∆x∆w∆v∆v∆w= v + w +∆x∆x∆xdydx=d(vw)dx=vdwdx+wdvdx

Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua FungsiContoh-1.16:Turunan5y = 6xadalah4y ′ = 30xJika dipandang sebagai perkalian dua fungsi32d(2x× 3x) 3 2 2 4 4y ′ == 2x× 6x+ 3x× 6x= 12x+ 18x= 30xdx4JikaContoh-1.17:y = uvwd(uvw)dxd(uv)(w)=dxdw d(uv)= ( uv)+ wdx dxdw dv du= ( uv)+ ( uw)+ ( vw)dx dx dx5y = 6xdydx+ (3x22× 3x2× x)(4x)= 6x)(1) + (2x4dw ⎧ dv= ( uv)+ w⎨udx ⎩ dxJika dipandang sebagai perkalian tiga fungsid(uvw)= = (2xdx2+ 12x4× x)(6x)+ 12x4= 30x4+ vdudx⎫⎬⎭

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu FungsiFungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu FungsiContoh-1.18:6y = v = v × v × v1dy1dx= ( v= v= v55= 6v3vdvdx3dv+ vdx52dvdx42dv) + ( vdx+ 2v⎛ dv dv⎜v+ v⎝ dx dx5dvdx3v)+ vdv52dxdvdx+ ( v⎞⎟⎠+ v+ v243v)⎛⎜v⎜⎝⎛⎜v⎝dvdx2dvdx3dvdx++ vvdvdxdv ⎞⎟dx ⎠2⎞⎟⎟⎠Contoh ini menunjukkan bahwaSecara Umum:dvndx=nvn−1dvdx66dv dv dv 5= = 6vdx dv dxdvdx

Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu FungsiContoh-1.19:y233= ( x + 1) ( x −1)2Kita gabungkan relasi turunan untuk perkaliandua fungsi dan pangkat suatu fungsidy= ( xdx= ( x= 6x222= 6x(x+ 1)+ 1)( x3233d(x2( x+ 1)3−1)(x323dx−1)(3x( x−1)3+ 1)−1)+ 6x(x22(2x+ ( x2) + ( x33−1)332−1)−1)+ x −1)d(x223( x( x2dx2+ 1)2+ 1)+ 1)3222x

Fungsi Rasional

Turunan Fungsi, Fungsi RasionalFungsi RasionalFungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsiy =vwatau−1y = vwdydx= −vw=w=12ddx−2⎛⎜ w⎝⎛ v⎜⎝ wdvdxdvdx⎞⎟⎠+=w− vd(vw−1dxdvdxdw ⎞⎟dx ⎠−1=)= v− vw2dwdxdvdx−1++1wwdvdx−1dvdxJadi:ddx⎛⎜⎝vw⎞⎟⎠=⎛⎜w⎝dvdx− v2wdw ⎞⎟dx ⎠

Turunan Fungsi, Fungsi Rasional323xxy−=42624462239)9(32)3)(3()(2xxxxxxxxxxxdxdy+−=−−=−−=Contoh-1.20:22 1xxy +=322242102xxxxxdxdy−=×−×+=Contoh-1.21:1dengan;11 222≠−+= xxxy22223322221)(41)(22221)(1)2(1)2(−−=−−−−=−+−−=xxxxxxxxxxxxdxdy(agar penyebut tidak nol)Contoh-1.22:

Fungsi Implisit

Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitFungsi ImplisitSebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari diatas.Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasiimplisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.

Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitContoh-1.23:x2+ xy + y2= 8Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,maka operasi yang sama harus dilakukan pula diruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kitalakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dankita akan perolehdy dx2x+ x + y + 2ydx dxdy( x + 2y)= −2x− ydxdydx= 0Jika( x + 2y)≠0kita peroleh turunandydx= −2x+ yx + 2y

Turunan Fungsi, Fungsi ImplisitContoh-1.24:x43+ 4xy− 3y4=4Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan.Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kitaakan memperoleh4x4x33+ 4x(3y3dy+ 4xdx23 d(4x)d(3y)+ y − = 0dx dxdy 3 3 dy) + 4y−12y= 0dxdx4Untuk( xy2− y3)≠0kita dapat memperoleh turunandydx=− ( x3( xy32+ y− y33))

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak BulatFungsi Berpangkat Tidak BulatBilangan tidak bulatpn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0qqyJika y ≠ 0, kita dapatkanyy = v(p / q)q−1p−(p / )v = vq−1 q=n= vp / qqy = vdyq−1 p−1dxdydxdydx=ppvp / qd(v=dxsehinggap / qd(v=dxdvdx))===pqpvqyqvvp−1q−1pvp−1dvdxp−(p / q)( p / q)−1dvdxdvdx(v adalah fungsi yangbisa diturunkan)=pqv( p−1)− p+( p / q)dvdxFormulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Kaidah Rantai

Turunan Fungsi, Kaidah RantaiKaidah RantaiApabila kita mempunyai persamaanmaka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaandemikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkanpersamaan yang berbentuk y = F(x)Kaidah rantaiJikamakax = f ( t)dan y = f ( t)y = F(x) dapat diturunkan terhadap x danx = f (t) dapat diturunkan terhadap t,( f ( t)) g(t)y = F = dapat diturunkan terhadap t menjadidy =dtdydxdxdt

Diferensial dx dan dy

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyDiferensial dx dan dyTurunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasidy ∆y= lim = f ′(x)dx ∆x→0 ∆xSekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikianrupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dany merupakan fungsi dari x: y = F(x)dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata danmerupakan peubah bebas lain selain x;2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan dy = F'( x)dx

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyPenjelasan secara grafisyP dxdyθxIni adalah fungsi(peubah tak bebas)dy = F'( x)dxIni adalahpeubah bebasyP dxdyθxJika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurvadydx= tan θdy = (tan θ)dx;laju perubahan ybesar perubahan nilai y sepanjangterhadap perubahan x.garis singgung di titik P pada kurva,jika nilai x berubah sebesar dxDiferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatifjika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia“mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.ydydxθPxyPdxdyθxydydxPθx

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyDengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formulaturunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.Dalam tabel ini v adalah fungsi x.Turunan Fungsidcdx= 0 ; c =dcv dv = cdx dxkonstanDiferensialdc = 0 ; c =dcv = cdvkonstand(v + w)=dxdvwdx⎛ v ⎞d⎜⎟⎝ w ⎠=dxndvdxdcxdxndvdx+dwdxd ( v + w)= dv + dwdw dv= v + wd ( vw)= vdw + wdvdx dxdvwdx−2wdwvdx⎛d⎜⎝vw⎞ wdv − vdw⎟ =⎠2wn−1dvn n−1= nvdv = nv dvdx= cnxn−1d(cxn n−1) = cnxdx

Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dyAda dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudiandikalikan dengan dx.2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanantabel)3 3 2 −Contoh-1.25: y = x − x + 5x6y′ = 3x2 − 6x+ 5sehingga2dy = (3x− 6x+ 5)dxKita dapat pula mencari langsung dengan menggunakanformula dalam tabel di atasdy = d(x= (3x32) + d(−3x2− 6x+ 5) dx) + d(5x)+ d(−6)= 3x2dx − 6xdx+ 5dx

Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi TrigonometriJikay = sin x makadydx==d sin x sin( x + ∆x)− sin x=dx∆xsin x cos ∆x+ cos xsin∆x− sin x∆xUntuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.Oleh karena itudsindxx= cos x

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriJikay = cos x makadydx==d cos x cos( x + ∆x)− cos x=dx∆xcos x cos ∆x− sin xsin∆x− cos x∆xUntuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.Oleh karena itud cos xdx= −sinx

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriTurunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.2d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x(−sinx)1 2= ⎜ ⎟ == = secdx dx cos x22⎝ ⎠ cos x cos xx2d cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin x − cos x(cosx)−12= ⎜ ⎟ == = −cscdx dx sin x22⎝ ⎠ sin x sin xxd sec xdx=ddx⎛⎜⎝1cosx⎞⎟⎠=0 − ( −sincos2xx)=sin xcos2x=sec x tanxd csc xdxd=dx⎛⎜⎝1sin x⎞⎟⎠=0 − (cos x)sin2x=− cos xsin2x= −cscx cot x

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriContoh-1.26:Hubungan antara tegangan kapasitor v Cdan arus kapasitor i CadalahdvCiC = CdtTegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10 -6 faradmerupakan fungsi sinus v C= 200sin400t volt. Arus yang mengalir padakapasitor ini adalahdvC6 diC = C = 2 × 10 × ( 200sin 400t) = 0,160cos 400tamperedtdtDaya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalahp= vi200sin 400t× 0,16cos 400t= 32cos 400tsin 400t16sin 800tC C C ==wattv CiCp C2001000-100-200v C i C p C0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriContoh-1.27:Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinusi L= −0,2cos400t ampere.Hubungan antara tegangan induktor v Ldan arus induktor i Ladalahdiv LLL =dtdiLdvL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t= 2,5 × 0,2 × sin 400t× 400 = 200sin 400dt dtpL= vLiL( ) t= 200sin 400t× ( −0.2cos 400t)= −40sin 400tcos 400t= −20sin 800tWi Lv L p L200v L100 iLp 0 L0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-100-200

Fungsi Trigonometri Inversi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri InversiTurunan Fungsi Trigonometri Inversiy= sin −1 x x = sin y dx = cos ydy1yxdydx=1cos ydydx=11 −x221 − xy= cos −1 x x = cos y dx = −sinydy1 2y1 − xxdydx=−1sin ydydx=−11 − x2

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometriy= tan −1 x x = tan y1dx = dy2cos y21+xx dy 2y= cos ydx1dydx1=1 + x2ycot −1−1= x x = cot y dx = dy2sin y21 x +yx1dy = −sin2dxydydx=−11+x2

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometriy= sec −1 xx10 − ( −sinx)= sec y =dx =dycos y2cos yxy1x 2 − 1dydx=cos2sin y=xyx12=1x2− 1⎛× ⎜⎜⎝x ⎞⎟2 ⎟x − 1 ⎠y= csc −1xx10 − (cos x)= csc y =dx = dysin y2sin yxyx 2 − 11dydx==sin2− cos y− 1xx2y= −− 11x2×xx2− 1

Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu FungsiFungsi Trigonometri Dari Suatu FungsiJika v = f(x), makad(sinv)dxd(cosv)dxd(sinv)=dvd(cosv)=dvdv dv= cosvdx dxdv dv= −sinvdx dxd(tanv)d ⎛ sin v ⎞ cos x + sin x dv 2= ⎜ ⎟ == sec vdx dx cosv2⎝ ⎠ cos x dx22dvdxd(cotv)d ⎛ cosv⎞ 2= ⎜ ⎟ = −cscvdx dx ⎝ sin v ⎠dvdxd(secv)dx=ddx⎛⎜⎝1cosv⎞⎟⎠=0 + sin vcos2vdvdx= secvtan vdvdxd(cscv)d=dx dx⎛⎜⎝1sin v⎞⎟⎠= −cscvcot vdvdx

Turunan Fungsi, Fungsi TrigonometriJika w = f(x), makad(sin−1dxw)=11 − w2dwdxd(cosdx−1w)= −11 − w2dwdxd(tandx−1w)1=1 + w2dwdxd(cotdx−1w)1= −1 + w2dwdxd(secdx−1w)=w1w2−1dwdxd(cscdx−1w)= −w1w2−1dwdx

Fungsi LogaritmikdanFungsi Eksponensial

Turunan Fungsi, Fungsi LogaritmikTurunan Fungsi LogaritmikFungsi logaritmikf( x)= ln x didefinisikan melalui suatu integraly6543211/t00 1 2x3 41/xx 1f ( x)= ln x =∫dt ( x > 0)1 t=∫x 1ln x dt1 tln(x+∆x)−lnxx +Δxt1/(x+Δx)Tentang integral akandipelajari lebih lanjutluas bidang yang dibatasioleh kurva (1/t) dansumbu-t, dalam selangantara t = 1 dan t = xd ln x ln( x + ∆x)− ln( x)1 ⎛= = ⎜∆ ∆ ∫ x+ ∆x1dtdxx x ⎝ x t⎞⎟⎠d ln x 1=dx xLuas bidang ini lebih kecil dari luaspersegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆xmakin kecil, luas bidang tersebut akanmakin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆xmendekati nol luas tersebut sama dengan(∆x × 1/x).

Turunan Fungsi, Fungsi EksponensialTurunan Fungsi Eksponensialxy = elny = x ln e =x.penurunan secara implisit di kedua sisid ln ydxdyataudxJadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri=1y= y =dy= 1dxxexy = e′ ′′x′′xy = ey ′ = e dst.Jikav = v(x)devdx=devdvdvdx=evdvdxy=etan −1xdydx=etan−1xdtandx−1x=etan−11 + x2x

Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianPengertian-PengertianMisalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untukmencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai xtertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaandy =dxf(x)Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x sepertiini disebut persamaan diferensial.Contoh persamaan diferensialdy= 2xdx22d y+ 6xy2dx+ 5x+ 6dy+ 3xdx2y2= 0

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertiandyTinjau persamaan diferensial = f (x)dxSuatu fungsi y = F(x) dikatakan merupakan solusi dari persamaandiferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapatmemenuhidF(x)= f ( x)dxKarenad[ F(x)+ K ]dx=dF(x)dx+dKdx=dF(x)dx+0makafungsiy = F(x)+ Kjuga merupakan solusi

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertiandF(x)dx=f( x)dapat dituliskandF ( x)= f ( x)dxIntegrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum∫f ( x)dx = F(x)+ KJadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiriditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integraltak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianContoh-2.1:Cari solusi persamaan diferensialdy =45xdxubah ke dalam bentuk diferensialdyKita tahu bahwa= 5x45dxd( x ) = 5x4dxoleh karena itu45 5y =∫5xdx =∫d(x ) = x +K

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianContoh-2.2:Carilah solusi persamaany−1/2dy = x2dxdy =dy=xx22dxyydxkelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kananmengandung peubah berbedad⎛ 1 3 ⎞ 2= d⎜x ⎟ = x dx⎝ 3 ⎠(1/ 2)−1/22yy dyJika kedua ruas diintegrasid(1/ 2)⎛ 1 3 ⎞2y= d⎜x ⎟⎠⎝ 31/ 2 1 32y + K1= x + K31/ 2 1 31 32y = x + K2− K1= x + K332

Integral Tak Tentu, Pengertian-PengertianDalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untukmemiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawahini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.∫dy = y +2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkanK∫ady = a∫dy3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan menambahpangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).∫yndy=yn+1n + 1+K,jikan≠ −1

Integral Tak Tentu, PenggunaanPenggunaan Integral Tak TentuDalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakanbilangan nyata sembarang.Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggalmelainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimilikioleh K.y i= 10x 2 +K iy = 10x 2100y100y50-5 -3 -1 1 3 x 52kurva y =10xadalah kurva bernilai tunggal50K 1K 2K 3-5 -3 -1 1 3 5310x2kurva∫3dx = 10xx+ Kadalah kurva bernilai banyak

Integral Tak Tentu, PenggunaanDalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.Contoh-2.3:Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagaiv = at = 3tkecepatan percepatan waktuPosisi benda pada waktu t = 0 adalahposisi benda pada t = 4.dsKecepatan adalah laju perubahan jarak, v =dtPercepatan adalah laju perubahan kecepatan,ds = vdt2. t2s =∫atdt = 3 + K = 1,5t+ K2a =s 0 = 3dvdt3 = 0 + K K = 3; tentukanlahKondisi awal: pada t = 0, s 0 = 3 1,5 3s= t2 +sehingga pada t = 4 posisi benda adalahs 4 = 27

Luas Sebagai Suatu Integral

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu IntegralLuas Sebagai Suatu IntegralKita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.y =f(x)Contoh-2.4:2yA px∆A pxy = f(x) =2∆0 p x x+∆x∆ApxdApxlim = = f ( x)= 2x→0 ∆xdxxq∆A px= 2 = f ( x∆x∆ = 2 ∆xatau)A pxApx =∫dApx=∫2dx= 2x+Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px= 0 untuk x = pK0 = 2 p + K atau K = −2pA px = 2x− 2 p A pq = 2q− 2 p = 2( q − p)

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu IntegralKasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentangp≤x≤qyf(x)f(x+∆x )y = f(x)0p x x+∆xqxA px ∆A px∆A pxbisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan∆A px= f(x)∆x atau ∆A px= f(x+∆x)∆x∆ = f x)∆x≤ f ( x ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆xA px( 0∆ApxdApxJika ∆x → 0: lim = = f ( x)∆x→0∆xdxx 0 adalah suatu nilai x yangterletak antara x dan x+∆xApx =∫dApx=∫f ( x)dx = F(x)+Apq= F( q)− F(p)=F(x)] q pK

Integral Tentu

Integral Tentu, PengertianIntegral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandangsebagai suatu limit.yy = f(x)Bidang dibagi dalamsegmen-segmen0p x 2x kx k+1x nqxLuas bidang dihitungsebagai jumlah luas segmenDua pendekatan dalam menghitung luas segmenyy = f(x)yy = f(x)0 p x 2x kx k+1x nq x 0 p x 2x kx k+1x nqLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k )×∆x kLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k +∆x)×∆x kx

Integral Tentu, Pengertianyy = f(x)yy = f(x)0 p x 2x kx k+1x nq x 0 p x 2x kx k+1x nqLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k )×∆x kLuas tiap segmen dihitungsebagai f(x k +∆x)×∆x kJika x 0kadalah nilai x di antara x kdan x k+1makaxf( xk) xk≤ f ( x0k∆ ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆xkkkn∑f ( x) ∆x≤n∑f ( x) ∆xk k0kkk = 1k = 1k = 1≤n∑f( xk+ ∆x)∆xkJika ∆x k→ 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang samaNilai limit itu merupakan integral tentu

Integral Tentu, Pengertianyy = f(x)0p x 2x kx k+1x nqxLuas bidang menjadipq∫A f ( x)dx= q pApq=∫qpf( x)dx = F(x)] = F(q)− F(p)qp

Luas Bidang

Integral Tentu, Luas BidangDefinisiA pxadalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x) dan sumbu-x dari psampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atassumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.Contoh-2.5:3 −y = x 12 x3 −Luas antara y = x 12xdan sumbu-xdari x = −3 sampai x = +3.20100x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10-2003 xA a =∫( x −12x)dx = − 6x−34= −0− (20,25 − 54) = 33,75343 x=∫( x −12x)dx = − 6x04= 20,25 − 54 − (0) = −33,75A b5422⎤⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎦0−330Apq= Aa− Ab= 33 ,75 − ( −33,755)= 67,

Integral Tentu, Luas BidangContoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisimengenai A px, formulasiA =∫qp( ))f ( x)dx = F(q)− F ptetap berlaku untuk kurva yang memilikibagian baik di atas maupun di bawah sumbu-xyy = f(x)pA 1A 2A 3A 4qxApq=∫qp( ))f ( x)dx = F(q)− F pA pq = −A+1 + A2− A3A4

Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaLuas Bidang Di Antara Dua Kurvapy0y 2xy 1xx+∆x qy = f ) berada di atas y = f )1 1 ( x2 2 ( xRentang p ≤ x ≤ qdibagi dalam n segmenAsegmen= ∆Apx= { f1 ( x)− f2(x)} ∆x∆A pxjumlah semua segmen:n∑1x=q−∆x∑{ f1 ( x)− f2(x }A =)segmenx=p∆xDengan membuat n menuju takhingga sehingga ∆x menuju nolkita sampai pada suatu limitpqn→∞∑segmen∫qp{ f ( x)− f ( x }A = lim A = 1 2 ) dx1

Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaContoh-2.6:Jika y1 = 4 dan y2 = −2berapakah luas bidang antara y 1dan y 2dari x 1= p = −2 sampai x 2= q = +3.+ 3A pq = (∫−2+{ 4 − ( −2)} dx = 6x] = 18 − ( −12)= 303− 2Contoh-2.7:Jika21 xy = dan y 2 = 4berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1dan y 2.Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x padaperpotongan antara y 1dan y 2.y 24yy y 212di atasxy 10-2 -1 0 1 22y1 = y2→ x = 4 ⇒ x1= p = −2,x2= q =A pq⎛⎜8−⎝2⎛2(4 ) ⎜ x=∫− x dx = 4x−− 2⎜⎝383⎞ ⎛⎟ − ⎜−8 −⎠ ⎝− 83⎞⎟⎠=1633⎞⎥ ⎥ ⎤⎟⎟⎠⎦−16− =32-23232

Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua KurvaContoh-2.8:Jikay21 = −x+2dany2= −xberpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1dan y 2.y4Batas integrasi adalah nilai x padaperpotongan kedua kurva2y 10-2 -1 0 1 2y 2-2-4y 1di atas y 2xyx11A pq=y2→−x2+ 2 = −x2−1+1= p =−2=∫2−1( −x2+ 8= −1;⎛ 8 ⎞ ⎛= ⎜−+ 2 + 4⎟ − ⎜−⎝ 3 ⎠ ⎝ataux−1+3− x2⎛2 ) ⎜x+ + x dx = −⎜⎝32+ x + 2 = 02−1−1= q =−23+x22⎞⎤+ 2x⎟⎥⎟⎠⎥⎦1 ⎞− 2⎟ = 4,52 ⎠+ 82−1= 2

Integral Tentu, PenerapanPenerapan IntegralContoh-2.9:Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangankonstan 200V. Berapakah energi yang diserap olehpiranti ini selama 8 jam ?Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p danenergi diberi simbol w, makap =dwdtyang memberikanw =∫pdtPerhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batasbawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengansatuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8jam adalah8w =∫pdt =∫100dt = 100t08080= 800=0,8Watt.hour [Wh]kilo Watt hour [kWh]

Integral Tentu, PenerapanContoh-2.10:Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatanyang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampait = 5 detik ?Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.i =dqdtsehinggaq =∫idtJumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalahq5=∫idt =∫0500,05tdt=0,05t2250=1,252=0,625coulomb

Volume Sebagai Suatu Integral

Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu IntegralBalok∆xBerikut ini kita akan melihat penggunaan integraluntuk menghitung volume.Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri danA(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kananmaka volume irisan ∆V adalahA(x)∆ x ≤ ∆V≤ A(x + ∆x)∆xVolume balok V adalah V ∑ A(x)∆ x=qApabila ∆x cukup tipis dan kita mengambilA(x) sebagai pengganti maka kitaqmemperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: V ≈ ∑ A(x)∆Jika ∆x menuju nol dan A(x)kontinyu antara p dan q maka :pluas rata-rata irisan antaraA(x) dan A(x+∆x).pxqV = lim ∑ A(x)∆x= A(x)dx∆x→oqp∫p

Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu IntegralRotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-xyOPQxA(x) adalah luas lingkaran denganjari-jari r(x); sedangkan r(x)memiliki persamaan garis OP.∆xm : kemiringan garis OPh : jarak O-Q.V=∫h0A(x)dx=∫h0π2[ r(x)] dx =∫h0πm2x2dxVkerucut=πm23h3=π(PQ/OQ)32h3=πr2h3Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong

Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu IntegralRotasi Bidang Sembarangyf(x)( r(x)) 2 = π( f ( )) 2A( x)= πx0 a b∆xxV∫ π( f ( x))=ba2dxRotasi Gabungan Fungsi Linieryf 3 (x)f 2 (x)f 1 (x)0 a b∆xxFungsi f(x) kontinyu bagian demibagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimanafungsi linier kontinyu. Kita dapatmenghitung volume total sebagaijumlah volume dari tiga bagian.

Pengertian-Pengertian

Persamaan Diferensial, Pengertian-PengertianPengertianPersamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapatsatu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensialdiklasifikasikan sebagai:1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidaktermasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjaufungsi dengan satu peubah bebas.2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggiturunan fungsi yang ada dalam persamaan.3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalahpangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.Contoh:⎛ 3d y ⎞⎜ ⎟⎜ 3dx ⎟⎝ ⎠2⎛ 2d y ⎞+ ⎜ ⎟⎜ 2dx ⎟⎝ ⎠5+x2y=+ 1adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.xe

Persamaan Diferensial, Pengertian-PengertianSolusiSuatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaandiferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengandigantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut olehf(x) dan turunannya.Contoh:−xdyy = ke adalah solusi dari persamaan + y = 0dtdy−x− xkarena turunan y = ke adalah = −kedtdan jika ini kita masukkan dalam persamaan akankita peroleh− ke−x+Persamaan terpenuhi.ke−x= 0Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yangmengandung n tetapan sembarang.

Persamaan Diferensial Orde SatuDengan Peubah YangDapat Dipisahkan

Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat DipisahPersamaan Diferensial Orde Satu DenganPeubah Yang Dapat DipisahkanJika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kitatuliskan dalam bentukf( y)dy + g(x)dx = 0Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusiumum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu∫f ( y)dy∫g(x)dx)=+ K

Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat DipisahContoh-3.1:dydx=x−yePersamaan ini dapat kita tuliskandy =dxeexyyang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisaheydy− exdx= 0Integrasi kedua ruas:∫eydy−∫exdx=Ksehinggaey− ex=Katauey= ex+K

Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat DipisahContoh-3.2:dy 1=dx xyPemisahan peubah akan memberikan bentukdxydy = atauxIntegrasi kedua ruas∫ydydx−x= 0dxydy −∫=xKy22− ln xatau=K2y = ln x + K′

Persamaan Diferensial HomogenOrde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde SatuPersamaan Diferensial Homogen Orde SatuSuatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskandalam bentukdy ⎛ y ⎞= F⎜⎟dx ⎝ x ⎠pemisahan peubah:Jadikan sebagai peubah bebas baruyv = yang akan memberikanxy = vx dandvv + x = F(v)dy dvdx= v + xdx dxdvx = F(v)− vdxdv dx=F(v)− v xatau:dxxdv+ = 0v − F(v)

Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu22Contoh-3.3: ( x + y ) dx + 2xydy= 022 yUsahakan menjadi homogen x (1 + ) dx + 2xydy= 02x2y y(1 + ) dx = −2dy2x x2dy 1 + ( y / x)= − = F(y /dx 2( y / x)2dy 1+vPeubah baru v = y/x= − = F(v)dx 2vx)dydxy = vx2dv 1 + vdv v + x = −= v + xdx 2vdxdv 1 + vx = −v−dx 2v21 + 3v= −2v2peubah terpisah2vdv1+3v2= −dxxataudxx+2vdv1 + 3v2 =0

Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde SatuKita harus mencari solusipersamaan ini untukdx 2vdv+ 0mendapatkan v sebagai x 21 + 3v=fungsi x.Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dankita tahu bahwa1 d(lnx)=x dx22 2d ln(1 + 3v) d ln(1 + 3v) d(1+ 3v) 1Kita coba hitung== (6v)dv22d(1+ 3v) dv 1+3vHasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentukpersamaan menjadi2dx 1 d ln(1 + 3v)+ dv = 0x 3 dv1 2 1Integrasi ke-dua ruas: ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′3323ln x + ln(1 + 3v) = K = ln K′332x (1 + 3v) = K′(2) (2 2) 1 + 3( y / x)= K x + 3y= Kx ′x ′

Persamaan Diferensial LinierOrde Satu

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuDalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu ataunol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kitatuliskan dalam bentukdy+ Py = QdxP dan Q merupakan fungsi x atau tetapanPembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan.Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan denganpemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagaidya + by =dtf(t)Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalubervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utamayang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus.Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposityang merupakan gabungan dari bentuk utama.

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuPersamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah carapendugaan.Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapanrangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilaia dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupategangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsipenggerak.Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakanjumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalahfungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkansolusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaanhomogendya + by = 0dt

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuHal ini dapat difahami karena jika f 1(t) memenuhi persamaan yangdiberikan dan fungsi f 2(t) memenuhi persamaan homogen, makay = (f 1+f 2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebabadydt+ by==aaddfdt( f + f )11dt+ bf12+ b(fdf+ adt21+f+ bf22)=adf1dt+ bf1+ 0Jadi y = (f 1+f 2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dankita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlahdari solusi khusus dan solusi homogen.

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuSolusi HomogendyPersamaan homogen a + by = 0dtJika y a adalah solusinya makadyyaab+ dtaintegrasi kedua ruas memberikan= 0lnby a + t =aKlnby a = − t +aKsehinggaya=eb− t+Ka=Kae−( b / a)tInilah solusi homogen

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuJika solusi khusus adalah y p, makaadydtp+ byp= f (t)Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk y p.Jikaf( t)=0→yp=0Jikaf( t)=A =konstan,→yp=konstan=KJikaf( t)=Aeαt=eksponensial,→yp=eksponensial=KeαtJikaf( t)=Asinωt,atauf( t)=Acosωt→yp=Kccosωt+Kssin ωtDugaan bentuk-bentuk solusi y pyang tergantung dari f(t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhiJika dugaan solusi total adalahytotal=yp+Kae−( b / a)tMasih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuContoh-3.4:Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaandvdt+ 1000 v = 0Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.Solusi khusus bernilai nol.dvv+ 1000 dt = 0ln v = −1000t+ Kv=e−1000t+K −1000t= KaePenerapan kondisi awal:12 =KaSolusi total:v =−12e1000tV

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuContoh-3.5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan−10 3 dv+ v = 12dtDengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.Solusi homogen: −10 3 dva+ va= 0dtva=Kae−1000tdvvaa+ 10 3 dt = 0Solusi khusus: v = 12 karena f(t) = 12pSolusi total (dugaan):vtotal= 12 +Kae−1000tPenerapan kondisi awal:0 = 12 + KaK a = −12Solusi total:v total = 12 −12e−1000tV

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde SatuContoh-3.6:Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transiendvmenghasilkan persamaan + 5 v = 100 cos10tdtCarilah solusi totaldvSolusi homogen:a+ 5 va= 0dtdva+ 5 dt = 0valn v a + 5t= Kva=Kae−5tSolusi khusus:v p = Accos 10t+ Assin10tSolusi total (dugaan):−10 Ac sin10t+ 10Ascos10t+ 5Accos10t+ 5Assin10t= 100 cos10t10 As cos10t+ 5Accos10t= 100 cos10t10 A s + 5Ac= 100−10 A sin10t+ 5Asin10t= 0cPenerapan kondisi awal:sv t t K ta e −5= 4cos10 + 8sin10 +−10 A c + 5A= 00 = 4 + KaK a = −4A = 8 = 4ssA cSolusi total :v = 4cos10t+ 8sin10t− 4e−5t

Persamaan DiferensialLinier Orde DuaUntukPersamaan Diferensial Linier Orde Dua silakanlangsung melihatAnalisis Transien

CoursewareDiferensial dan IntegralSudaryatno Sudirham