maTematika 7

nana jafariZemaia wilosaninani wulaiamaTematika 7maswavleblis wigniydis dizaini:dakabadoneba:marTa TabukaSvili, naTia kvaracxeliamaia feiqriSvili© bakur sulakauris gamomcemloba, 2012pirveli gamocema, 2012bakur sulakauris gamomcemlobamisamarTi: daviT aRmaSeneblis 150, Tbilisi 0112tel.: 291 09 54, 291 11 65elfosta: info@sulakauri.gewww.sulakauri.geISBN 978-9941-15-630-4N. JafaridzeM. TsilosaniN. TsulaiaMath 7Teacher’s Book© Bakur Sulakauri Publishing, 2012Tbilisi, Georgiamasc_cigni_VII_kl_cor.indd 2 03.07.2012 15:46:24

s a r C e v iSesavali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5erovnuli saswavlo gegma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Sinaarsisa da miznebis ruka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12მოსწავლის შეფასების სისტემა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271. gameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273. ricxvis naturaluri xarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314. gayofadobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315. ricxvTa gayofadobis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Seamowme Seni codna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356. simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367. simravleTa toloba. qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421. geometriuli figurebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. wrfis da wertilebis urTierTmdebareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423. wrfeebis urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434. sxivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455. monakveTi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456. naxevarsibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478. kuTxis gazomva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489. kuTxis biseqtrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910. mosazRvre kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111. vertikaluri kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112. kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa marTebuloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5213. texili, mravalkuTxedi, samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314. samkuTxedis simaRle, biseqtrisa, mediana.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415. wrewiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III Tavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581. monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582. cxrilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593. wriuli diagrama. piktograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594. monacemTa saSualo, moda, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605. procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. ricxvis povna misi procentis mixedviT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627. ori ricxvis Sefardebis procentuli gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638. proporcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649. proporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510. ricxvis dayofa proporciul nawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611. ukuproporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67masc_cigni_VII_kl_cor.indd 3 03.07.2012 15:46:24

IV Tavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711. uaryofiTi ricxvebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712. racionaluri ricxvebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723. ricxvis moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734. racionaluri ricxvebis Sekreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745. racionaluri ricxvebis gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746. racionaluri ricxvebis gamravleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767. gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778. gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779. gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810. amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79V Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841. mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842. sakoordinato sibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863. grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874. paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875. RerZuli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886. wrfeTa paralelobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887. paralelur wrfeTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898. samkuTxedis kuTxeebis jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909. samkuTxedebis tolobis I da II niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010. tolferda samkuTxedis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211. samkuTxedis tolferdobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312. monakveTis SuamarTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9413. samkuTxedis tolobis III niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9514. samkuTxedis gare kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515. samkuTxedis utoloba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9616. marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9817. kuTxis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9918. paralelogrami. paralelogramis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019. rombi, rombis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10220. marTkuTxedi, kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VI Tavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091. xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092. erTwevri. erTwevris gamravleba da axarisxeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103. mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104. erTwevrisa da mravalwevris namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125. mravalwevrebis namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126. igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137. Semoklebuli gamravlebis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148. mravalwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159. kubebis jami da kubebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116masc_cigni_VII_kl_cor.indd 4 03.07.2012 15:46:24

SesavaliVII klasSi maTematikis sagnis swavlebis ZiriTadi mizania mozardSi kvlevisCvevis, agreTve analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebisgamomuSaveba. maTematikis swavlam moswavles unda SesZinos is unar-Cvevebi,romelic mas daexmareba cxovrebiseuli, praqtikuli problemebis gadaWraSi.erovnuli saswavlo gegmis daniSnulebaa daexmaros saskolo ganaTlebisprocesis monawileebs am procesis dagegmvasa da warmarTvaSi.erovnul saswavlo gegmaSi aRwerilia is savaldebulo moTxovnebi,romelsac unda akmayofilebdes yvela moswavle saswavlo wlis dasrulebismere. es moTxovnebi TiToeuli mimarTulebisaTvis Sedegebisa da maTiindikatorebis enazea Camoyalibebuli.Sedegi aris debuleba imis Sesaxeb, Tu ra unda SesZlos moswavlem swavlismocemuli safexuris dasrulebis Semdeg.indikatori aris debuleba im codnisa da unar-Cvevebis demonstrirebisSesaxeb, romelic Camoyalibebulia Sesabamis SedegSi. indikatoris ZiriTadidaniSnulebaa imis warmoCena, miRweulia Tu ara Sedegi. indikatoriorientirebulia unar-Cvevebze da Camoyalibebulia aqtivobis enaze.VII klasis warmodgenili saxelmZRvanelos daniSnulebaa xeli Seuwyoserovnuli saswavlo gegmiT gaTvaliswinebuli unar-Cvevebis gamomuSavebas.saxelmZRvanelo faravs standartis yvela Sedegs.masalis miwodebis ZiriTadi meToduri orientiria problemuri Txroba.moswavle aris gakveTilis axsnis aqtiuri monawile.gagacnobT wignis struqturas.TiTqmis yvela paragrafi iwyeba situaciuri amocaniT, maprovocirebeliSekiTxviT an iseTi amocaniT, romelic moswavlisagan kvlevas moiTxovsda romelic iZleva varaudis gamoTqmis saSualebas. gakveTilis etapebigamoyofilia aqtivobebiT, riTac xdeba axali masalis aTvisebis Semowmeba dagaRrmaveba. varskvlaviT moniSnulia amocanebi maRali SefasebisaTvis.maswavleblis sarekomendacio wignSi mocemulia ramodenime gakveTilisscenari, aqtivobebis mizani, daniSnuleba, savaraudo da swori pasuxebi,sakontrolos nimuSebi. mocemulia Sefasebis ZiriTadi mdgenelebi, damxmareliteratura maswavleblisaTvis.agreTve gTavazobT savaraudo saaTobriv ganawilebas. sarezervo saaTebigvaZlevs saSualebas, rom zogierT gakveTils maswavlebelma meti drodauTmos, gamoiyenos Tavis Sexedulebisamebr.5masc_cigni_VII_kl_cor.indd 5 03.07.2012 15:46:24

erovnuli saswavlo gegmaწლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:რიცხვები დამოქმედებებიკანონზომიერებები დაალგებრაგეომეტრია დასივრცის აღქმამონაცემთა ანალიზი,ალბათობა დასტატისტიკაVII.1. მოსწავლესშეუძლიარაციონალურირიცხვების წაკითხვა,გამოსახვა, შედარება დადალაგება პოზიციურისისტემის გამოყენებით;რიცხვების თვისებებისგამოკვლევაპოზიციური სისტემისგამოყენებით.VII.2. მოსწავლესშეუძლია რაციონალურრიცხვებზემოქმედებებისსხვადასხვა ხერხითშესრულება.VII.3. მოსწავლესშეუძლია რაციონალურრიცხვებზემოქმედებათა შედეგისშეფასება.VII.4. მოსწავლესშეუძლია ზომისსხვადასხვაერთეულებისერთმანეთთანდაკავშირება და მათიგამოყენება ამოცანებისამოხსნისას.VII.5. მოსწავლესშეუძლიასიდიდეებს შორისპირდაპირპროპორ ­ციულიდამოკიდებულებისამოცნობა და გამოსახვა.VII.6. მოსწავლესშეუძლია სიმრავლურიცნებებისა დაოპერაციებისგამოყენება ამოცანისამოხსნისას.VII.7. მოსწავლესშეუძლია ალგებრულიგამოსახულებისგამარტივება და წრფივიგანტოლების ამოხსნა.VII.8. მოსწავლესშეუძლია ობიექტთაპერიოდულიმიმდევრობის დამუდმივი ნაზრდისმქონე რიცხვითიმიმდევრობის გავრცობადა გაანალიზება.VII.9. მოსწავლესშეუძლიაგეომეტრიულიფიგურების ამოცნობა,მათი სახეობებისშედარება დაკლასიფიცირება.VII.10. მოსწავლესშეუძლიაგეომეტრიულიობიექტებისწარმოდგენა ამოცანისკონტექსტისშესაბამისად.VII.11. მოსწავლესშეუძლიაგეომეტრიულიგარდაქმნებისგანხორციელება დამათი გამოყენებაფიგურათა თვისებებისდასადგენად.VII.12. მოსწავლესშეუძლიაკოორდინატთამეთოდის გამოყენებაორიენტირებისათვის.VII.13. მოსწავლესშეუძლიაგეომეტრიულიამოცანების ამოხსნასამკუთხედებთანდაკავშირებულიცნებებისა და ფაქტებისგამოყენებით.VII.14. მოსწავლესშეუძლია დასმულიამოცანისამოსახსნელადსაჭირო თვისობრივიდა რაოდენობრივიმონაცემების მოპოვება.VII.15. მოსწავლესშეუძლია თვისობრივიდა რაოდენობრივიმონაცემებისმოწესრიგებადა წარმოდგენადასმული ამოცანისამოსახსნელადხელსაყრელი ფორმით.VII.16. მოსწავლესშეუძლია თვისობრივდა რაოდენობრივმონაცემთაინტერპრეტაცია დაანალიზი ამოცანისკონტექსტისგათვალისწინებით.6masc_cigni_VII_kl_cor.indd 6 03.07.2012 15:46:25

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორებიმიმართულება: რიცხვები და მოქმედებებიVII.1. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალური რიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარება დადალაგება პოზიციური სისტემის გამოყენებით; რიცხვების თვისებების გამოკვლევაპოზიციური სისტემის გამოყენებით.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ათწილადის ჩანაწერში უთითებს თანრიგებს და ასახელებს თანრიგებში მდგომ ციფრთამნიშვნელობებს; იყენებს ამ ცოდნას ათწილადების შედარების ან (ზრდადობით/კლებადობით) დალაგებისას. (მაგალითად, გაშლის სასრულ ათწილადს სათანრიგოშესაკრებების ჯამის სახით, «დაალაგე კლებით 2.9259, 3.1, 2.93, და 2.899»);• გამოსახავს და ადარებს უარყოფით რიცხვებს პოზიციური სისტემის გამოყენებით;ახდენს მოპირდაპირე რიცხვის და რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის ცნებებისმოდელზე დემონსტრირებას (მათ შორის რიცხვით ღერძზე);ეკვივალენტური ფორმით წერს შერეულ რიცხვებს, ათწილადებსა და წილადებს; ადარებს დაალაგებს სხვადასხვა სახით მოცემულ რიცხვებს (მაგალითად, ათწილადი ↔ წილადი);პოზიციური სისტემის გამოყენებით, კონკრეტულ მაგალითებზე ახდენს გაყოფადობისნიშნებიდან ზოგიერთის დემონსტრირებას (მაგალითად, 3-ზე და 9-ზე გაყოფადობისნიშნებს); პოულობს მოცემული ნატურალური რიცხვების უმცირეს საერთო ჯერადსა დაუდიდეს საერთო გამყოფს.VII.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვა ხერხითშესრულება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ახდენს მთელ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების დემონსტრირებას მოდელზე;• იყენებს რიცხვის ჩაწერის ეკვივალენტურ ფორმებს, მოქმედებათა შესრულებისთანმიმდევრობას, მათ თვისებებსა და დაჯგუფებას გამოთვლების გასამარტივებლად;• ყოფს რიცხვს პროპორციულ ნაწილებად და პოულობს რიცხვს მისი მოცემული ნაწილისმიხედვით;• ახდენს ნატურალურ-მაჩვენებლიანი ხარისხის თვისებების დემონსტრირებას;• ზეპირი ანგარიშისას იყენებს პროცენტის კავშირს რიცხვის ნაწილთან; პოულობსმოცემული რიცხვის პროცენტს და ხსნის შებრუნებულ ამოცანებს;• ირჩევს და იყენებს რაციონალურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებებისშესრულების ხერხს (ზეპირი, ტექნოლოგიების გამოყენებით, წერითი ალგორითმები);• ხსნის პრაქტიკულ საქმიანობასთან დაკავშირებულ ან სხვა სასწავლო დისციპლინებიდანმომდინარე ამოცანებს გამოთვლებზე (მაგალითად, უმარტივესი ხარჯთაღრიცხვა;ისტორიული ეპოქის ხანგრძლივობის განსაზღვრა; ამოცანები პროცენტებზე დაპროპორციაზე: ხსნარები, შენადნობები და სხვა).VII.3. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებათა შედეგის შეფასება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანის ამოხსნისას იყენებს ზეპირი ანგარიშის7masc_cigni_VII_kl_cor.indd 7 03.07.2012 15:46:25

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკაVII.14. მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისობრივი დარაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• განასხვავებს თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემებს, იყენებს მონაცემთა შეგროვებისშესაფერის საშუალებას (გაზომვა, დაკვირვება);• მოცემულ თემასთან დაკავშირებით სვამს კითხვებს, განსაზღვრავს რესპონდენტებს დამოიპოვებს საჭირო მონაცემებს;• მოცემული ამოცანისთვის დამოუკიდებლად გეგმავს და ატარებს სტატისტიკურექსპერიმენტს და აგროვებს მონაცემებს.VII.15. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემების მოწესრიგება დაწარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ახდენს თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა დალაგებას/კლასიფიკაციას,წარმოადგენს მონაცემებს სიის/პიქტოგრამის სახით, მსჯელობს დალაგების/კლასიფიკაციის პრინციპზე;• ქმნის მოწესრიგებულ მონაცემთა ცხრილებს და ასაბუთებს შერჩეული დიზაინისმიზანშეწონილობას;• აგებს სხვადასხვა დიაგრამებს ერთი-და-იგივე თვისობრივი ან რაოდენობრივიმონაცემებისთვის და მსჯელობს, თუ მონაცემთა რამდენად მნიშვნელოვან ასპექტებსწარმოაჩენს თითოეული და რა უპირატესობა გააჩნია თითოეულს.VII.16. მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემთა ინტერპრეტაცია დაანალიზი ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• სვამს კითხვებს მონაცემების შესახებ ან ახასიათებს მონაცემებს, რომლებიცწარმოდგენილია სიის, ცხრილის, პიქტოგრამის ან დიაგრამის სახით, მსჯელობსარსებულ კანონზომიერებებსა და გამორჩეულ მონაცემებზე;• ირჩევს შესაფერის შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს,ითვლის და იყენებს მათ მონაცემთა ჯგუფის დასახასიათებლად;• ადარებს მონაცემთა რამდენიმე ჯგუფს და წარმოაჩენს თვისობრივ და რაოდენობრივმსგავსებასა და განსხვავებას მათ შორის (შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლებისგარეშე).11masc_cigni_VII_kl_cor.indd 11 03.07.2012 15:46:25

Sinaarsisa da miznebis rukaSinaarsiTemis kavSiri miznebTan da SedegebTansavaraudoxangrZlivoba1 2 3I TaviVI klasSi Seswavlilimasalis gameoreba.gamosaxulebaTamniSvnelobebis Sedareba.ricxvis naturaluri xarisxi.gayofadobis niSnebi.ricxvTa gayofadobiszogierTi Tviseba.simravle.simravleTa toloba.qvesimravle.simravleTa TanakveTada gaerTianeba.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურირიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარებადა დალაგება პოზიციური სისტემისგამოყენებით; რიცხვების თვისებებისგამოკვლევა პოზიციური სისტემისგამოყენებით.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურრიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვა ხერხითშესრულება.მოსწავლეს შეუძლია სიმრავლური ცნებებისადა ოპერაციების გამოყენება ამოცანისამოხსნისას.13 sTsakontrolo wera №1II Tavigeometriuli figurebi.wrfisa da wertilebisurTierTmdebareoba.wrfeebis urTierTmdebareoba.sxivi.monakveTi.naxevarsibrtye.kuTxe.kuTxis gazomva.kuTxis biseqtrisa.mosazRvre kuTxeebi.vertikaluri kuTxeebi.kuTxe or wrfes Soris;wrfeTa marTobuloba.texili, mravalkuTxedi,samkuTxedi.samkuTxedis simaRle,biseqtrisa, mediana.wrewiri.sakontrolo wera №212მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიფიგურების ამოცნობა, მათი სახეობებისშედარება და კლასიფიცირება.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიობიექტების წარმოდგენა ამოცანისკონტექსტის შესაბამისად.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიამოცანების ამოხსნა სამკუთხედებთანდაკავშირებული ცნებებისა და ფაქტებისგამოყენებით.1 sT23 sT1 sTmasc_cigni_VII_kl_cor.indd 12 03.07.2012 15:46:25

III Tavimonacemebi.cxrilebi.wriuli diagrama.piktograma.monacemTa saSualo,moda, mediana.procenti.ricxvis povna misiprocentis mixedviT.ori ricxvis Sefardebisprocentuli gamosaxuleba.proporcia.proporciuli sidideebi.ricxvis dayofa proporciulnawilebad.ukuproporciuli sidideebi.1 2 3მოსწავლეს შეუძლია ზომის სხვადასხვაერთეულების ერთმანეთთან დაკავშირებადა მათი გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებსშორის პირდაპირპროპორ ციულიდამოკიდებულების ამოცნობა და გამოსახვა.მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანისამოსახსნელად საჭირო თვისობრივი დარაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება.მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივი დარაოდენობრივი მონაცემების მოწესრიგებადა წარმოდგენა დასმული ამოცანისამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.17 sTsakontrolo wera №3IV TaviuaryofiTi ricxvebi. ricxviTiRerZi.racionaluri ricxvebis Sedareba.ricxvis moduli.racionaluri ricxvebis Sekreba.racionaluri ricxvebis gamokleba.racionaluri ricxvebis gamravleba-gayofa.gamravlebis ganrigebadobis kanoni,frCxilebis gaxsna.gantoleba.gantolebis amoxsna.amocanebis amoxsna gantolebebismeSveobiT.problemis moZieba.sakontrolo wera №4მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურირიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარებადა დალაგება პოზიციური სისტემისგამოყენებით; რიცხვების თვისებებისგამოკვლევა პოზიციური სისტემისგამოყენებით.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურრიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვახერხით შესრულება.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურრიცხვებზე მოქმედებათა შედეგის შეფასება.მოსწავლეს შეუძლია ალგებრულიგამოსახულების გამარტივება და წრფივიგანტოლების ამოხსნა.1 sT17 sT1 sT13masc_cigni_VII_kl_cor.indd 13 03.07.2012 15:46:25

1 2 3V Tavimimdevroba.sakoordinato sibrtye.grafiki.paraleluri gadatana.RerZuli simetria.wrfeTa paralelobis niSnebi.paralelur wrfeTa Tvisebebi.samkuTxedis kuTxeebis jami.samkuTxedebis tolobis I da IIniSani.tolferda samkuTxedis Tvisebebi.samkuTxedis tolferdobis niSnebi.monakveTis SuamarTobi.samkuTxedebis tolobis III niSani.samkuTxedis gare kuTxe.samkuTxedis utoloba.marTkuTxa samkuTxedi.kuTxis biseqtrisis Tviseba.paralelogrami. paralelogramisTvisebebi.rombi. rombis farTobi.marTkuTxedi. kvadrati.მოსწავლეს შეუძლია ობიექტთაპერიოდული მიმდევრობის და მუდმივინაზრდის მქონე რიცხვითი მიმდევრობისგავრცობა და გაანალიზება.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიფიგურების ამოცნობა, მათი სახეობებისშედარება და კლასიფიცირება.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიობიექტების წარმოდგენა ამოცანისკონტექსტის შესაბამისად.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიამოცანების ამოხსნა სამკუთხედებთანდაკავშირებული ცნებებისა და ფაქტებისგამოყენებით.30 sTsakontrolo wera № 5, 6VI Tavixarisxis Tvisebebi.erTwevri. erTwevrebis gamravlebada axarisxeba.mravalwevri.erTwevrisa da mravalwevris namravli.mravalwevrebis namravli.igiveoba.Semoklebuli gamravlebis formulebi.mravalwevris daSla mamravlebad.kubebis jami da kubebis sxvaoba.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურირიცხვების წაკითხვა, გამოსახვა, შედარებადა დალაგება პოზიციური სისტემისგამოყენებით; რიცხვების თვისებებისგამოკვლევა პოზიციური სისტემისგამოყენებით.მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურრიცხვებზე მოქმედებების სხვადასხვახერხით შესრულება.მოსწავლეს შეუძლია ალგებრულიგამოსახულების გამარტივება და წრფივიგანტოლების ამოხსნა.2 sT16 sTsakontrolo wera № 7, 82 sT14masc_cigni_VII_kl_cor.indd 14 03.07.2012 15:46:25

gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenarsI Tavi. §4. jgufuri mecadineoba -@viTamaSoTgakveTilis mizani: gamoviyenoT gayofadobis niSnebi zogierTi problemisgadasawyvetad.savaraudo xangrZlivoba: 45wT.jeradi№ 2-is 3-is 4-is 5-is 6-is 9-is12345saWiro masalebi: saweri furceli da kalami.qvebi (nebismieri figura, romelicsaTamaSod gamodgeba, Tund lobios, cercvismarcvlebi).aucilebeli wina codna:gayofadobis niSnebi (2-ze, 3-ze, 4-ze, 5-ze, 6-ze)moswavleTa codnis aqtivacia (5wT)dafaze davxazoT sqema da moswavleebs vTxovoT Seavson cxrili. SesaZloa zogierTiricxvi ramodenime svetSic ki Caiweros.TamaSi: 30 wT.amis Semdeg klasi davyoT 4 jgufad. yovel jgufFs mivceT winaswar baraTebze daweriliTiTo amocana. jgufebad samuSaod maT eZlevaT mkacrad gansazRvruli dro-25wT.jgufis ToToeul wevrs aqvs azris gamoTqmis ufleba. mas Semdeg, rac jgufis wevrebimivlen saerTo gadawyvetilebamde jgufis lideri (jgufi Tavad irCevs mas) klasiswinaSe gamoTqvams da asabuTebs jgufis naazrevs.jgufi, romelic pirveli gaarTmevs Tavs davalebas, irCevs warmomadgenels, romelicgamoTqvams Tavis (jgufis) mosazrebas. imarTeba diskusia. Tu atyobT, jgufis miergamoTqmuli mosazreba ar aris swori, SesaZlebelia davexmaroT aseTi SekiTxvebiT;(magaliTad,1 amocanisTvis)kiTxva 1. Yyvelaze didi ra ricxvi unda daasaxelos moTamaSem (≠51-sgan), rom manmoigos?kiTxva 2. Yyvelaze didi ra ricxvi unda daasaxelos moTamaSem,rom Semdeg etapze man48-is dasaxeleba SeZlos?aseTi ricxvia 45. Da.S., miviReT ricxvTa mwkrivi ….., 45, 48, 51 (1)…kiTxva 3. gaagrZeleT es mwkrivi 3 wevriT.kiTxva 4. ra ricxvis dasaxelebas unda Seecados moTamaSe, rom moigos?moswavleebi advilad amCneven kanonzomierebas: (1) mwkrivSi 3-is jeradi ricxvebiamocemuli.mcireodeni diskusiis Semdeg, isini Tanxmdebian, rom moTamaSem, mogebisaTvis, undaSeecados daasaxelos 3-is jeradi ricxvebi.maS, TamaSis wesi aseTia: pirveli moTamaSe asaxelebs 1-s an 2-s, maSin meore daasaxelebs3-s (+2 an +1), da a.S. meore moTamaSes yovelTvis SeuZlia daasaxelos 3-is jeradiricxvi e.i. igebs meore moTamaSe.amis Semdeg, imedia, danarCeni jgufebic advilad gaerkvevian TavianTi TamaSis wesebSida warmoadgenen sworad TamaSis sqemas.18masc_cigni_VII_kl_cor.indd 18 03.07.2012 15:46:25

Bbolo 10 wuTis ganmavlobaSi SevajamoT dRevandeli gakveTilis Sedegebi. moswavleebsvTxovoT ,Seadginon analogiuri amocanebi. SevekiTxoT, rogor SeiZleba gamoviyenoTcxovrebaSi, praktikaSi ricxvebze gayofadobis niSnebi (mag. klasSi, romelSic 21moswavlea, yoveldRiurad morigeoba SesaZlebelia sam moswavles davakisroT,radgan 213-ze).amis Semdeg maswavlebels SeuZlia moswavleebs saSinao davalebad misces aseTiamocana:im SemTxvevaSi, me-2 moTamaSem ar icis sworad TamaSi, rogor SeuZlia moigospirvels.Aaqtivobis ganxilva: mocemuli aqtivoba saSualebas iZleva ganaviTarosmoswavleebSi azrovnebis unari. moxdes maT mier varaudis gamoTqmadakvleva, sworigadawyvetilebis miReba arsebul wina codnaze dayrdnobiT, rTuli problemis martivamocanebad dayofa da etapobrivad misi gadaWra, TanamSromloba jgufuri samuSaosSesrulebisas.II Tavi. §5. procentigakveTilis mizania moswavle gaerkves procentis cnebaSi, gaigos misi saWiroeba,ricxvis gamosaxvis sxvadasxva formebs Soris SeZlos mocemuli viTarebisaTvisadekvaturis SerCeva, sxvadasxva formiT gamosaxuli ricxvebis Sedareba da Sefaseba.savaraudo xangrZlivoba: 45wT.moswavleTa codnis aqtivacia: 10wT.moswavleebs magaliTebis saSualebiT gavaxsenoT ricxvis nawilis azri da misi povnisxerxi. (mag. risi tolia 25-is 3/5 nawili, 120-is 7/10 da a.S.).SesaZlebelia gakeTdesramdenime umartivesi amocana Temaze: Rirda 10 lari, gaZvirda Rirebulebis 1/5nawiliT, ra Rirs axla? iwonida 80 kilograms, moiklo wonis 1/10 nawiliT, ramdensiwonis axla?cnebis gacnoba, diskusia: 15wT.ganvixiloT amocana: supermarket gudvilis samma maRaziam saSobaod gadawyvitasaqonlis gaiafeba. warmovidginoT, rom vitrinebze gamotanili informacia gaiafebisSesaxeb am saxisaa: saqoneli iafdeba Rirebulebis 1/9 nawiliT (1 maRazia), saqoneliiafdeba Rirebulebis 2/17 nawiliT (me-2 maRazia), „saqoneli iafdeba Rirebulebis9/100 nawiliT“ (me-3 maRazia). romel maRaziaSi ufro momgebiania saqonlis SeZena?savaraudod, moswavleebi daiwyeben msjelobas imis Sesaxeb, rom am kiTxvaze pasuxisgasacemad saWiroa ama Tu im saqonlis sawyisi fasis codna. Tumca sabolood moxdebaSeTanxmeba imis Taobaze, rom saWiroa wiladebis Sedareba.amocanis amoxsnis Semdeg davsvaT SekiTxva: ra sirTuleebs waawydeba myidveli, TuaseTi formiT gamoaqveynebs gaiafebis pirobebs supermarketis yvela maRaziaSi?vTxovoT moswavleebs moifiqron raime xerxi, rac myidvels Seumsubuqebsgadawyvetilebis miRebas msgavs situaciebSi.wiladebis Sedarebis drom garkveuli sirTuleebi warmoiqmneba imasTan dakavSirebiT,rom es wiladebi sxvadasxvamniSvneliania. amitom myidvels rom saqme gavuadviloT,sasurvelia gaiafebis maCvenebeli wiladebi erTnairmniSvneliani iyos an gamoisaxos19masc_cigni_VII_kl_cor.indd 19 03.07.2012 15:46:25

aTwiladebiT. msjeloba SeiZleba gagrZeldes manam, vidre moswavleebi ar mivlenim daskvnamde, rom sasurvelia arCeuli iqnes iseTi ricxvi, romelic sayovelTaostandarti iqneba amgvari saxis raodenobrivi informaciis gamoqveynebisas. amisSemdeg, bunebrivad SeiZleba procentis cnebis Semotana (ix. paragrafi me–5. procenti).vTxovoT moswavleebs, gaixsenon sad SexvedriaT es simbolo, vaCvenoT raime, razedacaRniSnulia Semadgenel nawilebs Soris TanafardobT procentuli saxiT (mag. wamlisyuTi an Sokoladis fila) da vTxovoT procentTan dakavSirebuli warwerebisganmarteba.mokled gavacnoT moswavleebs procentis da misi gamomsaxveli simbolos warmoSobisistoria, ganvumartoT sityva „procentis“ etimologia (5 wT).vavarjiSoT moswavleebi wiladebisa da aTwiladebis procentis saxiT gamosaxvaSi dapiriqiT (sav. 2, sav. 3, sav. 7, sav. 11, sav. 12); ricxvis procentis povnaSi (sav. 4, sav. 8, sav.9, gv. 16) (15 wT).sasurvelia savarjiSoebis miTiTebul nomrebSi mocemuli magaliTebidan nawiligairCes gakveTilze, nawili ki mieces saSinao davalebad.„procenti“ me–15 saukunis bolos vaWrobasTan dakavSirebulma saqmianobam warmoSva.magaliTad, mogebam, wagebam, gadasaxadebma, Tumca es idea gacilebiT adre gaCnda, maSin,roca romis keisarma avgustusma gadasaxadebi gaadida yvela im produqtze, romelicgayidvaSi iyo. vaWrobidan amoRebuli gadasaxadi 1/100–s Seadgenda. gadasaxadi yovelgaTavisuflebul monaze 1/20–s, xolo yovel gayidul monaze — 1/25–s.me–15 saukunis italiuri „manuskriatebi“ Seicavs 20 procentis aseT Canawers:„20??????100“.me–16–17 saukuneebSi komerciul saqmianobaSi ukve aqtiurad gamoiyeneboda procenti– mogebisa Tu wagebis saCveneblad.italieli vaWrebi mogebas yovel 100 dukatze ase angariSobdnen: „20 per cento?“ (e.i.yoveli 100–dan 20). mokled ki werdnen `20 pc“ Cqari werisas pc waagavda „%“–s da aseTandaTanobiT „%“ simbolo gaxda aRmniSvneli „measedisa“.500–is 20% niSnavs – 20 500–is yoveli 100–dan, e.i. 500–is 20%=20·500100 =100.20masc_cigni_VII_kl_cor.indd 20 03.07.2012 15:46:25

saprezentacio gakveTili „damoukidebeli kvlevisTvis“ micemuli amocanisaTvissaswavlo miznebimoswavleebmaganaviTarondakvirvebisunaridaeuflonmonacemebiswarmodgenasdiagramissaSualebiTmieCvion cxrilSimocemulimonacemebismixedviT sworidaskvnebisgakeTebasTemisprezentaciagaiwafongamoTvlebisCatarebaSi,geometriulixelsawyoebisgamoyenebaSiSeZlon droisukeT ganawilebamecadineobisa dadasvenebisaTvisaucilebeliwina codnacxrilisSedgenamonacemTasaSualosgamoTvlawris nawilebicentralurikuTxeerTi anramdenimemoswavlericxviswiladinawili,procentiricxvisdayofaproporciulnawilebadaqtivobebimoswavleTacodnisaqtivizaciawinaswarmomzadebulcxrilzemuSaobamoswavleTaorganizebadroisganawilebaresursebiSefasebisformamTeli klasi 5 wT fargali dakvirvebaindividualuri15 wT saxazavitransportiriCanawerisgacnobadiskusia mTeli klasi 10 wT dakvirveba kuTxisgradusulizoma10 wT furceli dasaweri kalamiCanawerisSemowmebasaprezentacio gakveTili „damoukidebeli kvlevisTvis“micemuli amocanisaTvis (III Tavi. § 4)gakveTili sasurvelia Catardes me–3 TavSi gadmocemuli masalis Seswavlis Semdeg.savaraudo xangrZlivoba: 45 wT.me–4 paragrafis 12 savarjiSo moswavleebs gagrkveuli drois ganmavlobaSidakvirvebis Sedegad unda gadaewyvitaT. maT ukve Sedgenili aqvT cxrili, aqvTgamoTvlili saSualod ra dros andomeben yoveldRiurad gakveTilebis momzadebasda ra dro rCebaT daskvnebisa da garTobisaTvis, TiToeul sagnis momzadebazesaSualod daxarjuli dro.gakveTilze ki moswavleebma unda aagon wriuli diagrama, romelic gamosaxavssaSualod dRis ganmavlobaSi daxarjul dros: Zilze, mecadineobaze, garTobaze dasxva danarCenze.moswavleTa codnis aqtivizacia.Sesrulebuli davalebis irgvliv sasurvelia daisvas SekiTxvebi: daaxloebiT ra drosxarjaven moswavleebi mecadineobaze. sxvadasxva sagnebis momzadebaze, maTematikissaSinao davalebis Sesrulebaze. ra dro rCebaT garTobisaTvis?SevaxsenoT is aucilebeli wina codna, rac saWiro iqneba mocemuli davalebisSesasruleblad davsvaT SekiTxvebi: ras ewodeba wre, seqtori ramden graduss moicavswrewiri, wris ra nawilia 90°–ian, 60°–iani, 120°–iani seqtori?21masc_cigni_VII_kl_cor.indd 21 03.07.2012 15:46:26

diagramis ageba:sTxoveT moswavleebs gamoTvalon saSualod dRe–Ramis ra nawils andomebenmecadineobas da gamoTvalon Sesabamisi centraluri kuTxe. Semdeg transportirissaSualebiT aagon centraluri kuTxe da Sesabamisi seqtori. zedve waaweron„mecadineoba“ da Sesabamisi saaTebis raodenoba (sasurvelia Tu dros gamovsaxavTwilad nawilebSi, procentebSi). aseve aagebineT seqtori, romelic SeesabamebagarTobaze, Zilze da sxvadasxva qmedebaze daxarjul dros.aqve sasurvelia daisvas kiTxva, Tu ukve agebuli kuTxis Semdeg saidan unda aizomosmomdevno kuTxe.samuSaos dasrulebis Semdeg kargi iqneba aseTi kiTxviT mivmarToT moswavleebs:xom ar SeiZleboda sxva xerxiT agvego diagrama, dasaxmareblad SesaZloa yuradRebamivaqcevinoT (SekiTxvis saSualebiT) imaze, rom centralur kuTxeebsa da Sesabamisdroebs Soris pirdapirproporciuli damokidebuleba arsebobs. amiT bavSvebiTavad mivlen im daskvnamde, rom 360°–iani kuTxe saWiroa daiyos daxarjul droTaproporciul nawilebad.sTxoveT moswavleebs daakvirdnen miRebul Sedegebs, gaiTvaliswinon TavianTimoswreba da upasuxon kiTxvebs, rogor fiqroben SesaZlebelia Tu ara gazardonmecadineobaze gamoyofili dro, raTa ukeTesi Sedegebi miiRon, Tu amis miRweva sxvagzebiT umjobesia (drois optimalurad gamoyeneba, gakveTilze yuradRebis metadmobilizeba da a.S.).amis Semdeg zogierTi moswavle gamoviyvanoT dafasTan, romlebic warmoadgenenTavianT naSroms. sasurveli iqneba, Tu moswavleebi moifiqreben da momxsenebelsSekiTxvebs dausvamen.sazogadod, Tu Sefasebisas gaviTvaliswinebT, rogorc dasmuli kiTxvebis, asevepasuxebis efeqtianobas, es kidev erTi stimuli iqneba moswavleebisTvis codnisgasaRrmaveblad.da bolos, maswavlebels SeuZlia moswavleebs aseTi davaleba misces: aagon wriulidiagrama, romelic gamosaxavs samecadinod gamoyofili drois ganawilebas TiToeulisagnis momzadebaze.mocemuli aqtivoba saSualebas iZleva moxdes codnis gamoyeneba sxvadasxvamimarTulebebidan: „ricxvebi da gamoTvlebi“, „monacemTa analizi, statistikada albaToba“, „kanonzomierebebi da algebra“, „geometria da sivrcis aRqma“ daamasTan moswavles kidev erTxel miscems saSualebas dafiqrdes, raTa optimaluradgaanawilos dro swavlasa da dasvenebisaTvis.V Tavi. § 8. samkuTxedis Siga kuTxeebis jamimoswavleebi aRmoaCenen samkuTxedis Tvisebas (samkuTxedis Siga kuTxeebis jamisSesaxeb) modelebze manipulaciebis saSualebiT, asabuTeben debulebebs am TvisebisSesaxeb sxvadasxva xerxis gamoyenebiT. msjeloben dasabuTebis xerxebis sarwmunoobisSesaxeb.aqtivobis mizani:• moswavle gaiwafos amocanis konteqstis Sesabamisad geometriul obieqtTagamosaxvaSi;• Camouyalibdes kritikuli azrovneba, msjelobisa da dasabuTebis unari.22masc_cigni_VII_kl_cor.indd 22 03.07.2012 15:46:26

ZiriTadi SekiTxvebi:1. SeiZleba Tu ara figuris Tvisebis aRmoCena misi modelis gamoyenebiT?2. SesaZlebelia Tu ara sazomi xelsawyoebis gamoyenebiT figuris Tvisebis Sesaxebvaraudis gamoTqma?3. debulebis samarTlianobis dadgenis romeli xerxi migaCniaT ufro sarwmunod –zemoT CamoTvlili Tu dasabuTebis gziT miRebuli?savaraudo dro: 1 gakveTili.masala: didi zomis qaRaldi (formati), feradi furclebi, saxazavi, transportiri,fanqari webo, ...aqtivobis aRwera:1. gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT (5 wuTi).2. maswavlebeli Txovs moswavleebs gaixsenon Seswavlili masala kuTxeebis Sesaxeb:gansazRvreba, klasifikacia, Tvisebebi, kuTxeTa jami da misi Tvisebebi da a.S. (5 wuTi).3. Semdeg klass dayofs oTx jgufad. ori jgufis davalebaa sxvadasxva saxeobissamkuTxedebis modelebis gamoyenebiT (mag. erTmaneTze midgmiT) gamoTqvasvaraudi samkuTxedis Siga kuTxeebis jamis Sesaxeb da moaxdinos Tavisi varaudissamarTlianobis demonstrireba.4. danarCen or jgufs vyofT wyvilebad, TiToeul wyvils eZleva davaleba gamoiyenostransportiri, gazomos da aRricxos sxvadasxva saxeobis samkuTxedebis kuTxeebida amis safuZvelze gamoTqvas varaudi samkuTxedis Siga kuTxeebis jamis Taobaze(sxvadasxva jgufs gamosakvlevad SeiZleba mieceT sxvadasxva saxeobis samkuTxedi)(10 wuTi).5. oTxive jgufi axdens Tavisi namuSevris prezentacias (10 wuTi).6. amiT Semdeg maswavleblis daxmarebiT moswavleebi kuTxeebis Sesaxeb maTTviscnobil debulebebze dayrdnobiT amtkiceben debulebas (10 wuTi).7. Semdeg imarTeba diskusia, Tu romeli xerxia ioli da romeli – sarwmuno (5 wuTi).8. maswavlebeli saSinao davalebad aZlevs moswavleebs daadginon samkuTxediskuTxeebTan dakavSirebuli romelime debuleba (mag. gare kuTxis Tviseba).V Tavi. § 12. monakveTis SuamarTobimoswavleebi aRmoaCenen monakveTis SuamarTobis Tvisebas modelebze manipulaciebissaSualebiT, asabuTeben debulebas am Tvisebis Sesaxeb.aqtivobis mizani:• moswavle gaiwafos amocanis konteqstis Sesabamisad geometriul obieqtTagamosaxvaSi;• SeZlos pirdapiri da Sebrunebuli winadadebebis gaazreba, Camoyalibeba;• SeZlos wertilTa geometriuli adgilis cnebis gamoyenebiT ganmartebis andebulebis Camoyalibeba.• Camouyalibdes kritikuli azrovnebis, msjelobisa da dasabuTebis unari.savaraudo dro: 1 gakveTili.aqtivobis aRwera:1. gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT. ris Semdegac moswavleebs vaxsenebT23masc_cigni_VII_kl_cor.indd 23 03.07.2012 15:46:26

aqtivobis aRwerademonstrireba: gakveTilis dasawyisSi dafaze davxazoT kvadrati, romlis gverdi3 erTeulis tolia, xolo am kvadratis mezoblad davxazoT marTkuTxedi, romlissigrZe 2 erTeuliT metia kvadratis gverdis sigrZeze, xolo sigane 2 erTeuliTnaklebia kvadratis gverdis sigrZeze. orive figuras mivaweroT maTi zomebi.SekiTxva mTel klass: vTqvaT es kvadrati gamosaxavs Tqven sakuTar miwis nakveTs dagTavazoben rom igi gaucvaloT am marTkuTxa miwis nakveTSi. daTanxmdebodiT Tu araaseT SemoTavazebaze? cxadia, rom TvalzomiT rTulia imis SemCneva, rom am figurebstoli perimetri aqvT, aseve rTulia ramis Tqma maTi farTobebis Sesaxeb, amitomgarkveul etapze saWiroa SevTavazoT moswavleebs rom maT gamoTvalon am figurebisperimetrebi da farTobebi. SekiTxva klass: risi tolia TiToeuli maTganis farTobi?risi tolia TiToeuli maTganis garSemoweriloba?kvadratuli formis miwis nakveTis farTobi 9 kvadratuli erTeulis tolia.marTkuTxa formis miwis nakveTis farTobi 5 kvadratuli erTeulis tolia.am ori miwis nakveTis garSwemoweriloba erTmaneTis tolia da udris 12 erTeuls.moswavleebi amCneven rom am konkretrul SemTxvevaSi kvadratis formis miwisnakveTis farTobi metia marTkuTxedis formis miwis nakveTis farTobze. SevTavazoTmaT rom ganazogadon es faqti, risTvisac saWiro iqneba garkveuli kvleviTi samuSaosCatareba.wyvilebSi muSaoba: klasi davyoT wyvilebad da davurigoT winaswar gamzadebulicxrili.kvadratimarTkuTxedifarTobTasxvaobagverdissigrZefarTobi sigrZe sigane farTobi3 9 5 1 5 44567ׄsvetebi, romlebic gamosaxavs marTkuTxedis sigrZes da siganes, unda Seivsos ise,rom marTkuTxedis perimetri toli iyos Sesabamisi kvadratis perimetris, xolomarTkuTxedis sigrZisa da siganis sxvaoba mudmivi iyos. gamoTvaleT kvadratisa damarTkuTxedis farTobebi da SeavseT Sesabamisi svetebi“. gamartivebul SemTxvevaSiSeiZleba SevTavazoT iseTi cxrili, romelSic es ori sveti winaswaraa Sevsebuliricxvebis erTiT mzardi mimdevrobiT.rodesac yvela wyvili asrulebs davalebas, erTi an ramdenime moswavle avsebskedelze gamokrul didi zomis cxrils.SekiTxva: „ra kanonzomierebebis SemCneva SeiZleba miRebuli cxrilis saSualebiT“?garkveuli diskusiis Semdeg klasi Tanxmdeba imaze, rom ZiriTadi kanonzomierebawarmoCenili bolo svetSi, sadac erTi da igive ricxvi weria, e.i. farTobebis sxvaobamudmivia.25masc_cigni_VII_kl_cor.indd 25 03.07.2012 15:46:26

Semdeg ganixileba meore magaliTi, romelSic marTkuTxedis gverdebis sigrZeebsSoris sxvaoba sxva ricxvis tolia da vekiTxebiT ariT Tu ara kanonzomierebaimave tipis. ZiriTadi yuradReba mivaqcioT im faqtis SemCnevas, rom kvadratisa damarTkuTxedis farTobebis sxvaoba orive SemTxvevaSi mudmivia, Tumca sxvadasxvaricxvis tolia.amis Semdeg klass vTavazobT gamoiyenon algebruli teqnika miRebuli kanonzomierebisdasabuTebisa da ganzogadebisaTvis. msjelobis dasawyisi unda iyosdaaxloebiT aseTi:vTqvaT kvadratis gverdis sigrZe X–is tolia. risi toli iqneba misi farTobi? (X 2 )vTqvaT marTkuTxedis sigrZe 2–iT metia kvadratis gverdis sigrZeze. risi toli undaiyos am marTkuTxedis sigane Tu gvinda, rom misi perimetri kvadratis perimetristoli iyos (marTkuTxedis sigrZe iqneba X+2, xolo sigane X–2)?risi toli iqneba am marTkuTxedis farTobi? ((X+2)(X-2))moswavleebma unda gaigon Tu cxrilis romeli svetebi Seesabameba algebrulgamosaxulebebs da SevTavazoT moswavleebs miRebuli gamosaxulebebis Semowmeba:e.i. mocemuli ricxvebis Casma da cxrilSi gamosaxul sidideebTan Sedareba.zogierTma moswavlem SeiZleba damoukideblad miiRos igiveoba marTkuTxedisfarTobisaTvis da is rom swored am igiveobiT aixsneba farTobebis sxvaobismudmivoba. cxadia, am igiveobis miReba SesaZlebelia wminda algebruli meTodebiT,magram SevTavazoT moswavleebs geometriuladac daasabuTon igi.aqtivobis mimoxilva da garTulebuli variantialgebruli igiveobebis miRebis tradiciuli meTodi gulisxmobs algebrulioperaciebis gamoyenebas. xolo am igiveobebis dakavSireba maTematikis sxvamimarTulebebTan rogorc wesi ar ganixileba. am aqtivobis mizania erT–erTigavrcelebuli algebruli igiveobis geometriuli Sinaarsis warmoCenasa da misgamoyenebaze. garda amisa, moswavleTa motivaciis gazrda SesaZlebelia am yovelivespraqtikul amocanebSi gamoyenebis demonstrirebiT. aqtivobis gagrZeleba SeiZlebaoptimizaciis martivi amocanis dasmiT: igiveobis gamoyenebiT moswavleebma SeiZlebaTviTon aRmoaCinon is faqti, rom mocemuli perimetris mqone marTkuTxedebs Sorisudidesi farTobi aqvs kvadrats („mocemuli sigrZis Tokis saSualebiT rogorSemovsazRvroT udidesi farTobis mqone marTkuTxa are?“).26masc_cigni_VII_kl_cor.indd 26 03.07.2012 15:46:26

eziume:I Tavi1. gameorebamoswavlem unda SeZlos amocanis, problemis gaanalizeba-gaazreba, Sesabamisimonacemebis amokreba da saTanado ricxviTi gamo saxulebis Sedgena-gamoangariSeba,cvladiani gamosaxu lebis mniSvnelobis povna cvladebis konkretuli mniSvnelobebisaTvis,Sesabamisi modelis Sedgena-wakiTxva, ariTmetikul moqmedebaTaTvisebebis swori gamoyeneba. Tvisebebis gamoyenebiT gamoTvlebis gamartiveba,gamosaxulebaSi msgavsi wevrebis dafiqsireba, koeficientebis gansazRvra da msgavsiwevrebis Sekreba, umartives amocanebisaTvis cvladiani gamosaxulebis Sedgena da misigamartiveba.amoxsnebi, miTiTebebi:2. a+b=82. ricxviTi gamosaxuleba. cvladiani gamosaxuleba2 2 1a) a + = b 8= 4b) a+b+ 8a + b=8+ 8 =98g) 3(a+b)=3·8=24 d) a + b + 4 8 442 a b= 12+ + 8= + 2= 4 123. CarCos farTobi SeiZleba gamoviTvaloT, rogorc sxvaoba didi marTkuTxa farTobsda suraTisTvis gankuTvnili marTkuTxedis farTobs Soris:S=(2a+b)·(2a+c) – bc4. a) 5n; b) 7+n; g) 2n+3; d)7n- 2 .3n3. ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi9. ricxvi 588 martiv mamravlebad daSlisas gvaZlevs 588=2·2·3·7·7. e.i. saZiebeli ricxviarsebobs da ara erTi. davawerinoT moswavleebs ramdenime maTgani, mag.: 22377, 37722 daa.S. vaCvenoT, rom SesaZlebelia davweroT naturaluri ricxvebi, romelTa cifrebi,garda aRniSnuli cifrebisa, SeiZleba iyos 6 da 4. davsvaT kiTxvebi: a) kidev SeiZlebaTu ara raime cifri Sediodes saZiebeli ricxvis CanawerSi, b) ra SemTxvevaSi eqnebodaamocanas uaryofiTi pasuxi.reziume:2. gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedarebamoswavlem unda SeZlos konkretuli ricxviTi gamosaxulebebis mniSvnelobebis Sedareba,mkacri da aramkacri utolo bebis niSnebis gamoyeneba. cvladebis mocemulimniSvnelobebisaTvis cvladiani gamosaxulebebis mniSvnelobaTa povna da Sedareba.ormagi utolobis gamoyeneba sxvadasxva sidideebis Sefasebis dros (temperatura,simaRle, farTobi da a.S.).27masc_cigni_VII_kl_cor.indd 27 03.07.2012 15:46:27

amoxsnebi, miTiTebebi:6. a) 5

13. a) ((2(x+1)+10):5+8)·3-6=30((2(x+1)+10):5+8)·3=36(2(x+1)+10):5+8=12(2(x+1)+10):5=42(x+1)+10=202(x+1)=10x+1=5x=4(ucnobi saklebi)(ucnobi Tanamamravli)(ucnobi Sesakrebi)(ucnobi gasayofi)(ucnobi Sesakrebi)b) (((((5x+7):2-1):2)+25):3+4)·5=70((((5x+7):2-1):2)+25):3+4=14((((5x+7):2-1):2)+25):3=10(((5x+7):2-1):2)+25=30((5x+7):2-1):2=5(5x+7):2-1=10(5x+7):2=115x+7=22x=314. zogadi wevri 5n+1, CamoTvlili ricxvebidan mimdevrobas ekuTvnis 91; 226 (5-zegayofisas naSTSi rCeba 1).reziume:3. ricxvis naturaluri xarisximoswavle erTmaneTisgan unda arCevdes terminebs - xarisxi, xarisxis maCvenebeli,xarisxis fuZe. SeeZlos maTi swori gamoyeneba. SeeZlos (u.s.g)-s da (u.s.j.)-s Caweramartivi mamravlebis xarisxebis namravlis saxiT, zogierTi naturaluri xarisxebisgamoTvla. (u.s.g)-s da (u.s.j.)-s gamoyeneba amocanebis amoxsnisas.amoxsnebi, miTiTebebi:6. S=64m 2 =640000sm 27. b) S=6a 2 V=a 3 .8. a) S 1=6(3a) 2 =9·6a 2 =9S.10. magaliTad: 25; 49 (martivi ricxvis kvadrati).29masc_cigni_VII_kl_cor.indd 29 03.07.2012 15:46:27

11. jer ganvixiloT Sedgenili urTierTmartivi ricxvebis umciresi saerTo jeradi,magaliTebis safuZvelze moswavleebma unda gaakeTon daskvna: urTierTmartivi ricxvebisumciresi saerTo jeradi maTi namravlia.12. metrebis raodenoba unda iyos rogorc 3-is, ise 5-is jeradi, radgan Cven gvindaumciresi raodenoba, es iqneba u.s.j, e.i. 3×5=15 metri.13. u.s.j. (8;12)=2414. pirvelad es gemebi navsadgurSi erTdroulad aRmoCndeba 30 Tvis Semdeg (u.s.j.(6;15)=30)575 5115 523 2315. aseTi filebis gverdis sigrZe (yvelaze didi) SeiZlebaiyos 25 sm. filebis raodenoba ki 23×15=345 cali.16. Tanxa, romelic giorgis 20 wlis Sesrulebisas yulabaSieqneba, tolia 1+2+2 2 +2 3 +2 4 +...+2 11 =4095 laris.375 3125 525 55 517. a) 1; 2; 4; 8; 16; 32.... 2 n-1b) 2; 4; 8; 16; 32.... 2 ng) 1; 4; 9; 16; 25; 36... n 2d) 3; 9; 27; 81; 243; 729; 3 ne) 5; 25; 125; 625; 3125; 15625... 5 nv) 1; 8; 27; 64; 125; 216... n 318. magaliTi gakeTdes aucileblad msjelobiT:radgan5>3, amitom 5 3 >3 3 .2

27. P=2(2x+12)=4(x+6)sigrZe x+12siganexperimetri 2(x+x+12)28. am TveSi aucileblad iqneboda 5 xuTSabaTi. es ricxvebia: 2; 9; 16; 23; 30 da, Tu 23ricxvi xuTSabaTia, 26 iqneba kvira.30. II jgufi _ x I jgufi _ 3 5 xx + 3 x, saidanac x=20531. yvela martivi ricxvi, 2-is garda, kentia, ori kenti ricxvis jami ki luwia. radganmocemul ricxvebis jami kentia, e.i. maT Soris erT-erTi 2-ia.Seamowme Seni codna1. g. 2. g. 3) d. 4. Bb. 5. g. 6. 1. 7. 204. 8. a) 0,81; b) 253; g) 667. 9. a) 6,408; b) 800; g) 2; d) 80,84.10. x y 2x 3y 2x-3y+45 1 10 3 112,5 0,1 5 0,3 8,77,4 2,8 14,4 8,4 10,44 1,5 8 4,6 7,56,3 2,5 12,5 7,5 9,111. a) aTaseulebis; aTiaTaseulebis; asiaTaseulebis.12. 20000; 11000; 10100; 10010; 10001.4. gayofadobis niSnebireziume:moswavlem unda SeZlos paragrafSi CamoTvlili gayofadobis niSnebis gamoyeneba.amis gaTvaliswinebiT, gayofis Sesrulebamde imis garkveva, gaiyofa Tu ara mocemuliricxvi aRniSnul ricxvebze.amoxsnebi, miTiTebebi:2. mivaqcioT yuradReba, rom moswavleebi ar Semoifarglon mxolod TiTo ricxvis povniT.arsebiTia, rom maT amowuron yvela Sesabamisi SemTxveva Sesabamisi msjelobiT.a) 2340; 2345 b) 3872; 3876g) 2511; 2541; 2571 d) 4509; 4599e) 3780 v) 2124; 5124; 812431masc_cigni_VII_kl_cor.indd 31 03.07.2012 15:46:28

4. cxadia gaiyofa, I Tvisebis Tanaxmad 18=2·9.5. iyofa I Tvisebis Tanaxmad.6. a) ori momdevno naturluri ricxvidan erTi luwia.b) sam momdevno naturalur ricxvSi erTi samis jeradi, xolo erTi mainc _ luwi.7. a) 288+38+351+953cxadia iyofa 2-ze l+l+k+k=l.3-ze ar iyofa, CavataroT Semdegi msjeloba 2883 3513, xolo 38 da 953-is cifrTa jamiar iyofa 3-ze.5-ze gayofadoba SevamowmoT bolo cifrebis jamiT 8+8+1+3. bolo cifria 0. e.i. 5-zeiyofa.7-ze gayofadoba naSTebiT288=7·41+138=7·5+3351=7·50+1953=7·133+2naSTebis jamia 7. e.i. jami 7-ze iyofa.8. a) 5·10 5 +3·10 3 +2·10 2 +10ricxvi 0-iT bolovdeba, e.i. iyofa 5-ze da 10-ze.5+3+2+1 3, e.i. ricxvi 3-ze ar iyofa.bolo ori cifrisgan Sedgenili ricxvia 10, e.i. 4-ze ar iyofa.9. daamtkiceT, rom a) (258 2 -33·51+47 2 )10; b) (123 2 -62 2 )5.a) viciT, ricxvi rom 10-ze iyofodes, unda bolovdebodes 0-iT. 258 2 -is bolo cifria4, 47 2 -is bolo cifria 9, e.i. 258 2 +47 2 bolovdeba (4+9=13) 3-iT. 33·51 bolovdeba 3-iT, e.i.sxvaobis bolo cifria 0.b) ricxvi rom iyofodes 5-ze, unda bolovdebodes 0-iT an 5-iT. 123 2 –62 2 =...9-...4=...5, e.i.iyofa 5-ze.10. varskvlavebis nacvlDad CasviT cifrebi ise, rom Sesruldes:a) *378*36; b) 4*2545; g) 2894*6; d) 56**18.a) ricxvi rom 36-ze iyofodes, unda iyofodes 4-ze da 9-ze.4-ze gayofisTvis aRniSnuli ricxvis bolo cifri unda iyos 0; 4 an 8;*3780 9-ze rom iyofodes (3+7+8=18) varskvlavis nacvlad unda iyos 9. 93780.*3784 9-ze rom iyofodes (3+7+8+4=22) * nacvlad unda eweros 5(27-22=5). e.i. 53784.*3788 9-ze rom iyofodes (3+7+8+8=26) * nacvlad unda iyos 1. 13788.b) ricxvi rom 45-ze iyofodes, unda iyofodes 5-ze da 9-ze. mocemuli ricxvi 5-ze iyofa.cifrTa jamia 4+2+5=11 Casasmeli ricxvia 7. 4725.g) ricxvi rom 6-ze iyofodes, unda iyofodes 2-ze da 3-ze. 2+8+9+5=24 e.i. boloSi undamieweros iseTi luwi cifri, romelic iyofa 3-ze, aseTebia: 5670; 5688; 5616; 5634; 5652.11. daamtkiceT a) 2344 2 -1 iyofa 5-ze; b) 3789 2 -1 iyofa 10-ze.a) 2344 2 bolovdeba 6-iT, amitom 2344 2 -1 dabolovdeba 5-iT.b) 3789 2 bolovdeba 1-iT, amitom 3789 2 -1 dabolovdeba 0-iT.33masc_cigni_VII_kl_cor.indd 33 03.07.2012 15:46:28

12. ipoveT, ra cifriT bolovdeba ricxvi:(733+29·39)·3-257 229·39 bolovdeba 1-iT.733+29·39 bolovdeba 4-iT.(733+29·39)·3 bolovdeba 2-iT.257 2 bolovdeba 9-iT.(733+29·39)·3–257 2 bolovdeba 3-iT.13. daamtkiceT, rom 56**7 ricxvi ar SeiZleba iyos romelime naturaluri ricxviskvadrati.naturaluri ricxvis kvadrati SeiZleba bolovdebodes 00-iT (ori nuliT), 1-iT, 4-iT,25-iT, 6-iT, 9-iT.14. 42*4* varskvlavebis nacvlad CasviT cifrebi, rom mocemuli ricxvi gaiyos 36-ze(ix. amocana 4a).saZiebeli ricxvebia 42840; 42444; 42048; 42948.15. ra cifriT bolovdeba 25 3 -24 2 +22 3325 = ... 53 o jamis bolo cifri iqneba 3.22 = ... 824 2 =...6, e. i. ...3 - .....6= ..... 7. bolo cifria 7.16. 10a+b=4(a+b)10a+b=4a+4b6a=3b da b=2a, e. i. miviReT, rom erTeulebis cifri orjer metia aTeulebis cifrze,SerCeviT miviRebT, rom es ricxvebia 12; 24; 36; 48.17. 1+2+3+...+108+109+110=(1+110)+(2+103)+(3+108)++... +(55+56)=55·111111 iyofa 37-ze e. i. jami iyofa 37-ze.18. daamtkiceT, rom:a) nebismieri naturaluri n ricxvisaTvis:(n+7)(n+12) 2;b) nebismieri mTeli m da n ricxvebisaTvis:mn(m+n) 2.a) Tu n luwi ricxvia n+12-c luwia, xolo Tu n kentia, maSin n+7 luwia, orive SemTxvevaSi(n+7)(n+12) luwia.b) Tu m da n ricxvebidan erT-erTi mainc luwia, mn Tanamamravli iqneba luwi, xoloTu orive kentia, m+n iqneba luwi.19. WeSmaritia b. 20. b.21. g (iyofa 7-zec)22. 153; 252 ... 450; 459; 558 ... 950; 959. sul 11 ricxvi.34masc_cigni_VII_kl_cor.indd 34 03.07.2012 15:46:28

23. WeSmaritia b. ricxvi 5-is jeradia.24. 2006 wels 365 dRea.a) 365=7 . 52+1 bolo dRe anu 31 dekemberi isev kviraa.b) 53 kvira dRe.g) 52 samSabaTi.25. 1 marti orSabaTiaa) 5 aprilamde 31+5=36 dRe36=5 . 7+1 5 aprili isev kviraab) 20 aprilamde 31+20=5151=7 . 7+2 20 aprili orSabaTiag) 7 maisamde 68 dRe68=7 . 9+5 7 maisi paraskevia26. ori erTnairi nayofis mowyvetis Sedegad Cndeba limoni, xolo sxvadasxva nayofisSedegi _ vaSlia, amitom vaSlebis raodenoba an mcirdeba luwi ricxviT, an igive rCeba,radgan vaSlebi raodenobrivad kentia, e.i. bolo nayofi yvela SemTxvevaSi iqneba vaSli.28. 15= 3 . 5 18=2 . 3 . 3SeiZleba Seikras 3 Taiguli romelic Sedgeba 5 vardi da 6 mixakisgan.29. 5-jer iqneba mxolod kvira.230. =1nawili.4 231. I - x II -2x3III=3232. 47,5 +4 $ 15 = 67 , 5km.3Seamowme Seni codna:1. a89b:6 = 3abcxadia, pirveli cifri a=1 (winaaRmdeg SemTxvevaSi ganayofSi pirvel cifrad 3-s vermiviRebT. 189b:6= 31b. 3 b:6= b e.i. b=6.2a+b=2·1+6=9 pasuxia a.2. g.3. 7 9 xarisxis bolo cifris gamosaangariSeblad:7 1 =77 2 bolo cifria 9 7 4k bolo cifria 17 3 bolo cifria 3 7 4k+1 bolo cifria 77 4 bolo cifria 1 7 4k+2 bolo cifria 97 5 bolo cifria 7 7 4k+3 bolo cifria 37 9 =7 8+1a) bolo cifria 735masc_cigni_VII_kl_cor.indd 35 03.07.2012 15:46:29

4. naSTi movZeboT rogorc cifrTa jamis 9-ze gayofis naSTi 47-is 9-ze gayofis naSTid) 2.5. 15a+ 13 = ( 15a+ 10)+ 3 d) 36. a=8m+5b=8n+4 a+b=8(m+n)+8+1 b) 1.7. a=9m+73a=27m+21=27m+18+3 b) 3.8. radgan SavSAi ukve wiTeli burTulaa, dagvrCa TeTri da Savi burTula. TeTri TeTryuTSi ver iqneba, e.i. TeTri wiTelSia.9. 2×5×7×9+3 7-ze gayofis naSTia 3. pasuxia b).10. b.reziume:6. simravlemoswavlem unda SeZlos aRweriT mocemuli simravlis Cawera ele mentebis saxiT dapiriqiT, elementebis mixedviT simrav lis aRwera-daxasiaTeba. ricxviTi simravleebiscodna da maTi Cawera. ∈; ∉ simboloebis Sesabamisad gamoyeneba.amoxsnebi, miTiTebebi:3. orniSna ricxvebi, romlebic iyofa 25-ze aris 25; 50; 75. amdenad amocanis pasuxia27; 52; 77}.4. g) erTelementiani simravle, romlis elementia ricxvi 0;d) moswavleebma unda dainaxon dawerili wiladebis mricxvelebs Soris da mniSvnelebsSoris kanonzomiereba. yoveli wiladis mricxveli dawyebuli meoredan wina mricxvelze3-iT metia, mniSvneli ki wina mniSvnelze 4-iT. wiladebi, meoredan dawyebuli SeiZleba1 + 3( n - 1)Caiweros ase:, sadac n Sesabamisi elementis nomeria (Tu warmovidgenT, rom5 + 4( n - 1)simravlis elementebi gadanomrilia).8. xis mori unda gadaixerxos 4 adgilas. saWiroa moswavleebsdavanaxoT, rom gadaxerxvis adgilebis raodenoba erTiT naklebiakunZebis raodenobaze. es SeiZleba ase avxsnaT. naxatzeTiToeul, daxerxvis Sedegad miRebul kunZs (misgan marjvniv)isriT SevusabamoT gadaxerxvis adgili. bolo kunZi darCebaisris gareSe 4=5-1.36masc_cigni_VII_kl_cor.indd 36 03.07.2012 15:46:29

9. am SemTxvevaSi, radgan dro Sebi gvWirdeba dasawyis-Sic da boloSic, igive Sesabamisobis Cvenebis dros,rac wina amocanaSia, vxedavT, rom yovel mo nakveTsSeesabameba droSa, xolo erTi droSa (pirveli) rCebaSesabamisi monakveTis gareSe. e. i. gvWirdeba 100+1=101 droSa.10. a) ix. wina paragrafis bolos (Seamowme Seni codna) amocana 3.b) SevadginoT analogiuri cxrili 3-is xarisxebisaTvis.3 1 -33 2 -9 3 4n =...13 3 -27 3 4n+1 =...33 4 -81 3 4n+2 =...9 3 9 =3 8+13 5 -243 3 4n+3 =...7 bolovdeba 3-iT.12. 264 2132 266 2 e.i. ar arsebobs33 311 11reziume:7. simravleTa toloba. qvesimravlemoswavlem unda SeZlos sxvadasxva simravleebidan toli simravleebis gamoyofa.mocemuli simravlis qvesimravleebis CamoTvla. eileris wreebiT simravleebs Sorisdamokidebulebis Cveneba da piriqiT sqematurad mocemuli simravleebisTvis maT Sorisdamokidebulebis gansazRvra (romeli romlis qvesimravlea).amoxsnebi, miTiTebebi:2. arsebobs Tu ara simravle, romelsac aqvs:a) mxolod erTi qvesimravle.radgan nebismier aracariel simravles aqvs ori qvesimravle mainc _ carieli simravleda TviT es simravle, aseTi simravle aris mxolod carieli simravle Ø⊂Ø.b) mxolod ori qvesimravle.aseTi simravlea nebismieri erTelementiani simravle.g) mxolod sami qvesimravle.aseTi simravle ar arsebobs. amaSi dasarwmuneblad, meSvideklaselebs savsebiT sakmarisiavaCvenoT, rom erTelementian simravles ori qvesimravle aqvs, xolo orelementiansukve _ 4.37masc_cigni_VII_kl_cor.indd 37 03.07.2012 15:46:29

4. amocana gamodgeba jgufuri muSaobisaTvis. moswavleebi xalisiT Seasruleben dasmulamocanas, SefasebisTvis SeiZleba movifiqroT Tundac aseTi sistema: TiToeulsityvaze moswavles davuweroT imdeni qula, ramdeni asosganac Sedgeba sityva.10. a) luwia; b) luwia;g) kentia; d) kentia.11. orniSna ricxvTa simravle Sedgeba 99-9=90 elementisgan.12. 10000-9999=1.13. 15 . 12+14=194.14.I xerxi: 7·3+6·3+5·3+7·3+4·3 kviris ganmavlobaSi aRebuli Tanxa gamoviTvaloT, rogorckviris ganmavlobaSi yoveldRiurad aRebul TanxaTa jami.II xerxi: (7+6+5+7+4)·3 Tanxa davTvaloT, rogorc kviris ganmavlobaSi samuSao saaTebisraodenoba gamravlebuli saaTobriv anazRaurebaze.15. davanaxoT moswavleebs, rom TiToeul Sualeds erTi droSaSeesabameba. amdenad, droSa dagvWirdeba imdeni, ramdeni metrianiSualedic gvaqvs, e. i. _ 100.reziume:8. simravleTa TanakveTa da gaerTianebamoswavlem unda SEeZlos ori an ramdenime simravlis TanakveTisa da gaerTianebis povna,eileris wreebiT maTi gamosaxva.amoxsnebi, miTiTebebi:1. M∩K=C, sadac C aris 6-is jerad ricxvTa simravle.3. moswavleebma ician, rom Tu ori gansxvavebuli wrfe ikveTeba, maT erTaderTi saer-To wertili aqvT, winaaRmdeg SemTxvevaSi, isini paralelurebi arian da SesabamisadTanakveTis simravle iqneba carieli simravle.8. qarTuli anbani 33 aso-bgerisgan Sedgeba. e. i. M∩F=Ø M F iqneba 33 elementianisimravle.10. A∩B={1;64}.11. qeTis varaudi SeiZleba gamarTldes da SeiZleba ara imdenad, ramdenac wvimis winadRes kata aucileblad axvelebs, magram ara mxolod maSin.38masc_cigni_VII_kl_cor.indd 38 03.07.2012 15:46:29

12. A - ASavi feris mqone CitebiB - yvavebiC - Citebi, romlebmac ician frena.B=CSavi CitebiAyvavebi == frenis mcodneB Citebisqemidan Cans, rom a) b) da d) WeSmariti ar aris. WeSmaritia g).13. giam mexuTe sarTulze asasvlelad aiara 4 sarTuli. orjer meti safexuri romaiaros, daTom kidev unda aiaros Semdegi 4 sarTuli. Sesabamisad, daTo unda avidesmecxre sarTulze.I Tavis damatebiTi savarjiSoebi2. gaviTvaliswinoT, rom: a) 3 da b) 7 martivi ricxvebia, amdenad, Tu wiladi am mniSvneliTikveceba, maSin igi mTeli ricxvia.3. a) WeSmaritia; b) mcdaria;g) mcdaria; d) WeSmaritia.5. 32527·32324-32528·32323=32527(32323+1)-(32527+1)32323=32527·32323+32527-32527·32323-32323=32527-32323=204.6. 2-is, 3-is, 11-is u. s. j. aris 66. amitom aseTi ricxvi iqneba 67.7. 4+7a=4+4a+3a=4(1+a)+3a. Cven viciT, rom a+1 iyofa 3-ze, 3a-c iyofa 3-ze, e. i. maTi jami3-is jeradia.11. a) WeSmaritia; b) mcdaria;g) WeSmaritia; d) WeSmaritia.113.21 + xgamosaxuleba ar SeiZleba iyos erTze meti, imitom, rom x2 +1 gamosaxulebisumciresi mniSvnelobaa 1, (roca x=0).15. a) Tu x miiRebs mxolod naturalur mniSvnelobebs, 9x 2 -5 gamosaxulebis umciresimniSvneloba iqneba 9·1-5=4.16. a) 20+9x.b) unda amovxsnaT gantoleba 20+9x=200, saidanac x=20.18-22. magaliTebis mizania moswavleebma airCion ariTmetikul moqmedebaTa SesrulebisaTvisra ufro xelsayrelia: zepiri angariSi Tu kalkulatori.a) 512; b) 207; g) 4150512; d) 10; e) 17,98.20. P=2(3x+x) a) 8x=40 5;15b) 8x=60 7,5; 22,539masc_cigni_VII_kl_cor.indd 39 03.07.2012 15:46:30

21. x+2x+3x=222.x=3722. I - x II - 2x III - 4x7x = 111111x =587324. am magaliTis gakeTeba moswavleebma msjelobiT unda SeZlon da ara kalkulatorisgamoyenebiT.a) 3 5 =...3405235 $ 3 = ...5-o sxvaobis bolo cifri iqneba 0.25 $ 17 = ...5b) 510=...5 (5-is nebismieri xarisxi 5-iT bolovdeba).31 . 5 10 =...5 sxvaobis bolo cifria 4.63 . 97=...1g) 48 2 =...4 sxvaobis bolo cifria 0.32 2 =...4d) 27 3 =...357 . 32=...4 sxvaobis bolo cifria 9.25. 356 2-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s, e.i. masze naklebi udidesi aseTi ricxviiqneba 356-3=353.26. sami gamyofi SeiZleba qondes mxolod martivi ricxvis kvadrats. udidesi orniSnaiqneba 7 2 =49.27. a) 6134; 6435; 6735;b) 82312; 82332; 82352; 82372; 82392;g) 1215;d) gaiyos 6-ze, e.i. unda iyos luwi da cifrTa jami iyofodes 3-ze. yvela luwicifridan gamodgeba mxolod 4. 28704e) 1245; 4245; 7245;v) 70551;z) 82504; 82544; 82584;T) 82524; 82554; 82584.28. a) paraskevi; b) xuTSabaTi; g) xuTSabaTi; d) kvira.29. a) gadiddeba 28-iT; b) ar Seicvleba; g) Semcirdeba 2-jer;d) gaizrdeba 8-jer; e) Semcirdeba 2-jer; v) ar Seicvleba.20. a) 7n+1; b) 5n+3; g) 3n+2; d) 10n+8; e) 5n; v) 6n;31. A - skolis moswavleTa simravle;I - moswavleebi, romlebic inglisurs swavloben;R - moswavlebi, romlebic rusuls swavloben;C - orive enas.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 40 03.07.2012 15:46:30

IARmoswavleTa raodenoba, romle bic swavloben an inglisursan rusuls, tolia 1000-100=900.sqemidan moswavleebi iolad dainaxaven, rom C simravliselementTa raodenoba tolia (640+550)-900=1190-900=290.ARCB32. R - me-7 klaselebis simravle; A A - mxolod curvaze,elementTa raodenoba 220; B - mxolod fexburTze, elementTaraodenoba 150; C - oriveze, elementTa raodenobax.amocanis amoxsnamde davsvaT kiTxvebi, ra simravlea A C; B C; A B C; romeli pirobaazedmeti amocanis amoxsnisaTvis? 220+150+x=450 x=8036. a ⊕ b =3a-4ba) 5 ⊕ 3=3 . 5-4 . 3=3; b) 10 ⊕ 7=3 . 10-4 . 7=2; g) 8 ⊕ 1=8 . 3-4 . 1=20;d) 7 ⊕ 5=7 . 3-4 . 5=1; e) 3 ⊕ 2=3 . 3-4 . 2=1.43. a) 15·11+6·11=11(15+6)=11·21.21 iyofa 7-ze, e.i. jami iyofa 7-ze.b) 38·13+14·13=13(38+14)=13·52 4pirveli Tavis testi1. d 2. d 3. g 4. b5. g 6. d 7. g 8. g9. a 10. g 11. a 12. B13. B 14. C 15. a 16. A17. b 18. b19. Tu pirveli ricxvi xuTSabaTia, am TveSi orSabaTi iqneba Semdeg ricxvebSi 5; 12; 19;26. maTgan 5-is jeradi mxolod pirvelia. e.i. ninis katas muceli 5 ricxvSi aucilebladatkivdeba.sakontrolo wera №11. 3a-2b cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba, roca a=5 da b=3 tolia:a) 9; b) 10; g) 11; d) 21.2. 3(2a+1)–1+2,5a gamosaxulebis gamartivebis Sedegad miiReba:a) 5,5a+1; b) 8a-2; g) 8,5a+2; d) 8,5.3. 144-isa da 162-is udidesi saerTo gamyofia:a) 6; b) 9; g) 18; d) 36.41masc_cigni_VII_kl_cor.indd 41 03.07.2012 15:46:30

4. 144-isa da 162-is umciresi saerTo jeradia:a) 288; b) 324; g) 2592; d) 1296.5. mocemuli ricxvebidan romeli iyofa unaSTod 15-ze?a) 3·7·11; b) 3·5·17; g) 2·5·11; d) 2·3·19.6. ra cifri unda CavsvaT *-is nacvlad 23*8, rom miRebuli ricxvi gaiyos 9-ze?:a) 6; b) 7; g) 8; d) 9.7. Tu a da b cvladebs Soris moqmedeba gansazRvrulia Semdegnairad a ⊕ b=a+2b, maSin5 ⊕ 7=a) 12; b) 22; g) 24; d) 26.8. Tu A{2; 5; 11; 15} da B={5; 10; 15; 20....}, maSin A∩B=a) {2; 5; 15}; b) {5; 15}; g) {2; 11}; d) B.9. gamoTvaleT: `74 +1 16 : 3 j $8 4 82 510. ramdeni erTnairi Taiguli Seikvreba 57 gvirilisa da 38 zambaxisagan?II Tavi1. geometriuli figurebies gakveTili sasurvelia Catardes rogorc integrirebuli gakveTili informatikismaswavlebelTan erTad, kompiuterul laboratoriaSi, proeqtoris gamoyenebiT.vaCvenebT ra moswavleebs sxvadasxva geometriul figurebs, isini albaT TavadgaarCeven Tu romelia brtyeli an sivrculi figura. sasurvelia moswavleebskompiuterSi davaxazvinoT esa Tu is figura, raSic dagvexmareba informatikismaswavlebeli.reziume:2. wrfis da wertilebis urTierTmdebarebamoswavlem unda SeZlos dadgena, Tu ra urTierTmdebareoba SeiZleba qondes wertilebsada wrfeebs. wrfis ZiriTadi Tvisebis (or wertilze gamavali wrfis Sesaxeb) gaazrebulicodnis gaTvaliswinebiT ramodenime wertilze gamavali wrfeebs raodenobisdaTvla (paragrafSi garCeuli amocanebi)42masc_cigni_VII_kl_cor.indd 42 03.07.2012 15:46:30

4. 6 wrfe.arc erTi sami wertili erT wrfeze ar mdebareobs.5.BA FaM6. amocanisTvis SeiZleba SevadginoT maTematikuri modeli. bavSvebi warmovidginoTrogorc sibrtyis wertilebi, romelTagan arc erTi sami erT wrfeze ar mdebareobs.ramdeni wrfis gavleba SeiZleba:a) 4 wertilze; b) 7 wertilze; Gg) n wertilze.amoxsna:4 $ 3a) =7 $ 66; b) = 21;22g) TiToeul wertilze (bavSvi) SeiZleba gaivlos (dawyvildes) (n-1) wrfe, e.i. sul n(n-1).n( n - 1)magram radgan AB da BA wrfe erTi da igivea, sul gaivleba wrfe.27. A B simravlis elementTa raodenoba Semdegnairad unda gamoiTvalosn(A B)=n(A)+n(B)-n(A∩B), sadac n Sesabamisi simravlis elementTa raodenobaa.9. 60k=2 2·3·5·k k=2·3 2·5 2 =45010. yovel gaWraze furclebis raodenobas emateba 4 furceli, e.i. nebismier etapzeraodenoba unda iyos 5+4k tipis ricxvi, sadac k∈N.reziume:3. wrfeebis urTierTmdebareobamoswavlem unda SeZlos paralelurobis, rogorc terminis gamoyeneba cxovrebaSi(paraleluri quCebi, mavTulebi da a.S.) wrfis gareT mdebare wertilidan am wrfismimarT paraleluri wrfis gavleba, unda icodes, rom aseTi wrfe erTaderTia. undaSeZlos ori saxazavis saSualebiT paraleluri wrfeebis gavleba.amoxsnebi, miTiTebebi:1. ikveTeba, cxadia A wertilSi.3. a) b)43masc_cigni_VII_kl_cor.indd 43 03.07.2012 15:46:30

g) d)4. a) 1 wertili b) 3 wertili5. I SemTxvevawrfis gareT aRebul wer ti lebze gamaval wrfeze ar Zevsarc erTi wrfeze aRebuli wertilebidan CA; CB; DA; DB;DC; AB. sul eqvsi wrfe..AC...DBII SemTxvevawrfis fareT aRebul wer tilebze gamaval wrfeze mdebareobserT-erTi wrfeze aRebuli wertilebidan CA; CB;DB. oTxi wrfe..CA.B..D6. amocana wina paragrafis me-6 amocanis analogiuria.25 $ 7a) ar SeiZleba, imitom rom . mTeli ricxvi ar aris.225 $ 10b) SeiZleba = 125, am SemTxvevaSi sul naTamaSebi iqneba 125 TamaSi.27. a=4n+34n+3=4n+2+1=2(2n+1)+1 2-ze gayofis naSTia 1.8. a) 3·4·5·6·7·8+7+5, naSTia 5; b) 3·4·5·6·7·8-14+2, naSTia 2.x+2y=4, saidanac y-is udide-9. 5x+10y+20z=100.z-is SesaZlebeli udidesi mniSvnelobaa 4. darCebasi mniSvnelobaa: y=1. e.i. x=2; y=1; z=410. 10a+b=2ab b luwia da 5-ze meti.b=2a(b-5) akmayofilebs mxolod 6 saZiebeli ricxvia 36.11. dinebis mimarTulebiT navis siCqarea 12+3=15 km/sT. 90 km-is gavlas navi moandomebs90= 6 sT-s.1544masc_cigni_VII_kl_cor.indd 44 03.07.2012 15:46:31

eziume:4. sxivimoswavlem unda SeZlos mocemuli sxivis wakiTxva, saTavis dasaxeleba, am sxivis damatebiTisxivis ageba. erT wrfeze mdebare sami wertilidan imis garkveva, Tu romelimdebareobs danarCen ors Soris.amoxsnebi, miTiTebebi:8. davsvaT kiTxvebi: ramdeni bavSvi rCeba ZiriTad SemadgenlobaSi asarCevad? ramdeniaasarCevi? vRebulobT, rom unda dawyvildes 9 bavSvi. wina paragrafebSi amoxsnili9 $ 8amocanebis gaTvaliswinebiT, variantebis raodenobaa = 3629. 364*davsvaT Sesabamisi kiTxvebi, rom pasuxebi pasuxebi miviRoT Semdegiy: ricxvi rom 45-zegaiyos unda iyofodes 5-ze da 9-ze, e.i. varskvlavis nacvlad unda iyos 0 an 5 ise, romcifrTa jami gaiyos 9-ze. aseT cifrad gamodgeba mxolod 5.11. A=(10a+b)(10m+n)B=(10b+a)(10n+m)A-B gamartivebis Sedegad vRebulobT 99am-99bn=99(am-bn).5. monakveTireziume:moswavlem unda SeZlos monakveTis Cawera misi boloebiT. toli monakveTebis moniSvna.wrfeze sami wertiliT miRebuli monakveTebisTvis oris sigrZis mocemulobiT mesamessigrZis povna.amoxsnebi, miTiTebebi:1. g) 11-x.2. a) MB=AB-AM; b) AB=AM+MB.3.A BMC CNAB=AC+CB= + = 2,5M C N2 24.a) 5,9sm 0,7dm MK=MN+NKM N K MK=5,9+7=12,9 sm.b)K M NMK=NK-MN=1,1 sm.45masc_cigni_VII_kl_cor.indd 45 03.07.2012 15:46:31

15. a) yvela meSvideklaseli wiTuria; b) yvela meSvideklaseli warCinebulia;g) arc erTi meSvideklaseli ar aris wiTuri; d) simravle wiTuri warCinebuli meSvideklaselebisa.16. vTqvaT, es ricxvebia a da b, maSin a=8k, b=8p, xolo 8kp=40 ⇒ kp=5, e.i. k=1 da p=5 an k=5da p=1. saZiebeli ricxvebia 8 da 40.17. dasmuli amocanis mizania: a) kanonzomierebis SemCneva, misi gavrcoba da gamosaxva; b)algebruli gamosaxulebis gamartiveba; g) geometriuli obieqtebis (marTkuTxedebis)warmodgena amocanis konteqstis Sesabamisad.a ca) a c ac2` 3$ + $ j + 2ab + 2bc= + 2ab+ 2bc; b) 2(ab+ac+bc); g) 2(ab+ac+bc)2 2 2 2b) da g) figurebis SemTxvevaSi moswavleebma unda SeamCnion, rom zedapiris farTobebierTi da igivea da aRniSnul zomebs `2b; c ;a j mniSvneloba ar aqvs.3 3 2reziume:6. naxevarsibrtyemoswavlem unda SeZlos mocemuli wrfiT (cxovrebiseuli situacia _ mdinare, quCada a.S.). miRebuli naxevarsibrtyeebis gansazRvra. imis dadgena, Tu ramden nawiladiyofa sibrtye ama Tu im figuriT. wertilis mdebareobis gansazRvra mocemul naxevarsibrtyeebSi.amoxsnebi, miTiTebebi:3.1a) 4 nawilad; b) 2 1 6 nawilad2343 64 522g) 31 6 nawilad; d) 3 17 nawilad74646555. a) WeSmariti; b) mcdari; g) mcdari.6. WeSmaritia a), imdenad, ramdenadac AB

7. kuTxereziume:moswavlem unda SeZlos kuTxis wakiTxva erTi an sami asoTi. mocemuli kuTxisTvis misiSiga wertilebis dafiqsireba. imis gansazRvra, mocemuli kuTxis wverodan gamavalisxivi gadis Tu ara kuTxis gverdebs Soris. gaSlili kuTxis ganmarteba da daxazva.amoxsnebi, miTiTebebi:3. M wertili mdebareobs K da N wertilebs Soris, e.i. OM gadis KON kuTxis gverdebsSoris.6. ∠OAb; ∠bAC; ∠OAC .7. paraskevi iyo d) 14 marti (21-14=7).8. 6 cxriani 1000000-1=999999.9. jami Semcirdeba 997-799=198-iT.10. mgzavrobis droa 210 wT=3sT 30 wT; matarebeli xaSurSi Cava 13 sT-ze.reziume:488. kuTxis gazomvamoswavlem unda SeZlos transportiris gamoyeneba kuTxeebis gasazomad. paragrafSimocemuli debulebis samarTlianobis praqtikuli Semowmeba.amoxsnebi, miTiTebebi:5. a) ∠aOM=∠aOB-∠MOB=24°; b) ∠aAOM=27°21′-12°31′= 26°81′-12°31′= 14°50′.6. a) x+x+20°=80°; b) 3x+x=80°; g) 5x+3x=80°.7. orniSna ricxvebis raodenoba, romlis erTeulis cifria 5, aris cxra (15: 25... 95),xolo ricxvebi, romlis aTeulis cifria 5, aris aTi (50; 51... 59). am ricxvebs ricxvi 55saerTo aqvT, e.i. ricxvebis raodenobaa 18.8. kamaTelis waxnagebze daweril ricxvTa jamia: 1+2+3+4+5+6=21. mopirdapire waxnagebiswyvilebis raodenobaa _ sami. e.i.a) mopirdapire waxnagebze daweril ricxvTa jamia 21:3=7;b) 5-ianis mopirdapirea 2-iani;g) 3-ianis mopiirdapirea 4-iani.9. radgan TiToeul jibeSi gansxvavebuli raodenobis vazna aqvs, amocanis pirobisTanaxmad, jibeebSi ganTavseulia 1;2;3;4;5, sul _ 15 vazna.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 48 03.07.2012 15:46:32

Seamowme Seni codna1. wrfeze agebuli sami wertiliT miRebuli monakveTebidan udidesi danarCeni orisjamis tolia. e.i. a) SemTxveva ar SeiZleba b) cxadia, SeiZleba da is sruldeba ori monakveTisaTvis.2. radgan BC>AB e.i. B mdebareobs A da C wertilebs Soris da cxadia AC>AB.3. a) blagvia; b) blagvia.4. a) blagvia; b) maxvilia.5. a) blagvia; b) blagvia.6. a) blagvia; b) maxvilia.7. a) mcdaria; b) mcdaria.C8. a) C OA; OB; OC; b) OA; OB; OCAOBAOBAAg) OA; OB; d) OA; OB; OCOBOBCAB9. a) oTxi b) samiA OBOCCDx2x10. a) WeSmaritia; b) mcdaria.A BC11. a) da b) SemTxvevaSi BC edidesi monakveTia, e.i. A mdebareobs B da C wertilebs Soris.12. 20 sm; 13. 56. 14. maxvili. 15. 114°. 16. 70°. 17. 117°30′.50masc_cigni_VII_kl_cor.indd 50 03.07.2012 15:46:32

eziume:10. mosazRvre kuTxeebimoswavlem unda icodes mosazRvre kuTxeebis ganmarteba da unda SeZlos mocemulikuTxis mosazRvre kuTxis povna. dadgena imisa, Tu rogoria maxvili, blagvi, marTikuTxeebis mosazRvre kuTxeebi.amoxsnebi, miTiTebebi:1. toli kuTxeebis mosazRvre kuTxeebi tolia.3. WeSmaritia.4. blagvi kuTxis mosazRvre kuTxe maxvilia.25. x + x =180°, saidanac x=140°. 6. x+50°+x=180°.7360c7. 3x+x=180°. 8. = 20c.189. naxazidan 2y=90° e.i. y=45° da 3x=90° e.i. x=30°.2x - y =15 =1x + y 75 510. a) sami; b) erTi.11. leqsom gaiara 19 40-metriani monakveTi e.i. sul 40 . 19=760 m.tramplini1mAwylis zedapiri12. SeiZleba vaCvenoT naxazze. AB monakveTissigrZe 6 metria, e.i. tramplinidan wylis zedapiramde3 m-ia.B2m13. cxadia, M baraTze yvelaze mcire cifri weria,anu 1, xolo N baraTze yvelaze didi, anu 9.e.i. jami 10-is tolia.14. es ricxvi tolia 2 3·3 2 =72.reziume:11. vertikaluri kuTxeebimoswavlem unda icodes vertikaluri kuTxeebis ganmarteba da unda SeZlos mocemulikuTxis vertikaluri kuTxis ageba,misi mniSvnelobis dasaxeleba, imis gansazRvra, Turisi tolia mocemuli kuTxis mosazRvre kuTxis vertikaluri kuTxe da a.S.amoxsnebi, miTiTebebi:2. 7x–3x=72°x=18°, e.i. ∠AOC=126°, ∠COB=54°51masc_cigni_VII_kl_cor.indd 51 03.07.2012 15:46:33

6. (180°–130°)·2=100°.7. a=6m+2 da b=6n+3a+b=6(m+n)+5 a) 6-ze gayofis naSTia 5;b) a+b=6(m+n)+3+2 3-ze gayofis naSTia 28. 4x-60 =3x+30, saidanac x=909-10. CamovTvaloT ra cifrebiT SeiZleba dabolovdes naturaluri ricxvis kvadratebi:(...1) 2 =...1 (...7) 2 =....9(...2) 2 =...4 (...8) 2 =....4(...3) 2 =...9 (...9) 2 =....1(...4) 2 =...6 (....0) 2 =...00(...5) 2 =...25(...6) 2 =....6naturaluri ricxvis kvadrati SeiZleba dabolovdes mxolod 00; 1; 4; 6; 9 da 25-iT.11. ricxvi unda iyos luwi da iyofodes 3-ze, rom miviRoT udidesi, x-is nacvlad undadavsvaT udidesi cifri da Sesabamisad ganvsazRvroT y. x=9; y=6.reziume:13. texili, mravalkuTxedi, samkuTxedimoswavlem unda SeZlos martivi da Sekruli texilebis garCeva, misi mdgenelebis dasaxeleba.texilis sigrZis gamoTvla, Sek ruli texilebidan amozneqili mravalkuTxedebisamocnoba, misi elementebis dasaxeleba. samkuTxedebis klasifikacia misi gverdebis dakuTxeebis mixedv iT, Sesabamisi naxazebis Sesruleba, perimetrebis gamoTvla.amoxsnebi, miTiTebebi:1. l=8+9+10+11=382. a=50=10m.56. tolferda samkuTxedis fuZe, romelic tolgverda samkuTxedis gverdis tolia135 167 - 45=45sm-ia. e.i. tolferdas ferdi =61 sm-ia.327. a) AB sxivi; b) orive; g) BA sxivi.53masc_cigni_VII_kl_cor.indd 53 03.07.2012 15:46:33

9.24perimetrebis jami tolia 8·5+16=56.14. samkuTxedis simaRle, biseqtrisa, mediana.reziume:moswavlem unda SeZlos sxvadasxva saxis samkuTxedebSi (maxvilkuTxa, blagvkuTxa damarTkuTxa) simaRleebis gatareba. transportiris da saxazavis saSualebiT medianebisada biseqtrisebis gavleba. praqtikulad Semowmeba imisa, rom samive simaRleerT wertilSi ikveTeba, analogiurad, samive mediana da samive biseqtrisa. SesabamisimaTematikuri Canawerebis Sesruleba amocanebis pirobebis Caweris da amoxsnis msvlelobisdros.amoxsnebi, miTiTebebi:4. P ABC=2AK+2BM+2AN=13sm.5. (P ABD=21)⇒AD=6, e.i., AC=12 da P ABC=30.8. 5α+α=180°.9. vertikalur kuTxeebs erTi da igive mosazRvre kuTxeaqvT, e.i. saZiebeli kuTxea 120°.10. arc cisferi Tvalebi, arc qera Tmebi aqvs 30-(16+12-9)=11gogonas.16-9 9 12-9sul 30reziume:15. wrewirimoswavlem unda SeZlos wrewiris da wris, rogorc geometriuli figurebis gansazRvra, maTierTmaneTisgan garCeva, damokidebuleba erTsa da imave wrewiris radiusisa da diametris sigrZeebsSoris (diametri ori radiusia), damokidebuleba centridan wrewiris Siga, gare da wrewiriswertilebamde manZilebs Soris. centraluri kuTxis gazomva. damokidebulebis gansazRvracentraluri kuTxis da Sesabamisi rkalis gradusul zomebs Soris.amoxsnebi, miTiTebebi:3. OM MB=5smABAM=29sm6. 3,7

14. ar SeiZleba _ Tu A, B da C wertilebi erT wrfeze mdebareoben, maSin udidesissigrZe danarCenebis jamis tolia.17. SesaZlebelia sxivebis Semdegi ganlageba.AAOBKBKmxolod OB SeiZleba gadiodes ∠AOK kuTxis gverdebs Soris.18. mosazRvre kuTxeebis jami 180°-ia.a) x+x+60°=180°b) 5x+x=180°g) x+ 54 x=180°20. kuTxis mosazRvre kuTxeebi tolia, amitom TiToeuli maTgani 50°-ia, e.i. mocemulikuTxe 130°-ia.21. es ori kuTxe vertikaluri kuTxeebia, amitom TiToeuli udris 25°.22. es kuTxeebi mosazRvre kuTxeebia. e. i. maTi gradusuli zomebia: 36° da 144°.23. biseqtrisebs Soris kuTxe tolia mocemuli mosazRvre kuTxeebis naxevrebis jamis.e.i. 90°-ia.24. vertikaluri kuTxeebis biseqtrisebs Soris kuTxe 180°-ia.Seamowme Seni codna1.ACBACBBC=3,2–2,7=0,5BC=3,2+2,7=5,92. ar SeiZleba3.EM A C KF56masc_cigni_VII_kl_cor.indd 56 03.07.2012 15:46:34

III Taviam TavSi gaecnobiT:monacemebis mopovebis sxvadasxva meTodebs, am monacemebis dayofas – Tvisobriv daraodenobriv monacemebad.cxrilebs, diagramebs.monacemTa sixSires, fardobiT sixSires, monacemTa saSualos, modas, medianas, diapazons.ricxvis procents, mis gamoyenebas.proporcias, pirdapirproporciul da ukuproporciul sidideebs.miznebi:gaecnon monacemTa mopovebis sxvadasxva xerxebs, ganasxvaon erTmaneTisagan Tvisobrivida raodenobrivi monacemebi.SeZlon mogrovebuli monacemebis cxrilis an romelime saxis diagramis Sedgena dapiriqiT mocemuli cxrilis an diagramis saSualebiT SeZlon monacemebis amokreba damocemul processa Tu realur viTarebaze warmodgenis Seqmna, gaanalizeba da saWiroebisSemTxvevaSi, Sesabamisi daskvnis gamotana.gaecnon procents, mis farTo gamoyenebas cxovrebaSi.SeZlon konkretuli amocanisTvis ricxvis procentis, an procentis mixedviT ricxvispovna.SeZlon daadginon erTi ricxvi meoris ramdeni procentia.gaecnon proporcias, proporciul sidideebs. realur viTarebaSi daadginon sidideebsSoris arsebuli pirdapirproporciuli an ukuproporciuli damokidebuleba.SeZlon mocemuli sididis dayofa proporciul nawilebad.581. monacemebies gakveTili sasurvelia Catardes rogorc integrirebuli gakveTili geografiismaswavlebelTan erTad, kompiuterul laboratoriaSi.reziume:moswavlem unda SeZlos raime faqtis an movlenis Sesabamisi monacemebis mogroveba.monacemTa Sekrebis sxvadasxva xerxebis gamoyeneba (gamokiTxva, gazomva, dakvirveba).Tvisobrivi da raodenobrivi monacemebis erTmaneTisagan garCeva da Sesabamisi daskvnisgamotana.amoxsnebi, miTiTebebi:7. 7-ze naSTiani gayofisas udidesi naSTia 6. e.i. saZiebeli ricxvia 7·9+6=69.8. avtomobils gasavleli darCa mTeli gzis 1 - `1+1j =1111nawili. e.i. x· =220,5 4 2020saidanac x=400.9. a) x+3x=16 AC=4 dm.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 58 03.07.2012 15:46:34

5. procenties gakveTili sasurvelia Catardes kompiuterul laboratoriaSi da proeqtorisgamoyenebiT. vaCvenebT zogierT maRaziaSi gamocxadebul fasdaklebas procentebSida mcire istoriuli eqskursiT advilad miviyvanT moswavleebs procentis cnebamde.reziume:moswavlem unda SeZlos nebismieri ricxvis procentis saxiT Cawera da piriqiT, procentispraqtikaSi miRebuli formiT gaazreba. mocemuli ricxvis garkveuli procentispovna da imis dadgena, Tu erTi ricxvi meore ricxvis ramdeni procentia.amoxsnebi, miTiTebebi:6. a) 1 TeTri aris laris 1%.b) 1%.g) 0,1%.d) 0,5%.7. a) gvancam davaleba srulad Seasrula.b) guramma kanfetebis naxevari das misca.g) gia papam SekveTa 5%-is gadaWarbebiT Seasrula.d) rZisgan misi wonis meoTxedi naRebi miiReba.50 # 8010. a) =8 # 8040 t; b) = 6,8 t;10010060 # 80g) =20 # 8048t; d) = 16 t;10010011. a) 25%; b) 81 =12,5%; g) 83 =37,5%; d) 37,5%.12. a) 46%; b) 28%; g) 32%.13.Tmis feri sixSire fardobiTi sixSire fardobiTi sixSire %qeraTmiani 41617%5wablisferTmiani 10 1242&SavTmiani 81 33%3wiTuri 21 8%12sul 2461masc_cigni_VII_kl_cor.indd 61 03.07.2012 15:46:36

14. mTeli gzis 40% 80 km-ia dasagebi darCa 60%, e.i. darCa dasagebia 120 km.15. wynari okeane 49,4%atlantis okeane 25,3%indoeTis okeane 21,2%360612 # 49,4100360612 # 25,3100360612 # 21,2100= 177142,32 aT. kv. km.= 91234,836 aT. kv. km.= 76449,744 aT. kv. km.CrdiloeT yinulovani okeane 14,1%360612 # 14,1100= 50846, 292aT. kv. km.16. am magaliTis amoxsnis dros moswavlem ar unda iangariSos.a) 60 metia, imitom, rom is 100%-ia; b) 50 da 50-is 100% tolia;3 1g) 75%= ; d) 37-is 110% metia; e) %4 21< ; v) n-is 90% naklebia n-ze.218. mTeli klasis moswavleTa raodenoba 100%-ia, cxadia vaJebi 80%-ia.19. 100–(70+25)=5 bavSvebi 5%-ia.20. moswavleebma fexiT 10% iares. e.i.50 # 10100= 5 km.21.500 # 6,5100= 32,5;700 # 4,5100= 31,5.22. x+x+30°=90°; 30°; 60°.76 $ 12523. = 95.100x - y25. =x 16 , saidanacxx - = y 6, xolo 2x 2 1x - y= 6= 3.27. 5x-2.28. 33·5+(a+b+c)=27·8a+b+c=51 saSualo 17-is tolia.6. ricxvis povna misi procentis mixedviTreziume:moswavles unda esmodes formulaSi a # n = b TiToeuli komponentis azri da Sesabamis100amocanebSi unda icodes, rogor ipovos erT-erTi, an a an b, roca meore da procentebisraodenoba mocemulia, kerZod, ricxvi misi mocemuli procentis mixedviT.62masc_cigni_VII_kl_cor.indd 62 03.07.2012 15:46:37

amoxsnebi, miTiTebebi:2 # 1003. klasSi8= 25 moswavlea.15 # 1004. avtomobilSi darCa 25% benzini, e.i. sul iyo25= 60l.24 # 1007. α=40= 60c.28 # 1008. = 140 km.20410. x+ x =180°, saidanac x=100°.511. macivris fasis 70% 1400 laria. e.i. macivari Rirda12. 140% aris 1,4l. gaZvirebamde —60 # 10013. a) x-is 16% aris 60 kg. x=161,4 $ 100=1 lari.1401400 $ 100=2000 lari.70=1000 # 16375 ; b) = 160kg.10015. k unda iyos 2·3·5-is gamyofi, e.i. a) da b) ar SeiZleba; g) SeiZleba.16. samive SemTxvevaSi ricxvi 50-ze iyofa, *-is nacvlad unda CavsvaT cifri, rom cifrTajami 9-is jeradi iyos.a) 1800; b) 2835; g) 5535.17. 0

26. a) 50%; b) 25%; g) =240%; d) =133%; e) =333%; v) = 37, 5%.563845 # 100%7.180= 25%.8. a) a =3b =60b; a aris b-s 60%. b) b =5a . 167% a ; b aris a-s 167%.5 1003a a9. a ricxvi 5-jer metia b-ze, e.i. b = =20=20%a.5 10014. $26 27 28 29 48 491; ; ; ;... ; .. or nebismier momdevno wevrs Soris sxvaoba -is tolia.5 5 5 5 5 5516. 5x+x=180° x=30° udidesia 150°.117. 3 ·52+48x=481, saidanac x=6,5 sT.4118. orive cekvas swavlobs ((70+50)–100=20) 20%, e.i. moswavleTa . 5Seamowme Seni codna11. B. 2. 25%= , e.i. pasuxia: B.43.1 + 3 + 7 + 10 + 195=12 + 8 + 108= 10 B34. x=35 y=32 a5. mediana — 7diapazoni — 12-1=1B6. Tavi Seikava 100–(40+45)=15 15%7. b. 8. g.9. diagramis mixedviT moswavleTa saerTo raodenobaa — 200; istoriis wris msurvelia— 50; e.i. mTelis b) 25%.10. g) 41 .8. proporciareziume:moswavlem unda SeZlos proporciis wevrebis dasaxeleba (Sua, kidura), proporciisucnobis wevrebis moZebna. dasmuli amocanis Sesabamisi proporciis dawera da pasuxamdemiyvana, Tu proporciaSi wevrebi wiladebia, maTi naturalur ricxvebamde miyvana.64masc_cigni_VII_kl_cor.indd 64 03.07.2012 15:46:40

amoxsnebi, miTiTebebi:AC1. g) BC=3.26. a)I piqtogramiT Cans, rom 1 manqanis gamosaxuleba 4 gayidul manqanas gulisxmobs (16gayiduli opeli aRniSnulia 4 manqaniT), e.i. folcvagenis markis manqana gayidulia3×4=12 cali.II SevadginoT proporcia164=x, saidanac x=12.3b) (6–5)×4=4; g) (4+3+6+5)×4=18×4=72.AM7. BMEK8. EF=2 8, e.i.7 MB=3 21, e.i.8 EF=2, saidanac MB=28, e.i. AB=36.7=3, EF=56, e.i. FK=56–21=35.821Suawertilebs Soris manZili toli iqneba +35= 28.2 29. mocemuli cxra ricxvis jamia 16×9=144, TerTmeti ricxvisaTvis miviRebT144 + a + b =a + b16 , e.i. a+b=32; = 16 .11210. a=b+ b $ 20=6 b 5, e.i. b= a a 100 =a– %-iT.100 5 6 6 6b11. a = ; a+b=b+ b 44 = 5 b5b4 $ 100%. e.i. Cven gvainteresebs -is ramdeni %-ia b. n= =80%.44514.2n+ 3 =32 + ricxvi mTelia, Tu n 3-is gamyofia, e.i. n=1; 3.n nreziume:9. proporciuli sidideebimoswavlem unda SeZlos pirdapirproporciuli sidideebis ganmarteba. realurcxovrebaSi pirdapirproporciuli sidideebis dafiqsireba. maTi Tvisebebisgamoyeneba Sesabamisi problemebis gadawyveta.amoxsnebi, miTiTebebi:23. =3, x=12. 4.8 x2=5, x=6,25.2, 5 x5. 9-jer mets, e.i. 15×9=135. 6. 21-3=1,8 81 — 20km. 1 — x x=160km.865masc_cigni_VII_kl_cor.indd 65 03.07.2012 15:46:42

7. cxrilis Tanaxmad, 37 — 10060 # 10060 — x x=379. y =1, y=5.25 5= 162.10.5=250, x=400gr.=0,4kg. 11.8 x150 108,4= , x≈3613gr.5000 x12. 23·5=115km.13. rukis masStabia 160km — 32 sm.1:500000 x — 1sm16032= 5(km).14. im rukis mixedviT, romelzec 1:600000 masDStabia, vgebulobT, rom manZili Tbilisidanyazbegamde 17,5×6=105 km-is tolia. rukaze, romlis masStabi 1:500000-ia, es manZili105= 21sm-iT gamoisaxeba.516. Wiamaias sigrZe 3sm:10=0,3sm=3mm-is tolia.19. gaferadebulia mTeli wris 32 nawili ≈67%.20. garnituri gaZvirda 110 lariT, rac 550 laris 20%-ia.21. qsovili gaiafda 6 lariT da 60 TeTriT, rac 25 laris 26,4%-ia.22. 41 t navTi mTeli cisternis 82%-ia, e.i. cisterna itevs41 $ 10082= 50 t. navTs.24. y=5-2x. Tu x=1, maSin y=3; Tu x=2, maSin y=1 gantolebas meti naturaluri amonaxseniar aqvs.reziume:6610. ricxvis dayofa proporciul nawilebadmoswavlem unda SeZlos praqtikul cxovrebaSi sxvadasxva sidideebis — farTobis,Tanxis, garkveuli samuSaos, produqtis da a.S. mocemuli ricxvebis proporciulnawilebad dayofa. monacemebis mixedviT Sesabamisi wriuli diagramis Sedgena.amoxsnebi, miTiTebebi:1. 7x+4x=572, saidanac x=52l. 2. x+8x=189, saidanac x=21.21; 1683. a) 2x+5x+7x=154 x=11; 22;55;77. b) 0,75x+2x=154 x=56; 42; 112.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 66 03.07.2012 15:46:43

4. rioni — 300 km; enguri — 300 km; cxeniswyali — 165 km; aragvi — 105 km; alazani — 240 km.6. 3x+4x+13x=4; 20x=4; x=0,2. nikeli — 0,6 kg; TuTia — 0,8 kg; spilenZi — 2,6 kg;7. 6 sm; 9 sm. 8. 40x=125 31x=96,875g.10. 7x=35, x=5. marTkuTxedis gverdebia: 20 sm; 15 sm.11. a) 80°; 100°; b) 45°; 135°.12. 30 sm sigrZis mqone AB monakveTze aRebulia C da D wertilebi ise, rom AC:CD:DB=1:7:2,ipoveT AC; CD da BD monakveTebis sigrZeebi 10x=30. AC=3sm CD=21 sm BD=6sm.13.metroTiavtobusiT=1metroTi mosiaruleebi — x; avtobusiT — 3x.3avtobusiTfexiT=2 3xe.i.5 fexiT=2 15fexiT x5 2x+3x+7,5x=23, saidanac x=2. fexiT — 15; metroTi — 2; avtobusiT — 6.18.40 + 50 + 60 + 50 + 60 + 406= 50.19. Tu amocana ar gvekiTxeba ramdeni procentiT Seicvala puris fasi, maSin undavupasuxoT gaiafda Tu gaZvirda. rasakvirvelia, gaiafda, radgan gaiafeba moxda ukvegaZvirebulis 10%–iT, romelic cxadia metia, vidre pirvandelis 10%. SegviZlia vnaxoT,ramdeni procentiT:10xxgaZvirebamde — x, gaZvirebis Semdeg — x+ =1111x ; gaiafebis Semdeg — -11x =99x100 1010 100 100; puris fasi 1%-iT ufro iafia.20. gaiafda 120 lariT, romelic 600 laris 20%-ia.reziume:11. ukuproporciuli sidideebimoswavlem unda SeZlos sidideebs Soris ukuproporciuli damokidebulebis danaxva.ukuproporciuli damokidebulebis SemTxvevaSi sesabamisi Tanafardobis Sedgenada ucnobi sididis povna. ricxvis dayofa mocemuli ricxvebis ukuproporciulsidideebad.amoxsnebi, miTiTebebi:5. a+b=120 da ba=8. es ricxvebia 64 da 56.767masc_cigni_VII_kl_cor.indd 67 03.07.2012 15:46:44

6. nika — xx=7;y 2luka — y x+y=810.nika — 630; luka — 180.7. Zmris kincentraciasa da xsnaris moculobas Soris arsebobs ukuproporciuli180 + xdamokidebuleba. =80 , saidanac x=1420.180 98. 5 dReSi. 9.610=xx=4,8.8I - 3601 1 112. I:II:III= : : =9:10:12; 31x=1240; x=40 II 40020 18 15> -III - 48014. a) 3 7 =3 4+3 dabolovdeba 7-iT; b) 3 8 dabolovdeba 1-iT; g) 2 10 =2 8+2 dabolovdeba 4-iT.15.a) davalagoT zrdis mixedviT: 1; 1; 2; 5; 7; 7; 7; 7; 9; 9.saSualo — 5,5; moda — 7; mediana — 7; diapazoni — 8.b) 12; 12; 12; 12; 12; 15; 20; 21; 30; 30.saSualo — 14,5; moda — 12; mediana — 13,5; diapazoni — 18.Temis savarjiSoebiganxiluli amocanebis mixedviT Sedgeba Semdegi gantolebebi:1. 40·x+70(6–x)=70·6. 2. 60·5+90·10=15x. 3. x =4 $ 9= 3.3 $ 43 $ 20 + 2 $ 04. = 12. 5.3 + 215x+ 5 $ 20x + 5= 18, saidanac x=10.3III Tavis damatebiTi savarjiSoebi1661 $ 360c2. ∠AOC=5952. 100c.3.a) 6; 7; 8; 8; 11; 11; 11; 11; 15; 15.6 + 7 + 2 $ 8 + 4 $ 11 + 2 $ 15mediana — 11; moda — 11; saSualo — = 10,3; diapazoni — 15–6=9.10b) 0; 0; 0; 3; 5; 8; 8; 9; 10; 15.8 + 5mediana — =586,5 ; moda — 0; saSualo — = 5 , 8; diapazoni — 15.210123 # 404. spilenZi — 60% — 123kg. cinki — 40% — xkg. x=60zodi iwonis 205 kg-s.68= 82.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 68 03.07.2012 15:46:45

2505. a) = 0, 2 =40020%; b) . 0,29 =100029% ; g) =1= 5 0% .125014002000 2206. . 0, 09 = 9%.220257. gaumjobesebis Semdeg fasi gaxdeboda 50+50· =62,5l. gaiafebis Semdeg — 62,5–62,5×10020 =62,5–12,5=50. fasi igive darCa.1008. rogorc vxedavT, procentebis raodenoba erTi da igivea, magram moswavleebs kargadunda esmodeT, rom sxvadasxva sidideebis erTi da igive raodenobis procentebisxvadasxvaa. Semcireba moxda ukve gazrdili ricxvis 80%-iT, amitom Semcireba moxdaufro meti ricxviT, vidre gazrda, e.i. a ricxvi Semcirda.9. igive msjelobiT — gadideba moxda ukve Semcirebuli ricxvis 30%-iT, e.i. saboloodricxvi Semcirdeba.12. a) yvelaze meti gaiyida mtversasruti (65); b) 60–45=15-iT meti; g) sul gayidulia —190, maT Soris kondencionerebi — 20, daaxloebiT 10,5%; d) diapazoni — 45, saSualo190— =47,5.4x13. x + = 150, saidanac x=120.414. x -12x= 132, saidanac x=150.10015. gaiafda 70-56=14 lariT, rac 70-is 20%-ia.16. anim 20 gverdiT meti waikiTxa ≈33%.18. gaizarda 100%-iT.19. 900 km/sT=90·1000m3600wm= 250m/wm; 108 km/sT=108·1000m3600wm= 30m/wm.21. kargavs 12%, e.i. rCeba 88%. x-is 88% aris 4,4kg. x=5kg.22. Ciri aRebuli masis 16%-ia. x-is 16% aris 16 kg, e.i. x=100.23. 3x+4x+5x=48 x=4 gverdebi: 12; 16; 20.25. a) a=3x; b=x; 36=x; e.i. b=36; a=108; b) a= x 8 ; b= x27 ; 36= x , saidanac x=108.327. 18:21:27=6:7:9.VII a — 6x; VII b — 7x; VII g — 9x6x + 7x + 9x = 88VII a — 24; VII b — 28; VII g — 36.69masc_cigni_VII_kl_cor.indd 69 03.07.2012 15:46:46

30. a) 120 dReSi; b) 16 dReSi; g) 180 dReSi.1231. avtomanqana imave manZils gaivlis sT-Si. 533. 22,5 sT-Si.34. a) 36; 24; b) 25; 35.Seamowme Seni codna:1. a; 2. g; 3. g; 4. g; 5. a; 6. a; 7. b; 8. b; 9. g; 10. d; 11. g; 12. a; 13. d; 14. mediana — 18; moda — 15saSualo ≈ 22; diapazoni — 61.sakontrolo wera #31. Tu cxrilSi mocemulia sacxobidan erTi kviris ganmavlobaSi gayiduli puris raodenobakg-ebSi, maSin am monacemTa mediana, moda da diapazoni Sesabamisad iqneba:dReebi orS. samS. oTxS. xuTS. par. SabaTi kviragayiduli purisraodenoba kg-ebSi200 150 180 150 150 220 250a) 150, 180, 100; b) 100, 150, 180; g) 180, 150, 100; d) 150, 100, 180.2. 20% tolia:a) 41 -is; b) 0,02-is; g) 0,2-is; d) 54 -is.3. ricxvi, romlis 15%-ia 60, tolia:a) 9; b) 400; g) 300; d) 15.4. 25 aris 125-is:a) 25%; b) 20%; g) 5%; d) 18%.5. Tu xelosani 6 saaTSi 4 detals amzadebs, maSin igi 9 saaTSi daamzadebs:a) 13 detals; b) 14 detals; g) 6 detals; d) 8 detals.6. Tu mosazRvre kuTxeebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 7:2, maSin am kuTxeTagradusuli zomebia:a) 112° da 32°; b) 140° da 40°; g) 120° da 60°; d) 150° da 30°.7. kalaTburTis turnirSi nikam Tavis gunds 15 qula SesZina, giorgim – 17, beqam – 22,xolo zazam – 21, kokam ki verc erTi burTi ver Caagdo kalaTSi. saSualod ramdeni qulaSesZina TiToeulma moTamaSem gunds?8. firmis TanamSromlis xelfasi 450 laridan 540 laramde gaizarda. ramdeni procentiTgaizarda TanamSromlis xelfasi?70masc_cigni_VII_kl_cor.indd 70 03.07.2012 15:46:47

gaecnobiTIV TaviuaryofiT ricxvebs. moqmedebebs racionalur ricxvebze. ricxvis moduls.ariTmetikis ZiriTad kanonebs racionaluri ricxvebisTvis.gantolebis, gantolebis amonaxsnis cnebas.tolfas gantolebebs, gantolebis amoxsnis process.amocanebis amoxsnas gantolebis meSveobiT.miznebi:gaecnon uaryofiT ricxvebs, uaryofiT sidideebs arsebul realobaSi dadebiTi dauaryofiTi sidideebis gansazRvras, maTze moqmedebebs.unda SeZlon racionaluri ricxvebis ricxviT RerZze ganTavseba da ricxviT RerZzewertilis koordinatis dadgena.unda SeZlon mTel ricxvebze moqmedebebis modelireba.gaecnon gantolebas, gantolebis amoxsnas.aRiqvan amocanis Sinaarsi gaiazron da gamijnon amocanis monacemebi da saZiebeli sidideebi.SeZlon saZiebeli sididis Sesabamisi cvladis Semotana, gantolebis Sedgenada misi amoxsna.reziume:1. uaryofiTi ricxvebimoswavlem unda SeZlos gansazRvros dadebiTi da uaryofiTi ricxvebi, dadebiTi dauaryofiTi sidideebi. unda SeZlos nebismieri racionaluri ricxvis warmodgena,rogorc horizontalurad, ise vertikalurad moTavsebul ricxviT RerZze. RerZzemocemuli wertilis Sesabamisi koordinatis povna.amoxsnebi, miTiTebebi:1. lokokina aRmoCnda sawyisi mdebareobidan: a) 10 sm-iT maRla; b) 10 sm-iT dabla.8. -1°. 9. x-2 0 -2 0 +4 0 -3 0 =-1 0 , x=2 0 .10. xoWo moxvdeba an A an B wertilSi.622. a) I miliT 6 saaTis ganmavlobaSi auzSi Caisxmeba mTeli auzis 84 4 3 3 44 sT-Si auzis nawili; > ; b) =75%; =80%.5 5 4 4 5800 $ 45 + 1200 $ 2023. SevadginoT gantoleba: x =, saidanac x=30.200024. a) n+n+1+n+2+n+3+n+4=755n+10=75, n=13b) 5n+10=80, n=14g) 5n+10=53 amonaxseni ara aqvs.xuTi momdevno naturaluri ricxvis SekrebiT miiReba 5-is jeradi ricxvi.=3nawili. II miliT471masc_cigni_VII_kl_cor.indd 71 03.07.2012 15:46:47

25. a)4 $ 32= 6; b)7 $ 62= 21.26. a) sxvaoba luwia da TiToeuli iyofa 9-ze;b) TiToeuli iyofa 4-ze da 9-ze, e.i. jami iyofa 4-zec da 9-zec.reziume:722. racionaluri ricxvebis Sedarebamoswavlem unda SeZlos racionaluri ricxvebis Sedareba, rogorc dadebiTi,aseve uaryofiTi da sxvadasxvaniSniani. maTi ganlageba ricxviT RerZze. dadebiTida uaryofiTi ricxvebis 0-Tan Sedareba, mocemul racionalur ricxvTan mdebareudidesi da umciresi mTeli ricxvis dasaxeleba.amoxsnebi, miTiTebebi:8. a) 0; -4; -8; -12; -16; -20...; b) 3; -2; -7; -12; -17; -22...;g) 1; -2; 3; -4; 5; -6...; d) -2; -4; -8; -16; -32; -64....11. a) mcdaria; b) WeSmaritia; g) mcdaria; d) WeSmaritia.12. aucileblad Sesruldeba g) a

eziume:3. ricxvis modulimoswavlem unda SeZlos nebismieri ricxvis mopirdapire ricxvis dasaxeleba. ricxvismodulis analizuri da geometriuli ganmarteba, mopirdapire ricxvebis modulebisSedareba. |x|=a gantolebis amoxsna a-s nebismieri mniSvnelobisTvis.amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) ani SeiZleba cxovrobdes me-2 an me-8 sarTulze; b) ani cxovrobs me-5 sarTulze.4. a) ||5–1,1|+18 |=|3,9+18|=21,9; b) | |9| – |–5,4|+6,7 |=|9-5,4+6,7|=10,3;g) | |1–2,2| · |–4,7|–10 |=|1,2·4,7-10|=4,36. d) –(|–2|+|–3|):5+6(|–2|–|–3|)=-1-6=-7;e) –|(–3)+(–4)|:7+5|(–3)–(–4)|=-1+5=4.5. |a| = –a, sruldeba mxolod da mxolod maSin, roca a≤0.7. a) a–b da b–a mopirdapire ricxvebia, a-b=-(b-a); b) |a–b|=|b–a| mopirdapire ricxvebismodulebi tolia.9. a) x=±1; b) x=±12; g) x=0; d) x∈∅.12. a) monacemebi sakmarisia;b) aklia monacemi mimarTulebis Sesaxeb;g) aklia monacemebi imis Sesaxeb, romeli ufro maRalia.13. a) mcdaria mag. |-9|>|3|; b) WeSmaritia; g) WeSmaritia;d) WeSmaritia; e) WeSmaritia; v) mcdaria, mag. 1>-9.14. a) |x-5|=3, aqedan x-5=3 an x-5=-3x=8 an x=2b) |x+3|=5 x=2 an x=–816. a) ±5; b) ±8,5; g) 0; d) ar arsebobs.19. gaiyos 3-ze.a) 5700; 5703; 5706; 5709 ; b) 21351; 24351; 27351;g) 30072; 30372; 30672; 20972; d) 24624; 24654; 24684 .gaiyos 9-ze: a) 5706; b) 27351; g) 30672; d) 24624.21. a) gaizrdeba 21-iT; b) Semcirdeba 21-iT.20 $ 5 + 45 $ 323. = x, saidanac x≈29,4%. b) da g) SemTxvevaSi daiwereba igive gantoleba8da miiReba erTi da igive ricxviTi pasuxi. b) SemTxvevaSi 29,4° da g) 29,4 lari. es pasuxigansxvavebuli sidideebia.73masc_cigni_VII_kl_cor.indd 73 03.07.2012 15:46:48

24. ganvixiloT yvelaze cudi varianti. amoviReT 9 wiTeli, xolo Semdeg 8 yviTeli(yvelaze meti raodenobebi) vaSli. me-18-s amoRebis Semdeg gveqneba 3-ive feris vaSli.25. ZaRlic da katac sofelSi yavs ojaxebis 20%-s (80+40-100). es ki 50 ojaxia, e.i. sulsofelSi 250 ojaxia.Seamowme Seni codna1. b; 2. b; 3. g; 4. d; 5. d; 6. b; 7. g; 8. a; 9. b; 10. a; 11. b; 12. 28%.4. racionaluri ricxvebis Sekrebareziume:moswavlem unda SeZlos Sekrebis operaciis Sesruleba nebismierniSnian racionalurricxvebze. am moqmedebis ricxviT RerZze gamosaxva. mopirdapire ricxvebis Sekrebisgamosaxva sqematurad da piriqiT gamosaxuli modelis wakiTxva.amoxsnebi, miTiTebebi:14. a) gaizrdeba; b) Semcirdeba.15. 416–28=388 m.18. a) WeSmaritia; b) WeSmaritia; g) mcdaria; d) mcdaria.19. a) jami naklebia TiToeul Sesakrebze Tu orive Sesakrebi uaryofiTia.23. davweroT udidesi 5-niSna ricxvi igive pirobiT, es ricxvia 98765, misi mopirdapireiqneba umciresi xuTniSna uaryofiTi ricxvi. saZiebeli ricxvia -98765.24. nebismieri ricxvi, romelic -7-ze naklebia.3 $ 4 + 2 $ 3 1827. = = 3,6km/sT.5 528. cxadia, nika eTamaSa yvela moTamaSes, e.i. a) vaxo eTamaSa nikas; irakli eTamaSa vaxosgarda yvelas, e.i. b) givi da gaga eTamaSnen nikas da iraklis; g) giorgi da dima eTamaSnenerTmaneTs.5. racionaluri ricxvebis gamoklebareziume:moswavlem unda SeZlos Sekreba-gamoklebis moqmedebebis Sesruleba racionalurricxvebze. maTi modelze Cveneba. Sekreba-gamoklebis moqmedebebis CaketilobisgansazRvra ricxviTi simravleebis mimarT.74masc_cigni_VII_kl_cor.indd 74 03.07.2012 15:46:48

amoxsnebi, miTiTebebi:6. WeSmaritia mxolod dadebiTi ricxvebisTvis.7. moswavlem unda daasaxelos ori ricxvi, romelTagan maklebi iqneba uaryofiTi.11. 10-999=–989. 12. 58°-146,3°=-88,3°.13. a) 20; 14; 8; 2; -4; -10; -16; b) 7; 5; 2; -2; -7; -13; -20;g) -18; -13; -8; -3; 2; 7; 12; d) -11; -7; -3; 1; 5; 9; 13.14. a) AB=|-11+4|=7; b) 10; g) 1,6; d) 5,11.15. a) 0; b) 21 .17. (a+b)c da bc unda vaCvenoT, rom ac a+b≡mc; b≡nc, sadac m,n∈Z, maSin a=(m-n)c, e.i. ac.18. davuSvaT arsebobs, e.i. a=15k+6 da a=24n+4, sadac k;n∈Z, e.i. 15k+6=24n+4, 3(8n-5k)=2,rac SeuZlebelia.19. naxazis mixedviT 5α=180°. e.i. α=36°. 4b=180°; b=45°; 3b–2a=63°.20. a) S=Vt S 1=2V.3t=6Vt 6-jer mets; b) Casmis gareSe unda mixvdnen, rom isev 6-jermets.Seamowme Seni codna1. b. 2. b. 3. a) –5-7; g) 5>-3; d) |-4|=|4|.5. a) 0; b) -1; g) -10; d) 1; e) -7; v) 0; z) -27; T) -10.6. a) aiwia 10°-iT; b) daiwia 8°-iT; g) daiwia 3°-iT; d) daiwia 10°-iT.7. a) mcdaria; b) mcdaria; g) mcdaria; d) WeSmaritia.8. g. 9. a) 0; b) 5; g) –6; d) –16. 10. d. 11. g.12. ganixileT ori SemTxveva a) ∠BOC=90°; b) ∠BOC=150°.413. d. 14. 4 $ 2·4·6=12. 15. 21 ·12x=12 x=2. 16. b. 17. -11. 18. 82.19. 28. 20. 5.75masc_cigni_VII_kl_cor.indd 75 03.07.2012 15:46:48

eziume:6. racionaluri ricxvebis gamravlebamoswavlem unda SeZlos gamravleba-gayofis moqmedebebis Sesruleba racionalurricxvebze. moqmedebis Seusruleblad ramdenime ricxvis namravlis niSnis dadgena.luwi da kenti xarisxebis niSDnebis gansazRvra. uaryofiTi fuZis SemTxvevaSi 1-ze da-1-ze gamravleba-gayofis Sedegis dadgena da 0-is gayofa nebismier ricxvze.amoxsnebi, miTiTebebi:9. a) -6°; b) -10°.10. -2+(-15)=-17. B(-17) wertilSi.11. SevadginoT ricxviTi gamosaxuleba:-1+4(-2)+8·2+10·(-2)=-13. B(-13).12. a) 0,01; b) -8; g) -3; d)-7; e) -1,1; v) 0,3; z) -5,275.514. arsebiTia is, rom gamoTvlebi moxdes martivad, araTanmimdevruli gadamravlebiT,yvela qvemoT moyvanil magaliTSi zepirad:a) (3,8)·(-0,25)–(-4)=3,8·1=3·8; b) -2,4; g) -87 ; 1731d) $ ^- 0,125h$ 271,3 $ (- 8) `- 3 j =- 271,3; 10 14444 424444 433e) -1; v) 1; z) 0.11444444444 24444444443-115. a) 1,075; b) 100.16. AB monakveTis sigrZe 8–(-2)=10. 2x+3x=10 x=2, e.i. AC=4 BC=6 C(2).18. marTkuTxa paralelepipedis mopirdapire waxnagebi tolia.19. gaiafda 3 lariT.a) 3 lari 12 laris 25%-ia; b) 3 lari 9 laris ≈33%-ia.20. 42k+27=42k+21+6 naSTia 6.21.2x + x + 2x+ 1 = 12 , saidanac x=7 mesame ricxvia 15.322. ZaRlis siCqare —8 9 naxt./wm, katis — naxt./wm. kata ufro swrafia.91076masc_cigni_VII_kl_cor.indd 76 03.07.2012 15:46:49

eziume:7. gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsnamoswavlem unda SeZlos ariTmetikis ZiriTadi kanonebis, kerZod, ganrigebadobiskanonis gamoyeneba gamosaxulebaTa gasamartiveblad. frCxilebis gaxsnis wesisgamoyeneba gamoTvlebis dros.amoxsnebi, miTiTebebi:5. a) (–7–x)+(x+1)=-6; b) y+2,7+5,1–y=7,8; g) (x–y)+(y–x)=0.6. a) a–(-a)=2a; b) (a–2)–(5–a)=2a-7; g) (a+b)–(b+a)=0;d) (x–7,1)–(2x–1)=-x-6,1; e) a–2b–(a–b)=-b; v) x–3–(3–x)=2x-6.9. ar SeiZleba, radgan dadebiTi da arauaryofiTi ricxvebis jami 0-s ar udris.10. a)-Si, g)-Si da d)-Si pasuxs ver gavcemT, Tu ar viciT a dadebiTia Tu uaryofiTi.b) a+3>a nebismieri a-Tvis.11. 12 muSa 9 sT-Si 1 mTel samuSaos asrulebs.11 muSa 1 sT-Si nawils.12 $ 999 muSa 1 sT-Si =12nawils, e.i. mTel samuSaos 9 muSa Seasrulebs 12 sT-Si, nawils12 $ 9 12312 $ 2— = 8 sT-Si.312. d) S. 13. a) 5534512345; b) 1112312345.reziume:8. gantolebamoswavlem unda SeZlos gantolebis, misi amonaxsenis da amonaxsenTa simravlis cnebisganmarteba. imis Camoyalibeba, Tu ras niSnavs gantolebis amoxsna, rogor gantolebebsewodeba tolfasi. imis Semowmeba mocemuli ricxvi aris Tu ara mocemuli gantolebisamonaxseni. imis gaazreba, rom gantolebas SeiZleba ar qondes arc erTi amonaxseni anqondes usasrulod bevri.amoxsnebi, miTiTebebi:3. namravli 0-is tolia, Tu 0-is tolia misi erT-erTi Tanamamravli.7. a) 2x–42=5; b) 3x+5–12=34.8. a(-2)+7=8-1, e.i. a=0.77masc_cigni_VII_kl_cor.indd 77 03.07.2012 15:46:50

x x10. x -20=4. unda gavigoT x 100 55x4x-is ramdeni %-ia % %54 5 $ 100 = 25 .x511. 2x+x+2x–20=120; x=48. samkuTxedis gverdebis sigrZeebia 28 sm; 56 sm da 36 sm.13. iyo x, gaxda 5x, unda daiklos 4x-iT. 4x 5x-isTvis 80%-ia.14.4x5= 100 x=125. 15. S 7+130=480; S 7= 507reziume:9. gantolebis amoxsnamoswavlem unda SeZlos mocemuli amocanis Sesabamisi gantolebis Sedgena, saWiroebisSemTxvevaSi am gantolebis modelis ageba. gantolebis amoxsna. gantolebis amoxsnisprocesSi Tvisebebis gamoyenebiT misi Secvla ufro martivi, tolfasi gantolebebiT,risi Sedegic amonaxsnis moZebnaa. tolfasobis niSnis gamoyeneba, fesvis Semowmeba.amoxsnebi, miTiTebebi:3. a) {5}; b) $ -2.; g) {4}; d) {-40}; e) {3,3}; v){3,2} .94. gamoviyenoTY proporciis ZiriTadi Tviseba:a) 3x+3=2x-2; x=–5. b) 16x–8=21x+14; x=–4,4.g) 1–y=3y–9; y=2,5. d) 24x–12=24x–12; e) amonaxseni ar aqvs.9. a) a=7; b) a=1; g) a=1.10. gantolebidan Cans, reaqciis Semdegac iqneba jangbadis ori atomi. SeiZleba gavaxsenoTmoswavleebs masis mudmivobis kanoni.11. 2Cu+O 2=2CuO13. x= -1; y= -2+ 1 =1; 7x–4y= -7-4=-11.3 3 33 3 314. 8·20°+12·30°=20x x=26°.15. a) a — nebismieri b — dadebiTi; b) a — nebismieri b — uaryofiTi;g) a — nebismieri b=0.16. a) 3 51- ; b) 6 21- ; g) 1.78masc_cigni_VII_kl_cor.indd 78 03.07.2012 15:46:51

17. AC=2x da BC=5x; 7x=14, e.i. x=2. AC=2x=4sm. BC=5x=10sm.18. roca aqlems swyuria, misi masa wylis gareSe 40%-ia.800 $ 20Semdeg 20%; x=400.10040 x , xolo wylis dalevis100reziume:10. amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiTmoswavlem unda SeZlos amocanis pirobis gaTvaliswinebiT ucnobis Semotana, Sesabamisigantolebis dawera, anu pirobis gantolebaSi gadatana. gantolebis Sedgenis dros,masSi Semavali sidideebis erTi ganzomilebiT gamosaxva. amocanis pasuxis dadgena,maSinac, roca SerCeuli cvladiT ar aris aRniSnuli saZiebeli sidide.amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) x+3(x-1)=21 x=6; b) 2·3x–25=29 x=9; g) x=5(x–8) x=10.3. x+x+320=5650 2660$; 2990$.4.asaki3 wlis Semdegmama x x+3Svili 75–x 75–x+3x+3=78–x+25, saidanac x=50;mama — 50 wlis, Svili — 25 wlis.5.fuZEe xferdi x+5P=x+2(x+5)=3x+103x+10=25 x=5fuZe — 5; ferdi — 10.7. 5x+x=180° 30°; 150°.8. erTi monakveTi — x sm; meore — (25–x)sm. x–(25–x)=1118sm; 7sm.12. x+x+2+x+4=84 26; 28; 30.79masc_cigni_VII_kl_cor.indd 79 03.07.2012 15:46:51

13.iyogaxdaI brigada x x+12II brigada 4x 4x–18x+12=4x–18 x=10 10; 40.14.siCqare daxarjuli dro gavlili manZiliI matarebeli x km/sT 6 sT 7x km/sTII matarebeli 0,7x km/sT 6 sT 4x–186x+4,2x=612x=60km/sT.erTad 612 km.16.16x100= 16 x=100kg17. I ricxvi — x II ricxvi — 2490–x6,5x=8,5(2490–x)1411; 1089.18.I klasi (x+2) moswavle x+2+x+x+5=84II klasi x moswavle 3x=77III klasi (x+5) moswavleaseTi ganawilebaar SeiZleba.sul 84.19. nekerCxali 2x 2x+x+6x=900muxa x 200; 100; 600cacxvi 6x20. 4.x21. 0,5x+3= - 3 = 16, saidanac x=4.0 , 5322. x= x4+ 1 4 kameCi.23. α+2α+α+30°=180°4α=150°α=37°30′ ∠C= 37°30′ ∠A=75° ∠B= 67°30′24. 5,3–x=7,4. x = –2,1 A(–2,1).80masc_cigni_VII_kl_cor.indd 80 03.07.2012 15:46:51

25.iyorom yofiliyosiCqare x x+10manZili 7x 6(x+10)7x=6(x+10), saidanac x=60km/sT. manZili qalaqebs Soris 7·60=420km.26. 24(x+25)=40(x–25), saidanac x=100m/wm.27. 2n–2; 2n; 2n+2.2n–2+2n+2n+2=866n=86 ar SeiZleba.28.wylis sawyisiraodenoba1 sT.-Si Cadis t sT.-Si CadisI auzi 160m 3 xm 3 txm 3 13-iT naklebiII auzi 117m 3 (x+14)m 3 t(x+14)m 3160+tx+13=117+tx+14t vRebulobT t=4. SevamCnioT, rom amocana ariTmetikulad, gamosaxulebisSedgeniT ufro iolad ixsneba.( 160 - 117)+ 13= 41429. 25x+x+2x=35030. aRvniSnoT marTkuTxedis sigane x-iT, maSin marTkuTxedis sigrZe iqneba — x+3,SevadginoT gantoleba x(x+3)–x 2 =21, saidanac x=7.marTkuTxedis gverdebia: 7, 10.31. x+0,3x=26, saidanac x=20kg.32. a) x+ x 7= 19; b) `x +2xj -1`2x + xj = 10.3 3 334.6, 4x( 175 - x)16=100 1000,4x=175-x1,4x=175x=12535.a) orniSna ricxvi, romlis erTeulebis cifria 3, aris 9 (13; 23; ... 93), xolo rocxvi,romlis aTeulebis cifria 3, aris 10 (30; 31; ... 39). am ricxvebs, ricxvi 33 saerTo aqvT,e.i. ricxvebis raodenobaa 18.b) 1-dan 99-mde 99:3=33 samis jeradi ricxvia, maTgan 3 erTniSnaa, e.i. 30.g) sul 99–9=90 orniSna ricxvia, maTgan 30 3-is jeradia, e.i. 60 orniSna ricxvi iyofa 3-ze.36. fexburTis — 3x; kalaTburTis — 4x; xelburTis — 5x.81masc_cigni_VII_kl_cor.indd 81 03.07.2012 15:46:52

saSualod TiToeulze3x + 4x + 5x3= 4x4x=20 x=5; 15; 20; 25.37. a) -58; b) -16; g) 0,5; d) -9.38. sami momdevno mTeli ricxvidan erT-erTi 3-is jeradia, xolo erTi mainc luwi.39. SevadginoT cxriliI II III IVdaTo m t t tmerabi t m t t (t — tyuili)vatangi t t m t (m — marTali)goCa t t t mCavataroT TiToeuli kombinaciis analizi. I — Tu daTom Tqva marTali, e.i. damnaSaveamerabi. merabis da goCas naTqvami, cxadia, gamodis tyuili, xolo vaxtangis naTqvami„me damnaSave varo“, marTalia, e.i. daTos marTali ar uTqvams. analogiuri msjelobiTdavadgenT, rom rigiT II kombinaciaa swori da damnaSavea vaxtangi.IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi7. AB=2. 8. A wertilis koordinatia -16 an 6.9. a) -21,1; b) 5; g) -1; d) 1,5.10. a) ±7; b) Ø; g) 1; d) 5 an 1; e) 4 an 3; v) 0 an 4.13. a) 5; -2; b) -7; 3.14. a) 5; b) 3; g) -2.2715. a) 0,8; b) ; g) 5,35; d) 0,3.1116. a-1 unda iyos 12-is naturaluri gamyofi, e.i. a=2; 3; 4; 5; 7; 13.17. a) 9 ar aris 14-is gamyofi, e.i. 3x–1 mTeli ver iqneba, Sesabamisad ver iqneba mTeli x.18. Tu meore nakveTis farTobs aRvniSnavT x-iT, amocanis pirobis Sesabamisad miviRebT2gantolebas (4x–10)=x+10.320. aTeulebis cifri iyos a, maSin erTeulebis iqneba 13–a, saZiebeli ricxvi SeiZlebaCavweroT 10a+13x–a. ricxvi Cawerili igive cifrebiT, Sebrunebuli rigiT, iqneba 10(13–a)+a. gantolebas eqneba Semdegi saxe: 9a+13=27+10(13–a)+a. saZiebeli ricxvia 85.21. ana — 2x; Temo — x; giorgi — 2x–3; 2x+x+2x–3+30=52. x=5.82masc_cigni_VII_kl_cor.indd 82 03.07.2012 15:46:52

24. drois erTeulad CavTvaloT is dro, romelSic kata akeTebs 12, xolo ZaRli — 15naxtoms. davuSvaT ZaRli daewia katas x droSi, maSin ZaRli gaivlis 15x, xolo kata12x naxtoms. radgan maT Soris 100 naxtomi iyo 15x–12x=100, e.i. 3x=100. ZaRlis miergakeTebulia 15x=5·3x=500 naxtomi.25. mtknari wylis damatebiT marilis raodenoba ar icvleba. 40 kg zRvis wyalSi40 $ 4aris = 1,6kg marili. aRvniSnoT dasamatebeli wylis raodenoba x-iT, miviRebT1001, 6 2,5gantolebas: = , saidanac x=24.x + 40 10026. 7x–5(x+2)=2, saidanac x=6.27. 2(x–3)=x+4, saidanac x=10.28. x(x+6)–x(x+1)=25, saidanac x=5.329. x+ x+x–6=49B4saidanac x=20.x3 x4BC=20; AB=15; AC=14.30.C5 $ 8 + 6x11x–6= 5 x=2,5 lari.A31.5x+ 10 $ 70c15= 54cx=22°.meoTxe Tavis testi:1. a; 2. g; 3. a; 4. b; 5. b; 6. g; 7. b; 8. b; 9. a; 10. b; 11. 5:3; 12. 40km/sT.sakontrolo wera #41. Tu P, M da K wertilebi Semdegnairadaa ganlagebuli ricxviT RerZze, maSin amwertilebis koordinatebi SesaZlebelia iyos:PM-2 -1 0 1 2 3Ka) P(-4,1); M(-1,2); K(1,5); b) P(-2,7); M(-1,3); K(1,5);g) P(-2,6); M(-0,5); K(1,4); d) P(-2,5); M(-1,2); K(1,6).2. Tu 1,1; -2,3; -3;1; 0 ricxvebs zrdis mixedviT davalagebT, miviRebT:a) 1,1; 0; -2,3; -3,1; b) -2,3; -3,1; 0; 1,1; g) -3,1; -2,3; 0; 1,1; d) 1,1; -2,3; -3,1; 0.3. |-3,5|–|3–4,1|+|5,5| gamosaxulebis mniSvnelobaa:a) 10,1; b) 0,9; g) 8,1; d) 10.83masc_cigni_VII_kl_cor.indd 83 03.07.2012 15:46:53

4. 4,5–7,8–(-3,1·5)+(-4,5):2=a) 12; b) 10; g) -6; d) -10,1.5. amoxseniT gantoleba:a) 6x–(8x–14)=104; b) 5(2y–4)=2(5y–1).6. moswavleebis samma jgufma nakveTze 55 xe dargo. pirvelma jgufma dargo 3 xiTmeti, vidre meorem, magram 4 xiT naklebi, vidre mesamem. ramdeni xe dargo TiToeulmajgufma?gaecnobiTV Tavimimdevrobas. sakoordinato sibrtyes, wertilebis koordinatebs. or sidides Sorisdamokidebulebis grafiks, sibrtyis gardaqmnas, wrfeTa paralelobis niSnebs, paralelurwrfeTa Tvisebebs, tolferda samkuTxedis Tvisebebs samkuTxedis tolferdobisniSnebs, samkuTxedebis tolobis niSnebs, saerTo Tvisebis mqone wertilTa geometriuladgils — SuamarTobs, biseqtrisas, samkuTxedis utolobas.miznebi:unda gaecnon mimdevrobas, kerZod, mudmivi nazrdis mqone da periodul mimdevrobebs.unda SeZlon mimdevrobis ramdenime wevriT kanonzomierebis dadgena da midevrobisgagrZeleba.unda gaecnon sakoordinato sibrtyes, wertilis koordinatebs.unda SeZlon koordinatTa meTodis gamoyenebiT orientireba rukaze da sakoordinatosibrtyeze.unda SeZlon sakoordinato RerZebis mimarT RerZulad simetriuli wertilebisdasaxeleba.unda SeZlon paraleluri gadatanisas mocemuli figuris nebismieri wertilis koordinatebispovna misi winasaxis koordinatebis da miTiTebuli paraleluri gadatanismeSveobiT.unda SeZlon samkuTxedebis tolobis niSnebis gamoyeneba figuraTa Tvisebebis dasadgenad,figuraTa ucnobi elementebis mosaZebnad an realur viTarebaSi manZilisarapirdapiri gziT dasadgenad.unda SeZlon martivi agebebis Catareba.unda SeZlon mizez–Sedegobrivi kavSirebis dadgena samkuTxedTan da mis elementebTandakavSirebul debulebebs Soris.reziume:841. mimdevrobamoswavlem unda SeZlos mudmivi nazrdis, perioduli, fibonaCis da sxva tipisrekurentuli wesiT mocemul mimdevrobebSi kanonzomierebis dadgena da mimdevrobisgagrZeleba ramdenime wevriT. zog SemTxevaSi zogadi wevris formulis dawera.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 84 03.07.2012 15:46:53

amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) 7; 10; 13; 16; 19; b) 7; 3; -1; -5; -9; g) 7; 0; -7; -14; -21;7 7 7 7d) 7; 14; 28; 56; 112; e) 7; ; ; ; ; .2 4 8 162.a) pirveli wevria 11 da yoveli wevri winaze 10–iT metia.b) pirveli wevria 8. meore — 2–iT meti, mesame meoreze — 3–iT meti, mesame meoTxeze— 4–iT meti da a.S.g) pirveli da meore wevrebia 5 da 5. yoveli Semdegi wevri wina ori wevris jamia.d) pirveli wevria 3, yoveli Semdegi wevri 3–iT naklebia winaze.e) pirveli wevria 1 da yoveli Semdegi wevri winaze 3-jer naklebi.v) pirveli wevria 31 , yoveli Semdegi wevri winaze 2-jer naklebi.z) pirveli wevria a+4, yoveli Semdegi wevri miiReba winas damatebuli a.T) pirveli wevria a–1, yoveli Semdegi winaze 2-iT naklebi.4. IV V VI VII VIII IX X XI XII I II200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700nodars SeeZleba macivris yidva Semdegi wlis TebervalSi.5. 3; 6; 10; 15; 21; 28 samkuTxa; 4; 9; 16; 25; 36; 49 oTxkuTxa.6. me-6 isars eqneba me-2 isris mimarTuleba, misi sigrZe iqneba 21 -is toli (Tu ujrisgverds CavTvliT 1 erTeulad).7. a) 16; 8; 4; 2; 1; 21 ; 41 ; 81 . yoveli Semdegi kvadratis farTobi wina kvadratis farTobisnaxevaria.8.a) perioduloba yoveli oTxi wevris Semdeg 377+94·4+1 a 377=3.b) yoveli kentnomriani wevri 2-is tolia.g) perioduloba 5 wevris Semdeg 377=5·75+2 a 377=9.d) 377=3·125+2 a 377=0.9. a) I 2; 4; 8; 16; 32; ...; II 2; 4; 8; 2; 4; 8; ...;b) I 3; 9; 27; 81; 243; ...; II 3; 9; 27; 81; 3; 9; 27; 81; ...;10. a) eqvskuTxedi, SvidkuTxedi, rvakuTxedi; b) anbanis yoveli me-4 aso, Tu pirvelwevrad aRebulia a.11. a) zedmetia birTvi (mocemulia piramidebi); b) zedmetia me-3 figura, romelsac orimopirdapire gverdi ar aqvs paraleluri.85masc_cigni_VII_kl_cor.indd 85 03.07.2012 15:46:53

12. a) AC:BC=1:4 A(-5) B(10) AB=15.5x=15 aC=3; BC=12 C(-2)x=3b) A(-7) B(13) AB=20.5x=20 C(-3)x=413. a) 21 ; b) 1. 14. C wertili mdebareobs A da B wertilebs Soris.reziume:2. sakoordinato sibrtyemoswavlem unda SeZlos marTkuTxa sakoordinato sistemaSi wertilis ageba misi koordinatebismixedviT da piriqiT, wertilebis koordinatebis dadgena. koordinatebisniSnebis dadgena sakoordinato meoTxedebSi da piriqiT, wertilis koordinatebisniSnebis mixedviT imis dadgena, Tu romel meoTxedSi mdebareobs wertili.amoxsnebi, miTiTebebi:5. E(3;1), F(3;-4), K(-4;4).a) P(-4;1).b) marTkuTxedis gverdebi EF=1–(-4)=5 FK=3–(-4)=7. S=5·7=35.g) EF-is Suawertili (3;-1,5); KF-is Suawertili (-0,5;-4); KP-is Suawertili (-4;-1,5); PE-isSuawertili (0,5;1);6. moswavleebma unda SeamCnion, rom miiReba paralelurad gasrialebuli, Tavdapirvelistoli samkuTxedi.7. miiReba Tavdapirveli samkuTxedis toli samkuTxedebi — ∆A 1B 1C 1, O yRerZis mimarTsarkiseburad gadanacvlebuli ∆ABC-Tvis, xolo ∆A 2B 2C 2— simetriulia koordinatTasaTavis mimarT.8. a) M(-1;-1), K(4;3); b) (-4;0) (0;0); (6;0); g) (2;2);d) (-4,7;1,5); (1,5;1,5); (5,5;1,5); (-5;2); (2;2) (5,2;2).11. a) MN wrfis wertilebs toli abscisa aqvT. MN wrfe paraleluria ordinatTa RerZis.b) MN wrfe paraleluria abscisaTa RerZis, masze mdebare yvela wertils toli ordinataaqvs.12. wrfeTa gadakveTis wertili iqneba (2;-2).413. x+ x =910000, saidanac x=875000.10014. a) 5a 2 +b 4 +7>0; b) Tu y0; y>0 -xy–y 4

eziume:3. grafikimoswavlem unda SeZlos or sidides Soris damokidebulebis dafiqsireba da amdamokidebulebis grafikuli gamosaxva, piriqiT agebuli grafikis mixedviT erTisididis ricxviTi mniSvnelobiT meoris povna. pirdapirproporciuli da ukurproporciulidamokidebulebis grafikebis ageba.amoxsnebi, miTiTebebi:2. a) 30 wlis fiWvi 15 m-ia.b) 10-dan 20 wlamde simaRle gaizarda 5 m-iT.g) 65 wlis.6. a) 8 km; b) 1 sT-Si; g) 16 km/sT; d) 1 sT 45 wT.27. uaryofiTi ricxvisaTvis TiToeuli Sesakrebi — 3x 6 ; 7x 2 ; -8x 3 dadebiTi ricxvebia.dadebiTi ricxvebis jami dadebiTia. gantolebas uaryofiTi fesvi ar eqneba.BB8. I SemTxveva:∠DBK=∠DBC+∠CBK=15°+50°=65°.II SemTxveva:∠DBK=∠DBC+∠CBK=15°+20°=35°.KAC DKADCreziume:4. paraleluri gadatanamoswavlem unda SeZlos toli figurebis ganmarteba, imis gansazRvra, sibrtyis mocemuligardaqmna aris Tu ara gadaadgileba. paraleluri gadatanis ganmarteba da imisgansazRvra, Tu rogor icvleba wertilis koordinatebi paraleluri gadatanis dros.(x;y)→(x+a; y+b) paraleluri gadatanis dros im wertilis povna, romelSic mocemuliwertili gadava.amoxsnebi, miTiTebebi:1. A figuris paraleluri gadataniT miiReba C figura.3. a) A 1(2;2) b) B 1(3;1)A 1B 174. B(2;2)→B 1(-5;7)A(2;3)→A 1(-5;8)3AB-5287masc_cigni_VII_kl_cor.indd 87 03.07.2012 15:46:54

5. DABC→DA 1B 1C 1.A(1;1)→A 1(2;3)B(–1;–2)→B 1(0;0)C(2;–1)→C 1(3;1)6. ON=8 sm OF=1,8 smO F NFN=8–1,8=6,2 sm.8. ABC samkuTxedi tolferdaa, xolo B wverodan daSvebuli simaRlis sigrZe 8-istolia.reziume:5. RerZuli simetriamoswavlem unda SeZlos mocemuli RerZis mimarT mocemuli figuris simetriuli figurisageba. simetriuli figurebis ganmarteba. realuri cxovrebidan simetriuli figurebisdasaxeleba. simetriuli figuris simetriis RerZis dafiqsireba. sakoordinatosistemaSi sakoordinato RerZebis mimarT simetriuli wertilebis koordinatebis povnada piriqiT, ori wertilis koordinatebiT imis dafiqsireba – aris Tu ara es wertilebiromelime RerZis mimarT simetriuli.amoxsnebi, miTiTebebi:4. a) abscisaTa RerZis mimarTA 1(0;–3) B 1(–5;–7) C 1(–1,5;2) M 1(3;4)b) ordinatTa RerZis mimarTA 2(0;3) B 2(5;7) C 2(1,5;–2) M 2(–3;–4)7. A(3;7) B(-2;-1)a) A 1(-3;-7) B 1(2;1);b) A 2(3;-7) B 2(-2;1);g) A 3(-3;7) B 3(2;-1).9. aseTi wertilebi TviTon RerZis wertilebia.11. a) da b) SemTxvevaSi saboloo figura erTi da igive monakveTi iqneba A 2(1;-3) B 2(2;1)boloebiT.reziume:886. wrfeTa paralelobis niSnebimoswavlem unda SeZlos ori wrfis mesameTi gadakveTisas miRebul kuTxeTa dasaxeleba.am kuTxeebis mixedviT wrfeTa paralelurobis dadgena.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 88 03.07.2012 15:46:54

eziume:8. samkuTxedis kuTxeebis jamimoswavlem unda SeZlos nebismier samkuTxedSi ori kuTxis mocemulobiT mesame kuTxispovna. marTkuTxa samkuTxedis erTi maxvili kuTxis gamosaxva meoreTi. gansazRvraimisa, Tu ramdeni blagvi an marTi kuTxe SeiZleba iyos samkuTxedSi.amoxsnebi, miTiTebebi:4. yuradReba gamaxvildes amocanis pasuxze, saWiroa mieTiTos moswavleebs, rom marTkuTxasamkuTxedSi maxvili kuTxe gamoiTvleba gamosaxulebiT α=90°-β, sadac β misimeore maxvili kuTxea.6. ar SeiZleba, maSin samkuTxedis kuTxeebis jami 180°-ze naklebi gamova.7. 2x+3x+4x=180°.8. 4x+5x+9x=180°.am amocanis amoxsnis Semdeg, sasurvelia xazi gavusvaT: samkuTxedi, romlis erTi kuTxedanarCeni oris jamis tolia, marTkuTxaa.9. am aTi ricxvis jamia 70. SevadginoT gantoleba:70 + x = 9 , saidanac x=29.1110. x-11=27 x=38.3 311. Zma yavs 200-is nawils. 200· =120 bavSvs.5 54 4da yavs 200-is nawils. 200· =160 bavSvs.5 5120 160 120–x+x+160–x=200120–x x 160–x x=80ganxilulia is SemTxveva, roca yovel moswavles yavs an da an Zma. Tu skolaSi ariandediserTebi, maSin es ricxvi, cxadia, gaizrdeba.reziume:9. samkuTxedebis tolobis I da II niSanimoswavlem unda SeZlos samkuTxedebis tolobis dafiqsireba ori gverdiTa da maT Sorismdebare kuTxiT, an erTi gverdiTa da masTan mdebare ori kuTxiT, tol samkuTxedebSiSesabamisad toli gverdebis da kuTxeebis moniSvna.90masc_cigni_VII_kl_cor.indd 90 03.07.2012 15:46:54

amoxsnebi, miTiTebebi:C1. samkuTxedebi tolia ori gverdiTi da maT Sorismdebare kuTxiT.BOE2. ∆ACB = ∆AEDAE=ABAC=AD∠A saerToa, e.i. DE=BC.ACEADB3. a) AC=A 1C 1; b) ∠B=∠B 1.AO4. OB=DO= kCODBSemoviRoT aRniSvnebi AO=kx, OB=x, DO=ky, CO=y,AB = ( k + 1)xmaSin ) , magram AB=DC, e.i. x=y, AO=DO daDC = ( k + 1)yCO=OB, samkuTxedebi tolia I niSnis Tanxmad.AOC5. ∆ACO=∆DBO I niSnis Tanaxmad da BD=AC=6,2.6.BB 1AMCA 1 M1C 1moc.: ∆ABC; ∆A 1B 1C 1AC=A 1C 1AM=MC; A 1M 1=M 1C 1; BM=B 1M 1∠BMC=∠B 1M 1C 1u.d. ∆ABC= ∆A 1B 1C 1ganvixiloT ∆BMC da ∆B 1M 1C 1tBM = B1M1uAC A1C1MC = = = M C u1 1 & OBMC= OB M C2 2+ BMC = + B1M1Cu1v1 1 1e.i. ∠C= ∠C 1da BC= B 1C 1e.i. ∆ABC= ∆A 1B 1C 1samk. tol. I niSnisTanaxmad.91masc_cigni_VII_kl_cor.indd 91 03.07.2012 15:46:55

7. A(-2;-1) B 1(2;1).8.9.1 $ 10% + 1 $ 16%23 $ 12% + 2 $ 7%5= x% x=13= x% , saidanac x=1010. g) 22.reziume:10. tolferda samkuTxedis Tvisebebimoswavlem unda SeZlos tolferda samkuTxedis Tvisebebis Camoyalibeba, maTi sqematurigamosaxva. piriqiT, sqemebis wakiTxva. tolferda samkuTxedis simetriis RerZisageba.amoxsnebi, miTiTebebi:1. amocana, sasurvelia, gakeTdes klasSi da misi daskvna xazgasmuli iyos, rogorc erTerTimniSvnelovani faqti. TavisTavad, damtkiceba sirTules ar Seuqmnis moswavleebs.MBNa) moc.: ∆ABCAB=BCAM=MB; BN=NCu.d. AN=CMACganv. ∆ABN da ∆CBM.isini tolia I niSnis Tanaxmad.2. amocanis amoxsnamde davanaxoT moswavleebs, rom tolgverda samkuTxedSi: m a=l a=h a;m b=l b=h bda m c=l c=h c. albaT umjobesia es amocana damtkicdes rogorc amocana I-is Sedegi.4. Tu moswavleebi msjelobas sworad Caatareben II amocanis amoxsnis dros, isini swordaskvnas me-4 amocanisTvis iolad gaakeTeben.6. ∠ABD=90°–40°=50°.7.30% x + 20%$ 33 + x= 22%30x + 60 = 66 + 22x8x=6 x=0,75l.8. 3-is 7-is 11-is (u.s.j.) tolia 231, saZiebeli ricxvia 233.9. aseTi kubebi iqneba wiboze mdebare kubebi, garda im kubebisa, romlebic moxvdebawveroebSi (maT sami wiTeli waxnagi eqnebaT). TiTo wiboze aseTi kubi iqneba 4, sul gvaqvs12 wibo, e.i. kubebis raodenobaa 4·12=48.92masc_cigni_VII_kl_cor.indd 92 03.07.2012 15:46:55

eziume:11. samkuTxedis tolferdobis niSnebimoswavlem unda SeZlos paragrafSi CamoTvlili niSnebis safuZvelze samkuTxedistolferdobis dadgena. tolferdobis niSnebis sqematuri gamosaxva. tolferdobisniSnebis amocnoba naxazidan.amoxsnebi, miTiTebebi:1.B(∠A=∠C)⇒AB=BC(∠A=∠B)⇒AC=BCe.i. AB=BC=ACAC2. tolferda samkuTxedebSi wverosTan mdebare kuuxeebis toloba gvaZlevsfuZesTan mdebare kuTxeebis tolobas. samkuTxedebi tolif me–2 niSnis Tanaxmad.a3.abbaq bunebrivad keTdeba daskvna, rom aseTi samkuTxedimarTkuTxaa.5. mesame kuTxe gamodis 180°–(50°+80°)=50°, e.i. samkuTxedi tolferdaa.6.–+25 6 =. . .5136 7 =. . .631 5 =. . .1. . .0jami bolovdeba 0-iT.7. a) 50°; 50°; 80°; b) 50°; 65°; 65°.8. 7x+3x=180°x=18°mocemuli kuTxe 3x=54°.93masc_cigni_VII_kl_cor.indd 93 03.07.2012 15:46:55

12. monakveTis SuamarTobireziume:moswavlem unda SeZlos monakveTis boloebidan Tanabrad daSorebul wertilTa geometriuliadgilis ageba. monakveTis SuamarTobis ganmarteba, misi Tvisebebis Camoyalibeba.mocemuli winadadebis Sebrunebuli winadadebis Camoyalibeba da imis Semowmeba,aris Tu ara Sebrunebuli winadadeba WeSmariti.amoxsnebi, miTiTebebi:2. AC=BC=5B3. moc.: ∆ABCBM=MCMD⊥BCBD=5sm, AC=8,5sm.Mu.v. AD da DCADCMD BC monakveTis SuamarTobia, e.i. DC=BD=5; AD=8,5–5=3.4. moc.: AM=MB; AN=NCMD⊥AB DN⊥BCAu.d. a) BD=DC; b) ∠A=∠B+∠CMNa) MDAB-s SuamarTobia, amitom DB=DA;ND BC-s SuamarTobia, e.i. DA=DC.BDmiviReT DB=DA=DC, e.i. BD=DC.b) ∆ADB tolferdaa,e.i. ∠BAD=∠B, analogiurad ∆ADC-Si ∠DAC=∠C.∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+∠C, r.d.g.5. ganv. ∆ABK da ∆CBKAB=BC; AK=KCBC∠BAK=∠BAM+∠MAK=∠MCK+∠BCM=∠BCK ⇒⇒ samkuTxedebi tolia I niSnis Tanaxmad,e.i. ∠ABM=∠CBM,miviReT BM ABC kuTxis biseqtrisaa,amitom BM simaRlecaa da medianac, e.i. BK AC-sSuamarTobia.AMKC6. 10a+b=72+a+b, saidanac a=8. e.i. aseTi orniSna ricxvebia yvela is ricxvebi, romelTaaTeulebis cifria 8. 80; 81; 82;... 89.7. WeSmaritia C⊂B⊂A g)nebismieri tolgverda aris tolferdac, xolo tolferda samkuTxedi kisamkuTxedis kerZo saxea.94masc_cigni_VII_kl_cor.indd 94 03.07.2012 15:46:55

eziume:13. samkuTxedis tolobis III niSanimoswavlem unda SeZlos samkuTxedebis tolobis Cveneba sami gverdiT. tolobis IIIniSnis sqematuri gamosaxva. samkuTxedebis tolobis dasamtkiceblad mocemulobebisamokreba, gaanalizeba da dadgena — romeli niSnis gamoyenebaa mizanSewonili mocemuliamocanisTvis.amoxsnebi, miTiTebebi:1-4. amocanebSi samkuTxedebis tolobis Cveneba xdeba mocemulobebis moxedviT.saZiebeli sidideebi unda vipovoT imis gaTvaliswinebiT, rom tol samkuTxedebSitoli gverdebis win toli kuTxeebia, xolo toli kuTxeebis win — toli gverdebi.5. SevaerToT A da B wertilebi. am wertilebidan,rogorc centrebidan mocemuli manZiliT Semovx-Aa)BazoT rkalebi. Tu mocemuli manZili AB -ze naklebia,aseTi wertili ar iarsebebs (a). Tu2mocemuliAb)BmanZili tolia AB2-is, aseTi wertili AB-is Suawertilia(b).Tu mocemuli manZili AB -ze metia, aseTi wertili2iqneba ori — AB-s SuamarTobze.AB8. pirvelma da meore ciyvma erTad 1999–1265=734Txili SeWama, TiToeulma aranakleb 100-sa.pirvelma da meorem 1265 Txili, maTgan im ciyvma, romelmac meti SeWama, SeWama aranakleb633-sa (1265:2=632,5), magram radgan yvelaze meti pirvel ciyvs aqvs naWami, SeWmuli Txilebisraodenoba ase ganawildeba: I — 634; II — 100; mesame-meoTxem — 632; 633 an piriqiT.g)reziume:14. samkuTxedis gare kuTxemoswavlem unda SeZlos samkuTxedis nebismier wverosTan mdebare gare kuTxis ageba.gare kuTxis gradusuli zomis gansazRvra, misi Sedareba samkuTxedis danarCen kuTxeebTan.samkuTxedis gverdebisa da kuTxeebs Soris kanonzomierebis dadgena (udidesigverdis pirdapir udidesi kuTxea da piriqiT, udidesi kuTxis pirdapir udidesigverdi).95masc_cigni_VII_kl_cor.indd 95 03.07.2012 15:46:55

amoxsnebi, miTiTebebi:2. ABC samkuTxedSi ∠C=60° A wverosTan ,debare gare kuTxe 130°-ia. ipoveT ∠B.amoxsna: 130°=∠B+60°.∠B=70°.3. samkuTxedis ori kuTxe 30° da 80°-ia. ipoveT mesame wverosTan mdebare gare kuTxe.amoxsnAa: α=80°+30°=110°.5. samkuTxedis gare kuTxeebia 180°–α; 180°–β;180°–γ.maTi jami: 180°–α+180°–β+180°–γ=3·180°–(α+β+γ)=3·180°–180°=360°, r.d.g.AabBgC6. a) ar SeiZleba, maSin samkuTxedSi ori blagvi kuTxe iqneba;b) ar SeiZleba; g) SeiZleba.KB7. ∠ABK=2α, magram ∠ABK=∠A+∠C, e.i. 2α=∠A+α, saidanac ∠A=α,miviReT AB=BC, samkuTxedis tolferdobis niSnis gamo.AaC10. rogorc viciT, usj (a;b)·usg(a;b)=a·b, e.i. ab=240·8=48·8·5=48·40. radgan 5-sTanamamravlad umciresi Seicavs da amave dros iyofa 8-ze. umciresi Tanamamravli40-ia, udidesi — 48.11. jer vimsjeloT bolo cifrze. bolo cifri ver iqneba 2; 3 da 0 (arc erTi srulikvadrati ar bolovdeba 2-iT, 3-iT da erTi 0-iT). e.i. bolo cifria 5. nebismieri 5-iTdaboloebuli ricxvis kvadrati bolovdeba 25-iT. e.i. saZiebeli ricxvis kvadratia3025=55 2 .12. qalebi — 35%, e.i. kacebi — 65%, kacebi 30%-iT meti arian, vidre qalebi da es 30%252-ia.x $ 30100= 252 x=840.reziume:9615. samkuTxedis utolobamoswavlem unda SeZlos imis Semowmeba mocemuli sami sigrZis monakveTisgan SedgebaTu ara samkuTxedi. samkuTxedis utolobis dawera nebismieri samkuTxedisTvis. samkuTxedisageba mocemuli gverdebis mixedviT.masc_cigni_VII_kl_cor.indd 96 03.07.2012 15:46:56

amoxsnebi, miTiTebebi:3. a=1,9; b=0,7. c1,2. radgan c-s sigrZe mTeliricxvia c=2.4. ganvixiloT ori SemTxveva a) 10; 10; 25; b) 25; 25; 10. a) SeEuZlebelia, radgan 10+10

4. wertilidan wrfemde manZilis da samkuTxedis simaRlis ganmartebebissafuZvelze es manZilebi mocemuli simaRleebis tolia.A5. AB+AC=17AB=x, maSin AC=17–xCavsvaT AC–AB=12 tolobaSi17–x–x=12, saidanac x=2,5.AB=2,5; AC=14,5.CBreziume:16. marTkuTxa samkuTxedimoswavlem unda SeZlos marTkuTxa samkuTxedis gverdebis dasaxeleba, marTkuTxasamkuTxedis erTi maxvili kuTxis meoris saSualebiT povna, ori marTkuTxa samkuTxedistolobis dadgena paragrafSi CamoTvlili komponentebis mixedviT da Sesabamisisqemebis daxazva.amoxsnebi, miTiTebebi:2. sasurvelia amocanis amoxsnis Semdeg gakeTdes zogadi daskvna: TumarTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan gavavlebT simaRles,miRebul sam marTkuTxa samkuTxeds toli kuTxeebi aqvT.3. wina amocanis gaTvaliswinebiT miRebuli samkuTxedebis kuTxeTa gradusulizomebia: 40°; 50°; 90°.4. ganv. ∆ABC, ∆A 1B 1C 1; maT toli aqvT AC=A 1C 1; BC=B 1C 1. agreTve B da B 1wveroebidangavlebuli simaRleebi BD=B 1D 1∆BDC=∆B 1D 1C 1(marTk. samkuT. t. III niSani). e.i. ∠C=∠Cda samkuTxedebi tolia I niSnis Tanaxmad.B5. ∆AMC=∆CNA (AM=CN da AC saerToa; ∠N=∠M=90°.e.i. ∠BAC=∠BCA).NMAC6. A wertilidan SemovxazoT rkalebi a wrfis gadakveTamde or, M da N wertilebSi.M da N wertilebidan igive radiusiT SemovxazoT rkalebi erT-erT gadakveTamde BwertilSi AB⊥a.98masc_cigni_VII_kl_cor.indd 98 03.07.2012 15:46:56

A7. kuTxeTa tolobis es sqema moswavleebma icodnen ∠CBA=∠ACD=60°.Da A D50°c MC150°b B K8. C wertilze gavavloT c||a||b. miviReTx=∠ACM+ ∠MCB. ∠ACM=∠DAC=50°(S.j.m.d.k.) ∠MCB=∠CBK=30°.x=80°.CBreziume:17. kuTxis biseqtrisis Tvisebamoswavlem unda SeZlos kuTxis biseqtrisis, rogorc saerTo Tvisebis mqone wertilTageometriuli adgilis gansazRvra da piriqiT, kuTxis gverdebidan Tanabrad daSorebuliwertilis mdebareobis dadgena. kuTxis biseqtrisis Tvisebaze dayrdnobiTmocemuli kuTxis biseqtrisis ageba.amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) es wertili A kuTxis biseqtrisisa da BC monakveTis SuamarTobis gadakveTiswertilia. b) BC monakveTis SuamarTobisa da kuTxis gverdebis gadakveTis wertilebi.2. bunebrivia, es aris samkuTxedis A kuTxis biseqtrisis wertili, romelic BC gverdzemdebareobs.3. es wertilia biseqtrisebis gadakveTis wertili, am amocanis amoxsnis dros moswavleebsukve SeuZliaT daamtkicon, rom samkuTxedis samive biseqtrisa erT wertilSiikveTeba. — ganv. ∆ABC, A da B kuTxeebis biseqtrisebis gadakveTis wertili Tanabradaris daSorebuli AB; AC da BC; AC gverdebidan. e.i. igi Tanabrad aris daSorebuli ABda BC gverdebidan, rac imas niSnavs, rom wertili B kuTxis biseqtrisazea.4. KP=KD=20sm.5. B da C wveroebidan Tanabrad daSorebul wertilTasimravle BC-s SuamarTobia. vipovoT AkuTxis biseqtrisis da SuamarTobis gadakveTiswertili M.ABMKC99masc_cigni_VII_kl_cor.indd 99 03.07.2012 15:46:56

AP6. ∠BPN=∠NPB=45°.BNC8. a= b $ 75=3b a= c $ 40=24 5c, saidanac b= a da c= a100 4100 53 25c-b=42 CavsvaT: a -4a = 42, e.i. a=36; b=48; c=90.2 39. 2 WianEWvela 8 sT-Si — 1 mTeli 2·8=x·2; x WianWvela 2 sT-Si — 1 mTeli, e.i. undadaixmaron 6 WianWEvela.amocanebi:18. paralelogrami. paralelogramis Tvisebebi3. paralelogramis maxvili kuTxe aRvniSnoT α-Ti , maSin blagvi kuTxisgradusuli zoma iqneba α+50°. α+α+50°=180° ⇒ α=65°, β=115°.Β25°35°C4. ∠Α=∠Α=25°+35°=60°∠Β=∠D=180° − 60° =120° .ΑD5. a) maxvili kuTxe aRvniSnoT α-Ti , maSin blagvi kuTxea 4α.α+4α=180° ⇒ α=36°; β=144°;b) α:β=3:7 ⇒ α=3x; β=7x.3x+7x=180° ⇒ x=18°.α=3∙180=54 da β=7∙18°=126°.ΑΒ6. ∠ΑBC=∠ADC=84°∠ΑDB=84°−68°=16°∠BAC=180°−84°=96°.D68°C8. a) AB=CD≡a; BC=AD=a+25.AB+BC=a+a+25=152:2 ⇒ 2a+25=76 ⇒ 2a=51 ⇒ a=25,5.AB=25,5sm da BC=50,5sm.100masc_cigni_VII_kl_cor.indd 100 03.07.2012 15:46:57

9. ganv. ΔABD. cxadia AB=BD≡a.AD≡b.ΒCP ABCD= 2a + 2b = 3,8) ⇒ b=0,8 da a = (3–0,8):2 = 2,2:2 = 1,1.P ΔABD= 2a + b = 3ΑaKaD10. ∠ΑKB=∠CB (BC||AD, BK mkveTia)ganv. ΔABK. ∠Β=∠Κ. e.i. ∠AB=AK=xP =8x=60 ⇒ x=7,5.AB=CD=x=7,5sm.BC=AD=3x=22,5sm.ΑxxΒK2x3xDCΑ3Β3M8K3DC11. ∠ΒΑΜ=∠ BMA ⇒ AB=MB=3∠CKD =∠ KDC ⇒ KC=CD=3MK=8-6=2.BM=KC=3sm; MK=2sm.12. AB=BE=9sm; EC=15-9=6sm.14. A da C wertilebi simetriulia O centris mimarT , e.i . Ocentris mimarT simetriiT A wertili gadadis C wertilSi.analogiurad, B wertili gadadis D wertilSi.e.i. AB monakveTi gadadis CD monakveTSi, BC ki DA monakveTSi.r.d.g.ABODC16. x, maSin oboba iyo 8-x. 6x+8(8-x)=54 ⇒ 6x+64-8x=54 ⇒ 2x=10 x=5.iyo 5 xoWo da 3 oboba.17.(x:4∙4+2):6∙3+1=x(x+2):2=x–1x+2=2x–2x=4.∙41:418. x+y=3(x-y)(x+y)∙2=xyx+y=3x-3y ⇒ 4y=2x ⇒ x=2y3y∙2=2y 2 ⇒ y=3 x=6.x+16:64+231∙3101masc_cigni_VII_kl_cor.indd 101 03.07.2012 15:46:58

19. rombi, rombis farTobiamocanebi:1. 9x=180° x=20°. 80°; 100°BC6. AK=AB. e.i. ∠A=60°.2A K D7. rombis gverdia 2 sm, simaRle ki - 1 sm-ia. e.i. kuTxe 30°-ia.8. a = 8 sm.ganv. ∆ABK. ∠K=90°, BK= 1 2 AB=4.8B4CAK 2D20. marTkuTxedi, kvadrati102masc_cigni_VII_kl_cor.indd 102 03.07.2012 15:46:58

6.7.8.9.BCAD10.103masc_cigni_VII_kl_cor.indd 103 03.07.2012 15:46:58

11. a) simetriis centria diagonalebis kveTis wertili.b) simetriis RerZi - gverdebis Suawertilebis SemaerTebeli wrfeebi, e.i. Tu marTkuTxedikvadrati ar aris, maSin — ori.12. kvadratis simetriis centria diagonalebis kveTis wertili. simetriis RerZebiadiagonalebi da gverdebis SuamarTobebi. sul 4 cali.V Tavis damatebiTi amocanebi1. α+α+90°=180°. paralelurgverdebiani kuTxeebi an tolia, an maTi jami 180°-ia.2. α+2α=180°.3. ar SeiZleba. aseTi kuTxeebidan nebismieri wyvili an tolia an jamSi 180°-s gvaZlevs.5. Siga calmxrivi kuTxeebis jami 180°-ia, maTi naxevrebis — 90°. e.i. biseqtrisebs SoriskuTxe 90°-ia.8. ∠BAC=∠BCA=72°. AD biseqtrisaa, amitom ∠BAD=∠DAC=36°. kuTxeebis tolobis gamoAD=BD=AC.9. paralelurgverdebiani kuTxeebis Tvisebis Tanaxmad (an tolia, an jami 180°-ia),miRebuli samkuTxedis kuTxeebi ABC samkuTxedis kuTxeebis tolia.10. samkuTxedis gare kuTxe misi aramosazRvre kuTxeebis jamis tolia, e.i. TiToeulzemetia.11. ix. amocana 10.12. jgufebi erTmaneTTan dakavSirebas SEeZleben, radgan samkuTxedis utolobisTanaxmad, dabanakebul jgufebs Soris manZili naklebia 15+13=28-ze.13. fuZis sigrZe tolia 7,5–2·2=3,5.104masc_cigni_VII_kl_cor.indd 104 03.07.2012 15:46:58

14. x+(x+3)·2=15,6 x=3,2 3,2; 6,2; 6,2.15. fuZesTan mdebare kuTxis biseqtrisa ferdis marTobulia, e.i. simaRlea, amitomfuZe ferdis tolia.+16. ∠ADB=180°–BAC + ABC +180BAC +` + j =+c -ABC .2 22α βa) 105°; b) 180c- + 2 ; g) 180180c- γ γc - = 90c+22 .17. ∠A=α; ∠ABD=90°-α; ∠C=180°–(α+β), ∠CBD=α+β–90°.18. BN+M ∠NBC=∠A+∠C=2∠C, ∠MBC= NBC =∠C, ∠MBC da ∠C2warmoadgenen S. jv. md. kuTxeebs BM da AC paralelurwrfeebsa da BC mkveTisaTvis. e.i. MB||AC.A))CBAC19. AC=200m; CB=800m. Tavisi siCqariT 20 wT-Si giorgis 50·20=1000m-is anu 1 km-is gacurva SEuZlia. samkuTxedis utolobis TanaxmadAB

24. samkuTxedis erT wverosTan mdebare Siga da gare kuTxis biseqtrisebi qmnian 90°-iankuTxes, e.i. saZiebeli kuTxea 50°.25. BC=CD, e.i. ∠CBD=∠CDB, magram ∠CDB=∠ABD (AB||CD, BD mkveTia), e.i. ∠DBC=∠ABD.26. naxazidan Cans, rom ∆ABC-dan AC

39. 4x=180°, e.i. x=45°. paralelogramis simaRleebs Soris kuTxe paralelogramis SidakuTxis tolia: a) 45°; b) 135°.BNK40. MN=BK≡xMK=NB≡ywrfeTa paralelobis gamo ∆ANM da MKC tolferdebia, e.i. AN=x daKC=y da x+y=AB=5.P NBKM=2(x+y)=10.AMCBK = AD42. o ⇒ AB=BD=0,9AK = KDBCAB+AD=1,9, e.i. AD=1.AKD46. erT gverdTan mdebare kuTxeTa jami 180°-ia, e.i. naxevrebis jami iqneba 90°.49. AK≡x; KC=3x, e.i. AC=4x.AO=OC=2x ⇒ KO=x,e.i. ABO samkuTxedSi AB=BO=AO=4. AC=8.BAOK 2CD50. cxadia, marTkuTxedis perimetri ori kaTetis tolia.51. gvaqvs ori SemTxveva: hipotenuzaze ZevsmarTkuTxedis a) didi gverdi; b) mcire gverdi.a) 9x=45 b) 12x=45.2x5x5x2x2x5xmexuTe Tavis testi1. g; 2. b; 3. b; 4. g; 5. g; 6. g; 7. b; 8. g; 9. g; 10. b. 11. a; 12. g.107masc_cigni_VII_kl_cor.indd 107 03.07.2012 15:46:59

sakontrolo wera №51. Tu A 1wertili A(2;-5) wertilis simetriulia y RerZis mimarT, maSin A 1wertiliskoordinatebia:a) (-2;-5); b) (-2;5); g) (2;5); d) (-5;2).2. Tu paraleluri gadatanisas figuris A(2;3) wertili gadavida A 1(3;1) wertilSi,maSin B(-2;0) wertili gadava B 1wertilSi, romlis koordinatebia:a) (-2;0); b) (-1;-2); g) (0;0); d) (5;-1).3. ori paraleluri wrfis mesameTi gadakveTisas miRebuli kuTxeebidan erT-erTimeoris 25%-ia. ipoveT am kuTxeebis gradusuli zomebi.a) 36° da 144°; b) 60° da 120°; g) 100° da 80°; d) 90° da 90°.4. Tu samkuTxedis kuTxeebis gradusuli zomebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc1:2:3, maSin am samkuTxedis udidesi kuTxea:a) 110°; b) 100°; g) 90°; d) 80°.5. Tu tolferda samkuTxedis fuZisa da ferdis sigrZeebis Sefardebaa 2:5, da P=48sm,maSin am samkuTxedis ferdis sigrZea:a) 10sm; b) 15sm; g) 20sm; d) 25sm.6. SeamCnieT kanonzomiereba da dawereT mimdevrobis kidev 3 wevri.a) 10; 5; 5 2 ; 5 4 ; ... b) 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; ...108masc_cigni_VII_kl_cor.indd 108 03.07.2012 15:46:59

am TavSi gaecnobiTVI Tavixarisxsa da xarisxis Tvisebebs. erTwevrs. mravalwevrs, moqmedebebs erTwevrebsa damravalwevrebze.miznebi:unda SeZlon moqmedebaTa Tvisebebis gamoyeneba algebruli gamosaxulebis gasamartivebladda misi mniSvnelobis gamosaTvlelad cvladebis mocemuli mniSvnelobisaTvis.unda SeZlon algebruli gardaqmnebisa da logikuri msjelobis gamoyenebiT ori algebruligamosaxulebis igivuri tolobis dasabuTeba an uaryofa.reziume:1. xarisxis Tvisebebimoswavlem unda SeZlos tolfuZiani xarisxebis gamravleba-gayofa; namravlis, wiladisaxarisxeba. xarisxis axarisxeba.amoxsnebi, miTiTebebi:2. a) x 5 =x 3·x 2 ; b) x 10 =x 3·x 7 ; g) x 19 =x 3·x 16 ; d) x 12 =x 3·x 9 .3. a) 5 7·25=5 7·5 2 =5 9 ; b) 6 15·36=6 15·6 2 =6 17 ; g) 0,4 4·0,16=0,4 4·0,4 2 =0,4 6 .9. romelia meti:a) 6 9 Tu 2 9·310 ; 2 9·310 = 2 9·39·3=(2·3) 9·3=3·69 . 6 9 < 2 9·310 .b) 15 11 Tu 5 10·312 ; 5 10·312 = 5 10·3 10·32 =15 10·9. 15 11 >5 10·312 .10. 3 4k =81 k =...1 bolovdeba 1-iT; 3 4k+1 =3 4k·3 bolovdeba 3-iT.3 4k+2 =3 4k·9 bolovdeba 9-iT; 3 4k+3 =3 4k·27 bolovdeba 7-iT.11. CamoTvlili winadadebebidan romelia WEeSmariti?a) (-a) 3 dadebiTia a-s nebismieri mniSvnelobisTvis — mcdaria;b) (-a) 3 uaryofiTia a-sTvis — mcdaria;g) (-a) 2 dadebiTia a-sTvis — mcdaria;d) (-a) 2 ara uaryofiTia a-sTvis — WeSmaritia.12. SeadareT ricxvebi:1 1a) =0,333...0,3=0,3000, amdenad, >0,3; b) 1,2233>1,2199.3 31200 20013. m/wm=1000 200 3600$ km/sT =$ km/sT =60km/sT.12 12 112 $ 10003600109masc_cigni_VII_kl_cor.indd 109 03.07.2012 15:47:00

8. b) 8x–3–(5-2x)=4,38x–3–5+2x=4,310x–8=4,310x=12,3x=1,23.9. magaliTis amoxsnamde moswavleebs unda vaCvenoT gansxvaveba orniSna ricxvis Canawersda ab-s Soris. magaliTad, ricxvi 23 niSnavs 2 aTeuls da 3 erTeuls. Canaweri ab ki ada b ricxvebis namravls gvaZlevs. imisaTvis, rom asoebiT CavweroTY ricxvi, romelica aTeulisgan da b erTeulisgan Sedgeba, moswavleebs mivceT Semdegi Canaweri:ab — niSnavs ricxvs, romelic Seicavs a aTeuls da b erTeuls.abc — ricxvi, romlis aseulebis ricxvia a, aTeulebis — b da erTeulebis — c.magram es iqneba aRniSvna, rogor gamoviyenoT es Canaweri gardaqmnebis da gantolebebisamoxsnis SemTxvevaSi. isev davubrundeT ricxviT magaliTs: 23=2·10+3, e.i.a) ab=10a+b; b) abc=100a+10b+c da a.S.;g) a00 b=1000a+b; d) abcd=1000a+100b+10c+d.11. moTxovna gasagebia a) da g) SemTxvevaSi, roca gamosaxuleba Seicavs 4 wevrs,amocana SeiZleba amoixsnas ramdenimenairad:a) x 3 +2x 2 +3x–5= x 3 –(5-2x 2 –3x), an x 3 +2x 2 +3x–5= 2x 2 –(-x 3 –3x+5) da a.S.rogor moviqceT b) SemTxvevaSi?moswavleebi unda mieCvion wevris „gaCenis“ process (gamosaxulebis mniSvnelobaar Seicvleba, Tu mas erTdroulad davumatebT da gamovaklebT erTsa da imavegamosaxulebas). mag.: 4xy–2x 2 =4xy–2x 2 +y 3 –y 3 = y 3 –(-4xy+2x 2 +y 2 ).15. SeadareT:a) 10 7 da 2 8·5 7 . 2 8·5 7 =2·2 7·5 7 =2·(2·5) 7 =2·10 7 ; 10 7

eziume:4. erTwevrisa da mravalwevris namravlimoswavlem unda SeZlos ganrigebadobis kanonis gaTvaliswinebiT erTwevris mravalwevrzegamravleba.amoxsnebi, miTiTebebi:11. a) 6 n+3 :6 n =6 3 ; b) 10 n+1 :10 n-1 =10 2 ; g) (-1) n·(-1) n =(-1) 2n =1; d) (-1) 2n :(-1) 3 =-1.37 412. a) ; b) .382514. (AB||CD)⇒∠ACD=∠CAB=α; ∠B=β, maSin ∠D=β–32°.∆ABC-Si α+β–32°+∠CAD=180°.150°–32°+∠CAD=180°.∠CAD=62°.reziume:5. mravalwevrebis namravlimoswavlem unda SeZlos mravalwevris mravalwevrze gamravleba, msgavsi wevrebisSeerTeba da namravlis standartuli saxiT warmodgena..amoxsnebi, miTiTebebi:9. a) x 3 +2x 2 +x+2= x 2 (x+2)+(x+2)=(x+2)(x 2 +1), e.i. M=x+2;b) a) x 3 –3x 2 –2x+6= x 2 (x–3)–2(x–3)=(x–3)(x 2 –2), e.i. M=x–3.10. x–y= 31 .1 1 1a) y–x=- ; b) (y–x)2 = ; g) (x–y)3 = ;3 9 271d) y - =-3; e) 1 1x(x–y)2 = ; v) (y–x)3 =– .9 2711. radgan n 3-ze meti martivi ricxvia, igi kentia, amitom n–1 da n+1 ricxvebi luwebia,romelTagan erT-erTi 4-is jeradia, e.i. (n–1)(n+1) iyofa 8-ze. viciT, rom nebismieri samimomdevno mTeli ricxvidan, erT-erTi samis jeradia, magram, radgan n martivia, samisjeradia n–1 an n+1, e.i. (n–1(n+1) namravli iyofa 24-ze.112masc_cigni_VII_kl_cor.indd 112 03.07.2012 15:47:02

OR12. B ∆OAB-Si AB

eziume:8. mravalwevris daSla mamravlebadmoswavles unda SeeZlos mravalwevris (Tu es SesaZlebelia) warmodgena ramdenimemravalwevris namravlis saxiT. amisaTvis unda SeeZlos saerTo TanamamravlisfrCxilebs gareT gatana; wevrebis dajgufeba, Semoklebuli gamravlebis formulebisgamoyeneba.amoxsnebi, miTiTebebi:5. a) (2x+8) 2 =(2(x+4)) 2 =4(x+4) 2 .6. a) 4 12 –4 10 =4 10 (4 2 –1)=15·4 10 30;g) 27 14 –81 10 =3 42 –3 40 =3 40 (3 2 –1)=8·9 20 72;d) 6 n +6 n+1 +6 n+2 =6 n (1+6+6 2 )=43·6 n .12. d) x 2 +2x–15=0x 2 +2x+1–16=0(x+1) 2 –16=0(x+1–4)(x+1+4)=0 x=3; –5.14. a) x 2 +30x+240=x 2 +30x+225+15=(x+15) 2 +15.16. a) n 3 +11n=n(n 2 +11) cxadia, gamosaxuleba luwia, e.i. unda davamtkicoT, rom iyofa3-ze. Tu n 3-ze iyofa, winadadeba WeSmaritia, Tu n 3-ze ar iyofa, maSin misi 3-ze gayofisnaSTia 1 an 2, maSin n 2 -is naSTia 1. e.i. n 2 +11 iyofa 3-ze.b) n 4 –1=(n–1)(n+1)(n 2 +1).SevadginoT 5-ze gayofis naSTebis cxrili:n n–1 n+1 n 2 +11 02 03 04 0g) m 3 –m=m(m–1)(m+1) sami momdevno ricxvidan erTi samis jeradia, erT-erTi mainc luwia.21. ( 400 - x ) $ 80= 272, saidanac x=60.10022. 2 sT-Si auzidan gavida 300 l wyali, e.i. yovel saaTSi — 150 l. e.i. Tavidan auzSi iyo500l wyali.+ BAO = 30c25.o ⇒ ∠BOA=75°, e.i. ∠BOD=135°.AB = AOBOCAD115masc_cigni_VII_kl_cor.indd 115 03.07.2012 15:47:03

9. kubebis jami da kubebis sxvaoba10. a + b = 70 a + b = 70) 2 2* 144a - b = 144 a - b =mTeli ar aris.7011. 123 3 +2 18 =123 3 +(26) 3 =(123+64)(123 2 –123·64+64 2 ).14. 70124.15. qalebi — x, kacebi — 2x.1TanamSromelTa raodenoba 3-is jeradia, 4%= , e.i. raodenoba 25-is jeradia, e.i. sul2575 TanamSromeli.VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi9. a) 3 4k –1=81 k –1:10; b) 100 k –1; 100 k =S100...0 Tu am ricxvs 1-s gamovaklebT, miviRebT2k2k cxrianisgan Semdgar ricxvs, romelic, cxadia, iyofa 11-ze.gavaxsenoT 11-ze gayofadobis wesi. aqve SeiZleba gavarCioT 10 k –1 k-s romeli mniSvnelobebisTvisgaiyofa 11-ze.23. a) x 2 +8x+7=x 2 +8x+16–9=(x+4) 2 –9=(x+1)(x+7).24. a+b=11 ab=21.a 3 +b 3 =(a+b)((a+b) 2 –3ab)=11(121–63)=638.25. a) 25 9 +5 17 =5 18 +5 17 =5 17·630;b) 88 3 +87 3 =(88+87)(88 2 –88·87+87 2 )175.VI Tavis testi1) g; 2) g; 3) g; 4) a; 5) a; 6) b; 7) b; 8) a; 9) g; 10) d; 11) b; 12) d; 13) g;14) b; 15) g; 16) b; 15) g; 16) b; 17) b; 18) b; 19) d; 20) g; 21) g; 22) b; 23) b; 24) b;25) b.116masc_cigni_VII_kl_cor.indd 116 03.07.2012 15:47:03

sakontrolo wera №61. 32·35·37·3=a) 3 14 ; b) 3 15 ; g) 3 10 ; d) 3 70 .2. (5 13 ) 2 =a) 5 17 ; b) 5 15 ; g) 5 26 ; d) 5 30 .3. (-2m 3 ) 2 =a) -4m 6 ; b) -4m 5 ; g) 4m 6 ; d) 4m 5 .4. 0,2 5·20 5 namravlis xarisxis saxiT warmodgenisas miiReba:a) 2 5 ; b) 2 10 ; g) 4 25 ; d) 4 5 .1 2 25. 3x 3 y 6 ` xy j gamosaxulebis gamartivebis Sedegad miiReba:31 5 61a) x y ; b) 3x35 y 6 ; g) x 5 y 6 5 6; d) x y .96. gaamartiveT: (xy 2 –5xy)+(5xy–7)–(xy 2 –14).7. amoxseniT gantoleba: 4,2x+1,8=6,2x–(1,1y+0,8)=2,2.8. SeadareT 6 12 da 2 13·3 11 .9. gaamartiveT: 6 n+1 :6 n –(n–6)·(n+1).117masc_cigni_VII_kl_cor.indd 117 03.07.2012 15:47:03