Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1 - Ee-cafe.org

Sudaryatno SudirhamAnalisisRangkaian ListrikJilid 1darpublic

AnalisisRangkaian ListrikJilid 1(Arus Searah dan Arus Bolak-Balik)olehSudaryatno Sudirham

Hak cipta pada penulis, 2010SUDIRHAM, SUDARYATNOAnalisis Rangkaian Listrik (1)Bandungare-0710e-mail: darpublic@yahoo.comAlamat pos: Kanayakan D-30, Komp ITB, Bandung, 40135.Fax: (62) (22) 2534117

PengantarBuku ini adalah jilid pertama dari satu seri pembahasan analisisrangkaian listrik. Penataan ulang urutan materi bahasan sertapenambahan penjelasan penulis lakukan terhadap buku yang diterbitkantahun 2002.Buku jilid pertama ini bertujuan untuk membangun kemampuanmelakukan analisis rangkaian listrik dalam keadaan mantap, ditujukankepada para pembaca yang untuk pertama kali mempelajari rangkaianlistrik. Bagian ini berisi bahasan analisis di kawasan waktu dan kawasanfasor, disajikan dalam enam belas bab. Lima bab pertama berisi bahasanmengenai perilaku piranti-piranti listrik maupun besaran fisis yang adadalam rangkaian, mencakup model sinyal dan model piranti. Denganpengertian tentang kedua model ini, bahasan masuk ke landasan-landasanuntuk melakukan analisis rangkaian listrik di empat bab berikutnya,disusul dengan dua bab yang berisi contoh aplikasi analisis rangkaian.Empat bab terakhir berisi analisis rangkaian di kawasan fasor, baik padasistem satu fasa maupun sistem tiga fasa berbeban seimbang yangmerupakan pokok bahasan terakhir. Pokok bahasan selanjutnya akandisajikan dalam buku jilid berikutnya.Selanjutnya buku jilid ke-dua akan ditujukan kepada pembaca yang telahmempelajari materi di jilid pertama ini. Pembahasan akan meliputianalisis transien pada sistem orde pertama dan sistem orde ke-dua,analisis rangkaian menggunakan transformasi Laplace, fungsi alih,tanggapan frekuensi, pengenalan pada sistem termasuk persamaan ruangstatus, serta analisis rangkaian listrik menggunakan transformasi Fourier.Dalam jilid ke-tiga akan disajikan analisis rangkaian pemrosesan energi,khususnya pada pemrosesan menggunakan arus bolak-balik sinusoidal,dan analisis harmonisa di mana sinyal listrik dipandang sebagai suatuspektrum.Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Saran danusulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya, sangatpenulis harapkan.Bandung, 26 Juli 2010Wassalam,Penulisiii

A. Schopenhauer, 1788 – 1860Dari Mini-EncyclopédieFrance LoisirsISBN 2-7242-1551-6

Bab 10: Rangkaian Pemroses Energi (Arus Searah) 181Pengukur Tegangan dan Arus Searah. Pengukuran Resistansi.Resistansi Kabel Penyalur Daya. Penyaluran Daya MelaluiSaluran Udara. Diagram Satu Garis. Jaringan Distribusi Daya.Batere. Generator Arus Searah.Bab 11: Rangkaian Pemroses Sinyal (Dioda dan OP AMP) 201Rangkaian Dengan Dioda. Rangkaian Dengan OP AMP. DiagramBlok. Rangkaian OP AMP Dinamik .Bab 12: Fasor, Impedansi, Dan Kaidah Rangkaian 227Fasor Dan Impedansi. Resistansi, Reaktansi, Impedansi.Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi.Bab 13: Teorema dan Metoda Analisis di Kawasan Fasor 247Teorema Rangkaian di Kawasan Fasor. Metoda-MetodaAnalisis Dasar. Metoda-Metoda Analisis Umum. RangkaianResonansi.Bab 14: Analisis Daya 265Umum. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya Rata-Ratadan Daya Reaktif. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor: DayaKompleks, Faktor Daya. Alih Daya. Alih Daya Maksimum.Bab 15: Penyediaan Daya 287Transformator. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor Daya.Diagram Satu Garis.Bab 16: Sistem Tiga Fasa 305Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke Beban. Analisis DayaPada Sistem Tiga Fasa. Diagram Satu Garis.Daftar Referensi 325Indeks 327Lampiran I 329Lampiran II 332Biodata 341vi Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 1PendahuluanDua dari sekian banyak kebutuhan manusia adalah kebutuhan akanenergi dan kebutuhan akan informasi. Salah satu cara yang dapat dipilihuntuk memenuhi kedua kebutuhan tersebut adalah melalui teknologielektro. Energi yang tersedia di alam tidak selalu dalam bentuk yang kitaperlukan akan tetapi terkandung dalam berbagai bentuk sumber energimisalnya air terjun, batubara, sinar matahari, angin, ombak, dan lainnya.Selain itu sumber energi tersebut tidak selalu berada di tempat di manaenergi tersebut dibutuhkan. Teknologi elektro melakukan konversi energinon-listrik menjadi energi listrik dan dalam bentuk listrik inilah energidapat disalurkan dengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan dankemudian dikonversikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengankebutuhan, misalnya energi mekanis, panas, cahaya. Proses penyediaanenergi berlangsung melalui berbagai tahapan; salah satu contoh adalahsebagai berikut:- energi non listrik, misalnya energi kimia yang terkandung dalam bahanbakar diubah menjadi energi panas dalam boiler → energi panas diubahmenjadi energi mekanis di turbin → energi mekanis diubah menjadienergi listrik di generator → energi listrik diubah menjadi energi listriknamun pada tingkat tegangan yang lebih tinggi di transformator →energi listrik bertegangan tinggi ditransmisikan → energi listrikbertegangan tinggi diubah menjadi energi listrik bertegangan menengahpada transformator → energi listrik didistribusikan ke pengguna, melaluijaringan tegangan menengah tiga fasa, tegangan rendah tiga fasa, dantegangan rendah satu fasa → energi listrik diubah kembali ke dalambentuk energi yang sesuai dengan kebutuhan pengguna.Demikian pula halnya dengan informasi. Teknologi elektro melakukankonversi berbagai bentuk informasi ke dalam bentuk sinyal listrik danmenyalurkan sinyal listrik tersebut ke tempat ia diperlukan kemudiandikonversikan kembali dalam bentuk-bentuk yang dapat ditangkap olehindera manusia ataupun dimanfaatkan1

untuk suatu keperluan tertentu, misalnya pengendalian. Dengan mudahkita dapat mengetahui apa yang sedang terjadi di belahan bumi yang laindalam waktu yang hampir bersamaan dengan berlangsungnya kejadian,tanpa harus beranjak dari rumah. Tidak hanya sampai di situ, satelit diluar angkasa pun dikendalikan dari bumi, dan jantung yang lemah pundapat dibantu untuk dipacu.1.1. Pengertian Rangkaian ListrikRangkaian listrik (atau rangkaian elektrik) merupakan interkoneksiberbagai piranti (divais – device) yang secara bersama melaksanakansuatu tugas tertentu. Tugas itu dapat berupa pemrosesan energi ataupunpemrosesan informasi. Melalui rangkaian listrik, energi maupuninformasi dikonversikan menjadi energi listrik dan sinyal listrik, dandalam bentuk sinyal inilah energi maupun informasi dapat disalurkandengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan.Teknologi elektro telah berkembang jauh. Dalam konversi dan transmisienergi listrik misalnya, walaupun masih tetap memanfaatkan sinyalanalog berbentuk sinus, namun kuantitas energi yang dikonversi danditransmisikan semakin besar mengikuti pertumbuhan kebutuhan.Teknologi yang dikembangkan pun mengikuti kecenderungan ini.Kemampuan peralatan semakin tinggi, alat perlindungan (proteksi)semakin ketat baik perlindungan dalam mempertahankan kinerja sistemmaupun terhadap pengaruh alam. Demikian pula pertimbanganpertimbanganekonomi maupun kelestarian lingkungan menjadi sangatmenentukan. Bahkan perkembangan teknologi di sisi penggunaan energi,baik dalam upaya mempertinggi efisiensi maupun perluasan penggunaanenergi dalam mendukung perkembangan teknologi informasi, cenderungmemberikan dampak kurang menguntungkan pada sistem penyaluranenergi listrik; dan hal ini menimbulkan persoalan lain yaitu persoalankualitas daya yang harus diantisipasi dan diatasi.Kalau dalam pemrosesan energi masih digunakan sinyal analog, tidakdemikian halnya dengan pemrosesan informasi. Pemanfaatan sinyalanalog telah digantikan oleh sinyal-sinyal digital sehingga kualitasinformasi video, audio, maupun data, menjadi sangat meningkat.Pemanfaatan sinyal digital sudah sangat meluas, mulai dari lingkunganrumah tangga sampai luar angkasa.2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Walaupun terdapat perbedaan yang nyata pada bentuk sinyal dalampemrosesan energi dan pemrosesan informasi, yaitu sinyal analog dalampemrosesan energi dan sinyal digital dalam pemrosesan informasi,namun hakekat pemrosesan tidaklah jauh berbeda; pemrosesan itu adalahkonversi ke dalam bentuk sinyal listrik, transmisi hasil konversi tersebut,dan konversi balik menjadi bentuk yang sesuai dengan kebutuhan.Sistem pemroses energi maupun informasi, dibangun dari rangkaianrangkaianlistrik yang merupakan interkoneksi berbagai piranti. Olehkarena itu langkah pertama dalam mempelajari analisis rangkaian listrikadalah mempelajari model sinyal dan model piranti. Karena pekerjaananalisis menggunakan model-model, sedangkan model merupakanpendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya dengan pembatasanpembatasantertentu, maka hasil suatu analisis harus juga difahamisebagai hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu pula.1.2. Pengertian Analisis Rangkaian ListrikUntuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukananalisis rangkaian listrik. Rangkaian listrik itu mungkin hanyaberdimensi beberapa sentimeter, tetapi mungkin juga membentangratusan bahkan ribuan kilometer. Dalam pekerjaan analisis, langkahpertama yang kita lakukan adalah memindahkan rangkaian listrik itu keatas kertas dalam bentuk gambar; gambar itu kita sebut diagramrangkaian.Suatu diagram rangkaian memperlihatkan interkoneksi berbagai piranti;piranti-piranti tersebut digambarkan dengan menggunakan simbolpiranti. Jadi dalam suatu diagram rangkaian (yang selanjutnya kita sebutdengan singkat rangkaian), kita melihat bagaimana berbagai macampiranti saling dihubungkan.Perilaku setiap piranti kita nyatakan dengan model piranti. Untukmembedakan piranti sebagai benda nyata dengan modelnya, makamodel itu kita sebut elemen rangkaian. Sinyal listrik yang hadir dalamrangkaian, kita nyatakan sebagai peubah rangkaian yang tidak lainadalah model matematis dari sinyal-sinyal tersebut. Jadi dalam pekerjaananalisis rangkaian listrik, kita menghadapi diagram rangkaian yangmemperlihatkan hubungan dari berbagai elemen, dan setiap elemenmemiliki perilaku masing-masing yang kita sebut karakteristik elemen;besaran-fisika yang terjadi dalam rangkaian kita nyatakan dengan peubahrangkaian (variable rangkaian) yang merupakan model sinyal. Dengan3

melihat hubungan elemen-elemen dan memperhatikan karakteristik tiapelemen, kita melakukan perhitungan peubah-peubah rangkaian.Perhitungan-perhitungan tersebut mungkin berupa perhitungan untukmencari hubungan antara peubah yang keluar dari rangkaian (kita sebutdengan singkat keluaran) dan peubah yang masuk ke rangkaian (kitasebut dengan singkat masukan); ataupun mencari besaran keluaran darisuatu rangkaian jika masukan dan karakteristik setiap elemen diketahui.Inilah pekerjaan analisis yang memberikan hanya satu hasil perhitungan,atau jawaban tunggal. Pekerjaan lain yang belum tercakup dalam bukuini adalah pekerjaan perancangan, yaitu mencari hubungan elemenelemenjika masukan dan keluaran ditentukan. Hasil pekerjaanperancangan akan memberikan lebih dari satu jawaban dan kita harusmemilih jawaban mana yang kita ambil dengan memperhitungkan tidaksaja aspek teknis tetapi juga aspek lain misalnya aspek ekonomi, aspeklingkungan, dan bahkan estetika.Telah dikatakan di atas bahwa hasil suatu analisis harus difahami sebagaihasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu. Kita akan melihat bahwarangkaian yang kita analisis kita anggap memiliki sifat linier dan kitasebut rangkaian linier; ia merupakan hubungan elemen-elemenrangkaian yang kita anggap memiliki karakteristik yang linier. Sifat inisesungguhnya merupakan pendekatan terhadap sifat piranti yang dalamkenyataannya tidak linier namun dalam batas-batas tertentu ia bersifathampir linier sehingga dalam pekerjaan analisis kita anggap ia bersifatlinier.1.3. Struktur Dasar Rangkaian, Besaran Listrik, dan KondisiOperasiStruktur Dasar Rangkaian. Secara umum suatu rangkaian listrik terdiridari bagian yang aktif yaitu bagian yang memberikan daya yang kitasebut sumber, dan bagian yang pasif yaitu bagian yang menerima dayayang kita sebut beban; sumber dan beban terhubung oleh penyalur dayayang kita sebut saluran.4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Besaran Listrik. Ada lima besaran listrik yang kita hadapi, dan dua diantaranya merupakan besaran dasar fisika yaitu energi dan muatanlistrik. Namun dalam analisis rangkaian listrik, besaran listrik yangsering kita olah adalah tegangan, arus, dan daya listrik. Energi dihitungsebagai integral daya dalam suatu selang waktu, dan muatan dihitungsebgai integral arus dalam suatu selang waktu.Sumber biasanya dinyatakan dengan daya, atau tegangan, atau arus yangmampu ia berikan. Beban biasa dinyatakan dengan daya atau arus yangdiserap atau diperlukan, dan sering pula dinyatakan oleh nilai elemen;elemen-elemen rangkaian yang sering kita temui adalah resistor,induktor, dan kapasitor, yang akan kita pelajari lebih lanjut.Saluran adalah penghubung antara sumber dan beban, dan padarangkaian penyalur energi (di mana jumlah energi yang disalurkan cukupbesar) ia juga menyerap daya. Oleh karena itu saluran ini dilihat olehsumber juga menjadi beban dan daya yang diserap saluran harus puladisediakan oleh sumber. Daya yang diserap saluran merupakan susutdaya dalam produksi energi listrik. Susut daya yang terjadi di saluran inimerupakan peristiwa alamiah: sebagian energi yang dikirim oleh sumberberubah menjadi panas di saluran. Namun jika daya yang diserapsaluran tersebut cukup kecil, ia dapat diabaikan.Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sesederhana seperti di atas.Jaringan listrik penyalur energi perlu dilindungi dari berbagai kejadiantidak normal yang dapat menyebabkan terjadinya lonjakan arus ataulonjakan tegangan. Jaringan perlu sistem proteksi yaitu proteksi aruslebih dan proteksi tegangan lebih. Jaringan listrik juga memerlukansistem pengendali untuk mengatur aliran energi ke beban. Pada jaringanpemroses informasi, gejala-gejala kebocoran sinyal serta gangguan sinyalbaik dari dalam maupun dari luar sistem yang disebut interferensi,memerlukan perhatian tersendiri.Pada jaringan penyalur energi, sumber mengeluarkan daya sesuai denganpermintaan beban. Pada rangkaian penyalur informasi, daya sumberterbatas; oleh karena itu alih daya dari sumber ke beban perlu diusahakanterjadi secara maksimal; alih daya ke beban akan maksimal jika tercapaikeserasian (matching) antara sumber dan beban.5

Peristiwa Transien. Kondisi operasi jaringan listrik tidak selalu mantap.Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan atau keadaantransien. Besar dan bentuk tegangan dan arus pada saat-saat setelahpenutupan ataupun setelah pembukaan saklar tidaklah seperti keadaansetelah saklar lama tertutup atau setelah lama terbuka. Di samping itukejadian sesaat di luar jaringan juga bisa menimbulkan keadaan transien,misalnya petir.Suatu selang waktu diperlukan antara saat kemunculan peristiwa transiendengan saat keadaan menjadi mantap. Waktu yang diperlukan untukmencapai keadaan akhir tersebut tergantung dari nilai-nilai elemenrangkaian. Oleh karena itu kita harus hati-hati untuk memegang peralatanlistrik walaupun ia sedang tidak beroperasi; yakinkan lebih dulu apakahkeadaan sudah cukup aman. Yakinkan lebih dulu bahwa peralatan listrikyang terbuka sudah tidak bertegangan, sebelum memegangnya.1.4. Landasan Untuk Melakukan AnalisisAgar kita bisa melakukan analisis, kita perlu memahami beberapa halyang sangat mendasar yaitu hukum-hukum yang berlaku dalam suaturangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teorema rangkaian, sertametoda-metoda analisis.Hukum-Hukum Rangkaian. Hukum-hukum rangkaian merupakan dasaruntuk melakukan analisis. Ada dua hukum yang akan kita pelajari yaituHukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Hukum Ohm memberikan relasilinier antara arus dan tegangan resistor. Hukum Kirchhoff mencakupHukum Arus Kirchhoff (HAK) dan Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK).HAK menegaskan bahwa jumlah arus yang menuju suatu pencabanganrangkaian sama dengan jumlah arus yang meninggalkan pencabangan;hal ini dibuktikan oleh kenyataan bahwa tidak pernah ada penumpukanmuatan di suatu pencabangan rangkaian. HTK menyatakan bahwajumlah tegangan di suatu rangkaian tertutup sama dengan nol, dan hal inisesuai dengan prinsip konservasi energi.Kaidah-Kaidah Rangkaian. Kaidah rangkaian merupakan konsekuensidari hukum-hukum rangkaian. Dengan kaidah-kaidah ini kita dapatmenggantikan susunan suatu bagian rangkaian dengan susunan yangberbeda tanpa mengganggu perilaku keseluruhan rangkaian, sehinggarangkaian menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dianalisis. Dengan6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

menggunakan kaidah-kaidah ini pula kita dapat melakukan perhitunganpada bentuk-bentuk bagian rangkaian tertentu secara langsung. Salahsatu contoh adalah kaidah pembagi arus: untuk arus masukan tertentu,besar arus cabang-cabang rangkaian yang terhubung paralel sebandingdengan konduktansinya; hal ini adalah konsekuensi dari hukum Ohm danHAK.Teorema Rangkaian. Teorema rangkaian merupakan pernyataan darisifat-sifat dasar rangkaian linier. Teorema rangkaian yang penting akankita pelajari sesuai keperluan kita, mencakup prinsip proporsionalitas,prinsip superposisi, teorema Thévenin, teorema orton, teoremasubstitusi, dan teorema Tellegen.Prinsip proporsionalitas berlaku untuk rangkaian linier. Jika masukansuatu rangkaian adalah y in dan keluarannya adalah y o maka y o = Kyindengan K adalah nilai tetapan.Prinsip superposisi menyatakan bahwa pada rangkaian dengan beberapamasukan, akan mempunyai keluaran yang merupakan jumlah keluarandari masing-masing masukan jika masing-masing masukan bekerjasecara sendiri-sendiri pada rangkaian tersebut.Kita ambil contoh satu lagi yaitu teorema Thévenin. Teorema inimenyatakan bahwa jika seksi sumber suatu rangkaian (yaitu bagianrangkaian yang mungkin saja mengandung lebih dari satu sumber)bersifat linier, maka seksi sumber ini bisa digantikan oleh satu sumberyang terhubung seri dengan satu resistor ataupun impedansi; sementaraitu beban boleh linier ataupun tidak linier. Teorema ini sangatmemudahkan perhitungan-perhitungan rangkaian.Metoda-Metoda Analisis. Metoda-metoda analisis dikembangkanberdasarkan teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidahrangkaian. Ada dua kelompok metoda analisis yang akan kita pelajari;yang pertama disebut metoda analisis dasar dan yang ke-dua disebutmetoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakan padarangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang agaklebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematis yaitu metodaanalisis umum. Kedua metoda ini kita pelajari agar kita dapat melakukananalisis rangkaian sederhana7

secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual sangatdiperlukan untuk dapat memahami sifat dan perilaku rangkaian.Selain perbedaan jangkauan penggunaannya, metoda analisis dasarberbeda dari metoda analisis umum dalam hal sentuhan yang kita milikiatas rangkaian yang kita hadapi. Dalam menggunakan metoda analisisdasar, kita masih merasakan bahwa kita sedang mengolah perilakurangkaian. Dalam menggunakan metoda analisis umum kita agakkehilangan sentuhan tersebut; sekali kita sudah mendapatkan persamaanrangkaian, maka selanjutnya kita hanya melakukan langkah-langkahmatematis atas persamaan tersebut dan kita akan mendapatkan hasilanalisis tanpa merasa telah menghadapi rangkaian listrik. Kehilangansentuhan ini mendapat kompensasi berupa lebih luasnya jangkauankerumitan rangkaian yang bisa dipecahkan dengan metoda analisisumum.Selain dua kelompok metoda tersebut ada metoda analisis berbantuankomputer. Untuk rangkaian-rangkaian yang sangat rumit, analisis secaramanual tidaklah efektif bahkan tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itukita memerlukan bantuan komputer. Metoda ini tidak dibahas khususdalam buku ini namun pembaca perlu mempelajarinya denganmenggunakan buku-buku lain beserta perangkat lunaknya, sepertimisalnya program SPICE.Landasan untuk melakukan analisis tersebut di atas akan kita pelajari dansetelah kita memahami landasan-landasan tersebut kita akan siap untukmelakukan analisis rangkaian. Berbagai contoh pekerjaan analisis akankita jumpai dalam buku ini.8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 2Besaran Listrik Dan Model SinyalDengan mempelajari besaran listrik dan model sinyal, kita akan• menyadari bahwa pembahasan analisis rangkaian di siniberkenaan dengan sinyal waktu kontinyu;• memahami besaran-besaran listrik yang menjadi peubah sinyaldalam analisis rangkaian;• memahami berbagai bentuk gelombang sinyal;• mampu menyatakan bentuk gelombang sinyal secara grafismaupun matematis.2.1. Besaran ListrikDalam kelistrikan, ada dua besaran fisika yang menjadi besaran dasaryaitu muatan listrik (selanjutnya disebut dengan singkat muatan) danenergi listrik (selanjutnya disebut dengan singkat energi). Muatan danenergi, merupakan konsep dasar fisika yang menjadi fondasi ilmiahdalam teknologi elektro. Namun dalam praktik, kita tidak mengolahlangsung besaran dasar ini, karena kedua besaran ini tidak mudah untukdiukur. Besaran yang sering kita olah adalah yang mudah diukur yaituarus, tegangan, dan daya.Arus. Arus listrik dinyatakan dengan simbol i; ia merupakan ukuran darialiran muatan. Ia merupakan laju perubahan jumlah muatan yangmelewati titik tertentu. Dalam bentuk diferensial ia didefinisikan sebagai:dqi = (2.1)dtDalam sistem satuan SI, arus mempunyai satuan ampere, dengansingkatan A. Karena satuan muatan adalah coulomb dengan singkatan C,maka1 ampere = 1 coulomb / detik = 1 coulomb / sekon = 1 C/sPerlu kita ingat bahwa ada dua jenis muatan yaitu muatan positif dannegatif. Arah arus positif ditetapkan sebagai arah aliran muatan positifnetto, mengingat bahwa aliran arus di suatu titik mungkin melibatkankedua macam muatan tersebut.9

Tegangan. Tegangan dinyatakan dengan simbol v; ia terkait denganperubahan energi yang dialami oleh muatan pada waktu ia berpindah darisatu titik ke titik yang lain di dalam rangkaian. Tegangan antara titik Adan titik B di suatu rangkaian didefinisikan sebagai perubahan energiper satuan muatan, yang dalam bentuk diferensial dapat kita tuliskansebagai:dwv = (2.2)dqSatuan tegangan adalah volt, dengan singkatan V. Oleh karena satuanenergi adalah joule dengan singkatan J, maka 1 volt = 1 joule/coulomb =1 J/C.Daya. Daya dinyatakan dengan simbol p, didefinisikan sebagai lajuperubahan energi, yang dapat kita tuliskan:dwp = (2.3)dtDari definisi ini dan definisi untuk arus (2.1) dan tegangan (2.2) kitadapatkan:⎛ dw ⎞ ⎛ dw ⎞ ⎛ dq ⎞p = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = vi(2.4)⎝ dt ⎠ ⎝ dq ⎠ ⎝ dt ⎠Satuan daya adalah watt, dengan singkatan W. Sesuai dengan hubungan(2.3) maka 1 W = 1 J/s.Energi. Energi dinyatakan dengan simbol w. Untuk memperoleh besarenergi yang teralihkan dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 kitamelakukan integrasi daya antara t 1 dan t 2Satuan energi adalah joule.tw = ∫1pdt(2.5)t1Muatan. Muatan dinyatakan dengan simbol q, diperoleh denganmengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah muatan yang dialihkanoleh arus i dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 adalah :t=∫2t1Satuan muatan adalah coulomb.q idt(2.6)10 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

2.2. Peubah Sinyal dan Referensi SinyalPeubah Sinyal. Sebagaimana telah sebutkan di atas, dalam mananganimasalah praktis, kita jarang melibatkan secara langsung kedua besarandasar yaitu energi dan muatan. Besaran yang lebih sering kita olahadalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisis rangkaian listrik, tigabesaran ini menjadi peubah rangkaian yang kita sebut sebagai peubahsinyal. Kehadiran mereka dalam suatu rangkaian listrik merupakansinyal listrik, dan dalam analisis rangkaian listrik kita melakukanperhitungan-perhitungan sinyal listrik ini; mereka menjadi peubah atauvariabel.Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit. Sinyal listrik padaumumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknologi elektro yangtelah berkembang demikian lanjut kita mengenal dua macam bentuksinyal listrik yaitu sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit. Suatusinyal disebut sebagai sinyal waktu kontinyu (atau disebut juga sinyalanalog) jika sinyal itu mempunyai nilai untuk setiap t dan t sendirimengambil nilai dari satu set bilangan riil. Sinyal waktu diskrit adalahsinyal yang mempunyai nilai hanya pada t tertentu yaitu t n dengan t nmengambil nilai dari satu set bilangan bulat. Sebagai contoh sinyalwaktu kontinyu adalah tegangan listrik di rumah kita. Sinyal waktudiskrit kita peroleh misalnya melalui sampling pada tegangan listrik dirumah kita. Gb.2.1. memperlihatkan kedua macam bentuk sinyaltersebut. Dalam mempelajari analisis rangkaian di buku ini, kita hanyaakan menghadapi sinyal waktu kontinyu saja.v(t)v(t)00t00tSinyal waktu kontinyuSinyal waktu diskritGb.2.1. Sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit.11

Referensi Sinyal. Arus dan tegangan mempunyai hubungan erat namunmereka juga mempunyai perbedaan yang sangat nyata. Arus merupakanukuran besaran yang melewati suatu titik sedangkan tegangan adalahukuran besaran antara dua titik. Jadi arus diukur di satu titik sedangkantegangan diukur di antara dua titik.Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyatakan dengan tanda anak panahyang menjadi referensi arah positif arus. Referensi ini tidak berartibahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada piranti) adalahseperti ditunjukkan oleh anak panah. Arah arus sesungguhnya dapatberlawanan dengan arah anak panah dan jika demikian halnya kitakatakan arus negatif. Dalam hal arah arus sesungguhnya sesuai denganarah anak panah, kita katakan arus positif.Pada elemen rangkaian, tanda “+” dipakai untuk menunjukkan titikyang dianggap mempunyai tegangan yang lebih tinggi dibandingkandengan titik yang bertanda “−”, dan ini menjadi referensi tegangan. Disinipun titik yang bertanda “+” pada keadaan sesungguhnya tidak selalubertegangan lebih tinggi dibandingkan dengan titik yang bertanda “−“.Tetapi jika benar demikian keadaannya kita katakan bahwa teganganpada piranti adalah positif, dan jika sebaliknya maka tegangan itu negatif.Konvensi Pasif. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kitamengikuti konvensi pasif yaitu arah arus digambarkan masuk ke elemenpada titik yang bertanda “+”. Konvensi ini disebut konvensi pasif sebabdalam konvensi ini piranti menyerap daya. Perhatikan Gb.2.2. Dengankonvensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tandayang sama, daya bernilai positif. Jika arus dan tegangan berlawanantanda maka daya bernilai negatif.tegangan diukur antara dua titik+pirantiarus melewati pirantiGb.2.2. Tegangan dan arus pada satu pirantiDaya positif berarti elemen menyerap daya; daya negatifberarti elemen mengeluarkan daya.−12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Selain referensi arus dantegangan pada elemen,untuk menyatakan besartegangan di berbagai titikpada suatu rangkaian kitamenetapkan titik referensiumum yang kita namakantitik pentanahan atau titiknol atau ground. Tegangandi titik-titik lain padarangkaian dihitungterhadap titik nol ini.Perhatikan penjelasan padaGb.2.3.Tegangan di titik A dapat kita sebut sebagai v A yaitu tegangan titik Aterhadap titik referensi umum G. Demikian pula v B adalah tegangan titikB terhadap G. Beda tegangan antara titik A dan B adalah v A – v B = v AB =v 2 .Isilah kotak-kotak yang kosong pada tabel berikut ini.Piranti v [V] i [A] p [W] menerima/memberi dayaA 12 5B 24 -3C 12 72D -4 96E 24 72COTOH-2.1: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) danarus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah daya yangdiserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c).Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebutselama 8 jam itu?Penyelesaian:a). Daya yang diserap adalah :−p = vi = 12 × 100×103 = 1,2 Wb). Energi yang diserap selama 8 jam adalahreferensi arus i 2AB2+ v 2 −+ +i 11 v 1 v 3 3 i 3− −Greferensi tegangan pirantireferensi tegangan umum (ground)Gb.2.3. Referensi arus dan tegangan13

8 8w = ∫ pdt = 1,2 = 1,20 ∫ dt t080= 9,6 Whc). Jumlah muatan yang dipindahkan selama 8 jam adalah88−3q = ∫ idt = 100×10 t = 0,1 × 8 = 0,8 Ah00Pemahaman :Satuan daya adalah Watt. Untuk daya besar digunakan satuan kW(kilo watt) yaitu 1 kW = 1000 W. Satuan daya yang lain adalahhorse power (HP).1 HP = 746 W atau 1 kW = 1,341 HPWatt-hour (Wh) adalah satuan energi yang biasa dipakai dalamsistem tenaga listrik.1 Wh = 3600 J atau 1 kWh = 3600 kJSatuan muatan adalah Coulomb. Dalam penyelesaian soal di atas,kita menggunakan satuan Ampere-hour (Ah) untuk muatan. Satuanini biasa digunakan untuk menyatakan kapasitas suatu accu(accumulator). Contoh : accu mobil berkapasitas 40 Ah.karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 3600 CCOTOH-2.2: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan200V (konstan). Berapakah besar arus yang mengalir dan berapakahenergi yang diserap selama 8 jam ?Penyelesaian :p 100i = = = 0,5 Av 20088w = ∫ 100dt= 100t= 800 Wh = 0,8 kWH00COTOH-2.3: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktusebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yangdipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?Penyelesaian :Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah55 5 0,05 2 1,25q =∫idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫tdt t0 2 0 214 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-2.4: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5cos400tA. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Berapakahnilai daya maksimum dan daya minimum ?Penyelesaian :a). p = 220cos 400t× 5cos 400t= 1100cos= 550 1400t( + cos800t) = 550 + 550cos800tWSuku pertama pernyataan daya ini bernilai konstan positif + 550V.b). NilaiSuku ke-dua bervariasi antara −550 V dan + 550 V.Secara keseluruhan daya selalu bernilai positif.daya : ppmaksimumminimum= 550+550 = 1100 W2= 550−550 = 0 WWCOTOH-2.5: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadap waktusebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i = 5sin400tA. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ? b). Tunjukkanbahwa piranti ini menyerap daya pada suatu selang waktu tertentudan memberikan daya pada selang waktu yang lain. c). Berapakahdaya maksimum yang diserap ? d). Berapakah daya maksimumyang diberikan ?Penyelesaian :a).p = 220 cos 400t× 5sin 400t= 1100 sin 400tcos 400t= 550 sin 800tWb). Dari a) terlihat bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selamasetengah perioda daya bernilai posisitif dan selama setengah periodaberikutnya ia bernilai negatif. Jika pada waktu daya bernilai positifmempunyai arti bahwa piranti menyerap daya, maka pada waktubernilai negatif berarti piranti memberikan dayac). Daya maksimum yang diserap:p = 550 W .maks diserapd). Daya maksimum yang diberikan: p maks diberikan = 550 W .15

2.3. Bentuk Gelombang SinyalPada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kita lihatpada contoh-contoh di atas. Variasi sinyal terhadap waktu disebut bentukgelombang. Secara formal dikatakan:Bentuk gelombang adalah suatu persamaan atau suatu grafik yangmenyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Sebagai contoh, bentuk gelombang tegangan dan arus yang konstan diseluruh waktu, secara matematis dinyatakan dengan persamaan:v = V0 ; i = I0, untuk − ∞ < t < ∞(2.7)Walaupun persamaan di atas hanyalah model, tetapi model ini sangatbermanfaat sebab ia merupakan pendekatan untuk sinyal yang secaranyata dibangkitkan oleh sumber sebenarnya, misalnya batere.Bentuk gelombang dikelompokkan dalam dua kelompok. Kelompokpertama disebut bentuk gelombang dasar yang meliputi bentukgelombang anak tangga, sinus, dan eksponensial. Mereka disebut bentukgelombang dasar karena dari tiga bentuk gelombang ini dapat diturunkanbentuk-bentuk gelombang yang lain. Bentuk gelombang dasar ini terlihatpada Gb.2.4.vvv0 0 00tt 00tAnak tangga Sinus EksponensialGb.2.4. Bentuk Gelombang Dasar.Kelompok kedua disebut bentuk gelombang komposit. Bentukgelombang ini tersusun dari beberapa bentuk gelombang dasar, sepertiterlihat pada Gb.2.5. Bentuk gelombang sinus teredam misalnya,merupakan hasil kali gelombang sinus dengan eksponensial; gelombangpersegi merupakan kombinasi dari gelombang-gelombang anak tangga,dan sebagainya. Dalam analisis rangkaian, bentuk-bentuk gelombang inikita nyatakan secara matematis seperti halnya dengan contoh sinyalkonstan (2.7) di atas. Dalam kenyataan, bentuk-bentuk gelombang bisasangat rumit; walaupun demikian, variasinya terhadap waktu dapatdidekati dengan menggunakan gabungan bentuk-bentuk gelombangdasar.16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

vtvvt00 0 t0 0tSinus teredam Gelombang persegi Eksponensial gandavvv0t0 0tDeretan pulsa Gigi gergaji Segi tigaGb.2.5. Beberapa gelombang komposit.2.3.1. Bentuk Gelombang DasarBentuk gelombang dasar (disebut juga gelombang utama) meliputifungsi anak-tangga (step function),fungsi eksponensial (exponential function), danfungsi sinus (sinusoidal function).Fungsi Anak-Tangga (Fungsi Step). Secara umum, fungsi anak-tanggadidasarkan pada fungsi anak-tangga satuan, yang didefinisikan sebagaiberikut:u(t)= 0 untuk t < 0(2.8)= 1 untuk t ≥ 0Beberapa buku membiarkan fungsi u(t) tak terdefinisikan untuk t = 0,dengan persamaanu(t)= 0 untuk t < 0= 1 untuk t > 0Pernyataan fungsi anak tangga satuan yang terakhir ini mempunyaiketidak-kontinyuan pada t = 0. Untuk selanjutnya kita akanmenggunakan definisi (2.8).Dalam kenyataan, tidaklah mungkin membangkitkan sinyal yang dapatberubah dari satu nilai ke nilai yang lain tanpa memakan waktu. Yangdapat dilakukan hanyalah membuat waktu transisi itu sependek mungkin.17

Bila u(t) kita kalikan dengan sesuatu nilai konstan V A akan kita perolehbentuk gelombang anak tangga (Gb.2.6.a.):v = VAu(t)⇒ v = 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ 0v V AvV A(2.9.a)0Gb.2.6. Bentuk gelombang anak-tangga.Jika t kita ganti dengan (t-T s ) kita peroleh bentuk gelombang VAu( t − Ts)yang merupakan bentuk gelombang anak tangga tergeser ke arah positifsebesar T s (Gb.2.6.b.).v = VAu(t − Ts) ⇒ v = 0 untuk t < Ts= VAuntuk t ≥ Ts(2.9.b)Bentuk Gelombang Eksponensial. Sinyal exponensial merupakan sinyalanak-tangga yang amplitudonya menurun secara eksponensial menujunol. Persamaan bentuk gelombang sinyal ini adalah:−t/ τ( V e ) u(t)v = A(2.10)Parameter yang penting pada sinyal bentuk ini adalah amplitudo V A dankonsanta waktu τ (dalam detik). Konstanta waktu ini enentukankecepatan menurunnya amplitudo sinyal. Makin besar τ makin lambatamplitudo menurun dan makin kecil τ makin cepat amplitudo menurun.0.368V A(a)v V AtV A e −t / τ u(t)0T s(b)t0 1 2 3 4 5 t/τGb.2.7. Bentuk gelombang eksponensial.18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Pada t = τ sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % V A . Pada t = 5τ sinyalmencapai 0,00674V A , kurang dari 1% V A . Oleh karena itu kita definisikandurasi (lama berlangsung) suatu sinyal eksponensial adalah 5τ. Kalaukita hanya meninjau keadaan untuk t > 0, maka u(t) pada persamaangelombang ini biasanya tidak dituliskan lagi. Jadi:v −t/ τ= V A e(2.11)Bentuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpa hentidari suatu osilasi antara dua nilai puncak, seperti terlihat pada Gb.2.8. dibawah ini.Tv 0V A0 0−V AtvV A−V A00T sGb.2.8. Bentuk gelombang sinus.Amplitudo V A didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimumosilasi. Perioda T o adalah waktu yang diperlukan untuk membuat satusiklus lengkap. Dengan menggunakan dua parameter tersebut, yaitu V Adan T o , kita dapat menuliskan persamaan sinus ini dalam fungsi cosinus:v = V A cos(2π t / T o ) (2.12)Seperti halnya fungsi anak tangga, persamaan umum fungsi sinusdiperoleh dengan mengganti t dengan (t-T s ). Jadi persamaan umumgelombang sinus adalah:v = VAcos[ 2π(t − Ts) / To](2.13)dengan T s adalah waktu pergeseran, yang ditunjukkan oleh posisi puncakpositif yang terjadi pertama kali seperti terlihat pada Gb.2.8. Padagambar ini T s adalah positif. Jika T s negatif pergeserannya akan ke arahnegatif.Pergeseran waktu dapat juga diyatakan dengan menggunakan sudut:v = VA cos[ 2πt / To − φ](2.14)Parameter φ disebut sudut fasa. Hubungan antara waktu pergeseran T sdan sudut fasa φ adalah :T 0t19

Tφ = 2πs(2.15)T 0Variasi dari gelombang sinus dapat juga dinyatakan denganmenggunakan frekuensi. Frekuensi f o didefinisikan sebagai jumlahperioda dalam satu satuan waktu, yang disebut frekuensi siklus. Olehkarena perioda T o adalah jumlah detik (waktu) per siklus, maka jumlahsiklus (perioda) per detik adalah:1f 0 = (2.16)T0dengan satuan hertz ( Hz ), atau siklus per detik. Selain frekuensi siklus,kita mengenal pula frekuensi sudut ω o dengan satuan radian per detik(rad/det), yaitu:2πω 0 = 2πf0=(2.17)T0Dengan demikian ada dua cara untuk menyatakan frekuensi, yaitufrekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudut (rad/detik), dan fungsi sinusdapat dinyatakan sebagaiv = VAcos[2πf0t − φ]v = VAcos[ ω0t − φ]atau(2.17.a)COTOH-2.6: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan) danarus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakah dayayang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8 jam? c).Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti tersebutselama 8 jam itu?Penyelesaian:Penyelesaian soal ini telah kita lakukan pada contoh 2.1. Di sini kitaakan melihat model sinyalnya. Model matematis dari sinyaltegangan 12 V (konstan) kita tuliskan sebagai v = 12u(t)V, danarus 100 mA kita tuliskan i = 100u(t)mA.Jika sinyal-sinyal inibawah ini.kita gambarkan akan berbentuk seperti di20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v12 Vv=12u(t) Vi100 mAi=100u(t) mA0 t0 tDaya yang diserap adalah p = v×i = 1. 2 W dan jika kita gambarkanperubahan daya terhadap waktu adalah seperti gambar berikut ini.pp1,2 Wp = v × i1,2 W0 t0 8 t (jam)Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari daya untukjangka waktu 8 jam. Besar energi ini ditunjukkan oleh luas bagianyang diarsir di bawah kurva daya seperti ditunjukkan pada gambar disebelah kanan.COTOH-2.7: Carilah persamaan bentuk gelombang tegangan yangtergambar di bawah ini.v [V]v [V]2Penyelesaian :' ' '1 2 3 4 t [s]a) b)a). Bentuk gelombang tegangan ini adalah gelombang anak tanggayang persamaan umumnya adalah v(t) = A u(t − T s ) , dengan A =amplitudo dan T s = pergeseran waktu. Maka persamaangelombang pada gambar a) adalahv ( t)= 2u(t 1) V.1 −Gelombang ini mempunyai nilaiv1 (t)= 2 V= 0 V−3' ' ' '1 2 3 4 t [s]untuk t ≥ 1untuk t < 121

). Bentuk gelombang tegangan gambar b) adalahv ( t)= −3u(t 2) V.2 −Gelombang ini mempunyai nilaiPemahaman :v2 (t)= −3 V= 0 Vuntuk t ≥ 2untuk t < 2u(t) adalah fungsi anak tangga satuan, sebagaimana telahdidefinisikan. Fungsi anak tangga satuan ini tidak mempunyaisatuan. Bentuk gelombang tegangan pada gambar a) diperolehdengan mengalikan suatu tegangan konstan sebesar 2 V denganfungsi anak tangga satuan u(t−1) yaitu fungsi anak tangga satuanyang bergeser 1 detik. Sedangkan gelombang tegangan pada gambarb) diperoleh dengan mengalikan tegangan konstan sebesar −3 Vdengan fungsi anak tangga satuan yang bergeser 2 detik.Bentuk gelombang apapun, jika dikalikan dengan fungsianak tangga satuan u(t) akan bernilai nol untuk t < 0, danjika dikalikan dengan u(t−T s ) akan bernilai nol untuk t < T s .COTOH-2.8: Carilah persamaan dan gambarkanlah tiga bentukgelombang eksponensial berikut ini dalam satu gambar.v 1 (t) : amplitudo 5 V, konstanta waktu 2 detikv 2 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 2 detikv 3 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 4 detikPenyelesaian :Persamaan umum gelombang eksponensial adalah v(t) = Ae −t/τ u(t)dengan A = amplitudo, τ = konstanta waktu. Jadi pernyataan ketigagelombang itu masing-masing adalah−t/ 2v1(t)= 5eu(t)V;−t/ 2v2( t)= 10eu(t)V;−t/ 4v3( t)= 10eu(t)V.Bentuk gelombang tegangan tergambar di bawah ini.22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Pemahaman :Kita lihat bahwa walaupun v 1 dan v 2 mempunyai amplitudo yangjauh berbeda, mereka teredam dengan kecepatan yang sama karenakonstanta waktunya sama. Pada t = 5 × konstanta waktu, yaitu 5 × 2= 10 detik, nilai gelombang telah dapat diabaikan.Gelombang tegangan v 2 dan v 3 mempunyai amplitudo sama tetapikonstanta waktunya berbeda. Kita lihat bahwa gelombang yangkonstanta waktunya lebih besar lebih lambat menuju nol, sedangkanyang konstanta waktunya lebih kecil lebih cepat menuju nol.COTOH-2.9: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0, yangamplitudonya 10 V, frekuensi siklus 50 Hz, dan puncak positif yangpertama terjadi pada t = 3 mili detik. Gambarkanlah bentukgelombangnya.Penyelesaian :10v [V]5Pernyataan umum gelombang sinus standar untuk t > 0 adalah⎛ t − Tv Acos2 s ⎞= ⎜ π u(t)T ⎟ dengan A adalah amplitudo, T s pergeseran⎝ 0 ⎠waktu, T 0 perioda, dan u(t) adalah fungsi anak tangga satuan.Karena frekuensi siklus f = 1/T 0 maka persamaan umum ini jugadapat ditulis sebagaiv = A cosv 1v 2v 300 5 t [detik] 10( 2πf ( t − T ) u(t)Dari apa yang diketahui dalam persoalan yang diberikan, kita dapatmenuliskan persamaan tegangan( 100π(t − 0,003) u()v = 10 costdengan bentuk gelombang terlihat pada gambar berikut ini.s23

10v[V]5Pemahaman :Perhatikan bahwa puncak pertama positif terjadi pada t = 0,003detik. Karena frekuensi gelombang 50 Hz, maka ada lima puluhsiklus dalam satu detik atau dengan kata lain perioda gelombang iniadalah 1/50 detik = 0,02 detik. Persamaan umum gelombang sinusdapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti berikut ini.⎛ t − T ⎞⎜ sv = A cos 2π⎟ atau v = Acos( 2πf ( t − Ts))atau⎝ T0⎠v = Acos( ω(t − Ts)) atau v = Acos( ωt− φ)Dari persamaan-persamaan umum ini kita dapat dengan mudahmenuliskan persamaan bentuk gelombang sinus berdasarkanparameter-parameter yang diketahui.COTOH-2.10: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0, yangfrekuensinya 1000 rad/s, dan puncak positif yang pertama terjadipada t = 1 mili detik. Pada t = 0 gelombang ini mempunyai nilai 200V.Penyelesaian :00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-5-10Puncak positif yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik, artinyapada bentuk gelombang ini terjadi pergeseran waktu sebesar 0,001detik. Persamaan umum fungsi sinus yang muncul pada t = 0 adalahv = Acos[ω(t − Ts)] u(t). Amplitudo dari gelombang ini dapatdicari karena nilai gelombang pada t = 0 diketahui, yaitu 200 V.200 = Acos 1000(0( − 0,001) )⇒ A = 200/ 0,54 = 370 VJadi persamaan gelombang sinus ini adalah :u(t)= Acos(−1)= A×0,54[ t − 0,001) ] u() Vv = 370cos 1000( t24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

2.3.2. Bentuk Gelombang KompositBentuk gelombang yang diperoleh melalui penggabungan bentukgelombang dasar disebut bentuk gelombang komposit. Beberapa diantaranya akan kita lihat berikut ini.Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dituliskan sebagai :v = Au(t − T ) − Au(t − T= A1[ u(t − T ) − u(t − T )]122)(2.18)Bentuk gelombang ini adalah gabungan dari dua gelombang anak-tanggadengan amplitudo sama akan tetapi berlawanan tanda, masing-masingdengan pergeseran waktu T 1 dan T 2 . (Gb.2.9.a)vvvt0 T 1 T 2-T/20 +T/2a) Impuls. b) Impuls simetris thd nol. c) Impuls satuan.Gb.2.9. ImpulsFungsi Impuls Satuan. Perhatikan gelombang impuls yang simetristerhadap titik nol seperti pada Gb.2.9.b. Persamaan bentuk gelombang iniadalah:1 ⎡ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞⎤v 1 = ⎢u⎜t+ ⎟ − u⎜t− ⎟⎥(2.18.a)T ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦Impuls dengan persamaan diatas mempunyai amplitudo 1/T dan bernilainol di semua t kecuali pada selang −T/2 ≤ t ≤ +T/2.Luas bidang di bawah pulsa adalah satu karena amplitudonyaberbanding terbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa T kitaperkecil dengan mempertahankan luasnya tetap satu, maka amplitudoakan makin besar. Bila T menuju nol maka amplitudo menuju takhingga, namun luasnya tetap satu. Fungsi yang diperoleh pada kondisilimit tersebut dinamakan impuls satuan (unit impuls), dengan simbolδ(t). Representasi grafisnya terlihat pada Gb.2.9.c. Definisi formal dariimpuls satuan adalah:t0δ(t)t25

v = δ( t)= 0 untuk t ≠ 0 ; ∫ δ(x)dx = u(t)(2.18.b)- ∞Kondisi yang pertama dari definisi ini menyatakan bahwa impuls ini noldi semua t kecuali pada t = 0, sedangkan kondisi kedua menyatakanbahwa impuls ini adalah turunan dari fungsi anak-tangga satuan.du(t)Jadiδ ( t)=(2.18.c)dtAmplitudo impuls satuan adalah tak hingga. Oleh karena itu besar impulsdidefinisikan menurut luasnya. Suatu impuls satuan yang muncul pada t= T s dituliskan sebagai δ(t−T s ).Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anak tanggasatuan, kita akan mendapatkan fungsi ramp satuan yaituttr( t)= ∫ u(x)dx = tu(t)(2.19)− ∞Ramp satuan ini bernilai nol untuk t ≤ 0 dan sama dengan t untuk t > 0.Perhatikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari ramp satuan adalah1. Jika kemiringannya adalah K maka persamaannya adalah r k (t) = K tu(t). Bentuk umum fungsi ramp adalahr(t) = K(t−T s )u(t-T s ),yang bernilai nol untuk t < T s dan memiliki kemiringan K. (Gb.2.10).(2.19.a)r(t)tu(t)r(t)K(t−T s )u(t−T s )tT sGb.2.10. Fungsi ramp.tBentuk Gelombang Sinus Teredam. Bentuk gelombang komposit inidiperoleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial,yang memberikan persamaan :26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

−t/ τ( V e )−t/ τv = sin( ωt)u(t)= V sinωte u(t)(2.20)AFungsi anak tanggau(t) menjadi salahV Asatu faktor dalam vpersamaan ini agarpersamaan bernilainol pada t < 0. Pada tV A e −t / 5= 0, gelombangmelalui titik asal0karena sin(nπ) = 0.25Bentuk gelombangtini tidak periodikV A e −t / 5 sin(ωt)karena faktoreksponensialGb.2.11. Gelombang sinus teredam.memaksaamplitudonya menurun secara eksponensial. Osilasi ini telah mencapainilai sangat kecil pada t = 5τ sehingga telah dapat diabaikan pada t > 5τ.Bentuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposit inidiperoleh dengan menjumlahkan dua fungsi eksponensial beramplitudosama tapi berlawanan tanda. Persamaan bentuk gelombang ini adalah :v = V= VA−t/ τAeA1u(t)−Ve−t/ τ2A−t/ τ1−t/ τ2( e − e ) u(t)u(t)(2.21)Bentuk gelombangkomposit ini, dengan τ 1 V A> τ 2 terlihat pada V A e −t / 5Gb.2.12. Untuk t < 0 vV A (e −t / 5 − e −2t / 5 )gelombang bernilai nol.Pada t = 0 gelombangtmasih bernilai nol karena−Vkedua fungsi salingA e −2t / 5meniadakan. Pada t >> −V Aτ 1 gelombang ini menujuGb.2.12. Gelombang eksponensial ganda.nol karena kedua bentukeksponensial itu menuju nol. Fungsi yang mempunyai konstanta waktulebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menentukan bentukgelombang.27

Bentuk Gelombang Persegi. Bentuk gelombang persegi juga merupakangelombang komposit. Karena gelombang ini merupakan gelombangperiodik maka persamaangelombang ini dapatv(t) T 0diperoleh denganmenjumlahkan persamaantuntuk setiap siklus.Persamaan untuk siklusyang pertama setelah t = 0,merupakan jumlah daritiga fungsi anak-tangga, yaitu:vT0= VAu(t)− 2VAu(t − ) + VAu(t − T21 oPersamaan untuk siklus yang kedua setelah t = 0 adalah persamaan sikluspertama yang digeser sebesar satu perioda :T0v2= VAu(t − T0) − 2VAu(t − − T0) + VAu(t − 2To)23T0= VAu(t − T0) − 2VAu(t − ) + VAu(t − 2To)2Persamaan untuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus pertama yangdigeser sebesar (k−1) perioda:2k−1vk= VAu( t −[k −1]T0 ) − 2VAu(t − T0) + VAu(t − kTo)2Persamaan gelombang persegi dapat diperoleh dengan menjumlahkanv k (t) dari k = −∞ sampai k = +∞.k∑ = +∞k = −∞V A−V AGb.2.13. Gelombang persegi.v = v k ( t)(2.22)Penjumlahan dari −∞ sampai +∞ tersebut diperlukan karena gelombangpersegi melebar ke tak hingga baik ke arah positif maupun ke arahnegatif.COTOH-2.11: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 4 u(t) V ; b). v 2 = −3 u(t−2) V)28 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). v 3 = 4u(t)−3u(t−2) V; d). v 4 = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) VPenyelesaian :a). Bentuk gelombang ini adalahgelombang anak tangga denganamplitudo 4 volt dan munculpada t = 0. Bentuk gelombangterlihat pada gambar disamping.b). Gelombang anak tangga inimempunyai amplitudo − 3 voltdan muncul pada t = 2. Gambarbentuk gelombang terlihat disamping inic). Bentuk gelombang ini terdiridari gelombang anak tanggaberamplitudo 4 volt yangmuncul pada t = 0 ditambahgelombang anak tanggaberamplitudo −3volt yangmuncul pada t = 2. Lihatgambar di samping.d). Bentuk gelombang ini terdiri dari tiga gelombang anak tanggayang masing-masing4Vmuncul pada t = 0, t = 2dan t = 5. Amplitudov 4mereka berturut-turuttadalah 4, −7, dan 3 volt.01 2 3 4 5 6Bentuk gelombang −3Vterlihat pada gambar disamping ini.COTOH-2.12: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 2t u(t) V ;b). v 2 = −2(t−2) u(t−2) V ;4Vv 1c). v 3 = 2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V;d). v 4 = 2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) V ;0v 2 1 2 3 4 50 t−3V4Vv 31V01 2 3 4 5tt29

e). v 5 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5) V ;f). v 6 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−2) VPenyelesaian :4Vv 2a).vv 1 = 2t u(t)1b).0t1 2 3 4 5 601 2 3 4 5 6−4V−2(t−2) u(t−2)t2tu(t) − 2(t−2) u(t−2)4Vc).v 301 2 3 4 5 6t4Vd).v 401 2 3 4 5 62tu(t) − 4(t−2)u(t-2)t4Ve).f).4V2tu(t) − 2(t−2)u(t−2)− 4u(t−2)v 501 2 3 4 5 6ttv 61 2 3 4 5 62tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5)COTOH-2.13: Tentukanlah persamaan bentuk gelombang yang mulaimuncul pada t = 0 berikut ini. a). Gelombang sinus : amplitudo 10V, frekuensi sudut 50 rad per detik, puncak positif pertama terjadipada t = 20 mili-detik. b). Gelombang sinus pada a) yang terredamsehingga pada t = 0,5 detik gelombang sinus ini sudah dapatdiabaikan nilainya. c). Gambarkanlah bentuk gelombang pada a)dan b).Penyelesaian:a). Gelombang sinus ini baru muncul pada t = 0, sehingga persamaanumumnya adalah v = Acos( ω(t − Ts)) u(t). Dari parameter yang30 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

diketahui, persamaan gelombang yang dimaksud adalahv1 = 10cos( 50( t − 0,020) ) u(t)V.b). Agar gelombang sinus pada a) teredam, maka harus dikalikandengan fungsi eksponensial. Jika nilai gelombang sudah harusdapat diabaikan pada t = 0,5 detik, maka konstanta waktu darifungsi eksponensial sekurang-kurangnya haruslahτ = 0 ,5/5 = 0,1 . Jadi persamaan gelombang yang dimaksudadalah−t / 0,1( 50( t − 0,020) ) e u()v2 = 10costc). Gambar kedua bentuk gelombang tersebut di atas adalah sebagaiberikut.1010V55v 1v 2t [detik]0-50-500 0.1 0.1 0.2 0.3 0.3 0.4-10-10Pemahaman:Gelombang sinus pada umumnya adalah non-kausal yang persamaanumumnya adalah v = Acos( ω(t −Ts)). Dalam soal ini dinyatakanbahwa gelombang sinus baru muncul pada t = 0. Untuk menyatakangelombang seperti ini diperlukan fungsi anak tangga u(t) sehinggapersamaan akan berbentuk v = Acos( ω(t −Ts)) u(t).Dengan menyatakan bentuk gelombang sinus dengan fungsi cosinus,identifikasi bentuk gelombang menjadi lebih mudah. Puncakpertama suatu fungsi cosinus tanpa pergeseran waktu terjadi pada t =0. Dengan demikian posisi puncak pertama fungsi cosinusmenunjukkan pula pergeseran waktunya.Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensial kitameredam fungsi sinus tersebut. Peredaman oleh fungsi eksponensialberlangsung mulai dari t = 0. Oleh karena itu puncak positif pertama31

dari gelombang sinus teredam pada persoalan di atas mempunyainilai kurang dari 10 V.Fungsi Parabolik Satuan dan Kubik Satuan. Telah kita lihat bahwaintegrasi fungsi anak tangga satuan memberikan fungsi ramp satuan. Jikaintegrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsi parabolik satuandan integrasi sekali lagi akan memberikan fungsi kubik satuan. Gb.2.14.di samping ini memperlihatkan evolusi bentuk fungsi anak tanggamenjadi fungsi ramp, parabolik, dan kubik melalui integrasi.Fungsi-ramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai tak hingga jika tmenuju tak hingga. Oleh karena itu pemodelan dengan menggunakanfungsi-fungsi ini dibatasi dalam selang waktu tertentu. Perhatikan sinyalgigi gergaji pada Gb.2.5. yang dimodelkan dengan fungsi ramp yangberulang pada setiap selang waktu tertentu.vkubikparaboliktGb.2.14. Anak tangga, ramp, parabolik, kubik.Fungsi Signum. Suatu sinyal konstan (tegangan misalnya) yang pada t =0 berubah polaritas, dimodelkanv(t)dengan fungsi signum, dituliskanu(t)sebagai1v ( t)= sgn( t)(2.23)rampanak tanggaBentuk gelombang fungsi signum−u(−t)−1terlihat pada Gb.2.15. di sampingini. Fungsi signum ini merupakanGb.2.15. Signum.jumlah dari fungsi anak tanggayang telah kita kenal, ditambah dengan fungsi anak tangga yang diperluasuntuk t < 0.sgn( t)= u(t)− u(−t)(2.24)0t32 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Fungsi Eksponensial Dua Sisi. Perluasan fungsi anak tangga untukmencakup kejadianv(t)sebelum t = 0 dapat pula1dilakukan pada fungsieksponensial. Dengane −α(−t) u(−t) e −αt u(t)demikian kita dapatkan0tfungsi eksponensial dua sisi Gb.2.16. Eksponensial dua sisi.yang kita tuliskan sebagai−αt−α(−t)v(t)= e u(t)+ e u(−t)(2.25)dengan bentuk kurva seperti pada Gb.2.16.33

SOAL-SOALDalam soal-soal model sinyal berikut ini, satuan waktu t adalahs = detik ; ms = milidetik ; µs = mikrodetik1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal anaktangga berikut ini :a) v 1 : amplitudo 5 V, muncul pada t = 0.b) v 2 : amplitudo 10 V, muncul pada t = 1s.c) v 3 : amplitudo −5 V, muncul pada t = 2s.2. Dari sinyal-sinyal di soal 1, gambarkanlah bentuk gelombang sinyalberikut ini.a). v 4 = v1+ v2;b). v5= v1+ v3c). v6= v1+ v2+ v33. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan caramengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 1.4. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengan caramengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 3.5. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang pulsa teganganberikut ini :a). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada t = 0.b). Amplitudo 10 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada t = 1s.c). Amplitudo −5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t = 2 s.6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyaleksponensial yang muncul pada t = 0 dan konstanta waktu τ , berikutini :a). v a = amplitudo 5 V, τ = 20 ms.b). v b = amplitudo 10 V, τ = 20 ms.c). v c = amplitudo −5 V, τ = 40 ms.7. Dari bentuk gelombang sinyal pada soal 6, gambarkanlah bentukgelombang sinyal berikut.a). v d = va+ vb;b). ve= va+ vc;c). v f = va+ vb+ vc8. Tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal sinus berikut ini :a). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 0, frekuensi10 Hz.b). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 10 ms,frekuensi 10 Hz.34 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi 10rad/detik.d). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi 10rad/detik.9. Gambarkanlah bentuk gelombang komposit berikut.−100ta). v1= 10{ 1 − e } u(t)V;−100tb). v2= { 10 − 5e} u(t)Vc). v3= { 10 + 5sin(10πt)} u(t)V;−td). v4= 10 1 + e sin(10πt)u(t){ } V10. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk-bentuk gelombangperiodik yang digambarkan berikut ini.periodaa).v 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−3b).periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 t−3ec).35

periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)d).−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5e).−536 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 3Pernyataan Sinyal Dan Spektrum SinyalDengan mempelajari lanjutan tentang model sinyal ini, kita akan• memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal;• mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatu bentukgelombang sinyal;• memahami sinyal periodik yang dapat dipandang sebagai suatuspektrum;• mampu menncari spektrum sinyal;• memahami arti lebar pita frekuensi.3.1. Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal3.1.1. Gelombang Periodik dan AperiodikSuatu gelombang disebut periodik jika gelombang itu selalu berulangsetiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik, maka v(t+T 0 )= v(t) untuk semua nilai t, dengan T 0 adalah periodanya yaitu selangwaktu terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.Contoh: sinyal gigi gergaji adalah sinyal periodik.Sinyal yang tidak periodik disebut juga sinyal aperiodik.3.1.2. Sinyal Kausal dan Sinyal on-KausalSinyal kausal bernilai nol sebelum saat T s tertentu. Jadi jika sinyal v(t)adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < T s . Jika tidak demikian maka sinyalitu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasa dianggap bernilai nolpada t < 0, dengan menganggap t = 0 sebagai awal munculnya sinyal.Contoh: sinyal sinus adalah sinyal non-kausal; sinyal anak tanggaadalah sinyal kausal.Jika kita mengalikan persamaan suatu bentuk gelombang dengan fungsianak tangga satuan, u(t), maka kita akan mendapatkan sinyal kausal.3.1.3. ilai SesaatNilai amplitudo gelombang v(t), i(t), ataupun p(t) pada suatu saat ttertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu.37

3.1.4. AmplitudoPada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktu diantaradua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, V maks , dan amplitudominimum, V min .3.1.5. ilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value)Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dariamplitudo dan didefinisikan sebagai:Vpp= Vmaks−V min(3.1)Dengan definisi ini maka V pp selalu positif, walaupun mungkin V maks danV min keduanya negatif.3.1.6. ilai puncakNilai puncak V p adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo.3.1.7. ilai rata-rata{ V V }Vp = Max maks , min(3.2)Nilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai:1 t0=∫ + TVrrv(x)dxT t0(3.3)Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T 0 . Adatidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyal mengandungkomponen konstan (tidak berubah terhadap waktu) atau tidak. Komponenkonstan ini disebut juga komponen searah dari sinyal.3.1.8. ilai efektif ( nilai rms ; rms value)Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal.Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikankepada resistor R oleh tegangan v(t), yaitu:1p ( t)= [ v(t)] 2(3.4)R38 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daya rata-rata yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu Tadalah:t0+ T1Prr= ∫[p(t)]dt(3.5)Tt0Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kita peroleh:⎡ t0+T ⎤1 ⎢ 1 2P = ⎥rr⎢ ∫[v(t)]dtR T⎥⎣ t0⎦(3.6)Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atasmerupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelombang. Akar dari besaraninilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms atau nilai efektif.Vrms=1Tt + T0∫t0[ v(t)]2dt(3.7)Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval satu siklus untukmenghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kita dapatmenuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor sebagai:1 2P rr = V rms(3.8)RPerhatikan bahwa persamaan untuk menghitung P rr denganmenggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip denganpersamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu :1p ( t)= [ v(t)] 2(3.9)ROleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena iamenentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor, setara dengansinyal searah v(t) = V as yang menentukan besar daya sesaat.COTOH-3.1: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ),tegangan puncak-puncak (V pp ), perioda (T),tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektifdari bentuk gelombang tegangan berikut ini.39

6V6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 ta) b)Penyelesaian :a).Vp= 6 V ; Vpp= 6 V ; T = 3s1 ⎛Vrr= ⎜3 ⎝26dt+0∫3 ⎞ 10dt⎟ =2 ⎠ 3∫( 6×2 + 0)Veff=1 ⎛ 2232 ⎞ 1⎜ 6 0 ⎟ =3 ⎝∫dt +0 ∫dt2 ⎠ 3b).V p = 6 V ; V pp = 10 V ; T = 3sVrr1 ⎛= ⎜3 ⎝26dt+0∫3 ⎞ 1− 4dt⎟ =2 ⎠ 3∫−4V0 t= 4 V( 6×2 − 4×1)1 2 3 4 5 6 7 8 9( 36×2 + 0) = 4,9 V= 2,66 V1 ⎛ 2232 ⎞ 1Veff= ⎜ 6 ( 4) ⎟ = ( 36×2 + 16×1) = 5,42 V3 ⎝∫dt + −0 ∫dt2 ⎠ 3Pemahaman :Gelombang periodik dalam contoh di atas, mempunyai persamaangelombang yang terdiri dari banyak suku sebagaimana dijelaskanpada gelombang komposit. Akan tetapi untuk menghitung nilai ratarataataupun efektif, kita cukup melihat satu siklus saja dan bilamanadiperlukan gelombang kita nyatakan dalam beberapa bagian yangmempunyai persamaan sederhana.COTOH-3.2:Tentukanlah nilaiv6Vtegangan puncak (V p ),tegangan puncakpuncak(V pp ), perioda(T), tegangan rata-rata(V rr ), dan tegangan01 2 3 4 5 6 7tefektif dari bentuk gelombang tegangan di samping ini.40 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Bentuk gelombang ini berperioda 4 detik dan dapat kita nyatakansebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara 0 – 2 detik,antara 2 – 3 detik, dan antara 3 – 4 detik.VVVprreff= 6 V1 ⎛= ⎜4 ⎝=∫2;3tdt+01 ⎛⎜4 ⎝∫20V9tpp∫232= 6 VT = 4 s(6 − 6( t − 2)) dt +dt +∫32;∫(6 − 6( t − 2))4 ⎞ 1 ⎛ 6×3 ⎞0dt⎟ = ⎜ ⎟ = 2,25 V⎠ 4 ⎝ 2 ⎠32dt +∫3402⎞dt ⎟ = 3,0 V⎠3.2. Spektrum Sinyal3.2.1. Bentuk Gelombang Periodik dan KomponennyaKita telah melihat bahwa bentuk gelombang adalah persamaan ataugrafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Disamping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakansebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagaifungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktudengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, atau di kawasanfrekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum.Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapakomponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yangberlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponenkomponensinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata darisinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f 0 , dan komponen sinusdengan frekuensi harmonisa nf 0 .Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan perkalianfrekuensi dasar f 0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f 0 kita sebut sebagaifrekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda sinyalT 0 = 1/f 0 . Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa ke-dua (2f o ),harmonisa ke-tiga (3f 0 ), dan seterusnya yang secara umum kita katakanharmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf 0 . Gb.3.1. di bawah inimemperlihatkan bagaimana bentuk gelombang ditentukan olehperberbedaan komponen-komponen yang menyusunnya.41

4vv4-5015 t-4(a) v = 3 cos 2f 0 t0-5 15-4(b) v = 1 + 3 cos 2f 0 ttv40- 5 15- 4v = 1 + 3cos2πf0t(c)− 2cos(2π(2f0)t)tv = 1 + 3cos2πf0t(d)− 2cos(2π(2f0)t + π / 4)Gb.3.1. Bentuk gelombang periodik tergantung komponen-komponensinusnya.Berikut ini kita akan melihat suatu contoh sinyal dengan bentukgelombang yang dinyatakan oleh persamaan( 2πft) + 20sin( 2π(2f ) t) − 10cos( 2 (4 f t)v = 10 + 40cos 0 0π 0)Sinyal ini merupakan jumlah dari satu komponen searah dan tigakomponen sinus yang kita sebut juga komponen bolak-balik. Komponensearah sering kita sebut komponen berfrekuensi nol karena v(t) = V Acos(2πft) = V A jika f = 0. Komponen bolak-balik yang pertama adalahkomponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyaifrekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalahharmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada.Untuk melihat spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap suku denganbentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti V A cos(2πft+φ). Denganmenggunakan identitas sin(x) = cos(x-90 o ) dan −cos(x) = cos(x+180 o ),maka persamaan sinyal di atas dapat kita tulisv = 10 + 40 cos(2πf0 t)+ 20 cos(2π2f0t− 90 ) + 10 cos(2π4f0t+ 180v1-5 15-4oo)42 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentukstandar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiapkomponen seperti dalam tabel berikut.Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo (V) 10 40 20 10Sudut fasa − 0° −90° 180°Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahaskarena ia menunjukkan baik amplitudo maupun sudut fasa dari semuakomponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahasini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudopada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10, 30, 15, dan 7,5Volt. Sudut fasa dari komponen bolak-balik yang berfrekuensi f 0 , 2f 0dan 4f 0 berturut turut adalah 0 o , −90 o , dan 180 o .Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitugrafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsifrekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo dan grafikyang kedua kita sebut spektrum sudut fasa, seperti terlihat pada Gb.3.2.berikut ini.40Spektrum Amplitudo180Spektrum Sudut FasaAmplitudo [ V ]30201000 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]9000 1 2 3 4 5-90-180Frekwensi [ x f o ]Gb.3.2. Spektrum amlitudo dan spektrum sudut fasaPenguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisa, dapatdiperluas untuk semua bentuk gelombang sinyal periodik. Bentukgelombang persegi misalnya, yang juga merupakan suatu bentukgelombang periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus.Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian gelombang persegi iniadalah sebagai berikut:43

o 10ov = 10 cos(2πf0t− 90 ) + cos(2π3f0t− 90 )310o 10o+ cos(2π5f0t− 90 ) + cos(2π7f0t− 90 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅57Dari persamaan untuk gelombang persegi ini, terlihat bahwa semuaharmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –90 o ; amplitudonyamenurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak adakomponen searah dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dansudut fasa adalah seperti berikut:Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 6f 0 .. nf 0Amplitudo: 0 10 0 3,3 0 2 0 .. 10/nSudut Fasa: - -90 o - -90 o - -90 o - .. -90 oSpektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa dari gelombang persegi initerlihat pada Gb.3.3. di bawah ini.Amplitudo.Spektrum Amplitudo Gel. Persegi10500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Frekuensi [ xf 0 ]Spektrum Sudut Fasa Gel. PersegiFrekuensi [ xf 0]Sudut fasa [ o ]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110-45-90-135Gb.3.3. Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa gelombang persegi.Gb.3.4. berikut ini memperlihatkan bagaimana gelombang persegiterbentuk dari harmonisa-harmonisanya.44 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

a) b)c)Gb.3.4. Uraian bentuk gelombang persegi.a) sinus dasar; b) sinus dasar + harmonisa ke-3; c) sinus dasar +harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5; d) sinus dasar + harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5 + harmonisa ke-7; e) sinus dasar + harmonisaharmonisasampai harmonisa ke-21.Penjumlahan sampai dengan harmonisa ke-21 memperlihatkan bahwapenjumlahan seterusnya akan makin mendekati bentuk gelombangpersegi. Sampai harmonisa ke berapa kita akan melakukan penjumlahantergantung dari kepuasan kita untuk menerima bentuk yang diperolehsebagai bentuk pendekatan gelombang persegi.3.2.2. Lebar Pitad)Dari contoh gelombang persegi di atas, terlihat bahwa denganmenambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akanmakin mendekati bentuk gelombang persegi. Penambahan ini dapat kitalakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentukgelombang yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekatdengan bentuk gelombang yang kita inginkan.Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggifrekuensi harmonisa, akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidakhanya berlaku untuk gelombang persegi saja melainkan berlaku secaraumum. Oleh karena itu kita dapat menetapkan suatu batas frekuensitertinggi dengan menganggap amplitudo dari harmonisa-harmonisa yangmemiliki frekuensi di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan.Sebagai contoh, batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita ambile)45

frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal (misalnya)amplitudo sinus dasar.2% dariJika batas frekuensi tertinggi dapat kita tetapkan, batas frekuensiterendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalahfrekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidakmengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searahmaka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi danterendah disebut lebar pita (band width).3.2.3. Deret FourierPenguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidaklain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier yang kitapelajari dalam matematika. Jika f(t) adalah fungsi periodik yangmemenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan sebagaideret Fourier:∑[ a cos(2πnft)+ b sin(2πnf]f ( t)= a0 + n 0 n 0t)(3.10)Persyaratan Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral |f(t)|dalam selang satu perioda adalah berhingga, dan f(t) mempunyai ketidakkontinyuandalam jumlah yang terbatas dalam satu perioda. DeretFourier konvergen untuk fungsi periodik yang memenuhi persyaratan ini.Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidak memenuhi persyaratan ini namunmempunyai deret Fourier yang konvergen. Jadi persyaratan Dirichlet inicukup untuk terjadinya deret Fourier yang konvergen tetapi tidak harus.Persyaratan ini tidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakanbentuk-bentuk gelombang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektromemenuhi persyaratan ini. Contoh-contoh bentuk gelombang periodikyang sering kita temui adalah gelombang persegi, deretan pulsa, segitiga,gigi-gergaji, sinus, cosinus, sinus setengah gelombang, sinus gelombangpenuh.Dalam persamaan (3.10) a 0 adalah komponen searah yang merupakannilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalah komponen sinus yangmerupakan penjumlahan dari fungsi sinus dan cosinus, masing-masingdengan koefisien Fourier a n dan b n . Persamaan (3.10) menunjukkanbahwa komponen sinus dari sinyal periodik ditentukan oleh apa yangberada dalam tanda kurung, yaitu46 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Jika∞S = ∑[ ancos( nω0t)+ bnsin( nω0t)]n=1∞ ⎡ ⎛b ⎞⎤= ∑ ⎢ ⎜nan⎟cos( nω0t)+ sin( nω0t)⎥n=1 ⎢⎣⎝an⎠⎥⎦bn= tan ϕnmaka persamaan (3.11) menjadian∞aS = n∑ cosϕncos( nω0t)+ sinϕnsin( nω0t)cosθn=1 n∞=⎡ 2 2⎤∑ a + b cos( nω0t− ϕn)n=1⎢⎣⎥⎦dan (3.10) menjadi[ ](3.11)2 2( ) 0 ∑ ∞ y t = a +⎡a + cos( ω0− ϕ )⎤n bnn t n(3.12)n=1⎢⎣⎥⎦Bentuk persamaan (3.12) ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a 0 adalah2 2nilai rata-rata sinyal; a n + b n adalah amplitudo-amplitudo sinyal sinusdan ϕ n adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka (3.12) merupakanpernyataan matematis dari sinyal periodik secara umum. Nilai ϕ ntergantung dari tanda a n dan b n .a n b n ϕ n+ + di kuadran pertama− + di kuadran ke-dua− − di kuadran ke-tiga+ − di kuadran ke-empatKoefisien Fourier ditentukan melalui hubungan (3.13).47

aab0nn1=T02=T02=T0∫∫∫T / 20−T0−T00−T00/ 2T / 2/ 2T / 2/ 2f ( t)dtf ( t)cos(2πnff ( t)sin(2πnf00t)dtt)dt(3.13)Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula (3.13) inidapat dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yang diketahuidan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicari persamaannya,misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva (grafik), maka perhitungandapat dilakukan dengan pendekatan numerik yang akan kita pelajari dibab lain.3.2.4. Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang PeriodikPada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantarakoefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung darikesimetrisan sinyal y(t). Ada dua kondisi simetri yaitu simetri genap dansimetri ganjil (gasal).Simetri Genap. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri genap jikay(t) = y(−t). Sinyal dengan simetri genap simetris terhadap sumbu-y.Untuk sinyal semacam ini, dari (3.10) kita dapatkany(t)A-T 0 /2 T 0 /2 t∞y(t)= a0+ ∑ nn=1∞y(−t)= a0+n=1[ a cos( nωt)+ b sin( nωt)]0T o∑[ ancos( nω0t)− bnsin( nω0t)]n0dan48 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Kalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah b n = 0, dan uraiansinyal y(t) yang memiliki simetri genap ini menjadibn= 0∑ ∞ (3.14)y(t)= ao + [ ancos( nω0t)]n=1Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyalcosinus; sinyal cosinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap.Simetri Ganjil. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri ganjil jika y(t)= −y(−t). Sinyal semacam ini simetris terhadap titik-asal [0,0].y(t) T 0AtDari (3.10) kita dapatkan[ − a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ − y ( −t)= −a0 + n 0 n 0 )n=1Kalau sinyal ini harus sama dengan[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ y ( t)= a0 +n=1n 0 n 0 )maka haruslaha0= 0 dan an= 0( ) ∑ ∞ y t =n=1[ b sin( nωt)]n−A0(3.15)Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyalsinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil.Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier padabeberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk gelombang yangtercantum disini adalah bentuk gelombang yang persamaanmatematisnya mudah diperoleh, sehingga pencarian koefisien Fouriermenggunakan hubungan (3.13) dapat dilakukan.49

Penyearahan Setengah Gelombang:vT 0a0= A / π2A/ πan= n genap; a = 02n1−ntb1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 1nganjilSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu a 0 ≠ 0 .Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi(3.12).Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:vAT 0a0= 2A/ π4A/ πan= n genap; an= 021−ntbn= 0 untuk semua nnganjilSinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandungkomponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbuwaktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lipat daripenyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk ngenap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.Sinyal Persegi:vAT0ta0= 0an= 0 semua n ;4Abn= n ganjil; bnnπ= 0ngenapSinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidakmengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetristerhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.50 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Deretan Pulsa:Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuk semua n.Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu a 0 ≠ 0 .Sinyal Segitiga:vATT 0Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.Sinyal Gigi Gergaji:Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Ia memilikisimetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.COTOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelombang penyearahan tegangansetengah gelombang v = sinω0 t V sampai dengan harmonisa ke-6dan gambarkan spektrum amplitudo dan bentuk gelombangpendekatannya.Penyelesaian:AvvAT 0tT 0a0= 08Aan=2( nπ)bn= 0tta0= AT / T02AnπTan= sinnπT0bn= 0 untuk semua nn ganjil; an= 0 n genapuntuk semua na0= A/2an= 0 untuk semua nAbn= − untuk semua nnπ51

Sinus setengah gelombang ini beramplitudo 1. Koefisien Fouriermenurut formula di atas, serta amplitudo dan sudut fasa komponengelombang ini adalah:Koefisien Fourier Amplitudo ϕ [rad]a 0 0,318 0,318a 1 0 0,5 1,57b 1 0,5a 2 -0,212 0,212 0b 2 0a 4 -0,042 0,042 0b 4 0a 6 -0,018 0,018 0b 6 0Dengan menggunakan koefisien Fourier, persamaan gelombangadalahv(t)= 0,318 + 0,5sin( ω0t)− 0,212cos2ω0t− 0,042cos4ω0t− 0,018cos6ω0tVyang nilai amplitudonya adalahA0= 0,318 V; A1= 0,5 V; A2= 0,212 V;A4= 0,042 V; A6= 0,018 VGambar berikut ini memperlihatkan spektrum amplitudo sedangkanbentuk gelombang pendekatan dalam satu perioda (sampaiharmonisa ke-6) terlihat pada gambar di bawah ini.0.60.5[V]0.40.30.20.1001 2 3 4 5 6harmonisa52 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

1.2[V]0.80.4v 1vv 00-0.4[ o ]0 90 180 270 360COTOH-3.4: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergajimemiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus per detik.Uraikanlah bentuk gelombang tegangan ini atas komponen-komponensampai harmonisa ke-7 dan gambarkan spektrum amplitudonya sertabentuk gelombang pendekatan.Penyelesaian:Setelah diperoleh koefisien Fourier, persamaan gelombang gigigergaji dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai:v(t)= 10 − 6,366sinω0t− 3,183sin2ω0t− 2,122sin3ω0t−1,592sin4ω0t−1,273sin5ω0t−1,061sin6ω0t− 0,909sin7ω0tVSpektrum amplitudo terlihatkan pada gambar berikut.[V]12108642001 2 3 4 5 6 7harmonisaJika kita gambarkan bentuk gelombang sampai harmonisa ke-7seperti yang dinyatakan oleh persamaan di atas, kita akanmendapatkan bentuk seperti gambar di samping ini. Terlihat padagambar ini bahwa dengan memperhitungkan komponen hanyasampai harmonisa ke-7, bentuk gelombang gigi gergaji yangdiperoleh sangat terdistorsi.53

[V]2520151050-50 90 180 270 360 [ o ]54 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal-sinyal berikut.periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 6a).b).c).d).−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−3periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5−52. a). Gambarkan bentuk gelombang deretan pulsa teganganberamplitudo 10 V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms. b). Hitungnilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.3. a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber amplitudo 10 Vdengan perioda 0,5 s. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektifsinyal.55

4. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 50 mAdengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jika pulsaarus itu diambil dari batere berkapasitas 0,5 Ah, berapa lamakahbatere akan bertahan ?5. Gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasa dari gelombangtegangan berikut dan tentukan lebar pita dengan mengambil batasterrendah amplitudo harmonisa 5%.a). v = 4 + 5sin 2π2000t− 2cos2π4000t+ 0,2sin 2π8000tVb).ov = 3cos(2π1000t− 60 ) - 2sin2π2000t+ cos2π8000tV56 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 4Model Piranti PasifSuatu piranti mempunyai karakteristik atau perilaku tertentu.Perilaku suatu piranti dinyatakan oleh karakteristik i-v yangdimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melalui piranti dengantegangan yang ada di antara terminalnya.Pada umumnya hubungan ini cukup rumit dan tidak linier. Untukkeperluan analisis, kita menggunakan suatu model linier yang lebihsederhana yang cukup mendekati sifat-sifat yang menonjol dari pirantiitu. Untuk membedakan antara piranti sebagai benda nyata danmodelnya, model itu kita sebut elemen. Piranti dan elemen kitakelompokkan menjadi dua kelompok yaitu elemen pasif dan elemen aktif.Dalam bab ini kita akan mempelajari piranti dan elemen pasif sedangkanpiranti dan elemen aktif akan kita pelajari di bab berikutnya.Dengan mempelajari model piranti pasif, kita akan• memahami bahwa dalam analisis rangkaian listrik, pirantidinyatakan sebagai elemen rangkaian yang merupakan modellinier dari piranti;• mampu memformulasikan karakteristik arus-tegangan piranti /elemen pasif seperti resistor, kapasitor, induktor, induktansibersama, transformator ideal.4.1. ResistorKita mengenal resistor dalam rentang dimensi (ukuran) yang lebar.Resistor yang digunakan pada rangkaian elektronika berukuran hanyabeberapa milimeter bahkan ukuran mikron yang tergabung dalam satuchip; untuk keperluan variasi tegangan terdapat potensiometer yangberupa resistor dengan kontak geser. Untuk rangkaian pemroses energi,resistor mempunyai ukuran yang besar seperti misalnya resistor yangdigunakan dalam lokomotif kereta listrik model lama. Pada dasarnya kitamemerlukan resistor yang murni resistif. Akan tetapi dalam kenyataanhal ini tidak mudah dapat dicapai. Namun demikian dengan teknik-teknikpembuatan tertentu, selalu diusahakan agar resistor mendekati keadaanresistif murni tersebut. (Lihat Lampiran I).Resistor adalah piranti yang sesungguhnya mempunyai karakteristik i-vyang tidak linier (non linier) seperti terlihat pada Gb.4.1. Namun kalau57

kita perhatikan karakteristik ini, ada bagian tertentu yang dapat didekatidengan hubungan linier, yaitu bagian yang berada dalam batas daerahoperasi resistor tersebut. Batas daerah operasi ini biasanya dinyatakansebagai batas daya (power rating), yaitu daerah yang mempunyai kurvai-v berbentuk garis lurus melalui titik asal. Dalam analisis rangkaian, kitaselalu memanfaatkan resistor dalam batas-batas kemampuan daya-nyasehingga kita mempunyai apa yang kita sebut sebagai resistor linier.4.1.1. Karakteristik i-v ResistorRSimbol:batas daerahlinierGb.4.1. Karakteristi i-v resistorDengan mengikuti konvensi pasif, hubungan antara arus dan teganganresistor dapat ditulis dalam suatu persamaan yang dikenal sebagai hukumOhm yaitu :1vR= R iRatau iR= G vR; dengan G = (4.1)RR dan G adalah suatu konstanta dalam relasi (4.1).Parameter R disebut resistansi dengan satuan ohm, Ω. Parameter Gdisebut konduktansi dengan satuan siemens, S (atau mho dalam literaturlama). Secara grafis, hukum Ohm berbentuk garis lurus. Karakteristik i-vdalam hukum Ohm adalah linier dan bilateral. Linier berartikarakteristiknya berbentuk garis lurus, sehingga tegangan selalusebanding dengan arus, dan demikian pula sebaliknya. Bilateral berartibahwa kurva karakteristiknya simetris terhadap titik (0,0). Karena sifatbilateral ini maka pembalikan tegangan akan menyebabkan pembalikanarah arus tanpa mengubah besar arusnya. Dengan demikian kita dapatmenghubungkan resistor dalam rangkaian tanpa memperhatikanpolaritasnya. Hal ini berbeda dengan piranti lain seperti dioda, transistor,OP AMP, sumber, yang menuntut kita untuk selalu memperhatikanpolaritasnya karena piranti-piranti ini tidak bersifat bilateral.inyatamodelv58 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.1.2. Daya Pada ResistorDaya yang diserap resistor dapat dihitung dengan hubungan22 2 vp v i i R v G RR = R R = R = R =(4.2)RDi sini, R bernilai positif maka daya selalu positif. Berdasarkan konvensipasif, hal ini berarti bahwa resistor selalu menyerap daya.COTOH-4.1: Tegangan pada sebuah resistor 400 Ω adalah 200 V(konstan). Berapakah arus yang mengalir melalui resistor tesebut danberapakah daya yang diserap ? Dalam waktu 8 jam, berapakahenergi yang diserap ?Penyelesaian:Arus dan daya pada resistor adalahi =vR200= = 0,5 A400dan2 2v (200)p = vi = = = 100 WR 400Karena tegangan dan arus konstan maka jumlah energi yang diserapselama 8 jam adalah8w = ∫ pdt = ∫080100dt= 100 × 8 = 800Watt. jam= 0,8 kWHCOTOH-4.2: Tegangan pada suatu resistor 1200 Ω berubah terhadapwaktu sebagai v R = 240sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui resistor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :Arus yang melalui resistor adalahv 240sin400ti RR = == 200sin400 t mA.R 1200Daya yang diserap adalah2pR = vRiR= 240sin400t× 0.2sin400t= 48sin 400 t WDengan menggunakan kesamaan sin 2 α=(1−cos2α)/2, maka nilaidaya dapat dituliskan( 1−cos800 t) / 2 = 24 − 24cos800 Wp R = 48 t59

Pemahaman :Jika kita gambarkan tegangan, arus, dan daya, akan kita perolehgambar seperti di bawah ini.300vvi 200pi100p0-300Arus dan tegangan bervariasi secara bersamaan. Hal ini terlihat jugadari persamaan arus dan tegangan, yang keduanya merupakan fungsisinus. Daya bervariasi secara periodik dengan frekuensi dua kali lipatdari frekuensi tegangan maupun arus, namun nilainya tidak pernahnegatif. Nilai rata-rata daya selalu positif; hal ini dapat kita lihat jugapada persamaan yang kita peroleh, yang menunjukkan bahwa dayaterdiri dari komponen konstan 24 W ditambah komponen yangbervariasi sinusoidal yang memiliki nilai rata-rata 0. Menurutkonvensi pasif, nilai rata-rata yang selalu positif menunjukkan bahwaresistor selalu menyerap daya.4.2. Kapasitor-100 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-200t [detik]Seperti halnya resistor, kita mengenal kapasitor yang berdimensi kecilyang sering dipakai pada rangkaian elektronika sampai kapasitorberdimensi besar yang digunakan dalam rangkaian pemrosesan energiyang kita kenal sebagai capacitor bank. Untuk keperluan penalaan, kitamengenal juga kapasitor dengan nilai yang dapat diubah yang disebutkapasitor variabel.Kapasitor adalah suatu piranti dinamik yang berbasis pada variasi kuatmedan listrik yang dibangkitkan oleh sumber tegangan. Ada berbagaibentuk kapasitor yang dapat kita jumpai dalam praktik. (Lihat LampiranII). Bentuk yang paling sederhana adalah dua pelat paralel yangdipisahkan oleh suatu bahan dilistrik. Bahan dilistrik ini memberikangejala resistansi. Dalam mempelajari analisis rangkaian listrik kitamenganggap kapasitor sebagai piranti ideal, tanpa mengandung60 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

esistansi. Suatu kapasitor mempunyai kapasitansi C yang besarnyaadalahε ε AC = 0 r(4.3)ddengan ε r adalah permitivitas relatif dilistrik dan ε 0 adalah permitivitasruang hampa; A adalah luas elektroda dan d adalah tebal dilistrik yangsama dengan jarak elektroda. Kapasitansi ini merupakan konstanta yangmenentukan hubungan antara beda tegangan antar elektroda kapasitor,v C , dengan muatan yang terkandung pada elektrodanya, q C .q C = Cv C(4.4)Satuan kapasitansi adalah farad (F) (sebagai penghormatan kepadaMichel Faraday, seorang fisikawan Inggris).4.2.1. Karakteristik i-v Kapasitor IdealHubungan antara arus dan tegangan kapasitor dapat kita peroleh dariturunan q C dalam relasi (4.4), yaitudqCd(CvC) dvCiC = = = Cdt dt dt(4.5)Hubungan i-v ini dapat kita gambarkan dalam bentuk grafik sepertiterlihat pada Gb.4.2. Arus i C berbanding lurus dengan turunan terhadapwaktu dari v C dan kemiringan dari garis itu adalah C.i CsimbolC1Cdv C /dtGb.4.2. Karakteristik i-v kapasitor.Dalam relasi (4.5), arus i C merupakan turunan terhadap waktu daritegangan v C . Hal ini berarti bahwa jika v C konstan maka arusnya nol, dansebaliknya kalau arusnya nol berarti tegangannya konstan. Dengan katalain kapasitor bersifat sebagai rangkaian terbuka jika diberi tegangan61

searah. Jadi arus hanya akan mengalir jika tegangannya berubah terhadapwaktu dan oleh karena itu kapasitor disebut elemen dinamik. Akan tetapiperubahan tegangan yang tak-kontinu akan memberikan arus yang takterhinggabesarnya; hal demikian ini secara fisis tidak mungkin. Olehkarena itu tegangan kapasitor harus merupakan fungsi kontinu terhadapwaktu. Untuk mencari tegangan v C kita gunakan hubungan antara arusdan tegangan yang sudah kita peroleh, yaitu i C = C dv C /dt, denganmengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya:vC( t)t1∫ dvC= iCdt= vCC ∫vC( t0) t062 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)(4.6)Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kapasitorsudah mempunyai tegangan sebesar v C (t 0 ) saat t = t 0 , maka integrasi diatas memberikan :t1vC= vC( t 0 ) + ∫ iCdt(4.7)Ct0Kalau pada saat t=t 0 kapasitor belum bertegangan maka v C (t 0 )=0,sehingga kita mempunyai hubungant1vC= ∫ iCdt(4.8)Ct4.2.2. Daya Dan Energi Pada Kapasitor0Dengan mengikuti konvensi pasif, daya kapasitor dapat kita tuliskansebagaidv ⎡12 ⎤= = C dp C vCiCCvC=⎢CvCdt dt ⎥(4.9)⎣ 2 ⎦Persamaan (4.9) ini menunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juganegatif karena tegangan kapasitor dan laju perubahannya bisamempunyai tanda yang berlawanan. Daya positif berarti kapasitormenyerap daya, sedangkan kalau daya negatif berarti kapasitormemberikan daya. Kemampuan kapasitor untuk menyerap danmemberikan daya ini mempunyai arti bahwa kapasitor dapat menyimpanenergi. Besar energi yang tersimpan pada kapasitor dapat kita lihat daripersamaan (4.9). Karena kita tahu bahwa daya adalah turunan terhadapwaktu dari energi, maka apa yang berada dalam tanda kurung pada

persamaan (4.9) di atas tentulah menunjukkan energi. Secara matematisenergi yang tersimpan dalam kapasitor pada saat t kita peroleh daripersamaan di atas, yaituw 1 C = C vC2 + konstanta(4.10)2Konstanta pada (4.10) adalah jumlah energi yang telah tersimpansebelumnya, yang kita sebut simpanan energi awal. Apabila simpananenergi awal ini nol, maka1 2w C = C v C(4.11)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebandingdengan kwadrat dari tegangan. Kapasitor akan menyerap daya darirangkaian jika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akanmengeluarkan energi yang disimpannya itu pada waktu ia memberikanenergi pada rangkaian. Namun alih energi netto tidak pernah negatif ; halini berarti bahwa kapasitor adalah elemen pasif.Karena tegangan kapasitor menentukan status atau keadaan energi darielemen ini, maka tegangan kapasitor disebut sebagai peubah keadaan(state variable).Secara singkat dapat kita katakan bahwa kapasitor merupakan suatuelemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut :1). Arus yang melalui kapasitor akan nol jika tegangannya tidak berubahterhadap waktu. Kapasitor berperilaku seperti rangkaian terbuka padategangan searah.2). Tegangan kapasitor adalah fungsi kontinyu dari waktu. Perubahan takkontinyu dari tegangan kapasitor memerlukan arus dan daya yang takterhingga besarnya, yang secara fisis tidak mungkin terjadi.3). Kapasitor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya, jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.3: Tegangan pada suatu kapasitor 2 µF berubah terhadapwaktu sebagai v C = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui kapasitor dan daya yang diserapnya?Penyelesaian :63

Arus yang melalui kapasitor adalahdv6 di C C −C = = 2 × 10 × 200sin 400t= 160cos 400tdtdtDaya yang diserap kapasitor adalahpC= vCiC= 200sin 400t× 0.16cos400t)= 32cos400tsin 400t= 16sin800tWPemahaman :( ) mAJika tegangan, arus, dan daya kita gambarkan akan kita lihat keadaanyang berbeda dengan apa yang kita temui pada resistor pada contoh4.2. Hal ini diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Pada waktutegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurundari nilai maksimumnya. Dengan kata lain gelombang arus mencapainilai puncak-nya lebih dulu dari gelombang tegangan; dikatakanbahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor.vip200100-100-2000ivp0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05t [detik]Perbedaan kemunculan ini disebut pergeseran fasa yang untukkapasitor besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangandengan beda fasa sebesar 90 o .Daya bervariasi secara sinus dengan frekuensi dua kali lipat darifrekuensi tegangan maupun arus. Akan tetapi variasi ini simetristerhadap sumbu waktu. Selama setengah perioda daya bernilaipositif dan setengah perioda berikutnya daya bernilai negatif; dandemikian berulang seterusnya. Menurut konvensi pasif, hal iniberarti bahwa kapasitor menyerap daya selama setengah perioda danmemberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secarakeseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; hal ini berbedadengan resistor yang justru selalu menyerap daya karena daya selalupositif.64 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.3. InduktorInduktor sebagai piranti induktif, dengan dimensi kecil, banyak dipakaidalam rangkain elektronika. Untuk rangkaian pemroses energi, kitamengenal piranti induktif berukuran besar yang disebut reaktor. Induktordibangun dari kawat (konduktor) yang dililitkan pada suatu inti yangterbuat dari bahan magnetik ataupun tanpa inti (berinti udara). Olehkarena ia terbuat dari gulungan kawat, maka induktor selalu mengandungresistansi. Akan tetapi dalam analisis rangkaian listrik yang akan kitapelajari, kita menganggap induktor sebagai piranti ideal tanpamengandung resistansi.Induktor adalah elemen dinamik yang berbasis pada variasi medanmaknit yang ditimbulkan oleh arus. Pada kumparan dengan jumlah lilitan, dan dialiri arus sebesar i L , akan timbul fluksi magnit sebesar φ = ki L, dengan k adalah suatu konstanta. Jika tidak ada kebocoran fluksi, fluksiini akan memberikan fluksi lingkup sebesar λ = φ = k 2 i L . Hubunganantara arus yang melalui induktor itu dengan fluksi lingkup yangditimbulkannya dinyatakan dengan suatu konstanta L yang kita sebutinduktansi induktor dengan satuan henry.2λ = LiL = k i L(4.12)4.3.1. Karakteristik i-v Induktor IdealMenurut hukum Faraday, tegangan pada induktor sama dengan lajuperubahan fluksi lingkupnya. Karakteristik i-v induktor dapat diperolehdari turunan terhadap waktu dari λ dengan mengingat bahwa L adalahsuatu konstanta.dλd[ Li ] divL L LL = = =(4.13)dt dt dtDengan demikian kita mendapatkan hubungan i-v untuk induktordiv L LL = dt(4.14)Hubungan ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada Gb.4.3.65

simbolLdi Ldt11/Lv LGb.4.3. Karakteristik i − v induktorTurunan terhadap waktu dari i L pada (4.14) di atas, menunjukkan bahwategangan pada induktor adalah nol jika arus tidak berubah terhadapwaktu. Jadi pada arus searah tegangan induktor adalah nol, v L = 0; iaberperilaku seperti suatu hubung singkat. Induktor adalah elemendinamik karena hanya jika ada perubahan arus maka ada tegangan. Akantetapi perubahan arus yang tak kontinyu menyebabkan tegangan menjaditak terhingga besarnya, yang secara fisis tak mungkin terjadi. Olehkarena itu arus i L harus kontinyu terhadap waktu (arus tidak dapatberubah secara tiba-tiba).Untuk mencari arus i L kita gunakan hubungan antara arus dan teganganyang sudah kita peroleh, yaitu v L = L di/dt, dengan mengalikan keduaruas dengan dt dan mengintegrasinya:iL( t)∫diLiL( t0)t1= v dt = iL ∫Lt0L(4.15)Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kitamenganggap bahwa pada saat t=t 0 induktor sudah dialiri arus sebesari L (t 0 ), maka integrasi di atas memberikan :t1iL= iL( t 0 ) + ∫ vLdt(4.16)Lt0Kalau pada saat t = t 0 induktor belum dialiri arus maka i L = 0, dant1iL= ∫ vLdtLt0(4.17)66 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.3.3. Daya Dan Energi Pada InduktorDengan mengikuti konvensi pasif, daya pada induktor dapat kita tuliskansebagaidi ⎡ ⎤= = L d 1 2p L vLiLLiL=⎢LiLdt dt ⎥(4.18)⎣2⎦Seperti halnya pada kapasitor, persamaan daya untuk induktor ini jugamenunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juga negatif karena arusinduktor dan laju perubahannya bisa mempunyai tanda yang berlawanan.Daya positif berarti induktor menyerap daya sedangkan kalau dayanyanegatif berarti induktor memberikan daya. Jadi induktor dapat menyerapdan memberikan daya; hal ini berarti bahwa induktor dapat menyimpanenergi.Besar energi yang tersimpan pada induktor dapat kita lihat daripersamaan (4.18). Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi, makaapa yang berada dalam tanda kurung pada persamaan (4.18)menunjukkan besar energi. Secara matematis besar energi pada saat tdapat kita peroleh dari persamaan tersebut, yaituw 1 L = LiL2 + konstanta(4.19)2Konstanta pada (4.19) adalah energi yang telah tersimpan pada saat t =0. Apabila simpanan energi awal ini nol, maka energi induktor adalah1 2w L = Li L(4.20)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebandingdengan kwadrat dari arus. Induktor akan menyerap daya dari rangkaianjika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akan mengeluarkanenergi yang disimpannya jika ia memberikan energi pada rangkaian.Seperti halnya pada kapasitor, alih energi netto pada induktor tidakpernah negatif; hal ini menunjukkan bahwa induktor adalah elemen pasif.Karena arus induktor menentukan status atau keadaan energi dari elemenini, maka arus disebut sebagai variabel keadaan (state variable) dariinduktor.Secara singkat dapat kita katakan bahwa induktor merupakan suatuelemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut :67

1). Tegangan pada induktor akan nol jika arusnya tidak berubah terhadapwaktu. Induktor berperilaku seperti suatu hubung singkat pada arussearah.2). Arus yang melalui induktor adalah fungsi kontinyu dari waktu.Perubahan tak kontinyu dari arus induktor memerlukan teganganserta daya yang tak terhingga besarnya, yang secara fisis tidakmungkin terjadi.3). Induktor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.4: Tegangan pada suatu induktor 2,5 H berubah terhadapwaktu sebagai v L = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui induktor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :diL1200vL = L → iL= vLdt= × − t + Kdt L ∫( cos 400 )2.5×400Konstanta integrasi K adalah arus pada induktor pada saat awalintegrasi dilakukan, yang kita sebut arus awal induktor. Jika arusawal ini tidak ada maka⇒ iL= −200cos400tmA⇒ pL= vLiL= 200sin 400t× ( −0.2cos400t)= −40sin 400tcos400t= −20sin800tPemahaman :Variasi v, t, dan p pada induktor di halaman berikut.Bentuk gelombang tegangan mencapai nilai puncak pertama-nyalebih awal dari bentuk gelombang arus. Jadi tegangan mendahuluiarus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan daritegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaanfasa di sini juga 90 o , artinya arus ketinggalan dari tegangan dengansudut fasa 90 o .W68 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v 200i v i100pp0t[detik]0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-100-200Seperti halnya dengan kapasitor, daya bervariasi secara sinus dansimetris terhadap sumbu waktu. Jadi pada induktor juga tidak terjaditransfer energi netto. Induktor menyerap daya dalam setengahperioda, dan memberikan daya pada setengah perioda berikutnya.4.4. Induktansi BersamaMisalkan ada sebuah kumparan yang dialiri arus yang berubah terhadapwaktu. Misalkan pula ada sebuah kumparan lain yang berdekatan dengankumparan yang pertama. Fluksi dari kumparan yang pertama akanmelingkupi pula kumparan yang ke-dua dan akan membangkitkantegangan pada kumparan yang ke-dua itu. Kopling antara arus yangberubah di kumparan yang pertama dengan tegangan yang terbangkitkandi kumparan yang ke-dua menunjukkan adanya suatu induktansibersama. Hal yang sebaliknya juga terjadi, yaitu jika kumparan ke-duadialiri arus maka akan timbul tegangan di kumparan pertama. Jadi kalaumasing-masing dialiri arus maka keduanya akan saling mempengaruhi.Misalkan jumlah lilitan kumparan pertama adalah 1 ; jika arus yangmengalir adalah i 1 maka akan timbul fluksi magnetik sebesar φ 1 =k 1 1 i 1 ,dengan k 1 adalah konstanta proporsionalitas. Jika kita anggap tidak adakebocoran fluksi, maka φ 1 akan melingkupi semua lilitan di kumparanpertama ini dan akan menimbulkan apa yang kita sebut sebagai fluksilingkup sebesar λ 11 = 1 φ 1 =k 1 2 1 i 1 . Misalkan pula jumlah lilitan kumparanke-dua 2 dengan arus i 2 . Fluksi magnetik di kumparan ini adalahφ 2 =k 2 2 i 2 dan fluksi lingkupnya λ 22 = 2 φ 2 = k 2 2 2 i 2 . Jadi secara singkat69

φ1= k11i12λ11= k11i1dan φ2= k22i2dan2λ22= k22i2(4.21)Sebagai akibat fluksi lingkup masing-masing, di setiap kumparanterdapat tegangandλ112 di1dλ222 di2v11= = k11dan v22= = k22(4.22)dt dtdt dtKalau kedua kumparan itu berdekatan satu dengan lainnya, makasebagian fluksi yang ditimbulkan oleh kumparan yang satu akanmelingkupi pula kumparan yang lain. Jadi selain fluksi yangditimbulkannya sendiri, setiap kumparan melingkupi juga fluksi yangtimbul di kumparan yang lain. Kumparan pertama melingkupi fluksinyasendiri φ 1 , dan fluksi yang berasal dari kumparan ke-dua φ 12 = 1 k 12 φ 2 .Demikian pula dengan kumparan ke-dua, selain fluksinya sendiri φ 2 , iamelingkupi pula φ 21 = 2 k 21 φ 1 yang berasal dari kumparan pertama.Di kumparan pertama, φ 12 akan memberikan fluksi lingkupλ 12 = 1 φ 12 = 2 1 k 12 φ 2 dan menimbulkan tegangan v 12 . Di kumparan kedua,φ 21 akan memberikan fluksi lingkup λ 21 = 2 φ 21 = 2 2 k 21 φ 1 danmenimbulkan tegangan v 21 . Dengan demikian maka di kumparan pertamaada tegangan v 11 yang timbul karena fluksi lingkupnya sendiri, λ 11 , danada tegangan v 12 yang timbul karena ada pengaruh dari kumparan ke-dua,λ 12 . Jadi tegangan total di kumparan pertama adalah v 1 = v 11 + v 12 .Demikian pula halnya dengan kumparan ke-dua; di kumparan initerdapat tegangan total sebesar v 2 = v 22 + v 21 . Keadaan untuk keduakumparan ini kita tuliskan seperti berikut.Kumparan 1Kumparan 2dλdv v v 11 λ12dλd1 = 11 + 12 = +v v v 22 λ212 = 22 + 21 = +dt dtdt dt2di= [ k ] di 1[ k ]22di1 1 + 12 1 2=dtdt[ k ] di 2[ k ]12 2 + 21 2 1dtdt(4.23)Kita dapat melihat pada (4.23) bahwa ada empat macam parameterinduktansi yaitu :22L 1 = k11L2= k22(4.24)70 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dan M 12 = k1212M 21 = k2121(4.25)Induktansi L 1 dan L 2 adalah induktansi sendiri dari masing-masingkumparan sedangkan parameter M 12 dan M 21 adalah induktansi bersamaantara dua kumparan tersebut. Dalam medium magnet yang linier k 12 =k 21 = k M dan dalam kondisi ini kita dapat tuliskandengan k = k M / √(k 1 k 2 ).M12 = M 21 = kM 12= M = k L1L2(4.26)Dengan demikian maka secara umum tegangan di masing-masingkumparan adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 ± dandt dt(4.27)di div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 ±dt dtTanda ± pada (4.27) diperlukan karena pengaruh dari kumparan yangsatu terhadap kumparan yang lain tidaklah selalu positif tetapi dapat pulanegatif. Pengaruh itu positif jika fluksi dari kumparan yang satumemperkuat fluksi dari kumparan yang dipengaruhi; apabilamemperlemah maka dikatakan bahwa pengaruhnya negatif.i 1 φ 1 i 2 i 1 φ 1 φ 2i 2φ 2a). Menguatkan (aditif) b). Melemahkan (substraktif)Gb.4.4. Induktor terkopel : aditif atau substraktif.Bagaimana pengaruh positif dan negatif ini terjadi dapat dijelaskanmelalui Gb.4.4 yang memperlihatkan dua kumparan terkopel magnetik.Arah fluksi yang dibangkitkan oleh arus di masing-masing kumparanmenuruti kaidah tangan kanan. Dengan arah lilitan kumparan sepertiGb.4.4.a. maka fluksi φ 1 yang dibangkitkan oleh i 1 dan φ 2 yangdibangkitkan oleh i 2 akan sama arahnya. Dalam keadaan demikian fluksiφ 2 dan φ 1 saling memperkuat atau aditif. Pada Gb.4.4.b. arah lilitankumparan ke-dua berlawanan dengan arah lilitan kumparan ke-dua pada71

Gb.4.4.a. Fluksi φ 2 berlawanan arah dengan φ 1. Dalam hal ini keduafluksi saling melemahkan atau substraktif.4.4.1. Konvensi TitikKarena ada kemungkinan fluksi dari kumparan yang satu memperkuatatau memperlemah fluksi dari kumparan yang lain sehingga diperlukantanda ± pada persamaan (4.27), maka timbul pertanyaan kapan tanda +atau − kita gunakan sedangkan kita tahu bahwa nilai M selalu positif.Untuk menentukan hal itu kita menggunakan konvensi titik (dotconvention) agar pengaruh positif atau negatif dari satu kumparanterhadap kumparan lainnya dapat dinyatakan. Kita memberikan tandatitik di salah satu ujung di setiap kumparan dengan pengertian sebagaiberikut:Arus i yang masuk ke ujung yang bertanda titik di salah satukumparan, akan membangkitkankan tegangan berpolaritas positifpada ujung kumparan yang lain yang juga bertanda titik. Besartegangan yang terbangkit adalah M di/dt.4.4.2. Hubungan Tegangan dan ArusDengan konvensi titik tersebut di atas,hubungan arus dan tegangan pada duakumparan yang terkopel secaramagnetik, yang simbolnya terlihatpada Gb.4.5, dapat kita turunkan.i 1 i 2M++Dalam penurunan hubungan ini, untukmasing-masing kumparan kita tetap Gb.4.5. Kopling aditif.menggunakan konvensi pasif,sedangkan untuk kopling antara kedua kumparan kita gunakan konvensititik. Jadi hubungan tegangan dan arus untuk Gb.4.5. adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 +dt dt(4.28)di div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 +dt dtGb.4.5. adalah simbol dari dua kumparan yang terkopel aditif, yaitu duakumparan dengan arah lilitan seperti pada Gb.4.4.a. Simbol untukkumparan terkopel substraktif, dengan arah lilitan seperti Gb.4.4.b.,diperlihatkan pada Gb.4.6. dengan hubungan tegangan dan arus :v 1_L 1L 2v 2_72 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

di d i di div v v L 1 ( −M 2 )L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 + = 1 −dt dt dt dtdi div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 −dt dt(4.29)Perhatikanlah bahwa tanda titik terkait dengan keadaan nyata (arahlilitan) sedangkan referensi arus dan tegangan ditentukan tanpa dikaitkandengan keadaan sebenarnya (kita ingat bahwa arah referensi arus dantegangan tidak selalu sama dengan keadaan sebenarnya). Oleh karena itutanda titik tidak saling terkaitdengan referensi arus dantegangan. Hal ini jelas terlihat dariGb.4.6. dan persamaan (4.29) diatas.Berikut ini dua contoh lainpenurunan hubungan tegangan danarus dua kumparan yang terkopelmagnetik.+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_Gb.4.6. Kopling substraktif.+v 1_i 1 i 2M+L 1 L 2 v 2_d(−i1) d(−i2) di1div21 = L1+ M = −L1− Mdt dt dt dtdi2d(−i1) di2div12 = L2− M = L2+ Mdt dt dt dt(4.30)−v 1+i 1 i 2Md(−i)− v L11 = 1 − ML 1 L 2 vdt2di di+ v L2M12 = 2 +dt dtdi2dtdi di= −L1M21 −dt dt(4.31)Perhatikanlah bahwa dalam penurunan persamaan di atas kita tetapmengikuti konvensi pasif untuk arus dan tegangan, sedangkan untukpengaruh timbal balik dari kumparan, yang ditunjukkan oleh suku Mdi/dt, kita mengikuti konvensi titik.73

COTOH-4.5: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti padagambar di samping ini, diketahuibahwa tegangan di kumparanpertama adalah v 1 = 10 cos 100t V.Tentukanlah tegangan v 2 padakumparan kedua.Penyelesaian :Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian kumparan pertamaadalahdi1di2di1v 1 = L1+ M → 10cos100 t = 0,01 + 0dt dtdtkarena i 2 = 0 (kumparan ke-dua terbuka). Untuk kumparan kedua,div 12 = 0 + 0, 002dtDengan memasukkan nilai di 1 /dt dari persamaan kumparan pertamake persamaan kumparan kedua diperoleh10cos100 tv 2 = 0,002 = 2cos100 t V0,01Pemahaman :Apabila kita salah memilih tanda induktansi bersama, maka hasilyang akan kita peroleh adalahv2 = −2cos100t VKesalahan dalam menentukan tanda untuk M akan menyebabkan terinversinyasinyal v 2 . Kesalahan demikian jika terjadi dalam praktek,misalnya untuk pengaturan kecepatan motor, pada waktu motorhendak diperlambat justru kecepatan motor akan bertambah. Olehkarena itu kita harus berhati-hati.+v 1_i 1 i 2M+L 1 L 2v 2_L 1 =L 2 =10 mH ; M = 2 mHCOTOH-4.6: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti padagambar di samping ini, diketahuibahwa arus masing-masingkumparan adalahi 1 =5cos10000t A+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 =0.2 mH, L 2 = 0.5 mHM = 0.3 mH74 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

i 2 = 2sin5000t A.Tentukanlah tegangan v 1 dan v 2 .Penyelesaian :Persamaan tegangan-arus untuk masing-masing kumparan adalahdi d iv L 1 ( −M 2)1 = 1 + ;dt dtdi div L 2 M 12 = − 2 +dt dtDengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, akan diperolehv1= −10sin10000t − 3cos5000 t Vv2= −5cos5000t −15sin10000t V4.5. SaklarSaklar adalah piranti yang digunakan untuk menutup dan membukarangkaian. Dalam keadaan tertutup, suatu saklar mempunyai batas arusmaksimum yang mampu ia salurkan. Dalam keadaan terbuka, saklarmempunyai batas tegangan maksimum yang mampu ia tahan. Dalamkeadaan terbuka ini, terdapat arus kecil yang tetap mengalir yang kitasebut arus bocor. Sebaliknya dalam keadaan tertutup masih terdapattegangan kecil antar terminalnya.Untuk rangkaian-elektronik kita mengenal saklar dengan kemampuanarus dalam orde mA dan tegangan dalam orde Volt. Sedangkan pirantipenutup dan pembuka rangkaian dengan kapasitas besar kita jumpaipada rangkaian pemroses energi. Pemutus dan pembuka rangkaianberkapasitas besar ini dikenal dengan sebutan circuit breaker; iamempunyai kemampuan menyalurkan arus dalam orde kA dan tegangandalam kV. Dalam analisis rangkaian, saklar dimodelkan sebagaikombinasi rangkaian hubung-terbuka dan rangkaian hubung-singkatdan dianggap ideal dalam arti tidak terdapat rugi daya, atau dengan katalain daya selalu nol (tidak menyerap daya). Dalam keadaan terbuka, arusbernilai nol (tanpa arus bocor) sedangkan tegangan pada terminalnyabernilai sembarang tanpa batas. Dalam keadaan tertutup tegangan antaraterminalnya nol sedangkan nilai arusnya sembarang tanpa batas. Gb.4.7.di bawah ini menggambarkan karakteristik saklar ideal yang dimaksud.75

isimbol(a) saklar terbukai = 0 , v = sembarangGb.4.7. Karakteristik i− v saklar ideal4.6. Elemen Sebagai Model Dari GejalaSebagaimana dijelaskan di atas, elemen adalah model dari piranti, sepertiresistor, kapasitor, induktor dan sebagainya. Selain dari pada itu seringterdapat gejala-gejala adanya resistansi, atau kapasitansi, ataupuninduktansi pada piranti atau antar piranti, pada konduktor atau antarkonduktor dalam rangkaian listrik. Gejala-gejala seperti itu dapat puladimodelkan sebagai elemen rangkaian. Sebagai contoh, pada salurantransmisi daya terdapat resistansi pada kawat, kapasitansi antar kawatdan antara kawat dengan tanah, dan juga terdapat induktansi. Pada pirantielektronik juga terdapat kapasitansi antar terminal yang disebutkapasitansi bocor. Accu mobil mengandung gejala adanya resistansi yangdisebut resistansi internal. Resistansi, kapasitansi, ataupun induktansipada piranti-piranti tersebut merupakan gejala yang ada pada piranti yangjuga dapat dimodelkan sebagai elemen rangkaian.4.7. Transformator Idealsimbol(b) saklar tertutupv = 0 , i = sembarangApa yang kita bahas mengenai kumparan terkopel magnetik adalahprinsip dari transformator. Kumparan yang pertama disebut kumparanprimer sedang yang kedua disebut kumparan sekunder. Seperti halnyaresistor, induktor, dan kapasitor, kita mengenal transformator ukurankecil yang dipakai pada rangkaian elektronika, dan transformator ukuranbesar yang dipakai pada rangkaian pemroses energi, yang biasa disebuttransformator daya. Selain itu ada pula transformator-ukur untukkeperluan pengukuran arus tinggi, yang disebut transformator arus, danpengukuran tegangan tinggi yang disebut transformator tegangan. Dalamkenyataan, transformator-transformator tersebut mengandung ketidaksempurnaanmisalnya fluksi bocor, rugi daya di belitan dan rugi dayadalam inti-nya, serta ketidak-linieran. Transformator yang akan kitabahas di sini adalah transformator ideal.76 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)vv

4.7.1. Kopling SempurnaPada transformator ideal kita menganggap bahwa kopling magnetik antarkumparan terjadi secara sempurna, artinya semua fluksi yangmelingkupi kumparan primer juga melingkupi kumparan sekunder dandemikian pula sebaliknya.Jika jumlah lilitan di kumparan primer dan sekunder masing-masingadalah 1 dan 2 sedangkan arus masing-masing adalah i 1 dan i 2 makafluksi masing-masing kumparan adalahφ 1 = k 11i1dan φ2= k22i2dengan k 1 dan k 2 adalah konstanta proporsionalitas.Selain fluksinya sendiri, setiap kumparan juga melingkupi fluksi yangdibangkitkan di kumparan yang lain, yaituφ 12 = k 122i2dan φ21= k211i1Jika terjadi kopling sempurna, makaφ 12 = φ2danφ21= φ1yang berarti : k 12 2i2= k22i2dan k211i1= k11i1sehingga :k 12 = k2dan k21= k1Untuk medium maknit yang linier maka k 12 = k 21 = k M , sehingga untuktransformator ideal ini k 1 = k 2 = k 12 = k 21 = k M .Dengan demikian maka induktansi dan kopling magnetik menjadiL122kM 1; L2= kM 2 ; M = kM12 = L1L2= (4.32)Dengan menggunakan (4.27), tegangan pada kumparan primer dansekunder dapat kita peroleh yaitudi di ⎛ di di ⎞v = L 1 ± M 2 = ⎜k 1 ± k 21 11 M 1 M 2 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠di di ⎛ di di ⎞v = L 2 ± M 1 = ± ⎜±kM 2 + kM 12 22 21 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠Rasio persamaan pertama dan kedua dari (4.33), memberikan(4.33)77

v1 = ± 1 = ± a(4.34)v22Parameter a disebut perbandingan lilitan. Jika a > 1 ( 1 > 2 ) , kitamempunyai transformator penurun tegangan (step-down transformer)dan jika a < 1 ( 1 > 2 ) kita mempunyai transformator penaik tegangan(step-up transformer). Tanda + atau − tergantung dari arah referensi arusprimer dan sekunder relatif terhadap referensi titik. Jika referensi araharus di kedua kumparan menuju atau meninggalkan referensi titik, kitaberikan tanda +.4.7.2. Rugi Daya olSelain kopling sempurna, kita juga menganggap bahwa padatransformator ideal tidak ada rugi daya. Hal ini berarti bahwa daya yangdiserap di kedua kumparan adalah nol.v1 i1+ v2i2=0ataui2 v = − 1 = m 1 = m ai1v22(4.35)Dari (4.34) dan (4.35) jelas bahwa jika tegangan sekunder lebih besardari tegangan primer maka arus sekunder lebih kecil dari arus primer.Transformator jenis inilah yang digunakan pada transmisi daya listrik.Untuk penyaluran sejumlah daya tertentu, arus pada saluran transmisimenjadi lebih kecil pada tegangan tinggi, sehingga rugi-rugi daya padasaluran (i 2 R) dapat ditekan.COTOH-4.7: Suatu transformator mempunyai perbandingan lilitan 1 / 2 = 0,1. Dengan tegangan masukan 120sin400t V, dan denganmenganggap transformator ini ideal, tentukanlah tegangan sekunder,arus sekunder, serta arus primer, jika diberi beban resistif sebesar 50Ω. Hitung pula daya yang diserap oleh beban.Penyelesaian :Gambar dari rangkaian transformator dan perhitungannya adalahseperti berikut.78 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

i 1 i 2+v 1_+v 2_50Ωv 22 = v1= 1200sin400 t1vi 22 = = 24sin400 t A50V22p R = v2i2= 1200 × 24sin 400 t W = 28.8sin 400 t22p R = v2i2= 1200×24sin 400 t W = 28.8sin 400 tkW.kW.COTOH-4.8: Dalam contoh 4.7, berapakah resistansi yang dilihat olehsumber (yaitu resistansi di sisi primer) ?Penyelesaian :Dalam contoh ini tegangan primer adalah v 1 = 120sin400t sedangkanarus yang mengalir adalah i 1 = 240sin400t. Jadi resistansi yangterlihat di sisi primer adalahPemahaman :' v= 1 120sin 400tR 2 == 0,5 Ωi1240sin 400tR' 2 ini disebut resistansi masukan ekivalen (equivalent inputresistance). Jika kita perhatikan lebih lanjut akan terlihat bahwa2' v1( 1/ 2) v2⎛ 1⎞ 2R 2 = == R2= a R2i1( 2/ 1)i⎜2 ⎟⎝ 2 ⎠COTOH-4.9: Sebuah transformator (ideal) digunakan untukmenurunkan tegangan dari 220cos314t V ke 110cos314t V. Jumlahlilitan primer maupun sekunder tidak diketahui. Untuk mencarinyadibuat kumparan pembantu (kumparan ketiga) dengan 20 lilitan.Dengan memberikan tegangan sebesar 220cos314t V pada belitanprimer diperoleh tegangan sebesar 5,5cos314t V di kumparanpembantu. Carilah jumlah lilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :79

Pada waktu tegangan primer 220cos314t V, tegangan di kumparanpembantu adalah 5,5cos314t V. Jadi perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan kumparan pembantu adalah1220cos314t== 4035.5cos314tKarena 3 = 20 , maka 1 = 40×20 = 800 lilitan. Perbandinganlilitan transformator adalah2 110cos314t== 0,51220cos314tJadi jumlah lilitan sekunder adalah 2 = 400 lilitan.Soal-Soal1. Pada sebuah resistor 1 kΩ diterapkan satu pulsa tegangan 10 V,dengan lebar pulsa 100 ms. Hitung arus yang mengalir melaluiresistor serta daya yang diserap resistor selama tegangan diterapkan.Hitung pula energi yang diserap resistor, dan jumlah muatan yangdipindahkan melalui resistor.2. Pada sebuah resistor 10 Ω diterapkan tegangan eksponensial yangamplitudonya 200 V dan konstanta waktunya 200 ms. Hitunglah arusdan daya pada resistor. Perkirakanlah energi yang diserap resistor danjumlah muatan yang dipindahkan melalui resistor.3. Suatu arus sambaran petir dimodelkan sebagai bentuk gelombangeksponensial ganda yang terdiri dari gelombang positif beramplitudo+100 kA dengan konstanta waktu 200 µs dan gelombang negatifberamplitudo −100 kA dengan konstanta waktu 20 µs. Arus sambaranpetir ini melalui resistor 1 Ω; hitunglah tegangan pada resistor danjumlah muatan dalam sambaran petir ini.4. Berapakah nilai maksimum arus yang melalui kapasitor 50 µF, jikadiketahui bahwa tegangan pada kapasitor berbentuk sinus denganamplitudo 100 V dan frekuensinya 100 rad/s ?5. Tegangan pada kapasitor 100 pF berubah sebagai v C = 10 e −3000 t u(t) V.Berapa muatan kapasitor pada t = 0 + ? Berapa muatannya pada t = 1ms ?80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

6. Berapakah nilai maksimum tegangan pada induktor 2 H, jika diketahuibahwa arus yang mengalir berbentuk gelombang sinus denganamplitudo 2 A dan frekuensinya 300 rad/s ?7. Tegangan pada induktor 4 mH adalah v L = 40e −2000t u(t) V.Bagaimanakah bentuk gelombang arusnya ? Bagaimanakah dayanya ?8. Arus pada induktor 5 mH adalah i L (t) = [100 t e −1000 t ] u(t) A. Carilahtegangan, serta dayanya.9. Jika arus sambaran petir pada soal nomer 3 melalui sebuah induktor 10µH, hitunglah tegangan pada induktor.10. Pada dua kumparan terkopel berikut ini, tegangan v 1 =25[sin1000t]u(t) V. Kumparan kedua terbuka. Tuliskanlahhubungan i-v kumparan terkopel ini dan carilah i 1 dan v 2 .+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 = 2 mH, L 2 = 4 mHM = 5 mH11. Jika pada soal nomer 10 yang diketahui adalah arus masukan, yaitui 1 = 2 [1 − e −2000 t ] u(t) A, carilah v 2 . Pada t = 1 s, berapakah v 2 ?12. Jika pada soal nomer 10 tegangan masukan tidak diketahui akantetapi diketahui i 1 = 2sin1000t u(t), carilah v 1 dan v 2 .13. Pada transformator ideal, berapakah perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan sekunder yang diperlukan untuk mengubahtegangan 380cos314t V, ke 190cos314t V ?14. Carilah nilai efektif (rms) tegangan primer dan sekunder pada soalnomer 13. Perbandinganlah kedua nilai efektif ini! Bagaimanakahperbandingan nilai efektif arus? (Hasil ini selanjutnya dapatdigunakan untuk menentukan nilai-nilai rms tanpa melaluipernyataan sinyal dalam fungsi t lagi).81

15. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada pemecahan soal nomer 14,tentukanlah perbandingan jumlah lilitan transformator ideal yangdiperlukan untuk menurunkan tegangan bolak-balik sinus 240 Vrms menjadi 12 V rms. Jika resistor 50 Ω dihubungkan pada sisisekunder, hitunglah arus dan daya masukan di sisi primer.16. Sebuah transformator ideal dengan keluaran ganda, mempunyaijumlah lilitan primer 1000. Lilitan sekunder berjumlah 1200 lilitanterbagi menjadi 3 bagian, masing-masing 200 lilitan, 400 lilitan dan600 lilitan. Jika tegangan primer berbentuk sinus 220 V rms,tentukanlah nilai rms dari tiga macam tegangan yang diperoleh dibelitan sekunder.17. Suatu piranti mempunyai resistansi masukan sebesar 1500 Ωsehingga piranti ini dapat dimodelkan sebagai sebuah resistor 1500Ω. Piranti ini hendak dihubungkan ke penguat sinyal yangmenghendaki agar bebannya mempunyai resistansi 150 Ω. Untukitu, antara keduanya dipasang transformator sehingga penguat sinyalakan merasakan adanya beban sebesar 150 Ω walaupun bebansesungguhnya adalah 1500 Ω. Tentukan perbandingan lilitantransformator yang diperlukan.82 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 5Model Piranti AktifDioda dan OP AMPDengan mempelajari model piranti aktif, kita akan• mampu memformulasikan karakteristik arus-tegangan elemenaktif: sumber bebas, sumber tak-bebas;• memahami karakteristik dioda dan mampu menurunkanhubungan masukan-keluaran rangkaian sederhana menggunakandioda.• memahami karakteristik OP AMP dan mampu mencarihubungan masukan dan keluaran rangkaian dasar sederhana OPAMP.5.1. Sumber BebasSumber bebas adalah sumber yang tidak tergantung dari peubah sinyal dibagian lain dari rangkaian. Sumber sinyal dapat dimodelkan dengan duamacam elemen, yaitu: sumber tegangan atau sumber arus. Sumbersumberini dapat membangkitkan sinyal yang konstan ataupun bervariasiterhadap waktu, yang akan menjadi masukan pada suatu rangkaian.Mereka sering disebut sebagai fungsi penggerak atau forcing functionatau driving function yang mengharuskan rangkaian memberikantanggapan.5.1.1. Sumber Tegangan Bebas IdealGb.5.1. memperlihatkan simbol dan karakteristik i-v dari sumbertegangan bebas ideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya, yangtetap mengikuti konvensi pasif. Karakteristik i-v sumber tegangan idealmemberikan persamaan elemen sebagai berikut:v = v si = sesuai kebutuhanPersamaan di atas menyatakan bahwa sumber tegangan idealmembangkitkan tegangan v s pada terminalnya dan akan memberikan arus83

erapa saja yang diperlukan oleh rangkaian yang terhubung padanya.+v+_isV oi_vV oa) b) c)Gb.5.1. Sumber tegangan ideal.(a) Sumber tegangan bervariasi terhadap waktu;(b) Sumber tegangan konstan;(c) Karakteristik i-v sumber tegangan konstan5.1.2. Sumber Arus Bebas IdealGb.5.2. menunjukkan simbol dan karakteristik i-v sumber arus bebasideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya, yang juga tetap sesuaidengan konvensi pasif. Karakteristik i-v sumber arus ideal memberikanpersamaan elemen:i = i sv = sesuai kebutuhanSumber arus ideal memberikan arus i s dalam arah sesuai dengan arahtanda anak panah pada simbolnya dan memberikan tegangan berapa sajayang diperlukan oleh rangkaian yang terhubung padanya. Perhatikanbahwa tegangan pada sumber arus tidaklah nol.ii−I sI s , i s v+v(a)Gb.5.2. Sumber arus ideal.COTOH-5.1: Sebuah sumber tegangan konstan 40 V ideal, mencatusebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerap daya konstan(b)i84 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

sebesar 100 W, berapakah arus yang keluar dari sumber? Jika bebanmenyerap 200 W, berapakah arus yang keluar dari sumber?Penyelesaian :Karena merupakan sumber tegangan idealmaka ia akan memberikan arus berapa sajayang diminta beban dengan tegangan yangkonstan 40 V.Jika daya yang diserap beban 100 W, makaarus yang diberikan oleh sumber adalahp 100i = = = 2,5 Av 40Jika daya yang diserap beban 200 W, maka arus yang diberikan olehsumber adalahPemahaman :p 200i = = = 5 Av 40Sumber tegangan ideal memberikan arus berapa saja yang dimintaoleh beban, pada tegangan kerja yang tidak berubah. Sumbersemacam ini dapat kita gunakan untuk mendekati keadaan dalampraktek apabila sumber mempunyai kemampuan yang jauh lebihbesar dari daya yang diperlukan oleh beban atau dengan kata lainsumber tersebut kita anggap mempunyai kapasitas yang takberhingga.COTOH-5.2: Sebuah sumber arus konstan 5 A ideal, mencatu sebuahbeban. Jika diketahui bahwa beban menyerap daya konstan sebesar100 W, pada tegangan berapakah sumber beroperasi? Jika bebanmenyerap 200 W, berapakah tegangan sumber?Penyelesaian :Sumber arus ideal memberikan arustertentu, dalam hal ini 5 A, pada teganganberapa saja yang diperlukan oleh beban.Jika daya yang diserap beban 100 W, halitu berarti bahwa tegangan sumber adalah+− 40V beban5Abeban85

p 100v = = = 20 Vi 5Jika daya yang diserap beban 200 W, maka tegangan sumber adalahp 200v = = = 40 Vi 55.2. Sumber PraktisGb.5.3. menunjukkan model sumber tegangan dan sumber arus praktis;sumber ini disebut praktis karena mereka lebih mendekati keadaan nyatadibandingkan dengan model sumber ideal.v s+_R si+v−i sR pi−v+Gb.5.3. Sumber tegangan dan sumber arus praktisSuatu sumber nyata pada umumnya mengandung gejala-gejala adanyaresistansi ataupun induktansi dan kapasitansi. Resistor R s ataupun R pdalam model sumber praktis yang terlihat pada Gb.5.3. merupakanrepresentasi dari gejala resistansi yang hadir dalam sumber yangdimodelkan dan bukan mewakili resistor yang berupa piranti.COTOH-5.3: Sebuah sumber tegangan konstan praktis denganresistansi 4 Ω, mencatu sebuah beban. Jika diketahui bahwa bebanmenyerap daya konstan sebesari100 W, dan diketahui pulabahwa arus yang mengalir+padanya adalah 2,5 A,4Ωv + v sberapakah tegangan sumber dan ibeban− _arus yang keluar dari sumber?Jika sumber tidak dibebani,berapakah tegangannya?86 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Rangkaian sumber praktis terdiri dari sumber ideal v i dan resistansisebesar 4 Ω. Tegangan sumber praktis adalah v s dan tegangan inisama dengan tegangan pada beban.Jika daya dan arus pada beban adalah 100 W dan 2,5 A, makategangan sumber adalahp 100v s = = = 40 Vi 2.5Karena hanya ada satu beban yang dilayani oleh sumber praktis,maka arus yang keluar dari sumber sama dengan arus beban yaitu2,5 A. Arus ini pula yang keluar dari sumber tegangan ideal v i danmengalir melalui R i . Bagi sumber tegangan ideal v i , daya yangdiserap oleh resistansi R i ikut menjadi bebannya, yaitu2p Ri = i Ri=2(2.5) × 4 = 25 WDengan demikian sumber tegangan ideal menanggung bebanp tot = 100 + 25 = 125 W .Dengan arus yang 2,5 A, maka tegangan sumber ideal adalahv i = 125 / 2,5 = 50 V .Tegangan inilah yang akan terlihat pada sumber praktis, v s , apabilaia tidak dibebani, karena pada saat tanpa beban tidak ada arus yangmengalir sehingga tidak ada tegangan pada R i .Pemahaman :Dalam contoh di atas, sumber praktis yang merupakan sumbertegangan konstan, mempunyai resistansi R i yang kita sebut resistansiinternal. Resistansi inilah yang menyebabkan terjadinya perbedaannilai tegangan sumber praktis pada saat berbeban dan pada saattidak berbeban. Pada sumber praktis yang bukan tegangan konstan,misalnya tegangan sinus, tidak hanya terdapat resistansi internal sajatetapi mungkin juga induktansi internal.87

COTOH-5.4: Sebuah accu (accumulator) 12 V, berkapasitas 40 Ah.Jika sebuah beban yang menyerap daya 10 Watt dihubungkanpadanya, berapalamakah accutersebut dapatmelayani bebanyang ditanggungnya?Penyelesaian :Jika kita menganggap accu sebagai sebuah sumber tegangan idealyang memberikan daya kepada beban dengan tegangan konstan 12V, maka arus yang akan mengalir ke beban adalahp 10i = = v 12Karena kapasitasnya 40 Ah, accu akan mampu mencatu bebanselamaPemahaman :12 V+−40 t = = 4810/12AjamAccu mengubah energi kimia menjadi energi listrik. Dalam prosespengubahan tersebut terdapat sejumlah energi yang tidak dapatdikeluarkan melainkan berubah menjadi panas. Accu dapatdimodelkan sebagai sumber tegangan dengan resistansi internalsebesar R i . Jadi model rangkaian mirip dengan rangkaian padacontoh 5.13. Dengan model ini maka energi tidak hanya diserapoleh beban tetapi juga oleh R i . Dengan adanya resistansi internal itutegangan pada beban akan lebih kecil dari tegangan sumber ideal.Selain dari pada itu, jika accu tidak mendapatkan tambahan energidari luar, tegangan akan terus menurun selama proses pengalirandaya ke beban. Jika resistansi beban tidak berubah, penyerapan dayapada beban juga tidak konstan 10 watt.R i+v_ibebanmenyerap10 W88 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

5.3. Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources)Sumber bebas yang kita ulas di atas adalah model dari suatu piranti;artinya, kita mengenalnya baik sebagai elemen maupun sebagai piranti(seperti halnya resistor, induktor dan kapasitor). Berbeda dengan elemenelementersebut, sumber tak-bebas adalah elemen yang tidak mewakilipiranti tertentu melainkan menjadi model karakteristik suatu piranti.Sumber tak-bebas adalah elemen aktif yang kita gunakan dalamkombinasi dengan elemen lain untuk memodelkan piranti aktif sepertimisalnya transistor ataupun OP AMP. Berikut ini kita akan melihatcontoh rangkaian dengan sumber tak-bebas.Keluaran sumber tak-bebas dikendalikan oleh (tergantung dari) teganganatau arus di bagian lain dari rangkaian. Sumber tak-bebas yang akan kitapelajari adalah sumber tak-bebas linier, baik itu sumber teganganmaupun sumber arus. Karena ada dua macam besaran yang dikendalikan,yaitu tegangan ataupun arus, dan ada dua macam besaran pengendaliyang juga berupa arus ataupun tegangan, maka kita mengenal empatmacam sumber tak-bebas, yaitu:a). Sumber tegangan dikendalikan oleh arus: current-controled voltagesource (CCVS).b). Sumber tegangan dikendalikan oleh tegangan: voltage-controledvoltage source (VCVS).c). Sumber arus dikendalikan oleh arus : current-controled currentsource (CCCS).d). Sumber arus dikendalikan oleh tegangan : voltage-controled currentsource (VCCS).Gb.5.4. memperlihatkan simbol-simbol sumber tak bebas. Kita ambilcontoh CCCS. Arus keluaran CCCS tergantung dari arus masukan i 1 danfaktor perkalian tak berdimensi β, menjadi βi 1 . Ketergantungan sepertiini tidak kita dapatkan pada sumber bebas. Arus yang diberikan olehsumber arus bebas, tidak tergantung dari rangkaian yang terhubung kepadanya.89

CCVS :i+1_ ri 1VCVS :+v 1_+_ µ v 1CCCS :i 1βi 1VCCS :+v 1_g v 1Gb.5.4. Simbol sumber tak-bebas.Masing-masing sumber tak-bebas mempunyai parameter tunggal µ, β, r,dan g sebagai cirinya. Parameter-parameter ini disebut gain. Dalam halini, µ dan β merupakan parameter yang tak berdimensi yang masingmasingdisebut voltage gain dan current gain. Parameter r berdimensiohm dan disebut transresistance (kependekan dari transfer resistance).Parameter g berdimensi siemens, disebut transconductance.COTOH-5.5: Sebuah sumber tak-bebas CCVS seperti tergambar dibawah ini mencatu beban konstan yang mempunyai resistansi 20 Ω.i si ov s+−R s+−500 i s+v o−20 ΩRangkaian pengendali terdiri dari sumber tegangan ideal v s danresistansi R s = 60 Ω. Hitunglah daya yang diserap oleh beban jikasumber tegangan pengendali v s = 24 V. Hitung pula daya tersebutjika tegangan sumber pengendali dinaikkan menjadi 36 V.Penyelesaian :Tegangan pengendali v s sama dengan tegangan pada resistansi R s .Jika v s = 24 V, maka arus i s adalahv 24 =si s = = 0,4 A .Rs6090 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Tegangan keluaran v o = 500 i s = 500 × 0,4 = 200 V . Tegangan v oini sama dengan tegangan beban, sehingga daya yang diserap bebanadalah2( o )p o = v = 2000 W20Jika tegangan v s dinaikkan menjadi 36 V, maka36i s = = 0,6 A602(300)→ vo = 500×0,6 = 300 V; → po= = 4500 W20Pemahaman :Jika kita hitung, daya yang diberikan oleh sumber pengendali v sakan kita perolehp s = vsis= 60 × 0,4 = 24WDaya ini jauh lebih kecil dari daya yang diserap beban, yaitu sebesar2000 W. Hal ini berarti bahwa daya yang diterima oleh beban bukanberasal dari sumber v s . Dari manakah asalnya ?Telah disebutkan di depan bahwa sumber tak-bebas adalah elemenaktif yang kita gunakan dalam kombinasi dengan elemen lain untukmemodelkan piranti aktif. Piranti aktif ini mempunyai catu dayayang tidak tergambarkan dalam simbol sumber tak-bebas. Dari catudaya inilah sesungguhnya asal daya yang diterima oleh beban.Sumber v s dalam contoh soal ini merupakan sumber pengendali danbukan sumber daya untuk memberikan daya ke beban.Sebagai contoh, model sumber tak-bebas ini dapat kita gunakanuntuk memodelkan generator arus searah berpenguatan bebas.Sumber tegangan v s merupakan sumber penguat untuk memberikanarus penguat sebesar i s . Arus penguat ini menimbulkan fluksimaknit pada generator, yang jika diputar dengan kecepatan konstanakan memberikan tegangan dan daya ke beban. Dalam modelgenerator arus searah ini, catu daya yang memberikan daya kebeban berupa masukan daya mekanis untuk memutar generator.91

Piranti aktif lain dalam elektronika, seperti misalnya OP AMP atautransistor, dapat pula dimodelkan dengan sumber tak-bebas. Catudaya pada piranti-piranti ini berupa catu daya listrik, bukan dayamekanis seperti pada pemodelan generator arus searah di atas.5.4. Dioda IdealDioda ideal tidak menyerap daya tetapi juga tidak memberikan daya. Iabanyak dimanfaatkan untuk “mengatur” aliran daya dari sumber kebeban oleh karena itu ia kita bahas di bab ini.Dioda merupakan piranti dua terminal yang meloloskan aliran arus kesatu arah dan menahan aliran arus pada arah sebaliknya. Perilaku inimirip dengan saklar yangtertutup untuk arah arustertentu tetapi terbukauntuk arah yangberlawanan, dan dapatdinyatakan dengankarakteristik i-v sepertiterlihat pada Gb.5.5.a.Karakteristik ini adalahkarakteristik dioda ideal, yang pada kenyataannya mempunyaikarakteristik tak-linier seperti terlihat pada Gb.5.5.b. Simbol dari diodabeserta referensi arus dan tegangan ditunjukkan pada Gb.5.5.c.Karakteristik dioda ideal, dapat kita nyatakan sebagai:DiodakonduksiDioda tak konduksi: i:iDD> 0= 0i,,vvDD= 0< 0(5.1)Dalam praktik, kita perlu memperhatikan tegangan balik dioda, yaitu v Dyang negatif pada saat dioda tak-konduksi. Tegangan balik ini tidakdiperkenankan melebihi suatu nilai tertentu. Setiap jenis diodamempunyai ketahanan untuk menahan tegangan balik tertentu dan jugabatas kemampuan arus tertentu yang tidak boleh dilampaui.5.4.1. Penyearah Setengah GelombangPenyearah adalah rangkaian listrik yang memproses sinyal bolak-balik(sinyal sinus) menjadi sinyal searah. Sinyal searah yang dihasilkannyabukan merupakan sinyal konstan, melainkan sinyal yang berubahi+v D−0 v 0 v(a) (b) (c)Gb.5.5. Diodai D92 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

terhadap waktu tetapi selalu positif. Jika sinyal yang disearahkan (sinyalmasukan) berupa sinyal sinus yang mempunyai nilai rata-rata nol, hasilpenyearahan (sinyal keluaran) mempunyai nilai rata-rata tidak nol.Berikut ini kita akan membahas salah satu jenis penyearah yaitupenyearah setengah gelombang.Rangkaian penyearah beserta bentuk gelombang masukan dankeluarannya diperlihatkan pada Gb.5.6. Tegangan sumber berupa sinyalsinus v s = V m sinωt. Karena sifat dioda yang hanya meloloskan arus kesatu arah saja maka arus yang melalui resistor R hanya berlangsungsetiap setengah perioda.Pada waktu dioda konduksi v D = 0 dan tegangan di simpul B samadengan tegangan di simpul A; tegangan beban R sama dengan tegangansumber dan arus di R iR = vs/ R . Pada waktu dioda tak-konduksi tak adaarus mengalir di R; tegangan di R nol. Gelombang arus i R diperlihatkanpada Gb.5.6.v sA+i+ v D −B+v RR L −CVv s mi RI asωt00 π2πGb.5.6. Penyearah setengah gelombang.Jadi pada penyearah setengah gelombang, arus hanya mengalir padaperioda positif. Nilai rata-rata arus adalah:Ias==2ππ11 V ωω = m sin tω +π ∫iRd(t)π ∫d(t)022 R0 01 V πm V[ ω ] = m Icos t = m2πR 0 πRπ(5.2)Persamaan (5.2) memperlihatkan bahwa penyearah setengah gelombangmenghasilkan arus searah (yaitu arus rata-rata) sebesar kira-kira 30% darinilai arus maksimum. Arus maksimum sendiri sebanding dengantegangan maksimum masukan. Tegangan balik maksimum dioda sama93

dengan tegangan puncak negatif masukan yaitu tegangan dioda pada saatia tidak konduksi.COTOH-5.6: Jika pada Gb.5.6. v s = 220 sinωt sedangkan R = 5 kΩ,berapakah nilai arus searah (arus rata-rata) pada R ?Penyelesaian :Pada waktu diodakonduksiv 220sinω= s ti R = = 110sinωtmAR 5000⇒ Ias= Im/ π = 110/ π = 35 mA5.4.2. Penyearah Gelombang PenuhPada penyearah gelombang penuh arus ke beban mengalir pada seluruhperioda. Kita akan melihat salah satu rangkaian penyearah gelombangpenuh yaitu rangkaian dengan menggunakan empat dioda yang biasadisebut rangkaian jembatan. Rangkaian yang lain yaitu rangkaian yangmenggunakan transformator ber-titik-tengah (center-tapped) akan kitalihat di bab lain.Rangkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrosesannya terlihatpada Gb.5.7. Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searahv2 VmIas=π RLD 2iC+AB+R LD 1D 4D2Im=πGb.5.7. Penyearah gelombang penuh jembatan (empat dioda).(5.3)Bagaimana penyearah ini bekerja dapat kita terangkan sebagai berikut.Kita perhatikan tegangan di simpul-simpul A, B, C dan D. Kita ambilsimpul B sebagai simpul referensi.V m00vπi2πI asωt94 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Jika simpul A bertegangan positif, D 1 konduksi sedangkan D 3 takkonduksi;v D1 = 0 dan v C = v A yang berarti D 2 tak-konduksi karenamendapat tegangan negatif sedangkan D 4 konduksi karena mendapattegangan positif. Arus i mengalir dari simpul A ke C melalui beban R kesimpul D dan kembali kesumber melalui simpul B; terbentuk looptertutup ACDBA.Sementara itu di loop yang mengandung dioda yang tidak konduksi,yaitu loop ADCBA, dioda D 2 dan D 3 tidak konduksi. Jika dioda-3 dandioda–2 identik maka masing-masing memperoleh tegangan negatifsebesar −V m sinωt.Dalam setengah perioda berikutnya, terjadi situasi yang berbalikan. D 1dan D 4 tidak konduksi sedangkan D 2 dan D 3 konduksi. Jadi dalamseluruh perioda arus i bernilai positif walaupun dioda-dioda hanyakonduksi dalam setengah perioda. Dengan demikian terjadilahpenyearahan dalam seluruh perioda, atau dengan kata lain kitamemperoleh penyearah gelombang penuh. Jika semua dioda identikmaka tegangan balik maksimum sama dengan V mCOTOH 5.7: Jika pada Gb.5.7. v = 220sinωt sedangkan R = 5kΩ,berapakah komponen arus searah yang melalui R ?Penyelesaian :v 220sinωtSetiap setengah perioda, iR= = = 110sinωtmAR 5000Nilai rata - ratanya adalah : Ias= 2Im/ π = 70 mA5.4.3. Pemotong GelombangRangkaian pemotong gelombang digunakan untuk menghilangkanbagian gelombang sinyal yang tidak diinginkan. Pada penyearahsetengah gelombang kita lihat bahwa dioda meniadakan arus negatif;dengan kata lain ia memotong bagian negatif dari gelombang masukan.Jika sebuah sumber tegangan konstan V dihubungkan seri dengan diodadan dengan polaritas yang berlawanan, seperti terlihat pada Gb.5.8.,maka arus hanya akan mengalir jika tegangan masukan v 1 lebih besardari tegangan konstan ini. Dengan cara ini, tegangan pada resistor Rhanya akan ada jika tegangan v 1 lebih besar dari V.95

+ V−vv 1+v 1_i+v D+v RV0tv R = v 1 −VGb.5.8. Pemotong gelombangKita aplikasikan HTK pada rangkaian ini:Jika dioda konduksi, v D = 0, sehingga v R = v 1 −V.Jika dioda tak-konduksi , i = 0, sehingga v R = 0.Jadi rangkaian ini meniadakan bagian tegangan masukan yang lebih kecildari V, atau dengan kata lain ia memotong gelombang masukan v 1 .Tegangan v R akan muncul jika v 1 > V sedangkan bagian lain dari v 1 akandihilangkan seperti terlihat pada Gb.5.8.COTOH-5.8: Pada rangkaian disamping ini, v 1 = 8 sinωt;gambarkanlah v 1 dan v 2 dangambarkan pula karakterstiktransfer, yaitu v 2 sebagai fungsidari v 1.Penyelesaian :Aplikasi HTK pada rangkaian inimemberikan:Jika dioda konduksivD= 0 → V A = v2= −2Vv1+ 2iD= −i= − > 0 → v1< −2RJadi dioda konduksi jika v 1 < −2 V. Pada waktu itu tegangan v 2 = −2V.+v 1−iRi D−+VA2 V−v D++v 2−96 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Karena dioda konduksi jika v 1 < −2 V, maka jika v 1 > −2 V diodatidak akan konduksi dan pada waktu itu i = 0, dan v 2 = v 1 .Bentuk gelombang tegangan dan karakteristik transfer adalahsebagai berikut:10[V]5v 2 =v 1v 2800 v 2 v 2-5v 1-10bentuk gelombang teganganωt−8−2karakteristik transferv 15.4.4. PensaklaranDalam kenyataan, dioda semikonduktor memerlukan suatu pra-teganganagar terjadi konduksi arus. Besarnya pra-tegangan ini adalah sekitar 0,3V untuk dioda germanium dan 0,7 V untuk dioda silikon. Oleh karena itumodel rangkaian dioda akan memberikan hasil yang lebih memuaskanjika dinyatakan sebagai kombinasi seri dari sebuah dioda ideal dansumber tegangan berpolaritas berlawanan dengan polaritas dioda idealtersebut. Berikut ini adalah sebuah contoh rangkaian dengan diodasilikon.COTOH 5.9: Rangkaiandi samping inimerupakan rangkaianpensaklaran yangdibangun dari dua diodasilikon. Tentukan i A dani B jika v A = 1 V.+v Ai A4,7 V1kΩD 1 D 2Penyelesaian :Model rangkaian dengan dioda silikon ini adalah sebagai berikut.i B97

+ 4,7 Vi A1kΩ+v A− +0,7 VD 1PD 2+−i B0,7 VUntuk simpul P terdapat kemungkinan-kemungkinan berikut:Jika D 1 dan D 2 konduksi v D1 = v D2 = 0vP= vA+ 0,7 = 0,7 → vA= 0⇒ tidak sesuai dengan yang diketahui.Situasi ini tidak terjadi.Jika D 1 konduksi dan D 2 tak-konduksi,iB⇒ v= 0 → vPP= vA> 0,7 → D 2Situasi ini tidak terjadi.+ 0,7 = 1,7 Vharus konduksiJika D 1 tak-konduksi dan D 2 konduksi,iA= 0 → vP= 0,7 < ( v A + 0,7) → D1tak konduksi⇒ i = (4,7 − v ) /1 = (4,7 − 0,7)/1 = 4 mABSituasi inilah yang terjadi.PPada situasi terakhir inilah arus mengalir melalui D 2 sebesar i B = 4mA, sedangkan i A = 0.Pemahaman:Dari tiga kemungkinan operasi yang disebutkan di atas, hanyakemungkinan ke-3 yang bisa terjadi, yaitu D 1 tak-konduksi dan D 2konduksi. Dengan kata lain arus akan mengalir melalui D 2 jika D 1tak-konduksi; sedangkan D 1 tak-konduksi hanya apabila v P > v A .Padahal v P tidak akan lebih besar dari 0,7 V karena pada saat ituv D2 = 0. Jadi ada situasi batas dimanav P = 0,7= vA− 0,7 V atau v A = 0 V98 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Jika simpul A sedikit saja bertegangan, arus pada dioda D 2 akanberubah dari 0 menjadi 4 mA.5.5. Penguat Operasional (OP AMP)OP AMP bukanlah elemen pencatu daya, melainkan bekerja denganbantuan catu daya dari luar sehingga ia mampu memperbesar sinyalmasukan. Oleh karena itu ia kita pelajari dalam bab yang membahasmodel piranti ini, namun masih terbatas pada situasi yang belummemerlukan aplikasi metoda analisis. Metoda analisis sendiri baru akankita pelajari beberapa bab ke belakang.OP AMP adalah suatu piranti berbentuk rangkaian terintegrasi yangcukup rumit, terdiri dari transistor, resistor, dioda, kapasitor, yangsemuanya terangkai dalam satu chip. Walaupun rangkaiannya rumit, OPAMP dapat dimodelkan dengan suatu karakteristik i-v yang agaksederhana. Kita tidak akan membahas apa yang sebenarnya terjadi dalampiranti ini, tetapi akan memandang OP AMP sebagai elemen rangkaiandengan hubungan-hubungan arus dan tegangan tertentu.5.5.1. otasiOP AMP merupakan piranti lima terminal dengan simbol seperti padaGb.5.9.a. Gambar fisik piranti ini diberikan secara sederhana padaGb.5.9.b. yang menunjukkan posisi-posisi terminalnya.+V CC v omasukannon-inversicatu daya positif8765masukaninversi+−keluaranTop12− +34catu daya negatifa). Simbol rangkaianv v P −V CCb). Diagram DIP 8-pin.Gb.5.9. Simbol dan diagram OP AMP.+V CC : catu tegangan positif; −V CC : catu tegangan negatif99

Dua diantara terminal tersebut bertanda +V CC dan −V CC . Dua terminal iniadalah terminal catu, yang menghubungkan OP AMP dengan sumbertegangan. Sumber tegangan inilah yang akanmencatu kebutuhan dayadalam rangkaian. Tegangan catu menentukan batas atas dan batas bawahtegangan keluaran. Walaupun sesungguhnya penguat ini beroperasikarena ada tegangan catu, namun terminal tegangan catu ini sering tidakdigambarkan sehingga kita mempunyai diagram yang disederhanakan,seperti terlihat pada Gb.5.10. Perhatikan notasi serta referensi arus dantegangannya.v P +i P+i ov +i −−+ v oGb.5.10. Rangkaian OP AMP disederhanakan.Notasi-notasi yang kita pergunakan adalah :v P = tegangan masukan non-inversi; i P = arus masukan non-inversi;v = tegangan masukan inversi; i = arus masukan inversi;v o = tegangan keluaran; i o = arus keluaran;Tegangan dihitung terhadap titik referensi umum (bertanda “−”).Perlu kita perhatikan bahwa dalam diagram rangkaian yangdisederhanakan seperti pada pada Gb.5.10, banyak bagian rangkaianyang tidak digambarkan. Oleh karena itu kita tidak boleh sembaranganmengaplikasikan HAK untuk rangkaian tersebut; sebagai contoh kitaharus menyadari bahwa i o ≠ i P + i 5.5.2. Karakteristik Alih (Karakteristik Transfer)Karakteristik alih OP AMP memberikan hubungan antara v P , v , dan v o ,yang diperlihatkan pada Gb.5.11. Karakteristik ini terbagi dalam tigadaerah operasi, yaitu daerah jenuh negatif, daerah linier, dan daerahjenuh positif. Dalam pembahasan rangkaian dengan OP AMP di sini, kitahanya akan meninjau daerah operasi yang linier saja. Dalam daerah initerdapat hubungan linier antara v o dan (v P −v ), yang dapat dinyatakandengan100 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

( − )vo = µ v P v (5.4)Konstanta µ disebut gain loop terbuka (open loop gain), yang dalamGb.5.11 adalah kemiringan kurva di daerah linier.v o+V CC−V CCv P − v Tabel 5.1.ParameterRentang Nilainilai idealµ 10 5 ÷ 10 8 ∞R i 10 6 ÷ 10 13 Ω ∞ ΩR o 10 ÷ 100 Ω 0 Ω± V CC ± 12 ÷ ± 24 VGb.5.11. Karakteristik alih OP AMP dan rentang nilai µ.Nilai µ sangat besar, biasanya lebih dari 10 5 . Selama nilai netto (v P − v )cukup kecil, v o akan proporsional terhadap masukan. Akan tetapi jika µ(v P − v ) > V CC OP AMP akan jenuh; tegangan keluaran tidak akanmelebihi tegangan catu ± V CC .5.5.3. Model Ideal OP AMPOP AMP yang beroperasi di daerah linier dapat dimodelkan sebagairangkaian sumber tak-bebas seperti terlihat pada Gb.5.12. Model inimelibatkan resistansi masukan R i , resistansi keluaran R o , dan VCVSdengan gain µ . Rentang nilai parameter-parameter ini diberikan dalamTabel-5.1.Dengan bekerja di daerah linier, tegangan keluaran v o tidak akanmelebihi ± V CC ..vo atau ( v P − v) ≤ VCC⇒ ( vP− v)≤ V CCV≤µµCCv P +v +i Pi +R o++R i −µ (v P − v )−Gb.5.12. Model OP AMPi ov o101

Karena µ sangat besar, yang untuk OP AMP ideal dapat dianggap µ = ∞ ,sedangkan V CC tidak lebih dari 24 Volt, maka dapat dikatakan bahwa(V CC /µ ) = 0 sehingga kita dapat menganggap bahwa v P = v . Sementaraitu untuk OP AMP ideal R i = ∞ sehingga arus masuk di kedua terminalmasukan dapat dianggap nol. Jadi untuk OP AMP ideal kitamendapatkan :viPP= v= i= 0(5.5)Karakteristik inilah yang akan kita pergunakan dalam analisis rangkaiandengan OP AMP.5.5.4. Rangkaian Penyangga (buffer, voltage follower)Berikut ini kita akan melihat salah satu rangkaian dasar OP AMP yaiturangkaian penyangga atau buffer. Yang dimaksud dengan rangkaiandasar adalah rangkaian yangidigunakan untuk membangunPsuatu rangkaian yang lebihv P + v olengkap, yang dapat berfungsiv −sesuai dengan hubungan v s+−masukan-keluaran yangRGb.5.13. Rangkaian penyangga.diinginkan. Perlu kita ingatbahwa jika kita membangunsuatu rangkaian yangmemenuhi hubungan masukankeluaranyang kita inginkan, hasil atau jawabannya tidaklah berupajawaban tunggal. Ada beberapa kemungkinan struktur rangkaian yangdapat memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kita inginkan.Rangkaian penyangga (Gb.5.13) digunakan sebagai antar-muka untuk“meng-isolasi” beban terhadap sumber. Rangkaian umpan balikmerupakan hubungan langsung dari terminal keluaran ke terminalmasukan inversi. Dengan hubungan ini maka v = v o . Sinyal masukandihubungkan ke terminal non-inversi yang akan memaksa v P = v s . Karenamodel ideal OP AMP mengharuskan v P = v , maka v o = v s . Jadi dalamrangkaian ini gain loop tertutup K = 1. Besar tegangan keluaranmengikuti tegangan masukan. Oleh karena itu rangkaian ini juga disebutvoltage follower.i 102 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

5.5.5. Penguat on-InversiPada rangkaian penyangga,vP = vs= v= v o . Jika kita buatv lebih kecil dari v o denganmenggunakan pembagi tegangan,maka kita peroleh penguat noninversi.Perhatikan diagramrangkaian pada Gb.5.14.Pada terminal masukan noninversidiberikan tegangan+−v s+ v −R1masukan v s , sedang terminalmasukan inversi dihubungkan ke rangkaian keluaran. Hubungankeluaran dengan masukan ini kita sebut umpan balik (feed back) danrangkaian seperti ini kita sebut rangkaian dengan umpan balik. Denganadanya umpan balik terjadi interaksi antara masukan dan keluaran.Model ideal OP AMP mengharuskan i = i P = 0; oleh karena itu teganganv dapat dicari dengan kaidah pembagi tegangan, yaituv R2 = voR1+ R2Pada terminal masukan non-inversi v P = v s . Karena model ideal OPAMP juga mengharuskan v P = v makaRv P = v= 2 vo= vsR1+ R2sehinggaR Rv 1 + 2o = v sR2Inilah hubungan antara keluaran dan masukan yang dapat kita tuliskanRv o = Kv s dengan 1 + RK = 2R2Konstanta K ini kita sebut gain loop tertutup karena gain ini diperolehpada rangkaian dengan umpan balik. Dengan demikian kita mempunyaidua macam gain, yaitu gain loop terbuka (µ) dan gain loop tertutup (K).Gain loop terbuka sangat besar nilainya namun ketidak pastiannya jugabesar. Gain loop tertutup lebih kecil namun nilainya dapat kitai Pv Pi umpan balikGb.5.14. Penguat non-inversi.v oR 2103

kendalikan dengan lebih cermat yaitu dengan cara memilih resistorberkualitas baik, dengan ketelitian cukup tinggi. Jadi dengan membuatumpan balik, kita memperoleh gain yang lebih kecil tetapi denganketelitian lebih baik.Dalam menghitung K di atas, kita menggunakan model ideal dengan µyang tak hingga besarnya. Dalam kenyataan, µ mempunyai nilai besartetapi tetap tertentu. Berapa besar pengaruh nilai µ yang tertentu initerhadap nilai K dapat kita analisis dengan menggunakan rangkaianmodel sumber tak-bebas seperti pada Gb.5.12. yang dilengkapi denganumpan balik seperti pada Gb.5.14. Analisisnya tidak kita lakukan di sininamun hasil yang akan diperoleh adalah berbentuk*K =1 +KK( / µ )dengan K * adalah gain loop tertutup jika µ mempunyai nilai tertentu.Model ideal akan memberikan hasil yang baik selama K

tidak tergambarkan dalam rangkaian ini. OP AMP mempunyai batasmaksimum arus yang dapat ia berikan. Jika kita misalkan arusmaksimum yang dapat diberikan oleh OP AMP dalam rangkaian diatas adalah 10 mA maka arus ini harus dibagi antara beban danrangkaian umpan balik. Karena i = 0, maka arus yang melaluirangkaian umpan balik, i f , adalah :o 15i = vf = = 5 mA1+2 3Arus yang melalui beban maksimum menjadi i maks = 10 − 5 = 5 mA.Agar tidak terjadi pembebanan berlebihan, resistansi beban palingsedikit adalah :voR B min = = 3 kΩ5Daya maksimum yang bisa diberikan ke beban menjadi:p B maks = voimaks= 15×5 = 45 mWCOTOH 5.11: Carilah hubungan keluaran-masukan dari penguat noninversi di bawah ini, dan cari pula resistansi masukannya.v si inA v PR 4R 5+−R 3v +−R 2+v oR 1Penyelesaian:Karena i P = 0, makaKarena i = 0 makaRvP= vA= 5 vsR4+ R5v R1 = voR1+ R2105

vP= vR5R1voR5R1+ R2→ vs= vo→ = ×R4+ R5R1+ R2vsR4+ R5R1Rangkaian-rangakain dasar OP AMP yang lain seperti penguat inversi,penjumlah (adder), pengurang (penguat diferensial), integrator,diferensiator, akan kita pelajari setelah kita mempelajari metoda-metodaanalisis.Soal-Soal1. Sebuah pencatu daya dimodelkan sebagai sumber tegangan bebas 60 Vdan resistansi seri R i sebesar 0,5 Ω. Pada pembebanan 20 A,berapakah daya yang diberikan sumber dan yang diserap R i ?Berapakah daya yang diterima oleh beban dan pada teganganberapakah daya diterima.2. Sebuah piranti pencatu daya dimodelkan sebagai sumber arus praktisyang terdiri dari sumber arus bebas 2 A dengan resistor paralel R p =100 Ω. Pada waktu dibebani, arus yang melalui R p adalah 0,2 A. Padategangan berapakah sumber arus bekerja ? Berapakah daya yangdiberikan oleh sumber arus ? Berapakah daya yang diserap oleh R p ?Berapakah daya yang diterima beban ? Berapa arus beban ?3. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCCS dengan arus keluaranI o = 10I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti ini dibebani resistor300 Ω. Jika I f = 100 mA, berapakah daya yang diserap beban danpada tegangan berapakah beban menyerap daya ?4. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCVS dengan tegangankeluaran V o = 100V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Pirantiini dibebani resistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah daya yangdiserap beban dan berapakah arus beban ?5. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCCS dengan arus keluaranI o = 2V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Piranti ini dibebaniresistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah daya yang diserap beban danpada tegangan berapakah beban menyerap daya ?6. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCVS dengan tegangankeluaran V o = 100I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti inidibebani resistor 300 Ω. Jika I f = 2 A, berapakah daya yang diserapbeban dan berapakah arus beban ?106 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

7. Pada model sumber tak bebas di bawah ini, tunjukkanlah bahwakarakteristik i-v dari piranti yang dimodelkannya adalah karakteristiktransformator ideal.i 1i 2+v 1−+v 2 i 1−+v 2−8. Carilah tegangan v o rangkaian-rangkaian berikut.a).2kΩ +i s 1kΩ v o−i s = 0,1cos10t A4kΩb).2kΩ − 4V ++ v s + v− +o2V−−v s = 10s10t V9. Sebuah dioda mempunyai resistansi balik 200 kΩ dan karakteristik i-vlinier I =0,005V, digunakan sebagai penyearah setengah gelombanguntuk mencatu resistor 10 kΩ. Tentukan tegangan pada resistor jikategangan masukan adalah v s = 10cos300t V.10. Sebuah penyearah setengah gelombang digunakan untuk mengisibatere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikan muatan40 Ah jika arus efektif (rms) pengisian adalah 10 A.11. Sebuah penyearah gelombang penuh digunakan untuk mengisibatere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikan muatan50 Ah jika arus efektif (rms) pengisian adalah 10A.107

12. Carilah hubungan antara tegangan v o dan v s .a).++2kΩ −v s−1kΩ+v o−b).++2kΩ −v s−4kΩ +1kΩ v o2kΩ −+2kΩ 2kΩ −v s+− 1kΩc).4kΩ1kΩ2kΩ+v o−+2kΩ 2kΩ −v s1+2kΩ +−v o+1kΩv s2−−2kΩd).108 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 6Hukum-Hukum DasarPekerjaan analisis pada suatu rangkaian linier yang parameternyadiketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuan besarankeluaran (output) jika besaran masukannya (input) diketahui, ataupunpenentuan hubungan antara keluaran dan masukan. Agar kita mampumelakukan analisis kita perlu memahami beberapa hal yaitu hukumhukumyang berlaku dalam suatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian,teorema-teorema rangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab inikita akan membahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm danhukum Kirchhoff.Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan• mampu menghitung resistansi konduktor jika parameternyadiketahui.• mampu mengaplikasikan Hukum Arus Kirchhoff (HAK) untukmenuliskan persamaan arus atau tegangan di suatu simpul.• mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK)untuk menuliskan persamaan tegangan atau arus di suatu meshataupun loop.• mampu mengaplikasikan HAK untuk simpul super maupun HTKuntuk mesh super.6.1. Hukum OhmSalah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh GeorgeSimon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yangkemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendirimerupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yangdidasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas. FormulasiFourier untuk aliran panas adalahdQ dT = − kA(6.1)dt dldengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur, sedangkan kadalah konduktivitas panas, A luas penampang, dan T temperatur.Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksi panasdan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradien temperatur,109

Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalir pada konduktordapat dinyatakan denganA dvI = (6.2)ρ dlJika konduktor mempunyai luas penampang A yang merata, makapersamaan arus itu menjadiA V Vρ lI = = dengan R =(6.3)ρ l RAV adalah beda tegangan pada konduktor sepanjang l dengan luaspenampang A, ρ adalah karakteristik material yang disebut resistivitas,sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan (6.3) dapat ditulisjuga sebagaiV = IR(6.4)dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadiv = iR(6.5)Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingat bahwa iahanya berlaku untuk material homogen ataupun elemen yang linier.COTOH-6.2: Seutas kawat terbuat dari tembaga dengan resistivitas0,018 Ω.mm 2 /m. Jika kawat ini mempunyai penampang 10 mm 2 danpanjang 300 m, hitunglah resistansinya. Jika kawat ini dipakai untukmenyalurkan daya (searah), hitunglah tegangan jatuh pada saluranini (yaitu beda tegangan antara ujung kirim dan ujung terimasaluran) jika arus yang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan di ujungkirim adalah 220 V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakahdaya yang “hilang” pada saluran ?Penyelesaian :Resistansi kawat adalah :ρl0,018×300R = == 0,054 ΩA 10Jika kawat ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluran baliksehingga resistansi total adalah :110 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

R saluranTegangan jatuh pada saluran adalah := 2 × 0,054 = 0,108 Ω∆Vsaluran = iRs= 20 × 0,108 = 2,16 VJika tegangan ujung kirim adalah 220 V, maka tegangan di ujungterima adalahv terimaDaya hilang pada saluran adalah :Pemahaman := 220 − 2,16 = 217,84 Vpsaluran= i × ∆Vsaluran= 20×2,16 = 43,2 W2 2= i R = (20) × 0,108 = 43,2 WSesungguhnya resistansi kawat terdistribusi sepanjang kawat. Dalamanalisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kita nyatakansebagai suatu parametertergumpal (lumped parameter).Jadi resistansi kawat itudinyatakan sebagai satu elemenrangkaian, yaitu R, sehinggadiagram rangkaian menjadi sepertidi samping ini.6.2. Hukum KirchhoffKita telah mempelajari piranti dan modelnya serta bagaimana hubunganantara arus dan tegangan pada piranti tersebut dengan memandangnyasebagai suatu komponen yang berdiri sendiri. Berikut ini kita akanmempelajari piranti-piranti yang terhubung membentuk suatu rangkaian.Hubungan arus dan tegangan pada rangkaian menuruti suatu hukumyang menyatakan sifat-sifat rangkaian, hasil pemikiran ilmuwan JermanGustav Kirchhoff (1824 - 1887), yang disebut hukum Kirchhoff.Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yang terkaitdengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu :Terminal : ujung akhir piranti atau sambungan rangkaian.Rangkaian : beberapa piranti yang dihubungkan pada terminalnya.Simpul (ode): titik sambung antara dua atau lebih piranti.+−RsumberRbeban111

Catatan : Walaupun sebuah simpul diberi pengertiansebagai sebuah titik tetapi kawat-kawat yang terhubunglangsung ke titik simpul itu merupakan bagian darisimpul; jadi dalam hal ini kita mengabaikan resistansikawat.Simpai (Loop) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kita berjalanmulai dari salah satu simpul mengikuti sederetanpiranti dengan melewati tiap simpul tidak lebih darisatu kali dan berakhir pada simpul tempat kita mulaiperjalanan.Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkan hubunganatau sambungan-sambungan kita akan menggunakan cara-cara sepertiterlihat pada Gb.6.3.a) b) c)Persilangantak terhubungPersilanganterhubungGb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian.6.2.1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK) - Kirchhoff's Current Law(KCL)Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa :Terminal dansambungan terminalSetiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol.Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yangmenuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkan simpuldiberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yang meninggalkanbertanda positif, arus yang menuju simpul bertanda negatif). Perlu diingatbahwa arah arus di sini adalah arah referensi dan bukan arah arussebenarnya.Hukum Arus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasimuatan. Jumlah elektron per detik yang datang dan yang pergi haruslahsama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itu jumlah arus disuatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadi penumpukan muatan di112 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

simpul tersebut yang menurut hukum Coulomb akan terjadi “ledakanmuatan”; tetapi hal demikian tidak pernah terjadi.6.2.2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) - Kirchhoff's Voltage Law(KVL)Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa :Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalah nol.Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalammenuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positif jikakita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda negatif bila kita bergerakdari “−” ke “+”.i 2+ v 2 − i 4+ v 4 −ABelemen 2elemen 4− v1 +elemen 1i 1− v3 +elemen 3i 3i 5loop 1 loop 2elemen 5− v5 +loop 3HAK untuk simpul :CHTK untuk loop :A : − i1− i2= 01: − v1+ v2+ v3= 0B : + i2− i3− i4= 0 2 : − v3+ v4+ v5= 0C : + i1+ i3+ i4= 0 3 : − v1+ v2+ v4+ v5= 0Gb.6.4. HAK dan HTKHukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsipkonservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian pirantimungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban. Menurutprinsip konservasi energi, energi yang diberikan oleh sumber dalamsuatu selang waktu tertentu harus sama dengan energi yang diserap olehbeban selama selang waktu yang sama. Mengingat konvensi pasif, hal ituberarti bahwa jumlah aljabar energi di semua piranti adalah nol, danberarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasil kali tegangan dan arus tiapelemen) sama dengan nol.113

v 1 i1+ v2i2+ v3i3+ v4i4+ v5i4= 0Karena i 1 = − i 2 dan i 2 = i 3 + i 4 maka persamaan di atas dapat kita tulisi3( − i − i ) + v ( i + i )v13atau( − v + v + v ) + i ( − v + v + v + v ) = 01Karena nilai arus tidak nol maka haruslah4223344 + v3i3+ v4i4+ v5i4= 0−v1 + v2+ v3= 0 dan − v1+ v2+ v4+ v5= 0Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaan keduaadalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh −v 1 + v 2 = −v 3dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akan kita perolehpersamaan loop-2 yaitu:12−v3 + v4+ v5= 0Pengembangan HTK dan HAK. Loop-1 dan loop-2 pada Gb.6.4.merupakan loop-loop terkecil yang tidak melingkupi loop lain didalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda dengan loop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1 dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa mesh disebut jugamesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalah gabungan daripersamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimana telah ditunjukkan diatas.Kita perhatikan sekarang simpul A dan B pada Gb.6.4. HAK untukkedua simpul ini adalah:−i1 − i2= 0 dan + i2− i3− i4= 0Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh :−i1 − i3− i4= 0Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakan gabungandari dua simpul, yaitu simpul A dan B. Simpul gabungan dari beberapasimpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lain untuk simpulsuper adalah gabungan simpul B dan C. Persamaan simpul super BC iniadalah :+ i 2 − i4+ i5+ i1= 045114 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya dua simpul.Jika simpul A, B, dan C kita gabungkan akan menjadi simpul super ABCyang persamaannya adalah :Dengan demikian maka :−i 4 + i5= 0 .HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul superdanHTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh superCOTOH-6.3: Aplikasikan HTK pada empat macam rangkaian dibawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh dengan aruselemen sebagai peubah jika arus awal induktor dan tegangan awalkapasitor adalah nol.a).+ v 1 −b).+ v 1 −+−v sR 1R2+v 2−+−v L+v sR 1L−c).+ v 1 −d).+ v 1 −+ v L −+−v sR 1C+v C−+−v sR 1LC+v C−Penyelesaian :Aplikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikana). − vs + v1+ v2= 0 → vs= i1R1+ i2R2b). − vs + v1+ vL= 0 →div v v i R L Ls = 1 + L = 1 1 +dtc). − vs+ v1+ vC= 0 →1vs= v1+ vC= i1R1+∫iCdtCd). − vs+ v1+ vL+ vC= 0di→ v = v + v + v = i R + L L 1s 1 L C 1 1 +∫iCdtdt C115

COTOH-6.4: Aplikasikan HAK untuk simpul A dari berbagai macambagian rangkaian di bawah ini. Nyatakan pula persamaan yangdiperoleh dengan tegangan elemen sebagai peubah jika teganganawal kapasitor dan arus awal induktor adalah nol.i 1 R 1 R 2 i 2Ai 1 R 1 R 2 i 2Aa).+ v 1 −+v 3−R 3+ v 2 −i 3b).+ v 1 −+v L−L+ v 2 −i Lc).i 1R 1+ v 1 −+v 3−CAR 3i 3i C+ v C −d).i 1R 1+ v 1 −+v L−ALCi C+ v C −i LPenyelesaian :Aplikasi HAK untuk simpul A pada bagian-bagian rangkaiantersebut di atas memberikan:v1v2v3a). i 1 − i2− i3= 0 → − − = 0R R R1 2 3v 1b).0 1 vi21 − i2− iL= → − −∫vLdt= 0R1R2Lvc).0 1 dvCv3i1 − iC− i3= → − C − = 0R1dt R3v1d).0 1 dvi1 − i − i = → − C CC L−∫vLdt= 0R1dt LPemahaman :Pada contoh 6.2. dan 6.3. di atas terlihat bahwa persamaan rangkaiandapat berbentuk persamaan aljabar biasa, yaitu apabila elemenelemenrangkaian hanya terdiri dari resistor saja, atau berbentukpersamaan diferensial orde satu atau persamaan integro-diferensial.116 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Dua bentuk persamaan terakhir ini terjadi jika rangkaianmengandung elemen dinamis.COTOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan di sekitarsimpul A dari suatu rangkaian. Tentukan i 2 dan tegangan di simpulsimpulyang bukan simpul referensi.Ci L =2cos2t AL=4Hi 1 =3Ai 2ABDPenyelesaian :R 1 =2Ω R 2 =2Ωi CC=2FAplikasi HAK pada simpul A memberikan :i1+ iL+ i2− iC= 0 → i2= iC− iL− i1d(5sin2t)→ i2= 2 − 2cos2t− 3 = 18cos2t− 3 AdtTegangan simpul-simpul non-referensi adalahE+v C =5sin2t V−vA= vC = 5sin 2tVvB = vA+ i1R1= 5sin2t+ 6 Vd(2cos2t)vC= vA+ vL = 5sin2t+ 4 = −11sin2tVdtv D = vA+ i2R2= 5sin2t+ 36cos2t− 6 VCOTOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwa arusarusi 1 = 5A, i 2 = 2 A, dan i 3 = 8 A. Tentukanlah arus i 1 , i 2 , dantegangan v.117

i 4Ai 5+−Penyelesaian :Jika kita gabungkan simpul A, B, dan C menjadi satu simpul superdan kita aplikasikan HAK, kita akan mendapatkan persamaan untuksimpul super ABC :i 4 + i1− i3= 0 ⇒ i4= i3− i1= 8 − 5 = 3 AAplikasi HAK untuk simpul C memberikan:i 2 + i5− i3= 0 ⇒ i5= i3− i2= 8 − 2 = 6 ATegangan v dapat kita cari dengan mengaplikasikan HTK untuk loopABCA :−v+ 3i5 − 4i2= 0 → v = 3×6 − 4 × 2 = 10 V6.3. Basis Analisis Rangkaianv4ΩSesungguhnya dalam contoh-contoh 6.1. sampai 6.5. kita telahmelakukan analisis rangkaian. Analisis tersebut kita lakukan dengan caramenerapkan langsung hukum Kirchhoff. Secara tidak sadar, disampinghukum Kirchhoff, kita telah pula memasukkan batasan-batasan elemenyang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupa karakteristik i-v darielemen. Pada resistor R misalnya, harus berlaku v R = i R R ; untukinduktor harus berlaku v L = L di/dt dan untuk kapasitor i C =C dv C / dt.Jadi di dalam suatu rangkaian, Hukum Kirchhoff harus dipenuhisementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itu mempunyaikarakteristik i-v masing-masing yang juga harus dipenuhi. Kita katakanbahwa Hukum Kirchhoff merupakan persyaratan rangkaian sedangkankarakteristik i-v elemen merupakan persyaratan elemen. Dalam suaturangkaian, kedua persyaratan tersebut secara bersamaan harus dipenuhidan hal ini menjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian.Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaian yangkita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehingga rangkaian kita3ΩiB1 i C2i 3118 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semua elemen jugamempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktu sehingga kitamempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsi waktu atau invarianwaktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akan kita pelajari dalam bukuini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsi waktu sedangkankarakteristik rangkaian tidak merupakan fungsi waktu.Soal-Soal1. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber) padarangkaian-rangkaian berikut.+5Ω30V1A− 10Ωa) b)5Ω10Ω5Ω10Ω2cos10t Ac) d).+−5Ω10Ω20cos10t V2cos10t Ae)5Ω0.1F+−20cos10t Vf)5Ω2H119

2. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaianberikut ini.5Ω5Ω10Ω 10Ω1Aa) b)5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ωc) d)5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ω5Ω2H10Ω+10cos10t V−10Ωe)3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaianberikut ini.5Ω5Ω10Ω10Ω1A5Ω2A2A5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω10Ωa) b)5Ω5Ω2A10Ω5Ω10Ω1A5Ω5A 5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω10Ω10Ω5Ac) d)120 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 7Kaidah dan Teorema RangkaianKaidah rangkaian merupakan konsekuensi dari hukum-hukum rangkaiansedangkan teorema rangkaian merupakan pernyataan dari sifat-sifatdasar rangkaian linier. Kedua hal tersebut akan kita pelajari dalam babini. Kaidah dan teorema rangkaian menjadi dasar pengembangan metodametodaanalisis yang akan kita pelajari pada bab selanjutnya.Kaidah-kaidah rangkaian yang akan kita pelajari meliputi hubunganhubunganseri dan paralel, rangkaian-rangkaian ekivalen, kaidahpembagi tegangan, pembagi arus.Teorema rangkaian yang akan kita pelajari meliputi prinsipproporsionalitas, prinsip superposisi, teorema Thévenin, teorema Norton,teorema substitusi, teorema Millman, teorema alih daya maksimum,teorema Tellegen.Dengan mempelajari kaidah-kaidah rangkaian dan teorema rangkaiankita akan• mampu mencari nilai ekivalen dari elemen-elemen yangterhubung seri, terhubung paralel, terhubung bintang (Y) danterhubung segitiga (∆);• mampu menentukan tegangan tiap elemen pada elemenelemenyang terhubung seri;• mampu menentukan arus cabang pada cabang-cabangrangkaian yang terhubung paralel.• mampu menunjukkan bahwa rangkaian linier mengikutiprinsip proporsionalitas.• mampu mengaplikasikan prinsip superposisi.• memahami teorema Millman, teorema Thévenin dan teoremaNorton, dan mampu mencari rangkaian ekivalen Théveninataupun Norton.• mampu menentukan nilai elemen beban agar terjadi alih dayamaksimum.121

7.1. Kaidah-Kaidah Rangkaian7.1.1. Hubungan Seri dan ParalelDua elemen dikatakan terhubung paralel jika mereka terhubung pada duasimpul yang sama. Dengan menerapkan HTK pada loop yang dibentukoleh dua elemen itu akan terlihat bahwa tegangan pada elemen-elemenitu harus sama.+ v 1−elemen 1− v 1 +elemen 1i 1i 2− v 2 +elemen 2i 1− v 2 +elemen 2i 2Hubungan paralelv 1 = v 2Gb.7.1. Hubungan paralel dan seri.Dua elemen dikatakan terhubung seri jika mereka hanya mempunyai satusimpul bersama dan tidak ada elemen lain yang terhubung pada simpulitu. Penerapan HAK akan memperlihatkan bahwa arus yang mengalir dikedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seri tidak terbatashanya dua elemen.7.1.2. Rangkaian Ekivalen (Rangkaian Pengganti)Analisis terhadap suatu rangkaian sering akan menjadi lebih mudahdilaksanakan jika sebagian dari rangkaian dapat diganti dengan rangkaianlain yang ekivalen dan lebih sederhana. Basis untuk terjadinya ekivalensiantara dua macam rangkaian adalah hubungan i-v dari keduanya.Dua rangkaian disebut ekivalen jika antara dua terminaltertentu mereka mempunyai karakteristik i-v yang identik7.1.3. Resistansi EkivalenResistansi ekivalen dari beberapa resistor yang terhubung seri adalahresistor yang nilai resistansinya sama dengan jumlah nilai resistansi yangdisambung seri tersebut.ResistansiSeri :Hubungan serii 1 = i 2R ekiv = R1+ R2+ R3+ ⋅⋅⋅ ⋅ (7.1)122 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Hal ini mudah dibuktikan jika diingat bahwa resistor-resistor yangdihubungkan seri dialiri oleh arus yang sama, sedangkan tegangan dimasing- masing resistor sama dengan arus kali resistansinya.Menurut HTK, tegangan total pada terminal dari rangkaian seri tersebutsama dengan jumlah tegangan di masing-masing resistor. JadiVtotal= V=R1( R + R + ⋅⋅ ⋅⋅) i = R i.1+ V2R2+ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =R i + R i1ekivalen2+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅Penggantian (R 1 +R 2 + ….) dengan R ekiv , tidak mengubah hubungan antaraarus dan tegangan di terminal ujung.Konduktansi ekivalen dari beberapa konduktansi yang disambung paralelsama dengan jumlah konduktansi masing-masing.KonduktansiParalel : G ekiv = G1+ G2+ G3+ ⋅⋅⋅⋅ (7.2)Hal ini juga mudah dibuktikan, mengingat bahwa masing-masing elemenyang dihubungkan paralel memperoleh tegangan yang sama. Sementaraitu arus total sama dengan jumlah arus di masing-masing elemen yangterhubung paralel tersebut.( G + G + ⋅⋅) v G vitotal= iG1 + iG2+ ⋅⋅ = G1v+ G2v+ ⋅⋅ = 1 2 =ekivalen7.1.4. Kapasitansi EkivalenPencarian nilai ekivalen dari kapasitor maupun induktor yang terhubungseri ataupun paralel dapatidilakukan denganmenggunakan cara yangsama seperti mencariresistansi ekivalen.Gb.7.2. memperlihatkanbeberapa kapasitorterhubung paralel.Aplikasi HAK pada simpulA memberikan :i = i1+ i2+ ⋅⋅⋅⋅ + i=( C + C + ⋅ ⋅⋅ + C ) = C .12A+v_BC 1i 1C 2i 2C i Gb.7.2. Kapasitor paralel.dv dv= C1+ C2dt dtdv dvdtekdt+ ⋅⋅⋅ +Cdvdt123

Jadi kapasitansi ekivalen dari kapasitor yang terhubung paralel adalahKapasitor Paralel : C ek = C1+ C2+ ⋅⋅⋅⋅ + C (7.3)Untuk kapasitor yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan:v = v1+ v2+ ⋅⋅ ⋅⋅ + vtt11= v10+ ∫idt+ v20+ ∫idtC1C020t1= vek0+∫idtCek0+ ⋅ ⋅⋅ +t1v0 + ∫idtC0Jadi untuk kapasitor yang dihubungkan seri maka kapasitansiekivalennya dapat dicari dengan hubungan :Kapasitor Seri:7.1.5. Induktansi Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅⋅⋅⋅ +(7.4)Cek C1C2C Induktansi ekivalen dari induktor yang dihubungkan seri ataupun paraleldapat dicari dengan cara yang sama, dan hasilnya adalah sebagai berikut.Indukttans i Seri: L ek = L1+ L2+ ⋅⋅⋅⋅ + L (7.5)InduktansiParalel :7.1.6. Sumber Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +(7.6)Lek L1L2L Suatu sumber tegangan praktis dapat digantikan oleh sumber arus praktisekivalennya dan demikian juga sebaliknya. Secara umum kita katakanbahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seri dengan resistor dapatdiganti oleh sumber arus bebas diparalelkan dengan resistor. Demikianpula sebaliknya, sumber arus bebas yang terhubung paralel denganresistor dapat diganti oleh sumber tegangan bebas diserikan denganresistor. Perhatikan model sumber tegangan dan sumber arus padaGb.7.3.124 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

R 1i+v s+ + v R −− v−Sumber teganganGb.7.3. Ekivalensi sumber tegangan dan sumber arusFormulasi hubungan arus dan tegangan masing-masing jenis sumberadalah:Sumber Tegangan:Sumber Arus:v = v s − v R = v s − iR1v = iRR2 = ( is− i)R2v s − v v s vvi = = −i = is− iR= is−R1R1R1R2Kedua model itu akan ekivalen apabila:v v vv iR1i R2iR2danss − = s −− = is−R1R1R2v→ v 2 dan 1 2 danss = isRiR = iR= isR1v v⇒ = dan R1= R2(7.7)R1R2Jika persyaratan untuk terjadinya ekivalensi itu terpenuhi maka bagianrangkaian yang lain tidak akan terpengaruh jika kita menggantikan modelsumber tegangan dengan model sumber arus ekivalennya ataupunsebaliknya mengganti sumber arus dengan sumber tegangan ekivalennya.Menggantikan satu model sumber dengan model sumber lainnya disebuttransformasi sumber.7.1.7. Transformasi Y-∆bagianlainrangkaianii R +i s vR 2−Sumber arusbagianlainrangkaianDalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidak dapatdisebut sebagai hubungan seri, juga tidak paralel. Hubungan semacam inimengandung bagian rangkaian dengan tiga terminal yang mungkinterhubung ∆ (segi tiga) atau terhubung Y (bintang) seperti terlihat padaGb.7.4. Menggantikan hubungan ∆ dengan hubungan Y yang ekivalen,125

atau sebaliknya, dapat mengubah rangkaian menjadi hubungan seri atauparalel.CCBR AR C∆R BAGb.7.4 Hubungan ∆ dan hubungan Y.Kedua macam hubungan itu akan ekivalen jika dari tiap pasang terminalA-B, B-C, C-A, terlihat resistor ekivalen yang sama. Jadi keduarangkaian itu harus memenuhi( R + R )RCA BRAB== R1+ R2RA+ RB+ RCRA( RB+ RC)RBC== R2+ R3RA+ RB+ RCRB( RC+ RA)RCA== R3+ R1RA+ RB+ RC(7.8)Dari (7.8) ini kita peroleh relasi rangkaian ekivalen Y dari suaturangkaian ∆, dan rangkaian ekivalen ∆ dari suatu rangkaian Y, sepertiberikut.R 2BΥR 1AEkivalen Y dari ∆R1=RBRCR A + RB+ RCR2=RCR AR A + RB+ RCR3=R ARBR A + RB+ RCEkivalen ∆dari YR1R2 + R2R3+ R1RR3A =R1R1R2 + R2R3+ R1RR3B =R2R1R2 + R2R3+ R1RR3C =R3126 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Suatu rangkaian Y dan ∆ dikatakan seimbang jika R 1 = R 2 = R 3 = R Ydan R A = R B = R C = R ∆ . Dalam keadaan seimbang seperti ini,transformasi Y - ∆ menjadi sederhana, yaituKeadaanseimbang :RR Y = ∆ dan R∆= 3RY37.1.8. Kaidah Pembagi TeganganKaidah ini memberikandistribusi tegangan padaelemen yang dihubungkan seridalam rangkaian.Dengan mengaplikasikan HTKpada loop rangkaian Gb.7.5,kita mendapatkan :( R + R + R )vs= v1+ v2+ v3= 1 2vsvs→ i ==R1+ R2+ R3RtotalTegangan pada masing-masing elemen adalah :⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞v R i ⎜ 1 ⎟vsv ⎜ 2 ⎟vsv ⎜ 31 = 1 == ⎟vsR; 2 =totalR; 3totalR(7.9)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ total ⎠Secara umum dapat kita tuliskan:Pembagi Tegangan :3i⎛ Rk⎞vk= ⎜ vtotalR⎟(7.10)⎝ total ⎠Jadi tegangan total didistribusikan pada semua elemen sebanding denganresistansi masing-masing dibagi dengan resistansi ekivalen.7.1.9. Kaidah Pembagi ArusDalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengan konduktansi dimasing-masing cabang. Kita ambil contoh rangkaian seperti padaGb.7.6.Hubungan antara arus i s dan tegangan v dapat dicari sbb.+v s−+−iR 1+ v 1 −R 3+v 2−R 2− v 3 +Gb.7.5. Pembagian tegangan127

is= i1+ i2+ i3= vG1+ vG2+ vG3→ v = is/( G1+ G2+ G3 ) = is/ Gtotali 1 i 2 i 3i sG 1 G 2 G 3Dari v yang diperoleh dapat dihitung arus di masing-masing resistor.⎛ GGGi vG 1 ⎞ ⎛is; i 2 ⎞ ⎛ 31 12 is; i3isGtotalGtotalG ⎟ ⎞= =⎜⎟ =⎜⎟ =⎜(7.11)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ total ⎠Secara umum :Pembagi Arus:7.2. Teorema RangkaianGb.7.6. Pembagian arus.⎛ Gk⎞i k = ⎜ itotalG⎟(7.12)⎝ total ⎠Teorema-teorema rangkaian berbasis pada sifat linier dari rangkaian.Dalam membahas teorema-teorema ini kita akan melihat pada rangkaiandengan elemen resistor saja agar pemahamannya menjadi lebih mudah.Selain prinsip proporsionalitas, prinsip superposisi, teorema Thévenin,teorema Norton, dan teorema alih daya maksimum, akan dibahas jugasecara singkat teorema Millman, teorema substitusi dan teoremaTellegen; tiga teorema terakhir ini dapat dilewati untuk sementara tanpamemberikan kesulitan pada pemabahasan pada bab-bab selanjutnya.7.2.1. Proporsionalitas (Kesebandingan Lurus)Dalam rangkaian linier, sinyal keluaran merupakan fungsi linier darisinyal masukan. Sebagai fungsi linier, keluaran tersebut memiliki sifathomogen dan aditif. Sifat homogen itu muncul dalam bentukkesebandingan antara keluaran (output) dan masukan (input), yangberarti bahwa keluaran dari rangkaian linier berbanding lurus denganmasukannya. Sifat homogen ini kita sebut proporsionalitas . Sementaraitu sifat aditif terlihat apabila kita mempunyai rangkaian yangmengandung lebih dari satu masukan. Keluaran dari rangkaian linier128 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

semacam ini merupakan jumlah dari semua keluaran yang diperoleh jikaseandainya masing-masing masukan bekerja secara terpisah. Sifat aditifini kita sebut superposisi.Karakteristik i-v dari resistor linier, v = R i, adalah contoh dari suatuhubungan linier. Kalau arus meningkat 2 kali maka tegangan jugameningkat 2 kali. Sementara itu daya, p = i 2 R, bukanlah hubungan linier.Jadi dalam rangkaian linier hanya tegangan dan arus saja yang memilikihubungan linier.Hubungan antara masukan dan keluaran secara umum dapat ditulis :y = K x (7.13)dengan x adalah masukan (bisa tegangan, bisa juga arus), y adalahkeluaran, dan K adalah konstanta proporsionalitas. Hubungan ini dapatdigambarkan dengan diagram blok seperti Gb.7.7.masukan keluaranGb.7.7. Hubungan masukan – keluaran rangkaian linier.7.2.2. Prinsip SuperposisixKy=K xPrinsip superposisi memberikan hubungan antara keluaran denganbeberapa masukan di dalam suatu rangkaian yang dapat dituliskansebagaiy = y1 + y2+ y3⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = K1x1+ K2x2+ K3x3+ ⋅⋅⋅ (7.14)dengan y i = K i x i , dan y i adalah keluaran yang diperoleh jika masingmasingmasukan, x i , bekerja sendiri-sendiri. K i adalah konstanta yangbesarnya tergantung dari rangkaian. Secara singkat dapat dikatakanbahwa keluaran dari rangkaian resistor linier merupakan kombinasilinier dari masukan. Dengan kata lain, keluaran rangkaian adalah jumlahdari kontribusi masing-masing sumber. Kontribusi suatu sumber padakeluaran rangkaian dapat dicari dengan mematikan sumber-sumber yanglain.a. Mematikan sumber tegangan berarti membuat tegangansumber itu menjadi nol, artinya sumber ini menjadihubungan singkat.129

. Mematikan sumber arus adalah membuat arus sumbermenjadi nol, artinya sumber ini menjadi hubungan terbuka.7.2.3. Teorema MillmanTeorema Millman menyatakan bahwa apabila beberapa sumber teganganv k yang masing-masing memiliki resistansi seri R k dihubungkan paralelmaka hubungan paralel tersebut dapat digantikan dengan satu sumbertegangan ekivalen v ekiv dengan resistansi seri ekivalen R ekiv sedemikiansehinggavekiv= vk1∑= 1dan ∑(7.14)RekivRkRekivRk7.2.4. Teorema Thévenin dan Teorema ortonKedua teorema ini dikembangkan secara terpisah akan tetapi kita akanmembahasnya secara bersamaan. Secara umum, rangkaian listrik terdiridari dua bagian rangkaian yang menjalankan fungsi berbeda, yangdihubungkan oleh terminal interkoneksi. Untuk hubungan dua terminalseperti terlihat pada Gb.7.8, satu bagianSGb.7.8. Seksi sumber [S]dan seksi beban [B].iBdisebut seksi sumber dan bagianyang lain disebut seksi beban.Pengertian seksi sumber di siniadalah bagian rangkaian yangmengandung sumber dan bukanhanya sebuah sumber saja.Sinyal listrik dikirimkan dari seksisumber dan diberikan kepada seksi beban. Interaksi antara seksi sumberdan seksi beban, merupakan salah satu masalah utama yang dibahasdalam analisis dan rancangan rangkaian listrik. Rangkaian seksi sumberdapat digantikan dengan rangkaian ekivalen Thévenin atau rangkaianekivalen Norton. Kondisi yang diperlukan agar rangkaian ekivalen iniada, dikatakan secara formal sebagai suatu teorema:Theorema Thévenin menyatakanan bahwa jika rangkaian seksisumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, maka sinyalpada terminal interkoneksi tidak akan berubah jika rangkaian seksisumber itu diganti dengan rangkaian ekivalen Thévenin.130 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Gb.7.9. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Thévenin; seksi sumberdigantikan oleh satu sumber tegangan V T yang terhubung seri denganresistor R T .iV T+_R T+v−Bsumber bebanGb.7.9. Rangkaian ekivalen ThéveninTheorema orton menyatakan bahwa jika rangkaian seksi sumberpada hubungan dua-terminal adalah linier, maka sinyal padaterminal interkoneksi tidak akan berubah jika rangkaian seksisumber itu diganti dengan rangkaian ekivalen orton.Gb.7.10. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Norton; seksisumber digantikan oleh satu sumber arus I yang terhubung paraleldengan resistor R .iI R+v−BsumberbebanGb.7.10. Rangkaian ekivalen ortonBagaimana mencari tegangan ekivalen Thevenin dan arus ekivalenNorton, dijelaskan pada Gb.7.11.131

Si = 0+v ht_V T+_R Ti = 0+v ht = V T_i =i hsSI R i hs = I Gb.7.11. Mencari V T dan I V T adalah tegangan pada terminal interkoneksi apabilabeban dilepas; sedangkan I adalah arus hubung singkatyang mengalir apabila beban diganti dengan suatuhubung singkat.Perhatikan bahwa persyaratan agar kita dapat mencari rangkaian ekivalenThévenin atau Norton adalah bahwa rangkaian seksi sumber harus linier.Persyaratan ini tidak diperlukan untuk rangkaian bebannya, jadirangkaian beban boleh linier boleh pula tidak linier (non-linear).Karena kedua rangkaian ekivalen itu dapat menggantikan satu macamseksi sumber maka kedua rangkaian ekivalen itu harus mempunyaikarakteristik i-v yang sama. Hal ini berarti bahwa dalam keadaanterbuka, V T = I R ; dan dalam keadaan hubung singkat I = V T / R T .Kedua hal ini mengharuskan V T = I R = I R T yang berarti R harussama dengan R T . Jadi parameter rangkaian ekivalen Thévenin maupunNorton dapat diperoleh dengan mencari tegangan hubungan-terbuka (v ht )dan arus hubung-singkat ( i hs ) di terminal seksi sumber.JadiV T = v ht ; I = i hs ; R T = R = v ht / i hs (7.16)Cara Lain Mencari Resistor Ekivalen Thévenin (R T ). Resistansiekivalen Thévenin R T dapat diperoleh dengan cara lain yaitu denganmencari resistansi ekivalen yang dilihat dari terminal ke arah seksisumber dengan seluruh sumber dimatikan. Jika resistansi tersebut adalahR ek maka R T = R ek (Gb.7.12.).132 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

SemuasumberdimatikanAR ekBR TV T = 0AR T = R ekBGb.7.12. Cara lain mencari R TDengan singkat dapat dikatakan bahwa untuk menentukan rangkaianekivalen Thévenin ataupun rangkaian ekivalen Norton, dua dari tigaparemeter di bawah ini dapat digunakan.- Tegangan hubungan terbuka pada terminal- Arus hubung singkat pada terminal- Resistor ekivalen sumber dilihat dari terminal dengan semuasumber dimatikan.Ketiga parameter tersebut dihitung dengan seksi beban tidak terhubungpada seksi sumber. Jadi rangkaian ekivalen Thévenin dan rangkaianekivalen Norton merupakan karakteristik seksi sumber dan tidaktergantung dari beban. Perhatikanlah bahwa rangkaian ekivalenThévenin menjadi suatu model sumber praktis.7.2.5. Alih Daya MaksimumSalah satu persoalan penting dalam rangkaian yang terdiri dari seksisumber dan seksi beban adalah pengendalian tingkat sinyal di terminalinterkoneksinya. Persoalan yang akan kita lihat disini adalah mengenaitingkat sinyal maksimum yang dapat dialihkan melalui terminalinterkoneksi. Hubungan antara seksi sumber dan seksi beban dapat kitabagi dalam empat macam keadaan, yaitu :- Sumber tetap, beban bervariasi.- Sumber bervariasi, beban tetap.- Sumber bervariasi, beban bervariasi.- Sumber tetap, beban tetap.Kita akan membatasi diri pada hubungan antara suatu sumber tetapdengan beban yang bervariasi. Seksi sumber merupakan rangkaian linierdan dinyatakan dengan rangkaian ekivalen Thévenin dan bebandinyatakan dengan resistor ekivalen R L , seperti terlihat pada Gb.7.13.133

AiV T+_R T+vR LBsumberbebanGb.7.13. Alih sinyal dari seksi sumber ke bebanKaidah pembagi tegangan, memberikan tegangan di A-B sebagaiRLv = VTRL+ RTJika V T tidak berubah, tegangan v akan maksimum bila R L bernilai sangatbesar dibanding dengan R T . Keadaan idealnya adalah R L bernilai takterhingga, yang berarti rangkaian terbuka. Dalam keadaan ini teganganmaksimum adalah v max = V T = v ht . Jadi tegangan maksimum yang bisadiperoleh di terminal interkoneksi adalah tegangan hubungan terbuka v ht ..Arus yang mengalir ke beban adalahi = VT/( RL+ RT)Dari hubungan ini jelas bahwa arus akan maksimum bila R L jauh lebihkecil dibanding dengan R T atau mendekati nol (hubung singkat). Jadiarus maksimum yang bisa diperoleh di terminal AB adalah arus hubungsingkati maks = VT/ RT= I = ihsDaya yang diberikan oleh sumber ke beban adalahp = vi =2RLVT( R + R ) 2Dalam persamaan daya ini terlihat bahwa kondisi untuk menghasilkantegangan maksimum (R L = ∞) maupun arus maksimum (R L = 0)menyebabkan daya menjadi nol. Ini berarti bahwa nilai R L yang dapatmenghasilkan alih daya maksimum harus terletak di antara kedua nilaiektrem tersebut. Untuk mencarinya kita turunkan p terhadap R L danmembuatnya bernilai 0.LT134 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dpdR[ ]22( RL+ RT) − R L ( R L + RT) VTR −= T R L4( R + R ) ( R + R )2 2= V = 03 TLL TL TTurunan itu akan menjadi nol bila R L = R T . Jadi alih daya akanmaksimum jika resistansi beban sama dengan resistansi Thévenin. Jikakeadaan seperti ini dicapai, dikatakan bahwa sumber dan bebanmencapai kesesuaian atau dalam keadaan “matched”.Besar daya maksimum yang dialihkan diperoleh dengan memasukkankondisi R L = R T ke persamaan untuk daya p :2Vp Tmaks = (7.17)4RTKarena V T =I R T maka :2I Rp Tmaks = (7.18)4atauV ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=T I v=ht iphsmaks4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥(7.19)⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦Dengan demikian makaRangkaian sumber ekivalen dengan resistansi Thévenin R Takan memberikan daya maksimum kepada resistansi beban R Lbila R L = R T .7.2.6. Teorema SubstitusiTeorema substitusi menyatakan bahwa suatu cabang rangkaian antaradua simpul dapat disubstitusi oleh cabang baru tanpa mengganggu arusdan tegangan di cabang-cabang yang lain asalkan tegangan dan arusantara kedua simpul tersebut tidak berubah.+ v k −+ v k −R k≡+ −R subi kvsub=vk− Rsub× ikGb.7.14. Substitusi cabang rangkaian.i k135

Secara umum dapat kita katakan bahwa jika suatu cabang pada rangkaianberisi resistansi R k yang bertegangan v k dan dialiri arus i k maka resistansipada cabang ini dapat kita substitusi denganR sub + v subdi mana v sub = vk− Rsub× iksedangkan R sub dapat bernilai sembarang.Mengubah isi suatu cabang dengan tetap mempertahankan nilai arus dantegangannya tidak akan mengubah relasi hukum Kirchhoff. Oleh karenaitulah teorema ini berlaku. Teorema ini dapat kita manfaatkan untukmenggantikan resistansi yang berada di suatu cabang dengan suatusumber tegangan atau sebaliknya.7.2.7. Teorema TellegenBerikut ini kita akan membahas perimbangan daya dari keseluruhanrangkaian, yang terdiri dari banyak elemen. Untuk menghitung daya dimasing-masing elemen kita memerlukan parameter tegangan elemen v kdan arus elemen i k . Sesuai dengan konvensi pasif, hasil kali v k × i kbernilai positif jika elemen yang bersangkutan menyerap daya danbernilai negatif jika memberikan daya.Teorema Tellegen menyatakan bahwajika v k mengikuti hukum tegangan Kirchhoff (HTK) dan i kmengikuti hukum arus Kirchhoff (HAK), makaN∑v k × ik= 0(7.20)k = 1Penjumlahan tersebut meliputi seluruh elemen ( = jumlah elemen).Teorema ini hanya memerlukan persyaratan bahwa HTK dan HAKdipenuhi, tanpa mempedulikan karakteristik i-v dari elemen. Dengandemikian maka teorema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupunnon-linier.Teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasifdengan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai denganprinsip konservasi energi. Lebih dari sekedar memenuhi prinsipkonservasi energi, kita dapat menarik kesimpulan bahwa satu-satunyacara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatu bagian136 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

angkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya. Tegangan disuatu bagian rangkaian atau piranti tidak akan memberi daya pada bagianatau piranti tersebut jika tidak ada arus yang mengalir. Demikian pulahalnya jika ada arus melalui suatu bagian rangkaian tetapi tidak adategangan pada bagian rangkaian tersebut maka tidak ada daya diserapoleh bagian tersebut.Soal-SoalR, L, dan C Ekivalen.1. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B, A-C, A-D, B-C, B-D,dan C-D.A20Ω 15ΩDAC80Ω60Ω60ΩBDa) b)2. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B dari rangkaianrangkaiandi bawah ini.B20Ω30Ω40Ω10ΩCAA80Ω 60Ω 60Ω60ΩBBa) b)20mH40mH20mH20mHABc)20µF10µF20µF20µF137

Sumber Ekivalen:3. Dari rangkaian sumber arus berikut ini carilah rangkaian ekivalensumber tegangannya di terminal A-B.c)d)Ba) b)20Ω40Ω1A2A30Ω10Ω2A4. Dari rangkaian sumber tegangan di bawah ini carilah rangkaianekivalen sumber arusnya di terminal A-B.A+ 10Ω+ 20Ω− 50V− 100VBa) b)40Ω 20ΩA+−100V 80V+ − Bc)Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus.A2A30Ω30ΩB5. Carilah arus dan tegangan di masing-masing resistor pada rangkaiandi samping ini dan hitung daya yang diberikan sumber.AA30ΩB2A30Ω30ΩABAB20Ω5A 30Ωa) b)5A10Ω20Ω30Ω138 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

139c)d) e)f)g)h) i)j) k)l)24V12Ω30Ω+−1H4A10Ω30Ω1µF4A10Ω30Ω1µF2A30Ω20Ω1µF24V24Ω30Ω20Ω+−24Ω24V10Ω30Ω40Ω+−24V12Ω30Ω20Ω+−24V10Ω30Ω+−3A10Ω30Ω20Ω4A20Ω60Ω30Ω20Ω30Ω

m)24V+−1H40Ω40ΩProporsionalitas6. Carilah hubungan antara keluaran v o dan masukan i in rangkaian disamping ini, dan gambarkan diagram blok rangkaian.a)i in = 3A10Ω20Ω 30Ω+v o−b)v in = 24V+−10Ω30Ω 40Ω+v o−Superposisi7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian di samping ini.a)16V+−40Ω32V+−20Ω40Ω40Ω+v o−b)10V+−40Ω40Ω+−20Ω40Ω30V+v o−140 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c)64V+−40Ω40Ω20Ω2A40Ω+v o−2Ad)40Ω20Ω20Ω2A40Ω+v o−Rangkaian Ekivalen Thévenin & orton8. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton di terminal A-B darirangkaian di bawah ini.A2A20Ω 30Ωa)Bb)30Ω20Ω2AABc)d)+−1A10V40Ω30ΩA30ΩB2AA30ΩB141

e)60V+−A20Ω40Ω30ΩB30Ωf)30V +−20Ω2.5AAlih Daya Maksimum38. Pada rangkaian di bawah ini tentukanlah nilai resistansi beban R Lsehingga terjadi alih daya maksimum pada beban dan carilahbesarnya daya maksimum tersebut.2 kΩA16Ω30Ω 32ΩBa)+−10Vsumber1 kΩ5 mA2 kΩR Lantar muka+−10ΩV T10Ω10Ω10ΩR Lb)142 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 8Metoda Analisis DasarMetoda analisis dikembangkan berdasarkan teorema rangkaian besertahukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajari duakelompok metoda analisis yaitu metoda analisis dasar dan metodaanalisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakan padarangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang lebihrumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematis yaitu metodaanalisis umum. Kita mempelajari metoda analisis agar kita dapatmelakukan analisis rangkaian sederhana secara manual. Kemampuanmelakukan analisis secara manual ini sangat diperlukan untuk memahamisifat dan perilaku rangkaian. Di bab ini kita akan mempelajari metodaanalisis dasar sedangkan metoda analisis umum akan kita pelajari di babberikutnya.Dengan mempelajari metoda analisis dasar kita akan• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda reduksi rangkaian;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda keluaran satu satuan;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda superposisi;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda rangkaian ekivalen Thévenin atau rangkaian ekivalenNorton.Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaian adalahmencari hubungan antara besaran keluaran dan besaran masukan padasuatu rangkaian jika parameter sumua elemen yang menyusun rangkaiantersebut diketahui; atau mencari keluaran rangkaian jika masukannyadiketahui.Teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian yangtelah kita pelajari, menjadi dasar dari metoda-metoda analisis rangkaianyang kita sebut sebagai metoda analisis dasar. Dalam menggunakanmetoda ini kita melakukan perhitungan-perhitungan dengan mengamatibentuk rangkaian yang kita hadapi. Metoda ini terutama digunakan padarangkaian-rangkaian yang sederhana.Metoda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup:143

metoda reduksi rangkaian metoda keluaran satu satuan metoda superposisi metoda rangkaian Thévenin dan rangkaian Norton.Masing-masing metoda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususanmasing-masing metoda itulah yang mendorong kita untuk mempelajarisemua metoda dan tidak terpaku pada salah satu metoda saja. Pemilihanmetoda analisis ditentukan oleh apa yang ingin kita capai dalammelakukan analisis.Dalam metoda analisis dasar, kita melakukan perhitungan-perhitunganlangsung pada model rangkaian. Melalui latihan yang cukup, kita akanmampu menentukan metoda dan urutan kerja yang singkat serta dapatmemahami perilaku rangkaian listrik dengan baik. Metoda ini sangatpraktis selama rangkaian yang kita hadapi cukup sederhana. Contohcontohyang akan kita lihat untuk memahami metoda-metoda analisis inimencakup rangkaian pasif (dengan elemen R) dan rangkaian aktif(dengan sumber bebas dan sumber tak-bebas).8.1. Metoda Reduksi RangkaianStrategi metoda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikian rupasehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; dengan rangkaianyang lebih sederhana ini besaran yang dicari dapat dihitung dengan lebihmudah. Untuk menyederhanakan rangkaian, kita dapat menggunakankonsep ekivalensi seri-paralel, transformasi Y-∆, dan transformasisumber. Yang kita perlukan adalah kejelian dalam melihat strukturrangkaian untuk melakukan penyederhanaan rangkaian. Bagaimanametodainidiaplikasikan, kita+ v x −akan melihat pada20ΩA 30Ω B C Dcontoh-8.1 berikut ini.COTOH-8.1:Carilah teganganv x pada rangkaiandi samping ini.Penyelesaian:12 V+−10Ω30ΩE30Ω10Ω144 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Rangkaian ini mengandung beberapa bagian yang berupa hubunganseri dan hubungan paralel elemen-elemen. Bagian-bagian tersebutdapat kita gantidengan rangkaianekivalennya, denganmemanfaatkankaidah-kaidahrangkaian yang telahkita pelajari. Prosesini dapat kita amatipada gambar berikut.Langkah-langkahyang kita tempuhadalah sebagaiberikut:Sumber teganganyang tersambung seridengan resistor 30 Ωdapat diganti dengansebuah sumber arusyang di-paraleldengan resistor,sedang sambunganseri resistor 10 & 20Ω di cabang CDEdapat diganti dengansebuah resistor.Penggantian inimeng-hasilkanrangkaian dengan12 V0,4 A6 V⇒30Ω+ v x − 20ΩA B C Dv x+−0,4 A+−30Ω15Ω10Ω30ΩB 10Ω30Ω30ΩE⎛ 10 ⎞= ⎜ ⎟ × 6 = 1,5⎝15+ 10 + 15 ⎠10Ωdua pasang resistor paralel 30 Ω , yang masing-masing dapat digantidengan satu resistor 15 Ω. Dengan langkah ini sumber arus terparaleldengan resistor 15 Ω, yang kemudian dapat diganti dengan sebuahsumber tegangan yang disambung seri dengan sebuah resistor 15 Ω;bagian lain berupa dua resistor 10 dan 15Ω yang tersambung seri.Rangkaian kita menjadi sebuah sumber tegangan dengan sambunganseri tiga buah resistor, dan tegangan yang kita cari dapat kita perolehdengan memanfaatkan kaidah pembagi tegangan; hasilnya v x = 1,5V.B15ΩECE10Ω+ v x −B10Ω30ΩCCE30Ω15Ω15ΩV145

Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metoda ini kita harus denganseksama memperhatikan bagian-bagian yang dapat disederhanakan.Pada dasarnya kita melakukan ekivalensi bagian-bagian yang beradadi antara dua simpul. Bagian yang telah digantikan oleh rangkaianekivalennya, masih dapat digabungkan dengan bagian lain yang jugatelah digantikan oleh rangkaian ekivalennya.8.2. Metoda Keluaran Satu Satuan (Unit Output Method)Metoda “unit output” adalah suatu teknik analisis yang berbasis padaproporsionalitas dari rangkaian linier. Metoda ini pada dasarnya adalahmencari konstanta K yang menentukan hubungan antara masukan dankeluaran, dengan mengganggap bahwa keluarannya adalah satu unit.Atas dasar itu ditentukan berapa besarnya masukan yang diperlukanuntuk menghasilkan satu unit keluaran tersebut. Teknik ini dapatdiaplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga. Langkah-langkahnyaadalah sbb:1. Misalkan keluarannya adalah satu unit (tegangan ataupun arus)2. Secara berurutan gunakan HAK, HTK, dan hukum Ohm untukmencari masukan.3. Sifat proporsional dari rangkaian linier mengharuskan(keluaran) 1K = =(8.1)(masukan) (masukan untuk satu unit keluaran)4. Keluaran untuk sembarang masukan adalah K × masukan.i 1 i 3 i 5COTOH-8.2:A BCarilah tegangan10Ω 20Ω 30Ωkeluaran v o dari+36 V − i 2irangkaian di420Ω 20Ω 10Ωsamping ini.Penyelesaian:Kita misalkan tegangan v o = 1 V. Kemudian secara berturut turut kitahitung i 5 , v C , i 4 , i 3 , v B , i 2 , i 1 , dan akhirnya v s yaitu tegangan sumberjika keluarannya 1 V. Dari sini kemudian kita hitung faktorproporsionalitas K, dan dengan nilai K yang diperoleh ini kita hitungv o yang besarnya adalah K kali tegangan sumber sebenarnya (yaitu 36V).+v o−146 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

MisalkanvB= 0,1 30vv = 1 V → i5= oo= 0,1 A10= 4 V( + 10)v→ i4= B =20420v= 0,2 A → i3= i4+ i5= 0,3 AAvA= vB+ i3× 20 = 10 V → i2= = 0,5 A → i1= i2+ i3= 0,8 A20vs= v A + i1× 20 = 10 + 0,8 × 10 = 18 V1 1K = = → vo(seharusnya)= K × 36 = 2 Vvs188.3. Metoda SuperposisiPrinsip superposisi dapat kita manfaatkan untuk melakukan analisisrangkaian yang mengandung lebih dari satu sumber. Langkah-langkahyang harus diambil adalah sebagai berikut:1. Matikan semua sumber (masukan) kecuali salah satu diantaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkan olehsatu sumber ini.2. Ulangi langkah 1, sampai semua sumber mendapat giliran.3. Keluaran yang dicari adalah kombinasi linier (jumlah aljabar) darikontribusi masing-masing sumber.COTOH-8.3: Rangkaiandi samping inimengandung duasumber. Carilahtegangan keluaran V o .30V+_20Ω1,5A10Ω+V o−Penyelesaian :Matikan sumber arus.Rangkaian menjadiseperti gambar disamping ini.10Vo 1 = × 30 = 10 V10 + 2030V+−20Ω10Ω+V o1−147

Matikan sumber tegangan.Rangkaian menjadi sepertigambar di samping ini.20Ω1,5A10Ω+V o2−⎛ 20 ⎞V o 2 = ⎜ × 1.5⎟ × 10 = 10 V⎝ 20 + 10 ⎠Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersama-samaadalahV o = Vo1+ Vo2= 20 V8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen ThéveninBerikut ini akan kita lihat aplikasi teorema Thévenin dalam analisisrangkaian.ii13COTOH-8.4:A′AGunakanlah metodarangkaian ekivalen20Ω 10Ω++Thevenin untuk30 V _i 2 10Ω v 0menghitung tegangan20Ω−keluaran v 0 padaBrangkaian di samping ini.Penyelesaian :Untuk mencari tegangan sumber Thévenin V T di terminal AB, kitalepaskan beban di AB, sehingga AB terbuka, i 3 =0, dan20V T = v AB ht = vA' B = × 30 = 15 V20 + 20Resistansi Thévenin R T adalah resistansi yang dilihat dari terminalAB ke arah sumber dengan sumber dimatikan (dalam hal ini hubungsingkat). Maka R T berupa resistor 10 Ω yang terhubung seri dengandua resistor 20 Ω yang tersambung paralel. JadiAR T20 × 20= 10 + = 20 Ω20 + 20Rangkaian ekivalen Thévenin adalahseperti gambar di samping ini dan kitaperoleh15 V+_20Ω10ΩB+v 0−148 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

10v o = × 15 510 + 20=VCOTOH-8.5:Gunakanrangkaianekivalen Théveninuntuk menghitungtegangan v x padarangkaian disamping ini.Penyelesaian :Rangkaian ini telah kita analisis dengan menggunakan metodareduksi rangkaian. Kita akan mencoba melakukan analisis denganmetoda rangkaian ekivalen Thévenin.Jika resistor 10 Ω (yang harus kita cari tegangannya) kita lepaskan,maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang CE, CD, dan DEsehingga tegangan simpul C sama dengan D sama pula dengan Eyaitu nol. Tegangan simpul B dapat kita cari dengan kaidah pembagiteganganTegangan Thévenin:20v B = × 30 = 15 V .20 + 20V T = vB− vC= 15 − 0 = 15 V .Resistansi Thévenin adalah resistansi yang dilihat dari terminal BCsetelah resistor 10 Ω dilepas.R T= (20 || 20) +Rangkaian ekivalen Thévenin denganbebannya menjadi seperti gambar disamping ini. Tegangan v x mudahdihitung, yaitu :v xA+_20Ω30 V10= × 15 = 5 V10 + 20B+ v x −20Ω10Ω{ 20 || (10 + 10) } = 10 + 10 = 20 Ω15 VCE+_10Ω10Ω20Ω20Ω10ΩDAB+v 0−149

8.4.1. Beban on LinierParameter rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton (V T , R T , dan I )dihitung dengan beban dilepas. Ini berarti bahwa rangkaian ekivalentersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi olehbeban. Oleh karena itu kita dapat memanfaatkan rangkaian ekivalenThévenin dan Norton untuk menentukan tegangan, arus, maupun dayapada beban non linier dua terminal. Ini merupakan salah satu hal pentingyang dapat kita peroleh dari rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton.Bagaimana interaksi antara sumber (yang dinyatakan dengan rangkaianekivalen Thénenin-nya) dengan beban yang non-linier, akan kita lihatberikut ini. Kita lihat lebih dahulu karakteristik i-v dari suatu rangkaianekivalen Thévenin. Perhatikan hubungan rangkaian ekivalen Thévenindengan bebannya. Bagaimanapun keadaan beban, linier atau non-linier,hubungan antara tegangan di terminal beban, yaitu v, dengan tegangan V Tdapat dinyatakan sebagai⎛ VV iR v i T ⎞ ⎛ 1 ⎞− T + T + = 0 → =⎜ − vR⎟⎜T R⎟ (8.2)⎝ ⎠ ⎝ T ⎠Persamaan (8.2) ini memberikan hubungan antara arus i dan tegangan vdari rangkaian ekivalen Thévenin danmerupakan karakteristik i-v dari irangkaian sumber. Jika kitai = V T /R Tgambarkan kurva i terhadap v makaakan terlihat bahwa persamaan iniv = V Tmerupakan persamaan garis lurus dibidang i-v seperti tampak padaGb.8.1. di samping ini. PerhatikanvGb.8.1. Garis bebanbahwa garis lurus ini ditentukan olehdua titik yaitu:VTi = = ihsdan v = VT= vhtRTGaris lurus itu disebut garis beban (load line) (sebenarnya ia ditentukanoleh parameter-parameter rangkaian sumber dan bukan oleh parameterbeban akan tetapi sudah sejak lama nama “load line” itu disandangnya).Sementara itu beban mempunyai karakteristik i-v-nya sendiri, yangsecara matematis dapat dituliskan sebagai: i = f(v).Dengan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaan untukarus rangkaian sumber yaitu150 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛ Vi T ⎞ ⎛ 1 ⎞=⎜vR⎟ −⎜T R⎟⎝ ⎠ ⎝ T ⎠dan persamaan untuk arus beban yaitui = f(v)Dalam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaan itusecara simultan. Jika f(v) diketahui maka penyelesaian persamaan dapatdilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnya penyelesaian secaragrafis sudah cukup memadai. Berikut ini dipaparkan bagaimana caragrafis tersebut dilaksanakan.Misalkan karakteristik i-vbeban mempunyai bentuktertentu, yang jika dipadukandengan grafik i-v sumber(yaitu garis beban) akanterlihat seperti pada Gb.8.2.Kedua kurva akanberpotongan di suatu titik.Titik potong tersebutmemberikan nilai arus i dantegangan v yang memenuhii Lititikkerjakarakteristik sumber maupun beban. Titik ini disebut titik kerja, ataudalam elektronika disebut Q-point. Arus dan tegangan beban adalah i Ldan v L .Perhatikan bahwa apabila rangkaian mengandung elemennon linier prinsip proporsionalitas dan superposisi tidakberlaku. Sebagai contoh, apabila tegangan sumber naik dari15 menjadi 30 V, arus dan tegangan beban tidak dua kalilebih besar.v LKarakteristik i-v beban.garis bebanGb 8.2. Penentuan titik kerja._vCOTOH-8.6: Rangkaian berikut ini, mempunyai beban resistor nonlinierdengan karakteristik i-v seperti yang diberikan di sampingnya.Hitunglah daya yang diserap oleh beban.151

A90V+−1kΩ1kΩ500ΩR LnonlinierBi [mA] 503010Penyelesaian :Beban dilepas untuk mencari rangkaian ekivalen Thévenin.1VT= vABht = × 60 = 45 V1+1R = 500 + 1000 ||1000 = 1000 ΩT10 30 50 v[V]Rangkaian ekivalen dan garis beban yang diplot bersama dengankarakteristik i-v beban adalah seperti di bawah ini.Ai [mA] 5045V+−1kΩBR Lnonlinier301010 30 50 v[V]Dari grafik ini kita temukan titik-kerja yang menyatakan bahwa arusyang mengalir adalah 15 mA pada tegangan 30 V. Jadi daya yangdiserap beban adalah :p v i = 30 × 15 = 450 mW .L = L L152 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

8.4.2. Rangkaian Dengan Sumber Tak-Bebas Tanpa Umpan BalikContoh-contoh persoalan yang kita ambil dalam membahas metodametodaanalisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaian denganelemen aktif yang berupa sumber bebas. Metoda analisis dasar dapat pulakita gunakan pada rangkaian dengan sumber tak-bebas asalkan padarangkaian tersebut tidak terdapat cabang umpan balik. Cabang umpanbalik adalah cabang yang menghubungkan bagian keluaran dan bagianmasukan, sehingga terjadi interaksi antara keluaran dan masukan.Apabila rangkaian mempunyai umpan balik, hendaknya digunakanmetoda analisis umum (lihat bab selanjutnya). Berikut ini kita akanmelihat rangkaian-rangkaian dengan sumber tak-bebas tanpa umpanbalik.COTOH-8.7:iTentukanlahstegangan keluaran v oserta daya yangR s+v s+v +diserap oleh beban − R 11−−R L pada rangkaiandengan sumber takbebasVCVS di samping ini.Penyelesaian :Rangkaian ini tidak mengandung umpan balik; tidak ada interaksiantara bagian keluaran dan masukan. Tegangan v 1 pada looppengendali dapat diperoleh melalui kaidah pembagi tegangan1v1= vsR1+ RsDengan demikian maka keluaran VCVS adalah :µ Rv v1o = µ 1 =R1+ RDaya yang diserap oleh beban adalah :Pemahaman :pLv=R2o 1L=RLRsvs⎛ µ R1v×⎜s⎝ R1+ RTegangan keluaran VCVS berbanding lurus dengan masukannya.Jika nilai µ >1 maka rangkaian ini berfungsi sebagai penguats⎞⎟⎠2+µ v 1 v oR L−153

(amplifier). Jika µ

Dari sini kita mendapatkan i 2 yaitu1i 1 = × 2 1 mA1+1=i 2 = −50×i 1 = −50mA .Tanda “−” diperlukan karena referensi arah arus i 2 berlawanandengan arah arus positif sumber arus tak-bebas CCCS. Dari sini kita1dapatkan: i L = i2 = −10mA .1+4−3Tegangan keluaran: v o = −10×10 × 4000 = −40Vvo−40Hubungan keluaran-masukan menjadi: = = −20000is0,002Pemahaman:Hasil diatas mengandung tanda negatif. Ini berarti bahwa sinyalkeluaran berlawanan dengan sinyal masukan. Dengan kata lainterjadi proses pembalikan sinyal pada rangkaian di atas, dan kitasebut inversi sinyal.COTOH-8.9:Carilah rangkaianekivalen Thévenindilihat di terminalAB, dari rangkaiandengan CCVS disamping ini.Penyelesaian :Tegangan Thévenin V T adalah tegangan terminal AB terbuka (jikabeban R L dilepas), yaitu :VT= vAB ht⎛⎜v= −ri1= −rs⎝Rs+ RTanda “−” ini karena arah referensi tegangan CCCS berlawanandengan referansi tegangan v AB . Arus hubung singkat di terminal ABjika beban diganti dengan hubung singkat adalah :iR si 1 R o i L− +v s+R p R LAB hs−−ri=Ro1=Ro (−rvsR + Rs+p)r i 1p⎟ ⎞⎠Av−B155

Resistansi Thévenin R T adalah :Rv⎛⎜⎝− rv⎞/ ⎛⎟ ⎜− rv ⎞⎟ R⎠ ⎝⎠AB htssT = ==i ⎜AB hs Rp+ R ⎟ ⎜s Ro(Rs+ R p ) ⎟Rangkaian Théveninyang kita cari adalahseperti gambar disamping ini. Perhatikanpolaritas dari teganganV T = − ri 1 .⎛r ⎜⎝vR s +sR p⎞⎟⎠−+R ooA+v−BR L156 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah arus yang melalui beban R L dan daya yang diberikan olehsumber pada rangkaian berikut.a).10V+−10Ω5Ω5Ω10ΩR L7.5Ω10V+−30Ω40Ω50Ω60ΩR L120Ωb).5Ac).2. Carilah tegangan keluaranv o pada rangkaian berikutini. Berapakah resistansibeban yang harusdihubungkan ke terminalkeluaran agar terjadi alihdaya maksimum ?3. Gunakan metoda unitoutput untuk mencaritegangan keluaran V opada dua rangkaianberikut ini10Ω20Ω2A20Ω15Ω1A10Ω10Ω30Ω20Ω10Ω20Ω+V o−R L20Ω10Ω +20Ω+−15Ω10Vv o−10Ω30Ω+V o−4. Gunakan metoda rangkaian ekivalen Thévenin atau Norton untukmenentukan tegangandan arus di resistor 10 Ω 15Ω15Ωpada kedua rangkaian30Ω+30Ωberikut ini.1A10Ω − 10Ω10V157

5. Carilah tegangan dan arustiap resistor padarangkaian berikut.6. Hitunglah daya yangdikeluarkan olehmasing-masing sumberpada soal 5.7. Pada rangkaian disamping inihitunglah arus yangmelalui resistorbeban R L .8. Pada rangkaian di sampingini hitunglah daya yangdiserap resistor 8 Ω dandaya masing-masingsumber.9. Pada rangkaianberikut ini,hitunglah arus yangmelalui beban R L .+−+−+−100Ω5V 10V+−50Ω5 kΩ 5 kΩ10 V5 kΩ2 mA+−30Ω50V5Ω +v 17,5V - 10Ωv 15100Ω5V+−R L2,5 kΩ8Ω20Ω 2,5A5Ω60ΩR L10Ω10. Berapa µ agarrangkaian berikut inimempunyai keluaran v 2= −10 V.6V+−100Ω200Ω+v 1−−+µv 11kΩ1kΩ+v 2−11. Selidiki apakah terjadi alih daya maksimum pada soal nomer 11 dannomer 12.158 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 9Metoda Analisis UmumDengan mempelajari metoda analisis umum kita akan• memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda tegangan simpul;• memahami dasar-dasar metoda arus mesh;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda arus mesh.Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metodategangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya kedua metoda inidapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik, walaupun dalamhal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baik dibandingkan denganmetoda arus mesh, terutama dalam menangani rangkaian-rangkaianelektronik.Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnya adalahmencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsi lengkap darisuatu rangkaian dan kemudian memecahkan persamaan itu denganmemanfaatkan aljabar linier. Metoda ini lebih abstrak dibandingkandengan metoda-metoda analisis dasar karena kita tidak menanganilangsung rangkaian yang kita hadapi melainkan mencari pemecahandari satu set persamaan yang mewakili rangkaian tersebut. Denganmetoda ini kita tidak terlibat dalam upaya untuk mencari kemungkinanpenyederhanaan rangkaian ataupun penerapan teorema rangkaian. Kitalebih banyak terlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier,sehingga agak “kehilangan sentuhan” dengan rangkaian listrik yang kitahadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kompensasi, yaituberupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul dan metodaarus mesh ini.159

9.1. Metoda Tegangan Simpul (ode Voltage Method – odalAnalysis)9.1.1. DasarJika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagai simpulreferensi yang dianggap bertegangan nol, maka tegangan pada simpulsimpulyang lain dapat dinyatakan secara relatif terhadap simpulreferensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaian terdapat n simpul,sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagai simpul referensi, makamasih ada (n – 1) simpul yang harus dihitung tegangannya. Jadi untukmenyatakan rangkaian secara lengkap dengan menggunakan tegangansimpul sebagai peubah, diperlukan (n – 1) buah persamaan. Jikapersamaan ini dapat dipecahkan, berarti kita dapat memperoleh nilaitegangan di setiap simpul, yang berarti pula bahwa kita dapatmenghitung arus di setiap cabang.Basis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalah persyaratanpersyaratanyang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian, yaitupersyaratan elemen dan persyaratan rangkaian. Persyaratan elemenmenyatakan bahwa karakteristik i-v dari setiap elemen dalam rangkaianharus dipenuhi. Hal ini berarti bahwa hubungan antara arus cabang (arusyang melalui elemen di cabang tersebut), dengan tegangan simpul(tegangan kedua simpul yang mengapit elemen / cabang yangbersangkutan) ditentukan oleh karakteristik i-v elemen yang ada dicabang tersebut. Ini berarti pula bahwa arus cabang dapat dinyatakandengan tegangan simpul. Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengankonduktansi G berada di antara simpul X dan Y, maka arus cabangtempat resistor itu berada dapat ditulis sebagai( − v )iXY= G vXY(9.1)dengan i XY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, v X dan v Y masingmasingadalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementara itupersyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HAK), juga harusdipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yang terhubung ke k titiksimpul lain melalui konduktansi G i (i = 1sampai k), berlaku∑iMkk k= 0 = ∑Gi( vM− vi) = vM∑Gi− ∑Givi(9.2)i=1i=1 i=1160 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dengan v M adalah tegangan simpul M, v i adalah tegangan simpul-simpullain yang terhubung ke M melalui konduktansi masing-masing sebesarG i .Persamaan (9.2) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jikapersamaan ini kita terapkan untuk (n – 1) simpul yang bukan simpulreferensi maka kita akan memperoleh (n−1) persamaan yang kitainginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul dari suaturangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut:1. Tentukan simpul referensi umum.2. Aplikasikan persamaan (9.2) untuk simpul-simpul yang bukansimpul referensi.3. Cari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah 2.9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan SimpulPersamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melaluiaplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yangmengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen denganarus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitandalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut ini kita akanmempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul denganmelihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabangrangkaian yang terhubung ke simpul tersebut.Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus ini persamaan(9.4) dapat kitaaplikasikan tanpai 1v A i 2kesulitan. Perhatikanv BAv Chubungan simpul-simpulBseperti terlihat padaG 1 GC2iGb.9.1. Walaupun3G 3referensi arah arus tidaksemuanya meninggalkanv D Dsimpul A namun hal iniGb.9.1. Cabang berisi resistor.tidak akan mengganguaplikasi persamaan (9.2) untuk simpul A.Persamaan untuk simpul A:161

( G G + G ) − G v − G v − G v 0v A 1 + 2 3 1 B 2 C 3 D = (9.3)Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akanmemperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i 1 −i 2 −i 3 = 0, yangakan memberikan persamaan tegangan simpulG1− v A( vB− v A ) − G2( v A − vC) − G3( v A − vD) = 0( G + G + G ) + v G + v G + v G = 0123B1C2D3atauyang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya.Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perhatikan Gb.9.2. Dalamkasus ini kita tidakmengetahuiv Akonduktansi yangv Bv ACada antara simpul Adan D yang berisiB G 1 GC2sumber arus bebas.ITetapi hal ini tidaksmemberikankesulitan dalamv D Daplikasi (9.2) untukGb.9.2. Cabang berisi sumber arus.simpul A, karenasesungguhnyapersamaan (9.2) itu berangkat dari persamaan arus untuk suatu simpul.Dengan demikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itudapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasilkali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul.Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harusbertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau,sesuai dengan persyaratan persamaan (9.2). Untuk simpul A pada Gb.9.2.persamaan yang diperoleh adalah:( G + G ) − I − v G − v G 0vA 1 2 s B 1 C 2 =(9.4)162 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BEv Bv EKasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus ini terdapatdua kemungkinan.v AKemungkinan pertama :v BAv Csalah satu simpul sumbertegangan menjadi simpulBCG 1 G 2referensi seperti terlihat pada+V s −Gb.9.3.v AAG 1 G 2+V s−DG 3 G 4v Dv CCFv FSimpul A menjadi simpul terikat,artinya tegangannya ditentukan olehtegangan sumber; jadi tegangansimpul A tidak perlu lagi dihitung, v A =V s .Gb.9.4. Sumber tegangan antara dua simpul Kemungkinan yang kedua: simpulsimpulyang mengapit sumberyang bukan simpul referensi.tegangan bukan merupakan simpulreferensi seperti terlihat pada Gb.9.4. Dalam hal terakhir ini, sumbertegangan beserta kedua simpul yang mengapitnya kita jadikan sebuahsimpul-super (super-node). Jadi simpul A, D, dan sumber tegangan padaGb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super.Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaantegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan duapersamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu:• persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arusseperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan• persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikanhubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadisimpul-super tersebut.Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dan sumbertegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul B dan Cmelalui A dengan konduktansi G 1 dan G 2 ; ia juga terhubung ke simpulsimpulE dan F melalui D dengan kunduktansi G 3 dan G 4 . Persamaantegangan untuk simpul-super ini adalah :v DGb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan.D163

( G + G ) + v ( G + G )v A 1dan2v A − vD= VsD34 − vBG1− vCG2− vEG3− vFG4= 0(9.5)Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencaripersamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasus-kasustersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor. Walaupundemikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemendinamis yang akan kita lihat kemudian.Berikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untukrangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuksederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metodaanalisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihatbagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan.COTOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D pada rangkaiandi bawah ini.R 1 R 3 R 5A B C D0,4 A20Ω10Ω10ΩR 220ΩR 4 20Ω R 6E10ΩPenyelesaian :Rangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kitamempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan.Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yangdalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kitamempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu A, B, Cdan D.164 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul denganmengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-empat simpul nonreferensitersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kitaperoleh adalah :vvvvABCD( G1) − 0.4 − vB( G1) = 0( G1+ G2+ G3) − v A( G1) − vC( G3)( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5)( G + G ) − v ( G ) = 056C5= 0= 0dengan G 1 , G 2 ….G 6 adalah konduktansi elemen-elemen yangbesarnya adalah G i = 1/R i . Dalam bentuk matriks, denganmemasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi⎡ 1⎢ 20⎢1⎢−⎢ 20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎣⎛⎜⎝1201−201+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠⎤0⎥⎡vA ⎤ ⎡0,4⎤⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥⎢vB⎥ ⎢ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥1 ⎥− ⎥⎢v⎥ ⎢0⎥10 ⎥⎢ C ⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥⎝1010 D⎠⎦⎦Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan selanjutnyamenjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ke-tiga kita kalikan20 sedangkan baris ke-empat kita kalikan 10, akan kita peroleh⎡ 1⎢−1⎢⎢ 0⎢⎣ 0−14− 2Eliminasi Gauss memberikan:⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣00−13000− 25−10− 21100 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡8⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥0= ⎢ ⎥− 2⎥⎢vC⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣0⎦0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡ 8 ⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥8= ⎢ ⎥− 6⎥⎢vC⎥ ⎢16⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥16 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣16⎦Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangan-tegangansimpul mulai dari simpul D sebagai berikut :165

1616 + 6×v 16 + 6→ v = = 1 V ; = DDvC= = 2 V1611 118 + 2 × v 8 + 4v = CB= = 4 V ; v A = 8 + vB= 12 V3 3Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapatdihitung.COTOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan Drangkaian berikut.pada30 VR 1 R 3R 5A B C D20Ω10Ω10Ω+ R 2 R20Ω 4 20Ω 10Ω R 6−EPenyelesaian :Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan.Dengan demikian simpul A merupakan simpul terikat yang nilaitegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu 30 V. Persamaantegangan simpul yang dapat kita peroleh adalah:vA= 30vB( G1+ G2+ G3) − v AG1− vC( G3) = 0vC( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5) = 0vD( G5+ G6) − vC( G5) = 0Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannyadalam bentuk matriks, kita memperoleh⎡ 1⎢ 1⎢−20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎣⎛⎜⎝12001+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ ⎢ 0 ⎥1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥− ⎥10 ⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ C 0⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ 10 10 ⎠⎥⎦⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥D ⎦Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitunganseperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya dengan166 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

mengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan baris ke-4dengan 10.⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡30⎤⎢⎢− 1⎢ 0⎢⎣ 04− 2Eliminasi Gauss memberikan :Maka :⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣000400− 25− 10− 280⎢0⎥⎥ ⎢v− 2⎥⎢v⎥ ⎢2 ⎦ ⎣v0 ⎤ ⎡v0⎥ ⎢v⎥ ⎢− 4⎥⎢v⎥ ⎢16⎦⎣v30→ vD= = 2,5 V; v1630 + 10vB= = 10 V; v4CAABCDBCD⎥⎥ =⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢ ⎥⎥30= ⎢ ⎥⎥ ⎢30⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣30⎦= 30 V000⎥⎥⎥⎥⎦30 + 10= = 5 V;8COTOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D dirangkaian berikut.R 3R 115 VR 5A B _ C D+20 Ω10 ΩR 2 R 4Penyelesaian :Simpul super20 Ω10 Ω 20 Ω10 ΩBerbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian ini sumbertegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensi umum. Sumbertegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya jadikan satu simpulsuper.Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :ER 6167

Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalam bentukmatriks:⎡⎛⎢⎜⎢⎝⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣110+1−2000120⎞⎟⎠1−20⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎝ 20 20 ⎠10⎛⎜⎝1200+110−11−10⎞⎟⎠−⎛ 1⎜⎝1001100+110⎤⎥ ⎡vA ⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ = ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢v⎥ ⎢−⎥C 15⎥⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎥⎢⎣vD⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎠⎥⎦Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan 20 serta baris ke-empatdengan 10 sehingga kita peroleh matriks dengan elemen-elemenbilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gauss yang akanmemberikan :⎡3⎢0⎢⎢0⎢⎣0−150009−1400 ⎤ ⎡v− 6⎥ ⎢v⎥ ⎢6 ⎥ ⎢v⎥ ⎢22⎦⎣vABCD⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥0= ⎢ ⎥⎥ ⎢−75⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 75 ⎦Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kita tentukan,seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya. Pembacadiharapkan untuk mencoba sendiri.Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secarasingkat bahwa :• Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melaluikonduktansi G i berlaku:k∑1∑( v − v ) G = 0 atau v G − v G = 0MivvSimpul-super { vvABBD( G3+ G1) − vBG1= 0( G + G ) + v ( G + G )i1− v= −15( G + G ) − v G = 05C26CCk154Mi5− vk∑1iAG − vi1DG5= 0168 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Aplikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpulreferensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian.• Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumbertegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannya ditentukanoleh tegangan sumber.• Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapatmenjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internalyang ditentukan oleh tegangan sumber.• Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus dicabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalam persamaantegangan simpul.9.2. Metoda Arus Mesh (Mesh Current Method)Metoda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yangmengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenai meshtelah kita peroleh,yaitu loop yangtidak melingkupielemen atau cabanglain.Dalam Gb.9.5 loopABEDA, BCFEB,DEHGD, EFIHE,adalah mesh,sedangkan loopABCFEDA bukanmesh.arusmeshA B CDGb.9.5. Loop dan meshDengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh,yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. Dalam Gb.9.5, I A, I B , I C , I D adalah arus-arus mesh dengan arah anak panah menunjukkanarah positif. Arus di suatu cabang adalah jumlah aljabar dari arus mesh dimana cabang itu menjadi anggota. Arus di cabang AB misalnya, adalahsama dengan arus mesh I A . Arus di cabang BE adalah (I A – I B ), arus dicabang EH adalah (I C – I D ), dan seterusnya. Secara umum kita dapatmengatakan bahwaI AI CEI BI DG H IF169

Jika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari mesh Xyang mempunyai arus mesh I X maka arus i k yang melaluicabang itu adalah i k = I X dengan arah referensi arus i ksesuai dengan I X .Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X dan meshY yang masing-masing mempunyai arus mesh I X dan I Y ,maka arus i k yang melalui cabang tersebut adalah i k = I X – I Ydengan X adalah mesh yang mempunyai arah referensi arusyang sesuai dengan arah referensi arus i k .Perhatikan :• Arus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifat fisisrangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakan dalamanalisis rangkaian.• Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arus meshdi semua mesh mempunyai arah yang sama (dalam hal ini kitapilih searah putaran jarum jam).Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linierdengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakandiskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metodategangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimana persamaan arusmesh tersebut dapat diperoleh.9.2.1. DasarMetoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasispada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harus dipenuhidalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletak padapersyaratan rangkaian; pada metoda tegangan simpul digunakan hukumarus Kirchhoff (HAK) sedangkan pada metoda arus mesh digunakanhukum tegangan Kirchhoff (HTK). Suatu mesh tidak lain adalah bentukloop yang paling sederhana. Oleh karena itu hukum Kirchhoff untuktegangan juga berlaku pada mesh. Untuk suatu mesh X yang terbentukdari m cabang yang masing-masing berisi resistor, sedang sejumlah ndari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain, berlaku170 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

m∑vxx = 1= 0 == Im − n∑vxx = 1m − n∑+Rn∑y = 1+vn∑X xx = 1 y = 1yRy( I − I )Xy(9.6)Di sini v x adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanya menjadianggota mesh X; v y adalah tegangan pada elemen di cabang yangmenjadi anggota mesh X dan mesh lain; I X adalah arus mesh X; I yadalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X; R xmenunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanya menjadi anggotamesh X; R y menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang menjadianggota mesh X dan mesh lain.Persamaan (9.5) dapat ditulis:Atau secara umum⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ Rx∑ R y ⎟ ∑ I y R y(9.7)⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1I X ∑ R X − ∑ IYRY= 0(9.8)dengan I X adalah arus mesh X, R X adalah resistor pada cabang-cabangyang membentuk mesh X, I Y adalah arus mesh lain yang berhubungandengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor R Y. Persamaan (9.7)adalah persamaan arus mesh untuk suatu mesh tertentu. Jika persamaanini kita aplikasikan untuk semua mesh pada suatu rangkaian kita akanmendapatkan persamaan arus mesh untuk rangkaian tersebut. Jadilangkah-langkah dalam analisis dengan menggunakan metoda arus meshadalah :1. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan juga teganganreferensi pada tiap elemen.2. Aplikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Dengan langkah inikita memperoleh persamaan arus mesh dari rangkaian.3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkahkedua.171

9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus MeshBerikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpaidalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasuskasusini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasanmengenai metoda tegangan simpul.Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. meshBCEFB dan CDEC,ABC Dterdiri hanya darielemen resistor saja.R 1 R 3 R 6Aplikasi persamaan(9.7) untuk keduaI YI XI Zmesh ini tidakR 2RR 4 R 75menimbulkanFEkesulitan, dan kitaakan memperolehGb.9.6. Kasus 1.persamaan:Mesh BCEFB :I( R + R + R + R )2Mesh CDECIXZ:( R + R + R ) − I R = 0436475X− I4YR2− IZR4= 0(9.9)v 2Kasus-2: MeshAB C D+ −MengandungR 1R 6Sumber Tegangan.+I XMesh ABFA danIYI Zv −1BCEFB pada Gb.9.7.R 3 RR 45 mengandung sumberF Etegangan. Hal iniGb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan.tidak akanmenimbulkankesulitan karena metoda arus mesh berbasis pada Hukum TeganganKirchhoff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalampersamaan, dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh ABFA danBCEFB persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :172 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

A+−Mesh ABFA( R + R ):IY 1 2 − I X R2− v1= 0(9.10)Mesh BCEFB:( R + R + R ) − I R − I R + v = 0I X 2 4mesh super5Y2Z42Kasus-3: MeshMengandungSumber Arus.Pada Gb.9.8. dicabang BFterdapat sumberarus yangmenjadianggota meshABFA dan BCEFB. Tegangan suatusumber arus tidak tertentu sehingga tidak mungkin diperoleh persamaanarus mesh untuk ABFA dan BCEFB. Untuk mengatasi kesulitan inimaka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut meshsuper.Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitupersamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA, danpersamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di kedua mesh,yaitu I X dan I Y . Persamaan yang dimaksud adalah:loop ABCEFA:cabang BFR 1 R 6B CR 3I YI Xv 1 i 1:IFIYR + IX1R 5R 4Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber arus.− IYX( R + R + R )= i1345− v1− I Z R4= 0(9.11)Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua meshsaja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-super ABCEFA.COTOH-9.4: Gunakan metoda arus mesh untuk analisis rangkaian dibawah ini.20ΩA B10ΩC 10ΩDEI ZD30 V+−I A20ΩI B20ΩEI C10Ω173

Penyelesaian :Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, I A , I B , I C ..Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk setiapmesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh ABEA mengandung sumbertegangan. Persamaan yang kita peroleh adalah:Mesh ABEA :Mesh BCEB :Mesh CDEC :I AI BIC( 20 + 20)− I B 20 − 30 =( 20 + 10 + 20)− I A20− I( 20 + 10 + 10) − I 20 = 0Dalam bentuk matriks persamaan menjadi:B0C 20 = 0⎡ 40 − 20⎢⎢− 20 50⎢⎣0 − 20Eliminasi Gauss memberikan :0 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢0⎥⎥=⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎡4⎢⎢0⎢⎣0− 2800 ⎤ ⎡I− 4⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡3⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢3⎥⎥⎦⎢⎣3⎥⎦sehingga diperoleh I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A. Selanjutnyategangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukanCOTOH-9.5:Tentukanarus-arusA 20Ω B 10Ω C 10Ω Dmesh padarangkaian di1 A I A20ΩI B20ΩI C10Ωsamping ini.PerhatikanlahE: ada sumberarus pada rangkaian ini.Penyelesaian :Dalam kasus ini arus mesh I A ditentukan oleh sumber, yaitu sebesar1 A. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :174 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Mesh ABEA :Mesh BCEB:Mesh CDEC:I A = 1I BICyang dalam bentuk matriks dapat ditulis⎡ 1⎢− 20⎢⎢⎣0050− 20Eliminasi Gauss memberikan :⎡1⎢⎢0⎢⎣0( 20 + 10 + 20) − I A( 20) − IC( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 00500 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢⎥ ⎢I8 ⎥⎦⎢⎣IABCB⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢2⎥⎥⎦⎢⎣2⎥⎦Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah :I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung.= 0COTOH-9.6:Tentukan arus mesh supermesh padaA 20Ω B 10Ω C 10Ω Drangkaian disamping ini. 20ΩIPerhatikanA I BI C1 A10Ωbahwa ada20ΩEsumber arusyang menjadianggota dari dua mesh yang berdampingan.Penyelesaian:0 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢I⎥ ⎢40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥=⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡ 1⎢− 2⎢⎢⎣0− 20 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢I⎥ ⎢4 ⎥⎦⎢⎣I⎤ ⎡1⎤⎥=⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumberarus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yangdapat kita peroleh adalah :05ABC175

I Amesh super { I A − I B = −1IC( 20 + 20) + I ( 10 + 20) − I ( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 0Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadiBBC= 0⎡40⎢⎢1⎢⎣030−1−20−20⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦atau⎡4⎢⎢1⎢⎣03−1−1−2⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I2 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦yang memberikan⎡4⎢⎢0⎢⎣03− 70− 2⎤⎡I2⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢− 4⎥⎥⎦⎢⎣4 ⎥⎦Jadi I C = 1/3 A, I B = 2/3 A, dan I A = −1/3 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung.Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secarasingkat bahwa :• Untuk suatu mesh X dengan arus mesh I x yang terdiri dari m cabangdan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain yangmasing-masing mempunyai arus mesh I y , berlakum − n nI X ∑ R x + ∑ R y ( I X − I y ) = 0 ataux = 1 y = 1⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ R x ∑ R y ⎟ ∑ I y R y⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaanarus mesh rangkaian.• Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggotadari mesh lain, arus mesh I x ditentukan oleh sumber arus tersebut.• Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadimesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus meshdari kedua mesh sama dengan arus sumber.176 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

• Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilaitegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilai tegangan inilangsung masuk dalam persamaan arus mesh.9.2.3. Rangkaian Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan BalikAnalisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas dengan umpanbalik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metoda tegangansimpul atau metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jika ada aliran sinyaldari sisi keluaran ke sisi pengendali.COTOH-9.7: Tentukanlah R F pada rangkaian di samping ini agarpada beban 1kΩ terdapat10kΩ R F 5kΩtegangan −10 AB C DV.+++−1 VPenyelesaian : −v 1v D 1 kΩ+− 100v 1 −Persamaantegangansimpul di simpul-simpul A, B, C, dan D pada rangkaian ini adalahvB− v A vB− vCA: v A = 1V ; B: + = 0 ;10 RFvD− vCvC: v = −1001 ; D: + DC v= 05 1Karena disyaratkan agar v D = −10 V, maka dari persamaan simpul Cdan D kita dapat memperoleh nilai v 1 .vC−5v− 601 = − = D vvD = = 0,6 V100 100 100Kalau kita masukkan nilai v 1 ini ke persamaan simpul B akan kitaperoleh0,6 −10,6 + 100×0,6+= 010 RF⇒RF= 60,6×100,4= 1515 kΩ ≈ 1,5 MΩ177

9.3. Beberapa Catatan Tentang Metoda Tegangan Simpul danMetoda Arus MeshPada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpulsebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol, sedangkantegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadap simpul referensi ini.Simpul referensi tersebut dapat kita pilih dengan bebas sehinggaperbedaan pemilihan simpul referensi dalam menyelesaikan persoalansatu rangkaian tertentu dapat menghasilkan nilai-nilai tegangan simpulyang berbeda. Namun demikian tegangan cabang-cabang rangkaian akantetap sama hanya memang kita harus melakukan perhitungan lagi untukmemperoleh nilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisihtegangan antara dua simpul).Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan kereta rellistrik ataupun jaringan PLN, orang melakukan pengukuran teganganbukan terhadap simpul referensi umum seperti dalam pengertian metodategangan simpul melainkan terhadap titik netral atau ground di masingmasinglokasi pengukuran. Pengukuran ini belum tentu sesuai denganperhitungan dalam analisis menggunakan metoda tegangan simpulkarena ground di lokasi pengukuran tidaklah selalu sama dengan titikreferensi umum dalam analisis. Akan tetapi karena jaringan-jaringanpenyalur energi tersebut dapat dilihat sebagai berbentuk rangkaiantangga, maka permasalahan ini dengan mudah dapat diatasi dan akandibahas lebih lanjut.Metoda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitu suaturangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satu bidang datartanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian. Untuk rangkaiannonplanar metoda arus mesh tak dapat diterapkan dan kita perlumenggunakan metoda arus loop.Metoda Analisis Berbantuan Komputer. Untuk rangkaian-rangkaianyang rumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan hampir tidakmungkin lagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan komputer.Metoda ini tidak dibahas dalam buku ini.178 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen pada rangkaianrangkaiandi bawah ini dan hitunglah daya yang diberikan olehsumber.a).+−100Ω5V 10V+−50Ω100Ω5V+−b).+ 5Ω− 30V4Ω3Ω2A10 Vc).+−5 kΩ 7.55 kΩ2 kΩ mA1kΩ1kΩ1kΩ1kΩd).2kΩ100mA2kΩ100mA10Ve).+−100Ω100Ω100Ω100Ω100Ω+5 kΩ 10 Vf).10 kΩ5 kΩ 5 kΩ20 mA 10 mA179

g).1kΩ100V2. Tentukanlah v 2 pada dua rangkaian di bawah ini.+−2kΩ1kΩ100mA1kΩ2kΩ1kΩa).+10 kΩv 110 kΩ_+10 kΩ 10 kΩv 110 kΩ_b).20 kΩ+v−20 kΩ+v−+−+−1000v1000v+v 2_+v 2_3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaran v o =Kv s .+−I50Ω 1 I 2100I 2+v s v o1kΩ 100I 1 1kΩ 1kΩ−180 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 10Rangkaian Pemroses Energi(Arus Searah)Dalam bab ini kita akan melihat beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian yang dapat memberikan gambaran keadaan nyata. Rangkaianyang akan kita bahas meliputi rangkaian-rangkaian pemrosesan energi.Pemrosesan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan tiga macamcara, yaitu teknologi arus searah, teknologi arus bolak-balik, danteknologi pulsa. Mengenai teknologi yang terakhir ini, tidak termasukdalam cakupan buku ini; kita dapat mempelajarinya pada pelajaran lain.Teknologi arus bolak-balik dengan sinyal sinus merupakan teknologiyang sangat luas dipakai dalam pembangkitan maupun penyaluran energilistrik, namun rangkaian arus bolak-balik ini akan kita pelajari di bablain; di bab ini kita hanya akan melihat rangkaian pemroses energidengan tegangan dan arus searah, yang kita sebut rangkaian arus searah.Dalam rekayasa praktis, rangkaian pemroses energi yang pada umumnyamerupakan rangkaian berbentuk tangga, digambarkan dengan cara yanglebih sederhana yaitu dengan menggunakan diagram satu garis.Bagaimana diagram ini dikembangkan, akan kita lihat pula di bab ini.Cakupan bahasan dalam bab ini meliputi alat ukur dan pengukuran arussearah, saluran dan jaringan distribusi daya arus searah, penyediaanbatere sebagai sumber tenaga arus searah.Dengan mempelajari rangkaian pemroses energi ini, kita akan• mampu menghitung parameter penyalur daya arus searah.• mampu melakukan perhitungan penyaluran daya arus searah.• mampu melakukan analisis rangkaian arus searah yangdiberikan dalam bentuk diagram satu garis.• mampu melakukan perhitungan dalam susunan batere.10.1. Pengukur Tegangan dan Arus SearahSalah satu jenis alat pengukur tegangan dan arus searah adalah jeniskumparan berputar yang terdiri dari sebuah kumparan yang berada dalamsuatu medan magnetik permanen. Kumparan yang disangga oleh sumbudan dilengkapi dengan pegas ini akan berputar apabila ia dialiri arus.Perputaran akan mencapai kududukan tertentu pada saat momen putaryang timbul akibat adanya interaksi medan magnetik dan arus kumparan,181

sama dengan momen lawan yang diberikan oleh pegas. Sudut padakedudukan seimbang ini kita sebut sudut defleksi. Defleksi maksimumterjadi pada arus maksimum yang diperbolehkan mengalir padakumparan. Karena kumparan harus ringan, ia harus dibuat dari kawatyang halus sehingga arus yang mengalir padanya sangat terbatas. Kawatkumparan ini mempunyai resistansi yang kita sebut resistansi internalalat ukur.Walaupun arus yang melalui kumparan sangat terbatas besarnya, namunkita dapat membuat alat ukur ini mampu mengukur arus sampai ratusanamper dengan cara menambahkan resistor paralel (shunt). Terbatasnyaarus yang diperbolehkan melalui kumparan juga berarti bahwa teganganpada terminal kumparan juga sangat terbatas; namun denganmenambahkan resistansi seri terhadap kumparan, kita dapat membuatalat ukur ini mampu mengukur tegangan sampai beberapa ratus volt.COTOH-10.1: Sebuah alat ukur kumparan berputar mempunyairesistansi internal 10 Ω dan berdefleksi maksimum jika arus yangmengalir pada kumparan adalah 50 mA. Tentukan resistansi seriyang harus ditambahkan agar alat ini mampu mengukur tegangansampai 750 V.Penyelesaian :Dengan penambahan resistor seri R sterjadi pembagian tegangan antara R s10 Ωdengan kumparan; dengan memilihnilai R s yang tepat tegangan pada R skumparan tetap pada batas yangdiijinkan. Rangkaian alat ukur + v = 750 V −menjadi seperti gambar berikut.Dengan arus pada kumparan dibatasi pada 50 mA, maka:750−3750= 50 × 10 ⇒ Rs= − 10 = 14990 ΩR + 10−3s50 × 10182 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-10.2: Alat ukur kumparan berputar pada contoh-10.1. (yangmemiliki resistansi internal 10 Ω dan defleksi maksimum terjadipada arus kumparan 50 mA) hendak digunakan untuk mengukur arussampai 100 A. Tentukan nilai resistasi shunt yang diperlukan.Penyelesaian:Dengan penambahan shunt R sh akan terjadi pembagian arus antara R shdengan kumparan. Dengan memilih nil R sh yang tepat, arus yangmengalir pada kumparan tetap dalam batas yang diijinkan. Rangkaianalat ukur dengan shunt terlihat pada gambar berikut. Dengan aruskumparan 50 mA, maka :10 Ω−3→ I sh + 50 × 10 = 100100 AI sh50 mAR sh10.2. Pengukuran ResistansiSalah satu metoda untuk mengukur resistansi adalah metoda voltmeteramperemeter.Dalam metoda ini nilai resistansi dapat dihitung denganmengukur tegangan dan arus secara simultan. Dalam contoh berikut inidiberikan dua macam rangkaian yang biasa digunakan untuk mengukurresistansi dengan metoda voltmeter-amperemeter.COTOH-10.3: Resistansi R x hendak diukur dengan menggunakan duamacam rangkaian berikut ini. Jika resistansi internal voltmeter danamperemeter masing-masing adalah R V dan R I dan penunjukanvoltmeter dan amperemeter adalah V dan I, hitunglah R x pada keduamacam cara pengukuran tersebut.I+VR x+−−a). b).−3→ I sh Rsh= 10 × 50 × 10−310 × 50 × 10⇒ Rsh== 0,005 Ω−3100 − 50 × 10Penyelesaian :Untuk rangkaian a), tegangan pada R x adalah V sedangkan arus yangmelalui R x adalahVI183

VI x = I − sehinggaRVV VRx= =I x I − ( V / RV)Jika pengukuran dilakukan dengan menggunakan rangkaian b), arusyang melalui R x adalah I sedangkan tegangan pada R x adalahsehinggaPemahaman :Vx = V − IR IV V − IRIVRx= = = − RII x I IKesalahan pengukuran akan kecil dan nilai R x dapat dinyatakandengan R x = V/I jika R V cukup besar pada rangkaian a) atau R Icukup kecil pada rangkaian b).10.3. Resistansi Kabel Penyalur DayaKabel digunakan sebagai penyalur daya dari sumber ke beban. Setiapukuran dan jenis kabel mempunyai batas kemampuan pengaliran arusyang tidak boleh dilampaui; arus yang melebihi batas akan menyebabkanpemanasan pada kabel yang akan memperpendek umur kabel. Disamping itu, resistansi konduktor kabel akan menyebabkan terjadinyabeda tegangan antara sumber dan beban. Oleh karena itu pemilihanukuran kabel harus disesuaikan dengan besarnya beban. Selain resistansikonduktor, resistansi isolasi kabel juga merupakan parameter yang harusdiperhatikan; menurunnya resistansi isolasi akan menyebabkan kenaikanarus bocor.COTOH-10.4: Resistansi konduktor suatu kabel sepanjang 500 m pada20 o C adalah 0.58 Ω dan resistansi isolasinya adalah 975 MΩ.Carilah resistansi konduktor dan isolasinya per kilometer.Penyelesaian :Resistansi konduktor sebanding dengan panjangnya sesuai denganrelasi R = ρl/A, maka resistansi konduktor per kilometer adalahR konduktor= 2 × 0,58 = 1,16 Ω184 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)per km.Resistansi isolasi adalah resistansi antara konduktor dan tanah(selubung kabel). Luas penampang isolasi, yaitu luas penampang

yang dilihat oleh konduktor ke arah selubung, berbanding terbalikterhadap panjang kabel; makin panjang kabel, makin kecil resistansiisolasinya. Resistansi isolasi kabel per kilometer adalahR isolasi= ( 1/ 2) × 975 = 488 MΩper km.COTOH-10.5: Dua penggalan kabel, masing masing mempunyairesistansi konduktor 0,7 Ω dan 0,5 Ω dan resistansi isolasi 300 MΩdan 600 MΩ. Jika kedua penggalan kabel itu disambungkan untukmemperpanjang saluran, berapakah resistansi konduktor dan isolasisaluran ini ?Penyelesaian :Karena disambung seri, resistansi total adalah :R konduktor= 0,7 + 0,5 = 1,2 ΩSambungan seri kabel, menyebabkan resistansi isolasinya terhubungparalel. Jadi resistansi isolasi total adalah :R isolasi300×600= = 200 MΩ300 + 60010.4. Penyaluran Daya Melalui Saluran UdaraSelain kabel, penyaluran daya dapat pula dilakukan denganmenggunakan saluran di atas tanah yang kita sebut saluran udara. Saluranudara ini dipasang dengan menggunakan tiang-tiang yang dilengkapidengan isolator penyangga atau isolator gantung yang biasanya terbuatdari keramik atau gelas. Konduktornya sendiri dapat merupakankonduktor tanpa isolasi (telanjang) dan oleh karena itu permasalahan arusbocor terletak pada pemilihan isolator penyangga di tiang-tiang danhampir tidak terkait pada panjang saluran sebagaimana yang kita jumpaipada kabel.COTOH-10.6: Dari suatu gardu distribusi dengan tegangan kerja 550V disalurkan daya ke dua rangkaian kereta listrik. Dua rangkaiankereta tersebut berada masing-masing pada jarak 1 km dan 3 km darigardu distribusi. Kereta pertama mengambil arus 40 A dan yang kedua20 A. Resistansi kawat saluran udara adalah 0,4 Ω per km,sedangkan resistansi rel sebagai saluran balik adalah 0,03 Ω per km.185

Tentukanlah (a) tegangan kerja di masing-masing kereta, (b). Dayayang diserap saluran (termasuk rel).Penyelesaian :Diagram rangkaian listrik dari sistem yang dimaksudkan dapatdigambarkan seperti di bawah ini.GarduDistribusi+550V−40+20=60A0,4Ωa). Tegangan kerja kereta pertama (V 1 ) dan kereta kedua (V 2 ) adalah:VV12= 550 − 60(0,4 + 0,03) = 524,2 V= V1− 20(0,8 + 0,06) = 507 Vb). Daya yang diserap saluran adalah10.5. Diagram Satu Garis+V 1−0,03Ω1 km20A40A3 km0,8Ω0,06Ω(0,4Ω/km)(0,03Ω/km)22p saluran = 60 (0,4 + 0,03) + 20 (0,8 + 0,06)= 1892 W = 1,89 kW20APenggambaran saluran distribusi seperti pada contoh 10.6. di atas dapatdilakukan dengan lebih sederhana, yaitu menggunakan diagram satugaris. Cara inilah yang sering dilakukan dalam praktik. Satu salurandigambarkan dengan hanya satu garis saja, beban dinyatakan dengankebutuhan daya atau besar arusnya. Posisi gardu dan beban-bebandinyatakan dalam panjang saluran ataupun resistansi saluran. Resistansisaluran dinyatakan sebagai resistansi total yaitu jumlah resistansi kawatkirim dan resistansi kawat balik. Sebagai contoh, diagram satu garis darisistem penyaluran daya pada contoh 10.6. dapat kita gambarkan sebagaiberikut.+V 2−186 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

1 km 2 km550V40A20A(resistansi saluran 0.43Ω/km)atau550V0,43Ω 0,86Ω40A20ACOTOH-10.7: Suatu saluran distribusi 2 kawat dicatu dari keduaujungnya (A dan D)B Cdengan tegangan 255 ADV dan 250 V. Beban 0,01Ω 0,025Ω 0,015Ωsebesar 100 A dan 180A berada di titik100A 180Asimpul B dan C sepertiterlihat pada diagram satu garis berikut. Resistansi yang tertera padagambar adalah resistansi satu kawat. Tentukanlah tegangan di tiaptitik beban (B dan C) serta arus di tiap-tiap bagian saluran.Penyelesaian:Dengan memperhitungkan saluran balik, resistansi saluran menjadidua kali lipat. Persamaan tegangan simpul untuk “simpul” B dan Cadalah70 V B − 20 V C = 1265053 ,3VC − 20 V B = 8153 ,312650 × 53,3 + 8153,3 × 20⇒ VB== 251,3 V53,3 × 70 − 4008153,3 + 20 × 251,3⇒ VC== 247,1 V53,3Arus pada segmen AB, BC dan CD adalah :V − 255 − 251,3= A VIBAB == 185 A ;RAB0,02I BC = I AB −100= 85 A; I DC = 180 − I BC= 95APenurunan Diagram Satu Garis. Bagaimana mungkin metoda tegangansimpul dapat kita aplikasikan pada rangkaian yang digambarkan dengan187

diagram satu garis? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita lihat diagramrangkaian sebenarnya (dua kawat) sebagai berikut.AI AB I BCI CDB C DR ABR BCR CDV ++1 V− R AB ′ R BC ′R CD ′2−A'B' C' D'I AB ′ I BC ′ I CD ′Jika simpul B dan B' serta C dan C' kita pandang sebagai dua simpulsuper, maka untuk keduanya berlakuI AB − I BC + I BC ' −IAB ' = 0 dan I BC − ICD+ I CD ' −IBC ' = 0Karena I AB = I AB ' (hubungan seri), maka haruslahI BC = I BC ' dan oleh karenanya ICD= ICD'Dengan kesamaan arus-arus ini maka aplikasi HTK untuk setiapmesh pada rangkaian di atas akan memberikanVVV'A A'B B'C Cyang dapat ditulis sebagai+ I ABRAB+ V+ I BC RBC+ V+ ICDRCD+ VV ' + IA A ABV ' + IB B BCV ' + IC C CD'BB'CC'DD+ I+ I+ I'AB'BCR'CDR'AB'BCR'CD= 0= 0= 0( RAB+ R ' ) + V ' = 0AB BB( RBC+ R ' ) + V ' = 0BC CC( R + R ' ) + V ' = 0CDTiga persamaan terakhir ini tidak lain adalah persamaan rangkaianyang berbentuk :CDDD188 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

AI AB I BC I CDB C D+ R AB +R AB’R BC +R BC’ R CD +R CD’V +1 V 2−−A'Dengan mengambil simpul B' sebagai simpul referensi kita dapatmemperoleh persamaan tegangan untuk simpul B dan C sebagai⎛ 1 1 ⎞⎜⎟VAVCVB++ I ' − −''BB+ ' + '⎝RAB+ RABRBC+ RBC⎠RABRABRBCRBC⎛ 1V ⎜C'⎝RBC+ RBCB' C' D'1 ⎞⎟VBVD++ I ' − −+CCRCDR '+ ' + 'CD ⎠RBCRBCRCDRCD= 0= 0Inilah persamaan tegangan simpul B dan C yang dapat kita perolehlangsung dari diagram satu garis :ABR AB +R AB’ R BC +R BC’R CD +R CD’CDI BB’I CC’Jadi, dengan menambahkan resistansi saluran balik pada salurankirim, maka saluran balik tidak lagi mengandung resistansi. Dengandemikian saluran balik ini dapat kita pakai sebagai simpul referensiyang bertegangan nol untuk seluruh panjang saluran balik tersebut.Dengan cara demikian ini, maka kita dapat memperoleh persamaan“tegangan simpul” langsung dari diagram satu garis tanpa harusmenggambarkan diagram rangkaian sebenarnya, dengan catatanbahwa yang dimaksud dengan “tegangan simpul” adalah teganganantara saluran pengirim dan saluran balik di lokasi yang sama.10.6. Jaringan Distribusi DayaPenyaluran daya listrik dapat bermula dari satu sumber ke beberapa titikbeban ataupun dari beberapa sumber ke beberapa titik beban. Jaringanpenyaluran daya ini, yang disebut jaringan distribusi daya, dapat189

erbentuk jaringan radial, mesh, atau ring. Ke-tiga bentuk jaringantersebut akan kita lihat secara berturut-turut dalam contoh berikut.COTOH-10.8: Tiga beban di A, B, dan C, masing-masing memerlukanarus 50, 20, dan 60 A dicatudengan jaringan radial darisumber X yang tegangannyaX 250V250 V. Penyaluran daya dari0,04Ω0,05Ωsumber ke beban dilakukanCmelalui saluran yang resistansi A 0,1Ω60Atotalnya (saluran pengirim dan 50Asaluran balik) diperlihatkanpada gambar. Carilah teganganBmasing-masing beban dan20Adaya diserap saluran pada tiapcabang saluran.Penyelesaian :VA= VX− 0,05×50 = 247,5 V;VB= 250 − 0,1 × 20 = 248 V;VC= 250 − 0,04×60 = 247,6 V2pXA= (50) × 0,05 = 125 W;2pXC= (60) × 0,04 = 144 W2pXB= (20) × 0,1 = 40W;COTOH-10.9: Titik beban A dan B serta B dan C pada contoh 10.8,dihubungkan dengan interkonektor yang resistansi masing-masingterlihat pada gambar di sampingX 250Vini. Carilah tegangan masingmasingbeban dan daya diserap 0,05Ω0,04Ωsaluran pada tiap cabang salurandan interconnector, serta arus0,1ΩCA0,15Ωsaluran.50A60APenyelesaian :0,1ΩB20A190 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

191Persamaan tegangan simpul untuk simpul A, B, dan C adalah00,040,15600,1510,04100,10,150,1200,1510,110,1100,050,1500,110,051=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XBCXCABXBAVVVVVVVVVV062503206039502500320102038005000105030=−−+=−−−+=−−+BCCABBAVVVVVVVDari sini kita perolehV247,583247,75495V ;247,757247,6421239V;247,63=+==×+==ABCVVVDaya diserap saluran adalahW146,40,04247,63)(250W50,60,1247,75)(250W1170,05247,58)(250)(2222=−==−==−=−=XCXBXAAXXAppRVVp30954123949512500270013=−−CBAVVV18570744049509520020803001030=−−−−CBAVVV

2( V − )= A VpBAB0,12(247,58 − 247,75)=0,1= 0,3 W2(247,75 − 247,63)pBC== 0,1 W0,15Arus pada saluran:( VX−VA) (250 − 247,58)I XA = == 48,4 ARXA0,05(250 − 247,75)I XB == 22,5 A0,1(250 − 247,63)I XC == 59,3 A0,04COTOH-10.10: Gambar berikut ini adalah diagram satu garis jaringandistribusi dengan sumber-sumber yang dinyatakan sebagai arusmasuk ke jaringan dan beban-beban dinyatakan dengan arus keluardari jaringan. Pada jaringan berstruktur cincin ini, hitunglah arusaruspada tiap cabang saluran.30A I 280AB 0,02Ω CI 1 I 30,01Ω 0,02Ω70A ADI 60,01Ω 0,01IF 0,03Ω Ω E 4120A I 5 60A60APenyelesaian :Aplikasi HTK untuk loop dan HAK untuk lima “simpul”memberikan persamaan dalam bentuk matriks sebagai berikut :192 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

0,01− 110000,020− 11000,0200− 1100,01000−110,030000− 10,0110000I1I2I3I4I5I6=0− 7030− 8060− 60Eliminasi Gauss memberikan :100000220000222000111100333330124671I1I2I3I4I5I6=0− 70−150− 390− 450− 81Dari sini kita peroleh :I6= −81A ; I5= 39 A ;I3= 39 A ; I 2 = −41A ;I 4 = −21A ;I1= −11ATanda negatif : arah arus berlawanan dengan arah referensi.10.7. BatereBatere merupakan sumber daya arus searah yang banyak digunakan,terutama untuk daya yang tidak terlalu besar serta keadaan darurat.Untuk daya besar, susunan batere dicatu oleh sumber arus searah yangdiperoleh dari penyearahan arus bolak-balik. Berikut ini kita akanmelihat penyediaan batere, sedangkan penyearahan arus bolak-balik akankita lihat pada sub-bab berikutnya mengenai rangkaian dengan dioda.Suatu batere tersusun dari sel-sel yang merupakan sumber daya searahmelalui konversi energi kimia. Setiap sel mempunyai tegangan yangtidak besar dan oleh karena itu untuk memperoleh tegangan sumber yangkita inginkan, kita harus menyususn sel-sel itu menjadi suatu susunanbatere. Sebagai contoh, sumber daya untuk mobil merupakan sumberdengan tegangan 12 V yang tersusun dari 6 sel terhubung seri danmasing-masing sel bertegangan 2 volt.193

Penyediaan batere haruslah diusahakan optimal baik dilihat daripertimbangan ekonomis maupun teknis. Berikut ini suatu contohperhitungan penyediaan batere.COTOH-10.11: Suatu susunan batere diperlukan untuk memberikanarus sebesar 6 A pada beban resistif sebesar 0,7 Ω. Jika sel-sel yangtersedia mempunyai ggl (emf) 2,1 V dengan resistansi internal 0,5Ω, tentukanlah jumlah sel dan susunannya.Penyelesaian :Jika kita anggap susunan batere kita sebagai suatu sumber Thévenin,maka untuk mencapai transfer daya maksimum resistansi Théveninharus sama dengan resistansi beban, yaituR Th = R beban = 0,7 ΩKarena arus ditetapkansebesar 6 A, maka sumbertegangan Thévenin, V Th ,haruslahV Th+−R Th6 A0,7 ΩV Th= 6 × (0,7 + 0,7) = 8,4VSel yang tersedia mempunyai ggl 2,1 V sehingga diperlukan 4 buahsel dihubungkan seri untuk memperoleh tegangan 8,4 V. Susunanseri ini mempunyai resistansi total sebesar 4×0,5=2 Ω. Untukmemperoleh R Th sebesar 0,7 Ω (atau mendekati) diperlukan tigasusunan paralel, yang akan meberikan R ekivalen = 0,66 Ω. Jadi kitamemerlukan 4 × 3 = 12 sel, yang tersusun menjadi 4 seri 3 paralelseperti terlihat pada gambar di bawah ini.4×0,5 Ω+++6 A4×2,1 V0,7 0.7 Ω−−−Pemahaman :Jika susunan seri kita kurangi jumlah sel-nya, menjadi hanya 3,maka tegangan total menjadi 3×2,1=6,3 V, dan resistansinya menjadi194 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

3×0,5=1,5 Ω. Dengan mempertahankan susunan tetap 3 paralel,resistansi ekivalen menjadi 0,5 Ω. Arus beban akan menjadi6,3/(0,5+0,7) = 5,025 A,kurang dari yang diharapkan yaitu 6 A.Jika kita coba menambah jumlah cabang paralelnya menjadi 4,resistansi ekivalen menjadi 1,5/4 = 0,375 Ω. Arus beban menjadi6,3/(0,375+0,7) = 5,86 A; tetap masih kurang dari 6 A. Jadi susunan12 sel menjadi 4 seri terparalel 3, adalah yang optimal dengan arusbeban 8,4/(0,66+0,7) = 6,17 A.10.7.1. Sel-sel Ujung (Sel Akhir)Pada umumnya pembebanan pada batere tidaklah selalu tetap. Jika arusbeban bertambah, maka tegangan batere akan menurun karena adaresistansi internal. Tegangan batere juga akan menurun pada bebankonstan, seiring dengan berjalannya waktu. Oleh karena itu jikadiperlukan suatu tegangan keluaran yang tertentu besarnya, makadiperlukan sel ujung yang akan dimasukkan ataupun dikeluarkan darisusunan batere agar perubahan tegangan keluaran masih dalam batasbatasyang diperbolehkan.COTOH-10.12: Dari suatu susunan batere diperlukan tegangankeluaran sebesar 220 V. Jika tegangan maksimum tiap sel adalah 2,5V sedangkan tegangan minimum yang masih diperkenankan adalah1,85 V, berapakah jumlah sel (terhubung seri) yang diperlukan, danberapakah jumlah sel ujung.Penyelesaian :Jumlah sel yang diperlukan harus dihitung dengan memperhatikantegangan minimum sel agar pada tegangan minimum ini tegangankeluaran batere masih bernilai 220 V. Jadi jumlah sel yangdiperlukan adalah220 = = 119 buah1,85Pada saat sel bertegangan maksimum, jumlah sel yang diperlukanhanyalah2202,50 = =88 buahJadi jumlah sel ujung adalah u = 119 − 88 = 31 buah.195

10.7.2. Pengisian BatereDalam proses pengisian batere, daya dari sumber ditransfer ke batere.Daya yang dikeluarkan oleh sumber, selain untuk mengisi bateresebagian akan hilang menjadi panas dalam batere (karena adanyaresistansi internal batere), hilang pada saluran, dan juga hilang padasumber itu sendiri karena adanya resistansi internal sumber. Kita lihatcontoh berikut ini.COTOH-10.13: Sebuah sumber tegangan searah 250 V denganresistansi internal sebesar 0,5 Ω digunakan untuk mengisi batereyang terdiri dari 100 sel, masing-masing dengan ggl 2,2 V danresistansi internal 0,01 Ω. Hitunglah a) arus pengisian. b) daya pengisianbatere, c) daya hilang sebagai panas dalam batere, d) dayahilang sebagai panas pada sumber.Penyelesaian :Rangkaianpengisisan batereadalah sepertigambar disamping ini.+−Ggl total batere dan resistansi internalnya adalah :GGL = 100 × 2,2 = 220 V ; Rb= 100 × 0,01 = 1 Ωa). Arus pengisisan adalah :+R sR b−250 V+−V − 250 − 220= sumber GGLI= = 20 ARs+ Rb0,5 + 1b). Daya untuk pengisisan batere adalah :p pengisian = GGL × I = 220 × 20 = 4400 W .c). Daya hilang sebagai panas dalam batere adalah ;(100 × 2,2) Vppanas = bI2 R = 20 2 × 1 = 400Wd). Daya hilang pada sumber :ppanas sumber = sumberI2 R = 20 2 × 0,5 = 200W196 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

10.8. Generator Arus SearahPembahasan secara rinci dari suatu generator arus searah dapat kitapelajari dalam pembahasan khusus mesin-mesin listrik. Generator arussearah dalam ulasan berikut ini dipandang sebagai piranti yang dapatdimodelkan secara sederhana, sebagai sebuah sumber arus searah selainbatere yang kita bahas di atas.Kita mengenal beberapa jenis generator yang dibedakan menurut macampenguatan (eksitasi) yang digunakan, yaitu generator berpenguatanbebas, generator berpenguatan seri, dan generator berpenguatan shunt(paralel), generator berpenguatan kompon. Di sini kita hanya akanmelihat generator berpnguatan bebas.Generator arus searah berpenguatan bebas dapat dimodelkan dengansumber tegangan tak-bebas CCVS. Arus eksitasi, i f , mengalir melaluikumparan eksitasi, yang merupakan kumparan stator, dan menimbulkanmedan magnet. Dalam medan magnetik inilah rotor yang mendukukungkumparan jangkar berputar dengan kecepatan n putaran per menit (nrpm) sehingga di kumparan jangkar ini timbul tegangan. Teganganjangkar ini mencatu beban yang dihubungkan ke terminal generator;karena belitan jangkar memiliki resistansi maka terdapat resistansi seriyang terhubung ke tegangan yang terbangkit di kumparan jangkar yangdisebut resistansi jangkar, R a . Tegangan yang terbangkit di kumparanjangkar sebanding dengan fluksi magnetik di stator dan kecepatanperputaran rotor sehingga tegangan jangkar dapat dinyatakan denganVg= k nφdengan k a suatu konstanta yang tergantung dari konstruksi jangkar, nkecepatan perputaran rotor, dan φ adalah fluksi magnet. Jika kita anggaprangkaian magnetik memiliki karakteristik linier maka fluksi φ dapat kitaanggap sebandingdengan arus eksitasiφ = k f i fsehingga tegangangenerator dapat kitanyatakan sebagaiV = cggnifdengan c g adalah suatu tetapan.a+_i f c g ni fR a+tegangan generator−CCVS, model generator arus searah197

Soal-SoalRangkaian Arus Searah1. Tegangan pada sebuah resistor R yang sedang dialiri arus searahdiukur dengan menggunakan sebuah voltmeter yang mempunyairesistansi internal 20 kΩ. Voltmeter menunjuk 200 V. Jika arus totaladalah 0,05 A, hitunglah nilai R.2. Arus yang melalui sebuah resistor R diukur menggunakan ampermeteryang mempunyai resistansi internal 0,1 Ω (resistor R dihubungkanseri dengan ampermeter). Jika tegangan yang diberikan adalah 10 Vdan ampermeter menunjuk 50 A. Hitung R.3. Sebuah voltmeter jika dihubungkan langsung ke sumber teganganmenunjuk 240 V, jika melalui resistor seri 50 kΩ, ia menunjukkan 90V. Berapakah resistansi internalnya ?.4. Sebuah voltmeter jika diserikan dengan resistor 50 kΩ menunjuk 90 Vpada tegangan sumber 240 V. Jika resistor 50 kΩ diganti dengansuatu resistansi R x maka voltmeter menunjuk 3 V. Denganmembandingkan dua pengukuran tersebut, hitunglah R x .5. Dua buah voltmeter masing-masing mempunyai resistansi internal 20kΩ dan 30 kΩ. Jika mereka dihubungkan seri dan pada hubungan seriini diberikan tegangan 300 V, berapakah penunjukkan masing-masing?6. Suatu batere terdiri dari 10 buah sel masing-masing mempunyai emf1,8 V dan resistansi internal 0,02 Ω. Jika sepuluh sel itu dihubungkanseri untuk mencatu beban resistor 2,8 Ω, berapakah daya yang diserapbeban ? Jika sepuluh sel tersebut dihubungkan paralel untuk mencatubeban yang sama, berapa daya diserap beban ?7. Dua buah batere 120 V mempunyai resistansi internal berbeda,masing-masing 0,2 Ω dan 0,25 Ω. Kedua batere diparalelkan untukmencatu daya pada resistor 60 Ω. Hitunglah arus yang diberikan olehmasing-masing batere.8. Sebuah beban memerlukan arus 100 mA pada tegangan 5 V. Sumberyang tersedia bertegangan 24 V. Untuk memenuhi keperluan itudigunakan potensiometer yang resistansi totalnya 10 kΩ. Berapa dayadiserap beban dan berapa daya diberikan oleh sumber ?198 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

9. Dua alat pemanas digunakan secara bersamaan pada tegangan 240 V.Arus total yang mereka ambil adalah 15 A. Salah satu pemanasdiketahui menyerap daya 1200 W. Berapa daya yang diserap pemanasyang lain dan hitunglah resistansi masing-masing pemanas.10. Resistansi konduktor suatu jenis kabel adalah 0,014 Ω per 100 m.Kabel jenis ini digunakan untuk menyalurkan daya searah ke sebuahbeban 100 A pada jarak 250 m dari pusat pencatu daya. Hitungperbedaan tegangan antara ujung kirim dan ujung terima kabel danhitung daya hilang pada saluran ini.11. Tiga buah beban masing-masing 50 A, dihubungkan pada satu pusatpencatu daya searah melalui kabel-kabel yang terpisah. Resistansikabel (saluran kirim + saluran balik) ke beban A, B, dan C berturutturutadalah 0,05 , 0,1 , dan 0,02 Ω. Jika tegangan di pencatu dayaadalah 250 V, hitung tegangan di masing-masing beban.Rangkaian dengan Diagram Satu Garis12. Diagram satu garis berikut ini menunjukkan penyaluran daya searahke tiga beban menggunakan satu saluran kabel. Pusat pencatu daya diA bekerja pada tegangan 250 V. Tentukan pada tegangan berapamasing-masing beban beroperasi.I A0,02Ω 0,02Ω 0,01ΩA B C80A 50A 30A13. Suatu kabel penyalur daya dicatu di kedua ujungnya untuk memberidaya pada dua beban seperti terlihat pada diagram satu garis berikut.Jika tegangan di A 255 V, dan di D 250 V, hitunglah tegangan di Bdan C. Hitung pula arus masuk di A dan D, dan arus di segmen B-C.I A 0,02Ω 0,04Ω 0,03Ω I DA B C D100A150A14. Gambarkan diagram satu garis untuk sistem pada soal 11. Jika bebanA dan B dihubungkan dengan kabel konektor yang resistansinya 0,1Ω, dan beban B dan C dengan kabel konektor 0,015 Ω. hitungtegangan di masing-masing beban.199

15. Diagram satu garis suatu jaringan distribusi daya searah dengankonfigurasi cincin adalah sebagai berikut. Jika sumber di A bekerjapada 250 V, hitung tegangan masing-masing beban dan arus disegmen-segmen jaringan distribusi.A120AC0,005Ω0,02Ω0,01ΩB 0,04Ω80AD0,02ΩE100A16. Sebuah beban 100 A berada pada jarak 250 m dari pusat pencatudaya. Jika tegangan jatuh pada beban tidak boleh lebih dari 5 V danjika resistivitas bahan konduktor kabel adalah 0,018 Ω.mm 2 /m,hitunglah penampang konduktor kabel yang diperlukan.200 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 11Rangkaian Pemroses Sinyal(Rangkaian Dioda dan OPAMP)Dalam bab ini kita akan melihat beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian, dengan contoh-contoh rangkaian pemrosesan sinyal. Kitaakan melihat rangkaian-rangkaian dengan menggunakan dioda danrangkaian dengan OP AMP.Dengan mempelajari rangkaian pemroses sinyal di bab ini, kita akan• memahami rangkaian penyearah, pemotong gelombang;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian dioda;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan resistor.• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan elemen dinamis.• memahami hubungan-hubungan bertingkat rangkaian OP AMP.11.1. Rangkaian Dengan DiodaKita telah melihat bagaimana karakteristik dioda dan kita juga telahmempelajari rangkaian dengan dioda pada waktu membahas modelpiranti. Rangkaian yang telah kita kenal adalah penyearah setengahgelombang, penyearah gelombang penuh dengan empat dioda (penyearahjembatan), dan rangkaian pensaklran. Berikut ini kita masih akan melihatpenyearah gelombang penuh dari jenis yang lain, yaitu menggunakantransformator. Namun untuk mengingat kembali, kita sebutkan secararingkas apa yang sudah kita pelajari.11.1.1. Penyearah Setengah GelombangRangkaian dan hasil penyearahan digambarkan lagi seperti terlihat padaGb.11.1. Nilai rata-rata arus adalah:Ias2π1=π ∫i2R0Vd(ωt)=m=πRImπ201

v sA+i+ v D −B+v RR L −CVv smi RI asωtGb.11.1. Penyearah setengah gelombang.00π2π11.1.2. Penyearah Gelombang Penuh (Rangkaian Jembatan)Rangkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrosesannyadigambarkan lagi seperti terlihat pada Gb.11.2.vD 2iC+AB+R LD 1D 4Gb.11.2. Penyearah gelombang penuh jembatan.Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searahIas2 V=π RmL2I=π11.1.3. Penyearah Gelombang Penuh Dengan TransformatorDiagram rangkaian penyearah ini terlihat pada Gb.11.3.DV m00mvπi2πI asωtD 1v++v 1v 2+Ri 1i 2V m00v 1 v 2i 1 i 2π 2πI asωtD 2Gb.11.3. Penyearah gelombang penuhdengan transformator ber-titik-tengah.202 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Rangkaian ini menggunakan transformator dengan belitan sekunderterbagi dua sama besar (belitan sekunder mempunyai titik tengah)sehingga dapat memberikan dua tegangan sekunder sama besar.Perbandingan lilitan transformator untuk keperluan ini disesuaikandengan besar tegangan keluaran yang diinginkan.Aplikasi HTK untuk kedua loop di sekunder transformator memberikanv v V t vv v iR i1 − D11msinω− D11 − D1− = 0 → = =RR(11.1)v v Vmt vDv v iR i2 − D2− 1 sinω− 22 − D2− = 0 → = =RRPada waktu D 1 konduksi,V1sin tim ω=Ryang hanya akan bernilai positif pada selang 0 ≤ ωt ≤ π. Dalam selang inipersamaan kedua dari (11.1) menjadiVm1 sinωt−Vm ωt− v=1 sin D2→ vD2= −2Vm1sinωt(11.2)RRJadi pada saat D 1 konduksi, D 2 tidak konduksi karena v D2 < 0.Pada setengah perioda berikutnya, D 2 konduksi sedangkan D 1 tidakkonduksi. Arus yang mengalir pada R akan tetap sama seperti padasetengah perioda sebelumnya. Tegangan balik maksimum yang dideritaoleh dioda adalah –2V m1 .11.1.4. Filter (Tapis) PasifTujuan dari penyearahan adalah memperoleh arus searah. Dalampenyearah yang kita bahas di atas, kita tidak memperoleh arus searahmurni melainkan arus searah yang berubah secara periodik; jadi arussearah ini mengandung komponen arus bolak-balik. Variasi tegangan inidisebut riak tegangan. Riak tegangan pada penyearah gelombang penuhlebih kecil dari riak tegangan pada penyearah setengah gelombang.Untuk lebih memperkecil riak tegangan ini digunakan filter yangbertugas untuk meloloskan komponen searah dan mencegah komponenbolak-balik.203

Filter Kapasitor. Dengan menambahkan kapasitor paralel dengan bebanR pada rangkaian penyearah setengah gelombang, maka riak teganganakan sangat ditekan. Sebagaimana kita ketahui, kapasitor dapatmenyimpan energi. Pada saat tegangan sumber naik, kapasitor akan terisisampai mencapai tegangan maksimum. Pada saat tegangan sumbermenurun, kapasitor akan melepaskan energi yang disimpannnya melaluibeban (karena pada saat ini dioda tidak konduksi). Dengan demikianbeban akan tetap memperoleh aliran energi walaupun dioda tidakkonduksi. Selanjutnya bila dioda konduksi lagi, kapasitor akan terisi danenergi yang tersimpan ini akan dilepaskan lagi pada waktu dioda tidakkonduksi; dan demikian seterusnya. Filter semacam ini tentu saja dapatpula digunakan pada penyearah gelombang penuh.Gb.11.4. memperlihatkan rangkaianpenyearah setengah gelombang denganfilter kapasitor. Jika v = Vm sin ωt,bagaimanakah bentuk tegangan keluaranpada beban R ?Pada waktu dioda konduksi, kapasitor Gb.11.4. Filter kapasitor.terisi sampai tegangan maksimum. Padawaktu v menurun tegangan sumber menjadi lebih kecil dari tegangankapasitor dan dioda tidak konduksi, v C = v R . Kapasitor melepaskanmuatannya melalui R dan selama pelepasan muatan ini, kita mempunyailoop tertutup RC seri. Untuk loop ini berlakudvCdvCv R = vC= RiR= R( −iC) = −RC→ RC + vC= 0dt dtPersamaan diferensial ini memberikandv C 1 1−(1/RC)t= − dt → lnvC= − t + K ⇒ vC= K1evCRCRCNilai K 1 ditentukan oleh nilai awal tegangan kapasitor yaitu pada saat iamulai melepaskan energinya yang hampir sama besar dengan teganganmaksimum yang dicapai sesaat sebelum dioda berhenti konduksi, yaitu−(1/ RC)tV m . Jadi vC= Vme. Dioda akan kembali konduksi manakala v >v C . Maka tegangan pada R adalahpada waktu dioda konduksi: vpada waktu dioda tak konduksi: vRRv= vC= v= VCsinωtVm−( 1/ RC)tVme=i D+ v D − +v R−V204 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

151050-5-10-15v R=v vT0 0.05 0.1 0.15∆T∆v CωtDengan menambahkan kapasitor, riak tegangan dapat diperkecil. Kitadapat melihat bahwa tegangan kapasitor menurun sebesar ∆v C .Penururnan tegangan ini menunjukkan adanya pelepasan muatan sebesarC∆v C dan ini sama dengan jumlah muatan yang ditransfer melalui Rdalam selang waktu (T−∆T), yaitu sebesar I as (T−∆T). Dengan relasi inikita dapat memperkirakan besarnya C yang diperlukan untuk membatasitingkat riak tegangan (membatasi ∆v C ).∆ q⇒C= C ∆vCIasTC =∆vC= IasI=asf∆v( T − ∆T) ≈ ICV=asRf∆vCasT(11.3)COTOH-11.1: Pada penyearah dengan filter Gb.11.2, R = 5 kΩ, dandiinginkan tegangan dan arus di R adalah I as = 10 mA dan V as = 50V, sedangkan riak tegangan tak lebih dari 1% × V as , berapakah nilaiC dan berapa tegangan masukan v jika frekuensinya 50 Hz ?Penyelesaian :Vas∆vC= 0,01Vas → = 0,1∆vCVas1→ C = = ×Rf∆vC5000 × 50Vas10,01= 400 µ F= 50 V →V≈ 50 V → v = 50sin(100πt)Vm(jika sumber yang tersedia 220 V, diperlukan transformator)205

11.2. Rangkaian Dengan OP AMPKarakteristik OP AMP telah kita bahas pada waktu kita membahasmodel piranti di Bab-5. Dua rangkaian dasar OP AMP, yaitu rangkaianpenyangga dan rangkaian penguat non-inversi telah pula kita pelajari. Disub-bab ini kita akan membahas rangkaian-rangkaian OP AMP yang laintermasuk rangkaian dengan elemen dinamis. Apa yang telah kita pelajarimengenai OP AMP akan kita ulang secara ringkas.11.2.1. Karakteristik Penguat Operasional (OP AMP) IdealOP AMP adalah suatu piranti berbentuk rangkaian terintegrasi yangcukup rumit, terdiridari transistor,resistor, dioda,kapasitor, yangsemuanyaterangkai dalamsatu chip.Walaupunrangkaiannya rumit,OP AMP dapat dimodelkan dengan suatu karakteristik i-v yang agaksederhana. Rangkaian dan karakteristik OP AMP ideal yang kita gunakanuntuk melakukan analisis adalah seperti terlihat pada Gb.11.5.11.2.2. Rangkaian PenyanggaRangkaian penyangga serta relasi masukan-keluaran diperlihatkan lagipada Gb.11.6.v Pi Pv P +v +i Pi +v −v s +−R+−−i o+ v ov P = v iP= i = 0Gb.11.5. Rangkaian dan karakteristikOP AMP ideal.v ov o = v s (11.5)(11.4)i 11.2.3. Rangkaian Penguat on-InversiRangkaian penguat non-inversi serta relasi masukan-keluarandiperlihatkan lagi pada Gb.11.7.206 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v Pi Pv o+v −v s+R−1i R 2v oR1+ R 2R 2= (11.6)vsumpan balikGb.11.7. Rangkaian penguat non-inversi11.2.4. Rangkaian Penguat InversiDiagram rangkaian penguatinversi terlihat pada Gb.11.8.Sinyal masukan dan umpan balik,keduanya dihubungkan keterminal masukan inversi.Terminal non-inversidihubungkan ke titik pentanahan,sehingga v P = 0.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalahv s+−R 1i 1i v v Pumpan baliki 2A−+R 2Gb.11.8. Penguat inversiv o⎛ 1 1 ⎞ vv ⎜ ⎟++ i −s⎝ R1R2⎠ R1v−Ro2= 0Oleh karena v = v P = 0 dan i = i P = 0, makav⎛ R ⎞sv+ o = 0 sehingga v = − ⎜ 2 ⎟vR RoRs1 2⎝ 1 ⎠(11.7)Kita lihat bahwa gain loop tertutup adalah K = − (R 2 / R 1 ). Tanda negatifmenunjukkan terjadinya pembalikan polaritas sinyal. Oleh karena iturangkaian ini disebut penguat inversi.207

COTOH-11.2: Di sampingini adalah salah satuvariasi rangkaian penguatinversi. Tentukanlahhubungan keluaranmasukandan resistansimasukan.Penyelesaian :Persamaan tegangan simpul untuk simpul A (terminal inversi) :⎛ 1 1 ⎞v⎜ ⎟++ i⎝ R1R2⎠v−sR1v−Ro2= 0Untuk OP AMP ideal i = i P = 0, dan v = v P = 0 maka−vR1s−v+R2o= 0 →vvos−R=RKarena v A = v P = 0 maka i in = v s / R 1 . Resistansi masukan adalahvRin sin = = = R1iinvs/ R1Pengaruh adanya R 3 akan terlihat jika kita menggunakan rangkaianGb.5.12.COTOH-11.3: Padavariasi rangkaianpenguat inversi disamping ini,tentukanlah hubungankeluaran-masukan danresistansi masukan.Penyelesaian :v sv s+−i in R 4+−Kita pandang rangkaian ini terdiri dari seksi sumber, yaitu rangkaiansebelah kiri dari simpul B, dan seksi beban yaitu rangkaian disebelah kanan simpul B (rangkaian penguat inversi). Jika seksisumber kita ganti dengan rangkaian ekivalen Thévenin-nya, makarangkaian menjadi seperti di bawah ini.vR 5BR 1R 3R 1A12AR 2−+R 2−++v o+v o208 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

V T+−R 1AR 2−++v oRV 5T = vs; RT= R4|| R5R4+ R5Dengan cara seperti pada contoh sebelumnya, kita akan memperolehMaka :vVRo2= − = −T R1+ RTR1+vovoV R2R5R2R= × T = −× = −5vs VTvsR1+ R4|| R5R4+ R5( R1R5 + R1R4 + R4R5)Resistansi masukan adalah R in = v s / i in . Karena v A = v = v P = 0,maka i in = v s / (R 4 + R 1 ||R 5 ), sehinggaRR24|| RvR4(R1R5) R1RR s+ + 5in = = R4+ R1|| R5=iinR1+ R5511.2.5. Rangkaian PenjumlahDiagram rangkaianpenjumlah atau adder terlihatpada Gb.11.9. Rangkaian inimempunyai dua masukan dankeduanya dihubungkan keterminal masukan yang sama,yang disebut titik penjumlah.Terminal masukan noninversiditanahkan, sehinggav P = 0 = v dan i = 0(model ideal).Persamaan tegangan simpuluntuk simpul A adalahi 1R 1v 1+−v 2+−R 2v v PA−+i FGb.11.9. Rangkaian penjumlah.v o209

⎛ 1 1 1 ⎞ 1 2 o+ v v vv⎜ + + ⎟ i− − − = 0⎝ R1R2RF⎠ R1R2RFv1v2vo→ + + = 0R1R2RFDari persamaan ini dapat diperoleh hubungan antara keluaran danmasukan yaituv⎛ vv⎞R1 2o = −RFvFF ⎜ + = − 1 − v2= K1v1+ K2v2R1R⎟(11.8)2 R1R2⎝⎠Jadi, tegangan keluaran merupakan jumlah dari tegangan masukan yangmasing-masing dikalikan dengan gain yang berkaitan. Jumlah masukansudah barang tentu tidak terbatas hanya dua. Jika terdapat N masukandengan tegangan masukan masing-masing v n dan resistansi R n makaRvo= ∑Knvndengan Kn= −F (11.9)RnRnCOTOH-11.4: Carilahtegangan keluaran darirangkaian di samping ini.Penyelesaian :R Rv o = − v1− v2= − 1 +R R( v v )2v 1v 2RR−+Rv oTegangan keluaran merupakan inversi dari jumlah teganganmasukan.COTOH-11.5: Carilahtegangan keluaran darirangkaian di sampingini.Penyelesaian :Persamaan tegangan untuk simpul A adalahv 1v 2RRA+−RRv o210 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛ 1 1 ⎞ v1vv2P ⎜ + ⎟ + iP− − = 0⎝ R R ⎠ R Rv1+ v→ v2P =2Karena v = v o /2, maka :v1+ v2vo= → vo= v1+ v22 2Tegangan keluaran merupakan jumlah tegangan masukan.Pemahaman :Masing-masing sumber pada rangkaian ini mengeluarkan arus :v1− vPv1− v2v2− vPv2− v1i1= = ; i2= =R 2RR 2RSumber-sumber terbebani secara tidak merata (tidak sama).Pembebanan sumber tidak terjadi apabila v 1 = v 2 . Hal ini berbedadengan rangkaian pada contoh 7.7.Pada contoh 7.23. masing-masing sumber mengeluarkan arusv1− v v1v2− vv2i1= = ; i2= =R RR RJadi pada rangkaian penjumlah inversi, sumber akan tetap terbebaniwalaupun v 1 = v 2 .COTOH 11.6:Carilah tegangan keluaranv o dari rangkaianpemjumlah di samping ini.Penyelesaian :Rangkaian penjumlah inimempunyai keluaranv 1+−13kΩ65 65v = − v − v = − +13 5( 5vv )o 1 2 1 13 265kΩPemahaman :Apabila kita diminta untuk merancang penjumlah dengan formulasiv o seperti di atas, kita tidak akan memperoleh nilai resistor sepertiv 2+−5kΩA−+v o211

apa yang tertera dalam diagran di atas. Dalam kenyataan nilai-nilairesistansi pada rangkaian ini tidak ada di pasaran. Oleh karena itukita harus melakukan modifikasi dengan memilih nilai resistor yangada di pasaran yang mendekati nilai-nilai ini. Misalkan resistor 65kΩ kita ganti dengan 56 kΩ. Penggantian ini mengharuskan duaresistor yang lain bernilai masing-masing 11.2 kΩ dan 4.31 kΩ.Dengan toleransi ± 5 % kita dapat memilih resistor 11 kΩ dan 4.3kΩ. Pemilihan nilai-nilai resistor yang ada di pasaran ini akanmemberikan formulasi tegangan keluaran56 56v +11 4.3( 5,09v13, v )o = − v1− v2= − 1 02Dalam perancangan, kita harus melakukan kompromi seperti ini.Tegangan keluaran yang kita peroleh akan mempunyai kesalahanjika dibandingkan terhadap formulasi ideal yang semula diinginkan.Namun dengan pemilihan komponen yang tepat, kesalahan ini dapatdibatasi tidak lebih dari sesuatu nilai yang ditetapkan; dalam contohini kesalahan tersebut tidak lebih dari 2 %.11.2.6. Rangkaian Pengurang atau Penguat DiferensialDiagram rangkaian pengurangatau penguat diferensialini terlihat pada Gb.11.10.Salah satu tegangan masukandihubungkan ke terminalmasukan inversi denganrangkaian inversi, sedangkantegangan masukan yang laindihubungkan ke terminalmasukan non-inversi denganrangkaian non inversi.Hubungan masukan –keluaran dapat dicari dengan+−Gb.11.10. Penguat diferensial.menggunakan prinsip superposisi. Jika v 2 dimatikan maka terminal noninversi terhubung melalui resistor ke titik pentanahan, jadi v P = 0 karenai P = 0. Dalam keadaan ini rangkaian bekerja sebagai penguat inversi;makav 2i 1R 2i v v 1 R 3 v−P++−R 1R 4i P2i 2v o212 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Rv2o1 = − v1(11.10)R1Jika v 1 dimatikan maka terminal inversi mendapat tegangan yangbesarnya adalahv R +Tegangan di terminal non-inversi=1vo2(11.11)R1R2Rv P+=4v2(11.12)R3R4Karena v = v P maka dari (11.11) dan (11.12) kita perolehR1Rv 4o2 = v2R1+ R2R3+ R4atau⎛ R4⎞⎛ R1+ R2⎞vo2=⎜v2R3R⎟⎜4 R⎟⎝ + ⎠⎝1 ⎠(11.13)Keluaran total adalah⎛ R2⎞ ⎛ R4⎞ ⎛ R1+ R2⎞vo= vo1+ vo2= −⎜ v1v2R⎟ +⎜1 R3R⎟⎜4 R⎟⎝ ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ 1 ⎠= −K1v1+ K2v2(11.14)Dalam keadaan khusus, jika kita buat R 1 = R 2 = R 3 = R 4 maka v o = v 2 −v 1 .COTOH 11.7:Carilah v o pada rangkaian di bawah ini.v 1v 2RR/2BA−+2Rv oRPenyelesaian :Persamaan tegangan untuk simpul A dan B memberikan213

⎛ 1 1 ⎞ v1vo3vv⎜ + ⎟ + i− − = 0 →⎝ R 2R⎠ R 2R2R2v1vo→ v= +3 3⎛ 2 1 ⎞ 2v2 2vvi 0 v2P ⎜ + ⎟ + P − = → P =⎝ R R ⎠ R3Karena v = v P makaPemahaman :2v3v32v3v1vo= +R 2R1 o+ =2→ vo= 2v2− 2v1Dalam rangkaian di atas, arus yang keluar dari masing-masingsumber adalahv1− vv vi1 −1 = =R Rv 2vi2 22 = =R + R / 2 3RPv1− 2v=R2/ 3 3v1− 2v=3RTerlihat di sini bahwa masing-masing sumber mendapat beban yangberbeda. Kejadian seperti ini harus diperhatikan agar jangan terjadipembebanan berlebihan pada salah satu sumber. Pembeban-an padasumber akan tetap terjadi walaupun v 1 = v 2 .Pembebanan pada sumber dapat ditiadakan dengan menghubungkansumber langsung ke terminal masukan OP AMP sehingga sumberakan melihat resistansi masukan yang tak-hingga besarnya.Rangkaian yang kita bangun akan memerlukan lebih dari satu OPAMP yang terangkai secara bertingkat, suatu bentuk hubungan yangakan kita bahas berikut ini.11.2.7. Hubungan Bertingkat Rangkaian OP AMPHubungan bertingkat adalah hubungan dari dua atau lebih unit rangkaiandimana keluaran dari satu unit rangkaian menjadi masukan bagi unitrangkaian berikutnya. Suatu contoh hubungan bertingkat diberikan padaGb.11.11.2214 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v 1 v 2 v 3 v oK1 K 2 K 3v 1 v 2v 3vo+−+−+−Gb.11.11. Hubungan bertingkat.Keunggulan rangkaian OP AMP adalah bahwa mereka dapatdihubungkan secara bertingkat tanpa menyebabkan perubahan hubunganmasukan-keluaran dari masing-masing rangkaian.Jika masing-masing rangkaian (masing-masing tingkat) dalam contoh inimempunyai gain K 1 , K 2 , dan K 3 , maka gain keseluruhannya menjadi K 1× K 2 × K 3 .Rangkaian OP AMP mempunyai resistansi keluaran nol. Oleh karena itupada hubungan bertingkat tidak terjadi pengaruh pembebanan padarangkaian OP AMP dan dengan demikian tidak mengubah hubunganmasukan-keluaran. Walaupun demikian, daya yang diperlukan olehsuatu tingkat harus masih dalam batas kemampuan daya tingkat didepannya. Oleh karena itu kita perlu mengetahui resistansi masukanrangkaian OP AMP agar kita dapat melakukan evaluasi apakah keperluandaya suatu tingkat tidak melampaui kemampuan daya tingkat didepannya.Secara umum resistansi masukan dapat dinyatakan sebagai R in = v in / i in .Pada penguat non-inversi, i in = i P = 0, sehingga penguat non-inversimempunyai resistansi masukan R in = ∞.v 1+−v oR 1R 2v 1 R 1 R 2_v o+Penguat Non-InversiPenguat InversiPada penguat inversi, i in = ( v in - v ) / R 1 ; karena v = v P = 0 maka i in =v in / R 1 , sehingga untuk penguat inversi R in = R 1 . Dalam hubungan215

ertingkat, resistansi masukan penguat inversi yang nilainya berhinggaini akan membebani rangkaian tingkat di depannya. Dalamperancangan, kita cenderung untuk membuat R 1 besar untukmemperkecil pembebanan ini. Tetapi gain loop tertutup dari penguat iniberbanding terbalik dengan R 1 , yaitu K = −(R 2 / R 1 ); jadi jika R 1diperbesar gain akan mengecil. Menghadapi hal demikian ini kita harusmelakukan kompromi dalam memilih nilai R 1 .COTOH-11.8: Tentukan tegangan keluaran v o dari hubunganbertingkat di samping ini.Penyelesaian :v 1 + + v o1 R R−Tingkat pertama rangkaian iniR −berupa penguat non-inversiR +dengan keluaran v o1 = 2v1.Keluaran ini menjadi masukan v 2 +di tingkat ke dua yang berupasebuah penguat diferensial dengan keluaran yang dapat diturunkansebagai berikut.Pemahaman :⎛ 1 1 ⎞ vo1vvo ⎜ + ⎟ + i− − = 0⎝ R R ⎠ R R→ v = 2v− v = 2v− 2voo1Keluaran dari rangkaian ini sama dengan rangkaian pada contoh-11.7.Jelaslah bahwa suatu formulasi keluaran dapat dipenuhi oleh lebihdari satu macam rangkaian. Rangkaian mana yang dipilih dalam suatuperancangan tergantung dari berbagai pertimbangan, baik teknismaupun ekonomi.Jika kita bandingkan rangkaian pada contoh-11.7 dan 11.8 akanterlihat bahwa sumber-sumber pada contoh-11.7 terbebani sedangkanpada contoh-11.8 sumber-sumber tidak terbebani karena merekaterhubung pada penguat non-inversi yang resistansi masukannya takhingga.Jika daya sumber sangat terbatas, rangkaian pada contoh-11.8akan menjadi pilihan walaupun untuk itu diperlukan biaya lebih besarkarena perlu dua OP AMP.21+vo216 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

11.3. Diagram BlokDalam rangkaian-rangkaian OP AMP yang kita bahas di atas (penguatinversi, non-inversi, penjumlah, pengurang), terdapat hubungan linierantara keluaran dan masukan. Oleh karena itu kita dapat melihat setiaprangkaian sebagai suatu unit pemroses sinyal yang mengandung suatukonstanta tertentu yang menetapkan hubungan antara masukan dankeluarannya. Unit itu dapat digambarkan dengan suatu blok saja denganmenyebutkan konstanta proporsionalitasnya. Cara penggambaran sepertiini kita sebut diagram blok. Gb.11.12 memperlihatkan rangkaian,diagram blok, dan konstanta proprosionalitas dari penguat non-inversidan penguat inversi.v 1+_v oR 1R 2v 1KR1+ RK = 2R2Penguat Non-Inversiv ov 1 v ov 1v oR K1 R 2_+R2K = −R1Penguat InversiGb.11.12. Rangkaian dan diagram blok penguat noninversidan penguat inversiGb.11.13. memperlihatkan rangkaian, diagram blok, dan konstantaproprosionalitas penjumlah dan pengurang. Suatu diagram blokmemperlihatkan urutan pemrosesan sinyal secara fungsional tanpamelihat detil rangkaian listriknya.217

R 1 v o vv 11 K RFR 1FK1= −v + v o R21R − 2+R+ vF2 K2= −K 2R2Penjumlahv ov 1 v 1R 1 R K 1R2v o2 K1= −R 3−v o R1v 2 +⎛ R + ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ 1 R2RK⎟×⎜ 42⎟R 4⎝ R1⎠ ⎝ R3+ R4⎠Pengurangv 2++K 2Gb.11.13. Rangkaian dan diagram blok penjumlah danpengurang.COTOH-11.9: Gambarkan diagram blok rangkaian di bawah ini dantentukan tegangan keluaran v o .10kΩv 1+10kΩ5kΩ−+v 2v o1+10kΩ10kΩ 10kΩ 5kΩ−+v o2−++ v oPenyelesaian :Tingkat pertama adalah penguat inversi dengan K 1 = −0,5.Tingkat ke-dua adalah penjumlah inversi dengan K 2 = −1 untukmasukan v o1 dan v 2 .Tingkat ke-tiga adalah penguat inversi dengan K 3 = −0,5. Diagramblok rangkaian ini dan keluarannya v o adalah sebagai berikut:v 2−v−1 2+ 0,5v 1 −v 2−0,25v 1 −0,5v 2−0,5+v 1−0,5vv o1−0,5 −10,5v 1218 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

11.4. Rangkaian OP AMP Dinamik11.4.1. Rangkaian IntegratorIntegrator adalah salah satu rangkaianOP AMP dinamik. Rangkaian integratormirip dengan rangkaian penguat inversitetapi resistor pada saluran umpan balikdiganti de-ngan kapasitor, sepertiterlihat pada Gb.11.14. Bagaimanarangkaian ini berfungsi dapat kitaanalisis sebagai berikut.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalah:vUntuk OP AMP ideal v menjadivs= −CRddt⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ − C⎝ R ⎠ddtvR( v − v ) −s0o == v P = 0 = v A , sehingga persamaan di atasv ( t)1RCo( vo) atau∫d(vo) = −∫v o (0)t0v dtDari persamaan ini kita peroleh1 tvo= vo( 0) − ∫ v s dt(11.15.a)RC 0Karena v A = 0, maka v o = v C ; jika tegangan awal kapasitor adalah nol,maka v o (0) = v C (0) = 0, dan persamaan (11.15.a) menjadi1 tvo= − ∫ v s dt(11.15.b)RC 0Jadi tegangan keluaran v o merupakan integral dari tegangan masukan v s .Rangkaian ini merupakan rangkaian integrator inversi karena konstantaproporsionalitasnya negatif. Diagram blok dari integrator adalah sebagaiberikut:v 1 v oKK = 1/RC∫+v si RARi v v PGb.11.14. Integrator inversi−+sCi C+v o219

11.4.2. Rangkaian DiferensiatorRangkaian diferensiator diperolehdengan menukar posisi resistor dankapasitor pada rangkaian integrator,seperti terlihat pada Gb.11.15.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A dalam rangkaian ini adalah:v− CRddtvR( )ov − v − 0s =Karena v A = v = v P = 0 , makav d= −CR dto v ( t)1vs(0)s( vs) atau∫d(vs) = −∫Di sini v s merupakan tegangan kapasitor, dan jika tegangan awalkapasitor adalah nol maka1 tdvv = − ∫ v dt v = −RCsso atau o(11.16)RC 0dtJadi tegangan keluaran merupakan diferensiasi dari tegangan masukan.Rangkaian ini disebut diferensiator inversi karena konstantaproporsionalitasnya negatif.RCDiagram blok dari diferensiator adalah sebagai berikut:v Kd v 1 odtK = −RCCOTOH-11.10:Tentukan tegangankeluaran v o padarangkaian di sampingini.Penyelesaian :v s +Ci CA+v sC Ri v −v P +Gb.11.15. Diferensiatorinversi.tv0 oRangkaian ini terdiridari diferensiator inversi dan penjumlah inversi. Diagram blok darirangkaian ini adalah :−+R 3R 1 R 2dtR 4−+i R+v o+ v o220 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v s−R 1 Cddt−RR324−RR4++v oTegangan keluaran adalahCOTOH-11.11:Tentukan tegangankeluaran v o padarangkaian disamping ini.vo⎛ dvs⎞ ⎛ − R= R C4⎜ − 1 ⎟dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R2⎛ R1R4C⎞ dvs⎛ R=4⎜R⎟ −2 dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R3⎞ ⎛ − R⎟ +⎜⎠ ⎝ R3⎞⎟ v⎠v 1 +R 1R 2v 2 +R 3−+R 4s4⎞⎟ v⎠Penyelesaian :Rangkaian ini terdiri dari penguat diferensial dan integrator.Diagram blok dari rangkaian ini adalah :R 5s−+C+ v ov 1v 2R 4 R1+ R×R + R R34−R2R112++1−R 5 C∫v oTegangan keluaran adalaht1 ⎪⎧⎛ R( )4 R1+ R2⎞ ⎛ R2⎞ ⎪⎫vot = −v2v1⎬dt+ vo(0)R5C∫ ⎨⎜ ×R0⎪⎩ 3 R4R⎟ −⎜1 R⎟⎝ +⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭Pemahaman :Jika kita buat semua resistor bernilai sama, R, maka keluaran darirangkaian di atas adalahv1t)= −RC ∫t{ v − v } dt + v (0)o( 2 1 o0221

COTOH-11.12: Tunjukkanlah bahwa keluaran rangkaian OP AMPdengan induktor di bawah ini masing-masing merupakan integrasidan diferensiasi tegangan masukannya.+v sPenyelesaian :Rangkaian a) :di( )= = 0 → = =Lt iLtv vPvLvsL →∫vsdt= L0 ∫diLdti (0)i L (0) adalah arus awal induktor. Jika arus awal ini nol makati ( t)L∫ vsdt= L∫diL→ iL(t)=0Untuk terminal masukan inversi berlakuiL(a)LA01LL∫t0v dtv+o 1 t v+ 0 = 0 →∫vsdt+o= 0 sehinggaR L 0 RR tvo= − ∫ vsdtL 0Rangkaian b) : Jika arus awal induktor adalah nol maka1iL( t)=L∫tv0 oUntuk terminal masukan inversi berlakuiL−+Rv+sR+v o+v sdt1 t v+ 0 = 0 → ∫ v dt +s=L 0 Rso 0Dari sini diperoleh :t LL dvv dt vvs∫ = − so = −0 osehinggaRR dtR(b)A−+L+v o222 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah tegangan v o rangkaian di samping ini, jika v s = 380cos314t V,dioda ideal.+−1µF1µF100kΩ+v o−2. Pada sebuah resistor 10 kΩ diperlukan tegangan searah agar mengalirarus 20 mA. Tegangan searah diberikan dari penyearah setengahgelombang yang masukannya adalah tegangan bolak-balik 220 V, 50Hz. Tentukan kapasitor filter yang harus diparalelkan dengan resistoragar riak gelombang tegangan tidak lebih dari 10%.3. Carilah hubungan antara tegangan keluaran v o dan tegangan masukanv s pada rangkaian-rangkaian berikut ini dan gambarkan diagrambloknya.a).b).c).d).v s+++2kΩ −v s−8kΩ1kΩ+v o−v s+−2kΩ++ 2kΩ −v s−−+4kΩ1kΩ4kΩ +1kΩ v o2kΩ −v s−2kΩ1kΩ−+i 1++v o−1kΩv o−223

2kΩ2kΩ4kΩe).v s+−1kΩ−+ 1kΩ1kΩi 1+v o−f).+2kΩv +2kΩ −s− 1kΩ4kΩ1kΩ2kΩ+v o−g)h)4. Carilah hubungan antara v o dan i s rangkaian-rangkaian berikut.8kΩa).b).++ 2kΩ 2kΩ −v2kΩs1+−+1kΩ v ov s2−2kΩ−i si sv s1+−2kΩ1kΩ+−2kΩ−+v s28kΩ−+4kΩ−+ 1kΩ2kΩ1kΩ1kΩ+v o−+v o−+v o−224 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

5. Gambarkan diagram blok dari rangkaian berikut ini dan dengandiagram blok tersebut tentukan tegangan keluaran v o .1V +50kΩ10kΩ 5kΩ 10kΩ 50kΩ10kΩ10kΩa).+v s1−+−++v s210kΩ−+10kΩ+v o10kΩ10kΩ 5kΩ 10kΩ 20kΩ 10kΩ50kΩb)+v s6. Carilah arus i pada rangkaian berikut ini jika v s = 4sin3000t V.v s4kΩ+−−+12kΩ−+−+8kΩ16kΩ−+12kΩ7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikut dinyatakandalam v s dan gambarkan diagram bloknya .−+i+v oa).+ v s2kΩ2kΩ0,5µF−+2kΩ2kΩ+v o225

).+v s2µF100kΩ−+100kΩ100kΩ+v oc).+v s2µF100kΩ100kΩ−+8. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikut dinyatakandalam v s1 dan v s2.+v ov s1 +4kΩ 0,5µ− Fv s2 + + +8kΩv o226 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 12Fasor, Impedansi, Dan Kaidah RangkaianDalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan, ditransmisikan,serta dimanfaatkan dalam bentuk sinyal sinus dengan frekuensi 50 atau60 Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalamselang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai jutaanHz. Sejalan dengan itu, kita memerlukan suatu cara analisis khusus untukmenanganni persoalan rangkaian listrik yang melibatkan sinyal sinusdalam keadaan mantap, yang kita sebut analisis arus bolak-balik keadaanmantap.Analisis rangkaian dengan sinyal sinus telah pernah kita lakukan denganmenyatakan sinyal sinus sebagai fungsi waktu atau dengan kata lain kitamelakukan analisis di kawasan waktu. Mulai bab ini kita akan melakukananalisis di kawasan fasor. Dalam analisis ini, sinyal sinus kita nyatakandalam bentuk fasor. Dengan sinyal sinus dinyatakan dalam fasor,pernyataan-pernyataan elemen rangkaian pun menjadi khusus pula. Kitakatakan bahwa rangkaian yang biasa kita nyatakan dalam waktu, kitatransformasikan menjadi rangkaian dalam fasor. Setelahditransformasikan, kita melakukan analisis di mana semua besaran dankarakteristik elemen dinyatakan dalam fasor. Dengan bekerja dalamfasor, kita terhindar dari persamaan rangkaian yang dikawasan waktuberbentuk persamaan integro-diferensial.Pernyataan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor dilakukan melaluiforrmulasi bilangan kompleks. Untuk mengingat kembali mengenaibilangan kompleks ini, ulasan singkat mengenai bilangan kompleksdiberikan pada Lampiran III.Bab ini akan kita awali dengan pembahasan pengertian fasor dan operasifasor, impedansi, dan dilanjutkan dengan pembahasan tentang kaidahkaidahrangkaian di kawasan fasor.Setelah mempelajari bab ini, kita akan• mampu menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor.• memahami konsep impedansi di kawasan fasor.• memahami bagaimana aplikasi hukum-hukum dan kaidahkaidahrangkaian di kawasan fasor.227

12.1. Fasor Dan Impedansi12.1.1. Pernyataan Fasor dari Sinyal Sinus dan Operasi FasorKita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk= cos x + j sin x(12.1)Dengan menggunakan hubungan ini maka sinyal sinus dapat dinyatakansebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitue jxjxjxcos x = Re e dan sin x = Im e(12.2)dengan Re dan Im masing-masing menunjukkan bahwa yangdimaksudkan adalah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangankompleks e jx . Jika kita tetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangankompleks e jx saja yang kita ambil untuk menyatakan sinyal sinus makasinyal y = Acos(ωt+θ) dapat kita tulis sebagaij(ω t+θ)jθjωtjθjωty = Acos(ωt+ θ)= Re Ae = Re Ae e = Ae e (12.3)tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem,maka faktor e jωt pada pernyataan fungsi sinus (12.3) tidak perludituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup denganmengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadijθsinyal sinus v = Acos(ωt+ θ)dinyatakandengan V = Ae (12.4)Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini kita sebut fasor(dalam buku ini ditulis dengan huruf besar dan tebal) . Jadi dengan notasifasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasanya sajadengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanyamemperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kitatuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Jadipenulisan fasor dalam bentuk yang kitasebut bentuk polar adalahθV = Ae jditulis sebagaiV = A∠θ(12.5)Fasor V = A∠θ dapat kita gambarkandalam bidang kompleks, seperti terlihatpada Gb.12.1. Panjang fasor adalah nilaiIm|A|VGb.12.1. Fasor.θRe228 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

mutlak dari amplitudo A.Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku,yaitu :( cos θ + sin θ)V = A∠θ = A j(12.6)Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah kebentuk polar2 2 −1⎛ b ⎞V = a + jb = a + b ∠ tan ⎜ ⎟(12.7)⎝ a ⎠Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-sikudan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-operasifasor yang akan kita lihat berikut ini.12.1.2. Operasi FasorPerkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskandalam bentuk polar.JikaA = A∠θ1C = AB = AB∠(θmakadan1dan+ θB = B∠θ2)2makaHal ini mudah difahami, karena jikaA = Aejθ1C = Aejθ1B = BeBejθ2jθ2kitamenuliskanj( θ1+θ= ABe2 ) = AB∠(θ1+ θ2)Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasordituliskan dalam bentuk polar.makaJika A = A∠θ1dan B = B∠θ2A A∠θ1AD = = = ∠(θ1− θ2)B B∠θ2BdanmakaHal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskanjθA = Ae1jθAeD =jθBe12jθB = Be2A jθ=1 − jθe eB2A j( θ1−θ2 ) A= e = ∠(θ1− θ2)BB(12.8)(12.9)229

Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan ataupunpengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasor dalambentuk sudut-siku.JikamakaD = A − B =A = a1+ jb1C = A + B ==D = A − B ==Jika A = A∠θ1C = A + B =( a + a ) + j( b + b )2( a + a ) + ( b + b )121B = a2+ jb2( a + jb ) − ( a + jb )1dan2112 −1⎛b + ⎞∠⎜ 1 b22 tan⎟⎝ a1+ a2⎠⎛ b − b22 −1( a − ) + ( − ) ∠⎜ 1 21 a2b1b2tana − ⎟ 1 a2⎠dan( A cos θ1+ B cos θ2) + j( Asinθ1+ B sin θ2)( A cos θ − B cos θ ) + j( Asinθ − B sin θ )1B= B∠θ2221maka212⎝2⎞(12.11)(12.10)Fasor egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudutsiku,nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing komponen riildan imajiner.Jika A = a1− A = −a+ jb11− jb1makaFasor konjugat dari A ditulis A * .Jika A = a1+ jb1*A = a1− jb1maka−A|A|ImA|A|θReA *Dalam bentuk polar,JikamakaA = A∠θ− A = A∠= A∠o( θ + 180 )o *( θ −180) dan A = A∠ − θGb.12.2. Fasor dan negatifnyaserta konjugatnya(12.12)230 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Fasor Dengan Sudut Fasa 90 o dan 0 o . Bentuk sudut-siku dari fasordengan sudut 90 o dan 0 o adalahoA = A∠90= jA ;oB = B∠ − 90 = − jBoC = C∠0= C;(12.13)COTOH-12.1: Ubahlah pernyataan sinyal sinus berikut ini ke dalamfasor dengan bentuk polar maupun bentuk sudut-siku dan lakukanlahoperasi-operasi fasor yang diminta.oa). v1(t)= 10cos(500t− 45 )c). i1( t)= −4 cos1000tob). v2( t)= 15cos(500t+ 30 )od). i2( t)= 3cos(1000t− 90 )**e). I3= I1+ I 2 f). S1= V1I1; S 2 = V 2 I 2V1V2g). Z1= ; Z2=I1I 2Penyelesaian :a). Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuksudut siku adalahoV1= 10∠ − 45 atauooV1= 10 cos( −45) + j10sin(−45) = 7,07 − j7,07b). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoV2= 15∠30atauooV2= 15 cos(30 ) + j 15sin(30 ) = 12,99 + j7,5c). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 1 = −4∠0atau I1= −4 cos(0 ) − j4 sin(0 ) = −4d). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 2 = 3∠ − 90 atau I 2 = 3cos( −90) + j3sin(−90) = − j3231

e). Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. Karenakedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka fasornyadapat kita jumlahkan I 3 = I1+ I2= −4− j3. Hasil penjumlahanini dapat kita ubah kembali dalam bentuk polar menjadiI2 2 −1⎛ − 3 ⎞o3 = ( −4)+ ( −3)∠ tan ⎜ ⎟ = 5∠216, 9⎝ − 4 ⎠f).*oooS 1 = V1I1 = ( 10∠ − 45 ) × ( −4∠0) = −40∠− 45* o ooS 2 = V 2 I 2 = ( 15∠30) × (3∠90) = 45∠120oVg). 1 10∠ − 45oZ 1 = = = −2.5∠− 45 ;I o1 − 4∠0Vo2 15∠30oZ 2 = = = 5∠ − 60I o2 3∠90COTOH-12.2: Ubahlah pernyataan fasor dari sinyal sinus berikut inike pernyataan sinus di kawasan waktu.oa). V1= 150∠ − 45 V, pada frekuensi siklus 50 Hzb). V2= 30 + j40V, pada frekuensi sudut ω = 1000 rad/detik.oc). I = 15 + j5+ 10∠180mA , pada ω = 1000 rad/detik.Penyelesaian :a). Sinyal ini mempunyai amplitudo 150 V, dan sudut fasa −45 o .Frekuensi siklusnya 50 Hz yang berarti frekuensi sudutnya ω =2π × 50 = 314 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyal ini adalahov 1(t)= 150cos(314 t − 45 ) V2 2b). Amplitudo sinyal ini adalah V m = 30 + 40 = 50 V dan−140 osudut fasanya θ = tan = 53,1 . Karena ω = 1000 rad/detik,30maka pernyataan sinyal ini di kawasan waktu adalahov 2 ( t)= 50 cos(1000 t + 53,1 )232 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). Sinyal ini dinyatakan dalam fasor dan merupakan jumlah dari duasinyal, satu dalam bentuk sudut siku dan yang lain dalam bentukpolar. Jika dinyatakan dalam bentuk sudut siku, sinyal inimenjadiooI = 15 + j5+ 10 cos180 + j10sin180= 15 + j5−10+ j0= 5 + j5mAAmplitudo dan sudut fasanya adalahI m=2 2−15 o5 + 5 = 7,07 mA ; φ = tan = 455Karena diketahui ω = 1000 rad/detik, makaoi ( t)= 7,07 cos(1000 t + 45 )12.2. Resistansi, Reaktansi, ImpedansiDengan fungsi sinus dinyatakan dalam fasor, maka kita akanmendapatkan hubungan-hubungan tegangan dan arus pada elemenelemenpasif sebagai berikut.Resistor. Jika arus pada resistor adalahmaka tegangannya adalahj(ω t+θ)i R ( t)= I Rm cos( ωt+ θ)= I RmeJika dinyatakan dalam fasor makaj(ω t+θ)v R ( t)= RiR( t)= RI RmeV R = RI R(12.14)Hubungan arus dan tegangan resistor tetap seperti yang tel;ah kita kenalselama ini, dengan faktor proporsionalitas R yang kita sebut resistansi.Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalahmaka tegangan induktor adalahj(ω t+θ)i L ( t)= I Lm cos( ωt+ θ)= I Lme233

diL( t)dv L ( t)= L = LdtDalam bentuk fasor,j(ω t+θ)( I Lme) j(ωt+θ)= jωL(I e )dtVL= jωLIL = jX LIL = Z LILdengan : X L = ωLdan Z L = jωLm(12.15)Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan arusinduktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuklinier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z L = jX L ; X L kita sebutreaktansi induktif , Z L kita sebut impedansi induktorKapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalahmaka arus kapasitor adalahdvCdi C ( t)= C = Cdtj(ω t+θ)v C ( t)= VCmcos( ωt+ θ)= VCmej(ω t+θ)( V e )Cmdtyang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagaiIC= jωCVCatau1VC= IC= −jωCωdengan: X C1=ωCjCj(ωt+θ)= jωC(VCme)IC= jX C IC= Z C ICjdan Z C = −ωC(12.16)Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan aruskapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupahubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z C = jX C ; X C kitasebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impedansi kapasitor.12.3. Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi12.3.1. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi TeganganTegangan total pada R dan L yang terhubung seri dengan i(t)=I m e j(ωt+θ)adalah234 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

vRL( t)= v=R( t)+ vL( t)= RIj(ω t+θ)( R + jωL) I emmej(ωt+θ)+ jωLImej(ωt+θ)Dalam bentuk fasor,V RL seri = ( R + jωL)I(12.17)Perbandingan antara tegangan dan arus pada resistor dan induktor yangterhubung seri disebut impedansi dari hubungan seri ini, yaituZ RL seri = R + jωL(12.18)Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh impedansi hubungan seriRC dan LC sebagaiVZVZRC seriRC seriLC seriLC seri⎛ 1 ⎞= ⎜ R + ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 j= R + = R −jωCωC⎛ 1 ⎞= ⎜ jωL+ ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 ⎛ 1 ⎞= jωL+ = j⎜ωL− ⎟jωC⎝ ωC⎠(12.19)(12.20)Hubungan seri tidak terbatas hanya dua elemen tetapi bisa lebih,sehingga terbentuklah hubungan seri beberapa impedansi. Secara umumimpedansi total dari beberapa impedansi yang terhubung seri adalahVtotalseri = Z total seriIZ total seri = Z1+ Z 2 + Z 3+ ⋅⋅⋅⋅ +Z n(12.21)Dalam hubungan seri dari beberapa impedansi, tegangan pada impedansike k adalah V k = IZ k ; sedangkan IZ total seri = V total seri . Dengan demikianmaka berlaku kaidah pembagi teganganZ kV k = × Vtotal(12.22)Z total seri235

12.3.2. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi ArusDua atau lebih impedansi yang terhubung paralel akan bertegangan sama.Jika tegangan ini adalah V maka arus pada impedansi ke k adalahI kdengan Y k = 1/Z k disebut admitansi.= VYkVZ =(12.23)kArus total dalam hubungan paralel adalahdenganItotaln n= ∑Ik= ∑Y k V = YtotalVk= 1 k=1(12.24)nYtotal= ∑Ykk=11=Z11+Z2+ ⋅⋅⋅⋅ +1Z nDari (12.23) dan (12.24) diturunkan kaidah pembagi arus12.3.3. Impedansi Secara UmumSecara umum impedansi dapat kita tuliskan(12.25)YkI k = YkV = Itotal(12.26)YtotalZ = R( ω)+ jX ( ω)(12.27)Bagian riil adalah resistansi dan bagian imajiner adalah reaktansi. Keduabagian ini mungkin merupakan fungsi dari frekuensi ω. Reaktansi yangbernilai positif merupakan reaktansi induktif , sedang yang bernilainegatif merupakan reaktansi kapasitif. Sebagai contoh, impedansi dariinduktor yang terhubung seri dengan kapasitor yang terparalel denganresistor adalahZ L+R // CR(1/jωC)= jωL+R + (1/ jωC)=R⎛+ j⎜ωL−⎝2ωRC( ) ( )⎟ ⎟ 2 ⎜2ωRC+ 1 ωRC+ 1⎠⎞236 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Perhatikan bahwa bagian riil maupun bagian imajiner merupakan fungsidari frekuensi ω. Jadi baik resistansi maupun reaktansi dari impedansisecara umum merupakan fungsi frekuensi.Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yangberbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlahfasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertiandari dua konsep yang berbeda.Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinusImpedansi adalah pernyataan elemen.Walaupun impedansi bukan fasor, namun karena keduanya berupapernyataan kompleks, maka operasi-operasi fasor dapat diterapkan padakeduanya. Sebagai contoh kita ambil hubungan seri RL :Z RL seri = R + jωL=2 2 −1ωLR + ( ωL)∠ tan = Z1∠λ1RJika fasor tegangan V s = V 1 ∠θ 1 diterapkan pada hubungan seri RL ini,maka arus yang mengalir adalahV V1∠θ1 VI = s1RL = = ∠( θ1− λ1)(12.28)Z RL seri Z1∠λ1Z1Secara singkat, impedansi elemen dan hubungan arus-tegangan elemenadalah sebagai berikut.ZVRR= R ;= RIR;ZVLL= jωL= jωLIL;;ZVCC1 − j= =jωCωC1= IjωCC− j= IωCC(12.29)Secara singkat dapat kita katakan bahwa : dengan menyatakan sinyalsinus ke dalam bentuk fasor, maka perbandingan antara tegangan elemendan arus elemen merupakan suatu besaran kompleks yang kita sebutimpedansi di kawasan fasor. Dengan menyatakan elemen dalamimpedansinya maka hubungan antara tegangan dan arus elemen menjadimirip dengan relasi hukum Ohm di kawasan waktu. Kaidah-kaidahrangkaian di kawasan waktu berlaku juga di kawasan fasor.237

COTOH-12.3: Arus yang melalui induktor 0,5 H adalahi L (t)=0,4cos(1000t) A. Tentukanlah: a) impedansi induktor; b) Fasortegangan pada induktor; c) bentuk gelombang tegangan padainduktor.Penyelesaian :a). Impedansi induktor adalah Z L = jωL. Dalam contoh ini ω = 1000,jadiZ L=j × 1000×0,5 = j500Ωb). Fasor tegangan induktor adalah fasor arus kali impedansinya.Karena arus dinyatakan di kawasan waktu, kita ubah dulupernyataan arus ini ke kawasan fasor menjadi I L = 0,4 ∠ 0 o A.Tegangan induktor adalahoV L = Z LIL = ( j500)× 0,4∠0o oo= 500∠90× 0,4∠0= 200∠90Vc). Bentuk gelombang tegangan pada induktor yang dimaksudkan disini adalah pernyataan di kawasan waktu dari tegangan induktor.Dari hasil b) dengan mudah kita nyatakanov L ( t)= 200cos(1000 t + 90 )VPemahaman:Fasor tegangan dan fasor aruspada induktor berbeda fasasebesar 90 o . Teganganmendahului arus dengan sudut90 o .ImV LI Lteganganmendahuluiarus 90 oReCOTOH-12.4: Arus yang melalui kapasitor sebesar 50 pF adalahi C (t)=0,5cos(10 6 t) mA. Tentukanlah: a) impedansi kapasitor; b)fasor tegangan pada kapasitor; c) bentuk gelombang tegangan padakapasitor.Penyelesaian :238 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

a). Zb). Vc). vCCC1= =jωC10= ZCIC6× (50×10= (20×10 ∠ − 90 ) × (0,5×10= 10∠ − 90V( t)= 10 cos(10 t − 90 ) V.6− j3oo−12Pemahaman:Fasor tegangan dan fasor arus padainduktor berbeda fasa sebesar 90 o .Tegangan mendahului arus dengansudut 90 o .= − j20kΩ)oImV C−3I C∠0o)Rearusmendahuluitegangan 90 oCOTOH-12.5: Suatu beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+10 o ) V.Arus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t+40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :Tegangan dan arus dalam fasor adalahoV = 120∠10V danoI = 5∠40Impedansi beban adalah:AZ BoV 120∠10o= = = 24∠ − 30 ΩIo5∠40= 24 cos( −30)+ j24 sin( −30)= 20,8 − j12ΩPemahaman :Kita mengetahui bahwa impedansi induktor adalah Z L =jωL danimpedansi kapasitor adalah Z C = −j/ωC. Dari sini kita lihat bahwasesuatu impedansi yang komponen imajinernya positif akan bersifatinduktif sedangkan jika komponen imajinernya negatif akan bersifatkapasitif.239

Dalam contoh-12.5. ini impedansi beban mempunyai komponenimajiner negatif. Jadi beban bersifat kapasitif. Pada beban kapasitifini sudut fasa arus lebih Imarusbesar dari sudut fasamendahuluiItegangan. Kita katakantegangan Vbahwa arus mendahuluitegangan atau arus leadingReterhadap tegangannya.Gambar fasor arus dan tegangan pada beban adalah seperti disamping ini.COTOH-12.6: Suatu beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+20 o ) VArus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t−40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :oV 120∠20oZ B = = = 24∠60ΩIo5∠ − 40oo= 24 cos(60 ) + j24 sin(60 ) = 12 + j20,8ΩPemahaman :Dalam contoh ini ImVkomponen imajinerimpedansi beban bernilaipositif. Beban bersifatinduktif. Pada beban yangRearusbersifat induktif sudut fasaI tertinggal dariarus lebih kecil dari sudutteganganfasa tegangan. Fasor arusketinggalan dari tegangan atau arus lagging terhadap tegangan.Fasor tegangan dan fasor arus dalam contoh ini digambarkan sepertidi bawah ini.COTOH-12.7: Tegangansumber pada rangkaian disamping ini adalahv s (t)=250cos500t V.v s+−100Ω20µF50mH240 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

a). Tentukan fasor arus pada rangkaian.b). Tentukan fasor tegangan di tiap elemen.c). Gambarkan fasor tegangan sumber dan elemen.d). Nyatakan bentuk gelombang arus dan tegangan elemen.Penyelesaian :Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kita transformasikanmenjadi rangkaian impedansi dan sumbernya dinyatakan dalamfasor. Impedansi elemen dan tegangan sumber menjadijZR= 100Ω; ZC= −= − j100Ω;−6500×20×10−3ZL= j500×50×10 = j25ΩoVs= 250∠0.Rangkaian di atasmenjadi sepertiberikuta). Impedansi total rangkaian adalahZ tot = 100 − j100+ j25= 100 − j75Ω2 2 −1− 75o= (100) + (75) ∠ tan = 125∠ − 36,87 Ω100Arus pada rangkaian adalahVos 250∠0oI = == 2∠36,87AZotot 125∠ − 36,87b). Dengan menggunakan kaidah pembagi tegangan, tegangan di tiapelemen dapat dengan mudah dihitung.Z RVR=Z totZ CVC=Z totZ LVL=Z totV s =250∠0 o V+−100Ω−j100Ωj25Ω100ooVs=250∠0= 200∠36,87Vo125∠ − 36,87o100∠ − 90ooVs=250∠0= 200∠ − 53,13 Vo125∠ − 36,87o25∠90ooVs=250∠0= 50∠126,87Vo125∠ − 36,87241

c). Gambar fasor tegangansumber dan teganganteganganelemen adalahseperti di bawah ini.ImPerhatikanlah bahwafasor-fasor tegangan inimemenuhi HTKV = V + V + VsCRd). Bentuk gelombang arusdan tegangan elemen adalahoi(t)= 2 cos(500t+ 36,87 )LovR( t)= 200 cos(500t+ 36,87 ) VovC( t)= 200 cos(500t− 53,13 ) VovL( t)= 50 cos(500t+ 126,87 ) VPemahaman :Tegangan di setiap elemen dapat pula dicari dengan mengalikan arusdan impedansinya.ooVR= Z RI= 100×2∠36,87= 200∠36,87VoooVC= ZCI = 100∠ − 90 × 2∠36,87= 200∠ − 53,13 VoooVL= Z LI= 25∠90× 2∠36,87= 50∠126,87VSesuai dengan HTK, V s = V C + V R + V LDiagram fasornyaadalah seperti disamping ini.Perhatikanlahbahwafasor V R = R Isejajar fasor IImIV C =−jX C IV LV RV sRefasor V C = −jX C I tegak lurus pada fasor I dengan pergeseransudut fasa −90 o .AV CV s = V C + V R + V LV L = jX L IV R = RIRe242 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

fasor V L = jX L I tegak lurus pada fasor I dengan pergeseransudut fasa + 90 o .COTOH-12.8: Arus sumber pada rangkaian di bawah ini adalahi s (t)=50cos1000t mA.300Ωa). Tentukan fasor tegangankapasitor.I 1 I 2b). Tentukan fasor arus di tiap i s2 µFcabang.0,4 Hc). Gambarkan fasor arus sumberdan arus cabang dan tegangan kapasitor.d). Gambarkan fasor tegangan kapasitor, tegangan resistor daninduktor.Penyelesaian :Dengan ω = 1000, maka impedansi elemen dan fasor arus sumberadalahZ R = 300 Ω ;jZ C = −−61000×2 × 10= − j500Ω ;Z L = j1000×0,4 = j400Ω ; I so= 50∠0.Transformasi rangkaian ke kawasan fasor adalah seperti di bawahini:50∠0 o mA−j500 Ω300 Ωj400 Ωa). Admitansi dari kedua cabang yang diparalel masing-masingadalah243

YYCRLAdmitansi total :1= = j2×10− j500−3S ;11= =300 + j400500∠tan= 12×10−4−1(4 / 3)− j16×10−4S−3−4−4Ytot= YC+ YRL= j2× 10 + 12 × 10 − j16× 10 S−4−4−4o= 12 × 10 + j4× 10 = 12,65×10 ∠18,4STegangan pada kapasitor (yang sama dengan tegangan pada Rdan L seri) adalahI sV C =Ytotb). Arus di tiap cabang adalah−3o50×10 ∠0o== 39,5∠ −18,4−412,65×10 ∠18,4VooC 39,5∠ −18,439,5∠ −18,4oI 1 = === 79∠61,6mAZ − j500oC 500∠ − 90VV2 = RL VCI =Z RL Z RLo= 79∠ − 71,5o39,5∠ −18,4=300 + j400mAc). Gambar fasor arus sumber danarus cabang adalah seperti disamping ini :Perhatikan bahwa:I s = I 2 + I 1 ; I 1 90 omendahului V C ;I 2 tertinggal dari V C .o39,5∠ −18,4=o500∠53,1ImI 1I sI 2ReV C244 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

d). Gambar fasor tegangan kapasitor, resistor dan induktor adalahseperti di bawah ini :ImReI 2V CSoal-Soal1. Nyatakanlah sinyal-sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dangambarkanlah diagram fasornya.a). v1= 100 cos ωtoc). v3= 50 cos( ωt+ 45 )e). v5= v1− v3ob). v2= 75cos( ωt− 90 )d). v4= v1+ v2f). v6= v1+ v32. Nyatakanlah fasor-fasor berikut ini kedalam sinyal di kawasan waktu,jika frekuensi adalah 300 rad/s.oa). V1= 60∠30c). V3= V1+ V2V R = R I 2V L = jX L I 2b). V2o= 30∠ − 60d). V4= V1− V23. Tuliskanlah fasor-fasor pada soal 2 ke dalam bentuk sudut siku V = a+ jb.4. Tuliskanlah fasor-fasor berikut ke dalam bentuk polar V = A∠θ.a). V1= 3+j6b). V2= 4 − j4c). V3= V1+ V2d). V4= V1− V25. Jika V = 3 + j4 dan I = 2 + j2, berapakah*Va). S = VI ; b). Z =ITuliskan S maupun Z dalam bentuk polar maupun bentuk sudut siku.6. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 20 mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.245

). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.7. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan kapasitor 1 µF. (a)Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s; (b)Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s; (c)Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.8. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan kapasitor 200 nF.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.9. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan induktor 50 mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000 rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.10. Pada hubungan seri antara resistor 50 Ω dengan induktor 50 mHditerapkan tegangan 10cos1000t V. Berapakah arus yang mengalir ?Gambarkan diagram fasornya.11. Pada hubungan paralel antara resistor 1 kΩ dengan kapasitor 0,2 µFditerapkan tegangan 40cos1000t V. Berapakah arus yang mengalir dimasing-masing elemen ? Gambarkan diagram fasornya.12. Pada hubungan seri antara resistor 400 Ω dengan induktor 2 H,diterapkan tegangan 380cos300t V. Berapakah tegangan di masingmasingelemen ? Gambarkan diagram fasornya.13. Pada rangkaian berikut,hitunglah impedansi yangterlihat dari terminal A-B, jikafrekuensi adalah 1000 rad/s.17. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlihat dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 1000 rad/s.AB50ΩAB40µF0,3H20µF0,1H20µF20Ω1,6H1,2kΩ18. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlihat dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 50Hz.AB10µF1H10µF200Ω246 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 13Teorema dan Metoda Analisisdi Kawasan FasorSetelah mempelajari bab ini, kita akan• memahami aplikasi teorema rangkaian dan metoda analisisrangkaian di kawasan fasor.• mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor.• memahami bahwa pada rangkaian dengan induktor dankapasitor terdapat suatu nilai frekuensi yang akanmenyebabkan terjadinya resonansi.• mampu mencari frekuensi resonansi, menentukan faktorkualitas, menentukan lebar pita resonansi.13.1. Teorema Rangkaian di Kawasan Fasor13.1.1. Prinsip ProporsionalitasPrinsip proporsionalitas menyatakan bahwa fasor keluaran sebandingdengan fasor masukan, yang secara matematis dapat dinyatakan denganY = KX(13.1)Y adalah fasor keluaran, X adalah fasor masukan, dan K adalah konstantaproporsionalitas. Dalam kawasan fasor, K pada umumnya merupakanbilangan kompleks. Lihat misalnya penyelesaian b) dari contoh 13.7.13.1.2. Prinsip SuperposisiKita harus berhati-hati dalam menerapkan prinsip superposisi di kawasanfasor. Fasor merupakan representasi sinyal sinus dengan frekuensitertentu. Oleh karena itu prinsip superposisi hanya berlaku jika seluruhsistem yang kita tinjau mempunyai frekuensi sama. Jika memangdemikian halnya, maka tanggapan rangkaian yang mengandung beberapamasukan dapat kita cari dengan memandang masing-masing masukansecara terpisah. Tanggapan keseluruhan adalah jumlah dari tanggapanterhadap masing-masing masukan.Jika masukan-masukan mempunyai frekuensi yang berbeda, kita tidakdapat serta-merta menerapkan prinsip superposisi. Kita ingat bahwaimpedansi tergantung dari frekuensi; oleh karena itu walaupun nilai-nilaielemen sama, nilai impedansi akan berbeda jika frekuensi berbeda. Jadi247

jika kita ingin mencari tanggapan rangkaian terhadap masing-masingmasukan, kita harus mencari nilai impedansi rangkaian untuk masingmasingmasukan. Tanggapan rangkaian dalam bentuk fasor dari masingmasingmasukan tidak dapat langsung dijumlahkan melainkan harus kitatransformasikan dulu ke kawasan t , dan barulah hasil di kawasan t untukmasing-masing masukan ini dijumlahkan untuk memperoleh tanggapankeseluruhan. Secara singkat dikatakan, prinsip superposisi berlaku dikawasan waktu untuk setiap rangkaian linier, tetapi berlaku di kawasanfasor hanya apabila masukan-masukan mempunyai frekuensi sama.Agar lebih jelas kita akan melihat tiga kasus berikut.Kasus-1: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangmempunyai frekuensi sama. Rangkaian ini kita pecah menjadi duarangkaian, masing-masing mengandung satu sumber. Masing-masingrangkaian kita transformasikan menjadi rangkaian fasor dan kemudiankita melakukan analisis di kawasan fasor.Hasil yang kita peroleh dari dua kali analisis tersebut tentulahmerupakan besaran-besaran fasor. Kedua hasil itu dapat langsung kitajumlahkan untuk memperoleh hasil total, tanpa mentranformasikanlebih dulu ke kawasan t. Mengapa? Karena seluruh sistem mempunyaifrekuensi sama. Jadi apabila seluruh sistem berfrekuensi sama prinsipsuperposisi dapat diterapkan dalam analisis fasor.Kasus-2: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangfrekuensinya tidak sama. Kita memisahkan lebih dulu rangkaiantersebut menjadi dua rangkaian yang masing-masing mengandunghanya satu sumber. Setelah dipisahkan, masing-masing rangkaianditransformasikan menjadi rangkaian fasor kemudian dilakukananalisis di kawasan fasor. Hal ini dapat dilakukan karena masingmasingrangkaian mempunyai frekuensi sendiri yang sama di seluruhrangkaian. Hasil analisis dari kedua rangkaian ini tentulah berbentukfasor akan tetapi mereka tidak dapat langsung dijumlahkan karenafrekuensinya berbeda. Oleh karena itu masing-masing hasil kitatransformasikan kembali ke kawasan t, dan hasil transformasi inilahyang dapat kita jumlahkan untuk memperoleh hasil total. Jadi prinsipsuperposisi berlaku di kawasan fasor hanya apabila masukanmasukanmempunyai frekuensi sama.Kasus-3: Sebuah rangkaian mengandung tiga sumber, duadiantaranya mempunyai frekuensi sama dan sumber yang ke-tigafrekuensinya berbeda. Jika rangkaian ini kita pecah menjadi tigarangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumber untuk248 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dianalisis di kawasasn fasor, maka hasil fasor untuk dua sumber yangfrekuensinya sama dapat kita jumlahkan langsung dalam bentuk fasor.Akan tetapi kita tidak dapat menjumlahkannya dengan hasil analisisrangkaian ke-tiga yang frekuensinya berbeda. Oleh karena itu hasilyang diperoleh harus ditransformasi ke kawasan t lebih dulu sebelumpenjumlahan dilakukan.13.1.3. Rangkaian Ekivalen Thévenin dan ortonKonsep umum mengenai teorema Thévenin dan Norton di bidang fasor,sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian di kawasan waktu.Perbedaan yang perlu kita perhatikan adalah bahwa sinyal-sinyaldinyatakan dalam fasor dengan impedansi dan admitansi yang berupabilangan kompleks.Tegangan ekivalen Thévenin adalah tegangan hubungan terbuka padaterminal beban. Arus ekivalen Norton adalah arus hubung singkat padaterminal beban. Semua peubah ini dinyatakan dalam fasor. Relasi peubahini dengan impedansi ekivalen Thévenin, Z T , dan admitansi ekivalenNorton, Y , adalah seperti berikut.1V T = ZTI ; I = YVT; Y=(13.2)ZTHubungan (13.2) memberikan ketentuan untuk transformasi sumber dikawasan fasor. Seperti yang telah kita lihat pada rangkaian di kawasanwaktu, transformasi sumber dapat menyederhanakan perhitunganperhitungandalam analisis rangkaian.COTOH-13.1: Dari rangkaian di samping ini, carilah rangkaianekivalen Thévenin yang dilihat oleh induktor L.LA B0,1∠−90 o A100Ω10Ω−j100Ω+−20∠45 o VPenyelesaian:Jika induktor dilepaskan maka untuk simpul A dan B berlaku249

VVAB= 100×0,1∠ − 90− j100= × 20∠4510 − j100= 19,9∠39,3oVo= 10∠ − 90ooV= 0,995∠ − 5,7 × 20∠45Tegangan Thévenin :VT= VA− VBoo= 10∠ − 90 −19,9∠39.3= − j10−( 15,4 + j12,6) = −15,6− j22,6VImpedansi Thévenin Z Th , dihitung dengan melihat impedansi dariterminal AB dengan semua sumber dimatikan.10 × ( − j100)Z T = 100 += 109,9 − j0,99Ω10 − j10013.2. Metoda-Metoda Analisis DasarMetoda-metoda analisis yang telah kita pelajari untuk rangkaian dikawasan waktu, dapat kita terapkan untuk rangkaian di kawasan fasordengan mengingat bahwa peubah sinyal dinyatakan dalam fasor danelemen-elemen dinyatakan dalam impedansi atau admitansinya yangpada umumya berupa bilangan kompleks.14cos2t1 1F F12Ω 18A B6C+−9ΩPenyelesaian:+ v x −3ΩD32i xH13.2.1. Metoda Keluaran SatuSatuanMetoda ini dapat kitaaplikasikan pada rangkaianberbentuk tangga, seperti contohberikut.COTOH-13.2: Carilah i x padarangkaian di samping ini.Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kita transformasikansehingga berbentuk rangkaian impedansi seperti terlihat padagambar berikut. Dari sinilah kita mulai bekerja.o250 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

12Ω−j9Ω −j3ΩA B CI x14∠0+−9Ω3Ωj3ΩMisalkan Ix = 1∠0 o A.VV = j3V; 4 =CC I = j1A;3I = I + I = (1 + j1)A;V3Bx= VC4+ ( − j3)I3= j3− j3(1+ j1)= 3 VVB1⎛ 4 ⎞I 2 = = A ⇒ I1= I2+ I3= ⎜ + j1⎟ A9 3⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞V A = VB+ ⎜ + j1⎟( 12 − j9) = 28 V⎝ 3 ⎠Iox 1 1 14∠0oK = = → I x = VA= = 0,5∠0VA28 28 28→ ix= 0,5 cos 2t13.2.2. Metoda SuperposisiMetoda superposisi sangat bermanfaat untuk menganalisis rangkaianyang mengandung lebih dari dua masukan, terutama jika kita inginmengetahui bagaimana kontribusi dari masing-masing masukan terhadaptanggapan keseluruhan. Sebagaimana telah disebutkan di sub-babsebelumnya, kita harus berhati-hati dalam menerapkan metodasuperposisi di kawasan fasor. Prinsip superposisi dapat diterapkanlangsung di kawasan fasor hanya jika masukan-masukan mempunyaifrekuensi sama. Jika tidak, kontribusi dari masing-masing masukan haruskita transformasikan ke kawasan waktu lebih dahulu, baru kemudiandapat kita jumlahkan.COTOH-13.3: Carilah i o pada rangkaian berikut ini.D20cos4t V +_9Ω3Hi o1F243cos2t A251

Penyelesaian:Rangkaian ini mengandung dua sumber tegangan dan sumber arusyang mempunyai frekuensi berbeda. Oleh karena itu transformasirangkaian ke kawasan fasor untuk masing-masing sumber jugaberbeda, seperti terlihat pada gambar berikut.+_9Ωj12Ω20∠0 o− j6ΩI o19Ωj6Ω− j12ΩI o23∠0 oDari masing-masing rangkaian fasor ini, kita mencari tanggapanrangkaian di kawasan fasor kemudian ditransformasikan ke kawasant. Hasil di kawasan t inilah yang dapat dijumlahkan.Jika sumber arus dimatikan, kita mempunyai rangkaian di kawasanfasor seperti pada gambar sebelah kiri, dengan frekuensi ω = 4.Untuk rangkaian ini, aplikasi HTK memberikanoo20∠020∠020∠0oI o1 == = = 2∠− 36,9 A8 + j12− j68 + j6o10∠36,9Jika sumber tegangan dimatikan, kita mempunyai rangkaian sepertipada gambar sebelah kanan, dengan frekuensi ω = 2. Kaidahpembagi arus memberikan :− j12(8+ j6)1/( − j12)o − j128 + j6oI o2 =× 3∠0== × 3∠01 18 + j6− j128 − j6+− j128 + j6o10∠36,9oo=× 3∠0= 3∠73,8Ao10∠ − 36,9I o1 dan I o2 tidak dapat dijumlahkan karena fasor ini diperoleh darisumber dengan frekuensinya yang tidak sama. Oleh karena itu kitaharus mengembalikannya ke kawasan waktu sebelum dijumlahkan.Dengan cara itu kita perolehooio1= 2 cos(4t− 36,9 ) A dan io2= 3cos(2t+ 73,8 ) Asehingga io= io1+ io2oo= 2 cos(4t− 36,9 ) + 3cos(2t+ 73,8 ) Ao252 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

13.2.3. Metoda Rangkaian Ekivalen ThéveninContoh berikut ini menunjukkan bagaimana metoda rangkaian ekivalenThévenin kita gunakan di kawasan fasor.COTOH-13.4: Carilah i padarangkaian berikut ini.Penyelesaian :Rangkaian ini setelahditransformasi ke kawasan fasormenjadi seperti berikut.+−6Ω18∠0 o VVT= Vht= × 18∠02 + 6 + j4Fasor tegangan terminal AByang terbuka memberikantegangan Thévenin. Sesuaikaidah pembagi tegangan,tegangan terminal AB yangterbuka memberikan2 o9=2 + j1sedangkan impedansi Thévenin adalah (yang terlihat dari terminalAB yang terbuka) adalahZ Tj4Ω( 6 + j4)2 16 + j8+ 12 + j87 + j4= 2 + ==2 + 6 + j48 + j42 + j1Rangkaian ekivalenThévenin serta beban diterminal AB setelahdisambungkan lagi adalahseperti di samping ini:BDari rangkaian ini kitahitung:VT9 (2 + j1)I == ×Z T + + j2− j4(2 + j1)(7 + j4)− j2(2+ j1)= 1∠0oA2Ω⇒ i = 1cos2t2ΩAABj2Ω−j4Ω+−+−V T6Ω2H18cos2t VZ TAVΩAi2Ω1H2Ω1F8B−j4ΩIj2Ω253

13.2.4. Metoda Reduksi RangkaianContoh persoalan berikut ini memperlihatkan penggunaan metodareduksi rangkaian.i ACOTOH-13.5:− + B xv =Carilah i x pada10sin100t V 50Ωrangkaian berikut:i 1 =Penyelesaian : 0.1cos100t A200µF 1HRangkaian ini.mengandung sumber tegangan dan sumber arus yang berfrekuensisama, yaitu ω = 100. Akan tetapi sumber tegangannya dinyatakandalam sinus sedangkan sumber arusnya dalam cosinus. Kita perlumengubahnya dalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus, dengankesamaanTransformasi rangkaianke kawasan fasormenjadi seperti padagambar di samping ini.sinx = cos(90−x) =cos(x−90)Untuk menghitung I xkita dapat menggunakan−j50Ω j100Ωmetoda superposisi; akan tetapi di sini kita akan menggunakantransformasi sumber.Dalam rangkaian ini sumber tegangan tersambung seri denganresistor 50 Ω yang diparalel dengan induktor j100 Ω. Sumber inidapat kita ganti dengan sumber arus ekivalen I 2 , yang besarnyaadalahI⎛= V⎜⎝ j11001 ⎞+ ⎟ =50 ⎠I 1 =0.1∠0 o A50 + j100j5000( ) ( ) − j10= −0,1− 0,2 A2 jsehingga rangkaianAakan menjadi sepertidi samping50ΩIini.PerhatikanI 21 =bahwa dengan 0.1∠0 o A−j50Ωj100Ωtransformasi sumberini kita menghilangkan simpul B. Arus I y yang sekarang mengalir254 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)AB− +V=10∠−90 o VI yI x50Ω

melalui resistor 50Ω, bukanlah arus I x yang kita cari; sebab jika I ydikalikan 50Ω, kita mendapatkan tegangan simpul A, dan bukantegangan simpul B tempat I x keluar.Sumber I 1 dan I 2 terhubung paralel, sehingga dapat digantikan olehsatu sumber arus sajayaitu I, seperti terlihatI ypada gambar berikut,50ΩdenganI = I 1 −I 2−j50Ω j100ΩI = I1− I 2 = 0,1 − ( − 0,1 − j0,2)= 0,2 + j0,2AUntuk menghitung arus I y kita memanfaatkan kaidah pembagi arus.1( 0,2 + j0,2)500,2 + j0,2I y ==1 1 1 1+j0,5+ +50 j100− j50A10 + j10→ VA= 50×I y =1+j0.5V10 + j1015oVB= VA+ V = − j10= = 13,4∠ − 26,61+j0,51+j0,5VVI = Bx = 0,27∠ − 26,6 A50→ ix= 0,27cos(100t− 26,6) A.13.3. Metoda-Metoda Analisis Umum13.3.1. Metoda Tegangan Simpul. Aplikasi metoda ini, kita lihat padacontoh berikut ini.ICOTOH-13.6:A− + B xGunakan metodaV=tegangan simpul I 1 =10∠−90 o 50ΩVuntuk menyelesaikan 0,1∠0 o Apersoalan padacontoh-13.5.−j50Ω j100ΩPenyelesaian :255

Untuk menyelesaikan persoalan ini rangkaian fasor dari contoh-13.5digambar lagi seperti berikut:Simpul referensi kita tentukan seperti terlihat pada gambar tersebut.Simpul A, B, dan sumber tegangan menjadi simpul-super karena Adan B keduanya bukan simpul referensi. Persamaan tegangansimpul dapat kita peroleh dengan cara yang sama seperti untukrangkaian di kawasan waktu, akan tetapi di sini kita bekerja dikawasan fasor dengan impedansi-impedansi.VAA : − I1+ +− j50B :VBVB+ = 0j10050oVA− VB= −V= 10∠90= j10Untuk persamaan yang sederhana ini tentu dapat kita selesaikandengan metoda substitusi biasa. Namun di sini kita akanmenuliskannya dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai I 1dan V.⎡ 1⎢ − j 50⎢⎣ 11+j100−1150⎤⎡V⎤ ⎡ o ⎤⎥ A 0,1∠0⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎣VoB ⎦ ⎢⎣10∠90⎥⎦⎦Untuk menyederhanakan bilangan, baris pertama dari matriks inikita kalikan 100, dan menuliskan fasor dalam bentuk sudut-siku.⎡ j22 − j1⎤⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎣ 1 −1⎦ ⎣VB⎦ ⎣ j10⎦⎡ j2→ eliminasi Gauss: ⎢⎣ 0Dari sini kita peroleh2 − j1⎤ ⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎥ ⎢ ⎥ =− 2 − j1⎢ ⎥⎦ ⎣VB⎦ ⎣−30⎦− 30 −30(−2+ j1)VB= == 12 − j6= 13,4∠− 26,6o− 2 − j15oV A = j10+ VB= j10+ 12 − j6= 12 + j4= 12,6∠18,4VV256 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

13.3.2. Metoda Arus MeshPenggunaan metoda ini di kawasan fasor juga akan kita lihat melaluisebuah contoh.COTOH-13.7: Tentukanlah arus di semua cabang rangkaian padapersoalan contoh 13.6. dengan menggunakan metoda arus mesh.V=10∠−90 o VA− +BI =0,1∠0 o AI 1 I 2I 3−j50Ω j100Ω 50ΩPenyelesaian :Rangkaian adalah seperti berikutPersamaan fasor arus mesh dalam bentuk matriks adalah⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j50− j50+ j100− j100⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j10⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j10050 + j100⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j5j5− j10⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j1⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j21+j2⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦Eliminasi Gauss memberikanatau⎡10⎢0 j5⎢⎢⎣0 0Dari sini kita dapatkan0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤− j10⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎥ ⎢ 2 j1.5⎥ ⎢ ⎥5 − j10⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣− j3⎥⎦o0 − j33∠ − 90oI 1 = 0,1∠0 A ; I3= == 0,27∠− 26,65 − j105 5∠ − 63,4A257

− j1,5+ j10I3I 2 =j5o3,35∠ −116,6=o5 5∠ − 63,4− j3−1,5− j3= −0,3+ 2 =5 − j105 − j10o= 0,3∠ − 53,2 A13.4. Rangkaian Resonansi13.4.1. Resonansi SeriImpedansi dari rangkaian seri RLC adalah:1 ⎛ 1 ⎞Z RLC seri = R + jωL+ = R + j⎜ωL− ⎟ (13.3)jωC⎝ ωC⎠Reaktansi dari impedansi ini mengandung bagian induktif (X L =jωL)maupun kapasitif (X C = 1/jωC), yang keduanya merupakan fungsi darifrekuensi . Bagian induktif berbanding lurus dengan frekuensi sementarabagian kapasitifnya berbanding terbalik. Pada suatu nilai frekuensitertentu, nilai reaktansi total menjadi nol, yaitu pada saat⎛ 11L 0 atauC⎟ ⎞⎜ω − = ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.4)LCPada saat itulah dikatakan bahwarangkaian beresonansi, dan ω 0disebut frekuensi resonansi. Padawaktu terjadi resonansi, jelas bahwaimpedansi rangkaian ini hanyalah R;reaktansi induktif sama denganreaktansi kapasitif sehingga salingmeniadakan. Dalam keadaanberesonansi, arus yang mengalirdalam rangkaian hanya ditentukanoleh R; jika tegangan sumber adalahV s maka I = V s / R.. Diagran fasor tegangan dan arus terlihat sepertiGb.13.3..Beberapa parameter digunakan untuk menyatapkan resonansi secaralebih detil. Salah satunya adalah faktor kualitas, Q , yang didefinisikansebagai perbandingan antara reaktansi induktif pada saat resonansidengan resistansinya. Karena pada saat resonansi |X L | = |X C | , makaImV L =jω 0 LI=jQV sIV R &V sReV C =−j(1/ω 0 C)I=−jQV sGb.13.3. Diagram fasorpada saat resonansi.258 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

ω0L1 L / CQ = = =(13.5)R ω0RCRJelaslah bahwa, walaupun definisi Q menyebut “pada saat resonansi”, Qsemata-mata tergantung dari parameter rangkaian. Faktor kualitasberbanding terbalik dengan rasio redaman Q = 1/2ζ.Parameter lain adalah lebar pita resonansi yang didefinisikan sebagaiselang frekuensi dimana impedansi tidak berbeda jauh dari nilaiimpedansi pada saat resonansi. Selang ini biasanya diambil selangfrekuensi yang memberikan nilai Z = R − jR dan Z = R + jR . Jika batasfrekuensi rendah dan tingginyanya adalah ω 1 dan ω 2 , maka⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ω1L−⎟ = −Rdan⎜ω2L −⎟ = R atau⎝ ω1C⎠ ⎝ ω2C⎠22ω1LC + ω1RC−1= 0 dan ω2LC − ω2RC −1= 02Karena LC = 1/ω 0 dan RC = 1/ω 0 Q , maka persamaan di atas menjadi22⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎜⎟ +⎜⎟ −1= 0 dan⎜⎟ −⎜⎟ −1= 0 (13.6)⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠Masing-masing persamaan pada (13.6) mempunyai dua akar. Namunhanya akar yang mempunyai arti fisis yang kita pakai, yaitu yang bernilaipositif. Dengan pengertian itu maka⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω1= ω0⎜−+⎜⎟ + 1⎟dan⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠(13.7)⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω2= ω0⎜ +⎜⎟ + 1⎟⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠Lebar pita resonansi adalahω0BW res = ω2− ω1=(13.8)Qω 1 dan ω 2 disebut frekuensi cut-off untuk resonansi. Perubahan reaktansidan impedansi terhadap frekuensi serta parameter-parameter resonansidijelas-kan pada Gb.13.4.259

X(ω)+R0−R|Z(ω)|X L = ωLR 2X L + X C R→ ω 0ω 1 ω 0 ω 2|Z|ω 1 ω 0 ω 2X LX C→ ωX C = −1/ωCGb.13.4. X L , X C , |Z|, ω resonansi, ω cut-off.13.4.2. Resonansi ParalelAdmitansi rangkaian paralel RLC adalahY 1 1 1 ⎛ ⎞= + + jωC= + j⎜ωC−1RLC paralel ⎟ (13.9)R jωLR ⎝ ωL⎠Bagian riil dari admitansi disebut konduktansi dan bagian imajinernyakita sebut suseptansi. Suseptansi dari rangkaian paralel RLC merupakanfungsi dari frekuensi. Seperti halnya reaktansi pada rangkaian seri RLC,ada satu nilai frekuensi yang membuat suseptansi pada (13.38) menjadinol, yang kita sebut frekuaensi resonansi, ω 0 .⎛ 11C 0L⎟ ⎞⎜ω − = → ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.10)LCPersamaan (13.10) ini sama dengan (13.4). Jadi frekuensi resonansirangkaian paralel RLC sama dengan rangkaian serinya. Sesungguhnyaadmitansi rangkaian paralel dapat kita peroleh dari impedansi ragkaianseri dengan penggantian :Faktor kualitas :Frekuensi cutoff:R ↔ G ; L ↔ C ; C ↔ Lω0C1 RQ = = =(13.11)G ω0GLL / C260 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛⎜ω1= ω0⎜−⎜⎝⎛⎜ω2= ω0⎜⎜⎝Lebar pita resonansi adalah:2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜⎟ + 1⎟dan⎝ 2Q⎠ ⎟⎠2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜⎟ + 1⎟⎝ 2Q⎠ ⎟⎠(13.12)ω0BW res = ω2− ω1=Q(13.13)1+2Q1+2QFrekuensi tengah : ω 0 = ω1ω2(13.14)Jika arus total dinyatakan dalam fasor I s , maka pada saat resonansimasing-masing adalah :Soal-SoalI L = − jQ I s IC= jQ I s(13.15)1. Hitunglah tegangan keluaran v o pada rangkaian-rangkaian berikut ini.a).+−0,5kΩ10cos1000t0,25H0.6kΩ 0,6kΩ2µF+v o−b).2cos2000tA2µF 0,3kΩ0,2kΩ+v o−c).+ 100Ω− 100∠0 o V200Ω−j50Ω−j100Ω+V o−d).j15Ω++− 100∠0 o V −V o30Ω +30Ω−50∠0 o V261

e).j15Ω++− 100∠0 o V −V o30Ω30Ω− j30Ω50∠0 o+−j15Ω+30Ω4∠0 o A V o 30Ω− j30Ω+−f).− 50∠0 o2. Hitunglah tegangan pada resistor 60 Ω pada rangkaian a) dan teganganpada resistor 100 Ω pada rangkaian b) berikut ini.3H+ 60Ω 30Ω+− 50cos10t 50cos20t −a)VVb)5µF+ −100Ω2cos1000t A200sin2000tV0,1H3. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin di terminal A-B untukmenentukan impedansi yang harus dipasang pada terminal ini agarterjadi transfer daya maksimum dari sumber ke beban’.a).b).1mH+− 0,5µF20cos10 6 t V+ 100Ω− 1µF20cos10 4 t VA1kΩBA100Ω2cos10 4 t AB262 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4. Rangkaian di samping iniadalah rangkaian T. Carilahhubungan antara V o dan V injika frekuensi operasi adalah2400 Hz.+V in−40Ω0,5µF40Ω+V o−5. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah v s =Asinωt V. Tegangan keluaran dapat dinyatakan sebagai v o = β sin(ωt+ φ) V. Berapakah β dan φ jika ωRC = 1.+v s−CRABCR+v o−6. Tentukan nilai R pada rangkaian di bawah ini sehingga pada frekuensi1kHz terjadi perbedaan fasa 180 o antara v o dan v s .+v s−0,01µF 0,01µF 0,01µFR RR+v o−7. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalah v s =Asinωt V. Bagaimanakah bentuk tegangan keluaran v o ?Bagaimanakah jika ω = 0, ω → ∞, dan ω = 1/RC ?2R+v s−CCR/2+v o−Rangkaian Resonansi8. Suatu rangkaian RLC seri dengan R = 10 Ω, L = 0,5 mH, dan C = 200nF. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ? Berapa faktorkualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ? Berapakah nilaiimpedansi pada batas frekuensi (cutoff frequency) atas dan bawahnya? Berapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut ?263

9. Pada suatu rangkaian RLC seri L = 0,5 mH, dan C = 200 nF.Impedansi rangkaian ini pada batas frekuensi atasnya adalah Z = 20 +j20 Ω. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ? Berapa faktorkualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ? Berapa nilai ke-duabatas frekuensi tersebut ?10. Sebuah rangkaian resonansi seri RLC dirancang untuk beresonansipada 50 Mrad/s, dengan lebar pita resonansi 8 Mrad/s. Impedansipada waktu resonansi adalah 24 Ω. Tentukan faktor kualitasnya, nilaiL dan C, batas frekuensi atas dan bawah.11. Sebuah rangkaian resonansi paralel RLC beresonansi pada 100 krad/sdan lebar pita resonansinya 5 krad/s. Dalam keadaan resonansi,impedansinya bernilai 8 kΩ. Tentukan L, C, faktor kualitas, batasfrekuensi atas dan bawah.12. Sebuah kapasitor variabel diparalel dengan resistor 100 Ω. Rangkaianparalel ini kemudian diserikan dengan induktor 10 mH. Denganfrekuensi 5000 rad/s, pada nilai kapasitor berapakah impedansirangkaian ini menjadi resistif ? Berapakah impedansi tersebut ?13 Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 10 mH.Rangkaian seri ini diparalel dengan kapasitor 10 µF. Pada frekuensiberapakah impedansi totalnya menjadi resistif. Berapakah nilainya ?14. Sebuah induktor 20 mH mempunyai resistansi internal 20 Ω.Berapakah nilai kapasitor yang harus diserikan dengan induktortersebut agar terjadi resonansi pada frekuensi 10 krad/s ? Hitungfaktor kualitas rangkaian ini.264 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 14Analisis DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami pengertian pengertian daya nyata, daya reaktif,daya kompleks, serta faktor daya;• mampu melakukan perhitungan alih daya ke beban sertafaktor daya beban;• mampu menentukan kondisi untuk tercapainya alih dayamaksimum.14.1. UmumDalam analisis rangkaian arus bolak-balik keadaan mantap pada babsebelumnya, kita lebih memusatkan perhatian pada besaran arus dantegangan, belum mempersoalkan daya. Di bab inilah kita akan membahastentang daya.Analisis daya pada sistem arus bolak-balik, tertuju pada pemecahan tigamacam persoalan yaitu:a. Mencari tanggapan rangkaian dengan rangkaian beban dan sumberyang diketahui. Persoalan semacam inilah yang kita bahas pada subbabsebelumnya, dengan penekanan pada perhitungan tegangan danarus. Persoalan ini masih akan kita lihat lagi, dengan penekananpada persoalan dayanya.b. Mencari kondisi rangkaian beban agar terjadi alih daya maksimumapabila rangkaian sumber diketahui. Persoalan ini banyak kitajumpai dalam sistem pemroses sinyal, yang merupakan suaturangkaian dengan sumber yang terbatas kemampuannya. Padarangkaian seperti ini kita harus berusaha melakukan penyesuaianpenyesuaianpada rangkaian beban agar alih daya ke beban menjadimaksimum. Dengan kata lain kita berusaha agar daya yang tersediadigunakan sebaik-baiknya.c. Mencari rangkaian sumber agar kebutuhan daya pada bebanterpenuhi dan sumber bekerja sesuai dengan kemampuannya.Persoalan ini kita jumpai dalam sistem tenaga listrik yang bertujuan265

memasok kebutuhan energi listrik pada suatu tingkat tegangantertentu. Rangkaian seksi beban tidak mudah disesuikan terhadap sisisumber bahkan sebaliknya sisi sumber yang harus disesuaikanterhadap kebutuhan beban. Permintaan daya selalu berubah dariwaktu ke waktu, sesuai keperluan konsumen, yang berarti bahwapasokan di sisi sumber harus disuaikan pula dari waktu ke waktu.Sebelum membahas persoalan-persoalan tersebut di atas, kita akanmembahas lebih dulu mengenai daya itu sendiri. Selama ini kitamengenal pernyataan daya di kawasan t sebagai hasil kali antarategangan dan arus. Oleh karena dalam analisis rangkaian arus bolak-balikkita bekerja di kawasan fasor, maka kita memerlukan pengertianmengenai pernyataan daya di kawasan fasor, yang akan kita kenalsebagai daya kompleks.14.2. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya Rata-Rata dan DayaReaktif14.2.1. Daya Rata-RataMisalkan tegangan dan arus pada terminal suatu beban adalahv = Vmcos( ωt+ θ)dan i = I m cos ωt(14.1)Persamaan (14.1) ini merupakan pernyataan umum dari tegangan danarus yang berbentuk sinus, dengan mengambil referensi sudut fasa noluntuk arus dan perbedaan fasa antara arus dan tegangan sebesar θ.Daya sesaat yang dialihkan melalui terminal ini ke beban adalahp = vi = VmIm cos( ωt+ θ) cosωt= VmIm{ cos ωtcosθ − sin ωtsin θ}cos ωt(14.2)VmImVmImVmIm= cos θ + cos θcos 2ωt− sin θsin 2ωt222Persamaan (14.2) memperlihatkan bahwa daya sesaat terdiri dari duakomponen, yaitu : Komponen searah, ditunjukkan oleh suku pertama ruas kanan (14.2)yang bernilai konstan. Komponen ini ditentukan oleh nilaimaksimum dari tegangan dan arus serta beda sudut fasanya.266 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Komponen bolak-balik, ditunjukkan oleh suku kedua dan ketigayang berbentuk sinyal sinus dengan frekuensi 2ω.Jika kita menghitung nilai rata-rata daya dari (14.2) dalam selang antara0 sampai 2π , akan kita perolehπ1 2 VmImp rr = P = ω = θπ ∫pd t cos(14.3)220yang tidak lain adalah komponen searah dari (14.2) karena nilai rata-ratadari suku kedua dan ke-tiga adalah nol.14.2.2. Daya ReaktifPada persamaan (14.2) amplitudo suku ke-dua sama dengan daya rataratasehingga suku pertama dan ke-dua dapat kita gabung dan (14.2)menjadi⎡VmIm ⎤p = ⎢ cos θ⎥⎣ 2 ⎦= P( 1+cos 2ωt)⎡VmIm ⎤− ⎢ sin θ⎥cos 2ω1⎣ 2 ⎦V Im m( 1+cos 2ωt) − Q sin 2ωtdengan Q = sin θ2(14.4)Nilai suku pertama (14.4) selalu positif atau selalu negatif , tergantungdari nilai P tetapi tidak pernah berubah tanda karena faktor (1+cos2ωt)selalu lebih besar dari 0 (minimal 0). Sedangkan suku kedua berbentuksinus yang berubah nilai dari positif ke negatif dan sebaliknya secaraperiodik. Kalau kita melakukan integrasi p dalam satu perioda untukmendapatkan alih energi, maka akan kita dapatkan bahwa hanya sukupertama yang memberikan suatu nilai netto; sedangkan suku keduamemberikan nilai alih energi nol.=T T= (1 + cos 2ω) −∫Tw∫pdt∫P t dt ( Q sin 2ωt)dt = PT − 0000(14.5)Jadi daya sesaat seperti ditunjukkan oleh (14.4) mengandung duakomponen daya. Komponen daya yang pertama memberikan alih energinetto yang besarnya sama dengan alih energi yang diberikan oleh dayarata-rata. Komponen daya yang kedua tidak memberikan alih energinetto, dan disebut daya reaktif. Perhatikan Gb.14.1.267

pP 100tp = P(1+cos2ωt) : komponen inimemberikan alih energi nettop = −Qsin2ωt : daya reaktif, tidakmemberikan alih energi nettoGb.14.1. Komponen-komponen Daya14.3. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor: Daya Kompleks, FaktorDayaDalam analisis rangkaian di kawasan fasor, kita perlu mencari hubunganantara komponen-komponen daya yang kita bahas di atas denganbesaran-besaran fasor. Dalam pembahasan mengenai fasor yang telahkita lakukan, besarnya fasor menyatakan nilai puncak dari sinyal sinus.Akan tetapi dalam analisis rangkaian arus bolak-balik, yang padaumumnya melibatkan analisis daya, pernyataan fasor tegangan dan fasorarus lebih baik dinyatakan dalam nilai rms-nya, sehingga pernyataanfasor tegangan dan arus adalahjθjθviV = V e dan I = I e (14.6)rmsDengan pernyataan ini, keterkaitan antara besaran fasor dengan dayarata-rata menjadi lebih sederhana. Besarnya daya rata-rata menjadiVmIm VmI mP = cos θ = cos θ = VrmsI rms cos θ (14.7)2 2 2dengan θ = θ v − θ i , yaitu perbedaan sudut fasa antara fasor tegangan danfasor arus; dan besarnya daya reaktif menjadiVmI m VmI mQ = sin θ = sin θ = VrmsI rms sin θ (14.8)2 2 2rms268 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

14.3.1. Daya KompleksSelanjutnya, dengan menggunakan fasor rms, kita mendefinisikan dayakompleks sebagai*= VIS (14.9)yang merupakan perkalian fasor tegangan dengan konjugat dari fasorarus. Dengan menggunakan definisi ini dan persamaan (14.6), makadaya kompleks pada terminal beban menjadi* jθv− jθiS = VI = VrmseI rmsej(θv−θi)jθ= VrmsI rmse= VrmsI rmsePernyataan S bentuk polar (14.10) dapat kita tuliskan dalam bentuksudut sikujθS = VrmsIrmse== P + jQ[ V I ] cos θ + j[ V I ]rmsrmsrmsrmssin θ(14.10)(14.11)Jadi, bagian riil dari daya kompleks S adalah daya rata-rata ataukemudian disebut juga daya nyata, sedangkan bagian imajinernya adalahdaya reaktif. Perlu kita fahami bahwa daya kompleks bukanlah fasor,namun ia merupakan besaran kompleks. Pengertian daya kompleks inisangat bermanfaat jika tegangan dan arus dinyatakan dalam fasor.14.3.2. Segitiga DayaDengan pengertian daya kompleks, kita dapat menggambarkan segitigadaya, seperti terlihat pada Gb.14.2.ImS =VI *θPjQReImθS =VI *P− jQReGb.14.2. Segitiga Daya.Pada gambar ini P adalah positif, artinya alih daya terjadi dari arahsumber ke beban atau beban menyerap daya. Segitiga daya ini bisa269

terletak di kuadran pertama atau kuadran keempat, tergantung apakah Qpositif atau negatif.Besar daya kompleks S adalahS = V rms I rms(14.12)yang kita sebut juga sebagai daya tampak dan mempunyai satuan voltamper(VA).Hubungan antara daya kompleks dan daya rata-rata serta daya reaktifadalahS = P + jQP = S cos θ = VrmsI rms cos θQ = S sin θ = VrmsI rms sin θ(14.13)Daya rata-rata P mempunyai satuan watt (W), sedangkan daya reaktif Qmempunyai satuan volt-ampere-reaktif (VAR).14.3.3. Faktor DayaBeda sudut fasa antara fasor tegangan dan arus adalah θ, dan cosθdisebut faktor daya.Pfaktor daya = cos θ =(14.14)SSudut θ mempunyai rentang nilai antara −90 o sampai +90 o . Tetapikarena faktor daya adalah cosθ , maka nilainya selalu positif. Walaupundemikian faktor daya ini ini bisa lagging atau leading. Faktor dayadisebut lagging jika segitiga daya berada di kwadran pertama yangberarti bahwa daya reaktif Q bernilai positif. Hal ini terjadi jika fasorarus berada di belakang fasor tegangan atau arus lagging terhadaptegangan. Beban-beban industri dan juga perumahan pada umumnyamempunyai faktor daya lagging, jadi daya reaktif bernilai positif.Perhatikan Gb.14.3.Apabila fasor arus mendahului fasor tegangan atau arus leading terhadaptegangan maka faktor daya disebut leading. Dalam hal ini segitiga dayaberada di kwadran ke-empat karena daya reaktif Q bernilai negatif.270 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Keadaan ini terjadi apabila beban bersifat kapasitif. Perhatikan pulaGb.14.3.ImI *ImS =VI *V ReθI (lagging)θPjQReFaktor daya laggingImθI (leading)I *VReImθS =VI *P− jQReFaktor daya leadingGb.14.3. Fasor Tegangan dan Arus dan Segitiga Daya.14.4. Daya Kompleks dan Impedansi BebanImpedansi beban adalah perbandingan antara tegangan beban dan arusbeban. Jika tegangan beban adalah V , arus beban I, dan impedansi bebanadalah Z B , makaVZ B = atau V = Z B I(14.15)IDengan hubungan ini maka daya kompleks yang dialihkan ke bebandapat diuraikan sebagai* * 2S = VI = Z BII = Z B I=2 22( R + jX ) I = R I + jX IBBrmsBrmsBrms(14.16)dengan R B dan X B masing-masing adalah resistansi dan reaktansi beban.Persamaan (14.16) dapat kita uraikan menjadi22S = P + jQ = RBI rms + jX B I rms(14.17)Dari (14.17) kita dapat mengambil kesimpulan bahwa271

22P = RBI rms dan Q = X B I rms(14.18)Persamaan pertama (14.18) menunjukkan bahwa daya rata-rata terkaitdengan resistansi beban. Nilai P yang positif menunjukkan bahwaseluruh daya rata-rata diserap oleh resistansi beban atau dengan kata lainresistansi bebanlah yang menyerap daya rata-rata.Persamaan kedua (14.18) menunjukkan bahwa daya reaktif terkaitdengan reaktansi beban. Jika daya reaktif Q bernilai positif, makareaktansi beban juga bernilai positif, yang berarti beban bersifat induktif.Jika Q negatif berarti beban negatif dan ini berarti bahwa beban bersifatkapasitif.Jika beban berupa resistor murni, maka tidak terdapat perbedaan sudutfasa antara tegangan dan arus beban. Seluruh daya yang dialihkan kebeban adalah daya rata-rata. Untuk keadaan ini,22( R + j ) I = ( R ) ( R ) I2* *S R = VI = Z BII = B 0 B I = B rms (14.19)Jika beban berupa kapasitor, perbedaan sudut fasa antara tegangan danarus beban adalah −90 o dan daya yang dialihkan ke beban hanya berupadaya reaktif yang negatif. Untuk keadaan ini,SC==VI*= ZB*=( 0 + jX )222( jX ) I = ( jX ) I = ⎜−j ⎟ICI ICrmsCI⎛⎝21 ⎞rmsωC⎠(14.20)Jika beban berupa induktor, perbedaan sudut fasa antara tegangan danarus beban adalah +90 o dan daya yang dialihkan ke beban hanya berupadaya reaktif yang positif. Untuk keadaan ini,2( 0 + jX ) I = ( jX )* *2S L = VI = Z BII = LL I= ( jX L ) I rms2 = ( jωL) I rms2(14.21)Persamaan (14.20) dan (14.21) menunjukkan bahwa daya yang diserapoleh kapasitor maupun induktor merupakan daya reaktif akan tetapiberlawanan tanda. Kapasitor menyerap daya reaktif negatif sedangkaninduktor menyerap daya reaktif positif. Jika suatu beban mengandungbaik kapasitor maupun induktor, maka daya reaktif yang diserap bebanini adalah jumlah dari dua daya reaktif yang dalam keadaan tertentu272 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

akan saling meniadakan. Hal ini akan kita lihat dalam sub-bab mengenairangkaian resonansi.Jika suatu beban bersifat terlalu induktif, artinya terlalu banyakmenyerap daya reaktif positif, kebutuhan daya reaktif tersebut dapatdikurangi dengan memasang kapasitor paralel dengan beban. Kapasitoryang diparalelkan itu akan menyerap daya reaktif negatif, sehingga dayareaktif total akan berkurang. Inilah yang dilakukan orang untukmemperbaiki faktor daya beban yang juga akan kita lihat kemudian.COTOH-14.1: Pada terminal hubung AB antara seksi sumber danseksi beban dari suatu rangkaian listrik terdapat tegangan danarus sebesarooV = 480∠ + 75 V(rms) dan I = 8,75∠ + 105A(rms)Tentukan daya kompleks, daya rata-rata, daya reaktif, faktor daya,serta impedansi beban.Penyelesaian :Daya kompleks adalahS = VI*= 480∠ + 75= 4200cos30oo× 8,75∠ −105− j4200sin 30oo= 4200∠ − 30= 3640 − j2100Daya rata-rata dan daya reaktif masing-masing adalahP = 3640 W dan Q = 2100 VARDaya rata-rata ini positif, jadi beban menyerap daya.Daya reaktif bernilai negatif, jadi faktor daya leading.faktor daya = cos( −30)= 0,866oVABahwa faktor daya ini leading sebenarnya telah terlihat daripernyataan fasor arus dan tegangan. Sudut fasa arus, yaitu 105 o ,lebih besar dari sudut fasa tegangan yang 75 o ; jadi arus mendahuluitegangan.Resistansi beban adalahRReaktansi beban adalahBP=2Irms3640=(8,75)2= 47,5 Ω273

XBQ=2IrmsJadi impedansi beban adalah−2100=2(8,75)= −27,4ΩZ B = ( 47,5 − j27,4)ΩImpedansi beban ini bersifat kapasitif. Nilai kapasitansi beban dapatkita cari jika kita mengetahui berapa nilai frekuensi kerja dari sistemini. Misalkan frekuensinya adalah 50 Hz, makaX C−11= = −27,4Ω → C == 116 µ FωC2π × 50 × 27,414.5. Alih DayaTeorema Tellegen menyatakan bahwa jika v k mengikuti hukum teganganKirchhoff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff (HAK), makaN∑vkk = 1× ik= 0Teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasif dandaya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsipkonservasi energi.Dalam analisis di kawasan fasor, kita mengenal daya rata-rata, dayareaktif dan daya kompleks. Sementara itu kita juga mengetahui bahwakapasitor dan induktor merupakan elemen pasif yang mampu menyerapdan mampu memberikan daya. Bagaimanakah perimbangan daya antarasemua elemen yang ada dalam rangkaian di kawasan fasor ?Dalam pembahasan alih daya antara sumber dan beban, kita melihatbahwa daya rata-rata P terkait dengan resistansi beban, sedangkan dayareaktif Q terkait dengan reaktansi beban. Jika kita mempersempittinjauan kita, tidak ke suatu beban besar tetapi hanya ke satu elemen, kitaharus mendapatkan hal yang serupa yaitu bahwa daya rata-rata padaelemen berkaitan dengan resistansi elemen, sedangkan daya reaktif padaelemen berkaitan dengan reaktansi elemen. Ini berarti bahwa resistorhanya menyerap daya rata-rata, sedangkan kapasitor dan induktor hanyamenyerap daya reaktif.Catatan: Kita menggunakan istilah “menyerap daya” untuk kapasitordan induktor sesuai dengan konvensi pasif yang kita anut; daya274 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

yang diserap ini boleh positif ataupun negatif. Jika daya positifberarti elemen sedang menyerap daya, jika daya negatif berartielemen sedang memberikan daya.Jadi daya rata-rata yang diberikan oleh sumber akan diserap oleh resistorresistorsedangkan daya reaktif yang diberiken oleh sumber diserap olehkapasitor dan induktor. Penyerapan daya oleh kapasitor dan induktor inibisa saja tidak serempak; artinya pada suatu saat tertentu sebagianelemen sedang menyerap sementara yang lain sedang memberikan daya.Jelaslah sekarang, kemana mengalirnya daya rata-rata dan kemana pulamengalirnya daya reaktif. Oleh karena itu daya rata-rata dan daya reaktifdapat digabungkan kedalam pengertian daya kompleks, dan muncullahprinsip konservasi daya kompleks (principle of conservation of complexpower), yang berbunyiDalam rangkaian linier arus bolak-balik keadaan mantap, jumlahdaya kompleks yang diberikan oleh sumber bebas, sama denganjumlah daya kompleks yang diserap oleh elemen-elemen dalamrangkaian.Prinsip konservasi daya kompleks dalam analisis di kawasan fasor inimengingatkan kita pada teorema Tellegen yang berlaku di kawasanwaktu.COTOH-14.2: (a) Carilah daya kompleks yang diberikan oleh masingmasingsumber serta daya totalnya pada rangkaian berikut ini. (b)Tentukan pula daya yang diserap oleh resistor, kapasitor dan induktor.V=10∠−90 o VAB− +I 1 =0,1∠0 o AI 2 I 4 I 5I 3−j50Ω j100Ω 50ΩPenyelesaian :Dengan mengambil simpul B sebagai simpul referensi, simpul Amenjadi terikat dan tinggallah simpul C yang perlu kita caritegangannya.C275

⎡VC⎢⎣VC150+1j100+−o[ 2 + j1] − V [ j2] = −10∠0A1j50⎤ ⎡⎥ − VA⎢⎦ ⎣−j150⎤ o⎥ + 0,1∠0 = 0⎦atauKarenao oV A = −V= −10∠ − 90 = 10∠90[ 2 + j1]V , makao ooVC− 2×10∠(90+ 90 ) = −10∠0− 30⇒ VC= = −12+ j6 V2 + j1Daya kompleks yang “diserap” oleh sumber arus adalaho[ −12+ j6− j10] × 0,1∠0 = −1,2− 0,4 VA*Si= ( V C − VA) I1 =jUntuk menghitung daya kompleks yang diberikan oleh sumbertegangan kita harus menghitung arus yang melalui sumber ini yaituI 3 .I3= I 2 − I1VA− VCI 2 =− j50= −0,08+ j0,24Ao10∠90− ( −12+ j6)==− j50j10+ 12 − j6− j50o⇒ I3= I 2 − I1= −0,08+ j0,24− 0.1∠0= −0,18+ j0,24ADaya kompleks yang “diserap” oleh sumber tegangan adalah* oS v = VI 3 = 10∠ − 90 × ( −0,18− j0,24)= − j10× ( −0,18− j0,24)= −2,4+ j1,8VADaya kompleks total yang “diserap” oleh kedua sumber adalahStot = Si+ Sv= −1,2− j0,4− 2,4 + j1,8= −3,6+ j1,4VADaya kompleks total ini mengandung komponen rata-rata sebesar3,6 W ; dan sebagaimana telah kita bahas, daya rata-rata ini harusdiserap oleh resistor yang ada pada rangkaian ini yaitu resistor 50Ω. Kita dapat memastikan hal ini dengan menghitung arus yangmelalui resistor, yaitu I 5 .276 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

−VC12 − j6oI5= = = 0,24 − j0,12= 0,268∠26,650 502 22⇒ PR= RI rms = R I5= 50 × (0,268) = 3,6 WDaya reaktif yang diserap oleh kapasitor adalahAQ C222 2= X C I 2rms= ( −50)I2= −50(0,08+ 0,24 ) = −3,2VARArus yang melalui induktor adalahI4= −I− I35= −0,06− j0,12A= −(−0,18+ j0,24+ 0,24 − j0,12)dan daya reaktif yang diserap induktor adalah22 2Q L = X L I 4 = 100(0,06 + 0,12 ) = 1,8 VARTotal daya kompleks yang diserap oleh resistor, kapasitor, daninduktor adalahStotbeban = PR+ jQC+ jQL= 3,6 − j3,2+ j1,8= 3,6 − j1,4VANilai ini sesuai dengan daya yang diberikan oleh kedua sumber,yaituStot dari sumber = −Stot= −(−3,6+ j1,4)VADengan ini terbukti pula konservasi daya kompleks yangdikemukakan di depan.14.6. Alih Daya MaksimumTelah disebutkan di depan bahwa persoalan alih daya maksimum banyakdijumpai dalam sistem komunikasi. Kita berusaha untuk mengalihkandaya sebanyak mungkin dari sumber ke beban. Hal ini tidak berartibahwa efisiensi alih daya menjadi tinggi, bahkan sebaliknya.277

14.6.1. Alih Daya Maksimum Dengan Cara Penyesuaian ImpedansiDalam cara ini kita menggunakanrangkaian ekivalen Thévenin untukseksi sumber sedangkan rangkaianbeban kita sesuaikan sedemikianrupa sehingga terjadi kesesuaianantara impedansi beban danimpedansi Thévenin.Rangkaian ekivalen Thévenin untukrangkaian arus bolak-balik terdiridari sumber tegangan Thévenin V T(dalam bentuk fasor) yang diserikandengan impedansi Z T = R T + jX T . Sementara itu seksi beban dinyatakanoleh impedansi beban Z B = R B + jX B dengan R B dan X B yang harus kitasesuaikan untuk memperoleh alih daya maksimum. Lihat Gb.14.4.Daya rata-rata yang dialihkan melalui terminal hubung AB (daya padabeban) adalah2P B = I R B(14.22)Karena Z T dan Z B terhubung seri, arus I dapat dengan mudah kita perolehyaituI =( RTVTVTI = =Z T + Z B ( RT+ RB) + j(X T + X B )+ RBVT) + j(XT+ XB)=( RT+ RB)2VT+ ( XT+ Xsehingga daya pada beban adalah22VTRBPB= I RB=22( RT+ RB) + ( X T + X B )(14.23)Jika kita anggap bahwa resistansi beban konstan, maka apabila kita inginagar P B menjadi tinggi, kita harus mengusahakan agar X B = −X T .padapersamaan (14.23). Hal ini selalu mungkin kita lakukan karena reaktansidapat dibuat bernilai negatif ataupun positif. Dengan menyesuaikanreaktansi beban, maka kita dapat membuat impedansi beban merupakankonjugat dari impedansi Thévenin. Dengan penyesuaian impedansi+−Z T = R T + jX TAZ B = R B + jX BV TBGb.14.4. Sumber dan beban.B)2278 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

eban demikian ini kita dapat memperoleh alih daya yang tinggi.Langkah ini akan membuat impedansi keseluruhan yang dilihat olehsumber tegangan Thévenin tinggallah resistansi (R T + R B ) saja.Dengan membuat X B = −X T , maka besarnya daya rata-rata pada bebanadalahPB2VTR=( R + RB )TB2(14.24)Inilah daya pada beban paling tinggi yang dapat diperoleh jika R Bbernilai konstan. Jika R B dapat diubah nilainya, maka denganmenerapkan persyaratan untuk alih daya maksimum pada rangkaianresistif yang telah pernah kita bahas yaitu bahwa resistansi beban harussama dengan resistansi Thévenin, maka persyaratan agar terjadi alih dayamaksimum pada rangkaian arus bolak-balik haruslahRB= RTdan X B = −XT(14.25)Jika kondisi ini dicapai maka besarnya daya maksimum yang dialihkanadalah22VTRBVTPBMAX= =(14.26)2(2R4RB ) BPerhatikanlah bahwa formula untuk terjadinya alih daya maksimum inidiperoleh dengan kondisi sumber yang tetap sedangkan impedansi bebandisesuaikan untuk memperoleh kondisi yang kita sebut sebagaikesesuaian konjugat.COTOH-14.3:Terminal ABpada rangkaianberikut inimerupakanterminalhubung untukmenyambungkan beban ke seksi sumber. Hitunglah berapa dayamaksimum yang dapat diperoleh dari rangkaian seksi sumber ini.Penyelesaian :+−50Ωj100Ω−j50Ω10∠0 o VABbeban279

Untuk memecahkan persoalan ini, kita mencari lebih dulu rangkaianekivalen Thévenin dari seksi sumber tersebut. Tegangan danimpedansi Thévenin adalahVT=50 +− j50 o − j1× 10∠0= × 10 = −5−j100− j501 + j1j5VZ T− j50(50+ j100)== 25 − j75− j50+ 50 + j100ΩAgar terjadi alih daya maksimum maka impedansi beban haruslahZ B = 25 + j75 Ω. Daya maksimum yang dapat diperoleh dariterminal AB adalah22VT− 5 − j5PMAX= = = 0,5 W4RB4 × 25Pemahaman :Arus yang melalui beban sama dengan arus yang diberikan olehsumber ekivalen Thévenin, yaituVT−5 − j5oI B = = = −0,1− j0,1= 0,02∠ −135ZT+ Z B 50Arus yang dikeluarkan oleh sumber sesungguhnya, dapat dihitungdari rangkaian aslinya jika Z B dihubungkan ke terminal AB sepertitergambar di bawah ini.A+−50+ j100 Ω10∠0 o V−j50ΩABbeban25+j75 ΩDari rangkaian inilah arus sumber harus kita hitung, yang akanmemberikan280 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

I so10∠0=( − j50)(25+ j75)50 + j100+− j50+ 25 + j7510o== 0,1∠0− j50+ 15050 + j100+1+j1ADaya yang diberikan oleh sumber adalah* o oS = V s I s = 10∠0× 0,1∠0 = 1 +j0VAPs2= 50Is + 25IB2= 50 × (0,1)2+ 25×(0,02)2= 1 WDaya rata-rata P s = 1 W yang dikeluarkan oleh sumber ini diserapoleh resistor 50 Ω di rangkaian sumber dan resistor 25 Ω dirangkaian beban.Untuk memungkinkan penyesuaian impedansi seksi beban kepadaimpedansi seksi sumber, seksi beban harus mengandung resistansi,kapasitansi ataupun induktansi yang dapat diubah nilainya. Oleh karenaitu diperlukan resistor, kapasitor, dan induktor variabel di sisi beban.14.6.2. Alih Daya Maksimum Dengan Sisipan TransformatorPenyesuaian impedansi beban terhadap impedansi sumber dapatdilakukan dengan menempatkan transformator antara sumber dan beban.Kita telah membahas transformator ideal, yang memberikan kesamaankesamaanv11=v2 2danDi kawasan fasor, relasi tersebut menjadiV11=V22dani1 2=i21I1 2=I 2 1(14.27)Konsekuensi dari (14.27) adalah bahwa impedansi yang terlihat di sisiprimer adalah281

22V1( 1/ 2 ) V2⎛ 1⎞ V2⎛ 1⎞ 2Z 1 = ==Z2= a Z21 ( 2 / 1)⎜ =2 ⎟⎜2 2 ⎟II ⎝ ⎠ I ⎝ 2 ⎠(14.28)Jika impedansi beban adalah Z B = RB+ jX B , maka denganmenempatkan transformator antara seksi sumber dan seksi beban seksisumber akan melihat impedansi sebesar2Z 1 = R1+ jX1= a ( R B + jX B ) .Dengan sisipan transformator ini kita tidak dapat membuat penyesuaianhanya pada reaktansi X 1 melainkan penyesuaian pada impedansi Z 1 . Kitatidak melakukan perubahan apapun pada impedansi beban. Jika bebanbersifat kapasitif ataupun induktif ia akan tetap sebagaimana adanyasehingga penyesuaian konjugat tidak dapat kita lakukan. Jika V T dan Z Tadalah tegangan dan impedansi Thévenin dari seksi sumber, dan Z 1 kitatuliskan sebagai Z 1 = Z1cos θ + j Z1sin θ , maka daya yang dialihkanke beban melalui transformator adalahPB=2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ) 2T12VTZ1cosθT1(14.29)Kita harus mencari nilai |Z 1 | agar P B maksimum. Kita turunkan P Bterhadap |Z 1 | dan kita samakan dengan nol. Jika ini kita lakukan akan kitaperoleh2 21 = RT+ X T ZT(14.30)Z =Dengan demikian maka Z 1 a Z B = ZTsehingga persyaratan untuktrjadinya alih daya maksimum adalah= 2Z1 Ta = =(14.31) 2 Z BAlih daya maksimum yang kita peroleh dengan cara sisipantransformator ini lebih kecil dari alih daya maksimum yang kita perolehdengan cara penyesuaian impedansi. Hal ini dapat dimaklumi karenadalam sisipan transformator tidak terjadi penyesuaian konjugat.Walaupun daya beban maksimum lebih kecil, kita tidak memerlukanelemen-elemen variabel pada beban; kita cukup menyediakantransformator dengan rasio transformasi a yang sesuai. Dalam cara iniyang kita peroleh bukanlah alih daya maksimum melainkan efisiensimaksimum dari alih daya.282 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-14.4: Terminal AB pada rangkaian berikut ini merupakanterminal hubung untuk menyambungkan beban ke seksi sumber.Hitunglah rasio transformasi transformator yang harus disisipkanpada terminal AB agar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimumdan hitunglah berapa daya yang dapat diperoleh beban pada kondisiini.+−50Ω j100Ω−j50Ω10∠0 o VABbeban25+j60 ΩPenyelesaian :Tegangan dan impedansi Thévenin telah dihitung pada contohsebelumnya, yaituV T = −5 − j5 V dan Z T = 25 − j75 ΩAgar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimum maka rasiotransformasi dari transformator yang diperlukan adalah1a = 2=ZTZ B=2 225 + 752 225 + 60= 1,1028 ≈ 1,1Daya maksimum yang dapat diperoleh dari terminal AB adalahPB===2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ)T12 22( R + a R ) + ( X + a X )T2VTZ1cos θ2 2VTa RBB T50×1,216×252( 25 + 1,216×25) + ( − 75 + 1,216×60)T1B222= 0,49WPemahaman:283

Perhatikanlah bahwa resistansi beban dalam contoh ini sama denganresistansi beban dalam contoh sebelumnya. Seandainya digunakancara penyesuaian impedansi, reaktansi beban dapat dibuat menjadij75 dan daya beban menjadi 0,5 W. Dengan cara sisipantransformator, daya yang dapat diserap beban sedikit lebih kecildibanding dengan daya maksimum beban jika cara penyesuaianimpedansi digunakan.Bagaimanakah jika impedansi beban pada contoh ini bukan( 25 + j 60) Ω melainkan ( 25 − j 60) Ω ? Dalam hal ini Z B tidakberubah sehingga nilai a tetap seperti yang telah dihitung yaitua =1,1 atau a2 =1, 21 . Daya yang diserap beban menjadiP B=50 × 1,21×252( 25 + 1,21×25) + ( − 75 −1,21×60)2= 0,06Seandainya tidak disisipkan transformator, daya pada beban hampirsama besar yaituP B=50 × 252( 25 + 25) + ( − 75 − 60)2= 0,06Jadi dalam hal terakhir ini, di mana impedansi beban bersifatkapasitif sedangkan impedansi Thévenin juga kapasitif, penyisipantransformator tidaklah memperbaiki alih daya. Penyisipantransformator akan memperbaiki alih daya jika impedansi Thévenindan impedansi beban memiliki sifat yang berlawanan; jika yang satukapasitif yang lain haruslah induktif. Rasio transformasi daritransformator akan membuat impedansi beban mendekati konjugatdari impedansi Thévenin, walaupun tidak dapat persis sama.WW284 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, dan faktor daya pada suatupiranti, jika tegangan dan arusnya adalahoa). v = 100 2 cos( ωt+ 45 ) Vi = 2o2 cos( ωt− 30 ) Aob). V = 100∠45V rmsoI = 2∠ − 30 A rms2. Hitunglah faktor daya (lagging atau leading), jika diketahui dayakompleksa). S = 1000 + j750VAb).S = 800 − j600VAc). S = −600+ j800VAd).| S | = 10 kVA, Q = −8 kVAR, cosθ > 0.e).| S | = 10 kVA, P = 8 kW, cosθ > 0.3. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap dayakompleks 15 kVA pada faktor daya 0,8 lagging.4. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap daya 10 kWpada faktor daya 0,8 lagging.5. Pada tegangan 220 V rms, sebuah beban dialiri arus 22 A rms padafaktor daya 0,9 lagging. Hitunglah daya kompleks, daya rata-rata,daya reaktif, serta impedansi beban.6. Sebuah resistor 100 Ω terhubung seri dengan induktor 100 mH.Hitunglah daya total yang diserap, faktor dayanya, daya yang diserapmasing-masing elemen, jika dihubungkan pada sumber tegangan 220V rms, 50 Hz.;285

7. Sebuah resistor 100 Ω terhubung paralel dengan kapasitor 50 µF.Hitunglah daya yang diserap beban serta faktor dayanya jikadihubungkan pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz.8. Sebuah beban berupa hubungan paralel antara sebuah resistor dansebuah kapasitor. Pada tegangan 220 V rms, 50 Hz , beban inimenyerap daya kompleks S = 550 − j152 VA. Berapakah nilai resistordan kapasitor ?9. Sebuah beban berupa resistor 40 Ω terhubung paralel dengan induktoryang reaktansinya 30 Ω pada frekuensi 50 Hz. Beban ini dicatu darisebuah sumber tegangan 240 V rms, 50 Hz, melalui saluran yangmemiliki impedansi 1 + j10 Ω per saluran. Hitunglah arus di saluran(rms), daya kompleks yang diserap beban, daya kompleks yangdiserap saluran.10. Pada soal nomer 9 berapakah faktor daya pada beban dan faktor dayadi sisi sumber. Hitung pula tegangan pada beban.286 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 15Penyediaan DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami cara kerja transformator;• mampu menggambarkan diagram fasor.• mampu melakukan perhitungan-perhitungan padatransformator satu fasa;• mampu menghitung penyediaan daya pada sumber dantegangan sumber untuk mencatu beban;• mampu menentukan keperluan kapasitor dalam upayaperbaikan faktor daya.15.1. TransformatorTransformator banyak digunakan dalam teknik elektro. Dalam sistemkomunikasi, transformator digunakan pada rentang frekuensi audiosampai frekuensi radio dan video, untuk berbagai keperluan. Kitamengenal misalnya input transformers, interstage transformers, outputtransformers pada rangkaian radio dan televisi. Transformator jugadimanfaatkan dalam sistem komunikasi untuk penyesuaian impedansiagar tercapai transfer daya maksimum.Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transformatorberkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengan transformatortegangan tinggi ini penyaluran daya listrik dapat dilakukan dalam jarakjauh dan susut daya pada jaringan dapat ditekan. Di jaringan distribusilistrik banyak digunakan transformator penurun tegangan, dari teganganmenengah 20 kV menjadi 380 V untuk distribusi ke rumah-rumah dankantor-kantor pada tegangan 220 V. Transformator daya tersebut padaumumnya merupakan transformator tiga fasa. Dalam pembahasan ini kitaakan melihat transformator satu fasa lebih dulu.Kita telah mempelajari transformator ideal pada waktu membahasrangkaian listrik. Berikut ini kita akan melihat transformator tidak idealsebagai piranti pemroses daya. Akan tetapi kita hanya akan membahashal-hal yang fundamental saja, karena transformator akan dipelajarisecara lebih mendalam pada pelajaran mengenai mesin-mesin listrik.287

15.1.1. Transformator Dua Belitan Tak BerbebanHubungan transformator dua belitan tidak berbeban terlihat padaGb.15.1.I fφ+∼V s−E 1 1 2+E 2−Jika fluksi di rangkaian magnetiknya adalahφ = Φ maks sin ωtmaka fluksi ini akan menginduksikan tegangan di belitan primer sebesaratau dalam bentuk fasordφe1 = 1= 1Φmaksωcosωt(15.1)dto 1ωΦmaks oE 1 = E1∠0 =∠0; E1= nilai efektif (15.2)2Karena ω = 2π f maka2πf 1E1= Φ maks = 4.44 f 1Φmaks2Di belitan sekunder, fluksi tersebut menginduksikan tegangan sebesarDari (15.3) dan (15.4) kita perolehGb.15.1. Transformator dua belitan.(15.3)E2= 4 .44 f 2Φmaks(15.4)E11= ≡ a = rasio transformasiE22(15.5)288 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Perhatikanlah bahwa E 1 sefasa dengan E 2 karena dibangkitkan(diinduksikan) oleh fluksi yang sama. Karena E 1 mendahului φ dengansudut 90 o maka E 2 juga mendahului φ dengan sudut 90 o . Jika rasiotransformasi a = 1, dan resistansi belitan primer adalah R 1 , diagram fasortegangan dan arus adalah seperti ditunjukkan oleh Gb.15.2.a. Arus I fadalah arus magnetisasi, yang dapat dipandang sebagai terdiri dari duakomponen yaitu I φ (90 o dibelakang E 1 ) yang menimbulkan φ dan I c(sefasa dengan E 1 ) yang mengatasi rugi-rugi inti. Resistansi belitan R 1dalam diagram fasor ini muncul sebagai tegangan jatuh I f R 1 .I φφI c E 1 =E 2I f R 1I fV 1I φφV 1I cφ l E 1 =E 2I f R 1I fjI f X la). tak ada fluksi bocorb). ada fluksi bocorGb.15.2. Diagram fasor transformator tak berbebanFluksi Bocor. Fluksi di belitan primer transformator dibangkitkan oleharus yang mengalir di belitan primer. Dalam kenyataan, tidak semuafluksi magnityangdibangkitkantersebut akanI fφmelingkupibaik belitanprimermaupunsekunder.Selisih antaraV s ∼φ l1E 2fluksi yang Gb.15.3. Transformator tak berbeban. Fluksidibangkitkanbocor belitan primer.oleh belitanprimer dengan fluksi bersama (fluksi yang melingkupi kedua belitan)disebut fluksi bocor. Fluksi bocor transformator tak berbeban ini hanyamelingkupi belitan primer saja dan tidak seluruhnya berada dalam intitransformator tetapi juga melalui udara. (Lihat Gb.15.3). Oleh karena itureluktansi yang dihadapi oleh fluksi bocor ini praktis adalah reluktansi289

udara. Dengan demikian fluksi bocor tidak mengalami gejala histerisissehingga fluksi ini sefasa dengan arus magnetisasi. Hal ini ditunjukkandalam diagram fasor Gb.15.2.b. Fluksi bocor, secara tersendiri akanmembangkitkan tegangan induksi di belitan primer (seperti halnya φmenginduksikan E 1 ). Tegangan induksi ini 90 o mendahului φ l1 (sepertihalnya E 1 90 o mendahului φ) dan dapat dinyatakan sebagai suatutegangan jatuh ekivalen, E l1 , di rangkaian primer dan dinyatakansebagaiE l 1 = jI f X 1(15.6)dengan X 1 disebut reaktansi bocor rangkaian primer. Hubungan tegangandan arus di rangkaian primer menjadiV 1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1+ jI1X1(15.7)Diagram fasor dengan memperhitungkan adanya fluksi bocor ini adalahGb.15.2.b.15.1.2. Transformator BerbebanRangkaian transformator berbeban resistif, R B , diperlihatkan olehGb.15.4. Tegangan induksi E 2 (yang telah timbul dalam keadaanV sI 1∼ φ l1V 2Gb.15.4. Transformator berbeban.tranformatortidakberbeban)akan menjadisumber dirangkaiansekunder danmemberikanarus sekunderI 2 . Arus I 2 inimembangkitkanfluksi berlawanan arah dengan fluksi bersama φ dan sebagian akanbocor (kita sebut fluksi bocor sekunder). Fluksi bocor ini, φ l2 ,sefasa dengan I 2 dan menginduksikan tegangan E l2 di belitan sekunderyang 90 o mendahului φ l2 . Seperti halnya untuk belitan primer, teganganE l2 ini diganti dengan suatu besaran ekivalen yaitu tegangan jatuhekivalen pada reaktansi bocor sekunder X 2 di rangkaian sekunder. Jikaφφ l2I 2R B290 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

esistansi belitan sekunder adalah R 2 , maka untuk rangkaian sekunderkita peroleh hubunganE 2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2+ jI2 X 2 (15.8)dengan V 2 adalah tegangan pada beban R B .Sesuai dengan hukum Lenz, arus sekunder membangkitkan fluksi yangmelawan fluksi bersama. Oleh karena itu fluksi bersama akan cenderungmengecil. Hal ini akan menyebabkan tegangan induksi di belitan primerjuga cenderung mengecil. Akan tetapi karena belitan primer terhubung kesumber yang tegangannya tak berubah, maka arus primer akan naik. Jadiarus primer yang dalam keadaan transformator tidak berbeban hanyalaharus magnetisasi I f , bertambah menjadi I 1 setelah transformatorberbeban. Pertambahan arus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksibersama φ dipertahankan dan E 1 juga tetap seperti semula. Dengandemikian maka persamaan rangkaian primer (15.7) tetap terpenuhi.Pertambahan arus primer dari I f menjadi I 1 adalah untuk mengimbangifluksi lawan yang dibangkitkan oleh I 2 sehingga φ dipertahankan. Jadiharuslah( I − I ) − ( I ) 01 1 f 2 2 =(15.9)Pertambahan arus primer (I 1 − I f ) disebut arus penyeimbang yang akanmempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besar pula aruspenyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besar pula arus primer.Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dari primer ke sekunder. Dari(15.9) kita peroleh arus magnetisasiIf 2 I 2= I1− ( I 2 ) = I1−(15.10)1a15.1.3. Diagram FasorDengan persamaan (15.7) dan (15.8) kita dapat menggambarkan secaralengkap diagram fasor dari suatu transformator. Penggambaran kitamulai dari belitan sekunder dengan langkah-langkah sebagai berikut. Gambarkan V 2 dan I 2 . Untuk beban resistif, I 2 sefasa dengan V 2 .Selain itu kita dapat gambarkan I ’ 2 = I 2 /a yaitu besarnya arussekunder jika dilihat dari sisi primer.291

Dari V 2 dan I 2 kita dapat menggambarkan E 2 sesuai denganpersamaan (15.8) yaituE 2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2+ jI2 X 2Sampai di sini kita telah menggambarkan diagram fasor rangkaiansekunder.Untuk rangkaian primer, karena E 1 sefasa dengan E 2 maka E 1 dapatkita gambarkan yang besarnya E 1 = aE 2 .Untuk menggambarkan arus magnetisasi I f kita gambarkan lebihdulu φ yang tertinggal 90 o dari E 1 . Kemudian kita gambarkan I f yangmendahului φ dengan sudut histerisis γ. Selanjutnya arus belitanprimer adalah I 1 = I f + I ’ 2.Diagram fasor untuk rangkaian primer dapat kita lengkapi sesuaidengan persamaan (15.7), yaituV 1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1+ jI1XGb.15.5. Diagram fasor lengkap, transformator berbeban resistif (a > 1).Dengan demikian lengkaplah diagram fasor transformator berbeban.Gb.15.5. adalah contoh diagram fasor yang dimaksud, yang dibuatdengan mengambil rasio transformasi 1 / 2 = a > 1.COTOH-15.1: Belitan primer suatu transformator yang dibuat untuktegangan 220 V(rms) mempunyai jumlah lilitan 160. Belitan inidilengkapi dengan titik tengah (center tap). a). Berapa persenkahbesarnya fluksi maksimum akan berkurang jika tegangan yang kitaterapkan pada belitan primer adalah 110 V(rms)? b). Berapapersenkah pengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan 55 V(rms) pada setengah belitan primer? c). Berapa persenkahpengurangan tersebut jika kita menerapkan tegangan 110 V (rms)V 1jI 1 X 1E 1E 2 jI 2 X 2I 1 R 1I ’ I22 V 2 I 2 R 2I fφ γ I 1292 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

′′′pada setengah belitan primer? d). Jika jumlah lilitan di belitansekunder adalah 40, bagaimanakah tegangan sekunder dalam kasuskasustersebut di atas?Penyelesaian :a). Dengan mengabaikan resistansi belitan, fluksi maksimum Φ madalahΦmE12 V12 220 2= = = ω ω 160ω1Jika tegangan 110 V diterapkan pada belitan primer, maka1Φ′mV1′2= ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ′ m = Φ m / 2.b). Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer,Φ ′′mV1′′2 55 2= =(1/ 2) ω 80ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ″ m = Φ m / 2.c). Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan makaVΦ ′′ ′1 2 110 2m = =(1/ 2) ω 80ω1220 2=160ωTidak terjadi penurunan fluksi maksimum, Φ′″ m =Φ m .d). Dengan 1 / 2 = 160/40 = 4 maka jika tegangan primer 220 V,tegangan sekunder adalah 55 V. Jika tegangan primer 110 V,tegangan sekundernya 27.5 V. Jika tegangan 55 V diterapkanpada setengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 27.5 V.Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan primer,tegangan sekunder adalah 55 V.COTOH-15.2: Sebuah transformator satu fasa mempunyai belitanprimer dengan 400 lilitan dan belitan sekunder 1000 lilitan. Luaspenampang inti efektif adalah 60 cm 2 . Jika belitan primer293

dihubungkan ke sumber 500 V (rms) yang frekuensinya 50 Hz,tentukanlah kerapatan fluksi maksimum dalam inti serta tegangan dibelitan sekunder.Penyelesaian :Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor, makaV ωΦ2500 2=400 × 2π × 501 m1 = = 500 → Φ m=Kerapatan fluksi maksimum:B mTegangan belitan sekunder adalah=0.005630.006= 0.940.00563 weber2weber/m1000V 2 = × 500 = 1250 V400COTOH 15.3 : Dari sebuah transformator satu fasa diinginkan suatuperbandingan tegangan primer / sekunder dalam keadaan tidakberbeban 6000/250 V. Jika frekuensi kerja adalah 50 Hz dan fluksidalam inti transformator dibatasi sekitar 0.06 weber, tentukan jumlahlilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :Pembatasan fluksi di sini adalah fluksi maksimum. Denganmengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,1ωΦV1=2m= 6000 → 1⇒ 6000 2== 4502π × 50 × 0.062=2506000× 450 = 18.75Pembulatan jumlah lilitan harus dilakukan. Dengan melakukanpembulatan ke atas, batas fluksi maksimum Φ m tidak akanterlampaui. Jadi dapat kita tetapkan6000⇒ 2 = 20 lilitan ⇒ 1= × 20 = 480 lilitan250294 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

15.1.4. Rangkaian EkivalenTransformator adalah piranti listrik. Dalam analisis, piranti-piranti listrikbiasanya dimodelkan dengan suatu rangkaian listrik ekivalen yangsesuai. Secara umum, rangkaian ekivalen hanyalah penafsiran secararangkaian listrik dari suatu persamaan matematik yang menggambarkanperilaku suatu piranti. Untuk transformator, ada tiga persamaan yangmenggambarkan perilakunya, yaitu persamaan (15.7), (15.8), dan(15.10), yang kita tulis lagi sebagai satu set persamaan (15.11).V1= E1+ I1R1+ jI1X1E2= V2+ I2R2+ jI2 X 2(15.11) 2 I 2I1= I f + I′2 dengan I′2 = I 2 =1aDengan hubungan E 1 = aE 2 dan I′ 2 = I 2 /a maka persamaan ke-dua dari(15.11) dapat ditulis sebagaiE1= V2+ aI′2R2+ jaI′2 X 2a22⇒ E1= aV2+ I′2 ( a R2) + jI′2 ( a X 2 )(15.12)= V2′+ I′2R2′+ jI′2 X 2′22dengan V2′= aV2; R2′= a R2; X 2′= a X 2Dengan (15.12) maka (15.11) menjadiV1= E1+ I1R1+ jI1X1E1= aV2+ I′2R2′+ jI′2 X 2′(15.13)I1= I f + I′2I′ 2 , R′ 2 , dan X′ 2 adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunder yangdilihat oleh sisi primer. Dari persamaan (15.13) dibangunlah rangkaianekivalen transformator seperti terlihat pada Gb.15.6. di bawah ini.I 1 I′ 2∼R 1jX 1R′ 2jX′ 2I fV ZB1 EV′ 2 =aV 21Gb.15.6. Rangkaian ekivalen diturunkan dari persamaan (15.13).295

Kita telah melihat bahwa pada diagram fasor Gb.15.5. arus magnetisasidapat dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu I c dan I φ . I csefasa dengan E 1 sedangkan I φ 90 o dibelakang E 1 . Dengan demikianmaka impedansi Z pada rangkaian ekivalen Gb.15.6. dapat dinyatakansebagai hubungan paralel antara suatu resistansi R c dan impedansiinduktif jX φ sehingga rangkaian ekivalen transformator secara lebih detilmenjadi seperti Gb.15.7.I 1 I′ 2∼R 1jX 1 I f R′ 2jX′ 2V B V′ 2 =aV 21 E 1I I φR cc jX cGb.15.7. Rangkaian ekivalen transformator lebih detil.15.1.5. Rangkaian Ekivalen Yang DisederhanakanPada transformator yang digunakan pada tegangan bolak-balik yangkonstan dengan frekuensi yang konstan pula (seperti misalnyatransformator pada sistem tenaga listrik), besarnya arus magnetisasihanya sekitar 2 sampai 5 persen dari arus beban penuh transformator.Keadaan ini bisa dicapai karena inti transformator dibangun dari materialdengan permeabilitas magnetik yang tinggi. Oleh karena itu, jika I fdiabaikan terhadap I 1 kesalahan yang terjadi dapat dianggap cukup kecil.Pengabaian ini akan membuat rangkaian ekivalen menjadi lebihsederhana seperti terlihat pada Gb.15.8.I 1 =I′ 2∼R e = R 1 +R′ 2jX e =j(X 1 + X′ 2 )VB V′ 21V′ 2V 1I′ 2I′ 2 R ejI′ 2 X eGb.15.8. Rangkaian ekivalen yang disederhanakan dan diagram fasornya.296 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

15.1.6. Impedansi MasukanResistansi beban B adalah R B = V 2 /I 2 . Dilihat dari sisi primer resistansitersebut menjadiV2′aV VRB′ 2 2 2 2= = = a = a R B(15.14)I 2′I 2 / a I 2Dengan melihat rangkaian ekivalen yang disederhanakan Gb.15.10,impedansi masukan adalahV12Z in = = Re+ a RB+ jX eI1(15.15)15.2. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor DayaPada pembahasan mengenai alih daya maksimum dikatakan bahwapersoalan tersebut sering dijumpai pada sistem pemroses sinyal.Pembahasan mengenai aliran daya berikut ini merupakan persoalan yangdijumpai pada sistem tenaga listrik. Dalam sistem tenaga listrik, bebantidak mudah untuk disesuaikan dengan sumber karena beban tergantungdari keperluan konsumen yang sangat bervariasi. Daya yang diperlukankonsumen selalu berubah dari waktu ke waktu, yang kita kenal sebagaikurva beban. Walaupun demikian perubahan kebutuhan daya itu masihjauh lebih lambat jika dibandingkan dengan perubahan tegangan yangberfrekuensi 50 Hz (atau 60 Hz di Amerika). Oleh karena itu analisisaliran daya dapat dilakukan dalam keadaan mantap dengan menggunakankonsep fasor. Dalam analisis ini, kita harus mencari kondisi sumber agardapat memenuhi permintaan beban. Dalam memenuhi kebutuhan bebanitu, kondisi kerja sumber belum tentu baik; misalnya faktor daya terlalurendah. Oleh karena itu kita harus melakukan usaha untuk memperbaikifaktor daya tersebut. Perbaikan faktor daya ini dilakukan denganmenambahkan kapasitor paralel dengan beban (yang pada umumnyabersifat induktif) sehingga daya reaktif yang harus diberikan oleh sumbermenurun tetapi daya nyata yang diperlukan beban tetap terpenuhi. Untukmenjelaskan persoalan ini kita akan langsung melihat pada suatu contoh.COTOH-15.4: Dua buah beban dihubungkan paralel. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 0,8 lagging.Beban kedua memerlukan 8 kW pada faktor daya 0,75 lagging.Tegangan yang diberikan oleh sumber adalah 380 V rms. Jika297

impedansi saluran dapat diabaikan, berapakah daya kompleksyang harus disediakan oleh sumber ?Penyelesaian :Daya kompleks yang diperlukan oleh masing-masing beban adalahPSsin11 = P1+ jQ1= P1+ j S1θ1= P1+ j sin θ1cosθ1= P1+ jP1tan θ1−1= 10 + j10 tan(cos 0,8) = 10 + j7,5kVA−1S 2 = P2+ jP2tan θ2= 8 + j8 tan(cos 0,75) = 8 + j7Daya total beban adalahkVAS 12 = S1+ S2= 10 + j7,5+ 8 + j7= 18 + j14,5kVAJika kita gambarkan segitiga dayanya, daya kompleks ini akanberada di kuadran pertama karena daya reaktif sebesar 14,5 kVARbernilai positif. Jadi beban total ini bersifat induktif, dengan faktordaya lagging.Dengan tidak memperhitungkan daya untuk mengatasi rugi-rugi disaluran, maka daya kompleks total yang harus disediakan olehsumber sama dengan kebutuhan total beban, yaituSs= S12= 18 + j14,5kVA ;⎛ Qscos cos ⎜− 1θ =tan⎝ Ps⎞⎟= 0,78⎠laggingCOTOH-15.5: Dalam contoh 15.4. di atas, hasil perhitunganmenunjukkan bahwa daya kompleks yang diberikan oleh sumberserta faktor dayanya adalahS s = 18 + j14,5kVA ; cos θ = 0,78laggingTentukanlah kapasitor yang harus diparalelkan dengan beban untukmemperbaiki faktor daya menjadi 0.95 lagging, jika diketahuibahwa sumber beroperasi pada frekuensi 50 Hz.Penyelesaian :298 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Dengan menghubungkan kapasitor paralel dengan beban, akanterjadi penambahan beban daya reaktif. Karena kapasitor menyerapdaya reaktif negatif , maka tambahan beban oleh kapasitor ini akanmemperkecil daya reaktif total beban. Perhatikanlah bahwa bebansemula tidak berubah; yang berubah adalah beban total setelah adapenambahan kapasitor. Jadi beban total yang semula adalahS12 = Ss = 18 + j14,5kVAsetelah ditambahkan kapasitor akan menjadiS 12C= S12+ jQc= 18 + j(14,5+ QC) kVAdengan Q C adalah daya reaktif yang diserap kapasitor.Beban total baru S 12C ini harus mempunyai faktor daya 0,95lagging. Jadi haruslah−1S12C= 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j18 tan(cos 0,95)Dari persamaan ini kita dapat mencari Q C , yaitu−114.5 + QC= 18 tan(cos 0,95) atau−1QC= 18 tan(cos 0,95) −14,5= 5,92 −14,5= −8,58Perhatikanlah gambar segitiga daya di bawah ini.kVARImS 12Q 12S12CQ CQ 12CP 12ReS12= P12+ jQ12= dayatotalsemulaQ = dayareaktifkapasitor (negatif)CS12C= P12+ jQ12C= daya totalsetelah penambahankapasitor.Kebutuhan daya total setelah penambahan kapasitor menjadiS12C = 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j5,92kVA299

Nilai kapasitor yang diperlukan dapat dicari karena tegangan kerjamaupun frekuensi kerjanya diketahui. Arus yang melalui kapasitoradalahVCI C = = jωCVCjX CDaya reaktif kapasitor dapat ditulis sebagai2 2 ⎛ −1⎞ 2QC= I C X C = jωCVC⎜ ⎟ = VC( − ωC)⎝ ωC⎠Dengan Q C = −8,58 kVAR , V Crms =380 V , dan f = 50 Hz , maka28580− 8580 = 380 ( − 2π × 50C) atau C == 190 µ F2100π × 380COTOH-15.6: Pada contoh 15.5 impedansi saluran antara sumber danbeban diabaikan. Jika impedansi ini tidak dapat diabaikan, danbesarnya untuk setiap kawat adalah Z k = (0,2 + j1) Ω , tentukanlahdaya kompleks dan tegangan kerja sumber. Perhatikan bahwasaluran terdiri dari dua kawat.Penyelesaian :Dengan adanya impedansi saluran, daya kompleks yang dikeluarkanoleh sumber harus lebih besar dari keperluan beban karena sumberharus mengatasi susut daya yang terjadi pada saluran. Denganadanya perbedaan daya kompleks yang dikeluarkan oleh sumber dandaya kompleks yang sampai ke beban, maka tegangan sumber dantegangan beban juga berbeda. Daya yang harus sampai ke beban(setelah penambahan kapasitor) adalahS12 C = 18 + j5,92kVADengan menggunakan tegangan beban sebagai referensi, arus bebandapat dihitung, yaitu* S12C(18 + j5,92)× 1000I B = == 47,37 + j15,58AVoB 380∠0oI B = 47,37 − j15,58A = 49,87∠ −18,2A.Arus beban ini mengalir melalui saluran yang terdiri dari dua kawat.Daya yang diserap oleh impedansi pada saluran adalah300 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

2Sk= 2 × Zk× I B = 2 × (0,2 + j1)× 49,87= 0,99 + j4,97kVATotal daya yang harus dikeluarkan oleh sumber adalahSs= S12C+ Sk= 18 + j5,92+ 0,99 + j4,97= 18,99 + j10,89kVATegangan kerja sumber haruslahSos Ss(18,99 + j10,89)× 1000 21891∠29,8Vs= = ==* *ooI s I B 49,87∠18,249,87∠18,2o= 439∠11,6V15.3. Diagram Satu GarisDiagram satu garis untuk menyatakan rangkaian penyaluran energi arussearah yang telah kita pelajari sebelumnya, dapat kita perluas untukrangkaian penyaluran energi arus bolak-balik. Pada sistem satu fasa,impedansi saluran balik ditambahkan pada impedansi saluran kirimuntuk digambarkan dalam diagram satu garis.COTOH-15.7: Dua buah beban dicatu dari satu sumber. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 1, dicatu melaluisaluran yang impedansinya 0,1 + j1 Ω. Dari lokasi beban pertama,saluran diteruskan untuk mencatu beban kedua memerlukan 8 kWpada faktor daya 1, dengan saluran yang impedansinya 0,1 + j1 Ω.Tegangan kerja beban kedua harus 380 V rms. (a) Gambarkandiagram satu garis sistem ini, (b) tentukan daya yang diberikansumber dan tegangan sumber.Penyelesaian :a). Diagram satu garis sistem ini adalah seperti gambar di bawah ini2| V | = 380 V rmsV s0,2 + j2 Ω 0,2 + j2 Ωbeban 110 kWcos ϕ = 1beban 28 kWcos ϕ = 1b). Beban 1 dan beban 2 masing-masing adalah301

S 1 = 10 + j0kVA ; S2= 8 + j0kVAArus untuk beban 2, dengan mengambil tegangannya sebagaireferensi, adalah* 8000 + j0ooI 2 = = 21∠0A → I 2 = 21∠0Ao380∠0Daya yang diserap saluran antara beban 1 dan beban 2 adalahS sal 2 = (0,2 + 2) × I 2 = (0,2 + j2)× I 2= 0,09 +jj0,9kVADaya beban-2 ditambah daya saluran-2 adalahStot 2 = Ssal2+ S2= 8,09 + j0,9kVATegangan di beban 1 adalahS tot1 ∠22 8090 + j900oV = == 385,2 + j42,9 V = 387,6 6,4 V*oI 21∠0Arus untuk beban-1 adalahIS210000 + j0o== 25,8 6,4o387,6∠ − 6,411 =∠*V1Arus sumber sama dengan arus di saluran antara sumber danbeban 1, yaituo ooI s = I1 + I 2 = 25,8∠6,4+ 21∠0= 46,64 + j2,88= 46,73∠3,5A2ADaya yang diserap saluran antara sumber dan beban 1 adalah2Ssal 1 = (0,2 + j2)× I s = (0,2 + j2)× 46,73 = 0,44 + j4,372kVADaya yang diberikan oleh sumber adalahSs= Ssal1+ S1+ Ssal2+ S2= 0,44 + j4,37+ 10 + 8,09 + j0,9= 18,53 + j5,27kVATegangan sumber adalahSos 18530 + j527019265∠15,9oV s = === 412∠19,4V*ooI s 46,73∠ − 3,5 46,73∠ − 3,5302 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Sebuah beban menyerap daya 2,5 kVA pada faktor daya 0,9 lagging.Beban ini dicatu melalui kabel dari sebuah sumber yang bekerja padategangan 2400 V rms. Di sisi sumber tercatat bahwa daya yang keluaradalah 2,65 kVA dengan faktor daya 0,88 lagging. Hitunglah arussaluran, impedansi saluran dan impedansi beban. Hitung pula padategangan berapa beban beroperasi.2. Pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz, dihubungkan dua buahbeban (paralel). Beban pertama menyerap daya 10 kVA pada faktordaya 0,9 lagging. Beban kedua menyerap daya rata-rata 8 kW dandaya reaktif 6 kVAR. Jika impedansi saluran dapat diabaikan,berapakah daya total yang diberikan sumber serta faktor dayanya ?3. Pada sumber satu fasa 220 V rms, terhubung dua macam beban. Bebanpertama adalah sebuah pemanas 500 W. Beban ke-dua adalah motorpompa 0,5 HP yang bekerja pada faktor daya 0,8 lagging. Hitunglah:(a) daya kompleks (total); (b) faktor daya (total); (c) arus yang keluardari sumber (rms).4. Di satu lokasi terdapat dua beban, masing-masing menyerap daya 20kVA pada faktor daya 0,8 lagging, dan 25 kVA pada faktor daya 0,9lagging. Kedua beban bekerja pada tegangan 2400 V rms dan dicatudari sumber melalui saluran yang impedansinya 0,5 + j2 Ω persaluran. Hitunglah arus pada saluran, daya kompleks yang harusdisediakan sumber untuk kedua beban, faktor daya di sisi sumber.Hitung pula tegangan sumber agar kebutuhan tegangan beban dapatdipenuhi.5. Satu sumber mencatu dua beban di dua lokasi berbeda. Beban pertama30 kVA dengan faktor 0,8 lagging dicatu dari sumber melalui salurandengan impedansi 1 + j4 Ω per saluran. Dari lokasi beban pertama ini,saluran disambung untuk mencatu beban kedua yang menyerap daya15 kVA pada faktor daya 0,8 lagging. Impedansi saluran antara bebanpertama dan beban kedua adalah 0,5 + j2 Ω per saluran. Jika bebankedua harus beroperasi pada tegangan 2400 V rms, berapakahtegangan sumber dan berapa daya yang harus disediakan oleh sumber?6. Sekelompok beban beroperasi pada tegangan |V| = 220 V rms danmenyerap daya 40 kVA dengan faktor daya 0,8 lagging. Beban inidicatu dari sumber tegangan menegah melalui sebuah transformator303

penurun tegangan yang mempunyai rasio 20:1 dan dapat dianggapideal. Sumber dihubungkan ke sisi primer tansformator melaluisaluran yang impedansinya 0,4 + j2 Ω per saluran. Hitunglah arus disisi primer transformator, tegangan sumber, dan daya yang diberikanoleh sumber.7. Sebuah motor mengambil arus 20 A pada faktor daya 0,7 lagging, darisumber 220 V, 50 Hz. Tentukan nilai kapasitor yang harusdiparalelkan untuk memperbaiki faktor daya menjadi 0,9 lagging.304 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 16Sistem Tiga FasaPembahasan sistem tiga fasa ini akan membuat kita• memahami hubungan sumber dan beban dalam sistem tiga fasaseimbang.• mampu menentukan hubungan fasor arus dan fasor tegangan padasistem tiga fasa seimbang.• mampu melakukan analisis daya pada sistem tiga fasa.Sampai tahap ini kita telah membahas rangkaian arus bolak-balik sistemsatu fasa. Dengan arus bolak-balik inilah energi dalam jumlah besardapat ditransmisikan. Namun demikian pembangkitan dan penyalurantenaga listrik pada umumnya tidak dilakukan dengan menggunakansistem satu fasa, melainkan dengan sistem tiga fasa. Transmisi dayadilakukan pada tegangan tinggi yang dapat diperoleh denganmenggunakan transformator penaik tegangan. Di ujung saluran, teganganditurunkan lagi sesuai dengan kebutuhan beban.Pemilihan sistem tiga fasa untuk pembangkitan dan penyaluran energilistrik juga didasari oleh kelebihan unjuk kerja maupun kelebihanekonomis yang dapat diperoleh dari sistem ini. Penyaluran daya denganmenggunakan sistem tiga fasa kurang berfluktuasi dibandingkan terhadapsistem satu fasa. Selain dari pada itu, untuk penyaluran daya tertentupada tegangan tertentu akan memerlukan arus lebih kecil sehinggadimensi saluran yang diperlukan akan lebih kecil pula. Konversi elektrismekanisjuga lebih mudah dilakukan pada sistem tiga fasa denganmenggunakan motor tiga fasa.Berikut ini kita akan membahas sistem tiga fasa yang sangat luasdigunakan pada pembangkitan dan penyaluran energi listrik. Namun kitatidak akan membahas tentang bagaimana pembangkitan dilakukanataupun piranti apa yang digunakan; hal-hal ini dapat kita pelajari padapelajaran di tingkat yang lebih tinggi. Di sini kita akan mempelajaribagaimana hubungan-hubungan elemen serta analisis rangkaian tiga fasa,dan juga terbatas hanya pada pembebanan yang seimbang.305

16.1. Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke BebanSuatu sumber tiga fasa membangkitkan tegangan tiga fasa, yang dapatdigambarkan sebagai tiga sumber tegangan yang terhubung Y (bintang)seperti terlihat pada Gb.16.1.a. Dalam kenyataannnya, tiga sumbertegangan ini dibangkitkan oleh satu piranti. Titik hubung antara ketigategangan itu disebut titik netral, . Antara satu tegangan dengantegangan yang lain berbeda fasa 120 o . Jika kita mengambil tegangan V Asebagai referensi, maka kita dapat menggambarkan diagram fasortegangan dari sistem tiga fasa ini seperti terlihat pada Gb.16.1.b. Urutanfasa dalam gambar ini disebut urutan positif. Bila fasor tegangan V Bdan V C dipertukarkan, kita akan memperoleh urutan fasa negatif.Sumber tiga fasa pada umumnya dihubungkan Y karena jikadihubungkan ∆ akan terbentuk suatu rangkaian tertutup yang apabilaketiga tegangan tidak tepat berjumlah nol akan terjadi arus sirkulasi yangmerugikan. Sumber tegangan tiga fasa ini dihubungkan ke beban tigafasa yang terdiri dari tiga impedansi yang dapat terhubung Y ataupun ∆seperti terlihat pada Gb.16.2. Dalam kenyataan, beban tiga fasa dapatberupa satu piranti tiga fasa, misalnya motor tiga fasa, ataupun tigapiranti satu fasa yang dihubungkan secara Y atau ∆, misalnya resistorpemanas.C+ −V CV Cb). Diagram fasor.V BB−+− +V Aa). Sumber terhubung YAV BGb.16.1. Sumber tiga fasa.120 o V A120 oDalam analisis rangkaian tiga fasa, kita mengenal enam macam teganganyaitu tiga tegangan fasa-netral dan tiga tegangan fasa-fasa. Pada Gb.16.1dan Gb.16.2, tegangan V A , V B , dan V C , adalah tegangan-teganganfasa-netral, masing-masing dari fasa A, B, dan C. Tegangan fasa-fasaadalah tegangan yang diukur antara fasa dengan fasa, misalnya antarafasa A dan B, B dan C, C dan A, seperti terlihat pada Gb.16.2306 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

CV BB+ −−+V C− +V AAV ABCBNACBAGb.16.2. Sumber dan beban tiga fasa.Jika kita mengambil tegangan fasa-netral V A sebagai tegangan referensi,maka hubungan antara fasor-fasor tegangan tersebut adalah:VA= V fn∠0oVB= V fn∠ −120VC= V fn∠ − 240oo(16.1)Tegangan antara fasa dengan fasa kita sebut tegangan fasa-fasa yaitu V AB, V BC , dan V CA yang fasor-fasornya adalahVAB= VA+ VB= VA− VBVBC= VB+ VC= VB− VCVCA= VC+ VA= VC− VAHubungan antara tegangan fasa-netral dan fasa-fasa adalah (Gb.16.3)(16.2)ooVAB= VA− VB= V fn∠0−Vfn∠ −120⎛= V (1 0) ⎜fn + j −Vfn −⎝o= V fn 3∠3012− j3 ⎞ ⎛⎟ ⎜3= V +2fn j⎠ ⎝ 232⎞⎟⎠(16.3)307

ImV CAV C30 o30 oV AV ABReV B30 oV BCGb.16.3. Fasor-fasor tegangan.Dengan cara yang sama seperti cara untuk mendapat relasi (16.3), kitamemperoleh relasiVBC= V fnVCA= V fno3∠ − 90o3∠ − 210(16.4)Jadi amplitudo tegangan fasa-fasa adalah √3 kali lebih besar dariamplitudo tegangan fasa-netralV ff = V fn 3(16.5)sedangkan sudut fasanya berbeda 30 o .COTOH-16.1: Jika tegangan fasa-netral adalah V A =220∠30 o V,berapakah tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasayang lain ?Penyelesaian :VAVBVC0= 220∠30V ;0= 220∠ − 90 V ;0= 220∠ − 210 V0VAB= 380∠ + 60 V;0VBC= 380∠ − 60 V;0VBC= 380∠ − 190 V308 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Beban Terhubung Y. Gb.16.4. memperlihatkan beban seimbang yangterhubung Y. Arus saluran = arus fasa.I BBI AZI AZNZI CCGb.16.4. Beban terhubung Y.Impedansi masing-masing fasa adalah Z. Dari gambar ini jelas terlihatbahwa arus yang mengalir di saluran sama dengan arus yang mengalir dimasing-masing fasa. JadiVAVBVCI A = ; I B = ; IC=(16.6)Z Z ZDalam persamaan (16.6) V A , V B , dan V C adalah tegangan-teganganfasa yang berbeda fasa 120 o satu terhadap lainnya. Karena tegangan inidibagi oleh Z yang sama untuk mendapatkan arus fasa, jelaslah bahwamasing-masing arus fasa akan tergeser dengan sudut yang sama daritegangan fasa yang bersangkutan.Jika kita tetap menggunakan V A sebagai referensi makaVAI A =ZVBI B =ZVCIC=ZoV fn∠0=Z ∠θoV fn∠ −120=Z ∠θoV fn∠ − 240=Z ∠θV fn= ∠ − θ = I f ∠ − θZV fn oo= ∠(−120− θ)= I f ∠(−θ −120)ZV fn oo= ∠(−240− θ)= I f ∠(−θ − 240 )Z(16.7)Persamaan (16.7) memperlihatkan bahwa arus-arus fasa mempunyaiamplitudo sama, dan satu sama lain berbeda fasa 120 o . Diagram fasortegangan dan arus diperlihatkan pada Gb.16.5.309

Jumlah arus-arus fasa iniadalahI A + I B + IC= 0 (16.8)Jika kita aplikasikan HAKuntuk titik netral padaGb.16.4., makaI + I A + I B + IC= 0sehinggaI = −( I + I + I ) = 0ABC(16.9)V CIBV BθI CImθθI AV AReGb.16.5. Fasor tegangan dan arus bebanterhubung Y.Jadi dalam keadaan beban seimbang, arus netral sama dengan nol.Daya kompleks yang diserap oleh beban 3 fasa adalah jumlah dari dayayang diserap oleh masing-masing fasa, yaitu:* * *S3 f = VAI A + VBI B + VCICoo o= ( V fn ) ∠0( I f ∠θ)+ ( V fn ) ∠ −120( I f ∠120+ θ)o o+ ( V fn ) ∠ − 240 ( I f ∠240+ θ)= 3Vfn I f ∠θ = 3Vfn I A∠θ(16.10)Karena hubungan antara tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasaadalah V ff = V fn √3, maka kita dapat menyatakan daya kompleks dalamtegangan fasa-fasa, yaituS 3 f = V ff I A 3∠θ(16.11)Daya nyata dan daya reaktif adalahP3 fQ3 f= V= VffffIIAA3 cos θ = S3 sin θ = S3 f3 fcos θsin θ(16.12)310 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-16.2: Sebuah beban terhubung Y mempunyai impedansi disetiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dicatu oleh sumber tigafasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 380 V (rms). Denganmenggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi, tentukanlah (a)arus saluran dan (b) daya kompleks, daya rata-rata, daya reaktif.Penyelesaian :a). Perhatikanlah bahwa yang diketahui adalah besarnya teganganfasa-fasa, tanpa diketahui sudut fasanya. Oleh karena itu kita harusmenentukan tegangan referensi lebih dulu. Dalam soal ini, kitadiminta untuk menggunakan tegangan fasa-netral V A sebagaitegangan referensi. Besarnya tegangan fasa-netral adalahV= fffnV 380= = 220 V3 3Tegangan-tegangan fasa-netral menjadiVAo= 220∠0V ( sebagai referensi) ;VBo= 220∠ −120V ;VCo= 220∠ − 240 VKarena beban terhubung Y, arus saluran sama dengan arus fasaVAI A =Zo220∠0=3 + j4o220∠0=o5∠36,8o= 44∠ − 36,8o ooI B = 44∠(−36,8−120) = 44∠ −156,8AoIC= 44∠ − 276,8 Ab). Daya kompleks tiga fasa, adalahA*oooS3 f = 3×V A I A = 3×220∠0× 44∠36,8= 29∠36,8kVADaya rata-rata:oP 3 f = 29cos36.8 = 23,2kWDaya reaktif:oQ 3 f = 29sin 36.8 = 17,4kVAR311

Kita coba memastikan apakah benar P dan Q masing-masing adalahdaya yang diserap oleh resistansi dan reaktansi beban, denganmengalikan resistnsi dengan pangkat dua besar arus :2P 3 f == 3×4 × 44 = 23,2 kW dan2Q 3 f = 3×3×44 = 17,4kVARTernyata hasilnya sesuai dengan hasil sebelumnya.Beban Terhubung ∆. Jika beban terhubung ∆ (Gb.16.6), arus salurantidak sama dengan arus fasa, akan tetapi tegangan fasa-fasa terpasangpada impedansi tiap fasa.I BI AI CI CAA ZI ABZCBZI BCGb.16.6. Beban terhubung ∆. Arus saluran ≠ Arus fasaJika kita hanya ingin menghitung arus saluran, kita dapat memanfaatkantransformasi hubungan Y-∆, sehingga beban yang terhubung ∆ menjaditerhubung Y denganZZ Y = (16.13)3dengan catatan bahwa bebannya seimbang. Setelah ditransformasi-kanmenjadi hubungan Y arus-arus saluran serta daya total dapat kita hitung.Jika kita perlu menghitung arus maupun daya di tiap fasa dalam keadaanbeban tetap terhubung ∆, kita memerlukan formulasi hubungan antaraarus-arus fasa I AB , I BC , I CA dengan tegangan-tegangan fasa V AB , V BC ,dan V CA . Dari Gb.16.6. terlihat bahwa312 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

VABVBCVCAI AB = ; I BC = ; I CA =(6.14)ZZZDari gambar ini pula kita memperoleh hubunganI A = I AB − I CA; I B = I BC − I AB ; IC= ICA− I BC (16.15)Diagram fasor tegangan dan arus untuk beban yang terhubung ∆ ini,dengan mengambil V AB sebagai referensi, terlihat pada Gb.16.7.V CAI CAθImI BCθθI ABV ABReV BC−I CAI AGb.16.7. Fasor tegangan dan arus; beban terhubung ∆.Dengan memperhatikan gambar ini maka (16.14) menjadioV V ff ∠0VABffI AB = = =Z Z ∠θ ZoI BC = I AB∠ − θ −120;oI CA = I AB∠ − θ − 240∠ − θ(16.16)Gb.16.7. memperlihatkan bahwa sudut yang dibemtuk oleh fasor I AB dan−I CA adalah 60 o . Dengan demikian makaI A = I ABI B = I BCIC= ICAo3∠(−θ − 30 ) = I fo3∠(−θ −150) = I fo3∠(−θ − 270 ) = I fo3∠(−θ − 30 )o3∠(−θ −150)o3∠(−θ − 270 )(16.17)313

Daya kompleks tiga fasa adalah*oS3 f = 3×V AB I AB = 3×V ff ∠0× I f ∠θ = V ff I A 3∠θ(16.18)Daya nyata dan daya reaktif adalahP3f = V ff I AQ3f = V ff I A3 cosθ = S3f3 sin θ = S3fcosθsin θ(16.19)Daya Kompleks Beban Secara Umum. Jika kita perhatikan formulasidaya kompleks untuk beban terhubung Y dan yaitu (16.11) dan bebanterhubung ∆ yaitu (16.18), keduanya memberikan formula yang samayaituS= V I 3∠θ3 f ff AJadi tanpa melihat bagaimana hubungan beban, daya kompleks yangdiberikan ke beban adalahS = V I 3(16.20)3 f ff ACOTOH-16.3: Sebuah beban terhubung ∆ mempunyai impedansi disetiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dicatu oleh sumber tigafasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 80 V (rms). Denganmenggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi, tentukanlah:a). tegangan fasa-fasa dan arus saluran; b). daya kompleks, dayarata-rata, daya reaktif.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita diminta untuk menggunakan tegangan V Asebagai referensi. Titik netral pada hubungan ∆ merupakan titikfiktif; namun perlu kita ingat bahwa sumber mempunyai titiknetral yang nyata. Untuk memudahkan mencari hubungan fasorfasortegangan, kita menggambarkan hubungan beban sesuaidengan tegangan referensi yang diambil yaitu V A. .Dengan menggambil V A sebagai referensi maka tegangan fasanetraladalah314 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

380 ooVA= ∠0= 220∠0;3oVC= 220∠ − 240I BV CBI AI ABI BCAI C CI CAIBCoVB= 220∠ −120;I CAθθIm−V BθI ABV AReV ABV BTegangan-tegangan fasa-fasa adalahVAB = V A 3∠(θ AoVBC= 380∠ − 90oVCA= 380∠ − 210Arus-arus fasa adalahoo+ 30 ) = 380∠30IIIABBCCAV=ZAB= 76∠ − 6,8= 76∠ − 6,8380∠30=4 + j3ooo−120− 240dan arus-arus saluran adalah380∠30=5∠36,8oooo= 76∠ −126,8= 76∠ − 246,8= 76∠ − 6,8ooAAoAI A = I ABo o3∠(−6,8− 30 ) = 76oo3∠ − 36,8 = 131.6∠ − 36,8o ooI B = 131.6∠(−36,8−120) = 131,6∠ −156,8Ao ooIC= 131.6∠(−36,8− 240 ) = 131,6∠ − 276.8 AA315

). Daya kompleks 3 fasa adalahS3 f*AB AB= 3VI= 86.64∠36.8= 3×380∠30oo× 76∠ + 6.8= 69,3 + j52kVAoJika kita mengkaji ulang nilai P 3f dan Q 3f , dengan menghitung dayayang diserap resistansi dan reaktansi beban, akan kita peroleh:P3 fQ3 f= 3×R × I= 3×X × I2AB2AB= 3×4 × (76)2= 3×3×(76)= 69,3 kW2= 52 kVARJika kita bandingkanlah besarnya arus saluran, arus fasa, dan daya tigafasa yang diserap beban pada hubungan Y dan ∆ pada dua contoh 16.2dan 16.3 kita peroleh gambaran seperti dalam tabel berikut.Dari tabel ini terlihat bahwa pada hubungan Y arus fasa maupun arussaluran serta daya lebih rendah dari arus dan daya pada hubungan ∆.Inilah prinsip starter Y-∆ untuk motor asinkron. Motor di-start padahubungan Y kemudian hubungan diubah ke ∆ setelah motor berjalan.Dengan demikian arus pada waktu start tidak terlalu tinggi.COTOH-16.4: Sebuah beban seimbang terhubung Y. Arus di fasa Aadalah I A = 100∠−30 o A rms , dan tegangan jala-jala V AB = 380∠30 oV rms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Hubungan YHubungan beban adalah seperti gambar berikut.Hubungan ∆Arus saluran I s |I A | = 44 A |I A | = 131,6 AArus per fasa I f |I A | = 44 A |I AB | = 76 ADaya total |S 3f | 29 kVA 86,64 kVA316 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

I BB380 VI AZAZNZI CCTegangan fasa-netral adalahV ABo 380 o ooV A = ∠(θv− 30 ) = ∠(30− 30 ) = 220∠033Impedansi per fasa adalahVVZ =IAAo220∠0o== 2,2∠30o100∠ − 30= 1,9 + j1,1ΩCOTOH-16.5: Sebuah beban seimbang terhubung ∆. Arus di saluranfasa A adalah I A = 100∠−30 o A rms , dan tegangan jala-jala V AB =380∠30 o V rms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Karena beban terhubung ∆,arus fasa tidak sama denganarus saluran. Untukmenghitung impedansi di fasaAB, kita harus menentukanlebih dulu arus di fasa iniI Ao 100 o ooI AB = ∠(θi+ 30 ) = ∠(−30+ 30 ) = 57,7∠0Impedansi33per fasaVZ =IABABoI BI AI ABI BCAI C CI CA380∠30o= = 6,6∠30= 5,7 + j3,3Ωo57,7∠0B317

16.2. Analisis Daya Pada Sistem Tiga FasaPada dasarnya analisis daya sistem tiga fasa tidak berbeda dengan sistemsatu fasa. Kita akan melihat dalam contoh-contoh berikut ini.COTOH-16.6: Sebuah beban tiga fasa seimbang terhubung Y,menyerap daya 50 kVA pada faktor daya 0,9 lagging. Jika teganganfasa-fasa pada saluran adalah V LL = 480 V rms, hitunglah: a).besarnya arus saluran; b). resistansi dan reaktansi beban per fasa.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita hanya diminta untuk menghitung besarnyaarus saluran tanpa mempersoalkan sudut fasanya. Dengandiketahuinya tegangan fasa-fasa daya, arus ini dapat dihitung melaluihubungan daya, yaituS3f*= 3VfnIf= 3×V fn∠θv× I f ∠ − θi= 3VfnIf ∠(θv− θi)⇒S3f= 3Vfn I f= V ff I f3Daya tiga fasa inilah yang diketahui yaitu |S 3f | = 50 kVA. Teganganfasa-fasa juga diketahui, V ff = 480 V. Karena beban terhubung Y,maka arus saluran sama dengan arus fasa, jadiIs= IfS=V3 fff50000= = 603 480 3Ab). Karena faktor daya juga diketahui, maka dengan mudah kitadapat menghitung daya rata-rata P dan daya reaktif Q. Kemudiandari nilai yang didapat ini kita menghitung resistansi dan reaktansibebanP = S3 fcos ϕ = 50×0,9 = 45kW;Q = S⇒⇒SS3 f3 fpersin ϕ = 50×0,436 = 21,8 kVAR= 45 + j21,8kVAfasaS=33 f= 15 + j7,3kVA318 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Dari daya perfasa dan arus fasa, kita peroleh impedansi, resistansi,dan reaktansiS per fasa (15 + j7,3)× 1000Z = == 4,16 + j2,0322I(60)f⇒R = 4,16 Ω ;X = 2,03 Ω.COTOH-16.7: Sebuah beban 100 kW dengan faktor daya 0,8 lagging,dihubungkan ke jala-jala tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa 4800 Vrms. Impedansi saluran antara sumber dan beban per fasa adalah 2 +j20 Ω . Berapakah daya kompleks yang harus dikeluarkan olehsumber dan pada tegangan berapa sumber harus bekerja ?≈I SV SZ = 2+j20 ΩI BV Bbeban100 kW4800 Vcosϕ = 0,9 lagPenyelesaian :Dalam persoalan ini, beban 100 kW dihubungkan pada jala-jala4800 V, artinya tegangan beban harus 4800 V. Karena saluran antarasumber dan beban mempunyai impedansi, maka sumber tidak hanyamemberikan daya ke beban saja, tetapi juga harus mengeluarkandaya untuk mengatasi rugi-rugi di saluran. Sementara itu, arus yangdikeluarkan oleh sumber harus sama dengan arus yang melaluisaluran dan sama pula dengan arus yang masuk ke beban, baik bebanterhubung Y ataupun ∆.Daya beban :PQBB⇒= 100 kW = S= SSBBcos ϕsin ϕ = 125 × 0,6 = 75 kVAR= PBB+ jQB→SB= 100 + j75100= = 125 kVA0,8kVABesarnya arus yang mengalir ke beban dapat dicari karena teganganbeban diharuskan 4800 V :319

diagram fasor tegangan, dengan menggunakan tegangan di beban kedua,V 2fn , sebagai referensi, sedemikian sehingga diperoleh fasortegangan sumber V s .V SZ +1 = R1jX1Z 2 = R2+ jX 2V 1fncosϕ 1V 2fncosϕ 2Penyelesaian:Dengan tegangan beban ke-dua digunakan sebagai referensi, makaoV 2 = V2∠0,oI 2 = I 2 ∠ − ϕ 2Arus di saluran yang menuju beban ke-dua adalah:I l 2 = I 2Tegangan jatuh di saluran yang menuju beban ke-dua adalah∆V 2 = Z 2Il2= ( R2+ jX 2 ) Il2Tegangan di beban pertama V 1 menjadi:=+ ∆V1 V2V2Arus beban pertama I 1 adalah ϕ 1 di belakang V 1.Arus di saluran yang menuju beban pertama adalah:I l 1 = I l 2 + I1Tegangan jatuh di saluran pertama adalah:∆Tegangan sumber adalah:V 1 = ( R1+ jX1)Il1Vs= V 1 + ∆V 1Diagram fasor tegangan adalah sebagai berikut:321

V sV 1jI l1 X 1R 1 I l1ϕϕ 1jI l2 X 22 I 1V 2R 2 I l2I 2 =II l1 l2Soal-Soal1. Jika tegangan fasa-netral pada suatu rangkaian tiga fasa ABC yangterhubung Y adalah 220 V rms, tuliskan fasor-fasor tegangan fasanetraldan tegangan fasa-fasa dengan mengambil tegangan fasa-netralV A sebagai fasor referensi. Urutan fasa adalah positif. Gambarkanpula diagram fasor tegangan-tegangan tersebut.2. Jika tegangan fasa-fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa ABC yangterhubung Y adalah 380 V rms, tuliskan fasor-fasor tegangan fasanetraldan tegangan fasa-fasa dengan mengambil tegangan fasa-fasaV AB sebagai fasor referensi. Urutan fasa adalah positif. Gambarkanpula diagram fasor tegangan-tegangan tersebut.3. Jika arus fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa ABC yang terhubung ∆adalah 22 A rms, tuliskan fasor-fasor arus fasa dan arus fasa salurandengan mengambil arus fasa I AB sebagai fasor referensi. Urutan fasaadalah positif. Gambarkan pula diagram fasor arus-arus tersebut.4. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung Y mempunyai impedansiper fasa 8 + j6 Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasa ABC yangbertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif. Hitung arussaluran dan gambarkan diagram fasor arus saluran dengan mengambiltegangan fasa-netral V A sebagai referensi. Berapakah dayakompleks total yang diserap beban ?5. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung ∆ mempunyai impedansiper fasa 20∠30 o Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasa yangbertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif. Hitung arus322 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

saluran dan gambarkan diagram fasor arus saluran dengan mengambiltegangan fasa-fasa V AB sebagai referensi. Berapakah daya komplekstotal yang diserap beban ?6. Suatu saluran tiga fasa ABC mencatu sebuah beban yang terhubung Y.Arus saluran adalah I A = 22∠−30 o A rms sedangkan tegangan fasafasaV AB = 380∠30 o V rms. Anggaplah urutan fasa positif. Hitunglahimpedansi per fasa beban. Hitung daya kompleks (3 fasa) yangdiserap beban dan faktor dayanya.7. Sebuah beban tiga fasa terhubung Y menyerap daya 5 kVA denganfaktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms (fasa-fasa).Hitung arus fasa dan hitung resistansi serta reaktansi per fasa beban.8. Sebuah beban tiga fasa terhubung ∆ menyerap daya 5 kVA denganfaktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms (fasa-fasa).Hitung arus fasa, arus saluran, dan hitung resistansi serta reaktansi perfasa beban.9. Dua buah beban tiga fasa dihubungkan paralel pada saluran tiga fasabertegangan 380 V rms (fasa-fasa). Beban pertama terhubung Ymenyerap daya 25 kVA pada faktor daya 0,8 lagging. Beban keduaterhubung ∆ mempunyai impedansi per fasa 40 +j0 Ω. Hitung arussaluran, daya total serta faktor dayanya.10. Dua beban pada soal 3 terletak di satu lokasi. Beban-beban tersebutdicatu dari sumber dengan menggunakan saluran yang impedansi perfasanya 0,6 + j4 Ω. Berapa daya yang diserap saluran ? Berapa dayayang harus disediakan oleh sumber ? Pada tegangan berapa sumberharus beroperasi agar tegangan pada beban dipertahankan 380 V rms(fasa-fasa).11. Sebuah generator tiga fasa membang-kitkan tegangan fasa-netral2400 V rms. Impedansi internal generator ini adalah j2 Ω per fasa.Generator ini mencatu beban melalui saluran tiga fasa yangmempunyai impedansi 1 + j5 Ω per fasa. Beban yang dicatuterhubung Y dengan impedansi per fasa 80 +j60 Ω. Gambarkandiagram rangkaian ini. Hitunglah : (a) arus di saluran; (b) tegangan diterminal beban; (c) daya kompleks yang diberikan oleh generator danyang diserap oleh beban; (d) efisiensi saluran.12. Sebuah beban tiga fasa mempunyai impedansi per fasa 9 + j21 Ω,ber-operasi pada tegangan fasa-fasa 380 Vrms. Beban ini dicatu dari323

sumber melalui saluran yang impedansinya 2 + j4 Ω per fasa.Hitunglah daya yang diberikan oleh sumber dan daya yang diserapbeban jika: (a) beban dihu-bungkan Y; (b) beban dihubungkan ∆.13. Sebuah pabrik dicatu dari jaringan tiga fasa , 380 V rms (f-f), 50 Hz.Beban terdiri dari 10 buah motor induksi, masing-masing 10 HPdengan efisiensi 85% pada beban penuh dan faktor daya 0,85lagging, dan 800 buah lampu pijar masing-masing 50 W, 220 V.Dengan menganggap semua beban seimbang, dan seluruh motorberoperasi dan seluruh lampu menyala, hitunglah daya dan faktordaya total seluruh beban.14. Sebuah beban tiga fasa menyerap daya kompleks sebesar S = 16 +j12 kVA dan beroperasi pada tegangan fasa-fasa 440 V rms. (a)Tentukan besarnya arus saluran. (b) Jika impedansi saluran (antarasumber dan beban) adalah Z s = 0,6 + j4 Ω per fasa, berapakah dayayang diserap saluran ? (c) Berapakah tegangan sumber ?PenutupPenulis mengucapkan terima kasih kepada pembaca yangtelah memanfaatkan buku ini. Penulis juga mengharapkansaran-saran pembaca untuk perbaikan lebih lanjut.324 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daftar Referensi1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB2002, ISBN 979-9299-54-3.2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit Output UntukPerhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah”,Monograf, 2005, limited publication.3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, CatatanKuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam PermasalahanKualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint, 1990,ISBN 0-07-451899-2.6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices and Systems”; John Wiley & Son Inc, 5 th ed, 1992.7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : “ElectricCircuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2 nd ed, 1992.8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-HallInternational, Inc., 1992.9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Design ofLinier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,McGraw-Hill, 1999.325

Daftar otasiv atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.V rr : tegangan, nilai rata-rata.V rms : tegangan, nilai efektif.V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.|V| : nilai mutlak fasor tegangan.V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.I: arus dengan nilai tertentu, arus searah.I rr : arus, nilai rata-rata.I rms : arus, nilai efektif.I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.I: fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.|I| : nilai mutlak fasor arus.I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.p rr : daya, nilai rata-rata.S : daya kompleks.|S| : daya kompleks, nilai mutlak.P : daya nyata.Q : daya reaktif.q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.w : energi.R : resistor; resistansi.L : induktor; induktansi.C : kapasitor; kapasitansi.Z : impedansi.Y : admitansi.T V (s) : fungsi alih tegangan.T I (s) : fungsi alih arus.T Y (s) : admitansi alih.T Z (s) : impedansi alih.µ : gain tegangan.β : gain arus.r: resistansi alih, transresistance.g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.326 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

IDEKSaalih daya 133, 274, 277, 281amplitudo 38anak tangga 16, 17analisis 3aperiodik 37arus 9arus mesh 169, 256bbatere 193, 196beban terhubung Y 309beban terhubung ∆ 312besaran 4, 8ddaya 10, 266, 267daya kompleks 269, 271, 314daya rata-rata 266daya reaktif 267daya tiga fasa 318daya, faktor 270, 297daya, segitiga 269diagram 3diagram blok 116diagram fasor 291diagram satu garis 186, 300diferensiuator 220dioda 92, 201eekivalen 295eksponensial 16, 18, 27, 33energi 2, 9, 10fFourier 46ggelombang 15, 37gelombang penuh 94gelombang penuh 49, 202gelombang, pemotong 95gigi gergaji 51hharmonisa 41hubungan bertingkat 214iimpedansi masukan 297impuls 24induktansi 124induktor 65informasi 2integrator 219inversi 207jjaringan ditribusi 189kkaidah 6, 122kapasitansi 123kapasitor 60, 203kausal 37Kirchhoff 6, 111komposit 24konvensi 12, 72kubik 32llebar pita 45linier 4mMillman 130model 3muatan 9, 10327

nnilai efektif 38nilai rata-rata 38nilai sesaat 37non linier 149noninversi 103, 206non-kausal 37Norton 6, 130oOhm 6, 109OP AMP 99, 101, 206pparabolik 32pembagi arus 127pembagi tegangan 127pengurang 212penjumlah 209periodik 37peubah 3, 10piranti 2proporsionalitas 6, 128, 247rramp 26rangkaian 2, 3rangkaian penyangga 102, 206reduksi rangkaian 144, 254resistansi 122, 182, 184resistor 57resonansi 258, 260ssaklar 75satu satuan 146, 247searah 41segitiga 51setengah gelombang 49, 92, 201sinus 16, 19, 26, 41sinyal 11, 15spektrum 41struktur 4substitusi 135substitusi 6sumber 83, 85, 86, 89, 124superposisi 6, 129, 247, 251ttegangan 10tegangan simpul 159, 255Tellegen 6, 136teorema 6, 121, 128Thevenin 6, 130, 148, 253tiga fasa 306transformasi Y-∆ 125transformator 76, 287transien 6uunit output 146, 250328 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

ResistorLampiran IRangkaian pemroses energi maupun pemroses sinyal memerlukanresistor yang sedapat mungkin “murni”. Gejala adanya induktansimaupun kapasitansi pada piranti ini harus diusahakan sekecil mungkin.Resistor juga harus mempunyai koefisien temperatur yang rendah agardalam operasinya perubahan nilai resistansi sebagai akibat kenaikantemperatur masih dalam batas-batas yang dapat diterima. Nilai resistansiyang diperlukan dalam rangkaian listrik bisa tinggi bahkan sangat tinggi,terutama dalam rangkaian elektronika, antara 10 3 sampai 10 8 Ω.Sementara itu material yang sesuai untuk membangun resistormempunyai resistivitas ρ kurang dari 10 −6 Ωm. Oleh karena itudikembangkan konstruksi serta cara-cara pembuatan resistor yang dapatmemenuhi persyaratan-persayaratan teknis (termasuk dimensi) sertapertimbangan-pertimbangan ekonomis.I.1. KonstruksiLapisan Tipis (Thin Films). Di atas permukaan suatu bahan pendukung(substrat) dibuat lapisan tipis bahan resistif melalui proses evaporasi(penguapan) ataupun sputtering dalam vakum. Bahan-bahan metalseperti aluminium, perak, emas, dan Ni-Cr dapat dengan mudahdiuapkan dalam vakum untuk membentuk lapisan tipis di atas permukaansubstrat. Ketebalan lapisan yang diperoleh adalah sekitar 10 nm. Setelahlapisan tipis ini terbentuk, dilakukan “pengupasan” lapisan menurutipola-pola tertentu untuk memperoleh lebar dan panjang lapisan yangdiinginkan sesuai dengan nilai resistansi yang diperlukan. Proses“pengupasan” dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya denganair jet yang mengandung partikel-partikel abrasif, atau penguapandengan berkas sinar laser atau berkas elektron. Sering juga digunakanproses photolithography.Lapisan Tebal (Thick Film). Tebal lapisan bahan resistif aktif di siniadalah antara 10 − 15 µm, dibuat dengan teknik sablon. Pola-pola alurresistor dibuat lebih dahulu pada screen yang kemudian diletakkan tetapsekitar 1 − 3 mm di atas permukaan substrat. Cat dengan kekentalantertentu, yang merupakan bahan resistor, diletakkan di atas screenkemudian disapukan merata menggunakan penyapu dari karet-keras329

dengan tekanan yang cukup agar screen menyentuh permukaan substrat.Jika penyapuan dihentikan screen akan kembali pada posisi semula danterbentuklah pola-pola cat di atas substrat. Kekentalan cat harus dibuatsedemikian rupa sehingga pada waktu screen terangkat, cat yang beradadi atas substrat meluber ke tempat yang semula tertutup oleh benang /kawat screen. Dengan demikian ketebalan lapisan tidak terlalu bervariasi.Cat bahan resistor diperoleh melalui pencampuran tepung bahankonduktif (biasanya oksida misalnya PdO, RuO 2 , dengan koduktivitas10 6 − 10 6 Sm −1 ) dengan tepung silikat (boro-silikat timbal) sertacampuran bahan organik. Setelah pola-pola resistor terbentuk di ataspermukaan substrat, dilakukan pemanasan secara terkendali padatemperatur antara 100 − 150 o C sehingga larutan organik menguap. Sisasisabahan organik yang masih tersisa dihilangkan dengan pemanasanpada temperatur 200 − 400 o C. Yang tertinggal adalah campuran silikatdan komponen resistif aktif yang akan melekat dengan baik padapermukaan substrat melalui pemanasan pada temperatur 800 o C.Gulungan Kawat. Untuk memperoleh kemampuan arus yang lebihtinggi, dibuat resistor dari gulungan kawat. Untuk mengurangi efekinduktansi pada gulungan kawat ini dilakukan cara penggulungantertentu, misalnya penggulungan bifilar.Resistor Dalam Rangkaian Terintegrasi. Selain konstruksi tersebut diatas, kita mengenal resistor-resistor dalam rangkaian terintegrasi.I.2. ilai-ilai StandarResistor dibuat menuruti suatu nilai standard dengan toleransi sepertiterlihat pada Tabel-I.1. Tabel-I.2 memuat macam resistor dan rentangdayanya. Tabel-I.3 memuat macan potensiometer dan rentang dayanya.330 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Nilai Toleransi ±%Tabel-I.1: Nilai-Nilai Standar ResistorNilai Toleransi ±%Nilai Toleransi ±%10 5; 10; 20 22 5; 10; 20 47 5; 10; 2011 5 24 5 51 512 5; 10 27 5; 10 56 5; 1013 5 30 5 62 515 5; 10; 20 33 5; 10; 20 68 5; 10; 2016 5 36 5 75 518 5; 10 39 5; 10 82 5; 1020 5 43 5 91 5Tabel-I.2: Macam Resistor & Rentang DayanyaType & Nilai Numerik Toleransi ± % Daya [W]Komposit:5; 10; 20 1/8; ¼; ½; 1; 21 Ω - 20 MΩKarbon: 1 Ω - 20 MΩ 1; 2; 5 1/2 ÷ 2Lapisan Logam:10 Ω - 10 MΩ0.01 ÷ 1 1/20 ÷ 1/4.Gulungan Kawat: 0.1 Ω - 200 kΩ 0.1 ÷ 2 1; 2; 5; 10; 25Tabel-I.3: PotensiometerType & Nilai Numerik Toleransi ±% Daya [W]Komposit: 50 Ω - 5 MΩ 10 2Lapisan Logam:50 Ω - 10 kΩ2,5 0,5 ÷ 1Kawat gulung:10 Ω - 100 kΩ2,5 1 ÷ 1000331

KapasitorLampiran IIDalam rangkaian listrik kapasitor dapat melakukan berbagai fungsi,misalnya kopling kapasitif, pemisahan tegangan bolak-balik dantegangan searah, filtering (penapisan) dan penyimpanan energi.Kapasitor melewatkan arus bolak-balik tetapi menahan arus searahsehingga ia dapat mengkopel arus bolak-balik antara satu bagianrangkaian dengan bagian lainnya sementara arus searah di kedua bagiantersebut dipisahkan. Nilai kapasitor juga dapat dipilih sedemikian rupaguna memilah frekuensi yang berbeda. Sebagai penyimpan muatan iadapat dimanfaatkan misalnya pada lampu kilat kamera.II.1. Efisiensi VolumeEfisiensi volume merupakan ukuran kapasitansi yang mungkin diperolehuntuk suatu ukuran (dimensi) tertentu. Untuk kapasitor pelat paraleldengan luas A dan jarak elektroda d (yang berarti juga tebal dilistrik = d),serta permitivitas relatif dilistrik adalah ε r , maka kapasitansi adalahAC = εrε0(II.1)ddan efisiensi volume adalah C/volumeCvolumeCAdεrεd0= =(II.2)2Jadi efisiensi volume berbanding lurus dengan permitivitas relatif ε r danberbanding terbalik dengan kuadrat tebal dilistriknya. Hal ini berartibahwa makin tinggi permitivitas relatif dan makin tipis bahan dilistriknyaakan makin tinggi efisiensi volumenya. Akan tetapi dilistrik tidak dapatdibuat terlalu tipis karena bahan dilistrik mempunyai kekuatan menahantegangan tertentu yang jika dilampaui akan terjadi tembus listrik.Jika kuat medan tembus dilistrik adalah E b sedangkan kapasitordirancang untuk tegangan kerja V k , maka dengan faktor keamanan ηkita akan membuatη Vk = Ebd(II.3)Dari (II.2) dan (II.3) kita dapat menentukan kerapatan energi dalamdilistrik yang diperkenankan, yaitu332 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛ 1⎜⎝ 22222 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ Cd ε rε0Vkεrε0EbCVk⎟ volume = ⎜ CVk⎟ = = (II.4)⎠ ⎝ 2 ⎠ ε ε 22r 02d2ηPersamaan (II.4) menunjukkan bahwa dalam memilih dilistrik untukkapasitor tegangan tinggi faktor ε r E b 2 perlu diperhatikan.Muatan yang dapat tersimpan dalam kapasitor adalahEfisiensi penyimpanan muatan adalah q/ volume menjadiqvolumeCvolumeq = CVk.= V k(II.5)Jadi efisiensi penyinpanan muatan sama dengan efisiensi volume kalitegangan kerjanya.II.2. Resistansi Arus SearahKapasitor nyata (bukan ideal) mengandung resistansi arus searah yangbesarnyaρdR c = dengan ρ adalah resistivitas dilistrik. (II.6)ASuatu kapasitor yang bermuatan Q 0 akan melepaskan muatannya melaluiresistansi ini sesuai dengan relasi−t/ τQ(t)= Q0 e , dengan τ = RcC(II.7)Konstanta waktu τ ini tidak tergantung dari dimensi kapasitor tetapiditentukan hanya oleh dilistriknya. Hal ini dapat kita lihat jika kitamasukkan (II.6) dan (II.1) kita dapatkanτ =ρdε ε AA dr 0R cC= = ρ εrε0(II.8)Resistansi R c di atas adalah resistansi dari volume dilistrik. Untukkapasitor tegangan tinggi ( > 1kV ), kita harus memperhatikan pulaadanya resistansi permukaan antara elektroda.II.3. Rangkaian Ekivalen Pada Tegangan Bolak-BalikJika tegangan bolak-balik diterapkan pada kapasitor ideal, tidak terjadidesipasi energi. Dalam kenyataan, kapasitor mengandung resistansi baikresistansi kawat terminasi, elektroda, maupun resistansi dilistriknyasendiri. Yang paling dominan adalah resistansi dilistrik. Adanya333

II.4. Desipasi Daya Pada KapasitorDari diagram fasor Gb.II.1. dapat diformulasikan daya yang didesipasiberupa panas, yaitu sebesaratau dari Gb.II.2.P = V I = V I tan δ = V I tan δ (II.11)CRpCCP = V I = V I tan δ = V I tan δ (II.12)RsCCCV C dan I C dalam kedua persamaan ini adalah nilai efektif tegangan danarus. Oleh karena I C = jωCVCatau IC= ωCVCmaka persamaan(II.11) ataupun (II.12) dapat dituliskan sebagaiP = VC ( ωCVC) tan δ = VC2 ωCtan δ (II.13)Jika tegangan kapasitor dinyatakan sebagai fungsi sinusVmaksvC= Vmakssin ωt, nilai efektif tegangan adalah V C = dan2persamaan (II.13) dapat pula ditulis sebagaiKerapatan daya yang didesipasi adalahPvolume===1212CCCC1P = V 2maks ωCtan δ(II.14)2( ε A / d )22VmaksωCtan δ 1 Vmaksω ε r 0=volume 2 A×d2Vmaksωεr ε0tan δ2d1 2Emaksωεr ε0tan δ2tan δ(II.15)σ AC = ωεrε0tan δ disebut konduktivitas dilistrik. (II.16)( εrtan δ ) disebut faktor rugi-rugi dilistrikII.5. Permitivitas KompleksRugi daya pada kapasitor sesungguhnya adalah rugi daya padadilistriknya, atau dengan kata lain faktor rugi-rugi tanδ adalah sifat dari335

dilistriknya. Untuk mencakup adanya rugi-rugi dilistrik ini, dikenalkanpengertian permitivitas relatif kompleks dari dilistrik, yaituε *r = ε′ r − jε r′′(II.17)dengan ε′ r adalah bagian riil dan ε′ ′ r adalah bagian imajiner daripermitivitas. Dengan pengertian ini maka arus kapasitor adalah* AIC= jωCVC= jωεrε0VCd(II.18)A= jω( ε′ r − jε ′ r) ε0VC= jωε′rC0VC+ ωε ′ rC0VCddengan C 0 adalah kapasitansi dalam vakum yang mempunyai*ε r = ε′ r − jε r ′′ = 1−j0.Arus kapasitor dalam rumusan (II.16) terdiri dari dua komponen.Komponen pertama adalah arus kapasitor tanpa rugi-rugi, dan komponenkedua adalah arus yang sefasa dengan tegangan. Diagram fasor arus initerlihat pada Gb.II.3.ω ε′ rC 0 V CImI CPada Gb.II.3. jelas terlihat bahwaGb.II.3. Diagram fasor arus kapasitor.ε r′′ε′ rω ε′′ rC 0 V C= tan δDari Gb.II.3. terlihat pula bahwa desipasi daya pada kapasitor adalahV CRe(II.19)2P = ωε r′′C0VC(II.20)Dengan memasukkan (II.17) ke (II.18) dapat kita peroleh336 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Kerapatan daya yang didesipasi22P = ωε′ rC0VCtan δ = ωCVCtan δ (II.21)2P ωε′ rC0VCtan δ ωε′ rε0==volume A×d1= Emaksωε′rε0tan δ2Persamaan ini identik dengan persamaan (II.15).II.6. Macam-Macam Konstruksi Kapasitor( A/d )2Vmakstan δ2 × A×dMacam-macam kapasitor yang utama adalah sebagai berikut.(II.22)Kapasitor Pita Polimer. Pada dasarnya kapasitor ini dibangun dari pitapolimer sebagai dilistrik yang diletakkan diantara dua pita aluminium(alluminium foil) sebagai elektroda dan digulung untuk memperoleh luaselektroda yang diinginkan. Gulungan ini kemudian dimasukkan ke dalamtabung aluminium atau dilindungi dengan epoxy resin. Konstruksi lainadalah menggunakan lapisan aluminium yang diendapkan (melaluiproses penguapan) langsung di permukaan pita polimer sebagaielektroda. Tebal pita polimer hanya beberapa mikron sedangkan teballapisan elektroda yang diendapkan di permukaan polimer adalah sekitar0.025 µm; dengan demikian efisiensi volume menjadi tinggi.Polimer yang biasa digunakan adalah polystyrene, polypropylene,polyester, polycarbonate. Kapasitor jenis ini banyak dipakai. Kapasitordengan dillistrik polystyrene mempunyai faktor kerugian (tanδ) yangsangat rendah ( < 10 −3 ). Kapasitansi yang bisadicapai pada konstruksi ini adalah antara 10 −5 − 10 2 µF. Kertas denganimpregnasi juga sering digunakan juga sebagai dilistrik.337

digulungelektrodadilistrikGb.II.4. Kapasitor pita polimer.Kapasitor Elektrolit Aluminium. Kapasitor ini dibangun dari dua pitaaluminium yang sangat murni dengan ketebalan sekitar 50 µm sebagaielektroda, dan diantara keduanya diletakkan kertas berpori, kemudiandigulung membentuk silinder. Salah satu elektroda (yaitu anoda)mempunyai lapisan alumina dengan tebal sekitar 0.1 µm, yang dibentuksecara anodik. Gulungan ini dimasukkan ke dalam tabung silinderkemudian kertas berporinya di-impregnasi dengan suatu elektrolit(misalnya amonium pentaborat). Dengan demikian tersusunlah kapasitoryang terdiri dari anoda pita aluminium, lapisan alumina sebagai dilistrik,serta elektrolit dan pita aluminium yang lain sebagai katoda. Dalampenggunaan anoda harus tetap berpotensial positif. Kapasitor ini dibuatdalam rentang nilai antara 10 −1 sampai 10 4 µF.Gb.II.5. Kapasitor elektrolit.Kapasitor Keramik. Kapasitor keramik dibuat untuk penggunaan padategangan dan daya rendah maupun tegangan dan daya tinggi. Untuktegangan rendah kita mengenal konstruksi piringan, konstruksi tabung,dan konstruksi multilayer.338 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

elektroda dilistrik elektrodadilistrikpiringanpelindungelektrodamultilayerdilistriktabungGb.II.6. Kapasitor KeramikKapasitor Mika. Konstruksi yang umum terdiri dari beberapa lempengmika dengan ketebalan antara 0.25 sampai 50 µm sebagai dilistrikdengan lapisan perak sebagai elektroda yang disusun dan diklemmembentuk satu susunan kapasitor terhubung paralel. Susunan inikemudian dibungkus dengan thermosetting resin untuk melindunginyadari kelembaban. Kapasitor jenis ini dibuat dalam rentang 10 −5 sampai10 −1 µF.II.7. ilai StandarkawatNilai standar kapasitor tegangan rendah dan toleransinya sama sepertiresistor yang diberikan dalam tabel I.1. Tabel II.1. memuat macamkapasitor dan rating tegangannya.339

Tabel II.1. KapasitorDilistrik Rentang nilai Toleransi± %Tegangan KerjaSearah [V]Gelas 1 ÷ 10 4 pF 5 100÷1250Mika 1 ÷ 10 5 pF 1; 2; 5 50÷500Kertas 10 pF÷10 µF 10 50÷400Plastik 1 pF ÷ 1 µF 2; 5; 10 50÷600Keramik 10 ÷ 10 6 pF 5; 10; 20 50÷1600II.8. Kapasitor Tegangan TinggiKonstruksi-konstruksi untuk tegangan rendah tidak dapat digunakanuntuk tegangan tinggi karena mempunyai kelemahan yaitu keduaelektrodanya tetap paralel sampai di bagian pinggirnya. Pada konstruksiyang demikian ini, walaupun kuat medan listrik di bagian tengah masihnormal, di bagian pinggir elektroda dapat terjadi kuat medan yang lebihtinggi (bisa sampai dua kali lipat kuat medan rata-rata) . Selama kuatmedan rata-rata kecil dibandingkan dengan kuat medan tembus dilistrik,hal ini tidak menjadi masalah besar. Akan tetapi untuk kondensatortegangan tinggi hal ini harus mendapat perhatian khusus. Tembuspermukaan bisa terjadi jika dilistrik kapasitor yang mempunyaipermitivitas tinggi berbatasan dengan dilistrik sekitarnya yangpermitivitasnya lebih rendah, misalnya udara. Untuk mengatasi situasiini, pinggiran elektroda dibuat melengkung sedemikian rupa sehinggajarak rambat permukaan dilistrik di daerah pinggir menjadi panjang.Selain itu permukaan dilistrik kapasitor juga perlu di glazur. Konstruksiyang sering dijumpai untuk kapasitor tegangan tinggi adalah konstruksipot dan kontruksi silinder.terminalterminal dalamdiglazurdiglazurelektrodadilistrikterminal diglazurGb.II.7. Kapasitor tegangan tinggi.elektrodaterminal luardilistrik340 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BiodataNama: Sudaryatno SudirhamLahir: di Blora pada 26 Juli 1943Istri: Ning UtariAnak: Arga AridarmaAria Ajidarma.1971 : Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung.1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung.1974 : Tertiary Education Research Center – UNSW − Australia.1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis.1981 : INPT - Toulouse − Perancis; 1982 DEA; 1985 Doktor.Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran Listrik”, “Pengantar TeknikElektro”, “Pengantar Rangkaian Listrik”, “Material Elektroteknik”,“Phenomena Gas Terionisasi”, “Dinamika Plasma”, “Dielektrika”,“Material Biomedika”.Buku dan Artikel: “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN979-9299-54-3, 2002; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi SusutEnergi Jaringan Distribusi”, Penerbit ITB, ISBN 978-979-1344-38-8,2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral”, Penerbit ITB,ISBN 978-979-1344-37-1, 2009; “Analisis Rangkaian Listrik (1)”, 2010;“Analisis Rangkaian Listrik (2)”, 2010; “Analisis Rangkaian Listrik (3)”,2010; 2010; ”Mengenal Sifat Material (1)”, 2010; ”Estimasi SusutTeknik dan onteknik Jaringan Distribusi”, 2011.Bidang minat: Power Engineering; Material Science.341