ST04 Discrete Probability Distributions - istiarto

STATISTIKADiscrete Probability Distributions

Discrete Probability Distributions• Distribusi Hipergeometrik• Bernoulli Processes– Distribusi Binomial– Distribusi Geometrik– Distribusi Binomial Negatif• Poisson Processes– Distribusi Poisson– Distribusi Exponensial– Distribusi Gamma• Distribusi MultinomialDiscrete Probability Distributions 2

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSHypergeometric Distributions

Hypergeometric Distributions• Situasi– Mengambil sampel (random) berukuran n tanpapengembalian dari suatu populasi berukuran N– Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagikedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan(N – k)• Contoh– Suatu populasi berupa• hari hujan dan hari tak hujan• stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek• sukses dan gagalDiscrete Probability Distributions 4

Hypergeometric Distributions• Persamaan/rumus– Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N obyekadalah kombinasiNnk xN !N n ! n!– Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan(n – k) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k suksesdan (N – k) gagal adalahN k N xk!k x ! x!N k!N k n x!n x!Discrete Probability Distributions 5

Hypergeometric Distributions– Jadi probability mendapatkan X = x sukses dalam sampelberukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran Nyang memiliki k elemen sukses adalahk N k N x;N,n k f X , xn xn– Distribusi kumulatif dari probability mendapatkan x suksesatau kurang adalahFXxx;N,n,k i0k iNn k iNnDiscrete Probability Distributions 6

Hypergeometric Distributions– Nilai rata-rata (mean) suatu distribusi hipergeometrikadalahEX– VarianceVarX– Catatann kNn kN kN n2N N1x k;x n;k N;nNDiscrete Probability Distributions 7

Hypergeometric DistributionsContoh hypergeometric distributionDiscrete Probability Distributions 8

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSBernoulli Processes:Distribusi Binomial

Contoh Ilustrasi (1)• Investigasi thd suatu populasi– karakteristik populasi → variabel– nilai variabel• nilai ujian: 0 s.d. 100• status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai,duda/janda• usia: 0 s.d. ...• cuaca: cerah, berawan, hujanDiscrete Probability Distributions 10

Contoh Ilustrasi (2)• Contoh lain– Jawaban pertanyaan:• ya / tidak• benar / salah• menang / kalah• lulus / tak-lulus• sukses / gagalSUKSESvsGAGALDiscrete Probability Distributions 11

Distribusi Binomial• Jika– variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil– probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidakberubah (tetap) apapun hasil experimen sebelumnyaDistribusi Binomial• Probabilitas hasil suatu distribusi binomial– prob(sukses) = p– prob(gagal) = q = 1 – pDiscrete Probability Distributions 12

Distribusi Binomial atau Bukan?hujantak-hujanEvent Binomial ?(True / False)jenis kelaminwarga desajenis kelaminbayi yang barulahirFFTWhy ?prob kejadianberubahprob kejadianberubahprob tetapDiscrete Probability Distributions 13

Distribusi Binomial• Ilustrasi– Peluang sukses (S) dalam suatu experimen adalah p →prob(S) = p– Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q– 1x experimen:• peluang sukses• peluang gagal– 2x experimen:• peluang sukses kmd sukses (S,S): pp• peluang sukses kmd gagal (S,G): pq• peluang gagal kmd sukses (G,S): qp• peluang gagal kmd gagal (G,G): qqpqDiscrete Probability Distributions 14

Sukses-Gagal dalam 2xExperimenjumlahkesuksesancarasuksesjumlah carasuksesprobabilitas2 SS 1 pp 1 p 2 q 01SG atauGS2 pq + qp 2 p 1 q 10 GG 1 qq 1 p 0 q 2Discrete Probability Distributions 15

Sukses-Gagal dalam 3xExperimenjumlahsuksescarasuksesjumlah carasuksesprobabilitas3 SSS 1 1 ppp 1 p 3 q 021SSG, SGS,GSSSGG,GSG, GGS3 3 ppq 3 p 2 q 13 3 pqq 3 p 1 q 20 GGG 1 1 qqq 1 p 0 q 3Discrete Probability Distributions 16

Sukses-Gagal dalam 3x atau 5xExperimen– 3x experimen:• peluang sukses pada experimen ke-3: qqp• peluang sukses di salah satu experimen: pqq + qpq + qqp– 5x experimen:• peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp522 3 p q 10 p2q3Discrete Probability Distributions 17

Banjir• Peluang debit melampaui 100 m 3 /s dalam satutahun adalah p p = probability of exceedence(success)• Maka peluang– debit terlampaui di tahun ke-3, namun tidak terjadi ditahun ke-2 dan ke-1 adalah qqp– debit terlampaui satu kali pada salah satu tahundalam periode 3 tahun adalah pqq + qpq + qqp =3pq 2– debit terlampaui 2 kali dalam 5 tahun adalah ppqqq +pqpqq + … + qqqpp = 10p 2 q 3Discrete Probability Distributions 18

Distribusi Binomial (1)• Jika– peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p– probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil experimen yanglain• Maka– peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali experimen adalahnfX,..., xx nxx; n,p p 1 p x 0,1,2 nkoefisien binomialDiscrete Probability Distributions 19

Distribusi Binomial (2)• Distribusi binomial kumulatifni n iFX ,...,i c sx;n,p p 1 p x 0,1,2 ni0• Nilai rata-rata dan varianEXVar• Skewness coefficientq pn p qx n pX n p qp = q simetrisq > p negative skewq < p positive skewDiscrete Probability Distributions 20

Distribusi Binomial (3)• Contoh #1– Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihanacak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari4 kegiatan (A,B,C,D).– Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masingkegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih(mendapatkan dana).– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkandana 3x?– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkandana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?Discrete Probability Distributions 21

Distribusi Binomial (4)• Setiap kali pemilihan– prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilihprob(As) = ¼ = 0.25 = p– prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilihprob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q• Dalam 5 kali pemilihan– peluang terpilih (sukses) 3 kali adalahfX53 2x;n,p f 3;5,0.25 0.25 0.75 0. 088X3Discrete Probability Distributions 22

Distribusi Binomial (5)• Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)koefisienbinomialjumlah sukses jumlah kejadian peluang terjadi0 1 0.2371 5 0.3962 10 0.2643 10 0.0884 5 0.0155 1 0.001∑ = 1.000Discrete Probability Distributions 23

Distribusi Binomial (6)• Contoh #2– Diketahui probabilitas (risiko) muka air banjir dalamsuatu tahun melebihi elevasi h m adalah 0.05.Apabila m.a. banjir melebihi h m, maka wilayah Aakan tergenang.– Apabila setiap kejadian banjir adalah independent(banjir pada suatu tahun tak bergantung pada banjirpada tahun yang lain), maka kejadian banjir tersebutdapat dipandang sebagai proses Bernoulli.– Berapa risiko (probabilitas) wilayah A tergenang 2kali dalam periode 20 tahun?Discrete Probability Distributions 24

Distribusi Binomial (7)• Solusi– Misal: x = jumlah kejadian wilayah A tergenangn = periode (jumlah tahun) yang ditinjaup = risiko m.a. banjir melewati h m(risiko wilayah A tergenang)– Maka: x = 2; n = 20; p = 0.05– Jadi:fX202 18x;n,p f 2;20,0.05 0.05 0.95 0. 1887X2Discrete Probability Distributions 25

Distribusi Binomial (8)• Contoh #3– Agar 90% yakin bahwa debit banjir rancangan yangakan dipilih tidak terlampaui selama periode 10tahun, berapakah kala ulang debit banjir rancangantersebut?• Contoh #4– Memperhatikan contoh #3, tariklah kesimpulanmengenai risiko debit banjir kala-ulang T tahunterlampaui paling sedikit 1 kali dalam periode Ttahun.Discrete Probability Distributions 26

Distribusi Binomial (9)• Solusi– Misal• Q d = debit banjir rancangan• p = probabilitas bahwa debit banjir rancanganterlampaui• n = 10 tahun• x = jumlah tahun debit banjir rancangan terlampaui– Probabilitas debit banjir rancangan tak terlampauiadalahQ Q %prob 90dDiscrete Probability Distributions 27

Distribusi Binomial (10)f X1000;10,p p 1 p00.90 111p1010pp10.90 0.01050.10KalaulangT1p95tahunJadi untuk memperoleh keyakinan 90% bahwa debit banjirrancangan tak terlampaui dalam 10 tahun, maka diperlukandebit banjir rancangan kala ulang 95 tahun.Discrete Probability Distributions 28

Distribusi Binomial (11)• Apabila dipilih debit banjir kala ulang 10 tahun(p = 10%), maka kemungkinan debit inidilampaui adalahQ Q 1f 0;10,0.10 0. 651prob 10 XDiscrete Probability Distributions 29

Distribusi Binomial (12)• Secara umum dapat ditetapkan bahwa risiko debit banjirrancangan kala ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1xdalam periode T tahun adalah:atau11Q Q 1f 0;10,0.10prob 10e0.63X0.651• Jadi terdapat 63% kemungkinan bahwa debit kala ulang Ttahun terlampaui paling sedikit 1x dalam periode T tahun.• Jika umur rancangan bangunan dan kala ulang rancangansama, maka sangat besar risiko bahwa debit rancangantersebut akan dilampaui dalam periode umur rancangan.Discrete Probability Distributions 30

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSBernoulli Processes:Distribusi Geometrik

Distribusi Geometrik (1)• Situasi– Suatu sequence proses Bernoulli, namun ingin diketahuiprobability sukses yang pertama kali terjadi– Jika pada pengamatan (experimen) ke-x diperoleh suksespertama kali, maka haruslah dimiliki (x – 1) kali gagalsebelumnya dan diikuti oleh sekali pengamatan denganhasil suksesprobability p 1 q x1Discrete Probability Distributions 32

Distribusi Geometrik (2)• Probability distribusi geometrikfXx1x;p p q , x 1,2,3,...• Distribusi geometrik kumulatifFXxi1x;p p q probX x , x 1,2,3,... i1berlaku untuk xjika x 1maka1FXx;p 0Discrete Probability Distributions 33

Distribusi Geometrik (2)• Nilai rata-rataEX1p• VarianqvarX 2pDiscrete Probability Distributions 34

Distribusi Geometrik (3)EXx1x1pxxx0p qpx1x11 p p x 1 pp,1xp1,2,3,...xx1 pp1px11pDiscrete Probability Distributions 35

Distribusi Geometrik (4)• Contoh– Berapakah probability suatu banjir 10-tahunan akan terjadi pertama kali dalam 5tahun pertama setelah proyek selesai?– Berapakah probability banjir tersebut akanterjadi pertama kali secepat-cepatnya padatahun ke-5 setelah proyek selesai?Discrete Probability Distributions 36

Distribusi Geometrik (5)• Solusi– Probability banjir terjadi pertama kali pada tahun ke-5adalah:f X5;0.10 0.101 0.100.06564Discrete Probability Distributions 37

Distribusi Geometrik (6)• Solusi– Probability banjir terjadi pertama kali paling cepatpada tahun ke-5 (jadi dapat terjadi pada tahun ke-5,6, 7, 8, 9, atau 10) dapat dicari denganmemperhatikan bahwa banjir tidak datang selamaperiode 4 tahun pertama.– Dengan demikian probability banjir terjadi pertamakali paling cepat pada tahun ke-5 adalah:q410.100.65614Discrete Probability Distributions 38

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSBernoulli Processes:Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif (1)• Situasi– Ingin diketahui probability diperolehnya sukses ke-kterjadi pada experimen ke-x (tentu saja x ≥ k).– Dalam hal ini, pastilah terdapat (k – 1) sukses pada(x – 1) experimen, yang mendahului sukses ke-kpada experimen ke-x.– Probability (k – 1) sukses dalam (x – 1) experimenadalah:xk 11k1pqxk distribusi binomialDiscrete Probability Distributions 40

Distribusi Binomial Negatif (2)– Sedangkan probability sukses pada experimen ke-xadalah p.– Jadi probability sukses ke-k pada pengamatan ke-xadalah:fX x 1k xkx; k,p p q , x k,k 1,...k1• Nilai rata-rata dan variankk qEX varX 2ppDiscrete Probability Distributions 41

Distribusi Binomial Negatif (3)• Contoh– Berapakah probability bahwa banjir 10-tahunan akanterjadi keempat kalinya pada tahun ke-40?• Solusif X401440;4,0.10 0.10 1 0.104 139 0.10 3 0.020640.90Discrete Probability Distributions 4236404

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSPoisson Processes:Distribusi Poisson

Distribusi Poisson (1)• Situasi– Proses Bernoulli dalam suatu interval waktu padalah probability terjadinya suatu event dalaminterval waktu tersebut.– Jika interval waktu t sangat pendek sedemikianhingga probability p menjadi kecil dan jumlahpengamatan (experimen) n bertambah sedemikianhingga np konstan, maka• expektasi jumlah kejadian dalam interval waktu total tetapDiscrete Probability Distributions 44

Distribusi Poisson (2)• Sifat– Proses Poisson adalah suatu proses diskritpada skala waktu kontinu.– Oleh karena itu, distribusi probability jumlahevent dalam suatu waktu T adalah sebuahdistribusi diskrit, akan tetapi distribusiprobability waktu antar events serta waktusampai ke event ke-n adalah distribusikontinu.Discrete Probability Distributions 45

Distribusi Poisson (3)• Probability distribusi poissonfXxex!x; , x 0,1,2,... dan n p 0• Distribusi geometrik kumulatifFXxx; iei0 i!Discrete Probability Distributions 46

Distribusi Poisson (4)• Mean dan varianceEX varX • Skewness coefficientc s 1 2Discrete Probability Distributions 47

Distribusi Poisson (5)• Contoh #1– Probability banjir 20-tahunan (kala ulang 20 tahun)akan terjadi dalam 10 tahun:• dengan memakai distribusi binomialf X101;10,0.05 0.050.959 0. 315• dengan memakai distribusi poisson1;0.05 0. 3031 np 100.05 0.5fX0.5e1!0.5Discrete Probability Distributions 48

Distribusi Poisson (6)• Contoh #2– Probability 5 kejadian banjir 2-tahunan dalam 10tahun adalah:• dengan memakai distribusi binomialf X10 5 5 1055;10,0.5 0.50.5 0. 246• dengan memakai distribusi poisson np 100.5 5fX55e5!55;5 0. 176 n tidak cukup besar untukmendapatkan pendekatanyang baik dengan distribusipoissonDiscrete Probability Distributions 49

Distribusi Poisson (7)• Contoh #3– Probability kurang daripada 5 kejadian (max. 4kejadian) banjir 20-tahunan dalam 100 tahun adalah:n probdistribusi np 1000.05 5FXX 5 probX 4 F 4;545ei!poisson4;5 0. 44i0i5XDiscrete Probability Distributions 50

CONTINUOUS PROBABILITYDISTRIBUTIONSPoisson Processes:Distribusi Exponensial

Distribusi Exponensial (1)• Distribusi probability waktu (interval) T di antarakejadian-kejadian suatu event dapat dihitung sbb.probT t1probT tprob T tprobability tidak terjadievent dalam waktutf eXt0; tDiscrete Probability Distributions52

Distribusi Exponensial (2)• Distribusi exponensial kumulatifprob• pdfpTtT t P t; 1et;Td P t;dtT t e• Mean dan variance12ET varT Discrete Probability Distributions 53

CONTINUOUS PROBABILITYDISTRIBUTIONSPoisson Processes:Distribusi Gamma

Distribusi Gamma (1)• Distribusi probability waktu sampai terjadinyasuatu event ke-n kalinya.• pdfpTt;n,nn1t en1!t• Mean dan varianceET varT2 n nt 0 0n 1,2,...Discrete Probability Distributions 55

Distribusi Gamma (2)• Contoh– Berapa risiko terjadi banjir ke-4 kalinya dalam waktu 10tahun jika risiko banjir per tahun adalah 0.10?• Solusitp10,n 4, n p 40.10T10;4,0.4n0.40.78n1t en 1 !4t4310e4 1 !Discrete Probability Distributions 560.40.4 10

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONSDistribusi Multinomial

Distribusi Multinomial (1)• Distribusi binomial: sukses vs gagal, yes vs no• Distribusi multinomial– hasil x 1 , x 2 , …, x k– prob p 1 , p 2 , …, p kn! x xf X X Xkxx xkp p pkp1p2...p1, 2,...,1,2,...,; 1,2,...,1 2x ! x !... x !12kxkkDiscrete Probability Distributions 58

Distribusi Multinomial (2)• ataufXx;n,pn!Syaratkpk xipii1 xi!1ii1i1• Mean dan varianceEdankdalam persamaan tsbX , x,danX n p varX n p 1 p iiixiinipadalah vektor 1kDiscrete Probability Distributions 59

Distribusi Multinomial (3)Contoh multinomial distributionDiscrete Probability Distributions 60

Discrete Probability Distributions 61